CURSO DE TOPOGRAFÍA APLICADA EDICIÓN 2009

Carlos Córdova & Oscar Mediavilla

Este curso de Topografía Aplicada muestra en su contenido los tópicos básicos necesarios para desarrollar cualquier trabajo de estudio, replanteo y control de obras de ingeniería. Está compuesto por dos grandes segmentos. El primero es la parte de planimetría que está referida al trazado de poligonales, compensación de poligonales, cálculo de azimutes, rumbos, coordenadas, replanteo de puntos, cálculo de superficies, nivelación (altimetría), taquimetría, triangulaciones e información sucinta acerca de las coordenadas U.T.M. El segundo contempla la parte de vías de comunicación referida al estudio de la curva circular, la espiral de transición, movimiento de tierra, el perfil longitudinal de la vía (curvas verticales), la parte de observación solar, dibujo topográfico y el manejo de la Estación Electrónica Total SET 3C. En esta nueva edición también se anexa un nuevo capítulo referente al estudio y manejo de la Estación Electrónica Total SET 5W. El objetivo de este curso está centrado en la enseñanza de la topografía como materia superior, de una forma didáctica y práctica para estudiantes universitarios y de nivel medio, también como material de consulta para los profesionales de la ingeniería. La topografía es la espina dorsal de la ingeniería civil, está presente en el estudio, elaboración, construcción y control de cualquier obra pequeña, mediana o de envergadura dentro del ámbito de las obras civiles, por eso es de fundamental importancia en todo proyecto.

Curso de Topografía Aplicada CARLOS CÓRDOVA & OSCAR MEDIAVILLA No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo de los autores.

PRIMERA EDICIÓN 1.990 SEGUNDA EDICIÓN 1.997 TERCERA EDICIÓN 2.000 CUARTA EDICIÓN 2.007 QUINTA EDICIÓN 2.009

Carlos Córdova [email protected] [email protected] Cumaná. Sucre. Venezuela. 2.009 Diseño de portada e ilustraciones Carlos Córdova

Contenido Introducción……................................................................................................ viii Capítulo No. 1 Tópicos de trigonometría................................................................................... 1.1. Elementos de un triángulo rectángulo....................................................... 1.2. Funciones trigonométricas........................................................................ 1.3. Círculo trigonométrico.............................................................................. 1.4. Relaciones fundamentales.........................................................................

1 1 1 3 4

Capítulo No. 2 Levantamiento por coordenadas y generalidades sobre poligonales…......... 2.1. Levantamiento por coordenadas................................................................ 2.2. Sistemas de coordenadas........................................................................... 2.3. Precisión.................................................................................................... 2.4. Planimetría................................................................................................. 2.5. Direcciones................................................................................................

6 6 8 10 14 20

Capítulo No. 3 Cálculo de poligonales........................................................................................ 3.1. ¿Qué es calcular una poligonal?............................................................... 3.2. Cálculo de una poligonal cerrada............................................................... 3.3. Cálculo de una poligonal abierta con control............................................. 3.4. Cálculo de una poligonal abierta sin control..............................................

26 26 30 32 33

Capítulo No. 4 Los tres grandes problemas de la planimetría.................................................. 4.1. Problema No. 1: Rumbo, azimut y distancia entre dos puntos.................. 4.2. Problema No. 2: Replanteo de puntos....................................................... 4.3. Problema No. 3: Cálculo de coordenadas.................................................

35 38 39 40

Capítulo No. 5 Cálculo de superficies........................................................................................ 5.1. Procedimientos para medir superficies..................................................... 5.2. Cálculo de áreas por el método matricial.................................................. 5.3. Áreas de secciones transversales............................................................... 5.4. Cálculo de áreas por el método de Doble Distancia Meridiana (DDM)....

42 42 44 47 49

Capítulo No. 6 Altimetría (Nivelación)…................................................................................... 6.1. Nivelación geométrica.............................................................................. 6.2. Tipos de nivelaciones geométricas............................................................ 6.3. Nivelación trigonométrica......................................................................... 6.4. Factores que afectan las nivelaciones........................................................ 6.5. El nivel de anteojo..................................................................................... 6.6. La mira...................................................................................................... 6.7. Problemas de nivelación............................................................................

53 53 55 57 59 61 61 65

Capítulo No. 7 Taquimetría......................................................................................................... 7.1. Fórmulas usadas en taquimetría................................................................ 7.2. Cálculo de la distancia reducida................................................................ 7.3. Cálculo de la tangente taquimétrica.......................................................... 7.4. Cálculo taquimétrico de una libreta de campo.......................................... 7.5. La mira Invar.............................................................................................

69 69 71 72 73 74

Capítulo No. 8 Triangulación y trilateración............................................................................. 8.1. Tipos de triangulaciones……………....................................................... 8.2. Cálculo de una triangulación.................................................................... 8.3. Medición de ángulos................................................................................. 8.4. Método de la doble lectura angular con vuelta de campana..................... 8.5. Trilateración..............................................................................................

76 77 77 80 82 83

Capítulo No. 9 Problema de pothenot......................................................................................... 9.1. Resolución en campo................................................................................ 9.2. Pasos generales del cálculo....................................................................... 9.3. Verificación del pothenot..........................................................................

84 84 85 86

Capítulo No. 10 El teodolito…...................................................................................................... 10.1. Partes del teodolito................................................................................... 10.2. Lectura de los ángulos con el T-1............................................................ 10.3. Lectura de los ángulos con el T-2............................................................ 10.4. Centraje y nivelación del instrumento...................................................... 10.5. Breve descripción de la plancheta............................................................

91 91 91 92 92 93

Capítulo No. 11 Información sucinta de las coordenadas U.T.M............................................. 94 11.1. Coordenadas geográficas.......................................................................... 94 11.2. Coordenadas geodésicas........................................................................... 95

11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9.

Convergencia de meridianos.................................................................... Necesidad de las proyecciones Mercator.................................................. Características de la proyección U.T.M.................................................... Cálculo de una poligonal U.T.M............................................................... Coordenadas o Sistema U.P.S................................................................... Equipo básico de campo para estudio cartográfico................................... Situación actual de la red geodésica venezolana.......................................

97 97 98 102 103 103 104

Capítulo No. 12 La curva circular................................................................................................ 12.1. Grado de curva o grado de curvatura........................................................ 12.2. Fórmulas para el cálculo de los elementos de la curva circular................ 12.3. Radio mínimo en curvas circulares........................................................... 12.4. Replanteo de curvas circulares.................................................................. 12.5. Replanteo por el método de las deflexiones o coordenadas polares......... 12.6. Peralte y bombeo.......................................................................................

106 107 108 111 112 113 114

Capítulo No. 13 La espiral de transición (la clotoide)................................................................ 13.1. Fórmulas para el cálculo de los elementos de una curva de transición..... 13.2. Forma de calcular las progresivas en los puntos notables......................... 13.3. Proyecto de los elementos de una espiral.................................................. 13.4. Las tablas de Barnett................................................................................. 13.5. Replanteo de las curvas con transiciones...................................................

117 119 121 122 123 124

Capítulo No. 14 Movimiento de tierra…...................................................................................... 14.1. El perfil longitudinal................................................................................. 14.2. Sección transversal.................................................................................... 14.3. Sección típica y explanación..................................................................... 14.4. Tipos de explanación................................................................................ 14.5. Levantamiento de secciones para excavaciones en préstamos.................. 14.6. Estacas de chaflán..................................................................................... 14.7. Equipo más usado en el movimiento de tierra.......................................... 14.8. Cubicación................................................................................................ 14.9. Métodos de cubicación.............................................................................. 14.10. Corrección a los volúmenes...................................................................... 14.11. Cubicación por el método de los prismas truncados................................. 14.12. Cálculo de los puntos de paso................................................................... 14.13. Transporte de tierras.................................................................................. 14.14. El diagrama de masas................................................................................ 14.15. Cambios de los volúmenes en los materiales............................................

127 127 128 129 129 130 131 134 135 136 137 140 141 143 144 145

vii Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 15 El perfil longitudinal de la vía (curvas verticales)........................................... 15.1. Tipos de curvas verticales......................................................................... 15.2. Fórmulas y elementos de las curvas verticales.......................................... 15.3. Cálculo del máximo.................................................................................. 15.4. Curvas verticales asimétricas....................................................................

147 148 148 150 152

Capítulo No. 16 Observaciones solares........................................................................................ 16.1. Tópicos de astronomía práctica................................................................ 16.2. Triángulo de posición o triángulo astronómico........................................ 16.3. La observación solar................................................................................. 16.4. Refracción y paralaje................................................................................ 16.5. Cálculo completo de una observación solar..............................................

153 154 155 157 159 160

Capítulo No. 17 Tópicos de dibujo topográfico........................................................................... 17.1. Orden de operación para el dibujo topográfico......................................... 17.2. Curvas de nivel.......................................................................................... 17.3. Interpolación de curvas de nivel................................................................

163 163 164 164

Capítulo No. 18 La Estación Electrónica Total SET 3C............................................................. 18.1. Especificaciones........................................................................................ 18.2. Partes del instrumento y teclas de funciones............................................. 18.3. Cambiando los parámetros de trabajo de la Estación................................ 18.4. Preparación para medir..............................................................................

166 168 170 176 177

Capítulo No. 19 La Estación Electrónica Total SET 5W............................................................ 19.1. Especificaciones........................................................................................ 19.2. Partes del instrumento y teclas de funciones............................................. 19.3. Preparación para medir..............................................................................

184 185 188 191

Bibliografía.......................................................................................................... 196 Anexos.................................................................................................................. 197

Introducción Todo proyecto de ingeniería civil necesita de un estudio, una elaboración y un control de calidad y cantidad. En tal sentido, no se puede concebir que en estas tres etapas no intervenga la topografía como ciencia auxiliar de capital importancia. No se puede, por ejemplo, ejecutar el proyecto de una carretera sin un levantamiento previo de una franja de terreno donde el topógrafo toma una serie de datos planimétricos y altimétricos, que luego serán dibujados en un plano donde el ingeniero analizará todas estas variables para proyectar su solución vial. Después de estas dos primeras etapas, estudio y proyecto, también está presente la topografía en otra etapa que se llama construcción y control. De acuerdo a lo dicho anteriormente la Topografía está presente en las siguientes fases de una obra: levantamiento topográfico para elaborar los planos que servirán de base para el estudio y el proyecto, en la realización de lo propuesto para estudiar la factibilidad de lo que ha diseñado el ingeniero, y en el replanteo de lo proyectado para labores de construcción, control de calidad y cantidad. Este curso de Topografía Aplicada muestra en su contenido los tópicos básicos necesarios para desarrollar cualquier trabajo de estudio, replanteo y control de obras de ingeniería. Está compuesto por dos grandes segmentos. El primero es la parte de planimetría que está referida al trazado de poligonales, compensación de poligonales, cálculo de azimutes, rumbos, coordenadas, replanteo de puntos, cálculo de superficies, nivelación (altimetría), taquimetría, triangulaciones e información sucinta acerca de las coordenadas U.T.M. El segundo contempla la parte de vías de comunicación referida al estudio de la curva circular, la espiral de transición, movimiento de tierra, el perfil longitudinal de la vía (curvas verticales), la parte de observación solar, dibujo topográfico y el manejo de la Estación Electrónica Total SET 3C. En esta nueva edición también se anexa un nuevo capítulo referente al estudio y manejo de la Estación Electrónica Total SET 5W. El objetivo de este curso está centrado en la enseñanza de la topografía como materia superior, de una forma didáctica y práctica para estudiantes universitarios y de nivel medio, también como material de consulta para los profesionales de la ingeniería. La topografía es la espina dorsal de la ingeniería civil, está presente en el estudio, elaboración, construcción y control de cualquier obra pequeña, mediana o de envergadura dentro del ámbito de las obras civiles, por eso es de fundamental importancia en todo proyecto.

1 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 1 Tópicos de Trigonometría TRIGONOMETRÍA Rama de las matemáticas que se ocupa de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo, y modernamente se encarga del estudio de las funciones trigonométricas. 1.1. ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO B Teorema de Pitágoras c

a c 2 = a2 + b2

A

b

c=

a2 + b2

C

1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO B

Sen =

a c

Cosec =

Cos =

b c

Sec =

c b

Tg =

a b

Cot =

b a

c a A

 b

C

c a

Ángulos complementarios Son aquellos ángulos cuya suma es igual a 90º (ángulo recto). Las funciones trigonométricas de un ángulo son las cofunciones de su complemento.

2 Curso de Topografía Aplicada

Ángulo de 30º

1

60º 60º

1

1

60º

30º

3 2

60º

½

1 12 = h2 + ( ½ )2 h =

1 2 - ( ½ )2

h =

1 - ¼

h =

¾

h =

3 2

Funciones del ángulo de 30º

Sen 30º =

1

Cos 30º =

2

3

Tg 30º =

2

3

Cot 30º =

3

Funciones del ángulo de 60º

Sen 60º =

3

Cos 60º =

2

1

Tg 60º =

3

2

Ángulo de 45º 1

h=

45

2

45 

1

12 + 12

h=

2

3

3 Curso de Topografía Aplicada

Funciones del ángulo de 45º

Sen 45º =

2

2

Cos 45º =

Tg 45º = 1

2

2

1.3. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: Es un círculo cuyo radio es la unidad (1). Las líneas trigonométricas que se estudiarán son: Sen, Cos y Tg. Y p 

y

Sen : Cos :

Sen = y

1 Sen x

Cos =

X

x Cos

y

Sen =

Cos = x

1

Es la ordenada del punto (y). Será (+) hacia arriba y (-) hacia abajo. Es la abscisa del punto (x). Será (+) hacia la derecha y (-) hacia la izquierda.

Y p y´ Tg  x

y X

Tg =

y´

Tg =

y´

x´

1

Tg = y´

x´

Tg :

Viene representada por (y´), es decir, un segmento perpendicular entre la prolongación del radio que pasa por el punto y el origen de los ángulos y será (+) hacia arriba y (-) hacia abajo.

4 Curso de Topografía Aplicada

I + + +

Sen Cos Tg

II + -

III +

IV + -

Ángulos negativos en trigonometría

360º - 30º = 330º 0º

-30º

1.4. RELACIONES FUNDAMENTALES: Ellas sirven para demostrar identidades trigonométricas y para calcular una función trigonométrica en función de otra, son tres tipos de relaciones:

1)

Relaciones recíprocas Sec =

2)

1 Cos 

1 Sen 

Cot =

1 Tg 

Relaciones por cociente Tg =

3)

Cosec =

 Cos  Sen

Cot =

Cos  Sen 

Relaciones pitagóricas Sen2 + Cos2 = 1

Sec2 = 1 + Tg2 

Cosec2 = 1 + Cot2 

5 Curso de Topografía Aplicada

Los ángulos notables (0º, 90º, 180º, 270º) 0º 0 1 0

Sen Cos Tg

90º 1 0 

180º 0 -1 0

90º 1

270º -1 0 

1 180º

0º

-1 -1 270º

Cómo encontrar la función de un ángulo Antiguamente se utilizaban la Tabla de Allen, la Tabla del departamento de comercio ... de Los Estados Unidos, la Tabla del Barón Von Vega, etc., para hallar la función de un ángulo, hoy se utilizan las calculadoras electrónicas que permiten hacer esta operación de manera más rápida y precisa. Los teoremas que se han estudiado hasta ahora sirven para resolver problemas con triángulos rectángulos, tema que se ampliará en los estudios de topografía propiamente dichos, igualmente los teoremas relacionados con trigonometría esférica se enunciarán en el objetivo de observaciones solares.



Cuando se trate de triángulos oblicuángulos se debe hacer uso de dos teoremas de la trigonometría: Ley de los Senos y Ley de los Cosenos. B c

A Ley de los Senos a Sen

=

b Sen B

=

a

b

C Ley de los Cosenos

c Sen C

a2 = b2 + c2 - 2 bc * Cos A

6 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 2 Levantamiento por coordenadas y generalidades sobre poligonales Para determinar la posición de los puntos sobre la superficie terrestre se hace uso de dos ciencias: Topografía y Geodesia. Los puntos se pueden determinar según los tres elementos del espacio. Estos tres elementos pueden ser: dos distancias y una cota (elevación) o una distancia una dirección y una cota. En otras palabras los tres elementos del espacio son las coordenadas. La teoría de la topografía se basa esencialmente en:  Geometría plana  Geometría del espacio  Trigonometría plana  Trigonometría esférica  Geometría analítica La Topografía es la espina dorsal de la Ingeniería Civil, tanto para el estudio de obras como para el replanteo y ejecución de las mismas. Es bueno destacar que además de las ciencias nombradas anteriormente se necesita de un material llamado ¨SC¨ (Sentido Común). Este sentido común incluye lo siguiente: iniciativa, habilidad en el manejo de los aparatos, habilidad en el trato con las demás personas, confianza en sí mismo y buen criterio general. Las distancias se miden con cintas o en forma indirecta con el Teodolito (tránsito, taquímetro) y miras o estadias; los ángulos se miden también con teodolitos y las cotas con nivel de precisión o con taquímetros (teodolito) en forma indirecta. Modernamente se miden distancias con EDM y estaciones electrónicas totales. 2.1. LEVANTAMIENTO POR COORDENADAS Cuando se trate de levantar un plano para estudiar un proyecto, o cuando se vaya a replantear una obra es necesario hacer uso de las coordenadas. Ejemplo: 1) Cuando se hace un levantamiento por radiación desde dos puntos con coordenadas.

7 Curso de Topografía Aplicada

2) Cuando se va a replantear puntos principales también desde dos puntos con coordenadas. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS Para entender mejor lo dicho anteriormente es necesario definir: Levantar:

Es el conjunto de operaciones para determinar la posición de los puntos en el terreno y posteriormente dibujarlos en un plano para su estudio y proyecto.

Replantear:

Es la operación de marcar en el terreno las líneas y rasantes de un proyecto.

Coordenadas:

Son las líneas o ángulos que permiten determinar la posición de un punto en el plano o en el espacio. También se llaman coordenadas a los ejes o planos a los cuales se refieren estas líneas.

Cota:

Es la altura de un punto con respecto a un plano de referencia. Cuando este plano de referencia es el nivel del mar la cota se llama cota absoluta, ejemplo: la cota absoluta de la Plaza Bolívar de Cumaná es de 4,00 m. Cuando no estén referidas al nivel del mar se llaman cotas relativas.

B.M.:

(Bench Mark) es un punto más o menos fijo que tiene cota y coordenadas, pero generalmente se llama B.M. a la referencia de cota.

S.M.:

(Station Mark) es un punto al cual se le conocen sus dos coordenadas.

Dátum:

Es el plano de referencia a partir del cual se miden las cotas. También puede existir dátum horizontal como por ejemplo: La Canoa y El Chúa. Modernamente REGVEN.

Teodolito:

Es un aparato de precisión que sirve para medir ángulos y distancias por taquimetría, está compuesto por lentes, prismas y círculos graduados para los ángulos horizontales y verticales.

Nivel:

Es un aparato de precisión que se utiliza para medir o determinar las cotas o alturas de un punto sobre el terreno, está compuesto por lentes y retículos.

8 Curso de Topografía Aplicada

Mira:

Regla graduada de 4 m. que sirve para determinar distancias por taquimetría, también se utiliza para hacer lecturas en nivelación.

EDM:

Electronic Distance Meter (distanciómetro) que mide distancias por microondas o rayos infrarrojos.

EET:

Estación Electrónica Total, que además de medir ángulos, distancias, calcular coordenadas, etc., almacena data en una tarjeta magnética, cuya información es vaciada en el PC a través de una interfaz para su posterior trabajo en CAD (AutoCAD).

2.2. SISTEMAS DE COORDENADAS Coordenadas rectangulares planas: Son las más usadas en topografía para ubicar los vértices de las carreteras, poligonales, etc. Pertenecen a este sistema las coordenadas U.T.M. N

W

E

S

Coordenadas oblicuas planas: Un sistema oblicuo plano donde  90º no se usa en topografía. Y

 X

Coordenadas cilíndricas: Son utilizadas para ubicar puntos en el espacio desde los ejes X, Y y Z. Z

X

Y

9 Curso de Topografía Aplicada

Coordenadas polares: Son aquellas utilizadas para ubicar un punto por medio de un radio vector o distancia y un argumento o ángulo . En topografía este ángulo  se llama azimut y la distancia D. N

  W

p

E

S

Coordenadas bipolares: En este sistema se ubica un punto por medio de dos radiovectores desde dos polos diferentes. Se utilizan en topografía para replantear por intersecciones que es el replanteo más preciso. p  p´ p

Coordenadas geográficas: N

Meridiano de Greenwich W

p  

E

Ecuador S

Coordenadas geodésicas: Son parecidas a las geográficas, pero la longitud y la latitud se miden sobre un elipsoide. N

W

p 



S

E

10 Curso de Topografía Aplicada

Los elipsoides más utilizados para representar a la tierra son: -

Elipsoide de Clarke (1866). Elipsoide de Clarke (1880). Elipsoide de Everest. Elipsoide de Bessel. Elipsoide internacional o elipsoide de Hayford (1924). Modelo GWS 72. Modelo GWS 84 ó GRS80. Es el que está vigente en este momento.

Coordenadas astronómicas: Son aquellas utilizadas para ubicar en la esfera o bóveda celeste la posición de los astros. Polo Norte celeste

Zenit

Ecuador celeste

Horizonte celeste



Polo Sur celeste

Nadir Estas coordenadas tienen tres sistemas: 1) 2) 3)

Sistema equinoccial: ángulo horario, ascensión recta y declinación (). Sistema horizontal (azimut y altura). Sistema combinado (sistema equinoccial y sistema horizontal).

2.3. PRECISIÓN Todas las operaciones en topografía están sujetas a las imperfecciones propias de los aparatos y a las imperfecciones en el manejo de ellos, por eso ninguna medida en topografía es exacta y los errores pueden ser ilimitados. En el estudio de poligonales se verá cómo se expresa la precisión.

11 Curso de Topografía Aplicada

Diferencia entre Topografía y Geodesia La diferencia se desprende de la definición de cada rama. Topografía:

Rama de la ciencia que se encarga de representar una pequeña porción de la tierra, sin tomar en cuenta la curvatura de la misma.

Geodesia:

Rama de la ciencia que se encarga de representar grandes porciones de la tierra tomando en cuenta la curvatura de la misma.

Hipótesis sobre las cuales se fundamenta el estudio de la topografía 

La distancia entre dos puntos es una recta.

NOTA:

  

Las distancias medidas sobre la tierra son distancias geodésicas, pero en topografía deben transformarse éstas a distancias U.T.M.

Dos verticales trazadas con plomada son paralelas. El plano imaginario de referencia para la medición de las cotas o alturas se considerará como un plano horizontal. Los ángulos formados por dos rectas se consideran ángulos planos y no ángulos esféricos.

LAS DOS GRANDES RAMAS DE LA TOPOGRAFÍA Planimetría:

Rama de la topografía que se ocupa de la proyección de los puntos del terreno en el plano horizontal.

Altimetría:

Rama de la topografía que se ocupa del estudio de las cotas o alturas de los puntos en el terreno.

La fusión de ambas produce la plani-altimetría que es necesaria para la mayoría de los proyectos. NOTA:

Vale recordar que existe la definición de Batimetría, que no es más que una plani-altimetría por debajo del nivel del agua (mares y ríos).

Unidades de medidas utilizadas en topografía 1)

Para las medidas de longitud, la unidad es el metro (m).

12 Curso de Topografía Aplicada

2)

Para las medidas de superficie, la unidad es el metro cuadrado (m2). Otras medidas de superficie: Hectárea (Ha) = 10.000 m 2 El ¨área¨ (a) = 100 m2 La ¨centiárea¨ (ca) = 1 m 2

3)

Para las medidas de volumen, la unidad es el metro cúbico (m3).

4)

Para las medidas angulares se utilizan cuatro sistemas: a) Sistema sexagesimal (Deg.) b) Sistema centesimal (Grad.) c) Sistema del radián (Rad.) d) Sistema del milésimo

Sistema sexagesimal

Unidad el grado 1º

1º = 60´

1´ = 60¨

90º

180º

0º

270º Sistema centesimal Considera dividida la circunferencia en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado centesimal tiene 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales. Este sistema es cómodo porque se puede escribir un ángulo en grados minutos y segundos en forma decimal, ejemplo: 32 g,2348 = 32º 23´ 48¨. Todas las operaciones con ángulos en este sistema se efectúan exactamente igual que en el sistema decimal. 100º

200º

0º

300º

13 Curso de Topografía Aplicada

Sistema del radián Unidad el radián Radián:

Es el ángulo al centro que subtiende en la circunferencia un arco igual a la longitud del radio. r

Radián

r r

¿Cuántos radianes tiene una circunferencia? 2 r Lc = 2 r No. r = = 2 radianes r ¿Cuántos grados, minutos y segundos tiene un radián? 2 rad 1 rad

360º X

360º X =

= 57, 295780

57º 17´ 45¨

2 1/2

rad

0 rad

3/2 Sistema del milésimo Es un sistema utilizado en artillería y se considera la circunferencia dividida en 6.400 partes iguales llamadas milésimos (mil). 1600

3200

0

4800

14 Curso de Topografía Aplicada

Las operaciones fundamentales con ángulos en este sistema se efectúan exactamente igual que en el sistema decimal. NOTA:

Un radián tiene 1.000 mil, de allí el nombre.

Transformaciones entre sistemas Cuando se efectúen transformaciones entre los sistemas debe hacerse por proporción. Ejemplo: ¿Cuántos milésimos tienen 2,5 radianes? 1 rad 2,5 rad

1.000 mil X X = 2520 mil

2.4. PLANIMETRÍA A partir de este momento se estudiará en topografía su rama llamada planimetría. Poligonales: Son líneas de muchos lados y muchos ángulos. V-1 V-0

V-2

V-4

V-3

Tipos de poligonales Poligonales cerradas: Son aquellas que regresan al punto de partida. V-1 V-0

V-2

V-4

V-3

15 Curso de Topografía Aplicada

Poligonales abiertas: Son aquellas que no regresan al punto de partida. E-2 A-3 V-2

A-1

E-1 A-2

V-1

Elementos de una poligonal cerrada

V-1

 -1

V-2

áng. externo áng. interno  -0

 -2

V-0

-3 V-3

Lados:

V-0 V-1, V-1 V-2, V-2 V-3, V-3 V-0

Ángulos:

a) ángulos externos b) ángulos internos c) ángulos de deflexión ()

Ángulo de deflexión:

NOTA:

Es aquel ángulo de una poligonal formado por la prolongación del lado anterior y el lado siguiente (es un argumento muy importante en vialidad).

* Universalmente los teodolitos miden los ángulos en el sentido de las agujas del reloj, sin embargo algunos instrumentos alemanes pueden medir en dos posiciones, pero no es lo común. * Una poligonal tiene tantos ángulos como lados.

16 Curso de Topografía Aplicada

* Cuando las deflexiones son a la derecha son positivas (+) y negativas (-) cuando son a la izquierda. Elementos de una poligonal abierta + E-1

+

+

 -

A-2

V-2

-

E-2

A-3

A-1 V-1

Lados:

V-1 V-2, V-2 A-1, A-1 A-2, A-2 A-3, A-3 E-1, E-1 E-2

Ángulos:

Pueden ser tanto ángulos horizontales como ángulos de deflexión.

Las poligonales abiertas pueden ser de dos tipos: Poligonales abiertas con control: Salen de referencias de coordenadas conocidas y llegan también a referencias de coordenadas conocidas y del mismo sistema de coordenadas. Poligonales abiertas sin control: Salen de referencias de coordenadas conocidas y quedan sin cierre. Este tipo de poligonales es el que se usa en el estudio de carreteras y por norma se debe hacer control angular cada Km con una observación solar. Cálculo de la suma de los ángulos internos de una poligonal cerrada int = 180 (n - 2) Demostración:

Dentro de un polígono siempre se puede formar n - 2 triángulos y como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, entonces el polígono tendrá como suma de ángulos internos: 180 (n - 2).

17 Curso de Topografía Aplicada

Cálculo de la suma de los ángulos externos de una poligonal cerrada ext = 180 (n + 2) int + ext = 360º n ext = 360º n - int ext = 360º n - 180 (n - 2) ext = 360º n - 180 n + 360º ext = 180º n + 360º

Demostración:

ext = 180º (n +2)

Cálculo de la suma de los ángulos de deflexión de una poligonal cerrada deflex. = 360º

= ext. - 180º n 

deflex. = ext - 180º n deflex. = 180º (n + 2) - 180º n deflex. = 180º n + 360º - 180º n deflex. = 360º

Demostración:

Error angular: Es la diferencia de la suma de los ángulos leídos en el campo y la suma de los ángulos calculados por fórmulas. De acuerdo a esto, el error puede ser positivo (+) o negativo (-) y para corregir este error angular se debe hacer con signo contrario y repartirlo de forma igual entre todos los ángulos leídos. Tolerancia angular: Es la máxima diferencia permitida en el error angular. En Venezuela según : ¨Especificaciones para estudios de carreteras con poligonales de precisión¨, la tolerancia angular horizontal es: T = 30

n

T = Tolerancia expresada en segundos n = número de vértices, lados, etc.

Ejemplo: Calcular la tolerancia angular de una poligonal de 10 vértices. T = 30

10

T = 95¨ = 1´ 35¨

18 Curso de Topografía Aplicada

Ejemplo ilustrativo de cálculo y compensación del error angular Un topógrafo trazó una poligonal cerrada de 5 vértices, según el siguiente croquis y midió lo siguiente: V-0

ángulos internos: V-4

V-1

V-1 V-2 V-3 V-4 V-0

132º 21´ 50¨ 90º 00´ 00¨ 92º 50´ 20¨ 160º 27´ 40¨ 64º 20´ 30¨ 540º 00´ 20¨

V-2

Calcular:

1)

V-3

1) Error angular 2) Tolerancia angular 3) Decir si está dentro de tolerancia 4) Escribir los ángulos corregidos

= campo - teórica. teórica = 180 (n - 2) teórica = 540º 00´ 00¨ = (540º 00´ 20¨) - (540º 00´ 00¨) 5

teórica = 180 (3) = 20¨

2)

T = 30

3)

El error si está dentro de tolerancia porque T

4)

Compensación del error angular: a los ángulos le restamos 4¨ ángulos corregidos:

T = 67¨

V-1 V-2 V-3 V-4 V-0

20¨ / 5 = 4¨

132º 21´ 46¨ 89º 59´ 56¨ 92º 50´ 16¨ 160º 27´ 36¨ 64º 20´ 26¨ 540º 00´ 00¨

19 Curso de Topografía Aplicada

Forma de distribuir el error cuando la división es inexacta = 32¨

Ejemplo:

No. de vértices = 3

32¨/ 3 = 10¨ y resta 2¨ 32¨ 2

Entonces:

a 2 ángulos se le restan 11¨ a 1 ángulo se le restan 10¨

3 10¨

22¨ 10¨ 32¨

NOTA:

Siempre se deben sumar los ángulos corregidos para verificar si se ha efectuado bien la compensación.

Ejemplo No. 2 de cálculo y compensación del error angular

V-2

Deflexiones: V-1 V-2 V-3

-2

-1

V-3 V-1

Calcular:

1)

360º 00´ 10¨

 -3 1) Error angular 2) Tolerancia angular 3) Decir si está dentro de tolerancia 4) Escribir los ángulos corregidos

= campo - teórica. teórica = 360 = (360º 00´ 10¨) - 360º 3

149º 50´ 10¨ 74º 18´ 50¨ 135º 51´ 10¨

= 10¨

2)

T = 30

T = 52¨

3)

El error si está dentro de tolerancia porque T

4)

Compensación del error angular:

10¨ / 3 = 3¨ y resta 1¨

20 Curso de Topografía Aplicada

a 1 ángulo se le restan 4¨ a 2 ángulos se le restan 3¨

4¨ 6¨ 10¨

ángulos corregidos: V-1 V-2 V-3

149º 50´ 06¨ 74º 18´ 47¨ 135º 51´ 07¨ 360º 00´ 00¨

2.5. DIRECCIONES En topografía la dirección de una línea es el ángulo horizontal existente entre esa línea y otra que se toma como referencia. En topografía las direcciones se toman a partir del Norte y por lo tanto pueden ser: Dirección magnética y Dirección verdadera. Dirección magnética Si la línea de referencia es el norte magnético, entonces las direcciones tendrán el mismo nombre, es de hacer notar que las direcciones magnéticas se determinan con brújulas o con un compás magnético. Dirección verdadera Se llama así cuando la línea de referencia es el norte verdadero, es de hacer notar que el norte verdadero se obtiene haciendo una observación solar o estelar. Declinación magnética Es el ángulo formado por la dirección del norte magnético y el norte verdadero y puede ser Este u Oeste según se encuentre hacia estos puntos con respecto al norte verdadero. En ciencias náuticas la declinación magnética se llama variación. Direcciones usadas en topografía Las direcciones utilizadas en topografía son: el azimut y el rumbo. Azimut:

Es el ángulo entre el Norte y una dirección cualquiera, medido en el sentido de las agujas del reloj.

21 Curso de Topografía Aplicada N A Az W

E

O

S

NOTA:

Un azimut negativo tiene lugar cuando se mide un ángulo en sentido contrario de las agujas del reloj, pero normalmente en topografía se trabaja con azimut positivo.

Rumbo:

Es el ángulo agudo formado por la N-S y una dirección cualquiera, de acuerdo con esta definición de rumbo, las cuatro posibilidades son: N-E, S-E, S-W, N-W. Notación ejemplo: S 10º 20´ 30¨ W. N

N A R

W

E

W

E R

S

A

S

N

N A R

W

E

W

E

R A S

S

Casos especiales: Norte franco Sur franco N 00º 00´ 00¨ E S 00º 00´ 00¨ E N 00º 00´ 00¨ W S 00º 00´ 00¨ W

N

W

E

S

Este franco N 90º 00´ 00¨ E S 90º 00´ 00¨ E

En ciencias náuticas se llama Rumbo al Azimut.

Oeste franco N 90º 00´ 00¨ W S 90º 00´ 00¨ W

22 Curso de Topografía Aplicada

Transformaciones de Azimut a Rumbo CASO I:

Dado Az 0-A = 10º 12´ 13¨ calcular R 0 -A N

A

Az

R 0-A = Az 0-A

R W

E

O

R 0-A = N 10º 12´ 13¨ E

S

CASO II:

Dado Az 0-B = 97º 10´ 12¨ calcular R 0-B N

R 0-B = 180º - Az Az

R 0-B = S 82º 49´ 48¨ E

O

W

E R

B

S

CASO III:

Dado Az 0-C = 197º 10´ 14¨ calcular R 0-C N

R 0-C = Az - 180º Az O

W

R C

S

R 0-C = S 17º 10´ 14¨ W E

23 Curso de Topografía Aplicada

CASO IV: D

Dado Az 0-D = 300º 20´ 10¨ calcular R

0-D

N

R

R 0-D = 360º - Az Az

R 0-D = N 59º 39´ 50¨ W W

E

O

S

Transformaciones de Rumbo a Azimut CASO I:

Dado R 0-M = N 20º 20´ 19¨ E calcular Az 0-M N

M

Az 0-M = R 0 -M

Az R W

E

Az 0-M = 20º 20´ 19¨

O

S

CASO II:

Dado R 0-N = S 32º 14´ 10¨ E calcular Az

0-N

N

Az 0-N = 180º - R 0-N Az W

O

E

S

R N

Az 0-N = 147º 45´ 50¨

24 Curso de Topografía Aplicada

CASO III:

Dado R 0-D = S 80º 10´ 20¨ W calcular Az

0-D

N

Az 0-D = 180º + R 0 -D Az O W

Az 0-D = 260º 10´ 20¨

E

D R S

CASO IV:

Dado R 0-H = N 40º 30´ 20¨ W calcular Az

H

R

0-H

N

Az 0-H = 360º - R Az

Az 0-H = 319º 29´ 40¨ W

E

O

S

Problemas combinados de Rumbo y declinación magnética El rumbo magnético de una línea es N 78º 29´ 00¨ W y la declinación magnética del lugar es = -3º 40´ 00¨ ¿Cuál es el rumbo verdadero?

Rv = N ( 78º 29´ 00¨ ) + ( 3º 40´ 00¨ ) W Rv = N 82º 09´ 00¨ W Nm



N

Rm Rv W

E

S

25 Curso de Topografía Aplicada

En Enero de 1949 la declinación magnética de Cumaná era de 5º 43´ W y la variación anual es de 6´ W. ¿Cuál será la declinación magnética en Enero de 1989? 1949 = 5º 43´ W ó -5º 43´

No. de años transcurridos = 40

40 * 6´ W = 240´ W ó -240´ = 4º W ó -4º 1989 = 1949 - v total 1989 = ( -5º 43´) - 4º = -9º 43´ ó

9º 43´ W

26 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 3 Cálculo de poligonales 3.1. ¿QUÉ ES CALCULAR UNA POLIGONAL? Es calcular las coordenadas compensadas o corregidas de todos y cada uno de los vértices de la misma. Antes de comenzar estos cálculos es necesario conocer algunos conceptos fundamentales que son los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

La diferencia Norte entre dos puntos (N) La diferencia Este entre dos puntos (E) La distancia entre dos puntos en función de N y E Los signos de N y E en función del Rumbo El cálculo de los Azimutes siguientes Tolerancias permitidas en Venezuela Métodos para compensar poligonales

Cálculo de N en función de la distancia y el Rumbo N

A D R

W

O

N = Diferencia Norte N = Diferencia Este R = Rumbo D = Distancia

R N

E

E

Cos R = S

N D



N = D * Cos R

Cálculo de E en función de la distancia y el Rumbo

Sen R =

E D



E = D * Sen R

27 Curso de Topografía Aplicada

Cálculo de la distancia en función de N y E N R

A D

W

R N

E

O

N2 + E2

D= E

S

Otra alternativa sería calcular la distancia en función de N, E y el Rumbo.

Cos R =

N



D=

D

N

Sen R =

E

Cos R



E

D=

D

Sen R

Signos de N y E I

II N

N N+

W

E+

E

E+ W

E N-

S

S

III

IV N

N N+

EW

E

W

E

E-

NS

Cálculo del Az del lado siguiente de una poligonal Existen dos alternativas: a) En función del ángulo horizontal y el Az anterior b) En función de la deflexión y del Az anterior

S

28 Curso de Topografía Aplicada

a) En función del ángulo horizontal y el Az anterior H Az n

Az n+1

V-1

V-0

Azn+1 = Azn + H + 180º V-2

NOTA:

* Primero se debe intentar la resta. * El Az anterior es el que viene hacia la estación.

Ejemplo 1: Datos:

Azn = 10º 20´ 10¨

H = 200º 10´ 40¨

Azn +1 = ?

Azn +1 = (10º 20´ 10¨) + (200º 10´ 40¨) - 180º = 30º 30´ 50¨ Ejemplo 2: Datos:

Azn = 10º 20´ 10¨

H = 40º 10´ 40¨

Azn +1 = ?

Azn +1 = (10º 20´ 10¨) + (40º 10´ 40¨) + 180º = 230º 30´ 50¨ b) En función del ángulo de deflexión y el Az anterior

Az n

 + V-1

Az n+1

V-0

NOTA:

Azn+1 = Azn +  V-2

Fórmula útil para trabajar vías de comunicación.

Tolerancias permitidas en Venezuela Fundamentalmente en las especificaciones generales para el estudio de carreteras con poligonales de precisión, las normas venezolanas dan los siguientes tipos de tolerancias:

29 Curso de Topografía Aplicada

a.- Tolerancia en la medición de los ángulos horizontales: T = 30

¨

n

b.- Tolerancia en las medidas horizontales: a) Para terreno plano y medio:

T = 0,015

L

m

b) Para terreno accidentado:

T = 0,025

L

m

L = distancia total en metros Ejemplo:

Se midió una poligonal de 1600 m de longitud total en un terreno plano. Calcular el mayor error lineal permitido.

T = 0,015

L

T = 0,015

1600

T = 0,6 m

c.- Tolerancia en nivelación: a) Para terreno plano:

T = 10

K mm

b) Para terreno medio:

T = 12

K mm

c) Para terreno accidentado:

T = 15

K mm

K = distancia nivelada expresada en Km.

NOTA:

Como regla nemotécnica recordar que jamás el error altimétrico deberá ser mayor de 15 mm por cada Km.

Ejemplo:

Calcular la tolerancia en una nivelación de 4 Km en un terreno accidentado

T = 15

K

mm

T = 15

4

T = 30 mm

30 Curso de Topografía Aplicada

Métodos para compensar poligonales En los diferentes métodos el proceso de cálculo es el mismo, lo que realmente varía es el método para compensar los errores. Los métodos más usados son:  Método de Bowditch (Nathaniel Bowditch). Es el más usado en la práctica.  Método del Tránsito (variante del método 1)  Método de Crandall (Charles Lee Crandall) por mínimos cuadrados 3.2. CÁLCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA (Método de Bowditch) Pasos: 1.) 2.) 3.) 4.) 5.) 6.) 7.)

Calcular el error angular y compensar si está en tolerancia Calcular los Azimutes Calcular los Rumbos Calcular los Cos y Sen de los Rumbos Calcular las coordenadas parciales (N y E) Calcular el error lineal Calcular la precisión

NOTA:

Precisión es el error unitario, es decir, la distancia en la cual se cometería el error de un metro y se calcula por proporción.

Ejemplo:

Calcular la precisión con la cual se midió una poligonal de 5.425 m, si el error lineal cometido fue de 0,54 m. 5.425 m 

P=

L  T

0,54 m 1 m

P=

5.425 m 0,54 m

P = 10.046

Donde  T = Error total Se expresa 1/10.046 lo cual significa 1 m. de error por cada 10.046 m. 8.) 9.)

Compensar el error lineal Calcular las coordenadas totales corregidas

31 Curso de Topografía Aplicada

Ejemplo ilustrativo: Un topógrafo trazó una poligonal según croquis N 26241´11¨

V-2

87,02

29021´43¨

V-1

92,79 44,07

Az = 2704´02¨ Az de partida

V-0

V-3

74,22

28514´16¨

241 41´50¨

Si las coordenadas de V-1 son: coordenadas de V-2, V-3 y V-0.

N = 1.000,000

y

E = 5.000,000. Calcular las

Para realizar este cálculo se utiliza la minuta de poligonal. Cálculo de poligonales por el método de Bowditch La compensación de los errores por este método, se hace proporcionalmente a la distancia. Para determinar KN (coeficiente de corrección norte) dividimos el error total por la longitud de la poligonal y luego multiplicamos este coeficiente por todas y cada una de las distancias, pero tomando en cuenta que la corrección debe ser de signo contrario al error cometido. Lo mismo se hace para calcular KE (coeficiente de corrección este) y para calcular las correcciones. NOTA:

La suma de las correcciones debe ser igual al error cometido.

Las correcciones se suman algebraicamente con las parciales no corregidas para obtener las parciales corregidas. Después de haber hecho las correcciones se verifican por última vez y la sumatoria de los (N) debe ser igual a la sumatoria de los (S), también la sumatoria de los (E) debe ser igual a la sumatoria de los (W). Para calcular las coordenadas finales corregidas se debe sumar en forma encadenada a partir del Norte de salida, lo mismo se hace con las coordenadas (E).

32 Curso de Topografía Aplicada

Se supone que se deben tener unas coordenadas (N) y (E) del punto de salida, las cuales preferiblemente deberían ser tomadas del IGVSB (INSTITUTO GEOGRÁFICO DE VENEZUELA SIMÓN BOLÍVAR) antigua Cartografía Nacional o en su defecto se toman unos valores arbitrarios. Comentario: Con los valores de los (N) y de los (E) se dibuja la poligonal en un sistema cartesiano (ideal para dibujar en CAD). El cálculo completo de la poligonal del ejemplo, por el método de Bowditch está en el ANEXO No. 1 Cálculo de poligonales por el método del Tránsito Este método es una variante del método de Bowditch. Para calcular y compensar por este método se trabaja exactamente igual hasta el séptimo paso del método anterior, la única diferencia estriba en el cálculo de los coeficientes de corrección (K), los cuales se calculan de la siguiente forma: KN =

 N N + S

KE =

 E E + W

Donde  N = Error Norte y E = Error Este Eso significa que se reparte el error proporcionalmente a las proyecciones. Calculadas las constantes de corrección (K), se multiplican por cada una de las parciales para obtener las correcciones. El cálculo completo de la poligonal del ejemplo, por el método del Tránsito está en el ANEXO No. 2 3.3. CÁLCULO DE UNA POLIGONAL ABIERTA CON CONTROL (Bowditch) Pasos: 1.)

2.) 3.) 4.) 5.) 6.)

Verificar cierre angular por diferencia de azimutes, es decir, comparar el azimut de llegada calculado con el azimut de llegada establecido por las coordenadas, y si está dentro de tolerancia repartir el error y corregir los ángulos. Calcular los Azimutes siguientes con los ángulos corregidos. Calcular los Rumbos. Calcular los Sen. y Cos. de los Rumbos. Calcular las coordenadas parciales. Calcular el error lineal de la siguiente forma:

33 Curso de Topografía Aplicada

 N = N - N´

N = Suma algebraica de los N y S. N´ = Norte de llegada - Norte de partida

 E = E - E´

E = Suma algebraica de los E y W. E´ = Este de llegada - Este de partida

7.) 8.) 9.) 10.)

Calcular la precisión. Calcular la tolerancia del error lineal. Corregir las coordenadas parciales por cualquier método. Calcular las coordenadas totales.

Ejemplo ilustrativo:

Calcular la poligonal que se muestra a continuación.

N

155,10

E-3

F-14 Az 209 33´51¨ Az de llegada

80,32

70,02

99,97

E-2

F-2

72 32´15¨

53 10´12¨ 123 09´54¨

E-1

28231´10¨

14201´05¨

F-15

Az 7610´15¨ Az de salida F-1

Coordenadas de F-2 Coordenadas de F-14

N = 428,702 E = 454,393 (salida) N = 589,462 E = 339,963 (llegada)

El cálculo completo de la poligonal del ejemplo está en el ANEXO No. 3 3.4. CÁCULO DE UNA POLIGONAL ABIERTA SIN CONTROL Con este tipo de poligonales se procede a calcular los azimutes, rumbos, N, E y coordenadas finales inmediatamente, ya que como no hay control no se pueden determinar ni errores angulares ni errores lineales.

NOTA:

Cuando se traza este tipo de poligonales para el estudio de carreteras, a cada Km. se debe hacer una observación solar para determinar el control azimutal, permitiéndose una diferencia de 1 minuto entre la observación solar y el azimut calculado por ángulos.

34 Curso de Topografía Aplicada

Comentarios sobre la compensación de poligonales por el método de Crandall Generalmente la compensación de una poligonal lleva a dos tipos de errores:  Los errores angulares  Los errores lineales Por lo tanto la práctica corriente compensa de la siguiente manera: 1. Se distribuye el error angular en partes iguales en todos los vértices. 2. Se compensan los errores lineales proporcionalmente a los lados de la poligonal o a las coordenadas parciales. Conclusión:

Estos métodos de compensación son empíricos (Bowditch y Tránsito) porque la modificación de las coordenadas no mantiene satisfecha la condición angular y lineal.

En las mediciones topográficas, eliminando los errores sistemáticos y equivocaciones sólo quedan los errores accidentales, y por lo tanto se ha demostrado lo siguiente: 1. Los errores accidentales obedecen a la Ley del Azar. 2. El conjunto de errores con mayor probabilidad de producirse es aquel en que la suma de los cuadrados de los errores es mínima. 3. El método de determinación de estos errores es el de los mínimos cuadrados, teoría matemática que utiliza el método de Crandall. Gran Conclusión: Cuando se trace una poligonal y su error angular y lineal es muy pequeño y está dentro de tolerancia, no es necesario hacer la compensación angular ni lineal.

35 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 4 Los tres grandes problemas de la planimetría Con estos tres problemas se puede resolver cualquier situación de replanteo y de coordenadas que se presenten en el campo y en la oficina. Estos tres problemas son los siguientes: 1. Distancia, Rumbo y Azimut entre dos puntos. 2. Replantear un punto desde dos puntos con coordenadas. 3. Calcular las coordenadas de un tercer punto desde dos puntos con coordenadas. Regla para determinar el ángulo formado por dos alineamientos Se pueden presentar dos situaciones: A) Cuando los alineamientos están expresados en forma de Azimut.

Az O-A

A

= Az O-B - Az O-A



O

Az O-B

= Az final - Az inicial B

Ejemplo:

Az O-A = 6210´10¨ O

A

= (162º 10´10¨) - (62º 10´10¨)

 Az O-B= 16210´10¨

B

= 100º 00´00¨

36 Curso de Topografía Aplicada

B) Cuando los alineamientos están expresados en forma de Rumbo. Existen cuatro sub-casos: Sub-caso I

Cuando los Rumbos están en el mismo cuadrante, se restan ambos Rumbos para obtener . N

N-E N-E

A

N



B O

O S-E



A

S-E

B N

B

N N-W



A

N-W

O O



B

A

S-W

S-W

Ejemplo:

Sub-caso II

R1-2 = S 30º 40´20¨ W

R1-3 = S 60º 50´30¨ W

= (60º 50´30¨) - (30º 40´20¨)

= 30º 10´10¨

Cuando los Rumbos tienen la primera letra igual y la segunda diferente,  se obtiene sumando ambos Rumbos. N 3 N-W



N 2

N-E

1 1

S-W

3

S-E



2

37 Curso de Topografía Aplicada

Ejemplo : R1-2 = S 40º 10´12¨ W

R1-3 = S 20º 20´20¨ W

= (40º 10´12¨) + (20º 20´20¨)

= 60º 30´32¨

Sub-caso III Cuando los Rumbos tienen la primera letra diferente y la segunda letra igual, = 180º - (R1 + R2)  . N

B N-E



A

S-E

C

Ejemplo : RA-B = N 20º 10´20¨ E

RA-C = S 10º 40´50¨ E

= 180º - (20º 10´20¨ + 10º 40´50¨)

= 149º 08´50¨

Sub-caso IV Cuando los Rumbos tienen todas las letras diferentes, entonces = 180º - (Rmayor - Rmenor)  . N B

N-E

A



S-W

C

Ejemplo : RA-B = N 80º 40´50¨ E

RA-C = S 20º 30´40¨ W

= 180º - (80º 40´50¨ - 20º 30´40¨)

= 119º 49´50¨

38 Curso de Topografía Aplicada

4.1. PROBLEMA No. 1: Consiste en calcular el Rumbo, Azimut y la distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas rectangulares planas. Ecuaciones:

N2

N

2 E2

D1-2 =

D1-2

N2 + E 2

N = N2 - N1

1

N1 E1

E = E2 - E1

W

E

S

Las letras del Rumbo se colocan según el signo los de N y E. Ejemplo: Dadas las siguientes coordenadas: Pto. A-5 A-6

Norte 1.151.766,073 1.151.907,813

Este 367.677,937 367.126,265

Calcular la distancia A-5 A-6 y calcular el RA-5 -A-6 N A-6 N+ W

R E

E-

A-5

S

E

R1-2 = arc Tg N

N = 141,740 E = -551,672 D A-5-A-6 = 569,590 R A-5-A-6 = N 75º 35¨ 27¨ W Az A-5-A-6 = 284º 24¨33¨

39 Curso de Topografía Aplicada

4.2. PROBLEMA No. 2: Dicho problema consiste en replantear un punto apoyándose en otros dos puntos de coordenadas conocidas. 2

N

Punto conocido 3 Punto a replantear

 D W

E

1 Punto conocido

S

NOTA:

Se supone que el tercer punto a replantear también tiene sus coordenadas rectangulares.

Este problema se puede resolver aplicando dos veces el problema No. 1. Pasos:

Ejemplo:

1) Calcular R1 -2 ; Az 1-2 ; D1-2 2) Calcular R1 -3 ; Az 1-3 ; D1-3 3) Calcular por diferencia de azimutes Con las coordenadas de A-5 y A-6 del problema anterior. Calcular  y la distancia para replantear un punto C que tiene las coordenadas siguientes: N 1.151.773,031 y E 367.611,479.

Pto. Norte Estación A-5 1.151.766,073 Pto. visado A-6 1.151.907,813 Pto. nuevo C 1.151.773,031

Este 367.677,937 367.126,265 367.611,479

N A-6

C

RA5-A6 ; Az A5-A6 ; D A5-A6 

W

N = 6,958 E = -66,458 R A-5-C = N 84º 01´23¨ W Az A-5-C = 275º 58´37¨ (Az final) DA-5-C = 66,821 = Az A-5-A-6 - Az A-5-C = 08º 25´56¨ E

A-5

S

Resuelto en el problema anterior

40 Curso de Topografía Aplicada

Resumen: Para replantear el punto C, estacionado en A-5 se debe medir un ángulo de 08º 25´56¨ a la izquierda ó 351º 34´04¨ a la derecha y una distancia de 66,821m. 4.3. PROBLEMA No. 3: Consiste en calcular las coordenadas de un tercer punto, apoyándose en otros dos puntos con coordenadas conocidas. Se supone que se ha medido el ángulo horizontal con un teodolito y la distancia con una cinta metálica o distanciómetro. N N1 1 E1  W

E N2 2 E2

D 3

N3 = ? E3 = ?

S

Pasos:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Calcular Az1 -2 (Problema No. 1) Calcular Az2 -3 ( Az2 -3 = Az1-2 + H + 180º) Calcular R2 -3 Calcular Cos R2-3 y Sen R2-3 Calcular N2-3 y E2 -3 Calcular las coordenadas del punto de la siguiente manera: N3 = N2 + N2-3

Ejemplo:

Pto. A-6 A-1

E3 = E2 + E2-3

Un topógrafo se estacionó en A-1 con un teodolito y apuntó hacia A-6 con 00º 00´00¨, luego midió un ángulo horizontal de 334º 33´17¨ y una distancia de 443,421 m. al punto L-1. Calcular las coordenadas de L-1. Norte 907,813 983,562

Este 7.126,265 8.052,840

41 Curso de Topografía Aplicada

N

A-1

33433´17¨

D L-1 W

NA-6-A-1 E A-6-A-1 R A-6 -A-1 Az A-6 -A-1

E

A-6

S

Az A-1-L-1 = (85º 19´ 35¨) + (334º 33´ 17¨) - 180º R A-1-L-1 = S 59º 52´ 52¨ W Cos R = 0,501796 Sen R = 0,864986 NA-1-L-1 = -222,506

EA-1 -L-1 = -383,553

NL-1 = 983,562 - 222,506 = 761,056 EL-1 = 8052,840 - 383,553 = 7669,287

= 239º 52´52¨

= = = =

75,749 926,575 N 85º 19´35¨ E 85º 19´35¨

42 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 5 Cálculo de superficies La medición de superficies que comprenden propiedades es el objeto más importante dentro del catastro. También en la cubicación (volumen) del movimiento de tierras, es materia de primordial importancia ya que permite el cálculo de las áreas de cortes o rellenos en las secciones transversales. 5.1. PROCEDIMIENTOS PARA MEDIR SUPERFICIES

1. 2.

Procedimientos gráficos Procedimientos numéricos o analíticos

Procedimientos gráficos  Método por cuadrículas  Método por la descomposición de figuras  Método del planímetro Los procedimientos gráficos sustituyen en ventaja a los numéricos cuando se tiene construido el plano a escala grande, pero es claro destacar que por mucho que se aprecie no se llegará nunca a la exactitud de los procedimientos numéricos.

Método por cuadrículas

100 100

43 Curso de Topografía Aplicada

Método por la descomposición de figuras Se emplea en muchas ocasiones para hacer cómputos métricos de superficies irregulares en zonas asfaltadas.

S1 ST = S1 + S2 + S3 S2

S3

Método del planímetro El planímetro es un integrador gráfico, que por métodos mecánicos o digitales mide una superficie. Está compuesto por: una rueda integrante, un contador de vueltas, un brazo trazador, un brazo polar y el polo. (Ver ANEXO No. 4) Para medir con un planímetro se recorre el contorno del área con la lupa del brazo trazador y al llegar al punto de origen se mide el número de vueltas, esta operación se hace varias veces y se toma el promedio. Para calcular el área, se multiplica el número de vueltas por la constante que está escrita dentro de la caja del planímetro que varía según la escala. Los planímetros más usados son los siguientes: 1. 2. 3. 4.

Planímetro Ott (alemán) Planímetro Haff (alemán) Planímetro Salmoraghi (alemán) Planímetro digital Planix (japonés)

Procedimientos numéricos o analíticos  Método matricial  Método por Doble Distancia Meridiana (DDM)

Ambos métodos calculan el área de la figura en función de las coordenadas rectangulares planas de sus vértices.

44 Curso de Topografía Aplicada

5.2. CÁLCULO DE ÁREAS POR EL MÉTODO MATRICIAL N2 E2

N1 E1

N3 E3

Para calcular el área de ésta y cualquier otra figura se ordenarán los valores de esta manera: N1

E1

N2

E2

N3

E3

N1

E1

Ahora se forman los productos con las diagonales de tal forma que los productos a la derecha y hacia abajo se toman con signos (+), y los productos a la derecha y hacia arriba se toman con signos (-), luego el área de la figura es la suma algebraica de ambos productos dividido por dos, es decir: ( + ) + ( -) A= 2

NOTA:

Hacer caso omiso de los resultados negativos en los cálculos de áreas.

Ejemplo No. 1:

Calcular el área de la siguiente figura: N1 = 7 E1 = 3

N2 = 7 E2 = 8

N4 = 4 E4 = 3

N3 = 4 E3 = 8

45 Curso de Topografía Aplicada

7

3

7

8

4

8

56 + 56 + 12 + 12 = 136

+

- 21 - 32 - 32 - 21 = -106

-

136 - 106

= 15 m2

A=

4

3

7

3

2

Demostración del método matricial: N2 E2

N

N3 E3

N1 E1

E

(N1 + N2)(E2 - E1) A=

(N3 + N2)(E3 - E2) +

2 2A = 2A =

(N1 + N3)(E3 - E1) -

2

2

(N1 + N2)(E2 - E1) + (N3 + N2)(E3 - E2) - (N1 + N3)(E3 - E1) N1E2 - N1E1 + N2E2 - N2E1 + N3E3 - N3E2 + N2E3 - N2E2 - N1E3 + N1E1 - N3E3 + N3E1

N1E2 + N2E3 + N3E1 - N2E1 - N3E2 - N1E3 A=

N1

E1

N2

E2

N3

E3

N1

E1



2

A= 2

46 Curso de Topografía Aplicada

Conclusión: Eso significa que se efectúan los productos en diagonal de la siguiente forma: Los productos a la derecha y bajando se tomarán con el mismo signo y los productos a la derecha y subiendo se tomarán con signos contrarios, luego el área se obtiene haciendo la suma algebraica de ambos resultados y dividiendo por dos. Ejemplo No. 2:

Pto. 1 2 3 4

Calcular el área de la figura cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas:

Norte 100 700 400 200

Este 200 400 600 500

A=

100

200

700

400

400

600

200

500

100

200

2

40.000 + 420.000 + 200.000 + 40.000 - 140.000 - 160.000 - 120.000 -5.000 A= 2 700.000 - 47.000 2

A=

A = 115.000 m 2

Ejemplo No. 3:

Pto. 1 2 3 4

Calcular el área de la figura definida por las siguientes coordenadas:

Norte 4 3 -2 -2

Este 3 -1 -3 5

A=

- 4 - 9 - 10 - 6 - 9 - 2 - 6 - 20 A=

3

3

-1

-2

-3

-2

5

4

3

2

- 66 A=

2

4

A = - 33 2

2

= 33 m

47 Curso de Topografía Aplicada

Ejemplo No. 4:

Pto. A B C

Calcular el área de la figura con las siguientes coordenadas:

Norte 3 7 4

Este 2 5 -3

15 - 21 + 8 - 14 - 20 + 9 A=

3

2

7

5

A=

32 - 55 A=

2

2 4

-3

3

2

A = -11,5

= 11,5 m

2

2

5.3. ÁREAS DE SECCIONES TRANSVERSALES En el cómputo de movimiento de tierras primero se debe calcular las áreas de las secciones transversales para luego poder hacer el cómputo de los volúmenes de las masas por el método de las áreas medias (esto se ampliará en el estudio de movimiento de tierras más adelante). Esta forma de cubicar se aplica en represas, carreteras, canales y préstamos. Las tres secciones en movimiento de tierras

Corte o Banqueo (Cut) C L

B

48 Curso de Topografía Aplicada

Relleno o Terraplén (Fill) C L

T

Media ladera (Side Hill) Chaflán

C L B T

Chaflán

Las áreas de las secciones en movimiento de tierras también se calculan con el método matricial, pero en lugar del Norte se coloca la cota u ordenada y en lugar del Este se coloca la distancia al eje, recordando que las distancias a la derecha son positivas (+) y las distancias a la izquierda del eje son negativas (-). Ejemplo No. 1:

Calcular el área de la siguiente sección: C L 8 -12

A=

7

6

0

10

2

2

2

-4

0

4

7

6

2

2

2

8

7

0

10

4

0

-4

-12

0

70 + 24 - 8 - 24 - 20 - 8 + 32 +84

A=

210 - 60

= 75 m2

A= 2

2

49 Curso de Topografía Aplicada

Ejemplo No. 2:

Calcular área de Terraplén y Banqueo a la siguiente sección:

CL

10

8

7

7

7

AT =

0

-1

-4

B 7

T

7

4

7

7

-1

-8

-4

-1

7 4

- 56 -16 -7 + 4 + 56 + 28

0

AT = 2

4 -8

88 - 79

= 4,5 m2

AT = 2

AB =

8

10

7

7

7

8

0

7

4

0

-1

0

56 + 40 - 7 - 49 - 28 + 8

AB =

104 - 84

= 10 m2

AB = 2

2

5.4. CÁLCULO DE ÁREAS POR EL MÉTODO DE DOBLE DISTANCIA MERIDIANA (DDM) Este método de cálculo es una variante de la regla de Gauss. El cálculo de áreas por este método se usa cuando el valor del terreno es muy alto, cuando los valores de las coordenadas son U.T.M. y cuando existen muchos vértices.

NOTA:

* En definitiva el método matricial no sirve para calcular las áreas cuando las coordenadas de los vértices tienen valores U.T.M., ejemplo: N 1.154.238,965 y E 367.534,042. * Con el método por DDM se puede controlar la exactitud, sin repetir las operaciones.

50 Curso de Topografía Aplicada

Definiciones importantes: Meridiana: Se llama meridiana de un lugar a la dirección N-S del mismo. Distancia meridiana de un punto: N Distancia meridiana del punto P P

S

Distancia meridiana del lado de una poligonal: Se llama distancia meridiana del lado de una poligonal a la distancia meridiana del punto medio del mismo lado. N

N2 2 E2

M

M´

N1 1 E1

(punto medio) M´M = Distancia meridiana del lado 1-2

S

Se puede deducir lo siguiente: E1 + E2 M´M =

2M´M = E1 + E2 2

2DM = DDM

DMM1-2 = E1 + E2

SI

M´M = DM1 -2

51 Curso de Topografía Aplicada

Demostración del cálculo de áreas por el método de DDM N 3´

3

N3 -1 N2-3 1

N1 -2

2´

2 S

2´2 * 12´ S = -

(22´ + 33´) * 2´3´ +

33´ * 3´1 -

2

2

2

2S = - (2´2)(12´) + (22´ + 33´)(2´3´) - (33´)(3´1) - DDM1 -2 * N1-2 + DDM2 -3 * N2-3 - DDM3-1 * N 3-1 S = 2

Regla práctica para calcular un área por el método DDM 1) La primera DDM es igual al primer E. 2) Para calcular los demás DDM, se debe sumar algebraicamente la DDM anterior con el E anterior y con el E siguiente. 3) La última DDM es igual al último E pero con signo contrario y ésta es la verificación. 4) Hacer la suma algebraica de los productos formados por la DDM multiplicada por el N de cada uno de los lados de una poligonal y luego dividir por dos. Ejemplo No. 1: Con los datos del ejemplo No. 2 de cálculo de áreas por el método matricial, calcular el área por DDM. Lista de Coordenadas Pto. Norte Este 1 100 200 2 700 400 3 400 600 4 200 500

52 Curso de Topografía Aplicada

Pto. 1 2 3 4

Norte 100 700 400 200 100

Cálculo de área por DDM DDM N E

Este 200 400 600 500 200

+600 -300 -200 -100

+200 +200 -100 -300

+200 +600 +700 +300

+ 120.000

120.000 120.000 - 350.000

-

180.000 140.000 30.000 350.000

S = 115.000 m2

S= 2

Ejemplo No. 2: Con los datos del ejemplo No. 1 de cálculo de áreas por el método matricial, calcular el área por DDM.

Lista de Coordenadas Pto. Norte Este 1 7 3 2 7 8 3 4 8 4 4 3

Pto. 1 2 3 4

Norte 7 7 4 4 7

Este 3 8 8 3 3

Cálculo de área por DDM N E DDM 0 -3 0 3

5 0 -5 0

+

5 10 5 0

-30

0 - 30 S=

-

-30

S = 15 m2

2 NOTA:

Para la división de superficies, primero se debe calcular el área exactamente por DDM o por el método matricial, luego se procede a hacer la partición por tanteo y la afinación de los datos según el problema planteado. (Sentido Común y un buen manejo de las coordenadas)

53 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 6 Altimetría (Nivelación) Rama de la topografía que calcula la coordenada vertical o cota de los puntos en el terreno o de una construcción. Para calcular las cotas de los puntos se utilizará un método topográfico denominado Nivelación. También hay una rama de la topografía para calcular de manera rápida y sencilla la planimetría y la altimetría simultáneamente llamada Taquimetría. NIVELACIÓN Instrumentos utilizados para nivelaciones de precisión  Nivel de anteojo  Mira estadimétrica  Opcionalmente se utiliza un pie de mira (sapo) Tipos de nivelaciones 1. Nivelación geométrica o directa (nivel y mira) 2. Nivelación trigonométrica (teodolito, mira o señales) 3. Nivelación barométrica. 6.1. NIVELACIÓN GEOMÉTRICA Es la que se hace con nivel de anteojo y mira y pueden ser: simples o compuestas. Términos relativos a la nivelación geométrica Atrás:

(At) ó (+) Es la primera lectura de mira que se hace al B.M.

Adelante: (Ad) ó (-) Son las demás lecturas que se hacen después de ¨Atrás¨ y especialmente se llama ¨Adelante¨ a la última lectura efectuada antes de hacer el cambio.

54 Curso de Topografía Aplicada

Intermedio:

(Inter) ó (-) Son las lecturas ¨Adelante¨ de los puntos intermedios.

Cota instrumental o cota de ojo: (Ojo) Es la cota del eje óptico del anteojo.

Cota ojo Eje óptico At

Ad

B.M. Pto.

Cota ojo = Cota B.M. + At

intermedio

Cota Pto. intermedio = Cota ojo - Ad

Forma de anotar una libreta de campo para nivelación geométrica Existen varios tipos de libreta: Level Book, Field Book y Mining Book.

Pto.

At +

Inter -

Ad -

Ojo

Cota

Cálculo de cota de una nivelación geométrica simple 1. Realizar la lectura ¨Atrás¨ y calcular la cota de ojo. 2. Realizar la lectura ¨Inter¨ o ¨Adelante¨ y calcular la cota del punto visado. Si es punto ¨Inter¨

Cota = Cota de ojo - Inter

Si es punto ¨Cambio¨ Cota = Cota de ojo - Ad NOTA:

Si al hacer el punto de cambio éste no tiene nombre, entonces se puede llamar ¨PC¨. Para seguir la nivelación se debe repetir los pasos 1 y 2, para de esta manera realizar una nivelación compuesta.

55 Curso de Topografía Aplicada

6.2. TIPOS DE NIVELACIONES GEOMÉTRICAS 1. Nivelación cerrada 2. Nivelación abierta:

a) Con control

b) Sin control

Forma de calcular una nivelación cerrada a) Sumar los ¨At¨ b) Sumar los ¨Ad¨ c) Calcular el error, y si se está dentro de tolerancia se procede a calcular la nivelación NOTA:

* En las nivelaciones cerradas la suma de los ¨At¨ debe ser igual a la suma de los ¨Ad¨. La diferencia entre ambas cantidades se llama error de nivelación, por lo tanto = At - Ad. * Recordar que la fórmula para calcular la tolerancia en Venezuela es T = 10 K mm. * Si la nivelación está en tolerancia no es necesario compensar, ya que esto no obedece a ninguna ley, en grandes redes geodésicas se acostumbra a hacer compensaciones por el método de los mínimos cuadrados.

Ejemplo ilustrativo: V-1 R1 V-2

R2

V-0

V-3

Pto. V-0 R-1 V-1 V-2 R-2 V-3 V-0

At + 1,485

Inter -

Ad -

Ojo 6,017

1,954 2,964

6,346 4,616

1,642 0,476 = 7,036

5,006

1,684 2,283 1,234 1,964 2,032 =

7,034

= 7,034 - 7,036 = - 0.002 m - 2 mm

L = 400 m

Cota terreno 4,532 4,333 4,063 3,382 2,652 2,974 4,530

56 Curso de Topografía Aplicada

T = 10

K mm

T = 10

0,4 = 6 mm

Nivelación abierta con control Es una nivelación que sale de un punto acotado y termina en un punto de la misma condición. Pasos del cálculo: 1. Se suman los At 2. Se suman los Ad 3. Se calcula el error de la siguiente forma: a) b) c)

Calcular z (diferencia de desnivel), z = At - Ad Calcular z´, z´ = Cota llegada - Cota salida nivelación = z - z´ donde = error

4. Si el error está en tolerancia se calculan las cotas del terreno NOTA:

* No es necesario compensar la nivelación. * Se deben evitar problemas con las ambigüedades de signos, lo importante es calcular el error, averiguar si está en tolerancia y si eso se verifica se procede a calcular la nivelación.

Ejemplo: Pto. BM-1 0+200 0+240 0+260 0+280 0+320 0+360 BM-2

At + 1,456

Inter -

Ad -

Ojo 11,918

1,928

10,933

3,421

8,556

2,342 0,943 2,864 1,044 2,846 1,145 =

4,588

z = 4,588 - 10,310 = - 5,722 z´ = 4,739 - 10,462 = - 5,723

2,998 1,963 = 10,310

6,703

= z - z´

Cota terreno 10,462 9,576 9,990 8,069 7,512 5,710 5,558 4.739

= 0,001  1 mm

57 Curso de Topografía Aplicada

T = 10 NOTA:

0,2

T = 4 mm

También se puede determinar el error calculando la nivelación completa, luego comparar la cota calculada con la cota de llegada.

Nivelaciones abiertas sin control En este tipo de nivelación se hace imposible determinar el error ya que no hay comparación. Para hacer el cálculo se procede de una vez con la rutina. Como conclusión se puede decir lo siguiente: Las nivelaciones cerradas son todas aquellas que regresan al punto de partida o que llegan a un punto de cota conocida. En cualquier otro caso será una nivelación abierta. 6.3. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA Es aquella nivelación indirecta que se calcula apoyándose en las leyes elementales de la trigonometría. Se presentan dos casos bien diferenciados: Caso I

Z

m=3 t = 1022´10¨

B

h = 1,50 A Cota = 302 D = 1.237 m

h = D = m = t = z =

altura del aparato distancia reducida altura de la señal tangente desnivel

Ecuaciones: t = D * Tan 

z = h + t - m

Cota B = Cota A + z

z

58 Curso de Topografía Aplicada

Solución:

t = 1.237 * Tan 1022´ 10¨ = + 226,35 z = 1,50 + 226,35 - 3,00 = 224,85 Cota B = 302,00 + 224,85 = 526,85 m

Caso II

C.I.

Este caso es muy importante porque servirá para replantear chaflanes con cinta inclinada y también para medir distancias con cinta inclinada cuando el desnivel entre los puntos a medir es bastante pronunciado.

Z

m t B



z

h A D

donde: m = hilo medio

y C.I. = cinta inclinada

Ecuaciones: D = CI * Cos 

ó

D = CI * Sen Z

t = CI * Sen 

ó

t = CI * Cos Z

Ejemplo: Cota A = 10,00 h = 1,40 m = 1,27 Z = 7010´ 15¨ CI = 37,25 t=? z = ? Cota B = ?

= 90- Z = 1949´ 45¨

z = h + t - m Cota B = Cota A + z

59 Curso de Topografía Aplicada

D = 37,25 * Cos 1949´ 45¨ t = 37,25 * Sen 1949´ 45 z = 1,40 + 12,64 - 1,27 Cota B = 10,00 + 12,77

D = 35,04 m t = 12,64 z = 12,77 Cota B = 22,77 m

6.4. FACTORES QUE AFECTAN LAS NIVELACIONES Existen dos factores influyentes:  Factor No. 1: La curvatura terrestre  Factor No. 2: La refracción atmosférica Las nivelaciones trigonométricas se deben corregir por ambos factores para obtener buenos resultados. p´´

 c

Plano horizontal

 r p´  t

O D Curvatura terrestre

p

O = estación p = punto observado D = distancia

 c = error por curvatura  r = error por refracción  t = error total

 t=  c -  r Error por curvatura

 c=

 c = 0,08 * D2

pp´´ y se calcula de la siguiente forma:

D = se expresa en Km y

 c se expresa en

m.

Error por refracción

 r=

p´p´´ y se calcula de la siguiente forma:

D = se expresa en Km. y

 r se expresa en

m.

 r = 0,01 * D2

60 Curso de Topografía Aplicada

 t=  t=

0,08 * D2 - 0,01 * D2

 t =

D 2 (0,08 - 0,01)

NOTA:

0,07 * D2

* A las nivelaciones trigonométricas se le debe corregir la cota por curvatura y por refracción. * Las nivelaciones geométricas no se corrigen ni por refracción ni por curvatura, ya que se engendra un error muy pequeño. * A las cotas calculadas por nivelación trigonométrica se le deben sumar el error total.

Ejemplo ilustrativo: Corregir la cota del caso No. 1 de nivelación trigonométrica por curvatura y por refracción. D = 1.237 m = 1,237 Km. Cota sin corregir = 526,85

 t=

Cota corregida = Cota sin corregir +

 t =

0,07 (1,237)2

 t

0,11 m

Cota corregida = 526,85 + 0,11 = 526,96 m Ejercicio No. 1:

¿Qué error se cometería en una nivelación de 100 m de distancia?

100 m = 0,1 Km

 t=

0,07 (0,1)2

 t=

0,0007 m 0,001 m 1 mm

Eso quiere decir que en nivelaciones geométricas, no se deben leer puntos más allá de 70 m. Ejercicio No. 2: D=?  t = 1,65

En un terreno plano y completamente limpio. Calcular la distancia a la cual se dejaría de ver a un hombre de 1,65 m de alto como

 t=

0,07 * D2

 t entonces:

D= 0,007

D = 4,855 Km = 4.855 m

61 Curso de Topografía Aplicada

Equipo para labores de topografía Equipo de campo: 1. Teodolito y trípode 2. Nivel de anteojo y trípode 3. Miras estadimétricas 4. Cintas métricas de 50 m. y 100 m. 5. Jalones o piquetes 6. Flechas o agujas 7. Niveles de mano 8. Mandarria de 1 ó 2 ½ libras 9. Brújula o declinatoria y lente oscuro para observaciones solares 10.Varios: libreta de campo, estacas, cabillas (de 30 a 40 cm.), cincel para meter estacas en terreno duro, trompos, clavos de acero (PK), marcadores, pintura roja y blanca con brocha, termo de agua, pie de mira para nivelación, machete, hacha, etc. Equipo de oficina: 1. 2. 3. 4. 5.

Calculadora científica o programable Microcomputador Software de topografía Software de dibujo (para dibujo en CAD) AutoCAD. Reglas, escuadras, transportador, lápices, paralela, mesa, etc. (para dibujo manual)

NOTA:

* No se deben utilizar cintas de tela o plástico en topografía, ya que éstas se utilizan para medir interiores en edificaciones. * La brújula de geólogo marca BRUNTON´S es la mejor, o su similar TAMAYA, de fabricación japonesa. * La diferencia entre brújula o declinatoria es que la declinatoria es sólo un aguja imantada dentro de un tubo, mientras que la brújula además de la aguja imantada tiene un círculo graduado o limbo.

6.5. EL NIVEL DE ANTEOJO Es un instrumento de precisión que está formado por lentes y prismas, el cual se utiliza para determinar las cotas o alturas de los puntos en el terreno. (Ver ANEXO No 5) 6.6. LA MIRA Es una regla graduada de 4 m que sirve para nivelar y levantar con el teodolito.

62 Curso de Topografía Aplicada

Tipos de mira  Mira directa  Mira inversa Lectura de mira En nivelación sólo se lee el hilo medio y en taquimetría se leen los tres hilos de la mira. Para leer el hilo medio en nivelación se utilizan los cuatro dígitos (m-dm-cm-mm). Hilo superior (S) Punto focal ó cruz filar

Hilo vertical

Hilo medio (M) Hilo inferior (I)

NOTA:

Con miras inversas, la lectura se hace de arriba hacia abajo. Mira directa

Mira inversa

09

08

07

0,800 07

08

0,800 09

Modo de estacionar el nivel 1. 2. 3. 4.

Se saca el trípode Se monta el nivel en la meseta del trípode Se centra aproximadamente la burbuja de nivel esférico con las patas del trípode Se termina de centrar la burbuja con los tornillos nivelantes

63 Curso de Topografía Aplicada

NOTA:

El nivel no es aparato para medir ángulos horizontales.

En los niveles no automáticos en lugar de apretar el botón autonivelante, lo que se hace es nivelar con un tornillo el nivel de cabecera tubular. Definición de pendiente Es la tangente trigonométrica del ángulo que forma una recta con el plano horizontal, es decir, es la tangente del ángulo de inclinación. Y

P = pendiente OA se puede escribir:

A P



P = Tan 

X O

Ejemplo:

Si = 30º. Calcular la pendiente de la recta

P = Tan 30º

P = 0,577350

Eso significa que por cada metro horizontal la recta sube 0,577350 m.

0,577350 m  1m

La tangente de un ángulo es la pendiente unitaria, es decir, lo que sube o lo que baja por cada metro horizontal de la distancia. Forma de expresar la pendiente 1) Como pendiente unitaria Ejemplo

= 0,57

del caso anterior

64 Curso de Topografía Aplicada

2) En por ciento (%) Ejemplo: 5%. Eso significa que la recta sube o baja 5 m por cada 100 m de distancia horizontal.

5m  100 m

De acuerdo con la definición, para transformar pendiente unitaria a %, se debe multiplicar por 100 la pendiente unitaria y para pasar de % a pendiente unitaria se debe dividir por 100. Ejemplo 1:

PU

%

P = 0,577735

P = 57,7735 %

Ejemplo 2:

P=1

P = 100 %

Ejemplo 3:

%

PU

P = 25 %

P = 0,25

3) En por mil (%o) Para transformar de pendiente unitaria a pendiente unitaria por 1000. NOTA:

Ejemplo:

NOTA:

¨por mil¨ se debe multiplicar la

Para pasar de pendiente en % a %o , se debe multiplicar % por 10, también vale el caso contrario pero dividiendo. P = 0,23

P % y P %o

P = 23 % P = 230 % o

* Las pendientes unitarias se utilizan en canales. ( S = 0,001) * Las pendientes en % se utilizan en carreteras. (P = 2 %) * Las pendientes en %o se utilizan en cloacas y urbanismos. (P = 3 %o )

65 Curso de Topografía Aplicada

En los planos de canales las pendientes se representan con la letra ¨S¨ que viene de la voz inglesa ¨Slope¨. Ejemplo: S = 0,00025. Cuando la pendiente sube se le antepone el signo (+) y cuando la pendiente baja se le antepone el signo (-), de acuerdo al sentido creciente de la progresiva. +5% -10 %

6.7. PROBLEMAS DE NIVELACIÓN Problema No. 1 (útil en cloacas y en construcción) Si se tiene la cota de un B.M.. Calcular la lectura de mira intermedia que se debe hacer para marcar una cota de rasante.

1,234

1,485 Ras = 6,00

BM Cota =6,251

Para resolver este útil problema se calcula la cota de ojo y luego se le resta la rasante. Este resultado será la lectura de mira que se debe hacer para replantear esa rasante. Problema No. 2 (útil en construcción) Dada la cota de un punto, encontrar otros que tengan la misma cota.

+0,25

+0,25

0,925

0,925

La lectura de mira que se va a realizar debe ser igual a la lectura ¨Atrás¨.

66 Curso de Topografía Aplicada

Problema No. 3 (para inspección en forma expeditiva) Tantear en un terreno el punto más bajo.

2,150

3,142

2,894

El punto más bajo será el que tenga mayor lectura de mira, y el más alto el que tenga menor lectura de mira. Problema No. 4 (para tantear rutas) Dados dos puntos en el terreno, calcular la pendiente de la recta que los une. Este problema se puede resolver de dos formas: Primera forma (nivel y mira) Pasos:

a) b) c) d)

Se nivelan ambos puntos Se mide la distancia entre los dos puntos Se calcula el desnivel ( z) Se calcula la pendiente

Ejemplo: B

A

Cota A = 6,252 Cota B = 9,243 DA-B = 120,02 m %=?

120,02 m

2,991 m

100 m



z = 9,243 - 6,252 = 2,991 m

%=

2,991 * 100 P = 2,49 % 120,02

67 Curso de Topografía Aplicada

Segunda forma (teodolito y mira)

Z B

H h A

Pasos: a) b) c) d)

Se estaciona el teodolito en A y se mide la altura del aparato. Se apunta a B con el anteojo a una altura igual a la altura del aparato. Se lee el ángulo vertical (Z) y se obtiene el ángulo H (90º - Z). La pendiente entre ambos puntos será la siguiente: P = Tan H

Ejemplo: Si el ángulo Z = 87º 00´ 00¨. Calcular la pendiente entre esos puntos H = 90º - 87º = 3º

P = Tan 3º

P = 0,052407

P = 5,2407 %

P = 52,407 %o

Problema No. 5 Es una consecuencia de la forma No. 2 de resolver el problema No. 4. Consiste en buscar en el terreno un punto que respecto al punto estacionado tenga una pendiente dada. Pasos: 1. 2. 3. 4. 5.

Transformar la pendiente en % a pendiente unitaria Calcular la Tan-1 de esa pendiente unitaria. Medir la altura del aparato. Marcar en el teodolito el ángulo calculado. Tantear con la mira hasta que en el hilo medio se visualice la lectura igual a la altura del aparato.

68 Curso de Topografía Aplicada

Problema No. 6 (para nivelar en túneles) Dada la cota de un punto, en el cielo de un túnel, nivelar y acotar otro punto en el cielo del túnel. Chimenea Clave (cielo) Hastial izquierdo

Hastial derecho Solera Portal salida Portal entrada

A Cota = 402,532

B Cota = 402,314

-1

1-

-2

2-

-3

3,781

3,563

3-

431,973

2-

4-

-4

1C Cota = 396,778

Cota de ojo = Cota A - At

NOTA:

Cota B = Cota de ojo + Ad

Si se quiere acotar un punto en el piso, entonces a la cota de ojo se le resta el ¨Adelante¨.

69 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 7 Taquimetría Viene de las voces griegas: Taqui (rápido) y Metrón (medida). Es una rama de la topografía que sirve para medir de una manera rápida y sencilla. También se utiliza para efectuar simultáneamente la planimetría y la altimetría. 7.1. FÓRMULAS USADAS EN TAQUIMETRÍA D = g * Cos2 

ó

D = g * Sen2 Z

t = ½ g * Sen 2

ó

t = g * Sen * Cos 

z = h + t - m

Cota B = Cota A + z

D = distancia reducida g = generador S = hilo superior I = hilo inferior  = ángulo de elevación, ángulo de depresión (ángulo vertical) Z = ángulo zenital t = tangente taquimétrica z = desnivel entre la estación y el punto visado h = altura del aparato m = hilo medio Cota B = cota del punto visado Cota A = cota de la estación S + I g = (S - I ) 100

m= 2

70 Curso de Topografía Aplicada

S m

Z

I

t

B



z

h A D

Demostración de las fórmulas (D y t) Se debe recordar que por semejanza de triángulos se puede establecer relaciones con los lados homólogos. Para la demostración se pueden presentar dos casos: Caso I: (anteojo horizontal)

Eje vertical d

D´



c

S Eje horizontal

o

m

F

o´

I

D

F D S I m

= = = = =

foco distancia reducida hilo superior hilo inferior hilo medio

Demostración d = ( S - I )D´

= c = D´= d =

distancia focal distancia entre o-o´ distancia de F a la mira distancia entre hilo superior e hilo inferior del retículo

Por semejanza de triángulos se puede escribir lo siguiente: 

 D´ =

( S - I ) d



 = K d

constante estadimétrica

71 Curso de Topografía Aplicada

En los aparatos modernos K se ha hecho igual a 100, de manera que un centímetro en la mira es igual a un metro en el terreno. En los aparatos antiguos esta constante K era diferente de 100. Ejemplo: 99,99, de donde se deduce que: D´ = 100 ( S - I ) El producto de ese ( S - I ) 100 se llama generador. En la gráfica también se puede ver que D = c + + D´. ( c + ) = C (constante taquimétrica) Antiguamente C tenía un valor definido que suministraba el fabricante al vender el aparato, ejemplo: 3 cm. Hoy en día los fabricantes han hecho que C sea igual a 0. Entonces: D = D´ NOTA:

igualmente D = g

Cuando el anteojo está horizontal t = 0 ya que coincide la cota instrumental con el hilo medio.

Caso II: (anteojo inclinado) Caso general  S´

S m

Z

I

D´

I´ 

 O D

7.2. CÁLCULO DE LA DISTANCIA REDUCIDA D = D´ * Cos 

y

D´ = ( S´- I´ ) 100

como ( S´ - I´ ) = ( S - I ) Cos  

D´ = g * Cos 

como



D = g * Cos2 

ó

entonces

D´ = ( S - I ) Cos * 100

D = D´ * Cos  D = g * Sen2 Z

D = g * Cos Cos  (por complemento)

t

72 Curso de Topografía Aplicada

NOTA:

La segunda ecuación es la más recomendable porque los aparatos modernos miden ángulos zenitales.

7.3. CÁLCULO DE LA TANGENTE TAQUIMÉTRICA t

Tan =



t = D * Tan 



t = g * Cos2 * Tan 

D Sen  t = g * Cos 

t = g * Cos * Sen 

2

Cos 

como

Sen 2 = 2 Sen * Cos 



t = ½ g * Sen 2

Forma de anotar una libreta para el cálculo por taquimetría

Est. Pto.

Hilos - m g E-0 00º 00´ 00¨ 89º 42´ 1,842 1,421 84,20 1,000

E-1

H

V

D

h = 1,43

+t

z

Cota

10,28

E-2 32º 10´ 50¨ 94º 13´ 1,964 1,482 96,40 1,000 Pos 48º 10´ 12¨ 90º 12´ 1,842 1,421 84,20 1,000 E -0 E- 2

Poste E- 1

73 Curso de Topografía Aplicada

Prioridades para leer en taquimetría (para leer mira y ángulo) 1. Leer el hilo superior, el hilo inferior o el generador directamente. 2. Leer el hilo medio. 3. Leer el ángulo zenital y hallar el ángulo de elevación. NOTA:

* Para leer el generador directamente, es más cómodo poner el hilo inferior en 1,000; 2,000; 3,000; etc. * En las estaciones conviene leer los hilos. * En taquimetría se lee el ángulo horizontal y vertical hasta los minutos, pero en las estaciones principales se deben leer los grados, minutos y segundos. También debe hacerse cuando se trate de linderos.

7.4. CÁLCULO TAQUIMÉTRICO DE UNA LIBRETA DE CAMPO Es la operación de calcular la distancia reducida y la cota de cada uno de los puntos levantados. Formas de hacer el cálculo  Con las tablas taquimétricas (Jordan)  Con las fórmulas  Con un programa o software para calculadoras programables o microcomputador. Ejemplo: Est. Pto.

H

V

Hilos

-m

g

D

+t

z

Cota

L-5 00º 00¨ 00¨ L-6

h = 1,47 1

337º 40´

2

348º 14´

3

51º 23´

4

71º 16´

5

84º 39´

21,77 91º 48´ 1,245 1,122 1,000 90º 07´ 1,228 1,114 1,000 90º 00´ 1,416 1,208 1,000 84º 45´ 3,870 3,435 3,000 89º 58´ 2,259 1,829 1,400

24,50 24,48 -0,77 -0,42 21,35 22,80 22,80 -0,05 +0,31 22,08 41,60 41,60

0,00

+0,26 22,03

87,00 86,27 +7,93 +5,96 27,73 85,90 85,90 +0,05 -0,31 21,46

74 Curso de Topografía Aplicada

Antiguamente cuando no existían las calculadoras electrónicas, Jordan tenía otras tablas que hoy en día no se utilizan. Para trabajar con la calculadora es más conveniente realizar el cálculo directamente con el ángulo Z y aplicar las siguientes fórmulas: D = g * Sen2 Z

NOTA:

y

t = ½ g * Sen 2Z

* Cuando el ángulo vertical es 90º 00´ 00¨ no se realiza el cálculo ya que la distancia reducida es igual al generador y la tangente taquimétrica es igual a cero. * También se puede calcular una libreta de campo con un programa adaptable a una calculadora programable o con software para microcomputador.

Nivelaciones Barométricas Barómetro:

Aparato que sirve para medir la presión atmosférica, la cual se expresa en mm Hg. Existen varios tipos de barómetros:

 Barómetro de mercurio  Barómetro metálico o aneroide, su aplicación son los altímetros. Existen muchas fórmulas para calcular el desnivel en función de las lecturas del barómetro en mm Hg. Lo que realmente interesa es lo siguiente: 1 milibar = 0,75 mm Hg y se puede calcular con mucha aproximación, la presión en milibares, para un punto entre 0 y 4.000 m de altura con la siguiente relación: P = 1013,25 - (cota absoluta * 0,1072)

P viene expresada en milibares

Esta relación es importante para transformar cota en presión, en observaciones solares. También es bueno recordar que una atmósfera de presión = 1013,25 milibares. 7.5. LA MIRA INVAR Este obsoleto aparato sirve para calcular distancias horizontales, observando una mira horizontal de 2,00 m de largo con un teodolito T-2. Esta mira de 2,00 m está montada sobre un trípode con dispositivos para colocarla de forma horizontal y perpendicular a la línea que se desea medir (Ver ANEXO No. 6).

75 Curso de Topografía Aplicada

La palabra invar es la abreviatura de la palabra francesa ¨Ivariable¨, que es una aleación de hierro, níquel, cromo y cobalto. Cálculo de la distancia con la mira Invar 1. Se mide el ángulo horizontal con mucha precisión, si es posible hasta la décima de segundo. 2. Se calcula la distancia de la siguiente forma: D = Cot /2 Ejemplo:

= 01º 10´ 40¨ D=? D = Cot 00º 35¨ 20¨

D = 97,29 m

Con esta mira, leyendo ángulos con precisión de un segundo, los errores para la distancia pueden ser: Distancia 50 m 75 m 100 m 150 m 200 m 300 m 400 m 500 m

Error 6 mm 14 mm 24 mm 55 mm 87 mm 218 mm 388 mm 600 mm

Autoreductores Son aparatos que miden distancia y desnivel sin tener que hacer el cálculo taquimétrico. Existen muchos en el mercado y una de las marcas más importante es el Wild RDS. D = ( S - I ) 10 1,442 1,235 +0,1

+0,1

1,000

D = 44,20 se lee directa Tg = ( M - I ) 100 * K Tg = + 2,35

76 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 8 Triangulación y trilateración Los tres métodos clásicos de la topografía son:  Poligonación  Radiación  Triangulación y modernamente trilateración Existen aparatos de mucha precisión para medir distancias tales como:  DISTOMAT DI-3 (Wild)  DISTOMAT DI-4 (Wild)  CITATION (Americano)  TELURÓMETROS  TAQUIMAT (Wild)  TOPCON (Japonés)  ESTACIÓN ELECTRÓNICA TOTAL SOKKIA SET-3C (Americano) TRIANGULACIÓN Es la operación que liga por medio de triángulos, una zona que se va a levantar. Canevas o red de triangulación Pto. a triangular C b=?

a=?

ángulo no menor de 25

A c Base

B Táchira

Caracas

77 Curso de Topografía Aplicada

Operaciones en triangulación 1) Se mide la base de la triangulación (c). 2) Se observan los tres ángulos del triángulo con instrumento de alta precisión como el T-2 o su equivalente DKM-2 (Kern). 3) Calcular los lados (a) y (b) por la ley de los Senos. 4) Después de calcular los lados, se procede luego a darle coordenadas rectangulares al tercer punto por el problema No. 3 de planimetría. 5) Hacer trilateraciones. Esto es optativo si dispone de un distanciómetro o una Estación Electrónica Total. 8.1. TIPOS DE TRIANGULACIONES  Triangulación de primer orden. Lados mayores de 50 Km.  Triangulación de segundo orden. Lados mayores de 20 y menores de 50 Km.  Triangulación de tercer orden. Lados de 4 a 20 Km.  Triangulación de cuarto orden. Lados menores de 4 Km. NOTA:

Lo que diferencia realmente el tipo de una triangulación es la precisión exigida y no la longitud de los lados.

Errores máximos permitidos según orden 1º 1¨ 1:250.000 1:1.000.000

Cierre angular Cierre base Error medida base

2º 3¨ 1:10.000 1:300.000

3º 6¨ 1:5.000 1:200.000

4º 15¨ 1:3.000 1:20.000

8.2. CÁLCULO DE UNA TRIANGULACIÓN Vértice No. 3 Tramo: Autopista Sur

Coordenadas

3

Pto a

1

b

N

E

1

2.500,000 7.000,000

2

1.845,060 12.275,300

5.315,80 2 c S 8255´ 22¨ E

78 Curso de Topografía Aplicada

NOTA:

Si se conocen las coordenadas rectangulares planas de los extremos de la base, no es necesario medirla ni determinar el Az con una observación solar ya que el problema no. 1 de planimetría permite resolver y suministrar los datos.

Pto. 1 2 3

Datos de campo áng. campo promedio áng. corregido 80º 28´ 20¨ 80º 28´ 17¨ 26º 25´ 20¨ 26º 25´ 17¨ 73º 06´ 30¨ 73º 06´ 26¨ 180º 00´ 10¨

= 180º 00´ 10¨ - 180º º

= 10¨

Cálculo del lado ¨a¨ a

5.315,80 =

Sen 26º 25¨ 17¨

5.315,80 * Sen 26º 25¨ 17¨ a =

Sen 73º 06¨ 26¨

Sen 73º 06¨ 26¨

5.315,80

5.315,80 * Sen 80º 28¨ 17¨

a = 2.472,037 m

Cálculo del lado ¨b¨ b = Sen 80º 28¨ 17¨

b = Sen 73º 06¨ 26¨

Sen 73º 06¨ 26¨

b = 5.478,870 m

Cálculo de las coordenadas del punto No. 3 Se le puede dar coordenadas desde el punto No. 1 y luego desde el punto No. 2 y de esta manera tomar el promedio (en la práctica esto es un refinamiento innecesario).

79 Curso de Topografía Aplicada

Cálculo de las coordenadas del punto No. 3 desde el punto No. 1 3

27931´ 43¨

8028´ 17¨ 1 2 N 8255´ 22¨ W Az2-1 27704´ 38¨

Az1-3 R1-3 N1-3 E 1-3

= = = =

(277º 04¨ 38¨) + (279º 31¨ 43¨) - 180º = 16º 36¨ 21¨ N 16º 36¨ 21¨ E D * Cos R = 2.472,037 * 0,958293 = + 2.368,94 D * Sen R = 2.472,037 * 0,285786 = + 706,47

N3 = N1 + N1-3

N3 = 2.500 + 2.368,94 = 4.868,94

E3 = E1 + E1-3

E3 = 7.000 + 706,47 = 7.706,47

Cálculo de las coordenadas del punto No. 3 desde el punto No. 2 Esto se hace como comprobación y el resultado debe ser muy parecido al cálculo anterior. NOTA: Si existe una pequeña diferencia, se toma el promedio de ambos Nortes y ambos Estes. 3

1

2625´ 17¨ 2 S 8255´ 22¨ E Az1 -2 9704´ 38¨

80 Curso de Topografía Aplicada

Az2-3 R2-3 N2-3 E 2-3

= = = =

(97º 04¨ 38¨) + (26º 25¨ 17¨) + 180º = 303º 29¨ 55¨ N 56º 30¨ 05¨ W D * Cos R = 5.478,870 * 0,551917 = + 3.023,88 D * Sen R = 5.478,870 * 0,833899 = - 4.568,83

N3 = N2 + N2-3

N3 = 1.845,060 + 3.023,88 = 4.868,94

E3 = E2 + E2-3

E3 = 12.275,300 - 4.568,83 = 7.706,47

8.3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS Existen dos grandes categorías de aparatos:  Los que tiene doble sistema de ejes para el círculo horizontal. Ejemplo: T-1  Lo que no disponen de este doble sistema y sólo tiene un eje. Ejemplo: T-2 Los métodos más conocidos para medir ángulos son los siguientes: 1. 2. 3. 4.

Método de repetición (se usa con aparato de doble eje). Método de reiteración (se usa con aparato de un solo eje). Método de las direcciones (consecuencia del método No. 2). Método de doble lectura angular con vuelta de campana (esto constituye una serie).

NOTA: El método No. 4 es el más utilizado en Venezuela para poligonales, triangulaciones topográficas y observaciones solares.

Método de repetición

n

1 = l 1 - l0

4

ln-1

ln l4

3

l3 l2

l3

2 l1 l0

1

l2 l1

2 = l 2 - l1 3 = l3 - l 2 4 = l4 - l 3 n = ln - l n-1 n= ln - l 0

=

ln - l 0 n

81 Curso de Topografía Aplicada

NOTA: Esto se puede hacer con el T-1 o su equivalente, ya que se puede mover el aparato horizontalmente dejando fijo el círculo.

Método de reiteración n 4 3

=

2

1 + 2 + 3 + 4 ... + n n

1

NOTA: Se hacen reiteraciones con aparatos que tiene un sólo eje, como el T-2, T-3, etc.

Método de las direcciones (Cartografía) C -1 l0

Buena vista

1

l1

6 C-2

2

l5 5

3 l4

Mata siete

4

Orope l2

l3

Las Campanas

1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 =

l1 l2 l3 l4 l5 l0

- l0 - l1 - l2 - l3 - l4 - l5

Azulita

Este método de las direcciones no es más que una consecuencia del método anterior, es decir un ángulo será igual a la lectura final - lectura inicial de las direcciones que se quieran medir. Este es el método más usado en triangulaciones y se deben hacer 16 lecturas a cada punto con anteojo directo y con anteojo invertido, es decir 16 series.

82 Curso de Topografía Aplicada

NOTA: * Todos los ángulos alrededor de un punto deben sumar 360º. * Cuando la lectura final es menor que la lectura inicial, se le debe sumar 360º a la lectura final. 8.4. MÉTODO DE LA DOBLE LECTURA ANGULAR CON VUELTA DE CAMPANA Solamente se utiliza para medir poligonales de precisión. Consiste en hacer una lectura directa a los puntos (ángulo horizontal y ángulo vertical), luego con el anteojo invertido se hace otro par de lecturas. DeI

 DeI

Forma de anotar la libreta de campo con este método y operaciones para promediar ángulos

Est.

Pto. E-0

E-1 E-2

ángulo H 00º 00´ 00¨ 180º 00´ 12¨ h = 1,40 42º 13´ 15¨ 222º 13´ 47¨

ángulo V 91º 10´ 15¨ D 268º 50´ 47¨ I

Hilos

92º 43´ 16¨ D 267º 17´ 45¨ I

NOTA: En condiciones ideales las lecturas de ángulos horizontales a un mismo punto deben diferir en 180º cuando al anteojo se le da vuelta de campana, y los ángulos verticales deben sumar 360º. Estas dos observaciones sirven para verificar el teodolito antes de comenzar el trabajo. Forma de promediar el ángulo horizontal lectura directa final - lectura directa inicial lectura inversa final - lectura inversa inicial (42º 13´ 15¨) - (00º 00´ 00¨) = 42º 13´ 15¨ (222º 13´ 47¨) - (180º 00´ 12¨) = 42º 13´ 35¨ (42º 13´ 15¨) + (42º 13´ 35¨) = 84º 26´ 50¨ / 2 = 42º 13´ 25¨

83 Curso de Topografía Aplicada

Forma de promediar el ángulo vertical Se hace en forma distinta ya que se debe utilizar las lecturas inversas y directas del punto. Ángulo vertical promedio al E-0 (360º 00´ 00¨) - (268º 50´ 47¨) = 91º 09´ 13¨ (91º 10´ 15¨) + (91º 09´ 13¨) = 182º 19´ 28¨ / 2 = 91º 09´ 44¨ Ángulo vertical promedio al E-2 (360º 00´ 00¨) - (267º 17´ 45¨) = 92º 42´ 15¨ (92º 43´ 16¨) + (92º 42´ 15¨) = 184º 85´ 31¨ / 2 = 92º 42´ 45¨ NOTA: * No se deben aceptar discrepancias de más de un minuto antes de promediar los horizontales. Lo mismo vale para los ángulos verticales (esto se hace para un punto fijo, más no para un astro). * Para trazado de poligonales es suficiente promediar los ángulos horizontales, pero para observaciones solares y triangulaciones sí se deben promediar ángulos horizontales y ángulos verticales.

8.5. TRILATERACIÓN Modernamente se miden los lados de los triángulos con distanciómetros de alta precisión o estaciones electrónicas totales y luego se comparan con los lados deducidos por triangulación. NOTA: * Vale recordar que las distancias medidas en el campo son distancias geodésicas, las cuales se deben multiplicar por el factor de escala para obtener la distancia U.T.M. * Conociendo los lados por trilateración, también se pueden obtener los ángulos del triángulo y compararlos con los ángulos medidos en el campo con el T-2. * Cualquier ángulo se puede calcular, en función de los lados por la Ley de los Cosenos: a2 = b2 + c2 - 2bc Cos A

84 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 9 Problema de pothenot El problema consiste en calcular las coordenadas de un punto en función de dos ángulos leídos, apuntando con un teodolito de alta precisión (T-2) hacia tres puntos. 2

N2 E2

L-1 N1 1 E1

1



L-2

2 



L-4

N3 3 E3

L-3 L-5 

p



N=? E=?

Otros nombres del problema de pothenot  Resección  En navegación se llama el problema de la carta o el problema de los tres puntos  En inglés ¨Resection¨  Intersección inversa 9.1. RESOLUCIÓN EN CAMPO Es suficiente observar los ángulos y hasta las décimas de segundo, para luego en la oficina calcular: , , 1, 2, , L-1, L-2, L-3, L-4, L-5 y finalmente las coordenadas del punto ¨p¨.

85 Curso de Topografía Aplicada

Orden de cálculo en la oficina 1)

2) 3)

Con las coordenadas conocidas de los puntos 1, 2 y 3 se calcula las distancias: L-1, L-2, Az 2-1, Az 2-3 y el ángulo  (esto se hace con el problema No. 1 de planimetría). Se calcula: , , 1 , 2 , L-3, L-4 y L-5. Conocidos todos los elementos anteriores se procede a calcular las coordenadas de ¨p¨ por los métodos conocidos.

NOTA:

Es recomendable calcular las coordenadas desde 1 y 2, y si existe una pequeña diferencia se toma la media aritmética.

9.2. PASOS GENERALES DEL CÁLCULO Antes de entrar a las demostraciones se fijarán las ecuaciones prácticas para resolver este problema. 1)

Se fija una variable (m) de la siguiente manera: L-1 * Sen  m=

L-2 * Sen 

m se debe tomar con todos los decimales de la calculadora. + 

360º - (+ + )

2) Calcular:

= 2

2

-  3) Tan

+  = Tan

2 + 

+ 

- 

2

se procede a calcular y .

2 - 

+ 2

1+m

y 2

=

luego calcular

2

4) Conocidos:

- 

1-m *

2

=

+ 

-  -

2

2

( Tan-1 )

86 Curso de Topografía Aplicada

5) Calcular 1 de la forma siguiente: 1 = 180º - -  Calcular  2 de la forma siguiente: 2 = 180º - -  6) Calcular L-3, L-4 y L-5 por la Ley de los Senos NOTA:

* El valor de L-4 calculado con el triángulo de la izquierda debe ser muy parecido al valor calculado con el triángulo de la derecha. * En los cálculos intermedios se debe trabajar con las distancias hasta la cuarta cifra decimal y las funciones trigonométricas con todas las cifras de la máquina.

9.3. VERIFICACIÓN DEL POTHENOT Si se quiere verificar el pothenot se debe observar un cuarto y quinto punto si es posible y controlar los azimutes a esta cuarta y quinta dirección. NOTA IMPORTANTE:

Si , y  suman 180º el pothenot es indeterminado, ya que ¨p¨, el punto 1, el punto 2 y el punto 3 caen en una circunferencia, y eso es lo que se llama ¨El círculo peligroso¨.

2 1  3   p

Ejemplo ilustrativo:

Dado tres puntos con coordenadas rectangulares planas como se muestra a continuación, calcular las coordenadas del punto ¨p¨ por el problema de pothenot. Pto. 1 2 3

Norte 1.151.524,94 1.152.577,17 1.154.225,14

Este 369.090,52 367.825,91 367.422,10

87 Curso de Topografía Aplicada

= 45º 10´ 50¨

Datos de campo:

= 65º 31´ 20¨

y

Az2 -1

2 Az2-3

L-1 1

1



L-2

2 



L-4

3

L-3 L-5 



p N=? E=?

1)

Calcular Az 2-1 y L-1 (problema No. 1) N2-1 = - 1.052,23 E2-1 = + 1.264,61

2)

L-1 = 1.645,1220 m R2-1 = S 50º 14´ 15¨ E Az2-1 = 129º 45´ 45¨

Calcular Az 2-3 y L-3 N2-3 = + 1.647,97 E2-3 = - 403,81

3)

N

L-2 = 1.696,7226 m R2-3 = N 13º 46´ 05¨ W Az2-3 = 346º 13´ 55¨

Calcular  (por razonamiento)  = 360º - ( Az2-3 - Az2-1 ) + 

4) Calcular: 2 + 

360º - (+ + ) =

2

105º 46´ 00¨ =

2

= 52º 53´ 00¨ 2

88 Curso de Topografía Aplicada

5)

Calcular la constante ¨m¨ de la siguiente manera: m=

L-1 * Sen 

= 1,2440494

L-2 * Sen 

luego calcular: - 

+ 

Tan

= Tan 2

1 - m *

2

1 - m

- 

1 - 1,2440494

Tan

= Tan 52º 53´ 00¨ *

2 -  Tan

-  = - 0,1437116

2

1 - 1,2440494

= Tan -1 (- 0,1437116)

2

-  = - 08º 10´ 41¨ 2

6)

=

Calcular  + 

-  +

2

= 52º 53´ 00¨ + (- 08º 10´ 41¨)

2

= 44º 42´ 19¨

7)

=

Calcular  + 

-  -

2  = 61º 03´ 41¨

2

 = 52º 53´ 00¨ - (- 08º 10´ 41¨)

89 Curso de Topografía Aplicada

NOTA:

8)

Antes de continuar con el cálculo se deben sumar: + + +  y , y esto debe ser igual a 360º.

Calcular los lados desconocidos: L-3, L-4 y L-5 por la Ley de los Senos. Antes se deben calcular 1 y 2 1 = 180º - ( + )

1 = 90º 06´ 51¨

1 = 180º - ( + )

2 = 53º 24´ 59¨

Cálculo de L-4: L-4

L-1 * Sen 

L-1 =

Sen 

L-4 = Sen 

L-4 = 1.631,5047 Sen 

Para comprobar se puede calcular L-4 con el triángulo que está al lado. L-4 Sen 

L-2 * Sen 

L-2 =

Sen 

L-4 =

Sen 

L-4 = 1.631,5037 (1 mm la diferencia)

Cálculo de L-3: L-3

L-1 =

L-1 * Sen1 L-3 =

Sen 

Sen1

L-3 = 2.319,2521 Sen 

Cálculo de L-5: L-5

L-2 =

Sen2

L-2 * Sen2 L-5 =

Sen 

L-5 = 1.496,99 Sen 

90 Curso de Topografía Aplicada

9)

Calcular las coordenadas de ¨p¨ (problema No. 3)

Se calculan las coordenadas de ¨p¨ desde el punto 1 y luego desde el punto 3, los resultados deben ser muy parecidos, pero si hay una pequeña diferencia se toma el promedio. Az 1-p = (129º 45´ 45¨) + (44º 42´ 19¨) + 180º NOTA:

Az 1-p = 354º 28´ 04¨

Se puede calcular directamente N y E , con sus signos, aplicando las siguientes relaciones: N = D * Cos Az y E = D * Sen Az, esto con el objeto de eliminar las operaciones de transformaciones.

N1-p = + 2.308,449

Np = N 1 + N1-p

Np = 1.153.833,389

E 1-p = - 223,589

Ep = E1 + E1-p

Ep = 368.866,931

Como verificación se calcula ahora las coordenadas de ¨p¨ desde el punto 3. Az 3-p = (346º 13´ 55¨) + (298º 56´ 19¨) - 180º

Az 3-p = 105º 10´ 14¨

N3-p = - 391,753

Np = N 3 + N3-p

Np = 1.153.833,387

E 3-p = + 1.444,826

Ep = E3 + E3-p

Ep = 368.866,926

Coordenadas promedio:

Np = 1.153.833,388 Ep = 368.866,929

NOTA:

Si se quiere verificar el pothenot se puede observar un cuarto punto y verificar el Az, es decir se compara el Az determinado en el campo con el Az calculado por coordenadas (problema No. 1). Esto se hace en trabajos de gran precisión.

91 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 10 El Teodolito El teodolito (tránsito, taquímetro) es un instrumento topográfico que se adapta a múltiples usos. Se usa principalmente para medir ángulos horizontales y verticales, para medir distancias por taquimetría, para trazar alineamientos rectos y replantear curvas. 10.1. PARTES DEL TEODOLITO En este curso se estudiarán las partes del T-1 y del T-2 (Wild). El T-1 es un aparato de doble eje que se utiliza en la mayoría de los trabajos de ingeniería (Ver ANEXO No. 7) , el T-2 es un aparato de un solo eje y se utiliza para trabajos de más precisión como triangulaciones, observaciones solares, poligonales de precisión, etc. (Ver ANEXO No. 8). 10.2. LECTURAS DE LOS ÁNGULOS CON EL T-1 Con el tornillo del micrómetro se ajustan los grados en el índice, y luego se leen los minutos y los segundos en la ventana pequeña de la derecha. (se hace igual para el ángulo horizontal y vertical).

V

V

087

195

092

194 Hz

V 87º 27´ 09¨

27´ 06¨

59´ 36¨

27´ 12¨

59´ 42¨

327 Hz

H 327º 59´ 39¨

92 Curso de Topografía Aplicada

10.3. LECTURAS DE LOS ÁNGULOS CON EL T-2 Con el botón para el micrómetro se hace coincidencia en la ventana superior y se leen los grados y las decenas de minutos donde apunta la flecha, luego se lee en la ventana inferior el resto de los minutos y de los segundos los cuales se le suman a la lectura anterior. NOTA: Para leer el ángulo vertical (zenital) se cambia el conmutador y se procede de igual manera.

093 5

094 4

3

2´ 40¨

2

1

0

2´ 50¨

H 94º 12´ 44¨ NOTA: Se debe recordar que la precisión del T-1 es de 0,1´ ( 6¨ ) y esa es la gran diferencia con el T-2 que lee hasta las décimas de segundo. Otros teodolitos Wild  T-05 (en construcción de edificios)  T-0 (es un teodolito brújula)  T-16 (parecido al T-1) 10.4. CENTRAJE Y NIVELACIÓN DEL INSTRUMENTO En el argot de los topógrafos venezolanos se dice ¨estacionar el aparato¨. Pasos: 1. Se saca el trípode y se coloca sobre la estación. 2. Se saca el aparato, se monta sobre la meseta del trípode y se atornilla.

93 Curso de Topografía Aplicada

3. Dejando una pata libre y agarrando las otras dos, pero simultáneamente mirando la plomada óptica, se centra sobre la estación y se pisan las patas con cierta presión. 4. Con las patas del trípode se centra el nivel esférico. 5. Si se ha movido un poco la plomada óptica, se corrige con los tornillos nivelantes y se centra nuevamente la burbuja del nivel esférico. 6. Se nivela en dos posiciones perpendiculares, con los tornillos nivelantes y el nivel tubular. 7. Si nuevamente se sale un poco de la estación se afloja el tornillo que lo fija al trípode y se rueda sobre la meseta hasta centrar de nuevo, luego se vuelve a nivelar en dos posiciones. 8. Se pone el aparato en 00º 00´ 00¨ y se orienta con los tornillos de fijación del ¨cero¨. NOTA: Con el T-2 primero se apunta a la estación y luego se pone muy próximo a ¨cero¨ con el tornillo de movimiento fijo horizontal.

10.5. BREVE DESCRIPCIÓN DE LA PLANCHETA Este instrumento topográfico fue ideado por el alemán G. Praetorius en 1.590 y se consideró en su época como el mejor instrumento de topografía. Pero la incomodidad de su transporte, la poca rapidez con que se efectúan las operaciones en campo y la dificultad de coordinar entre sí los levantamientos topográficos parciales, y sobre todo la posterior invención de otros instrumentos más precisos y de mayor rendimiento, han hecho desaparecer el uso de la plancheta por completo. La plancheta consiste en una tabla sobre un trípode. Esta tabla puede nivelarse con tornillos adecuados y orientarse girando alrededor de un eje vertical en movimientos rápido y lento. Sobre la plancheta va una regla, y formando parte de la misma, la columna de un teodolito provisto de círculo vertical y anteojo. mediante este instrumento puede dibujarse a vista sobre el terreno, la topografía del mismo. Se recomienda el procedimiento para planos a escala 1: 10.000 ó más y en reconocimientos rápidos. Limbo Se da el nombre de limbo, en todo instrumento topográfico, a un disco metálico o a la superficie lateral de un tronco de cono de muy poca altura, recubierto por una lámina de plata sobre la que se graban las 360 divisiones o grados que corresponden a la división sexagesimal. En algunos aparatos especiales los limbos comprenden la sexta u octava parte del círculo, recibiendo el nombre de sextantes u octantes.

94 Curso de Topografía Aplicada

CapítuloN o. 11 Información sucinta de las coordenadas U.T.M. Todo levantamiento topográfico serio y todo proyecto de ingeniería riguroso, debe estar ligado al sistema de coordenadas U.T.M. Así lo exigen todas las entidades gubernamentales donde un levantamiento topográfico es requerido. En el levantamiento topográfico se debe mencionar el vértice del IGVSB (Instituto Geográfico Simón Bolívar) y el Datum del enlace. También es necesario enlazar el trabajo, altimétricamente, con cotas geométricas o geodésicas de los B.M. del IGVSB. El actual DATUM en Venezuela es SIRGAS-REGVEN con su Elipsoide asociado GRS-80. El antiguo hasta 1.999 fue PSAD-56 (DATUM CANOA) con su Elipsoide asociado Hayford. Debemos ser cuidadosos al mencionar el DATUM, porque se presentan diferencias de 400 m aproximadamente para indicar un punto. En ambos Datums las coordenadas pueden ser curvilíneas o también U.T.M. Para trabajos locales cuyas coordenadas no tengan mayor importancia, se puede trabajar en Coordenadas Planas Locales cuyos valores de partida podrían ser por ejemplo, 5.000 E y 10.000 N. 11.1. COORDENADAS GEOGRÁFICAS Sirven para ubicar un punto en el globo terráqueo. N

Meridiano de Greenwich p

W

 

E

Ecuador S

Latitud ():

Es la medida angular medida hacia el Norte o hacia el Sur, desde el Ecuador terrestre.

Longitud (): Es la medida angular medida hacia el Este o hacia el Oeste, desde el Meridiano Principal o Meridiano de Greenwich.

95 Curso de Topografía Aplicada

Entonces un punto queda definido por una y una . Ejemplo: Ciudad Cumaná New York Moscú Buenos Aires

10º 40º 55º 34º

 28´ 00¨ N 43´ 00¨ N 45´ 00¨ N 40´ 00¨ S

64º 74º 37º 58º

 12´ 00¨ W 00´ 00¨ W 34´ 00¨ E 23´ 00¨ W

11.2. COORDENADAS GEODÉSICAS EL GEOIDE Es la superficie teórica de la tierra que une todos los puntos que tienen igual gravedad. Esta superficie del GEOIDE supone la continuación por debajo de la superficie de los continentes, de la superficie de los océanos y mares en calma, es decir sin mareas o perturbación exterior del sol y la luna. Esta superficie no es uniforme y esa irregularidad depende de la composición mineral del interior de la Tierra y sus diferentes densidades, lo que implica que cada punto de la superficie terrestre tiene una distancia distinta desde el centro de la Tierra. EL ELIPSOIDE Como sabemos la Tierra no es una esfera perfecta desde el punto de vista matemático sino que tiene un ligero achatamiento en los polos haciendo que el radio polar sea un poco menor que el radio ecuatorial. Esta diferencia se ha exagerado en exceso en nuestra educación formal por lo que algunos imaginan a la Tierra como un balón de rugby; pero si comparamos a la Tierra con una pelota de softball el achatamiento sería de 0,32 mm, cantidad inapreciable a simple vista. Pero para la Cartografía Matemática se ajusta la Tierra a un Elipsoide de revolución, con su ejes, radio ecuatorial, radio polar y excentricidad bien definidos. Hasta hace poco el mejor modelo matemático que representaba a la tierra era el elipsoide internacional de Hayford, el cual fue adoptado en el congreso de geofísica de 1.924. Con la aparición del GPS y el posicionamiento satelital, utilizando al centro de la Tierra como referencia (SISTEMA GEOCÉNTRICO), hoy está vigente el elipsoide GRS80 (GEODETIC REFERENCE SYSTEM 1.980) que es el mismo WGS84 (marco referencial que utilizan los GPS).

96 Curso de Topografía Aplicada

Para ubicar un punto en el elipsoide se debe hacer uso de las coordenadas curvilíneas, las cuales son la longitud y la latitud geodésica. N



p



W

E

S

La latitud y la longitud geodésica son similares a la latitud y a la longitud geográfica, pero medidas en un elipsoide. b

a = radio ecuatorial b = radio polar f = achatamiento

a

a-b f = a

DATUM Es el punto tangente al Elipsoide y al Geoide donde ambos son coincidentes. Cuando se elabora un mapa o un plano es necesario decir a que DATUM se refiere porque se podría enfilar un barco hacia un iceberg o hacia un banco de coral y hacerlo naufragar; o se podría replantear un edificio a más de 400 metros de distancia de su posición proyectada. ¿QUÉ ES REGVEN? REGVEN = RED GEODÉSICA VENEZOLANA y representa o materializa el ITRF (INTERNATIONAL TERRESTRIAL REFERNCE FRAME). El ELIPSOIDE asociado con este DATUM es el GRS 80. Asimismo, REGVEN representa en Venezuela la densificación de la red SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas), bajo las mismas definiciones de SIRGAS. Venezuela desde el 03-03-1.999 adoptó la red geodésica venezolana REGVEN, y todos los planos actuales deberían acoplarse a ese DATUM.

97 Curso de Topografía Aplicada

Hasta hace poco el marco de referencia era el Datum Canoa (PSAD 56) porque es el mejor sitio donde se produce en Sur América le intersección entre el GEOIDE y el ELIPSOIDE asociado de HAYFORD, pero ya no tiene sentido porque ahora trabajamos en un marco geocéntrico con los satélites (GPS). NOTA HISTÓRICA Gerhardus Mercator (1.512 - 1.594) (Cramer latinizado) fue el creador de las cartas mercatorianas y de la proyección que lleva su nombre, este holandés hizo el primer mapa de Europa para Carlos V. Se debe recordar que las cartas mercatorianas son aquellas cuyos meridianos y paralelos forman ángulos rectos (90º). Las coordenadas U.T.M. son las coordenadas rectangulares s de un punto sobre una carta mercatoriana. Significado de las coordenadas U.T.M. Universal Transverse Mercator, que en castellano sería Mercator Transversal Universal. 11.3. CONVERGENCIA DE MERIDIANOS c

a

Cuando los planos se desarrollan en un plano tangente a la superficie de la tierra, las líneas meridianas (N-S) no son paralelas si no que se encuentran en el punto ¨c¨, este ángulo en ¨c¨ se denomina convergencia de meridiano. 11.4. NECESIDAD DE LAS PROYECCIONES MERCATOR Cuando se hacen planos donde la convergencia de los meridianos extremos sea despreciable, es decir, donde los paralelos y los meridianos forman ángulos rectos, se puede navegar o recorrer en línea recta formando siempre ángulos iguales con los meridianos. De lo contrario se tendría que ir cambiando rumbo constantemente porque un círculo máximo oblicuo forma ángulos desiguales con los meridianos que atraviesa.

98 Curso de Topografía Aplicada

p R3

R3 R2 R1

p

R2 R1 a

a

R1 = R2 = R3

R1 R2 R3

Para navegar con rumbo fijo y en línea recta se tendrá que seguir una línea llamada loxodrómica y trabajar en una carta de proyección mercator. 11.5. CARACTERÍSTICAS DE LA PROYECCIÓN U.T.M.  Las zonas de proyección U.T.M. son husos de 6º de amplitud y a cada zona le corresponde un meridiano central llamado MC.  Se considera a la tierra dividida en 60 zonas U.T.M. de 6º cada una y numeradas del 1 al 60 de W a E.  Cada zona UTM está dividida en 20 bandas desde la C hasta la X sin incluir la letra Ñ ni la letra o la O, Venezuela está en las bandas N y P.  Las Bandas C a M están en el hemisferio Sur.  Las bandas N hasta X están en el hemisferio Norte.  Los límites de latitud son de 84º al Norte y 80º al Sur.  Las zonas están limitadas por meridianos cuyas longitudes son múltiplos de 6º al W y E de Greenwich.  Para el hemisferio Norte el ecuador tiene valor 0 m y puede llegar hasta 10.000.000 N en el Paralelo 84ª N.  Para el hemisferio Sur el Ecuador tiene valor 10.000.000 N y puede bajar hasta 0 N en el Paralelo 80ª S, así se evitan los números negativos.  Una orientación NORTE-SUR solo coincide con la cuadrícula en el Meridiano Central , pero en el resto de las zonas no coincide con la “GRID” (Cuadrícula) UTM; estas diferencias se acentúan en los extremos derecho e izquierdo de la zona UTM, y se hacen mayores conforme nos alejamos del Meridiano Central (MC).  Las demás líneas de la cuadrícula se desvían de la dirección del Polo Norte Verdadero, el valor de esta desviación se llama CONVERGENCIA DE CUADRÍCULA. Esta convergencia se hace despreciable en los planos con Coordenadas Planas locales.  La declinación del hemisferio norte es Oeste cuando el valor del E de la coordenada es menor de 500.000 y es Este cuando el E de la coordenada es mayor de 500.000.

99 Curso de Topografía Aplicada

 Puesto que un sistema de coordenadas rectangulares como el Sistema UTM no es capaz de representar bien la superficie curva de la Tierra por eso existe cierta distorsión, pero considerando las 60 Zonas por separado esta distorsión es inferior al 0,04 %.  Cuando se considera la orientación Este-Oeste, sucede un fenómeno parecido, Una línea UTM coincide con una sola línea que es el Ecuador. Las otras líneas de la cuadrícula UTM se curvan hacia abajo a medida que nos movemos hacia el norte y nos alejamos del meridiano central, y no coinciden con las líneas de los paralelos. Esto se debe a que las líneas de latitud son paralelas al Ecuador en una superficie curva, pero las líneas horizontales UTM son paralelas al Ecuador en una superficie plana.  Los extremos izquierdo y derecho de la Zona UTM no corresponden nunca de 1000 Km, respectivamente, Recordar que 6º de longitud equivalen a una distancia aproximada de 668 Km. en el Ecuador y se hace menor conforma aumenta la latitud hacia los polos, porque la Tierra es casi una esfera. MC

MC

MC

MC

MC

MC

MC

MC

MC

MC

58

59

60

BANDA P 1

2

3

18

19

20

21

6

BANDA N

3

ECUADOR

BANDA M 177º W 171º W 165º W

75º W

69º W

63º W 57ºW

165º E 171º E 177º E

 En Venezuela las zonas U.T.M. están repartidas de la siguiente forma: a) b) c) d)

Zona 21 (entre 54º y 60º W) con sus Bandas N y P Zona 20 (entre 60º y 66º W) con sus bandas N y P Zona 19 (entre 66º y 72º W) con sus bandas N y P Zona 18 (entre 72º y 78º W) con su Banda P

100 Curso de Topografía Aplicada 75  MC

69 MC

63 MC

57 MC

500.000

500.000

500.000

500.000

18

19

20

21

Zona

Zona

Zona

Zona

A la zona 21 apenas le corresponde una pequeña parte de Delta Amacuro y la Zona en Reclamación. El estado Sucre está ubicado en la zona 20. Caracas, Barquisimeto y Maracaibo están en la zona 19. A la zona 18 apenas le corresponde una pequeña porción de los estados Apure y Táchira y la parte oeste del estado Zulia.  En las coordenadas U.T.M. el origen de la longitud es el MC.  El origen de la latitud es el Ecuador.  La unidad de medida es el metro a pesar de haber sido inventado por los norteamericanos.  La falsa ordenada es 0 m para el Hemisferio Norte y está en el Ecuador. Y para el Hemisferio Sur es 10.000.000 m, y así se evitan valores negativos.  La falsa abscisa es 500.000 m. Ejemplo: Un punto al Oeste del meridiano central es menor de 500.000 y un punto al Este del meridiano central es mayor de 500.000.  El factor de escala en el meridiano central (MC) es 0,9996. Factor de escala es un valor por el cual se tiene que multiplicar la distancia geodésica para reducirla a distancia U.T.M. NOTA:

El factor de escala se consigue en tablas interpolando.

¿Qué significa que un punto en la ciudad de Cumaná, tenga coordenadas U.T.M. 20 P N 1.152.268,281 m y E 367.236,756 m? Significa que está en el Huso o Zona 20 U.T.M, en la Banda P a 1.152.268,281 m del Ecuador y también que está a 132.763,244 m. del meridiano central, porque el valor es menor de 500.000, luego 500.000 - 367.236,756 = 132.763,244 m. NOTA: Las latitudes y longitudes de los puntos se obtienen por medios geodésicos y astronómicos y modernamente con GPS de Doble Frecuencia.

101 Curso de Topografía Aplicada

Conocidas la latitud y longitud de un punto se le pueden calcular sus coordenadas U.T.M. con las tablas preparadas por la Cartografía Nacional de Carlos José del Castillo ¨Aplicación práctica de las proyecciones Mercator Tranversal Universal¨ (Ver ANEXO No. 9). Aunque estas operaciones son muy sencillas pertenecen al campo de la geodesia. Coordenadas U.T.M. de Loma Quintana (Observatorio Cajigal), El Mirador, Parroquia 23 de Enero, Caracas, Venezuela. Norte 1.162.209,897

Este 726.116,2773

Cota = 1.077,54 metros sobre el nivel del mar (MSNM) Coordenadas Curvilíneas Geodésicas de Loma Quintana (Observatorio Cajigal), El Mirador, Parroquia 23 de Enero, Caracas, Venezuela. Latitud () 10º 30´ 24,680¨ N

Diferencia de hora con Londres:

H 4

Longitud () 66º 56´ 02,512”W M 27

S 42,6

Algunas consideraciones importantes antes de calcular poligonales U.T.M.

Consideraciones acerca del Az 1) Cuando se dispone de dos puntos de partida en coordenadas U.T.M., se puede calcular directamente el Az plano de la siguiente manera: E R = arc Tan N 2) Si sólo se dispone de un punto de partida el Az se puede determinar con una observación solar. NOTA: Si se tiene todos los elementos en coordenadas U.T.M. se puede comenzar a trabajar directamente.

102 Curso de Topografía Aplicada

Consideraciones acerca de la distancia El factor de escala es un valor, por el cual se tiene que multiplicar una distancia geodésica para reducirla a una distancia U.T.M. DUTM = DG * K

DUTM = distancia U.T.M.

DG = distancia geodésica

K = factor de escala NOTA: * La distancia geodésica es la que se mide sobre la superficie terrestre. En triangulaciones de órdenes inferiores no es necesario tomar en cuenta el factor de escala. * Cuando se trate de líneas extensas como, por ejemplo, los lados de una poligonal medida con distanciómetro será preciso calcular el factor de escala para el punto medio de la línea. * En las tablas anexas se puede interpolar fácilmente el factor de escala, de acuerdo con la coordenada Este, con bastante precisión para los trabajos de topografía. Datos importantes En el meridiano central de cada huso el factor de escala es 0,9996, esta cantidad crece hasta 1,000 en las líneas N-S situadas a 180 Km. al Este y al Oeste del meridiano central. A pesar de dichos límites su valor seguirá aumentando y llegará hasta aproximadamente 1,001 en los extremos de las zonas U.T.M., es decir, en el límite de las zonas vecinas. En Cumaná, por ejemplo, el factor de escala en la zona de ¨Los Bordones¨ es de aproximadamente 0,999895. 11.6. CÁLCULO DE UNA POLIGONAL U.T.M. El proceso de cálculo se realiza de la misma forma en que se conoce en topografía, pero antes de llevarlo a cabo se deben llenar los siguientes requisitos: 1) Si el Az inicial se determinó con una observación solar, el Az final o de cierre debe ser calculado de la misma forma. 2) Si el Az inicial se determinó por medio de coordenadas rectangulares el Az de cierre también debe ser un Az calculado por este método. 3) Las distancias medidas deben ser corregidas por factor de escala y reducción al nivel medio del mar, usando las tablas correspondientes (Ver ANEXO No. 10).

103 Curso de Topografía Aplicada

11.7. COORDENADAS O SISTEMA U.P.S. Las regiones por encima de la Latitud Norte 84º N y por debajo de la Latitud Sur 80º S no son cubiertas por el Sistema U.T.M. ¿Qué hacer?  Debemos utilizar las COORDENADAS U.P.S cuyo acrónimo significa UNIVERSAL POLAR STEREOGRAPHIC. Se utiliza como complemento del Sistema U.T.M. para las Zonas Polares.  En este sistema cada Zona Polar está dividida en dos mitades por el Meridiano 0º - 180º. En la Zona Polar Norte la mitad Oeste se nombra con la letra Y y la otra mitad con la Z.  Para la Zona Polar Sur se utiliza la letra A para la Longitud Oeste y la B para la Longitud Este.  En ambas Zonas la abscisa 2000000 m E coincide con la ordenada el meridiano 0º-180º.  Y la ordenada 2000000 m N coincide con la línea del meridiano 90º E – 90º W.  Así se construye una cuadrícula de 1000 metros y se trabaja en igual forma que con las Coordenadas U.T.M.  Tanto en el Ártico como en la Antártida se llama LA ZONA 0 (ZONA CERO).  Entonces habrá la 0A, la 0B, la 0X y la 0Y.  Por ejemplo el Polo Norte tendrá Coordenadas UPS 0Z 2000000 E 2000000 N.  Y el Polo Sur 0B 2000000 E 2000000 S. 11.8. EQUIPO BÁSICO DE CAMPO PARA ESTUDIO CARTOGRÁFICO  Un GPS Promark 2 de Astech o un LOCUS de ASTECH. Características técnicas: 1. Posibilidad de trabajo de MODO ABSOLUTO (Free position), con un solo receptor, para toma de datos y replanteos en tiempo real. Con las siguientes precisiones, para períodos de observación de 1 segundo: De 1 a 3 metros con antena externa De 1 a 5 metros con antena interna 2. Posibilidad de trabajo en MODO DIFERENCIAL, con un receptor fijo en un punto de Coordenadas conocidas (llamado la MASTER) y otro receptor en modo móvil (llamado la ROVER), Con las siguientes precisiones según método de observación:

104 Curso de Topografía Aplicada

MÉTODO ESTÁTICO de 20 A 30 minutos de observación por punto: 0.005 m. +1ppm en Coordenadas N (y) y E (x) y 0,010 m. + 2 ppm en Cota Z. MÉTODO STOP AND GO 15 segundos de observación por punto: 0,010 m. + 1ppm en Coordenadas X,Y y 0.015 m. -1 ppm en Cota Z. MÉTODO CINEMÁTICO 1 segundo de observación por punto: 0.015 m. + 2.5 ppm en Coordenadas X,Y y 0,015 M. + 2,5 ppm en Cota Z. Nota Importante: Los Métodos STOP AND GO Y CINEMÄTICO necesitan un tiempo previo de inicialización de 5 a 10 minutos.  Una Brújula magnética.  Un altímetro.  Una cámara digital.  Una cinta métrica de 50 metros.  Libretas de campo.  Una calculadora portátil HP48SX. o similar. 11.9. SITUACIÓN ACTUAL DE LA RED GEODÉSICA VENEZOLANA REDES GEODÉSICAS EXISTENTES: Existen varios tipos de redes geodésicas, que han perdurado en el tiempo y durante muchos años han servido de control y referencia, entre ellas la Triangulación Clásica para el control horizontal y los BM’s Nivel Geodésica de 1er. Orden para el control vertical. Actualmente se ha cambiado a la Red Geodésica venezolana (REGVEN) que constituye un apéndice de la Red SIRGAS. También podemos encontrar una Red GPS al Sur de Venezuela y una Red Geodésica Metropolitana de Caracas. PERSPECTIVAS DE FUTURO Desde su formación la Red Geocéntrica Venezolana (REGVEN) está en un proceso de densificación con monumentos estables y duraderos a lo largo y ancho del territorio venezolano; pero se presenta la necesidad de tendencia a nivel mundial de establecer Redes Geodésicas de monitoreo permanente GPS vinculados al Sistema Geodésico Nacional de manera directa, convirtiéndolos en Vértices activos de información satelital continua.

105 Curso de Topografía Aplicada

La presente Red GPS estará conformada por un conjunto de receptores de Doble Frecuencia con capacidad de rastrear los satélites sobre el horizonte en forma continua, estando conectados a una red informática que envíe y almacene la información GPS para disposición de usuarios, la más usual Vía Internet; cual formaría la RED DE ESTACIONES DE MONITOREO Y OBSERVACIÓN SATELITAL GPS IDENTIFICADA COMO (“REMOS”). Se prevé que cada estación REMOS tenga un radio de cubrimiento de 150 Km., dando como resultado que se necesitan aproximadamente 16 estaciones REMOS para cubrir todo el Territorio Nacional, proporcionando ayuda inmediata, precisa y actualizada pata labores catastrales, minería, proyectos, topografía, obras civiles, urbanismo etc. ESTACIONES DE RASTREO EN VENEZUELA (REMOS) 1. REMOS MARACAIBO 2. REMOS CHURUGUARA 3. REMOS CARACAS con una gran antena parabólica ubicada en el IVIC 4. REMOS CUMANÁ (en el techo del laboratorio de Sismología de la UDO.) 5. REMOS SAN CRISTÓBAL 6. REMOS BARINAS 7. REMOS BARQUISIMETO 8. REMOS SAN FERNANDO 9. REMOS MARIPA 10. REMOS PARIAGUÁN 11. REMOS PUERTO ORDAZ 12. REMOS PUERTO AYACUCHO 13. REMOS SANTA ELENA DE GÚAIRÉN 14. REMOS CANAIMA 15. REMOS LA ESMERALDA 16. REMOS S.M.

106 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 12 La curva circular En vías de comunicación, en la mayoría de los casos cuando se van a replantear curvas circulares, se lleva el siguiente orden en las operaciones topográficas: 1) Se buscan e identifican las referencias en el campo. 2) Se replantea en forma aproximada los puntos principales (vértices y tangentes). 3) Después de deforestar se replantea con mucha precisión los mismos puntos anteriores, es decir, vértices o puntos de intersección (PI) y las tangentes. 4) Se completa ahora el replanteo de los alineamientos rectos y curvos del eje de la vía; lo cual generalmente se hace a cada 20 m. ó en puntos máximos o mínimos del terreno. 5) Se nivela el eje replanteado con mucha precisión. 6) Se levantan las secciones transversales y simultáneamente se ¨chaflanea¨, es decir se determinan las estacas de chaflán. 7) Se vigila el movimiento de tierra hasta llegar a rasante y siempre controlando los taludes de corte y relleno. 8) Se hace el último replanteo para labores de conformación, engranzonado y pavimentación. 9) Por último se dibujan las secciones transversales para cubicar los cortes (banqueos) y los rellenos (terraplenes) del movimiento de tierra en sus planillas correspondientes. LA PLANTA DE LA VÍA Tiene alineamientos rectos y curvas. Los rectos no tienen mayores complicaciones, por lo tanto se van a definir las curvas. Las curvas pueden ser:  Curvas circulares: a) Circular simple b) Circular compuesta c) Circular revertida

107 Curso de Topografía Aplicada

 Curvas de transición: a) Espiral de transición, clotoide o espiral de Cornú. b) La lemniscata de Bernouilli u óvalo de Cassini. c) La parábola cúbica. También se podría usar como transiciones el óvalo y la curva elástica. En este curso sólo se estudiará la curva circular y la clotoide que son mundialmente usadas en vías de comunicación. LA CURVA CIRCULAR Una curva circular queda definida por su radio y por su deflexión. PI



TS

TE

R = radio O = centro de la curva = deflexión PI = punto de intersección TE = tangente de entrada TS = tangente de salida

R

O

Los norteamericanos no definen una curva por el radio y la deflexión sino por el grado de curva. 12.1. GRADO DE CURVA O GRADO DE CURVATURA Es el número de grados del ángulo al centro que subtiende en la circunferencia un arco igual a 100 ft. 100 ft

2* * R

100 ft = Dº

360º

D

108 Curso de Topografía Aplicada

En el sistema métrico decimal se toma un arco de 20 m. aunque lo ideal sería un arco de 10 m. De lo anteriormente expuesto se puede decir que la curvatura de una curva circular puede definirse de dos maneras: 1. A base de su radio y su deflexión (definición radio) 2. A base de su grado y su deflexión (definición grado) La definición grado no es una práctica universal, sin embargo es recomendable conocer las transformaciones. 12.2. FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR 

PI

T

E CC

CL/2 TE

f

CL/2

TS

M



R

/2 /2 O

O = Centro R = Radio PI = Punto de intersección o vértice de la curva T = Tangente TE ó TC = Tangente de entrada (punto de tangencia) TS ó CT = Tangente de salida = Deflexión CL = Cuerda larga E = Externa (distancia al vértice de la curva) CC = Punto medio de la curva M = Punto medio de CL f = Flecha u ordenada media Lc = Longitud de la curva

R

109 Curso de Topografía Aplicada

FÓRMULAS

1)

Tangente

T = R * Tan (/2)

2)

Cuerda

CL = 2 * R * Sen (/2)

3)

Externa

E = R (Sec /2 - 1)

4)

Flecha

f = R ( 1 - Cos /2) * R * º

5)

Longitud o desarrollo

Lc = 180º * R2 * º Filete

F= R *T360º

Demostración de las fórmulas

Tangente:

Triángulo O, TE, PI

 Tan

T 

= 2

R

Cuerda:

Triángulo O, TE, M

 Sen

CL/2 =

2

T = R * Tan (/2)

R



CL 2

= R * Sen /2  CL = 2 * R * Sen (/2)

110 Curso de Topografía Aplicada

Externa:

Triángulo O, TE, PI

 Cos

R

R 

= 2

O-PI = Cos /2

O-PI

 O-PI = R * Sec (/2)

y como O-PI = R + E  R + E = R * Sec (/2)  

E = R * Sec (/2) - R

E = R (Sec /2 - 1)

Flecha:Triángulo O, TE, PI

f = R - OM 

y como OM = R * Cos (/2)



f = R - R * Cos (/2)

f = R ( 1- Cos /2)

Longitud o desarrollo de la curva 2 * * R

360º

2 * * R * º Lc =

º

L

* R * º =

360º

180º

Ejemplo ilustrativo: Calcular todos los elementos de la siguiente curva circular. = 82º 10´ 00¨

R = 100 m

1)

T = R * Tan (/2)

T = 87,184 m

2)

CL = 2 * R * Sen (/2)

CL = 131,431 m

3)

E = R (Sec /2 - 1)

E = 32,669 m

4)

f = R( 1 - Cos /2)

f = 24,625 m

5)

Lc =

* R * º Lc = 143,408 m 180º

111 Curso de Topografía Aplicada

* R2 * º 6)

F= R *T-

Filete = 1.548,04 m 2

360º ¿Qué es una progresiva? La progresiva es la distancia acumulada desde su origen, ejemplo: Si el origen está en Pto. la Cruz y crece hacia Cumaná, un punto en ¨Los Bordones¨ podría estar en la siguiente progresiva. 80 + 225,43. NOTA: En Norteamérica se miden las progresivas por estaciones de 100 ft. Entonces la notación sería como en el siguiente ejemplo: 59 + 51,1 donde 59 es el número de la estación y 51,1 la distancia medida en ft. Ejemplo:

Calcular la progresiva del centro de curva y de la TS de la curva de = 82º 10´ y R = 100 m.

1) Prog CC = Prog TE + ½ Lc Prog CC = 0 + 362,577 + 71,704 = 0 + 434,281 2) Prog TS = Prog TE + Lc Prog TS = 0 + 362,577 + 143,408 = 0 + 505,985 12.3. RADIO MÍNIMO EN CURVAS CIRCULARES Para fijar los radios mínimos de las curvas circulares el proyectista debe pensar por lo menos en la visibilidad de frenado. Según las normas francesas el radio mínimo se calcula con una fórmula empírica:

R min = 0,005 * V

2

V = velocidad de diseño (velocidad directriz en Km/h) R = radio en m.

Cuando esta fórmula da valores que resultan muy costosos para la construcción, entonces se acostumbra tomar los 2/3 del resultado, es decir, R min = 2/3 ( 0,005 * V2 ) Ejemplo: Si V = 80 Km/h

R min = 2/3 ( 0,005 * 6.400)

R min = 213 m

112 Curso de Topografía Aplicada

En Venezuela se fijan los radios mínimos de acuerdo a un factor centrífugo. El factor centrífugo es la relación empírica que involucra la velocidad, el radio, el peralte y la fricción. Pero es norma para los ingenieros venezolanos adoptar los siguientes valores: Tipo de carretera 1ra. categoría 2ra. categoría 3ra. categoría

Velocidad directriz en Km/h 100 80 60

Radio mínimo en m. 300 200 100

NOTA: Generalmente se adoptan radios de 50 m en carreteras de montañas. En desarrollos urbanísticos se toman para las aceras radios que van desde 3 a 11 m.

12.4. REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES Existen muchos métodos para replantear una curva circular, pero el más usado en la actualidad es el método de las deflexiones o coordenadas polares. Deflexión de un punto ( ) Es el ángulo formado por la tangente principal y la cuerda del punto. V

 TE

p TS

Existen otros métodos que, aunque no son los más usados, conviene mencionarlos:  Método de las coordenadas rectangulares o método de los ¨OFFSETS¨.  Método del cuarto de flecha.  Método del polígono inscrito.  Método de las intersecciones.

113 Curso de Topografía Aplicada

12.5. REPLANTEO POR EL MÉTODO DE LAS DEFLEXIONES O COORDENADAS POLARES 1) Fórmula para calcular la deflexión ( )

=

90 * S

= deflexión

* R

S = longitud medida por la curva (arco o diferencia de progresiva)

R = radio

Demostración de  V

X S TE



Y p TS

l/2 R

/2  O

2 * * R

360º

S * 360º =



S

S * 180º 

2 * * R

* R

S * 180º y como = /2



=

=

S * 90º 

=

2 * * R

* R

2) Fórmula para calcular la longitud de la cuerda (l) l/2 Sen /2 =

l 

Sen /2 = 2* R



l = 2 * R * Sen 

R Sen = 1/ 2 * R

y como

= /2

114 Curso de Topografía Aplicada

NOTA: El arco (S) y la cuerda (l) se confunden en la práctica cuando el arco no supera a 1/10 del radio. Ejemplo: Si el radio de una curva es 200 m. ¿Cuál es el máximo arco que se puede tomar que se confunde con la cuerda? Smax = 200 * 1/10 = 20 Ejemplo ilustrativo: Calcular y l si S = 20 m. y R = 400 m. 90 * S =

= 01º 25´ 57¨ * R

l = 2 * R * Sen 

l = 19,999 20 m.

se confunde con el arco

12.6. PERALTE Y BOMBEO Peralte Es la inclinación de la calzada para neutralizar el esfuerzo de la fuerza centrífuga. Se mide por la tangente del ángulo que forma la calzada con la horizontal. La tangente se expresa en % y se denota con la letra (i). Ejemplo i = 4%. Calzada  Horizontal

Bombeo Es la inclinación a la derecha y a la izquierda de la calzada de una vía para el drenaje superficial. Se expresa en % y el más utilizado es el 2 %. Forma de anotar una libreta de campo para el replanteo de una curva circular En este ejemplo se va a tomar un pedazo de la recta con el objeto de hacer la transición de bombeo a peralte. Es norma en una curva circular simple hacer la transición de bombeo a peralte en la porción recta, aunque algunos autores hacen un pedazo de la transición en una parte de la curva (no es recomendable).

115 Curso de Topografía Aplicada

Generalmente la transición se hace desde 40 m. antes de la tangente de entrada (TE) y hasta 40 m. después de la tangente de salida (TS). Debido a esta transición de bombeo a peralte y viceversa, fue que inventaron las curvas de transición (espirales). En los 40 m. de transición se debe ir variando proporcionalmente el bombeo hasta alcanzar el peralte. Ejemplo:

i = 4%

Bombeo = 2 %

Curva hacia la derecha

NOTA: * En la curva circular el peralte permanece máximo y a partir de la TS hay que hacer nuevamente la transición. * Siempre hay que detenerse a hacer, por inspección, la transición de bombeo a peralte y viceversa. * Al comenzar a hacer la transición se debe levantar el carril exterior y hacerla horizontal, y al terminar la transición el carril exterior debe estar horizontal para continuar el bombeo.

Forma de anotar la libreta

Progresiva 0+000 0+020 TE 0+040 0+060 0+080 0+100 0+120 TS 0+145,883 0+160 0+180 0+200

Deflexiones Ida

02º 05º 08º 11º 15º

51´ 53¨ 43´ 46¨ 35´ 40¨ 27´ 33¨ 10´ 00¨

Izq. 10,00 0% 10,31 +2% 10,62 +4% 10,82 +4% 11,02 +4% 11,22 +4% 11,42 +4% 11,68 +4% 11,77 +2% 11,86 0% 11,95 -2%

Rasantes Eje 10,00 10,20 10,40 10,60 10,80 11,00 11,20 11,46 11,66 11,86 12,00

Der. 9,89 -2% 10,03 -3% 10,18 -4% 10,38 -4% 10,58 -4% 10,78 -4% 10,98 -4% 11,24 -4% 11,49 -3% 11,75 -2% 11,95 -2%

Elementos Curva V-1 = 30º 20´ 00¨ R = 200 m T = 54,214 CL = 104,651 E = 7,218 f = 6,966 Lc = 105,883 V = 60 Km/h i= 4% Bombeo = 2 % ½ a = 5,55

NOTA: * Toda esta porción es en corte y como el ancho de la vía es 11,10 m., entonces ½ a = 5,55. * Los datos de ancho en corte o en relleno y las pendientes de los taludes se buscan en las secciones típicas de los planos. * Las cotas de rasante por el eje de la vía, se buscan en el perfil longitudinal.

116 Curso de Topografía Aplicada

NOTA: Generalmente la rasante que aparece en el perfil longitudinal es la rasante de la tierra o lo que es lo mismo la sub-rasante. Forma de replantear la curva circular cuando no hay visibilidad Cuando las curvas son muy largas se acostumbra replantear la mitad desde TE y la otra mitad desde TS, pero si aún así no hay visibilidad se debe utilizar un punto de cambio (PC) para seguir el replanteo. El replanteo se puede continuar de la siguiente forma: 1) Se estaciona el teodolito en el PC, se apunta a TE con 00º 00´ 00¨ con el anteojo invertido, luego se le da vuelta de campana y se siguen marcando las deflexiones calculadas en libreta. 2) Se estaciona el teodolito en el PC y se apunta a TS con el anteojo en posición normal con el ángulo () calculado en la libreta para TS, luego se siguen marcando los demás ángulos () calculados en libreta. Resumen del método de las deflexiones 1) Se calculan las deflexiones 2) Se replantean TE y TS 3) Se replantean los demás puntos de la curva circular, estacionados en TE y TS y poniendo en 00º 00´ 00¨ al PI o vértice. NOTA: Si la curva es muy larga se replantea la mitad desde TE y la otra mitad desde TS. No se deben tomar puntos a distancias mayores que la décima parte del radio, en caso de que esto suceda se calcula la cuerda por la fórmula conocida.

Fórmulas para el replanteo por el método de las coordenadas cartesianas (x,y) o método de los ¨OFFSETS¨

=

S * 180º

X = R * Sen 

Y = R ( 1 - Cos )

* R

donde: = ángulo al centro X = abscisa Y = ordenada

117 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 13 La espiral de transición (la clotoide) Bibliografía específica:  Estudio y Proyecto de Carreteras  Caminos  Highway Surveying and Planning  Normas para el Proyecto de Carreteras  Curvas con Transiciones para Caminos ( Las Tablas de Barnett)

Jacob Carciente Hermanos Escario Thomas Hickerson M.T.C. Joseph Barnett

La discontinuidad de curvatura que existe en el punto de unión de los alineamientos rectos con las curvas circulares no puede aceptarse en un trazado racional. Por lo tanto se debe utilizar una transición entre la recta y la curva circular de enlace, esto con la finalidad de hacer la transición de un radio infinito a un radio finito, para hacer la transición de bombeo a peralte y para hacer la transición de sobreancho. Numerosas curvas satisfacen estos requerimientos tales como: 1. 2. 3. 4.

La lemniscata de Bernoulli La parábola cúbica El óvalo La clotoide o Espiral de Cornu (Transition Spirals)

LA CLOTOIDE En el argot de los topógrafos venezolanos se llama “la espiral”. Su nombre viene del griego “klotho” ( ) que significa hilandera. Fue introducida a la Ingeniería por el Ing. Oerly en 1.937

118 Curso de Topografía Aplicada

Es la transición más ampliamente utilizada en carreteras porque es la que mejor se adapta a la trayectoria de un vehículo que viaja a velocidad constante y cuyo volante es accionado en forma uniforme; otras razones para su uso son: 1) Es una espiral y por lo tanto su curvatura varía proporcionalmente a su desarrollo, siendo cero al comienzo de la misma 2) Sus fórmulas son relativamente sencillas 3) Todas las clotoides tienen la misma forma (hay semejanza) Ecuaciones de la clotoide Las dos ecuaciones de la clotoide referidas a la tangente principal y a su perpendicular en el punto de inflexión se deducen a partir de su definición y apelando al Cálculo Integral, hasta llegar a un desarrollo en serie de Cos y Sen , e integrando entre unos límites prefijados ( ver demostración en Carciente páginas 458, 459 y 460 1ª. Edición); y se obtiene: 2

4

x = ( 1 -

+ 5 . 2!

 y = (

9 . 4!

3 -

3

6

5 +

7 . 3!

en radianes

+... ) 13 . 6! 7 -

11 . 5!

+...)

en radianes

15. 7!

donde: x , y : Coordenadas cartesianas de un punto cualquiera de la espiral  : Longitud desde T.E. o E.T. a un punto cualquiera de la espiral  : Ángulo de la tangente en T.E. con la tangente en un punto cualquiera Elementos de la Clotoide Los elementos de la curva con transición en ambos extremos se describen en el ANEXO No. 11.

119 Curso de Topografía Aplicada

13.1. FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE UNA CURVA DE TRANSICIÓN

Rc * le 1)

R =

calcula el radio en un punto cualquiera de la espiral 

le 2)

e =

(en radianes)

e =

90º * le * Rc

2 * Rc

(en grados sexagesimales)

* Rc * eº le = 90º

3)

= (/ le )2 e

calcula para un punto cualquiera de la espiral

4)

c = - 2 e

calcula el ángulo al centro de la porción circular * Rc

5)

L = 2 * le + lc

ó

( 4 * eº + cº )

L= 180º

L = Rc ( 4 * e + c )

2 6)

X = ( 1 -

4 +

10

e en radianes

6 -

216

...) 9360

en radianes

ó

120 Curso de Topografía Aplicada

 7)

Y = (

3

5

+ 3

42

en radianes

...) 1320

Si se necesitan las coordenadas X, Y del EC, se reemplaza por e y l por le y queda: 2 Xc = le ( 1 -

4 +

10  Yc = le (

216

...) 9360

3 -

3

6

5 +

42

...) 1320

8)

K = Xc - Rc * Sen e

9)

P = Yc - Rc ( 1- Cos e )

10)

Te = K + ( Rc + P ) Tg ½ 

tomar P con cuatro decimales

11)

Ee = ( P + Rc ) Sec ½ - Rc

tomar P con cuatro decimales

12)

TL = Xc - Yc * Cot e

13)

TC =

Yc Sen e

14)

CL =

Xc2 + Yc2

ó

P = Yc - Rc * Senoverso e

121 Curso de Topografía Aplicada

13.2. FORMA DE CALCULAR LAS PROGRESIVAS EN LOS PUNTOS NOTABLES 1) 2) 3)

Progresiva EC = progresiva TE + le Progresiva CE = progresiva EC + lc ó Progresiva CE = progresiva ET - le Progresiva ET = progresiva CE + le

Normas venezolanas En Venezuela la longitud mínima usada para la espiral es de 40 m. Para calcular la longitud mínima de la clotoide se utiliza la siguiente fórmula: le = 0,0522 V3 / Rc - 6,64 * V * i

le = longitud de la espiral Rc = radio de la circular

V = velocidad de diseño en Km/h i = peralte expresado en forma decimal

Ejemplo: Calcular la longitud mínima de una espiral a usar en una autopista diseñada para 90 Km/h con un Rc = 300 m. y un i = 4 % le = 0,0522 (90)3 / 300 m - 6,64 * 90 * 0,04

le = 102,94 m 103 m

Es bueno significar que la tabla IV de Barnett presenta una serie de combinaciones de Rc, le, Te, Ee y para una serie de velocidades de diseño. Con esta tabla los ingenieros viales hacen el primer tanteo para proyectar. NOTA: Esta fórmula es válida para radios menores de 500 m. Misceláneas El proyecto de curvas para ángulos pequeños donde es inferior a 6º, debe basarse más en la apariencia del camino que en la seguridad. Curvas muy cortas, aun con una transición bien estudiada, dan la impresión de ser de fuerte curvatura. Normas para proyectar 1) 2) 3)

Para = 5º la curva debe tener como mínimo una longitud de 150 m. Para = 4º la curva debe tener como mínimo una longitud de 150 m. Para = 3º la curva debe tener como mínimo una longitud de 210 m.

122 Curso de Topografía Aplicada

4) 5)

Para = 2º la curva debe tener como mínimo una longitud de 240 m. Para = 1º la curva debe tener como mínimo una longitud de 270 m.

Estas longitudes se obtienen con curvas circulares de 1.700 m. de radio, y aun mayores, las cuales no requieren la transición. Para valores de = 6º y 7º la curva debe tener de longitud un mínimo de 120 m. y para = 8º, 9º y 10º no debe tener menos de 100 m. de longitud. Estas longitudes pueden obtenerse con curvas simples de más de 1.500 m. de radio o con curvas de menor radio pero con transiciones elegidas de la tabla IV de Barnett. Como conclusión se puede decir lo siguiente: Como criterio general en estos casos se deben elegir longitudes que sean las mayores posibles, ya que nada contribuye más a embellecer un trazado, que las curvas amplias y suaves. Curvas de transición total Ellas son un caso muy especial de las curvas con transiciones (Ver ANEXO No. 12), aquí c = 0º y por lo tanto lc = 0 m., lo que lleva a concluir que:  e = 2 13.3. PROYECTO DE LOS ELEMENTOS DE UNA ESPIRAL Proyectar y calcular todos los elementos de una curva con transición cuyos datos son los siguientes: V = 80 Km/h

= 59º 00´00¨

TE = 8 + 569,30

La externa de la espiral debe estar entre 30 y 32,50 m. Para realizar esto se debe hacer uso de la tabla IV de Barnett. NOTA: La bibliografía específica donde aparecen las referidas tablas se menciona al principio de este objetivo. En la tabla IV se puede apreciar que existen dos combinaciones que cumplen con las condiciones:

123 Curso de Topografía Aplicada

1) 2)

Rc = 180 m. Rc = 200 m.

y y

le = 120 m. le = 120 m.

Cualquiera de las dos opciones cumple, sin embargo se escoge el radio mínimo utilizando las normas venezolanas: Rmin = 2 / 3 * 0,05 * V2 = 213,33 m. En virtud de esto se toma la segunda opción, es decir Rc = 200 m., y a partir de estos elementos se procede a calcular los demás elementos de la espiral. NOTA: * Se puede diseñar sin la tabla IV de Barnett utilizando las normas venezolanas para Rc mínimo y para (le) mínima. * Si no se dispone de ¨máquinas calculadoras¨ se pueden calcular todos los elementos con la tabla V donde aparecen todas las transiciones de las tablas IV y VI, o también con la tabla II multiplicando por la longitud de la espiral. Si el ángulo no está en la tabla se debe interpolar.

13.4. LAS TABLAS DE BARNETT Tabla I

Aquí aparecen los peraltes aconsejados en función de Rc y de la velocidad directriz.

NOTA:

Barnett aconseja emplear peraltes máximos del 8 % en terrenos planos y 10 % en terrenos accidentados.

Tabla II

Aquí aparecen los valores de los elementos de la espiral para una transición de longitud igual a 1 m. Se multiplican estos coeficientes por la longitud de la espiral para obtener los elementos.

Tabla III

Aparecen aquí los valores de Te y Ee para una curva de transición total y una (le) unitaria. Eso significa que para obtener Te y Ee se debe multiplicar la (le) por los coeficientes de la tabla.

Tabla IV

Cada cuadro de esta tabla muestra para un valor de , los correspondientes valores de Te y Ee para diferentes combinaciones de Rc y le (sirve para proyectar).

124 Curso de Topografía Aplicada

Tabla V

Aparecen aquí todos los elementos de la espiral para las diferentes combinaciones de Rc y le de la tabla IV (se encuentran los valores directos).

Tabla VI

Aparecen aquí los ángulos de deflexión para replantear la espiral, de acuerdo a los diferentes valores de Rc y Ee de la tabla IV.

Tabla VII

Esta pequeña tabla que se encuentra a la derecha de la tabla VI, proporciona las deflexiones de la porción circular.

Tabla VIII Esta importante tabla proporciona los coeficientes que multiplicados por e produce las deflexiones de los diez puntos de la espiral. 13.5. REPLANTEO DE LAS CURVAS CON TRANSICIONES 1) 2)

Se ubica con mucha precisión los puntos principales de la curva, es decir, TE, EC, CE y ET de tal manera de no acumular errores. Se ubican los puntos intermedios de las espirales y la curva circular con menos precisión.

Forma de replantear el CE o el EC 1) 2) 3) 4)

Con la cuerda larga (CL) y e Con la tangente larga (TL) y con la tangente corta (TC) Con Xc y Yc Con el problema No. 2 (replanteo) apoyándose en referencias que tengan coordenadas. Se supone que el Ec ya tiene sus coordenadas calculadas.

NOTA: Cuando la distancia (d) de replanteo es muy larga es recomendable utilizar distanciómetros.

Formas de calcular las deflexiones para el replanteo de la espiral Primera forma Calcular por la fórmula = (l / le)2 e para cada punto y luego se toma: = / 3 = (l / le) 2 e / 3

125 Curso de Topografía Aplicada

Segunda forma Se calcula X e Y para cada punto con las fórmulas siguientes: X = ( 1 - 2 / 10 + 4 / 216 . . . )

Y = ( / 3 - 3 / 4 . . . )

= arc Tg (X / Y) Tercera forma Con los coeficientes de la tabla VIII (Ver ANEXO No. 13) y la tabla X de Barnett. NOTA: * La única diferencia entre la tabla VIII y la Tabla X es que la tabla X divide a la espiral en veinte partes iguales. * La forma 1 y la forma 3 son las más recomendables, por su sencillez, para calcular las deflexiones de las espirales. Para calcular las deflexiones de un punto cualquiera, con la tabla VIII, se multiplica el coeficiente que se indica en la tabla por e. = coeficiente * e Replanteo por deflexiones desde un punto de cambio dentro de la espiral Aunque esta operación se presenta muy pocas veces en el campo, debido a la corta distancia de la espiral, es prudente conocer el procedimiento. Existen dos formas:  Con la tabla VIII de Barnett  Con las fórmulas de la espiral y de la circular NOTA: La forma 2 es tediosa y complicada por lo que se sugiere utilizar la forma 1. Ejemplo: Si se tiene una curva con una e = 9º 06´ 45¨,54 le = 40 m. y Rc = 125,75 m. y se observó hasta el punto 7, y en este punto se necesita hacer un punto de cambio para seguir replanteando la espiral. Se pide calcular las deflexiones para los puntos 8, 9 y 10.

126 Curso de Topografía Aplicada

Haciendo esto por la primera forma se obtiene: Pto. 7 8 9 10

deflexiones = 0,0733 * e = 0º 40´ 05 = 0,1533 * e = 1º 23´ 49 = 0,2400 * e = 2º 11´ 13

Orientación del anteojo para replantear 1) 2)

Si el punto de estación es TE ó ET se apunta con 00º 00´00¨ al vértice y se comienza a marcar las deflexiones. Si el punto de estación es EC ó CE se apunta al punto de intersección de TL y TC y si se quiere replantear la espiral se marcan las deflexiones desde EC. Pero si se quiere replantear la circular se apunta con 00º 00´ 00¨ a la intersección de TL y TC con el anteojo invertido, luego se realiza la vuelta de campana y se comienza a marcar las deflexiones de la circular calculadas en la libreta desde EC. Otra forma de replantear la circular sería apuntando con anteojo invertido a TE con un ángulo igual a 2 e a la izquierda, luego se realiza la vuelta de campana y se comienza a replantear la circular.

NOTA: Todo esto se fundamenta por el hecho de que todas las deflexiones se marcan desde una tangente geométrica a la curva. 3)

Si la estación es un punto de cambio dentro de la espiral se apunta a TE con el anteojo invertido, y con un ángulo de 00º 00´00¨ se da vuelta de campana y se comienza a marcar las deflexiones desde el punto de cambio sumándole 2a cada deflexión.

127 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 14 Movimiento de tierra Es la operación que involucra traslado de masas para cambiar la configuración del terreno y ajustarlo a las necesidades de control de obras. PERFIL Es la sección obtenida al proyectar la línea del terreno en un plano vertical. Tipos de perfiles  Perfil longitudinal  Sección transversal 14.1. PERFIL LONGITUDINAL Es aquel trazado por el eje longitudinal de la vía. En este perfil se escriben las pendientes de la carretera y en su elaboración o dibujo generalmente se utilizan dos escalas: 1. La escala horizontal 2. La escala vertical Generalmente la escala vertical es 10 veces mayor que la escala horizontal con el objeto de exagerar los detalles del terreno (Ver ANEXO No. 14). Rasante Son líneas rectas y parábolas que representan el perfil del eje de la vía ya terminado. NOTA: Generalmente los alineamientos rectos de las rasantes se enlazan con curvas verticales parabólicas.

128 Curso de Topografía Aplicada

Puntos de pasos o ¨ceros¨ Son los puntos donde el perfil longitudinal cambia de terraplén a banqueo y viceversa. Talud Es el paramento o cara inclinada de un corte o de un terraplén. Forma de expresar la pendiente del talud Los norteamericanos, alemanes y venezolanos expresan la pendiente del talud por la cotangente de la inclinación, es decir la relación entre la distancia horizontal y la distancia vertical. En carreteras se acostumbra utilizar la unidad para la distancia vertical, ejemplo: un talud 2:1 significa que por cada 2 metros horizontales sube o baja 1 metro vertical. Ejemplo: Si la cota del punto A es 10,00 m. y la cota del punto B es 14,00 m. Calcular la distancia (D) que se aleja B de A, sabiendo que el talud de corte es de ½:1 z = 14,00 - 10,00 = 4 m. D= ½

*

D = P * z

4 = 2 m.

La pendiente del talud depende del tipo de suelo. En Venezuela las más usadas son las siguientes: Cortes:

½ :1 para terrenos de gran cohesión 1:1 para terrenos de regular cohesión

NOTA: En los terrenos de poca cohesión o cortes de gran altura se deben hacer terrazas para absorber los derrumbes potenciales. Terraplenes: 1½ :1 ya que es aproximadamente el ángulo de reposo de la mayoría de las tierras. 14.2. SECCIÓN TRANSVERSAL Es el perfil trazado perpendicularmente al eje de la vía y generalmente se dibuja a escala 1:200.

129 Curso de Topografía Aplicada

14.3. SECCIÓN TÍPICA Y EXPLANACIÓN Si a la sección transversal se le superpone la sección como va a quedar la vía se obtiene una sección para cubicar el movimiento de tierra, la sub-base granular y el asfalto, esa sección superpuesta se llama la sección típica y depende del tipo de carretera o si se trata de corte o relleno. Explanación Es la superficie de la carretera a nivel de subrasante (rasante de la tierra). Los anchos de explanación dependen del tipo de vía. C L

Explanación

Estaca de chaflán

Calzada Hombrillo Asfalto

2% Talud 1 ½:1 Estaca d e chaflán

2%

Corte

Talud 1:1 ó ½:1 Cuneta

Relleno

Subrasante (rasante de la tierra)

Base granular

SECCIÓN TÍPICA

14.4. TIPOS DE EXPLANACIÓN Tipo Tipo A en terreno llano Tipo A en terreno accidentado Tipo B Tipo C Tipo D reducida Autopista

¨a¨ en corte 22,10 20,50 13,90 11,10 9,50 31,60

(Ver ANEXOS No. 15, 15-A, 15-B y 15-C).

¨a¨ en relleno 20,50 19,30 12,20 9,50 8,00 30,00

130 Curso de Topografía Aplicada

NOTA: La importancia de las secciones transversales es obvia ya que son la base del cálculo para el movimiento de tierras y otras partidas, que servirá para el pago a los contratistas. Formas de levantar secciones transversales  Con nivel y cinta  Con teodolito y cinta  Con teodolito y cinta inclinada 14.5. LEVANTAMIENTO DE SECCIONES PARA EXCAVACIONES EN PRÉSTAMOS

Préstamo 1 Planta 0+040 0+030 0+020 0+000

20 0+000 10

18 20

18 30

Sección 0+000

Eso significa que primero se debe replantear y nivelar un eje a partir del cual se deben tomar las secciones transversales naturales y finales con suficiente amplitud. Formas de calcular el área de las secciones transversales  Con el planímetro  Por descomposición de figuras  Analíticamente En topografía vial existen planillas para hacer el cálculo analítico de áreas por el método matricial. Se debe recordar que las distancias a la izquierda del eje son negativas (-) (Ver ANEXO No. 16).

131 Curso de Topografía Aplicada

C L 0+500 5,45 -6,20

5,00 0,00

4,25 0,00

4,25 -5,00

5,25 6,25

4,25 5,00

Prog. 0+500

Área 5,00 0,00

5,25 6,25

4,25 5,00

4,25 0,00

4,25 -5,00

5,45 -6,20

5,00 0,00

10,17 m 2

31,25 + 26,25 - 21,25 - 26,35 - 26,56 - 21,25 + 27,25 + 31,00 A= 2 Dibujo de secciones transversales Se dibujan en papel milimetrado y generalmente a escala 1:100 ó 1:200. Este punto se tratará más ampliamente en el objetivo de dibujo topográfico. Hoy día se acostumbra a dibujar una sección en cada hoja de un block milimetrado. 14.6. ESTACAS DE CHAFLÁN (SLOPE STAKES) En el argot de los topógrafos venezolanos se llama ¨chaflán¨ y no es más que la intersección del terreno natural con los taludes. Formas de chaflanear  Con nivel y cinta  Con teodolito y cinta  Con teodolito y mira El ¨chaflán¨ se determina por tanteo, y se sabe que se ha verificado la ecuación del ¨chaflán¨ cuando: Distancia medida = cota roja * P + a / 2

132 Curso de Topografía Aplicada

Cota roja = es la diferencia entre la cota del terreno natural y la cota de rasante. P = pendiente del talud expresada en n / 1 a = ancho de vía NOTA:

La distancia medida es la que ordena el Topógrafo por tanteo.

La cota roja no se refiere al corte o al relleno del eje de la vía si no al extremo de la plataforma, ya que se supone que se han calculado las cotas con peralte o con bombeo a lo largo de la vía. Datos necesarios para ¨chaflanear¨  Ancho de la explanación NOTA:

Se debe recordar que la explanación es el ancho de la vía a nivel de subrasante.

 Cota del eje del terreno natural  Cota de rasante a la izquierda y a la derecha (con bombeo y peralte según sea el caso).  Pendiente del talud expresada en Cotangente. Ejemplo: 2:1 ó n:1 NOTA:

La experiencia enseña que se debe chaflanear utilizando cotas, ya que es más práctico y se presentan menos equivocaciones.

Además de los métodos tradicionales para replantear estacas de chaflán existen otros dos métodos que eventualmente pueden ser usados: Método analítico Este método se emplea cuando las secciones transversales del terreno son uniformes (caso muy difícil), y consiste en buscar la intersección matemática de dos rectas, la recta del terreno y la recta del talud. Es un método teórico muy poco práctico, y quizás servirá para el cálculo de chaflanes por medio de microcomputadoras y planos con curvas de nivel para luego calcular las áreas, los volúmenes y dibujar las secciones.

133 Curso de Topografía Aplicada

Método gráfico Consiste en dibujar las secciones transversales con suficiente amplitud y luego y luego buscar gráficamente, con el escalímetro, la intersección o chaflán. Es un método poco exacto pero que se utiliza en algunas oportunidades, sobre todo cuando hay muchas terrazas y las secciones son muy largas. El inconveniente estriba en que se debe trabajar doble: primero levantar las secciones, calcular y dibujar. Segundo, replantear con estas distancias gráficas los chaflanes. Control del talud durante la construcción Las operaciones de control deben ser rápidas para que el equipo pesado no esté inactivo durante mucho tiempo, pero si hay otro sector de carretera donde trabajar, lo mejor sería mudar el equipo mientras se verifican los taludes. Control del talud en corte Primera forma:

Para ello las máquinas no deben estar en la carretera. Primero se replantea el eje, se nivela y luego se tantea los chaflanes con nivel y cinta. Estos nuevos chaflán dirán si el talud viene bien o viene mal y hacer las correcciones necesarias.

Segunda forma: Para ello se ¨chaflanea¨ desde la propia estaca de chaflán de la siguiente forma: 1) 2) 3) 4)

Se nivela desde el chaflán hasta el corte actual pegado al talud. Se determina z = Ad - At. Se mide la distancia entre los puntos que se han nivelado (d). Si (d) es igual a z * P de talud significa que el talud viene bien cortado. Si (d) es menor a z * P de talud se está cortando de más. Si (d) es mayor a z * P de talud significa que el talud se está metiendo

En secciones de carreteras con terrazas el corte se debe referir a la terraza inmediatamente inferior y al llegar a cada terraza se debe volver a replantear el chaflán.

134 Curso de Topografía Aplicada

Forma de anotar la libreta de campo para ¨chaflanear¨ Se supone que al llegar aquí ya se ha preparado la libreta con las cotas de rasante en el eje, a la izquierda y a la derecha tomando en cuenta el bombeo y el peralte. Pasos: 1) Se replantea el eje , se nivela y se calcula la nivelación. 2) Al lado de la cota del terreno se copia la cota de rasante en el eje. 3) En la siguiente columna se escribe la cota roja de la siguiente forma: Cota roja = cota rasante - cota terreno - Corte Pto 0+000 0+020 0+040 0+060

Ad

Int

At

Ojo

+ Relleno Cota terreno

8,94 10,00 11,50 12,00

Rasante 10,94 10,98 11,02 11,08

Y +2,00 +0,98 -0,48 -0,92

14.7. EQUIPO MÁS USADO EN EL MOVIMIENTO DE TIERRAS Equipo de excavación:  Tractor o Bulldozer: D-7, D-8, D-9 (Caterpillar)  Pala (pala o retroexcavadora)  Escarificador  Motoniveladora o Patrol  Equipo de perforación  Equipo de voladuras Equipo de remoción o transporte:  Tractor de empuje  Traillas (Scraper)  Mototraillas o Tornapules (Pay Scraper)  Shovel (cargador)  Pay loader (cargador)  Vagoneta

135 Curso de Topografía Aplicada

Equipo de esparcimiento y compactación:  Patrol  Aplanadora  Pata de cabra (esta compactadora se utiliza en suelos finos de cierta plasticidad como las arcillas)  Vibrocompactadora (esta máquina sirve para compactar materiales granulares como el granzón, la grava, la arena, etc.  Rodillo automático  Super compactadora También existen otras máquinas pesadas para las excavaciones de materiales indeseables saturados y son las siguientes:  Clamp shell (cuchara bivalva) y recibe también el nombre de cuchara tipo almeja  Drug-line (balde de arrastre) También hay máquinas para hacer canales llamada zanjadoras. 14.8. CUBICACIÓN Es el cómputo métrico de los cortes o rellenos de un movimiento de tierras. Pasos a seguir para cubicar 1) 2) 3) 4) 5)

Replantear el eje de la vía y nivelar Chaflanear Dibujar las secciones Calcular las áreas de banqueos y de terraplenes en las planillas correspondientes Cubicar en las planillas de movimiento de tierras (Ver ANEXOS No. 17, 17-A y 17-B).

Existen muchos formatos para cubicar, pero en síntesis son la misma cosa. Existe un formato donde no existe banqueo ni terraplén y se puede utilizar para el cálculo que se desee. Cubicar significa formar una serie de prismoides y luego sumarlos para obtener el volumen total. Prismoide es un prisma formado entre las secciones del terreno natural y las secciones típicas, por lo tanto pueden haber prismoides de cortes y prismoides de rellenos.

136 Curso de Topografía Aplicada

Eje Prismoide en corte

Eje Prismoide en relleno

14.9. MÉTODOS DE CUBICACIÓN Los prismoides son sólidos geométricos limitados en los extremos por caras paralelas, y lateralmente por superficies planas o alabeadas (del mismo número de lados). 1) Por la fórmula prismoidal V = (L / 6)(A1 + 4 Am + A2) A2

L Am

A1 y A2 = áreas extremas Am = área media L = longitud del prismoide

A1

2) Método de las áreas medias Es el método más usado en la práctica y consiste en la aplicación de la siguiente fórmula:

A2 D

A1 + A2 V=

*D

2 A1

137 Curso de Topografía Aplicada

La fórmula se fundamenta en que el volumen de un prismoide es aproximadamente igual al producto del promedio de las áreas extremas por la distancia entre ellas. 14.10. CORRECCIÓN A LOS VOLÚMENES Aunque en la práctica no se acostumbra el cálculo de correcciones, ya que es un refinamiento innecesario, es interesante conocer las dos correcciones más importantes:  La corrección prismoidal  La corrección por curvatura Corrección prismoidal Las fórmulas de las áreas medias serían matemáticamente exactas si las áreas extremas fueran exactamente iguales, pero como en la práctica no sucede esto resulta que el volumen por áreas medias es ligeramente superior a el volumen por la fórmula del prismoide. Eso significa que el volumen prismoidal es igual al volumen calculado por las áreas medias menos un cierto volumen, y esto se llama corrección prismoidal. Fórmulas para calcular la corrección prismoidal

X2 h2

X1

L

h1

Cp = (L / 12)(h1 - h2)(X1 - X2)

Cp = corrección prismoidal h1 = corte en sección 1 h2 = corte en sección 2

Ejemplo ilustrativo: Calcular el volumen prismoidal entre las siguientes secciones. 10,00 1,00 8,00

9,00 0,50 8,00

138 Curso de Topografía Aplicada

X1 = 10,00 m. X2 = 9,00 m. a = 8,00 m. h1 = 1,00 m. h2 = 0,50 m. L = 20,00 m.

A1 = 9,00 m2 A2 = 4,25 m2

9,00 + 4,25 Vm =

* 20

= 132,50 m3

2

Cp = (20 / 12)(1,00 - 0,50)(10,00 - 9,00) = 0,83 m3 V = 132,50 m3 - 0,83 m3 = 131,67 m 3

volumen verdadero

Corrección por curvatura Se hace dicha corrección cuando el centro de gravedad de las secciones no coincide con el eje de la vía, esta diferencia entre el centro de gravedad de la sección y el eje de la vía se conoce con el nombre de excentricidad (e). (e) será positiva cuando el centro de la sección está en la parte exterior de la curva y será negativa en caso contrario.

e+

Vc = Vm + Cc

e-

Vc = volumen corregido por curvatura Vm = volumen áreas medias Cc = corrección curvatura

Fórmulas para la corrección por curvatura

Cc = (L / 2R)(A1 * e1 + A2 * e2)

Cc = corrección curvatura R = radio curva A1 y A2 = áreas extremas e1 = excentricidad en A1 e2 = excentricidad en A2

El problema sólo se reduce a saber cómo se calculan las excentricidades.

139 Curso de Topografía Aplicada

Fórmulas para calcular la excentricidad de una sección

XI

XD

e = (1 / 3)(XD - XI ) XD = distancia a la derecha XI = distancia a la izquierda Ejemplo numérico: Hacer la corrección por curvatura en el siguiente caso. En progresiva 4+125 = 17,75 m2

Rc = 250 m

4+150 = 30,00 m2

e1 = + 1,00

e2 = + 0,70

1) Se calcula Vm 17,75 + 30,00 Vm =

* 25,00

= 596,88 m 3

2 2) Se calcula Cc Cc = (25 / 2R)(17,75 * 1,00 + 30,00 * 0,70) = - 1,94 m3 V verdadero = 596,88 m 3 - 1,94 m3 = 594,94 m 3 Pasos a seguir para cubicar un corte o un relleno 1) Replantear un eje, referenciarlo y nivelarlo. 2) Levantar las secciones transversales con suficiente amplitud y por el método más conveniente. 3) Calcular y dibujar las secciones transversales. 4) Calcular y dibujar para cubicar la capa vegetal. 5) Levantar las secciones finales, calcular y dibujar. 6) Hacer el cómputo métrico del movimiento de tierra. NOTA: En carreteras, represas, canales y túneles se hace la cubicación por secciones típicas. Los taludes de relleno se controlan volviendo a ¨chaflanear¨ y peinando el talud para aprovechar el material hacia arriba.

140 Curso de Topografía Aplicada

Levantamiento de un terreno Esta operación se puede hacer de varias formas:  Por radiación y poligonación  Replanteando un eje y tomando secciones transversales  Con poligonal abierta y secciones (método utilizado en carreteras)  Con una cuadrícula Se debe utilizar teodolito, cinta, nivel y mira para trazar la cuadrícula. generalmente se utiliza este método para el estudio en préstamos. 14.11. CUBICACIÓN POR EL MÉTODO DE LOS PRISMAS TRUNCADOS (CUADRÍCULA) Este método puede ser de gran precisión siempre y cuando la cuadrícula encaje exactamente en la forma del terreno. Se debe trazar una cuadrícula y nivelar para luego obtener con un segundo replanteo de la cuadrícula las alturas h1, h2, h3 y h4 de cada prismoide de la cuadrícula.

h2

h3

h4

h1

20

20

20 X 20 = 400 m2 (área de la sección recta de la cuadrícula) Si la sección recta es A, el volumen de cada prismoide será:

h1 + h2 + h3 + h4 V=A* 4

h1, h2, h3 y h4 son las diferencias de los niveles antes y después. Entonces el volumen total de la cuadrícula será la sumatoria de todos y cada uno de los volúmenes prismoidales.

141 Curso de Topografía Aplicada

Para evitar este tedioso cálculo es más conveniente aplicar la siguiente relación: h1 + 2h2 + 3h3 + 4h4 V=A* 4 h1 = Es la suma de todas las alturas que aparecen en una sola cuadrícula. h2 = Es la suma de todas las alturas que aparecen en dos cuadrículas. h3 = Es la suma de todas las alturas que aparecen en tres cuadrículas. h4 = Es la suma de todas las alturas que aparecen en cuatro cuadrículas. h1

h2

h2

h1

h2

h4

h4

h3

h1

h2

h4

h4

h4

h2

h2

h3

h2

h2

h1

h1

h1

Método de cubicación por curvas de nivel Se utiliza este método para cubicar grandes montículos o para determinar la capacidad del vaso de almacenamiento de una represa y a la vez permitirá hacer una gráfica de áreas y capacidades. El volumen de los prismoides se calculará aplicando las fórmulas y la planilla de las áreas medias teniendo en cuenta de cambiar las progresivas por las cotas y las distancias por la diferencias de cotas. Se deben tomar los puntos taquimétricamente y luego dibujar las curvas de nivel cuando se trata de cubicar grandes montículos. 14.12. CÁLCULO DE LOS PUNTOS DE PASO Punto de paso X1

X2

hR l

hC

142 Curso de Topografía Aplicada

Por triángulos semejantes se puede escribir lo siguiente: X1

X2 =

hR

hC

Y haciendo una combinación de fracciones se puede escribir: X1

X1 + X2 =

y como X1 + X2 = l

hR

hR + hC

X1

l

l

= hR

*

hR

l * hC

X1 = hR + hC

X2 = hR + hC

hR + hC

Ejemplo ilustrativo: Dada la siguiente sección, calcular la distancia al punto de paso.

CL

X1

X2

6,90 0,00 hC

Ras = 5,00

hR 3,90 2,80

hR = 5,00 - 3,90 = 1,10 m hC = 6,90 - 5,00 = 1,90 m 2,80 * 1,10 X1 =

2,80 * 1,90 = 1,03 m

1,10 + 1,90

X1 + X2 debe ser igual a ¨l¨

X2 =

= 1,77 m 1,10 + 1,90

143 Curso de Topografía Aplicada

14.13. TRANSPORTE DE TIERRAS Acarreo y sobreacarreo En los contratos para la construcción de carreteras está estipulado que el contratista cobre por la partida correspondiente, un cierto precio por m3 de excavación, transporte y descarga de material, siempre y cuando no exceda un límite especificado llamado acarreo libre, en Venezuela este acarreo libre es de 200 m. Si la distancia desde la excavación hasta el terraplén está más allá del límite del acarreo libre existe lo que se llama sobreacarreo. El precio del sobreacarreo está basado en el acarreo de 1 m3 en una distancia de 50 m. ó de 1 Km, ya sea que el transporte esté a menos de 1 Km o más de 1 Km aproximadamente. Eso significa que el sobreacarreo está expresado en las siguientes unidades:  M3 x 50 1 Km  M3 x Km 1 Km

NOTA: Se debe recordar que cuando se trate de asfalto el volumen se debe transformar en toneladas, multiplicando por la densidad, y el sobreacarreo vendrá expresado en Tonelada por Km (Ton/Km).

=P/V

P=*V

 = densidad

La distancia para calcular las estaciones viene siendo el exceso de la distancia sobre el acarreo libre. Un diagrama de masas es útil para determinar las cantidades de sobreacarreo y la más económica distribución del material excavado. El diagrama también puede indicar los casos donde es más económico botar y buscar préstamos en lugar de sobreacarrear un material a distancias muy lejanas. NOTA: Las estaciones se redondean a la primera cifra decimal por norma. Sobreacarreos (Ver ANEXOS No. 18, 18-A, 18-B y 18-C).

144 Curso de Topografía Aplicada

14.14. EL DIAGRAMA DE MASAS

Ordenada 3.000 M3

Línea de compensación

2.000 M3

Ordenada progresiva

1.000 M3

1.000 M3

10 + 000

11 + 000

12 + 000

13 + 000

2.000 M3 3.000 M3 Terreno natural C R

Rasante Perfil longitudinal

El diagrama de masas es la gráfica representativa de los volúmenes acumulativos de los cortes y los rellenos a lo largo de la vía. Estos volúmenes acumulativos son la suma algebraica de los cortes y los rellenos (cortes + rellenos) y son llevados como ordenada en un dátum para dibujar la curva del diagrama de masas. Con este diagrama de masas el ingeniero resuelve de una manera gráfica los transportes de tierras en carreteras. NOTA: El empleo del diagrama de masas ha caído en desuso. Propiedades del diagrama de masas 1) No es un perfil y por lo tanto no tiene relación con la topografía. 2) El diagrama está formado por ondas y éstas por ramas: La rama es ascendente cuando predomina el corte y la rama es descendente cuando en ese tramo predomina el relleno. 3) Máximos o mínimos del diagrama corresponden a los puntos de paso del perfil longitudinal.

145 Curso de Topografía Aplicada

4) El diagrama se anula en un punto por detrás del cual los volúmenes de corte o de relleno se compensan. 5) Los puntos positivos indican que desde el origen existen más cortes, y los puntos negativos indican que desde el origen hay más relleno. 6) Los puntos en los que una horizontal cualquiera corta una onda, son puntos entre los cuales hay iguales volúmenes de corte y de relleno y por eso se llaman líneas de compensación. 7) Entre dos puntos del diagrama el volumen excedente es la diferencia entre las ordenadas progresivas. Si la diferencia es positiva (+) significa que hay excedencia en corte y si es negativa (-) ocurre lo contrario. 8) En una onda cualquiera el volumen de tierra balanceado o compensado es la ordenada comprendida entre la línea de compensación y el vértice del diagrama. NOTA: Ondas positivas (+) indican transporte hacia adelante y ondas negativas (-) indican transporte hacia atrás. 14.15. CAMBIOS DE LOS VOLÚMENES EN LOS MATERIALES Son de dos tipos:  Esponjamiento  Contracción NOTA: Estos cambios deben ser tomados en cuenta para el dibujo del diagrama de masas pero no así para el pago de transporte. Esponjamiento Es el cambio de volumen que experimentan los materiales al ser movidos de su posición original. Para calcularlo se toma una densidad seca en el terreno y también una densidad seca suelta y así calcular el % de esponjamiento. Contracción Es el cambio de volumen que experimentan los materiales al ser compactados. Esponjamiento 1,25M3 Contracción 0,9M3 1M3

146 Curso de Topografía Aplicada

NOTA: Las rocas de esponjan pero no se contraen, este fenómeno se conoce con el nombre de ¨hinchazón de la roca¨.

Valores aproximados de algunos esponjamientos

Material Arena y grava Arena y grava húmeda Arcilla Ripio ¨El Peñón¨ Roca dura (caliza)

% de esponjamiento 12 % 14 % 25 % 22 % 50 %

Peso unitario suelto en Kg/M3 1.700 1.900 1.300 1.600 1.900

En el cálculo de transporte, las distancias de acarreo se miden por el camino más corto, práctico y posible.

147 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 15 El perfil longitudinal de la vía (curvas verticales) Al igual que la planta de la vía el perfil longitudinal de la vía está compuesto por alineamientos rectos longitudinales y curvas verticales.

Vértice de la curva vertical Alineamiento recto Rasante

Alineamiento curvo (curva vertical)

Dátum

TEC V

TSC V

V

Terreno Rasante Progresiva Alineamto.

Alineamientos rectos longitudinales Lo que interesa al topógrafo es el cálculo de las cotas de rasante y esto lo puede hacer en las porciones rectas por medio de interpolaciones lineales. Curvas verticales Son curvas de enlace de los alineamientos rectos longitudinales de la rasante de la vía. La curva vertical puede ser:  Circular  Parabólica

148 Curso de Topografía Aplicada

La más usada es la parábola de eje vertical, ya que es la curva que más se adapta a la trayectoria de los vehículos. Es bueno recordar que en la parábola la variación de la pendiente es constante. 15.1. TIPOS DE CURVAS VERTICALES Las curvas verticales pueden ser:  Cóncavas (simétricas o asimétricas)  Convexas (simétricas o asimétricas) NOTA:

Las curvas asimétricas se usan muy poco en los proyectos viales y sólo se utilizan en caso de emergencia como por ejemplo en la entrada forzada a un puente o a la entrada forzada de una calle construida.

15.2. FÓRMULAS Y ELEMENTOS DE LAS CURVAS VERTICALES El único objeto del estudio de las curvas verticales en este curso es a aprender a calcular las cotas de rasante en la porción de la misma. PICV g1 % TEC V

m

y

g2 % TSC V

x l = L/2 L

m = ordenada en el vértice x = diferencia de progresiva entre el punto y la tangente L = longitud de la curva vertical El único propósito es aprender a calcular la ordenada ¨y¨ que sumada o restada a la cota calculada por la pendiente dará como resultado la cota de rasante de los puntos a lo largo de la curva vertical. Ecuaciones: 1)

g = g 1 - g2

2)

m = (g * L) / 800

3)

y = (x / l)2 m

149 Curso de Topografía Aplicada

Ejemplo 1: Dado g1 = - 3 %, g2 = + 5 % y L = 60 m. Calcular m =? g = g1 - g2

g=-3-5= -8%

m = - 8 * 60 / 800 = - 0,60 m.

Ejemplo 2: Dado g1 = - 1 %, g2 = - 5 % y L = 50 m. Calcular m =? g = g1 - g2

g = - 1 - (- 5) = + 4 %

m = 4 * 50 / 800 = + 0,25 m.

Sólo se pueden presentar cuatro casos en curvas verticales: 1) g1 + y g2 3) g1 - y g2 -

2) g1 + y g2 + 4) g1 - y g 2 +

Ejemplo ilustrativo del cálculo completo de rasantes a lo largo de la curva vertical Pasos: 1) 2) 3) 4)

Calcular las cotas a lo largo de las tangentes en las progresivas deseadas. Calcular ¨m¨. Calcular ¨y¨ para cada punto. Calcular las cotas a lo largo de la curva vertical sumando o restando, según sea el caso, las ¨y¨ a las cotas calculadas a lo largo de las tangentes. 80 m PICV g2 = - 1,90 %

g1 = + 1,70 % Máx TEC V

Progresivas Cotas

TSC V

150 Curso de Topografía Aplicada

Progresiva

Distancia (x)

Ordenada (y)

0 + 470 0 + 490 0 + 510 0 + 530 0 + 550

0,00 20,00 40,00 20,00 0,00

0,00 0,09 0,36 0,09 0,00

TECV PICV TSCV

m = (g * L) / 800

Cota a lo Cota a lo largo de Tg largo de CV 97,76 97,76 98,10 98,01 98,44 98,08 98,06 97,97 97,68 97,68

g = 1,70 - (- 1,90) = + 3,60

m = 3,60 * 80 / 800 = 0,36

(0 + 490) - (0 + 470) = 20

Para la 0 + 490 y = (x / l)2 m

y = (20 / 40) 2 0,36 = 0,09 m

Para la 0 + 510 y = (x / l)2 m

y = (40 / 40) 2 0,36 = 0,36 m

Para la 0 + 530 y = 0,09 m

la curva es simétrica

15.3. CÁLCULO DEL MÁXIMO Para calcular el máximo se debe ubicar su progresiva y su respectiva cota. Existen dos alternativas: Cálculo desde TECV

Prog. del máx. = prog. TECV + x 1

donde x1 = (g1 * L) / g

En el ejemplo: x1 = 1,70

*

80 / 3,60 = 37,78

Prog. máx = 470 + 37,78 = 507,78

151 Curso de Topografía Aplicada

Cálculo desde TSCV

Prog. del máx. = prog. TSCV - x2

donde x2 = (g2 * L) / g

En el ejemplo: x2 = 1,90

*

80 / 3,60 = 42,22

Prog. máx = 550 - 42,22 = 507,78

Para calcular la cota del máximo o del mínimo también se procede desde TECV o TSCV.

Cálculo de la cota del máximo desde TECV L * g12 Cota del máx. = cota TECV + 200 * g

En el ejemplo:

80 (+ 1,70)2 Cota del máx. = 97,76 +

= 98,081 m. 200 (+ 3,60)

Cálculo de la cota del máximo desde TSCV L * g22 Cota del máx. = cota TSCV + 200 * g

En el ejemplo: 80 (- 1,90)2 Cota del máx. = 97,68 +

= 98,081 m. 200 (+ 3,60)

152 Curso de Topografía Aplicada

15.4. CURVAS VERTICALES ASIMÉTRICAS (FÓRMULAS Y ELEMENTOS)

g * l 1 * l2 1)

g = g 1 - g2

2)

m=

3)

y1 = (x1 / l1 )2 m

200 (l1+ l2) (rama izquierda) 4)

y2= (x2 / l2)2 m

(rama derecha)

Propiedades geométricas de la parábola que han servido de base para deducir y aplicar las fórmulas que se han utilizado en las curvas verticales  La parábola es la curva en la cual la razón de variación de su pendiente es una constante.  En una parábola de eje vertical los elementos verticales entre la tangente y la curva (y), son proporcionales a los cuadrados de las proyecciones horizontales de los elementos de la tangente comprendidos entre el punto de tangencia y el elemento vertical, es decir y = K * X2.  En proyección horizontal el punto de intersección de las tangentes (PICV) está a media distancia entre las proyecciones de los puntos de tangencia (cuando la curva es simétrica). NOTA:

Se consideran innecesarias las curvas verticales cuando ¨g¨ 0,50 %.

Ejemplo: g1= - 1 %, g2 = - 1,20 %

g = - 1 - (- 1,20) = 0,20 % (no es necesaria la curva vertical)

Longitud mínima de la curva vertical El ingeniero proyectista fija la longitud mínima atendiendo más a los requerimientos de visibilidad y drenaje, que a las condiciones dinámicas de los vehículos. En las parábolas convexas el criterio utilizado de la visibilidad resulta satisfactorio, pero este criterio no vale para las curvas cóncavas, donde no existe un criterio uniforme. Algunos criterios se basan en la visibilidad nocturna, confort del conductor, buen drenaje y en la apariencia del alineamiento. NOTA:

En Venezuela la longitud mínima de las curvas verticales es de 40 m.

153 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 16 Observaciones solares Para determinar la dirección de los meridianos y la latitud se realizan, en topografía, observaciones a la Polaris o estrella polar, al Sol y a otros astros, y por eso se llaman observaciones celestes. Para determinar la dirección de los meridianos la observación más simple es una visual a la Polaris o al Sol, esa es la razón del estudio de las observaciones solares. Las aplicaciones de la Astronomía a la Topografía, se limita a las observaciones celestes para determinar, sobre la superficie de la tierra la posición de un punto o para determinar el Az astronómico entre dos puntos. La Astronomía práctica permite determinar la hora verdadera en cualquier lugar del globo. NOTA: Los lados de un triángulo esférico se miden en unidades angulares Una hora de longitud es igual a 15º de longitud, porque:

360º / 24 h = 15º

Teoremas para calcular y resolver los triángulos esféricos oblicuángulos C

b

A

a

c

 La Ley de los Senos  La Ley de los Cosenos para los lados  La Ley de los Cosenos para los ángulos

B

154 Curso de Topografía Aplicada

Ley de los Senos

Sen a

Sen b =

Sen A

Sen c =

Sen B

Sen C

Ley de los Cosenos para los lados

Cos a = Cos b * Cos c + Sen b * Sen c * Cos A Ley de los Cosenos para los ángulos

Cos A = - Cos B * Cos C + Sen B * Sen C * Cos a

NOTA:

Se debe recordar que las distancias medidas por arcos de círculos máximos se llaman distancias ortodrómicas. La distancia ortodrómica es la distancia más corta entre dos puntos en el globo terrestre.

16.1. TÓPICOS DE ASTRONOMÍA PRÁCTICA Estos teoremas de los triángulos oblicuángulos sirven también para hacer cálculos con los astros en la bóveda celeste. La esfera celeste Es la esfera de radio infinito que observa una persona ubicada en la superficie terrestre, y en la cual los cuerpos celestes se mueven aparentemente de Este a Oeste (Ver ANEXO No. 19). La astronomía general estudia y describe los cuerpos celestes pero es la astronomía práctica la que se encarga de medir lo siguiente: tiempo, latitud, longitud, declinación, etc. Para estudiar la astronomía práctica se deben fijar ciertas hipótesis arbitrarias que son las siguientes:  El centro de la esfera celeste coincide con el centro de la tierra.  La tierra se considera inmóvil

155 Curso de Topografía Aplicada

 La bóveda celeste gira aparentemente de Este a Oeste alrededor de una línea llamada eje.  La posición relativa de los astros se considera fija, con excepción de los cuerpos del sistema solar que se mueven lentamente.  El Ecuador de la esfera celeste está en la proyección del Ecuador terrestre. Líneas y puntos de referencias Para ubicar cuerpos en la bóveda celeste se necesitan líneas y puntos de referencia. Algunos de ellos dependen de la posición del observador y otros no. Líneas y puntos que no dependen del observador 1) 2) 3) 4)

Los polos celestes El Ecuador celeste Los meridianos celestes La declinación de los astros

Líneas y puntos que si dependen del observador 1) El Zenit y el Nadir 2) El horizonte celeste 3) El meridiano del observador Declinación Primero se debe aclarar que no se debe confundir declinación magnética con declinación de un astro. La declinación de un astro es el ángulo formado con el Ecuador celeste. Cuando la declinación es (N) se asume como (+) y cuando es (S) se asume como (-). NOTA:

La declinación de los astros se encuentra en el almanaque náutico mundial y la del Sol se encuentra en unas tablas llamadas efemérides solares y están referidas a las cero horas de Greenwich.

16.2. TRIÁNGULO DE POSICIÓN O TRIÁNGULO ASTRONÓMICO EN LA ESFERA CELESTE El triángulo de posición esta comprendido entre el Polo, el Zenit y el Astro (Sol). La ilustración del triángulo de posición aparece en el ANEXO No. 19

156 Curso de Topografía Aplicada

Elementos del triángulo de posición Vértices:  Polo  Zenit  Astro Lados:  Polo-astro (distancia polar y es igual a 90 - cuando es N, y es igual a 90 +  cuando es S)  Astro-zenit ( distancia zenital y se lee directamente con los teodolitos zenitales)  Polo-zenit (colatitud y es igual a 90 - cuando la latitud es N y es igual a 90 +  cuando la latitud es S) Ángulos:  Ángulo polo-zenit-astro (A), es el azimut del astro y es el que se determina en el cálculo de las observaciones solares.  Ángulo zenit-polo-astro (B), es el ángulo horario.  Ángulo polo-astro-zenit (C), es el ángulo paraláctico. En la observación solar lo que interesa calcular es el ángulo (A), es decir el azimut del Sol, que ligado con otra referencia ayudará a obtener el azimut verdadero de una línea. Para calcular el ángulo (A) se debe aplicar la ley de los Cosenos para los lados al triángulo de posición, es decir: Cos(90 -  ) = Cos(90 - )Cos Z + Sen (90 - )Sen Z * Cos A Sen = Sen * Cos Z + Cos * Sen Z * Cos A Sen - Sen * Cos Z cuando es N.

CosA = Cos * Sen Z - Sen - Sen * Cos Z

cuando es S.

CosA = Cos * Sen Z

157 Curso de Topografía Aplicada

La declinación se obtiene en las efemérides solares, por eso es necesario anotar la fecha y la hora de la observación. La latitud se obtiene en forma aproximada de un mapa. La distancia zenital (Z) se obtiene con un teodolito de alta precisión, y es bueno recordar que antes de aplicar la fórmula se debe corregir el ángulo (Z) por refracción, temperatura, presión atmosférica y paralaje, lo cual se estudiará más adelante. 16.3. LA OBSERVACIÓN SOLAR La observación directa del Sol requiere de vidrios ahumados, para la protección de los ojos (turmalinas). A diferencia de las estrellas que en el anteojo se reducen a un punto luminoso, el disco solar ocupa gran parte del ocular, dificultando la localización de su centro. Para eliminar este inconveniente se deben utilizar dos procedimientos:  Tangenciando, con los hilos vertical y horizontal, los bordes del Sol para luego promediar los datos obtenidos en los dos cuadrantes opuestos.

Primera lectura

Segunda lectura

 Tangenciando, con el hilo vertical los dos bordes laterales y con el horizontal, sólo el borde inferior para luego calcular el semidiámetro (d).

Primera lectura NOTA:

Segunda lectura

El semidiámetro (d) se encuentra en el almanaque náutico mundial en la página A-2 (primeras páginas amarillas). Este procedimiento es el más usado por los marinos, pero también puede ser usado en tierra.

158 Curso de Topografía Aplicada

 Colocando al anteojo aditamentos que son capaces de reducir, automáticamente, la observación al disco solar, esto se logra con el lente reductor o prisma de cuatro soles de la casa WILD.

NOTA:

Se debe tener cuidado de observar al Sol con lentes ahumados (turmalinas)

Procedimiento de la observación solar N B

W

E

A

S

Si se quiere determinar el Az A-B , se debe estacionar el instrumento en A orientado a B y luego se hace puntería al Sol tangenciando como se mencionó anteriormente y anotar la hora al instante. Inmediatamente se debe anotar el ángulo horizontal y el vertical o zenital. Las horas más recomendables son de 7:00 a 9:00 a.m. y de 3:00 a 5:00 p.m. Si el aparato se encuentra en buenas condiciones es suficiente realizar la siguiente serie:

ó

D

D

D

I

159 Curso de Topografía Aplicada

NOTA:

Entre puntería y puntería no se debe pasar de dos minutos.

Datos y requerimientos para llevar a cabo una observación solar 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Hora y fecha de la observación. Distancia zenital de observación al astro. Declinación del astro. Ángulo horizontal entre la línea por orientar y el astro. Longitud del lugar de la observación (es suficiente tomarla de un mapa). Latitud del lugar de observación (es suficiente tomarla de un mapa). Buen estado del instrumento y del reloj. Observar el Sol entre las 7:00 y 9:00 a.m. o entre las 3:00 p.m. y 5:00 p.m.

16.4. REFRACCIÓN Y PARALAJE El ángulo zenital observado debe ser corregido por refracción y paralaje por la siguiente ecuación: Z = Z´ + R - P

donde Z = ángulo zenital corregido Z´= ángulo zenital observado R = refracción P = paralaje

Paralaje Es el ángulo que se forma entre las visuales lanzadas desde la superficie terrestre y el centro de la tierra.

Paralaje

Astro

Tierra

O

Y se considera siempre de signo contrario a la refracción. En el gráfico se puede observar que el paralaje depende del diámetro de la tierra y de la distancia al astro. Para las estrellas, como se consideran relativamente lejanas se puede asumir el paralaje infinitesimal, o sea 0. Para calcular el paralaje se debe utilizar la tabla 2 que se muestra en el ANEXO No. 20, pero se debe recordar que la tabla trabaja con ángulos de altura.

160 Curso de Topografía Aplicada

Ejemplo: Z´= 60º 00´00¨

H = 90º - 60º = 30º 00´00¨

P = 0´,13 = 0´ 7¨,8

La refracción viene expresada por el producto de tres factores:

R = FR * FP * FT R = refracción FR (FA ) = factor de refracción o de altitud (ángulo de altitud H, tabla 2) FP (FE ) = factor por presión o cota del punto de observación (tabla 2A) FT = factor de temperatura (tabla 2A) Otras ecuaciones para determinar la refracción y el paralaje son las siguientes: 45 * 10- 4 P R=

Par = 25 * 10- 4 Sen (ZA) * Tan

(ZA)

273 + T

Par = Paralaje P = Presión en milibares (1013,25 – cota * 0,1072) ZA = Zenit Angle T = Temperatura en C°

16.5. CÁLCULO COMPLETO DE UNA OBSERVACIÓN SOLAR ACIMUT POR ALTURAS ABSOLUTAS Lugar: Urb. Cumaná II-Cumaná Fecha: 26-05-88

Acimut de la Línea: L-0

Latitud (): 10º 28´ N

L-1

___

Longitud (): 64º 12´ W = 4h,28

Operador:

Calculista:

___

Cota : 6,35 m = 20,82 pies

Temperatura: 25 ºC = 77 ºF

___

PROMEDIOS

Ángulo horizontal

Ángulo vertical (Z)

Hora

D 333º 28´ 26¨ I 153º 28´ 26¨

D 66º 46´ 33¨ I 293º 13´ 27¨

7h 38 m30 s 7 h,6417

161 Curso de Topografía Aplicada

____________________________________________________________________ CÁLCULO DE LA HORA Hora local promedio: 7 h,6417 + 4 h,28 Hora en Greenwich: 11h,9217 ____________________________________________________________________ CÁLCULO DE LA DISTANCIA ZENITAL Ángulo Z´ sin corregir: FR FP FT + Refracción : (2´,23) (1,01) (0,94) = 2´,1397 - Paralaje : = 0´,14

66º 46´ 33¨ 02´ 07¨ 00´ 08¨ _________ Ángulo Z corregido : 66º 48´ 32¨ ____________________________________________________________________ CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN Declinación Variación

: 21º 07´ 44¨,7 (Mayo 26) : + 05´ 04¨,3 ___________ Declinación (): 21º 12´ 49¨,0 ____________________________________________________________________ CÁLCULO DE (A)   Z Sen (21º 12´ 49¨) - Sen (10º 28¨) * Cos (66º 48´ 32¨) Cos A =

= 0,321171087 Sen (66º 48´ 32¨) * Cos (10º 28´) Z 

Az del Sol : 71º 15´ 58¨ Az de la línea: L-0 L-1 97º 47´ 32¨ ____________________________________________________________________ CROQUIS: N

162 Curso de Topografía Aplicada

Forma de anotar en la libreta de campo una observación solar ARCHIVO ESTACIÓN PTO. VISADO DÍA MES AÑO LATITUD LONGITUD MERIDIANO CENTRAL No. DE SERIES LIMBO INICIAL LIMBO FINAL HORA No. 1 ÁNG. HORIZONTAL (D) ÁNG. ZENITAL (D) HORA No. 2 ÁNG. HORIZONTAL (I) ÁNG. ZENITAL (I) COTA  TEMPERATURA 

: : : : : : : : : : : : : : : : : : :

GURIANZ.SOL R-4 R-3 03 05 1997 10º 35´ 16¨ 62º 17´ 52¨ 63º 1 00º 00´ 00¨ 180º 00´ 00¨ 07H 48M 00S 325º 42´ 08¨ : 58º 40´ 10¨ 07H 49M 00S 145º 41´ 26¨ 301º 03´ 41¨ 10,50 27 ºC

Después del cálculo con programa: Azimut R-4 Azimut R-3

R-3: 112º 11´ 11¨ R-4: 292º 11´ 11¨

Para realizar el cálculo de la observación solar manualmente se utiliza la minuta que aparece en el ANEXO No. 21

163 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 17 Tópicos de dibujo topográfico 17.1. ORDEN DE OPERACIONES PARA EL DIBUJO TOPOGRÁFICO: 1) 2)

Trazar con mucho cuidado la cuadrícula para dibujar o ¨plotear¨ la poligonal de apoyo por coordenadas. Dibujar los puntos de detalles o de relleno con transportador y escalímetro.

NOTA:

Algún punto importante de lindero debe dibujarse también por coordenadas pero no así los puntos a campo abierto ya que demoran el dibujo y es un refinamiento innecesario.

Se debe recordar que al dibujar cada punto se debe anotar la cota de la siguiente manera:

6.06

3)

Ya dibujado el plano con puntos acotados, se procede a interpolar las curvas de nivel.

NOTA:

4)

punto

L-1 6 . 02 lindero

* En terreno plano se acostumbra interpolar las curvas cada 25 cm y en todos los demás casos a cada 1 m o a cada 5 m en terrenos muy accidentados. * Las curvas de nivel debajo del agua se llaman isobáticas y se determinan haciendo una batimetría.

Al terminar se rotula el plano y se dibuja el Norte.

NOTA:

Recordar el uso de los signos convencionales.

164 Curso de Topografía Aplicada

17.2. CURVAS DE NIVEL Los planos acotados son de necesidad imprescindible para los proyectos de ingeniería, y desde el punto de vista teórico constituyen uno de los métodos de la Geometría Descriptiva para representar sobre un plano las figuras del espacio. Sin embargo, no le dan al ingeniero a simple vista una idea clara de la verdadera forma del conjunto de la superficie del terreno, por lo que se hace necesario completar este dibujo de planos con el trazado de las curvas de nivel. Definición: Son las curvas horizontales que unen puntos que tienen la misma cota, y su método se debe al geógrafo francés Felipe Bauche. Las curvas de nivel determinan la forma del terreno por las secciones que resultarían de cortarlas por un cierto número de planos horizontales equidistantes entre sí. Planos paralelos 20 10 0 Curvas de nivel Curvas de nivel proyectadas 20

10

0

Las curvas de nivel pueden trazarse directamente en el terreno, por ejemplo en las parcelas para regar en forma efectiva. También las curvas de nivel pueden deducirse gráficamente sobre el dibujo de un plano acotado y operando sobre los puntos del terreno levantado, este procedimiento recibe el nombre de interpolación de curvas de nivel. 17.3. INTERPOLACIÓN DE CURVAS DE NIVEL Si se tienen dos puntos A y B, cuyas cotas son conocidas y se quiere deducir o interpolar la intersección de las curvas de nivel equidistantes de metro a metro con la recta AB que los une, se procede de la siguiente manera:

165 Curso de Topografía Aplicada

1) 2) 3) 4)

Se calcula el desnivel entre ambos puntos (z) en metros. Se mide la distancia entre ambos puntos en una escala conveniente. Se divide la distancia entre el desnivel y se obtiene una constante (K). Con esta constante se pude ubicar gráficamente cualquier cota en metros, sobre dicha línea.

NOTA:

La equidistancia adoptada para las curvas de nivel depende de la escala mayor o menor en que se haya dibujado el plano, y de la exactitud y detalle que requiera el estudio.

Normalmente las curvas de nivel se interpolan a cada metro, y en terreno muy plano a cada 25 metros, es decir a cada 0,25 m. Es conveniente tener en cuenta los siguientes principios fundamentales al efectuar el trazado o interpolación de curvas de nivel:  Dos curvas de diferentes cotas no pueden cortarse.  Si las proyecciones de curvas de diferentes cotas coinciden, el terreno forma cantil (pared), pues es señal de que todos los puntos están en un mismo plano vertical.  Las curvas de nivel son forzosamente cerradas si se consideran en su totalidad, lo que sucede es que siempre se levantan pequeñas porciones del terreno.  Si entre dos curvas de nivel de igual cota, pasa una rama de otra curva de nivel de distinta cota significa que el terreno termina en arista viva, lo cual es muy difícil.  Una curva de nivel que no cierra dentro de un polígono debe terminar en el perímetro del mismo. También se pueden interpolar curvas de nivel en la topografía modificada de los proyectos. Se llama topografía modificada a la forma que tendrá el terreno cuando alcance las cotas de rasante.

166 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 18 La Estación Electrónica Total SET 3C (Intelligent Total Station) Introducción.Aunque existen en el mercado algunas otras Estaciones Electrónicas Totales, es la SET 3C la más popular y de más fácil manejo, cuestiones que la hacen la más amigable en la actualidad. Si usted necesita una unidad simple, libre de operación con fastidiosos cables, un ilimitado poder de almacenamiento en ella misma y una fácil revisión de la data almacenada, la SET 3C es la Estación más apropiada. En ella se puede trabajar manualmente ó en forma automática, es decir, MODO TEODOLITO y MODO BASIC; tiene tarjetas de almacenamiento (CARDS) de 64 K de memoria para almacenar 24 archivos y 1.000 puntos, ó de 128 K y 2.000 puntos; cuando la tarjeta se llena, simplemente inserte una nueva. ¡Usted está solamente limitado por el tamaño de sus bolsillos!. Las Estaciones Electrónicas de la serie SET 3B con una Libreta de Campo Electrónica (Electronic Field Book), dan el mismo beneficio de una SET 3C menos el inmenso poder de almacenamiento que tienen esta última, ambos sistemas proveen sofisticadas soluciones las cuales ayudan a agilizar y dar mas precisión al trabajo.. Aparte de grabar, medir distancias en cualquier forma, medir desniveles y ángulos en todos los sentidos, ya sea en modo manual o en modo automático, la SET 3C puede efectuar las siguientes operaciones:  Funciones para Replantear (Stake-Out Functions)  Medida de Poligonales con cálculo simultáneo de Coordenadas  Indexación automática del Círculo Horizontal y Vertical  Medición de Cotas y alturas en forma remota  Con la función “MISSING LINE” verifica dimensiones de parcelas ó de cualquiera otra construcción que ya ha sido replanteada.

167 Curso de Topografía Aplicada

 En MODO PROGRAMA (PROG), ejecuta y calcula el POTHENOT (RESECTION)  Puede medir por OFFSET  En MODO MENU se Configura la Estación de acuerdo a las necesidades. En esta nueva era de la automatización, además de las Estaciones Electrónicas SET C & SET B existen otros instrumentos y utilidades tales como :  La Estación ( NET 3-D ) usada en la industria y en obras de envergadura, lo cual incluye mediciones y replanteos en la construcción de: -

Barcos , Puentes Tanques Antenas

Aeroplanos, Automóviles y Trenes y Represas de almacenamiento Parabólicas

 El DETECTOR DE PERPENDICULAR PD3). Importante para : -

(PERPENDICULAR DETECTOR

Foso de ascensores Columnas de acero Elevadores de gran Polvorines y Chimeneas

 El GIRÓSCOPO ( GP1 GYRO STATION). Para obtener el Norte Verdadero con 20” de aproximación en 20 minutos, en túneles u otros espacios cerrados donde no se pueden hacer observaciones astronómicas (Observación Solar, Observación a la Polar etc.)  El ( RED mini 2 EDM ) distanciómetro que cabe en la palma de la mano.  El NIVEL ELECTRÓNICO ( LP3A ELECTRONIC LEVEL. )  PLANÍMETROS ELECTRÓNICOS ( PLANIX 6 y PLANIX 7 )  LA LIBRETA ELECTRÓNICA ( SDR·· ELECTRONIC FIELD BOOK )  El GEORECEPTOR GPS ( SPECTRUM ) de mediana precisión  El GEORECEPTOR GPS ( GSS1 ) para trabajos de gran precisión (Tiempo Real)  El Post Procesador ( GSP1A )

168 Curso de Topografía Aplicada

 Software para Topografía y Cartografía tales como : PCTOP, MAP, LINK, CALC, CONTOUR, VOLUMES, PROFILES, GPSMAP, DIGITIZE, etc. 18.1. ESPECIFICACIONES: Telescopio : Longitud Abertura Magnificación Imagen Campo de visión Foco mínimo

177 mm 45 mm 30X Erecta (1º 30” 26 m / 1000m ) 1,30 m

Medida de ángulos: Lectura mínima 1¨ Unidades Degree / Gon (seleccionable) Tiempo de medida menor de 0,5 seg Modo de medidas: Horizontal Vertical

( right/left/repetition/hold ) (seleccionable) Zenital / elevación + depresión - (seleccionable)

Medición de distancias: Sin calina y con buena visibilidad tiene un alcance de 20 Km. Con prisma compacto CP01 Con prisma APX1 Con prisma APX3 Con prisma APX9

1,30 1,30 1,30 1,30

m m m m

   

Precisión: Medidas finas Medidas gruesas

3 mm + 3 ppm x D 5 mm + 5 ppm x D

Lectura mínima: Medida fina Medida gruesa

1 mm 1 mm

700 m 2.200 m 2.400 m 3.500 m

169 Curso de Topografía Aplicada

Medida rastreando (tracking) 10 mm Máxima distancia inclinada 9.999,99 m Unidad de distancia:

m / feet (seleccionable)

Temperatura de trabajo: - 22 º F  140 º F - 30 º C  60 º C (seleccionable) Presión:

375 mm Hg 500 mbar 14,8 inch Hg ppm -499 

Constante de corrección del prisma:

 1.500 mm Hg  1.400 mbar  41,30 inch Hg (seleccionable) 449 ppm -99 mm  99 mm

Curvatura de la Tierra y Corrección: ON ( K=0,142/K=0,20 ) OFF (seleccionable) Audio al objetivo:

ON / OFF

Señal (fuente):

Infrarojo (LED)

Fuente de poder:

2 baterías de Ni - Cd

(seleccionable)

recargables

Tiempo de Trabajo a 26 º C midiendo dist. y ang. con 2.500 ptos: 2,5hrs Midiendo lo mismo con intervalo de 5 segundos:

7,5 horas

Usando batería de moto:

10 horas

Tiempo de carga:

15 horas y con CDC27

80 minutos

ESPECIFICACIONES GENERALES: Pantalla:

Main display de 16 caracteres x 3 líneas Sub Display de 4 caracteres x 3 líneas

Sensibilidad de los niveles:

Plate level 30 “ / 2 mm Circular level 10 “ / 2 mm

170 Curso de Topografía Aplicada

Plomada óptica:

imagen erecta magnificación 3X Foco mínimo 0,50 m

Corte de poder:

30¨ después de una operación ON / OFF con el Switch (seleccionable)

Peso:

7,50 Kg.

PRECAUCIONES:  Nunca coloque la Estación SET 3C directamente en el suelo.  No apunte el telescopio al sol ya que puede dañar la unidad de Infrarrojos del EDM  Proteja la SET 3C con una sombrilla de Topografía  Nunca transporte la SET 3C sobre el trípode de un sitio a otro  Evite choques y vibraciones fuertes  Cuando el operador abandone la SET 3C coloque un cobertor de vinyl  Siempre apague antes de retirar la batería  Remueva la batería cuando guarde la SET 3C en su caja ó estuche  En transporte y depósito ponga la caja de la SET 3C en posición horizontal  Asegúrese que la caja esté seca antes de cerrarla ya que es hermética 18.2. PARTES DEL INSTRUMENTO Las partes de la Estación Electrónica Total SET 3C se detallan en el ANEXO No. 22. Nota importante: El nombre de las partes y de algunas funciones se ha dejado en el idioma original para evitar malas interpretaciones, dejando a cada quien su libre traducción..

Teclas de Funciones

( KEY FUNCTIONS ) Ver ANEXO No. 23

Existen funciones principales (Main Functions) y funciones de cambio (Shift Functions) EDM

PRISM CONSTANT / PPM / DISTANCE MODE

171 Curso de Topografía Aplicada

+/RCL

CHANGE THE SIGN OF THE DATA INPUT VALUE RECALL DATA FROM MEMORY

INPUT INSTRUMENT STATION COORDINATES / INPUT BACKSIGHT COORDINATES/ INPUT COORDINATES OF POINT TO BE SET OUT .

S-O

0 SET

0

REC

INPUT DECIMAL POINT SETTING OUT MEASUREMENT ( + MODE KEY )

SET HORIZONTAL ANGLE TO 0 / IN MISSING LINE MEASUREMENT, CHANGE THE SATRTING POINT

INPUT 0 OUTPUT DATA TO CARD OR EXTERNAL DEVICE

INPUT INSTRUMENT HEIGHT

7

INPUT 7 MEASURE SLOPE DISTANCE

INPUT DISTANCE & HORIZONTAL ANGLE SETTING - OUT DATA 4 +

INPUT 4 MEASURE 3 - DIMENSIONAL COORDINATES

172 Curso de Topografía Aplicada

SET HORIZONTAL ANGLE TO THE REQUIRED VALUE

1

INPUT 1 MENU MODE : CONFIGURATION / CARD SETTING / CODE SEDTTING

MENU

INPUT TARGET HEIGHT

8

INPUT 8 MEASURE HORIZONTAL DISTANCE

f / m

5

CHANGE METERS ----FEET FOR 5 SECONDS

INPUT 5 MEASURE REMOTE ELEVATION

HOLD / RELEASE HORIZONTAL ANGLE

2

INPUT 2 PROGRAM MODE : RESECTION / COPRRECTION / SET INSTRUMENT STATION COORDINATES AND AZIMUTH

PROG

P

OFFSET MEASUREMENT

173 Curso de Topografía Aplicada

9

INPUT 9 MEASURE HEIGHT DIFFERENCE

BS

6

SET AZIMUTH ANGLE FROM INSTRUMENT STATION AND BACKSIGHT STATION COORDS.

INPUT 6 ISSING LINE MEASUREMENT SELECT HORIZONTAL ANGLE / RIGHT / LEFT / REPETITION

3

INPUT TRANSFER TO THEODOLITE MODE / DISPLAY TILT ANGLE

RETURN SIGNAL CHECK

(STOP : ( CE-CA )

DISPLAY AND RETICLE ILUMINBATION ON/OFF

NO

CE-CA

YES

INPUT “ NO”

CLEAR INPUT DATA STOP MEASUREMENT AND TRANSFER TO BASIC MODE / EXIT FROM MODE

INPUT “ YES “

174 Curso de Topografía Aplicada

ENT SHIFT

INPUT DATA INTO MEMORY SELECT / RELEASE SHIFT MODE

Símbolos de Pantalla

( Display Symbols )

SUB - DISPLAY

1ª

línea

ppm (Atmospheric correction value )

2ª

línea

P.C. ( Prism constant correction value)

3ª

línea

+

tilt angle compensation on

SHFT

:

Shift

SO

:

Setting - out

measurement mode

MENU :

Menu mode

PROG :

Program mode

REC

:

Record mode

RCL

:

Recall mode

Stn

:

Instrument station coordinates

BS

:

Backsight station cordinates

Pt

:

Coordinate setting - out data

175 Curso de Topografía Aplicada

MAIN DISPLAY 1ª

línea

2ª

línea

3ª

línea

 

:

Select options

ZA

:

Zenith Angle

VA

:

Vertical Angle

HAR

:

Horizontal Angle Right

HAL

:

Horizontal Angle Left

HARp

:

Horizontal Angle Repetition

HAh

:

Horizontal Angle hold

dHA

:

Horizontal Angle from setting - out data

X

:

Tilt angle in sighting direction

Y

:

Tilt angle in horizontal axis direction

S

:

Slope distance

H

:

Horizontal distance

V

:

Height difference

Ht

:

REM value / Instrument height / Target height

D

:

Distance setting - out data / Offset distance

176 Curso de Topografía Aplicada

18.3. CAMBIANDO LOS PARÁMETROS DE TRABAJO DE LA ESTACIÓN.Configuración por defecto No

Parámetro

Opción

1

Coordinate Data from

* Keyboard Card

2

Recording

Send Data to

* Card External

Set Code

* Input Non-Input

Set Target Height

* Input Non Input

3

Tilt Correction

* Applied No Applied

4

Coordinates Format

* N, E, Z E, N, Z

5

Verticall Angle Format

* Zenith 0 - 360º ( 0 - 400 gon )  90º (  100 gon )

6

Angle Resolution

*1¨

7

RS - 232 C Format Boud Rate

* 1200 2400

Cheksum

* No Yes

Parity

* No Yes (Even)

177 Curso de Topografía Aplicada

No

Parámetro

Opción

8

Vertical Indexing

* Auto Manual

9

Horizontal Indexing

* Auto Manual

10

C+ R

* No Yes K= 0,142 Yes K= 0,20

11

Units

correction

Distance

* Meter Feet

Angle

* Degrre Gon

Temperature & Pressure

* ºC & mbar ºC & mmHg NEXT º F & mbar º F & mmHg º F & inch Hg

18.4. PREPARACIÓN PARA MEDIR 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Conectar la batería Centrar y nivelar la Estación en el punto Encenderla Indexar el círculo vertical y el círculo horizontal Enfocar y apuntar al prisma de reflexión del objetivo Iluminar el retículo y la pantalla si es necesario Escoger la opción de medición deseada : MENU MODE RECORD MODE PROGRAM MODE ANGLE MODE MENU

1. Config 2. Card 3. Code

178 Curso de Topografía Aplicada

NOTA: Para una mejor comprensión se debe navegar en cada una de estas opciones.

MEDIDA DE ÁNGULOS Medir un ángulo entre 2 puntos a. - Hacer puntería al primer punto b. - Colocar el ángulo horizontal a 0º (en Modo Teodolito) c. - Hacer puntería al segundo punto y leer el ángulo horizontal en pantalla Colocar un ángulo a un valor requerido (Bueno para fijar Azimut hacia la Referencia) a. - Hacer puntería al punto requerido b. - SHFT c. - Ingresar el ángulo así: 45.3020

ENTER

MEDICIÓN DE DISTANCIAS a. - Hacer una preparación con SHFT

EDM y navegar

b. - Ahora medir cualquier opción : S, H ó V c. -

Recordar la altura del Instrumento y altura del Prisma

d. -

Revisar la Data con RCL

MEDICIÓN POR COORDENADAS a. - Ingresar la altura del Instrumento b. - Ingresar la altura del Prisma c. -

SHFT

179 Curso de Topografía Aplicada

1.- Ingrese las Coordenadas de la Estación 2.- Ingrese las Coordenadas de la Referencia (Backsight) Si se desea SHFT

BS +

d.- Hacer puntería al punto deseado y luego pulsar: y salen en pantalla las Coordenadas N, E, Z ... etc OTRA ALTERNATIVA ES : a. - Ingresar la altura del Instrumento b. - Ingresar la altura del Prisma c. - Hacer puntería a la referencia d. -

SHFT

e. - Ingresar solamente las Coordenadas de la Estación f. - Fijar el Azimut Estación  Referencia así: g. - SHFT

GG.MMSS

ENTER

h. - Hacer puntería al punto deseado y luego pulsar:

+

y salen en pantalla las Coordenadas N, E, Z ... etc LEVANTAR POR COORDENADAS Y GRABAR

a.-

MENU

2. CARD:

Job / File

1. CREATE OSCAR

Yes ENTER

b.- Apuntar a Referencia y con SHFT Se ingresan las Coordenadas de la Estación y de la Referencia, o hacer la alternativa con Coordenadas de la Estación y Azimut.

180 Curso de Topografía Aplicada

c.-

REC

y seguir levantando como se hizo anteriormente. NOTA IMPORTANTE: Si se quiere seguir grabando las Coordenadas de la Poligonal de Apoyo, se debe leer el Nuevo Punto de la Poligonal después que haya leído el último Punto de detalle. Para cuando se cambie de Estación se continúa la Poligonal con la opción:

PROG



3

Pto. REPLACE

REVISANDO LA DATA ALMACENADA

RCL

REC

YES INST Yes

(Si es el Archivo buscado) ID ENTER

Date YY-MM-DD Stn 2 STATION DATA  Ht 1,45 m Temp 28º C Press 1012 mbar C & R No PC -30 mm Tilt ON  N 1145567. 567  E 367245. 345  Z 7.342 ENTER

y finalizar



Yes

181 Curso de Topografía Aplicada

Ahora sale el Pto 2 (por ejemplo) y seguir navegando  

etc. etc ...

al final

ENTER

y finalizar.

MEDICIONES PARA REPLANTEO (SETTING - OUT MEASUREMENT) Modo Teodolito poniendo 0º Ejm: Se quiere replantear un punto a 90º 55´ 40¨ a una distancia de 12,345 metros 1.- Apuntar y poner a 0º así:

SHFT

0 SET

2.- Para replantear SHFT 3.- Ingresar Distancia de Replanteo 12,345

ENTER

4.- Ingresar Ángulo de Replanteo 90.5540 ENTER 5.- Colocar el Prima “grosso modo” a 90º- 55´- 40 ¨ y a 12.345 m 6.- Presionar

S-O

y podría salir en pantalla dHA - 3º 45 ´ 50 ¨ HAR 94º 41 ´ 30 ¨ lo cual significa, que se están midiendo ángulos a la derecha, que se debe mover el Prisma a la Izquierda porque se está midiendo más ángulo. Continuar esta operación hasta que dHA se haga cero. 7.-

S-O

y podría salir :

H = - 4.362 m ZA HAR 0º 00 ´ 00 ¨

y esto dice que se está a menor distancia y se debe alejar 4.362 m. Se debe continuar hasta que esta diferencia se haga cero.

182 Curso de Topografía Aplicada

En este paso midiendo S, V REM, se presiona

S-O

después de Distancia Inclinada “S” para Replantear Cota, subiendo o bajando el prisma. REPLANTEO POR COORDENADAS 1.-

SHFT

1 STATION 2 BACKSIGHT 3 S - O POINT

2.- Luego

3

ahora se ingresan COORDENADAS con 1 y 2

ingresando ahora DATA N del punto E del punto Z del punto

de S - O a replantear a replantear a replantear

ENTER ENTER ENTER

1 STATION 2 BACKSIGHT 3 S - O POINT

NOTA: Ingresar las Coordenadas de la Estación y de la Referencia o fijar Azimut , antes de ingresar Datos de Replanteo porque esto puede conllevar un error.

3.-

Colocar el Prisma y Pulsar

S-O

y podría salir en Pantalla dHA - 3º 00 ´ 00 ¨ HAR 94º 41´ 30 ¨ significando esto que se está midiendo por exceso, por lo tanto se debe mover hasta que dHA = cero (igual que modo teodolito)

183 Curso de Topografía Aplicada

4.- S - O

y podría salir en Pantalla:

H 1.000 ZA HAR 00º 00 ´ 00 ¨ acercando o alejando el prisma hasta que H = 0.000 m 5.-

CE-CA

finaliza

las mediciones

DETERMINAR COTA EN EL REPLANTEO POR COORDENADAS Después del paso 4 anterior, cuando H se ha convertido en 0.000 m 1.2.-

+

S-O

N E Z

0.000 0.000 0.234

Mover el Prisma hacia arriba o hacia abajo hasta que Z se convierta en 0.000 y eso significa que la Cota está replanteada.

3.-

CE-CA

finaliza las mediciones

Notas finales : A.- Con la SET 3C, el Azimut de la Referencia (Backsight) puede ser calculado automáticamente a partir del ingreso de las Coordenadas de la Estación, de la Referencia, apuntando a ella y pulsando SHFT

BS

así:

SHFT 1 STATION 2 BACKSIGHT 3 S - O POINT

 Apuntar a Referencia  SHFT

BS

y calcula el Azimut

B.- Para Resolver el POTHENOT (RESECTION) y OFFSETS, en MODO PROGRAMA pulsar las Teclas y navegar.

184 Curso de Topografía Aplicada

Capítulo No. 19 La Estación Electrónica Total SET 5W CARACTERÍSTICAS A PRUEBA DE AGUA POR INMERSIÓN  Cuando las tapas de los Conectores están puestas y cuando la batería está montada. TECLAS  Todas las 4 teclas de funciones pueden ser utilizadas para sus necesidades FUNCIÓN DE REASUMIR  El Modo previo al apagarse, es memorizado por 1 semana aproximadamente. Cuando la ESTACIÓN es encendida el Modo previo es reasumido nuevamente. CALCULA LOS PROMEDIOS  En Modo repetición promedia los ángulos horizontales  El promedio de distancias es calculado y mostrado en pantalla en Modo medidas. MEDIDAS AVANZADAS  Mide y calcula el POTHENOT (RESECTION)  Hace mediciones indirectas entre un punto de partida y otros puntos sin mover el aparato, ideal para “chaflanear”.  Hace mediciones para replanteos  Mide por OFFSETS  Hace mediciones remotas (Líneas Eléctricas y Puentes)) ALMACENA DATA EN SU MEMORIA INTERNA  Puede almacenar 3000 puntos en una memoria interna EXPORTA DATA  Con el Conector SET RS-232C exporta la Data almacenada a un colector de datos ü otro dispositivo

185 Curso de Topografía Aplicada

EXPLICACIÓN DE LAS TECLAS

ZA 90º 00’ 00” HAR 125º 56’ 40” 0SET HOLD Bsang

13 -40 2 P3

La línea inferior de la ESTACIÓN despliega 4 teclas blandas. Una tecla blanda es una tecla del Software; la definición de la tecla es mostrada en la parte inferior de la pantalla. Solamente aparecen las teclas blandas de las tareas relevantes. Si usted presiona la TECLA exactamente debajo de la función desplegada, la función es ejecutada. Sólo 4 teclas están disponibles a un mismo tiempo.  Por ejemplo, si usted presiona la tecla número uno izquierda en la pantalla mostrada arriba, el ángulo horizontal es puesto a 0.  Si presiona la tecla debajo de P3, se despliega la página siguiente  La Tecla ESC es usada en cualquier Modo. Al presionar ESC , el MODO es cerrado y la pantalla retorna al MODO BASIC.  Al pulsar y mantener presionada la TECLA ESC, se puede apagar la ESTACIÖN con OFF, o también iluminar la Pantalla ó viceversa. ASIGNACIÓN DE FUNCIONES POR CADA TECLA  Cuando la ESTACIÖN viene de fábrica , la asignación de funciones por cada tecla fue hecha por defecto. Cualquier función puede ser asignada en forma personalizada en cualquier página de cualquier MODO. 19.1. ESPECIFICACIONES: Telescopio : Longitud Abertura Magnificación Imagen Campo de visión Foco mínimo

165 mm 45 mm 30X Erecta (1º 30” 26 m / 1000m ) 1,30 m

186 Curso de Topografía Aplicada

Medida de ángulos: Lectura mínima 1¨ Unidades Degrre / Gon (seleccionable) Tiempo de medida menor de 0,5 seg Precisión:

5”

Modo de Medición: Ángulos Horizontales Ángulos Verticales (seleccionable)

( right/left/repetition/hold ) (seleccionable) Zenital / Horizontal 0/Horizontal 90

+ ó

Medición de distancias: Sin calina y con buena visibilidad tiene un alcance de 20 Km. Con prisma compacto CP01 Con prisma APX1 Con prisma APX3 Con prisma APX9

1,30 1,30 1,30 1,30

m m m m

   

700 m 2.200 m 2.400 m 3.500 m

Lectura mínima: Medidas finas 1 mm Medidas gruesas 1 mm Medidas rastreadas 10 mm Unidad de distancia:

m / feet (seleccionable)

Temperatura de trabajo: - 22 º F  140 º F - 30 º C  60 º C (seleccionable) Presión:

375 mm Hg 500 mbar 14,8 inch Hg ppm -499 

 1.500 mm Hg  1.400 mbar  41,30 inch Hg (seleccionable) 449 ppm

90-

187 Curso de Topografía Aplicada

Constante de corrección del prisma:

-99 mm  99 mm

Curvatura de la Tierra y Corrección: ON ( K=0,142/K=0,20 ) OFF (seleccionable) Audio al objetivo:

ON / OFF

Señal (fuente):

Infrarojo (LED)

Fuente de poder:

2 baterías de Ni - Cd

(seleccionable)

recargables

Tiempo de Trabajo a 26 º C midiendo dist. y ang. con 2.500 ptos: 2,5hrs Midiendo lo mismo con intervalo de 5 segundos:

7,5 horas

Usando batería externa :

10 horas

Tiempo de carga:

15 horas y con CDC27

80 minutos

ESPECIFICACIONES GENERALES: Plomada óptica:

imagen erecta magnificación 3X Foco mínimo 0,50 m

Corte de poder:

30 seg después de una operación (seleccionable)

Peso:

5,6 Kg.

PRECAUCIONES:  Nunca coloque la Estación SET 3C directamente en el suelo. La arena ó el polvo pueden dañar la cabeza del trípode  No apunte el telescopio al sol sin Filtro Solar ya que puede dañar la unidad de Infrarrojos del EDM  Proteja la SET 3C con una sombrilla de Topografía

188 Curso de Topografía Aplicada

 Trate de no transportar la ESTACIÓN sobre el trípode de un sitio a otro  Evite choques y vibraciones fuertes  Cuando el operador abandone la SET 3C coloque un cobertor de vinyl  Siempre apague antes de retirar la batería  Remueva la batería cuando guarde la SET 3C en su caja ó estuche  En transporte y depósito ponga la caja de la SET 3C en posición horizontal  Asegúrese que la caja esté seca antes de cerrarla ya que es hermética 19.2. PARTES DEL INSTRUMENTO

Las partes de la Estación Electrónica Total SET 5W se detallan en el ANEXO 1. ASA 2. MARCA DE LA ALTURA DEL INSTRUMENTO 3. PANTALLA 4. TECLADO 5. MORDAZA DEL TRIBRAQUIO 6. PLATO BASE 7. TORNILLOS DE AJUSTE DEL NIVEL CIRCULAR 8. NIVEL CIRCULAR 9. TORNILLO NIVELANTE 10. TRIBRAQUIO 11. OBJETIVO DE LA PLOMADA ÓPTICA 12. TAPA DEL AJUSTE DEL RETÍCULO DE LA PLOMADA ÓPTICA 13. ANILLO DE ENFOQUE DE LA PLOMADA ÓIPTICA 14. OBJETIVO DEL LENTE 15. TORNILLO DE SEGURIDAD DEL ASA 16. RANURA DE LA DECLINATORIA (BRÚJULA TUBULAR) 17. BATERÍA 18. MORDAZA HORIZONTAL 19. TORNILLO DE MOVIMIENTOS FINOS HORIZONTALES 20. CONECTOR PARA SALIDA DE “DATA” CON SU TAPA 21. CONECTOR PARA FUENTE DE PODER EXTERNA CON SU TAPA 22. NIVEL TUBULAR Ó DE ALIDADA

189 Curso de Topografía Aplicada

23. TORNILLO DE AJUSTE DEL NIVEL TUBULAR 24. MORDAZA VERTICAL 25. TORNILLO DE MOVIMIENTOS FINOS VERTICALES 26. OCULAR DEL TELESCOPIO 27. ANILLO DE ENFOQUE DEL TELESCOPIO 28. VISOR 29. MARCA DEL CENTRO DEL INSTRUMENTO SÍMBOLOS DE PANTALLA ZA

Zenith Angle (Ángulo Zenital)

VA

Vertical Angle (Ángulo Vertical) Slpoe en % (Pendiente en %)

HAR

Horizontal Angle Right (Ángulo Horizontal a la Derecha)

HAL

Horizontal Angle Left (Ángulo Horizontal a la Izquierda)

Hah

Horizontal Angle hold

HARp

Horizontal Angle Repetition (Ángulo Horizontal por Repetición)

dHA

Ángulo Horizontal de la data del replanteo (Seeting-Out)

_I_

Ángulo de compensación habilitado

S

Slope distance (Distancia inclinada electrónica)

H V

Horizontal distance (Distancia horizontal) Vertical distanceDISTANCE ( Height difference) (Diferencia de altura)

Ht

REM Value Valor REMOTO

_tk

Data de la medida rastreada

_-A

Promedio de la data de medida

Stn

Coordenadas de la estación del Instrumento

(Ángulo Horizontal fijado)

190 Curso de Topografía Aplicada

P

Coordenada de la data del replanteo

N

Coordenada Norte de la Data

E

Coordenada Este de la Data

Z

Coordenada Z (COTA) de la Data

CARGA RESTANTE DEL PODER DE LA BATERÍA (A 25º C y EN EDM) 3 2 1 0

90 A 100 % 50 A 90 % 10 A 50 % 0 A 10 %

FUNCIONES DE LAS TECLAS GENERALES ESC

Para transferir a medición angular(THEO) ó de distancias (EDM) Si se deja presionada se apaga OFF ó se Ilumina la pantalla

THEO

Transfiere a Modo Teodolito

EDM

Transfiere a Modo Distanciómetro (Electronic Distance Meter)

S-O

Transfiere al Modo Replanteo (SETTING –OUT)

CONF

Transfiere al Modo Configuración

-->PX

Va ala Página siguiente

ILLUM

Ilumina Pantalla y Retículo ON/OFF

Enter

Memoriza la Data seleccionada

Exit

Sale de cada Modo

CE

Retorna a la Pantalla anterior

191 Curso de Topografía Aplicada

EDIT

Edita la data

Input

Cambia la data presentada en Pantalla

Clear

Coloca la data a 0

Off

Apaga la Estación

REC

Graba la Data de la Estación Instrumental y Data medida

I

mueve a la opción previa

I

Mueve a la opción siguiente

-

Mueve a la opción de la derecha

1

Selecciona el número 1

2

Selecciona el número 2

3

Selecciona el número 3

19.3. PREPARACIÓN PARA MEDIR OSET

Pone a 0º el Instrumento

HOLD

Fija un ángulo

Tilt

presenta en pantalla el ángulo de balanceo

REP

Transfiere a Modo Repetición BS: Finaliza puntería Nº. 1 FS: Finaliza puntería Nº. 2

ZA

Ángulo Zenital / Pendiente en %

VA

Ángulo Vertical / Pendiente en %

R/L

Selecciona ángulo a la derecha ó a la izquierda

192 Curso de Topografía Aplicada

PARA MEDIDA DE DISTANCIAS Dist

medida de distancia

_I SHV

Selecciona Modo Distancia S= Distancia inclinada / H0 Horizontal / V= Altura

PPM

Conduce a la configuración del Modo PPM (Partes por Millón)

M / TRK

repite ó medida simple / Medida por rastreo

SIGNL

Retorna la verificación de la señal

f/m

Cambia metros / pies por 5 segundos

RCL

Revisa la data de medición en la memoria

PARA MEDIDA POR COORDENADAS Stn_P

Ingrese las Coordenadas de la estación del Instrumento

Ht

Ingrese Altura del Prisma (target) / Altura del Instrumento

Bsang

Ingrese las Coordenadas de la estación de atrás y el azimut

COORD

Mide las Coordenadas N (NORTE), E (ESTE) y Z (COTA)

MEM

Ingresa / borra / revisa Data de Coordenadas

193 Curso de Topografía Aplicada

PARA MEDIDAS AVANZADAS RESEC

Va al Modo Resection (POTHENOT) Known : Ingrese las Coordenadas de los puntos conocidos StnHt : Ingrese la altura del Instrumento Obs : Comience la observación de la estación conocida

OFFS

Comience las medidas por OFFSETS

MLM

Comience las medidas indirectas (Missing lines) S / % :Pendiente en porcentaje Entre 2 puntos Move : Cambie la posición de partida

REM

Comience la medición remota de la elevación

S-O_D

Ingrese la distancia de replanteo

S-O_P

Ingrese las Coordenadas del punto a ser replanteado

S-O_3D

Comience la medidas de las 3 dimensiones del replanteo

SO_Xd

Comience la medida de las distancias del replanteo

SO_HA

Comience la medida del Angulo Horizontal del replanteo

DIAGRAMA DE MODO Modo Basic EDM

THEOS-O

CONF

194 Curso de Topografía Aplicada

EDM Modo Distanciómetro

Sdist

 P2

_I SHV THEO PPM M / TRAK

SIGNL

P1

REM MLM OFFS THEO

 P3

Modo Teodolito

Sdist

EDM ILLUM

 P2

OSET HOLD Tilt

 P3

REP

ZA / %R / L P1

S-O

Modo Replanteo

SO

3D

 P2

S-O_P S-O_D

Stn_P Ht.

 P3

COORD

MEM RESEC

_I SHV

P1

CONF Modo Configuración 1. 2. 3.

Configuración Rtilt Correction Key Select

- Presione ESC para ir al Modo Basic estando en cualquier Modo -Esta locación de funciones vienen por defecto.

195 Curso de Topografía Aplicada

MEDICIÓN DE DISTANCIAS Y ÁNGULOS 1. MONTE LAS BATERÍAS  Cargue “full” antes de medir  Apague antes de reemplazar baterías 2. CENTRE Y NIVELE EL INSTRUMENTO  Utilice la misma rutina de los Teodolitos convencionales 3. TOME LA ALTURA INSTRUMENTAL 4. ENCIENDA LA ESTACIÓN ELECTRÓNICA  Esto se hace pulsando cualquier tecla 5. INDEXE EL CÍRCULO HORIZONTAL Y EL VERTICAL 6. ENFOQUE Y VISE AL PRISMA 7. CONFIGURE LAS OPCIONES DEL INSTRUMENTO  Al hacer la 1ª. configuración ella permanece 8.

PONGA EL INSTRUMENTO EN CERO CON OSET EN MODO TEODOLITO EN LA PÁGINA CORRESPONDIENTE.  Recuerde que con la Tecla ESC usted puede pasar de Modo Teodolito a Modo EDM y viceversa.

9. EN MODO EDM SELECCIONE EN _I SHV LA DISTANCIA HORIZONTAL Hdist y diferencia de altura V pulsando las teclas correspondientes. 10 HAGA OTRA PUNTERÍA Y LEA LOS ÁNGULOS EN MODO TEODOLITO Y LAS DISTANCIAS EN MODO EDM.

Bibliografía  BARNETT, Joseph. Curvas con Transiciones para Caminos.  BOUCHARD, Harry and Francis Moffitt. Surveying. Pennsylvania, 1.970.  BOWDITCH. American Practical Navigator. Washington D.C., 1.966.  DAVIS, Raymond and Francis S. Foote. Surveying, Theory and Practice. New York, 1.966.  DEL CASTILLO, Carlos J. Aplicación Práctica de la Proyección Mercator Transversal Universal (U.T.M.). Caracas, 1.961.  ESCARIO, José L. y Núñez del Pino. Caminos. Madrid, 1.960.  FOSSI. Topografía Clásica.  HICKERSON, Thomas F. Highway Surveying and Planning. New York and London, 1.936.  IGVSB (INSTITUTO GEOGRÁFICO VENEZOLANO SIMÓN BOLÍVAR, ANTIGUA CARTOGRAFÍA NACIONAL. MARN (CARACAS).  JORDAN, W. Tablas Taquimétricas. Buenos Aires, 1.951.  KISSAM. Topografía para Ingenieros.  LUZ. Universidad del Zulia. Cartografía Matemática.  SARRAZIN, O., H. Oberbeck y Max Höfer. Manual de Replanteo de Curvas. Barcelona, 1.965.  THE BOLIVARIAN REPUBLIC OF VENEZUELA GRIDS AND DATUMS. Universidad de Luisiana. USA.  UCV. Facultad de Ingeniería.

Anexos