Curs Logica matematica si Computationala anul I

˘ S LOGICA MATEMATICA ¸I ˘ COMPUTAT ¸ IONALA Sem. I, 2013 - 2014

MULTIMI. RELATII Ioana Leustean FMI, UB

Operat¸ii cu mult¸imi A, B, C , T mult¸imi • A, B ⊆ T

A ∪ B = {x ∈ T |x ∈ A sau x ∈ B} A ∩ B = {x ∈ T |x ∈ A ¸si x ∈ B} A = {x ∈ T |x 6∈ A} • P(T ) = {A|A ⊆ T } • A × B = {(a, b)|a ∈ A ¸si b ∈ B}

Exemplu. P(∅) = {∅}, P({∅}) = {∅, {∅}}, P({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, ... Exercit¸iu. A, B, C ⊆ T A × (B ∪ C ) = (A × B) ∪ (A × C ) A × (B ∩ C ) = (A × B) ∩ (A × C )

Mult¸imi. Relat¸ii n-are n num˘ar natural, n ≥ 1 A1 , . . ., An ⊆ T mult¸imi S • ni=1 Ai = {x ∈ T |ex. i ∈ {1, . . . , n} x ∈ Ai } T • ni=1 Ai = {x ∈ T |x ∈ Ai or . i ∈ {1, . . . , n}} Qn • i=1 Ai = {(x1 , . . . , xn )| xi ∈ Ai or . i ∈ {1, . . . , n}} Notat¸ie. An = A · · × A} | × ·{z n

Definit¸ie O relat¸ie Q ˆıntre A1 , . . ., An este o submult¸ime a produsului cartezian ni=1 Ai . O relat¸ie n-ar˘a pe A este o submult¸ime a lui An .

Mult¸imi. Relat¸ii n-are

Operat¸ii cu relat¸iii A, B, C mult¸imi

Exemple

• relat¸ia invers˘ a:

dac˘a R ⊆ A × B atunci R −1 ⊆ B × A ¸si R −1 = {(b, a)|(a, b) ∈ R}

• |⊆N×N

| = {(k, n)| ex. m ∈ N a.ˆı. mk = n}

• compunerea relat¸iilor: • 0 si g (k − 1) e definit˘a F(g )(k) :=  nedefinit, altfel Deoarece F este continu˘a, conform Teoremei Knaster-Tarski, cel mai mic punct fix al funct¸iei F este f = sup{Fn (⊥)|n ∈ N}.  k=0  1, k ∗ f (k − 1), k > 0 si f (k − 1) e definit˘a f (k) = F(f )(k) :=  nedefinit, altfel f este funct¸ia factorial. Teoremele de punct fix sunt folosite in semantica denotat¸ional˘a pentru a defini semantica instruct¸iunii while.

Observ˘am c˘a ˆın ipotezele ultimei teoreme secvent¸a F0 (⊥) = ⊥ ≤ F(⊥) ≤ F2 (⊥) ≤ · · · ≤ Fn (⊥) ≤ · · · este un lant¸, deci a exist˘a.

Knaster-Tarski pentru CPO Demonstrat¸ie. Fie (C , ≤) CPO si F : C → C funct¸ie continu˘a. (I) a = sup{Fn (⊥)|n ∈ N} este punct fix. F(a) = F(sup{Fn (⊥)|n ∈ N}) = sup{F(Fn (⊥))|n ∈ N} (continuitate) = sup{Fn+1 (⊥)|n ∈ N} = sup{Fn (⊥)|n ∈ N} = a (II) a este cel mai mic punct fix. Fie b un alt punct fix, i.e. F(b) = b. Demonstr˘am prin induct¸ie dup˘a n ≥ 1 c˘a Fn (⊥) ≤ b. Pentru n = 0, F0 (⊥) = ⊥ ≤ b deoarece ⊥ este prim element. Dac˘a Fn (⊥) ≤ b, atunci Fn+1 (⊥) ≤ F(b), deoarece F este cresc˘atoare. Dar F(b) = b, deci Fn+1 (⊥) ≤ b.

Knaster-Tarski pentru latici complete Demonstrat¸ie. Fie (L, ≤) latice complet˘a ¸si F : C → C funct¸ie cresc˘atoare. (I) a = inf{x ∈ L|F(x) ≤ x} este punct fix. Fie X := {x ∈ L|F(x) ≤ x} si fie x ∈ X . Atunci a ≤ x, deci F(a) ≤ F(x) ≤ x. Am demonstrat ca F(a) ≤ x oricare x ∈ X , deci F(a) este un minorant pentru X . ˆIn consecint¸˘a, F(a) ≤ a. Observ˘am c˘a F(a) ∈ X , deci a ≤ F(a). Din F(a) ≤ a ¸si a ≤ F(a) rezulta F(a) = a. (II) a este cel mai mic punct fix. Fie b un alt punct fix, i.e. F(b) = b.Atunci b ∈ X , deci a ≤ b.

Latici Definitia L1. O mpo (L, ≤) este latice dac˘a sup{x1 , x2 }, inf{x1 , x2 } exist˘a oricare x1 , x2 ∈ L. Infimumul (supremumul) devin operat¸ii pe L: ∨ : L × L → L, x1 ∨ x2 := sup{x1 , x2 }, ∧ : L × L → L, x1 ∧ x2 := inf{x1 , x2 }. Propozit¸ia L1-2. Urm˘atoarele identit˘a¸ti sunt satisf˘acute: • asociativitate:

(x ∨ y ) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (x ∧ y ) ∧ z = x ∧ (y ∧ z), • comutativitate: x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x, • absorbt¸ie: x ∨ (x ∧ y ) = x, x ∧ (x ∨ y ) = x.

Demonstrat¸ie. exercitiu. Laticea (L, ≤) devine structur˘a algebric˘a (L, ∨, ∧).

Definit¸ia Algebric˘ a a Laticilor Definitia L2. O latice este o structur˘a algebric˘a (L, ∨, ∧) unde ∨ si ∧ sunt operat¸ii binare asociative, comutative ¸si care verific˘a propriet˘a¸tile de absorbt¸ie. Lema. x ∨ y = y ⇔ x ∧ y = x or. x, y ∈ L. Demonstrat¸ie. Daca x ∨ y = y , atunci x = x ∧ (x ∨ y ) = x ∧ y . Propozitia L2-1. Fie (L, ∨, ∧) in sensul Definit¸iei L2. Definim x ≤ y ⇔ x ∨ y = y ⇔ x ∧ y = x. Atunci (L, ≤) este latice in sensul Definitiei L1. In plus sup{x, y } = x ∨ y , inf{x, y } = x ∧ y or. x, y ∈ L. Demonstrat¸ie. exercit¸iu.

Latici marginite O latice este marginit˘ a dac˘a are prim ¸si ultim element. Primul element se noteaz˘a cu 0, iar ultimul element se noteaz˘a cu 1. O latice marginit˘a va fi notata prin (L, ≤, 0, 1), iar ca structur˘a algebric˘a prin (L, ∨, ∧, 0, 1). Se observ˘a c˘a: x ∨ 0 = x, x ∧ 0 = 0, x ∨ 1 = 1, x ∧ 1 = x or. x ∈ L. Elementul x este complement al lui y daca x ∨ y = 1 si x ∧ y = 0. O latice este complementat˘ a dac˘a orice element are cel put¸in un complement. Exemplu. Determinat¸i elementele complementate ˆın laticile: 1 x

y 0

1 z

w 0

Algebre Boole O latice (L, ∨, ∧) este distributiv˘ a dac˘a, or x, y ∈ L: x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z) ¸si x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z). Lem˘ a ˆIntr-o latice distributiv˘a ¸si marginit˘a, un element are cel mult un complement. Demostrat¸ie. Fie y1 , y2 complemente pentru x. Obt¸inem y1 = y1 ∧ 1 = y1 ∧ (y2 ∨ x) = y1 ∧ y2 = y2 ∧ (y1 ∨ x) = y2 ∧ 1 = y2

ALGEBRE BOOLE

O algebra Boole este o latice distributiv˘a ¸si complementat˘a cu prim si ultim element.Dac˘a B este o algebr˘a Boole, atunci pentru orice element exist˘a un unic complement. Putem defini o operat¸ie − : B → B prin x := complementul lui x. O algebr˘a Boole este o structur˘a algebric˘a (B, ∨, ∧,− , 0, 1).

Scurt istoric

Algebra Boole

1854 George Boole: The Laws of Thought All the operations of Language, as an instrument of reasoning, may be conducted by a system of signs composed of the following elements: literal symbols, ...signs of operation, ... the sign of identity =. And these symbols of Logic are in their use subject to definite laws, partly agreeing with and partly differing from the laws of the corresponding symbols in the science of Algebra. 1904 Edward V. Huntington: Sets of Independent Postulates for the Algebra of Logic 1936 Marshall H. Stone: The Theory of Representations of Boolean Algebras

O algebr˘ a Boole este o latice distributiv˘a ¸si complementat˘a cu prim ¸si ultim element. ˆIn consecint¸˘a, o algebr˘a Boole este o structur˘a (A, ∨, ∧,− , 0, 1) care satisface urm˘atoarele identit˘a¸ti: (L1) (x ∨ y ) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (x ∧ y ) ∧ z = x ∧ (y ∧ z), (L2) x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x, (L3) x ∨ (x ∧ y ) = x, x ∧ (x ∨ y ) = x, (D) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z), x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z), (P) x ∨ 0 = x, x ∧ 0 = 0, (U) x ∧ 1 = x, x ∨ 1 = 1,

1938 Claude E. Shannon: A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits

(C) x ∨ x = 1, x ∧ x = 0.

Exemple

Diagrame Hasse

• L2 = ({0, 1}, ∨, ∧,− , 0, 1), 1r

• (P(T ), ∪, ∩,− , ∅, T ) • Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului propozit¸ional. • Mult¸imea evenimentelor asociate unui experiment. • Mult¸imea ˆınchis-deschi¸silor unui spat¸iu topologic. Exercit¸iu. Dac˘a (Ai , ∨i , ∧i ,−i , 0i , 1i ) sunt algebre Boole oricare 1 ≤ i ≤ n atunci A1 × · · · × An este algebr˘a Boole cu operat¸iile definite pe componente.

@ ry @rz @ @ r @r @r a@ b c @r

0

01 r@

r @

@r10

@r

00

a = z, b = y , c = x

Reguli de calcul

Reguli de calcul

(A, ∨, ∧,− , 0, 1) algebr˘a Boole • x ∨ y = 1 si x ∧ y = 0 ⇒ y = x,

(A, ∨, ∧,− , 0, 1) algebr˘a Boole

y = y ∧ 1 = y ∧ (x ∨ x) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ x) = y ∧ x = (y ∧ x) ∨ 0 = (y ∧ x) ∨ (x ∧ x) = x ∧ (y ∨ x) = x ∧ 1 = x

• ∨ si ∧ sunt idempotente

• principiul dublei negat¸ii: x = x,

x ∨x =x ∧x =x

Atˆat x, cˆat ¸si x satisfac ecuat¸iile care definesc ˆın mod unic complementul lui x.

11

xr

x ∨ x = x ∨ (x ∧ (x ∨ x)) = x, x ∧ x = x ∨ (x ∧ (x ∨ x)) = x

• Legile lui De Morgan

• x ≤ y ⇒ x ∨ z ≤ y ∨ z, x ∧ z ≤ y ∧ z

x ∨ y = x ∧ y, x ∧ y = x ∨ y.

• x ≤y ⇔ x ∧y =0 ⇔ x ∨y =1 ⇔ y ≤x

Se demonstreaz˘a c˘a x ∧ y satisface ecuat¸iile care definesc ˆın mod unic complementul lui x ∨ y .

x ≤y ⇒ x ∧y ≤y ∧y ⇒ x ∧y =0 x ∧ y = 0 ⇒ y = y ∨ 0 = y ∨ (x ∧ y ) = y ∨ x ⇒ x ≤ y

Principiul dualit˘ a¸tii Expresii Booleene Mult¸imea expresiilor Booleene cu variabilele v1 , . . ., vn este definit˘a recursiv astfel: • v1 , . . ., vn , 0, 1 sunt expresii, • dc. E1 , E2 sunt expresii at. E1 , E1 ∨ E2 , E1 ∧ E2 sunt expresii. Vom nota E (v1 , . . . , vn ) o expresie cu variabilele v1 , . . ., vn . Duala unei expresii Dac˘a E (v1 , . . . , vn ) este o expresie, atunci expresia dual˘a E d (v1 , . . . , vn ) se obt¸ine interschimbˆınd 1 cu 0 ¸si ∨ cu ∧. Exemplu. E (x, y , z) = x ∨ (y ∧ z) ⇒ E d (x, y , z) = x ∧ (y ∨ z). Exercitiu. E d (v1 , . . . , vn ) = E (v1 , . . . , vn ) Principiul dualit˘ a¸tii E1 (v1 , . . . , vn ) = E2 (v1 , . . . , vn ) ⇔ E1d (v1 , . . . , vn ) = E2d (v1 , . . . , vn ).

Funct¸ii Booleene Funct¸iile Booleene sunt folosite ˆın reprezentarea circuitelor electronice. O funct¸ie Boolean˘ a de grad n este o funct¸ie f : Ln2 → L2 . O astfel de funct¸ie poate fi descris˘a printr-un tabel. x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

f (x, y , z) 0 0 1 0 1 1 1 1

→

m1 = x ∧ y ∧ z

→ → → →

m2 m3 m4 m5

=x =x =x =x

∧y ∧y ∧y ∧y

∧z ∧z ∧z ∧z

Orice funct¸ie Boolean˘a poate fi definit˘a printr-o expresie Boolean˘a. f (x, y , z) = m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 = · · · = x ∨ (y ∧ z). Demonstrat¸iile ˆın cadrul calculului propozit¸ional!

Operat¸iile →, ↔, +

Inele Boole

(A, ∨, ∧,− , 0, 1) algebra Boole

• x → y := x ∨ y x ≤ y ⇔ x → y = 1, x → (y → x) = 1, (x → y ) → ((y → z) → (x → z)) = 1.

• x ↔ y := (x → y ) ∧ (y → x)

(A, ∨, ∧,− , 0, 1) algebr˘a Boole Definim x + y := (x ∧ y ) ∨ (y ∧ x) ¸si x · y := x ∧ y . Propozit¸ie R(A) = (A, +, ·, 0, 1) este inel cu x · x = x oricare x ∈ A.

x ↔ y = 1 ⇔ x = y, x ↔ y = x ↔ y , (x ↔ y ) ↔ z = x ↔ (y ↔ z).

Demonstrat¸ia: exercit¸iu.

• x + y := (x ↔ y )d = (x ∧ y ) ∨ (y ∧ x)

Un astfel de inel se nume¸ste inel Boole. Oric˘arei algebre Boole i se poate asocia un inel Boole.

x + x = 0, x + y = y + x, x + z ≤ (x + y ) ∨ (y + z). Operat¸ia (x, y ) 7→ x + y are propriet˘a¸tile unei ”distant¸e”.

Inele Boole (R, +, ·, 0, 1) inel Boole (inel unitar cu x · x = x oricare x ∈ R)

• x · y + y · x = 0, y · x = −(x · y ) (x + y ) · (x + y ) = x + y ⇒ x + x · y + y · x + y = x + y

• x + x = 0, x = −x • x ·y =y ·x

Inele Boole ∼ Algebre Boole Propozit¸ie∗ Fie (R, +, ·, 0, 1) un inel Boole ¸si (A, ∨, ∧,− , 0, 1) o algebr˘a Boole. • R si R(B(R)) coincid ca inele Boole.

Operat¸ia ∨ din B(R) este definit˘a prin x ∨ y := x + y + x · y , iar operatia + din R(B(R)) este x + y := (x ∧ y ) ∨ (y ∧ x). Observ˘am c˘a x = 1 + x. Trebuie sa ar˘at˘am c˘a x + y = x + y . • A si B(R(A)) coincid ca algebre Boole.

x · y = −(x · y ) = y · x Definim x ∨ y := x + y + x · y si x ∧ y := x · y . Propozit¸ie B(R) = (R, +, ·, 0, 1) este algebr˘a Boole.

Operat¸ia + din R(A) este definit˘a prin x + y := (x ∧ y ) ∨ (y ∧ x), iar operat¸ia ∨ din B(R(A)) este x ∨ y := x + y + x · y . Trebuie sa ar˘at˘am c˘a x ∨ y = x ∨ y . Inelele Boole si algebrele Boole sunt clase de structuri echivalente.

Demonstrat¸ia: exercit¸iu.

Exemple fundamentale

Not¸iuni de algebr˘ a universal˘ a (A, ∨, ∧,− , 0, 1), (B, ∨B , ∧B ,∼ , 0B , 1B ) algebre Boole

• Cˆamp de mult¸imi (field of sets) A ⊆ P(X ) cu astfel ˆ incˆat ∅ ∈ A ¸si X1 , X2 ∈ A ⇒ X1 ∪ X2 , X1 ∩ X2 , X1 ∈ A. Atunci (A, ∩, ∪,− , ∅, A) este o algebr˘a Boole de mult¸imi.

• Fie S ⊆ A astfel incat 0, 1 ∈ S ¸si

x, y ∈ S ⇒ x ∨ y , x ∧ y , x ∈ S. Atunci (S, ∨, ∧,− , 0, 1) este o algebr˘a Boole, unde ∨, ∧ si − sunt restrict¸iile operat¸iilor din A. ˆIn acest caz spunem c˘a S este o subalgebr˘ a a lui A.

• F ⊆ {0, 1}X astfel ˆıncˆat 0, 1 ∈ F ¸si

• O funct¸ie f : A → B este un morfism de algebre Boole

f1 , f2 ∈ F ⇒ f1 ∨ f2 , f1 ∧ f2 , f1 ∈ F , unde, oricare x ∈ X , 0(x) := 0, 1(x) := 1, f1 := f1 (x), (f1 ∨ f2 )(x) := f1 (x) ∨ f2 (x), (f1 ∧ f2 )(x) := f1 (x) ∧ f2 (x). Atunci (F , ∨, ∧,− , 0, 1) este o algebr˘a Boole de funct¸ii.

dac˘a: f (0A ) = 0B , f (1A ) = 1B , f (x) = fg (x), f (x ∨A y ) = f (x) ∨B f (y ), f (x ∧A y ) = f (x) ∧B f (y ) or. x, y ∈ A. Un morfism injectiv se numeste scufundare. Un izomorfism este un morfism bijectiv. • O congruent¸˘ a pe A este o relat¸ie ≡ ⊆ A × A de echivalent¸˘a care verific˘a urm˘atoarele propriet˘a¸ti:

Teorema de reprezentare a lui Stone afirm˘a c˘a orice algebr˘a Boole poate fi reprezentat˘a printr-o algebr˘a Boole care are una din formele de mai sus. ˆIn continuare vom demonstra aceasta teorem˘a.

• x ≡ y ⇒ x ≡ y, • x1 ≡ y1 si x2 ≡ y2 ⇒ x1 ∨ x2 ≡ y1 ∨ y2 x1 ∧ x2 ≡ y1 ∧ y2 .

Construct¸ia algebrei cˆ at

Construct¸ia algebrei cˆ at Pe mult¸imea claselor de echivalent¸˘a A/ ≡ definim: xˆ ∨ yˆ := x[ ∨ y , xˆ ∧ yˆ := x[ ∧ y , xˆ := xˆ. Atunci (A/ ≡, ∨, ∧,− , ˆ0, ˆ1) este o algebr˘a Boole.

Exemplu

A = {x1 x2 · · · xn | xi ∈ {0, 1} oricare i}, unde n ≥ N, n ≥ 1 (A, ∨, ∧,− , 0 · · · 0, 1 · · · 1) este algebr˘a Boole, unde operat¸iile sunt definite pe componente Fie k ∈ {1, . . . , n} si 1 ≤ n1 < n2 < · · · < nk ≤ n. Definim x1 x2 · · · xn ≡ y1 y2 · · · yn ⇔ xni = yni oricare 1 ≤ i ≤ k.

Exercit¸iu. Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia p : A → A/ ≡, definit˘a prin p(x) := xˆ este morfism de algebre Boole.

Atunci ≡ este o congruent¸˘a pe A. Exercit¸iu. Demonstrat¸i c˘a Lk2 ' A/ ≡.

Filtre si Ideale

Filtre Exemple.

ˆIn unele clase de structuri (inele, module, grupuri, algebre Boole) congruent¸ele sunt unic determinate de submult¸imi particulare.

• {1} este filtru.

(A, ∨, ∧,− , 0, 1) algebr˘a Boole

• Mult¸imea {{a}, 1} este filtru in P({a, b}).

Definit¸ie O submult¸ime F ⊆ A se numeste filtru dac˘a:

• Dac˘a A este o algebr˘a Boole, atunci mult¸imea

• 1 ∈ F,

[a) := {x ∈ A | a ≤ x}

• x ∈ F, x ≤ y ⇒ y ∈ F,

este filtru oricare a ∈ A. Observam ca [a) este propriu dac˘a ¸si numai dac˘a a 6= 0.

• x, y ∈ F ⇒ x ∧ y .

• Dac˘a f : A → B este un morfism de algebre Boole atunci f −1 ({1}) = {x ∈ A|f (x) = 1}

Un filtru F se numeste propriu dac˘a 0 6∈ F (F 6= A). Exercit¸iu. Not¸iunea dual˘a este cea de ideal. Definit¸i not¸iunea de ideal folosind principiul dualiz˘arii.

este filtru in A.

• Fie A o algebra Boole si F ⊆ A. Daca F este filtru si subalgebra a lui A, atunci F = A.

Filtre si congruent¸e∗

Demonstrat¸ie∗ . (1), (2) exercit¸iu.

(A, ∨, ∧,− , 0, 1) algebr˘a Boole Teorem˘ a∗ (1) Dac˘a F ⊆ A filtru, definim ≡F ⊆ A × A prin x ≡F y ⇔ x ↔ y ∈ F ⇔ x → y ∈ F si y → x ∈ F . Atunci ≡F este o congruent¸˘a pe A. (2) Dac˘a ≡⊆ A × A este o congruent¸˘a pe A, definim F≡ := ˆ1 = {x ∈ A | x ≡ 1}. Atunci F≡ este filtru ˆın A. (3) Dac˘a F ⊆ A este un filtru ¸si ≡⊆ A × A este o congruent¸˘a, atunci F = F≡F si ≡ = ≡F≡ . Exista o biject¸ie ˆıntre filtre si congruente. Vom nota

(3) Dac˘a F este un filtru ¸si x ∈ A, atunci x ∈ F ≡F ⇔ x ≡ F 1 ⇔ x ↔ 1 ∈ F ⇔ x ∈ F . Fie ≡ congruent¸˘a si x ≡ y in A. Atunci x → y ≡ y → y , deci x → y ≡ 1 ¸si, similar, y → x ≡ 1. Rezulta x ↔ y ≡ 1, deci x ↔ y ∈ F≡ , adica x ≡F≡ y . Am demonstrat c˘a ≡ ⊆ ≡F≡ . Invers, fie x ≡F≡ y , adic˘a x ↔ y ∈ F≡ y . Rezult˘a x ↔ y ≡ 1, deci x → y ≡ 1 si y → x ≡ 1. Obt¸inem x = x ∧ 1 ≡ x ∧ (x ∨ y ) = x ∧ y ¸si, similar, y ≡ x ∧ y . A¸sadar x ≡ y ¸si am demonstrat c˘a ≡F≡ ⊆ ≡.

A/F := A/ ≡F

Filtrele cubului 1r @ ry @rz @ @ A= r @r @r a@ b c @r

xr

0

Ultrafiltre (A, ∨, ∧,− , 0, 1) algebr˘a Boole Teorema de caracterizare a ultrafiltrelor Pentru un filtru propriu F ⊆ A urmatoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (1) x ∈ F ⇔ x 6∈ F or. x ∈ A, (2) x ∨ y ∈ F ⇔ x ∈ F sau y ∈ F or. x, y ∈ A, (3) F ⊆ U, U filtru propriu ⇒ F = U.

• F0 = {0, a, b, c, x, y , z, 1}, F1 = {a, x, y , 1}, F2 = {b, x, z, 1}, F3 = {c, y , z, 1} F4 = {x, 1}, F5 = {y , 1}, F6 = {z, 1}

• u ≡F1 v ⇔ u ↔ v ∈ F1 ⇔ a ≤ u → v si a ≤ v → u. Exercit¸iu. Demonstrat¸i c˘a u ≡F1 v ⇔ a ∧ u = a ∧ v or. u, v ∈ A. Exercit¸iu. Determinat¸i algebra cˆat pentru filtrele F0 , . . ., F7 .

Definitie Un ultrafiltru este un filtru propriu care verifica proprietatile echivalente de mai sus. Observam ca ultrafiltrele sunt elemente maximale in multimea filtrelor proprii, ordonata cu incluziunea. Exercit¸iu. F este ultrafiltru ⇔ A/F ' L2

Caracterizarea ultrafiltrelor Demonstrat¸ia. (1⇒ 2) Implicat¸ia ⇐ este evident˘a. ⇒ Fie x, y ∈ A astfel ˆıncˆat x ∨ y ∈ F ¸si x 6∈ F . Atunci x ∈ F , deci (x ∨ y ) ∧ x = y ∧ x ∈ F . Deoarece y ∧ x ≤ y , rezulta y ∈ F. (2⇒ 3) Fie U un filtru propriu astfel ˆıncˆat F ⊆ U. Presupunem ca exist˘a x ∈ U \ F . Deoarece 1 = x ∨ x ∈ F si x 6∈ F , rezult˘a x ∈ F . ˆIn consecint¸˘a x ∈ U, deci x ∧ x = 0 ∈ U. Contrazicem faptul c˘a U este propriu, deci presupunerea a fost eronat˘a. Rezult˘a U = F . (3⇒ 1) Fie x ∈ A astfel ˆıncˆat x 6∈ F . Dac˘a U := {a ∈ A| exista f ∈ F astfel incat f ∧ x ≤ a} atunci U este filtru, F ⊆ U si x ∈ U (exercitiu). Deoarece U 6= F , rezult˘a c˘a U nu e propriu, deci 0 ∈ U. A¸sadar exist˘a f ∈ F astfel ˆıncˆat f ∧ x = O, adic˘a f ≤ x. Am demonstrat c˘a x ∈ F .

Existent¸a ultrafiltrelor Fie (A, ∨, ∧,− , 0, 1) algebra Boole. Mult¸imea filtrelor proprii ale algebrei A este nevid˘a, deoarece {1} este filtru propriu ˆın orice algebra Boole. Pentru a demonstra existent¸a ultrafiltrelor folosim un rezultat echivalent cu Axioma alegerii ˆın sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel, si anume Lema lui Zorn. Lema lui Zorn Fie (P, ≤) o mpo cu proprietatea c˘a orice lant¸ C ⊆ P are majorant. Atunci P are cel putin un element maximal.

Filtrele cubului

1r @ ry @rz @ @ A= r @r @r a@ b c @r

xr

0

• F0 = {0, a, b, c, x, y , z, 1} F1 = {a, x, y , 1}, F2 = {b, x, z, 1}, F3 = {c, y , z, 1} ultrafiltre F4 = {x, 1}, F5 = {y , 1}, F6 = {z, 1}

Existent¸a ultrafiltrelor

Propozit¸ie Dac˘a x 6= 0 in A atunci exist˘a un ultrafiltru U astfel ˆıncˆat x ∈ U. Dem. Dac˘a P = {F | F filtru propriu, x ∈ F }, atunci (P, ⊆) este mpo. Oberv˘am c˘a P este nevid˘a, deoarece [x) este propriu, deci S [x) ∈ P. Fie C un lant¸ din P ¸si V := {F | F ∈ C}. Atunci V este un filtru (exercit¸iu) ¸si a ∈ V , deci V este majorant pentru C. Am demonstrat c˘a orice lant¸ are un majorant, deci Lema lui Zorn asigur˘a exitent¸a unui element maximal U in P. Arat˘am c˘a U este ultrafiltru ˆın A. Fie U ⊆ U 0 , unde U 0 este un filtru propriu. Atunci x ∈ U 0 , deci U 0 ∈ P. Cum U este maximal ˆın P, obt¸inem U = U 0 .

Existent¸a ultrafiltrelor Teorema de reprezentare a lui Stone Pentru orice algebr˘a Boole A exist˘a o mult¸ime X ¸si un morfism injectiv d : A → P(X ). Propozit¸ie Dac˘a x 6= 0 ˆın A atunci exist˘a un ultrafiltru U astfel ˆıncˆat x ∈ U.

Observat¸ie Orice algebra Boole este izomorf˘a cu o algebr˘a Boole de mult¸imi:

Corolar 1. Mult¸imea ultrafiltrelor este nevid˘a. T Corolar 2. {U ⊆ A | U ultrafiltru} = {1}. Dem. Fie x ∈ U oricare ar fi U ultrafiltru ¸si presupunem c˘a x 6= 1. Atunci x 6= 0, deci exist˘a un ultrafiltru V astfel ˆıncˆat x ∈ V . Rezult˘a 0 = x ∧ x ∈ V , ceea ce contrazice faptul c˘a V este ultrafiltru.

A ' d(A) ⊆ P(X ). Corolar Pentru orice algebra Boole A exista o mult¸ime X ¸si un morfism injectiv d : A → LX 2. Dem. Este consecint¸˘a a faptului c˘a P(X ) ' LX 2.

Teorema de reprezentare a lui Stone

Stone duality

∗

Fie A o algebr˘a Boole ¸si U mult¸imea ultrafiltrelor lui A. Demonstrat¸ie. Fie A o algebr˘a Boole ¸si fie U mult¸imea ultrafiltrelor lui A. Definim d : A → P(U) prin d(a) := {U ∈ U | a ∈ U}. Fie x, y ∈ A si U ∈ U. U ∈ d(x) ⇔ x ∈ U ⇔ x 6∈ U ⇔ U ∈ d(x)

Definim S Ua = {U ∈ U | a ∈ U} oricare a ∈ A ¸si UI = {Ua | a ∈ I } pentru orice ideal I ⊆ A. • τ {UI |I ideal} define¸ste o topologie pe U • (U, τ ) este compact Hausdorff • {Ua | a ∈ A} este o baz˘ a de ˆınchi¸si-deschi¸si (clopen sets)

U ∈ d(x ∨ y ) ⇔ x ∨ y ∈ U ⇔ x ∈ U sau y ∈ U ⇔ U ∈ d(x) ∪ d(y )

Un astfel de spat¸iu topologic se numet¸e spat¸iu Boolean.

Am demonstrat c˘a d(x) = d(x) ¸si d(x ∨ y ) = d(x) ∪ d(y ), deci d este un morfism Boolean.

Teorem˘ a

Fie x, y ∈ A astfel ˆıncˆat d(x) = d(y ). Atunci d(x ↔ y )T= d(x) ↔ d(y ) = U, adic˘a x ↔ y ∈ {U | U ultrafiltru in A}. Rezult˘a x ↔ y = 1, deci x = y . Am demonstrat c˘a d este un morfism injectiv.

• A∗∗ = ({Ua | a ∈ A}, ∨, ∧,∗ , U0 , U1 ) este algebr˘ a Boole, unde

Ua ∨ Ub = Ua∨b , Ua ∧ Ub = Ua∧b , (Ua )∗ = Ua∗ , U0 = ∅, U1 = U • A ' A∗∗

Orice algebr˘a Boole este izomorf˘a cu algebra ˆınchis-deschi¸silor unui spat¸iu topologic.

Atomi (A, ∨, ∧,− , 0, 1) algebr˘a Boole Definit¸ie Elementele minimale ˆın A \ {0} se numesc atomi. Algebra A se nume¸ste atomic˘a dac˘a pentru orice x 6= 0 exist˘a un atom a ∈ A astfel ˆıncˆat a ≤ x. Exercit¸iu a este atom ⇔ [a) este ultrafiltru. Exercit¸iu W Dac˘a A este atomic˘a atunci x = {a ∈A| a atom, a ≤ x} or. x 6= 0.

Exemple • A = Ln2 are n atomi: (0, . . . , 0), (1, 0, . . . , 0), . . ., (0, . . . , 0, 1)

• B = P(X ) are atomii de forma {x} cu x ∈ X . • C ⊆ P(R) unde C=

{∅, R}∪ {[a1 , b1 ) ∪ . . . ∪ [an , bn )|n ≥ 1, a1 < b1 < . . . < an < bn ˆın R}∪ {(−∞, b1 ) ∪ . . . ∪ [an , bn )|n ≥ 1, b1 < . . . < an < bn ˆın R}∪ {[a1 , b1 ) ∪ . . . ∪ [an , ∞)|n ≥ 1, b1 < . . . < an ˆın R}∪

C este o algebr˘a Boole f˘ar˘a atomi.

Algebre Boole finite Exercit¸iu Orice algebr˘a Boole finit˘a este atomic˘a. A o algebra Boole finit˘a, At(A) mult¸imea atomilor lui A, U(A) mult¸imea ultrafiltrelor lui A. Exercit¸iu V Dac˘a U ∈ U ¸si a = {x|x ∈ U} atunci a ∈ At(A) ¸si U = [a). Exist˘a o biject¸ie ˆıntre At(A) ¸si U(A). Teorem˘ a Dac˘a A o algebra Boole finit˘a, atunci A ' P(At(A)) ¸si izomorfismul este d : A → P(At(A)), d(x) = {a ∈A| a atom, a ≤ x} or. x ∈ A. Dem. exercit¸iu

SILOGISME. LOGICA CLASELOR.

ˆInceputurile logicii

Aristotel (sec. IV i.e.n.) • •

Silogismele

• Patru tipuri de enunt¸uri (AffIrmo nEgO)

primul studiu formal al logicii a studiat silogismele, deduct¸ii formate din doua premize ¸si o concluzie. Premiz˘a Tot¸i oamenii sunt muritori. Premiz˘a Tot¸i grecii sunt oameni. Concluzie Tot¸i grecii sunt muritori.

A: Tot¸i X sunt Y . (universal afirmativ) E: Nici un X nu este Y . (universal negativ) I: Unii X sunt Y . (particular afirmativ) O: Unii X nu sunt Y . (particular negativ) • Un silogism este format din doua premize ¸si o concluzie, fiecare avˆand una din formele A E I O. Premiz˘a major˘a Premiz˘a minor˘a Concluzia

Silogismele • Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 -1716

Premiz˘a Premiz˘a Concluzie

Premiz˘a Premiz˘a Concluzie

Barbara Tot¸i oamenii sunt muritori. Tot¸i grecii sunt oameni. Tot¸i grecii sunt muritori. Felapton Nici un X nu este Y . Tot¸i X sunt Z . Unii Z nu sunt Y . Adev˘ arat pentru X 6= ∅

256 silogisme, 15 valide, 24 valide dac˘a X , Y , Z 6= ∅

Festino Nici un cˆaine nu este pisic˘a. Unele carnivore sunt pisici. Unele carnivore nu sunt cˆaini. AIO Tot¸i X sunt Y . Unii Z sunt Y . Unii Z nu sunt X . Fals

lingua characteristica universalis, calculus ratiocinator ”If controversies were to arise, there would be no more need of disputation between two philosophers than between two accountants. For it would suffice to take their pencils in their hands, and say to each other: Calculemus - Let us calculate.” • George Boole, 1815-1864

The Mathematical Analysis of Logic (1847) ”The design of the following treatise is to investigate the fundamental laws of the operations of the mind by which reasoning is performed; to give expressions to them in the symbolic language of calculus, and upon this foundation to establish the science of logic and constructs its methods.”

Logica algebric˘ a Analiza rat¸ionamentelor prin metode asem˘an˘atoare calculului algebric. x mult¸imea oamenilor, y mult¸imea muritorilor, z mult¸imea grecilor. Premiz˘a Premiz˘a Concluzie

Barbara Tot¸i oamenii sunt muritori. Tot¸i grecii sunt oameni. Tot¸i grecii sunt muritori.

x(1 − y ) = 0 ⇔ x = xy z(1 − x) = 0 ⇔ z = zx z(1 − y ) = 0 ⇔ z = zy

Dem. z = zx = z(xy ) = (zx)y = zy

Logica algebric˘ a

Exemplu. Fie a, b, c ¸si d propriet˘a¸ti ale substant¸elor care pot interac tiona ˆın cadrul unui experiment. Se cunosc urm˘atoarele: (1) a ¸si b apar simultan ⇒ apare numai una dintre c ¸si d, (2) b ¸si c apar simultan ⇒ fie a ¸si d apar simultan, fie nu apare nici una, (3) nici una dintre a ¸si b nu apare ⇒ nici una dintre c ¸si d nu apare, (4) nici una dintre c ¸si d nu apare ⇒ nici una dintre a ¸si b nu apare. Demonstrat¸i c˘a: (a) nici una dintre a ¸si b nu apare ⇒ nu apare nici c, (b) a, b ¸si c nu apar simultan.

Logica algebric˘ a Fie A, B, C ¸si D mult¸imile substant¸elor care au, respectiv, propriet˘a¸tile a, b, c ¸si d. (1) a ¸si b apar simultan ⇒ cu sigurant¸˘a apare una dintre c ¸si d, A ∩ B ⊆ (C ∩ D) ∪ (D ∩ C ) (2) b ¸si c apar simultan ⇒ fie a ¸si d apar simultan, fie nu apare nici una, B ∩ C ⊆ (A ∩ D) ∪ (A ∩ D) (3) nici una dintre a ¸si b nu apare ⇒ nici una dintre c ¸si d nu apare, A∩B ⊆C ∩D (4) nici una dintre c ¸si d nu apare ⇒ nici una dintre a ¸si b nu apare. C ∩D ⊆A∩B

Logica algebric˘ a Not˘am AB = A ∩ B. Folosim A ⊆ B ⇔ AB = ∅. Ipotezele: (1) AB(C ∪ D)(C ∪ D) = ∅ (2) BC (A ∪ D)(A ∪ D) = ∅ (3) A B(C ∪ D) = ∅ (4) C D(A ∪ B) = ∅ Concluzia: (1) A ∪ B ⊆ C ⇔ A BC = ∅ Demonstrat¸ia: A B(C ∪ D) = ∅ ⇒ A BC ∪ A BD = ∅ ⇒ A BC = ∅ ¸si A BD = ∅ (2) exercit¸iu.

Logica matematic ˘ a • Friedrich Ludwig Gottlob Frege, Begriffsschrift, 1879

• •

CALCULUL PROPOZITIONAL CLASIC PC

•

•

•

Calculul propozit¸ional

• O propozit¸ie este un enunt¸ care poate fi

adev˘arat(1) sau fals(0). • Propozit¸iile sunt notate simbolic (ϕ, ψ, χ, · · · ) ¸si sunt

combinate cu ajutorul conectorilor logici (¬, →, ∨, ∧, ↔).

Exemplu. Fie ϕ propozit¸ia: Azi este vineri, deci avem curs de logic˘a. Cine este ¬ϕ? Propozit¸ia ¬ϕ este: Azi este vieri ¸si nu avem curs de logic˘a.

(a formula language, modeled upon that of arithmetic, for pure thought) Giuseppe Peano, Formulario Mathematico, 1894-1908 Bertrand Russell ¸si Alfred North Whitehead Principia Mathematica, 1910-1913 David Hilbert, Hilbert’s Pogram , 1921 ”Once a logical formalism is established one can expect that a systematic, so-to-say computational, treatment of logic formulas is possible, which would somewhat correspond to the theory of equations in algebra.” Kurt G¨ odel Teorema de completitudine a calculului cu predicate (1929), Teoremele de incompletitudine (1931) Alfred Tarski The Concept of Truth in Formalized Languages (1935), On the Concept of Logical Consequence (1936)

Calculul propozit¸ional Exemplu. Dac˘a trenul ˆıntˆarzie ¸si nu sunt taxiuri la gar˘a, atunci Ion ˆıntˆarzie la ˆıntˆalnire. Trenul ˆıntˆarzie. Ion nu ˆıntˆarzie la ˆıntˆalnire. ˆIn consecint¸˘a, sunt taxiuri la gar˘a. ϕ = trenul ˆıntˆarzie ψ = sunt taxiuri la gar˘a χ = Ion ˆıntˆarzie la ˆıntˆalnire Rat¸ionamentul anterior poate fi reprezentat formal astfel: {(ϕ ∧ ¬ψ) → χ, ϕ, ¬χ} ` ψ

Sintaxa si semantica

• Un sistem logic are dou˘ a componente: sintaxa si semantica. • Not¸iunile sintactice sunt descrise formal, simbolic.

Principalele not¸iuni sintactice sunt: limbajul, formulele, teoremele, not¸iunea de demonstrat¸ie. Simbolul ` este sintactic si are urm˘atoarea semnificat¸ie: not˘am prin Γ ` ϕ faptul c˘a formula ϕ este demonstrabil˘a din mult¸imea de formule Γ.

Sintaxa PC

• Semantica asociaz˘ a un ˆınt¸eles, o interpretare not¸iunilor

sintactice ¸si define¸ste riguros not¸iunea de formul˘a universal adev˘arat˘a (tautologie). Alte not¸iuni semantice importante sunt: evalu˘arile (interpret˘arile), modelele, mult¸imile de formule satisfiabile. Simbolul |= este semantic ¸si are urm˘atoarea semnificat¸ie: not˘am prin Γ |= ϕ faptul c˘a formula ϕ este adev˘arat˘a ori de cˆate ori toate formulele din Γ sunt adev˘arate.

Limbajul. Formulele. Limbajul PC este format din: • o mult¸ime infint˘ a de variabile propozit¸ionale:

Limbajul. Formulele Exemple. • v1 ¬ → (v2 ), ¬v1 v2 nu sunt formule . • ((v1 → v2 ) → (¬v1 )), (¬(v1 → v2 ))sunt formule.

Var = {v1 , v2 , . . . , vn , . . .} • conectori logici: ¬ (unar), → (binar) • paranteze: ( , ).

Formulele PC se definesc recursiv astfel: (F0) orice variabil˘a propozit¸ional˘a este formul˘a, (F1) dac˘a ϕ este formul˘a, atunci (¬ϕ) este formul˘a, (F2) daca ϕ ¸si ψ sunt formule, atunci (ϕ → ψ) este formul˘a, (F3) orice formul˘a se obt¸ine aplicˆand regulile (F0), (F1), (F2) de un num˘ar finit de ori.

Vom presupune c˘a ¬ are precedent¸a cea mai mare ¸si vom pune parantezele numai atunci cˆand sunt necesare. Astfel formula ((v1 → v2 ) → (¬v1 )) o vom scrie (v1 → v2 ) → ¬v1 . Conectori derivat¸i Pentru ϕ si ψ formule oarecare, definim urm˘atoarele prescurt˘ari: ϕ ∨ ψ := ¬ϕ → ψ ϕ ∧ ψ := ¬(ϕ → ¬ψ) ϕ ↔ ψ := (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) In aceasta prezentare a calculului propozit¸ional am considerat ¬ si → drept conectori principali. Conectorii derivat¸i ∨, ∧, ↔ sunt definit¸i folosind conectorii principali.

Limbajul. Formulele.

Mult¸imea formulelor se define¸ste echivalent ˆın modul urm˘ator: Mult¸imea formulelor este intersect¸ia tuturor mult¸imilor W de cuvinte (¸siruri finite de simboluri din limbaj) care verific˘a urm˘atoarele propriet˘a¸ti:

Induct¸ia structural˘ a Principiul induct¸iei pe formule Fie P(ϕ) o proprietate a formulelor astfel ˆıncˆat: • P(v ) este adev˘ arat˘a oricare v ∈ Var , • dac˘ a P(ϕ) este adevarat˘a, atunci P(¬ϕ) este adevarat˘a

oricare ϕ ∈ Form, • dac˘ a P(ϕ) ¸si P(ψ) sunt adev˘arate, atunci P(ϕ → ψ) este

• cont¸in variabilele propozit¸ionale,

adev˘arat˘a oricare ϕ, ψ ∈ Form.

• sunt ˆınchise la ¬

Atunci P(ϕ) este adev˘arat˘a pentru orice formul˘a ϕ ∈ Form.

(dac˘a ω ∈ W atunci (¬ω) ∈ W ), • sunt ˆınchise la →

(dac˘a ω1 , ω2 ∈ W atunci (ω1 → ω2 ) ∈ W ). Vom nota cu Form multimea formulelor PC.

Dem. Fie W = {ϕ ∈ Form | P(ϕ)adev˘arat˘a}. Din ipoteze rezult˘a c˘a Var ⊆ W ¸si W este ˆınchis˘a la ¬ ¸si →. Deoarece Form este intersect¸ia mult¸imilor W cu propriet˘a¸tile de mai sus, rezult˘a Form ⊆ W , deci W = Form.

Sistemul deductiv Vom prezenta sistemul deductiv al PC in stilul Hilbert, care presupune existent¸a mai multor axiome ¸si folose¸ste ca regul˘a de deduct¸ie modus ponens. Alte modalit˘a¸ti de prezentare a unui sistem de deductiv sunt deduct¸ia natural˘a ¸si calculul cu secvent¸i (sisteme Gentzen). Axiomele Oricare ar fi ϕ, ψ ¸si χ formule ale PC, urm˘atoarele formule sunt axiome: (A1) ϕ → (ψ → ϕ) (A2) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ)) (A3) (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ).

Definitie O demonstrat¸ie este o secvent¸˘a de formule ϕ1 , . . ., ϕn astfel ˆıncˆat, pentru fiecare i ∈ {1, . . . , n}, una din urm˘atoarele condit¸ii este satisf˘acut˘a: • ϕi este axiom˘ a, • ϕi se obt¸ine din formulele anterioare prin MP:

exist˘a j, k < i astfel ˆıncˆat ϕj = ϕk → ϕi ϕk , ϕj = ϕk → ϕi ϕi O formul˘a ϕ este teorem˘ a dac˘a exist˘a o demonstrat¸ie ϕ1 , . . ., ϕn astfel ˆıncˆat ϕn = ϕ. Vom nota prin ` ϕ faptul c˘a ϕ este teorem˘a.

Regula de deduct¸ie MP (modus ponens)

Demonstrat¸ie. Teoreme

ϕ, ϕ → ψ ψ

O formul˘a ϕ este demonstrabil˘ a dac˘a ` ϕ.

Teoreme ale PC

Deduct¸ia din ipoteze Fie Γ o mult¸ime de formule.

Lema 1. Pentru orice formul˘a ϕ avem ` ϕ → ϕ. Dem. (1) (2) (3) (4) (5)

` (ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ)) → ((ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)) (A2) ` ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) (A1) ` (ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ) (1),(2), MP ` ϕ → (ϕ → ϕ) (A1) ` ϕ → ϕ (3), (4), MP

Exercit¸iu. Dac˘a ϕ1 , . . ., ϕn este o demonstrat¸ie, atunci ` ϕi oricare i ∈ {1, . . . , n}.

Definit¸ie O Γ-demonstrat¸ie (demonstrat¸ie din ipotezele Γ) este o secvent¸a de formule ϕ1 , . . ., ϕn astfel ˆıncˆat, pentru fiecare i ∈ {1, . . . , n}, una din urm˘atoarele condit¸ii este satisf˘acut˘a: • ϕi este axiom˘ a sau ϕi ∈ Γ, • ϕi se obt¸ine din formulele anterioare prin MP.

O formul˘a ϕ este Γ-teorem˘ a dac˘a exist˘a o Γ-demonstrat¸ie ϕ1 , . . ., ϕn astfel incat ϕn = ϕ. Not˘am prin Γ ` ϕ faptul c˘a ϕ este Γ-teorem˘a. Observ˘am c˘a ` ϕ este echivalent cu ∅ ` ϕ. O formul˘a ϕ este demonstrabil˘ a din Γ (consecint¸˘ a sintactic˘ aa lui Γ) dac˘a Γ ` ϕ. Dac˘a Σ este o mult¸ime de formule atunci not˘am prin Γ ` Σ faptul c˘a Γ ` σ oricare σ ∈ Σ.

Deduct¸ia din ipoteze

Exemplu. Dac˘a Ana merge ˆın excursie, atunci Maria merge ˆın excursie. Dac˘a Maria merge ˆın excursie, atunci Elena merge ˆın excursie. ˆIn consecint¸˘a, dac˘a Ana merge ˆın excursie, atunci Elena merge ˆın excursie. v1 = Ana merge ˆın excursie v2 = Maria merge ˆın excursie v3 = Elena merge ˆın excursie Trebuie s˘a demonstr˘am c˘a {v1 → v2 , v2 → v3 } ` v1 → v3 . Exercit¸iu. Dac˘a Γ ⊆ Σ si Γ ` ϕ atunci Σ ` ϕ.

TD (Herbrand, 1930)

Teorema deduct¸iei pentru PC Γ ` ϕ → ψ ⇔ Γ ∪ {ϕ} ` ψ unde Γ este o mult¸ime de formule, iar ϕ si ψ sunt formule in PC. Dem. (1) (2) (3)

Dac˘a Γ ` ϕ → ψ, atunci: Γ ∪ {ϕ} ` ϕ → ψ (Γ ⊆ Γ ∪ {ϕ}) Γ ∪ {ϕ} ` ϕ (ϕ ∈ Γ ∪ {ϕ}) Γ ∪ {ϕ} ` ψ (1), (2), MP

Presupunem c˘a Γ ∪ {ϕ} ` ψ ¸si demonstr˘am c˘a Γ ` ϕ → ψ.

Teorema deduct¸iei pentru PC Dem. (continuare) Fie ψ1 , . . ., ψn = ψ o demonstrat¸ie pentru ψ din ipotezele Γ ∪ {ϕ}. Demonstr˘am c˘a Γ ` ϕ → ψi prin induct¸ie dup˘a 1 ≤ i ≤ n. Dac˘a i = 1, atunci ψ1 este axiom˘a sau ψ1 ∈ Γ ∪ {ϕ}. Dac˘a ψ1 = ϕ, atunci Γ ` ϕ → ϕ deoarce ` ϕ → ϕ. Dac˘a ψ1 ∈ Γ sau ψ1 este axiom˘a, atunci Γ ` ψ1 si avem: (1) Γ ` ψ1 (2) Γ ` ψ1 → (ϕ → ψ1 ) (A1) (3) Γ ` ϕ → ψ1 (1), (2), MP Presupunem c˘a Γ ` ϕ → ψk oricare k < i. Dac˘a ψi este axiom˘a sau ψi ∈ Γ ∪ {ϕ} atunci demonstr˘am ca mai sus. Altfel, exist˘a j, k < i astfel incat ψj = ψk → ψi . Rezult˘a: (1) Γ ` ϕ → (ψk → ψi ) (ip. de induct¸ie) (2) Γ ` ϕ → ψk (ip. de inductie) (3) Γ ` (ϕ → (ψk → ψi )) → ((ϕ → ψk ) → (ϕ → ψi )) (A2) (4) Γ ` ϕ → ψi (1), (2), 2 × MP. Pentru i = n obt¸inem Γ ` ϕ → ψ.

Teoreme ale PC Fie ϕ, ψ, χ formule ˆın PC. Lema 2. ` (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)) Dem. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

{ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` ϕ (ipoteza) {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` ϕ → ψ (ipoteza) {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` ψ (1),(2), MP {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` ψ → χ (ipoteza) {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` χ (3),(4), MP {ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ TD {ϕ → ψ} ` ψ → χ) → (ϕ → χ) TD ` (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)) TD.

Lema 3. ` (ϕ → (ψ → χ)) → (ψ → (ϕ → χ)) Dem. Exercit¸iu.

Teoreme ale PC

Teoreme ale PC

Lema 4. ` ϕ → (¬ϕ → ψ) Dem. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

{ϕ, ¬ϕ} ` ¬ϕ → (¬ψ → ¬ϕ) (A1) {ϕ, ¬ϕ} ` ¬ϕ (ipoteza) {ϕ, ¬ϕ} ` ¬ψ → ¬ϕ (1),(2), MP {ϕ, ¬ϕ} ` (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ) (A3) {ϕ, ¬ϕ} ` ϕ → ψ (3), (4), MP {ϕ, ¬ϕ} ` ϕ (ipoteza) {ϕ, ¬ϕ} ` ψ (5), (6), MP {ϕ} ` ¬ϕ → ψ TD ` ϕ → (¬ϕ → ψ) TD

Lema 5. ` ¬ϕ → (ϕ → ψ) Dem. Exercitiu.

Lema 6. ` (¬¬ϕ → ϕ) Lema 7. ` (ϕ → ¬¬ϕ) Lema 8. ` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) Lema 9. ` (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ Lema 10. ` (¬ϕ → ϕ) → ϕ Dem. Exercit¸iu.

Reguli de deduct¸ie

Reguli de deduct¸ie derivate Observat¸ie Dac˘a Γ ` ϕ → φ atunci demonstr˘am regula de deduct¸ie

O regula de deduct¸ie are forma Γ1 ` ϕ1 , . . . , Γn ` ϕn . Γ`ϕ A demonstra o regul˘a de deduct¸ie derivat˘a revine la a deduce concluzia Γ ` ϕ din premisele Γ1 ` ϕ1 , . . ., Γn ` ϕn . Exemplu. Folosind teorema deduct¸iei se demonstreaz˘a regula: Γ ∪ {ϕ} ` ψ Γ`ϕ→ψ

astfel: (1) (2) (3)

` ϕ → ψ, ` ¬ψ ` ¬ϕ Dem. (1) (2) (3) (4) (5)

` ϕ → ψ (premiz˘a) ` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) (Lema 8) ` ¬ψ → ¬ϕ (1), (2), MP ` ¬ψ (premiz˘a) ` ¬ϕ (3), (4), MP

Γ ` ϕ (premisa) Γ ` ϕ → ψ (Γ-teorema) Γ ` ψ (1), (2), MP.

Exemplu. Γ ` ϕ → ψ, Σ ` ψ → χ Γ∪Σ`ϕ→χ Dem. (1) (2) (3) (4)

Reguli de deduct¸ie derivate

Modus tollens

Γ`ϕ Γ`φ

Γ ∪ Σ ` ϕ → ψ (premisa) Γ ∪ Σ ` ψ → χ (premisa) ` (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)) (Lema 2) Γ ∪ Σ ` ϕ → χ (1), (2), 2 × MP.

Reguli de deduct¸ie derivate Reductio ad absurdum Γ ∪ {¬ϕ} ` ψ, Γ ∪ {¬ϕ} ` ¬ψ Γ`ϕ Dem. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

Γ ∪ {¬ϕ} ` ψ (premiz˘a) Γ ∪ {¬ϕ} ` ¬ψ (premiz˘a) Γ ∪ {¬ϕ} ` ψ → (¬ψ → ¬(ϕ → ϕ)) (Lema 4) Γ ∪ {¬ϕ} ` ¬(ϕ → ϕ) (1), (2), (3), 2 × MP Γ ` ¬ϕ → ¬(ϕ → ϕ) TD Γ ` (¬ϕ → ¬(ϕ → ϕ)) → ((ϕ → ϕ) → ϕ) (A3) Γ ` (ϕ → ϕ) → ϕ (5), (6), MP Γ ` ϕ → ϕ (Lema 1) Γ ` ϕ (7), (8), MP

Evaluare (Interpretare) Valori de adev˘ ar Mult¸imea valorilor de adev˘ar este {0, 1} pe care consider˘am operat¸iile de algebr˘a Boole. Definit¸ie O evaluare(interpretare) este o funct¸ie e : Var → {0, 1}.

Semantica PC

Teorem˘ a Pentru orice evaluare e : Var → {0, 1} exist˘a o unic˘a funct¸ie fe : Form → {0, 1} care verific˘a urm˘atoarele propriet˘a¸ti: (e0) fe (v ) = e(v ) oricare v ∈ Var , (e1) fe (¬ϕ) = fe (ϕ) oricare ϕ ∈ Form, (e2) fe (ϕ → ψ) = fe (ϕ) → fe (ψ) oricare ϕ, ψ ∈ Form. Dem. Vom demonstra atˆat existent¸a, cˆat ¸si unicitatea, prin induct¸ie structural˘a pe formule.

Evaluare

Existent¸˘ a. Fie S mult¸imea tuturor secvent¸elor finite de simboluri din limbajul PC. Definim recursiv funct¸ia part¸ial˘a fe : S → {0, 1} astfel: • fe (v ) := e(v ) oricare v ∈ Var , • dac˘ a ω ∈ S ¸si fe (ω) este definit˘a, atunci fe (¬ω) := fe (ω), • dac˘ a ω1 , ω2 ∈ S ¸si fe (ω1 ), fe (ω1 ) sunt definite, atunci

fe (ω1 → ω2 ) := fe (ω1 ) → fe (ω2 ). Consider˘am proprietatea P(ϕ) = ”fe (ϕ) este definit˘a ”. Aplicˆand principiului induct¸iei structurale deducem c˘a P(ϕ) este adevarat˘a oricare ϕ ∈ Form. ˆIn consecint¸˘a fe este definit˘a pentru orice formul˘a ¸si satisface evident propriet˘a¸tile cerute.

Evaluare

Unicitate. Fie g : Form → {0, 1} o funct¸ie care extinde e ¸si satisface (e0), (e1), (e2). Consider˘am proprietatea P(ϕ) = ”fe (ϕ) si g (ϕ) coincid ”. Observ˘am c˘a: • fe (v ) = g (v ) = e(v ) oricare v ∈ Var , • dac˘ a fe (ϕ) = g (ϕ), atunci fe (¬ϕ) = fe (ϕ) = g (ϕ) = g (¬ϕ), • dac˘ a fe (ϕ) = g (ϕ) ¸si fe (ψ) = g (ψ), atunci

fe (ϕ → ψ) = fe (ϕ) → fe (ψ) = g (ϕ) → g (ψ) = g (ϕ → ψ), oricare ϕ, ψ ∈ Form. Conform principiului induct¸iei structurale, P(ϕ) este adevarat˘a oricare ϕ ∈ Form, deci fe (ϕ) = g (ϕ) oricare ϕ ∈ Form.

Tautologii. Modele

Metoda tabelului

Definit¸ie • O evaluare e : Var → {0, 1} este model al unei formule ϕ

dac˘a fe (ϕ) = 1. • O formul˘ a ϕ este satisfiabil˘ a dac˘a admite un model. O

mult¸ime Γ de formule este satisfiabil˘ a dac˘a exist˘a o evaluare e : Var → {0, 1} astfel ˆıncˆat fe (γ) = 1 oricare γ ∈ Γ. • O formul˘ a ϕ este tautologie (valid˘ a, universal adevarat˘ a)

dac˘a fe (ϕ) = 1 pentru orice evaluare e : Var → {0, 1}. Not˘am prin |= ϕ faptul c˘a ϕ este o tautologie. • Fie Γ o mult¸ime de formule. O formul˘ a ϕ este Γ−tautologie

(consecint¸˘ a semantic˘ a a lui Γ) dac˘a orice model al lui Γ este ¸si model pentru ϕ, i.e. fe (Γ) = {1} ⇒ fe (ϕ) = 1 oricare e : Var → {0, 1}.

Vrem s˘a demonstr˘am c˘a o formul˘a este tautologie: |= ϕ Dac˘a v1 , . . ., vn variabilele care apar ˆın ϕ, atunci cele 2n evalu˘ari posibile e1 , . . ., e2n pot fi scrise ˆıntr-un tabel: v1 e1 (v1 ) e2 (v1 ) .. .

v2 e1 (v2 ) e2 (v2 ) .. .

... ... ... .. .

vn e1 (vn ) e2 (vn ) .. .

ϕ fe1 (ϕ) fe2 (ϕ) .. .

e2n (v1 )

e2n (v2 )

...

e2n (vn )

fe2n (ϕ)

Fiecare evaluare corespunde unei linii din tabel.

Not˘am prin Γ |= ϕ faptul c˘a ϕ este o Γ-tautologie.

Corectitudinea

Mult¸imi consistente

Teorem˘ a. Orice Γ-teorem˘ a este Γ-tautologie. Γ ` ϕ ⇒ Γ |= ϕ oricare ar fi ϕ ∈ Form si Γ ⊆ Form. ˆIn particular, dac˘a ` ϕ atunci |= ϕ. Dem. Fie e : Var → {0, 1} astfel ˆıncat fe (γ) = 1 oricare γ ∈ Γ. Trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a fe (ϕ) = 1. Fie ϕ1 , . . ., ϕn = ϕ o demonstrat¸ie pentru ϕ din ipotezele Γ. Demonstr˘am c˘a fe (ϕi ) = 1 prin induct¸ie dup˘a 1 ≤ i ≤ n. Pentru i = 1, ϕ1 este axiom˘a sau ϕ1 ∈ Γ. Daca ϕ1 ∈ Γ, atunci fe (ϕ) = 1 deoarece e este un model al lui Γ. Dac˘a ϕ1 este axiom˘a, se verific˘a fe (ϕ1 ) = 1 prin calcul direct (exercit¸iu). Presupunem c˘a fe (ϕk ) = 1 oricare k < i si demonstr˘am c˘a fe (ϕi ) = 1. Dac˘a ϕi este axiom˘a sau ϕi ∈ Γ atunci procedam ca mai sus. Altfel, exist˘a j, k < i astfel ˆıncˆat ϕj = ϕk → ϕi . Rezult˘a fe (ϕj ) = fe (ϕk ) → fe (ϕi ). Folosind ipoteza de induct¸ie avem 1 = 1 → fe (ϕi ), deci fe (ϕi ) = 1. Pentru i = n, avem fe (ϕ) = 1.

Definit¸ie O mult¸ime Γ de formule se nume¸ste consistent˘ a dac˘a exist˘a o formul˘a ϕ astfel ˆıncˆat Γ 6` ϕ . Propozit¸ie ∅ este consistent˘a. Dem. Arat˘am ˘ca 6` ¬(ϕ → ϕ). Presupunem c˘a ` ¬(ϕ → ϕ). Deoarece deduct¸ia este corect˘a, obt¸inem fe (¬(ϕ → ϕ)) = 1 oricare ar fi e o evaluare. Dar fe (¬(ϕ → ϕ)) = ¬(fe (ϕ) → fe (ϕ)) = 0, deci obt¸inem o contradict¸ie. Exercit¸iu. Teoreme := {ϕ ∈ Form | ` ϕ} este consistent˘a. Exercit¸iu. Orice mult¸ime satisfiabil˘a este consistent˘a.

Mult¸imi inconsistente

Definit¸ie O mult¸ime Γ de formule se numeste inconsistent˘ a dac˘a nu este consistent˘a, i.e. Γ ` ϕ oricare ϕ ∈ Form . Propozit¸ie Pentru o mult¸ime Γ ⊆ Form sunt echivalente: (1) Γ este inconsistent˘a, (2) exist˘a ψ ∈ Form, Γ ` ψ si Γ ` ¬ψ. Dem. (1) ⇒ (2) este evident˘a. (2) ⇒ (1) se demonstreaz˘a folosind teorema ` ψ → (¬ψ → ϕ).

Mult¸imi consistente Propozit¸ie Pentru orice mult¸ime consistent˘a Γ ⊆ Form exista o mult¸ime ∆ ⊆ Form cu urm˘atoarele propriet˘a¸ti: • Γ ⊆ ∆, • ∆ este consistent˘ a, • oricare ϕ ∈ Form, ϕ ∈ ∆ sau ¬ϕ ∈ ∆, • oricare ϕ, ψ ∈ Form

ϕ → ψ ∈ ∆ ⇔ ¬ϕ ∈ ∆ sau ψ ∈ ∆ . Dem.∗ Se arat˘a c˘a mult¸imea C = {Γ0 ⊆ Form | Γ0 consistent˘a, Γ ⊆ Γ0 }. este inductiv ordonat˘a (orice lant¸ din C are un majorant). Aplicˆand Lema lui Zorn, C are un element maximal, ∆. Evident Γ ⊆ ∆ si ∆ este consistent˘a.

Mult¸imi inconsistente

Propozit¸ie Pentru Γ ⊆ Form si ϕ ∈ Form sunt echivalente: (1) Γ ∪ {ϕ} este inconsistent˘a, (2) Γ ` ¬ϕ. Dem. (1) ⇒ (2) Γ ∪ {ϕ} ` ¬ϕ Γ ` ϕ → ¬ϕ TD Γ ` (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ (teorem˘a) Γ ` ¬ϕ (2) ⇒ (1) rezult˘a folosind propozit¸ia anterioar˘a, deoarece Γ ∪ {ϕ} ` ϕ si Γ ∪ {ϕ} ` ¬ϕ .

Multimi consistente Dem. (continuare) Demonstr˘am c˘a ∆ ` ϕ implic˘a ϕ ∈ ∆ oricare ϕ ∈ Form. Presupunem c˘a exist˘a ϕ ∈ Form astfel ˆıncˆat ∆ ` ϕ ¸si ϕ 6∈ ∆. Deoarece Γ ⊆ ∆ ⊂ ∆ ∪ {ϕ}, rezult˘a c˘a ∆ ∪ {ϕ} este inconsistent˘a, deci ∆ ` ¬ϕ. Dar ∆ ` ϕ, deci ∆ este inconsistent˘a. Obt¸inem o contradict¸ie, deci ∆ este ˆınchis˘a la deduct¸ia sintactic˘a. Fie ϕ ∈ Form astfel ˆıncˆat ϕ 6∈ ∆. Rezult˘a c˘a ∆ ∪ {ϕ} este inconsistent˘a, ∆ ` ¬ϕ. A¸sadar ϕ ∈ ∆ sau ¬ϕ ∈ ∆ oricare ϕ ∈ Form. Fie ϕ, ψ ∈ Form astfel ˆıncˆat ϕ → ψ ∈ ∆. Dac˘a ¬ϕ 6∈ ∆, atunci ϕ ∈ ∆. A¸sadar ∆ ` ϕ → ψ ¸si ∆ ` ϕ, deci ∆ ` ψ. Am ar˘atat c˘a ¬ϕ ∈ ∆ sau ψ ∈ ∆. Invers, dac˘a ¬ϕ ∈ ∆ sau ψ ∈ ∆ obt¸inem ϕ → ψ ∈ ∆ folosind teorema ` ¬ϕ → (ϕ → ψ), respectiv ` ψ ` (ϕ → ψ).

Completitudine Teorema de completitudine extins˘ a Orice mult¸ime consistent˘a este satisfiabil˘a. Dem. Fie Γ ⊆ Form o multime consistent˘a. Trebuie sa demonstr˘am c˘a Γ are un model. Fie ∆ mult¸imea obt¸inut˘a prin aplicarea propozit¸iei anterioare. Definim e : Var → {0, 1} prin e(v ) = 1 dac˘a v ∈ ∆, e(v ) = 0 dac˘a v 6∈ ∆. Fie P(ϕ) = ” fe (ϕ) = 1 ⇔ ϕ ∈ ∆ ”. Demonstr˘am prin induct¸ie structural˘a c˘a P(ϕ) este adevarat˘a pentru orice ϕ ∈ Form. Din definit¸ia evalu˘arii e, P(v ) este adev˘arat˘a oricare v ∈ Var . Presupunem c˘a P(ϕ) si P(ψ) sunt adev˘arate. Avem fe (¬ϕ) = 1 ⇔ fe (ϕ) = 0 ⇔ ϕ 6∈ ∆ ⇔ ¬ϕ ∈ ∆, fe (ϕ → ψ) = fe (ϕ) → fe (ψ) = 1 ⇔ fe (ϕ) = 0 sau fe (ψ) = 1 ⇔ ϕ 6∈ ∆ sau ψ ∈ ∆ ⇔ ϕ → ψ ∈ ∆. Conform principiului induct¸iei structurale, P(ϕ) este adev˘arat˘a pentru orice ϕ ∈ Form, adic˘a fe (ϕ) = 1 ⇔ ϕ ∈ ∆. Deoarece Γ ⊆ ∆, e este un model al lui Γ.

Completitudine Teorema de completitudine Γ-teoremele ¸si Γ-tautologiile coincid, i.e. Γ ` ϕ ⇔ Γ |= ϕ oricare are fi ϕ ∈ Form si Γ ⊆ Form. ˆIn particular, ` ϕ ⇔ |= ϕ. Dem. ⇒ corectitudinea. ⇐ Presupunem c˘a Γ 6` ϕ. Atunci Γ 6` ¬¬ϕ si Γ ∪ {¬ϕ} este consistent˘a. Fie e : Var → {0, 1} un model pentru Γ ∪ {¬ϕ}. Obt¸inem fe (Γ) = {1} si fe (¬ϕ) = 1, deci fe (ϕ) = 0. Din ipotez˘a, orice model al lui Γ este ¸si model al lui ϕ, deci fe (ϕ) = 1. Am ajuns la o contradict¸ie, deci presupunerea noastr˘a a fost fals˘a. ˆIn consecint¸˘a, Γ ` ϕ.

Conectorii derivat¸i

Conectori derivat¸i Pentru ϕ si ψ formule oarecare, definim urmatoarele prescurtari: ϕ ∨ ψ := ¬ϕ → ψ ϕ ∧ ψ := ¬(ϕ → ¬ψ) ϕ ↔ ψ := (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) Exercit¸iu. Dac˘a e : Var → {0, 1} evaluare, atunci fe (ϕ ∨ ψ) = fe (ϕ) ∨ fe (ψ), fe (ϕ ∧ ψ) = fe (ϕ) ∧ fe (ψ), fe (ϕ ↔ ψ) = fe (ϕ) ↔ fe (ψ).

Conectori derivat¸i

Aratati ca ` v1 → (v2 → (v1 ∧ v2 )). Aplicˆand teorema de completitudine, aceasta revine la a demonstra |= v1 → (v2 → (v1 ∧ v2 )) v1 0 0 1 1

v2 0 1 0 1

v1 → (v2 → (v1 ∧ v2 )) 1 1 1 1

Sintaxa ¸si Semantica Lem˘ a Sunt echivalente: (1)

` ϕ → ψ,

(2)

fe (ϕ) ≤ fe (ψ) oricare e : Var → {0, 1} evaluare.

Algebra Lindenbaum-Tarski

Lem˘ a Sunt echivalente: (1)

` ϕ ↔ ψ,

(2)

fe (ϕ) = fe (ψ) oricare e : Var → {0, 1} evaluare.

Dem. exercit¸iu

LINDA

Algebra Lindenbaum-Tarski Dac˘a pe Form definim relat¸ia binar˘a ∼ prin ϕ ∼ ψ ⇔ ` ϕ ↔ ψ ⇔ ` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ, atunci au loc urmatoarele propriet˘a¸ti: (1) ∼ este o relat¸ie de echivalent¸˘a, (2) LINDA= (Form/ ∼, ∨, ∧,− , 0, 1) este o algebr˘a Boole, unde \ \ ϕˆ ∨ ψˆ := ϕ ∨ ψ, ϕˆ ∧ ψˆ := ϕ ∧ ψ, ϕˆ := ¬ϕ, c 1 := ϕ\ → ϕ, 0 := {¬ϕ | ϕ ∈ 1}. Algebra LINDA se nume¸ste algebra Lindenbaum-Tarski a PC.

LINDA Dem. (1) Relat¸ia ∼ este reflexiv˘a, simetric˘a ¸si tranzitiv˘a deoarece: `ϕ↔ϕ `ϕ↔ψ ⇔`ψ↔ϕ ` ϕ ↔ ψ si ` ψ ↔ χ ⇒ ` ϕ ↔ χ (2) Trebuie sa demonstr˘am c˘a operat¸iile sunt bine definite: ϕ ∼ ϕ1 , ψ ∼ ψ1 ⇒ ϕ ∨ ψ ∼ ϕ1 ∨ ψ1 ϕ ∼ ϕ1 , ψ ∼ ψ1 ⇒ ` ϕ ↔ ϕ1 si ` ψ ↔ ψ1 ⇒ fe (ϕ) = fe (ϕ1 ) si fe (ψ) ↔ fe (ψ1 ) oricare e evaluare ⇒ fe (ϕ) ∨ fe (ψ) = fe (ϕ1 ) ∨ fe (ψ1 ) oricare e evaluare ⇒ fe (ϕ ∨ ψ) = fe (ϕ1 ∨ ψ1 ) oricare e evaluare ⇒ ϕ ∨ ψ ∼ ϕ1 ∨ ψ1 Analog pentru ∧, ¬. Ecuat¸iile algebrelor Boole devin teoreme ˆın PC. De exemplu, a verifica distributivitatea ˆın LINDA revine la a demonstra c˘a ` (ϕ ∨ (ψ ∧ χ)) ↔ ((ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ)). Datorit˘a teoremei de completitudine, acest lucru se poate demonstra sintactic sau semantic.

LINDA

Dem.(continuare) Ar˘at˘am c˘a 1 = {ϕ | ` ϕ} si 0 = {ϕ | ` ¬ϕ}. Fie ` ϕ ¸si ` ψ dou˘a teoreme. Din (A1), ` ϕ → (ψ → ϕ), deci ` ϕ → ψ ¸si, similar, ` ψ → ϕ. Rezult˘a ϕ ∼ ψ, deci oricare dou˘a teoreme sunt echivalente. Dac˘a ` ϕ teorem˘a ¸si ϕ ∼ ψ, atunci ` ϕ → ψ. Aplicˆand MP, rezult˘a ` ψ. Orice formul˘a echivalent˘a cu o teorem˘a este teorem˘a. A¸sadar teoremele formeaza o clas˘a distinct˘a. Dac˘a ` ϕ atunci, din (A1) obt¸inem ` ψ → ϕ oricare ψ. Aceasta ˆınseamn˘a c˘a ψˆ ≤ ϕˆ ˆın LINDA, deci 1 = {ϕ | ` ϕ}.

LINDA

Lem˘ a Dac˘a v 6= u ∈ Var , atunci vˆ 6= uˆ ˆın LINDA . Dem. Deoarece v 6= u putem defini o evaluare e : Var → {0, 1} astfel ˆıncˆat e(v ) 6= e(u). ˆIn consecint¸˘a fe (v ) 6= fe (u), deci 6` v ↔ u. Teorem˘ a Pentru orice evaluare e : Var → {0, 1} exist˘a un unic morfism de algebre Boole fˆe : LINDA → L2 astfel ˆıncˆat fˆe (ˆ v ) = e(v ) oricare v ∈ Var .

Observat¸ie. 1 e clasa teoremelor, a¸sadar ` ϕ ⇔ ϕˆ = 1 ˆın LINDA.

LINDA Dem. Var 



/ Form

e "



fe y

ˆ

{0, 1}

SAS

/ Form/ ∼

Algebra

fˆe morfism

Definim fˆe (ϕ) ˆ := fe (ϕ). ˆ Dac˘a ϕˆ = ψ, atunci ` ϕ ↔ ψ, deci fe (ϕ) = fe (ψ). Am ar˘atat c˘a definit¸ia este independent˘a de reprezentant¸i. Demonstr˘am c˘a fˆe este morfism: fˆe (ϕ) ˆ = fˆe (¬ϕ) ˆ = fe (¬ϕ) = fe (ϕ) = fˆe (ϕ), ˆ ˆ = fˆe (ϕ) ˆ (exercit¸iu). fˆe (ϕˆ ∨ ψ) ˆ ∨ fˆe (ψ) Fie g : LINDA → {0, 1} un morfism astfel ˆıncˆat g (ˆ v ) = e(v ) oricare v ∈ Var . Se demonstreaz˘a prin induct¸ie structural˘a c˘a g (ϕ) ˆ = fe (ϕ) oricare ϕ ∈ Form, deci g = fˆe .

Sintaxa

Teorem˘ a Pentru ϕ ∈ Form, sunt echivalente: (1)

` ϕ,

(2) ϕˆ = 1 ˆın LINDA, (3)

|= ϕ.

Semantica

SAS Demonstrat¸ia semantic˘a

` (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ))

|= (v1 → v2 ) → ((v1 ∨ v3 ) → (v2 ∨ v3 ))

Demonstrat¸ia sintactic˘a (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

SAS

{ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) (teorem˘a) {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ` ϕ → ψ (ipotez˘a) {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ` ¬ψ → ¬ϕ (1), (2), MP {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ` ¬ψ (ipotez˘a) {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ` ¬ϕ (3), (4), MP {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ` ¬ϕ → χ (ipotez˘a) {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ` χ (5), (6), MP {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ} ` ψ ∨ χ TD {ϕ → ψ} ` (ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ) TD ` (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ)) TD

Metoda tabelului v1 0 0 .. .

v2 0 0 .. .

v3 0 1 .. .

(v1 → v2 ) → ((v1 ∨ v3 ) → (v2 ∨ v3 )) 1 1 .. .

1

1

1

1

Lema substitut¸iei. Fie γ o formula si v1 , . . ., vn variabilele care apar ˆın γ. Fie γ(γ1 , . . . , γn ) formula obt¸inut˘a ˆınlocuind vi cu γi oricare i ∈ {1, . . . , n}. Dac˘a |= γ atunci |= γ(γ1 , . . . , γn ). Rezult˘a |= (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ))

SAS Demonstrat¸ia algebric˘a ` (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ)) Dac˘a θ := (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ)), atunci ˆ → ((ϕˆ ∨ χ) θˆ := (ϕˆ → ψ) ˆ → (ψˆ ∨ χ)) ˆ in LINDA . ˆ c := χ Not˘am a := ϕ, ˆ b := ψ, ˆ si obt¸inem θˆ = (a → b) → ((a ∨ c) → (b ∨ c)) = (a ∨ b) → ((a ∧ c) ∨ c ∨ b) = (a ∧ b) ∨ b ∨ (a ∧ c) ∨ c = (a ∨ b) ∨ (a ∨ c) = 1 Am ar˘atat c˘a θˆ = 1 in LINDA, deci ` θ.

CALCULUL PROPOZITIONAL CLASIC Forme normale

Metoda tabelului

Vrem s˘a demonstr˘am c˘a o formul˘a este tautologie: |= ϕ Dac˘a v1 , . . ., vn variabilele care aparˆıin ϕ, atunci cele 2n evalu˘ari posibile e1 , . . ., e2n pot fi scrise ˆıntr-un tabel: v1 e1 (v1 ) e2 (v1 ) .. .

v2 e1 (v2 ) e2 (v2 ) .. .

... ... ... .. .

vn e1 (vn ) e2 (vn ) .. .

ϕ fe1 (ϕ) fe2 (ϕ) .. .

e2n (v1 )

e2n (v2 )

...

e2n (vn )

fe2n (ϕ)

Fiecare evaluare corespunde unei linii din tabel.

Funct¸ia asociat˘ a unei formule

Exemplu Ar˘atat¸i c˘a |= v1 → (v2 → (v1 ∧ v2 )). v1 v2 v1 → (v2 → (v1 ∧ v2 )) 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 Acest tabel define¸ste o funct¸ie F : {0, 1}2 → {0, 1} x1 x2 F (x1 , x2 ) 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

Funct¸ia asociat˘ a unei formule Fie ϕ o formul˘a cu variabilele v1 , . . ., vn .

Fie ϕ o formul˘a v1 , . . ., vn variabilele care apar ˆın ϕ, e1 , . . ., e2n evalu˘arile posibile. Tabelul asociat v1 .. .

v2 .. .

... .. .

vn .. .

ϕ .. .

ek (v1 ) .. .

ek (v2 ) .. .

... .. .

ek (vn ) .. .

fek (ϕ) .. .

Definit¸ie Funct¸ia asociat˘a lui ϕ este Fϕ : {0, 1}n → {0, 1} definit˘a prin Fϕ (x1 , . . . , xn ) = fe (ϕ), unde e(v1 ) = x1 , e(v2 ) = x2 , . . ., e(vn ) = xn Definit¸ie O funct¸ie Boolean˘ a ˆın n variabile este o funct¸ie

define¸ste funct¸ia Fϕ : {0, 1}n → {0, 1} x1 .. .

x2 .. .

... .. .

xn .. .

Fϕ (x1 , . . . , xn ) .. .

ek (v1 ) .. .

ek (v2 ) .. .

... .. .

ek (vn ) .. .

fek (ϕ) .. .

F : {0, 1}n → {0, 1}. Fϕ este o funct¸ie Boolean˘a pentru orice ϕ. Teorem˘ a Dac˘a ϕ ¸si ψ sunt formule cu variabilele v1 , . . ., vn , atunci |= ϕ ↔ ψ ⇔ Fϕ = Fψ Dem. exercit¸iu

Caracterizarea funct¸iilor Booleene Teorema FB Pentru orice funct¸ie Boolean˘a H : {0, 1}n → {0, 1} exist˘a o formul˘a ϕ cu n variabile astfel ˆıncˆat H = Fϕ . Dem. Dac˘a x ∈ {0, 1}n atunci x = (x1 , . . . , xn ). Definim T = {x ∈ {0, 1}n |H(x) = 1} si F = {x ∈ {0, 1}n |H(x) = 0}, V  V W θ1 := x∈T xi =1 vi ∧ xi =0 ¬vi ,   V W W θ2 := x∈F xi =1 ¬vi ∧ xi =0 vi . Fθ1 (y1 , . . . , yn ) = 1 ⇔ V V exist˘ a x ∈ T astfel ˆ ıncˆ a t y ∧ i x =1 xi =0 ¬yi = 1 ⇔ i V V y = 1 si ¬y = 1 ⇔ i xi =1 i xi =0 xi = yi oricare i ∈ {1, . . . , n} ⇔ (y1 , . . . , yn ) = x ∈ T ⇔ H(y1 , . . . , yn ) = 1.

Exemplu Fie H : {0, 1}3 → {0, 1} descris˘a prin tabelul: x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

H(x, y , z) 0 0 1 0 1 1 1 1

M1 = x ∨ y ∨ z M2 = x ∨ y ∨ z m1 = x ∧ y ∧ z M3 = x ∨ y ∨ z m2 = x ∧ y ∧ z m3 = x ∧ y ∧ z m4 = x ∧ y ∧ z m5 = x ∧ y ∧ z

H(x, y , z) = m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 H(x, y , z) = M1 ∧ M2 ∧ M3

Similar Fθ2 (y1 , . . . , yn ) = 0 ⇔ H(y1 , . . . , yn ) = 0. Am demonstrat c˘a H = Fθ1 = Fθ2 .

FND si FNC

FNC Orice formul˘a poate fi adusa la FNC prin urmatoarele transform˘ari: 1. ˆınlocuirea implicat¸iilor ¸si echivalent¸elor

Definit¸ie Un literal este o variabil˘a sau negat¸ia unei variabile. O form˘a normal˘a disjunctiv˘a (FND) este o disjunct¸ie de conjunct¸ii de literali. O form˘a normal˘a conjuctiv˘a (FNC) este o conjunct¸ie de disjunct¸ii de literali.

ϕ → ψ ∼ ¬ϕ ∨ ψ, ϕ ↔ ψ ∼ (¬ϕ ∨ ψ) ∧ (¬ψ ∨ ϕ) 2. regulile De Morgan ¬(ϕ ∨ ψ) ∼ ¬ϕ ∧ ¬ψ, ¬(ϕ ∧ ψ) ∼ ¬ϕ ∨ ¬ψ,

Teorem˘ a Pentru orice formul˘a ϕ exist˘a o FND θ1 si o FNC θ2 astfel ˆıncˆat |= ϕ ↔ θ1 si |= ϕ ↔ θ2

3. principiului dublei negat¸ii

Dem. Fie θ1 si θ2 formulele definite ˆın demonstrat¸ia teoremei anterioare pentru H = Fϕ . Atunci Fϕ = Fθ1 = Fθ2 .

4. distributivitatea

¬¬ψ ∼ ψ

ϕ ∨ (ψ ∧ χ) ∼ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ), (ψ ∧ χ) ∨ ϕ ∼ (ψ ∨ ϕ) ∧ (χ ∨ ϕ)

Exemple

1. Determinat¸i FNC pentru formula (¬p → ¬q) → (p → q) ∼ ¬(¬p → ¬q) ∨ (p → q) ∼ ¬(p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q) ∼ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ∼ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q) 2. Determinat¸i FNC pentru formula ¬((p ∧ q) → q) ∼ ¬(¬(p ∧ q) ∨ q) ∼ p ∧ q ∧ ¬q

Satisfiabilitate Definit¸ie Fie Γ o mult¸ime de formule. Un model al lui Γ este o evaluare e : Var → {0, 1} cu fe (Γ) = {1}. Mult¸imea Γ este satisfiabil˘ a dac˘a are un model. O formul˘a ϕ este consecint¸˘a (semantic˘a) a lui Γ (Γ |= ϕ) dac˘a orice model al lui Γ este ¸si model pentru ϕ. Teorem˘ a. Sunt echivalente: • {ϕ1 , . . . , ϕn } |= ψ, • {ϕ1 , . . . , ϕn , ¬ψ} nu este satisfiabil˘ a, • ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ∧ ¬ψ nu este satisfiabil˘ a.

Dem. exercit¸iu SAT [problem˘ a NP-complet˘ a (Stephen Cook 1971)] Fiind dat˘a o formul˘a ϕ (ˆın forma normal˘a conjunctiv˘a) exist˘a o evaluare e : Var → {0, 1} astfel ˆıncˆat fe (ϕ) = 1?

Rezolut¸ia • Rezolut¸ia propozit¸ional˘ a este o regula de deduct¸ie pentru

calculul propozit¸ional clasic. • Multe demonstratoare automate ¸si SAT-solvere au la baz˘ a

CALCULUL PROPOZITIONAL CLASIC Clauze. Rezolut¸ie. Algoritmul Davis-Putnam.

rezolut¸ia. • Utilizˆ and rezolut¸ia se poate construi un demonstrator automat

corect ¸si complet pentru calculul propozit¸ional, fara alte teoreme ¸si reguli de deduct¸ie. • Limbajul PROLOG este fundamentat de rezolut¸ie.

Rezolut¸ia este o metod˘a de verificare a satisfiabilit˘a¸tii pentru formule ˆın forma clauzal˘a.

Clauze Definitii Un literal este o variabila sau negatia unei variabile. O clauza este o multime finita de literali: C = {L1 , . . . , Ln }, unde L1 , . . ., Ln sunt literali. O clauza C este triviala daca exista p ∈ Var astfel incat p, ¬p ∈ C .

Clauze Observatie Putem identifica clauza C = {L1 , . . . , Ln } cu L1 ∨ . . . ∨ Ln , multimea de clauze S = {C1 , . . . , Cm } cu C1 ∧ . . . ∧ Cm .

clauza ≈ disjunctie de literali

O clauza C = {L1 , . . . , Ln } este satisfabila daca formula L1 ∨ . . . ∨ Ln este satisfiabila. Daca e : Var → {0, 1} este o evaluare vom nota e(C ) := fe (L1 ∨ . . . ∨ Ln ). Clauza vida  := {} nu este satisfiabila (disjunctie indexata de ∅). O multime de clauze S = {C1 , . . . , Cm } este satisfiabila daca exista o evaluare e : Var → {0, 1} astfel incat e(Ci ) = 1 oricare i ∈ {1, . . . , m}.

multime de clauze ≈ FNC

Definitie C clauza, S multime de clauze Var (C ) = S {p ∈ Var |p ∈ C sau ¬p ∈ C }, Var (S) = {Var (C )|C ∈ S}.

Exemple 1. p, ¬r , q sunt literali. 2. {p, ¬r }, {¬r , r }, {q, p}, {q, ¬p, r } sunt clauze. 3. S = {{p, ¬r }, {¬r , r }, {q, p}, {q, ¬p, r }} este satisfiabila. Dem. Consideram e(p) = e(q) = 1. 4. S = {{¬p, q}, {¬r , ¬q}, {p}, {r }} nu este satisfiabila. Dem. Daca exista o evaluare e care satisface C, atunci e(p) = e(r ) = 1. Rezulta e(q) = 0, deci fe ({¬p, q}) = fe (¬p ∨ q) = 0. In consecinta, {¬p, q} nu e satisfacuta de e.

Proprietati Propozitie Fie C , D clauze si T , S, U multimi de clauze. Urmatoarele implicatii sunt adevarate. (p1) C ⊆ D, C satisfiabila ⇒ D satisfiabila (p2) C ∪ D satisfiabila ⇒ C satisfiabila sau D satisfiabila (p3) p 6∈ Var (C ) ⇒ C ∪ {p}, C ∪ {¬p} satisfiabile (p4) S ⊆ T , T satisfiabila ⇒ S satisfiabila (p5) Fie p ∈ Var si U, T , S multimi de clauze astfel incat p 6∈ Var (U), or. T ∈ T (p ∈ T si ¬p 6∈ T ), or. S ∈ S (p 6∈ S si ¬p ∈ S).

5. O multime de clauze triviale este intotdeauna satisfiabila.

Atunci U satisfiabila ⇒ U ∪ T , U ∪ S satisfiabile Dem. exercitiu

Regula Rezolutiei Rez

Exemple C1 ∪ {p}, C2 ∪ {¬p} C1 ∪ C2

{p}, {¬p} 

unde {p, ¬p} ∩ C1 = ∅ si {p, ¬p} ∩ C2 = ∅.

{p}, {¬p, q} {q}

Propozitie Regula Rezolutiei pastreaza satsifiabilitatea, i.e. {C1 ∪ {p}, C2 ∪ {¬p}} satisfiabila ⇔ C1 ∪ C2 satisfiabila.

Atentie Aplicarea simultana a regulii pentru doua variabile diferit este gresita. De exemplu

Dem. Fie e : Var → {0, 1} este o evaluare astfel incat e(C1 ∪ {p}) = e(C2 ∪ {¬p}) = 1.Daca e(p) = 1 atunci e(C2 ) = 1, deci e(C1 ∪ C2 ) = 1. Similar pentru e(p) = 0. Invers, presupunem ca e(C1 ∪ C2 ) = 1, deci e(C1 ) = 1 sau e(C2 ) = 1. Daca e(C1 ) = 1 consideram e 0 : Var → {0, 1} o evaluare cu e 0 (v ) = e(v ) daca v ∈ Var (C1 ) si e 0 (p) = 0. Atunci e 0 (C1 ) = e(C1 ) = 1, deci e 0 (C1 ∪ {p}) = 1.De asemenea e 0 (C2 ∪ {¬p}) = e 0 (C2 ) ∨ e 0 (¬p) = 1, deci e 0 este model pentru multimea de clauze {C1 ∪ {p}, C2 ∪ {¬p}}.

{p, ¬q}, {¬p, q}  contrazice rezultatul anterior, deoarece {{p, ¬q}, {¬p, q}} este satisfiabila (e(p) = e(q) = 1). Aplicarea corecta a Regulii Rezolutiei este

Derivare prin rezolutie Definitie Fie S o multime de clauze. O derivare prin rezolutie din S este o secventa finita de clauze astfel incat fiecare clauza este din S sau rezulta din clauze anterioare prin rezolutie. Exemplu S = {{¬p, q}, {¬q, ¬r , s}, {p}, {r }, {¬s}} O derivare prin rezolutie pentru  din S este C1 = {¬s} (∈ S) C2 = {¬q, ¬r , s} (∈ S) C3 = {¬q, ¬r } (C1 , C2 , Rez) C4 = {r } (∈ S) C5 = {¬q} (C3 , C4 , Rez) C6 = {¬p, q} (∈ S) C7 = {¬p} (C5 , C6 , Rez) C8 = {p} (∈ S) C9 =  (C7 , C8 , Rez)

{p, ¬q}, {¬p, q} {q, ¬q} .

Algoritmul Davis-Putnam(DP) Intrare: S multime nevida de clauze netriviale. S1 := S; i := 1; P1. vi ∈ Var (Ci ); Ti 1 := {C ∈ Si |vi ∈ C }; Ti 0 := {C ∈ Si |¬vi ∈ C }; Ti := Ti 0 ∪ Ti 1 ; Ui := ∅; P2. if Ti 0 6= ∅ and Ti 1 6= ∅ then Ui := {C1 \ {vi } ∪ C0 \ {¬vi }|C1 ∈ Ti 1 , C0 ∈ Ti 0 }; P3. Si+1 = (Si \ Ti ) ∪ Ui ; Si+1 = Si+1 \ {C ∈ Si+1 |C triviala}; P4. if Si+1 = ∅ then SAT else if  ∈ Si+1 then NESAT else {i := i + 1; go to P1}. Run DP

Exemplu

Exemplu

S1 := S = {{¬p, q, ¬s}, {¬r , ¬q}, {p, r }, {p}, {r }, {s}} v1 := p; T11 := {{p, r }, {p}}; T10 := {{¬p, q, ¬s}}; U1 := {{r , q, ¬s}, {q, ¬s}}; S2 := {{¬r , ¬q}, {r }, {s}, {r , q, ¬s}, {q, ¬s}}; i := 2; v2 := q; T21 := {{r , q, ¬s}, {q, ¬s}}; T20 := {{¬r , ¬q}}; U2 := {{r , q, ¬r }, {¬s, ¬r }}; S3 := {{r }, {s}, {¬s, ¬r }}; i := 3; v3 := r ; T31 := {{r }}; T30 := {{¬s, ¬r }}; U3 := {{¬s}}; S4 := {{s}, {¬s}}; i := 4;

S1 := S = {{p, ¬r }, {q, p}, {q, ¬p, r }} v1 := r ; T11 := {{q, ¬p, r }}; T10 := {{p, ¬r }}; U1 := {{q, ¬p, p}}; S2 := {{q, p}}; i := 2; v2 := q; T21 := {{q, p}}; T20 := ∅; U2 := ∅; S3 := ∅ In consecinta, S este satisfiabila

v4 := s; T41 := {{s}}; T40 := {{¬s}}; U4 := {}; S5 := {} In consecinta, S nu este satisfiabila

Algoritmul DP Fie S o multime finita de clauze si n este numarul de variabile care apar in S. Algoritmul DP se opreste deoarece Var (Si+1 ) ⊂ Var (Si ). Daca n este numarul de variabile care apar in S, atunci exista un n0 ≤ n astfel incat Var (Sn0 +1 ) = ∅, deci Sn0 +1 = ∅ sau Sn0 +1 = {}. Pentru simplitate, vom presupune in continuare ca n0 = n. Propozitie Si satisfiabila ⇔ Si+1 satisfiabila oricare i ∈ {1, . . . , n − 1}. Dem. Fie i ∈ {1, . . . , n − 1}. Stim ca Si+1 = (Si \ Ti ) ∪ Ui . Consideram cazurile Ui = ∅ si Ui 6= ∅. Daca Ui = ∅, atunci Ti 0 = ∅ sau Ti 1 = ∅ si Si = (Si+1 ∪ Ti ). Ne aflam in ipotezele proprietatii (p5) . Din (p4) si (p5) obtinem concluzia dorita.

Algoritmul DP

Dem. cotinuare Daca Ui 6= ∅, notam Ci := Si \ Ti . In consecinta Si = Ci ∪ Ti si Si+1 = Ci ∪ Ui .Observam ca fiecare clauza din Ui se obtine aplicand Regula Rezolutiei pentru doua clauze din Ti . Am demonstrat ca Regula Rezolutiei pastreaza satisfiabilitatea: Ui satisfiabila ⇔ Ti satisfiabila. Au loc urmatoarele echivalente: Si = Ci ∪ Ti satisfiabila ⇔ Ci , Ti satisfiabile ⇔ Ci , Ui satisfiabile ⇔ Ui ∪ Ti = Si+1 satisfiabila.

Algoritmul DP Teorema DP Algoritmul DP este corect si complet, i.e. S nu este satisfiabila daca si numai daca iesirea algoritmului DP este {}. Dem. Din propozitia anterioara, S nu este satisfiabila daca si numai daca Sn nu este satisfiabila. Fie p unica variabila propozitionala care apare in Sn . Daca Sn = {{p}} atunci Sn este satisfiabila deoarece e(p) = 1 este un model. Daca Sn = {{¬p}} atunci Sn este satisfiabila deoarece e(p) = 0 este un model. In ambele cazuri Sn+1 = {}. Daca Sn = {{p}, } sau Sn = {{¬p}, } atunci Sn nu este satisfiabila si Sn+1 = {}. Daca Sn = {{p}, {¬p}} sau Sn = {{p}, {¬p}, } atunci Sn nu este satisfiabila, putem aplica Regula Rezolutiei si obtinem Sn+1 = {}.

Rezolutia

Observatie Algoritmul DP cu intrarea S se termina cu {} daca si numai daca exista o derivare prin rezolutie a clauzei vide  din S. Teorema Daca S este o multime finita nevida de clauze, sunt echivalente: • S nu este satisfiabila, • exista o derivare prin rezolutie a clauzei vide  din S.

Regula Rezolutiei este corecta si completa pentru PC.

Se observa ca Sn nu este satisfiabila daca si numai daca Sn+1 = {}.

Forma clauzala Definitie Fie ϕ o formula si C1 ∧ · · · ∧ Cn o FNC astfel incat |= ϕ ↔ C1 ∧ · · · ∧ Cn . Spunem ca multimea de clauze {C1 , · · · , Cn } este forma clauzala a lui ϕ. Lema ϕ satisfiabila ⇔ C1 ∧ · · · ∧ Cn satisfiabila ⇔ ⇔ {C1 , · · · , Cn } satisfiabila Dem. exercitiu Definitie Daca Γ = {γ1 , . . . , γn } este o multime de formule atunci o forma clauzala pentru Γ este S := S1 ∪ · · · ∪ Sn unde Si este forma clauzala pentru γi oricare i. Lema Γ satisfiabila ⇔ S satisfiabila Dem. exercitiu

Demonstratii prin rezolutie Teorema Fie Γ o multime finita de formule, ϕ o formula si S o forma clauzala pentru Γ ∪ {¬ϕ}. Sunt echivalente: (1)

Γ |= ϕ,

(2)

Γ ∪ {¬ϕ} nu e satisfiabila,

(3)

S nu este satisfiabila,

(4) exista o derivare prin rezolutie a clauzei vide  din S. Observatie Teorema este adevarata si pentru Γ multime oarecare. Demonstratia foloseste compacitatea calculului propozitional: o multime de formule este satisfiabila daca si numai daca orice submultime finita a sa este satisfiabila.

Exemplu A demonstra ca |= p → (q → p) revine la a demonstra ca {¬(p → (q → p))} nu e satisfiabila.Pentru aceasta determinam o forma clauzala pentru ¬(p → (q → p)) si aplicam DP. Determinam FNC pentru ¬(p → (q → p)): ¬(p → (q → p)) ∼ ¬(¬p ∨ ¬q ∨ p) ∼ p ∧ q ∧ ¬p Forma clauzala este S = {{p}, {q}, {¬p}}. Aplicam DP: {{p}, {q}, {¬p}} {{p}, {¬p}} {}

Exemplu

Cercetati daca {p ∨ q} |= p ∧ q. Aceasta revine cerceta satisfiabilitatea multimii ∆ = {p ∨ q, ¬(p ∧ q)}. O forma clauzala pentru p ∨ q este {{p, q}}. O forma clauzala pentru ¬(p ∧ q) este {{¬p, ¬q}}. Forma clauzala pentru ∆ este S = {{p, q}, {¬p, ¬q}}. Aplicam DP: {{p, q}, {¬p, ¬q}} {{q, ¬q}} {} (multimea vida) In acest caz S este satisfiabila, deci {p ∨ q}6|=p ∧ q.

S nu este satisfiabila deoarece exista o derivare prin rezolutie a clauzei vide din S. In consecinta, |= p → (q → p).

Exemplu Cercetati daca {p, p → (q ∨ r )} |= ¬p → (¬p ∧ q ∧ ¬r ). Determinam forma clauzala pentru {p, p → (q ∨ r ), ¬(¬p → (¬p ∧ q ∧ ¬r ))}. Forma clauzala a lui p este {{p}}. p → (q ∨ r ) ∼ ¬p ∨ q ∨ r (FNC) Forma clauzala a lui p → (q ∨ r ) este {{¬p, q, r }}. ¬(¬p → (¬p ∧ q ∧ ¬r )) ∼ ¬(p ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r )) ∼ ¬p ∧ (p ∨ ¬q ∨ r )) Forma clauzala a lui ¬(¬p → (¬p ∧ q ∧ ¬r )) este {{¬p}, {p, ¬q, r }}. Aplicam DP: {{p}, {¬p, q, r }, {¬p}, {p, ¬q, r }} {{q, r }, , {¬q, r }} {{r }, } {} Este adevarat ca {p, p → (q ∨ r )} |= ¬p → (¬p ∧ q ∧ ¬r )

Concluzie Fie Γ o multime de formule si ϕ o formula. Notam prin Γ `Rez ϕ faptul ca exista o derivare prin rezolutie a clauzei vide  dintr-o forma clauzala a lui Γ ∪ {¬ϕ}. In acest caz spunem ca ϕ se demostreaza prin rezolutie din Γ. Teorema Sunt echivalente: • Γ |= ϕ, • Γ `Rez ϕ.

Folosind rezolutia (fara alte axiome si reguli de deductie) se poate construi un demonstrator automat pentru PC.

Calculul cu predicate- Prezentare informal˘ a

CALCULUL CU PREDICATE

Introduce predicatele si cuantificatorii. Un predicat este o functie cu valori booleene P : X → 0, 1. Exista doi cuantificatori: existential (∃) si universal (∀). Varful x are cel putin doi vecini diferiti ∃y ∃z(y 6= z ∧ E (x, y ) ∧ E (x, z)) Fiecare varf are cel putin doi vecini distincti. ∀x∃y ∃z(y 6= z ∧ E (x, y ) ∧ E (x, z))

Calculul cu predicate- Prezentare informal˘ a

Calculul cu predicate- Prezentare informal˘ a

Fie X o multime nevida si presupunem ca pentru fiecare x ∈ X , sunt definite doua predicate P(x) si Q(x). Cercetati daca urmatorul enunt este adevarat sau fals.

Fie X o multime nevida si presupunem ca pentru fiecare x ∈ X , este definit predicatul P(x). Cercetati daca urmatorul enunt este adevarat sau fals.

((∀x P(x)) → (∀x Q(x))) → (∀x(P(x) → Q(x)))

∃y ∀x(P(y ) → P(x))

Enuntul nu este intotdeauna adevarat. Fie X = N si P(x) : x este numar par, Q(x) : x este multiplu de 3. Atunci ∀x P(x) este falsa, deci (∀x P(x)) → (∀x Q(x)) este adevarata. Pe de alta parte, P(2) → Q(2) este falsa, deci ∀x(P(x) → Q(x) este falsa. Obtinem o implicatie cu premisa adevarata si concluzia falsa (1 → 0), care este falsa.

Exemplu: X este multimea studentilor din anul I si P(x) : eu il cunosc pe x Enuntul este intotdeauna adevarat. Analizam doua cazuri: 1. Exista un y0 ∈ X a.i. P(y0 ) este falsa; atunci P(y0 ) → P(x) este adevarata oricare x, deci enuntul este adevarat. 2. P(x) este adevarata oricare x ∈ X ; evident, enuntul este adevarat in acest caz.

Limbaj de ordinul I Un limbaj de ordinul I are urmatoarele componente: (i) o multime numarabila Var = {v1 , v2 , v3 . . .} de variabile;

LOGICA DE ORDINUL I Limbaj de ordinul I. Structura de ordinul I.

(ii) o multime F de simboluri de functii; oricare F ∈ F are aritatea n ≥ 1; (ii) o multime R de simboluri de relatii; oricare R ∈ R are aritatea m ≥ 1; (iii) o multime C de simboluri de constante; (iv) conectorii ¬ si →; (v) simbolul de egalitate =; (vi) cuantificatorul universal ∀; (vii) parantezele (, ). Fie L un limbaj de ordinul I.

Termeni. Formule atomice

Formule

Termenii lui L se definesc inductiv astfel: (T1) o variabila este termen; (T2) un simbol de constanta este termen; (T3) daca F ∈ F are aritatea n si t1 , . . . , tn sunt termeni, atunci F (t1 , . . . , tn ) este termen. TermL := multimea termenilor lui L. Formulele atomice ale lui L sunt expresiile de forma: (At1) t1 = t2 , unde t1 si t2 sunt termeni; (At2) R(t1 . . . tn ), unde R ∈ Rn si t1 , . . . , tn sunt termeni. FAtomL := multimea formulelor atomice ale lui L

Formulele lui L au urmatoarea definitie inductiva: (F1) o formula atomica este formula, (F2) daca ϕ este formula, atunci ¬ϕ este formula, (F3) daca ϕ si ψ sunt formule, atunci ϕ → ψ este formula, (F4) daca ϕ este formula si x este variabila, atunci ∀xϕ este formula. FormL := multimea formulelor lui L

Exemplu

Conectorii ∨, ∧, ↔ si cuantificatorul existential ∃ sunt introdusi prin urmatoarele abrevieri: ϕ∨ψ := ¬ϕ → ψ ϕ∧ψ

:=

¬(ϕ → ¬ψ)

ϕ↔ψ

:=

(ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)

∃xϕ

:=

¬∀x¬ϕ.

Exemple de termeni: 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), x, s(x), s(s(x)), s(s(s(x))), . . . FAtom = {t1 = t2 |t1 , t2 ∈ Term} ∪ {P(t)|t termen}

Se considera ca ∀ si ∃ au precedenta mai mare decat →, ∨, ∧. Astfel ∀xϕ → ψ este (∀xϕ) → ψ si nu ∀x(ϕ → ψ).

Exemplu

L2 : R = ∅, F = {s, +}, C = {0}, unde aritatea(s) = 1, aritatea(+) = 2. Exemple de termeni: 0, s(0), s(s(0)), +(0, 0), +(s(s(0)), +(0, s(0))), +(s(0), s(s(s(s(0))))), x, s(x), s(s(x)), +(x, x), +(x, s(x)) , . . . Pentru +(x, y ) putem folosi notatia x + y , deci +(s(s(0)), +(0, s(0))) se poate scrie s(s(0)) + (0 + s(0)) Exemple de formule: ∀x∀y (x + y = y + x) ∀x∀y ∀z((x + y ) + z = x + (y + z))

L1 : F = {s}, R = {P}, C = {0}, unde aritatea(s) = 1, aritatea(P) = 1.

Exemple de formule: ∀x¬(0 = s(x)) ∀x∀y (s(x) = s(y ) → x = y ) P(0) → (∀x(P(x) → P(s(x))) → ∀xP(x)) (schema inductiei)

Exemplu

L3 : R = {R}, F = C = ∅, unde aritatea(R) = 2. Term = Var , FAtom = {R(x, y )|x, y ∈ Var } ∪ {x = y |x, y ∈ Var } Exemple de formule: ∀xR(x, x) ∀x∀y (R(x, y ) → R(y , x)) ∀x∀y ∀z((R(x, y ) ∧ R(y , z)) → R(x, z)) ∀x∀y ∃v (R(x, v ) ∧ R(y , v ) ∧ ∀z((R(x, z) ∧ R(y , z)) → R(v , z)))

L-structura O L - structura are forma A = (A, F A , RA , C A ) unde • A 6= ∅ este o multime, •

FA

{F A |F

= ∈ F} este o multime de operatii pe A astfel incat, daca F are aritatea n atunci F A : An → A,

• RA = {R A |R ∈ R} este o multime de relatii pe A astfel

incat, daca R are aritatea n atunci R A ⊆ An , • C A = {c A ∈ A|c ∈ C} este o multime de constante.

Multimea A se numeste universul structurii A. Daca R = 0, atunci A se numeste structura algebrica. Daca F = C = 0, atunci A se numeste structura relationala.

Exemple • L1 : F = {s}, R = {P}, C = {0}

N = (N, s N , P N , 0N ) unde s N : N → N, s N (n) := n2 P N ⊆ N, P N = {n|n este impar } 0N := 1 • L2 : R = ∅, F = {s, +}, C = {0}

N = (N, s N , 0N ) unde s N : N → N, s N (n) := n + 1, +N : N × N → N, +N (n, m) := n + m, 0N := 0 • L3 : R = {R}, F = C = ∅

X = (X , R X ) unde (X , ≤) multime partial ordonata si R X :=≤

k · ke

Interpretare (evaluare) Fie A o L structura si e : Var → A o interpretare. Fie A o L structura. O interpretare (evaluare) a lui L in A este o functie e : Var → A. Daca e : Var → A este o interpretare si t ∈ TermL atunci definim inductiv valoarea t A (e) astfel: • daca t = v ∈ Var , atunci t A (e) := e(v ), • daca t = c ∈ C, atunci t A (e) := c A , • daca t = F (t1 , . . . , tn ), atunci

t A (e) := F A (t1A (e), . . . , tnA (e)).

Definim k · ke : FormL → {0, 1} astfel: • kt1 = t2 ke = 1 ⇔ t1A (e) = t2A (e), • kR(t1 , . . . , tn )ke = 1 ⇔ (t1A (e), . . . , tnA (e)) ∈ R A

Notatie Daca e : Var → A este o interpretare si a ∈ A definim interpretarea e[x ← a] : Var → A prin  e(v ) daca v 6= x, e[x ← a](v ) = a daca v = x. • k¬ϕke = ¬kϕke , • kϕ → ψke = kϕke → kψke • k∀xϕke = 1 ⇔ kϕke[x←a] = 1 oricare a ∈ A.

Exemplu Propozitie V

(1)

k∀xϕke =

(2)

k∃xϕke = 1 ⇔ exista a ∈ A, kϕke[x←a] = 1, W k∃xϕke = a∈A kϕke[x←a] .

(3)

a∈A kϕke[x←a] ,

Dem. (2) k∃xϕke = 1 ⇔ k¬∀x¬ϕke = 1 ⇔ ¬k∀x¬ϕke = 1 ⇔ k∀x¬ϕke = 0 ⇔ exista a ∈ A k¬ϕke[x←a] = 0 ⇔ exista a ∈ A kϕke[x←a] = 1

Model. Formula valida

L1 : F = {s}, R = {P}, C = {0} N = (N, s N , P N , 0N ) unde 0N := 1 s N : N → N, s N (n) := n2 , P N ⊆ N, P N = {n|n este impar } e : Var → N, e(x) = 3, e(y ) = 4 t = s(s(x)), t N (e) = s N (s N (e(x))) = (32 )2 = 81 t = s(s(y )), t N (e) = s N (s N (e(y ))) = (42 )2 = 256 kP(z)ke = 1 ⇔ e(z) ∈ P N ⇔ e(z) este impar kP(x)ke = 1 si kP(y )ke = 0

Exemplu

Fie A o L-structura si ϕ ∈ FormL . Spunem ca A este model al lui ϕ daca kϕke = 1 oricare ar fi e : Var → A o interpretare. Notam prin A |= ϕ faptul ca A este model al lui ϕ.

L1 : F = {s}, R = {P}, C = {0} N = (N, s N , P N , 0N ) unde 0N := 1, s N : N → N, s N (n) := n2 , P N ⊆ N, P N = {n|n este impar }

Spunem ca ϕ este formula universal adevarata (valida) daca A |= ϕ oricare ar fi A o L-structura. Notam prin |= ϕ faptul ca ϕ este universal adevarata.

N |= ∀x(P(x) → P(s(x))) Notam ϕ = ∀x(P(x) → P(s(x))) si fie e : Var → N

Fie Γ o multime de formule. O structura A este model al lui Γ daca A este model pentru fiecare γ ∈ Γ. Notam prin A |= Γ faptul ca A este model al lui Γ. Spunem ca o formula ϕ este consecinta semantica a lui Γ daca orice model al lui Γ este si model al lui ϕ. Notam prin Γ |= ϕ faptul ca ϕ este consecinta semantica a lui Γ.

kϕke = 1 ⇔ kP(x) → P(s(x))ke[x←n] = 1 oricare n ∈ N ⇔ kP(x)ke[x←n] → kP(s(x))ke[x←n] = 1 oricare n ∈ N ⇔ kP(x)ke[x←n] = 0 sau kP(x)ke[x←n] = kP(s(x))ke[x←n] = 1 oricare n ∈ N ⇔ e[x ← n](x) 6∈ P N sau e[x ← n](x) = e[x ← n](s N (x)) ∈ P N oricare n ∈ N ⇔ (n este par) sau (n si n2 sunt impare) oricare n ∈ N ceea ce este intodeauna adevarat

Variabile libere. Enunturi Var (ϕ) := multimea variabilelor care apar in ϕ. Multimea VL(ϕ) a variabilelor libere ale unei formule ϕ poate fi definita si prin inductie dupa formule: VL(ϕ) = Var (ϕ), daca ϕ este formula atomica; VL(¬ϕ) = VL(ϕ); VL(ϕ → ψ) = VL(ϕ) ∪ VL(ψ); VL(∀xϕ) = VL(ϕ) − {x}. O variabila v ∈ Var (ϕ) care nu este libera se numeste legata in ϕ. Un enunt al lui L este o formula fara variabile libere. Prin notatia t(x1 , . . . , xn ) intelegem ca Var (t) ⊆ {x1 , . . . , xn }, iar prin notatia ϕ(x1 , . . . , xn ) intelegem ca VL(ϕ) ⊆ {x1 , . . . , xn }.

Fie A o L-structura. Propozitie Daca e1 , e2 : Var → A sunt interpretari, atunci e1 (v ) = e2 (v ) oricare v ∈ VL(ϕ) ⇒ kϕke1 = kϕke2 oricare ar fi formula ϕ. Observatie Daca θ este un enunt atunci kθke1 = kθke2 oricare ar fi e1 , e2 : Var → A doua interpretari. Vom nota kθkA := kθke pentru e o interpretare. In acest caz A |= θ ⇔ kθkA = 1.

Exemplu Propozitie Pentru o formula ϕ(x1 , . . . , xn ) sunt echivalente: • A |= ϕ, • A |= ∀x1 · · · ∀xn ϕ(x1 , . . . , xn ).

Notatie Fie A o L-structura si ϕ(x1 , . . . , xn ) (VL(ϕ) ⊆ {x1 , . . . , xn }) Daca a1 , . . ., an ∈ A notam A |= ϕ[a1 , . . . , an ] ⇔ kϕke = 1 unde e(x1 ) = a1 , . . . e(xn ) = an .

|= ∀x(P(x) → Q(x)) → ((∀xP(x)) → (∀xQ(x))) Fie A o structura L-structura. k∀x(P(x) → Q(x)) → ((∀xP(x)) → (∀xQ(x)))kA = 1 ⇔ k∀x(P(x) → Q(x))kA → k((∀xP(x)) → (∀xQ(x)))kA = 1 ⇔ A |= ∀x(P(x) → Q(x)) implica A |= (∀xP(x)) → (∀xQ(x)) Presupunem ca A |= ∀x(P(x) → Q(x)). Atunci A |= P[a] → Q[a] oricare a ∈ A. Daca A |= ∀xP(x), atunci A |= P[a] oricare a ∈ A. Dar A |= P[a] → Q[a] oricare a ∈ A, deci A |= Q[a] oricare a ∈ A. Rezulta A |= ∀xQ(x). Am demonstrat ca A |= ∀xP(x) implica A |= ∀xQ(x), deci A |= (∀xP(x)) → (∀xQ(x)).

Exemplu

L1 : F = {s}, R = {P}, C = {0}, unde aritatea(s) = 1, aritatea(P) = 1. Fie Γ := {γ1 , γ2 , γ3 }, unde γ1 = ∀x¬(0 = s(x)), γ2 = ∀x∀y (s(x) = s(y ) → x = y ), γ3 = P(0) → (∀x(P(x) → P(s(x))) → ∀xP(x)) (schema inductiei)

LOGICA DE ORDINUL I Sintaxa

N at = (N, s N , P N , 0N ) unde 0N := 0, s N : N → N, s N (n) := n + 1, P N = N N at |= Γ (axiomatizarea Peano a numerelor naturale)

L limbaj de ordinul I

Deductia din ipoteze Fie Γ o multime de formule.

O axiomˇa a lui L este o formula care are una din formele: (A1) ϕ → (ψ → ϕ) (A2)

(ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))

(A3)

(¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ)

(A4)

∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ)

(A5) (A6)

∀xϕ → ϕ ϕ → ∀xϕ

daca x 6∈ Var (ϕ)

(E1)

∃x(x = t)

daca x 6∈ Var (t)

(E2)

t1 = t2 → (ϕ → ψ),

daca ϕ si ψ sunt formule atomice si ψ se obtine din ϕ prin inlocuirea unei aparitii a lui t1 in ϕ cu t2 .

(MP)

ϕ ϕ, ϕ→ψ si (GEN) (generalizarea) ψ ∀xϕ

Definitie O demonstratie din ipotezele Γ este o secventa de formule ϕ1 , . . ., ϕn astfel incat una din urmatoarele conditii este satisfacuta oricare i ∈ {1, . . . , n}: • ϕi este axioma sau ϕi ∈ Γ, • ϕi se obtine din formulele anterioare prin MP:

exista j, k < i astfel incat ϕj = ϕk → ϕi • ϕi se obtine din formulele anterioare prin GEN:

exista k < i si x ∈ Var astfel incat ϕi = ∀xϕk O formula ϕ este o consecinta sintactica a lui Γ daca exista o Γ-demonstratie ϕ1 , . . ., ϕn astfel incat ϕn = ϕ. Notam prin Γ ` ϕ faptul ca ϕ este consecinta sintactica a lui Γ. Observam ca ` ϕ este echivalent cu ∅ ` ϕ.

Tautologii O formula ϕ ∈ FormL se nume¸ste tautologie daca f (ϕ) = 1 oricare ar fi f : FormL → {0, 1} o funct¸ie care satisface urm˘atoarele propriet˘a¸ti: (T1) f (¬ψ) = ¬f (ψ), (T2) f (ψ → χ) = f (ψ) → f (χ) f este numit˘a ”funct¸ie de adev˘ar” (truth valuation). Propozit¸ie Orice tautologie este teorem˘a. Teorema lui Post Dac˘a ϕ1 , . . ., ϕn , ϕ ∈ FormL astfel ˆıncˆat ϕ1 → (ϕ2 → · · · (ϕn → ϕ) · · · ) este tautologie, atunci ` ϕ1 , . . ., ` ϕn implic˘a ` ϕ. Observat¸ie Exist˘a formule valide care nu sunt tautologii (exemplu: v = v ).

Teoreme Lema 1. Pentru orice termen t avem ` t = t. Dem. Fie x o variabila care nu apare in t. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

` x = t → (x = t → t = t) (E2) ` ¬(t = t) → ¬(x = t) (` (ψ → (ψ → ϕ)) → (¬ϕ → ¬ψ), MP) ` ∀x(¬(t = t) → ¬(x = t)) (2), GEN ` ∀x¬(t = t) → ∀x¬(x = t) (3), (A4), MP ` ¬(t = t) → ∀x¬(t = t) (A6) ` ¬(t = t) → ∀x¬(x = t) (4), (5) ` ¬∀x¬(x = t) → ¬¬(t = t) (6) ` ∃x(x = t) → t = t ` t = t (8), (E1), MP

Lema 2. ` ϕ → ∃xϕ Dem. exercitiu Lema 3. ` ∀x(ϕ → ψ) → (ϕ → ∀xψ) daca x 6∈ VL(ϕ) . Dem. exercitiu (numai pentru x 6∈ Var (ϕ)).

FOL Forma prenex O formula ϕ este in forma prenex daca ϕ = Q1 x1 . . . Qn xn ψ unde Q1 , . . ., Qn sunt cuantificatori si ψ este o formula fara cuantificatori. Teorema ∗ Orice formula este logic echivalenta cu o formula in forma prenex. Forma prenex a unei formule ϕ se obtine astfel: 1. Se redenumesc variabilele cuantificate astfel incat: nici o variabila libera sa nu coincida cu una cuantificata, cunatificatori distincti sa lege variabile distincte.

Forma prenex 2. Se inlocuiesc → si ↔ : ϕ → ψ ∼ ¬ϕ ∨ ψ, ϕ ↔ ψ ∼ (¬ϕ ∨ ψ) ∧ (¬ψ ∨ ϕ) 3. Se aplica urmatoarele teoreme: ` ∃x¬ϕ ↔ ¬∀xϕ ` ¬∃x¬ϕ ↔ ∀xϕ ` ¬∃xϕ ↔ ∀x¬ϕ ` ∀xϕ ∨ ψ ↔ ∀x(ϕ ∨ ψ) daca x 6∈ VL(ψ) ` ∀xϕ ∧ ψ ↔ ∀x(ϕ ∧ ψ) daca x 6∈ VL(ψ) ` ∃xϕ ∨ ψ ↔ ∃x(ϕ ∨ ψ) daca x 6∈ VL(ψ) ` ∃xϕ ∧ ψ ↔ ∃x(ϕ ∧ ψ) daca x 6∈ VL(ψ)

Forma prenex - Exemplu

FOL

ˆ Inchiderea unei formule Dac˘a ϕ este o formul˘a ¸si VL(ϕ) = {vi1 , . . . , vik } unde i1 < · · · < ik atunci inchiderea lui ϕ este enunt¸ul ∀vi1 · · · ∀vik ϕ.

ϕ = ∀x¬((∃yR(x, y )) → (∃xR(x, y ))) ∼ ∀x¬((∃vR(x, v )) → (∃zR(z, y ))) ∼ ∀x¬(¬(∃vR(x, v )) ∨ (∃zR(z, y )))

Propozit¸ie Dac˘a ϕ0 este inchiderea lui ϕ atunci:

∼ ∀x(∃vR(x, v ) ∧ ¬(∃zR(z, y ))) ∼ ∀x∃v (R(x, v ) ∧ ¬(∃zR(z, y )))

• ` ϕ ddac˘ a ` ϕ0

∼ ∀x∃v (R(x, v ) ∧ ∀z¬R(z, y ))

• A |= ϕ ddac˘ a A |= ϕ0

∼ ∀x∃v ∀z(R(x, v ) ∧ ¬R(z, y )) Dem. exercit¸iu

FOL Teorema deduct¸iei (J. Herbrand) Daca Γ este o multime de formule, ψ o formula si ϕ un enunt, Γ ∪ {ϕ} ` ψ

⇔

Γ ` ϕ −→ ψ

Dem. (schita) Fie ψ1 , . . ., ψn = ψ o demonstrat¸ie pentru ψ din ipotezele Γ ∪ {ϕ}. Demonstr˘am c˘a Γ ` ϕ → ψi prin induct¸ie dup˘a 1 ≤ i ≤ n. i = 1: evident Presupunem c˘a Γ ` ϕ → ψk oricare k < i. Distingem urmatoarele cazuri: (I) ψi este axiom˘a sau ψi ∈ Γ ∪ {ϕ} : evident. (II) exist˘a j, k < i astfel incat ψj = ψk → ψi : evident. (III) exist˘a k < i si x ∈ Var astfel incat ψi = ∀xψk . Γ ` ϕ → ψk (ip. de induct¸ie) Γ ` ∀x(ϕ → ψk ) (G) Γ ` ϕ → ∀xψk (Lema 3, MP) Γ ` ϕ → ψi

Corectitudinea FOL Teorema Γ ` ϕ ⇒ Γ |= ϕ oricare ar fi ϕ ∈ FormL si Γ ⊆ FormL . Dem. Fie A o L-structura astfel ˆıncat A |= Γ. Trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a A |= ϕ. Fie ϕ1 , . . ., ϕn = ϕ o demonstrat¸ie pentru ϕ din ipotezele Γ. Demonstr˘am c˘a A |= ϕi prin induct¸ie dup˘a 1 ≤ i ≤ n. Pentru i = 1, ϕ1 este axiom˘a sau ϕ1 ∈ Γ, demonstrat¸ia este evident˘a. Presupunem c˘a A |= ϕk oricare k < i si demonstr˘am c˘a A |= ϕi . Dac˘a ϕi este axiom˘a sau ϕi ∈ Γ atunci procedam ca mai sus. Dac˘a exist˘a j, k < i astfel ˆıncˆat ϕj = ϕk → ϕi , atunci A |= ϕk ¸si A |= ϕj , deci A |= ϕi . Dac˘a exist˘a k < i astfel ˆıncˆat ϕi = ∀xϕk , atunci A |= ϕk , deci A |= ∀xϕk pentru orice x ∈ Var (exercit¸iu).

FOL Teorema de completitudine (K. G¨ odel) Multimi consistente O mult¸ime Γ ⊆ FormL se nume¸ste consistent˘ a dac˘a exist˘a o formul˘a ϕ astfel ˆıncˆat Γ 6` ϕ . Propozitie Dacua Γ ⊆ FormL ¸si ϕ este un enunt¸ atunci sunt echivalente: (1) Γ ` ¬ϕ (2) Γ ∪ {ϕ} inconsistent˘a .

Teorema de completitudine II∗ O mult¸ime Γ ⊆ FormL este consistenta ddac˘a are un model. Teorema de completitudine I Daca Γ este o multime de formule si ϕ o formula, atunci Γ ` ϕ ddac˘a Γ |= ϕ Dem. ⇐ Presupunem ca Γ |= ϕ ¸si Γ 6` ϕ. Daca ϕ0 este inchiderea lui ϕ, atunci Γ 6` ¬¬ϕ0 . Rezulta ca Γ ∪ {¬ϕ0 } este consistenta, deci are un model (din forma II). Fie A astfel incat A |= Γ ¸si A |= ¬ϕ0 . Rezulta A 6|= ϕ, ceea ce contrazice ipoteza.

Dem. exercit¸iu Teorema de compacitate Daca Γ este o multime de formule astfel incat orice submultime finita a sa are un model atunci Γ are un model. Dem. exercitiu

FOL Observatie ˆIn teorema deductiei Γ ∪ {ϕ} ` ψ

⇔

Γ ` ϕ −→ ψ

nu putem renunta la cerinta ca ϕ sa fie enunt: • {v0 = v1 } ` v0 = v2

Dac˘a A |= v0 = v1 atunci A = {a}, deci A |= v0 = v2 . • 6` v0 = v1 → v0 = v2

Dac˘a N este mult¸imea numerelor naturale, atunci N 6|= v0 = v1 → v0 = v2 . Din corectitudine obtinem rezultatul dorit.