Curso Geost Final

γ(h)

Curso de Geoestadística Γ2(h) Γ1(h) Γ0(h)

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 11

Julio Julio 2003 2003

Definiciones Básicas •

•

•

•

•

Estadísticas: Métodos matemáticos para recolectar, organizar e interpretar información, así como también, sacar conclusiones y tomar decisiones razonables con base en dichos análisis. Población: Colección de un número finito de mediciones o una colección infinitamente grande de datos acerca de algo de interés. Muestra: Subconjunto representativo seleccionado de la población. Una buena muestra tiene que reflejar las características esenciales de la población de la cual se sacó. Muestra aleatoria: Una muestra en la que cada miembro de la población tiene una oportunidad igual de ser incluida en la muestra. Espacio muestral: Un conjunto de todos los posibles resultados de un experimento o ensayo.

’ Eric Gonzalez

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Julio Julio 2003 2003

Definiciones Básicas •

•

•

Estadística inductiva (inferencia estadística): Si la muestra es representativa, a menudo pueden inferirse conclusiones acerca de la población. Tales inferencias no puede ser absolutamente seguras, el len-guaje de probabilidades se usa para enunciar las conclusiones. Estadística descriptiva: Una fase de la estadística que describe o analiza una muestra dada sin inferencia acerca de la población. Evento de un espacio muestral: Un grupo de resultados del espacio muestral cuyos miembros tienen alguna característica común.

’ Eric Gonzalez

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Julio Julio 2003 2003

Definiciones Básicas •

•

•

• •

Eventos estadísticamente independientes: La ocurrencia de un evento no depende de la ocurrencia de otros eventos. Variable aleatoria: Una forma de presentar cualquier valor z no muestreado (o desconocido), la distribución de probabilidad que modela la incertidumbre respecto a z. La Variable puede ser continua o discreta. Variable continua: Una variable que puede asumir cualquier valor entre dos valores dados: porosidad, permeabilidad, precio. Variable discreta o categórica: No continua, P. Ej. litologías Función de probabilidad de una variable aleatoria Z: Función matemática que asigna una probabilidad a cada ejecución z de la variable aleatoria Z: P(Z=z)

’ Eric Gonzalez

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Julio Julio 2003 2003

Análisis estadístico de los datos DH 10100 10100 10100 10100 10100 10100 … •

Prof. 7158.9 7160.4 7160.7 7161.0 7161.9 7162.3

X Y 672.7 2886.0 672.8 2886.0 672.8 2886.0 672.8 2886.0 672.9 2886.0 672.9 2886.0

Au 7.00 8.60 0.70 8.40 1.00 2.40

Ag Capa 54.000 1 60.000 1 91.000 1 60.000 1 62.500 1 35.500 1

Objetivos del análisis exploratorio de los datos – Entender la información: poblaciones estadísticas versus geológicas – Asegurar calidad de la información. – Resumir información

’ Eric Gonzalez

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Julio Julio 2003 2003

Estadísticas - modelo de función aleatoria

• • • •

No se interesa en estadísticas de muestras Ì necesita acceder a los parámetros subyacentes de la población. Se requiere un modelo para ir mas allá de los datos conocidos Debido a que los fenómenos de las ciencias de la tierra involucran procesos complejos, ellos parecen aleatorios. Es importante mantener en mente que los datos verdaderos no son resultado de un proceso aleatorio. Identificación de población estadística. – Por histograma: El histograma tiene diferentes modos – Por gráficos Q- Q compara dos distribuciones – Por prueba de hipótesis para ver si dos poblaciones tienen o no la misma media, varianza...(prueba t, prueba F...) ’ Eric Gonzalez

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Julio Julio 2003 2003

•

Histograma: • Un cuenteo de muestras en clases • A veces se necesitan dos escalas para mostrar los detalles (usar limites de corte) • Escala logarítmica puede ser útil • Estadística de muestras • La media es sensible a valores extremos • La mediana es sensible a saltos en la mitad de la distribución • Encuentra distribución por cuantiles seleccionados (P.Ej. Cuartiles) • Dispersión medida por la desviación estándar (Muy sensible a valores extremos) Histograma Acumulado: • Útil para ver todo de los datos en un gráfico • Útil para aislar poblaciones estadísticas • Pude usarse para verificar modelos de distribución: • Línea recta en escala aritmética a distribución normal • Línea recta en escala logarítmica a distribución log normal • Posible transformar datos para reproducir perfectamente cualquier distribución univariante

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 77

Frecuencia Acumulada

•

Frecuencia

Estadísticas experimentales

1

0

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Suavizamiento de distribución • • • •

Los histogramas de muestras y gráficos de dispersión tienden a ser erráticos cuando hay pocos datos. Fluctuaciones tipo diente de sierra usualmente no son representativas de la población y desaparecen a medida que el tamaño de la muestra aumenta El suavizamiento de la distribución no solamente remueve tales fluctuaciones, además permite aumentar la resolución de clase y extender la (s) distribución (es) mas allá de los valores mínimo y máximo de la muestra Técnicas de suavizamiento más flexibles (programación cuadrática o estrategia de templado) se han aplicado para suavizar histogramas y gráficos de dispersión: mantienen las estadísticas de la muestra.

’ Eric Gonzalez

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Julio Julio 2003 2003

Valores extremos-Outliers •

•

• • •

Valores extremos: unos pocos valores muy altos o muy pequeños pueden afectar muy fuertemente a las estadísticas resumen como la media o varianza de los datos, el coeficiente de correlación lineal o medidas de continuidad espacial Tales valores extremos se pueden manejar como: 1. Declarar los valores extremos como erróneos y eliminarlos 2. Clasificarlos en poblaciones estadísticas separadas 3. Usar estadísticas robustas, que son menos sensibles a los valores extremos: mediana, coeficiente de correlación jerárquico 4. Transformar los datos para reducir la influencia de valores extremos Outliers: Observaciones que tienen valores fuera de línea con el resto de la información Los outliers pueden crear una situación difícil en una ecuación de regresión debido a que tienen un efecto desproporcionado sobre los valores estimados de los coeficientes de la regresión La observación de outliers puede sólo removerse con extremo cuidado debido a que pueden en realidad entregar información única acerca de la respuesta.

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 99

Julio Julio 2003 2003

Definición de Clase

Ag

100.0

0.0 0.0

5.0

Au

• • •

Escoger intervalos de igual probabilidad más que intervalos iguales de Au o Ag. Verificar sesgo en el histograma – puede haber mas datos de baja ley en una fuente de datos que en otra. Debido al sesgo en datos de testigos, podemos necesitar definir cortes en ley basados más en un igual espaciamiento de la ley que en igual probabilidad ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 10 10

Julio Julio 2003 2003

Función de distribución acumulativa: FDA •

La función de distribución acumulativa o acumulada fda se define como:

F ( z ) = Prob{Z ≤ z} ∈ [0,1]

•

Esta fórmula entrega el área bajo la fdp (función de densidad de probabilidad) de la VA (Variable aleatoria) Z, y es la probabilidad de que la VA Z sea menor o igual a un valor limite z. La probabilidad de superar cualquier de los valores limite z se puede escribir:

Prob{Z > z} = 1 − F ( z )

•

Propiedades de la fda: – F(z) es no decreciente – F(z) ∈ [0,1] – F(-∞) = 0 y F(∞) = 1

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 11 11

Julio Julio 2003 2003

FDA y FDP •

La probabilidad de ocurrencia de Z en un intervalo de a a b (donde b>a) es la diferencia en los valores de la fda evaluada en los puntos b y a :

Prob{Z ∈ [a, b]} = F (b) − F (a) •

La función de densidad de probabilidad (pdf) es la derivada de la fda, si es derivable:

F ( z + dz ) − F ( z ) dz → 0 dz

f ( z ) = F ' ( z ) = lim •

La fda puede obtenerse integrando la fdp: z

F (z) =

∫

f ( z ) dz

−∞

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 12 12

Julio Julio 2003 2003

FDA y FDP

+∞

∫

1.0

F(x)

• Propiedades de la fdp: f(z) ≥ 0 f ( z ) dz = 1

−∞ 0.25

0.0

x

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 13 13

Julio Julio 2003 2003

Probabilidad acumulada

Gráfico de probabilidad acumulativo

0.01

0.10

1.00

10.0

Variable

• • •

•

Útil para ver todo de los datos en un gráfico Útil para aislar poblaciones estadísticas Puede usarse para verificar modelos de distribución: – Línea recta en escala aritmética a distribución normal – Línea recta en escala logarítmica a distribución lognormal – Pequeñas divergencias pueden ser importantes – Es posible transformar los datos para reproducir perfectamente cualquier distribución univariable Opción VULCAN: Analyse – DISTRIBUTION. ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 14 14

Julio Julio 2003 2003

Frecuencia acumulada

Frequencia

Histogramas acumulativos

1

0

La frecuencia acumulada es el total o la fracción acumulada de muestras menores que un límite dado

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 15 15

Julio Julio 2003 2003

Histogramas acumulativos Frecuencia acumulada

1.0

0.25

0.0

Primer Cuartil

Valor

• • •

• •

Los gráficos de frecuencias acumulativas no dependen del ancho; pueden crearse a la resolución de los datos Una valiosa herramienta descriptiva y usada para inferencia Un cuantil es el valor-variable que corresponde a una frecuencia acumulada fija – primer cuartil = cuantil 0.25 – segundo cuartil = mediana = cuantil 0.5 – tercer cuartil = cuantil 0.75 se puede leer cualquier cuantil del gráfico de frecuencia acumulativa Puede también leer los intervalos de probabilidad desde el grafico de frecuencia acumulativa. (digamos, el 90% de intervalo de probabilidad) Vínculo directo con la frecuencia ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 16 16

Julio Julio 2003 2003

Cuantiles • El cuantil p de la distribución F(zp) es el valor zp para el que: F ( z p ) = Prob{Z ≤ z p } = p

∈ [0,1]

Así, el cuantil puede expresarse en una forma inversa de la fda: q(p) = F-1(p)

Usado en simulación de Monte Carlo

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 17 17

Julio Julio 2003 2003

Cuantiles • • •

Los valores del cuartil inferior q(0.25), la mediana (M) q(0.5), y el cuartil superior q(0.75) son comúnmente utilizados EL rango intercuartil (RI) es la diferencia entre los cuartiles superior e inferior: RI = q(0.75) – q(0.25) Signo del sesgo (Skewness): signo de la diferencia entre la media y la mediana (m-M): sesgo positivo (a), sesgo negativo (b), simétrica (c)

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 18 18

Julio Julio 2003 2003

Cuantiles • • • • • • •

Gráfico Q-Q: para comparar dos distribuciones F1 y F2 Escoger una serie de valores de probabilidad pk, k = 1, 2, …, K Graficar q1(pk) versus q2(pk), k = 1, 2, …, K Si todos los puntos caen en una línea de 45o, las dos distribuciones son exactamente iguales Si la línea esta desplazada de los 45o, las dos distribuciones tienen la misma forma pero diferentes medias Si la inclinación de la línea no es 45o, las dos distribuciones tienen diferentes varianzas Si hay un carácter no lineal en el grafico Q-Q, las distribuciones tienen diferentes formas en el histograma ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 19 19

Julio Julio 2003 2003

Gráficos Q-Q / P-P Q-Q Plot: Equal Weighted

P-P Plot: Equal Weighted 1.0 True Value

True Value

20.0

10.0

0.0

10.0

20.0

0.5

0.0

Clustered Data

• • • • •

0.5

1.0

Clustered Data

Comparan dos distribuciones univariable Q-Q es un gráfico de cuantiles iguales; una línea recta implica que las dos distribuciones tienen la misma forma . P-P es un grafico de iguales probabilidades acumuladas a una línea recta implica que las dos distribuciones tienen la misma forma. El grafico Q-Q tiene unidades de los datos, los gráficos P-P son siempre escalados entre 0 y 1 Opción VULCAN Analyse – Distribution – PP plot y QQ plot ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 20 20

Julio Julio 2003 2003

Gráficos Q-Q Conjunto de datos uno valor fda 0.010 0.0002 0.020 0.0014 0.020 0.0018 0.020 0.0022 0.030 0.0034 0.030 0.0038 0.960 0.4998 0.960 0.5002 38.610 0.9962 40.570 0.9966 42.960 0.9978 43.500 0.9982 46.530 0.9986 102.700 0.9998

• • •

Conjunto de datos dos valor fda 0.060 0.0036 0.090 0.0250 0.090 0.0321

2.170 2.220

0.4964 0.5036

19.440 20.350 58.320

0.9679 0.9750 0.9964

Ordenar los valores en cada conjunto de datos Calcular la función de distribución acumulada (FDA) para cada uno Igualar de acuerdo a los valores (FDA)

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 21 21

Julio Julio 2003 2003

Frecuencia acumulada

Frecuencia Acumulada

Frecuencia

Frecuencia

Construcción de un gráfico Q-Q

Ley RC

Ley DDH

• •

Histogramas de ley DDH y ley por RC Muestreo preferencial explica la diferencia; No son muestras “pareadas” por lo que no podemos detectar sesgo en las muestras. ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 22 22

Julio Julio 2003 2003

Ley DDH

Construcción de un gráfico Q-Q

Ley RC

• •

Leer los cuantiles correspondientes de los gráficos de DFA en la página anterior. Trazar esos cuantiles en el gráfico

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 23 23

Julio Julio 2003 2003

Valores Esperados • Valor esperado E{ Z } = m =

+∞

∫ z ⋅ f ( z )dz

−∞

• Linealidad de E{} E{a + bx} =

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

∫ (a + bx ) ⋅ f ( x)dx = a ∫ f ( x)dx + b ∫ x ⋅ f ( x)dx = a + bE{x}

• También E{ax + by} = aE{ x} + bE { y}

• Independencia E{ XY } = E{ X } • E{Y } Si X e Y son independientes

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 24 24

Julio Julio 2003 2003

Momentos • Si Z1, Z2, …, Zn son los N valores de la variable Z, se define la cantidad N

Zr =

Z + Z + ... + Z N r 1

r 2

r N

=

∑Z j =1

r j

N

Como momento de orden r y la cantidad N

∑ (Z j =1

j

− mz ) r

N

’ Eric Gonzalez

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como el momento de orden r de Z con respecto a la media mz.

Intro Intro.. Pág. Pág. 25 25

Julio Julio 2003 2003

Momentos •

El valor esperado es la suma ponderada por la probabilidad de todas las ocurrencias posibles de la VA Z

n

E{Z } = m =

∑ wi z i i =1 n

∑w i =1

i

donde: E{Z} = valor esperado de Z wi = Ponderador del dato iésimo n = número de puntos de dato m = media

En el caso continuo: E{Z } = m =

•

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ zdF ( z ) = ∫ zf ( z )dz

La varianza de la VA Z se define como la desviación al cuadrado esperada de Z respecto de su media:

Var{Z } = σ 2 = E{[ Z − m]2 } = E{Z 2 } − m 2 ≥ 0 ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 26 26

Julio Julio 2003 2003

Varianza •

En una forma discreta, la varianza puede definirse como n

Var{Z } =

∑ w (z i =1

i

i

n

∑w i =1

•

+∞

∫ ( z − m) dF ( z ) = 2

−∞

•

i

En forma continua, puede escribirse como Var{Z } =

• •

− m) 2

+∞

2 ( z − m ) f ( z )dz ∫

−∞

La varianza es una medida de la dispersión de los datos en torno a la media. La desviación estándar (DE), que es la raíz cuadrada de la varianza, también es una medida de la variabilidad de los datos respecto a la media. El coeficiente de varianza (CV), que es adimensional, es la razón entre la DE y la media (DE/m).

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 27 27

Julio Julio 2003 2003

Transformación de datos Ley tipo1

Frecuencia

Frecuencia acumulativa

Ley tipo1

Ley tipo2

• •

Frecuencia acumulativa

Frecuencia

Ley tipo2

Histogramas de ley tipo1 y ley tipo2 Esas son muestras “pareadas” por lo que podemos querer transformar los valores de ley tipo2 a valores de ley tipo1 ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 28 28

Julio Julio 2003 2003

Transformación de datos • Usar los gráficos de frecuencia acumulativa de la página anterior para completar la siguiente tabla Log Porosity 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

’ Eric Gonzalez

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Ley tipo1

Frecuencia acumulada

• •

7 10 18 26 29

¿Podríamos transformar 20000 valores de ley tipo2 de acuerdo a las 853 muestras pareadas que tenemos? ¿Bajo qué circunstancias consideraríamos hacer esto? ¿Qué problemas podrían encontrarse? Frecuencia acumulada

•

Core Porosity

Ley tipo2

Intro Intro.. Pág. Pág. 29 29

Julio Julio 2003 2003

• •

Frecuencia acumulada Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia acumulada

Transformación Univariable

La transformación de valores para que sigan otro histograma puede hacerse igualando cuantiles Muchas técnicas geoestadísticas requieren la transformación de los datos a una distribución Gaussiana o Normal ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 30 30

Julio Julio 2003 2003

Frecuencia

Frecuencia acumulativa

Simulación de Monte Carlo

0.7807

28.83

Ley RC

Ley DDH

•

Simulación de Monte Carlo / Simulación estocástica / Obtención aleatoria provienen de la lectura de cuantiles de una distribución acumulativa El procedimiento: • Generación de un número aleatorio entre 0 y 1 (calculadora, tabla, programa, ... • Leer el cuantil asociado a dicho número aleatorio Por Ejemplo: Número aleatorio 0.7807 0.1562 0.6587 0.8934

’ Eric Gonzalez

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Número simulado

28.83

Intro Intro.. Pág. Pág. 31 31

...

Julio Julio 2003 2003

Estadísticas Bivariable Extensión a distribuciones bivariables y de más alto orden: Sean X e Y VAs. La DFA de X e Y, FXY(x,y), se define como:

FXY ( x, y ) = Prob{ X ≤ x, and Y ≤ y} La fdp de una distribución bivariable, fXY es: ∂ 2 FXY ( x, y ) f XY ( x, y ) = ∂x∂y

El momento de segundo orden de una distribución bivariable es la covarianza. La covarianza entre las dos variables se define como: Cov{ X , Y } = E{[ X − m X ][Y − mY ]} = E{ XY } − m X mY +∞

+∞

−∞

−∞

= E ∫ dx ∫ ( x − m X )( y − mY ) f XY ( x, y )dy

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 32 32

Julio Julio 2003 2003

Correlación •

La covarianza entre la misma variable es su varianza: Cov{X,X} = Var{X}; Cov{Y,Y} = Var{Y}

•

El coeficiente de correlación es una medida de la dependencia lineal entre las dos variables

ρ XY = • •

Cov{ X , Y } Var{ X }Var{Y }

∈ [−1,+1]

Una correlación de ρXY = 1 implica que X e Y están perfectamente correlacionadas. La independencia entre las dos variables significa que el coeficiente de correlación es cero: ρXY = 0. Sin embargo, la aseveración inversa no siempre es el caso. Correlación cero no implica independencia entre las dos variables.

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 33 33

Julio Julio 2003 2003

Gráficos de dispersión

Valor verdadero

Verdadero versus Estimado ρrango > ρ

16.0

ρrango < ρ 0.0

16.0

Estimado

• • •

•

Despliegue bivariable, estimado-verdadero, dos covariables, o la misma variable separada por algún vector distancia El coeficiente de correlación lineal oscila entre -1 y +1 y es sensible a valores extremos (puntos fuera de la nube principal) El coeficiente de correlación de rangos es un complemento útil: – si ρrango > ρ entonces unos pocos outliers dañan la que en otro caso seria una buena correlación – if ρrango < ρ entonces unos pocos outliers mejoran la que en otro caso seria una pobre correlación – if ρrango = 1entonces una tranformacion no lineal de una covariable puede hacer ρ = 1

Opción VULCAN Analyse – Statistics II – Scatter ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 34 34

Julio Julio 2003 2003

Gráficos de dispersión

• •

Ver resúmenes bivariables Histogramas marginales

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Intro Intro.. Pág. Pág. 35 35

Julio Julio 2003 2003

Distribuciones Bivariable

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

a)

Histograma bivariable

b)

Función de distribución acumulativa Bivariable

c)

Función de distribución acumulativa Condicional

Intro Intro.. Pág. Pág. 36 36

Julio Julio 2003 2003

Distribuciones Condicionales Permeabilidad (md)

Distribución de los valores posibles de la variable 1 a un valor de la variable 2 conocido

Valor primario conocido

valores z

Gráfico de dispersión de calibración

•

La predicción de distribuciones condicionales está en el corazón de los algoritmos geoestadísticos ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 37 37

Julio Julio 2003 2003

Momentos de orden alto • •

El primer momento es la media, el segundo momento alrededor de la media es la varianza, el tercer momento es la curtosis, … El momento de orden n de una VA Z alrededor de la media m, también llamado el momento central de orden n, se define como

mn = E{( Z − m) n }

•

donde n = 0, 1, 2, ….

El momento de orden n de Z alrededor del origen se define como

m'n = E{Z n } Esos son momentos no centrados.

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Intro Intro.. Pág. Pág. 38 38

Julio Julio 2003 2003

Análisis exploratorio de datos • Desplegar los datos en diferentes formas. Nuestros ojos son buenos detectando patrones • Escoger poblaciones geológicas/estadísticas para análisis detallado: – La poblaciones deben ser identificables en pozos sin testigo – Tiene que poderse mapear esas poblaciones (categorías) – No puede tratar con demasiadas, sino hay muy pocos datos para estadísticas confiables – A menudo se debe tomar una decisión para combinar ciertos tipos de dato – La estacionareidad es una propiedad de los modelos estadísticos y no una realidad – Importante y muy específica a campo/datos/objetivos • Efectuar análisis estadísticos en cada población: – Asegurar calidad de los datos – Buscar tendencias/derivas – Entender la “fisica” lo más posible • Desagrupar datos para modelamiento geoestadístico • Las herramientas estadísticas son usadas durante el estudio de caracterización de un deposito ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 39 39

Julio Julio 2003 2003

Entropía • •

Una medida de la incertidumbre local, no es especifica a un intervalo particular [a,b] La entropía de la función de probabilidad local se define como

H (u ) =

∞

∫ − [ln f (u; z (n))]. f (u; z (n))dz

−∞

•

donde f (u; z (n)) es una fdp condicional, y todos los valores cero de la pdf se excluyen de la integral Si la entropía disminuye, la incertidumbre disminuye ya que la distribución de probabilidad tiende a un solo valor (o unos pocos valores).

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 40 40

Julio Julio 2003 2003

Distribución paramétrica •

Un modelo de distribución paramétrica es una expresión analítica para la probabilidad dado el valor de la variable, P. Ej. El modelo de distribución normal o Gaussiano: p=

• • • •

1 e σ 2π

−( Z −m)2 2σ 2

con parámetros m y σ que controlan el centro y dispersión de la distribución normal con forma de campana. Los modelos paramétricos a veces se relacionan con una teoría implícita – P.Ej., la distribución normal es la distribución límite del teorema del límite central En general no se requiere asumir un modelo de distribución paramétrico; a menudo hay suficiente información para inferir la forma de la distribución en forma no paramétrica Se puede transformar cualquier distribución univariable en cualquier otra distribución univariable Se puede suavizar cualquier distribución que no tenga buena resolución con los datos disponibles

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 41 41

Julio Julio 2003 2003

Distribución Uniforme •

fdp:

 1  ∀z ∈ [a,b] f ( z) =  b − a 0, en otrocaso  0 , ∀z ≤ a  z-a ∀z ∈ [a,b] F ( z ) = ∫ f ( z )dz =  b-z −∞   1, ∀z ≥ b

•

fda:

•

Momentos:

z

E{Z } = b

a+b = m = mediana 2

1 1 2 2 2 E{Z } = z dz = ( a + ab + b ) ∫ b−a a 3 2

•

(b − a) 2 σ = Var{Z} = E{Z } − m = 12 2

2

2

La distribución uniforme entre [0,1] es la distribución de números aleatorios que tienen una media de 0.5, varianza de 1/12, y la fda F(z) = z

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 42 42

Julio Julio 2003 2003

Distribución Dirac •

z = a (constante, sin incertidumbre)

fda

1, si x ≥ a F (z ) =   0, si no

•

fdp

0, ∀ x ≠ a  f (z ) =  indefinida en x = a

•

Momentos:

•

E{Z} = m = a σ2 = 0

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 43 43

Julio Julio 2003 2003

Distribución Exponencial •

F ( z ) = 1 − e − z / a , ∀z ≥ a

fda

a = 1/A

•

fdp

•

Momentos:

f ( z) =

1 −z / a e , ∀z ≥ 0 a

Media = a Varianza = a2 Mediana = 0.69a

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 44 44

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Distribución Normal (Gaussiana) •

La distribución gaussiana esta completamente caracterizada por sus dos parámetros, la media y la varianza, m y σ :  1  z − m 2  1 g ( z) = exp −    2 σ σ 2π    

•

La fdp normal estándar tiene una media de cero y una desviación estándar de uno:  z2 g o ( z) = exp −  2π  2  1

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 45 45

Julio Julio 2003 2003

Distribución Normal (Gaussiana) •

La fda de la distribución gaussiana G(z) no tiene una expresión analítica simplificada, pero la fda normal estándar Go(z) está bien tabulada en la literatura: z

Go ( z ) =

∫g

o

( z )dz

−∞

 z−m G ( z ) = ∫ g ( z )dz = G o   σ   •

La distribución gaussiana tiene simetría característica: – Es simétrica alrededor de la media, por lo tanto, la media y mediana son iguales, y – La fdp g(m+z) = g(m-z)

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 46 46

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Distribución Lognormal •

Una VA positiva, Y > 0, se dice que esta distribuida en forma lognormal si X = ln(Y) se distribuye en forma normal

Y > 0 → log N (m, σ 2 ), si X = ln Y → N (α , β 2 )

Las VAs que se distribuyen en forma lognormal son característicamente distribuciones asimétricas.

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 47 47

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Distribución Lognormal • Las distribuciones lognormales también se caracterizan por dos parámetros: una media y una varianza. Sin embargo, pueden caracterizarse ya sea por los parámetros aritméticos (m y σ2) o por los parámetros logarítmicos (α o β2). • La fda y fdp lognormal se expresan mas fácilmente en función de sus parámetros logarítmicos:  ln y − α FY ( y ) = Prob{Y ≤ y )} = Go   β f Y ( y ) = F 'Y ( y ) =

  para todo y > 0 

 ln y − α 1 g o  βy  β

  

• Las relaciones entre los parámetros aritméticos y logarítmicos son:

m = eα + β

2

2

σ 2 = m 2 [e β − 1]

/2

α = ln m − β / 2 2

’ Eric Gonzalez

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 σ2 β = ln1 + 2 m  2

Intro Intro.. Pág. Pág. 48 48

  

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Teorema del Límite Central •

Teorema: La suma de un gran numero de variables aleatorias estandarizadas independientes igualmente distribuidas (no necesariamente gaussianas) tiende a distribuirse en forma normal, es decir, si n VAs Zi tienen la misma fda y medias cero, la VA tiende hacia una fda normal, a medida que n tiende a infinito. 1 n mˆ = ∑ x i n i =1

•

E{mˆ } = E{X} = m   → Normal  σ2 1 Var{mˆ } = n Var{ X } = n

Corolario: El producto de un gran número de VAs independientes e idénticamente distribuidas tiende a distribuirse en forma lognormal 1 n αˆ = ∑ log x i n i =1

’ Eric Gonzalez

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E{αˆ} = E{ log X} = α   → Normal  β2 1 Var{αˆ } = n Var{log X } = n

Intro Intro.. Pág. Pág. 49 49

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Combinación de distribuciones • • • • •

De la combinación de distribuciones resulta una nueva distribución. F(x) =∑kλkF'k(x) es un modelo de distribucion si F'k(x)s son funciones de distribución, y ∑kλk = 1, λk≥0, ∀k. Por ejemplo F(x) = pD0(x) + (1-p)F1(x) es una mezcla de una punta en cero y una distribución positiva Codificación disyuntiva de un histograma experimental : Dados los datos x1, x2, …, xn y los datos ordenados por rango x(1), x(2), …, x(n). Distribución experimental acumulativa: 1 Fˆ ( x) = ∑ ∆ x ( i ) ( x) n

Una suma de n distribuciones Dirac de parámetros x(i) e igual amplitud 1/n

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 50 50

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Distribución no-paramétrica •

Modelo no paramétrico se confunde en que puede interpretarse como característica de un modelo de FA que no tiene parámetros

•

Todos los modelos de FA implican una distribución totalmente multivariable como los caracterizados por el conjunto de distribuciones, pero algunos modelos de FA tienen más parámetros libres que otros Mientras más parámetros libres puedan ajustarse en forma segura a los datos, más flexible será el modelo

• •

Desafortunadamente, mientras más parámetros libres tiene el modelo, más fácil su manipulación (menos inferencia y menos cálculo) Æ modelos inflexibles – La distribución de Dirac tiene modelos de un parámetro libre (Constante Z) – Al modelo de Poisson-exponencial es totalmente determinado por su media – La distribución gaussiana es un modelo de dos parámetros libres

•

Modelos ricos en parámetros versus modelos pobres en parámetros ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 51 51

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La decisión de estacionareidad •

Imposible inferir la función aleatoria Z(x) con sólo una observación z(x) (los datos). ¿Qué significa F(z) si solamente tenemos un dato por ubicación (espacio o tiempo)?

•

Asumiendo que la misma función aleatoria se aplica a todas las coordenadas (ubicaciones o tiempo) x, podemos usar la información z(x) para inferir la función aleatoria implícita Z(x). Estacionareidad

•

La estacionareidad funciona como una licencia de exportación de usar un conjunto de datos para inferir los parámetros de la población: media, covarianza, …

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 52 52

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La decisión de estacionareidad •

•

La combinación de datos en un histograma asume que ellos provienen de la misma población (Asumimos estacionareidad, aun cuando no sepamos lo que eso significa!!) Ejemplo evidente: ¿Estimaría los parámetros de la población usando este histograma?

’ Eric Gonzalez

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Es claro que hay dos poblaciones: ¡Debemos inferir los parámetros de la población en forma separada!

Intro Intro.. Pág. Pág. 53 53

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La decisión de estacionareidad •

La estacionareidad puede ser en traslaciones (homogeneidad) y/o rotaciones (isotropía).

•

La estacionareidad es una propiedad del modelo de FA. No es una característica del fenómeno en estudio. La estacionareidad es una decisión tomada por el usuario para hacer inferencias confiables.

•

El análisis exploratorio de datos puede indicar la existencia de varias poblaciones con estadísticas significativamente diferentes.

•

Considerar la posibilidad de subdividir el área en sub-zonas más homogéneas, condicionadas por: – La disponibilidad de información suficiente para inferir los parámetros de cada FA – La capacidad de delinear las diferentes poblaciones tanto en los datos como en posiciones no muestreadas (Puede necesitar información cualitativa o secundaria).

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 54 54

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Definición de estacionareidad •

Estacionareidad de orden 2: Se dice que una FA es estacionaria de orden 2 cuando: ~ ~

E{Z ( x )} = m

C (h) = E{Z ( x + h) ⋅ Z ( x)} − m 2

∀x

∀x

La estacionareidad de la covarianza implica la estacionareidad de la varianza y del variograma •

Estacionareidad intrínseca: Una FA se dice que es intrínsecamente estacionaria cuando: ~

E{Z ( x )} = m

∀x

Var{Z ( x + h) − Z ( x)} = E{[ Z ( x + h) − Z ( x)]2 } = 2γ (h) ∀x Esto es, los incrementos son estacionarios, pero no así la covarianza.

~

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 55 55

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Fluctuaciones ergódicas •

Dado que los modelos estadísticos se infieren de la estadística de las muestras que son inciertas debido al tamaño limitado de la muestra, la especificación exacta de las estadísticas del modelo no es posible con datos limitados.

•

La FA estacionaria se dice que es “ergódica” en el parámetro µ, si la estadística correspondiente ejecutada tiende hacia µ a medida que el tamaño del campo aumenta.

•

Las fluctuaciones ergódicas permiten considerar indirectamente la incertidumbre en las estadísticas de las muestras.

•

La eliminación de fluctuaciones ergódicas puede llevar a un falso sentido de certeza.

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 56 56

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Fluctuaciones ergódicas

φ1 = 12% φ 2 = 9% φ3 = 18% Promedio ergódico = 15%

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 57 57

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Coordenadas espaciales •

Implicancia de las coordenadas: – La muestra debe ser representativa del área o población – La representatividad de la muestra debiera cuestionarse siempre que los datos no están dispersos uniformemente sobre el área (sesgo), el cual desafortunadamente es a menudo el caso en aplicaciones de ciencias de la tierra. – Se dice que el muestreo es preferencial (sesgado) siempre que la ubicación de los datos no está ni regular ni aleatoriamente distribuida sobre el área. • Condiciones de accesibilidad • Valores esperados del atributo: el muestro es a menudo más denso en áreas que son consideradas críticas • Estrategia de muestreo: Ubicaciones agrupadas pueden haberse muestreado para caracterizar la variabilidad de pequeña escala

’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 58 58

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Ponderación de los datos •

Una forma de corregir el muestreo preferencial consiste en la retención de solamente los datos regularmente espaciados. La estrategia es adecuada cuando tenemos suficiente información sobre una grilla para inferencia

yn

ωi •

Cuando la escasez de datos no permite dejar los valores agrupados, las áreas más densamente muestreadas debieran recibir menor ponderación que las datos en áreas muestreadas en forma más esparcida

’ Eric Gonzalez

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Desagrupamiento •

Métodos de desagrupamiento poligonal y de celda:

ω i ∝ Ai

ωi ∝ ’ Eric Gonzalez

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Intro Intro.. Pág. Pág. 60 60

1 nc

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Compositación

ENVISAGE

COMPOSITACIÓN

(Guía de aprendizaje)

Compositación ÍNDICE

Compositación..............................................................................................................1 Creación del archivo de parámetros .............................................................................1 RUN_LENGTH....................................................................................................1 BENCH.................................................................................................................3 INTERSECT SELECT ........................................................................................6 GEOLOGY ...........................................................................................................9 STRAIGHT...........................................................................................................9 Creación del archivo de compósitos ..........................................................................17 RUN....................................................................................................................17 SELECTION.......................................................................................................18 Visualización de los compósitos ................................................................................20 DISPLAY ...........................................................................................................20

Compositación COMPOSITACIÓN En esta guía se indicará la forma de crear una base de datos de compósitos. Se mostrarán, además, las diferentes posibilidades que le ofrece VULCAN para hacerlo. Las opciones se encuentran en el menú Geology-Compositing. CREACIÓN DEL ARCHIVO DE ESPECIFICACIÓN Antes de efectuar la compositación propiamente tal, es necesario crear un archivo de especificación que contenga los parámetros que se van a usar. Las opciones para crear este archivo se muestran en las siguientes páginas. Si va a utilizar esta guía para hacer una compositación, debe seleccionar el método y leer específicamente las instrucciones que se indican para dicho método. RUN_LENGTH Esta forma corresponde a la compositación de largo constante. En este caso los datos se regularizan a un mismo largo a partir del collar, excepto al final en el fondo del sondaje y en los bordes geológicos o de triangulaciones. •

Seleccione la opción Run Length -

•

Aparecerá la ventana Run Length Compositing Menu:

Ingrese el nombre para New parameter identifier -

La opción parameter to copy from es opcional y la puede usar para cargar los parámetros desde un archivo existente.

1

Compositación •

Haga click sobre OK. -

Se desplegará la siguiente ventana:

•

La explicación de los parámetros para esta ventana se encuentra en la sección Straight de esta misma guía. (Página 9)

•

Haga click sobre OK. cuando haya completado la ventana. -

•

Se mostrará la ventana Run Length Composite Menu

Ingrese el largo constante para los compósitos. 2

Compositación •

Seleccione OK.

•

Desde aquí en adelante el trabajo es igual al que se indica en la sección Straight para las siguientes ventanas. (Página 9.)

BENCH Con esta opción se pueden crear compósitos cortados en capas o banco, es decir, los compósitos se ajustarán para que definan capas paralelas del espesor deseado. •

Seleccione Bench.

•

Ingrese el nombre para New parameter identifier -

•

La opción parameter to copy from es opcional y la puede usar para cargar los parámetros desde un archivo existente.

Haga click sobre OK. -

Se desplegará la siguiente ventana:

3

Compositación

•

La explicación de los parámetros para esta ventana se encuentra en la sección Straight de esta misma guía. (Página 9)

•

Haga click sobre OK. cuando haya completado la ventana. -

Se mostrará la ventana Bench Composite Menu.

4

Compositación

•

Ingrese una altura de banco y un prefijo.

•

Ingrese la inclinación y el rumbo del plano inicial que definirá la orientación de los bancos (Plunge y strike). -

Cada compósito estará delimitado por un par de planos paralelos al plano inicial que se define en esta ventana. Dicho plano quedará definido por un rumbo, una inclinación y un punto (pivote) por el cual el plano debe pasar. En el caso de bancos definidos por planos horizontales, la única componente que en realidad afecta a la compositación es la elevación.

•

Ingrese las coordenadas de un punto por el que debe pasar el plano inicial (Easting, Northing y RL).

•

Ingrese en range to bench inside, la distancia a partir del plano inicial que se considerará como rango para la compositación. -

Esta distancia se mide hacia abajo (la parte negativa) desde el plano inicial. La compositación se realizará sólo para datos que se encuentren dentro de la zona definida por el plano inicial y la distancia indicada en este punto. Ver figura siguiente.

5

Compositación ESQUEMA Pivot

Plano inicio

Height

Range to bench

: No compositado

PERFIL

•

Seleccione OK.

•

Desde aquí en adelante el trabajo es igual al que se indica en la sección Straight para las ventanas correspondientes. (Página 9) INTERSECT SELECT

Con esta opción se generan compósitos tan largos como sea posible sobre una ley de corte. Es decir, se aumentará el tamaño del compósito mientras la ley calculada se mantenga sobre la ley de corte. •

Seleccione Inter Select.

6

Compositación •

Ingrese el nombre para New parameter identifier -

•

La opción parameter to copy from es opcional y la puede usar para cargar los parámetros desde un archivo existente.

Haga click sobre OK. -

Se desplegará la siguiente ventana:

•

La explicación de los parámetros para esta ventana se encuentra en la sección Straight de esta misma guía. (Página 9)

•

Haga click sobre OK. cuando haya completado la ventana. -

Se mostrará la ventana Intersection/selection Compositing

7

Compositación

•

Ingrese ore/waste cutoff value. -

•

Ingrese Waste absorbtion max length. -

•

Esta es la máxima distancia de un segmento de estéril que se agregará entre dos trozos de mineral mientras la ley del compósito se mantenga sobre la ley de corte. Cualquier longitud mayor producirá un quiebre en el compósito.

Ingrese Minimum ore length -

•

Este valor indica que cualquier segmento de menor longitud será considerado automáticamente como estéril.

Ingrese Upper waste dilution length. -

•

Este valor indica el mayor tamaño de un segmento de estéril que se agregará al comienzo del compósito antes de un segmento de mineral, esto si el compósito puede mantenerse sobre la ley de corte.

Ingrese Lower waste dilution length. -

•

Este es el valor de la ley de corte, es decir es el valor que delimitará lo que se considere estéril de lo que se considere mineral.

Esta longitud tiene la misma interpretación que la anterior, pero en este caso es con respecto al final de un segmento de mineral.

Marque dilute only if ore length < minimum. 8

Compositación

-

•

Con esta opción activada se podrán utilizar las máximas longitudes definidas anteriormente para el comienzo y fin del segmento de mineral de tal manera de lograr el mínimo tamaño de compósito para mineral.

Active Minimise dilution length -

Esto hace que se que se produzca dilución hasta que el intervalo tenga el largo mínimo y no hasta que la ley llegue a la ley de estéril. El campo Ore contendrá un número 0, 1 o 2 0 - el compósito es estéril. 1 - el compósito es mineral y cumple todas las restricciones, como largo mínimo de mineral, mínimo largo de estéril, etc. 2 - el compósito es mineral según la ley, pero falla en alguna de las otras restricciones

•

Seleccione Next. -

Las opciones que aparecerán a continuación son las mismas que para la opción Straight.(Pág. 9).

GEOLOGY Las opciones para este método son las mismas que para straight, pero se generarán compósitos, como el nombre lo dice, separados por Geología únicamente. En el caso de straight, se composita de acuerdo a los tramos del registro ASSAY y por lo tanto el resultado (Archivo de compósitos) es diferente. STRAIGHT Con esta opción, se pueden extraer las muestras de la base de datos de sondajes (o channel sampling si se han definido sinónimos adecuados) y guardarlas como compósitos, ya sea en un archivo ASCII o en una base de datos ISIS (VULCAN). Esta opción es más útil como una forma de exportar los datos a un archivo ASCII. NOTA: Después de la ventana Composite Creation Menu, las ventanas son comunes para todas las alternativas de compositación indicadas en las páginas anteriores. •

Seleccionando Compositing-Straight, aparecerá la ventana siguiente:

9

Compositación

•

Seleccione Next cuando haya completado esta ventana. -

•

Ingrese el nombre del ODI y del datasheet que identifican a la base de datos de muestras. -

•

La ventana anterior es similar a las vistas anteriormente: Debe ingresar el nombre del nuevo archivo de parámetros y ,si existe alguno y desea usarlo, el nombre de un archivo de parámetros existente desde donde se copiará la especificación. Aparecerá la siguiente ventana

El nombre de su base de datos de sondajes es ..

Active Breakdown by geology si desea crear compósitos separados por tipos litológicos. 10

Compositación -

•

En el caso de usar esta ventana a partir de un método diferente a Straight, el activar esta opción significa que los compósitos se crearán de las longitudes indicadas en la definición previa siempre que no haya un cambio en el valor de la variable que define el tipo de roca.

Seleccione Record majority geology codes si desea guardar la información del porcentaje de litología que contiene un compósito. -

•

En este caso se crearán dos nuevos campos en la base de datos por cada campo que contenga códigos geológicos: Uno para almacenar el porcentaje del código geológico que se encuentra en mayor cantidad y otro para guardar el código mismo.

En missing data y en Non-sampled data ingrese el código utilizado en tales casos. -

•

Utilice esta opción si en la base de datos de sondajes existe algún valor utilizado como código para tramos sin datos o no muestreados para el registro assay. En general estas opciones le dan la posibilidad de cambiar algún código dentro de la base de datos de sondajes que esté siendo usado para indicar alguna situación especial. Esta opción se usa en combinación con Ignore-Value

Seleccione Ignore o value. Si se elige ignore se está diciendo que cuando aparezca el valor a que se refiere el párrafo anterior, el tramo no debe considerarse. Si se elige value (no ignore), se debe ingresar un valor para que sea asignado a dicho tramo.

•

Active assign a value to data not logged -

•

Active use selection file para utilizar un archivo en que se listen los sondajes que desee compositar. -

•

Este es un archivo en formato ASCII en el que se encuentra un listado con los sondajes que desea utilizar para hacer la compositación. Si desea utilizar todos los sondajes, no active esta opción.

Active Abort compositing for holes with errors. -

•

Esto permite asignar valores a tramos en los que no se haya hecho el muestreo, es decir, ni siquiera existen los códigos de missing data o Non-sampled data. Si no desea asignar valores o no tiene tramos no muestreados en su base de datos, no active esta opción.

Esto hará que se verifiquen sondajes invertidos y/o traslapados.

Seleccione Next.

11

Compositación

•

En esta ventana ingrese el nombre de los registros para Assay y para Geology. -

•

El registro geology sólo aparecerá si seleccionó Breakdown by geology o Record majority geology codes

Haga click sobre Next. -

Si activó Breakdown by geology aparecerá la siguiente ventana:

-

Si activó record majority geology codes aparecerá la siguiente ventana:

12

Compositación

•

Ingrese el nombre del Depth Field

Este es el campo que indica la profundidad del tramo del sondaje en el registro en que se encuentra la información de la geología. Generalmente corresponde a TO (O al que tenga asignado Bott depth como sinónimo).

•

Active (;) Use from or thickness Field y seleccione Use from o Use thickness. -

•

Debe indicar el campo que corresponde a From (inicio del treamo) o a Thickness (espesor) de acuerdo a su selección.

Ingrese el nombre del campo en donde se encuentra el código utilizar para cortar los sondajes por litología. -

•

que desea

Debe ingresar este nombre si seleccionó breakdown by geology. Si no lo hizo, no es necesario ingresar ningún nombre.

Ingrese el (los) nombre(s) del (los) campo(s) que contienen la información geológica que quiere usar para calcular el porcentaje de los códigos geológicos presentes en mayor cantidad en cada compósito. -

Se crearán dos nuevos campos en la base de datos de compósitos (uno con el código presente en mayor cantidad y otro con el porcentaje de dicho código en el compósito) por cada campo ingresado en majority

13

Compositación field (1,2,..10). Debe hacer esto si seleccionó la opción correspondiente en la ventana Composite Creation Menu.

•

Seleccione Next. -

•

Aparecerá:

Ingrese Depth Field y seleccione entre Use from or thickness field. -

Esto es similar al caso de Geology. Si seleccionó Assign a value to data not logged, debe usar From Field.

•

Active Composite Density si tiene un campo con la densidad y desea regularizarlo.

•

En data fields ingrese los nombres de los campos con los valores a compositar (Cu, Au, Pb, etc.)

•

Haga click sobre Next. -

Aparecerá:

14

Compositación

•

Ingrese el valor de corte para los diferentes campos que va a compositar. -

Si a un compósito se le calcula un valor para el campo mayor que el ingresado en este panel, se le asignará este valor de corte al campo correspondiente en la base de compósitos. Si no quiere modificar el valor calculado, ingrese un número muy grande.

NOTA: A partir de esta ventana ya no podrá retroceder utilizando el botón back. •

Seleccione OK. Cuando haya completado el panel -

Se mostrará la ventana siguiente:

15

Compositación

-

•

En esta ventana se puede definir un borde para colocar un marcador (Definido por un valor en el campo Bound de la base de datos de compósitos) que indique la posición relativa del compósito con respecto al borde. Este borde puede ser una triangulación sólida o bidimensiona, es decir, la información en el campo bound servirá para saber si un compósito está dentro, fuera, bajo o sobre una traiangulación.

Si no desea incluir ninguna triangulación haga click sobre Cancel. -

Seleccionando Cancel el archivo de definición se crea con las especificaciones que Ud. ha seleccionado y puede crear ahora su base de datos de compósitos utilizando la opción Run.

•

Si desea marcar (Flagging) el compósito siga las siguientes instrucciones:

•

Ingrese el nombre de la triangulación o selecciónelo de la lista

•

Ingrese el valor para la prioridad. -

•

Esto sirve para compósitos que se encuentran a la vez bajo la influencia de dos triangulaciones. Si a una triangulación se le asigna una prioridad 6 y a otra una prioridad 3, el valor almacenado en el campo Bound será aquel que define la triangulación con prioridad 6.

Indique el eje para la proyección. -

•

Esta opción se aplica sólo a triangulaciones bidimensionales. En general esta proyección se hace en la dirección del eje Z (Es decir el área de influencia es “arriba” o “abajo”).

Seleccione el tipo de inversión. -

Esto se usa para cambiar la zona de influencia que por defecto define una triangulación. Por ejemplo, en una triangulación sólida sin inversión, se le asignará el valor indicado en Value a los compósitos que se encuentren al interior de la triangulación. Si se selecciona complete (inversion), el valor se le asignará a los compósitos que se encuentren al exterior de la triangulación. Cosa similar ocurre para triangulaciones bidimensionales. Una explicación detallada la puede encontrar en el manual ENVISAGE-MODELLING. En todo caso, el seleccionar No inversion (None) cubre la mayoría de los casos comunes.

•

Ingrese el valor que se asignará en la base de datos al campo Bound (Boundary), a los compósitos dentro de la zona de influencia de la triangulación.

•

Haga Click sobre OK. cuando termine. -

Aparecerá nuevamente la ventana Boundary Definition Menu.

16

Compositación •

Repita hasta que haya ingresado todos los bordes. En ese momento seleccione Cancel. -

En este momento ha terminado de de crear el archivo de definición con las especificaciones que Ud. ha seleccionado. Puede crear ahora su base de datos de compósitos utilizando la opción Run.

CREACIÓN DEL ARCHIVO DE COMPÓSITO RUN La opción Run permite generar el archivo de compósitos (Ya sea base de datos ISIS o ASCII) de acuerdo a los parámetros y método indicado en el archivo de especificación. •

Seleccione Run

•

Ingrese el nombre del archivo de compositación que Ud. creó -

Este es el nombre que Ud. ingresó en el recuadro New parameter identifier.

•

Seleccione Create Composite Database o Create Composite Map file si desea una base de datos ISIS o un archivo ASCII respectivamente.

•

Ingrese un nombre para el datasheet y si lo desea un Optional Database Identifier (odi) para la base de datos de compósitos -

Esto es válido si Ud. seleccionó la opción Create composite Database.

17

Compositación -

•

El nombre del datasheet y el identificador opcional, definirán el nombre de la base de datos de compósitos. Se creará un Datasheet (o se usará uno existente) con el nombre que ingrese en el recuadro y una base de datos con el nombre ..

Ingrese un nombre opcional para el archivo ASCII -

•

Esto debe usarlo si seleccionó Use Map File.

Ingrese un nombre para este grupo de compósitos -

Pueden haber en la misma base de datos diferentes grupos de compósitos generados por diferentes métodos o especificaciones. Tiene la opción de agregar los nuevos compósitos a un grupo de compósitos existentes, sobreescribir el grupo existente o crear un nuevo grupo dentro de la misma base de datos (Estas posibilidades no existen si se usa un archivo ASCII).

•

Ingrese un comentario o descripción para los compósitos que se obtendrán. -

•

Esto es opcional.

Active (;) Append to existing compositing group si quiere que los datos se agreguen una database existente. -

•

Como ya se comentó, puede agregar los compósitos a un grupo con el mismo nombre que el indicado en Compositing Group, sobrescribirlo o crear uno nuevo. Activando la opción e indicando un nombre de grupo igual a uno existente en la base de datos, los nuevos compósitos se agregarán como miembros del mismo grupo anterior; si no existe dicho grupo se creará uno nuevo. Si no activa la opción y existe un grupo con el mismo nombre, dicho grupo será sobrescrito por el nuevo mientras que si no existe el grupo, se creará un nuevo.

Seleccione OK. -

Seleccionando OK, se crea la base de datos o archivo ASCII de compósitos.

SELECTION Con esta opción puede generar compósitos utilizando dos archivos de especificación aplicándolos a diferentes sondajes de acuerdo a su inclinación. Esto puede ser útil, por ejemplo, cuando desee hacer una compositación por banco (Bench) teniendo sondajes con muy poca inclinación (sub-horizontales). En tal caso los compósitos podrían ser demasiado largos, siendo Run length una opción más conveniente. •

Seleccione Compositing-selection -

Aparecerá la única ventana de esta opción:

18

Compositación

•

Active Use selection file si tiene un archivo de selección

•

En Only accept holes that match ingrese una condición para seleccionar los sondajes. -

Puede usar el comodín (*) combinado con otras letras para especificar múltiples sondajes (Por ejemplo especificando DDH* se compositarán aquellos sondajes cuyo nombre comience con DDH). Para considerar todos los sondajes debe usar *.

•

Ingrese la inclinación con que desea delimitar los grupos de sondajes.

•

Ingrese el nombre del archivo de parámetros para los sondajes con inclinación menor a la definida como límite.

19

Compositación -

•

Para aquellos sondajes que tengan una inclinación menor al límite, se usarán los parámetros y método indicados en dicho archivo.

Ingrese el nombre del archivo de parámetros para el otro grupo de sondajes -

Los dos ítems anteriores son opcionales, en caso de no especificar un nombre de archivo, no se hará la compositación para esos pozos. En otras palabras, este método también es útil para descartar sondajes de acuerdo a su inclinación.

•

En los siguientes casilleros, las opciones son las similares a las utilizadas en la opción RUN.

•

Active verbose si quiere generar un reporte de las menores inclinaciones consideradas para cada sondaje.

•

Seleccione OK cuando complete el panel.

Comenzará a crearse la base de datos (o archivo ASCII) de compósitos. Una vez generado puede desplegarlos en pantalla. VISUALIZACIÓN DE LOS COMPÓSITOS DISPLAY Esta opción permite cargar los compósitos generados con alguna de las opciones anteriores. El despliegue en pantalla puede ser mediante puntos o líneas y puede restringir los datos que desea cargar de acuerdo a alguna condición. •

Seleccione Compositing-Display. -

Aparecerá la siguiente ventana:

20

Compositación

•

Seleccione Use database, ingrese el nombre del datasheet y del ODI, si desea ver una base de datos ISIS.

•

Seleccione Use Map File e ingrese el Identificador del Map File. Si los datos provienen de una versión de VULCAN anterior a la 3.0, seleccione Use Fortran Format.

•

Seleccione la forma en que quiere cargar los compósitos (Puntos o líneas), y el espesor de la línea si selecciona esta opción.

•

Si está usando un archivo ASCII, ingrese el orden en que aparecen las coordenadas para que los compósitos se desplieguen en el lugar adecuado. 21

Compositación •

Si seleccionó load as point, ingrese un espesor para la línea.

•

Active Restrict data, si desea agregar alguna restricción a los datos que desea considerar para la compositación. -

Las restricciones pueden ser hasta cinco y se escriben utilizando los operadores lógicos descritos en el Appendix E de la sección Core Appendixes de la ayuda en línea de Vulcan.

•

Haga click sobre OK. cuando haya terminado.

•

Si seleccionó Use Database: -

Si seleccionó Load as Points se mostrará la siguiente ventana:

-

Si seleccionó Load as Lines aparecerá:

22

Compositación

•

•

Ingrese el grupo de compósitos que desea desplegar (Puede usar comodines).

•

En MIDX, MIDY y MIDZ, (TOP o BOT, en el segundo caso) ingrese el campo que contiene el punto correspondiente del compósito (Puede seleccionarlo de una lista ).

•

Ingrese el CAMPO en que se encuentra la variable que desea mostrar de la base de datos de compósitos.

•

Seleccione OK. cuando termine. Si seleccionó Use Map File aparecerá la siguiente ventana:

23

Compositación

•

En el casillero debe indicar el formato (tipo fortran) de los datos en el archivo ASCII. -

• •

Estos formatos deben coincidir con el orden de los datos ingresados en Variable order

Seleccione OK. Si activó Restrict data aparecerá la siguiente ventana:

24

Compositación NOTA: Las siguientes alternativas son opcionales. necesita de acuerdo a sus propias necesidades.

Ud. debe escoger aquella(s) que

•

Seleccione filter values para indicar un valor específico que se desea ignorar y/o cotas mínimas o máximas entre las que deben estar los datos aceptados.

•

Include/Exclude Polygons permite indicar un área de valores x e y para los cuales se desea incluir o excluir datos de compósitos en el despliegue. -

•

Cuando acepte el panel aparecerá en la parte baja de la pantalla : select inclusion polygon.Si desea utilizar esta opción indique con el mouse los polígonos que desea utilizar o presione el botón derecho del mouse para cancelar. Aparecerá el siguiente mensaje en la parte baja de la pantalla: Select exclusion polygon, que tiene el mismo tratamiento que el anterior.

Include Triangle es similar al anterior pero en este caso se están limitando las coordenadas X, Y y Z de acuerdo a una triangulación. -

En la parte baja de la pantalla aparecerá el mensaje: Select triangulation. Seleccione la triangulación o presione Cancel.

•

Use Upper Cutoff Value permite cambiar el valor de un compósito cuando este supere esta cota máxima. A cualquier dato que supere la cota máxima se le asignará el valor de la cota máxima. El valor se ingresa en el casillero Upper cutoff value.

•

Use coordinate extent permite definir manualmente la zona en que se desplegarán los compósitos. -

•

Los compósitos considerados para el despliegue serán aquellos cuyas coordenadas estén dentro del rango indicado en los recuadros siguientes.

Seleccione OK.

Aparecerá la ventana con el listado de leyendas disponibles para compósitos: •

Seleccione el Color Scheme con el que quiere que se desplieguen sus sondajes. -

Ud. puede usar el esquema de colores de acuerdo a la variable que quiera representar en la pantalla. Si no tiene definido un Color Scheme aparecerán las mismas ventanas descritas en el manual ENVISAGECORE, en la sección Analyse-Legend edit-Create, cuando se selecciona Drill en Schema.

25

Variografía

σ2

γ(h)

Γ 2 (h) Γ 1 (h)

Γ 0 (h)

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 11

Julio Julio 2003 2003

Repaso estadísticas bivariable Momento de orden 2 Cov {X, Y} = E {[X - mX ][(Y - mY ]} = E{XY} - mX·mY +∞ +∞

∫ ∫ ( x − m )( y − m )dxdy x

y

− ∞− ∞

Varianzas Var {X} = Cov {(X ,X) } ; Var {Y} = Cov {(Y ,Y) } Coeficiente de correlación

ρ XY =

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Cov{ X , Y } ∈ [− 1,+1] Var{ X } ⋅Var{Y }

Variografía Variografía Pág. Pág. 22

Julio Julio 2003 2003

Covarianza, Correlación y Variograma Cov {Z(u), Z(u + h)} = C(h) = E {[Z(u) - m(u))][Z(u + h) - m(u + h)]} Decisión Estacionario => E { m(u) } = E{ m(u + h)} = E{Z} C(h) = E {(Z(u) • Z(u + h)} - m2. Nota:Si h=0, C(0) = E {(Z(u)2} - m2 = σ2 = Var{Z} Caso de independencia entre Z(u) y Z(u+h) C(h) = E {(Z(u) • Z(u + h)} - m2 = E {(Z(u)} • E{Z(u + h)} - m2 = m2 - m2 = 0 Correlación Variograma

ρ ( h) =

C ( h)

σ2

=

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Estacionario segundo orden

2γ XY = E{[ X − Y ]2 } = ∫∫ ( x − y ) 2 f XY dxdy

2γ XY = ’ Eric Gonzalez

C ( h) C ( 0)

1 N

∑ (x − y ) i

2

i

Variografía Variografía Pág. Pág. 33

Julio Julio 2003 2003

Covarianza, Correlación y Variograma C (h) = E{Z (u ) ⋅ Z (u + h)} − m 2

Variograma

2γ (h) = E{[ Z (u ) − Z (u + h)]2 } = E{Z (u ) 2 − 2 Z (u ) Z (u + h) + Z (u + h) 2 } = E{Z (u ) 2 } − 2 E{Z (u ) Z (u + h)} + E{Z (u + h) 2 } − m 2 − m 2 + 2m 2 = E{Z (u ) 2 } − m 2 + E{Z (u + h) 2 } − m 2 − 2 E{Z (u ) Z (u + h)} + 2m 2 = C (0) + C (0) − 2C (h) 2γ (h) = 2[C (0) − C (h)]

Nota: γ(0) = C(0) - C(0) = 0

γ(h) C(0)=σ2

0 C(h)

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 44

Julio Julio 2003 2003

Variograma El variograma para una variable y la misma variable separada por un vector h se calcula como la media de las diferencias cuadradas entre los valores separados aproximadamente ese vector h:

2γ (h) =

1 2 [ z ( u ) − z ( u + h ) ] ∑ N ( h) N ( h )

O en notación probabilística

z(u+h)

2γ (h) = E{( Z (u ) − Z (u + h) 2 }

1 z ( u ) − z ( u + h) 2

0.5 0.4 0.45

.

h=3

0.6

h=2

0.65 1.0

z(u)

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 55

h=l

Julio Julio 2003 2003

l

l

Variograma Problema 1: γ(h) debe entregar las diferencias cuadráticas en todos los vectores h que puedan definirse en el espacio. Con datos limitados, es imposible obtenerla, por lo que hay que construir una expresión matemática basada en valores del variograma que puedan obtenerse de los datos. Aun así, hay que discretizar. Distance tolerance Angle tolerance

Lag distance

Lag tolerance Lag Size ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 66

Julio Julio 2003 2003

Variograma Determinar si se requiere transformar la variable Coordenadas rotadas Desdoblar

Definir un número de vectores y sus direcciones. La vertical siempre es importante Probar el variograma omnidireccional horizontal, luego las direcciones principales

Número de lags y sus dimensiones La separación debe coincidir con el espaciamiento de las muestras Válido solo hasta la mitad de la extensión de las muestras en una determinada dirección.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 77

Julio Julio 2003 2003

Variograma Ciclicidad

A menudo vinculada con periodicidad geológica. Puede deberse a escasez de datos Se sugiere poner énfasis en una buena estimación del efecto pepa y una estimación razonable del alcance.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 88

Julio Julio 2003 2003

Variograma Deriva / Tendencia

En la mayoría de las aplicaciones geoestadísticas se modela hasta la meseta teórica. Los datos harán que la deriva quede representada en el modelo resultante En aplicaciones como simulación se puede requerir modelar explícitamente la deriva.

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 99

Julio Julio 2003 2003

Variograma Anisotropía zonal 1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

5

10

15

20

25

30

La meseta aparente debe compararse con la varianza para observarla. Cuando en una dirección el variograma no alcanza la varianza, se puede deber a que hay continuidad mas allá del horizonte de los datos en esa dirección. La variabilidad es capturada en otra de las direcciones. Estratificación horizontal Variaciones areales con alta continuidad vertical.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 10 10

Julio Julio 2003 2003

Variograma Variograma de indicadores. La transformación de indicadores se define como:

1 si pertenece a la categoria k i (uα ; k ) =  0 si no pertenece 1 si Z(u) ≤ z k i (uα ; z k ) =  0 en otro caso El promedio de un indicador es la proporción global: n

prop. de k = E{I (uα ; k )} =

i (uα ; k ) ∑ α =1

n

La varianza de una variable de indicador es σ2=p(1-p). El variograma de una variable indicador:

2γ I (h) = E{[ I (u; k ) − I (u + h; k )]2 } ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 11 11

Julio Julio 2003 2003

Variograma Otras formas de cálculo de diferencias. Semivariograma General relativo. Semivariograma relativo por pares

γ GR ( h) =

γ ( h)  m h− + m h+    2  

2

1 ( z ( u) − z ( u + h)) 2 γ RP ( h) = ∑ 2 N ( h) NP ( h )  z ( u) + z ( u + h)  2   2  

1 ∑[z(u) − z(u + h)]⋅[ y(u) − y(u + h)] 2N (h) N ( h)

Semivariograma Cruzado

γ Cruz(h) =

Covarianza

C(h) =

1 ∑[z(u) − z(u + h)]− mh− ⋅ mh+ 2N (h) N ( h)

Correlograma

ρ ( h) =

C ( h) σ h− ⋅ σ h+

Rodograma

γ R ( h) =

1 ∑ z ( u ) − z ( u + h) 2 N ( h) NP ( h )

Madograma

γ R ( h) =

1 ∑ z ( u ) − z ( u + h) 2 N ( h) NP ( h )

Semivariograma de logaritmos

γ R ( h) =

1 [ln( z(u)) − ln( z(u + h))]2 ∑ 2 N ( h) NP ( h )

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 12 12

Julio Julio 2003 2003

Variograma Se requiere el valor del variograma para todos los vectores distancia dentro de la vecindad de búsqueda. Para esto se define una función matemática con dominio en el espacio tridimensional y basada en la hipótesis de estacionareidad. La medida del variograma debe tener la propiedad matemática de ser definida positiva. Esto asegura que el sistema de kriging pueda resolverse y que la varianza sea positiva. El Modelo Lineal de Regionalización permite obtener modelos válidos a partir de una combinación lineal de variogramas elementales válidos.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 13 13

Julio Julio 2003 2003

Variograma Cálculo del variograma en Vulcan En Vulcan las especificaciones para el cálculo del variograma se almacenan en un archivo de parámetros con extensión “.var”. El nombre del archivo es: .var

ID existente ID nuevo

• Completando sólo la primera casilla, se puede editar el archivo. • Completando sólo la segunda casilla se crea un nuevo archivo de parámetros • Completando ambas casilla se puede crear un nuevo archivo a partir de un archivo de parametros existentes para luego editarlo ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 14 14

Julio Julio 2003 2003

Variograma Base de datos de donde calcular el variograma Puede usarse una base de datos de muestras tipo ISIS, de Librería u ODBC. En todos los casos debe indicarse el datasheet y el identificador opcional. Puede usarse también un archivo Mapfile (ASCII).

Una vez seleccionada la base de datos se selecciona el grupo o clave que se quiere utilizar y el nombre de los campos de la base de datos o columnas del Mapfile que corresponden a las coordenadas X,Y,Z y a la variable de ley que se especifica en la casilla W field. Hay una casilla “Second W field” para calcular el variograma cruzado entre dos variables de ley. Down hole variogram permite calcular el variograma a lo largo del sondaje. Para eso se requiere el nombre del sondaje como campo de la base de datos. ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 15 15

Julio Julio 2003 2003

Variograma Restricción de muestras a utilizar para cada corrida Para restringir o seleccionar las muestras que se quieren utilizar en el cálculo existen varios métodos de selección que pueden utilizarse simultáneamente. Hay dos opciones para restringir por dos diferentes campos: Un campo numérico Un campo alfanumérico o de caracteres. Otra opción permite seleccionar puntos dentro de una triangulación sólida. Finalmente, si las opciones anteriores no son suficientes, se pueden usar varios campos de la base de datos con condiciones lógicas genéricas para restringir las muestras que se desean utilizar.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 16 16

Julio Julio 2003 2003

Variograma Restricción por una variable numérica Seleccionado el nombre de un campo numérico de la base de datos, se tiene la opción para que se usen la muestras donde el valor de ese campo es igual a alguno de los valores en la lista “Specific W Values” Pueden seleccionarse valores específicos de una variable Pueden ignorarse muestras para valores específicos de una variable numérica Pueden seleccionarse las muestras cuando una variable este dentro de un rango numérico.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 17 17

Julio Julio 2003 2003

Variograma Restricción por una variable alfanumérica Al igual que con la variable numérica, seleccionado el nombre de un campo alfanumérico de la base de datos, se tiene la opción para que se usen la muestras donde el valor de ese campo es igual a alguno de los valores en la lista “Specific Character Strings”

De la misma forma pueden ignorarse muestras para valores específicos de una variable numérica

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 18 18

Julio Julio 2003 2003

Variograma Restricción por condiciones en campos ROCA

TQ1,TQ2,TQ3

TIPOS

1&10

Aquí se pueden restringir usando hasta 15 campos diferentes. Ejemplos ROCA

TQ1,TQ2,TQ3

Selecciona muestras de la roca TQ1, TQ2 o TQ3 TIPOS

1.0&10.0

Selecciona muestras donde la variable tipo está en el rango del 1 al 10. No hay que usar espacios

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 19 19

Julio Julio 2003 2003

Variograma El proceso de validación de condiciones es aditivo, es decir, existe un operador tipo Y (And) entre los grupos de condiciones. Sin embargo, dentro de un panel las condiciones son de tipo O (Or), excepto en el panel de Fields Restrictions. Es decir, si se selecciona la variable numérica categ y se usa los valores específicos 1 y 2, y luego se usa una condición sobre la variable alfanumérica ug y se usan valores específicos “TQ1” y “TQ2”, entonces se seleccionaran las muestras de acuerdo al esquema siguiente:

’ Eric Gonzalez

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CATEG

UG

Seleccionada?

1

TQ1

Si

3

TQ1

No

2

TQ2

Si

1

TQ2

Si

1

TQ3

No

3

TQ3

No

Variografía Variografía Pág. Pág. 20 20

Julio Julio 2003 2003

Variograma .

En el panel de Lag Setup se hace la configuración de las dimensiones de las unidades de búsqueda, de acuerdo al esquema explicado anteriormente. El tamaño del lag se usará en todas las direcciones.

Luego se selecciona el tipo de diferencia que se desea calcular. El semivariograma es el que teóricamente permite al sistema de kriging obtener las covarianzas necesarias para la construcción de la matriz de kriging, sin embargo, existen diferentes medidas que pueden ser útiles cuando el semivariograma tradicional es muy errático. Hasta cinco tipos simultáneos pueden seleccionarse.

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 21 21

Julio Julio 2003 2003

Variograma . Direcciones de búsqueda Las búsquedas son de tipo masiva, se hace por pasos en la horizontal y en la vertical. Con eso se define un conjunto de direcciones que permiten estudiar el valor del variograma experimental en el espacio 3D. Pueden restringirse las búsquedas para buscar un diferentes direcciones en la horizontal o en diferentes inclinaciones para un azimut fijo, etc. Existe la opción para utilizar un modelo de tetrahedros para desdoblar los a un sistema de coordenadas antes de que se haya producido la deformación. Al pinchar en finish se calcularán los variogramas en las direcciones solicitadas. Los resultados se almacenan en un archivo con el mismo nombre que el de parámetros pero con extensión .vrs. ’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 22 22

Julio Julio 2003 2003

Variograma Ejemplo de archivo de resultados (*.vrs) * DEFINITION * HEADER_VARIABLES 1 * COMPID C 16 0 key * VARIABLES 9 * AZIMUTH F 12 3 * PLUNGE F 12 3 * LAG F 12 0 * RANGE F 12 3 * SEMI F 12 3 * SEMIHM F 12 3 * SEMITM F 12 3 * SEMINP F 12 3 * SEMIDIS F 12 3 * HEADER: VARIOGRAPHY 45.000 0.000 45.000 0.000 ..... 45.000 0.000 45.000 0.000 45.000 -90.000 45.000 -90.000 ..... 45.000 -90.000 45.000 -90.000 135.000 0.000 135.000 0.000 ..... 135.000 0.000 135.000 0.000

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

0. 1.

0.000 0.000

0.000 0.356

0.000 0.018

0.000 0.336

3373. 29.

0.000 10.142

15. 16. 0. 1.

420.000 450.000 0.000 0.000

0.910 1.509 0.000 0.000

0.165 0.218 0.000 -0.118

0.421 0.321 0.000 -0.116

700. 413. 3373. 75.

417.539 448.471 0.000 4.763

19. 20. 0. 1.

270.000 285.000 0.000 0.000

0.081 0.086 0.000 0.782

-0.327 -0.342 0.000 0.441

-0.225 -0.236 0.000 0.778

460. 416. 3373. 16.

269.616 284.647 0.000 10.619

15. 16.

420.000 450.000

1.279 1.325

0.006 -0.177

0.057 -0.212

595. 460.

417.582 449.348

Variografía Variografía Pág. Pág. 23 23

Julio Julio 2003 2003

Variograma Despliegue Para desplegar los variogramas experimentales, se utiliza la opción Display, bajo el menú Block-> Variography. Después de seleccionar el Identificador, se debe completar este panel. En variography mode se selecciona el tipo de diferencias que quiere desplegar. Activando y desactivando “display graphs in an underlay”, se desplegarán los variogramas como una entidad gráfica no editable o como layer. En las siguientes casillas de verificación se definen los elementos que se quieren desplegar. Luego se indica el numero de gráficos o variogramas direccionales que se quieren desplegar en una pantalla/página. ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 24 24

Julio Julio 2003 2003

Variograma Despliegue – cont.

’ Eric Gonzalez

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Display variogram model permite seleccionar el despliegue o no del modelo que se haya ajustado a los datos del variograma experimental. Solamente se desplegará si es que el modelo existe. Display sill points, permite desplegar los puntos de control de las estructuras del modelo. Display pair counts permite desplegar el numero de pares con que fue calculado el variograma para cada punto del grafico. Display horizontal labels permite alternan entre el despliegue horizaontal y vertical del numero de pares. Conect points, genera un segmento de línea entre valores consecutivos del variograma experimental. Display variance line, permite desplegar la línea de la varianza, fundamental para crear un modelo consistente. Variografía Variografía Pág. Pág. 25 25

Julio Julio 2003 2003

Variograma Despliegue

El botón Graph Params. Permite ajustar los parámetros de despliegue, como los colores de los diferentes elementos del gráfico y los tamaños de las diferentes etiquetas y rótulos. Al pinchar en Next aparecen las mismas opciones que para los elementos gráficos descritos en el modulo Statistics II

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 26 26

Julio Julio 2003 2003

Variograma Despliegue

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 27 27

Julio Julio 2003 2003

Variograma - Modelamiento Definición del modelo lineal de regionalización (MLR) nst

γ ( h) = ∑ C i Γi ( h) i =0

h h =  vert  a vert

2

  hh − may  +     a h− may

2

  hh − men  +  a   h − men

  

2

 [1.5h − 0.5h 3 ] si h ≤ 1 Γ ( h ) = Sph ( h ) =  si h ≥ 1 1

0 si h = 0 Γ0 ( h ) =  1 si h > 0

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 28 28

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelos “elementales” más conocidos 0 si h = 0 Γ ( h) =  1 si h > 0

Efecto Pepa

Modelo Efecto Pepa 1

Se debe a errores de medición y a estructuras geológicas que ocurren a una escala menor que la menor separación de los datos.

0.8

0.6

0.4

0.2

0

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 29 29

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelos “elementales” más conocidos [1.5h − 0.5h 3 ], si h ≤ 1 Γ ( h) =  si h ≥ 1 1

Esférico

Modelo Esférico 1

Esta es una forma comúnmente encontrada. La curva crece en una forma lineal para luego curvarse hasta la meseta de 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 30 30

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelos “elementales” más conocidos Γ ( h) = 1 − e − h Exponencial Modelo Exponencial

Esta forma es muy parecida al variograma esférico. La principal diferencia es que asciende en forma más rápida al comienzo y que alcanza la meseta en forma asintótica.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 31 31

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelos “elementales” más conocidos Γ ( h) = 1 − e

− h2

Gaussiano Modelo Gaussiano

Este modelo tiene una forma parabólica a distancias cortas debido al término cuadrático en el exponencial. Hay una continuidad implícita a distancias cortas.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 32 32

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelos “elementales” más conocidos Γ ( h) = − h w , 0 < w ≤ 2 Potencia Modelo de potencia 1

Este modelo es más característico para comportamiento con derivas. No es adecuado para simulación Gaussiana ya que no alcanza la meseta.

0.8

w1

0.4

0.2

0

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 33 33

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelos “elementales” más conocidos Γ( h) = 1 − sen 2 ( π * h ) Periódico Modelo periódico 1

Este modelo debe actuar solamente en una dirección, por lo que los alcances en otras direcciones deben ajustarse a ∞

0.8

0.6

0.4

0.2

0

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 34 34

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelos “elementales” más conocidos Γ( h) = h (ó h1 ) Lineal Modelo lineal 1

Este modelo permite modelar derivas. Debe notarse que nunca se alcanza una meseta. Es equivalente al modelo de potencia con parámetro 1.

0.8

0.6

0.4

0.2

0

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 35 35

Julio Julio 2003 2003

Variograma Reglas para la adición de estructuras (MLR) Cada modelo elemental tiene su componente en 3D, por lo que su efecto debe considerarse en todas las direcciones. El problema se torna más complejo cuando se quieren usar modelos elementales rotados uno respecto de otro. Si se modela en 1D debe considerarse que cualquier estructura o modelo elemental va a estar presente con el mismo aporte de varianza en las otras direcciones. Para lograr un ajuste adecuado será necesario descomponer un modelo elemental distribuyendo los aportes de varianza. Al modelar en 1D, los modelos elementales en cada dirección deben ser del mismo tipo.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 36 36

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelamiento tradicional en pantalla 1-D

El número de modelos básicos puede ser diferente en cada dirección para lograr un buen ajuste. Los aportes de varianza para cada dirección de cada modelo no están controlados por las otras direcciones. Deben post procesarse esos modelos para lograr una combinación válida.

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 37 37

Julio Julio 2003 2003

Variograma Ejemplo Γ(h)=Sphr1,r2,r3 (h)

Direc.

C0

C1

A1

Σ

C2

A2

Σ

C3

A3

Σ

Mayor

2

3.0

55

5.0

5.0

250

10

X

X

X

Semi

2

3.5

70

5.5

2.0

150

7.5

2.5

200

10

Menor

2

2.5

30

4.5

1.5

80

6.0

3.5

110

9.5

C0 = 2

Σ Ci

Procedimiento y validación para el modelamiento 1D y descomposición de estructuras en forma manual

∆ Ci

R1

R3

R2

4.5

2.5

55

70

30

5.0

0. 5

55

70

80

5.5

0. 5

250

70

80

6.0

0. 5

250

150

80

7.5

1.5

250

150

110

9.5

2.0

250

200

110

10

0. 5

250

200

∞

γ (h) = 2⋅Γpepa+2.5⋅ ΓSph +0.5⋅ ΓSph +0.5⋅ ΓSph +0.5⋅ ΓSph +1.5⋅ ΓSph +2⋅ ΓSph +0.5⋅ ΓSph 55,70,30

55,70,80

250,70,80

250,150,80

250,150,11 0

250,200,11 0

250,200, ∞

γ (h1,0,0) = 2⋅ Γpepa + 2.5⋅ ΓSph + 0.5⋅ ΓSph + 0.5⋅ ΓSph + 0.5⋅ ΓSph +1.5⋅ ΓSph + 2⋅ ΓSph + 0.5⋅ ΓSph 55

55

250

250

250

250

250,

γ (h1,0,0) = 2 ⋅ Γ pepa + 3 ⋅ ΓSph + 5 ⋅ ΓSph 55

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

250

Variografía Variografía Pág. Pág. 38 38

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelamiento tradicional 3D en pantalla

El número de modelos elementales es el mismo en cada dirección. Los aportes de varianza para cada dirección de cada modelo están mutuamente controlados con las otras direcciones, por lo que el modelo resultante será inmediatamente válido. La selección de un tamaño de lag adecuado para el cálculo del variograma que se ajuste a todas las direcciones normalmente es dificultosa ya que las distancias entre muestras en la dirección preferente de perforación es diferente a las direcciones de las cuadrículas de perforación en el caso de sondajes. La capacidad de desplegar el modelo sobre un conjunto grande de direcciones diferentes permite su validación en un espectro más grande, sin embargo esto dificulta el modelamiento práctico en las direcciones principales. ’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 39 39

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelamiento por algoritmos automatizados

Existe un número de diferentes algoritmos para determinar un modelo en forma matemática a partir de los resultados de los variogramas experimentales. Existen algunos que analizan el resultado de todo el espectro 3D almacenado en los variogramas experimentales y otros donde se utilizan las direcciones principales de continuidad. En Vulcan existen las dos alternativas, sin embargo existen varias consideraciones a tener en cuenta para su aplicación y posterior aceptación y utilización de los modelos. De todas formas e independientemente del método de modelamiento utilizado, siempre debe tener en cuenta que los resultados pueden estar muy influenciados por la información disponible. El conocimiento de la geología del yacimiento y el uso de un buen criterio son fundamentales, especialmente al utilizar métodos automatizados.

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 40 40

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelamiento Para construir el modelo, se debe seleccionar la opción Edit en el menu Block -> Variography. Si ya tiene cargado su variograma es recomendable activar la opción display variogram model, para poder observar los cambios en los parámetros del modelo. En Vulcan tiene las tres opciones para el modelamiento, 1-D, 3-D y automática. Para el caso de este curso se utilizarán las tres metodologías, sin embargo se recomienda utilizar el método tridimensional. El modelo práctico más ampliamente utilizado es el MLR, en cuyas restricciones y condiciones se basa el módulo de modelamiento de Vulcan.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 41 41

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelamiento Si de todas formas quiere modelar en 1-D, debe ajustar los ángulos para cada dirección que quiera modelar de manera que el eje principal quede en esa dirección. Debe tener cuidado de seguir las restricciones del MLR. Luego debe usar un procedimiento para anidación como el descrito anteriormente. Debe modelar en el variograma direccional correspondiente a la dirección seleccionada.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 42 42

Julio Julio 2003 2003

Variograma Modelamiento

Para modelar en 3D, debe determinar la definición de ángulos para la elipsoide o seleccionar las direcciones ortogonales mayor y menor con los botones Major y Minor. La tercera dirección ortogonal queda automáticamente definida. Los ángulos Bearing Plunge y Dip son actualizados según la selección de las direcciones mayor y menor.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 43 43

Julio Julio 2003 2003

Variograma Opciones de modelamiento

Avanza y retrocede En las estructuras

Actualiza el gráfico de acuerdo al cambio de los parámetros.

Opciones para el despliegue

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Selección de gráficos para las direcciones de mayor y menor continuidad

Avanza al modo de modelamiento interactivo

Determinación automática del modelo usando todas las direcciones

Variografía Variografía Pág. Pág. 44 44

Julio Julio 2003 2003

Variograma Mapa Variográfico (Block-> Variography -> CUBE) Esta opción permite estudiar el valor del variograma en 3D. El espacio se discretiza en distancias incrementales en diferentes direcciones. Estas direcciones se representan a través de bloques en un modelo de bloques. Mapa Variográfico (CUBE) Esta opción permite estudiar el valor del variograma en 3D. El espacio se discretiza en distancias incrementales en diferentes direcciones. Estas direcciones se representan a través de bloques en un modelo de bloques. Este modelo queda orientado NS, mientras que las direcciones de continuidad deben leerse del modelo. El tamaño de los bloques en cada eje será el indicado en Lag size y debe concordar con el espaciamiento de las muestras. El alcance o rango del modelo debe ser de a lo mas la mitad de la extensión de los datos en cada dirección, para que el cálculo del variograma tenga sentido. ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 45 45

Julio Julio 2003 2003

Variograma Despliegue del mapa variográfico El modelo de bloques que almacena los resultados esta centrado en el origen. El tamaño del modelo corresponde al doble del rango, pues el cálculo incluye las direcciones negativas. Para visualizar la continuidad se sugiere utilizar una leyenda que permita identificar los valores menores a la meseta del variograma (la varianza en el caso del semivariograma). Direcciones donde el valor del variograma se mantenga por distancias mayores con valores menores a la varianza se interpretan como direcciones de mayor continuidad.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 46 46

Julio Julio 2003 2003

Variograma Opción zonal En esta opción se puede hacer el anidamiento de modelos que se hayan construido con diferentes mesetas en diferentes direcciones. El modelo resultante es un MLR válido que puede usarse en estimación. Hasta dos estructuras pueden usarse.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 47 47

Julio Julio 2003 2003

Variograma 3D Variography

El cálculo del variograma experimental debe intentar capturar la mayor cantidad de información posible, para eso, el tamaño del lag debe ser aproximadamente igual al espaciamiento de las muestras. Sin embargo, el espaciamiento es diferente en diferentes direcciones. Por ejemplo, si se usan sondajes verticales separados en una malla aproximada de 100x100 m. pero compósitos de 15m. Un tamaño aproximado del lag en la horizontal, dependiendo de la dirección, debe ser de 100m. Mientras que en la vertical un buen tamaño de lag es de 15 m. Para resolver ese problema y para facilitar el modelamiento 3D se usa la herramienta 3D variography. 3D viene del hecho que permite calcular el variograma en tres direcciones en forma independiente. Idealmente estas tres direcciones serán las direcciones mutuamente ortogonales que definen la anisotropia/continuidad de la variable bajo estudio.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 48 48

Julio Julio 2003 2003

Variograma 3D Variography

Se puede seleccionar solamente efectuar el cálculo del variograma experimental, solamente obtener un modelo, en cuyo caso los variogramas experimentales ya deben haber sido calculados y además tienen que ser mutuamente ortogonales, o hacer ambas cosas (calcular y ajustar el modelo) ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 49 49

Julio Julio 2003 2003

Variograma En el caso de un modelo de bloques se despliega un panel que permite seleccionar la variable y restringir los bloques que se usarán en el cálculo.

Variable

Restricción de bloques

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 50 50

Julio Julio 2003 2003

Variograma En el caso de usar una base de datos, primero se debe seleccionar la base de datos mientras que la restricción se hará en paneles posteriores

Base de datos

Grupo de compósitos, coordenadas y variables

Con este botón lógico se pueden evitar los paneles de selección de muestras

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 51 51

Julio Julio 2003 2003

Variograma Selección de muestras Existen varias formas para restringir los datos por un campo numérico o alfanumérico.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 52 52

Julio Julio 2003 2003

Variograma Selección de muestras

Es posible restringir muestras utilizando sólidos

O pueden definirse condiciones para restringir en forma de una operación lógica

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 53 53

Julio Julio 2003 2003

Variograma Variogramas

Puede calcularse más de un tipo de “variograma” experimental. Al igual que la opción tradicional de Vulcan, hasta cinco tipos simultáneos son permitidos.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 54 54

Julio Julio 2003 2003

Variograma Variogramas En el panel de definición se especifican los parámetros independientes de búsqueda para cada una de las direcciones ortogonales. Con esto pude considerarse la diferencia de la densidad de las muestras. El archivo de resultados contendrá la información para modelar en pantalla las tres direcciones principales.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 55 55

Julio Julio 2003 2003

Variograma Auto ajuste en las direcciones principales Si seleccionó la opción para hacer un ajuste automático, aparecen las opciones para controlar el modelo. Por ejemplo, se puede especificar anisotropía zonal en alguna de las direcciones, ciclicidad, se pueden forzar la meseta, el efecto pepa y el número de estructuras. Por ejemplo, si hay presencia de deriva en los datos, se puede forzar para que el modelo no sobrepase la varianza. Las configuración del elipsoide debe representar las tres direcciones indicadas en el panel anterior.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 56 56

Julio Julio 2003 2003

Variograma Auto ajuste en las direcciones principales En este panel se puede forzar anisotropía geométrica para los ejes semi mayor y menor. Puede buscarse un resultado ponderando por el inverso de la distancia y/o por el numero de pares, así los puntos mas cercanos o con mas información de respaldo tendrán más influencia.

Las configuración del elipsoide debe representar las tres direcciones indicadas en el panel anterior.

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 57 57

Julio Julio 2003 2003

Kriging Estimadores lineales Estos estimadores se usan para determinar el valor de un atributo, por ejemplo una ley, en posiciones en el espacio donde el valore real es desconocido. 2 1

3

n

Z (u ) = ∑ λi ⋅ Z (ui ) *

i =1

ui son posiciones, Z*(u) es un valor estimado en la posición u y λi son ponderadores, ¿Qué factores consideramos en la asignación de los ponderadores? ― ― ― ―

Cercanía a la posición que se está estimando Redundancia de la información Anisotropía/continuidad (direcciones preferenciales) Magnitud de la continuidad/variabilidad ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 58 58

Julio Julio 2003 2003

Kriging n

Sistema de Kriging (Kriging simple)

Y * (u) = ∑λα ⋅ Y (uα ) α =1

{ } = E{[Y (u)] }− 2 ⋅ E{Y (u) ⋅ Y (u)}+ E{[Y (u)] }

σ (u ) = E [Y (u ) − Y (u )] 2 E

Y (u) = Z (u) − m(u)

*

2

*

2

2

*

= ∑∑λα λβ E{Y (uβ ) ⋅ Y (uα )}− 2 ⋅ ∑λα E{ Y (u) ⋅ Y (uα )}+ C(0) n

n

n

α =1 β =1

[

α =1

]

n ∂ σ E2 (u ) = 2 ⋅ ∑ λβ C (u β − uα ) − 2 ⋅ C (u − uα ) ∂λα β =1

n

λβ C (u β − uα ) = C (u − uα ) ∑ β =1

’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 59 59

¿C(h)? Julio Julio 2003 2003

Kriging Repaso

{

Variograma

2γ (h) = E [Y (u) − Y (u + h)]

Covarianza

C(h) = E{Y (u) ⋅ Y (u + h)}

2

} {

C(0) = E{Y (u) ⋅ Y (u + 0)} = E Y (u)2

{

2γ (h) = E [Y (u) − Y (u + h)]

{

} {

2

}

}

}

= E Y 2 (u) + E Y 2 (u + h) − 2E{Y (u) ⋅ Y (u + h)}

= Var{Y (u)}+ Var{Y (u + h)}− 2 ⋅ C(h) = 2[C(0) − C(h)]

C(h) = C(0) − γ (h) ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 60 60

Julio Julio 2003 2003

Kriging En forma matricial n

C (u β − uα )λβ = C (u − uα ) ∑ β =1

∀α : 1K n

 C1,1 C1, 2 ... C1,n   λ1   C 1, 0      C O N C C 2,0  1, 2  λ2    2,1 =  M N O M  M   M       Cn ,1 Cn , 2 L Cn ,n  λn  C n , 0 

Ci , j = C (ui − u j )

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 61 61

Julio Julio 2003 2003

Kriging Propiedades del Kriging La solución del sistema existe y es única si la matriz [Cij] es definida positiva. Kriging es un estimador insesgado E{[Zv-Z*k]} = 0 Es el estimador lineal que entrega la menor varianza del error Es un interpolador exacto si u=uj, λj=1, λi=0,V i≠j La varianza puede calcularse sin necesidad del valor de las muestras. Kriging toma en consideración: –Geometría del volumen que se está estimando –Distancia de la información –Configuración de los datos –Continuidad estructural Kriging tiene un efecto suavizante que se puede predecir.

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 62 62

Julio Julio 2003 2003

Kriging Detalles Kriging simple.

C1,1 ⋅ λ1 + C1,2 ⋅ λ2 + C1,3 ⋅ λ3 = C1,0

2 γ1,3

γ1

1

,2

γ2,3

3

C2,1 ⋅ λ1 + C2,2 ⋅ λ2 + C2,3 ⋅ λ3 = C2,0

γ 1,0

γ2,0

C3,1 ⋅ λ1 + C3,2 ⋅ λ2 + C3,3 ⋅ λ3 = C3,0 γ 3,0

 C1,1 C1, 2  C2,1 C2, 2 C3,1 C3, 2 0

1

2

3

4

C1,3   λ1   C1, 0     C2,3  λ2  = C2, 0  C3,3  λ3  C3, 0 

5

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 63 63

Julio Julio 2003 2003

Kriging Kriging con diferentes alcances para variograma esférico isotrópico.

2 3

1

0

1

2

3

4

5

0

2

4

6

8

10

12

distancia

Alcance

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

λ1

λ2

λ3

10

0.78

0.01

0.07

5

0.65

-0.02

0.01

1

0.00

0.00

0.00

Variografía Variografía Pág. Pág. 64 64

Julio Julio 2003 2003

Kriging Kriging con diferentes efectos pepa y alcance isotrópico de 10.

2 3

1

0

1

2

3

4

5

0

2

4

6

8

10

12

distancia

Ef. pepa

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

λ1

λ2

λ3

0%

0.78

0.01

0.06

25%

0.47

0.20

0.06

75%

0.17

0.13

0.05

100%

0.00

0.00

0.00

Variografía Variografía Pág. Pág. 65 65

Julio Julio 2003 2003

Kriging Kriging con diferentes efectos pepa y alcance isotrópico de 10.

2

2:1

3

5:1

1

1 20:

0

1

2

3

4

5

Anisotropía

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

λ1

λ2

λ3

1:1

0.47

0.20

0.06

2:1

0.40

0.09

0.14

5:1

0.15

-0.06

0.23

20:1

0.00

0.00

0.24

Variografía Variografía Pág. Pág. 66 66

Julio Julio 2003 2003

Kriging Efecto suavizante del kriging La varianza de los valores estimados por kriging es muy pequeña.

{

}

2 Var Y * (u) = σ 2 − σ KS (u)

σ2 es la varianza completa σ2KS es nula en la posición de los datos (sin suavizamiento) σ2KS es la varianza total en ubicaciones distantes (Total suavizamiento). σ2KS es en los diferente lugares del espacio dependen del espaciamiento de los datos y del variograma. La varianza perdida o el monto en que el kriging suaviza es igual a la varianza del kriging simple. ’ Eric Gonzalez

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Variografía Variografía Pág. Pág. 67 67

Julio Julio 2003 2003

Kriging Kriging ordinario En este caso se asume que la media es constante y desconocida n

Y (u) = [ z (u) − m] = ∑λi ⋅[ z(ui ) − m] *

*

n

i =1

n

z* (u) = ∑λi ⋅ z(ui ) + m ⋅[1− ∑λi ] i =1

i =1

Para prescindir de la media solamente es necesario que los ponderadores sumen 1. Con esta restricción, el estimador se conoce como kriging ordinario.

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 68 68

Julio Julio 2003 2003

Kriging Sistema de KO

 n  ∑ C ( u α , u β ) λ β + µ = C ( u , u α ), ∀ α = 1,...,n β =1  n ∑ λβ = 1  β =1 En forma matricial

 C1,1 C1, 2 ... C1,n C  2,1 O N C1, 2  M N O M  Cn ,1 Cn , 2 L Cn ,n  1 1 1 1 ’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

1  λ1   C 1, 0    1 λ2  C 2, 0  1  M  =  M      1 λn  C n , 0  0  µ   1  Variografía Variografía Pág. Pág. 69 69

Ci , j = C (ui − u j ) Julio Julio 2003 2003

Kriging Comentarios sobre kriging Los valores entregados por kriging no deben ponerse en un mapa (Journel – 1984) La variabilidad conjunta es incorrecta Kriging reproduce los datos (Interpolador exacto) Los ponderadores obtenidos son independientes de la ley Las derivas se extrapolan mediante ponderadores negativos La varianza tampoco depende de las leyes Kriging suaviza A más variabilidad de corta escala más suavizamiento A mayor espaciamiento de los datos más suavizamiento El kriging de bloques suaviza aún más. Los valores de la ley para diferentes tamaños de bloques son similares, lo cual no es realista.

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 70 70

Julio Julio 2003 2003

Kriging Kriging de Indicadores Repaso:

1 si Z(u) ≤ z k i (uα ; z k ) =   0 en otro caso

El proceso del KI consiste en discretizar el intervalo de variabilidad de la ley z con una serie de valores de corte zk, k=1,…,K. Luego se construye una funcion de distribucion acumulativa condicional a partir de los K valores estimados usando kriging con los indicadores.

[i(u; zk )] = E{I (u; zk n)} = prob * {Z (u ) ≤ z k n}

’ Eric Gonzalez

Maptek Sudamérica

Variografía Variografía Pág. Pág. 71 71

Julio Julio 2003 2003

Estimación de leyes

ENVISAGE

ESTIMACIÓN DE LEYES (Grade estimation)

(Guía de aprendizaje)

Estimación de leyes ÍNDICE ESTIMACIÓN DE LEYES ..................................................................................................... 1 OPEN ................................................................................................................................ 1 CREACIÓN DEL ARCHIVO DE PARÁMETROS ............................................................... 1 INVERSE ................................................................................................................................. 3

ORDINARY............................................................................................................................. 7 INDICATOR................................................................................................................... 11 SELECCIÓN DE MUESTRAS Y BLOQUES............................................................... 16 ESTIMACIÓN DE LEYES ................................................................................................... 22 RUN 22

Estimación de leyes

ESTIMACIÓN DE LEYES En esta guía se mostrará paso a paso la forma de hacer una estimación de leyes usando el método del inverso de la distancia y krigging usando las rutinas de estimacion de leyes de Vulcan basadas en GSLIB. Como existen ventanas en común para los diferentes métodos, en cada sección se mostrarán las ventanas específicas de cada uno y luego las comunes. A continuación un conjunto de ventanas iniciales en común destinadas a preparar y definir los archivos que se van a usar en la estimación, tanto el modelo de bloques como el archivo de parámetros. OPEN Lo primero es abrir un archivo con el modelo de bloques que desee utilizar para hacer la asignación de las leyes estimadas. Este paso es alternativo, pues seleccionando alguno de los métodos se verificará si hay algún modelo de bloques abierto para la estimación y en caso de no encontrarse ninguno, el sistema pedirá la información necesaria mediante las mismas ventanas que se mostrarán a continuación. •

Seleccione Block

•

Seleccione Open. -

•

Aparecerá la ventana Block Model Open:

Ingrese el nombre del modelo de bloques que desea usar para hacer la estimación de leyes.

Este modelo es el que Ud. creó en Block Modelling Create Puede usar la flecha en el extremo de la casilla para el nombre del modelo para listar los archivos .bmf del directorio actual o pinchar el botón Browse … para navegar por un archivo.

CREACIÓN DEL ARCHIVO DE PARÁMETROS

1

Estimación de leyes •

Seleccione Inverse, Ordinary o Indicator de acuerdo al tipo de estimación que desee realizar.

-

•

Ingrese un nombre para New estimation ID. -

•

En esta ventana Ud. debe indicar el nombre del archivo en que almacenará los parámetros de estimación. El nombre del archivo en el disco será .bef. En este archivo puede haber diferentes conjuntos de parámetros de estimación. Para esto se ingresa un identificador adicional en la siguiente ventana.

Puede usar Old estimation ID si tiene un ID antiguo desde el que quiere copiar o modificar los parámetros para la estimación.

Haga click sobre OK.

A continuación Ud. debe dirigirse a la sección de la guía que corresponda al método de estimación que haya seleccionado: Para Inverse, Pág. 3; para Ordinary, Pág. 11 y para Indicator, Pág. 19.

2

Estimación de leyes INVERSE -

Se desplegará la siguiente ventana:

•

Puede seleccionar entre Block model estimation o Cross validation. En este caso seleccione Block model estimation. -

•

Ingrese, en el recuadro Grade variable, la variable del modelo de bloques en la que almacenará la estimación. -

•

Esta es una variable de las que Ud. definió en su modelo de bloques. En esta variable se almacenará la estimación de Ley para algún material (Cu, Au, etc.)

Ingrese en Default, el valor por defecto de la variable. -

•

La validación cruzada estima el valor estimado en la ubicación de una muestra, sin usar la muestra que se encuentra en esa posición.

Es el valor que se le asignará a los bloques que no puedan estimarse y que hayan sido seleccionados en la estimación.

Active Store number of samples si quiere almacenar, para cada bloque, el número de muestras utilizadas en la estimación. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar. 3

Estimación de leyes

-

•

El nombre de la variable puede seleccionarlo de la lista (haciendo click sobre el triángulo de la derecha) o escribirlo. Dicha variable la debió crear cuando definió su modelo de bloques. Default tiene el mismo significado que para la variable principal.

Active Store number of holes si quiere almacenar, para cada bloque, el número de sondajes utilizados en la estimación de cada bloque. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar. -

•

El nombre de la variable puede seleccionarlo de la lista (haciendo click sobre el triángulo de la derecha) o escribirlo. Dicha variable la debió crear cuando definió su modelo de bloques.

Active Store flag when estimated si quiere marcar los bloques que pudieron estimarse en esta corrida. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar y el valor que se asignará a la variable cuando un bloque es estimado. -

•

La variable no se modifica para bloques no estimados. .

Active Assign parent block value to subblock si quiere que las subceldas se estimen al soporte del bloque parent. -

Esto permite nombre de la variable puede seleccionarlo de la lista (haciendo click sobre el triángulo de la derecha) o escribirlo. Dicha variable la debió crear cuando definió su modelo de bloques. Default tiene el mismo significado que para la variable principal.

•

Active Store average distances si quiere almacenar, para cada bloque, la distancia promedio ponderada. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar.

•

Choose parent block size, permite utilizar un tamaño parent definido por el usuario que se debe definir en los siguientes recuadros.

•

Parent block X,Y,Z size, permite especificar el tamaño del bloque parent definido por el usuario.

•

Haga clic sobre Next para pasar al siguiente panel. -

Se desplegará el panel Distance to Samples.

4

Estimación de leyes

-

•

Seleccione la(s) variable(s) del modelo de bloques para almacenar el(los) tipo(s) de distancia(s) deseado(s). -

d=

Este panel permite guardar la distancia promedio entre el bloque y las muestras usadas en su estimación.

Este panel permite guardar la distancia promedio entre el bloque y las muestras usadas en su estimación. Hay varias formas de calcular la distancia promedio: Distancias cartesiana, anisotrópica según el elipsoide o anisotrópica según los ponderadores calculados por el método de interpolación. Puede consultar la ayuda en línea de Vulcan para una detallada explicación de la forma del cálculo de cada una de estas distancias.

( xa − xb ) 2 + ( ya − yb ) 2 + ( za − zb ) 2

d = Wx ( xa − xb ) 2 + Wy ( xa − xb ) 2 + Wz ( za − zb ) 2

•

En Defaul distance when no estimate is made, se ingresa el valor que asignará a las variables del modelo de bloques indicadas en este panel cuando no pueda efectuarse la estimación.

•

Haga clic sobre Next para pasar el siguiente panel.

5

Estimación de leyes

•

Bearing, Plunge y Dip son las rotaciones de los ejes del elipsoide o caja para la búsqueda de las muestras. -

•

Para una detallada explicación de las convenciones y funcionamiento de las rotaciones consulte la ayuda en línea de Vulcan. Adicionalmente puede usar la opción Display Ellipsoid para visualizar la orientación del elipsoide.

Major, Semi-Major y Minor axis son las dimensiones de los ejes del elipsoide o caja de búsqueda. -

•

Esto también se refleja al desplegar el elipsoide con la opción Display Ellipsoid.

Seleccione entre Use search Ellipsoid / Use search box, dependiendo de la forma geométrica que quiere usar para buscar las muestras. -

Tenga en cuenta que el volumen de un elipsoide de radios a, b, c es cerca de la mitad (π/6 veces) del volumen de una caja de lados 2a, 2b, 2c, por lo que el número de muestras para estimar un bloque puede ser muy diferente y por lo tanto los tiempos que toman los cálculos también.

6

Estimación de leyes

2a

a

a b

c

2a

2c

2b

Box Ellipsoid

•

Active la opción Unfold by tetrahedral model si tiene un modelo para transformar coordenadas estratigráficas. -

Este tipo de modelos es útiles para depósitos formados por estratos deformados. Estos modelos se generan con el módulo tetramodeling. Debe seleccionar el modelo en el recuadro.

•

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel.

•

En discretisation steps in X, Y, Z ingrese el número de puntos en que desea dividir en cada eje para hacer la estimación del bloque. -

Se dividirá el bloque en X*Y*Z puntos que serán estimados con las mismas muestras para después calcular un promedio para el bloque. En el ejemplo siguiente el bloque se ha discretizado en 3*3*3 = 27 puntos para luego calcular el promedio de las estimaciones de dichos puntos.

3

3 3

7

Estimación de leyes •

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel.

•

Debe ingresar en Minimum number of samples per estimate y en Maximum samples per estimate, el mínimo numero de muestras para que un bloque se pueda estimar y el máximo numero de muestras que efectivamente se usarán en la estimación. -

•

Las muestras más cercanas tendrán prioridad sobre las que están más alejadas.

Seleccione Use an octant based search para restringir las muestras por octante. -

•

Esto facilita la utilización de muestras en diferentes orientaciones dividiendo el espacio en octantes.

En Maximum samples per octant indique el máximo número de muestras que se permitirán por cada octante. -

Debe tener en cuenta el mínimo numero de muestras indicados para estimar un bloque..

8

Estimación de leyes

•

Seleccione Additional restrictions si quiere hacer una búsqueda por octante avanzada. -

Las opciones avanzadas se describen a continuación.

•

Minimum octants with samples fuerza a que exista al menos el número de octantes indicado en el casillero aportando muestras para la estimación.

•

Minimum samples per octant fuerza a que exista al menos el número de muestras indicado en el casillero por cada octante que aporte muestras para la estimación.

•

Select octant rotation type permite seleccionar entre tres diferentes rotaciones para definir los octantes a los que refiere este panel. Para cada rotación se indican los ángulos Bearing, Plunge y Dip. -

•

La distancia utilizada para determinar las muestras que están más próximas la puede seleccionar con las opciones Select by anisotropic distance y Select by cartesian distance. -

•

La distancia anisotrópica corresponde a la determinada según la anisotropía de la búsqueda. La búsqueda cartesiana se determina con la orientación de los ejes cartesianos X,Y,Z. Esta se recomienda sólo en casos muy especiales.

En la opción Distance to check duplicate samples, se permite indicar una tolerancia para muestras que se consideran localizadas en el mismo punto. -

•

Las dos últimas rotaciones corresponden a los ejes cartesianos y a la orientación de la búsqueda.

Las muestras duplicadas o muy cercanas pueden desestabilizar el sistema de kriging. Para ignorar las muestras duplicadas ingrese -1 en el casillero. Para utilizar duplicidad de coordenadas exacta ingrese 0.

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel.

9

Estimación de leyes

•

En X, Y, Z, ingrese los ponderadores que desea asignar a cada eje. -

d=

Estos ponderadores permiten transformar las distancias cartesianas en anisotrópicas para calcular los ponderadores. Las distancias cartesianas y anisotrópicas se muestran en las siguientes expresiones:

( xa − xb ) 2 + ( ya − yb ) 2 + ( za − zb ) 2

•

d = Wx ( xa − xb ) 2 + Wy ( xa − xb ) 2 + Wz ( za − zb ) 2

Active Normalise radii to search radii si desea que dichos ponderadores sean calculados automáticamente. -

Se calculará un ponderador para cada eje. Este ponderador será el cuociente entre el eje mayor y cada radio de búsqueda. Es decir, en el eje X’ será uno; el valor en el eje Y’ será: eje mayor/semi-mayor, en el eje Z’: eje mayor/eje menor. Estos ponderadores se usarán para determinar una distancia estadística a partir del vector distancia de la muestra al bloque. Los valores calculados podrán modificarse en la siguiente ventana.

•

En Power indique la potencia al cual se elevará la distancia antes de invertirla (1/dn).

•

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel.

Las ventanas siguientes son comunes para los diferentes métodos de estimación y las puede encontrar en la sección Selección de muestras y bloques (Pág. 31) de esta misma guía.

10

Estimación de leyes

ORDINARY -

Después de identificar los parámetros, se desplegará la siguiente ventana:

•

Puede seleccionar entre Block model estimation o Cross validation. En este caso seleccione Block model estimation. -

•

La validación cruzada estima el valor estimado en la ubicación de una muestra, sin usar la muestra que se encuentra en esa posición.

Ingrese, en el recuadro Grade variable, la variable del modelo de bloques en la que almacenará la estimación. -

•

Esta es una variable de las que Ud. definió en su modelo de bloques. En esta variable se almacenará la estimación de Ley para algún material (Cu, Au, etc.)

Ingrese en Default, el valor por defecto de la variable. -

Es el valor que se le asignará a los bloques que no puedan estimarse y que hayan sido seleccionados en la estimación.

11

Estimación de leyes •

Active Store number of samples si quiere almacenar, para cada bloque, el número de muestras utilizadas en la estimación. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar. -

•

El nombre de la variable puede seleccionarlo de la lista (haciendo click sobre el triángulo de la derecha) o escribirlo. Dicha variable la debió crear cuando definió su modelo de bloques. Default tiene el mismo significado que para la variable principal.

Active Store number of holes si quiere almacenar, para cada bloque, el número de sondajes utilizados en la estimación de cada bloque. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar. -

•

El nombre de la variable puede seleccionarlo de la lista (haciendo click sobre el triángulo de la derecha) o escribirlo. Dicha variable la debió crear cuando definió su modelo de bloques.

Active Store flag when estimated si quiere marcar los bloques que pudieron estimarse en esta corrida. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar y el valor que se asignará a la variable cuando un bloque es estimado. -

La variable no se modifica para bloques no estimados .

•

Active Store kriging variance si quiere guardar en una variable la varianza del error de estimación por kriging ordinario.

•

Active Assign parent block value to subblock si quiere que las subceldas se estimen al soporte del bloque parent. -

Esto permite nombre de la variable puede seleccionarlo de la lista (haciendo click sobre el triángulo de la derecha) o escribirlo. Dicha variable la debió crear cuando definió su modelo de bloques. Default tiene el mismo significado que para la variable principal.

•

Active Store average distances si quiere almacenar, para cada bloque, la distancia promedio ponderada. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar.

•

Choose parent block size, permite utilizar un tamaño parent definido por el usuario que se debe definir en los siguientes recuadros.

•

Parent block X,Y,Z size, permite especificar el tamaño del bloque parent definido por el usuario.

•

Haga clic sobre Next para pasar al siguiente panel. -

Se desplegará el panel Distance to Samples.

12

Estimación de leyes

-

•

Este panel permite guardar la distancia promedio entre el bloque y las muestras usadas en su estimación.

Seleccione la(s) variable(s) del modelo de bloques para almacenar el(los) tipo(s) de distancia(s) deseado(s). -

Este panel permite guardar la distancia promedio entre el bloque y las muestras usadas en su estimación. Hay dos formas de calcular la distancia promedio: Distancias cartesiana y anisotrópica según el elipsoide. Puede consultar la ayuda en línea de Vulcan para una detallada explicación de la forma del cálculo de cada una de estas distancias.

•

En Defaul distance when no estimate is made, se ingresa el valor que asignará a las variables del modelo de bloques indicadas en este panel cuando no pueda efectuarse la estimación.

•

Haga clic sobre Next para pasar el siguiente panel.

13

Estimación de leyes

•

Bearing, Plunge y Dip son las rotaciones de los ejes del elipsoide o caja para la búsqueda de las muestras. -

•

Para una detallada explicación de las convenciones y funcionamiento de las rotaciones consulte la ayuda en línea de Vulcan. Adicionalmente puede usar la opción Display Ellipsoid para visualizar la orientación del elipsoide.

Major, Semi-Major y Minor axis son las dimensiones de los ejes del elipsoide o caja de búsqueda. -

•

Esto también se refleja al desplegar el elipsoide con la opción Display Ellipsoid.

Seleccione entre Use search Ellipsoid / Use search box, dependiendo de la forma geométrica que quiere usar para buscar las muestras. -

Tenga en cuenta que el volumen de un elipsoide de radios a, b, c es cerca de la mitad (π/6 veces) del volumen de una caja de lados 2a, 2b, 2c, por lo que el número de muestras para estimar un bloque puede ser muy diferente y por lo tanto los tiempos que toman los cálculos también.

14

Estimación de leyes

2a

a

a b

c

2a

2c

2b

Box Ellipsoid

•

Active la opción Unfold by tetrahedral model si tiene un modelo para transformar coordenadas estratigráficas. -

Este tipo de modelos es útiles para depósitos formados por estratos deformados. Estos modelos se generan con el módulo tetramodeling. Debe seleccionar el modelo en el recuadro.

•

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel.

•

En discretisation steps in X, Y, Z ingrese el número de puntos en que desea dividir en cada eje para hacer la estimación del bloque. -

Se dividirá el bloque en X*Y*Z puntos que serán estimados con las mismas muestras para después calcular un promedio para el bloque. En el ejemplo siguiente el bloque se ha discretizado en 3*3*3 = 27 puntos para luego calcular el promedio de las estimaciones de dichos puntos.

3

3 3

15

Estimación de leyes •

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel.

•

Debe ingresar en Minimum number of samples per estimate y en Maximum samples per estimate, el mínimo numero de muestras para que un bloque se pueda estimar y el máximo numero de muestras que efectivamente se usarán en la estimación. -

•

Las muestras más cercanas tendrán prioridad sobre las que están más alejadas.

Seleccione Use an octant based search para restringir las muestras por octante. -

•

Esto facilita la utilización de muestras en diferentes orientaciones dividiendo el espacio en octantes.

En Maximum samples per octant indique el máximo número de muestras que se permitirán por cada octante. -

Debe tener en cuenta el mínimo numero de muestras indicados para estimar un bloque.

16

Estimación de leyes •

Seleccione Additional restrictions si quiere hacer una búsqueda por octante avanzada. -

Las opciones avanzadas se describen a continuación.

•

Minimum octants with samples fuerza a que exista al menos el número de octantes indicado en el casillero aportando muestras para la estimación.

•

Minimum samples per octant fuerza a que exista al menos el número de muestras indicado en el casillero por cada octante que aporte muestras para la estimación.

•

Select octant rotation type permite seleccionar entre tres diferentes rotaciones para definir los octantes a los que refiere este panel. Para cada rotación se indican los ángulos Bearing, Plunge y Dip. -

•

Las dos últimas rotaciones corresponden a los ejes cartesianos y a la orientación de la búsqueda.

La distancia utilizada para determinar las muestras que están más próximas la puede seleccionar con las opciones Select by anisotropic distance y Select by cartesian distance. -

•

La distancia anisotrópica corresponde a la determinada según la anisotropía de la búsqueda. La búsqueda cartesiana se determina con la orientación de los ejes cartesianos X,Y,Z. Esta se recomienda sólo en casos muy especiales.

En la opción Distance to check duplicate samples, se permite indicar una tolerancia para muestras que se consideran localizadas en el mismo punto. -

•

Las muestras duplicadas o muy cercanas pueden desestabilizar el sistema de kriging. Para ignorar las muestras duplicadas ingrese -1 en el casillero. Para utilizar duplicidad de coordenadas exacta ingrese 0.

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel. -

Aparecerá la ventana Variogram model selection

17

Estimación de leyes

•

Read variogram from a file permite capturar un modelo desde un archivo. En el recuadro debe ingresar el nombre del archivo. -

Este modelo se lee del archivo .vrg generado por las opciones de modelamiento de Vulcan.

•

En Nugget ingrese el efecto pepita del modelo.

•

Seleccione el tipo de modelo a utilizar en la especificación del variograma. 18

Estimación de leyes

•

En Sill Differential ingrese el aporte de varianza de esta estructura del variograma..

•

En Major, Semi-Major y Minor axis se indican los alcances de esta estructuras en las diferentes direcciones de anisotropía. -

•

Estas definen la extensión de la continuidad de los ejes mayor-semi y menor para esta estructura.

En Bearing, Plunge y Dip se indica la orientación de la estructura que se está ingresando. -

Estas definen la orientación de la anisotropía de los ejes mayor-semi y menor.

•

Active Add another structure to this variogram si todavía requiere indicar más estructuras anidadas para este modelo.

•

Seleccione Next cuando haya ingresado todos los valores

Las ventanas siguientes son comunes para los diferentes métodos de estimación y las puede encontrar en la sección Selección de muestras y bloques (Pág. 31) de esta misma guía. INDICATOR -

Después de configurar el archivo de parámetros y estimation ID, se desplegará la siguiente ventana:

19

Estimación de leyes

-

•

Debido a que el proceso de calculo de la ley se hace a posteriori, aquí no hay una variable de ley:

Active Store number of samples si quiere almacenar, para cada bloque, el número de muestras utilizadas en la estimación. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar. -

•

El nombre de la variable puede seleccionarlo de la lista (haciendo click sobre el triángulo de la derecha) o escribirlo. Dicha variable la debió crear cuando definió su modelo de bloques. Default tiene el mismo significado que para la variable principal.

Active Store number of holes si quiere almacenar, para cada bloque, el número de sondajes utilizados en la estimación de cada bloque. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar. -

•

El nombre de la variable puede seleccionarlo de la lista (haciendo click sobre el triángulo de la derecha) o escribirlo. Dicha variable la debió crear cuando definió su modelo de bloques.

Active Store flag when estimated si quiere marcar los bloques que pudieron estimarse en esta corrida. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar y el valor que se asignará a la variable cuando un bloque es estimado. -

La variable no se modifica para bloques no estimados .

20

Estimación de leyes •

Active Store kriging variance si quiere guardar en una variable la varianza del error de estimación por kriging ordinario.

•

Active Assign parent block value to subblock si quiere que las subceldas se estimen al soporte del bloque parent. -

Esto permite nombre de la variable puede seleccionarlo de la lista (haciendo click sobre el triángulo de la derecha) o escribirlo. Dicha variable la debió crear cuando definió su modelo de bloques. Default tiene el mismo significado que para la variable principal.

•

Active Store average distances si quiere almacenar, para cada bloque, la distancia promedio ponderada. Debe indicar en el recuadro el nombre de la variable del modelo de bloques que va a usar.

•

Choose parent block size, permite utilizar un tamaño parent definido por el usuario que se debe definir en los siguientes recuadros.

•

Parent block X,Y,Z size, permite especificar el tamaño del bloque parent definido por el usuario.

•

Haga clic sobre Next para pasar al siguiente panel.

•

-

Se desplegará el panel Distance to Samples.

-

Este panel permite guardar la distancia promedio entre el bloque y las muestras usadas en su estimación.

Seleccione la(s) variable(s) del modelo de bloques para almacenar el(los) tipo(s) de distancia(s) deseado(s).

21

Estimación de leyes -

Este panel permite guardar la distancia promedio entre el bloque y las muestras usadas en su estimación. Hay dos formas de calcular la distancia promedio: Distancias cartesiana y anisotrópica según el elipsoide. Puede consultar la ayuda en línea de Vulcan para una detallada explicación de la forma del cálculo de cada una de estas distancias.

•

En Defaul distance when no estimate is made, se ingresa el valor que asignará a las variables del modelo de bloques indicadas en este panel cuando no pueda efectuarse la estimación.

•

Haga clic sobre Next para pasar el siguiente panel.

•

Bearing, Plunge y Dip son las rotaciones de los ejes del elipsoide o caja para la búsqueda de las muestras. -

•

Para una detallada explicación de las convenciones y funcionamiento de las rotaciones consulte la ayuda en línea de Vulcan. Adicionalmente puede usar la opción Display Ellipsoid para visualizar la orientación del elipsoide.

Major, Semi-Major y Minor axis son las dimensiones de los ejes del elipsoide o caja de búsqueda. -

Esto también se refleja al desplegar el elipsoide con la opción Display Ellipsoid.

22

Estimación de leyes

2a

a

a b

c

2a

2c

2b

Box Ellipsoid

•

Seleccione entre Use search Ellipsoid / Use search box, dependiendo de la forma geométrica que quiere usar para buscar las muestras. -

•

Tenga en cuenta que el volumen de un elipsoide de radios a, b, c es cerca de la mitad (π/6 veces) del volumen de una caja de lados 2a, 2b, 2c, por lo que el número de muestras para estimar un bloque puede ser muy diferente y por lo tanto los tiempos que toman los cálculos también.

Active la opción Unfold by tetrahedral model si tiene un modelo para transformar coordenadas estratigráficas. -

Este tipo de modelos es útiles para depósitos formados por estratos deformados. Estos modelos se generan con el módulo tetramodeling. Debe seleccionar el modelo en el recuadro.

•

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel.

•

En discretisation steps in X, Y, Z ingrese 1, 1 y 1 respectivamente. -

Kriging de indicadores debe hacerse al soporte de las muestras para poder ensamblar una distribución corregida de los bloques.

23

Estimación de leyes

1

1 1

•

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel.

•

Debe ingresar en Minimum number of samples per estimate y en Maximum samples per estimate, el mínimo número de muestras para que un bloque se pueda estimar y el máximo número de muestras que efectivamente se usarán en la estimación. -

•

Las muestras más cercanas tendrán prioridad sobre las que están más alejadas.

Seleccione Use an octant based search para restringir las muestras por octante. 24

Estimación de leyes -

•

Esto facilita la utilización de muestras en diferentes orientaciones dividiendo el espacio en octantes.

En Maximum samples per octant indique el máximo número de muestras que se permitirán por cada octante. -

•

Debe tener en cuenta el mínimo numero de muestras indicados para estimar un bloque..

Seleccione Additional restrictions si quiere hacer una búsqueda por octante avanzada. -

Las opciones avanzadas se describen a continuación.

•

Minimum octants with samples fuerza a que exista al menos el número de octantes indicado en el casillero aportando muestras para la estimación.

•

Minimum samples per octant fuerza a que exista al menos el número de muestras indicado en el casillero por cada octante que aporte muestras para la estimación.

•

Select octant rotation type permite seleccionar entre tres diferentes rotaciones para definir los octantes a los que refiere este panel. Para cada rotación se indican los ángulos Bearing, Plunge y Dip. -

•

Las dos últimas rotaciones corresponden a los ejes cartesianos y a la orientación de la búsqueda.

La distancia utilizada para determinar las muestras que están más próximas la puede seleccionar con las opciones Select by anisotropic distance y Select by cartesian distance. -

•

La distancia anisotrópica corresponde a la determinada según la anisotropía de la búsqueda. La búsqueda cartesiana se determina con la orientación de los ejes cartesianos X,Y,Z. Esta se recomienda sólo en casos muy especiales.

En la opción Distance to check duplicate samples, se permite indicar una tolerancia para muestras que se consideran localizadas en el mismo punto. -

•

Las muestras duplicadas o muy cercanas pueden desestabilizar el sistema de kriging. Para ignorar las muestras duplicadas ingrese -1 en el casillero. Para utilizar duplicidad de coordenadas exacta ingrese 0.

Haga clic sobre Next para continuar en el siguiente panel. -

Se desplegará la ventana Indicator Kriging Cut Offs.

25

Estimación de leyes

•

En este panel por cada línea se ingresa la variable donde se almacenará el resultado del kriging del indicador, la varianza de estimación, el valor por defecto común para las dos variables y el valor de la ley de corte que define el indicador.

NOTA: Puede usar hasta 20 cutoff para determinar la ley por Kriging de indicadores, para esto debe Ud. haber creado las variables suficientes en su modelo de bloques para poder almacenar los valores, es decir, si va a usar 5 cutoffs, debe haber definido 5 variables para los indicadores, además de por lo menos otra, para la ley estimada. Para activar cada grupo de entradas de datos debe marcar con el mouse el recuadro de activación a la izquierda de cada fila de ingreso. •

Seleccione Next. cuando haya completado la ventana anterior.

26

Estimación de leyes •

Seleccione entre especificar median indicador kriging o especificar los variogramas para cada cutoff. -

•

Seleccione Next. cuando haya completado la ventana anterior. -

•

Con median indicador kriging se especifica un variograma común para cada cutoff, perdiendo gran parte de la riqueza de esta herramienta..

Aparecerá la ventana Variogram model selection. Esta ventana es similar a la mostrada en la sección Ordinary (Pág. 18). Una vez que haya ingresado todos los valores aparecerán ventanas similares a la mencionada pero en forma múltiple para los variogramas de los diferentes Cutoff, en caso de no usar median indicador kriging.

Seleccione Next en la ventana Variogram model selection para la última ley de corte.

27

Estimación de leyes

Después de estimar los valores de indicador para cada cutoff, se tiene una distribución discreta con las relaciones de orden corregidas. La primera parte de este panel permite construir una distribución continua a partir de la distribución discreta con la varianza reducida para el tamaño de los bloques. Primero se corrige la varianza:

•

No volume correction. 28

Estimación de leyes En este caso la varianza no se corrige. No se recomienda ya que las leyes obtenidas no son representativas pare el volumen del bloque.

•

Affine volume correction Se mantiene la forma de la distribución manteniendo la media, pero ajustando la varianza. Note que los valores extremos cambian.

•

Indirect lognormal volume correction Este hace un ajuste asumiendo que se esta modificando una distribución lognormal.

•

Variance reduction factor Este es al factor de ajuste de la varianza propiamente. El ajuste se hará basado en este factor. La varianza de la nueva distribución será la varianza de la distribución original multiplicada por este factor. A continuación viene el proceso de hacer de la distribución discreta una distribución continua.

•

Minimum of the distribution Este es el valor mas bajo de la distribución. Este debiera ser menor que el menor cutoff. A menudo se usa 0, como el valor mínimo.

•

Maximum of the distribution Esta es la ley más alta de la distribución. El aumento de este valor aumenta el valor de las leyes producidas.

•

Left tail distribution parameter Este parámetro controla la forma de la distribución entre el valor mínimo y el menor cutoff. Si es 1, es una linea recta. Si es menor que 1, se usa una curva sobre la recta, si es mayor que una, la curva es bajo la recta.

•

Middle interval distribution parameter Cumple la misma función que el parámetro anterior, pero para conectar la distribución entre cutoffs.

•

Right tail distribution parameter Cumple la misma función que el parámetro anterior, pero para conectar la distribución entre el mayor cutoff y el máximo de la distribución.

•

Discretisation of the distribution Este es el número de muestras que se sacan de la nueva distribución continua. Se recomienda un número como 20, para no sacrificar velocidad ni perder representatividad. Si se usa 20, la distribución se muestrea a intervalos de 5%, partiendo en 2.5% hasta 97.5%. .

29

Estimación de leyes Completado lo anterior se esta en condiciones de extraer información de la distribución. Los siguientes valores pueden obtenerse y guardarse en variables en el modelo de bloques:

•

Mean of the distribution Esta es la media de la distribución o valor estimado E-type.

•

Coefficient of variation of the distribution El coeficiente de variación obtenido de la distribución después de hacer la corrección de varianza (varianza/media).

•

Grade value at a given probability Este es el valor de la ley para una probabilidad dada. La probabilidad se ingresa en el recuadro correspondiente.

•

Probability for grade cutoff Este es la probabilidad para el cutoff dado. El cutoff se ingresa en el recuadro correspondiente y se usa para las siguientes dos opciones.

•

Grade over cutoff Esta es la ley media sobre el cutoff.

•

Grade under cutoff Esta es la ley media bajo el cutoff.

•

Total grade Si decide guardar este valor en el modelo, esta ley se calculará utilizando valores medios indicados por el usuario para cada intervalo entre los cutoff. De esa forma la integral se calcula en forma discreta. El panel con las medias para cada intervalo y para los extremos, se ingresa en un siguiente panel.

•

Seleccione Next para continuar Se desplegará el panel de medias en el caso de usar Total Grade.

30

Estimación de leyes

-

A partir de este momento las ventanas son comunes y se muestran en la sección siguiente: Selección de muestras y bloques.

SELECCIÓN DE MUESTRAS Y BLOQUES -

•

Aparecerá la ventana Samples Database

Seleccione Use Database o Use Map file de acuerdo al formato del archivo de compósitos. -

Si los datos de los compósitos se encuentran en una base de datos ISIS (VULCAN), debe seleccionar Use database e ingresar el nombre del Datasheet y el identificador opcional. Si los datos se encuentran en un archivo ASCII, debe seleccionar la segunda opción e ingresar el identificador de Map file.

•

Ingrese el nombre del Datasheet y el optional identifier si seleccionó Use Database o ingrese el Map file Identifier si seleccionó la otra opción.

•

Seleccione Next.

•

Ingrese en Sample groups el nombre del (los) grupo(s) de compósitos que desea usar en la estimación. 31

Estimación de leyes

-

Cada base de datos de compósitos ISIS puede tener diferentes grupos de compósitos efectuados usando diferentes especificaciones (Run length, Bench, 10mt, 5mt, etc.). Si Ud. desea usar más de un grupo de compósitos puede utilizar comodines para especificar el nombre de los grupos de compósitos que va a usar. Un asterísco indica que se van a usar todos los grupos de compósitos de la base de datos.

•

Ingrese en Location X, Y, Z, los campos dentro de la base de datos de compósitos en que se encuentran las coordenadas de las muestras.

•

Ingrese en Assay Field el CAMPO que contiene la información de las muestras que desea utilizar para hacer la estimación. -

Con la información de esta variable dentro del archivo de compósitos se generará la estimación de la variable de interés dentro del modelo de bloques (Por ejemplo el valor de la ley de cobre dentro del archivo de compósitos generará la estimación para la variable Cu del modelo de bloques)

•

Seleccione Next cuando haya completado la ventana.

•

Active Apply logarithm si desea aplicar la función logaritmo a las muestras antes de estimar las leyes. -

Debe asegurarse que las leyes sean todas positivas para usar esta opción..

•

El valor en Logarithm constant se agregará al valor obtenido al aplicar el logaritmo a la ley.

•

Active Cut grade samples si quiere asignar un valores de corte a muestras cuyos valores sean sean mayores o menores a los límites por Ud. ingresados. -

Necesitará ingresar dos valores: Lower grade cut value y Upper grade cut value. Si una muestra tiene una valor inferior al primero mencionado, se le utilizará automáticamente dicho valor. Lo mismo sucede con valores superiores a Upper grade cut value.

32

Estimación de leyes •

Seleccione Next. cuando haya completado el panel. -

•

Aparecerá la ventana Sample Selection, que permite restringir, mediante una o mas de las condiciones descritas en ella, las muestras que se utilizarán para la estimación.

Seleccione Select using a Numeric tag para limitar las muestras de acuerdo al valor de un campo numérico. -

•

En este caso debe ingresar el nombre del campo y seleccionar uno o más de los criterios disponibles, es decir: Usar cuando dicho campo tenga valores específicos ingresados por Ud., ignorar muestras cuando el mismo campo tenga también valores indicados por Ud. o usar muestras cuando el valor en el campo esté dentro de un rango. Todos estos valores los puede ingresar en las ventanas Specific W values, Ignore W values y Range of W values respectivamente. Cada una de estas ventanas aparecerá sólo si se seleccionó la opción correspondiente y permiten ingresar hasta 10 valores para los primeros dos casos y un intervalo para el tercero.

Seleccionando Select using a Character Tag puede limitar las muestras de acuerdo al valor de un campo alfanumérico. -

En este caso debe ingresar el nombre del campo y seleccionar los mismos criterios que para Numeric tag salvo, obviamente, para el caso del intervalo, que no está disponible.

33

Estimación de leyes •

Active Select Using solid triangulation para limitar las muestras a aquellas que se encuentran dentro de una triangulación de un modelo sólido. -

•

Select Using solid triangulation debe estar acompañado de Use points inside solids. Debe indicar con el mouse una triangulación en la pantalla o presionar el botón derecho para seleccionarla de una lista.

Use Field restrictions permite establecer restricciones para muestras cuyos campos cumplan las restricciones escritas en la ventana Field selection. Puede usar hasta 15 restricciones para los campos y se usarán las muestras cuyos campos satisfagan las condiciones indicadas en los recuadros de la derecha de la ventana

-

Cuando haya completado las opciones que Ud. indicó, aparecerá la siguiente ventana.

34

Estimación de leyes

•

Seleccione Exclude distant, high yield samples si quiere limitar los radios de búsqueda para muestras con elevada concentración. -

•

En Threshold for high yield samples ingrese el valor a partir del cual una muestra se considerará como de alta concentración y para la que se restringirá el radio de búsqueda. En los siguientes recuadros debe indicar los valores para la nueva elipsoide de búsqueda.

Seleccione Limit samples per drill hole si desea no incluir demasiadas muestras de un solo sondaje. -

•

Con esto evitará evaluar los bloques usando demasiadas muestras de un solo sondaje. Así podrá aumentar el número de sondajes utilizados en la evaluación de cada bloque. En el casillero Drill hole field name debe indicar el campo en la base de datos en que se encuentra el identificador del sondaje.

Seleccione Next. cuando haya completado la ventana -

Se desplegará la ventana Block Selection para la selección de los bloques que van a estimarse. En las ventanas anteriores fueron la muestras las que se pudieron restringir, ahora se hará algo similar pero para los bloques

35

Estimación de leyes

•

Seleccione Use specific zone si desea incluir sólo los bloques con un determinado valor en una variable. -

•

Seleccione Use condition on blocks si desea usar sólo los bloques que cumplan una determinada condición. -

•

Por ejemplo estimar sólo aquellos bloques que aún no han sido estimados en ejecuciones anteriores. Para esto debe indicar la condición en el recuadro Condition que deben cumplir los bloques que van a estimarse (Ej.: Flag eq 0)

Seleccione Use bounding box si desea estimar sólo aquellos bloques que se encuentran dentro de un rango de coordenadas. -

•

Para esto debe indicar el nombre de la variable y el valor de la misma en Zone variable y zone value respectivamente.

Si la coordenada del bloque se encuentra dentro de dichos límites, el bloque será estimado.

Seleccione Use bounding triangulation para estimar sólo aquellos bloques que se encuentren dentro de una triangulación.

36

Estimación de leyes -

•

Dicha triangulación la puede anotar directamente en el recuadro o seleccionarla de una lista haciendo click sobre el triángulo que aparece a la derecha.

Haga click sobre Next. cuando haya terminado. En el caso de Indicador,En este momento se habrán grabado las opciones en el archivo de parámetros de estimación que Ud. indicó cuando comenzó a seguir esta guía y volverá al menú Grade Estimation. En los otros métodos aparecerá la ventana Extra estimation variables.

RUN A continuación se generará el modelo de bloques de acuerdo a las especificaciones ingresadas en las páginas previas. •

Seleccione RUN

-

En esta ventana Ud. debe indicar el nombre del archivo en que almacenó los parámetros de estimación.

37

Estimación de leyes

-

•

Ingrese el nombre del identificador que utilizó al definir los parámetros de estimación.

Seleccione OK. -

Aparecerá una ventana de sistema en que se ejecuta la rutina de estimación de leyes. Cuando ésta termine presione Enter.

38