Metode Meto de Nu Nume meri rice ce Ingi In gine neri riee El Elec ectr tric icaa an II 2011-2012 Curs 5 + 6 Meto Me tode de nu nume meri rice ce de in inte terp rpol olar aree şi ap aproximare a funcţiilor Aplicaţii în ingineria electrică Parte I
Noţiun iunii de de inte interpo rpolar laree a func funcţiilor numerice
dr. ing. mat. Dan D. MICU Direct Dir ector or - La Labor borato atorr de Cerce Cerceta tare re în Meto Metode de Nume Numeric rice e Departamentul de Electrotehnic ă, Inginerie Electric ă E-mail: Dan.Micu@e
[email protected] t.utcluj.ro
Exempl Exem plee de apl aplic icaaţii pr prac acti tice ce din din ing ingin iner eria ia el elec ectr tric ică în care ca re in intter ervi vine ne ap apro roxi xim mar area ea pr prin in in inte terp rpol olar aree a fun funccţiilor
Exempl Exem plee de apl aplic icaaţii pr prac acti tice ce din din ing ingin iner eria ia el elec ectr tric ică în care ca re in intter ervi vine ne ap apro roxi xim mar area ea pr prin in in inte terp rpol olar aree a fun funccţiilor
Aplicaţie 1 - Amp mpla lasa sare reaa tab ablo louuri rilo lorr de di dist strrib ibuuţie Amplasarea
tablourilor de distribuţie a en energiei electrice într-o construcţie in indu dust stri rial ală se fa face ce în fa faza za proiectări riii in inst stal alaaţie ieii el elec ectr tric icee, pe baz b azaa de dete term rmin inării mo mome ment ntel elor or mi mini nime me al alee cu cure rennţilor ceruţi. În
relaţiile de calcul a acestor momente ale curenţilor ceruţi în instalatie, intr ă co coef efic icie ient ntul ul nu numi mit: t: de influenţă. Ac Acest coeficient este dete terrmi minnat ex expper erim imen enta tall in cateva valori in functie de numarul receptoarelor! se cunoaşte o formă analitică de variaţie a ac aces estu tuii co coef efic icie ient nt,, iden id enti tifi fica care reaa pu punc ncte telo lorr de mini minim m ale mome moment ntel elor or cu cure rennţilor ceruţi devine o problemă relativ simplă, fiindcă se reduce la evaluarea unei funcţii analitice, datorată coef coeficien icientului tului depen dependent dent de număru rull de re rece cept ptoa oare re Dacă
se re rezolva prin aproximarea unei curbe de variatie a coef co efic icie ient ntul ului ui de in infl flue uent ntaa cu aj ajut utor orul ul me meto tode delo lorr nu nume meri rice ce Aplicatia
Este dat un set de valori experimentale pentru coeficientul de influenta, care cu functii elementare adoptate dupa modul de variatie grafica a punctelor, se va proceda la aproximare
Aplicatia 2- Testarea izolatorilor liniilor electrice aeriene În faza de fabricaţie a izolatorilor siliconici de pe liniile electrice aeriene, testarea rezistenţei superficiale a acestora reprezintă o problemă de importanţă considerabilă!
Str ă pungerea izolatorilor
Metoda de testare presupune alimentarea bornelor unui izolator cu o tensiune foarte ridicată şi efectuarea mai multor măsur ători de încercare, până la str ă pungerea izolaţiei, conform schemei electrice de principiu de mai jos
Montaj de testarea a izolatorilor În urma efectuării încercărilor se stabilesc funcţii numerice de dependenţă între valorile rezistenţei de izolaţie şi nivelul tensiunilor aplicate. Pentru aflarea rezisten ţei pentru orice nivel de tensiune electrică, se apelează la interpolarea numerică a funcţiilor de dependenţă reieşite.
Aplicatia 3 - Stabilirea cantităţilor de energie consumate, pe baza înregistr ărilor de putere – curba de sarcină zilnică (prelucrarea curbelor de sarcină prin interpolare) Se consideră un receptor de energie electrică pentru care se cunoa şte curba de sarcină zilnică referitoare la puterea activă consumată. Se cere să se determine energia activă zilnică consumată de receptor, pe baza prelucrării curbei de sarcină prin integrare numerică
Aplicatie 4 - Aproximarea numerică a caracteristicii de mers în gol a unui generator sincron cu polinoame de interpolare şi funcţii spline Se
consider ă un generator sincron, pentru care s-a ob ţinut experimental (prin măsurarea tensiunii la bornele generatorului pentru anumite valori, de regulă echidistante, ale curentului de excita ţie, în condiţii de mers în gol) caracteristica de mers în gol care reprezint ă dependenţa tensiunii la borne U de curentul de excitaţie Ie, în condiţii de funcţionare în gol (curent statoric I=0 sau, cu alte cuvinte, sarcină nulă la bornele generatorului). U 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0
Valorile
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5 I e
determinate pe cale experimentală constituie cele n +1 puncte distincte cunoscute ale funcţiei y = f (x) în intervalul [ a , b ] , unde y reprezintă tensiunea la borne , iar x curentul de excitaţie Ie
ncărcarea inteligentă a vehiculelor electrice – “smart charging”, pentru mentinerea echilibrului în sistemele de distributie a energiei electrice;
Evaluarea
dinamică a încarcarii LEA, datorită fermelor eoliene şi variatiei vitezei vântului; pe masur ă ce creşte viteza vântului, creşte şi puterea generată de fermele eoliene, dar se realizează şi o ventilaţie naturală accentuată a liniilor electrice de evacuare a puterii, deci creşte capacitatea de încărcare a liniilor existente; Alimentarea
ventilatoarelor electrice de la panouri fotovoltaice – aproximarea curbelor de functionare; Aplicatie: ferme avicole; Evaluarea
rezistivităţii volumice a materialelor utilizate la terminalele cablurilor de medie tensiune; Se studiază posibilitatea apariţiei unor defecte prin descărcări parţiale; caracteristicilor de străpungere a gazelor de stingere a arcului electric din întreru toarele de înalta tensiune Determinarea
Discriminarea
între curenţii interni de defect şi curentii de magnetizare într-un transformator; Aplicaţie: implementare curbă analitică în relee digitale de protecţie; Standardizarea prin aproximare a variaţiei spaţiale a curenţilor de întoarcere ai tr ăsnetelor, pe baza unor curbe numerice; Aproximarea curbelor de magnetizare corespunzătoare fenomenului de fero-rezonanţă - poate genera supratensiuni şi supracurenţi în sistemele energetice; Aproximarea variaţiei spaţiale a inductivităţii unui motor liniar cu reluctanţă variabilă; pe baza acestei caracteristici, se studiază performanţele motorului în diferite condiţii de alimentare; Stabilirea caracteristicii flux – curent în proiectarea senzorilor de câmp magnetic; Aplicaţii: detectarea conductelor metalice, detecţia submarinelor, măsur ători geofizice; Aproximarea polinomială sau cu funcţii hiperbolice a curbelor de magnetizare a materialelor magnetice Variaţia cu temperatura a punctului optim de func ţionare al pilelor electrice de combustie;
LEA
de înaltă tensiune se modelează prin cuadripoli; Atunci când lungimea unei linii este mai mare de 300 km, iar tensiunea de linie mai mare de 220 kV, acestea pot fi asimilate unor linii electrice lungi. În consecinţă, în calculul parametrilor cuadripolilor trebuie aplicate anumite funcţii de corecţie, pentru luarea în considerare a caracterului uniform distribuit al acestor parametri; Aproximarea caracteristicii de mers în gol a hidrogeneratoarelor: dependenţa tensiune la borne – curent de excitaţie; în funcţie de această caracteristică şi reglajele efectuate, se realizează cuplarea la reţea / intrarea în sistemul energetic al generatoarelor Aproximare
polinomială pentru caracteristica semiconductoare si eroarea introdusa prin aproximare:
unei
diode
⎛ uv ⎞ i(u ) = Is ⎜⎜ e − 1⎟⎟, Is = 10− 6 (A ), v = 0.027(V ) ⎝ ⎠ Să
se determine o aproximare polinomial ă pentru caracteristica de magnetizare si eroarea introdusa prin aproximare ⎛ μH ⎞ ⎟⎟, μ 0 = 4π10−7 , Bs = 1.7(T ), μ = 104 μ 0 ⎝ Bs ⎠
B = μ 0 H + Bs th ⎜⎜
valorilor tensiunii electrice induse în conductele metalice subterane, datorită influenţelor electromagnetice exercitate de către liniile electrice aeriene de înaltă tensiune; Determinarea
valorilor magnetostricţiunii în miezul magnetic al motoarelor electrice; magnetostricţiunea conduce la vibratii nedorite; Determinarea
Investigarea
fenomenului corona în gazele compozite care formează mediul de izolaţie al întreruptoarelor de înalta şi medie tensiune; Interpretarea
rezultatelor pneumografiei (tomografie pulmonar ă), aplicată pacienţilor din zonele miniere; pune în evidenţă prezenţa prafului feromagnetic; Studiul
descreşterii cu temperatura a rezistenţei înf ăşur ărilor maşinilor electrice utilizate în pompajul fluidelor criogenice; Aplicaţii: transportul gazelor naturale sub formă lichidă;
Introducere
În aplicaţiile din domeniul electrotehnic nu se cunoa şte expresia analitică a funcţiei care trebuie aproximată ci doar valorile ei întrun anumit număr de puncte (tabelate - obţinute din calcule sau măsurători experimentale) urmărindu-se determinarea aproximativă a valorilor corespunz ăt oare unor alte puncte diferite de cele date.
Aproximarea unei funcţii exprimată analitic sub forma unor formule explicite, implicite sau parametrice, sub forma unor serii, sau a unui algoritm se face cu scopul simplificării calculelor de evaluare a mărimii funcţiei , a derivatelor acesteia sau a integralei definite.
unei funcţii definită sub formă numerică (dată tabelar) în urma unor măsurători experimentale, presupune aproximarea ei (interpolarea) în intervalele dintre nodurile re ţelei în orice punct al domeniului de definiţie. Evaluarea
Cea
mai simplă metodă de interpolare a unei funcţii definită sub formă numerică prin coordonatele (xi,yi) ale unor puncte numite noduri, constă în aproximarea funcţiei cu un polinom pentru a putea fi prelucrată în continuare (interpolare, derivare, integrare etc) evaluarea func ţiei reducându-se la operaţii aritmetice elementare (adunări şi înmulţiri). măsoar ă la momente discrete x0, x1...,xn (noduri), valorile unor funcţii f(x) şi se pune problema de a găsi valorile sale în alte puncte diferite de noduri. Se
Funcţia de aproximare este de forma:
f ( x ) ≅ g ( x; a 0 , a1 ,..., a n )
- model matematic.
g ( x, a 0 ,..., a n ) = a 0 g 0 ( x) + a1 g 1 ( x ) + ... + a n g n ( x) g ( x; a 0 , a1 ,..., a n ) = a 0 g ( x; a0 , a1 ,..., a n ) = a0
+ a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n
- interpolare liniar ă - interpolare polinomială
+ a1e xi + a2 e 2 xi + ... + an e nxi , i = − 1 - interpolare trigonometrică
+ a1 x + ... + a n x n g ( x; a 0 ,..., a n , b0 ,..., bm ) = b0 + b1 x + ... + bm x m a0
- interpolare raţională
Dacă nu există informaţii asupra problemei tehnice care a generat
modelul matematic, atunci cel mai des se utilizeaz ă pentru interpolare polinoame! Avantaje:
valoarea polinoamelor se calculeaz ă uşor;
sumele, diferenţele, produsele de polinoame au ca rezultat polinoame;
prin
derivare şi integrare (care se fac uşor), rezultă tot polinoame;
teoria interpolării polinomiale este simpl ă şi bine pusă la punct.
Aproximarea prin polinoame a funcţiilor Se porneşte de la teorema lui Weierstrass care are următorul enunţ:
Fie f o funcţie definită şi continuă pe intervalul [a , b], f ∈ C[a , b ],∀ε > 0, ∃ p n (x ) polinom de gradul n
∀x ∈ [a , b]
f (x ) − p n (x ) < ε
I. Interpolarea polinomială În aplicaţiile electrotehnice alegerea funcţiei de aproximare se bazează şi pe cunoaşterea formei funcţiei care trebuie aproximată ţinând cont de informaţiile asupra aplicaţiei practice care a generat modelul matematic. Problema care se pune este determinarea polinomului pn(x) care satisface relaţia de mai sus.
x 0 , x1 , ..., x n ∈ [a , b] → f (x 0 ), f (x1 ), ..., f (x n ), x i ≠ x j , i ≠ j
p n (x i ) = f (x i ), i = 0, n
Demonstratie pe tabla 1: Unicitatea polinomului de interpolare
Problema interpolării presupune parcurgerea etapelor:
determinarea coeficienţilor polinomului de interpolare prin rezolvarea unui sistem liniar de ecuaţii algebrice evaluarea polinomului de interpolat
Această variantă de interpolare poate fi aplicată doar pentru valori mici ale gradului polinomului (n
