Curs Metal 2

Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de de pierdere a stabilitatii instabilitate prin bifurcarea echilibrului. o o Instabilitate prin divergenta echilibrului. INSTABILITATE PRIN BIFURCAREA ECHILIBRULUI - PRINCIPIUL -

PPcr

cedare

echi echili libr bru u stabi tabill

echi echili libr bru u indi indifferen erentt

1

echi echili libr bru u ins instabi tabill

PROBLEMA FLAMBAJULUI : ISTORIC

2

BIFURCAREA ECHILIBRULUI (flambaj prin incovoiere)

P

Y

u x y

x=l/2 l

f 

R= P X  M ( x ) d2y 2

=

Px

+ ky =

2

0; k 

=

P

dx EI    y = c1 sin kx + c2 cos kx

1) x=0

=>

y=0 = > c2

2) x=l

=>

y=0 = > c1 sin kl

=

0 =

0

a) c1 = 0  = > bara nu se deformeaza (contradictie) b) k = 0 = > P = 0 (nu este conform cu realitatea) c) sin kl = 0 = > kl = π, 2 π,...... nπ

Pcr 

=

π 2  E I  l2

(Euler 1759)

3

BIFURCAREA ECHILIBRULUI Cazuri Fundamentale

Pcr  l f 

= lungime

=

π 2  E I  l f 

2

de flambaj = distanta dintre 2 pcte. de inflexiune consecutive a deformatei

barei. l f  =  µ l Exista 5 cazuri fundamentale de flambaj:

Deformata barei

Ecuatia caracteristica Forţa critică

sin kl = 0

=

0

tgkl − kl

=

0

sin kl = 0

cos kl  − 1 = 0

π 2 EI 

π 2 EI 

20,19 EI 

π 2 EI 

4π 2 EI 

2

l2

l2

l2

l

2 4l 2l

0,7l

l

0,5l

1

2

0,7

1

0,5

l Lungimea de flambaj Coeficientul lungimii de flambaj

cos kl

4

BIFURCAREA ECHILIBRULUI Flambaj prin incovoiere – bara perfecta

P

P

A

Pcr

Pcr

A

u

f 

Bara imperfecta

P u0

•

Procesul de deformare este continuu

f 0 •

Cedarea are loc prin “limitarea ” echilibrului

P

P

P

Pcr

Pcr

u0,1 u0,2

f 0,1 f 0,2

u

5

f 

BIFURCAREA ECHILIBRULUI Flambaj prin incovoiere Pcr , y Pcr , z

Y

=

=

π 2  E I  y l fy 2

π 2  E I  z

Pcr

l fz =

2

;

l fy

=  µ y l

;

l fz

=  µ z l

min( Pcr , y ; Pcr , z )

Z • 

Rigiditatea  E I   depinde de geometria sectiunii (Iy,Iz). Lungimea de flambaj depinde prin  µ  de conditiile de rezemare.

•

Pcr

=

π 2  E I l f  2

π 2 E  σ cr  = 2 λ  σ cr , y

⇒ σ cr

λ  =

;

l f 

=

A

=

π 2E

π 2 E  = 2 λ 2  l f  

   i 

λ  = coefficient de zveltete

i

π 2 E  = ; σ cr , z λ  y 2 λ  y

= 

Pcr

π 2 E  =  ; σ cr λ  z 2

l fy i y

λ  z

;

=

=

min(σ cr , y ; σ c r , z )

l  z i z

Valoarea maxima a zveltetei se limiteaza prin norme sau rezulta din analiza.!  N cr  =  N  =

π 2  E I 

 N cr   N  pl

λ1 = π 

 /:  N  pl

l f  2 =

 E   f  y

π 2 E I l 2f Af y

=

=

Af y

π 2 E  λ 2 f y

 λ 1  ⇒  N  = =   N  pl  λ   N cr 

2

2

 λ     λ 1 

1 =  ;  λ  

λ  = 

 N 

: forta de flambaj normalizata sau adimensionala.

λ 

: zveltetea normalizata sau adimensionala sau redusa a barei.

λ 1

π 2 E  =  f  y : zveltetea barei ideale pentru care Ncr = Npl ⇒ λ 12 6

N

INSTABILITATE

Npl=Ncr 1

N=Npl

N=

1 2

  (Euler)

STABILITATE

0

λ 1

0.5

1.0

1.5

2.0

S235

S275

S355

94

86

76

7

DIVERGENTA ECHILIBRULUI • •

Bara este imperfecta Materialul se comporta elasto-plastic. = > procesul de deformare se initiaza din momentul aplicarii fortei, o cedarea are loc in momentul plasticizarii totale a sectiunii, adica prin formarea unei articulatii plastice.

Capacitatea portanta a barei (momentul incovoietor capabil sau rezistent) ajunge in divergenta cu solicitarea (momentul fortelor exterioare) care tinde sa creasca in situatia in care bara si-a atins capacitatea portanta limita. = > M=Mpl Modelul de instabilitate prin divergenta echilibrului este la bara curbelor de flambaj europene.

8

BAZELE TEORETICE ALE CURBELOR EUROPENE DE FLAMBAJ * Flambajul este tratat ca o problema de ordinul II, avand la baza modelul fizic de divergenta a echilibrului.

NEd

v0 ( x ) = e0, d  sin

Y,v

 L

v0,max ( x =

x v0(x)

L/2

v (x)

e0,d

v ( x ) = A sin vmax

L

vmax

2

π  x

 

(1)

) = e0,d   

(2)

l

π x

   L  L = v( x = )= A  2

d 2 v( x )

(3) (4)

 N  Ed 

(v0 ( x ) + v ( x )) = 0   E I    N  Ed  e0, d    (1),(3) => (5) = >  A =  N Cr − N Ed   dx 2

NEd

 N cr  =

+

(5) (6)

π 2  E I   L

2

(7)

X,u (6) => (4) => vmax vtot vtot

=

=

=

 N  Ed   NCr

vmax

N Ed

−

e0,d   

+ e0,d =

 N  Ed   N Cr

1 1 −  N Ed / N Cr 

−

e0, d  

N Ed

e0,d

 

 

(8)

 

Bara este solicitata la compresiune axiala,  N  Ed  , si momentul incovoietor de ordinal II,  II 

 M  Ed

=

N Ed vtot   

(9)

La mijlocul barei,  II   M  Ed ,max

=



 1 −  N Ed / N Cr 

Relatia de interactiune  N Ed  N  Ed   N Rd

+

1

N Ed 

 II   M  Ed  ,max

M Rd 

−



e0, d    



(10)

 II 

M Ed  pentru verificare este:

≤ 1 

(11)

Forta  N  Ed  poate creste pana la colaps (flambaj) = >  N Ed

=

N b, Rd

=  χ N Rd   

(12)

= > coeficientul de reducere la flambaj:

9

 χ  =

 N b , Rd   N  Rd 



(1 − χ )(1 − χ λ 2 ) = e0, d 

λ  =

 A W el

χ

= ηχ 

 

(13)

 N  pl  N cr 

η  = e0, d 

 A W el

- imperfectiunea generalizata

=> prin calibrare experimentala: η α  este factorul de imperfectiune

= α ( λ  − 0.2)

10

 

(14) (15)

11

12

13

14

15