Curso de Lógica Moderna y Antigua

JUAN RIVANO

CURSO DE LOGICA moderna

y ant¡gua

ED|TORIAL UN¡VERSITARIA, S. A.

Curso de Lógica

Curso de Lógica moderna y antigua Por

JUAN RIVANO Profe¡or de la Cátedra de Ló8ica de la Univ€¡sidad de Chile

EDITORIAI. UNIVERS]TARIA S. A.

c

luaa Rivano, 1964 hsc¡ipción No 28995

P¡ensa de la

Editorial Universitaria' S. A.

San Francisco 454, Santiago de Chile Proyectó la edición Mauricio Amste¡

CONTENIDO Prclacio

I. LOGICA DE 1, Pa¡tículas corectives 2. Simbolización de conetti-

15

vás 3.

4.

16

Esquemas ProPosicionales Proposiciones comPüestas

l7 19

y elem€ntales

rorios

p¡oposicionales Posibles

56 59

sis dicotómico

22

62

de-

29, Sistemas de ¡educción

13. Disyunción, later¡ación si-

t2. Empleode las fo¡mas oorm¡les: (l). (2), (3) Deci-

l8-

noni¡nia

28

Falsedad-conjunta

2A

IícomPatibilidad Condicion¡ I f nrerPretación f o¡mal-i¡ter-

10

pretación material Condiciones Decesarias condiciones sulicieot€s

Y

19. Bicondicional.

20. AgruPación:

)1

Puotos Y Pa-

t5

4l

66

finito¡ia

30.

Esquemas no¡males: alter' teemPlazo e

7'l

intercambio

sión; (4) Nesacióo; (5) Transfor¡nación; (6) P¡inci 79 pio de Dualidad a2 13. La relación de dualidad

reemPlázo e intetcambio

97

37. Leyes de irnPlicación Y 98

equivalencia

Sobrc la noción PoPular de

z¡ción- Dcducción dc los

41.

tco¡cm¡s. Elabo¡ación dc las re¡las dc la lósica

{2. Las formas con€ctrvas

lósica 104

a7

34. Uso y mención 35. Operación inferencial 36, Tr¿nsformación mediaíte

II. CALCULO Dh PROPOSICIONES 40. Cuestiooes sobre la Pre38. Natu¡aleza de un cálcu- 101 sentación del cálculo Prol9- Elenencos del cílculo posicional

nropo.i.ion¡l

7l

nativos y conjuntivos

31. Substituciófl'

14

proposicional. Ariomati-

54

28. Decisión mediante análi'

21 8. Negación 2) 9. Coniunción 25 10. Alternación 26 11. Disyunción 12. Extetrsió¡ del "o" disYun-

14. 15. 16. 17.

5l 5t

27. Decisión mediante tablas

Esquemas n-P¡oposiciona-

les

16 48

21

6. Los valotes de Y Y F Y sus 7.

21. Modo de agrupación de Lukasiewicz Dist¡ibutividad 2t. Esquemas tautológicos, coosistentes Y contradic_

19

jas dependen u¡¡ívocamente del valo¡ de sus Partes Pro-

combimciones

PROPOSICIONES

24. Función matemática 25. Fuación de ProPosición 26. Recueato e¡haustivo de las fu¡cio¡es mono Y bi-

5. Las proposiciones comPleposicionales

11

cl discu¡so o¡dinario

I

l8

t24

etr

r27

1l

III.

LOGICA

PROPOSICION CATEGORICA A R ISTOTE LICA

DE LA

lti

41. Prelimina¡es 44. Elemenrosde la Proposr- t¡t -' ción

catesórrca

;i'.

45. oposición . .. :ii ra¡ 46, P¡iocipios de Ia oPosicron 47. Las inferercias 'innedia- ,r, ,1. . .. 141 48. conve¡srcn ,rl Permutacron 49. -- .;: 50. cooversióo l:'"'c""' i:; 51- Conc¡aPosrcron

56' Los orinciPios de las cua157 tro f is*." ent¡e validez de 5i. Relación 1t9 las figuras

177 ,;;

185 186

v rlisvuntivas íilogi".o hiPotético Silosis mo disYuottvo

LOGICA CUANT

P¡oPosiciooal

If

200

esquematrca

ProPosicional de

más de un valor

81. Cuantificación 82. EjemPlos de cuantificación

[8

siloeis mo b1. Razooamiento ordioa¡io 65' Entimema, Prosilogismo

r67

l7l

Y

episilogismo' ePiquerema' sorites, Polisilogisrno 66' Forma imPlicacional del silogismo

171 1't

4

o9. Cálcglo cooversional ió. é¡r.¡" silogístico

t'79 180

74. El dilema 75. Formalización del

189

a¡¿u-

me¡to co¡diciooal

194

ICACION AL O DE PREDICADOS

de una función ProPostcro200 nal comsimPles Y 79. Esquemas

80. ;";.ió'

166

61' E jemPlif icación sobre el

188

t99 76. Func ión ProPosicional 77. Exrensión de una función

78. Simbolización

164

dos del silogismo 62. Los términos del silosis-

ARGUMENTOS CONDICIONALES

71. ProPosiciones hiPotéticas

VI.

t6t

61. Cooside¡acio¡es genera_ les sob¡e los modos váli-

DE LA PROPOSICION CATEGORICA

67. Prelinina¡es 68, Cálculo oPosic ional

:2. 71.

t62

Reducción indi¡ecta 60. Reduccióo al Dict""t

i9.

i;: ;;." á.i'"ir"si.."

V.

160

r8. Reduccióo osteosiva

.t P..." infe¡encial e imPI¡principios "' :;:;;;;il;; sob¡e,la 'ioferencia 'n"- ,rn del elementos 5]. i,.gl{" v r5o srloSrsmo. rio tr8üas 54- Modos Y ::tt2 IV. CALCULO

O

81. Expresiooes cuantificadas .^.

equiva lentes Esquemas c¡rantif icaciona- - -lés abiertos Y cerrados ¿u) 85. AeruPación: alcance de-

8á.

ún oDerador cuantif icacio_

2Ol

86. El orden de los oPeradores

2Ol 2oz

"'antificacionales de discu¡so 87. ¡"i'*"' 88. Distribr'rción de los opetas

20ir

89. APlicación a l¡ I'ro¡'o'i-

do¡es cua

nt

ific¡c ionr l¡

205

206 207 2(t8

209

ción ca.csórica 90. Leyes lógicas en forma

cuAn.ificacional

21'0

91. Los principios cua¡rtificacionalcs en ud r¡tiverso

finito

211 212

Ies

93. Transfo¡mación con vistas a la distribución de los

operado¡es 91. Esq¡remás adibios tilicacio0¿l

96. Esqueúas válidos 'ca l-

"".{os'

Esquemas cuantificacio-

219

cuancificac iona le s: Eiemplificacióo en esquemas

abiertos

2t4 216

217 nalmente válidos 98. Contradicción cuantif ica-

220

101. Aaálisis de esquemas cuantificaciona le s: Ejemplificaciótr en esquemas

ce¡fados

212 211

95. Validez o tautología cuaa"

2t9

1o0- Análisis de esquemas

Ats'¡nas leye s equivale¡-

cia

cional 99. Análisis de esquemas cuantificacio¡ales

tO2. Sustitucióo 101. Sus¡itución: EieÍtFlifica'

ción

222 222 224

104. Apticación de los Principios cuantificacionales al silogismo 105. Infe¡eocia cuartificacio' nal

VII. CALCULO CUANTIFICACIONAL 106. Axiomatización. Elabo¡aci,5n de las reglas de la

107-

lógicacuantificaciooal ?tI 2t5

Teo¡emas

Bibliocúlíd 243 I¡dice A¡alítico 245

el

PREFACIO

La controversia sobre la naturaleza de la Lógica y sobte dóode deba siglos busca¡se esta oatutaleza puede continuar por los siglos de los sio que disminuya un ápice la importancia práctica de esta disciplina' Sólo la ciencia matemática puede disputarle el magisterio del rigor y la tutela pedagógica del pensamieoto' Cierto que en la actualidad se defiende la identificación de ambas ciencias' No obstante' y sin toúar pa¡tido sobre esto, podernos situarnos donde todos lo hacen y considerar que la Lógica resulta oás accesible a la mayoría de los Por hornbres y más amplia eD sus aPlicaciones que la Matemáticapráctica y disciplina cuaúto donde, en igualdad de condiciones en del pensamiento ftente a su formal y meticulosa Pa¡ieota, la Lígica aparece con mejores posibilidades pata encont¡ar entre los hombres simpatía y cultivo. propósito práctico y formadot, colocado sob¡e toda E. .or, ""a. ora consideracióo, que he dictado el Plesente cu¡so de Lógica Formal en la Cátedra de Lógica de l¿ Uoivetsidad de Chile' Las difíciles cuestiones implicadas eri una ieflexióo a fondo sobre la natu¡aleza del pensamiento, o de la Lógica como 'cie¡cia del pensamiento" este fueron situadas fuera de este cu¡so' Y oo Puede hacérseme a el objerespecto el reproche de Persona suPerficiat, porque rePito tlvo en vista tro era la Filosofía sioo la me¡a práctica del discurso' opino que no imPorta tanto eo uo cu¡so dictado a principiantes llegar

a los ;principios últimos' como formar bábitos de rigor intelectual' Adquiriios é"tos, "erá posible moverse en todas direcciooes; será lo ¡r.rrlbl., "o Particular' la especulación sobre aquellos hábitos' -p"

es la siguiente:

v v v

v es rlecir, el esquema "Paq.=.-qr-P" es una tautología. Es claio todo este procedimiento exige el manejo pronao y seguro de la defi_ ¡ición de todas las conectivas y cn su detalle, pues lo común es

lr¡'

que

!rr) apaaezcan eo

el

mismo orden de su definición

ni es siernpre nece-

r¡¡ria toda su defioición. rJt,a vez, en auestro eiernplo, apareció el ondicio¡al eo el ordeni

¡

,;tF

v)F tl)v

v)v

{¡r¡( no es

el de su definicióo. Otra, apareció el bicondicional en la

V=V

lt=F

v=v v=v ,¡rc pide aplicar sólo Parte de la definición.

Más sirnple, aurique menos analítico' se úuesra el empleo de r ¡bl;¡s como la siguiente:

t,-q

vvv-!1vFV

t;vv IIFF Sc trata de la tabla

e¡

que se define la alternación A la izquierda

v,rn las distintas combinaciones que correspooden a las letras; a la

,

,lc¡ccha, en corespondencia horizootal, los valores que toma la rltc¡nación en los diferentes casos. Pata la aplicación de este P¡o,.ilimiento se puede anota¡ de una vez la tabla de todas las conecrv¡rs biptt'Posicionales que heúos examinado:

I" q ?q Fq t,vvvFFFVV VFFVVFVFF tvFVVFVVF t¡l.FFFvvvv I:n

t'

tv

pwq ptq plq p)q

?=q

cuanto a !a tabla de la negación, es:

¡r

, mcdian(e tablas, cl análisis verificatorio del es_ ,llro¡¡ "2vrl. ,-1t' q"; lt.abla qt¡c rlcbemos formar para ello es la I

)r'sarrol Irrmos

61 I

siguiente:

p's

.).

?tS

-P=c

VVVFFFV VFVVFVF FVVVVVV FFFVVFF El procedimiento empleado es obvio. B^io "prq" hemos anotado so tabla; Ot¡o tanto hemos hecho baio "-p" y "4". Luego, hemos procedido a anotar baio el sigro "=" la columna que corresponde a los valores que adoptan sus cláusulas. Finalmente, hemos comparado esta última columna con la cotrespondiente a "pv4" en orden a forma¡ la columna bajo el signo '5", que conesponde a los valores del esquema "?rq,).-P=S" pata las distintas combinaciones de sus let¡as e¡ el o¡den de VV, VF, FV, FF. Dicha columna fioal es: F

v v v el esÍluema, por conpleio que sea, comprende una o dos procedimiento letras, el seguido en nuest¡os ejemplos se muestla expedito y seguro. Cuando las letras son tres, ya no lo es taoto, Si son cuat¡o o más, no es en modo alguno recomendable. La raz6¡ principal es que las combinaciones pata3, 4,5.,. letras son, ¡espectivamente, I, 16, 32,-.- y rápidameote exigen mucho tiernpo y riás espacio del dispooible, Veamos u¡ eiemplo de esquema con tres leCuando

:.j.as,

"p)q.|.-r)q"

P, q,

r

v vv vvF v Fv

V F F F F

FF VV VF FV FF

P>s .1. 4)q v v

F F

FVV

F F

v v

v v v v

F

FVF VFF FVV

F F

v

vvv

vvv FVF VFF

28. Es posible acelerar el procedimiento de decisión mediante las siguientes reglas de reduccióo aplicadas a las distintas conectivas: 162

a) Si una de las cláusulas de una coniunción es verdadera, la conjunción se reduce d la otra cláusula. Porque si la or¡a cláusula cs verdadera, lo es la conjunción; y si es falsa lo es Ia cooiunción. l)c una yez: "pV" se redtce a "p". b) Si una de las cláusulas de una coojuncióo es falsa la conjun' ción es falsa. De una vez: "pF" se reduce a "F". c) Si una de las cláusulas de una alte¡nación es verdadeta, lo es l¡r alte¡oación. De una vez: "pryV" se teduce a '"f/". d) Si una de las cláusulas de una alte¡nación es falsa, la alternación se reduce a la oua cláusula. Potque si la ot¡a cláusula es ve¡,lldera, lo es la alte¡nacióo; y si es falsa, lo es la alte¡¡ación. "¡nb-" se teduce d "P", e) Si una de las cláusulas de una disyunción es ve¡dadera, la ,lisyunción se reduce a la negación de la otra cláusula. Porque si la ,'rra cláusula es verdadera, la disyunción es falsa; y si la otra cláusrrla es falsa la disyunción es verdade¡a. "?vV" se reduce a "-1". f) Si una de las cláusulas de una disyunción es falsa, la disyunr iir¡ se reduce a la otra cláusula. Porque si la otra cláusula es verlo es la disyuncióo; y si es falsa,lo es la disyunción, ''pwts'" rc reduce a "p". g) Si una de las cláusulas de una falsedad-cooiunta es verda,ltrrr, la falsedad-coojunta es falsa. '?+y" se reduce a "F". h) Si uoa de las cláusulas de una falsedad-conjune es falsa la l,rlsedad-coniunta se reduce a la negación de la otra cláusula. I'orque si la ot¡a cláusula es verdadera, la falsedad-coaiunta es I'rlsa; y si es falsa, la falsedad-conjur!tá- es '¡etdadet^. "ptF"

,lrrrlera,

..

a "-P". i) Si una de las cláusulas de una incompatibilidad es verdadera, ln incompatibilidad se reduce a la negación de la ot¡a cláusula. l','rqrre si la ot¡a cláusula es verdadera, la incompatibilidad es falsa; y si cs falsa, la incomparibilidad es verdadera. "plV" se reduce a rccluce

i) Si una de las cláusulas de uoa incompatibilidad es falsa, la rrnr¡atibilidad es verdadera. "plF" se reduce a "y". li) Si el antecedente de un condicional es verdade¡o, el condicion,'l sc ¡educe al coosecuente. Potque si el consecueote es ve¡dadero l,' r's el condicional; y si el coosecuente es falso, lo es el condieioú'¡. "V)p" se reduce a "p". l) Si el consecuente de un condicional es falso, el condicional r, rcduce a la negación del antecedente. Porque si el antecedente , , vcrdadero, el conclicional es falso; y si es falso, el condicional , s vcrdadc¡o. '? )r¿" se reduce a '1-P". rrr,

63

I

m) Si el antecedente de un condicional es falso, el condicional es verdadero- Porque el único caso de falsedad del condicional tiene antecedente verdadero. "F )p" se reduce a 'nV". n) Si el consecuente de un condicio¡al es verdadero, el condicional es verdade¡o. Porque el único caso de falsedad tlel condicio¡¡al

tiene consecuente talso. "p)V" se reduce a "V". o) Si una cláusula de u¡ bicondicional es verdadera, el bicondicional se reduce a la ot¡a cláusula. Porque si la otra cláusula es rerdadera, lo es el bicondicional; y si es falsa, 1o es el bicondicioÍ^1. "P=V" se reduce a "P". p) Si una cláusula de un bicondicional es falsa, el bicondicional se reduce a la negación de la ot¡a. Porque si la otra es verdadera, el bicondicional es falso; y si es falsa, el bicondicioeal es ve¡dadero. "P=F" se reduce a "-p". Memorizar todas estas reglas sería seguramerrte exagerado. Es preferible familiarizarse con las con siderac iorie s, tan sencillas, que permiten su deducción para estar así en condiciones de forma¡las rápidameate donde sea necesa¡io. Para su aplicación en el procedimiento de decisión se procede a asignar valores sucesiudmenre: a una letra primero, luego a otra. El esquema, entonces, deLe ser considerado a Fa¡tit de la aplicación de 'i" a la letra, y luego a partir de la aplicacióo de "F". De este modo, se produce una especie de análisis dicotómico que se ilustrará en los elemplos que sigueo. En genetal, conviene empezar considerando, de haberla, la letra que más se repite en el esquema. Desarrollemos, el ejemplo ya aoat izad,o, "P )q.=.-q)-p":

p)q.=.*q-)-! V)q. + -q) q=-Gs)

F )q.

F-

V=V

=-q)V

v

v procedimiento se el es simple Como ve, y rápido. Se disponen las ramas del análisis de la misma manera: toda aplicación "Y" ala izquierda; toda aplicación "F" a la derecha. El empleo prooto y seguro de las reglas signífica a cor(o plazo la capacidad de anota¡ et ¡esultado de una ojeada. Veamos ot¡o eiemplo! Plq,).Pv -qt=P

Flq.),r^v-qr=F V )-q. =F -q=f:

Vlq.).V\¡ -qt=V

-q:'V.=V V=V

v [64

q

Vt,

Si comparamos las dos ram¿s principales vemos que sólo la segunda vuelve a bifurcarse, es decir, que sólo a la de¡echa es necesario aplicar 'Y" Podemos deci¡lo de otra manera: Cuando aplicamos el esquema resulta verdade¡o cualquiera sea el valor de "q"; si aplicamos el esquema tiene el valor de "4", Si anotamos el esquema en la fo¡ma "E(p,S'",lo anterior, puede decirse simplemente así:

E(V,q)=V;

E (F,q) = q

Considerando nuest¡o análisis así como se ofrece visualmente, podemos fácilmente averiguar el valor del esquema para uria combinación cualquiera. ¿Cuál es, por ejemplo, el valor del esquema pa

ra la combinació

La primera "F" indica que debemos leer en la rama derecha; la segunda "V" que debemos seguit pot la subrama izquierda, Allí encontramos '1/", es decir, para la combinaci6¡ "FV" el valor del esguena "plq,).pv-q:=p" es "V", Veamos para terminar un ejemplo de análisis de un esquema coo tres letras: p p q-t || : p ) q.\.- p-)t = - ry ñ. = V

=-qr,v.V =q- r:l:V )q,'¡.

F

)r

=-t\r.v.F

=

q-r:l:F

-Fq¡h-Q-¡)'

-qnq-r,l,qvv

-qnq-r,lv -(-qnq-r) -(FmV -r) -(Fv -r)

F

q't-tt -qvr,lV

) q,'¿.V

)r

J'Vv¡

11

-(

V¡'vF

-t)

*ftvF )

- (-r)

FV VF En este ejemplo, la primera rama de la izquierda se desarrolla de modo completo hasta el análisis de todos sus elementos; la primera rama de fa derecha, en cambio, sólo tequiere la aplicación "p". Estoquiere decir que cuando "p" es verdadera, el valor "11"

^

del esquema depende de

"E(P,q,r)" a nuestro esquema - del modo síguiente: Efr',q,t)=t(q,t) Cuaodo, en cambio, "p" es falsa el esquema lo es asimismo, d

es

ecir: E (F

,q,t)

=

F

Impotta destacar el paso de la segunda a la tercera línea en la ¡anra de la detecha; ¡ara cllo se tomó en conside¡ación la ya establecida equivalencia cnrre los esqr¡emas "-(lrq)" V "*y'v-4". Es claro

65

I

que a pa¡tir de esta equivalencia se establecen igualmente las siguie¡tes:

(a) "-(?-q)" (b) "-(-?q)" (c) "-GP-q)"

es equivalenre es equivalente es equivalente

a

"-P¡4" "Pv-d' "?vq"

^ ^ Las equivalencias (a) y (b) son las que han petmitido el paso de la segunda a la tercera línea de la rama de¡echa. Es claro también que en la terce¡a línea el esquema "qu-ry-qt¡-t" se reduce inmediatamente a "V", puesto que sus partes "q\-q" y "¡v-¡" son tautológicas. La line^ "VIV" fué eliminada anotándose inmediatamente "F", su valor correspondiente. 29- Hemos establecido aI pasar toda una serie de equivalencias que serán de utilidad en una ¡educción que nos importa emprender. Vamos a mosttar que es posible reducir unas conectivas a otras dando así a

estas últimas el carácter (convencional, desde luego) de cooectiaas |Íimitiuas mient¡as las p¡imeras se consideran como conectiuas deriuadds, La sigoiente es la lista de equivalencias que importa tener en cueota para esta reducción:

(a) "-?" (b) "-P" (.\ "!q" (d) "P'¡q" G\ "Plq" (l\ "!tq" G) "!)q" (h) "P)q" (.1) "P=q"

es equivalente a es equivalenre a es equivalente a

es es es es es es

,,plp"

"wp" "-(prq)" '.-(-p-d" ,,-(pq )" "-p-q"

equivalente a equivalente a equivalente a equivalente a "-@-c)" equivalente a "-Pvs" equivalente a "Pqa-P-q" Un prirner sistema de defi¡iciones que redujera unas conectivas a oras sería el que basáodose en las equivalencias (e), (f), (g), (i) tomara como primitivas solamente la negaciín, la conjuoción, y la alte¡nación. Las definiciones que tendríamos que formular serían las siguientes: (1) Plq = -(Pq) (Def. )

rA

(2) (3\ (4)

Ptq=-P-q

P)q = - (P-q) p=s= pqv-p-q

(Def.) (Def.) (Def. )

Si coosideramos, además, la equivalencia (d), podemos eliminar la alter¡ación como conectiva primitiva. Pa¡a ello tendríamos que agtegar al sistema de definiciones (A) la nueva definición: (5) PYs = -e bs) (Def.) y además tend¡íamos que modificat la definición (4) que es la únic¿ lee

(lcl sistema (A) que incluye la alternación. Para esta modificación, r¡tilizamos ladefinición (5). Se tiene: p qv*p - q = - ( (pq)- (-? - d) Es decir, el sistema de definiciones en té¡minos de la negación y Ia conjunción tomadas como conectivas primitivas, setia:

(t)

(Def. )

!lq= -(Pq)

(Def.) (Def.) (Def.) (4\ P=s= -e@q)-(-P-q)) (Def.) (5) Pvq = -(-!-q) Si, por el'cootrario, flueremos elimioa¡ la conjunción como co¡ectiv;r primitiva del sistema (A) y fo¡ma¡ un sistema de definiciones úni( ltmerite eÁ términos de la alternación y la coniunción' empleamos ¡,:rra ello la equivalencia (c) y formamos la definición: (Def.) ((,\ l,q = -(-p!-q) (6) eliminamos la coniuoción en todas las defioicioOon ayuda de rrcs del sistema (B). Se obtie¡e de esta manera (Def.) (1' pl s=-pv-s

(2\

Pttt

=

-P-,

(8\ (1\ p)q= -(p-q)

r(r)(]'

(Def.)

p)S= -?v q

(Att ) ?=q=

(6)

(Def. )

pt q= -(pa q)

Pq =

-FPv-qh-Qt -FP"-q)

q)

(Def. )

(Def.)

I)oq) I-a posibilidad de substituir una let¡a de an esquema taurológico siempre que la substitución se haga en todos los lugares en que \( cncueotra la letra y eo todos los lugares por el mismo esquema \rrstituyeote - por un esque,ra proposicional cualquiera y sin alterar rl carÁctet taurológico del esquema que resulta, tal posibilidad se ,lcbe a Ia rat taleza misma de una tautología, En efecto, la tautolo¡¿íl es verdadera cualquiera seao los valores de sus letras o cláusulns, de manera que la substitución de u¡a letra en las condiciones ¡rntcdichas no puede alterar la tautología. C)tro tanto puede decirse ,lt un esquema ioconsistente; puesto que un tal esquema es siempre Irlso poco importará al esquema qu€ sustituya una de sus letras en ¡ ¡rtla una de sus ocur¡encias: el carácter coot¡adictorio se co¡rser(

l,'

v

rrrá. Por e jemplo:

((\ l'¡*p. ). q-q r! uri esquema proposicional siempre falso, puesto que su antece,lcn!c es una tautologia y su coosecuente, una contradicción. Podernos substituir, por ejemplo, "p" pot ¡'p-qvr" de doode ¡esulta el I s que ma: (

(' ) (p-qvth*(p*qvr),).q-q

,¡rrc sigue siendo una contradicción-

l.a operación susaitutiva será indicada en el texto mediante un t,¡rr(lntesis anotado a la derecha del esquerna eo el cual se ha efec¡r¡rr,Lr la sustitr¡ción. Sea, por ejemplo, el esquema "p),pv4,, donde \lsrituímos l^ p^rte "P" pot el esquema .'rs". t,a secuencia que r¡'rl'lic:r nuestra o¡er.rciórr se anora asi: 77

I

?).pvq ts ),f svq

(,s / \ p

El sigr.o "ts/0" se leei "7s" sustituye a "p", Ilusttemos todavía sobre las condiciones de la sustitución. La substitución en un me¡o sistema consistente, ¿qué podría significar?, Que una leca puede ser substituída por un esquema cualquiera sin que se altere la tabla de valores del esquema primitivo. Pero, esta condición no puede cumplirse en general. Por eiemplo, la inofensiva subsritución d,e "-p" pot "q" e¡ t'Pq" cambia el carácte¡ del esquema y de consistente que era lo traosforma en contradictorio. En cuanto a la sustitucióo patcial dentto de un esquema tautológico, no respeta una de las condiciones impuestas a la sustitución. Pa¡a ve¡ lo ilegítimo de aquella operación basta el ejemplo siguiente: Susrirúyase e¡ "-Q-P)", esquema tautológico, la letra "p" por el esquema "Poq", peto sólo parcialmente. Resulta:

(f) -((p"q)-p) (f,\ -(p-F-pq) (t,,\ $Ít

-FPq)

\

pv

_q

El esquema (frrr) es equivalente a (f), perb no es ya una tautolo-

gía como silo es "-(p-p)", donde sustituímos parcialmente. Eo una frase: la sustirución parcial no es süsritl¿cidn, No hay que confundir la sustitución de una leua, por ejemplo

"p"

eo

el

esquema

'?)4.1.p-q",

con

el reeflpldzo

que se

hace

a

veces de una parte de un esquerna por otto eqaiualenfe a dicha parte; por ejemplo, el reemplazo de "p)q" por el esquerna "-pv4" en el esquema Crando dos esquemas son ^Íterior, "p)q,l,p-q", equivalentes sus tablas de valores son idénticas; de manera que, comportándose ambos de la misma manera en relación a los valo¡es

ttverdadero" y ttfalso", puede hacerse el reemplazo de uno por otro en un lugar solamente, sin que ello afecte en nada al comportamiento del esquema total, Por ejemplo en: (s\ ?)q. =. -p:):p)q,\. -q puede reemplazarse "p)q" pot "-poq" en un lugar solamente resultando:

(E

) P,-q. =. -Pt ) !-Pvq.v - q esquema equivalente al anterior, El reemplazo, además, se puede hacer en un esquema cualquiera (y oo como la sustitución que se aplica solamente en las tautologías) sin alterar la tabla de dicha esquema. Es evidente que en el esquema merámente consistente: (h') -fw qvr

|

"n

l)odemos reemplaz^r

l^ P^tte "-prq" pot su equivalente "p)4",

,lc lo cual resulta el esquema equivalente: (h'

) P)q.vr tiinalñerite, el reemplazo lo es de una parte compleja, no de una lerra simple, como la sustitución. No hay, pues, posibilidad de coofrrndir reemplazo y sustitución. Ni la hay ta¡npoco de coofuodir reemplazo e inte¡cambio' El i¡tercambio se refiere únicamente a las definiciones y es la opetación r¡re consiste en colocar el definido en lugar de la definición o la ¡lcfi¡ición en lugar del definido, Hasta aquí, el intercambio no es r4reración que tefrgamos nosotros ocasióo de efectuar. Cuando t¡ater¡¡os del cálculo de proposiciones se presentará la oportunidad de cfectua¡ inte¡cambios, Insistiremos rcdavía sobre esto al hablar de rr¡nsfo¡macióo ea el parígtafo 15. 12. Hemos aprendido a reducir un esquema a su forma normal alte¡rrotiva y conjuntiva. Importa indica¡ el empleo de las formas riormales .rr tógica de proposiciones. (1) En primer lugar, como ya lo hemos sugetido, la transformación ,r forma normal es, a su rnanera, un proceso de decisión, Si, por cjcmplo, un esquema ha sido reducido a la forma:

(r) Pq-*-PqrrP-qt snbemos: (1n) qoe.to es una contradicción, puesto que para etlo

.ic¡ía necesario que no pudiéramos hacer verdade¡a ninguna de sus clírusulas; es decir, que cada una de éstas contuviera una letra y lrr negación de esa lera (ser, p. ej., de la forma "pS-F") lo r¡rc no sucede con (a); (2q) que no es una tautología, puesto que basrrr aplicat una combinación que no sea ¡i "VVF", ¡i "FVV", ¡i "vl;v" pat^ que (a) resulte falso; y (30) que es verdadero solameote ¡ rr los casos VVF, FVV, y VFV, Asimismo, si el esquema es conjuntivo, si es, por eiemplo: tl,\ (¡n qv ) (p!*q ) (-pv qv4) r¡rbemos: (1n) qoe oo es ura tautología, puesto que para serlo sus l¡rctores debieran ser tautologías, es decir, contener una letra y la rrc¡¡nción de esa letra (ser, p- ej., de la forma "-yrqvpvr"), lo qte rr¡r sucede con (b); (2e) que no es una conÚadicción, puesto que basta rontr¡ una combinación que no sea ni FFF, oi FVV, ¡i FVF, ni I'l¡v, p^ra que (b) resulte verdadero; y (3a) q"e es verdadero solafn..nrc e¡ los casos VVV, VVF, VFF, y FFV. (2) Fls posible ambién que queramos averiguar específicamente ri un csqucma es o no tautológico. I-o indicado, en tal caso, es I'r¡st-ir¡ su forma normal conjuntiva. Sea, ¡ror ejemplo: (t ) l) \,.1 )t, \.lt tr 7q I

la cadena de transformacione s es la siguiente:

(.') (c" ) (c'tt\ (.'u \ (. " ) (cv') En

-(p-d-Q-r))-(p-r) -( -Q-d-Q-t) )v-(p-r) (p-.1\(q-t)\-prr (pvs) (p"-t) (q'¡-q) (-qv-¡) v-pvt

(pv-p¡d Q'r-py-t ) (-.pu qv-q) Fpo-qv-r),¡, ( Pv -P'¡ qv t ) ( Pa -¡xtr!-t ) (- p! qv- qvt ) (- pv- qv*-t ) el caso de su forma normal (cvr ) , el carácter tautológico de (c) se muest¡a de modo patente por el hecho de ser las cláusulas de (cv'), todas ellas, tautológicas; porque todas comprenden una parte d,e l^ form^ "p'¡-p". (l) Podemos, por el cootrario, estar interesados eo verificar una contradicción; lo que debemos hacer en tal caso es dar a[ esquena una forma no¡mal alternativa. Sea, por ejemplo:

(¿\ p -'\q.q )t. -(p)r) Basta una mínima familiaridad con los signos empleados en (d) para datse cuenta de su carácter contradictorio. Obtengamos, sin embargo, su expresión normal alternativa:

(d'\ (- Pvq) G qvr)-(-@-¡)) (d"\ (-p-q,¿-p* q- q\ qt)p-t

(dttt\ p- p- q-n p- Pr-rv ? q- q-ry p qr-r Todas las cláusutas de esta últinra alternación son ostensiblemente inconsistentes, condición necesaria y suficiente, tratándose de una alternación, para que sea ésta una contradicción. (,4) Hay una importante relac.ión entre las fo¡mas normales alternativas y las formas normales conjuntivas, relación que se expresa mediante la negación de una u ot¡a de estas fo¡mas. En primer lugar, observenros que el manejo de la negación no es simple cuando se aplica a un esquema y que lo más práctico para atinar correctamenre con todo el sentido de dicha negación es buscar la manera rle relegarla a las partes últimas del esquema. Es por este camino que se llega a la idea de reduci¡ un esquema a su fo¡ma normal, puesto que las leyes de De Morgan suminist¡an un expediente obvio para la relegación antedicha cuando el esquema negado es ula conjunción o una alternación. Ahora, queremos atendet al ¡raramiento de la negacióo de un esquema que va es normal. Sabemos que todo esquema puede adoptar esta form:¡. Sea, por ejemplo, el esquerña "pqr'lp-q\ p-r" y veamos cómo formar su negació1. lis nruy claro que todo e! dcsen¡eño correspi;rrrle aquí a las leyes de De lr'torgan. La cadena de t¡aosformaciones es la si6uiente:

(e) -(PqrY l-qt\P-r) (c'\ - ( lqt) - (f- qr) - ( t; -t) (et') (-lN-qv-r) (- lv tr) -t ) (-1"¡t) I tttl

Vemos, entonces, que al relegar la negación de nuestro esquema normal alte¡nativo a sus últimos elementos (es decir, sus letras) se ¡ransforma éste en un esquema normal conjuntivo. La relación entre el esquema normal que se niega y el esquema riotmal que ¡esulta de nega.lo es la siguiente: Donde el primero comprende afirmaciones, el segundo comprende negaciones; donde el ptimero comprende negaciones, el segundo comptende afitmaciones; donde el primero compreode coniunciooes, el segundo comprende alteroaciones; fioalnente, donde el ptimero comptende alternaciones, el segundo comprende coniunciones. No es dificil darse cuenta de que la transformación (e)-(err) es formalmer¡te idéntica a cualquieta otra que debamos hacer para formar la negación de un sistema norñal ahernativo y que responde a las indicaciones siguientes: Niéguense las

letras afirmadas, afí¡mense las negadas; inte¡cámbiense e¡t¡e sí ¡lternación y negación. Por ejemplo, la negación de: (t) pqtnpq-rr ?- qtv p-q-n-pqN- P-qt sc anota inmediatamente así¡

( Ít) (-!v-qv-¡) (-pv -qvt) (-pv qv-t) (- pv qvt) 1p,¡- qv-r)(pvqv-t) Es evidente que, siendo (ft) la negación de (f), la oegación de tle (fr) es equivalente a (f). Por taoto si la negación de la forma normal alte¡nativa de E es idéntica a la fo¡ma normal conjuntiva de /jr, ¡j es equivalente a -Er. Ot¡o tanto cabe decir intercambiando las palabras "alternativa" y "coniuntiva". Por ejemplo, sabemos qñ "-p)q" y "p+q" so.t uno negación del otto. I-a forma no¡mat conjuntiva de "p+q" puede considerarse ,,-p-q",y la negación de csta última es "pyq", esquema equivale¡ae a ,,-lr)q", (5) Encontramos, pues, aquí otro empleo de la forma normal; la negacién de ud esquema puede efectuatse rápiv-q)

x"\ l,q l,!ago, "¡lq" cs cqrrivalcnte t -(ltq), arc.

(

8r

I

(6) tln empleo todavía más importante de los esquemas normales cs cl qrre encont¡amos en la aplicación del lfamado ptincipio de duatidud, Supongamos q:ue Er y E¡ sean esguemas no¡males (no necesariamenre de la misma especie) y que además sean entre sí equivale¡ltes; podremos entonces formar la oueva equivaletrcia siguiente:

-tl,=-F." Iir' y E"' las ¡egaciones de ambas cláusulas expresadas ahora cn su forma normal. Tendremos entonces el bicondiciooal Sean

también válido:

IiL' :.11.?' cuya sola diferencia con la equivalencia ,,Et=Ez,' es el trueque preciso entre la afirmación y la negación y enre la conjunción y la altetnación. Ilasta entooces la sustitución ei ..EL'=É.2"' de todas las let¡as por sus negaciones para obtener .Er"=E""'cuya diferencia con "Ilr=I¡,r" reside solamente er¡ el trueque preciso entre la altcrnación y Ia conjuncióo. Veamos todo esto en un ejemplo; sabenos que:

(h\

P(qvr)=. pclvl,t rrcgalrJo anbas cláusulas resulta: (ht ) - (p(qvt ))=-(!qv ü) fo¡mando negaciones con la ayuda de nuestra regla de negación: (ht' ) - pt - q-r. (- 1t't - rl ( - lN -t ) =

Sulrstituyendo

"p" pot "-p", "4" pot ',-U', y ,,t', por,,-r" y apli-

cando el principio de doble negación, resulra: (httt ) 8q¡. =Qvq) (pv¡)

Es decir, aplicando el principio de dualidad, probamos, a partir de la disr¡ibutividad de la conjunción respecto de la alternación, la distributividad de la alcernación respecto de la conjuoción. [,]s claro que los pasos (h') y (h,') no son necesarios y que, apIicando directamente el principio de dualidad, podernos fo¡ma¡ tlirectamente, (h"') partiendo de (h). Así, por eiemplo, la e quivalcncia

(i)

r

(Pvq) ftv s)=prr psv qn qs

permite obtener inmediatamente: (it \ (¡qvrs )=(pvr) (lw s) (qvt) (qv s)

p.iocifio de clistribu¡ivi¡lad esre riltimo que más atrás s

ién de estal¡leccr.

31, Iil priocipio de

dL¡alidad se b¿rsa cn el priocipio de ne¡¡ación rle un esqtrclrr ¡ror¡n¿rl; cste úl¡in¡o rcsr¡lta a su vez cle a¡rticar direcrit¡lcnte las lcycs gcncrirlizrrdas (lc f)c \lorgan, es rlecir, las

t¡llto

log í.rc.

I ¡z

(l\ -(F.\E2..... E)=.-E,lo-F'rv.... .r,-E o ()\ -(E,.vE^v...Er)=-8, -8, .'.,,."... -Er l)ichas tautologías, en último extremo' se ¡educen a las dos siguien-

\\ -(pq)=-pv- q (4\ - (Pv q)=-P-q (

l;inalmente, la razó¡ de las leyes (3) y (4) reside metamente en la nn¡uraleza de la conjunción y la alternación. Para da¡se cueota de . srrr razón basta al fin de cuentas con atender a los dos priocipios ri¡quientes:

(a) La conjuncióo es verdadera si y sólo

si sus dos cláusulas lo

si sus dos cláusulas lo son. tls deci¡, la conjunción y la altetnación se comportan de modo r,ltlntico sólo que la ptimera coo respecto a la vetdad y la segunda (b) La alternacióo es falsa si y sólo

' orr respecto a la falsedad. Esto se puede Pooer a la vista mediante l¡r s tablas siguientes:

rn) p,q vv VF FV

FF ( onsidérese

rr

(b) P,s

pc

v

F F

F F

v v

F

Prq

FF

vv FV vv

la tabla (b) y agréguese la correspondiente

obtiene:

tt,'\ p,q I:F FV VF

vv

!,¿

q

F V V

v

,l.,londe resulta: t t'\ (tNqE-Cp-q) I ., cvirJente, que del t \t ) (ut)=-(-p\ -q)

-p-q V

F

I: F

mismo modo se establece:

(irmpárense exhaustivamente las tablas (a) y (b); genetalizando l,¡ l¡

I:lq.I:)t |,,|, t'

l'rr

o también, süPonierdo que ambot' "p" y "plC.p)r", sean faltos' podemos

erplicitar la conrailicció¡ a¡í:

'P -@lq,P)t) 'P -((Pq) -(P -, )) -P (Pq"P't) -

PPcv-PP

-r

lo que muestta que las supuestas premisas son im; osibles. 36. Supoogamos un esquema proposicional E, en el cual intervenga de una manera cualquiera la parte Er. Es evidente que esta parte sólo contribuye a los valores del esquema E mediante los valores que ella asume para cada una de las combinaciones de sus let¡as. Por lo ento, cualquiera sea El si sus valores coinciden exactamente con los de E, para todas las combioaciones posibles de las letras, podemos reemplaza¡ E, por E, en E sin que los valores de cste último esquema sean modificados por el reemplazo. Podemos formular este principio de modo menos literario conviniendo e¡ tlesignar pot "E(Er)" un esquema E en el cual E' es parte' Coo tal convenciirn, dicho principio se reduce a lo siguiente: Si los valo¡es de E, coinciden con los valo¡es de E' los valores de E(8.) - cualquiera sea E - coinciden con los valores de E(Er), O, más formal mente: Si "Er=Er" es tautólogico, "E(Er)=E(E")" es tautológico. Lo dicho se¡á aú¡ más evidente si oos ayudamos coo un ejemplo. Sea el esquema proposicional:

Fq.).-P,

q

Sabemos que "pvq" es un esquema proposicional cuyos valores coinciden qractameote con los valores del esquema "-(-p'S)". ( omo parte del esquema "?v5,,-,-p=q", el esquema "pvq" ^Potta cfltonces exactamente los mismos valofes que "-?P-q)"; Pot lo cual resulta que los esquemas "pvq.),-p=q" y "-Cp-q))'-p=q" coinciden embién exactameote e¡ sus valores. De esta especie es lo que dice el principio fo¡mulado. Cuando dos esquemas - como e¡ el caso de "p\q" y "-(-p-q)"I'oseen los mismos valores, el bicondicioaal que los comPrende como cláusulas es ¡autológico; a un bicondicional tautológico, o siempre vr:rdadero, damos el nombre de equiualencitt. Así como la implicación cs la pieza maestra de la irrferencia, la equivalencia lo es de la Irtttslotmaci6n. l\4uchas veces, en lo que llevamos expuesto, hemos tr:rnsformado mediante teemplazo. Así,, por ejemplo, en Ia secue¡rcia ,lc normalización: l, )q,r ) p (-

¡v q) (-rv

P)

97

I

-P-ta-PFq-¡vSP -p4aq-ñPq pqv-P-rvq-t

heoos realizado una cadena de ransformaciones mediante el empleo rácito de las siguientes equivalencias: (r\ P>q.=' -Pvq

(2) t)p,=-rltp

(1\ Gptq) (-nP)=.-P-te'PPvq-N qP (1\ -P-ñ'PF q.raqq, =' -P-N q-n Pq 6\ -P-* q-m qP,+.-P-ta4-ñPq (6)' P-n q'm Pq, =. Pq'r - P4v q -/ Sabemos ya distinguir entre teemplazo y sustitución'

Importa pot está Aunque también sabe¡ hacerlo entre ¡eemplazo e interca"tbio'

delaote la exposición del cálculo ProPosicio¡al, hemos visto ya que es posible defi¡ir una expresión conectiva en términos de otlas conectivas. Más adelante se introducitán las deÉniciones: pq=

-(py-s)

(Def.)

(Def.) p)q = -p\q ¡esulta de colocar que una transformación Ahora bien, toda vez pot eiemplo, "-(-po'q)" tn del definido la delinición en el lugar que la diremos U" "p)4"el lugar de "pS" o "-pvq" en el lugar El iotertransfo¡mación se lleva a efecto mediante un inte¡cambio' que y se cambio obedece a un principio aoálogo al del reemplazo, formula así: Si E, se defi¡e mediante E' el esquema "E(Er)" es ' equivalente' al esquema "E(Er)", Ciertamerrte' Puesto que el definido es sólo ora manera (más simplificada) de a¡otar ta defi¡ición se debe decir que "E(8")" es ot¡a manera (más complicada) de anotar el esquema E(Er), Sin embargo, no hay peligro, aunque si impropie dad, al expresarse en téÍninos de equivalencia.

37, Formula¡emos en este lugar algunas leyes de la equivalencia y la implicación. Son de sob¡a ostensibles; Pero daremos brevemente' en alguoos casos, la razón. (a) Todo esquema se imPlica a sí mismo. Patiendo de la tautologia "p)p" y efectuando la sustitució¡ (E/2) tes¿ka: E)E, (b) Si "E¡" es un eslluema tautológico, eoto¡¡ces, cualquiera sea

)Er" es uoa irnplicación. Porque dado el carácte¡ de "E"" es imposible obtener la combinación '!F" para "EL)82", (c) Si 'E1" es contradictorio, entonces' cualquiera sea "E"", "EL)E2" es una implicacif¡. Potque, dado el carácter d,e "Er" es irnposible obtener la combinació¡ 'YF" para "Er)82".

lqs

Si "Er" se infie¡e de "Er", e¡tonces "-Er" se infiere de "-tlr". Porque, siendo "E, )Er" una implicacióo, es imposible obte,,.. l^ combi¡ació¡ '!F" d,e las cláusulas; pero esto quiete decir ,¡r," cs imposible obtener la combinación '9F" de las cláusulas de "-ll,)-8r", Siendo ello asi, "'Er)-Et" una implicación y "-4" -,. infie¡e ó,e "'Ez" (c) Si "E"" se i¡fiere de "E¡" y "8"" de "E¡"' eÁtonces' "ti," se infiere d.e "Er"'Porque, siendo "Er)F," y "Er)8"" ,,u¡'li.."ioo"", el valor V d,e "Et" exige el valor V de "E""' el , r¡¡¡t exige el valo¡ V de "El', Luego, es imposible obtener la coml,r¡¡rción VF del esquema "r'1)8." que, en colsecuericia, es uoa (,1)

r

rr¡rl icación.

esquema es equivalente a sí mismo, es decir, '.E =E" r¡na equivalencia. (g) Si "Er =E." es una equivalencia, entonces, "E2=É1" es una

(f) Todo ..

,,¡rivaleocia-

(h) Dos esquemas tautológicos son equivaleotes'

(i) ..

Dos esquemas contradictorios son equivalentes'

(i) Si "E,=Er"y "8"=Ei'

soa equivalencias, entooces'

"Er=8""

'

r¡na equivalencia.

Agreguemos a estas leYes una serie de equivalencias que importa

tc cr

Presente coo

el fin

de

estar en condicioaes de üansfotmar un

r \quema:

| )

7t. --E=E - EE=E 3t. EvE=E

*?=P

2t

l,l, =P

't. l(lnq)=p

;

I

t, ( l¡v

q) (Pv¡).

lr'l lqa Pñ

..

''

@vt)=P

.v Pt ,=P

4'. E,(E,vE")=E, 5t. E, (E,vE,) (E vE.)...(E,vEolE, 6t. E,vE, E;E 7'. E rvE rErvE 'rEsv.. 'vE 1E¡=Et '

esqueúa a su fo¡ma normal, sea alternar,v,, y conjuntiva, imPorta también tener Pleseate las equivalencias ya ,,'¡r¡rcidas: 8t. E L+ 8'4,-B | -E 2 tt I' rq.=. -p-q

si se t¡ata de lleva¡ un

,¡ lt.rq.=.-Q'¡q) tr l,lq.=-(?q) t t ttlq.=.-pv-q |; l' \q.=-(P-q) t \ ¡ )q.=.-Pq 1.t tt

t\ I'

..=.-( p -q )- (- pq ) q. Gt¡v q) ( l¡v- q)

tt

=.

)t. E,tE^,=.-(E ¡E^) 101.

EtlE:r,=-(ELE)

tt' . E,lE,'=.-E,v-E, l2t . E, )E'=-(E,-E^) llt. E,)8",=-E

"tE " 14'. E,=E".=.-(E, -8,)-(-E L5'

. E,=8,.=..(-E,vE")

(E

'E1.)

,'f-8,) q9 l

16. p-q,=.pqa- p- q 17. -(Pq)=.-Pv's r8. -(-?q)=.pv- q

l6t - E,=E r.=.E,E"vL7t. -(E,E

"),=.-E,v-E " - -(-E,8")=,E,v-E" 7et. -(EL-E)=.-E,vE2 Zat. -(-E,-E r)=.E,vE, 2lt. - (E I E2.-. E >.-E Lv- E2v.-.r-En !8t

re- -(p-q)==8q 20. - (-p-q)=.pr q 2l- -(pq,,,t)=-pv22. - (p,tq)=-p-q 23. -GF =p-q 24. - (P!-q)=-pq 25. -F?\,-q)=ps 26. - (pr qv .. .vt ) =-

E,-8,

qa-.

-r-r

221 -(E,vE")=-E,-E, 23t -(-E rvE -8, ")=E, 24t -(E,v-8")=-E,E"

25t'GEt-E)=EtEz ?-

q.

,

.-r

26t -(E,vE

"t

-..vE

)=-f',-Er...-Ea

iiinalmente, en relación con la rrarisfo¡mación o simplificación de un esquema normal debemos esta¡ en condiciones de identificar de un vistazo una tautología o uria iricoosistencia. Si el esquenia normal es alte¡nativo se eliminao las cláusulas que sean cootradictorias puesto que: Si "Er" es coottadicao¡io, ettonces, .'ErvEr,, es equivaleotc a "E2", Si, en cambio, el esquema es qotmal conluntivo, se eliminan las cláusulas tautológicas puesto que: Si "E," es tautológico, entonces, "ErE"" es equivalente a "Er". Podemos señalar los esquemas siguientes: Tautológicos: ,,pv-p"; .,pv-pv -.-yt";

"-pa-qvpq".

Con tradic corios

: "p-p": ,,p-p...t"; pgGpv-q). Hacier

do en estos esquemas las subsrituciones (E, /p) y (E^/q), tesrltan los esquemas geoerales, oÍa cont¡adictoiios ora tautológicos, que pueden eliñina¡se sin nás dcsde el none¡to en que se piesenta¡ e¡ e squeñas de la forna "ErvErv...vE/'o,,ELEt,,Err',,

I

loo

II. CALCULO DE PROPOSICIONES

ttl. IIemos mostrado úás atrás cómo las equivalencias ent¡e ciertos rsquemas proposicionales pemiten exPresar unas coDectivas er! rárminos de otras. Vemos que esto se logra ayudándose de dichas c,¡uivalencias para una definición nominal' Asi, por eiemplo, patien,lo rle las tautologías: lr\ ¡.:rt.='-Pvq (1,\ t (p)q) (q)P) =q.=. ¡'otlcmos defioir el condicional y el bicondicional de la mane¡a si¡¡uiente:

(n') P)q = -Pvq (1,' \ p=q= Gp"q)

(Def.) (Def.)

(-qyp )

sistematizar esta reducció¿ mediante definiciones, distinguimos

^l .llire conectivas primitivas y co¡ectivas derivadas. Las primeras las segundas, las que 'on aquellas que se acePtao sin definición; tambien

¡rcrliante definiciones se reduceo a las primeras. Mosramos ,¡,,c csta reducción puede efecruarse de modos dife¡entesAsimismo - aunque en ello no hemos logrado hasta aquí nada l,¡rrccrdo a nuestro tratamierito de las definiciooes nominales - hemos ,lcstacado la co¡exión infe¡encial eo!¡e unos esquemas proposicio-

y otros, es decir, la posibilidad de afirmar unos por la razón ,lc que otros han sido afirmados. Patiendo del principio de la infrr.ncia, podemos decir que dicha conexión (suponiendo que sean "lir" y "E"" los esquemas infe¡encialmen¡e conec@dos) se estal,lccc a cravós del esquema tautológico "E)82"' Eo efecto, decir paitir de "Er" sigo.ilica '1r< "F."" se ob¡iene infe¡e¡cialmente a l,,.cis¿rmeote asegurar que "EpBr'.' es una tautología; porque etr r,rl crso, y sólo en tal caso, basta la afirmación de "Er" para que ,lt rll¡¡ restite la afirmació¡r separacla de 'Tr". Sabemos, por etcmrrnlcs

l,

l,r, que:

..

tautología. Si, entonces, afirmamos el esquema "p4" estamos , ¡r conrlicioncs ¡lc afirma¡ cl csqucma "¿" mediante una inferencia rrrr,r

,¡rrc

¡rrrl¡¡¡¡j

csrlucrrr:rtizar

así:

101

I

Pq)P ps p Ahora bien, si consideramos el esquema "p4" de nuestro eieoplo, eocontramos que oo es tautológico, Puesto que es verdadero sólo en

el caso de la combinación VV de sus cláusulas. Importa fijat la atetrcióri eo este hecho, porque la ld'ea de cálc o pto?osicionqtr se presenta casi de cuerpo ente¡o eliminándolo. Volviendo a Duest¡os esquemas

caracteriza como rn ,rroaimier.to e¡be ta{rologíAs " se trata eo este cálculo de obtener la tautología "82" a Pütit ¿e las ,a,,tologías "Ei" y "E)8,". Por ejemplo, sabemos que "'(p'p)" es uoa tautología y que lo es asimismo "-(P-p))''Np"; lo dicho anteriotmente sobre un cálculo proposicional significa, eo este caso' la posibilidad patrir de "-(p-q)" y "-@-s) de establecer la ta,trología "-P¡?" ^ ).-p"p". Esta infe¡eocia puede esquematizarse del modo siguier¡te: - (P-P)).-PtP -(p-p) 'PtP Basta este ejemplo de inferencia para estar en condiciones de coosidera¡ la posibilidad de una reducción de las tautologías que sea análoga en cie¡to seritido a la reducción de los esquemas proposicionales mediante definiciones. Del mismo modo como la reducción mediante defi¡iciones consiste en erptesar l^ mayoría de los esquemas con ayuda de unos pocos que tomaroos como primitivos y que oo definimos, asi también la propuesta reducció¡ de las tautologías consistitia et ptobar la mayoria de éstas mediante unas Pocas que no se probarían sino que se aceptarían como tales. Dicho más e squemáticamen te: así como la definición parte de 1o indefinible, la demostración partiiía de lo i¡demostrable. Así como en el primer caso partimos de los térmi¡os indefioidos, en el segundo Partiríamos de las proposiciones axiomáticas o txiomls, Es fácil ve¡ cómo la idea de un cálculo proposiciooal combina estos dos aspectos de la definición y la demostración: la reducción definito¡ia acon el oúmeto de nocio¡es primitivas; la ¡educción axiomática acota el de tautologías indemostradas; y los axiomas son, o pueded ser, tautologías eo términos de las conectivas primici -

La necesidad de partir de térmioos no definidos, o primitivos, y de proposiciones no probadas, o axiomas, ha sido considerada unánimemeate por los lógicos como uoa oecesidad indisolublemente ligada a la idea de un sistema deductivo. I-a clarificación de las

Í

to2

n('ciones es su definici6n; la consolidación de las proposiciones (r' verdades) es su prueba, Pa¡a defin.ir una noción recurrimos a otras nociones diferentes de la noción definida; de esta maoera, el f'roceso de las defi¡riciooes debe ser, evidentemente, linedl, no r irculat. Pero, como este proceso de definir uoa noción por otras, y luego éstas por oras, y luego éstas por ocas, etc-, no paede set tna inlinita regtesi6t definitrtia, resulta imprescindible u¡ cieno r¡rimero de nociones úkimas oo definidas. Así, también, la ptueba de rrrra proposición se basa en otras proposiciones que son ve¡daderas .in qr¡e intervenga en su verdad la verdad de la ptoposición que rllas prueban. De manera que hay tarnbién linealidad en el proceso ,lcnrostrativo: una proposición se prueba con otras, que se prueban r on ot¡as, que se prueban con otras, etc. Para dar un punto de l,¡rrtida al proceso demostrativo es, eotonces, necesario cierto núme¡o ¡lc Proposicio¡res no probadas, es decir, cierto núme¡o de axiomas. A estas consideraciones relativas a la naturaleza de un sistema ,lcmostrativo se agregari oüas que es importante señalar aquí. En I'rirner lugar, es evide¡te que el grupo de axiomas en que se funda

rl sistema debe comprender solameqte axiomas que sean muruamette l lependientes, es decir, tales que ninguno de ellos se deduzca rlc los otros. Si no fue¡a así, aquel axioma que depende de otros no sería una proposición última sino derivada; se¡ía - como se dice ro esta elaboración matemá¡ica de la lógica de proposiciones li teoreña ptoposiciondl, no u¡ axioma. Asimismo, el grupo de n¡iomas debe set consistetzte, es decir, tal que no haya en absoluto ln ¡xrsibilidad de probar conjuntameote y a partir de ellos uo esquema trrrrtológico "E" y su negación exigencia es obviay ¡r- refiere a [a idea de no-contradicción como condición formal de rr¡r sistema demost¡ativo. Finalmente, se erige que el grupo de axio.xrs sea completo, es decir, que toda posible tautología proposicio¡rnl sca demostrable a partir del grupo de axiomas. Esta última pro¡'i'sición es sólo ese¡cial cuaodo se er,fatiza el ca¡ácrer de cálculo Itt ttl'os iciondl que posee nuestro sistema; porque si hubiera un es-

,l'(

prcposicional tautológico que no fue¡a probado a partir de ¡¡xiomas estaríamos dejando fuera del sistema una parte que, por ,l"finición, hemos supuesto que queda dent¡o de é1. ur¿r

l,''

'l¡rles son, pues, las condiciones formales del grupo de axiomas ,¡rrc podemos oombtat: independencia, cotsistencia y sdtuaciún. l)igarnos de aoaemano que hay una va¡iedad de grupos de ariomas r' rr¡'r'iones primitivas que alteroativamente han sido p¡opuestos para , r'¡¡srrr¡ir ef cálculo proposicional. Tales grupos son e¡tte si eqti tttlLtlcs. es decir, son bases diferentes del mismo cálculo propo103 l

sicional. Más adelante diremos algo de esto. Lo que ioporta primero es elabora¡ el cálculo ptoposicional en alguoa de las fotmas propuestas; luego de este desarrollo estaredos en co¡diciones de cqmpa¡a¡ esta fotma con ottas y, además, de elaborar las consideraciones ¡elativas a la independencia, consistencia y sauración de que hemos hablado.

39, Ioiciamos nuestra erposició¡ del cálculo de proposiciones indicaodo erplícitamente las nociones prioitivas y los axiomas' Agtegaoos tambiéo en este Pliner momeoto las defi¡iciones que vamos a necesitar. Finalmente, se requiere v¡.a tegll de btletencia que aos permita desligar el consecuente de los co¡dicionales que construya¡nos y uoa regla de ststitacióz que oos Permita realizar las transformaciones en ordeo a elabo¡a¡ la prueba de teo¡emas que de otra manera rio so¡ ostensibles. A esos dos últimas reglas, damos el aombre de rcglos Prirnitiuas' T

étmi¡os no delinidos:

(a) "Proposición". De proposiciones no especificadas son sigr,,.' que empleamos en el cálculo.

nos las letras p, q,

"-p" que significa "negap", cooo ción de Así "p", "5", "t", '., asit n'biftt "-p", "-q", proposiciooes no especificadas. "-/" son signos de (c) "Alternacióo". De ella es un sigoo "pvq" que significa "alte¡nación de ? y q". Asi como "p", "-p",". ^si t^tbién "ptq" (b) "Negación"- De ella es un signo

es signo de una proposición no especificada' D

e

: p)q = -pYq Pq=-1-¡o' t¡ D,c,t p=q=(p) q) (q>p)

fiíic

ione s

D,^t D,b:

Ax iomas t

Se enuncian en forma de irnplicaciones; es decir, se bace inte¡ve' mane¡a

nir en su expresión la definición (a). La razón de ello es la como empleamos la tegla de infe¡encia. Los axiomas son:

A,^t PvP.)P A,bt P),pvq A,ct pt q,),qv| A,¿,: p)q) rvP,).rv

q

Reglasl

"principio" e¡ este cálculo a: (I) Cualquiet arioma de éste cálculo. (II) Cualquier teorema de este cálculo. Con esta terminología estamos e¡ condicio¡es de Pongámonos de acuerdo sobre llama¡

€nunciar las dos reglas primitivas de la maneta siSuie¡te.

I

lo4

R,al Si "Er" y "Er)E"" son principios, entonces, "8""

es

priocipio. R,b: En un principio de e¡te cálculo se puede sustituil uoa letta por una expresióo siemp.e que dicha sustitucióo se haga en todos Ios lugares que ocup¿r la leua. La sustitución se erpresatá aquí ¡nediante el siglo "/"; "pvq/q" sigúfica que la expresión "fr4" se coloca en lugar de "q". Todo el símbolo se lee: "pv4" en lugar

ie "q",

'l e oter¡¿^s:

tt P),PvP

T

In

efecto:

(A,b) ). P ?vP @/q) Para probar T, buscamos uo puoto de pa¡tida, es decir, un esquema que podamos afi¡ma¡. Dicho esquema sólo puede encont¡a¡se cn¡re los axiomas. La fo¡ma de T, sugiere inmediatamente (A,b). l)ara pasar a la seguoda línea de la prueba se efectúa una susritu-

P).Pas

ión, es decir, una aplicación de (R,b), 1o que ¡éntesis de la de¡echa. T2t qap,).pt q

<

11n

se

indica en el pa-

efecto:

Pvs,)'s\P

(A,c)

( p /p, q/p) qap,) ' ?s q I)ara probaa T, buscarnos asimismo entre nuestros axio¡nas. Está a la vista que debemos partir de (A,c) y que basta la sustitución (p/4, q/p) pata obtener r¡uestro teotema.

T 3t l.-n

e

p)q,):t)p).t)q

fecto:

Ír p),ñ q p)q,):-r!p.).-¡eq I )q,)r)p,),t)q P)q. )

(A,d)

(t/r)

(D,a) I'r¡ra hacer más visible la opetación que nos conducirá a T. harer¡os cn

T, la siguiente sustitución: lsvs/!, "/q, "/r)

olrtenemos:

svs.). s,') -'.s ).svs.'),s )s lln esta expresión, hacemos la sustitucióo (p/s), Resul¡a: p')p : ) t. p ). pv p D. p)p lx¿ t,.t ¡¡tecedente de este último condicional es (A,a); luego, en virtud ,lc (R, a), podernos afin¡ar el

l.).prp:).P)p

105

l

El

antecedente de este condicio¡al es (Tr); luego, podemos afiroar el consecuente, es deci¡: Ti P)P Ahora sustituyam os er T, CP/p')t -p) -p lo gue segúo (D,a) puede esc¡ibi¡se:

-(-P)r'P Tenemos además en virtud de (A,c): ?v

S.). qvP

Y sustituyendo en esta última - GP)v-P.>.

/P, -p/q) rcswlta:

-P"'¡-P¡

"-pr-(pl' p)-(-p)

Perc

((

es ot.a r¡a¡era de esc¡ibir:

Aplicando ento¡ces (R,a) al condicional:

-Gph-p.).p)-( -p) separa¡Dos

el co¡secuente y afirmamos:

?)-(-!)

T

": T6|

-G )p -D'((p)) (2) -p)-F G il).):pv-p.).pf-(-(-p)) 0'l ?v-P.>,fu-(-(-p)) (4) -pvp.).pv-p (5\ p)P.).pr-p (6) Pr-P (D

Fi¡almente: (7\ tu-(GPD (8'l -CG )vP

o\ -(p))p ^n

p)q.),-q)-p

1t

q)-Fd

q)-(-q))' -paq).-fv-(q) -Pv

s.).-F-(q)

(^Í,:-?/p¡ (^,d) (R,a: implicación antefio¡) (A,c) (D,a: aotecedente de (4)) (R,a: (5)) (R,a: (3)) (A,c; (7); R,a) (D,a: (8) )

(t ,t q /p)

(Ad\:(q/p;'(-d/q;

-p

/r)

(R,a)

además:

-F'Gd.>-(-q)v-P - p'¡ -

( d.). - ( sh - p :) t.-pv q.),-pv - (- q) :) -pY-(- /p; -(-q)s-p/q; -?vq/t)

(A,c)t (P/ p; -F4)qS :-pr q,).- F q h -p

('f "t El antecedente de esta implicación se afi¡ma en virtud de (A,c); luego se afirma:

-?aq.).-pv-(-q )t:-p'¡ q. )-Fqh-p (R,") antecedente de esta afirmació¡ esrá afirmado en la tercera línea de este desarrollo; luego, se afi¡ma el consecuente:

El

-pvq.).-(-q)y-p

I

lor'

luego:

p)q.),-q)-p

(D,a)

Deteagámonos cn este pr¡oto y coosideremos la setie de esquemas proposicionales que hasta aquí podemos afirmar:

t. PaP.)P 2. p),PsS 1. pvq,),f p 4. p)q,):np,),nq 5. P).PvP 6. gvp.).Fq 7 - P)q.):t)P.),t)q 8. p)p e. p)-(-?) to. -(-p))p

tl. p)q.).-p)-q

Todos ellos son implicaciones; y como segúo el principio de sustitución podemos aootar uo esqueda cualquiera eo el lugar de sus let¡as y, además, según el ptincipio de infetencia, afirmado el antecedente es afirmado el coosecuente podemos entonces formular una regla por cada teorema. Empleamos los signos "8" "Er", "8r",,., pta refe¡irnos ¿! esqueoas proposicionales que no esPecificamos. R,, Si "EvE" es un principio de nuestro cálculo, lo es asimismo "E'l Rr. Si 'Er" es un ptincipio de nuesúo cálculo, lo es asimismo "ErtE"" (sin que impotte qué esquema sea "Et" ), Rr. Si "ErvE." es uo principio de nuest¡o cálculo, lo es asimismo

r" ' Si "Er)E:" es un p'rincipio de nuestro cálculo, lo es asimisoo "E"vEr,),Er:, E"" (sin que impotte qué esquema sea "Er"). Itr. Si€'es uo princiPio de ¡uesro cálculo, 1o es asimismo "EvE", Ito. Si '?rvEr " es un principio de ouestro cálculo, lo es asimismo "E rvE

R..,

"E rv

E

r".

It,. Si "E,)Er" y "E)E3" son principios de nuestro cálculo, lo asimismo "E t)E3"

es

,

R,. Si "8" es un principio de nuestro cátculo, lo es asimismo "-ÉE)", Ito. Si 'rfE)"es un priocipio de nuestro cálculo,lo es asimismo "E". Iiro. Si "Er)E¡" es un principio de nuestro cálculo, lo es asimismo

"-E )'E t"

Tú

Pq)qP

-qv-P,),-Pv-q

6pl41P'

-GPv-q)'>.-(qv'!¡)

(R,,)

l,q 1c

f

(

-?

101,

D,b) 107

I

T,: qP)Pq,

(A,c: -P¡p. -4¡r1 (R,,) (D,b) Se observa que (Tr) pudo establecerse media¡te la simple sustitución (q/p; p/d a parir de T". Fórmulas del tipo "pq)qp" o ,,pvq.>,.tv{' puedeo traasformarse sin más desar¡ollo eo..qp)pq" o ,,qvp,),fuq" pot la identidad formal que oste¡tao.

-Pa-q.),-'ry-P -( qv-P))-(-!v-q) qp)pq

Trt -(pq)).-pt-q '('(-?t-t)),t'-*-q -(pq)).-pa-q Hemos anotado "pq" et

(T":-?t-l

¡O¡

(D,É)

l.ug^t de ,,-(-?v-q)', por la simple razón de qúe "pq" es ot¡a matrera de escribi¡ ,LGF-{',. Los té¡minos de u¡a defioición so¡ iotercambiables. Llamamos,,i¡te¡c¿mbio" a la operación consistente en aoota! u¡a de las dos partes de una definición en lugar de la ona. Distinguimos eutonces enre iotercambio y sustitución. Una nueva operación de transformación que más adelaate estudiaremos es el reernpldzo, Trrz -Pv-q,)-(pq)

-F-q)-G(Pa-q))

-Pr-s.)-(pq) "f

,2t

(^r

":-Pv-í/p) (D,b)

fiQv).).qv(!vt)

(1) r).rvp (¡,b\: (t/p; p/q) (2) ¡vp.).!tt (A,c\t (¡/p; ?/q) (3) t).tvt (R"; (r); (2)) (4) qa¡,):qa.?w (A,d; R,a;(3)) (a) Pv.qvr:);.Po tOr.P", (A,d; R,a; (4) ) (5) P).pct (A,t¡\ (t /q) (6) F¡).mp (A,c) (t /q) (7) p).wp (R); (5); (6) (8\ Nt,):qv.?vt ((7')t Pat/p; t /q) (9) P):qt,pt¡ (R"; (5); (8)) (10\ qt.fitnp.:>:,qv.pvr:v:qt. pvr (9); (Ad,:4v '?vr / q;qa.?vt/t) (ll\ qv - fi¡ n:qt.Wr.:) ryv. py? (A,ü qy'Pat/p) (b\ qa.futnp,:):qv.ptt (10); (11); (R) Finaloente, aplicando R" a (a) y (b), puesto que el consecuente de (a) cambiaodo el orden de las cláusulas es idéntico al antecedenre de (b), resulta:

FQtt):):qv(?vt)

T., nos permite "traspasar,t el paréntesis de una alte¡nación uno de cuyos eleoentos es una alternación. Y podemos deci¡: Se obse¡vará que

[

108

Si "Erv(E"vEr)" es uo teor€ma de nuestro cálculo, lo es asimismo "E,v (E,tE

El

)"

T' es vital para la prueba de los dos teo¡enas que siguen y que se refieren a la asociatividad de la alte¡nacióo. -f Llt Q\ qhr) pv (q'tt)

(r)

teo¡ema

qhÍ.).N (pvq) (2\ tvQvq).>.!v(nq) (1\ nq.).qvr (4) p''t (ra q). ).p,¡ (qv )

(A,c) (T,,) (A,c) (A,d; Ra)

(p'¡

Iuego:

(5)

(p! q ht. ),

'f \at

P\,

par

(qat )

(qvr).).

(pv

(R9, aplicado sucesivamente e¡t¡e (1), (2) y (4))

qht

(l\ qvr,).mq

( A,c)

(2\ Pv (qvt).).Pv (^r q) (7\ t¡v (wq),),¡v(Pvq) (4\ rv (ptq ),).(prqtrt

(Tu) (A,c)

6\ ?v(qvi).@'¡qhr

(Rr, aplicando sucesiva-

(A,d)

menre entre (2), (3)y (4) ). Antes de proseguir vaños a elaborar una regla impottante que facilitará ¡uest¡ai operaciones. Sean "Er" y "Er" esquemas proposicionalcs tales que "Er)Er" y "Er)Er" soo principios, l'is evidente que a partir de estas fó¡mulas obtenemos todas las siguien

tes: ( 1) E"vEr.).E.vE2; 8.v82,,1,E3\Et (2\ -Er)-E,; -8")-E, (3) E.v-E, .). Erv- E r; E"v-8"),8.v-8,

(Rr) (R,, ) (Rr)

(4) -(E.vE,)--¡-(E,vE"); - (E"tE ) (R11) "))-(E,vE, (s) -(E,v-E D-(E,v-E );-(E.,v-Ep-lE.v-8.) (Rrr ) Ilaciendo en (3) la sustitución -Es/8., resulta ( 6\ - E - E,.).- Euv - E - E rv - E rv - E, "v ".).-E "; (1) -(-Erv-E. ))-(-E rv-E,); -GF.,v-E.,) (Rr,: (6) ) :*(-E"v-E, ) l.s fácil percibir de que los casos considerados cubren rodas las lormas esquemáticas que hemos estudiado hasta aquí. En efecto "1,)q" y "pq" ¿,^a otigen respectivamente a expresiones tle la

"I1r)82" es decir "-8, vEr" "li,F.r" es,J,ecir''-(-F,,v-Fl")" lil caso que origina esquemas no considerados en cs cl de Ias cx¡rrcsiones qrre se originan de "p=q":

la lista

aoterior 10q

i

"Er=Er", es decir, "(Er)E) (E])E,Y' es decir, "(-E rvE,) (-E,vE,)" es decit, "-(- (-E ,vE,)v-(-E,tE, ))" Es fácil, sio emba¡go, darse cuenta de la validez de un principio como los ante¡iores en este caso. Basta para ello con cons-

truit "Er=Er" del modo siguiente: - (- (- E, v 8,fu - (- E,v E, )) Supongamos que rli "Sr" ni además:

"Sr"

comprenden la cooectiva

'=" y

s,)s,,.s,)sr y finalmente que "Sr" se edcuentre coIno parte de:

-E,vE, Nombremos "(-ErvE)'" al esquema resulta de reemplazar por "J2". Segrin las reglas antetiores:

"Sr"

(a) ( -E,tE,)) (-E,vE")' (b\ (-E,v E,)' )(-E,vE ") (c\' ('E,vE ")D-(-E'vE,)l (d) -(-E,vBr)t )- (-E,vE

^)

luego:

(e) -(-E,vE,h-6E,vE,)).-(-E,vE,)'r-(-E,vE,)t A partir de (e) y mediante la aplicación de (A,c) y

(R.:(c)) (R,) es flcil

construir:

(t) -(-E,vE ).). -( -E,vE 't-(-E,vE,) ^h-FE "vE,una operación ")ta¡áloga y también, efectua¡do a partir de (b): ((E,v (( E,v E, ) E E E.)' E.)v v E ).). G\ r\ t \r Aplicaado a estas dos últimas implicaciones, (f) y (g), la regla (R,,

)

se obriene:

(8\ -(-(-E,vE,h- (8,'¡E L D)-((-8,'tE^)t v-(-E"vE,) ); -(- (-E,vE,)' r (-E2v E, )))-(-(-E |\E,h-(E^vE,) ) con lo cual queda probado eo forma completa un principio de reemplazo que permite efectuat esta operación con esquemas "Er ", "Er" tales que: El)E2 y E)EL. Significamos con "lR¡)" nuestra regla de reemplazo que puede generalizarse así: Cualquie¡a sea "E(Er)" - donde "Er " es parte de. "EGrf si "Er)8," y "ElE," soa principios, "E(Er))E(8,)"y "E(Er) )E(E, )" lo son asimismo. T *t - (-p-q)),pvq (T,o:) -(Pq)).-tu-q v-(-q) -(-p-q)).-C ¡?/p; -4/q) (q (R.) q).). -C vP,r (R,) -(-P-q)).Pvq

I

r ro

T,"; Nq.).'GP'q)

-2s-q.),-(Pq) -(Ph-(q).:.-(-P-q) Paq').-(Ph'tuil Paq.).-('P-q) T L"t

(T") (-?

/P; -s /q)

(R.)

(n")

-Q!q))-p-S

'('P'qD'Pvq -@¡q))-(-(-P-q)) -(-(P-q)))'P'q -@vq)>-!-q T,"t -p-q)-(Pvq)

?vQ-GP-d -(Fp-d)-(pvü -P-q)-((-P-q)) 'P-q>-(fiq)

(T. ) (R") (T

"; (R")

-P-4 /P)

(T'J (R,, )

(r;

-P-4 / ?) (R") (lomo se ve, Tr"_Tru / Tr"-Tru son pares de teoremas que nos permiten reemplazar, unas con otras, pares de fó¡mulas de la especie:

"E,vE"" t "-¡-8,-E)"

y "- E,. - E," " - (8,'t E ")"a probar la asociatividad de la operación sirnbolizada Ahora vamos pot "Pq", es decir, la asociatividad de la coniunción. 'I,": Qqh)PQt)

Sabemos expresar ambas cláusulas con ayuda de (D,b):

Q)

Qqh

=-((!q)t-t)

(2\ !(qt)=-(Pv-(qt) Se ciene, además:

-(@qh -¡)) - ((-!v -qN -t) -((-?s-qh-¡)>- ('?"('q-r)) -(-fu(qv't))>-(?v -(q¡))

(Rr T'" -T") (R¡: T," - T'") (R.: T,o -T,.)

-

(R")

(Qqh-r))>-(-!v-(qt))

lntercambiando ambas cláusulas de este último condicional mediante (l) y (2), resulta T.o:

Qqh)P@t)

't,. , p@r))(psh (t\ lt(qt) = -(Pv- (r)) (z\ (pqh = -((?q)v-t) -G?v-(q¡)))-GN ?qv-r) ) -Ftn Lq -r)--((-Pv-q)v-¡)

-Gttv-qh-t)-¡-( QqN-r) -(-P\ - ((y )) )'-(-(l)qh'r)

(R, : T'o

-T¡)

(Rr: T,3- T1a) (R.: T.o -T1')

(R') Irrtcrcambiando ¿rmbrs cláusulas de esre último condicional con ayuda rlc (1) y (2), rcsulra 'l-,0 :

llr

I

?(qt))(!qh En una palabra

"f,Lt Pq)p

"(Pqh" y "p(q/)"

se reemplazan mutu¿mente.

q -(pas))-p -(-P"-q))-(-p) Ps)p p).Pv

(A,b) (R,, ) (-?

/p; -a /q)

(D,b; R¡ )

f)e cste teorema resulra la regla Rr: Si ErE" cs un principio del cálculo, E, lo es asimismo. (Obviamente, valc otro tarto para Er.) Esta es una regla que nos permite 'desligart las partes de una conjunción afirmada o tautológica. Es aatural esperar aquí ot¡o reo¡ema que nos permita formular R,¡: Si E. cs un principio y también E' lo es asi¡¡ismo ErE". Ello resulta del reorcnta sigui.ñte: T2rt p).q)pq

p)p

-pvP P!-P

(r)

(D,a)

(A,c; R,a)

GP"-sN-CP"-

(- Pv-s / p)

-p'¡ (-qv- (pv"q)) P).-S\pq p).q)pq

(D,a; D,b) (D,")

(T13)

Sustituyendo eo Trrl

Et:-.E)EtE, es decir, si E, es un principio de nuestro cálculo y lo es rambién Er, entonces, lo es asimismo E, Ér. Esta regla nos permite emplear (D,c) eo conexión con todos los pates de teoremas demostrados cuya forma es: "E \)E 2" -.'E2)Er" Por ejemplo, sabcmos que son afirmados:

"P)-CP.Y' v "-(P))P" ;

"pq)cp" y "qp)pq"; "-tu -q.)-(pq)" y "-(Pq)). -p\¡- q" ; etc. y sabemos además quc está perniitido a¡orar, cuando ,,8,:,E",, "ElE t" son afirmados, "(Er)Er) (E)E\)", lo que según (D,c) es: E.=Er. Por ejemplo:

@)-cpD GGp))p) =p=-Cp) (Pq)qP) QP)P =ps=sp ((- pv -q)t-(PqD C 0¡d)( I'v-q))= - pv-4.-=-Qcl, erc. El signo de relación entre estas fórmulas es "=",

porque dicha

¡elación es definicional. Nos oc¡rpamos ahora dc I¿¡ ,pvqr Aplicando a (3) el lena (a):

(l)

""'l (A,d) y (2) la regla (R") resulta:

(4) Pv.):q).p\q? Ademásr

(5)

q

), pvqr

):pvq, ).pe(?vq)

(A,d)

y combinando (4) y (j): (6\ pv¡.): pv q)p't ( pv qt) Aplicando el lema (c):

(7) (pvt ) ( pv qD. pv (?v qt) (8\ (pvq) (pvrD. @vp)vqt (Prq) (pv)).p"q ^f.7, p),prpq

-prp,),(?vphpq -pvp.),-8 (pvpq) -PvP

P)'PvPq

'I2st pvpq.)p pv pq.). (pj p) Qvq) pvp. )p; p).pvp l,vpq.). !(?v q) P(P,t q.))P Pvpq.,-\p

'1,,t -(P-P) p)p -Pvl)

-Gph-p

I tt4

(T,.) (R¡; A,c; T, ) (A,b)

(T,,) (T.) (R,a; D,a) (T,.) (A,a; T, ) (Rr )

(Tr' ) (R'')

(T.)

(D,")

(T5, Tó, Rr)

-G?Cptu-?)) -cpp) 'Í lo , pQvt)).patfr (qet ) ='(- Pv - (qvt ) ) P - (-

?v' (qv )))

-

('F

(D,b)

- q-r

(D,b) (Rr, Tt?, T1!)

)

¡ )) - ((- ?v - q ) (- ?'¡ -r )) (CPv -d Gp\'+ )))' (- Pv -qh' (P't -r )

-(- p\

-

q

(Rr, T¡., T¡6) (R¡; Tro ; T,,)

cs decir:

(D,b;

P(qar)),Pqvfr zL, Pqvfu.)P(qvt)

R)

'l

pq!F=-(W-{v-(-F-¡)

(D,b)

-q-¡) -(-pv-q-r)>'GPv-(qtt))

(R¡; T".; T') (R¡; T'"; T'")

-('pv-qh-Fpv4).)-((8- F?'¡'¡) (T") -((- pu-q) (-pt-r)))'GPu ¡s

decir:

(R'; D,b)

l¡qtF.),!(qor)

^t;

P)q, ).Pt )qt p)q.).-q)-p -q)-P. )t-N -q.)''rv-P -l.r - q

),

-t-t - p = - (-m -

q

(r,) (A,d)

h Fm

-

?

)

(D,a)

- (t p)tr q. >. - (P)v qt

(Rr; T,o ; T") (A,c; D,b) (T,; T"; R¡)

-(fthry.=F)qt

(D,a)

).- (-m'q h-(4v-qh-ftPr).-0Phtq -

(-¡v -q)v (-m

-

.

k? )

"s decir:

p)q,).b)qt Ti P)q,P)t. )'P)qr

(D,a; R")

-Pvt . ). - Pv qt

(Tro)

P)t:),P)qt !; P)qr,).P)q.P)r

(D,a)

- P,t q.

I )q. ^t

ql

(r.)

)qr

(^,d) (T.') (D,")

)- ?v qr -Pvqt.). -Pvq'-P\t -

P'¿ ,ervÉ,,, ae afkmat "Ei¡Et", (3) nebe haber una regla de unión o conjunción; una regla que, tomando por ejemplo "p).p'¡p" y ,,p.vq),qvp" cono sque mas válidos, f,ermira asimismo ro^r,, p .), p\ p :l)e q ), q\ p,, . F. ¡ ^tir el desartollo que h€mos presentado en el parágrafo 39., hemos asig_ nado un rol básico a las dos primeras reglas de que hablamos aquí, Y ¡o es difícil pcrcibir, daclo por cjemplo el gru¡.m de axiomirs: e

I

l2o

Pv

P.)P

P).Pv q

(A,a) (A,b) (A,c)

q,)'qv P (A,d) P)q') | 7\P.)'r'¡ q que nada podemos obteoer de ellos si no disponemos de una regla de sustitución y una regla de separación. Las definiciones a nuestra Pv

tlisposición nos permiten traosformar los axiomas y obtener, por cjemplo, a pa¡tir de (A,a): -(PvPhP

l,cro, es muy claro que vamos a gi¡ar en tedondo si nos reducimos ;r las definiciones y no disponemos de una regla de sustitución, que l,ermita, Por ejemplo, a partir de (A,b) aootar: "pv t') tp'tt ''t s" ne' tliante la sustitución de "p!/' en lugar de "p" y de "s" en lugar de Es, asimismo, evideote que la mera sustitución no permitiría otra cosa Ílue agre g^r cada uno de los cuatro axiomas po¡ se|aTd¿o ^ r¡na cantidad infinita, pero también ociosa, de esquemas proposiciorrales de la misma forma y que también se afirman. Es necesario, (ntonces, que exista uoa regla que perrnita unir los esquemas afirrrrados; y no metdmente unirlos, que de ello tampoco resultaría g¡an cosa. La regla requerida debe ser de unióo y separación. Nada más ltlecuado para ilusttar lo que decimo3 que un Proceso de deducción teoremática como el siguiente: (A,a) (1) PvP )P (D,") (2\ -(?'rPhP (7\ - (p'¿ pNp.).Pv-(pvp) 6¡t-@vP)/P ; P/q) ll¡¡sta (3), e[ proceso se reduce al empleo de dos axiomas, una defirrición y dos sustituciones. El a¡teceden¡e de (3) es el axioma (A,a) y (3) entero es una transformación mediante sustitución del rrioma (A,c). Tenemos, entooces, la anió¡, de dos axiomas obteni ,l¡ ¡nediante sustitución. Se muesra aquí la necesidad de un princ

i¡'io de separacióo que opera así:

\\

- (pvphP.),p't-(F p) (2\ -(pvphp t/t) p,¡ -(pvp) lis clato que el nuevo esquema qüe desliSa,nos y afirmanos de ,.srd manera, "Pv-(?'¡1,)", no Puede ob¡enerse de los axiornas elegi,los prescindiendo de la regla de separación o inferencia; ninguno rlc cllos puede dat origen al esquema "pv-(Npy' si no hay un print

ilio de separación. Agreguemos aquí cónro, Partiendo de este nuevo crrrrnciado, podemos obtener c1 teorert^ "P )Pp":

<

121

I

Pv-(prp)

-?a-(-fi-p)

f

'?v

(D,b)

PP

p)pp

P/p)

(D,")

lo anterior

como un esbozo, muy imperfecto descle luego, de la especie de consideraciones que conducen a formula¡ los enunciados básicos. Por lo demás, todo el trabajo de axiomatización es una larga historia de tanreos y hay diversos grupos de ariomas propuestos para e ste cálculo. En cuanto a la pregrmta por el orden seguido al exponer los teoremas, es de fácil respuesta: Hay teoremas cuya prueba depende de otros y es obvio que estos últimos deben probarse primero. Muchas veces, sin embargo, ocure que teoremas que pudieron probatse antes se establecen solamente en el momento en que son necesarios. El Quede

,,p)pp", es ilustrarivo; po¡que mismo eiemplo que pusimos en el desarrollo expuesto en^tiba, el parágrafo 39. se encuent¡a en el

lugar vigésimo cuarto sieodo que pudimos probarlo entre los primeros. Una pregunta cuya respuesta puede resultar inst¡uctiva es la que se refiere a la prueba de los teoremas. Trata¡emos aquí de ejemplificar sob¡e el análisis con el propósito de enffesacar algunos prin_ cipios generales sob¡e el arte de la prueba. por lo demás, lo ptiocipal aquí es cierta habilidad que poco resulta de cáoones que puedan diccarse y mucho del ejercicio, la agudeza y la paciencia. pero, al fin de cuentas, nada de lo que se habla aquí es cosa del otro mundo. 1) Ante todo, los enunciados axiomáticos y la regla de sustitución pe¡miten establece¡ algunos teoremas silr más ¡ecursos. Nada se requiere aqui; basta hace¡ las sustituciones qug conveogan y formu_ lar el resulado. Así, por eiemplo, se tiene, sustituyendo en (A,b) la

letra "p"

(l)

por la

letta ,,q":

s).q,¡q

Asimismo, colocando

p)q,):-n p.).-rvq

,,-/, eÍ

lug^r de

,t,,

en (A,d), resulta:

es decir, en virtud de (D,a):

(2'l

p)q.>:t ) p,),Dq

Puede igualmeote coosidera¡se (A,c) y mediante sustitució¡ esc¡ibi¡:

-Pv-5,),-q!-p

lo cual, aplicando nuevamente (D,a), produce: (3) P-q.).q)-p Finalmente, es obvio que mediante susritución puedo obteoer las siguientes generalizaciones partie¡do de los axiomasl EvE.)E

F,).

I

tzz

E

,v E,

ÉrvEr,),E"tE, E" r )Er,):ErvE,,),E "v 2) Si se obse¡va la implicación (2) puesta más a¡riba se percibirá que es un principio de transitividad; es decir, que si tengo dos implicaciones, "p)5" y "r)p", con la primera y la tegla de separación desligo el consecuente de (2); co¡ la seguoda desligo asimismo el consecuente del consecue¡te de (2), es decit, 't)q". En una palabta si se afirman t'Dp" y "P)q" se afitma asimismo "r)q", Ahotd est^E

mos en coodiciones de hacer más cosas. Por eiemplo:

p).Fp

((1)) (A,a)

PaP')P de donde ¡esulta: ($ p>p Escribiendo (4) media¡te (D,a), resulta

6)

-p¡?

Valiéodonos de (A,c), podemos anotat:

(6\ -PtP.).Pt-P

y desligando el coosecuente mediante la regla de inferencia, obtene-

(7\ P\- p

La siñple

inspección de (7) sugiere

la

sustitución -p1P; de ello

resulta:

'Pv- -P que sirviéndonos de (D,a) se escribe:

(8) 2)- -p 3) Digamos, finalmente, algo sobre los teoreoas menos inmediaros y que requieren algún grado de elaboración. Ante todo, es muy claro que los teo¡emas se muestran, en su mayoría, evidentes ante la mera inspección y también que nuestra farniliaridad con las leyes que rigen el empleo de las palabtas conectivas nos permite formulat una multitud de ellos sin especie ninguna de preámbulos. Pongamos aquí para evitarnos fastidiosas repeticiooes, solamente un eiemplo. Atendier¡do a la implicación (8) puesta más ariba, se ¡os ocur¡e inmediatamente la siguiente : (,r1

- -p)p

¿Cómo establecerla partieodo de

El

movimiento que conduce a

los principios¿ nuestra disposición?

la prueba en este caso es algo

como

lo siguiente: 10, Debo establecet "- -P)p", es decit, "- - -pvp", 20. Supongamos que lo obtuve mediante (A,c), es decir, desligándolo del e squema:

pv---?.).---pvq

123 I

3q. Para el paso indicado en 2p, es claro que debo establecer aotes el esquema ',pv- - -p',.Supongamos que fo desligué de:

"Pv-p.).A- - -p"

cuyo aotecedente es uo teoremá. 4p. Es claro que la implicación puesta en 3p puede a su vez des_

ligarse de:

-p)- - -p.):p!-p.).pv- -

-p y cuyo aatecedente es la implicación (g) donde -p/p. Tales soo los pasos que damos al busca¡ la prueba. Es claro tambiéo que al erponerla iovertimos el orden, es decir, de analítico que es aquí lo transformamos en sintético. que es válido

41.. Después de un desarrollo elemental como el cumplido hasta aquí,

estamos en condiciones de entende¡ bien algunas ftases que se ofte_

cen frecuentemente como descripciones de la lógica formal. Estas frases, que atienden en verdad a aspectos esenciales de dicha lógi_

ca, suelen ocupar uo lugat introductorio en los manuales elementales;

y tal ubicación rier¡e oidinadardente el efecro de palidecer un poco

su significado. Porque el principianre poco o nada sabe de la ciencia, de maneta que aquellas ftases descriptivas se muest¡an para él como

geoetalizaciones cuyo significado no sabe fijar bien pot falta de familia¡idad con los tópicos que son ilustraciones En .ste lugar en cambio, cuando hemos ¡ecorrido una porción"rrya.. impotante del camioo, podremos comprender perfectamente las frases de que habla_ mos.

Se dice, por ejemplo, que la lógica fo¡mal se ocupa de las coodi_ ciones formales de la inferencia, de las leyes que permiten afirmar una proposición a pattir de ottas proposiciones previamente afirma_ das; se dice, también, que la ligica fo¡mal se propooe establecer las leyes o formas de conexióri necesaria entre las proposiciones, o las esüucturas proposicionales gue son verdaderas por virtud de su. forma; se dice, finalmente que la lógica formal hace explícito y o¡denado recuento de las coodiciones formales de ciertas palabras que empleamos al tazorrat, de las relacioaes de implicación o equi_ valeacia que resultan enüe estas palabras por l^ sol" razón de su significado formal, es decir, la serie de condiciones a que sometemos eo principio y por siempre su empleo. Frases de ..," gén."o aoaont¡amos ordinariame¡te en los manuales de tógica elemeotal. y nos PJoponemos en este pa¡ágrafo, aprovechando lo visto hasta aquí, ilustrar tales frases descriptivas de la lógica formal. (a) La primera de estas descripciones pone el énfasis en la in_ ferencia y se ilustra ampliamente con la simple inspección del

I

124

cálculo proposicional desalrollado en el parágrafo 39. Incluso, tal inspección pone a la vista un desaúollo infetencial comprendido ¡etfecta y rigurosameote en sí mismo; en tal eiemplo se ¡¡ruestran, for decirlo así, de manera pura y última las condiciones del movirniento infe¡encial que representa, las leyes que permiten afirmar cie¡tas proposiciones - las @utologías proposicionales - a partir ile otras. Estas últimas esaán fohadas por los axiomas: cuatro de tllos proponea esquemas proposicionales que son las afi¡macio[es lrásicas en que se apoyan lodos los teoremas; los dos ¡estantes cxpresan las leyes de separación inferencial y de traosformación sustitutiva. Fioalmente, los ¡érminos primitivos representan la 'marcria' de las afi¡maciones básicasl v las definiciones, las condiciones de t¡a¡sformación definitoria. Todo el parágrafo 39. exhibe l¡ a¡ticulación de ua coniunto de coodiciones formales eo orde¡ a inferir partiendo de ellas los rtumerosos teoremas proposicionales que allí se estableceo; en una frase, el cálculo proposicional se ocupa de las condiciones formales de la ioferencia proposicio¡ral, tic las leyes que permiten afirmar cierros esquemas proposicionales t:trtológicos a partir de ot¡os esqüemas proposicionales (los axiomas que hemos llamado "afi¡maciones básicas") previa y axiornática mente afirmados.

l)igamos también aqui que este p¡oceso infe¡encial que obrier,e rle unas cuantas tautologías todas las restaotes pasa corrientemeote I'or matemática, no por lógica. Lo común es habla¡ de la inferencia ,ic'tal o cual específica proposición y no de la infe¡encia de taurolo¡¡ías proposicionales; lo común es llamar infe¡encia a un proceso coPedto y laan ldn dl cine Pedto y luan ron al cine

)

Ped¡o ua al cine

I'ed¡o ad al c i¡e ,l¡,n,lc 1a última y específica proposición se iofiere de las dosprimer,rs; no es lo corriente llama¡ infe¡encia a la obtencióo de princil,ios como "?qlP.pS,>p" pa¡riendo de otros, al modo como lo hemos Lccho en el parágrafo 39. Sio embargo, este nuevo se¡tido de la l'.,!,rbra inferencia puede también ilustrarse recurriendc al Cálculo 'l, l)roposiciones. El mismo eienplo que hemos puesro más a¡riba rr¡'s sirve aquí; tal inferencia se funda en la tautología proposicional "ltt' '1,,|¿f. ''l)"; es decir, que dada una tautologia rle forma implicacior.rl I'uecle ella scr e*r¡ieacia como ¡rincipio de una inferencia espe¡ il¡cl. fodos los reoremas prolrados en e! parágr:rfo 39- tie¡en lorma

r¡¡l'lic;rcion¡1, rlc marcra (luc cn csrir conciió¡ pucrle decirse que ¡¡,licho ¡rará¡rafo h