Curs Geometrie Descriptiva Anul 1 CCIA

 

A.I. DEFINIŢIE, ELEMENTELE PROIECŢIEI, CLASIFICARE

 DEFINI Ţ  Ţ IE  

Proiec ţ ia ia unui obiect este imaginea sa pe un ecran ob ţ inut  inut ă prin inciden ţ a cu ecranul a unor raze (proiectante) ce descriu conturul obiectului.

E V E

[P] 1

1 [P]

proiectia

proiectia  

ELEMENTELE PROIECŢIEI

Sunt:

1.  obiectul (elementul) de proiectat; 2.  ’’planul de proiecţie’’, [P], pe care se proiectează obiectul; 3.  ’’proiectanta’’,  E  , ce trece printr-un punct al obiectului şi intersectează planul de proiecţie [P]; 4.  ’’centrul de proiecţie’’, V, în care se intersectează (converg) proiectantele; 5.  ’’proiecţia’’ obiectului, imaginea pe ecran obţinută prin procedura descrisă la I.1.

3

 

A.I. DEFINIŢIE, ELEMENTELE PROIECŢIEI, CLASIFICARE

CLASIFICARE

După V 1.  Proiecţia conică  2.  Proiecţia cilindrică V = ∞ 

1.  PROIECŢIA CONICĂ (CENTRALĂ) Ea

Em

Eb

A

M

B

m a b

[P]

 

Fig.1  Ea  ∩  Eb  ∩ … ∩  Em  = V

2.  PROIECŢIA CILINDRICĂ (PARALELĂ) Em

Ea Eb

A

M B m

a [P]

b

  Fig.2

V=

⇒

   Ea  ||  Eb  || … ||  Em  || ∆ 

Unde ∆  = direcţia de proiecţie 4

 

A.I. DEFINIŢIE, ELEMENTELE PROIECŢIEI, CLASIFICARE

CAZURI PARTICULARE

1.  Proiecţia cilindrică este caz particular al proiec ţiei conice şi anume cazul în care distanţa dintre V şi P este egală cu ∞.

Dacă  Ea  ∩  Eb  ∩ … ∩  Em  = V = ∞  ⇒  Ea  ||  Eb  || … ||  Em  ||  ∆   (drepte paralele se intersectează la infinit)

2.  Proiecţia ortogonală este caz particular al proiec ţiei cilindrice şi caz dublu particular al celei conice ( Ea ,  Eb , …,  Em  are două particularităţi faţă de proiecţia conică prima fiind cea descrisă la punctul 1, de mai sus)

(vezi PROIECŢIA CILINDRICĂ, Fig.2 ) (Fig.3)

 Ea  ||  Eb  || … ||  Em  

şi

 Ea  ⊥ [P], …, Em  ⊥ [P]

Em Ea M A

Eb B m

a [P]

b  

Fig..3

5

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

II.1. PROIECŢIA PUNCTULUI

 DEFINI Ţ  Ţ IE   1.  Proiec ţ ia ia conică a punctului este imaginea punctului din spa ţ iu iu M, pe planul de  proiec ţ ie ie [P] aflat ă la intersec ţ ia ia cu [P] a proiectantei  E  = VM  .  E   = VM  ;  E  ∩  [P]  [P] = m = proiec ţ ia ia M pe [P].

V E

M

m [P]

  Fig.4  DEFINI Ţ  Ţ IE  

2.  Proiec ţ ia ia cilindrică a punctului este imaginea punctului din spa ţ iu iu M, pe planul de  proiec ţ ie ie [P], aflat ă la intersec ţ ia ia [P] cu proiecnta  E  ||  ∆.  E ||  ∆ , E ∩  [P]  [P] = m = proiec ţ ia ia M pe [P] E

M

m [P]

Fig.5

6

 

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

Fie M ≠ N

V Em

En N

M

n m [P]

 

Fig.6 Proiecţia conică a mai multor puncte

En

Em

N

M n

[P]

m

  Fig.7 Proiecţia cilindrică a mai multor puncte

7

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

OBSERVAŢ  II: Rela ţ ia ia dintre M  şi N nu este biunivocă , adică: 1.  Un punct M poate avea mai multe proiec ţ ii ii m0 ≠  m  m1 ≠  …  … ≠  m  mn , dacă difer ă V, în cazul  proiec ţ iei iei conice sau ∆  în cazul proiec ţ iei iei cilindrice. Vo Vn En

Eo M

mo [P]

mn

 

Fig.8 Proiecţia conică  Eo

o

n

En M

mo [P]

mn

 

Fig.9 Proiecţia cilindrică  ii m îi pot corespunde mai multe puncte din spa ţ iu iu M 0 ≠  M   M 1 ≠  …  … ≠  M   M n  2.  Unei proiec ţ ii aflat pe aceea şi proiectant ă  E  = VM  atât în cazul proiec ţ iei iei conice cât  şi în cazul  proiec ţ iei iei cilindrice. E M0 M1

Mn m [P]

  Fig.10 Proiecţia conică  E M0 M1 Mn m

[P]

  Fig.11 Proiecţia cilindrică  8

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

CAZURI PARTICULARE 1.  M = m dacă M ∈ [P]

E

M= m [P]

  Fig.12 Proiecţie conică  E

M= m [P]

Fig.13 Proiecţie cilindrică 

 

2.  m = ∞  dacă  E  |||| [P] V

M

E

[P]

  Fig.14 Proiecţia conică 

 E  = VM   || [P]

⇒  E   [P]

 E  = VM   ∩ [P] = m (vezi II.1, PROIEC ŢIA PUNCTULUI Fig.4)

⇓  m = ∞ 

M

E

[P]

  Fig.15 Proiecţia cilindrică 

 E  ||  ∆  || [P]

⇒  E   [P]

 E   ∩ [P] = m (vezi II.1, PROIECŢIA PUNCTULUI Fig.5)

⇓  m = ∞  9

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

II.2. PROIECŢIA DREPTEI

Elementele care determină  o dreaptă  D  sunt: •  Două puncte M ≠ N sau  •  Un punct M prin care trece dreapta M ∈  D  şi direcţia ei.

 DEFINI Ţ  Ţ IE   Proiec ţ ia ia dreptei este imaginea dreptei din spa ţ iu iu  D  pe planul de proiec ţ ie ie [P], ob ţ inut  inut ă   prin proiectarea proiectarea separat ă a două puncte M ≠  N  N care M ∈  D   şşi N ∈  D  după procedeul descris la II.1 PROIEC Ţ  Ţ IA   PUNCTULUI. PUNCTULUI.

D

M

N

Em

En d

n

m [P]

  Fig.16 Proiecţia conică a dreptei

Em En M

D N

d

n

m [P]   Fig.17 Proiecţia cilindrică a dreptei  MN  =  D  ⇒  mn  = d   adică  d  = proiecţia dreptei  D  pe planul [P]. 10

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

CAZURI PARTICULARE

1.  d  = punct •  dacă în proiecţia conică V ∈  D  şi  D   •  dacă  ∆    D  în proiecţie cilindrică.

[P] sau

E m=E n =E M D N m=n=d

[P]

  Fig.18 Proiecţia conică  DEMONSTRAŢIE

Fie M ≠ N,  MN  =  D  şi proiectantele  Em  = VM   = Vm  (V, M, m = colineare)  En  = VN  = Vn  (V, N, n = colineare) (vezi Fig.16) Dacă V ∈  D  =  MN  ⇒ 

V, M, N = colineare, dar V, M, m = colineare V, N, n = colineare (vezi fig. 1)

adică  Vm  ≡  VM   ≡  VN  ≡  Vn   sau

 Em  =  En  =  E  

dar

 Em  ∩ [P] = m  En  ∩ [P] = n

⇓  m = n = mn  = d   sau d  = punct

11

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

E m =En =E M D N [P]

m=n=d

  Fig.19 Proiecţie cilindrică 

DEMONSTRAŢIE

Fie M ≠ N,  MN  =  D  şi  D     ∆  

M ∈  Em     ∆  (vezi Fig.17) M ∈  D     ∆   ⇓   Em  ≡  D  (printr-un punct M se poate duce numai o singură paralelă la ∆ ) N ∈  En     ∆   N ∈  D     ∆   ⇓   En  ≡  D   ⇒  Em  ≡  En  ≡  E  ≡  D  

dar

 Em  ∩ [P] = m  En  ∩ [P] = n

⇓   D  ∩ [P] = m = n ≡  mn  ≡  d  

sau d  = punct

12

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

2.  d  = ∞  dacă în cazul anterior,  D   [P] Proiecţia conică  din cazul particular anterior V ∈  D  

V

E

D M

N

[P]  

Fig.20

⇒ V, M, N coliniare ⇒  E  ≡  D  (vezi cazul anterior) şi  D    [P] (condiţie a acestui caz) ⇓ 

 E    [P] sau  E  

[P]

 E   ∩ [P] = m ≡ n = d  (vezi cazul anterior)

⇓  m = n ≡  mn  ≡  d  = ∞  Proiecţia cilindrică 

E

D M

N

[P] Fig.21  D   ∆  

⇒ 

 E   ≡  D  (vezi cazul anterior)

şi  D  [P] (condiţie în acest caz) ⇓   E   [P] sau  E   [P]  E  ∩ [P] = m ≡ n = d  (vezi cazul anterior)

⇓  m ≡ n = mn  = d  = ∞  13

 

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

3.  Punct de dispariţie este punctul de pe  D  care nu are proiec ţie pe proiecţia dreptei d  , sau ∃ M ∈  D   pentru care m ∈  d , dacă  Em     [P]. Proiecţia conică 

V

Em M D d

[P]

  Fig.22 M ∈  D  ; dacă  Em  = VM     [P] ⇒ m = ∞  V ∉  D   ⇒ ∃  d  ∈ [P]

⇓  m ∉ [P] OBSERVAŢ  IE: Cazul este diferit diferit de cazul particular particular 2 pentru care VM       [P], dar V ∈  D . Proiecţia cilindrică  Em M D En N [P]

  Fig.23  Em    ∆    [P] sau  Em   [P]  Em  ∩ [P] = m = ∞   En    ∆    [P] sau  En   [P]  En  ∩ [P] = n = ∞  ⇓  mn = d  = ∞  Concluzie: Dacă  ∆     [P], atunci nici un punct de pe dreapt ă nu are proiec ţ ie ie pe [P] sau: mn = d  pentru ∆        [P]. OBSERVAŢ  II: •  Cazul particular 2 este un caz particular al celui de mai sus:  Dacă  ∆     [P], atunci d   = ∞   pentru orice pozi ţ ie ie a dreptei  D , inclusiv  D     [P]. •   Nu exist ă punct de dispari ţ ie ie în proiec ţ ia ia cilindrică. 14

 

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

4.  Punct de fugă este proiecţia de pe proiecţia dreptei d  a unui punct inexistent. sau: ∃ n ∈  d  pentru care N ∈  D , dacă  En    D  .

Proiecţia conică 

V En

D d

[P]

n

  Fig.24

 En  = Vn  ∩  D  =  N   ∈  D  (vezi IV.2, Proiecţia conică a dreptei Fig.16) Vn    D  

⇓  Vn  

 D  

⇒  N ∈  D  

Proiecţia cilindrică   En    E  

 ∆   dacă   E   ∆   D  ⇒ cazul particular 1.

OBSERVA Ţ  IE: Nu exist ă punct de fugă în proiec ţ ie ie cilindrică.

II.3. PROIECŢIA PLANULUI

Proiecţia planului se poate face numai prin proiectarea elementelor geometrice care îl determină, respectiv puncte sau drepte (vezi cap. II.1., II.2.).

15

 

A.III. PLANUL PROIECTANT

III. PLANUL PROIECTANT

 DEFINI Ţ  Ţ IE:   Planul proiectant [Q] al unei drepte  D  este planul determinat de  proiectantele punctelor dreptei. Sau: Fie A ≠  B;  B;  AB  =  D ; [Q] =  Ea  +  Eb  

Proiecţia conică  [Q]

V Ea

Eb D

A

B

d

b

a [P]

 

[Q] =  Ea  +  Eb   unde  Ea  ∩  Eb  = V

Fig.44

Proiecţia cilindrică  [Q]

Ea

Eb A

D B

d

b

a [P]

Fig.45 [Q] =  Ea  +  Eb   unde  Ea   Eb   ∆   a =  Ea  ∩ [P] b =  Eb  ∩ [P] ⇓  a ∈ [P] b ∈ [P] dar a ∈  Ea  ⇒ a ∈ [Q] b ∈  Eb  ⇒ b ∈ [Q] ab  = d  = [Q] ∩ [P]

 

16

 

A.III. PLANUL PROIECTANT

Concluzii: 1.  Planul proiectant [Q] al unei drepte  D  include dreapta  şi intersectează   planul de proiec ţ ie ie [P] după proiec ţ ia ia d  a dreptei.

 [Q] ⊃   [P] = d   ⊃    D ; [Q] ∩  ∩ [P] 2.  Planul de proiec ţ ie ie [Q] al unei drepte  D  este determinat de dreapta  D   şşi de  proiec ţ ia ia ei d .  [Q] =  D  + d   Consecin ţ e: e: 1.  Toate dreptele din planul proiectant [Q] al unei drepte  D  au aceea şi proiec ţ ie ie d  pe [P].

 [P]. sau, ∀   şi d  = [Q] ∩  ∀    D  ∈ [Q] ∃   ∃ aceea    ∩ [P]. Proiecţie conică  [Q]

V Ea

A0

Eb D0 B0 D B

A Dn

Bn

d

An

b

a [P]

  Fig.46

Proiecţia cilindrică  [Q]

Ea

Eb

D0

A0 A

B0

D B An

Dn d

Bn b

a [P]

  Fig.47

[Q] =  Ea  +  Eb   A0, A1, …, An ∈  Ea  ∈ [Q];  Ea  ∩ [P] = a B0, B1, …, Bn ∈  Eb  ∈ [Q];  Eb ∩ [P] = b ⇓  a = proiecţia punctelor A0, A1, …, An  b = proiecţia punctelor B0, B1, …, Bn 

Dacă  A0  B0    D0 ,  AB    D , …,  An  Bn    Dn    D0 ,  D1 , …,  Dn  ∈ [Q]

[Q] ∩ [P] = ab  = d   Privitor la consecinţa 1: 17

 

A.III. PLANUL PROIECTANT

   în

proiecţia conică pentru valabilă.

∀ V1 ≠ V

şi V1 ∈ [Q] demonstraţia anterioară rămâne

[Q]

V Eb

Ea

V1

E a1

E b1 B

D A

d

d1

b1

a

a1

b

[P]

 

Fig.48  Ea1  ∈ [Q] şi  Eb1  ∈ [Q] ⇒ [Q] =  Ea1  +  Eb1  

   în

proiecţia cilindrică pentru ∀  ∆ 1  ≠  ∆  şi rămâne valabilă.

[Q]

∆1

 [Q], demonstraţia de mai sus

Eb

E a1

Eb1 1

Ea B

D A d d1 a1 [P]

a b1

b

 

Fig.49  Ea1  ∈ [Q] şi  Eb1  ∈ [Q]

⇒ [Q] =  Ea1  +  Eb1  

18

 

A.III. PLANUL PROIECTANT

2.  Toate punctele din planul proiectant [Q] al unei drepte  D  au proiec ţ ia ia pe  proiec ţ ia ia d  a dreptei,    m ∈  d  unde d   = [Q] ∩   [P].  sau, ∀   ∈ [Q] ⇒  ∀ M    ⇒ m ∩ [P].

Proiecţia conică  [Q]

V Em

M d m [P]

  Fig.50

Proiecţia cilindrică  [Q]

Em

M d m [P]

  Fig.51

 Em  ∩ [P]

m [Q] ∩ [P] = d  

 Em  ∈ [Q]

⇓ 

m ∈  d   Privitor la consecinţa 2, relaţia [Q] ⇔  D  nu este biunivocă, adică,  

pentru un [Q] ∃ mai multe  D  ∈ [Q] care satisfac condiţia [Q] ∩ [P] = d .

 

pentru o dreaptă  D  ∃ mai multe [Q], în func ţie de poziţia planului de proiecţie [P]. 19

 

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

 DEFINI Ţ  Ţ IE    Invarian ţ ii ii sunt rela ţ ii ii care nu se schimbă prin proiec ţ ie ie (valabile atât pentru punctele din spa ţ iu, iu, cât  şi pentru proiec ţ ii). ii).

IV.1 APARTENENŢA IV.2 COLINIARITATEA IV.3 RAPORTUL SIMPLU A TREI PUNCTE COLINEARE IV.4 BIRAPORTUL A PATRU PUNCTE COLINEARE IV.5 PARALELISMUL  IV.6 CONCURENŢA  IV.7 MĂRIMEA UNUI SEGMENT DE DREAPTĂ  IV.8 UNGHIUL DINTRE DOUĂ DREPTE 

IV.1 APARTENENŢA

Pentru ∀ M ∈  D  ⇒ m ∈  d .

IV.2 COLINIARITAT C OLINIARITATEA EA

Dacă A + B =  D  şi M ∈  D ,

adică A, B, M = colineare ⇒ m ∈  ab  = d , adică a, b, m = colineare.

Fie [Q] planul proiectant al  D  faţă de [P]. Pentru (∀) M ∈  D  , adică M ∈ [Q] ⇒ m ∈  d   (vezi III. PLANUL PROIECTANT, consecinţa nr.2). 

20  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

IV.3 RAPORTUL SIMPLU A TREI PUNCTE COLINEARE

Dacă A ≠ B ≠ C şi A + B + C =  D , atunci

 AC 

 =

 AB

ac

.

ab

Proiecţia conică 

V Ea

Ec Eb

D

B

A a

C C1 B1 b

d

c

[P] Fig.52 Fie a B1C 1     BC , în ∆ acC1  B1b ∩ C1c = V ⇒ B1b C1c, nu se poate aplica teorema lui Thales în ∆ acC1. Proiecţia cilindrică 

Ec

 

Eb Ea

C

B

C1

D A

a

B1 b

d

c

[P]  

Fig.53 Fie a B1C 1     BC , în ∆ acC1  B1b   C1c 21  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

conform teoremei lui Thales

aC 1 ac  =  şi aB1 ab

AB  aB1  Aa  Bb ⇓ 

AC  aC1  Aa  Cc ⇓ 

aB1  = AB

aC1  = AC

 înlocuim în raportul de mai sus ⇒ 

 AC  ac  = . ab  AB

ie numai pentru Concluzie: Raportul a trei puncte colineare se păstrează  şşi în proiec ţ ie  proiec ţ ia ia cilindrică. sau

Raportul simplu este invariant în proiec ţ ia ia cilindrică.  Raportul simplu nu este este invariant în proiec ţ ia ia conică.

OBSERVATII: 1.   Dacă  un segment de dreapt ă  se împarte într-un număr de păr  ţ i egale, atunci  şi proiec ţ ia ia lui va fi împăr  ţ it  it ă în acela şi număr de segmente egale între ele (dar diferite ca mărime de cele din spa ţ iu). iu).  Adică  Dacă  AB  =  BC  = CD  = …=etc.  şi A, B, C, D…etc. colineare⇒  

⇒   ab  = bc  = cd = …=etc. unde a, b, c, d,…etc. colineare,

dar ab ≠  AB , bc ≠  BC   ,, cd ≠  CD ,…etc. 2.   Dacă  un segment de dreapt ă  se împarte într-un număr de segmente, astfel încât unul dintre acestea este un anumit multiplu al altuia, atunci  şi proiec ţ ia ia subsegmentului va fi acela şi multiplu fa ţă  de proiec ţ ia ia celuilalt sau, Exemplu:

 BC  , , A, B, C colineare Dacă  AB  = k  BC  atunci ab  = k bbcc , unde a, b, c colineare,

dar

 AB  ≠  ab ,  BC  ≠  bc ,

 şi

 AB  ≠  k bc    k  BC  ab   ≠  k   BC .

22  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

IV.4 BIRAPORTUL A PATRU PUNCTE COLINEARE

Fie A ≠ B ≠ C ≠ D, A, B, C, D = colineare ⇒ 

 AC  ⇒   BC   =  AD  BD

ac bc , unde a, b, c, d = proiec ţiile punctelor A, B, C şi D. ad  bd 

Proiecţie conică  Ea

Ed Eb Ec

AB D

[P]

a

C

d

b

D c

d

 

Fig.54 DEMONSTRAŢIE: Fie A, B, C = colineare, V ∉  AC  şi  AM     BV  . V

AB

În ∆ACM

 AC 

 =

 AM 

C 

Fig.55 

 (conform teoremei lui Thales).

 BC   BV  Fie A, B, D = colineare, V ∉  AD  şi  AN   BV  .  V

AB

  În ∆ADN

Fig.56

 AD  AN   (conform teoremei lui Thales).  =  BD  BV  ⇓ 

 AC   AM   BV   AM   BC  .  =  x  =  BV   AD  AN   AN   BD Fie a, b, c = colineare, V ∉  ac  şi am   bV  .

23  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

V

c

b

În ∆acm

 

Fig.57 

ac am  (conform teoremei lui Thales).  = bc bV 

Fie a, b, d = colineare, V ∉  ad  şi an   bV  .  V

d b

  Fig.58

În ∆adn

ad  an  (conform teoremei lui Thales).  = bd  bV  ⇓  ac bc  = am  x bV   = am . an ad  bV  an bd 

 AM     am   BV   

M

n N

V

AB

b

C

D c

d Fig.59

d  

24  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

M

n N

V

A

  Fig.60  aV  am  =    AM   AV  În ∆Van an  = aV   (conform teoremei lui Thales).  AN   AV  ⇓  ac ac  AC   AC   AM  am am  AM  an am  =  bc ;  BC   = bc .  =    =   sau  = ⇒   BC   = ad  ad   AD an  AD  AN   AN  an  AM   AN 

În ∆Vam

 BD

bd   BD

bd 

Proiecţie cilindrică  Ed Eb

Ec

C

Ea

D

D B A

d a

b

d

c

[P]

Fig.61 DEMONSTRAŢIE Dacă A, B, C colineare ⇒ 

 AC 

 =

ac

 (vezi Raportul simplu a trei puncte).

 BC  bc ad   AD  (vezi Raportul simplu a trei puncte).  = Dacă A, B, D colineare ⇒  bd   BD ⇓   AC  ac  BC   = bc    AD ad   BD bd 

iei Concluzie: Biraportul a patru puncte colineare este un invariant al proiec ţ iei conice. Pentru proiec ţ ia ia cilindrică biraportul se reduce la raportul simplu a trei  puncte colineare. 25  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

IV.5 PARALELISMUL

Proiecţia conică 

V E1

D1

E2

D2

d1

f 2

f 1 [P]

d2

[P]

Fig.62 Fig.63 Fie f 1 = punct de fugă pentru  D1  şi, E 1  proiectanta paralelă  D1 .

 

Fie f 2 = punct de fugă pentru  D2  şi, E 2  proiectanta paralelă  D2 .  D1    D2  

V ∈  E 1    D1 , V ∈  E 2    D2 , dar printr-un punct V se poate duce o singur ă dreaptă  E     D1    D2  ⇒  ⇒ 

E 1  ≡  E 2  ≡  E    şi

f 1 ∈  E 1   f 2 ∈  E 2  ⇒  f 1 ≡ f 2 ≡ f şi f 1 ∈  d 1   f 2 ∈  d 2  ⇒  f ∈  d 1   f ∈  d 2  ⇒  d 1  ∩  d 2  = f Dacă  D1     D2 , d 1  ∩  d 2  = f în proiecţia conică.

D1

E

D2

d1 d2

f  [P]

 

Fig.64 26  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

Proiecţia cilindrică 

E1

E2 [Q 2]

[Q1]

D1

D2

d1

d2

[P]

 

Fig.65 Fie E 1  = o proiectantă a dreptei  D1 ; E 1    ∆ . Fie E 2  = o proiectantă a dreptei  D2 ; E 2    ∆ .  [Q1] =  D1  + E 1   [Q2] =  D2  + E 2   ⇒  [Q1]  [Q1] şi  D1    D2   E 1    E 2   ⇒  d 1    d 2 ,

conform teoremei demonstrate la pag.30

şi

[Q1] ∩ [P] = d 1   [Q2] ∩ [P] = d 2   Dacă  D1    D2 , atunci d 1    d 2  în proiecţia cilindrică. iile lor sunt paralele de Concluzie: Dacă două drepte sunt paralele  D1      D2 , proiec ţ iile asemenea d 1      d 2  în proiec ţ ia ia cilindrică. Paralelismul este invariant în proiec ţ ia ia cilindrică. Paralelismul nu este invariant în proiec ţ ia conică. IV.6 CONCURENŢA  Dacă  D1  ∩  D2  = M ⇒  d 1  ∩  d 2  = m

M ∈  D1  ⇒ m ∈  d 1  (vezi invariantul nr.1 – apartenenţa) M ∈  D2  ⇒ m ∈  d 2   ⇒ m = d 1  ∩  d 2   Concluzie : Două drepte concurente au proiec ţ iile iile concurente. Concuren ţ a este un invariant atât în proiec ţ ia ia conică cât  şi în proiec ţ ia ia cilindrică. sau,

27  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

IV.7 MĂRIMEA UNUI SEGMENT DE DREAPTĂ 

Proiecţie conică 

Proiecţie cilindrică  Ea

A1

Eb

A1    =

B =  

 =

An

     =

B

An a

d

b

=    

a

[P]

[P]

b

 

Fig.66 Fig.67 Fie segmentul AB, A mobil pe proiectantă, B fix. Considerăm arcul de cerc cu centrul  în B şi r = ab. Pentru A ≡ A1  BA1  = ab (mărimea proiecţiei = mărimea segmentului) Pentru A ≡ An  BAn  = ab (mărimea proiecţiei = mărimea segmentului) Dacă A ∈ (A1, An),  AB  < ab. Dacă A ∈ (∞, A1) sau (An, a],  AB  > ab. OBSERVAŢ  IE:

În cazul proiec ţ iei iei cilindrice Ana    Bb    ∆ , dacă  A ≡   An ,  BAn      ab ⇒    AB  = ab. sau: dacă  segmentul este paralel cu proiec ţ ia ia sa, mărimile lor sunt egale.  Dacă , în proiec ţ ia ia cilindrică  ∆  ⊥  [P],  [P], (Fig.3) A ≡  A  A1 ≡  A  An ⇒    ţ ie A pentru care  AB  = ab,  o singur ă pozi ţ  ⇒  ∃  o anume  BA1     ab.

Pentru ∀   A ≠  A  A1 , AB > ab. A n= A a

     =

B

     =

b

[P]

  Fig.68 Concluzie: M ărimea unui segment se modifică prin proiec ţ ie, ie, deci nu este un invariant. 28  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

IV.8 UNGHIUL DINTRE DOUĂ DREPTE 

Proiecţie conică 

V E

Proiecţie cilindrică 

B

Eb

a

B

Ec

[Q 1] α °  ° 

[Q 1]  

C

b

A

b

A

c

a

[P]

α°

[Q 2]

β°

[Q 2]

β°

C c

a

[P]

Fig.69a Fig.69b 0 0 Mărimea unghiului în proiecţie poate fi 0   sau 180   dacă  planele proiectante ale laturilor sale coincid, [Q1] ≡ [Q2]. 0  β   = 0 Proiecţie conică  Proiecţie cilindrică 

 

Eb Ea

Ec [Q]

A

b

[P]

 β   = 180

0

C c

a

      °        β  

      °      α 

C b

[P]

a

c

 β  =  0  °  

 

Fig.70a

Fig.70b

Proiecţie conică V

Proiecţie cilindrică 

  Eb

Ec

Ea

[Q]

B α ° 

A [P]

B

α     °     

B

[Q]

A

b 1 8 0 °

a

 = β =

C

A

 

c [P]

Fig.71a OBSERVAŢ  IE:

[Q]

B

a

α°

b = 1 8 0 ° β  =

Fig.71b

C c

 

M ărimea unghiului se păstrează  în proiec ţ ie, dacă  planul determinat de laturile unghiului este paralel cu planul de  proiec ţ ie. ie. sau α ˆ  ≡   β ˆ dacă [AB + BC]    [P]. 29

 

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

Proiecţie conică 

Proiecţie cilindrică 

V Ea

B [Q]

B

Eb Ec

[R]

A b

[Q ]

a

[P]

Fig.72a Teoremă :

[R]

C c

[P]

C

A b c

a

Fig.72b

Două plane paralele se intersectează cu un al treilea plan după drepte  paralele.  Demonstra ţ iie: e:  Numim [A, B, C] = [R], [a, b, c] = [P]  şi [V, a, b] = [Q] [ Q] [R] ∩  [Q]  [Q] =  AB   [P] ∩  [Q]  [Q] = ab   Presupunem că  AB  ∩   ab  = I ⇒   I ∈  AB  ∈ [R]  I ∈  ab   ∈ [P] ⇓    I = [P] ∩  [R],  [R], adică [P]  [R]⇒    AB     ab  

Conform teoremei de mai sus

 BC   bc    AC   ac   ⇓  ∠ ABC

= ∠ abc ∆ ABC ~ ∆ abc ⇒  ∠ BCA = ∠ bca ∠ CAB = ∠ cab

30  

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

 

TEOREMA UNGHIULUI DREPT Dacă în proiecţia cilindrică  ∆   ⊥ [P], atunci unghiul î şi p ăstrează m ărimea în proiecţie dacă numai una din laturile sale este paralelă cu [P]. sau,

dacă  E  ⊥ [P]  [P]  D  ⊥  D ;  D    1 1 şi atunci d  ⊥  d 1    

D [Q]

M

D1

Em

d

m

d1

[P]

Fig.73

 

Fie [Q] = planul proiectant al  D  faţă de [P] ⇒ [Q] = [ D  + d ] şi E  ∈ [Q]  D1  ⊥  D    D  ∈ [Q] ⇒  D1  ⊥ [Q] d 1    D1   ⇒  d 1  ⊥ [Q] ⇒  d  ⊥  d 1 . d  = [Q] ∩ [P] ⇒  d  ∈ [Q]

m odifică prin proiec ţ ie, ie, deci nu Concluzie: M ărimea unghiului dintre două drepte se modific constituie un invariant.

31  

B.I. SISTEMUL DE REFERINŢĂ 

I. SISTEM DE REFERINŢĂ  PLANE DE PROIECŢIE

Sistemul de referinţă este format din trei plane, dupa cum urmeaz ă:  

Unul, considerat orizontal notat [H].

 

Alte două, considerate verticale, deci perpendiculare pe [H], dar şi perpendiculare între ele, notate [V] şi [W].

Cele trei plane se numesc’’PLANE DE PROIECŢIE’’ şi anume:  

[H] = planul orizontal de proiecţie

 

[V] = planul vertical de proiecţie

 

[W] = planul lateral de proiecţie

Relaţia dintre ele este:

[H] ⊥  [V] [V] ⊥ [W] [W] ⊥ [H]

Fiecare plan este deci, ⊥ pe celelalte două. Pentru denumirea planelor de proiecţie se folosesc numai majuscule.

z

[V]

[W]

o

x

y  [  H    ]  

Fig.I.1

 

35  

B.I. SISTEMUL DE REFERINŢĂ 

AXELE SISTEMULUI DE REFERINŢĂ 

Planele de proiecţie se intersectează după drepte numite axe. Axele au o orientare şi un punct de unde se începe măsurarea distanţelor, numit origine şi notat O. Axele sunt:  

[H] ∩ [V] [H] ∩  [W]== OX OY   [V] ∩ [W] = OZ

 

z

[V]

[V]

[W]

o

[W]

o

o

x

y  [  H    ]  

 [  H    ]  

Fig.I.2a

Fig.I.2b

Cele trei axe se intersectează în punctul O: OX

Fig.I.2c ∩ OY ∩ OZ =

 

O

z

[V]

[W]

o

x

y  [  H    ]  

 

Fig.I.3 În consecinţă fiecare este delimitat de două axe, astfel:   [H] = OX + OY   [V] = OX + OZ   [W] = OY + OZ şi O ∈ [H], [V] şi [W] simultan. OBSERVAŢ  IE: Datorit ă  pozi ţ   ţ iei iei relative a planelor de proiec ţ ie, ie, fiecare axă  este  perpendicular   perpendicula r ă pe câte un plan de proiec ţ ie:   OX ⊥  [W]  [W]   OY ⊥  [V]  [V]   OZ ⊥  [H]  [H]

Considerăm axele OX, OY, OZ definite anterior ca având sensul + (vezi Fig.I.3). 36  

B.I. SISTEMUL DE REFERINŢĂ 

În consecinţă, sensul − al axelor va fi în direcţie opusă, începând din O şi pe aceeaşi dreaptă, suport a axei respective. Pentru simplificare se va considera doar sensul +  al axei Ox. +z -y

o

x

+y

-z

 

Fig.I.4 SEMIPLANELE DE PROIEC ŢIE

Axele din figura de mai sus delimitează următoarele semiplane de proiecţie: [W2]

+z -y [VS]  [  H     ]   P  

[W1]

o [W3]

+y

x

 [  H     ]   A 

[W4]

[VI]

-z

Fig.I.5 [HA] = orizontal anterior [HP] = orizontal posterior

 

[VS] [VI] [W1] [W2] [W3] [W4]

= vertical superior = vertical inferior = lateral 1 = lateral 2 = lateral 3 = lateral 4 37

 

B.I. SISTEMUL DE REFERINŢĂ 

PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PLANELOR DE PROIECŢIE

În figura I.3, vom privi fiecare plan de proiecţie pe rând, frontal, după  o direcţie perpendiculară pe [H], [V] sau respectiv[W]. z

z

z

z [W]

[V] [V]

x

[W]

o

o

o

o

o

x

y

y

x

y  [  H    ]  

x

o

[H]

y

 

Fig.I.6

Să  alăturăm planele de proiecţie din fig.I.6 de-a lungul axelor comune planelor de proiecţie: z

z

[V]

[W]

x

y o

x

[H]

y

 

Fig.I.7 38  

B.I. SISTEMUL DE REFERINŢĂ 

Dacă axele comune se desenează o singura dată figura devine: z [V]

[W]

o

x

y

[H]

y Fig.I.8

 

În mod uzual se desenează doar axele f ără a se delimita şi nota planele de proiecţie.

x

o

y

y

 

Fig.I.9 În final, aceasta este reprezentarea sistemului de referinţă.

39  

B.I. SISTEMUL DE REFERINŢĂ 

Revenind la reprezentarea sistemului de referin ţă ca în Fig.I.9 şi considerând sensul – al axelor, sistemul devine: +z, -y

x, -y

o

+y

+y, -z

 

Fig.I.10 Să identificăm în Fig.I.5 planele de proiecţie după delimitarea lor de către axe: [HA] = +OX şi +OY; [HP] = +OX şi -OY; [Vs] = +OX şi +OZ; [VI] = +OX şi –OZ; [W1] = +OY şi +OZ; [W2] = -OY şi +OZ; [W3] = -OY şi +OZ şi [W4] = +OY şi –OZ. +z, -y [VS] = [H P] = = [W2]

x, -y

[W1]

o

x, -y

+y

[VI ] = [HA] = = [W3]

[W4] +y, -z

 

Fig.I.11

Constatăm că planul [H] se extinde deasupra axei OX cu semiplanul [H P], iar planul [V] se extinde sub axa OX cu semiplanul [V I], în zona din stânga axei verticale. Planul [W1] se extinde cu [W2], [W3], [W4], şi se suprapune cu planul desenului.

OBSERVAŢ  IE: Sistemul de referin ţă se poate reduce la două plane  şi anume [H]  şi [V]. 40  

B.I. SISTEMUL DE REFERINŢĂ 

+z, -y

+z, -y

[VS] = [H P]

x , -y

o

x

o

[VI ] = [HA] +y, -z

+y, -z  

Fig.I.12  În cazul în care se s e folose şte sistemul de referin ţă complet se ob ţ ine ine o „triplă proiec ţ ie ie ortogonală”, iar dacă  se utilizează  sistemul simplificat, din Fig.I.12 o „dublă   proiec ţ ie”. ie”. Proiecţia unui obiect se poate ob ţine urmând una dintre următoarele trei metode de reprezentare, clasificate după  felul în care sistemul de referinţă  la rândul lui se proiectează pe planul desenului [T]:   „AXONOMETRIE”, În cazul în care sistemul de referinţă se proiectează conic sau cilindric: Z [V]

V

Z

[W]

[V]

O

O z

Ez

X   H  ]   [ 

E

[W]

X

Y z

  H  ]   [ 

Ez E

Y

Eo Ey

  T  ]   [ 

Ex

y

o

Eo

  T  ]   [ 

Ex

x

Ey

o

y

x

 

Fig.I.13 Axonometria cilindrică se mai numeşte şi „perspectivă paralelă”.   „PROIECŢIE ORTOGONALĂ”, dacă fiecare plan de proiecţie se proiecteaz ă  ortogonal pe planul desenului, planele fiind al ăturate de-a lungul axelor comune (vezi Fig.I.8). Dubla proiecţie ortogonală face obiectul Geometriei Descriptive. În acest caz desenul proiecţiilor se numeşte „EPURĂ”.   „PROIECŢIA COTATĂ” dacă  se utilizează  proiecţia ortogonală  pe desen, numai a planului orizontal [H], în timp ce coordonata c (cota) care dă distanţa faţă de [H] se notează numeric lângă punctul denumit literar, cu majusculă. A(25)

A(25) [H]

Fig.I.14a

Fig.I.14b

 

41  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

B.II.

PROIECŢIA ORTOGONALĂ A

ELEMENTELOR GEOMETRICE B.II. 1. PROIECŢIA PUNCTULUI

B.II. 2. PROIECŢIA DREPTEI B.II. 3. PROIECŢIA PLANULUI

OBSERVAŢ  IE : Capitolul II.3 face obiectul volumului volumului II.

42  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI Ţ IE    DEFINI Ţ  Proiec ţ ia ia unui punct este o imagine a sa pe planul de proiec ţ ie ie (vezi A. PROIEC Ţ  Ţ II,   I.  DEFINI Ţ  Ţ IE)   . În cazul de fa ţă , folosind un sistem de referin ţă format din trei plane de  proiec ţ ie, ie, vom avea trei proiec ţ ii ii ale punctului, câte una pe fiecare plan de proiec ţ ie. ie. Dacă M este un punct oarecare din spa ţiu atunci proiecţiile lui vor fi: m = proiecţia orizontală a lui M pe planul de proiecţie [H] m’ = proiecţia verticală a lui M pe planul de proiecţie [V] m’’ = proiecţie laterală a lui M pe planul de proiecţie [W]

[VS]

m''

m'

E3 E2

M

M

O

M

O

O E1

[W1 ]

m  [  H     ]   A 

 

Fig.II.1.1a z

[VS]

m''

m' E2

[W1 ]

E3

M

O

E1

x

y

m  [  H     ]   A 

 

Fig.II.1.1b

OBSERVAŢ  IE: Proiec ţ iile iile punctului se notează cu litere mici.  Datorit ă  faptului că  în proiec ţ ia ia cilindrică  ortogonală  proiectantele sunt  perpendiculare pe planele planele de proiec ţ ie, ie, avem: E 1 1 = proiectant ă fa ţă de [H] ⇒   E 1 ⊥  [H]  [H]⇒  E   E 1    OZ   E 2 = proiectant ă fa ţă de [V] ⇒   E 2 ⊥  [V]  [V] ⇒   E 2    OY E 3 = proiectant ă fa ţă de [W] ⇒  E   E 3 ⊥  [W]  [W]⇒  E   E 3    OX 43  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI COORDONATELE PUNCTULUI

Mărimea distanţei de la M la un plan de proiecţie se numeşte COORDONATĂ. Pentru a fixa punctul M în spaţiu trebuie să precizăm distanţa dintre punct şi fiecare plan de proiecţie. Fie

a = distanţa de la M la [W] b = distanţa de la M la [V] c = distanţa de la M la [H]

Proiectantele fiind perpendiculare pe planele de proiecţie, rezultă  că  mărimea distanţelor (coordonatelor) se măsoară pe proiectante. Cele trei coordonate se notează în ordine alfabetică, în interiorul unor paranteze ce succed punctul şi, reprezintă distanţa de la punct la planele de proiecţie, în ordinea invers alfabetică a acestora. M(

a,

b,

c)

↓ 

↓ 

↓ 

de la M la [W]

de la M la [V]

de la M la [H]

Coordonatele se masoară în aceeaşi unitate de lungime.

z

[VS] m'

m''

 a

E2

E3

M

b 

E1

x

[W1 ]

o   c

y

m  [  H     ]   A 

 

Fig.II.1.2

44  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

ă ă Pararelele la axeunde duse M prin segmentelor un paralelipiped estecapetele simetricul punctuluia,O.b, c formeaz  împreun  cu acestea z

[VS] m'

  c

b 

M

 a

m''

[W1 ]

 a

o b 

  c

x

y m

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.1.3 În consecinţă, coordonatele se regăsesc şi pe axe, ca laturi egale în paralelipiped, a pe OX, b pe OY, c pe OZ. adică: OBSERVAŢ  IE: Coordonatele Coordonate le se măsoar ă pe axe, în ordine alfabetică a axelor. Coordonatele Coordonate le se mai numesc: a = „abscisă” b = „depărtare” c = „cot ă”. REPREZENTAREA PUNCTULUI

ŞI A PROIECŢIILOR LUI

Fie M(a, b, c). Etapele reprezent ării punctului M şi a proiecţiilor pe cele trei axe ale sistemului de referinţă sunt: 1.  Măsurarea coordonatelor Se măsoară a, b şi c pe axe, începând din O, în ordine alfabetic ă a axelor, adică: a pe OX, b pe OY, c pe OZ. z

[VS]

[W1 ]

  c

o  a

b 

x

y  [  H     ]   A 

Fig.II.1.4

 

45  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

2.  Aflarea proiecţiilor Se fixează proiecţiile punctului pe fiecare plan de proiec ţie, la intersecţia dintre paralelele duse prin capetele segmentelor a, b, c la axele ce delimiteaz ă fiecare plan, după cum urmeză: pentru m = proiecţia pe [H], se duc prin capetele segmentelor a şi b paralele la OX şi OY, axele ce delimitează [H] şi se intersectează,

 a

b 

o

x

y m  [  H     ]   A 

 

Fig.II.1.5a

pentru m’ = proiecţia pe [V], se duc prin capetele segmentelor a şi c paralele la OX şi OZ, axele ce delimitează [V] şi se intersectează,

z

[VS] m'

  c

o  a

x

 

Fig.II.1.5b

m’’ = proiecţia pe [W], se duc prin capetele segmentelor b şi c paralele pentru la OY şi OZ, axele ce delimitează [W] şi se intersectează.

46  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

z

m''

o

[W1 ]

b 

y Fig.II.1.5c

 

z

[VS] m'

  c

m''

[W1 ]

o

 a

b 

x

y m  [  H     ]   A 

Fig.II.1.5d

 

3.  Aflarea punctului M ă la axa perpendiculară  Se respectivul află punctulplan M ducând dinţiefiecare proiec ţie o ăparalel pe de proiec şi se intersecteaz . 47  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

m ∈ [H] şi

OZ ⊥ [H] ⇒ din m paralelă la OZ z o    Z    O   u

  c    ã    l   e    l   a   r   a   p

x

y

m

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.1.6a m’ ∈ [V] şi OY ⊥ [V] ⇒ din m’ paralelă la OY

z

[VS] m' p a r  

a l  e  l  ã    c u   O  Y  

o y

x  

Fig.II.1.6b m’’ ∈ [W] şi OX ⊥ [W] ⇒ din m’’ paralelă la OX z

m''  O  X   u  c u O    c   ã   l   l   a  l a  ee  p a r

[W1 ]

o

x y

 

Fig.II.1.6c

48  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

Cele trei paralele se intersectează în M.

z

[VS]

O  X m''   u  c u  O  c     l   l  ã   a  l a  ee  r  a  p

m'  p  a rr    a ll  e    l  ã    c u   O  Y  

M

[W1 ]

o

   Z    O   u   c    ã    l   e    l   a   r   a   p

x

y

m

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.1.7 Etapele 1 + 2 + 3 ⇒ M

z

[VS] m'

  c

M

m''

[W1 ]

o

 a b 

x

y m  [  H     ]   A 

 

Fig.II.1.8 Să reluăm procedura de la pag.38, Fig.I.6 având în vedere punctul M şi proiecţiile lui.

49  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

z

zZ

z

z

[W]

[V] m'

m'' [V] m'

  c

x a

  c

E2

o

M

  c

M

O

m''

[W]   c

E3

oO

y

o

b

b 

 a b 

 aM

x

y

o E1

x

y m  [  H    ]  

a

x

o    b

m [H]

y

 

Fig.II.1.9 z

z

[V]

[W] m'

m''   c

x

  c

a a

o

b

y

x    b

m [H]

y

Fig.II.1.10

50  

 

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

z [V]

[W ] m'

m''   c

x

o

a

y

b

   b

m [H]

y Fig.II.1.11 (vezi Fig.I.8)

m'

 

m''   c

x

o

a

b

y

   b

m

y

Fig.II.1.12

51

 

 

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

În ce priveşte coordonatele de pe axe se observă următoarele egalităţi:

m'

m''

  c

c

  c

x

o

a    b

y

b

   b

m

y Fig.II.1.13

 

Coordonatele se pot deci aşeza ca în figura de mai jos: z m'

m''

  c

x

a

o

b

y

   b

m

y

Fig.II.1.14

 

Rezultă următoarea regulă de poziţionare a proiecţiilor m şi m’ în sistemul de axe descris anterior: 1.  Se măsoară a pe OX din O spre stânga. 2.  Se trasează o linie verticală (⊥ OX). 3.  Se măsoară b de la OX în jos ⇒ m 4.  Se măsoară c de la OX în sus ⇒ m’. Etapele 1 ÷ 4

stânga → jos → sus

⇓ 

⇓ 

m

m’

52  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

OBSERVAŢ  IE:  Regula de mai sus este valabil valabilă numai pentru coordonate coordonatele le b  şi c pozitive.  Dacă b sau c sunt negative atunci ele se măsoar ă pe aceea şi dreapt ă suport în sens opus începând tot de la axa OX.

m'   s   u   s   c

x

a la stânga

o

y

  s   o    j    b

m

  Fig.II.1.15y Pentru m’’ se vor urma următoarele etape: 1.  Se trasează din m o linie orizontală până la intersecţia cu axa verticală. 2.  Se trasează, din acest punct, un sfert de cerc în sens trigonometric. 3.  Se trasează din acest punct, o linie verticală de mărimea cotei c. La capătul ei se găseşte m’’ (m’ şi m’’ se găsesc pe aceeaşi linie orizontală).

m'

x

m''

o

y

sens trigonometric

m

y

Fig.II.1.16

 

OBSERVAŢ  IE:  

 ţ iei laterale m’’ este valabilă indiferent 1.  Regula pentru reprezentarea reprezentarea de semnul coordonatelor b  şi proiec c ale punctului. 2.   Având în vedere pozi ţ   ţ ia ia planelor de proiec ţ ie ie fa ţă  de axe din figura I.11

 pag.40 rezult ă  că  proiec ţ iile iile orizontală  m  şi verticală  m’ pot ocupa orice  pozi ţ   ţ ii ii deasupra sau sub axa OX, dar numai în stânga punctului O, în timp ce proiec ţ ia ia laterală  m’’ poate să  apar ă  în orice loc în raport cu axele sistemului de referin ţă. 53  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

TRIEDRE ŞI OCTANŢI Cele trei plane de proiecţie împart spaţiul în opt zone numite „TRIEDRE”. Ne vom referi numai la spaţiul din faţa planului lateral [W], adică numai punctele din spaţiu cu abscisa mai mare ca 0. Acest spaţiu este împărţit în patru triedre, numerotate de la 1 la 4, în sens trigonometric, primul fiind cel delimitat de axe cu sens pozitiv. [W2] T  R  I  E   D R  -y U  L  2  

+z [VS]

 [  H     ]   P  

T  R  I  E   D R  U  L  [W3]  3 

[W1] T  R  I  E   D  o R U  L   1 

+y

x

 [  H     ]   A 

[W4] T  R  I  E   D R  U  L   4  

[VI]

-z

Fig.II.1.17

 

Privit în lungul axei OX, sistemul devine:

[VS]

[W2]

T2 -y

[H P]

T1 [HA]

ox

T3 [W3]

[W1]

T4 [VI]

[W4]

+y

 

Fig.II.1.18

PLANE BISECTOARE Numim plane bisectoare, planele care fac un unghi diedru identic atât cu [H], cât şi cu [V]. Ştiind că [H] ⊥ [V], planele bisectoare fac un unghi diedru egal cu 45 0 cu [H] şi cu [V] (vezi Fig.II.1.19). 54  

II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

Planul bisector care trece prin triedru 1 (şi în prelungire prin triedrul 3) este numit „Bisectorul 1”, iar planul bisector care trece prin triedru 2 (şi în prelungire prin triedrul 4) este numit „Bisectorul 2”. [W2] [B 2]

-y

+z [VS] [B1 ]

[ H H    ]  P 

o

x

[W3]

[W1]

[ H H A   ] 

+y [W4]

[VS]

-z

 

Fig.II.1.19 Privit în lungul axei OX sistemul de referinţă din Fig.II.1.19 devine:

T2 -y

+z

[W2]

[H P]

 [    B      ]    2   

[VS]  4 5 °

4 5   °  

ox

   ]  [W1]     1    B    [  4       5       °      

[HA]

T1 +y

T3

[W3]

[W4]

[VI]

-z

T4

Fig.II.1.20

 

55  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

Cele două plane bisectoare împart spaţiul în opt zone numite „OCTAN ŢI”, numerotate de la 1 la 8 în sens trigonometric, începând cu triedrul 1, de la planul [H A]. (vezi Fig.II.1.21)

T2

+z

 [    B      ]    [W2] 2   

[H P]

-y

O3

   ]  [VS]   [W ]   1    B 1 O2    [ 

O4

O1

ox O5

[W3]

T1

[HA]

+y

O8 O6

O7

[W4]

[VI]

T3

T4

-z Fig.II.1.21

 

Fie punctul M(a, b, c) şi proiecţiile sale pe planele de proiecţie m, m’, m’’. [W2]

+z [W1]

-y [ H  H   ]  P 

[VS]

m'

[B 1]

m''

o

M

[W3] [ H  HA   ] 

x

+y

m

[W4] [VI ]

[B 2]

-z

 

Fig.II.1.22 56  

II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

Privită în lungul axei OX fig.II.1.22 devine: +z

2

 [    [W2] B      2     ]   

[VS]

m'

[H P]

-y

1

   ]  [W1]   1     [     B M= m''

OX

[W3]

+y

m

[W4]

[VI]

T3

[HA]

T4  

Fig.II.1.23 Se observă că, în această aşezare a sistemului de referinţă (Fig.II.1.23) M ≡ m’’. ă că, pentru ţia punctului Rezult a preciza M în sistem (fa ţăţ de planele de proiecţie şi de planele bisectoare) este pozi suficient să studiem pozi ţia proiec iei m’’. Să desprindem din fig.II.1.23 planul [W].

T2

+z  [    B      ]    [W2] 2          U  [    W     ]    =  B    w   2   

  U    W    [ 

   ]     B  1     [ 

 

[W3]

T1

m''

ox

-y 4       5       °      

  w   1    B    ]   = [W1]

+y      °      5 4

[W4]

T3 Fig.II.1.24

T4  

Fie sistemul de referinţă complet, descris anterior (vezi Fig.I.1.11): +z, -y [VS] = [H P] = = [W2]

[W1 ]

m'

m''

x, -y

o

x, -y

m

[VI ] = [HA] = = [W3]

[W4 ] +y, -z

 

Fig.II.1.25

57  

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

Să desprindem din fig.II.1.25 planul [W]. +z [W2 ]

[W1 ] m''

-y

+y

o

[W3 ]

[W4 ]

-z Fig.II.1.26 Se observă similitudinea dintre fig.II.1.24 şi fig.II.1.26.

 

Deci, afirmaţia anterioară, anume că m’’ ne arată poziţia punctului M faţă de planele de sistemului este valabilă şi în cazul aşezării axelor ca în fig.II.1.25. Pentru ca fig.II.1.26 să fie identică cu fig.II.1.24 ,fig.II.1.26 trebuie completată cu B 1W    şi B W 2 . +z [W ]

[W ]

[W2 ]

  w    B  1

B   w   2   

-y

[W1 ] m'' +y

o 4       5       °      

     °      5 4

 

[W4 ]

[W3 ] -z

 

Fig.II.1.27 În concluzie, poziţia punctului M se stabileşte comparând poziţia proiecţiei m’’ cu orientarea triedrelor şi octanţilor (fig.II.1.21). OBSERVAŢ  IE: m’’ se găse şte la intersec ţ ia ia paralelelor duse prin capetele segmentelor de mărime b  şi c, cu semnele lor, a şezat pe axele OY  şi OZ.

58  

II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

OBSERVAŢ  IE:  ţ ia sa se poate  În cazul în care M se proiectează numai pe [H]  şi [V] (m  şi m’) pozi ţ  afla numai studiind semnul coordonatelor b  şi c (pentru triedre)  şi măsura coordonatelor b  şi c (pentru octan ţ i): i):

TRIEDRUL 1 TRIEDRUL 2

b>0 c>0 b0

TRIEDRUL 3

b c   b  > c   b  < c   b  < c   b  > c  

59  

B.II.1 PROIECTIA ORTOGONALA A PUNCTULUI

PUNCTE PARTICULARE P ARTICULARE

Aparţin unuia dintre planele de proiec ţie.  DENUMIRE  Dacă  un punct apar  ţ ine ine unui plan de proiec ţ ie ie va fi numit cu aceea şi liter ă  cu care numim respectivul planul de proiec ţ iie. e.

1.  H ∈ [H] 2.  V ∈ [V] 3.  W ∈ [W]. 1.  H

COORDONATE Pentru ∀ H ∈ [H] ⇒ Distanţa de la H la [H] are valoarea zero. H (a, b, 0) [W2]

+z -y [VS]

[W1]  [  H     ]   P  

       0     =      c

o b 

 a

h'

[W3]

h''

+y

H=h

x

 [  H     ]   A 

[VI ]

[W4]

-z

 

Fig.II.1.28a. Proiecţia punctului H

x

h'

       0     =      c

o

a

       b

y

h''

x

h'

       0     =      c

o

a

       b

       b

h

h

y

y 

Fig.II.1.28b Triplă proiecţie ortogonala

Fig.II.1.28c Dublă proiecţie ortogonala 60

 

B.II.1 PROIECTIA ORTOGONALA A PUNCTULUI

DISCUŢIE ASUPRA POZIŢIEI PUNCTULUI H FAŢĂ DE PLANELE DE PROIECŢIE Fie H1 (a, +b, 0); a>0  z [W2]

x

+z

h1'        b      +

-y

a

       0     = c

o

 

y

h1''

       b      +

h1 [VS]

[W1]

 [  H     ]   P  

y +z

       0     =      c

h1'

X

[W3]

 a

o+ b 

h1''

+y

H1= h1  [  H     ]   A  [VI ]

[W2]

-y

[H P]

T1 [W1]

[VS]

ox

H1= h1'' [HA] +b

-z

[W4]

+y

[W3]

[W4]

[VI ]

-z

T4

  Fig.II.1.29b Tripla proiecţie ortogonală  Fig.II.1.29c Vedere în lungul axei OX

Fig.II.1.29a

 H 1 ∈ T 1  şşi H 1 ∈ T 4  Concluzie: H 1 ∈ [H  A], unde H  A delimitează triedrele 1  şi 4 ⇒  H 

Fie H2 (a, -b, 0); a>0 

z h2

[W2]

x

+z

       b    -

h2'

h2'' a

y

       0     =      c

o

-y h2'' [VS] H2=h = h2

y +z

       0     =      c

 a

 [  H     ]   P  

[W ]

[W1]

- b  b 

o

h2'

3

[VI]

-z

[VS]

[W1]

[H P] H2= h2'' -b

ox

[HA]

[W3]

[VI]

[W4]

T1

+y

 [  H     ]   A 

x

[W2]

-y

+y

[W4]

T4 -z   Fig.II.1.30b Tripla proiecţie ortogonală  Fig.II.1.30c Vedere în lungul axei OX

Fig.II.1.30a

 H 2 ∈ T 2  şşi H 2 ∈ T 3  Concluzie: H 2 ∈ [H P], unde H P delimitează triedrele 2  şi 3 ⇒  H  OBSERVAŢ  IE: Pentru ∀   H ≡   h, iar h’  şi h’’ ∈ axelor

61  

B.II.1 PROIECTIA ORTOGONALA A PUNCTULUI

2.  V

COORDONATE ∀ V ∈ [V] ⇒ Distanţa de la V la [V] are valoarea zero. V (a, 0, c)

[W2]

+z -y  [  H  

[VS]

v''

V=v' V= v'      c

[W1]

  ]   P    a

v

o b 

= 0  

[W3]

x

 [  H     ]   A 

[W4]

[VI]

-z

 

Fig.II.1.31a Proiecţia punctului V

v'

x

v''

     c

v b=0

v'

y

o

a

x

     c

v b=0

a

o

y 

y Fig.II.1.31b Triplă proiecţie ortogonală 

Fig.II.1.31c Dublă proiecţie ortogonală 

62  

B.II.1 PROIECTIA ORTOGONALA A PUNCTULUI

DISCUŢIE ASUPRA POZIŢIEI PUNCTULUI V FAŢĂ DE PLANELE DE PROIECŢIE Fie V1 (a, 0, +c); a>0 z v1 ''

v1'

x

[W2]

     c      +

v1

a

o

b=0

+z -y [VS]

V1= v1'  [  H     ]   P  

v1''      c      +

[W1]

y

y

v1

[W3]

o b 

 a

T2

= 0  

+y

x

V1= v1''

 [  H     ]   A 

[VI ]

-z

+z [VS]

[W2]

-y

[H P]

ox

[W1]

T1

     c      +

[HA]

+y

[W4] [W3]

[VI]

[W4]

-z

  Fig.II.1.32b Tripla proiecţie ortogonală  Fig.II.1.32c Vedere în lungul axei OX

Fig.II.1.32a Concluzie

 V 1 ∈ [V S   V   V 1 ∈ T 1  şşi V 1 ∈ T 2  S],   unde V S  S  delimitează triedrele 1  şi 2 ⇒  V 

⇒ 

Fie V2 (a, 0, -c); a>0  z b=0

x

[W2]

v2

     c    -

+z

v2 ''

v2 '

-y [VS]

[W1]

y

 [  H     ]   P  

v2

     c    -

[W3]

x

o b = 0  

 a

v2''

 [  H     ]   A 

+y -y

-z

[H P]

[W4]

ox

[W1]

+y

[H A]      c    -

V2= v2''

T3

[W3]

[VI]

-z

[W4]

T4

  Fig.II.1.33b Tripla proiecţie ortogonală  Fig.II.1.33c Vedere în lungul axei OX

Fig.II.1.33a Concluzie

+z

[VS]

[W2]

V2=v = v2' [VI ]

y

o

a

 V 2 ∈ [V  I ], unde V  I  delimitează triedrele 3  şi 4 ⇒  V   V   V 2 ∈ T 3  şşi V 2 ∈ T 4 

⇒ 

OBSERVAŢ  IE: V ≡   v’, iar v  şi v’’ ∈ axelor

63  

B.II.1 PROIECTIA ORTOGONALA A PUNCTULUI

3.  W

COORDONATE ∀ W ∈ [W] ⇒ Distanţa de la W la [W] are valoarea zero. W (0, b, c) [W2]

+z

-y w'

[VS]  [  H     ]   P  

W=w'' W= w''

     c

  0  a  =

o b 

[W1]

w

[W3]

+y  [  H     ]   A 

x [VI]

-z

[W4]

 

Fig.II.1.34a Proiecţia punctului W

w'

w''

w'

     c

x

     c

y

o

a=0

x

o

a=0

       b

       b

w

w

y

y Fig.II.34b Triplă proiecţie ortogonală    Fig.II.1.34c Dublă proiecţie ortogonală  64  

B.II.1 PROIECTIA ORTOGONALA A PUNCTULUI

DISCUŢIE ASUPRA POZIŢIEI PUNCTULUI W FAŢĂ DE PLANELE DE PROIECŢIE Fie W1 (0, +b, +c);  z

w1'

w1''

     c      +

x

[W2]

y

o

a=0

+z

       b      +

w1

-y w1'

[VS]

  0  a  =

y

W1= w1''

     c      +

 [  H     ]   P  

o + 

b 

[W1]

T2

w1

[W3]

+y

[VI]

-z

[W2]

[W1]

T1

W1= w1''

     c      +

 [  H     ]   A 

x

+z [VS]

-y

ox

[H P]

+b

[HA]

[VI]

[W4]

+y

[W4] [W3]

-z

ă  Fig.II.1.35b Tripla proiecţie ortogonal   Fig.II.1.35c Vedere în lungul axei OX

Fig.II.1.35a Concluzie

 W 1 ∈ T 1   W 

⇒ 

Fie W2 (0, -b, +c);  z w2''

W2=w = w2''

+z

[VS]

w2'

-y w2

 [  H     ]   P  

       b     c    -      +

x

[W2]

- b  b 

y

o

T2 +y

+z [W2] W2=w = w2''

[VS]

-y

[H P]

-b

T1

ox

[HA]

[VI]

[W4]

+y

[W4] [W3]

-z

  Fig.II.1.36b Tripla proiecţie ortogonală  Fig.II.1.36c Vedere în lungul axei OX

Fig.II.1.36a Concluzie

[W1]

     c      +

 [  H     ]   A 

-z

y

o

[W1]

[W3]

[VI ]

a=0

     c      +

  0  a  =

x

w2' w2

 W 2 ∈ T 2   W 

⇒ 

65  

B.II.1 PROIECTIA ORTOGONALA A PUNCTULUI

Fie W3 (0, -b, -c);  z

w3        b    -

x

[W2]

a=0

+z

y

o

     c    -

-y

w3''

w3'

w3 [VS]  [  H     ]   P  

W3=w = w3''

o

  0  a  =

+z

     c    -

[W3]

 [  H     ]   A 

x

y

[W1]

- bb  

[W2]

+y

w3'

-y [VI]

[H P]

-b

[W4]

-z

[VS]

[W1]

ox

[HA]

+y

     c    -

[W3] W3= w3''

[W4]

[VI]

T3 T4 -z   Fig.II.1.37b Tripla proiecţie ortogonală  Fig.II.1.37c Vedere în lungul axei OX

Fig.II.1.37a Concluzie ⇒  W   W 3 ∈ T 3 

Fie W4 (0, +b, -c); z

x

[W2]

+z

y

o

a=0

       b      c    -      +

w4 w4'

-y

w4''

[VS] [W1]

 [  H     ]   P     0  a  =

 [  H      ]   A 

[W3]

o + 

b 

     c -

+z

w4

[W2]

+y

w4'

x

y

-y

W4=w = w4'' [VI ]

-z

[H P]

[W4]

[W1]

+b

[HA]

ox

+y

     c    -

W4= w4'' [W3]

T3

[VI]

-z

[W4]

T4

  Fig.II.1.38b Tripla proiecţie ortogonală 

Fig.II.1.38a

Fig.II.1.38c Vedere în lungul axei OX

 W 4 ∈ T 4  Concluzie ⇒  W  OBSERVAŢ  IE: W ≡   w’’, iar w  şi w’ ∈ axelor

66  

[VS]

B.II.1 PROIECTIA ORTOGONALA A PUNCTULUI

CONCLUZIE Un punct care apar  ţ ine ine unui plan de proiec ţ ie ie are proiec ţ iile iile pe planele cărora nu le apar  ţ ine, ine, pe axe, iar proiec ţ ia ia pe planul căruia îi apar  ţ ine, ine, în cuprinsul acestuia  şi în aceea şi pozi ţ ie ie cu punctul din spa ţ iu. iu.  H ∈ [H] V ∈ [V] W ∈ [W]

  H ≡    h; ⇒   V ≡     v’; ⇒  W  W ≡   w’’; ⇒ 

h’  şi h’’∈ axelor. v  şi v’’ ∈ axelor. w  şi w’ ∈ axelor.

II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.1 REPREZENTAREA DREPTEI

II.2.2 URMELE DREPTEI II.2.3 STUDIUL DREPTEI

II.2.3.1 URMELE DREPTEI II.2.3.2 ANALIZA TRIEDRELOR PARCURSE DE DREAPTĂ  II.2.3.3 STABILIREA PUNCTELOR DE INTERSECŢIE CU PLANELE BISECTOARE II.2.3.4 ANALIZA OCTANŢILOR PARCURŞI DE DREAPTĂ  II.2.3.5 ETAPELE STABILIRII TRASEULUI UNEI DREPTE. RECAPITULARE II.2.4 DREPTE PARTICULAR P ARTICULARE E

II.2.4.1 DREPTE PARALELE CU PLANELE DE PROIECŢIE II.2.4.2 DREPTE PERPENDICULARE PE PLANELE DE PROIEC P ROIECŢIE II.2.4.3 DREPTE ÎN PLANELE PLANE LE BISECTOARE II.2.4.4 DREPTE ÎN PLANELE DE PROIECŢIE II.2.5 POZIŢIA RELATIVĂ A DOUĂ DREPTE

II.2.5.1 DREPTE PARALELE II.2.5.2 DREPTE CONCURENTE II.2.5.3 DREPTE DISJUNCTE

II.2.6 MĂRIMEA UNUI SEGMENT DE DREAPTĂ  II.2.7 UNGHIURILE DINTRE DREAPTĂ ŞI PLANELE DE PROIECŢIE

67

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

B.II.2.1 REPREZENTAREA DREPTEI

 DEFINI Ţ  Ţ IE:   Dreapta este un element liniar liniar determinat de:

•  două puncte sau •  un punct  şi o direc ţ ie. ie.

DREAPTA DETERMINATĂ  DE DOUĂ PUNCTE

Fie M ≠ N; M şi N = puncte oarecare M + N =  D   z

z

m'

M

[V]

m''

[V]

[W] o

o

n'

m

x

[W]

y x

n''

N

y n

 [  H    ]  

Fig.II.2.1

 [  H    ]  

Fig.II.2.2

 

68  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

z m'

M

m''

[V]

[W] d'

D

d''

o

n'

n''

N

x

d

m

y

n

 [  H    ]   Fig.II.2.3 (Fig.II.2.1 + Fig.II.2.2) m'

z

m'

m''

d'

n''

x

n'

y

o

z

d'

d''

n'

d

 

x

o

m

d

n

m

n

y Fig.II.2.4a Triplă proiecţie ortogonală 

y

  Fig.II.2.4b Dublă proiecţie ortogonală 

OBSERVAŢ  IE : Dacă M + N =  D  ⇒  M  M ∈ D   ş  şi N ∈ D   ⇓   m ∈  d   m’ ∈  d '  

m’’∈  d ' '  

n ∈  d   n’ ∈  d '   n’’∈  d ' '  

(vezi „A IV Invarian ţ ii ii proiec ţ iilor iilor - Apartenen ţ a” a” )

69  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Fie H ≠ V; H + V =  D  unde

H ∈ [H] V ∈ [V] (vezi II.1 Puncte particulare). z

z v'' V= v'

[V]

[W]

[V]

[W]

o

o h''

x

v

h'

y x

y

H= h  [  H    ]  

 [  H    ]  

Fig.II.2.5

 

Fig.II.2.6 v''

V= v'

[V]

[W]

d' d''

o

D v d

h'

x

h''

y

H= h  [  H    ]  

Fig.II.2.7 (Fig.II.2.5 + Fig.II.2.6) v'

z

v' '

d'

x

h' d

v' d''

v

 

o

d' h''

y

x

h' d

h

z

v

o

h

y

Fig.II.2.8a Triplă proiecţie ortogonală 

y 

Fig.II.2.8b Dublă proiecţie ortogonală 

 şi V ∈ D   OBSERVAŢ  IE : Dacă H + V =  D  ⇒  H  H ∈ D   ş ⇓   h ∈  d   v ∈  d   h’ ∈  d '   v’ ∈  d '   h’’∈  d ' '   v’’∈  d ' '   (vezi „A IV Invarian ţ ii ii proiec ţ iilor iilor - Apartenen ţ a” a” )

70  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Fie H ≠ W; H + W =  D  unde

H ∈ [H] W ∈ [W] (vezi II.1 Puncte particulare).

z

z w'

[V]

W= w''

[V]

[W] o

[W]

o w h''

h'

x

y x H= h  [  H    ]  

 [  H    ]  

Fig.II.2.9

 

Fig.II.2.10 w'

W= w''

[V]

[W] d'

D

d''

o w d

h'

h''

x

y H= h  [  H    ]  

  Fig.II.2.11(Fig.II.2.9 + Fig.II.2.10) z w'

w''

d'

x

z w' d''

o

h'

d' h''

y

x

o

h'

w

w

d

d

h

h

y

y 

Fig.II.2.12a Triplă proiecţie ortogonală 

Fig.II.2.12bDublă proiecţie ortogonală 

 şi W ∈ D   OBSERVAŢ  IE : Dacă H + W =  D  ⇒  H  H ∈ D   ş

⇓   h ∈  d   h’ ∈  d '  

w ∈  d   w’ ∈  d '   h’’∈  d ' '   w’’∈  d ' '   (vezi capitolul „A IV Invarian ţ ii ii proiec ţ iilor iilor - Apartenen ţ a” a” ) 71  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Fie V ≠ W; V + W =  D  unde

V ∈ [V] W ∈ [W] (vezi II.1 Puncte particulare). z

z

v'' V=v'

[V]

[V]

[W]

[W] w'

o

o

W=w'' w'' W=

v

w

x

y x

y

 [  H    ]  

 [  H    ]  

Fig.II.2.13

 

Fig.II.2.14 v''

V=v' d'

[V]

D

d''

[W]

w'

o v

W= w''

d w

x

y  [  H    ]  

  Fig.II.2.15 (Fig.II.2.13 + Fig.II.2.14) z v''

v' d'

d''

x

o

v d

d' w''

w'

z

v'

y

x

w'

o

v d

w

w

y

y

  Fig.II.2.16b Dublă proiecţie ortogonală 

Fig.II.2.16a Triplă proiecţie ortogonală 

OBSERVAŢ  IE : Dacă V + W =  D  ⇒  V  V ∈ D   ş  şi W ∈ D   ⇓   v ∈  d   v’ ∈  d '   v’’∈  d ' '  

w ∈  d   w’ ∈  d '   w’’∈  d ' '   (vezi capitolul „A IV Invarian ţ ii ii proiec ţ iilor iilor - Apartenen ţ a” a” ) 72  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

DREAPTA DETERMINATĂ DE UN PUNCT ŞI O DIRECŢIE

•   D  ⊃ M ⇒ m ∈  d , m’ ∈  d ' , m’’∈  d ' '   (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

•  şi

 D  ||  E  

sau  D  || [P]

(vezi II.2.5 Poziţia relativă a două drepte) unde [P] = [H] sau [V] sau [W] (vezi II.2.4 Drepte particulare) sau unde [P] = oarecare (vezi Poziţia dintre dreaptă şi plan – volumul II).

B.II.2.2 URMELE DREPTEI  DEFINI Ţ  Ţ IE:   Numim „urmele dreptei” punctele punctele de intersec ţ ie ie ale dreptei cu planele de  proiec ţ ie. ie.  D  ∩  [H] = H  D  ∩  [V] = V  D  ∩  [W] = W  W  ⇓  z

z v'' V= v'

z

[V]

[V]

[W]

[V]

[W]

[W] w'

o

o

x

W= w''

v

h''

h'

o

w

y x

y x

y

H= h  [  H    ]  

 [  H    ]  

H ∈ [H]

 [  H    ]  

V ∈ [V] Fig.II.2.17 (vezi II.1 Puncte particulare).

W ∈ [W]

OBSERVAŢ  IE: Coordonatele Coordonatele punctelor H, V  şi W din figura de mai sus au valori  pozitive.

73  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

URMA ORIZONTALĂ A DREPTEI  D    D  

∩

  [H] = H

z

[V]

[W] d''

o

d' D

x

h'

h'' d

y

H= h  [  H    ]  

Fig.II.2.18

 

h ∈  d   Dacă H ∈  D   ⇒  h’ ∈  d '   h’’∈  d ' '   (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓  H ∈  D ; h ∈  d  şi H ≡ h (vezi Fig.II.2.17) ⇓  h ≡ H =  D  ∩  d   h’ ∈ OX (vezi Fig.II.2.17) h’’ ∈ OY (vezi Fig.II.2.17)

 

h’ ∈  d '   ⇓  h’ = d '  ∩ OX

h’’ ∈  d ' ' (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓  h’’ = d ' '  ∩ OY

şi h ∈  d  (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) z d'

z d''

x h'

o

d'

y

h''

x h'

d

o d

h

h

y

y

  Fig.II.2.19b Dublă proiecţie ortogonală 

Fig.II.2.19a Triplă proiecţie ortogonală 

74  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

URMA VERTICALĂ A DREPTEI  D    D   ∩  [V] = V

z v'' V=v' V= v'

[V]

[W]

d' d''

o

D v

x

d

y  [  H    ]  

Fig.II.2.20

 

v ∈  d   Dacă V ∈  D   ⇒  v’ ∈  d '   v’’∈  d ' '   (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

⇓  V ∈  D ; v’ ∈  d '  şi V ≡ v’ (vezi Fig.II.2.17) ⇓  v’ ≡ V =  D  ∩  d '   v ∈ OX v’’ ∈ OZ (vezi Fig.II.2.17) v ∈  d   v’’ ∈  d ' '  (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓  ⇓  v = d   ∩ OX v’’ = d ' '  ∩ OZ şi v’ ∈  d '  (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

z v'

v''

d'

x d

z v' d''

d'

y

o

v

x d

y

Fig.II.2.21b Dublă proiecţie ortogonală  75

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

URMA LATERALĂ A DREPTEI  D    D   ∩  [W] = W +z

W=w'' W= w''

w'

[W] [V] d' d'' w o

D

 [  H    ]  

d

+y

x

Fig.II.2.22 w ∈  d  

o

y 

Fig.II.2.21a Triplă proiecţie ortogonală 

-y

v

 

Dacă W ∈  D   ⇒  w’ ∈  d '   w’’∈  d ' '  

(vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

⇓ 

W ∈  D ; w’’∈  d ' '   şi W ≡ w’’

(vezi Fig.II.2.17)

⇓ 

w’’ ≡ W =  D  ∩  d ' '   w ∈ OY w’ ∈ OZ (vezi Fig.II.2.17) w ∈  d   w’ ∈  d '   (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓  ⇓  w = d   ∩ OY w’ = d '  ∩ OZ şi w’’ ∈  d ' '  (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) z z w''

w'

d'

w'

d''

d'

w

x

w

y x

o

o

d

d

y Fig.II.2.23a Triplă proiecţie ortogonală 

y   Fig.II.2.23b Dublă proiecţie ortogonală  76

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

z

W=w'' W= w''

w'

[W]

v''

-y

[V]

V=v' V= v'

d' d''  [  H    ]  

D

w o v

h''

+y

d

h'

x

H= h  

Fig.II.2.24

z

w''

w'

v'

v''

d'

x h'

w' v' d''

v

d

z

d'

ow

h

h'' y x h' v

d h

y

y

  Fig.II.2.25b Dublă proiecţie ortogonală 

Fig.II.2.25a Triplă proiecţie ortogonală 

77  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

T2 [W ] 2

T 1 [W ]

+z

W

[VS]

1

V

D [H P]

-y

[HA]

ox

+y

H

T

[W3]

ow

[VI]

[W4]

T

-z

3

4

Fig.II.2.26 Vedere în lungul axei OX

 

OBSERVAŢ  II:

1.   Lungimea unei drepte drepte este infinit ă.  Dacă vom considera  şi spa ţ iul iul de dincolo de planul lateral de proiec ţ ie ie [W], adică   –OX, afirma ţ ia ia de mai sus este valabilă.  Dacă vom considera numai +OX, atunci [W] limitează toate dreptele  D  

[W].

 Dreptele devin semidrepte, semidrepte, limitate de punctul W = D  ∩   [W].

2.  O dreapt ă  D  intersectează un plan într-un singur punct. ⇒  

∃  

 şi

H = ∞ dacă  D      [H], V = ∞ dacă  D      [V], W = ∞ dacă  D      [W].

 H (unic), H =  D  ∩   [H], ∃   V (unic), V =  D  ∩   [V], ∃   W (unic), W = D  ∩   [W].

78  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

B.II.2.3 STUDIUL DREPTEI  DEFIN Ţ  Ţ IE   : Studiul dreptei dreptei se refer ă la analiza traseului dreptei, cu precizarea triedrelor  şi octan ţ ilor ilor prin care trece dreapta.

II.2.3.1 STABILIREA URMELOR DREPTEI Pentru precizarea triedrelor prin care trece dreapta se vor afla mai întâi urma orizontal ă  (H) şi verticală (V) ale dreptei  D .

z v'' V=v' V= v'

[V]

[W]

d' d''

o

D x

v

h''

d

h'

y

H= h  [  H    ]  

 

Fig.II.2.27

v'

z

v ''

d'

x h'

v' d''

v

o

z

d'

y

h''

x h'

o

d

d

v

h

h

y

y  

Fig.II.2.28a Triplă proiecţie ortogonală 

Fig.II.2.28b Dublă proiecţie ortogonală 

Dacă  d , d ' , d ' '  sunt deja determinate (trasate), atunci: h’ = d '  ∩ OX v = d  ∩ OX şi

h’’ = d ' '  ∩ OY (vezi II.2.2 Urmele Dreptei)

v’’= d ' '  ∩ OZ 79

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.3.2 ANALIZA TRIEDRELR PARCURSE DE  D  

T2

+z [W2]

[VS]

[W1]

V

D

T1

-y

T3

[H P]

ox

[W3]

[VI]

H

+y

[HA]

[W4]

-z

T4

Fig.II.2.29 Vedere în lungul axei OX  

 

OBSERVAŢ  II:

1.   H ∈ [H]. Dacă H ∈  D , atunci H este punctul unde unde  D  trece dintr-un triedru în altul, vecin. 2.  V ∈ [V]. Dacă V ∈  D , atunci V este punctul punctul unde  D  trece dintr-un triedru în altul, vecin. 3.   Din observa ţ iile iile 1  şi 2 ⇒  H  H  şi V delimitează triedrele parcurse de  D . 4.   Din observa ţ iile iile 1  şi 2 ⇒  între  între H  şi V,  D  trece printr-un singur diedru. 5.   Din observa ţ iile iile 1  şi 2 ⇒  dincolo  dincolo de H  şi V,  D  intr ă în triedrele alăturate celui dintre H  şi V. 6.   Nu este necesar să se afle W =  D  ∩  [W]  [W] pentru că W nu ajut ă la stablirea triedrelor parcurse de  D . Concluzii:

1.  O dreapt ă  D  ( D   [V]  şi  D   [H]) trece prin TREI TRIEDRE AL Ă TURATE TURATE (vecine). 2.   Dacă  D  ar trece prin toate cele patru triedre,  D  ar trebui s ă intersecteze de două  ori [V] ( şi o singur ă dat ă [H]) sau de două ori [H] ( şi o singur ă dat ă [V]), ceea ce este imposibil (vezi obs. Nr.2 „urmele dreptei”).

80  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.3.2a ANALIZA TRIEDRELOR PARCURSE DE  D  ÎN TRIPLĂ PROIECŢIE

T2

+z [W2]

[VS]

[W1]

T1

V= v'=v''

D=d''

d'

-y

[H P]

ox d

h'=v

+y

[HA] H= h=h''

T3

[W3]

[VI]

[W4]

-z Fig.II.2.30 Vedere în lungul axei OX

T4

 

OBSERVAŢ  II:

1.   În a şezarea axelor de mai sus, unele proiec ţ ii ii sunt confundate, de şi sunt distincte în realitate (v’ = v’’, h = v, h = h’’). 2.   Analog d ' '  ≡    D  (disticte în realitate, vezi fig.II.2.24). 3.   Dacă , analizând proiec ţ ia ia lateral ă a unui punct (m’’) putem preciza triedrul în  care se gă seş te punctul M (vezi proiec ţ iile iile punctului), analog, analizând traseul  proiec ţ iei iei laterale d ' '   a unei drepte  D , putem preciza triedrele prin care trece  dreapta  D .

Concluzie:  În triplă proiec ţ ie ie stabilirea triedrelor prin care trece  D  se face urmărind traseul  proiec ţ iei iei laterale d ' ' .

Triedrele se vor marca pe o linie paralel ă  cu d ' ' , fiind delimitate de linii perpendiculare pe aceasta, din proiecţiile laterale ale urmelor (h’’ şi v’’).

81  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

T

2

z v'' V= v' d'

d''

o

D

h''

v

T4

d

h'

x

T1

[W]

[V]

y

H= h  [  H    ]  

 

Fig.II.2.31

z

v'

v''

d'

x h'

d

2

T1 d''

o

v

h''

T4 y

h

y Fig.II.2.32

82  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

 

II.2.3.2b ANALIZA TRIEDRELOR PARCURSE DE  D  ÎN DUBLĂ PROIECŢIE OBSERVAŢ  II: 1.   Numai utilizând d ' ' , putem preciza direct traseul traseul dreptei  D  în triplă proiec ţ ie. ie. 2.   În cazul dublei proiec proiec ţ ii, ii, unde avem la dispozi ţ   ţ ie ie d   şşi d '  se pot stabili doar limitele triedrelor  şi anume, urma orizontală H  şi verticală V. 3.  Pentru a afla în ce triedru se află  D  în intervalul (H…V) se studiază semnul + sau  – al coordonatelor coordonatelor b  şi c ale unui punct oarecare de pe dreapt ă , din acest interval. Triedrele se vor marca pe o linie paralel ă la OX, fiind delimitate de linii perpendiculare pe aceasta, din proiecţiile punctelor H şi V.

z

p' v'

   0    >    P   c

d'

x

h'    0    <    N   c    0    >    N    b

n' n

h

m'    0

   >    M   c    0    >    M    b

p d v

   0    <    P    b

o

m

T4

T1 Fig.II.2.33

T2 y  

•  Fie M ∈  D , M între H şi V. Dacă ∀M ∈  D , M ∈ (H…V), cM > 0 şi bM > 0 ⇒ intervalul (H…V) este T1. •  Fie N ∈  D , N lateral faţă de H. Dacă ∀N ∈  D , N ∈ (∞…H), cN < 0 şi bN > 0 ⇒ intervalul (∞…H) este T4. •  Fie P ∈  D , P lateral faţă de V. Dacă ∀P ∈  D , P ∈ (V…∞), cP > 0 şi bP < 0 ⇒ intervalul (V…∞) este T2. OBSERVAŢ  IE: Este suficient să se stabilească în modul de mai sus numai două din cele trei triedre prin care trece dreapta, anume triedrul dintre H  şi V,  şi unul dintre cele laterale, avându-se în vedere ca triedrele sunt vecine. 83  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.3.3 STABILIREA PUNCTELOR DE INTERSECŢ INTERSECŢIE CU PLANELE BISECTOARE II.2.3.3.a B1  acelaşşi semn. •  Fie B1 ∈ [B1]. Pentru (∀)B1, b = c, b şi c au simultan acela

T2

[H P]

-y

-b   c   -

  c    +

   W  1 -b    B    ] ,,   B1, b1''    B  1  4 

   [ 

T3

[W3]

   W  1 [W1]    B ,,      ]    1 

[VS]

[W2]

5  °  

T1

+b    [     BB1, b1''   c    +

+b ox, o

[HA]

+y

  c   -

[W4]

[VI]

T4

Fig.II.2.34a [W]      Y

   +     O      Z    e   a    +    r        i    o   a      l    u    c    t     u      h      i      i   s   e    n   g       b     u

+z [V]

b''1

+b = +c

+y   c    +   b  +

 [  H    ]  

o   b  -

  c   -

-y

 [  H    ]  

x b''1      Z       O    e   a      Y      r        i    a     u      l     t   o     u      i    e   c      h    s      i    g       b     u   n

-b = -c

-z

  Fig.II.2.34b +b se măsoară pe +OY, +c se măsoară pe +OZ ⇒ b1’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului +ZO+Y -b se măsoară pe -OY, -c se măsoară pe -OZ ⇒ b1’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului -ZO-Y Dacă B1 ∈  D  ⇒ b1’’ ∈  d ' '  (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇒ b1’’ ∈ bisectoarea unghiului ZOY, -ZO-Y. b1’’ ∈  d ' '   ⇓  b1’’ = d ' '  ∩ bisectoarea unghiului ZOY, -ZO-Y.

84  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

[W]      Y

+z +b = +c

[V]

   +     O    a    +      Z    e      i     a   r     u      l     t   o     u    c      i    e      i   s      h    g       b     u   n

b''1

d''1

+y

  c    +   b  +

 [  H    ]  

o   b  -

 [  H    ]  

  c   -

-y

x -b = -c

b''1

d''2

     Z       O    a      Y    e        i     a   r     u      l     t   o     u    c    e      i      i   s      h    g       b     u   n

-z  

Fig.II.2.35

+z(-y)

+z(-y)   +   Y   O   a   e    Z   r     c  c   t    t   o     a  a   e 1 d''    b   i  s  n  g    h   i  u   l  u   i    i  +    u

x(-y)

O

b''1

+y

sau

x(-y)

o

d''2    Z   a    Y  O   e    e   r   -  t  o  a  u   l  u   i   c   e    i    h    b   i  s  n  g    u

+y

b''1

+y(-z)

+y(-z) Fig.II.2.36

 

OBSERVAŢ  IE:  În tripla proiec ţ ie ie unghiul ZOY = 900 , bisectoarea unghiului este o direc ţ ie ie înclinat ă  0 la 45  fa ţă de OY (axa orizontală)  şi OZ (axa verticală).

(planul lateral în triplă  proiec ţ ie ie este determinat de axele OY orizontal ă   şi OZ verticală) 85  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B1  •  +b = +c

+z

[W]

[V] d'

d''

D

b''1

b'1 B1

o

d

x

  Y  e a   Z  O +   r e  a   oo   i +  +  e c  t  i  u  l  u  s   s   i   b  g    h   u  n

b1

[  H    ] 

 

Fig.II.2.37 OBSERVAŢ  IE: -   prima proiec ţ ie ie determinat ă este b1’’ (vezi pag. 85); -   B1 =  D   ∩  paralela  paralela la OX din b1’’; -  b1’ = d '  ∩  paralela  paralela la OY din B1; -  b1  = d   ∩  paralela  paralela la OZ din B1.

+z(-y) d'

x

d''

b'1   c    +    b    +

b1

  +   Y   O   a   e    e   a  r    i  +    Z   o   t   e  c   h   i  u   l  u   s    i    b   n  g    u

b''1 d

y

o

Fig.II.2.38 Tripl+y(-z) ă proiecţie

 

OBSERVAŢ  IE: -   prima proiec ţ ie ie determinat ă este b1’’ (vezi pag.85); -  b1’ = d '  ∩  paralela  paralela la OX din b1’’; -  b1 ∈  d . 86  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

•  -b = -c [W]

+z

+y [W]

[V]

d'

d''

o

[  H    ] 

d

-y

[  H    ] 

b''1

    Z     a    O  a   e  e   u     i      i    Y   -    o   a   r     l   c   t     i   u   s  e     h     i     b    n  g     u

x

b'1 B1

[W]

b1

D

-z

[V]  

Fig.II.2.39 OBSERVAŢ  IE: -   prima proiec ţ ie ie determinat ă este b1’’ (vezi pag.85); -   B1 =  D   ∩  paralela  paralela la OX din b1’’; -  b1’ = d '  ∩  paralela  paralela la OY din B1; -  b1  = d   ∩  paralela  paralela la OZ din B1.

z(-y)

b1

x(-y)

   b   -

d

o

  c   -

b'1

y

d'

b''1 d''

y(-z) Fig.II.2.40 Triplă proiecţie

 

OBSERVAŢ  IE: -   prima proiec ţ ie ie determinat ă este b1’’ (vezi pag.85); -  b1’ = d '  ∩  paralela  paralela la OX din b1’’; -  b1 ∈  d . 87  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B1 ÎN DUBLĂ PROIECŢIE Pentru determinarea proiecţiilor punctului B1 în dublă proiecţie ortogonală se trasează  simetrica uneia dintre proiecţiile dreptei faţă de OX. Fie d '  proiecţia a cărei simetrică se va trasa.

v'

+b = +c b > 0, c > 0

z

d' b'1

x h'

=   c    +

v

   b    + =

b1

s  i    f     a   þ   m  e  t    ã     r   i    d   e   c  a    O      p   p   X    r   o  i    e  c    þ  i    e  i     d    '   

Fig.II.2.41

-b = -c b < 0, c < 0

x

b1

=    b

     i  d   '   e    i    þ   e  c   o   i   r   a  p     X   c    i   r     e   t   d  e   O   m    ã    s   i   a   þ    f

o

y 

+z(-y)

h

o

v

    c   -=

b'1

d' v'

+y(-z)  

Fig.II.2.42

88  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

sau Fie d  proiecţia a cărei simetrică se va trasa.

+z f     a   þ  s  i   m  e  t    ã     r   i    +b = +c d   e   c  a    O      p   p  r    b > 0, c X    o  i    e  c    þ  i   e   i    d   

=   c    +

x h'

>0

b'1 v

   b    + =

o

b1

d h

  Fig.II.2.43

h

-b = -c b < 0, c < 0

d

x

h'

   b     c   -

  d    e   i i

b1 b'1

v

o

   i    þ   e  c    i   o   p   r   a    i  c    X     e   t  r  d  e   O    ã    s   i  m  a   þ    f

 

Fig.II.2.44

89  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Pentru ∀B1, cu b1’ ∈  d '   şi b1  ∈ liniei simetrice a proiecţiei d '  faţă de OX, sau b1 ∈  d   şi b1’ ∈ liniei simetrice a proiecţiei d  faţă de OX, b = c; b şi c au simultan acelaşi semn (vezi Fig.II.2.38 şi Fig.II.2.40). Dacă B1 ∈  D  ⇒ b1 ∈  d  (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” ) Dacă B1 ∈ [B1] ⇒ b1’ ∈  d '   şi b1  ∈ liniei simetrice a proiecţiei d '  faţă de OX (vezi pag.88) ⇓ 

b1 = d  ∩ simetrica proiecţ proiecţiei d '  fa  faţă ţă de  de OX

v'

z

+b = +c b > 0, c > 0

x h'

d'   c= b'1    +

v

   b    + =

d h

b1

o

s  i    m   f     a    þ  ã    e  t     d    r   i    e    c  a   p   O      p   X    r   o  i    e  c    þ  i    e  i     d    '   

Fig.II.2.45

y 

-b = -c b < 0, c < 0

h

x h'

b1

+z(-y)

  d   '      i   e    i    þ   e  c   o   i   r   a  p     X   c    i     e   t  r  d  e   O   m      i    ã   s   a   þ    f

d

=    b     c   -=

o

v

b'1 d' v'

+y(-z)  

Fig.II.2.46 90  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Dacă B1 ∈  D  ⇒ b1’ ∈  d '  (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) Dacă B1 ∈ [B1] ⇒ b1 ∈  d  

şi b1’ ∈ liniei simetrice a proiecţiei d  faţă de OX (vezi pag.89) ⇓  b1’ = d '  ∩ simetrica proiecţ proiecţiei d  fa  faţă  de OX ţă de s  i    f     a   þ   m  e  t    ã     r   i    +b = +c d   e   c  a    O      p   p  r    b > 0, c X    o  i    e  c    þ  i   e   i    d    '   

d'

x h'

+z >0

b'1 v

=   c    +    b    + =

v

o

d b1 h Fig.II.2.47

+y   +z

bb   c

v

[W3]

d'' 1

[W1] W= w''

o d1

=

   0    >   c

w

+y

 [  H     ]   A 

x

[W4]

[VI]

-z

  Fig.II.2.68 [W1]

+z [VS]

+y

v''w' [W2] d''1 W= w''

D1

V= v'

 [  H     ]   A 

=

o

=

   0    >   c

-y

d'1

d1

   0    >   c

v

[W4]

w

 [  H    P    ]  

[W3]

x

[VI ]

-z  

Fig.II.2.69

105  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Vedere în lungul axei OX

T2

[W2]

[VS] V

[H P]

-y

[W3]

T3

   0    >   c

[W1] D1

ox

[HA]

[VI]

[W4]

-z Fig.II.2.70

T1

+y

T4

 

din figurile anterioare se suprapun. OBSERVAŢ  IE: 1. Traseele dreptelor din 2. Pentru ∀   pozi ţ ie ie a punctului W (W ∈ [W 1] sau W ∈ [W 2])  D1   trece prin acelea şi triedre.

106  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

W ∈ [W1] Triplă proiecţie

T2 v'

T1

d'1 =d''1 w' v''

   0 =    >   c

d''1

   0 =    >   c

   0 =    >   c

O

x(-y)

w''

+y

v d1

w

+y(-z) Fig.II.2.71

W ∈ [W1] Dublă proiecţie

 

z    0    <

x

m'

v'

   0 =   m    >  .    b    t   c   =   c

d'1

   0 =    >  .    t   c   =   c

v

n'    0 =    >  .    t   c   =   c

o    0    >

d1

  n

   b

n

T2

T1 y  

Fig.II.2.72

M ∈  D1   M(aM, bM, c) unde bM < 0 ⇒ M ∈ Triedrului 2 N ∈  D1   N(aN, bN, c) unde bN > 0 ⇒ N ∈ Triedrului 1

107  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

W ∈ [W2] Triplă proiecţie

T2

T1 w

d'1 = d''1

w''

v'    0 =    >   c

x(-y)

v

w' v''    0 =    >   c

o

d''1

+y

d1

+y(-z) Fig.II.2.73

W ∈ [W2]

 

Dublă proiecţie

d'1

   0    <   n    b

v' n'

m'

   0 =    >   c

x(-y)

n

o

v

   0    >

  m

   b

d1

m

T1

T2 +y(-z)

 

Fig.II.2.74 M ∈  D1   M(aM, bM, c) unde bM > 0 ⇒ M ∈ Triedrului 1 N ∈  D1   N (aN, bN, c) unde bN < 0

 N ∈ Triedrului 2

⇒

Concluzie: Dacă ∀   M ∈  D1  orizontală , c > 0 ⇒   D1  ∈ T 1  şşi  D1  ∈ T 2 . 108  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

 

2. c < 0 OBSERVAŢ  IE: Exist ă două posibile trasee diferite pentru  D1  (c < 0), în func ţ ie ie de  pozi ţ   ţ ia ia punctului W,  şi anume dacă  W ∈ [W 3] (vezi Fig.II.2.75) W ∈ [W 4] (vezi Fig.II.2.76).

[W1]

+z +y [VS]

[W2]

 [  H     ]   A 

o w

d1

v

[W4]

-y

x

 [  H     ]   P   d''1

w' v''

D1

W=w''

d'1

V= v' [VI]

[W3]

-z  

Fig.II.2.75

[W2]

+z -y [VS]

[W1]

 [  H     ]   P  

o v

d1

w

[W3]

x

+y =   c

 [  H     ]   A  w' d'1 v'' d''1

V= v' [VI ]

D1

-z

=   c

W= w'' [W4]

 

Fig.II.2.76 109  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Vedere în lungul axei OX

T2

+z [W2]

[VS]

[W1]

T1

[H P]

-y

[HA]

ox    0        =    <   c V

T3

[W3]

+y

D1

[W4]

[VI]

-z

T4

 

Fig.II.2.77

OBSERVAŢ  IE: 1. Traseele dreptelor din din figurile anterioare se suprapun. 2. Pentru ∀   pozi ţ ie ie a punctului W (W ∈ [W 3] sau W ∈ [W 4])  D1   trece prin acelea şi triedre.

110  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

W ∈ [W3] Triplă proiecţie

+z(-y) w d1

x(-y)

v

o

+y

   0 =    >   c

d'1 =d''1 w''

   0 =    >   c

d''1

w' v''

v'

T3

T4 +y(-z)

 

Fig.II.2.78 W ∈ [W3] Dublă proiecţie

+z(-y) n    0    <

d1

x(-y)

  n

   b

v

   0    >

   0 =    >   c

  mm'    b

v'

m

o

d'1 n'

T4

T3 +y(-z) Fig.II.2.79

M ∈  D1   M(aM, bM, c) unde bM > 0 ⇒ M ∈ Triedrului 4 N ∈  D1   N(aN, bN, c) unde bN < 0

 N ∈  Tiedrului 3

⇒

111  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

W ∈ [W4] Triplă proiecţie

T3 x(-y)

T4

 

o

v    0

+y

   0

=    >   c

d1

d'1 =d''1

=    >   c

w' v''

w''

d''1

v' w

+y(-z)

 

Fig.II.2.80 W ∈ [W4] Dublă proiecţie

d1

x(-y)

m

   0    <

o

v

  m

   b

   0    < =   c

d'1

n'

m' v'

   0    >   n

   b

n

T3

T4 Fig.II.2.81

+y(-z)  

M ∈  D1   M(aM, bM, c) unde bM < 0 ⇒ M ∈ Triedrului 3 N ∈  D1   N(aN, bN, c) unde bN > 0 ⇒ N ∈ Triedrului 4

Concluzie: Dacă ∀   M ∈  D1  orizontală , c < 0 ⇒    D1  ∈ T 3  şşi  D1  ∈ T 4..

112  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2.  D2   DENUMIRE : FRONTAL FRONTALĂ Ă 

POZIŢIE:  D2  |||| [V] Consecin ţă : Toate punctele de pe dreapt ă se găsesc la aceea şi distan ţă fa ţă de [V]. sau

∀   ∈  ∀ M   

   b ⇒  ⇒ b

= constant

 D2  

 

COORDONATELE a două puncte de pe dreaptă M ≠ N, M ∈  D2   şi N ∈  D2 , sunt următoarele: M (a, b, c) N (a1, b, c1).

z

z

[VS ]

[VS ]

[W1 ]

m'

b    = n'

b    =

o

M

x

m''

o

n''

b    =

N

b    =

[W1 ]

b    =

b    =

m

y x

y

n

 [  H     A   ]  

 [  H     A   ]  

Fig.II.2.82

Mm’’ ≠ Nn’’ Mm’ = Nn’ = b  Mm ≠ Nn M + N =  D2  

113  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

 

z

  = m' b  b    =

[VS ] d'2 n'

[W1 ] M

o

b    =

m'' d''2 n''

D2

b    =

N

d2

x

m

y

n

 [  H     ]   A    Fig.II.2.83 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI Triplă proiecţie

Dublă proiecţie

z

z

d'2 n'

o

x =    b

m'

m'' d''2 n''

m'

d'2 n'

o

y x

b

  =

=    b

=    b

d2 n

d2 m

n

y

m

y Fig.II.2.84

114  

Ţ

=    b

Ă

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

DETERMINAREA URMELOR DREPTEI z

w'

b    =

[VS]

[W1 ] W=w''

d'2

h'

x

o

d''2

D2

h'' w

d2

b    =

y H= h

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.2.85  D2   = H + W d 2   = h + w d '2   = h’ + w’ d ' ' 2   = h’’+ w’’

Triplă proiecţie ortogonală  w'

Dublă proiecţie ortogonală  z

d'2

x

z

w'' d''2

o

h'

b

  =

h''

d'2

yx

=

=

   b

   b

d2 h

o

h'

d2 w

h

y

y 

Fig.II.2.86 URMELE DREPTEI 1.   D2   ∩ [H] = H  H ≡ h =  D2   ∩  d 2   h’ = d '2  ∩ OX h’’ = d ' ' 2  ∩ OY (vezi II.2.3.1, Urmele dreptei, Fig.II.2.18 F ig.II.2.18 şi II.2.19) 2.   D2   || [V] ⇒  D2   [V] ⇒  V ∈  D2  

 

3.  D2   ∩ [W] = W W ≡ w’’ =  D2   ∩  d ' ' 2   w = d 2  ∩ OY w’ = d '2  ∩ OZ (vezi II.2.3.1, Urmele dreptei, Fig.II.2.22 F ig.II.2.22 şi II.2.23). 115

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

STUDIUL DREPTEI FRONTALE 1.  b > 0 OBSERVAŢ  IE: Exist ă două posibile trasee diferite pentru  D2  (b > 0), în func ţ ie ie de pozi ţ   ţ ia ia punctului W,  şi anume dacă: W ∈ [W 1] (vezi Fig.II.2.87) W ∈ [W 4] (vezi Fig.II.2.88). [W2]

+z -y w' b     = >  0  

[VS] d'2

 [  H     ]   P  

o [W3]

D2 d2

h' b    = >  0  

[W1] W=w'' W= w'' d''2

h'' w

+y

H= h  [  H     ]   A 

X

[W4]

[VI]

-z

 

Fig.II.2.87 [W2]

+z -y [VS]

[W1]

D2

 [  H     ]   P  

d'2 h' [W3]

o b    = >  0  

d2

H= h  [  H     ]   A 

X

h'' w

+y d''2

w' [VI ]

W=w'' W= w'' [W4]

-z Fig.II.2.88

 

116  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Vedere în lungul axei OX

T2

+z [VS]

[W2]

[W1]

T1

D2 [H P]

-y

[W3]

T3

ox

b >0

[VI]

-z Fig.II.2.89

H

[HA]

+y

[W4]

T4

 

OBSERVAŢ  IE: 1. Traseele dreptelor din figurile anterioare se suprapun. 2. Pentru ∀   pozi ţ ie ie a punctului W (W ∈ [W 1] sau W ∈ [W 4])  D2   trece prin acelea şi triedre.

117  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

W ∈ [W1] Triplă proiecţie

+z(-y) w'

w''

d'2

x(-y)

d''2

o

h'    0 =    >    b

T1 +y

h''

b >  = 0

   0 =    >    b

d2

h

T4

w

+y(-z)

 

Fig.II.2.90

W ∈ [W1] Dublă proiecţie

n'    0    >

d'2

x(-y)

  n   c

h'    0    <

  m

  c

   0 =    >  .    t   c   =    b

m

o d2

h m'

T4

n

T1 +y(-z)

Fig.II.2.91

 

M ∈  D2   M(aM, b, cM) unde cM < 0 ⇒ M ∈ Triedrului 4. N ∈  D2   N(aN, b, cN) unde cN > 0 ⇒ N ∈ Triedrului 1

118  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

W ∈ [W4] Triplă proiecţie

+z(-y) d'2

d''2

x(-y)

o

h'

d2

   0 =    >    b

T4

w w'

w''

+y(-z)

 

Fig.II.2.92

W ∈ [W4] Dublă proiecţie

+z(-y) m'    0    >

d' 2

  m

  c

x(-y)

+y

b >  = 0 h''

   0 =    >    b

h

T1

o

h'    0 =    >  .    t   c   =    b

d2 m

T1

   0    <   n

h

n n'

T4

  c

+y(-z)  

Fig.II.2.93 M ∈  D2   M(aM, b, cM) unde cM > 0

⇒

N ∈  D2   N (aN, b, cN) unde cN < 0

⇒

 M ∈ Triedrului 1  N ∈ Triedrului 4

Concluzie: Dacă ∀   M ∈  D2   frontală b > 0 ⇒   D2  ∈ T 1  şşi  D2  ∈ T 4 .

119  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2.  b < 0 OBSERVAŢ  IE: Exist ă două posibile trasee diferite pentru  D2   (b < 0), în func ţ ie ie de pozi ţ   ţ ia ia punctului W,  şi anume dacă  W ∈ [W 2] (vezi Fig.II.2.94)

W ∈ [W 3] (vezi Fig.II.2.95). [W1]

+z +y

[VS] [W2] W= w'' d''2

 0  0   < <   b       =

D2 o

h'' d2 w

-y

w'

 [  H     ]   A 

d'2

 0  0   < <   b       =

h' [W4]

H= h  [  H     ]   P  

x

[VI]

[W3]

-z   Fig.II.2.94 [W1]

+z [VS] [W2]

+y  [  H     ]   A 

o h'' w

-y

D2 d

h'

 0  < 0 ⇒ M ∈ Triedrului 2 N ∈  D2  

N(aN, b, cN) unde cN < 0

 N ∈  Tiedrului 3

⇒

Concluzie: Dacă ∀   M ∈  D2   frontală b < 0 ⇒    D2  ∈ T 2  şşi  D2  ∈ T 3.

123  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

3.   D3  

DENUMIRE : DE PROFIL  POZIŢIE:  D3  |||| [W]

Consecin ţă  ţă :  : Toate punctele de pe dreapt ă se gă găsesc la aceea ş  şii distan ţă  ţă fa  fa ţă  ţă de  de [W]. ∈  D3  ⇒     a = constant  sau ∀   ∀ M    ⇒ a COORDONATELE a două puncte de pe dreaptă cu M ≠ N, M ∈  D3  şi N ∈  D3 , M (a, b, c) sunt următoarele: N (a, b1, c1).

z

Z

m''

  a

[VS ]

      =

m'

M

  a

[VS]

[W1 ]

[W1 ]

      =   a

      =

o

o

n'

  a

n''

      =   a

N

      =

x

  a

      =

m

y x

n

 [  H     ]   A 

 [  H     ]   A 

  Fig.II.2.101

Mm’’ = Nn’’ = a  Mm’ ≠ Nn’ Mm ≠ Nn M + N =  D3  

124  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

z

[VS]

m'' m'

[W1 ]

  a

M

d'3 n'

      =

d''3

D3 o   a

      =

m

d3

N

n''

x

y

n

 [  H   A    ]  

 

Fig.II.2.102

PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Triplă proiecţie

Dublă proiecţie

m' d'3 n'

m''

x

n''

o

a

  =

m' d'3 n'

d''3

y x

a

  =

m

o

m

d3

d3

n

n

y 

y Fig.II.2.102 125  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

DETERMINAREA URMELOR DREPTEI

z v''

  a

      =

[VS]

V=v' V= v'

[W1 ] d''3

d'3

D3

o h'

v

d3

h''

x

  a

      =

y H= h

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.2.104  D3  = H + V

d 3  = h + v d '3  = h’ + v’ d ' '3  = h’’ + v’’ Triplă proiecţie ortogonală 

Dublă proiecţie ortogonală  z

v'

z

v''

v' ?

d'3

x

v h'

d''3 a

  =

o

d'3 h''

y x

v h'

d3

a

  =

o

d3 h?

h

y

y 

Fig.II.2.105

OBSERVAŢ  ie ortogonală ortogonală nu se pot determina ambele proiec ţ ii ii ale OBSERVAŢ  IE: În dubla proiec ţ ie umelor H ş H şii V, din cauza traseului proiec ţ  proiec ţ iilor iilor dreptei d   ≡    d '   ≡   linia de 3 3 ordine a punctelor H ş H  şii V. (perpendicular ă pe OX). Pentru determinarea proiec ţ iilor iilor urmelor H ş H şii V este necesar ă TRIPLA PROIEC Ţ  Ţ IE   ORTOGONAL Ă . URMELE DREPTEI 1.  D3  ∩ [H] = H

2.  D3  ∩ [V] = V 

H ≡ h =  D3  ∩  d 3  

V ≡ v’ =  D3  ∩  d '3  

h’ = d '3  ∩ OX

v = d 3  ∩ OX

h’’ = d ' '3  ∩ OY

v’’ = d ' '3  ∩ OZ

(vezi II.2.3.1, Urmele dreptei, Fig.II.2.18 şi II.2.19) 3.  D3  || [W] ⇒  D3  

(vezi II.2.3.1, Urmele dreptei, Fig.II.2.20 şi II.2.21) [W] ⇒  W ∈  D3  

126  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

STUDIUL DREPTEI DE PROFIL 1. c > 0

OBSERVAŢ  OBSERVA Ţ  IE: Exist ă dou  douăă posibile trasee diferite pentru  D3  (cV  > 0), în func ţ  func ţ ie ie de pozi ţ   ţ ia ia punctului H, ş H,  şii anume dacă dacă:  H ∈ [H  A] ⇒  b  b > 0 (vezi Fig.II.2.106)  H ∈ [H P] ⇒  b  b < 0 (vezi Fig.II.2.107). [W2]

+z -y   a

v''

      =

[W1]

V=v' V= v'

 [  H     ]   P  

d'3 [VS]

D3

h' v

[W3]

d''3

o d3

h''

  a

+y

      =

 [  H   H= h   ]   A 

x

[W4]

[VI ]

-z  

Fig.II.2.106 [W1]

+z v''

+y

a   = V=v'

[W2]

D3

d''3

h''

-y

O d3

  = a 

v

h' [W4]

 [  H  H= h   ]   P  

[W3]

 [  H     ]   A 

d'3 [VS]

x

[VI]

-z   Fig.II.2.107

127  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Vederi în lungul axei OX

T2

+z [W2]

[VS] V    0    >

D3

[W1]

T1

  c

-y

ox

[H P]

b >0

[W3]

H

[W4]

[VI]

T3

+y

[HA]

T4

-z Fig.II.2.108

T2

+z [VS]

[W2]

[W1]

 

T1

V

D3 [H P]

-y

H

 

   0      >   c

b=< 0

[W3]

ox

[HA]

[VI]

[W4]

T3

+y

T4

 

Fig.II.2.109

OBSERVAŢ  II : OBSERVAŢ  1.  Traseele dreptelor din figurile anterioare NU se suprapun. 2.   Dac  Dacăă b > 0,  D3  str ăbate, în ordine, triedrele 2, 1, 4. 3.   Dac  Dacăă b < 0,  D3  str ăbate, în ordine, triedrele 1, 2, 3.

128  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

H ∈ [HA]

Triplă proiecţie 2

+z( y) v'    0      >   c

x(-y)

T1 d''3

d'3 v h'

   0      >    b

v''

a

  =

o

h'' y

T4

d3 h

+y(-z)

 

Fig.II.2.110

H ∈ [HA] Dublă proiecţie

+z(-y) v' ? d'3

x(-y)

v h'

a

  =

o

d3 h?

+y(-z)   Fig.II.2.111

129  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

H ∈ [HP]

Triplă proiecţie d''3

d 3 =d'3 v'

x(-y)

   0      >    0     c    <    b

T1

v''

h

v h'

a   =

h''

o

T2

y

T3 +y(-z)

 

Fig.II.2.112

H ∈ [HP] Dublă proiecţie

+z(-y) d 3 =d'3 v' ? h ?

x(-y)

v h'

a

  =

Fig.II.2.113

o

+y(-z)  

OBSERVAŢ  Ţ  IE: OBSERVA  În dubla proiec ţ ie ie ortogonală ortogonală proiec ţ ia ia urmelor H ş H  şii V fiind nedeterminat ă (vezi Observa ţ  Observa ţ ie ie pag.126) nu se pot preciza triedrele prin care trece dreapta  D3 .  În concluzie, dubla proiec proiec ţ ie ie ortogonală ortogonală a dreptei  D3  este irelevant ă.

130  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2.  c < 0

OBSERVAŢ  OBSERVA Ţ  IE: Exist ă dou  douăă posibile trasee diferite pentru  D3  (cV  < 0), în func ţ  func ţ ie ie de pozi ţ   ţ ia ia punctului H, ş H, şii anume dacă dacă   H ∈ [H  A] ⇒  b  b > 0 (vezi Fig.II.2.114)  H ∈ [H P] ⇒  b  b < 0 (vezi Fig.II.2.115). [W2]

+z -y [VS]

[W1]

d'3

 [  H     ]   P  

D3

d''3

o h' [W3]

  a

d3  

v

=

H= h

X

[VI]

  a

h''  [  H     ]   A 

+y

v''

      =

[W4]

V=v' V= v'

-z  

Fig.II.2.114 [W1]

+z +y [W2] d'' 3

D3

 [  H     ]   A 

o h''

a   =

[VS] d3 v h' H=h

-y

x

 [  H     ]   P  

a   =

v'' [W3]

[W4]

d'3 [VI] V= v'

-z   Fig.II.2.115

131  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Vederi în lungul axei OX

T2

+z [VS]

[W2]

[W1]

T1

D3 [H P]

-y

ox

[HA]

b>0    0      <   c

+y

H

V

[W3]

[VI]

[W4]

T

T

3

T2

4

Fig.II.2.116

+z [VS]

[W2]

[W1]

 

T1

D3 [H P]

-y

ox

H  b=< 0

[HA]

+y

   0      <   c

V

[W3]

T3

[W4]

[VI]

-z

T4  

Fig.II.2.117

OBSERVAŢ  Ţ  II: OBSERVA 1.  Traseele dreptelor din figurile anterioare anterioare NU se suprapun. 2.   Dac  Dacăă b > 0,  D3  str ăbate, în ordine, triedrele 1, 4, 3. 3.   Dac  Dacăă b < 0,  D3  str ăbate, în ordine, triedrele 2, 3, 4.

132  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

H ∈ [HA] Triplă proiecţie

d 3 =d'3

x(-y)

d''3

v h'    0      <   c

a

  =

o

y

h''

T1

h v'

T4

v''

T3 +y(-z)

 

Fig.II.2.118

H ∈ [HA] Dublă proiecţie

+z(-y) x(-y)

v h'

d 3 =d'3

a

  =

o

h? v'?

+y(-z) Fig.II.2.119

 

133  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

H ∈ [HP] Triplă proiecţie

d'3

T2

d''3

h

x(-y)

   0      <    b

v h'

   0      <   c

d3

o

a h''

  =

y

T4

v''

v'

T3

+y(-z)

 

Fig.II.2.120 H ∈ [HP] Dublă proiecţie

v h'

x(-y)

d 3=d'3

a

  =

o

h? v'?

+y(-z)   Fig.II.2.121

OBSERVA OBSERVAŢ  Ţ  IE:  În dubla proiec ţ ie ie ortogonală ortogonală proiec ţ ia ia urmelor H ş H  şii V fiind nedeterminat ă (vezi Observa ţ  Observa ţ ie ie pag.126) nu se pot preciza triedrele prin care trece dreapta  D3 .

 În concluzie, dubla proiec proiec ţ ie ie ortogonală ortogonală a dreptei  D3  este irelevant ă. Concluzie finală finală referitoare la dreptele particulare D1 ,  D2 ,  D3 :  Dacăă o dreapt ă este paralelă  Dac paralelă cu unul dintre planele de proiec ţ  proiec ţ ie, ie, ea are proiec ţ iile, iile,  pe celelalte plane cu care care nu este paralelă paralelă , paralele cu axele de proiec proiec ţ ie. ie. 134  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.4.2 DREPTE PERPENDICULARE PE UN PLAN DE PROIECŢIE OBSERVAŢ  IE: Dacă o dreapt ă este perpendicula perpendicular  r ă pe unul dintre planele de  proiec ţ ie, ie, ea este paralelă cu celelalte două.  [H] ⇒   ⇒    [V]  D4  ⊥  [H]  D4    [V]  D4    [W]  [W]   [V]  D5  ⊥  [V]

⇒  

 [H]  D5    [H]  D5    [W]  [W] 

 [W]  D6  ⊥  [W]

⇒  

 D6    [H]  [H]  D6    [V]  [V] 

4.   D4  

DENUMIRE : VERTICALĂ  POZIŢIE:  D4  ⊥ [H] Consecin ţ e :

 D4    [V]  [V]

⇒  

 D4  = frontală (vezi  D2 )

 D4    [W]  [W]

⇒    D4  = de profil (vezi  D3 ). adică : Toate punctele de pe dreapt ă se găsesc la o aceea şi distan ţă fa ţă  de [V]  şi la o alta, fa ţă de [W]   sau ∀   ∈  D4  ⇒  ct.  (vezi  D2 ) ∀  M    ⇒   b = ct.  a = ct. (vezi  D3 ). 

COORDONATELE a două puncte de pe dreapt ă M ≠ N, M ∈  D4  şi N ∈  D4 , sunt M (a, b, c) următoarele: N (a, b, c1). z

[VS]

z

m'

b    =

  a

M

[VS]

[W1 ] m''

[W1 ]

      =

n'

o

o b    =

 

  a=

n''

N

x

y x m

y n

A   [  H     ]  

A   [  H     ]  

 

Fig.II.2.122 Mm ≠  Nn Mm’ = Nn’ = b  Mm’’ = Nn’’ = a  M + N =  D4  

135  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

z

m'

[VS]

d'4

[W1 ]

b    =

m''   a

      =

n'

b    =

o

d''4

M

D4

n''   a

      =

N

x

y m=n=d 4

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.2.123

PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Triplă proiecţie

Dublă proiecţie

z m' n'

x

z m''

d'4

m'

d''4 n'' a

  =

o

n'

y

x

d'4 a

  =

o

=

=

   b

   b

m=n=d4

m=n=d4

y

Y  Fig.II.2.124

136  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

DETERMINAREA URMELOR DREPTEI

z

[VS]

[W1 ] D4

d''4

d'4

o h'

b    =

x

h''   a

y

      =

H=h=d 4

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.2.125

Triplă proiecţie ortogonală 

Dublă proiecţie ortogonală 

z d'4

x

h' =

   b

z d''4

a

  =

o

h''

d'4

y x

h' =

   b

a

  =

o

h=d4

h=d4

y

y 

Fig.II.2.126 URMELE DREPTEI 1.   D4  ∩ [H] = H  H ≡ h =  D4  ∩  d 4   h’ = d '4  ∩ OX h’’ = d ' '4  ∩ OY (vezi II.2.3.1, Urmele dreptei, Fig.II.2.18 F ig.II.2.18 şi II.2.19) 2.   D4  || [V] ⇒  D4   [V] ⇒  V ∈  D4   3.   D4  || [W] ⇒  D4  

[W] ⇒  W ∈  D4   137

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

STUDIUL DREPTEI VERTICALE ie de OBSERVAŢ  IE: Exist ă două posibile trasee diferite pentru  D4 , în func ţ ie  pozi ţ   ţ ia ia punctului H,  şi anume dacă:  H ∈ [H  A] ⇒  b > 0 (vezi Fig.II.2.127)  H ∈ [H P] ⇒  b  b < 0 (vezi Fig.II.2.131). 1. b > 0 

[W2]

+z _y [VS] d'4

 [  H     ]   P  

[W1]

D4

d''4

o [W3]

h' b    = >  0  

  a

h''   ]   A 

      =  [   H  

H=h=d H= h=d 4

+y

x

[VI ]

[W4]

-z  

Fig.II.2.127 Vedere în lungul axei OX

T2

+z [VS]

[W2]

[W1]

T1

D4

-y

ox

[H P]

b >0

[W3]

H

[W4]

[VI]

T3

+y

[HA]

T4

-z

 

Fig.II.2.128 OBSERVAŢ  IE: Dacă b > 0,  D4  str ăbate triedrele 1  şi 4. 138  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

H ∈ [HA] Triplă proiecţie

+z(-y) d'4

x(-y)

h'

d''4 a   =

o

h''

   0      >    b

=

T1 +y T4

h=d 4

+y(-z)

 

Fig.II.2.129

H ∈ [HA] Dublă proiecţie

+z(-y)

d'4

x(-y)

h'

o

a

  =

   0      >    b

=

h=d4

+y(-z)

 

Fig.II.2.130 OBSERVAŢ  IE: Având în vedere că traseul dreptei de mai sus este perpendicular pe OX, marcarea triedrelor  şi octan ţ ilor ilor prin care trece dreapta nu se poate face pe o linie paralelă cu OX, deoarece la dreapta  şi la stânga urmei H nu exist ă nici un segment care să apar  ţ in ină dreptei  D4 . (vezi Fig.II.2.33  şi II.2.62)

139  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2. b < 0

[W1]

+z +y

[VS] [W2]

D4

d'4

o

h' a   =

-y

 0  0  <  <   b       =

d''4 h''  [  H     ]   P  

H=h=d H= h=d 4

[W3]

 [  H     ]   A 

[W4]

x

[VI]

z   Fig.II.2.131

Vedere în lungul axei OX

T2

+z [W2]

[VS]

[W1]

ox

[HA]

[VI]

[W4]

T1

D4

[H P]

H

b   = 0 (vezi Fig.II.2.139) S]   ⇒  c V ∈ [V  I ] ⇒  c  c < 0 (vezi Fig.II.2.143). 1. c > 0 

[W2]

+z -y V=v' V= v'=d' =d'5

v'' d''5

[VS]

 [  H     ]   P  

   0   =    >   c

  a

D5

0

v

d5

[W3]

[W1]

 [  H     ]   A 

+y

x [W4]

[VI]

-z   Fig.II.2.139 Vedere în lungul axei OX

T2 [W2]

D5

V    0    >   c

[H P]

-y

1

[W1] T

+z [V S]

[W3]

T3

ox

[HA]

[VI]

[W4]

-z

Fig.II.2.140 OBSERVAŢ  IE: Dacă c > 0,  D5  str ăbate triedrele 1  şi 2. 145  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

V ∈ [VS] Triplă proiecţie

T

+z(-y) T

+y

T4

 

2

v'=d'5

1

d''5

v''

   0  

x(-y)

   >   c

v

+y

o

a   =

d5

+y(-z)

 

Fig.II.2.141

V [VS] Dublă proiecţie v'=d'5

x(-y)

   0      >   c

v

a

  =

o

d5

+y(-z) Fig.II.2.142

 

OBSERVAŢ  IE: Având în vedere că  traseul dreptei de mai sus este perpendicular pe OX, marcarea triedrelor  şi octan ţ ilor ilor prin care trece dreapta nu se poate face pe o linie paralelă  cu OX, deoarece la dreapta  şi la stânga urmei V nu exist ă  nici un segment care să apar  ţ in ină dreptei  D5 . (vezi Fig.II.2.33  şi II.2.62)

146  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2. c < 0

[W2]

+z -y [VS]

[W1]

 [  H     ]   P     a

o

v [W3]

d5

 [  H     ]   A 

+y

[VI ]

x

   0      < =   c

v''

V=v'=d' V= v'=d'5

d''5

[W4]

D5 -z

 

Fig.II.2.143

Vedere în lungul axei OX

+z

T2 [W ] 2

[H P]

[VS]

[W1]

ox

[HA]

   0         =    <   c

V

[W3]

[VI]

+y

D5 [W4]

T3

T4 Fig.II.2.144

OBSERVAŢ  IE: Dacă c < 0,  D5  str ăbate triedrele 3  şi 4.

147  

T1

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

V ∈ [VI] Triplă proiecţie

+z(-y)

v

x(-y)

a

+y

o

  =

   0      <   c

d''5

v''

v'=d'5

T2

d5

T1 +y(-z)

 

Fig.II.2.145

V ∈ [VI] Dublă proiecţie

+z(-y)

x(-y)

v

a

  =

o

   0      <   c

v'=d'5

d5

+y(-z) Fig.II.2.146

 

OBSERVAŢ  IE: Având în vedere că  traseul dreptei de mai sus este perpendicular pe OX, marcarea triedrelor  şi octan ţ ilor ilor prin care trece dreapta nu se poate face pe o linie paralelă  cu OX, deoarece la dreapta  şi la stânga urmei V nu exist ă  nici un segment care să apar  ţ in ină dreptei  D5 . (vezi Fig.II.2.33  şi II.2.62)

148

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

6.   D6  

DENUMIRE : FRONTO - ORIZONTALA  POZIŢIE:  D6  ⊥ [W] Consecin ţ e :

 D6    [H]  [H]

 [V]  D6    [V]

⇒   ⇒  

 D6  = orizontală   D6  = frontală 

(vezi D1 ) (vezi D2 ).

adică : Toate punctele de pe dreapt ă se găsesc la o aceea şi distan ţă fa ţă  de [H]  şi la o alta, fa ţă de [V]   sau ∀   ∈  D6  ⇒  ∀  M    ⇒   c = ct. (vezi  D1 )  b = ct. (vezi  D2  ). 

COORDONATELE a două puncte de pe dreapt ă M ≠ N, M ∈  D6  şi N ∈  D6 , sunt următoarele: M (a, b, c) N (a1, b, c).

z

[VS]

z

[W1 ]

[VS]

[W1 ] n'

o

m'   =

  =

o b 

m''

b 

  c

n''

  c

M

x

N =

y x

n

=

m  [  H     ]   A 

 [  H     ]   A 

Fig.II.2.147

Mm = Nn = c Mm’ = Nn’ = b  Mm’’ ≠  Nn’’ M + N =  D6  

y

 

149  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

z

[VS ]

[W1 ] n' d'6

o

m'   =

b 

N

D6 M

x

m''=n''=d''6

b    =

  c =

d6

  c =

y

n

m [  

H    A  ]  

 

Fig.II.2.148

PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Triplă proiecţie

Dublă proiecţie

z

x

m' d'6

n'

  c

=

c =

=    b

=    b

z m''=n''=d''6

o

b

  =

y x

m' d'6

n'

  c

=

c =

=    b

=    b

d6 m

o

d6 n

m

y

n

y

 

Fig.II.2.149

150  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

DETERMINAREA URMELOR DREPTEI

z

w'

[VS]

b =

 

d'6

[W1 ] W= w''=d''6

o

D6 =   c

w

x

d6

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.2.150 Triplă proiecţie ortogonală 

y

Dublă proiecţie ortogonală 

z d'6

z

w'

d'6

w''=d''6

=

=

  c

o

x

  c

o

y x

b

  =

=    b

=    b

d6

d6 w

y

  Fig.II.2.151

URMELE DREPTEI 1.   D6  || [H] ⇒  D6   [H] ⇒  H ∈  D6  

2.   D6  || [V] ⇒  D6  

[V] ⇒  V ∈  D6  

3.   D6  ∩ [W] = W 

W ≡ w’’ =  D6  ∩  d ' '6   w = d 6  ∩ OY w’ = d '6  ∩ OZ (vezi II.2.3.1, Urmele dreptei, Fig.II.2.22 F ig.II.2.22 şi II.2.23) 151  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

STUDIUL DREPTEI FRONTO-ORIZONTALE OBSERVAŢ  IE: Exist ă patru posibile trasee diferite pentru  D6 , în func ţ ie ie de  pozi ţ   ţ ia ia punctului W,  şi anume dacă: W ∈ [W 1] ⇒  b  b > 0, c > 0 (vezi Fig.II.2.152) W ∈ [W 2] ⇒  b < 0, c > 0 (vezi Fig.II.2.156) W ∈ [W 3] ⇒  b  b < 0, c < 0 (vezi Fig.II.2.160) W ∈ [W 4] ⇒  b  b > 0, c < 0 (vezi Fig.II.2.164).  1. b > 0, c > 0  [W2]

+z -y w'   =  b  >  0   [W1] W=w''=d'' W= w''=d''6

[VS] d'6

 [  H     ]   P  

o

D6

   0 =    >   c

w

[W3]

d6

x

 [  H     ]   A 

+y

[W4]

[VI ]

-z

 

Fig.II.2.152 Vedere în lungul axei OX

T2

+z [W2]

[VS] b >0

[W1] W=D6

T1

-y

[H P]

ox

[W3]

[VI]

T3

   0    >   c

[HA]

+y

[W4]

T4

-z

 

Fig.II.2.13 OBSERVAŢ  IE : Dacă b > 0  şi c > 0,  D6  se găse şte exclusiv în triedrul 1. 152  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

W ∈ [W1] Triplă proiecţie

+z(-y) d'6

w'

w''=d''6

   0 =    >   c

x(-y)

T1

o

d6

b >  = 0

+y

   0 =    >    b

w

+y(-z) Fig.II.2.154

W ∈ [W1] Dublă proiecţie

+z(-y) d'6

x(-y)

m'    0    >    M   c    0

o

 

   >    M    b

d6

m

T1

+y(-z)

Fig.II.2.155 Concluzie:

 

Dacă ∀   M ∈  D6  = fronto-orizotală 

 b > 0 şi c > 0 ⇒  D6  ∈  T 1 .

153  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2. b < 0, c > 0 

[W1]

+z +y

[VS]   0       =   b <

W=w''=d'' W= w''=d''6 [W2]

   0 =    >   c

w -y

w'

D6 o d6

[W4]

x

 [  H     ]   P  

[W3]

 [  H     ]   A 

d'6

[VI]

-z   Fig.II.2.156

Vedere în lungul axei OX

T2

+z [W2]

[VS]

[W1]

T1

W=D6 b < 0 [H P]

-y

   0    >   c

[W3]

T3

ox

[HA]

[VI]

[W4]

+y

T4

-z

 

Fig.II.2.157 OBSERVAŢ  IE : Dacă b < 0  şi c > 0,  D6  se găse şte exclusiv în triedrul 2.

154  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

W ∈ [W2] Triplă proiecţie

+z(-y) d'6

w''=d''6

d6

T2

w' w    0

   >    0  c    < =    b

x(-y)

o

+y

+y(-z) Fig.II.2.158

W ∈ [W2] Dublă proiecţie ortogonală 

 

+z(-y) d'6

T2 m'

d6

m

x(-y)

   0    <   m    b

   0    >   m   c

o

+y(-z) Fig.II.2.159

Concluzie:

Dacă ∀   M ∈  D6  = fronto-orizotală 

 b < 0 şi c > 0 ⇒  D6  ∈  T  2 .

155  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

3. b < 0, c < 0 

[W1]

+z +y

[VS]

 [  H     ]   A  [W2]

o w d6

-y

[W4]

 [  H     ]   P   [W3]

x    0   0    < =   b <       =   c

w'

[VI ]

d'6

W=w''=d'' W= w''=d''6 -z

D6

Fig.II.2.160

 

 

Vedere în lungul axei OX

T2

-y

+z [W2]

[VS]

[W1]

[H P]

ox

[HA]

[VI]

[W4]

T1

+y

   0    <   c

b 0, c < 0 

[W2]

+z -y [W1]

[VS]

 [  H     ]   P  

o w [W3]

x

 [  H     ]   d A  6 [VI ]

w' b     

+y    0 =    <

 

>  0     c

d'6

W=w''=d'' W= w''=d''6

-z

[W4]

D6

  Fig.II.2.164 Vedere în lungul axei OX

T2

-y

+z [W2]

[VS]

[W1]

[H P]

ox

[HA]

b>0

T1

+y

   0    <   c

W=D6 [W3]

[W4]

[VI]

T3

T4

-z Fig.II.2.165

 

OBSERVAŢ  IE : Dacă b > 0  şi c < 0,  D6  se găse şte exclusiv în triedrul 4.

158  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

W ∈ [W4] Triplă proiecţie

x(-y)

o

   0 =    >    b

d6

w

d'6

w'

+y

b >  = 0    0    <   c

w''=d''

T4 +y(-z) Fig.II.2.166

6  

W ∈ [W4] Dublă proiecţie ortogonală 

+z(-y) x(-y)

o

   0    >   m d6    b

m

d'6

m'

T4

   0    <   m   c

+y(-z)  

Fig.II.2.167

Concluzie:

Dacă ∀   M ∈  D6  = fronto-orizotală 

 b > 0 şi c < 0 ⇒  D6  ∈  T  4 .

Concluzie final ă referitore la dreptele perpendiculare pe planele de proiec ţ ie: ie:  Dacă o dreapt ă este perpendicul perpendicular  ar ă pe unul dintre planele de proiec ţ ie, ie, are  proiec ţ ia ia pe acel plan un punct, iar celelalte proiec ţ ii ii paralele cu axele.

159

 

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.4.3 DREPTE DIN PLANELE DE PROIECŢIE

I. 

DREPTE CE APARŢIN UNUI PLAN DE PROIECŢIE

II. 

DREPTE CE APARŢIN AMBELOR PLANE DE PROIECŢIE 1.   D  ∈ [V] şi  D  ∈ [W] 2.   D  ∈ [H] şi  D  ∈ [W] 3.   D  ∈ [H] şi  D  ∈ [V]

1.   D  ∈ [H] 2.   D  ∈ [V] 3.   D  ∈ [W]

162  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

I. 

DREPTE CE APARŢIN UNUI PLAN DE PROIEC ŢIE

1.   D  ∈ [H]

Fie H ∈ [H] (vezi II.1 Proiecţia ortogonală a punctului. Puncte particulare)

z [VS ]

[W1 ] x

O

h'

h''

O

y

h''

h'

x

y H =h  [  H     ]   A 

h y

 

Fig.II.2.168

Fig.II.2.169

şi H1 ≠ H2; H1 ∈ [H], H2 ∈ [H], H1 + H2 =  D  

z [VS ]

[W1 ]

h'1 d'

x

h'2

O

x h''1

d''

h''2 D =d H1=h1 H2 =h2

y

d

∀   H ∈ [H],

y

h2 y Fig.II.2.171 

Fig.II.2.170

Dacă pentru

O h1'' d'' h'2'

h1

 [  H     ]   A 

ie: Observa ţ ie:

h1' d' h'2

H ≡   h, iar h’ şi h’’ se află pe axe

(vezi II.1 Proiec ţ ia ia ortogonală a punctului. Puncte particulare); analog,  , iar d '  şi d ' '  se afl ă pe axe.   ∀   ∀    D ∈ [H],  D  ≡   ≡    d  ,

163

 

 

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Fie  D1   [H] (vezi II.2.4 Drepte particulare) z z d''1

d'1

[VS ]

[W1 ]

D1

 .       t      c     =      c

=

 .       t      c     =      c

O

d'1

d''1

=

x

 .       t      c     =      c

=

O

y

=

d1

x

 .       t      c     =      c

y

d1

 [  H     ]   A 

y

Fig.II.2.172

 

Fig.II.2.173  D1    d 1 ,

d '1    OX, d ' '1   OY,

la distanţa c = ct. de axe. Dacă c = ct. = 0,  D1  devine:

z z [VS ]

[W1 ]

d'1

x

O

d''1

D1=d1

y  [  H     ]   A 

Fig.II.2.174 Concluzie:

x

d'1

O

d''1

y

d1

y Fig.II.2.175

 

Dacă  D  ∈ [H], atunci ea este o dreapt ă particular ă ,  şi anume,  o orizontal ă  D  ≡   ≡    D1 , pentru care c = ct. = 0. Proiec ţ iile iile dreptei vor avea acela şi traseu cu ale oricărei orizontale, dar la distan ţ a c = 0 fa ţă de axe, adică: ∀   se afl ă pe axe. ∀    D1  ∈ [H],  D1  ≡   ≡    d 1  , iar d '  şi d ' '1   se 1

164  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Urmele dreptei  D1  (c = 0)

z z [VS]

V=v'=v

[W1 ] x v=v'

w'=v'' d'1 O d''1 D1=d1

w'=v'' d''1

w''

y

O W=w''=w

x

y  [  H     ]   A  Fig.II.2.176

H:

d'1

d1 w y Fig.II.2.177

 

[H], pentru că are o infinitate de puncte comune cu [H], (Intersecţia unei drepte cu un plan este un punct şi nu o infinitate de puncte)

 D1  ∈ [H], dar  D1  

⇒  H ∈  D1 .

V:

d 1  ∩ OX = v, V ≡ v’ şi v’v = c

(vezi II.2.4 Drepte particulare  D1 )

Dar c = 0 ⇒  V = v’ = v.

W:

d 1  ∩ OY = w; W ≡ w’’ şi w’’w = c

Dar c = 0 ⇒  W = w’’ = w.

(vezi II.2.4 Drepte particulare  D1 )

165  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2.   D  ∈ [V]

Fie V ∈ [V] (vezi II.1 Proiec ţia ortogonală a punctului. Puncte particulare)

z

[VS]

 v''

[W1 ]

z

V =v'

O x

x

 v

y

v'

v''

v

O

y

y

 [  H   A    ]   Fig.II.2.178

 

Fig.II.2.179

şi V1 ≠ V2; V1 ∈ [V], V2 ∈ [V], V1 + V2 =  D   z V2=v'2  v''2 d''2 [VS]  v''1 D2=d'2

x

V1=v'1 d 2 o  v2  v1

[W1 ]

z v'2 x

y

v'1 v1

d'2 d2

v2

v'' 2 d''2 v'' 1

o y

 [  H     ]   A  Fig.II.2.181 

Fig.II.2.180 ie: Observa ţ ie:

Dacă pentru

∀  V ∈ [V],

V ≡   v’, iar v  şi v’’ se află pe axe

(vezi II.1 Proiec ţ ia ia ortogonală a punctului. Puncte particulare) analog,

y

∀   ∈ ≡   ∀ ∀      D ∈ [V],  D  ≡ ≡      d ' ,

iar d  şi d ' '  se afl ă pe axe.

 

166  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Fie  D2   [V] (vezi II.2.4 Drepte particulare)

z b  = c  ct t .     =

d'2

[VS]

[W1 ] D2

z

d''2

d'2

o x

x

d2

b =  c t     = .

 .       t      c     =        b

y

=

d''2 y

b=ct. =

 .         t      c     =        b

o

=

d2

 [  H     ]   A 

y

Fig.II.2.182

 

Fig.II.2.183  D2    d '2 ,

 OX, d ' ' 2  OZ,

d 2  

la distanţa b = ct. de axe. Dacă b = ct. = 0,  D2  devine:

z

[VS]

D2=d'2

d''2

[W1 ]

Z d'2

d2

o

x

x

y  [  H     ]   A 

d''2

d2

y

o y

  Fig.II.2.184 Concluzie:

Fig.II.2.185

Dacă  D  ∈ [V], atunci ea este o dreapt ă particular ă ,  şi anume,  o frontal ă  D  ≡   ≡    D2 , pentru care b = ct. = 0. Proiec ţ iile iile dreptei vor avea acela şi traseu cu ale oricărei frontale, dar la distan ţ a b = 0 fa ţă de axe, adică: ∀   se afl ă pe axe. ∀    D2  ∈ [V],  D2  ≡   ≡    d '2 , iar d 2  şi d ' '2   se 167

 

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Urmele dreptei  D2  (b = 0)

z W=w''=w' [VS]

D2=d'2

d2

d''2

o

[W1 ]

z d'2

w=h'' x h=h'

d2

w'=w'' d''2 w=h'' y

o x

H=h'=h

y y

 [  H     ]   A  Fig.II.2.186

H:

d '2  ∩ OX = h’, H ≡ h şi h’h = c

  Fig.II.2.187

(vezi II.2.4 Drepte particulare  D2 )

Dar b = 0 ⇒  H = h’ = h.

V:

[V], pentru că are o infinitate de puncte comune cu [V], (Intersecţia unei drepte cu un plan este un punct şi nu o infinitate de puncte)

 D2  ∈ [V], dar  D2  

⇒  V ∈  D2 .

W:

d '2  ∩ OZ = w’; W ≡ w’’ şi w’’w’ = b

(vezi II.2.4 Drepte particulare  D2 )

Dar b = 0 ⇒  W = w’’ = w’.

168  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

3.   D  ∈ [W]

Fie W ∈ [W] (vezi II.1 Proiec ţia ortogonală a punctului. Puncte particulare)

z

[VS]

[W1 ]

w'

z w'

W=w"

O

y

x

w

x

w"

y  [  H     ]   A 

w O y  

Fig.II.2.189

Fig.II.2.190

şi W1 ≠ W2; W1 ∈ [W], W2 ∈ [W], W1 + W2 =  D  

z

[VS]

w'1 d' w'2

W1=w" 1 [W1 ] D =d" W2=w" 2

z w'2

w" 2

o w1

x

d

x w2

d

d w'1

w" 1

y

w2 o d w1 y

y

 [  H     ]   A 

  Fig.II.2.192 

Fig.II.2.191 Observa ţ ie: ie:

Dacă pentru

∀   W ∈ [W],

W ≡   w’’, iar w  şi w’ se află pe axe

(vezi II.1 Proiec ţ ia ia ortogonală a punctului. Puncte particulare) analog, ∀   ∀    D ∈ [W],  D  ≡   ≡    d ' ' , iar d '  şi d  se afl ă pe axe. 

169  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Fie  D3   [W] (vezi II.2.4 Drepte particulare)

z .  c  t   a  =      =

[VS]

[W1 ] d'3

z

d"3

D3

    =

a=ct.

d'3

o x

x

      = .  c  t   a  =

d3

y

d"3     =

d3

y

o

    =

a=ct.

 [  H     ]   A  Fig.II.2.193

Fig.II.2.194  D3   d ' '3 , d 3   OY, d '3 

 OZ,

la distanţa a = ct. de axe. Dacă a = ct. = 0,  D3  devine:

z

y  

[VS]

[W1 ]

d'3

z

D3=d" 3 d'3

o

d"3 y

x

d3

x

y

d3

o

 [  H     ]   A  y Fig.II.2.196

Fig.II.2.195 Concluzie:

 

Dacă  D3  ∈ [W], atunci ea este o dreapt ă particular ă ,  şi anume,  o dreptă de profil  D  ≡   ≡    D3 , pentru care a = ct. = 0.

Proiec ţ iile iile dreptei vor avea acela şi traseu cu ale oricărei drepte de  profil, dar la distan ţ a a = 0 fa ţă de axe, adică: ∀    se afl ă pe axe. ∀    D3  ∈ [W],  D3  ≡   ≡    d ' '3 , iar d 3  şi d '3  se

170  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Urmele dreptei  D3  (a = 0)

z

[VS ]

d'3

V =v"=v' [W1 ]

z

D3=d" 3 h'=v

x

d'3

o d3 H =h=h"

 [  H     ]   A  Fig.II.2.197

H:

v"=v'

d ' '3  ∩ OY = h’’, H ≡ h şi hh’’ = a

x

y

d"3

h'=v d3 h

h"

y

o

y

 

Fig.II.2.198

(vezi II.2.4 Drepte particulare  D3 )

Dar a = 0 ⇒  H = h = h’’. V:

d ' '3  ∩ OZ = v’’; V ≡ v’ şi v’v’’ = a

(vezi II.2.4 Drepte particulare  D3 )

Dar a = 0 ⇒  V = v’ = v’’.

W:

 D3  ∈ [W], dar  D3

 [W], pentru că are o infinitate de puncte comune cu [W],

(Intersecţia unei drepte cu un plan este un punct şi nu o infinitate de puncte)

⇒  W ∈  D3 .

171  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

INTERSECŢIA DREPTELOR DIN PLANELE DE PROIECŢIE

1.   D1  ∩  D2 ,  unde  D1  ⊂ [H] şi  D2  ⊂ [V] (vezi II.2.4.3 Drepte Particulare în planele de proiecţie) Dacă  D1  ⊂ [H],

 D2  ⊂ [V] şi  D1  ∩  D2  = I1 

⇓ 

⇓ 

I1 ∈ [H] ⇓  i1’∈ Ox

I1 ∈ [V] ⇓  i1 ∈ Ox

⇒ I1 = [H] ∩ [V] (vezi II.1 Proiecţia ortogonală a punctului. Puncte particulare)

⇓  I1 ≡ i1’ ≡ i1 şi I1, i1’, i1 ∈ Ox

z

z [VS] D2=d'2

[W1 ]

d"2

O =i"1

x

d''1

y

 [  H     ]   A 

y

Fig.II.2.199

 

Fig.II.2.200

i1 

= d 1  

∩  d 2

i1’

= d '1  

∩  d '2

i1’’

= d ' '1   ∩  d ' '2  ,

 ,  ,

i1 

∈ Ox

i1’

∈ Ox

i1’’ = O

172  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2.   D  ∩  D ,  1

3

unde  D1  ⊂ [H] şi  D3  ⊂ [W] (vezi II.2.4.3) Dacă  D1  ⊂ [H],

 D3  ⊂ [W] şi  D1  ∩  D3  = I2 

⇓ 

⇓ 

I2 ∈ [H] ⇓  i2’’∈ Oy

I2 ∈ [W] ⇒ I2 = [H] ⇓  i2 ∈ Oy ⇓  I2 ≡ i2’’ ≡ i2 şi I2, i2’’, i2 ∈ Oy

∩ [W]

z z [VS] d'3 i'2=O d'1

x

y

d1

D1=d1

I1=i1=i'1

d"2 d'1=d2 i" O

i=i'

d'1=d2 d''1

x

d'2

d"1 =d3 D1=d1  [  H     ]   A 

[W1 ] D3=d" 3

x

d'1

I2=i2=i"2

y

d1

d'3

d"1

d"3

i"2

y

i'2=O d3 i2 y

 

Fig.II.2.201 i2  = d 1  

Fig.II.2.202 i2  ∈ Oy ∩  d 3   ,

i2’

= d '1  

∩  d '3

i2’’

= d ' '1   ∩  d ' '3  ,

 ,

i2’ = O i2’’

∈ Oy

3.   D2  ∩  D3 , unde  D2  ⊂ [V] şi  D3  ⊂ [W] (vezi II.2.4.3) Dacă  D2  ⊂ [V],

 D3  ⊂ [W] şi  D2  ∩  D3  = I3 

⇓ 

⇓ 

I3 ∈ [V] ⇓  i3’’∈ Oz

I3 ∈ [W] ⇒ I3 = [V] ∩ [W] ⇒ I3 ∈ Oz ⇓  i3’ ∈ Oz (vezi II.1 Puncte particulare) ⇓  I3 ≡ i3’ ≡ i3’’ şi I3, i3’, i3’’ ∈ Oz z z

I3=i'=i" 3 3 [VS ] D2=d'2

i'3=i"3

[W1 ] D =d" d"2 =d' =d3' 3 3 d2 d3 i3= O

x

d'2

x

d"2 =d'3

d"3

y

d2 i3 = O d3

y  [  H     ]   A 

y

Fig.II.2.203 i3  = d 2  

∩  d 3

 ,

 

Fig.II.2.204 i3  = O

i3’

= d '2   ∩  d '3   ,

i3’

i3’’

= d ' '2   ∩  d ' '3  ,

i3’’

∈ Oz ∈ Oz

173  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II. 

DREPTE CE APARŢIN AMBELOR PLANE DE

ŢIE PROIECŢ PROIEC

ie: 1. O dreapt ă apar  ţ ine ine atât unui plan, cât  şi unui al doilea, dac ă este Observa ţ ie: dreapta lor de intersec ţ ie. ie. sau: dacă   D  = [P ] ∩  [P  [P ], atunci  D  ∈ [P ]  şi  D  ∈ [P ]. 1

2

1

2

2. O dreapt ă apar  ţ ine ine unui număr n de plane, dacă planele trec toate  prin aceast ă dreapt ă.

sau: dacă   D  = [P1] ∩  [P  [P2] ∩  …  … ∩  [P  [Pn], atunci  D  ∈ [P1],  D  ∈ [P2], … D  ∈ [Pn].

[P2] [P1]

[P4]

D

Fig.II.2.205

 

3. Dacă  D  este dreapta de intersec ţ ie ie dintre două plane, nu exist ă un al treilea plan perpendicular pe celelalte dou ă , căruia dreapta  D  să îi apar  ţ in ină. sau: dacă  D   =[P1]  ∩  [P  [P 2]  şi [P3] ⊥  [P  [P1],  şi [P3] ⊥  [P  [P 2], atunci  D   ∉  [P3] . 

Consecin ţă: Nu ∃     D , astfel încât  D  ∈ [H],  D  ∈ [V] şi  D  ∈ [W],  simultan.

174  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

1.   D  ∈ [V] şi  D  ∈ [W]  D  ∈ [V] şi  D  ∈ [W]

⇓   D  ∈ [V] ∩ [W] = Oz Oz ⊥ [H] ⇒   D  ≡  D4  ⊥ [H] = o dreaptă verticală (vezi II.2.4 Drepte particulare). Pentru ∀ M ∈  D4  verticală b = ct. şi a = ct. (vezi II.2.4 Drepte D repte particulare).

⇒ ∀ I ∈ Oz, b = ct. = 0 şi a = ct. = 0.

z

[VS]

z

m'

m" [W ]

b =     = M . c t .  c  t   = d'4   a

d'4= D4 =d''4

[VS]

1

I =i'=i"

         -

D4

O x

b =     = c t .

d''4

d 4 =i= O

.  c  t   a  =          -

y x

d 4 =m

b=0;a=0

 [  H     ]   A 

 [  H     ]   A 

Fig.II.2.206

Fig.II.2.207

dacă   D4  ≡ Oz ⇒  D4  ≡  d '4  ≡  d ' '4    D4  (= Oz) ∩ [H] = O (originea) = d 4  

pentru ∀ I ∈  D4  

i’ ∈  d '4   i’’∈  d ' '4   i

[W1 ]

∈  d 4

  (vezi A.IV Invarianţii proiecţiei Apartenenţa)

⇓  I ≡ i’ ≡ i’’, i = O (originea axelor).

175  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Urmele dreptei  D4  ( D4  = [V] ∩ [W] )

z

[VS ]

d'4= D4 =d4''

[W1 ]

d 4 =H =h=h'=h"

y

 

O x

y  [  H     ]   A 

H:

 

Fig.II.2.208  D4  ⊥ [H] = verticală (vezi II.2.4 Drepte particulare  D4 )  D4  ∩ [H] = H = h, hh’ = b, hh’’ = a

V:

dar, b = 0, a = 0 ⇒ H = h = h’ = h’’ = O (originea axelor).  D4  ∈ [V] ⇒  V ∈  D4 . (vezi II.2.4.3 Dreptele din planele de proiecţie, Urmele dreptelor  D1 ,  D2 ,  D3 )

W:

 D4  ∈ [W] ⇒ 

W ∈  D4 .

(vezi II.2.4.3 Dreptele din planele de proiecţie, Urmele dreptelor  D1 ,  D2 ,  D3 )

2.   D  ∈ [H] şi  D  ∈ [W]  D  ∈ [H] şi  D  ∈ [W]

⇓   D  = [H] ∩ [W] = Oy Oy ⊥ [V] ⇒   D  ≡  D5  ⊥ [V] = o dreaptă de capăt (vezi II.2.4 Drepte particulare). Pentru ∀ M ∈  D5  de capăt a = ct. şi c = ct. (vezi II.2.4 Drepte particulare).

⇒ ∀ I ∈ Oy, a = ct. = 0 şi c = ct. = 0.

176  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

z

[VS]

z

d''5

[W1 ]

[VS]

[W1 ]

d'5=m' .

m"

D5

      t      c     =      c

=

d'5 =i'

         -

M

O

IO =i=i"

=

d5

x

D5 =d5 =d"5

.  c  t   a  =

y x

         -

m

a=0;c=0

 [  H     ]   A 

 [  H     ]   A 

Fig.II.2.209 dacă   D5  ≡ Oy ⇒  D5  ≡  d 5  ≡  d ' '5  

Fig.II.2.210

 D5  (= Oy) ∩ [V] = O (originea) = d '5  

pentru

∀

 I

∈

  D5  

∈

i’   d '5   i’’∈  d ' '5   i

∈  d 5

  (vezi A.IV Invarianţii proiecţiei Apartenenţa)

⇓  I ≡ i ≡ i’’, i’ = O (originea axelor). Urmele dreptei  D5  ( D5  = [H] ∩ [W])

z

[VS]

[W1 ]

d'5 =V =v=v'=v"

O

D5 =d5 =d"5

x  [  H     ]   A 

 

Fig.II.2.211 177  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

H:

 D5  ∈ [H] ⇒ 

H ∈  D5 .

(vezi II.2.4.3 Dreptele din planele de proiecţie, Urmele dreptelor  D1 ,  D2 ,  D3 )

y

 

V:

 D5  ⊥ [V] = de cap ăt (vezi II.2.4 Drepte particulare  D5 )  D5  ∩ [V] = V = v’, vv’ = c, vv’’ = a

W:

dar, c = 0, a = 0 ⇒ V = v’ = v = v’’ = O (originea axelor). W ∈  D5 .  D5  ∈ [W] ⇒  (vezi II.2.4.3 Dreptele din planele de proiecţie, Urmele dreptelor  D1 ,  D2 ,  D3 )

3.   D  ∈ [H] şi  D  ∈ [V]  D  ∈ [H] şi  D  ∈ [V]

⇓   D  = [H] ∩ [V] = Ox Ox ⊥ [W] ⇒  D  ≡  D6  ⊥ [W] = o dreapt ă fronto-orizontală  (vezi II.2.4 Drepte particulare). Pentru ∀ M ∈  D6  fronto-orizontală b = ct. şi c = ct. (vezi II.2.4 Drepte particulare).

⇒ ∀ I ∈ Ox, b = ct. = 0 şi c = ct. = 0.

z

z

[VS] m'  .       t      c     =      c

M

D6

D6 =d6 =d'6

O -

b =     = c t . m

[W1 ]

d''6 =m"

   =

-

x

[VS]

[W1 ]

d'6

d6

y x

d''6=i"

O

I =i=i' b=0;c=0

 [  H     ]   A 

 [  H     ]   A  Fig.II.2.212

Fig.II.2.213

178  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

y

 

dacă   D6  ≡ Ox ⇒  D6  ≡  d 6  ≡  d '6    D6  (= Ox) ∩ [W] = O (originea) = d ' '6  

pentru ∀ I ∈  D6  

i

∈  d 6

 

i’ ∈  d '6   i’’∈  d ' '   (vezi A.IV Invarianţii proiecţiei Apartenenţa) 6

⇓  I ≡ i ≡ i’, i’’ = O (originea axelor). Urmele dreptei  D6  ( D6  = [H] ∩ [V])

z

[VS]

[W1 ]

D6 =d 6=d'6

d''6 =W=w=w'=w"

O

x

y  [  H     ]   A   

H:

 D6  ∈ [H] ⇒ 

Fig.II.2.214 H ∈  D6 .

(vezi II.2.4.3 Dreptele din planele de proiecţie, Urmele dreptelor  D1 ,  D2 ,  D3 ) V:

 D6  ∈ [V] ⇒ 

V ∈  D6 .

(vezi II.2.4.3 Dreptele din planele de proiecţie, Urmele dreptelor  D1 ,  D2 ,  D3 ) W:

 D6  ⊥ [W] = fronto - orizontală (vezi II.2.4 Drepte particulare  D6 )  D6  ∩ [W] = W = w’’, w’’w’ = b, w’’w = c

dar, b = 0, c = 0 ⇒ W = w’’ = w’ = w = O (originea axelor). Observa ţ ie: ie: Analiza dreptelor din planele de proiec ţ ie ie ( D1 ,  D2 ,  D3 ,  D4 ,  D5 ,  D6 ) s-a  f ăcut pentru sensul pozitiv al axelor Ox, Oy, Oz.

179  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.4.4 DREPTE DIN PLANELE BISECTOARE 1.   D  ∈ [B1] Fie M ≠ N, M + N =  D ,  D  ∈ [B1], M ∈ T1, N ∈ T3  Dacă M ∈ [B1],

M ∈ T1 

⇒

Dacă N ∈ [B1],

N ∈ T3 

⇒

 

bM > 0 = cM > 0.

 

bN     M    b

n'

m'

m"

y x

o =h"=v"

n"

n    0    <    N   c    0    <    N   c

d'

   0    >    M   c

h=h'=v=v'

o

   0    >    M    b

n'

d

d m

m

y

y

Fig.II.2.216a

Fig.II.2.216b

Vedere în lungul axei OX

T2

+Z [W2] M

[H P]

-Y

[W3]

=    0    >    M   c

[VS]

[W1]

OX

[HA]

[VI]

[W4]

T1

>0 bM=

D    0 -   >    N   c b N >0 N

+Y

T4

T3 Fig.II.2.217

 

 

181  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2.   D  ∈ [B2] Fie M ≠ N, M + N =  D ,  D  ∈ [B2], M ∈ T2, N ∈ T4  Dacă M ∈ [B2],

M ∈ T2 

⇒

Dacă N ∈ [B2],

N ∈ T4 

⇒

 

bM  0.

 

bN > 0 = cN     M   c

d'=d

h=h'=v=v'    0    >    N n=n'   b   =    0    <    N   c

y

y 

Fig.II.2.219a

Fig.II.2.19b

Vedere în lungul axei OX

+Z

T2 [W2]

-Y

[H P]

M =    0    >    M   c

O

>0 bM=

T1

[VS]

[W1]

OX

[HA]

D    0 -   >    N   c b N >0 N

+Y

[W3]

[VI]

[W4]

T4

T3

 

Fig.II.2.220

183  

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

OBSERVAŢ  II:

1. Dacă   D ∈ [B1], sau  D ∈ [B2], atunci  D  ∩    ox. ∩ ox Pentru ∀  M  M ∈  D ,  b M   =  =  c M  .  Dacă b M  = 0 ⇒  M ∈ [V]

  M ∈ [H] ∩  [V]  [V] = ox

⇒ 

 Dacă c M  = 0 ⇒  M  M ∈ [H]  M ∈  D ,   M ∈  D  ∩  ox.  ox. 

⇒ 

 M ∈ ox

 2. Dacă   D ∈ [B1], sau  D ∈ [B2], atunci H ≡    V ≡    ox.  ≡ V ≡   D  ∩  ∩ ox. Fie M =  D  ∩  ox

  M ∈ ox

⇒ 

 

⇒ 

M ∈ [H] ⇒   M ≡  H.  M ∈  [V] ⇒   M ≡  V.  V.  H ≡  V  V ≡   D  ∩  ox.  ox.

Consecin ţă:  h’ = h = H = V = v’ = v   Dacă H ≡  V  V

  b H  = 0 ⇒  h  h = h’ cV  = 0 ⇒  v  v = v’.

⇒ 

ie ortogonală).  3. (referitor la tripla  şi dubla proiec ţ ie

∀  ∈

∈

       

 Dacă pentru  M   D , unde  D    [B1], b M   = c M   , b M   şşi c M  au acela şi semn simultan, atunci d   şşi d '  sunt simetrice fa ţă de ox.

ie ortogonală).  4. (referitor la tripla  şi dubla proiec ţ ie  Dacă pentru ∀  M  M ∈  D , unde  D  ∈ [B2],  b M   =  =  c M    , b M   şşi c M  au semne diferite, atunci m = m’,  şi în consecin ţă  d  = d ' .

 5. (referitor la tripla  şi dubla proiec ţ ie ie ortogonală).  Dacă pentru ∀   D  ∈ [B ]  şi ∀   D  ∈ [B ], H ≡   V ⇒   h’’ ≡  v’’.  v’’. 1

h’’∈  oy

2

 h’’ ≡   v’’ = oy ∩  oz  h’’  oz = o. 

⇒ 

v’’∈  oz h’’ ≡   v’’ ∈  d "  ⇒   d "  ⊃  o  o

184  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.5 POZIŢIA RELATIVĂ A DOUĂ DREPTE Două drepte pot fi: II.2.5.1 PARALELE II.2.5.2 CONCURENTE II.2.5.3 DISJUNCTE

una faţă de cealaltă.

OBSERVAŢ  IE: Un caz particular al dreptelor dreptelor concurente este cazul cazul dreptelor  perpendiculare între ele ele (vezi A.IV.8 – Teorema unghiului unghiului drept). II.2.5.1 DREPTE PARALELE

Două drepte paralele ( D  şi E ) au proiecţiile pe acelaşi plan, paralele (vezi A.IV.5 – Paralelismul). sau dacă   D     E   ⇒  d     e  

d '    e'   d ' '   e' '   z

[VS]

[W1 ] d''

D

e''

E d'

o

e' d

e

x

y  [  H     ]   A 

 

Fig.II.2.221 Proiecţia ortogonală a două drepte paralele Triplă proiecţie Dublă proiecţie z

d'

e'

z

e'' d''

d'

o

x

o

yx

e

d

e'

e

d

y

Fig.II.2.222a

Fig.II.2.222b

y 

185  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.5.2 DREPTE CONCURENTE

2.   D  ∩  E  = M sau

două drepte concurente ( D  ∩  E ) au proiecţiile pe acelaşi plan concurente. Dacă  D  ∩  E  = M ⇒ 

d   ∩  e   = m d '  ∩  e'   = m’ d ' ' ∩  e' '  = m’’

(vezi A.IV.6 – Concurenţa).

z

d''

[VS ]

[W1 ] D

m''

o

m' e' d'

x

M

E

e

e''

m d

 [  H     ]   A    Fig.II.2.223

Proiecţia ortogonală a două drepte concurente Triplă proiecţie Dublă proiecţie

m'

x

m''

d'

e'

d''

o

m' e''

d'

y x

e'

m

o

m

d

e

d

Fig.II.2.224a

e

 

Fig.II.2.224b 186

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

 D 3.   D  ⊥  E , unde E  reprezintă  D1 ,  D2 , 3  (teorema unghiului drept).     D  ⊥  D1 ,  D1  = orizontală 

z

D

[VS]

[QH ]

D1

[W1 ]

d'1 m'

M

d'

O

d d1

x

o

x d1

m'' d''1

y

m

y

 [  H     ]   A 

Fig.II.2.225 Fig.II.2.226 Dacă   D  ⊥  D1  ( D1   [H]) şi  D  ∩  D1  = M

⇒  d  ⊥  d 1  ( d  ∩  d 1  = m)  D ⊥  D2  ,  D2  = frontală  Z

y

d

m

 

d''

 

Z

[VS ]

[W1 ]

d'

d'

D2

D

m'

 [  Q    ]   O V  

m'

d''2 m''

d'2

X

O

d''

Y

d

d'2

d2 m

M

X

Y Y

 [  H    A  ]  

 

Fig.II.2.227

Fig.II.2.228

Dacă   D  ⊥  D2  ( D2   [V]) şi  D  ∩  D2  = M

⇒  d '  ⊥  d '2  ( d '  ∩  d '2  = m’)

187  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI  

 D  ⊥  D3 ,  D3  = de profil z

d''

D

[VS]

  ]     [  Q   W

[W1 ]

d'3

o

d'

d''3

m'

m''

M

x

z

m''

O

x

d''3

d''

y

m

D3

y

d3

d y

 [  H     ]   A 

Fig.II.2.229

  Fig.II.2.230

Dacă   D  ⊥  D3  ( D3   [W]) şi  D  ∩  D3  = M

⇒  d ' '  ⊥  d ' '3  ( d ' ' ∩ d ' '3 = m’’)

OBSERVATIE (valabilă pentru dubla  şi tripla proiec ţ ie): ie):  Dacă o dreapt ă este paralelă cu un singur plan de proiec ţ ie ie atunci se poate ridica o perpendicular ă dintr-un punct al proiec ţ iei iei înclinate fa ţă de axe. 4.   D  ⊥  E , unde E  reprezintă  D4 ,  D5 ,  D6  (teorema unghiului drept). 

OBSERVAŢ  IE: ⊥ 

 D     D1 = orizontală   D  ≡    D2 = frontală 

    ⇒   ⇒ 

 D  ⊥   D6 = fronto-orizonta fronto-orizontallă   

≡  

⇒ 

 Dacă   D     D4 = verticală   D  ⊥   D5 = de capăt

 D  ≡    D3 = de profil

 D  ⊥  D4 ,  D4  = verticală 

z

[VS]

d''4

d'1

d'4

m''

m'

D4 M

d'4

[W1 ]

d'1 m'

d''1

D1

o

d''4

[QV ]=[Q W]

m'' d''1

o

x

y

d1 d4= m

d1

x

y

d4 = m

y

 [  H     ]   A 

Dacă 

 

Fig.II.2.231  D  ⊥  D4  ( D4  ⊥ [H]) şi  D  ∩  D4  = M

⇒  D4   [V] ⇒  D4   [W]

Fig.II.2.232

⇒ d '  ⊥  d '4  ( d '  ∩  d ' 4  = m’) ⇒ d ' '  ⊥  d ' '4  ( d ' ' ∩ d ' '4 = m’’) 188

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI  

 D  ⊥  D5 ,  D5  = de capăt z z d2

[VS]

d''2 [W1 ]

D2

d'5 = m'

d'5 = m'

D5

o

x

m''

d''5

x

M

d'2

d2

[Q H]=[QW] m

d2

d5

y

d''5

o

m'' d''2

y

m d5 y

 [  H     ]   A 

Fig.II.2.233 Dacă   D  ⊥  D5  ( D5  ⊥ [V]) şi  D  ∩  D5  = M

Fig.II.2.234

⇒  D5   [H]

⇒ d  ⊥  d 5  ( d ∩ d 5 = m)

⇒  D5   [W]

⇒ d ' '  ⊥  d ' '5  ( d ' ' ∩ d ' '5 = m’’)

 

 

 D  ⊥  D6  = M ⇒ M ∈ D6  = fronto-orizontală  z

z

[VS ]

d''6 = m''

d'3 m'

d'6

d'3 d'6

d"3

M

o

D6

x

[W1 ]

d''6 = m''

o d6

[Q H]=[Q V]

m

m'

x

D3 d6

d''3

y

y

m d3

d3 y

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.2.235 Dacă   D  ⊥  D6  ( D6  ⊥ [W]) şi  D  ∩  D6  = M

Fig.II.2.236

⇒  D6   [H] ⇒ d  ⊥  d 6  ( d ∩ d 6 = m) ⇒  D6   [V] ⇒ d '  ⊥  d '6  ( d '  ∩  d '6  = m’).

OBSERVAŢ  IE (valabilă pentru dubla  şi tripla proiec ţ ie): ie):  Dacă o dreapt ă este paralelă cu două plane de proiec ţ ie, ie, atunci se poate ridica o  perpendicular ă dintr-un punct al oricărei proiec ţ ii ii paralele cu axele.  În cazurile de mai sus, nu se pot pot ridica perpendicula perpendiculare re pe acele proiec ţ ii ii ale dreptelor reprezentate ca punct. 189

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.5.3 DREPTE DISJUNCTE

 D  

E   Fie M ∈  D  şi N ∈  E  ( D   E ). Dacă 

am = an şi bm = bn (cm ≠ cn) ⇒ m ≡ n.  n.   Proiecţia a două drepte disjuncte cu m ≡ n  n  

z

[VS]

E

D

m''

[W1 ]

m'

M

n'

n''

o

N e'

d'' d

e''

d'

x

y

m=n e

 [  H     ]   A 

 

Fig.II.2.237 Triplă proiecţie

Dublă proiecţie

z

z

d' m'

m''

n'

n'' e'

x

d'

m'

n'

d''

e''

e'

yx

  m

d

   b   =   n    b

m=n

d m=n

e

  m

   b   =   n    b

e a n = am

an = am

y

y

Fig.II.2.238a

Fig.II.2.238b 191

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Fie M ∈  D  şi N ∈  E  ( D   E ). Dacă  am = an şi cm = cn (bm ≠ bn) ⇒ m’ ≡ n’.  n’.   Proiecţia a două drepte disjuncte cu m’ ≡ n’  n’  

[VS]

E

D

[W1 ]

 

m'' n''

m'=n' M e'

o d'' N

d

e''

d' m

x

y n e

 [  H    A  ]  

 

Fig.II.2.239 Triplă proiecţie

Dublă proiecţie z

z

d'

m' = n'

m''

n''

m' = n'

  m

  c   =   n   c

  m

d'

e'

d''

  c   =   n   c

e''

x

y

e'

x d

m

m

d n

n e

e a n = am

an = am

y

y

Fig.II.2.240a

Fig.II.2.240b

192  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Fie M ∈  D  şi N ∈  E  ( D   E ). Dacă  bm = bn şi cm = cn (am ≠ an) ⇒ m’’ ≡ n’’.  n’’.  

 n’’   Proiecţia a două drepte disjuncte cu m’’ ≡ n’’

 

[VS]

m''=n''

D

n'

[W1 ]

N

m' M

o d'' e'

x

d'

m

d

E

n

e''

y

e

 [  H    A  ]  

 

Fig.II.2.241 Triplă proiecţie

Dublă proiecţie

z

m' n'

z

m' n'

m'' = n''   n

  n

  c   =

  c   =

  m

d'

  m

  c

e'

d''

e''

d'

  c

e'

yx

x m

n

d

m

n

  n

   b   =

d

  m

  n

   b   =

  m

   b

   b

e

e

y

y

Fig.II.2.242a

Fig.II.2.242b

OBSERVAŢ  I: m’’ = d "  ∩   e"  nu este vizibil în proie ţ ie ie ortogonală. 193  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.6 MĂRIMEA UNUI SEGMENT DE DREAPT Ă  Fie M ≠ N, M ∈  D ; N ∈  D . 1.  D  oarecare

 

Mărimea unui segment de dreaptă oarecare nu se păstrează prin proiecţie (vezi A.IV.7 Mărimea unui segment de dreaptă). mărimea  MN  ≠ mărimea mn   mărimea  MN  ≠ mărimea m' n'   mărimea  MN  ≠ mărimea m' ' n' '  

z

M

[V]

[Q]

  m

  c

o

m

N

x

[W]

   | Em

c m 

   | En

   |

M

  n

  c

n

   i  e   a   a  t   x   a   r  o  t     d  e

c n 

y

   |

N  [  H    ]   Fig.II.2.243

 

Mm = E m  ⊥ [H] 0

E      mn  ∈ [H] (unghiul Mmn = 90 ) m ⊥

Nn = E n  ⊥ [H] E n  ⊥  mn  ∈ [H] (unghiul Nnm = 90 0) MN + mn = [Q] (vezi A.III - Planul proiectant) MN ∈ [Q] mn ∈ [Q] ⇓  M, N, m, n = coplanare MNnm = trapez dreptunghic în n şi m. Se roteşte trapezul MNnm în jurul axei mn până când MNnm ∈ [H] ⇒ MNnm ≡ nm M N .

194  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

z

m'   m

x

  m

  c

n'

o

  n

  c

N

m a rr   i  im    e  m   aa   M N 

  c

n'

x

o

  n

  c

mc    m   

nc    n       |

z

m'

m

nc   

   |

   |

  =

N

M y  

Fig.II.2.244a

  =

n   

c   

   |

Mc   1

m    

n    

   |

M

y

Fig.II.2.244b

Procedeul de mai sus, de aflare a mărimii unui segment oarecare  MN  se numeşte „regula trapezului”.

În trapezul nm M N , n N    m M   (Fig.II.2.244b). Fie nM1    M N    ⇓  n N  =  M 1  M   = cn  n M 1  =  M N  = MN şi m M 1  = m M   -  M 1  M   = cm – cn. În consecinţă, fig.II.2.244a se poate înlocui cu urm ătoarea:

z

m'   n

x

  c     m   c   m   c

n'

  n

o

  n

  c

  c

mc   

m      

n

m a rr   i  im    e  m   a  a M  N 

-  c      n    

Fig.II.2.245

   |

M1

y

 

Procedeul de mai sus, de aflare a mărimii unui segment oarecare  MN , se numeşte „regula triunghiului”.

195  

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

OBSERVAŢ  IE: Pentru aflarea mărimii segmentului  MN  se poate folosi proiec ţ ia ia segmentului  MN  pe orice plan de proiec ţ ie ie.

z    |

M

b m     

[V]

[W] m'

   |

N

O

b n        

n'

x    i  e   t   a   o  t   e  r     d  e 

   | b n  En

b m 

    ]       Q  [ 

   | Em

M

N

y  [  H    ]  

 

Fig.II.2.246

Mm’ = E m  ⊥ [V] E m  ⊥  m' n'  ∈ [V] (unghiul Mm’n’ = 900) Nn’ = E n  ⊥ [V] 0

E      m' n'  ∈ [V] (unghiul Nn’m’ = 90 ) n ⊥

MN + m’n’ = [Q] (vezi A.III - Planul proiectant) MN ∈ [Q] m’n’ ∈ [Q] ⇓  M, N, m’, n’ = coplanare MNn’m’ = trapez dreptunghic în n’ şi m’.

Se roteşte trapezul MNn’m’ în jurul axei m’n’ pân ă când MNn’m’ ∈ [V] ⇒ MNn’m’ ≡ n’m’ M   N .

196

 

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

   |      N      M      a    e    m      i    r    a    m

x

M

b   m  

z

m'

   | N b  n   n'

o

  n

   b n

  m

   b

m

y  Fig.II.2.247a ,,regula trapezului”

   |      N      M      a    e    m      i    r    a

   m

x n

M1b  

z

  m  

- b   n  

m'

n'

o

  =   =

  n

   b 

m

  m

   b

  n

   b   -

  m

   b

Fig.II.2.247b „regula triunghiului”

 

197  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

z    |

M

   a m

[V]

[W]

m''    |  a m Em

M

   |

N

 [    Q     ]   

   a n

 a n

x

N

   | En

n''

y a  x    a  

 [   H    ]  

 

Fig.II.2.248

Mm’’ = E m  ⊥ [W] E m  ⊥  m' ' n' '  ∈ [W] (unghiul Mm’’n’’ = 900) Nn’’ = E n  ⊥ [W] 0

E      m' ' n' '  ∈ [W] (unghiul Nn’’m’’ = 90 ) n ⊥

MN + m’’n’’ = [Q] (vezi A.III - Planul proiectant) MN ∈ [Q] m’’n’’ ∈ [Q] ⇓  M, N, m’’, n’’ = coplanare MNn’’m’’ = trapez dreptunghic în n’’ şi m’’.

Se roteşte trapezul MNn’’m’’ în jurul axei m’’n’’ pân ă când MNn’’m’’ ∈ [W]

⇒ MNn’’m’’ ≡ n’’m’’ M   N .

198  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

   |

M

 a m

z

m'   m

  c

a m-an

x

n'

m''  a n

an

n''

o

   |

           N            M        a           i m  e           a r        m

N

y

am

m

n'

y

 

Fig.II.2.249a „regula trapezului”

z

m'   m

a m-an m

n'

an

am

o

M1

           N             M        a                 r im  e        a        m

m''

  c

x

 a    n   a m

   |

n''

y

n

y

 

Fig.II.2.249b „regula triunghiului”

199  

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

2.  D  particulară   

M, N ∈  D1  = orizontală 

z

[V]

[W] M

N

  c   =   m   c

x

O

  c   =   n   c

[Q]

m

y

n

 [  H    ]  

 

Fig.II.2.250

z m'

n'

m'' n''

o

x     c

n'

m'' n''

o

y x m a  r ii  m m e    a  M   N  

n

   |

ii m    e  m 

m'

   | m M

m

M m a r 

z

    c

y

n    |

N

y

y