Curso de Fisica Nuclear

Notas del Curso de Física Nuclear y de Radiaciones

Dr. Edy Ayala A.

Departamento de Física Escuela Politécnica Nacional

Quito- Marzo - 2008

ii CONTENIDO GENERAL I. FUNDAMENTOS Reseña Histórica…………………………………………………………………….…………......1 Propiedades de los núcleos……………………………….……….……………………....……….3 Energías de enlace nuclear……………………………………………………………….…......…9 Reacciones nucleares…………………………………………………………………………..…11 Decaimientos radiactivos…………………………………………………………………….….. 13 Ley del decaimiento radiactivo…………………………………………………….…….….…....20 Activación neutrónica…………………………………………………………….……...…...…..24 II. RADIACIONES Campo de radiación……………………………………………………………………….……...27 Secciones eficaces y coeficientes de interacción…………………………………..……….…….29 Interacción de los fotones con la materia……………………………………………..……….….35 Interacción de los neutrones con la materia……………………………………………....………45 Interacción de las partículas cargadas con la materia…………………………………....……….49 Rangos y Straggling de partículas cargadas……………………………………………...………56 Radiación de frenado (Bremsstrahlung)……………………………………………..…….……..60 Efecto Čerenkov……………………………………………………..……….…………………..64 III. MODELOS NUCLEARES Modelo de la gota líquida y formula semi-empírica de masa……………….………….....……..68 Modelo de Gas de Fermi……………………………………………………….……..….…...….73 Modelo de capas……………………………………………………………….……..…………..79 Modelo colectivo………………………………………………………………...……………….97 IV. INTERACCION NUCLEAR El deuterón……………………………………………………………………………………...106 Dispersión nucleón-nucleón……………………………………………………….……..……..113 Propiedades de las fuerzas nucleares…………………………………………………..……….124 Fuerzas de intercambio………………………………………………………………..………..130 V. MODELOS DE RADIACION NUCLEAR Teoría del decaimiento alfa………………………………………….….……….……………...136 Teoría del decaimiento beta……………………………………………..……………………...143 Teoría del decaimiento gamma…………………………………………..……………………..157 Absorción resonante y efecto Mössbauer……………………………..………………………..169 VI. REACCIONES NUCLEARES Características fundamentales de las reacciones nucleares………………..…….……………...180 Reacciones resonantes………………………………………………..……….………………...190 VII. APLICACIONES DE LA FISICA NUCLEAR Fisión nuclear………………………………………………………..………….………………194 Teoría de reactores de fisión…………………………………………..………….………….....198 Fusión nuclear…………………………………………………………..………….………...…207

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Prefacio Este folleto de Física Nuclear aparece como resultado de los apuntes de clase del curso general de Física Nuclear dictado en la carrera de Física de la Escuela Politécnica Nacional. La mayoría del material utilizado en este folleto ha sido obtenido de innumerables fuentes, en particular, varios libros de textos que son citados a continuación del prefacio. El folleto presenta la materia de igual manera como se desarrolla en clase y esta dividida en dos grandes secciones: a) interacción de la radiación con la materia y b) modelos nucleares y propiedades de la interacción nuclear. La primera parte del curso, además de dar una noción clara de radiactividad y los correspondientes decaimientos radiactivos, se enfoca en los procesos de interacción de la radiación con la materia. Esta parte del curso esta complementada con las prácticas de laboratorio desarrolladas en el Folleto de Prácticas de Física Nuclear. La segunda parte de la materia da un enfoque general de los correspondientes modelos del núcleo atómico y las propiedades de la interacción fuerte. En todo el texto se trabaja en unidades Gaussianas, sin embargo pueden aparecer expresiones escritas en el sistema internacional. Los alumnos a este nivel de su carrera sabrán claramente cuando una expresión esta en uno u otro sistema de unidades. Quisiera pedir disculpas por el sin número de errores que debe presentar el trabajo, y muchas partes no muy bien explicadas o redactadas que pueda contener este trabajo. Espero que ustedes, mediante vía electrónica, puedan hacerme llegar las observaciones y correcciones que puedan encontrar y que ustedes crean convenientes, así como cualquier comentario sobre el trabajo. Es requisito para esta materia el curso de Física Moderna.

Atentamente Dr. Edy Ayala A. Departamento de Física Escuela Politécnica Nacional Quito- Ecuador [email protected]

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. P. Marmier E. Sheldon, Physics of nuclei and particles. Vol.1. Academic Press 1969. 2. K. Krane, Introductory Nuclear Physics, John Wiley&Sons, 1988. 3. W.E. Burcham, Física Nuclear, Ed. Reverté, 1974 4. B.L. Cohen, Concepts of Nuclear Physics, Ed. Tata-McGraw Hill 1973. 5. H.A. Enge, Introduction to Nuclear Physics, Adisson-Wesley 1966. 6. H. Frauenfelder M. Henley, Subatomic Physics, Prentice-Hall Inc. 1974. 7. E. Fermi, Nuclear Physics, University of Chicago Press 1949. 8. J.M. Blatt V.F. Weisskopf, Theoretical Nuclear Physics, John Wiley& Sons 1952 9. W.R. Leo, Techniques for nuclear and particle physics experiments, Springer-Verlag 1993. 10. G.F. Knoll, Radiation Detection and Measurements, John Wiley&Sons, 1979. 11. Radioisótopos en investigación básica. Átomos en Acción.

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Constantes Carga del electrón e = 1.6 10-19 C Masa del electrón me = 9.11 10-31 kg = 511 keV/c2 Masa del protón mp = 1.673 10-27 kg = 938.272 MeV/c2 Masa del neutrón mn = 1.675 10-27 kg = 939.566 MeV/c2 Constante de Planck h = 6.626 10-34 J s = 4.136 10-15 eV s Constante de Boltzmann k = 1.38 10-23 J K-1 = 8.617 10-5 eV K-1 Velocidad de la luz (vacío) c = 3.00 108 m s-1 -12 Permitividad eléctrica (vacío) F m-1 0 = 8.85 10 Permeabilidad magnética (vacío) µ0 = 4 10-7 H m-1 Número de Avogadro NA = 6.02 1026 kg-mol-1 Constante de Rydberg R = 1.10 107 m-1 Magnetón de Bohr µB = 9.27 10-24 J T-1 Magnetón Nuclear µN = 5.0508 10-27 J T-1 = 3.1525 10-14 MeV T-1 Constante de Estructura Fina = 1/137 Radio clásico del electrón re= 2.818 fm Radio de Bohr a0= 0.529 Å Momento magnético electrón µe= 1.001159652 µB Momento magnético protón µp= 2.792847337 µN Momento magnético neutrón µn= -1.91304272 µN Constante Gravitacional G = 6.67 10-11 m3kg-1s-2 Constante de acoplamiento de Fermi GF = 1.166 10-11 (hc)3MeV-2

Datos Útiles Unidad atómica de masa 1u = 1.66 10-27 kg = 931.502 MeV/c2 Factor de conversión de Energía 1 eV = 1.6 10-19 J Años en segundos 1 yr = 3.16 107 s Presión atmosférica 1 atmosphere = 1.01 105 N m-2 Aceleración de la gravedad en la Superficie de la Tierra g = 9.81 m s-2 1 gramo molécula a STP ocupa 22.4 litros Primeros Polinomios Asociados de Legendre: Plm = Pl − m P00 = 1 P10 = cos θ P11 = sin θ 1 (3 cos 2θ + 1) 4 3 P21 = sen2θ 2 3 P22 = (1 − cos 2θ ) 2 P20 =

1 (5 cos 3θ + 3 cos θ ) 8 3 P31 = (senθ + 5sen3θ ) 8 15 P32 = (cos θ − cos 3θ ) 4 15 P33 = (3senθ − sen3θ ) 4 P30 =

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CURSO GENERAL DE FÍSICA NUCLEAR Y DE RADIACIONES Introducción La física nuclear trata sobre el estudio del núcleo atómico, su estructura y sus propiedades. El desarrollo de un modelo físico para el núcleo atómico se ha basado principalmente en la vasta evidencia experimental. Los resultados experimentales no han permitido que se elabore una única teoría sino más bien diferentes modelos (o aproximaciones), cada uno de los cuales describen varios conjuntos de datos experimentales por separado. El desarrollo de nuevas técnicas experimentales en las dos últimas décadas ha dado un nuevo impulso a la física nuclear, no solo mejorando el conocimiento sobre el núcleo atómico; sino llevando a cambios en la concepción de este sistema fundamental. Reseña histórica Desde el comienzo de la civilización, la humanidad se ha preocupado en tratar de contestar preguntas sobre su origen ó el origen del universo; una muy frecuente es, por ejemplo: ¿Cómo está constituido el universo y cuales son las leyes que lo rigen? Empédocles 500 AC propuso que todo se encontraba compuesto de cuatro elementos básicos: Aire, Agua, Tierra, Fuego. Tal vez lo más importante de este modelo fue el intento de explicar el por qué esas substancias se combinan como lo hacen (es decir su interacción). Empédocles propuso dos clases de fuerzas: repulsivas y atractivas. Esta idea fue aceptada por Aristóteles lo que le hizo perdurar por mucho tiempo (hasta el siglo XIX DC). Los atomistas griegos en esa época planteaban la división de la materia hasta llegar a un trozo indivisible (llamado átomo). Dalton recogió esta idea y en 1808 propuso la existencia de átomos para explicar las proporciones en que intervienen los elementos componentes en una reacción química. Se llegó a conocer las leyes del enlace químico cambiando el esquema anterior en: 92 elementos naturales (clasificados por Mendelejev) y las interacciones: eléctrica, magnética, gravitatoria y de cohesión y enlace. J. C. Maxwell llevó a cabo la primera unificación, demostró que tanto las fuerzas eléctricas y magnéticas son manifestaciones de un mismo tipo de interacción. Por otra parte, se llegó a demostrar que la fuerza de cohesión no era más que residuos de la fuerza electromagnética. El nacimiento de la física nuclear parece remontarse a finales del siglo XIX cuando aparecieron los primeros trabajos sobre radiactividad de Bequerel (1896) y los Curie, conjuntamente con el descubrimiento del electrón por J. J. Thomson (1897); pero fue precisamente el descubrimiento de los electrones lo que motivó al desarrollo de modelos de la materia (modelo de Thomson 1904) y no fue sino hasta 1911 cuando Rutherford, en base con sus experimentos de dispersión de partículas alfa sobre láminas delgadas de oro, propuso un modelo atómico formado por un núcleo masivo (donde además se concentra la carga positiva) rodeado de una nube electrónica (con igual carga pero del signo opuesto). Sin embargo, pese a sus contradicciones con la teoría electromagnética clásica, este modelo se mantuvo con la ayuda de las hipótesis o postulados adicionales introducidos por Bohr (vieja teoría cuántica), que eliminaban las contradicciones antes mencionada mediante una proposición. Por otra parte, Rutherford, mediante el estudio de las reacciones N14(α,p)O17, observó la emisión de protones por lo que propuso que los protones deben ser componentes nucleares, introduciendo una nueva interacción que a distancias nucleares superaba en intensidad a la repulsión coulómbica entre los protones (interacción fuerte). En 1913 J.J. Thomson (Aston 1919) descubrió que la masa del núcleo no estaba determinada únicamente por su carga. Había varias masas correspondiendo a la misma carga (descubrimiento de isótopos). Los métodos químicos mostraron que la masa de los átomos se aproximaba a un número entero veces la masa del hidrógeno, es decir,

M ≈ entero ⋅ M H a este número entero se lo denominó número másico A, y era mayor a las unidades de carga eléctrica Z del elemento. En realidad, esto hizo plausible la primera hipótesis sobre la estructura nuclear. Se propuso un núcleo formado por: A protones (para justificar la masa) y (A-Z) electrones (para justificar la carga eléctrica)

2 Sin embargo, la estabilidad de este modelo no se justificaba por la excesiva energía que debían tener los electrones dentro del volumen nuclear, energía estimada, mediante el principio de incertidumbre de Heisenberg, en aproximadamente 20 MeV. En este modelo, el deuterio debía estar formado por dos protones y un electrón, es decir, por tres partículas de spin ½, lo que indicaría que el spin compuesto de dicho núcleo debería ser semi-entero. Experimentalmente se encuentra que dicho núcleo tiene un spin entero e igual a 1. Por otra parte, la presencia de un número de electrones dentro del núcleo implicaría momentos magnéticos nucleares del orden de los magnetones de Bohr, sin embargo experimentalmente se miden momentos magnéticos nucleares 2000 veces más pequeños. No fue sino hasta 1932 cuando Chadwick, mediante colisiones de partículas alfa con Berilo, descubrió el neutrón, partícula con masa muy próxima a la del átomo de Hidrógeno y sin carga eléctrica (el neutrón en estado libre decae mediante emisión beta negativa con un tiempo de vida media de aproximadamente 870 segundos). Este descubrimiento llevó a postular el modelo de núcleo atómico que se maneja hasta la fecha, es decir, el formado por: Z protones y (A – Z) = N neutrones Estos protones y neutrones están enlazados formando el núcleo atómico mediante la interacción fuerte, que a distancias nucleares (10-13-10-12cm) prevalece a la repulsión electrostática entre protones, y a distancias mayores a las nucleares (distancias atómicas) se desvanece completamente. Como se mencionó, la masa tanto de los protones como de los neutrones son aproximadamente 1840 veces mayores que la masa del electrón. Cuando los protones y los neutrones forman el núcleo atómico toman el nombre de nucleones. Aunque inicialmente se pensó que los protones y neutrones eran partículas elementales, es decir, bloques elementales de la materia sin estructura interna. Sus propiedades anómalas y datos experimentales iban evidenciando que se trataban de sistemas compuestos. En la década de los 50, cuando se empezó a construir los aceleradores de partículas y en base a los resultados obtenidos en experimentos de dispersión, fue notoria una estructura interna para los nucleones. Estos elementos constitutivos fueron inicialmente llamados “partones” y posteriormente serían conocidos como quarks. La interacción que liga a los quarks y les mantiene confinados formando los nucleones (en general los hadrones) es la interacción fuerte. Esta interacción fuerte entre quarks, de acuerdo con teoría cuántica de campos, es mediada por partículas virtuales llamadas gluones y la teoría que describe esta interacción se le conoce como “Cromo-dinámica Cuántica”. El siguiente esquema muestra los componentes fundamentales de la materia:

En este curso se estudia el modelo de núcleo atómico constituido por nucleones (protones y neutrones) interaccionando entre ellos. Esta es una buena aproximación puesto que las energías cinética y potencial de los nucleones dentro del núcleo son un orden de magnitud menor a aquella energía que se requiere para excitar los quarks que conforman un nucleón individual (300 MeV). Un modelo del núcleo atómico basado en la teoría estándar de partículas elementales, es decir núcleos como sistemas de quarks y gluones es demasiado complicado hasta para describir las propiedades básicas del núcleo atómico. Situación actual La física de partículas, hoy en día, esta descrita por el “Modelo Estándar”. Este modelo clasifica a las partículas elementales en dos grandes familias: los leptones y los quarks. Cada familia esta formada por tres pares (generaciones) de partículas.

3 Tanto los leptones como los quarks son partículas de spin ½, es decir, son fermiones1 Tabla 1. Familia de leptones y quarks. LEPTONES Tipo o Sabor Masa GeV/c2 Carga eléctrica Electrón e 0.000511 -1 0 λ1 En este caso el exponencial de λ2 es muy pequeño y

A2 (t ) = A01e − λ1t A2 = A1

Equilibrio transitorio. Se presenta cuando λ2 > λ1 En este caso, el exponencial de λ2 también es pequeño y

λ2

A2 (t ) = A01

e −λ1t

λ2 − λ1 λ2 A2 (t ) = A1 λ2 − λ1

Caso de no equilibrio. Si λ1 > λ2

e − λ1 t = hν

σc σc

s

E = hν

σc σc

a

donde: σ ca = σ c − σ cs La sección eficaz por electrón, σ e , es independiente de Z. La sección eficaz por átomo, σ atm , está dada por el producto de la sección eficaz electrónica y el número de electrones por átomo σ atm = σ e Z , obviamente es proporcional a Z.

Figura. Sección eficaz del efecto Compton como función de la energía

Figura. Distribución angular de los fotones dispersados

41

Figura. Distribución angular de los electrones en retroceso

Figura. Distribución energética de los electrones secundarios

Producción de pares En este proceso un fotón interactúa con el campo alrededor del núcleo de un átomo, la energía completa del fotón se convierte en masa y energía cinética de un electrón y un positrón. El núcleo es necesario para que la energía y cantidad de movimiento se conserven. El proceso no es posible si la energía del fotón es menor a 2mec2. Una vez que esta energía umbral es excedida, la probabilidad de la interacción crece. La sección eficaz de la producción de pares por átomo, σ pp , varía aproximadamente como Z2. El coeficiente de atenuación de masa por producción de pares σ pp / ρ es aproximadamente proporcional a Z.

Figura. Sección eficaz para la producción triple y de pares

42 La dirección media del par positrón electrón es cercana a la del fotón. A altas energías el ángulo promedio entre la dirección del electrón (o positrón) y el fotón incidente esta dado por: 2

θ = me c , E donde E es la energía del electrón. Todo compartimiento de energía cinética entre el electrón y positrón es posible, aquellos que dan del 20 al 80 % al electrón (o positrón) son igualmente probables, para compartimientos disparejos la probabilidad decrece rápidamente. El apantallamiento de los electrones atómicos juegan un papel importante en la producción de pares y la sección eficaz del proceso depende de éste. Definiendo el parámetro de apantallamiento como:

ξ=

100me c 2 hν E+ E− Z 1/ 3

Con E+ y E- las energías totales del positrón y electrón. Para el caso ultrarelativista y apantallamiento arbitrario, la sección eficaz diferencial esta dada como:

dσ pp = 4 Z 2 re2α

dE +  2 φ (ξ ) ln Z  2 E + E − φ 2 (ξ ) ln Z  − − f ( Z ) + ( E + + E −2 )  1 − − f ( Z )  3   3 3  4 3 (hν )   4  

Donde φ1 y φ2 son funciones de apantallamiento (iguales a las de Bremsstrahlung) y f(Z) una corrección de Coulomb.

ξ → 0 apantallamiento completo ξ >> 1 no apantallamiento Para el caso de no apantallamiento y mec2 Mc 2 el bremsstrahlung será el proceso de mayor importancia, el efecto densidad influirá notablemente decreciendo el valor de S. Un proceso de colisión de mayor energía puede producir reacciones nucleares. Estos procesos no se los considera en este estudio. El poder de frenado lineal lo podemos escribir como formado por dos contribuciones: 1) vía procesos de colisión y 2) vía procesos de radiación:

S tot = S col + S rad Para el caso de partículas cargadas pesadas el poder de frenado de colisión es el principal en el rango de energía de hasta unos cientos de MeV, éste a su vez tiene dos contribuciones principales: las pérdidas de energía por procesos de colisión con los núcleos apantallados (poder de frenado nuclear) y por procesos de colisión con los electrones atómicos (poder de frenado electrónico).

50 S col = S col ,nuclear + S col ,electronico Para el caso de partículas cargadas livianas los procesos principales de interacción en el rango de energía de unos pocos keV a decenas de MeV son: las colisiones con los electrones atómicos y aquellos procesos con núcleos atómicos que producen radiación (bremsstrahlung). Poder de frenado electrónico para partículas cargadas pesadas. Tratamiento clásico: Consideremos una partícula de carga z, masa M y velocidad v en interacción con un electrón con un parámetro de impacto b.

Si M >> me, la deflección de M del eje x será mínima y puede ser despreciada. Adicionalmente el electrón será considerado inmóvil durante la colisión.

z e2

F=

r

2

=

z e2 cos2 θ b

2

r

Mediante la interacción electromagnética la partícula transferirá un momento q al electrón

r r q = ∫ F dt

Suponiendo que solo la componente “y” contribuirá a esta transferencia de momento:

q = ∫ F y dt = ∫ De acuerdo con la figura, tenemos:

x , b 1 dθ 1 dx = 2 cos θ dt b dt

tan θ =

z e2 b

2

3 cos θ dt

d( tan θ ) d  x  =   dt dt  b  b ; dt = sec2 θ dθ .

υ

Por tanto:

q= ∫

z e2 b

2

3 cos θ

b

υ

2 sec θ dθ

π

z e2 q= bυ

2

∫π

-

cos θ dθ =

2 z e2 . bυ

2

La energía transferida al electrón es (aproximación clásica no relativista):

51 2

4 z 2 e4 2 z 2 e4 q = = ∆E = . 2 m 2 m b2 υ 2 b2 υ 2 m Vemos que ∆E = ∆E( υ , z) es función de la velocidad y de la carga, pero ¡NO! de la masa de la partícula incidente M. Para b pequeños, la ecuación anterior no es válida. Existe un bmin tal que b ≤ bmin , la energía transferida es máxima E max . Suponiendo que hay n átomos de número atómico Z por unidad de volumen en el absorbedor, el número de electrones por unidad de volumen será: nZ. Así en viajar una distancia dx el ión incidente encontrará 2 π b db dx n Z electrones y perderá una energía:

- dE = ∆E 2 π b db dx n Z. Por lo tanto la energía perdida por unidad de trayectoria será:

-

dE b max 2 2 e4 4 π z 2 Z n e4 b max db = ∫ 2 π b n Z 2 z 2 db = ∫ b. mυ2 dx b min b υ m b min -

b  dE 4 π z 2 e4 = n Z ln max . 2 dx mυ  bmin 

El máximo momento transferido a un electrón en una colisión clásica es: 2 m υ = 2

bmin =

2 z e2 bmin υ

2

2ze ze = 2 2 mυ mυ2

La energía de enlace, por otra parte, no acepta arbitrariamente cantidades pequeñas de energía, sino que debe absorber suficiente energía para ser elevado a un estado de energía no ocupado. Se introduce una energía media de excitación I (promediada para todos los electrones en el átomo del absorbedor). No habrá transferencia de energía a menos que: ∆E ≥ I ;

2 z 2 e4 ≥ I m υ 2 b2

1/2

;

bmax

z e2  2  =   υ mI 

sustituyendo 1/2

 2 mυ2  dE 4 π z 2 e4 n Z ≈ ln   dx mυ2  I  El desarrollo cuántico para partículas pesadas produce:

-

 2 mυ2  dE 4 π z 2 e4 = n Z ln   dx mυ2  I 

Cuando efectos relativistas y otras correcciones son considerados tenemos que:

52

-

  2 mυ2   dE 4 π z 2 e4 C = n Z  - ln(1 - β 2 ) - β 2 - K − δ   ln 2 dx mυ Z   I  

donde β = υ/c y C K = C K (E, Z) es la corrección de capa, que toma en cuenta los efectos que aparecen cuando la velocidad de la partícula incidente es comparable o más pequeña que la velocidad de los electrones orbitales. Adicionalmente, se considera la corrección por efecto densidad δ que se produce debido al hecho de que el campo eléctrico de la partícula incidente tiende a polarizar los átomos alrededor de su trayectoria. A causa de esta polarización la interacción con los electrones lejanos será menor. Poder de frenado nuclear para partículas cargadas pesadas El poder de frenado de colisión nuclear, es decir, aquel debido a colisiones con los núcleos apantallados, se lo estima considerando un potencial efectivo de interacción dado por el potencial de Coulomb y una función de apantallamiento:

V (r ) = χ (r / a )

zZe 2 r

donde a es el radio de apantallamiento de Thomas-Fermi de las colisiones

a=

(z

0.885 ⋅ a 0 1/ 2

+ Z 1/ 2

)

2/3

a0 es el radio de Bohr. La función de apantallamiento se asume de la forma,

χ (r / a) =

a 2r

considerando los argumentos utilizados en las colisiones ion-electrón, se encuentra que la cantidad de movimiento transferida en la colisión es:

πzZe 2 a q= 2υb 2 2 π 2 z 2 Z 2 e4 a 2 q = ∆E = 2m 8m b4 υ 2

53 siendo m en este caso, la masa del núcleo apantallado (núcleo blanco). Considerando además que en la colisión hay una transferencia de energía de cero a un valor máximo dado por:

∆E max =

4mM E (m + M )2

siendo E la energía cinética de la partícula incidente. Así, el poder de frenado de colisión nuclear es:

Sn = −

dE π 2 zZe 2 aM =n dx 2( m + M )

Este resultado es independiente de la energía, sin embargo una aproximación mejor se encuentra usando el potencial de Thomas Fermi (este tratamiento no se desarrolla aquí) Poder de frenado de electrones. En el intervalo energético entre unos pocos keV y 50 MeV, los electrones pierden energía principalmente a través de interacciones coulombianas con los electrones atómicos del medio irradiado denominadas convencionalmente "colisiones inelásticas". Las interacciones coulombianas con los núcleos no producen en general pérdidas energéticas, sino tan solo desviaciones de la trayectoria original del electrón incidente y se denominan "colisiones elásticas". Conocida la sección eficaz

dσ , para las colisiones inelásticas e- - e- , que suponen una transferencia dW

de energía W a los electrones atómicos, la pérdida media de energía por unidad de longitud viene dada por: W max dσ  dE  - dW  = nZ ∫ W dW  dx col W min

denominado poder de frenado lineal de colisión (Scol) . nZ = representa el número de electrones por unidad de volumen. El poder másico de frenado de colisión es:

S Z   = N A A  ρ col

W max

∫

W min

W

dσ dW. dW

La teoría de Bethe, divide las transferencias de energía W, en dos clases dependiendo de su comparación con una cierta transferencia energética dada W c . Por un lado W c debe ser grande comparada con la energía de ligadura de los electrones atómicos en el medio, y por otro lado, el parámetro de impacto asociado con transferencias menores a W c , debe ser grande comparado con las dimensiones atómicas.

S S S   =   (W < W c ) +   (W > W c )  ρ col  ρ col  ρ col que equivale clasificar las colisiones en distantes y próximas. En las primeras donde la transferencia energética es pequeña y el correspondiente parámetro de impacto grande, el electrón incidente interacciona con el átomo como un todo. En el segundo grupo

54 hay una gran transferencia de energía y el parámetro de impacto es del orden de las dimensiones atómicas, por lo que la interacción sucederá con cada electrón individual, que puede considerarse libre. La teoría clásica de Bethe resuelve el primer sumando (válida para cualquier tipo de partícula cargada).

S Z   (W < W c ) = N A A  ρ col

Wc

∫

W min

W

2 dσ 2 π N A r e2 m c 2 Z 2  2 m c 2 β W c 2 dW = ln β z   2 2 2 dW A β  (1 - β ) I 

donde r e es el radio clásico del electrón, β =

υ c

, z es la carga de la partícula incidente, Z es el

número atómico del medio e I es la energía media (potencial medio) de excitación. En el caso de electrones, el segundo sumando se calcula utilizando la sección eficaz relativista de Möller, válida para grandes transferencias de energía a los electrones atómicos, considerados libres. Debido a la imposibilidad de distinguir a los electrones tras la colisión, la máxima transferencia de energía posible, W max , es E/2 siendo E la energía cinética del electrón incidente. Por convenio se considera que el poder de frenado corresponde al electrón que, después de la colisión, posee mayor energía.

S Z  dσ    (W > W c ) = N A ∫WW cmax W  dW  A  dW Moller  ρ col Combinando los dos sumandos, se obtiene la fórmula para el poder másico de colisión. 2 S 2 π N A r e2 m c2 Z   E   τ   = ln    + ln 1 +  + F( τ ) - δ 2 A   I  2 β   ρ col

donde:

F( τ ) = (1 - β 2 ) [ 1 +

  

τ 2 - (2 τ + 1) ln 2 ] 8

E y δ es factor de corrección por efecto densidad. m c2 El factor 2 π N A r e2 m c 2 = 0,153536 MeV cm2 mol -1 . siendo τ =

Es preciso mencionar que la utilización de esta ecuación para E < 10 keV es cuestionable. Sin embargo para materiales de bajo Z el error es de ≈ 3 % a 5 keV; y de 10 → 15 % a 1 keV. La siguiente figura muestra el poder de frenado para electrones en muchos medios y su dependencia en energía.

Figura. Poder de frenado de electrones

55 Energía media de excitación (I) De forma aproximada se han utilizado expresiones del tipo I = k Z donde k = [ 9 - 15 eV ] . La proporcionalidad entre I y Z está demostrada teóricamente, pero no es fácil encontrar una parametrización simple. Efecto densidad Una suposición, inherente en el desarrollo de la expresión para el poder de frenado de colisión, es considerar que los átomos del material están lo suficientemente separados unos de otros como para considerar que el electrón incidente interacciona con un solo átomo cada vez. Esta suposición es válida tan solo para gases a baja presión, pero no en otros materiales. Cuando el electrón incide sobre un medio denso, los átomos pueden considerarse aislados en el caso de interacciones a corta distancia, pero no cuando el parámetro de impacto es mayor que las distancias atómicas. En este caso es preciso considerar el apantallamiento del campo eléctrico por los átomos del medio, lo que reduce la probabilidad de interacción y, decrece por tanto, la pérdida energética. Como las colisiones a gran distancia son cada vez más importantes, conforme aumenta la energía del electrón incidente, la corrección necesaria será, por tanto, una función creciente de la energía. En particular, el apantallamiento del campo eléctrico es debido a la polarización de los átomos cercanos a la trayectoria del electrón, y en un principio el fenómeno se denominó efecto polarización. Fermi dio un tratamiento teórico simplificado del fenómeno tomando como base un modelo de dispersión de frecuencia única donde demostró que los efectos de polarización dependen fundamentalmente de la densidad de los electrones en el material. Sternheimer calculó la corrección por efecto densidad en un gran número de materiales utilizando un modelo de dispersión de frecuencia múltiple del medio. Poder de frenado restringido Esta magnitud es de especial interés en Dosimetría y Radiología y da la energía media perdida por unidad de trayecto recorrido, debido a colisiones con transferencia energética W menor que un determinado valor de corte ∆ . Esta magnitud proporciona la energía absorbida localmente en el medio, en las proximidades de la trayectoria del electrón. Es equivalente numéricamente al LET (transferencia lineal de energía). Para la obtención de una expresión del poder de frenado restringido es preciso sustituir W max por ∆ en:

S   (W > W c ) =  ρ col

∆

∫

ωc

W

dσ dW dW

El resultado obtenido es: 2  L 2 π N A r e2 m c 2 Z   E   τ  (E, ∆ ) = ln + ln 1 + + G( τ , η ) δ       A   I  2 β2  ρ 

donde:

τ 2 η 2  G( τ ,η ) = - 1 - β 2 + ln [4(1 - η )η ] + (1 - η )-1 + (1 - β 2 ) + (2τ + 1) ln(1 - η )  2  ∆ η = . E En esta expresión se supone implícitamente que las pérdidas energéticas afectadas por el efecto densidad son siempre menores a ∆ . Note que cuando η = 1/2 → G( τ ,η ) = F( τ ) y por tanto, L(E, E/2) = S col (E)

56 Los poderes de frenado de colisión no restringido y restringido para los compuestos, si no vienen tabulados, se los calcula por medio de:

S ∑ ω i   S  ρ i   = ∑ ωi ρ siendo ωi → la fracción en peso del componente i. Rangos de partículas cargadas. Una completa descripción de penetración y disipación de la energía por parte de las partículas cargadas debe incluir: - la distribución espacial de la pérdida de energía, - la dispersión lateral, - el rango de la partícula. El rango máximo es definido como el ancho del material el cual reduce el haz transmitido (monoenergético y perpendicular al absorbedor) a cero. El rango en aproximación de frenado continuo CSDA se define como: E0

R=

∫ 0

dE S(E)

en realidad se lo calcula como: E0

R0 =

∫

E1

dE + R1 ( E 1 ) S(E)

donde el último término es estimado experimentalmente. Se usa E 1 como límite inferior puesto que la fórmula de Bethe no trabaja bien para bajas energías.

Figura Rangos de algunas partículas cargadas pesadas

57 Cuando se observa un gran número de partículas, es útil considerar su comportamiento promedio. El rango se define como el promedio de las trayectorias (sin incluir aquellas trayectorias de electrones que han sufrido procesos de bremsstrahlung o reacciones nucleares). La medición de la trayectoria de las partículas no se lleva a cabo, pero la de su proyección en cierta dirección sí. Sea N(z) el número de partículas que se transmiten al incidir sobre una lámina de ancho z. El rango proyectado se define como:

=

1 N0

∞

∫

z N ′(z) dz

N ′(z) =

0

dN(z) dz

N0 es el número de partículas incidentes (menos aquellas cuentas catastróficas). Otras definiciones de rango: * Rango proyectado medio, z m , es el valor de z para el cual N(z) =

No . 2

Figura. Transmisión de partículas cargadas en un material

El rango extrapolado, en este caso es más útil y se le encuentra extrapolando la región de atenuación de la curva de transmisión hasta cortar con el eje que representa la profundidad del material. El rango práctico requiere el conocimiento de la distribución, de la deposición de energía (dosis absorbida) en profundidad en el medio irradiado y está definido por la proyección sobre la profundidad del punto de corte entre las extrapolaciones de la región de caída de la dosis y la de generación de radiación bremsstrahlung. La siguiente figura muestra varias distribuciones en profundidad de la dosis absorbida como función de la energía de los electrones incidentes.

Figura. Distribuciones de dosis en profundidad

58 Se define también R100 como la profundidad dentro del medio donde la distribución de la dosis absorbida alcanza el valor máximo. De igual manera se puede define un R50, como aquella profundidad donde la distribución de dosis toma la mitad del valor máximo. Straggling de rango La naturaleza aleatoria de las interacciones entre las partículas cargadas incidentes y aquellas que conforman la materia (electrones y núcleos atómicos) hace que cada partícula cargada tenga su propia historia de interacciones, lo que conlleva a diferentes penetraciones de las partículas en el medio, así ellas tengan inicialmente igual energía y dirección. Estas diferentes penetraciones forman una distribución estadística (normal para partículas cargadas pesadas) alrededor de un valor de penetración medio.

Figura. Penetración de partículas cargadas en un medio

Figura. Esquema del straggling de Rango

La distribución Gaussiana del straggling de rango toma la forma:

 ( R − R )2  N ( R )dR 1 = exp −  dR N a2  a π 

 (4 / 3) I  2meυ 2 ln a 2 = 4π ⋅ z 2 e 2 nZx0 1 + meυ 2  I 

   

59 Siendo x0 el ancho del absorbedor y “a” el parámetro de straggling. Straggling de energía. Si un haz de partículas cargadas mono-energéticas y paralelas interactúa con un medio, los procesos de interacción aleatorios producen diferentes pérdidas de energía para cada partícula, distribuidas alrededor de valor medio. De manera que al pasar el haz por un cierto medio de espesor menor a su rango se puede observar que el espectro en energía de las partículas incidentes sufre, además de un corrimiento hacia valores menores de energía, un ensanchamiento.

Figura. Esquema del straggling de Energía

El straggling en energía puede ser descrito en términos de una distribución Gaussiana de la forma:

 ( E − E )2  N ( E )dE 1 = exp −  dE N a2 a π   Straggling angular Si un haz de partículas cargadas mono energéticas y paralelas interactúan con un medio, los procesos de interacción aleatorios producen, al pasar por el medio de dimensiones menores al rango de dichas partículas, diferentes desviaciones respecto de su dirección incidente. Puesto que en este caso, el valor medio de la desviación será cero, es necesario calcular el valor cuadrático medio el cual esta dado por:

 Ea 2πz 2 e 4 nZ 2 x 0 ln 4 / 30 2 θ = 2 E  zZ e 2

siendo x0 el ancho del absorbedor y a0 el radio de Bohr.

Figura. Straggling angular

  

60 Radiación de frenado (bremsstrahlung) La emisión de radiación electromagnética siempre acompaña a la aceleración o desaceleración de partículas cargadas. La radiación emitida representa una disipación de energía por unidad de tiempo y esta dada, de acuerdo con la teoría clásica, por:

dE 2e 2 2 &x& = dt 3c 3 y se extiende sobre un rango continuo de frecuencias.

r Puesto que la tasa de disipación de energía debido al bremsstrahlung es proporcional a &x& , donde 2

la aceleración para el caso de partículas que radian con masa m y carga ze y pasan a través de un medio de número atómico Z es &x& ∝

Zze 2 se sigue que m dE Z 2 z 2e 4 ∝ dt m2

así, la energía disipada no depende solo de los cuadrados de z y Z sino del inverso del cuadrado de la masa de la partícula cargada incidente. La partícula cargada incidente puede radiar una cantidad de energía la cual varía desde cero a la energía cinética de la partícula.

(hν ) max = E k

con un decrecimiento marcado para pequeñas longitudes de onda. Es interesante notar que la sección eficaz de emisión de Bremsstrahlung toma la misma forma tanto en teoría clásica como cuántica, aunque hay una diferencia cualitativa entre la descripción microscópica detallada. 2

 e2   = αre2 Z 2 σ b ≈ αZ  2   me c  2

cm2/ núcleo

re es el radio clásico del electrón. La teoría clásica provee una visualización de los procesos de emisión errónea y dice que todo cambio en el movimiento de la partícula cargada es acompañado de una gran probabilidad (en realidad certidumbre) de emisión de fotones de baja energía, mientras que la correspondiente predicción desde el punto de vista cuántico es una baja probabilidad para fotones de alta energía. Para el caso simplificado de procesos de bremsstrahlung de una muestra delgada en el cual cada electrón (de un haz paralelo y mono-energético) que incide sobre la muestra delgada solo experimenta un encuentro radiativo, tal que solo un fotón es emitido por electrón. La sección eficaz diferencial de bremsstrahlung esta dada por:

dσ B =

L3

υi

W fi

61 siendo υi la velocidad inicial del electrón y Wfi la probabilidad de transición por unidad de tiempo, dada por la segunda regla de oro de Fermi

W fi =

2π ρ (E f ) H *fi h

2

La densidad de estados finales es simplemente el producto de las densidades de estados finales del fotón y del electrón

ρ (E f ) =

3 2 3 2 dN e .dNγ  L p f .dp f .dΩ e   L pγ .dpγ .dΩ γ =  dE f h 3 dE f h3   

  

con Ef y pf, la energía total del electrón y su cantidad de movimiento y considerando

υi = d σB = 2

L9 Ei E f (2π ) (hc) 5

pf 7

pi

pi c 2 Ei 2

H *fi d (hν ).dΩ e .dΩ γ

No se puede realizar una evaluación exacta del elemento de la matriz de transición (la cual es proporcional a L-9) para electrones relativistas, puesto que no se pueden obtener las funciones de onda exactas final e inicial de la ecuación de Dirac. Sin embargo se han desarrollado varias aproximaciones que muestran que para energías bajas del electrón la intensidad de la radiación es máxima en la dirección perpendicular al haz incidente; pero mientras la energía se incrementa, la intensidad de la radiación tiende a la dirección de incidencia. En el límite de altas energías, la emisión tiene lugar como un haz delgado a un ángulo aproximado

θγ =

me c 2 Ei

Figura. Distribución angular de los fotones emitidos por bremsstrahlung

La distribución en energía de bremsstrahlung está dada por:

dσ rad dσ =∫ dΩ e dΩ γ d (hν ) Ω dΩ e dΩ γ llamada sección eficaz diferencial radiativa. Para bajas y altas energía de los electrones incidentes, el espectro de rayox X generados se muestran a continuación:

62

Figura. Espectro de RX para bajas y altas energías de los electrones incidentes.

Note que el espectro generado a bajas energías superpone los picos de RX fluorescentes. La sección diferencial en energía se evalúa en la aproximación de Born, considerando el apantallamiento del campo de Coulomb nuclear. Definiendo el parámetro de apantallamiento como:

 mc 2   hν ⋅ ξ =   E E f    i

 −1 / 3  Z 

donde Ei, Ef son las energías totales iniciales y finales del electrón y hν, la del fotón emitido

ξ → 0 apantallamiento completo ξ >> 1 no apantallamiento Para energías relativistas de unos pocos MeV, la sección eficaz está dada por:

dσ rad = 4αZ 2 re

2

1 dν   2 φ (ξ ) 1  2  φ1 (ξ ) − ln Z − f ( Z ) − ε  2 − ln Z − f ( Z )   1+ ε  3 3 ν   4  3  4 

(

)

con α, la constante de la estructura fina y ε = Ef / Ei f(Z) es una corrección de Coulomb y φ1 y φ2 funciones de apantallamiento que de penden de ξ. Que para los casos límite de apantallamiento completo y no apantallamiento, se pueden expresar en formas más simples. apantallamiento completo

dσ rad = 4αZ 2 re

2

dν  ε 2ε  2 −1 / 3 ) − f (Z ) +  . ln(183Z 1 + ε − ν  3  9

[

]

no apantallamiento

dσ rad = 4αZ 2 re

2

dν  2ε 2 1 + ε − ν  3

  1   2 Ei E f − − f ( Z ) .ln  2   me c hν 2  

La sección eficaz total radiativa esta definida como:

σ rad =

hν max

∫ 0

hν dσ rad .d (hν ) E i dhν

obteniéndose las siguientes expresiones para los siguientes casos:

63 no relativista (mec2 >> Eki)

16 αZ 2 re 2 3

σ rad = relativista alta (mec2 υB) la energía depositada principalmente por colisiones ion-electrón, para elementos buenos conductores como los metales no se observa erosión alguna. Para materiales no conductores si se ha visto un rendimiento de sputtering alto, muchas veces con la eyección de moléculas intactas bastante grandes. Adicionalmente, se utilizan haces de partículas para modificar no solo para cambiar las propiedades superficiales de materiales sino las del bloque en general. En tecnología de semiconductores, las propiedades eléctricas del material se modifican mediante lo que se conoce como implantación de iones. Channeling Este efecto ocurre cuando el haz de partículas incide sobre cristales (estructuras atómicas con simetrías espaciales) en ángulos menores a un crítico respecto del eje de simetría del cristal. Al pasar a través de los planos cristalinos, las partículas sufren una serie de dispersiones correlacionadas de ángulo pequeño que la guían a través de un canal siguiendo una trayectoria lentamente oscilante. Cuando las partículas sufren channeling, la taza de pérdida de energía se reduce mucho (la aproximación del poder de frenado deja de ser válida). Una expresión para el ángulo crítico es:

θc ≈

zZa 0 Ad

1670β γ

donde d es el espacio interatómico, A el número másico, γ el factor de Lorentz, y a0 el radio de Bohr.10 10

Los capítulos desarrollados hasta este momento forman parte también de un curso introductorio de Dosimetría de la Radiación Ionizante del mismo autor.

68 Problemas 1. Una partícula de masa m1 y velocidad v colisiona elásticamente con una partícula estacionaria de masa m2. Derive una expresión para la velocidad de las dos partículas después de la colisión como función del ángulo de dispersión. Calcule el ángulo más grande a la que la partícula incidente puede dispersarse. Considere el caso específico de que la partícula en reposo sea un electrón y calcule la velocidad máxima que puede obtener en una colisión. Asuma velocidades no relativistas. 2. En base al primero, calcule la energía máxima que se puede transferir en una colisión entre: a) Una partícula alfa de 3 MeV y un electrón en reposo b) un núcleo de I127 de 100 MeV y un electrón en reposo c) un núcleo de I127 de 100 MeV y otro de I127 en reposo d) un electrón de 1 MeV y un núcleo de I127 en reposo. 3. Calcule la energía perdida por el ión O16 de 8 MeV pasando a través de 5000 Ǻ de Si y SiO2 respectivamente. 4. Calcule el rango en agua para: a) partícula alfa de 3 MeV b) iones de I127 de 100 MeV. Considere que los iones están en estado de equilibrio de carga cuando entran al agua (Zeff = Z(1exp(-125βZ-2/3)) 5. Deduzca expresiones analíticas del poder de frenado como función de la energía, para partículas alfa y deuterones en un material donde estas cantidades han sido determinadas para el caso de protones. 6. En un experimento usando un contador de Čerenkov, se mide la energía cinética de una clase de partículas dadas y está es de 420 MeV; se observa que el ángulo de Cherenkov del vidrio (n=1.88) es θ = arccos(0.55). ¿Qué partículas son las detectadas? Calcular su masa en unidades de masa en reposo del electrón.

MODELOS NUCLEARES El comportamiento de los núcleos y sus propiedades nos lleva a considerar diferentes modelos nucleares que describen de buena manera el comportamiento de los mismos en diferentes situaciones experimentales. Una primera visión clásica del núcleo atómico, basada en la evidencia experimental de la constancia de la densidad de materia nuclear, así como de la constancia de la energía de enlace por nucleón, lleva a homologar al núcleo atómico como una gota de un líquido incompresible con energía de condensación constante. Modelo de la gota líquida y fórmula semi-empírica de masas Como se ha discutido anteriormente la masa del núcleo atómico la podemos representar como la suma de las masas de sus componentes menos la energía de enlace entre ellos. Mat(Z,A) = ZmH + (A-Z)mn – BE(Z,A)/c2 Si se pudiese evaluar BE de una fórmula general, todas las masas nucleares serían encontradas teóricamente. En el modelo nuclear de la gota líquida, la energía de enlace BE hace el papel de la energía de condensación, considerando las propiedades básicas de la interacción fuerte se puede proponer una fórmula semi-empírica para BE, hechas de varias contribuciones cuyas magnitudes relativas se determinan empíricamente por ajuste de parámetros. Energía de volumen. La mayor contribución a BE proviene de la interacción mutua de los nucleones bajo la influencia de la interacción fuerte. Algunas características importantes de las fuerzas internucleónicas pueden deducirse de la evidencia ya presentada. Por ejemplo, la constancia de esas fuerzas se indica por la constancia de la energía de enlace por nucleón casi sobre todo el rango de A (la variación para Z bajos y altos se debe a que este efecto es superado por otros). Además la constancia de la densidad nuclear indica que las fuerzas nucleares son de rango corto, así que las interacciones entre nucleones son esencialmente confinadas a vecinos más próximos. Si

69 el enlace fuese influenciado por vecinos no próximos, la fuerza se incrementaría al crecer el número de nucleones y sería proporcional a A2 en lugar de a A, y la densidad también se incrementaría con A en vez de permanecer constante. Entonces: BE/A = constante BE1 = aVA donde aV es la constante a determinarse empíricamente. Energía superficial. La estricta proporcionalidad entre BE y A asume implícitamente la constancia entre las fuerzas de interacción de cada nucleón y su inmediata vecindad. Sin embargo los nucleones que se encuentran ubicados en la región superficial están más débilmente ligados que los vecinos interiores debido a que tienen menos vecinos inmediatos. El número de tales nucleones es proporcional al área de superficie del núcleo, y puesto que R ≈ A1/3, entonces: BE2 = -aS A2/3 El signo negativo se debe a que este efecto es opuesto al de ligadura. Siguiendo con la analogía de la gota líquida, vemos que ésta es menor (mayor estabilidad) cuando la gota es esférica, puesto que en este caso el área superficial es mínima. Esperamos que los núcleos esféricamente simétricos son más estables, este argumento no se aplica para A 1 la población neutrónica aumenta de generación a generación (reactor super-crítico) y • Si k < 1 la población de generación a generación decrece y el resultado final puede ser el paro total de la reacción en cadena (reactor sub-crítico).

Dependencia en energía de la sección eficaz de fisión de uranio

El factor de multiplicación se lo puede definir también en términos de las relaciones de balance de neutrones, es decir como la razón entre la velocidad de producción de neutrones en el reactor y la velocidad de pérdida de neutrones (absorción y captura) en el reactor.

k=

P(t ) L(t )

Donde P(t) es la tasa de producción de neutrones y L(t) la tasa de pérdida de neutrones Si se introduce el concepto de tiempo de vida del neutrón (tiempo promedio de permanencia del neutrón desde que aparece como resultado de la fisión hasta que es absorbido o capturado en algún núcleo de los materiales que componen el reactor o se fuga del mismo) como:

l=

N (t ) L(t )

siendo N(t) el número de neutrones en el reactor al tiempo t. Una ecuación de balance para la población neutrónica se puede entonces escribir como:

dN (t ) = P(t ) − L(t ) dt dN (t ) k − 1 = N (t ) l dt Suponiendo a k y l independientes del tiempo y la condición inicial N(0)=N0

N (t ) = N 0 e t / τ

con

τ=

l k −1

al cual se lo llama “período del reactor” y se lo puede entender como tiempo de relajación del sistema, es decir, el tiempo requerido para modificar la población de neutrones por un factor e (2.7118..) Si k>1, τ toma valores positivos y la densidad de neutrones crece exponencialmente en el tiempo. Si por el contrario, k0

donde xs representa cualquier punto de la interfase. Esta condición se reduce a:

1 ∂ψ 1 =− ψ ∂x 2D

si en la vecindad de la frontera se reemplaza ψ con una función lineal

ψ ( x, t ) = ψ (0, t )(1 + a.x)

inmediatamente se desprende que

a=−

3Σ 1 = − tr 2D 2

expresión que nos dice que el flujo no se anula, sino que por el contrario se extrapola linealmente a cero en el punto

z0 =

2 2 = λtr 3Σ tr 3

fuera de la frontera. A la cantidad z0 se le denomina el punto final de extrapolación lineal o distancia de extrapolación. En general, el flujo cerca de la frontera no es lineal, si la forma real del

206 flujo se extrapola a cero se obtendría un punto final diferente. Entonces en la interfase medio dispersor-vacío, el flujo se debe calcular como si se anulara a la distancia z0 más allá de la frontera. Es importante recalcar que esto es solo un artificio matemático para el calculo de la distribución de neutrones dentro del reactor y de ninguna manera quiere decir que el flujo de neutrones se hace cero en ese punto. r La validez de aplicación de la teoría de difusión. Como el flujo fue desarrollado en serie en Ω y solo se incluyeron los términos de orden cero y uno, entonces si el flujo es altamente anisótropo, la aproximación de difusión no es válida. Esto ocurre en medios caracterizados por secciones eficaces de absorción altas o cualquier medio suficientemente cercano a una frontera (algunas trayectorias libres medias). La teoría de la difusión no es adecuada para describir el sistema si también las secciones eficaces son funciones que varían rápidamente con la posición. Modelo mono-energético de un reactor nuclear Debido a que este modelo es mono-energético, la presencia del moderador no es necesaria, sin embargo, para hacer de este modelo algo significativo, el moderador, refrigerante y materiales estructurales se encontrarán mezclados con el material fisionable. En este modelo se considera que ν neutrones son emitidos por fisión. De estos neutrones algunos son absorbidos en materiales diferentes al combustible, otros absorbidos por el combustible sin dar lugar a fisiones, y otros se fugan del sistema. Como se quiere que la reacción se auto-sostenga con los neutrones producidos por fisión, el término fuente en la ecuación de difusión estará dado por:

r

r

ν ⋅ Σ f (r )ψ (r , t )

Así que la ecuación que describe el modelo de reactor propuesto será:

r r r r r r 1 ∂ ψ (r , t ) − ∇ ⋅ [D(r )∇ψ (r , t )] + Σ a (r )ψ (r , t ) = ν ⋅ Σ f ψ (r , t ) υ ∂t

Si se considera que el reactor es homogéneo, entonces las secciones eficaces y el coeficiente de difusión no dependen de la posición. Más aún si se supone que la dependencia temporal del flujo r r está dada por: ψ (r , t ) = ψ (r ) exp(− Λt ) se tiene,

(Σ

a

r Λ r − ν ⋅ Σ f − D∇ 2 )ψ (r ) = ψ (r )

υ

De la dependencia en tiempo supuesta para el flujo podemos concluir que para Λ=0 se tiene un estado estacionario. Para Λ > 0 la densidad neutrónica decae exponencialmente y si Λ < 0 el flujo se incrementa exponencialmente (lo que hace intuir una conexión con entre Λ y k). La solución de esta ecuación se la puede considerar como una superposición de las soluciones de la ecuación de valores propios:

r r ∇ 2ψ n (r ) + Bn2ψ n (r ) = 0

con los mismos valores de frontera. Es decir,

r

r

ψ (r ) = ∑ Anψ n (r ) n

con An constantes a determinar de acuerdo con las condiciones del problema. Sistemas de generación nuclear de potencia. Las centrales nucleares que operan hoy en día se pueden clasificar de acuerdo con la clase de reactores que poseen y a la forma como su energía es empleada. Así, Los reactores enfriados con agua ligera de ciclo indirecto (reactores de agua presurizada PWR) y directo (reactores con agua en ebullición BWR) También los reactores pueden ser enfriados con

207 agua pesada del tipo CANDU, o enfriados por gas HGTR, o enfriados por metal líquido como el sodio LMFBR. La mayor parte de las centrales nucleares operan en un ciclo de vapor por el cual el vapor presurizado hace mover una turbina que convierte parte del calor de entrada en energía mecánica y eléctrica. En las centrales nucleares la energía que se produce por fisión se utiliza para producir vapor, el cual puede ser producido directamente (BWR) o en intercambiadores de calor normalmente llamados generadores de de vapor (PWR, HTGR, LMFBR, etc). Después de que el vapor ha pasado a través de la turbina, el calor no aprovechado es generalmente desechado a través de condensadores de vapor localizados después de la salida de vapor de la turbina. El agua condensada es entonces comprimida y bombeada de regreso al generador de vapor. Esto completa el ciclo de vapor. La eficiencia total de una central nuclear se expresa como:

η=

W QR

siendo W la energía eléctrica de salida del generador (Megawatts eléctricos) y QR la energía térmica de salida del reactor. La diferencia entre QR y W es la suma del calor en el sistema y el calor cedido al enfriador del condensador. Los reactores de agua liviana requieren que el combustible sea enriquecido al menos en un 2.5% ya que la absorción de neutrones por el agua impiden alcanzar la criticidad del reactor con Uranio natural. Sin embargo los reactores que utilizan agua pesada o grafito como moderadores pueden alcanzar la criticidad usando como combustible uranio natural (en realidad son pastillas o cápsulas de óxido de uranio UO2 de 1 cm. de diámetro y 1.5 cm. de altura de densidad 10 g/cm3, encapsuladas en varillas de aleación de zirconio, que forman la barra de combustible). Fusión Nuclear El proceso que combina dos núcleos ligeros dando lugar a uno más pesado es lo que se conoce con el nombre de fusión nuclear. Este proceso libera una cierta cantidad de energía. El control de esta energía llevaría al desarrollo de lo que se conoce como reactor de fusión nuclear. Que sería una fuente casi ilimitada de energía para el planeta. La energía obtenida por fusión tiene varias ventajas con aquella producida por fisión, especialmente con el hecho de que los productos de la fusión son núcleos livianos y no radiactivos. Sin embargo hay una gran desventaja que ha impedido hasta el momento el desarrollo de los reactores de fusión y esta es que puesto que dos núcleos livianos deben fusionarse deben sobrepasar sus respectivas repulsiones coulombicas. Este problema puede ser sobrepasado calentando el contenedor de los núcleos a fusionarse a temperaturas tales que se venza dicha repulsión (1011ºK), proceso llamado fusión termo-nuclear. Reacciones básicas. Aunque en principio la reacción de fusión más eficiente sería

H 2 + H 2 → He 4 + γ puesto que el Q de la reacción es 23.8 MeV. Sin embargo, no se observa experimentalmente, puesto que el Helio no puede acomodar este valor de energía internamente (no tiene estados excitados) y además esta energía es mayor a la energía de separación de los nucleones en el Helio. Las reacciones que ocurren son:

H 2 + H 2 → He 3 + n (Q = 3.3 MeV) H 2 + H 2 → H 3 + p (Q = 4.0 MeV)

208 las cuales son llamadas reacciones D-D (Deuterio-Deuterio). Una reacción importante también es la DT (Deuterio-Tritio). H 2 + H 3 → He 4 + n (Q = 17.6 MeV) A causa de que la energía liberada en esta reacción es mayor, ésta es la escogida para el estudio de reacciones de fusión controladas. Una desventaja de esta reacción es que la mayoría de energía es cedida al neutrón (14.1 MeV) La fusión de cuatro protones lleva en últimas a la formación de He4 proceso presente en las estrellas y en particular en el sol. Características de la fusión. Si consideramos que la reacción de fusión es A(a,b)B La energía liberada en la fusión es compartida por las partículas producto. Es decir, considerando que las energías cinéticas de las partículas incidentes son pequeñas con relación al valor de Q,

Q=

1 1 mb vb2 + m B v B2 2 2

La barrera de Coulomb para las partículas incidentes toma la forma,

Vc =

Z a Z Ae 2 Ra + R A

siendo los R´s los radios de las partículas iniciales. La barrera de potencial depende exponencialmente de ZaZA por tanto, la probabilidad de fusión decrece rápidamente con ZaZA. Para la reacción DT Vc =0.4 MeV La sección eficaz de fusión se la puede adaptar de la consideración general hecha en reacciones nucleares

σ∝

1

υ

2

e −2G

siendo G el factor de Gamow definido anteriormente.

Figura. Secciones eficaces de fusión.

209 La taza de reacción de una reacción nuclear depende del producto “σ.υ”. Para fusiones termonucleares las partículas tendrán una función de distribución de velocidades de Maxwell de manera que ∞

1

σ υ ∝ ∫ e − 2 G e − mυ υ 0

2

/ 2 kT

υ 2 dv

los valores correspondientes a este producto se muestran a continuación,

Figura. Valores medios de σv para la fusión termonuclear

La energía liberada por unidad de volumen de las reacciones de fusión en el plasma es:

E fusión =

1 2 n σ υ Qτ 4

siendo n la densidad de los reactantes, Q la energía liberada por reacción y τ es el tiempo de confinamiento de plasma de modo que las reacciones ocurran. Reactores de fusión. El control de las reacciones de fusión y la extracción de la energía utilizable de éstas se basa en el calentamiento de del combustible termonuclear hasta temperaturas del orden de 108 ºK (10 keV de energía cinética media de las partículas) y simultáneamente el mantener una densidad alta un tiempo suficiente para que la taza de reacciones de fusión sea lo suficientemente grande para generar la potencia deseada. A estas temperaturas los átomos se ionizan y, por tanto, el combustible es un plasma. El problema de confinamiento de plasma es un gran problema puesto que cualquier intercambio de calor con el contenedor enfriaría el combustible y derretiría el contenedor mismo. Son dos los tipos de confinamiento que se encuentran bajo estudio: El confinamiento magnético y el confinamiento inercial. El primero confina el plasma por medio de campos magnéticos diseñados cuidadosamente; el segundo, una bola sólida es repentinamente calentada y confinada por bombardeo de haces de partículas o fotones en múltiples direcciones. Aún si el plasma esta confinado hay muchas formas de que éste pierda su energía, un mecanismo de perdida de energía importante en este caso es el bremsstrahlung. Cuando dos partículas se dispersan su aceleración producirá la emisión de radiación y la consecuente pérdida de energía. La

210 emisión de radiación es proporcional al inverso de la masa de la partícula, por tanto son los electrones los que perderán gran cantidad de energía, y como ellos se encuentran en equilibrio térmico con los iones, todo el plasma perderá energía. La perdida de energía de los iones hace más difícil la penetración de la barrera de potencial para producir el proceso de fusión. La siguiente figura muestra la comparación las pérdidas por bremsstrahlung con la potencia de salida de las reacciones DD y DT

Figura. Potencia de pérdida por bremsstrahlung y potencia de salida de las reacciones de fusión (densidad de iones 1021 por m3.

Problemas (consulte)

1. En un plasma de fusión, una mezcla de 50-50 de deuterio y tritio debería tener una densidad de 1021 iones/m3 y un equivalente de temperatura de de 10 keV. ¿Cuál es la densidad en (kg/m3) de dicha mezcla? ¿Cuál es la presión? 2. En un reactor de fusión, la reacción 3H(d,n) procede con una rapidez tal que proporciona una densidad de potencia de 100 W/cm3. Póngase atención en un centímetro cúbico de este reactor. ¿Cuál es la dosis equivalente debida a los neutrones a una distancia de 10 metros? Suponga que no hay blindaje.