Curs FDT 2014 (1)

Şef lucrări dr.ing. Ciprian CĂPĂŢÂNĂ Şef lucrări drd. Ing. Mihai VĂDUVA

FENOMENE DE TRANSFER ÎN INDUSTRIA ALIMENTARĂ

SIBIU 2008

3

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României CĂPĂŢÂNĂ, CIPRIAN Fenomene de transfer în industria alimentară / Căpăţână Ciprian, Văduva Mihai.- Sibiu:Editura Universităţii „Lucian Blaga” din Sibiu, 2008 Bibliogr. ISBN 978-973-739-561-0 I.

Văduva, Mihai

66.021.3/,4:664.022

Copyrigt © 2008. Toate drepturile aparţin autorilor. Multiplicarea mecanică, electronică sau de orice altă natură fără permisiunea autorilor se pedepseşte conform legilor în vigoare.

4

CUPRINS Capitolul 1 INTRODUCERE 1.1.Domeniul si caracteristicile industriei alimentare 1.2.Obiectul disciplinei 1.3.Proces tehnologic 1.4.Clasificarea operatiilor tip

9 9 9 10 10 14

Capitolul 2 MARIMI, MASURARI, SISTEME DE MASURA 2.1.Marimi, masurarea, valori numerice 2.2. Unitati de masură 2.3. Sisteme de unitati de masura 2.4. Sistemul International de Unitati de Masura(SI) 2.4.1.Definirea unitatilor de masura 2.4.2.Principalele reguli de formare si scriere a unitatilor SI 2.4.3. Multiplii si submultiplii unitatilor SI

15 15 15 17 18 19 20 21

Capitolul 3 SIMILITUDINE, ANALIZA DIMENSIONALA, MODELARE, BILANTURI 3.1.Similitudine 3.1.1. Introducere 3.1.2. Invarianti si criterii de similitudine 3.2. Analiza dimensionala 3.2.1. Introducere 3.2.2. Teorema          3.3. Metode pentru deducerea criteriilor de similitudine 3.3.1. Stabilirea criteriilor de similitudine din ecuatiile diferentiale care descriu fenomenul 3.3.2. Stabilirea criteriilor de similitudine prin tehnica analizei dumensionale 3.4. Modelare 3.5. Bilanturi 3.5.1. Notiuni introductive 3.5.2. Bilantul de materiale 3.5.3. Bilantul energiilor 3.5.3.1. Bilantul energiilor mecanice 3.5.3.2. Bilantul energiilor termice Capitolul 4 TRANSFER DE IMPULS 4.1. Introducere 4.2. Statica fluidelor 4.2.1. Presiunea statica 4.2.2. Ecuatii de echilibru 4.2.2.1. Echilibrul fluidelor într-un câmp oarecare de forte 4.2.2.2.Echilibrul fluidelor în câmp gravitational 4.2.3.Masurarea presiunilor în tehnica 4.2.3.1. Aparate cu lichid 4.2.3.2. Aparate cu element elastic 4.3. Dinamica fluidelor 4.3.1. Notiuni fundamentale 5



23 23 23 25 26 26 7 28 28 30 34 36 36 37 40 41 42

47 47 48 49 50 50 51 52 53 55 57 57

4.3.2. Vâscozitatea 4.3.3. Elemente de reologie 4.3.3.1. Corpuri cu proprietati unitare si comportare ideala 4.3.3.2. Fluide vâscoase nenewtoniene 4.3.3.3. Corpuri fluide cu proprietati multiple 4.3.4. Fenomenologia curgerii 4.3.5. Ecuatii fundamentale ale dinamicii fluidelor 4.3.5.1. Ecuatiile bilantului de materiale( Ecuatiile de continuitate) 4.3.5.2. Ecuatiile bilantului de forte la curgerea fluidelor ideale (Ecuatiile diferentiale ale lui Euler) 4.3.5.3. Ecuatiile bilantului de forte la curgerea fluidelor reale (Ecuatiile lui Navier-Stokes) 4.3.5.4. Bilantul energetic ( Ecuatia lui Bernoulli) 4.3.6. Criterii de similitudine în procesele hidraulice 4.3.7. Pierderea de presiune datorita frecarii la curgerea fluidelor reale 4.3.7.1. Pierderea de presiune la curgerea prin conducte a fluidelor necompresibile ( lichide) 4.3.7.2. Pierderea de presiune la curgerea fluidelor compresibile (gaze) 4.3.7.3. Pierderi de presiune locale 4.3.7.4. Pierderea de presiune la curgerea prin straturi granulare si umpluturi 4.3.8. Măsurarea debitelor la fluide 4.3.8.1. Mãsurarea debitelor cu diafragma 4.3.8.2. Masurarea debitelor cu tubul Venturi 4.3.8.3. Masurarea debitelor cu tubul Pitot 4.3.8.4. Rotametre Capitolul 5 TRANSFER DE CĂLDURĂ 5.1. Introducere 5.1.1.Terminologie 5.2.Transferul căldurii prin conducţie 5.2.1. Legea lui Fourier 5.2.2. Conductivitatea termică 5.2.2.1. Conductivitatea termică la gaze 5.2.2.2. Conductivitatea termică la lichide 5.2.2.3. Conductivitatea termică la solide 5.2.3. Ecuaţia diferenţială a lui Fourier pentru transferul căldurii prin conducţie 5.2.4. Condiţii de univocitate pentru conducţia căldurii 5.2.5. Conducţia căldurii în regim staţionar 5.2.5.1. Transferul căldurii prin conducţie printr-un perete cu feţe plane, paralele şi infinite (perete simplu) 5.2.5.2. Transferul căldurii prin conducţie printr-un perete cu feţe plane, paralele şi infinite, format din mai multe straturi (perete compus) 5.2.5.3. Transferul căldurii prin conducţie printr-un perete cilindric infinit lung (perete simplu) 5.2.5.4. Transferul căldurii prin conducţie printr-un perete cilindric, infinit lung, format din mai multe straturi (perete compus) 5.2.6. Conducţia căldurii în regim nestaţionar 5.2.6.1. Încălzirea unei plăci în regim nestaţionar 5.2.6.1.1. Rezolvarea analitică 5.2.6.1.2. Rezolvarea cu ajutorul diagramelor 5.2.6.1.3. Rezolvarea prin metode grafice 6

59 61 62 63 65 66 69 70 72 74 75 77 78 78 82 82 83 85 85 87 88 89

90 90 90 93 94 95 95 96 96 97 100 100 101 104 106 109 112 112 112 114 116

5.2.7. Conducţia căldurii prin gaze şi lichide 5.3. Transferul de căldură prin convecţie 5.3.1. Noţiuni generale 5.3.2. Ecuaţia diferenţială Fourier – Kirchhoff pentru transferul căldurii prin convecţie 5.3.3. Transferul căldurii prin conducţie şi convecţie în regim staţionar 5.3.3.1. Transferul căldurii printr-un perete cu feţe plane paralele de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2 5.3.3.2. Transferul căldurii printr-un perete plan format din mai multe straturi paralele de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2 5.3.3.3. Transferul căldurii printr-un perete cilindric de la un de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2 5.3.3.4. Transferul căldurii printr-un perete cilindric format din mai multe straturi cilindrice coaxiale de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2 5.3.4. Coeficienţi parţiali de transmisie termică. 5.3.5. Similitudinea transferului căldurii prin conducţie şi convecţie în regim staţionar 5.3.6. Clasificarea proceselor de transfer termic prin convecţie 5.3.7. Calculul coeficienţilor parţiali de transmisie termică la convecţia fără schimbarea stării de agregare a fluidului (convecţia monofazică) 5.3.8. Calculul coeficienţilor parţiali de transmisie termică la convecţia cu schimbarea stării de agregare a fluidului (convecţia bifazică) 5.3.8.1. Fierberea lichidelor 5.3.8.2. Condensarea vaporilor 5.3.9. Transferul termic la temperaturi variabile 5.3.9.1. Transferul termic la temperaturi variabile, în regim staţionar 5.3.9.1.1. Transferul termic la temperaturi variabile, în regim staţionar, la curgerea în curent paralel (echicurent) a fluidelor 5.3.9.1.2. Transferul termic la temperaturi variabile, în regim staţionar, la curgerea în contracurent a fluidelor 5.3.9.2. Transferul termic la temperaturi variabile, în regim nestaţionar 5.3.9.2.1. Încălzirea sau răcirea fluidelor: variaţia temperaturilor numai în timp 5.3.9.2.2. Încălzirea sau răcirea fluidelor: variaţia temperaturilor în timp şi spaţiu 5.4. Transferul de căldură prin radiaţie 5.4.1. Noţiuni fundamentale 5.4.2. Legile radiaţiei 5.4.3. Transferul de căldură prin radiaţie între două corpuri 5.4.4. Radiaţia la gaze 5.5. Izolarea termică 5.6.Încălzirea şi răcirea în industria alimentară 5.6.1. Introducere 5.6.2. Agenţi de schimb de căldură 5.6.2.1. Agenţi purtători de căldură 5.6.2.1.1. Încălzirea cu purtători de căldură în stare gazoasă 5.6.2.1.1.1. Încălzirea cu gaze de ardere 5.6.2.1.1.2. Încălzirea cu aer cald 5.6.2.1.1.3. Încălzirea cu abur supraîncălzit 5.6.2.1.2. Încălzirea cu purtători de căldură în stare de vapori saturaţi 5.6.2.1.2.1. Încălzirea cu vapori de apă saturaţi (abur saturat) 5.6.2.1.2.2. Încălzirea cu vapori de substanţe organice 5.6.2.1.3. Încălzirea cu purtători de căldură în stare lichidă 5.6.2.1.3.1. Încălzirea cu apă caldă 7

118 118 119 120 123 123

125 125

126 126 127 133 134 139 139 142 149 150 150 153 154 154 157 161 162 163 167 167 168 172 172 173 173 173 173 174 174 174 175 176 176 177

5.6.2.1.3.2. Încălzirea cu uleiuri minerale 5.6.2.1.3.3. Încălzirea cu lichide organice definite 5.6.2.2. Agenţi de răcire. Agenţi purtători de frig 5.6.2.2.1. Răcirea cu apă 5.6.2.2.2. Agenţi purtători de frig 5.6.3.Încălzirea electrică

177 177 178 178 178 179

Capitolul 6 TRANSFER DE MASĂ 6.1. Introducere 6.2. Exprimarea compoziţiei fazelor 6.2.1.Fracţia molară (xi) 6.2.2. Raportul molar ( xi )

180 180 181 181 181

6.2.3. Fracţia masică ( xi )

182

6.2.4. Raportul masic ( xi ) 6.3. Echilibrul între faze 6.3.1.Legea fazelor (Gibbs) 6.3.2. Legea lui Raoult 6.3.3. Legea lui Henry 6.3.4. Legea de repartiţie a lui Nernst 6.4Difuziunea 6.4.1.Difuziunea moleculară 6.4.1.1. Flux şi flux unitar de masă 6.4.1.2.Legea lui Fick 6.4.1.3. Coeficientul de difuziune (D) 6.4.1.3.1. Coeficienţi de difuziune în gaze 6.4.1.3.2.Coeficienţi de difuziune în lichide 6.4.1.3.3.Coeficienţi de difuziune în solide 6.4.2. Difuziunea convectivă 6.4.2.1. Ecuaţia diferenţială a transferului de masă prin convecţie 6.4.2.2.Criterii de similitudine în procesele de transfer de masă (substanţă) 6.5. Mecanismul transferului de masă 6.5.1. Modelul celor două filme 6.5.2. Modelul reînoirii suprafeţei (teoria penetraţiei) 6.6.Coeficienţi individuali de transfer de masă 6.6.1.Coeficienţi individuali la coloanele cu pereţi udaţi 6.6.2. Coeficienţi individuali la coloanele cu umplutură 6.6.3. Coeficienţi individuali în sistemele gaz-solid şi lichid-lichid 6.7.Transferul de masă global

182 183 183 184 185 185 186 186 187 187 188 188 189 191 192 193 196 197 197 197 200 200 202 203 204

Bibliografie

206

8

Capitolul 1 INTRODUCERE

 1.1.Domeniul si caracteristicile industriei alimentare

Industria alimentara prelucreaza materiile prime de origine biologica, provenind din regnul vegetal sau animal, în sensul de a le conditiona, conserva , transforma sau de a extrage din ele anumite elemente destinate hranei omului. În momentul în care echilibrul biologic natural se întrerupe, încep fenomenele de degradare care conduc la alterari si pierderi de produse. Din momentul întreruperii echilibrului biologic natural, toate operatiile care se efectueaza asupra materiilor prime apartin industriei alimentare. Aceasta atrage dupa sine necesitatea fie ca echilibrul biologic natural sa fie întrerupt de industria alimentara, în întreprinderi organizate si dotate corespunzator, cum sunt de exemplu întreprinderile de industrializarea carnii, fie ca materiile prime - dupa ce s-a întrerupt echilibrul biologic natural - sa fie supuse anumitor tratamente, care sa încetineasca, sau sa elimine consecintele fenomenelor de degradare, cum se petrece de exemplu în industria moraritului si a panificatiei. Spre deosebire de toate celelalte ramuri industriale, caracteristica esentiala a industriei alimentare consta în aceea ca unele operatii care trebuie efectuate sunt de natura biochimica. În consecinta, procesele biochimice si microbiologice reprezinta caracteristicile de baza, care deosebesc industria alimentara de celelalte industrii si în special de industria chimica, cu care, sub alte aspecte, industria alimentara are multe asemanari. Cresterea numarului populatiei, dezvoltarea societatii, emanciparea omului, impun o alta caracteristica industriei alimentare, cea de dezvoltare vertiginoasa, atât sub aspect cantitativ cât si sub aspect calitativ. Realizarea dezvoltarii vertiginoase este strâns legata de înlaturarea empirismului si folosirea rezultatelor cercetarilor stiintifice. Introducerea în productie a rezultatelor cercetarii stiintifice impune prelucrarea produselor în intreprinderi bine organizate si dotate tehnic corespunzator, conduse si exploatate de personal cu o buna pregatire sub toate aspectele. Industria alimentara moderna reprezinta un complex coordonat de transformari fizice, chimice si biochimice prin care se realizeaza produse alimentare utilizând procedee tehnologice si instalatii fundamentate stiintific, tehnic si economic. Având în vedere volumul real de prelucrare si importanta considerabila a industriei alimentare pe planurile alimentatiei, sanatatii, 9

agriculturii, economiei generale si al echilibrului social, acestei ramuri i se asigura conditii rationale de dezvoltare, fiind condusa de cadre cu pregatire adaptata specificului ei.  1.2.Obiectul disciplinei

Disciplina "Operatii si utilaje în industria alimentara"are rolul de a pune la dispozitia celor interesati notiunile de baza privind fenomenologia diferitelor operatii tehnologice si caracteristicile utilajelor folosite. Ea se constituie ca o disciplina tehnica de specialitate care face posibila întelegerea cunostintelor de la disciplinele ulterioare. Studierea operatiilor si utilajelor se efectueaza dupa caracteristicile comune ale acestora.  1.3.Proces tehnologic

Transformarea materiilor prime în produse finite sau în semifabricate se realizeaza printro succesiune de operatii de natura mecanica, fizica, biochimica, uneori chimica, sau operatiuni combinate. Ansamblul ordonat al operatiilor prin care se realizeaza fabricarea unui produs sau unor produse se numeste proces tehnologic. Operatiile sunt faze distincte ale unui proces tehnologic, si se pot grupa în diferite moduri. Unul din modurile obisnuite de grupare este urmatorul: 1. operatii pentru pregatirea materiilor prime în vederea prelucrarii; 2. operatii pentru obtinerea produselor brute sau a semifabricatelor; 3. operatii pentru transformarea produselor brute sau semifabricatelor în produse comercializabile, utilizate ca bunuri de consum (produse alimentare, în cazul industriei alimentare); 4. operatii pentru prelucrarea subproduselor sau deseurilor; 5. operatii auxiliare. Ansamblul indicativ al succesiunii operatiilor pentru obtinerea unui produs sau mai multor produse într-un proces tehnologic se numeste schema bloc a procesului tehnologic. În figura 1.1 se prezinta schema bloc simplificata a procesului de obtinere a sucului si a pastei de tomate.

10

Apă

Roşii

Sare

Zahăr

Recepţie, sortare Impurităţi şi deşeuri

Spălare

Dozare

Roşii spălate Apă şi impurităţi Pasare

Preîncălzire

Seminţe şi pieliţe

Corectare

Suc de roşii

Corectare Concentrare

Îmbuteliere, capsulare

Suc sterilizat

Dozare, închidere recipienţi

Sterilizare

Sterilizare

Pastă de tomate Fig. 1.1. Schema bloc a procesului tehnologic simplificat de obtinere a sucului si a pastei de tomate (rosii).

11

Vapori de apă

Elementele în care se realizeaza procesul tehnologic sunt utilajele. Conventional, sub denumirea de aparat se întelege un utilaj static, fara organe principale în miscare si sub denumirea de masina, se defineste un utilaj cu organe în miscare. Notiunile de aparat si masina se includ în sfera notiunii de utilaj. Însiruirea ordonata a schitelor sau simbolurilor utilajelor în care se realizeaza procesul

tehnologic, cu indicarea circulatiei materialelor poarta numele de schema

tehnologica de legaturi. În figura 1.2. se prezinta schema tehnologica de legaturi pentru procesul de obtinere a alcoolului etilic alimentar prin fermentare. Daca se analizeaza natura operatiilor care alcatuiesc un proces tehnologic din industria alimentara, se pot face o serie de constatari, si anume: 1. o fabricatie, oricât de complicata ar fi, este formata dintr-o însiruire de operatii simple, distincte; 2. din totalitatea operatiilor întâlnite în cadrul unui proces tehnologic doar câteva sunt operatii în care transformarile sunt moleculare, de natura biochimica sau chimica, în rest sunt operatii de natura fizica sau mecanica; 3. cele mai multe operatii fizice sau mecanice sunt comune mai multor procese tehnologice pentru obtinerea de produse asemanatoare sau diferite; multe dintre ele se repeta chiar în cadrul aceleiasi scheme; 4. utilajele întrebuintate la realizarea unei anumite operatii îndeplinesc aceleasi functiuni indiferent care ar fi procesul tehnologic sau faza din procesul tehnologic în care se utilizeaza; rareori apar unele modificari caracteristice produsului dar si acestea nu schimba aspectul functional al utilajului. Diferentierile între utilajele cu ajutorul carora se realizeaza o anumita operatie, în general, sunt determinate de elementele constructive impuse de debit sau capacitate, de modul în care se urmareste sa se realizeze operatia respectiva.

12

Fig.1.2. Schema tehnologica de legaturi pentru procesul de obtinere a alcoolului etilic alimentar prin fermentare (instalatia de rafinare cu functionare continua). 1.-rezervor de alimentare; 2.-schimbator de caldura; 3.-coloana de frunti; 4.-deflegmator frunti; 5.-condensator frunti; 6,14.-felinar control; 7.-conducta de legatura; 8.-coloana de rectificare; 9.-deflegmator spirt; 10.condensator spirt; 11.-conducta spirt frunti; 12.-conducta spirt rafinat; 13.-racitor spirt rafinat; 15,16.-conducte ulei fuzel; 18.-ulei de fuzel; 19.-spirt cozi; 20.-conducta apa de luter; 21.-rezervor spirt cozi.

Operatiile fizico-mecanice care se întâlnesc la realizarea proceselor tehnologice sunt denumite si operatii tip sau operatii unitare. Tratarea operatiilor tip dupa principiile operatiilor si utilajelor se dezvolta dupa urmatoarele criterii: 1. cercetarea factorilor care intervin în operatia respectiva; 2. analiza principiilor stiintifice fundamentale care stau la baza operatiei tip respective; deducerea modelului matematic care cuprinde factorii ce intervin în operatia respectiva; 3. cunoasterea legilor de conservare (bilant de materiale, de energie); 4. cunoasterea relatiilor de transfer de cantitate de miscare, de caldura, de substanta, la nivelul operatiei tratate; 5. influenta transferurilor asupra proceselor biochimice; 6. relatia între tipurile de transfer si între ele si procesele biochimice; 7. cunoasterea principalelor utilaje în care se realizeaza operatiile tip; 8. relatii de similitudine si analiza dimensionala care contribuie la lamurirea operatiilor tip; 9. relatii de convenienta economica care pot duce la optimizarea procedeelor de fabricatie, la dimensionarea economica a utilajelor în care se realizeaza operatiile tip. 13

 1.4.Clasificarea operatiilor tip

Clasificarea operatiilor tip întâlnite în industriile cu caracter chimico-tehnologic, în consecinta si în industria alimentara, se poate face din mai multe puncte de vedere. I. Dupa modul în care se actioneaza asupra materialelor a) operatii cu schimbarea starii fizice a materialelor: topire- -solidificare, fierberecondensare, sublimare, etc.; b) operatii de amestecare si aglomerare de unde rezulta amestecuri omogene si eterogene:brichetare, presare, amestecare, malaxare, framântare etc; c) operatii de divizare si separare: spargere, maruntire, macinare, taiere, cernere, sortare, separare pneumatica, separare electrostatica, sedimentare, decantare, filtrare, centrifugare, stoarcere, uscare, cristalizare, distilare, rectificare etc; d) operatii chimice si biochimice: neutralizare, carbonatare, fermentare, maturare, etc.; e) operatii auxiliare: depozitare, transport, dozare, încalzire-racire, etc. II. Dupa natura operatiilor : 1. operatii mecanice (fara schimbarea starii materialului): depozitare, transport, masurare, dozare,etc.; 2. operatii fizice (cu schimbarea starii fizice a materialului): se subdivid în trei grupe: a) operatii cu transfer de impuls : maruntire, spargere, macinare, taiere, cernere, sortare, amestecare, malaxare, framântare, sedimentare, decantare, filtrare, centrifugare, separare pneumatica, stoarcere, etc.; b) operatii cu transfer de caldura : încalzire, racire, evaporare, concentrare, condensare, pasteurizare, sterilizare, refrigerare, congelare etc.; c) operatii cu transfer de masa (combinat cu transfer de caldura): uscare, prajire, distilare, rectificare, extractie, difuzie, cristalizare, etc. 3. operatii chimice si biochimice (operatii în care intervin transformari moleculare) : neutralizare, fermentare, carbonatare, maturare etc. În analiza operatiilor tip se face apel la legile fizicii, care guverneaza diferite fenomene, la elemente matematice necesare stabilirii modelelor matematice, la calcule stoechiometrice bazate pe legile ce guverneaza desfasurarea reactiilor chimice (legea proportiilor definite, legea proportiilor multiple).

14

Capitolul 2 MARIMI, MASURARI, SISTEME DE MASURA  2.1.Marimi, masurarea, valori numerice Marimile fizice reprezinta concepte asociate proprietatilor, interactiunilor sau transformarilor sistemelor, care pot fi legate prin relatii matematice denumite legi. Ele descriu fenomenele fizice atât din punct de vedere calitativ cât si cantitativ. Marimile care pot fi comparate între ele, putând deci fi egale, mai mari sau mai mici, unele fata de altele, constituie o anumita specie de marimi de natura identica. Caracteristica principala a marimilor fizice este aceea ca sunt masurabile. A masura o marime de exemplu masa unui corp înseamna a determina raportul ei fata de o alta marime de aceeasi natura considerata conventional unitate de masura, de exemplu fata de kilogramul etalon. Masurarea se bazeaza deci pe comparatia efectuata în conformitate cu anumite metode si conduce la un numar care exprima de câte ori marimea considerata unitate de masura este continuta în marimea de masurat. În acest mod orice marime fizica A se poate exprima printr-un produs simbolic dintre valoarea masuratorii a si unitatea de masura  .

A  a 

(2.1)

Ecuatia (2.1) poarta denumirea de ecuatia fundamentala a masurarii. Din analiza ei rezulta ca valoarea numerica , a marimii A depinde de alegerea unitatii de masura. Marimea fizica însasi nu variaza cu variatia unitatii de masura; valoarea numerica a acesteia însa creste sau descreste daca unitatea de masura este mai mica sau mai mare.  2.2. Unitati de masură Numarul ecuatiilor fizice care exprima matematic fenomenele fizice este mai mic decât numarul marimilor fizice sau, mai corect, decât numarul speciilor de marimi de o anumita natura, deoarece o parte din acestea sunt introduse prin analiza experientelor, fiind caracterizate prin anumite proprietati obiective si în cadrul teoriei aplicate nu pot fi exprimate prin alte marimi impuse initial. Aceste marimi denumite marimi primitive corespund unui continut fizic nou si nu pot fi introduse decât prin experienta. 15

Marimile derivate se definesc prin relatii de definitie de forma :

f x, y,...  0

(2-2)

si deci pot fi reprezentate prin anumite marimi primitive. Din punct de vedere al unitatilor se pot distinge marimi fundamentale si marimi secundare (derivate) cu unitati secundare (derivate). Marimile fundamentale au unitati de masura definite independent. Numarul marimilor fundamentale necesare variaza de la un domeniu la altul : - geometrie : lungimea, L; - cinematica : lungimea, L; timpul, T; - caldura : lungimea, L; timpul, T; masa, M; temperatura, t. Marimile derivate au unitati de masura derivate obtinute din relatiile de definitie; aceste unitati de masura depind de unitatile fundamentale. În definirea unitatilor de masura fundamentale sau derivate se mentioneaza procedeul de masurare, iar valoarea unitatilor este astfel aleasa încât raportul a doua marimi de aceasi natura sa fie independent de aceasta unitate. Marimile fundamentale si derivate au urmatoarele proprietati : - marimile de natura identica se aduna, daca în definitia lor nu intervine o origine conventionala diferita; - valorile marimilor de aceasi natura exprimate în aceleasi unitati se pot supune operatiilor matematice obisnuite (adunare, înmultire sau împartire cu numere abstracte, ridicare la putere etc.); - marimile derivate nu pot fi definite arbitrar în functie de marimile fundamentale, ele trebuie sa fie functii de marimile fundamentale. Dacă în relatiile de definitie ale marimilor derivate se înlocuiesc marimile fundamentale prin simbolurile lor dimensionale se obtine ecuatia dimensionala a marimilor derivate respective:

v  L  L  T 1

(2-3)

T

Un sistem de dimensiuni este determinat de grupul de marimi fundamentale cu ajutorul carora se pot defini univoc toate marimile derivate. Sisteme de dimensiuni folosite : L T M si L T F.

16

 2.3. Sisteme de unitati de masura. Totalitatea unitatilor fundamentale, precum si a celor derivate care se definesc cu ajutorul unitatilor fundamentale constituie un sistem de unitati de masura. Un sistem de unitati de masura este caracterizat de grupul de unitati fundamentale în functie de care se definesc unitatile derivate. Întrucât unitatile fundamentale sunt independente între ele si conventional alese pentru o anumita marime fundamentala se pot alege una sau mai multe unitati fundamentale, exemplu : masa - gramul, kilogramul si tona. Unui sistem de dimensiuni îi pot corespunde unul sau mai multe sisteme de unitati. Conditiile care se impun unui sistem de unitati sunt : - sa fie general, adica sa fie aplicabil în toate capitolele fizicii; - sa fie coerent, adica unitatile derivate sa fie deduse conform principiului coerentei dimensionale; - sa fie practic, adica sa aiba la baza unitati fundamentale corespunzatoare unor valori potrivite, nici prea mici nici foarte mari, pentru marimile obisnuite. Se cunosc mai multe sisteme de unitati. Sistemul C G S (centimetru, gram, secunda)este general, fara a conduce la unitati practice; este adoptat în studiile stiintifice de mare finete si sensibilitate. Variante : C G S (centimetru, gram, secunda, unitate de permitivitate); C G S 

0

0

(centimetru, gram, secunda,

unitate de permeabilitate); C G S  0  0 (centimetru, gram, secunda, unitate de permitivitate si de permeabilitate). Sistemul M T S (metru, tona, secunda) are unitati prea mari pentru masa si forta, este general, dar nu conduce la unitati coerente practice în electromagnetism. Sistemul M K S (metru, kilogram, secunda) are unitati practice geometrice si mecanice (în afara unitatilor de forta si de presiune), este general, coerent cu unitatile practice în electromagnetism. Sistemul F P S (foot,pound,secunda) utilizat înca în tari ca: SUA, Canada, Australia, etc. Sistemul International de Unitati (S.I.) admite ca unitati fundamentale pentru lungime, masa si timp aceleasi unitati ca si sistemul MKS, dar apar deosebiri la unitatile derivate. Sistemele de dimensiuni de tipul L M T (lungime, masa, timp) sau LFT (lungime, forta, timp) nu pot fi folosite în toate domeniile. A aparut necesitatea de a se completa sistemul de dimensiuni si sistemele de unitati cu marimi si unitati fundamentale noi care sa dea posibilitatea masurarii marimilor termice, electromagnetice si luminoase. Alegerea marimilor amintite a creat mari dificultati. 17

Toate inconvenientele aparute au condus la necesitatea adoptarii unui sistem de unitati care sa înlature toate neajunsurile si care sa fie aplicabil pe plan international.  2.4. Sistemul International de Unitati de Masura(SI) Activitatea depusa de oamenii de stiinta pentru alegerea unui sistem de unitati care sa înlature neajunsurile semnalate anterior si care sa fie aplicabil în toate domeniile de activitate si aplicat în toate locurile de pe glob este veche.Înca din 1875 s-a luat hotarârea crearii unui comitet international care sa se ocupe de aceasta problema. La cea de-a XI-a Conferinta Generala de Masuri si Greutati din nov. 1960 de la Paris, s-a luat hotarârea definitiva privind Sistemul International de Unitati de Masura - SI - bazat pe sase marimi si unitati fundamentale, adoptându-se lista marimilor si unitatilor fundamentale, suplimentare si derivate. De asemenea sa definit modul de formare al unitatilor de masura, multiplii si submultiplii lor. La cea de-a XIVa Conferinta Generala de Masuri si Greutati din 1971 s-a decis introducerea cantitatii de substanta drept a saptea marime fundamentala în SI cu unitatea fundamentala molul. Sistemul International de Unitati , SI, a fost adoptat de diferite organizatii internationale de standardizare ( ISO=Organizatia Internationala de Standardizare, CEI=Comisia Electrotehnica Internationala, UIFPA=Uniunea Internationala de Fizica Pura si Aplicata, IUPAC = Uniunea Internationala de Chimie Pura si Aplicata, OIML = Organizatia Internationala de Metrologie Legala, etc.) În România, sistemul SI a fost introdus prin HCM nr. 550 din 30 august 1961, stipulându-se ca "în RSR sistemul de unitati de masura legal si obligatoriu este Sistemul International de Unitati". Prin Legea Metrologiei votata de MAN la 3 nov. 1978 si intrata în vigoare la 1 feb. 1979, se legifereaza obligativitatea utilizarii SI pe teritoriul României, considerându-se încheiata activitatea de introducere a acestui sistem în toate domeniile de activitate. Marimile fundamentale si suplimentare precum si unitatile aferente stabilite prin Sistemul International de Unitati sunt prezentate în tabelul 2.1.

18

Tabelul 2.1. Marimi fundamentale si suplimentare, si unitatile lor corespunzatoare Sistemului International de Unitati SI Nr.

Marimi fundamentale

Unitati fundamentale

crt.

Denumire

Simbol

Denumire

Simbol

1

Lungimea

L

metru

m

2

Masa

M

kilogram

kg

3

Timpul

T

secunda

s

4

Temperatura



kelvin

K

termodinamica 5

Intensitate curent electric

I

amper

A

6

Intensitate luminoasa

J

candela

cd

7

Cantitatea de substanta

N

mol

mol

Marimi suplimentare

Unitati suplimentare

1

Unghi plan



radian

rad

2

Unghi solid



steradian

sr

Prin adoptarea a sapte marimi si unitati fundamentale, sistemul SI este un sistem universal pentru toate domeniile de activitate.



2.4.1.Definirea unitatilor de masura Definirea unitatilor de masura a marimilor fundamentale si suplimentare este urmatoarea: - metrul (m) Un metru este distanța parcursă de lumină prin vid într-un interval de timp

de 1⁄299.792.458 dintr-o secundă. Urmarea este că viteza luminii în vid este fixată prin definiție la valoarea de 299.792.458 m/s. - kilogramul (kg) unitatea de masa egala cu masa "kilogramului international" de platiniridiu (10%) adoptat în 1889 de Conferinta Generala de Masuri si Greutati, care se gaseste la Sevres (Paris - Franta);(cea de-a 3-a CGPM din 1901) - secunda (s) unitatea de timp egala cu durata a 9192631770 perioade ale radiatiei corespunzatoare tranzitiei între cele doua nivele de energie hiperfine ale starii fundamentale a atomului de Cesiu 113 ; ( cea de-a 13-a CGPM din 1967) - kelvin (K) unitatea temperaturii termodinamice egala cu fractiunea 1/273,16 din temperatura termodinamica a punctului triplu al apei ; ( cea de-a 13-a CGPM din 1967) - amperul (A) unitatea de intensitate electrica corespunzatoare unui curent electric constant mentinut în doua conductoare rectilinii, paralele, cu lungime infinita si cu sectiune

19

circulara neglijabila, asezate în vid la o distanta de 1 metru unul de celalalt, ce are ca efect aparitia unei forte de 2 x 10-7 N/m; (cea de-a 9-a CGPM din 1948) - candela (cd) este intensitatea luminoasa emisa normal la temperatura de solidificare a platinei la presiune atmosferica normala, de catre un radiator integral(corp negru) cu suprafata de 1/600000 m2;(a 13-a CGPM din 1967) - molul (mol) unitatea de cantitate de substanta, este cantitatea de substanta a unui sistem care contine atâtea entitati elementare câti atomi exista în 0,012 kilograme de Carbon12. De câte ori se întrebuinteaza molul, entitatile elementare trebuie specificate, ele putînd fi atomi, molecule, ioni, electroni, alte particule sau grupuri de asemenea particule. ( cea de-a 14-a CGPM din 1971) - radianul (rad) unghiul plan cu vârful în centru unui cerc, si care delimiteaza pe circumferinta cercului un arc a carui lungime este egala cu raza cercului; ( cea de-a 11-a CGPM din 1960) - steradianul (sr) unghiul solid cu vârful în centrul unei sfere, care delimiteaza pe suprafata sferei o arie egala cu aria unui patrat a carui latura este egala cu raza sferei. ( cea de-a 11-a CGPM din 1960)



2.4.2.Principalele reguli de formare si scriere a unitatilor SI Principalele reguli de formare si scriere a unitatilor SI sunt : - denumirile unitatilor de masura se scriu cu litere mici ex.: metru, amper, candela, cu

exceptia cazurilor când propozitiile/frazele încep cu acestea; - simbolurile unitatilor de masura se scriu cu litere romane drepte, mici, cu exceptia celor a caror denumire deriva din nume proprii si se scriu cu litere mari (metrul, m ; amperul, A). - simbolurile unitatilor de masura nu sunt urmate de punct decât în cazul în care acesta face parte din punctuatia textului; - denumirile unitatilor de masura alcatuite sub forma unui produs de unitati se scriu cu trasura de unire între unitatile respective ( ex.: newton - metru, kiloohm - metru ); - denumirile unitatilor de masura alcatuite sub forma unui raport de unitati se scriu cu prepozitia " pe " între unitatile de la numarator si cele de la numitor (ex.: metru pe secunda la patrat ); - simbolurile unitatilor de masura alcatuite sub forma unui raport de unitati se scriu cu linie oblica sau orizontala între simbolurile unitatilor de la numarator si simbolurile unitatilor de la numitor sau sub forma unor produse cu factori la puteri pozitive si negative ( ex. m/s sau m . s -1

; N/m2 sau N . m-2). În cazul în care unitatile de masura alcatuite sub forma unui raport de

unitati scris cu linie oblica, au numitorul constituit dintr-un produs se foloseste una din 20

urmatoarele forme de scriere : ori produsul simbolurilor de la numitor se scrie între paranteze, ori simbolurile unitatilor care alcatuiesc raportul se scriu sub forma unui produs de simboluri cu factori la puteri pozitive si negative ( ex. J/(kg·K) sau J ·kg-1·K-1;W/(m2·K) sau W·m-2·K-1); - pluralul denumirilor unitatilor de masura se formeaza dupa regulile de formare a pluralului substantivelor în limba româna; în cazul unitatilor alcatuite sub forma unui produs sau raport de unitati aceste reguli se aplica primei unitati a produsului, respectiv primei unitati de la numaratorul raportului (ex. secunda-secunde, newton-metru - newtoni-metru, joule pe kilogram kelvin - jouli pe kilogram kelvin ); - simbolul unitatii de masura nu ia forma diferita la plural ( ex. 1m - 2m, 1K - 120 K ); -calculele cu unitati de masura se fac de regula numai cu ajutorul unitatilor fundamentale, suplimentare si derivate ale Sistemului International, nu si cu al multiplilor si submultiplilor zecimali ai acestora ( ex. se scrie Q=K·A·t = 900 W/(m2K) ·5 m2·10 K, si nu Q = 900·10-3 kW/(m2K) ·5·106 mm2·10 K ) Utilizarea în calcule în acelasi timp a multiplilor si a submultiplilor unitatilor SI poate conduce la erori; - valorile marimilor fizice se exprima în general în unitati de masura cu valori numerice cuprinse între 0,1 si 1000 ( ex. 0,12 m; 1,3 kg; 125,70C).



2.4.3. Multiplii si submultiplii unitatilor SI. La definirea sistemului SI o preocupare de baza a fost si cea de stabilire a regulilor pentru

formarea multiplilor si submultiplilor unitatilor sistemului. Ei se formeaza pe baza principiului zecimal si sunt prezentati în tabelul 2.2. Tabelul 2.2. Multiplii si submultiplii sistemului international SI Multipli Multiplicatorul

Prefix

Submultipli Simbol

unitatii de referinta

Multiplicatorul

Prefix Simbol

unitatii de referinta

1024

yotta

Y

10 -1

deci

d

10 18

exa

E

10 -2

centi

c

10 15

peta

P

10 -3

mili

m

10 12

tera

T

10 -6

micro



giga

G

10

-9

nano

n

10 6

mega

M

10 -12

pico

p

10 3

kilo

k

10 -15

femto

f

10 2

hecto

h

10 -18

atto

a

10

deca

da

10-24

yocto

y

10

9

21

La formarea si utilizarea multiplilor si submultiplilor sistemului SI trebuie sa se tina seama de urmatoarele reguli: - prefixele si simbolurile care indica un multiplu sau un submultiplu se scriu fara spatiu liber sau alta separare înaintea simbolului unitatii; - nu se folosesc prefixe compuse ( ex. milimicrometru în loc de nanometru); singura unitate SI al carei nume contine un prefix este unitatea de masa, ea fiind formata adaugând prefixul "kilo" la cuvântul "gram"; - daca unitatea de masura este formata din câteva unitati, prefixul poate fi numai înaintea primei unitati, neadmitându-se combinatii; - daca simbolul unitatii de masura care este precedat de simbolul unui multiplu sau submultiplu este urmat de un exponent acesta se considera aplicat întregii unitati ( ex. 1 cm2 = (1·10-2 m)2 = 1·10-4 m2 ). Prin Sistemul International de Unitati se urmareste si unificarea prezentarii fenomenelor fizice definite prin unitati derivate. Toate unitatile derivate în acest sistem sunt concordante cu ecuatiile de definitie, conducând astfel la expresiile cele mai simple prin eliminarea factorilor numerici. Adoptarea si perfectionarea continua a Sistemului International de Unitati prezinta o serie de avantaje si anume : - a dat posibilitatea unificarii unitatilor de masura pentru toate marimile fizice, mecanice, termice, electromagnetice, etc., eliminând prin aceasta marile dificultati ce apareau în cazul folosirii a diferite unitati de masura pentru aceeasi marime; - a simplificat scrierea formulelor si ecuatiilor în stiinta si tehnica, ceea ce atrage dupa sine reducerea timpilor de calcul; - a înlaturat posibilitatea confundarii unitatii de masa (kilogramul) cu cea a unitatii de forta (newtonul), confundare care este un caz destul de frecvent în celelalte sisteme.

22

Capitolul 3 SIMILITUDINE, ANALIZA DIMENSIONALA, MODELARE, BILANTURI  3.1.Similitudine



3.1.1. Introducere Fenomenele din natura sunt dirijate de legi obiective fizice sau chimice, fixe si generale,

cunoscute sau înca necunoscute. Multe din legile cunoscute sunt exprimate matematic prin relatii generale între marimile determinante care intervin în desfasurarea fenomenului. De obicei, aceste relatii generale sunt ecuatii diferentiale, valabile pentru întreaga clasa de fenomene la care se refera legea sau legile exprimate prin ecuatiile diferentiale respective. Individualizarea unui fenomen se face introducând în rationament conditiile de univocitate. Acestea sunt : - conditii geometrice adica dimensiunile sistemului si dimensiunile traiectoriilor urmate de elementele sistemului; - conditii fizice sau de material reprezentate prin constantele fizice si parametrii de stare ai substantelor; - conditii dinamice ale elementelor sistemului : viteze, acceleratii, etc.; - conditii la limita adica conditiile geometrice, fizice si dinamice ale starii initiale si ale starii finale ale sistemului. Ecuatiile generale în care s-au introdus conditiile de univocitate prin : - precizarea constantelor; - integrarea între limitele corespunzatoare conditiilor initiale si finale; - introducerea unor conditii suplimentare; dau ecuatii proprii fenomenului particular, caracterizat prin conditiile de univocitate impuse. Când legile care guverneaza fenomenul studiat nu sunt cunoscute sau când ecuatiile deduse pe cale teoretica sunt prea complicate ori nerezolvabile, se recurge la determinarea experimentala a dependentelor dintre marimile care influenteaza fenomenul.

23

Experimentarea poate fi conceputa si condusa în trei moduri corespunzând la trei obiective : 1. - cu intentia de a studia un caz particular si a gasi rezultate valabile pentru cazul studiat; 2. - cu intentia de a gasi formule empirice valabile pentru un interval restrâns de variatie a parametrilor; 3. - cu intentia de a descoperii legea generala care guverneaza fenomenul studiat si a deduce relatii valabile pentru domenii mai extinse decât cele în care au variat parametrii în timpul experimentarii. Formulele empirice si corelarile alcatuite pe baza lor nu reprezinta o rezolvare stiintifica a problemei, deoarece ele nu conduc la cunoasterea legilor fundamentale si nu permit generalizarea dincolo de limitele conditiilor în care s-a experimentat. Din contra, conducerea stiintifica a experimentarii si interpretarea rezultatelor cu ajutorul teoriei similitudinii si al analizei dimensionale duc la relatii care pot fi extrapolate deoarece ele exprima legile de baza ale fenomenului. Teoria similitudinii sau teoria modelelor studiaza deducerea si folosirea criteriilor de similitudine, cu scopul de a gasi metodele de transpunere a rezultatelor experimentale obtinute cu un sistem studiat (model) ,la un alt model.

Cu alte cuvinte se studiaza criteriile dupa

care trebuie alese conditiile experimentale pentru a fi similare conditiilor industriale. Experimentarea în aparatura de dimensiuni reduse în conditii convenabile si cu materiale usor accesibile, constituie un avantaj foarte important al folosirii modelelor ca parte integranta a mijloacelor generale de lucru ale tehnicii. Fenomene similare sau fenomene asemenea sunt fenomenele pentru care conditiile de univocitate sunt similare, adica fenomenele care îndeplinesc conditiile de : - similitudine geometrica; - similitudine fizica; - similitudine dinamica; - similitudine a conditiilor la limita. Primele trei conditii de similitudine sunt exprimate prin relatiile : - similitudinea geometrica :

L L1 L2   ...  n  al l1 l2 ln

(3-1)

C C1 C 2   ...  n  ac c1 c2 cn

(3-2)

- similitudinea fizica :

24

- similitudinea dinamica : T1 T2 T   ...  n  at t1 t2 tn

(3-3)

în care : L1, L2,...- dimensiunile geometrice ale sistemului industrial; l1, l2,... - dimensiunile geometrice corespunzatoare ale modelului; C1, C2,...- parametrii fizici ai sistemului industrial; c1, c2,...- parametrii fizici în punctele corespunzatoare ale modelului; T1, T2,...- duratele pentru parcurgerea unor portiuni de traiectorii ale elementelor sistemului industrial; t1, t2,...- duratele pentru parcurgerea unor portiuni similare de traiectorii ale elementelor modelului; al- constanta de similitudine geometrica; ac- constanta de similitudine fizica; at- constanta similitudinii de timp. - similitudinea conditiilor la limita înseamna îndeplinirea celor trei tipuri de similitudine în starile initiale si în starile finale ale ambelor sisteme.



3.1.2. Invarianti si criterii de similitudine Constantele de similitudine s-au obtinut prin raportul între marimile care caracterizeaza

sisteme asemenea. Ele sunt nedimensionale. Daca toate marimile pentru care se scriu rapoartele în vederea obtinerii constantelor de similitudine se masoara în aceleasi unitati, raportul a doua marimi care caracterizeaza acelasi sistem este nedimensional si egal cu raportul marimilor din cel de-al doilea sistem în punctele în care au fost asemenea. Astfel : L1 l1   ...  il L2 l2

C1 c1   ...  ic C2 c2

(3-4)

T1 t1   ...  it T2 t2

Toate aceste rapoarte contin elemente dintr-un singur sistem, sunt nedimensionale si se numesc invarianti de similitudine. Daca invariantii de similitudine sunt rapoarte între doua marimi de aceeasi natura, ca cei din relatia de mai sus, se numesc simplecsi de similitudine. Daca invariantii sunt rapoarte între mai multe marimi, se numesc multiplecsi sau criterii de similitudine. 25

Criteriile de similitudine se determina din însasi esenta fenomenelor. Ele sunt marimi abstracte, se pot stabili pentru orice fenomen fizic cu conditia sa existe relatii analitice care sa lege între ele variabilele fenomenului cercetat. Deducerea criteriilor de similitudine se realizeaza: - din ecuatiile care descriu fenomenul; - cu ajutorul ecuatiilor diferentiale, pe baza teoremelor similitudinii; - cu ajutorul analizei dimensionale. Similitudinea si aplicarea ei în practica se bazeaza pe trei teoreme si anume: Teorema I, formulata de Newton, stabileste legatura între fenomenele asemenea. Se enunta astfel: "Fenomenele asemenea între ele au aceleasi criterii de similitudine si criteriile de similitudine au aceeasi valoare". Pe baza acestei teoreme se pot deduce criteriile de similitudine din ecuatiile diferentiale care descriu fenomene asemenea fara sa se recurga la rezolvarea analitica a ecuatiilor diferentiale. Teorema II, a fost formulata de Buckingham si stabileste posibilitatea reprezentarii solutiei integrale a ecuatiei diferentiale pe baza de criterii de similitudine. Se enunta astfel : "Orice functie care caracterizeaza un fenomen oarecare poate fi prezentata ca o functie de criterii de similitudine". Forma cea mai generala a acestei functii este : f N1, N2 ,..., Nn   const.

(3-5)

în care: N1, N2, ... - numere adimensionale sau criterii de similitudine. Forma este cea obtinuta cu ajutorul teoremei . Teorema III, a fost formulata de Kipircev-Guhman si indica ce conditii sunt necesare si suficiente pentru ca fenomenele sa fie asemenea. Se enunta astfel: "Pentru ca doua fenomene sa fie asemenea este necesar si suficient ca ele sa fie calitativ identice, iar criteriile determinante corespunzatoare sa aiba aceeasi valoare numerica".

 3.2. Analiza dimensionala



3.2.1. Introducere Analiza dimensionala reprezinta ansamblul de cunostinte si metode pentru tratarea

unor probleme de inginerie, folosind formulele dimensionale ale marimilor fizice. Analiza dimensionala considera ca relatiile care permit descrierea fenomenelor sunt dimensional omogene, adica cei doi termeni ai relatiei sunt identici sub aspect dimensional. Analiza dimensionala a aparut ca rezultat al extinderii principiilor asemanarii geometrice la alte fenomene fizice. Expresia prin care se exprima o marime functie de marimile fundamentale a fost numita ecuatie dimensionala sau ecuatie de dimensiuni. 26

În general orice marime tinând seama de marimile fundamentale este definita printr-o relatie de forma : X  La  M b  t c  T d

(3-6)

Unde: X - marimea definită; L,M,t,T - marimile fundamentale; a,b,c,d - exponenti. Ecuatia este valabila pentru toate sistemele de unitati de masura din sistemul de dimensiuni L M t T. Principalele aplicatii ale analizei dimensionale sunt : - verificarea corectitudinii formulelor, fie din punct de vedere dimensional, fie al unitatilor particulare; - deducerea naturii factorilor care intervin în relatii; - transpunerea formulelor dintr-un sistem de unitati de masura în alt sistem de unitati de masura; - stabilirea formei generale a ecuatiilor care definesc un fenomen oarecare.



3.2.2. Teorema  O aplicatie de mare utilitate practica este folosirea analizei dimensionale pentru stabilirea

formei generale a ecuatiilor care descriu anumite fenomene complexe, dependente de un numar mare de variabile. Aceasta metoda se poate utiliza în cazurile în care se pot stabili toti parametrii care influenteaza un anumit fenomen sau proces. Cunoscând parametrii de care depinde fenomenul sau procesul, se poate scrie o functie nedeterminata, caracteristica procesului respectiv, de forma :

F  f a, b, c, d ,...

(3-7)

în care : a, b, c, d, ... - parametrii care influenteaza fenomenul; F - fenomenul. Prin analiza dimensionala nu se obtin informatii complete asupra relatiilor dintre parametrii care determina fenomenul. Pentru a avea informatii complete este necesar sa se recurga la experienta. Utilizând analiza dimensionala se poate reduce considerabil numarul de determinari experimentale necesare. Analiza dimensionala, alaturi de experienta, conduce la rezultate numai daca se cunosc toti factorii sau marimile care influenteaza fenomenul sau procesul. De aceea prima etapa în aplicarea analizei dimensionale este cea de stabilire a marimilor fizice care intervin în fenomenul studiat. Daca se introduc marimi suplimentare sau se omit anumite marimi care influenteaza fenomenul, analiza dimensionala nu poate conduce la un rezultat concret si corect. 27

Pentru a reduce numarul determinarilor experimentale necesare caracterizarii în totalitate a fenomenului, analiza dimensionala conduce la gruparea factorilor sau marimilor care influenteaza fenomenul în grupuri de marimi fara dimensiuni. Acest lucru este posibil tinând seama de faptul ca toate ecuatiile fizice trebuie sa fie dimensional omogene. Pentru aceasta se aplica metoda bazata pe teorema . Teorema  sau teorema lui Buckingham (1914) este teorema fundamentala a analizei dimensionale. Un fenomen fizic, tinând seama de teorema , poate fi descris printr-o functie de forma : f N1 , N 2 , N3, ...  const.

în care N1, N2, N3, ... sunt grupuri nedimensionale care cuprind marimile fizice si constantele dimensionale care influenteaza fenomenul, inclusiv fenomenul. Numarul n de produse nedimensionale independente ce determina functia de tipul de mai sus, în cazul unui fenomen sau proces ce depinde de m parametrii dimensionali între care intra si fenomenul analizat în care se gasesc u marimi fundamentale care intra în ecuatiile de definitie, conform teoremei  , este egal cu diferenta între numarul de parametrii, m, si numarul de marimi fundamentale, n, care intra în ecuatiile de definitie a parametrilor:

n  mu Pentru fenomene mecanice, numarul marimilor fundamentale u = 3 (lungime, masa, timp) pentru fenomene termice u = 4 (lungime, masa, timp, temperatura). Pentru fiecare caz valoarea lui u trebuie sa fie verificata pe baza marimilor fizice si a constantelor dimensionale. Alegerea sistemului de unitati de masura, în principiu, este arbitrara; se poate alege sistemul cel mai comod pentru studiul propus. Tinând seama de superioritatea sistemului international SI, si de legislatia în vigoare se utilizeaza de regula acest sistem. Prin tot ceea ce se cuprinde în enuntul teoremei  se respecta conditia egalitatii de dimensiuni a celor doua parti ale relatiei care defineste fenomenul sau procesul. Teorema  pune conditia m > u ; în alt caz nu se poate aplica.  3.3. Metode pentru deducerea criteriilor de similitudine



3.3.1. Stabilirea criteriilor de similitudine din ecuatiile diferentiale care descriu fenomenul O ecuatie diferentiala completa, dimensional omogena, ce descrie un proces, se poate

pune sub forma adimensionala în vederea obtinerii criteriilor de similitudine. În acest scop, în primul rând se reduce ecuatia diferentiala la o forma dimensionala generalizata, omitând semnele diferentiala, apoi se împarte prin unul din termeni pentru a se obtine toti ceilalti termeni adimensionali. 28

Se considera de exemplu, ecuatiile diferentiale ale lui Navier - Stokes pentru transferul de impuls. Ele sunt valabile pentru curgerea izoterma a unui fluid newtonian. Întrucât, cele trei componente ale sistemului de ecuatii au aceeasi forma este suficient sa se scrie numai una, cea pentru directia 0x :



w  wx w w  p    wx  x  wy  y  wz  z     g x   t x y z  x  II III I IV

  2 wx  2 wy  2 wz  1   wx wy wz  0     2           x 3 x  x y z  y 2 z 2  

V

(3-8)

VI

Ecuatia este omogena si fiecare termen reprezinta o forta raportata la unitatea de volum. În ecuatia (3-8) se omit semnele diferentiala si constanta numerica 1/ 3 de la termenul V. Se scrie ecuatia dimensionala generalizata : 2    w    w   p    w  2 2   t   l     g    l      l 2   L  M  T  

I

II

III

IV

(3-9)

V,VI

în care l - marimea liniara caracteristica. Termenii V si VI sunt identici. Analizând ecuatia (3-9) se constata ca prin împartirea celorlalti termeni la termenul II se pot obtine patru grupuri adimensionale independente si anume : - criteriul de similitudine Reynolds, care reprezinta raportul între fortele de inertie si cele de viscozitate :

 w 2 V  1   wl wl  l 2    Re   II   w   w  l Re   l

(3-10)

- criteriul de similitudine Froude care reprezinta raportul între fortele de inertie si cele de gravitatie : III g g l 1 w2     Fr    w2 II w2 Fr g l l

(3-11)

- criteriul de similitudine Euler sau coeficientul de presiune, care reprezinta raportul între fortele de presiune si fortele de inertie : p IV p  l 2   Eu  w II   w2 l

29

(3-12)

- criteriul de similitudine de homocronism sau criteriul lui Strougal, care caracterizeaza aspectul stationar sau nestationar al curgerii :

 w I l 1 wt  t 2    Ho  II   w w  t Ho l l

(3-13)

Functia criteriala care se obtine poate fi scrisa sub forma implicita, si anume:

f Ho, Re, Fr , Eu   ct.

(3-14)

sau sub forma explicita pentru Eu : Eu  k  Ren1  Fr n2  Hon3

(3-15)

în care k si exponentii n1, n2, n3, se determina experimental. Ecuatia (3-15) şi-a gasit cele mai importante aplicatii în operatia de amestecare, pentru calculul consumului de energie. Dupa unele transformari, se ajunge de la caderea de presiune care apare la organul de amestecare la necesarul de putere. Avantajul metodei consta în aceea ca evidentiaza semnificatia fizica a fiecarui criteriu masura a raportului între doua forte. Dezavantajul metodei de stabilire a ecuatiilor criteriale din ecuatiile diferentiale consta în aceea ca se neglijeaza unele variabile în însasi rationamentul de deducere al acestor ecuatii. Aceste variabile, care nu apar în ecuatia diferentiala nu pot sa apara nici în ecuatiile criteriale. Astfel, în exemplul de mai sus este neglijata tensiunea superficiala. Luarea în considerare la curgerea fluidelor si a tensiunii superficiale face sa apara un nou criteriu de similitudine, criteriul Weber.



3.3.2. Stabilirea criteriilor de similitudine prin tehnica analizei dumensionale Determinarea numarului complet de grupuri adimensionale pe baza parametrilor ce

influenteaza procesul, inclusiv procesul, se poate face prin doua metode : metoda indicilor si metoda matricei dimensionale. Pentru întelegerea modului de aplicare a metodelor precizate se considera transferul de impuls la curgerea stationara si izoterma a unui fluid newtonian.

30

Fenomenul este descris de sapte variabile si anume : Variabila

Simbol

Unitati de

Formula

masura în

dimensionala

SI Lungimea caracteristica

l

m

L

Viteza fluidului

w

m/s

L . T-1

Densitatea fluidului



kg/m3

M . L-3

Viscozitatea dinamica a



Pa . s

M . L-1 . T-1

Tensiunea superficiala



N/m

M . T-2

Caderea de presiune

p

Pa

M . L-1 . T-2

Accelerarea gravitatiei

g

m/s2

L . T-2

fluidului

Variabilele sunt exprimate functie de trei marimi fundamentale si conform teoremei  , fenomenul va fi descris de 7 - 3 = 4 grupuri adimensionale independente.

Metoda indicilor Formulele dimensionale ale variabilelor se pot scrie sub forma unor puteri, astfel încât produsul variabilelor astfel scrise sa fie adimensional :

l x  wx   x   x   x  px  g x 1

2

3

4

5

6

7

 L0  M 0  T 0

(3-16)

unde x1, x2, ... reprezinta indici necunoscuti, iar parantezele patrate precizeaza ca este vorba de formule dimensionale si nu de variabile. Dupa înlocuirea formulelor dimensionale se obtine :

Lx

1



  M  L   M  L   L  T   L  M

 L  T 1

M  L

1

 T 2

x2

 3 x3

x6

 2 x7

1

0

0

 T 1

  M  T  x4

 2 x5



T 0

(3-17)

Cu ajutorul exponentilor sau indicilor marimilor fundamentale se obtin trei ecuatii de conditie : Conditia pentru L : x1 + x2 - 3x3 - x4 - x6 + x7 = 0 Conditia pentru M : x3 + x4 + x5 + x6 = 0 Conditia pentru T : - x2 - x4 - 2x5 - 2x6 - 2x7 = 0 Acest sistem de ecuatii se poate rezolva doar pentru trei exponenti care se exprima functie de ceilalti, considerati cunoscuti : x1 = - x4 - x5 + x7 x2 = - x4 - 2x5 - 2x6 - 2x7 x3 = - x4 - x5 - x6 ecuatia (3-16) capata forma :

l  x  x  x  w x 2 x 2 x 2 x    x  x  x   x   x  px  g x 4

5

7

4

5

6

7

4

5

6

4

31

5

6

7

 L0  M 0  T 0

(3-18)

sau   wl      

 x4

 l  w2        

 x5

 w2      p 

 x6

 w2    l  g 

 x7

 L0  M 0  T 0

(3-19)

Apare un nou criteriu :

We 

l  w2  

(3-20)



Criteriul de similitudine Weber reprezinta raportul între fortele de inertie si fortele de suprafata datorate tensiunii superficiale. Functia criteriala ce descrie curgerea stationara izoterma a unui fluid newtonian va avea forma: - implicita :

f( Re, We, Eu, Fr) = const.

(3-21)

- explicita :

p  k Re n1  Fr n2  Wen3 2  w

(3-22)

în care :n1 = x4 / x6 ;

n2 = x7 / x6 ;

n3 = x5 / x6

Valorile numerice ale coeficientului k si a exponentilor n1, n2, n3 se determina experimental. În general, se recomanda ca produsele adimensionale sau criteriile de similitudine sa fie obtinute pornindu-se de la ecuatiile diferentiale ce definesc fenomenul sau clasa de fenomene dar, atunci când aceste ecuatii neglijeaza unele variabile trebuie folosita în paralel si analiza dimensionala. În exemplul dat acest lucru se pune în evidenta : ecuatia diferentiala Navier - Stokes pentru curgerea izoterma a fluidelor newtoniene nu ia în considerare tensiunea superficiala; functia criteriala rezultata (3-15) nu prezinta în componenta sa un criteriu care sa contina acest parametru. Utilizându-se analiza dimensionala si incluzând între parametri si tensiunea superficiala a fluidelor apare în ecuatia criteriala (3-22) si criteriul Weber. Aceasta ecuatie este mai completa. Metoda matricei dimensionale Pentru acelasi proces de curgere izoterma a lichidelor newtoniene, matricea dimensionala are forma : Variabila

l

w







p

g

Exponentul

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

Exponentul lui L

1

1

-3

-1

0

-1

1

Exponentul lui M

0

0

1

1

1

1

0

Exponentul lui T

0

-1

0

-1

-2

-2

-2

variabilei

32

Ea este construita din m = 7 coloane si n = 3 rânduri ( rangul matricei). Cu ajutorul primelor n coloane se formeaza determinantul si se verifica daca este diferit de zero :

1

1

 0

0

3 1  1  0

0 1

(3-23)

0

Daca aceasta conditie nu este îndeplinita se schimba una sau mai multe coloane ale matricei. Variabilele primelor trei coloane, denumite variabile comune sau variabile determinante, daca nu îndeplinesc conditia ca determinantul sa fie diferit de zero, înseamna ca nu au fost bine alese. În continuare, se formeaza toti determinantii posibili alcatuiti prin schimbarea succesiva a coloanelor determinantului cu celelalte coloane ale matricei dimensionale. Determinantii nou formati se vor nota cu doi indici : primul se refera la coloana schimbata din determinant iar al doilea la coloana nou introdusa din matricea initiala. Prin substitutia succesiva a coloanelor se obtin în total n(m - n) determinanti de ordinul n :

1

1

 x1 x4  1

0

3 1 1

1 1

0

1

3

1

 x1 x6  1

 2 1

1

0 1 1  x 2 x6  0

1 1

0 2

1 2 0

1

1

1

 x3 x 4  0

0

1 1

0 1 1 1

1

1

 x3 x 6  0

0

1 1

0

1

1

 x1 x7  0

0

1

0

 x 2 x5  0

1

0 2

0

1  3 1

 x1 x5  1

3 1 1 0 3 1  1

 2 1

0

1 1  3  x2 x4  0

1

 2 1

1 0

0

0

1

1

 x 2 x7  0

0

0

3 1 2 0 3 1 2

0 2

0

1

1

0

 x3 x5  0

0

1 1

0 1  2

0 1  2

1

1

1

 x3 x 7  0

0

0 0

0 1  2 33

(3-24)

Cu ajutorul valorilor obtinute pentru cei 12 determinanti se formeaza o noua matrice constituita din m coloane si m-n siruri ce se refera la m - n grupuri adimensionale. Primele n coloane ale matricei sunt constituite din valorile, cu semn schimbat ale rapoartelor între determinantii nou formati si determinantul initial, iar ultimele m - n coloane formeaza un determinant de rangul m - n cu elementele diagonalei principale egale cu unitatea si celelalte elemente nule. Rangul

l

w







p

g

matricei

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

Exponentii

x4

-1

-1

-1

1

0

0

0

grupurilor

x5

-1

-2

-1

0

1

0

0

adimension

x6

0

-2

-1

0

0

1

0

ale

x7

1

-2

0

0

0

0

1

Grupurile de marimi adimensionale se formeaza punând variabilele din capul tabelului la exponentii dintr-un sir. Fiecarui sir îi corespunde un criteriu de similitudine. Se obtin în total patru criterii :

 l  w 

 Re 1

 lw  2

 We1

p  Eu w2  

lg  Fr 1 w2

(3-25)

Din aceste criterii şi pe baza aceloraşi rationamente se obtin functiile (3-21) si (3-22). Alegerea arbitrara a primelor coloane face sa nu rezulte întotdeauna direct grupurile adimensionale cunoscute. În cazul de fata s-a obtinut inversul criteriilor Re, We, Fr. Aducerea lor la forma dorita se poate face prin operatii algebrice asupra fiecarui grup independent.  3.4. Modelare Fenomenele pot fi studiate atât teoretic cât si experimental. În inginerie se utilizeaza modelarea fizica sau modelarea matematica în scopuri multiple. Modelarea fizica presupune realizarea experimentelor pe instalatii mici denumite modele. Se impune realizarea conditiilor din instalatiile industriale adica realizarea tuturor conditiilor de similitudine. Drumul urmat în studiu este urmatorul : 1. Analiza teoretica a fenomenului sau procesului de studiat cu gasirea ecuatiilor analitice care-l descriu matematic si transpunerea acestora sub forma unei ecuatii criteriale. 2. Stabilirea conditiilor de similitudine între utilajul industrial si model care impun ca ecuatiile criteriale precum si valorile numerice ale lor sa fie aceleasi. Pentru aceasta trebuie sa se îndeplineasca unele conditii : fenomenul care are loc în cele doua instalatii trebuie sa fie de aceeasi natura fizica; conditiile la limita între cele doua instalatii trebuie sa fie identice; libertatea 34

alegerii constantelor si parametrilor fizici pentru model este limitata de conditia respectarii egalitatii valorilor criteriilor determinante între cele doua instalatii. Prin intermediul criteriilor de similitudine rezultatele experimentelor de pe model sunt extrapolate la instalatia industriala. În etapa actuala, modelarea matematica capata o tot mai mare importanta. Ea prezinta importanta prin sine însasi cât si prin faptul ca modelarea fizica apeleaza în parte la modelarea matematica. Modelarea matematica este expresia formala a realitatii fizice. Este cunoscut ca, cu exceptia unor cazuri banale, universul real si cel matematic sunt incomensurabile; nici un model matematic nu poate reprezenta perfect o realitate fizica nebanala. De aceea, adeseori, nu se pune alternativa alegerii între un model corect si altul gresit, ci a alegerii celui mai bun model dintre cele accesibile. În întelegerea actuala a modelarii sunt cuprinse urmatoarele etape : 1. examinarea procesului care urmeaza a fi modelat; 2. analiza structurala a procesului, reprezentarea lui în forma unui sistem ierarhic organizat; 3. exprimarea matematica a sistemului printr-un numar necesar si suficient de ecuatii; 4. evaluarea (teoretica, experimentala) a coeficientilor modelului. Daca aceste etape se trec cu succes se poate avansa la simulare. 5. întocmirea unui program experimental, dupa criterii selectionate; 6. efectuarea programului experimental pe calculator, prin repetare succesiva în conditii variate. În aceasta schema punctele 3 si 5 sunt decisive. Desi în trecut fenomene complicate au putut fi modelate, parcurgându-se punctele 1-3, exploatarea modelului a fost limitata de capacitatea fizica redusa de solutionare a ecuatiilor respective. Introducerea calculatoarelor de mare capacitate permite astazi eliminarea acestei dificultati, fara sa fie nevoie sa se recurga la o reducere drastica a reprezentarii realitatii. Tipuri de modele matematice : - modele analitice (sau deterministe) se obtin prin izolarea unei portiuni restrânse a spatiului aparatului astfel aleasa încât variatiile (de concentratie, temperatura, etc.) care au loc sa fie infinitezimale. Pentru acest spatiu se scriu ecuatiile de conservare corespunzatoare de masa, energie, moment. Ecuatiile diferentiale obtinute se integreaza pentru întreg spatiul aparatului. Utilizarea calculatoarelor permite astazi elaborarea de modele deterministe puternice, reprezentând apropiat fenomenul fizic, ecuatiile respective rezolvându-se prin metode numerice. - modelele stohastice sunt utilizate pentru sistemele a caror evolutie întâmplatoare nu poate fi satisfacator reprezentata de un model determinist. Parametrii introdusi în model sunt evaluati prin metode statistice; 35

- modele statistice (empirice) sunt adeseori atragatoare prin simplitatea lor, si prin faptul ca parametrii modelului se determina din date experimentale uzuale. Ele nu necesita o reprezentare a mecanismului procesului care urmeaza a fi modelat. Modelele matematice au o utilizare variata. Principalele posibilitati sunt urmatoarele : - dimensionare; - operare; - transpunere la scara; - optimizare; - control optimal.  3.5. Bilanturi



3.5.1. Notiuni introductive O operatie sau un proces tehnologic poate decurge discontinuu sau continuu. Operatia sau procesul este discontinuu când instalatia se încarca cu materiale formându-

se o sarja; sarja este prelucrata si dupa terminarea prelucrarii este evacuata sub forma de produs finit. Urmeaza un nou ciclu de prelucrare. Caracteristice pentru operatiile discontinue sunt marimea sarjei si durata unui ciclu. Operatia sau procesul este continuu când instalatia este alimentata neîntrerupt si uniform cu materie prima, materiale si utilitati si debiteaza neîntrerupt si uniform produsul finit. Caracteristicile unei operatii continue sunt: debitul de alimentare, debitul de produse finite, intervalul de timp în care produsul se afla în instalatie. Un aparat, masina sau instalatie poate functiona în regim stationar sau nestationar. Utilajele în care se produc acumulari de materiale ( sarje ) sau de energie, functioneaza în regim nestationar. Ele sunt utilaje cu functionare discontinua sau în regim tranzitoriu. Un aparat sau masina functioneaza în regim stationar când s-a realizat stabilizarea la valori locale constante a tuturor parametrilor de stare - presiune, temperatura, concentratie - si a parametrilor de functionare - debite, viteze, directii de curgere - în toate punctele instalatiei. Invarianta parametrilor se refera la invarianta în timp a parametrilor pentru un punct al sistemului. Pentru intrarea în regim stationar, instalatia functioneaza dupa pornire în regim tranzitoriu. În aceasta perioada toti parametrii variaza de la valoarea de pornire la valoarea de regim. Tot în regim tranzitoriu functioneaza instalatiile continue atunci când trec de la un regim de lucru la altul. Procesele continue prezinta o serie de avantaje importante în comparatie cu cele discontinue, si anume : 36

- posibilitatea realizarii unei mecanizari si automatizari complete a proceselor tehnologice; - asigurarea unei productii mai omogene, cu posibilitati de îmbunatatire a calitatii; - reducerea spatiului ocupat de utilaje.



3.5.2. Bilantul de materiale La realizarea activitatilor legate de desfasurarea unui proces tehnologic pe lânga forta de

munca si utilaje mai sunt necesare materii prime si auxiliare, energie de diferite tipuri. Pentru dimensionarea utilajelor si instalatiilor cât si pentru conducerea optima a proceselor tehnologice, cunoasterea cantitatilor de materiale, a debitelor care circula prin instalatie, precum si toate schimbarile care intervin constituie o problema esentiala. Cunoasterea cantitativa si calitativa a materialelor care intra si ies dintr-un proces tehnologic sau dintr-un utilaj, se poate realiza cu ajutorul bilantului de materiale. Bilantul de materiale se bazeaza pe legea conservarii materiei si se defineste prin relatia de conservare a materiei :

M  M  M e

i

ieş

 Mr  M p

(3-26)

în care : Me - este suma materialelor existente în sistem; Mi - suma materialelor intrate în sistem; Mies - suma materialelor iesite din sistem; Mr - suma materialelor ramase în sistem; Mp - suma materialelor pierdute din sistem. Ecuatia (3-26) reprezinta forma generala de exprimare a bilantului de materiale. Diferenta (Mr - Me ) = A se numeste acumulare. În cazul proceselor cu desfasurare continua acumularea este egala cu zero si relatia (3-26) capata forma :

 M   M  M i

ieş

(3-27)

p

Daca si pierderile pot fi considerate egale cu zero ecuatia generala capata forma particulara:

M  M i

(3-28)

ieş

În activitatea de întocmire a bilantului de materiale apar doua etape : a. alegerea sistemului si izolarea lui; b. alegerea elementului de baza. Alegerea sistemului implica limitarea zonei asupra careia urmeaza a se efectua calculele de bilant de materiale ( fig. 3.1.) 37

Lapte normalizat Ln Concentrare

W

Lc

Vapori de apă

Lapte concentrat

Fig.3.1 Alegerea sistemului şi izolarea lui

Ca element de baza se alege elementul care intra în cel mai mic numar de curenti ce intersecteaza conturul sistemului. Daca un element intra numai într-un singur curent poate fi considerat element de baza Bilantul de materiale poate fi : - global, total sau general; - partial. Bilantul de materiale global se întocmeste pentru un sistem format dintr-un utilaj, instalatie sau fabricatie fiind cuprinse toate cantitatile sau debitele masice de materiale care intersecteaza limitele sistemului. Bilantul de materiale partial se întocmeste pentru sistemul precizat anterior referindu-se la un singur component din fluxurile de materiale care intersecteaza limitele sistemului. Referindu-ne la sistemul din figura 3.1 se poate scrie : - bilant global de materiale : Ln = Lc + W -

(3-29)

bilant partial de materiale în substanta uscata : sun su  Ln  c  Lc 100 100

(3-30)

în care : sun este concentratia, în procente de masa, substanta uscata, continuta de laptele normalizat; suc este concentratia, în procente de masa, substanta uscata, continuta în laptele concentrat. Cu ajutorul bilantului de materiale se pot stabili consumurile specifice, randamentul de fabricatie, etc. Bilantul de materiale poate furniza relatiile si datele necesare pentru optimizarea anumitor procese de productie. 38

Se precizeaza ca bilantul de materiale se scrie pentru cantitatile de materiale exprimate numai în unitati de masa sau unitati de cantitate de substanta si în nici un caz în unitati de volum. Dupa scrierea ecuatiilor de bilant de materiale si efectuarea calculelor analitice care conduc la determinarea fluxurilor necunoscute, se reprezinta grafic circulatia materialelor (fig. 3.2). Se efectueaza aceasta reprezentare deoarece constituie o metoda de verificare grafica a corectitudinii rezolvarii bilantului de materiale.

Fig.3.2 Graficul de circulaţie a materialelor (diagrama Sankey)

Pentru reprezentarea grafica se dispun în ordine cantitatile de materiale si se alege un raport de reprezentare de asa maniera încât pe de o parte sa nu fie prea mare câmpul ocupat de grafic, iar pe de alta parte sa se poata reprezenta si cantitatile cele mai mici. Atunci când între datele care trebuie reprezentate sunt diferente foarte mari, valorile foarte mici se pot figura prin simple linii pe care se scrie valoarea, celelalte date ramânând a fi aduse la scara conform raportului conventional ales. Graficul, de regula, se coloreaza în culori conventionale. Pentru trasarea graficului circulatiei materialelor sistemul considerat se reprezinta schematic sau se simbolizeaza printr-un dreptunghi. Se face apel si la elementul estetic. Bilantul de materiale se rezolva utilizând datele cunoscute si scriind o serie de ecuatii cu ajutorul carora se determina necunoscutele. Sunt putine regulile care se pot indica pentru a da o metoda precisa la rezolvarea problemelor de bilant de materiale. Drumul cel mai bun de urmat se poate stabili numai prin observarea atenta a problemei în studiu. Ca indicatii generale pot fi urmatoarele : - sa se utilizeze cât mai multe ecuatii de bilant de materiale cu termenii rezultati din analiza materialelor, adica ecuatii de bilant de materiale partial referitoare la anumiti componenti. Analiza materialelor în cele mai multe cazuri este mai expeditiva si mai exacta decât masurarea cantitatilor. Se poate scrie un numar de ecuatii de bilant de materiale partial egal cu numarul componentilor individuali; 39

- sa se ia ca baza de referinta componentii care ramân neschimbati tot timpul procesului, raportând la acestia pe cei care sufera schimbari; - componentii care se iau ca baza de referinta sa fie în cantitate cât mai mare raportati la ceilalti pentru a reduce la minim influenta aproximatiilor si a erorilor; - în problemele în care intervine aerul sau alte gaze umede, continutul de umezeala sa fie considerat separat deoarece este supus la fluctuatii mari datorita temperaturii si umezelii relative; - ecuatiile necesare pentru rezolvarea problemelor de bilant de materiale, în mod curent, sunt ecuatii care au la baza principiul conservarii materiei sau ecuatii pe baza de rapoarte stoechiometrice. Pentru rezolvarea problemelor însa, în anumite cazuri, se pot utiliza si alte tipuri de ecuatii adecvate cazului respectiv.



3.5.3. Bilantul energiilor Bilantul energiilor serveste la urmarirea energiilor care intervin într-o instalatie sau într-

un proces tehnologic. El este o aplicatie a principiului conservarii energiei. Ecuatia generala care defineste bilantul energiilor are forma :

E  E  E  E e

i

r

ieş

  Ep

(3-31)

în care : Ee - este suma energiilor existente în sistem; Ei - suma energiilor intrate în sistem; Er - suma energiilor ramase în sistem; Eies - suma energiilor iesite din sistem; Ep - suma energiilor pierdute din sistem. Prin Ep , suma energiilor pierdute din sistem, se înteleg toate energiile mecanice, termice, etc. care parasesc sistemul în mod natural si inevitabil, constituind pierderi în ceea ce priveste realizarea scopului propus. Aceste energii pierdute pot fi micsorate dar nu anulate; existenta lor conduce la micsorarea randamentului energetic al sistemului considerat. Deoarece energiile se transforma usor între ele, nu pot exista bilanturi partiale referitoare la un singur fel de energie, asa cum sunt bilanturile de materiale partiale pentru un singur component. Totusi atunci când este posibil se poate scrie numai bilantul energiilor mecanice sau numai bilantul energiilor termice. Formele de energie care intervin în ecuatia de bilant energetic sunt : - energia potentiala sau de pozitie : Ep  m  g  h

(3-32)

- energia cinetica sau energia de miscare : 40

m  w2 2

Ec 

(3-33)

- energia interna:

U  mu

(3-34)

- lucrul mecanic extern sau energia de presiune pentru introducerea unui corp în sistemul considerat : Le  m  p  v

(3-35)

- energia calorica absorbita din exterior :

Q

- lucrul mecanic dat sistemului din exterior:

LM

În relatiile de mai sus : m este masa corpului, în kg, g - acceleratia gravitationala, în m/s2, h - înaltimea (distanta pâna la un plan de referinta), în m, w - viteza corpului în raport cu un sistem de referinta considerat stationar, în m/s, u - energia interna, în J/kg, v - volumul specific, în m3/kg, p - presiunea, în Pa. Primele patru tipuri de energie sunt aduse cu masa corpurilor care intra în sistem sau sunt luate cu masa corpurilor care ies din sistem; ultimele doua, sunt energii de schimb între sistemul considerat si mediul exterior. Considerând un proces cu desfasurarea continua, Ee = Er, ecuatia generala de bilant energetic (3-31) în care se opereaza introducerea expresiilor tipurilor de energie mai sus amintite, capata forma :

 E   E  U  L p

c i

i

ei

 Q  LM   E p   Ec ieş U ieş Leieş   E pierdute

(3-36)

 3.5.3.1. Bilantul energiilor mecanice Daca se considera un sistem la care energia calorica schimbata cu exteriorul este neglijabila sau nula, Q = 0, si variatia energiei interne a sistemului (Uies - Ui) este neglijabila, ecuatia (3-36) capata forma :

E

pi

  Eci  Lei  LM  E pieş   Ecieş  Leieş  E f

(3-37)

sau m  wieş m  wi2 m  g  hi   m  pi  vi  LM  m  g  hieş   m  pieş  vieş  E f 2 2 2

în care Ef este energia mecanica pierduta ca urmare a frecarilor. 41

(3-38)



p



2 1 dp 2 LM  m  g  h  m  wieş  wi2  m    Ef 2  p1

(3-39)

care : - pentru fluidele necompresibile - lichide (densitatea constanta) devine :

1 m  p 2 LM  m  g  h  m  wieş  wi2   Ef 2 





(3-40)

- pentru fluide compresibile - gaze (densitatea variabila) ecuatia (3-39) devine : m  Rg  l 1 2 LM  m  g  h  m  wieş  wi2   ln p   E f 2 Mg





(3-41)

Ecuatia (3-39) reprezinta una din formele generale ale ecuatiei lui Bernoulli. Formele (3-40) si (3-41) sunt particularizate pentru lichide si gaze. Ecuatia lui Bernoulli are numeroase aplicatii în calculele de inginerie, începând cu determinarea puterii motoarelor ce actioneaza pompele si ventilatoarele si terminând cu curgerea prin orificii, canale etc.



3.5.3.2. Bilantul energiilor termice O forma particulara a bilantului energiilor, forma care apare în multe cazuri din tehnica

este cea a bilantului termic (caloric). El reprezinta de fapt o simplificare a bilantului energetic general prin urmarirea lui numai sub aspectul variatiilor caldurilor din sistemul considerat, adica se considera: LM  0

 E   E    E   E  p

c i

p

c ieş

0

Cu aceste simplificari ecuatia (3-36) devine:

U  Le i  U  Le ieş  Q  0 m  u  m  p  vi  m  u  m  p  vieş  Q  0

sau

(3.42)

m  u   p  v   Q  0 m  h  Q  0

Ecuatia (3-42) reprezinta expresia bilantului termic ( caloric ). Aceasta expresie se mai poate scrie si sub forma :

Q  Q  Q  Q e

i

r

ieş

 Q p

în care :

Qe - este suma cantitatilor de caldura existente în sistem; Qi - suma cantitatilor de caldura introduse în sistem; 42

(3-43)

Qr - suma cantitatilor de caldura ramase în sistem; Qies - suma cantitatilor de caldura iesite din sistem; Qp - suma cantitatilor de caldura pierdute din sistem. De regula, bilantul termic al sistemelor considerate, se scrie cu scopul : - determinarii cantitatilor de materiale care nu pot fi obtinute din bilantul de materiale, ca de exemplu cantitatea de agent de încalzire - racire; - determinarea valorii unei temperaturi, în calcule de verificare; - determinarii unor dimensiuni, cum ar fi suprafete de schimb de caldura, în cazul calculelor de proiectare. De asemenea bilantul termic se poate scrie si pentru stabilirea fluxurilor termice. Datorita simplificarilor efectuate, bilantul caloric nu este exact când se aplica sistemelor în care materialele au viteze mari sau în care lucrul mecanic al pompelor, ventilatoarelor, agitatoarelor, turbinelor au valori importante. Caldurile care intervin într-un sistem luat în considerare pot fi : - calduri sensibile; - calduri latente; - calduri transmise prin conductivitate, convectie si/sau radiatie; - calduri provenite din variatia energiei interne (calduri de reactie, dilutie, etc.); - calduri provenite din transformarea altor tipuri de energii în caldura(ex. energia electrica).

Semnificatia termenilor ecuatiei bilantului termic. Calduri sensibile. De regula, temperatura unui corp este o masura a nivelului energetic intern al acestuia. Pentru intervale mici de temperatura, intervale în care nu apar transformari de faza, cantitatea de caldura cedata sau absorbita de corp este direct proportionala cu variatia temperaturii. Aceasta cantitate de caldura care se pune în evidenta prin variatia temperaturii corpului care o absoarbe sau o cedeaza se numeste caldura sensibila si este data de relatia : dQ  m  c  dt

(3-44)

în care : dQ - este variatia de caldura sensibila, în J, m - este cantitatea de substanta, în kg sau moli, c - factor de proportionalitate caracteristic fiecarei substante denumit capacitate calorica masica sau molara, în J/(kg.K) sau J/(mol.K), dt - variatia de temperatura, în grade Celsius sau Kelvin.

43

Capacitatile calorice masice si molare sunt în general variabile cu temperatura, deci cu intervalul de temperatura în care se realizeaza racirea sau încalzirea. Pentru a evita integrarea în fiecare caz, în calcule se folosesc capacitati calorice masice medii, respectiv molare medii. În marimi finite relatia (3-44) capata forma : Q  m  c  t

(3-45)

Calduri latente. Caldura absorbita sau eliberata fara ca substanta sa-si schimbe temperatura se numeste caldura latenta. Absorbtia sau cedarea caldurii, deci marirea sau micsorarea energiei interne a sistemului, fara schimbarea temperaturii, este însotita de o modificare a legaturilor intermoleculare din care rezulta o schimbare de stare fizica sau o transformare de faza. Se întâlnesc urmatoarele transformari de faza : - topire - solidificare; - evaporare - condensare; - sublimare - desublimare; - cristalizare - dizolvare - diluare; - sorbtie - desorbtie. Ca valoare, caldura latenta de evaporare (condensare) este mai mare decât caldura latenta de topire (solidificare) deoarece în cazul starii gazoase moleculele sunt mai departate decât moleculele din starea lichida iar pentru a le aduce în aceasta stare se consuma o cantitae mai mare de energie. Termodinamica considera pozitive caldurile absorbite de catre sistem si anume caldura de topire, vaporizare, sublimare pe câta vreme termochimia considera pozitive caldurile cedate de catre sistem si anume caldura de solidificare, condensare, desublimare. Caldurile de transformare adica de schimbare a sistemului de cristalizare pot fi pozitive sau negative. Caldurile latente se noteaza cu r sau l si se exprima în J/kg sau J/mol. Cantitatea de caldura latenta se calculeaza cu o relatie de forma : Q  ml

(3-46)

în care : m - este cantitatea de substanta, în kg sau moli, l - caldura latenta sau de transformare, în J/kg sau J/mol. Calduri transmise prin conductivitate, convectie sau radiatie. În multe operatii tehnologice este necesar, pentru a se atinge scopul propus, sa se introduca sau sa se scoata din sistemul considerat o cantitate de caldura. Aceasta cantitate de caldura, respectiv flux termic poate fi transferata prin : 44

- conductivitate :

 F     A  t  

(3-47)

- convectie :

F    A  t

(3-48)

- radiatie :

F   r  A  T1  T2 

(3-49)

în care :



 este conductivitatea termica a materialului peretelui, în W/(m.K);



 - grosimea peretelui, în m; A - aria suprafetei de transfer termic, în m2;



t - diferenta de temperatura, în grade C sau K;



 - coeficient de transfer al caldurii prin convectie, în W / (m2.K);



r - coeficient de transfer al caldurii prin radiatie, în W / (m2.K). Calduri provenite din variatia energiei interne într-o reactie. Acestea sunt cantitatile de

caldura rezultate sau preluate de reactantii unei reactii chimice. Aici se încadreaza problemele de ardere a combustibililor. Privita din punct de vedere chimic caldura de reactie este data ca diferenta între suma cantitatilor de caldura ale produselor rezultate din reactie si suma cantitatilor de caldura ale reactantilor. La baza calculelor termochimice sta legea lui Hess dupa care cantitatea de caldura ce rezulta ca urmare a unei reactii chimice este aceeasi indiferent de stadiile intermediare prin care trece reactia în desfasirarea sa. Aceasta lege permite sa se stabileasca caldurile de formare ale componentilor greu sau imposibil de obtinut. În ceea ce priveste combustibilii supusi reactiei chimice de oxidare (ardere) apar notiunile de caldura de combustie si putere calorifica inferioara si superioara. Caldura pusa în libertate prin ardere se calculeaza cu o relatie de forma: Q  mq

(3-50)

în care : m - este cantitatea de combustibil, în kg, q - puterea calorifica, în J / kg. Calduri provenite din transformarea altor tipuri de energie în caldura. În mod deosebit intereseaza cantitatile de caldura ce apar sau rezulta în sistem ca urmare a transformarii curentului electric în caldura precum si cele datorate consumului de energie mecanica în cazul transformarilor simple ale gazelor. Dupa efectuarea calculelor analitice asupra bilantului caloric si determinarea cantitatilor necunoscute se reprezinta grafic circulatia caldurilor (fig.3.3). Latimea benzilor reprezinta 45

cantitatea de caldura sau fluxurile termice, reduse la o anumita valoare prin intermediul unui anumit raport, arbitrar aleas, care se înscrie pe grafic.

Fig. 3.3 Graficul circulaţiei căldurii ( a fluxurilor termice ) la un evaporator

46

Capitolul 4 TRANSFER DE IMPULS  4.1. Introducere Transferul de impuls este unul din procesele fundamentale din industria alimentara, deoarece realizarea unei operatii, cu putine exceptii, impune aducerea fluidelor în stare de curgere. Pentru a se putea rezolva astfel de probleme cel în cauza trebuie sa posede cunostintele de baza referitoare atât la statica cât si la dinamica fluidelor. În cadrul acestui capitol sunt tratate principalele problemele în legatura cu statica si dinamica fluidelor Se stabilesc ecuatiile diferentiale ale staticii fluidelor si ecuatiile diferentiale ale impulsului pentru sisteme omogene. De asemenea , se

prezinta tipurile principale si

principiile functionale ale aparatelor utilizate la masurarea presiunii si a debitelor. Câteva elemente de reologie, cu referire la produsele din industria alimentara, aspecte de similitudine a hidrodinamicii curgerii si problematica pierderilor de presiune la curgerea fluidelor completeaza si încheie acest capitol.  4.2. Statica fluidelor Statica fluidelor are ca obiect studiul echilibrului fluidelor (în repaus) si a actiunilor pe care acestea le exercita asupra suprafetelor solide cu care vin în contact(peretii recipientelor, corpurilor solide scufundate etc.). Un fluid este în echilibru (în repaus) atunci când rezultanta fortelor care actioneaza asupra masei de fluid este nula. Fortele care actioneaza asupra unei mase de fluid pot fi grupate în doua categorii: a) forte de suprafata, care se exercita asupra suprafetelor de delimitare a masei de fluid (forte de presiune, forte de frecare la curgerea fluidelor, etc.); b) forte de masa care actioneaza în fiecare punct al masei de fluid, determinate de câmpul de forte externe, în care se afla fluidul (câmp de forte gravitationale, câmp de forte centrifugale, câmp electric, etc.); În cazul unui fluid în echilibru fortele de frecare lipsesc, iar forta de masa cea mai frecvent întâlnita este greutatea proprie a fluidului(determinata de câmpul gravitational).

47



4.2.1. Presiunea statica Între moleculele care formeaza masa unui fluid aflat în repaus sau în miscare, ca urmare

a agitatiei moleculare, se produc ciocniri ale caror efecte se anuleaza statistic. Ciocnirile moleculare cu o suprafata interioara sau cu peretele recipientului determina aparitia unor forte de suprafata F , a caror existenta determina o anumita stare de tensiune

în fiecare punct al

volumului de fluid. Intensitatea fortei ce actioneaza asupra unei suprafete A se exprima printr-o marime denumita presiune statica p , definita prin relatia: F dF  A0 A dA

p  lim

(4-1)

Indiferent de pozitia suprafetei, forta creata de presiune este orientata perpendicular pe suprafata. Presiunea într-un punct este functie de coordonatele acestuia:

p  f x, y, z 

(4-2)

Presiunea într-un lichid, masurata la diverse adâncimi sub nivelul suprafetei, creste odata cu cresterea distantei de la suprafata. Într-un punct oarecare, presiunea creata de coloana de lichid va fi determinata de relatia: p    g h

(4-3)

în care: densitatea lichidului, kg/m3; g-acceleratia gravitationala, m/s2; h-înaltimea coloanei de lichid situata deasupra punctului considerat, m. Deoarece presiunea variaza de la punct la punct în interiorul lichidului, diferentiala acestei variatii este data de expresia:

dp 

p y p x p  dx   dy  z  dz x y z

(4-4)

p x p y p z ; ; - reprezinta gradientii de presiune dupa directiile axelor de x y z

în care: coordonate .

Presiunea în SI se masoara în Pa. Ca unitati de masura tolerate, cu larga utilizare pentru presiune se întâlnesc: atmosfera fizica, atmosfera tehnica, mm H2O, mm Hg, etc.În tehnica se întâlnesc urmatoarele notiuni în legatura cu presiunea (fig.4.1.): -presiunea absoluta reprezinta presiunea exprimata pe scara al carei punct zero corespunde vidului absolut; când indicarea presiunii nu este urmata de alte precizari trebuie sa se înteleaga întotdeauna ca este vorba de presiunea absoluta;

48

-suprapresiunea sau presiunea efectiva reprezinta diferenta dintre presiunea absoluta dintr-un recipient si presiunea absoluta din exteriorul recipientului sau dintr-un alt loc bine definit; când mediul exterior are presiunea atmosferica , presiunea poarta numele de presiune manometrica; -vidul, vacuummul sau depresiunea reprezinta diferenta dintre presiunea atmosferica normala si presiunea absoluta din aparat; este forma în care se exprima uneori presiunile subatmosferice. p Presiune manometrică

Presiune absolută Vid sau depresiune Vid absolut Presiune remanentă

Fig.4.1. Moduri de exprimare a presiunii

49

Presiune atmosferică 0,1013 MPa



4.2.2. Ecuatii de echilibru Ecuatiile de echilibru ale fluidelor exprima faptul ca rezultanta fortelor ce actioneaza

asupra masei de fluid este nula.Asupra unui fluid pot actiona fortele cauzate de presiunea si fortele cauzate de câmpul de forte oarecare în care se gaseste amplasat fluidul –forta gravitationala si/sau forta centrifuga.  4.2.2.1. Echilibrul fluidelor într-un câmp oarecare de forte

Y

px·dy·dz

0

X

Z Fig 4.2. Echilibru unei particule de fluid într-un câmp oarecare de forte

Din masa de fluid se considera o particula de forma paralelipipedica, de volum dV cu laturile dx, dy, dz, distribuita în jurul punctului M, centrul particulei. Fortele care actioneaza asupra particulei sunt: -

forte de presiune: p x  dy  dz; p y  dx  dz; p z  dx  dy cu sens de actiune în sensul axelor de

coordonate; p    p x  x  dx   dy  dz x   p    p y  y  dy   dx  dz y  

50

p    pz  z  dz   dx  dy cu sens de actiune în sens invers axelor de coordonate z  

-

forte de masa:   X  dV ;   Y  dV ;   Z  dV cu sens de actiune în sens invers

axelor de coordonate în care: X;Y;Z - proiectiile acceleratiei elementului de volum dV pe cele trei axe de coordonate. În conformitate cu principiul fundamental al staticii, suma proiectiilor fortelor care actioneaza pe axele de coordonate este nula si anume: p   px  dy  dz   px  x  dx   dy  dz    X  dV  0 x  

p   p y  dx  dz   p y  y  dy   dx  dz    Y  dV  0 y  

(4-5)

p   pz  dx  dy   pz  z  dz   dx  dy    Z  dV  0 z  

Dupa reducerea termenilor asemenea se obtine: px X 0 x p y y

  Y  0

(4-6)

pz   Z 0 z

Ecuatiile (4-6) reprezinta ecuatiile diferentiale de echilibru, ale unui fluid într-un câmp oarecare de forte. Ele pot fi particularizate pentru diferite situatii.

 4.2.2.2.Echilibrul fluidelor în câmp gravitational În cazul unui astfel de câmp acceleratiile au urmatoarele valorii: X=0; Y=0; Z=g px 0 x

p y y

0

iar ecuatiile (4-6) capata forma: pz g 0 z

(4.7)

51

Aceste ecuatii se numesc ecuatii diferentiale de echilibru ale lui Euler si determina conditiile de echilibru ale unui volum elementar de fluid în câmpul gravitatiei terestre (s-a admis ca liniile de forta ale câmpului gravitational sunt paralele). Deoarece p=f(x,y,z), diferentiala totala a lui p este (ec.4-4): dp 

p px p  dx  y  dy  z  dz x y z

Înmultind ecuatiile de echilibru ale lui Euler cu dx, dy, dz si adunându-le membru cu membru se obtine: dp    g  dz

(4-8)

relatie ce reprezinta ecuatia diferentiala de echilibru a unui fluid în câmp gravitational. Echilibrul fluidelor necompresibile.În aceasta categorie intra lichidele. Se integreaza ecuatia (4-8)de-a lungul unui drum oarecare z: p

z

p0

z0

 dp    g   dz  0

(4-9)

p  p0    g  z0  z 

(4-10)

p  p0    g  z

Relatia (4-10) reprezinta ecuatia fundamentala a staticii lichidelor sau a hidrostaticii. Din analiza acestei ecuatii se pot stabili urmatoarele proprietati ale echilibrului lichidelor în câmp de forte gravitationale: -presiunea statica creste liniar cu adâncimea; -suprafetele de egala presiune (izobarele) sunt plane orizontale (principiul vaselor comunicate); -presiunea exercitata asupra unui punct din masa unui lichid se transmite cu aceeasi intensitate la toate celelalte puncte, cu conditia ca volumul de lichid sa nu-si schimbe forma (principiul lui Pascal).Acest principiu se aplica la constructia a diverse tipuri de prese hidraulice precum si la constructia unei mari varietati de dispozitive de reglare automata bazate pe principii hidraulice.



4.2.3.Masurarea presiunilor în tehnica Masurarea presiunii are o importanta deosebita în tehnica moderna, constituind unul din

mijloacele de baza prin care se realizeaza conducerea manuala sau automata a celor mai diverse procese tehnologice. În cele ce urmeaza se prezinta câteva tipuri uzuale de aparate de masurat presiunea.

52

 4.2.3.1. Aparate cu lichid Cu acest tip de aparate se pot masura suprapresiuni, depresiuni si diferenta a doua presiuni. Prezinta simplitate în constructie si functionare, precizie relativ mare, pret de cost mic.Domeniu de masura ( suprapresiuni): 0,1-0,15 MPa. Domeniul de utilizare în tehnica este restrâns. a) Aparate cu tub U

Fig.4.3. Manometru cu tub U,(principiu)

Din grupa aparatelor cu lichid, aparatele cu tub U sunt constructiv cele mai simple. În fig. 4.3. sunt prezentate schematic , partile componente principale ale unui astfel de aparat. Acesta este format dintr-un suport rigid 1 pe care sunt fixate tubul de sticla 2 îndoit în forma de U si scara gradata 3. Tubul este umplut cu lichid manometric aproximativ pâna la jumatatea scarii gradate; în virtutea principiului vaselor comunicante nivelul lichidului în cele doua brate ale tubului U va avea aceeasi înaltime, când presiunea în cele doua brate este egala. Principiul de functionare este urmatorul: unul din bratele tubului U este în legatura cu mediul ambiant, la presiunea atmosferica pb, iar celalalt brat se racordeaza la spatiul în care se gaseste fluidul a carui presiune trebuie masurata. Sa presupunem ca presiunea de masurat este mai mare decât presiunea atmosferica si este egala cu pa. În acest caz, lichidul va coborî în bratul drept al tubului U si va urca în celalalt brat. Conditia de echilibru a presiunilor, în aceasta situatie, este data de relatia: pa  pb    g  h

(4-11)

în care: pa – presiunea absoluta a fluidului din spatiul considerat; pb – presiunea atmosferica; 

 - densitatea lichidului în cele doua brate; g – acceleratia gravitationala; h – diferenta de nivel a lichidului în cele doua brate. Notând cu p diferenta pa - pb, care reprezinta în acest caz suprapresiunea, rezulta ca: 53

p  pa  pb    g  h

(4-12)

Valoarea presiunii se obtine în mm coloana de lichid manometric la masurare directa sau în Pa în cazul gradarii speciale a scalei aparatului. b) Aparate cu rezervor si tub Masurarea presiunii cu aparatele cu tub în forma de U este greoaie prin faptul ca trebuie facute doua citiri, inconvenient care creeaza dificultati mari atunci când presiunea de masurat variaza. În aparatele cu rezervor si tub se face doar o singura citire pentru stabilirea valorii presiunii. Aceste aparate sunt de doua tipuri: -aparate cu rezervor si tub vertical; -aparate cu rezervor si tub înclinat. Principial, aparatele cu rezervor si tub vertical, fig. 4.4. , sunt aparate cu tub U, la care unul dintre brate a fost înlocuit cu un rezervor a carui sectiune este mult mai mare decât a tubului. În aceste aparate scala gradata are reperul zero la partea de jos a scalii. Aparatul se umple cu lichid manometric pâna când meniscul acestuia în tub ajunge, foarte precis în dreptul reperului zero de pe scala gradata.

Fig. 4.4. Manometru cu rezervor şi tub vertical, (principiu)

Relatia de calcul a valorii presiunii relative va fi: p  pa  pb    g  h

(4-13)

în care : 

 - densitatea lichidului manometric; h – diferenta dintre nivelul lichidului din tub si nivelul lichidului din rezervor. Dar

h  h1  h2 h2 h1 deoarece Dd

unde

Valoarea h2 nu poate fi masurata direct si deci nici diferenta de nivel h nu poate fi masurata direct.

54

La aparatele cu rezervor si tub vertical folosite în practica scala este de obicei gradata direct în unitati de presiune. Aceste aparate pot fi folosite atât ca manometre cât si ca vacuummetre. Domeniul de masurare se situeaza în limitele ( -0,1MPa ÷ +0,15 MPa). Ca lichid manometric se folosesc mercurul sau apa colorata cu eozina (50 mg. la 1 litru apa). Masurarea presiunilor sub 200mm sau 100mm coloana de lichid cu ajutorul aparatelor cu tub U sau a aparatelor cu rezervor si tub vertical nu este în general posibila, datorita erorilor relativ mari, inacceptabile chiar la masuratorile curente în tehnica. c) Micromanovacuummetrele Pentru masurarea unor presiuni mai mici – suprapresiuni sau depresiuni – se utlizeaza micromanometrele, micromanovacuummetrele cu rezervor si tub înclinat.

Fig. 4.5. Micromanometru cu rezervor si tub înclinat, (principiu)

În principiu, aceste aparate, fig. 4.5. sunt la fel cu aparatele cu rezervor si tub vertical, dar tubul este înclinat cu un anumit unghi  fata de orizontala; prin aceasta înclinare se pot obtine deplasari mari ale lichidului în tub la variaţii foarte mici ale presiunii. Relatia de calcul a presiunii are forma: p  pb  pa    g  l  sin 

(4-14)

Din relatia (4-14), rezulta ca pentru o presiune data si la acelasi lichid de lucru, deplasarea l a lichidului în tub va fi cu atât mai mare cu cât unghiul  este mai mic. Ca lichid manometric cel mai des se utilizeaza alcoolul etilic 96%. Constructiv aparatele cu rezervor si tub înclinat se executa în prezent în doua variante principale: cu tub la care unghiul de înclinare este fix si cu tub cu unghiul de înclinare variabil.

 4.2.3.2. Aparate cu element elastic Principiul de functionare al acestor aparate se bazeaza pe deformarea elastica a elementului de masurare sub actiunea fluidului de masurat. Forta datorata presiunii fluidului actioneaza pe suprafata activa a elementului elastic provocând o deformare, ceea ce determina o forta elastica egala si de sens contrar din partea acestuia. Deformarea este direct proportionala cu presiunea. 55

Dupa forma elementului elastic aparatele se pot grupa în: - aparate cu tub; - aparate cu membrana; - aparate cu capsula; - aparate cu burduf. Deformarea elementului elastic de masurare este amplificata, în general, de un mecanism si transmisa unui dispozitiv de indicare sau de înregistrare sau de indicare si înregistrare. Calitatile principale ale manometrelor, vacuummetrelor, manovacuummetrelor si manometrelor diferentiale cu element elastic de masurare sunt: - posibilitatea masurarii presiunii într-un domeniu foarte întins ( de la zeci de Pascali pâna la 1000 MPa si chiar mai mult); - robustete; - constructia elementului de masurare este simpla; - manipulare simpla si obtinerea directa a valorii presiunii de masurat; - precizie satisfacatoare. Partile componente ale acestor aparate sunt: - elementul elastic de masurare; - suportul (cu racordul); - mecanismul de transmitere; - dispozitivul de indicare; - carcasa.

Fig. 4.6. Manometre cu element elastic de uz general. a. cu tub Bourdon; b. cu membrana 1. scala gradata; 2. ac indicator; 3. sector de roata dintata;4. sistem de pârghii; 5. tub elastic; 6. membrana elastica

Aparatele cu element elastic, aparate de masurare a presiunii, masoara doar suprapresiuni sau depresiuni fata de presiunea atmosferica sau fata de presiunea incintei în care este montat aparatul. 56

 4.3. Dinamica fluidelor Dinamica fluidelor este acea parte a mecanicii fluidelor care are ca obiect studiul miscarii fluidelor si a interactiunilor care exista între acestea si frontierele solide cu care acestea vin în contact. Teoria clasica a dinamicii fluidelor s-a dezvoltat prin cercetarile teoretice asupra unui fluid ideal sau perfect, incompresibil si lipsit de vâscozitate si elasticitate, denumit fluidul lui Pascal si ca urmare a introducerii conceptului de strat limita introdus de catre Prandtl. Aceste concepte au contribuit la dezvoltarea teoriei hidrodinamice a celor mai simple lichide reale, denumite lichide newtoniene. Aparitia unor noi industrii si ca urmare a unor noi materiale a caror comportare în curgere a condus la o noua etapa în evolutia dinamicii fluidelor a impus constituirea reologiei ca stiinta. Reologia poate fi considerata ca o ramura a fizicii care se ocupa cu studiul comportarii corpurilor deformabile, care poseda cel putin una din proprietatile: elasticitate, plasticitate sau viscozitate. Ea este definita ca stiinta curgerii si a deformarii. Complexitatea fenomenelor si numarul mare de parametri care determina miscarea fluidelor nu permit o rezolvare analitica a problemelor de curgere decât pentru unele cazuri relativ simple; în celelalte cazuri calculele ingineresti se bazează pe îmbinarea judicioasa a metodelor de studiu teoretice cu datele obtinute experimental.



4.3.1. Notiuni fundamentale În cele ce urmeaza se definesc principalele notiuni care sunt necesare în studiul dinamicii

si reologiei starii fluide. Traiectoria unui volum elementar sau a unei particule de fluid reprezinta curba descrisa de volumul elementar sau de particula în miscare. Linia de curent este data de curba tangenta la vectorii vitezei volumelor elementare de fluid care, la un moment dat, coincid cu punctele de pe acea curba. Liniile de curent nu se intersecteaza niciodata si umplu întregul volum ocupat de fluid. Tubul de curent este dat de suprafata tubulara generata de curent, ce se sprijina pe o curba închisa. Când sectiunea tubului de curent se reduce la dA, se obtine un tub elementar de curent identic cu o linie de curent. Sectiunea curentului A reprezinta aria suprafetei, normala la liniile de curent care o strabat.

57

Debitul instantaneu sau momentan este dat de limita sub forma de volum, masa sau numar de moli si durata cât aceasta cantitate trece prin sectiunea curentului, când durata tinde catre zero. Se definesc trei debite instantanee: M dM , kg/s debit masic  t  0 t dt

M m  lim M V  lim

V dV , m3/s debit volumic  t dt

M N  lim

N dN , moli/s debit molar  t dt

t  0

t  0

(4-15)

în care: m – masa fluidului, kg; V – volumul fluidului, m3; N – numarul de moli. Debitul mediu este dat de cantitatea de fluid ce trece printr-o sectiune într-un interval de timp finit sau este dat de media debitelor instantanee:

Mm 

M 1      dV    wi  dA , kg/s t t V A

MV 

V 1    dV   wi  dA , m3/s t t V A

MN 

N 1 1      dV    wi  dA , mol/s t M 0  t V M 0 A

(4-16)

în care: wi – reprezinta viteza locala în diverse puncte ale sectiunii curentului. Viteza medie reprezinta valoarea medie a vitezelor locale si este data de raportul între debitul volumic de fluid si suprafata sectiunii de curgere: w

MV 1    wi dA , m/s A A A

(4-17)

Viteza medie masica se obtine prin împartirea debitului masic de fluid la sectiunea de curgere. Se mai numeste si debit specific, debit unitar sau flux unitar mm 

M m   MV     w , kg/m2s A A

(4-18)

Efortul unitar este dat de raportul între forta F si suprafata A asuprea careia actioneaza. Tensiunea este limita raportului între forta si suprafata, când suprafata tinde catre zero. Tensiunile normale solicita corpul la compresiune sau întindere, iar tensiunile tangentiale îl solicita la forfecare.

58

Deformatia este rezultatul actiunii unei tensiuni. Prin deformare se poate modifica volumul sau forma corpului.Deformatia poate fi elastica, si se recupereaza la îndepartarea tensiunii sau poate fi plastica sau curgere si ramâne nerecuperata. Deformatia yx se defineste:

 yx 

dx dy

(4-19)

Viteza de deformare yx se exprima prin derivata deformatiei în raport cu timpul:

 yx 

dx   x    x  dwx        dt t  y  y  t  dy

(4-20)

Rezulta ca viteza de deformare si gradientul de viteza sunt notiuni identice, dar care nu se pot substitui reciproc. Regimul de curgere exprima si caracterizeaza starea de miscare a fluidelor.



4.3.2. Vâscozitatea Principala proprietate fizica ce caracterizeaza rezistenta la curgere a fluidelor este

vâscozitatea. Conform legii de frecare a lui Newton: -

pentru fluide necompresibile: F   A  

-

dw dl

(4-21)

pentru fluide compresibile: F   A  

d w    dl

(4-22)

unde      în care: F – forta de rezistenta care apare la deplasarea relativa a doua straturi, N; A – aria suprafetelor luate în considerare, m2; 

 - vâscozitatea cinematica a fluidului, m2/s;



 - densitatea (masa specifica) a fluidului, kg/m3;



 - vâscozitatea dinamica a fluidului, Pa.s; dw – variatia vitezei celor doua suprafete, m/s; dl – distanta dintre suprafetele considerate, m; dw - gradient de viteza (viteza de forfecare), m/ms dl

d w    - gradient de concentratie al impulsului, sau gradient al cantitatii de miscare, dl

kg/(m3 s) 59

Vâscozitatea reprezinta coeficientul de proportionalitate între tensiunea tangentiala,

=F/A, si viteza de forfecare, dw/dl. Aceste coeficient reprezinta vâscozitatea dinamica, , si se exprima în sistemul international în: 1 Ns/m2=1 daP=103 cP=1 kg/ms=1 Pas Inversul vâscozitatii se numeste fluiditate. Vâscozitatea cinematica a unui fluid reprezinta raportul între vâscozitatea dinamica si densitate:



 

Unitatea de viscozitate cinematica în sistemul international este m2/s. Vâscozitatea fluidelor poate depinde de parametrii solicitarii, temperatura, presiune. Pentru masurarea vâscozitatii în laborator si industrie se întrebuinteaza o serie de tipuri de aparate, denumite vâscozimetre. Constructia si principiul de masurare sunt într-o masura oarecare masura dependente de ordinul de marime al vâscozitatii. În literatura se gasesc date în legatura cu vâscozitatea diferitelor fluide fie sub forma de tabele, fie diagrame sau nomograme. De asemenea se gasesc o serie de relatii de calcul. Vâscozitatea gazelor pe baza teoriei cinetice a gazelor poate fi determinata cu relatia:

  0,5    wm  l

(4-23)

în care: densitatea gazului; wm – viteza medie moleculara; l – durmul liber mijlociual moleculelor Vâscozitatea dinamica a gazelor creste cu temperatura si este independenta de presiune. Ea poate fi determinata pentru o temperatura oarecare t, cu relatia: T  t  0     T0 

n

(4-24)

în care: 0 – vâscozitatea gazului la 00C; T – temperatura absoluta a gazului, în K; T0= 273K= 00C; În cazul amestecurilor de gaze se poate folosii relatia:

am 

N1 1  M1  Tc1  N 2 2  M 2  Tc2  ... N1  M1  Tc1  N 2  M 2  Tc2  ...

în care: N1 – procentul molar sau fractia molara; M – masa moleculara; TC – temperatura critica absoluta; Indicii se refera la componentul respectiv. 60

(4-25)

Vâscozitatea lichidelor. Nu există relaţii analitice de calcul stabilite pe principii teoretice. Valoarea vâscozităţii se determină experimental Vâscozitatea unui amestec de lichide perfecte (neasociate) se poate calcula cu relatia lui Arhenius: lgam  N1  lg1  N2  lg2  ...

(4-26)

în care: Ni – fractia molara a componentului respectiv; Vâscozitatea suspensiilor diluate a caror continut este sub 10% volume particule solide se poate calcula cu relatia lui Ruth si Simba:

su  l  1  2,5    14,1   2 

(4-27)

în care: su– vâscozitatea suspensiei;

l – vâscozitatea lichidului pur; - continutul în volume a solidului în suspensie. Vâscozitatea lichidelor la diferite temperaturi se poate calcula dupa Porter, pe baza legii generale a liniaritatii functiilor chimice – tehnice a lui Porter, ca si presiunea de vapori (liniile lui Duhring) : t A,1  t A, 2 t B ,1  t B , 2

k

(4-28)

în care: t A,1 , t A,2 - temperaturile lichidului a carui viscozitate se determina; t B ,1 , t B ,2 - temperaturile lichidului de referinta la care vâscozitatile sunt egale cu ale

lichidului de cercetat; k – constanta caracteristica lichidului de cercetat si lichidului de referinta.



4.3.3. Elemente de reologie Corpurile din natura, sub aspectul comportarii lor la actiunea solicitarilor, pot sa posede

trei proprietati: elasticitate, plasticitate si vâscozitate. Reunirea uneia sau a mai multor proprietati, conduce la o mare diversitate de comportari reologice ale materiei. Stabilirea ecuatiei reologice de raspuns a unui corp real, supus la solicitari, se face cu ajutorul unor ecuatii reologice proprii unor corpuri cu comportare ideala. Aceste corpuri poseda o singura proprietate. Comportarea reala este definita în termeni de deviatie de la idealitate. Corpurile cu comportare ideala sunt urmatoarele: - solidul lui Hooke, perfect elastic; - lichidul lui Newton, pur vâscos; - plasticul lui St. Venant, perfect plastic 61

Ele au comportare ideala deoarece relatia între tensiune si deformatie (soildul lui Hooke), respectiv viteza de deformare ( lichidul lui Newton, plasticul lui St. Venant), este liniara.



4.3.3.1. Corpuri cu proprietati unitare si comportare ideala Solidul lui Hooke. sau corpul perfect elastic, poseda numai elasticitate. Sub actiunea unei

tensiuni aplicate sub forma de impact, corpul se deformeaza instantaneu, iar la descarcare recupereaza întreaga deformatie.Ecuatia reologica a corpurilor solide perfect elastice coreleaza tensiunea cu deformatia. Caz particular solidul lui Euclid, perfect elastic. Lichidul lui Newton sau corpul pur vâscos poseda numai vâscozitate. Un lichid sub actiunea unei tensiuni tangentiale curge. Curgerea este un proces de deformare continua cu viteza finita. Deformatia elastica este functie de marimea tensiunii. Deformatia vâscoasa , respectiv curgerea vâscoasa, depinde de marimea si durata solicitarii. Pentru o tensine data, functie de timpul de actiune, deformatia poate lua orice valoare, întrucât curgerea este continuu întretinuta. Datorita acestui motiv, pentru corpurile fluide, se coreleaza tensiunea tangentiala cu viteza de forfecare. Ecuatia reologica generala a fluidului lui Newton exprima dependenta liniara între tensiune si viteza de forfecare:

 yx   

dwx dy

(4-29)

Aceasta este legea de frecare interna a lui Newton. Caz particular fluidul lui Pascal lipsit total de vâscozitate Plasticul lui St. Venant sau corpul perfect plastic poseda numai plasticitate. Corpurile plastice se comporta ca un solid pâna la o anumita valoare a tensiunii, denumita prag de tensiune, peste care se comporta ca un lichid. Modelul mecanic al plasticului lui St. Venant este corpul cu frecare sau patina la care: F0   f  Gc

(4-30)

în care: Gc - greutatea corpului, N; F0 - forta de frecare, N;

f- coeficientul de frecare. Daca se dau coeficientului de frecare valori extreme se ajunge la alte doua corpuri ideale: - solidul lui Euclid pentru f=∞, perfect rigid; - lichidul lui Pascal pentru f=0,fara vâscozitate. Reprezentarea grafica a ecuatiilor reologice ale celor cinci comportari ideale este indicata în figura 4.7. Panta dreptelor este o masura a unor marimi fizice. 62

y x

Fluidul Newton

yx

Solidul Euclid

Plasticul St. Venant

Solidul Hooke 

tg =G

tg 



Fluidul Pascal



yx

.



yx

Fig.4.7. Reogramele corpurilor cu comportare ideală

 4.3.3.2. Fluide vâscoase nenewtoniene În pactica industriala se întâlnesc fluide care prezinta abateri de la comportarea newtoniana. În principal abaterile se datoresc urmatoarelor cauze: - sistemele bifazice, la care faza dispersa constituie o parte importanta din volum, în timpul curgerii sufera modificari structurale. Din aceasta categorie fac parte suspensiile de polimeri, vopselele, pastele de adezivi, suspensiile de fibre, sângele, aluatul, pasta de carne, pasta de brânza, etc; - sistemele omogene macroscipice în care unitatile de curgere nu sunt izodimensionale si sub actiunea tensiunilor tangentiale sufera orientari. Pot fi date ca exemplu solutiile si topiturile de polimeri,uleiurile minerale cu vâscozitate mare, etc. La aceste fluide, în conditii izoterme, vâscozitatea nu este constanta. Ea depinde de parametrii solicitarii, astfel încât relatia între tensiunea tangentiala si viteza de forfecare nu este liniara.

Fluidele a caror vâscozitate, la presiune si temperatura constanta, variaza functie de parametrii solicitarii si de timp, sau numai de parametrii solicitarii, se numesc fluide nenewtoniene. Fluidele vâscoase nenewtoniene se împart în doua grupe: - fluide cu caracteristici independente de timp, caracterizate prin aceea ca viteza de forfecare dintr-un punct dat este exclusiv dependenta de tensiunea de forfecare din acel punct; - fluide cu caracteristici dependente de timp; sunt acele fluide la care viteza de forfecare este o functie de marimea si durata de actiune a tensiunii tangentiale si de marimea si durata solicitarilor anterioare 63

Fluidele nenewtoniene independente de timp (fig.4.8) includ materialele cu comportare pseudoplastica si dilatanta.

yx

lg yx

2'

1

1

2'

2''

2''

.

yx

a

b

.

lg yx

Fig. 4.8. Reogramele fluidelor independente de timp, cu comportare nenewtoniana a. reograma normala; b. reograma logaritmica 1. fluide newtoniene; 2. fluide nenewtoniene(2 ’. fluide pseudoplastice;2’’. fluide dilatante)

Masura comportarii newtoniene este data de abaterea pantei de la unitate (în coordonate logaritmice). Produsele alimentare sunt reprezentate în grupa fluidelor pseudoplastice prin margarina, unt, creme grase, brânzeturi topite, sucuri de fructeconcentrate,pireuri de fructe, maioneza. Comportarea dilatanta a fost observata la suspensii cu continut ridicat de faza solida ( diferite namoluri, suspensii de amidon).

Fluidele nenewtoniene dependente de timp (fig. 4.9), pentru care efectul timpului este reversibil, pot avea comportare tixotropa sau comportare reopexica. Functie de timp, la viteza de forfecare constanta, tensiunea tangentiala se modifica sau ramâne constanta. Cresterea tensiunii tangentiale în timp, evidentiaza o comportare reopexica, scaderea tensiunii corespunde comportarii tixotrope. yx

1

2

3

lg yx

4

6 5 4 3 2 1

.

.

yx a

b

lg yx

Fig. 4.9 Reogramele fluidelor nenewtoniene cu caracteristici dependente de timp a. tixotrope; b. reopexice 1. destructurare; 2,3,4,5,6.restructurare

64

Fluidele a caror vâscozitate scade cu cresterea vitezei de forfecare si prezinta curbe cu histerezis, se numesc tixotrope: suspensii de amidon, albus de ou, geluri de saupn, unt, pireuri de fructe,unele maioneze Fluidele a caror vâscozitate creste cu cresterea vitezei de forfecare si curbele de curgere prezinta histerezis, se numesc reopexice sau antitixotrope:oleatii, solutiile de bentonita.

 4.3.3.3. Corpuri fluide cu proprietati multiple Diversitatea comportarii corpurilor reale este consecinta asocierii mai multor proprietati (vâscozitate, elasticitate, plasticitate) în diverse proportii. O vizualizare a posibilitatilor de asociere a celor trei proprietati si a gamei de comportari posibile rezulta din triunghiul comportarilor reologice, fig. 4. 10. În vîrfurile unui triunghi echilateral se reprezinta corpurile cu proprietati unitare si comportare ideala. Laturile vor fi formate din totalitatea punctelor ce reprezinta comportarea unor corpuri ce poseda doua proprietati în diverse proportii. La cele trei laturi corespund comportarile: vâscoplastica, vâscoelastica si elastoplastica. Punctele din interiorul triunghiului se refera la corpuri cu comportare vâscoelastoplastica

St.V

or t a

l as op ă ti c

Co mp

t las

re vâs co p

e are ort mp

las tică

Co

N

Comportare vâscoelastoplastică

Comportare vâscoelastică

H

Fig. 4.10. Triunghiul comportarilor reologice

Corpurile vîscoplastice (fig.4.11) se întâlnesc în literatura sub denumirea de plastice sau fluide cu prag de tensiune sau cu prag de curgere.

65

1

 yx 2 3

4

0

dwx   yx dy Fig. 4.11. Reograma corpurilor vâscoplastice. 1. Plasticul Bingham 2, 3 - comportare neliniara(2- se aseamana cu pseudoplastele),(3- se aseamana cu dilatantele) 4. corp vâscoplastic prezentând fenomenul de tixotropie.

Curgerea acestor corpuri nu începe decât atunci când tensiunea tangentiala atinge o anumita valoare 0, denumita prag de tensiune. În domeniul tensiunilor ce satisfac conditia >0,, are comportare de lichid vâscos. Fluide Bingham: pasta de carne, pasta moale de brânza ( branzeturi topite sub o anumita consistenta).



4.3.4. Fenomenologia curgerii Miscarea fluidelor se clasifica în functie de mai multe criterii dintre care mai importante

sunt: a. mecanismul miscarii - curgere laminara; - curgere turbulenta; b. desfasurarea în spatiu: - curgere spatiala ( tridimensionala); - curgere plana ( bidimensionala); - curgere liniara ( unidimensionala), dupa cum parametrii miscarii, viteza, presiunea, temperatura, etc., se refera la trei, doua sau o singura coordonata spatiala. c. modificarea în timp a parametrilor locali: 66

- miscari permanente sau în regim stationar; - miscari nepermanente sau în regim nestationar. d. variatia miscarii în lungul curentului. - miscari uniforme; - miscari neuniforme. e. conditiile de contact ale fluidului cu peretii rigizi care delimiteaza spatiul de curgere: - cu suprafata libera; - sub presiune. f. transformarile termodinamice survenite în timpul curgerii: - curgere izoterma; - curgere adiabatica; - curgere politropa. Regimuri de curgere

Curgerea laminara se caracterizeaza prin deplasarea fluidului astfel ca toti vectorii viteza ai tubului de curent sa prezinte aceeasi directie si sens, fluidele tind spre o miscare fara amestecare laterala, deci straturile adiacente de fluid aluneca unul de-a lungul celuilalt. Curgerea în regim laminar are loc în general la viteze respectiv la debite mici ale fluidelor. Asupra particulelor de fluid actioneaza forte de inertei si de vâscozitate.În regim laminar ponderea mare o are forta de vâscozitate.

Curgerea turbulenta se caracterizeaza prin faptul ca apare o puternica amestecare laterala a fluidului, ca urmare a existentei unor vecttori de viteza cu directie si sens diferite fata de directia si sensul general de deplasare. Regimul de curgere turbulent apare la viteze, respectiv debite mari ale fluidului. În regim turbulent fortele de vâscozitate au o pondere mai redusa. Trecerea de la regimul de curgere laminar la cel turbulent nu se face direct; exista un domeniu de viteza, respectiv de debit, pentru care, curgerea este fie aparent laminara, fie de o turbulenta slab dezvoltata. Regimul de curgere poate fi apreciat calitativ si cantitativ.

a. Aprecierea calitativa a regimului de curgere se poate face experimental introducând un lichid colorat în axa conductei în care se studiaza curgerea unui lichid incolor (fig.4. 12).

67

Fig.4.12. Instalatia experimentala pentru determinarea regimului de curgere: 1. vas cu lichid colorat; 2. rezervor cu lichid (apa); 3. capilar, 4. conducta dreapta de sticla; 5. robinet.

În regim de curgere laminara lichidul colorat se deplaseaza distinct în axa conductei fara a se amesteca cu lichidul incolor. Acest fenomen se poate observa pentru viteze mici de deplasare ale lichidului incolor, pâna la atingerea unei valori denumita “ viteza critica” wcr. În regimul de curgere turbulent, deci la viteze mai mari ale lichidului incolor, vâna de lichid colorat dispare datorita efectelor puternice de amestecare laterala. b. Aprecierea cantitativa. Criteriul Reynolds. Pentru stabilirea cantitativa a regimului de curgere, Reynolds a efectuat experiente (fig 4.12) cu diferite lichide si cu diametre crescânde. A rezultat ca regimul de curgere este influentat de viteza de curgere a fluidului w, de vâscozitatea cinematica n a fluidului si de diametrul interior d al conductei. Cu aceste marimi s-a exprimat un raport nedimensional de forma : Re 

wd

(4-31)



numit raport sau cifra Reynolds (Re). Valoarea cifrei Re permite aprecierea cantitativa a regimului de curgere: -ReTp2). Printr-un astfel de perete, transferul căldurii prin conducţie are loc unidimensional, perpendicular pe feţele sale. Considerând această direcţie X, ecuaţia generală (5.26’) în care:

T T  0; 0 y z devine:

 2T 0 x 2 adică:

d 2T 0 dx 2

(5.27)

T

 Tp1 Tx T p2

q

0



x

Fig. 5.4 Variaţia temperaturii în interiorul unui perete cu feţe plane paralele, infinite, omogene în cazul transferului căldurii prin conducţie în regim staţionar (perete simplu).

Ecuaţia (5.27) se integrează de două ori obţinând succesiv: dT  C1 dx

(5.28)

T  C1  x  C2

(5.29)

Constantele de integrare C1 şi C2 se determină din condiţiile la limită: la x=0: T=Tp1;

(5.30)

la x=: T=Tp2; 101

Introducând condiţiile (5.30) în ecuaţia (5.29) se obţin valorile constantelor de integrare: C1 

Tp2  Tp1



; C2 = Tp1

Notând cu T diferenţa Tp1  Tp2  rezultă: C1  

T



Introducând valorile constantelor de integrare C1 şi C2 în ecuaţia (5.29) aceasta devine: T  Tp1 

x



 T

(5.31)

Ecuaţia (5.31) pune în evidenţă faptul că în interiorul peretelui cu feţe plane, paralele, infinite, temperatura variază liniar în funcţie de grosimea peretelui. Fluxul termic care trece prin perete în direcţia axei OX este determinat de legea lui Fourier:

 x    A 

dT dx

Deoarece: dT  C1 dx

adică: dT T Tp  Tp2   1 dx  

rezultă:

    A sau:



respectiv:

q

Tp1  Tp2



  A  T 

 A



(5.32)

 .T 

(5.33)

Ecuaţiile (5.32) şi (5.33) precizează: cantitatea de căldură trecută prin unitatea de arie de perete, în unitatea de timp este direct proporţională cu conductivitatea termică  a peretelui şi diferenţa Tp1  Tp2  între temperaturile suprafeţelor externe ale peretelui şi invers proporţională cu grosimea δ a peretelui. Se constată că fluxul termic nu depinde de valorile absolute ale temperaturilor ci doar de diferenţa lor T. Raportul /δ, exprimat în W/(m2.K), este numit conductanţă termică iar reciproca δ/, exprimată în (m2.K)/W este numită rezistenţă termică a peretelui. 102

Cunoscând densitatea de flux termic q, temperaturile Tp1 şi Tp2, conductivitatea termică

, precum şi grosimea δ a peretelui, cu relaţia (5.33) se poate determina valoarea Tx a temperaturii într-un punct din interiorul peretelui, punct aflat la distanţa x şi anume: q

   (Tp1  Tp2 )   (Tp1  Tx)  x

adică:

Tx  Tp1 

sau:

Tx  Tp1 

x

 q



.T

(5.34)

.x

(5.35)

Când diferenţa T este prea mare astfel încât conductivitatea termică  nu mai poate fi considerată constantă pe întreaga grosime a peretelui, pentru determinarea variaţiei temperaturii în interiorul peretelui precum şi a fluxului termic transferat, se aplică una din următoarele metode: 1. Se împarte peretele în mai multe straturi astfel încât în interiorul stratului considerat conductivitatea termică  este constantă. Straturile, deşi din acelaşi material, din cauza temperaturilor diferite prezintă conductivităţi termice diferite. Calculul se face apoi ca pentru transferul căldurii printr-un perete format din mai multe straturi paralele (paragraful 5.2.5.2.). 2. Se înlocuieşte conductivitatea termică  din ecuaţiile (5.32) şi (5.33) cu o valoare medie  dedusă din ecuaţia: Tp

2 1    dT Tp2  Tp1 Tp1

(5.36)

unde  este o funcţie de temperatură, de exemplu de forma:

  0 1  b  T 

(5.39)

2 0 1  0   1  b  T dT  Tp2  Tp1 Tp2  Tp1 Tp1

Tp

aşa încât:



 

  0 1  b





b  2 2  Tp2  Tp1   2 Tp 2  Tp1 

Tp1  Tp2  1  2  2 2 

(5.38)

unde 0, 1 şi 2 sunt conductivităţile termice ale materialului din care este confecţionat peretele, la temperatura T0, de referinţă, respectiv temperaturile Tp1 şi Tp2.

103

 5.2.5.2. Transferul căldurii prin conducţie printr-un perete cu feţe plane, paralele şi infinite, format din mai multe straturi (perete compus).

Fig. 5.5. Variaţia temperaturii în interiorul unui perete cu feţe plane paralele şi infinite, formate din mai multe straturi (perete compus) la transferul căldurii prin conducţie în regim staţionar.

Se consideră un perete cu feţe plane, paralele şi infinite, format din mai multe straturi omogene şi izotrope, de grosime 1, 2…..n şi conductivităţi termice 1, 2……n (fig. 5.5.) (perete compus). Straturile sunt în contact termic perfect. Suprafeţele exterioare ale peretelui sunt menţinute la temperaturile constante Tp1 şi Tpn+1 cunoscute. La nivelul suprafeţelor de contact a straturilor temperaturile sunt Tp2, Tp3……..Tpn. Între temperaturi există relaţia: Tp1 > Tp2 > Tp3 > …….. > Tpn > Tpn+1

(5.39)

Printr-un astfel de perete, transferul căldurii prin conducţie, în regim staţionar, are loc unidimensional, perpendicular pe feţele sale. Se consideră această direcţie, direcţia şi sensul pozitiv al axei OX. Se pune problema stabilirii unor relaţii care să descrie fenomenul de transfer a căldurii cu ajutorul cărora să se poată determina: - fluxul termic transferat, respectiv densitatea de flux termic; - temperatura în interiorul peretelui, la nivelul suprafeţelor de contact al straturilor, respectiv în interiorul straturilor. Aria suprafeţei de transfer A, în orice secţiune perpendiculară pe direcţia de transfer a căldurii este constantă (perete cu feţe plane, paralele, infinite). Fluxul termic transferat prin straturile peretelui este acelaşi şi anume:

104

1  A  T1 1    2  A  T2 2 . .    n  A  Tn n 

1: 2: stratul

n:

 1  A 1   T2   2 A 2 T1 



(5.40)

. . Tn 

 n  A n

unde:

T1  Tp1  Tp2 T2  Tp2  Tp3 . . Tn  Tpn  Tpn 1 T  T1  T2  ....  Tn  Tp1  Tpn 1 reprezintă diferenţele de temperatură pe fiecare strat al peretelui T1, T2….. Tn respectiv diferenţa de temperatură pentru peretele întreg, T. Însumând relaţiile (5.40) se obţine:

    1  2 .   ....  n   T A  1 2 n  respectiv:



n

Valoarea

i

 i 1

1

 1  2   ....  n 1 2 n

.A.( Tp1  Tpn 1 ) 

A.T

i  i 1  i n

(5.41)

reprezintă suma rezistenţelor termice a celor n straturi şi este numită

i

rezistenţă termică totală pentru peretele compus. Comparând procesul de transfer a căldurii prin pereţi plani formaţi dintr-un singur strat şi din n straturi se poate introduce noţiunea de conductivitate termică echivalentă ec pentru peretele compus. Ea reprezintă conductivitatea termică a unui perete omogen, de aceeaşi grosime şi rezistenţă termică egală cu grosimea şi respectiv rezistenţa termică totală a peretelui compus. Conductivitatea termică echivalentă ec se obţine dintr-o relaţie de forma:

105

n

 i 1

ec

n

i

  i i 1 i n

 ec 

 i 1 n

i

i  i 1 i

(5.42)

Plecând de la relaţiile (5.40) temperaturile interfeţelor între oricare două straturi în contact sunt: Tp2  Tp1 

 1  A 1

Tp3  Tp2 

 2       Tp1    1  2  A 2 A  1 2 

şi generalizând:

Tp j  Tp1 

i A i1 i



j 1



(5.43)

În interiorul unui strat oarecare din structura peretelui compus temperatura variază în conformitate cu ecuaţia (5.31) sau (5.35) iar pentru ansamblul peretelui compus profilul temperaturii este o linie frântă (fig. 5.5).

 5.2.5.3. Transferul căldurii prin conducţie printr-un perete cilindric infinit lung (perete simplu). Pentru a studia în condiţii optime transferul căldurii prin convecţie, printr-un perete cilindric infinit lung se consideră ecuaţia diferenţială a lui Fourier exprimată în coordonate cilindrice (ec. 5.23):

  2T 1   T  1  2T  qv T  a 2    r     r r  r  r 2  2  c.  x Se consideră un perete omogen, izotrop, cu conductivitatea termică  constantă, independentă de temperatură, de formă cilindrică infinit lung, cu raza interioară ri şi raza exterioară re (fig. 5.6). Axa de simetrie a cilindrului este axa OX a sistemului de coordonate rectangulare considerat. Suprafaţa interioară a cilindrului are temperatura Ti, constantă pe întreaga lungime a cilindrului iar suprafaţa exterioară a cilindrului are temperatura Te constantă pe întreaga lungime a cilindrului. Este îndeplinită condiţia în coordonate cilindrice în care: Te > Ti. fluxul termic se va transmite din interiorul spre exteriorul peretelui cilindric. În condiţiile: - nu există surse interioare de căldură: qv  0

106

- transferul căldurii are loc în regim staţionar: T 0 

- nu există variaţii de temperatură în lungul peretelui cilindric (în direcţia axei OX): T 0 x

- nu există variaţii de temperatură pe circumferinţa cercului: T 0 

ecuaţia (5.23) devine: 1   T   r  0 r r  r 

şi se reduce la forma: d  dT  r  0 dr  dr 

(5.44)

ceea ce pune în evidenţă faptul că în această situaţie temperatura variază doar în lungul razei cilindrului.

Fig. 5.6. Transferul căldurii prin conductivitate printr-un perete cilindric, omogen, infinit lung (perete simplu).

Integrând de două ori expresia (5.44) rezultă: r

dT  C1 dr

(5.45)

107

dT  C1 

şi

dr  T  C1  ln r  C2 r

(5.46)

unde C1 şi C2 sunt constante de integrare care se determină din condiţiile la limită şi condiţiile de univocitate şi anume: la r=ri ; T=Ti

Ti  C1 ln ri  C2

(5.47)

la r=re ; T=Te

Te  C1 ln re  C2

(5.48)

Rezolvând sistemul de ecuaţii format din relaţiile (5.47) şi (5.48) rezultă: C1 

Te  Ti r ln e ri

C2 

;

Ti  ln re  Te  ln ri r ln e ri

Introducând valorile constantelor de integrare C1 şi C2 în relaţia (5.46) se obţine: Ti  ln T

re r  Te  ln r ri r ln e ri

(5.49)

Relaţia (5.49) este ecuaţia câmpului de temperatură sau ecuaţia de repartizare a temperaturilor în grosimea peretelui cilindric – în grosimea peretelui cilindric temperatura variază logaritmic. Relaţia de calcul a fluxului termic transferat prin grosimea peretelui cilindric, prin conducţie, se stabileşte plecând de la legea lui Fourier. Pentru cilindrul de grosime infinitezimală dr, rază r (vezi fig. 5.6.) şi lungime l, când Te > Ti, fluxul termic se determină cu relaţia:

    2    r  l  

dT dr

unde 2    r  l  A este aria suprafeţei laterale a cilindrului prin care are loc transferul căldurii. Deoarece:

T T  dT  r    C1  e i r  dr  ln e ri

    2   l

rezultă:

Te  Ti r ln e ri

(5.50)

Relaţia (5.50) pune în evidenţă faptul că fluxul termic este independent de rază, înţelegând prin aceasta că fluxul termic este constant pentru cilindrii coaxiali de raze diferite. Notând cu:

=re-ri – grosimea peretelui cilindric; 108

T=Te- Ti – diferenţa de temperatură sub acţiunea căreia se realizează transferul termic; rm 

re  ri - raza medie logaritmică a peretelui cilindric; re ln ri

Am  2    rm  l - aria laterală a unui cilindru cu raza rm; şi înmulţind şi împărţind cu/prin (re-ri), relaţia (5.50) devine:

    2   l 



respectiv:

r r 1  e i  Te  Ti  r re  ri ln e ri

  Am  T 

(5.51)

(5.52)

În calculele tehnice se obişnuieşte a se utiliza diametrul în locul razei şi atunci: Am    d m  l

unde dm este diametrul mediu logaritmic calculat cu relaţia: dm 

de  di d ln e di

 5.2.5.4. Transferul căldurii prin conducţie printr-un perete cilindric, infinit lung, format din mai multe straturi (perete compus).

Fig. 5.7. Transferul căldurii prin conductivitate printr-un perete cilindric,infinit lung, format din mai multe straturi (perete compus).

109

Se consideră un perete cilindric, infinit lung, format din n straturi omogene, izotrope, coaxiale, de grosime δ1, δ2…….δn unde δ1 = r2 – r1 , δ2 = r3 – r2 …….δn = rn+1 – rn, şi conductivităţi termice 1, 2 ….n (fig. 1.7) (perete compus). Straturile sunt în contact termic perfect. Suprafeţele exterioare ale peretelui sunt menţinute la temperaturile Tn+1 şi T1, constante şi cunoscute. La nivelul suprafeţelor de contact a straturilor temperaturile sunt T2, T3……Tn. Între temperaturi există relaţia: Tpn+1 > Tpn >…….. > Tp3 > Tp2 > Tp1

(5.53)

Printr-un astfel de perete, transferul căldurii prin conducţie, în regim staţionar are loc radial, perpendicular pe suprafaţa laterală a cilindrului, din exterior spre interior. Se pune problema stabilirii unor relaţii care să descrie fenomenul de transfer a căldurii cu ajutorul cărora să se poată determina: - fluxul termic transferat; - temperatura în interiorul peretelui, la nivelul suprafeţelor de contact al straturilor, respectiv în interiorul straturilor. Se aplică un raţionament similar celui folosit în cazul peretelui plan format din mai multe straturi. Fluxul termic transferat prin straturile peretelui este constant şi anume:  1 :   2    l  rm  1  T1 1  2 :   2    l  rm  2  T2 2

T1 

1

1

2

stratul:

.

T2 



2   2    l  2  rm

2

(5.54)

. .

. n :   2    l  rmn 

n  Tn n

Tn 

rm1 

T1  T1  T2 ;

unde:

1   2    l 1  rm

T2  T2  T3 ;

rm 

. .

n   2    l  n  rm

r2  r1 r ln 2 r1 r3  r2 r ln 3 r2

.

.

rm 

Tn  Tn  Tn 1 ;

110

rn1  rn r ln n1 rn

n

sunt diferenţele de temperatură pe fiecare strat al peretelui, respectiv razele medii logaritmice ale fiecărui strat al peretelui. Adunând diferenţele de temperatură se obţine: Tn  T1  T2  ....  Tn  Tn1  T1

care reprezintă diferenţa de temperatură pentru întreaga grosime a peretelui. Însumând relaţiile (5.54) se obţine:

  n  2  1   ......   2    l  1  rm 2  rm n  rm 1

2

n

   T  

respectiv:



2   l

1

1  rm



1



sau:

i

  r i 1

i

2  rm

 ..... 

2

2   l n

2

 T 

n

n  rm

n

2   l

i

n

 r i 1

i

 T

(5.55)

mi

 T

(5.56)

mi

Plecând de la relaţiile (5.54), temperaturile interfeţelor între oricare două straturi în contact sunt: T2  T1 

   1 2    l 1  rm

1

T3  T2 

   2  2   T1   1   2    l 2  rm 2    l  1  rm1 2  rm 2

şi generalizând:

T j  T1 

2

   

j 1 i   2    l i1 i  rm

i

În interiorul unui strat care formează peretele compus temperatura variază în acord cu ecuaţia (5.49) adică logaritmic iar pentru ansamblul peretelui compus profilul variaţiei temperaturii este o linie frântă.

111



5.2.6. Conducţia căldurii în regim nestaţionar Se numeşte regim nestaţionar de transmitere a căldurii acel regim în care temperatura

sistemului variază în timp şi spaţiu sau numai în timp. Ecuaţia care defineşte câmpul de temperatură, în lipsa surselor interioare de căldură, qv= 0, are forma: T  a  2T 





Mulţimea problemelor de conducţie nestaţionară sau în regim tranzitoriu poate fii împărţită în două grupe mari şi anume: - grupa de procese în care tendinţa sistemului (corpului) este îndreptată spre obţinerea unui echilibru termic; - grupa de procese în care temperatura sistemului (corpului) constituie subiect de variaţie periodică. Prima grupă include procesele de încălzire sau răcire a corpurilor plasate într-un mediu cu temperatură constantă/staţionară, de exemplu: încălzirea aluatului şi coacerea pâinii în cuptor, încălzirea şi apoi răcirea sticlelor, borcanelor şi ambalajelor metalice în operaţia de pasteurizare şi sterilizare, răcirea carcaselor de animale şi păsări în operaţiile de refrigerare şi congelare etc. Grupa a doua cuprinde procesele cu desfăşurare periodică, de exemplu funcţionarea regeneratoarelor de căldură care în mod alternativ se încălzesc de la gazele de ardere şi apoi se răcesc cu aer pe care îl încălzesc. În cazul primei grupe de procese – tendinţa sistemului îndreptată spre obţinerea echilibrului termic – este necesară rezolvarea următoarelor probleme: - determinarea câmpului de temperatură în interiorul sistemului şi variaţia lui în timp; - determinarea cantităţii de căldură cedate/primite de sistem după trecerea unui anumit interval de timp de la începerea desfăşurării procesului de transfer termic prin conducţie nestaţionară. În literatura de specialitate problemele sunt rezolvate prin diferite metode, pentru sisteme geometrice simple bine definite cum ar fi: placă plană infinită, cilindru infinit, sferă.

 5.2.6.1. Încălzirea unei plăci în regim nestaţionar 

5.2.6.1.1. Rezolvarea analitică Pentru o placă plană cu suprafaţă infinită transferul căldurii de la mediul exterior se face

într-o singură direcţie, perpendicular pe suprafaţa plăcii. În aceste condiţii ecuaţia diferenţială a lui Fourier devine: 112

 d 2T  dT  a   2  d  dx  Se consideră că trecerea căldurii de la mediul exterior la suprafaţa plăcii se face fără rezistenţă termică adică coeficientul parţial de transmisie termică α este foarte mare astfel încât suprafaţa plăcii capătă instantaneu temperatura T’ a mediului ambiant. Dacă această ipoteză este satisfăcută, condiţiile de integrare sunt: - la suprafaţa plăcii (x = 0), temperatura este egală cu T’ şi se menţine constantă fiind independentă de timp; - pe suprafaţa opusă plăcii, a cărei grosime este 2δ, temperatura variază de la Ti la T’, adică: pentru x = 2δ, T = Ti la τ = 0 şi T = T’ la τ = ∞. Se pune problema determinării: - temperaturii T în interiorul plăcii la adâncimea x şi momentul τ; - căldura absorbită de placă de la începutul încălzirii până în momentul τ. Soluţia integralei este dată de seria convergentă: 2     2 a     x 1  T' T 4  3   x     a    exp .    2  sin   exp . 9     2   sin  T' Ti   2  3 2   2      2     



  1    2 a   1 5   x   exp .     2   sin  ...... 5 2    25  2    

(5.58)

unde T este valoarea temperaturii la momentul τ în punctul situat la adâncimea x de la suprafaţa încălzită a plăcii; T’ este temperatura mediului ambiant iar Ti este temperatura iniţială a plăcii (T’ > Ti). Se constată că soluţia (5.58) este deosebit de complexă şi cu mari dificultăţi poate fi utilizată practic pentru determinarea valorii T a temperaturii. Căldura absorbită de placă de la începutul încălzirii până în momentul τ este:

Q

x 2

x 0

(T 'T )    c  A  dx

(5.59)

unde ρ este densitatea materialului plăcii în kg/m 3; c este capacitatea termică specifică mască in J/(kg·K); A este aria suprafeţei plăcii, arie prin care se realizează transferul termic, în m2. Şi relaţia (5.59) este dificil de utilizat practic.

113



5.2.6.1.2. Rezolvarea cu ajutorul diagramelor Analizându-se ecuaţiile complicate care se obţin în urma rezolvării câmpului de

temperatură pentru cazurile cele mai obişnuite: placă, disc, cilindru, sferă, se observă că în structura lor intră o serie de grupuri de parametrii, grupuri adimensionale, şi anume: - grup adimensional funcţie de temperatură (temperatura adimensională): T 'T T 'Ti

Y

(5.60)

- grup adimensional funcţie de timp (timpul adimensional): X 

a 

(5.61)

2

- grup adimensional funcţie de rezistenţele termice la limita dintre mediul exterior şi suprafaţa corpului şi rezistenţele termice din interiorul corpului (rezistenţa termică adimensională): m



(5.62)

 

- grup adimensional funcţie de dimensiunile geometrice (lungime adimensională): n

x

(5.63)



Două dintre aceste grupuri adimensionale, întâlnite mai des, constituie criterii de similitudine şi anume, relaţia (5.61) este criteriul Fourier, Fo, iar relaţia (5.62) este inversul criteriului Biot, Bi. În funcţie de modul în care se utilizează aceste grupuri adimensionale se obţin diagrame mai simple sau mai complexe. Metoda Gourney şi Lurie (fig.5.8) transpune ecuaţiile complicate în coordonate semilogaritmice folosind drept coordonate ale diagramelor grupurile adimensionale: abscisa X  Fo 

a 



2

; ordonata Y 

T ' T ; şi permite determinarea temperaturii T la adâncimea x în T ' Ti

placă şi la momentul al încălzirii.

114

Fig. 5.8 Diagrama Gurney-Lurie pentru calculul izotermelor interioare, la un perete plan.

Pentru determinarea cantităţii de căldură cedate/ primite de placă se utilizează diagrame de forma celor din figura 5.9. în care Q’ este căldura cedată/primită de către perete până în momentul τ considerat; Q’m căldura cedată/primită de către perete până la atingerea echilibrului termic.

115

Fig. 5.9 Diagrama de calcul a cantităţii de căldură schimbate cu exteriorul la un perete plan în regim nestaţionar.



5.2.6.1.3. Rezolvarea prin metode grafice. Sunt cunoscute câteva metode grafice de rezolvare a ecuaţiei diferenţiale a conducţiei

căldurii în regim nestaţionar. Metoda mai des folosită este metoda diferenţelor finite sau metoda Schmidt. Principiul metodei constă în înlocuirea diferenţialelor din ecuaţia lui Fourier prin diferenţe finite:

T 2T a  x 2

(5.64)

Fig. 5.10 Aplicarea metodei diferenţelor finite (metoda Schmidt) pentru determinarea câmpului de temperatură.

116

Presupunând că la un moment oarecare  repartizarea temperaturii în interiorul unui perete (câmpul de temperatură) corespunde curbei abc din figura 5.10, trebuie ca la un alt moment,    , temperatura unui punct dintr-un plan oarecare B să fie media aritmetică între temperaturile pe care le au, la momentul  două plane A şi C situate la distanţe egale x de o parte şi de alta a planului B. În cele ce urmează, temperaturile au doi indici, primul indice se referă la abscisa punctului din figură, iar al doilea se referă la timp. La aceste convenţii asupra notaţiilor, elementele ecuaţiei iniţiale se calculează astfel:

T  Tx ,  T   x ,         x ct T  Tx x ,  T   x ,   x  x ABct

(5.65)

T  Tx ,  T   x  x ,   x  x BCct

2T  x 2

 T   T       x BC ct  x AB ct

x



Tx  x ,  Tx ,  Tx ,  Tx  x ,

x 2

Înlocuind valorile obţinute în ecuaţia iniţială (5.64) se obţine:

Tx ,    Tx ,





Tx  x ,  Tx  x ,  2Tx , a x 2

sau: Tx ,    Tx , 

2  a    Tx  x ,  Tx  x ,    Tx ,  2 2 x   

(5.66)

Dacă intervalul de timp  se alege astfel încât: 2  a   1 x 2

adică

 

x 2 2a

ecuaţia (1.66) capătă forma:

Tx ,   

Tx  x ,  Tx  x , 2

(5.67)

Expresia (5.67) precizează că într-un punct din planul B, temperatura, la momentul

   este media aritmetică a temperaturilor din planele A şi C la momentul  . Pe diagrama din figura 5.10 temperatura Tx ,  se găseşte la intersecţia liniei drepte care uneşte punctele a şi c cu planul median B. 117

Repetând procedeul pentru alte plane echidistante, în grosimea peretelui şi la intervale egale de timp    ,   2 ,   3 …… etc., se obţine distribuţia temperaturilor în toată grosimea peretelui şi la orice moment.

 5.2.7. Conducţia căldurii prin gaze şi lichide. În cazul gazelor şi a lichidelor căldura se transferă numai prin conducţie doar în cazul straturilor subţiri şi foarte subţiri când particulele sunt aşezate în ordinea densităţii lor pe verticală. Când grosimea stratului creşte apare fenomenul de convecţie naturală care suprapunânduse peste fenomenul de conducţie intensifică procesul de transfer termic. La gaze trebuie să se ţină seamă şi de fenomenul de radiere a energiei termice/căldurii atunci când acesta apare.

 5.3. Transferul de căldură prin convecţie.  5.3.1. Noţiuni generale Se numeşte convecţie fenomenul de transfer termic atunci când un fluid, gaz sau lichid, se deplasează de-a lungul unei suprafeţe solide mai calde sau mai reci decât fluidul. În această situaţie, transferul se realizează prin efectul simultan al conducţiei şi convecţiei. Transferul căldurii prin convecţie este legat direct de mişcarea fluidului. Din acest punct de vedere se poate preciza că există: - convecţie liberă – modul de transfer de căldură datorat mişcării libere (naturale) a fluidului, mişcare determinată de diferenţele de densitate, ca urmare a diferenţelor de temperatură existente în masa fluidului (părţi calde şi reci ale fluidului); - convecţie forţată – modul de transfer de căldură datorat mişcării forţate a fluidului, mişcare determinată de existenţa, în masa de fluid, a unor gradienţi de presiune produşi ca urmare a acţiunii din afară asupra masei de fluid cu pompe, ventilatoare, compresoare, organe de amestecare etc. În funcţie de modul în care are loc curgerea fluidului se defineşte: - curgere laminară (Re > 2320); - curgere intermediară sau tranzitorie(2320 < Re < 10000); - curgere turbulentă (Re > 10000). În cazul curgerii turbulente, la nivelul suprafeţei peretelui solid, se formează un strat limită de grosime δ în care curgerea este laminară. Intensitatea trecerii căldurii este determinată de rezistenţa termică a stratului limită. 118

Deoarece transferul căldurii prin convecţie este influenţat de modul curgerii fluidului şi de conductivitatea termică a sa, pentru definirea fenomenului e necesar a se lua în considerare proprietăţile termofizice ale fluidelor, cu valorile lor, şi anume:  coeficientul de conductivitate termică, λ, numeric egal cu cantitatea de căldură ce trece prin unitatea de arie a suprafeţei izoterme în unitatea de timp şi la un gradient de temperatură egal cu unitatea; se exprimă în W/(m.K);  capacitatea termică specifică masică, c, reprezintă cantitatea de căldură necesar a fi primită sau cedată de către un kilogram de substanţă pentru a-şi creşte sau scădea temperatura cu un kelvin; se exprimă în J/(kg.K). Se defineşte capacitate termică specifică masică la presiune constantă, cp, şi la volum constant, cv;  masă volumică sau densitate, ρ, numeric egală cu valoarea raportului între masa substanţei considerate şi volumul acesteia; se exprimă în kg/m3;  coeficient de difuzivitate termică, a; parametru complex care caracterizează inerţia termică a substanţei; caracterizează desfăşurarea proceselor termice nestaţionare; se defineşte prin relaţia: a   / c    ; se exprimă în m2/s;  coeficientul de vâscozitate. Se întâlnesc două noţiuni: - vâscozitatea dinamică, η, exprimată în Pa ∙ s sau N ∙ s/m2; - vâscozitatea cinematică, ν, exprimată în m2/s. Legătura dintre cele două noţiuni este dată de relaţia:      . Alături de parametrii precizaţi, modul de curgere a fluidului şi parametrii termofizici, o importanţă deosebită în transferul căldurii prin convecţie o prezintă şi forma şi dimensiunile geometrice ale suprafeţei de schimb de căldură. Într-o formă absolut generală şi implicită, fluxul termic transferat prin convecţie,  , se poate exprima sub forma:

  f w, Tp , T f , , c p ,  , , , l0 , l1 , l2 ....

(5.68)

unde w este viteza de curgere a fluidului în m/s; T p temperatura suprafeţei peretelui solid în K sau în 0C; T f temperatura fluidului în K sau în 0C;  coeficient de formă a suprafeţei de schimb termic, adimensional; l0 , l1 , l2 ... dimensiunile geometrice determinante ale suprafeţei de schimb termic în m.

119



5.3.2. Ecuaţia diferenţială Fourier – Kirchhoff pentru transferul căldurii prin convecţie Ecuaţia se referă la transferul căldurii prin convecţie printr-un mediu fluid, lichid sau

gaz, aflat în mişcare. Pentru rezolvarea problemei câmpului de temperatură se admit următoarele: - particulele macroscopice ale fluidului se află în mişcare cu viteza w; - parametrii fizici ai fluidului ( c p ,  , .... ) sunt constanţi. Din masa de fluid aflată în mişcare, cu viteza w, curgere neizotermă, în regim staţionar, raportată la un sistem de axe rectangulare spaţiale oxyz, se consideră un element de volum dV, infinitezimal (fig.5.11) de formă paralelipipedică, cu laturile dx, dy, dz, astfel încât

d ·V  dx  dz  dz

Fig. 5.11 Transferul de căldură prin convecţie prin elementul de volum dV

Legea conservării energiei poate fi formulată astfel: fluxul termic acumulat în elementul de volum dV, prin convecţie, ca diferenţă între fluxul termic intrat şi fluxul termic ieşit, este egal cu fluxul termic schimbat, prin conducţie, de elementul de volum dV cu mediul exterior acestuia. În aceste condiţii temperatura se păstrează constantă în timp fiind variabilă în spaţiu. Fluxul termic d , intrat sau ieşit printr-o suprafaţă cu aria dA, cu un fluid cu temperatura T, densitatea  , capacitatea termică specifică masică la presiune constantă cp, conductivitatea termică  şi viteza de curgere w este : d  c p  w    T  dA

(5.69)

În expresia (5.69) variabila este constituită de produsul ( w    T ). Datorită mişcării fluidului prin ariile suprafeţelor laterale ale paralelipipedului elementar dV circulă următoarele fluxuri termice: 120

- fluxuri termice intrate: axa ox: dx  c p  wx    T  dy  dz axa oy: d y  c p  wy    T  dx  dz

(5.70)

axa oz: dz  c p  wz    T  dx  dy unde T este temperatura fluidului la nivelul suprafeţelor paralelipipedului dV aflate la distanţele x, y şi z, iar wx, wy şi wz proiecţiile vitezei w de curgere a fluidului pe direcţiile ox, oy şi oz ale axelor de coordonate. - fluxuri termice ieşite: wx    T    axa ox: dxdx  c p  wx    T   dx   dy  dz x  

wy    T     dy   dx  dz axa oy: d ydy  c p  wy    T  y  

(5.71)

wz    T    axa oz: d z dz  c p  wz    T   dz   dx  dy z  

unde expresiile din parantezele pătrate reprezintă valorile parametrului complex, produsul ( w    T ), pe direcţiile axelor de coordonate ox, oy şi oz la nivelul suprafeţelor paralelipipedului dV aflate la distanţele x+dx, y+dy şi z+dz. Fluxul termic acumulat în elementul de volum dV este: d  dx  d y  dz   dxdx  d

ydy

 dzdz 

respectiv:

 wx    T  wy    T  wz    T  d  c p       dV x y z  

(5.72)

sau:   wx    wy    wz     T T T   d  c p  T      wy   wz     dV     wx  y z x y z       x

(5.73) Caracterul de continuitate şi regim staţionar al curgerii fluidului presupune lipsa acumulării de substanţă în elementul de volum dV şi este exprimat prin relaţia:

wx    wy    wz      0 x y z

(5.74)

Regimul staţionar al transferului căldurii impune lipsa acumulării de căldură, ceea ce face ca fluxul termic d acumulat în elementul de volum dV, datorită mişcării fluidului, să fie eliminat prin conducţie în exteriorul acestuia. 121

Fluxul termic d schimbat prin conducţie în regim staţionar este:

  2T  2T  2T  d     2  2  2   dV y z   x

(5.75)

Egalând relaţia (5.75) cu relaţia (5.73) în care s-a introdus condiţia (5.74), se obţine:



  c p  wx  

  2T  2T  2T  T T T   wy   wz       2  2  2  x y z  y z   x

sau

wx 

T T T  wy   wz   a   2T x y z





(5.76)





unde a este difuzivitatea termică a fluidului iar  2T operatorul lui Laplace. Expresia (5.76) este ecuaţia diferenţială Fourier–Kirchhoff pentru transferul căldurii prin convecţie în interiorul unui fluid în mişcare, în regim staţionar. Forma generală a ecuaţiei Fourier – Kirchhoff, fără restricţia regimului staţionar, adică pentru regim nestaţionar, este:



DT  a   2T d



(5.77)

unde:

DT T T T T   wx   wy   wz  d  x y z

(5.78)

este derivata substanţială a temperaturii. În concluzie, ecuaţia diferenţială Fourier – Kirchhoff, forma generală, relaţia (5.77) capătă forme particulare pentru cazuri particulare ale transferului termic şi anume: - pentru regimul staţionar al transferului termic,

wx 

T T T  wy   wz   a   2T x y z



T  0 , ecuaţia capătă forma: 



- pentru regimul nestaţionar al transferului termic,

T  0 , şi mediu imobil ( wx , wy , wz nule) 

ecuaţia capătă forma: T  a   2T 





- pentru medii imobile şi regim staţionar de transfer ecuaţia se simplifică căpătând forma

 T   0 2

122



5.3.3. Transferul căldurii prin conducţie şi convecţie în regim staţionar.

 5.3.3.1. Transferul căldurii printr-un perete cu feţe plane paralele de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2. Se consideră (fig. 5.12) un perete din material solid cu feţele plane, paralele, infinite de grosime  p şi conductivitate termică  p , raportat la un sistem de axe rectangulare spaţiale oxyz astfel încât axa ox este perpendiculară pe suprafaţa peretelui iar axele oy şi oz paralele cu suprafaţa acestuia. În lungul suprafeţei 1, din stânga peretelui, circulă cu viteza w1 fluidul 1, cald, cu temperatura T1. În lungul suprafeţei 2, din dreapta peretelui, circulă cu viteza w2 fluidul 2, rece, cu temperatura T2. Există îndeplinită condiţia T1 > T2. În această situaţie, de la fluidul 1, către fluidul 2, se transferă un flux termic  . La nivelul suprafeţelor peretelui există straturile limită hidrodinamice pe grosimea cărora

 1 respectiv  2 vitezele de curgere variază de la valorile w1 respectiv w2 la valoarea zero. Straturile limită hidrodinamice se confundă cu straturile limită termice în care temperatura variază de la T1 la Tp1 respectiv de la Tp2 la T2.

Fig. 5.12 Transferul căldurii printr-un perete cu feţele plane paralele de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2.

123

Se pune problema determinării unor relaţii matematice cu ajutorul cărora să se determine: - fluxul termic transferat de la fluidul cald 1 către fluidul rece 2; - valoarea temperaturii Tp1 respectiv Tp2 la nivelul suprafeţei peretelui. Determinarea fluxului termic transmis. Se consideră straturile limită 1 şi 2 drept două straturi, de grosimi  1 şi  2 , din materiale solide cu conductivităţile termice medii 1 şi 2 prin care căldura se transferă prin conducţie. În aceste condiţii peretele este un perete compus, format din trei straturi plane, paralele de grosimi δ1, δp, δ2 şi conductivităţi termice 1 ,  p , 2 prin care căldura de la fluidul cald 1 cu temperatura T1 se transmite către fluidul rece 2 cu temperatura T2, prin conducţie. Fluxul termic transferat  este descris de relaţia:



1

1  p  2   1  p 2

 A  T

(5.79)

În realitate, în straturile limită 1 şi 2, a căror grosime este variabilă, fiind funcţie de o serie de parametri fizici şi nu se cunoaşte cu exactitate, căldura se transferă atât prin conducţie cât şi prin convecţie. Pentru a ţine seama de condiţiile complexe ale transferului căldurii prin straturile limită, în relaţia (5.79), se fac notaţiile:

1 1  1 şi 2   1  1 2  2

(5.80)

Mărimea  se numeşte coeficient parţial sau individual de transmisie termică şi se exprimă în W/(m2·K); În structura şi valoarea sa înglobează efectele transferului căldurii atât prin conducţie cât şi prin convecţie în straturile limită de la fluidul 1 în curgere către suprafaţa peretelui şi respectiv, de la suprafaţa peretelui către fluidul 2 în curgere Relaţia (5.79) devine:



1

p 1   1  p  2 1

 A  (T1  T2 )

în care se notează: k

1

(5.81)

1 p 1   1  p  2

adică:

  k  A  T

(5.82) 124

Mărimea k şi se numeşte coeficient total de transmisie termică şi se exprimă în W/(m2.K). Dacă, în vederea realizării schimbului termic cele două fluide intră în contact direct, adică între fluide nu există peretele despărţitor prin care să se transfere căldura, coeficientul total de transmisie termică k se calculează cu o relaţie de forma: k

1 1

1



(5.83)

1

2

Problema principală a transferului căldurii prin convecţie este problema determinării valorii coeficienţilor parţiali sau individuali de transmisie termică α pentru diferite cazuri particulare care se întâlnesc în practica curentă a transferului căldurii. Determinarea temperaturilor T p1 , respectiv Tp 2 la nivelul suprafeţelor peretelui. Se foloseşte acelaşi raţionament ca şi pentru determinarea temperaturilor intre straturile unui perete solid (vezi paragrafului 3.5.2) şi anume.

  1  A  T1  Tp1   k  A  T1  T2  T p1  T1 

k

1

 T1  T2 

 5.3.3.2. Transferul căldurii printr-un perete plan format din mai multe straturi paralele de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2.

Coeficientul total de transmisie termică k se calculează cu o relaţie de calcul de forma:

k

1

(5.84)

 1  i  1 i1 i  2 1

n

unde n este numărul de straturi.

 5.3.3.3. Transferul căldurii printr-un perete cilindric de la un de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2.

Fluxul termic transferat se calculează cu o relaţie de calcul de forma:



2   l  T 1  1    i  ri   rm  e  re

(5.85)

125

 5.3.3.4. Transferul căldurii printr-un perete cilindric format din mai multe straturi cilindrice coaxiale de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2.

Fluxul termic transferat se calculează cu o relaţie de calcul de forma:



2   l

j 1 1    i  ri j 1  j  rmj  e  re n

 T

(5.86)

unde n este numărul de straturi cilindrice coaxiale.



5.3.4. Coeficienţi parţiali de transmisie termică. Valorile coeficienţilor parţiali sau individuali de transmisie termică depind de mulţi

factori cu referire la: - curgerea fluidelor; - proprietăţile termofizice ale fluidelor; - caracteristicile geometrice ale suprafeţei prin care se transmite căldura. Deoarece prin metode matematice obişnuite nu se poate ajunge la relaţii comode, pentru stabilirea relaţiilor de calcul ale valorilor coeficienţilor parţiali de transmisie termică, α, se face apel la teoria similitudinii şi a analizei dimensionale. Aceasta permite: - stabilirea variabilelor sau a listei de variabile ce determină procesul de transfer termic; - alegerea numărului minim de variabile ce determină în mod cert fenomenul; - interpretarea rezultatelor experimentale; - limitarea domeniului de valabilitate al corelărilor obţinute pe cale experimentală; - deducerea ecuaţiilor de calcul a coeficienţii parţiali de transmisie termică. Cunoaşterea valorilor coeficienţilor parţiali de transmisie termică serveşte la determinarea valorii coeficientului total de transmisie termică şi în final a fluxului termic transferat de la un fluid cald către un fluid rece, prin convecţie şi conducţie. Valorile fiecăruia dintre rapoartele 1 1 ;  p  p ; 1  2 prezintă importanţă în calculul valorii coeficientului k. Pot apărea următoarele situaţii: - unul dintre rapoarte are o valoare foarte mare faţă de valorile celorlalte două (α are o valoare mică); prin valoarea sa influenţează în mod direct valoarea lui k; pentru a se ameliora valoarea lui k este necesar să se mărească mult α cu valoare mică; 126

- cele trei rapoarte prezintă valori sensibil egale; fiecare dintre ele vine cu participaţia sa la stabilirea valori lui k; modificarea valorii unuia dintre ele aduce după sine modificarea sensibilă a valorii lui k.



5.3.5. Similitudinea transferului căldurii prin conducţie şi convecţie în regim staţionar. În cazul conducţie şi convecţiei în regim staţionar, din punct de vedere al similitudinii

proceselor, trebuie îndeplinite condiţiile de: l1 l 2 , ,...... l0 l0

- similitudine geometrică:

- similitudine hidrodinamică: f (Re, Fr , Eu , We) = const. - similitudine termică. Pentru stabilirea formei criteriilor de similitudine, pentru cazul similitudinii termice, se face apel la ecuaţiile principale de transfer a căldurii prin convecţie şi conducţie: 

ecuaţia lui Fourier: d   



dT  dA dx

(5.87)

ecuaţia lui Newton: d   T f  Tp  dA

(5.88)

unde T p este temperatura suprafeţei peretelui iar T f temperatura fluidului. 

ecuaţia Fourier – Kirchhoff:

wx 

T T T  wy   wz   a   2T x y z





(5.89)

Fenomenele similare trebuie să prezinte acelaşi raport între căldura transferată prin convecţie şi cea transferată prin conducţie. Din ecuaţia (5.89) se obţine:

w T l  w  l  Pe a T a 2 l Raportul unidimensional

(5.90)

wl poartă numele de criteriul Péclet. a

Din ecuaţiile (5.87) şi (5.88) se obţine:

 T  l 2   l   Nu   T  l 2

(5.91)

l 127

Raportul adimensional

 l poartă numele de criteriul Nusselt. 

Considerând cele trei condiţii de similitudine se obţine relaţia generală între criteriile de similitudine care caracterizează transferul căldurii de la un fluid la un perete: f (Fr, Re, Eu, Pé, Nu,

l1 l 2 , ,...) = const l0 l0

(5.92)

Întrucât criteriul hidrodinamic Eu, Euler, poate fi exprimat ca o funcţie de Re, iar criteriul Pé poate fi înlocuit prin Pr 

Pe  c p      Re a 

(criteriul Prandtl depinde numai de

proprietăţile termofizice ale fluidului) relaţia (5.92) se poate scrie: f (Fr, Re, Pr, Nu,

l1 l 2 , ,...) = const. l0 l0

(5.93)

În convecţia liberă similitudinea hidrodinamică este bine caracterizată de criteriul Grashof definit de expresia:

Re 2 g  l3 Gr     T  2    T Fr 

(5.94)

Astfel se obţine relaţia criterială generală: f (Re, Pr, Nu, Gr,

l1 l 2 , ,...) = const. l0 l0

(5.95)

sau Nu = f (Re, Pr, Gr,

l1 l 2 , ,...) l0 l0

(5.96)

Relaţia (5.95) poate fi particularizată pentru diferite cazuri iar în urma experimentelor se pot stabili relaţii empirice pentru cazurile în speţă. Relaţia (5.95) se poate obţine şi prin analiză dimensională aplicând teorema a doua a similitudinii, teorema π. Se presupune că un proces de transfer termic prin conducţie şi convecţie, în regim staţionar, de la un fluid în curgere la un perete este descris de nouă variabile ale căror simboluri în formule dimensionale sunt:

128

Ecuaţie

Parametrul

Simbol

Vâscozitatea dinamică a fluidului

η

M٠L-1٠ T-1

Conductivitatea termică a fluidului

λ

M٠L٠ T-3٠ Ө-1

d

L

Viteza fluidului

w

L٠T-1

Densitatea fluidului

ρ

M٠L-3

cp

L2٠T-2٠ Ө-1

Diferenţa de temperatură

ΔT

Ө

Produsul β٠g

β٠g

L٠T-2٠ Ө-1

Coeficientul parţial de transmisie termică

α

M٠T-3 ٠Ө-1

Lungimea caracteristică a sistemului (diametrul ţevii)

Capacitatea termică specifică masică a fluidului la presiune constantă

dimensională

Se aplică metoda indicilor. Variabilele (parametrii de care depinde fenomenul, inclusiv fenomenul) sunt exprimate funcţie de patru unităţi fundamentale şi conform teoremei π, fenomenul va fi descris de 9 – 4 = 5 grupuri adimensionale independente. Formulele dimensionale ale variabilelor se scriu sub forma unor puteri:

 x   x  d x  wx   x  cx  T x    g x   x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

 M 0  L0  T 0   0

(5.97)

unde x1, x2, x3,..... reprezintă indici necunoscuţi iar parantezele pătrate precizează că este vorba de formule dimensionale şi nu de variabile. După înlocuirea formulelor dimensionale se obţine:

M  L L  T 2

  M  L  T     L  L  T   M  L        L  T     M  T     M  L  T

1

 T 1

2

  1

x1

x6

1 x 2

3

x7

2

1 x 4

x3

1 x8

3

1 x9

3 x 5 0

0

0

 0

(5.98)

Cu ajutorul exponenţilor unităţilor fundamentale se obţin patru ecuaţii simultane, ecuaţiile de condiţie: Condiţia pentru M: x1+x2+x5+x9=0 Condiţia pentru L: -x1+x2+x3+x4-3x5+2x6+x8=0 Condiţia pentru T: -x1-3x2-x4-2x6-2x8-3x9=0 Condiţia pentru Ө: -x2-x6+x7-x8-x9=0 Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii se obţine: x1= - x5+x6-x7+x8 x2= -x6+x7-x8-x9 x3= x5+x8+x9 x4= x5+2x7 În aceste condiţii ecuaţia (5.97) devine: 129

  x  x  x  x    x  x  x  x  d x  x  x  wx  2 x   x  cx T x    g x   x  M 0  L0  T 0   0 5

6

7

8

6

7

8

7

8

9

5

8

9

5

7

5

6

 (5.99)

9

Sau sub altă formă: 8 9   c p  wd       T    d    d  0 0 0 0    ٠    ٠    w2  ٠      g  ٠    =M ٠L ٠T ٠Ө          

x6

x5

x7

x

x

Au rezultat produsele adimensionale:

1  2 

wd  



 Re

  cp    Pr  a

3 

  T   w2

4 

 d  g 

5 

 d 

(5.100)

Se poate scrie: f (  1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ) = const

(5.101)

Dacă se calculează:

 21  3  4 

w2  d 2   2   T   d d3 g 2      g   g 2   w2  2

se obţine un nou criteriu.

d3  g

2

   T  Gr (criteriul Grashof)

În aceste condiţii relaţia (5.101) se poate scrie sub forma: f (Nu, Re, Pr, Gr) = const.

(5.102)

Ţinând seama şi de similitudinea geometrică se ajunge la ecuaţia criterială (5.95) f (Re, Pr, Nu, Gr,

l1 l 2 , ,...) = const. l0 l0

130

Recapitulând, se poate preciza: luat în ansamblul său fenomenul de transfer de căldură prin conducţie şi convecţie utilizează următoarele criterii principale de similitudine:

Fo 

a  l2

Criteriul de similitudine Fourier (Fo) conţine în structura sa timpul şi caracterizează regimul de transfer prin conducţie nestaţionară;

Bi 

 l 

Criteriul de similitudine Biot (Bi) pune în evidenţă, în cazul conducţiei nestaţionare, influenţa reciprocă a rezistenţelor termice între mediu şi corp (α) şi cele din interiorul corpului (   );

Nu 

 l 

Criteriul de similitudine Nusselt (Nu) este caracteristic convecţiei; are aceiaşi relaţie de calcul cu Bi dar se deosebeşte esenţial de acesta prin aceea că λ se referă la fluidul în mişcare, iar l este dimensiunea geometrică caracteristică a spaţiului în care are loc transferul termic şi mişcarea fluidului;

Pe' 

wl a

Criteriul de similitudine Péclet (Pé) reprezintă raportul dintre transferul de căldură prin convecţie şi transferul de căldură prin conducţie, fenomene care se petrec în regim staţionar;

Pr 

Pe'    c p   Re a 

Criteriul

de

similitudine

Prandtl

(Pr)

cuprinde

constantele fizice ale fluidului care intervine în procesul de convecţie;

Gr 

l3  g



2

   T

Criteriul de similitudine Grashof (Gr) caracterizează convecţia naturală (liberă)

131

Similitudinea totală a transferului de căldură prin convecţie de la un fluid la perete sau invers se caracterizează prin valori identice ale criteriilor de similitudine geometrică, hidrodinamică şi termică pentru sistemele similare. Pe baza consideraţiilor precedente, asupra criteriilor de similitudine, rezultă următoarele forme generale ale ecuaţiei criteriale pentru transferul termic de la un fluid la un perete. Forma generală:

  l l Nu  f  Re, Pr, Gr , 1 , 2 ,..... l0 l0  

(5.103)

Pentru convecţia forţată:

  l l Nu  f  Re, Pr, 1 , 2 ,..... l0 l0  

(5.104)

Pentru convecţia liberă:

  l l Nu  f  Pr, Gr , 1 , 2 ,..... l0 l0  

(5.105)

Pentru convecţia forţată a gazelor:

  l l Nu  f  Re, 1 , 2 ,..... l0 l0  

(5.106)

Pentru convecţia liberă a gazelor:

  l l Nu  f  Gr, 1 , 2 ,..... l0 l0  

(5.107)

Ecuaţiile (5.106) şi (5.107) rezultă din ecuaţiile (5.104) şi (5.105) pe baza constatării că, pentru gaze cu acelaşi număr de atomi în moleculă, criteriul de similitudine Prandtl este practic o constantă: Pentru gaze monoatomice: Pr = 0,67 Pentru gaze diatomice: Pr = 0,74 Pentru gaze triatomice: Pr = 0,80 Pentru gaze tetraatomice: Pr = 1,00

132



5.3.6. Clasificarea proceselor de transfer termic prin convecţie

133



5.3.7. Calculul coeficienţilor parţiali de transmisie termică la convecţia fără schimbarea stării de agregare a fluidului (convecţia monofazică).

Pentru calculul coeficienţilor parţiali de transmisie termică α, relaţia (5.95), care se scrie şi sub forma: Nu  c   l  Re m  Pr n  Gr p

(5.107`)

unde c, m, n, p sunt coeficient şi exponenţi iar  l coeficient dependent de simplecşi geometrici. Pentru fiecare caz concret valorile lui c, m, n, p şi  l sunt determinate pe cale experimentală. Deoarece în literatura de specialitate sunt prezentate foarte multe relaţii de calcul pentru α, în tabelul 1.1 se prezintă un tablou sintetic al celor mai utilizate relaţii pentru diverse cazuri particulare.

134

Tabelul 1.1. Ecuaţii criteriale de bază pentru calcularea coeficienţilor parţiali de transmisie termică α în cazul transferului de căldură prin convecţie fără schimbarea stării de agregare (convecţie monofazică)

CARACTERUL CIRCULAŢIEI FLUIDULUI

ECUAŢII CRITERIALE

CONDIŢII DE DIMENSIUNEA GEOMETRICĂ DETERMINANTĂ APLICARE

1

2 I. Convecţie liberă (naturală) A. În spaţiu finit (limitat) Regim laminar

3

8 r m  Gr  Pr  f Gr  Pr  10 f 3 ;   1  Gr  Pr   n 10  Gr  Pr 

  0 ,11  Gr  Pr  f   1

Gr  Pr  10 3

4

este grosimea spaţiului limitat în m;

*

m

n

r

0.119

1,45  10 4

1,27

0.07

0,32  10 4

1,333

0,236

1,1  10 4

1,393

Qq

Q

q

Q q

135

  15 *

este grosimea stratului limită dinamic

Valorile lui m, n şi r: Forma geometrică a spaţiului limitat şi sensul fluxului termic

5

Relaţia general valabilă pentru: spaţii limitate de suprafeţe plane verticale sau orizontale;cilindri coaxiali verticali sau orizontali; sfere concentrice.



TEMPERATURA DETERMINANTĂ

unde

Temperatura medie a pereţilor

Tm  0,5  T p1  T p 2 

1

2

3

4

5

B. În spaţiu infinit (nelimitat) Regim laminar

Nu  c  Grf  Pr f



0 ,25

 Pr f   Pr  p

0 ,25

   

Pentru plăci plane verticale.

Înălţimea plăcii verticale

Temperatura medie a fluidului în stratul limită

Gr  Pr  10 8

c  0,45 pentru Pr = 0,1….0,7 c  0,63 pentru Pr = 0,7….50 c  0,70 pentru Pr = 50….100

Nu  0 ,4  Gr  Pr 

Pentru conducte verticale, Diametrul exterior al conductei circulare Temperatura medie a fluidului în exteriorul lor. sau diametrul echivalent dacă are altă în stratul limită 5 8 formă. 10  Gr  Pr  10

14

Nu  0 ,53  Gr  Pr 

Pentru conducte Diametrul exterior al conductei circulare Temperatura medie a fluidului orizontale, în exteriorul sau diametrul echivalent dacă are altă în stratul limită lor. formă.

14

10 5  Gr  Pr  10 9 Regim tranzitoriu

Regim turbulent

0 ,25

 Pr f Nu  0 ,6  Gr  Pr     Pr  p n Nu  c  Gr  Pr  f

   

 Pr f Nu  0 ,15  Gr  Pr     Pr  p n Nu  c  Gr  Pr  f

   

0 ,25 f

13 f

Pentru plăci plane verticale.

Înălţimea plăcii verticale

Temperatura medie a fluidului în stratul limită

10 8  Gr  Pr  10 9

0 ,25

Pentru conducte verticale, Diametrul exterior al conductei circulare Temperatura medie a fluidului în exteriorul lor. sau diametrul echivalent dacă are altă în stratul limită 7 9 formă. 10  Gr  Pr  10 c  0 ,59 n1 4 Pentru plăci plane Înălţimea plăcii verticale Temperatura medie a fluidului verticale. în stratul limită

Gr  Pr  10 9 Pentru conducte verticale, Diametrul exterior al conductei circulare Temperatura medie a fluidului în exteriorul sau diametrul echivalent dacă are altă în stratul limită lor. formă. 10 9  Gr  Pr  10 12 c

= 0,13; n = 1/3 136

1

2

3

Convecţie forţată A. În spaţiu finit (limitat) 0 ,2 0 ,1 Regim laminar Nu  0 ,74  Re Pr   Gr  Pr  Re < 2320

4

5

II.

Regim tranzitoriu 2320 < Re < 10000

Regim turbulent Re > 10000

 Pr f Nu  0 ,15  Pr f0 ,34    Pr  p

   

0 ,25

Re·10-3

2,2

2,5

3

3,5

c

2,2

4,9

7,5

10

Re·10-3 c

5 16,5

6 20

7 24

8 27

 Pr f   Pr  p

   

Nu  0 ,021  Re unde

l

0 ,8 f

 Pr

0 ,43 f

La curgerea prin conducte Diametrul interior al conductei Temperatura medie a stratului limită şi canale. sau diametrul echivalent al termic canalului. La curgerea prin conducte Diametrul interior al conductei Temperatura medie a fluidului. şi canale. sau diametrul echivalent al canalului.

4,0 12, 2 10 33

0 ,25

l

La curgerea prin conducte Diametrul interior al conductei şi canale. sau diametrul echivalent al canalului.

Temperatura medie a fluidului.

Diametrul exterior al ţevii din fascicul.

Temperatura medie a fluidului

este coeficient de corecţie a cărui

valoare depinde de Re şi lungimea relativă a conductei l/d

 f Nu  c  Re 0f ,6  Pr f0 ,33     p

   

0 ,14

2 2 c  1,16  dech 0,6 ; dech  Di  z  de

La curgerea în lungul unui fascicul de ţevi, montat în mantaua cilindrică, fără şicane. 0,5 < Pr < 500

Di  z  de unde Di este diametrul interior al mantalei; de diametrul exterior al ţevilor; z numărul de ţevi din fascicul

137

1

2

3

4

La curgerea prin spaţiul Diametrul exterior al ţevilor   dech  2 3  0 ,75 Nu  0 ,037  1      Re f  inelar liber între două ţevi interioare şi diametrul interior cilindrice coaxiale. al ţevilor exterioare.   L  

 180   Pr

0 ,43 f

 f    p

   

Nu  0 ,5  Re  Pr Regim turbulent Re > 103

0 ,38 f

 Pr f   Pr  p

   

0 ,25

Nu  0 ,057  Re Pr 

0 ,78

Nu  0 ,25  Re

0 ,6 f

 Pr

0 ,38 f

Temperatura medie a fluidului.

0 ,14

B. În spaţiu infinit (nelimitat) Regim laminar Nu  0 ,335  Re 1 2  Pr 1 2 Re < 2320 0 ,5 f

5

 Pr f   Pr  p

   

0 ,25

La curgerea în lungul unei suprafeţe plane. La curgerea perpendiculară pe o conductă circulară sau profil oarecare. 1 < Re < 103 La curgerea în lungul unei suprafeţe plane. Re > 103 La curgerea perpendiculară pe o conductă circulară sau profil oarecare.

103 < Re < 2  10 La curgerea perpendiculară Nu  0 ,32  FA  Re 0 ,61  Pr 0 ,31 peste un fascicul de Valorile factorului de corecţie FA depind conducte. de criteriul Re, sistemul şi pasul de aşezare a ţevilor.

Lungimea peretelui. Diametrul exterior al conductei sau diametrul echivalent al profilului

Temperatura medie a fluidului în stratul limită Temperatura medie a fluidului în stratul limită

Lungimea suprafeţei plane.

Temperatura medie a stratului limită termic

Diametrul exterior al conductei sau diametrul echivalent al profilului

Temperatura medie a stratului limită termic

Diametrul exterior al conductei sau diametrul echivalent al profilului

Temperatura medie a stratului limită termic

5

138



5.3.8. Calculul coeficienţilor parţiali de transmisie termică la convecţia cu schimbarea stării de agregare a fluidului (convecţia bifazică). Fenomenele de transfer a căldurii din cadrul sistemelor în care fluidele îşi modifică starea

de agregare, sunt mult mai complexe decât cele observate în condiţia termică fără schimbarea stării de agregare, deoarece mărimilor variabile ale convecţiei, li se alătură cele referitoare la schimbarea de fază. Numărul mare de variabile face ca studiul acestor fenomene să cuprindă, alături de ecuaţiile analitice şi pe cele obţinute prin corelarea datelor experimentale şi urmărirea mecanismului de transfer termic în cadrul diferitelor regimuri de desfăşurare a acestor fenomene.

 5.3.8.1. Fierberea lichidelor. Procesul de fierbere reprezintă un proces de transmisie termică prin convecţie care implică formarea continuă a vaporilor în interiorul volumului de lichid, pe baza căldurii primite. Pe lângă geometria sistemului şi parametrii fizici, care soluţionează convecţia în stare lichidă, în desfăşurarea procesului de fierbere, o importanţă deosebită o prezintă caracteristicile suprafeţei de transfer termic, tensiunea superficială a lichidului, căldura latentă de vaporizare a lichidului, presiunea, precum şi proprietăţile vaporilor care se formează. Urmărirea fenomenului de fierbere a apei în raport cu creşterea excesului de temperatură T  Tp  Ts , unde T p este temperatura suprafeţei peretelui încălzitor iar Ts temperatura de

saturaţie a apei corespunzător presiunii de lucru sub care se găseşte, pune în evidenţă existenţa mai multor domenii în care transferul termic are loc într-un anumit mod specific (fig. 5.13)

Fig. 5.13 Regimurile de fierbere pentru o suprafaţă cilindrică orizontală imersată în apă staţionară, la presiune atmosferică.

139

Domeniul I – Convecţie liberă în fază lichidă. Atât timp cât temperatura suprafeţei încălzite nu depăşeşte decât cu, T  (0÷2,5) K, temperatura de saturaţie a apei, căldura se transferă lichidului, în vecinătatea sursei termice, prin convecţie naturală; lichidul supraîncălzit este antrenat de curenţii ascensionali, pentru ca, la suprafaţa liberă a lichidului să înceapă evaporarea acestuia; densitatea fluxului termic transferat prin convecţie liberă, este proporţională cu T 5 4 . Domeniul II – Fierbere nucleică la subrăcire. Dacă excesul de temperatură creşte, T  (2,5÷6) K, nivelul energetic ridicat

al

lichidului în apropierea câtorva puncte de pe suprafaţa încălzitoare, face ca moleculele dispersate să se separe de moleculele de lichid învecinate, trecând din starea lichidă în starea de vapori. De dimensiuni reduse, bulele formate, antrenate de curenţii liberi, condensează înainte de a atinge suprafaţa liberă a lichidului. Marcând începutul regimului de fierbere globular, densitatea fluxului de căldură prezintă o creştere mai pronunţată.

Domeniul III – Fierbere nucleică la saturaţie. Pe măsură ce excesul de temperatură depăşeşte valoarea de aproximativ 6 K, numărul centrelor de vaporizare de pe suprafaţa încălzitoare se majorează, dimensiunile bulelor de vapori cresc şi ele, formând un fel de coloane până la suprafaţa liberă a lichidului, unde se produce evaporarea. Densitatea fluxului termic creşte în acest domeniu de fierbere globulară sau în bule, proporţional cu T 3,333 . Densitatea fluxului termic atinge o valoare maximă pentru un exces de temperatură al sursei din interiorul masei de lichid, de aproximativ 30 K, reprezentând valoarea critică a excesului de temperatură, obţinându-se densitatea fluxului termic critic q cr şi coeficientul parţial de transmisie termică critic

 cr . Domeniul IV – Fierbere de tranziţie. Creşterea excesului de temperatură peste valoarea lui critică măreşte atât de mult numărul centrelor de vaporizare, încât bulele de vapori, nedesprinse de pe suprafaţa încălzitoare, atingându-se între ele, formează o peliculă sub forma unui film de vapori; izolarea suprafeţei încălzitoare de către pelicula astfel formată, conduce la diminuarea fluxului termic transmis apei. 140

Instabilitatea peliculei de vapori face ca în intervalul T  (30÷222) K,fierberea caracterizată printr-o alternanţă de formări şi ruperi ale filmului de vapori, să se desfăşoare în regim tranzitoriu, în care fierberea globulară coexistă cu cea peliculară. Domeniul V – Fierbere în film, stabilă. Mărirea în continuare a excesului de temperatură asigură continuitatea peliculei de vapori pe întreaga suprafaţă încălzitoare şi fierberea are loc în regim pelicular stabil. Formarea şi desprinderea rapidă a bulelor de dimensiuni mari, produce o agitaţie continuă a suprafeţei filmului de vapori, care se prezintă sub forma unei unde aflate în mişcare; în acest fel se favorizează transferul de căldură, fapt pentru care, densitatea fluxului termic începe să crească.

Domeniul VI – Fierbere în film şi radiaţie. La atingerea unei valori T  555 K, şi peste, suprafaţa încălzitoare, devine incandescentă, favorizează transferul căldurii prin radiaţie, iar densitatea fluxului termic creşte mult, la variaţii pozitive ale excesului de temperatură. În această fază a fierberii peliculare, nivelul stabilizat al filmului de vapori, care acoperă în întregime suprafaţa caldă, permite desprinderea bulelor, antrenate în mişcarea ascensională. De regulă fierberile industriale, practice, au loc în domeniul fierberii globulare mai precis în limitele domeniului III, T  (6÷30) K. Coeficientul parţial de transmisie termică α perete-lichid, pentru un lichid în fierbere, este definit de ecuaţia:

    A  Tp  Ts 

(5.108)

sau explicit:





A  T p  T f 



q q  T p  Ts T

(5.109)

Valoarea coeficientului  este o funcţie de densitatea fluxului termic şi de diferenţa de temperatură dintre temperatura peretelui şi temperatura de saturaţie (fierbere) a lichidului. Fenomenul de fierbere a lichidelor este influenţat de: - natura lichidului; - natura, rugozitatea şi starea de curăţenie a suprafeţei încălzite; - adausuri pentru activarea fierberii; 141

- presiunea de lucru; - diametrul, numărul şi aranjamentul ţevilor de încălzire. Pentru calculul valorii coeficientului  în cazul transferului căldurii de la o suprafaţă încălzită la un lichid în fierbere literatura de specialitate indică o serie de relaţii empirice din care se pot exemplifica:  pentru apă în fierbere, la presiune atmosferică:

  1100  0,9  q

(5.110)

 pentru apă în fierbere, la presiuni diferite de presiunea atmosferică:

  0 ,335  p 0 ,175  q 0 ,7

  0 ,0325  p 0 ,58  T 2 ,33 unde p este presiunea de lucru exprimată în Pa; q este densitatea de flux termic exprimată în W/m2 şi T este diferenţa de temperatură între temperatura suprafeţei calde şi temperatura de saturaţie a lichidului în fierbere la presiunea p exprimată în K.  pentru un lichid oarecare: -

fierbere lentă: q  16500 W/m2:

     a  a  -

0 , 75

       a 

0, 5

      a 

0, 25

 cp    c   pa 

0 , 25

      a 

0 , 25

(5.111)

fierbere intensă q  16500 W/m2:

      a  a 

0 ,75

     a

  

0 ,7

 cp    c   pa 

0 ,15

   a

  

0 ,94

(5.112)

Mărimile cu indicele a se referă la apă.

 5.3.8.2. Condensarea vaporilor Condensarea reprezintă procesul de schimb de căldură prin care se produce trecerea de la vapori la starea lichidă pe suprafaţa unui perete cu temperatura Tp mai mică decât temperatura de saturaţie Ts a lichidului, corespunzătoare presiunii de condensare. Condensarea poate avea loc în două moduri:  Condensarea cu picături; apare în cazul suprafeţelor de răcire neudate de lichid, când peretele se acoperă cu picături individuale de condensat. Acest mod de condensare stabileşte coeficienţi parţiali de transmisie termică ridicaţi, de 4 până la 8 ori mai mari decât cei de la condensarea peliculară, dar este greu de realizat şi menţinut în aplicaţiile industriale.

142

 Condensarea peliculară sau în film; apare în cazul tuturor vaporilor lichidelor care udă suprafaţa de transfer termic, când peretele se acoperă cu un film de condensat, care se scurge pe perete sub influenţa forţelor de gravitaţie. Gazele necondensabile, eventual prezente în vapori, nu modifică felul condensării, în picături sau în film (peliculă). Dacă vaporii, în speţă vaporii de apă, conţin anumite substanţe tensioactive sau dacă suprafaţa este impurificată cu substanţe care, micşorând tensiunea superficială a condensatului, împiedică udarea suprafeţei, condensarea se face în picături. Aceste substanţe pot fi specifice (de exemplu mercaptani pentru cupru sau aliaje din cupru) sau cu eficacitate mai generală (de exemplu acid oleic pentru cupru, alamă, nichel, crom). Ţinând cont de condiţiile concrete de desfăşurare a fenomenului de condensare se poate considera că regimul de condensare în picături este cu totul şi cu totul accidental şi nestabil aşa încât regimul în care are loc condensarea este pelicular.

Condensarea peliculară pe un perete plan vertical. Ecuaţia fundamentală a condensării peliculare a fost dedusă de Nusselt ca urmare a analizei curgerii peliculei de condensat şi a transferului termic prin această peliculă. Se consideră: - căldura latentă de condensare, lc, trece integral spre peretele rece prin conducţie termică prin pelicula de condensat cu conductivitatea termică λ, peliculă în care curgerea condensatului este laminară; - temperatura peliculei de condensat la nivelul suprafeţei peretelui este Tp şi este constantă în timp; - temperatura peliculei de condensat la nivelul suprafeţei în contact cu vapori este Tc – temperatura de condensare – şi este constantă în timp. Densitatea de flux termic sau cantitatea de căldură transferată prin unitatea de arie de suprafaţă, în unitatea de timp, în secţiunea x este: qx 

  Tc  T p  , W/m2 x

(5.113)

Debitul de masă de condensat format este:

mx 

qx  1    Tc  T p  , kg/s lc  x lc

(5.114)

sau:

dm x  1    Tc  T p , kg/s d  x lc

(5.115) 143

Densitatea de flux termic, conform ecuaţiei lui Newton este: q x   x  Tc  Tp , W/ m2

(5.116)

Din ecuaţiile (1.114) şi (1.117) rezultă:

x 

 x

(5.117)

adică valoarea coeficientului parţial de transmisie termică  x la condensarea vaporilor de apă se poate determina ca urmare a determinării dimensiunii  x din condiţia de curgere a peliculei.

Fig.5.14 Condensarea peliculară pe un perete plan vertical

În figura 5.14 se prezintă schematic condensarea în peliculă. Pe înălţimea peretelui plan rece se formează un strat de condensat care curge în jos şi a cărui grosime  creşte pe măsură ce coboară şi cantităţi noi de vapori condensează. Se consideră, în stratul de condensat, un paralelipiped elementar situat la distanţa x de marginea superioară a peretelui şi la distanţa y de perete; dimensiunile paralelipipedului sunt: dx, dy, 1, iar volumul dV  dx  dy . Asupra elementului de volum acţionează trei forţe: - greutatea elementului,   g  dV , dirijată în jos; - forţa de frecare f, dirijată în sus; - forţa de frecare (f + df), dirijată în jos. Presupunând că lichidul curge cu viteză constantă, din echilibrul forţelor, rezultă: 144

  g  dx  dy  1   f  df   dx  1  f  dx  1

(5.118)

  g  dy  df  0

(5.119)

df    g dy

(5.120)

sau

unde f este forţa de frecare pe unitatea de arie, de suprafaţă de frecare: Conform legii lui Newton, forţa de frecare pe unitatea de arie este: f 

dwx dy

(5.121)

unde dwx reprezintă creşterea vitezei condensatului când distanţa de la peretele rece creşte de la y la  y  dy  . Prin derivare: d 2 wx df  dy dy 2

(5.122)

şi înlocuire în ecuaţia (5.120), se obţine:

d 2 wx g  2  dy

(5.123)

La această ecuaţie se poate ajunge şi aplicând ecuaţia generală Navier–Stokes pe direcţia axei x:

w y   2 wx  2 wx  2 wx wx wx wz 1 p  wx  wy  wz  X         x y z  x  x 2 y 2 z 2

   

(5.124)

adaptată la condiţiile curgerii condensatului: - curgere staţionară, deci wx   0 ; - curgere unidimensională (paralelă cu axa x), deci wy  0 şi wz  0 ; - viteza constantă a peliculei de condensat pe direcţia x, viteza wx variază numai pe direcţia y, deci wx x  0 ;  2 wx x 2  0 şi  2 wx z 2  0 ; - presiunea constantă la suprafaţa peliculei de condensat, deci p x  0 ; - singura forţă exterioară este greutatea, deci X=g. Introducând aceste condiţii în ecuaţia (5.124), rezultă:

d 2 wx g  2  dy expresie identică cu ecuaţia (5.123), obţinută din analiza curgerii condensatului. Presupunând vâscozitatea dinamică  , constantă şi integrând succesiv, rezultă: 145

(5.125)

dwx g  y  c1 dy  wx  

(5.126)

g 2  y  c1  y  c2 2

(5.127)

Valorile constantelor de integrare c1 şi c2 se deduc din condiţiile la limită, ţinând seama că pe suprafaţa rece (y = 0) viteza este nulă (strat limită, staţionar), iar la suprafaţa peliculei de condensat (y =  x ) viteza este maximă, ceea ce înseamnă că dwx dy  0 ;  x este grosimea stratului de condensat la distanţa x de marginea superioară a peretelui rece. Introducând în relaţia (5.127) condiţia y = 0, wx = 0, rezultă c2 = 0. Introducând în relaţia (5.126) condiţia y =  x , dwx dy  0 , rezultă c1   x    g /  . Cu aceste rezultate, ecuaţia (5.127) devine:

wx  

g 2 g y   x  y 2 

(5.128)

care reprezintă distribuţia vitezelor în stratul de condensat. Viteza medie w x a condensatului la nivelul x rezultă din ecuaţia (5.128), prin mediere pe grosimea  x a filmului: wx 

x

1

x



0

wx  dx 

1

x

x



0

 g 2 g  g 2   y    x  y dy   x  3  2 

(5.129)

iar debitul de masă mx, de condensat, socotită pe unitatea de lăţime a peretelui şi unitatea de timp, la nivelul x, este:

mx  w x     x  1 

2  g 3 x 3

(5.130)

Debitul de masă de vapori care condensează pe înălţimea dx este dmx, rezultând: - fie din diferenţierea ecuaţiei (5.130):

2  g 2 dm x    x  d x 

(5.131)

- fie din ecuaţia de transfer termic (prin conducţie de la vapori la peretele rece), fluxul termic transmis fiind chiar cel rezultat din condensarea vaporilor (ecuaţia 5.116). Din ecuaţiile (5.116) şi (5.131) se obţine: lc   2  g dx    x3  d x     Tc  T p 

(5.132)

şi după integrare: lc   2  g   x4 x 4     Tc  T p 

(5.133) 146

Constanta de integrare este zero, deoarece pentru x = 0,  x = 0. Grosimea peliculei de condensat la nivelul x va fi:

x  4

4  x     Tc  T p 

(5.134)

lc   2  g

iar coeficientul parţial de transmisie termică, la acest nivel, conform relaţiei (5.117), va fi:

x  4

lc  3   2  g 4  x    Tc  T p 

(5.135)

Valoarea medie a coeficientului parţial de transmisie termică la condensare pentru un perete vertical cu înălţimea H se obţine prin mediere pe înălţimea H. 1  H



H

0

lc  3   2  g 4  x  dx  4 3 4   H  Tc  T p 

(5.136)

sau (ecuaţia lui Nusselt): lc  3   2  g   0,943  4   H  Tc  T p 

(5.137)

Experienţa a arătat că, în linii generale, relaţia (5.137) teoretică, concordă cu practica, cu singura deosebire că valorile practice sunt cu cca. 20-22% mai mari. Acest lucru este posibil deoarece în desfăşurarea demonstraţiei lui Nusselt nu s-a considerat influenţa tensiunii superficiale a lichidului care duce la realizarea unei curgeri ondulatorii şi nu laminare aşa cum s-a presupus. Pentru calculul valorii coeficientului parţial de transmisie termică  , la condensarea în peliculă a vaporilor, pe o suprafaţă rece, se utilizează relaţiile: - pentru peretele plan, vertical, de înălţime H: lc  3   2  g , W/(m2 · K)   1,13  4   H  Tc  T p 

(5.138)

- pentru ţevi circulare, orizontale, cu diametrul exterior de, la condensarea vaporilor pe suprafaţa exterioară a ţevilor: lc  3   2  g , W/(m2 · K)   0,725  4   d e  Tc  Tp 

(5.139)

În relaţiile (5.138) şi (5.139) valorile constantelor termofizice ale lichidului (condensatului) şi anume λ – conductivitatea termică, ρ – masa specifică, η – vâscozitatea dinamică sunt considerate la temperatura medie a peliculei de condensat, Tpel  Tc  Tp  / 2 , iar lc – căldura latentă de condensare a vaporilor, la temperatura de condensare Tc, respectiv la presiunea de condensare pc. 147

Când diferenţa Tc  Tp  nu depăşeşte 30-40 K, se pot lua, cu suficientă precizie, pentru calculele tehnice, valorile constantelor la temperatura de condensare Tc. Fenomenul de condensare al vaporilor, respectiv transferul termic la condensare este influenţat de următorii factori:  Influenţa vitezei şi a direcţiei de curgere a vaporilor. Sub valoarea de 10 m/s viteza vaporilor prin valoarea şi direcţia sa nu influenţează asupra transferului termic. Când viteza depăşeşte 10 m/s, dacă vaporii se deplasează de sus în jos creşte valoarea coeficientului parţial de transfer termic iar dacă vaporii se deplasează de jos în sus, până la o anumită limită, se micşorează valoarea lui  condensare după care are loc o creştere bruscă a sa. Acest lucru se explică prin micşorarea sau mărirea artificială a grosimii peliculei de condensat.  Influenţa stării suprafeţei de transfer termic. O suprafaţă de condensare cu depuneri şi asperităţi prezintă un  condensare mai mic cu cca. 30% decât valoarea normală.  Influenţa prezenţei gazelor necondensabile în vapori. Prezenţa gazelor necondensabile (de regulă aerul) în vaporii care condensează constituie un impediment în realizarea în bune condiţii a transferului termic ducând la micşorarea apreciabilă a coeficientului  la condensare (de la 1 la mai puţin de 2,2 din valoarea normală). Conform legii lui Dalton, în apropierea suprafeţei de transfer presiunea parţială a vaporilor este mai mică decât presiunea totală a amestecului (pv < ptotal) şi corespunzător ei temperatura de condensare Tc scade conducând la un transfer termic mai slab prin perete.  Influenţa tipului suprafeţei de încălzire. Aceasta influenţă se face simţită prin valoarea grosimii stratului de condensat care se formează pe suprafaţă. Se pot lua în considerare ţevi verticale foarte lungi, fascicul de ţevi orizontale aşezate decalat, nedecalat sau în eşichier. Datorită acestui fapt se pune problema intensificării transferului prin clopote de abatere a condensatului (la ţevi verticale), jeturi de vapori cu viteze mari etc.  Influenţa amestecurilor de alţi vapori. Prezenţa altor substanţe în stare de vapori decât cei principali (de exemplu vapori de apă) duce la complicarea fenomenului de condensare.

148



5.3.9. Transferul termic la temperaturi variabile. Problema cuprinde două aspecte: - transferul termic la temperaturi variabile, în regim staţionar; - transferul termic la temperaturi variabile, în regim nestaţionar. În consideraţiile precedente, paragraful 5.3.3.1., s-a presupus că diferenţa T dintre

temperaturile fluidelor este constantă. Numai rareori însă temperaturile fluidelor se menţin constante; de regulă ele variază tocmai prin faptul transmiterii termice. Un exemplu de transfer termic cu menţinerea constantă a temperaturilor fluidelor este fierberea unui lichid unar prin încălzirea indirectă cu abur saturat; aburul cedează căldura latentă de condensare, condensându-se la temperatură constantă, iar lichidul absoarbe căldura latentă de vaporizare, vaporizându-se, de asemenea, la temperatură constantă. În majoritatea cazurilor, temperaturile şi diferenţa temperaturilor sunt variabile. Variaţia poate fi: - în spaţiu – răcirea apei care trece printr-o conductă: - aşa numitul regim staţionar sau regim permanent de transfer termic; - în timp respectiv în timp şi spaţiu – aşa numitul regim nestaţionar.

 5.3.9.1. Transferul termic la temperaturi variabile, în regim staţionar. Exemplul clasic al transferului termic la temperaturi variabile, în regim staţionar, este schimbătorul de căldură format din două ţevi coaxiale prin care curg două fluide cu temperaturi diferite: unul prin interiorul ţevii interioare şi celălalt prin spaţiul inelar dintre cele două ţevi coaxiale. Se consideră că ţeava exterioară este suficient de bine izolată termic, astfel încât pierderile de căldură, în exterior, să fie neglijabile. Fluxul termic transmis şi repartizarea temperaturilor fluidelor în lungul ţevilor sunt diferite, după cum cele două fluide curg în acelaşi sens sau în sensuri opuse, adică transferul termic are loc în curent paralel (în echicurent), respectiv în contracurent. Se pune problema stabilirii unor relaţii care să permită: - calcularea diferenţei de temperatură sub acţiunea căreia se realizează transferul termic şi - calcularea fluxului termic care se transferă de la fluidul cald 1 la fluidul rece 2.

149



5.3.9.1.1. Transferul termic la temperaturi variabile, în regim staţionar, la curgerea în curent paralel (echicurent) a fluidelor.

Fig.5.15. Schimbător de căldură cu ţevi coaxiale. Repartizarea temperaturilor fluidelor, cald 1 şi rece 2, în lungul ţevilor (funcţie de aria suprafeţei de schimb termic) la curgerea în curent paralel (echicurent) a fluidelor 



Fluidele, cel cald 1 în debit m1 şi cel rece 2 în debit m 2 , intră cu temperaturile T1' şi T2' printr-unul din capetele schimbătorului de căldură, îl parcurg în acelaşi sens pe întreaga lungime şi ies prin celălalt capăt cu temperaturile T1ţţ şi T2ţţ . Diferenţa iniţială de temperatură Tmax  T1'  T2' , scade treptat şi ajunge Tmin  T1''  T2'' la celălalt capăt al schimbătorului de

căldură (fig. 5.15). Schimbătorul de căldură în curent paralel are avantajul răcirii brusce a fluidului cald (sau încălzirii brusce a fluidului rece) şi dezavantajele solicitării termice inegale a suprafeţei de transfer termic din cauza variaţiei mari a diferenţei de temperatură T  T1  T2 locale, în lungul schimbătorului şi limitării temperaturii de răcire a fluidului cald la temperatura de ieşire a fluidului rece (sau, invers, limitarea temperaturii de încălzire a fluidului rece la temperatura de ieşire a fluidului cald). Fluxul termic transmis, printr-o porţiune infinitezimală dA din suprafaţa ţevii interioare este





d  k  T1  T2  dA

(5.140)

150

Acest flux este cedat de fluidul cald 1, a cărui temperatură scade cu dT 1, şi primit de fluidul rece 2, a cărui temperatură creşte cu dT2; variaţiile de temperatură rezultă din ecuaţiile calorimetrice: 

d   m1  c1  dT1

(5.141)



d  m2  c2  dT2

(5.142)

sau explicit:    dT1   d  m1  c1   

(5.143)

   dT2   d  m2  c2   

(5.144)





unde m1 , m1 sunt debitul fluidului cald 1 în kg/s respectiv debitul fluidului rece 2 în kg/s; c1, c2 sunt capacităţile termice specifice masice ale fluidului cald 1 şi fluidului rece 2 constante pe intervalele de temperatură T1' … T1'' , respectiv T2' ... T2'' , în J/(kg·K). Scăzând ecuaţia (5.144) din ecuaţia (5.143), se obţine:   1   1 dT1  dT2       d  m  c m  c  2 2   1 1

(5.145)

d T1  T2   M  d

(5.146)

sau:

sau: d  

d T1  T2  M

M

1

(5.147)

unde 

m1  c1



1

(5.148)



m2  c2

Din ecuaţiile (5.140) şi (5.147) se obţine: k  T1  T2   dA  

d T1  T2  M

(5.149)

Separând variabilele şi integrând pe toată aria ţevii interioare a cărei arie a suprafeţei laterale se constituie în aria de schimb termic: T1'' T2''



T1' T2'

A d T1  T2    M  k  dA 0 T1  T2 

(5.150)

se obţine: 151

ln

T1''  T2''  M  k  A T1'  T2'

(5.151)

ln

Tmin  M  k  A Tmax

(5.152)

sau:

sau: Tmin  Tmax e  M k A

(5.153)

Se verifică: - pentru A = 0  Tmin  Tmax , - pentru A = ∞  Tmin  0 . Integrând ecuaţia (5.147) pentru întreg schimbătorul de căldură, se obţine fluxul termic transmis: T1'' T2''

 

1 M

d T1  T2 

(5.154)

 

1 Tmin  Tmax  M

(5.155)



T1' T2'

sau:

Eliminând M din relaţiile (5.152) şi (5.155) se obţine:

  k  A

Tmax  Tmin T ln max Tmin

(5.156)

sau:

  k  A  Tmed

(5.157)

în care Tmed 

Tmax  Tmin Tmax  Tmin  T T ln max 2,303 lg max Tmin Tmin

(5.158)

este media logaritmică a diferenţelor de temperatură. Rezultă că ecuaţia   k  A  T se aplică şi în cazul transferului termic în curent paralel, cu deosebirea că diferenţa de temperatură T se înlocuieşte cu Tmed , media logaritmică a diferenţelor de temperatură. Când Tmax Tmin  2 media logaritmică se înlocuieşte cu media aritmetică aşa că:

Tmed 

Tmax  Tmin 2

(5.159)

Eroarea, în această situaţie, este mai mică decât 4%. 152



5.3.9.1.2. Transferul termic la temperaturi variabile, în regim staţionar, la curgerea în contracurent a fluidelor.

Fig.5.16. Schimbător de căldură cu ţevi coaxiale. Repartizarea temperaturilor fluidelor, cald 1 şi rece 2, în lungul ţevilor (funcţie de aria suprafeţei de schimb termic) la curgerea în contracurent a fluidelor

La schimbătoarele de căldură în contracurent cele două fluide circulă în sensuri opuse (fig. 5.16). Deducerile şi rezultatele de la circulaţia în curent paralel (în echicurent) sunt valabile şi 

pentru schimbătorul de căldură în contracurent dacă se consideră debitul m 2 de fluid rece cu semnul minus. În acest caz mărimea M poate avea şi valori negative. Când M = 0 (mărimea M din ecuaţia (5.148) este cazul excepţional în care, deşi temperaturile variază în lungul suprafeţei de transfer, totuşi, diferenţa temperaturilor se menţine constantă Avantajele schimbătoarelor de căldură în contracurent sunt:

153

- solicitarea aproape constantă a suprafeţei de transfer în lungul schimbătorului, ca urmare a diferenţei de temperatură T  T1  T2 aproape constantă; - posibilitatea de a răci fluidul cald până sub temperatura de ieşire a fluidului rece ( T1''  T2'' ) şi de a încălzi fluidul rece până la o temperatură superioară temperaturii de ieşire a fluidului cald ( T2''  T1'' ). Pentru calculul diferenţei medii de temperatură se utilizează relaţiile (5.158) şi (5.159), după caz.

 5.3.9.2. Transferul termic la temperaturi variabile, în regim nestaţionar. În regim nestaţionar de transfer termic, câmpul de temperatură variază în timp. Tratarea analitică a problemelor de transfer termic în regim nestaţionar este, în general, dificilă. 

5.3.9.2.1. Încălzirea sau răcirea fluidelor: variaţia temperaturilor numai în timp. Exemplul cel mai simplu este transferul termic între două fluide suficient de bine agitate

pentru a putea considera că în interiorul fiecărui fluid temperatura este uniformă. Se consideră un reactor bine izolat termic, împărţit printr-un perete în două compartimente în care se găsesc două fluide cu temperaturi diferite, fluide bine agitate.

Fig.5.17. Variaţia temperaturilor fluidelor cald 1 şi rece 2, numai în timp, la transferul termic în regim nestaţionar.

154

Se folosesc următoarele notaţii: c este capacitatea termică specifică de masă a fluidelor; k – coeficient total de transmisie termică prin perete în timpul  ; M – mărimea definită de ecuaţia (5.166); T – temperatura fluidelor la un moment oarecare; T’ – temperatura iniţială a fluidelor; A – aria suprafeţei peretelui despărţitor, prin care se transferă căldura; m – masa fluidelor;

 – timpul; T  T1  T2 – diferenţa dintre temperaturile fluidelor la momentul  ;

Tmax  T1'  T2' – diferenţa dintre temperaturile fluidelor la momentul iniţial,   0 ; Tmed – media logaritmică a diferenţelor de temperatură, definită de ecuaţia (5.176).

Indicele 1 se referă la fluidul cald iar indicele 2 se referă la fluidul rece. Temperaturile iniţiale T1' şi T2' ale fluidelor variază în timp apropiindu-se una de cealaltă (fig. 5.17). La momentul  , când fluidele au temperaturile T1 şi T2 , cantitatea de căldură transferată în intervalul infinitezimal de timp d este:





dQ  k  A  T1  T2  d

(5.160)

Această cantitate de căldură este cedată de fluidul cald, a cărui temperatură scade cu dT1 : dQ  m1  c1  dT1

(5.161)

şi este primită de fluidul rece, a cărui temperatură creşte cu dT2 : dQ  m2  c2  dT2

(5.162)

Semnul minus în ecuaţia (5.162) arată că dQ este cantitatea de căldură cedată. Ecuaţiile (5.161) şi (5.162) pot fi scrise şi sub forma: dT1   dQ m1  c1 

(5.163)

dT2   dQ m2  c2 

(5.164)

Scăzând ecuaţia (5.164) din ecuaţia (5.163), se obţine:

 1 1 dT1  dT2     m1  c1 m2  c2

   dq 

d T1  T2   M  dQ

(5.165)

unde

155

M 

1 1  m1  c1 m2  c2

(5.166)

Eliminând dQ din ecuaţiile (5.160) şi (5.165) rezultă:

d T1  T2    M  k  A  d T1  T2

(5.167)

Integrând între momentul iniţial,  = 0, şi un moment oarecare  : T1 T2



T1' T2'

A d T1  T2   M  k  A   d 0 T1  T2 

(5.168)

se obţine: ln

T1  T2  M  k  A  T1'  T2'

(5.169)

ln

T  M  k  A  Tmax

(5.170)

sau:

sau:

T  Tmaxe  M k  A

(5.171)

Prin ecuaţia (5.171) se verifică faptul că pentru momentul iniţial,  = 0, T  Tmax , şi că după un timp foarte lung,  → ∞, T  0 , adică cele două temperaturi tind să se egaleze. Integrând ecuaţia (5.165) pusă sub forma: dQ  

d T1  T2  M

(5.172)

între limitele T1'  T2'  Tmax şi T1  T2  T , se obţine: Q

1 T  Tmax  M

(5.173)

Eliminând mărimea M din ecuaţiile (5.170) şi (5.173) se obţine: Q  k  A

Tmax  T  Tmax ln T

(5.174)

sau: Q  k  A  Tmed  

(5.175)

unde Tmed este media logaritmică a diferenţelor de temperatură.

156

Tmed 

Tmax  T Tmax  T  T T ln max 2,303 lg max T T

(5.176)

Rezultă că şi în acest caz de transfer termic, în regim nestaţionar, se aplică ecuaţia generală, cu deosebire că diferenţa de temperatură se înlocuieşte cu media logaritmică a diferenţelor de temperatură.



5.3.9.2.2. Încălzirea sau răcirea fluidelor: variaţia temperaturilor în timp şi spaţiu. Se consideră un recipient bine izolat termic, prevăzut cu agitator (pentru uniformizarea

temperaturii), în care se găseşte un lichid cald. Recipientul este prevăzut cu o serpentină prin care circulă un lichid rece. Se cunoaşte temperatura iniţială a lichidului din recipient, temperatura lichidului rece la intrarea în serpentină şi caracteristicile geometrice şi termice ale sistemului. Se cere să se determine temperatura din reactor şi temperatura lichidului de răcire la ieşirea din serpentină la un moment oarecare, cum şi cantitatea de lichid de răcire necesară pentru răcirea lichidului din reactor până la o anumită temperatură dată. Schema de principiu a răcitorului este prezentată în figura 5.18.

Fig.5.18. Schema de principiu a răcitorului în care are loc transferul termic cu variaţia temperaturilor în timp şi spaţiu (regim nestaţionar).

Se folosesc următoarele notaţii: c1 este capacitatea termică specifică masică a lichidului cald din reactor; c2 – capacitatea termică specifică masică a lichidului rece care circulă prin serpentină; k – coeficient total de transfer termic; 157

M – mărimea definită de ecuaţia (5.166); Q – cantitatea de căldură transferată în timpul  ; T1 – temperatura lichidului cald din reactor la un moment oarecare  ; T2’ – temperatura (constantă) a lichidului rece, la intrarea în serpentină; T2’’ – temperatura lichidului rece, la ieşirea din serpentină la un moment oarecare; T’’2, m – temperatura medie, la ieşirea din serpentină, a lichidului rece; A – aria suprafeţei laterale a serpentinei, arie prin care se transferă căldura; B – constantă definită de relaţia (5.182);

 – timpul de desfăşurare a operaţiei de transfer termic; Tmed – media logaritmică a diferenţelor de temperatură, definită de ecuaţia (5.180); 'Tmed – media diferenţelor de temperatură, definită de ecuaţia (5.189).

m1 – cantitatea de lichid cald din reactor, cu temperatura iniţială T1' şi finală T1'' ; 

m2 – debitul de lichid rece care circulă prin serpentină, cu temperatura la ieşirea din serpentină T2'',i la   0 şi T2'', f la    . Indicele i şi f se referă la momentul iniţial şi la momentul final al operaţiei de răcire. Se consideră că într-un interval de timp d , transferul termic se face în regim staţionar. Cantitatea de căldură dQ, transferată în intervalul de timp d , de la lichidul cald la lichidul rece, este dată de ecuaţiile. dQ  k  A  Tmed  d

(5.177)

dQ  m1  c1  dT1

(5.178)







dQ  m2  c2  T2''  T2'  d

(5.179)

Ecuaţia (5.177) se referă la transferul termic prin peretele serpentinei, iar ecuaţiile (5.178) şi (5.179) sunt ecuaţiile calorimetrice pentru răcirea lichidului cald din reactor şi pentru încălzirea lichidului care circulă prin serpentină. Înlocuind pe Tmed din ecuaţia (5.177) cu forma mai dezvoltată:

T  T   T  T   T  T (5.180)   T T  T T  ln ln T  T  T  T  T  T  din ecuaţiile (5.179) şi (5.180), şi făcând apel şi la ecuaţia (5.178), se

Tmed 

' 2

1

1

1

1

eliminând pe

'' 2

' 2 '' 2

'' 2

'' 2

' 2

1

1

' 2 '' 2

' 2

obţine:

158

ln

T1  T2' kA   '' T1  T2 m  c 2 2

(5.181)

 Valoarea expresiei k  A /  m2  c2  depinde numai de constantele aparatului şi de  

condiţiile de lucru aşa încât este constantă. Se poate introduce constanta B definită de expresia: B

T1  T2' T1  T2''

(5.182)

Ecuaţia (5.177) capătă forma:

dQ  k  A 

T2''  T2'  d ln B

(5.183)

Prin eliminarea lui T2'' din ecuaţiile (5.182) şi (5.183), se ajunge la:



dQ  k  A  T1  T2'

 BB ln 1B  d

(5.184)

Luând în considerare ecuaţiile (5.178) şi (5.184), şi după integrare între temperaturile T1' şi T1'' se obţine:

ln

T1'  T2' k  A B 1     '' '' B  ln B T1  T2 m1  c1

(5.185)

Cantitatea de căldură cedată de lichidul cald de la începutul răcirii până în momentul  , se determină prin integrarea ecuaţiei (5.178):



Q  m1  c1  T1'  T1''



(5.186)

Prin eliminarea produsului ( m1  c1 ) din ecuaţiile (5.185) şi (5.186), se obţine:

Q  k  A

T1'  T1'' B 1   ' ' T1  T2 B  ln B ln '' T1  T2'

(5.187)

sau:

Q  k  A  ' Tmed  

(5.188)

unde 'Tmed este o medie logaritmică definită de expresia:

'Tmed 

T1'  T1'' B 1  ' ' T  T B  ln B ln 1'' 2' T1  T2

(5.189)

Prima fracţie este media logaritmică între diferenţele de temperatură

T

'' 1



T

' 1

 T2'



şi

 T2' ; a doua fracţie este, de asemenea, o medie logaritmică între 1 şi 1/B, ceea ce se

recunoaşte scriind fracţia sub forma: 159

B 1 11/ B  B  ln B ln1 / 1 / B  Ecuaţia calorimetrică (5.179) pentru lichidul de răcire, integrată pentru toată durata  a operaţiei, este:







Q  m2  c2  T2'',med  T2'  

(5.190)

Rezultă m2, cantitatea necesară de lichid de răcire: 

m2  m2   



Q

c2  T

 T2'

'' 2 ,med



(5.191)

Valoarea temperaturii medii a lichidului de răcire T2'',med , la ieşirea din serpentină, rezultă din ecuaţiile (5.188) şi (5.190):







Q  m2  c2  T2'',med  T2'    k  A  ' Tmed  

(5.192)

adică:

T2'',med 

kA 

m2  c2

 ' Tmed  T2'

(5.193)

Temperatura lichidului de răcire, la ieşirea din serpentină, variază între T2'',i şi T2'', f şi se obţine din ecuaţia (5.182), în care se înlocuieşte T1 cu T1' şi T1' ' : - la începutul operaţiei:

T2'',i 

B  1 T1'  T2'

(5.194)

B

- la sfârşitul operaţiei:

T2'', f 

B  1  T1''  T2'

(5.195)

B

Pentru încălzirea lichidului rece din reactor cu ajutorul unei serpentine prin care circulă un lichid cald, consideraţiile precedente se aplică făcând schimbările de notaţii care se impun.

160

 5.4. Transferul de căldură prin radiaţie. Radiaţia este modul de transfer de căldură sub formă de energie radiantă, datorită naturii electromagnetice a radiaţiilor termice. Legile generale ale radiaţiilor electromagnetice sunt valabile şi pentru studiul radiaţiilor termice. Mecanismul transferului căldurii prin radiaţie este următorul : - între două corpuri cu temperaturi diferite se stabileşte un schimb mutual de emisii şi absorbţii de energii radiante, de natură termică, în sensul că fluxul radiant al corpului cu temperatura cea mai ridicată va fi mai mare ; - după un timp, între cele două corpuri, apare un echilibru termic, forţa motrică devine zero, iar schimbul de căldură prin radiaţie încetează; - corpurile continuă să emită şi să absoarbă energie radiantă, dar fiecare corp cedează tot atâta energie cât primeşte. Transferul de căldură prin radiaţie are loc în solide, lichide şi gaze, dar datorită structurii moleculare, la solide şi lichide absorbţia şi emisia de energie radiantă se face pe o grosime foarte mică, practic pe suprafaţă, în timp ce gazele emit şi absorb în volum. Energia radiantă, de natură termică, este emisă de orice corp, care se află la o temperatură mai mare decât zero absolut, iar intensitatea de emisie este proporţională cu temperatura. În procesele industriale este important transferul de energie termică radiantă care are loc la temperaturi înalte, 500-2000oC. Deşi emisia de radiaţii are loc la orice temperatură, iar transferul de căldură prin radiaţie se produce simultan cu transferul conductiv şi convectiv, valoarea sa este neglijabilă la temperaturi normale, mult mai mici decât cele menţionate mai sus. Pe întregul spectru de radiaţii acţionează aceleaşi legi, care descriu fenomenele de schimb de energie, asociate undelor electromagnetice. În tabelul 5.2 se prezintă radiaţiile electromagnetice – originea şi lungimea de undă a acestora. Tabelul 5.2 Lungimile de undă ale radiaţiilor electromagnetice Felul radiaţiei

Lungimea de undă, λ, m

Radiaţii cosmice

Mai mici de 0,57 · 10-12

Radiaţii gama (γ)

(0,57 – 15,8) · 10-12

Radiaţii Röentgen (X)

(15,8 – 13600) · 10-12

Radiaţii ultraviolete

(13,6 - 360) · 10-9

Spectrul vizibil

(0,36 – 0,78) · 10-6

Radiaţii infraroşii (calorice)

(0,36 - 330) · 10-6

Radiaţii electrice

Mai mari de 330 · 10-6

161

Intensitatea totală a radiaţiilor şi repartizarea intensităţii pe diferite lungimi de undă a radiaţiilor depinde de natura corpului emiţător, de felul suprafeţei lui lucioasă, mată, oxidată, şi în special de temperatură. Radiaţiile pleacă de la corpul emiţător, în spaţiul înconjurător în linie dreaptă până întâlnesc un corp pe care îl iradiază.



5.4.1. Noţiuni fundamentale

Particularităţile transferului de căldură radiant sunt: - Radiaţia şi absorbţia termică sunt rezultatul transformării energiei interne a unui corp în unde electromagnetice (emisia) şi invers (absorbţia); - Transferul de căldură radiant între două corpuri are loc în ambele sensuri, deoarece orice corp emite unde electromagnetice, dacă temperatura lui T > 0 K, dar intensitatea mai mare este a celui cu temperatura mai ridicată. Corpul mai rece primeşte şi reţine diferenţa dintre radiaţia primită şi cea emisă de el; - Radiaţiile termice cuprinse între lungimile de undă 0,4·10-3 – 0,4·10-6 m respectă legile radiaţiei luminoase, deci se reflectă, se refractă şi sunt absorbite; - Transferul de căldură prin radiaţie are un aspect corpuscular şi ondulatoriu. Fiecărei particule îi este asociată o oscilaţie electromagnetică. La lungimi de unde mici, predomină caracterul corpuscular, iar la cele mari caracterul ondulatoriu; - Se notează cu E energia totală radiată de unitatea de suprafaţă a unui corp, în unitatea de timp, exprimată în W/m2, care mai este denumită şi putere totală de emisie. Ea reprezintă energia totală radiată de unitatea de suprafaţă a unui corp de o anumită temperatură, pe toate lungimile de undă; - Intensitatea radiaţiei, notată cu I, reprezintă energia radiată de unitatea de suprafaţă a unui corp pe o anumită lungime de undă, exprimată în W/m3, denumită şi intensitate de radiaţie monocromatică. Pentru intervalul de lungimi de undă λ şi λ+dλ ea este:

E dI , W/m3   0  d

I   lim

(5.196)

- Energia radiantă totală E, primită de suprafaţa unui corp oarecare, satisface principiul conservării energiei şi duce, în acest caz, la următorul bilanţ energetic: E  ka  E  kr  E  k p  E

(5.197)

unde ka este coeficient de absorbţie, kr coeficient de reflecţie iar kp coeficient de permeabilitate.

162

În relaţia (5.197) termenii sumei reprezintă energia absorbită de corp (transformată în căldură care rămâne în corp), energie reflectată de corp şi energie care trece prin corp (corpul este permeabil, diaterm pentru acea energie). Din punctul de vedere al coeficienţilor ka, kr şi kp (al comportării lor la radiaţiile termice) corpurile se împart în: a) corp negru absolut: ka = 1; kr = kp = 0. El absoarbe toate radiaţiile termice incidente, pe toate lungimile de undă; b) corp alb absolut (oglindă termică): kr = 1; ka = kp = 0. El reflectă toate radiaţiile termice incidente, pe toate lungimile de undă; c) corp diaterm (transparent, permeabil) perfect: kp = 1; ka = kr = 0. El lasă (permite) să treacă prin el toate radiaţiile incidente, pe toate lungimile de undă; d) corp cenuşiu: kr + ka = 1; kp = 0. El absoarbe şi reflectă radiaţiile incidente, în anumite rapoarte, pe toate lungimile de undă; e) corp colorat: kaλ + krλ = 1; kp = 0. El absoarbe şi reflectă radiaţiile incidente, numai pe o anumită lungime de undă. Coeficienţii ka, kr şi kp, pentru corpurile reale sunt funcţii de temperatură, lungime de undă şi natura suprafeţei. Suprafaţa unui corp se numeşte lucie dacă unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflecţie. Între culoarea corpului, culoare percepută de ochiul uman, şi caracteristica lui din punctul de vedere al comportării la radiaţiile termice incidente, nu există legătură. Astfel tencuiala de ipsos, de culoare albă, din punct de vedere radiant este aproape un corp negru absolut.



5.4.2. Legile radiaţiei a) Legea lui Planck. Exprimă legătura dintre intensitatea de radiaţie a corpului negru

absolut, Io,λ, în W/m3, lungimea de undă a radiaţiilor, λ, în m, şi temperatura T a corpului, în K. Expresia analitică a legii este: 1

I 0 ,

C  C  2  51  e  T  1 , W/m3   

(5.198)

unde C1 şi C2 sunt constante de radiaţie: C1 = 0,374 ·10-15 W · m2; C2 = 14,388 · 10-3 m·K. Reprezentarea grafică, figura (5.19), a relaţiei (5.198) şi interpretarea graficului conduce la următoarele concluzii:

 la emisia energiei radiante participă radiaţiile cu lungimi de undă cuprinse între 0 şi ∞;  radiaţiile calorice participă cu intensitate importantă la emisia totală; 163

 intensitatea radiaţiilor creşte mult cu creşterea temperaturii;  curba intensităţii radiaţiei funcţie de lungimea de undă, pentru o temperatură constantă, prezintă un maxim; cu creşterea temperaturii maximul intensităţii se deplasează spre lungimi de undă mai mici;

 la valori ale temperaturii mai mari de 500oC apare spectrul luminos care participă şi el la emisia radiantă.

Fig. 1.19 Intensitate de radiaţieIo,λ = f (λ) pentru corpul negru absolut (legea lui Planck)

b) Legea de deplasare a lui Wien. Exprimă relaţia între temperatura T şi lungimea de undă λmax pentru care intensitatea de radiaţie este maximă. Expresia analitică a legii este: λmax · T = 2.9 · 10-3, m · K

(5.199)

Se enunţă astfel: la temperaturi ridicate maximul intensităţii de radiaţie se deplasează spre domeniul radiaţiilor cu lungimi de undă mici. c) Legea Ştefan-Boltzmann. Stabileşte relaţia între puterea totală de emisie E şi temperatura T. Pentru corpul absolut negru: 4

 T  4 E 0  c0      0 T  100 

(5.200)

unde E0 este puterea totală de emisie a corpului absolut negru în W/m2 ; T este temperatura absolută a corpului în K ; c0 = 5,67 W/(m2 · K4) este coeficient de radiaţie a corpului absolut negru ; c0   0  10 8 sau  0  5,67  10 8 W/(m2 · K4) este constanta de radiaţie a corpului absolut negru sau constanta Ştefan-Boltzmann.

164

Ecuaţia (5.200) este denumită legea Ştefan-Boltzmann şi exprimă faptul că puterea totală de emisie a unui corp absolut negru este proporţională cu temperatura la puterea a patra Ţinând cont de faptul că în natură corpurile sunt cenuşii, se defineşte coeficientul de emisie,  , ca raport între puterea totală de emisie a unui corp oarecare, E, şi a corpului absolut negru, E0.



E E0

(5.201)

d) Legea lui Kirchoff. Stabileşte că raportul dintre puterea de emisie, E, şi coeficientul de absorbţie, ka, a unui corp este constant şi egal cu puterea de emisie a corpului absolut negru, E0. 4

E  T   E0  c0     f T  ka  100 

(5.202)

rezultă că:



E  ka E0

(5.203)

adică, coeficientul de emisie,  , este egal cu coeficientul de absorbţie, ka. Din punct de vedere practic, pentru corpurile reale coeficientul de emisie, denumit şi grad de negru, este funcţie atât de temperatură cât şi de natura suprafeţei. In aceste condiţii legea Ştefan-Boltzmann pentru corpurile reale capătă forma:  T  E    E0    c0     100 

4

(5.204)

e) Legea lui Lambert. Fluxul radiant are valori variabile funcţie de direcţia de propagare. Pentru a exemplifica, se consideră schimbul de energie radiantă, care are loc între două corpuri negre, aranjate arbitrar în spaţiu.

165

Fig. 5.20 Radiaţia reciprocă între suprafeţe negre.

Puterea de emisie, radiată pe unitatea de arie a corpului negru, în direcţia  şi pentru unitatea de unghi solid (fig. 5.20) este dată de relaţia:

E0 ,

 0 T 4   cos    cos    E0

(5.205)

în care E0 , este puterea de emisie pentru un unghi  , faţă de direcţia normală la suprafaţa unui corp absolut negru. Fluxul elementar de energie radiantă în unghiul solid va fi E0 ,  sin   d  d şi atunci: d 2 E0 , 

E0



 cos   sin  d  d

(5.206)

Ecuaţia diferenţială (5.206) este expresia legii Lambert. Integrarea acestei ecuaţii pentru toată emisfera, duce la ecuaţia cunoscută pentru puterea totală de emisie: 2  / 2

  0

0

 0  T 4 2 sin   d  d    0

/2

 cos   sin  d  d  

0

 T 4  E0

(5.207)

0

Ecuaţia (5.207) arată că puterea de emisie pe direcţia normală este de  ori mai mică decât puterea de emisie E0. De asemenea se observă că pentru   0 , puterea de emisie pe direcţie normală este maximă.

166



5.4.3. Transferul de căldură prin radiaţie între două corpuri. Se consideră două suprafeţe negre, plane, paralele, de arie A, cu temperaturile T1 şi T2.

Emisia de energie în unitatea de timp (fluxul termic) pentru cele două suprafeţe, va fi : 4

0 ,1

 T   c0   1   A  100 

4

şi

0 ,2

 T   c0   2   A  100 

(5.208)

Făcând bilanţul termic, pentru condiţia T1 > T2, se obţine fluxul net, primit de suprafaţa cu temperatura mai mică:

0  0 ,1  0 ,2

 T1  4  T2  4   c0       A  100   100  

(5.209)

În cazul în care cele două corpuri prezintă o aranjare reciprocă arbitrară, ecuaţia (5.209) devine:

 T1  4  T2  4       A  k1,2 100 100      

0  c0  

(5.210)

unde k1,2 este un factor geometric a cărui valoare depinde de poziţia reciprocă a celor două suprafeţe, k1,2 reprezintă fracţia din radiaţia emisă de suprafaţa A1 cu temperatura T1, pe care o primeşte suprafaţa A2 cu temperatura T2. Pentru două suprafeţe plane paralele, a unor corpuri reale, ecuaţia (5.210) este corectată prin introducerea coeficientului de emisie :

 T1  4  T2  4   T1  4  T2  4    c0   1,2        A  k 1,2  c0   2 ,1        A  k 2 ,1  100   100    100   100  

(5.211)

Ecuaţia (5.211) în care 1,2 şi  2 ,1 sunt coeficienţi de emisie şi sub forma:

 T1 4  T2 4    c0        A1  K1,2  100   100  

(5.212)

unde K1,2 este coeficient care include atât influenţa factorului geometric cât şi a coeficienţilor de emisie; c0 = 5,67 W/(m2 · K4) este coeficient de radiaţie a corpului negru absolut.



5.4.4. Radiaţia la gaze. Unele gaze sunt diaterme pentru radiaţiile termice. Gazele mono şi diatomice, în special

H2, O2, N2 nu absorb şi nu emit practic radiaţii termice. Gazele poliatomice, în special CO2, vapori de apă, SO2 şi hidrocarburile prezintă o capacitate apreciabilă de emisie şi de absorbţie.

167

Emisia de radiaţii la gaze se caracterizează prin aceea că se face pe anumite benzi ale spectrului de radiaţie, în domenii determinate de lungimi de undă. Gazele care emit radiaţii pe anumite benzi de lungimi de undă, absorb pe aceleaşi benzi, emisia şi absorbţia radiaţiilor termice având la gaze caracter selectiv. Absorbţia de energie radiantă nu se manifestă numai în stratul superficial ca la lichide şi solide, ci datorită structurii moleculelor, specifice stării gazoase, absorbţia de radiaţii termice, se poate realiza treptat în tot volumul gazului. Ecuaţiile, pentru calculul fluxului termic radiant la gaze, sunt mult mai complicate, deoarece gazele se află întotdeauna într-un spaţiu limitat, aparat sau conductă, iar existenţa unei suprafeţe solide, de diferite forme, complică fenomenul de radiaţie. Prin analogie cu radiaţia reciprocă a corpurilor solide, fluxul unitar, transmis de gaz prin radiaţie spre perete, se scrie : 4   Tg 4  Tp     ka ,g    q p   p  c0   g     100   100  

(5.213)

unde  p este coeficientul de emisie a peretelui;  g coeficientul de emisie a gazului; ka ,g coeficientul de absorbţie a gazului; indicii p se referă la pereţi şi g la gaz. În calculele practice se admite  g  ka ,g , aşa încât ecuaţia (5.213) se poate scrie în formă simplificată:

 T1 4  T2 4  q p   p   g  c0        100   100  

(5.214)

Valorile coeficientului de emisie  g sunt date sub formă de grafice în literatura de specialitate.  5.5. Izolarea termică

Corpurile mai calde decât mediul ambiant transmit căldură în mediul ambiant, iar corpurile mai reci primesc căldură din mediul ambiant. Transferul de căldură spre sau de la mediul ambiant se realizează în sistem combinat intervenind conducţia, convecţia şi uneori radiaţia. Acest schimb de căldură spre sau de la mediul ambiant aduce o serie de inconveniente de ordin tehnic, economic sau sanitar. Reducerea schimbului de căldură între un sistem şi mediul ambiant se realizează cu ajutorul

izolaţiei termice. Scopul izolării termice este multiplu: economie de combustibil, 168

crearea posibilităţilor de realizare a proceselor tehnologice, asigurarea condiţiilor sanitare de lucru. Modul de realizare a calculului izolaţiei termice diferă pentru fiecare caz concret. În primul rând prevalează consideraţiile cu caracter economic, în cel deal doilea şi al treilea rând consideraţiile de ordin tehnologic şi de igienă publică. Izolaţia termică se realizează prin introducerea între straturile care alcătuiesc rezistenţa termică a peretelui a unui strat de material izolant, caracterizat prin coeficient de conductivitate termică redus, λ = 0,02 ÷ 0,12 W/(m · K), cât şi prin intermediul materialelor auxiliare, care au rol de suport sau să fixeze izolaţia şi să constituie un strat protector împotriva umezelii şi a loviturilor mecanice. Prin aceasta se măreşte rezistenţa termică totală a peretelui, respectiv se micşorează coeficientul total de transfer termic. Se izolează termic diferite elemente de instalaţie şi aparate cum ar fi: conducte cu agenţi frigorifici, cu apă rece, cu apă caldă, cu abur, canale de ventilaţie precum şi diferite schimbătoare de căldură, evaporatoare, uscătoare, coloane de distilare etc. După natura lor, materialele pentru izolaţii termice se pot clasifica în: izolanţi minerali şi izolanţi organici, iar după regimul de temperatură la care sunt întrebuinţaţi, se deosebesc: izolaţii pentru temperaturi joase (sub 90 °C), izolaţii pentru temperaturi mijlocii (90-200 °C) şi izolaţii pentru temperaturi mari (peste 200 °C). Izolaţiile termice sunt caracterizate printr-o densitate aparentă mică şi o porozitate mare. Conductivitatea termică este cu atât mai mică cu cât densitatea este mai mică şi volumul total al porilor este mai mare. Caracteristicile unor materiale izolante sunt prezentate în tabelul 5.3. Tabelul 5.3. Caracteristicile termofizice ale unor materiale izolatoare termic. Coeficient

termică masică, c

conductivitate termică, λ

de utilizare, T

J/(kg · K)

W/(m · K)

°C

2600

840

0,151

500

Bumbac (vată)

-

-

0,0417

30

Carton

700

1465

0,189

-

-

-

1,163-0,128

-

Cărbune (praf)

500

840

0,116-0,128

30-150

Pâslă de lână

-

1630

0,047

30

Plută (praf)

240

1680

0,047-0,058

0-60

Vată de sticlă

200

840

0,035-0,07

0-300

Vată de zgură

250

730

0,076

600

Viniplast

1340

1760

0,163

0-100

Densitatea, ρ

materialului

Kg/m3

Azbest (plăci)

Crustă

(piatră

cazan)

169

de

Temperatura

Capacitatea

Denumirea

maximă

După felul materialului termoizolator folosit se deosebesc următoarele tipuri de termoizolaţii: - Termoizolaţii cu materiale în stare plastică. Materialul folosit este în stare pulverulentă şi se amestecă cu apă, formând un mortar plastic care trebuie să fie în stare caldă (minimum 80 °C) şi care se aplică pe piesele ce se izolează. Materialele plastice sunt un amestec de diatomit sau diferite adausuri minerale sau organice: fibre de azbest, păr de porc, rumeguş etc. - Termoizolaţii cu materiale flexibile. Principalele materiale folosite sunt rogojinile din vată de sticlă, pâslă minerală, tresolitul etc., şi au formă de fâşii, de rogojini, de saltele sau de şnururi. - Termoizolaţii cu materiale rigide. Dintre materialele rigide folosite pentru izolarea termică se pot exemplifica: plăcile semirigide de vată minerală, plăcile de plută expandată, cochiliile şi segmenţii de plută expandată şi bituminată, cărămizile izolatoare de diatomit, plăcile de polistiren expandat etc. - Termoizolaţii cu materiale de umplutură. La aceste izolaţii materialele folosite sunt zgurile, vata şi granulele cu care se poate umple un spaţiu între elementul de izolat şi cămaşa din tablă sau plasă de sârmă. - Termoizolaţii preformate din materiale plastice expandate, rigide sau elastice. Alegerea materialului izolant trebuie să se facă ţinând cont de condiţiile în care va lucra izolaţia, în special sub aspectul valorii temperaturii, a stării mediului (umed sau uscat) şi al agresivităţii acestuia. Temperatura de folosire şi stabilitatea termică reprezintă caracteristici importante pentru alegerea materialului. Temperaturile de folosire sunt limitate inferior, datorită pericolului de congelare a umidităţii pe care o conţin şi limitate superior, datorită pierderii rezistenţei mecanice a materialului suport, datorită combustibilităţii sau apropierii de condiţiile de topire etc. Stabilitatea termică a materialului izolant este caracterizată prin numărul de cicluri de încălzire – răcire care determină degradarea materialului suport. Rezistenţa mecanică şi stabilitatea mecanică reprezintă de asemenea factori importanţi pentru materialele izolante, deoarece în multe cazuri materialul izolant lucrează împreună cu celelalte elemente ale construcţiei sau aparatul izolat (se dilată, se contractă). Un alt element important este acţiunea materialului izolant asupra materialului suprafeţei şi invers. În unele cazuri aceasta limitează utilizarea materialului izolant, iar în alte cazuri impune să se introducă între stratul izolant şi suprafaţa izolantă un strat de material protector. Condiţiile şi posibilităţile de montare pot devenii şi ele în unele cazuri elemente limitative la utilizarea unui anumit material izolant. 170

Costul redus al unui material izolant ar putea determina alegerea lui. În acest caz nu se pot lua valorile absolute ale costului, ci este cazul să se facă un calcul tehnico-economic, ţinând seama de toate elementele care determină economicitatea izolaţiei. În majoritatea cazurilor, pentru fiecare problemă de izolare termică trebuie să se determine grosimea optimă a stratului de material izolator. Grosimea optimă a stratului de material izolator se poate determina luând în considerare una din cele două ipoteze: - ipoteza qpierdut acceptat; - cost total minim al izolaţiei. Pentru calculul schimbului de căldură între suprafeţele izolate şi mediul înconjurător se recomandă următoarele ecuaţii aproximative: - pentru conducte izolate:

  9 ,4  0 ,052  Tiz  Tm.a  , W/(m2 · K)

(5.215)

- pentru conducte izolate prin care circulă agenţi frigorigeni:

  9 ,28 , W/(m2 · K)

(5.216)

- pentru suprafeţe plane izolate:

  9 ,74  0 ,07  Tiz  Tm.a  , W/(m2 · K)

(5.217)

Grosimea izolaţiei conductelor, pornind de la ipoteza pierderi totale acceptate de energie termică, poate fi calculată cu ajutorul relaţiei propusă de N. Miheev de forma:

 iz  2 ,45 

d 11,2  1iz,35  T pl1,73

(5.218)

qt1,5

Ecuaţia se aplică când temperatura mediului ambiant (aerului) este de 20 °C; pentru temperaturi mai mari ale aerului, pierderile de căldură se micşorează cu 1,5% pentru o creştere de 5 °C a temperaturii aerului. Semnificaţia notaţiilor folosite în relaţiile precedente este următoarea:  este coeficient parţial de transfer a căldurii între suprafaţa izolaţiei şi aerul înconjurător în W/(m 2 · K); Tiz , temperatura suprafeţei exterioare a izolaţiei în °C, K; Tm .a , temperatura mediului ambiant (aerului) în °C, K;  iz , grosimea izolaţiei în mm; d 1 , diametrul exterior al conductei neizolate în W/(m · K); iz , conductivitatea termică a materialului din care este confecţionată izolaţia în W/(m · K); T p1 , temperatura suprafeţei exterioare a conductei neizolate în °C, K; q t , pierderile totale de căldură (densitatea lineară a fluxului termic) după aplicarea izolaţiei; W/m liniar conductă.

171

 5.6.Încălzirea şi răcirea în industria alimentară



5.6.1. Introducere Într-un proces tehnologic, transferul de căldură intervine fie pentru a realiza o anumită

fază tenologică care impune efectuarea ei în anumite condiţii de temperatură, fie pentru a aduce un anumit fluid în condiţiile corespunzoare de temperatură a unei anumite faze tehnologice. Utilajele folosite pentru transferul unui flux termic de la un fluid cald la un fluid rece se numesc generic aparate de schimb de căldură sau schimbătoare de cădură. Transferul de căldură între fluide poate fi realizat: - prin inermediul unei suprafeţe de schimb de căldură; - prin contactul direct între cele două fluide. În cazul transferului de călură între două fluide prin intermediul unei suprafeţe de transfer termic, utilajele respective prezintă delimitate două spaţii pentru circulaţia separată a celor două fluide între care se realizează transferul de căldură. Peretele care separă cele două spaţii constitutie sprafaţa de tranfer de căldră. În cazul transferului de căldură prin contact direct, cele două fluide care participă la transfer se amestecă deoarece peretele despărţitor nu mai există. Cele două fluide se pot găsi în aceeaşi stare fizică, lichide sau gaze, stare pe care şi-o păstrează şi după schimbul de căldură, sau în stări fizice diferite. Transfeul de căldură prin contact direct între două fluide poate avea loc şi cu schimbare de stare fizică a unuia dintre fluide (de regulă condensarea). În aceste situaţii transferul de căldură este însoţit şi de un transfer de substanţă (masă). Energia termică necesară efecuării diferitelor faze ale proceselor tehnolgice poate fi obţinută pe diferite căi şi de la diferite surse. Energia termică necesară poate fi asigurată de la un fluid mai cald prin contact direct sau prin intermediul unei suprafeţe de transfer de căldură fluidul respectiv fiind agent purtător de căldură. Energia termică necesară poate fi asigurată de asemenea prin transformarea unei alte forme de energie în energie termică (ex. energie electrică, energie radiantă etc.). Preluarea de energie termică de la un fluid sau de la un mediu oarecare se realizează cu ajutorul unui fluid numit agent de răcire. Dacă tebuie să se preia energie termică pentru răcirea unui produs sau mediu la o temperatură mai mică decât temperatura mediului ambiant, agentul de răcire utilizat este denumit agent purtător de frig. Agenţii purtători de căldură, agenţii de răcire şi agenţii purtători de frig care participă la schimbul de căldură poartă denumirea de agenţi de schimb de căldură. 172



5.6.2. Agenţi de schimb de căldură

 5.6.2.1. Agenţi purtători de căldură Agenţii purtători de căldură uzuali se prezintă: - în fază gazoasă, când purtătorul de căldură, urmare a cedării unei cantităţi de căldură, nu-şi schimbă starea fizică (cedare de căldură sensibilă) ci doar temperatura; - în fază de vapori saturaţi, când purtătorul de căldură, cedând căldură, îşi schimbă starea fizică, condensându-se (cedare de căldură latentă); - în fază lichidă, când, ca şi în cazul gazelor, purtătorul de căldură, urmare a cedării unei cantităţi de căldură, nu-şi schimbă starea fizică (cedare de căldură sensibilă) ci doar temperatura.



5.6.2.1.1. Încălzirea cu purtători de căldură în stare gazoasă Încălzirea cu menţinerea purtătorului de căldură în fază gazoasă se caracterizează prin: - coeficient parţial de transmisie a căldurii, α, mic; - cedare de căldură sensibilă; temperatura purtătorului de căldură gazos scade continuu;

se realizează transfer termic la temperatură variabilă; - capaciate termică masică mică a purtătorului de căldură în fază gazoasă. Aceste caracteristici fac din gaze purtători de căldură slabi în comparaţie cu lichidele şi vaporii saturaţi.

 5.6.2.1.1.1. Încălzirea cu gaze de ardere Este utilizată în special pentru cazurile când trebuie să se realizeze temperaturi ridicate. Încălzirea cu gaze de ardere, obţinute prin arderea directă a unui combustibil, prezintă dezavantajul unui randament termic scăzut deoarece, după utilizare, gazele de ardere se elimină în atmosferă la temperaturi ridicate antrenând astfel cantităţi de căldură mari care se constituie în pierderi. Pentru îmbunătăţirea randamentului termic se practică recircularea unei părţi din gazele de ardere utilizate în vederea scăderii temperaturii iniţiale a gazelor până la valoarea necesară la intrarea în instalaţia sau aparatul în care are loc schimbul termic. Recircularea gazelor de ardere utilizate este caracteristică unor cuptoare utilizate în industria panificaţiei. Gazele de ardere se utilizează în unele operaţii de uscare - uscarea borhotului de sfeclă de zahăr din industria zahărului - în locul aerului cald. 173

La gazele de ardere trebuie să se ţină seama de punctul de rouă al lor deoarece pe lângă umiditatea din aerul de ardere mai conţin şi umiditatea rezultată din oxidarea hidrogenului conţinut în combustibil. Gazele de ardere utilizate trebuie să fie eliminate din sistem la o temperatură superioară temperaturii punctului de rouă. În situaţia în care gazele de ardere se obţin în urma arderii unor combustibili care conţin sulf este necesar să se ia în considerare şi punctul de rouă acid al lor. În acest caz gazele de ardere se evacuează din sistem la o temperatură superioară temperaturii puctului de rouă acid al lor.

 5.6.2.1.1.2. Încălzirea cu aer cald Este folosită în operaţiile de uscare a produselor alimentare unde aerul are rol dublu: de a furniza căldura necesară evaporării umidităţii din materialul care se usucă şi de a prelua şi a transporta umiditatea evaporată în afara sistemului. Capacitatea de uscare a aerului depinde de gradul lui de saturare şi de temperatura sa.

 5.6.2.1.1.3. Încălzirea cu abur supraîncălzit Este utilizată rar şi în în cazuri cu totul speciale. Pe lângă dezavantajele generale ale purtătorilor de căldură gazoşi aburul supraîncălzit prezintă şi dezavantajul limitării valorii temperaturii de evacuare din instalaţia de schimb termic la valoarea temperaturii de condensare a aburului corespuzător presiunii la care se găseşte.



5.6.2.1.2. Încălzirea cu purtători de căldură în stare de vapori saturaţi Se relizează pe seama căldurii latente de condensare cedată de vaporii care condensează.

Încălzirea cu purtători de căldură în stare de vapori saturaţi se caracterizează prin: - căldură latentă de vaporizare, respectiv condensare mare, în comparaţie cu căldura sensibilă posibil a fi cedată de gaze şi lichide; - coeficient parţial de transmisie termică, α, foarte mare; - temperatură constantă, dacă presiunea vaporilor se menţine constantă în timpul cedării căldurii latente de condensare; - evitarea supraîncălzirilor locale.

174

 5.6.2.1.2.1. Încălzirea cu vapori de apă saturaţi (abur saturat) Este modul obişnuit de încălzire în industria alimentară. Vaporii de apă saturaţi sau aburul saturat prezintă următoarele avantaje: - căldura latentă de condensare este mare la temperaturile curente de încălzire. În condiţiile de utilizare ca putător de căldură, căldura latentă de condensare reprezintă peste 75% din entalpia aburului saturat. Aceasta face ca debitul necesar de abur să fie de regulă redus, fapt care reduce diametrul conductor de transport al acestuia. - coeficientul parţial de transmisie termică este foarte mare, α= 9.000 -14.000 W/ (m2 .K). Această valoare mare a lui α la condensare prezintă totuşi influenţă mică asupra valorii coeficientului total de transmisie termică k în cazul în care cel de al doilea coeficient parţial α este mic. - reglarea uşoară a temperaturii de încălzire, adică a temperaturii de condensare, prin reglarea presiunii aburului. - utilizarea aburului saturat nu creează dificultăţi în ceea ce priveşte respectarea condiţiilor de tehnica securităţii şi protecţia muncii, deoarece nu este inflamabil, poluant şi nici toxic. - costul este relativ redus şi nu impune în toate cazurile recuperarea şi recircularea condensatului format. Condensatul format poate fi folosit ca sursă termică secundară. Aceste avantaje se manifestă pentru încălziri care nu depăşesc temperaturi de 1500

200 C. Pentru realizarea de temperaturi mai mari este necesar să se ridice mai mult presiunea aburului, peste 1,5 MPa. Creşterea accentuată a presiunii aburului saturat conduce la apariţia unor dezavantaje şi anume: - creşterea solicitărilor mecanice asupra elementelor componente constructive ale aparatului ceea ce conduce la grosimi mari ale acestor elemente, adică la consum mare de metal şi la mase mari ale aparatului; - scăderea ponderii căldurii de condensare din totalul entalpiei aburului şi anume:  pentru t=1000C; p=0,1 MPa; lc=225526 J/kg; h’’= 2673796 J/kg;

 00 

lc 2255296  100   100  84 ,35 0 0 h' ' 2673796

 pentru t=2000C; p=1,6 MPa; lc=1939747 J/kg; h’’= 2791395 J/kg;

 00 

lc 1939747  100   100  69 ,5 0 0 h' ' 2791395

175

 5.6.2.1.2.2. Încălzirea cu vapori de substanţe organice Înlocuirea vaporilor de apă, ca purtători de căldură, cu vaporii unor substanţe organice mai greu volatile decât apa, a făcut posibilă încălzirea la temperaturi mai înalte, până la 3800C, la presiuni joase. Condiţiile principale pe care trebuie să le îndeplinească un astfel de purtător de căldură sunt: volatilitate scăzută, căldură latentă de vaporizare/condensare mare, conductivitate termică mare, capacitate termică masică mare, vâscozitate mică, punct de topire coborât, stabilitate termică mare, agresivitate chimică mică, inflamabilitate şi toxicitate foarte mică, nepoluant pentru mediul ambiant. Datorită acestor numeroase condiţii, puţine sunt substanţele folosite ca purtători de căldură în stare de vapori saturaţi; după apă, răspândirea cea mai mare o are amestecul eutectic format din 26,5% difenil (C6 H5 - C6 H5) şi 73,5% difenileter (C6 H5- O - C6 H5) care îndeplineşte în mare măsură condiţiile menţionate anterior. El are: punctul minim de topire la 12,30C, punctul normal de fierbere la 257,70C; temperatura maximă de folosire 3700C cu presiunea la temperatura maximă 6,08.105 Pa; căldura de vaporizare la punctul normal de fierbere 256 000 J/kg.



5.6.2.1.3. Încălzirea cu purtători de căldură în stare lichidă Lichidele sunt folosite ca purtători de căldură fie sub formă de băi, fie circulând, în

circuit închis, între generatorul de căldură şi aparatul care trebuie încălzit. Ultima formă este cea mai utilizată. Avantajul principal al încălzirii cu purtători de căldură lichizi derivă din volumul specific redus şi din capacitatea termică masică mare a lichidelor, în comparaţie cu gazele, rezultând circuite formate din ţevi cu diametre mici care suportă presiuni mari. Condiţiile principale pe care trebuie să le îndeplinească purtătorii de căldură lichizi sunt cele specificate în paragraful 5.6.2.1.2.2. Încălzirea cu băi de lichide se utilizează pentru temperaturi inferioare punctului de fierbere la presiune atmosferică. Dacă se lucrează la temperaturi apropiate de punctul de fierbere, când pierderea de lichid prin vaporizare este importantă, se folosesc băi închise sau recipiente cu manta prevăzute cu refrigerente cu reflux sau condensatoare, pentru condensarea vaporilor formaţi. Încălzirea cu circulaţia purtătorului de căldură se poate face şi sub presiune, până la punctul critic al purtătorului de căldură.

176

 5.6.2.1.3.1. Încălzirea cu apă caldă Până la temperatura de 800C încălzirea cu apă caldă se realizează la presiunea atmosferică. Peste această temperatură, până la punctul critic (3740C) se lucrează cu apă sub presiune. Procedeul este denumit impropriu încălzire cu apă supraîncălzită. În mod normal este utilizată apa caldă care circulă în circuit închis. Circulaţia se asigură fie cu ajutorul unei pompe – uzual – fie pe baza circulaţiei naturale datorită diferenţei de densitate a apei rezultat al temperaturilor diferite existente la generatorul de energie termică şi la aparatul supus încălzirii, consumatorul de energie termică precum şi a diferenţei de nivel între poziţia de montaj a consumatorului şi a generatorului de energie termică. În industria alimentară, în unele cazuri, utilizarea apei ca purtător de căldură este impusă de necesitatea circulaţiei fluidelor în contracurent în schimbătoarele de căldură precum şi realizarea şi menţinerea unei diferenţe de temperatură redusă şi pe cât posibil constantă. Pentru realizarea unor temperaturi mai ridicate se utilizează alte lichide.

 5.6.2.1.3.2. Încălzirea cu uleiuri minerale Uleiurile minerale sunt utilizate ca purtători de căldură, fie ca băi, fie în circuit închis pentru temperaturi până la 3000C. Temperatura de încălzire a uleiurilor minerale este limitată şi determinată de stabilitatea termică a acestora deoarece pot apare fenomene de descompunere, cracare. Vâscozitatea relativ mare, coeficientul parţial de transmisie termică mic (sub 580 W/(m2.K)) şi necesitatea unei circulaţii active şi neîntrerupte, pentru evitarea supraîncălzirilor locale, sunt inconvenientele principale care limitează aplicaţiile practice ale încălzirii cu uleiuri minerale.

 5.6.2.1.3.3. Încălzirea cu lichide organice definite Câteva substanţe organice sunt folosite ca purtători de căldură lichizi pentru temperaturi cuprinse între 200 şi 4000C. Cele mai utilizate sunt: difenilul, difenietetrul, amestecul eutectic de difenil–difenileter, naftalina, 1,2,4,8–tetraclor-difenilul (aroclor), glicerina, unii siliconi. Mai utilizat este amestecul eutectic difenil–difenileter. Până la 2000C încălzirea se face fără pierderi apreciabile prin vaporizare. La temperaturi cuprinse între 200 şi 2500C instalaţia se prevede cu un refrigerent pentru condensarea vaporilor rezultaţi din vaporizare. La temperaturi cuprinse între 250 şi 2800C instalaţia lucrează sub presiune realizată de regulă de o coloană de lichid (difenil–difenileter) de 6,6 m înălţime adică presiune de 0,7. 105 Pa. Peste temperatura de 2800C se recomandă să se folosească încălzirea cu vapori de amestec eutectic.

177

 5.6.2.2. Agenţi de răcire. Agenţi purtători de frig. Pentru preluarea cantităţilor de căldură fie pentru răcire, fie pentru condensare, fie atât pentru condensare cât şi pentru răcire se folosesc agenţi de răcire. Peste temperatura mediului ambiant agenţii de răcire uzuali sunt lichizi. 

5.6.2.2.1. Răcirea cu apă Agentul de răcire utilizat aproape în exclusivitate la temperaturi peste temperatura

mediului ambiant este apa. Apa, ca agent de răcire, îşi menţine aceleaşi caracteristici/proprietăţi ca şi în cazul când este utilizată ca agent de încălzire (vezi paragraful 5.6.2.1.3.1.) cu precizarea că răcirea nu necesită ridicarea presiunii în sistem. Temperatura iniţială a apei variază după natura surselor disponibile: apele de adâncime (puţuri, fântâni) au de obicei temperaturi între 10 şi 150C, constante tot timpul anului, temperatura apei de suprafaţă (râuri, lacuri) variază între 0 - 40C iarna şi 18 - 250C vara. În industria alimentară, uneori, pentru obţinerea temperaturilor de refrigerare mai mari de 40C se utilizează apă răcită, aşa numita apă gheaţă sau apă glacială, cu temperatura de 0,5 - 20C obţinută, la rândul ei, prin utilizarea frigului artificial. Când răcirea se realizează prin intermediul unei suprafeţe de schimb de căldură circulaţia apei se efectuează în circuit deschis, pentru debite mici de apă, sau în circuit închis, pentru debite mari de apă de răcire. Instalaţiile în care se realizează răcirea apei, în cazul circuitului închis, sunt tunurile de răcire, răcirea realizându-se cu aer prin umidificarea acestuia (vara, apa se răceşte până la 25- 300C). Când condiţiile permit, este preferabilă răcirea directă prin introducerea apei în mediul care trebuie răcit (condensarea vaporilor de apă prin contact direct cu apa agent de răcire în condensatoarele de amestec). 

5.6.2.2.2. Agenţi purtători de frig Pentru realizarea de temperaturi cu valori sub valoarea temperaturii mediului ambiant,

răcirea se realizează cu ajutorul frigului artificial, utilizând agenţi frigorifici primari şi agenţi frigorifici secundari. Pentru ca o substanţă să poată fi folosită ca agent frigorific primar trebuie să satisfacă o serie de condiţii: - să fie netoxică, neinflamabilă, nepoluantă şi ieftină; - să prezinte miros caracteristic pentru detectarea uşoară a neetanşeităţilor instalaţiei; - să nu conţină apă (umiditate) care implică pericolul îngheţării (înfundării instalaţiei) şi al coroziunii (amoniacul, dioxidul de sulf sunt corozivi în prezenţa apei); 178

- să fie necorozivă şi stabilă din punct de vedere chimic; - să nu fie miscibilă cu uleiul; - să prezinte căldură latentă de vaporizare mare, la instalaţiile mari (pentru ca debitul agentului frigorific să fie acceptabil); la instalaţiile mici (casnice) se cere ca agentul frigorific să aibă căldura latentă de vaporizare destul de mică pentru ca dimensiunile compresorului să nu fie prea mici; - presiunile de vapori la temperaturile impuse în instalaţie să nu fie prea mari (greutăţi de etanşare, aparate cu pereţi groşi) sau prea mici (pericol de pătrundere a aerului şi vaporilor de apă din exterior în instalaţie). Se folosesc ca agenţi frigorifici primari: amoniacul, freonii, dioxidul de sulf, dioxidul de carbon etc., care îndeplinesc, în anumite condiţii, cerinţele precizate mai sus. În industria alimentară, ca agenţi frigorifici secundari, adică lichide răcite în prealabil cu ajutorul agenţilor primari, pentru obţinerea de temperaturi mai mici ca 40C, se folosesc soluţii apoase de clorură de sodiu sau de clorură de calciu de diferite concentraţii precum şi diferite amestecuri: apă – alcool etilic, apă –glicerină sau apă – etilenglicol, după caz.

 5.6.3.Încălzirea electrică Încălzirea electrică se realizează fără purtător de căldură material, cu ajutorul electricităţii, a energiei electrice. În industrie se folosesc mai multe procedee de încălzire electrică: - încălzirea prin rezistenţe electrice; - încălzirea prin radiaţii infraroşii; - încălzirea prin curenţi de inducţie; - încălzirea dielectrică; - încălzirea prin arc electric. Încălzirea electrică prezintă o serie de avantaje faţă de încălzirea cu purtători de căldură materiali:- posibilitatea de reglare precisă şi uşoară, manuală sau automată, a energiei introduse în spaţiul încălzit şi a temperaturii acestuia; - posibilitatea de a dezvolta căldura la locul dorit; - posibilitatea de a introduce o cantitate mare de energie într-un spaţiu restrâns; - posibilitatea încălzirii directe fără impurificarea spaţiului încălzit; - posibilitatea de a încălzi în vid sau la presiuni mari. Cu toate aceste avantaje, preţul ridicat al energiei electrice limitează mult aplicaţiile încălzirii electrice în industria alimentară.

179

Capitolul 6 TRANSFER DE MASĂ  6.1. Introducere În industria alimentară, ca şi în industria chimică, se întâlnesc situaţii în care trebuie să se realizeze separarea sau doar schimbarea concentraţiei unor componente dintr-un amestec. În prezentul capitol se vor avea în vedere numai separările fizice care se realizează prin transfer de masă (substanţă) dintr-o fază în alta. Spre deosebire de separările pur mecanice, în care se face uz de diferenţa de densitate, dimensiunile particulelor, mediile filtrante, etc., în transferul de masă dintr-o fază în alta se folosesc diferenţele de presiuni de vapori, concentraţie şi solubilitate, însoţite uneori şi de un gradient termic. Fenomenul fizic care stă la baza trecerii substanţelor dintr-o fază în alta este difuziunea. Partea de studiu care se ocupă cu fenomenele şi legile de separare ale amestecurilor omogene prin difuziune se numeşte transfer de masă, iar operaţiile care folosesc difuziunea poartă denumirea de operaţii de transfer de masă. Cele mai importante operaţii de transfer de masă sunt: absorbţia, adsorbţia, distilarea, extracţia, cristalizarea şi uscarea. Pentru ca între două faze să existe un transfer de masă, trebuie ca ele să fie în echilibru, viteza procesului fiind cu atât mai mare cu cât parametrii de lucru au valori mai îndepărtate de cele corespunzătoare stării de echilibru. Forţa motoare a transferului de masă sau potenţialul exprimă tocmai diferenţa între valoarile de lucru şi cele corespunzătoare stării de echilibru. Pe măsură ce se realizează trecerea substanţei dintr-o fază în alta, forţa motoare şi deci viteza procesului scad şi practic, când diferenţa de potenţial devine zero, transferul de masă, aparent încetează, fazele în contact sunt în echilibru. Acesta este însă un echilibru dinamic, deoarece acelaşi număr de molecule trec dintr-o fază în alta. Concentraţiile componentelor sunt constante în timp dar nu egale. Starea de echilibru este condiţionată de variabile specifice procesului, presiune, temperatură sau concentraţie. Modul în care aceste mărimi influenţează starea de echilibru se stabileşte pe baza legii fazelor.

180

 6.2. Exprimarea compoziţiei fazelor În transferul de masă se folosesc două moduri principale de exprimare a compoziţiei fazelor şi anume: sub formă de fracţii şi sub formă de rapoarte. Ele pot fi fracţii sau rapoarte de masă, volumice sau molare. Prin înmulţirea fracţiilor cu 100 se obţine compoziţia procentuală.



6.2.1.Fracţia molară (xi) La un amestec omogen sau o soluţie, fracţia molară, xi, a unui component reprezintă

raportul dintre numărul de moli ai componentului respectiv şi numărul total de moli ai componentelor care formează amestecul: xi 

Ni

,

n

N j 1

kmol component ”i” kmol amestec

(6.1)

j

în care: Ni – cantitatea în kmoli dintr-un component n

N j 1

 N1  N 2  ...  N j suma cantităţilor, în kmoli a tuturor componenţilor.

j

Pentru a avea exprimată concentraţia în procente molare, rezultatul ecuaţiei 4.1 se înmulţeşte cu o sută. În cazul când compoziţia amestecului se dă în fracţie sau procente de masă, fracţia molară se calculează cu relaţia:

xi Mi xi  n xj

M j 1

(6.2) j

xi - fracţia de masă sau procente de masă; Mi- masa molară, kg/kmol.



6.2.2. Raportul molar ( xi ) Prin raport molar se înţelege raportul între numărul de kmoli a doi componenţi din

amestec. În cazul unui amestec format din ”n” componenţi concentraţia unui component ”i” se poate da în raport cu fiecare din ceilalţi componenţi, şi anume:

181

xi,1 

N i kmoli de component ”i” , N 1 kmoli de component 1

xi, 2 

N i kmoli de component ”i” , N 2 kmoli de component 2

(6.3)

. . N i kmoli de component ”i” , N n kmoli de component n

xi,n 

Acest mod de exprimare a concentraţiei se utilizează cu precădere la amestecurile ternare din operaţia de extracţie.



6.2.3. Fracţia masică ( xi ) Fracţia masică, xi , reprezintă numărul de kg de substanţă ale unui component aflate într-

un kilogram de amestec: xi 

mi

,

n

m j 1

kg component ”i” kg amestec

(6.4)

j

în care: mi – cantitatea, în kg, din componentul ”i”; n

m j 1

j

 m1  m2  ...  mn - suma cantităţilor, în kg, a tuturor componenţilor. În cazul în care compoziţia amestecului este dată în fracţie molară, transformarea în

fracţie de masă se face cu relaţia: xi 

M i  xi n

M j 1



j

(6.5)

 xj

6.2.4. Raportul masic ( xi ) Raportul masic, similar raportului molar, reprezintă raportul între numărul de kg ale unui

component şi numărul de kg ale altui component din amestec. Raportul masic se utilizează mai ales la exprimarea concentraţiilor soluţiilor binare de săruri în apă sau alţi dizolvanţi. De regulă concentraţia în fază lichidă se notează cu x, iar în fază lichidă cu y.

182

 6.3. Echilibrul între faze Prin fază se înţelege o parte dintr-un sistem, omogenă din punct de vedere fizic şi care este separată de celelalte părţi ale sistemului printr-o interfaţă.



6.3.1.Legea fazelor (Gibbs) Această lege exprimă din punct de vedere fizic, legătura între numărul de faze, gradele de

libertate şi numărul de componenţi ai unui sistem aflt în condiţii de echilibru. Este o lege calitativă şi se scrie sub forma:

F LC2

(6.6)

în care: F – numărul de faze; L – numărul gradelor de libertate; C – numărul de componenţi ce intervin în sistem; 2 – parametrii exteriori care pot acţiona asupra sistemului (presiunea şi temperatura). Prin grade de libertate sau grade de varianţă ale sistemului se înţelege numărul de variabile independente – concentraţii, presiune, temperatură – ce pot avea modificări valorice fără a modifica numărul de faze existent în sistem, respectiv fără a distruge starea de echilibru. Din legea fazelor se află numărul de grade de libertate necesare definirii sistemului la echilibru. De exemplu, la sistemul apă-alcool etilic, în procesul de distilare: F=2 (lichid+vapori) C=2 (sistem binar) rezultă: L=C+2-F=2+2-2=2 Sistemul fiind bivariant, în anumite condiţii se pot modifica doi parametri fără a schimba starea de echilibru. Relaţiile ce se pot stabili între aceşti doi parametrii sunt:

p  f x  ; presiune-compoziţie, la temperatură constantă; t  f x, y  ; temperatură-compoziţia lichidului, x, şi a vaporilor, y, la presiune constantă;

H  f x, y  ; entalpia-compoziţia lichidului şi avaporilor. Dependenţa concentraţiei unui component dintr-o fază funcţie de concentraţia din cealaltă fază, reprezentată grafic, poartă denumirea de linie de echilibru.

183



6.3.2. Legea lui Raoult Legea lui Raoult este o lege cantitativă a echilibrului dintre faze. Ea se aplică strict numai

amestecurilorde lichide ideale miscibile în orice proporţie. Este o lege empirică şi se enunţă astfel: presiunea parţială a unui component din faza de vapori, în echilibru cu faza lichidă, este egală cu produsul dintre presiunea de vapori a componentului în stare pură şi fracţia molară a componentului faza lichidă, la temperatura de fierbere a amestecului. Astfel pentru un amestec binarformat dintr-un component uşor volatil , A, şi unul greu volatil, B, legea lui Raoult se scrie:

p A  PA  x A

(6.7)

în care: pA – presiunea parţială a componentului uşor volatil A deasupra amestecului, în Pa; PA –presiunea de vapori a componentului uşor volatil A în stare pură, la temperatura de fierbere a amestecului, Pa; xA – fracţia molară a componentului uşor volatil în lichid. Pe baza relaţiei care dă valoarea presiunii parţiale a componentului uşor volatil A din faza gazoasă:

pA  P  yA

(6.8)

în care: P- presiunea totală în faza de vapori, Pa; yA- fracţia molară a componentului uşor volatil în faza de vapori sau:

yA 

p A PA  x A  P P

(6.9)

împreună cu legea lui Dalton:

p  p A  p B  PA  x A  PB  1  x A 

(6.10)

se obţine compoziţia lichidului, xA:

xA 

p  PB PA  PB

(6.11)

Şi compoziţia vaporilor în echilibru:

yA 

p A p  PB  P PA  PB

(6.12)

Compoziţia vaporilor în echilibru cu lichidul de o anumită compoziţie se poate calcula şi cu ajutorul volatilităţii (ecuaţia lui Fenske).

184



6.3.3. Legea lui Henry Când se aduce în contact o fază gazoasă cu una lichidă, după un timp, între ele se stabileşte

echilibrul. În condiţii constante de presiune şi temperatură, o parte bine determinată din gaz se dizolvă în faza lichidă şi restul rămâne în echilibru stabil cu soluţia formată. Cantitatea dizolvată depinde de natura gazului şi a dizolvantului. Între presiunea parţială a gazului din amestecul aflat deasupra lichidului şi concentraţia sa din faza lichidă există o interdependenţă a cărei formă matematică dată de Henry în 1802 este:

p A  k HA  x A

(6.13)

În care: pA – presiunea parţială a componentului A în faza lichidă; kHA – coeficientul lui Henry pentru componentul A; xA – fracţia molară a componentului A în faza lichidă. Legea lui Henry se enunţă astfel: presiunea parţială a unui gaz aflat în echilibru cu soluţia, este direct proporţională cu fracţia sa molară din soluţie; coeficientul de proporţionalitate poartă numele de coeficientul lui Henry. Legea se aplică cu rigurozitate în cazul gazelor greu solubile, când din cauza insolubilităţii, soluţiile ce se obţin sunt întotdeuna diluate, iar la gazele care sunt uşor solubile numai pentru soluţiile diluate. În cazul soluţiilor concentrate variaţia liniară nu se menţine deoarece coeficientul lui Henry nu se menţine constant pe tot intervalul de variaţie al concentraţiei. Coeficientul lui Henry depinde de natura gazului, a lichidului şi de temperatură. Valorile lui se determină experimental şi au dimensiunile unei presiuni. Combinând legea lui Henry cu legea lui Dalton se obţine relaţia de calcul a fracţiei molare din gaz (yAg) funcţie de concentraţia soluţiei (xA) şi presiunea totală (P) a sistemului:

y Ag 

xA P

(6.14)

Legea lui Henry se poate considera ca o formă particulară a legii lui Raoult aplicată la sistemele gaz-lichid. Se foloseşte numai pentru compusul dizolvat.



6.3.4. Legea de repartiţie a lui Nernst Adeseori se întâlnesc în industrie amestecuri formate din două lichide miscibile sau un lichid

şi un solid, a căror separare necesită prezenţa unui al treilea component. Un bun exemplu îl formează seminţele plantelor oleaginoase, formate din ulei şi material solid sau sfecla de zahăr formată din sucul celular, soluţie apoasă de zaharoasă, şi material solid. Peste aceste amestecuri se aduce un dizolvant selectiv, adică un lichid în care se dizolvă cu precădere numai unul din 185

componenţii aflaţi în amestecul iniţial. Se obţin două faze, una lichidă şi una solidă, cu compoziţii diferite. Substanţa de extras din amestec se distribuie, din cauza dublei solubilităţi, între dizolvantul adăugat şi componentul insolubil din amesteculiniţial. Procesul global apare ca o repartiţie a unei substanţe între doi dizolvanţi ce sunt nemiscibili între ei. Legea de distribuţie a substanţei solubile-la echilibru- între solventul adăugat este cunoscută sub denumirea de legea de repartiţie a lui Nernst sau legea de repartiţie a substanţelor între doi dizolvanţi. Forma matematică a acestei legi este: x A1  k N  x A2

(6.15)

în care: xA1 – fracţia molară a substanţei extractibile afalată în dizolvantul adăugat; xA2 – fracţia molară a substanţei extractibile rămasă în amestecul iniţial; kN – coeficientul de repartiţie a lui Nernst Coeficientul de repartiţie se determină experimental. Valoarea sa depinde de concentraţia substanţei dizolvate în amestecul iniţial şi natura dizolvantului; prezintă valoare constantă pentru soluţii diluate. Legea lui Nernst este a treia lege cantitativă a echilibrului între două faze lichide nemiscibile, cu aplicaţie în extracţie.  6.4Difuziunea Prin difuziune se înţelege trecerea moleculelor unei substanţe printre moleculele altei substanţe; procesul are loc fie ca rezultat al mişcării determinată de agitaţia termică a moleculelor, difuziune moleculară, fie datorită curenţilor de convecţie, difuziune convectivă. Forţa motoare a procesului poate fi gradientul de concentraţie, de temperatură sau de presiune.



6.4.1.Difuziunea moleculară Această difuziune constă în deplasarea la scară moleculară a unei substanţe printre

moleculele altei substanţe. Teoria cinetică a gazelor precizează ce anume se petrece în timpul unui proces de difuziune moleculară. Se consideră că o moleculă se deplasează pe o anumită distanţă , cu o viteză uniformă, fără a se ciocni cu moleculele din jur. Apoi are loc ciocnirea cu o altă moleculă, în urma căreia viteza se schimbă atăt ca direcţie cât şi ca mărime. Viteza moleculelor este mare însă din cauza deselor ciocniri dintre ele, viteza efectivă care rezultă, pentru mişcarea masei şi separarea masei sub un gradient de concentraţie, este mică. Viteza

186

efectivă depinde de presiune şi temperatură, scade cu creşterea presiunii şi creşte cu creşterea temperaturii. Mecanismul de la gaze este valabil şi pentru lichide, cu observaţia că, intensitatea fenomenului este de circa zece mii de ori mai mică decât la gaze, aceasta datorându-se numărului crescut de ciocniri dintre molecule.

 6.4.1.1. Flux şi flux unitar de masă Prin flux de masă se înţelege cantitatea de substanţă care difuzează printr-o anumită suprafaţă în unitatea de timp. Este echivalentul noţiunii de debit din transferul de impuls. Se poate exprima prin următoarele unităţi de măsură: kg/s; kmoli/s; m3/s. Fluxul unitar de masă reprezintă masa transferată în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă. Mai poartă numele şi de viteză de difuziune sau de transfer. N

dm dt

(6.16)

n

dm A dt

(6.17)

în care: N – fluxul de masă; n – fluxul unitar de masă m – masa transferată ; t – timpul. A – aria suprafeţei de transfer Ambele fluxuri au direcţia normală la suprafaţa de transfer şi sensul corespunzător scăderii concentraţiei.

 6.4.1.2.Legea lui Fick Legea lui Fick pentru transferul de substanţă este analoagă legii lui Fourier pentru transferul de căldură şi se enunţă astfel: cantitatea de substanţă care trece în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă sub influenţa gradientului de concentraţie este proporţională cu un coeficient D denumit coeficient de difuziune. dm dc  D  A  dt dx

sau pusă sub forma:

187

(6.18)

dm dc  D  A  dt dx

(6.19)

Sub forma (6.19) termenul din stânga egalităţii reprezintă viteza transferului de substanţă şi rezultă că este cu atât mai mare cu cât gradientul de concentraţie este mai mare şi cu cât coeficientul de difuziune este mai mare.

 6.4.1.3. Coeficientul de difuziune (D) Ca sens fizic coeficientul de difuziune moleculară arată capacitatea de migrare a unui component într-un mediu gazos, lichid sau solid. Dimensional el se exprimă în SI în m2/s. Coeficientul de difuziune moleculară depinde de presiune, temperatură şi natura componenţilor. La lichide depinde şi de concentraţie. Se determină experimental sau se calculează cu ajutorul unor relaţii, de regulă semiempirice sau empirice, valorile exacte sunt numai cele experimentale.



6.4.1.3.1. Coeficienţi de difuziune în gaze. Difuzivitatea gazelor este estimată, în general, cu o precizie care poate atinge 5%, pe

baza unor considerente teoretice. Coeficienţii de difuziune în gaze au valori cuprinse aproximativ în limitele 10-5-10-4 m2/s. Pe baza teoriei cinetico-moleculare a gazelor s-au dedus mai multe relaţii de calcul ale coeficientului de difuziune în funcţie de proprietăţile moleculare ale gazelor. La presiuni totale mici, de până la 0,1 MPa, coeficienţii de difuziune sunt independenţi de concentraţie. O relaţie de calcul a coeficientului de difuziune este ecuaţia lui Maxwell-Gilliland, care dă rezultate satisfăcătoare: 3

T2  D AB 4,3  10  4 

1 1  MA MB

1  1  P  V A3  VB3   

2

m2     s 

(6.20)

în care: - T – temperatura absolută (K); - P – presiunea absolută (Pa); - MA,MB – masele molare ale gazelor A şi B; - VA,VB – volumele molare ale gazelor A şi B (m3/kmol); volumele molare sunt determinate ca sumă a volumelor atomice ale elementelor care intră în compoziţia gazului. O altă relaţie de calcul a coeficientului de difuziune în gaze pentru condiţii normale de temperatură şi presiune este ecuaţia Andrusov, care dă rezultate cu o eroare de maximum de 7%: 188

0 D AB  62 

1   V  V   1 3 A

MA  MB



2

   MA  MB  

1 3 B

m2     s 

(6.21)

notaţiile având aceeaşi semnificaţie ca cele din relaţia (6.20). Pentru alte condiţii de presiune şi temperatură, coeficientul de difuziune se calculează cu relaţia: 0 D AB  D AB 

P0 P

T      T0 

3 2

(6.22)

Pentru calcule precise se recomandă utilizarea relaţiei propusă de Chapman-Enskog: 3

T2  D AB  1,8829  10 4 

1 1  MA MB

2 P   AB  D

(6.23)

în care: - T – temperatura amestecului (K); - MA,MB – masele molare ale celor doi componenţi; - P- presiunea absolută (Pa); - AB – diametrul de coliziune (nm); - D – integrala de coliziune funcţie de temperatură şi de câmpul potenţialului intermolecular pentru o moleculă A şi o moleculă B; este tabelată în funcţie de valorile raportului

 T ;  AB

- 1,381016 erg/K – constanta lui Boltzmann; - energia de interacţiune pentru sistemul binar AB (erg). Pentru amestecuri gazoase multicomponente, coeficientul de difuziune al componentului i din amestecul de gaze se calculează cu relaţia:

Di ,m 

1  yi 

(6.24)

n

yi  j 1 Di , j j 1



6.4.1.3.2.Coeficienţi de difuziune în lichide. Coeficienţii de difuziune în lichide au valori cuprinse aproximativ între 10-9-10-10 m2/s şi

depind de concentraţie datorită vâscozităţii şi a gradului de idealitate al soluţiei. În amestecuri lichide de neelectroliţi moleculele difuzează ca atare, iar electroliţii ionizează în soluţie şi difuzează ca ioni. 189

Pentru soluţii de neelectroliţi, pe baza teoriei Stokes-Einstein se obţine o relaţie de forma:

D AB 

0,1    T 6   r  

 m2     s 

(6.25)

utilizabilă în cazul particulelor coloidale, iar pentru difuziunea moleculelor mari:

D AB 

m2     s 

1,05  10 10  T

 V

1 3 f

(6.26)

în care : este vâscozitatea dizolvantului (Pas); r – este raza particulelor care difuzează (m). Pe baza teoriei Eyring s-a dedus ecuaţia Wilke şi Chang: D AB  4,67  10 10

T  k MB

  V f0,6

(6.27)

în care :  – este vâscozitatea soluţiei (Pas) ; MB – este masa moleculară a solventului; Vf – este volumul molar al solventului la temperatura normală de fierbere (m3/kmol), k – este un parametru care ţine seama de gradul de asociere al moleculelor solventului. În soluţii de electroliţi, coeficientul de difuziune pentru o sare monovalentă într-o soluţie diluată se calculează cu relaţia lui Nernst:

D AB 

2  10 4  R  T  1 1   0  0   Fa 2    

m2     s 

(6.28)

în care: R=8,3143 J/(molK) – constanta universală a gazelor; T – temperatura (K); 0 , 0 - conductanţa ionică limită (A/cm2; V/cm);

Fa =96500 C/val – constanta lui Faraday Pentru calcule estimative ale coeficientului de difuziune în soluţii diluate se poate utiliza ecuaţia empirică: D AB

7,710 16 T  1  1   V f3  VB3   

m2     s 

în care: T – este temperatura (K);

 – vâscozitatea lichidului (Pas); Vf – volumul molar al solutului (m3/kmol); VB – depinde de natura solventului. 190

(6.29)

Dacă se cunoaşte valoarea coeficientului de difuziune la o anumită temperatură T0, valoarea acestuia la o altă temperatură T se determină cu relaţia:    T0 T D AB  D AB 1  0,2 3 T  T0    

(6.30)

 6.4.1.3.3.Coeficienţi de difuziune în solide Difuziunea moleculară în solide prezintă două aspecte: 

unul referitor la difuziunea gazelor şi a lichidelor prin structura poroasă a

solidului; 

altul referitor la interdifuziunea constituenţilor solidului, ca urmare a

mişcării atomilor. Din punctul de vedere al ingineriei proceselor fizico-chimice interesează în special primul aspect, întâlnit frecvent în operaţiile de adsorbţie, desorbţie, uscare, extracţie L-S, precum şi în cataliza eterogenă. Difuziunea moleculară prin porii unui solid poate avea loc prin trei mecanisme: o

difuziunea moleculară (Fick);

o

difuziunea Knudsen;

o

difuziunea superficială.

Un solid poros poate fi considerat ca fiind alcătuit din microgranule aglomerate într-o macrogranulă. Între microgranule se formează o reţea de goluri formată din pori cu diametre cuprinse între 102-106 nm. Structura poroasă este alcătuită din micropori (102-104 nm), proveniţi din microgranule şi macropori(104-106 nm) rezultaţi din spaţiile libere dintre microgranule. Structura poroasă este complicată de interconectările între pori de diferite dimensiuni şi lungimi. Dintre mărimile care caracterizează structura poroasă se pot menţiona raza medie a porilor ( r ) şi factorul de tortuozitate(). Difuziunea moleculară Fick apare în porii de diametru relativ mare, pentru gaze relativ dense (sau aflate la presiuni ridicate). Difuziunea este caracterizată de un coeficient efectiv de difuziune moleculară ( Def) care ia în considerare faptul că traiectoria de difuziune nu este dreaptă şi porii au geometrii variate. Pentru o granulă de porozitate  în care porii se consideră ca fiind cilindrii de rază r , distanţa de difuziune în direcţie radială se obţine înmulţind raza cu factorul de tortuozitate care redă abaterile de la forma cilindrică a porilor şi intervenţia interconexiunilor dintre pori. Acest factor, determinat experimental, ia valori cuprinse între 1,5 şi 10. În aceste condiţii coeficientul efectiv de difuziune va fi :

Def 

 m2    D AB     s 

(6.31) 191

Difuziunea Knudsen se manifestă în cazul în care densitaea gazului este redusă sau porii sunt de dimensiuni mici. În acest caz moleculele se ciocnesc mai frecvent de pereţi decât între ele, fiind apoi reflectate în direcţii întâmplătoare; fiecare moleculă se comportă ca şi cum ar fi singură. Coeficientul de difuziune Knudsen se poate calcula conform teoriei cinetice a gazelor cu relaţia: 1

DK , A

 2 R T  2  m2  4      r    3 P MA   s 

(6.32)

Acest coeficient se corectează în mod analog celui molecular, rezultând un coeficient de difuziune Knudsen efectiv:

Def , K , A 

 m2   DK , A     s 

(6.33)

O altă relaţie pentru calculul lui Def,K,A este:

Def , K , A 

19400   2    

T m2    MA  s 

(6.34)

în care: - factor de formă adimensional;

 – densitatea solidului (kg/m3) Difuziunea superficială are loc la suprafaţa unui mediu poros pe care se adsoarbe o parte din componentul difuzat. Moleculele adsorbite au o anumită mobilitate şi dacă concentraţia substanţei reţinute variază pe suprafaţa mediului poros, ele se pot deplasa de la un punct la altul. Într-un mediu poros pot coexista toate cele trei tipuri de difuziune, experimental determinându-se coeficientul de difuziune efectiv global. Pentru un sistem format din două gaze care difuzează echimolecular în contracurent în interiorul unui solid, acesta are expresia:

1 1 1 1    Def Def , A Def , K , A Def , S , A

(6.35)

în care: Def,S,A – coeficientul efectiv de difuziune superficială.



6.4.2. Difuziunea convectivă Difuziunea convectivă se referă la substanţa transferată odată cu deplasarea masei de fluid,

aflat într-un proces de curgere complex integrat sub denumirea generală de convecţie. Această difuziune, prin comparaţie cu difuziunea moleculară este mult mai intensă şi depinde de gradul de turbulenţă al fazei. Mişcarea convectivă se obţine printr-un proces mecanic, cum ar fi de exemplu agitarea prin simpla deplasarea fluidelor în interiorul aparatelor sub acţiunea unei diferenţe de presiune sau a gravitaţiei, prin acţiunea simultană, a mai multor forţe cum ar fi forţa de gravitaţieîmpreună cu forţacentrifugă,etc. Regimurile de curgere pot fi laminare, intermediare 192

sau turbulente. Pe cât posibil se lucrează în regim turbulent; prin turbulenţă se micşorează rezistenţa la transfer mărindu-se valoarea coeficientului individual de transfer de masă.

 6.4.2.1. Ecuaţia diferenţială a transferului de masă prin convecţie Descrierea matematică a procesului de difuziune convectivă o face aşa numita ecuaţie diferenţială a difuziunii sau ecuaţia diferenţială a distribuţiei concentraţiei într-un fluid în mişcare. Ea corespunde ecuaţiei câmpului de temperatură din transferul de căldură prin convecţie. Pentru deducerea ecuaţiei se porneşte de la cazul cel mai simplu al difuziunii într-un sistem binar izoterm compus din speciile de molecule A şi B, în care se izolează un element de volum dV  dx  dy  dz . Pentru simplificare se consideră procesul neînsoţit de procese de transformare: nu se generează şi nu se consumă din elementul de volum molecule de component A prin reacţii chimice. În elementul de volum, componentul A intră (iese) prin feţele paralelipipedului prin două mecanisme: - prin difuziune convectivă iniţiată de curgerea fluidului prin elementul de volum; - prin difuziune moleculară cauzată de gradientul de concentraţie. Legea conservării masei aplicată componentului A în elementul de volum se poate scrie sub forma următoarei ecuaţii de bilanţ:

 Flux de componet A   Flux de componet A   Flux de componet A         acumulat prin difuziune    intrat prin difuziune    ieşit prin difuziune   convectivă şi moleculară   convectivă şi moleculară   convectivă şi moleculară       

193

(6.36)

z CA vz

z  z

C A v y xz y

xy

C  D AB  A z

 D AB 

xy

C A xz y y

C A v x x yz

z  z

 D AB 

CA vx

CA v x x yz  D AB 

CA yz x x

C A yz x x

x  x

 D AB 

yz

C A x

yz x  x

x

C A v z z xy CA v y

y  y

 D AB 

y

 D AB 

xz

C A y

xz

C A xy z z

C A v x x yz

y  y

C A yz  x x Fig.6.1 Volum elementar pentru deducerea ecuaţiei diferenţiale a difuziunii  D AB 

Fluxul de component A acumulat în elementul de volum prin cele două mecanisme de difuziune are expresia :

C A C A V  x  y  z t t

(6.37)

Fluxul de component A care intră printr-o faţă a paralelipipedului în elementul de volum prin mecanism convectiv este dat de produsul dintre concentraţia componentului A, viteza fluidului pe direcţia respectivă şi aria suprafeţei prin care are loc transferul : - pe direcţia x: C A  v x x y  z - pe direcţia y: C A  v y x  z

(6.38)

y

- pe direcţia z: C A  v z z x  y Fluxul de component A care intră printr-o faţă a paralelipipedului în elementul de volum prin mecanism molecular este dat de legea lui Fick: - pe direcţia x:  D AB 

C A x

 y  z x

194

C A y

- pe direcţia y:  D AB 

C A z

- pe direcţia z:  D AB 

 x  z

(6.39)

y

 x  y z

În mod similar se pot scrie expresiile fluxurilor ieşite din elementul de volum prin mecanism convectiv: - pe direcţia x: C A  v x

x  x

- pe direcţia y: C A  v y

y  y

- pe direcţia z: C A  v z

z  z

y  z

x  z

(6.40)

x  y

respectiv prin mecanism molecular: - pe direcţia x:  D AB  - pe direcţia y:  D AB  - pe direcţia z:  D AB 

C A x

x  x

C A y

y  y

C A z

z  z

 y  z

 x  z

(6.41)

 x  y

Înlocuind ecuaţiile (6.37-6.41) în ecuaţia de bilanţ (6.36), după trecerea la limită şi împărţirea tuturor factorilor cu V se obţine ecuaţia: C A   C A  v y    C A  v z      C A  v x   t y z  x   2CA  2CA  2CA   D AB      2 2  x  y z 2  

(6.42)

Diferenţiind şi regrupând termenii ecuaţia (6.42) se poate scrie astfel: v y v z   v C A C C C   v x  A  v y  A  v z  A  C A   x    t x y z  x  y  z     2CA  2CA  2CA   D AB      2 y 2 z 2   x

(6.43)

sau, ţinând cont că suma primilor patru termeni din membrul stâng reprezintă derivata substanţială a concentraţiei componentului A:

DC A  C A  v  D AB   2 C A dt

(6.44)

Ecuaţia (6.44) este ecuaţia diferenţială a difuziunii, ecuaţie care redă profilul concentraţiei componentului A într-un fluid aflat în mişcare nestaţionară. În această formă 195

ecuaţia nu poate fi integrată analitic. Pentru diverse cazuri particulare , ecuaţia diferenţială a difuziunii capătă forme mai simple. Dacă fluidul este incompresibil, atunci v=0 şi ecuaţia (6.44) devine:

DC A  D AB   2 C A dt

(6.45)

Dacă fluidul se află în repaus, vx=vy=vz=0 şi ecuaţia (6.44) devine: CA  DAB   2CA t

(6.46)

Pentru difuziune unidirecţională într-un fluid incompresibil, v  0, v y  v z  0 , şi ecuaţia (6.44) devine:

C A  2CA  D AB  t x 2

(6.47)

În cazul curgerii în regim staţionar apar condiţiile suplimentare:

C A 0 y

(6.48)

v x v y v z   0 x y z iar ecuaţiile(6.44) – (6.47) se scriu în următoarele forme: vx 

C A C C  v y  A  v z  A  D AB   2 C A x y z

(6.49)

 2CA  2CA  2CA   0 x 2 y 2 z 2

(6.50)

d 2CA 0 dx 2

(6.51)

Ecuaţia (6.47) scrisă sub formă desfăşurată:

  2C C A  2C A  2C A   D AB  2A    t y 2 z 2   x

(6.52)

se utilizează pentru descrierea transportului difuzional de substanţă în solide, în lichide staţionare şi pentru difuziunea moleculară în contracurent în gaze. Ea este cunoscută sub numele de legea a II-a a lui Fick.

 6.4.2.2.Criterii de similitudine în procesele de transfer de masă (substanţă) Imposibilitatea rezolvării analitice a ecuaţiei diferenţiale a difuziunii într-un mediu mobil, în formă completă, impune recurgerea la teoria similitudinii. Prin similitudine, legătura între

196

mărimile ce determină transferal de masă rezultă sub forma de relaţii criteriale. Criteriile cele mai inseminate sunt: Sh 

hl - criteriul de similitudine Sherwood; dă informaţii asupra raportului ce există între D

difuziunea convectivă şi difuziunea moleculară; Sc 

 D

- criteriul de similitudine Schmidt; reprezintă raportul între vâscozitatea cinematică

şi difuziunea moleculară; caracterizează difuziunea convectivă. Similitudinea totală a transferului de masă se caracterizează prin valori identice ale criteriilor de similitudine geometrică, hidrodinamică şi de transfer de masă pentru sistemele similare. Forma generală a ecuaţiei criteriale este:

f (Re, We, Fr , Sh, Sc,

l1 l 2 , ,...)  const. l0 l0

Criteriile nesemnificative pentru transferal de masă se omit şi ecuaţia ia forme simplificate, pentru fiecare caz în parte. Formulele mai des întâlnite conţin în special criteriile Sh, Sc, Re şi

l1 . l0

Ele se corelează prin relaţii de forma: l Sh  n0  Sc  Re    l0 n1

n2

  

n3

(6.53)

În care coeficientul n0 şi exponenţii n1, n2, n3, se determină experimental.  6.5. Mecanismul transferului de masă Transferul de masă este un process complex şi greu de descries prin relaţii simple care să cuprindă ansamblul fenomenelor ce intervin. Complexitatea este cu atât mai mare cu cât fazele puse în contact se află într-o stare mai turbulentăşi cu cât proprietăţile şi mărimile fizice ale fazelor se schimbă mai mult în timpul transferului. Pentru exemplificarea mecanismuluitransferului de masă s-au propus diverse modelefizice. Fiecare dintre modele ia în considerare numai anumiţi factori dintre cei care iau parte la proces. Toate modelele urmăresc obţinerea de corelări între parametrii specifici transferului de masă şi hidrodinamicii fazelor, astfel încât, sfera elementelor determinante să fie cât mai completă. Relaţiile stabilite trebuie să răspundă atât la nevoile practice de calul a aparatelor de transfer de masă cât şi la cele cerute de rigurozitataea fenomenelor fizice posibile. 197



6.5.1. Modelul celor două filme

PBi(CBi)

PAi(CAi) C

Contradifuziunea componentului B

g

Difuziunea componentului

PB(CB) Film de gaz

PA(CA)

Film de lichid

Interfaţă gaz-lichid

p  p A'  p A

l

Straturi de gaz care refac filmul

Faza gazoasă turbulentă

' Ai

C Bi'

Difuziunea lui A Contradifuziunea prin lichid componentului B’

C Ai'  const. Fig.6.2. Modelul celor două filme

La baza modelului pentru sistemul gaz-lichid, stau următoarele consideraţii: 

interfaţa este mărginită de ambele părţi de câte un strat limită în care curgerea este

laminară. Restul maselor de fluid se găsesc în curgere turbulentă, ceea ce menţine constantă concentraţia componentului care se transferă (A); aceasta implică admiterea că rezistenţa la transfer este concentrată în straturile limită; 

prin filme transferal de masă se face preponderent prin difuziune moleculară, în

regim staţionar, iar concentraţia variază liniar de la interfaţăcătre masa fazelor; 

interfaţa este plană, nu variază în timp şi nu opune nici orezistenţă la transfer;



la interfaţă se stabileşte instantaneu echilibrul între faze



rezistenţele filmelor sunt în serie şi rezistenţa totală se obţine prin sumarea lor. Conform modelului precizat, scăderea concentraţiei prin filmul de gaz a

componentului A, de la CA la CAi la interfaţă, implică o creştere a concentraţiei componentului B prin acelaşi film, de la CB la CBi. Situaţia este similară şi pentru filmul de lichid unde concentraţia lui A scade de la C Ai' la C A' iar a lui B creşte de la C Bi' la C B' . Sensul de variaţie al concentraţiei generează pentru cei doi componenţi fluxuri de difuziune cu sensuri opuse. Modelul celor două filme, cu toate inexactităţile în explicarea teoretică a fenomenelor, a permis rezolvarea multor probleme de transfer de masă atât în cercetare cât şi în 198

calculelel de proiectare. Astfel, s-au introdus coeficienţii individuali de transfer de masă prin filmele de la interfaţă, similari coeficienţilor individuali (parţiali) de transfer de căldură, a căror valoare numerică dă informaţii asupra valorii rezistenţei opuse de faze la transfer. La interfeţele fluid-sold, deşi există un singur film, modelu rămâne valabil. Conform acestui model coeficientul individual de transfer de masă este direct proporţional cu coeficientul de difuziune, kc  D şi invers proporţional cu grosimea filmului.



6.5.2. Modelul reînoirii suprafeţei (teoria penetraţiei)

Interfaţă

Faza gazoasă

Perechi de turbioane în contact Turbioane de înlocuire

Faza lichidă

Fig.6.3.Modelul reînoirii suprafeţei

Conform acestui model, transferul de masă se face prin intermediul turbioanelor care vin din masa de lichid şi pătrund până la interfaţă. Ele stau un timp în contact, la interfaţă, cu turbioane similare din faza gazoasă, timp în care se face transferul (timp de contact sau de reînoire a suprafeţei), şi apoi se întorc în masa lichidului. Operaţia de înlocuire a turbioanelor se repetă la intervale de timp egale şi destul de scurte astfel încât, la interfaţă se află continuu lichid proaspăt ce asigură un transfer intens între faze. Se consideră că în timpul contactării, turbioanele sunt în nemişcare, transferul de masă se face numai prin difuziune moleculară, în regim nestaţionar, procesul fiind descris de ecuaţia:

C A  2 C A  t x 2

(6.54)

În urma rezolvării ecuaţiei diferenţiale conform modelului reînoirii suprafeţei coeficientul individual de transfer de masă este proporţional cu D0,5. Ca o concluzie generală, modelele care explică mai bine fenomenul de transfer de masă, nu reuşesc să satisfacă în aceeaşi măsură şi cerinţele practice, în timp ce modelul celor două filme, deşi este mai puţin plauzibil are o mare utilitate în practică.

199

 6.6.Coeficienţi individuali de transfer de masă În tratarea teoretică a transferului de masă se aplică modelul celor două filme. Caracteristic pentru transferul de masă prin filme sunt coeficienţii indiiduali de transfer de masă.  CA1

CA

o

Sensul de transfer CAi

1 1

CA

 

Fig.6.4. Distribuţia concentraţiei prin stratul lichid de la contactul a două faze

Valoarea lor depinde de proprietăţile fizico-chimice ale componenţilor ce formează faza căreia îi aparţinşi de starea hidrodinamică a sistemului. Relaţiile de calcul stabilite pentru diverse cazuri au la bază rezultatele încercărilor experimentale. Variaţia concentarţiei într-o fază este reprezentată în fig.(6.4 ), în care: CA – concentraţia în zona turbulentă; CAi – concentraţia la interfaţă; CA1 – concentraţia la trecerea de la zona turbulentă la stratul limită. Trecerea de la concentraţia CA la CA1 nu se face brusc ci după o curbă continuă.

1 – grosimea stratului limită unde concentraţia variază liniar;  - grosime care ia în considerare şi o parte din variaţia după o curbă () Este greu de precizat pe ce distanţă concentraţia trece de la valoarea CA la CA1 şi care este legea de variaţie pe acest interval. De aceea se consideră că trecerea de la zona turbulentă la stratul limită se face brusc, marcată în fig (6.4) prin punctul 0, unde concentraţia CA1 devine egală cu CA. Coeficientul individual de transfer se referă la grosimea medie a stratului limită

  1   . Potenţialul sub care se face transferul este C A  C A  C Ai . Produsul dintre coeficientul individual de transfer şi potenţialul corespunzător reprezintă fluxul transferat prin stratul limită şi este dat de ecuaţia: n A  k e C A  C Ai 

(6.55) 200

în care: ke – coeficient individual de transfer de masă; CA, CAi – limitele de variaţie ale concentraţiei

ke 

D AB

 Această relaţie se cunoaşte sub denumirea de ecuaţia transferului de masă.

Se menţionează că, coeficientul individual de transfer de masă înglobează în valoarea sa numerică masa transferată atât molecular, cât şi convectiv. Calculul coeficienţilor individuali de transfer de masă se face prin intermediul unor relaţii, funcţii de criterii de similitudine în structura cărora, de regulă, intră criteriile Sherwood, Schmidt şi Reynolds, de forma celor întâlnite în transferul de căldură prin convecţie. Valorile constantelor cât şi a exponenţilor din expresii, pentru domenii de desfăşurare a fenomenului de transfer de masă strict determinate, se obţin experimental şi se găsesc în literatura de specialitate.



6.6.1.Coeficienţi individuali la coloanele cu pereţi udaţi Asemenea situaţii se întâlnesc la transferul de masă între o fază gazoasă şi una

lichidă. Pentru faza gazoasă în regim de curgere laminar: Sh  0,5  Re Sc  1 3

d d , pentru Re Sc   4,5 H H 1 3

(6.56)

1

 d 3 d Sh  1,62  Re  Sc    , pentru Re Sc   13 H H

(6.57)

Pentru faza gazosă în regim de curgere turbulent: Sh  0,023  Re 0,83  Sc 0, 44

Semnificaţia criteriilor şi a mărimilor din relaţiile (6.56) – (6.58) este: Sh  k g 

Re  Sc 

d , criteriul Lui Sherwood; D AB

d  w 



, criteriul lui Reynolds;

3600  , criteriul lui Schmidt,   D AB

în care: kg – coeficientul individual de transfer de masă pentru faza de gaz, în m/h; d – diametrul coloanei, în m; DAB – coeficient de difuziune prin filmul de gaz, în m2/h; 201

(6.58)

w – viteza gazului prin coloană, în m/s;

 - densitatea gazului, în kg/m3;  - vâscozitatea dinamică a gazului, Pas H – înălţimea coloanei, în m. Pentru faza lichidă este valabilă relaţia: Sh  0,725  Re

0, 33

 Sc

0,5

    H

0,5

(6.59)

în care: Sh  k l 

Re 

 3 m

 D AB

4m



, criteriul lui Sherwood pentru faza lichidă;

, criteriul lui Reynols, pentru faza lichidă;

2 - grosimea filmului de lichid, în m; 2  g

Mm - debitul masic specific de lichid, raportat la unitatea de perimetru, în lu

kg/(ms) Mm – debitul masic, în kg/s; lu – perimetrul udat al coloanei, în m. kl – coeficientul individual de transfer de masă pentru faza lichidă, în m/h. Restul mărimilor au semnificaţia de la relaţiile anterioare.



6.6.2. Coeficienţi individuali la coloanele cu umplutură Relaţiile ce urmează se referă la umplutura de inele Raschig. Pentru faza gazosă se poate folosi relaţia: Sh  1,1  Re 0,8  Sc 0,33

(6.60)

în care: Re 

de  m



, criteriul lui Reynols pentru gazul ce curge prin umplutură;

m – debitul masic specific de gaz, în kg/(m2s); de 

l , diametrul echivalent, în m; a

a – suprafaţa specifică a umpluturii în m2/m3;

202

Sh  k g 

d , criteriul Lui Sherwood; D AB

d – valoarea numerică a diametrului unei sfere de volum egal cu volumul unui element de umplutură, în m; kg – coeficientul individual de transfer de masă pentru faza de gaz, în m/h; Pentru faza lichidă, când densitatea de stropire este mai mare de 380 kg/(m2h) şi inelele Rashig au dimensiunile cuprinse între 12şi 50 mm se recomandă relaţia: Sh  0,013  Re 0,5  Sc 0,5

(6.61)

în care:



Sh  k l 

Re 

D AB

de  m



m – debitul masic specific de gaz, în kg/(m2s); Relaţiile se pot folosi în principiu atât în absorbţie cât şi în distilare, dar se menţionează că cele mai multe dintre ele au fost stabilite prin încercări pentru sistemul gaz-lichid.



6.6.3. Coeficienţi individuali în sistemele gaz-solid şi lichid-lichid În operaţia de adsorbţie se recomandă relaţia:

Sh  1,6  Re 0,54

(6.62)

în care: Sh  k g 

Re 

d2 D AB

d  w 



d – diametrul mediu al granulelor de adsorbant, în m; DAB – coeficientul de difuziune la temperatura de adsorbţie, în m2s; W – viteza fictivă a gazului, în m/s. La sistemele lichid-lichid, în care faza organică are    apă şi este dispersată sub formă de picături, se poate folosi relaţia: Sh  178  3,62  Re 0,5  Sc 0,5

(6.63)

Pentru domeniul 50Re800. Dimensiunea caracteristică se ia diametrul picăturii iar pentru viteză, valoarea vitezei de cădere a picăturii prin apă. 203

 6.7.Transferul de masă global Componentul ce se transferă difuzează prin faza iniţială până la interfaţă apoi de la interfaţă difuzează în masa celeilalte faze. Procesele elelmentare de difuzie se desfăşoară în serie. Transferul global ia în considerare ambele procese, ca un tot unitar, cu scopul de a găsi relaţiile de calcul pentru masa transferată. Coeficienţii individuali se corelează într-un singur coeficient numit coeficient global de transfer de masă, valabil pentru studiul procesului de ansamblu. Acelaşi lucru se întâmplă şi cu potenţialele fazelor, care se însumează, rezultând potenţialul global sub acţiunea căruia are loc transferul dintr-o fază în alta. Potenţialul, sub acţiunea căruia are loc procesul de transfer de masă, poate să se menţină constant sau să varieze în timpul transferului. În cazul potenţialului constant, situaţia proceselor de transfer de masă în regim staţionar, fluxul unitar de masă se poate calcula cu relaţia:



n A  K p  p A  p *A



(6.64)

în care: pA – presiunea parţială, în faza gazoasă, a componentului care se transferă;

p *A - presiunea parţială de echilibru, în faza gazoasă, a componentului ce se transferă, şi care corespunde la concentraţia xA din lichid:

Kp 

1 1 k HA  kg kl

- coeficient global de transfer de masă, reprezentând cantitatea de

masă, reprezentând cantitatea de masă transferată dintr-o fază în alta, printr-o unitate de suprafaţă, în unitatea de timp, sub acţiunea unităţii de potenţial; kg, kl – coeficienţii individuali de transfer de masă prin faza gazoasă, respectiv lichidă; kHA – coeficientul lui Henry pentru componentul A Coeficientul global Kp este raportatla faza gazoasă deoarece potenţialul constă din diferenţa presiunilor potenţiale ale gazului transferat. De asemeni fluxul unitar de masă se mai poate calcula cu o relaţie de forma:



n A  K c  x *A  x A



(6.65)

în care: xA – concentraţia gazului în lichid; x *A - concentraţia fictivă a componentului A în faza lichidă căreia i-ar corespunde în

faza gazoasă, conform legii Henry, o presiune parţială egală cu pA;

204

Kc 

1 - coeficient global de transfer de masă, raportat la faza lichidă 1 1  k g  k HA k l

deoarece potenţialul îl formează diferenţa de concentraţii agazului transferat din această fază; Unităţile de măsură ale coeficienţilor globali rezultă din modul de exprimare al parametrilor care intervin în relaţiile de calcul şi anume:

K    p p

n A  kmol 1 kmol  s  2   *  kg  m  A  p A  m  s Pa

sau:

K   p

kg 1 s   2 m  s Pa m

respectiv

K    p p

n A  kmol m 3 kmol  m  2   *  kg kg  s  p m  s A A  

sau:

K c  

kg m 3 m   s m 2  s kg

 1 1 Invesul coeficienţilor individuali  şi  se numesc rezistenţe individuale, iar k   g kl   1 1  inversul coeficienţilor globali  rezistenţe totale. şi K  K p c  

Când coeficienţii individuali sunt de acelaşi ordin de mărime, viteza procesului este determinată în mod egal de ambii coeficienţi. Când una din faze opune o rezistenţă mult mai mică decât cealaltă, deci are coeficientul individual mult mai mare decât cealaltă fază, coeficientul global se apropie ca valoare de coeficientul fazei cu rezistenţa mai mare (deci coeficientul individual mai mic): - la gaze greu solubile kg kl şi atunci Kpkg - la gaze uşor solubile kg kl şi atunci Kpkl

205

Bibliografie 1. Alexandru Rodica, Fenomene de transfer, vol.II, Universitatea Galaţi, 1990. 2. Bratu E. A, Operaţii unitare în ingineria chimică, vol. I, II şi III, Editura Tehinică, Bucureşti, 1984-1985 3. Chiriac F., ş.a., Procese de transfer de căldură şi de masă în instalaţii industriale, Editura Tehinică, Bucureşti, 1982 4. Coulson J., M., ş.a., Chemical Engineering, vol.I, third edition, Pergamon Press, 1977. 5. Florea O., Dima R., Procese de transfer de masă şi utilaje specifice, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1984 6. Florea O., Smigelschi O., Calcule de operaţii şi utilaje în industria chimică, Editura Tehinică, Bucureşti, 1966. 7. Hicri H., ş.a., Coefficients of mass transfer in gas-liquid sistems, Ind. Eng. Chem. Res. Vol.31, n.8, p.1864,1992 8. Kafarov V., Fundamentals of mass transfer, Mir. Publishers, Moscow,1975 9. Banu C.- coordonator si alţii, Manualul inginerului de industrie alimentară, vol.I şi II, Ed. Tehnică, Bucureşti 1998-1999, ISBN:973-31-1180-0, ISBN:973-31-1313-1 10. Dănescu Al. Şi alţii, Termotehnica şi maşini termice, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1985 11. Badea, A. Bazele transferului de caldura si masa. Editura Academiei Române. Bucuresti, 2005. 12. Leca, A. s.a. Îndrumar-Tabele, nomograme si formule termotehnice. Editura tehnica, Bucuresti, 1987. 13.

Leca, A., Mladin, C. E., Stan, M. Transfer de caldura si masa. Editura Tehnica, Bucuresti, 1998.

14.

Stefanescu, D., Leca,A.,Badea, A. s.a. Transfer de caldura si masa - teorie si aplicatii. Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.

15. Jâşcanu Vasile, Căpăţână Ciprian, Văduva Mihai, Albu Sabin – Operaţii şi aparate în industria alimentară, vol.I, Fenomene de transfer de căldură, Ed. ALMA MATER, Sibiu, 2005, ISBN 973-632-258-0 16. Jâşcanu Vasile, Căpăţână Ciprian, Văduva Mihai - Operaţii şi utilaje în industria alimentară, vol.I, Ed. ALMA MATER, Sibiu, 2001, ISBN 973-8230-50-0 17.

Unit

Operations

in

Food

Processing,

http://www.nzifst.org.nz/unitoperations/ 206

Web

Edition,

2004.