Cuestionario Probabilidad y Estadistica I

Cuestionario de probabilidad y estadísticas I Nota : en este documento se encuentran reunidos los 6 talleres realizados durante la duración del curso para el examen q será el dia martes 13 de septiembre de 2016 a las 2 de la tarde

Taller 1 Probabilidad y Estadística I Distribución de Probabilidad Conjunta

1) Determine los valores de c, tales que las siguientes funciones representen distribuciones de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X y Y: a) f (x, y) = cxy, para x = 1, 2, 3; y = 1, 2, 3; C (1)(1) + (1)(2) + (1)(3) + (2)(1) + (2)(2) + (2)(3) + (3)(1) + (3)(2) + (3)(3) = 1 C (1+2+3+2+4+6+3+6+9) = 1 C (36) = 1

.:.

C=1/36 R//.

b) f (x, y) = c |x - y|, para x = -2, 0, 2; y = -2, 3. C| (-2-(-2)) + (0-(-2)) + (2-(-2)) + (-2-3) + (0-3) + (2-3) |=1 C| (2+4-5-3-1) | C|-3|=1 C (3) = 1 C=1/3

R//.

2) Si la distribución de probabilidad conjunta de X y Y está dada por f ( x , y )=

x+ y 30 , para x = 0, 1, 2, 3; y = 0, 1, 2; calcule

a) P (X ≤ 2, Y = 1); 0 0

1

2

( x , y )= 1 6

1+1 2+1 + 30 30 =

R//.

1

(1,1

2

) (2,1 )

3 b) P(X > 2, Y ≤ 1); 0

1

2

0

( x , y )=

1

7 30

2 3

(3,0

3+0 3+ 1 + 30 30 =

R//.

(3,1

) ) c) P(X > Y ) 0

1

2

0 1

(1,0

2

) (2,0

(2,1

3

) (3,0

) (3,1

(3,2

)

)

)

( x , y )=

1+0 30

3+ 1 30

+

2+ 0

+ 30 3+ 2 30 =

+ 3 5

3+ 0 30

+

2+1 30

+

R//.

d) P(X +Y = 4) 0

1

2

0 1 2

( x , y )=

2+2 3+ 1 + 30 30 =

8 30

R//.

(2,2 )

3

(3,1 )

3) De un saco de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 plátanos se selecciona una muestra aleatoria de 4 frutas. Si X es el número de naranjas y Y el de manzanas en la muestra, calcule a) la distribución de probabilidad conjunta de X y Y;

b) P [(X, Y) ∈ A], donde A es la región dada por {(x, y) | x + y ≤ 2}. 0

1

2

0

(0,0

(0,1

(0,2

) (1,0

) (1,1

)

1

)

2

) (2,0

3

3 (3x)( 2y)( 3−x− y) ( 84)

)

3 3 3 3 3 ( 30 )( 20 )( 3−0−0 ) + ( 30 )( 21 )( 3−0−1 ) + ( 30 )( 22 )( 3−0−2 ) + ( 31 )( 20 )( 3−1−0 ) + ( 31 )( 21 )( 3−1−1 ) + ( 32 )( ( 84 ) ( 84 ) ( 84 ) ( 84 ) ( 84 ) R//.

4) Sea X el tiempo de reacción, en segundos, ante cierto estímulo, y Y la temperatura (en °F) a la cual inicia cierta reacción. Suponga que dos variables aleatorias, X y Y, tienen la densidad conjunta

{

f ( x , y ) = 4 xy , 0< x=13)>=1-1/k^2 1-1/(3/2)

R//: P(7 >=x >= 13)>= 0.33

1-2/3 = 1/3 = 0.33 b) P(|X −10| < 3); -3< x-10 < 3

7 = u- ko

P(7 < x < 13)

k = 3/2

k = 3/2

P(7 < X < 13) 1-1/(3/2) = 0.33

R//: P(7 < x < 13) > 0.33

c) P(5 < X < 15); 5 = 10-2k

15 = 10+2k

K = 5/2

k = 5/2

1-1/(3/2) = 3/2 R//: P(5 < x < 15) < 1.5

2) Calcule P(μ – 2σ < X < μ + 2σ), donde X tiene la siguiente función de densidad

f ( x )=

{

6(1−x), 0< x = 1-1/k^2 P(1000 –(20/7) (70) < x < 1000 +(20/7)(70) >=1 - (1/1)/(20/7) ^2 P(= 1-1/k^2 P(1000 – (2.9)(70)) < x < 1000+2.9(70) >= 1-1/(2.9) ^2 P(800 < x < 1203) >= 0.88

Taller 6 Probabilidad y Estadística I Distribución Uniforme Discreta

1) Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución uniforme probabilidad de la variable aleatoria discreta X: a) f(x) = c, para para x = 0, 1, 2, 3;

P ( x >c )=f ( o )+ f ( 1 )+ f ( 2 ) +f ( 3 ) P ( x >c )=4 c

R//.

b) f(x) = c, para x = 0, 1, 2.

P ( x >C )=f ( 0 ) +f ( 1 ) +f (2) P ( x >C )=3 C R//.

2) La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones que se encuentran en cada 10 metros de una tela sintética que viene en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por

x

0

1

2

3

4

__________________________________________ f (x)

0.20

0.20

0.20

0.20

0.20

Encuentre la probabilidad de que cuando se tome aleatoriamente una muestra de 10 metros de mencionada tela sintética, se encuentren: a) 3 imperfecciones

P ( x > g ) =f ( 3 )=0.20 b) al menos 3 imperfecciones

P ( x >o )=f ( 0 )=0.20 P ( x >1 )=f ( 1 )=0.20 P ( x >2 )=f ( 2 )=0.20 P ( x >3 ) =f ( 3 ) =0.20 P ( x > 4 ) =f ( 4 )=0.20 c) a lo mucho 3 imperfecciones

P ( x >o )=0.20 P ( x >1 )=0.20

P ( x >2 )=0.20 P ( x >3 ) =0.20 P ( x ) ≥ 0.80 d) ninguna imperfección

P ( x )=0 e) 5 imperfecciones

P ( x ) ≤3 imperfecciones

3) De la siguiente Distribución uniforme discreta

{

f ( y )= 0.25 x=2,3,4,6 0 en otro caso calcule a) Media

μ=ϵ x =2 ( 0.25 )+3 ( 0.25 )+ 4 ( 0.25 ) +6 ( 0.25 ) μ=ϵ x =3.75 b) Varianza 2

2

2

σ =ϵ ( x−μ ) =2 ( x−μ ) f ( x ) σ 2= ( x −3.75 )2=( 2−3.75 )2 ( 0.25 ) + ( 3−3.75 )2 ( 0.25 )+ ( 4−3.75 )2 ( 0.25 )+ ( 6−3.75 )2 ( 0.25 ) σ 2=0.76+0.14+ 0.015+1.26 σ 2=2.17 σ =1.47