Culegere analiza matematica integrale multiple

Gheorghe PROCOPIUC

Mihai ISPAS

PROBLEME de ˘ ANALIZA ˘ MATEMATICA

IAS ¸ I 2002

Prefat¸˘ a a matematic˘ a se adreseaz˘a student¸ilor Prezenta culegere de Probleme de analiz˘ a din facult˘a¸tile de profil tehnic. Ea cont¸ine acelea¸si capitole ca ¸si cursul de Analiz˘ matematic˘ a, format electronic, situat pe acela¸si site. Inainte de abordarea oric˘arui capitol din aceast˘a culegere se recomand˘a parcurgerea capitolului corespunz˘ator al cursului, unde pot fi g˘asite not¸iunile ¸si rezultatele teoretice utilizate ˆın formularea ¸si rezolvarea problemelor propuse. Culegerea pune la dispozit¸ia student¸ilor exercit¸ii ¸si probleme rezolvate, cu indicat¸ii de rezolvare sau propuse spre rezolvare, constituind un material util ˆın desf˘a¸surarea seminariilor, dar ¸si pentru o mai bun˘a aprofundare a not¸iunilor predate la curs. Autorii

Cuprins 1 Elemente de teoria spat¸iilor metrice 1.1 Spat¸ii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mult¸imea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 S ¸ iruri ¸si serii 2.1 S¸iruri de numere reale . 2.2 Principiul contract¸iei . . 2.3 S¸iruri ˆın Rp . . . . . . . 2.4 Serii de numere reale . . 2.5 Serii cu termeni pozitivi 2.6 Serii cu termeni oarecare

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

5 5 9 17 17 29 31 32 37 43

3 Limite de funct¸ii 47 3.1 Limita unei funct¸ii reale de o variabil˘ a real˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Limita unei funct¸ii de o variabil˘ a vectorial˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Funct¸ii continue 55 4.1 Continuitatea funct¸iilor reale de o variabil˘ a real˘a . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Continuitatea uniform˘a a funct¸iilor de o variabil˘ a . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Continuitatea funct¸iilor de o variabil˘ a vectorial˘ a . . . . . . . . . . . . . . 59 5 Derivate ¸si diferent¸iale 63 5.1 Derivata ¸si diferent¸iala funct¸iilor de o variabil˘ a . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 Propriet˘a¸ti ale funct¸iilor derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.3 Derivatele ¸si diferent¸iala funct¸iilor de n variabile . . . . . . . . . . . . . . 73 6 Funct¸ii definite implicit 6.1 Funct¸ii definite implicit de o ecuat¸ie . . . . . . 6.2 Funct¸ii definite implicit de un sistem de ecuat¸ii 6.3 Transform˘ari punctuale . . . . . . . . . . . . . 6.4 Dependent¸˘a ¸si independent¸˘ a funct¸ional˘ a . . . . 6.5 Schimb˘ari de variabile . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

85 85 88 90 93 95

4

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

7 Extreme pentru funct¸ii de mai multe variabile 99 7.1 Puncte de extrem pentru funct¸ii de mai multe variabile . . . . . . . . . . 99 7.2 Extreme pentru funct¸ii definite implicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.3 Extreme condit¸ionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8 S ¸ iruri ¸si serii de funct¸ii 8.1 S¸iruri de funct¸ii reale 8.2 Serii de funct¸ii . . . 8.3 Serii de puteri . . . 8.4 Serii Taylor . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

107 107 111 115 116

9 Integrala Riemann ¸si extinderi 9.1 Primitive. Integrala nedefinit˘a . 9.2 Integrala definit˘a . . . . . . . . 9.3 Integrale improprii . . . . . . . 9.4 Integrale cu parametri . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

119 119 124 131 135

10 Integrale curbilinii 10.1 Lungimea unui arc de curb˘a . . . . . . . . . . . 10.2 Integrale curbilinii de primul tip . . . . . . . . 10.3 Integrale curbilinii de tipul al doilea . . . . . . 10.4 Independent¸a de drum a integralelor curbilinii . 10.5 Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

139 139 140 143 145 147

11 Integrale multiple 11.1 Integrala dubl˘a . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Aria suprafet¸elor . . . . . . . . . . . . . 11.3 Integrala de suprafat¸˘a de primul tip . . 11.4 Integrala de suprafat¸˘a de tipul al doilea 11.5 Integrala tripl˘a . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

149 149 157 159 161 163

12 Ecuat¸ii diferent¸iale ordinare 12.1 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆ ai . . . . . . . 12.2 Alte ecuat¸ii integrabile prin metode elementare 12.3 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordin superior . . . . . . 12.4 Ecuat¸ii c˘arora li se poate mic¸sora ordinul . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

171 171 178 181 182

13 Ecuat¸ii ¸si sisteme diferent¸iale liniare 13.1 Sisteme diferent¸iale liniare de ordinul ˆıntˆ ai . . . . . 13.2 Sisteme diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i 13.3 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n . . . . . . . 13.4 Ecuat¸ii de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i . . . . 13.5 Ecuat¸ia lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

183 183 185 190 192 195

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Capitolul 1

Elemente de teoria spat¸iilor metrice 1.1

Spat¸ii metrice

1.1 Fie (G, +) un grup comutativ ¸si p : G → R+ o funct¸ie ce satisface propriet˘ a¸tile: 1) p(x) = 0 d.d. x = 0; 2) p(−x) = p(x), ∀x ∈ G; 3) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ G. S˘ a se arate c˘ a aplicat¸ia d : G × G → R, d(x, y) = p(x − y), ∀x, y ∈ G este o metric˘ a pe G. R: Verific˘am c˘a d satisface axiomele metricii: 1o . d(x, y) = p(x − y) ≤ 0, ∀x, y ∈ G pentru c˘a x − y = x + (−y) ∈ G ¸si d(x, y) = 0 ⇔ p(x − y) = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y; 2o . d(x, y) = p(x − y) = p(−x + y) = p(y − x) = d(y, x); 3o . d(x, y) = p(x − y) = p(x − z + z − y) ≤ p(x − z) + p(z − y) = d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ G. a se arate c˘ a urm˘ atoarele aplicat¸ii sunt 1.2 Fie N mult¸imea numerelor naturale. S˘ distant¸e pe N: 1) d : N × N → R+ , d(m, n) = |m Œ − n|, Œ∀m, n ∈ N. Œ 1Œ 1 2) d : N∗ ×N∗ → R+ , d(m, n) = ŒŒ − ŒŒ, ∀m, n ∈ N∗ . m n Œ Œ Œ m n ŒŒ Œ 3) d : N × N → R+ , d(m, n) = Œ − , ∀m, n ∈ N. 1 + m 1 + nŒ

1.3 Fie Rn = R × R × · · · × R, produsul cartezian constˆ and din n ≥ 1 factori ¸si a se arate c˘ a aplicat¸iile: d, δ, ∆ : x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . S˘ Rn × Rn → R+ , definite prin: v u n n X uX |xk − yk |, ∆(x, y) = max |xk − yk | d(x, y) = t (xk − yk )2 , δ(x, y) = k=1

k=1

sunt metrici pe Rn .

5

k=1,n

6

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: Pentru d se aplic˘a inegalitatea lui Minkowski: v v v u n u n u n uX uX uX 2 t (ak + bk )2 ≤ t ak + t b2k , ∀a = (a1 , a2 , . . . , an ), b = (b1 , b2 , . . . , bn ). k=1

k=1

k=1

a se ha¸sureze ˆın R2 sferele deschise S(0, r), r > 0, relative la metricile d, δ, ∆. 1.4 S˘ 1.5 S˘ a se arate c˘ a d, δ, ∆ sunt metrici echivalente pe Rn . R: Se demonstreaz˘a inegalit˘a¸tile: ∆ ≤ δ ≤

√ √ n · d ≤ n · ∆ ≤ n · δ ≤ n n · δ.

1.6 S˘ a se arate c˘ a d : R × R → R+ , d(x, y) = R.

|x − y| , ∀x, y ∈ R este o metric˘ a pe 1 + |x − y|

R: Se ¸tine seama c˘a oricare ar fi a, b, c ≥ 0 cu a ≤ b + c, avem: a b c ≤ + , 1+a 1+b 1+c deoarece din 0 ≤ α ≤ β urmeaz˘a

β α ≤ . 1+α 1+β

1.7 Fie d : X×X→ R+ o metric˘ a se arate c˘ a aplicat¸ia δ : X×X→ R+ a pe X. S˘ d(x, y) definit˘ a prin δ(x, y) = este de asemenea o metric˘ a pe X. 1 + d(x, y) a se arate c˘ a ˆıntr-un spat¸iu metric (X, d) avem: 1.8 S˘ n P 1) d(x1 , xn ) ≤ d(xi , xi+1 ), ∀x1 , . . . , xn ∈ X, N ≥ 2. i=1

2) |d(x, z) − d(z, y)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X. 3) |d(x, y) − d(x0 , y 0 )| ≤ d(x, x0 ) + d(y, y 0 ), ∀x, x0 , y, y 0 ∈ X. R: 3) d(x, y) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , y) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , y 0 ) + d(y 0 , y).

a prin: 1.9 Fie X o mult¸ime nevid˘ a. S˘ a se arate c˘ a aplicat¸ia d : X × X → R, definit˘ š 0, x = y d(x, y) = 1, x = 6 y a pe X). este o metric˘ a pe X (metrica discret˘ 1.10 S˘ a se arate c˘ a aplicat¸ia d : R+ × R+ → R+ , definit˘ a prin: š x + y, x 6= y, d(x, y) = 0, x 6= y este o metric˘ a pe R+ .

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

7

a se arate c˘ a aplicat¸ia d : Rn × Rn → R, definit˘ 1.11 S˘ a prin: d(x, y) =

n X |xk − yk | 1 , · k 2 1 + |xk − yk |

k=1

∀ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn este o metric˘ a pe Rn . a se arate c˘ a urm˘ atoarele aplicat 1.12 S˘ Œ¸ii suntŒ metrici pe mult¸imile indicate: Œ1 1Œ 1) d(0, ∞) × (0, ∞) → R, d(x, y) = ŒŒ − ŒŒ. x y Œ Œ Œ Œ x y Œ Œ p √ − 2) d : R × R → R, d(x, y) = Œ Œ. Œ 1 + 1 + x2 1 + 1 + y2 Œ 3) d : R2 × R2 → R, š |x2 − y2 |, x1 = y1 , d(x, y) = |x2 | + |y2 | + |x1 − y1 |, x1 6= y1 , (metrica mersului prin jungl˘ a), unde: x = (x1 , y1 ), y = (y1 , y2 ). 4) d : R2 × R2 → R, š p 2 + (x − y )2 , dac˘ a exist˘ a o dreapt˘ a δ ⊂ R2 a.ˆı. 0, x, y ∈ δ, 2 2 p(x1 − x2 ) p d(x, y) = ˆın rest, x21 + x22 + y12 + y22 ,

(metrica c˘ aii ferate franceze), unde: 0 = (0, 0), x = (x1 , y1 ), y = (y1 , y2 ). 1.13 S˘ a se arate a urm˘ atoarele aplicat¸ii sunt norme pe Rn : s c˘ n P 1) ||x|| = xk2 , ∀ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . k=1

2) ||x|| =

n P

k=1

|xk |, ∀ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .

3) ||x|| = sup |xk |, k = 1, n, ∀ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . ” • a + bi c + di 1.14 Fie M = {A = , cu a, b, c ∈ R, i2 = −1} ¸si f : M → R+ , −c + di a − bi √ f (A) = det A. S˘ a se arate c˘ a (M, || · ||) este spat¸iu normat ˆın raport cu norma dat˘ a prin ||A|| = f (A). 0 1.15 Fie C[1,e] a pe [1, e]}. S˘ a se arate c˘ a aplicat¸ia || · || : = {f : [1, e] → R, f continu˘ ‚R e 2 ƒ1/2 0 0 a prin ||f || = 1 (f (x) · ln x) dx este o norm˘ a pe C[1,e] ¸si s˘ a se C[1,e] → R definit˘ √ g˘ aseasc˘ a norma funct¸iei f (x) = x. 1 = {f : [0, 1] → R, f derivabil˘ a cu derivat˘ a continu˘ a pe [0, 1]}. S˘ 1.16 Fie C[0,1] a se 1 arate c˘ a urm˘ atoarele aplicat¸ii sunt norme pe C[0,1] :

1) ||f || = sup |f (x)|. x∈[0,1]

2) ||f || =

3) ||f || = |f (0)|+ sup |f (x)|. 4) ||f || = x∈[0,1]

R1 0

hR

|f (x)| dx.

1 0

i1/2 f 2 (x) dx .

8

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

1.17 Fie mult¸imea X = {1, 2, 3, 4} ¸si clasele: τ1 = {∅, X, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, τ2 = {∅, X, {1}, {2}, {3, 4}, {2, 3, 4}}. a se arate c˘ a τ1 este topologie pe X dar τ2 nu este topologie pe X. 1) S˘ 2) S˘ a se g˘ aseasc˘ a sistemele de vecin˘ at˘ a¸ti ale punctelor 3 ¸si 4 din spat¸iul topologic (X, τ1 ). R: Se verific˘a propriet˘a¸tile din definit¸ia topologiei. Pentru τ2 se constat˘a c˘a, de exemplu {1} ∪ {2} = {1, 2} ∈ / τ2 . 1.18 Fie X = {α, β, γ, δ} ¸si familia de mult¸imi: τ = {∅, {α}, {γ}, {α, β}, {α, γ}, {α, β, γ}, X}. S˘ a se arate c˘ a τ este o topologie pe X ¸si s˘ a se determine sistemele de vecin˘ at˘ a¸ti ale punctelor α, β, γ ¸si δ. 1.19 Dac˘ a X 6= ∅ ¸si τ0 = {∅, X}, atunci (X, τ0 ) este spat¸iu topologic pe X, numit spat¸iul topologic nondiscret (grosier) pe X. 1.20 Dac˘ aX= 6 ∅ ¸si P(X) este mult¸imea tuturor p˘ art¸ilor mult¸imii X, iar τ1 = P(X), atunci (X, τ1 ) este spat¸iu topologic pe X, numit spat¸iul topologic discret pe X. 1.21 Dac˘ a elemente ¸si a ∈ X, fixat, atunci τ = {∅, {a}, X} a X are mai mult de dou˘ a de topologia nondiscret˘ a ¸si de cea discret˘ a. este o topologie pe X, diferit˘ 1.22 Fie X = {a, b, c, d, e}. S˘ a se precizeze care dintre urm˘ atoarele familii de p˘ art¸i ale lui X este o topologie pe X: 1) τ1 = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}}. 2) τ2 = {∅, X, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}}. 3) τ3 = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}}. R: τ1 ¸si τ2 nu, τ3 da. a se arate c˘ a τ este o topologie pe R. 1.23 Fie τ = {∅, R, (q, ∞)}, q ∈ Q. S˘ √ √ S R: Mult¸imea A = {(q, ∞), q > 2} = ( 2, ∞) este o reuniune de mult¸imi din τ , q∈Q √ totu¸si ea nu apart¸ine lui τ deoarece 2 ∈ / Q. 1.24 Pe mult¸imea X = {a, b, c} urm˘ atoarele familii de p˘ art¸i ale lui X sunt topologii: τ1 = {∅, X, {a}, {b, c}}; τ2 = {∅, X, {a}, {a, c}}; τ3 = {∅, X, {b}, {a, c}}; τ4 = {∅, X, {c}, {b, c}}. 1.25 Fie τ = {∅, R, (−α, α)}, α > 0. S˘ a se arate c˘ a τ este o topologie pe R.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

9

a topologia: 1.26 Pe mult¸imea X = {1, 2, 3, 4, 5} se consider˘ τ = {∅, X, {1}, {1, 2}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 5}}. a se g˘ aseasc˘ a punctele interioare ale mult¸imii A = {1, 2, 3}. 1) S˘ 2) S˘ a se g˘ aseasc˘ a punctele exterioare ale mult¸imii A. 3) S˘ a se g˘ aseasc˘ a punctele frontier˘ a ale mult¸imii A. R: 1) Int A = {1, 2} deoarece 1 ∈ {1, 2} ⊂ A, 2 ∈ {1, 2} ⊂ A. 3 nu este punct interior lui A deoarece nu apart¸ine la nici o mult¸ime deschis˘ a inclus˘a ˆın A. 2) CA = {4, 5} ¸si Int CA = ∅, deci nu exist˘a puncte exterioare lui A. 3) Fr A = {3, 4, 5}. 1.27 S˘ a se arate c˘ a urm˘ atoarele familii de p˘ art¸i sunt topologii pe R: 1) τi = {∅, R, (a, ∞)}, ∀a ∈ R, (topologia inferioar˘ a sau dreapt˘ a a lui R). 2) τs = {∅, R, (−∞, a)}, ∀a ∈ R, (topologia superioar˘a sau stˆ ang˘ a a lui R). 1.28 S˘ a se g˘ aseasc˘ a interiorul, exteriorul ¸si frontiera intervalului I = [3, ∞) relativ la spat¸iul topologic (R, τi ), unde τi este topologia inferioar˘ a pe R. R: Cea mai ampl˘a mult¸ime deschis˘ a, cont¸inut˘ a ˆın I, este (3, ∞), deci Int A = (3, ∞). CI = (−∞, 3) ¸si nu cont¸ine nici o alt˘a mult¸ime deschis˘ a ˆın afar˘a de mult¸imea vid˘a. Int CA = ∅, Fr A = (−∞, 3].

1.2

Mult¸imea numerelor reale

1.29 S˘ a se arate c˘ a mult¸imea A = {xn =

√ n

1 1 n+ √ + + 1, n ∈ N, n ≥ 2} este n n n

m˘ arginit˘ a. 1 ≥ 2 pentru orice num˘ ar real pozitiv, rezult˘a xn > 2 + 0 + 1 = 3, adic˘a x √ 1 1 a = 3 este un minorant pentru A. Cum pentru n ≥ 2, 1 < n n < 2 ¸si ≤ , urmeaz˘a n 2 1 9 9 xn < 2 + 1 + + 1 = , adic˘a b = este un majorant pentru A. 2 2 2 R: Din x +

αx + 1 arginit˘ a , x ∈ R} este m˘ x2 + x + 2 pentru orice α ∈ R ¸si s˘ a se determine inf Aα ¸si sup Aα . 1.30 S˘ a se arate c˘ a mult¸imea Aα = {y ∈ R, y =

R: Fie y ∈ Aα . Atunci: yx2 + (y − α)x + 2y − 1 = 0, care trebuie s˘a aib˘a solut¸ii reale. √Deci (y − α)2 − 4y(2y − 1) = −7y 2 − 2(α − 2)y + α2 ≥ 0, de unde, notˆand cu β = 2 2α2 − α + 1,: • ” 2−α−β 2−α+β , y∈ . 7 7 A¸sadar: inf Aα = min Aα =

2−α−β 2−α+β , sup Aα = max Aα = . 7 7

10

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

1.31 S˘ a se determine minorant¸ii, majorant¸ii, cel mai mic element ¸si cel mai mare element (dac˘ a exist˘ a) ale urm˘ atoarelor mult¸imi de numere reale: š › 1 ∗ 1) A = {sin 1, sin 2, sin 3}. 2) A = 1 − , n ∈ N . n š n › 2 −1 , n ∈ N∗ . 4) A = {x ∈ R, x2 ≤ 5}. 3) A = 22 + 1 5) A = {x ∈ R, x ≥ 0, x2 > 5}. 6) A = {x ∈ R, x3 − x ≤ 0}. 7) A = {x − sin x, x ∈ R}. π R: 1) Cum: sin 2 = sin(π − 2), sin 3 = sin(π − 3), deoarece: 0 < π − 3 < 1 < π − 2 < 2 h πi ¸si funct¸ia sinus este strict cresc˘atoare pe 0, , rezult˘a: 2 sin 0 < sin(π − 3) < sin 1 < sin(π − 2) < sin

π 2

¸si deci 0 < sin 3 < sin 1 < sin 2 < 1. A¸sadar: min A1 = sin 3, max A1 = sin 2 ¸si orice num˘ar a ≤ sin 3 este un minorant, iar orice num˘ ar b ≥ sin 2 este un majorant. 1 1 2) Deoarece ≤ 1, rezult˘a c˘a 1 − ≥ 0. Deci 0 este un minorant al mult¸imii n n A2 ¸si orice num˘ar a ∈ (−∞, 0] eare minorant. Nici un num˘ ar a > 0 nu poate fi minorant al mult¸imii A2 deoarece 0 ∈ A2 ¸si din definit¸ia minorantului ar rezulta c˘a a ≤ 0 (contradict¸ie). Evident inf A2 = min A2 = 0. Mult¸imea majorant¸ilor este [1, ∞). Intr1 adev˘ar, b ≥ 1 implic˘a b ≥ 1 − , pentru orice n ∈ N∗ . Dac˘a b < 1 rezult˘a 1 − b > 0 ¸si n 1 1 sau b < 1 − , adic˘a b nu ar mai fi majorant. Evident atunci ∃n ∈ N∗ a.ˆı. 1 − b > n n sup A2 = 1, ˆın timp ce max A2 nu exist˘a. 3) Din inegalitatea: 2n − 1 1 ≤ 2 < 1, n ∈ N∗ , 3 2 +1 • ’ 1 deducem c˘a mult¸imea miniorant¸ilor lui A3 este −∞, , mult¸imea majorant¸ilor este 3 1 [1, ∞), inf A3 = min A3 = , sup A3 = 1, iar max A3 nu exist˘a. 3√ √ 4) inf A4 = min √ A4 = − 5, sup A4 = max A4 = 5, 5) inf A5 = 5, sup A5 = ∞, 6) inf A6 = −∞, sup A6 = ∞, 7) inf A7 = −∞, sup A7 = ∞. 1.32 S˘ a: a se determine inf A, min A, sup A ¸si max A dac˘ a+1 , a ∈ R}. a2 + a + 1 2 x − 3x + 2 2) A = {y ∈ R, y = 2 , x ∈ R}. x + x +√1 3x2 + 4x 3 − 1 3) A = {y ∈ R, y = , x ∈ R}. x2 + 1

1) A = {x ∈ R, x =

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

11

” • 1 R: 1) Din xa + (x − 1)a + x − 1 = 0, cu a ∈ R, rezult˘a A = − , 1 . Deci inf A = 3 " √ √ # 9 − 2 21 9 + 2 21 1 . 3) A = [−3, 5]. min A = − , sup A = max A = 1. 2) A = , 3 3 3 2

and axioma lui Arhimede, s˘ a se arate c˘ a pentru orice x ∈ R∗ exist˘ 1.33 Utilizˆ an∈Z a.ˆı. s˘ a avem: 1) x2 + n ≥ nx + 1. 2) x2 ≥ 2x + n. R: 1) Inegalitatea se mai scrie: x2 − 1 ≥ n(x − 1). Pentru x = 1 este evident˘ a. Dac˘a x2 − 1 x 6= 1, pentru num˘arul real = x + 1, conform axiomei lui Arhimede, exist˘a n ∈ Z x−1 a.ˆı. x + 1 ≥ n. 1.34 Fie [an , bn ] ⊃ [an+1 , bn+1 ], n ∈ N∗ un ¸sir descendent de segmente reale. S˘ a se arate c˘ a: ∞ T 6 ∅ (Cantor-Dedekind). 1) [an , bn ] = n=1

1 2) Dac˘ a bn − an ≤ , n ∈ N∗ , atunci exist˘ a un num˘ ar x0 ∈ R, unic determinat, cu n ∞ T proprietatea c˘ a: [an , bn ] = {x0 }. n=1

R: 1) Din [an , bn ] ⊃ [an+1 , bn+1 ] rezult˘a c˘a an ≤ bm , ∀n, m ∈ N∗ . A¸sadar mult¸imea a superior (orice bm este un majorant), iar mult¸imea A = {an , n ∈ N∗ } este m˘arginit˘ B = {bm , m ∈ N∗ } este m˘arginit˘a inferior (orice an este un minorant). Exist˘a deci sup A ∞ T ¸si inf B ¸si sup A ≤ inf B. In concluzie, [an , bn ] ⊃ [sup A, inf B] 6= ∅. n=1

2) Dac˘a ar exista x ¸si y cu x < y ¸si x, y ∈

∞ T

n=1

[an , bn ], atunci din an ≤ x < y ≤ bn

1 rezult˘a: 0 < y − x ≤ bn − an ≤ , adic˘a n(y − x) ≤ 1, n ∈ N∗ , ceea ce ar contrazice n axioma lui Arhimede aplicat˘a numerelor y − x ¸si 1. 1.35 Dac˘ a a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗+ ¸si a1 · a2 · · · · · an = 1, atunci a1 + a2 + · · · + an ≥ n. R: Folosim metoda induct¸iei matematice. P (2) : dac˘a a1 , a2 ∈ R∗+ ¸si a1 ·a2 = 1, atunci a1 +a2 ≥ 2. Fie a1 ≥ 1 ¸si a2 ≤ 1. Urmeaz˘a (a1 −1)(a2 −1) ≤ 0 sau a1 +a2 ≥ 1+a1 ·a2 ≥ 2. P (n) : dac˘a a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗+ ¸si a1 · a2 · · · · · an = 1, atunci a1 + a2 + · · · + an ≥ n. P (n + 1) : dac˘a a1 , a2 , . . . , an , an+1 ∈ R∗+ ¸si a1 · a2 · · · · · an · an+1 = 1, atunci a1 + a2 + · · · + an + an+1 ≥ n + 1. a cel put¸in unul mai mare sau cel put¸in egal Printre numerele a1 , a2 , . . . , an , an+1 exist˘ cu 1 ¸si cel put¸in unul mai mic sau cel mult egal cu 1. F˘ar˘ a a restrˆange generalitatea, putem presupune c˘a acestea sunt a1 ¸si a2 . Din P (2) avem c˘a a1 + a2 ≥ 1 + a1 · a2 , de unde deducem: a1 + a2 + · · · + an + an+1 ≥ 1 + a1 · a2 + a3 + · · · + an + an+1 ≥ 1 + n, deoarece a1 · a2 , . . . , an , an+1 sunt n numere al c˘aror produs este 1.

12

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

1.36 Inegalitatea mediilor. Fie x1 , x2 , . . . , xn ∈ R∗+ ¸si A media aritmetic˘ a, G media geometric˘ a, H media armonic˘ a a celor n numere, definite prin; √ x1 + x2 + · · · + xn n A= , G = n x1 · x2 · · · · · xn , H = . 1 1 1 n + + ··· + x1 x2 xn S˘ a se arate c˘ a au loc inegalit˘ a¸tile: H ≤ G ≤ A. R: Din definit¸ia mediei geometrice avem: x1 x2 xn x1 · x2 · · · · · xn = 1 sau · · ··· · = 1. Gn G G G xk xn x1 x2 , k = 1, n, obt¸inem: + + ···+ ≥ n, sau Luˆ and ˆın exercit¸iul precedent ak = G G G G 1 A ≥ G. Inlocuind aici pe xk prin , k = 1, n, g˘asim H ≤ G. xk 1.37 Inegalitatea lui Schwarz-Cauchy. Pentru orice numere reale a1 , a2 , . . . , an ¸si b1 , b2 , . . . , bn are loc inegalitatea: € €  2 (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) ≤ a21 + a22 + · · · + an2 b21 + b22 + · · · + b2n ,

sau

v Œ v Œ u n n n ŒX Œ u X X u u Œ Œ ak bk Œ ≤ t a2k · t b2k . Œ Œ Œ k=1

k=1

k=1

R: Fie trinomul de gradul al doilea: €   € f (x) = a12 + a22 + · · · + a2n x2 − 2 (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) x + b21 + b22 + · · · + bn2 ,

care se mai scrie:

f (x) = (a1 x − b1 )2 + (a2 x − b2 )2 + · · · + (an x − bn )2 ≥ 0 pentru orice x ∈ R, deci ∆ ≤ 0, ceea ce implic˘a inegalitatea dat˘a. 1.38 Inegalitatea lui Minkowski. Pentru orice numere reale ak , bk , k = 1, n are loc inegalitatea: v v v u n u n u n uX uX uX 2 t (ak + bk ) ≤ t a2k + t b2k . k=1

k=1

k=1

R: Tinˆand seama de inegalitatea lui Schwarz-Cauchy, avem: v v u n u n n n n n n n X X X X X X X u uX 2 2 2 2 2 t t ak + 2 bk ≤ ak + 2 (ak + bk ) = ak bk + ak · b2k + bk2 ,

k=1

k=1

k=1

sau

n X

k=1

k=1

k=1

k=1

v 2 v u n u n X X u u 2 ak2 + t b2k  , (ak + bk ) ≤ t k=1

de unde, extr˘agˆand radicalul rezult˘a inegalitatea dat˘a.

k=1

k=1

k=1

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

13

1.39 Inegalitatea lui Bernoulli. Oricare ar fi a ∈ [−1, ∞) ¸si α ∈ [1, ∞) avem: (1 + a)α ≥ 1 + αa. R: Inegalitatea rezult˘a din studiul monotoniei funct¸iei f : [−1, ∞) → R, f (x) = (1 + x)α − αx − 1, observˆand c˘a aceasta are un minim egal cu 0 ˆın x = 0. 1.40 Dac˘ a a ∈ [−1, ∞) ¸si n ∈ N∗ atunci: (1 + a)n ≥ 1 + na. R: Se ia ˆın inegalitatea lui Bernoulli α = n. 1.41 Dac˘ a b > 0, b 6= 1, atunci:

’

1 + nb n+1

“n+1

> bn .

R: Aplicˆand inegalitatea lui Bernoulli, avem: ’

1 + nb n+1

“n+1

=

’

b+

1−b n+1

“n+1

” = bn+1 1 +

1−b b(n + 1)

•n+1

’ “ 1−b > bn+1 1 + = bn . b

1.42 S˘ a se arate c˘ a: ’ “n+1 ’ “n+1 ’ ’ “n “n 1 1 1 1 1) 1 + . 2) 1 − . > 1+ > 1− n+1 n n+1 n R: Se ia ˆın inegalitatea precedent˘ a b=1+

1 1 , respectiv b = 1 + . n n

a se arate c˘ a oricare ar fi numerele reale a1 , a2 , . . . , an ≥ −1, de acela¸si semn, 1.43 S˘ are loc inegalitatea (generalizare a inegalit˘ a¸tii lui Bernoulli): (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) ≥ 1 + a1 + a2 + · · · + an . R: Se folose¸ste induct¸ia matematic˘a. 1.44 Inegalitatea lui Cebˆı¸sev. Fie a1 , a2 , . . . , an ¸si b1 , b2 , . . . , bn numere reale cu a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an , b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn ¸si S = a1 bi1 + a2 bi2 + · · · an bin , n ≥ 2, unde {i1 , i2 , . . . , in } = {1, 2, . . . , n}. S˘ a se arate c˘ a: a1 bn + a2 bn−1 + · · · an b1 ≤ S ≤ a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn . R: Fie j < k, ij < ik atunci (aj − ak )(bij − bik ) ≥ 0 implic˘a: aj bij + ak bik ≥ aj bik + ak bij . Deci orice inversiune ˆın mult¸imea {i1 , i2 , . . . , in } mic¸soreaz˘ a suma S, ca atare ea este maxim˘a pentru permutarea identic˘ a {1, 2, . . . , n} ¸si minim˘a pentru permutarea {n, n − 1, . . . , 1}. 1.45 Fie a1 , a2 , . . . , an ¸si b1 , b2 , . . . , bn numere reale cu a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an , b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn . S˘ a se arate c˘ a: !   n !   n !   n X X X ai · bi . n· ai bi ≥ i=1

i=1

i=1

14

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS n P

R: Din exercit¸iul precedent rezult˘a c˘a max S =

ai bi . Avem deci inegalit˘a¸tile:

i=1 n X

ai bi

=

i=1 n X

a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ,

ai bi

≥

a1 b2 + a2 b3 + · · · + an b1 ,

n X

ai bi

i=1

.....................

i=1

≥

a1 bn + a2 b1 + · · · + an bn−1 .

Prin adunare membru cu membru obt¸inem inegalitatea din enunt¸. a se arate c˘ a: 1.46 Fie a, b, c > 0. S˘ a b c 3 a 3 b3 c 3 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 1) + + ≥ . 2) a+b+c ≤ + + ≤ + + . b+c a+c a+b 2 2c 2a 2b bc ca ab R: Se aplic˘a inegalitatea lui Cebˆ ’ ı¸sev: “ 1 1 1 , 1) pentru tripletele (a, b, c) ¸si , , b’ + c a +“ c a+b ’ “ b c 1 1 1 a 3 3 3 2 2 2 , , , respectiv (a , b , c ) ¸si , , . 2) pentru tripletele: (a , b , c ) ¸si c b a abc abc abc 1.47 Inegalitatea lui H¨ older. Dac˘ a a1 , a2 , . . . , an ≥ 0, b1 , b2 , . . . , bn ≥ 0, p > 1, 1 1 q > 1 ¸si + = 1, atunci: p q !1/q !1/p   n   n n X q X X p . bi ai bi ≤ ai i=1

R: Dac˘a

n P

i=1

api = 0 sau

i=1

n P

i=1

i=1

bqi = 0 inegalitatea este evident˘ a. Fie: api biq A= P , B= P n n aip bqi i=1

i=1

α

¸si funct¸ia f : [0, ∞) → R, definit˘a prin: f (x) = x − αx, α ∈ (0, 1). Deoarece f are ˆın A x = 1 un maxim egal cu 1 − α, rezult˘a c˘a: xα − αx ≤ 1 − α, ∀x ∈ [0, ∞). Lu˘am x = B 1 1 1 A B 1 p ¸si α = , deci 1 − α = , deducem: A · B q ≤ + . Inlocuind aici A ¸si B, sumˆand p q p q apoi dup˘a i de la 1 la n, obt¸inem inegalitatea din enunt¸. a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N∗ are loc inegalitatea: 1.48 S˘ 1·

√ √ √ (n + 1)! 3 N 2 · 3! · · · · · n! ≤ . 2n

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA R: Se folose¸ste majorarea:

√ k

k! =

√ k

1 · 2 · ··· · k ≤

15

1 + 2 + ··· + k k+1 = . k k

1.49 Dac˘ a x1 , x2 , . . . , xn ∈ R∗+ , atunci: “ ’ 1 1 1 (x1 + x2 + · · · + xn ) + + ··· + ≥ n2 . x1 x2 xn R: Se folose¸ste inegalitatea lui Schwarz-Cauchy cu ai =

√

1 xi , bi = √ , i = 1, n. xi

1.50 Dac˘ a a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗+ , atunci: (a21 + a1 + 1) · · · · · (an2 + an + 1) ≥ 3n . a1 · a2 · · · · · an R: Se folose¸ste inegalitatea: x +

1 ≥ 2, pentru orice x ∈ R∗+ . x

1.51 Dac˘ a a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗+ , n ≥ 2 ¸si S = a1 + a2 + · · · + an atunci: an a2 n a1 . + + ··· + ≥ S − a1 S − a2 S − an n−1 R: Not˘am bi =

sau n2 ≤ n−1

1 a c˘a bi > 0. putem scrie: , i = 1, n. Deoarece S > ai rezult˘ S − ai ’ “ 1 1 1 (b1 + b2 + · · · + bn ) ≥ n2 , + + ··· + b1 b2 bn

 

n X

ak

k=1

! 

n X

k=1

bk

!

≤n

’

a1 a2 an + + ··· + S − a1 S − a2 S − an

1.52 Dac˘ a a, b, c ∈ R∗+ , atunci: ab bc ca a+b+c + + ≤ . a+b b+c c+a 2 R: Se ¸tine seama c˘a

ab a+b ≤ etc. a+b 4

a a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗+ , n ≥ 2, atunci: 1.53 Dac˘ a2 an a1 an−1 + + ··· + + ≥ n. a2 a3 an a1 R: Se foloset¸e inegalitatea mediilor. a a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗+ , atunci: 1.54 Dac˘ (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) ≥ 2n .

“

.

16

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS √ R: Se ˆınmult¸esc membru cu membru inegalit˘a¸tile: 1 + ai ≥ 2 ai , i = 1, n.

1.55 Dac˘ a a, b, c ∈ R∗+ , atunci: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.

√ R: Se ˆınmult¸esc membru cu membru inegalit˘a¸tile: a + b ≥ 2 ab etc.

1.56 Dac˘ a a1 , a2 , . . . , an > 0, b1 , b2 , . . . , bn > 0, atunci: p p √ n (a1 + b1 )(a2 + b2 ) · · · (an + bn ) ≥ n a1 a2 · · · an n b1 b2 · · · bn . R: Se folose¸ste inegalitatea mediilor pentru numerele:

bi , i = 1, n ¸si se adun˘a inegalit˘a¸tile obt¸inute. ai + bi

ai , i = 1, n ¸si respectiv: ai + bi

∗ a a, b, c ∈ R+ 1.57 Dac˘ , atunci:

aa · bb · cc ≥ (abc)

a+b+c 3

.

R: F˘ar˘a a restrˆange generalitatea, putem presupune a ≥ b ≥ c. Din aa−b ≥ ba−b , bb−c ≥ cb−c , aa−c ≥ ca−c prin ˆınmult¸ire membru cu membru se obt¸ine inegalitatea din enunt¸.

Capitolul 2

S ¸ iruri ¸si serii 2.1

S ¸ iruri de numere reale

2.1 Folosind teorema de caracterizare cu ε a limitei unui ¸sir, s˘ a se arate c˘ a: n2 + 2 3 · 4n + (−4)n = 0. 2) lim = +∞. n→∞ n + 1 n→∞ 5n

1) lim

R: 1) Fie ε > 0 arbitrar. Este suficient s˘a ar˘at˘ am c˘a exist˘a un rang N = N (ε) a.ˆı. Œ Œ Œ 3 · 4n + (−4)n Œ Œ − 0ŒŒ < ε, ∀n > N. Œ n 5

ε Œ Œ ln Œ 3 · 4n + (−4)n Œ 4 · 4n 4 Œ Œ . A¸sadar, putem lua Dar Œ Œ ≤ 5n < ε pentru n > 4 5n ln 5  0,     ε > 4,  ε  ln N (ε) =  4   , ε ≤ 4.     ln 4 5

2) Fie ε > 0 arbitrar. Este suficient s˘a ar˘at˘ am c˘a exist˘a un rang N = N (ε) a.ˆı. 3 n2 + 2 n2 + 2 > ε, ∀n > N . Ins˘a = n−1+ > n − 1 > ε, pentru n > 1 + ε. Putem n+1 n+1 n+1 lua N (ε) = [1 + ε]. 2.2 Folosind teorema de caracterizare cu ε a limitei unui ¸sir, s˘ a se arate c˘ a: 4n + 1 n2 1 n 1 4 = . 2) lim = . 3) lim = . 2 n→∞ n→∞ n→∞ 2n − 1 2 5n − 1 5 2(n + 1) 2

1) lim

17

18

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

2.3 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘ a se arate c˘ a ¸sirurile (xn )n∈N∗ sunt convergente, unde: 1) xn =

n n X X 1 sin(kx) . x = , x ∈ R. 2) n 2 k 2k

k=1

3) xn =

k=1

n X αk

k=1

ak

. |αk | < 1, k ∈ N∗ , a > 1.

R: 1) Ar˘at˘am c˘a ∀ε > 0, ∃ N (ε) a.ˆı. |xn+p − xn | < ε, ∀n > N (ε) ¸si p ∈ N∗ . Deoarece 1 (n + k)

2

avem: |xn+p − xn | =

<

1 1 1 = , − (n + k) (n + k − 1) n+k−1 n+k 1 2

+ ··· +

1 1 1 1 < . Putem lua N (ε) = . ε ε 2) Ar˘at˘am c˘a ∀ε > 0, ∃ N (ε) a.ˆı. |xn+p − xn | < ε, ∀n > N (ε) ¸si p ∈ N∗ . Avem: Œ Œ ’ “ Œ sin(n + 1)x 1 sin(n + p)x ŒŒ 1 1 1 |xn+p − xn | = ŒŒ + + + · · · + · · · = − ≤ 1 , Œ 2n+1 2n+1 2n+p 2n+p 2n 2p   1 1 ln ln 1  ε ε . Putem lua N (ε) =  deci |xn+p − xn | < n < ε pentru n > . 2 ln 2 ln 2 3) Avem

Œα αn+p ŒŒ |αn+1 | |αn+p | 1 1 Œ n+1 |xn+p − xn | = Œ n+1 + · · · + n+p Œ ≤ n+1 + · · · + n+p < n+1 + · · · + n+p , a a a a a a

1 ” ’ “p • ln 1 1 1 ε (a − 1) deci |xn+p − xn | < n · 1− < n < ε pentru n > . a a (a − 1) ln a a (a − 1)  1  ln ε (a − 1)   Putem lua N (ε) =   . ln a a se arate c˘ a ¸sirul (xn )n∈N∗ este divergent, unde 2.4 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘ xn = 1 +

1 1 1 + + ··· + . 2 3 n

R: Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a exist˘a un ε0 > 0 ¸si un p ∈ N∗ a.ˆı. |xn+p − xn | ≥ ε0 . Se constat˘a ˆıns˘a imediat c˘a pentru p = n avem: |x2n − xn | =

1 1 1 + ··· + ≥ = ε0 . n+1 2n 2

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

19

a se cerceteze natura urm˘ atoarelor ¸siruri (xn )n∈N cu termenii generali: 2.5 S˘ 1) xn =

10 11 n + 10 + + ··· . 2) xn = sin n. 1 3 2n + 1

R: 1) S¸irul este divergent. Se observ˘a c˘a: |x2n − xn | =

n + 11 2n + 10 2n + 10 1 + ··· + > > . 2n + 3 4n + 1 4n + 1 2

2) Presupunem c˘a exist˘a lim xn = x. Atunci avem ¸si lim xn+1 = x, lim xn−1 = x, n→∞ n→∞ n→∞ ceea ce implic˘a: lim [sin(n + 1) − sin(n − 1)] = 0, n→∞

adic˘a lim 2 sin 1 cos n = 0 sau lim cos n = 0. Din sin 2n = 2 sin n cos n ar rezulta c˘a n→∞

n→∞

lim sin 2n = 0. Dar ¸sirul (sin 2n)n∈N∗ este un sub¸sir al ¸sirului (sin n)n∈N∗ , de unde se n→∞  € deduce c˘a lim sin n = 0. A¸sadar am avea: lim sin2 n + cos2 n = 0. Contradict¸ie. n→∞

n→∞

Deci ¸sirul (xn ) este divergent.

2.6 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘ a se studieze natura ¸sirurilor cu termenii generali: 1) xn =

n X

k=1

n

n

k=1

k=1

X cos kx X sin kx cos k! . 2) xn = , a > 1. 3) xn = . k k (k + 1) a 3k

2.7 S˘ a se calculeze limita ¸sirului cu termenul general: xn =

α0 nk + α1 nk−1 + · · · + αk , α0 , β0 6= 0, k, h ∈ N. β0 nh + β1 nh−1 + · · · + βh

2.8 S˘ a se calculeze limitele ¸sirurilor: 1) xn =

1 + 2 + ··· + n Cnk n . . 3) xn = n . 2) x = n n2 nk 2

2.9 S˘ a se arate c˘ a dac˘ a |a| < 1, atunci lim nan = 0. n→∞

R: Deoarece |a| < 1, exist˘a b > 0 a.ˆı. |a| =

Newton.

1 ¸si se dezvolt˘ a dup˘a binomul lui 1+b

2.10 Fie x1 , x2 , . . . , xp numere reale pozitive. S˘ a se arate c˘ a: q lim n xn1 + x2n + · · · xnp = max{x1 , x2 , . . . , xp }. n→∞

R: Fie x = max{x1 , x2 , . . . , xp }. Rezult˘a: xn ≤ xn1 + x2n + · · · xpn ≤ pxn , adic˘a; q √ x ≤ n x1n + x2n + · · · xnp ≤ x n p. Dar lim

n→∞

√ n

p = 1.

20

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

2.11 Fie ¸sirul cu termenul general: xn = a + n + 1 −

n X k4 + k2 + 1

k=1

k4 + k

.

1) S˘ a se arate c˘ a (xn ) este convergent. 2) S˘ a se g˘ aseasc˘ a rangul de la care |xn − a| ≤ 0, 01. 2.12 S˘ a se calculeze limitele ¸sirurilor (xn ) date prin termenii generali: √ “n ’ 5n2 − 3n + 2 3n + 2 2an + bn . 2) xn = . 1) xn = . 3) xn = n 4n + 1 3n + 5 3a + 4bn √ √ √ 22 + 42 + · · · + (2n)2 . 5) xn = n + 1 − 2 n + 2 + n + 3. 2 2 + 3 + · · · + (2n − 1) q q p √ √ 3 6) xn = n + 2 n + 1 − n + 4 n + 1. 7) xn = n2 + n + 1 − an. ’ “3 1 −6n ’ “ “n ’ 2 √ −1 1+ n+ n+1 2n + 5n + 4 3n + 1 n √ . 9) xn = . 10) xn = ’ 8) xn = . “2 3n2 + 2 n+ 3n+2 1 3+ −9 n 4) xn =

12

p p n (13 + 23 + · · · + n3 ) . 12) xn = n4 + n2 + 1 − n4 − n2 + 1. 5 (n + 2) !  r 1 ‘ p p + 2 n 3 k 3 13) xn = n − 1 . 14) xn = n (n + 1)2 − 3 (n − 1)2 . n+5

11) xn =

r r r 2.13 Se consider˘ a curba format˘ a din semicercuri de raze r, , , , . . . cu centrele cer3 9 27 curilor coliniare. S˘ a se calculeze lungimea Ln a liniei formate din primele n semicercuri, precum ¸si L = lim Ln . care sunt valorile lui n pentru care diferent¸a L − Ln reprezint˘ a n→∞

cel mult 5% din L? R: Avem:

’ “ r r ‘ 3πr r 1 Ln = π r + + 2 + · · · + n−1 = · 1− n 3 3 3 2 3 

¸si L =

5 3πr 3πr 3πr 1 . L − Ln = · n ≤ · , de unde 3n ≥ 20, adic˘a n ≥ 3. 2 2 3 100 2

2.14 S˘ a se discute dup˘ a valorile parametrului real p: "r # r n+1 3 n + 2 p ` = lim n − . n→∞ n+2 n+3

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

21

R: Not˘am an =

r

n+1 − n+2

r 3

n+2 = n+3

 r

n+1 −1 n+2

!

+

 

1−

r 3

n+2 n+3

!

.

1 Avem an → 0, iar nan → − . Deci: 6 1 ` = − · lim np−1 6 n→∞

 p ∈ (−∞, 1),  0,  1 = − , p = 1,   6 −∞, p ∈ (1, ∞).

2.15 S˘ a se calculeze limita ¸sirului (xn ) cu termenul general: xn =

sin 1 + a sin 2 + · · · + an−1 sin n , a > 1. [1 + 2a + 3a2 + · · · + (n + 1)an ]

an

R: Din |sin x| ≤ 1, ∀x ∈ R, deducem: 0 < |xn | ≤

(1 − a)(1 − an ) = αn an [1 − (n + 2)an+1 + (n + 1)an+2 ]

¸si cum pentru a > 1, αn → 0, rezult˘a c˘a xn → 0. 1 1 1 2.16 S˘ a se arate c˘ a ¸sirul cu termenul general xn = 1+ + +· · ·+ este convergent. 1! 2! n! Limita sa este num˘ arul e. R: Folosim criteriul lui Cauchy: xn+p − xn

= =

1 1 1 + + ··· + = (n + 1)! (n + 2)! (n + p)! • ” 1 1 1 1 + + ··· + (n + 1)! n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) · · · (n + p)

de unde: ” • 1 1 1 1 1 1 1 < xn+p − xn < + + ··· + · ≤ < ε, n! n + 1 (n + 1)2 (n + 1)p n! n n ” • 1 . pentru n > N (ε) = ε a se arate c˘ a dac˘ a an → a, atunci sn = 2.17 S˘

a1 + a2 + · · · + an → a. n

R: Se aplic˘a teorema lui Stolz-Cesaro. a se arate c˘ a dac˘ a ¸sirul de numere pozitive bn → b, atunci 2.18 S˘ p pn = n b1 · b2 · · · · · bn → b.

22

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

2.19 Fie (a)n un ¸sir de numere pozitive. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a √ an+1 = α ⇒ lim n an = α. n→∞ an r a1 a2 an √ R: Se ¸tine seama de egalitatea N an = n · · ··· · . 1 a1 an−1 lim

n→∞

a se calculeze: 2.20 S˘ √ 1) lim n n. 2) lim n→∞

n→∞

r n

√ n (n + 1)(n + 2) · · · (2n) n! . . 3) lim n n→∞ n n

R: Se aplic˘a exercit¸iul precedent. Se obt¸ine: 1) 1, 2)

4 1 , 3) . e e

2.21 S˘ a se arate c˘ a: 1p + 2p + · · · np 1 = , ∀p ∈ N. p+1 n→∞ n p+1 lim

R: Se aplic˘a teorema lui Stolz-Cesaro: p

an+1 − an (n + 1) = p+1 bn+1 − bn (n + 1) − np+1 Dar lim n n→∞

“p • ”’ 1 − 1 = p. 1+ n

“p ’ 1 1+ n “p “p . • ’ = ”’ 1 1 −1 + 1+ n 1+ n n

2.22 S˘ a se determine limita ¸sirului cu termenul general: p

xn =

1p + 3p + · · · + (2n − 1) , p ∈ N∗ . np+1

2.23 S˘ a se calculeze: lim

n→∞

1+

√ √ √ 2! + 3 3! + · · · + n n! , a > 1. n 2 · an

R: Se aplic˘a teorema lui Stolz-Cesaro: p n+1 (n + 1)! an+1 − an 1 lim = lim n = lim n→∞ bn+1 − bn n→∞ a [(n + 1)2 a − n2 ] a − 1 n→∞

p (n + 1)! n + 1 · 2 n = 0. n+1 n ·a

n+1

a se calculeze: 2.24 S˘ lim

n→∞

1 + (2!)2 ·

√

√ √ 2 + (3!)2 · 3 3 + · · · + (n!)2 · n n √ . n! · (n + 1)! · n

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

23

R: Se aplic˘a teorema lui Stolz-Cesaro: √ an+1 − an (n + 1) · n+1 n + 1 √ lim = lim √ = 0. n→∞ bn+1 − bn n→∞ (n + 1)(n + 2) n + 1 − n 2.25 Se d˘ a ¸sirul (xn )n∈N cu termenul general: xn =

n X

k=0

1 . (k + 1)(k + 4)

1) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul este m˘ arginit ¸si s˘ a se calculeze sup xn . n∈N •n ” 18 a se calculeze lim · xn . 2) S˘ n→∞ 11 R: 1) Din identitatea 1 1 = (k + 1)(k + 4) 3 deducem: 1 lim xn = lim n→∞ n→∞ 3

’

’

1 1 − k+1 k+4

“

, k ∈ N,

1 1 1 11 − − − 6 k+2 k+3 k+4

“

=

11 . 18

11 1 Din xn+1 − xn = > 0 rezult˘a c˘a ¸sirul este cresc˘ ator ¸si deci sup xn = . (n + 2)(n + 5) 18 n∈N ” •n 18 2) lim · xn = e−1 . n→∞ 11 2.26 S˘ a se determine limita urm˘ atoarelor ¸siruri: 1) xn =

5 2n + 1 αn + β n 3 + + · · · . 2) x , α, β > 0. + = n 13 13 + 23 13 + 23 + · · · + n3 αn+1 + β n+1 n Y € 2  1 a n + b n + 3n , a, b 4) = 3) xn = n ≥ 0. x · k + 3k + 9 . n n n 2 +5 +n 7 · n! k=1

√ 3 R: La 4) se ¸tine seama de inegalitatea k 2 + 3k + 9 ≥ 3 27k 3 = 9k.

2.27 S˘ a se calculeze: s n n X X (n!)2 k2 + k − 1 2k−1 (k − 1) 1) lim n 2) lim . 3) lim . . n→∞ n→∞ n→∞ (2n)! · 8n (k + 1)! (k + 1)! k=1 k=1 s # "r n n 3n X X · (n!)3 k2 1 3 n 3 √ . 5) lim 1+ 3 −1 . 4) lim . 6) lim n→∞ n→∞ n→∞ (3n)! n n2 + k k=1

k=1

24

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: 1) lim

n→∞

deducem c˘a

an+1 1 k2 + k − 1 n+1 1 1 . 2) Din − = lim = = n→∞ 16(2n + 1) an 32 (k + 1)! (k − 1)! (k + 1)! ” • n X 1 k2 + k − 1 1 = 2. lim = lim 2 − − n→∞ n→∞ (k + 1)! n! (n + 1)! k=1

k−1

3) Din

2

(k − 1) 2k−1 2k = − deducem c˘a (k + 1)! k! (k + 1)! ” • n X 2k−1 (k − 1) 2n lim = lim 1 − = 1. n→∞ n→∞ (k + 1)! (n + 1)! k=1

2.28 S˘ a se calculeze limitele ¸sirurilor cu termenii generali n n X X k2 + k − 1 (2n + 1)!! k2 + k x . 2) xn = . 3) = . n 3 (2n + 2)!! n +k (k + 1)! k=1 k=1 ’ “ n n X 3 · 2n + (−1) 1 1 1 2k + 1 . 5) 4) xn = 1 + + 2 + · · · + n · . x = n 2 2 2 2n k 2 (k + 1)2 k=1   n ! “ ’ q X p 1 1 2 2 2 2 (2k − 1) . 6) xn = 2 · Cn + Cn+1 + · · · + C2n . 7) xn = 3 · n n

1) xn =

k=1

2.29 S˘ a se calculeze limitele ¸sirurilor cu termenii generali: 6 n−3 ’ “α √ √ 2  3 n+1 π ‘n 1) xn = cos . 2) xn = 1 + √ , α ∈ R. n 2 n−3 n n X X k (k + 1) (k + 2) 1 3) xn = . 4) xn = . (k − 1)! + k! n4 k=1

k=1

2.30 S˘ a se calculeze limita ¸sirului cu termenul general xn = ac + (a + ab)c2 + (a + ab + ab2 )c3 + · · · + (a + ab + · · · + abn )cn+1 , a, b, c ∈ R, |c| < 1, b 6= 1, |bc| < 1. R: S˘a observ˘am c˘a se mai scrie ac [(1 + c + · · · + cn ) − b (1 + bc + · · · + bn cn )] . xn = 1−b

Deci

lim xn = lim xn n→∞

n→∞

”

• 1 − cn+1 1 − (bc)n+1 ac −b· = . 1−c 1 − bc (1 − c)(1 − bc)

2.31 S˘ a se arate c˘ a: 0 < ln [ln (k + 1)] − ln (ln k) < ¸si apoi s˘ a se calculeze lim

n P

n→∞ k=2

1 . k ln k

1 , ∀k ≥ 2 k ln k

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

25

R: Inegalitatea din stˆanga rezult˘a din faptul c˘a funct¸ia ln x este strict cresc˘atoare. Fie f : (1, ∞) → R, definit˘a prin f (x) = ln (ln x). Pe fiecare interval [k, k + 1], k ≥ 2, conform teoremei lui Lagrange, exist˘a ck ∈ (k, k + 1) a.ˆı. ln [ln (k + 1)] − ln (ln k) =

1 . ck ln ck

Din ln k < ln ck < ln(k + 1) deducem: 1 1 1 < , < (k + 1) ln(k + 1) ck ln ck k ln k deci 0<

1 1 < ln [ln (k + 1)] − ln (ln k) < . (k + 1) ln(k + 1) k ln k

Sumˆand pentru k = 2, n rezult˘a c˘a limita este ∞. 2.32 S˘ a se calculeze limita ¸sirului cu termenul general r 2 2 2 2 n (n + 1)(n + 2 ) · · · (2n ) xn = . 2 n ’ “ n 1 P k2 ln 1 + 2 , care este o sum˘a Riemann pentru funct¸ia R: Avem c˘a ln xn = n k=1 n › š 1 2 2 f (x) = ln(1 + x ) pe intervalul [0, 1], pentru diviziunea ∆n = 0, , , . . . , 1 , cu n n k punctele intermediare ξk = ¸si deci n Z 1 π lim ln xn = ln(1 + x2 ) dx = ln 2 − 2 + . n→∞ 2 0 2.33 S˘ a se calculeze limita ¸sirului cu termenul general

xn =

"Z

a

R: Not˘am Im,n =

Rb a

b

(x − a)n (b − x)n dx

#1 n

, a < b.

(x − a)m (b − x)n dx. Integrˆ and prin p˘art¸i, obt¸inem

m m m−1 1 · Im−1,n+1 = · · ··· · · I0,n+m . n+1 n+1 n+2 n+m+1 ’ “2 (n!)2 b−a 2n+1 Se obt¸ine de aici c˘a In,n = (b − a) , de unde lim xn = . n→∞ (2n + 1)! 2 " # r n P k a se calculeze lim 2.34 S˘ 1+ 2 −1 . n→∞ k=1 n Im,n =

26

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: Deoarece

r

1+

k 1 −1= 2 · r 2 n n

k k 1+ 2 +1 n

k

1 ·r n2

1 1+ +1 n

≤

1 ·r n2

. Din

k k 1+ 2 +1 n

≤

1 ·r n2

k 1 1+ 2 +1 n

,

sumˆand pentru k = 1, n, rezult˘a n(n + 1) ·r 2n2

1 1+

deci ¸sirul are limita

1 +1 n

≤

"

n X

k=1

r

# k n(n + 1) ·r 1+ 2 −1 ≤ n 2n2

1 , 1 1+ 2 +1 n

1 . 2

a funct¸ia f : R \ {−2, −1} → R, definit˘ 2.35 Fiind dat˘ a prin f (x) =

calculeze limita ¸sirului cu termenul general

1 , s˘ a se x2 + 3x + 2

xn = f (k) (1) + f (k) (2) + · · · + f (k) (n), unde f (k) este derivata de ordinul k a funct¸iei f . 1 1 − , rezult˘a c˘a x+1 x+2 ” • 1 1 k (k) f (x) = (−1) · k! · − , (x + 1)k+1 (x + 2)k+1

R: Deoarece f (x) se poate scrie: f (x) =

¸si deci

” xn = −

• 1 1 → (−1)k · k! · k+1 . k+1 (n + 2) 2

2.36 S˘ a se studieze natura ¸sirului (xn ) definit prin: x1 = a ∈ [1, 2] ¸si xn+1 = xn2 − 2xn + 2, pentru n ≥ 1. 2.37 Se dau numerele reale a0 , b0 , c0 . Definim ¸sirurile (an )n∈N , (bn )n∈N , (cn )n∈N prin: an+1 =

1 1 1 (bn + cn ) , bn+1 = (cn + an ) , cn+1 = (an + bn ) . 2 2 2

S˘ a se arate c˘ a ¸sirurile sunt convergente la

1 (a0 + b0 + c0 ). 3

R: Fie xn = an + bn + cn . Adunˆand cele trei relat¸ii, obt¸inem: xn+1 = xn , deci (xn ) 1 1 este un ¸sir constant: xn = x0 . Din an+1 = (an−1 + x0 ) rezult˘a c˘a an → x0 etc. 4 3

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

27

√ 1− 5 2.38 Fie q = si sirul (xn ) definit prin: x1 = q, x2 = 1 + q, xn+2 = xn + xn+1 , 2 ∗ n∈N . 1) S˘ a se arate c˘ a termenii ¸sirului sunt ˆın progresie geometric˘ a. a se arate c˘ a are loc egalitatea 2) S˘ Œ Œ Œ Œ xn+2 xn+1 xn Œ Œ xn+2 xn+1 ŒŒ = 4 · x3n+2 . ∆n = ŒŒ xn Œ xn+1 xn xn+2 Œ 3) S˘ a se calculeze lim xn . n→∞

R: 1) Prin induct¸ie matematic˘a: x2 = 1 + q = q 2 , x3 = x1 + x2 = q 3 . Presupunem xn = q n . Din xn+2 = xn + xn+1 = q n + q n+1 = q n (1 + q), rezult˘a xn+2 = q n+2 . 2) ∆n = q 3n (q 6 − 2q 3 + 1) = 4q 3n+2 = 4x3n+2 . 3) Deoarece |q| < 1, lim xn = 0. n→∞

a se calculeze limita ¸sirului: 2.39 S˘ √ √ x1 = a, xn+1 = a + xn , a > 0. 2.40 S˘ a se calculeze lim

n→∞

’

4n − 4 − 2an π

“n

, an =

Z

1

n

2x2 dx, n ≥ 2. 1 + x2

4 − π π R: Se obt¸ine: an = 2n − 2 − 2 arctg n + , iar limita este e . 2 a ¸siruri de numere rat¸ionale a.ˆı.: 2.41 Fie (An )n∈N∗ ¸si (Bn )n∈N∗ dou˘  ‘ √ n √ √ a + b k = An + Bn k, n ≥ 1, a, b ∈ Q+ , k ∈ R \ Q.

An . Bn   √ √ ‘n √ ‘n √ R: Din An + Bn k = a + b k ¸si An − Bn k = a − b k , urmeaz˘a:

S˘ a se calculeze lim

n→∞

√ ‘n  √ ‘n i √ ‘n  √ ‘n i 1 h 1 h a+b k + a−b k , Bn = √ a+b k − a−b k . 2 2 k √ An = k. A¸sadar lim n→∞ Bn • ” 1 0 2.42 Fie matricea A = ¸si 3 2 ” • 1 0 n , n ∈ N∗ . A = an bn An =

S˘ a se calculeze lim

n→∞

an . bn

28

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: Se g˘ase¸ste: an = 3 (2n − 1) ¸si bn = 2n .

 € √ 2.43 S˘ a se calculeze lim sin2 π n2 + n + 1 . n→∞

R: Deoarece sin α = sin (α − nπ), urmeaz˘a:

’ “ ‘  p ‘  p n+1 sin2 π n2 + n + 1 = sin2 π n2 + n + 1 − nπ = sin2 π √ n2 + n + 1 + n

 € √ π ¸si deci lim sin2 π n2 + n + 1 = sin2 = 1. n→∞ 2

a se calculeze limita ¸sirului 2.44 S˘ p √ n xn = n+1 (n + 1)! − n!, n ≥ 2. R: Fie an =

Fie

(n + 1)n an+1 . Deoarece = n! an p

n+1

bn =

¸si bnn =

’

“ n n+1 n+1 √ → e ¸si n n!

’ 1+

(n + 1)! √ = n n!

’

1 n+1

“n+1

→ e, rezult˘a c˘a

√ n a n = e.

“ 1 n+1 n+1 √ n n!

n √  xn √ n n n! n! " p √ #n “ ’ n+1   (n + 1)! − n n! xn e lim xn x n   √ = lim  1 + √ e = lim 1 + = e n→∞ , n n  n→∞ n→∞ n! n! deci lim xn = n→∞

1 . e

2.45 S˘ a se determine mult¸imea punctelor limit˘ a, limita inferioar˘ a ¸si limita superioar˘ a pentru ¸sirurile date prin: ’ “n ” • 1 + (−1)n 2n 1 nπ 1 1) xn = + (−1)n · . 2) xn = 1 + · (−1)n + + cos . 3 3n + 1 n 2 2 R: 1) Deoarece {xn }n∈N = {x2k }k∈N ∪ {x2k+1 }k∈N ¸si 4k + 2 4k 4 2 2 + → , x2k+1 = − →− , 3 6k + 1 3 6k + 4 3 š › 2 4 2 4 rezult˘a c˘a M = − , , lim inf xn = − , lim sup xn = . 3 3 3 3 x2k =

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

29

2) Deoarece {xn }n∈N = {x4k }k∈N ∪ {x4k+1 }k∈N ∪ {x4k+2 }k∈N ∪ {x4k+3 }k∈N ¸si x4k = x4k+1 x4k+2 x4k+3

rezult˘a c˘a M =

’ “4k 3 1 + cos 2kπ → e + 1, 1+ 4k 2 ’ “4k+1 1 (4k + 1)π 1 1 =− + cos 1+ → − e, 2 4k + 1 2 2 “4k+2 ’ 1 (4k + 2)π 3 3 = 1+ + cos → e − 1, 2 4k + 2 2 2 ’ “4k+3 1 (4k + 3)π 1 1 1+ + cos → − e, =− 2 4k + 3 2 2 3 2

š › 1 3 3 3 1 − e, e − 1, e + 1 , lim inf xn = − e, lim sup xn = e + 1. 2 2 2 2 2

2.46 S˘ a se determine mult¸imea punctelor limit˘ a, limita inferioar˘ a ¸si limita superioar˘ a pentru ¸sirurile date prin: 1) xn =

’

1 1+ n

“n·(−1)n

·

n nπ + cos , n ∈ N∗ . 2n + 1 2

n (n + 1) nπ 2 2) xn = 5 − 3 (−1) + sin , n ∈ N. 2 3) xn =

nπ 1 (−1)n ·n , n ∈ N∗ . + sin n 2 n

4) xn =

1 + (−1) n−1 · , n ∈ N. 2 n+1

n (n + 1) nπ 2 5) xn = (−1) − cos , 3

2.2

n ∈ N.

Principiul contract¸iei

a r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a ¸si s˘ a se 2.47 S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia x3 + 4x − 1 = 0 are o singur˘ determine aproximat¸iile pˆ an˘ a la ordinul trei ale r˘ ad˘ acinii. R: Se constat˘a imediat c˘a ecuat¸ia are o r˘ad˘ acin˘ a pe intervalul [0, 1]. Scriind ecuat¸ia 1 , problema revine la a ar˘ata c˘a aplicat¸ia ϕ : [0, 1] → R, sub forma echivalent˘a x = 2 x +4 1 ϕ(x) = 2 , este o contract¸ie pe [0, 1]. Dar x +4 d(ϕ(x), ϕ(y)) = |ϕ(x) − ϕ(y)| =

(x2

|x + y| 1 · d(x, y) ≤ d(x, y). 2 + 4) (y + 4) 8

30

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

 x2 + 4 1 € 2 , deducem |x + y| ≤ |x| + |y| ≤ x + 4 (y 2 + 4). Deci ϕ 4 4 1 este o contract¸ie pe [0, 1], cu q = . S¸irul aproximat¸iilor succesive: 8

Intr-adev˘ar, din |x| ≤

x0 = 0, xn+1 =

1 , n = 0, 1, 2, . . . x2n + 4

ne d˘a x1 = 0, 25, x2 = 0, 2461538, x3 = 0, 2462695 etc. 2.48 S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia x3 + 12x − 1 = 0 are o singur˘ a r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a ¸si s˘ a se calculeze aceast˘ a r˘ ad˘ acin˘ a cu o eroare mai mic˘ a de 0, 0001. acin˘ a pe intervalul [0, 1]. Ca ˆın exercit¸iul R: Se constat˘a imediat c˘a ecuat¸ia are o r˘ad˘ 1 precedent, se arat˘a c˘a aplicat¸ia ϕ : [0, 1] → R, ϕ(x) = 2 , este o contract¸ie pe [0, 1], x + 12 2 cu q = . S¸irul aproximat¸iilor succesive este: 169 x0 = 0, xn+1 =

1 , n = 0, 1, 2, . . . x2n + 12

Estimarea erorii metodei este dat˘a de |xn − ξ| <

δ q n , ∀n ∈ N, 1−q

ˆın care δ = |x1 − x0 |. In cazul nostru |xn − ξ| <

1 169 12 167

’

2 169

“n

< 10−4 .

1 Se constat˘a c˘a este suficient s˘a lu˘am n = 2. Avem: x0 = 0, x1 = = 0, 08 3333, 12 144 x2 = = 0, 083285135. 1729 a se arate c˘ a ecuat¸ia sin x − 10x + 1 = 0 are o singur˘ 2.49 S˘ a r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a ¸si s˘ a se calculeze aceast˘ a r˘ ad˘ acin˘ a cu o eroare mai mic˘ a de 0, 001. acin˘ a pe intervalul [0, 1]. Se constat˘a c˘a R: Se constat˘a imediat c˘a ecuat¸ia are o r˘ad˘ 1 1 aplicat¸ia ϕ : [0, 1] → R, ϕ(x) = (1 + sin x), este o contract¸ie pe [0, 1], cu q = . 10 10 S¸irul aproximat¸iilor succesive este: x0 = 0, xn+1 = Estimarea erorii

1 (1 + sin xn ) , n = 0, 1, 2, . . . 10

1 9 |xn − ξ| < 10 10

’

1 10

“n

< 10−3 .

1 1 Este suficient s˘a lu˘am n = 2. Avem: x0 = 0, x1 = = 0, 1, x2 = (1 + sin 0, 1) = 10 10 0, 10998.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

31

a r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a ¸si s˘ a se a se arate c˘ a ecuat¸ia x5 + x3 − 1, 16 = 0 are o singur˘ 2.50 S˘ calculeze aceast˘ a r˘ ad˘ acin˘ a cu o eroare mai mic˘ a de 0, 001. a pe [a, b] ¸si a.ˆı. 0 < m ≤ f 0 (x) ≤ M , 2.51 Fie f : [a, b] → [−c, c] o funct¸ie derivabil˘ a ˆındeplineasc˘ a num˘ arul p ∈ (m, M ) pentru ca funct¸ia ∀x ∈ [a, b]. Ce condit¸ie trebuie s˘ 1 ϕ(x) = x − f (x), x ∈ [a, b], s˘ a fie o contract¸ie pe [a, b] ¸si deci ecuat¸ia ϕ(x) = 0 s˘ a aib˘ a p o singur˘ a solut¸ie pe [a, b]? R: Avem: d(ϕ(x), ϕ(y)) = |ϕ(x) − ϕ(y)| = |ϕ0 (ξ)| · |x − y| = |ϕ0 (ξ)| · d(x, y) ¸si pentru 1 ca ϕ s˘a fie contract¸ie este necesar s˘a existe q < 1 a.ˆı. |ϕ0 (ξ)| < q. Ins˘a ϕ0 (ξ) = 1 − f 0 (x) p m M 0 0 ≤ ϕ (ξ) ≤ 1 − < 1 (c˘aci p ∈ (m, M )). Este ¸si din 0 < m ≤ f (x) ≤ M rezult˘a 1 − p p › š M M M deci necesar ca −1 < 1 − , adic˘a p > . In concluzie, dac˘ a p ∈ (max m, , M ), p 2 2 ϕ este o contract¸ie pe [a, b]. Putem generaliza exercit¸iul precedent, presupunˆand p = p(x). Astfel, dac˘a alegem p(x) =

x − x0 , x ∈ [a, b], f (x) − f (x0 )

se obt¸ine medoda coardei, iar dac˘a alegem p(x) = f 0 (x) se ajunge la metoda lui Newton. 2.52 Ce condit¸ie trebuie s˘ a ˆındeplineasc˘ a funct¸ia f : [a, b] → R, de dou˘ a ori derivabil˘ a f (x) s˘ a fie o contract¸ie pe [a, b]? pe [a, b] pentru ca funct¸ia ϕ(x) = x − 0 f (x) R: Deoarece d(ϕ(x), ϕ(y)) = |ϕ(x) − ϕ(y)| = |ϕ0 (ξ)| · d(x, y), condit¸ia |ϕ0 (ξ)| ≤ q < 1 conduce la: |f (x) · f 00 (x)| ≤ q · f 02 (x), 0 < q < 1. √ a se calculeze aproximativ p a, a > 0 ¸si p = 2, 3, . . . 2.53 S˘ R: Lu˘am f (x) = xp − a. Atunci ϕ(x) = x −

ƒ 1‚ f (x) 1−p . Cum − x (p 1) + ax = f 0 (x) p

p−1 p−1 (1 − ax−p ) < , pentru x > 0, rezult˘a c˘a ϕ este o contract¸ie ¸si deci p p putem lua ƒ √ 1‚ p a ≈ xn+1 = (p − 1) xn + ax1−p . n p

ϕ0 (x) =

2.3

S ¸ iruri ˆın Rp

a se calculeze limitele urm˘ atoarelor ¸siruri din R3 : 2.54 S˘ !   “−2n ’ √  √ €√ 1 2n 1) xn = , 1+ , n n+1− n−1 . 3n − 1 n   1 2 √ n +2 n 2 2) xn =  2 , n , en  . n +1

32

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

2.55 In R4 se consider˘ a ¸sirul (xn ) definit prin relat¸ia de recurent¸˘ a: 6xn+3 = 11xn+2 − 6xn+1 + xn , ∀n ∈ N, cu x0 = (0, 0, 0, 0), x1 = (1, 9, 3, 6), x2 = (1, 9, 7, 8). S˘ a se calculeze a se determine xn ¸si s˘ limita ¸sirului. R: Se caut˘a xn = λn a, cu a ∈ R4 . Se obt¸ine penrtu λ ecuat¸ia caracteristic˘a 6λ3 − 1 1 1 1 11λ2 + 6λ − 1 = 0, cu r˘ad˘acinile: 1, , . Deci xn este de forma: xn = a + n b + n c. 2 3 ’ “ 2 3 1 9 27 Se obt¸ine limita x = , , ,9 . 2 2 2

2.4

Serii de numere reale

2.56 S˘ a se arate c˘ a seria ∞ X 1 1 1 1 + + ··· + + ··· = 1·2 2·3 n(n + 1) n(n + 1) n=1

este convergent˘ a ¸si s = 1. R: In adev˘ar, n

sn =

X 1 1 1 + + ··· + = 1·2 2·3 n(n + 1)

k=1

2.57 Seria 1+

’

1 1 − k k+1

“

=1−

1 → 1. n+1

∞ X 1 1 1 1 + + ··· + + ··· = 2 3 n n n=1

a a termenilor se nume¸ste seria armonic˘a, deoarece pentru n ≥ 2, an este media armonic˘ a se arate c˘ a seria este divergent˘ a ¸si are suma +∞. vecini an−1 ¸si an+1 . S˘ R: S¸irul (sn ) al sumelor part¸iale este strict cresc˘ator ¸si divergent, deoarece |s2n − sn | =

1 1 1 1 + + ··· + ≥ , n+1 n+2 2n 2

ceea ce arat˘a c˘a (sn ) nu este ¸sir fundamental. Deci lim sn = +∞. 2.58 S˘ a se arate c˘ a seria n−1

1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)

+ ··· =

∞ X

(−1)n−1

n=1

este divergent˘ a. R: Este o serie oscilant˘a deoarece ¸sirul (sn ) al sumelor part¸iale este ¸sirul oscilant: 1, 0, 1, 0, . . ..

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA 2.59 Seria 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 + · · · =

∞ X

n=1

33

q n−1 , q ∈ R

se nume¸ste seria geometric˘a deoarece ¸sirul (an ), an = q n−1 , este o progresie geometric˘ a a se studieze natura acestei serii dup˘ a valorile lui q. cu rat¸ia q. S˘ R: S¸irul sumelor part¸iale are termenul general  n  1−q , dac˘a q 6= 1, 2 n−1 sn = 1 + q + q + · · · + q = 1−q  n, dac˘ a q = 1.

Obt¸inem

lim sn =

n→∞

 

1 , dac˘a |q| < 1, 1−q  +∞, dac˘ a q ≥ 1.

Pentru q ≤ 1 ¸sirul (sn ) nu are limit˘a. Astfel, seria geometric˘a cu rat¸ia q este convergent˘ a 1 ¸si divergent˘ a pentru |q| ≥ 1. pentru |q| < 1 ¸si are suma 1−q 2.60 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriilor urm˘ atoare ¸si ˆın caz de convergent¸˘ a s˘ a se determine sumele lor: ∞ X √ €√  √ 1) n + α + 1 − 2 n + α + n + α − 1 , α > 0. n=1

2)

∞ X

1 , α ∈ Z− . (α + n)(α + n + 1) n=1

∞ ∞ X X 1 n , α > 1. 4) 3) . n 2 − 8n − 3 α 15n n=1 n=1

5)

∞ X

n=1

7)

ln

∞ X n+1 1 √ . 6) . n n n n=1

∞ X n · 2n 2n . 8) n. (n + 2)! [5 + (−1)n ] n=1 n=1 ∞ X

√ √ R:√ 1) Not˘ √am cu an = n + α − n + α − 1. Se observ˘a c˘a sn = an+1 − an . Se obt¸ine suma α − α + 1. 2) Folosind identitatea: 1 1 1 = − , (α + k)(α + k + 1) α+k α+k+1 se obt¸ine sn =

1 1 1 − . Seria este convergent˘ a ¸si are suma . α+1 α+n+1 α+1

34

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS 3) Pentru a evalua suma part¸ial˘ a de ordinul n plec˘ am de la identitatea: x x2 1 xn+1 − xαn xn + 2 + ··· + n = n · . α α α α x−α

Derivˆand ˆın raport cu x, avem: 2x nxn−1 nxn+1 − α(n + 1)xn + αn+1 1 + 2 + ··· + = . 2 α α αn αn (x − α) De aici, pentru x = 1, obt¸inem sn =

n − α(n + 1) + αn+1 2

αn (1 − α)

.

α . (1 − α)2 4) Termenul general al ¸sirului sumelor part¸iale se descompune ˆın fract¸ii simple astfel: ’ “ 1 1 1 1 = − . 16k 2 − 8k − 3 4 4k − 3 4k + 1 ’ “ 1 1 1− . Seria este convergent˘ a ¸si are Folosind aceast˘a identitate se obt¸ine sn = 4 4n + 1 1 suma . 4 5) S¸irul sumelor part¸iale al acestei serii Seria este convergent˘a ¸si are suma

sn =

n X

ln

k=1

k+1 = ln(n + 1) k

are limita ∞, deci seria este divergent˘ a. 1 = 1, seria este divergent˘ a. 6) Deoarece lim √ n→∞ n n 2n 7) Fie bn = . Atunci termenul general al seriei se scrie an = n · bn , iar (n + 2)! (n + 2)bn = 2bn−1 . Deci sn =

n X

ak =

k=1

Dar bn → 0 deoarece seria gent˘a ¸si are suma 1. 8) Se observ˘a c˘a: ∞ X

2n n = [5 + (−1)n ] n=1

n X

k=1

kbk = 2(b0 − bn ) = 1 − 2bn .

2n este convergent˘ a. Rezult˘a c˘a seria este convern=1 (n + 2)! ∞ P

’

“ ’ “ 1 1 1 1 1 1 19 · · · = + 3 + 5 + ··· + + + + . 2 4 6 2 2 2 3 3 3 24

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

35

a se arate c˘ a urm˘ atoarele serii sunt convergente ¸si s˘ a se determine sumele lor: 2.61 S˘ 1)

∞ ∞ ∞ X X X 2n + (−1)n+1 1 (−1)n+1 . . . 2) 3) n n 2 3 5 4n − 1 n=1 n=1 n=1

1 1 5 R: 1) Serie geometric˘a cu rat¸ia ¸si suma . 2) Serie geometric˘a cu suma . 3) Serie 3 4 6 1 telescopic˘a cu suma . 2 2.62 S˘ a se calculeze sumele urm˘ atoarelor serii, ¸stiind c˘ a termenii ¸sirului (an ) formeaz˘ a o progresie aritmetic˘ a cu a1 > 0 ¸si rat¸ia r > 0: 1)

∞ X

∞ ∞ X X 1 an + an+1 1 . . 3) . 2) a a a a a a2n a2n+1 n=1 n n+1 n=1 n=1 n n+1 n+2

R: 1) Pentru orice n ∈ N, avem: 1 1 = an an+1 r

’

1 1 − an an+1

“

.

Se obt¸ine o serie telescopic˘a. 2) ¸si 3) Analog, avem: 1 an an+1 an+2

=

an + an+1 2 a2n an+1

’

1 1 − an an+1 an+1 an+2 ’ “ 1 1 1 = − 2 . r a2n an+1

1 2r

“

,

2.63 S˘ a se arate c˘ a: 1)

∞ X

n=1

3n−1 sin3

∞ X 1 1 x = (x − sin 2) 2n tg 2n x = 2 ctg 2x − . x) . 3n 4 x n=1

x R: 1) Multiplic˘am identitatea sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ cu 3n−1 ¸si lu˘am θ = n . 3 Obt¸inem: x 1 n x x ‘ 3n−1 sin3 n = 3 sin n − 3n−1 sin n−1 . 3 4 3 3 Punem an =

x 3n−1 sin n−1 . Atunci sn = an+1 − a1 ¸si 4 3 lim sn =

n→∞

1 (x − sin x) . 4

2) Multiplic˘am identitatea tg θ = ctg θ − 2 ctg 2θ cu 2n ¸si lu˘am θ = 2n x. Obt¸inem: 2n tg 2n x = 2n ctg 2n x − 2n+1 ctg 2n+1 x.

36

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

2.64 S˘ a se calculeze suma seriei ∞ X

arctg

n=1

1 . n2 + n + 1

R: Din x−y 1 arctg x − arctg y = arctg ¸si 2 = 1 + xy n +n+1

rezult˘a c˘a an = arctg

1 1 − n n+1 , 1 1 1+ · n n+1

1 1 1 π − arctg ¸si deci sn = arctg 1 − arctg → . n n+1 n+1 4

2.65 S˘ a se arate c˘ a:

∞ ∞ X X 1 = 1. np p=2 n=2

R: Seria

1 1 1 + p + ··· + p + ··· 2p 3 n este convergent˘a pentru orice p ≥ 2, deci ∞ X ∞ X ∞ ∞ X X 1 1 = . p n np p=2 n=2 n=2 p=2

Dar

∞ X 1 1 = 2 p n n p=2

¸si

∞ ’ X

n=2

1 1 1− n

=

1 1 1 = − n(n − 1) n−1 n

“

= 1 − lim

1 1 − n−1 n

n→∞

1 = 1. n

2.66 S˘ a se arate c˘ a urm˘ atoarele serii sunt divergente: 1)

∞ ∞ X X √ n 2. 2)

n=1

4)

∞ X n 2n + 3n . 3) . n+1 2n+1 + 3n+1 n=1 n=1

∞ X 1 1 √ √ √ . √ . 5) n+1− n 2n + 1 − 2n − 1 n=1 n=1 ∞ X

a se studieze natura seriei: 2.67 S˘ ∞ X

an−1 , a, b ∈ R∗+ . n−1 b)(1 + an b) (1 + a n=1

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

37

R: Deoarece termenul general al seriei se poate scrie, pentru a 6= 1: an =

1 1 an−1 − an (1 + an−1 b) − (1 + an b) = , n n−1 b)(1 + a b) 1 − a (1 + a b(1 − a) (1 + an−1 b)(1 + an b)

adic˘a 1 an = b(1 − a) Deci

2.5

’

1 1 − 1 + an b 1 + an−1 b

“

1 ¸si sn = b(1 − a)

’

1 1 − 1 + an b 1 + b

“

.

 1  , a ∈ (1, ∞),   ∞  + 1) b(a − 1)(b X an−1 ∞, a = 1, = (1 + an−1 b)(1 + an b)   1 n=1   , a ∈ (0, 1). (1 − a)(1 + b)

Serii cu termeni pozitivi

P an este convergent˘ a 2.68 Fie (an ) un ¸sir de numere pozitive. S˘ a se arate c˘ a seria P an d.d. seria este convergent˘ a. 1 + an P P an an an este convergent˘ R: Deoarece ≤ an , dac˘a seria a atunci ¸si seria 1 + an 1 + an este convergent˘a. P an an este convergent˘ a, atunci → 0, deci an → 0. Deci pentru Dac˘a seria 1 + an 1 + an P an 1 . Deci seria an este convergent˘ a. n suficient de mare, 0 ≤ an ≤ 1. Atunci an ≤ 2 1 + an 2.69 Seria

∞ 1 P a seria lui Riemann sau seria armonic˘a generalizat˘a , α ∈ R, numit˘ α n=1 n

este: - convergent˘ a pentru α > 1; - divergent˘ a pentru α ≤ 1.

a deoarece ¸sirul termenilor ei nu R: Intr-adev˘ar, dac˘a α ≤ 0, seria este divergent˘ cunverge la zero. 1 Dac˘a α > 0, ¸srul cu termenul general an = α este descresc˘ator ¸si deci seria lui n Riemann are aceea¸si natur˘a cu seria “n ∞ ’ ∞ X X 1 1 n , 2 · n α = (2 ) 2α−1 n=1 n=1 a dac˘a q = 21−α < 1, adic˘a care este o serie geometric˘a cu rat¸ia q = 21−α > 0, convergent˘ 1−α α > 1, ¸si divergent˘a dac˘a q = 2 ≥ 1, adic˘a α ≤ 1. ’ “n n+1 a se arate c˘ a seria cu termenul general an = 2.70 S˘ este convergent˘ a. 2n − 1

38

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: Avem: lim

n→∞

√ n

an = lim

2.71 S˘ a se arate c˘ a seria R: Intr-adev˘ar:

s’ n

n→∞

n+1 2n − 1

“n

= lim

n→∞

1 n+1 = < 1. 2n − 1 2

∞ 1 P este convergent˘ a. n=0 n!

n! 1 1 an+1 = = ≤ < 1, n ≥ 1. an (n + 1)! n+1 2 Suma acestei serii este e = 2, 7182818 . . . 2n este convergent˘ a ¸si ¸sa se precizeze num˘ arul de n=0 (n + 1)! termeni necesar pentru a obt¸ine suma seriei cu o eroare mai mic˘ a de 0, 001. 2.72 S˘ a se arate c˘ a seria

∞ P

R: Aplic˘am criteriul raportului cu limit˘a lim

n→∞

an+1 2 = lim = 0 < 1, n→∞ n + 2 an

an+1 2 1 deci seria este convergent˘a. Deoarece = ≤ , pentru n ≥ 4, restul de ordinul an n+2 3 n ’ “ ∞ X 1 1 1 1 2n ak ≤ an + 2 + · · · = · an = · < 10−3 , rn = s − s n = 3 3 2 2 (n + 1)! k=n+1

pentru n ≥ 9. a se stabileasc˘ a natura seriei: 2.73 S˘ 1 1 1 √ + √ + ··· + √ + ··· 3 n ln 2 ln 3 ln n √ P 1 √ 1 1 √ R: Deoarece n ln n < n n, pentru n ≥ 2, avem c˘a √ > √ . Dar seria n n n n n ln n este divergent˘a. 2.74 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriilor: √ ∞ ∞ ∞ X X X 7n 1 1 √ 1) . 2) . 3) , a > −1. n 2 + 3n + 5 n+n n a n n n=1 n=1 n=1 R: 1) Seria este convergent˘a. 2) Se aplic˘a criteriul comparat¸iei cu limit˘a. Se compar˘a P1 1 . Deoarece lim √ = 1, seria este divergent˘ a. 3) Pentru a > 1, cum cu seria n n n 1 1 < n , seria este convergent˘ a. Pentru a = 1 seria dat˘a este seria armonic˘a. an + n a Pentru |a| < 1 se aplic˘a criteriul comparat¸iei cu limit˘a. Se compar˘a cu seria armonic˘a. n Deoarece lim n = 1, seria este divergent˘ a. a +n

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

39

a se stabileasc˘ a natura seriilor: 2.75 S˘ 1)

∞ X

∞ X 1 an √ 2) , a > 0. . n n (1 + a + +a2 · · · + an ) n! n=1 n=1

R: 1) Pentru a ≥ 1, 1 + a + +a2 · · · + an ≥ n + 1 > n. Rezult˘a c˘a 1 1 < 2 2 n n (1 + a + +a · · · + a ) n ¸si deci seria este convergent˘a. Pentru 0 < a < 1 se aplic˘a criteriul comparat¸iei cu limit˘a. Se compar˘a cu seria armonic˘a. Deoarece lim

n→∞

1−a 1 = lim = 1 − a, n→∞ 1 − an+1 1 + a + +a2 · · · + an

seria dat˘a este divergent˘a. √ an 2) Deoarece n n! ≥ 1, avem c˘a √ ≤ an . De aici, pentru a < 1, deducem c˘a seria n n! este convergent˘a. √ √ P an an an ≥ Din n n! ≤ n nn = n, obt¸inem c˘a √ . Dar, pentru a ≥ 1, seria este n n n n! divergent˘a. Rezult˘a c˘a seria dat˘a este divergent˘ a. 2.76 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriilor: 1)

∞ X

∞ ∞ X X 1 n 1 . 2) . 3) arctg ’ n · 2n n n=1 n=1 n=1

n 1 1+ n

“n2 .

R: Se aplic˘a criteriul r˘ad˘acinii cu limit˘a. Seriile sunt convergente. a se stabileasc˘ a natura seriilor: 2.77 S˘ ’ “n “n ∞ ’ ∞ X X 1 n2 + n + 1 n 1) a 1+ a . 2) . n2 n n=1 n=1 R: Se aplic˘a criteriul r˘ad˘acinii cu limit˘a. Pentru a < 1 seriile sunt convergente, pentru a > 1, seriile sunt divergente. Pentru a = 1, ¸sirurile termenilor au limita e, deci seriile sunt divergente. 2.78 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriei: ∞ X

n=1

a

n

’

n+1 n

“n2

, a > 0.

40

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

1 R: Se aplic˘a criteriul r˘ad˘acinii cu limit˘a. Pentru a < seria este convergent˘ a, pentru e 1 1 a > , seria este divergent˘a. Pentru a = , seria devine: e e ’ “n2 ∞ X 1 n+1 . en n n=1 Din e <

’

1 1+ n

“n+1

, obt¸inem: 1 en

de unde 1 lim n n→∞ e

’

’

n+1 n

n+1 n

“n2

Rezult˘a c˘a seria dat˘a este divergent˘ a.

“n2

>’

1 1 1+ n

≥ lim ’ n→∞

“n ,

1 1+

1 n

“n =

1 > 0. e

a se stabileasc˘ a natura seriilor: 2.79 S˘ 1)

∞ ∞ X X π n2 n2 arcsin n . . 2) n 2 2 n=1 n=1

3)

∞ ∞ X X n! π . 4) n tg n+1 . n n 2 n=1 n=1

R: Se aplic˘a criteriul raportului cu limit˘a. Seriile sunt convergente. 2.80 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriilor: 1)

∞ ∞ X X 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) 2 · 7 · 12 · · · · · (5n − 3) . 2) . 5 · 9 · 13 · · · · · (4n + 1) 2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 1) n=1 n=1

R: Se aplic˘a criteriul raportului cu limit˘a. 1) Serie divergent˘ a. 2) Serie convergent˘ a. 2.81 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriilor: 1)

∞ ∞ X X an √ . 2) aln n , a > 0. n! n=1 n=1

R: 1) Se aplic˘a criteriul raportului cu limit˘a. Seria este convergent˘ a. 2) Criteriul raportului d˘a dubiu. Aplic˘am criteriul lui Raabe-Duhamel. Se obt¸ine λ = − ln a. Seria 1 1 1 a pentru a > . Pentru a = se obt¸ine seria este convergent˘a pentru a < ¸si divergent˘ e e e armonic˘a, deci divergent˘a.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

41

a se studieze natura seriei cu termenul general an definit astfel: a1 ∈ (0, 1), 2.82 S˘ an+1 = 2an − 1, pentru n ≥ 1. R: Fie f : R → R, definit˘a prin f (x) = 2x − x − 1. Deoarece f 0 (x) = 2x · ln 2 − 1 ¸si f (x) = 0 pentru x0 = − ln(ln 2), avem tabloul de variat¸ie: 0

x f (x) f (x) 0

0 − 0

− &

− ln(ln 2) 0 m

1 + 0

+ %

Deci f (x) < 0 pentru orice x ∈ (0, 1), de unde 2x < x + 1, ∀x ∈ (0, 1). Ar˘at˘am, prin induct¸ie, c˘a an ∈ (0, 1). Avem c˘a a1 ∈ (0, 1). Presupunem c˘a an ∈ (0, 1). Dar an+1 = 2an − 1 > 20 − 1 = 0 ¸si an+1 = 2an − 1 < 21 − 1 = 1. Apoi: an+1 − an = 2an − an − 1 < 0, deci este un ¸sir descresc˘ator ¸si m˘arginit. Fie ` = lim an . n→∞

Rezult˘a c˘a 2` − ` − 1 = 0, cu r˘ad˘acinile 0 ¸si 1. Deoarece (an ) este descresc˘ator, urmeaz˘a c˘ a ` = 0. Putem deci scrie: 2an − 1 2x − 1 an+1 = lim = lim = ln 2 < 1 n→∞ an n→∞ x→0 an x lim

¸si conform criteriului raportului seria este convergent˘ a. a se stabileasc˘ a natura seriei: 2.83 S˘ •2 ” ∞ X α(α − 1) · · · (α − n + 1) , α ∈ R \ Z− . (2n + 1) · (α + 1)(α + 2) · · · (α + n + 1) n=1 R: Criteriul raportului d˘a dubiu. Aplic˘am criteriul lui Raabe-Duhamel. Deoarece 1 1 λ = 4a + 3, dac˘a α > − seria este convergent˘ a, dac˘a α < − seria este divergent˘ a, 2 2 1 dac˘a α = − seria devine: 2 ∞ X 1 4· 2n +1 n=1 care este divergent˘a.

a se stabileasc˘ a natura seriei: 2.84 S˘ ∞ 2 X 12 · 52 · 92 · · · · · (4n − 3)

2.

n=1

32 · 72 · 112 · · · · · (4n − 1)

R: Criteriul raportului ¸si criteriul lui Raabe-Duhamel dau dubiu. Aplic˘am criteriul lui Bertrand: “ • ” ’ ln n an − 1 − 1 · ln n = − lim = 0 < 1, lim n n→∞ 16n2 + 8n + 1 n→∞ an+1 deci seria este divergent˘a.

42

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

2.85 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriilor: 1)

∞ X

∞ X (2n)! 2 · 4 · 6 · · · · · (2n) 1 . 2) · . n 2 4 · (n!) 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) n + 2 n=1 n=1

“n ∞ ’ 2 X (n + 1) αn + β 3) lg . 4) , α, β, γ, δ > 0. n (n + 2) γn + δ n=1 n=1 ∞ X

∞ X 1 1 . 6) . 5) n ln (ln n) n · ln n (ln n) n=1 n=2 ∞ X

2.86 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriilor: 1)

∞ X

n! · np , p, q ∈ N. (q + 1) (q + 2) · · · (q + n) n=1

2)

∞ X

n! , α > 0. (α · · · (α + n − 1) α + 1) n=1 3)

4)

∞ X cos (αn) · ln n √ , α ∈ R. n n=1

∞ X (α + 1) (2α + 1) · · · (nα + 1) , α, β > 0. (β + 1) (2β + 1) · · · (nβ + 1) n=1

2.87 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriei: ∞ X 1 a(a + 1) · · · (a + n − 1)b(b + 1) · · · (b + n − 1) · , n! c(c + 1) · · · (c + n − 1) n=1

a seria hipergeometric˘a. cu a, b ∈ R, c ∈ R \ Z, numit˘ R: Incepˆand de la un rang N care depinde de a, b ¸si c, termenii seriei au acela¸si semn ¸si deci putem presupune c˘a seria este cu termeni pozitivi. Avem: an 1 + c − a − b θn =1+ + 2, an+1 n n cu θn =

[c − ab − (a + b) (1 + c − a − b)] n3 − ab (1 + c − a − b) n2 . n(n + a)(n + b)

S¸irul (θn ) este convergent, deci m˘arginit. Conform criteriului lui Gauss, pentru c > a + b seria este convergent˘a, iar pentru c ≤ a + b seria este divergent˘ a. 2.88 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriei: ∞ X α (α + 1) · · · (α + n − 1) n · x , α, β, x > 0. β (β + 1) · · · (β + n − 1) n=1

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

43

R: Se aplic˘a criteriul raportului cu limit˘a. Pentru x ∈ (0, 1) seria este convergent˘ a, a. Pentru x = 1 seria este convergent˘ pentru x ∈ (1, ∞) seria este divergent˘ a dac˘a b > a + 1 ¸si divergent˘a dac˘a b ≤ a + 1. 2.89 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriei: ∞ X

n! · bn , (b + a1 ) (2b + a2 ) · · · (nb + an ) n=1

unde b > 0, iar (an ) este un ¸sir de numere reale pozitive, convergent c˘ atre a cu a 6= b.

2.6

Serii cu termeni oarecare

P 2 P an 2.90 S˘ este absolut a, atunci seria a se arate c˘ a dac˘ a an este o serie convergent˘ n convergent˘ a. ” •2 ’ “ P 2 P 1 1 |an | 1 1 2 R: Din |an | − an + 2 . Deoarece ≥ 0 deducem c˘a ≤ an ¸si n n 2 n n2 P |an | este sunt convergente, conform primului criteriu de comparat¸ie rezult˘a c˘a seria n convergent˘a. P sin nx este convergent˘ a pentru α > 0. 2.91 S˘ a se arate c˘ a seria nα 1 R: Pentru α > 0, ¸sirul αn = α este monoton descresc˘ator la zero, iar n n X (n + 1)x nx 1 , sn = sin kx = x sin 2 sin 2 sin k=1 2 pentru x 6= 2kπ, cu k num˘ar ˆıntreg. De unde, |sn | ≤

1

x , | sin | 2

adic˘a (sn ) este m˘arginit. 2.92 S˘ a se studieze natura seriei 2nπ ∞ cos X 3 , x ∈ R. √ 2+n x n=1

1 R: Pentru ∀x ∈ R, ¸sirul αn = √ este monoton descresc˘ator la zero, iar 2 x +n sn =

n X

k=1

cos

2nπ 1 (n + 1)π nπ = , π sin 3 cos 3 3 sin 3

2 a. cu |sn | ≤ √ , deci m˘arginit. Seria este convergent˘ 3

44

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

2.93 S˘ a se arate c˘ a seria armonic˘ a alternat˘ a 1−

1 1 1 1 1 + − + ··· + − + ··· 2 3 4 2n − 1 2n

este convergent˘ a ¸si s˘ a se determine suma sa. 1 R: S¸irul ( ) este monoton descresc˘ator la zero. Dup˘a criteriul lui Leibniz seria este n convergent˘a. Pentru calculul sumei folosim identitatea lui Catalan-Botez: 1 1 1 1 1 1 1 1 − = + + ··· + , + − + ··· + 2 3 4 2n − 1 2n n+1 n+2 2n a ‘ 1 1 1 n care, dac˘a not˘am an = 1 + + + · · · + , revine la: a2n − 2 = a2n − an . Rezult˘a 2 3 n 2 c˘a:   Z 1 1 1 1 1  dx lim sn =  + + ··· + = = ln 2. n 1 2 n→∞ n 1 +x 0 1+ 1+ 1+ n n n 1−

a se arate c˘ a seria armonic˘ a generalizat˘ a (sau seria lui Riemann) alternat˘ a 2.94 S˘ ∞ X

(−1)n+1

n=1

1 nα

ˆın care 0 < α ≤ 1 este simplu convergent˘ a. 1 R: S¸irul ( α ) cu α > 0 este monoton descresc˘ator la zero. Dup˘a criteriul lui Leibniz n a. In concluzie, pentru seria este convergent˘a. Pentru α > 1 seria este absolut convergent˘ 0 < α ≤ 1 seria lui Riemann alternat˘a este simplu convergent˘ a. 2.95 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriilor: 1)

∞ X

(−1)n−1 sin

n=1

∞ X 1 1 . 2) (−1)n−1 arctg . n n n=1

R: Serii alternate convergente. 2.96 S˘ a se stabileasc˘ a natura seriilor: 1)

∞ ‘  p X cos nα , α ∈ R. sin π n2 + 1 . 2) n2 n=1 n=1 ∞ X

ƒ € √ ‚€ √   R: 1) an = sin π n2 + 1 − n + nπ = (−1)n sin π n2 + 1 − n ¸si se aplic˘a criteriul lui Leibniz. |cos nα| 1 2) Deoarece < 2 , seria este absolut convergent˘ a. n2 n

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

45

a se stabileasc˘ a natura seriei: 2.97 S˘ “ ∞ ’ X 1 1 sin nθ 1 + + ··· + · . 2 n n n=1 2.98 S˘ a se studieze convergent¸a absolut˘ a ¸si semiconvergent¸a seriei: ∞ X

(−1)n+1

n=1

2n sin2n x . n+1

R: Pentru studiul absolutei convergent¸e folosim criteriul r˘ad˘ acinii. Avem: lim

n→∞

p n

2 sin2 x |an | = lim √ = 2 sin2 x. n→∞ n n + 1

Pentru 2 sin2 x < 1 seria este absolut convergent˘ a ¸si deci convergent˘ a. Pentru 2 sin2 x = 1 obt¸inem seria armonic˘a alternat˘a care este simplu convergent˘ a. Pentru 2 sin2 x > 1, termenul general al seriei nu tinde la 0, deci seria este divergent˘ a. a se efectueze produsul ˆın sens Cauchy al seriilor absolut convergente 2.99 S˘ ∞ ∞ X X 1 1 ¸si (−1)n n! n! n=0 n=0

¸si s˘ a se deduc˘ a de aici suma ultimei serii. ∞ P

R: Seria produs

n=0

cn are termenul general cn = a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an−1 b1 + an b0 ,

adic˘a c0 = 1, iar, pentru n ≥ 1: cn

(−1)n + n! ” (−1)n 1− n!

= 1· =

1 (−1)n−1 1 1 1 (−1)n−2 1 + · + ··· − · + · ·1= 1! (n − 1)! 2! (n − 2)! (n − 1)! 1! n! • n (n − 1) (−1)n n n n + + · · · + (−1)n−1 + (−1)n = (1 − 1) = 0. 1! 2! 1! n!

Deci seria produl are suma egal˘a cu 1. Cum rezult˘a c˘a

∞ P

n=0

(−1)n

1 1 = . n! e

∞ 1 P = e, dup˘a teorema lui Mertens, n=0 n!

2.100 S˘ a se efectueze produsul ˆın sens Cauchy al seriilor 1−

∞ ’ “n X 3

n=1

2

¸si 1 +

∞ ’ “n−1 ’ X 3

n=1

2

2n +

1 2n+1

“

.

46

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

R: Ambele serii sunt divergente deoarece ternenii lor generali nu tind la zero. Seria ∞ P produs cn are termenul general n=0

cn

’ “n−2 ’ ’ “n ’ “n−1 ’ “ “ 1 3 1 3 3 3 n n−1 + n − ··· − ·1= = 1· 2 + n+1 − · 2 2 2 2 2 2 2 ’ “n−1 ” ’ “ • ’ “n €  3 3 1 3 1 1 = + · · · + − = . 2n − 2n−1 + · · · + 2 + n+1 2 2 2n 22 2 4

3 Se observ˘a c˘a seria produs este convergent˘ a, fiind seria geometric˘a cu rat¸ia q = < 1. 4 Rezult˘a de aici c˘a ipotezele teoremei lui Mertens sunt suficiente dar nu ¸si necesare.

Capitolul 3

Limite de funct¸ii 3.1

Limita unei funct¸ii reale de o variabil˘ a real˘ a

3.1 S˘ a se calculeze: 2

(x + 1) 1) lim . 2) lim x→∞ x→∞ x2 + 1

√ 3 x2 + 1 . x+1 3

(x + h) − x3 x2 − 7x + 10 . 4) lim . 2 x→5 h→0 x − 25 h √ √ 3− 5+x 1+x−1 √ . 6) lim 5) lim √ . x→4 1 − x→0 3 1 + x − 1 5−x

3) lim

a se calculeze: 3.2 S˘

sin 5x cos x − cos a . 2) lim . x→a sin 2x x−a ’ “x tg πx x−1 3) lim . 4) lim . x→∞ x→−2 x + 2 x+1 1) lim

x→0

1 1 5) lim (1 + sin x) x . 6) lim (cos x) x . x→0

x→0

a prin 3.3 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f : R\ {0} → R, definit˘ f (x) =

1 1 cos x x

nu tinde c˘ atre infinit cˆ and x → 0. 1 → 0, f (xn ) = 0 ¸si deci tinde la 0. R: Pentru ¸sirul xn = π + nπ 2 a pentru 3.4 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f : R → R, definit˘ a prin f (x) = sin x, nu are limit˘ x → ∞. 47

48

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

3.5 S˘ a se determine α ∈ R a.ˆı. funct¸ia f : (0, 2] → R, definit˘ a prin ( p α2 − 2αx ln (ex) + x2 , x ∈ (0, 1), x f (x) = x ∈ [1, 2], α+ , e s˘ a aib˘ a limit˘ a ˆın punctul x = 1. a se arate c˘ a: 3.6 S˘ 1) lim

x→∞

ln x xk = 0. 2) lim = 0, k ∈ N∗ . x→∞ xk ex

3.7 S˘ a se cerceteze dac˘ a funct¸ia f : R → R, definit˘ a prin f (x) = [x], are limit˘ a ˆın punctul x = 2. 3.8 S˘ a se calculeze: 1) lim

x→∞

’

x2 − 2x + 3 x2 − 3x + 2

“x+1

3 ln (1 + arcsin 2x) x . 2) lim 1 + 2 sin x 2 . 3) lim . x→0 x→0 sin 3x €

2



√ √ esin 2x − esin x x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 4) lim . 5) lim . x→0 sin 2x − sin x x→3 x2 − 4x + 3 √ √ √ √ 3 x3 − 5x + 3 − x2 + 3x − 9 x + 4 − 3 x + 22 √ 6) lim . 7) lim . 4 x→2 x→5 x2 + x − 6 x + 11 − 2 √ √ 3 1 + x2 − 4 1 − 2x arcsin x − arctg x 8) lim . 9) lim . 2 x→0 x→0 x+x x3  π ‘2 “ ’ “ ’ arcsin x − 2 . 11) lim 1 − ctg2 x . 12) lim x − x2 ln x + 1 . 10) lim x→∞ x→0 x2 x%1 1 − x2 x 13) lim

x→0

√ √ 1 cos 2x · 3 cos 3x x . 14) lim [1 + ln (1 + x) + · · · + ln (1 + nx)] . x→0 x2 ’ α1 x “1 αn x 2x · · · + p p1 + pα + x n 2 , pi > 0, αi ∈ R. 15) lim x→0 n

1 − cos x ·

16) lim

x→0

’

asin x + btg x 2

“

1 x

, cu a, b > 0.

2 1 7 112 1 1 R: 1) e. 2) e6 . 3) . 4) 1. 5) − . 6) − . 7) . 8) . 9) . 10) 1. 3 3 30 27 2 2 n(n+1) 2 1 1 11) . 12) Se ia x = , y → 0, limita este . 13) 3. 14) e 2 . 3p y 2 √ n ab. 15) n p1α1 · p2α2 · · · · · pα n . 16)

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

49

a se determine parametrul real α a.ˆı. 3.9 S˘ p ‘ p 3 lim x2 + x + 1 + x3 + x2 + x + 1 − ax , x→∞

s˘ a fie finit˘ a ¸si nenul˘ a.

R: Adun˘am ¸si sc˘adem x. Se obt¸ine a = 2 ¸si limita egal˘a cu

5 . 6

3.10 S˘ a se determine a, b, c ∈ R a.ˆı. ‘ p 5x4 + 7x3 − 8x2 − 4x − ax2 − bx − c = 0. lim x→∞

R: a =

√ 7 209 5, b = √ , c = − √ . 2 5 40 5

a se calculeze: 3.11 S˘ cos (xex ) − cos (xe−x ) 1 − cos x · cos 2x · · · · · cos nx . 2) lim , n ∈ N∗ . x→0 x→0 x3 x2

1) lim

1 1 x  (1 + x) x  sin xn − sinn x tg xn − lnn (1 + x)  . , n ≥ . 5) lim  3) lim 2. 4) lim  n+2 n+1 x→0 x→0 x→0  x x e 

α+β β−α R: 1) Se ¸tine seama c˘a cos α − cos β = 2 sin sin ¸si se obt¸ine limita 2. 2) 2 2 Not˘am 1 − cos x · cos 2x · · · · · cos nx . an = lim x→0 x2 1 n2 n (n + 1) (2n + 1) Avem c˘a a1 = ¸si an = an−1 + . Se obt¸ine an = . 3) Funct¸ia se 2 2 12 mai scrie sin xn − sinn x sin xn − xn xn − sinn x = + . xn+2 xn+2 xn+2 n Se obt¸ine limita . 4) Funct¸ia se mai scrie 6 tg xn − lnn (1 + x) tg xn − xn xn − lnn (1 + x) = + . n+1 n+1 x x xn+1 Se obt¸ine limita

n 1 . 5) √ . 2 e

3.12 S˘ a se calculeze: 1) lim π x→ 4

sin x ·

 1  √ 1 √ 3 cos x − cos x · 3 sin x . 2) lim x2 e x − e x + 1  . x→∞ ln (tg x − cos 2x)

50

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: 1)

√ 3

2 . 2) Putem scrie 6 1  1 x2 e x − e x + 1  = 

3.2

1 1 x2 e x (x + 1) − 1 . · ex + 1 · 1 x (x + 1) x (x + 1)

Limita unei funct¸ii de o variabil˘ a vectorial˘ a

3.13 S˘ a se g˘ aseasc˘ a ¸si s˘ a se reprezinte grafic mult¸imile de definit¸ie ale urm˘ atoarelor funct¸ii de dou˘ a variabile: q p 2 1) f (x, y) = 1 − x2 − y 2 . 2) f (x, y) = 1 + − (x − y) . 3) f (x, y) = ln (x + y) . 4) f (x, y) = x + arccos y. p p y 5) f (x, y) = 1 − x2 + 1 − y 2 . 6) f (x, y) = arcsin . x p  € 2 7) f (x, y) = y sin x. 8) f (x, y) = ln x + y .

9) f (x, y) = arctg 11) f (x, y) =

x−y 1 . 10) f (x, y) = p √ . 2 2 1+x +y y− x

p 1 1 + . 12) f (x, y) = sin (x2 + y 2 ). x−y y

3.14 S˘ a se g˘ aseasc˘ a mult¸imile de definit¸ie ale urm˘ atoarelor funct¸ii de trei variabile: 1) f (x, y, z) =

√

x+

√

y+

√

z. 2) f (x, y, z) = arcsin x + arcsin y + arcsin z. z

3) f (x, y, z) = ln (xyz) . 4) f (x, y, z) = (xy) . 5) f (x, y, z) = z xy . p  € 6) f (x, y, z) = 9 − x2 − y 2 − z 2 . 7) f (x, y, z) = ln −x2 − y 2 + z 2 − 1 .

3.15 Se d˘ a funct¸ia f : E → R, E ⊂ R2 . S˘ a se arate c˘ a: lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = `

d.d. pentru orice ε > 0 exist˘ a un δ (ε) > 0, a.ˆı. pentru orice (x, y) ∈ E pentru care |x − x0 | < δ (ε) , |y − y0 | < δ (ε) s˘ a avem |f (x, y) − `| < ε. R: Afirmat¸ia rezult˘a din dubla inegalitate: max (|x − x0 | , |y − y0 |) ≤ kx − yk ≤ (|x − x0 | + |y − y0 |) .

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

51

a se demonstreze c˘ a: 3.16 Folosind definit¸ia, s˘ 1)

lim

(x,y)→(2,4)

(2x + 3y) = 16. 2) 4)

lim

(x,y)→(2,2)

lim

(x,y)→(2,−3)

x = 1. 5) y

(4x + 2y) = 2. 3)

lim

(x,y,z)→(−1,2,0)

lim

(x,y)→(5,∞)

xy = 1. y+1

(2x + 3y − 2z) = 4.

R: 1) Vom ar˘ata c˘a pentru orice ε > 0 exist˘a un δ (ε) > 0, a.ˆı. pentru orice (x, y) ∈ R2 pentru care |x − 2| < δ (ε) , |y − 4| < δ (ε) s˘a avem |(2x + 3y) − 16| < ε. Intr-adev˘ar, |(2x + 3y) − 16| = |2 (x − 2) + 3 (y − 4)| ≤ 2 |x − 2| + 3 |y − 3| . Fie ε > 0. Lu˘am δ (ε) =

ε . Atunci pentru |x − 2| < δ (ε) ¸si |y − 4| < δ (ε) 6 ε ε 5ε |(2x + 2y) − 16| < 2 + 3 = < ε. 6 6 6

2) Este suficient s˘a lu˘am δ (ε) =

ε ε . 3) δ (ε) = . 7 7

a se arate c˘ a funct¸ia 3.17 S˘ f (x, y) =

x+y , x−y

6 y, nu are limit˘ a ˆın origine. definit˘ a pentru x =

R:’Vom ar˘ “ ata c˘a pentru ¸siruri diferite convergente la 0, obt¸inem limite diferite. Fie 1 2 xn = , . Observ˘am c˘a punctele xn sunt situate pe dreapta y = 2x ¸si lim f (xn ) = n n ’ “ 1 1 0 −3. Fie apoi xn = ,− . Punctele x0n sunt situate pe dreapta y = −x ¸si lim f (x0n ) = n n 0. 3.18 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f (x, y) =

y 2 + 2x , y 2 − 2x

a ˆın origine. 6 2x, nu are limit˘ definit˘ a pentru y 2 =

R: Vom’ ar˘ata c˘ “a pentru ¸siruri diferite convergente la 0, obt¸inem limite diferite. 1 1 Fie xn = , √ . Observ˘am c˘a punctele xn sunt situate pe parabola y 2 = x ¸si n n ’ “ 1 2 0 √ . Punctele xn0 sunt situate pe parabola lim f (xn ) = −3. Fie apoi xn = , n n y 2 = 4x ¸si lim f (xn0 ) = 3.

52

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

3.19 S˘ a se demonstreze c˘ a x2 + y 2 = 0. (x,y)→(0,0) |x| + |y| lim

R: Se ¸tine seama de inegalit˘a¸tile: 0<

x2 + y 2 x2 + y 2 + 2 |x| |y| < < |x| + |y| . |x| + |y| |x| + |y|

3.20 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia

x2 y , + y2 6 0 ¸si y 6= 0, are limitele iterate ˆın origine egale cu zero, ˆıns˘ definit˘ a pentru x = a nu are limit˘ a ˆın origine. f (x, y) =

x4

R: In adev˘ar, lim

y→0



’ “ ‘ lim f (x, y) = 0, lim lim f (x, y) = 0.

x→0

x→0

y→0

Ins˘ a pe parabola x2 = my, avem lim

(x,y)→(0,0)

my 2 m = . y→0 (m2 + 1) y 2 1 + m2

f (x, y) = lim

Pentru diferite valori ale lui m se obt¸in valori diferite ale limitei, deci f nu are limit˘a ˆın origine. 3.21 S˘ a se cerceteze existent¸a limitelor iterate ¸si a limitei ˆın origine pentru urm˘ atoarele funct¸ii: 1 1 xy . 2) f (x, y) = x sin + y cos . 1) f (x, y) = 2 x + y2 y x 3) f (x, y) =

2x − 3y + x2 + y 2 2xy 2 . 4) f (x, y) = 2 . x+y 2x + 5y 4

x − y + 2x2 + y 2 1 y 2 − 2x . 6) f (x, y) = . 7) f (x, y) = x cos . 2 y + 2x x+y y € 3  3 sin x + y 1 1 8) f (x, y) = (x + y) sin sin , 9) f (x, y) = , x y x2 + y 2 €  (x + y) tg x2 + y 2 xyz p . . 11) f (x, y, z) = 3 10) f (x, y) = 2 2 + x y3 + z3 x +y

5) f (x, y) =

12) f (x, y) = p

x2 + y 2

x2 + y 2 + 1 − 1

€

. 13) f (x, y) = 1 + x2 y

 € 1 − cos x2 + y 2 14) f (x, y) = . x2 y 2 (x2 + y 2 )

− 2

x2

1 + y2 .

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

53

R: 1) Exist˘a limitele iterate ¸si sunt egale cu 0, dar nu exist˘a limta ˆın origine. 2) Nu 1 1 exist˘a limitele iterate, deoarece sin nu are limit˘a pentru y → 0 ¸si cos nu are limit˘a y x pentru x → 0. Funct¸ia are ˆıns˘a limit˘a ˆın origine, deoarece Œ Œ Œ Œ Œ Œ 1Œ 1Œ 0 ≤ |f (x, y)| ≤ |x| · ŒŒsin ŒŒ + |y| · ŒŒcos ŒŒ ≤ |x| + |y| → 0. y x

3) Exist˘a limitele iterate: lim

y→0



’ “ ‘ lim f (x, y) = −3, lim lim f (x, y) = 2.

x→0

x→0

y→0

Dac˘a limitele iterate exist˘a, sunt finite ¸si distincte nu exist˘a limita ˆın punct. 8) Se ¸tine seama c˘a − |x + y| ≤ |f (x, y)| ≤ |x + y| . 9) Funct¸ia se mai scrie  € sin x3 + y 3 x3 + y 3 · 2 , f (x, y) = x3 + y 3 x + y2 iar

a se calculeze 3.22 S˘

Œ 3 Œ 3 3 3Œ Œ Œ x + y Œ ≤ |x| + |y| < 2 (|x| + |y|) . Œ x2 + y 2 Œ x2 + y 2 lim

(x,y)→(1,0)

q

ln (x + ey ) 2

.

(x − 1) + y 2

R: Fie (x, y) ˆın interiorul discului cu centrul ˆın punctul (1, 0) ¸si de raz˘a r. Obt¸inem x = 1 + r cos θ, y = r sin θ, θ ∈ [0, 2π). Deci €  ln 1 + r cos θ + er sin θ ln (x + ey ) q lim = lim = ∞. r→0 r (x,y)→(1,0) 2 (x − 1) + y 2 3.23 S˘ a se calculeze

1)

lim

(x,y)→(0,0)

xy √ . 2) xy + 1 − 1

R: 1) Suntem ˆın cazul de except¸ie lim

(x,y)→(0,0)

xy √ xy + 1 − 1

2) Avem lim

(x,y)→(0,2)

lim

(x,y)→(0,2)

sin xy . x

0 . Rat¸ionaliz˘ am numitorul. Avem 0 p ‘ = lim xy + 1 + 1 = 2. (x,y)→(0,0)

sin xy sin xy = lim · y = 2. x (x,y)→(0,2) xy

54

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

3.24 S˘ a se calculeze 1) 3)

lim

(x,y)→(0,0)

lim

€

 1 x2 + y 2 sin . 2) xy

(x,y)→(∞,k)



1+

y ‘x . 4) x

lim

(x,y)→(0,0)

x . x+y

x+y . (x,y)→(∞,∞) x2 + y 2 lim

Œ Œ Œ€ 2  1 ŒŒ 2 Œ ≤ x2 + y 2 , limita este 0. 2) Funct¸ia nu are limit˘a. R: 1) Deoarece Œ x + y sin xy Œ

De exemplu, pe dreapta y = mx se obt¸ine o limit˘a ce depinde de m. 3) Limita este ek . 4) Putem presupune x + y > 1. Limita este 0.

Capitolul 4

Funct¸ii continue 4.1

Continuitatea funct¸iilor reale de o variabil˘ a real˘ a

4.1 S˘ a se determine α real a.ˆı. urm˘ atoarele funct¸ii s˘ a fie continue pe mult¸imile lor de definit¸ie: 1) f : [1, 3] → R, definit˘ a prin š √ α2 − 2αx + x2 , x ∈ [1, 2), f (x) = αx + 3, x ∈ [2, 3]. 2) f : [0, 2] → R, definit˘ a prin   6 sin α(x − 1) , x ∈ [0, 1), f (x) = x−1  −α + 5x, x ∈ [1, 2].

1 R: 1) α = − . 2) α = −1. 3 4.2 S˘ a se determine α real a.ˆı. urm˘ atoarele funct¸ii s˘ a fie continue ˆın punctele indicate: 1) f : R → R, definit˘ a prin    α (1 − cos x) , x 6= 0, x2 f (x) = ˆın x0 = 0. 2 α   , x = 0, 2 2) f : [1, ∞) → R, definit˘ a prin   α · arctg (x − 1) , x 6= 1, 2 ˆın x0 = 1. f (x) =  α2 , x − 1 x = 1, a prin 3) f : R → R, definit˘  1  f (x) = (1 + αx) x , x > 0,  x ≤ 0, x + e, 55

ˆın x0 = 0.

56

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS 4) f : R → R, definit˘ a prin   2x+2 − 16 , x 6= 2, x f (x) =  α,4 − 16 x = 2,

ˆın x0 = 2.

5) f : [0, π] → R, definit˘ a prin   e3x , x ∈ [0, 1], f (x) = α sin (x − 1)  2 , x ∈ (1, π], x − 5x + 4

ˆın x0 = 1.

a prin 6) f : R → R, definit˘  1      (x + ex ) x , x < 0, f (x) = e2 , x = 0, ˆın x0 = 0.  α     (sin x + cos x) x , x > 0, š › 1 1 R: 1) α ∈ {0, 1}. 2) α ∈ 0, . 3) α = 1. 4) α = . 5) α = −3e3 . 6) α = 2. 2 2 4.3 S˘ a se determine punctele de discontinuitate ale funct¸iilor: ” • ‚√ ƒ √ 1 x − x, x > 0. 2) f (x) = x 1) f (x) = , x 6= 0, f (0) = 1. x

1 1 3) f (x) = x sin , x 6= 0, f (0) = 0. 4) f (x) = xp arctg , x 6= 0, f (0) = 0, p > 0. x x 1 R: 1) Discontinu˘a ˆın x = n2 , n ∈ N. 2) Discontinu˘ a ˆın x = , cu k ˆıntreg nenul. 3) k ¸si 4) Funct¸ii continue pe R. a prin: 4.4 S˘ a se studieze continuitatea funct¸iei f : R → R definit˘ ( 3 x − x2 , x ∈ Q, 1 f (x) = − x, x ∈ R \ Q. 4 R: Dac˘a x0 ∈ R este un punct de continuitate pentru f , atunci pentru orice ¸sir 1 xn ∈ Q, xn → x0 ¸si orice ¸sir x0n ∈ R \ Q, xn0 → x0 , avem: x30 − x20 = − x0 , de unde 4 › š 1 rezult˘a c˘a x0 ∈ 0, . 2 4.5 Fie funct¸ia f : [0, 1] → R, definit˘ a prin š √ x, x ∈ Q, f (x) = 1 − x, x ∈ R \ Q. S˘ a se studieze continuitatea, s˘ a se arate c˘ a f ([0, 1]) este un interval ¸si c˘ a f nu are proprietatea lui Darboux.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

57

√ R: Punctul x √0 ∈ [0, 1] este un punct de continuitate pentru f d.d. x0 = 1 − x0 , 1− 5 adic˘a x0 = este singurul punct de continuitate al lui f . Pentru orice x ∈ [0, 1], 2 √ x, 1 − x ∈ [0, 1], deci f ([0, 1]) ⊂ [0, 1]. Fie y ∈ [0, 1]. Dac˘a y ∈ Q, exist˘a x = y 2 (x ∈ Q) a.ˆı. f (x) = y, iar dac˘a y ∈ R \ Q, exist˘a x = 1 − y (x ∈ R \ Q) a.ˆı. f (x) = y. A¸sadar, [0, 1] ⊂ f ([0, 1]). Avem: f” ([0, 1]) a f“nu are proprietatea ’ • = [0, 1]. Pentru ’ “a ar˘ata c˘ 1 1 1 1 1 1 lui Darboux, fie intervalul ⊂ [0, 1], cu f = , f = . Consider˘am , 9 4 9 3 4 2 ’ “ ’ “ 1 1 1 1 1 λ= √ ∈ , , ¸ s i ar˘ a t˘ a m c˘ a ecuat ¸ ia f (x) = λ nu are solut ¸ ii ˆ ın intervalul . 4 3 2 9 4 17 √ 1 1 1 a x ∈ R \ Q, 1 − x = √ , d˘a x = √ ∈ / Q, dac˘ , d˘a Dac˘a x ∈ Q, x = √ 4 4 17 17 ’ “ 17 1 1 1 1 1 / , deoarece 1 − √ > . x=1− √ ∈ , 4 4 9 4 4 17 17

4.2

Continuitatea uniform˘ a a funct¸iilor de o variabil˘ a

a pe [1, 3]. 4.6 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f (x) = x3 , x ∈ [1, 3] este uniform continu˘ R: Intr-adev˘ar, |f (x) − f (x0 )| = |x − x0 | · (x2 + xx0 + x02 ) < 27 |x − x0 | < ε, pentru orice x, x0 ∈ [1, 3] pentru care |x − x0 | < δ(ε), cu δ(ε) =

ε . 27

4.7 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, definit˘ a prin f (x) =

x + x, x+1

este uniform continu˘ a pe (0, ∞). R: Fie x, x0 ∈ (0, ∞). Avem

’ |f (x) − f (x0 )| = |x − x0 | 1 +

dac˘a |x − x0 | < δ (ε) =

1 (1 + x) (1 + x0 )

“

ε . 2

4.8 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f : (−1, ∞) → R, definit˘ a prin f (x) = nu este uniform continu˘ a pe (−1, ∞).

x + x, x+1

< 2 |x − x0 | < ε,

58

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: Intr-adev˘ar, s˘a consider˘am ¸sirurile xn = − |xn − x0n | =

n+1 0 n ,x =− . Avem n+2 n n+1

1 . (n + 1) (n + 2)

Punctele xn ¸si x0n sunt oricˆat de apropiate pentru n suficient de mare, ˆıns˘ a |f (xn ) − f (x0n )| = 1 +

1 > 1, (n + 1) (n + 2)

deci funct¸ia nu este uniform continu˘ a. 4.9 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f : [a, e] → R, a > 0, definit˘ a prin f (x) = ln x, este uniform continu˘ a pe [a, e]. R: Funct¸ia f este continu˘a pe intervalul [a, e] m˘arginit ¸si ˆınchis, deci este uniform continu˘a pe acest interval. 4.10 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f : (0, 1) → R, definit˘ a prin f (x) = ln x, este nu uniform continu˘ a pe (0, 1). R: Fie xn =

1 0 1 ,x = 2 . Avem |xn − x0n | < δ, dar n n n +1 Œ Œ Œ n2 + 1 Œ 0 Œ → ∞. Œ |f (xn ) − f (xn )| = Œln n Œ

a se studieze uniforma continuitate a funct¸iei f : R → R, definit˘ a prin f (x) = 4.11 S˘ x sin2 x2 . R: Fie

r r π 0 π xn = (4n + 1) , xn = (4n + 3) . 2 2

Avem |xn − x0n | = r

π π (4n + 1) + 2

¸si

r

π (4n + 3) 2

→0

r Œr Œ Œ π πŒ |f (xn ) − f (xn0 )| = ŒŒ (4n + 1) − (4n + 3) ŒŒ → 0. 2 2 √ Dar, pentru xn00 = 2nπ, avem Œ Œr Œ Œ π √ |f (xn ) − f (x00n )| = ŒŒ (4n + 1) − 2nπ · 0ŒŒ → ∞. 2

A¸sadar, f nu este uniform continu˘ a pe R.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

59

a se studieze uniforma continuitate a urm˘ atoarelor funct¸ii: 4.12 S˘ 1) f : (0, 1) → R, f (x) = ln x. 2) f : [a, e] → R, f (x) = ln x, a > 0. ’ “ 1 1 3) f : 0, → R, f (x) = sin . 4) f : R → [−1, 1] , f (x) = sin x2 . π x 5) f : [0, 1] → R, f (x) =

x2

1 . 6) f : R → [−1, 1] , f (x) = cos x. −x−2

7) f : (0, 1) → R+ , f (x) =

1 . 8) f : [0, ∞) → R, f (x) = x2 . x

R: 1) Nu. 2) Da. 3) Nu. 4) Nu. 5) Da. 6) Da, se ¸tine seama c˘a Œ Œ Œ x − x0 ŒŒ 0 Œ ≤ 2 |x − x0 | . |cos x − cos x | ≤ 2 Œsin 2 Œ

7) Nu, este suficient s˘a lu˘am xn = ¸si x0n = n +

4.3

1 . n

1 1 ¸si x0n = . 8) Nu, este suficient s˘a lu˘am xn = n n n+1

Continuitatea funct¸iilor de o variabil˘ a vectorial˘ a

a se arate c˘ a funct¸ia 4.13 S˘  

este continu˘ a pe R2 .

x2 y 3 , x2 + y 2 6= 0, f (x, y) = x2 + y 2  0, x2 + y 2 = 0,

R: Funct¸ia este continu˘a ˆın orice punct ˆın care x2 + y 2 6= 0, adic˘a ˆın orice punct cu except¸ia originii. R˘amˆane de verificat numai continuitatea ˆın origine, ceea ce revine la a ar˘ata c˘a funct¸ia are limit˘a ˆın origine ¸si aceasta este egal˘a cu 0. Avem, ˆıns˘ a: Œ 2 3 Œ Œ x y Œ 1 |x| |y| 2 2 Œ Œ Œ x2 + y 2 Œ < x2 + y 2 · |x| · y ≤ 2 · |x| · y , deoarece x2 + y 2 ≥ 2 |x| |y|. Deci limita funct¸iei este 0. 4.14 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia

este continu˘ a pe R2 .

 €   sin x3 + y 3 , x2 + y 2 = 6 0, 2 + y2 f (x, y) = x  0, x2 + y 2 = 0,

60

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

R: Funct¸ia este continu˘a ˆın orice punct ˆın care x2 + y 2 = 6 0, adic˘a ˆın orice punct cu except¸ia originii. R˘amˆane de verificat numai continuitatea ˆın origine, ceea ce revine la a ar˘ ata c˘a funct¸ia are limit˘a ˆın origine ¸si aceasta este egal˘a cu 0. Putem scrie:   € € sin x3 + y 3 x3 + y 3 sin x3 + y 3 = · 2 . x2 + y 2 x3 + y 3 x + y2  € sin x3 + y 3 Ins˘a lim = 1 ¸si x3 + y 3 (x,y)→(0,0) Œ 3 Œ Œ x + y 3 Œ |x|3 + |y|3 Œ Œ Œ x2 + y 2 Œ ≤ x2 + y 2 < |x| + |y| . 4.15 S˘ a se cerceteze continuitatea funct¸iei š p 1 − x2 − y 2 , x2 + y 2 ≤ 1, f (x, y) = 0, x2 + y 2 > 1. p a pe R2 . R: Punem r = x2 + y 2 . Funct¸ia este continu˘ 4.16 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia

f (x, y) =

 

2xy , x2 + y 2 = 6 0, x2 + y 2  0, x2 + y 2 = 0,

este continu˘ a part¸ial ˆın raport cu x ¸si y, dar nu este continu˘ a ˆın origine. R: Fie (x0 , y0 ) ∈ R2 . Funct¸iile f (x, y0 ) ¸si f (x0 , y) sunt continue ˆın orice punct. Funct¸ia f (x, y) nu are limit˘a ˆın origine. 4.17 S˘ a se cerceteze continuitatea urm˘ atoarelor funct¸ii:   €  1 − cos x3 + y 3 6 0, , x2 + y 2 = 2 + y2 1) f (x, y) = x  0, x2 + y 2 = 0.  1   √ √ x + y , x > 0 ¸si y > 0, 2) f (x, y) = (1 + xy)   x = 0 sau y = 0. 1,

€  x3 + y 3 R: 1) Se ¸tine seama c˘a 1 − cos x3 + y 3 = 2 sin2 . Funct¸ia este continu˘ a. 2) 2 Putem scrie   √ xy √ 1 1 x+ y √ √   x y + xy (1 + xy) = (1 + xy) 

xy √ €√ √  a. ¸si √ √ ≤ xy x + y . Funct¸ia este continu˘ x+ y

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

61

a se discute dup˘ a valorile parametrului α continuitatea urm˘ atoarelor funct¸ii: 4.18 S˘ p  π  1 − cos x2 + y 2 , 0 < x2 + y 2 < , 2 + y2 ) 1) f (x, y) = tg (x 2  α, (x, y) = (0, 0) .  x2 y 2 z 2  6 (0, 0, 0) , , (x, y, z) = 2) f (x, y, z) = x6 + y 6 + z 6  α, (x, y, z) = (0, 0, 0) .   3x + 2y − z + x2 + yz , (x, y, z) 6= (0, 0, 0) , 3) f (x, y, z) = x+y+z  α, (x, y, z) = (0, 0, 0) . € 2   2 2  (x + y + z) tg x + y + z p , (x, y, z) 6= (0, 0, 0) , 4) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2  α, (x, y, z) = (0, 0, 0) .

√ p 1 1 − cos r = . Funct¸ia este continu˘ a pe R: 1) Not˘am r = x2 + y 2 . Avem lim r→0 tg r 2 h π‘ 1 pentru α = . 0, 2 2 2) Fie x = `t, y = mt, z = nt, t ∈ R o dreapt˘a prin origine. Deoarece lim f (`t, mt, nt) =

t→0

`2 m2 n2 , `6 + m6 + n6

deci depinde de direct¸ie, rezult˘a c˘a f nu are limit˘a ˆın origine. Funct¸ia este continu˘ a pe R3 \ {(0, 0, 0)}.

62

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

Capitolul 5

Derivate ¸si diferent¸iale 5.1

Derivata ¸si diferent¸iala funct¸iilor de o variabil˘ a

5.1 Utilizˆ and definit¸ia, s˘ a se calculeze derivatele urm˘ atoarelor funct¸ii, ˆın punctele specificate: €  √ 7. 2) f (x) = ln x2 + 5x , ˆın x0 = 1. 1) f (x) = x + 2, ˆın x0 = √ 3) f (x) = sin 3x2 , ˆın x0 = π. 4) f (x) = arcsin (x − 1) , ˆın x0 = 1. π 6) f (x) = tg x, ˆın x0 = . 5) f (x) = e3x , ˆın x0 = 1. 4 a se studieze derivabilitatea urm˘ atoarelor funct¸ii, ˆın punctele specificate: 5.2 S˘ ( “ ’ 1 1 ln (1 + 2x) , x ∈ (− , 0], ˆın x0 = 0. 1) f : − , ∞ → R, f (x) = 2 2 2x, x ∈ (0, ∞) , √ ( x2 + 5x + 2, x ∈ (0, 2], 2) f : (0, ∞) → R, f (x) = ˆın x0 = 2. 9 7 x+ , x ∈ (0, ∞) , 8 4 R: 1) f 0 (0) = 2. 2) f 0 (2) =

9 . 8

a se calculeze derivatele urm˘ atoarelor funct¸ii: 5.3 S˘ 1) f (x) = x4 + 5x3 − 8.

3) f (x) = x cos x.

sin x . 2 + cos x r 2 3 1 − x . 7) f (x) = 1 + x2

5) f (x) =

√ √ 2) f (x) = x2 + x − 3 x. x−1 . 4) f (x) = 2 x +1 x2 6) f (x) = ln . x+1 8) f (x) = ex

R: Se obt¸ine:

2

cos x

1 1 1) f 0 (x) = 4x3 + 15x2 . 2) f 0 (x) = 2x + √ − √ 2 . 2 x 3 ( 3 x) 63

.

64

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS 3) f 0 (x) = cos x − x sin x. 4) f 0 (x) = −

x2 − 2x − 1

(x2 + 1) 1x+2 2 cos x + 1 0 5) f 0 (x) = 2 . 6) f (x) = x x + 1 . (2 + cos x) s’ “2 x x2 + 1 4 3 0 . 7) f (x) = − 3 (x2 + 1)2 1 − x2 €  2 8) f 0 (x) = 2x cos x − x2 sin x ex cos x .

2

.

a se calculeze derivatele urm˘ atoarelor funct¸ii: 5.4 S˘  €√ √ 1) f (x) = ln 2 sin x + 1 + 2 sin x − 1 . √  k € x√ 2 3) f (x) = x + k + ln x + x2 + k . 2 2 √ 5) f (x) = ex arctg ex − ln 1 + e2x . a2 x x√ 2 a − x2 + arcsin . 7) f (x) = 2 2 a

sin x 1 + sin x + ln . cos2 x cos x x x 4) f (x) = 5sh3 + 3sh5 . 15 15 xx 6) f (x) = x (x ln x − x − 1) . e √ €  8) f (x) = loge2 xn + x2n + 1 . 2) f (x) =

R: Se obt¸ine: 2 cos x . 2) f 0 (x) = . 1) f 0 (x) = q€  cos3 x 4 sin2 x − 1 √ x 3 x 3) f 0 (x) = x2 + k. 4) f 0 (x) = sh2 ch . 15 15 x 0 x+1 −x 0 x 5) f (x) = e arctg e . 6) f (x) = x e (ln x) (ln x − 1). n−1 √ nx 7) f 0 (x) = a2 − x2 . 8) f 0 (x) = √ . 2 x2n + 1 5.5 S˘ a se calculeze derivatele urm˘ atoarelor funct¸ii: √ ‘ √ 1 + sin x √ 1) f (x) = ln + 2arctg sin x . 1 − sin x 3 x2 + 1 1 x − 1 1 2) f (x) = ln 2 + ln + arctg x. 4 x −1 4 x+1 2  2x − 1 1 1 € 2 1 3) f (x) = ln (1 + x) − ln x − x + 1 + √ arctg √ . 3 6 3 3 r √ x 2 2 4) f (x) = 3b arctg − (3b + 2x) bx − x . b−x 2 1 x (x − 3) √ R: 1) f 0 (x) = . 2) f 0 (x) = . 3) f 0 (x) = 3 . 4 x −1 x +1 rcos x sin x x . 4) f 0 (x) = 4x b−x

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

65

a se calculeze derivatele urm˘ atoarelor funct¸ii: 5.6 S˘ arcsin x x √ 1) f (x) = − + ln . x 1 + 1 − x2 √ 2x2 + 1 2 . 2) f (x) = ln x4 + x2 + 1 + √ arctg √ 3 3 3x x 3 3) f (x) = 2 + 8 (x2 + 1) + 8 arctg x. 2 4 (x + 1) ‘ p 5p 2 13 √ 4) f (x) = (2x + 8x + 1) − √ ln 2 (x + 2) + (2x2 + 8x + 1) . 2 2 R: Se obt¸ine: 2x3 + 3x arcsin x 1) f 0 (x) = . . 2) f 0 (x) = 4 2 x x + x2 + 1 5x − 3 1 0 √ 3) f 0 (x) = . 3 . 4) f (x) = 2 2x2 + 8x + 1 (x + 1) 5.7 S˘ a se arate c˘ a derivata unei funct¸ii pare este o funct¸ie impar˘ a, iar derivata unei funct¸ii impare este o funct¸ie par˘ a. a se arate c˘ a derivata unei funct¸ii periodice este o funct¸ie periodic˘ a. 5.8 S˘ 5.9 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia y = xe−x satisface relat¸ia xy 0 = (1 − x) y.

x2 €  5.10 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia y = xe 2 satisface relat¸ia xy 0 = 1 − x2 y. −

1 satisface relat¸ia xy 0 = y (y ln x − 1). 1 + x + ln x 5.12 S˘ a se calculeze derivatele de ordinul doi ale urm˘ atoarelor funct¸ii: a se arate c˘ a funct¸ia y = 5.11 S˘

6 1) f (x) = x8 €+ 7x√ − 5x + 4.  4) f (x) = ln x + a2 + x2 .

R: Se obt¸ine:

2

2) f (x) = (arcsin x)  . € 5) f (x) = 1 + x2 arctg x.

2

3) f (x) = ex . 6) f (x) = sin2 x.

2x 2 +q arcsin x. 1 − x2 3 (1 − x2 ) x 2 2 . 3) f 00 (x) = 2ex + 4x2 ex . 4) f 00 (x) = − q 3 (a2 + x2 ) x 5) f 00 (x) = 2arctg x + 2 2 . 6) f 00 (x) = 2 cos 2x. x +1 a se calculeze derivatele de ordinul n ale urm˘ 5.13 S˘ atoarelor funct¸ii: 1 1 1) f (x) = eax . 2) f (x) = . 3) f (x) = 2 . x−a x − a2 2x 4) f (x) = cos x. 6) f (x) = ln 2 5) f (x) = sin x. . x −1 1 . 9) f (x) = ln (ax + b) . 7) f (x) = 2x . 8) f (x) = 2 x − 3x + 2 1 α 10) f (x) = eax · ebx . 11) f (x) = . 12) f (x) = (1 + x) . ax + b 1) f 00 (x) = 56x6 + 210x4 . 2) f 00 (x) =

66

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS ’ “ 1 1 1 1 R: 3) Se ¸tine seama de identitatea: 2 . − = x − a2  2a x‘− a x + a ‘  nπ nπ . 5) f (n) (x) = sin x + . 4) f (n) (x) = cos x + 2 2 2 x +1 6). f 0 (x) = − ¸si se scrie fract¸ia ca sum˘a de fract¸ii simple. x (x2 + 1) n 7) f (n) (x) = 2x ln 2. # " 1 1 1 1 n (n) − , se obt¸ine f (x) = (−1) n! 8) f (x) = n+1 − n+1 . x−2 x−1 (x − 2) (x − 1) n n n−1 (n − 1)!a (n) (x) = eax · ebx (a + b) . 9) f (n) (x) = (−1) n . 10) f (ax + b) n!an n 11) f (n) (x) = (−1) n+1 . (ax + b) α−n . 12) Avem: f (n) (x) = α (α − 1) · · · (α − n + 1) (1 + x)

5.14 Fie f (x) = x2 · e3x . S˘ a se calculeze f (10) (x).

 € R: Se aplic˘a formula lui Leibniz. Se obt¸ine: f (10) (x) = 39 · e3x · 3x2 + 20x + 30 .

5.15 Fie f (x) = x2 · sin x. S˘ a se calculeze f (20) (x).

R: Se aplic˘a regula lui Leibniz. Se obt¸ine: f (20) (x) = x2 sin x − 40x cos x − 380 sin x. and regula lui Leibniz, s˘ a se calculeze derivatele de ordinul n ale funct¸iilor: 5.16 Utilizˆ €  1) f (x) = x · ex . 2) f (x) = x2 · e−2x . 3) f (x) = 1 − x2 cos x. 1+x 4) f (x) = √ . 5) f (x) = x3 ln x. x 5.17 Se consider˘ a se calculeze a funct¸ia polinomial˘ a f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1. S˘ 4 P 1 suma: S = , unde xk sunt r˘ ad˘ acinile ecuat¸iei f (x) = 0. k=1 xk − 2 R: Din f (x) = (x − x1 ) (x − x2 ) (x − x3 ) (x − x4 ), prin derivare, deducem: 4

f 0 (x) X 1 = . f (x) x − xk k=1

Deci S = −

49 f 0 (2) =− . f (2) 31

5.18 S˘ a se determine cu cˆ at se modific˘ a (aproximativ) latura unui p˘ atrat dac˘ a aria sa cre¸ste de la 9 m2 la 9, 1 m2 . √ R: Dac˘a x este aria p˘atratului ¸si y latura sa, atunci y = x. Se dau: x0 = 9, h = 0, 1. Cre¸sterea laturii p˘atratului este dat˘a de: 1 y − y0 ≈ dy = f 0 (x) · h = √ · 0, 1 = 0, 016 m. 2 9

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

67

a se g˘ aseasc˘ a cre¸sterea y −y0 ¸si diferent¸iala dy ale funct¸iei y = 5x+x2 ˆın punctul 5.19 S˘ a h = 0, 001. x0 = 2, dac˘ R: y − y0 = 0, 009001 ¸si dy = 0, 009. 5.20 S˘ a se calculeze diferent¸iala funct¸iei y = cos x ˆın punctul x0 =

π π , pentru h = . 6 36

2 a se calculeze diferent¸iala funct¸iei y = √ ˆın punctul x0 = 9, pentru h = −0, 01. 5.21 S˘ x a se calculeze diferent¸ialele funct¸iilor: 5.22 S˘ 1 . xn 1−x . 4) f (x) = ln 1+x 1) f (x) =

R: Se obt¸ine: 1) df (x) = − 4) df (x) =

xn

x2

2) f (x) = x ln x − x. 5) f (x) = x2 e−x .

x . 1−x 6) f (x) = ex sin x.

3) f (x) =

n 1 dx. 2) df (x) = ln x dx. 3) df (x) = 2 dx. +1 (1 − x)

2 dx. 5) df (x) = x (2 − x) e−x dx. 6) df (x) = e (x sin x + cos x) dx. −1

5.23 S˘ a se calculeze diferent¸ialele de ordinul doi ale funct¸iilor: √ 1) f (x) = 1 − x2 . 2) f (x) = arccos x. 3) f (x) = sin x ln x. 1 6) f (x) = ex sin x. 4) f (x) = ln x. 5) f (x) = x2 e−x . x 5.24 S˘ a se arate c˘ a: ’ “ (n − 1)! 1 n−1 n d (arctg x) = (−1) dxn . · sin narctg n/2 x (1 + x2 )

5.2

Propriet˘ a¸ti ale funct¸iilor derivabile

5.25 S˘ a se determine abscisele punctelor de extrem ale funct¸iilor: 1) f (x) = 2 cos x + x2 . q 2 4) f (x) = 3 (x2 − 1) .

2

2) f (x) = x2 (x − 12) . 5) f (x) = 2 sin 2x + sin 4x.

x2 − 2x + 2 . x−1 x x 6) f (x) = 2 cos + 3 cos . 2 3 3) f (x) =

R: 1) x0 = 0 este punct de minim. 2) x1 = 0, x2 = 12 sunt puncte de minim, x3 = 6 este punct de maxim. 3) x1 = 0 este punct de maxim, x2 = 2 este punct de minim. 4) x1,2 = ±1 sunt puncte de minim, x3 = 0 este punct de maxim. π π 5) xk = − + kπ sunt puncte de minim, x0k = + kπ sunt puncte de maxim. 6 6 “ ’ 2 0 π sunt puncte de maxim, yk = 6 (2k + 1) π ¸si 6) xk = 12kπ ¸si xk = 12 k ± 5 ’ “ 1 yk0 = 12 k ± π sunt puncte de minim. 5

68

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

5.26 Fie a1 , a2 , . . . , an ∈ (0, ∞) ¸si ax1 + a2x + · · · + axn ≥ n pentru orice x ∈ R. S˘ a se arate c˘ a atunci a1 · a2 · · · · · an = 1. R: Fie funct¸ia f : R → R, definit˘a prin f (x) = ax1 + a2x + · · · + axn . Avem c˘a f (x) ≥ n = f (0), ∀x ∈ R, deci x0 = 0 este un punct de minim pentru f ¸si conform teoremei lui Fermat: f 0 (0) = 0. 2

2

a se arate 5.27 Fie a, b ∈ (0, ∞) \ {1} a.ˆı. ax · b + bx · a ≥ 2ab, pentru orice x ∈ R. S˘ c˘ a ab = 1. 2

2

R: Fie unct¸ia f : R → R, definit˘a prin f (x) = ax · b + bx · a. Avem c˘a f (x) ≥ 2ab = f (1), ∀x ∈ R, deci x0 = 1 este un punct de minim pentru f ¸si conform teoremei lui Fermat: f 0 (1) = 0. h πi 5.28 S˘ a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru funct¸ia f : 0, → R, 2 definit˘ a prin  h i  cos x, x ∈ 0, π ,  4 i f (x) =  sin x, x ∈ π , π . 4 2 R: Funct¸ia nu este derivabil˘a ˆın

π . 4

5.29 S˘ a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru funct¸iile f : [0, 2] → R, definite prin: 3 1) f (x) = |x − 1| . 2) f (x) = |x − 1| . R: 1) Nu. 2) Da, c = 1. h π πi 5.30 S˘ → R, a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru funct¸iile f : − , 2 2 definite prin: Œ Œ 1) f (x) = |sin x| . 2) f (x) = Œsin3 xŒ . R: 1) Nu. 2) Da, c = 0.

5.31 S˘ a se arate c˘ a polinomul lui Legendre Pn (x) = distincte ˆın intervalul (−1, 1).

n dn € 2 x − 1 are n r˘ ad˘ acini dxn

€ n R: Se aplic˘a de n ori teorema lui Rolle funct¸iei f (x) = x2 − 1 .

5.32 Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘ a pe (a, b) ¸si a.ˆı. f (a) = a pe [a, b], derivabil˘ f (b). S˘ a se arate c˘ a exist˘ a c ∈ (a, b) a.ˆı. f (a) − f (c) = f 0 (c) (c − a). R: Se aplic˘a teorema lui Rolle funct¸iei g (x) = (x − a) f (x) − xf (a) pe intervalul [a, b].

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

69

a relat¸ia 5.33 Fie numerele reale a0 , a1 , a2 , . . . , an care verific˘ a0 2n an 2a1 22 a2 + + + ··· + = 0. 1 2 3 n+1 ‚ ƒ S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f : 1, e2 → R, definit˘ a prin f (x) =€ a0 +a1 ln x + a2 ln2 x + · · · + an lnn x se anuleaz˘ a cel put¸in ˆıntr-un punct din intervalul 1, e2 . R: Se aplic˘a teorema lui Rolle funct¸iei g (x) = a0 ln x +

a1 ln2 x an lnn+1 x + ··· + . 2 n+1

5.34 Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘ a pe (a, b). S˘ a pe [a, b], derivabil˘ a sea arate c˘ a exist˘ a c ∈ (a, b) aˆı. a + b − 2c . f 0 (c) = (c − a) (c − b) R: Se aplic˘a teorema lui Rolle funct¸iei g (x) = ef (x) (x − a) (x − b) pe intervalul [a, b]. 5.35 Se consider˘ a funct¸ia f : [−1, 1] → R, definit˘ a prin: š 2 x + mx + n, x ∈ [−1, 0] , f (x) = px2 + 4x + 4, x ∈ (0, 1]. S˘ a se determine m, n, p ∈ R a.ˆı. f s˘ a satisfac˘ a ipotezele teoremei lui Rolle pe intervalul a se g˘ aseasc˘ a valoarea constantei c ˆın acest caz. [−1, 1] ¸si s˘ R: n = 4, m = 4, p = −7, c =

2 . 7

5.36 Fie f, g : [a, b] → R dou˘ a funct¸ii continue pe [a, b], derivabile pe (a, b) ¸si cu f (a) = f (b). S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia f (x) g 0 (x) + f 0 (x) = 0 are cel put¸in o solut¸ie ˆın intervalul (a, b). R: Fie h [a, b] → R, definit˘a prin h (x) = f (x) eg(x) , care este o funct¸ie Rolle. Exist˘a deci c ∈ (a, b) a.ˆı. h0 (c) = 0. Dar h0 (x) = f 0 (x) eg(x) + f (x) g 0 (x) eg(x) . 5.37 Fie f : [a, b] → R o funct¸ie de trei ori derivabil˘ a pe [a, b] a.ˆı. f (a) = f (b) = 0 ¸si a se arate c˘ a exist˘ a cel put¸in un punct c ∈ (a, b) a.ˆı. f 000 (c) = 0. f 0 (a) = f 0 (b) = 0. S˘ R: Aplic˘am teorema lui Rolle. Exist˘a d ∈ (a, b) a.ˆı. f 0 (d) = 0. Exist˘a apoi c1 ∈ (a, d) ¸si c2 ∈ (d, b) a.ˆı. f 00 (c1 ) = 0 ¸si f´00 (c2 ) = 0. Deci exist˘a c ∈ (c1 , c2 ) a.ˆı. f 000 (c) = 0. 5.38 S˘ a se cerceteze √ aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru funct¸ia f : [0, 1] → R, a se determine constanta c definit˘ a prin f (x) = x2 + ax, a > 0, ¸si ˆın caz afirmativ s˘ corespunz˘ atoare. R: Da, c =

√  1€ −a + a2 + a ∈ (0, 1). 2

70

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

5.39 S˘ a se cerceteze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru funct¸iilor f , definite prin:  š 2  x, x ∈ [1, 2] , x ∈ [0, 1] , x , 2 1) f (x) = 2) f (x) = x 2x 1, − x ∈ (1, 2].  + 1, x ∈ (2, 3]. 4  2 ( √   3 − x , x ∈ [0, 1] , x + 1, x ∈ (0, 3], 2 x 4) f (x) = 3) f (x) = + 1, x ∈ [−4, 0] .   1, x ∈ (1, 2]. 2 x √ 9 9 3 13 1 . 4) Da, c1 = , c2 = 2. R: 1) Da, f 0 (c) = , c = . 2) Da, c = . 3) Da, c = 8 4 4 36 2 5.40 S˘ a se determine abscisa c a unui punct ˆın care tangenta la graficul funct¸iei f : R → R, definit˘ a prin ( x+2 , x ≤ 0, f (x) = √2 x + 1, x > 0, este paralel˘ a cu coarda care une¸ste punctele de pe grafic de abscise x1 = −4 ¸si x2 = 3. 13 R: c = . 36 √ 1 5.41 S˘ a se arate c˘ a 3 30 − 3 < . 9 √ R: Se aplic˘a teorema lui Lagrange funct¸iei f : [27, 30] → R, definit˘a prin f (x) = 3 x. x

x

x

a se g˘ aseasc˘ a solut¸iile reale ale ecuat¸iei (a − 1) + (a + 3) = ax + (a + 2) , cu 5.42 S˘ a > 1. x

x

x

R: Ecuat¸ia se mai scrie: ax − (a − 1) = (a + 3) − (a + 2) . Consider˘am funct¸ia f : (0, ∞) → R, definit˘a prin f (t) = tx , pentru x∈ R, fixat. Aplic˘am teorema lui Lagrange pe intervalele [a − 1, a] ¸si [a + 2, a + 3]. Exist˘a deci c1 ∈ (a − 1, a) ¸si c2 ∈ (a + 2, a + 3) a.ˆı. f (a) − f (a − 1) = f 0 (c1 ) ¸si f (a + 3) − f (a + 2) = f 0 (c2 ). Din f 0 (c1 ) = f 0 (c2 ) cu 6 c2 , rezult˘a x1 = 0, x2 = 1. c1 = 5.43 Fie f o funct¸ie de dou˘ a ori derivabil˘ a ˆıntr-o vecin˘ atate V a punctului a ∈ R. S˘ a a punctele p, q ∈ V a.ˆı. se arate c˘ a pentru orice h suficient de mic exist˘

f (a + h) − f (a − h) f (a + h) − 2f (a) + f (a − h) = f 0 (p) , = f 00 (q) . 2h h2 a se cerceteze aplicabilitatea teoremei lui Cauchy pentru funct¸iile f ¸si g, definite 5.44 S˘ prin: e 1) f, g : [1, e] → R, f (x) = ln x, g (x) = . x ( √ x + 3, x ∈ [−2, 1), 2) f, g : [−2, 5] → R, f (x) = g (x) = x. x 7 + , x ∈ [1, 5] ,  34 4  x  − x2 + 1, x ∈ [1, 3] , 3 3) f, g : [0, 3] → R, f (x) = g (x) = x.   −x + 4 , x ∈ [0, 1] , 3

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

71

√ 1 2 2 e R: 1) Da, c = . 2) Da, c = . 3) Da, c = + 1. e−1 16 3 a se calculeze, utilizˆ and regula lui l0 Hospital: 5.45 S˘ tg x − x . x − sin x

1) lim

x→0

4) lim

x→∞

7) lim

x→0

xn , a > 0. eax

’

“ 1 2 . − ctg x x2

2) lim

x→1

5) lim

x→0

xx − x . ln x − x + 1 ’

ctg x −

1 x

“

3) lim

x→0

.

’ “ 1+x x − x2 ln . x→∞ x

8) lim

ln (sin 2x) . ln (sin 3x)

1 1 x  (1 + x) x   . 6) lim   x→0  e 

9) lim

x→1



tg

πx πx ‘tg 2 . 4

1 R: 1) 2. 2) −2. 3) 1. 4) 0. 5) 0. 6) − . 7) Putem scrie: 2 sin2 x − x2 cos2 x 1 2 − ctg x = x2 x2 sin2 x 2 1 ¸si se aplic˘a de patru ori regula lui l0 Hospital. Se obt¸ine . 8) Lu˘am x = , cu t → 0 3 t 1 1 pentru x → ∞. Se obt¸ine . 9) . 2 e 5.46 S˘ a se calculeze, utilizˆ and regula lui l0 Hospital: tg x − x sin x x [ln x − ln (x + 1)] + 1 . 2) lim . x→∞ ex [ln (ex + 1) − ln x] − 1 x→0 x − sin x

1) lim R: 1) 5. 2) −e.

5.47 S˘ a se dezvolte polinomul f (x) = x3 − 2x2 + 3x + 5 dup˘ a puterile binomului x − 2. 2

3

R: f (x) = 11 + 7 (x − 2) + 4 (x − 2) + (x − 2) . 5.48 S˘ a se determine o funct¸ie polinomial˘ a de gradul trei a.ˆı. f (0) = 1, f 0 (0) = 1, 00 000 f (0) = 2 ¸si f (0) = 6. R: Polinomul Taylor al funct¸iei f este f (x) = 1 + x + x2 + x3 . a se g˘ aseasc˘ a primii 5 termeni din dezvoltarea Taylor a funct¸iei f (x) = ex dup˘ a 5.49 S˘ puterile binomului x + 1. R: P4 (x) =

1 1 1 1 1 2 3 4 + (x + 1) + (x + 1) + (x + 1) + (x + 1) . e e 2e 6e 24e

5.50 S˘ a se g˘ aseasc˘ a primii 5 termeni din dezvoltarea Taylor a funct¸iei f (x) = ln x dup˘ a puterile binomului x − 1.

72

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: P4 (x) = (x − 1) −

1 1 1 2 3 4 (x − 1) + (x − 1) − (x − 1) . 2 3 4

a se evalueze eroarea comis˘ a ˆın aproximarea: 5.51 S˘ e≈2+

1 1 1 + + . 2! 3! 4!

1 1 1 x5 θx 1 x + x2 + x3 + x4 + R4 (x), unde R4 (x) = e , cu 1! 2! 3! 4! 5! 1 3 = . θ ∈ (0, 1). Pentru x = 1, |R4 (1)| ≤ 5! 40 R: Avem c˘a: ex = 1 +

5.52 S˘ a se scrie formula Mac-Laurin de ordinul n pentru funct¸iile: 1) f (x) = ex , x ∈ R. 3) f (x) = cos x, x ∈ R. 5) f (x) = (1 + x)α ,

2) f (x) = sin x, x ∈ R. 4) f (x) = ln(1 + x), x ∈ (−1, ∞). x ∈ (−1, ∞), α ∈ R.

R: Avem dezvolt˘arile: n xk P xn+1 θx 1) ex = + e . (n + 1)! k=0 k! n P x2k−1 x2n+1 (−1)k−1 sin(θx). 2) sin x = + (−1)n (2k − 1)! (2n + 1)! k=1 2n+2 2k n P x x (−1)k 3) cos x = + (−1)n+1 cos(θx). (2k)! (2n + 2)! k=0 n P xk xn+1 (−1)k−1 4) ln(1 + x) = + (−1)n n+1 . k (n + 1) (1 + θx) k=1 n α(α − 1) · · · (α − k + 1) P α(α − 1) · · · (α − n) n+1 5) (1 + x)α = 1 + x xk + (1 + k! (n + 1)! k=1 θx)α−n+1 , cu θ ∈ (0, 1). 5.53 S˘ a se determine n ∈ N astfel ca polinomul Taylor de gradul n ˆın punctul x0 = 0 asociat funct¸iei f (x) = ex s˘ a aproximeze funct¸ia pe intervalul [−1, 1] cu trei zecimale exacte. R: Avem

n+1

1 |x| eθx < , |x| ≤ 1. (n + 1)! 1000 3 1 Dar cum θx < 1, eθx < e < 3 ¸si deci |Rn (x)| < < pentru n ≥ 6. (n + 1)! 1000 √ 5.54 S˘ a se scrie formula Mac-Laurin de ordinul n pentru funct¸ia f (x) = a + x, a > 0, x > −a. |Rn (x)| =

1 √  x‘2 R: Funct¸ia se mai scrie: f (x) = a 1 + . Se obt¸ine: a # " n  ‘k X √ x k−1 1 · 3 · · · · · (2k − 3) x + (−1) + Rn (x) . f (x) = a 1 + 2a k! · 2k a k=2

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

73

a se determine n ∈ N astfel 5.55 S˘ √ ca valorile polinomului Taylor de gradul n ˆın punctul x0 = 0 asociat funct¸iei f (x) = 1 + x, pe intervalul [0, 1], s˘ a nu difere de f (x) cu mai 1 mult de . 16 R: Avem Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ 1 · 3 · · · · · (2n − 1) 1 xn+1 1 · 3 · · · · · (2n − 1) ŒŒ Œ≤ . < |Rn (x)| = 1 ŒŒ (n + 1)! · 2n+1 ŒŒ (n + 1)! · 2n+1 16 n+ Œ Œ (1 + θx) 2

Se obt¸ine n ≥ 2.

5.56 Utilizˆ and formula Mac-Laurin s˘ a se calculeze urm˘ atoarele limite: ex + e−x − sin2 x − 2 . x→0 x4 sin x − sin a . 3) lim x→0 x−a 2 x − cos x − e 2 5) lim . x→0 x4 1) lim

R: 1)

5.3

ln (1 + 2x) − sin 2x + 2x2 . x→0 x3 √ 2 1 − 1 + x · cos x 4) lim . x→0 tg4 x 2) lim

1 1 1 . 2) 4. 3) cos a. 4) . 5) − . 12 3 12

Derivatele ¸si diferent¸iala funct¸iilor de n variabile

5.57 Utilizˆ and definit¸ia, s˘ a se calculeze derivatele part¸iale ale urm˘ atoarelor funct¸ii, ˆın punctele specificate: 1) f (x, y) = x3 − 3x2 y + 2y 3 ˆın (1, 1) . π ‘ p ,0 . 3) f (x, y) = sin2 x + sin2 y ˆın 4 p 5) f (x, y) = x2 − y 2 ˆın (2, 1) .

R: Se obt¸ine:

x−y ˆın (1, 1) . x+y €  4) f (x, y) = ln 1 + x + y 2 ˆın (1, 1) . €  6) f (x, y) = ln x − y 2 ˆın (4, 1) . 2) f (x, y) =

1 1 1) fx0 (1, 1) = −3, fy0 (1, 1) = 3. 2) fx0 (1, 1) = , fy0 (1, 1) = − . 2 2  ‘ 1√ ‘  1 0 2 0 π 0 0 π 3) fx ,0 = , 0 = 0. 4) fx (1, 1) = , fy (1, 1) = . 2, fy 4 2 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 0 5) fx (2, 1) = √ , fy (2, 1) = − √ . 6) fx (4, 1) = , fy (4, 1) = − . 3 3 3 3

74

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

5.58 S˘ a se calculeze derivatele part¸iale ale urm˘ atoarelor funct¸ii: 1) f (x, y) = x3 + y 3 − 3axy. p 3) f (x, y) = x2 − y 2 .  ‘ p 5) f (x, y) = ln x + x2 + y 2 . y sin 7) f (x, y) = e x .

x−y . x+y x 4) f (x, y) = p . x2 + y 2 y 6) f (x, y) = arctg . xs x2 − y 2 8) f (x, y) = arcsin . x2 + y 2

2) f (x, y) =

R: Se obt¸ine: 1) fx0 (x, y) = 3x2 − 3ay, fy0 (x, y) = 3y 2 − 3ax. 2y −2x 0 2) fx0 (x, y) = 2 , fy (x, y) = 2. (x + y) (x + y) x −y 3) fx0 (x, y) = p , fy0 (x, y) = p . 2 2 x −y x2 − y 2 y2 x2 4) fx0 (x, y) = q , fy0 (x, y) = q . 3 3 (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) 1 y  ‘. 5) fx0 (x, y) = p , fy0 (x, y) = p p 2 2 x +y x2 + y 2 x + x2 + y 2 y x 6) fx0 (x, y) = − 2 , fy0 (x, y) = 2 . 2 x +y x + y2 y y y sin y y 1 sin 7) fx0 (x, y) = − 2 e x cos , fy0 (x, y) = e x cos . x x x √ √ x x2 2 xy 2 0 0 p p , fy (x, y) = − . 8) fx (x, y) = (x2 + y 2 ) x2 − y 2 (x2 + y 2 ) x2 − y 2

5.59 S˘ a e calculeze derivatele part¸iale ale urm˘ atoarelor funct¸ii: y y x 1) f (x, y) = y sin . x √ 3) f (x, y) = arctg xy . xyz

5) f (x, y, z) = p

+ y2 + z2 y 7) f (x, y, z) = exyz cos . xz x2

x2 − y 2 . x2 + y 2 x+y . 4) f (x, y) = xyarctg 1 − xy x z − 6) f (x, y, z) = e y − e y . 2) f (x, y) = arcsin

.

s

8) f (x, y, z) = (sin x)

yz

5.60 S˘ a e calculeze derivatele part¸iale ale urm˘ atoarelor funct¸ii: ‚ ƒ q 2 1) f (x, y) = ln xy 2 + x2 y + 1 + (xy 2 + x2 y) . s “2 ’ “ ’ x+y x+y + arcsin . 2) f (x, y) = 1 − xy xy

.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

75

a se calculeze, utilizˆ and definit¸ia, urm˘ atoarele derivate part¸iale de ordinul doi: 5.61 S˘ 1) 3)

p p ∂2f ∂2f (1, 1) , dac˘ (−2, 2) , dac˘ a f (x, y) = 3 x2 y. a f (x, y) = x2 + y 2 . 2) ∂y∂x ∂x∂y

∂2f  π ‘ ∂2f a f (x, y) = x sin (x + y) . 4) , 0 , dac˘ (1, 1) , dac˘ a f (x, y) = xy ln x. ∂x∂y 4 ∂x∂y R: 1) Deoarece

∂f ∂f (1, y) − (1, 1) ∂2f ∂x (1, 1) = lim ∂x , y→1 ∂y∂x y−1 √  1 2 π‘ 1 se obt¸ine − √ . 2) . 3) 1− . 4) 1. 9 2 4 2 2 5.62 S˘ a e calculeze derivatele part¸iale ale urm˘ atoarelor funct¸ii: 3 2 1) f (x, y, z) = x py z + 2x − 3y + z + 5. 3) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .

z

2) f (x, y, z) = (xy) . 4) f (x, y, z) = z xy .

R: Se obt¸ine: 1) fx0 (x, y, z) = 3x2 y 2 z + 2, fy0 (x, y, z) = 2x3 yz − 3, fz0 (x, y, z) = x3 y 2 + 1. z z z z z 2) fx0 (x, y, z) = (xy) , fy0 (x, y, z) = (xy) , fz0 (x, y, z) = (xy) ln (xy). x y y x 3) fx0 (x, y, z) = p , fy0 (x, y, z) = p , 2 2 2 2 x +y +z x + y2 + z2 z . fz0 (x, y, z) = p 2 x + y2 + z2 xy xy 4) fx0 (x, y, z) = y z xy ln z, fy0 (x, y, z) = xz xy ln z, fz0 (x, y, z) = z . z a se arate c˘ a urm˘ atoarele funct¸ii sunt omogene ¸si apoi s˘ a se verifice relat¸ia lui 5.63 S˘ Euler: 1) f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 . x . x2 + y 2 €  y 5) f (x, y) = x2 + y 2 sin . x

3) f (x, y) =

x+y 2) f (x, y) = p . 3 x2 + y 2 €  x−y . 4) f (x, y) = x2 − y 2 ln x+y y €  6) f (x, y) = x2 − y 2 e x .

5.64 S˘ a se arate c˘ a dac˘ a u = f (x, y, z) este o funct¸ie omogen˘ a de grad de omogenitate m, care admite derivate part¸iale de ordinul doi continue pe D ⊂ R3 , atunci: 1) x 2) x2

∂2f ∂2f ∂f ∂2f +y +z = (m − 1) . 2 ∂x ∂x∂y ∂x∂z ∂x

2 2 ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f 2∂ f 2∂ f + + + 2xy + 2yz + 2zx = m (m − 1) f. y z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x∂y ∂y∂z ∂z∂x

76

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

5.65 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile date mai jos satisfac egalit˘ a¸tile scrise ˆın dreptul lor: €  ∂z ∂z 1) z = ln x2 + xy + y 2 , x +y = 2. ∂x ∂y y ∂z ∂z 2) z = xy + xe x , x +y = xy + z. ∂x ∂y

3) u = (x − y) (y − z) (z − x) ,

∂u ∂u ∂u + + = 0. ∂x ∂y ∂z

x − y ∂u ∂u ∂u , + + = 1. y − z ∂x ∂y ∂z €  ∂u ∂u ∂u 1 5) u = ln x3 + y 3 + z 3 − 3xyz , + + = . ∂x ∂y ∂z x+y+z 4) u = x +

5.66 Se d˘ aa funct¸ia:

 

“ ’ x2 y ln 1 + 2 , y 6= 0, f (x, y) = y  0, y = 0. 2

S˘ a se arate c˘ a de¸si nu sunt satisf˘ acute ipotezele teoremei lui Schwarz, totu¸si ∂2f ∂2f (0, 0) = (0, 0) . ∂x∂y ∂y∂x R: S˘a observ˘am c˘a teorema lui Schwarz d˘a condit¸ii suficiente nu ¸si necesare pentru egalitatea derivatelor mixte. Deoarece pentru x > 1, ln x > x, avem s s “ ’ p x2 x2 x2 2 2 2 0 < y ln 1 + 2 = 2y ln 1 + 2 < 2y 1 + 2 = 2 |y| x2 + y 2 , y y y deci

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = f (x, y) = 0, apoi

  2xy 2 ∂f , y 6= 0, (x, y) = x2 + y 2  ∂x 0, y = 0,

¸si

∂2f (0, 0) = ∂x∂y ∂2f (0, 0) = ∂y∂x

 ’ “ x2 2xy 2  ∂f 2y ln 1 + 2 − 2 , y 6= 0, (x, y) = y x + y2  ∂y 0, y = 0, ∂f ∂f (x, 0) − (0, 0) ∂x lim ∂x = 0, x→0 x ∂f ∂f (0, y) − (0, 0) ∂x ∂x = 0. lim y→0 y

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA Dar

77

 4x3 y  ∂2f , y= 6 0, 2 + y 2 )2 (x, y) = (x  ∂y∂x 0, y = 0,

nu este continu˘a ˆın origine.

5.67 S˘ a se calculeze derivatele part¸iale de ordinul doi ale funct¸iilor: r x2 y2 2 2 2) f (x, y) = + . 1) f (x, y) = 2x − 3xy − y . b2 p a2 € 2  2 3) f (x, y) = ln x + y . 4) f (x, y) = 2xy + y . x+y 2 . 5) f (x, y) = arctg 6) f (x, y) = (arcsin xy) . p 1 − xy 7) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . 8) f (x, y, z) = xy + yz + zx.

5.68 S˘ a se calculeze derivatele part¸iale de ordinul doi, ˆın origine, ale funct¸iei: n

m

f (x, y) = (1 + x) (1 + y) . R: fxx (0, 0) = m (m − 1), fxy (0, 0) = mn, fyy (0, 0) = n (n − 1). 5.69 S˘ a se calculeze derivatele part¸iale de ordinul m + n: €  ∂ m+n f x+y a: 1) f (x, y) = (x, y) , dac˘ . 2) f (x, y) = x2 + y 2 ex+y . m n ∂ ∂x x−y

R: 1) Prin induct¸ie dup˘a n ¸si apoi dup˘a m, se obt¸ine:

mx + ny ∂ m+n f n (x, y) = (−1) · 2 (m + n − 1)! · m+n+1 . m n ∂y ∂x (x − y) 2) Se obt¸ine: ‚ ƒ ∂ m+n f (x, y) = x2 + y 2 + 2 (mx + ny) + m (m − 1) + n (n − 1) ex+y . ∂y m ∂xn

5.70 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile:

1 y 1) u = arctg , 2) u = ln , unde r = x r satisfac ecuat¸ia lui Laplace:

q

2

2

(x − a) + (y − b) ,

∂2u ∂2u + 2 = 0. ∂x2 ∂y

5.71 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia u = A sin (aλt + ϕ) sin λx satisface ecuat¸ia undelor: ∂2u ∂2u − a2 2 = 0. 2 ∂t ∂x

78

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

5.72 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia x2 + y 2 + z 2 t u = €√ 3 · e πt 1

satisface ecuat¸ia c˘ aldurii:

’

∂u 1 = ∂t 4

−

∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z

“

.

a funct¸ia f (x, y) = x2 +xy−y 2 . S˘ 5.73 Se d˘ a se g˘ aseasc˘ a variat¸ia ¸si diferent¸iala funct¸iei ˆın punctul (x0 , y0 ). R: Variat¸ia funct¸iei este:  € f (x, y) − f (x0 , y0 ) = [(2x0 + y0 ) · h + (x0 − 2y0 ) · k] + h2 + hk − k 2 .

Deci diferent¸iala este df (x0 , y0 ) = (2x0 + y0 ) · h + (x0 − 2y0 ) · k.

5.74 Se d˘ a func˘ atia f (x, y) = x2 y. S˘ a se calculeze variat¸ia ¸si diferent¸iala funct¸iei ˆın punctul (x0 , y0 ) = (1, 2), pentru: 1) (h, k) = (1, 2), 2) (h, k) = (0, 1; 0, 2). 5.75 Utilizˆ and definit¸ia, s˘ a se arate c˘ a urm˘ atoarele funct¸ii sunt diferent¸iabile ˆın punctule specificate: 2

1) f (x, y) = (x − 1) + y 2 ˆın (1, 1). z 3) f (x, y) = p ˆın (3, 4, 5) . x2 + y 2

R: 1) Pentru orice (h, k) ∈ R2 , avem

2

2) f (x, y) = x2 + (y − 2) ˆın (1, 1) . €  4) f (x, y) = ln x3 + y 3 ˆın (0, 1) .

p  € f (1 + h, 1 + k) − f (1, 1) = 2k + h2 + k 2 = 2k + α (k, h) · h2 + k 2 ,

cu α (k, h) =

√

h2 + k 2 → 0, pentru (k, h) → (0, 0), iar df (1, 1) = 2k.

5.76 S˘ a se arate c˘ a ˆın origine, funct¸ia   p xy , x2 + y 2 f (x, y) =  0,

x2 + y 2 6= 0, x2 + y 2 = 0,

este continu˘ a, admite derivate part¸iale, ˆıns˘ a nu este diferent¸iabil˘ a. R: Din 0< p

|xy|

x2

+

y2

|xy| < p = |x| , y2

deducem c˘a f este continu˘a ˆın origine. Utilizˆand definit¸ia se arat˘a c˘a funct¸ia are derivate part¸iale ˆın origine egale cu 0.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

79

S˘a ar˘at˘am c˘a funct¸ia nu este diferent¸iabil˘ a ˆın origine. Dac˘a ar fi diferent¸iabil˘ a ˆın origine, ar avea loc egalitatea: p f (x, y) − 0 = 0 (x − 0) + 0 (y − 0) + α (x, y) · x2 + y 2 ,

ˆın care α (x, y) s˘a aib˘a limit˘a ˆın origine egal˘a cu 0. Dar din egalitatea precedent˘ a rezult˘a xy α (x, y) = 2 , funct ¸ ie care nu are limit˘ a ˆ ın origine. x + y2 p a ˆın origine. 5.77 S˘ a se cerceteze dac˘ a funct¸ia f (x, y) = x2 + y 2 este diferent¸iabil˘ R: Funct¸ia nu admite derivate part¸iale ˆın origine, deci nu este diferent¸iabil˘ a ˆın origine.

5.78 S˘ a se calculeze diferent¸ialele funct¸iilor: 1) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy. x2 − y 2 3) f (x, y) = 2 . x €+ y 2  5) f (x, y) = ln x2 + y 2 .

2) f (x, y) = x2 y 3 .

4) f (x, y) = sin2 x + sin2 y. y x 6) f (x, y) = arctg + arctg . x y € 2  € 2  R: 1) df (x, y) = 3x − 3y dx + 3y − 3x dy.

5.79 S˘ a se calculeze diferent¸ialele funct¸iilor:

p 2) f (x, y, z) = ’ x2 + y 2“+ z 2 . z x 4) f (x, y, z) = xy + . y

1) f (x, y, z) = xyz. 3) f (x, y, z) = arctg

xy . z2

R: df (x, y, z) = yz dx + zx dy + xy dz. 5.80 S˘ a se g˘ aseasc˘ a cu cˆ at se modific˘ a (aproximativ) volumul unui con avˆ and raza bazei alt¸imea y = 30 cm dac˘ x = 10 cm ¸si ˆın˘ a raza se mic¸soreaz˘ a cu 1 mm, iar ˆın˘ alt¸imea cre¸ste cu 3 mm. π R: Volumul conului este V = x2 y. Variat¸ia volumului este dat˘a de: 3  π € π V − V0 ≈ dV = 2xy dx + x2 dy = (−600 · 0, 1 + 100 · 0, 3) = −10π cm3 . 3 3 a se calculeze aproximativ (1, 02) 5.81 S˘

3,01

.

R: Consider˘am funct¸ia z = xy . Lu˘am x0 = 1, y0 = 3, h = 0, 02 ¸si k = 0, 01. Putem scrie: z − z0 ≈ dz = xy00 −1 y0 · h + x0y0 ln x0 · k = 3 · 0, 02 + 0 · 0, 01 = 0, 06. Deci z ≈ 1 + 0, 06 = 1, 06.

5.82 S˘ a se calculeze diferent¸ialele de ordinul doi ale funct¸iilor: p 1) f (x, y) = cos xy. 2) f (x, y) = x2 + y 2 . 3) f (x, y) = exy . 4) f (x, y) = ln xy. 6) f (x, y, z) = ex sin yz. 5) f (x, y, z) = xyz.

80

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS  € R: 1) d2 f (x, y) = − y 2 dx2 + 2xy dxdy + x2 dy 2 cos xy.

5.83 S˘ a se calculeze diferent¸iala de ordinul doi a funct¸iei f (x, y, z) = sin (x − 2y + z). 5.84 S˘ a se calculeze diferent¸iala de ordinul n a funct¸iei f (x, y) = eax+by . n

R: Se obt¸ine: dn f (x, y) = eax+by (a dx + b dy) . 5.85 Aplicˆ and formula de derivare a funct¸iilor compuse, s˘ a se calculeze F 0 (x0 ), ¸stiind c˘ a F (x) = f (u (x) , v (x)) in care: 1) f (u, v) = u + uv, u (x) = cos x, v (x) = sin x, x0 = 2) f (u, v) = eu−2v , u (x) = x2 , v (x) = x2 − 2, x0 = 2. 5.86 S˘ a se g˘ aseasc˘ a

π . 4

dz dac˘ a: dt 1) z = e3x+2y , unde: x = cos t, y = t2 . x 2) z = , unde: x = et , y = ln t. y √ x 3) z = ln sin √ , unde: x = 3t2 , y = t2 + 1. y

5.87 S˘ a se g˘ aseasc˘ a 2

1) z = ex

+y 2

dz dac˘ a: dt

, unde: x = a cos t, y = a sin t. 2) z =

5.88 S˘ a se g˘ aseasc˘ a

1 x ln , unde: x = tg2 t, y = ctg2 t. 2 y

du dac˘ a: dt

1) u = xyz, unde: x = t2 + 1, y = ln t, z = tg t. z , unde: x = R cos t, y = R sin t, z = H. 2) u = p 2 x + y2

5.89 S˘ a se g˘ aseasc˘ a

dz dac˘ a z = uv , unde u = sin x, v = cos x. dx

5.90 S˘ a se g˘ aseasc˘ a

dz ∂z ¸si dac˘ a z = xy , unde y = ϕ (x). ∂x dx

5.91 S˘ a se g˘ aseasc˘ a

∂z ∂z ¸si , dac˘ a z = f (u, v), unde u = x2 + y 2 ¸si v = exy . ∂x ∂y

5.92 S˘ a se g˘ aseasc˘ a

x ∂z ∂z ¸si , dac˘ a z = arctg , unde x = u sin v ¸si y = u cos v. ∂u ∂v y

5.93 S˘ a se g˘ aseasc˘ a

∂z ∂z y ¸si , dac˘ a z = f (u), unde u = xy + . ∂u ∂v x

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

81

€  a se arate c˘ a dac˘ a ω = f x2 + y 2 + z 2 , unde: 5.94 S˘

x = R cos u cos v, y = R cos u sin v, z = R sin u,

atunci:

∂ω ∂ω = 0 ¸si = 0. ∂u ∂v

5.95 S˘ a se arate c˘ a dac˘ a z = f (x + ay), unde f este o funct¸ie diferent¸iabil˘ a, atunci ∂z ∂z =a . ∂y ∂x 5.96 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia w = f (u, v), unde f este o funct¸ie diferent¸iabil˘ a ¸si u = x + at, v = y + bt, satisface ecuat¸ia: ∂w ∂w ∂w =a +b . ∂t ∂x ∂y €  5.97 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia z = yf x2 − y 2 , unde f este o funct¸ie diferent¸iabil˘ a, satisface ecuat¸ia: 1 ∂z 1 ∂z z + = 2. x ∂x y ∂y y y‘ a se arate c˘ a funct¸ia z = xy + f a, 5.98 S˘ , unde f este o funct¸ie diferent¸iabil˘ x satisface ecuat¸ia: ∂z ∂z x +y = xy + z. ∂x ∂y 

 x2 2  5.99 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia z = ey f ye 2y , unde f este o funct¸ie diferent¸iabil˘ a,

satisface ecuat¸ia:

 ∂z € 2 ∂z + xy = xyz. x − y2 ∂x ∂y y‘ y‘ 5.100 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia z = xf +g , unde f ¸si g sunt o funct¸ii de dou˘ a x x ori diferent¸iabile, satisface ecuat¸ia:

∂2z ∂2z ∂2z + 2xy + y 2 2 = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y y‘ √ 5.101 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia z = f (xy) + xy · g , unde f ¸si g sunt o funct¸ii de x dou˘ a ori diferent¸iabile, satisface ecuat¸ia: x2

x2

2 ∂2z 2∂ z − = 0. y ∂x2 ∂y 2

82

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

5.102 S˘ a se arate c˘ a funct¸ia z = f (x + g (y)) satisface ecuat¸ia: ∂z ∂ 2 z ∂z ∂ 2 z = . ∂x ∂x∂y ∂y ∂x2 5.103 S˘ a se g˘ aseasc˘ a d2 z dac˘ a: 1) z = f (u), unde u = x2 + y 2 . 3) z = f (u, v), unde u = ax ¸si v = ay.

x , v = xy. y 4) z = f (u, v), unde u = xey ¸si v = yex . 2) z = uv , unde u =

5.104 S˘ a se calculeze diferent¸ialele de ordinul doi ale funct¸iilor compuse: ’ “  € 2 2 x . 1) F (x) = f x , ln x . 2) F (x, y) = f x , y €  3) F (x, y, z) = f x + y + z, x2 + y 2 + z 2 .

5.105 S˘ a se g˘ aseasc˘ a polinomul Taylor de gradul 3 asociat funct¸iei p f (x, y) = x2 + y 2

ˆın punctul (1, 1).

R:Polinomul Taylor de gradul 3 asociat funct¸iei f este: T3 (x, y) =

√ 1 1 1 1 √ [(x − 1)2 + 2(x − 1)(y − 1) + (y − 1)2 ]− 2 + √ [(x − 1) + (y − 1)] + 1! 2 2! 2 2 −

1 1 √ [(x − 1)3 − (x − 1)2 (y − 1) − (x − 1)(y − 1)2 + (y − 1)3 ]. 3! 4 2

a se g˘ aseasc˘ a polinomul Taylor de gradul n asociat funct¸iei f (x, y) = ex+y ˆın 5.106 S˘ punctul (1, −1). R: Avem: Tn (x, y) = 1 +

k n X n X X 1 1 [(x − 1) + (y + 1)]k = (x − 1)k−i (y + 1)i . k! i!(k − i)! i=0

k=1

k=0

5.107 S˘ a se g˘ aseasc˘ a o valoare aproximativ˘ a a num˘ arului (1, 1)1,2 . R: Polinomul Taylor de gradul 3 asociat funct¸iei f (x, y) = xy , punctul (1, 1) este: T3 (x, y) = 1 +

x > 0, y > 0, ˆın

1 1 1 (x − 1) + [2(x − 1)(y − 1)] + [3(x − 1)2 (y − 1)]. 1! 2! 3!

Putem atunci scrie f (1, 1; 1, 2) ≈ T3 (1, 1; 1, 2) = 1, 1021.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

83

a se dezvolte polinomul 5.108 S˘ f (x, y) = x3 − 2y 3 + 3xy dup˘ a formula lui Taylor ˆın vecin˘ atatea punctului (1, 2). R: Avem: 2

2

f (x, y) = 9 (x − 1) − 21 (y − 2) + 3 (x − 1) + 3 (x − 1) (y − 2) − 12 (y − 2) + 3

3

+ (x − 1) − 2 (y − 2) . 5.109 S˘ a se dezvolte polinomul f (x, y) = −x2 + 2xy + 3y 2 − 6x − 2y − 4 dup˘ a formula lui Taylor ˆın vecin˘ atatea punctului (−2, 1). 2

2

R: f (x, y) = 1 − (x + 2) + 2 (x + 2) (y − 1) + 3 (y − 1) . 5.110 S˘ a se dezvolte polinomul f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy − yz − 4x − 3y − z + 4 dup˘ a formula lui Taylor ˆın vecin˘ atatea punctului (1, 1, 1). a se dezvolte 5.111 Se d˘ a polinomul f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2xy − 2xz − 2yz. S˘ f (x + k, y + h, z + `) dup˘ a formula lui Taylor ˆın vecin˘ atatea punctului (x, y, z). 5.112 S˘ a se g˘ aseasc˘ a polinoamele Taylor de gradul 3 asociate, ˆın origine, funct¸iilor: 1) f (x, y) = ex sin y. 2) f (x, y) = cos x cos y. 1 1 1 1 R: 1) T3 (x, y) = y + xy − y 3 + x2 y. 2) T3 (x, y) = 1 − y 2 − x2 . 6 2 2 2 5.113 S˘ a se g˘ aseasc˘ a polinoamele Taylor de gradul 2 asociat funct¸iei p f (x, y) = x2 + y 2

ˆın punctul (1, 1). R: Avem √ T3 (x, y) = 2+

√ i 1 1 h 2 √ (x − 1)2 − 2 (x − 1) (y − 1) + (y − 1)2 . [(x − 1) + (y − 1)]+ 1! 2! 2 2

a se deduc˘ a formule aproximative (exacte pˆ an˘ a la termeni de gradul doi ˆın x ¸si 5.114 S˘ y) pentru funct¸iile: r m n (1 + x) + (1 + y) 1−x , 2) f (x, y) = , 1) f (x, y) = arctg 1−y 2 dac˘ a |x| ¸si |y| sunt mici ˆın comparat¸ie cu unitatea.

84

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

Capitolul 6

Funct¸ii definite implicit 6.1

Funct¸ii definite implicit de o ecuat¸ie

6.1 S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia F (x; y) = y 3 − xy 2 − xy + x2 = 0: 1) Admite o infinitate de solut¸ii y = f (x), f : [0, ∞) → [0, ∞). 2) Admite numai patru solut¸ii continue y = f (x), f : [0, ∞) → [0, ∞). a o vecin˘ atate U a punctului x0 = 4 ¸si o vecin˘ atate V a punctului y0 = 2, ˆın 3) Exist˘ a pe U , care ecuat¸ia F (x; y) = 0 admite o singur˘ a solut¸ie y = f (x), f : U → V , continu˘ care satisface condit¸ia f (4) = 2. €  R: 1) Ecuat¸ia se mai scrie: (y − x) y 2 − x = 0. Deci, pentru orice α, β ∈ R, cu 0 ≤ α ≤ β, funct¸iile y = f (x), f : [0, ∞) → [0, ∞), definite prin: š š √ x, x ∈ [α, β), x, x ∈ [α, β), √ f (x) = f (x) = x, ˆın rest, x, ˆın rest. 2) Cele patru solut¸ii continue pe [0, ∞) sunt: š š √ √ x, x ∈ [0, 1), x, x ∈ [0, 1), √ f1 (x) = x, f2 (x) = x, f3 (x) = f4 (x) = x, x ∈ [1, ∞). x, x ∈ [1, ∞), 6 0, dac˘a lu˘am U = (1, ∞) ¸si V = (1, ∞), funct¸ia 3) Deoarece Fy0 (4; 2) = −8 = √ f (x) = x este continu˘a ¸si f (4) = 2. 6.2 S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia F (x, y; z) = x2 + y 2 − z 2 − 3xyz = 0 admite numai dou˘ a atate a punctului solut¸ii z = z1 (x, y) ¸si z = z2 (x, y) continue ¸si diferent¸iabile pe o vecin˘ (0, 1). acinile z1 = 1 ¸si z2 = −1, iar Fz0 (x, y; z) = R: Ecuat¸ia F (0, 1; z) = 1 − z 2 = 0 are r˘ad˘ 0 0 − (2z + 3xy), a.ˆı. Fz (0, 1; 1) = −2, Fz (0, 1; −1) = 2. Deci exist˘a dou˘a funct¸ii continue ¸si diferent¸iabile pe o vecin˘atate a punctului (0, 1) care satisfac condit¸iile z1 (0, 1) = 1 ¸si respectiv z2 (0, 1) = −1. Derivatele lor part¸iale sunt date de: ∂z 2x − 3yz ∂z 2y − 3xz = , = . ∂x 2z + 3xy ∂y 2z + 3xy 85

86

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

Valorile lor ˆın punctul (0, 1) sunt: ∂z1 3 ∂z1 ∂z2 3 ∂z2 (0, 1) = − , (0, 1) = 1, (0, 1) = − , (0, 1) = −1. ∂x 2 ∂y ∂x 2 ∂y d2 y dy ¸si dac˘ a dx dx2 €  € 3 1) F (x; y) = x2 + y 2 − 3 x2 + y 2 + 1 = 0. p y 2) F (x; y) = ln x2 + y 2 − a acrtg = 0, a 6= 0. x  € 3) F (x; y) = x2 + y 2 + ln x2 + y 2 − a2 = 0.

6.3 S˘ a se calculeze

€ 2  € a + 1 x2 + y 2 x2 + y 2 d2 y dy x + ay d2 y x dy = − ¸si =− . 2) = , = . R: 1) 3 dx y dx2 y3 dx ax − y dx2 (ax − y) x2 + y 2 dy x d2 y =− , = − . 3) dx y dx2 y3 6.4 S˘ a se calculeze

dy d2 y d3 y , ¸ s i dac˘ a dx dx2 dx3 y2 x2 + − 1 = 0. a2 b2

R:

dy d3 y b2 x d2 y b4 3b6 x =− 2 , = ¸ s i = . − − dx a y dx2 a2 y 3 dx3 a4 y 5

6.5 S˘ a se calculeze R:

dy dac˘ a F (x; y) = y x − y + 1 = 0. dx

dy y x ln x = . dx 1 − xy x−1

6.6 Ecuat¸iile: 1) F 2) F 3) F 4) F

(x, y; z) = x3 + 2y 3 + z 3 − 3xyz − 2y + 3 = 0, (x, y; z) = x cos y + y cos x + z cos x − 1 = 0, (x, y; z) = x + y + z − ez = 0, (x, y; z) = z 2 − xey − yez − zex = 0,

definesc funct¸ii z = z (x, y). S˘ a se calculeze: R: 1) ∂z ∂x ∂z 3) ∂x

2)

∂z ∂z ¸si . ∂x ∂y

∂z x2 − yz ∂z 6y 2 − 3xz − 2 = , = . 2 ∂x xy − z ∂y 3 (xy − z 2 ) z cos x − cos y ∂z x sin y − cos z = , = . cos x − y sin z ∂y cos x − y sin z y x ∂z ∂z ∂z 1 e + ze xey + ez , . = = z . 4) = = ∂y e −1 ∂x 2z − yez − ex ∂y 2z − yez − ex

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

87

6.7 Ecuat¸iile: 1) xey + yex + zex = 1, 2) x − z + arctg definesc funct¸ii z = z (x, y). S˘ a se calculeze R: 1)

y = 0, 3) sin xy − exy − x2 y = 0. z−x

∂z . ∂x

∂z ∂z ∂z y (exy + 2x − cos xy) . = −y − z − ey−x . 2) = 1. 3) =− ∂x ∂x ∂x x (exy + x − cos xy)

6.8 S˘ a se calculeze derivatele part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai ¸si cele de ordinul al doilea ale funct¸iei z = z (x, y) definit˘ a de ecuat¸ia x2 y2 z2 + 2 + 2 − 1 = 0. 2 a b c  € c4 b2 − y 2 ∂z c2 x ∂z c2 y ∂ 2 z c4 xy ∂ 2 z ∂2z R: = − 2 , = − 2 , = − = = − , , b z ∂x2 a2 b2 z 3 ∂x∂y a2 b2 z 3 ∂y 2 € 2∂x 2  a z ∂y 4 c a −x . − a2 b2 z 3 a se calculeze dz ¸si d2 z dac˘ 6.9 S˘ a funct¸ia z = z (x, y) este definit˘ a de ecuat¸ia: x2 + y 2 + z 2 = a2 . y xy y 2 − a2 2 x 2 − a2 2 x dx − 2 dxdy + dy . R: dz = − dx − dy, d2 z = z x z3 z3 z3 6.10 S˘ a se calculeze dz ¸si d2 z ˆın punctul (2, 0; 1) dac˘ a funct¸ia z = z (x, y) este definit˘ a de ecuat¸ia: 2x2 + 2y 2 + z 2 − 8xz − z + 8 = 0. R: dz (2, 0) = 0, d2 z (2, 0) =

 4 € 2 dx + dy 2 . 15

a de ecuat¸ia (y + z) sin z − y (x + z) = 0. S˘ 6.11 Funct¸ia z = z (x, y) este definit˘ a se arate c˘ a ∂z ∂z − y2 = 0. z sin z ∂x ∂y R: Avem: y ∂z ∂z sin z − x − z = , =− . ∂x sin z + y cos z + z cos z − y ∂y sin z + y cos z + z cos z − y a de ecuat¸ia x2 + y 2 + z 2 = ϕ (ax + by + cz), unde 6.12 Funct¸ia z = z (x, y) este definit˘ ϕ este o funct¸ie derivabil˘ a ¸si a, b, c sunt constante. S˘ a se arate c˘ a (cy − bz)

∂z ∂z + (az − cx) = bx − ay. ∂x ∂y

88

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

6.13 Funct¸ia z = z (x, y) este definit˘ a de ecuat¸ia F (x − az, y − bz) = 0, unde F este o a se arate c˘ a funct¸ie diferent¸iabil˘ a iar a ¸si b sunt constante. S˘ a

∂z ∂z +b = 1. ∂x ∂y

6.14 Ecuat¸ia F (x + 2y, y − 2x) = 0 define¸ste funct¸ia y = y (x). S˘ a se calculeze y 0 (x) 00 ¸si y (x). 6.15 Ecuat¸ia F (sin x + y, cos y + x) = 0 define¸ste funct¸ia y = y (x). S˘ a se calculeze y 0 (x) ¸si y 00 (x). 6.16 Ecuat¸ia

€  ln x2 + y 2 + z 2 + arcsin (ax + by + cz) = 1

define¸ste funct¸ia z = z (x, y). S˘ a se calculeze 6.17 Ecuat¸ia F

’ “ z z x + ,y + = 0 define¸ste funct¸ia z = z (x, y). S˘ a se arate c˘ a: y x x

6.18 Ecuat¸ia F

∂z ∂z +y = z − xy. ∂x ∂y

x y‘ a se arate c˘ a: , = 0 define¸ste funct¸ia z = z (x, y). S˘ z z x

6.2

∂z ∂z ∂ 2 z , , . ∂x ∂y ∂x∂y

∂z ∂z +y = z. ∂x ∂y

Funct¸ii definite implicit de un sistem de ecuat¸ii

6.19 Sistemul

š

F (x; y, z) = x2 + y 2 − z 2 = 0, G(x; y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 − 5 = 0,

define¸ste funct¸iile y = y (x), z = z (x). S˘ a se calculeze y 0 (x), z 0 (x), y 00 (x) ¸si z 00 (x). R: Din sistemul: x + yy 0 − zz 0 = 0, x + 2yy 0 + 3zz 0 = 0, se obt¸ine: y 0 = −

Derivˆand din nou ¸si ˆınlocuind y 0 ¸si z 0 , obt¸inem: y 00 = − 6.20 Sistemul

š

4 5y 2 + 4x2 1 x2 − 5z 2 , z 00 = − . 3 25 y 25 z3

F (x; y, z) = cos x + cos y + cos z − a = 0, G(x; y, z) = x3 + y 3 + z 3 − b = 0,

define¸ste funct¸iile y = y (x), z = z (x). S˘ a se calculeze y 0 (x), z 0 (x).

4x 0 x ,z = . 5y 5z

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

89

R: Din sistemul: sin x + y 0 sin y − z 0 sin z = 0, x2 + y 2 y 0 + z 2 z 0 = 0, obt¸inem: y0 = −

x2 sin z − z 2 sin x x2 sin y − y 2 sin x , z0 = − 2 . 2 2 y sin z − z sin y z sin y − y 2 sin z

6.21 Sistemul xyz = a, x + y + z = b define¸ste funct¸iile y = y (x), z = z (x). S˘ a se calculeze dy, dz, d2 y ¸si d2 z. R: Din: yzdx + xzdy + xydz = 0 ¸si dx + dy + dz = 0 se obt¸ine: dy = −

z (x − y) y (x − z) dx, dz = dx, x (y − z) x (y − z)

d2 y = −d2 z = −2yz 6.22 Sistemul

š

x2 + y 2 + z 2 − xz − xy − yz 3

x2 (y − z)

dx2 .

F (x, y; u, v) = u + v − x − y = 0, G(x, y; u, v) = xu + yv − 1 = 0,

a se calculeze derivatele part¸iale pentru x = 6 y, define¸ste pe u ¸si v ca funct¸ii de x ¸si y. S˘ ale funct¸iilor u = u(x, y) ¸si v = v(x, y). R: Pentru a calcula derivatele part¸iale ale funct¸iilor u = u(x, y) ¸si v = v(x, y), deriv˘am cele dou˘a ecuat¸ii ˆın raport cu x ¸si apoi cu y. Se obt¸in sistemele liniare: š š uy + vy = 1, ux + vx = 1, xuy + yvy = −v, xux + yvx = −u, al c˘aror determinant este Œ D(F, G) ŒŒ 1 =Œ x D(u, v)

Aplicˆand regula lui Cramer se obt¸ine: ux =

Œ 1 ŒŒ = y − x 6= 0. y Œ

y+v x+u x+v y+u , vx = − , uy = , vy = − . y−x y−x y−x y−x

6.23 Sistemul

š

F (x, y; u, v) = u − x − y = 0, G(x, y; u, v) = uv − y = 0,

define¸ste pe u ¸si v ca funct¸ii de x ¸si y. S˘ a se calculeze derivatele part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai ¸si doi ale funct¸iilor u = u(x, y) ¸si v = v(x, y). 6.24 Sistemul

š

F (x, y; u, v) = x + y + u + v − a = 0, G(x, y; u, v) = x3 + y 3 + u3 + v 3 − b = 0,

define¸ste pe u ¸si v ca funct¸ii de x ¸si y. S˘ a se calculeze derivatele part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai ¸si doi ale funct¸iilor u = u(x, y) ¸si v = v(x, y).

90

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: Obt¸inem: ux =

v 2 − x2 x2 − u2 v2 − y2 y 2 − u2 , vx = 2 , uy = 2 , vy = 2 . 2 2 2 2 u −v u −v u −v u − v2

6.25 Sistemul

š

F (x, y; u, v) = u + v − x = 0, G(x, y; u, v) = u − yv = 0,

define¸ste pe u ¸si v ca funct¸ii de x ¸si y. S˘ a se calculeze du, dv, d2 u ¸si d2 v. R: Din: du + dv = dx ¸si du − y dv = v dy, se obt¸ine: du =

1 1 (y dx + v dy) , dv = ( dx − v dy) , 1+y 1+y d2 u = −d2 v =

2 2

(1 + y)

€  dx dy − v d2 y .

a se 6.26 Sistemul ϕ (u, v) = x, ψ (u, v) = y define¸ste pe u ¸si v ca funct¸ii de x ¸si y. S˘ calculeze ∂u ∂v ∂u ∂v , , , . ∂x ∂x ∂y ∂y R: Derivˆand cele dou˘a ecuat¸ii ˆın raport cu x, obt¸inem: ∂ϕ ∂u ∂ϕ ∂v ∂ψ ∂u ∂ψ ∂v + = 1, + = 0. ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x Dac˘a

D (ϕ, ψ) 6= 0, obt¸inem: D (u, v) ∂ψ ∂ψ ∂v ∂u ∂v = − ∂u , = . D (ϕ, ψ) ∂x D (ϕ, ψ) ∂x D (u, v) D (u, v)

a se g˘ aseasc˘ a zx ¸si zy dac˘ a: 6.27 S˘ 1) x = u cos v, y = u sin v, z = cv. 2) x = u + v, y = u − v, z = uv. R: 1) zx = cvx = −

6.3

cy 1 1 cx , zy = cvy = 2 . 2) zx = x, zy = − y. x2 + y 2 x + y2 2 2

Transform˘ ari punctuale

a se arate c˘ a transformarea 6.28 Fie E = (0, ∞) × [0, 2π) ⊂ R2 ¸si F = R2 \ {(0, 0)}. S˘ punctual˘ a: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, (r, ϕ) ∈ E,  π‘ este regulat˘ a pe E ¸si s˘ a se determine inversa sa ˆın vecin˘ atatea punctului 1, ∈ E. 4

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

91

R: Determinantul funct¸ional al transform˘arii este Œ Œ D(x, y) ŒŒ cos ϕ −r sin ϕ ŒŒ = = r 6= 0, ∀(r, ϕ) ∈ E. r cos ϕ Œ D(r, ϕ) Œ sin ϕ

Deci ˆın orice punct cu except¸ia originii, transformarea este regulat˘a ¸si inversa ei este p y r = x2 + y 2 , ϕ = arctg . x

6.29 Fie E = (0, ∞) × [0, 2π) × R ⊂ R3 ¸si F = R3 \ {(0, 0, z) , z ∈ R}. S˘ a se arate c˘ a transformarea punctual˘ a: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z,

 π ‘ a se determine inversa sa ˆın vecin˘ atatea punctului 1, , 0 ∈ E. este regulat˘ a pe E ¸si s˘ 4 R: Determinantul funct¸ional al transform˘arii este Œ Œ Œ cos ϕ −r sin ϕ 0 Œ Œ D(x, y, z) ŒŒ = Œ sin ϕ r cos ϕ 0 ŒŒ = r 6= 0, ∀(r, ϕ, z) ∈ E. D(r, ϕ, z) Œ 0 0 1 Œ

Deci ˆın orice punct cu except¸ia celor de pe axa Oz este regulat˘a ¸si inversa ei este p y r = x2 + y 2 , ϕ = arctg , z = z. x

6.30 Fie E = (0, ∞) × [0, 2π) × (0, π) ⊂ R3 ¸si F = R3 \ {(0, 0, z) , z ∈ R}. S˘ a se arate c˘ a transformarea punctual˘ a: x = r cos ϕ sin θ,

y = r sin ϕ sin θ,

z = r cos θ, (r, ϕ, θ) ∈ E,  π ‘ este regulat˘ a pe E ¸si s˘ a se determine inversa sa ˆın vecin˘ atatea punctului 1, , 0 ∈ E. 4 R: Determinantul funct¸ional al transform˘arii este Œ Œ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ D(x, y, z) ŒŒ = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ D(r, ϕ, z) ŒŒ cos θ −r sin θ 0

Œ Œ Œ Œ = r2 sin θ = 6 0. Œ Œ

Deci ˆın orice punct cu except¸ia celor de pe axa Oz este regulat˘a ¸si inversa ei este p y z . r = x2 + y 2 + z 2 , ϕ = arctg , θ = arccos p x x2 + y 2 + z 2 a prin: 6.31 Se d˘ a transformarea punctual˘ a f : R2 → R2 definit˘

u = x2 + y 2 , v = x2 − y 2 . ˆ ‰ 1) S˘ a se g˘ aseasc˘ a imaginea mult¸imii E = (x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0 prin transformarea f . 2) S˘ a ˆıntr-o vecin˘ atate a punctului (1, 1). a se arate c˘ a transformarea f este regulat˘ 3) S˘ a se g˘ aseasc˘ a inversa transform˘ arii f .

92

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

ˆ ‰ D (u, v) R: 1) F = (u, v) ∈ R2 u + v > 0, u − v > 0 . 2) (1, 1) = −8 6= 0. 3) Inversa D (x, y) transform˘arii f este: 1 √ 1 √ x = √ u + v, y = √ u − v. 2 2 6.32 S˘ a se arate c˘ a transformarea punctual˘ a f : R2 → R2 definit˘ a prin: u = sin (x + y) , v = y 3 , h π πi h π πi nu este regulat˘ a pe mult¸imea D = − , × − , . 4 4 4 4 R:

π D (u, v) = 3y 2 cos (x + y) = 0 pentru y = 0 sau x + y = ± . D (x, y) 2

a se arate c˘ a transformarea: 6.33 S˘ x = cos ϕ cos ψ, y = cos ϕ sin ψ, o n π a se calculeze: este regulat˘ a pe mult¸imea E = (ϕ, ψ) | 0 < ϕ < , ψ ∈ R . S˘ 2 ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ , , , , ∂x ∂x ∂y ∂y

ˆın punctul (x0 , y0 ) = π π‘ , . 4 4

’

“ 1 1 , imaginea prin transformarea dat˘ a a punctului (ϕ0 , ψ0 ) = , 2 2

R: Determinantul funct¸ional al transform˘arii este Œ Œ Œ − sin ϕ cos ψ − cos ϕ sin ψ Œ D(x, y) Œ Œ = −2 sin ϕ cos ϕ 6= 0, ∀(ϕ, ψ) ∈ E. = cos ϕ cos ψ Œ D(ϕ, ψ) Œ − sin ϕ sin ψ p y x2 + y 2 , ψ = arctg , iar: x ’ “ ’ “ ’ “ ’ “ ∂ϕ 1 1 ∂ψ 1 1 ∂ϕ 1 1 ∂ψ 1 1 = = = = −1. , , , , ∂x 2 2 ∂x 2 2 ∂y 2 2 ∂y 2 2

Inversa transform˘arii este: ϕ = arccos

6.34 Fie transformarea: x = r cos ϕ sin ψ, y = r sin ϕ sin ψ, z = r cos ψ, (r, ϕ, ψ) ∈ R3 . 1) S˘ a se determine punctele ˆın care transformarea este regulat˘ a. 2) S˘ a se calculeze jacobianul transform˘ arii inverse ¸si derivatele rxx , ϕyy , ψzz ˆın punctul (x0 , y0 , z0 ) = (0, 1, 0). R: 1) Jacobianul transform˘arii este: Œ Œ cos ϕ sin ψ −r sin ϕ sin ψ Œ D (x, y, z) = ŒŒ sin ϕ sin ψ r cos ϕ sin ψ D (r, ϕ, ψ) Œ cos ψ 0

r cos ϕ cos ψ r sin ϕ cos ψ −r sin ψ

Œ Œ Œ Œ = −r2 sin ψ. Œ Œ

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

93

Transformarea este regulat˘a dac˘a r 6= 0 ¸si ψ 6= kπ, k ∈ Z. 2) Jacobianul transform˘arii inverse ˆın punctul (0, 1, 0) este: D (r, ϕ, ψ) 1 (0, 1, 0) = = −1. D (x, y, z)  π π ‘ D (x, y, z) 1, , D (r, ϕ, ψ) 2 2

Transformarea invers˘a este: p y z r = x2 + y 2 + z 2 , ϕ = arctg , ψ = arccos p . 2 x x + y2 + z2 Iar: rxx (0, 1, 0) = 1, ϕyy (0, 1, 0) = 0, ψzz (0, 1, 0) = −1.

6.4

Dependent¸˘ a ¸si independent¸˘ a funct¸ional˘ a

6.35 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile: 1) f (x, y, z) = x + y + z, g (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , h (x, y, z) = xy + xz + yz. h (x, y, z) = 4xy + 4yz. 2) f (x, y, z) = x + y + z, g (x, y, z) = x − y + z,

sunt funct¸ional dependente pe R3 . R: 1) Matricea funct¸ional˘a



x  2x y+z

y 2y x+z

 z 2z  x+y

are rangul mai mic decˆat 3. Relat¸ia de dependent¸˘ a funct¸ional˘ a este: g = f 2 − 2h. 2) Matricea funct¸ional˘a   1 1 1  1 1  −1 4y 4x + 4z 4y

are rangul mai mic decˆat 3. Relat¸ia de dependent¸˘ a funct¸ional˘ a este: h = f 2 − g 2 . 6.36 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile:

€  f (x, y, z) = ln x2 ’ + y2 + z2 ,“ x y − +z , g (x, y, z) = arctg y x

sunt funct¸ional independente pentru x > 0, y > 0, z > 0. R: Matricea funct¸ional˘a  2x  x2 + y 2 + z 2  1 y  +  y x2   “2 ’  x y − +z 1+ y x

are rangul 2.

2y 2 x + y2 + z2 x 1 − 2− y x “2 ’ x y − +z 1+ y x



2z 2 x + y2 + z2

1+

’

1 x y − +z y x

“2

      

94

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

6.37 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile: f (x, y, z) = x + y + z, g (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 + 6xyz, h (x, y, z) = xy (x + y) + yz (y + z) + zx (z + x) , sunt funct¸ional dependente pe R3 ¸si s˘ a se g˘ aseasc˘ a relat¸ia de dependent¸˘ a funct¸ional˘ a. R: Matricea funct¸ional˘a  1  3x2 + 6yz y 2 + z 2 + 2x (y + z)

 1 1  3y 2 + 6xz 3z 2 + 6xy 2 2 2 z + x + 2y (z + x) x + y 2 + 2z (x + y)

are rangul mai mic decˆat 3. Relat¸ia de dependent¸˘ a funct¸ional˘ a este: f 3 = g + 3h. y ‘ , 6.38 Dac˘ a funct¸iile f, g, h sunt derivabile ¸si inversabile, atunci funct¸iile: u = f z ’ “ z ‘ x , w=h , definite pe D = R \ {(0, 0, 0)}, sunt funct¸ional dependente pe v=g x y D. R: Matricea funct¸ional˘a 

are rangul mai mic decˆat 3.

    

0 z − 2 g0 x 1 0 h y

1 0 f z 0 x − 2 h0 y

y 0 f z2 1 0 g x 0

−



    

6.39 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile: f (x, y, z) = xy − z, g (x, y, z) = xz € + y,  €   € €  h (x, y, z) = x2 + 1 y 2 + z 2 − x2 − 1 yz − x y 2 − z 2 ,

sunt funct¸ional dependente pe R3 ¸si s˘ a se g˘ aseasc˘ a relat¸ia de dependent¸˘ a funct¸ional˘ a. R: Matricea funct¸ional˘a are rangul mai mic decˆat 3. Relat¸ia de dependent¸˘ a funct¸ional˘a este: h = f 2 − f g + g2 . 6.40 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile: f1 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + x2 − x3 , f2 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x21 + x22 + x32 + x24 , f3 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 − x42 , sunt funct¸ional dependente pe R4 .

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

95

a funct¸ioR: Rangul matricei funct¸ionale este mai mic decˆat 3. Relat¸ia de dependent¸˘ nal˘ a este: f2 + f3 = f12 . 6.41 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile: f1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 + x2 + · · · + xn , f2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = x21 + x22 + · · · + x2n , f3 (x1 , x2 , . . . , x4 ) = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn , sunt funct¸ional dependente pe R4 . R: Rangul matricei funct¸ionale este mai mic decˆat 3. Relat¸ia de dependent¸˘ a funct¸ional˘a este: f2 + 2f3 = f12 .

6.5

Schimb˘ ari de variabile

6.42 S˘ a se efectueze schimbarea de variabil˘ a independent˘ a x= x2

1 ˆın ecuat¸ia: t

dy d2 y a2 + 2x + 2 y = 0. 2 dx dx x

dt 1 d2 t 2 = − 2 = −t2 ¸si = 3 = 2t3 , avem: dx x dx2 x ’ “2 dy dt dy d2 t d2 y dy dy d2 y d2 y dt dy = = −t2 , = + = t4 2 + 2t3 2 2 2 dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dt

R: Deoarece:

¸si deci ecuat¸ia devine:

d2 y + a2 y = 0. dt2

a se efectueze schimbarea de variabil˘ a independent˘ a indicat˘ a ˆın urm˘ atoarele ecu6.43 S˘ at¸ii pentru funct¸ia y = y (x): 1 , x 2 00 3 000 0 2) x y − x y + 2xy − 2y = x3 + 3x, 2 € €  3) 1 + x2 y 00 + 2x 1 + x2 y 0 + y = 0, 3 00 2 0 4) (1 € + x)2 y 00 + 3 (10 + x) y + (1 + x) y = ln (1 + x) , 5) 1 − x y − xy + y = 0, 1) x2 y 00 − 2y = x2 +

x = et . x = et . x = tg t. x = et − 1. x = cos t.

dy = y. ˙ Se obt¸ine: 1) y¨ − y˙ − 2y = e2t + e−t , dt ... y + 5y˙ − 2y = e3t + 3et . 3) y¨ + y˙ = 0. 4) y¨ − 2y˙ + y = te−t . 2) y −4¨ 5) y¨ + y˙ = 0. R: Not˘am

96

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

6.44 S˘ a se efectueze schimbarea variabilei independente ˆın urm˘ atoarele ecuat¸ii pentru funct¸ia y = y (x), luˆ and drept nou˘ a variabil˘ a independent˘ a funct¸ia t = t (x) indicat˘ a: 2

1) (1€ + x) y00 + (1€+ x) y 0 + t = ln √y = 4 cos √ (1 + x) .  [ln (1 + x)] , 2) x 1 + x2 y 00 − 1 − x2 y 1 + x2 y 0 − 3x3 y 2 = 0, t = 1 + x2 .

R: 1) Not˘am

dy = y. ˙ Se obt¸ine: 1) y¨ + y˙ = 4 cos t. 2) y¨ + y y˙ − y 2 = 0. dt

6.45 Funct¸ia y = y (x) verific˘ a ecuat¸ia €  x2 y 00 + 4xy 0 + 2 − x2 y = 4x.

S˘ a se g˘ aseasc˘ a ce devine aceast˘ a ecuat¸ie dac˘ a se efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘ a de1 pendent˘ a y = 2 z, unde z = z (x). x R: z 00 − z = 4x. a se efectueze schimbarea de variabile independente indicat˘ a ˆın urm˘ atoarele ecu6.46 S˘ at¸ii pentru funct¸ia z = z (x, y): ∂z ∂z 1) y −x = 0, u = x, v = x2 + y 2 . ∂x ∂y ∂z x ∂z +y = z, u = x, v = . 2) x ∂x ∂y y  ‘ p ∂z p ∂z 2 + 1+y = xy, u = ln x, v = ln y + 1 + y 2 . 3) x ∂x ∂y p ∂z x ∂z 4) (x + y) − (x − y) = 0, u = ln x2 + y 2 , v = arctg . ∂x ∂y y R: 1)

∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z = 0. 2) u − z = 0. 3) + = eu sh v. 4) − = 0. ∂u ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v

a se efectueze schimbarea de variabile independente x = r cos θ, y = r sin θ ˆın 6.47 S˘ ecuat¸ia lui Laplace: ∂2z ∂2z + 2 = 0. 2 ∂x ∂y R: Se obt¸ine: ∂2z 1 ∂2z 1 ∂z + + = 0. ∂r2 r2 ∂θ2 r ∂r 6.48 S˘ a se efectueze schimbarea de variabile independente x = r cos θ, y = r sin θ ˆın ecuat¸ia: ∂2z ∂2z ∂z ∂z ∂2z + x2 2 − x −y = 0. y 2 2 − 2xy ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y R: Se obt¸ine:

∂2z = 0. ∂θ2

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

97

a se efectueze schimbarea de variabile independente indicat˘ a ˆın urm˘ atoarele ecu6.49 S˘ at¸ii pentru funct¸ia z = z (x, y): ∂2z ∂2z x 1) x2 2 − y 2 2 = 0, u = xy, v = . ∂x ∂y y 2 ∂2z 2∂ z −a = 0, u = ax + y, v = −ax + y. 2) ∂x2 ∂y 2 ∂2z ∂2z ∂2z −4 3) + 3 2 , u = 3x + y, v = x + y. 2 ∂x ∂x∂y ∂y R: 1)

∂2z 1 ∂z ∂2z ∂2z = . 2) = 0. 3) = 0. ∂u∂v 2u ∂v ∂u∂v ∂u∂v

6.50 S˘ a se efectueze schimbarea de variabile independente u = sin x + x − y, v = x − sin x + y, ˆın ecuat¸ia: ∂2z ∂2z ∂2z ∂z 2 + 2 cos − sin x − sin x = 0. x ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂y R:

∂2z = 0. ∂u∂v

y a se efectueze schimbarea de variabile independente u = x2 − y 2 , v = , ˆın 6.51 S˘ x ecuat¸ia:  ∂2z ∂2z € ∂2z ∂z ∂z xy 2 + x2 + y 2 + xy 2 − y −x = 0. ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y R: u

∂z ∂2z − = 0. ∂u∂v ∂v

6.52 S˘ a se efectueze schimbarea de variabile independente x = r cos θ, y = r sin θ ˆın ecuat¸ia: dy x+y = . dx x−y R: Din

dr cos θ + sin θ sin θ · dr + r cos θ · dθ = , se obt¸ine: = r. cos θ · dr − r sin θ · dθ cos θ − sin θ dθ

6.53 S˘ a se efectueze schimbarea de variabile u = x2 + y 2 , v = ˆın ecuat¸ia: y R: Se obt¸ine:

1 1 + , w = ln z − (x + y), x y

∂z ∂z −x = (y − x) z. ∂x ∂y

∂w = 0. ∂v

6.54 S˘ a se efectueze schimbarea de variabile u = x, v = x2

∂z ∂z + y2 = z2. ∂x ∂y

1 1 1 , w = − , ˆın ecuat¸ia: y z x

98

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS R: Se obt¸ine:

∂w = 0. ∂u

6.55 S˘ a se efectueze schimbarea de variabile u = x + y, v =

x z , w = , ˆın ecuat¸ia: y x

∂2z ∂2z ∂2z −2 + 2 = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y R: Se obt¸ine:

∂2w = 0. ∂v 2

6.56 S˘ a se efectueze schimbarea de variabile u = x + y, v = x − y, w = xy − z, ˆın ecuat¸ia: ∂2z ∂2z ∂2z + 2 = 0. +2 2 ∂x ∂x∂y ∂y R: Se obt¸ine:

∂2w 1 = . 2 ∂u 2

Capitolul 7

Extreme pentru funct¸ii de mai multe variabile 7.1

Puncte de extrem pentru funct¸ii de mai multe variabile

7.1 S˘ a se determine punctele de extrem ale funct¸iilor: 2) f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y. 1) f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y. x y‘ 1 3) f (x, y) = xy + (47 − x − y) + . 4) f (x, y) = x3 + y 3 + 3xy. 2 3 4

R: 1) Punctele stat¸ionare sunt solut¸iile sistemului:

∂f ∂f = 3(x2 + y 2 − 5) = 0, = 6(xy − 2) = 0, ∂x ∂y adic˘a: (2, 1), (−2, −1), (1, 2), (−1, −2). Derivatele de ordinul doi sunt: ∂2f ∂2f ∂2f = 6x, = 6y, = 6x. 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2 In punctul (2, 1), ∆1 = 12 > 0, ∆2 = 108 > 0, (2, 1) este un punct de minim, f (2, 1) = −28. In punctul (−2, −1), ∆1 = −12 < 0, ∆2 = 108 > 0, (−2, −1) este un punct de maxim, f (−2, −1) = 28. In punctele (1, 2), (−1, −2), ∆2 = −108 < 0. Nu sunt puncte de extrem. 2) Un punct stat¸ionar: (0, 3). ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0. Punctul (0, 3) este un punct de minim ¸si fmin = f (0, 3) = −9. 2 47 3) Un punct stat¸ionar: (21, 20). ∆1 = − < 0, ∆2 = > 0. Punctul (21, 20) este 3 144 un punct de maxim ¸si fmax = f (21, 20) = 282. 4) Un punct stat¸ionare: (0, 0), (−1, −1). Punctul (0, 0) nu este punct de extrem. Punctul (−1, −1) este un punct de maxim ¸si fmax = f (−1, −1) = 1. 99

100

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

7.2 S˘ a se determine punctele de extrem ale funct¸iei f (x, y) = xy +

50 20 + , x > 0, y > 0. x y

R: Punctele stat¸ionare sunt solut¸iile sistemului: ∂f ∂f 50 20 = y − 3 = 0, = x − 2 = 0. ∂x x ∂y y Se obt¸ine un singur punct stat¸ionar (5, 2). Derivatele de ordinul doi sunt: ∂2f ∂2f 100 ∂2f 40 = , = 3. = 1, ∂x2 x3 ∂x∂y ∂y 2 y 4 > 0, ∆2 = 3 > 0. Punctul (5, 2) este un punct de minim ¸si 5 = f (5, 2) = 30.

Deci ∆1 = fmin

7.3 S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremele funct¸iilor: 2

1) z = (x − 1) + 2y 2 . 2 3) z = (x r − 1) − 2y 2 . x2 y2 5) z = xy 1 − − . 3  3 € 2/3 . 7) z = 1 − x2 + y 2

2) z = x2 + xy + y 2 − 2x − y. 4) z = x3 y 2 (6 − x − y) , x > 0, y > 0. 6) z = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2 . €  2 2 8) z = x2 + y 2 e−(x +y ) .

R: 1) zmin = z (1, 0) = 0. 2) zmin = z (1, 0) = −1 3) Nu are extreme. 4) zmax = z (3, 2) = 108. √  € √  € 5) Puncte stat¸ionare: (0, 0), 0, ± 3 , ± 3, 0 , (1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1). 1√ 1√ Extreme: zmax = z (1, 1) = z (−1, −1) = 3, zmin = z (1, −1) = z (−1, 1) = − 3. 3 3 √  €√ € √ √  6) zmin = z 2, − 2 = z − 2, 2 = −8. 7) zmax = z (0, 0) = 1. 1 8) zmin = z (0, 0) = 0. In punctele cercului x2 + y 2 = 1, zmax = . e 7.4 S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremele funct¸iilor: 1+x+y 1) z = p 1 + x2 + y 2 3 3) z = x + y 3 − 9xy + 27.

5) z = x4 + y 4 + 2x2 y 2 − 8x + 8y.

 € 2) z = x2 + y 2 e2x+3y , x ≥ 0, y ≥ 0.

h πi . 4) z = sin x + sin y + cos (x + y) , x, y ∈ 0, 2

√ R: 1) zmax = z (1, −1) = 3. 2) zmin = z (0, 0) = 0. 3) (0, 0) nu este punct de extrem, zmin = z (3, 3) = 0. π π ‘ 3 π π ‘ , nu este punct de extrem, zmax = z , = . 4) 2 2 6 6 2 5) zmin = z (1, −1) = −12.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

101

a se g˘ aseasc˘ a extremele funct¸iilor: 7.5 S˘ 1) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y − 6z. 2) f (x, y, z) = x3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z. 3) f (x, y, z) = sin x + sin y + sin z − sin (x + y + z) , x, y, z ∈ (0, π) .  € R: 1) Un punct stat¸ionar: (−1, −2, 3). d2 f (−1, −2, 3) = 2 dx2 + dy 2 + dz 2 este o form˘a p˘atratic˘a pozitiv definit˘a ¸si deci punctul (−1, −2, 3) este un punct de minim, fmin = f (−1, −2, 3) = −14. 2) Dou˘a puncte stat¸ionare: (0, 0, −1), (24, −144, −1). Ins˘a d2 f (x, y, z) = 6x dx2 + 2 dy 2 + 2 dz 2 + 24 dx dy, 2

iar: d2 f (0, 0, −1) = 2 dy 2 + 2 dz 2 + 24 dx dy = 2 (dy + 6 dx) − 72 dx2 + 2 dz 2 , form˘a p˘ atratic˘a nedefinit˘a, deci (0, 0, −1) nu este punct de extrem, 2

d2 f (24, −144, −1) = 144 dx2 + 2 dy 2 + 2 dz 2 + 24 dx dy = (12 dx + dy) + dx2 + 2dz 2 , form˘a p˘atratic˘a pozitiv definit˘a ¸si deci punctul (24, −144, −1) este un punct de minim, fmin = f (24, −144, = −6913.  π −1) π π‘ 3) fmax = f = 4. , , 2 2 2

7.2

Extreme pentru funct¸ii definite implicit

7.6 S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremele urm˘ atoarelor funct¸ii z = f (x, y), definite implicit prin ecuat¸iile: 1) F (x, y; z) = x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 11 = 0. 2) F (x, y; z) = x3 − y 2 + z 2 − 3x + 4y + z − 8 = 0. R: 1) Sistemul: Fx = 2x − 2 = 0, Fy = 2y + 4 = 0, F = x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 11 = 0, are solut¸iile: (1, −2; −2) ¸si (1, −2; 8). Ecuat¸ia F (x, y; z) = 0 define¸ste dou˘a funct¸ii: z = z1 (x, y) ¸si z = z2 (x, y). Pentru z = z1 (x, y): A11 A22

Fxx (1, −2; −2) 1 Fxy (1, −2; −2) = , A12 = − = 0, Fz (1, −2; −2) 5 Fz (1, −2; −2) 1 Fyy (1, −2; −2) = = − Fz (1, −2; −2) 5

=

−

1 1 > 0, ∆2 = > 0, deci (1, −2) este un punct de minim, zmin = 5 25 z1 (1, −2) = −2. Pentru z = z2 (x, y):

¸si deci ∆1 =

A11 = −

1 Fxy (1, −2; 8) Fyy (1, −2; 8) 1 Fxx (1, −2; 8) = − , A12 = − = 0, A22 = − =− Fz (1, −2; 8) 5 Fz (1, −2; 8) Fz (1, −2; 8) 5

102

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

¸si deci ∆1 = −

1 1 < 0, ∆2 = > 0, deci (1, −2) este un punct de maxim, zmax = 5 25

z2 (1, −2) = 8. 2) Sistemul:

Fx = 3x2 − 3 = 0, Fy = −2y + 4 = 0, F = x3 − y 2 + z 2 − 3x + 4y + z − 8 = 0, are solut¸iile: (1, 2; 2), (−1, 2; 1), (1, 2; −3), (−1, 2; −2). Ecuat¸ia F (x, y; z) = 0 define¸ste dou˘ a funct¸ii: z = z1 (x, y) ¸si z = z2 (x, y), fiecare avˆ and cˆate dou˘a puncte stat¸ionare. Pentru z = z1 (x, y), ˆın primul punct: A11 = −

Fxx (1, 2; 2) Fxy (1, 2; 2) 6 2 Fyy (1, 2; 2) = − , A12 = − = 0, A22 = − = Fz (1, 2; 2) 5 Fz (1, 2; 2) Fz (1, 2; 2) 5

6 12 ¸si deci ∆1 = − < 0, ∆2 = − < 0, deci (1, 2) nu este un punct de de extrem. In 5 25 punctul al doilea: A11 = −

Fxx (−1, 2; 1) Fxy (−1, 2; 1) Fyy (−1, 2; 1) 2 = 2, A12 = − = 0, A22 = − = . Fz (−1, 2; 1) Fz (−1, 2; 1) Fz (−1, 2; 1) 3

4 > 0, deci (−1, 2) este un punct de minim, zmin = z1 (−1, 2) = 1. 3 Pentru z = z2 (x, y), ˆın primul punct:

Deci ∆1 = 2 > 0, ∆2 =

A11 = −

Fxx (1, 2; −3) Fxy (1, 2; −3) Fyy (1, 2; −3) 2 6 = , A12 = − = 0, A22 = − =− Fz (1, 2; −3) 5 Fz (1, 2; −3) Fz (1, 2; −3) 5

6 12 ¸si deci ∆1 = > 0, ∆2 = − < 0, deci (1, 2) nu este un punct de extrem. In punctul 5 25 al doilea: Fxx (−1, 2; −2) Fxy (−1, 2; −2) A11 = − = −2, A12 = − = 0, Fz (−1, 2; −2) Fz (−1, 2; −2) 2 Fyy (−1, 2; −2) A22 = − =− Fz (−1, 2; −2) 3 ¸si deci ∆1 = −2 < 0, ∆2 = z1 (−1, 2) = −2.

4 > 0, deci (−1, 2) este un punct de minim, zmax = 3

7.7 S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremele urm˘ atoarelor funct¸ii z = f (x, y), definite implicit prin ecuat¸iile: y2 z2 x2 + + − 1 = 0. 1) F (x, y; z) = 122 42 32 x y z 2) F (x, y; z) = + − + 1 = 0. 3 4 25 √  √  € € R: 1) Sistemul Fx = 0, Fy = 0, F = 0, are solut¸iile 0, 0; − 3 , 0, 0; 3 . Ecuat¸ia F√(x, y; z) = 0 define¸ste√dou˘a funct¸ii: z = z1 (x, y) ¸si z = z2 (x, y), zmin = z1 (0, 0) = − 3, zmax = z2 (0, 0) = 3. 2) Sistemul Fx = 0, Fy = 0, F = 0, are solut¸iile (0, 0; −5), (0, 0; 5). Ecuat¸ia F (x, y; z) = 0 define¸ste dou˘a funct¸ii: z = z1 (x, y) ¸si z = z2 (x, y), zmin = z1 (0, 0) = 5, zmax = z2 (0, 0) = −5.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

103

a se g˘ aseasc˘ a extremele urm˘ atoarelor funct¸ii z = f (x, y), definite implicit prin 7.8 S˘ ecuat¸iile: 1) F (x, y; z) = 4xy − z 2 − 4x − 4y + 8 = 0. 2) F (x, y; z) = 5x2 + 6y 2 + 7z 2 − 4xy + 4yz − 10x + 8y + 14z − 6 = 0. R: 1) Sistemul Fx = 0, Fy = 0, F = 0, are solut¸iile (0, 0; −2), (0, 0; 2).

7.3

Extreme condit¸ionate

7.9 S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremele condit¸ionate ale urm˘ atoarelor funct¸ii: 1) z = xy, pentru x + y − 1 = 0. 2) z = x + 2y, pentru x2 + y 2 − 5 = 0. π x y 2 2 3) z = x + y , pentru + = 1. 4) z = cos2 x + cos2 y, pentru y − x = . 2 3 4 1 1 1 1 1 x y 5) z = x2 + y 2 , pentru + = 1. 6) z = + , pentru 2 + 2 = 2 . a b x y x y a R: 1) Construim funct¸ia lui Lagrange: L (x, y; λ) = xy + λ (x + y − 1). Sistemul: Lx = y + λ = 0, Ly = x + λ = 0, Lλ = x + y − 1 = 0 1 1 1 1 1 are solut¸ia: x0 = , y0 = , λ0 = − . Fie Φ(x, y) = L(x, y; − ) = xy − (x + y − 1). 2 2 2 2 2 Atunci “ ’ 1 1 d2 Φ , = dx dy. 2 2 ’ ’ “ “ 1 1 1 1 1 2 2 = − dx < 0. zmax = z = . Ins˘a dx + dy = 0 ¸si deci d Φ , , 2 2 2 2 4 2) zmax = z ’ (1, 2) = “ 5, zmin = z (−1, −2) = −5. 36 18 12 , = . 3) zmin = z 13 13 13 √ ’ “ 7π 2+ 2 9π 4) zmax = z + kπ, + kπ = , 8 8 √2 “ ’ 5π 3π 2− 2 zmin = z + kπ, + kπ = . 8’ 8 2 “ ab2 a2 b2 a2 b 5) zmin = z , 2 = 2 . 2 2 2 a + b€2 √ √  € a√ + b√ a + b 2 6) zmax = z a 2, a 2 = 4a , zmin = z −a 2, −a 2 = 4a2 . 7.10 S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremele condit¸ionate ale urm˘ atoarelor funct¸ii:

1) z = xy, pentru 2x + 3y − 5 = 0. √ 2 √ 2 € € 2) z = x2 + y 2 , pentru x − 2 + y − 2 = 9. 3) z = 6 − 4x − 3y, pentru x2 + y 2 = 1.  π‘ π 4) z = cos2 x + cos2 y, pentru x − y = , x, y ∈ 0, . 4 4

104

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

R: Avem:

’ “ 5 5 5 25 1) L (x, y; λ) = xy + λ (2x + 3y − 5), λ = − , zmax = z , = . 3 4 6 24 !   √ √ 5 1 5 2 5 2 2) λ1 = − , zmax = z , = 25, λ2 = − , 3 2 2 3   √ √ ! 2 2 = 1. zmin = z − ,− 2 2 “ “ ’ ’ 5 5 4 3 4 3 = 11, λ2 = , zmin = z , = 1. 3) λ1 = − , zmax = z − , − 2’ 5 5 2 5 5 “ 3π π 4) zmax = z , = 1. 8 8 a se g˘ aseasc˘ a extremele condit¸ionate ale urm˘ atoarelor funct¸ii: 7.11 S˘ 1) u = x − 2y + 2z, pentru x2 + y 2 + z 2 = 9. y2 z2 x2 2) u = x2 + y 2 + z 2 , pentru 2 + 2 + 2 = 1, a > b > c. a b c 3) u = xy 2 z 3 , pentru x + 2y + 3z = 6, x > 0, y > 0, z > 0. 4) u = xy + xz + yz, pentru xyz = 1, x > 0, y > 0, z > 0. 1 1 1 5) u = x + y + z, pentru + + = 1, x > 0, y > 0, z > 0. x y z R: Avem: 1) umin = u (−1, 2, −2) = −9, umax = u (1, −2, 2) = 9. 2) umax = u (±a, 0, 0) = a, umin = u (0, 0, ±c) = c. 3) umax = u (1, 1, 1) = 1. 4) umin = u (1, 1, 1) = 3. 5) umin = u (3, 3, 3) = 9. 7.12 S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremele condit¸ionate ale urm˘ atoarelor funct¸ii: 1) u = xyz, pentru x + y + z = 5, xy + xz + yz = 8, x ≥ y ≥ z > 0. 2) u = xyz, pentru x + y + z = 0, x2 + y 2 + z 2 = 1. R: 1) Funct¸ia lui Lagrange: L (x, y, z; λ, µ) = xyz + λ (x + y + z − 5) + µ (xy + xz + yz − 8) , ’ “ 7 4 4 16 4 are punctele stat¸ionare: , , ; ,− ¸si (2, 2, 1; 4, −2). 3 ’ “ 3 3 3 9 112 7 4 4 umax = u , , = , umin = u (2, 2, 1) = 4. 3 3 3 27 1 1 2) umin = − √ , umax = √ . 3 6 3 6 7.13 S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremele condit¸ionate ale urm˘ atoarelor funct¸ii: 1) u = x4 + y 4 + z 4 , pentru x + y + z = 3. 2) u = x3 + y 3 + z 3 , pentru x2 + y 2 + z 2 = 3, x > 0, y > 0, z > 0.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA 7.14 1) 2) 3)

S˘ a se determine dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic a.ˆı.: Aria total˘ a s˘ a fie egal˘ a cu 2a2 ¸si volumul maxim. Suma celor trei dimensiuni egal˘ a cu a ¸si aria total˘ a maxim˘ a. Volumul egal cu a3 ¸si aria total˘ a minim˘ a.

R: Avem:

√ “ a3 3 a a a = . 1) Vmax = V √ , √ , √ 9  a 3 a a3‘ 32 2) Amax = A , , = a2 . 3 3 3 3 3) Amin = A (a, a, a) = 6a2 . ’

105

106

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

Capitolul 8

S ¸ iruri ¸si serii de funct¸ii 8.1

S ¸ iruri de funct¸ii reale

8.1 Se d˘ a ¸sirul de funct¸ii (fn ), fn (x) = convergent¸˘ a ¸si funct¸ia limit˘ a. R: Deoarece: lim fn (x) =

n→∞

š

r

nx2 − n a se determine mult¸imea de · e 2 . S˘ 2π

0, x ∈ R \ {0} , ∞, x = 0,

rezult˘a c˘a mult¸imea de convergent¸˘ a este A = R \ {0}, iar funct¸ia limit˘a: f (x) = 0. 8.2 S˘ a se arate c˘ a ¸sirul de funct¸ii fn (x) = c˘ atre f (x) = 0. R: Intr-adev˘ar,

x2 x2 − ε . Deci < ε d.d. n > n+1 ε  ” 2 •  x −ε , dac˘ a ε < x2 , N (ε, x) = ε  0, dac˘ a ε ≥ x2 .

8.3 S˘ a se arate c˘ a ¸sirul de funct¸ii fn (x) = c˘ atre f (x) = 0.

x2 , x ∈ R, este simplu convergent pe R n+1

cos nx , x ∈ [0, π], este uniform convergent n2 + 1

Œ Œ Œ cos nx Œ 1−ε 1 Œ < ε dac˘ < ε, adic˘a d.d. n2 > . Deci R: Intr-adev˘ar, ŒŒ 2 a 2 n + 1Œ n +1 ε  ” •  1−ε , dac˘a ε < 1, N (ε) = ε  0, dac˘ a ε ≥ 1. 107

108

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

8.4 S˘ a se arate c˘ a ¸sirul de funct¸ii fn (x) = convergent pe R c˘ atre f (x) = 0. Œ Œ Œ sin nx Œ 1 R: Intr-adev˘ar, ŒŒ α ŒŒ ≤ α → 0. n n

8.5 S˘ a se arate c˘ a ¸sirul de funct¸ii fn (x) =

atre f (x) = 0. pe [0, ∞) c˘

sin nx , x ∈ R cu α > 0, este uniform nα

1 , x ∈ [0, ∞), este uniform convergent nenx

R: Pentru x ≥ 0, enx ≥ 1 ¸si deci 0 < fn (x) <

1 → 0. n

x2 , x ∈ [1, ∞). S˘ a se calculeze lim fn (x) = n→∞ n2 + x 4 f (x). S˘ a se arate c˘ a ¸sirul de funct¸ii (fn ) este uniform convergent pe [1, ∞) c˘ atre f . 8.6 Se d˘ a ¸sirul de funct¸ii fn (x) =

R: 0 < fn (x) =

1 2nx2 1 · < → 0. 4 2 n + x 2n 2n

x , x ∈ (0, ∞). S˘ a se calculeze lim fn (x) = n→∞ n+x f (x). S˘ a se arate c˘ a ¸sirul de funct¸ii (fn ) nu este uniform convergent pe (0, ∞) c˘ atre f . 8.7 Se d˘ a ¸sirul de funct¸ii fn (x) =

a pentru xn = n, fn (xn ) = R: f (x) = 0, ˆıns˘

1 . 2

x , x ∈ [3, 4]. S˘ a se arate c˘ a ¸sirul de funct¸ii (fn ) n+x este uniform convergent pe [3, 4] c˘ atre funct¸ia f (x) = 0, x ∈ [3, 4]. 8.8 Se d˘ a ¸sirul de funct¸ii fn (x) =

R: Pentru 3 ≤ x ≤ 4, avem: 0 < fn (x) ≤

4 4 < → 0. n+3 n

8.9 S˘ a se arate c˘ a ¸sirul de funct¸ii (fn ), fn (x) = pe (0, ∞). R: f (x) = 0, ˆıns˘a pentru xn = n, fn (xn ) =

x3 , nu este uniform convergent x3 + n3

1 . 2

8.10 Se d˘ a ¸sirul de funct¸ii (fn ), fn : R → R, definite prin: fn (x) =

n P

xk . S˘ a se

n=0

arate c˘ a multimea de convergent¸a ˘ a ¸sirului este A = (−1, 1), ˆıns˘ a ¸sirul nu este uniform convergent pe (−1, 1). S˘ a se g˘ aseasc˘ a o mult¸ime de convergent¸˘ a uniform˘ a. xn+1 1 6 1, rezult˘a c˘a fn (x) este divergent + , pentru x = 1−x x−1 pentru |x| > 1, este convergent pentru |x| < 1. Apoi, fn (1) = n → ∞, fn (−1) = R:Deoarece, fn (x) =

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

109

1 n (1 + (−1) ) este un ¸sir divergent. Deci mult¸imea de convergent¸˘ a a ¸sirului este A = 2 1 . (−1, 1) ¸si funct¸ia limit˘a este f (x) = 1−x Dac˘ Œ a ¸sirul Œ ar fi uniform convergent pe (−1, 1), pentru orice ε > 0 ar exista un N (ε) Œ xn+1 Œ Œ < ε pentru orice n > N (ε) ¸si orice x ∈ (−1, 1), inegalitate echivalent˘ a cu: a.ˆı. ŒŒ x − 1Œ   1 1 “ ’ ln  ln ε 1 1 |x − 1|   = +∞. n+1> ln − ln |x − 1| , dar sup  +  1 1 1  ε |x| 1, iar pentru x = − + 2kπ, obt¸inem seria armonic˘a 2 generalizat˘a alternant˘a, convergent˘ a dac˘a α > 0. 3) Aplicˆand criteriul raportului obt¸inem a. o serie convergent˘a pentru: x ∈ R\{0}. Pentru x = 0 seria este de asemenea convergent˘ Deci A = R. a se determine mult¸imea de convergent¸a ˘ a urm˘ atoarelor serii de funct¸ii: 8.22 S˘ ∞ X

n+1 1) (−1) 2 n +n+1 n=1 n

’

x2 − 2 1 − 2x2

“n

. 2)

∞ X

n=1

(n3

n € 1 n+1 · x3 − 2x , α 2 + n + 1) ln (n + 1)

α ∈ R.

Œ Œ 2 Œ x −2 Œ Œ < 1 rezult˘a x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞). Pentru x = ±1 seria este Œ R: 1) Din Œ 1 − 2x2 Œ convergent˘ Œ a, conform criteriului lui Leibniz. Deci: A = (−∞, −1] ∪ [1, +∞). 2) Din Œ 3 Œx − 2xŒ < 1 rezult˘a c˘a seria este convergent˘ a pentru orice α ∈ R pentru: x∈

 

!   √ √ ! √ !   √ 1+ 5 1+ 5 1 − 5 −1 + 5 − , −1 ∪ , ∪ 1, . 2 2 2 2

(

) √ √ 1 1 + 5 −1 + 5 Pentru x ∈ − , , 1 seria este convergent˘ a dac˘a α ≥ , iar pentru 2 2 6 ( √ √ ) 1− 5 1+ 5 1 seria este convergent˘ a dac˘a α > . x ∈ −1, , 2 2 2 8.23 S˘ a se determine mult¸imea de convergent¸a ˘ a urm˘ atoarelor serii de funct¸ii: 1)

∞ X

n=1

n

(−1) √

3n ·

1 √

∞ X

√

n2 + 1 tg x. 2) (−1) 2 2 n +n+1 n +1 n=0

’ •  π πi 2 4 R: 1) A = − , . 2) − , . 3 3 5 3

n

n

’

4x − 1 x+3

“n

.

8.24 S˘ a se studieze convergent¸a urm˘ atoarelor serii de funct¸ii, pe mult¸imile indicate: 2nπ ∞ ∞ cos X X sin nx 3 , x ∈ R. √ , x ∈ [α, 2π − α] , α ∈ (0, π) . 2) √ 1) 2+n n x n=1 n=1 R: Din criteriul lui Dirichlet rezult˘a c˘a seriile sunt uniform convergente pe mult¸imile indicate.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

113

a se studieze convergent¸a urm˘ atoarelor serii de funct¸ii, definite pe R: 8.25 S˘ ’ “n • ∞ ∞ ∞ ” n X X X 2x 1 (−1) x2 cos nx e− 1+ 1) arctg 2 . , 2) . 3) 4 3 4 1+n x x +n n n+1 n=1 n=1 n=1

 √ ‘2 1 − x2 n3 ≥ 0 pentru orice x ∈ R, deducem c˘a |fn (x)| ≤

1 √ , 2 n3 ∀x ∈ R ¸si ∀n ∈ N∗ . In baza criteriului lui Weierstrass, rezult˘a c˘a seria este absolut ¸si 1 uniform convergent˘ a pe R. 2) Deoarece |fn (x)| ≤ arctg 2 , ∀x ∈ R ¸si ∀n ∈ N∗ . In baza n criteriului lui Weierstrass, rezult˘a c˘a seria este absolut ¸si uniform convergent˘ a pe R. 3) 3 ∗ Deoarece |fn (x)| < 2 , ∀x ∈ R ¸si ∀n ∈ N . In baza criteriului lui Weierstrass, rezult˘a n c˘ a seria este absolut ¸si uniform convergent˘ a pe R. R: 1) Din

8.26 S˘ a se studieze convergent¸a simpl˘ a ¸si uniform˘ a a urm˘ atoarelor serii de funct¸ii, pe mult¸imile indicate: 1) x +

∞ ’ X

n=1

x x − 1 + nx 1 + (n − 1) x

“

, x ∈ [0, 1] . 2) 1 +

∞ X €

n=1

n

n−1

x −x



”

• 1 . , x ∈ 0, 2

x → 0, deci seria este convergent˘ a la funct¸ia f (x) = 0 pe [0, 1]. 1 + nx 1 a pe Apoi, din: |sn (x) − 0| < , ∀x ∈ [0, 1], rezult˘a c˘a seria este uniform convergent˘ n [0, 1]. ’ “n 1 n , rezult˘a c˘a seria este uniform 2) sn (x) = xn → 0 ¸si |sn (x) − 0| ≤ |x| ≤ 2 ” • 1 convergent˘a pe 0, . 2 R: 1) sn (x) =

8.27 S˘ a se arate c˘ a seria de funct¸ii: " # ∞ X (n − 1) x nx − , 2 1 + n2 x2 1 + (n − 1) x2 n=1 este convergent˘ a pe [0, 1] la o funct¸ie continu˘ a, dar nu este uniform convergent˘ a pe [0, 1]. nx converge la funct¸ia f (x) = 0 pe [0, 1] care este 1 + n2 x 2 1 1 continu˘a. Pe de alt˘a parte, oricare ar fi n ∈ N, pentru xn = , avem: |sn (x) − 0| = . n 2 A¸sadar, exist˘a un ε > 0 a.ˆı. oricare ar fi n ∈ N, |sn (x) − 0| ≥ ε pentru cel put¸in un punct din intervalul [0, 1]. Deci seria nu este uniform convergent˘ a pe [0, 1]. R: 1) S¸irul: sn (x) =

8.28 S˘ a se studieze convergent¸a simpl˘ a ¸si uniform˘ a a urm˘ atoarelor serii de funct¸ii, pe mult¸imile indicate: • ” ∞ P (n − 1) x nx − , x ∈ [0, 1]. 1) n+x n=1 1 + n + x

114

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS ”

• nx (n − 1) x 2) , x ∈ [0, 1]. − (n) − 1 + x n=1 1 + nx ∞ ‚ ƒ P nxe−nx − (n − 1) xe−(n−1)x , x ∈ [0, 1]. 3) ∞ P

4)

5) 6)

n=1 ∞ P

n=1 ∞ € P

n=1 ∞ P

n+1

(−1)

x2 n , x ∈ R. (1 + x)

 xn − x2n − xn−1 + x2n−2 , x ∈ [0, 1]. n+1

(−1) , x ∈ R. 2 n=1 x + n

R: 1) Uniform convergent˘a. 2) Simplu convergent˘ a. 3) Simplu convergent˘ a. 4) Conform criteriului lui Cauchy, seria este uniform convergent˘ a pe R. 5) Simplu convergent˘ a. 6) Uniform convergent˘a. a se arate c˘ a seriile urm˘ atoare sunt uniform convergente pe mult¸imile indicate: 8.29 S˘ 1)

∞ ∞ ∞ n X X X xn sin nx n−1 x √ , x [−1, . 2) , x R. 3) , x ∈ [0, 1] . ∈ 1] ∈ (−1) n2 2n n n=1 n=1 n=1

Œ nŒ Œx Œ 1 R: 1) Din |x| ≤ 1, rezult˘a ŒŒ 2 ŒŒ ≤ 2 . n n Œ Œ Œ sin nx Œ 1 2) ŒŒ n ŒŒ ≤ n , pe R. 2Œ Œ 2 n Œ Œ x 1 n−1 √ ŒŒ ≤ √ , pe [0, 1]. 3) ŒŒ(−1) n n

8.30 Aplicˆ and derivarea ¸si integrarea termen cu termen s˘ a se g˘ aseasc˘ a sumele urm˘ atoarelor serii de funct¸ii definite pe intervalul (−1, 1): 1)

∞ X

n=1

n xn−1 . 2)

∞ ∞ ∞ ∞ n−1 n X X X X (−1) (−1) 1 n x . 3) xn . 4) x2n+1 . 5) n2 xn−1 . + 1 n n 2n n=1 n=0 n=1 n=1

R: Seria de funct¸ii

∞ P

xn este convergent˘ a pe intervalul m˘arginit (−1, 1) ¸si are ca

n=0

sum˘a funct¸ia f (x) =

1 . 1−x

1) Derivˆand termen cu termen seria 2) Integrˆand termen cu termen seria

∞ P

n=0 ∞ P

3) Trecˆand pe x ˆın −x ˆın 2) obt¸inem

xn obt¸inem

n=0 ∞ P

xn obt¸inem n−1

(−1) n n=1

∞ P

n=1 ∞ P

n xn−1 =

1 (1 − x)

2.

1 n x = − ln (1 − x). n n=1

xn = ln (1 − x).

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA 4) Trecˆand x ˆın −x2 ˆın seria

∞ P

a xn obt¸inem convergent˘

n=0

∞ P

115 n

(−1) x2n a c˘arei sum˘a

n=0

1 . Integrˆand termen cu termen aceast˘a serie, obt¸inem 1 + x2

este

∞ n X (−1) x2n+1 = arctg x. + 1 2n n=0

5)

∞ P

n2 xn−1 =

n=0

x (1 + x) (1 − x)

3

.

8.31 S˘ a se arate c˘ a: # Z 1 "X ∞ ∞ Z X € n  n−1 2n−2 2n +x dx = x −x −x 0

n=1

R: Seria R1 0

n=1

∞ P ∞ € P

n=1 n=1

xn − x2n − xn−1 + x2n−2

f (x) dx = 0. Pe de alt˘a parte:

∞ Z X

n=1

0

8.3

1



∞ ’ X € n  2n n−1 2n−2 +x dx = x −x −x n=1

0

1

€ n  x − x2n − xn−1 + x2n−2 dx.

are ca sum˘a funct¸ia f (x) = 0, deci

1 1 1 1 − + − n + 1 n 2n − 1 2n + 1

“

= 0.

Serii de puteri

8.32 S˘ a se calculeze raza de convergent¸˘ a a urm˘ atoarelor serii de puteri: 1)

∞ ∞ ∞ X X X n n (2n)! n n α (x . x . 2) n − 1) 3) 2 (x + 3) . n 2 n=1 n=1 n=1 (n!)

r

p n 1 = , deci r = 2. 2) ρ = lim n |an | = n n→∞ Œ2 Œ2 Œ an+1 Œ √ n α Œ Œ = 4, deci r = 1 . n = 1, deci r = 1. 3) ρ = lim Œ lim n→∞ n→∞ an Œ 4 R: 1) ρ = lim

n→∞

p n

|an | = lim

n→∞

n

a se determine intervalul de convergent¸˘ a ¸si s˘ a se studieze convergent¸a la capetele 8.33 S˘ intervalului, pentru urm˘ atoarele serii de puteri: 1)

∞ X

∞ ∞ ∞ n n n X X X (−1) xn (x − 1) 2n (x + 2) xn √ 2) . 4) . . 3) . √ 2 (n + 1) · 3n (2n − 1) · 2n 5n n + 1 3n n=0 n=0 n=0 (2n + 1) n=1

"

√ ! √ 3 3 R: 1) [−3, 3). 2) (−5, 5]. 3) −2 − , −2 + . 4) [−1, 3). 2 2

116

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

8.34 S˘ a se determine intervalul de convergent¸˘ a ¸si s˘ a se studieze convergent¸a la capetele intervalului, pentru urm˘ atoarele serii de puteri: √ ∞ ∞ X X n2 + 1 n 1 · 5 · 9 · · · · · (4n − 3) n n 1) (−1) x . x , α > 1. 2) α n · ln n n! n=2 n=1 R: 1) r = 1. In punctul x = 1 seria este convergent˘ a, conform criteriului lui Leibniz. a, conform criteriului lui Bertrand. Deci intervalul In punctul x = −1 seria este convergent˘ de convergent¸˘a este [−1, 1]. 1 1 seria este divergent˘ a, conform criteriului lui Raabe2) r = . In punctul x = 4 4 1 a, conform criteriului lui Leibniz. Duhamel, iar ˆın punctul x = − seria este convergent˘ 4 ” “ 1 1 Deci intervalul de convergent¸˘a este − , . 4 4

8.4

Serii Taylor

8.35 S˘ a se arate c˘ a: 1 1 n 1 1) ex = 1 + x + x2 + · · · + x + · · · , x ∈ R. 1! 2! n! 1 1 3 1 1 5 n−1 2) sin x = x − x + x − · · · + (−1) x2n−1 + · · · , x ∈ R. 1! 3! 5! (2n − 1)! 1 1 1 n 3) cos x = 1 − x2 + x4 − · · · + (−1) x2n + · · · , x ∈ R. 2! 4! (2n)! 1 1 n−1 1 n x + · · · , x ∈ (−1, 1]. 4) ln (1 + x) = x − x2 + x3 − · · · + (−1) 2 3 n 8.36 S˘ a: a se arate c˘ a pentru orice α ∈ R ¸si x ∈ (−1, 1) are loc dezvoltarea binomial˘ α

(1 + x) = 1 +

α (α − 1) 2 α α (α − 1) · · · (α − n + 1) n x+ x + ··· + x + ···. 1! 2! n!

8.37 S˘ a se stabileasc˘ a formula lui Euler: eix = cos x + i sin x, ∀x ∈ R. 8.38 S˘ a se g˘ aseasc˘ a seriile Mac-Laurin ale funct¸iilor: 1) ch x = 2) sh x

=

ex + e−x , 2 ex − e−x . 2

R: Se obt¸ine: 1) ch x

1 1 1 2 x + x4 + · · · + x2n + · · · , x ∈ R. 2! 4! (2n)! 1 1 1 1 x + x3 + x5 + · · · + x2n+1 + · · · , x ∈ R. 1! 3! 5! (2n + 1)!

= 1+

2) sh x =

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

117

a se g˘ aseasc˘ a seriile Mac-Maurin ale urm˘ atoarelor funct¸ii: 8.39 S˘ 3 . (1 − x) (1 + 2x) 3) f (x) = cos (x + α) . 5) f (x) = ln (2 + x) .

1) f (x) =

2) f (x) = ax , a > 0. 4) f (x) = sin2 x.

R: 1) Putem scrie: f (x) = 2) Se obt¸ine:

∞ X ‚ ƒ 2 1 1 n + = 1 + (−1) 2n+1 xn , |x| < . 1 − x 1 + 2x n=0 2

f (x) = 1 +

∞ X lnn a n x , x ∈ R. n! n=0

3) Se ¸tine seama c˘a: f (x) = cos x cos α − sin x sin α. 4) Se ¸tine seama c˘a: f (x) =  1 x‘ (1 − cos x). 5) Funct¸ia se mai poate scrie: f (x) = ln 2+ln 1 + , pentru x ∈ (−2, 2]. 2 2

8.40 Aplicˆ and derivarea ¸si integrarea termen cu termen, s˘ a se g˘ aseasc˘ a seriile MacLaurin ale urm˘ atoarelor funct¸ii: 1) f (x) = (1 + x) ln (1 + x) . 2) f (x) = arctg  € x.√ 4) f (x) = ln x + 1 + x2 . 3) f (x) = arcsin x.

and seama de dezvoltarea funct¸iei ln (1 + x), R: 1) Deoarece f 0 (x) = ln (1 + x), ¸tinˆ prin integrare obt¸inem: (1 + x) ln (1 + x) =

1 1 3 1 2 n x − x + · · · + (−1) xn + · · · , x ∈ (−1, 1]. 1·2 2·3 n (n − 1)

€ −1 1 = 1 + x2 . Dar, ˆınlocuind ˆın dezvoltarea binomial˘a, 1 + x2 2 pentru α = −1, pe x prin x , obt¸inem: 2) Avem c˘a: f 0 (x) =

f 0 (x) =

∞ X

n

(−1) x2n ,

n=0

care prin integrare, d˘a: arctg x =

∞ X

(−1)

n

n=0

1 x2n+1 , x ∈ (−1, 1) . 2n + 1

−1/2 € 1 3) Avem c˘a: f 0 (x) = √ = 1 − x2 . Dar, ˆınlocuind ˆın dezvoltarea bino2 1−x 1 mial˘a, pentru α = − , pe x prin −x2 , obt¸inem: 2 f 0 (x) = 1 +

∞ X (2n − 1)!! 2n x , (2n)!! n=1

118

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

care prin integrare, d˘a: arcsin x = x +

∞ X (2n − 1)!! 1 x2n+1 , x ∈ (−1, 1) . (2n)!! 2n + 1 n=1

−1/2 € 1 . Dar, ˆınlocuind ˆın dezvoltarea bino4) Avem c˘a: f 0 (x) = √ = 1 + x2 2 1+x 1 mial˘a, pentru α = − , pe x prin x2 , obt¸inem: 2 f 0 (x) = 1 +

∞ X

n=1

n

(−1)

(2n − 1)!! 2n x , (2n)!!

care prin integrare, d˘a: ∞ ‘  p X 1 n (2n − 1)!! ln x + 1 + x2 = x + (−1) x2n+1 , x ∈ (−1, 1) . + 1 (2n)!! 2n n=1

8.41 S˘ a se g˘ aseasc˘ a seriile Mac-Laurin ale funct¸iilor: Z x Z x Z x 2 arctg t ln (1 + t) 1) f (x) = e−t dt, 2) f (x) = dt, 3) f (x) = dt. t t 0 0 0 and ˆıntre 0 ¸si x, R: 1) Inlocuind ˆın dezvoltarea funct¸iei ex pe x prin −t2 ¸si integrˆ obt¸inem: Z x ∞ X 2 1 n 1 e−t dt = (−1) x2n+1 , x ∈ R. n! 2n + 1 0 n=0

2) Inlocuind ˆın dezvoltarea funct¸iei arctg x pe x prin t, ˆımp˘ art¸ind prin t ¸si integrˆ and ˆıntre 0 ¸si x obt¸inem: Z x ∞ X 1 arctg t n 2n+1 dt = (−1) , x ∈ [−1, 1] . 2 x t + 1) (2n 0 n=0 3) Inlocuind ˆın dezvoltarea funct¸iei ln (1 + x) pe x prin t, ˆımp˘ art¸ind prin t ¸si integrˆ and ˆıntre 0 ¸si x obt¸inem: Z x ∞ X ln (1 + t) n−1 1 dt = xn , x ∈ [−1, 1] . (−1) 2 t n 0 n=1 8.42 S˘ a se determine parametrii reali α ¸si β a.ˆı. seriile:   1 ’ “ • ” ∞ X 1 α β β α − 1 1  − + 2 . 2) 1) n · arctg + ln 1 + n · 1 + e n + + 2 n n n n n n n=1 n=1 ∞ X

s˘ a fie convergente.

R: 1) Se folosesc dezvolt˘arile ˆın serii de puteri ale funct¸iilor arctg x ¸si ln (1 + x) ¸si se 3 1 g˘ase¸ste α = 2 ¸si β = . 2) Se folose¸ste dezvoltarea lui ex ¸si se obt¸ine α = 1 ¸si β = . 2 2

Capitolul 9

Integrala Riemann ¸si extinderi 9.1

Primitive. Integrala nedefinit˘ a

9.1 S˘ a se calculeze integralele: Z Z p Z € 2  dx √ . 2pxdx. 3) 1) 6x + 8x + 3 dx. 2) n x Z Z Z dx dx dx √ . 6) . 4) . 5) 2 2 2 x +7 x − 10 8−x 1 1− 2 √ n x 2px + C, 3) x n + C, 3 n−1 Œ √ ŒŒ Œ 1 x 1 1 √ Œ x − 10 Œ √ Œ + C. 4) arcsin x 2 + C, 5) √ arctg √ + C, 6) √ ln Œ 4 7 7 2 10 Œ x + 10 Œ

R: 1) 2x3 + 4x2 + 3x + C, 2)

9.2 S˘ a se calculeze integralele: Z Z Z dx dx xdx 1) 2) . 3) . . 2 3 2 2 x − 2x + x 2x + 3x + 2 (x − 1) (x + 1) 4)

Z

dx (x2 + 4x + 5)

2 . 5)

Z

dx . 6) x4 + 1

Z

x4 dx . x3 − 1

Œ Œ Œ Œ Œ x Œ 1 ŒŒ x − 1 ŒŒ 1 1 Œ Œ + C. 2) ln Œ + C. R: 1) ln Œ − − 4 x + 1 Œ 2 (x + 1) x − 1Œ x − 1 x+2 1 2 1 1 3) √ arctg √ (4x + 3) + C. 4) + arctg (x + 2) + C. 2 x2 + 4x + 5 2 7 7 √ € √  1√ € √  1√ x2 + x 2 + 1 1 √ √ 5) 2 ln + 2arctg x 2 + 1 + 2arctg x 2 − 1 + C. 2 8 4 x −x 2+1 4  1√ 1 2 1 1 € 2 1 6) x + ln (x − 1) − ln x + x + 1 + 3arctg √ (2x + 1) + C. 2 3 6 3 3 119

120

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

9.3 S˘ a se calculeze, efectuˆ and schimbarea de variabil˘ a indicat˘ a: Z √ Z ln x ex 1) dx, t = ex . dx, t = ln x. 2) x ex + 1 Z Z dx x3 dx √ √ , t = 5x. 4) , t = x4 . 3) 1 − 25x2 1 − x8 Z Z dx 1 cos x 1 = sin x. 6) dx, t , t = tg x. 5) 2 2 2 2 a 2 a + 2 sin x sin x + 2 cos x r Z Z xdx cos x 2 1 p √ 7) dx, t = , t2 = 1 + 4 . sin x. 8) 3 x 1 + x4 2 + cos (2x) 3 2 R: 1) ln 2 x + C. 2) ln (ex + 1) + C. 3 1 1 3) arcsin 5x + C. 4) arcsin x4 + C. 5 4 !  √ “ ’ 2 1√ 1√ 1 √ arctg 2 arcsin 6 sin x + C. sin x + C. 7) 5) |a| 2 3 |a| 2 √  1 € 8) ln x2 + 1 + x4 + C. 2

9.4 S˘ a se calculeze integralele:  “2 Z ’ Z € Z √ x 1 − x2 1 2x √ √ + 2) 3) x dx. 1) dx. dx. 3 1 + x4 x 1 − 4x Z Z Z x 2 3x x 2x √ 2 · 3 · 5 dx. 5) (tg x + ctg x) dx. 6) 4) earcsin x dx. 1 − x2 Z Z Z p ln3 x ax e cos (bx) dx. 9) x2 + 1dx. 7) dx. 8) x2 √ Z Z p Z p x 2 √ 10) 9 − x dx. 11) x2 + x + 1dx. dx. 12) 1 − x3  1 € 1 1 arcsin t + C. R: 1) arctg x2 − ln 1 + x4 + C. 2) t = 2x , d˘a: 2 4 ln 2 √ √ 1 12 6 7 1 ( x) + 3 3 x + C. 4) 2x 32x 53x + C. 3) x2 + 2 7 ln 2 + 3 ln 5 + 2 ln 3 1 5) tg x − ctg x + C. 6) t = arcsin x, d˘a: et (sin t − cos t) + C. 2 6 6 ln3 x 3 2 7) − − ln x − ln x − + C. x x x x a b 8) 2 eax cos bx + 2 eax sin bx + C. 2 a +b a + b2 ‘ p 1 1 p 9) x (x2 + 1) + ln x + (x2 + 1) + C. 2 2

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

121

9 2 1 p 1 x (9 − x2 ) + arcsin x + C. 11) t2 = x3 , d˘a: arcsin t + C. 2 2 3 3“ ’ √ 1 1 √ 2 3 2 12) (2x + 1) x + x + 1 + ln x + + x + x + 1 + C. 4 8 2

10)

9.5 S˘ a se g˘ aseasc˘ a formule de recurent¸˘ a pentru integralele: Z Z n 1) In (x) = sin x dx. 2) Jn (x) = cosn xdx. n−1 1 In−2 (x) − sinn−1 x cos x, n ≥ 2. R: 1) In (x) = n n n−1 1 2) Jn (x) = Jn−2 (x) + cosn−1 x sin x, n ≥ 2. n n 9.6 S˘ a se g˘ aseasc˘ a formule de recurent¸˘ a pentru integralele: Z Z dx 1) In (x) = . 2) In (x) = xn e−x dx. cosn x R: 1) In+2 (x) =

n 1 + In (x). 2) In (x) = −xn e−x + nIn−1 (x). (n + 1) cosn+1 x n + 1

a se calculeze integralele: 9.7 S˘ 1)

4)

Z

Z p

−x2 + 3x − 2dx. 2)

Z

x4 + 1 dx. 3) x3 + 1

Z

x3

dx . + x5

Z Z dx x+1 3x − 1 dx. 5) . 6) dx. x4 + x2 + 1 x (x + 1) (x + 2) x2 − 4x + 8 Z Z Z dx x2 + 1 dx . . 7) 8) dx. 9) 3 2 2 2 2x + 3x + 2 (x + 1) (x − 1) (x + 3)

p 1 1 R: 1) − (−2x + 3) (−x2 + 3x − 2) + arcsin (2x − 3) + C. 4 8  1 € 2 1 2 2 2) x + ln (x + 1) − ln x − x + 1 + C. 2 3 3  R dx 1 1 € = − 2 − ln x + ln x2 + 1 + C. 3) 3 5 x ’+ x 2x“ 2 1√ x2 + x + 1 1√ 1 1 1 3arctg √ (2x + 1) + 3arctg √ (2x − 1) + C. − 4) ln 2 4 x −x+1 6 2 3 3 1 1 5) ln x − ln (x + 1) + ln (x + 2) + C. 2 2  5 1 x−2 1 x 3 € 2 + C. 7) + arctg x + C. 6) ln x − 4x + 8 + arctg 2 2 2 2 2x +1 2 5 x−1 1 1 3 2 + ln + 8) − − C. 9) √ arctg √ (4x + 3) + C. 2 8 (x 32 x + 3 − 1) 7 7 4 (x − 1)

122

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

9.8 S˘ a se calculeze integralele: √ √ √ Z Z Z sin x + cos x x + x2 + x + 1 3x + 2 √ √ √ dx. 3) √ 1) dx. 2) dx. x · sin 2 x x + 1 + x2 + x + 1 x2 + x + 2 Z Z Z dx dx dx √ 4) . 6) . √ √ 10 . 5) 2 4 4 5 + 4 sin x x · 1+x x · ( x + 1) Z Z Z dx dx . 8) . 9) 7) tg7 x dx. 2 sin x − cos x + 5 sin 2x − cos 2x 9.9 S˘ a se calculeze integralele: Z Z q Z √ dx dx 3 √ √ . . 1 + 4 xdx. 1) 2) 3) 3 4 x · x2 + 1 x4 + 1 Z Z Z x+1 1 + sin x x dx √ √ 4) e dx. . 5) dx. 6) 1 + cos x (1 + x) 1 + x + x2 −x2 + 4x + 5 a se calculeze integralele: 9.10 S˘  € 3x Z Z e − ex dx 1) . 2) cos x · cos 3x · cos 6x dx. e4x − e3x + 2e2x − ex + 1 Z Z 2 x + x + 1 arctg x 2x − 5 e dx. 4) dx, a > 1. 3) x2 + 1 (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4) + a ’ “ 1 1 1 1 e2x − ex + 1 C. + 2) sin 4x + sin 8x + sin 2x + sin 10x . R: 1) ln e2x + 1 8 2 4 5 x2 − 5x + 5 1 arctg x 3) xe arctg √ + C. + C. 4) √ a−1 a−1 9.11 S˘ a se calculeze integralele: Z Z cos 2x sin 2x √ √ dx, J (x) = dx. I (x) = 3 + sin 4x 3 + sin 4x R: I (x) + J (x) =

€√  1 1 √ arcsin 2 cos 4x + C1 , I (x) − J (x) = √ 3 + sin 4x + C2 . 2 2

9.12 S˘ a se calculeze integralele: Z Z sin x ex + cos x I (x) = dx, J (x) = dx. x x e + sin x + cos x e + sin x + cos x R: Se calculeaz˘a J (x) + I (x) ¸si J (x) − I (x). 9.13 S˘ a se calculeze integralele: Z 4 Z 3 x + 4x2 x + 2x2 + 3x + 4 √ √ dx. 2) dx. 1) x2 + 2x + 2 x2 + 4

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

123

R: 1) Integrala se poate pune sub forma: Z 3 Z € p x + 2x2 + 3x + 4 dx √ dx = αx2 + βx + γ x2 + 2x + 2 + λ √ . 2 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2

1 1 7 5 , β = , γ = , λ = . G˘asim: 3 6 6 2 “p ’ Œ Œ p 5 Œ 1 2 1 7 Œ x + x+ x2 + 2x + 2 + ln Œx + 1 + x2 + 2x + 2Œ + C. 3 6 6 2 “ ’ √ √ €  1 3 1 2) x + x x2 + 4 − 2 ln x + x2 + 4 + C. 4 2

Derivˆand ¸si identificˆand coeficient¸ii, obt¸inem: α =

9.14 S˘ a se calculeze integralele binome: √ Z Z p Z Z 3 dx 1+ 4x dx xdx √ p √ √ 1) dx. . 2) . 3) . 4) √ 4 3 x x 3 x2 + 1 x4 + 1 1 + x2 R: 1)

2)

m+1 = 0, se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘ a: x2 + 1 = t3 ¸si se obt¸ine: n Z √ tdt t−1 1√ 1 3 1 √ = ln + 3 arctan (2t + 1) 3 + C. 2 t3 − 1 2 3 t2 + t + 1 2

m+1 + p = 0, se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘ a: 1 + x−4 = t4 ¸si se obt¸ine: n “ ’ Z t2 t+1 1 1 dt ln − = − arctg t + C. 4 t −1 4 t−1 2

2 m+1 = 3, se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘ a: 1 + x 3 = t2 ¸si se obt¸ine: 3) n Z €2 2 3 3 t − 1 dt = t5 − 2t3 + 3t + C. 5 1 m+1 = 2, se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘ a: 1 + x 4 = t3 ¸si se obt¸ine: 4) n Z €  12 7 t − 3t4 + C. 12 t3 t3 − 1 dt = 7

9.15 S˘ a se calculeze integralele binome: 1)

3)

Z Z

3 Z € − x3 2x2 + 1 2 dx. 2) dx √ √ p 3 4 3 x 1 + x3

q

dx

. 5 x2 (x3 + 2) Z q √ √ 3 x 5x 3 x + 3dx. . 4) 3

124

9.2

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

Integrala definit˘ a

a se arate c˘ a: 9.16 S˘ 1) lim n n→∞

n X

k=1

1 π = . 2) 2 2 n +k 4

lim

n→∞

n X

k=1

1 = ln 2. n+k

R: Se va observa c˘a: 1) lim n n→∞

n X

k=1

1 = 2 n + k2

Z

1 0

n

X 1 1 2) lim = dx. n→∞ 1 + x2 n+k k=1

Z

1 0

1 dx. 1+x

9.17 S˘ a se calculeze limitele urm˘ atoarelor ¸siruri: 1) an =

n n 1 X 4 1 X k2 . k . 2) = a n n5 n2 n+k k=1

k=1

r k2 n n k2 1X 1 X 2 3) an = 2 e n . 4) an = 1 + 2. n n n k=1

k=1

9.18 S˘ a se calculeze, aplicˆ and formula lui Leibniz-Newton: 1)

4)

Z

0

1

Z

1 0

x dx. 5) x2 + 3x + 2 7)

Z

1 0

Z

1 dx. 2) 1+x Z

4

1

x3 dx. 8) 8 x +1

x

et dt. 3)

−x

Z

x

cos t dt. 0

√ Z −1 1+ x x dx. 6) dx. 2 + 4x + 5 x2 x −2

Z π Z 1 3 ctg x dx. 9) ch x dx. π 0 6

1 1 7 R: 1) ln 2. 2) ex − e−x . 3) sin x. 4) 2 ln 3 − 3 ln 2. 5) . 6) ln 2 − π. 4 2 2  1 1 1€ −1 7) π. 8) ln 3. 9) e−e . 16 2 2

9.19 S˘ a se arate c˘ a:

Z π Z π n−1 a In = In−2 . In = 2 sinn x dx = 2 cosn x dx ¸si c˘ n 0 0 a se g˘ aseasc˘ a o formul˘ a de recurent¸˘ a pentru integrala: 9.20 S˘ Jn =

Z

1 0

€

1 − x2

n

dx.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

125

a x = sin t, se obt¸ine Jn = I2n+1 , de unde: R: Efectuˆand schimbarea de variabil˘ 2n Jn = Jn−1 . 2n + 1 9.21 S˘ a se calculeze: Z 1 Z 2 x x e dx. 2) 1)

a

0

4) 7)

Z

Z

π 4

b

1

0

Z p (x − a) (x − b)dx. 3) Z

x+1 √ dx. 5) 1 + x2

0

ln (1 + tg x) dx. 8)

0

1

Z

dx . 6) x e + e−x

1

Z

x2 cos x dx. 0

4

0

x2 arctg x dx. 9)

0

π

x

p

Z

π

x2 + 9dx. x2 sin2 x dx.

0

√  €√ π 2 R: 1) e − 2. 2) (b − a) . 3) −2π. 4) 2 − 1 + ln 2 + 1 . 8 ‘ 1 98 π 1 π π2 π . 7) ln 2. 8) − 1 + ln 2 . 9) − . 5) arctge − π. 6) 4 3 8 6 2 6 4 9.22 S˘ a se calculeze: Z 2 Z 2 Z 3 ˆ ‰ dx √ . 3) ex max 1, x2 dx. 2) min {x − 1, x + 1} dx. 1) 2 −2 2 (x + 1) x − 1 0 Z π Z e Z 2 sin (ln x) dx 3 x sin x dx. q . 6) 4) dx. 5) π cos2 x √ x 3 1 − 0 x + 1 + (x + 1) 3 ““ ’ ’ 1 2π π 5π 1 2 − ln tg R: 1) 2e − e. 2) √ − √ . 3) 2. 4) 1 − cos 1. 5) . 6) 2 . 6 3 12 2 3 9.23 S˘ a se calculeze: Z 2nπ Z π cos x I = dx. 2) sin (x + sin x) dx, n ∈ N∗ . 1) I = 2π (2 − cos2 x) (ex + 1) 0 − 2 R: 1) Avem, succesiv: Z 0 Z π2 cos x cos x € €   I = dx + dx = π 2 x 1 + sin x (e + 1) 1 + sin2 x (ex + 1) − 0 2 Z π2 π cos x π dx = arctg (sin x)|02 = . = 2 4 1 + sin x 0 2) Efectu˘am schimbarea de variabil˘ a: x = t + nπ ¸si obt¸inem succesiv: Z nπ Z nπ n sin [nπ + (t + (−1) sin t)] dt = I= sin [t + nπ + sin (t + nπ)] dt = −nπ

n

= (−1)

Z

−nπ

nπ

−nπ

n

sin [t + (−1) sin t] dt = 0,

deoarece integrantul este o funct¸ie impar˘a.

126

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

9.24 S˘ a se arate c˘ a: lim

ε→0

Zπ ε

Z

1 − cos kx dx = kπ, k ∈ Z. 1 − cos x

π

1 − cos kx dx. Se constat˘a c˘a: ε 1 − cos x Z π cos kx dx, I (k + 1) + I (k − 1) = 2I (k) + 2

R: Not˘am I (k) =

ε

de unde: lim [I (k + 1) − 2I (k) + I (k − 1)] = 0. Cum lim I (1) = π, presupunˆand c˘a ε→0

ε→0

lim I (k − 1) = (k − 1) π ¸si lim I (k) = kπ, rezult˘a prin induct¸ie, c˘a lim I (k + 1) = ε→0

ε→0

ε→0

(k + 1) π.

a se calculeze integrala: 9.25 S˘ Z

Im,n =

b a

m

n

(x − a) (b − x) dx, cu m, n ∈ N.

R: Integrˆand prin p˘art¸i, se obt¸ine formutla de recurent¸˘ a: Im,n = de unde rezult˘a: Im,n =

m · Im−1,n+1 , n+1

n!m! n+m+1 . (b − a) (n + m + 1)!

9.26 Dac˘ a a < b ¸si n ∈ N∗ , s˘ a se arate c˘ a: "Z

lim

n→∞

a

b

n

n

(x − a) (b − x) dx

#1 n

=

1 2 (b − a) . 4

R: Din exercit¸iul precedent avem c˘a: 2

In,n =

(n!) 2n+1 , (b − a) (2n + 1)!

de unde rezult˘a c˘a p 2 lim n In,n = (b − a) lim

n→∞

n→∞

s n

2

(n!) 1 2 = (b − a) . (2n + 1)! 4

a. S˘ a se arate c˘ a: 9.27 Fie f : [0, 1] → R o funct¸ie continu˘ Z

0

π

x · f (sin x) dx = π ·

Z

π

f (sin x) dx. 0

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

127

R: Intr-adev˘ar, Z

π

0

Z π Z π x · f (sin x) dx = 2 x · f (sin x) dx + π x · f (sin x) dx. 0

2

Efectuˆand ˆın cea de-a doua integral˘ a schimbarea de variabil˘ a: x = π − t, obt¸inem: Z

Z π Z π 2 f (sin x) dx − 2 x · f (sin x) dx. π x · f (sin x) dx = π · 0 0 2 π

9.28 Fie f : [0, a] → R∗+ o funct¸ie integrabil˘ a. S˘ a se arate c˘ a: Z a a f (x) dx = . (x) + − x) f f (a 2 0 R: Fie: I (a) =

Z

a 0

f (x) dx ¸si J (a) = f (x) + f (a − x)

Z

a 0

f (a − x) dx. f (x) + f (a − x)

Evident: I (a)+J (a) = a. Efectuˆand ˆın integrala J (a) schimbarea de variabil˘ a x = a−t, a obt¸inem c˘a J (a) = I (a). Deci, I (a) = . 2 9.29 S˘ a se calculeze integralele: Z π 2 1) 0

sin x

(cos x) (cos x)

sin x

cos x

+ (sin x)

Z π 2 dx. 2) 0

sin2 x + sin x dx. sin x + cos x + 1

π ‘ cos x . Atunci, f − x = (sin x) ¸si conform exercit¸iului 2 ‘ π π precedent valoarea integralei este . 2) Fie f (x) = sin2 x + sin x. Atunci, f −x = 4 2 π cos2 x + cos x ¸si deci valoarea integralei este . 4 R: 1) Fie f (x) = (cos x)

sin x

9.30 Fie f : [−1, 1] → R o funct¸ie continu˘ a cu proprietatea c˘ a f (x) + f (−x) = π, pentru orice x ∈ [−1, 1]. S˘ a se calculeze integrala: I=

Z

(2n+1)π

f (cos x) dx. 0

R: Efectu˘am schimbarea de variabil˘ a: x = (2n + 1) π − t. Obt¸inem: I=

Z

(2n+1)π

f (− cos t) dt. 0

Dar: f (− cos t) = π − f (cos t) ¸si deci I =

2n + 1 2 π . 2

128

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

9.31 Fie f : R+ → R+ o funct¸ie continu˘ a strict cresc˘ atoare pe R+ ¸si f (0) = 0. S˘ a se stabileasc˘ a inegalitatea lui Young: Z

a

f (x) dx +

0

Z

b 0

f −1 (y) dy ≥ ab, ∀a, b ∈ R+ .

R: Fie Sx aria suprafet¸ei cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreapta x = a ¸si Sy aria suprafet¸ei cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Oy ¸si dreapta y = b. Evident: Sx + Sy ≥ ab, de unde inegalitatea cerut˘a. 9.32 Fie F (x) =

R x3 0

2

et dt. S˘ a se calculeze F 0 (x). 2

2

R: Not˘am cu G (t) o primitiv˘a a funct¸iei et , deci a.ˆı. G0 (t) = et . Atunci: €  6 x3 F (x) = G (t)|0 = G x3 − G (0) , de unde: F 0 (x) = 3x2 G0 (x) = 3x2 ex .

9.33 Fie f : R → R o funct¸ie derivabil˘ a pe R, definit˘ a prin: f (x) = a se arate c˘ a: S˘ a se calculeze f 0 (x) ¸si s˘ Z

0

1

xf (x) 1 dx + 2e ex 2

Z

1 0

R arctg x 0

2

etg t dt.

2

ex π dx = . 1 + x2 8

2

ex R: Se constat˘a c˘a f (0) = 0 ¸si f (x) = . Integrˆ and prin p˘art¸i, avem: 1 + x2 Z 1 Œ1 1 Z 1 2 π f (1) 1 xf (x) −x2 Œ dx = − f (x) . e−x f 0 (x) dx = − e Œ + x2 2 2 8 2e 0 e 0 0 0

R √x 9.34 Fie f (x) = 1 cos t2 dt, x > 0. S˘ a se calculeze f 0 (x). x 1 1 1 R: f 0 (x) = √ cos x + 2 cos 2 . x x 2 x

a se determine funct¸iile derivabile f : [0, ∞) → R, care verific˘ 9.35 S˘ a relat¸ia: Z x f (t) dt = (x + 1) f (x) . x+ 0

0

R: f (0) = 0 ¸si prin derivarea relat¸iei date, obt¸inem: 1 + f (x) = [(x + 1) f (x)] , de 1 . Deci f (x) = ln (1 + x). unde: f 0 (x) = x+1 ar˘ a a calcula efectiv integrala, s˘ a se arate c˘ a: 9.36 F˘ 0≤

Z

0

1

ln

ex + 1 e+1 dx ≤ ln . 2 2

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA R: Fie f (x) = ln

129

ex + 1 . Din: f 0 (x) > 0 pe R, rezult˘a: f (0) < f (x) < f (1) etc. 2

a se arate c˘ a dac˘ a: 9.37 Fie f : [0, 1] → [a, b] o funct¸ie continu˘ a pe [0, 1]. S˘ Z

1

f (x) dx = 0, atunci

0

Z

0

1

f 2 (x) dx ≤ −ab.

R: Se integreaz˘a pe [0, 1] inegalitatea: [f (x) − a] [f (x) − b] ≤ 0. 9.38 Fie f : [a, b] → R o funct¸ie derivabil˘ a, cu derivat˘ a continu˘ a, a.ˆı. f 0 (x) ≥ 1 + f 2 (x) , ∀x ∈ [a, b] . S˘ a se arate c˘ a: b − a < π. R: Se integreaz˘a pe [a, b] inegalitatea: f 0 (x) ≥ 1, ∀x ∈ [a, b] 1 + f 2 (x) ¸si se ¸tine seama de faptul c˘a: −

π π < arctg α < , pentru orice α ∈ R. 2 2

9.39 Dac˘ a f : R → R este o funct¸ie continu˘ a ¸si periodic˘ a, de perioad˘ a T , atunci: Z

x+T

f (t) dt =

x

Z

T 0

f (t) dt, ∀x ∈ R.

R x+T R: Fie F : R → R, definit˘a prin F (x) = x f (t) dt. Deoarece F 0 (x) = f (x + T )− RT f (x) = 0, rezult˘a c˘a F (x) = C. Pentru x = 0 obt¸inem C = 0 f (t) dt. 9.40 Fie In =

R 1 x2n dx. Se cere: 0 1+x

1) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N are loc inegalitatea: 0 ≤ In ≤ 2) S˘ a se calculeze lim In .

1 . 2n + 1

n→∞

3) Folosind identitatea: 1 − x + x2 − x3 + · · · − x2n−1 = s˘ a se arate c˘ a:

1 x2n − , 1+x 1+x

“ ’ 1 1 1 1 = ln 2. 1 − + − + ··· − n→∞ 2 3 4 2n lim

9.41 Fie P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . S˘ a se arate c˘ a exist˘ a c ∈ (0, 1) a.ˆı. P (c) = a0 +

an a1 a2 + + ··· + . 2 3 n+1

130

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

R: Aplic˘am prima formul˘a de medie integralei

R1 0

P (x) dx.

a care satisface condit¸ia: 9.42 Fie f : [0, 1] → R o funct¸ie continu˘ 6

Z

1

f (x) dx = 2a + 3b + 6c.

0

S˘ a se arate c˘ a exist˘ a x0 ∈ (0, 1) a.ˆı. f (x0 ) = ax20 + bx0 + c.

‚ ƒ a prin: g (x) = 6 f (x) − ax2 + bx + c . Se constat˘a R: Fie g : [0, 1] → R definit˘ R1 imediat c˘a 0 g (x) dx = 0. Pe de alt˘a parte, din teorema de medie, rezult˘a c˘a exist˘a R1 x0 ∈ (0, 1) a.ˆı. 0 g (x) dx = g (x0 ). 9.43 Fie f : [0, 1] → R o funct¸ie continu˘ a care satisface condit¸ia:

se arate c˘ a exist˘ a c ∈ (0, 1) a.ˆı. f (c) = c2 . R: Condit¸ia din enunt¸ se mai scrie: medie.

R1 0

f (x) dx =

1 . S˘ a 3

ƒ R1‚ f (x) − x2 dx = 0 ¸si se aplic˘a teorema de 0

a, cu derivat˘ a continu˘ a pe [0, 1]. S˘ a se arate 9.44 Fie f : [0, 1] → R o funct¸ie derivabil˘ c˘ a exist˘ a c ∈ (0, 1) a.ˆı. Z 1 1 f (x) dx = f (0) + f 0 (c) . 2 0 R: Avem: Z

0

1

1

f (x) dx = (x − 1) f (x)|0 −

Z

1

0

(x − 1) f 0 (x) dx,

dar, conform formulei de medie, exist˘a c ∈ (0, 1) a.ˆı. Z

0

1

(x − 1) f 0 (x) dx = f 0 (c)

Z

1 0

1 (x − 1) dx = − f 0 (c) . 2

a pe 9.45 Fie f : [0, 1] → R o funct¸ie de dou˘ a ori derivabil˘ a, cu derivata f 00 continu˘ [0, 1]. S˘ a se arate c˘ a exist˘ a c ∈ (0, 1) a.ˆı. Z

1 0

1 1 f (x) dx = f (0) + f 0 (0) + f 00 (c) . 2 6

R: Se integreaz˘a de dou˘a ori prin p˘art¸i ¸si se aplic˘a teorema de medie. a se determine funct¸iile continue f : [0, ∞) → R care verific˘ 9.46 S˘ a egalitatea ’Z x “ x sin f (t) dt = , x > 0. 1+x 0

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

131

R: Din egalitatea dat˘a rezult˘a: Z x x 1 √ f (t) dt = arcsin , de unde f (x) = . 1 + x (1 + 1 + 2x x) 0 9.47 Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘ a se arate c˘ a exist˘ a c ∈ (a, b) a pe [a, b]. S˘ pentru care: Z b Z b Z c f (x) dx + b xf (x) dx. f (x) dx = a a

a

c

R: Fie funct¸ia F : [a, b] → R, definit˘a prin: F (t) = f (t), ∀x ∈ [a, b]. Avem, succesiv: Z

b

xf (x) dx = a

Z

a

b

b

xF 0 (x) dx = xF (x)|a −

Z

Rt a

a cu F 0 (t) = f (x) dx, derivabil˘

b

F (x) dx = b

a

Conform teoremei de medie exist˘a c ∈ (a, b) a.ˆı.

Z

b

a

Rb a

f (x) dx −

Z

b

F (x) dx. a

F (x) dx = (b − a) F (c).

9.48 Fie f : [0, 1] → R o funct¸ie continu˘ a pe [0, 1] pentru care exist˘ a n ∈ N∗ a.ˆı. Z

1

f (x) dx = 1 + 0

S˘ a se arate c˘ a exist˘ a x0 ∈ (0, 1) a.ˆı. f (x0 ) =

1 1 1 + + ··· + . 2 3 n 1 − xn0 . 1 − x0

R: Fie g : [0, 1] → R, definit˘a prin:

€  g (x) = f (x) − 1 + x + x2 + · · · + xn−1 .

Se constat˘a imediat c˘a a.ˆı. g (x0 ) = 0.

9.3

R1 0

g (x) dx = 0, deci dup˘a teorema de medie exist˘a x0 ∈ (0, 1)

Integrale improprii

9.49 S˘ a se studieze natura ¸si ˆın caz de convergent¸˘ a s˘ a se calculeze integralele improprii: Z a Z ∞ xn dx ∗ √ , a > 0, n ∈ 2) I N . = dx, a > 0, n ∈ N. 1) In = n n (a2 + x2 ) a2 − x2 0 0 x2n n ≤ 1, ∀x ∈ (0, ∞), cum (a2 + x2 ) α = 2n > 1 ¸si M = 1, rezult˘a c˘a integrala este convergent˘ a. Avem apoi: R: 1) Aplic˘am Criteriul I. Deoarece |f (x)| x2n =

I1 =

1 2n − 3 π , In = 2 In−1 , n ≥ 2. 2a a 2 (n − 1)

132

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

1 xn an ≤ √ , ∀x ∈ (0, a), 2) Aplic˘am Criteriul II. Deoarece |f (x)| (a − x) 2 = √ a a+x 1 an cum α = < 1 ¸si M = √ , rezult˘a c˘a integrala este convergent˘ a. Avem apoi: 2 a I1 =

π n−1 , In = a2 In−1 , n ≥ 2. 2 n

9.50 S˘ a se studieze natura ¸si ˆın caz de convergent¸˘ a s˘ a se calculeze integralele improprii: Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 ln x 1 √ √ dx. 2) I = dx, a > 0. 3) I = dx. 1) I = 2 2 xα x x −1 x x +1 1 1 a ‚ √ ƒ R: 1) Scriem integrala ca sum˘a de dou˘a integrale, una pe intervalul 1, 2 ¸si a doua √ 1 1 a α = pe intervalul [ 2, ∞). Pentru prima integral˘ < 1, M = √ , pentru a doua 2 2 √ π integral˘a α = 2 > 1, M = 2, deci ambele integrale sunt convergente. Se obt¸ine I = . 2 1 a2 + 1 1 2) Convergent˘a ¸si I = ln 2 . 3) Convergent˘ a pentru α > 1 ¸si I = 2, 2 a −1 (α − 1) divergent˘a pentru α ≤ 1. 9.51 S˘ a se studieze natura ¸si ˆın caz de convergent¸˘ a s˘ a se calculeze integralele improprii: Z 2 Z ∞ Z 1 dx dx x−1 √ √ dx. 1) I = . 2) I = . 3) I = 3 2 2 x (x + 1) x5 0 (1 + x ) 4 − x −1 1 π R: 1) Convergent˘a ¸si I = ln 2. 2) Convergent˘ a. a ¸si I = √ . 3) Divergent˘ 2 5

9.52 S˘ a calculeze integralele: Z π Z 2π dx dx 1) I = . . 2) I = 4 4 x + sin2 x cos2 x 4 − 3 cos x sin x + cos 0 0 R: 1) Efectu˘am schimbarea de variabil˘ a x = π + u ¸si obt¸inem: Z π Z ∞ du 2π 2 dt I= = =√ . 2 7 −π 4 + 3 cos u −∞ t + 7 hπ i h πi ¸si a doua pe , π cu 2) Scriind integrala ca sum˘a a dou˘a integrale, una pe 0, 2 2 schimbarea de variabil˘a t = tg x, se obt¸ine: Z ∞ 2π 1 + t2 I=2 dt = √ . 4 2 t +t +1 3 0 a calculeze integralele: 9.53 S˘ Z ∞ Z −x n 1) In = e x dx. 2) I = 0

0

∞

arctg x dx. 3) I = 3 (1 + x2 ) 2

Z

∞ 0

x ln x 3

(1 + x2 )

dx.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

133

√ Z ∞ √ ln (2 + 3 x) x p √ 4) I = , a < b. 5) I = dx. 6) I = 2 dx. 3 x (x − a) (b − x) (1 + x) a 1 −1 Z e Z 1 Z b x dx dx √ p , a < b. 8) I = . 9) I = 7) I = ln (1 − x) dx. (x − a) (b − x) a 0 1 x ln x Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ arctg x Œ 3 Œ x < π , ∀x (0, ∞), integrala R: 1) In = nIn−1 , deci In = n!. 2) Deoarece ŒŒ Œ 3 2 Œ Œ Œ (1 + x2 ) 2 Œ π 1 este convergent˘a. Integrˆand prin p˘art¸i, obt¸inem: I = − 1. 3) I = − . 4) I = π. 2 8 √ π 1 5) I = 6 − 9 ln 3. 6) I = (π + 2). 7) I = (a + b). 8) I = 2. 9) I = 1. 4 2 9.54 S˘ a calculeze integralele: Z

1) I =

b

Z

4) I =

∞

7) I =

1

Z 1 e−αx cos (βx) dx, α > 0. 2) I = e 0

0

Z

Z

dx

1 0

Z

dx √ . 5) I = 2 1 − x + 2 1 − x2 ∞

1

Z

dx √ . 8) I = 3 2x + x2 + 1 + 5

1

−1

Z

2

dx . 3) I = x ln2 x

Z

5

3

dx √ . 6) I = (2 − x) 1 − x2 4

3 + cos x 2

(x − 2)

p Z

x2 dx (x − 3) (5 − x) 1

0

x2 dx

q 3

5

.

.

(1 − x2 )

Z π dx. 9) I = 2 ln (cos x) dx. 0

α π π 33π . 2) I = 1. 3) I = . 4) I = √ . 5) I = √ . α2 + β 2 2 3 3 3 6) Divergent˘a. 7) Divergent˘a. 8) Divergent˘ a. π 9) Efectu˘am schimbarea de variabil˘ a x = − 2t ¸si obt¸inem: 2 π π Z Z Z π 4 4 dt + 2 ln (sin t) dt + 2 4 ln (cos t) dt. I = 2 ln 2 R: 1) I =

0

0

In ultima integral˘a efectu˘am schimbarea de variabil˘ at=

0

π π − u. Rezult˘a I = − ln 2. 2 2

9.55 Fie f : [0, ∞) → R o funct¸ie continu˘ a pe [0, ∞) ¸si integrala improprie (integrala lui Froullani): Z ∞ f (ax) − f (bx) I= dx, o < a < b. x 0 1) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a exist˘ a lim f (x) = k ∈ R, atunci integrala I este convergent x→∞ b ¸si I = [f (0) − k] ln . a R∞ a pentru a, dar α f (x) dx este convergent˘ 2) Dac˘ a exist˘ a lim f (x) nu este finit˘ x→∞ b orice α > 0, atunci integrala I este convergent˘ a ¸si I = f (0) ln . a

134

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

R: 1) Pentru orice [t1 , t2 ] ⊂ [0, ∞) avem: Z

t2

f (ax) − f (bx) dx = x

t1

=

Z

at2

at1

f (u) du− u

Z

bt2

f (u) du = f (c1 ) u

bt1

Z

t2 t1

Z

bt1

at1

f (ax) dx − x du −f (c2 ) u

Z

Z

t2 t1 bt2

at2

f (bx) dx = x du b = [f (c1 ) − f (c2 )] ln , u a

cu c1 ∈ [at1 , bt1 ] ¸si c1 ∈ [at2 , bt2 ]. Dac˘a t1 → 0 ¸si t2 → ∞, atunci c1 → 0 ¸si c2 → ∞, deci: f (c1 ) → f (0), iar f (c2 ) → k. f (x) 2) Fie F : (0, ∞) → R o primitiv˘a a funct¸iei pe (0, ∞). Pentru orice t ∈ (0, ∞), x avem: Z ∞ Z ∞ Z ∞ f (u) f (u) f (ax) − f (bx) dx = du − du = F (bt) − F (at) = x u u t at bt Z bt b f (u) = du = f (c) ln , u a at cu c ∈ [at, bt]. Dac˘a t → 0, atunci c → 0, deci: f (c) → f (0). 9.56 Folosind integrala lui Froullani, s˘ a se calculeze: Z ∞ Z ∞ −ax 1 p + qe−ax e − e−bx dx, a, b > 0. 2) I = ln dx, a, b, p, q > 0. 1) I = x x p + qe−bx 0 0 3) I =

Z

∞

e−a

2

x2

− e−b x

0

Z

2

x2

dx, ab = 6 0. 4) I =

Z

∞ 0

sin ax − sin bx dx, a, b > 0. x

Z

∞ arctg (ax) − arctg (bx) cos ax − cos bx dx, a, b > 0. 6) I = dx. x x 0 0 Œ Œ ŒbŒ b p+q b ln . 3) I = ln ŒŒ ŒŒ. R: 1) I = ln . 2) I = ln a p a a b π a 4) I = 0. 5) I = ln . 6) I = ln . a 2 b R∞ 2 9.57 S˘ a se calculeze integrala lui Euler-Poisson: I = 0 e−x dx.

5) I =

∞

R∞ R∞ 1 2 R: Pe intervalul (1, ∞) avem: 1 e−x dx < 1 e−x dx = , iar pe intervalul [0, 1] e avem o integral˘a definit˘aR. Deci integrala Rdat˘a este convergent˘ a. Observ˘am c˘a pentru 2 2 2 ∞ ∞ x > 0 are loc egalitatea: 0 xe−x y dy = 0 e−y dy = I. Putem scrie succesiv: I

2

= =

I Z

Z

0

∞

e 0 ”Z ∞

−x2

0

dx =

Z

∞

Ie

0

∞

2

xe−x (y

2

+1)

−x2

•

dx =

dx dy.

Z

0

∞

’Z

0

∞

xe

−x2 y 2

“

2

dy e−x dx =

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

135

 € Efectuˆand schimbarea de variabil˘ a t = x2 y 2 + 1 , obt¸inem: “ Z ’ Z ∞ Z 1 ∞ π 1 1 ∞ dy −t dt I2 = e dy = = . 2 0 y2 + 1 0 2 0 y2 + 1 2 √ π Rezult˘a c˘a I = . 2 a se calculeze integralele lui Fresnel: 9.58 S˘ Z Z ∞ 2 Ic = cos x dx, Is =

∞

sin x2 dx.

0

0

a t = x2 , obt¸inem: R: Efectuˆand schimbarea de variabil˘ Z ∞ Z ∞ cos t sin t √ dt, Is = √ dt, Ic = t t 0 0 care sunt convergente. Putem ˆıns˘ a scrie: Z Z ∞  € Ic − iIs = cos x2 − i sin x2 dx = 0

Cu schimbarea de variabil˘a ix2 = u2 , g˘asim: Ic − iIs = 1 Ic = Is = 2

9.4

r

∞

2

e−ix dx.

0

1 (1 − i) 2

r

π , de unde: 2

π . 2

Integrale cu parametri

9.59 S˘ a se calculeze integralele: Z y Z 1 ln (1 + xy) I (m, xm lnn x dx. 1) I (y) = dx. 2) n) = 2 1 + x 0 0 R: 1) Deoarece: €  Z y €  ln 1 + y 2 ln 1 + y 2 y x 0 I (y) = + + arctg y, dx = 2) 2) 1 + y2 (1 + xy) (1 + x 2 (1 + y 1 + y2 0 prin integrare, obt¸inem: #  Z y" € €  ln 1 + t2 t 1 I (y) = + arctg t dt = (arctg y) ln 1 + y 2 . 2 2 2 (1 + t ) 1+t 2 0 2) Derivˆand egalitatea

R1 0

xm dx =

1 de n ori ˆın raport cu m, g˘asim m+1

I (m, n) = (−1)!

n! (m + 1)

n+1 .

136

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

9.60 S˘ a se calculeze integralele: Z ∞ Z ∞ sin (xy) dx 1) In (y) = 0, (k, y) = e−kx , y > n ∈ N. 2) I dx. 2 + y)n+1 x (x 0 0 R: 1) Avem succesiv: π 1 π 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) π I0 (y) = √ , I1 (y) = · n√ . √ , . . . , In (y) = 2 y 2 2y y 2 · 4 · 6 · · · · · (2n) 2y y 2) Pentru k 6= 0, derivˆand ˆın raport cu y ¸si integrˆ and de dou˘a ori prin p˘art¸i, avem: Z ∞ k e−kx cos (xy) dx = 2 I 0 (k, y) = . y2 k + 0 y Deci, I (k, y) = arctg . Pentru k = 0, avem: k  π   − , y < 0, Z ∞  2 sin (xy) 0, y = 0, I (0, y) = dx =  x 0  π  , y > 0. 2 a se calculeze integralele: 9.61 S˘ y2 R ∞ −x2 − 2 x dx, y > 0. 1) I (y) = 0 e π R 2) I (y) = 02 arctg (y sin x) dx. R 1 arctg (xy) 3) I (y) = 0 √ dx. x 1 − x2 R 1 arctg (xy) dx. 4) I (y) = 0 x (1 + x2 ) R: 1) Derivˆand ˆın raport cu y, avem:

y2 Z ∞ y2 2 −z − y 2 x e I (y) = −2 dz = −2I (y) , dx = −2 e z2 2 x 0 0 y ˆın urma schimb˘arii de variabil˘a x = . De aici rezult˘a: I (y) = Ce−2y . Pentru y = 0, z √ √ ‘ p π π −2y π  . Deci I (y) = e obt¸inem C = I (0) = . 2) I (y) = ln y + 1 + y 2 . 2p 2 2 ‘ π  π 3) I (y) = ln y + 1 + y 2 . 4) I (y) = ln (1 + y). 2 2 9.62 S˘ a se calculeze integralele: Z π €  1) I (α, β) = 2 ln α2 sin2 x + β 2 cos2 x dx, α, β > 0. 0

Z

∞ −x2 −

0

Z π Z π €  1 + y cos x dx , |y| < 1. 3) I (y) = 2 ln y 2 − sin2 x dx, y > 1. 2) I (y) = 2 ln 1 − y cos x cos x 0 0

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

137

p α+β y + y2 − 1 R: 1) I (α, β) = π ln . 2) I (y) = π arcsin y. 3) I (y) = π ln . 2 2 9.63 S˘ a se arate c˘ a integrala lui Euler de spet¸a a doua: Z ∞ xp−1 e−x dx, p ∈ R. Γ(p) = 0

este convergent˘ a pentru p > 0 ¸si divergent˘ a pentru p ≤ 0. S˘ a se stabileasc˘ a relat¸iile: Γ (p + 1) = pΓ (p), pentru p > 0 ¸si Γ (n + 1) = n!. R: Putem scrie: Γ(p) =

Z

1

xp−1 e−x dx +

Z

∞

xp−1 e−x dx.

1

0

Prima integral˘a este convergent˘ €  a dac˘a 1 − p < 1, adic˘a p > 0, fiind improprie de spet¸a a doua, cu e−1 < x1−p xp−1€ e−x ≤ 1, a este convergent˘ a pentru  pe [0, 1]. A doua integral˘ orice p, deoarece lim xα xp−1 e−x = 0, ∀p ∈ R. x→∞

9.64 S˘ a se arate c˘ a integrala lui Euler de prima spet¸˘ a: Z 1 B(p, q) = xp−1 (1 − x)q−1 dx, p, q ∈ R, 0

este convergent˘ a pentru p > 0 ¸si q > 0 ¸si divergent˘ a pentru p ≤ 0 sau q ≤ 0. S˘ a se stabileasc˘ a relat¸iile: B(p, q) =

(m − 1)! (n − 1)! Γ (p) Γ (q) , p, q > 0 ¸si B (m, n) = , m, n ∈ N∗ . Γ (p + q) (m + n − 1)!

R: Putem scrie: Z 1 Z 1 B (p, q) = 2 xp−1 (1 − x)q−1 dx + 1 xp−1 (1 − x)q−1 dx. 0

2 • 1 q−1 Fie m1 , M1 marginile funct¸iei (1 − x) pe 0, . Atunci: 2 ‚ ƒ 0 < m1 ≤ x1−p xp−1 (1 − x)q−1 ≤ M1 . ”

Rezult˘a c˘a prima integral˘a” este• convergent˘ a dac˘a p > 0, ∀q ∈ R. Fie apoi m2 , M2 1 p−1 , 1 . Atunci: pe marginile funct¸iei x 2 ‚ ƒ 0 < m2 ≤p−1 (1 − x)1−q xp−1 (1 − x)q−1 ≤ M2 .

Rezult˘a c˘a a doua integral˘a este convergent˘ a dac˘a q > 0, ∀p ∈ R. Deci B (p, q) este convergent˘a dac˘a p > 0 ¸si q > 0.

138

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

Capitolul 10

Integrale curbilinii 10.1

Lungimea unui arc de curb˘ a

10.1 S˘ a se calculeze lungimile urm˘ atoarelor drumuri: √ √ €  1) x = ln t + 1 + t2 , y = 1 + t2 , t ∈ [0, 1] . 2) x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ [0, 2π] . 1 t R: 1) Avem x0 (t) = √ , y (t) = √ , deci 2 1+t 1 + t2 s Z 1 Z 1 t2 1 L= + dt dt = 1. = 1 + t2 1 + t2 0 0 2) Avem x0 (t) = −3a cos2 t sin t ¸si y 0 (t) = 3a sin2 t cos t, deci L = 3a

Z

0

2π

Z π |sin t cos t| dt = 6a 2 sin 2t dt = 6a. 0

10.2 S˘ a se calculeze lungimile urm˘ atoarelor drumuri: r hπ π i t 1 + sin t 1) x = ln tg , y = ln , t∈ . , 2 1 − sin t 6 3 2) x = 5 sin t − sin 5t, y = 5 cos t − cos 5t, t ∈ [0, 2π] . R: 1) Avem x0 (t) =

1 1 , y 0 (t) = . Atunci sin t cos t Z πr 1 1 L = π3 dt = ln 3. + sin2 t cos2 t 6 139

140

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

2) Avem x0 (t) = 5 cos t − 5 cos 5t, y 0 (t) = −5 sin t − 5 sin 5t, deci √ Z L=5 2

2π 0

√ 1 − cos 3t dt = 10

Z

2π 0

Z π |sin 3t| dt = 60 3 sin 3t dt = 40. 0

10.3 S˘ a se calculeze lungimile urm˘ atoarelor drumuri: 1) x = eat (a sin bt − b cos bt) , y = eat (a cos bt + b sin bt) , t ∈ [0, 1] , a, b > 0. t t 2) x = [sin (ln t) − cos (ln t)] , y = [sin (ln t) + cos (ln t)] , t ∈ [1, 2] . 2 € € €2 2  €3    3) x = 3t − 6 sin t − t − 6t cos t, y = 3t2 − 6 cos t + t3 − 6t sin t,

t ∈ [−2π, 2π] . R: 1) L =

a2 + b2 a (e − 1). 2) L = 1. 3) L = 8π 4 . a

10.4 S˘ a se calculeze lungimile urm˘ atoarelor drumuri:   t,  x=√  x = tg t, h π πi hπ πi y=√ ctg t, 1) . 2) , . x∈ y = 2 ln (cos t) , t ∈ − ,   4 4 4 3 z = tg t − t, z = 2 ln (tg t) , R: 1) L = 2. 2) L =

10.2

√ 2 3 . 3

Integrale curbilinii de primul tip

a se calculeze integralele curbilinii de primul tip, pe arcele de curb˘ a C, indicate: 10.5 S˘ R 1) I = C xy ds, (C) x = t, y = t2 , t ∈ [−1, 1] . R 1 2) I = C y 2 ds, (C) x = − t4 , y = t, t ∈ [0, 2] . 4 h πi R p 3) I = C y (2 − y) ds, (C) x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ 0, . 2 R 2 2 3 3 4) I = C x y ds, (C) x = a cos t, y = a sin t, a > 0, t ∈ [0, 2π] . R: 1) Deoarece ds =

√

1 + 4t2 dt, avem I=

Z

1

t3 −1

p

1 + 4t2 dt = 0,

integrantul fiind o funct a de origine. √¸ie impar˘a ¸si intervalul de integrare este simetric fat¸˘ 2) Deoarece ds = t6 + 1 dt, avem I=

Z

0

2

t2

p

t6 + 1 dt =

1 3

Z

0

8

p

u2 + 1 du =

√ ‘ 4√ 1  65 + ln 8 + 65 . 3 6

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA 3) Deoarece ds =

q

2

(1 − cos t) + sin2 t dt = 2 sin

141

t dt, avem 2

Z π Z π t t 4 t I = 2 2 sin t sin dt = 4 2 sin2 cos dt = √ . 2 2 2 3 2 0 0 4) Obt¸inem:

π 5 Z 3a 7 2 sin7 2t dt, |sin 2t| dt = 5 2 0 0 π 7 a deoarece funct¸ia |sin 2t| este periodic˘a, de perioad˘a . Efectu˘am schimbarea de variabil˘ 2 u = cos 2t ¸si obt¸inem: Z 3 3a5 1 € 3 5 1 − u2 du = I= 6 a . 2 70 −1 R p 10.6 S˘ a se calculeze integrala curbilinie I = C x2 + y 2 ds, unde C este cercul de ecuat¸ie x2 + y 2 = ax. 3a5 I= 7 2

Z

2π

R: O reprezentare parametric˘a a cercului C este: x =

t ∈ [0, 2π]. Se obt¸ine I = 2a2 .

a a (1 + cos t), y = sin t, 2 2

10.7 S˘ a se calculeze integralele curbilinii de primul tip, pe arcele de curb˘ a C, indicate: p R 1) I = RC € x2 + y2 ds, (C) x = r (cos t + t sin t) , y = r (sin t − t cos t) , t ∈ [0, 2π] . n 2) I = RC x2 + y 2 ds, (C) x = a cos t, y = a sin t, t ∈ [0, 2π] . 3) I = C |xy| ds, (C) x = a cos t, y = b sin t, a, b > 0, t ∈ [0, 4π] . €  i 3 8ab a2 + ab + b2 r2 h€√ 2n+1 2 . 3) I = R: 1) I = 1 + 4π − 1 . 2) I = 2πa . 3 3 (a + b)

10.8 S˘ a se calculeze integralele curbilinii de primul tip, pe arcele de curb˘ a C, indicate:  R € 2 1) I = C x + y 2 ln z ds, (C) x = et cos t, y = et sin t, z = et , t ∈ [0, 1] . −1 R € 2) I = C x2 + y 2 + z 2 ds, (C) x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ [0, 2π] . R 1 1√ 3 2 8t , z = t2 , t ∈ [0, 1] . 3) I = C xy z ds, (C) x = t, y = 3 2  R € 4) I = C x2 + y 2 z ds, (C) x = t cos t, y = t sin t, z = t, t ∈ [0, 1] . √ √ √ t  3€ 3 a2 + b2 2πb arctg . 2e + 1 . 2) I = R: 1) Deoarece ds = 3e dt, rezult˘a I = 9 ab a √ √ 5 4 3 8 2 . 4) I = + . 3) I = 42 5 15 R 10.9 S˘ a se calculeze integrala curbilinie I = C (x + y + z) ds, unde C = C1 ∪ C2 , cu:    x = 0,  x = r cos t, h πi y = r − t, t ∈ [0, r] . y = r sin t, t ∈ 0, (C1 ) , (C2 )   2 z = t, z = 0,

142

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

√  € R: I = 2 + 2 r2 .

a se calculeze integrala curbilinie I = 10.10 S˘ ecuat¸ie x2 + y 2 + z 2 = a2 , y = x.

R p C

2y 2 + z 2 ds, unde C este cercul de

a a R: O reprezentare parametric˘a a curbei este: x = √ cos t, y = √ cos t, z = a sin t, 2 2 t ∈ [0, 2π]. Se obt¸ine: I = 2πa2 . 10.11 S˘ a se calculeze masa M firului material cu densitatea liniar˘ a ρ (x, y) = 1 + x, care este imaginea curbei: (C) x = t, y = R: Deoarece ds = M=

√ Z

1 + t2 dt, avem

1

(1 + t) 0

1 2 t , t ∈ [0, 1] . 2

p

1 + t2 dt =

√ ‘ 1 7√ 1  2 + ln 1 + 2 − . 6 2 3

a se calculeze masele firelor materiale care au densit˘ a¸tile liniare ¸si reprezent˘ arile 10.12 S˘ parametrice urm˘ atoare: √ √ 3 11 3 1 1) ρ (x, y, z) = 4 2y, (C) x = t8 , y = t8 , z = t , t ∈ [0, 1] . 8 2 3 √ 1 1 2) ρ (x, y, z) = 2y, (C) x = t, y = t2 , z = t3 , t ∈ [0, 1] . 2 3 3) ρ (x, y, z) = x, (C) x = ch t, y = sh t, z = t, t ∈ [0, ln 2] . " √ # 11 3 3+2 3 1 √ 3 ln 11. 2) M = 3 3 − 1 + ln . R: 1) M = + 5 100 8 2 3 √ ’ “ 2 15 3) M = + ln 2 . 2 16

10.13 S˘ a se calculeze masa M ¸si centrul de greutate G ale firelor materiale cu densitat˘ a¸tile liniare ¸si reprezent˘ arile parametrice urm˘ atoare: 1) ρ (x, y) = 1, (C) x = R cos t, y = R sin t, R > 0, t ∈ [0, π] . 2) ρ (x, y) = 1, (C) x = R (t − sin t) , y = R (1 − cos t) , R > 0, t ∈ [0, π] . √ 3) ρ (x, y) = y, (C) x = R (t − sin t) , y = R (1 − cos t) , hR > i0, t ∈ [0, 2π] . π 4) ρ (x, y) = 1, (C) x = R cos3 t, y = R sin3 t, R > 0, t ∈ 0, . 2 “ ’ “ ’ 2R 4 4 R: 1) M = πR, G 0, . 2) M = 4R, G R, R . 3 ’3 “ “ ’π √ 3 2 2 3 R, R . 3) M = 2R 2Rπ, G Rπ, R . 4) M = R, G 2 2 5 5

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

143

a se calculeze masa M ¸si centrul de greutate G ale firelor materiale cu densi10.14 S˘ tat˘ a¸tile liniare ¸si reprezent˘ arile parametrice urm˘ atoare: 1) ρ (x, y, z) = 1, (C) x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ [0, 2π] . √ |z| , (C) x = 4t5 , y = 15 t4 , z = 2t3 , t ∈ [−1, 1] . 2) ρ (x, y, z) = 2 ’ “ √ 68 2 2 R: 1) M = 2π a + b , G (0, 0, bπ). 2) M = 7, G 0, √ , 0 . 7 15

10.3

Integrale curbilinii de tipul al doilea

10.15 S˘ a se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea, pe arcele de curb˘ a C, indicate: R 1) I = C xy dx − y 2 dy, (C) x = t2 , y = t3 , t ∈ [0, 1] . h π πi R √ 2) I = C 1 − x2 dx + x dy, (C) x = cos t, y = 2 sin t, t ∈ − , . 2 2 €  R 2 x 3) I = C ye dx, (C) x = ln 1 + t , y = 2arctg t − t, t ∈ h[0, 1] i. √ √ R π 4) I = C x2 y dy − xy 2 dx, (C) x = cos t, y = sin t, t ∈ 0, . 2  R1€ 1 R: 1) Deoarece: dx = 2t dt, dy = 3t2 dt, avem: I = 0 2t6 − 3t8 dt = − . 21 8 π 2) Deoarece: dx = − sin t, dy = 2 cos t dt, obt¸inem I = π. 3) I = π − . 4) I = . 3 4 10.16 S˘ a se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea: š h πi R x2 dy − y 2 dx x = r cos3 t, p t 0, 1) I = C √ ∈ , (C) . 3 3 y = r sin t, 2 x x2 + y 3 y 2 š R −t, x=√ 2) I = C (arcsin y) dx + x3 dy, (C) t ∈ [−1, 1] . y = 1 − t2 , R: 1) I =

3π 3π √ r 3 r. 2) I = − 2. 16 8

R 10.17 S˘ a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C (x + y) dx−(x − y) dy, unde C este curba simpl˘ a, ˆınchis˘ a ¸si orientat˘ a pozitiv, care are drept imagine triunghiul cu vˆ arfurile ˆın punctele O (0, 0), A (1, 1), B (0, 2) ¸si ambele capete ˆın origine. R: Avem: C = C1 ∪ C2 ∪ C3 , cu: (C1 ) x = t, y = t, t ∈ [0, 1], (C2 ) x = 2 − t, y = R2 R1 t, t ∈ [1, 2], (C3 ) x = 0, y = 2 − t, t ∈ [0, 2]. Incˆat: I = 0 2t dt + 1 (−4 + 2t) dt + R2 (−2 + t) dt = −2. 0 R 10.18 S˘ a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C 2x dy − 3y dx, unde C este curba simpl˘ a, ˆınchis˘ a ¸si orientat˘ a pozitiv, care are drept imagine dreptunghiul cu vˆ arfurile ˆın punctele A (1, 2), B (3, 1), C (2, 5) ¸si ambele capete ˆın punctul A. R: I =

35 . 2

144

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

10.19 S˘ a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea Z dx + dy I= , max {|x| , |y|} C unde C este curba simpl˘ a, ˆınchis˘ a ¸si orientat˘ a pozitiv, care are drept imagine triunghiul cu vˆ arfurile ˆın punctele A (−1, −1), B (2, −1), C (2, 1), D (−1, 1) ¸si ambele capete ˆın punctul A. R: I = −1.

R 10.20 S˘ a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C ydx−(x − a) dy, unde C este curba simpl˘ a, ˆınchis˘ a ¸si orientat˘ a pozitiv, care are drept imagine elipsa: 2

y2 (x − a) + 2 = 1, a, b > 0 2 a b ¸si ambele extremit˘ a¸ti ˆın origine. R: O reprezentare parametric˘a a curbei C este: x = a (1 + cos t), y = b sin t, t ∈ [−π, π]. Se obt¸ine I = −2πab.

 R € 10.21 S˘ a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C x2 − y 2 dx, unde C este arcul din parabola y = x2 cuprins ˆıntre punctele O (0, 0) ¸si A (2, 4). R: I = −

56 . 15

 R € 10.22 S˘ a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I = C x − y 2 dx + 2xy dy, a, ˆınchis˘ a ¸si orientat˘ a pozitiv, care are drept imagine conturul unde C este curba simpl˘ domeniului plan delimitat de curbele: y 2 = 8x, 9x2 + y 2 = 1 ¸si y = 0, situat ˆın primul cadran.   √ ! ’ “ 1 80 1 2 2 R: Vˆarfurile conturului sunt: O (0, 0), A ,0 , B , . Se obt¸ine I = − . 3 9 3 243 a se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea, pe arcele de curb˘ a C, indi10.23 S˘ cate:   x = −t cos t + sin t, € 2  R y = t sin t + cos t, 1) I = C y dx − x dy + x + y 2 + z 2 dz, (C) t ∈ [0, π] .  z = t + 1,  x = a cos t, R y = a sin t, t ∈ [0, 2π] . 2) I = C (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz, (C)  z = bt,

R: 1) Deoarece: dx = t sin t dt, dy = t cos t dt, dz = dt, x2 + y 2 + z 2 = 2t2 + 2t + 2, se obt¸ine I = π 3 + π 2 + 2π. 2) I = −2πa (a + b).

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

145

a se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea, pe arcele de curb˘ a C, indi10.24 S˘ cate: √ R , z = 2 t, t ∈ [0, 1] . 1) I = C x dx + xy dy + xyz dz, (C) x = et , y = e−t  x = a cos t, h πi €  R √ y = a sin t, t ∈ 0, . 2) I = C z a2 − x2 dx + xz dy + x2 + y 2 dz, (C)  2 z = bt, R: 1) I =

1 2 1 1 a2 b e + − . 2) I = (π − 1). 2 e 2 2

10.25 S˘ a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea Z p p p I= y 2 + z 2 dx + z 2 + x2 dy + x2 + y 2 dz, C

unde C este curba simpl˘ a care are drept imagine segmentul [AB] cu: A (−1, −1, −1) ¸si B (2, 2, 2), iar primul cap˘ at ˆın A. √ 15 2 R: I = . 2 10.26 S˘ a se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea Z I= (y − 2z) dx − (z − x) dy + (2x − y) dz, C

unde C este curba simpl˘ a de ecuat¸ii: (C) ’ “ a a ˆın punctul A √ , 0, − √ . 2 2

š

x2 + y 2 + z 2 = a2 , cu a > 0 ¸si ambele capete x − y + z = 0,

R: O reprezentare parametric˘a a curbei C este: a 2a a a a (C) x = √ cos t + √ sin t, y = √ sin t, z = √ sin t − √ cos t, t ∈ [0, 2π] . 2 6 6 6 2 4a2 Se obt¸ine I = √ . 3

10.4

Independent¸a de drum a integralelor curbilinii

10.27 Constatˆ and ˆın prealabil c˘ a expresia de sub semnul integral˘ a este o diferent¸ial˘ a exact˘ a, s˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale curbilinii, ˆın care s-au specificat numai capetele curbei de integrare: 1) I = 3) I =

(1,3) R

(2,1) (2,3) R

(1,1)

y dx + x dy. (x + 3y) dx + (3x + y) dy.

2) I =

(2,0) R

y 2 ex dx + 2yex dy.

(0,2) (2,1) R

4) I =

(0,0)

2xy dx + x2 dy.

146

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

∂P ∂Q = = 1, rezult˘a c˘a valoarea integralei ∂x ∂y nu depinde de curba rectificabil˘a cu capetele ˆın punctele (2, 1) ¸si (1, 3). Fie A1 (2, 1), A2 (1, 1) ¸si A3 (3, 1). Alegem pentru integrare curba simpl˘a C = C1 ∪ C2 , ˆın care C1 are ca imagine segmentul A1 A2 paralel cu axa Ox, iar C2 are ca imagine segmentul A2 A3 paralel cu axa Oy, avˆand reprezent˘ arile parametrice: š š x = −t, x = 1, (C1 ) t ∈ [−2, −1] ¸si (C2 ) t ∈ [1, 3] . y = 1, y = t, R: 1) Cum P (x, y) = y, Q (x, y) = x ¸si

R3 R −1 R R R Obt¸inem: I = C y dx + x dy = C1 y dx + x dy + C2 y dx + x dy = − −2 dt + 1 dt = 1. Se observ˘a u¸sor c˘a funct¸ia U (x, y) = xy este o primitiv˘a a expresiei diferent¸iale y dx + x dy, adic˘a dU = dx + x dy ¸si deci I = U (1, 3) − U (2, 1) = 1. 41 2) I = −4. 3) I = . 4) I = 4. 2

10.28 Constatˆ and ˆın prealabil c˘ a expresia de sub semnul integral˘ a este o diferent¸ial˘ a exact˘ a, s˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale curbilinii, ˆın care s-au specificat numai capetele curbei de integrare: 1) I =

(5,12) Z

x dx + y dy . x2 + y 2

2) I =

(3,4)

3) I =

(−3,−2) Z (1,2)

R: 1) I = ln

y2 (x − y)

2

dx −

x2 2

(x − y)

dy.

4) I =

(9,1) Z

1 2

( 12 ,2) (3,0) Z

r

1 y dx + x 2

r

x dy. y

y x dx + dy. 1 + xy 1 + xy

( 31 ,−2)

13 . 2) I = 2. 3) I = 4. 4) I = ln 3. 5

10.29 Constatˆ and ˆın prealabil c˘ a expresia de sub semnul integral˘ a este o diferent¸ial˘ a exact˘ a, s˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale curbilinii, ˆın care s-au specificat numai capetele curbei de integrare: 1) I =

3) I =

(2,3,1) R

(1,1,0) (3,4,5) Z (0,0,0)

yz dx + xz dy + xy dz. x dx + y dy + z dz p . x2 + y 2 + z 2

2) I =

4) I =

(2,1,3) R

(1,−1,2) (0,3,4) Z

x dx − y 2 dy + z dz.

x dx + y dy + z dz . 3 (1,−2,2) (x2 + y 2 + z 2 ) 2

R: 1) Cum: P (x, y, z) = yz, Q (x, y, z) = xz, R (x, y, z) = xy, avem: ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R = = x, = = y, = = z, ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y deci expresia de sub semnul integral˘ a este o diferent¸ial˘ a exact˘a ¸si integrala curbilinie nu depinde de drum. Fie A1 (1, 1, 0), A2 (2, 1, 0), A3 (2, 3, 0), A4 (2, 3, 1). Alegem pentru

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

147

integrare curba simpl˘a C = C1 ∪ C2 ∪ C3 , ˆın care C1 are ca imagine segmentul A1 A2 paralel cu axa Ox, C2 are ca imagine segmentul A2 A3 paralel cu axa Oy, C3 are ca imagine segmentul A3 A4 paralel cu axa Oy, avˆ and reprezent˘ arile parametrice:     x = t,  x = 2,  x = 2, y = 1, t ∈ [1, 2] , (C2 ) y = t, t ∈ [1, 3] , (C3 ) y = 3, t ∈ [0, 1] . (C1 )    z = 0, z = 0, z = t,

Obt¸inem: I =

R2 1

0 dt +

R3 1

0 dt +

R1 0

6 dt = 6. 2) I =

√ 2 10 . 3) I = 5 2. 4) I = . 3 15

and ˆın prealabil c˘ a expresia de sub semnul integral˘ a este o diferent¸ial˘ a ex10.30 Constatˆ act˘ a, s˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale curbilinii, ˆın care s-au specificat numai capetele curbei de integrare:

1) I =

3) I =

(5,3,1) Z

−yz dx + zx dy + xy dz

(7,2,3) (2,6,3) Z

(x − yz)

2

x xy y dx + dy − 2 dz. z z z

.

2) I =

4) I =

(−1,3,1)

(2,2,2) Z

y 2 z 2 dx + 2x2 z dy + 2x2 y dz

(1,1,1) (2,2,4) Z

2

(2x + yz)

.

z (dx + dy) − (x + y) dz . x2 + y 2 + z 2 + 2xy

(−1,1,5)

2 9 π R: 1)I = − . 2) I = . 3) I = 7. 4) I = . 2 3 2

10.5

Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii

10.31 S˘ a se calculeze, cu ajutorul integralei curbilinii, aria domeniului plan m˘ arginit de: 1) Elipsa: x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π]. 2) Astroida: x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ [0, 2π). 3) Cardioida: x = a (2 cos t − cos 2t), y = a (2 sin t − sin 2t), t ∈ [0, 2π]. 3at 3at2 4) Foliul lui Descartes: x = , y = , t ∈ (0, ∞). 1 + t3 1 + t3 1 R 2π ab dt = πab. 2 0 3a 3a2 R 2π 2 3πa2 2) Deoarece x dy − y dx = sin2 2t dt, avem A = sin 2t dt = . 3) 0 4 8 8 2 3a A = 6πa2 . 4) A = . 2 R: 1) Deoarece x dy − y dx = ab dt, avem A =

148

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

Capitolul 11

Integrale multiple 11.1

Integrala dubl˘ a

11.1 S˘ a se calculeze integralele duble: RR 1) I = D ln (x + y) dxdy, unde: D = {(x, y) n , 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤πy ≤ 2} . π o RR cos y dxdy, unde: D = (x, y) , 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ . 2) I = D 1 + sin x sin y 2 2 o n  RR € 2 π π . 3) I = D cos x + sin2 y dxdy, unde: D = (x, y) , 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ 4 4 h πi RR x+sin y cos y dxdy, unde: D = [0, π] × 0, 4) I = D e . 2 2 RR x 5) I = D dxdy, unde: D = [0, 1] × [0, 1] . 1 + y2

a este continu˘ a. Domeniul D este un dreptunghi. R: 1) Funct¸ia de sub semnul integral˘ Aplic˘am formula de reducere la integrale iterate, ˆın ordinea y, x. Avem: Z 1 Z 2 Z 1 I= dx ln (x + y) dy = [(x + 2) ln (x + 2) − (x + 1) ln (x + 1) − 1] dx, 0

1

0

9 3 ln 3 − 4 ln 2 − . 2 2 2) Domeniul D este un dreptunghi. Aplic˘am formula de reducere la integrale iterate, x ˆın ordinea x, y. Avem mai ˆıntˆai, efectuˆand schimbarea de variabil˘ a t = tg : 2 Z 1 Z π2 cos y 1 + sin y 2 cos y dt π dx = = 2arctg − 2y = − y. 2 + 2t sin y + 1 1 + sin x t cos y 2 sin y 0 0 deci I =

Apoi,

3) I =

R

Z π 4

0

dx

π 2

0

R

π 4

0

Z

Z π2  ‘ cos y π 1 dx = − y dy = π 2 . 1 + sin x sin y 2 8 0 0 € 2  π 1 2 cos x + sin2 y dy = π . 4) I = (e − 1) (eπ − 1). 5) I = . 16 12 dy

π 2

149

150

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

11.2 S˘ a se calculeze integralalele iterate: 1) I = 3) I = R: 1) I =

R1 0

R1

dx

−1

R1€

dx

0

R1 0

 x3 + 2xy dy. y dy. 1 + x2 y 2

R2

R1

1 dy. x+y 2 R1 R1 x dy. 4) I = 0 dx 0 1 + y2 2) I =

1

dx

0

3 1 1 . 2) I = 3 ln 3 − 4 ln 2. 3) I = π − ln 2. 4) I = π. 4 2 12

11.3 S˘ a se calculeze integralele duble: 1) I =

RR

y dxdy

3 , unde: D = [0, 1] × [0, 1] . (1 + x2 + y 2 ) 2 h πi €  RR × [0, 2] . 2) I = D x2 y cos xy 2 dxdy, unde: D = 0, 2 RR 2 xy 3) I = D x ye dxdy, unde: D = [0, 1] × [0, 2] . RR dxdy 4) I = D 2 , unde: D = [0, 1] × [0, 1. (x + y + 1)

D

√ 4 π 2+ 2 √ R: 1) I = ln . 2) I = − . 3) I = 2. 4) I = ln . 16 3 1+ 3 RR a se transforme integrala dubl˘ a I = D f (x, y) dxdy ˆın integrale simple iterate, 11.4 S˘ pentru urm˘ atoarele domenii: ‰ ˆ 1) D = š(x, y) , x2 + y 2 ≤ 2x . › 1 2) D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ 4, x2 + y 2 ≥ 1, x ≥ 0 . 4 R: 1) D este un domeniu simplu ˆın raport cu axa Oy: p p D = {(x, y), − 2x − x2 ≤ y ≤ 2x − x2 , x ∈ [0, 2]},

R 2 R √2x−x2 deci I = 0 dx −√2x−x2 f (x, y) dy. 2) D este un domeniu simplu ˆın raport cu axa Ox: r p 1 D = {(x, y), 1 − y 2 ≤ x ≤ 4 − y 2 , y ∈ [−2, 2]}, 4 R2 R √4−y2 deci I = −2 dy √ 1 2 f (x, y) dx. 1− 4 y

a se calculeze urm˘ atoarele integrale iterate: 11.5 S˘ 1) I =

Z

1

dx −1

Z

x

xdy. 2) I = −x

Z

1

dx 0

Z

√ x

x2

√ xy dy. 3) I =

Z

R

−R

dy

Z √R2 −y2 −

√

R2 −y 2

3x2 y 2 dx.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

151

π R2 4 π 6 4 2 4 6 R: 1) I = . 2) I = . 3) I = 2R π sin t cos t dt = 8 R . 3 27 − 2 RR 11.6 S˘ a se calculeze integrala dubl˘ a: I = D (x − y) dxdy, unde D este domeniul plan m˘ arginit de curbele de ecuat¸ii: y = 2 − x2 ¸si y = 2x − 1. R: I =

64 . 15

11.7 S˘ a se calculeze integralele duble pe domeniul D m˘ arginit de curbele indicate: RR 1) I = RRD (x € + 2y) dxdy, y = x, y = 2x, x = 2, x = 3. 2) I = RRD €x2 + y 2 dxdy, y = x, x = 0, y = 1, y = 2. 3) I = RRD 3x2 − 2xy + y dxdy, x √ = 0, x = y 2 , y = 2. 4) I = RRD y ln x dxdy, xy = 1, y = x, x = 2. 5) I = D (cos 2x + sin y) dxdy, x = 0, y = 0, 4x + 4y = π. R: 1) I =

√  244 1€ 5 76 π+1−2 2 . . 2) I = 5. 3) I = . 4) I = (ln 4 − 1). 5) I = 3 21 8 4

11.8 S˘ a se calculeze integralele duble pe domeniul D, unde D este interiorul triunghiului cu vˆ arfurile ˆın punctele indicate: RR dxdy, A (2, 3) , B (7, 2) , C (4, 5) . 1) I = D x RR p 2) I = D 4x2 − y 2 dxdy, O (0, 0) , A (1, 0) , B (1, 1) . 1 R: 1) I = 26. 2) I = 3

 

√ ! π 3 . + 3 2

11.9 S˘ a se calculeze integralele duble: o n RR 2 1) I = D (1 − y) dxdy, unde: D = (x, y) , x2 + (y − 1) ≤ 1, y ≤ x2 , x ≥ 0 . RR 2) I = D (|x| + |y|) dxdy, unde: D = {(x, y) , |x| + |y| ≤ 1} . ‰ ˆ RR dxdy 3) I = D √ , unde: D = (x, y) , y 2 ≤ 8x, y ≤ 2x, y + 4x ≤ 24 . x R: 1) I =

√ 1 4 . 2) I = . 3) I = 15 2. 15 3

11.10 S˘ a se calculeze integralele duble pe domeniul D m˘ arginit de curbele indicate: RR 1) I = D (x + y) dxdy, y = x2 , y = x. √ RR x2 dxdy 2) I = D p , x = 0, y = 1, y = 3 2, y = x. x2 +√y 2 RR 3) I = D arcsin x + y dxdy, x + y = 0, x + y = 1, y = −1, y = 1. RR x3 1 4) I = D dxdy, y = 4, y = x2 , y = x2 . y 4

152

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

R: 1) I =

√ ƒ € π 3 1 ‚√ . 2) I = 2 − ln 1 + 2 . 3) I = . 4) I = 30. 20 6 4

a se calculeze 11.11 S˘

I=

ZZ

h πi dxdy , unde: D = 0, × [0, α] 1 + y cos x 2

D

¸si apoi s˘ a se deduc˘ a valoarea integralei: Z α ln (1 + α cos x) J (α) = dx, α ∈ (0, 1) . cos x 0 R: Integrˆand ˆın ordinea y, x, avem: Z α Z α Z π dy ln (1 + α cos x) = dx = J (α) . I = 2 dx cos x 0 0 1 + y cos x 0 Schimbˆand ordinea de integrare ¸si punˆand tg

I=

Z

α 0

Z π dy 2 0

de unde, I = J (α) =

x = t, y = cos 2θ, obt¸inem: 2

Z 1 Z 1 arccos α dx 2 d (ttg θ) , = −2 π2 sin 2θ dθ 2 2 1 + y cos x 0 sin 2θ 1 + t tg θ 4

π2 1 2 − (arccos α) . 8 2

11.12 S˘ a se calculeze aria domeniului plan m˘ arginit de parabolele: y 2 = 10x + 26 ¸si 2 y = 10 − 6x. R: Parabolele se intersecteaz˘a ˆın punctele: (−1, −4) ¸si (−1, 4). Considerˆand domeniul simplu ˆın raport cu aza Ox, putem scrie: š › y 2 − 26 10 − y 2 D = (x, y) , ≤x≤ , y ∈ [−4, 4] , 10 6 deci A =

RR

dxdy = D

R4

dy −4

R

10−y 2 6 y 2 −26 10

dx =

1024 . 45

11.13 S˘ a se calculeze aria domeniului plan m˘ arginit de elipsa

x2 y2 + 2 = 1. 2 a b

R: Considerˆand domeniul simplu ˆın raport cu axa Oy, avem š › bp 2 bp 2 D = (x, y) , − a − x2 ≤ y ≤ a − x2 , x ∈ [−a, a] , a a

deci

A=

ZZ D

Z b √a2 −x2 Z b ap 2 a 2 dxdy = dx b √ 2 2 dy = 2 a −a a − x dx = πab. −a a −x − a Z

a

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

153

a se calculeze aria domeniului plan m˘ arginit de curbele de ecuat¸ii x = y 2 − 2y, 11.14 S˘ x + y = 0. 1 . 6

R: A =

a se calculeze volumul corpului m˘ arginit de planele de coordonate, planul x+y = 11.15 S˘ 1 ¸si paraboloidul eliptic z = 2x2 + y 2 + 1. R: D = {(x, y) , 0 ≤ y ≤ 1 − x, x ∈ [0, 1]} ¸si deci: ZZ Z 1 Z 1−x 3 V= (2x2 + y 2 + 1) dxdy = dx (2x2 + y 2 + 1) dy = . 4 0 0 D

11.16 S˘ a se calculeze volumul corpului m˘ arginit de planele x = 1, z = 0 ¸si paraboloidul hiperbolic z = x2 − y 2 . R: D = {(x, y) , −x ≤ y ≤ x, x ∈ [0, 1]} ¸si deci ZZ Z 1 Z V= dx (x2 − y 2 ) dxdy = 0

D

x −x

(x2 − y 2 )dy =

1 . 3

11.17 S˘ a se calculeze volumul corpului m˘ arginit de planele y = x, y = 0, z = 0 ¸si cilindrul x2 + z 2 = a2 , situat ˆın primul octant. R: V =

Ra

dx

0

Rx√ 1 a2 − x2 dy = a3 . 0 3

11.18 S˘ a se calculeze volumul corpului m˘ arginit de elipsoidul

R: V = 8

Ra 0

dx

Rb

v u u t

0

1−

x2 y2 z2 + + = 1. a2 b2 c2

x2 r 2 2 a2 c 1 − x − y dy = 4 πabc. 2 2 a b 3

a se calculeze, trecˆ and la coordonate polare, urm˘ atoarele integrale duble: 11.19 S˘ ‰ ˆ RR p 1) I = RRD x€2 + y 2 dxdy, unde: D = (x,ˆy) , x2 + y 2 ≤ 4 . ‰  x2 + y 2 dxdy, unde: D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ a2 , x ≤ 0 . 2) I = D sin ˆ ‰ RR p 3) I = D pa2 − x2 − y 2 dxdy, unde: D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ ax . ‰ ˆ RR 4) I = D x2 + y 2 dxdy, unde: D = (x, y) , ax ≤ x2 + y 2 ≤ 2ax .

R: 1) Trecˆand la coordonate polare x = r cos θ, y = r sin θ, cum J (r, θ) = r, avem: ZZ I= r2 drdθ, unde: D0 = {(r, θ) , 0 ≤ r ≤ 2, θ ∈ [0, 2π]} D

¸si deci: I =

R2 0

dr

R 2π 0

r2 dθ =

 R a R 3π 16 1 € π. 2) I = 0 dr π2 r sin r2 dθ = π 1 − cos a2 . 2 3 2

154

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

3) Trecˆand la coordonate polare avem: ZZ p n h π π io I= r a2 − r2 drdθ, unde: D0 = (r, θ) , 0 ≤ r ≤ a cos θ, θ ∈ − , 2 2 D

¸si deci: Z π Z I = 2 2 dθ 0

a cos θ

r

0

p

2 a2 − r2 dr = a3 3

4) Trecˆand la coordonate polare avem: Z π Z I = 2 dθ 0

2a cos θ

7 r dr = a3 3 2

a cos θ

Z π 2 €1 − sin3 θ dθ = 1 a3 (3π − 4) . 9 0 Z π 2 cos3 θdθ = 14 a3 . 9 0

11.20 S˘ a se calculeze integrala I pe domeniul D m˘ arginit de curbele de ecuat¸ii indicate: p RR sin x2 + y 2 π2 2 , x + y2 = π2 . 1) I = D p dxdy, x2 + y 2 = 2 + y2 9 x RR 2) I = D dxdy, xy = 1, xy = 2, y = x, y = 3x. R: 1) Trecˆand la coordonate polare avem: D0 = Z

3

i , π × [0, 2π] ¸si deci:

Z π dθ π sin r dr = 3π. 0 D 3 r √ u 1 2) Efectu˘am schimbarea de variabile: x = , y = uv, avem: J (u, v) = . v 2v √ Rezult˘a I = ln 3. I=

ZZ

hπ

sin r drdθ =

2π

11.21 S˘ a se calculeze aria domeniului plan m˘ arginit de curbele de ecuat¸ii: xy = a, xy = b (0 < a < b), y = αx, y = βx (0 < α < β) ¸si situat ˆın primul cadran. y R: Efectu˘am schimbarea de variabile: u = xy, v = , D0 = [a, b] × [α, β]. Deoarece x 1 J (u, v) = , avem: 2v ZZ ZZ 1 b−a β A= dxdy = dudv = ln . v 2 α D

D

11.22 S˘ a se calculeze aria domeniului plan m˘ arginit de curbele de ecuat¸ii: xy = a, xy = b (0 < a < b), x2 = αy, x2 = βy (0 < α < β). R: A =

b−a β ln . 3 α

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

155

a se calculeze integralele duble urm˘ atoare, efectuˆ and schimb˘ ari de variabile core11.23 S˘ spunz˘ atoare: r š › RR y2 y2 x2 x2 1) I = D 1 − 2 − 2 dxdy, unde: D = (x, y) , 2 + 2 ≤ 1 . a b a b ‰ ˆ RR q 3 2 2 2 2 2) I = D (x + y ) dxdy, unde: D = (x, y) , x + y ≤ a2 , y ≥ 0 . ‰ ˆ RR p 3) I = D px2 + y 2 dxdy, unde: D = (x, y) , π 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 4π 2 . ˆ ‰ RR 4) I = D px2 + y 2 dxdy, unde: D = (x, y) , ax ≤ x2 + y 2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0 . ‰ ˆ RR 5) I = D x2 + y 2 dxdy, unde: D = (x, y) , ax ≤ x2 + y 2 ≤ 2ax, y ≥ 0 . ’ “ 2 14 4 a3 π 2 14 3 1 R: 1) I = πab. 2) I = πa5 . 3) I = π . 4) I = − . 5) I = a . 3 5 3 3 2 3 9 11.24 S˘ a se calculeze integralele duble urm˘ atoare, efectuˆ and schimb˘ ari de variabile corespunz˘ atoare: €  ˆ ‰ RR ln x2 + y 2 1) I = D dxdy, unde: D = (x, y) , 1 ≤ x2 + y 2 ≤ e2 . 2 2 +y ˆ ‰ RR −x 2 2 e (x +y ) dxdy, unde: D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ 4 . 2) I = D p ˆ ‰ RR 3) I = RRD €4 − x2 −y 2 dxdy, unde: D = (x, y) , 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4‰ . ˆ 4) I = D ln x2 + y 2 dxdy, unde: D = (x, y) , e2 ≤ x2 + y 2 ≤ e4 . ’ “ √ €  1 R: 1) I = 2π. 2) I = π 1 − 4 . 3) I = 2π 3. 4) I = πe2 3e2 − 1 . e 11.25 S˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale duble: p ‰ ˆ RR x2 + y 2 1) I = D arcsin dxdy, unde: D = (x, y) , π 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 4π 2 . € 2 2π š › RR x + y 2 dxdy 1 2 2 2) I = D q , unde: D = (x, y) , x + y ≤ 1 . 2 2 4 − (x2 + y 2 ) “ ’ 1√ 7 3 3 . 2) Trecˆ π− and la coordonate polare, avem: R: 1) I = π 3 2 r › š 2 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π D = (r, θ) , 0 ≤ r ≤ 1 + sin2 θ

¸si deci I =

RR

D

√ √ r3 √ drdθ = 4arctg 2 − 2 ln 3. 4 − r4

√ 11.26 S˘ a se calculeze volumul corpului limitat de suprafet¸ele de ecuat¸ii z 2 = xy, x + √ y = 1, z = 0. ‰ ˆ RR √ √ √ R: Dac˘a D = (x, y) , x + y ≤ 1 , atunci V = D xy dxdy. Efectuˆand schimbarea de variabile: x = u2 , y = v 2 , (u, v) ∈ ∆, cu ∆ = {(u, v) , 0 ≤ u ≤ 1 − v, 0 ≤ v ≤ 1} , 4 R1 2 1 3 . v (1 − v) dv = cum J (u, v) = 4uv, g˘asim: V = 3 0 45

156

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

11.27 S˘ a se determine masa ¸si coordonatele centrului de greutate ale pl˘ acii plane omogene (ρ (x, y) = const.), care ocup˘ a un domeniul: š › x2 y2 1) D = (x, y) , 2 + 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 . a b ‰ ˆ 2) D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ a2 , x2 + y 2 ≥ ax, y ≥ 0 , a > 0. ’ “ ’ “ 1 2 a 14a 4a 4b 3 2 R: 1) M = a bρ, G , . 2) M = πa , G − , . 3 3π 3π 8 6 9π 11.28 S˘ a se determine coordonatele centrelor de greutate ale pl˘ acilor plane omogene m˘ arginite de urm˘ atoarele curbe: 1) y 2 = 4x + 4, y 2 = −2x + 4. 2) 9x2 + 25y 2 − 225 = 0, 3x + 5y = 15, x ≥ 0, y ≥ 0. ’ “ ’ “ 10 2 2 R: 1) G , 0 . 2) G , . 5 3 (π − 2) π − 2 11.29 S˘ a se determine coordonatele centrului de greutate ale pl˘ acii plane de densitate superficial˘ a ρ (x, y) = y, m˘ arginit˘ a de curbele: y = x2 ¸si y = 1. ’ “ 5 R: G 0, . 7 11.30 S˘ a se calculeze momentele de inert¸ie ˆın raport cu axele de coordonate ¸si ˆın raport a domeniul cu originea ale pl˘ acii plane de densitate superficial˘ a ρ (x, y) = xy, care ocup˘ D = {(x, y) , x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} . R: Ix = Iy =

1 1 , I0 = . 120 60

11.31 S˘ a se calculeze momentele de inert¸ie ˆın raport cu axele de coordonate ¸si ˆın raport cu originea ale pl˘ acilor plane omogene, care ocup˘ a domeniile plane m˘ arginite de urm˘ atoarele curbe: 1) y = x2 , x = y 2 . 2) √ x2 + y 2 = ay, √ a > 0. √ 3) x + y = a, x = 0, y = 0, a > 0. 3 6 5 1 3 R: 1) Ix = Iy = , I0 = . 2) Ix = πa4 , Iy = πa4 , I0 = πa4 . 3) 35 35 64 64 32 1 4 1 4 Ix = Iy = a , I0 = a . 84 42 11.32 S˘ a se calculeze momentul de inert¸ie ˆın raport cu axa Oy a pl˘ acii plane de densi1 tate superficial˘ a ρ (x, y) = 4 , care ocup˘ a domeniul m˘ arginit de curbele de ecuat¸ii: x √ √ √ √ x + y = a, x + y = b, x = α2 y, x = β 2 y, 0 < a < b, 0 < α < β.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA R: Efectu˘am schimbarea de variabile: Se obt¸ine Iy = 2

b β 2 − α2 ln . 2 2 α β a

157

‚ ƒ √ x √ x + y = u, = v, D0 = [a, b] × α2 , β 2 . y

11.33 Utilizˆ and formula lui Green, s˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale curbilinii, pe direct: curbele ˆınchise C, parcurse ˆın sens h  ‘i p H p 1) I = C x2 + y 2 dx + y xy + ln x + x2 + y 2 dy, unde C este conturul drep-

tunghiului D = [1, 4] × [0, 2]. H 2 2 2) I = HC ex +y (−y dx + x dy), unde C este cercul x2 + y 2 = 1. 3) I = C (xy − y) dx + (xy + x) dy, unde C este frontiera domeniului plan š › x2 y2 D = (x, y) , 2 + 2 ≤ 1 , a > 0, b > 0. b H a 4)ˆI = C (x − y) dx + dy, unde‰ C este frontiera domeniului plan 2 2 2x, y ≥ 0 . D = (x, y) H , x2 + y ≤ C este frontiera domeniului plan 5)ˆI = C y dx + x2 dy, unde ‰ D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ 1, y ≥h 0 .  ‘i p H p 6) I = C x2 + y 2 dx + y xy + ln x + x2 + y 2 dy, unde

(C) x = 1 + 2π]. H cos€ t, y = 1 + sin t, t ∈ [0, 2 arfurile 7) I = C 2 x2 + y 2 dx + (x + y) dy, unde C este conturul triunghiului cu vˆ ˆın puncteleHA (1, 1), B (2, 2), C (1, 3). 8) I = C −y 3 dx + x3 dy, unde C este conturul cercului cu centrul ˆın origine ¸si raza egal˘ a cu 1. H x2 y2 2 2 9) I = C e−x +y [cos (2xy) dx + sin (2xy) dy], unde (C) 2 + 2 − 1 = 0. a b h  ‘i p p x2 + y 2 ¸si Q (x, y) = y xy + ln x + x2 + y 2 , R: 1) Deoarece: P (x, y) = RR 1 4 obt¸inem: I = D y 2 dxdy = 8. 2) I = 2πe. 3) I = 2πab. 4) I = π. 5) I = − . 2 3 4 3 5 6) I = π. 7) I = − . 8) I = π. 9) I = 0. 4 3 2

11.2

Aria suprafet¸elor

11.34 S˘ a se determine aria port¸iunii din sfera (S) x2 + y 2 + z 2 = a2 , a > 0, situat˘ a ˆın interiorul cilindrului x2 + y 2 = ay. R: Datorit˘a simetriei, aria cerut˘a este de patru ori aria port¸iunii situat˘a ˆın primul octant, pentru care avem: p ∂f ∂f x y f (x, y) = a2 − x2 − y 2 , p = = −p = −p , q= , 2 2 2 2 ∂x ∂y a −x −y a − x2 − y 2

‰ ˆ RR dxdy definit˘a pe D (x, y) , x2 + y 2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0 . Deci S = 4a D p . 2 − x2 − y 2 a o n π . Se Trecˆand la coordonate polare, avem: D0 = (r, θ) , 0 ≤ r ≤ a sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2 2 obt¸ine S = 2a (π − 2).

158

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

p 11.35 S˘ a se determine aria port¸iunii din conul (S) z = x2 + y 2 , situat˘ a ˆın interiorul cilindrului de ecuat¸ie: x2 + y 2 = 2x. √ RR √ RR RR p R: S = S dS = D 1 + p2 + q 2 dxdy = 2 D dxdy = π 2. 11.36 S˘ a se calculeze aria suprafet¸ei:

(S) x = tg u cos v, y = tg u sin v, z =

sin u 1 1 + sin u + ln + v, 2 cos2 u 2 cos u

h πi (u, v) ∈ ∆ = 0, × [0, 2π]. 4 R: S =

RR √ 8π A2 + B 2 + C 2 dudv = . ∆ 3

11.37 S˘ a se calculeze aria port¸iunii din paraboloidul de rotat¸ie (S) z = x2 + y 2 , situat˘ a ˆın interiorul cilindrului: x2 + y 2 = r2 . ”q • RR p π 3 (4r2 + 1) − 1 . R: S = D 1 + 4x2 + 4y 2 dxdy = 6 11.38 S˘ a se g˘ aseasc˘ a aria port¸iunii din paraboloidul eliptic (S) z = b > 0, situat˘ a ˆın interiorul cilindrului eliptic: R: S =

x2 y2 + = c2 . a2 b2

y2 x2 + , a > 0, 2a 2b

‚€ √ ƒ 2 πab 1 + c2 1 + c2 − 1 . 3

a se calculeze aria port¸iunii din√cilindrul parabolic (S) x2 = 2z, m˘ 11.39 S˘ arginit˘ a de planele de ecuat¸ii: x = 2y, y = 2x, x = 2 2. R: S = 13. a se g˘ aseasc˘ a aria port¸iunii din paraboloidul hiperbolic (S) x = 1 − y 2 − z 2 , 11.40 S˘ situat˘ a ˆın interiorul cilindrului de ecuat¸ie: y 2 + z 2 = 1. R: Proiect˘am suprafat¸a ˆın planul Oyz: ZZ p ‘ 1 √ 1 + 4y 2 + 4z 2 dydz = 5 5−1 . S= 6 D

11.41 S˘ a se calculeze aria√port¸iunii din cilindrul parabolic (S) z = x2 , m˘ arginit˘ a de planele de ecuat¸ii: x + y = 2, x = 0, y = 0. √ √  2 € 5 R: S = + ln 3 + 2 2 . 6 4

a ˆın interiorul 11.42 S˘ a se calculeze aria port¸iunii din cilindrul (S) x2 + z 2 = a2 , situat˘ cilindrului de ecuat¸ie: x2 + y 2 = a2 .

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

159

a este de opt ori R: Datorit˘ √a simetriei, aria c˘autat˘ ˆ aria port¸iunii din primul octant, ‰de ecuat¸ie: z = a2 − x2 , definit˘a pe domeniul D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0 , S = 8a

ZZ D

11.3

dxdy √ = 8a2 a2 − x 2

Z π 2 1 − cos θ dθ = 16a2 . sin2 θ 0

Integrala de suprafat¸˘ a de primul tip

11.43 S˘ a seRRcalculeze integralele de suprafat¸˘ a de primul tip: 1) I = + z) unde S (x + y dS, este suprafat¸a cubului ale c˘ arui fet¸e apart¸in S planelor deRRcoordonate ¸ s i planelor x = 1, y = 1, z = 1. €  2) I = S x2 + y 2 dS, unde S este sfera x2 + y 2 + z 2 = a2 . RR p x2 y 2 z 2 3) I = S x2 + y 2 dS, unde S este suprafat¸a lateral˘ a a conului 2 + 2 − 2 = 0, a a b 0 ≤ z ≤ b. R: 1) Scriem integrala ca suma integralelor pe cele ¸sase fet¸e ale cubului. I = 9. 2) O reprezentare parametric˘ este: x = a cos u cos v, y = a sin u cos v, z = ha aπ sferei πi a sin v, cu (u, v) ∈ ∆ = [0, 2π] × − , , iar kru × rv k = a2 cos v. Deci: 2 2 ZZ 8 I = a4 cos3 u dudv = πa4 . 3 ∆

3) O reprezentare parametric˘a a conului este: √ x = av cos u, y = av sin u, z = bv, cu (u, v) ∈ ∆ = [0, 2π] × [0, 1], iar kru × rv k = av a2 + b2 . Deci: ZZ p p 2 2 2 2 v 2 dudv = πa2 a2 + b2 . I =a a +b 3 ∆

11.44 S˘ aRR se calculeze integralele de a de primul tip: p €  suprafat¸˘ 1) I = S y 2 z 2 + z 2 x2 + x2 y 2 dS, unde S este port¸iunea din conul z = x2 + y 2 , situat˘ a ˆın interiorul cilindrului x2 + y 2 − 2x = 0. RR z dS 2) I = S p , unde S este port¸iunea din paraboloidul 2az = x2 + y 2 , 2 x + y 2 + a2 situat˘ a ˆıntre planele z = 0 ¸si z = h (a > 0, h > 0). ‰ ˆ RR dS , unde: S = (x, y, z) , x2 + y 2 + z 2 = a2 , z ≥ 0 . 3) I = S p 2 2 2 x + y + 4z RR 4) I = S z dS, unde: S = {(x, y, z) , x = u cos v, y = u sin v, z = v, (u, v) ∈ ∆}, cu ∆ = [0, a] ×RR[0,€2π].  5) I = S x2 + y 2 dS, unde S este suprafat¸a conic˘ a z 2 = x2 + y 2 , cuprins˘ a ˆıntre planele z = 0 ¸si z = 1. √  € 29 √ 2 √ π 2. 2) I = πh2 . 3) I = πa 3 ln 2 + 3 . 8 3 √ € ƒ ‚ √ 1 √ 4) I = π 2 a a2 + 1 + ln a + a2 + 1 . 5) I = π 2. 2

R: 1) I =

160

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

 1€ 2 11.45 S˘ a se determine masa suprafet¸ei omogene (ρ = ρ0 ): (S) z = x + y2 , 0 ≤ h z ≤ h, h > 0. RR RR R: M = ρ0 S dS = ρ0 D ˆ ‰ D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ h2 .

r

1+

 € √ 1 4 (x2 + y 2 ) dxdy = ρ0 πh2 5 5 − 1 , unde 2 h 6

a se determine masa suprafet¸ei (S) z = 11.46 S˘ tatea superficial˘ a ρ (x, y, z) = z.

 1€ 2 x + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1, avˆ and densi2

 p 1 RR € 2 2 € √ zdS = x + y2 1 + x2 + y 2 dxdy = π 6 3 + 1 , unde D = D 2 15 ˆ ‰ (x, y) , x2 + y ≤ 2 . R: M =

RR

S 2

a se determine masa suprafet¸ei cubului 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, avˆ and 11.47 S˘ densitatea superficial˘ a ρ (x, y, z) = xyz. R: M =

3 . 4

11.48 S˘ a se g˘ aseasc˘ a coordonatele centrului de greutate al suprafet¸ei omogene z = x2 + y 2 , situat˘ a ˆın interiorul cilindrului x2 + y 2 − x = 0. “ ’ 16 . R: G 0, 0, 19 11.49 S˘ a se determine masa ¸si coordonatele centrului de greutate ale suprafet¸ei omogene p (ρ = 1): (S) z = 1 − x2 − y 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1.  1 €√ R: M = π 2 − 1 ¸si G 2

’

“  1 √ 1 √ 1 €√ 2, 2, 2+1 . 4 4 π

11.50 S˘ a se calculeze momentul de inert¸ie ˆın raport cu axa Oz al suprafet¸ei omogene (ρ = ρ0 ): (S) x2 + y 2 + z 2 = a2 , z ≥ 0. R: Iz =

4 4 πa ρ0 . 3

11.51 S˘ a se calculeze p momentul de inert¸ie ˆın raport cu axa Oz al suprafet¸ei omogene (ρ = ρ0 ): (S) z = x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ h, h > 0. R: Iz =

1 4√ πh 2. 2

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

11.4

161

Integrala de suprafat¸˘ a de tipul al doilea

11.52 S˘ a RR se calculeze integralele de suprafat¸˘ a de tipul al doilea: 1) I = S yz dydz + zx dzdx + xy dxdy, unde S este fat¸a exterioar˘ a a tetraedrului m˘ arginit de planele de coordonate ¸si de planul x + y + z = a (a > 0). RR x2 y2 z2 2) I = S z dxdy, unde S este fat¸a exterioar˘ a a elipsoidului 2 + 2 + 2 = 1. a b c RR a a emisferei x2 + 3) I = S x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, unde S este fat¸a exterioar˘ y 2 + z 2 = a2 , z ≥ 0. R: 1) Scriem integrala ca suma integralelor pe cele patru fet¸e ale tetraedrului: (Sz ) z = 0, Dz = {(x, y) , x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ a} , (Sx ) x = 0, Dx = {(y, z) , y ≥ 0, z ≥ 0, y + z ≤ a} , (Sy ) y = 0, Dy = {(z, x) , z ≥ 0, x ≥ 0, z + x ≤ a} , ari diferite, iar S0 , fat¸a cont¸inut˘ a ˆın care perechile Sz ¸si Dz , Sx ¸si Dx , Sy ¸si Dy au orient˘ ˆın planul x + y + z = a, a c˘arei proiect¸ii pe planele de coordonate const˘a ˆın Dz , Dx , Dy , avˆ and aceea¸si orientare cu S0 . Astfel ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ xy dxdy = − xy dxdy = 0. xy dxdy = xy dxdy + xy dxdy + S

Sz

S0

D

D

Rezultate identice avem pentru ceilalt¸i doi termeni. Deci I = 0. 2) Integrala sa reduce la ZZ r x2 y2 I= 1 − 2 − 2 dxdy, a b D

š › x2 4 1 y2 unde Dz = (x, y) , 2 + 2 ≤ 1 . Se obt¸ine I = πabc. 3) I = πa4 . a b 3 2 11.53 S˘ aRR se calculeze integralele de suprafat¸˘ a de tipul al doilea: 1) I = S y dydz+z dzdx+3x dxdy, unde S este fat¸a interioar˘ a a sferei x2 +y 2 +z 2 = 2 a , situat˘ a RR ˆın primul octant. a a emisferei x2 + y 2 + z 2 = R2 , 2) I = S x2 y 2 z dxdy, unde S este fat¸a exterioar˘ z ≥ 0. €  RR a a suprafet¸ei 3) I = S xz dydz+yz dzdx+ x2 + y 2 dxdy, unde S este fat¸a superioar˘ a ortogonal pe planul Oxy ˆ ın domeniul (S) z = ˆ x2 + y 2 , care se proiecteaz˘ ‰ D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ 1 . RR dxdy 4) I = S p , unde S este fat¸a exterioar˘ a a paraboloidului (S) z = 4x2 + y 2 + 1 4x2 + y 2 , 0RR≤ z ≤ 1. a a tetraedrului cu 5) I = S x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, unde S este fat¸a exterioar˘ vˆ arfurile ˆın RR punctele (0, A (1, 0, 0), B (0, 1, C 0, O 0, 0), 0), (0, 1).  € 6) I = S x2 + y 2 z dxdy, unde S este fat¸a exterioar˘ a a paraboloidului (S) z = x2 + y 2 , situat˘ a ˆın interiorul cilindrului x2 + y 2 = 1.

162

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

7) I =

RR dydz dzdx dxdy x2 + + , unde este fat ¸ a exterioar˘ a a elipsoidului (S) + S S x y z a2

y2 z2 + = 1. b2 c2

x y z R: 1) Deoarece cos α = − , cos β = − , cos γ = − , avem a a a ZZ 1 I=− (xy + yz + 3zx) dS, a S

h πi h πi cu (S) x = a cos u sin v, y = a sin u sin v, z = a cos v, (u, v) ∈ 0, × 0, . Deoarece 2 2 2 7 2 3 dS = a sin v dudv, se obt¸ine I = −2a . 2) I = πR . 3) Versorul normalei la 105 1 suprafat¸˘a ˆın punctul M (x, y, z) este n = p (−2xi − 2yj + k), a.ˆı. 1 + 4x2 + 4y 2  ZZ € 2 x + y 2 (1 − 2z) π p dS = − . I= 2 2 6 1 + 4x + 4y S

1

4) Deoarece cos γ = − p

1+

64x2

+

4y 2

, urmeaz˘a c˘a I = −

RR

D

dxdy

p

4x2

+ y2 + 1

=

√  € ˆ ‰ 25 1 π 1 − 2 , unde D = (x, y) , 4x2 + y 2 1 . 5) I = . 6) I = π. 7) O reprezentare 12 84 parametric˘a a elipsoidului este (S) x = a cos u sin v, y = b sin u sin v, z = c cos v, (u, v) ∈ ∆, cu ∆ = [0, 2π] × [0, π]. Rezult˘a ’ “ ZZ  bc ca ab 4π € 2 2 I= b c + c2 a2 + a2 b2 . + + sin v dudv = a b c abc ∆

11.54 Utilizˆ and formula lui Stokes, s˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale curbilinii, pe parcurse ˆ ın sens direct: curbele ˆınchise C, H 1) I = C (x + 3y + 2z) dx+(2x + z) dy +(x − y) dz, unde C este conturul triunghiului cu vˆ arfurile H ˆın punctele A (2, 0, 0), B (0, 3, 0), C (0, 0, 1). 2) I = HC x2 y 3 dx + dy + z dz, unde (C) x2 + y 2 = r2 , z = 0. 3) I = C (y + z) dx+(z +€x) dy +(x unde (C) x2 +y 2 +z 2 = a2 , x+y +z = 0.   + y)€dz, H € 2 2 2 2 2 4) I = C y + z dx + z + x dy + x + y 2 dz, unde (C) x2 + y 2 + z 2 = 4x2 , 2 x + y 2 = 2x, H z ≥ 0. 5) I = C (z − y) dx + (x − z) dy + (y − x) dz, unde C este conturul triunghiului cu vˆ arfurile ˆınH punctele A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c). 6) I = C y 2 dx + z 2 dy + x2 dz, unde (C) x2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 = ax (curba lui Viviani). H 7) I = HC (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz, unde (C) x2 + y 2 = 1, x + z = 1. 8) I = C x dx + (x + y) dy + (x + y + z) dz, unde (C) x = a sin t, y = a cos t, z = a (sin t + cos t), t ∈ [0, 2π]. H y dy dx + √ + x dz, unde (C) x2 + y 2 = 2x, x + y + z = 0. 9) I = C 2 1+x x

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

163

R: 1) Deoarece F (x, y, z) = (x + 3y + 2z) i+(2x + z) j+(x − y) k ¸si rot F = −2i+j− k, S fiind suprafat¸a triunghiului cu vˆarfurile ˆın punctele A (2, 0, 0), B (0, 3, 0), C (0, 0, 1) RR x y z 1 din planul + + − 1 = 0 ¸si deci n = (3i + 2j + 6k), rezult˘a I = S (n · rot F) dS = 2 3 1 7 1 x−2 y z , cos β = , cos γ = , rezult˘a −5. 2) I = − πr6 . 3) I = 0. 4) Deoarece cos α = 8 2 2 2 RR I = D (z − y) dS = 4π. 5) I = ab + bc + ca. 6) Avem # ZZ " π xy dxdy = − a3 , I = −2 x+y+ p 2 2 4 a − x − y2 D

‰ ˆ cu D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ ax . 7) I = 4π. 8) I = −πa2 . 9) I = −π.

11.5

Integrala tripl˘ a

11.55 S˘ aRRR se calculeze integralele triple: 1) I = x3 y 2 z dxdydz, unde V = {(x, y, z) , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy}. V š › RRR 2 x2 y2 z2 x dxdydz, unde V = (x, y, z) , 2 + 2 + 2 ≤ 1 . 2) I = V a b c š › RRR y2 z2 x2 3) I = z dxdydz, unde V = (x, y, z) , 2 + 2 + 2 ≤ 1, z ≥ 0 . V a b c

R 1 R x R xy 1 R: 1) I = 0 dx 0 dy 0 x3 y 2 z dz = . 2) Domeniul spat¸ial V este simplu ˆın 110 raport cu axa Oz, deci ( ) r r x2 x2 y2 y2 V = (x, y, z) , −c 1 − 2 − 2 ≤ z ≤ c 1 − 2 − 2 , (x, y) ∈ D, a b a b › š y2 x2 unde D = (x, y) , 2 + 2 ≤ 1 . Deci a b I=

ZZ D

v u u t

x2 y 2 r ZZ − 2 b2 x2 y2 a 2 2 v dxdy x 1 − 2 − 2 dxdy. x dz = 2c u a b u x2 y 2 t D −c 1− − a2 b2 Z

c

1−

Domeniul plan D este simplu ˆın raport cu axa Oy, deci ( ) r r x2 x2 D = (x, y) , −b 1 − 2 ≤ y ≤ b 1 − 2 , x ∈ [−a, a] , a a ˆıncˆ at

v u u t

x2 r ’ “ Z a 2 x2 y2 4 x2 a 2 2 v 1 − x − dy = πbc dx = πa3 bc. dx x 1 − I = 2c u 2 2 2 2 a b a 15 u x −a −a t −b 1− a2 Z

a

Z

b

1−

164

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS 1 πabc2 . 4

3) I =

a se calculeze integralele triple: 11.56 S˘ RRR dxdydz 1) I = 3 , unde V este tetraedrul delimitat de planele de coordoV (1 + x + y + z) nate ¸si planul x + y + x = 1. RRR xyz 2) I = 4 dxdydz, unde V = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]. V 2 (1 + x + y 2 + z 2 ) RRR dxdydz q , unde 3) I = V 3 2 2 (1 + x + y − z) ˆ ‰ 2 V (x, y, z) , x + y 2 ≥ z, x2 + y 2 ≤ 1, z ≥ 0 . RRR 4) I = z dxdydz, unde V š › p 1 2 2 V = (x, y, z) , 0 ≤ x ≤ , x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y . 2 ˆ ‰ RRR 2 5) I = x dxdydz, unde V = (x, y, z) , x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 . V RRR x 6) I = dxdydz, unde: V = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , x ≥ V x2 + y 2 + z 2 + a2 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.p RRR 7) I = arginit de cilindrul x2 +y 2 = z x2 + y 2 dxdydz, unde V este domeniul m˘ V 2x ¸si planele y = 0, z = 0, z = a (a < 0). R: 1) Domeniul V este simplu ˆın raport cu axa Oz: # Z 1−x−y ZZ ZZ " 1 1 dz 1 I= dxdy 2 − 4 dxdy, 3 = 2 (1 + x + y + z) (1 + x + y) 0 D

D

unde D = {(x, y) , 0 ≤ y ≤ 1 − x, x ∈ [0, 1]}, deci “ Z ’ √ 1 3−x 5 1 1 − dx = ln 2 − . I= 2 0 1+x 4 16 2) I =

R1 0

dx

cu axa Oz: ZZ

R1 0

dy Z

R1 0

xyz (1 +

x2 +y 2

x2

+

y2

+

dz

4 z2)

dz =

1 . 3) Domeniul V este simplu ˆın raport 192 ZZ



€

− 2

 1 2  dxdy,

1 − 1 + x2 + y = −2 3 D D (1 + x2 + y 2 − z) 2  € √ ˆ ‰ unde D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ 1 . Trecˆ and la coordonate polare, avem I = 2π 2 2 − 3 . 1’ 1 “ R2 R 2x R √1−x2 −y2 7 10 3 1R2 x − x dx = . 5) Trecem la z dz = 4) I = 0 dx x 0 0 2 3 192 coordonate sferice:   x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, (r, ϕ, θ) ∈ [0, R] × [0, 2π] × [0, π] .  z = r cos θ, I=

dxdy

0

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA Deoarece J(r, ϕ, θ) = r2 sin θ, avem ! ’Z  Z

2π

R

r4 dr

I=

0

cos2 ϕ dϕ

0

6) Trecem la coordonate sferice:   x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ,  z = r cos θ,

“ ’Z

π

sin3 θ dθ

0

165

“

=

4 πR5 . 15

h πi h πi × 0, . (r, θ, ϕ) ∈ [0, R] × 0, 2 2

Deoarece dxdydz = r2 sin θ drdϕdθ, avem Z π Z π Z 2 I= dθ 2 dϕ 0

0

R

0

r3 sin2 θ cos ϕ π dr = 2 2 r +a 8

’

a2 R + a ln 2 a + R2 2

2

“

.

7) Trecem la coordonate cilindrice: x = r cos θ, y = rosin θ, z = z, (r, θ, z) ∈ V 0 , unde n π V 0 = (r, θ, z) , 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ z ≤ a . Deoarece J (r, θ, z) = r, avem 2 ZZ ZZ ZZZ Z a a2 r2 drdθ, I= zr2 drdθdz = drdθ zr2 dz = 2 0 V0

n

D

D

πo unde D0 = (r, θ) , 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ , deci 2 a2 I= 2

Z π Z 2 dθ 0

0

2 cos θ

4a2 r2 dr = 3

Z π 2 2 cos3 θ dθ = 8a . 9 0

11.57 S˘ aRRR se calculeze urm˘ atoarele integrale triple: unde V este domeniul spat¸ial m˘ 1) I = xyz dxdydz, arginit de sfera x2 +y 2 +z 2 = V primul octant. 1, situat ˆınRRR xy 2 z 3 dxdydz, unde V este domeniul spat¸ial m˘ 2) I = arginit de suprafet¸ele z = V xy, y = x, xRRR = 1, z = 0. 3) I = (2x + 3y − z) dxdydz, unde V este prisma triunghiular˘ a m˘ arginit˘ a de V planele x = 0, y = 0, z = 0, z = a, x + y = b, cu a, b > 0. 3 RRR € 2 arginit de cilin4) I = x + y 2 + z 2 dxdydz, unde V este domeniul spat¸ial m˘ V drul x2 + y 2 = 1q¸si planele y = 0, y = 1. ˆ ‰ RRR 3 1 + (x2 + y 2 + z 2 ) 2 dxdydz, unde V = (x, y, z) , x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 . 5) I = V  RRR € 2 6) I = x + y 2 dxdydz, unde V este domeniul spat¸ial m˘ arginit de suprafet¸ele V 2z = x2 + RRR y 2 , z €= 2.  arginit de paraboloi7) I = x2 + y 2 z dxdydz, unde V este domeniul spat¸ial m˘ V dul z = x2 RRR + y 2 ¸si sfera x2 + y 2 + z 2 = 6. 8) I = z dxdydz, unde V este domeniul spat¸ial m˘ arginit de conul V ap 2 x + y 2 ¸si planul z = a, cu a, R > 0. z= R

166

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

 8 € √ 1 1 1 2 3 R: 1) I = . 2) I = . 3) I = ab (10b − 3a). 4) I = π. 5) I = π 2 2 − 1 . 48 364 12 2 9 16 8 1 2 2 6) I = π. 7) I = π. 8) I = πa R . 3 3 4 11.58 S˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale triple: RRR dxdydz 1) I = , unde V este domeniul spat¸ial m˘ arginit de sferele x2 + y 2 + V x2 + y 2 + z 2 z 2 = 1, x2 + y 2 ’ + z 2 = 4, z ≥ 0.“ › š RRR x2 x2 y2 z2 y2 z2 2) I = + 2 + 2 dxdydz, unde V = (x, y, z) , 2 + 2 + 2 ≤ 1 . V a2 b c a b c  RRR € 2 2 2 I x y z dxdydz, unde 3) = + + V ‰ ˆ V = (x, y, z) , x2 + y 2 ≤ z 2 , x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z > 0 .  RRR € 2 4) I = x + y 2 + z 2 dxdydz, unde V ‰ ˆ V = (x, y, z) , x2 + y 2 + z 2 ≤ 2az, x2 + y 2 + z 2 ≤ 3a2 , cu a > 0. ˆ ‰ RRR p 5) I = RRRV x2 + y 2 + z 2 dxdydz, unde V = (x, y, z) , x2 + y 2 + z 2 ≤ x . x2 dxdydz, unde V este domeniul spat¸ial m˘ arginit de suprafet¸ele z = ay 2 , 6) I = V 2 z = by cu y > 0 ¸si 0 < a < b ¸si de suprafet¸ele z = αx, z = βx, 0 < α < β ¸si z = h, h > 0. RRR x dxdydz 7) I = 3 , unde V 2 (x + y + z + 1) V = {(x, y, z) , x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. RRR z 3 dxdydz , unde 8) I = V (y + z) (x + y + z) V = {(x, y, z) , x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. s “ ’ 2 RRR x y2 z2 9) I = 1 + + dxdydz, unde − V a2 b2 c2 š › x2 y2 z2 V = (x, y, z) , 2 + 2 + 2 ≤ 1 . a b c ‰ ˆ RRR 10) I = z dxdydz, unde V = (x, y, z) , x2 + y 2 + z 2 ≤ 8, x2 + y 2 ≤ z 2 , z ≥ 0 . V p ‰ ˆ RRR 11) I = x2 + y 2 + z 2 dxdydz, unde V = (x, y, z) , x2 + y 2 + z 2 ≤ z . V RRR dxdydz p 12) I = , unde V 2 x + y2 + z2 ‰ ˆ V = (x, y, z) , x2 + y 2 + z 2 ≥ 4, x2 + y 2 + z 2 ≤ 16 .  RRR € 2 13) I = x + y 2 + z 2 dxdydz, unde V este domeniul spat¸ial m˘ arginit de sfera V p x2 + y 2 + z 2 = 9 ¸si conul z = x2 + y 2 . h πi R: 1) Se trece la coordonate sferice. Avem V 0 = [1, 2] × [0, 2π] × 0, , I = 2π. 2) 2 Se trece la coordonate sferice generalizate:   x = ar cos ϕ sin θ, y = br sin ϕ sin θ, (r, ϕ, θ) ∈ [0, 1] × [0, 2π] × [0, π] .  z = cr cos θ,

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

167

√  € 1 4 Deoarece J(r, ϕ, θ) = abcr2 sin θ, rezult˘a I = πabc. 3) I = πa5 2 − 2 . 4) I = 5 ’ “ ’ “’ 5 “ √ √ 1 2 1 5 1 1 1 1 97 √ − √ h4 h. 7) I = πa 18 3 − . 5) I = π. 6) I = − 3 3 5 6 10 27 α “ β a b ’ √ 1 √ 1 1 1 1 1 1 ln 2 + √ arctg √ + √ arctg 3 − arctg √ . 8) I = . 9) I = π 2 abc. 10) 4 64 4 7 7 2 3 3 √  1 243 € I = 8π. 11) I = π. 12) I = 24π. 13) I = π 2− 2 . 10 5 11.59 S˘ a se calculeze, cu ajutorul integralei triple, volumul domeniului spat¸ial ˆ ‰ V = (x, y, z) , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, z ≤ 1 − y 2 , x + y ≤ 1 . R: V =

RRR

V

dxdydz =

R1 0

dx

R 1−x 0

dy

R 1−y2 0

dz =

5 . 12

11.60 S˘ a se calculeze, cu ajutorul integralei triple, volumul domeniului spat¸ial m˘ arginit de suprafet¸ele 1) y 2 = 4a2 − 3ax, y 2 = ax, z = ±h. 2) x2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 = ax. 3) y = x2 , y = 1, x + y + z = 3, z = 0. R: 1) V =

R1 R 3−x−y R1 16 32 2 1 dz = a h. 2) V = (3π − 4) a3 . 3) V = −1 dx x2 dy 0 . 9 9 5

11.61 Utilizˆ and formula lui Gauss-Ostrogradski, s˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale arginesc domeniile spat¸iale V , n fiind versorul de suprafat¸˘ a pe suprafet¸ele ˆınchise S ce m˘ normalei laRRfat¸a exterioar˘ a: 1) I = S x3 y 2 dydz + x2 y 3 dzdx + 3z dxdy, unde S este frontiera domeniului spat¸ial arginit de z = x2 + y 2 , z = 6 − x2 − y 2 , 0 ≤ z ≤ 6. V m˘ RR paraboloizii 2 x dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, unde S este frontiera domeniului spat¸ial 2) I = S V = [0, a] × RR[0, a] × [0, a], a > 0. 3) I = RRS x3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy, unde S este sfera x2 + y 2 + z 2 = a2 . 4) I = S 2x2 yz dydz + z 2 dzdx + xyz 2 dxdy, unde S este frontiera domeniului spat¸ial › š y2 z2 x2 V = (x, y, z) , 2 + 2 + 2 ≤ 1, z ≥ 0 . b c RR a 5) I = S x dydz + y dzdx + z dxdy, unde S este frontiera piramidei delimitat˘ a de planele x =RR0, €y = 0, z = 0, x + y + z = a.  6) I = S x2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ dS, unde S este frontiera domeniului spat¸ial š › x2 y2 z2 V = (x, y, z) , 2 + 2 ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ b . a a b RR 7) I = S yz dydz + zx dzdx + xy dxdy, unde S este frontiera unui domeniu spat¸ial V. RR 8)ˆ I = S xyz (x dydz + y dzdx + z dxdy), unde S ‰este frontiera domeniului spat¸ial V = (x, y,RR z) , x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 . 9)ˆ I = S x3 dydz + x2 y dzdx + x2 z‰dxdy, unde S este frontiera domeniului spat¸ial V = (x, y, z) , x2 + y 2 ≤ R2 , 0 ≤ z ≤ a , a > 0.

168

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

RR 2 2 2 10) I = x dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, unde S este sfera (x − a) + (y − b) + S 2 (z − c) = R2 . p RR x2 + y 2 dxdy, unde S este frontiera 11) I dzdx+ domeniului spat¸ial = x dydz+y S › š p p 1 V = (x, y, z) , x2 + y 2 + z ≤ , x2 + y 2 ≤ z ≤ 2 x2 + y 2 . 4 RR 12) I = S y 2 z dydz + xz dzdx + x2 dxdy, unde S este frontiera domeniului spat¸ial V m˘ arginit RR de paraboloidul z = x2 + y 2 , cilindrul x2 + y 2 = 1, situat ˆın primul octant. 13) I = S x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, nde S este frontiera tetraedrului cu vˆ arfurile ˆın punctele O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0, 0, 1). €  R: 1) Deoarece F (x, y, z) = x3 y i + x2 y 3 j + 3z k ¸si div F = 3 2x2 y 2 + 1 , putem scrie I=

ZZZ

(div F) dτ = 3

V

ZZZ V

€

 2x2 y 2 + 1 dxdydz =

ZZ D

dxdy

Z

6−x2 −y 2

x2 +y 2

€ 2 2  2x y + 1 dz,

ˆ ‰ 12 5 297 π. 2) I = 3a4 . 3) I = πa . 4) unde D = (x, y) , x2 + y 2 ≤ 3 . Se obt¸ine I = 8 5 1 3 1 1 5 I = πabc2 . 5) I = a3 . 6) I = πa2 b2 . 7) I = 0. 8) I = a6 . 9) I = πaR4 . 10) 2 2 2’ 8 4 “ 8 3 1 20 1 8 1 √ − √ . 12) I = π. 13) I = I = πR (a + b + c). 11) I = π . 3 96 8 12 3+2 2 9+4 5 11.62 S˘ a a se calculeze masa cubului de densitate ρ (x, y, z) = x + y + z, care ocup˘ domeniul spat¸ial V = [0, a] × [0, a] × [0, a], a > 0. R: M =

3 4 a . 2

11.63 S˘ a se calculeze masa corpului de densitate ρ (x, y, z) = x, care ocup˘ a domeniul spat¸ial V m˘ arginit de suprafet¸ele x2 = 2y, y + z = 1, 2y + z = 2. R: M =

8√ 2. 35

11.64 S˘ a se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocup˘ a domeniul spat¸ial š › x2 y2 z2 V = (x, y, z) , 2 + 2 + 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 . a b c ’ “ 3a 3b 3c R: G , , . 8 8 8 a se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocup˘ a 11.65 S˘ domeniul spat¸ial m˘ arginit de suprafet¸ele x2 + y 2 = z, x + y + z = 0. “ ’ 1 1 5 R: G − , − , . 2 2 6

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

169

a se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocup˘ a 11.66 S˘ domeniul spat¸ial ‰ ˆ V = (x, y, z) , x2 + y 2 ≤ 2z, x + y ≥ z . ’ “ 5 R: G 1, 1, . 3 a se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocup˘ a 11.67 S˘ domeniul spat¸ial ˆ ‰ V = (x, y, z) , x2 + y 2 ≤ a2 , z ≥ by, z ≥ 0 , b > 0. “ ’ 3 3 R: G 0, πa, πab . 16 32 a se calculeze momentul de inert¸ie ˆın raport cu axa Oz al corpului omogen 11.68 S˘ a domeniul spat¸ial m˘ arginit de suprafet¸ele x2 +y 2 +z 2 = 2, x2 +y 2 = z 2 , (ρ = 1), care ocup˘ z ≥ 0. R: Iz =

 4 € √ π 4 2−5 . 15

11.69 S˘ a se calculeze momentul de inert¸ie ˆın raport cu axele de coordonate ¸si ˆın raport arginit˘ a de planele de coordonate ¸si de cu originea ale piramidei omogene (ρ = 1), m˘ planul x + y + z = 1. R: Ix = Iy = Iz =

1 1 , I0 = . 30 20

a se calculeze momentele de inert¸ie ˆın raport cu planele de coordonate ale cor11.70 S˘ z2 x2 y 2 a domeniul spat¸ial m˘ arginit de suprafet¸ele 2 + 2 = 2 , pului omogen (ρ = 1), care ocup˘ a b c z = c, c > 0. R: Iyz =

1 1 1 3 πa bc, Izx = πab3 c, Ixy = πabc3 . 5 5 5

11.71 S˘ a se calculeze momentul de inert¸ie ˆın raport cu axa Oz al corpului omogen a domeniul spat¸ial (ρ = 1), care ocup˘ š › x2 y2 z2 V = (x, y, z) , 2 + 2 ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ h , h > 0. a b c R: Iz =

1 ab 5 π h . 5 c2

a se calculeze momentul de inert¸ie ˆın raport cu planul Oxy al corpului avˆ and 11.72 S˘ z densitatea ρ (x, y, z) = a domeniul spat¸ial 2 , care ocup˘ (x2 + y 2 + 2z 2 + a2 ) ‰ ˆ V = (x, y, z) , x2 + y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ a , a > 0.

170

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

R: Ixy

1 = πa2 ln 12

’

“ 163 4 a . 27

11.73 S˘ a se calculeze momentul de inert¸ie ˆın raport cu originea al corpului omogen m˘ arginit de sfera de raz˘ a 2 cu centrul ˆın origine. R: I0 =

128 π. 5

Capitolul 12

Ecuat¸ii diferent¸iale ordinare 12.1

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆ ai

12.1 S˘ a se integreze ecuat¸ia (t2 − x2 ) dt − 2tx dx = 0 ¸si apoi s˘ a se determine curba integral˘ a care trece prin punctul (1, 1). R: Avem P (t, x) = t2 − x2 , Q(t, x) = −2tx ¸si Px = Qt = −2x, deci membrul stˆang al ecuat¸iei date este o diferent¸ial˘a exact˘a. Atunci integrala general˘a este dat˘a de Z t Z x 2 2 (τ − x0 ) dτ − 2 tξ dξ = C, (t0 , x0 ) ∈ D. t0

x0

1 3 t − tx2 = C. Solut¸ia particular˘a care satisface condit¸ia init¸ial˘ a dat˘a este t3 − 3 3tx2 + 2 = 0. ’ “ ‘  t t t x x dx = 0, 1− 12.2 S˘ a se g˘ aseasc˘ a integrala particular˘ a a ecuat¸iei t + e dt + e x care verific˘ a condit¸ia init¸ial˘ a x (0) = 2. sau

R:

1 2 t t + xe x = 2. 2

12.3 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale care provin din anularea unei diferent¸iale exacte: €  €  1) 3t2 + 6tx2 dt + 6t2 x + 4x3 dx = 0. 2) (t € + x) dt + (t + 2x) dx = 0. 3) €t2 + 2t + x2 dt + 2tx € dx = 0.  4) t3 − 3tx2 + 2 dt − 3t2 x − x2 dx = 0. 5) (et + x + sin x) dt + (ex + t + t cos x) dx = 0. + (ex +’t) dx = 0. 6) ’ (t + x − 1) dt “ “ x t x 7) − x dt + e − t − 2 dx = 0. 2 2 t + x“2 ’t + x ’ “ x t 8) tg x − dt + ctg t + dx = 0. 2 cos2 x sin t 171

172

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

1 1 R: 1) t3 + 3t2 x2 + x4 = C. 2) t2 + tx + x2 = C. 3) t3 = tx2 + x2 = C. 2 3 1 3 1 1 4 3 2 2 t x 4) t − t x + 2t + x = C. 5) e + tx + t sin x + e = C. 6) ex + t2 + tx − t = C. 4 2 3 2 t x 7) arctg − tx + e = C. 8) t tg x + x ctg t = C. x 12.4 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale care provin din anularea unei diferent¸iale exacte: €  €  3 1) et+x + 3t2 dt + et+x + 4x dx = 0, €2  cu x (0) = 0. 2) (arcsin t + 2tx) dt + t ’+ 1 + arctg x “dx = 0. €  t + 2x cos 5t dx = 0, cu x (0) = e. 3) ln x − 5x2 sin 5t dt + x dt + [(1 +“t) cos x − sin t] dx = 0. 4) [sin x + (1 − x) cos t] ’  ‘ t 2 t2 dx = 0, cu x (0) = 1. 5) 2txe + ln x dt + et + x €  6) (t + x + 1) dt + t − x2 + 3 dx = 0. 7) €(sin tx = tx cos €tx) dt + t2 cos tx dx = 0. 8) t3 + tx2 dt + t2 x + x3 dx = 0. √ √ R: 1) et+x + t3 + x4 = 1. 2) t arcsin t + 1 − t2 + t2 x + xarctg x − ln 1 + x2 + x = C. 2 3) t ln x + x2 cos 5t = e2 . 4) (1 + t) sin x + (1 − x) sin t = C. 5) xet + t ln x = 1. 1 1 6) t2 + t + tx − x3 = 3x = C. 7) t sin tx = C. 8) t4 + 2t2 x2 + x4 = C. 2 3 12.5 S˘ a se determine solut¸ia ecuat¸iei (x2 + 1)dt + (2t + 1)x2 dx = 0, care trece prin punctul (1, 0). R: Separˆand variabilele, avem

1 x2 dt + 2 dx = 0, cu solut¸ia general˘a 2t + 1 x +1

1 ln (2t + 1) + x − arctg x = C. 2 Solut¸ia particular˘a care safisface condit¸ia dat˘a este

1 1 ln (2t + 1) + x − arctg x = ln 3. 2 2

12.6 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separabile: 2) tx0 − x = x3 . 1) x dt + t dx = 0. 2 2 0 3) txx =€ 1 − t . € 4) tg + ctg x cos2 t dx = 0.  € 2t sin x dt 2 2 0 5) dx = t + 1 x + 1 dt. 6) t − 1 x − tx = 0. 7) x0 + sin (t + x) = sin (t − x) . 8) x0 = sh (t + x) + sh (t − x) . R: 1) Ecuat¸ia se mai scrie, separˆand variabilele:

1 1 dt + dx = 0. De unde ln|t| + t x

ln |x| = ln  tx = C. 2 € |C|, sau 2 2 2 x2 = Cx2 . 3) 2) t2 1 + ’ “ x − 2 ln t + t = C. 4) ctgŒ x =Œtg t + C. €  1 3 Œ xŒ 5) x = tg t + t + C . 6) x2 = C t2 − 1 . 7) ln Œtg Œ + 2 sin t = C. 3 2 8) x = ln [tg (ch t + C)].

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

173

a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separabile, cu condit¸iile 12.7 S˘ init¸iale precizate: t t 0 1) (1 x (0) = 1. € + e 2t) xx2 = e , cu 2) 1 + e x dx = et dt, cu x (0) = 0. π 3) x0 + cos (t + 2x) = cos (t − 2x) , cu x (0) = . 4 1 2t π 2 4) e1+t th x dt − e dx = 0, cu x (1) = . t−1 2 5) x0 = et+x + et−x , cu x (0) = 0. 6) x€(t + 2) dt + t (x − € 1) dx= 0, cu x (1) = 1. 7) t x6 + 1 dt + x2 t4 + 1 dx = 0, cu x (0) = 1.

1 + et π 1 . 2) x3 + = arctg et . 3) ln |tg x| = 4 (1 − cos t). 2 3 ‘ 4 π 2 4) ln sin2 x = e(x−1) − 1. 5) x = ln et + − 1 . 6) t + x + 2 ln t − ln x = 2. 4 π 7) 3arctg t2 + 2arctg x3 = . 2

R: 1) x2 = 1 + 2 ln

12.8 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separabile: √ €  0 x0 1+ t2 . 1) (cos t − sin€t + 1) x = cos x − sin x − 1. 2) 2t 1 − x2 = € 4) x2 (sin t) + cos2 t (ln x) x0 = 0. 3) et sin3 x + 1 + e2t (cos x) x0 = 0. 5) x0 = sin (t − x) . 6) x√+ tx0 = a (1√+ tx) . €2 2  2 0 7) (tx − 1) tx + t x + 1 x = 0. 8) t 1 + x2 + x 1 + t2 x0 = 0. ’ “  ‚ € ƒ t x x‘ R: 1) tg = C 1 + tg 1 − tg . 2) x = sin C ln 1 + t2 . 2 2 2 ’ “ x−t π 1 t + C. 4) x = (1 + ln x + Cx) cos t. 5) t + C = ctg 3) arctg e = + . 2 4 2 sin2 x 1 tx− at 2 tx . 6) 1√+ tx = Ce . 7) Cu schimbarea de funct ¸ ie = Ce u tx, obt ¸ inem x = √ 8) 1 + t2 + 1 + x2 = C. 12.9 S˘ a se determine un factor integrant ¸si s˘ a se integreze ecuat¸ia (t3 sin x − 2x)dt + (t4 cos x + t)dx = 0. R: Avem Px = t3 cos x − 2, Qt = 4t3 cos x + 1 ¸si deci ’ “ 3 ∂Q 1 ∂P − =− Q ∂x ∂t t este funct¸ie numai de t. Ca atare avem

3 1 1 dµ = − ¸si o solut¸ie particular˘a este µ = 3 . µ dt t t

Inmult¸ind ecuat¸ia cu µ, obt¸inem ’ “ “ ’ 2x 1 sin x − 3 dt + t cos x + 2 dx = 0 t t a c˘arei solut¸ie general˘a este t sin x +

x = C. t2

174

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

12.10 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale ¸stiind c˘ a admit un factor integrant de forma µ = µ (t): ’ “  € 1 1) 2tx + t2 x + x3 dt + t2 + x2 dx = 0. 3 €  2) t + x2 dt − 2tx dx = 0. 3) (t sin x + x cos x) dt + (t cos x − x cos x) dx = 0. 4) (t + sin t + sin x) dt + cos x dx = 0. ’ “ 1 1 1 R: 1) µ = et , xet t2 + x2 = C. 2) µ = 2 , ln |t| − x2 = C. 3 t t 3) µ = et , (t sin x + x cos x − sin x) et = C. 4) µ = et , 2et sin x + 2et (t − 1) + et (sin t − cos t) = C. 12.11 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale ¸stiind c˘ a admit un factor integrant de forma µ = µ (x): €  1) x (1 + tx) dt −€t dx = 0.√ 2) x€ dt − t + x2 dx = 0.  3) 2tx (ln x) dt + t2 + x2 1 + x2 dx = 0. 4) 1 + 3t2 sin x dt − tctg x dx = 0. 1 t 1 , + t2 = C. 2) t = x (x + C). x2 x 2 3  1 2 1€ 2 1 t 3) µ = , t ln |x| + x + 1 2 = C. 4) µ = , + t3 = C. x 3 sin x sin x R: 1) µ =

12.12 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale ¸stiind c˘ a admit un factor integrant de forma indicat˘ a:  € 1) (t − x) dt + (t +x) dx = 0, µ = µ t2 + x2 . € 2 2) tx + t2 x − t dx =0, µ = € dt € µ 3(tx) 2  3 2 3 3) €2t + 3t2 x + x − x dt 2x + 3tx + t3 dx = 0, µ = µ (t + x) . + t2 − €   2 − t2 . 4) t2 + x2 + 1 €dt − 2tx  dx = 0, µ = µ€ x 2 2 2 5) (t € − tx) dt + 2 t + x€ dx = 0, µ =2 µ t + x .€  6) 3t + 2x + x dt + t + 4tx + 5x dx = 0, µ t + x2 .  1 € t 1 , ln t2 + x2 − arctg = C. 2) tx − ln |x| = C. 2 +x 2 x € −2 2 3) t3 + tx + x3 = C (t + x). 4) µ = x2 − t2 + 1 , x − t2 + 1 = Cx. 3 √ € 2 €  5) µ = t2 + x2 2 , x − 1 = C t2 + x2 . 6) µ = t + x2 , (t + x) t + x2 = C. R: 1) µ =

t2

a se g˘ aseasc˘ a solut¸ia ecuat¸iei omogene t2 + 2x2 = txx0 , care satisface condit¸ia 12.13 S˘ init¸ial˘ a x(1) = 2. ydy dt R:Cu schimbarea de variabil˘a x = ty, ecuat¸ia devine = , cu solut¸ia general˘a 2 y 1 + t p √ 2 2 2 2 a determin˘a pe t = C 1 + y . Inlocuind pe y, avem t = C t + x . Condit¸ia init¸ial˘ √ √ 1 2 2 2 a este t 5 = t + x . C = √ . Solut¸ia particular˘a c˘autat˘ 5

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

175

a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale omogene: 12.14 S˘ 0

1) tx = x − t. 4) t2 x0 = x (t − x) . x 7) tx0 = x + t cos2 . t

x 2) tx = x + te t . x 5) tx0 = x + ttg . t 8) 2t2 x0 = t2 + x2 . 0

3) tx0 = −t − x. 6) (t − x) x0 = t + x.

9) txx0 + 2tx + t2 = 0.

R: 1) Prin schimbarea de funct¸ie x = ty ecuat¸ia se transform˘a ˆıntr-o ecuat¸ie cu 1 C variabile separabile: y 0 = − , de unde x = t ln . t t C y 0 2) Se obt¸ine ty = e , de unde x = −t ln ln . t t C t 0 3) Se obt¸ine ty = −1 − 2y, de unde x = − . 4) t = Ce x . t 2 x x t 5) sin = Ct. 7) tg = ln (Ct). 8) 2t = (t − x) ln (Ct). 9) ln |t + x| + = C. t t t+x a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale omogene, cu condit¸iile init¸iale 12.15 S˘ precizate: x x 1) tx0 sin + t = x sin , cu x (1) = 0. t t 2) t2 x0€= x2 + tx + t2 , cu x (1) = 2. 2 4 2 2 2 0 4 3) 4tx = 0. ’ t + x x“+ x + 6t x + t , cu x (1) π ‘ 3t 3t 0 = 0, cu x = 1. 4) x − 3t sin x + 3x sin x x 3

R: Avem: 3t π x x = 1. 1) te = ecos t . 2) arctg −2 ln |t| = . 3) t5 +10t3 x2 +5tx4 = 1. 4) ln |x|−cos 2t 4 x

12.16 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale reductibile la ecuat¸ii omogene: 1) 3) 5) 7) 9)

2) (t + x − 3) x0 = t − x + 1. 4) (t − x + 4) x0 + t + x − 2 = 0. (t − x − 2) x0 + t + x = 0. 6) 8) (3t + 2x − 5) x0 + 2t + 3x − 5 (t − 2x + 3) x0 + 2t + x − 1 = 0. 10)

(t − 2x + 3) x0 = 2t − 4x + 1. (2t + 2x − 1) x0 + t + x + 1 = 0. (3t − 7x − 3) x0 = 3x − 7t + 7. (4t + 2x + 1) x0 + 8t + 4x + 1 = 0. (6t + 2x − 10) x0 = 2t + 9x − 20. 10

4t−2x

R: 1) t2 − 2tx − x2 + 2t + 6x = C. 2) (1 − 3t + 6x) 9 e 3 = C. 3) t2 + 2tx − x2 − 4t + 8x = C. 4) t + 2x + 3 ln |t + x − 2| = C. 5 2 5) x2 − 2tx − t2 + 4x = C. 6) (t + x − 1) (t − x − 1) = C. 2 2 2 7) x + 3tx + t − 5t − 5x = C. 8) (4t + 2x + 1) = 4t + C. 2 9) t2 + tx − x2 − t + 3x = C. 10) (x − 2t) = C (t + 2x − 5). 12.17 S˘ a se integreze ecuat¸ia liniar˘ a neomogen˘ a x0 = xtg t + cos t, t ∈ R \ {

π + nπ}. 2

1 R: Ecuat¸ia omogen˘a corespunz˘atoare, x0 = xtg t, are solut¸ia general˘a x(t) = C · , cos t π t ∈ R \ { + nπ}. C˘aut˘am pentru ecuat¸ia neomogen˘a o solut¸ie particular˘a de forma 2

176

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

1 1 1 x∗ (t) = u(t) · . Se obt¸ine pentru u ecuat¸ia u0 = cos2 t, de unde u(t) = t + sin 2t. cos t 2 4 In consecint¸˘a, solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date este x(t) = C ·

1 1 1 1 + ( t + sin 2t) · , cos t 2 4 cos t

t∈R\{

π + nπ}. 2

12.18 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii liniare de ordinul ˆıntˆ ai: €  1) x0 − xctg t + 2t sin t = 0. 2) 1 + t2 x0 + x − arctg t = 0. 1 x − t + 1 = 0. 3) x0 + ax − bept = 0, a, b, p ∈ R. 4) tx0 − t+1 3 √ √ √ €2  2 6) 1 + t2 x0 + x + t − 1 + t2 = 0. 5) t − 1 x0 t3 + 3tx t2 − 1 = 0. €  €  n t3 − 2 n 7) t t3 + 1 x0 + 2t3 − 1 x = . 8) x0 − x = et (t + 1) , n ∈ N. t t+1

R: 1) x (t) = t2 sin t + C sin t. 2) x (t) = arctg t − 1 + Ce−arctg t . b pt e + Ce−at , pentru p 6= −a ¸si x (t) = (bt + C) e−at , pentru p = −a. 3) x (t) = a+p € − 3 1€ C t C − t 4 t2 − 1 2 . e . 5) x (t) = 4) x (t) = t + 1 + t+1 4 √ € €   1 √ ln t + 1 + t2 + C . 6) x (t) = 2 t+ 1+t Ct 1 n 7) x (t) = + 3 . 8) x (t) = (et + C) (t + 1) . t t +1

12.19 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii liniare de ordinul ˆıntˆ ai, cu condit¸iile init¸iale precizate: x − t − 1, cu x (0) = 0. 2) tx0 + x = et , cu x (a) = b (a 6= 0) . 1 − t2 3) tx0 − nx = tn+1 ln t, cu x (1) = 0. 4) x0 cos2 t + x − tg t = 0 cu x (0) = 0. €  1 6) tx0 + 2t2 − 1 x = 2t2 − 1, cu x (1) = 1 − . 5) tx0 − nx = tn+1 et , cu x (1) = 1. e “r ’ 1 1 1+t 1 √ t 1 − t2 + arcsin t . 2) x (t) = (et − ea + ab). R: 1) x (t) = 2 2 1−t t  1 1€n t − tn+2 + tn+2 ln |t|. 4) x (t) = −1 + tg t + e−tg t . 3) x (t) = 4 2 2 5) x (t) = tn (et − e + 1). 6) x (t) = 1 − te−t . 1) x0 =

12.20 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale de tip Bernoulli: 0 1) tx0 + x +€tt x2 = 0. − x2 + √ t = 0.  2) 2txx 3 0 0 3) 3tx = x 1 + t sin t − 3x sin t . 4) x = 2tx + t3 x. 5) x0 = tx − tx3 . 6) tx0 + x = x2 ln t. 3 3 2 0 8) 2x0 sin t + x cos t = x3 sin2 t. 7) 3tx x − 2x = t .

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

177

 € C R: 1) x t2 + Ct = 1. 2) x2 = t ln . 3) x3 (3 + Cecos t ) = t. t ’ “2 ‘  t2 + 2 2 t2 4) x = Ce 2 − . 5) 1 + Ce−t x2 = 1. 6) x (1 + Ct + ln t) = 1. 2 7) x3 = t3 + Ct2 . 8) x2 (C − t) sin t = 1. 12.21 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale de tip Bernoulli:  €  € 2) txdt x2 + 1 dx. 1) 3t2 dt = t3 + ex dx. + t2 + €  4) t2 ln x − t dx = x√ dt. 3) tx0 + x = t3 x4 . x 2t 4 5) tx0 + 2x = 3t3 x 3 . 6) x0 − x = 4√ arctg t. 1 + t2 1 + t2 r C 3 −x 4 2 2 2 R: 1) t e = x + C. 2) x + 2t x + 2x = C. 3) tx 3 3 ln = 1. t 2 € € 3 1 2 4) t (1 − Cx + ln x) = 1. 5) x− 3 = Ct 3 − t3 . 6) x (t) = 1 + t2 C + arctg2 t . 7

12.22 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale de tip Bernoulli, cu condit¸iile init¸iale precizate: 9 t√ 1) x0 + x = e 2 x, cu x (0) = . €  € 4 2 2 2) €t3 + 1 x0 + 3t x = x2 t3 + 1 sin t, cu x (0) = 1.  0 2 2 2t =€ 0, cu x (1) = €√ 0.  √ 3) x € 2+ 2x + t0 x + 4) 2 t − 1 xx − tx2 = t t2 − 1 , cu x 2 = 2. 5) x0 − x cos t = xn−1 sin 2t, n 6= 1, n ∈ N \ {1, 2} , cu x (π) = 1. R: 1) x (t) = e−t 4) x2 = t2 − 1 +

’

1 t e +1 2

“2

1 . 3) t2 + x2 = e−x . (t3 + 1) cos t 2 n − 3 (n−1) sin t = 2 sin t + + e . n−1 n−1

. 2) x (t) =

√ t2 − 1. 5) x1−n

12.23 S˘ a se arate c˘ a ecuat¸iile diferent¸iale de tip Riccati de forma t2 x0 = at2 x2 + btx + c, 2 a, b, c ∈ R, admit solut¸ii particulare de forma x∗ (t) = αt−1 , dac˘ a (b + 1) − 4ac ≥ 0. S˘ a se integreze apoi ecuat¸iile diferent¸iale: €  2) 4t2 x0 + x2 + 1 = 0. 1) 2t2 x0 = t2 x2 + 1. 2 3) t2 x0 + (2 − tx) = 0. 4) t2 x0 = t2 x2 + tx + 1. R: Intr-adev˘ar, x∗ (t) = αt−1 este solut¸ie dac˘a aα2 + (b + 1) α + c = 0, ecuat¸ie care 2 are r˘ad˘acini reale dac˘a (b + 1) − 4ac ≥ 0. 1) O solut¸ie particular˘a este x∗ (t) = −t−1 . 1 1 Efectuˆand schimbarea de funct¸ie x = − + , obt¸inem ecuat¸ia liniar˘a 2t2 y 0 = 2ty − t2 , t y t 1 2 a c˘arei solut¸ie general˘a este: y (t) = (C − ln t). Deci, x (t) = − + . 2 t t (C − ln |t|) 2 3t 1 1 1 1 1 2) x (t) = + . 3) x (t) = + 3 . 4) x (t) = − + . 2t t (C + ln |t|) t t +C t t (C − ln |t|)

178

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

12.24 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale de tip Riccati, ¸stiind c˘ a admit solut¸iile particulare indicate: 1) x0 − x2 + 2et x = et + e2t , x∗ (t) = et . 2) tx0 − x2 + (2t + 1) x = t2 + 2t, x∗ (t) = t. sin t 1 3) x0 + x2 sin t = 2 2 , x∗ (t) = . cos t cos t  0 €2 ∗ 2 4) t − 1 x + x − 2tx + 1 = 0, x (t) = t. 2 5) t2 x0 + t2 x2 + tx = 4, x∗ (t) = . t €  6) 1 + t3 x0 − x2 − t2 x = 2t, x∗ (t) = t2 . 1 7) x0 − x2 − x + 9t2 = 0, x∗ (t) = 3t. t €  2 8) t2 x0 + x2 − 2 (tx − 1) = 0, x∗ (t) = . t

1 1 3 cos2 t 1 R: 1) x (t) = et + . 2) x (t) = t + . 3) x (t) = + . Ct + 1 cos t 3C − cos3 t Œ C −Œ t 3 1 4 1+t 1 Œ t − 1 ŒŒ 2 4) . 6) x (t) = t2 + = ln ŒŒ + C. 5) x (t) = + 5 . Œ x−t 2 t+1 t Ct − t C −t 2 t 1 . 8) x (t) = + 7) x (t) = 3t + . 2 −3t t t (Ct − 1) 6Ce −1 12.25 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii diferent¸iale de tip Riccati, ¸stiind c˘ a admit solut¸iile particulare de forma x∗ (t) = αtn , α ∈ R, n ∈ N: €  1) t (2t − 1) x0 + x2 + (4t + 1) x + 4t = 0. 2) t5 − 1 x0 + 2tx2 − t4 x − 3t2 = 0. R: 1) n = 1, α = 2, x (t) =

12.2

4Ct3 − 1 Ct3 − 1 . 2) n = 3, α = −1, x (t) = 2 . 4 Ct − t t −C

Alte ecuat¸ii integrabile prin metode elementare

12.26 S˘ a se integreze ecuat¸ia x = an (x0 )n + an−1 (x0 )n−1 + · · · + a1 x0 + a0 . R: Punem x0 = p. Atunci dx = p dt, dt = t=

Z

1 dx, de unde p

1 (nan pn−1 + (n − 1)an−1 pn−2 + · · · + a1 ) dp. p

Solut¸ia general˘a este dat˘a de ( n n−1 an pn−1 + an−1 pn−2 + · · · + a2 p + a1 ln p + C, t= n−1 n−2 x = an pn + an−1 pn−1 + · · · + a1 p + a0 , p > 0. 2

12.27 S˘ a se integreze ecuat¸ia x = (x0 ) tg x0 . R: t = ptg p − ln (cos p) + C, x = p2 tg p.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

179

a se integreze ecuat¸iile: 12.28 S˘ 2

2

2

2

2

1) x 3 + (x0 ) 3 = 1. 2) x 5 + (x0 ) 5 = a 5 , a 6= 0. R: 1) Lu˘am x = cos3 τ ¸si x0 = sin3 τ . Rezult˘ + C, x = cos3 τ . 2) ’a t = 3τ + 3tg τ “ 1 3 tg τ − tg τ + τ + C, x = a sin5 τ . Lu˘ am x = a sin5 τ ¸si x0 = a cos5 τ . Rezult˘a t = 5 3 12.29 S˘ a se integreze ecuat¸iile: 0

0 x 1) t = 2x  +e . 0 2

‘

2) t = x0 sin x0 + cos x0 . 0

3) t = 2 (x ) − 2x0 + 1 e2x . 4) t = x0 sin x0 .

R: 1) Punem x0 = p. Atunci t = 2p + ep , dx = p dt = (2p + pep ) dp. Solut¸ia general˘a este dat˘a de t = 2p + ep , x = p2 + (p − 1)ep + C.  € 2) t = p sin p + cos p, x = p2 −’2 sin p + 2p cos p +“ C.  2p € 2 3 e2p + C. 3) t = 2p − 2p + 1 e , x = 2p3 − 3p2 + 3p − 2 € 2  4) t = p sin p, x = p − 1 sin p + p cos p + C. a se integreze ecuat¸ia Lagrange x = 2tx0 + (x0 )2 . 12.30 S˘

R: Punem x0 = p. Atunci x = 2tp + p2 ¸si diferent¸iem: dx = 2p dt + 2t dp + 2p dp. dt 2 Dar dx = p dt ¸si deci = − t − 1, care este o ecuat¸ie liniar˘a, a c˘arei solut¸ie general˘a, dp p C p pentru p 6= 0, este t = 2 − , ˆıncˆ at solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date se scrie p 3 t=

C p − , 2 p 3

x=

2C p2 + , p 3

p ∈ R \ {0}.

Pentru p = 0 se obt¸ine x(t) ≡ 0, care este o solut¸ie singular˘a. 12.31 S˘ a se integreze ecuat¸ia Clairaut x = tx0 + (x0 )n . R: Punem x0 = p ¸si derivˆand obt¸inem: p = tp0 + p + npn−1 p0 sau p0 (t + npn−1 ) = 0. Avem: p0 = 0, p = C, care d˘a solut¸ia general˘a x(t) = Ct + C n . Sau t = −npn−1 , x = (1 − n)pn , care reprezint˘a o integral˘ a singular˘a. 12.32 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii de tip Lagrange sau Clairaut: 2

1) x = 2tx0 + ln x0 . 2) x = t (1 + x0 ) + (x0 ) . 3) x = 2tx0 + sin x0 . 3 0 0 2 3 2 5) x = 2t + (x0 ) − 4x0 . 4) x = tx + ex . 6) x = (x0 ) + t (x0 ) . 2 q 2 2 2 2 7) x = (x0 ) + t (x0 ) . 8) x = tx0 + 1 + (x0 ) . 9) x = 1 + tx0 + (x0 ) . 2 3 10) x = 2tx0 − 4 (x0 ) . 11) x = tx0 + x0 (1 − x0 ) . 12) t (x0 ) − xx0 = 1.

180

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

2C 1 C − , x + ln p + − 2, p > 0. p2 p p 2) t = 2 (1 − p) + Ce−p , x = [2 (1 − p) + Ce−p ] (1 + p) + p2 . C 2C cos p sin p 2 cos p 3) t = 2 − 2 − ,x= − − sin p, p 6= 0 ¸si x = 0, solut¸ie singular˘a. p p ’ p p p “ “ ’ C 1 2 2 3C 3 3 p p + 3 , x = 2 − 2e 1 − + 2 , p 6= 0. 4) t = 3 − 2e − p p p2 p 2p p p 2 5) t = 2p + C, x’= p + 2C ¸si x“= 2t − 4, solut¸ie’singular˘a. “ 3 2 p2 p2 1 3 p + p − C − p C + ¸si x = 0, x = t + 1, 6) t = , x = 2 2 2 2 (p − 1) (p − 1) solut¸ii singulare. Cp2 1 7) t = si x = 0, x = t + 1, solut¸ii singulare. 2 − 1, x = 2 ¸ − 1) (p − 1) (p √ 8) x = Ct + 1 + C 2 ¸si t2 + x2 = 1, solut¸ie singular˘a. 9) x = Ct + 1 + C 2 ¸si t = −2p, x = 1 − p2 , solut¸ie singular˘a. 10) t = 3p2 + Cp−2 , x = 2p3 − 2Cp−1 , p = 6 0 ¸si x = 0, solut¸ie singular˘a. 11) x = Ct + C (1 − C) ¸si t = 2p − 1, x = p2 , solut¸ie singular˘a. 12) t = Cx + C 2 ¸si x2 + 4t = 0, solut¸ie singular˘a. R: 1) t =

a se integreze ecuat¸iile: 12.33 S˘ 2

1) xx0 + (t − x) x0 − t = 0. 2) (x0 ) − (2x + t) x0 + 2tx = 0. R: 1) Ecuat¸ia se mai scrie: t (x0 − 1) + xx0 (x0 − 1) = 0, deci x0 = 1 sau t = −xx0 . De unde: x = t + C1 sau x2 + t2 = C2 . 2) Ecuat¸ia se mai scrie: t (x0 − 2x) = x0 (x0 − 2x), deci x0 = 2x sau x0 = t. De unde 1 x = C1 e2t sau x = t2 + C2 . 2 a se integreze ecuat¸ia (x0 )2 + tx0 + 3x + t2 = 0. 12.34 S˘ R: Punem x0 = p, avem p2 + tp + 3x + t2 = 0. Deriv˘am ˆın raport cu t: 2pp0 + p + tp + 3p + 2t = 0 sau (2p + 1)(p0 + 2) = 0. Din p0 = −2 urmeaz˘a p = −2t + C, de unde solut¸ia general˘a 1 x(t) = − [t2 + t(C − 2t) + (C − 2t)2 ], t ∈ R. 3 0

Apoi t = −2p ¸si x = −p2 , care reprezint˘ a o integral˘ a singular˘a. 12.35 S˘ a se integreze ecuat¸ia t =

1 x + (x0 )n . x0

dp 1 x + pn . Deriv˘am ˆın raport cu x. Obt¸inem · (npn−1 − p dx dp 1 1 ) = 0. Deci = 0, p = C, de unde solut¸ia general˘a t(x) = x + C n , sau x = npn+1 , 2 p dx C t = (n + 1)pn , care reprezint˘a o integral˘ a singular˘a. R: Punem x0 = p, avem t =

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

12.3

181

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordin superior

12.36 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸ia ecuat¸iei x(5) = 0, care satisface condit¸iile init¸iale: x(0) = 1, x0 (0) = 0, x00 (0) = −1, x(3) (0) = 0, x(4) (0) = 1. C1 4 C 2 3 C3 2 C 4 t + t + t + t + C5 . Condit¸iile init¸iale 4! 3! 2! 1! 1 4 1 2 t − t + 1, t ∈ R. precizate conduc la solut¸ia particular˘a x(t) = 24 2 R: Solut¸ia general˘a este x(t) =

12.37 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei x00 =

1 . t

R: x (t) = t ln |t| + C1 t + C2 . a se determine solut¸ia ecuat¸iei x000 = sin t, care satisface condit¸iile init¸iale 12.38 S˘ x(0) = 1, x0 (0) = −1, x00 (0) = 0. 1 R: Prin trei integr˘ari succesive obt¸inem solut¸ia general˘a x(t) = cos t + C1 t2 + C2 t + 2 C3 . Solut¸ia problemei lui Cauchy este x(t) = cos t + t2 − t. 12.39 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei t = x00 + ln x00 . 1 R: Punem x00 = τ . Atunci t = τ + ln τ . Avem dx0 = τ dt = τ (1 + ) τ . Se obt¸ine τ 1 3 solut¸ia general˘a t = τ + ln τ , x = τ 3 + τ 2 + C1 (τ + ln τ ) + C2 . 6 4 00

2

12.40 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei t = ex − (x00 ) . τ 0 − 2τ ) dτ . De unde R: Punem x00 = τ . Atunci t = eτ − τ 2 . Avem ’ dx = τ dt = τ (e “ 2 2 x0 = τ eτ − eτ − τ 3 + C1 . Apoi dx = x0 dt = τ eτ − eτ − τ 3 + C1 (eτ − 2τ ) dτ . De 3 3 unde “ ’ ’ “ 3 2τ 2 4 1 x= τ− e + 2τ − 2 − τ 3 + C1 eτ + τ 5 − C1 τ 2 + C2 . 2 4 3 15 2

2

2

2

12.41 S˘ a se integreze ecuat¸iile: 1) x00 = 1 − (x0 ) . 2) (x000 ) + (x00 ) = 1. 3) (x000 ) = 2x00 . 2 0 R: 1) O reprezentare parametric˘a a ecuat¸iei este: x0 = τ , xŒ00 = 1 − Œ τ . Din dx = dτ Œ Œ  € 1 1 1+τŒ ¸si dx0 = 1 − τ 2 dt, obt¸inem dt = dτ . Deci t = ln ŒŒ + C1 . Din dx = 1 − τ2 2 1−τŒ Œ 1 Œ τ dτ , de unde x = − ln Œ1 − τ 2 Œ + C2 . τ dt = 2 1−τ 2 2) O reprezentare parametric˘a a ecuat¸iei este: x00 = cos τ , x000 = sin τ . Din dx00 = − sin τ dτ ¸si dx00 = sin τ dt, rezult˘a dt = −dτ , deci t = −τ + C1 . Din dx0 = cos τ dt = − cos τ dτ , urmeaz˘a x0 = − sin τ + C2 , iar din dx = (− sin τ + C2 ) dt = (sin τ − C2 ) dτ , deducem x = − cos τ − C2 τ + C3 .

182

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

3) Lu˘am x000 = 2τ . Atunci x00 = 2τ 2 . Din dx00 = 4τ dτ ¸si dx00 = 2τ dt, rezult˘a 4 dt = 2 dτ , deci t = 2τ + C1 . Din dx0 = 2τ 2 dt = 4τ 2 dτ , urmeaz˘a x0 = τ 3 + C2 , iar din 3 “ ’ “ ’ 4 3 2 4 4 3 dx = τ + C2 dt = 2 τ + C2 dτ , deducem x = τ + 2C2 τ + C3 . 3 3 3 12.42 S˘ a se integreze ecuat¸ia x(3) · x(4) = −1.

1 R: O reprezentare parametric˘a este x(3) = τ , x(4) = − , τ 6= 0. Obt¸inem dx(3) = dτ , τ 1 dx(3) = − dt, deci dt = −τ dτ . Se obt¸ine solut¸ia general˘a τ 1 1 7 1 1 t = − τ 2 + C1 , x = − τ + C1 τ 4 − C2 τ 2 + C3 . 2 105 8 2

12.4

Ecuat¸ii c˘ arora li se poate mic¸sora ordinul

12.43 S˘ a se integreze ecuat¸ia x(n) sin t − x(n−1) cos t + 1 = 0.

R: Punem x(n−1) = u ¸si ecuat¸ia se transform˘a ˆıntr-o ecuat¸ie liniar˘a ˆın u: u0 sin t − u cos t + 1 = 0. Cu solut¸ia u (t) = cos t + C1 sin t. Deci x(n−1) = cos t + C1 sin t, cu solut¸ia general˘a: ’ “ ’ “ n−1 C2 n−1 Cn−1 x (t) = cos t − π + C1 sin t − π + tn−2 + · · · + t + Cn . 2 2 (n − 2)! 1! 12.44 S˘ a se integreze ecuat¸ia xx00 − (x0 )2 = x2 .

du ¸si obt¸inem ecuat¸ia R: Ecuat¸ia nu cont¸ine pe t explicit. Punem x0 = u, x00 = u dx du 1 = u2 + x2 , care este o ecuat¸ie omogen˘a. Luˆand u = xy, obt¸inem y dy = dx, de xu dx x 1 √ ((t−C2 )2 −C1 ) 0 2 unde y = 2 ln |x| + C1 , deci x = x 2 ln x + C1 , cu solut¸ia x = e 2 . 2

2

a se integreze ecuat¸iile: 1) txx00 + t (x0 ) − xx0 = 0. 2) t2 xx00 = (x − tx0 ) . 12.45 S˘

x0 = u, obt¸inem x √ x0 = xu, x00 = x(u2 +u0 ) ¸si deci ecuat¸ia devine tu0 −u+2tu2 = 0. Rezult˘a x = C2 t2 + C1 . C1 − 2) x = C2 te t . R: Ecuat¸iile sunt omogene ˆın x, x0 , x00 . 1) Cu schimbarea de funct¸ie

a se integreze ecuat¸ia t2 xx00 + t2 (x0 )2 − 5txx0 + 4x2 = 0. 12.46 S˘

R: Ecuat¸ia este omogen˘a de ordinul patru ˆın t, x, dt, dx, d2 x. Imp˘art¸ind prin t2 se  x ‘2 x x = 0. Punem t = eτ , x = tu poate pune sub forma · tx00 + (x0 )2 − 5 · x0 + 4 t t t ¸si ecuat¸ia devine uu00 + (u0 )2 − 2uu0 = 0. Luˆand acum u0 = p obt¸inem ecuat¸ia liniar˘a   dp 1 1€ 2 1€ 2 u + C1 . Deci u0 = u + C1 . De unde + p − 2 = 0, cu solut¸ia p (u) = du u u € u  u2 (τ ) = C2 e2τ − C1 . Rezult˘a x2 = t2 C2 t2 − C1 .

Capitolul 13

Ecuat¸ii ¸si sisteme diferent¸iale liniare 13.1

Sisteme diferent¸iale liniare de ordinul ˆıntˆ ai

a sistemul: 13.1 Se d˘ 3 1 1 1 x0 = − x − y, y 0 = x − y, t > 0. t t t t S˘ a se verifice c˘ a: x1 =

1 1 1 1 , y 1 = − 2 , x2 = 2 ln t, y 2 = − 2 (1 + ln t), t2 t t t

formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii ¸si s˘ a se scrie solut¸ia general˘ a a sistemului. R: Solut¸ia general˘a este: x(t) =

1 (C1 + C2 ln t) , t2

y(t) = −

1 (C1 ln t + C2 (1 + ln t)) . t2

13.2 Se d˘ a sistemul: 1 1 4 3 x0 = − x + y, y 0 = − x + y + 2, t > 0. t t t t S˘ a se verifice c˘ a: x1 = t, y 1 = 2t, x2 = t ln t, y 2 = t(1 + 2 ln t), formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii ¸si s˘ a se scrie solut¸ia general˘ a a sistemului. R: O solut¸ie particular˘a a sistemului este: x∗ (t) = t ln2 t, y ∗ (t) = 2t(ln2 t + ln t). 183

184

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

13.3 Se d˘ a sistemul: tx0 = x + y, ty 0 = −y +

t − ln(t + 1), t > 0. (t + 1)2

S˘ a se verifice c˘ a: 2 1 2 , y =− , t t formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii ¸si s˘ a se scrie solut¸ia general˘ a a sistemului. x1 = t, y 1 = 0, x2 =

R: O solut¸ie particular˘a a sistemului este: x∗ = ln(t + 1), y ∗ =

t − ln(t + 1). t+1

13.4 Se d˘ a sistemul: x0 =

4 1 4 1 x − 2 y + , y 0 = 2 x − y + t, t ∈ (0, ∞). t t t t

S˘ a se verifice c˘ a: x1 (t) = 1, y1 (t) = t ¸si x2 (t) = 2t2 , y2 (t) = t3 , t ∈ (0, ∞), formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii ¸si s˘ a se scrie solut¸ia general˘ a a sistemului. R: Deoarece W (t) = −t3 6= 0, cele dou˘a solut¸ii formeaz˘a un sistem fundametal de solut¸ii pentru sistemul dat ¸si deci solut¸ia general˘a a sistemului omogen corespunz˘ator este x(t) = C1 + 2C2 t2 , y(t) = C1 t + C2 t3 . C˘aut˘am pentru sistemul neomogen o solut¸ie particular˘a de forma x∗ (t) = u(t) + 2t2 v(t), y(t) = t u(t) + t3 v(t). Derivˆand ¸si ˆınlocuind ˆın sistem, obt¸inem u0 + 2t2 v 0 =

1 0 , u + t3 v 0 = t, t

sau, rezolvˆand ˆın privint¸a lui u0 ¸si v 0 : 1 1 1 u0 = 2 − , v 0 = − 2 + 3 , t t t 1 1 de unde, prin integrare u(t) = 2t − ln t, v(t) = − 2 . Inlocuind ˆın x∗ (t) ¸si y ∗ (t), t 2t obt¸inem solut¸ia particular˘a a sistemului neomogen 1 x∗ (t) = 4t − 1 − ln t, y ∗ (t) = 3t2 − t − t ln t 2 ¸si deci solut¸ia general˘a a sistemului neomogen este x(t) = C1 + 2C2 t2 + 4t − 1 − ln t,

1 y(t) = C1 t + C2 t3 + 3t2 − t − t ln t, t > 0. 2

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

13.2

185

Sisteme diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i

a se determine solut¸ia general˘ a a sistemului diferent¸ial liniar omogen cu coefici13.5 S˘ ent¸i constant¸i: x0 = 3y − 4z, y 0 = −z, z 0 = −2x + y. R: Matricea transform˘arii liniare asociate este   0 3 −4 A =  0 0 −1  . 0 −2 1

Ecuat¸ia caracteristic˘a a transform˘arii liniare T este λ3 −7λ−6 = 0, cu r˘ad˘ acinile λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = 3, simple. Deci transformarea T poate fi adus˘a la expresia canonic˘a. Vectorii proprii corespunz˘atori sunt u1 = (1, 1, 1),

u2 = (5, 2, 4),

u3 = (5, 1, −3).

Deci funct¸iile x1 (t) = e−t (1, 1, 1),

x2 (t) = e−2t (5, 2, 4),

x3 (t) = e3t (5, 1, −3)

formeaz˘a un sistem fundamental de solut¸ii. Solut¸ia general˘a a sistemului se scrie atunci   x(t) = C1 e−t + 5C2 e−2t + 5C3 e3t , y(t) = C1 e−t + 2C2 e−2t + C3 e3t , t ∈ R.  z(t) = C1 e−t + 4C2 e−2t − 3C3 e3t , a se determine solut¸ia general˘ a a sistemului 13.6 S˘ x0 = y,

y 0 = −x.

R: Ecuat¸ia caracteristic˘a este λ2 + 1 = 0 ¸si deci λ1 = i, λ2 = −i, iar vectorii proprii corespunz˘atori u1 = (1, i), u2 = (1, −i). Un sistem fundamental de solut¸ii (complexe) va fi x1 (t) = (eit , ieit ), x2 (t) = (e−it , −ie−it ). Prin schimbarea precedent˘a, obt¸inem sistemul fundamental de solut¸ii (reale) y1 (t) = (cos t, − sin t),

y2 (t) = (sin t, cos t),

ˆıncˆ at, solut¸ia general˘a a sistemului diferent¸ial dat se va scrie x(t) = C1 cos t + C2 sin t,

y(t) = −C1 sin t + C2 cos t.

a se determine solut¸iile generale ale sistemelor: 13.7 S˘ š 0 š 0 x = x + y, x = 3x + 8y, 1) 2) y 0 = x − y. y 0 = −x − 3y.

186

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

R: Avem: √ √ √  √ €√ €√  1) x (t) = C1 et 2 + C2 e−t 2 , y (t) = C1 2 − 1 e t 2 − C2 2 + 1 e−t 2 . 2) x (t) = −4C1 et − 2C2 e−t , y (t) = C1 et + C2 e−t . a se determine solut¸ia sistemului: x0 = 2x + y, y 0 = x + 2y, care satisface 13.8 S˘ condit¸iile init¸iale: x (0) = 1, y (0) = 3. R: x (t) =1 e3t − et , y (t) = 2e3t + et . 13.9 S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemului x0 = y, y 0 = −x + 2y. R: Ecuat¸ia caracteristic˘a este (λ − 1)2 = 0 ¸si deci λ1 = 1, cu m1 = 2, iar vectorul propriu corespunz˘ator u1 = (1, 1). Transformarea liniar˘a T nu poate fi adus˘a la expresia canonic˘a. C˘aut˘am atunci solut¸ia general˘a sub forma x(t) = (a + bt)et , y(t) = (c + dt)et . Derivˆand ¸si ˆınlocuind ˆın sistem, obt¸inem pentru a, b, c, d sistemul: a + b = c, b = d, a − c + d = 0, b − 2c + d = 0, care este compatibil dublu nedeterminat. Luˆand a = C1 , b = C2 , g˘asim c = C1 + C2 , d = C2 a.ˆı. solut¸ia general˘a va fi x(t) = (C1 + C2 t)et ,

y(t) = (C1 + C2 + C2 t)et .

a se rezolve sistemul liniar: x0 = Ax, ˆın 13.10 S˘  2 −1 A =  −1 0 0 −1

care:  0 2 . 2

R: Valorile proprii ale matricei A sunt: λ1 = 2, m1 = 1, u1 = (2, 0, 1), λ2 = 1, m2 = 2, u = (1, 1, 1). O solut¸ie a sistemului este x1 (t) = (2, 0, 1)e2t . Corespunz˘ator valorii proprii λ2 = 1, m2 = 2, c˘aut˘am o solut¸ie de forma: x(t) = (a1 + b1 t, a2 + b2 t, a3 + b3 t)et . Se obt¸ine prin identificare: x(t) = (C2 + C3 t, C2 − C3 + C3 t, C2 + C3 t)et . Solut¸ia general˘a este:   x(t) = 2C1 e2t + (C2 + C3 t)et , y(t) = (C2 − C3 + C3 t)et ,  z(t) = C1 et + (C2 + C3 t)et . 2

13.11 S˘ a se rezolve sistemele de ecuat¸ii diferent¸iale omogene: š 0 š 0 š 0 x = 5x − y, x = x − 5y, x = 2x + y, 1) 2) 3) y 0 = 2x − y. y 0 = x + 3y. y 0 = −x + 4y. R: 1) λ2 − 6λ + 9 = 0, λ1 = 3, m1 = 2. C˘aut˘ am solut¸ia sub forma: x(t) = (a1 + b1 t, a2 + b2 t)e3t . Se obt¸ine: x(t) = (C1 + C2 t)e3t , y(t) = (C1 + C2 + C2 t)e3t . 2) λ2 + 9 = 0, λ1 = 3i, λ2 = −3i. Se obt¸in solut¸iile complexe: ’ “ “ ’ 1 3 1 3 3it 2 1 + i, 1 e , x (t) = − i, 1 e−3it . x (t) = 2 2 2 2

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

187

 “ ’ 1 1 1 3  2  cos 3t − sin 3t, cos 3t ,  (x (t) + x (t)) = 2 2 ’2 “ sunt solut¸ii liniar indepenDar: 1 3 1  1 2  (x (t) − x (t)) = cos 3t + sin 3t, sin 3t ,  2i 2 2 dente  reale. ’ ’ “ “ 1 3 3 1  x(t) = C1 cos 3t − sin 3t + C2 cos 3t + sin 3t , Deci: 2 2 2 2  y(t) = C1 cos 3t + C2 sin 3t. 3) x (t) = (C1 + C2 + C2 t) e4t , y (t) = (C1 + C2 t) e4t . a se rezolve sistemele de ecuat¸ii diferent¸iale omogene: 13.12 S˘ š 0 š 0 š 0 x = x − 5y, x = 4x − 3y, x = 12x − 5y, 1) 3 2) y 0 = 3x + 4y. y 0 = 5x + 12y. y 0 = 2x − y. R: Avem: y (t) = (C1 sin 3t + C2 cos 3t) e4t . 1) x (t) = (C1 cos 3t − C2 sin 3t) e4t , 12t 2) x (t) = (C1 cos 5t − C2 sin 5t) e , y (t) = (C1 sin 5t + C2 cos 5t) e12t . 3) x (t) = C1 cos 3t + (5C2 − 3C1 ) sin 3t, y (t) = C2 sin 3t + (2C1 − 3C2 ) cos 3t. 13.13 S˘ a se rezolve sistemele de  0  x = 3x − y + z, y 0 = −x + 5y − z, 2) 1)  0 z = x − y + 3z.

ecuat¸ii diferent¸iale omogene:  0  0  x = 2x + y,  x = −x + y + z, y 0 = x + 3y − z, y 0 = x − y + z, 3)  0  0 z = x + y + z. z = −x + 2y + 3z.

R: 1) λ3 − 11λ2 + 36λ − 36 = 0, λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 6. Se obt¸ine:   x(t) = C1 e2t + C2 e3t + C3 = C1 e2t + C2 e3t + C3 e6t , y(t) = C2 e3t − 2C3 e6t ,  z(t) = −C1 e2t + C2 e3t + C3 e6t . 2) λ3 − 8λ2 + 22λ − 20 = 0, valorile proprii: 2, 3 + i, 3 − i ¸si deci:   x1 (t) = (1, 0, 1) = (1, 0, 1) e2t , x2 (t) = (1, 1 + i, 2 − i)e(3+i)t ,  3 x (t) = (1, 1 − i, 2 + i)e(3−i)t .

Solut¸ia real˘a este:   x(t) = C1 e2t + (C2 cos t + C3 sin t)e3t , y(t) = (C2 (cos t − sin t) + C3 (cos t + sin t)) e3t ,  z(t) = C1 e2t + (C2 (2 cos t + sin t) − C3 (cos t − 2 sin t)) e3t .   x (t) = C1 e2t − C2 e−2t + C3 e−t , y (t) = C1 e2t + C2 e−2t + C3 e−t , 3)  z (t) = 2C1 e2t − C3 e−t .

188

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

13.14 S˘ a se rezolve sistemele de  0   x = 2y,  y 0 = 2z, 2) 1)  0  z = 2x.

ecuat¸ii diferent¸iale  x0 = y + z,  y 0 = z + x, 3)  x0 = x + y.

omogene: x0 = 6x − 12y − z, y 0 = x − 3y − z, z 0 = −4x + 12y + 3z.

R: Avem: √ √  x (t) = C1 e−t sin t 3 + C2 e−t cos t 3 + C3 e2t ,    √  √ √  1€ √ 1€ y (t) = − C1 + C2 3 e−t sin t 3 + C1 3 − C2 e−t cos t 3 + C3 e2t , 1) 2 2    z (t) = − 1 €C − C √3 e−t sin t√3 − 1 €C √3 + C  e−t cos t√3 + C e2t . 1 1 2 3 2 2 2

2) x (t) = C1 e−t + C2 e2t , y (t) = − (C1 + C3 ) e−t + C2 e2t , z (t) = C2 e2t + C3 e−t .  7   x (t) = 2C1 et + C2 e2t + 3C3 e3t ,  3 y (t) = C1 et + C2 e2t + C3 e3t , 3)    z (t) = −2C et − 8 C e2t − 3C e3t . 2 3 1 3

13.15 S˘ a se rezolve sistemul omogen, cu condit¸iile init¸iale precizate:   0  x (0) = −4,  x = 8y, y 0 = −2z, y (0) = 0,   0 z = 2x + 8y − 2z, z (0) = 1.

R: x (t) = −4e−2t − 2 sin 4t, y (t) = e−2t − cos 4t, z (t) = e−2t − 2 sin 4t.

13.16 S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemelor de ecuat¸ii diferent¸iale liniare neomogene: š 0 š 0 x = 2x + 4y + cos t, x = 2x + y + 2et , 2) 1) y 0 = −x − 2y + sin t. y 0 = x + 2y + 3e4t . R: Avem: 1) x(t) = C1 et + C2 e3t + tet − e4t , y(t) = C1 et + C2 e3t − (t + 1)et − 2e4t . 2) x(t) = C1 t + C2 + 2 sin t, y(t) = 2C1 t − C1 − 2C2 − 3 sin t − 2 cos t. a se determine solut¸ia problemei lui Cauchy pentru sistemul: 13.17 S˘ x0 = x + y, y 0 = −2x + 4y, cu condit¸iile init¸iale: x(0) = 0, y(0) = −1. R: x(t) = (1 − t) cos t − sin t, y(t) = (t − 2) cos t + t sin t. 13.18 S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemelor diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i: ( 0 ( š 0 1 3 1 x = −2x − 4y + 1 + 4t, x = y + 1, x0 = 3x − y − 3t2 − t + , 3 1) 2) 3) 2 2 2 0 y = x + 1. y 0 = −x + y + t2 . y 0 = 2y − 2t − 1. 2

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA R: Avem: 1) x(t) = C1 et + C2 e−t − 1,

189

y(t) = C1 et − C2 e−t − 1.

1 2) x(t) = C1 e2t + 4C2 e−3t + t + t2 , y(t) = −C1 e2t + C2 e−3t − t2 . 2 3) x(t) = C1 e2t + C2 e3t + t + t2 , y(t) = 2C1 e2t + 1 + t.

13.19 S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemelor diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i: š 0 š 0 x = −y + e3t , x = 4x + 6y, 2) 1) 0 y 0 = −x + 2e3t . y = 2x + 3y + t. R: Avem: 3 3 3 6 6 2 3 1) x (t) = − C1 + 2C2 e7t − t2 − t − , y (t) = C1 + C2 e7t − t + t2 − . 2 7 49 343 49 7 343 1 5 2) x (t) = C1 et + C2 e−t + e3t , y (t) = −C1 et + C2 e−t + e3t . 8 8 a se rezolve urm˘ atoarele sisteme, cu condit¸iile init¸iale precizate: 13.20 S˘ š 0 š š 0 š x = 2x + y, x (0) = 1, x = 3x + 8y, x (0) = 6, 1) 2) y 0 = x + 2y, y (0) = 3. y 0 = −x − 3y, y (0) = −2. R: Avem: 1) x (t) = 2e3t − et , y (t) = 2e3t + et . −t t 2) x (t) = 4e + 2e , y (t) = −et − e−t . 13.21 S˘ a se rezolve urm˘ atoarele sisteme, cu condit¸iile init¸iale precizate: š š 0 š š 0 x (0) = 1, x (0) = 1, x = 3x − y + sin t, x = y + t, 2) 1) y 0 = x + et , y (0) = 0. y 0 = −4x + 3y + cos t, y (0) = −1. R: Avem: 3 5 1 5 5 1 1) x (t) = et + e−t − 1 + et t, y (t) = et − e−t + et t − t. 4 4 2 4 4 2 21 9 3 75 5t 5 t 1 75 5 2) x (t) = − cos t− sin t+ e + e , y (t) = − cos t− sin t− e5t + et . 26 13 104 8 26 26 52 4 13.22 S˘ a se determine solut¸ia general˘ a constant¸i:   x0 = 2x + y − 2z − t + 2, y 0 = −x + 1, 1) 2)  0 z = x + y − z + 1 − t. R: Avem:

a sistemelor diferent¸iale liniare cu coeficient¸i  0  x = −4x + 2y + 5z + 4t − 2e−t − 4, y 0 = 6x − y − 6z − 6t − 6,  0 z = −8x + 3y + 9z − 3e−t + 8t − 9.

  x(t) = C1 et + C2 sin t + C3 cos t, y(t) = −C1 et + C2 cos t − C3 sin t + t, 1)  z(t) = C2 sin t + C3 cos t + 1.   x(t) = C1 e2t + (C2 t + C2 + C3 )et + t, y(t) = −2C1 e2t + 3C2 et + e−t , 2)  z(t) = 2C1 e2t + (C2 t + C3 ) et + 1.

190

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

13.3

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n

a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a liniar˘ a omogen˘ a de ordinul al doilea: 13.23 Se d˘ x00 + a1 (t)x0 + a2 (t)x = 0, t ∈ I. €  S˘ a se arate c˘ a dac˘ a x1 (t), x2 (t) formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii al c˘ arui wronskian este W (t), atunci W este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale: W 0 + a1 (t)W = 0 ¸si s˘ a se deduc˘ a formula lui Abel - Ostrogradski - Liouville: “ ’ Z t a1 (t)dt , W (t) = W (t0 ) exp − t0

t0 ∈ I.

Generalizare. € 0 € 00 R: Avem: xi + a1 (t) xi + a2 (t)xi = 0, pentru i = 1, 2. Dar, Œ d ŒŒ x1 € 0 W (t) = dt Œ x1 0

€

Œ Œ x2 ŒŒ ŒŒ x1  € 0 2 0 Œ=Œ x −a1 x1

Œ Œ x2 € 2 0 ŒŒ = −a1 (t)W (t). −a1 x

€  13.24 Se d˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia a sistemul de funct¸ii liniar independente x1 (t), x2 (t) . S˘ diferent¸ial˘ a liniar˘ a omogen˘ a a c˘ arei solut¸ie general˘ a este: x(t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t), cu C1 ¸si C2 constante arbitrare, este:

Generalizare.

Œ Œ x1 (t) Œ €  Œ x1 (t) 0 Œ €  Œ x1 (t) 00

x2 (t) € 2 0 x (t) € 2 00 x (t)

x x0 x00

Œ Œ Œ Œ = 0. Œ Œ

R: Derivˆand x(t) de dou˘a ori, prin eliminarea lui C1 ¸si C2 ˆıntre cele trei relat¸ii se obt¸ine ecuat¸ia din enunt¸. 13.25 S˘ a se formeze ecuat¸ia diferent¸ial˘ a omogen˘ a al c˘ arui sistem fundamental de solut¸ii este: 1) x1 = sin t, x2 = cos t. 2) x1 = et , x2 = tet . 1 x2 = t 2 . 3) x = t, 1 t x2 = et sin t, x3 = et cos t. 4) x = e , R: 1) x00 +x0 = 0. 2) x00 −2x0 +x = 0. 4) x000 −2tx0 +2x = 0. 4) x000 −3x00 4x0 −2x = 0. 13.26 S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a x00 + a2 x = 0, a ∈ R \ {0} admite solut¸iile 1 2 x (t) = cos at, x (t) = sin at ¸si s˘ a se scrie solut¸ia general˘ a.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA €  R: Wronskianul sistemului x1 (t), x2 (t) este

Œ Œ cos at sin at W (t) = ŒŒ −a sin at a cos at

191

Œ Œ Œ = a 6= 0. Œ

€  Deci x1 (t), x2 (t) formeaz˘a un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia dat˘a, iar solut¸ia ei general˘a este x(t) = C1 cos at + C2 sin at,

t ∈ R.

cu C1 , C2 constante arbitrare. 13.27 S˘ a se integreze ecuat¸ia x00 + a2 x = cos at, a ∈ R\ {0}. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸ia ‘ π‘ π 0 π = 0, x =− . problemei lui Cauchy cu condit¸iile init¸iale x a a 2a R: Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene asociate este x(t) = C1 cos at + C2 sin at,

t ∈ R.

C˘ aut˘am o solut¸ie particular˘a pentru ecuat¸ia neomogen˘a sub forma x∗ (t) = u1 (t) cos at + u2 (t) sin at,

t ∈ R.

ˆın care u01 (t) ¸si u02 (t) verific˘a sistemul u01 cos at + u02 sin at = 0, Rezult˘a u01 = −

−au01 sin at + au20 cos at = cos at.

1 sin 2at, 2a

u02 =

1 (1 + cos 2at). 2a

De unde, pˆan˘a la constante aditive arbitrare, obt¸inem u1 (t) =

1 cos 2at, 4a2

u2 (t) =

1 1 t + 2 sin 2at. 2a 4a

Avem deci solut¸ia particular˘a x∗ (t) =

1 1 cos at + t sin at, 4a2 2a

t ∈ R.

Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date se scrie atunci x(t) = C1 cos at + C2 sin at +

1 1 cos at + t sin at, 4a2 2a

t ∈ R.

π ‘ cu C1 , C2 constante arbitrare. Solut¸ia problemei lui Cauchy cu condit¸iile init¸iale x = a π‘ π t 1 0, x0 = − , cum C1 = − 2 , C2 = 0, este x(t) = sin at. a 2a 4a 2a

192

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

13.28 S˘ a se integreze urm˘ atoarele ecuat¸ii ¸stiind c˘ a ecuat¸iile omogene corespunz˘ atoare admit solut¸iile indicate: x1 = t, x2 = e−2t . 1) (2t + 1)x00 + 4tx0 − 4x = (2t + 1)2 , 2 0 t 00 2 2) (t + 1)x − 2tx + 2x = 2(t + 1)e , x1 = t, x2 = t2 − 1. 3) tx000 = x00 − tx0 + x = −t2 , x1 = t, x2 = et , x3 = e−t . R: Avem: 1 1 1) x(t) = C1 t + C2 e−2t + t2 − t + . 2 4 €2  2) x(t) = C1 t + C2 t − 1 + (t − 1)2 et . 3) x(t) = C1 t + C2 et + C3 e−t + t2 + 2. sin t 2 a x1 (t) = este o solut¸ie 13.29 S˘ a se integreze ecuat¸ia x00 + x0 + x = 0, dac˘ t t particular˘ a. R: Se face schimbarea de variabil˘ a dependent˘ a x = x1 y. Se obt¸ine: 1 x(t) = (C1 sin t + C2 cos t). t 13.30 S˘ a se integreze ecuat¸ia t2 (ln t − 1)x00 − tx0 + x = 0, dac˘ a x1 (t) = t este o solut¸ie particular˘ a. R: x(t) = C1 t − C2 ln t.

13.4

Ecuat¸ii de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i

13.31 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸iile generale ale ecuat¸iilor diferent¸iale liniare de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i: 1) x00 − 5x0 + 6x = 0. 2) x00 − 9x = 0. 3) x00 − x0 = 0. 00 0 00 5) x − 2x + 2x = 0. 6) x00 + 4x0 + 13x = 0. 4) x + x = 0. R: 1) Ecuat¸ia caracteristic˘a r2 − 5r + 6 = 0, are r˘ad˘ acinile r1 = 2, r2 = 3. Solut¸ia general˘a este x(t) = C1 e2t + C2 e3t . 2) x(t) = C1 e−3t + C2 e2t . 3) x(t) = C1 + C2 et . 4) x(t) = C1 cos t+C2 sin t. 5) x(t) = et (C1 cos t + C2 sin t). 6) x(t) = e−2t (C1 cos 3t+ C2 sin 3t). 13.32 S˘ a se integreze ecuat¸ia x00 + x =

1 π , t ∈ R \ {kπ + }. cos t 2

acinile R: Ecuat¸ia omogen˘a x00 + x = 0 are ecuat¸ia caracteristic˘a r2 + 1 = 0, cu r˘ad˘ r1 = i, r2 = −i. Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este deci x(t) = C1 cos t + C2 sin t. C˘ aut˘am o solut¸ie particular˘a pentru ecuat¸ia neomogen˘a sub forma x∗ (t) = u1 (t) cos t + u2 (t) sin t,

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA cu u01 cos t + u02 sin t = 0, −u01 sin t + u02 cos t =

193

1 , de unde u01 = −tg t, u02 = 1 ¸si deci cos t

u1 (t) = ln | cos t|, u2 (t) = t, ˆıncˆat, solut¸ia general˘a a ecuat¸iei neomogene va fi x(t) = C1 cos t + C2 sin t + cos t · ln | cos t| + t sin t. 13.33 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸iile generale ale ecuat¸iilor diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i de ordinul al doilea, neomogene: 1) 2x00 − x0 − x = 4te2t . 4) x00 + x = t2 + t. 7) x00 − 7x0 + 6x = sin t.

2) x00 − 2x0 + x = tet . 3) x00 + x = t sin t. 5) x00 + x0 = t − 2. 6) x00 − x = te2t . 8) x00 + 4x = t sin 2t. 9) x00 + 3x0 + 2x = t sin t.

R: 1) Se caut˘a o solut¸ie particular˘a de forma: x∗ (t) = e2t (At + B). Se obt¸ine t ’ “ − 4 28 t 2t x(t) = C1 e + C2 e 2 + e t− . 5 25 2) Se caut˘a o solut¸ie particular˘a de forma: x∗ (t) = t2 et (At + B). Se obt¸ine 1 x(t) = (C1 + C2 t) et + t3 et . 6 3) Se caut˘a o solut¸ie particular˘a de forma: x∗ (t) = t[(At + B) cos t + (Ct + D) sin t]. Se obt¸ine t2 t x(t) = C1 cos t + C2 sin t − cos t + sin t. 4 4 4) x (t) = −2 + t + t2 + C1 cos t + C2 sin t. 1 5) x (t) = C1 + C2 e−t − 3t + t2 . ’2 “ 4 2t 1 t −t 6) x (t) = C1 e + C2 e + t− e . 3 3 7 5 7) x (t) = C1 et + C2 e6t + cos t + sin t. 74 74 1 2 1 1 cos 2t. 8) x (t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t − t cos 2t + t sin 2t + 64 “ “ 16 ’ ’ 8 1 17 3 3 9) x (t) = C1 e−2t + C2 e−t + − t + cos t + t+ sin t. 10 50 10 25 13.34 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸iile generale ale ecuat¸iilor diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i de ordinul al doilea, neomogene: 1) x00 + x0 = 4t2 et . 3) x00 − 6x0 + 9x = 25et sin t.

2) x00 + 10x0 + 25x = 4e−5t . 4) x00 + 2x0 + 5x = e−t cos 2t.

R: Avem:  € 1) x (t) = C1 + C2 e−t + 2t2 − 6t + 7 et . 2) x (t) = (C1 + C2 t) e−5t + 2t2 e−5t . 3) x (t) = C1 e3t + C2 e3t t + (4 cos t + 3 sin t) et . 1 4) x (t) = C1 e−t cos 2t + C2 e−t sin 2t + te−t sin 2t. 4

194

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

13.35 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸iile generale ale ecuat¸iilor diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i de ordin mai mare decˆ at doi: 1) x000 − 13x00 + 12x0 = 0 4) x000 − 3x00 + 3x0 − x = 0. 7) x000 − 2x00 − 3x0 = 0.

2) x000 + x = 0. 5) x(4) + 8x00 + 16x = 0. 8) x000 + 2x00 + x0 = 0.

3) x(4) 2x00 = 0. 6) x(4) − 2x00 + x = 0. 9) x000 + 4x00 + 13x0 = 0.

R: Avem: 1) x(t) = C1 + C2 et + C3 e12t . √ √ ! t   3 3 2) x(t) = C1 e−t + e 2 C2 cos t + C3 sin t . 2 2 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

√

√

−t 2 x(t) = C1€+ C2 t + C3 et 2 + .  C4 e 2 t x(t) = e C1 + C2 t + C3 t . x(t) = (C1 + C2 t) cos 2t + (C3 + C4 t) sin 2t. x(t) = (C1 + C2 t) e−t + (C3 + C4 t) et . x (t) = C1 + C2 e−t + C3 e3t . x (t) = C1 + (C2 + C3 t) e−t . x (t) = C1 + (C2 cos 3t + C3 sin 3t) e−2t .

a se g˘ aseasc˘ a solut¸iile generale ale ecuat¸iilor diferent¸iale liniare cu coeficient¸i 13.36 S˘ constant¸i: 1) x00 + 4x0 + 5x = 0. 2) x(5) − 2x(4) + 2x000 − 4x00 + x0 − 2x = 0. (4) 000 00 0 3) x + 4x + 8x + 8x + 4x = 0. 4) x(4) − 4x000 + 5x00 − 4x0 + 4x = 0. R: Avem: 1) x (t) = (C1 cos t + C2 sin t) e−2t . 2) x (t) = (C1 + C2 t) cos t + (C3 + C4 t) sin t + C5 e2t . 3) x (t) = [(C1 + C2 t) cos t + (C3 + C4 t) sin t] e−t . 4) x (t) = C1 cos t + C2 sin t + (C3 + C4 t) e2t . 13.37 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei x(4) + 2x000 + 5x00 + 8x0 + 4x = 40e−t + cos t. R: Ecuat¸ia caracteristic˘a r4 + 2r3 + 5r2 + 8r + 4 = 0 are r˘ad˘ acinile r1 = r2 = −1 ¸si r3 = 2i, r4 = −2i. Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene se scrie x(t) = (C1 + C2 t)e−t + C3 cos 2t + C4 sin 2t,

t ∈ R.

Deoarece r = −1 este r˘ad˘acin˘a dubl˘a pentru ecuat¸ia caracteristic˘a, vom c˘auta o solut¸ie particular˘a de forma x∗ (t) = At2 e−t + B cos t + C sin t. 1 Introducˆand ˆın ecuat¸ie ¸si identificˆ and coeficient¸ii, se g˘ase¸ste A = 4, B = 0, C = ¸si deci 6 solut¸ia general˘a a ecuat¸iei neomogene va fi x(t) = (C1 + C2 t)e−t + C3 cos 2t + C4 sin 2t + 4t2 e−t +

1 sin t, 6

t ∈ R.

˘ MATEMATICA ˘ PROBLEME DE ANALIZA

195

a se g˘ aseasc˘ a solut¸iile generale ale ecuat¸iilor diferent¸iale liniare cu coeficient¸i 13.38 S˘ constant¸i de ordin mai mare decˆ at doi, neomogene: 1) x(4) − 2x000 + x00 = et . 3) x000 − x00 + x0 − x = t2 + t.

2) x(4) − 2x000 + x00 = t3 . 4) x000 − x00 = 12t2 + 6t. ’ “ t2 R: 1) Se caut˘a x∗ (t) = At2 et . Rezult˘a x(t) = C1 + C2 t + C3 + C4 t + et . 2 €  2) Se caut˘a x∗ (t) = t2 A + Bt + Ct2 + Dt3 . Rezult˘a 1 1 x(t) = (C1 + C2 t) + (C3 + C4 t) et + 12t2 + 3t3 + t4 + t5 . 2 20 3) x (t) = C1 cos t + C2 sin t + C3 et − 1 − 3t − t2 . 4) x (t) = C1 + C2 t + C3 et − 15t2 − 5t3 − t4 . 13.39 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸ia particular˘ a a ecuat¸iei: x000 + 2x00 + 2x0 + x = t, care verific˘ a condit¸iile init¸iale: x(0) = 0, x0 (0) = 0, x00 (0) = 0. R: x(t) = e

13.5

−t

√ ! √ t   3 3 1 t + √ sin t + t − 2. + e 2 cos 2 2 3 −

Ecuat¸ia lui Euler

13.40 S˘ a se integreze ecuat¸iile Euler: 1) t2 x00 + tx0 + x = 1. 3) t2 x00 − 4tx0 + 6x = t. 5) t2 x00 − 2tx0 + 2x = t2 − 2t + 2.

2) t2 x00 + 3tx0 + x = 0. 4) t2 x00 + 2tx0 − 6x = 0. 6) t2 x00 − tx0 − 3x = t.

R: Avem: 1) x(t) = C1 cos (ln t) + C2 sin (ln t) + 1. 1 2) x(t) = (C1 + C2 ln t) . t 1 3) x(t) = C1 t3 + C2 t2 + t. 2 1 2 4) x (t) = C1 t + C2 3 . t 5) x (t) = C1 t + C2 t2 − t2 + 2t ln t + 1 + t2 ln t + 2t. 1 1 6) x (t) = C1 + C2 t3 − t. t 4 13.41 S˘ a se integreze ecuat¸iile Euler: 2

1) (t − 2) x00 − 3 (t − 2) x0 + 4x = t − 2. 2) t3 x000 − t2 x00 + 2tx0 − 2x = t3 + 2t. 2 3) (4t − 1) x00 − 2 (4t − 1) x0 + 8x = 0. 3 00 2 4) (t + 1) x + 3 (t + 1) x0 + (t + 1) x = 6 ln (t + 1) .

196

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

R: Avem: 2 1) x (t) = t − 2 + [C1 + C2 ln (t − 2)] (t − 2) . €  1 2) x (t) = C1 t + C2 t2 + C3 t ln t + t3 − t ln2 t + 2 ln t + 2 . 4 p 3) x (t) = C1 (4t − 1) + C2 (4t − 1). C1 1 C2 + ln (t + 1) + ln3 (t + 1). 4) x (t) = t+1 t+1 t+1 13.42 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut¸ia particular˘ a a ecuat¸iei: t2 x00 = tx0 + x = 2t, care verific˘ a condit¸iile init¸iale: x(1) = 0, x0 (1) = 1. €  R: x(t) = t ln t + ln2 t .

Bibliografie ˘ , T. Morozanu, Culegere de probleme de calcul diferent¸ial ¸si integral, [1] Lia Arama Vol. I, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1967. [2] V. Barbu, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Junimea, Ia¸si, 1985. [3] G. N. Berman, A Problem Book in Mathematical Analysis, Mir Publishers, Moscow,1980. ˆmpu, S. Ga ˘ , Culegere de probleme de calcul diferent¸ial ¸si ˘ina [4] Gh. Bucur, E. Ca integral, Vol. II ¸si III, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1967. [5] N. Calistru, Gh. Ciobanu, Curs de analiz˘ a matematic˘ a, Rotaprint IPI, 1988. ´ [6] G. Chilov, Analyse math´ematique, Editions Mir, Moscou, 1984. ˘, Probleme de matematici superioare, Editura Didactic˘a ¸si pedagogic˘a, ¸a [7] S. Chirit Bucure¸sti, 1989. a, Editura FA[8] A. Corduneanu, Ecuat¸ii diferent¸iale cu aplicat¸ii ˆın electrotehnic˘ CLA, Timi¸soara, 1981. [9] A. Corduneanu, A. L. Pletea, Not¸iuni de teoria ecuat¸iilor diferent¸iale, Editura MATRIX ROM, Bucure¸sti, 1999. [10] B. Demidovich, Problems in mathematical analysis, Mir Publishers, Moscow, 1981. [11] N. Donciu, D. Flondor, Analiz˘ a matematic˘ a. Culegere de probleme, Editura ALL, Bucure¸sti, 1993. [12] N. Gheorghiu, T. Precupanu, Analiz˘ a matematic˘ a, Editura Didactic˘a ¸si pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1979. [13] M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, E. Shihin, Mathematical Analysis for Engineers, Vol. I and II, Mir Publishers, Mosvow, 1990. [14] V. A. Kudryavtsev and B. P. Demidovich, A Brief Course of Higher Mathematics, Mir Publishers, Moscow, 1978. [15] Gh. Moros¸anu, Ecuat¸ii diferent¸iale. Aplicat¸ii, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1989. 197

198

GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

[16] C. P. Nicolescu, Teste de analiz˘ a matematic˘ a, Editura Albatros, Bucure¸sti, 1984. [17] M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Analiz˘ a matematic˘ a, Vol. I, Editura Didactic˘a ¸si pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1966. [18] Gh. Procopiuc, Matematic˘ a, Tipografia Univ. Tehnice “Gh. Asachi” Ia¸si, 1999. [19] Gh. Procopiuc, Gh. Slabu, M. Ispas, Matematic˘ a, teorie ¸si aplicat¸ii, Editura “Gh. Asachi” Ia¸si, 2001. a liniar˘ a ¸si geometrie, Editura Tehnica-Info, [20] Gh. Procopiuc, N. Ionescu, Algebr˘ Chi¸sin˘au, 2002. [21] Gh. Procopiuc N. Ionescu, Probleme de algebr˘ a liniar˘ a ¸si geometrie, Editura Tehnica-Info, Chi¸sin˘au, 2002. a matematic˘ a, http://ontario.tcm.tuiasi.ro/˜tcm1, 2002. [22] Gh. Procopiuc, Analiz˘ [23] M. Ros¸culet ¸ , Analiz˘ a matematic˘ a, Editura Didactic˘a ¸si pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1984. [24] Ioan A. Rus, Paraschiva Pavel, Gh. Micula, B. B. Ionescu, Probleme de ecuat¸ii diferent¸iale ¸si cu derivate part¸iale, Editura Didactic˘a ¸si pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1982. [25] A. A. Shestakov, A Course of Higher Mathematics, Mir Publishers, Moskow, 1990. ¸ chi, Calcul diferent¸ial ¸si integral, Vol. 1, Not¸iuni fundamentale, Ed. ¸st. [26] Gh. Siret ¸si Encicl., Bucure¸sti, 1985. ¸ chi, Calcul diferent¸ial ¸si integral, Vol. 2, Exercit¸ii, Ed. S¸t. ¸si Encicl., [27] Gh. Siret Bucure¸sti, 1985. [28] Rodica Tudorache, Culegere de probleme de analiz˘ a matematic˘ a, Vol. I, Calculul diferent¸ial, Univ. Th. Gh. Asachi Ia¸si, 2000. a matematic˘ a, Vol. II, Calculul [29] Rodica Tudorache, Culegere de probleme de analiz˘ integral, Univ. Th. Gh. Asachi Ia¸si, 2001.