CursoMaquinasRiobamba_beamer_Parte1.pdf

Modelación y Control de Máquinas Eléctricas Parte I Dr. José Manuel Aller Castro

Escuela Superior Politécnica de Chimborazo

Riobamba, Mayo 2015

Resumen del Curso I

I

El presente curso es una introducción a la modelación y control de máquinas eléctricas utilizando técnicas vectoriales y matriciales.

I

Se desarrollan los principios básicos de conversión que permiten determinar las ecuaciones internas de las máquinas eléctricas.

I

Utilizando las simetrías de la máquina se obtienen las transformaciones de coordenadas que simplifican el análisis matemático del convertidor tanto en vectores espaciales como mediante el uso de matrices.

Resumen del Curso II I

Se obtienen los modelos de la máquina de corriente continua, de la máquina de inducción y sincrónica en régimen dinámico y estático utilizando estas transformaciones.

I

Se desarrollan algoritmos en Matlab que permiten analizar el comportamiento de estas máquinas en diferentes regímenes de operación.

I

Como parte integral del curso se describen y analizan los diferentes controladores de par y velocidad que se utilizan en los convertidores electromecánicos

Convertidor electromecánico elemental I I

I

I

I

En general las máquinas eléctricas tienen por finalidad transformar la energía mecánica en energía eléctrica y viceversa. Cuando la conversión es de energía mecánica en energía eléctrica se dice que la máquina está funcionando como generador y en el caso contrario opera como motor. Tal vez la máquina eléctrica más simple es la que se representa en la siguiente figura. Este dispositivo es un convertidor electromagnético elemental y está constituido solamente por un conductor rectilíneo, moviéndose ortogonalmente a un campo magnético uniforme.

Convertidor electromecánico elemental II

Figura: Convertidor electromagnético elemental I

En la figura el conductor longitudinal se mueve en el interior de un campo magnético B: E es el vector intensidad de campo eléctrico e es la fuerza electromotriz B es el vector densidad de campo magnético v es el vector velocidad del conductor lineal

Convertidor electromecánico elemental III I

Las variables anteriores se relacionan a partir de la Ley de Lorenz F = q (E + v × B), considerando que no existe campo eléctrico externo: E = v×B

I

(1)

Si en la ley de Lorenz, se supone que el campo magnético B es uniforme en todos los puntos del conductor y la velocidad v es constante, la fuerza electromotriz e de todo el conductor es: ˆ l

E · dl

e= 0

(2)

Convertidor electromecánico elemental IV

I

Si al conductor anterior se le conecta una resistencia entre sus extremos, circularán cargas por el conductor y se producirá una corriente de valor: i=

e R

(3)

Convertidor electromecánico elemental V

Figura: Corriente circulando por un conductor I

En el conductor de la figura se produce una fuerza Fe , que se opone al movimiento.

Convertidor electromecánico elemental VI I

Esta fuerza puede calcularse a partir de la relación de Lorenz , expresada como función de la corriente i por el conductor: Fe = l · i × B (4)

I

La fuerza calculada en la expresión anterior muestra que el sistema se opone a la extracción de energía. Para obtener la energía, es necesario forzar el movimiento del conductor. Si no actúa ninguna otra fuerza que mantenga el movimiento, y si la velocidad es diferente de cero, el sistema tendrá un movimiento retardado de aceleración negativa.

I

I

Convertidor electromecánico elemental VII I

I

I

I

El conductor convertirá la energía que estaba inicialmente almacenada en su masa, en pérdidas en la resistencia R del circuito externo. En estas condiciones, la velocidad decae exponencialmente a cero. Para mantener una velocidad constante en el conductor de la figura, es necesario aplicar una fuerza externa al conductor que se oponga a Fe . Esta fuerza es de origen mecánico y se denomina Fm . En la figura también se observa el equilibrio de fuerzas necesario para mantener constante la velocidad v del conductor.

Convertidor electromecánico elemental VIII I

El sistema mecánico entrega potencia al sistema eléctrico para mantener la velocidad v, la potencia mecánica instantánea entregada por el sistema externo se calcula mediante la relación siguiente: Pm = Fm · v

I

(5)

y la potencia eléctrica instantánea en el conductor es: Pe = e · i

(6)

Convertidor electromecánico elemental IX

I

Si se realiza un balance de potencia, considerando que las cantidades vectoriales son ortogonales entre sí, se obtiene el siguiente resultado: Pm = Fm · v = Fe · v = i · B · v · l = i · E · l = i · e = Pe (7)

I

La ecuación 7 demuestra que la conversión de energía mecánica en energía eléctrica ha sido completa.

Convertidor electromecánico elemental X I

En el proceso no hay pérdidas debido a que la potencia disipada en la resistencia del circuito es externa a la máquina.

Figura: Conductor alimentado por una fuente de tensión V

Convertidor electromecánico elemental XI I

Añadiendo una fuente de tensión al conductor anterior con el conductor inicialmente en reposo, tal como se ilustra en la figura, la fuente de tensión V hace circular una corriente i por el circuito.

I

Esta corriente produce, según la ecuación 4 una fuerza eléctrica Fe .

I

Si no actúa ninguna otra fuerza sobre el conductor, este comienza a moverse con aceleración.

I

Cuando el conductor se mueve en un campo magnético, se origina a su vez un campo eléctrico E.

Convertidor electromecánico elemental XII I

I

Como se puede apreciar en la figura, la fuente de tensión produce una corriente que se opone al campo eléctrico E inducido por el movimiento. La corriente se puede calcular como: i=

I

I

I

V −e R

(8)

De esta forma, en la medida que aumenta la fuerza electromotriz e inducida por el movimiento del conductor, disminuye la corriente en el circuito. Al decrecer la corriente, se reduce la fuerza eléctrica sobre el conductor. El proceso continúa hasta que la fuerza eléctrica Fe se hace cero.

Convertidor electromecánico elemental XIII I

I

I

En esta condición la tensión aplicada por la batería V es igual a la fuerza electromotriz e, inducida por el movimiento del conductor en el campo magnético y la corriente i se anula. La velocidad del conductor en que la fuerza eléctrica es cero, debido al equilibrio entre la tensión aplicada y la fuerza electromotriz inducida por el movimiento, se define como velocidad sincrónica del conductor. En esta situación: e = V = l · vs · B

(9)

Convertidor electromecánico elemental XIV I

Donde vs es la velocidad sincrónica y se calcula de la expresión anterior como: vs =

I

V l ·B

(10)

Una vez que el conductor alcanza la velocidad sincrónica (V = e ; i = 0), si se aplica una fuerza resistente al conductor, el sistema comienza a retardarse y la fuerza electromotriz inducida e disminuye, aumenta la corriente en el conductor debido a que la tensión V de la batería supera a la fuerza electromotriz e.

Convertidor electromecánico elemental XV I

La aceleración o retardo del sistema se puede calcular aplicando convenientemente la segunda ley de Newton: a=

dv 1 Fe + Fm = ∑F = dt M M

Donde: ∑ F es la sumatoria de fuerzas aplicadas Fe es la fuerza eléctrica sobre el conductor Fm es la fuerza mecánica resistente M es la masa del conductor

(11)

Convertidor electromecánico elemental XVI I

Cuando la fuerza mecánica Fm equilibra a la fuerza eléctrica Fe , la aceleración es cero y en ese instante se cumple que:   V − B · l · v0 Fm = Fe = l · B · i = l · B · (12) R

I

De la ecuación 12 se obtiene la velocidad de operación v0 en función de la fuerza mecánica resistente: v0 =

I

m ·R V − FB·l B ·l

(13)

La velocidad v0 corresponde a la operación de la máquina cuando las fuerzas eléctricas y mecánicas sobre el conductor están en equilibrio.

Convertidor electromecánico elemental XVII I

Si en este momento se elimina la fuerza resistente Fm , el conductor se acelera en la dirección de la fuerza eléctrica Fe hasta alcanzar nuevamente la velocidad sincrónica.

I

La exposición anterior permite resumir en seis ecuaciones los principios que rigen la conversión electromecánica de energía: E = v×B (14) f = i×B

(15)

Convertidor electromecánico elemental XVIII ˆ

l

E · dl = E · l = v · B · l

e=

(16)

o

ˆ

l

f · dl = f · l = i · B · l

F=

(17)

o

i=

V −e R

dv 1 Fe + Fm = Fa = dt M M

(18) (19)

Convertidor electromecánico elemental XIX I

En el sistema de ecuaciones representado por las expresiones 14 a 19 se destacan los siguientes puntos: I

I

I

I

La ecuación 16 calcula una variable eléctrica (e) en función de una variable mecánica (v ) y el campo (B). La ecuación 17 determina una variable mecánica (F ) en función de una variable eléctrica (i) y el campo (B). Las expresiones 16 y 17 dependen del conductor y del campo en el cual está inmerso, por esta razón se denominan las ecuaciones internas del convertidor electromecánico. Las ecuaciones 18 y 19 representan las relaciones entre el conductor –máquina eléctrica– y el resto del universo. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de ligazón, ecuaciones de borde, ecuaciones de contorno o ecuaciones de frontera.

Curvas características I I

Para representar la curva característica de la fuerza eléctrica sobre el conductor en función de la velocidad, se puede utilizar la ecuación 12:  Fe = i · B · l =

I

I

I

V −e R

 ·B ·l =

V · B · l (B · l)2 − v(20) R R

La ecuación 20 representa la fuerza eléctrica Fe como una recta en función de la velocidad v del conductor. Cuando el conductor se encuentra en reposo (v = 0), la fuerza eléctrica es igual al término independiente en velocidad. Si la fuerza eléctrica es cero, la velocidad corresponde a la velocidad sincrónica de la máquina.

Curvas características II I

Si se opone una fuerza constante de valor conocido, como se observa en la figura siguiente, se determina un punto de equilibrio v0 en la intersección de las características eléctrica y mecánica.

Figura: Curva característica de la máquina

Curvas características III I

I

I I

En este caso v0 corresponde a la velocidad en la cual la fuerza eléctrica Fe equilibra a la fuerza mecánica Fm , y constituye un punto de operación estable debido a que cualquier perturbación en la velocidad mecánica del sistema tenderá a ser restituida a las condiciones previas por las fuerzas actuantes sobre el conductor. Esta intersección es un punto de operación de régimen permanente para la máquina. En la figura se han marcado dos zonas (1) y (2). En la zona (1), si la máquina arranca en contra de una fuerza mecánica resistente constante, se acelera hasta alcanzar el punto de operación permanente o punto de equilibrio v0 –intersección de las características.

Curvas características IV I

Esto ocurre debido a que esta zona de operación, la fuerza eléctrica Fe , siempre es superior a la fuerza mecánica Fm .

I

Si el sistema se encuentra originalmente en vacío, es decir, operando a velocidad sincrónica, sin carga mecánica y repentinamente se añade una fuerza mecánica resistente, la fuerza eléctrica es inferior a la mecánica y ocurre un proceso de retardo en la zona (2) de la figura.

I

La velocidad disminuye desde la sincrónica hasta la velocidad de operación v0 en el punto de equilibrio.

I

La fuerza mecánica Fm depende en general, para un accionamiento físico, de la velocidad del conductor.

Curvas características V I

En la figura se muestra la curva característica de la máquina eléctrica anterior, pero sometida a una fuerza mecánica dependiente de la velocidad.

Figura: Fuerza mecánica variable con la velocidad

Curvas características VI I

I

I

En este caso, al igual que en el anterior, v0 es un punto de equilibrio estable ya que si se aumenta un diferencial la velocidad del conductor por encima de v0 , se origina una fuerza retardadora que hace regresar el conductor a la anterior condición de operación. Por el contrario, si la velocidad del conductor disminuye en un diferencial, se produce una fuerza acelerante que incrementa la velocidad del conductor hasta alcanzar el punto de equilibrio en v0 . Al producirse un cambio en la tensión de la batería que alimenta al convertidor, la velocidad sincrónica de la máquina también varía, debido a que esta velocidad se determina cuando existe equilibrio entre la tensión de la batería y la fuerza electromotriz inducida en el conductor.

Curvas características VII I

I

En la figura es posible definir una familia de curvas de acuerdo a como se varíe la tensión de la fuente. Mediante la variación de la tensión de la batería se puede controlar la velocidad de operación de la máquina.

Figura: Efecto de la variación de la tensión de alimentación

Curvas características VIII

I

También se puede controlar la máquina elemental variando la densidad de flujo magnético B.

I

La variación del campo produce un cambio en la pendiente de la curva característica de la máquina, ya que como se observa en la ecuación 20, esta variación altera la pendiente de la característica de forma cuadrática y el punto de corte en el eje de la fuerza –(v = 0)–, de forma lineal.

Curvas características IX I

En la figura se ilustra esta situación y como es posible cambiar el punto de operación de la máquina mediante variaciones del campo magnético B.

Figura: Efecto de la variación del campo B del convertidor

Curvas características X I

De los dos métodos analizados para controlar el punto de operación de la máquina, la variación del campo magnético tiene un inconveniente.

I

Cuando el campo se reduce demasiado, la velocidad sincrónica aumenta considerablemente y se puede producir un fenómeno denominado embalamiento.

I

El embalamiento es una aceleración súbita debida a la pérdida del campo en una máquina eléctrica sin carga. Si la velocidad sube a niveles peligrosos, puede ocurrir deterioro de la máquina por fallas eléctricas y mecánicas.

Balance energético I I

En el balance de potencias desarrollado en la ecuación 7 se llegó a la conclusión de que todo el proceso es conservativo sobre la base de que la potencia eléctrica desarrollada por la máquina es igual a la potencia mecánica entregada por el sistema externo.

Figura: Modos de operación del convertidor

Balance energético II I

En general, todas las máquinas eléctricas son reversibles y su funcionamiento depende del sentido en que se transmite la potencia. Si la energía fluye del sistema eléctrico al mecánico, la máquina funciona como motor.

I

Si el flujo de energía es del sistema mecánico al eléctrico, el convertidor es un generador.

I

Cuando el sistema eléctrico y mecánico inyectan energía a la máquina, y esta energía se consume totalmente como pérdidas internas, esta condición se denomina freno.

I

La máquina se puede alimentar indistintamente con energía eléctrica o con energía mecánica.

Balance energético III

I

En la figura anterior se presenta un gráfico de la característica fuerza-velocidad de la máquina analizada anteriormente, con los diferentes modos de operación factibles para este convertidor.

I

En la figura siguiente se muestra un esquema donde se realiza el balance energético de la máquina en las tres condiciones de operación posibles: motor, generador y freno.

Balance energético IV Pe

Pe

Motor (1)

Pm

pérdidas

Generador (2)

Pm

Pe

pérdidas

Freno (3)

pérdidas

Pm

Figura: Balance de potencia en los diversos modos de operación

Balance energético V I

En la zona (1), la velocidad del conductor es menor que la velocidad sincrónica, la fuerza electromotriz inducida es menor que la tensión aplicada externamente y la corriente tiene signo contrario a la fuerza electromotriz.

I

En estas condiciones el conductor se desplaza en el mismo sentido de la fuerza eléctrica, es decir, esta fuerza realiza trabajo positivo y por lo tanto se está transformando energía eléctrica en mecánica.

I

La máquina está actuando como un motor.

Balance energético VI I

En esta zona se satisfacen las siguientes condiciones: e > 0 e < V i > 0

I

En la zona (2), la velocidad del conductor es mayor que la velocidad sincrónica y la fuerza electromotriz es mayor que la tensión aplicada, por esta razón la corriente y la fuerza eléctrica invierten su sentido.

Balance energético VII I

I

I

Para encontrar un punto de equilibrio la fuerza mecánica también debe invertir su sentido original. La fuerza mecánica ahora está entregando energía y el sistema se comporta como un generador. Las condiciones que imperan en esta zona de trabajo son: e > 0 e > V i < 0

I

En la zona (3), tanto la velocidad, como la fuerza electromotriz son negativas.

Balance energético VIII I

I

I

I

La fuerza mecánica está aplicada en el mismo sentido de la velocidad –negativa en este caso–, por lo tanto el sistema mecánico entrega energía a la máquina. Simultáneamente, la fuente de tensión entrega potencia eléctrica a la carga. En esta condición toda la potencia entregada por el sistema mecánico y por el sistema eléctrico se consume en la resistencia interna del conductor y se produce un gran calentamiento de la máquina. Este estado se conoce con el nombre de frenado eléctrico y se caracteriza por las siguientes condiciones de operación: e < 0 e < V i > 0

Energía y coenergía en el campo I I

I I

Un convertidor electromecánico de energía es una máquina eléctrica. En general una máquina eléctrica posee varios ejes o puertos por los cuales fluye la energía. Estos ejes pueden ser de dos tipos: eléctricos o mecánicos. Esquemáticamente se representan en la figura

Figura: Máquina eléctrica y algunos de sus posibles ejes

Energía y coenergía en el campo II

I

En los ejes eléctricos de la máquina, las interacciones se analizan conociendo las corrientes y tensiones.

I

En los ejes mecánicos las variables que determinan la condición de operación de la máquina son las velocidades y fuerzas, si el movimiento es lineal, o el par y la velocidad angular, si el movimiento es rotativo.

I

La máquina eléctrica más simple requeriría al menos un eje eléctrico y un eje mecánico.

Energía y coenergía en el campo III I

El esquema básico de esta máquina se ilustra en la figura: I

I

I

dWe es el diferencial de energía eléctrica que entra en el convertidor por el eje eléctrico, dWm es el diferencial de energía mecánica que sale por el eje mecánico y dWc es el diferencial de energía que se almacena en los campos eléctrico y magnético de la máquina.

Figura: Máquina eléctrica con un eje eléctrico y un eje mecánico

Energía y coenergía en el campo IV I

En las máquinas eléctricas, no toda la energía introducida en los ejes eléctricos se entrega en los ejes mecánicos o viceversa.

I

Es necesario que parte de la energía eléctrica se almacene en los campos electromagnéticos del convertidor.

I

En un balance de la energía en la máquina eléctrica es necesario tener en cuenta la parte de la energía que fluye hacia y desde los campos eléctricos y magnéticos.

I

En la figura anterior esta energía se representa por dWc .

Energía y coenergía en el campo V I

Del principio de conservación de la energía se determina: dWe = dWc + dWm

I

La energía acumulada en el campo no puede ser medida, pero es posible calcularla por la diferencia entre la energía eléctrica y la mecánica: dWc = dWe − dWm

I

(21)

(22)

La energía eléctrica se determina a partir de la integral de la potencia eléctrica en el tiempo.

Energía y coenergía en el campo VI

I

Esta energía puede ser calculada directamente en el eje eléctrico de la máquina a partir de las medidas de tensión y corriente instantánea: ˆ t ˆ t ˆ t ∆We = Pe (τ)dτ = v (τ)·i(τ)dτ = v (τ)·i(τ)dτ 0

0

0

(23)

Energía y coenergía en el campo VII I

Transformando las variables de la expresión anterior se puede reescribir esta ecuación en una forma más conveniente.

I

Considerando que el sistema es conservativo, es decir, no existen pérdidas en elementos resistivos, la tensión v (t) aplicada a la máquina y la fuerza electromotriz inducida son iguales, y por lo tanto: v (t) = e(t) =

dλ dt

(24)

Energía y coenergía en el campo VIII

I

En este caso, a partir de 23 y 24 se determina que: ˆ

ˆ

t

t

v (τ) · i(τ)dτ =

∆We = 0

ˆ

0

ˆ

λ (t)

dλ · i(τ)dτ = dt

λ (t)

i(x, λ )dλ =

= λ (0)

dWe λ (0)

(25)

Energía y coenergía en el campo IX I

I

I

De la expresión 25 se determina que el diferencial de energía eléctrica es dWe = i dλ . La ecuación 25 indica que para obtener la energía eléctrica que fluye por la máquina es necesario conocer solamente la dependencia de la corriente i(x, λ ) con respecto al flujo λ y a la posición x del convertidor. Para determinar la variación de la energía mecánica es necesario conocer la velocidad y la fuerza en función del tiempo: ˆ

ˆ

t

˙ F (τ) · x(τ)dτ

Pm (τ)dτ =

∆Wm = 0

t

0

(26)

Energía y coenergía en el campo X

I

Realizando cambio de variables sobre la ecuación 26, se obtiene: ˆ ∆Wm = 0

t

dx F (τ)· dτ = dτ

ˆ

ˆ

x(t)

x(t)

F (x, λ )dx = x(0)

dWm x(0)

(27)

Energía y coenergía en el campo XI I

Para analizar las relaciones anteriores se puede utilizar como ejemplo el electro-imán que se ilustra en la siguiente figura

Figura: Diagrama λ − i de un electro-imán elemental

Energía y coenergía en el campo XII I

I

I

I

Allí se ha representado un gráfico de la relación existente entre los enlaces de flujo λ y la corriente i, para dos condiciones extremas de la posición relativa del yugo del electro-imán. Para la misma corriente i, al disminuir la distancia x, disminuye la reluctancia y se incrementan los enlaces de flujo λ . En el gráfico λ − i, la región sombreada representa la integral de la corriente i(λ ) con respecto a λ para una posición x fija. Como se ha determinado en la ecuación 25, esta región representa la variación de la energía eléctrica en un circuito magnético que se energiza manteniendo constante la posición del yugo (x).

Energía y coenergía en el campo XIII I

En un sistema conservativo, la energía es una función de estado.

I

Esto quiere decir que en estos sistemas el incremento de energía acumulada no depende de la trayectoria utilizada para alcanzar un determinado estado, sino del valor de las variables en los estados iniciales y finales del proceso.

I

Para determinar la energía acumulada en el campo, es necesario calcular la diferencia entre las energías eléctrica y mecánica del sistema después del proceso.

Energía y coenergía en el campo XIV

I

Si el sistema mecánico está detenido, no existe variación en la energía mecánica del convertidor y por lo tanto toda la energía eléctrica que entra en la máquina se convierte en energía acumulada en el campo, entonces: ˆ

λ (t)

i(x, λ )dλ = ∆Wc , si x = cte

∆We = λ (0)

(28)

Energía y coenergía en el campo XV

I

La ecuación 28 se puede integrar por partes y se obtiene: λ (t) ∆Wc = i(x, λ ) · λ |λ (0) −

I

ˆ

i(t)

λ (x, i)di i(0)

En la ecuación 29, el término integral de define como 0 coenergía en el campo y se expresa como ∆Wc .

(29)

Energía y coenergía en el campo XVI I

En la figura siguiente se observa que la coenergía es el área bajo la característica λ − i.

Figura: Energía y coenergía en el campo

Energía y coenergía en el campo XVII I

En la figura 13 se observa que un sistema electromecánico donde la posición x es constante cumple la siguiente relación: 0 λ · i = ∆Wc + ∆Wc (30)

I

De las definiciones anteriores de energía y coenergía en el campo magnético se destacan las siguientes observaciones: I

I

Para la energía, el enlace de flujo λ es la variable independiente, y la corriente i es la variable dependiente. Para la coenergía, la corriente i es la variable independiente y el enlace de flujo λ es la variable dependiente.

Energía y coenergía en el campo XVIII I

I

Para calcular la fuerza Fe , se reducen los incrementos de energía mecánica y de energía en el campo a valores diferenciales. Recordando que la energía acumulada en el campo de la máquina depende de los enlaces de flujo y de la posición de la pieza móvil: Wc = Wc (x, λ )

I

(31)

El trabajo mecánico se define en su forma diferencial como: dWm = Fe · dx (32)

Energía y coenergía en el campo XIX

I

A partir de las ecuaciones 3.27 y 3.29 se obtiene: dWm = Fe · dx = −dWc (x, λ ) , si λ = cte.

(33)

Energía y coenergía en el campo XX I

El diferencial total de la energía en el campo es: dWc (x, λ ) =

I

∂ Wc ∂ Wc dx + dλ ∂x ∂λ

(34)

Como el enlace se considera constante, el segundo término de la sumatoria de la ecuación 34 es nulo y por lo tanto se deduce de 33 y de 34 que: Fe · dx =

∂ Wc (x, λ ) dx , si λ = cte. ∂x

(35)

Energía y coenergía en el campo XXI I

Por identificación de términos en la ecuación 35 se puede calcular la fuerza sobre la pieza móvil en un proceso a enlace de flujo constante como: Fe = −

I

∂ Wc (x, λ ) , si λ = cte. ∂x

(36)

La ecuación anterior, también denominada principio de los trabajos virtuales, indica que para calcular la fuerza Fe sobre la pieza móvil, es necesario conocer la variación de la energía del campo en función del desplazamiento, cuando se mantiene constante el enlace de flujo λ . Cuando en el convertidor, la energía acumulada en el campo es independiente de la posición, la fuerza eléctrica es cero.

Energía y coenergía en el campo XXII I

Si el convertidor electromecánico analizado anteriormente, mantiene una característica lineal entre el enlace de flujo y la corriente, la energía en el campo se puede evaluar mediante la siguiente expresión: 1 1 1 λ2 Wc = λ · i = L(x) · i 2 = 2 2 2 L(x)

I

(37)

En la ecuación anterior, L(x) representa la inductancia en función de la posición de la pieza móvil. La inductancia de una bobina se determina a partir del número de vueltas N y de la permeanza del circuito magnético ℘ como: L(x) = N 2 ·℘(x)

(38)

Energía y coenergía en el campo XXIII I

Para el electro-imán en análisis, la permeanza del circuito magnético es: µo · A ℘(x) = (39) 2(x + d) Donde: H µ0 es la permeabilidad del vacío 4π × 10−7 m A es el área efectiva del magneto x es la separación del yugo d es la distancia entre el yugo y el circuito electro-imán

Energía y coenergía en el campo XXIV I

Sustituyendo la expresión 39 en 38 y este resultado en 37 se obtiene: 1 2(x + d) 2 λ (40) Wc (x) = 2 µ0 A · N 2 y aplicando 36 a 40: ∂ Wc (x, λ ) λ2 Fe = − =− ∂x µ0 A · N 2

I

(41)

El mismo electro-imán permite analizar lo que sucede si el movimiento se realiza muy lentamente.

Energía y coenergía en el campo XXV I

I I

I

Si el yugo se desplaza a una velocidad prácticamente cero, la corriente se mantiene constante porque no se induce fuerza electromotriz debido a que los enlaces de flujo cambian muy lentamente y su derivada con respecto al tiempo es prácticamente nula. En la figura se muestra la situación anterior. En este caso, la energía mecánica se puede evaluar mediante las diferencias de la coenergía en el campo entre la posición x1 y la posición x2 . En la figura 14 se observa que para la condición descrita: 0

∆Wm = ∆Wc , si i = cte.

(42)

Energía y coenergía en el campo XXVI I

La coenergía en el campo se calcula de la siguiente forma: 0

Wc =

ˆ

i(t)

λ (x, i)di

(43)

i(0)

Figura: Cálculo de la energía con desplazamientos muy lentos del yugo

Energía y coenergía en el campo XXVII I

La coenergía en el campo depende de la posición de la pieza móvil y de la corriente, por lo tanto: 0

0

∂ Wc (x, i) ∂ Wc (x, i) dWm = Fe · dx = dWc = dx + di ∂x ∂i (44) Durante el proceso, la corriente i no varía y por esta razón se puede determinar a partir de 44 que: 0

0

∂ Wc (x, i) Fe = si i = cte. ∂x

(45)

Energía y coenergía en el campo XXVIII I

I

I

I

I

La fuerza eléctrica originada en el convertidor electromagnético depende de la variación de la energía en el campo en función del desplazamiento cuando el movimiento se realiza manteniendo constantes los enlaces de flujo. Si el movimiento se realiza manteniendo constante la corriente, la fuerza eléctrica depende de la variación de la coenergía en función de la posición. Para calcular o medir una fuerza se utiliza el principio de los trabajos virtuales. Este método consiste en evaluar las variaciones de la energía o coenergía en el campo ante un desplazamiento diferencial. Cualquiera de los dos métodos analizados anteriormente, permite calcular las fuerzas que aparecen sobre el sistema.

Energía y coenergía en el campo XXIX I

I

I

I

I

Sin embargo, dependiendo de la forma como se presenten los datos del convertidor, es más fácil para determinar la fuerza utilizar los conceptos de energía o de coenergía. En los sistemas lineales el cálculo puede ser realizado con igual facilidad por ambos métodos. Cuando el sistema no es lineal, la facilidad o dificultad del cálculo de fuerzas por uno u otro método depende de cuáles sean las variables independientes y cuáles las dependientes. Si se conoce el enlace de flujo en función de las corrientes, el cálculo por medio de la coenergía simplifica el problema. Si la corriente se expresa como función de los enlaces, la energía es el mejor método para determinar la fuerza que aparece en la máquina.

Ecuaciones internas del convertidor I

I

En la figura siguiente se representa una máquina eléctrica constituida por un electro-imán alimentado por una bobina y una pieza móvil sobre la que actúan dos fuerzas, la fuerza eléctrica Fe producida por la interacción electromagnética del dispositivo y una fuerza externa Fm de naturaleza mecánica.

Ecuaciones internas del convertidor II

Figura: Electro-imán sometido a fuerzas internas y externas

Ecuaciones internas del convertidor III I

En general la fuerza eléctrica no tiene por qué ser igual a la fuerza mecánica.

I

En el sistema mecánico ilustrado en la figura siguiente, las tensiones de las cuerdas no están necesariamente equilibradas.

Figura: Sistema mecánico elemental sin equilibrio de fuerzas

Ecuaciones internas del convertidor IV

I

I

En el ejemplo de la figura 16, la fuerza F1 es diferente a la fuerza F2 , ya que: F1 = (m + M) · a

(46)

F2 = m · a

(47)

El razonamiento anterior es válido también para el electro-imán de la figura ante-anterior.

Ecuaciones internas del convertidor V I

La fuerza mecánica en el extremo del yugo se determina mediante la segunda ley de Newton: Fm = −Fe + M · x¨ + α · x˙

(48)

Donde: Fe es la fuerza eléctrica M · x¨ es la fuerza producida por la aceleración de la pieza móvil α · x˙ es la fuerza producida por el rozamiento de la pieza α es el coeficiente de roce

Ecuaciones internas del convertidor VI

I

I

La ecuación 48 se puede escribir mediante la expresión 45 como: 0 ∂ Wc (x, i) Fm = − + M · x¨ + α · x˙ (49) ∂x La ecuación del equilibrio eléctrico en la máquina es: v = R ·i +e = R ·i +

dλ (x, i) dt

(50)

Ecuaciones internas del convertidor VII I

Si se conoce la relación entre los enlaces de flujo λ (x, i) o la corriente i(λ , x), el sistema queda completamente definido ya que se puede evaluar la energía o la coenergía en el campo: ˆ λ Wc = i(λ , x)dλ (51) 0

0

Wc = I

ˆ

i

λ (i, x)di

(52)

0

La expresión 49 determina el comportamiento dinámico del sistema ilustrado en la figura del electroimán si se conoce la fuerza mecánica Fm .

Ecuaciones internas del convertidor VIII I

Si el sistema es lineal, la relación entre los enlaces de flujo y la corriente viene expresada mediante la ecuación λ (i, x) = L (x) i.

I

En esa ecuación, la inductancia L depende de la posición del yugo, es decir L = L(x). Por esta razón: i = i(λ , x) =

1 · λ (i, x) = Γ(x) · λ (i, x) L(x)

Donde: Γ(x) es la inductancia inversa L−1 .

(53)

Ecuaciones internas del convertidor IX I

Mediante la ecuación 53, la dinámica del electro-imán queda completamente determinada. Como el sistema es lineal: ˆ i ˆ i 0 1 Wc = λ (i, x)di = L(x) · i · di = L(x) · i 2 (54) 2 0 0

I

Sustituyendo la ecuación 54 en la ecuación 49 se obtiene: 0

Fm = −

∂ Wc 1 dL(x) 2 + M x¨ + α x˙ = − · i + M x¨ + α x˙ ∂x 2 dx (55)

Ecuaciones internas del convertidor X I

La ecuación 55 representa el equilibrio de fuerzas sobre la pieza móvil. La ecuación que representa el circuito eléctrico del sistema es: d dL(x) dx di (L(x) · i) = R · i + · · i + L(x) · dt dt dt dt (56) Definiendo τ(x) como: v = R ·i +

I

τ(x) ≡ I

dL(x) dt

(57)

la ecuación eléctrica de la máquina, a partir de 56 y 57, es: v = R · i + τ(x) · x˙ · i + L(x) ·

di dt

(58)

Ecuaciones internas del convertidor XI

I

En la expresión anterior, el primer sumando representa la caída de tensión en la resistencia de la bobina, el segundo representa la fuerza electromotriz inducida en la bobina por el movimiento del yugo y el tercer sumando representa la fuerza electromotriz inducida por variación de la corriente en la bobina.

Ecuaciones internas del convertidor XII I

De forma compacta, la ecuación 58 se puede escribir como: v = R · i + eG + eT (59) Donde:

e es la fuerza electromotriz total compuesta por eG y eT eG es el término que depende de la velocidad de la pieza móvil de la máquina, denominado término de generación eT es el término que depende de la variación de la corriente en la máquina, denominado término de transformación

Ecuaciones internas del convertidor XIII I

I

Cuando la corriente es cero, puede existir fuerza electromotriz de transformación, pero no de generación como se observa en la ecuación 58. En conclusión, las ecuaciones internas de la máquina se pueden escribir, en función de la coenergía: 1 Fm = − τ(x) · i 2 + M · x¨ + α · x˙ 2

(60)

o, en función de la energía: Fm =

1 dΓ(x) 2 · λ + M · x¨ + α · x˙ 2 dx

y la ecuación eléctrica 58.

(61)

Ecuaciones internas del convertidor XIV I

Las variables que definen el estado del sistema en las ecuaciones 60, 61 y 58 son la corriente i, la posición x y la ˙ velocidad x.

I

˙ u, las ecuaciones Realizando el cambio de variables x = anteriores se pueden expresar de la siguiente forma:  1 2   Fm = − 2 τ(x) · i + M · u˙ + α · u ˙ · di (62) v = R · i + τ(x) · u · i + L(x) dt   x˙ = u

Ecuaciones internas del convertidor XV

I

Representando el sistema de ecuaciones diferenciales 62 en la forma canónica x˙ = A(x)x + Bu, se obtiene:     

di dt

1 1 = − L(x) [R · i + τ(x) · i · u] + L(x) v (t) h i u˙ = M1 12 τ(x) · i 2 − α · u + M1 Fm (t) x˙ = u

(63)

Ecuaciones internas del convertidor XVI

I

Para determinar la solución de este sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, es necesario conocer: I

I

I

Las condiciones iniciales de las variables de estado i(0), u(0) y x(0). Las condiciones de borde o ligazones externas.

En el presente caso definidas por las excitaciones en el tiempo de la fuerza mecánica Fm (t) aplicada al yugo y la tensión v (t) aplicada a la bobina del electro-imán.

Ecuaciones de potencia I I

La potencia utilizada por el convertidor electromecánico en el eje mecánico de la máquina de la figura 15 se puede calcular a partir de la fuerza mecánica y de la velocidad del yugo: 1 Pm = Fm · x˙ = − τ(x) · i 2 · x˙ + M · x¨ · x˙ + α · x˙ 2 2

I

(64)

La potencia absorbida por el eje eléctrico es: Pe = v ·i = R ·i 2 +τ(x)· x˙ ·i +L(x)·

di ·i = R ·i 2 +eG ·i +eT ·i dt (65)

Ecuaciones de potencia II I

Para que la máquina anterior pueda trabajar en un régimen continuo, con corriente y velocidad constante, despreciando las pérdidas de fricción (α = 0), y las pérdidas por efecto Joule en los conductores (R = 0), mediante las ecuaciones 64 y 65 se observa que: 1 Pm = eG · i 2

(66)

Pe = eG · i

(67)

Ecuaciones de potencia III I

I

Las expresiones 64 y 65 indican que en las condiciones anteriores, la máquina absorbe permanentemente por el eje eléctrico el doble de la potencia mecánica que está utilizando. La diferencia entre estas dos potencias sólo puede ser almacenada en el campo. En la figura siguiente se representa esta situación.

Figura: Balance energético de una máquina eléctrica en régimen continuo

Ecuaciones de potencia IV I

De toda la potencia que es inyectada en el eje eléctrico, el 50 % se convierte en energía mecánica y el otro 50 % se almacena en el campo.

I

Como la corriente es constante, el término de transformación (eT · i) es cero y el campo no puede devolver al sistema la energía que le ha sido entregada en el proceso de conversión.

I

Si una máquina eléctrica se mantiene todo el tiempo operando en esta situación, acumula de forma indefinida energía en el campo.

Ecuaciones de potencia V I

Esto no es factible para un sistema físico real. La solución del problema planteado consiste en permitir la variación de la corriente.

I

Con la variación de la corriente aparece el término de transformación (eT · i) que compensa el término de generación ( 12 eG · i).

I

Por esta razón no es posible construir un máquina que funcione sólo con corriente continua.

I

En todas las máquinas eléctricas es necesaria la variación de las corrientes para permitir una operación en régimen permanente.

Ecuaciones de potencia VI I

I

I

I

La argumentación anterior se puede cuestionar debido a que son muy frecuentes en la industria las «Máquinas de corriente continua». Sin embargo en este caso el término corriente continua se aplica a la fuente utilizada para alimentar el convertidor. Las máquinas de corriente continua requieren de un dispositivo inversor electromecánico –las escobillas y el colector– que permite la variación de las corrientes en los devanados de la máquina. También parecen contradecir esta argumentación los principios de funcionamiento de las máquinas homopolares y los convertidores magneto-hidrodinámicos.

Ecuaciones de potencia VII

I

En ambos casos, estas máquinas funcionan con corriente continua, pero la corriente no siempre circula por el mismo material.

I

Si un observador se mueve solidario con el medio conductor, el disco en el caso homopolar y el fluido en la máquina magnetohidrodinámica, puede medir la variación de las corrientes al aproximarse y alejarse del punto de inyección.

Ecuaciones de potencia VIII

I

En otras palabras, estas máquinas son equivalentes a las de corriente continua, pero si en ellas el proceso de variación de las corrientes se realiza de forma discreta mediante el colector y las escobillas, en las homopolares y magnetohidrodinámicas el proceso de variación de las corrientes se lleva a cabo de forma continua mediante un proceso de acercamiento y alejamiento del punto de inyección de la corriente.

Ecuaciones de potencia IX

(a) Convertidor homopolar

(b) Bomba magnetohidrodinámica

Figura: Máquinas de corriente continua

Ecuaciones de potencia X

I

Por lo tanto en ningún caso conocido, la experiencia contradice la necesidad teórica de variación de la corriente para el funcionamiento en régimen permanente de los convertidores electromecánicos de energía.

Generalización de las ecuaciones I I

En una máquina con dos ejes eléctricos y un eje mecánico, como la ilustrada en la figura siguiente, se satisface la siguiente relación para la evaluación de la fuerza eléctrica sobre la pieza móvil:

Figura: Máquina con dos ejes eléctricos y un eje mecánico

Fe = −

∂ Wc (x, λ1 , λ2 ) ∂x

(68)

Generalización de las ecuaciones II I

Para demostrar la validez de la ecuación 66 se debe recordar que en un sistema mecánico de este tipo, si se varía la posición x, el intercambio energético se produce entre los ejes eléctricos y el eje mecánico.

I

Si la posición permanece fija, el intercambio energético se realiza entre los ejes eléctricos únicamente.

I

La ecuación 66 mantiene la validez en el cálculo de la fuerza en un sistema con dos ejes eléctricos, ya que la ecuación 37 se demostró para el caso en el que los enlaces de flujo se mantienen constantes.

Generalización de las ecuaciones III

I

Si el enlace de flujo es constante, las fuerzas electromotrices son cero y no puede entrar energía hacia el campo desde ninguno de los ejes eléctricos.

I

Por esta razón se cumplen las mismas condiciones en la expresión 66 que en la 37. De todo esto se concluye que es completamente general su aplicación.

Generalización de las ecuaciones IV I

I

Cualquiera que sea el número de ejes eléctricos o mecánicos de un convertidor electromecánico, para calcular la fuerza eléctrica se puede utilizar una expresión similar a la ecuación 66, siempre y cuando el movimiento se realice sólo en uno de los ejes mecánicos y se mantengan constantes todos los enlaces de flujo en los ejes eléctricos. La expresión generalizada para el cálculo de la fuerza eléctrica es: Fer = −

∂ Wc (x1 , x2 , ..., xr , ..., xn , λ1 , λ2 , ..., λm ) ∂ xr

(69)

Generalización de las ecuaciones V I

I

La ecuación 69 determina la fuerza eléctrica que aparece sobre el eje mecánico r . Para este fin, se calcula la derivada parcial de la energía en el campo con respecto a la posición del eje r , manteniendo constantes las posiciones de los otros ejes mecánicos y los enlaces de flujo de todos los ejes eléctricos. En el sistema de la figura 19, si la posición x se mantiene constante, la energía acumulada en el campo es igual a la energía eléctrica: dWc = dWe , si x = cte.

I

(70)

La energía eléctrica se puede calcular como: dWc = dWe = i1 dλ1 + i2 dλ2 , si x = cte.

(71)

Generalización de las ecuaciones VI I

Si se conoce cómo varían las corrientes con los enlaces de flujo y con la posición, el problema queda resuelto, es decir:  i1 = f1 (x, λ1 , λ2 ) (72) i2 = f2 (x, λ1 , λ2 )

I

En los casos lineales se puede establecer:  λ1 = L11 i1 + L12 i2 λ2 = L21 i1 + L22 i2

(73)

Generalización de las ecuaciones VII

I

Matricialmente la expresión 71 se puede escribir como: [λ ] = [L] [i]

(74)

Donde:  [λ ] =

λ1 λ2



 ; [i] =

i1 i2



 ; [L] =

L11 L12 L21 L22



Generalización de las ecuaciones VIII I

Empleando álgebra matricial, se puede determinar la corriente [i] en función de los enlaces [λ ]: [i] = [L]−1 [λ ] = [Γ] [λ ] La expresión 75 en forma explícita es:      i1 Γ11 (x) Γ12 (x) λ1 = i2 Γ21 (x) Γ22 (x) λ2

I

(75)

(76)

Para calcular la energía en el campo, es necesario variar cada uno de los parámetros en forma sucesiva, desde su valor inicial a su valor final, mientras todas las otras variables de estado se mantienen constantes.

Generalización de las ecuaciones IX I

Para evaluar la energía acumulada en el campo, se realiza el siguiente procedimiento: ˆ

(x,λ1 ,λ2 )

dWc =

∆Wc = (0,0,0)

ˆ

(0,0,0)

I

ˆ

(x,λ1 ,0)

dWc +

= I

ˆ

(x,0,0)

(x,λ1 ,λ2 )

dWc + (x,0,0)

dWc (77) (x,λ1 ,0)

La primera integral de la sumatoria de la ecuación 77 es cero, debido a que los enlaces de flujo son cero mientras se mueve el yugo de la máquina. Como no existe variación de los enlaces, no existen fuerzas electromotrices y por lo tanto no se inyecta potencia eléctrica desde los ejes eléctricos hacia el campo.

Generalización de las ecuaciones X I

I

Al no existir enlaces de flujo, para realizar el desplazamiento mecánico x no es necesario consumir ni suministrar energía. Para la evaluación de los dos términos restantes de la ecuación 77, se sustituyen las ecuaciones 71 y 76: ˆ ∆Wc

(x,λ1 ,0)

=

(Γ11 λ1 + Γ12 λ2 )dλ1 + (Γ21 λ1 + Γ22 λ2 )dλ2 + (x,0,0)

ˆ

(x,λ1 ,λ2 )

+

(Γ11 λ1 + Γ12 λ2 )dλ1 + (Γ21 λ1 + Γ22 λ2 )dλ2 = (x,λ1 ,0)

= I

1 1 Γ11 λ12 + Γ21 λ1 λ2 + Γ22 λ22 2 2

(78)

En el cálculo de las integrales de la ecuación 78 se asume que Γ12 es igual a Γ21 , condición de simetría siempre válida para los sistemas físicos.

Generalización de las ecuaciones XI I

Generalizando el cálculo anterior mediante el álgebra de matrices, se tiene: dWc = dWe = [i]t [dλ ] , si x = cte.

I

De la ecuación 76 y recordando la propiedad sobre la traspuesta de un producto de matrices: [i]t = [λ ]t [Γ]t

I

(79)

(80)

Se obtiene la energía acumulada en el campo como: ˆ

(x,λ1 ,λ2 )

∆Wc = (0,0,0)

[λ ]t [Γ(x)]t [dλ ] =

1 t [λ ] [Γ(x)]t [λ ] 2 (81)

Generalización de las ecuaciones XII I

Si se deriva parcialmente la ecuación 81 con respecto a la posición x, se encuentra la fuerza eléctrica Fe que actúa sobre la pieza móvil: Fe = −

I

 ∂ Wc (x, [λ ]) 1 d  = − [λ ]t [Γ(x)]t [λ ] ∂x 2 dx

Por un razonamiento semejante, pero aplicado a la coenergía, se puede deducir que: 0

∆Wc = I

(82)

1 t [i] [L(x)]t [i] 2

(83)

La fuerza eléctrica sobre la pieza se puede calcular como: 0  ∂ Wc (x, [i]) 1 t d  1 = [i] [L(x)]t [i] = [i]t [τ(x)]t [i] Fe = ∂x 2 dx 2 (84)

Generalización de las ecuaciones XIII

I

Las ecuaciones 82 y 84 son válidas para un número cualquiera de ejes eléctricos, pero para un eje mecánico solamente.

I

La mayoría de las máquinas eléctricas poseen un solo eje mecánico, pero si existen más, es necesario calcular las derivadas parciales de la energía o de la coenergía, según sea el caso, con respecto a cada una de las variables que definen la posición de cada eje mecánico (x1 , x2 , x3 , ..., xn ).

Generalización de las ecuaciones XIV I

Si el eje mecánico es rotativo o giratorio, como se representa en la figura siguiente, la matriz de inductancia se define en función del ángulo θ y no se calculan fuerzas sino pares eléctricos y mecánicos.

Figura: Electro-imán con yugo rotativo

Generalización de las ecuaciones XV

I

Las ecuaciones del convertidor en este caso son: Te =

1 t [i] [τ(θ )]t [i] 2

Donde: [τ(θ )] =

d [L(θ )] dθ

(85)

Generalización de las ecuaciones XVI I

Las ecuaciones de equilibrio eléctrico y mecánico de un convertidor electromecánico lineal con múltiples ejes eléctricos y un eje mecánico son: [i] = [R] [i] + [e] = d = [R] [i] + [λ ] = dt d [i] d = [R] [i] + [L(x)] x˙ [i] + [L(x)] = dx dt d [i] = [R] [i] + [τ(x)] x˙ [i] + [L(x)] (86) dt 1 Fm = − [i]t [τ(x)]t [i] + M x¨ + α x˙ 2

(87)

Generalización de las ecuaciones XVII

I

En las ecuaciones 86 y 87 se observa que la información que determina la dinámica y el comportamiento de la máquina eléctrica está contenida en la matriz [L(x)].

I

A partir de esta matriz, se obtiene la matriz [τ(x)], y con estas dos matrices y los elementos de ligazón con los sistemas eléctricos y mecánicos externos, se formulan las ecuaciones completas del convertidor.

Transformación de coordenadas I I

I

I

El sistema de ecuaciones diferenciales que modela el comportamiento de la máquina eléctrica, no es lineal. La dependencia en θ de este modelo dificulta notablemente la solución de cualquier problema. La transformación de las ecuaciones diferenciales a nuevos sistemas de coordenadas simplifica en muchos casos este modelo. Un nuevo sistema de coordenadas se puede definir mediante una matriz de transformación aplicada a las variables en coordenadas primitivas α y β . Las tensiones y corrientes en el nuevo sistema transformado son:      vαeβ e,αr β r = Awxyz vwxyz (88)

Transformación de coordenadas II

     iαeβ e,αr β r = Awxyz iwxyz Donde: Awxyz es la matriz de transformación vαeβ e,αr β r son las tensiones en coordenadas primitivas vwxyz son las tensiones en las nuevas coordenadas iαeβ e,αr β r son las corrientes en coordenadas primitivas iwxyz son las corrientes en las nuevas coordenadas

(89)

Transformación de coordenadas III I

La potencia en coordenadas primitivas se puede calcular mediante la expresión: ∗t    p = iαeβ e,αr β r · vαeβ e,αr β r

I

I

(90)

En la expresión 90, el asterisco (∗) indica que el vector de corrientes se debe conjugar en caso de ser complejo y el superíndice t representa una trasposición del vector de corrientes para que el producto matricial con el vector de tensiones sea conformable. Sustituyendo en la ecuación 90 las definiciones 88 y 89, se obtiene:  ∗t  ∗t    p = iwxyz · Awxyz · Awxyz vwxyz (91)

Transformación de coordenadas IV I

  Para que la transformación utilizada Awxyz sea invariante en potencia es necesario que:  ∗t   Awxyz · Awxyz = [I]

I

(92)

En la ecuación 92, [I] es la matriz identidad. De esta expresión se obtiene:  ∗t  −1 Awxyz = Awxyz

(93)

Transformación de coordenadas V I

I

I

I

Una matriz que satisface la condición 93 se denomina hermitiana o hermítica. La ecuación 93 indica que si en la matriz de transformación de coordenadas, su conjugada traspuesta es idéntica a la matriz inversa, dicha transformación es conservativa en potencia. En otras palabras, una transformación hermitiana permite calcular las potencias en las variables transformadas sin necesidad de regresar a las coordenadas primitivas. Las ecuaciones de los ejes eléctricos de la máquina se pueden escribir como:   h     i   vαβ ,αβ = Rαβ ,αβ + Lαβ ,αβ p + θ˙ ταβ ,αβ iαβ ,αβ (94)

Transformación de coordenadas VI

I

Transformando las coordenadas en la ecuación 94 se obtiene: [Awxyz ] [vwxyz ] = =

h     i Rαβ ,αβ + Lαβ ,αβ p + θ˙ ταβ ,αβ [Awxyz ] [iwxyz ]

(95)

Transformación de coordenadas VII I

Despejando de 95 el vector de tensiones se obtiene: n   −1    Awxyz Rαβ ,αβ Awxyz + · · · vwxyz =  −1    · · · + Awxyz Lαβ ,αβ Awxyz p + · · ·  −1  d   · · · + Awxyz Lαβ ,αβ Awxyz + · · · dt  −1   o   · · · + θ˙ Awxyz ταβ ,αβ Awxyz iwxyz (96)

Transformación de coordenadas VIII I

La ecuación ?? se puede escribir utilizando las siguientes definiciones:    −1    Rwxyz ≡ Awxyz Rαβ ,αβ Awxyz (97)    −1    Lwxyz ≡ Awxyz Lαβ ,αβ Awxyz

(98)

   −1    τwxyz ≡ Awxyz ταβ ,αβ Awxyz

(99)

Transformación de coordenadas IX I

Como la matriz de transformación puede depender en general de la posición angular θ , se obtiene:   dθ d  d  Awxyz = Awxyz · dt dθ dt

(100)

y definiendo:    −1   d   Hwxyz ≡ Awxyz Lαβ ,αβ Awxyz dθ

(101)

Transformación de coordenadas X I

I

I

I

Se puede escribir la ecuación ?? como:   h       i   vwxyz = Rwxyz + Lwxyz p + θ˙ τwxyz + Hwxyz iwxyz (102) En la ecuación 102, el segundo término de la sumatoria, corresponde a las fuerzas electromotrices de transformación y el término tercero a las fuerzas electromotrices de generación. Este último término se en dos partes, por un  descompone  lado la matriz de par τwxyz y por otro la matriz Hwxyz que reproduce los términos de generación originados por el movimiento relativo de los ejes transformados con respecto a los ejes reales.   La matriz Hwxyz determina los términos no-holonómicos debidos a la transformación de coordenadas.

Transformación de coordenadas XI

I

La ecuación dinámica de la máquina se expresa como: Tm = −

I

∗t    1 iαβ ,αβ ταβ ,αβ iαβ ,αβ + J θ¨ + ρ θ˙ (103) 2

Transformando la ecuación 103 a las nuevas coordenadas: Tm = −

∗t  ∗t     1 iwxyz Awxyz ταβ ,αβ Awxyz iwxyz + J θ¨ + ρ θ˙ 2 (104)

Transformación de coordenadas XII I

y sustituyendo la ecuación 99 en 104: Tm = −

∗t    1 iwxyz τwxyz iwxyz + J θ¨ + ρ θ˙ 2

(105)

I

Las ecuaciones 102 y 105 representan a la máquina eléctrica en un nuevo sistema de coordenadas.

I

Mediante una selección   apropiada de la matriz de transformación Awxyz , es posible encontrar una solución más simple al sistema de ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento de la máquina.

Transformación de coordenadas αβ − dq I

Figura: Transformación de coordenadas αβ de del rotor a dq del rotor

Transformación de coordenadas αβ − dq II I

Una transformación útil en el análisis de las máquinas eléctricas rotativas consiste en proyectar las coordenadas del rotor en ejes colineales con los ejes del estator.

I

Estos nuevos ejes se denominan directo dr y cuadratura qr ; esta transformación permite anular el movimiento de las bobinas del rotor y las inductancias entre el estator y el rotor son constantes en el sistema de coordenadas transformadas.

I

En la figura 21 se ha representado un diagrama con la transformación propuesta.

Transformación de coordenadas αβ − dq III I

I

I

En esta transformación, las tensiones y corrientes correspondientes a las coordenadas primitivas del rotor son referidas a nuevas tensiones y corrientes inyectadas en bobinas fijas en el espacio. Los ejes del estator permanecen inalterados en las nuevas coordenadas. La matriz de transformación de coordenadas se puede particionar de la siguiente forma:     [Aee ] [0] Aαβ dq = (106) [0] [Arr ]

Transformación de coordenadas αβ − dq IV I

Las coordenadas del estator no cambian en la transformación, por esta razón la submatriz [Aee ] debe ser unitaria:   1 0 [Aee ] = (107) 0 1

I

Para determinar [Arr ] se debe recordar que:     iαr βr = [Arr ] idr qr

(108)

Transformación de coordenadas αβ − dq V I

La matriz [Arr ] corresponde a la proyección de los ejes αr y βr sobre los ejes dr y qr solidarios con el estator.

I

Esta transformación es una rotación inversa que anula la rotación del rotor de la máquina.

I

De la figura 21 se deduce que la transformación de coordenadas es:   cosθ senθ [Arr ] = −senθ cosθ

(109)

Transformación de coordenadas αβ − dq VI

I

La matriz obtenida en la ecuación 109 es hermitiana y su traspuesta conjugada es igual a su inversa: −1

[Arr ]

 =

1 = 2 cos θ + sen2 θ



cosθ senθ −senθ cosθ

−1

cosθ −senθ senθ cosθ



=

= [Arr ]∗t

(110)

Transformación de coordenadas αβ − dq VII

I

Definida la transformación de coordenadas[A es posible rr],    determinar las matrices transformadas Rαβ dq , Lαβ dq ,     ταβ dq y Hαβ dq .

Matriz de resistencias en coordenadas αβ − dq I

I

  La matriz de resistencia Rαβ dq en las nuevas coordenadas es: −1       Rαβ ,αβ Aαβ dq = Rαβ dq = Aαβ dq

 =

[I] [0]

[0] [Arr ]t

−1 

Re [I] [0]

[0] Rr [I]



[I] [0]

[0] [Arr ]

 (111)

Matriz de resistencias en coordenadas αβ − dq II I

Efectuando el triple producto matricial de la ecuación 111 se obtiene:     Re [I] [0] Rαβ dq = (112) [0] Rr [I]

I

Como se observa en la ecuación 112, la transformación aplicada no modifica la matriz original de resistencias.

I

Esto es de esperar, debido a que las resistencias no dependen de la posición del rotor y no existe acoplamiento galvánico entre las bobinas.

Matriz de inductancias en coordenadas αβ dq I

I

Si  la transformación a la matriz de inductancia  se aplica Lαβ ,αβ se obtiene:    −1    Lαβ ,dq = Aαβ ,dq Lαβ ,αβ Aαβ ,dq = 



Le [I] Ler [I] Ler [I] Lr [I]



 Le 0 Ler 0  0 Le 0 Ler   =  Ler 0 Lr 0  0 Ler 0 Lr

(113)

Matriz de inductancias en coordenadas αβ dq II I

En la ecuación 113 se observa que la matriz de inductancias transformadas es independiente de la posición angular del rotor.

I

Esto es debido a la rotación en sentido inverso de la transformación, que con los ejes del rotor convierte las inductancias solidarias en inductancias que giran en contra de la posición angular del rotor y por tanto mantienen una posición constante con respecto a los ejes α y β del estator.

I

Matrices de generación en coordenadas αβ dq

Matriz de inductancias en coordenadas αβ dq III I

Aplicando  el mismo procedimiento a la matriz de par  ταβ ,αβ se obtiene:   −1     ταβ ,αβ Aαβ ,dq = ταβ ,dq = Aαβ ,dq 

 0 0 0 −Ler  0 0 Ler 0   =  0 Ler 0 0  −Ler 0 0 0

(114)

Matriz de inductancias en coordenadas αβ dq IV I

  Igual que con la matriz de inductancia Lαβ ,dq , la matriz   de par ταβ ,dq es independiente del ángulo θ . La matriz   de términos de generación no-holonómicos Hαβ ,dq se puede calcular como:    −1   d   Hαβ ,dq = Aαβ ,dq Lαβ ,αβ Aαβ ,dq = dθ   0 0 0 Ler  0 0 −Ler 0   = (115)  0 0 0 Lr  0 0 Lr 0

Matriz de inductancias en coordenadas αβ dq V

I

  La matriz de generación Gαβ ,dq se define de la siguiente forma:       Gαβ ,dq = ταβ ,dq + Hαβ ,dq =   0 0 0 0  0 0 0 0   = (116)  0 Ler 0 Lr  −Ler 0 −Lr 0

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq I

I

Las ecuaciones de tensión para la máquina en coordenadas transformadasαβ dq son:   Re + Le p vαe  vβ   0 e =   vd   Ler p r vqr −θ˙ Ler 

I

0 Re + Le p θ˙ Ler Ler p

Ler p 0 Rr + Lr p −θ˙ Lr

 iαe   iβ  Ler p  e    id  θ˙ Lr r iqr Rr + Lr p 0



La ecuación 117 representa a la máquina eléctrica en coordenadas αβ dq.

(117)

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq II I

La construcción de una máquina como ésta es posible físicamente mediante la incorporación de un par de conmutadores como los que se ilustran en la figura 22.

I

El colector permite que las inductancias propias y mutuas vistas desde el estator sean independientes de la posición del rotor.

I

Las escobillas o carbones que recolectan la corriente, neutralizan el efecto del giro análoga a lo que  de forma  realiza la transformación Aαβ ,dq .

I

Los términos de la ecuación 117 se pueden identificar fácilmente en el modelo de la figura 22.

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq III I

I

Es necesario destacar que los signos negativos tienen su origen en el sentido de giro de la máquina, las convenciones de polaridad y la posición relativa de los ejes α, β , d y q. Para completar las ecuaciones que definen el comportamiento de la máquina eléctrica en las coordenadas αβ dq, es necesario calcular el par eléctrico: −1  iαe 0 0 0 −Ler    1 iβe   0 0 Ler 0 Te =     0 L 0 0 i 2 er dr −Ler 0 0 0 iqr 

= Ler iβe idr − iαe iqr






 iαe   iβ   e  =   id  r iqr (118)

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq IV

Figura: Modelo esquemático de la máquina generalizada

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq V I

La ecuación de balance del par mecánico es:
Tm = Ler iβe idr − iαe iqr + J θ¨ + ρ θ˙

I

(119)

La condición necesaria para la existencia del par eléctrico requiere que existan al menos dos corrientes, una en el estator y otra en el rotor, y que esas corrientes se encuentren en ejes ortogonales del modelo de la máquina generalizada.

Tarea Parte I I 1. En la figura se muestra el diagrama esquemático de un convertidor electromecánico de energía constituido por una fuente de tensión V = 1,0 V y un conductor de masa M = 0,1 kg, que se mueve ortogonalmente hacia un campo magnético uniforme B = 1,0 T . La resistencia de los conductores está distribuida y depende de la longitud del camino que conecta la fuente con el conductor móvil (R = 1 + 2x Ω). Al movimiento del conductor se opone una fuerza mecánica Fm = 1,0 N . En estas condiciones determine: 1.1 Las ecuaciones diferenciales completas que rigen el comportamiento del convertidor electromecánico. 1.2 La trayectoria descrita por el conductor móvil, si en el instante inicial t = 0, la posición de este elemento es x(0) = 1,0 m y parte de la condición de reposo1 .

Tarea Parte I II 1.3 La trayectoria del conductor utilizando métodos analíticos y numéricos (comparación) de solución suponiendo que ahora la resistencia es concentrada y de valor constante2 5 Ω.

Figura: Conductor moviéndose en un campo uniforme

Tarea Parte I III 2. En la figura se ha representado un convertidor electromecánico compuesto por un electroimán y su yugo. El electroimán tiene una bobina de 1,000 vueltas, alimentada con una fuente de corriente alterna de 100 V efectivos y su resistencia es de 5 Ω. En el yugo existe otra bobina de 500 vueltas que se encuentra en cortocircuito y posee una resistencia de 10 Ω. El yugo tiene una masa de 250 g y está conectado mediante un resorte de 104 Nm a un sistema inercial. En la posición de reposo del resorte, el yugo se encuentra a 5 mm del electroimán. La sección transversal del material electromagnético es de 25 cm2 y la longitud media del camino magnético –sin considerar el entrehierro– es de 48 cm. La permeabilidad relativa del material magnético es 2,000. El material se considera lineal en todo el rango de la densidad de flujo. En estas condiciones determine:

Tarea Parte I IV

2.1 La relación entre los enlaces de flujo y las corrientes en función de la posición del yugo. 2.2 Las ecuaciones dinámicas completas del convertidor. 2.3 La solución en régimen permanente, considerando que la inercia mecánica del sistema elimina las vibraciones mecánicas del yugo –posición de equilibrio. 2.4 La potencia de pérdidas del convertidor en régimen permanente.

Tarea Parte I V

Figura: Diagrama esquemático del problema N.° 2

Tarea Parte I VI 3. Una máquina de rotor y estator cilíndrico tiene dos bobinas ortogonales en el estator y una en el rotor. El diámetro del rotor es de 15 cm, la longitud axial de la máquina es de 20 cm y el entrehierro es de 1,5 mm. Las bobinas del estator tienen 200 vueltas y se alimentan con tensiones sinusoidales de 110 V efectivos, 60 Hz, desfasadas una de otra π2 . El material ferromagnético del convertidor tiene una permeanza relativa de 1.000. La bobina del rotor tiene 1.000 vueltas y por ella circula una corriente de 0,5 A. El máximo acoplamiento entre las bobinas del rotor y del estator es de 90 % y la dispersión en la bobina rotórica es el doble que en cada una de las bobinas del estator. Conocidos todos estos datos: 3.1 Calcule todos los parámetros del modelo de la máquina y las ecuaciones completas que determinan su comportamiento dinámico.

Tarea Parte I VII

3.2 Convierta las ecuaciones del estator a coordenadas dq y calcule el par eléctrico de la máquina, cuando el rotor gira a velocidad sincrónica y se encuentra adelantado π6 con respecto al eje magnético de la fase a. 3.3 Calcule las corrientes del estator en régimen permanente si las bobinas del estator se encuentran en cortocircuito.

1 Debido a la no-linealidad existente en el modelo matemático del convertidor utilice un programa para resolver numéricamente este problema. 2 Las condiciones iniciales coinciden con las indicadas en el punto 2 de este problema.