Curs - Analiza Numerica

Cuprins I

INTERPOLARE S ¸ I APLICAT ¸ II

7

1 Diferent¸e finite 1.1 Diferent¸e finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ecuat¸ia cu diferent¸e liniar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Sistem fundamental de solut¸ii . . . . . . . . . . . 1.2.2 Determinarea unui sistem fundamental de solut¸ii 1.2.3 Solut¸ia ecuat¸iei cu diferent¸e neomogen˘a . . . . . 1.3 Transformarea z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Elemente din teoria interpol˘ arii 2.1 Sisteme Cebˆı¸sev . . . . . . . . . 2.2 Interpolare Lagrange . . . . . . 2.3 Interpolarea Lagrange-Hermite 2.4 Diferent¸e divizate . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

8 8 11 11 14 17 18

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

24 24 29 30 35

3 Convergent¸a procedeelor de interpolare 3.1 Spat¸ii liniar ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Interpolare ¸si aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Divergent¸a interpol˘arii Lagrange . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Stat¸iu topologic Baire . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Principiul condens˘arii singularit˘a¸tilor . . . . . . . 3.3.3 Norma operatorilor integrali . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Norma operatorului Fourier . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Divergent¸a polinoamelor de interpolare Lagrange

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

47 47 50 51 51 54 55 56 58

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 Formule de derivare numeric˘ a 64 4.1 Aproximarea derivatei prin diferent¸e . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2 Aproximarea derivatei prin interpolare . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5 Formule de integrare numeric˘ a 68 5.1 Natura aproxim˘arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Formule de tip Newton - Cˆotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2

3

CUPRINS

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Formula trapezului . . . . . . . . . . . . . . . . Formula lui Simpson . . . . . . . . . . . . . . . Formule de tip Gauss . . . . . . . . . . . . . . . Formula dreptunghiului (n = 1). . . . . . . . . Cazuri speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Formula de integrare numeric˘a Lobatto 5.7.2 Formula de integrare numeric˘a Radau .

6 Rezolvarea problemelor Cauchy 6.1 Metode de discretizare . . . . . . . . . 6.2 Scheme de calcul de tip Runge - Kutta 6.3 Scheme de calcul de tip Adams . . . . 6.4 Schema de calcul predictor - corector . 6.5 A-stabilitatea schemelor de calcul . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

72 75 77 82 83 83 85

. . . . .

89 89 96 100 103 106

7 Metoda celor mai mici p˘ atrate 114 7.1 Determinarea unui polinom de aproximare . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2 Polinom trigonometric de aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8 Polinoame trigonometrice 119 8.1 O problem˘a de interpolare trigonometric˘a . . . . . . . . . . . . . . 119 8.2 Calculul coeficient¸ilor Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9 Transformarea Fourier discret˘ a 9.1 Transformata Fourier discret˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Algoritmul transform˘arii Fourier discret˘a rapid˘a . . . . . . . . 9.3 Aplicat¸ii ale transformatei Fourier discret˘a . . . . . . . . . . . 9.3.1 Calculul coeficient¸ilor Fourier . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Calculul coeficient¸ilor Laurent . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Determinarea funct¸iei analitice cunoscˆand partea real˘a 9.3.4 Calculul integralei Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

126 . 126 . 129 . 130 . 130 . 131 . 132 . 133

10 Funct¸ii spline cubice 136 10.1 Interpolare cu funct¸ii spline cubice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

II

˘ METODE NUMERICE ˆIN ALGEBRA LINIARA

144

11 Elemente de analiz˘ a matriceal˘ a 145 11.1 Definit¸ii, notat¸ii, propriet˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4

CUPRINS

12 Rezolvarea sistem. algebrice liniare 12.1 Metoda Gauss - Jordan . . . . . . . . . 12.2 Inversarea unei matrice . . . . . . . . . 12.3 Metoda lui Gauss – Factorizarea LU . . 12.4 Factorizarea Cholesky . . . . . . . . . . 12.5 Rezolvarea sistemelor tridiagonale . . . 12.6 Metode iterative . . . . . . . . . . . . . 12.7 Num˘arul de condit¸ionare al unei matrice 13 Transformarea Householder 13.1 Transformata Householder . . . 13.2 Descompunerea QR . . . . . . 13.3 Cea mai bun˘a aproximat¸ie . . . 13.4 Metoda celor mai mici p˘atrate 13.5 Bidiagonalizarea unei matrice . 13.6 Reducerea la forma Hessenberg

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

152 . 153 . 156 . 157 . 167 . 169 . 170 . 175

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

178 . 178 . 180 . 182 . 187 . 188 . 190

14 Valori ¸si vectori proprii 14.1 Forma normal˘a Schur . . . . . . 14.2 Diagonalizarea unei matrice . . . 14.3 Descompunerea valorii singulare 14.4 Raza spectral˘a a unei matrice . . 14.5 Metoda puterii . . . . . . . . . . 14.6 Algoritmul QR . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

191 191 194 196 197 201 201

15 Descompunerea valorii singulare 206 15.1 Descompunerea valorii singulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 15.2 Metoda celor mai mici p˘atrate prin DVS . . . . . . . . . . . . . . . 209 16 Spat¸ii Krylov 16.1 Definit¸ia spat¸iului Krylov . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Descompunerea Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuat¸ii liniare . 16.3.1 Varianta Ritz-Galerkin . . . . . . . . . . . . 16.3.2 Varianta reziduului minimal . . . . . . . . . 16.4 Calculul valorilor ¸si vectorilor propri . . . . . . . . 16.5 Calculul elementului de cea mai bun˘a aproximat¸ie

III

. . . . . . .

REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

211 . 211 . 211 . 213 . 214 . 215 . 215 . 216

217

17 Rezolvarea ecuat¸iilor neliniare 218 17.1 Preliminarii de analiz˘a funct¸ional˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

5

CUPRINS

17.2 17.3 17.4 17.5 17.6

IV

Metoda liniariz˘arii . . . . . . . . . . . . Metoda liniariz˘arii modificat˘a . . . . . . Rezolvarea sistemelor algebrice neliniare Rezolvarea ecuat¸iilor algebrice . . . . . . Rezolvarea ecuat¸iilor polinomiale . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR PRIN OPTIMIZARE

18 Elemente din teoria optimiz˘ arii 18.1 Funct¸ionale diferent¸iabile . . . . . . . . 18.2 Funct¸ionale convexe . . . . . . . . . . . 18.3 Propriet˘a¸ti ale problemei de optimizare 18.4 Metode de descre¸stere . . . . . . . . . . 18.5 Metoda gradientului . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

222 227 228 230 236

242

. . . . .

. . . . .

243 243 245 248 249 250

19 Rezolvarea ecuat¸iilor prin optimizare 253 19.1 Rezolvarea unui sistem neliniar printr-o metod˘a de optimizare . . . 253 19.2 Sisteme algebrice liniare ˆın sensul celor mai mici p˘atrate . . . . . . 254 19.3 Rezolvarea unei ecuat¸ii liniare prin metode de optimizare . . . . . 255

V

ANEXE

A Not¸iuni de teoria erorilor A.1 Eroare absolut˘a ¸si eroare relativ˘a . . . . . . A.2 Reprezentarea numerelor ˆın virgul˘a mobil˘a . A.3 Aritmetica numerelor ˆın virgul˘a mobil˘a . . A.4 Protocolul IEEE 754 . . . . . . . . . . . . . A.5 Controlul erorii . . . . . . . . . . . . . . . .

256

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

257 . 257 . 258 . 259 . 260 . 262

B Implementarea metodelor iterative

266

C Determinarea unor parametri numerici

268

D Ordinul de convergent¸˘ a al unui ¸sir

271

E Determinarea ordinelor de convergent¸˘ a

272

F Scheme Runge-Kutta deduse prin calcul simbolic 277 F.1 Schema de calcul explicit˘a de tip Runge – Kutta ˆın 4 trepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

6

CUPRINS

F.2 Schema de calcul implicit˘a de tip Runge – Kutta ˆın 2 trepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 G Reprezentarea mult¸imii de A-stabilitate

285

Bibliografie

287

Partea I

INTERPOLARE S ¸I APLICAT ¸ II

7

Capitolul 1

Diferent¸e finite 1.1

Diferent¸e finite

Diferent¸ele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind integrarea ¸si derivarea numeric˘a, integrarea ecuat¸iilor diferent¸iale ordinare ¸si cu derivate part¸iale. Funct¸iile care intervin ˆın acest capitol sunt funct¸ii reale de o variabil˘a real˘a. Printr-o diferent¸˘a finit˘a de ˆınt¸elege un operator de forma Γh f (x) = Af (x + ah) − Bf (x + bh)

(1.1)

unde A, B, a, b sunt constante reale. Se observ˘a caracterul liniar al operatorului Γh (λf + µg) = λΓh f + µΓh g. Diferent¸ele finite de ordin superior se introduc recursiv Γ0h f

= f

Γnh f

= Γh (Γn−1 h f ),

n > 1.

Diferent¸ele finite uzuale sunt: • diferent¸a finit˘a progresiv˘a 4h f (x) = f (x + h) − f (x); • diferent¸a finit˘a regresiv˘a ∇h f (x) = f (x) − f (x − h); • diferent¸a finit˘a centrat˘a δh f (x) = f (x + 8

h h ) − f (x − ). 2 2

9

1.1. DIFERENT ¸ E FINITE

ˆIn cele ce urmeaz˘a vom studia doar diferent¸ele finite uzuale. Formulele explicite de calcul ale unei diferent¸e finite de ordin superior sunt Teorema 1.1.1 Au loc egalit˘ a¸tile:  n (−1)n−k f (x + kh); k=0 k   Pn n n (ii) ∇h f (x) = k=0 (−1)k f (x − kh); k   Pn n (iii) f (x + nh) = k=0 4kh f (x); k   Pn n (−1)k ∇kh f (x). (iv) f (x − nh) = k=0 k (i)

4nh f (x) =

Pn



(1.2)

Demonstrat¸ie. 4nh f (x) se exprim˘a ca o combinat¸ie liniar˘a a valorilor lui f ˆın x, x + h, . . . , x + nh, adic˘a are loc o formul˘a de forma 4nh f (x) =

n X

Ak f (x + kh).

k=0

Pentru determinarea coeficient¸ilor (Ak )0≤k≤n , alegem f (x) = ex ¸si atunci ex (eh − 1)n =

n X

Ak ex+kh .

k=0

Dezvoltˆand binomul din membrul stˆang g˘asim  n n  X X n Ak ex+kh . (−1)n−k ex+kh = k k=0

k=0

 n Identificˆand coeficient¸ii lui g˘asim Ak = (−1)n−k , adic˘a relat¸ia (i). k ˆIn mod asem˘an˘ator se pot justifica ¸si celelelte relat¸ii. Stabilim o serie de propriet˘a¸ti ale diferent¸ei finit˘a progresiv˘a. Rezultate asem˘an˘atoare se pot deduce ¸si pentru celelalte diferent¸e finite. ex+kh



Teorema 1.1.2 (Teorema de medie) Dac˘ a funct¸ia f este derivabil˘ a de ordin n atunci exist˘ a c ∈ (x, x + nh) astfel ˆıncˆ at 4nh f (x) = hn f (n) (c).

(1.3)

10

CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE

Demonstrat¸ie. Prin indut¸ie matematic˘a dup˘a n, pentru n = 1, utilizˆand teorema de medie a lui Lagrange avem succesiv 4h f (x) = f (x + h) − f (x) = hf 0 (c)

x < c < x + h.

Presupunem relat¸ia (1.3) adev˘arat˘a pentru diferent¸ele de ordin n−1. Dac˘a g(x) = f (x) 4n−1 n hn−1

atunci 4h (4hn−1 f (x)) 4nh f (x) = = hn hn

n−1 4h f (x+h) hn−1

− h

n−1 4h f (x) hn−1

=

f (x) d 4n−1 g(x + h) − g(x) = g 0 (˜ c) = [ h n−1 ]|x=˜c h dx h unde x < c˜ < x + h. Deoarece operatorul de derivare comut˘a cu operatorul de diferent¸˘a finit˘a, rezult˘a c˘a =

0 4n−1 4nh f (x) d 4hn−1 f (x) h f (x) = [ ]| = |x=˜c . x=˜ c hn dx hn−1 hn−1 Utilizˆand ipoteza induct¸iei,

4hn−1 f 0 (x) 4nh f (x) = |x=˜c = (f 0 )(n−1) (c) = f (n) (c), hn hn−1 unde x < c˜ < c < c˜ + (n − 1)h < x + nh. Observat¸ie 1.1.1 Presupunˆand c˘a funct¸ia f are derivata de ordinul n continu˘a, pentru h → 0, din (1.3) rezult˘a 4n f (x) lim h n = f (n) (x). (1.4) h→0 h Diferent¸a finit˘a progresiv˘a de ordin superior pentru produsul a dou˘a funct¸ii generalizeaz˘a formula lui Leibniz Teorema 1.1.3 (Formula lui Leibniz) Are loc formula:  n  X n n 4kh f (x)4hn−k g(x + kh) 4h f (x)g(x) = k

(1.5)

k=0

Demonstrat¸ia teoremei se face prin induct¸ie matematic˘a dup˘a n. Observat¸ie 1.1.2 S˘a presupunem c˘a funct¸iile f, g au derivata de ordinul n continu˘a. ˆImp˘art¸ind (1.5) la hn ¸si utilizˆand Observat¸ia 1.1.1, pentru h → 0, obt¸inem  n  X n (n) (1.6) (f (x)g(x)) = f (k) (x)g (n−k) (x). k k=0

11

˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA

1.2

Ecuat¸ia cu diferent¸e liniar˘ a ¸si cu coeficient¸i constant¸i

Consider˘am ecuat¸ia cu diferent¸e (h = 1) αp 4p u(n) + αp−1 4p−1 u(n) + . . . + α1 4u(n) + α0 u(n) = fn+p

∀n ∈ N.

unde necunoscut˘a este funct¸ia u : N → R, iar coeficient¸ii α0 , . . . , αp sunt constante reale. Explicitˆand diferent¸ele finite progresive ˆın funct¸ie de valorile funct¸iei (1.2) obt¸inem ap un+p + ap−1 un+p−1 + . . . + a1 un+1 + a0 un = fn+p

n ∈ N,

(1.7)

unde un = u(n). Presupunem c˘a a0 · ap 6= 0. ˆIn cele ce urmeaz˘a, numim (1.7) ecuat¸ie cu diferent¸e liniar˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i, de ordin p ¸si se cere solut¸ia care verific˘a ˆın plus condit¸iile init¸iale u0 = v0 u1 = v1 ... up−1 = vp−1

(1.8)

Teorema 1.2.1 Exist˘ a cel mult o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e (1.7) care verific˘ a condit¸iile (1.8). ˆIn prealabil studiem ecuat¸ia cu diferent¸e omogen˘a, liniar˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i ap un+p + ap−1 un+p−1 + . . . + a1 un+1 + a0 un = 0

n ∈ N,

(1.9)

Teorema 1.2.2 Mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei cu diferent¸e omogen˘ a, liniar˘ a ¸si cu coeficient¸i constant¸i formeaz˘ a un spat¸iu liniar.

1.2.1

Sistem fundamental de solut¸ii

Teoria ecuat¸iei cu diferent¸e omogen˘a, liniar˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i este asem˘an˘atoare cu cea a ecuat¸iei diferent¸iale liniar˘a, omogen˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i. Definit¸ie 1.2.1 S ¸ irurile (u1n )n∈N , . . . , (upn )n∈N sunt liniar independente dac˘ a rela¸tiile λ1 u1n + . . . + λp upn = 0, ∀n ∈ N implic˘ a λ1 = . . . = λp = 0.

12

CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE

Teorema 1.2.3 S ¸ irurile (u1n )n∈N , . . . , (upn )n∈N , solut¸ii ale ecuat¸iei (1.9) sunt liniar independene dac˘ a ¸si numai dac˘ a au loc relat¸iile u1n ... upn u1n+1 . . . upn+1 6= 0, 4n = ∀n ∈ N. (1.10) ... . . . ... p u1 n+p−1 . . . un+p−1 Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd c˘a exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat 4n = 0. Atunci sistemul algebric de ecuat¸ii liniare ¸si omogene λ1 u1n + ... + λp upn =0 p 1 λ1 un+1 + . . . + λp un+1 = 0 ... ... ... ... λ1 u1n+p−1 + . . . + λp upn+p−1 = 0

(1.11)

ˆın necunoscutele λ1 , . . . , λp , admite o solut¸ie nebanal˘a notat˘a la fel. ˆInmult¸ind ecuat¸iile sistemului, respectiv cu − a0 , . . . , − ap−1 ¸si sumˆand egalit˘ a¸tile ap ap astfel obt¸inute, rezult˘a λ1 (−

p−1 p−1 1 X 1 X ai u1n+i ) + . . . λp (− ai upn+i ) = 0. ap ap i=0

Deoarece potrivit ipotezei, ¸sirurile (ujk )k∈N , cu diferent¸e (1.9), ultima egalitate devine

i=0

j = 1, . . . , p sunt solut¸ii ale ecuat¸iei

λ1 u1n+p + . . . + λp upn+p = 0. Observ˘am c˘a aceast˘a egalitate completeaz˘a relat¸iile sistemului (1.11). Reluˆand a ˆınmult¸irea ultimelor p egalit˘a¸ti, respectiv prin − aap0 , . . . , − p−1 si adunarea lor ap ¸ deducem λ1 u1m + . . . + λp upm = 0 ∀m ≥ n. Procedˆand asem˘an˘ator, ˆınmult¸im ecuat¸iile sistemului (1.11), respectiv cu a − aa01 , . . . , − ap0 ¸si sumˆand egalit˘a¸tile astfel obt¸inute, g˘asim p p 1 X 1 X 1 λ1 (− ai un+i−1 ) + . . . λp (− ai upn+i−1 ) = 0, a0 a0 i=1

i=1

sau λ1 u1n−1 + . . . + λp upn−1 = 0. Repetˆand, deducem λ1 u1m + . . . + λp upm = 0 ∀m ≤ n.

13

˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA

ˆIn felul acesta contrazicem liniar independen¸aa ¸sirurilor. Reciproc, presupunem prin absurd c˘a ¸sirurile (ujk )k∈N , j = 1, . . . , p nu sunt liniar independente, existˆand constantele λ1 , . . . , λp , nu toate nule astfel ˆıncˆat λ1 u1n + . . . + λp upn = 0,

∀n ∈ N.

Pentru orice n ∈ N, sistemul (1.11) are o solut¸ie nebanal˘a, deci 4n = 0, ceea ce nu se poate. Definit¸ie 1.2.2 p ¸siruri solut¸ii ale ecuat¸iei (1.9) ¸si liniar independente formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii. Important¸a unui sistem fundamental este reliefat˘a ˆın a un sistem fundamental Teorema 1.2.4 Dac˘ a (ujk )k∈N , j = 1, . . . , p formeaz˘ de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e (1.9) atunci pentru orice alt˘ a solut¸ie (uk )k∈N a ei, exist˘ a constantele c1 , . . . , cp astfel ˆıncˆ at un = c1 u1n + . . . + cp upn ,

∀n ∈ N.

Demonstrat¸ie. Consider˘am sistemul algebric de ecuat¸ii liniare ˆın necunoscutele c1 , . . . , cp = u0 c1 u10 + . . . + cp up0 1 = u1 c1 u1 + . . . + cp up1 (1.12) ... ... ... ... c1 u1p−1 + . . . + cp upp−1 = up−1 Determinantul sistemului fiind diferit de 0, sistemul (1.12) admite o solut¸ie unic˘a notat˘a tot c1 , . . . , cp . ˆInmult¸ind ecuat¸iile sistemului (1.12) respectiv cu − a0 , − a1 , . . . , − ap−1 ¸si sumˆand ap ap ap egalit˘a¸tile astfel obt¸inute deducem c1 (−

p−1 p−1 p−1 1 X 1 X 1 X ak u1k ) + . . . + cp (− ak upk ) = − ak uk , ap ap ap k=0

k=0

k=0

sau c1 u1p + . . . + cp upp = up . Repetˆand rat¸ionamentul, din aproape ˆın aproape obt¸inem un = c1 u1n + . . . + cp upn ,

∀n ∈ N.

(1.13)

14

CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE

1.2.2

Determinarea unui sistem fundamental de solut¸ii

C˘aut˘am solut¸ii ale ecuat¸iei cu diferent¸e omogene (1.9) sub forma unei progresii geometrice uk = xk , k ∈ N. Rezult˘a c˘a x trebuie s˘a fie r˘ad˘acina polinomului caracteristic f (x) = ap xp + ap−1 xp−1 + . . . + a1 x + a0 . Not˘am prin x1 , . . . , xp r˘ad˘acinile acestui polinom. Cazul r˘ ad˘ acinilor distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a. Teorema 1.2.5 Dac˘ a x1 , . . . , xp sunt r˘ ad˘ acini distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a ale polinomului caracteristic atunci ¸sirurile (xn1 )n∈N , . . . , (xnp )n∈N formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e omogem˘ a (1.9). Demonstrat¸ie. Verific˘am condit¸ia de liniar independent¸˘a, dat˘a ˆın Teorema 1.2.3, a celor p ¸siruri. n x1 . . . xnp n+1 n+1 x1 . . . x p = 4n = . ... ... . .n+p−1 n+p−1 x . . . x p 1 Y = (x1 · . . . · xp )n V (x1 , . . . , xp ) = (x1 · . . . · xp )n (xi − xj ) 6= 0. 1≤j