Curso de Ingenieria Sismica

´ SISMICA. ´ CURSO DE INGENIERIA Parte II. El c alculo a´ lculo s´ s´ısmico ısmico

Avelino Samart´ Samart´ın ın Quiroga, Pablo de la Fuente Mart´ Mart´ın ın y Juan Carlos Mosquera Feijoo´ Catedra a´ tedra de Resistencia de Materiales, Elasticidad y Plasticidad Escuela T´ Tecnica e´ cnica Superior Superior de Ingenieros de Caminos, Caminos, Canales y Puertos. Puertos. Madrid 22 de abril de 2004

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A. Samart´ Samart´ın, ın, P. P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

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A. Samart´ Samart´ın, ın, P. P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

´ Indice general

1. Planteamient Planteamiento o genera generall del del c´ calculo a´ lculo s´ s´ısmico

5

1.1. Estructuras. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. 1.1.1. 1. An´ Ana´ lisis de estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2.

Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Caract Caracter er´´ısticas ısticas del c´ calculo a´ lculo din´ dina´ mico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Accion Acciones es din´amicas. amicas. Clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4. 1.4. Acci Acci´on o´ n s´ s ´ısmica. ısmica. Modos de especificaci o´ n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5. 1.5. El c´alculo s´ısmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6. Modeli Modelizac zaciion o´ n de estructuras estructuras bajo acciones din´ dina´ micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.1. 1.6.1.

Introduc Introducci ci´o´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.2. 1.6.2.

Clasifi Clasificac caciion o´ n de los modelos din a´ micos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.7. Metodos e´ todos de discretizaci o´ n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.7. 1.7.1. 1. Metodo e´ todo de concentracio´ n de propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.7. 1.7.2. 2. Me´ todo de las funciones de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.7. 1.7.3. 3. Me´ todo de los elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.7.4.

Estudio comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.8. 1.8. Ecua Ecuaci cion ones es del del mov movim imie ient nto o de de una estr estruc uctu tura ra some someti tida da a un un ter terre remo moto to . . . . . . . . . .

43

1.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

1.9.1.

Ejercicios. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

1.9.2.

Ejercicios. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

1.10. Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´   INDICE GENERAL

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

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1 Planteamiento general del c´alculo s´ısmico 1.1.

Estructuras. Grados de libertad

1.1.1.

Ana´ lisis de estructuras

Se denomina estructura a la parte de una construcci o´ n que garantiza la funcio´ n est´atica de mantener su forma y cualidades resistentes a lo largo del tiempo, bajo la acci´on de cargas y agentes exteriores. En algunas construcciones es posible separar la estructura de las restantes partes representadas por los elementos funcionales u ornamentales. En estas estructuras, como la de un edificio de viviendas, que se conocen como diferenciadas, se puede distinguir claramente la componente funcional de la resistente o estructura. As´ı, en el caso del edificio, la resistencia se consigue al disponer un entramado de vigas y soportes y la funcionalidad por medio del cerramiento y de las cubiertas. Contrariamente en otras construcciones, no es posible diferenciar n´ıtidamente la estructura del resto de la construcci o´ n, como ocurre por ejemplo en las presas. En estos casos, las estructuras correspondientes se denominan estructuras masivas, La resistencia y la estabilidad de una construcci o´ n se estudian mediante la construcci o´ n de un modelo f ´ısico-matem´atico, con el que se intenta simular el comportamiento de la estructura. Este modelo se denomina simplemente estructura o bien modelo estructural. El proceso mental que transforma la construcci´on en un modelo estructural se conoce como idealizaci´  on. Conviene tener en cuenta que una misma construccio´ n puede ser idealizada en distintos modelos estructurales de acuerdo con los objetivos del c´alculo a llevar a cabo. As´ı por ejemplo, el tablero de un puente de vigas puede ser considerado en un estudio de su respuesta global como una viga, o bien como una losa si se desea conocer la distribuci o´ n transversal de los esfuerzos. El modelo puede llegar a ser un s o´ lido el´astico tridimensional, si lo que interesa conocer son los efectos locales producidos por las cargas concentradas como las reacciones de apoyo, ejes de carro de sobrecarga o anclajes de pretensado. Una vez llevada a cabo la idealizaci o´ n, se procede al an´  alisis o c´  alculo como se indica en la figura 1.1, es decir, al tratamiento de la estructura mediante procedimientos matem a´ ticos, que se estudia en la Resistencia de Materiales y disciplinas afines, con objeto de predecir su comportamiento resistente ante una serie de acciones previsibles. Estas acciones pueden ser fuerzas o movimientos impuestos, constantes o variables en el tiempo. En el caso de un se´ısmo la acci o ´ n corresponde a la imposici´on de movimientos variables durante un lapso de tiempo que puede oscilar entre unos pocos a varias decenas de segundos. Estos movimientos actu´ an en los puntos de apoyo de la estructura en el terreno de cimentacio´ n.

5

1.1 Estructuras. Grados de libertad 

6

Figura 1.1: Proceso en el C´alculo de Estructuras

Finalmente tras el an a´ lisis, los resultados del c´alculo se interpretan o traducen para su aplicaci o´ n al proyecto de la construccio´ n real. Tanto el proceso de interpretaci o´ n como el anterior de idealizaci o´ n est´an, como es natural, estrechamente relacionado. En resumen, en el estudio de la estabilidad y resistencia de una estructura, e´ sta se suele idealizar en un modelo f ´ısico-matem´atico denominado asimismo estructura y que est a´ representado por un sistema mec´anico de puntos materiales. El c´alculo estructural consiste en la determinaci o´ n de la respuesta de este sistema ante un conjunto de acciones exteriores. Evidentemente, se hace preciso un proceso inverso al de la idealizaci´on estructural anterior, denominado interpretaci´  on. En este proceso de interpretaci´on las respuestas o resultados del c´alculo se transforman a decisiones de proyecto en la construcci o´ n real. Estas decisiones del dise˜no, se refieren tanto a la comprobaci´  on y contraste del comportamiento real de la construcci´on frente a los resultados obtenidos en el c´alculo como respuesta de la estructura, como en la validez de los detalles del proyecto y su adecuaci o´ n a las previsiones efectuadas en el modelo de c´alculo..

1.1.2.

Grados de libertad

La respuesta de una estructura as´ı como las acciones aplicadas se suelen describir mediante un sistema de coordenadas locales independientes en cada uno de sus puntos materiales, coordenadas que se conocen como grados de libertad. Es decir, el comportamiento de una estructura, expresado en sus dos grupos de resultados, est´aticos (fuerzas y esfuerzos) y cinem´aticos (deformaciones y movimientos), se define con respecto a los sistemas de coordenadas locales o grados de libertad (gdl). Todas las estructuras se suelen considerar inicialmente como sistemas continuos de puntos materiales, por lo que el n´umero de gdl que resulta es infinito de dimensi o´ n 3-D. Sin embargo, frecuentemente se introducen a priori, por conveniencia, restricciones o relaciones entre estos gdl, estableciendo unos principales (maestros) y otros subordinados (esclavos), cuyo comportamiento se define en funci´on de aquellos mediante unas relaciones previas. De este modo se reduce la dimensionalidad de la estructura al utilizar en el c´alculo s´olo los gdl maestros, y se facilita, por lo tanto, el c a´ lculo. Esta reduccio´ n permite transformar la estructura continua en otra de menor dimensi o´ n o bien en otra estructura discreta, es decir, con un nu´ mero finito de gdl.

Ejemplo 1.1 Un ejemplo t´ıpico de reducci´on de gdl corresponde a la viga el´astica. Inicialmente la viga puede ser considerada como un s o´ lido 3-D continuo que se reduce a una l´ınea de puntos materiales (1-D) al tener en cuenta la hip´otesis de Navier-Bernoulli o de la conservaci o´ n de las secciones planas. En este caso, los gdl maestros son los movimientos de s´olido r´ıgido de la secci´on, en general las tres componentes de traslaci´on y las tres de rotaci´on. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

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Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

En su expresio´ n en fuerzas, los gdl maestros son los esfuerzos o las resultantes de las tensiones distribuidas en la secci´on, es decir, las tres componentes de las fuerzas, axil y cortantes, y las tres de momentos, torsor y flectores.

En el ejemplo anterior, se observa la reducci o´ n de la dimensionalidad de la estructura de s o´ lido r´ıgido a la de la viga usual de la Resistencia de Materiales. Sin embargo la viga sigue siendo una estructura continua con un nu´ mero infinito de gdl, seis en cada punto de la directriz o lugar geom e´ trico de los centros de gravedad de las secciones rectas de la viga. La descripcio´ n de la respuesta estructural de esta viga exige la resoluci´on de un problema de contorno con ecuaciones diferenciales en derivadas seg u ´ n la direcci´on de la directriz. El siguiente ejemplo muestra la reduccio´ n de gdl, en el que se convierte la viga anterior en otra discreta, con un n u´ mero finito de gdl, lo que permite un c´alculo m´as sencillo mediante un sistema de ecuaciones algebraicas, tal como se lleva a cabo en el c a´ lculo matricial de estructuras.

Ejemplo 1.2 Se considera la viga recta de Navier-Bernoulli de plano medio, es decir, con un plano de simetr´ıa de la secci ´on en el que est a´ n contenidas las cargas actuantes. En esta situaci o´ n es posible reducir el n u´ mero total de gdl de la viga, si se consideran como gdl maestros los correspondientes a sus extremos x = 0 y x = L, con L la luz de la viga. Al poseer la viga un plano de simetr´ıa los seis gdl maestros en cada secci o´ n x se reducen a tres , concretamente a un desplazamiento u(x) seg´un la directriz, otro v(x) normal al anterior y contenido en el plano de la viga , y un giro alrededor de un eje normal al plano medio de la viga. Este conjunto de infinitos gdl se puede expresar en funci´on de los seis principales existentes en las secciones extremas 1 y 2 de la viga, correspondientes a x = 0 y x = L respectivamente. Estos gdl maestros se designan por ui , vi , θi , (i = 1, 2) y los de una secci´on gen´erica x se expresan por u(x), v(x( y θ(x). Una forma de obtener la dependencia de e´ stos en funci o´ n de aquellos se puede llevar a cabo mediante procedimientos de la Resistencia de Materiales, al resolver el problema de la el a´ stica de la viga con condiciones de contorno los movimientos especificados en los extremos de la viga. Se deduce de esta forma las siguientes expresiones:

u(x) =(1 − ξ)u1 + ξu 2 = N 1 u1 + N 2 u2 v(x) =(1 + 2ξ)(1 − ξ)2 v1 + (3 − 2ξ)ξ 2 v2 + Lξ(1 − ξ)2 θ1 + Lξ 2 (−1 + ξ)θ2 ˜1 v1 + N  ˜2 v2 + N  ˜3 θ1 + N  ˜ 4 θ2 =N 

(1.1)

6 6 ξ(1 − ξ)v1 + ξ(1 − ξ)v2 + (1 − 3ξ)(1 − ξ)θ1 + ξ(−2 + 3ξ)θ2 L L ˜ ˜ ˜ ˜ 4 θ2 =N 1 v1 + N 2 v2 + N 3 θ1 + N 

θ(x) = −



en donde ξ =

x L







es la abscisa adimensional y las derivadas respecto de x se escriben con un acento ( =

d dx ).

˜i = N  ˜i (x) se conocen como funciones de forma y se identifican en las Las funciones N i = N i (x) y N  expresiones 1.1. Estas ecuaciones representan la dependencia exacta, dentro de la teor ´ıa lineal de vigas, de los gdl u(x) = [u(x), v(x), θ(x)]T  y los gdl ui = [ui , vi , θi ]T , (i = 1, 2) si la viga es de secci´on y propiedades constantes a lo largo de su longitud L. En otro caso, por ejemplo en vigas de secci´on variable, la relaci´on anterior es aproximada, pero, a pesar de lo cual se utiliza de forma rutinaria como expresi o´ n de la dependencia entre los gdl anteriores, dando origen a m e´ todos eficiientes, bien conocidos, como es el de los elementos finitos. Las ecuaciones 1.1 pueden escribirse en forma matricial como sigue: u(x) = Nu A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

(1.2)

1.2 Caracter  Caracter ´´  ısticas del c alculo din amico   ´  ´ 

en donde: N=

y u = ( u1 , u2 )T .

 

N 1 0 0

0 ˜ N 1 ˜1 N  

0 ˜ N 3 ˜3 N  

N 2 0 0

0 ˜ N 2 ˜2 N  

0 ˜ N 4 ˜4 N  

8

 

Las ecuaciones (1.2) relacionan los gdl representando movimientos. Es muy sencillo comprobar que la dependencia, expresada en fuerzas en lugar de movimientos, de estos mismos grados de libertad, es: p = NT p(x)

(1.3)

. En esta ecuaci´on on el vector p = [p1 , p2 ]T  contiene las fuerzas aplicadas en los gdl maestros y el vector p(x) = [ p( o´ n x con sus tres componentes: longitudinal p(x),  p(x), q (x), g (x)]T  las fuerzas aplicadas en la secci on transversal o normal q (x) y momento g(x). Se observa la analog´ analog´ıa, ıa, conocida como est atico-cinem´ a´ tico-cinematica, a´ tica, entre las ecuaciones matriciales 1.2 y 1.3. Esta analog ´ıa ıa entre las dos ecuaciones matriciales anteriores representa la invariancia o equilibrio entre el trabajo producido por las fuerzas y movimientos aplicados en los gdl maestros y el generado por las fuerzas y desplazamientos en una secci´on gen´erica erica x de la viga. En efecto, se tiene: pT (x)u(x) = pT (x)Nu = [ NT p(x)]T u = pT u

La discretizaci´on on anterior permite simplificar de forma dr´astica el c´alculo alculo 1-D de una viga, cuyo comportamiento estructur estructural al est´ estatico a´ tico se rige rige por un proble problema ma de contor contorno, no, definid definido o por unas unas ecuaci ecuacione oness difere diferenci nciale aless y las pertin pertinent entes es condiciones en los bordes, es decir:

d2 dx2





d du( du(x) E Ω  p(x) =0 − p( dx dx dθ( dθ(x) dg( dg(x) − q(x) − EI  =0 dx dx dv( dv(x) − θ(x) =0 dx





(1.4)

En las ecuaciones anteriores la distribuci´on on de las fuerzas por unidad de longitud son p(x), q (x) y g (x). Las constantes EI  y E Ω corresponden a las rigideces de inercia a flexi on o´ n y extension ´ de la seccion o´ n respectivamente. La contrapartida discreta del problema de contorno anterior, cuando se reducen los gdl de la viga a los seis maestros de las secciones extremas, corresponde a las bien conocidas ecuaciones algebraicas de la matriz de rigidez k de la viga, definidas por la expresi on o´ n matricial:

    p1 p2

1.2. 1.2.

=k

u1 u2

(1.5)

Cara Caract cter er´´ısticas ısticas del calculo a´ lculo dinamico a´ mico

Una primera interpretaci on o´ n del t´ termino e´ rmino din´ dinamico a´ mico implica una variacion o´ n en el tiempo de ciertas magnitudes. Un c´alculo alculo din´amico amico de una estructura indica que tanto las acciones a ella aplicadas como su respuesta respuesta (movimientos (movimientos y tensiones) tensiones) dependen del tiempo. No existe, existe, contrariamente contrariamente a lo que ocurre en un calculo a´ lculo est´ estatico, a´ tico, una respuesta respuesta unica, u´ nica, sino que esta e´ sta corresponde a un conjunto de soluciones separadas, de las cuales cada una se debe obtener para cada instante del intervalo de inter es. e´ s. Se comprende que A. Samart´ Samart´ın, ın, P. P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

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Planteamiento general del c alculo s´  s´  ısmico ´ 

un c´alculo alculo din´amico amico exige un esfuerzo computacional mayor que en un an´alisis est´atico atico para la misma estructura. estructura. Existe, sin embargo, embargo, otra diferencia m as a´ s significativa y profunda entre un c alculo a´ lculo est´ estatico a´ tico y otro din´ dinamico. a´ mico. En este ultimo u´ ltimo se generan, con la variaci on o´ n del movimiento de la estructura, unas fuerzas de inercia o de D’Alambert, que modifican los esfuerzos y el propio movimiento de la estructura. El siguiente ejemplo, que corresponde a una estructura muy simple, muestra la caracter ´ıstica ıstica esencial del calculo a´ lculo din´ dinamico, a´ mico, en el cual es preciso considerar considerar la aparici aparici on o´ n de las fuerzas de inercia.

Ejemplo 1.3 En una viga simplemente apoyada de luz L sometida a una carga est atica a´ tica de intensidad p, uniforme en toda su px(L−x) longitud y ortogonal a su directriz, la ley de momentos flectores que resulta es M ( y su deformada M (x) = px( 2 p 4 3 3 ( x 2 x L + L x ) x viene dada por la expresi on o´ n w (x) = 24EI  con la abscisa medida desde un extremo de la − 24EI  viga y EI  la rigidez constante de su secci on o´ n recta. Los valores m aximos a´ ximos de ambos resultados se producen en la 4

1 5  pL 2 secci´on on centro de luz y son respectivamente M max ıa con el tiempo max = 8 pL y 384 EI  . Si la carga actuante var´ıa pf (t) con p la intensidad de la conservando la forma de su distribuci on o´ n espacial, es decir, se supone p(x, t) = pf ( ´ f (t) una funcion carga distribuida uniformemente en toda la luz de la viga y f ( on conocida del tiempo, entonces ni las leyes de momentos flectores ni la deformada de la viga son proporcionales a los valores est aticos a´ ticos anteriores. En efecto, las respuestas M (x, t) y w(x, t), en el instante t son, en general, tales que como se ilustra en la figura 1.2, se producen las siguientes desigualdades:

M (x, t) = 

px( px(L − x) p f ( f (t) y w(x) = (x4 − 2x3 L + L3 x)f ( f (t)  2 24EI  24EI 

Figura 1.2: Influencia de las fuerzas de inercia en el c´alculo alculo din´amico amico

La causa causa de las desigual desigualdad dades es anteri anteriore oress reside reside en la genera generaci ci on, o´ n, de acue acuerd rdo o con con el prin princi cipi pio o de D’Al D’Alam ambe bert rt,, de unas fuerzas adicionales de inercia, al aparecer movimientos o variaciones de las flechas en las distintas secciones o puntos materiales de la viga y por consiguiente aceleraciones. Como resultado la viga se encuentra sometida a dos pf (t) que origina el movimiento y las fuerzas de inercia f I I (t) producidas tipos de carga: las acciones exteriores pf ( por las aceleraciones generadas. Los esfuerzos de la viga tienen que equilibrar esta doble acci on, o´ n, y por lo tanto, se precisa conocer estas fuerzas de inercia para deducir los mismos, y en particular los momentos flectores din´amicos din´ amicos A. Samart´ Samart´ın, ın, P. P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.2 Caracter  Caracter ´´  ısticas del c alculo din amico   ´  ´ 

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de la viga.

La existencia de fuerzas de inercia constituye la caracter´ caracter ´ıstica ıstica esencial de un c alculo a´ lculo din´ dinamico. a´ mico. Su importancia depende de la aceleraci on o´ n del movimiento y de la flexibilidad flexibilidad y masa de la estructura. Si las cargas cargas se aplican aplican lentamente, es decir, si el tiempo que transcurre, transcurre, desde que inicia su actuaci on o´ n con valores iniciales nulos hasta alcanzar los m aximos, a´ ximos, es muy grande en relaci on o´ n a un tiempo patron o´ n intr´ intr´ınseco ınseco de la estructura, estructura, denominado per ´  propio o fundamental, estas fuerzas de inercia son despreciables. ´ıodo   En este caso se puede despreciar los t´erminos erminos de inercia del c´alculo alculo din´amico amico y este e´ ste se conoce como calculo a´ lculo pseudoest´ pseudoestatico. a´ tico. Por el contrario, si las cargas var´ var ´ıan ıan muy r´ rapidamente a´ pidamente respecto al per´ per´ıodo ıodo propio de la estructura, el c´ calculo a´ lculo debe ser din´ dinamico a´ mico y por consiguiente consiguiente se han de tener en cuenta las fuerzas fuerzas de inercia que se producen. Este tiempo patr´on on -per´ -per´ıodo ıodo propio de la estructuraestructura- aumenta con el incremento de la masa y de la flexibilidad flexibilidad de la estructura. Su determinaci´ determinaci´on on es b´asica asica en todo an´alisis alisis din´amico. amico. A veces se evaluan u´ an los efectos din´ dinamicos a´ micos en una estructura utilizando un coeficiente, F AC , conocido como de factor de amplificaci´  o´ n entre las respuestas din amicas a´ micas on din´  amica, que representa la relaci on y pseudoest´aticas. aticas. En el ejemplo anterior estos coeficientes son, para los momentos y las flechas, los siguientes:

F AC M  M (x, t) = F AC w (x, t) =

M (x, t) M ( M (x)f ( f (t) w(x, t) w(x)f ( f (t)

En general, los coeficientes F AC M  distintos entre s´ı y dependen dependen de la M (x, t) y F AC w (x, t) son distintos secci´on on x de estudio estudi o as´ı como del instante in stante t. Por simplicidad se suele adoptar el m´aximo aximo que ocurre a lo largo del tiempo de los valores valores de las fracciones fracciones anteriores, anteriores, o bien en forma matem atica: a´ tica:

F AC M  ax ax {F AC M  M (x) = m´ M (x, t)} t

(1.6)

F AC w (x) = m´ ax ax {F AC w (x, t)} t

En la pr´actica, actica, y a efectos de c´alculo alculo en un proyecto, es m´as as conveniente considerar el posible desfase entre el instante en el que se produce la m axima a´ xima accion o´ n y el e´ l de la respuesta m axima a´ xima din´ dinamica a´ mica y definir consecuentemente el coeficiente de impacto en la secci on o´ n x como sigue:

m´ ax axt {M ( M (x, t)} m´ ax axt {M ( M (x)f ( f (t)} m´ ax axt {w(x, t)} F AC w (x) = m´ ax axt {w(x)f ( f (t)} F AC M  M (x) =

(1.7)

Normalmente, el coeficiente de impacto definido de esta forma en 1.7 no coincide con el expresado por (1.6). Una vez conocidos los valores de estos coeficientes se puede llevar a cabo el dise no, n˜ o, a partir de un calculo a´ lculo pseudoest´ pseudoestatico, a´ tico, multiplicando la respuesta as´ as´ı obtenida por los pertinentes coeficientes de A. Samart´ Samart´ın, ın, P. P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

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Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

mayoraci´on din´amicos. Estos coeficientes pueden ser conocidos de antemano, bien por c´alculos o bien por procedimientos emp´ıricos previos. Incluso en estructuras poco importantes o con efectos din´amicos no significativos, se suele utilizar el valor del coeficiente de amplificaci o´ n correspondiente a la secci o´ n en la que se produce la m a´ xima respuesta de la estructura. En este caso, se considera v a´ lida la aplicacio´ n de los valores constantes de estos coeficientes a todas las secciones. En el caso de la viga simplemente apoyada del ejemplo anterior se utilizar´ıan los coeficientes siguientes:

 

F AC M  = F AC M  F AC w = F AC w

L 2 L 2

correspondientes a la secci o´ n de centro de luz que es en la que se producen los coeficientes m a´ ximos de impacto. Frecuentemente, se procede de forma alternativa al c´alculo anterior. As´ı, en vez de multiplicar los movimientos o esfuerzos por los coeficientes din a´ micos de mayoraci´on, se amplifican los valores m´aximos de las acciones, por los factores de mayoraci o´ n din´amicos correspondientes a la respuesta que se desea conocer, y se lleva a cabo el c a´ lculo est´atico con las cargas as´ı mayoradas. Este procedimiento se conoce como m´etodo quasi-est´atico de c´alculo de una estructura ante acciones din a´ micas (viento, frenado, se´ısmos etc.). Suele ser un procedimiento de c a´ lculo utilizado en estructuras poco importantes y recomendado en algunas normas pero se comprende que es aproximado. En efecto, puede sobreestimar la respuesta en algunas secciones y por el contrario, subestimarla en otras.

1.3.

Acciones din´amicas. Clasificaci´on

Las acciones din´amicas se caracterizan, como se ha indicado, por su variaci o´ n en el tiempo de forma r´apida en comparaci o´ n con el per´ıodo propio de la estructura. Las acciones din a´ micas igual que las est´aticas, pueden corresponder a fuerzas o cargas, caso del viento o una explosi´on o a movimientos impuestos en alg´un o algunos puntos de la estructura, como ocurre con el se´ısmo. Desde un punto de vista de modelizaci o´ n de las acciones din´amicas, e´ stas se pueden considerar  prescritas o deterministas y aleatorias. Las acciones din´amicas aleatorias corresponden a un conjunto de acciones din´amicas prescritas con una probabilidad asociada de ocurrencia, es decir, est a´ n definidas en t´erminos estad´ısticos. Las acciones din´amicas deterministas se suelen clasificar, atendiendo a su duraci o´ n, en los dos grupos siguientes: 1.

Acciones distribuidas

2.

Acciones impulsivas

Las primeras acciones son de larga duraci o´ n y se pueden subdividir a su vez en peri´  odicas y no  peri´  odicas, segu´ n se repitan o no en el tiempo a partir de cada intervalo T  o per´ıodo de la accio´ n, que no debe confundirse con el per´ıodo propio de la estructura, que se definir a´ m´as adelante. En el caso de acciones perio´ dicas, existe una situaci´on especial de periodicidad denominada circular o arm o´ nica, que presenta un inter´es relevante en el c´alculo din´amico y en las aplicaciones. Las acciones din´amicas de corta duraci o´ n o impulsivas pueden clasificarse por su forma de variaci o´ n regular  (rectangular, triangular, sinusoidal etc.) o irregular . A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.3 Acciones din amicas. Clasificaci on ´  ´ 

Deterministas

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Acciones din´amicas Perio´ dicas Arm´onicas Distribuidas No arm´onicas No peri´odicas Impulsivas Regulares Irregulares

Aleatorias Cuadro 1.1: Clasificacio´ n de las acciones din´amicas

En la tabla 1.1 se resume la clasificaci´on anterior de las acciones din´amicas deterministas. Se comentan a continuaci´on algunos ejemplos de los distintos tipos de acciones din´amicas pertenecientes a la clasificaci o´ n de la tabla 1.1

Figura 1.3: Acciones din´amicas

Ejemplo 1.4 La rotaci´on de una m´aquina con una distribuci´on de masas desequilibrada respecto al eje de rotaci´on produce una accion ´ din´amica de tipo arm o´ nico como la representada en la figura 1.3(a). Una situaci on ´ m a´ s general corresponde a las fuerzas generadas por una turbina en la cual las acciones peri o´ dicas son m´as irregulares que en el caso arm´onico como se observa en la figura 1.3(b). La carga distribuida que se muestra en la figura 1.3(c) puede ser la producida por los movimientos impuestos de un terremoto en la base de cimentaci o´ n de una estructura durante un lapso de tiempo significativo. Por el contrario, la carga impulsiva de la figura 1.3(d), que podr ´ıa ser la debida a la acci´on de una explosi´on o de un impacto, presenta una duraci´on muy peque˜na frente al car´acter continuado de la A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

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Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

acci´on s´ısmica.

Es conveniente tener en cuenta que, a veces, una misma acci o´ n din´amica, como la debida al viento, puede producir presiones de forma continuada y distribuidas espacialmente sobre una estructura, y de un modo simult´a neo, cargas impulsivas y de car´a cter local como las r´a fagas. Dada la gran variaci´on temporal y espacial de la distribucio´ n de las presiones del viento se suelen tratar e´ stas mediante su modelizaci o´ n como procesos aleatorios. Finalmente, las acciones se pueden aplicar en una estructura en forma de fuerzas actuantes (viento, impacto, etc.) o bien como movimientos impuestos (terremotos, maquinaria rotante etc.). En este curso se tratar´an las acciones s´ısmicas, sin embargo, muchos de los resultados presentados podr´an, sin dificultad, ser extendidos a otros tipos de acciones din´amicas.

1.4.

Acci´on s´ısmica. Modos de especificaci´on

Desde un punto de vista de accio´ n, un terremoto consiste en la actuaci o´ n sobre una estructura de unos movimientos impuestos en todos sus puntos de contacto con el terreno de cimentaci´on. Estos movimientos impuestos por el terremoto son, en general, desplazamientos con tres componentes, una vertical y las otras dos en el plano horizontal. Su variaci o´ n temporal es err´atica, ya que es el resultado, como se ver´a mas adelante, de la combinaci o´ n de diferentes tipos de ondas vibratorias de distinto car´acter, que se producen como consecuencia de las reflexiones y refracciones que ocurren en la transmisi o´ n del sismo a trav´es de la corteza terrestre, desde su origen hasta el emplazamiento de la estructura. Los movimientos que impone el terremoto en los puntos de contacto de la cimentaci o´ n de la estructura con el terreno, son, en general, diferentes entre los distintos puntos. Sin embargo, en el caso de puntos suficientemente cercanos, es admisible suponer que los desplazamientos impuestos por el se´ısmo son iguales. Por consiguiente, en los casos de cimentaciones cuya dimensio´ n en el sentido de la propagaci´on del se´ısmo sea peque˜na, se puede considerar que la estructura se encuentra toda ella sometida a un u´ nico desplazamiento variable en el tiempo y, en general, con sus tres componentes activas. Se dice, entonces, que el terremoto excita a la estructura con un movimiento u´ nico. En el caso de cimentaciones de dimensiones importantes, del orden de las longitudes de las ondas s´ısmicas (varios centenares de metros), la hip´otesis de movimiento u´ nico puede estar muy alejada de la realidad y ser preciso, en algunos casos, estudiar la posibilidad de que el terremoto act´ue seg´un movimientos distintos en puntos distantes entre s´ı. Esta situaci´ on se conoce como excitaci´on s´ısmica m´ultiple de apoyos. Una accio´ n s´ısmica est´a totalmente especificada si se conocen, durante el intervalo de su actuaci o´ n, las variaciones temporales de las tres componentes de los desplazamientos que induce en todos puntos de la cimentaci´o n sobre la que act´ ua. Como estos datos se conocen de forma num´erica, es decir, digitalizados en un nu´ mero finito de puntos de la cimentaci o´ n, a veces se hace necesario, para el c a´ lculo de algunos tipos de estructuras, discretizadas de acuerdo con unos determinados niveles de continuidad, conocer, no so´ lo, los desplazamientos sino las rotaciones de estas part´ıculas, o lo que es equivalente sus derivadas espaciales. La evaluacio´ n de las derivadas espaciales a partir de los desplazamientos, puede producir importantes errores num´ericos, por lo que en estos casos la especificaci o´ n de la acci o´ n s´ısmica exige tambi´en el conocimiento de las variaciones temporales y espaciales de las rotaciones en los puntos de la cimentaci´on. Sin embargo, dada la escasez de datos disponibles sobre los movimientos rotatorios que genera un terremoto, su consideraci o´ n en c´alculos pr´acticos es muy excepcional, y muchas veces con el objetivo de evaluar cualitativamente la respuesta de la estructura. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.4 Accion ısmica. Modos de especificaci on ´  s´  ´ 

14

Acci´on de un terremoto sobre una estructura Movimientos Actuaci´on ´ Desplazamientos Unicos Giros

M´ultiples ´ Unicos M´ultiples

Cuadro 1.2: Especificacio´ n de la accio´ n s´ısmica

En siguientes apartados se estudiar´an los procedimientos para tener en cuenta, dentro de un c´alculo din´amico, los distintos tipos de actuaci´on s´ısmica, incluso las situaciones, m a´ s te´oricas que pr´acticas, de excitaci´on en forma de giros impuestos. De esta forma se espera alcanzar el objetivo de dar una visi o´ n m´as completa de dichos procedimientos de c a´ lculo. La tabla 1.2 resume los distintos tipos de actuacio´ n de un se´ısmo sobre una estructura. Por consiguiente, es preciso caracterizar en el movimiento s´ısmico, ya los desplazamientos, ya los giros o bien ambos. La situaci o´ n ideal desde el punto de vista de c a´ lculo ser´ıa conocer la variaci o´ n temporal de las seis componentes, desplazamientos y giros, del movimiento s´ısmico en cada punto de la cimentacio´ n. Esta situacio´ n es evidentemente te o´ rica, ya que la informaci o´ n disponible en el c´alculo de una estructura a efectos s´ısmicos es mucho m´as escasa y difusa que la ideal anterior. Por ello, a veces, se modeliza la accio´ n s´ısmica como un proceso aleatorio, en vez de considerarla dentro de un planteamiento determinista m´as o menos preciso del potencial terremoto actuante sobre la estructura. En cualquier caso, existen varios niveles de especificaci´on de un se´ısmo a considerar dentro de un c a´ lculo estructural, que se diferencia en el nivel de certidumbre existente en dicha especificaci o´ n. A estos efectos, se consideran dos posibilidades de especificaci´on de un terremoto: (a) Determinista (b) Aleatoria. En relacio´ n con una modelizaci o´ n determinista del se´ısmo, existen varias posibilidades, que se comentan a continuaci´on. En primer lugar, el nivel m´ınimo de especificaci o´ n de un terremoto corresponde a predecir el terremoto de mayor poder destructivo que va actuar en el emplazamiento de la estructura. Con la escasa informacio´ n disponible referente a la Geolog´ıa, Tecto´ nica y sismicidad y la historia s´ısmica de la zona se precisa definir el terremoto de mayor magnitud o energ´ıa liberada en su aparici´on. Evidentemente, terremotos con igual magnitud y epicentro producen da˜nos diferentes en una estructura determinada. Esta circunstancia es debida a que los movimientos, que se generan en la cimentaci o´ n de la estructura, presentan diferentes historias temporales y espaciales, con diferentes contenidos de frecuencias y amplitudes y como consecuencia, por lo tanto, la respuesta de la estructura es diferente para cada se´ısmo actuante. As´ı pues, la informaci o´ n aislada de la magnitud no es suficiente para obtener una evaluaci o´ n del da˜no previsible en la estructura. Un paso m´as en la elaboraci o´ n de una mejor definici o´ n del terremoto a considerar en el proyecto, o terremoto de dise˜no, corresponde a obtener una estimaci´on de los valores m a´ ximos o pico de los movimientos del se´ısmo y de sus derivadas temporales, es decir, de sus velocidades y aceleraciones. Para ello es necesario correlacionar, normalmente a nivel regional ya que localmente la informacio´ n ser´a escasa, la magnitud y los valores pico anteriores, pero teniendo en cuenta otras variables de importancia en esta correlaci´on, como son la distancia del epicentro, punto o falla de generaci´on del terremoto, al emplazamiento de la obra a construir. A partir de estos valores pico es posible obtener mediante reglas emp´ıricas, basadas en datos estad´ısticos de terremotos histo´ ricos instrumentados, un espectro de respuesta de dise˜  no A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

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Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

que constituye, en cierto sentido, la envolvente de los espectros de respuesta posibles de los movimientos s´ısmicos con los valores pico supuestos. Como se ver´a en un cap´ıtulo posterior, el espectro de respuesta de un se´ısmo define los valores m´aximos que e´ ste produce en la respuesta de una estructura, con un s o´ lo grado de libertad (oscilador simple). El espectro as´ı definido es funci o´ n, adem´as de las caracter´ısticas del terremoto, de las constantes din´amicas de la estructura, es decir, de su per ´ıodo propio y de su amortiguamiento viscoso. Con esta informacio´ n del espectro es posible, de forma estricta, evaluar la respuesta m a´ xima de una estructura con un so´ lo grado de libertad, pero su aplicaci o´ n se extiende normalmente, dentro de una aproximacio´ n razonable, para efectuar un c a´ lculo lineal aproximado de una estructura, modelizada con varios grados de libertad. Para ello se emplean reglas heur´ısticas de composici´on de modos, que permiten as´ı estimar los valores m a´ ximos de su respuesta. Sin embargo, con la especificaci´on del se´ısmo mediante un espectro de dise˜no no es posible llevar a cabo un c´alculo no lineal que considere posibles zonas de plastificaci´on o de fisuraci o´ n de la estructura bajo la actuaci o´ n din´amica del terremoto. En este caso es necesario disponer de un acelerograma real o bien de un acelerograma sint´  etico o artificial, compatible ya con el espectro de disen˜ o o mejor con los espectros de algunos terremotos reales cercanos o semejantes a los susceptibles de ser sentidos en el emplazamiento de obra a construir. La necesidad de un c a´ lculo no lineal puede producirse en aquellos casos en los que sea preciso considerar la acci´on de un terremoto de gran intensidad, t´ıpicamente con una probabilidad muy baja de ocurrencia, y que no deber´ıa ser resistido por la estructura en fase el´astica, ya que puede resultar un dise˜no para ella econ´omicamente prohibitivo. En resumen, los datos disponibles de la acci o´ n s´ısmica a considerar en el c a´ lculo de una estructura suelen ser muy distintos. La eleccio´ n en cada caso de los m a´ s adecuados depende de diversos factores, entre otros, de la importancia de la estructura como elemento vital de protecci´on civil en el evento de un terremoto, de las consecuencias de su falta de funcionamiento o de su colapso, de la sismicidad local del emplazamiento etc. Evidentemente el grado de exactitud de los datos de las acciones exige un refinamiento paralelo y proporcional en la metodolog´ıa del c´alculo de los esfuerzos y de las tensiones, as´ı como de la concepcio´ n de la estructura, su dise˜no y comprobacio´ n. Este debe incluir una adecuada disposici o´ n de los detalles constructivos y resistentes. A continuaci´on se listan algunos formatos usuales de definici o´ n de las acciones s´ısmicas, los cuales han sido recogidos en parte en los comentarios anteriores: 1.

Aceleraci´on m´axima

2.

Valores m´aximos de desplazamiento, velocidad y aceleraci o´ n.

3.

Valores m´aximos del movimiento s´ısmico as´ı como su duraci o´ n.

4.

Valores m´aximos de apartado anterior y adem a´ s el per´ıodo dominante.

5.

Espectro el´astico de respuesta.

6.

Espectro elasto-pl´astico de respuesta.

7.

Acelerogramas artificiales.

8.

Espectro de Fourier del se´ısmo.

9.

Densidad espectral de energ´ıa.

Cada uno de los formatos anteriores ser a´ objeto de una definicio´ n precisa y de los oportunos comentarios en los siguientes cap´ıtulos. No obstante, de acuerdo con el formato disponible de los datos de la acci´on s´ısmica, el proceso de c a´ lculo din´amico a utilizar puede variar en su grado de elaboraci´on, ya que el nivel final de exactitud que se alcanza en el dise n˜ o es una conjuncio´ n de ambos procesos- datos y refinamiento de c´alculo. A continuacio´ n se insiste en algunos de estos aspectos. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.5 El c alculo s´  ısmico ´ 

1.5.

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El ca´ lculo s´ısmico

Como es sabido, el an a´ lisis de una estructura representa la fase del proceso del c a´ lculo en la que se estudia su respuesta, ante la actuaci´on de unas acciones conocidas, mediante un modelo resistente idealizado de la construcci´on real. La respuesta se mide en general, en t´erminos de los movimientos, esfuerzos y tensiones que se producen en la estructura. El conocimiento de las acciones y propiedades de la estructura es necesario para alcanzar una adecuada correlaci o´ n entre la respuesta calculada (la cual exige una interpretacio´ n posterior) y el comportamiento real de la estructura. Por consiguiente, con unos datos escasos o poco fiables, tanto de las acciones como de las propiedades de la estructura, efectuar un an´alisis complejo carece de sentido. A este respecto, se puede afirmar que seg u´ n sea el formato de los datos de la acci´on s´ısmica asequibles, el proceso de c a´ lculo din´amico a utilizar debe de variar en su grado de elaboraci´on (Ver la tabla 1.3): C´alculo s´ısmico quasi-est´atico, c´alculo espectral modal, c´alculo modal, c´alculo no lineal etc. de acuerdo con un planteamiento determinista o probabilista. Caracterizaci´on del terremoto seg u´ n el m´etodo de c´alculo M´etodo de c´a lculo Formato de los datos del terremoto Unimodal acmax , T B Modal espectral acmax , SA/g Superposici´on modal en el tiempo ac (t) Directo en el tiempo ac (t) En el dominio de la frecuencia ac (t) Cuadro 1.3: Datos s´ısmicos seg´un el m´etodo de c´alculo Se ha introducido la siguiente notaci´on: acmax la aceleraci o´ n m´axima del se´ısmo, ac (t) la variacio´ n temporal de esta aceleraci o´ n y SA/g el espectro de disen˜ o de respuesta de las aceleraciones. Por otra parte, la actuaci o´ n de un terremoto origina una respuesta din a´ mica, cuyas diferencias con la de un c a´ lculo est´atico ya han sido comentadas. Adem´as, la excepcionalidad en la ocurrencia de la accio´ n s´ısmica, y muchas veces en su intensidad, aconseja, normalmente, un an a´ lisis que tenga en cuenta la posibilidad de un comportamiento del material fuera de la fase el a´ stica o de servicio de la estructura, e incluso la aparici o´ n de cambios importantes en su geometr´ıa en relacio´ n con la original. Por ello, el an´alisis s´ısmico de una estructura debe ser din´amico y no lineal, al menos te´oricamente. Esta circunstancia implica que no es v a´ lida la superposicio´ n de las acciones, es decir, si la estructura se encuentra sometida a otras cargas est a´ ticas (gravitatorias o de uso por ejemplo) adem a´ s de la acci o´ n s´ısmica, deben de ser todas ellas analizadas de forma conjunta con e´ sta, dentro de un mismo c a´ lculo din´amico. Por el contrario, si la linealidad estructural constituye una hip´otesis suficientemente aproximada de c a´ lculo, e´ ste puede, y es conveniente, ser separado en dos tipos -est a´ tico y din´amico- para tener en cuenta las distintas acciones y superponer los resultados finales del c´alculo de ambos tipos. Normalmente, el tratamiento de la no linealidad del material, se tiene en cuenta de un modo aproximado en la pr a´ ctica mediante la consideraci´on de su ductilidad, como se comentar´a en cap´ıtulos posteriores.

1.6.

Modelizaci´on de estructuras bajo acciones din´amicas

1.6.1.

Introducci´on

Como se ha comentado en apartados anteriores, el c a´ lculo de una estructura sometida a cargas est a´ ticas consiste simplemente en obtener, a partir del conocimiento de las cargas y de las caracter ´ısticas A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

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Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

´ el´asticas de la estructura -rigideces o flexibilidades- su respuesta. Esta se expresa en forma de movimientos y deformaciones, que generan los esfuerzos (o tensiones) que equilibran las cargas est a´ ticas actuantes. De forma resumida, el c´alculo est´atico de una estructura se puede llevar a cabo una vez conocidas las cargas exteriores P  aplicadas en sus distintos gdl y la distribuci´on de su rigidez (o equivalentemente de su flexibilidad), que define su comportamiento el´astico. En el caso de una estructura con un n u´ mero finito N  de gdl, P es un vector cuyas componentes son las fuerzas aplicadas en los N  gdl, es decir, un vector de dimensi´on N  × 1. As´ımismo, la rigidez k es una matriz de dimensi´on N  × N  cuyo t e´ rmino gen´erico kij representa la fuerza que aparece en el gdl i cuando se produce un movimiento unitario (u j = 1) en el gdl j , supuestos nulos los movimientos en los restantes gdl. La ecuaci o´ n de equilibrio que resulta, en este caso, es:

ku = p

(1.8)

Si el n u´ mero de gdl de la estructura es infinito (1-D), el vector p se convierte en este caso, en la funci´on de intensidades de las cargas p(x), de forma que la carga aplicada en el gdl definido por la abscisa x es directamente p(x)dx y la matriz de rigidez k se representa por un operador diferencial en la abscisa x. As´ı, si se trata de una viga plana recta a flexi o´ n con seccio´ n variable con la abscisa x de rigidez EI (x), este operador se expresa por

d2 dx2



d2 EI (x) dx 2



. De esta forma la ecuaci o´ n de equilibrio

de la viga se escribe, an a´ logamente al caso discreto representado por la ecuaci o´ n 1.8, como sigue:

d2 d2 EI (x) v(x) = p(x) dx2 dx2





(1.9)

con v(x) los desplazamientos normales inc´ognitas y p(x) la distribuci´on de las cargas normales. En el caso de una placa a flexi o´ n, que constituye un ejemplo de estructura 2-D con un n u´ mero infinito al cuadrado de gdl, la ecuacio´ n de equilibrio expresada en t´erminos de rigidez y en coordenadas rectangulares x e y , es:

2 D2 v(x, y) = p(x, y)

 

en la cual se ha supuesto el espesor de la placa h variable. Se ha utilizado la notaci´on 2 =

(1.10) ∂ 2 ∂x 2

+

∂ 2 ∂y 2

3

Eh y la rigidez de la placa D = 12(1 , la flecha normal a su plano en un punto gen e´ rico v(x, y) y la −ν 2 ) intensidad de la carga normal en dicho punto gen e´ rico de coordenadas x, y es p(x, y) . Las ecuaciones anteriores 1.8 y 1.9 deben de ser completadas por las pertinentes condiciones de contorno, ya en forma de movimientos impuestos o de fuerzas conocidas, para que pueda llevarse a cabo la determinaci o´ n de la soluci´on.

Sin embargo, el conocimiento de la rigidez y de las cargas actuantes en una estructura no son datos suficientes para efectuar un c a´ lculo s´ısmico. En e´ ste, adem´as de las fuerzas el a´ sticas, aparecen fuerzas de inercia o de D’Alambert que se oponen al movimiento, lo que exige conocer la distribuci´on de masas en la estructura. De forma an a´ loga a la rigidez, la distribuci o´ n de masas se define en una estructura con un n´umero finito, N , de gdl por medio de la matriz de masas m. Un elemento, mij , de esta matriz cuadrada de dimensi´on N  representa la fuerza que aparece en el gdl i cuando se produce una aceleraci´on unidad en el movimiento del gdl j . El equilibrio de fuerzas se plantea an˜ adiendo a las fuerzas exteriores variables 2 en el tiempo, P = P(t), las de inercia −m ddt2 , con lo que la ecuaci o´ n (1.8) se convierte en la siguiente: u

d2 u ku = P(t) − m 2 dt A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.6 Modelizaci on ´  de estructuras bajo acciones din amicas ´ 

o bien con la notaci´on usual u˙ ≡

du , se dt

18

escribe: m¨ u + ku = P(t)

(1.11)

con u = u(t) el vector de desplazamientos en el instante t. Si la estructura es continua 1-D, la distribuci´on de masas se define por la funci´on intensidad m(x), que representa la masa por unidad de longitud, de modo que la masa de un punto material es m(x)dx. En este caso la ecuaci´on de equilibrio 1.9 se transforma como sigue:

∂ 2 v(x, t) ∂ 2 ∂ 2 v(x, t) m + 2 EI (x) = p(x, t) ∂t 2 ∂x ∂x 2





(1.12)

siendo v = v(x, t) el desplazamiento normal de la viga en la secci´on x y en el instante t. La generalizacio´ n a estructuras continuas 2-D es inmediata, y para el caso particular de placas a flexi´on se tiene al considerar en la ecuaci o´ n 1.10 los t´erminos de inercia:

∂ 2 v (1.13) m 2 + 2 D2 v(x, y) = p(x, y) ∂t con v = v(x,y,t) el desplazamiento normal del punto de coordenadas (x, y) en el instante t y p(x,y,t) la accio´ n distribuida variable con el tiempo. La distribuci o´ n de masas se mide por m = m(x, y) de forma que la masa asociada al punto (x, y) es mdxdy. Se supone que la masa no var´ıa con el tiempo.

 

Generalmente, en un c´alculo din´amico se consideran unas fuerzas de amortiguamiento, de origen muy complejo, ya que se generan por la concomitancia de varios factores. Estas fuerzas pretenden simular el car´acter disipativo observado en la respuesta din´amica de las estructuras reales. Es usual proceder a la simplificacio´ n matem´atica de que todas estas fuerzas disipativas son de car a´ cter viscoso, es decir, pueden ser englobadas en un u´ nico t´ermino proporcional a la velocidad del movimiento. De esta forma, se hace preciso en un c a´ lculo din´amico conocer, adem´as de las rigideces, masas y acciones, la distribuci´on en la estructura de su amortiguamiento. Si e´ sta es discreta, con un n u´ mero N  finito de gdl, esta distribuci´ on est´a definida por la matriz c cuadrada de dimensi´  on N  de amortiguamiento. El elemento cij de esta matriz, representa la fuerza disipativa total o resistencia al movimiento que aparece en el gdl i cuando se produce una velocidad unidad en el gdl j . La ecuaci o´ n din´amica 1.11 se modifica como sigue: m¨ u + cu ˙ + ku = P(t)

(1.14)

y an´alogamente, las ecuaciones (1.12) y (1.13) se convierten en las siguientes.

∂ 2 v(x, t) ∂v ∂ 2 ∂ 2 v(x, t) m +c + 2 EI (x) = p(x, t) ∂t 2 ∂t ∂x ∂x 2



m



∂ 2 v ∂v +c + 2 D2 v(x, y) = p(x, y) 2 ∂t ∂t

 

(1.15)

(1.16)

Conviene resaltar la complejidad que representa la obtenci o´ n en la pr a´ ctica de la distribuci o´ n del amortiguamiento en una estructura. En efecto, depende, no s o´ lo de las caracter´ısticas del material de la estructura, sino de su tipolog´ıa, tama no, ˜ proceso constructivo y tipo de enlaces, apoyos, juntas etc. existentes en la misma. Se suelen usar en un c´alculo t´ıpico valores medios conocidos para otras estructuras similares. En aquellos casos en los que sea precisa su determinaci´on, es usual recurrir a una experimentaci´on directa, ya en modelos de gran escala o en la propia estructura real. Este proceso de c a´ lculo de A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

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Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

las caracter´ısticas de una estructura, a partir de datos suministrados por su comportamiento ante unas pruebas de carga, se denomina identificaci´  on estructural. Finalmente, la resoluci´on de las ecuaciones din a´ micas de una estructura constituye una tarea laboriosa que exige normalmente recursos de computaci´on importantes si la estructura se representa con un n´umero elevado de gdl. A veces se suele despreciar en las ecuaciones din´amicas, (1.14), (1.15) y (1.16), todos los t´erminos en derivadas temporales, es decir, los t e´ rminos correspondientes a las fuerzas de inercia y de amortiguamiento. La solucio´ n que se obtiene tras esta simplificaci o´ n dr´astica de las ecuaciones se conoce como soluci´  on pseudoest´  atica.

1.6.2.

Clasificaci´on de los modelos din a´ micos

En la exposici´on anterior se ha supuesto el mismo nivel de discretizaci o´ n para las distribuciones de la rigidez, de la masa y del amortiguamiento de la estructura, es decir, el mismo n u´ mero de gdl en todas las caracter´ısticas f ´ısicas de la estructura. Sin embargo, es posible, y a veces conveniente desde un punto de vista computacional, modelizar de forma diferente las distintas distribuciones de rigidez, masa y amortiguamiento. Normalmente, la modelizaci o´ n de la rigidez exige ser m a´ s fina, con mayor n´umero de gdl que la de la masa, puesto que una simulaci´on aproximada de esta u´ ltima no suele producir errores importantes en los resultados del c´alculo. Contrariamente, una modelizaci´on poco precisa de las rigideces de una estructura puede provocar importantes errores en los resultados. De acuerdo con las posibilidades apuntadas se pueden clasificar las estructuras seg´un el grado de discretizaci o´ n de su masa y rigidez como sigue (no se considera el amortiguamiento por su menor importancia relativa): 1.

Estructuras con masa y rigideces concentradas

2.

Estructuras con masas concentradas y rigideces distribuidas

3.

Estructuras con masas distribuidas y rigideces concentradas

4.

Estructuras con masas y rigideces distribuidas

Antes de comentar la clasificaci´on anterior, conviene, en primer lugar, observar que estructuras distintas pueden conducir a id e´ nticos modelos din´amicos estructurales. En la figura 1.4 se muestran algunos ejemplos de esta situacio´ n, correspondientes a estructuras pertenecientes a una de las clases anteriores, y cuyo comportamiento din´amico es producido por un se´ısmo de componente un movimiento de traslaci´on horizontal. As´ı, en la figura 1.4a se presenta un modelo din a´ mico discreto, de un gdl y una masa concentrada, que puede corresponder bien al modelo t´ıpico de masa y resorte o bien a un p o ´ rtico plano con dintel r´ıgido con masa y soportes flexibles sin masa. An´alogas consideraciones son aplicables a las estructuras, tambi´en discretas de la figura 1.4b. A veces, la modelizaci o´ n produce modificaciones en la clase de estructura, como ocurre en la 1.4c en la que se transforma una estructura con masa distribuida por otra con masas concentradas. En la figura 1.5 se indican algunos ejemplos representativos de cada una de las clases anteriores de modelos din´amicos. La figura 1.5a representa la idealizaci o´ n de un po´ rtico de edificacio´ n. Corresponde a un p o´ rtico simple con un dintel de rigidez muy elevada respecto a la de los soportes, de valor k. La masa del forjado se concentra en el dintel y se supone despreciable la masa de los soportes. La estructura es de un solo gdl, la traslacio´ n horizontal del dintel, y corresponde a un modelo de rigidez discreta de valor y una masa concentrada M . k = 2 × 12LEI  3 En la figura 1.5b se muestra una modelizaci o´ n del p´ortico simple suponiendo una serie de masas concentradas de valor m a lo largo de sus elementos- dintel y vigas- y una rigidez distribuida en los A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

20

Figura 1.4: Ejemplos de estructuras din´amicas mismos, en los que se supone una secci o´ n constante de rigidez EI . La distribucio´ n de masas se simula mediante un conjunto de masas concentradas m equivalente a la distribucio´ n de masas original. Este modelo constituye una discretizaci´on del po´ rtico simple de la figura 1.5d de masas distribuidas con un valor unitario m ¯ y una rigidez asimismo distribuida. Finalmente la figura 1.5c representa un ejemplo de estructura de masas distribuidas pero de rigideces concentradas. Corresponde este ejemplo a un modelo de pilote r´ıgido,aunque con masa distribuida de intensidad m, inserto en un terreno el a´ stico tipo Winkler, que se simula mediante un conjunto de muelles el´asticos. El conjunto pilote-terreno as´ı considerado corresponde a la clase referida como de masas distribuidas y rigideces concentradas. Desde un punto de vista pr a´ ctico los modelos discretos son m´as utilizados por su mayor facilidad de c´alculo mediante computador, si bien su exactitud depende del nivel de refinamiento de la discretizaci o´ n, medido e´ ste, frecuentemente, por el n u´ mero de gdl resultante total. A continuaci´on se muestran algunos procedimientos de idealizaci o´ n, o mejor de discretizaci o´ n de estructuras con masas y rigideces continuas, en otras con una o ambas de estas caracter ´ısticas discretas.

1.7.

M´etodos de discretizaci´on

Existen tres t´ecnicas de uso frecuente en la discretizaci o´ n de estructuras, es decir, de reducci o´ n del n´umero de gdl desde valores continuos a valores finitos:

1.

Concentraci´on de propiedades

2.

Utilizaci´ on de funciones de forma

3.

Elementos finitos A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

21

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

Figura 1.5: Clasificacio´ n de estructuras din´amicas

En los siguientes subapartados se comenta cada una de ellas.

1.7.1.

M´etodo de concentraci´on de propiedades

Es el procedimiento m´as directo de discretizaci o´ n de una estructura continua. Consiste en esencia en dividir la estructura en nudos y elementos (barras, placas o laminas en el caso 2-D o paralelep ´ıpedos o tetraedros en el 3-D). Las masas y las rigideces se concentran en los nudos originados en la discretizaci´on anterior. En la figura 1.6 se presentan algunos ejemplos de aplicaci´on de esta t´ecnica de concentraci´on de masas y rigideces. El dep´osito elevado de la figura 1.6 se puede discretizar mediante un conjunto de vigas en serie de seccio´ n constante EI i en cada una de ellas. En los nudos de conexi o´ n entre vigas se disponen unas masas concentradas mi y una masa concentrada M  en el extremo superior que simula el dep´osito existente. Esta masa M , si las dimensiones del depo´ sito son importantes deber´ıa completarse con la inercia de giro J  de la masa rotatoria alrededor de un eje normal al plano de la viga en el extremo superior de la misma. El p o´ rtico plano plano representado en la figura 1.6b se discretiza de la siguiente manera: Sus rigideces en vigas con gdl en sus extremos (dos desplazamientos y un giro en cada uno de ellos) como es usual en el c´alculo de estructuras y las masas se concentran en los nudos considerando los gdl traslacionales solamente, ya que es usual no tener en cuenta las masas rotatorias en los nudos por la dificultad que supone su estimaci´on intuitiva. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

22

Figura 1.6: M´etodo de concentracio´ n de propiedades

En la figura 1.6c se muestra la discretizaci´on de una placa en un emparrillado plano compuesto de vigas cuyas rigideces son equivalentes a las de la placa, es decir, la rigidez del tramo de placa comprendido entre las directrices o ejes de las vigas de la parrilla es igual a la de la viga correspondiente del emparrillado. Las masas se concentran en los nudos de la estructura. La t e´ cnica de concentraci o´ n se aplica tambi´en, con frecuencia, a estructuras con un n u´ mero finito de gdl, pero con masa distribuida. Esta masa se concentra en cada uno de estos gdl, de acuerdo con criterios intuitivos, basados en la longitud, a´ rea, o volumen de puntos materiales (con densidad) tributarios de cada gdl. El ejemplo siguiente ilustra la aplicaci´on de este m´etodo de discretizacio´ n de estructuras.

Ejemplo 1.5 Se discretiza, seg u´ n el m´etodo de la concentraci o´ n de propiedades, la torre de altura H  de secci´on tubular de espesor constante e y radio medio r(z) variable linealmente entre un valor 2R para z = 0 y R para z = H . Se supone que el m´odulo de elasticidad E  del material es constante as´ı como su densidad ρ. La torre est´a sometida a una carga uniforme en toda su altura pero de intensidad variable en el tiempo, es decir, p(z, t) = pf (t). Se A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

23

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

desea obtener las expresiones de las matrices y vectores caracter ´ısticos para una discretizaci o´ n constituida por dos elementos tipo viga de la misma longitud.

Figura 1.7: Ejemplo del m´etodo de concentracio´ n de propiedades Para una viga gen´erica de luz L y rigidez a flexi o´ n EI , con los gdl (locales) indicados en la figura 1.7c las expresiones de la matriz de rigidez, tanto la lineal como la geom e´ trica, la de masa y del vector equivalente de cargas se indican a continuaci´on:  Matriz de rigidez lineal

Se supone los grados de libertad representados en la figura 1.7c y en el orden u1 , u2 , θ1 , θ2 con lo que esta matriz se escribe, ver por ejemplo [ ?]:

k=

   

EI  EI  EI  EI  12 3 −12 3 6 2 6 2 L L L L EI  EI  EI  EI  12 3 −6 2 −6 2 −12 3 L L L L EI  EI  EI  EI  6 2 4 2 −6 2 L L L L EI  EI  EI  6 2 2 EI  4 −6 2 L L L L

   

(1.17)

A veces en vigas cortas y con secci o´ n variable se debe incluir la deformaci o´ n por cortante, con lo que la matriz de rigidez anterior se modifica como sigue:

k=

    

EI  EI  EI  EI  12 3 −12 3 6 2 6 2 L L L L EI  EI  EI  EI  12 3 −12 3 −6 2 −6 2 L L L L EI  EI  EI  α EI  α 6 2 1+ 2 1− −6 2 4 L L L 4 L 2 6

EI  L2

−6

   

EI  EI  α 2 1− 2 L L 2

4

       

EI  α 1+ L 4

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

(1.18)

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

24

12EI  E un coeficiente adimensional en el cual A es el a´ rea reducida de cortante y G = 2(1+ν) 2 GAL el m´odulo de deformaci´on transversal. En el caso particular de secci´on circular A = 34 Ω, con Ω el a´ rea de siendo α =

la seccio´ n. Para otras secciones se puede consultar en la bibliograf ´ıa [?]. Es posible obtener expresiones m´as exactas de la matriz de rigidez lineal (1.18) de una viga en la que se considera el cortante a partir de la ecuaci´on diferencial de la viga como se muestra en [ ?].  Matriz de rigidez geom etrica ´ 

Esta matriz debe tenerse en cuenta en los casos de estructuras muy esbeltas o sometidas a fuertes compresiones, en las que existe la posibilidad de importantes variaciones de la geometr ´ıa inicial de la estructura, por lo que sus ecuaciones de equilibrio deben plantearse en la geometr ´ıa de su deformada final. El c a´ lculo as´ı formulado es no lineal. Cuando act u´ a un terremoto de cierta intensidad origina en la estructura importantes movimientos por lo que este efecto de no linealidad  hay que tenerlo en cuenta, al menos de forma aproximada, en el c´alculo. Si se trata de una estructura de edificaci´on o similar, la modificaci´on de los esfuerzos y tensiones que este cambio de geometr ´ıa produce en la estructura se conoce como efecto P  − ∆ ya que suelen ser las acciones axiles (P ) de los soportes las que introducen en la estructuras unos esfuerzos adicionales al producirse entre los extremos de los soportes movimientos relativos ∆. La determinaci o´ n de estos esfuerzos se suele llevar a cabo dentro de un contexto de c´alculo conocido como geom´etricamente no lineal. En la figura 1.8 se muestra este efecto P  − ∆ en una viga gen´erica sometida a una distribuci´on uniforme N  de axiles y se indica a continuaci o´ n un procedimiento aproximado para evaluarlo, que se utiliza con relativa frecuencia.

Figura 1.8: Obtencio´ n simplificada de la matriz de rigidez geom e´ trica Si los gdl locales de la viga son los representados en la figura 1.8 y los desplazamientos normales a la directriz son u1 y u2 , el equilibrio de momentos en la posici´on deformada de la viga, al considerar las acciones axiles, exige la aparici´on de unas reacciones de cortante en los nudos extremos 1 y 2, de signos N  opuestos e igual valor absoluto, es decir, N  L (u2 − u1 ) y − L (u2 − u1 ) siendo N  el valor del axil supuesto de compresio´ n. Este resultado se puede escribir en la siguiente forma:

P 1

=−

P 2

=

N  u2 + L N  u2 − L

N  u1 L N  u1 L

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

(1.19) (1.20)

25

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

es decir, se tiene la expresi o´ n p = kG u, que representa una formulaci o´ n en matriz de rigidez, denominada geom´  etrica. Un t´ermino de esta matriz de rigidez geom e´ trica kG (i, j) representa entonces, de forma similar al caso de la matriz de rigidez lineal, la fuerza que aparece en el gdl i debida a la existencia del esfuerzo axil y al cambio de geometr´ıa de la viga, cuando se produce un movimiento unidad en el gdl j . Al considerar los gdl locales antes definidos se puede escribir la matriz geom e´ trica como sigue:

kG =

  

N  N  − L L N  N  − L L 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

  

(1.21)

Es posible obtener la matriz consistente de rigidez geom e´ trica para una viga gen e´ rica. Aqu´ı s o´ lo representa el resultado final correspondiente a tener en cuenta en ella los esfuerzos axiles de compresi o´ n. La presencia de axiles de tracci o´ n incrementa la rigidez a la flexi o´ n de la viga, por lo que no se suele tener en cuenta su influencia en la matriz de rigidez. La deducci´on de esta matriz de rigidez no lineal o geom´etrica puede verse en textos de c´alculo matricial de estructuras, como el [ ?].

kG =

con:

    

12

EI  −12 3 α4 L EI  12 3 α4 L EI  −6 2 α3 L EI  −6 2 α3 L

EI 

α4 L3 EI  −12 3 α4 L EI  6 2 α3 L EI  6 2 α3 L

EI  6 2 α3 L EI  −6 2 α3 L EI  4 α1 L EI  2 α2 L

EI  6 2 α3 L EI  −6 2 α3 L EI  2 α2 L EI  4 α2 L

    

(1.22)

3ψ1 3ψ2 , α = 2 4ψ12 − ψ22 4ψ12 − ψ22 1 1 α2 α3 = , α4 = − 2ψ1 − ψ2 2ψ1 − ψ2 12 α1 =

3 ψ1 = α



1 1 − α tan α



6 , ψ2 = α



1 1 − sin α α



 

, α=L

N  EI 

(1.23)

Se puede utilizar una matriz de rigidez no lineal que incluya los efectos de la deformaci o´ n de cortante y los no lineales debidos a la compresi o´ n en el soporte, si bien su importancia pr a´ ctica es escasa, por lo que su expresi´on no se reproduce aqu´ı. Una deducci o ´ n de esta matriz puede verse en [ ?].  Matriz de masas

En la deduccion ´ de la matriz de masas de la estructura mediante el m e´ todo de concentraci o´ n, s´olo se consideran las masas de traslaci o´ n, que en el caso que se estudia corresponden a desplazamientos en el sentido de la actuaci o´ n de las acciones, es decir, no se tienen en cuenta los desplazamientos longitudinales que producen axiles, por no ser ´estos excitados por la carga supuesta. Las masas rotatorias son dif´ıciles de evaluar y no se suelen tener en cuenta en una discretizaci´on de propiedades, salvo en casos de masas concentradas con inercia al giro. La matriz de masas se deduce, con estas simplificaciones, para una viga gen e´ rica de forma inmediata al concentrar la masa distribuida, m, de la viga en los gdl traslacionales de los nudos extremos y resulta:

m=

 

1/2 mL 0 0 1/2 mL 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

 

(1.24)

A pesar de las simplificaciones introducidas en la deducci on ´ de la matriz de masas, mediante concentraci´on de propiedades, los resultados que se obtienen en un c´alculo din´amico pueden ser suficientemente aproximados. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

26

Vector de cargas equivalentes

Las fuerzas equivalentes a las uniformemente repartidas en una viga gen e´ rica se deducen directamente, de acuerdo con este procedimiento de concentraci o´ n de propiedades, y resultan en los gdl 1 y 2 respectivamente:

 p1 =

pL f (t) 2

p2 =

y

pL f (t) 2

con valores nulos de los momentos en los gdl 3 y 4. Esta discretizaci o´ n puede mejorarse, de forma an a´ loga a las masas, si se introducen las fuerzas en los gdl de giro, es decir, en los gdl 3 y 4, con lo que se obtiene el vector de fuerzas exteriores: p=



1/2 pL 1/2 pL 1/12 pL2

−1/12 pL2



T 

f (t)

(1.25)

En relacio´ n con las fuerzas equivalentes obtenidas en el ejemplo anterior, conviene tener en cuenta que a veces la segunda discretizaci o´ n de las fuerzas exteriores, aparentemente m a´ s refinada que la primera, puede conducir a resultados menos aproximados, ya que se pueden introducir momentos par a´ sitos de empotramiento r´ıgido carentes de significado f ´ısico si la estructura no es inicialmente discreta. El siguiente ejemplo t´ıpico ilustra esta posibilidad

Ejemplo 1.6 Se considera una estructura arco antifunicular de una distribuci o´ n de cargas repartida. Evidentemente no existen momentos flectores en la estructura. Sin embargo, si el arco se discretiza como una poligonal o conjunto de barras rectas, con cargas repartidas sobre cada una de ellas se pueden producir momentos de empotramiento r ´ıgido en los nudos extremos de las barras. Estos momentos son totalmente par´asitos y est´an causados por una discretizaci´on inadecuada de las cargas.

Finalmente, si la influencia de los esfuerzos axiles y del cambio de geometr´ıa es significativa, puede ser preciso modificar el vector de cargas exteriores anterior de acuerdo con un planteamiento consistente de viga-columna, de forma an´aloga a como se ha deducido la matriz de rigidez geom´etrica (1.22). El siguiente ejemplo muestra esta posibilidad.

Ejemplo 1.7 Aplicando la formulaci o´ n de viga-columna se puede obtener una expresi o´ n de las fuerzas equivalentes que tenga en cuenta la influencia del esfuerzo axil. Vector de cargas equivalentes

Las fuerzas equivalentes consistentes de una viga bajo esfuerzo axil de compresi o´ n y sometida a una carga uniformemente repartida p, de acuerdo con [ ?], son: p=

con:



1/2 pL 1/2 pL 1/12 pL2 ψ3

ψ3 =

6 α 2

 

1 sin

α 2

−

−1/12 pL2 ψ3

 



T 

f (t)

(1.26)

1 α 2

es decir, ψ3 corresponde a la funci o´ n ψ2 anteriormente definida en la que se sustituye α por A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

α . 2

27

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

Una vez deducidas las matrices y vectores caracter´ısticos de cada elemento discreto se deducen los de la estructura completa. Esta operaci o´ n de c´alculo se denomina ensamblado y se lleva a cabo de acuerdo con los m´etodos matriciales de c a´ lculo de estructuras. Normalmente, este ensamblado de las matrices h = (h(α, β )) de cada elemento, se efect u´ a de forma autom´atica en un computador. Si se designa de forma gen´erica, seg´un el caso, por h = k la matriz de rigidez lineal, h = kG la de rigidez geom´etrica o bien h = m la de masas, para obtener la matriz correspondiente H = H(I, J ) de toda la estructura, con H = K, H = KG y H = M, la siguiente expresi´on, bien conocida, permite realizar este ensamblado de matrices: (1.27) H (I, J ) = hn (α, β )



n∈N I Jαβ

La expresi´on anterior no s´o lo es v´alida para elementos estructurales tipo viga con dos nudos sino para otros (elementos finitos) con m a´ s nudos. En ella, se denomina H (I, J ) al t´ermino de la matriz de la estructura que relaciona los gdl globales (es decir, con numeraci o´ n global) I  y J . Los t´erminos hn (α, β ) de las matrices de los elementos n son los que relacionan los gdl locales (o sea, con numeraci o´ n local) α y β . Los conjuntos de elementos N I Jαβ , con α, β  = al n´umero de gdl por elemento, se definen por los elementos cuyos gdl locales α y β  coinciden respectivamente con los gdl globales I  y J . El rango de variaci o´ n de los ´ındices I  y J  se extiende hasta el n u´ mero total de gdl de toda la estructura. A continuaci´on se aplican las expresiones anteriores a la estructura torre de secci´on variable, con una variaci´on del radio dada por la expresi´on r = 2 R −

Rz . H 

Ejemplo 1.8 En este ejemplo, de car a´ cter ilustrativo, s o´ lo se considera una discretizaci o´ n de la estructura en dos vigas, la 1 que une los nudos 0 y 1, y la 2 que une los nudos 1 y 2 (Figura 1.7). Las caracter´ısticas medias constantes en cada viga se suponen que corresponden a las de la secci ´on central. Se puede alternativamente considerar como caracter ´ısticas constantes en cada viga la semisuma de los valores de las caracter´ısticas de las secciones extremas de cada viga. Usando los valores de la secci o´ n central, resultan los siguientes valores para cada viga identificada por un sub ´ındice: ´ Areas : Ω1 = 7/2 π Re y Ω2 = 5/2 π Re Rigideces a flexi´on : EI 1 = EπRe 49 R2 + 4 e2 y EI 2 = EπRe 25 R2 + 4 e2







42 EI  H 

−42 EI  H 

21/2 EI  H 

−42 EI  H 

42 EI  H 

−21/2 EI  H 

−21/2 EI  H 

21/2 EI  H 

−21/2 EI  H 

7/2 EI  H 

7/4 EI  H 

21/2 EI  H 

−21/2 EI  H 

7/4 EI  H 

7/2 EI  H 

30 EI  H 

−30 EI  H 

15/2 EI  H 

15/2 EI  H 

−30 EI  H 

30 EI  H 

−15/2 EI  H 

−15/2 EI  H 

15/2 EI  H 

−15/2 EI  H 

5/2 EI  H 

5/4 EI  H 

15/2 EI  H 

−15/2 EI  H 

5/4 EI  H 

5/2 EI  H 



Por consiguiente las expresiones de las matrices de rigidez lineal de cada una de las vigas 1 y 2 son:

k1 =

k2 =

     

1 3

1 3

1 3

1 2

1 2

2 3

1 2

1 3

1 2

1 2

1 2

2 3

2 3

2 2

2 2

1

1

2 2

2

2

1 2

1

2 2

2 2

1 2

1

2 2

2 3

21/2 EI  H 

2 2

2 2

2

2

     

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

28

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

y la matriz de rigidez de la estructura referida a los gdl globales es:

K = E 0

   

72

(39 R

+4 e2 ) H 3 2

−30

(25 R

+4 e2 ) H 3 2

−30

(109 R

+4 e2 ) H 

30

(25 R

+4 e2 ) H 3

(25 R

2

(25 R

+4 e2 ) H 2

(109 R

+4 e2 ) 2 H 

2

(25 R

+4 e2 ) H 2

6

(25 R

+4 e2 ) H 2 2

15/2

(25 R

+4 e2 ) H 2

(25 R

+4 e2 ) H 2

(39 R

2

−15/2

2

2

−15/2

2

−15/2

2

15/2

−3

+4 e2 ) H 3

2

−3

2

+4 e2 ) H 

2

(49 R

+4 e2 ) H 2

(25 R

+4 e2 ) H 

(25 R

+4 e2 ) H 

2

5/4

+4 e2 ) H 

2

5/4

(25 R

2

−15/2

2

5/2

siendo E 0 = EπRe

   

De un modo an´alogo al anterior se determinan las matrices de rigidez geom e´ trica, que en este ejemplo son ´ despreciables al considerar s´olo la influencia del axil debido al peso propio. Este se considera constante dentro de cada viga y su valor en la secci´on central de cada viga se calcula de acuerdo con la expresi´on, con γ  el peso espec´ıfico del material: Axil en la seccio´ n z N  =



y las matrices son para cada viga:

kg1 =

     

kg2 =



γ π Re 3 H 2  + z 2  − 4 Hz 

33 8

γ πRe

H 

− 33 8 γ πRe 0 0

− 33 8 γ πRe

9 8

33 8

γ πRe

0 0

0

0

0 0

0

0

0 0

γ πRe

− 98 γ πRe 0 0

− 98 γ πRe

9 8

γ πRe

0 0

0

0

0 0

0

0

0 0

con lo que la matriz de rigidez geom´etrica de la estructura es

Kg =

  

42 8 γ πRe − 98 γ πRe

− 98 γ πRe 0 0 9 8

γ πRe

0 0

0

0

0 0

0

0

0 0

(1.28)

        

(1.29)

(1.30)

(1.31)

Las matrices de masas son diagonales y se expresan para cada viga como sigue:

m1 =

m2 =

  

  

7 8

ρπReH  0

0 7 8

0 0

ρπReH  0 0

0

0

0 0

0

0

0 0

5/8 ρπReH  0

0

  

0 0

5/8 ρπReH  0 0

0

0

0 0

0

0

0 0

(1.32)

  

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

(1.33)

29

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

y la matriz de masas de la estructura es:

M=

  

3/2 ρπReH  0

0

0 0

5/8 ρπReH  0 0

0

0

0 0

0

0

0 0

  

(1.34)

Las cargas equivalentes totales aplicadas en los nudos de la estructura son directamente (s´olo se consideran las fuerzas y no los momentos): p=



1/2 pH  1/4 pH  0 0



T 

f (t)

(1.35)

Se puede comprobar en la experimentaci´o n num´erica del ejemplo anterior que la discretizaci´o n puede mejorarse a costa de un mayor esfuerzo de c a´ lculo si se incrementa el n u´ mero de vigas o elementos en los que se divide la estructura. Tambi e´ n pueden utilizarse matrices de rigidez, masas y vectores de carga que tengan en cuenta la variaci´on de la secci´on y propiedades dentro de cada viga, en lugar de su aproximaci´on mediante vigas de propiedades constantes medias. Sin embargo, en este sentido, es m´as adecuado utilizar el segundo m e´ todo de discretizacio´ n conocido como de las funciones de forma. El m´etodo de discretizacio´ n, que se acaba de presentar con un sencillo ejemplo, puede evidentemente extenderse a otras estructuras m a´ s complejas, compuestas por combinaciones de placas, vigas y l´aminas, resultando, tras la concentraci´on de propiedades, estructuras de barras tipo emparrillado y entramados planos y espaciales. En resumen, el procedimiento conduce, en general, a matrices de rigidez y masas muy adecuadas para el c a´ lculo posterior y que son de determinaci o´ n sencilla. No obstante, la sistematizacio´ n del c´alculo de las matrices de masas para su programaci o´ n en un computador, aparte de ser aproximado, puede resultar dif ´ıcil en situaciones complejas. Por consiguiente, este m´etodo exige ser usado con un sentido claro acerca del comportamiento de la estructura y su automatizaci´on no es obvia.

1.7.2.

M´etodo de las funciones de forma

La idea del m e´ todo consiste en utilizar un conjunto de funciones, denominadas funciones de forma, linealmente independientes con objeto de reducir el n u´ mero de gdl. Adem a´ s, estas funciones de forma deben ser compatibles, es decir, suficientemente continuas para que no generen deformaciones infinitas, as´ı como satisfacer las condiciones de contorno en movimientos (llamadas condiciones esenciales o cinem´aticas). Finalmente, el conjunto de funciones de forma tiene que ser completo, en el sentido de que cualquier posible funcio´ n, candidata a solucio´ n en movimientos en la estructura pueda ser expresada como combinacio´ n del conjunto de estas funciones de forma, con un error, medido como una distancia entre funciones seg´un una norma, arbitrariamente pequen˜ o. De este modo se expresan los movimientos soluci´on buscados como suma de N  funciones de forma multiplicadas por unos coeficientes indeterminados. Utilizando el principio de los trabajos virtuales, P T V , se pueden plantear las ecuaciones de equilibrio asociadas a cada una de las funciones de forma y as ´ı deducir, para cada una de ellas, las rigideces, las masas y las cargas, equivalentes a las reales existentes en la estructura. Se obtienen, de este modo, las matrices de rigidez y masa, as´ı como el vector de cargas correspondientes a la estructura discreta. Se puede mostrar que al crecer el n u´ mero,N , de funciones de forma, la soluci o´ n obtenida en la estructura discreta se aproxima a la de la estructura real continua. En resumen, la t e´ cnica de las funciones de forma consiste en l´ıneas generales en expresar todos los movimientos y fuerzas en los gdl que definen la estructura en funci o´ n de unos pocos denominados A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

30

maestros, mediante relaciones a priori exactas o aproximadas. Se supone que la ley de desplazamientos de la estructura se puede representar como una suma o combinaci o´ n lineal de unos modos o formas de desplazamientos. Estos modos de desplazamientos supuestos constituyen las coordenadas generalizadas de los desplazamientos de la estructura. Las fuerzas correspondientes se obtienen mediante la aplicaci o´ n del principio de los trabajos virtuales. El ejemplo siguiente ilustra esta t´ecnica.

Ejemplo 1.9 Discretizar la estructura del ejemplo precedente seg u´ n el m´etodo de las funciones de forma considerando dos gdl. En la discretizaci o´ n se utilizar a´ n funciones de forma polin o´ micas. Los modos de desplazamientos elegidos deben de ser tales que satisfagan las condiciones de empotramiento existente en la estructura (en general las condiciones cinem a´ ticas o en movimientos). Por consiguiente, el desplazamiento horizontal de la viga u(z) de la secci o´ n z se supone que puede expresarse como combinaci o´ n lineal de dos funciones, es decir:

u(z) = q1 Φ1 (z) + q2 Φ2 (z) siendo q1 y q2 par´ametros o coordenadas generalizadas. Si existe una acci´on de car´acter din´amico los movimientos ´ de la coordenada z sino tambi´en del tiempo t, por lo que la ecuaci o´ n anterior se escribe anteriores dependen no s olo seg´un la expresio´ n: (1.36) u(z, t) = q1 (t)Φ1 (z) + q2 (t)Φ2 (z) en la cual q1 (t) y q2 (t) funciones temporales o coordenadas generales que permiten definir los movimientos u(x, t). En ambas situaciones las funciones Φ1 (z) y Φ2 (z) y sus derivadas primeras respecto a la coordenada z deben anularse en la secci o´ n z = 0 . Adem´as deben ser linealmente independientes. La elecci o´ n de estas funciones denominadas de coordenadas es, en principio, arbitraria si bien es conveniente que sean capaces de capturar las caracter ´ısticas de la deformada prevista de la viga . Una posible eleccion ´ est´a representada por la sucesi on ´ de N    funciones siguiente:





2n − 1 z Φn (z) = 1 − cos π , 2 L

n=1,2, . . . , N

En el caso de utilizar funciones polin o´ micas como se indica en este ejemplo, e´ stas ser´ıan las dos primeras de la siguiente serie de N  polinomios:

Φn (z) =

 z H 

n

,

n=1,2, . . . , N

A continuacion ´ se obtienen las matrices de masas, rigidez lineal y no lineal as ´ı como las fuerzas equivalentes a las acciones que act u´ an sobre la estructura.  Matriz de masas

Los movimientos variables en el tiempo generan una distribuci o´ n de fuerzas de inercia cuya intensidad por unidad de longitud es



∂ 2 u(z, t) f I  = m − ∂t 2



en donde la masa unitaria de la estructura y la aceleraci´on vienen dadas por las f´ormulas:

m = ρΩ(z) = ρ

 

r(z) +

2

 

e 2

− r(z) −

e 2

  2

π

∂ 2 u(z, t) = q¨1 (t)Φ1 (z) + q¨2 (t)Φ2 (z) ∂t 2 A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

31

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

Las fuerzas generalizadas P I 1 y P I 2 aplicadas en los gdl 1 y 2 referidos a las coordenadas q1 y q2 que son equivalentes a las fuerzas de inercia anteriores, se pueden obtener de forma aproximada mediante la aplicaci´on del principio de los trabajos virtuales ( P T V ) restringido a una clase de desplazamientos virtuales u∗ (z) que se define por la expresi o´ n: ∗

∗

∗

u (z) = q1 Φ1 (z) + q2 Φ2 (z)

(1.37)

con q1∗ y q2∗ valores arbitrarios. La aplicaci o´ n del P T V  justifica la siguiente ecuaci o´ n:

    H 

−

m

0

∂ 2 u u (z)dz = P I 1 q1 + P I 2 q2 ∂t 2 ∗

∗

(1.38)

es decir, con el convenio habitual de suma impl ´ıcita de ´ındices repetidos: H 

 

−

0

∗

∗

(m¨ qi Φi )Φj qj dz = P Ij qj

(1.39)

La validez de (1.39) para valores arbitrarios de qi∗ conduce a las expresiones:

   

     

H 

P I 1 = −

mΦ1 Φ1 dz q¨1 −

0

mΦ1 Φ2 dz q¨2

(1.40)

mΦ2 Φ2 dz q¨2

(1.41)

0

H 

P I 2 = −

 

H 

H 

mΦ2 Φ1 dz q¨1 −

0

0

La definici´on de la matriz de masas dada anteriormente permite, al observar (1.40), escribir para cada uno de sus elementos mij : H 

mij = −

 

mΦi Φj dz

(i, j = 1, 2)

(1.42)

 

(1.43)

0

La ecuacio´ n (1.42) se expresa en forma matricial como sigue:

   P I 1 P I 2

=

m11 m21

m12 m22

q¨1 q¨2

Vector de cargas equivalentes

An´alogamente es posible obtener las fuerzas generalizadas P E 1 (t) y P E 2 (t) equivalentes a las fuerzas exteriores p(z, t). Para ello se aplica el P T V  al conjunto de ambos grupos de fuerzas y resulta al utilizar los desplazamientos virtuales u∗ (z) definidos en (1.37). H 

    0

es decir:

∗

∗

H 

P E 1 =

0

∗

 p(z, t)u (z)dz = P E 1 q1 + P E 2 q2

 p(z, t)Φ1 dz,

(1.44)

H 

PE2   =

 

 p(z, t)Φ2 dz

(1.45)

0

 Matriz de rigidez lineal

Por otra parte, las fuerzas el a´ sticas P S 1 y P S 2 en los gdl generalizados se calculan como resultante de los esfuerzos que se producen en la viga. En este caso, si se supone que no existe deformaci´on de cortante, los u´ nicos esfuerzos a considerar son los momentos flectores. Los valores de los momentos flectores M (z, t) se obtienen a partir de los movimientos de la viga definidos por (1.36) utilizando las f  o´ rmulas conocidas de la Resistencia de Materiales:

∂ 2 u(z, t) M (z, t) = EI  = EI [q1 Φ1 + q2 Φ2 ] ∂z 2 



A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

(1.46)

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

32

∂  ). ∂z La aplicaci o´ n del P T V  conduce, al considerar que el trabajo de los momentos flectores es el producto de con la notaci o´ n ( ≡

estos por sus respectivas curvaturas, a la siguiente expresi o´ n: H 

 

d2 u (z) dz = P S 1 q1 + P S 2 q2 dz2 ∗

M (z, t)

0

∗

∗

(1.47)

en la que se considera como movimientos virtuales los dados por (1.37). Al introducir (1.46) en (1.47) y considerar (1.36) se llega a los siguientes resultados:

   

H 

P S 1 = −

H 





EI Φ1 Φ1 dz q1 −

0

H 

P S 2 = −

0

      0









EI Φ1 Φ2 dz q2

H 





EI Φ2 Φ1 dz q1 −

0

 

EI Φ2 Φ2 dz q2

(1.48)

(1.49)

La definici´on de la matriz de rigidez permite expresar cada uno de sus elementos kij como sigue: H 

kij = −

  0





EI Φi Φj dz

(i, j = 1, 2)

(1.50)

 Matriz de rigidez geom etrica o no lineal ´ 

Si los desplazamientos de la estructura son importantes as ´ı como los valores de los esfuerzos axiles de compresi´on N (z) entonces aparece una situaci´on de no linealidad geom´etrica que en el caso de vigas se denomina viga-columna y la matriz de rigidez lineal k de la estructura se incrementa en la denominada matriz de rigidez geom e´ trica kG , cuyos t´erminos se deducen de acuerdo con la expresi o´ n: kG = [kGij ]

con

(i, j = 1, 2) H 

kGij = −

  0





N z Φi Φj dz

(1.51)

Figura 1.9: Obtencio´ n de la matriz de rigidez geom e´ trica La obtenci´on de la f ´ormula (1.51) se basa en la aplicaci o´ n del P T V  a la situaci o´ n de la figura, en la cual se observa que el trabajo adicional virtual dW ∗ producido por los axiles N (z) en una rebanada en la posici on ´ z y espesor dz al desplazarse sus extremos los movimientos virtuales u∗ (z) y u∗ (z) + du∗ (z) es: ∗

dW  = −N (z)∆1 + N (z + dz)∆2 A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

33

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

que se transforma, al considerar que la pendiente de la el a´ stica de la viga viene dada por la relaci o´ n:

tan θ =

u(z + dz) − u(z) ∂u(z) = dz ∂z

en la siguiente expresi o´ n: ∗

∗

∗

∗

dW  = −N (z)u (z)tan θ + N (z + dz)u (z + dz)tan θ = N (z)

∂u(z) ∂u (z) dz ∂z ∂z

Por consiguiente, el trabajo virtual adicional en toda la viga es: H 

∗

W  =

 

∗

N (z)

0

∂u(z) ∂u (z) dz ∂z ∂z

Si se sustituyen las expresiones (1.36) y (1.37) en la integral anterior se obtiene: H 

∗

W  =

  0



  ∗



N (z) [qi Φi ] qj Φj dz

Por otra parte el trabajo virtual total anterior es igual al adicional que producen las fuerzas exteriores equivalentes en los gdl de la estructura, es decir, se satisface la igualdad:

 

H 

−

0







∗

∗

N (z)qi Φi Φj dz = P G1 q1 + P G2 q2

(1.52)

Al considerar arbitrarios los par a´ metros qj∗ se deduce, por identificaci o´ n, la f o´ rmula (1.51) ´ de las f ´ormulas anteriores al caso particular del ejemplo que se presenta conduce a los siguientes La aplicacion resultados: Matriz de masas

m11 =

7 mT , 45

m12 = m21 =

8 mT , 63

m22 =

3 mT  28

con mT  = 3πρeRH  la masa total de la estructura. Vector de fuerzas equivalentes

P E 1 =

 pH  , 3

P E 1 =

 pH  4

Matriz de rigidez lineal

k11 = 15π

EeR 3 , H 3

k12 = k21 = 15, 6π

EeR 3 , H 3

k22 = 25, 2π

EeR 3 H 3

Matriz de rigidez geom e´ trica

kG11 = −2, 513ρgeR,

kG12 = kG21 = −2, 199ρg eR,

kG22 = −2, 154ρgeR

Las expresiones del ejemplo anterior, que permiten obtener las matrices y vectores de una estructura compuesta por vigas discretizada mediante el m´etodo de las funciones de forma, se pueden extender f´acilmente a situaciones en las que intervengan conjuntamente, masas, rigideces (muelles) y cargas concentradas. Para ello se procede de forma similar a la expuesta en el ejemplo. Las expresiones generales que se deducen se resumen a continuacio´ n utilizando la notaci´on de la figura 1.10. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

34

Figura 1.10: M´etodo de las funciones de forma. Caso general de estructura de vigas Matriz de masas

mij =

 

mΦi Φ j dx +

K 

K 





M k Φik Φ jk +

k =1

 I gk Φik Φ jk

k=1

Matriz de rigidez lineal

kij =

 





EI Φi Φ j dx +

 

K 

kΦi Φ j dx +



K k Φik Φ jk

k=1

Matriz de rigidez geom´etrica

kGij =

 

N (x)Φi Φ j dx

con N (x) la ley de esfuerzos axiles (positivos tracciones). Vector de carga

 pi (t) =

 

p(x, t)Φi dx +

K 

K 





k=1

P k Φik +

Gk Φik

k=1

En las expresiones anteriores los sub´ındices i y j var´ı a n d e 1 a N  (n´u mero de gdl o funciones de forma considerado). En la secci o´ n x = xk gen´erica se supone existen una masa inerte, M k , al desplazamiento, una masa rotatoria (o inercia polar), I gk , al giro, una rigidez (muelle), K k , al desplazamiento y las siguientes cargas concentradas actuantes: fuerza P k y momento Gk . Se denomina Φik = Φi (xk ) al valor de la funcio´ n de forma Φi particularizada para la abscisa x = xk . Por otra parte se supone que la viga es de secci o´ n variable, de rigidez a flexi o´ n EI , masa unitaria m y que se encuentra inmersa en un medio el a´ stico (por ejemplo un terreno tipo Winkler) simulado por medio de una distribuci´on de muelles de constante k . Las cargas actuantes sobre la viga son p(x, t). La extensi´on de las expresiones anteriores a otros tipos de estructuras (placas, lajas, arcos, l a´ minas etc.) sigue las mismas pautas que en las vigas. En los ejercicios se muestra alg u´ n ejemplo. En resumen, el m e´ todo de discretizaci´on mediante funciones de forma constituye una t´ecnica eficiente con la que se obtiene unos resultados muy razonables incluso con un n u´ mero reducido de funciones de forma, si se eligen bien e´ stas. Por ello se suele aplicar a estructuras con condiciones de borde sencillas A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

35

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

y geometr´ıa regular. En un caso general de estructuras arbitrarias la mayor dificultad reside en encontrar unas funciones de forma adecuadas. Esta dificultad se obvia con la utilizaci o´ n del m´etodo de los elementos finitos que se resume en el siguiente apartado.

1.7.3.

M´etodo de los elementos finitos

Existe una literatura muy extensa sobre este m´etodo [?], que se inicio´ con una aplicaci´on estructural a un problema de ingenier´ıa aeron´autica en la d´ecada de los 50 [ ?] y a partir de entonces ha experimentado un desarrollo impresionante como herramienta de discretizaci´on de numerosos problemas de campo f ´ısico-matem´atico. Aqu´ı s´olo se resumen las etapas fundamentales de aplicaci o´ n del m´etodo de los elementos finitos remitiendo los detalles a algunos de los excelentes textos existentes, entre los cuales se citan las referencias se citan [?] y [?]. El m´etodo de los elementos finitos representa una combinaci o´ n de los m´etodos de discretizacio´ n anteriores: el de la concentraci o´ n de propiedades y el de las funciones de forma. Las etapas principales del m e´ todo, en su versi´on m a´ s usual en movimientos, son: 1.

Discretizar la estructura en un conjunto de elementos conectados entre s´ı en puntos de sus contornos que se denominan nudos.

2.

Definir unos grados b´asicos de libertad en cada nudo para especificar el comportamiento te o´ rico de la estructura.

3.

Suponer unas funciones de forma o de interpolaci´o n, una por grado de libertad especificado en cada nudo y elegir como coordenadas naturales o generalizadas los gdl expresados en desplazamientos. Estas funciones se definen sobre cada uno de los elementos (funciones de car a´ cter local, es decir, con valores no nulos u´ nicamente en el elemento considerado).

4.

Calcular mediante la aplicaci o´ n del P T V  las matrices y vectores caracter´ısticos en cada elemento, es decir, las matrices de masa me , rigidez lineal ke y geom´etrica keG as´ı como el vector de cargas pe equivalente a las acciones sobre el elemento.

5.

Combinar las matrices y vectores de cada elemento de acuerdo con los procedimientos del c a´ lculo matricial de estructuras (ensamblado o composici´on booleana) con objeto de formar las matrices y vectores globales de toda la estructura, cuyo modelo estructural queda as´ı discretizado.

El m e´ todo de los elementos finitos, cuya versi o´ n en movimientos se acaba de resumir, constituye una t´ecnica universal de an´alisis num´erico cuyo u´ nico inconveniente sea tal vez que precisa en su aplicaci´on a estructuras reales el uso de un computador de dimensi o´ n suficiente, en general elevada. El siguiente ejemplo presenta un c´alculo de las matrices y vectores de un elemento tipo viga.

Ejemplo 1.10 Obtener las matrices elementales k, kG y m de una viga a flexi o´ n de caracter´ısticas rigidez EI , masa por unidad de longitud m y bajo un esfuerzo axil de compresi o´ n N (x) constantes a lo largo de su luz L. Determinar asimismo para la viga anterior el vector de cargas equivalentes a una carga de intensidad p constante extendida en toda la luz y normal a su directriz. Se consideran los gdl de la figura 1.11, que corresponden a cuatro movimientos (dos desplazamientos y dos giros) en los extremos. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

36

Figura 1.11: Obtencio´ n de las caracter´ısticas de un elemento viga

Figura 1.12: Polinomios de Hermite

Se adoptan las siguientes funciones de forma, conocidas como polinomios c u´ bicos de Hermite (figura 1.12):

Φ1 =1 − 3 Φ2 =3

2

3

    x L

x L

+2

2

−2

x L

x L

2

   

x Φ3 =x 1 − L

3

x2 Φ4 = L

x −1 L

con lo que la flecha v(x) se puede expresar como sigue:

v(x) = q1 Φ1 (x) + q2 Φ2 (x) + q3 Φ3 (x) + q4 Φ4 (x)   preciso. En efecto, se satisface: Se observa que ahora los coeficientes qi tienen un significado f ´ısico

Flechas en los extremos q1 = v1 , Giros en los extremos q3 = θ1 ,

q 2 = v2 q4 = θ2

Las igualdades anteriores se basan en las propiedades de las funciones de forma elegidas (figura 1.12):

Φ1 (0) = 1 Φ2 (0) = 0 Φ3 (0) = 0 Φ4 (0) = 0

Φ1 (L) = 0 Φ2 (L) = 1 Φ3 (L) = 0 Φ4 (L) = 0



Φ1 (0) = 0 Φ2 (0) = 0 Φ3 (0) = 1 Φ4 (0) = 0 







Φ1 (L) = Φ2 (L) = Φ3 (L) = Φ4 (L) = 





0 0 0 1

Si se utiliza el P T V  se obtienen las matrices elementales y el vector de cargas equivalentes como se ha A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

37

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

indicado en la descripci o´ n del m´etodo de las funciones de forma. L

k = [kij ]

kij =

con

  0

k=

2EI  L3

 





EI Φi Φj dx

 

6 3L 3L −6 6 −3L −3L −6 3L −3L 2L2 L2 3L −3L L2 2L2

L

kG = [kGij ]

kGij =

con

  0

kG =

N  30L

 





N Φi Φj dx

36 3L 3L −6 36 −3L −3L −6 3L −3L 4L2 −L2 3L −3L −L2 4L2

 

L

m = [mij ]

mij =

con

 

mΦi Φj dx

0

m=

mL 420

 

156 54 22L −13L 54 56 13L −22L 22L 13L 4L2 −3L2 4L2 −13L −22L −3L2

 

L

p = [ pi ]

con

pi =

 

 pΦi dx

0

 pL 12

p=−

 

6 6 L −L

 

El siguiente ejemplo muestra c o´ mo se construyen las matrices de una estructura a partir de las elementales de cada uno de sus componentes, cuando existen vigas de rigidez infinita.

Ejemplo 1.11 Se trata de determinar las matrices de rigidez y de masas consistentes del p o´ rtico de la figura. No se considera la deformaci o´ n por esfuerzo axil ni cortante. A partir de los resultados del ejemplo anterior se obtiene la matriz de rigidez de acuerdo con los m e´ todos matriciales del c a´ lculo de estructuras. (Ver por ejemplo [ ?]).

k=

3EI  L3

 

12 3L 3L 6L2 3L 2L2

3L 2L2 6L2

 

La matriz de masas se deduce al imponer una aceleraci´on unidad sucesivamente seg´un cada uno de los gdl, es A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

38

Figura 1.13: Ejemplo de aplicaci´on a un po´ rtico del m´etodo de los elementos finitos decir, u ¨1 = 1 , u ¨2 = 1 y u ¨3 = 1 y calcular las fuerzas de inercia correspondientes mij :

mL 786 156 × 2 + 1, 5m × 2L = mL 420 210 11 = mL 210 786 = mL 210

m11 = m21 m31

¨2 y u ¨3 se deducen directamente por composici o´ n y resulta: Las masas debidas a las aceleraciones angulares u m=

mL 210

 

786 11L 11L 26L2 11L −18L2

11L −18L2 26L2

 

Se observa que la t e´ cnica de los elementos finitos participa en cierta medida de las caracter´ısticas de las dos t e´ cnicas anteriores de discretizaci o´ n. Por una parte divide la estructura en regiones denominadas elementos finitos y supone para cada una de ellas unas funciones de forma cuyas coordenadas generalizadas tienen un significado f´ısico de los movimientos en un conjunto de puntos o nudos situados normalmente en el contorno de los elementos. En el siguiente ejemplo se ilustra la formaci o´ n de las matrices y del vector globales de una estructura a partir de su conocimiento en cada elemento. Con objeto de comparar los resultados de e´ ste m´etodo con los obtenidos en los m´etodos anteriores se utiliza en el ejemplo la misma estructura torre, que ha sido estudiada en los apartados anteriores.

Ejemplo 1.12 Discretizar la estructura torre de los ejemplos anteriores mediante el m´etodo de los elementos finitos, considerando dos elementos a flexi o´ n (figura 1.14). Se consideran dos elementos -01 y 12-, ambos de igual longitud H/2 y las coordenadas generalizadas, inc o´ gnitas a determinar, los valores de la flecha horizontal u1 y u2 as´ı como los giros θ1 y θ2 en los nudos 1 y 2 extremos de los elementos. Se ha supuesto que el giro y la flecha en el nudo 0 son nulos al existir empotramiento total en dicho nudo. Las funciones de forma son tales que alcanzan el valor unidad para cada una de las cuatro inc o´ gnitas consideradas y nulo en las restantes, por lo que se puede escribir para la ley de movimientos de la estructura:

u(z, t) = u1 (t)Φ1 (z) + u2 (t)Φ2 (z) + u3 (t)Φ3 (z) + u4 (t)Φ4 (z) A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

(1.53)

39

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

Figura 1.14: Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de los elementos finitos

con Φi (z), (i = 1, 2, 3, 4) las cuatro funciones representadas en la figura 1.14. Se observa que cada una de estas funciones asociadas a las inc o´ gnitas de un nudo s olo ´ presentan valores no nulos en la compuesta por los elementos que tienen ese nudo com u´ n. Por lo tanto, si se denomina N k (z), (k = 1, 2, 3, 4) a las correspondientes restricciones de las funciones Φi (z) a un elemento, estas se expresan mediante polinomios c ubicos ´ de Hermite como sigue:

N 1 (z) = 1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 , N 3 =

H  (ξ − 2ξ 2 + ξ 3 ), 2

N 2 (z) = 3ξ 2 − 2ξ 3

(1.54)

H  (−ξ 2 + ξ 3 ) 2

(1.55)

N 4 (z) =

en donde N k se refiere al grado de libertad k indicado en la figura 1.14b y ξ =

z la abscisa adimensional. H/2

Las matrices y vector caracter´ısticos de los elementos 1 -01- y 2 -12- se deducen aplicando las expresiones del ejemplo anterior, sustituyendo ahora las funciones de forma Φi por sus restricciones N i sobre el elemento que se estudia, con lo que se obtienen los resultados siguientes:  Matriz de rigidez

Se supone en el c´alculo, un valor constante EI , para la rigidez de la secci o´ n, igual a la semisuma de los valores de las de las secciones extremas, con lo que se deduce: Elemento -01- con gdl locales 2 y 4 :

eR3 E  k1 = H 3

  

3232, 70 −808, 18H  −808, 18H  269, 39H 2

Elemento -12- con gdl locales 1,2,3 y 4 :

k2 =

eR3 E  H 3



1178, 11 −1178, 11 294, 53H  294, 53H  1262, 92 −294, 53H  −294, 53H  −1178, 11 294, 53H  −294, 53H  98, 18H 2 49, 09H 2 294, 5H  −294, 53H  49, 09H 2 98, 18H 2

 

 Matriz de rigidez geom etrica ´ 

Se supone en el c´alculo un valor constante N , para el esfuerzo axil en el elemento, igual a la semisuma de A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

40

los que se producen en las secciones extremas con lo que resulta: Elemento -01- con gdl locales 2 y 4 : k1G = −ρgeR

  

16, 022 −0, 668H  −0, 668H  0, 445H 2

Elemento -12- con gdl locales 1,2,3 y 4 :

k2G = −ρgeR

 Matriz de masas



4, 711 0, 196H  0, 196H  −4, 711 4, 711 −0, 196H  −0, 196H  −4, 711 0, 196H  −0, 196H  0, 131H 2 −0, 033H 2 0, 196H  −0, 196H  −0, 033H 2 0, 131H 2

 

Se supone por simplicidad en el c a´ lculo un valor constante m para la masa unitaria dentro de cada elemento correspondiente a la semisuma de las masas unitarias en las secciones extremas, con lo que resulta: Elemento -01- con gdl locales 2 y 4 : m1 = ρgeRH 

  



2, 042 0, 144H  0, 144H  0, 013H 2

Elemento -12- con gdl locales 1,2,3 y 4 :

m2 = ρgeRH 

Vector de fuerzas equivalentes

1, 459 0, 505 0, 103H  −0, 061H  0, 505 1, 459 0, 061H  −0, 103H  0, 103H  0, 061H  0, 009H 2 −0, 007H 2 0, 009H 2 −0, 061H  −0, 103H  −0, 007H 2

 

Para las cargas din a´ micas consideradas en cada elemento, es decir, las acciones p(z, t) = pf (t) con  p=constante, se obtiene el siguiente vector de cargas equivalentes: Elemento -01- con gdl locales 2 y 4 : pE1

 pH  = f (t) 48

  

12 H 



Elemento -12- con gdl locales 1,2,3 y 4 :

pE2 =

 pH  f (t) 48

12 12 −H  H 

 

es decir, son las acciones de cada elemento viga supuesto biempotrado en sus extremos. Se obtendr´ıan te´oricamente resultados m a´ s exactos si se tienen en cuenta en el c a´ lculo las variaciones reales de ´ las propiedades ( a´ rea, inercia, esfuerzo axil etc.) de cada uno de los elementos vigas en lugar de la simplificaci on de un valor medio en cada elemento representativo de esta variaci o´ n. En este caso siguen siendo v a´ lidas las mismas expresiones que en el caso anterior, si bien con la exigencia de una mayor complejidad de c´alculo. En el computador se suele llevar a cabo el c a´ lculo de las distintas integrales de una manera general, que incluye la posibilidad de utilizar funciones de forma distintas de las potenciales (por ejemplo, funciones trigonom e´ tricas, exponenciales, o de integracion las procedentes de transformaciones isoparam e´ tricas etc.) mediante la utilizaci o´ n de las f ormulas ´  ´  de Gauss. Mediante estas f´ormulas es posible calcular las integrales anteriores utilizando un n´umero m´ınimo de ´ puntos en comparaci´on con el preciso en otras f´ormulas num´ericas, dentro de un nivel de aproximaci´on dado. Estas se escriben para el caso monodimensional con N  puntos de integraci o´ n como sigue: L/2

 

−

L F (x)dx = 2 L/2

N 



W kN F (xN  k )

k=1

siendo W kN  el peso en el punto de integraci on ´ de abscisa xN  k . La siguiente tabla 1.4 presenta los valores para las f´ormulas de integraci´on de Gauss correspondientes a los primeros ´ordenes de integraci´on (Para m´as detalles ver, por ejemplo, [ ?]). A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

41

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

Orden N=1 N=2 N=3

xN  k 0 ±0, 57735 ±0, 77460 0, 57735

W kN  2 1, 00000 0, 55555 0, 88888

Cuadro 1.4: F´ormulas de integraci´on num´erica de Gauss En el ejemplo que se est´a estudiando la integraci´on puede efectuarse de forma anal´ıtica exacta y se obtienen entonces los siguientes resultados paras las matrices y vector caracter ´ısticos de cada elemento: Matriz de rigidez Elemento -01- con gdl locales 2 y 4 :

eR3 E  k1 = H 3

  

3404, 23 −721, 94H  −721, 94H  220, 23H 2

Elemento -12- con gdl locales 1,2,3 y 4 :

k2 =

eR3 E  H 3

Matriz de rigidez geom e´ trica



1262, 92 −1262, 92 375, 11H  256, 35H  −1262, 92 1262, 92 −375, 11H  −256, 35H  375, 11H  −375, 11H  134, 15H 2 53, 41H 2 256, 35H  −256, 35H  53, 41H 2 74, 77H 2

 

Elemento -01- con gdl locales 2 y 4 : k1G = −ρgeR

  

15, 618 −0, 920H  −0, 920H  0, 348H 2

Elemento -12- con gdl locales 1,2,3 y 4 :

k2G = −ρgeR

Matriz de masas



4, 308 0, 370H  −4, 308 −0, 022H  4, 308 0, 022H  −0, 370H  −4, 308 0, 022H  0, 191H 2 −0, 032H 2 −0, 022H  0, 370H  −0, 370H  −0, 032H 2 0, 060H 2

 

Elemento -01- con gdl locales 2 y 4 : m1 = ρgeRH 

  

1, 885 −0, 136H  −0, 136H  0, 013H 2

Elemento -12- con gdl locales 1,2,3 y 4 :

m2 = ρgeRH 

Vector de cargas equivalentes



1, 616 0, 505 0, 110H  −0, 062H  0, 505 1, 302 0, 217H  −0, 095H  0, 110H  0, 217H  0, 010H 2 −0, 007H 2 −0, 062H  −0, 095H  −0, 007H 2 0, 009H 2

Elemento -01- con gdl locales 2 y 4 : pE1

 pH  = f (t) 48

  

12 H 



Elemento -12- con gdl locales 1,2,3 y 4 :

pE2 =

 pH  f (t) 48

12 12 −H  H 

 

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

 

1.7 M etodos de discretizaci on ´  ´ 

42

ısticas mec´  anicas del eleSe observa que el vector de fuerzas equivalentes es independiente de las caracter ´  ´ mento. Las matrices caracter´ısticas del elemento calculadas m a´ s exactamente con los valores reales de la variaci on de sus propiedades presentan una razonable coincidencia con las obtenidas suponiendo valores constantes de ´estas en el elemento.

Una vez determinadas las matrices y vectores elementales se obtienen las correspondientes matrices y vector de carga de la estructura completa utilizando los m´etodos matriciales del c´alculo de estructuras. Resulta de esta forma en ejes globales: Matriz de rigidez

k=

eR3 E  H 3

Matriz de rigidez geom e´ trica

 

1262, 92 −1262, 92 −256, 35H  375, 11H  4666, 15 256, 35H  1097, 05H  −1262, 92 74, 77H 2 53, 41H 2 −256, 35H  256, 35H  2 375, 11H  1097, 05H  53, 41H  354, 38H 2

 

4, 308 0, 370H  −4, 308 −0, 022H  −4, 308 19, 926 0, 022H  −1, 290H  −0, 022H  0, 022H  0, 191H 2 −0, 032H 2 0, 370H  −1, 290H  −0, 032H 2 0, 408H 2

 

 

1, 616 0, 505 0, 110H  −0, 062H  0, 505 3, 187 0, 217H  −0, 231H  0, 110H  0, 217H  0, 010H 2 −0, 007H 2 −0, 062H  −0, 231H  −0, 007H 2 0, 022H 2

 

kG = −ρgeR

Matriz de masas

m = ρgeRH 

Matriz de cargas equivalentes

 

p=

 pH  f (t) 48

 

12 24 −H  H 

 

Es interesante comparar los resultados aqu ´ı presentados con los obtenidos en los anteriores ejemplos mediante los m´etodos de concentraci o´ n de propiedades y de las funciones de forma.

1.7.4.

Estudio comparativo

De los tres procedimientos de discretizaci o´ n estructural que se acaban de exponer, el de los elementos finitos es el m´as general y autom´atico, ya que participa de las ventajas de los dos primeros si bien su aplicaci´on pr´actica precisa de un computador puesto que una simulaci o´ n adecuada del comportamiento de una estructura exige un elevado n u´ mero de elementos. El procedimiento de concentraci´on de masas demanda frecuentemente un cierto grado de intuici o´ n para concentrar las masas de forma adecuada y algunas de ellas, como las rotatorias son, a veces dif ´ıciles de concentrar. En general no es conveniente el m´etodo de concentracio´ n de masas para una automatizaci´on y su aplicaci´on se suele cen˜ ir a estructuras ya discretas (compuestas por barras y vigas), y en las que existen tramos en los que se concentran las masas m a´ s importantes. Finalmente, el m´etodo de las funciones de forma es muy u´ til para efectuar unos primeros tanteos de c´alculo ya que permite reducir de un modo dr a´ stico, si bien coherente, el nu´ mero de gdl del modelo A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

43

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

estructural. Los resultados obtenidos con el m´etodo pueden ser suficientemente aproximados incluso con un n´umero no elevado de funciones de forma, particularmente si se eligen e´ stas de un modo adecuado. La fase m´as cr´ıtica de este procedimiento, que es como el de los elementos finitos, aplicable tanto a estructuras discretas como continuas de dimensi o´ n 1-D, 2-D o 3-D, reside en la selecci o´ n de las fun´ ciones de forma. Estas deben ser linealmente independientes y capaces de representar en el l ´ımite un conjunto completo o base de funciones, as´ı como satisfacer, cada una de las funciones aisladamente, las condiciones de contorno en movimientos. Este u´ ltimo requisito es, a veces, muy dif´ıcil de cumplir en estructuras 2-D y 3-D (como las placas y las lajas) con bordes de geometr´ıa irregular o condiciones de contorno distintas entre segmentos adyacentes del mismo. El m e´ todo de los elementos finitos representa la respuesta que salva las dificultades anteriores, tanto la selecci o´ n de las funciones de forma, ya que e´ sta se lleva a cabo de un modo autom´atico, como la imposici o´ n del cumplimiento de las condiciones de contorno complejas y en estructuras con geometr´ıa irregular.

1.8.

Ecuaciones del movimiento de una estructura sometida a un terremoto

Se han comentado en el apartado anterior 1.7 los distintos procedimientos de discretizaci o´ n de una estructura, es decir, su conversi o´ n en un sistema din´amico de un n u´ mero finito N  de gdl. Las coordenadas generalizadas inco´ gnitas mostraban en los m´etodos de concentraci´on de masas y de elementos finitos un significado f´ısico:los movimientos en los gdl. En el m´etodo de las funciones de forma las inc´ognitas correspond´ıan a par´ametros sin aparente interpretaci o´ n f ´ısica. En este u´ ltimo caso, una vez determinadas estas inc´ognitas, mediante las ecuaciones de equilibrio que se exponen a continuaci o´ n, se hace necesario proceder a la aplicaci o´ n de desarrollos (1.36) con objeto de obtener los resultados de inter e´ s en el c´alculo din´amico estructural, es decir, los movimientos y mediante sucesivas derivaciones los esfuerzos y tensiones. En lo que sigue se designa u(t) el vector que recoge las inc o´ gnitas de todos los N  gdl de la estructura ´ sin entrar, por el momento, en el significado f ´ısico de dichas inc´ognitas. Este depender´a del m´etodo de discretizaci´on utilizado en el planteamiento de las ecuaciones de equilibrio din a´ mico objeto de estudio en este apartado. Una estructura discretizada de N  gdl se dice que est a´ definida para efectuar un c a´ lculo din´amico si se conocen los siguientes datos: Matriz de rigidez lineal k cuya dimensi´on es N  × N , y es sim´etrica Matriz de rigidez geom´etrica kG cuya dimensi´on es N  × N , y es sim´etrica Matriz de masas m cuya dimensi´on es N  × N , y es sim´etrica Vector de cargas P y su dimensi´on es N  × 1 En estructuras reales se hace preciso definir la matriz de amortiguamiento viscoso c de dimensi´on N  × N , y tambi´en sim´etrica. Sin embargo, como se ver´a m´as adelante, no es normalmente necesaria la definici´on expl´ıcita de esta matriz para la determinaci o´ n del vector inco´ gnita u(t). Basta con conocer unos porcentajes respecto del amortiguamiento cr´ıtico para distintos valores de la frecuencia. Por ello no se ha comentado la determinaci o´ n te´orica de esta matriz c en el apartado anterior. La ecuaci´on de equilibrio que se aplica a la estructura discreta en cada uno de sus N  gdl es directamente: (1.56) PI  + PD + PS  + PE  = 0 A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.8 Ecuaciones del movimiento de una estructura sometida a un terremoto

44

siendo PI  el vector de fuerzas de inercia en los sucesivos gdl PD el vector de fuerzas de disipaci´on o amortiguamiento en los N  gdl de la estructura PS  el vector de fuerzas de el a´ sticas en los N  gdl de la estructura, debidas a la rigidez de la misma PE  = P(t) el vector de fuerzas din a´ micas, que se suponen conocidas

Al recordar las definiciones de las matrices de la estructura se puede escribir: PI  = −m¨ u,

PD = −cu ˙

PS  = −ku

o bien

PS  = −(k + kG )u

(1.57)

con lo que resulta la ecuaci´on vectorial din´a mica del movimiento (N  ecuaciones diferenciales de segundo orden): (1.58) m¨ u + cu ˙ + ku = P o bien: m¨ u + cu ˙ + (k + kG )u = P

(1.59)

En lo que sigue se designa por k la matriz total de rigidez de la estructura, igual a la lineal k o bien a la suma de ´esta y la matriz de rigidez geom´etrica k + kG , seg´un el tipo de c´alculo. La accio´ n s´ısmica constituye un caso particular de acci o´ n din´amica caracterizada por introducir en la estructura movimientos impuestos a los apoyos o puntos de contacto con la cimentaci o´ n en lugar de aplicar directamente fuerzas din´amicas. Sin embargo se pueden deducir expresiones de las fuerzas din a´ micas equivalentes a estos movimientos impuestos y aplicar a continuaci o´ n las t´ecnicas del c a´ lculo din´amico de estructuras con objeto de determinar su respuesta. Se supone que los movimientos s ´ısmicos impuestos son conocidos de forma determinista y e´ stos ser´an definidos segu´ n seis gdl, es decir, tres desplazamientos y tres giros. En primer lugar y como introducci o´ n, se considera la situaci´on m´as simple de actuaci o´ n del se´ısmo consistente en un movimiento u´ nico, generalmente un desplazamiento horizontal. Este caso constituye, por lo tanto, la hip o´ tesis simplificadora m´a s usual en el c´alculo s´ısmico de estructuras y en e´ l no se incluyen las componentes de rotacio´ n que el terremoto impone a los apoyos. En realidad las medidas existentes de estas rotaciones son muy escasas y por consiguiente solo se han efectuado hasta la fecha c´alculos te´oricos para comprobar la sensibilidad e influencia de las componentes de la rotaci´o n en la repuesta de una estructura, siendo, en general, m´ınima su importancia. Por otra parte se supone que la estructura es de dimensiones reducidas por lo que la separaci o´ n entre apoyos es peque n˜ a en comparaci o´ n con la longitud de onda del movimiento s´ısmico y la suposici´on de actuacio´ n de un mismo movimiento simult´aneo en todos los apoyos de la estructura puede ser aceptable. Sea ug (t) el movimiento de traslaci´on que impone el terremoto a todos los apoyos de la estructura. Entonces, los movimientos totales en todos los gdl de la estructura, recogidos en el vector ut (t) pueden ser considerados como suma de la traslaci o´ n que impone ug (t) a ellos m´as el movimiento din´amico u(t) debido a las fuerzas de inercia y amortiguamiento que se generan, es decir, se tiene: ut (t) = u(t) + us (t)

(1.60)

siendo us (t) los movimientos que se producen en todos los gdl de la estructura al experimentar ´esta como s´olido r´ıgido la traslaci´on ug (t) del se´ısmo. Este movimiento us (t) tiene lugar sin considerar las fuerzas de inercia y de disipaci o´ n que se generan con este movimiento de s o´ lido r´ıgido y por esta razo´ n A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

45

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

se denomina el movimiento como pseudo est´atico. Se puede expresar este movimiento en funci´on del movimiento s´ısmico por medio de la siguiente relaci´on: us (t) = rug (t)

(1.61)

con r = (rn ), n = 1, 2, . . . , N ,  un vector de dimensio´ n (N  × 1) cuyas componentes dependen de la geometr´ıa de la estructura y rn representa el movimiento del gdl n cuando se produce un movimiento unidad en los apoyos de la estructura y e´ sta se mueve como s o´ lido r´ıgido. Por consiguiente los movimientos totales son: (1.62) ut (t) = u(t) + rug (t) La ecuacio´ n del movimiento din´amico de una estructura cuando s o´ lo act´ua el se´ısmo ug (t) se reescribe considerado las siguientes relaciones: PI  = −m¨ ut (t) PD = −cu ˙ (t)

(1.63) o bien

PD = −cu ˙ t (t)

(1.64)

PS  = −ku(t)

(1.65)

PE  = 0

(1.66)

El vector de fuerzas de amortiguamiento se puede expresar, en forma alternativa, seg u´ n las dos relaciones que se indican en la ecuaci o´ n (1.64), pero evidentemente la matriz de amortiguamiento c ser´a diferente en cada una de ellas. Por consiguiente introduciendo las relaciones (1.63) a (1.66) en la ecuaci o´ n de equilibrio (1.58) se deduce la siguiente, en la que se considera el amortiguamiento aplicado a los movimientos din a´ micos y no a los totales: (1.67) ut (t) − cu ˙ (t) − ku(t) = 0 −m¨ Si se tiene en cuenta la expresi´on (1.62) en (1.67), e´ sta se convierte en la siguiente:

¨g m¨ u(t) + cu ˙ (t) + ku(t) = −mru

(1.68)

Al comparar las dos ecuaciones de equilibrio (1.58) o (1.59) y (1.68) se observa que el se´ısmo produce una fuerza din´amica equivalente Peq (t) dada por la expresi´on:

¨g Peq (t) = −mru

(1.69)

Conviene tener en cuenta que en el c a´ lculo del vector r hay que distinguir dos casos. En el primer caso, el vector ut (t) tiene un significado f ´ısico de movimientos segu´ n los gdl de la estructura, por lo que la determinacio´ n de r es inmediata tras simples consideraciones geom´etricas. Sin embargo, en el segundo caso, con ut (t) vector de coordenadas generalizadas procedentes de la aplicaci o´ n del m´etodo de las funciones de forma, se debe proceder transformando el desplazamiento s´ısmico ug (t) en funcio´ n de estas coordenadas. Para ello se expresa el movimiento pseudoest´atico, us (x, t), de la secci´on gen´erica x de la estructura continua, en funci´on de la traslaci´on s´ısmica ug (t) mediante consideraciones geom´etricas en la forma: (1.70) us (x, t) = r(x)ug (t) Estos movimientos pseudoest´aticos producen las fuerzas distribuidas de inercia siguientes:

ug p(x, t) = −m(x)u ¨s = −m(x)r(x)¨ A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

(1.71)

1.8 Ecuaciones del movimiento de una estructura sometida a un terremoto

46

De acuerdo con (1.45) las fuerzas s´ısmicas equivalentes son para cada gdl n: L

Peq,n =

 

 p(x, t)Φn (x)dx = −mrn u ¨g (t)

(1.72)

0

con:

1 rn = m

L

 

L

r(x)m(x)Φn (x)dx y m =

0

 

r(x)m(x)dx

0

o bien en forma vectorial:

¨g (t) Peq (t) = −mru

(1.73)

con r = [r1 , r2 , r3 , . . . , rN ] Un caso m´as complejo de actuaci´on del movimiento s´ısmico corresponde a la imposici´o n de un movimiento general u´ nico de s o´ lido r´ıgido de forma simult´anea a todos los apoyos de la estructura. La carga equivalente al movimiento impuesto se determina en este segundo caso de forma semejante al anterior. Se supone primeramente que la estructura est´a sometida en todos los gdl (apoyos) a movimientos procedentes de uno u´ nico de s´o lido r´ıgido definido por dos vectores, uno de traslaci´on ug = [ug (t), vg (t), wg (t)]T  y el otro de rotaci o´ n θ g = [θxg (t), θyg (t), θzg (t)]T . Entonces el movimiento total utn (t) en un gdl, n, en un instante gen´erico t es la suma del movimiento impuesto usn (t) m´as el movimiento din´amico (producido por las fuerzas de inercia y amortiguamiento) un (t), es decir:

utn (t) = un (t) + usn(t)

(1.74)

en donde el movimiento pseudoest´atico usn (t) se deduce de la rotaci´on y traslaci´on que introduce el se´ısmo a la estructura como s o´ lido r´ıgido de acuerdo con las f ´ormulas de la cinem´atica, es decir:

usn (t) = rnu ug + rnθ θ(t)

(1.75)

siendo: n n n rn u = [ru , rv , rw ],

n n n rn θ = [rθx , rθy , rθz ]

vectores filas dependientes de la geometr´ıa de la estructura. Los vectores columna ug (t) y θg (t) recogen las funciones temporales que definen el movimiento de s o´ lido r´ıgido de la estructura y sus expresiones son: ug (t) =

 

ug (t) vg (t) wg (t)

 

y

θ g (t)

=

 

θxg (t) θyg (t) θzg (t)

 

Las ecuaciones (1.74) y (1.75) anteriores se pueden plantear para todos los gdl de la estructura y por lo tanto escribirse en forma matricial como sigue: ut (t) = u(t) + us (t)

(1.76)

us (t) = ru ug + rθ θ (t)

(1.77)

y

siendo: ru = [ ru1 , ru2 , ru3 ]

y

rθ = [rθ1 , rθ2 , rθ3 ]

matrices de dimensi o´ n N  × 3 y ut ,us y u son vectores columnas de dimension N  × 1. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

47

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

La ecuaci´on del movimiento o equilibrio din´amico de la estructura es: m¨ ut (t) + cu ˙ (t) + ku(t) = 0

(1.78)

Si se consideran las igualdades (1.76) y (1.77) en (1.78), e´ sta se transforma en la siguiente: ¨g m¨ u(t) + cu ˙ (t) + ku(t) = −mru u ¨ g − mrθ θ

(1.79)

y por lo tanto la carga din´amica equivalente es: ¨g Peq (t) = −mru u ¨ g − mrθ θ

o bien: Peq (t) = −m

con: u ¯=



ru



ru

rθ

rθ



  u ¨g ¨g θ

y

= −m¯ u¨ ¯ rg (t)

¨ ¯ rg (t) =

(1.80)

(1.81)

  u ¨g ¨g θ

el vector geom´etrico y el vector de movimiento s´ısmico. Se observa la semejanza existente entre las ecuaciones (1.81) y (1.73), siendo e´ sta u´ ltima un caso particular de aquella.

Ejemplo 1.13 La estructura tipo torre de los ejemplos anteriores se encuentra sometida a la acci o´ n de un terremoto. Se desea obtener, para cada uno de los tres tipos de discretizaci o´ n considerados en los ejemplos anteriores, la fuerza equivalente o efectiva cuando el movimiento s´ısmico es uno de los siguientes: 1.

Un movimiento horizontal ug (t)

2.

Un giro θg (t)

3.

Un movimiento vertical wg (t)

Figura 1.15: Determinacio´ n de las fuerzas equivalentes. Ejemplo Se obtienen para cada uno de los movimientos s´ısmicos las correspondientes fuerzas equivalentes seg u´ n uno de los tres tipos de discretizaci o´ n anteriormente considerados en los ejemplos. Resulta as ´ı: 1.

Movimiento ug (t) A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.8 Ecuaciones del movimiento de una estructura sometida a un terremoto

a)

48

M etodo ´  de concentraci on ´  de propiedades Los gdl que se activan con un desplazamiento unidad en la base O de la cimentaci o´ n son el 1 y el 2, con lo que el vector geom´etrico es: r = [1, 1, 0, 0]T 

La fuerza din a´ mica equivalente o eficaz es: Peq = −mru ¨g (t)

con: m = ρeRH 

con lo que resulta

 

1, 963 0 0 4, 712 0 0 0 0

Peq (t) = −ρeRH 

b)

 

 

0 0 0 0

 

u ¨g (t)

M´  etodos de las funciones de forma ´ En la viga continua al introducir un desplazamiento ug (t) en su empotramiento, esta se desplaza seg un ´ de so´ lido r´ıgido de valor u(z, t) = ug (t), es decir, la funci o´ n geom´etrica r(z) de (1.70) una traslaci on es en este caso r(z) = 1. Por consiguiente se obtiene para la fuerza din a´ mica equivalente el valor:

Peq (t) = −4πρeRH 

c)

1, 963 4, 712 0 0

0 0 0 0

 

0, 2083 0, 1500 0 0

 

u ¨g (t)

M´  etodo de los elementos finitos Dentro de cada elemento se produce la traslaci´on general ug , es decir, la funci´on geom´etrica es r(z) = 1, por lo que las cargas equivalentes dentro de cada elemento de longitud gen e´ rica L, en el que existen ´ las funciones de forma, N i (z), se deducen de acuerdo con las expresi on: L

Peq (t) = −

 

mN i dz = −mL

0

 

1/2 1/2 L/12 L/12

 

con lo que el vector de cargas totales sobre la estructura se obtiene mediante ensamblado y resulta:

Peq (t) = −ρeRH 

 

1, 963 4, 712 −0, 163H  −0, 065H 

 

u ¨g (t)

Se observa que las cargas equivalentes son pr a´ cticamente iguales a las obtenidas por medio de concentraci´on de propiedades ya que los t e´ rminos relacionados con los giros son peque n˜ os. ´ de los elementos se deducen valores, en principio, Si se tiene en cuenta la variaci o´ n de la secci on m´as adecuados para las fuerzas equivalentes pero comparables a los anteriores. En efecto, los valores de las cargas equivalentes que se alcanzan en este caso se resumen a continuaci´on para la estructura global. Peq (t) = −ρeRH 

2.

Movimiento θg (t)

 

1, 806 5, 001 −0, 157H  −0, 053H 

 

u ¨g (t)

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

49

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

a)

M etodo ´  de concentraci on ´  de propiedades Todos los gdl se activan con la rotaci o´ n unidad en el empotramiento, con lo que el vector geom e´ trico es: r = [H,

H  , 1, 1]T  2

Las fuerzas din´amicas equivalentes son:

Peq (t) = −ρeRH 

b)

 

1, 963 2, 356 0 0

 

θ¨g (t)

M etodos de las funciones de forma ´  En la viga continua los movimientos horizontales que resultan al producirse un giro θg (t) en la base de la cimentaci o´ n son u(z, t) = zθ g (t), es decir, r(z) = z .

El vector de fuerzas din´amicas equivalentes es en este caso: Peq (t) = −4πρeRH  c)

0, 1500 0, 1167



θ¨g (t)

M´  etodo de los elementos finitos El giro θg (t) genera en el elemento -01- los movimientos u(z, t) = zθg (t). Al tener en cuenta esta circunstancia en cada elemento se deduce el vector de cargas equivalentes de la estructura.

Peq (t) = −ρeRH 

3.



 

1, 518 2, 251 −0, 041H  −0, 026H 

 

θ¨g (t)

Movimiento wg (t) a)

M´  etodo de concentraci´  on de propiedades

Figura 1.16: Se´ısmo vertical. Ejemplo Este se´ısmo vertical no activa ning u´ n gdl del modelo anterior de flexi o´ n por lo que si se quiere conocer  su influencia en la estructura es preciso utilizar otro modelo estructural , en particular el modelo de acciones longitudinales o de barras. En este modelo de c´alculo se supone un gdl por nudo como se representa en la figura 1.16. Considerando dos barras de longitud igual y secci´on constante Ω en cada A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.8 Ecuaciones del movimiento de una estructura sometida a un terremoto

50

una de ellas, igual a la media entre los valores de las de sus secciones extremas, se deduce el vector siguiente de fuerzas equivalentes en la estructura: Peq (t) = −ρeRH  b)



4, 712 1, 963



w ¨g (t)

M etodos de las funciones de forma ´  Si se aplica el m´etodo de las funciones de forma y se eligen ´estas polin´omicas, las expresiones de las dos primeras son ahora (figura 1.16):

z Φ1 (x) = , H 

Φ2 (x) =

2

 z H 

ya que en este modelo la condici o´ n en el nudo 0 es simplemente que su desplazamiento vertical es nulo, sin incluir la derivada de dicho desplazamiento como en el caso de flexi´on. Aplicando las f o´ rmulas del m´etodo se tiene: Matriz de rigidez de la estructura H 

k =[

  0





E Ω(z)Φi Φj dz] =

πEeR H 

Matriz de masas de la estructura

   

H 

m =[

 

ρΩ(z)Φi Φj dz] = 4πρeRH 

0

Vector de cargas equivalentes en la estructura

3 8 3

5 24 3 20

Peq (t) = −[

3 20 7 60

r(z)ρΩ(z)Φi dz]w ¨g (t) = −4πρeRH 

0

con r(z) = 1. c)

   

1 3 5 24

   

H 

 

8 3 10 3

w ¨g (t)

M etodo ´  de los elementos finitos Se utilizan dos elementos finitos como se representa en la figura 1.16c con funciones de forma lineales como se indica a continuaci o´ n:

N 1 (z) = 1 − ξ,

N 2 (z) = ξ

con ξ =

zi H/2

en donde N k (z) hace referencia al gdl indicado en la figura 1.16c y zi la ordenada medida como all´ı se indica. Si se supone, como es usual, que el elemento es de secci o´ n constante. En este caso se adopta como valor de esta secci o´ n, el correspondiente a la central o secci o´ n media de su longitud, con lo que se obtienen las matrices y vector de cargas equivalentes siguientes:

E Ω k= L



1 −1 −1 1



,

1 m = mL 6



2 −1 −1 2



,

Peq

1 = − mL 2

  1 1

con L = H/2 y las siguientes propiedades para cada elemento: Elemento -01-: Ω = 10, 996eR, m = 10, 996ρeR Elemento -12-: Ω = 7, 854eR, m = 7, 854ρeR Si por el contrario se considera el refinamiento de la variaci´on longitudinal de la secci´on en el c´alculo de las matrices y vector anteriores se obtiene: A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

51

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

Elemento -01-: k22 = 21, 991

EeR , m22 = 1, 702ρeR H 

Elemento -12-:

EeR k2 = 15, 708 H 



1 −1 1 −1



,

m2 = ρeRH 



2, 880 0, 655 0, 655 1, 178



Las matrices globales de la estructura completa son:

EeR k= H 



15, 708 −15, 708 −15, 708 37, 669



,

m = ρeRH 



1, 178 0, 655 0, 655 2, 280



Finalmente las cargas pedidas son independientes de la secci o´ n y valen, en el caso de secci o´ n constante: Peq = −ρeRH 



4, 712 1, 963



w ¨g (t)

Se observa que la ecuaci o´ n (1.81) representa en la ecuaci o´ n del movimiento din´amico la superposicio´ n de las distintas fuerzas equivalentes o eficaces a los movimientos, desplazamientos y giros- que impone el se´ısmo simult´aneamente sobre todos los apoyos de la estructura, de forma que, en este caso, la accio´ n s´ısmica produzca en toda la estructura un movimiento general de s o´ lido r´ıgido. Una situaci´on diferente de la anterior ocurre cuando la estructura se encuentra solicitada por movimientos que generan deformaciones, es decir, no proceden de un movimiento general de s o´ lido r´ıgido. Este caso corresponde a la actuaci o´ n de las acciones s´ısmicas sobre una estructura sustentada de forma hiperest´atica y con diferentes movimientos aplicados a cada uno de sus apoyos. La obtenci o´ n de la carga din´amica equivalente en esta situaci´on se lleva a cabo como se indica a continuaci´on. Se considera, en primer lugar, la estructura completa, decir, que incluye los gdl excitados por los movimientos impuestos en los apoyos. Todos los gdl de esta estructura completa se designan por el super´ındice c. An´a logamente los gdl de la sustentaci´o n, que son excitados por los movimientos impuestos ug (t) (desplazamientos o giros), se representan por el super´ındice b. Se puede, entonces, establecer la siguiente igualdad: ut (1.82) uct = ubt

 

con ut y ubt vectores de dimensio´ n N  × 1 y N b × 1 que contiene los movimientos totales de la estructura inducidos por el se´ısmo. Por otra parte, estos movimientos totales se pueden descomponer en suma de los movimientos pseudoest´aticos us (producidos en cada instante t por los movimientos impuestos sin considerar las fuerzas de inercia y de disipaci´on) y de los movimientos din´amicos o relativos u, es decir: uct = ucs + uc

(1.83)

o bien en forma particionada:

      ut ubt

=

us ubs

+

u ub

(1.84)

Los movimientos impuestos por el se´ısmo son conocidos y tales que ubt = ubs = ug (t), es decir, un vector cuyas componentes son funciones temporales conocidas (datos). Por lo tanto, se deduce de la ecuaci´on (1.84) que ub = 0 para todo instante t y evidentemente, tambi´en sus derivadas temporales, en particular, u ˙b = u ¨ b = 0. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.8 Ecuaciones del movimiento de una estructura sometida a un terremoto

52

Las ecuaciones del movimiento o del equilibrio din´amico de la estructura en todos los gdl se escriben, en caso de una actuaci o´ n s´ısmica, como sigue, de acuerdo con las expresiones obtenidas en (1.67), es decir, considerando la matriz de amortiguamiento viscoso cc de la estructura completa aplicable a las velocidades totales, como: (1.85) mc u ¨ ct + cc u ˙ ct + kc uct = 0 En la ecuaci o´ n (1.85), adem´as de la matriz de amortiguamiento, la el a´ stica o de rigidez kc se refiere a los movimientos totales de la estructura, lo que permite una mayor generalidad de planteamiento. La ecuaci o´ n (1.85) se particiona como se muestra a continuaci´on:



m mbT 

mb mbb

   u ¨t u ¨b

+

cb cbb

c cbT 

   u ˙t u ˙b

+

kb kbb

k kbT 

   ut ub

=

0 Rb (t)



(1.86)

Los movimientos pseudoest´aticos por definici´on son los los obtenidos de la ecuacio´ n (1.85) al imponer las variaciones temporales de los desplazamientos con las velocidades y aceleraciones nulas, es decir, vienen dados por la ecuacio´ n: us 0 (1.87) = kc b us Rbs (t)

  



en donde Rbs son las reacciones que se generan en los apoyos sometidos a los movimientos impuestos para que e´ stos se produzcan. La ecuaci o´ n (1.87) se puede escribir en la forma:



k kbT 

kb kbb

   us ubs

=

0 Rbs (t)



(1.88)

de la cual se pueden extraer las N  primeras ecuaciones, con lo que resulta: kus + kb ubs = 0

(1.89)

us = −k−1 kb ubs = rubs = rug (t)

(1.90)

es decir: con r = −k−1 kb . La ecuaci o´ n (1.90) permite expresar los movimientos pseudoest a´ ticos en funcio´ n de los impuestos por el se´ısmo. Ahora el vector r dependen no so´ lo de las caracter´ısticas geom´etricas de la estructura sino tambi´en de sus constantes el a´ sticas, incluidas en la matriz de rigidez k. Si se eligen las N  primeras ecuaciones de (1.87) se puede escribir:



 

 

m¨ ut + mb u ¨ b + cu ˙ t + cb u ˙ b + kut + kb ub



=0

(1.91)

Expresando la ecuacio´ n (1.91) en t´erminos de los movimientos din´amicos u se obtiene: m(u ¨s + u ¨ ) + mb u ¨ s + c(u ˙s +u ˙ ) + cb u ˙ s + k(us + u) + kb us = 0

(1.92)

Al considerar la expresi o´ n (1.90) en la (1.92) se deduce la ecuaci o´ n din´amica del comportamiento de la estructura expresada en movimientos relativos o din a´ micos: m¨ u + cu ˙ + ku = −(mb + mr)u ¨ g − (cb + cr)u ˙g A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

(1.93)

53

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

Normalmente, el segundo sumando del segundo miembro de la ecuaci´on (1.93) suele despreciarse. Se puede mostrar que en algunos casos, frecuentes en la pr a´ ctica, ese sumando es nulo. Por ejemplo, como se ver´a m´as adelante, la matriz de amortiguamiento se expresa a veces como combinaci o´ n lineal de las de masa y de rigidez (matriz de amortiguamiento tipo Rayleigh) en la forma: cc = αmc + β kc

con α y β  dos constantes. Cuando α = 0, el amortiguamiento es proporcional a la rigidez, por lo que el segundo t´ermino del segundo miembro de (1.93) es:

(cb + cr)u˙ g = β (kb + kr)u˙ g = 0 puesto que kb + kr = 0. La expresio´ n final de (1.93) es entonces: m¨ u + cu ˙ + ku = −(mb + mr)u ¨g

(1.94)

y por tanto la fuerza din a´ mica equivalente es: Peq = −(mb + mr)u ¨g

(1.95)

con r = −k−1 kb . La formulacio´ n anteriormente expuesta tiene en cuenta la acci o´ n s´ısmica con excitacio´ n multiple de soportes. Su aplicacio´ n s´olo en estructuras de gran longitud, tales como puentes muy largos, presas, centrales nucleares etc., en las que cabe esperar diferencias de desplazamientos producidas en el trayecto de las distintas ondas de propagaci´on del se´ısmo. Se observa finalmente que la expresi o´ n (1.81) constituye un caso particular de la f ´ormula m´as general (1.95), que permite obtener la fuerza din a´ mica equivalente a una acci o´ n s´ısmica.

Ejemplo 1.14 Determinar la fuerza din a´ mica equivalente en la estructura viga continua de dos vanos iguales de luz L, seccion ´ constante de rigidez a flexi´on EI  y masa de intensidad m uniformemente repartida a lo largo de su longitud cuando act´ua un se´ısmo vertical que produce los desplazamientos ug1 (t), ug2 (t) y ug3 (t) respectivamente en los apoyos 1, 2 y 3. (Figura 1.17). La estructura completa tiene seis gdl que se numeran como se indica en la figura 1.17b. Los desplazamientos de los apoyos son gdl del contorno y los giros los activos de la estructura. Las matrices de rigidez y masa de cada uno de los dos elementos viga que componen la estructura son:

ke =

2EI  L3

 

2L2 L2 −3L 3L 2 L 2L2 −3L 3L 6 −6 −3L −3L 3L 3L 6 −6

 

, me =

mL 420

 

4L2 −3L2 −22L −13L 4L2 13L 22L −3L2 13L 156 54 −22L 22L 54 156 −13L

 

La composici´on de estas matrices seg´un los procedimientos de c´alculo matricial de estructuras permite obtener A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.8 Ecuaciones del movimiento de una estructura sometida a un terremoto

Figura 1.17: Determinaci´on de las fuerzas equivalentes a excitaci´on multiple las matrices de rigidez y masa de la viga continua completa:

ke =

me =

2EI  L3

mL 420

     

2L2 L2 0 3L −3L 0 2 2 2 L 4L L 3L 0 −3L 0 L2 2L2 0 3L −3L −6 3L 3L 0 6 0 −3L −6 0 3L −6 12 −6 0 −3L −3L 0 6

  

4L2 −3L2 0 22L 13L 0 2 2 2 8L −3L −13L 0 13L −3L 0 −3L2 4L2 0 −13L −22L 22L −13L 0 156 54 0 13L 0 −13L 54 312 54 − 0 13L 22L 0 54 156

  

Las submatrices de inter e´ s en el c´alculo son: k=

EI  L

kb =

con lo que resulta:

   

4 2 0 2 8 2 0 2 4

EI  L2

 

3

,

3 −3 0 3 0 −3 0 3 −3

m=

 

,

r = −k−1 kb = −

La fuerza din´amica equivalente es:

mL 420

mb =

1 4L

 

 

4 −3 0 8 −3 −3 0 −3 4 3

mL 420

 

22 −13 0

5 −6 1 2 0 −2 6 −5 −1

 

13 0 0 13 −13 −22

 

 

Peq = −(mb + mr)u ¨g

con lo que se llega al siguiente resultado: 2

Peq

mL =− 420

 

18, 5 19, 0 −2, 5 −14, 0 0 14, 0 2, 5 −19, 0 −18, 5

    u ¨g1 u ¨g2 u ¨g3

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

54

55

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

La interpretaci o´ n f ´ısica de la expresi o´ n anterior es directa. En primer lugar el vector de fuerzas equivalentes es suma de los producidos por las aceleraciones s ´ısmicas verticales en cada soporte, lo que es consecuencia de la linealidad del modelo de c´alculo. Por consiguiente se analiza el caso de actuaci´on del terremoto en el soporte 1, es decir, el movimiento s´ısmico ug1 (t) y los movimientos restantes, ug2 (t) y ug3 (t) , nulos. En esta situaci o´ n la figura (1.18) ilustra el movimiento pseudoest a´ tico que se produce.

Figura 1.18: Excitacio´ n multiple de soportes Los movimientos pseudoest a´ ticos en los gdl activos (giros) de la estructura son:

 

 

3 EI  L 5 − θ1s (t) = − 1 + u (t) = ug1 (t) g1 2 L2 6EI  4L θ2s (t) = − 1 − θ3s (t) =

3 EI  L 1 ug1 (t) = − ug1 (t) 2 2 L 3EI  2L

1 EI  L 1 ug1 (t) = ug1 (t) 2 2 L 6EI  4L

Como ut = us + u con, ut = (θ1t , θ2t , θ3t )T  y us = (θ1s , θ2s , θ3s )T , se deduce de la ecuacio´ n de equilibrio din´amico: m¨ ut + cu ˙ t + ku = 0 la cual, al expresarla en t´erminos de los movimientos relativos o din´amicos, u = (θ1 , θ2 , θ3 )T  se transforma en la siguiente: m¨ u + cu ˙ + ku = −m¨ us Como: us =

1 L

 

−5/4 −1/2 1/4

 

u ¨g1 = ru ¨g1

se observa que r coincide con la primera columna del vector r = k−1 kb antes obtenido. Adem´as conviene tener en cuenta que a la fuerza equivalente calculada al expresar la ecuaci´on de equilibrio din´amico en funciones de los movimientos relativos u se debe an˜ adir las fuerzas de inercia que se producen en las vigas al existir la deformada pseudoest´atica debidas al movimiento ug1 (t) en el apoyo 1, y cuyo valor es la primera columna de la matriz de masas mb multiplicada por ug1 (t).

1.9.

Ejercicios

1.9.1.

Ejercicios. Enunciados

Ejercicio 1 Plantear las ecuaciones del movimiento din´amico de una torre dep o´ sito de agua con un fuste de seccio´ n constante de rigidez EI , masa por unidad de longitud m, y luz L, en la que existe una masa A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.9 Ejercicios

56

concentrada en su extremo libre de valor M  cuya inercia al giro es I G . Esta estructura est´a sometida a un se´ısmo horizontal ug (t) (Figura 1.19). Se utilizar´an las funciones de forma siguientes:

Φi = 1 − cos

2πi x L

Figura 1.19: Ejercicio 1. Enunciado

Ejercicio 2 Plantear las ecuaciones del movimiento din´a mico de una placa rectangular de lados a y b simplemente apoyada a lo largo de su contorno cuando act´ua un se´ısmo vertical de acelerograma ug (t). El espesor de la placa es h y su material de densidad ρ tiene un mo´ dulo de elasticidad E  y un coeficiente de Poisson ν . Utilizar funciones de forma trigonom e´ tricas.

Ejercicio 3 Determinar las matrices de rigidez y masas, as´ı como el vector de cargas equivalentes, cuando act u´ a un se´ısmo horizontal sobre el po´ rtico de la figura 1.20a. Las barras son inelongables y se consideran los gdl indicados en la citada figura. Estudiar el caso l´ımite de la figura 1.20b con un s o´ lo gdl (dintel de rigidez infinita y con masa, y soportes sin masa y flexibles). Comparar los resultados entre los dos modelos anteriores.

Ejercicio 4 Expresar la ecuacio´ n del movimiento din´amico del po´ rtico plano de la figura 1.21 considerado como una viga de corte, es decir, con un s o´ lo gdl por piso cuando est a´ sometido a los movimientos s´ısmicos ug1 (t), ug2 (t) y ug3 (t) en los soportes 1, 2 y 3 respectivamente. Se supone que la rigidez entre pisos

12EI  y la masa m = Ωhρ. Se designa por Ω el a´ rea de la secci´on del dintel y de los soportes h3 extremos y por ρ la densidad del material del p o´ rtico. El a´ rea del soporte central es doble de la de los es k =

soportes extremos. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

57

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

Figura 1.20: Ejercicio 3. Enunciado

Figura 1.21: Ejercicio 4. Enunciado

Ejercicio 5 Escribir las ecuaciones del movimiento din´amico del pescante de la figura cuando act u´ a un se´ısmo horizontal ug (t). Se suponen 4 gdl (1.22a). Utilizar elementos finitos y el m e´ todo de la concentraci o´ n de masas y rigideces indicado en la figura 1.22b

Ejercicio 6 Determinar la fuerza din´amica efectiva o equivalente de la estructura de edificaci´on (tipo a´ rbol) en cada uno de los casos siguientes (figura 1.23a): 1.

Una aceleracio´ n horizontal u ¨g (t)

2.

Una aceleracio´ n vertical v¨g

3.

Una aceleracio´ n de giro θ¨g

Los gdl de la estructura (modelo viga de corte) son los traslacionales de los pisos que se suponen infinitamente r´ıgidos y con toda la masa concentrada en ellos. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.9 Ejercicios

Figura 1.22: Ejercicio 5. Enunciado

Figura 1.23: Modelos planos de estructuras de edificaci o´ n

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

58

59

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

Ejercicio 7 Resolver las mismas cuestiones que en el ejercicio 6 anterior, pero suponiendo ahora que la estructura de edificacio´ n se describe mediante 3 gdl por nudo, es decir, con 24 gdl como se representa en la figura 1.23b.

Ejercicio 8 Aplicar las expresiones obtenidas en la discretizaci´on de la torre de radio variable del ejemplo del apartado 1.7, mediante concentraci o´ n de propiedades de la estructura en dos elementos, al caso num e´ rico H  = 30,00 m , R = 2,50 m , e = 0,60 m, E  = 3 × 107 kN/m2 y ρ = 2,5 ton/m3 y p(t) = 10f (t) kN/m.

Ejercicio 9 Aplicar las expresiones obtenidas en la discretizaci o´ n, mediante el uso de las dos funciones de forma de forma potenciales, de la torre de radio variable del ejemplo del apartado 1.7 al caso num´erico H  = 30,00 m , R = 2,50 m, e = 0,60 m, E  = 3 × 107 kN/m2 , ρ = 2,5 ton/m3 y p(t) = 10f (t) kN/m.

Ejercicio 10 Aplicar las expresiones obtenidas en la discretizaci o´ n, mediante el uso de dos elementos finitos de flexi´on, de la torre de radio variable del ejemplo del apartado 1.7 al caso num e´ rico H  = 30,00 m, R = 2,50 m, e = 0,60 m, E  = 3 × 107 kN/m2 , ρ = 2,5 ton/m3 y p(t) = 10f (t) kN/m.

1.9.2.

Ejercicios. Soluciones

Ejercicio 2 Si se adoptan como origen de los ejes de coordenadas un v e´ rtice de la placa, las funciones de forma son:

Φij (x, y) = sen

iπx  jπy sen a b

(i, j = 1, 2, . . .)

Las flechas u(x,y,t) normales al plano medio de la placa, medidas desde su posici o´ n de deformada est´atica producida por su peso propio, se expresan de la siguiente forma:

u(x,y,t) =



qij (t)Φij (x, y)

i,j

La flecha total ut (x,y,t) es:

ut (x,y,t) = u(x,y,t) + r(x, y)ug (t) con r(x, y) = 1 en este caso. A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.9 Ejercicios

60

Se supone un movimiento virtual u∗ (x, y) definido por la expresi´on:

u∗ (x, y) =



∗ qij Φij (x, y)

i,j

∗ con qij coeficientes (constantes arbitrarias).

La aplicacio´ n del P T V  conduce a la igualdad: a

b

        0

ut u dxdy = −ρh¨

0

a

0

a

∗

0

b

0

b

    0

−D(u,xx + νu ,yy )(−u∗,xx)dxdy a

∗

−D(u,yy + νu ,xx)(−u,yy )dxdy +

b

    0

0

−D(1 − ν )u,xy (2u∗xy )dxdy

en donde el segundo miembro de la ecuaci o´ n anterior representa el trabajo interno realizado por los momentos flectores M x y M y y el torsor M xy al producirse las deformaciones (curvaturas) virtuales ∗

∗

−uxx , −uyy

Eh 3 y −uxy . Se ha designado con una coma las derivadas parciales y D = . 12(1 − ν 2 ) ∗

A partir de la ecuaci´on anterior se deducen las ecuaciones discretas del movimientos din´amico de la placa:

kijmn qmn + mijmn q¨mn = −Lij u ¨g (t) con a

b

           

kijmn =

0

D [(Φij,xx + ν Φij,yy )Φmn,xx+

0

D(Φij,yy + ν Φij,xx Φmn,yy ) + 2D(1 − ν )Φij,xy Φmn,xy ] dxdy a

b

mijmn =

0

a

Lij =

ρhΦij Φmndxdy

0

b

r(x, y)ρhΦij dxdy

0

0

Ejercicio 4 Se denomina ug = [ug1 , ug2 , ug3 ]T  y las matrices elementales son: k=k



1 −1 −1 1



m m= 6

,

  2 1 1 2

Las matrices completas con los 4 gdl del p o´ rtico se escriben:

kc = k

 

4 −1 −2 −1 1 0 0 −1 −2 0 2 0 −1 0 0 1

Las submatrices de esta matrices son: k = 4k,

8 m = m, 6

 

,

kb = (−1, −2, −1)k,

m m = (1, 2, 1) , 6 b

mc =

     

m 6

kbb =

bb

m

=

8 1 2 1

1 2 0 0

2 0 4 0

1 0 0 0 2 0 0 0 1

2 0 0 0 4 0 0 0 2

1 0 0 2

   

 

k

m 6

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

61

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

con lo que se obtiene

1 4

kus + kb ubs → r = −k−1 kb = − (−1, −2, −1)

Por consiguiente, el vector de fuerzas equivalentes es:

Peq

m = −(m + rm)u ¨g = (4, 2, 1) 4 b

    u¨g1 u¨g2 u¨g3

La ecuaci o´ n de equilibrio din´amico se plantea como sigue: m¨ u + ku = −(mb + rm)u ¨g

es decir:

4 m m¨ u1 + 4ku1 = (1, 2, 1)ug (t) 3 4 Se ha supuesto un amortiguamiento nulo.

Ejercicio 6 1.

Se tiene ru =

Por lo tanto

 

1 1 1 1

 

= {1},

m=

 

m1 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 m3 0 0 0 0 m4

¨g = − Peq = −m{1}u

2.

m1 m2 m3 m4

 

¨g u

En este caso se deduce: rv = 0,

3.

 

 

Se denomina H 1 = h1 , H 2 = H 1 + h2

ru =

 

H 1 H 2 H 3 H 4

 

y

y

Peq = 0

H 3 = H 2 + h3 , con lo que se escribe:

Peq = −mrθ θ¨g = −

 

H 1 m1 H 2 m2 H 3 m3 H 4 m4

 

θ¨g

Ejercicio 7 La matriz de masas es diagonal de dimensi o´ n 24 × 24: m = diag(

m1 m1 m1 m1 m2 m2 m2 m2 m4 m4 m4 , , 0, , , 0, , , 0, , , 0, . . . , , 0, , , 0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Los resultados para cada uno de los tres apartados son: A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

1.9 Ejercicios

1.

Se tiene en este caso los vectores de dimensi´on 24 × 1 siguientes rT  u = (1, 0, 0, 1, 0, 0 . . . , 1, 0, 0)

2.

¨g (t) Peq = −mru u

De forma semejante se determinan los vectores de dimensi o´ n 24 × 1: rT  v = (0, 1, 0, 0, 1, 0, . . . , 0, 1, 0)

3.

62

¨g (t) Peq = −mrv v

An´alogamente se deducen los vectores rT  θ = (H 1 , −a, 1, H 1 , a, 1, . . . , H4 , a, 1)

Peq = −mrθ θ¨g (t)

Ejercicio 8 La ley de variaci´on del radio medio de las secciones r en funci´on de la altura z es:

r = r(z) = 5,0 − 0,083333 z

(1.96)

que conduce a los valores de los radios de las secciones medias de cada una de las dos vigas:

r1 = 4,3750,

r2 = 3,1250

La ley de variaci´on de las rigideces a flexi´on EI  es, por lo tanto:

EI  = EI (z) = 30000000 π [(5,3000 − ,083333 z)4 − (4,7000 − ,083333 z)4 ] de la cual se deducen los siguientes valores de las rigideces de las secciones medias de cada viga:

EI 1 = ,19031 1011 kNm2

EI 2 = ,69668 1010 kNm2

con lo que la matriz de rigidez de la viga 1 es:

k1 =

 

0,67666 × 108 −0,67666 × 108 −0,50749 × 109 −0,50749 × 109 −0,67666 × 108 0,67666 × 108 0,50749 × 109 0,50749 × 109 0,50749 × 109 0,50748 × 1010 0,25374 × 1010 −0,50749 × 109 0,50749 × 109 0,25374 × 1010 0,50748 × 1010 −0,50749 × 109

 

 

0,24770 × 108 −0,24770 × 108 −0,18578 × 109 −0,18578 × 109 0,24770 × 108 0,18578 × 109 0,18578 × 109 −0,24770 × 108 0,18578 × 109 0,18578 × 1010 0,92890 × 109 −0,18578 × 109 0,18578 × 109 0,92890 × 109 0,18578 × 1010 −0,18578 × 109

 

 

0,92436 × 108 −0,24770 × 108 0,32171 × 109 −0,18578 × 109 −0,24770 × 108 0,24770 × 108 0,18578 × 109 0,18578 × 109 0,32171 × 109 0,18578 × 109 0,69326 × 1010 0,92890 × 109 0,18578 × 109 0,92890 × 109 0,18578 × 1010 −0,18578 × 109

y la de la viga 2

k2 =

y la matriz de la estructura completa obtenida por composici´on de las dos anteriores es:

K=

 

En relaci´on con la matriz de rigidez geom e´ trica se obtiene la ley de variaci o´ n de las a´ reas Ω de las secciones en funci´on de la altura z , que se escribe:

Ω = Ω(z) = π [(5,3000 − ,083333 z)2 − (4,7000 − ,083333 z)2 ] A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos

63

Planteamiento general del c alculo s´  ısmico ´ 

con lo que resultan los valores en las secciones medias de cada viga:

Ω1 = 16,493 Ω2 = 11,782 La ley de esfuerzos axiles N  en la estructura es, en funci´on de la altura z :

N  = N (z) = 10391. + 3,8485 z 2 − 461,83 z Los esfuerzos axiles medios en cada viga son:

N 1 = 7143,3 kN N 2 = 19848 kN Las matrices de rigidez geom´etrica de cada viga son:

kg 1 =

kg 2 =

     

476,22 −476,22 476,22 −476,22 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

129,87 −129,87 −129,87 129,87 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

     

y la matriz de rigidez de la estructura completa se deduce inmediatamente:

Kg =

606,09 −129,87 −129,87 129,87 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

La matriz diagonal de masas de la estructura se determina como sigue: La masa media se obtiene para cada viga multiplicando el a´ rea media por la densidad con lo que resulta:

m1 = 41,233 m2 = 29,455 Entonces, la matriz de masas de cada viga es:

m1 =

m2 =

     

309,25 0 0 0 0 309,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 220,92 0 0 0 0 220,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

La matriz de masas de la estructura resulta, por consiguiente:

M=

530,17 0 0 0 0 220,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

A. Samart´ın, P. de la Fuente y J. C. Mosquera. ETSI Caminos, Canales y Puertos