CURSO GEOESTADISTICA

GEOESTADISTICA

Teoría y Práctica Aplicación en la Caracterización de Yacimientos Bogotá, Febrero 2010

GEOESTADISTICA Aplicación en la Caracterización de Yacimientos

Ramón Giraldo H. PhD Estadística Universidad Nacional de Colombia

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Contenido Introducción 1. Análisis Exploratorio de Datos Espaciales 1.1 1.2 1.3 1.4

Datos Espaciales Tipos de Variables y Escalas de Medida Medidas Descriptivas Gráficos Exploratorios

2. Definiciones Básicas de Geoestadística 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Definición y Origen de la Geoestadística Variable Regionalizada Estacionariedad Fuerte e Intrínseca Isotropía Ejemplo.

3. Dependencia o Correlación Espacial 3.1. Funciones de Correlación Espacial 3.1.1. Variograma y Semivariograma 3.1.2. Covariograma 3.1.3. Correlograma 3.1.4. Semivariograma experimental 3.2. Modelos Teóricos de Semivarianza 3.3. Ejemplo.

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4. Predicción Espacial 4.1. 4.2. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Predicción Espacial Optima Métodos Kriging Kriging Ordinario Kriging Indicador Cokriging Ordinario Ejemplo.

5. Apéndice 5.1 Álgebra de Matrices 5.2. Conceptos Estadísticos Básicos 5.2 Regresión y Mínimos Cuadrados.

6. Aplicaciones a Datos Reales 6.1. Aplicación en sísmica 6.2 Aplicación con información de pozos

7. Bibliografía.

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Introducción La necesidad de acudir a herramientas estadísticas para el análisis de datos en todas las áreas del conocimiento, ha hecho que aparezcan con el correr de los años nuevas metodologías que, no obstante se centran en fundamentos probabilísticos comunes, son específicas para cada una de las diversas disciplinas del saber. Algunos ejemplos son, entre otros, minería, geología y geofísica. La gran relevancia que tiene a nivel mundial el tema de la caracterización de reservorios ha hecho que los profesionales en estadística encaminen esfuerzos en el desarrollo de nuevas técnicas apropiadas para el análisis de información enmarcada dentro de este contexto. Dentro de este los métodos geoestadísticos juegan un papel preponderante. La geoestadística permite cuantificar la incertidumbre y especificar la forma en que ésta varía en el espacio-tiempo. Uno de sus campos de aplicación es la caracterización de reservorios, que involucra un conjunto de métodos probabilísticos, cuyo objetivo es definir el modelo más probable de un reservorio, con sus formas de cuerpos, heterogeneidades petrofísicas, geometría estructural y caracterización paleoambiental. Los yacimientos poseen pozos irregularmente distribuidos en función de cómo haya sido la historia de su desarrollo. Cuando una empresa decide llevar adelante una tarea de perforación necesita conocer qué chances va a tener de encontrar crudo y eso implica minimizar las incertezas que se desprenden de la falta de homogeneidad de los cuerpos. De esta forma, las posibilidades de hallar el recurso buscado aumentan o disminuyen según cuáles sean las condiciones de porosidad y permeabilidad, entre otros factores. Ahí es donde entra la geoestadística, por ser una herramienta que permite predecir en un punto qué valor aproximado se va a tener de una determinada propiedad, y qué incertidumbre asociada se tiene a esa predición, que combinada con la geofísica de reservorio permite integrar la información de pozos y el dato sísmico a fin de determinar nuevas locaciones para drenar las zonas saturadas. En el documento se presentan las definiciones y los conceptos teóricos y en el desarrollo del curso se harán aplicaciones con datos geofísicos reales (capítulo 6 no incluido en el docuemnto). Para el seguimiento completo de la teoría descrita se requiere tener conocimientos básicos de álgebra de matrices y de estadística matemática. Sin embargo aquellas personas que estén poco familiarizadas con estos temas, podrán obviar la lectura de algunas secciones en las que se hacen desarrollos teóricos y centrar su atención en la filosofía de los métodos presentados y en las aplicaciones mostradas en cada uno de los capítulos del documento. Un resumen no exhaustivo de conceptos de álgebra lineal y de estadística es hecho al final en el apéndice. Aunque en el texto se cubren a manera de introducción diversos temas geoestadísticos y se hacen aplicaciones de métodos recientes, es necesario acudir a la lectura de artículos científicos y textos formales para lograr un buen dominio de esta metodología.

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Capitulo Uno Análisis Exploratorio de Datos Espaciales 1.1. Datos Espaciales. Las mediciones de las características de interés en un estudio regionalizado tienen implícitamente asociadas las coordenadas geográficas de los sitios en donde estas fueron tomadas. Generalmente cuando el área de estudio es considerablemente grande se usa un geoposicionador para establecer dichas coordenadas. En otros casos es suficiente con hacer asignaciones según planos cartesianos. Un esquema general de datos georreferenciados (datos espaciales) es el siguiente: Sitio

1 2 3 4 . . . n

Latitud Norte

Longitud Este

Var. 1

Var. 2

.

       

       

X11 X21 X31 X41 . . . Xn1

X12 X22 X32 X42 . . . Xn2

. . . . . . . .

.

.

. . . . . . . .

Var. p

. . . . . . . .

X1p X2p X3p X4p . . . Xnp

En la tabla anterior n es el número de sitios muestreados y p el de variables medidas en cada uno de ellos. Cada Xij corresponde a una medida de una variable (variable j) que puede ser numérica (discreta o continua) o categórica (ordinal o nominal). En general la metodología geoestadística trabaja con datos correspondientes a variables numéricas. Algunas de las variables pueden estar más intensamente muestreadas que las otras (Xij faltantes). Las coordenadas pueden ser planas, geográficas (grados, minutos y segundos) o cartesianas. Sin embargo la posible utilización de unas u otras depende del software empleado para los análisis. 1.2. Tipos de Variables y Escalas de Medida Existen distintas categorías para las variables y se han propuesto numerosas clasificaciones para expresar su variabilidad. Las dos más comunes son: 1) De doble estado o binarias, que son aquellos que pueden tomar sólo dos valores, p.ej. los datos de presencia o ausencia de un mineral. 2) De Multiestado, que son aquellas en que las medidas pueden tomar tres o

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más valores, éstas pueden ser Cualitativas o Cuantitativas, y presentan diferentes escalas de medida (Digby & Kempton, 1992). 1.2.1 Variables Cualitativas Son aquellos que expresan cualidades no mensurables y se dividen en cualitativas sin secuencia lógica y cualitativas con secuencia lógica dependiendo de su escala de medida. Las posibles escalas de medida de las variables cualitativas son: a) Escala Nominal: Se presenta cuando las observaciones de la variable no pueden ser ordenadas en una secuencia de grados del atributo. Esta es la escala más simple de medida, p. ej. épocas climáticas (seco, lluvioso), sitios geográficos, etc. b) Escala Ordinal: Se presenta cuando las mediciones pueden ser ordenadas de menor a mayor o viceversa, pero las distancias entre los elementos ordenados no tienen ningún sentido físico y si lo tienen, no son iguales a todo lo largo de la escala, p.ej. tipo de grano (arcilla, limo), dureza de un mineral . 1.2.2. Variables Cuantitativas Expresan magnitudes o cantidades, que son el resultado de mediciones de algún instrumento, conteos de eventos o de operaciones matemáticas simples. Estos pueden ser: 1.2.2.1. Variables Discretas: Son aquellas que representan cantidades expresables sólo por un número finito de valores en la escala real, generalmente las que sólo pueden tomar valores enteros, sin fracciones. 1.2.2.2. Variables Continuas: Son aquellas en los que existe potencialmente un número infinito de valores entre dos puntos de la escala. Pueden ser datos enteros o fraccionarios, p. ej. Características físicas o químicas. 1.2.2.3. Variables Derivadas: Son aquellas en que los datos son generados a partir de cálculos simples entre medidas de variables cuantitativas o cualitativas, p. ej. índices, tasas, proporciones, etc. Las variables continuas tienen dos posibles escalas de medida, estas son : a) Escala de Intervalo: Es una escala ordinal en donde las distancias tienen un sentido físico igual a todo lo largo de la escala, pero el punto de valor cero es fijado arbitrariamente, p. ej. el tiempo (el tiempo inicial (t0) puede ser cualquier momento), la altitud (cero se refiere al nivel del mar) y la temperatura en grados Celsius en la que por ejemplo el valor de cero grados no indica ausencia de calor o de agitación de moléculas y por consiguiente no es posible afirmar que un cuerpo de 20 grados tiene el doble de calor que uno de 10. b) Escala de Razón: Es una escala de intervalo en la que no hay que fijar un cero arbitrario, entonces el resultado de dividir o multiplicar un valor de la escala por otro tiene un sentido físico, p. ej. Las variables químicas.

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1.3.Medidas Descriptivas. Siempre que se va a realizar un análisis estadístico, es conveniente realizar un estudio exploratorio de los datos. Esto implica establecer si los datos están muy agrupados o muy dispersos, cual es el punto representativo de la agrupación y si hay observaciones muy alejadas de las restantes. Estos aspectos se tratan a continuación: 1.3.1. Medidas de Localización Estas medidas indican alrededor de que valor se agrupan los datos, generando valores representativos de las observaciones (tabla 1). a) Media: Es el promedio aritmético de las observaciones y una medida representativa cuando no hay valores muy extremos en los datos, porque en esos casos es afectada por ellos, corriéndose hacia un lado de la distribución. b) Mediana: Se define como el valor de la variable que supera el 50 % de las observaciones y es superado por el restante 50 %. Esta medida tiene en cuenta sólo el orden de los datos más no su magnitud, por esto no se deja afectar por los valores atípicos (extremos) y puede ser más representativa que la media en muchos casos. c) Cuantilas: Particionan en intervalos de igual amplitud la distribución. Particularmente los cuartiles (Qi , i=1,2,3) son de gran utilidad, como se verá más adelante, en la detección de observaciones atípicas

Tabla 1. Medidas de localización con sus respectivos cálculos muestrales Medida

Cálculo.

Media

n

x Mediana

 xi i 1

n

Estadísticas de orden:

x( 0)  x(1)  x( 2 ) ...  x( n) x  x( n 1 ) / 2 Si n impar ~

Si n par

xn / 2  x( n / 2  1 ) ~ x 2

Similar a la mediana pero se divide Cuantilas (Cuartiles, Deciles, sobre 4 en el caso de cuartíles o sobre 10 en los Deciles. etc)

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1.3.2. Medidas de Variabilidad Indican cuanto se alejan o dispersan los datos con respecto a las medidas de localización o el grado de homogeneidad de los mismos (tabla 2). a) Varianza: Es una medida de la dispersión en la distribución de probabilidad de una variable aleatoria, expresada en unidades cuadradas. b) Desviación Estándar: Indica en promedio cuánto se alejan las observaciones de la media aritmética; está dada en las mismas unidades de la variable, a diferencia de la varianza. c) Coeficiente de Variación (C.V.): Es una medida relativa de variabilidad y, en general, se acepta que un conjunto de datos es relativamente homogéneo si el C.V. es menor del 30%, aunque algunos autores refutan este concepto. d) Rango y Rango Intercuartílico: Representan el recorrido de la variable y la distancia entre los cuartíles, respectivamente. Son útiles cuando se comparan dos o más distribuciones. Tabla 2. Medidas de variabilidad con sus respectivos cálculos muestrales Medida

Cálculo

Varianza

n

S2  Desviación Estándar Error Estándar

  xi  X  i 1

2

n1

S  S2 E .E 

S2 n

Coeficiente de Variación Rango Rango entre Cuartíles

S ~x Xmáx - Xmin

Q3  Q1

1.4. Gráficos Exploratorios A continuación se presentan algunos gráficos que resumen la información de un conjunto de datos, indicando aparte de las medidas de localización y variabilidad, aspectos importantes como la detección de observaciones atípicas.

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a). Histogramas Un histograma es un conjunto de rectángulos, cada uno de los cuales representa un intervalo de agrupación o clase. La base de cada rectángulo es igual a la amplitud del intervalo, y la altura es proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) de cada clase. Para obtener una buena representación de las frecuencias de las observaciones, se recomienda calcular 2 n como el número aproximado de intervalos, sin embargo se debe tener en cuenta que esto depende de la variable estudiada y no es una regla que se debe seguir siempre (Peña, 1987). b). Diagrama de Caja Este diagrama resume un conjunto de observaciones univariadas, suministrando un análisis exploratorio de los datos, útil para estudiar simetría, supuestos distribucionales y detectar observaciones atípicas (Hoaglin et al., 1983). El gráfico (Fig. 1) divide los datos en cuatro áreas de igual frecuencia. La caja central encierra el 50%, tomando la línea vertical como la mediana. La línea horizontal va desde el primer cuartíl hasta menos 1.5 veces el rango intercuartílico del primer cuartíl, y desde el tercer cuartíl hasta mas 1.5 veces el rango intercuartílico del tercer cuartíl. Los puntos que estén por fuera de la línea horizontal se consideran puntos afuera y en algunos casos cuando están a más de tres veces del rango entre cuartiles se consideran como puntos muy afuera o muy alejados

Q1 - 1.5R.I

Q1

Me

Q3

Q3 + 1.5 R.I

Figura 1. Representación de un diagrama de caja. c). Diagrama de Tallos y Hojas El diagrama de tallos y hojas de Tukey es una forma semi-gráfica de presentar la información para variables cuantitativas, especialmente cuando el número total de datos es pequeño (menor que 50). Los principios para construirlo son:  Redondear los datos a dos o tres cifras significativas, expresándolos en unidades convenientes.  Disponerlos en una tabla con dos columnas separadas con una línea como sigue:  Para datos con dos dígitos, escribir a la izquierda de la línea los dígitos de las decenas, formando así el tallo, y a la derecha las unidades que serán las ramas. Por ejemplo 87 se escribirá 87.

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 Para datos con tres dígitos el tallo estará formado por los dígitos de las decenas y centenas, que se escribirán a la izquierda, separados de las unidades. Por ejemplo, 127 será 127.  Cada tallo define una clase y sólo se escribe una vez. El número de hojas representa la frecuencia de dicha clase (Figura a) de abajo). En algunas ocasiones, hay muchas observaciones en cada fila y conviene abrir cada tallo en dos, y en algunas otras es posible abrir cada fila en 5 clases (Figura b) de abajo). Las observaciones afuera y muy afuera del diagrama de caja son indicadas en el diagrama de caja con las expresiones bajo y alto (ver figura 4, sección 1.6).

a) 11 12 13 14 15 16

34 24577 345 27 2 1

b) 11* 11º 12* 12º 13* 13º 14*

0011223333444 55567777788888999 1112333344 55567789 00123 6678 22

d). Gráfico de Datos Clasificados en Intervalos Una clasificación de los datos en intervalos de clase, definidos por símbolos, dentro del área de estudio, es útil en la identificación de posibles tendencias en los valores de la variable, de zonas con mayor o menor magnitud o de observaciones extremas (ver figura 5 en la sección 1.6) 1.5. Relación entre variables a). Covarianza y Correlación. La covarianza mide la variabilidad conjunta de dos variables. Es una extensión de la varianza al caso bidimensional: n

( X i  X )( Yi  Y )

COV ( X ,Y ) i 1

n

El coeficiente de correlación mide el grado de asociación lineal que existe entre dos variables X y Y. Se calcula mediante: n

r

COV ( X ,Y )  Sx S y

( xi  x )( yi  y ) i 1

n

( xi  x )2 i 1

n

( yi  y )2 i 1

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El coeficiente de correlación es un número en el intervalo [-1, 1]. Un valor de r = -1 indica una relación lineal negativa perfecta entre X y Y , mientras que una valor de r = 1 señalará una asociación positiva perfecta de X y Y. Si r = 0, entonces se concluirá que no existe ninguna relación lineal entre X y Y. b) Gráficos de Dispersión. Son muy útiles tanto para la detección de relaciones entre las variables como para la identificación de tendencias en el valor promedio de la variable en la región (relación entre la variable medida y las coordenadas geográficas). Un supuesto fundamental en el análisis geoestadístico es que el fenómeno sea estacionario, para lo cual, entre otros aspectos, el nivel promedio de la variable de estudio debe ser constante en todos los puntos del área de estudio. Una detección de tendencia en el gráfico de dispersión puede ser una muestra de que no se satisface dicho supuesto. El gráfico se construye tomando como eje de las abcisas la variable que representa la coordenada geográfica (latitud o longitud) y en el eje de las ordenadas la variable cuantitativa de estudio. La observación de la nube de puntos resultante o incluso el ajuste de una línea de regresión (Fox, 1984), permiten establecer si existe dicha tendencia.

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Capitulo Dos Definiciones Básicas de Geoestadística 2.1. Origen y Definición de Geoestadística Los orígenes de la geoestadística se encuentran en el campo de la minería. Como antecedentes suelen mencionarse trabajos de Sichel (1947; 1949) (citado en Samper & Carrera, 1990) y Krige (1951). El primero observó la naturaleza asimétrica de la distribución del contenido de oro en las minas surafricanas, la equiparó a una distribución de probabilidad lognormal y desarrolló las fórmulas básicas para esta distribución. Ello permitió una primera estimación de las reservas, pero bajo el supuesto de que las mediciones eran independientes, en clara contradicción con la experiencia de que existen “zonas” más ricas que otras. Una primera aproximación a la solución de este problema fue dada por geólogo G. Krige que propuso una variante del método de medias móviles, el cual puede considerarse como el equivalente al krigeado simple que, como se verá más adelante, es uno de los métodos de estimación lineal en el espacio con mayores cualidades teóricas. La formulación rigurosa y la solución al problema de estimación vino de la mano de Matheron (1962). En los años sucesivos la teoría se fue depurando, ampliando su campo de validez y reduciendo las hipótesis necesarias (Samper & Carrera, 1990). De la minería las técnicas geoestadísticas, se han "exportado" a muchos otros campos como hidrología, física del suelo, ciencias de la tierra y más recientemente al monitoreo ambiental y al procesamiento de imágenes de satélite. La geoestadística es una rama de la estadística que trata fenómenos espaciales (Journel & Huijbregts, 1978). Su interés primordial es la estimación, predicción y simulación de dichos fenómenos (Myers, 1987). Esta herramienta ofrece una manera de describir la continuidad espacial, que es un rasgo distintivo esencial de muchos fenómenos naturales, y proporciona adaptaciones de las técnicas clásicas de regresión para tomar ventajas de esta continuidad (Isaaks & Srivastava, 1989). Petitgas (1996), la define como una aplicación de la teoría de probabilidades a la estimación estadística de variables espaciales. La modelación espacial es la adición más reciente a la literatura estadística. Geología, ciencias del suelo, agronomía, ingeniería forestal, astronomía, o cualquier disciplina que trabaja con datos colectados en diferentes locaciones espaciales necesita desarrollar modelos que indiquen cuando hay dependencia entre las medidas de los diferentes sitios. Usualmente dicha modelación concierne con la predicción espacial, pero hay otras áreas importantes como la simulación, el diseño muestral y los modelos en enmallados (lattices) (Cressie, 1989). Cuando el objetivo es hacer predicción, la geoestadística opera básicamente en dos etapas. La primera es el análisis estructural, en la cual se describe la correlación entre puntos en el espacio. En la segunda fase se hace predicción en sitios de la región no muestreados por medio de la técnica kriging (capitulo 4). Este es un proceso que calcula un promedio ponderado de las observaciones muestrales. Los pesos asignados a los valores muestrales 13

son apropiadamente determinados por la estructura espacial de correlación establecida en la primera etapa y por la configuración de muestreo (Petitgas, 1996). Los fundamentos básicos de estas etapas son presentados a continuación. Se realiza también una revisión del caso en que se miden simultáneamente varias variables en cada sitio de muestreo y se desea hacer predicción de una de ellas con base en información de las otras. En este caso la técnica de predicción es conocida como cokriging (capitulo 4). Algunos temas especiales como el diseño de una red de muestreo óptima, en términos de varianza de predicción y costos, y el análisis de componentes principales regionalizado también serán estudiados (capitulo 5). 2.2. Variable Regionalizada. Una variable distribuida en el espacio de forma que presente una estructura de correlación, se dice que es una variable regionalizada. De manera más formal se puede definir como un proceso estocástico con dominio contenido en un espacio euclidiano m-dimensional Rm, {Z(x) : x  D  Rm }. Si m = 2, Z(x) puede asociarse a una variable medida en un punto x del plano (Díaz-Francés, 1993). En términos prácticos Z(x) puede verse como una medición de una variable aleatoria (por ejemplo concentración de un contaminante) en un punto x de una región de estudio. Recuérdese que un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias indexadas; esto es, para cada x en el conjunto de índices D, Z(x) es una variable aleatoria. En el caso de que las mediciones sean hechas en una superficie (sólo se tengan longitud y latitud como coordenadas), entonces Z(x) puede interpretarse como la variable aleatoria asociada a ese punto del plano (x representa las coordenadas, planas o geográficas, y Z la medición de la variable en cada una de ellas). Estas variables aleatorias pueden representar la magnitud de una variable ambiental medida en un conjunto de coordenadas de la región de estudio. 2.3. Estacionariedad 2.3.1. Estacionariedad de Segundo Orden Sea {Z(x) : x  D  Rm } una variable regionalizada definida en un dominio D contenido en Rm (generalmente una variable medida en la superficie de una región) se dice que Z(x) es estacionario de segundo orden si cumple (Díaz-Francés, 1993): a.

E [ Z(x)] = k, k R, x  D  Rm . El valor esperado de la variable aleatoria es finito y es una constante para todo punto en el dominio (el valor promedio es igual en todo punto de la región).

b. COV [ Z(x) , Z(x+h)] = C(h) <  Z (x) tiene covarianza finita y es una función única del vector de separación h entre cada pareja de puntos. 14

Obviando la dirección de variación, el supuesto de estacionariedad en la media puede ser estudiado a través de un gráfico del promedio en función de la distancia (Fig. 5).

Valor Promedio.

19 18 17 16 0

10000 20000 Distancia (m)

30000

Figura 5. Gráfico de dispersión de valores promedios de una variable simulada en función de la distancia entre puntos de muestreo La figura anterior fue elaborada con base en simulación. Se generaron datos de una variable hipotética con valores uniformemente distribuidos entre 16 y 19. Luego estos fueron asignados aleatoriamente a las coordenadas dadas en la matriz del anexo. En el proceso de elaboración de la figura se tomaron vecindades, se calculó la media y la distancia euclidiana promedio entre las correspondientes coordenadas dentro de la vecindad. El gráfico corresponde a la nube de puntos de las dos variables. Se puede establecer que el valor promedio está fluctuando alrededor de un valor entre 17 y 18 y que por consiguiente la media no tiene ninguna tendencia de cambio en función de la distancia existente entre los puntos de muestreo. 2.3.2. Estacionariedad Débil Generalmente se trabaja sólo con la hipótesis que pide que los incrementos [Z(x+h)- Z(x)] sean estacionarios, esto es (Clark, 1979): a. Z(x) tiene esperanza finita para todo punto en el dominio. Lo que implica que la esperanza de los incrementos es cero. E [ Z(x+h) - Z(x)] = 0 b. Para cualquier vector h, la varianza del incremento está definida y es una función única de la distancia. V [ Z(x+h) - Z(x)] = 2  (h)

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El concepto de estacionariedad es muy útil en la modelación de series temporales (Box & Jenkins, 1976). En este contexto es más fácil la identificación, puesto que sólo hay una dirección de variación (el tiempo). En el campo espacial existen múltiples direcciones y por lo tanto se debe asumir que en todas el fenómeno es estacionario. Cuando el nivel promedio de la variable no es el mismo en todas las direcciones o cuando la covarianza o correlación dependan del sentido en que se determinan, no habrá estacionariedad. Si la correlación entre los datos no depende de la dirección en la que esta se calcule se dice que el fenómeno es isotrópico, en caso contrario se hablará de anisotropía. En Journel & Huijbregts (1978), se trata el caso de la anisotropía y se proponen algunas soluciones. Cressie (1986) discute cual debe ser el tratamiento en caso de que la media no sea constante.

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Capitulo Tres Dependencia o Correlación Espacial 3.1. Funciones de Correlación Espacial La primera etapa en el desarrollo de un análisis geoestadístico es la determinación de la dependencia espacial entre los datos medidos de una variable. Esta etapa es también conocida como análisis estructural. Para llevarla a cabo, con base en la información muestral, se usan tres funciones: El semivariograma, el covariograma y el correlograma experimental. A continuación se hace una revisión de los conceptos asociados a cada una de ellas y se describen sus bondades y limitaciones. 3.1.1. Variograma y Semivariograma. Representa la varianza de los incrementos de la variable regionalizada y se denota por 2(h). De acuerdo con lo anterior utilizando la definición teórica de la varianza en términos del valor esperado de una variable aleatoria, tenemos:

2  ( h)  V Z( x  h)  Z( x) 2 2  E   Z( x  h)  Z( x)    E Z( x  h)  Z( x)  0 2  E   Z( x  h)  Z( x)  .

La mitad del variograma ( (h)), se conoce como la función de semivarianza y caracteriza las propiedades de dependencia espacial del proceso. Dada una realización del fenómeno, la función de semivarianza es estimada por medio del semivariograma experimental, que se calcula mediante (Wackernagel, 1995):

 ( h) 

  Z( x  h)  Z( x)

2

2 n ( h)

donde Z (x) es el valor de la variable en un sitio x, Z (x+h) es otro valor muestral separado del anterior por una distancia h y n(h) es el número de parejas que se encuentran separadas por dicha distancia.

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3.1.2. Covariograma y Correlograma. De acuerdo con la fórmula de la covarianza dada en el capitulo uno, la función de covarianza espacial entre parejas de observaciones que se encuentran a una distancia h está dada, con base en los datos muestrales, por: n

 ( Z( x  h)  m)( Z( x)  m)

COV Z( x  h), Z( x)  i 1

n

n

  Z( x  h)  Z( x)

 i 1

n

 m 2  C( h )

donde m, si el proceso es estacionario de segundo orden, representa el valor promedio en todo punto de la región de estudio y n es el número de parejas de puntos que se encuentran a una distancia h. De otro lado para determinar la fórmula del correlograma, dado que se conoce el covariograma, sólo faltaría establecer las desviaciones estándar en cada punto del dominio. Sin embargo, si el fenómeno es estacionario, éstas al igual que la media son constantes y por consiguiente: r ( h) 

COV( Z( x  h), Z( x)) C( h) C( h) C( h)    Sx  h  Sx V( Z( x)) C(0) S2x

Cualquiera de las tres funciones de dependencia espacial mencionadas, es decir semivariograma, covariograma o correlograma, puede ser usada en la determinación de la relación espacial entre los datos. Sin embargo como se puede observar en las fórmulas, la única que no requiere que la media del proceso (m) sea conocida, es la función de semivarianza. Por esta razón, fundamentalmente, en la práctica se emplea el semivariograma y no las otras dos funciones. A continuación se presenta un ejemplo ilustrativo del cálculo de la función de semivarianza experimental Ejemplo. Suponga que se tienen medidas sobre una variable hipotética cuyos valores están comprendidos entre 28 y 44 unidades y su configuración en la región de estudio es como se presenta en el esquema de la siguiente página. Como se indica en la representación, la distancia entre cada par de puntos contiguos es de 100 unidades. Luego si existe un punto faltante la distancia entre los dos valores ubicados a cada lado de éste será de 200 unidades. Veamos como calcular bajo esta situación el semivariograma experimental. Por simplicidad se calcularán sólo los semivariogramas en sentido “occidente-oriente” (izquierda-derecha) y “sur-norte”(inferior-superior), debido a que para obtener un semivariograma experimental en el que sólo se tenga en cuenta la distancia y no la orientación, se requeriría calcular la distancia euclidiana entre todas las parejas de puntos.

18

44

40

42

40

39

37

36

42

43

42

39

39

41

40

38

37

35

38

37

37

33

34

35

37

36

36

35

35

34

33

32

29

28

29

30

32

37

37

35

38

36

35

36

38

37

35

30

200

100

En primer lugar en sentido izquierda-derecha se encuentran todas las parejas de puntos que están a una distancia de 100 unidades. Una vez detectados estos puntos se aplica la fórmula del semivariograma experimental. De igual forma se procede para las distancias de 200, 300, 400 y 500 unidades. Específicamente en el caso de las distancias de 100 y 200 unidades se realiza la siguiente operación: (100) = (38 - 37)2 + (37 - 35)2 + (29 - 30)2 + ... + (37 - 36)2 /2* 36 = 1.458 (200) = (40 - 44)2 + (40 - 40)2 + (42 - 39)2 + ... + (29 - 32)2 /2* 36 = 3.303 Similarmente procedemos para las otras distancias y para el sentido inferior-superior. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Tabla 5. Valores de la función de semivarianza experimental en dos direcciones para el conjunto de datos hipotéticos de la configuración de datos dada arriba. Distancia 100 200 300 400

Semivarianza Sentido Este - Oeste 1.45 3.30 4.31 6.69

Semivarianza Sentido Norte - Sur 5.34 9.87 18.88 27.53

Al graficar los valores de la función de semivarianza experimental dados en la tabla anterior (Fig. 8) se observa que en sentido inferior-superior el semivariograma es mayor que en sentido izquierda-derecha, luego la conclusión más relevante para este conjunto de datos es que la estructura de correlación espacial no sólo depende de la distancia entre las observaciones, sino de su orientación. En otras palabras el fenómeno es anisotrópico (debido a que el sill en las dos direcciones es distinto existe anisotropía zonal; Samper & Carrera, 1990)

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Semivariogramas Experimentales

Semivarianza

30 25 20 15 10 5 0 100

Norte-Sur 200

300

400

Este-Oeste

Distancia

Figura 8. Función de semivarianza experimental en dos direcciones para el conjunto de datos hipotéticos del ejemplo de esta sección. 3.2. Modelos Teóricos de Semivarianza. Existen diversos modelos teóricos de semivarianza que pueden ajustarse al semivariograma experimental (función de semivarianza calculada con los datos muestrales). En Samper & Carrera (1990) se presenta una discusión respecto a las características y condiciones que éstos deben cumplir. En general dichos modelos pueden dividirse en no acotados (lineal, logarítmico, potencial) y acotados (esférico, exponencial, gaussiano) (Warrick et al., 1986). Los del segundo grupo garantizan que la covarianza de los incrementos es finita, por lo cual son ampliamente usados cuando hay evidencia de que presentan buen ajuste. Los parámetros básicos de estos modelos son el efecto pepita, la meseta y el rango (David, 1977).Antes de estudiar los modelos usados para ajustar los semivariogramas experimentales se definirán dichos parámetros:  Efecto Pepita Se denota por C0 y representa una discontinuidad puntual del semivariograma en el origen. Puede ser debido a errores de medición en la variable o a la escala de la misma. En algunas ocasiones puede ser indicativo de que parte de la estructura espacial se concentra a distancias inferiores a las observadas.  Meseta Es la cota superior del semivariograma. También puede definirse como el limite del semivariograma cuando la distancia h tiende a infinito. La meseta puede ser o no finita. Los semivariogramas que tienen meseta finita cumplen con la hipótesis de estacionariedad fuerte; mientras que cuando ocurre lo contrario, el semivariograma define un fenómeno natural que cumple sólo con la hipótesis intrínseca. La meseta se denota por C1 o por (C0 + C1) cuando la pepita es diferente de cero. Si se interpreta la pepita como un error en las mediciones, esto explica porque se sugiere que en un modelo que explique bien la realidad, la pepita no debe representar mas del 50% de la meseta. Si el ruido espacial en las

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mediciones explica en mayor proporción la variabilidad que la correlación del fenómeno, las predicciones que se obtengan pueden ser muy imprecisas.  Rango Es la distancia a partir de la cual dos observaciones son independientes. El rango se interpreta como la zona de influencia. Existen algunos modelos de semivariograma en los que no existe una distancia finita para la cual dos observaciones sean independientes; por ello se llama rango efectivo a la distancia para la cual el semivariograma alcanza el 95% de la meseta. Entre más pequeño sea el rango, más cerca se esta del modelo de independencia espacial. El rango no siempre aparece de manera explícita en la fórmula del semivariograma. En el caso del modelo esférico (3.2.1), el rango coincide con el parámetro a, que se utilizará en las ecuaciones más adelante. Sin embargo, en el modelo exponencial (3.2.2), el rango efectivo es a/3 y en el modelo gaussiano (3.2.3) es a/√3. 3.2.1. Modelo Esférico Tiene un crecimiento rápido cerca al origen (Fig. 9), pero los incrementos marginales van decreciendo para distancias grandes, hasta que para distancias superiores al rango los incrementos son nulos. Su expresión matemática es la siguiente:

  3  h 1  h 3  C    ( h)   1  2  a  2  a     C1

ha ha

En donde C1 representa la meseta, a el rango y h la distancia. 3.2.2. Modelo Exponencial Este modelo se aplica cuando la dependencia espacial tiene un crecimiento exponencial respecto a la distancia entre las observaciones. El valor del rango es igual a la distancia para la cual el semivariograma toma un valor igual al 95% de la meseta (Fig. 9). Este modelo es ampliamente usado. Su expresión matemática es la siguiente:

  3h    ( h)  C1 1  exp   a   3.2.3. Modelo Gaussiano Al igual que en el modelo exponencial, la dependencia espacial se desvanece solo en una distancia que tiende a infinito. El principal distintivo de este modelo es su forma parabólica cerca al origen (Fig.9). Su expresión matemática es:

  h2     ( h)  C1 1  exp 2   a   21

30

Semivariograma

25 20 Esférico Exponencial

15

Gaussiano 10 5 0 0

50

100

150

200

250

300

Distancia(h)

Figura 9. Comparación de los modelos exponencial, esférico y Gaussiano. La línea punteada vertical representa el rango en el caso del modelo esférico y el rango efectivo en el de los modelos exponencial y gaussiano. Este tiene un valor de 210, respecto a una escala simulada entre 0 y 300. El valor de la meseta es 30 y el de la pepita 0. El 95% de la meseta es igual a 28.5. 3.2.4. Modelo Monómicos. Corresponden a los modelos que no alcanzan la meseta (Fig. 10). Su uso puede ser delicado debido a que en algunos casos indican la presencia de no estacionariedad en alguna dirección. Su fórmula matemática es la siguiente:

 ( h)  kh  02 Obviamente cuando el parámetro  es igual a uno el modelo es lineal y k representa la pendiente de la ecuación de regresión con intercepto cero. Gráficamente se pueden representar así: (h)

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