Curso de Geometria Afin y Geometria Euclidiana UNED - Lafuente & Costa

Antonio F. Costa

Javier Lafuente

Curso de Geometría Afín y Geometría Euclideana

Curso de Geometría Afín y Geometría Euclidiana

A

In d ice gen eral Introducción ............................................................................................ Contextualización y conocimientos p rev io s................................ Orientaciones para el e s t u d i o ...................................................... Objetivos g enerales......................................................................... Breve presentación de los a u to re s ................................................

6

7 7 7 8

1. P relim inares Actuación de un grupo sobre un c o n ju n to ......................................... Álgebra lin e a l............................................................................................ HomomorfismoB. Geometría Vectorial.................................................... Geometría vectorial a n a l í t i c a ............................................................... Sistema de c o o rd e n a d a s............................................................... Matriz de cambio de b a s e ............................................................ Matriz de un homomorfismo......................................................... Ecuaciones de subcspacios............................................................ Clasificación de endom oríism os............................................................ E je rc ic io s ..................................................................................................

11 13 15 18 18 19 19 21 21 31

2. Espacio affn Introducción ............................................................................................ D efiniciones...............................................................................................

33 33 37

3. Subespacios afínes Operaciones entre subcspacios a fin e s ................................................... E je rc ic io s ..................................................................................................

43 48 56

4. A plicaciones afínes Aplicaciones afines y subespacios............................................................

59 70

11

Ejercicios...............................................................................................

72

5. El Teorema fundam ental Colineacioncs............................................................................................ El teorema fundamental de la Geometría A fín ...................................

73 74 76

6. Extensiones vectoriales. G eo m etría a n a lític a Extensiones vectoriales........................................................................... Geometría a n a lític a .............................................................................. Ejercicios...............................................................................................

83 83 89 95

7. Clasificación de endom orfism os afínes 97 Establecimiento del problem a............................................................... 97 Clasificación............................................................................................. 98 Clasificación para dimensiones b a j a s ...................................................101 E jercicios............................................................................................... 103 8. G eom etría vectorial euclidiana 107 Preliminares sobre formas bilineales y cuadráticas.............................107 Espado vectorial cuclidiano. Producto e s c a la r................................... 1H9 Ortogonalidad.................................................................................110 Bases ortonormales........................................................................ 110 Transformaciones ortogonales o lineales eu c lid ian a s................111 Clasificación métrica de las transformaciones ortogonales . . . 111 E jercicios................................................................................................112 9. G eom etría afín euclidiana. D istan cia 115 Introducción ..........................................................................................115 Distancia eu clid ian a.............................................................................. 116 Geometría analítica afín euclidiana......................................................124 E jercicios................................................................................................125 lO .Isom etrías y m ovim ientos

127

11.Clasificación de los m ovim ientos 133 Clasificación de los movimientos de plano euclidiano y del espacio trimensional.................................................................................... 145 E jercicios................................................................................................ 147

12. G eom etría afín equiforme Introducción .............................................................. S em e jan z as................................................................. Clasificación métrica y equiforrne de las semejanzas E je rc ic io s.................................................................... 13.Soluciones de los ejercicios C apítulo 1 ................................................................... Capítulo 3 ................................................................... Capítulo 4 ................................................................... C apítulo 6 ................................................................. C apítulo 7................................................................... Capítulo 8 ................................................................. Capítulo 9 ........................................................ C apítulo 11................................................. Capítulo 1 2 ...........................................

Introducción El objetivo de este libro es servir de material didáctico para la asigna­ tura “Geometrías Lineales11 del grado en Matemáticas de la UNED. En esta asignatura se estudia la Geometría desde un punto de vista analítico es decir usando coordenadas, de este modo se aplican las técnicas de Álgebra Lineal del primer curso al estudio de problemas geométricos. La Geometría Analíti­ ca es uno de los temas que se consideran centrales dentro de las matemáticas y que por supuesto no pueden ser omitidos en el plan de estudios del grado en esta materia. La Geometría Analítica surge en el apéndice al “Discurso del Método” de René Descartes en 1637, de allí el nombre de coordenadas cartesianas. Aunque el jurista y matemático, también francés, Fierre de Fermat, prác­ ticamente en la misma época, ya conocía y utilizaba las coordenadas para atacar problemas sobre lugares geométricos y presentó estos trabajos en “Ad locus planos et solidos isagoge”, en 1636, pero que fue publicado después de su muerte que fue en 1665. Hay precedentes en Marino Ghetaldi (1566-1626) en “De resolutione et de compositione mathematica, libri quinque” , que tam­ bién es una obra póstuma, y otras algo más discutibles en algunos métodos de Ornar Khayyam (siglo XI). En los descriptores de la asignatura Geometrías Lineales se incluyen las Geometrías Afin, Euclidiana y Proyectiva. Si duda la aproximación más rápi­ da es comenzar con la Geometría Proyectiva y después particularizar a las Geometrías Afín y Euclidiana, sin embargo hemos optado por comenzar con las Geometrías Afín y Euclidiana pues nos parecen más próximas a la in­ tuición y que consideramos que el alumno debe conocer antes de estudiar la Proyectiva. Por otra parte las tres geometrías: Proyectiva, Afín y Euclidiana, se com­ prenden de forma unificada gracias a la definición de Geometría dada por Fe­ lix Klein en el “Programa de Erlangen" (Vergleichende Betrachtungen ílber neuere geometrische Forschungen) de 1372, donde la geometría se define co­ mo el estudio de las propiedades de las figuras que son invariantes por la acción de un grupo de transformaciones. La Geometría Afín y la Geometría Euclidiana constituyen ejemplos inmejorables para entender la idea de Klein y ese es también uno de los objetivos del curso.

C o n tex tu a liza ció n y con o cim ien to s p revios La asignatura Geometrías Lineales se sitúa así en segundo curso del grado para que el alumno posea los conocimientos indispensables de Álgebra Lineal (obtenidos en las asignaturas Álgebra Lineal 1 y II), también es deseable que el alumno haya cursado o bien curse de forma simultánea la asignatura E structu ras Algebraicas (para tener uua cierta fam iliaridad con la teoría elemental de grupos). Por otra parte esta asignatura permite el acceso a otras ramas de la geometría como la geometría diferencial, la geometría algebraica y la topología, se usa, por supuesto, de forma esencial en diseño, también es importante para entender muchas de las aplicaciones del análisis matemático a la geometría, en la presentación y estudio de datos e información y, por supuesto, en física (mecánica, cosmología, astronomía) donde es fundamental. O rien ta cio n es para el e stu d io El presente texto se ha elaborado para que se estudie de forma práctica, es decir orientándose hacia la resolución de ejercicios. Por ello se han evitado algunas de las demostraciones (que se pueden encontrar en la bibliografía, principalmente en [CL] que constituye un buen libro de consulta para este cu rso). S e debe realizar primero una lectura d e las d efin icion es y en u n ciad o s y después enfrentarse con los ejercicios, sobre todo con los de los capítulos 1, 7 y 11. Después se deben leer con calma las demostraciones para desentrañar las posibles dificultades teóricas. El libro tiene algunas figuras pero el lector puede y debe dibujar cada vez que necesite tener apoyo de imágenes.

O b je tiv o s g en er a le s Entre los objetivos que se adquieren con esta asignatura destacamos los siguientes: 1. Conocer la naturaleza, métodos y fines de la Geometría. En particular

la noción de geometría de Klein. 2. Utilizar técnicas algebraicas para resolver problemas geométricas. 3. Reconocer la presencia de las matemáticas subyacente en la naturaleza, la ciencia, la técnica y el arte. 4. Desarrollar capacidades analíticas y de abstracción, la intuición y el pensamiento lógico-deductivo a través de la Geometría.

5. Capacitar para la utilización de métodos teóricos y prácticos en el planteainiento y resolución de problemas. 6. Preparar para el estudio de otras asignaturas inás avanzadas dentro del grado. Competencias: 1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático: enunciar teoremas y construir demostraciones. 2. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos de la Geometría. 3. Asimilar conceptos nuevos en términos de otros conocidos y utilizarlos en otros contextos. 4. Saber extraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos y de la realidad observada) y poder comprobarlas o refutarlas con razona­ mientos, contraejemplos o manipulaciones en estructuras algebraicas, identificar errores en razonamientos. 5. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos. 6. Resolver problemas geométricos básicos. 7. Utilizar matrices para resolver problemas lineales. 8. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales usando Álgebra Lineal. 9. Planificar la resolución de un problema en función de las herramientas de que se disponga. 10. Incrementar la intuición y visión geométrica, espacial, plana y n-dimensional.

B reve p resentación d e los au tores Antonio F. Costa es profesor de la UNED y Javier Lafuente es profesor de la Universidad Complutense de Madrid, ambos dentro del área de Geo­ metría y Topología. Antonio F. Costa centra su investigación en Topología y

en superficies de Riemann m ientras que Javier Lafuente se dedica a temas de Geometría Diferencial. Por otra parte ambos son autores del libro “Geome­ trías Lineales y Grupos de Transformaciones” [CL], publicado por primera vez en la UNED en 1988, y que ha sido el libro de texto para la asignatu­ ra correspondiente a los contenidos de Geometrías Lineales durante muchas años, ta n to en la UNED com o en otras u niversidades (inclu so de fuera de España).

C apítulo 1

Prelim inares A ctuación de un grupo sobre un conjunto La estructura algebraica más importante en matemáticas es la de grupo. Un grupo suele surgir de una actuación (o acción) sobre un conjunto, vamos a recordar en primer lugar qué es la actuación de un grupo sobre un conjunto: D efinición 1.1 (A ctu ació n de u n g ru p o so b re u n co n ju n to ) Sea G un grupo y X un conjunto. Una actuación (por la izquierda) de G sobre X es una aplicación G x X 3 (g, x) —* gx € X con las siguientes propiedades: i. Para todo par de elementos g ,h € G y todo x £ X se verifica (gh)x = g(hx). ii. Para todo x € X se tiene que ex = x, siendo e el elemento neutro de G.

Uno de los ejemplos más sencillos y más im portantes, es considerar ¿ grupo de simetrías de una íigura T y su actuación sobre T . Por ejemplo a / es iui polígono regular de n lados, el grupo de sim etrías es un grupo diédrico con 2n elementos, formado por n reflexiones, por una rotación de ángulo 2tt/n y todas sus potencias. La noción de grupo aparece con el m atem ático francés Evariste Galciis, quien la utiliza para determinar ruando las ecuaciones polinóm icaa se pueden resolver mediante fórmulas con sólo radicales. Los grupos ya en su origen aparecen con una actuación, en el caso de los grupos de Galois aparecen como grupos que actúan sobre las raíces de polinomios.

Observación 1.2 Dada la actuación de un grupo G sobre un conjunto A'. también el grupo G actúa sobre los subconjuntos de X : Si Y C X y g € G

entonces

g Y = {gy : y 6 Y }.

La siguiente terminología se usará a lo largo de todo el curso: Supongamos que un subconjunto Y de X tiene una cierta propiedad P. Decimos la propiedad P es invariante, con respecto a la actuación de G sobre X , si para todo g e G se tiene que gY tiene también la propiedad P. Entrelas propiedades que hacen alusión a un único elemento de X , pares de elementos o aplicaciones de X —► X también se pueden distinguir aquellas que son invariantes por la actuación de un grupo. La noción de actuación de un grupo sobre un conjunto es muy importan­ te en geometría, tanto que incluso ha servido para sistem atizar su estudio. Así ha dado lugar a la siguiente definición de geometría, que se atribuye al matemático alemán Félix Klein: Geometría es el estudio de las propiedades invariantes por la acción de un grupo sobre un conjunto. Al grupo que actúa le llamaremos grupo de timformaciones de la geometría. En este curso se van a ofrecer ejemplos de geometrías definidas de este modo, por ello no se preocupe el lector si no consigue, en una primera lectura llegar a la comprensión profunda de la definición anterior, se trata de unode los objetivos finales de este curso.

Simplemente, y para hacerse una idea de la potencia de esta definición, obsérvese que con ella podemos a veces “comparar” geometrías. Por ejem­ plo, si tenemos dos geometrías definidas sobre un conjunto X y el grupo de transformaciones de una de ellas, G, está contenido en el grupo de transfor­ maciones de la otra, G', y la acción de los elementos comunes a ambos grupos es idéntica en X , entonce» toda propiedad para la geo m etría definida por G 7 es también una propiedad para la geometría definida por G. Esto puede pa­ recer casi un trabalenguas pero es un ejemplo de metateorema: no solo se establece un resultado en una teoría (en nuestro caso en una geometría) sino que se consigue un procedimiento o método para demostrar todo un sistema de resultados de una vez (al pasarlos de una geometría a la otra). Como es lógico los metateoremas son de gran importancia en todas las matemáticas. Para estudiar las propiedades geométricas se suelen definir invariantes, vamos a decir con precisión qué es un invariante: D efinición 1.3 Supongamos que el grupo G actúa sobre el conjunto X , y sea 4> : X —► L una aplicación, donde L es un conjunto cualquicm. Diremos que & es un invariante si: ^(x) = $( f ( v ) e V La actuación anterior define la Geometría Vectorial sobre V.

Ejem plos 1.8 Propiedades de la Geometría Vectorial: - para un solo vector v: el hecho de ser distinto del vector 0. - para un conjunto finito de ventores: la propiedad de ser linealmonte dependientes o independientes. En cuanto a los subespacios vectoriales y su comportamiento respecto a los homomorfismos recordamos los siguientes resultados:

Proposición 1.9 Si f : V —► V' es un homomorfismo entre espacios vectoriales, entonces: 1 . Si (J < V se tiene que f(U ) < V ' y f restringido a U es un homomorJismo. En particular la imagen de f , f( V ) = lm f es un subespacio vectorial. Si 5 es un monomorfismo entonces dim U = dim f(U ) 2. Si V < V* se tiene que

< V*.

3. Si S C V entonces f((S )) = (/(£ ))■ 4. dim V = dim lm / + dim ker / Obsérvese que por 1 de la proposición anterior la propiedad de ser subes­ pacio vectorial es una propiedad de la geometría vectorial y la dimensión de los subespacios es un invariante de la geometría vectorial. El siguiente concepto de suma directa será útil y además proporciona ciertos homomorfismos especiales que tendrán su análogo en geometría afín. D efinición 1.10 (Sum a directa) Sea V un espacio vectorial y U u ... 9 Ur subespacios vectoriales de V tales que U = U\ + ... + Ur . Diremos que U es suma directa deU \,...,U r y lo denotaremos por U = U\ ® ...© í/r si para cada u 6 U existen vectores únicos Ui € Ui tales que u = u\ -I-... + ur .

P roposición 1.11 Sea V un espacio vectorial y U \,...,U T subespacios vec­ toriales de V tales que U = U\ + ... + Ur. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1 . U = U\ 0 ... © Ur 2. Para todo i = 1,..., r es Uí H ('Ej&Uj) = 0 3. dim U = dim t/i + ... + dim Ur . A continuación veamos un par de ejemplos de endomorfismos im portantes y que serán usados en varias ocasiones a lo largo del curso: D efinición 1.12 (Proyección) Sea n : V —> V un endomorfismo. Diremos que 7r es una proyección si se verifica que n 2 = n. Al subespacio D = Im 7r se le denomina base de la proyección y a D = ker / dirección de la misma.

Proposición 1.13 Sea n : V -> V una proyección. Entonces V = B © siendo B la base y D la dirección de ir.

Definición 1.14 (Reflexión) Sea a : V -* V un endomorfismo de un es­ pacio vectorial V\ Dirruios que o es una reflexión si se verifica a 2 = idv Al subespacio tí = ker( K,(K) y X* : V* —> KníK) los sistemas de coordenadas en V respecto a la base B y en V f respecto a la base t í respectivamente. Consideremos una aplicación lineal / : V —> V*. Designaremos por A/b,b'(/) Ia matriz cuyas columnas son son las coordenadas respecto a t í de las imágenes por / de los elementos de la base B: * í( /( e »)) M e M f) = x 'mU(cn)) tific i)) La matriz M b,b'(/) se llama matriz de la aplicación lineal / respecto a las bases B y t í y se verifica: x 'U i v ) ) = M Bj3 'U ) x ( v )

que son las ecuaciones de la aplicación lineal / . También se verifica:

Si / es un endomorfismo denotaremos Mb M Í) = M »(f)

En primer lugar recordemos como se transforman las matrices de las aplicaciones lineales al cambiar de base: Proposición 1.16 Sean B y B* dos bases d e V y f f y B # f dos bases de V'. Supongamos que f :V -> V ' es una aplicación lineal, P es la matriz de paso de B a B^ y es la matriz de paso de B> a Bft*. Entonces se verifica:

D em ostración. Por un lado tenemos B* = BP\ B*' = 5 '/ y; f(B ) = de donde: Í(B * )

= f(B P ) = f( B )P = & M b M ! ) = = B#' / y- lAfs ,B. ( / ) P

□ Es importante también recordar que la matriz de una composición de homorfismos es el producto de sus matrices: P rop o sició n 1.17 Si B, B>, B,f son bases de los espacios vectoriales V , V y V" respectivamente y f : V V', g : V 1 -> V " son homomorfismos, entonces:

E cu a cio n es d e su b esp a cio s Sea B = (í’i u n a base de V y x : V —► Vn(K) el sistema de coordenadas correspondiente a dicha base. Si U es un subespacio vectorial de V de dimensión r < t i , existe una matriz A, r x n, de rango r , de modo que: ' Ai ' u € U si y solo si existe

.

’ *i(u) '

’ A, ' tal que A

= ar(u) =

.

.

x„(u)

-

escrito de otro modo:

(

x¡ — anAi + ... + «irAr Xn ~

···

Q>nrXr

que son ecuaciones paramétricas del subespacio U. También existe una matriz B, n - r x n, de rango n —r, de modo que ’ * l(u ) “

' 0 '

x n(u)

0

u € U si y solo si Bx(u) = B o bien: a iix i + ... + a :nx u = 0 ^

a n —r

1^1 + ... “I" flti-r

nXn

—0

que son ecuaciones implícitas del subespacio U.

C lasiñcación de endom orfism os Cuando se tiene la acción de un grupo G sobre un conjunto C y sobre tal conjunto hay definido un conjunto de aplicaciones T de C en C, entonces el grupo G actúa también sobre T de forma natural por conjugación. Vamos a definir tal acción para el caso de los endomorfismos de un espacio vectorial. P roposición 1.18 Sea E L (V ) el conjunto de los endomorfismos de un es­ pacio vectorial V. El grupo G L(V ) actúa por: G L(V ) x E L (V ) 3 (s, / ) - g o f

o

g~l e E L (V )

se dice que GL(V) actúa por conjugación sobre E L (V ). La actuación por conjugación de GL(V) sobre E L (V ) produce una rela­ ción de equivalencia entre endomorfismos: Dos mdomorjismos f y } ' se dicen lificalmente equivalen­ tes si existe g £ GL(V) tal que / ' = g o f o g~~l .

D efin ició n 1 .1 9

Otra forma de decir que dos endomorfismos son equivalentes, y que justi­ fica también el estudio de esta equivalencia es la siguiente: dos endomorfismos / y / ' son equivalentes si existen das bases B y Bf de V de modo que las ecuaciones de / respecto a B coinciden con las ecuaciones de / ' respecto a B. Dicho de otro modo eligiendo convenientemente las bases, los endomorfismos / y / ' producen el mismo efecto, por tanto las propiedades de / y / ' serán las mismas salvo un cambio de base. Vamos a expresar mejor el párrafo anterior mediante matrices: Definición 1.20 Dos matrices n x n , A y A ' , se dice que son semejantes si existe una matriz P € GL(n) tal que A! = P ~ l AP. La semejanza de matrices traduce la equivalencia lineal de endomorfismos: Proposición 1.21 Sea B una base de V. Dos endomorfismos f y / ' de V son linealmente equivalentes si y solo si las matrices M b (J) y M s ( ff) son semejantes. Por otra parte las matrices de un mismo endomorfismo / son todas seme­ jantes y cualquier matriz semejante a una matriz de / es también una matriz de / pero respecto a otra base. De esto se deduce lo que habíamos afirmado antes y que ahora enunciamos con precisión: Proposición 1.22 Sea B una base de V y / , / ' dos endomorfismos. Enton­ ces f es linealmente equivalente a / ' si y solo si existe una base Bf de V tal queMB(f) = MB'(f'). Los endomorfismos se clasifican utilizando invariantes lineales que son invariantes para la acción de GL(V) sobre E L (V ) por conjugación:

D efinición 1.23 (In v arian te) Un invariante lineal para la clasificación li­ neal de endomorfismos del espacio vectorial V es una aplicación: p : E L(V ) —► X , donde X es un conjunto tal que se verifica la siguiente implicación: f linealmente equivalente a J* => p (f) = p (f') Los invariantes lineales dan lugar en matrices a los invariantes de seme­ janza: D efinición 1.24 Un invariante de semejanza de matrices es una aplicación: p : EL(n) —► X , donde X es un conjunto tal que se verifica la siguiente implicación: A es semejante a A!

p(A) = p(A()

Todo invariante de semejanza da lugar a un invariante lineal y viceversa. E jem p lo s 1.25 Los ejemplos de invariantes lineales más útiles son los si­ guientes: 1. La aplicación determinante: d e t : E L (V ) 3 /

det M ( /) € K

donde M ( f) es la matriz de / respecto a cualquier base de V . 2. El rango: rg : E L (V ) 3 / -^ d im lm / = rg (f) = rg (M (f))