CURSO DE APOYO A LA PREPARACIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA ESCALA DE SUBOFICIALES

FUERZAS ARMADAS PROFESIONALES

CURSO DE APOYO A LA PREPARACIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA ESCALA DE SUBOFICIALES

MATEMATICAS 1ª parte Unidades didácticas 1 y 2

DIGEREM

FUERZAS ARMADAS PROFESIONALES

MINISTERIO DE DEFENSA SUBDIRECCIîN GENERAL DE TROPA Y MARINERIA PROFESIONAL

CURSO DE APOYO A LA PREPARACION Ó DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA ESCALA DE SUBOFICIALES

MATEMÁTICAS 1ª parte Unidades didácticas 1 y 2

MATEMÁTICAS 1ª parte

SUMARIO Unidad didáctica 1.

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

2.

GEOMETRIA

Pág. 5

49

U . D . 1 . - E S TA D Í S T I C A

Y PROBABILIDAD

ÍNDICE Pag.

OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MAPA CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 DESARROLLO DE CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. ESTUDIO DEL GRADO DE RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES FRECUENCIAS,N DISTRIBUCIONES MARGINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. COVARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 ESTUDIO DEL GRADO DE RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES ...... REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.

PROFUNDIZACIÓN EN EL ESTUDIO DE LAS PROBABILIDADES COMPUESTAS, CONDICIONADAS, TOTALES Y A POSTERIORI. . . . . 13 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

3.

PROBABILIDAD CONDICIONADA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PROBABILIDAD COMPUESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PROBABILIDAD TOTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PROBABILIDAD A POSTERIORI. TEOREMA DE BAYES . . . . . . . . . . . . . . . 20

INTRODUCCIÓN A LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD A PARTIR DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA PARA VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL COMO HERRAMIENTA PARA ASIGNAR PROBABILIDADES A SUCESOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1. DISTRIBUCIONES DISCRETAS: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL . . . . . . . . . . . 23 3.2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS: DISTRIBUCIÓN NORMAL . . . . . . . . . . . 28

4.

APROXIMACIÓN A LA NORMAL DE LA LEY BINOMIAL. AJUSTE DE UN CONJUNTO DE DATOS A UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O NORMAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

ANEXO 1. TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ANEXO 2. TABLA DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 -Pág.5-

M AT E M Á T I C A S

OBJETIVOS Al finalizar el estudio de esta Unidad Didáctica, el alumno será capaz de:

• Distinguir e interpretar las distribuciones bidimensionales. • Analizar las diferentes probabilidades. • Calcular las distribuciones binomiales y normales. • Manejar tablas binomiales y normales.

INTRODUCCIÓN L

a acepción del término estadística hace referencia a una determinada información numérica. Esta primera conceptualización que, como veremos, tiene orígenes históricos, cada día se encuentra más arraigada en la sociedad actual irremisiblemente inmersa en un mundo de cifras las cuales llenan los medios de comunicación e impregnan nuestras referencias personales. No obstante la estadística no puede entenderse como un conjunto de valores numéricos ya que hoy en día la estadística es un ciencia que facilita no sólo métodos precisos para la obtención de información numérica de base sino que, además proporciona métodos objetivables de análisis de esa información recogida y en general, métodos de investigación aplicables a todo el resto de las Ciencias. El término estadística viene del latín "status" ya que constituía la exteriorización cuantitativa de las cosas del Estado. Por ello, los antecendentes de esta ciencia son tan remotos como la historia del hombre.

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Y PROBABILIDAD

En el libro Pentateuco, se cita un censo de personas, no obstante las primeras evidencias de recuentos se sitúan en China con el emperador Yao y en documentos asirios, egipcios y griegos, que preceden a los más cercanos del Imperio Romano, en el que la preocupación por la actividad censal de los individuos y bienes del Estado tenía una clara finalidad tributaria y militar. En la estadística actual se utilizan métodos del Análisis Matemático, surgiendo la vinculación a éste a través del Cálculo de Probabilidades. El origen del Cálculo de Probabilidades se suele situar en el siglo XVII, atribuyéndose a las aportaciones de Pascal que realizo los problemas clásicos de juegos de azar, viendose estimulado a ello por su correspondencia epistolar con el Caballero de Méré. En realidad fue en el siglo XV cuando algunos matemáticos notables como Paccioli, Cardano, Tartaglia, Kepler y Galileo habían esbozado unas primeras formalizaciones de algunos esquemas aleatorios. Esta nueva ciencia fue tomando cuerpo y viculándose a la Teoría de funciones que en los tres últimos siglos merced a logros de figuras notables como Huygens, Jacob y John Bernuilli, Leibniz, Montmort, Buffon, D’Alembert, Bayes, Legendre, Gauss, Laplace y posteriormente Chebychev, Markov, Venn, Von Misses, Kolmogorov, Keynes, Ramsey, de Finetti y Savagen entre otros muchos. El resultado de todo ello ha sido la construcción de un modelo de comportamiento de los llamados fenómenos estadísticos en los que puede encuadrarse toda experiencia o evidencia empírica que revista carácter de aleatoriedad. La fusión de estas dos vertientes de mejora del conocimiento: la estadística como recogida, descripción y análisis de la información y el Cálculo de Probabilidades ponen en relación los datos recogidos con algún modelo ideal de probabilidad, y ayudan a descubrir en la evidencia algún tipo de regularidad. Así pues, la estadística se configura como la tecnología de método científico en ambiente de incertidumbre, siempre que esta pueda ser medida en términos de probabilidad.

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M AT E M Á T I C A S

M A PA C O N C E P T UA L E S T A D ÍS T I C A

Variable estadística bidimensional Distribuciones bidimensionales de frecuencias Covarianza Regresión lineal Varianza residual Correlación

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Variable aleatoria discreta

DISTRIBUCIONES BINOMIALES

Tabla de una distribución binomial

DISTRIBUCIONES CONTINUAS: DISTRIBUCIONES NORMALES

Variable aleatoria continua Tabla de una distribución normal

CONCEPTOS GENERALES

P R O B A B I L I D A D

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Espacio muestral Tipos de sucesos Operaciones con sucesos Combinatoria: 1. Variaciones 2. Variaciones con repetición 3. Permutaciones 4. Permutaciones con repetición 5. Combinaciones 6. Combinaciones con repetición

PROBABILIDAD COMPUESTA SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES PROBABILIDAD TOTAL

PROBABILIDAD A POSTERIORI: TEOREMA DE BAYES

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1.

Y PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. ESTUDIO DEL GRADO DE RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL

1.1. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Variable estadística bidimensional Si se tiene una población o muestra, y de cada individuo de ella, considera una característica, está manejando una variable estadística monodimensional, en la que a cada individuo le corresponde el valor de la característica estudiada. Pero, si en cada individuo se fija en dos caracteres, mide y apunta los valores que tienen, entonces está construyendo una variable estadística bidimensional. Ejemplo: Una variable estadística monodimensional, X = “notas de Física de cinco chicos”, cuyo recorrido R[X] = ©3, 3, 5, 8, 9­. Una variable estadística bidimensional, (X,Y) = “notas de Física y de Matemáticas de los cinco chicos de antes”, con un recorrido R [X, Y] = ©(3,1); (3,3); (5, 5); (8,9); (9,10)­.

1.2. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS. DISTRIBUCIONES MARGINALES Las tablas de frecuencias, se construyen asociando a cada valor (x,y) de la variable bidimensional (X,Y), su frecuencia respectiva. Ejemplo: Construye una tabla de doble entrada, para la distribución de frecuencias de la variable bidimensional (X,Y) = “peso y superficie” de las siguientes 20 muestras de baldosas refractarias: (X gr., Y dm2)

x

y

x

y

x

y

x

y

200 160 190 205 180

3 1,5 2,5 3,5 2

170 190 210 170 190

2 3 3,5 2 2

195 200 190 190 185

3 3,5 3 3 2

155 175 160 165 150

1,5 2 2 2,5 1,5

TAMadrid

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5

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y

x

1,5 2 2,5 3 3,5

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 1

1

1 1

2

1

1

1

1 1 3

1

1

1 1

1

1

Para representar una variable estadística bidimensional, se dibujan puntos sobre un diagrama cartesiano, correspondientes a los valores que toma, apareciendo así, la llamada nube de puntos. Se da el nombre de distribuciones marginales de una distribución bidimensional (X,Y), a las distribuciones de frecuencias monodimensionales X e Y, que la forman.

Recuerde: • Media aritmética: - xi N

x= • Varianza:

m = 2

(

)

2

- xi < x u f i N

=

- xi2 u f i < x N

( )

2

• Desviación típica:

m=

(

)

2

- xi < x u f i N

=

- xi2 u f i < x N

( )

2

1.3. COVARIANZA Se define este parámetro estadístico, específico de las variables estadísticas bidimensionales, así:

m xy =

6

1 v - xi < x u yi < y u ni N

(

)(

TAMadrid

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)

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Y PROBABILIDAD

Covarianza de la variable (X,Y) es la media aritmética de los productos de las desviaciones a la media de cada una de sus variables marginales. Usando esta expresión el cálculo es laborioso por lo que la vamos a transformar en otra más cómoda:

m xy =

1 v - xi u yi u ni < x u y N

Ejemplo: Determinar la covarianza de la distribución que estamos estudiando.

x

y

1,5 2 2,5

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210

n -xyn

1 1 1 225 232,5 240

3 697,5

1 320

2 680

1 350

1 360

1 370

1 412,5

1 380

7 2460

1 475

2 887,5

3 1 1710 585

3

m xy =

1 350

1 360

1 600

5 2895

1 1 1 700 717,5 735

3 2152,5

1 5 1 2 1 1 370 2565 585 1300 717,5 735

20 9092,5

3,5 nx 1 1 2 1 2 -xyn 225 232,5 560 412,5 680

y

1 u 9092, 5 < 181, 5 u 2, 45 = 9, 95 20

1.4. ESTUDIO DEL GRADO DE RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES. REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN Si representamos gráficamente en unos ejes de coordenadas los pares de valores de las dos variables, el problema del ajuste consiste en la obtención de la ecuación de una curva que pase “cerca” de los puntos dados, y que se adapte lo mejor posible al conjunto de los mismos, cumpliendo determinadas condiciones. Por lo tanto, cuando se pretende hacer un ajuste nos encontramos con dos problemas:

TAMadrid

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– Elegir el tipo de curva que mejor se adapte a los datos disponibles, es decir, que mejor represente la relación entre X e Y. – Fijar el tipo de curva a través de su ecuación en forma explícita con un cierto número de parámetros. Para seleccionar el tipo de función podemos observar la nube de puntos de la distribución: y

y

x y

x y

x

x

Para una distribución como la primera, seleccionamos una función de tipo lineal, para la segunda una parábola de segundo grado, una exponencial para la tercera, y una parábola de tercer grado para la cuarta. Una vez seleccionado el tipo de función, por ejemplo, una parábola de segundo grado, y = ax2 + bx + c, tendremos que determinar cual de ellas, de las infinitas que hay en el plano, pasa lo más cerca posible de los puntos. Esta adaptación o acercamiento a los puntos se consigue imponiendo una serie de condiciones.

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TAMadrid

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Y PROBABILIDAD

1.4.1. REGRESIÓN LINEAL Se llama así a la línea que más se ajusta a ese conjunto de puntos y, por tanto, la que mejor representa a la distribución. Y r

y d ye

x

0

X

Según la figura anterior en la que hemos dibujado la nube de puntos de una variable bidimensional (X,Y), y la recta r que suponemos que representa la distribución de y sobre x, cuando X vale x se observa que le corresponde en la nube de puntos, el de ordenada y; sin embargo, la recta nos da para ese x, un valor estimado ye. Llamamos desviación (d) a la diferencia entre cada valor observado y el estimado; es decir: d = y – ye El problema del ajuste consiste en encontrar la recta que mejor represente a la nube de puntos de la distribución y es aquella cuya suma de desviaciones sea mínima. Existen diversos métodos de hacer este ajuste, el más conocido es el método de mínimos cuadrados que consiste en que la suma de los cuadrados de las desviaciones sea mínima; es decir:

(

- y < ye

)

2

= Mínima

Supongamos que la recta de regresión que buscamos es ye = a + b · x. Sustituyendo:

(

- y < a < bu x

)

2

= Mínima

TAMadrid

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Aunque está fuera del nivel matemático que se pretende adquirir, existe un tratamiento matemático mediante el cual se obtiene las llamadas ecuaciones normales de la recta de regresión de y sobre x. Con ellas quedan determinadas los coeficientes a y b de la ecuación ye = a + b · x. - y = N u a + bu - x 2 - x u y = au - x + bu - x

Si se pretende calcular la recta de regresión de x sobre y análogamente se produce la siguiente ecuación xe = a’ + b’ · y. Entonces sus ecuaciones normales de la recta de regresión de x sobre y son las siguientes: - x = N u a' + b'u - y 2 - x u y = a'u - y + b'u - y

Como todas estas ecuaciones son complejas para simplificarlas operamos de la siguiente forma: ye < y =

m xy x< x m x2

)

xe < x =

m xy y< y m y2

)

(

(

La recta de regresión es la que pasa por el punto de coordenadas:

( x, y ) Este punto es llamado centro de gravedad de la distribución y tiene por pendiente (coeficiente de regresión): b=

m xy m x2

– Si b es mayor que 0, la recta de regresión es creciente. – Si b es igual a 0, la recta de regresión es horizontal. – Si b es menor que 0, la recta de regresión es decreciente.

10

TAMadrid

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Y PROBABILIDAD

Ejemplo: Calcula las ecuaciones de las rectas de regresión de la distribución estadística bidimensional del anterior ejemplo.

xi

xi2

ni

xini

xi2ni

yi

yi2

ni

yini

xi2 ni

150

22500

1

150

22500

1,5

2,25

3

4,5

6,75

155

24025

1

155

24025

2

4

7

14

28

160

25600

2

320

51200

2,5

6,25

2

5

12,5

165

27225

1

165

27250

3

9

5

15

45

170

28900

2

340

57800

3,5

12,25

3

10,5

36,75

175

30625

1

175

30625

180

32400

1

180

32400

185

34225

1

185

34225

190

36100

5

950

180500

195

38025

1

195

38025

200

40000

2

400

80000

205

42025

1

205

42025

210

44100

1

210

44100

Suma -y = 49

-y2

= 129

Suma -x = 3630 -x2 = 664650

Yy = N · a + Yx·b I. 49 = 20 · a + 3630 · b II. 9092,5 = 3630 · a + 664650 · b Yx.y = a Yx + Y x2 . b a = –3,77 b = 0,034 ye = –3,77+0,034 x

I. 3630 = 20 · a’ + 49 · b’ II. 9092,5 = 49 · a’ + 129 · b’ a’ = 127,025 b’ = 22,23 xe = 127,025 + 22,23y

1.4.2. VARIANZA RESIDUAL Al igual que al dar la media de una distribución de una variable, interesa acompañarla de una medida de dispersión, cuando se da la recta de regresión correspondiente a una distribución bidimensional, interesa acompañarla de algún parámetro que nos permita conocer la representatividad, la bondad de dicha línea. En la práctica el parámetro que se usa es el coeficiente de correlación.

m = 2 e

(

* - yi < yi

)

2

N

=

-d N

2

La “y” es la fórmula de la recta de regresión, y = a + bx TAMadrid

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1.4.3. CORRELACIÓN Si con el análisis de la regresión lo que se busca es la línea hacia la que tienden los puntos de la distribución, mediante la correlación lo que pretendemos es medir el grado de dependencia entre las variables, informarnos de lo poco o mucho que tienden los puntos de la nube a esa línea. El coeficiente de correlación r, se define: r=

(

)( - y )