Cum.se.Rezolva.o.problema.de.Matematica Clasele.2 4 Ed.nomina

,Nb

Alexandrina Dumitru(coord.)

Cumse rezolvi o problemede matematici Strategii, metode,exempledin subiectele propuse pentruconcursul,,Fiiinteligentla matematici,,

THSE{

ffi{oededtB Stet50 EdituraNOMINA

Ediior Alexandru Ceang; prinpogterElena Pentru cornenzi lordichescu {07s7.020.442) lonulLungu (0757.020.444) Reprezentanl zona

Zona

Dobrin |ta us(0741488.918) 0tenta(Dotj corjstvehedinjr), Bana1, Criqanas Transitvan a (Sdtaj Cuj, Nlureg, Haruhla, Covasna, Alba Hunedoara) E / Cep,reanu Alin(0751.207.922)oilenia (V,tcea giOt),Transtvan giSbu)9i[,tuntenia a (Braqov (Arue$, Teleoman giGiuqiu) s,s,manTraian (0757.020.443) Iransvafia(ud. Etsirita Nasaud)gizona [4aranurc9 Lungu lon(0746.200.413)

tvunlenia (Buz5u), [,todova (firejud. catali) 9iBucovina (0744.429.512) Marzicioiu Marian (Dambov lvuntenia la,pBhovaBrata,latonrita 9iC;tiragi) $ Dobogea AntonViclor(0755.107.291)Bucuregli Dragne Madn(0/69.221.682) Punctde lucruPreilr..rr. Deoo/lelor n. 0 J,d kgeg Tel./ fax:0348.439.417 e-maili comenz .nomina@gmai .com wwweditulanomina.ro l,/wwlibrarianomina.rc

D$cri€rea CIPa BiblioteciiNrlionrl€ a Ronaniei DUMITRU, ALEXANDRINA Cud serezolvno probleDnde datematici: sraregii! metode, exempl€din subiectele propusepentru concursulFiiirtetigentt, matcmitici /AlexandrinaDumitru.- Pneid: NomiM,20lj lsBN 978-606-535 558-l 5l

CoplrightO EdituraNomina,2013

Citeva repcrc metcdice l. Cumgindimsi rezclvim o proDlemi matematici? l.l. Ce semnificafieare cuvintul problemi? Dicfionarulcuprindeexplicaliacareurmeazipenhuproblemi, alara fost subli_ niat, pentrudememulde fali, doar sensulspecificactivitifilor instructiv_educative desfd$urate in cadrul orelor de matematici, senspe careil ludm in consideratieDentru suslinerea ideilor. PPIOBLf,MA, pnbleme, s.f. L1. Chestiunecareprezintaaspecteneclare,discutabile,carenecesitd o lemurire,o precizare, caresepreteazila disculii.2, Chestiune imponanDcarecoDlliruieo sarcina.o preocupare {majoriit$i carecereo solufionare (imediarar. 3. Chesrrune careInra in slerdpreocup;rilor. a cercelarilof cuiva;obiecl principalal preocuparilor cuiva;teme,materie.a (Matematici) Chestiuneirl care. fiinddateanumileipoteze. secererezolvorea. prin calculesauprin ralionamente, a unor date. II. 1, Dificultate carc trebuierezolvati pentru a obtine un anumit rezultaq grcutate,impas.2. Lucru grcu de inteles,greu de rezolvat sau de exDlicatimister. enigmA.

1.2.Care sunt pagiiin rezolvareaunei probleme? Se pot identificazece,,pd!ri"in rczolvarcaunei pmblemematematice, ,,pa.!i,, pecare-ipre/enlam in conlinuare intr-otomd simplificala. pennueteri. ca indemnuri adici: 1. Citette, cu atenfie, enuntul Foblemei! pentru inteiegereafiecdrui cuvent, a legeturilorlogicedintreacestea poli rcpetacitireaenunfuluiproblemeide mai multe ori. 2. Stabile$te caresuntdateleproblemeimatematice. 3. Separedateleproblemei in categodi;cunoscute $i necunoscute. 4. Identificdlegdturilelogicedintredatelecunoscute qi celenecunoscute. pre_ cumsi relaliilemalematice dinlreaceslea, 5. Stabilettecaresuntdatelenecesarepentrua respundela lntrebareaproblemei. 6. Afld',pas cupas, pornindde la datelecunoscutepe celenecunoscute.

7. Transpunein desene,schemelogice. reprezentfuiglafice datele cunoscute, fe.pecrr\ necunoscure. dar$i relaliile dinreacesrea. 8. Reprezintdin ope{alii matematice(adunare,sc5dere,inmullire, impa4ire) fiecarelegitud logicd,fiecarereprezentare a datelorcunoscute, respectivnecunoscute. Calculeaza Sivei ob(inevalorilenecunoscute. 9. Stabile$tecorcctitudineavalorilor oblinute veifica-Ji,d, pas cu pas, ca'leade la prezentate alatele cunoscute, inilial, la celestabiliteprin rezolvarea problemeimatematice. 10, Cite$te,inci o data,enuntulproblemei,rezolvarea acesteia! Esteposibilca o literi, un semnmatematic scrisegrc$it,si determine o calederezolvarecorect6,darcu valo incorectdeteminate.

f .3, Care este cadrul organizat pentru rezolvarea problemelor matematice? Pin relaliilefunclionalecaresestabilesc intrediversele saleelemente,lecfia de matematiciiconstituieo entitatede instruire;condenseaze intt-untot unitarelemente $i variabileale predfiiinve!fuii, continutulinfomaiional, obiectiveoperationale, strategii9i mi.jloace didactice,particuladralile elevilor,organizarea psihosociologicd a colecti\-lrlui, personalitatea profesorului, toateacestea fiind subordonate logicii acliunii educafionale. Procesuleducativesteun procescomplexin caretrebuiesA,tinem seamade toti factoriijmplicali.Atunci cAndun profesorse aflain falaclasei,trebuiesi decideasupra tipului de leclie potrivit momentului,a metodelor,a formelor de activitate astfel incat scopulprccesuluidepredare-invafarcsAfie atins. Principaleleelemente$i vaiabile pe carele implica,deci lectiaca entitatesau . . . . .

obiectiv€instructiv-educative: conlinutul informalional: alegerca ti folosircouneishategiideinsfiiire; variabilelepersonalitdlii profesorului $i celealepersonaliteiielevilol; organizarea colecti\'uluideelevi.

1.4.Care sunt tipurile de lecfie preponderent utilizate in predarea matematicii? Lectia mixti sau combinati ulmeregercalizarea echilibratA a mai multorsarcini didactice, adici comunicare decunottinfe,sistematizare, fixare,verificareetc.

Pincipalele €venimente,momentede lucru ale acestuitip de lec{iesuntl . organizareaclaseipentruactivitateadidacticd: . captarea atentieielevilor: . actualizfieaelementelor studiateanterior(identificarea ideileancore): . pregalirea elevilorpenE-u asimilarea notlorcuno)tinte: . comunicareaSiasimilarcanoilor cuno$tinle(estesecventadin lectiecareacoDe_ reo marepanedin limpulalec]arprocesului depredarein\ dlaredinr-o 016decursJ: . fixareacunoqtinlelorpredate. Un€od estenecesara se asigurao parte $i mai mare din timp numai Dreddriisi atunciseaplicaall lip de leclie. L€ctiede comunicareconstiin concentrarea activitdtiididacticesDredoband! reade citle eleva unor cunoqtinte g, a dezvoltfuii,pe bazdacestora, psi, a proceselor hice. a capacitiljlorin\lrumenrale Momentulde comunicare. ii operalionale. de transmiterea unor cuno$tinleacopereceamai mare parte din lecfe. De_alungll orei momentelese referi la: anuntareasubiecfuluiprccumfi a obiectivelorce urmeazda fi realizate$i,in special,la comunicarea cuno$tintelor noi. Prin l€ctiade recapitulare$i sistematizare se ad.encesc informadile,se aplicd in noi conrexte inlormaliile prin sislemalizarea malerialului dupadiferirecriterii.se abordeazi modalh5lide acli\ilarea ele\ilor{acri\iratiin echipa.in grup.aplicarea unorfiSedelucruindividualirate, jocuri didacticeerc.). SAenumerAm momentele din lecfie: . Captareaatentiei. . Enun{areaobiectiv€lor:reaminlirea planuluirninimalderecapitulare a temei propusepentrulectiazilei,plancarea fostcomunicatelevilorla finalulorci anterioarc_ . Actualizareacuno$tintelorircamintireacuno$tintelor teoretice(rcguli,definifii, cazuri,procedee etc.)care.stau la bazatemeipropusepenlrurecapitulare. eventu_ al cu de/\ollarea peelapea planului. precum acesruia pelabla. ti nolarea . Dirijarea invtrtirii: rezolvdride exercilii $i Foblernesubindnunareacadruldidactic,dar $i prin munceindependentAJucrfip"ctice, compuneride problemecu date reale.inregistrale deele\ielc. . Evaluarea:apreciedasupmraspunsurilor, participirii elevilor de_alungul orei, notareaelevilor care au fost selectatipentru evaluarede cetre proDunitor sau a celorcare5-aue\idenliatin moddeorbil.aplicarea rezllralelor lrnui Si inlemretarea test. . Retentiali transferul:concluziifomulatedespremodulin carea fost Dreqa_ riratemasi a l'e[tluicum s-adesl]furar leclia.connibulia clasei.consrarari. compietiri; Fopune penhu imbuneteiireaactivitalii; comunicareatitlului temei stabilite pentrurecapitularein ora careva urma,precum$i a planutui pentrustudierea pregd_ ,i

1.5.Care este cofecpentru rezolvareaunei probleme matematice? Procesulde gendirese declanqeaziori de cateori ne aflim in fata unei situafii prin mijloaceinvitate,reflexecondifionate noi, nerezolvate saudeprinderi. Prin activitateade rezolvarea problemelorse oferi elevilorasemenea situalii.Aceastaocupd locltl de cinsted^toritdprocedeelor psihicepe carele solicitA,incita,dezvolta.Fiecare fazdin stabil earalionamentului declan$eazi o stareinifialAde tensiune,apoide incertitudinepenftu ca descoperireacdii de rezolvar"ese generezebucude,starede conExi$A un grdlrntede descopeff€ in stabilireasoluliei oricarei probleme.Avem de rezolvat o problemacorTsidefttiL modestd,dar aceastapoatestami curiozitateadacA se rezolva p n mijloace proprii; se poate simli $i in acestcaz incolclalea dinaitxea unei descoperid,apoi bnc!triatriumjiNlui.Astfel de experientela verstade marereceptivitatea elevilorde ciclulpdmar,pot genera,stimuiaviitoareleactivitili inlelectuale, pot amprentapozitiy minteaprecum$i cohportamentulelevului. Punctulde pornireesteintelegerca problemeiconditionatide interesul,dedatoria de a stabili solutia.infelegereapoatefi ajutati de reprezentarea graficd, schematici a problemei,de tar?s/ormalea,ffanspunereain simbolud. Ea conditioneazAconstruclia planului de rezolvarecristalizat rneori cu eziiAri, relual din alt unghi alteod salr apA t ca o strdJulgercle.Mai mult. inlelegercareala esteprecedatede o faza de incercare-eroarein care cunoltintele acumulateantedor sutt reactivate,reorganizatein planuluide rezolvare. scopuldescoperirii Elet'uluihebuiesa-i1es6m impresiapropriei ini{iative,sA-isedimincrederea in fo4eleproprii. Atingereascopului,aflareanecunoscutei nu inseamnda punepunctactivitetii; estemomentulin careele\.ri trebuie convins de veddicitatearezultatului obtinut. trebuiesAse evaluezeschemaderezolvareoblinuti rapoftand-o la celeinsuqiteanterior, trebuiesdsefacaconexiunila releauade achizi.tii dobendite. Prcblemele cllleurmeaza, majoritatea cu rezolvfuicomplete,suntgrupatein rapofi cu dificullateain rezolvare(de la problemesimplela celecomplexe), inand cont de referinleleinformalionale (numerenaturale,operatiicu numerenahrale,fractii clasaa lv-a, noliuni de geometrie,unitnli de masurd)qi nu in ultimul rind in tunc1ie de cuvintele-setnal (adarg.: adunare,ir scadere, de... ori mdi lult inrfi)ltrire etc.),de semanticamatematica. Dacd la uneleproblemerationamentul estesesizat datorili in$irui i datelorin sensuldirec,tiei rezolverii,la altelepentrua ajungela solutie estenecesarsAse stabilaascio conrentiesa$ gasireasolulieiestedeteminatdde consffuirea mersuluiinverssensuluideingiruirea datelor.O categorieaparteestecea a problemelorin caresolufiase stabile$te in urmaanalizeidatelor,a rclaliilor dintre acesteafhreputinldde a fl incadratein schemeanume.Importantestesi sesizamin fiecarecaz caracteristicile pioblemeimatcmadce, procesulde gandie,grduntelede

descoperfue,jusiificarea solutiei $i comentareaacesteu,verificarearezlrltatelorobtinu_ te.Esteposibilao grypdleaproblemelor in funcliede caleaaleasisore;;;i;;*-

1.6.Modalitili de rezolyare a problemelor matematice Rezolvareade problernematematiceimplica deseoridificultdri privind metodo_ logia; tratareahaotica,lipsa unei abordarilogic., n"i_pti"ar"u putoii l" ;;;* creativitdfii,aplicmeaunor schemerigide careconduc la stdride inhibare,dete'rminn indepdrtareaelewlui de la intelegereaprocesului. lncercemsAgrupemproblemeledupi modalitatea(metoda)de rezolvare, expl! ^ candsuccintetapele. ExemplelepropusereFezinta situaliile des intelnite, cu un grad de dificultate -. mediu. L METODA FIGURATIVA (de repr€zentarea datelor,a relafiilor dintr€ acesteaprin reprezentiri diferite) l. Dateleproblemei,relatiiledintreacestea se rep.ezin6,in mod obi$nuit,prin segmenlede dreapttr- dimensiunile,raporhrl de mirime fiind dependentie relaliile dinhedateleproblemei. Sepot identificaln acestcaz tipuri deproblemeurmdtoarc:

tora.

a. Allarea a doui numer€(mirimD cind se cunoscsuma difer€nla aces_ fi Erunful problemei: Sutnaa doudnumereeste100_ AJl,i numereleStiinclcd al doilea estecu 20 mai mare decAtprimul. R€zolvare: Vom reprezentagrafic acesteinfomafii astfel: Nutndral mai marc

cu 20 mai marc

Foafieusors-arfi rezolvatprcblemadacdnumere(mbrimile)ar fi fostegale. Aceastdobservatie determinA doui presupueri,convenlii: a. o conrenliepentra a egala mdfimileprin adunare: cu 20 mai mare Namdrul mai mare

Obsewamcd daci numlrului mai mic ar fi cu 20 mai mare, atunci cele doud segmenlede dreapt?iobfinutear fi egale,dar sumas-arschimba,adic6: 100+ 20 = 120,decide douAori mai maredecatal doileanumdr,cel mai mare. Atunci,120: 2 = 60'(numdrul mai mare). Primulnumarul,mai mic estecu 20 mai mic alecitceldlalt,ilecivom alla valoaprin scAderc: reaacesfuia 60 - 20:40 (numnrulmaimic) t0 0 b0- 10. b. o com,enliepentru a egalamdrimileprin scddere: Obsef/5mcd inlituranddin nume$l mare(al doilea)20, atunciceledouesegmentededreapre obrinure ar ll egale.Re,?ull6 firndde sr suma100 20 .80. acea.ra 2 ori maimaredecilprrmulnuma(.celmalmic. Oblinemastfei: Numdrulmai mare Deci,80 : 2 = 40 (numdrulmai mic, al doilea). Numirul mai mareestecu 20 mai maredecatcelalalt,deci: 40 + 20 = 60 (numArulcel marc). l/eri.fcare: 60+ 40: I0o 6 0 - 4 0 =2 0 b. Aflarea a doul numerecandsecunoscsumaii raportul lor. Enunful problemei: Sumad doud numereeste300.AI doilea nundr estede trei o mai are decat Caresuntceledoudnumere? Rezolvare: Se deseneazA mai intei un segmentde &eapti reprezentandnumArulmai mic (primul),apoinumirulmai mare,deffei ori mai maredecatcelelalt: Primul numdr

Al rloilea numiir Din desense observdcA4 segmente de dreaptade aceeasilungimereprezinta, impreune,suma600,deciprimultumArulestede 4 ori mai mic. Rezul6600 : 4 = 150 (lungimeareprezentatadeun segmentde dreapt6,adici primul numir).

Pentrua afla cel de-aldoilea numir, ale3 ori mai mareca primul calculdm: 150x 3 = 450(al doileanumer) sau 600- 150= 450. VeriJicare: 15 0 +4 5 0 =600 45 0 :15 0 =3 c. Aflarea a doui num€r€cendsecunoscdiferenta raportul lor. ,i Enuntul problemei: Tatdl lui Andrci are de 1 ori mai mulli ani decAtful, adici c1t24 de ani mai CAli ani arefecare? Rezolv|re:

Fiul + Tatdl ObsewAmci diferenla dintre cele douii segmentede dreapteestereprezentatA de 3 segmentede dreaptd,adicd24 de ani, deci 24 : 3 = g (un segmentde dreaptA, adicl varstafiului este8 ani). Varstatatilui estedepatru ori mai mme decata fiului, deci: 8 x 4:32 (aniaretatAl) sau 8+2 4 =3 2 . Vetificare: 32 8=2 4 32 :8=4 Sunt situalii in care reprezentdrilegnfice se utilizeazeln cazulunor probleme complexe.

II. METODA COMPARATIEI Metoda comparatieiesteo metodapdn carc la rezolvarearmui anumit tip de problemdapar douAsitualii distincte in care inte in acelea$imArimi, situalii care se compard.

Enuntulproblemei: 6fete $i 3 hdieli adund 33 kg de zneurd, iar 6 fete ti 7 bAie/i adund 53 kg de CdtekilogrameadundoJafi ti cAteun bAiat? Rezolvare: Sescriudatelepe douaranduri,fiecaredintreacestea corcspunzend uneiadintre celedouesituafii: 6 fete...................... 3 biiefi .................. 33kg zmeud 6 fete...................... 7 bAieli............. .. 53kg zmeud Privind dateleproblemeiastfelscrise,observdmci in ambelesitualiinunirul IbleloresLe acela!i. Diferentacareaparein ceeacepdvestecantitatea dezmeurdculeasiprovinedin numAruluidifedt debeieqicarein primulcazestemai mic, iar in al doilea,.mai mare. Concluzionamci diferenfadintre canririlile de zneurn: 53 kg 33 kg = 20 kg esteculeasede7, 3 = 4 Oiieli). Dace4 bAie! culeg20 kg zmeure,atunciun bdiatva culegede4 od mai pulin: 20 kg : 4 = 5 kg (zmeud culegeun bAiat). TrebuiesAstabilimcatekilogramede zmeurAculegeo fata. Pentnraceasta alegemunadintresitualiiledate,depreferinliceacu.valorilecel e m a im icr . AIegem: 6 fete....-................. 3 beiei .................. 33kg zmeurn Am aflat cAun bAiatculege5 kg de zmeurd,atunci dintre cele 33 kg culesein totalcei trei beie{iculeg: 5kg x3 =15k9. Riman: 33 kg 15kg =.18kg aneurd.pecarele culegcele6 fete. O lau culege:l8 kg 6 - 3 kg meuri.

IIl. METODA FALSEI IPOTEZE (saumetodaipotezetor) Aqacum indicdqi numelemetodei,in aplicarea acesteia sepomestedela o pre(eronata) pe supunere carc o facemin mport cu una dintre mfuimile pe careffebuie se le determindm. incercim si rezolvhmproblemalinendcont de presupunerea licutd, alarvom obfine niqtevalori in plus sauin minus, datorateipotezeiconsidemtein comparaliecu celereale,

l0

.-

Pentuexemplificare vomrezolva ptobleme la caresepoateaplicaaceastd me_ Enun(ulprobl€mei intf-un btocsunt30 deapartamente cu doudli trei camerc.Suntin total 70de CAtuapartamentecu doud camere:li cAk cu trei cameresuntin acel bloc?

Rezolvare: Vom face presupuneriin legdtud cu numrrul de camereal fiecarui apa(ament din bloc. a, Presapunemcd toateapartamentelear nea cdte2 c(jmere. Ce se intemplain acestiaz? Dacatoatecamerel€ar aveacate2 camere,ar insemnacAin total ar fi: 30 x 2 : 60 decamere(deoarece avem30 de apartamente). $tim insAc, in total sunt 70 camere,deci cu 70 60 = 10 cameremai mult de_ cAtam oblinut in urmapresupunedifrcute. De unde rezultAacea$Adiferenta?Din faptul cA nu toate apartamenteleau 2 camere,unele dintre ele avandcatetrei. Va trebui sAdishibuim cele l0 camereunora clmtreapartamente. Cum?Catecameretrebuie sAadiugdm Lmuiapaftamentpenhu al ,,transforma,, din apa(amentcu douecamerein apartamentcu trer camere? 3 camerc 2 camere= I camerd, Trebuica cele l0 camerese fie distribuitela l0 : I : 10 apartamente. Cele l0 apaflamente suntapartamentele cu cate3 camere,iar restulde 30 _ 10:20 aparta_ mmte suntapartamentele cu cate2 camere, Deci, in bloc sunt 10 apafamentecu cate3 cameresi 20 aleapartamentecu cate douecamere, b. Presupunemcd toateapartamenteleau c6te3 camere_ in acestcaz oblinem un numdr de 30 x 3 : 90 camere,rezultando diferenle de 90- 70 = 20 camere. Diferenla existApentru cA unele dinte apartamentenu cate 3, ci numai cate 2 DacAdiferentadinhe numArulde cameredintre cele doui tipud de apartamente este3 - 2 = I came.e,atuncirezultdcAcele20 de camerepe caretrebuiesi le elim! namvor corespundunui numfude 20 : 1 = 20 (apartamente). Deci, in bloc srmt 20 de apartamentecu 2 camere,iar restul de 30 _ 20 = lO apartadente,carc au cate3 camere,

1l

Enunlul problemei: intr-o cale suntgdini ;i iep ri. $tiind ca in total sunt 11 capetesi 34 depicioare, sd se alk cak gAini ti cAli iepuri sunt. Rezolvare: Estenotatce in curtesunt 11 capete,deci 1l animale,unelecu doui picioare (giinile) altelecu 4 picioarc(iepurii). pdn desencele11animale: Reprezentim

0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 Trebuiesedistribuim,prin desen,ceie34 depicioare. a. O presupunere [email protected] are cetpu!inft)t" dou.ipi.ioarc.

QAAQAAAAAA Am dist ibuit astfel2 x 11= 22 picioaredin totalulde34. Au mai lImas 34 22 = 12picioarepentrucduneleanimale(iepurii)nu au numai 2, ci catepatru picioare.Nu ne mai dmane docatsd distribuim pe fiecare desen cetedoui.

xxxmxNaa Dupi ce am distribuit restul de picioare,numeremceteanimalecu 2 qi catecu 4 picidare sunt. Oblinem:6 animalecu catepatrupicioare(iepuri)Fi 5 animalecu doui picioare G, i n i ) . b. Altd presupunereestecd toate animalek au cAte4 picioare, atanci: 4/ ll 44 (picioare) fals). 44 - 34 = 10(picioarediferenldintrenumarulrealqi celpresupus, Aceastediferenla a aparut din presupunereacd unele animale ar avea cate 4, peftni cA4 2 = 2. deciauun plusde cate2 picioarela acesteanimale. = Atunci 10:2 5, decisunt5 animale(gainile)cu cate2 picioare$i 11- 5 = 6 animalecu cate4 picioare(iepud).

l2

IV. METODA MIRSULUI INVERS Aga cum spuneti numele,aceastAmetoddse aplicd in cazul in carer€zolvarea problemeise facepomind de la sfrDit cdtreinceput. in astfel de prob;", ;;; cunosculeaparin prima parte a enunfului,iar parteafinald cuprindedatelecunoscute. Modul de aplicarea metodeiimplica{i urilizareaoperadilor malemati";;;;r;""; (urterevloenttate prin cuvinte_ Enuntul problemeil TriplAm uh numdr natural, apoi scddeh din et 21. Rezubatutastfet oblinut it . tripldtn, din ou, ,i scddeht4. Oblinemastfelnumdrul3l t. Care estenumdr"ulconsiderat? Rezolvaae: DupI cum s-a explicat utilizim datelede la fmalul enuntului spre inceput, dar utilizim opemtiileinvers celor date,dupii cum estenotat in parantezd. 3 1 1+ 4:31 5 (... scedem 4 $ioblinem 311) 3 1 5:3 = 10 5 (... triplnm,adicninmullitcu3) 1 0 5+2 1 :12 6 (... scddem2l) 1 2 6t3=4 2 (... t iphm, adicdinmultit cu 3) Numerul este42. Verifcare: 42 x3 :12 6 126-2t - 105 1 0 5 x3 =3 15 31 5 - 4 =3 11

V. METODA REDUCERII LA UNITATE Enunlul problemeil 10 caietede matefiaticd costd40 lei. CAtvor costa3 caietede 1celatifel? R€zolvare: Trebuiese stabilimcostulunui caiet.Daci l0 costd40 lei, atunciun caietva costade I 0 ori maipufin,adice: 40lei : 10= 4lei (costdun caiet). Cele3 caietecosti de3 ori maimult decatun caiet,adici: 4 lei x 3 = 12lei (coste3 caiete).

l3

PROBLEME DE ANTRENAMENT 1. Mariaareo pisicdFi un calel.$tiindca pisicaarededoui ori varstacelelului SicAimpreunaau 15ani,seseaflevarstafiecirui animal. 2. Doipfierenr au24decreioane colorare. $rrindce undldrnrfeerarede lreiofi mai putine creioanedecatcelelalt,sAsedeterminecatecreioanearc fiecare. 3. ln curteabuniciiamgesitpui degainAqi pui deraln,in total60 depui. $tiind gdindsuntcu 20 mai mutli decatcei de rafa,sa se afle cafi pui de gainaii puii.de ca c;i deralaamgdsilin curleabunic;i. 4. Sumaa doudnumereeste700,iar diferenladintreeleeste300. Carcsuntnumerele? 5. Difercnla dintre doua nunere este 12, iar impd4ind pe cel mai mare la cel mai mic seobfine2. Caresuntnumerele? 6. Cosmina cumparat 3 caietedematematica li a pletit 12lei. Cet ar fi platit dacdar fi cunpirat 5 caiete? 7. Mama a prepant douefivi cu pldcin6 obtinand40 de bucni. Catetevi de aceeaSi merimear fi trebuitsapreparepentrua obfine60 de bucafi deplicinta cu mere? 8. inh-un bloc sunt 36 de apartamente cu doua$i trei camere. cn in total sunt 90 de camere, sl se afle cate apartamentede fiecare fel $riind suntin acelbloc. 9, Ioanaare 14caiete,unelecu 48 defile si altelecu I00 defile. Stiind cAin total sunt 880 de file, sd se afle catecaietede fiecarefel areloana. 10.DouAkilogramedemeresi tei kilogramedeprunecostd17lei. Treikilogramedemere9i trei deprunecostA2i lei. Catcosti |urkilogramde mere?Dar unuldeprune? 11. M-am gandit la un numAr.Am adunatla acestnumartrei. Rezultatull-am inmultit cu 5 Siam scezutapoi20.Noul rezulratl-amimpd4itla 2 si am oblinut,in final, 20. La cenumArm'am gandit?

t4

!. Cetrcbuiesi stimdesprcevaluare? 2.l. De ce este importanti evaluarea? Evaluarca,componenti a oricArci activitdli umane, inseamni necesitateade a stabili ir ce masuri rezultatelepropuseau lost efectiv oblinute.Apare c" lA€5enriala a.proce\ului de in\admdnl.jn speciat. Ftuxutui Inlo#"fi""rf ";;;;;r: ..,.^ilr."ra pnn inkrmedtulmecanismului conetiunii;rrverse'secvenlermportantda procesuluide invaldmant,in fapt evaluarea, Evaluarea, punct final dintr-osuccesiune de evenimente didacticeotganlzate, cupnnde: . stabilireafinalitililor/scopudlor pnn prrsmacompoftamentelor dezirabile ale . .. . proiectarea,urmatAde infiptuirea scopurilorpropuse; . m5sumrearezultatelorob(inute in urma aplicerii prograrnului umend sA se adoptedecizii de ameliorarea aclivititii in etapeurmato:re. Sepot distinge: . Eraluarea de sistem_ permite mesurarea aprecierea unor asDectecentrate $i asupraraponufllordino-eInvalamdnlSi viala socio_economice. cultur;la,corelarea calitdfiiinvnlamantului cu contribufiasala dezvoltaxea socialA. . Eyaluarea de proces _ umirc$te gradul de realizare a obiectivelor la nivel . mldoslructuaal, Rezultateleevaluarii prezinti o importanF deosebitapen1ruto{i factorii impl! - procesulde formarca tinerei generaht: cali ln . pentru pro/esori, etaluareaesteimportante,deoarece fumizeazdinformatii cu privire la rezultatele activita,tiidesfrqurate ;u elevii,ii ajLrtisn identifil";;;;;; sau identificand greqeliletipice din pregittea elevilor, surselecare le_au eerrerat.de_ mersin urmac5ruiaseiaudeciliicu privirela acli\itadleviiloare: . pentru elevi, esteun indiciu cu privire la concordanta dintre performanleleob_ . linute $i obiectivelepropusea fi indeplinite, ,,un semnalde alarmi,, privind peispect! va ulterroarA.Poateajuta la conturareaaspiraliilor la mobilizareatuturor Si resurselor decaredispunin vederea realizAriilor; pentlu pdrifilil esteo bazede Fedicfie,o garanlieprivind reugita viitoarea . .. copiilol un indiciu privind mrsuri specialede sprijin a acestompenhu inldturarea unor dificult'ali saurdmanedin urmd; . pentm societate,evaluareaf,rmizeazainfomalii pertinente desprenivelul de Fegitire a fo(ei de munci, eficientAinvestiliilor in inv4imant, puncteleslabeale sistemuluidepregAtire,dateposibil devaloificat in scopulideturarii distunctionalitAtilor. t5

2,2. Care sunt formele de evaluare? Teoria, precumSi practicapedagogicAevidenfiazdexistentamai multor forme, tipuridee\aluare. PrezentAmin continuareclasificfuile celemai liecvent intahite: . Dtp:a wlum l de i formalii experienleacrrrnulatede elevi s-au stabilit doue tipuri deevaluare: a) evalrrareparliald, prrn careseverifica secventialun volum redusde cunottinte;i achiritir componamentale: b) e\a]netreglobald, cand se verifice un volum mai mare de cuno$tinfe,pdceperi, deprinde , abilitdti. . in functie aleperspectiNatemporald din care se realizeaz6evaluareadistingem: a) e\abrarci ilialA. ceJeserealizeazdla inceputulunui progmmde instruire; b) evaluarer/,a/.i, careserealizeazdla incheiereaunei etapede instruire. DlJpAmodul in care se integreazdevaluareain procesul didactic, evaluate cunoa$tetrei fofme: a) e\alruarcinifiald, cateserealizeazAla incepuhrlunui proglam de instruire; b) ev^l]uarecontinud/lormatild, carc se rcalizeazepe tol parcursulprocesului instructiv-educativ; c) evaluares maliyd, ce se realizeazela incheiereaunei etapemai lungi de instruire, . In fr.mcliedefactorii care realizeazdeyaluarease contueazA doudforme sau tipud de evaluare: a) evaluare intelnd, efeattrat' de aceea$ipersoant institulie carc rcalizeazd efectiv $i activitateade instruire(de exempluprofesorulclasei); b) e\laluareexternd,realizatdde o persoanasau institutie diferitA de cea carc a asiguratrealizareaefectivaa proce$lui de inviFment. intrucAtceamai frecventfolositi clasificarcestecearealizad dup6modul in care se integreazaevaluareain procesuldialactic,vom analiza,in materialelepublicate, mai pe larg celetrei fome de evaluarecareseconture^zdaplicendu-seacestcriteriu.

l6

2.3. Care pot fi instrumentele de evaluare? Ce calitifi trebuie si indeplineasci.? Pentruca metodelede evaluare, tradilionalesaucomplementare, si ofereinformalii peftinentecu, privire la perfomantele$colare,estenecesarifolosirea unor ins_ h1rmmte adecvate de evaluare, elaborareaunor probe care si reflecte corect pedormanla(proba-+ orice insrument de evaluare,proiectat,adininistlat. corectatde catreprofesor), Pentlu a realizao evaluarerelevante,eficace,instrumentelede evaluare(extem_ pomle,teze,testeetc.)bebuiesi intruneascianunite,,cali1ati telnice,,indisDensabile atingeriiscopului penlrucareau foslproieclale. Principalelecalitdfi ale unui instnrmentde evaluaresiul.rtraliditatea,frdelitatea, ohiectil,itotea 9i aplicabi Iitatea. Validitateaestedatl de precizia,acuratefeacu careinslrummtul/ testd masoad ce Sr-apropussi masoare. Acestatrebuiese stabileasc! ce iqi propunese evalueze, sA masoare,apoi seskbileascdsarcinilede Iucrucaresedausprerezolvareelevilor.Validitateaesteasiguratdin misura in care instrumenfulde evaluareacoperdelementele fundamentaleale conlinutului pe care il testeazd,mAsoari cu precizie (inteligenta, c.eativitatea,originalitatea)$i nu altceva,rezultateleobfinutese coreleazi cu cele ob_ linute cu ocaziaaltor misuriri ale acelora$iabilititi. Fidelitatea reprezintd,aceacalitate a unui test de a producerezultateconstante (saufoarte apropiate)in u.ma aplicarii salerepetatein condi,tiiidentice,aceluiagignrp deelevi. Obiectivitatearcprezi[IAgradul de concordantrA dintre aprecierilelicute de evaluatoriindependenliaqupra raspunsurilorpennu fiecare dinlreilemiile,rului. Aplicabilitatea deserffieazacafitateatestului de a fi administratsi intemrctatcu uiurin!a. Elaborareade cetreprofesora rmui instument de €valuareesteo activitatedeosebitde complexece presupuneparcugereamai multor etape: . precizarea obiectivelot$i a continuturilor ceumeazda fi verificate; . analizaconlinutuluice urmeazia fi evaluatpentrua stabilielementele esentialet . preczareacomportamentelor in careseexprimi analizacontinuturiloresentia_ Ietreproducere. aplicare. c.rpacilale dea etectua operarii logiceelc.); . alcatuireapropriuzisi a probei,prin fomulareaitemilorin concordanta cu obiectivele stabilirea bfiemeiordecorectare. $i coDtinuturile. O importanlddeosebitiprezintdfomularea itemilor, prin item inlelegandintrebared, formafil acesleia,i rdspu sul a$teptat, elemefie skict necesare$i aflate in $rensdinterdependenld. Precizareaclari a formatului in careelaborAmitemul conditi-

l7

oneazi dspunsul; proiectarearasp\rnsuluia eptat este o condilie importanti pentru corectarea$i notareaacestuia. in teoria 6i practica evahirii se intAlnegteo bogatdgamdde itemi a caror cu_ noaSterepoate ajuta efectiv cadrul didactic in elaborareainstumentelor de evaluare. Ceamai frecventbclasificarea itemilor esteceacareare drept criteriu obiectivitatea in corectare $i nolareri rnclude urmerotuele lipuri: a) itemiobiectivi; b) itemisemiobiectivi; c) itemi subiectivi.

3. Existio legituri intrematemafici $ praciici? Rdspunsulesteafirmativ! Legaturaestein dublu senspractic5_matematici,precum Simatematica-practici. Activitalile practice au determinatstabilireaunor rczolvari, generaliziri mate_ matlc€,1ar matematica a ofedt cAi de rezolvareeficienteale Lnor situaliipractice.Sa dezvoltdmideile anterior expdmate.Legrtura cu practica se realizeazdin matematicd pe doui cii: o caledirectA(t) $i unaindirccti(2). 1. Caleadirectaconstdin aceeacAse folosescmetodematematice pentrua re_ zolvaproblemeconcretedin fizice,tehnica,economie, adicdmatematicianul efectuea_ zAcalculeimpusede lansarea uneirachetecosmice,inginerulLrtilizeazi matematica la proiectarea uneima$ini,a uneiclddiri,economistul folosegte metodemut"_uti"" p"n_ tlu a g6si cea mai bund organizare a procesuluide produclei aplicdndmatematica direct in practici etc. 2. Pentrua putearezolva problemelegeneratede pmctici, matematica le uans_ formdin problemegenerale, abstracte, in cerceoreaacestorproblemeaparprcbleme noi. cu a\pecrpur teoretic. de a carorrelol\aredeprnde uneori ;;;; ;;;_ blemepractice.Aceastdpartea matematiciinu se a;lici directin'..r"lr;., practi"a, inaii""t. Mai mult, pe mhsurece matematica "i se dezvoltd,se creeaziteorii matertatice, care, initial,nu au nicio tegatlrdcu p.actica,dariSigasesc mai tarziuaplicajilp" toni lornici nu le-aub;nuit.Exista cercetaripurteoretice, "*"vederea "."ui $i carenu se fac in uneiaplrcalii. darcarefaspund la pfobleme idenrin.are in cr,r.utAelrol;il;;;;;i c11.

18

+. Cctreluic si stieunoley? 4. l. Numere naturale Sensulcitirii ordinelor Numeleclasei Numirul ordinului Numeleordinului Sensul citirii numirului Numereles€scriu folosindcifrele(semnele): o,1,2,3,4,s,6,7, a , 9 . Scriereagi citireanumerclornaturalerespectifaptulcAsistemulde numeratie e$e:

. z€cimal(zeceunitali deun anumitordin formeazi o rmitatede ordin superior); . pozifional (valoareanumerici a rnei cifre din scriereaunui numardepinde de poziria ei in scnerea ordinelor $i a claselor) . zero (0) indicAfaptul cAanumiteordineauvaloareazero(suntnule). Axa numerelor

576

Dacaun numtrrnatural arccifta unitalilor: . 0, 2, 4, 6 sau8, atunciel estenumlr par (c, sof); . l, 3, 5, 7 sau9, atunciel estenumir impar (fird.rol). Doui numerenaturalesecompartr astfel: . daci numerelenu au acelati trumIr de cifre (numdrulordineloraliferii).atunci estemai mare (rcspectivmai mic) cel cu mai multe (respectivmai puline)cifie. t84 3 6 >8 456; 4 587< dE568. . dacanumereleau acelatinum6r de ordin€,comparem numerelecaretepre_ zinti ordin€le de acelasifel, de la stangala dreapta. 4s 639> 29080; 3865>3754; 5942>5927. 19

4,2. Adunarea, sciderea, inmulf irea, impirf irea ADUNARXA temeni

SCADERXA descAzat scdzAtur difercntd

sumd

r'\.+

l

D=

probaprin adunare: b+a=c l .-A -^

"

prohapnn scader".l'

Probtt prin qdw1are. c + b = cl

"

Probaprin sciidere:a-c=

(_ a = D

iNMULTIREA

b

iMPARTIREA deinpdrlit

+

inpdrlitot

ttl

cAt

vvt ti b= c

proba prin inmullire: b x a = c

probsprin inmullire: cxb=o

l-

probapnn inparlwe: l' "- - -L " lc:o = a

COMUTATIVITATEA . [a Ndunare: s + b- b +t .la inmultire:

Pnba prin impdrlire: a'. c = b

ASOCIATIVITATEA .la adunare:

(q +b r+c=a +(b +c) .la inmultire: (qxb)xc:a'

Dr io b lin C$ iR a +0 - 0 + a a =0 a

a=a

DISTRIBUTIVITATEA iNMULTIRII FATA DE ADUNARE $I SCADERE c a > < (b + c )= a x b + a x q )< (b -c \ = u x b -a x

(bxc)

p ro b aC : i+R= D,R.i 7xa=qxl=a ax0=0xa=0

O=a

;

0 0=0

1=a a=l a = 0, ./ diferit de zero 0 esteoperatieimposibild

impiirlirea la 0 (z€ro)nu esteposibili.

20

4.3. Fractii

1

S-aumarcat

4

Fraclia l 4

< Numirtrtorul: numarApnrlile de aceeasimirime. +- LiniN de frscli€ h l I lkll ldl )tlldal I . 17. r A, tV ^ tV,t7

c) masacorpurilor,

,'''

|0;:^a' |0>4: |0>Z-: I0=4-: I 0=4-: J0=-

r{ ,g{ ,g{ ,til.,g{ ,g{.,9{^,gd^,! Misurareatimpului s ninutul (min)

h

60 3 600

60

86400

r 440

ztug

I

24

t

l0

100 I 000

l0

I

r00

l0

24

I

Rezclviri ale unor probleme procpusc pcntru concursul ;eFii Inteligent la rrratematicir Clasaa ll.a l. Evaluare initiali (de diagnosticare)

l. Calculeaza: 58 - 6 70 20 3 + 15 l7 - t 3

.1l +f]L]=17

61 n !:

I

5 0+ E E = 7 7

45 fln: 12

93 80+15 88-75+ I 35+23-12 4 5+ 1 4 - 3 6 .

2. Scriesemnele,,*"$i ,, ,,pentu a obfinerczultatuldat:

17[ 3 E 3 6 :56 57fl 1 7 t] 2=38

lefl et ] s s = es riat7 Dt i: 5r

3. AflA numArulcu 22 mai maredecdtdiferenlanumerelor59 qi 4. 4, Gise$tenumArulcu 22 mai mic decatsumanumerelor50 qi 37. 5. Fie relaliile: a + a +a :3 ; m+m =4; t + t : 6; c+e+ i= 6. $tiitrdc6,:a = c, m = s, / = i, iar d, m $i / suntnumerediferite,afld valorile tuturor literclor. Scrierm cuvantfolosindlitereledin cele4 relaii. 6. Dacdadunun numArcu 10,apoi cu 20, apoi cu 30, oblin cel mai marenumdrparde 2 cilie lormarnumaidin zec Careestenumfuul initial?

7, Din livada brnigului s-aucules4 lddi1ecu visine qi 8 lAdile cu cirege. Catelidite s-auvandut,dacei:au remasbunicului 2 lidife nevdndute? D.5lddile. A.4 l a d i l e ; B .1 0 l 6 d i l e ; c.2 l a dile; Rezolviri: 1. Rezultatele calculelorsunt: l 1 + 6 -1 7 58 - 6 : 5 2 '7 0 - 2 0 : 5 0 61 60: I 5 O+2 7 ='l 'l 3 + 15=18 l' 7- 1 3 : 4 4 5 3 3 :1 2

93- 80+ 15:28 88 75+ 1= 14 35+ 23 12:46 45+ 14- 36=23

2. Semnele,,+" !i ,,-" penh! a oblinerezultatul,in fiecaxecaz,su[t: 17 J-J6=50 1 9 9 88 98 * + t7 + t',l= 5l 5'7 t',l 2:38 1',7 3. Numarulcu 22 maimaredecdtdiferen{a numerelor59 $i 4 este: 5 9 -4 +2 2 =5 5 +2 2 :' 7' 7. 4. Numerulcu 22 mai mic decetsumanumerelor50 !i 37 este: 5 0 + 3 7-2 2 = 8 'l-2 2= 65. 5. Avem: a+a+a=3 m+m-4 t+ t:6 3x a : 3 2 xm=4 2xt= 6 a-3.3 m=4 :2 t:6:2 a- l m:2 t- 3 Dacda : c, atuncic = It m = e, atl]J]rcl e:2, /: l, atuncii: 3. Cuvantulceutateste,,teme". 6 . Av em: d + 1 0 + 20 +3 0 -9 0 d+60:90 a = 9 0 60 a:30

1 2 -a = 2 a -1 2 - 2 a: l0 (ledife) ) VariantaB.

ll. Numerele naturale de la 0 la l0 a) Scrienumirul de doudcilie carearecilia unititilor 0 si ciAa zecilor i b) Scrienumdnil de doui cifre carearecifra zecilor I si cifra unititilor 6. c) Scrietoatenumerele narurale dedouacilrecareaucifrazecilor2. Rezolvare: a) Atentie! a + 0; 7 numdrnaturalde doudcifre;a cifra zecilor., cifra unititilor. Numarulde doui cifre carearccifta unitdtilor0 si cifrazecilorI este10. b) Atenfie! d * 0; aD numir naturalde douecifre;a: l, , = 6. Numirul de doudcifre careareciila zecilor 1 Fi cifra unitatilor 6 este16. c ) A v e ma b , a = 2,b e 1 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7,8,9) . Numerelenaturalede doudcifre careau cifra zecilor 2 sunt: 20,2t , 22, 23,24, 25,26,2',1 , 28,29.

Gaseqtenumerelenaturalecareindeplinescurmdtoarelecerinle: a) cel mai mic numArscriscu doudcifre; b) cel maimarenumerscriscu douecifre maimic decat30; c) un numdrde douacifre cu sumacifrelor egaldcu 2. Rezolvar€: a) Avem: a6 numlr natual de doui cifie; cel mai mic numix scris douecifre este10. b) Cel maimarenumdrscriscu doui cifremai mic decet30 este29. c) Avem', ab;a + b:2t | + 1= 2:2 + O=2. Decinumerele srmt:11,20.

CompleteazA urmetoarele$iruri, rcspectandregulade formare: a)2;4 ; . . . ; l 8 ; 2 0 ; c) l;4t' 7:...;22;25:, b ) 3 ; 6 ; . . . ; 1 5 ;1 8; d) 30;25;...;5;0.

t1

Rezolvare.: ,a) Nunerele din acestgir sunt numerepare, consecutive,crescator. 2 , 4 , 6 , 8, 1 0 ,1 2 t1 , ,1 6 ,1 8 ,2 0 . b) Numereledin acesttfu crescator suntnumeredin 3 in 3, incependcu 3, deci: 3 , 6 , 9 , 12 ,1 5 ,1 8 . c) Numereledin acest$ir crescetor suntnumeredin 3 in 3, incepdndcu 1. Avem: 1 , 4 , ' 1 t0 , , 1 3 ,1 6 ,1 9 ,2 21,5 . d) Numereledin acestgir descrescAtor suntnurneredin 5 in 5, incepdnd cu 30,deci: 3 0 ,2 5 ,2 0 ,1 5 ,1 0 ,5 , 0 .

Intr-ogrediniti,la o masi sturtmai mult de 7 copiigi cel mult 8 copii. Ca[i copiisuntla masi? Rezolvare: Atentie! Cel mult 8 copii inseamnima,rimum8 copii; cel pulin 7 copii inseamniminimum7 copii. La masasunt8 copii.

Compari: a) cel mai mic numfunaturalde doudcifre cu 17; b) cel mai marenumir naturalde douecifie cu cifra zecilor2 cu numdrul )q

c) cel mai mic numerde douecifre cu cifra mitililor 7 cu numerul16. Rezolvare: a) Cel mai mic numernaturalde douecifre estel0; avem l0 < 17 sau > 1 7 10 . b) Cel mai mare numer natural de doue cifre cu cifra zecilot 2 este29, deciavem29 = 29. c) Cel mai mic numArde doui cifre cu cilia unitiilor 7 este 17: avem > 1 7 1 6s a u1 6< 1 7. 28

Comparinumerul2l cu cel mai mic numfunaturalde doui cifre, astfel incat una singuredintre cilie sdfie g. Rezolvare: Cel mai mic numir natural de doue cifte, astfelincetuna singura dintre cifre si fie 8, deci: 1 8< 2 1 s au2 1> 1 8 .

OrdoneazAdescrescetormrmerelenatuale de doui ciiie, mai mari decat 10$i mai mici decat30,careau cifraunitililor i. Rezolvarei Numerelenaturalede douAcifte, mai mari decet10$i mai mici decet30, careau cifra unitililor 7 sunt27 $i 17.

a) Stabile$tetoatenumerelenaturalede 2 ciAe careau sumacifrelor 3. Catesunt?A$azAle in ordinecrescitoarc. b) Determindtoatenumerelenaturalede 2 cifre careau sumacifielor 5. Catesunt?ScrieJein ordinedesoescetoaxe. Rezolvare: a ) A t e n l i e !a b , a *0 ; a + b :3 ; | +2 =3 :2+ 1= 3i 3 + 0:3. Numerelenaturalede dou6cifte careau sumacifrelor3 sunt12,21 qi 30. b) Atenlie!ab, a + 0; a + b : 5; 1 + 4 = 5; 4 + I 5: 2 + 3 : 5: Numerelenaturalede douecilie caxeau sumacifrelor5 sunt50.41. 32. 23 Si 14.

@rIIn girul numerelornaturalede la I la 100,

suntnumerede dou6cifre care au cifra zecilor cu 3 mai marc decatcifta unitatilor. Caresuntacestea?

Rezolvare: Atenlie!ab, a * 0; a : b + 3, b e 10,1,2, 3, 4, 5, 6\. Numerelede doudcifre careau cifra zecilor cu 3 mai maredecAtcifra unitiflor sunt:30,41,52,63,74,85 ti 96.

Scrienumerelemai ma decat70 gi mai mici decet100carcau difercnfa dintrecifra zecilor$i ceaa uritdlilor egalAcu 1. Scriecatezeci$i cateuniLifiaxefiecaredintreaceste numere. Rezolvare: A t e n l i ea' !b , a +0 ;a -b =l ;a e {.g ,8 ,7\:b€ { 8, 7, 6} . Numerclenattualemai mad decat70 Simai mici decet100,careau diferentadintrecifraTecilor egalacu I sunt76.3r gi 08. ri ceaa unilAlilor

a) Stabileitenumerelenatuale de forma aD, astfelinc6t cifra zecilors6 fie cu 2 mai micddecatcifta unitAilor. b) Detemina numerelenaturalede forma aD pentrucarediferenladintre cifra zecilorqi cifraunitifilor si fie 2. Rezolyare: a ) At e n t i e !a b ,a +0 ;b -a -2 ;a e {1 ,2,3,4,5,6,' 1} ;be \3,4,5,6, 7 , 8, 9] . Numerelenatunle careau diferenladintrecifta uniteflor 9i cifta zecilor 2 svnti13, 24, 35, 46, 57,68 qi 79. b ) A t e n f i e !a b ,a +0 ;a b :2 ;a e \2 ,3,4.5,6,' 1,8,g) ;be 10,1,2, 3, 4. s , 6 , ' 7 j . Numerelenaturalecareau diferentadinte cifra zecilorti cifra unitqilor 2 slrnt 20, 31, 42, 53, 64,'15, 86 tl 9'1.

30

a) Gese$te toatenumerelenatwalede doudcifre careau cifra zecilorcu 3 maimarcdecatcifraunitdfilor. b) Comparicel maimarenumerdescopet cu numdrulg9. Rezolyare: a) Atentie!ab, a + 0; a : b + 3; a e 13,4, 5, 6, j,8, 9); D e {0, l, 2, 3, 4, 5, 6]. Numerelenaturalede douAcifre careau cilia zecilorcu 3 mai mare decatcifra unitd,tilorsunt 30, 41, 52,63,'t4, 85, 96. b) Atentie! 96 > 89 sau89 < 96.

a) Scrietoatenumerclenaturalecarese aib6cifra zecilorcu 4 nai mare dec6tcifraunitefilor. b) Compardcel mai mic nuner descoperit cu numdrul40. Rezolyare: a) A t e n l i eal b , a+0 ;a :b +4 ta e {4 ,5 ,6,7,8,9} ;6e { 0, 1,2,3,4,5} . Numerelenaturalecareau cifra zecilorcu 4 mai maredecatcifra unitdtilor sunt:40,51,62,73,84 qi95. b) Atenfie!40:40.

a) Careestecel mai mic numfunaturalde doudcifre caxearecifia unit6lilor 6?Dar cel mai marc? b) Comparinumereledescoperite cu cel mai mic $i cel mai marenum5r naturalde douecifre cu cifrazecilor8. Rezolvare: a)A t e n l i e :4 b . a ,0 . Cel mai mic numdrnaturalde doui cifre careare cifra unitililor 6 este 16,iar cel mai mareeste96. b) Cel mai mic qi cel mai marenumir naturalde doueciAecu cifra zeciIo. 8 sunt:80, 89. 16< 80 sau80> 16:16< 89sau89> 16; 96> 80 sau80< 96;96> 89sau89< 96. 31

Compareinte ele numerelenafurale: a) numtu cuprinsinte 70 qi 80 scriseu cifre careserepeta; b) cel maimarenumaLr naturalscriscu cifia 8. formatdin zecili uniuli: c) numir mai mic decat73,darmai mdledecat68,formatdin zeci. Rezolvare: a) Numdxulcuprinsinte 70 $i 80 scriscu cifre careserepetdeste77. b) Cel mai marenumdr natural scris cu cifra 8, format din zeci gi unitali este88. c) Numerulnatual mai mic decdt83, dar mai maredec6t68, formatdin zecieste70. 70 18.

Determindut numarmai mic decat100,$tiindcd indeplinegte simultan condi!iilel a) sumacifreloreste9: b) cifra zecilorestecu 5 mai maredecAtcifraunitililor. Compa.A numerulgAsitcu 58. Rezolvare: a ) A t e n f i e !a b , a+0 ;a + b :g ;a =b +5 . Numdrulceutateste72.Avem:58 < 72 sau72 > 58. b) I. P ma informaliedin e[unt conducela concluzia:cel mai mic numar naturaldin intervalul- mai mici decAt100- estezero,iar cel mai marc numir natwaleste99. 2. Infornafiaa doua ,,indeplinegte simultancondiliile,'- ne atenlioneazd cAestenecesar cali condifiaa), ti condiliab) tebuie si fie respectate, deci:

. din condiliaa) rezulfi cd ,irul numericstabilitla l. sereduce,pentruc6 sumacifrelor presupuneexistenfacifrei zecilor,precum ,i a cifrei unitalilor, deci trebuiesAalegemdintrenumerelenaturalestabiliteanterior doarfe'cete cel pulin egalecu l0 $i cel mult egalecu 99; . condiliab) poatefi ilustatdcompletand tabelul:

) varianta corectd

lll. Adunarea 9i scS.dereanumerelor naturale

dela0la30

Cerinte: 1. Efectueazi: a) 1 6 + 9 b) 1 4+ 7

12+8 16+ 8

c)

18+ 6 12+ 9

2. AflA rezultatele: a) 26 '7 b) 2'7-8

28_9 25_6

c)

2'7-8 279

d)

8+ 15 9+16

3, Pentruefectuarea uneilucrdris-aunit o echipi de 14muncitoricu una de 9 muncitori. CAlimuncitodareechipaobtinure? 4. Intr-oglastresunt7 trandafiri.in altasunt cu 2 trandafirimai mult. CaUtuandafirisuntin celedouAglastre,la un loc? t t-":l concurssportivo echipda oblinut7 medalii,iar alta cu 5 mai . multemedalii. Cetemedaliiau obtinutceledou5echrpe,in total? 34

6. Dintre mrmercle:1, 3,5,,7 $ig, alegepe aceleacare,adunalecu g, , dauun numaLr cuprinsintrel0ti 15. 7._Ninaqi Florin au compusimpreuna18prcbleme,iar Nelu Andrei 9i cu 9 problememaipulin. Cateproblemeau compuscei 4 copii, in total?

ori?

8. O clo|cdare l l puigori,iar altaarecu 3 puigorimai mulli. Caf puiqo nu suntgdlbiori de la a douaclo$ce,,tiind ci7 sunt gdlbi_ f. intr-unbloc cu 4 etajelocuiesccate3 copiila fiecareetaj. Cdli copiilocuiescin trei astfeldeblocuri?

10. intr-o cutiesunt8 qeioanecolorate.C6tecreioanesuntin 3 cutii de acelagifel, dacddin fiecarcs-auscoscate3 creioane? ll. Peste dou6luniCigelra implini8 ani. Pestecadani va implini soralui 15 ani, qtiindcAea estemai mici decat Gigel cu un a.n? 12.Alina a cumpdratoua.Din neatenfie a spart3 dintreele $i i-auremas 17ouA. CateouAa cumparatAlina? 13. Dan aveao pungi cu 28 de bomboane.I-a dat prietenuluisiu 13 bomboane, a mancat9i el catevagi i-aurdmasl0 bomboane. Catebomboane a mancatDan? 14. La o competiliesportivaau participat15bAiei, adicacu 5 mai mulli decatfetele. Caf concwenliauparticipatla aceacompetitie? 15, ,,Mic$oreaze" sumanumerelor14 qi 8 cu cel mai mic numernatural de doui cifie parc distincte.

35

Rezolviri: l. Rezultatele calculelorsunt: a) 25: 2l; b) 2Ot24; c) 24; 21, d) 23]'25. 2. Rezultatele calculelorsunt: a ) 1 9 ;1 9 ;b )1 9 ;1 9 ;q ) 1 9 ;1 8 ;d ) 1 9 ;18. 3.

14+ 9:23 (muncitori)

4. 1) Caf trandafirisuntin a douaglastre? 7 + 2 = 9 ( t r a n d a tu i ) 2) Cali tandafiri suntin cele doudglastre,Ia un loc? 7 + 9: 16(trandafiri) 5, l) Catemedaliia oblinuta douaechipi? 7 + 5 : 1 2 ( me d a l i i ) 2) C6temedaliiau obfinutceledoudechipe,in total? 7 + 12: 19(medalii) 6. A v e m 8 + 3 : 11 1 8 +5 =1 3 . 7, 1) CatepfoblemeaucompusNelu giAndrei? 18 9:9 (probleme) 2) Ceteproblemeaucompuscei 4 copii,in total? l 8 + 9 : 2 7 ( p ro b l e me ) 8. l) C6fipuiqoriarea douacloqcd? 1 1 + 3 = 1 4(P u i to ) 2) Celi puiqo nu suntgelbiori? 14 7:7 (pui$ori) 9. l) Cdgicopiilocuiescintr-unbloc? 3 x 4 = 1 2 ( co p i i ) 2) C61icopiilocuiescin trei astfeldeblocuri? 12+ 12+ 12: 36 (copii)

10. 1) Cdtecreioaneauremasin fiecarecutie? 8 - 3 = 5 ( c re i o a n e ) 2) Catecreioaneaurdmasin cele3 cutii? 5 + 5 + 5 = 15 (cre i o a n e ) 11. 1) Cali ani axesoralui Gigel? 8 a n i l a n =7 a n i 2) Pestecali ani va implini soralui 15ani? 15ani 7 ani: 8 ani 12.Cdteoui a cumpdrat Alina? 1 7 + 3 = 2 0 (o u d ) 13.Catebomboane a mancatDan? 2 8 1 3 - a :1 0 1 5 - a = 10 4=15-10 a = 5 (bomboane) 14, 1) Cetefeteauparticipatla concurs? 15 5: l0 (fete) 2) C61iconcurenqi auparticipatla aceacompetitie? 15+ 10- 25 (concuenli) 15 .A v e m :1 4 + 8

1 ,0 :2 2 -1 0 :1 2 .

lV. Adunarea gi sciderea numerelor naturale de la 0 la l00 Calculeazd: a) (20 + 50)- 10 60 20+ 10 50+40-30 20+20-10

b ) 1 0 +3 0 2 0 50 + (30- 20) 9 0 4 0 +3 0 8 0 2 0 +4 0

c) 20+30 50+40 9 0 - 2 0 - 3 0+ l0 50+10-20+30 100- 80 l0 + 40.

Rezolvare: a ) (20+ s0 ) l 0 :6 0 60-2 0 +1 0 =3 0 50+ 4 0 3 0 : 6 0 20+2 0 1 0 =3 0

b ) 1 0 +3 0 -2 0 =2 0 c) 20+30- 50+40=40 s0 + (3 0 2 0 ):6 0 90- 20 30+ l0:50 9 0 4 0 +3 0 =8 0 50+10- 20+30:70 8 0 2 0+ 4 0 : 1 00 100 80- 10+40=50

Completeaze hbelele: 40

3 0 10 5 0

q+20

Rezolvare: 40 3 0 1 0 50 a+20 60 5 0 3 0 '70

70

30

b

5 0 60 40

l0

9ob

'70

b

90

9o-b

Alli num5rulnecunoscut: a) a + 2 0 = 5 0 a - 20: '70 a+50=100 4 30: 30

b)

Rezolvare: Atentie! Folosindformulele: Tr+T2=S Tr=S-Tz T z = S*T r

30 50 60 60 40 3 0

40 Jt,

3 0+ b : 6 0 50-r:30 5 0+ r : 8 0 70- b = 10.

D- S=R D= S+ R S= D- R

avem: a)

. t + 2 0 = 50 a : 5 0 20 a=]0 Velijicarc:30 + 20 = 50

b)

30+ r :60 6:60- 30 ,=30 Verirtcare:30 + 30 = 60

38

l0 80

a -20:70 4=20+70 a:90 Verirtcare:90 20 ='t0

50- D=30 ,=50_30 b=20 Vetijicate: 50 - 20 : 30

a+50=100 a:100-50 a=50 VeriJicare: 50 + 50: lO0

50+ b:80 b=80- 50 b- 30 I/erilicare: 50 + 30 : 80

a- 30:30 a=30+30 a=60 Verifcare:60 - 30 = 3O

' 10 b= l0 b =70- 10 b: 60 Verificare:7O- 6O- lO

Carcestenumarulnecunoscut? a)a+( 2 0 +3 0 )=70 (5 0 +2 0 )+D=90

b)

( 80- 10) - a= 40 (90 70)-, - 0.

Rezolvare: Atentie! Rezolvdmmai intaiparantezele, apoiaplicim formuleleanterior notate. a )a + ( 2 0 + 3 0 ) =7 0 b) (80- 10) d :40 ' 10- a= 40 a+50=70 a=70 50 a = ' 70- 40 a=20 a:30 l/erijicare: Verificare: 20 + (2 0 + 3 0 ) = 2 0 + 50 ='1 0 (80- 10) 30= 70 30=40 (50+20)+b=90 '70+b=90 b=90 '70 b :20 Yerifcare: (50 + 20) + 2 0 = 7 0 + 20 =9 0

( 90- 70) - D= 0 2O- b= 0 b= 20- 0 b:20 I/erificarc: (90 '70),20: 20- 20 - o 39

Gisegtein locul E 5r A numerelormatenumaidin zeci.asllelca relaiile safie adevAmte: q0: a) 3 6- 2 6 + = + A 100: b) 18 32 E- A +2 5 +4 5:100. c)a +Rezolvare: Atentie! Existamaimultesolulii. :1 0 0 a ) 3 6 2 6 + E +A l 0 + 1 0 +8 0 =1 0 0 l 0 r 2 0 +7 0 :1 0 0 l 0 + 3 0 +6 0 :1 0 0 t 0 + 4 0 +5 0 :1 0 0 l 0 + 5 0 +4 0 = 1 0 0 1 0 + 6 0 +3 0 - 1 0 0 1 0 + 7 0 +2 0 :1 0 0 1 0 + 8 0 +1 0 - 1 0 0

Calculeazd: a )'7 0 + 4 3 + l0 50+ 2 50+ 6 Rezolvare: a) 1 0 + 4 =7 4 3 +1 0 :1 3 5 0 + 2 :5 2 5 0 + 6 :5 6 Calcul 40 5

ft!-

b) 80+ 7

+25+45:100 c)A.+Ef 10 + 20 +25+45=100 2 0 + 1 0 + 2 5+ 4 5 : 1 0 0

90+ 2 4+80 30+ 5 I +90

6+90 2+40 4+20

d) 94:90+ ? 83: 3+? 5' 1= 50+? 15= ? + ' 10.

b) 80+ 7:87 c) 9 0 + 2 : 9 2

5 0+ 3

T--

b)18+32+E A:90 18+32+ 50 - 10=90

6+90=96 2+40=42 4 + 20:24

8 0+ 4

!n

4+80:84 30+ 5:35 l+90=91

l0

+ l' 77

9 0 + ftft-

40

d) 94=90+ 4 83: 3+80 :50+ 7 5' ,1 ' 75:5+ ' 70

7 0+

n--l

20+ 9

!-E

6460

ftft-

3 0+ 3

Etr_ tr-E 544

tr-E

Rezolvare: 40+ 5 0+ 5 3 45 53

2o+ 9

80

3 0+ 3

'7 22

fltr-

8 0+ 4

'70

E!l0+ I

87 80

8 7,]

9390 Frr-r-

54 4

n-E

40

5 88

!-E

tr-tr-

90+ 7 97

7 O+ 7

9390

933

77

90 4240

2 '1 0

9 33

LJL]

80

50

58 8

50

Completeazi, pe caiet,fiecaretabel: Termen 20 50 4 9 Termen 8 2 60 70

Sumi Rezolvare: Termen 20 50 4 9 Termen 8 2 60 '70 Sumi 2 8 52 64 79

rate:

tr-tr-

84

29 6460

8 '7 7

Termen 81 81 3 5 Termen I 80 5 3 0 Diferente

Termen

8 1 8l 35 35

Telmen

I 80 5 30 DiferentA 80 I 30 5

Completeazicu semnele astfel incat egalitetile se fie adev6a)2 0 + 4 4 2 2 - 2

7 +50n87- 7

b )3 6 -6 E 2 0 +2 0

30+7!63

4l

c) 67_60[10+ 9

3

30+30n67_7.

Rezolvare: , astfel: EgalitSliledevinadevArate folosindsemnele

q 2D+ 4 e22 - 2

24ezo

7 +5 0 8 8 7

b ) 3 6 - 6 E 2 0 + 20 30

7 30+7

57 E8o

E+o !e :- : Eeo

c) 6 7 - 6 0E 1 0 + 9

7 Ere

3 0 + 3 0E 6 7 - 7 60 E 60.

Cu cat estemai maresumanumerelor80 qi 9 dec6tdiferentanumerelor 64 ii 60? Rezolvare: Problemapoatefi rezolvafiastfel: 1) Sumanumerelor80 9i 9: 80+9=89 2) Difercnlanumerelor64 li 60: 64-60=4 3) Cu cetestemai maresumadecdtdiferenta? 89 4=85 ScriereasubJbrmdde exerciliu a rezolvdriiproblemei: r 8 0 a ) t0 4 o 0 ) 8 5 . -R.isp,r.r.Sumaestemai marccu 85.

Din ce numdrtrebuieseJ scidempe 7 pentrua oblinesumanumerelor 50 fi 2? Rezolvare: Scriemproblemasubformarmuiexerciliu,apoirezolvem:

x '7 =5 0+2 .r 7 :5 2 (D :S +R ) x=,1+ 5 2 x:5 9 Rispans:Numdruleste59.

42

La o inteceresportivaparricip540 de fete,7 bdietiqi 2 pfofesod. Catepersoane participdIa concursulsportiv? Rezolvare: Catepersoane participela concursulsportiv? 40+7 +2-49 Rd,iprr.s. 49 de persoane.

AflA diferenladinte cel mai marenumerde doudcifre careare cifra unitililor ceamaimicddiferitAde zero$i numarul90. Rezolvare: Numarulde doudcifre careare cilia unitdtilorceamai micAdiferitAde zeioeste91. Diferentanumereloreste:91 90 = 1. Rdtp'r?srDiferenla este1

Calculeazd diferentadintrecel mai mic numdrde doudcifre carearecifra unitAlilorceamai marcsi numAld 10. Rezolvare: Cel maimic numir de doudcifre carearecifraunitAlilorceamai marecifrAeste19. Diferenlanumereloreste:19- l0 : 9Xdrprrsr Diferentaeste9.

Afli sumanumerelora, b 5 i c.d a ci :a

8ib

Rezolvare: b=a+'70 ,:8+70 ' b:'78

c:b- ' 70 c = 78-'70

43

a

10;c=b 70.

Sumanumerelora, , $i c este: a + b + c = 8+7 8 +8 :8 6 +8 = =9 4

AflAvalorilelui a. 6. r ri ,din egalila!ile: a = 5 0 +b tb :c 2 0 :c : 4 + dt d + 6 : 26. Rezolvare: lncepemlezolvaleaoela ultrmarelatlel d+6=26 d =2 6 -6 c=4 +2 0 b :2 4 - 2 0 a=50+b a :5 0 +4

, lntr-o clasesunt25 de elevi.Dace3 fete qi 2 bAiefiau plecatin curtea $colii,in clas6aurimas tot atateafetecatbAief. Cd!ibaie!iau ramasin clasa? Rezolvare: 1) Cdli copiiau plecatin cutea gcolii? 3 + 2 = 5 ( co p i i ) 2) Ce! copiiau ramasin clasd? 25 5 :20 (copii),adici l0 fete$i 10bdieli. Scriereasubformd de exerciliLta rezolydriiptoblemei: , 25 (3 + 2):25 - 5 = 20, adicd10baieliti tot atateafete. Rdspurs:10feteqi 10baiei.

Un elevare24 detimbre,altul 5 timbre,jar al treileacu 8 timbremai pu{in caprimii doi, la un loc. C6tetimbreareal treileaelev?

44

Rezolvare: l) Cdtetimbreau primiidoielevi,la un loc? 2 4 + 5 = 2 9 ( ti mb re ) 2) Catetimbrcarcal treileacopil? 2 9 - 8 - 2 1 ( i mb re ). Scriereasubformti de exerciliu a rezolvdriiproblenei: (24 + 5) - g :21 Rdspuns: 2l detimbreareal treileaelev.

15+

l ' 7+ aO

48 2b

94ab

55

Jt

2A

44

3q+ b4 E ij

87bo

Rezolvare: Dupd inlocuirea literelor cu ciftele corespu.rzitoaxe avdmurmitoare calculescrise; 15+ I 7+ 489 43 0+ 87 40 4 0 20 50 54 l0 28 44 84 7' .|

Intr-ocutiesru'rt2 bile negremici qi 17bile albe,din care3 suntmici, iar celelaltemari. a) Catebile albemari suntin cutie? b) Catebile mici suntin cutie? c) Catebile suntin totalin cutie? Rezolvarei a) Calebile albemarisru'rt in cutie? 17 3 : 14(bilemari,albe) b) Catebile mici suntin cutie? 2 + 3 : 5 ( b i l e mi ci ) c) Catebile suntin totalin cutie? 2 + 17= 19(bile) Rdsputls:a) 14(bile mari,albe);b) 5 (bilemici); c) 19(bile).

45

lnlocuie$te stelulelecu cifrepotrivite: *7+ )x=4 s Rezolvare; DupAinlocuircastelu.telor cu cifie potriviteavem: l 7 +2 8 =4 5 i

AflA cu cat estemai maresumanumerelorde doudcifre identicemai mici decat40, falade cel mai mic numir fonnatdin zeci$i unitlli, cu cifra uni_

tnflor9.

Rezolvare: Numerelede doudcifre identicemai mici decat40 sunt: t t , 2 2 , 3 3. Celmai mic numarlormatdin zeciqi unitdli,cu cifrauitAtilor 9 este19. Sumanumereloreste: 1 l + 2 2 + 3 3 :6 6 . Cu cat estemai maresumanumerelorde doui cifre identicefafdde nu_ mArul19? 66 tq 41. nd.rp,r,r.Sumaestemaimarccu 47 decat19. Ce nlunerobginem dacdscAdem numdrul14 din suma,,vecinilor"numd_ rului 2l ? Rezolvarei Suma,,vecinilor"numdrului21 es.e: 2 0+ 2 2 : 4 2 Careestediferenladinftesuma,,vecinilor,, ,i numerd 14? 42- 14-28. -Rdsprrs.Diferenlaeste28.

46

V. Numerele naturale de la 100la | 000 Ceritrfel 1, Scriecu cifre; trei sute;o sutddoudzeci:patru sute,aptezeci,i doi; opt sutepqisprezece;cinci sute;aisprezece, 2. Un numir detlei cifie poateaveasumacifrelor0? ,1.7'/, 3, Scriein ordinecrescAtoare jO7,'770,7 77, folosind mrmerele | $i semnuln; d)ntE; Rezolvarei IatAun exempluposibil: a) 8 1 8 2 : b ) q 0 0 2- s 0 0 1 . d)8 7 5 9 . 8 7 5 r: e ,)1 0 0 t. t0 0 3 . Gase$te ti tu altesolutii!

e)!104913 2 3 3 2 3+ 32332 6 1 32+ 23t6 4'76'764 ) 4676i4

40 003+ 30 004 80 508-+ 80 508 '75'7 5'7'7 ) 775157 8 011+ I 108

ComparAnumerele impare de forma abcd carc indeplinesc simultan condiliile: a) ciAamiilor estel; b) cifla zecilor estecu 2 mai maredecatcita unitifilo! c) cifra sutelorreprezintijunAtate din suna cifrelor ce reprezintdunitii_ le gi zecile; d) sumacifrelorestemai maredecat6 $i mai micedecat26. Rezolvare: Atenfel abcd,a+0 a=l; c:d+2 b = @+ f l : 2 . Numereleceutatesunt:| 231,| 342,| 453,1 564,| 6'15,l '786ij I Bg.j.

Caresuntnumerelede forma 8a43caxeserctunjescla 9 000? Dar la 8 000,careserotunjesc? Rezolvare: Pentruca numerul d?5 si serotunjeasceIa 9 000,trebuieca; sunt:8543,8643,S 743,8843,i 8 943. {5,6,7,8,9}, decinumerele Penhuca mrm5rul 8a43 sdserotunjeascdla 8 000,trebuieca: {0, l, 2, 3, 4}, decinumerelesunt:8 043,8 143,8 243,8 3439i 8 443.

85

Ionut arc 20 000 de fotografii,soralui are cu 500 000 fotografiimai mult, iar colegalui lonul arejumitate din numaxulfotografiilor suorii sale. a) AproximeazA,catefotografii arefiecarecopil. numerelein ordinecrescetoare apoia$aze b) Calculeaze, Rezolvare: a) Colegalui lonut arejunetate din 20 000,adici 10 000 de fotografii, adunatcu jumAtatedin 500 000 de fotografii,adicd250 000 de fotografii,in260000de forografii. seamna b) Catefotografii arc soralui Ionul? 20 000+ 500000= 520000(fotognfii) ' CAtefotogfafiiarecolegalui Ionult 520000 : 2 = 260000(foto$afii) sunt: Numercle,aqezatein ordine desclescatoaxE, 520000,260000,rcspectiv20 000.

Vitrina unui salonautoarecetevaetichetecu urmetoarelepreFrri: 4I'7 lei 627000lei, 589030lei,400 070lei, 32850Olei,'7'13 Rotunjeqtela sutede mii fiecarenumer fi scriele apoi in ordine crescitoaxe,dar nu in cifre, ci in litere. Rezolvare: Rotunjireasefaceastfel: 62'70OO-+ 2 < 6 roti)njireaeste600 000 ($asesutede mii); 589 030+ 8 > 5 rotunjireaeste600000(tasesutedemii); 400 070J 0 < 4 rotunjireaeste400000(patrusutede mii); f28 500-t 3 > 2 rctunjireaeste300000(trei sutede mii); 7'134l'7-+'1 > 5 rot\tniireaeste800000(opt sutede mii).

Cu ajutorulcifrelor l, 2, 7 $i 6 formeazacetmai multe numeredin 5 cilie. Rezolvare: Avem numerele:121 61,12672, l'7 626,l'7 26'7,16 2'1| $i 16'721 qi tu ahenumere! Gase$te 86

Fomeazetoatenumereleimpareposibilecu ajutorulcifielor: 9, 6, 4, 0 qi 1, luate o sinsuradati. Rezolvare: Atenlie! Pentu ca numerelesd f1eimpare,cifta unitililor poatefi, in acestcaz,9 sau1. Avemnumerele: 16409,16049,14069,t4 609, 96 401,96041,94601,94061etc. Gaseqte tu altele! 9i

Geseqte toatenumerclenahualede forma a532b,rl':'dea-b=4, Rezolvare: Numerelede forma a532b, ]Jndea - b = 4 sr.urt: 95 325,85 324,'75323, 65 322,55 321 9145320.

a) 1 0 19 8 9 ; 1 0 19 9 5 ;...; c ) 4 8 7 3 ; 48 8 0 ;...;

b ) 3 50 21;35016;..,; d ) 2 0 1 14;20108;...

Rezolvare: Celecinci numeredin giruri sunt: a) 101989,101995,102001,102007,102013,102019,102025(acest este unulcrescitordin 6 in 6 incepdndcu 101989); fir b) 3 5 0 2 1 , 3 50 16 ,1 U ,3 5 0 0 6 ,3 50 0 1,34996,34991( acest qireste unuldescrescitor din 5 in 5 incepandcu 35 021); c) 4 8'73,4 880,{!!?, 4 894,4 901,4 908,4 915 (acest$ir esteunul crescAtor din 7 in 7 incepdndcu 4 873); d) 20 I14,20 108,20102,20096,20090,28084,20078(acestqii este unuldescrescator din 6 in 6 incepandcu 20 114).

87

Scrie cu cifre urmatoarele numerc: a) doud sute de mii unu; b) noudzeci qi trei de thii ;apte sute cincizeci ;i doi, a')o sutd qaptezeci;i trei de mii paisprezece; d) opt sute cincizeci ti Sasede mii opt. Rezolvare: Numerelescde cu cifre sunt:

a ) 2 00 0 1 ;

b) 93 752l.

c) 173014;

d) 856008.

Careesteprcdecesorul numdrului27 Ol0?Dar succesorul? Rezolvare: Predecesorul 2'7009

Numirul 27 010

Succesorul

21011

Care sunt numereleformatedin cinci ordine cu cifiele consecutivefies_ cdtor? Dar descrggcetor, caresunt? Rgzolyarei Numereleformatedin cinci ordinecu cifteleconsecutive crescdtor sunt: 12345,23456,34S6't,456jB ri56 789. Numereleformatedin cinci ordinecu cifrele consecutive descrescAtor sunti 98'765,8'1654,'16543,65432,54 321ii 43 210. Rotunje$te la zecidemii succesorul numirului 43,jl,l'. Rezolvare: Succesorul numerului43j l'15 este43'l 176;acestnwnir rotunjit la zeci de mii este440 000,deoarece 7 > 5.

88

Completeaze: O zeceestefonnatd din ... unitdli. Zeeezeciformeazd o ... . O mie esteformatd din ... . Rezolvare: O zece esleJbtmatd dih zece unitdli. Zece zecifofifreazd o sutd. O mie esteformatd difi zecesute sau o sutd de zeci sau o mie de unitdli.

Scriemmereleformatedin: a) 2 suteclemii 3 zeci de mii 2 sute;i o unitate; b) 12mii 6 unitdli; c) 3 sutede mii 5 sute8. Rezolvarei a) 230 201:

b) 12006;

c) 300508.

Incercuie$te numerclecel mult egalecu 26 463: 26 465,26460,26463,264',10,26 459. Rezolvare: Numerelecel mult egalecu 26 463inseamnimai mici decetacestnumdr, inclusivel. Avem:26 459,26460$,26 463.

Scrie toate numerelede patru cifre diferite, fiecare cifre fiind cu I mai maredecatceaprecedent5. Rezolvare: Numerelede patru cifre diferite de forma abcd, ot a + b f c + d,slur,tl | 2 3 4 , 23 4 5 ,34 5 6 ,45 6 '7 ,5678 Si6 789.

89

Scriecel mai mare,apoicel mai mic numArcaresepot foma folosindo . s1lguredata,cifrele:7, 4, 5, 0 qi g. Rezolvare: Avem: 40 578-J celmaimicnumar; 87 540 celmaimarenumar. -

lV. Adunarea 5i sciderea numerelor naturale dela0tal000

Determindtoatenumerelenaturalede foma .trz. stiind cd: xyz+yzx+zxy:6 66. Rezolvare: A\em: 123+ 231+ 312: 666.

Calculeazs: (100 99)+ (98- 97)+ (96 95)+ ... + (2 l). Rezolyare: Ave m :l + 1 + 1 +...+1 =5 0 .

Scriein loculstelulelorciliele carcsepotrivesc: 3 J t *+ *8 *_ 4 *Jr+ lr2 4 2 *6 ti 5 l 980 69 5 820 Rezolvare: Avem: 3 5 6+ 624 980

9 8 I

4 6 9

zq I 6

1I 1

5

8 2 0

90

lr 8it578

8 8 23 04 578

Prive$te,cu atenlie,umitoarele doui qiruri de numere: |

2

J

JJ.'

3

4 ...9 9

100

100 99 98 97 2l Ce mrmtuii corespunde lui 27?Dar lui 86?Dar lui 58? Rezolvare: Observem cA100+ I : 101,99+ 2: l0l, deci2't + a= l0l =) =>a = l0l 27,a='74. A v e m :8 6 + 6 : 10 1 D , = l 0 l -8 6 , r= 1 5 . A v e m :5 8* c = 1 0 1c: , l 0 l -5 8 ,c=4 3 .

Cerinfe: 1. Se scrie cifia 4 la slirgitul unui numir de dou6 cifre care estedublul numArului32. Ce numfu s-a format? 2. Afl5 cel mai mic ai cel mai mare numfu de trei cifre care au sumaciftelor 10. 3. DeterminAcel mai apropiatnumArde 900 carearecifra zecilor7. Dar dacecifia unitdtiloreste3? 4. ,,MArcgte"m.unird reprezentenddiferenla numerelor 82 9i 58 cu inversul acestuia,iar din rezultatscadecel mai marenumerde doudcifie cu cifra zecllor 2. 5, Sciz6nddin 75 dublul lui 9, seoblineun numdrcu l7 mai maredecdta. Cet tebuie adiugat la a pentrua obtine90? 6. Scadedin cel mai marenumbxnaturaldehei cifte diferitesumanumerelor129$i 187.

9l

7.Buniculareinlivadi148depe,cu68maimul1imerigi un numir de caifiegalcu sumanumal'ului demeri;i peri. C61iviginitrebLrie si plantezepentrua avea900depomi fiuctiferi? Rezolviri: 1, Avem: 32 + 32 = ab 32 + 32= 64. Numdruleste644. 2. Numerelesunt:109qi 910. 3. Numerele sunl ob,. ilr. Sle; abc,ab3,901. 4, Avem: 82- 58+ 42:66; 6 6 2 9 :3 '7 . 5 .Ave m : 7 5 2x9 :a +1 7 1 5 l 8 :a +1 1 ll:a+ll

a=5 7 a=4 0

l'7

40+.x= 90 , r = 9 0-4 0 x=50 6. Avem:987- (129+ l8'7):98'l 316:6'll. 7. l) Cdtimeriarebmicul in livadi? 148+ 68= 216(me ) 2) Cai caiti arebunicul in livad.a? 148+ 216= 364(caiqi) 3) C61iviginitrebuieseplantezebunicul? 9 0 0 - ( 1 4 8 + 2 1 6 +3 6 4 ): :900 -'728= : 172(vigini)

V. Adunarea 9i sciderea numerelor naturale dela0lal0000 Sedaunumerele: a = ! 233:, b=2311, c =3 2ll. Si seaflepe rdnd: a)a+b+c' b )a +b -c; c)a+c b , Rezolyare: a) a+b+c= : 1 2 3 3 + 2 3 11 +3 2 t1 : = 3 5 4 4+ 3 2 l l = =6755

d) c+ b- a.

Calculscris: 1233+ 231| 32 | | 6',l 5 5

b) a+b-e: : | 233+ 2 3tt -3 211= : 3 5 4 4 - 3 2 11 = 333

1233+

23 | r

35443211

3511

=3 3 3

c) a+c-b= = 1 2 3 3 + 3 21 1 -2 3 1 1 = =4444 2 3ll:

1233+ 32tl 4444

444423 | |

d) c+b - a : :3 2 1 t+ 2 3 tr - | 233: :5 5 2 2 - t2 33= =4 2 8 9

3 2 ll+ 2311 5 5 22

5 522, 1233 42 3 3

2 | 33

La diferenfanumerelot'7324Fi 5 211,adaugddiferenlanumerclor8 744 qi 4 004qi dublulnumdrului500. Rezolvare: Calculscris: 1) Diferenla numerelot'7324 $15 212 estel ' 7324 8' 7 44'7324 5 211=2ll3 5211 4004 2) Diferenlanumerelor8 744qi 4 004este: 2ll3 4140 8 ' 1 4 4 - 4 0 0 4 =4 1 4 0 93

3) Dublulnumdrului500este: 5 0 0 + 5 0 0 :1 0 0 0 5 00x 4) Sumacelordouddifeienje9i dublul' 2 numerului500este: 1000 2 l \ 3 + 4 7 4 0 +1 0 0 0 =7 8 5 3 Sctiereasubformd de exerciliu a lezolvdii problemei: (7 324- 5 2rr) + (8 't44 4 004)+ (500+ 500)= :2113+4740+ 1000= : 6 8 5 3 + 1 0 00 = =7853

2113+ 4',l 40 1000 7853

KASq nS: | 6)5

Afli sumanumerelora, 6 qi c careindeplinesc umdtoareleconditii: a) fiecarenumareslelormatdin paLrucifre; b) numirul a esteformatdin cifre pareconsecutive; c) numAlul, estefomat din cilie impareconsecutive; d) numarulc reprezintddiferenqadintre a 9i 6. Rezolvare: Numardlr:2 468. l\UmarulD= I Jt/.

Nu m A r u l c = 2 4 6 8 I 3 5 7 = 1 t1 t. Carcsumanumerelord, , $i c? 2 468+ | 35'7+ 1 Ltl = 4 936.

Afld numArulabui , qtiindcd,: a) a estecel mai marenumdrpar; b) Destecu 3 mai mic decata; c) c reprezintAcel mai marenumdrimpar; d) d estediferenladintrec gi 6. Afld diferenta dinte abcd 5i cel maimic numdrde parrucilie djsrincte cu ciftau talilor 9.

94

Rezolvare: Celmai marenumerpar deo cifiA este8, decia = g. b=8-3.,b=5 Cel mai marenumbximpardeo cifia este9, decic = 9. d = 9 - 5 ;d = 4 =SSSq. Deci,numdrulcdutat "tca Cel mai mic numir par de patru cifre distincte cu cifra unitAflor 9 este | 029. Diferenladintreabcd 9i numirul I 029este:8 594 | 029=j 565.

Scrienumerede forma a9D4, undesumaciftelor d Si, esteegah cu I l. Calculeazidiferenfadintre cel mai marenumergasit qi cel mai mic. Rezolvare: Numerelede forma a964, undesumacifrelor a gi 6 €steegaldcu l1 sunt: 2 994,9 924,3984,8934,49'74,7944,5964,6954. Celmai marenumdrdinheceleenumerate este9 924,iar cel mai mic este2 994. Careestedifercnlanumerelor9 924 gi 2 994? 9 924-2 994= 6930.

Sumaa trei numereeste7 887.Primii doi termeniau suma4 533,iar ultimii doi tenneniau suma4 878. Caresuntnunerele? Rezolvare: l+II+III=7887 :4 5 3 3 I+It I I + I I I =4 8 7 8 1) Careesteal IIIlea numdr? I +Il + III = 7 887;4 533+ III = 7 887;III = j 8B'/- 4 533; 4 533

rrr= 3 354. 95

2) Carc esteprimul num6r? I + + I I = 7 8 8 7 ;I+4 8 7 8-7 8 8 7iI= 7 887- 4 878; 4 878 I=3009. 3) Carcesteal Illea numir? I + I I = 4 5 33 sau II+III= 4878 3 0 0 9 + I I=4 5 3 3 II+3354=4878 II :4 533 3 009 II:4 878 3 354 ll=1524 Il= | 524 Atenfie! Problemasepoaterezolvagi in alt mod.

GAsegesoluliilecorectepenh!: 3 432+5a45> 8 557. Rezolyare: 3 432+ 5a45> 8,55'7 Ave m :d € 1 0 , l ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 l 3 432+ 5 045= 8 4'j't < I 55'l 3 4 3 2 + 5 14 5 :8 5 7 7 >8 5 5 7 >855'7 3 432+ 5 245:8 6'7'1 3 432+ 5 345: 8',117> 8 55.t 3 432+ 5 445= I8'j'7 > 8 5S'l 3 432+ 5 545= 8 9'1'l> 8 55'l 3 4 3 2 + 5 6 4 5 :9 0 7 'l >8 5 5 7 3 4 3 2 + 5 '7 4 5 =9 1 '7>'1I 5 5 '7 > I 55,7 3 432+ 5 845: 9 27'.7 = 3 432+ 5 945 9 3'j'7> I 5S'l

La r.mmagazins-auadus,sprevdnzare,9 000kg de fructe. Din intreagacantitates-auvandut3 924 kg de pere,cu 1 l9g kg de prune mai pulin $i o cantitatede merecu 4 487kg maimicddecetcantitAtile deprune pere randute. impreuni. 5i Ce cantitatede fructe a dmas nevendute?

96

Rezolvare: l) Cdtekilogramedeprunes-auvandut? 3 924kg - | 198kg= 2 726Yt 2) CAtekilogramede pere9i prunes-auvAndut? 3 924ks + 2'126kg= 6 6soke 3) Catekilogame de meres-auv6ndut? 6 6 5 0 k 9 - 44 8 7 k9 =2 l 6 3 kg 4) Cdtekilogramede fiuctes-auvendur? 3 9 2 4k g + 2 7 2 6 kg + 2 1 6 3 kg =8 8 13kg 5) Ce cantitatede fructe a ramasnevanduti? 9 000kg- 8 813kg: 187kg Sctiereasubformd de etetciliu a rezolvdriiproblemei: 9000-13 924+(3 924 | r98)+ (3924+2726_4487)l: t87 Rdsputts:187kg.

O fermAa trimis sprevanzare2 256 o\td,de culcd, cu I 389 mai pufine oue de gascd,iar oue de gainacat celede curce$i gasci la un loc. FormuleazdtntrebareaSi rezoltd problema. Rezolvarel intrebarcaproblemeipoatefi: Cateoui a himis fermasprevanzare,in total? I ) Cateoudde gasci a trimis fermasprevAnzare? 2 256- | 389= 867 (oudde gdsci) 2) Cateoud de giind a trimis ferma sprevanzare? 2 256+ 867:3 123(oui de gdind) 3) Cateoui a aimis fermasprevanzar€,in total? 2 256+ 867+ 3 123:6 246(otZL) Scriereasubformd de exerciliu a rezohtdriiptoblemei: 2 256 + (2 2s6- | 389) + (2 2s6 + 86't) = 6 246 Rdspuns:6246 (ottd).

Afl 5 numixul necunoscut: 453-x=261; x +453=621 ;

97

x- 453- 621.

Rezolvare: 453- x = 261 x = 4 5 3 -2 6 1 x= 192 Verilicarc:453 192:261

r+4 5 3 =6 21 x=6 2 1 -4 53 rc: 1 6 8 1 6 8 +4 5 3:621

r 453:621 x=621+ 453 x:10' 74 | 074 453:621

Afld suma,apoidiferen.ta nunerelor:5 634$i 3 289;6 093si 3 789. Rezolvare: 5 6 3 4 + 3 2 8 9 :8 9 2 3 s 6 3 4 - 3 2 8 9 :2 3 4 5

6093+ 3789=9882 6093- 3' 189=2304

Sedaunumerele: 214,428,856, 1 '112. Descoperd regula,apoiafldurmdtoarele doul numere. Rezolrare: in acestqir,numirul careurmeaziestedublulceluidin 1elalui. 214x2= 428 4 2 8x 2 : 8 s6 8 5 6 x 2 =1 '7 1 2 Af adar,avem:| 712 x 2 - 3 424 sau| 712+ l'l 12- 3 424. Ionelciteqteintr-o zi 25 de pagini,a douazi cu 9 mai putine,iar a teia zi cu 5 maimultedecatin a douazi. Carteaare79 depagini. Cetepaginii-aurdmasdecitit lui lonel? Rezolvare: l) CatepaginicitesteIonela douazi? 25 - 9: 16(pagini) 2) CetepaginicitesteIonela treiazi? 1 6 + 5 : 2 1 (P a g i )n 3) Catepaginia citit Ionelin celetrei zile? 25 + 16+21: 62 (pagini) Scriereasubformd de exerciliu a rezolt)driiproblelnei: 79_ [(2s+ (2s -9) + (16+ 5)] = 17 Rdspuns:l7 pagini. 98

Vl. lnmulfirea 9i impirJirea numerelor naturale mai mici decit 100 AfliJ pe:r din egalitatea: r + 1 0 +r+ 1 0 +r=r + ')ra r ir ir . Rezolvare: r + 1 0 + r + 1 0 +i :r +r: +r +r +t Scadem9i din membrul drept, fi din membrul stang3 x r, adici acelagi nurdr, !i oblinem: l 0 + 1 0 : 2 x.r 2xx=20 x=20:2 x: l0

Trei prietenivor sAcumpereun cadoude 53 lei. primul are9 lei, al doilea aretdplul primului, iar al treilea cu 3 lei mai mult decetprimul copil. De cali lei mai au nevoiepentrua cumpdracadoul? Rezolvare; l) C6{ilei areal doileaprieten? 9 l e i x 3 : 2 7 l e i sa u 9 l e i + 9 l e i + 9 lei : 27 lei 2) Cafilei areal teilea prieten? 9 l e i + 3 l e i: 1 2l e i 3) CaUlei au cei trei prieteni impreuni? 9 l e i - 2 7 l e i t l 2 l e i =4 8 l e 4) De caf lei mai aunevoiepenhua cumparacadoul? 53 lei 48 lei: 5 lei Scriereasubformd de exelci,tiua rezolydriiproblemei: 5 3 - [ 9 + ( 9 x 3 ) +(9 + 3 )]=4 8 Rdspuns:48 lei

99

Determindvaloarealitereloidin fiecarcegalitate: xy:y= yt ab:b = c: ]n : .r= jt:r. Rezolvare; ;."

36 i6 :6

;

12:2:6 15:5:3

Determinipe r din egalltatea: n I m + x x 0 + n - m : m : 756. Rezolvare: m : m + x r I I > I I I . Ave m: I+II+JII:99 :67 I+II ll+llt=65 CareesteuIrul dintre numerelemici (In)? :32 99- 6',7 Careestecel mai marcnwnAr[)? . : 9 9- 6 5 : 34 Careesteal doileanumir? 65- 32 =,33,sau 6Z=.34=.33

Rdspuns:11].l'. . r. . . . 4 . . , ' : -r. . . -. - 1 .

I pesciru9................... I 2i...................... 3p9gi I pescaru$ ...,............... 2 2iIe................... 6 pe$ri 2 pescAru$i ..............,... 2 2i1e......,............12 pe$ti 3 pescdru5i .................. 2 2i1e..............,.... | 8 pesli .. Ri,eprrr: l8 pe$ti,

r20

Cerinte: SUBIECTUL I . La exerciliile1, 2, 3, 4 ti 5, incercuieltelitera corespunzitoarer.dsPunsuluicorect. l. Mama cumpixi 26 de na.sturiro$ii $i negri. Dinte ace$tia;3 nasturi sunt ro$ii. (4p) Numaxulnasturilorne€ri este: R ?S 4.29., c .2 4 ; D.23. 2. Mama cumpdri 29 de narcise9i zambile.Dintre acestea,5 suntnarcise. Numirul de zambileeste: L14 8.34; D.26. 3, intr-o clasAsunt 18 fete $i I I bdiefi. Numfuul total al elevilor din clasi este: A.'1: 8.28|, D.30. 4. Au plecatin excursie24 de fete !i bdiefi. Dintre ei, 3 suntbaieli. Numarul fetelor este: A. 1 2 ; B .2 l ; C .27; D.20. 5. Doui grupuri au in total 10elevi. Alege raspunsulcarenu estecorect: A. l + 9 B.2 +8 C .3 +7 D .4 + 6 E.5+5 F.6+ 5 SUBIECTUL II . Rezolvi problemelede mai jos, 1, La teatrul de pdpuqi,in spectacolulde diminea,tAau jucat 20 de pepugi, iax dupa-amiMaalte 10 papu$i. Catepapuqiaujucat,in tolal,1aceledouespectacole. 2, kina a cules26 de lalele. Caft hlele aveainainte de a le fi culespe ultimele l0? 3. CAti sacimai trebuiesApunebuniculin camion,l6ngi alli 21, pentrua avea28 de saci? 4. Andrei are 20 detimbr€. Piimeqtede la bunicul inci 3 timbre. Catefimbre areAndrei, in total? 5. La o serbares-au folosit pentru decorarcaclasei 29 de baloane.Dintre acestea,3 s-auspat. Catebaloaneau rdmas? l2l

6.

La o aniversare suntl0 bdiefi$i 8 fete. CeFbAiefinu danseazi,dacdfiecarcfat5 danseazA cu un b6iat? 7. Crisrian areun frateyi rrersurori. Catesurori arc l na, sorasa? 8. Danaa pusin cogmere$i pere,in total4. Catemereputeaufi in acelcoq? 9. Mihai are 12 ani, adicecu I an mai mult dec6tfratelelui anultecut. Cdli ani are fratelelui Mihai acum? 10, Pentruziua mameisale,Corinavreasi culeagiull numerde narcisecu ula mai mult decatvarstape careo implinegtemama.A cules24 qi trebuiesd mai culeage15. Cdli aniimpline5temamaCorinei? SUBIECTUL III . Une$tecu o linierispunsulcorect. inainte de 1. Merg la qcoali in timp ce iau miculdejun.

2.

inaintede Preg5tesclecliile in timp ce ludm masadepr6nz.

duDa

@

a

[o;e r---l

unel

Lrorq t-t r oml

omnul din timot SIJBIECTULIV

122

Rezolviri: SUBIECTUL I l. D; 2. A; 3. C; 4. B; 5. F. SUBIECTUL II l. 20 + 10- 30 (papusD 2. 26- 10= 16(lalele) 3. 28-2 1 = 7 ( s a c i) 4,

+3=23 (im&e) .20

5. 29-3=26(baloane) 6.

l0-8 = 2 O n i e t i )

7, 3 -1 = 2 ( s w o r i )

8.

l+ 3 = 4 3 + l= 4 Rdsprrsr1, 2 sau3 mere.

9.

Cali ani are liatele lui Mihai acum? llan i + 1 a n = 1 2 a n i Rdspuns:12 ani. 10. Caf aniimplineqtemama? 2 4 + 1 5 1 : 3 8 a ni Rdspuns:38 ani. SUBIECTUL III l.

Merg la qcoali

inaintede in timp ce iau

123

micul dejun.

2.

inaintede Pregetesc lecfiile in timp ce lueq masadepranz. du irealectiil unel din timDul noDtii

SUBIECTULIV Vezitabeluldemaijoa: TERI ALI

MAINtr

Jor

duminicn sembdtA duminica marti narti luni

124

samb a duminici

Clasaa lU.a l. Evaluare inilialt (de diagnosticare) Cerinte: 1, Calcnleazl a)( l + 2 x 5 ) x ( 2 + 3 x6 ); b )( t 2 x 2 s - 7 5 ) : (2 0 x 3 5 x 9 ). 2. Afld numirul necunoscut: [(r|:- 2) : 98 + 791: 8 = 10. 3. CalculeazA,apoi completeazdfiecarcenult: r in 5 sriclede un litru. douadeo jumalarede liru ti 4 de un sl'ende liB.rl sunt..... . litri. . DacAintr-o secunde o albini zboari 10m, intr-unminutva zbura... m. . La ce ore sose$te fenul dacdpleaci la ora l0 qi 50 de minutedin Sibiu qi ajungein Cluj-Napoca dupd3 ore?...... . in 4 sdptimdniti 4 zile sunt...... zile. . DacApoimaine va fi duminicd, azie....,., iaxalalteieri a fost...... . 4. Stabile$te valoareade adevtua propoziliei: Cea mai mare suud posibild a ciftelor unui nurndrdepatru cifre diferite este30. 5. Sedaunumerelea : I I x r?+ 3 $i D= 4 x r?+ 2 (, estenumernatural). Careesterezultatulcalculului (a + 6) : 5? 6, Sumaa doudnumereeste210,iaxdifercnta10. Caresuntnumerele? 7. Varstatatelui estede 3 ori mai marc decetvarstafiicei sale,iar impreundau 44 ani. Varstatatelui va {i de 2 ori mai maredecdta fiicei salepeste: A. 12 ani], B. 9 ani; C. I 1 ani; D. 10ani. 125

Rezolvlri: l. Avem: a ) ( t + 2 x 5 ) x (2 + 3 x 6 ): : (l + 10)x (2 + 18): =11x20: ' 220

b ) (1 2x25 75) :( 20x3- 5x9) : : (300- 75) : (60 4s) : =2 25:15: =1 5

2. Numdrulnecunoscut seafleastfel: [ ( j r - 2 ) : 98 +7 9 ] :8 : l 0 [(.ir 2) : 98 + 79] = 80 ( ; - 2 ) : 9 8=1 x 2:98 )::98+2 .r= 100 3. . Avem: douede o jumitatede litru (2 x 0,5I : I l); 4 deun sfertde litru (4 x 0,25l:

I l)l

5 t +l l + l l ='7 1 . . Avemr I min: 60 s 1 s =1 0 m 6 0 s :6 0 x1 0 m: .A\em: . Avem: . Avem:

-600m l 0 h 5 0 mi n 3 h =l 3 h 5 0 mi n = 4 x'1 = 28 zile 4 septemani 4 s5ptdmeni $i 4 zile : 28 zlle+ 4 zile: 32 zi].e alalteie ieri azi maine poimaine miercu joi vineri sambiti dumjnicd Deci,azi e vineri,iar alaltdieria fostmiercuri.

4. Avem:Cel mai marcnuner depatmcifre dife.iteeste9 876. 9 + 8 + 7 + 6 :3 0 (A ) 5, Avem: (a + r) : 5 = (Il x n + 3 + 1 x n + 2) : 5 : = ( 15 x'? +5 )r5 : : 5 x(3 xr+l );5 : : 3 xn +l 126

6. Avemi

a+ b=210 a-b= l0 2 x a:220 a:220 | 2 a=lI0 1 1 0 +6 =2 1 0 b : 2 1 0 tl q b = 1 00

grafic: 7. Reprezentem r r=----r+l Avemi 4xp=44ani rF-.-------] p:44 ani: 4 p = l1 ani (fiica) Cali ani arc atal? I I ani x 3 = 33 ad (VariantaC)

| 44 ani )

ll. Numerele naturale de la 0 la | 00 Deteminenumerelenat.xalem, n, p, r gi s, a$azi-lein ordinedesqescatoare,gtiindcdacestea indeplinesc simultancondifiile: m + n = 12,m + p : 14,m + r : 16,m + s : 18$i,?+p + / +.i - 44. Rezolvare: Av e m : n + p + r + 5 :4 4 n+n:12) m+ p:14 l m +; - 16 f Adundmrelatiile z+s=18J 4 "m + n + p + r+ s -6 0 =6 0 (T r:S -Tt 4xm+ 44 4 x m:60 44 n :16 t4

(F:=P :F r )

r27

m+n:12 4+ n= 12 n=12-4 11: 8

1or.

m+p :1 4 4 +p :1 4 p : 1 4-4 P= 10

tn +r = 16 4 +r=16 7 =1 6- 4

m+j:18 4+s= 18( T::S- Tr ) s= 18 4 s:14

Scrienunerele Scrie nunerelede de fo1mamnm, giind,ce.m - r?x ,, apoiscrie$i ,,vecinii,'

Rezolvare: Atenlie'lmnm,m + 0, m = n x n, n e t\1,2, 3J. Avem:111,424,939. succesor) ,,Vecinii"numerelor(predecesor, sunt:

!!!, 1 1 1,!12;

4 )1

4 )A 4 )5.

938,939,940.

a) Scrietoatenume.elenaturaleformatedin trei cifre identice. b) Scrietoatenumerelenaturalefomate din trei cifre consecutive. c) Cu catestemai marenumerulnumerelorformatedin cifre identicedecetnumdrulnumerelorformatdin cifre consecutive? Rezolvare: a) Numerelenaturalefomate din tfei cifre identicesunt: l t l , 222,333,444,555, 666,77,t, 888,999. b) Numerelenaturalefomate din trei cifre consecutive sunt: t23, 234,345,456,561, 678, 789. c) Avem:9 numerefomate din cifre identice$i 7 numercformatedin cifre consecutive. Deci,diferenlaeste9 7:2_

Catenunerenaturalecuprinseinte 250$i 350contin: a) cifra 2t b) cifra 3: c) celpulin 2 cifre identice; d) trei cifre identice; e) tlei cifre consecutive; f) cilia 0 9i cifta 8?

128

Rezolvare: 25t 252 253 254 255 256 25't 258 259 260 26t 262 263 264 26s 266 26'7 268 269 270 2'71 2',72 273 2',74 2'75 276 2',7',12'78 2'79 280 28r 282 283 284 285 286 28'1 288 289 290 29t 292 293 294 295 296 29',1 298 299 300 30r 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 3t2 3t3 3t4 315 316 31',7 3t8 3t9 320 321 322 323 324 325 326 321 328 329 330 331 332 333 334 33s 336 337 338 339 340 34t 342 343 344 345 346 34'7 348 349 a) Avem 49 de numerecareconfincifia 2 (4 x l0 + 9 = 49) de la 251 la 2999i 14dela 300la 349. b) Avem 50 de numerccarcconlincifra 3 (10 x 5 = 50) de la 300la 349 9i 5 dela 251la 299. c) Avem 28 de numerecaie conlin cel pulin douacifre identice: 8 r . 2 + l + 1 0 :2 '1 . d) Avemun singwnumarcu trei cifte identice:333. 345. e) Avemun singurnumercu trei cifre consecutive: f; Avemnumerelecarecon{inecil}a 0 qi cifta 8: 280qi 308.

Numdrandcrescitor di, 2 iil 2, $tefana ajunsla numArul875. De la caredinfe numerear fi putut pomi: 860,'739saru496? Rezolvare: Numirul b cares-a ajunseste875,deciun numir impar.S-apomit tot de la un numerimpar,739.

Scrie cel mai mare numir nalwal de trei cifie diferite pentru fiecare situalie in paxte: b) 2 estecifta uniteilor; a) 7 estecifra sutelor; d) 23 estesumacifrelor; c) 5 estecilia zecilor; e) nu existdcifte identice. Aqazi numereledescoperitein ordine crescatoare,apoi afld cat trebuie adiugat la fiecarepenh'ua obline I 000.

t29

Rezolvarei Avem:a) 798: b) 982; c) 958; d) 986; e)987. Ordineacrescetoarc este:798,958,9g2,9g6,9g7; 7 9 8 + 2 0 2 = 10 0 0 958+42:1000; 9 8 2 + t 8 - 1 00 0 ; 986+14=1000. 9 8 7 + t3 =1000.

Completeazdgirurile um5toare cu inci cinci nu1lrere: ai7 8 J:'86 ; - 8q:_: :_ :_. _ i_ b) 4 1 - :41 5 :4lJ: _ i_: _: _: _. c) i 5- : l 6Ji 169:_: :_ :_ _ t_ .l) 614 6O R K n t.

Rezolvare: sunt: $irurilecontinuate a) 783: 786; 789;lpf; lpf; 7j!: 8jl: 801(numerele sunlscrisein 102689 102689> 102357 sau 102357< 102689

133

In clasaa lv-a A dintr-o$coaldsediscutedesprenumerL l0 l0l. Crislil\at Estemai maredecat 10 000. Maria: Estecel mai mic numdrnaturalformat din cinci cifre. Andteea:Estecel mai marenumdl naturcl sctisdoal cu ciftele I Ei 0. Mintnat Nu estecuprins intre 20 000qi 30 000. Alessia:Nu estemai maredecdt I I I I l. Caredin afirmagiilede mai sussuntadevaratti caresuntfalse? Justificel Rezolvarei Cristina(A): 10 l0l > l0 000. Maria(F): 10000estecel mai mic numernaturalformatdin cinci cifre. Andreea(F): l1 110estecel maimarenumir scdsdoarcu cifreleI $i 0. Miruna(A)r 10 101< 20 000qi 10 l0l < 30 000. Al e s s i a ( A ) : 1100 1< 1 l 1 1 1 .

Compadnurntuul95 010cu cel mai marenumir deforma abcde, 1tilndcir a -b -c d e =3 ,ta r d=1. Rezolvare: Cel mai marenumar de foma abcde,a-0 , v n d e a - b - c d: l, este95 010. Compamtie: 95 010:95 010.

Pdve$te,cu atenlie,celedouaSiruridenumere! 3 0 2 8 2 6 2 4 ... 6

JJ,'J 2 4 6

v v 30 J 28

8 ... 26 Ce numdrii corespunde lui 20?Dar lui 18?

134

d

e=3,

Rezolvare: Obsela,Am ce $una fiecirci perechide numeredin celedoul Sirurieste32: 30+ 2 : 32,28 + 4 = 32,26 + 6 = 32 q.a.m.d., deci: 20+a=32 1 8+6= 32 a:32 - 20 b =32- 18 a:12. b = 14. Aqadarlui 20 ii corespr,rnde 12. Agadarlui 18ii corespunde 14. ComparAnumdrul 98 674 cu cel mai mare numer natural de forma abcde,in carcl a) sumanumerelorreprezentate de cifrelesaleeste34: b) cifra miilor, sutelor$i a zecilorreprezinte numercconsecutive pare; c) a estesuccesorul lui 8. Rezolvare; Avem:a) 98 764;b) 98 649:,c) 99 999l' 986'14 98 674; 98 649< 98 674 sau 98 6't4 > 98 6491 14cm 14m+2cm bazamarc -->2 x 14 cm : 28 cm o latudnepamlele )28cm..2=14cm cealaltilaturAneparaleli-+ 14cm + 2 cm: 16cm Perimetrultrapezului-+ 14cm + 28 cm + 14cm + 16cm: 72 cm.

Vll. Misurare gi unitifi de misuri

In doudbutoaiesunt350I vin. Stiindceinft-unulsuntcu 124I maimult, atuncicefilitri suntin fiecare? Rezolvare: Reprezentam grafic darele problemei I ,_|,,,

,Dlt,l

I!

1501

I: 350! - 124l, = 226 I (cantitatea totalA,daci fiecarear aveacantitatea egaEcu cel mic) 226| :2 = 113I (cantitatea din cel maimic butoi) ll3 t + 124t"- 23'7| (cantitatea din cel maimarebutoi) llt350 | + 124l. = 4'14I (cantitateatotale, daci fiecarear aveacantitatea egali cu cel mare) 474 | i 2 = 237| (cattitateadin cel maimarebutoi) 237I - 124l:

113I (cantitatea din celmai mic butoi)

Verijicare: 2 3 ' 71 + I l 3 l =3 5 0 1 23'7| - n3 t: 124|

155

DupEce a striba t un sfefi din drumulpe careil aveade parcurs,unui automobilist i-auramascu 234km maimult decetceeaceparcunese. Calikilomerriareroldrumul? Rezolvare: c u 2 1 1L m ma i n l l l d e c a ta parcurs

-

Seobsenaca241km repre/in{a 2 pari penrru ca: 3 Gferturi) I (sfefi):2 (sfertu ptuli) Deci: 2 3 4 k m :2 :1 2 7 (km) Lungimeadrumului: 127(km)x 4: s08(km) sau: 12'7km + (12'7km + 234km) = 127L. * ,*1 km = 508km

Alle masaunui ceine,a uneipisici,a unui qodcel,daci: a) pisicaestede 4 ori maiu$oarddecatceinele; b) Ia un loc, cainele$i pisicacAnfiresccu I I kg mai pulin decato fetile, careare3l kg; c) 25 de Foriceicartdrcsccatpisica. Rezolvare: l) Catcantdresc impreundun cAinefi o pisicA? 3 1 k g - i lkg =2 0 kg 2) Catcantaregte o pisicd?Dar un cdine? grafic darele Reprezentam problemei: c|-----------t--.r_-rl kg-' s pa4i p f _______] )f2o 20 kg : 5 :4 kg (o pisicA) 4 kg x 4 = 16kg (uncdine)sau20 kg 4kg:16kg 3) Catca.nterc$te un $oricel? 4 k g : 2 5 :4 0 0 0 g :2 5 =1 6 0 g

lX. Evaluarefinali (sumativl)

Cerinfe: 1. Cu o lamd,tatasebdrbiereste de luni panl vineri (s6mbdta gi duminica nu se bdrbieregte).El a cumpAnt Lrnpachetde 5 lame la I septembrie,intr_o sambdta. Pe ce dati va cumperaalt pachet? 2. Afli valorilenumerelor: a, , gi c, $tiindcd: a + b : ' 7 9 '7 ; b + c:6 8 7 ; a+c:516. 3. Nicu qi Feliciaau456lei, iar Lucian9i Ileana528lei. Afli cali baniare fiecare,ttiind ce Lucian,Ileanagi Feliciaau impreuni 797lei, iar Lucianarecu 28 lei maimul{i decAtIleana. 4. Un tdrana adusla pial5240 kg de legume.Daci rogiilesuntde 3 ori mai multe decatvinetele, iar ardeii cu 19 kg mai pulini decAtrcgiile, afld cate kilogramede legumede fiecarefel a adusFmnul. 5. Irina arede citit rurromanin doui voljinq. Ea a citit 64 depagini,ceea ce rcprczinteo treimedin primul volum. CAtepagini are romanul, dacavolumul al doilea e o dati $i jumAtatemai voluminos? 6. Afl6 a + b + c+ 4 $tiindce' 2 8 4 < a < 2 86 ; I9 '7> c> 1 9 5

b =309'

d=b+ 58.

7, Irina,Lucian,Ileana,Sorinqi Marianaupasiunidiferite: . Irina,Lucianqi MarianpicteazS; o lleana,Lucian qi Marian scriu poezii; o Lucian$i Sorinjoacdgah; . Irina,Ileana$i Luciandezleagd rebusuri. pasiune? Carecopil arc o singurd Carecopil are celemai multe pasiuni? FAun clasament,dupi numirul pasiunilorfiecirei persoane. 157

8. Buniculdd celortrei nepoiio sumade bani astfelincatBianca$i Andrei au,174lei, Ardrei qi Irinaau 329lei, iar Biancapi Irina503lei. Cefi lei a pdmit fiecarecopil? 9. La o librdrieau fost aduse465 de pixuri gi stilouri.Dup6ce au fost vendute75 de obiecte,au rimasde 4 ori maimultepixwi decdtstilouri. Catepixuri $i catestilouriaurdmas? Rezolviri: l. Av e m : S 1 8 D29 L 3 t0 M 4 11 M 5 12 I 6 13 Y7 14 Tatacumpardalt pachetsambAtS, 8 septembe. 2, A\emt a+ b -'79'7 b+c= 681 Adunemcele3 relatii. a r c:5 1 6 2 a + 2 b +2 c:2 0 0 0 2 \ . ( a +b +c):2 0 0 0 a + , +c:1 0 0 0 Careestenunerul c? c = 1 0 0 0 -'7 9 '7 c : 2 03 Careestenumdrula? a= 1000 687 a:313 Carc estenumArulD? ,: 1000 516 b = 48 4

t5 8

3.A ve m : L +I+F-797 N +F=456 J L +l=528 I

Adundmcele2 relafii.

N + L + I+F :9 8 4 Cdli baniareNicu? 984-'797 = 18'7 CAJibaniareFelicia? 456 r8',1:269 Reprezentimgrafic: rucianr

r28 il

eana F__-=-____-r

)

! < )a ---

2 x p + 28 =5 2 8 2xP=5gg P = 5 0 0 :2 ,:

t25. Sunt7 numerc:'199,9'19,99?,899,989 9q8ti Aq9. 3. Sfeftulnumaruluieste19x 4 = 76.Numirul este76 x 4: 304.Agadar a\ em:]04 2 - 102= 608 102 506. grafic: 4. Reprezentam

,____r_u_r Cu catebomboane va aveamai multeunul decatcelelalt? = 15+ 15 30 (bomboane) 5. Ceteminute suntnecesarepentnrdussauintorc? 2 0 m i n : 2:1 0 mi n in cattimp va facedrumulpejos? 60 min- 10min= 50min In cattimp va facedrumuldus-intors pejos? 50 min x 2 - 100min, adic6t h 40 min. 6. Celi eleviauplecatin excusiecu autocarele? 45 x 3 8: 127(elevi) Cali eleviauplecatin excusiecu microbuzele? 1 8 x 3 5=4 9 (e l e vi ) Cali copiiau fostin excursie? l2'7+ 49 : 176(copii)

r64

Evaluare (teste propuse pentru preg;tirea concursului) Cerinte: l. Din sumanumerelorcu soj, cel mult egalecu 20, scadesumanumerelor JtrAso!,cel mult egalecu 20. 2.

Daci scddemdintr-unnumir sfertul$ijumitateasa.x,oblinemnumdrul: a - U2 x 5 - (3 + 4) x 4 + 2 x (5 - 2) x 2 - 6 x (2 + 4)l x 2Ol.

3. Am adunatl1 numerenaturaledistinctegi nenule,i am oblinut un numdr de forma xr cu cifra unitdflor 6. Ce numercam adunat? 4.

Sumaa douenumereesteun numfude forma lrr, cu cifra zecilor 9. Afle numerele,$tiindce: . primacifre a primuluinumdreste5; . al doileanumir are cifra unitifilor 3.

5.

intr-o umd suntbile albe,negre$i verzi,in total37g. Bile albegi negresunt251,iar negregi verzi253. Afli cdtebile suntde fiecarefel.

Rezolviri: 1. Avem: (2+4 + 6 + 8 + l0 + 12+ 14+ 16+l 8+ 2 0 ) _ -(1 +3 +5 +7 +9+ 1l + 13+15+17+1 9 )= - 2 0 - 1 9 +1 8 -17+16-15+14-13+1 2 -+ll + l0- 9 +8 -7 +6 5+4,3+2,1 = =l+1 1 . 1 +1 + l + 1+1+1+l +1: = 10

Calculim: ( 3 + 4 ) x 4 + 2 x (5 - 2 ) x 2 6x( 2+4) lx2Ol a:[12x5 a = ( . 6 0 - ' 7x 4 + 2 x 3 x 2 6 r 6 ) x 2 0 1 a : ( 6 0 2 8 + 1 2-3 6 )x2 0 1 a= ( 3 2 + 1 2 - 3 6)x2 0 1 a= ( 4 4 - 3 6 ) x 2 0 1 a= 8 x 2 0 1 a= 1 6 0 8 Reprezentamgrafic dateleproblemei: numarulr----------r---junl'a'ea +-_r+

ObseNemce daci sctdemdin numirjwnetateagi sfeful, oblinemsfertul numarului,adicdI 608. Careestenum6ru1? | 688r. 4: 6 432 ar + a2+ a3+ a4+ a5+ a6+ a7+ a8+ as+ an+ ar = 66 Avem: | + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 0 + l l =( 11 x 12)| 2 - 132| 2 = 66. I -I T 9 q S t t o l SS b. 6 Deci,56+ 43 : 99. bA + r N + r v : 3 7 8 :251 + bN b,a. hr+Dv=253 l) Catebile verzisunt? 3'18-251= l2'7 2) Catebile albesunt? 3',78-253=r25 2) Catebile negresunt? 251 725= 126sau253- I2'7= 126

r66

Cerinte: l. SAsecalculeze maiu$ordescompunand temeniidup6model: = 28- rs (r28+ 2)_ (15+ 2) = 30_ 17= 13; 1 8+ 3 7= (1 8+ 2)+ (37-2):20 + 35= 5 5 9',1 - 28= 203- 49= 2.

102+ 3 8 : 93+ 1 0 1:

Si sescrienumarul8 ca sumAde numercnatuale: a) imparc; b) pare; c) distinfie.

3. Si seaflepatrunumete,dac6:31 estecu 240 mai mic decatprimul, 149 estecu 15mai maredecatal treilea,sumaprimelortlei numereeste72g,iar al patruleaesteegal cu diferenladinbe pdmul Sial treilea. 4, La un magazinde legume-fructes-auadussprevarzare 5 000 kg. intr_o zi, din intreagacantitates-auvandut 924 kg de pere, cu 199 kg de prune mai pulin $i o cantitatede mere cu 48'7kg fial mare decat cantitelile de prune 9i perevandute,impreund. C€ cantitatea rAmasnevanduta? 5, Calculeazi dimensiunileunui dreptunghicu semiperimetul de 720 dm 9i Ie{imeade trei ori mai micadecatlungimea. Rezolviri: l. Avem: 9 7 - 2 8 = ( 9 ' 7+ 3)-(2 8 + 3 ) - 1 0 0 _3 1= 69 10 2+ 3 8 = ( 1 0 2+ 8 )+(3 8 -8 )= 1 1 0 +3 0= 140 203 49: (203+'/) (49 + '7)= 210- s6 = 154 9 3+ l 0 l = ( 9 3 + 7 )+(1 0 1 1 0 0 +9 4= 194 -7 )= 2. a )l + 1 + 3 + 3 : 8; b)0 + 2 + 2 + 4 : 8 ; c )0 + 1 + 2 + 5 = 8.

167

3.

l) CareesteprimulnumAr? 3I + 240: 2',7 | 2) Careesteal treileanumAr? 149 15 134 3) Careesteal doileanumdr? '128- (2'7| + 134) -'728 - 405= 323 4) Careesteal patruleanumer? 2'71 t34: 13'7 R d sp u n |s:-+ 2 7 1 ;,+ 323;III + 134;IV- + 137.

4.

1) CAtekilogame deprunes-auadus? 924kg- I98ke=126ks 2) Catekilogramede prunegi peres-auadus? 924kg + 726kg : | 6s0kg 3) Catekilo$ame de meres-auadus? 1 650kg + 487kg :2 137kg 4) Cdtekilogramede fructes-auadus,in total? 924kg + '126ke + 2 137kg : 3 787kg 5) Catekilogame de fructe au rimas nevandute? 5 000kg 3 787kg: 1 213kg Rdspuns:| 213 kg.

5.

Semiperimetrul: L + l;L:3 x I L+l=720dm 3x l + l = 7 2 0 d m 4x l = 7 2 O d I I r I :',120dm 4 /=180dm L:3xl Z I 180dm I=540dn Rdspuns: L=54Odm;/= 180dm.

168

Cerinte: 1. Carcesterczultatul? a) 3 m + 3 m + 2 45 m:

b ) 1 2 31 +2 3 8 t

6 m + 4 0 0 m +1 2 3 m;

4 3 6 l +4 3 6 t,

c) lgkg_9kg+7kg; 90kg_80kg_10kg.

2, Descoperdcel mai marenumArnaturalcarescazutdin 9, dd ca rezultatun numarnaturalmai mic decat5. 3.

Cdtdlinaa cheltuitintr-o zi jumatatedin baniipe careii avea,adic6100lei. Cali lei aveaCatalina?

4. Mihai are un numir dublu de timbre fald de George.Daci Georgear mai avea14timbre,ar aveaacelalinumerdetimbreca 9i Mihai. Catetimbrcarefiecarecopil? 5.

$tefaniaarecu 6 ani maipu.tindecatsomei Denisa. Celi ani va aveaDenisacand$tefaniava aveal0 ani?

Rezolviri: l. a) 2 5 1m ; 5 2 9m;

b )3 6 1t;8 9 2 l .;

c) 17kg;0kg.

Avem: 9 x:4 9 x-3 9 x:2 9- :r =l x=9 4 x =g -3 x:9 -2 r = 9_1 . r: 5 x:6 t:'7 .x= g Deci,x e {5, 6, 7, 8, 9}. Celmai marenumAreste9. Reprezentdm gmfic dateleproblemei: jumatatedin bani

loo lei

r

Cali baniaveaCatilina? l 0 0 l e i x 2 =2 0 0 l e i

169

9- x= 0 t:9- 0

4.

Reprezentdmgrafic dateieproblemei: Mihai George

, 14rirnbre . l4 rinbre

Catetinbre areMihai? 1 4 x 2 = 2 8 (ti mb re ) Din reprezentarea grafici seobservicdGeorgeavea14timbre. Rdsprzs:Mihai + 28 timbre;ceorge-+ 14timbre 5.

Reprezentdm grafic dateleproblemei: Denisa $tefania

l0 ani

10 ani

Cili ani va aveaDenisacend$telbniava avea10ani? l0 ani+ 6 ani= 16ani Rdspuns:16 anr

Cerinle: SUBIECTUL I r La exercifiile 1-7 incercuiettelitera corespunztrtoare rispunsului corect. 1. Doi ftafi gemeniauimpreu1d18ani.Fiecarearevamta: A. l8 anii B. 9 ani; C. 10ani; D. 14ani. 2. Scriscu cifreroma.ne, numerul2 567estescrisl A. MMDLXV; B. MMDLXVI; C. MMDLXVIII; D. MMDLXVII. 3, Mamaaretriplul varsteideanultrecuta fetilei,adica36. Diferenladevarstedinte mami Si fateeste: A. 42 an\; B. 36 ani; C.24 arli., D.63 ani. ,{. Diferenlaa doui numereeste27, iar cetul6 gi restul2. Numerelesunt: A. 3 2 $ i 5 ; B .7 i i 2 3 ; C.30+ 3; D.34 9i2. 5. Temenul necunoscutdin egalitatea:12 432+ 9 436= 124 526 a este: A. 1 0 26 5 9 ; B . 1 0 28 5 6 ; C. 102568; D. t02 658.

r70

6. Numerulde 3 ori mai mic decatdifereqanumerelor446 452qi ll3 Il3 este: A . 1 1 11 1 3 ; 8 .2 2 2 2 2 3 ; C .3333391 D.6" . 7. Diferenladinheprodusulnumerclor113$i 7 $i sumalor este: A. ' 7 1 6 t B . ),7 6 ; C .617 D.6jl. SUBIECTUL II . Rispunsurilesecompleteazipe spatiilepunctate. 1, La diferen{anumerelor123456 $i 17 899,adaugiprodusulnumerelor4, 5 9i 10,apoiscade cAtulnumerelor 200qi 10qiobtii...... . 2. impartenumdrulI 001la 7, 11,13.Sumacelortreiceturieste...... . 3. Catul dintre cel mai mare numir de qasecilie care are cifiele cu I mai mici decatordinulimediaturmAtor$i numil.ul3 este. ... .. . 4, Triplul unui numix se ,,mic$oreazd" de 13 ori, se adauge69, iar suma oblinuti se,,mic$oreazd" cu 101Siseobline199.Numdruleste...... . 5. Diferentadintre douanumerercprezintea gaseapartedin sumalor. $tiindcd sumanumercloreste744,numerelesunt...... . 6. Rezultatul calculului 50 r(6 2 013:2 013): (100: t0-2 013x 0) este 7, Cel mai marenumarde gasecifre disti[cte,in carcfiecaredin primele4 cifre estemai maredecatsumacelorlalteciile carewrneazAeste...... . SUBIECTUL III o Scrierezolvirile completepentru fiecareproblemi. 1. Afli sumanumerclorm, n ,i p, dacAseqtiecA:, esteintre2 OI2 9iZ Ol4, m = n + | 001qtp = (n + m) - | 009. 2. intr-o libririe erau 366 de cnrli cu povegtiti versuri.in prima zi s-au \endut103canicu poveqti. a douazi 105.din care65 cu \ersurr,iara feia zi s-auvandutnumai ce4i cu versuri. Cateca4i cu povetti Si cdtecd4i cu versuri erauin libdrie? 3. Cinci copii au sumede bani diferite.gtiind cA sumalui Ionel estemai micAdecatsumalui Cristi$i Dan la url loc, sumalui Cristiestemai maredecat ceaa lui Dan qi George,sumalui Mihai estemai marc decatceaa lui Dan, iar suma1uiIonelestemai mareca ceaa lui George. Afl6 caredintrc copii arc sumaceamai micd. t7l

Rezolvtrri: SUBIECTUL I l. B; 2. D; 3, C; 4. A; 5. D; 6. A; 7. D. SUBIECTUL II t. r2 3 4 5 6- r 1 8 99 =1 0 5 5 5 7 4x5x10=200 200:10-20 *20 = 105'/3'/ Avem:105557+ 200-20- 105'15'1 =7 2. $ t i m c e : 1 0 0 1 x 1 l x 1 3 . Avem: 1 001t'7= ll x 13- 143 1 0 0 1: l l =7 x 1 3 =9 1 l O O l 1 3 ='7 xIt=7 7 Sumacelortreiaaturieste:143+ 91+ 77:311. 3. Avem: 9 8 ' 76 5 4 : 3 = 3 2 9 2 1 8 9 =8 6 2'7 2',l 6 l 24 .

4.

[ (3 x r : 1 3 ) + 69 ]- 1 0 1= 1 9 9 [(3 x.r : 13)+ 69]= 199+ l0l [ (3 x r : 1 3 ) + 6 9]=3 0 0 (3 x . t : 1 3 ) = 3 0 0 -6 9 3x x : 1 3 = 2 3 1 J Y.t=ZJt

X lJ

3x r=3 0 0 3 x=3 0 0 3 :3 . I = I 00 1

172

5.

graficdateleproblemer: Reprezentdm r

- l-

, :l l 0

L )4 )

;++ ,=lro----------'---------f )

l

Avem: : din 744: 744 : 6 x | = 124 6 2x P = 7 4 4 t , O 2x p : 6 2 0 P=620:2 p : 310(al Il-lea numer) Careesteprimulnumdr? 3lO + 121= 434 6.

7.

Rdspuns : I : 434].Il : 310. 5 0 : ( 6 - 2 0 1 3 : 2 0 1 3 ):(1 0 0| 1 0 -2 0 1 3x 0) : = 50 r ( 6 - l ) : ( 1 0 0 ): = 50 : 5 : 1 0 = = 10 : 1 0 : :1 Numirul este987632 A v e m :9 > 3 + 2 ; 8 > 3 + 2 ;7 > 3 + 2 ; 6 > 3 + 2.

SUBIECTUL III l. n: 2 0 1 3 ; m : 2 0 1 3+ I 0 0 1 ;m:3 0 1 4 ;p=( 2 013+ 3 014) I 009; p=4 0 1 8 . Sumanumerelor este:3 014+ 2 013+ 4 018: 9 045. 2. Avem: CARTI VANDUTE POVEFTI VERSURI Izl 103 a ll-a zl 40 a llI-a zl 158 TOTAL 143 223 I ) Cateca4i cu poveftis-auvenduta douazi? 105 65 - 40 (ca4i cupovegi) 2) CatecA4icu poveqtierauin librerie? 103+ 40 : 143(cd4i cu pove$ti)

r73

3) Cdtecdr{i cu versurierauin lihlrie? 366- 113= 223 (ci4i cu versuri) 4) Catece4i cu versui s-auvdnduta treiazi? 223 65 = 158(cerlicu velsuri) Rdspuns:143de cd4icupovegti;223de cd4i cu versuri Reprczentam gmfic dateleproblemei: Cristi

Av€m: I on e l < C s t i + Da r Cristi>Dan*George Mihai > Dan Ionel> George Sumaceamai miceo arcGeorge.

L74

Cerinte sclcctatc

pentru concursul IFii inteligent

Ia matematicitt

Anulscolart006.tC0t Clasa a lll-a Cerinle: 1. Din sumanumerelor 4 5869i 2 958amscdzutdiferenla lor, oblinand numdrul 4 806. fsre corect? Dacanu.aflacu calamgretil. 2, $tiind cd numArul4 estecu 224 mai maredecetb, iar b reprezintd sumanunerelor3209i 232,afldsuinadintrenumerele a qi 6. 3, Afli sumaa trei cantitili $tiindcAprimacantitateestecu 101kg mai marcdecata doua$i cu 14 kg mai mici deceta heia, iar a douaesteegalacu diferenladintrc597kg $i 376kg. 4. Idna are in 2 cutii mari de cafton cate3 mijlocii, iar in fiecare dintre acestea cete7 cutii mici. Catecutii areIrina? Rezolviri: 1. Suma:4 586+ 2 958='7544 Diferenfa:4586-2 958: I 628 Suma- Diferenta= 7 544 I 628 : 5 916 (rczultatulcorect) 5 916- 4 806: I I l0 (diferenladintrerezultatulcorect9i cel gre$it) 2 . b=3 2 0 + 2 3 2 =5 5 2 a : b + 2 2 4 : 5 5 2 +2 2 4 =7 ',1 6 c t + b - 7 ' 7 6 + 55 2 :1 3 2 8

175

3, 597- 3'16 : 221(kg, a douacantitate) 221+ 101= 322(kg,primacantitate) 322 1,1: 308(kg, a treiacantitate) 4, 2 x 3 :6 (cutii mijlocii in cele2 cutii mari) 6 x 7 = 42 (cutiinici in cele6 cutiimijlocii) 2 + 6 + 42 = 50 (cutii mari,mijlocii $i mici) sau 3 x 7 :21 (cutiimici in cole3 cutiimijlocii) 21 r 2 = 42 (cutii mici in toatecutiilemariin caxeseafldcate3 cutii mici) 2 x 3 :6 (cutii mijlocii in cele2 cutii mari) 2 + 6 + 42 : 50 (cutii mari,mijlocii qi rnici) Clasa a lV-a Cerinle: l. Scriegi comparecel mai marenumerde ordinulzecilordemii careare cifra miilor I gi cel mainic numdrde ordinulsutelorde mii cu cilia zecilorde mii qi a zecilor1 2. Catenunerede forma;t au sumacilielor 12? ScrieJein ordinecresc5toare. 3. Bunicularein livadSpomi astfel:5 randuricu cate19 nuci, 8 randuri cu cate17caiii, iar prunicetdublulnucilorgi caiiilor,la tu1loc. C6!ipomi arebuniculin livadd? ,1.O gladiold9i o garoaficosti 23 lei. Dacd,,mic$orem" prelul garoafei cu 2 lei 9i ,,mirim" cu 4 lei pregulgladiolei,atunciaceasta ar fi de 4 ori mai scumpddecetgaroafa. Cdtcostdfiecarefir de floare?

Rezolviri: 1. Nl = 19 999+ numerulde ordinul zecilor de mii carearecifra miilor l. Nt I l0 010+ cel maimic numidr de ordjnulsutelorde mii cu cifia zecilorde mii qi a zecilor1, N:>Nr 2, N= a3c,undea + 3 + c : 12. Dacasumaciftelorreprezentind sule.zeciii uniriitieste12.iar a zecilor este3, atuncisumacifrelor rcprezentandsutele$i unitAlileeste12- 3 = 9. Atunci ciftele sunt:

s 0 1 2 3

U

9 8 7 6 4 5 5 4 o 3 '7 2

Nu esteposibil!

8 9 0 Numercle srmt:138,237,336,435,534, 633,732, 831qi 930. 3 . 5 x 1 9 = 9 5 ( n uci ) 8 x l7 : 136(caigi) S = 95 + 136= 231(nuciSicaiti, impreund) 231 x 2 - 462(dnbhtlsumeidintrenici gi caiqi) 95 + 136+ 462= 693(pomi) 4, Reprezentdmgmtic: 4 lei gladjola+r

I )

earoaf^ t"""""+l'tf)e

lolatz]_2- 4_25 tei

25 : 5 = 5 (lei) -+ dup6,,mic$orare", deci5 lei + 2 lei = 7 lei (garoafa) 5 x 4 = 20 (lei) -+ dupd,,mdrire",deci20 lei - 4 lei = 16lei (gladiola) Verijlcare:16+ 7 :25 (lei) 177

AnulgcclartCCt.lCCS Clasa a ll-a Cerinfe: l. Sumaa doua mrmereeste675. Unul dintre termeni estecel mai mic numdrformat din sute,zeci 9i unitdli scriscu trei cifte distincte. Afla celSlalttermen. 2. Doamnainvaletoarea scris pe tabld cinci numere,spunAnduJeelevilor ca trebuiesele adunein 25 de secunde. Acestenumercsunt; 109,262,lSO, 138qi 91.Aldreeas-aincadratin timp calculendSi foartecorect,doaroral. Cuma calculatAndreea? Careesterezultatul? 3. Scrieintre cifre semnelecorespunzitoare (+ gi -) pentrua ob;inerezultatulindicat: 4 3 2 .t=8 . 4. Un elevcireiteo cartein 5 zile.in primazi citegre16pagini,in urmdtoarele3 zile cite$tein fiecarezi cu 2 paginimai mult decatln ziuaprecedente. Pentruultimazi li mai ramen5 pagini. Cetepaginiarecartea? 5. Dintr-unstolderandunele auzburat4, apoi2. Cate rAnduneleau fost la inceput in stol dact cele rtmase sunt cu 3 mai multe decatcel€ carcau zburat? Rezolviri: l. T t + T 2 = 6 7 5 Tr -) cel mai mic numer format din sute,zeci gi unitdli scris cu tlei cifre distincte,adicdde formaiic,rnde a+ b +c. ot" = tOZ I 02 + T2 : 675,undeT2= 6'15 - 102: 573 I/eliJicare: 102+ 5'13= 6'75

r78

2. Seaplicdcomutativitatea ti asociativitatea 9i obtinem: 1 0 9 + 2 6 2 + l 5O+1 3 8+ 9 t = = (109+ 9l) + (262+ 138)+ 150= = 2 0 0 + 4 0 0 + 1 5 0= =600+150: = 750 3.4+3+2 1=8 Verifcare: 4+3+2-l= :7 +2 I: =8 4. Elelul a citit astfel: primazi -+ 16(pagini) a douazi J 16+ 2 = 18(pagini) a treia zi -) 16+ 2 + 2 = 20 (pagini\ aqaj/azi ) 16+ 2 + 2 + 2= 22 (pagirli) ultimazi+5(pagini) Carleaare: t6 + t8 + 20 + 22 + 5 = 8l (pagini). 5. 4 + 2 = 6 (randuneleau zbwat) 6 + 3 : 9 (randunele aurimas) = + 6 9 15 (renduneleau fost initiaD Verificare: 1 5 - 4 - 2 = a ( 6 u1 i 1 n 6 5 ; 4 + 2 : 6 ( a u z b w a t) 9 - 6 : 3 (au rimas cu 3 mai multe decatcelecareau zburat)

179

Clasa a lll-a Cerin!e: seuestecu 16mai maredecatprel. Sumadintreun numdrsi succesorul seu,atuncisumacelortlei numereeste: decesorul E) 41. C) 42, D )2 8 ; A ) 2 9 : B) 2 1 ; descrescetor nLunercle celmult egalecu 525000dintrcl 2. OrdoneazA 109, 581147, 9',7 376, 524999, 976356, '78',7 100900, 501107, 638000 qi 1 950. 3. Triplul unui num6r,,semic$oreazt'de 7 ori, se adaugd75 , iax suma cu 3 li seobline75. oblinute,,semicAorcaza" Afla numArul. 4. Precizeaz,: a) cel mai mareqi cel mai mic numfunaturalde 3 cifte cu sumacifielor 3; b) cel mai mare$i cel mai mic num6rnaturalde 4 cilie cu sumacilielor 4; c) cel mai mareqi cel mai mic nunar natual de 5 cifre cu sumaciftelor 5; d) cel mai mare$i cel mai mic numarnaturalde 6 cifre cu sumacifrelor 6. 5. Afld cel mai mic numernaturalde 6 ci{ie carcindeplineqtecondifiile: a) nu arecifte caresi sercpete; b) estemaimaredecet300000; c) aresumacilielor 15. ComparA numarulcu numdrul301.239. Rezolviri: problemei: graficdatele l. Reprezentam t6 + suma.lintre numa l dat $i succesorulsau + Fedecesomlnurndruluidat

16- I - 1 : 14(numdruldat) 14+ l: 15(succesorul) 14 1= 13(predecesorul) S = 1 3+ 1 4+ 1 5:4 2 (va a n ta C ) 180

2, Numerelecel mult egalecu 525000sunt: 97 3'76,524999, 100900, 5011079i 1 950. Ordineadescrescatoaxe a acestora este: 524999,501107,100900,973769i I 950. 3. Seaplicdin rezolvaremetoda,,mersuluiinvers,': 75 + 3 : 78 (numArulinaintede ,,asemicAora,' cu 3) 78 75 : 3 (numdrulla carc s-a adeugat75) 3 x 7 = 21 (numdrulcare,,s-amic$orat"de 7 ori) 21 :3 = 7 (numiruldat) 4. Numerelesrmt:. a) 300$i 102;b) 4 0009i I 003;c) 500009i l0 004;d) 600000qi 100005. 5. NumArulestede formaabcdef. b + c + d + e + f : 15 -3 =1 2 b= 0 c: l; d = 2; e:4;f= 5; numAntl este301245.