CursoMaquinasRiobamba Beamer Parte2

Modelación y Control de Máquinas Eléctricas Parte II Dr. José Manuel Aller Castro

Escuela Superior Politécnica de Chimborazo

Riobamba, Mayo 2015

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq I

I

Las ecuaciones de tensión para la máquina en coordenadas transformadasαβ dq son:   Re + Le p 0 Ler p 0 vαe  vβ   0 Re + Le p 0 Ler p  e = ˙ Ler  vd   Ler p θ R + L p θ˙ Lr r r r vqr −θ˙ Ler Ler p −θ˙ Lr Rr + Lr p 

 iαe   iβ   e    id  r iqr (1) 

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq II

I

La ecuación 1 representa a la máquina eléctrica en coordenadas αβ dq.

I

El colector permite que las inductancias propias y mutuas vistas desde el estator sean independientes de la posición del rotor.

I

Las escobillas o carbones que recolectan la corriente, neutralizan el efecto del giro análoga a lo que  de forma  realiza la transformación Aαβ ,dq .

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq III I

Para completar las ecuaciones que definen el comportamiento de la máquina eléctrica en las coordenadas αβ dq, es necesario calcular el par eléctrico: −1  iαe 0 0 0 −Ler    1 iβe   0 0 Ler 0 Te =     0 Ler 0 0 2 idr −Ler 0 0 0 iqr 

= Ler iβe idr − iαe iqr






 iαe   iβ   e  =   id  r iqr (2)

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq IV

Figura: Modelo esquemático de la máquina generalizada

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq V I

La ecuación de balance del par mecánico es:
Tm = Ler iβe idr − iαe iqr + J θ¨ + ρ θ˙

I

(3)

La condición necesaria para la existencia del par eléctrico requiere que existan al menos dos corrientes, una en el estator y otra en el rotor, y que esas corrientes se encuentren en ejes ortogonales del modelo de la máquina generalizada.

Máquinas de Corriente Continua I

I

Una máquina de conmutador está constituida básicamente por un estator, un rotor y un colector acoplado sólidamente al rotor.

I

El colector permite conectar galvánicamente los conductores del circuito rotórico o armadura a la fuente de tensión continua, mediante un juego de carbones o escobillas solidarios con el estator de la máquina.

Máquinas de Corriente Continua II I

En la figura siguiente se presenta el diagrama esquemático de la máquina de corriente continua y un modelo constructivo simple para fines demostrativos.

(a) Modelo Constructivo

(b) Diagrama esquemático

Figura: Máquina elemental de colector

Máquinas de Corriente Continua III I

El principio de operación de las máquinas de corriente continua se fundamenta en la inyección de corriente continua, tanto en el circuito rotórico como estatórico.

I

Estas corrientes producen las fuerzas magnetomotrices Fr en el rotor y Fe en el estator, que intentan alinearse.

I

Cuando se alcanza el alineamiento, cesa el par eléctrico.

I

Si en ese preciso instante se invierte el sentido de la corriente inyectada en el circuito rotórico, la fuerza magnetomotriz del rotor cambia de sentido 180º y aparece un nuevo par de alineamiento.

Máquinas de Corriente Continua IV I

En la figura siguiente se representa esta situación.

Figura: Alineamiento de fuerzas electromotrices en la máquina

Máquinas de Corriente Continua V I

Analizando los diagramas de la figura anterior se pueden indicar las siguientes observaciones:

I

Las fuerzas magnetomotrices en el semiplano positivo, producen par positivo en el sentido de las agujas del reloj.

I

Las corrientes que circulan por el rotor deben producir la fuerza magnetomotriz en el plano positivo, para que el par siempre resulte positivo.

I

Para invertir el sentido de la fuerza magnetomotriz del rotor se utiliza el conmutador.

Máquinas de Corriente Continua VI I

En la figura siguiente se observa que la corriente tiene como período de repetición una revolución del rotor de la máquina de corriente continua.

Figura: Conmutador y forma de la corriente del rotor en un período de revolución

Máquinas de Corriente Continua VII I

Al girar el rotor, la escobilla (1), se conecta con la delga (4) y la escobilla (2) se conecta con la delga (3).

I

El procedimiento anterior permite la inversión del sentido de circulación de la corriente por el rotor mediante el dispositivo mecánico descrito.

I

La corriente interna en el circuito rotórico es alterna.

I

La corriente inyectada por la fuente es continua.

I

En la práctica, es necesario un conmutador por cada bobina del rotor, pero por simplicidad en el análisis se ha supuesto que la máquina posee una sola bobina.

Máquinas de Corriente Continua VIII I

Con la distribución de la corriente de armadura que se representa en la figura siguiente, la fuerza magnetomotriz producida en el rotor se encuentra en el semiplano positivo y se produce un par positivo que intenta alinear esta fuerza magnetomotriz con la fuerza magnetomotriz producida por el enrollado de campo de la máquina.

Figura: Alineamiento de las corrientes por los conductores del rotor para producir par positivo

Máquinas de Corriente Continua IX

I

En esta situación, los conductores contribuyen al par en la dirección positiva del movimiento, debido a que los conductores ubicados a la derecha de la figura producen fuerza tangencial hacia abajo, mientras que los de la izquierda producen fuerzas tangenciales hacia arriba.

I

En un alineamiento conductivo semejante al ilustrado en la figura siguiente, existe equilibrio de fuerzas sobre el mismo brazo y el par resultante es nulo.

Máquinas de Corriente Continua X

Figura: Alineamiento de las corrientes de armadura que no produce par efectivo en el eje

Máquinas de Corriente Continua XI

I

Este análisis elemental explica la conveniencia de utilizar la distribución de las corrientes de armadura presentada en la figura anterior, con la finalidad de obtener par eléctrico significativo en la máquina de corriente continua.

I

En las máquinas de conmutador, el plano que contiene el eje mecánico y corta diametralmente al rotor se denomina línea neutra de la máquina.

Máquinas de Corriente Continua XII I

La línea neutra divide los puntos del rotor en los que entra el flujo de aquellos en los cuales el flujo sale.

Figura: Abatimiento lineal de una máquina rotativa de corriente continua

Máquinas de Corriente Continua XIII I

Para lograr la inversión en el sentido de la corriente, es necesario un dispositivo conmutador por cada bobina.

I

Esta solución es muy primitiva, el conmutador puede ser mejorado mediante una distribución conveniente de los conductores que permita obtener el resultado deseado.

I

En la figura anterior se representa un abatimiento lineal de la superficie del estator y de los conductores del rotor.

I

Es conveniente realizar una conexión de los conductores del rotor, de tal forma que sólo se necesite un par de escobillas y no una por cada espira.

Máquinas de Corriente Continua XIV

I

Esta situación se puede obtener conectando las bobinas en serie. La otra condición que debe cumplirse es que al cambiar de posición la espira, en ella debe cambiar el sentido de la corriente, pero no en las otras espiras.

I

En la figura siguiente se muestra una forma posible de realizar las conexiones de los conductores del circuito de armadura.

Máquinas de Corriente Continua XV

Figura: Conexión de los conductores del rotor

Máquinas de Corriente Continua XVI

I

Los conductores conectados a los terminales (1) y (2) de la figura anterior se encuentran en una situación diferente al resto de los conductores del circuito rotórico porque son los extremos de la bobina.

I

Para resolver este inconveniente se conecta un segundo devanado similar al anterior en las mismas ranuras del rotor y conectados en paralelo.

Máquinas de Corriente Continua XVII I

En la figura siguiente se observa el abatimiento lineal de estas dos bobinas.

Figura: Armadura de la máquina

Máquinas de Corriente Continua XVIII I

I

I

I

Con esta distribución de los conductores del devanado de armadura, es suficiente inyectar corriente entre dos delgas separadas 180º eléctricos para que la corriente circule en una dirección en una mitad de la periferia del rotor y en sentido contrario en la otra. Disponiendo de esta forma las bobinas, toda la superficie del rotor puede ser aprovechada para la producción de par. Si las escobillas se colocan alineadas convenientemente, se obtendrá siempre corriente en un sentido en el polo norte de la máquina y en sentido contrario en el polo sur. Cuando un conductor atraviesa la línea neutra, se invierte el sentido de su corriente y por esta razón el par producido sobre él mantiene la misma dirección.

Máquinas de Corriente Continua XIX I

I

En la práctica se utilizan dos esquemas básicos para bobinar el circuito de armadura de las máquinas de corriente continua, el devanado imbricado y el devanado ondulado. En la figura siguiente se muestran dos ejemplos de estos bobinados. En el enrollado imbricado, la bobina se devana regresando por ranuras adyacentes o muy cercanas los retornos.

Figura: Bobinados de armadura imbricados y ondulados

Máquinas de Corriente Continua XX

I

En el devanado ondulado el conductor de retorno de bobina adelanta poco más o menos un paso polar.

I

El análisis de los diferentes tipos de devanados es muy complejo y excede los alcances de este texto, pero se puede destacar que en los rotores ondulados se puede utilizar un par de carbones para conectar todos los pares de polos de la armadura, mientras que los rotores imbricados requieren un par de carbones por cada par de polos.

Máquinas de Corriente Continua XXI

I

En máquinas pequeñas con múltiples pares de polos el empleo de bobinas onduladas puede representar un ahorro importante en el proceso de fabricación, porque además se utiliza menor cantidad de cobre en las cabezas de bobina.

I

En la figura siguiente se muestran dos etapas del proceso de fabricación de la armadura de una máquina de corriente continua.

Máquinas de Corriente Continua XXII

(a) Unión de los conductores a las delgas

Máquinas de Corriente Continua XXIII

(b) Proceso de fabricación de una armadura de corriente continua

Figura: Proceso de fabricación de una armadura de corriente continua

Máquinas de Corriente Continua XXIV

I

En primer lugar la conexión de los mazos de conductores con las delgas y en la siguiente se muestra el maquinado final de las delgas realizado en el torno.

I

En la figura siguiente se representa la armadura de la máquina de corriente continua mediante capas de corriente.

Máquinas de Corriente Continua XXV

Figura: Separatriz de la armadura

Máquinas de Corriente Continua XXVI I

La capa de corriente puede girar mediante la rotación de las escobillas que alimentan a las bobinas.

I

La frontera producida por la inversión de las corrientes en la armadura que contiene a las escobillas de la máquina se conoce como separatriz de la armadura.

I

Este sistema permite construir físicamente unos conductores que se mueven en un campo magnético, pero que al mismo tiempo producen una fuerza electromotriz constante y a 90º del campo estatórico.

Máquinas de Corriente Continua XXVII I

En la figura siguiente se representa un abatimiento lineal de la máquina, los conductores se mueven hacia la izquierda y el campo magnético originado por el estator de la máquina está fijo.

Figura: Campo eléctrico en la superficie de los conductores

Máquinas de Corriente Continua XXVIII I

La fuerza electromotriz inducida en los conductores es: E = v×B

(4)

En esta ecuación, E es la intensidad del campo eléctrico sobre cada conductor, v es la velocidad tangencial de los conductores y B es la densidad de campo magnético producida por el devanado estatórico. I

Como todos los conductores se mueven con la misma velocidad tangencial, la fuerza electromotriz en cada espira es proporcional al campo.

Máquinas de Corriente Continua XXIX I

Entre las dos escobillas aparece una fuerza electromotriz igual a la suma de las fuerzas electromotrices de todas las espiras que se encuentran conectadas en serie entre las dos escobillas. En la figura anterior se observa que cada espira contribuye con: v = e + e = 2e (5)

I

Para invertir el sentido de las fuerzas electromotrices manteniendo la dirección de la velocidad, es necesario invertir el campo.

Máquinas de Corriente Continua XXX I

Por esta razón la fuerza electromotriz en las bobinas cambia de sentido cuando éstas cruzan la línea neutra. En la figura siguiente se representa esquemáticamente esta situación.

Figura: Fuerzas electromotrices inducidas sobre las bobinas

Máquinas de Corriente Continua XXXI I

En la figura anterior se definen: I I

I

I

I

E1 es la fuerza electromotriz resultante en el polo norte E2 es la fuerza electromotriz resultante en el polo sur

La densidad de campo en el polo norte es prácticamente igual a la del polo sur, por esta razón las fuerzas electromotrices del rotor E1 y E2 son iguales en magnitud pero contrarias en sentido. Cuando las fuerzas electromotrices E1 y E2 son diferentes, se produce una corriente circulatoria en la armadura que puede ocasionar un calentamiento excesivo de la máquina. Si las escobillas se alinean exactamente con la línea neutra, la fuerza electromotriz inducida sobre las bobinas del rotor es máxima.

Máquinas de Corriente Continua XXXII I

Cuando la línea neutra y la separatriz no están alineadas, ocurre una situación semejante a la que se muestra en la figura.

Figura: Línea neutra y separatriz desalineadas

Máquinas de Corriente Continua XXXIII I

I

I

I

En este caso, la máquina se encuentra girando a la velocidad angular ω. El par producido en el sentido del movimiento se denomina motriz. Si el par tiene sentido contrario a la referencia de posición o velocidad, se denomina generatriz. En las regiones (2) y (4) de la figura, la máquina de corriente continua posee par motriz y por lo tanto estas regiones de la máquina trabajan como motor inventando accionar la carga mecánica en el sentido de las agujas del reloj. En las regiones (1) y (3) la fuerza es contraria al sentido del movimiento, por lo tanto en estas zonas la máquina actúa como un generador.

Máquinas de Corriente Continua XXXIV I

I

I

I

Las regiones (2) y (4) son más extensas que las zonas marcadas con (1) y (3), el par promedio está dirigido en el sentido del movimiento y el comportamiento neto de la máquina es como motor. Del análisis anterior se explica que cuando la separatriz y la línea neutra no coinciden, el par resultante se reduce. Durante la operación de la máquina, las escobillas permanecen fijas en la separatriz y es conveniente que esta línea coincida con la línea neutra. Con esta disposición, las corrientes que circulan por los conductores del rotor situadas a un lado de la línea neutra poseen todas la misma dirección e intensidad.

Máquinas de Corriente Continua XXXV I

En la figura siguiente se puede observar que las corrientes que circulan por el rotor producen una densidad de campo magnético Br , fijo en el espacio y cuya amplitud se encuentra en cuadratura con el campo magnético producido por el devanado del estator.

Figura: Flujo magnético producido por las corrientes de la armadura

Máquinas de Corriente Continua XXXVI I

I

I

I

I

Esta situación se asemeja a la transformación de los ejes α y β del rotor, en ejes d y q. El efecto físico del conmutador consiste en referir las corrientes del rotor a ejes ficticios que rotan en sentido contrario con la misma velocidad del rotor. Los ejes transformados parecen estar detenidos vistos desde el estator de la máquina. Fundamentándose en estas ideas, la máquina de conmutador puede ser analizada mediante una transformación a coordenadas αβ dq. El conmutador de estas máquinas es un inversor mecánico de la corriente que circula por los conductores del rotor, sincronizado con el eje de la máquina. Las conmutaciones suceden con una frecuencia igual a la de rotación.

Máquinas de Corriente Continua XXXVII I

I

Si el rotor de la máquina está construido con una sola espira, la fuerza magnetomotriz resultante es perpendicular al plano de la espira. Para un conjunto de conductores como los ilustrados en la figura, la fuerza magnetomotriz se encuentra en la dirección de la separatriz de la máquina.

Figura: Resultante de la fuerza magnetomotriz del rotor

Máquinas de Corriente Continua XXXVIII

I

Para que el par eléctrico sea máximo, la fuerza magnetomotriz del rotor debe ser perpendicular a la fuerza magnetomotriz del estator.

I

Por esta razón, las escobillas se colocan colineales con la línea neutra para permitir que la fuerza magnetomotriz del rotor se encuentre en cuadratura con la fuerza magnetomotriz del estator, tal como se demostró anteriormente.

Ecuaciones de las máquinas de conmutador I

I

Las ecuaciones dinámicas de las máquinas de conmutador son:    Re + Le p 0 Ler p 0 vαe   vβ  0 Re + Le p 0 Ler p  e  =  ˙ Ler  vd   Ler p θ R + L p θ˙ Lr r r r ˙ ˙ vqr −θ Ler Ler p −θ Lr Rr + Lr p
Tm = −Ler iβ id − iα iq + J θ¨ + ρ θ˙ e

r

e

r



  

Ecuaciones de las máquinas de conmutador II I

Las diferentes conexiones de las máquinas de corriente continua convencionales se pueden analizar considerando la existencia de una bobina en el estator orientada en la dirección del eje β y una bobina en el rotor orientada en la dirección del eje d, accesible mediante un par de escobillas, tal como se ilustra en la figura siguiente.

Figura: Representación básica de la máquina convencional de corriente continua

Ecuaciones de las máquinas de conmutador III I

Con el modelo analítico planteado para la máquina de corriente continua, denominando G al coeficiente de generación, que representa la inductancia mutua entre el rotor y el estator, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:      Re + Le p 0 vβ iβ = vd id θ˙ G Rr + Lr p Tm = −Gid iβ + J θ¨ + ρ θ˙ (6)

I

Las máquinas de corriente continua se clasifican normalmente según la conexión del enrollado de excitación o campo.

Ecuaciones de las máquinas de conmutador IV I

El devanado de excitación produce un campo magnético más o menos uniforme en el cual gira el rotor.

I

Generalmente el devanado de excitación de las máquinas de conmutador se encuentra ubicado en el estator. Si la corriente de excitación se obtiene a partir de la fuente de tensión que alimenta la armadura, la máquina se encuentra en conexión paralelo o derivación.

I

Si el campo y la armadura se conectan mediante dos fuentes diferentes, la máquina se encuentra en conexión independiente.

Ecuaciones de las máquinas de conmutador V

I

Cuando la corriente de la armadura circula por el devanado de campo, la conexión se denomina serie.

I

Si la máquina tiene dividido el campo en dos partes, una conectada en serie con la armadura y otra en paralelo, la conexión se conoce como compuesta.

I

En la figura siguiente se muestra un diagrama con todas estas conexiones.

Ecuaciones de las máquinas de conmutador VI

Figura: Conexiones de la máquina de conmutador

Características de operación de las diferentes conexiones I I

Si a la armadura de la máquina se le aplica tensión constante de valor Va y al devanado de campo una tensión constante de magnitud Vf , en régimen permanente las corrientes Ia e If también son constantes y en el sistema de ecuaciones 6 desaparecen los términos de transformación: Vf = Rf · If

(7)

Va = Gωm If + Ra Ia

(8)

Tm = −GIa If + ρωm

(9)

Características de operación de las diferentes conexiones II I

Despejando de la ecuación 6 la corriente If , de la ecuación 7 la corriente Ia y reemplazándolas en la expresión 8, se obtiene la ecuación de equilibrio mecánico de la máquina de corriente continua en función de las fuentes forzantes:    Gωm Vf Va − Rf  Vf + ρωm Tm = −G  (10) Ra Rf

Características de operación de las diferentes conexiones III I

En la figura siguiente se representa en un gráfico el par eléctrico de la máquina en función de la velocidad.

Figura: Par eléctrico versus velocidad con excitación independiente

Características de operación de las diferentes conexiones IV I

I

En el gráfico de la figura anterior, la velocidad ωs se define como la velocidad del rotor donde la tensión aplicada es igual a la fuerza electromotriz inducida en la armadura de la máquina y se denomina velocidad de sincronismo o velocidad sincrónica. La característica del par eléctrico de la máquina de corriente continua en función de la velocidad angular mecánica es igual a la característica de la fuerza eléctrica en función de la velocidad tangencial sobre un conductor elemental que se desplaza en la presencia de un campo magnético uniforme analizado anteriormente1.

Características de operación de las diferentes conexiones V

I

Esta semejanza en las características no es coincidencial, los conductores de la armadura se encuentran en una disposición geométrica similar a la del conductor solitario.

I

La curva de par eléctrico-velocidad puede variar con la tensión aplicada a la armadura o a la excitación.

Características de operación de las diferentes conexiones VI

Figura: Efecto de la variación de las fuentes

Características de operación de las diferentes conexiones VII

I

Al variar la tensión de armadura se obtiene una familia de características paralelas tal como se muestra en la figura (a).

I

Si se varía la tensión del campo, cambia la pendiente de la característica, tal como se puede observar en el gráfico de la figura (b).

Características de operación de las diferentes conexiones VIII I

Si se conecta la máquina con el campo en derivación, el sistema de ecuaciones 5 representa el comportamiento de la máquina y la única diferencia con la máquina de excitación independiente es que la tensión de armadura y la tensión del campo son idénticas:   GV 2 Gωm Tm = − 1− + ρωm Ra Rf Rf

(11)

Características de operación de las diferentes conexiones IX

Figura: Par eléctrico versus velocidad de la máquina en derivación

Características de operación de las diferentes conexiones X I

En la figura anterior se ha representado el par eléctrico de la máquina de corriente continua con conexión en derivación del circuito de campo; es interesante destacar que en este caso la velocidad sincrónica ωs es independiente de la tensión, a diferencia de lo que se obtiene para la máquina de excitación independiente.

I

La ecuación de tensión para la armadura de la máquina es: Va = Rr ia + Gωm If

(12)

Características de operación de las diferentes conexiones XI I

En la ecuación 12, el término Gωm If es la fuerza electromotriz de generación producida por el campo. En la figura se representa el modelo circuital equivalente de la máquina de corriente continua en derivación.

Figura: Modelo circuital de la máquina de corriente continua en derivación

Características de operación de las diferentes conexiones XII I

I

I

I

Si la fuerza electromotriz generada es mayor que la tensión aplicada, la máquina entrega potencia a la fuente y el par eléctrico es negativo. En estas condiciones es necesario par mecánico de accionamiento. La velocidad sincrónica depende del coeficiente de generación G y de la resistencia del campo Rf . Esta velocidad corresponde a la condición de vacío de la máquina. Para controlar la velocidad de vacío se pueden intercalar resistencias en el campo.

Características de operación de las diferentes conexiones XIII I

Los motores de corriente continua se utilizan ampliamente para el control de velocidad o para la tracción de vehículos eléctricos y trenes laminadores.

I

Las características de par-velocidad de estas máquinas permiten su utilización en un gran número de aplicaciones.

I

Antiguamente se utilizaban resistencias para limitar la corriente en la armadura durante el proceso de arranque.

I

Las máquinas se diseñan para permitir entre 1, 5 y 2 veces la corriente nominal por la armadura durante el arranque.

Características de operación de las diferentes conexiones XIV I

En la actualidad el arranque y accionamiento de los motores de corriente continua se realiza mediante fuentes de corriente continua regulables en tensión, con lo cual las pérdidas en los reóstatos se eliminan.

I

Esto es de gran importancia en sistemas con paradas y arranques frecuentes, como ocurre en el caso de un sistema urbano de transporte público.

I

La conexión serie del devanado de campo es una de las más utilizadas en los sistemas de tracción eléctrica.

Características de operación de las diferentes conexiones XV I

I

En este caso, la tensión aplicada se reparte entre la armadura y el campo, y la corriente de armadura también circula por el campo. En la figura siguiente se muestra el esquema de esta conexión.

Figura: Conexión serie de la máquina de corriente continua

Características de operación de las diferentes conexiones XVI I

Las ecuaciones dinámicas de la conexión serie son: v = va + vf = (Ra + Rf ) i + (La + Lf ) pi + Gωm i =

I

= (RT + Gωm ) i + LT pi

(13)

Tm = −Gi 2 + J ω˙ m + ρωm

(14)

En régimen permanente se tiene: V = (RT + Gωm ) I

(15)

Te = GI 2

(16)

Características de operación de las diferentes conexiones XVII

I

Sustituyendo la corriente I de la ecuación 15, en la expresión 16 se obtiene: Te =

GV 2 (RT + Gωm )2

(17)

Características de operación de las diferentes conexiones XVIII

Figura: Característica par-velocidad de una máquina de conmutador serie

Características de operación de las diferentes conexiones XIX I

La característica par-velocidad tiene la forma de una hipérbola cuadrática, como se deduce de la ecuación 17.

I

Esta característica permite variar ampliamente el par resistente manteniendo la potencia mecánica prácticamente constante

I

El motor serie se utiliza frecuentemente en tracción eléctrica porque permite obtener un elevado par de arranque.

Características de operación de las diferentes conexiones XX I

Al igual que en el motor derivación, es necesario limitar la corriente de arranque.

I

La máquina de conmutador con excitación compuesta posee características combinadas de las máquinas derivación y serie.

I

La característica de estas máquinas se parecen más a uno u otro tipo, dependiendo del grado de intensidad que proporcione el campo serie y el campo derivación.

Control de velocidad I I

I

I

Después de analizar el comportamiento en régimen permanente de las máquinas de corriente continua, es posible estudiar el comportamiento transitorio mediante su función de transferencia. La máquina de corriente continua satisface el sistema de ecuaciones diferenciales 5 en régimen transitorio. De la ecuación de tensión para el eje β se puede obtener la función de transferencia operacional de la corriente iβ : iβ =

1 Rbeta vβ

vβ

=  L 1 + τβ p Rβ 1 + R β p beta

(18)

Control de velocidad II I

La ecuación del eje d en 5 permite obtener la corriente id :
1 vd − Gωm iβ Rd vd − Gωm iβ =  id = (19) 1 + τd p R 1 + Ld p d

I

Rd

A partir de la ecuación diferencial correspondiente al eje mecánico se obtiene:
1 Te + Tm (ωm ) ρ Giβ id + Tm (ωm ) ωm = = (20) ρ + Jp 1 + τM p

Control de velocidad III

Figura: Diagrama de bloques de la máquina de corriente continua I

En la figura anterior se han representado las funciones de transferencia 18, 19 y 20 en diagrama de bloques, con sus respectivas realimentaciones e interconexiones.

Control de velocidad IV I

Este diagrama contiene multiplicadores, debido a las no linealidades implícitas entre las variables de estado del modelo.

I

Por esta razón no es posible reducir este diagrama a una función de transferencia.

I

Asumiendo que la tensión vβ es constante, la corriente iβ se estabiliza en un valor continuo después de varias constantes de tiempo.

I

En estas condiciones se puede representar el modelo dinámico de la máquina de corriente continua mediante un solo bloque.

Control de velocidad V I

I

Con la corriente iβ constante, se puede definir como constante k al producto de esta corriente por el coeficiente de generación G de la máquina. En la figura se observa el diagrama de bloques de la máquina de corriente continua excitada con una corriente constante en el campo.

Figura: Diagrama de bloques de la máquina con corriente de campo constante

Control de velocidad VI I

I

I

Este último diagrama de bloques se puede reducir a una función de transferencia cuando el par mecánico es nulo o constante. Un par mecánico constante no altera la respuesta transitoria del sistema sino los valores en régimen permanente. 0 Definiendo la función de transferencia T (p) como el producto de las funciones de transferencia de la figura anterior: 0

T (p) =

k 1 1 · · Rd ρ 1 + τd p 1 + τM p

(21)

Control de velocidad VII I

La función de transferencia entre la velocidad mecánica de la máquina y la tensión aplicada en el circuito de armadura es: 0

I

ωm (p) T (p) k = = 0 vd (p) 1 + kT (p) Rd ρ (1 + τd p) (1 + τM p) + k 2 (22) Transformando al dominio de Laplace la función de transferencia 22 se obtiene: Ωm (s) k = Vd (s) Rd ρτd τM s2 + Rd ρ (τd + τM ) s + Rd ρ + k 2 (23)

Control de velocidad VIII I

I

Como todos los términos del denominador de la función de transferencia 23 son positivos, los polos del polinomio tienen parte real negativa. Por esta razón, la respuesta del sistema siempre es estable. Para reducir los tiempos de respuesta se puede ajustar el valor de la constante k variando la corriente de campo iβ . La constante de tiempo de la armadura de la máquina τd es generalmente mucho menor que la constante de tiempo del sistema mecánico τM y puede ser despreciada en la ecuación 23: Ωm (s) k = Vd (s) Rd ρτM s + Rd ρ + k 2

(24)

Control de velocidad IX I

El polo de la función de transferencia 24 es: s=

Rd ρ + k 2 Rd ρτM

(25)

I

Al aumentar el valor de la constante k , el valor del polo se hace más negativo y la respuesta de la máquina es más rápida.

I

Al aumentar la corriente de campo en una máquina de corriente continua se incrementa considerablemente la velocidad de respuesta.

Control de velocidad X I

I I

Otra aproximación habitual cuando se analiza la dinámica de la máquina de corriente continua, consiste en despreciar la fricción. En estas condiciones el coeficiente de fricción ρ es cero. En la figura se ilustra el diagrama de bloques correspondiente al sistema sin pérdidas mecánicas.

Figura: Máquina de corriente continua sin fricción

Control de velocidad XI I

Repitiendo el análisis realizado anteriormente se obtiene la función de transferencia: Ωm (s) k  2  = Vd (s) Rd J Rk J + s

(26)

d

I

I

Cuando se desprecia la fricción es evidente que para mover el polo del sistema a la izquierda es necesario incrementar el valor de la constante k y por lo tanto la corriente de campo. Mientras más corriente de campo circula por la máquina, los procesos dinámicos o respuestas transitorias son más rápidos.

Control de velocidad XII I

La variable de control en este sistema es la tensión de armadura vd , debido a que la constante de tiempo de este circuito τd es mucho menor que la constante de tiempo mecánica τM , fuertemente dependiente de la inercia J.

I

Para que la respuesta de una máquina sea rápida es necesario que la inercia sea pequeña.

I

Las máquinas de corriente continua son muy rápidas y se utilizan ampliamente para el control par-velocidad en los procesos industriales y en los sistemas de tracción eléctrica.

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua I

I

Los accionamientos de la máquina de corriente continua deben presentar la característica de par, flujo y fuerza electromotriz en función de la velocidad, mostrada en la figura para cada uno de los cuadrantes de operación del convertidor electromecánico.

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua II

Figura: Característica de accionamiento de la máquina de corriente continua

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua III

I

En esta característica de accionamiento el par se mantiene constante mientras la tensión de armadura alcanza su valor régimen, este proceso se realiza limitando el valor de la corriente de armadura al nominal, mediante el control de la tensión.

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua IV I

En la figura se presenta el esquema de accionamiento de una máquina de corriente continua en lazo cerrado con realimentación en corriente.

Figura: Accionamiento de la máquina de corriente continua.

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua V

I

La fuente de alimentación puede ser en corriente alterna o continua, el controlador de velocidad combina las funciones de un controlador PI con limitación.

I

Este accionamiento limita la corriente en el circuito de armadura de la máquina a 1, 5 veces la corriente nominal del devanado.

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua VI

I

En las figuras se presenta la respuesta de la maquina de corriente continua controlada con el esquema de la figura anterior ante una consigna de velocidad constante y toma de carga para una máquina de corriente continua de 5 HP, con un rectificador monofásico controlado como convertidor, desde un sistema de 220 V a frecuencia industrial de 60 Hz.

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua VII

Figura: Corriente de armadura y velocidad mecánica

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua VIII

Figura: Tensión de armadura y ángulo de disparo del rectificador

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua IX

I

En las figuras siguientes se presenta la respuesta de la maquina de corriente continua controlada con el esquema de la figura ante una variación de velocidad para una máquina de corriente continua de 5 HP , con un chopper tipo “ A” como convertidor desde un sistema de corriente continua de 280 V .

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua X

Figura: Corriente de armadura y velocidad mecánica

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua XI

(a)

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua XII

(b) Detalle Figura: Tensión de armadura y razón de conducción del chopper

Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua XIII

Máquinas de Inducción I

Figura: Diagrama esquemático de las bobinas de una máquina de inducción trifásica en el rotor y estator

Máquinas de Inducción II I

Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de la máquina de inducción en el sistema de coordenadas indicado en la figura anterior son: [v] = [R] [i] + p [λ ] = [R] [i] + [L(θ )] p [i] + θ˙ [τ(θ )] [i] (27) Te − Tm = Donde:

1 t [i] [τ] [i] − Tm = J θ¨ + ρ θ˙ 2

(28)

Máquinas de Inducción III 

[ve ] [vr ]



[ie ] [ir ]



[λe ] [λr ]

"  ie =  ar ia  "  e λ =  ar λa

[v] =

[i] =

[λ ] =

"  t # e e e v v vc =  ar br t va vb vcr





ibe ibr

ice icr

t # t ;

t # λbe λce t λbr λcr

Máquinas de Inducción IV



   [Ree ] [Rer ] Re [I] [0] [R] = = [Rre ] [Rrr ] [0] Rr [I]   [Lee ] [Ler (θ )] [L(θ )] = = [Lre (θ )] [Lrr ]  =

Lσ e [I] + Lme [S] Ler [C(θ )] t Ler [C(θ )] Lσ r [I] + Lmr [S]



Máquinas de Inducción V

= 

d dθ



d [0] Ler dθ [C(θ )] t d [0] Ler dθ [C(θ )]



[τ(θ )] = 

d dθ [Lee ] d dθ [Lre (θ )]

[Ler (θ )] d dθ [Lrr ]



  1 1 0 0 [I] =  0 1 0  ; [S] =  − 21 0 0 1 − 21

− 21 1 − 12

=

   − 12 0 0 0 − 12  ; [0] =  0 0 0  0 0 0 1

Máquinas de Inducción VI 4π  cos θ cos(θ + 2π 3 ) cos(θ + 3 )  [C(θ )] =  cos(θ + 4π cos θ cos(θ + 2π 3 ) 3 ) 2π 4π cos(θ + 3 ) cos(θ + 3 ) cos θ



 − sen θ − sen(θ + 2π ) − sen(θ + 4π ) 3 3 d  [C(θ )] =  − sen(θ + 4π − sen θ − sen(θ + 2π 3 ) 3 ) dθ 4π 2π − sen θ − sen(θ + 3 ) − sen(θ + 3 ) 

Los parámetros que definen el comportamiento del modelo

Máquinas de Inducción VII de la máquina de inducción en el sistema de coordenadas primitivas son: Re Rr Lσ e Lσ r Lme Lmr Ler

es la resistencia de cada una de las bobinas del estator es la resistencia de cada una de las bobinas del rotor es la inductancia de dispersión del estator es la inductancia de dispersión del rotor es la inductancia de magnetización del estator es la inductancia de magnetización del rotor es la inductancia mutua de acoplamiento estator-rotor

Máquinas de Inducción VIII

  1 1 x0 1   x+  = √  1 ej 2π3 4π 3 x− 1 ej 3 

1 4π

ej 3 2π ej 3



 xa   xb  = xc



  1 1 1 xa 1 = √  1 α α 2   xb  3 1 α2 α xc

(29)

Máquinas de Inducción IX

  1 1 xa 1   xb  = √  1 ej 4π3 2π 3 xc 1 ej 3 

1 2π

ej 3 4π ej 3



 xa   xb  = xc



  1 1 1 xa 1 = √  1 α 2 α   xb  3 1 α α2 xc

(30)

Máquinas de Inducción X I

Al aplicar la transformación 30 a un sistema cíclico se obtiene el siguiente resultado:      ya a b c xa  yb  =  c a b   xb  ⇒ yc b c a xc 

1 1 1  √ 1 α2 3 1 α    a b c 1 = c a b √  3 b c a

  1 y0 α   y+  = y− α2   1 1 1 x0 1 α 2 α   x+  ⇒ x− 1 α α2

Máquinas de Inducción XI

  1 y0  y+  = √1  1 3 y− 1 

1 α α2

 1 a 2 α  c b α

  a+b+c y0  y+  =  0 y− 0 

b a c

0 a + bα + cα 2 0

  1 c 1   √ b 1 3 a 1

1 α2 α

  1 x0   x+  ⇒ α x− α2

  0 x0   0 x+  x− a + bα 2 + cα

(31)

Máquinas de Inducción XII I

El desacoplamiento de las matrices simétricas se obtiene como caso particular de las matrices cíclicas donde b = c:      ya a b b xa  yb  =  b a b   xb  ⇒ yc b b a xc 

    a + 2b 0 0 x0 y0  y+  =  0 a−b 0   x+  y− 0 0 a−b x−

(32)

Máquinas de Inducción XIII

 xa (t) 4π ej 3 ·  xb (t)  = xc (t)   r xa (t)   2 = 1 α α 2 ·  xb (t)  3 xc (t)

r h 2 2π x(t)= 1 ej 3 3



i

(33)

Máquinas de Inducción XIV

Figura: Representación gráfica del vector espacial de un sistema trifásico

Máquinas de Inducción XV

I

Transformando las ecuaciones 27 y 28 al dominio de los vectores espaciales se obtiene el siguiente resultado: 

ve vr



 =

Donde:

Re 0 0 Rr



ie ir



 +p

Le Mer e−jθ

Mer ejθ Lr



 ie ir (34)

Máquinas de Inducción XVI r

2 r3 2 = r3 2 = r3 2 = 3

ve =

1 α α2

  e e e t · va vb vc

vr

1 α α2

t   r · va vbr vcr

1 α α2

  e e e t · ia ib ic

1 α α2

  r r r t · ia ib ic

ie ir

3 3 3 Le = Lσ e + Lme ; Lr = Lσ r + Lmr , Mer = Ler 2 2 2

Máquinas de Inducción XVII I

Los términos que aparecen en la expresión 34 se pueden obtener realizando la transformación a vectores espaciales de la matrices que representan el modelo de la máquina en coordenadas primitivas, tales como: I

La transformación de vectores espaciales aplicada a la matriz identidad [I]:   r ya  2 1 α α 2  yb  = 3 yc r =

   1 0 0 xa   2 1 α α 2  0 1 0   xb  3 0 0 1 xc

Máquinas de Inducción XVIII

r y =



 x a  2 1 α α 2  xb  = x 3 xc

(35)

Máquinas de Inducción XIX

I

La transformación aplicada a la matriz simétrica [S]: r

r =

  ya   2 1 α α 2  yb  = 3 yc

 1   2 2  1 α α − 12 3 − 12

− 12 1 − 21

  − 12 xa − 21   xb  xc 1

Máquinas de Inducción XX

r y =

  2 1 α α2  3

3 2 xa 3 2 xb 3 2 xc

  = 3x 2

(36)

Máquinas de Inducción XXI

I

La misma transformación aplicada a la matriz cíclica jθ −jθ [C(θ )], recordando que cos θ = e +e : 2 r y=

r =

2 1 3

2 1 3

α

 cos θ   cos(θ + 4π 3 ) cos(θ + 2π 3 )

α

α2

α2

  1   ejθ  α2  2 α

α 1 α2

cos(θ + 2π 3 ) cos θ cos(θ + 4π 3 )

  cos(θ + 4π x 3 )  a  x = cos(θ + 2π )  b 3 xc cos θ

  α2 1 e−jθ  α α + 2 α2 1

α2 1 α

   α xa  α 2   xb   xc 1

Máquinas de Inducción XXII

r y=

  o 2 1 n jθ  e 3 3α 3α 2 + e−jθ 0 0 0 32  xa 3 =  xb  = ejθ x 2 xc 

(37)

Máquinas de Inducción XXIII I

La transformación a vectores espaciales de la expresión del par eléctrico expresado en el balance de la ecuación 28 queda: 1 Te = [i]t [τ] [i] = 2   t   d 1 [ie ] [0] Ler dθ [C(θ )] [ie ] = d [ir ] 2 [ir ] Ler dθ [C(θ )]t [0] = Ler [ie ]t

d [C(θ )] [ir ] = dθ

Máquinas de Inducción XXIV   1  e−jθ  α = Ler [ie ]t  2j α2 r =

3 Ler 2



e−jθ  ie 1 2j

α2 1 α

α2

  α 1 jθ e  2 α2  − α 2j 1 α

α



−

ejθ ∗  i 1 2j e

 α2  α  [ir ] =  1

α 1 α2

α

α2

 −jθ  3 e ejθ ∗ ∗ = Ler ie ir − i ir = 2 2j 2j e n o n  ∗ o Mer ℑm ie i∗r e−jθ = Mer ℑm ie ir ejθ

 

[ir ] =

(38)

Máquinas de Inducción XXV

I

El sistema de ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento de la máquina de inducción en el sistema de coordenadas correspondiente a los vectores espaciales es: 

ve vr



 =

Re 0

0 Rr



ie ir



 +p

Le Mer e−jθ

Mer ejθ Lr

n  ∗ o Mer ℑm ie ir ejθ − Tm (θ˙ ) = J θ¨ + ρ θ˙



ie ir



(39)

Máquinas de Inducción XXVI I

I

I

El modelo 39 simplifica notablemente las expresiones 27 y 28, al representar las magnitudes trifásicas mediante vectores espaciales. Por una parte el sistema se ha reducido de las siete ecuaciones diferenciales iniciales a tresy la dependencia en la posición angular θ se ha simplificado a su aparición en matrices cuya dimensión es 2 × 2. Sin embargo, la dependencia en la posición angular θ puede ser eliminada, si las variables del rotor se refieren al estator utilizando la siguiente transformación: xer ≡ xr · ejθ

(40)

Máquinas de Inducción XXVII

I

Para aplicar la transformación 40 al modelo de la máquina en vectores espaciales 39, se requiere desarrollar la derivada correspondiente de esta transformación: pxer = pxr · ejθ + j θ˙ xr · ejθ = pxr · ejθ + j θ˙ xer ⇒ pxr · ejθ = pxer − j θ˙ xer

(41)

Máquinas de Inducción XXVIII I

Utilizando las expresiones 40 y 41 en el modelo 39, se obtiene el siguiente modelo de la máquina de inducción en vectores espaciales referidos al estator:      ve Re 0 ie = ver 0 Rr ier 

      Le Mer ie 0 0 i e ···+ p e − j θ˙ Mer Lr ir Mer Lr ier 
∗ Mer ℑm ie ier − Tm (θ˙ ) = J θ¨ + ρ θ˙ (42)

Máquinas de Inducción XXIX I

I

El modelo 42 es independiente de la posición angular θ , que es variable en el tiempo aun en el caso particular de la operación en régimen permanente y esta dependencia es reemplazada por la velocidad angular θ˙ cuyo comportamiento temporal varía más lentamente. Este modelo puede ser representado mediante el circuito equivalente que se muestra en la figura.

Figura: Circuito equivalente de la máquina de inducción en vectores espaciales referidos al sistema de referencia estatórico

Máquinas de Inducción XXX

I

La corriente de magnetización modificada que determina la referencia del modelo de campo orientado se define como: im ≡ ie +

I

Lr e ir = im (t) · ejδ (t) Mer

(43)

El término MLerr refiere al sistema de referencia del estator todo el campo magnético producido por las corrientes del rotor que atraviesa el entrehierro de la máquina.

Máquinas de Inducción XXXI I

De acuerdo con la figura siguiente

Figura: Vectores espaciales de las corrientes del modelo de la máquina de inducción

Máquinas de Inducción XXXII ide (t) + jiqe (t) = ie e−jδ (t) = (iαe + jiβ e ) · (cos δ − j sen δ ) ⇒      iαe ide cos δ − sen δ = iβ e iqe sen δ cos δ      iαe cos δ sen δ ide = iβ e − sen δ cos δ iqe donde:

(44) (45) (46)

Máquinas de Inducción XXXIII r

4π 2π 2 (iae + ej 3 ibe + ej 3 ice ) ⇒ 3  q     3 0  iae 2  = ibe √1 √2

ie = iαe + jiβ e = 



iαe iβ e iae ibe

2



 q =

2 3 1 √ − 6

(47)

(48)

2

 0 

√1 2



iαe iβ e

 (49)

Máquinas de Inducción XXXIV

r iae = r

2π 2 ℜe(ie e−j 3 ) 3

r

4π 2 ℜe(ie e−j 3 ) 3

ibe = ice =

2 ℜe(ie ) 3

(50)

Máquinas de Inducción XXXV I

Reemplazando la corriente ier de la definición 43 de la corriente de magnetización modificada im en el modelo de la máquina de inducción en coordenadas vectoriales referidas a las corrientes del estator 51, se obtiene:      ie ve Re 0 = +··· Mer ver 0 Rr Lr (im − ie ) 

   ie Le Mer p Mer +··· Mer Lr Lr (im − ie )    i 0 0 e · · · − j θ˙ Mer Mer Lr Lr (im − ie )

Máquinas de Inducción XXXVI

∗    Mer (im − ie ) − Tm (θ˙ ) = J θ¨ + ρ θ˙ Mer ℑm ie Lr (51)

Máquinas de Inducción XXXVII I

Reagrupando las variables de estado del sistema 51 se obtiene el modelo de la máquina de inducción expresado en coordenadas de campo orientado:      ve Re 0 ie = +··· 1 e − T1r T1r im Mer vr " +

#   ie Le − p +··· im 0 1    0 0 ie ˙ ··· − jθ 0 1 im 2 Mer Lr

2 Mer Lr

Máquinas de Inducción XXXVIII

2 Mer ℑm {ie · i∗m } − Tm (θ˙ ) = J θ¨ + ρ θ˙ Lr

(52)

donde: Tr =

Lr Rr

(53)

Máquinas de Inducción XXXIX 2 Mer ℑm {ie · i∗m } = Lr n o M2 2 Mer −jδ = ℑm ie · im e = er im · iqe Lr Lr

Te =

(54)

Tr pim + im = ide

(55)

Tr im (δ˙ − θ˙ ) = iqe

(56)

Máquinas de Inducción XL

I

El modelo escalar completo en coordenadas de campo orientado es: o n  2 2 iqe M2 M2 Mer  pide = (Le − Lerr )−1 vde − (Re + Rr er  2 )ide + ωm iqe + Tr im + Rr L2 im  L  r r n o  2 2 2  ide iqe Mer −1 (R + R Mer )i − Mer ω i − v   e r 2 qe mm qe  piqe = −ωm ide − Tr im − (Le − Lr ) Lr i

−i

Lr

pim = deTr m    i   pδ = ωm + Trqeim  n o    pω = 1 Mer2 i · i − T (ω ) m m m J Lr m qe (57)

Modelo de Régimen Permanente I I

I

Se puede obtener un modelo de la máquina de inducción operando en condiciones de régimen permanente a partir del modelo transitorio, particularizando las variables correspondientes en este estado. En régimen permanente equilibrado, las bobinas del estator de la máquina de inducción se alimentan con un sistema balanceado de tensiones trifásicas de secuencia positiva y las bobinas del rotor se encuentran en cortocircuito: √ vae (t) = 2Ve cos ωe t   √ 2π 2Ve cos ωe t − vbe (t) = 3   √ 4π vce (t) = 2Ve cos ωe t − (58) 3

Modelo de Régimen Permanente II

var (t) = vbr (t) = vcr (t) = 0

(59)

Modelo de Régimen Permanente III I

Las tensiones 58 y 59 expresadas como vectores espaciales son: √   2Ve  cos ωe t  r    √ 2  2Ve cos ωe t − 2π ve = 1 α α2 ·  3  √  ⇒  3 2Ve cos ωe t − 4π 3 √ ve = 2

r

2  Ve 1 3

α

α2

  ejωe t + e−jωe t √ 1  α 2 ejωe t + αe−jωe t  = 3Ve ejωe t 2 αejωe t + α 2 e−jωe t

(60)

Modelo de Régimen Permanente IV r vr = I



 0  2 1 α α 2 ·  0  = 0 = ver 3 0

(61)

Al excitar las bobinas con tensiones trifásicas balanceadas, las corrientes del estator y las del rotor referidas al estator también resultarán balanceadas y los correspondientes vectores espaciales serán: √ ie = 3Ie ej(ωe t+φe ) (62) ier =

√ 3Ir ej(ωe t+φr )

(63)

Modelo de Régimen Permanente V I

Por otra parte, la velocidad del rotor en régimen permanente será constante θ˙ = ωm = cte. Reemplazando las condiciones 60, 61, 62 y 63 en el modelo de la máquina de inducción descrito en vectores espaciales se obtiene:  √    √  j(ωe t+φe ) Re 0 3I e 3Ve ejωe t e √ = +··· 0 Rr 0 3Ir ej(ωe t+φr )    √ j(ωe t+φe ) 3I e Le Mer e +··· ···+ jωe √ Mer Lr 3Ir ej(ωe t+φr )   √  j(ωe t+φe ) 0 0 3I e e √ · · · − jωm Mer Lr 3Ir ej(ωe t+φr ) 

Modelo de Régimen Permanente VI



Ve 0



 = 

Re 0

Ve 0

 =



0 Rr





Re + jωe Le j(ωe − ωm )Mer

+ jωe

Le Mer





0 Mer

0 Lr

jωe Mer Rr + j(ωe − ωm )Lr

 

Mer Lr

− jωm

 

Ie Ir

Ie ejφe Ir ejφr

 ⇒

 (64)

Modelo de Régimen Permanente VII I

Para determinar un circuito equivalente de la máquina de inducción en régimen permanente a partir del sistema de ecuaciones 64, es necesario dividir la segunda ecuación por el deslizamiento:

I

s≡



Ve 0



 =

ωe − ωm ωe

Re + jωe Le jωe Mer

jωe Mer Rr s + jωe Lr

(65)

 

Ie Ir

 (66)

Modelo de Régimen Permanente VIII I

En la figura se presenta el circuito equivalente de la máquina de inducción en régimen permanente.

Figura: Circuito equivalente de la máquina de inducción en régimen permanente

Modelo de Régimen Permanente IX

I

El par eléctrico en régimen permanente se calcula sustituyendo en la expresión 13.23 los fasores espaciales obtenidos en 13.29 y 13.30: √ ∗ o n√ j(ωe t+φe ) j(ωe t+φr ) 3Ie e 3Ir e = Te = Mer ℑm = 3Mer Ie Ir sen (φe − φr )

(67)

Modelo de Régimen Permanente X I

La ecuación correspondiente al circuito rotórico en el sistema 66 relaciona directamente las corrientes del estator y del rotor:   Rr 0 = jωe Mer Ie + + jωe Lr Ir ⇒ s     Rr Rr + jω L + jω L e r e r s s Ie = j Ir ⇒ Ie ejφe = j Ir ejφr ωe Mer ωe Mer   Rr + jω L e r s Ie ej(φe −φr ) = j Ir ⇒ ωe Mer Ie sen(φe − φr ) =

Rr Ir sωe Mer

(68)

Modelo de Régimen Permanente XI I

Al sustituir la expresión 68 en la ecuación del par eléctrico 67, se obtiene el par eléctrico en función de la corriente del rotor Ir , el deslizamiento s, la resistencia del rotor Rr y la velocidad sincrónica ωs : Te = 3

I

Rr 2 I ωe s r

(69)

La expresión 69 se puede obtener directamente del circuito equivalente de la figura anterior, cuando se calcula tres veces la potencia entregada a la resistencia Rsr y se divide por la velocidad sincrónica ωe .

Modelo de Régimen Permanente XII

I

Dentro de las hipótesis del modelo se han despreciado la pérdidas en el hierro de la máquina.

I

Es posible considerar estas pérdidas colocando una resistencia en paralelo con la fuerza electromotriz producida por el flujo de magnetización.

I

También se puede recordar que las inductancias Le y Lr están compuestas de dos partes, dispersión y magnetización.

Modelo de Régimen Permanente XIII

I

Por esta razón, haciendo uso de sus respectivas definiciones planteadas en el modelo 34, se puede establecer lo siguiente: 3 3 Le − Mer = Lσ e + Ler − Ler = Lσ e 2 2 3 3 Lr − Mer = Lσ r + Ler − Ler = Lσ r 2 2

(70)

Modelo de Régimen Permanente XIV

I

Al definir Xσ e ≡ ωe Lσ e , Xσ r ≡ ωe Lσ r y Xm = ωe Mer , incluir la resistencia de magnetización en paralelo con la reactancia de magnetización y separar la resistencia Rsr en dos componentes, una Rr que representa las pérdidas óhmicas del circuito rotórico y 1−s s Rr que representa la potencia transferida al rotor que no se consume en pérdidas, se puede obtener el modelo clásico de la máquina de inducción en régimen permanente, tal como se muestra en la figura.

Modelo de Régimen Permanente XV

Figura: Modelo clásico de la máquina de inducción

Modelo de Régimen Permanente XVI I

I

I

Desde el punto de vista eléctrico, el comportamiento de la máquina de inducción en régimen permanente depende del deslizamiento s, de la tensión aplicada en el estator Ve y de los parámetros del circuito equivalente (Re , Rr , Rm , Xσ e , Xσ r , Xm ). Una vez que se conocen los parámetros del modelo, el deslizamiento del rotor y la fuente de alimentación, se pueden determinar las corrientes que circulan por la máquina. El análisis circuital de la máquina de inducción es semejante al de un transformador con una carga resistiva variable. Esta carga depende exclusivamente del deslizamiento del rotor.

Modelo de Régimen Permanente XVII I

Aun cuando el modelo clásico de la máquina de inducción es similar al modelo de un transformador, existen algunas diferencias importantes: I

I

La reluctancia del circuito magnético de la máquina de inducción es mucho mayor que la reluctancia de magnetización de un transformador. Esto se debe principalmente a la presencia de entrehierro en la máquina. La corriente de excitación de una máquina es considerablemente mayor que la de un transformador de igual potencia. Esta corriente puede alcanzar entre un 30 % y un 50 % de la corriente nominal de la máquina, contrastando con el 0,5 % a 1,0 % en un transformador convencional.

Modelo de Régimen Permanente XVIII

I

I

I

Al ser tan grande la reluctancia de magnetización, se incrementan considerablemente los enlaces de dispersión. Por esta razón las reactancias de dispersión de la máquina son mayores que estas reactancias para un transformador de similar potencia. Cada una de las reactancias de dispersión de la máquina pueden superar el 10 %, en comparación con un transformador donde se encuentran entre el 1 % y el 6 % aproximadamente.

Accionamientos de la Máquina de Inducción I

I

Algunos accionamientos mecánicos regulados con máquina de inducción requieren poseer una respuesta dinámica ante variaciones de la señal de consigna.

I

Al mismo tiempo es necesario reducir el efecto de las perturbaciones, como variaciones del par mecánico, sobre el funcionamiento del accionamiento.

I

En general sistemas de baja inercia presentan este tipo de requerimiento.

Accionamientos de la Máquina de Inducción II I

I

I

Un ejemplo claro de la necesidad de una buena respuesta dinámica, así como de un control que refleje fielmente el comportamiento dinámico del sistema, es el de un servomecanismo. Con el modelo en régimen permanente de la máquina de inducción, estos objetivos no se pueden alcanzar debido a que las estrategias de control que consideran este modelo, no se tiene en cuenta la respuesta dinámica de la máquina. Para mejorar estos esquemas de control es necesario considerar modelos dinámicos de la máquina de inducción para realizar las acciones de control sobre las variables eléctricas instantáneas que definen el par eléctrico, con el fin de mejorar las respuestas dinámicas del accionamiento.

Accionamientos de la Máquina de Inducción III I

En la figura, se presenta la característica de tracción y frenado que debe suministrar el accionamiento de un motor de inducción.

Figura: Característica de tracción y frenado de un motor de inducción

Accionamientos de la Máquina de Inducción IV

I

En esta curva se mantiene el par constante hasta que la máquina alcanza una determinada velocidad (ωbase ) y posteriormente se controla a potencia constante, durante estas dos etapas se limita la corriente en los devanados del estator a un valor constante.

I

Finalmente la máquina se lleva a su punto de operación a deslizamiento constante.

Control Escalar-Arranca Suave I

Figura: Esquema del arranca suave

Control Escalar-Arranca Suave II I

En la figura, se presenta el diagrama de control de un arranca suaves para motores de inducción. Este accionamiento consiste en regular la tensión efectiva a frecuencia fundamental del estator mediante el uso de un controlador AC - AC.

Figura: Esquema de control de un arranca suave

Control Escalar-Arranca Suave III

I

Durante el arranque se limita la corriente en el estator controlado la tensión efectiva sobre los devanados de la máquina.

I

Este accionamiento estima la tensión efectiva de referencia del puente convertidor utilizando una curva de par vs. corriente a frecuencia industrial.

I

Las máquinas que más se utilizan con este tipo de arrancador son la NEMA tipo D.

Control Escalar-Arranca Suave IV I

En la figura, se presenta en esquema de regulación de par y corriente al variar la tensión de alimentación de la máquina de inducción con el arranca suave

(a) Par

(b) Corriente

Figura: Característica de par y corriente para una máquina de inducción accionada con una arranca suave

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante I I

I

El primer controlador de velocidad de las máquinas de inducción y tal vez el más utilizado en la práctica hasta el presente, consiste básicamente en regular la fuente de alimentación, variando la frecuencia de las tensiones aplicadas a las bobinas del estator. En la figura siguiente, se presenta el esquema constructivo de un controlador v /f = cte.

Figura: Esquema de un cicloconvertidor

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante II I

La variación de la frecuencia afecta proporcionalmente las reactancias de magnetización y dispersión en el circuito equivalente, pero las resistencias se mantienen aproximadamente constantes si el efecto pelicular no es muy pronunciado.

I

Para que la densidad de flujo magnético sea prácticamente constante, dentro de los límites de diseño de la máquina, es necesario variar la amplitud de la tensión de alimentación en la misma proporción que se varía la frecuencia.

I

Con esta estrategia la magnitud del par eléctrico obtenido en cada velocidad puede ser cercano, o incluso superior al par nominal.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante III I

En la figura, se presentan las características par eléctrico-velocidad angular del rotor para una máquina de inducción alimentada mediante cuatro frecuencias diferentes, manteniendo constante la relación entre la amplitud de la tensión de alimentación y la frecuencia.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante IV

Figura: Característica par eléctrico velocidad para una máquina de inducción con control de tensión - frecuencia constante

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante V

I

Incrementando paulatinamente la frecuencia, es posible acelerar una carga mecánica a través de los puntos 1, 2, 3, hasta alcanzar el punto 4.

I

Si la variación de la frecuencia es lenta en comparación con la inercia del conjunto máquina carga mecánica, la corriente de la máquina en esta condición se reduce en comparación con un arranque directo a plena tensión.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante VI I

I

I

El control tensión-frecuencia constante, permite mantener cualquier punto de operación intermedio, aumentar o reducir la velocidad mecánica de la máquina. Operando a bajas frecuencias, se incrementa el par eléctrico de arranque, pero el par eléctrico máximo de la máquina es prácticamente constante, siempre y cuando las reactancias del circuito equivalente de la máquina en régimen permanente sean mucho mayores que las respectivas resistencias. Este controlador de velocidad requiere una fuente de alimentación alterna regulable en tensión y frecuencia.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante VII I

I

I

I

Para esta función, en el pasado se empleaban máquinas sincrónicas reguladas en velocidad y corriente de campo. Esta solución trasladaba el problema de regulación al eje mecánico del generador sincrónico. Mediante los interruptores electrónicos de alta velocidad es posible diseñar y construir fuentes de alimentación alternas reguladas en tensión y frecuencia. Los convertidores electrónicos de inversión fueron desarrollados durante la década de los treinta utilizando diversos dispositivos tales como: las válvulas de alto vacío con cátodos incandescentes, tiratrones o ignitrones.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante VIII

I

Esta tecnología evoluciona considerablemente durante las décadas de los setenta y ochenta con el auge de la electrónica de potencia y la aparición de los tiristores y transistores de alta potencia.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante IX I

En la figura 47 se muestra el diagrama de un controlador de velocidad para un motor de inducción que utiliza el método de tensión - frecuencia constante.

Figura: Variador de velocidad por control de tensión - frecuencia constante.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante X I

El sistema realimenta la velocidad o la posición del eje mecánico.

I

Esta velocidad se compara con una referencia determinada por el usuario o por la aplicación.

I

El error obtenido de la comparación entre las medidas y las referencias se utiliza para definir la frecuencia de operación del inversor y con la técnica de modulación definida para el convertidor se determinan las señales de encendido y apagado de las componentes semiconductores del puente.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XI

I

Algunos puentes convertidores regulan la tensión de la barra de continua a fin de no modular la tensión sobre la máquina con el inversor, esto simplifica el control del inversor a expensas de utilizar un rectificador controlado o un chopper en la barra de corriente continua.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XII I

En la figura se presenta la respuesta del esquema de la figura del variador de velocidad al seguir una consigna de velocidad, para una máquina de inducción de 3 HP alimentada con un puente inversor de un pulso por semiciclo, desde un sistema trifásico de 220 V a frecuencia industrial de 60 Hz.

I

La conversión AC - DC se realiza con un rectificador no controlado trifásico.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XIII

Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra de continua para el accionamiento de tensión frecuencia constante

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XIV

(a)

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XV

(b) Detalle Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducción para el accionamiento de tensión frecuencia constante

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XVI

(a)

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XVII

(b) Detalle Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alterna para el accionamiento de tensión frecuencia constante

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XVIII

I

En la figura se presenta la respuesta del esquema de la figura del variador de velocidad al seguir una consigna de velocidad, para una máquina de inducción de 3 HP alimentada con un puente inversor con control por SPWM, desde un sistema trifásico de 220 V a frecuencia industrial de 60 Hz.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XIX I

La conversión AC - DC se realiza con un rectificador no controlado trifásico.

Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra de continua para el accionamiento de tensión frecuencia constante con SPWM

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XX

(a)

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XXI

(b) Detalle Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducción para el accionamiento de tensión frecuencia constante con SPWM

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XXII

(a)

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XXIII

(b) Detalle Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alterna para el accionamiento de tensión frecuencia constante con SPWM

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante XXIV

Accionamiento a Deslizamiento Constante I

I

El proceso de aceleración y frenado de la máquina de inducción se puede realizar controlando el par eléctrico mediante la frecuencia de deslizamiento.

I

Esto permite acelerar el convertidor con par constante o variable, controlando la frecuencia de deslizamiento.

Accionamiento a Deslizamiento Constante II I

Para controlar el par de aceleración de la máquina es necesario mantener la relación tensión - frecuencia constante, esto con la finalidad de obtener una densidad de flujo magnético aproximadamente constante.

Figura: Variador de velocidad a deslizamiento constante

Accionamiento a Deslizamiento Constante III

I

La frecuencia de deslizamiento debe estar limitada a un valor máximo que asegure el funcionamiento de la máquina de inducción en un punto estable de la característica par eléctrico velocidad mecánica y además permita limitar las corrientes durante el proceso de aceleración a un consumo igual a la capacidad de sobrecarga del equipo de potencia.

I

En la figura siguiente se presenta el esquema de un accionamiento que mantiene el deslizamiento constante.

Accionamiento a Deslizamiento Constante IV

I

En este esquema la frecuencia de operación del inversor se determina a partir de la velocidad mecánica del rotor y del deslizamiento de referencia, mientras la tensión de referencia se calcula del error de velocidad.

I

El control de la tensión se puede realizar con el inversor a través de técnicas de modulación o con un rectificador controlado o un chopper conectado en la barra de corriente continua.

Control Vectorial por Campo Orientado I I

I

I

Aplicando la teoría de auto valores y auto vectores a la matriz de inductancia obtenida del modelo de la máquina de inducción en vectores espaciales, se pueden encontrar dos transformaciones de variables genéricas. Una transformación que refiere las variables del rotor al estator y la otra refiere las variables del estator al rotor. Utilizando la transformación que refiere las variables del rotor al estator y escogiendo los coeficientes adecuados para anular la influencia de la derivada de las corrientes del estator en la ecuación del rotor, se obtiene la transformación a Vectores de Campo Orientado. Lr ~ jθ i~m = ~ie + ir e Ler

(71)

Control Vectorial por Campo Orientado II I

En la figura anterior, se presenta el esquema de un accionamiento que mantiene el deslizamiento constante.

I

En este esquema la frecuencia de operación del inversor se determina a partir de la velocidad mecánica del rotor y del deslizamiento de referencia, mientras la tensión de referencia se calcula del error de velocidad.

I

Proyectando las ecuaciones de la máquina de inducción del sistema en un sistema de dos ejes coordenados ortogonales, uno solidario con la dirección de la variable transformada i~m y el otro en cuadratura a esta dirección, se obtiene el modelo en campo orientado de la máquina de inducción.

Control Vectorial por Campo Orientado III
L2 vde = Re ide + Lˆe pide + δ iqs + er pim Lr
L2 vqe = Re iqe + Lˆe piqe + δ ids + er pδ im Lr pim =

(73)

1 (i − im ) Tm de

(74)

1 iqe Tm im

(75)

p (δ − θ ) = donde:

(72)

Ler Lr ; Tr = Lˆe = Le − Lr Rr

Control Vectorial por Campo Orientado IV I

En el modelo por campo orientado, el par eléctrico depende del producto de la corriente de magnetización y de la componente en cuadratura de la corriente del estator.

I

Los sistemas de control por campo orientado se fundamentan en la posibilidad de ajustar el valor de estas dos variables. L2 Te = er iqe im (76) Lr

I

Tal como sucede en las máquinas de corriente continua, en las máquinas de inducción el circuito de campo tiene una constante de tiempo relativamente lenta.

Control Vectorial por Campo Orientado V I

Por esta razón resulta ventajoso mantener la corriente de magnetización en el valor máximo posible, para incrementar la velocidad de respuesta del sistema. La corriente de magnetización se controla mediante el ajuste de la componente directa de la corriente del estator.

I

En régimen permanente estas dos corrientes tienen el mismo valor.

I

El principal problema de los controladores por campo orientado consiste en adecuar el valor de las corrientes o tensiones de alimentación a sus valores en variables transformadas.

Control Vectorial por Campo Orientado VI I

La transformación directa e inversa entre las coordenadas primitivas y las coordenadas de campo orientado dependen de la posición instantánea del vector espacial de la corriente de magnetización i~m .

I

Esto presenta un problema importante al diseñar este tipo de controlador, debido a que no resulta simple medir o estimar este ángulo.

I

La medición requiere incluir sensores especiales en la máquina.

Control Vectorial por Campo Orientado VII I

I

I

I

Estimar esta posición requiere la integración en tiempo real del sistema de ecuaciones diferenciales que modelan la máquina de inducción. La primera solución es costosa y difícil de implementar en la practica. La segunda alternativa depende de la velocidad del estimador, de la exactitud del modelo y de la variabilidad de los parámetros durante la operación. Por esta razón es conveniente la utilización de estimadores rápidos y precisos de las variables no medibles, entre los cuales encontramos las redes neurales y estimadores de estado.

Control Vectorial por Campo Orientado VIII

I

También es indispensable la estimación de los parámetros de la máquina de inducción en tiempo real.

I

Estas dos técnicas permiten una solución rápida y eficiente para la estimación de la posición de la corriente de magnetización.

Control Vectorial por Campo Orientado IX I

En la figura se muestra el esquema de un controlador de velocidad de una máquina de inducción en coordenadas de campo orientado donde se utiliza un inversor controlado por corriente por modulación delta.

Figura: Controlador de velocidad en coordenadas de campo orientado.

Control Vectorial por Campo Orientado X I

El estimador de estado es el subsistema del controlador que permite determinar el valor de las variables no medibles de la máquina de inducción - par eléctrico y la posición y magnitud del vector espacial de la corriente de magnetización - en cada instante de tiempo a partir de la medición directa de las tensiones y corrientes de las bobinas del estator y la velocidad mecánica del rotor.

I

El sistema de control utilizado parte de la comparación entre la velocidad del rotor de la máquina de inducción con una referencia determinada para generar un error de velocidad.

Control Vectorial por Campo Orientado XI I

Este error, es utilizado por un bloque proporcional integral PI, para producir una consigna de par eléctrico.

I

El par eléctrico obtenido por el estimador de la máquina de inducción, se compara con la consigna de par obtenida del PI. Este nuevo error se introduce en otro bloque PI para producir la consigna de la componente cuadratura de la ref . corriente de referencia iqe

I

Simultáneamente se determina la corriente de ref , de acuerdo a la velocidad magnetización de referencia im mecánica del rotor de la máquina de inducción para evitar la saturación del material magnético y no exceder los límites térmicos nominales.

Control Vectorial por Campo Orientado XII I

Al comparar la corriente de magnetización de referencia ref , con la corriente de magnetización que se obtiene del im est , se determina un error que se introduce a estimador im otro controlador PI, para producir la componente directa ref . de la corriente de referencia ide

I

ref e i ref se transforman a variables Las corrientes ide qe primitivas y como resultado se obtienen las corrientes de referencia que el inversor debe seguir. En la figura, se presenta el diagrama de bloques del sistema de control propuesto.

Control Vectorial por Campo Orientado XIII

Figura: Diagrama de bloques del controlador. I

El bloque limitador de par es una protección para evitar que en condiciones transitorias, la máquina pueda exceder los límites térmicos y mecánicos de diseño.

Control Vectorial por Campo Orientado XIV I

Además durante la operación de la máquina, es conveniente que la corriente de magnetización se mantenga en el mayor valor posible, para incrementar la velocidad de respuesta del sistema.

I

Cuando la máquina excede la velocidad sincrónica, es recomendable debilitar la corriente de magnetización para no exceder el límite de potencia nominal.

I

Este valor límite viene dado por la corriente de magnetización de la máquina de inducción en vacío cuando se le aplica en bornes, la tensión nominal.

Control Vectorial por Campo Orientado XV I

I

I

La corriente nominal de magnetización está definida por el valor de la inductancia mutua estator - rotor. Por esta razón, se incluye en el sistema de control un bloque limitador de la corriente de magnetización en función de la velocidad mecánica de la máquina de inducción. Para deducir la función que describe el bloque limitador de la corriente de magnetización, se deber tener en cuenta las condiciones de régimen permanente de la máquina de inducción. q 2 2 2 2 2 ie2 = ide + iqe = im + iqe ⇒ iqe = ie2 − im (77)

Control Vectorial por Campo Orientado XVI I

Sustituyendo la expresión de par eléctrico (76) en la ecuación (77) y multiplicando ambos miembros por la velocidad mecánica del rotor ωm se obtiene: L2 ωm Te = er Lr

I

q 2 i ω =P ie2 − im m m eje

(78)

Evaluando la expresión (78) en los valores nominales de la máquina de inducción, se puede encontrar el valor de la velocidad a partir de la cual es conveniente debilitar la corriente de magnetización. ωcritico =

Peje Lr Pejen p = = ωmn 2 Ten L2er imn ie2 − im

(79)

Control Vectorial por Campo Orientado XVII

I

A partir de ésta velocidad, se desea debilitar la corriente de magnetización para mantener la potencia constante. Reescribiendo la expresión (78) se obtiene: q P L 2 = ejen r = cte. ωm im ie2 − im L2er

(80)

Control Vectorial por Campo Orientado XVIII

I

Desarrollando la expresión (80) se obtiene la corriente de magnetización en función de la velocidad.

ref im

v s √ u 2 L2 u 4Peje r 2t2 = ien − ie4n − 4 n 2 2 Ler ωm

(81)

Control Vectorial por Campo Orientado XIX I

La función que determina la referencia de la corriente de magnetización en función de la velocidad se ilustra en la figura.

Figura: Corriente de magnetización de referencia en función de la velocidad mecánica del rotor.

Control Vectorial por Campo Orientado XX I

I

I

El principal problema del estimador de estado de las variables internas de la máquina es la variabilidad de los parámetros con la temperatura, la frecuencia y la saturación magnética. En particular el estimador por campo orientado, es muy sensible a variaciones de la constante de tiempo del rotor Tr , debido a que influye directamente en la estimación de la magnitud y dirección instantánea del vector espacial de la corriente de magnetización. Los errores en la estimación de la verdadera posición angular de la corriente de magnetización, producen errores en la transformación que permite desacoplar el par eléctrico en dos componentes independientes.

Control Vectorial por Campo Orientado XXI I

Para solventar este problema es necesario la utilización de algoritmos de estimación paramétrica en tiempo real que permitan ajustar los parámetros del estimador de estado de la máquina de inducción ante su variación durante la operación de la misma.

I

En la figura se presenta la respuesta del esquema de campo orientado al seguir una consigna de velocidad, para una máquina de inducción de 200 HP alimentada con un puente inversor, desde un sistema trifásico de 460 V a frecuencia industrial de 60 Hz.

I

La conversión AC - DC se realiza con un rectificador no controlado trifásico.

Control Vectorial por Campo Orientado XXII

Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra de continua para el accionamiento de campo orientado

Control Vectorial por Campo Orientado XXIII

(a)

Control Vectorial por Campo Orientado XXIV

(b) Detalle Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducción para el accionamiento de campo orientado

Control Vectorial por Campo Orientado XXV

(a)

Control Vectorial por Campo Orientado XXVI

(b) Detalle Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alterna para el accionamiento de campo orientado

Control Directo de Par y Flujo I I

I

I

Durante la década de los ochenta, Takahashi introduce una técnica avanzada de control escalar denominada control directo de par y flujo (DTC) o direct self-control (DSC), la cual suministra la consigna de disparo para las componentes de un inversor en tensión. Esta técnica permite obtener una característica dinámica del accionamiento comparable con la de otros accionamientos por control vectorial. Recientemente, este esquema de control ha sido introducido comercialmente en diferentes convertidores de distintas industrias despertando un alto interés a nivel industrial.

Control Directo de Par y Flujo II

I

Este esquema, como su nombre lo indica, se basa en el control del par eléctrico de la máquina y del flujo en el estator, a través de la selección del vector espacial de tensión más apropiado de una tabla, para seguir la referencia de estas señales. La información de disparo de las componentes del inversor para cada vector espacial de tensión está contenida en la tabla de control.

I

Expresión vectorial de par eléctrico y del enlace de flujo en el estator

Control Directo de Par y Flujo III

I

La expresión del par eléctrico puede ser representada de forma más sencilla, a través del producto vectorial de la corriente del rotor y del estator como: → − →
− Te = Ler iqe idr − ide iqr = Ler ire × ie

(82)

Control Directo de Par y Flujo IV I

El enlace de flujo del estator se puede obtener, a partir de la integración directa de la fuerza electromotriz en los devanados del estator. ˆ   ~λe = ~ve − Re~ie dt = Le~ie + Ler~ire (83) donde: → − xe =

q h

i

t xae (t) xbe (t) xce (t) e ∀x ∈ {v , i, λ } (84) h i √ t 2π 4π → − 2 −j π6 xabe (t) xbce (t) xcae (t) xe = 3 e 1 ej 3 ej 3 ∀x ∈ {v } (85) 2 3

1 e

j 2π 3

j 4π 3

Control Directo de Par y Flujo V I

Para calcular el enlace de flujo del estator a partir de la integral de la expresión (83) es necesario realizar la medición directa de la tensión y corriente en los terminales del estator.

I

Despejando el vector especial de la corriente del rotor de la expresión (83) y sustituyendo el resultado en la expresión (82), se obtiene el par eléctrico de la máquina de inducción en función del vector espacial del flujo y la corriente del estator. − → → − Te = λe × ie (86)

Control Directo de Par y Flujo VI I

I

I

El único parámetro del modelo de la máquina de inducción involucrado en la estimación del par eléctrico instantáneo y del enlace de flujo del estator, es la resistencia del estator (Re ). El error introducido en la estimación por la variación de este parámetro con la temperatura es despreciable y puede ser reducido utilizando métodos de estimación paramétrica en tiempo real. El puente inversor trifásico genera ocho diferentes salidas de tensión, dependiendo la tensión en la barra de corriente continua y la conectividad de los seis interruptores estáticos que conforman.

Control Directo de Par y Flujo VII I

Utilizando la expresión (85) para cada una de estas posibles salidas, se puede encontrar el vector espacial de tensión aplicado sobre los terminales del convertidor electromecánico. q h i 2π 4π → − (87) ve = 23 1 ej 3 ej 3 Sw VDC

I

Donde, Sw es un vector que representa el estado de los interruptores del puente de dimensión 3x1. En este vector, el elemento "1" corresponde al encendido del interruptor superior, mientras que "0" indica el encendido del interruptor inferior de la misma rama. Seis de los vectores espaciales de tensión poseen magnitud uniforme y se encuentran desfasados entre ellos. Los otros dos estados están asociados al vector espacial nulo.

I

I

Estrategia de control directo de par I I

En la figura, se presenta el diagrama en bloques del controlador directo de par.

Figura: Diagrama en bloques del controlador directo de par.

Estrategia de control directo de par II I

I

I

La magnitud del enlace de flujo y el par eléctrico de referencia son comparados con los estimados de la máquina de inducción, que se calculan a partir, de la corriente del estator, el vector de interrupciones del inversor y la tensión de la barra de continua. Los errores de par y flujo son procesados en dos comparadores de histéresis de tres y dos niveles respectivamente, a partir de estos resultados y de la posición angular del enlace de flujo del estator se determina el vector de interrupciones del inversor. El algoritmo del controlador directo de par se fundamenta en escoger el vector espacial de tensión que maximice el cambio necesario en el enlace de flujo del estator, para ajustar el par eléctrico a partir de la expresión 86.

Estrategia de control directo de par III I

El controlador por histéresis del enlace de flujo posee dos salidas digitales de acuerdo al valor del error en la magnitud del enlace de referencia y el estimado y de la → ) utilizada, de acuerdo a las banda de histéresis (HB(− λe ) siguientes expresiones: → = 1 ∀ S−

λe  → S − λe

=0 ∀

→ → > HB− error −

λe λe  → → < −HB − error − λe λe

→ corresponde al ancho de banda de donde: 2HB− λe

histéresis del controlador.

(88)

Estrategia de control directo de par IV I

Este controlador al mantener la magnitud del enlace de flujo del estator limitada a una banda de histéresis origina una trayectoria circular del vector espacial del enlace de flujo del estator.

I

Sustituyendo la expresión (87) en la (83), se obtiene el vector espacial del enlace de flujo del estator en función de la salida del puente inversor. r h ˆ i − → − → → − 2 2π 4π j j λe = 1 e 3 e 3 Sw VDC ·t −Re · ie dt + λe 3 t=0 (89)

Estrategia de control directo de par V

I

Considerando que las caídas de tensión en los devanados del estator son pequeñas, las variaciones en la dirección − → del enlace de flujo del estator λe , son ocasionadas por la dirección del vector espacial de tensión aplicado al convertidor.

I

Es decir, una escogencia adecuada del vector espacial de tensión aplicado a la máquina de inducción, determina un control sobre la magnitud y trayectoria del enlace de flujo del estator.

Estrategia de control directo de par VI

I

En la figura se puede observar la trayectoria del vector espacial del enlace de flujo del estator y la variación en el enlace de flujo del estator correspondiente a cada uno de los vectores espaciales de tensión del inversor para un instante de tiempo ∆t.

Estrategia de control directo de par VII

(a)

(b)

Figura: (a) Trayectoria del vector especial del enlace de flujo del estator, (b) variación del enlace de flujo en función del vector espacial de tensión del inversor.

Estrategia de control directo de par VIII I

El controlador por histéresis del par eléctrico posee tres salidas digitales de acuerdo al valor del error en la magnitud del par de referencia y el estimado y de la banda de histéresis (HB(Te ) ) utilizada, de acuerdo a las siguientes expresiones: S (Te ) = 1 ∀ errorTe > HB(Te ) S(Te ) = −1 ∀ errorTe < HB(Te ) S(Te ) = 0 ∀ −HB(Te ) < errorTe < HB(Te )

I

(90)

La estrategia del controlador directo de par, se fundamenta en ajustar el par eléctrico al de referencia, mediante el control de la magnitud y sentido de rotación del vector espacial del enlace de flujo del estator.

Estrategia de control directo de par IX I

I

I

Esta posibilidad de ajuste, define seis zonas de operación dependiendo de la posición del vector espacial del enlace de flujo del estator. Estas zonas de control coinciden con la localización de los vectores espaciales de tensión del inversor. Cada uno de estas seis zonas de control tiene un ancho de π/3 radianes y vienen dados por la expresión (91). En la figura anterior en la parte (a) se puede observar las seis zonas de operación . (2N − 3) ·

π π ≤ Z(n) ≤ (2N − 1) · 6 6

(91)

Estrategia de control directo de par X

I

En cada zona de operación, una escogencia adecuada del vector espacial de tensión permite incrementar o decrementar la magnitud del enlace de flujo del estator y alterar su sentido de rotación.

I

Manteniendo las magnitudes de corriente y el enlace de flujo constante, se puede controlar el par eléctrico resultante, modificando el ángulo relativo entre el enlace de flujo y la corriente del estator.

Estrategia de control directo de par XI I

I

I

Este ángulo relativo se puede variar controlando el sentido de rotación del vector espacial del enlace de flujo en el estator. Por ejemplo, si el vector espacial del enlace de flujo se encuentra en la primera zona de operación Z(1) , y se desea aumentar la magnitud del enlace, se debe aplicar sobre los → − terminales de la máquina el vector espacial de tensión v2 si el par de referencia es menor que la referencia o el vector → − espacial v6 si el par eléctrico es mayor que la referencia. En la tabla 1 se presenta la secuencia de disparo del inversor para la estrategia de control directo de par, a partir de la posición del enlace de flujo del estator, y la salida de los comparadores de histéresis del flujo y par eléctrico.

Estrategia de control directo de par XII

I

Con la finalidad de incrementar la velocidad de cambio del par eléctrico y magnitud del enlace de flujo, no se utiliza el vector espacial de tensión que se encuentra dentro de la zona de localización del enlace de flujo, así como tampoco el localizado en la zona opuesta.

Estrategia de control directo de par XIII Cuadro: Secuencia de disparo del inversor para el controlador directo de par.

→ S(− λ )

S(Te )

1 1 1 0 0 0

1 0 −1 1 0 −1

e

Z(1) → − v1 → − v7 → − v5 → − v2 → − v0 → − v6

Z(2) → − v5 → − v0 → − v4 → − v3 → − v7 → − v2

Z(3) → − v4 → − v7 → − v6 → − v1 → − v0 → − v3

Z(4) → − v6 → − v0 → − v2 → − v5 → − v7 → − v1

Z(5) → − v2 → − v7 → − v3 → − v4 → − v0 → − v5

Z(6) → − v3 → − v0 → − v1 → − v6 → − v7 → − v4

Estrategia de control directo de par XIV I

I

I

Este procedimiento es el utilizado por el control directo de par, para el ajuste del enlace de flujo del estator y del par eléctrico a los valores de referencia. Las respuestas dinámicas de los accionamientos de la máquina de inducción que utilizan control directo de par, son comparables a los obtenidos con otros esquemas de control vectorial. La estimación del enlace de flujo de estator y del par eléctrico instantáneo sólo depende de la resistencia del estator (Re ), a diferencia de otros controladores vectoriales como el de campo orientado en los que los estimadores, dependen de un conjunto mayor de parámetros del modelo de la máquina de inducción.

Estrategia de control directo de par XV

I

Entre estos parámetros encontramos: las inductancias del estator, rotor y mutua del estator-rotor, la constante de tiempo del rotor, estos parámetros son fuertemente afectados durante la operación del convertidor electromecánico, por las variaciones del grado de saturación magnética y la temperatura.

I

El efecto por variaciones de la temperatura sobre la resistencia del estator es despreciable y puede ser corregida en línea con métodos de estimación paramétrica.

Estrategia de control directo de par XVI I

Entre las características del control directo de par tenemos: I I

I

I

No utiliza realimentación en corriente. No utiliza el esquema tradicional de control por ancho de pulso. Los controladores por histéresis del enlace de flujo del estator y del par eléctrico generan un rizado sobre estas variables. La frecuencia de conmutación del puente inversor no es constante y depende de la banda de histéresis de los controladores de par eléctrico y del enlace de flujo.

Estrategia de control directo de par XVII

I

En la figura se presenta la respuesta del esquema DTC al seguir una consigna de velocidad, para una máquina de inducción de 200 HP alimentada con un puente inversor, desde un sistema trifásico de 460 V a frecuencia industrial de 60 Hz.

I

La conversión AC - DC se realiza con un rectificador no controlado trifásico.

Estrategia de control directo de par XVIII

Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra de continua para el accionamiento de DTC

Estrategia de control directo de par XIX

(a)

Estrategia de control directo de par XX

(b) Detalle Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducción para el accionamiento de DTC

Estrategia de control directo de par XXI

(a)

Estrategia de control directo de par XXII

(b) Detalle Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alterna para el accionamiento de DT C

Tarea Parte II I

1. Dos máquinas de corriente continua, una con excitación serie y la otra con excitación en paralelo, se encuentran conectadas a la tensión nominal y sus ejes mecánicos están acoplados. Los datos de placa de ambas máquinas son los siguientes:

Tarea Parte II II

Máquina Vn Serie 220 V Paralelo 220 V

In Pn 23 A 4 kW 21 A 5 kW

nn 1.750 rpm 1.750 rpm

Inf 23 A 1,73 A

Tarea Parte II III

Las resistencias de campo y de armadura de la máquina serie son de 0,8 Ω. La resistencia de armadura de la máquina derivación es de 0,95 Ω. Las pérdidas de ventilación de ambas máquinas dependen del cubo de la velocidad. En estas condiciones determine:

Tarea Parte II IV

1.1 Los parámetros de ambas máquinas. 1.2 Las características par-velocidad de ambas máquinas. 1.3 La velocidad nominal y el par nominal del conjunto de las dos máquinas. 1.4 La velocidad si con la carga nominal del conjunto acoplada al eje se debilita el campo serie un 15 %.

Tarea Parte II V

2. Modele dinámicamente una máquina de corriente continua mediante Matlab y su controlador de velocidad, incluyendo el lazo de armadura y el de debilitamiento de campo. La carga puede ser una bomba y los datos de las máquinas cualquiera de los dados en el primer problema de esta tarea.

Tarea Parte II VI 3. Realice un modelo de simulación dinámica de la máquina de inducción en el entorno Matlab utilizando el método de los vectores espaciales. Este modelo debe tener una bomba en el eje mecánico. Utilice este modelo para representar: 3.1 Un arranque suave mediante una fuente controlada de tensión alterna de tensión variable y frecuencia constante 3.2 El arranque mediante una fuente de tensión y frecuencia variable que mantengan entre ellas una relación constante 3.3 Un arranque controlado mediante campo orientado 3.4 Un arranque controlado mediante la técnica de control directo de par