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Capítulo 8.- TEORIA DE CONJUNTOS Introducción La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se desarrolló desde fines del siglo XIX. Ha introducido términos como pertenencia, inclusión, unión y otros con significados rigurosos y su uso sin dudas ha permitido mejorar la presición del lenguaje en áreas de conocimiento como la teoría de relaciones y funciones, la teoría de las probabilidades y otras. Conocerla, al menos en sus aspectos fundamentales, es una necesidad para cualquier estudiante de ciencias, por ello su presencia en la curríula de matemática para Ingeniería Agronómica. NOCIONES DE CONJUNTO Y DE ELEMENTO Un conjunto es cualquier agrupación o colección de objetos o entidades. Un elemento es cada uno de los objetos que forman un conjunto. Los conjuntos se designan o anotan generalmente con una letra mayúscula. Sus elementos se encierran entre llaves y si son literales, generalmente se usan minúsculas. Por ejemplo, el conjunto A, formado por los elementos 1, 2 y 3, se anota así: A = {1,2,3}

DEFINICION ( O DETERMINACION) DE UN CONJUNTO Un conjunto está definido o está determinado cuando se conocen todos y cada uno de los elementos que lo forman. Se usan dos maneras para definir un conjunto: a) extensión o enumeración b) comprensión. DEFINICION POR EXTENSION O ENUMERACIÓN Un conjunto está definido por extensión o enumeración cuando para conocer los elementos que lo forman, éstos se nombran o enumeran uno a uno. Ejemplo: si decimos que el conjunto M está formado por los elementos –5 y 7, y anotamos M = {− 5;7} , lo hemos definido por extensión. DEFINICION POR COMPRENSION Un conjunto está definido por comprensión cuando sus elementos se conocen a través de una propiedad que les es común a ellos y sólo a ellos. Esa propiedad suele adquirir la forma de una función proposicional que se transforma en una proposición verdadera (V) sólo cuando a su/s variable/s se le/s asignan como valores los elementos de ese conjunto. En el caso de conjuntos de interés matemático la función proposicional suele tener forma de una ecuación, o también de una inecuación. Ejemplo: el mismo conjunto M del caso anterior puede ser definido por comprensión así: M = { x / x 2 − 2 x − 35 = 0}

El símbolo “x/…” se lee: x, tal que… EQUIVALENCIA DE AMBAS DEFINICIONES

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Analicemos la equivalencia de las dos formas de definición utilizadas. En la definición por comprensión, la función proposicional usada es la ecuación de segundo grado en una incógnita, x 2 − 2 x − 35 = 0 , que sólo se satisface como igualdad para sus raíces , que calculamos a continuación, con la fórmula de Baskara: x=

− ( −2) ± ( −2) 2 − 4.1.( −35 ) − b ± b 2 − 4.a.c 2 ±12 . = = 2.a 2 .1 2 De allí, x1 = 7 y x 2 = −5

Estos dos números son, precisamente, los elementos de M enumerados en la otra forma usada. Concluimos entonces que ambas formas definen al mismo conjunto y, por ello, son equivalentes. Debe entenderse también que la función proposicional x 2 − 2 x − 35 = 0 , permite comprender que el conjunto M está formado por los números –5 y 7, aún cuando éstos no sean nombrados explícitamente, pues ellos son los únicos números que la transforman en una proposición verdadera. DOS CONJUNTOS ESPECIALES Es frecuente, en esta teoría, la referencia a dos conjuntos que debemos distinguir como especiales: a) el conjunto vacío (simbolizado con φ) b) el conjunto universal (simbolizado con U) El conjunto vacío es el que no tiene elementos. El conjunto universal es el que reúne a todos los elementos de que se trata. DIAGRAMAS DE VENN-EULER Los diagramas de Venn-Euler están formados por curvas que encierran a los elementos de un conjunto del cual se necesita proponer un gráfico representativo. La letra mayúscula que lo nombra se coloca afuera de la curva. Ejemplo: A

Si A = {1,2,3} , el gráfico será A

x1 x

2 x

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El único conjunto que se representa gráficamente de un modo distinto es el universal U, pues para él se utiliza un rectángulo y su nombre se coloca en el interior, generalmente en el ángulo superior izquierdo. U

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Es también frecuente el uso de los dos diagramas que siguen, llamados diagramas de distribución, cuya utilidad se apreciará en sus aplicaciones. U A

B

U

B

A C LA PERTENENCIA La pertenencia es un concepto que permite observar la posición de un elemento cualquiera, con respecto a un conjunto, también cualquiera. Así, dados un elemento y un conjunto cualesquiera, diremos que: a) el elemento pertenece al conjunto, o bien b) El elemento no pertenece al conjunto. Los símbolos usuales son ∈( pertenece ) y ∉(no pertenece). Ejemplo: sea M = { x / x 2 − 2 x − 35 = 0} . a) − 5 ∈ M es una proposición V (verdadera). 7 ∈ M es una proposición V. b) 2 ∉ M es una proposición V. c) 4 , 25 ∈M es una proposición F (falsa). d) e) − 5 ∉ M es una proposición F. En síntesis: la pertenencia sólo se debe usar para comparar la posición de un elemento con respecto a un conjunto. El formato usual es [elemento] ∈ [conjunto], o bien [elemento] ∉[conjunto], en donde los corchetes se deben interpretar como los lugares que en general han de ocupar las entidades que se comparan. LA INCLUSION La inclusión es un concepto que permite comparar la ubicación de un conjunto con respecto a otro conjunto. Definición: un conjunto A está incluido en otro conjunto B si, y sólo si, todos los elementos de A lo son también de B. Los símbolos usuales en este caso son: • •

⊂ (…está incluido en…)

⊄ (…no está incluido en…) 3

• ⊃ (…incluye a…) Con estos símbolos, podemos enunciar la definición de inclusión así: A ⊂ B ⇔ x∈ A⇒ x∈ B

o, usando el condicional contrarrecíproco (equivalente): A ⊂ B ⇔ x∉ B ⇒ X ∉ A

Propiedades de la inclusión: 1º) Propiedad Reflexiva: todo conjunto está incluido en sí mismo. 2º) Propiedad Transitiva:

A⊂ B∧ B⊂ C ⇒ A⊂ C

3º) El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto. ∀A : φ ⊂ A ∀A : A ⊂ U

4º) Todo conjunto está incluido en el Universal: U A

CONJUNTOS IGUALES Definición:

A= B⇔ A⊂ B∧B⊂ A

Propiedades de la igualdad de conjuntos: 1º) Propiedad Reflexiva: ∀A : A = A A=B⇒ B= A 2º) Propiedad Simétrica: 3º) Propiedad Transitiva: A = B ∧ B = C ⇒ A = C OPERACIONES CON CONJUNTOS I- UNION DE DOS CONJUNTOS

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∀A : A ⊂ A

C = A ∪ B ⇔ A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

Definición: Gráficamente:

U A

B

A∪ B Propiedades:

A∪ A = A

1º) Propiedad de Idempotencia:

2º) Propiedad Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A 3º) Propiedad Asociativa:

( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )

Casos particulares: 1º) Si un conjunto está incluido en otro, la unión de ambos es el conjunto incluyente. A ⊂ B ⇒ A∪ B = B Gráficamente: B A A∪ B

Por lo tanto: a) A ∪φ = A ; b) A ∪ U = U .

II- INTERSECCION DE DOS CONJUNTOS C = A ∩ B ⇔ A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}

Definición: Gráficamente: U A

Propiedades:

B

A∩ B

1º) Propiedad de Idempotencia:

A∩ A = A

2º) Propiedad Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A

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( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

3º) Propiedad Asociativa: Casos particulares:

1º) Si un conjunto está incluido en otro, la intersección de ambos es el conjunto incluido. A ⊂ B ⇒ A∩ B = A Gráficamente: B A A∩ B Resulta, entonces, que: c) A ∩φ = φ ; d) A ∩ U = A . 2º) Si la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío, los dos conjuntos se dicen disyuntos, y recíprocamente. A ∩ B = φ ⇔ A es disyunto con B Gráficamente: U A

B

III- COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS Definición: se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos de U, que no pertenecen a A. El complemento de A se denota con A´, o con A . Usaremos preferentemente la segunda notación. Entonces: A = { x / x ∈U ∧ x ∉ A} , o bien, A = { x / x ∉ A} En forma gráfica: U A A

Propiedades de la complementación: 1º) Propiedad Involutiva:

( A) = A

2º) A ⊂ B ⇒ B ⊂ A

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PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS La unión y la intersección de conjuntos se relacionan a través de dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación: I) Propiedad distributiva de la unión, con respecto a la intersección

( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) II) Propiedad distributiva de la intersección, con respecto a la unión

( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) LEYES DE DE MORGAN A su vez, la unión y la intersección de conjuntos se relacionan con la complementación de conjuntos a través de otras dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación: I)

Primera ley de De Morgan

( A ∪ B) = A ∩ B II)

Segunda ley de De Morgan

( A ∩ B) = A ∪ B IV- DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS Definición:

C = A − B ⇔ A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}

Gráficamente: U A

B

A - B Observación: la diferencia de conjuntos no es conmutativa. A-B ≠ B-A Propiedades: 1º)

A-B = A ∩ B

2º) Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la diferencia:

( A − B) ∩ C = ( A ∩ C ) − ( B ∩ C )

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