Curso de Robotica
June 30, 2016 | Author: Aaron Huerta | Category: N/A
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Description
Instituto Instituto Tecnológ Tecnológico ico de Hermosillo
Robot Industrial
Elavor Elavorado ado Por: Por: M.C. Rafael Rafael Armand Armando o Gal Galaz az Bustamante Bustamante
Morfología del Robot
Morfología del Robot
Morfología del Robot
Morfología del Robot
Robots Robots planares planares re redundan dundante tess
Transmisiones y Reductores Entrada-Salida
Denominación Engranaje Corr Correeas den dentada tada Circular - Circular Cadena Paralelo grama Cable Circular - Lineal Tornillo sin fin Cremallera Lineal - Circular Paral. articulado Cremallera
Ventajas Pares altos Disstancia Di nciass gran randes des Distancias grandes
Inconvenientes Holgura
Poco Holgura Holgura media
Ruido Giro limitado Deformable Rozamiento Rozamiento
Holgura media
Rozamiento
Actuadores Actuadores Neumáticos Cilindros Neumáticos Motores Neumáticos Actuadores Hidráulicos Actuadores Eléctricos Motores de corriente continua (DC) Controlados por inducido Controlados por excitación Motores de corriente alterna (AC) Síncronos Asíncronos Motores de paso a paso
Sensores
Presencia ncia
Posición
Velocidad
internos de un robot
Inductivo Capacitivo Efecto hall < Célula lula reed Óptica Ultrasónica Contacto
Analógico
Potenciómetro Resolver < Sincro Inductosyn LVDT
Digi Di gita tall
Encoders Encoders absolutos absolutos < Enco Encode ders rs incr increm emen enta tabl bles es Regla Óptica
<
Tacogenerador
Encodr ncodre e
Incre Incremen menta tall
Encod ncodrre
abso absolu lutto
Sensores Resolver
Sistema
lineal de posición LVDT
Herramientas Matemáticas Sistemas Cartesianos de referencia
Herramientas Matemáticas Coordenadas Polares y Cilíndricas
Herramientas Matemáticas Coordenadas esféricas
Matrices de
Rotación Rotación
Los vectores unitarios de los ejes coordenados del sistema OXY
son ix, jy , mientras que los del sistema OUV son i u, jv. Un vector vector p del del plamo plamo se puede r`presenta r`presentarr en ambos ambos sistemas sistemas como:
Matrices de
Rotación Rotación
Realizando una serie serie de tranformaciones tenemos:
px py
=R
pu pv
Donde:
ixiu ix jv R=
jyiu jy jv cos E
-sin E
sin E
cos E
R=
Matrices de
Rotación Rotación En un espacio tridimensional Puvw=[pu,pv,pw]T=pu.iu+pv j .jv+pw.kw Pxyz=[px,py,pz]T=px.ix+py j .jy+pz.kz Realizando una serie serie de tranformaciones tenemos:
px py pz
=R
pu pv pw
Donde:
R=
ixiu ix jv ixkw jyiu jy jv jykw kziu kz jv kzkw
Rotación en el eje OX R(x,E)
=
1 0 0
0 cos E sen E
0 -sen E cos E
Rotación en el eje OY cos J R(y,J) = 0 -sen J
0 1 0
sen J 0 cos J
Rotación en el eje OZ U) R(z, U
=
cos U sen U 0
-sen U cos U 0
0 0 1
Composición de rotaciones U) R(y,J) R(x,E) T=R(z, U
=
c U -s U 0 s U c U 0 0 0 1
cJ 0 sJ 0 1 0 -sJ 0 cJ
1 0 0 0 cE -sE 0 sE cE
La Matriz de Transformación Homogénea Es una matriz T de 4 x 4 que representa la transformación de un vector de un sistema de coordenadas a otro. Esta matriz esta compuesta por 4 submatrices: R 3
SubM SubMatriz atriz de Rotac Rotación ión
P 3
SubMatriz SubMatriz de Transla Translación ción
F
SubMatri SubMatriz z de Perspect Perspectiva iva
E
SubMatriz SubMatriz de Escalado Escalado Global Global
x3
x1
1x3 1x3
1x1 1x1
R x3
P x1
F
F
3
3
T = 1x3 1x3
En robótica, robótica, generalme generalmente nte se considera considera la submatriz de perspectiva perspectiva como nula nula y la submatriz submatriz de escalado escalado global como uno. Un vector Homogéneo siempre tendrá 4 dimensiones.
1x1 1x1
La Matriz de Transformación Homogénea La matriz de transformación Homogénea Homogénea sirve para : a) Conocer las coordenadas r x , r y y , r z z del vector r en el sistema O´XYZ a partir de sus coordenadas r u u, r v v, r w w en el sistema O´UVW. r
r u
x
r y y
=
T
r v v
r z z
r w w
1
1
b) Expresar las rotaciones y traslaciones de un vector con respecto a un sistema fijo O´XYZ. r¶
r
x
r¶ y y
x
=
r y y
r¶ z z
r z z
1
1
La Matriz de Transformación Homogénea Translación Formula general T(P)=
a)
0
0
0
1
0
0
0
1
Px Py Pz
0
0
0
1
r x x
1
0
0
r y y
0
1
0
0
0
1
Px Py Pz
0
0
0
1
r¶ x x
1
0
0
r¶ y y
0
1
0
0
0
1
Px Py Pz
0
0
0
1
r z 1
b)
1
r¶z 1
=
=
r u u r v v
r w 1
=
r z 1
P x x
r v v +
P y y
r w + w
P z z
1
r x x r y y
r u u +
=
r x x +
P x x
r y y +
P y y
r z z +
P z z
1
La Matriz de Transformación Homogénea Translación Ejemplo 1: Según las figura ura O¶UV ¶UVW esta sta tras trasla lad dado ado un vector p(6,-3 (6,-3,8) con r especto del sistema OXYZ. Calcule la coordenadas (rx ,r y,r z) del vector r cuya coordenadas con r especto al sistema O¶UVW son r uvw(-2,7,3 (-2,7,3)
La Matriz de Transformación Homogénea Translación Aplicando
la ecuación (a)
r x x
1
0
0
r y y
0
1
0 0
r z 1
=
-2
6
0
6 -3
7
- 3 +
7
0
1
8
3
8
3
0
0
1
1
=
+ + 1
-2
4
=
4
11 1
La Matriz de Transformación Homogénea Translación Ejemplo 2: 2: Calcule el vector r¶xyz r esultante de trasladar al vector r xyz(4,4,1 (4,4,11) según la transfor mación T(p) con p(6,-3 (6,-3,8)
La Matriz de Transformación Homogénea Translación Aplicando
la ecuación (b)
r¶ x x
1
0
0
r¶ y y
0
1
0 0
r¶z 1
=
4
6
0
6 -3
4
- 3 + 4
0
1
8
0
0
1
11 1
=
8
+ 4 + 11 1
10
=
1
19 1
Matriz de Transformación Homogénea de la Rotación
T(x, E)=
1 0 0 0 cos E -sin E 0 sin E cos E 0 0 0
T(y, J)=
cosJ 0 -sinJ 0
T(z, )=
0 0 0 1
Rotación en X
sinJ 0 0 cosJ 0 0 0 1
Rotación en Y
0
cos -sin 0 sin cos
0
0
0 0 0 0 1
Rotación en Z
La Matriz de Transformación Homogénea Rotación Ejemplo 3: Según la figura , el sistema OUVW se encuentra girado -90º -90º alr ededor del eje OZ con r especto al sistema OXYZ. Calcule las coordenadas del vector r xyz si r uvw[4,8,1 [4,8,12]T
Matriz de Transformación Homogénea de la Rotación seguida de translación T(p)R( E)=
1 0 0 Px 0 cos E -sin E Py 0 sin E cos E Pz 0 0 0 1
T(p)R( J)=
cosJ 0 sinJ 0 -sinJ cosJ 0 0 0
Px Py Pz 1
T(p)R( )=
cos -sin 0 Px sin cos Py Pz 0 0 0 1
Matriz de Transformación Homogénea de la translación seguida de Rotación R( E) T(p)=
R( J) T(p)=
R( ) T(p)=
1 0 0 0
0 cos E sin E 0
0 -sin E cos E 0
cosJ 0 -sinJ
0
sinJ
cosJ
0
0
0
cos sin
-sin cos
0
0
0
0
Px PycosE PZsen E PysenEPZcos E 1 PxcosJ+PzsenJ Py PzcosJ-PxsenJ 1 Pxcos-Pysin Pxsen+Pycos Pz 1
La Matriz de Transformación Homogénea Ejemplo 4: 4: Un sistema OUVW ha sido girado 90º 90º alr ededor del eje OX y mente trasladado un vector p(8,-4,1 posterior men p(8,-4,12) con r especto al sistema OXYZ. Calcule las coordenadas (r x, r y, r z) del vector r con coordenadas (-3.4,-1 .4,-11) r uvw(-3
La Matriz de Transformación Homogénea Ejemplo 5: 5: Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,1 p(8,-4,12) con r especto al sistema OXYZ y girado 90º 90º alr ededor del eje OX. Calcule las coordenadas (r x, r y, r z) del vector r con coordenadas r uvw(-3 (-3.4,-1 .4,-11)
La Matriz de Transformación Homogénea Ejemplo 6: 6: Se quier e obtener la matriz de tranfor mación que r epr esente al sistema O¶UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo (5,5,10)) y un -90º alr ededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10 giro de 90º sobr e OZ
T=T(z,90o) T(p) T(x,-90º)
=
=
0 -1 0 0
1 0 0
5
1
0
0 0
1
0
0 0
0 1 0
5
0
0
1 0
0
0
1
0 0 1
0 -1 0
0
0
0 0
0
0
-1
-5
1 0
0
5
0 -1
0 0
0
La Matriz de Transformación Homogénea Ejemplo 7: 7: Obtener la matriz de transfor mación que r epr esente las siguientes encia: transfor maciones sobr e un sistema OXTZ fi j ja de r ef er enc ia: traslación de un vector pxyz(-3 (-3,10, 10,10); 10); giro -90º -90º sobr e el eje O¶U del sistema trasladado y girado 90º 90º sobr e el eje O¶V del sistema girado.
T=T(p) T(u,-90o) T(v,90º)
=
=
1 0 0 -3
1
0
0 0
0
0 1 0
0 1 0 10
0
0
1 0
0
0 0 1
0 -1 0
-1 0 0
0 0
0
0
0
1
-3
-1
0
0
10
0
-1
0
0
0
0 0
0
Composición de Matrices Homogéneas De manera general: 1. Si el sistema sistema O´UVW O´UVW se obtien obtiene e mediante mediante rotacio rotaciones nes y trasla traslacion ciones es definidas con respecto al sistema fijo O´XYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá PREMULTIPLICAR sobre las matrices de las transformaciones previas. 2. Si el sistema O´UVW O´UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones traslacione s definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá POSMULTIPLICAR sobre las matrices de las transformaciones previas. Por ejemplo, la transformación: transformación: T ! T( x,E ) T(z ,U ) T( y ,J )
Se Premultiplica
T ! T(u ,E ) T(w ,U ) T(v ,J )
Se Posmultiplica
Es igual a decir:
Tareas 1. Demostrar que las operaciones de transfor maciones no son conmutativas, para ello encuentr e las matrices de transfor mación de : T ((x, E) , p) T (p , (x, E))
T ((y, J) , p)
T (p , (y, J))
T ((z, ) , p)
T (p , (z, ))
2. Si tenemos que la matriz de transfor mación homogénea T es igual a: a: nX ox ax Px ny oy ay Py T= nz oz az Pz 0 0 0 1
Tarea (Conti..) Y si sabemos que ?n o aA es una matriz matriz hortonor hortonormal mal con la propiedad de: ?
n o a A -1 ! ? n o a A8
Demostrar que la inversa de la matriz de transformación homogénea T corresponde a la siguiente expresión:
T-1=
nX ox ax 0
ny nz -nTPxyz oy oz -oTPxyz ay az -aTPxyz 0 0 1
Con lo anterior podemos tener que si: r xyz xyz= T r uvw uvw
Entonces: -1 r xyz r uvw uvw= T xyz
Cinemática del robot Cinemática directa Cinemática Inversa Matriz Jacobiana
El problema cinemática de un robot
Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con r especto a un encia sistema de r ef er enc
Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo
emo del robot-valor es articular es Relaciones localización del extr em
Problema cinemática directo: Deter minar la posición y orientación del extr em emo final del robot, con r especto a un sistema de coordenadas de encia, conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros r ef er enc geométricos de los elementos del robot
Problema cinemática inverso: Deter minar la configuración que debe emo conocidas adoptar el robot para una posición y orientación del extr em
Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entr e las emo del velocidades de movimiento de las articulaciones y las del extr em robot
Relación entre cinemática directa e inversa inversa
Resolución del problema cinemática directo con matrices de transformación homogéneas Objetivo: Encontrar una matriz de transformación homogénea T que relacione posición y orientación del extremo del robot con ijo situado en su base respecto a un sistema de referencia f ij
x=f x(q1,q2,q3,q4,q5,q6) y=f y(q1,q2,q3,q4,q5,q6) z=f z(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
E=f E(q1,q2,q3,q4,q5,q6) F=f F(q1,q2,q3,q4,q5,q6) K=f K(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
Modelo
cinemático directo de un robot planar de 2 gdl
x = I1COSq1+I2COS(q1+q2) y = I1SENq1+I2SEN(q1+q2)
Las
matrices de transformación AyT
Matriz i-1Ai :
matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot
Conexión de matrices A: 0
A2=0A1 1A2
Matriz T : matriz 0An cuando se consideran todos los grados de libertad del robot T=0A6=0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6
onvenio Convenio
de conexión de elementos elementos contiguos de DenavitDenavit-Hartenberg
Transfor maciones básicas de paso de eslabón: 1.
Rotación alr ededor del eje zi-1 un ángulo Ui
2.
Traslación a lo lar go de zi-1 una distancia di ; vector di (0,0,di)
3.
Traslación a lo lar go de xi una distancia ai ; vector ai (ai,0,0)
4.
Rotación alr ededor del eje xi un ángulo Ei
Dado que el producto de matrises no es conmutativo, la transfor maciones se han de r ealizar en el orden indicado. De este modo se tiene que: Ui) T(0,0,di) T(ai,0,0) T(xi,Ei) Ai=T(zi, U
i-1
Parámetros
de Denavit-Hartenberg (I) Def in inen el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente Sólo dependen de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente (no dependen de la posición del robot) Def in inen las matrices A que permiten el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al inen las matrices T siguiente y por tanto def in Son 4: Dos ángulos ( Ui, Ei) Dos distancias (di, ai)
Parámetros
de Denavit-Hartenberg (II)
Ui: Es el ángulo que for man los ejes xi-1 i-1 y xi medido en un plano egla de la mano der ec echa. Se perpendicular al eje zi-1 i-1, utilizando la r eg trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias
di: Es la distancia a lo lar go del eje zi-1 i-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1 (i-1)-ésimo hast hasta a la la intersección del eje zi-1 i-1 con el eje xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas. ai: Es la distancia a lo lar go del eje xi que va desde la intersección del eje zi-1 i-1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo, en el casode articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entr e los ejes
zi-1 i-1 y zi.
Ei: Es el ángulo de separación del eje zi-1 i-1 y el eje zi, medido en un egla de la mano der ec echa. plano perpendicular al eje xi, utilizando la r eg
Parámetros
de Denavit-Hartenberg ara un eslabón giratorio para
Obtención del modelo cinemático directo de un robot 1. Establecer para cada elemento del robot un sistema de coordenadas cartesiano ortonor mal (xi,yi,zi) donde i= i=1 1,2,«,n (n=número de gdl). Cada sistema de coordenadas corr esponderá a la articulación i+ i+1 1 y estará fi j jo en el elemento i 2. Encontrar los parámetros D-H de cada una de las articulaciones 3. Calcular las matrices Ai 4. Calcular la matriz Tn = 0A1 1A2 ... n-1An
Algoritmo de Denavit-Hartenberg D-H 1.- Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón
móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fi j ja del robo robott.
por 1 (la D-H 2.- Numerar cada articulación comenzando por 1 corr espondiente al primer grado de libertad) y acabando en n
D-H 3.- Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo lar go del cual se produce el desplazamiento.
D-H 4.- Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobr e el eje de la articulación i+1 i+1.
D-H 5.- Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier men un punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que for men sistema dextrógiro con z0
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
{Si} (solidario al eslabón D-H 6.- Para i de 1 a n-1, situar el sistema {S i) en la intersección del eje zi con la línea nor mal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {S {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {S {Si} se situaría en la articulación i+1 i+1
D-H 7.- Situar xi en la línea nor mal común a zi-1 i-1 y zi me un sistema dextrógiro con xi y zi D-H 8.- Situar yi de modo que for me
emo del robot de modo que {Sn} en el extr em D-H 9.- Situar el sistema {S ección de zn-1 y xn sea nor mal a zn-1 y zn . zn coincida con la dir ecc D-H 10.- Obtener U Ui como el ángulo que hay que girar en tor no a zi-1 i-1
para que xi-1 i-1 y xi queden paralelos.
D-H 11.- Obtener di como la distancia, medida a lo lar go de zi-1, que habría que desplazar {S {Si-1 i-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
DH 12.- Obtener ai como la distancia medida a lo lar go de xi (que ahora coincidiría con xi-1 {Si-1 i-1) que habría que desplazar el nuevo {S i-1} para que su origen coincidiese con {Si}.
DH 13.- Obtener Ei como el ángulo que habría que girar entor no a xi (que ahora coincidiría con xi-1), para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.
i-1 A DH 14.- Obtener las matrices de transfor mación i-1 i DH 15.- Obtener la matriz de transfor mación entr e la base y el extr em emo del robot T = 0A1 1A2 ... n-1An. DH 16.- La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y
emo r ef erido a la base en posición (submatriz de traslación) del extr em función de las n coordenadas articular es
Robot cilíndrico
Robot cilíndrico
odelo Modelo
cinem cinemát ático ico direct directo o de un robot cilíndrico
odelo Modelo
0A = 1
2A
3=
cinem cinemát ático ico direct directo o de un robot cilíndrico
C1 S1 0 0
-S1
0
C
0
0
1 0 0 0
0
0
1
0
0
T= 0A1 1A2 2A3 3A4 =
0 0 l1 1 0 0 d3 1
1A = 2
A4=
3
-S1C4 S1S4 C1C -CS4 C S4 0 0
0 1 0 0
0
1
0
0
0
C4 S4 0 0
-S4
0
C
0
0
C S1
Cd3l4
0
d2l1
0
1
Sd3l4
0 0 d2 1 0 0 l4 1
Robot ABB IRB 6400C (I)
odelo Modelo
cinem cinemát ático ico direct directo o de un robot ABB IRB 6400C (I)
odelo Modelo
cinem cinemát ático ico direct directo o de un robot ABB IRB 6400C (I)
odelo Modelo
cinem cinemát ático ico direct directo o de un robot ABB IRB 6400C (I)
Cinemática Inversa
Objetivo: encontrar los valor es que deben adoptar las coordenadas articular es del robot para qu e su extr em emo s e posicione y oriente según una deter minada localización espacial
La r esolución no es sistemática
Depende de la configuración del robot (soluciones múltiples)
No
siempr e existe solución en for ma cerrada.
± Condiciones suficientes para que exista: xista: Tr es
ejes de articulación adyacentes interseccionan en un punto (robot PUM A y robot Stanford)
Tr es ejes de articulación adyacentes son paralelos entr e sí (robot Elbow)
Posibilidades
de solución del proble problema ma cinemá cinemático inve invers rso o Procedimiento genérico a partir de los
parámetros D-H Método iterativo Problemas de
velocidad y convergencia
x,y,z,E , F F ,K ); Búsqueda de solución cerrada: qk = f k ( x,y,z, k = 1,,n
Posibilidad de resolución
en tiempo real Posibilidad de selección de la solución más adecuada icaciones Posibilidad de simplif ic No siempre es posible
Métodos
de solución del proble problema ma cinemá cinemático inve invers rso o
Métodos
geométricos Se suele utilizar para las primeras variables articulares Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos) Resolución a partir de las matrices de transforma transformación ción Homogénea función de las componen componentes tes de los Despe jar las n variables qi en función vectores n, o, a y p . Desacoplamiento Desacoplamiento cinemático En robots de 6 GDL Separación de orientación y posicionamiento Otros: álgebra de tornillo, cuaterniones duales, métodos iterativos...
Ejemplo de resolución de la cinemática inversa por métodos geométricos
Ejemplo de resolución de la cinemática inversa por métodos geométricos
E jemplo de resolución de la cinemática inversa a partir
de las matrices de transformación homogénea
E jemplo de resolución de la cinemática inversa a partir
de las matrices de transformación homogénea
nx ny nz 0
ox
ax
oy
ay
oz
az
0
0
-1
px py = pz 1
nx ox ax 0
ny
nz
oy
oz
ay
az
0
0
-nT p -oT p -aT p 1
E jemplo de resolución de la cinemática inversa a partir
de las matrices de transformación homogénea
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