Cuerpos

´ CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 5 Cuerpos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´aticas aticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogot´a

30 de noviembre de 2016

ii

Cuaderno dedicado a Wilma, mi esposa.

Contenido Pr´ ologo ologo

iv

1. Polinomi Polinomios os 1.1. Gene Generalida ralidades des   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Pol Polinomio inomioss sobre sobre cuerpos cuerpos   . . . . . . . . . . . . 1.3. Alg Algori oritmo tmoss de la divisi divisi´ o´n y Euclides en  K  on  K [[x]   . 1.4. Teore eorema ma de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Eje Ejempl mplos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Pol Polinomio inomioss en varias varias variabl variables es . . . . . . . . . 1.7. Polinomio Polinomioss sim´ etricos   . . . . . . . . . . . . . . etricos 1.8. Eje Ejerci rcicio cioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

1 1 5 7 18 24 25 30 35

. . . . . . .

38 38 46 48 50 57 61 68

. . . . . .

70 70 73 75 77 80 82

2. Extension Extensiones es de cuerpos 2.1. Exte Extensione nsioness simple simpless   . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Exte Extensione nsioness algebra algebraicas icas . . . . . . . . . . . . 2.3. 2. 3. El cue cuerpo rpo de de los n´ umeros algebraicos . . . . umeros 2.4. Cuer Cuerpo po de desco descomposici mposici´ o´n de un polinomio . on 2.5. Claus Clausura ura algebrai algebraica ca de un cuerpo cuerpo . . . . . . 2.6. Depend Dependencia encia e independe independencia ncia algebrai algebraica ca . . 2.7. Eje Ejerci rcicio cioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Fundamentos de la teor teor´ ´ıa de d e Galois Gal ois 3.1. Exte Extensione nsioness normal normales es   . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ra Ra´´ıces de la unidad   . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Cue Cuerpos rpos fini finitos tos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Exte Extensione nsioness separables separables y cuerpos cuerpos perfectos perfectos   . 3.5. Teore eorema ma del elemento elemento primitivo primitivo . . . . . . . 3.6. Eje Ejerci rcicio cioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

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4. Teor eor´ ´ıa de Galo Galois is 83 4.1. El grupo grupo de Galo Galois is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2. Teorema fundamental de la teor teor´´ıa de Galois . . . . . . . . . . . . . . 86 iii

iv

 

CONTENIDO

4.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5. Solubilidad por radicales 92 5.1. Polinomios solubles por radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2. Teorema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Bibliograf´ıa

97

Pr´ ologo algebra  consta de 10 publicaciones sobre los principales La colecci´on   Cuadernos de ´  temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doctorado en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los ex´amenes de candidatura, a saber: anillos y m´odulos; categor´ıas; a´lgebra homol´ ogica; ´algebra no conmutativa; ´algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los u ´ ltimos 25 a˜ nos, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en cada uno de ellos, como tambi´en en el libro Anillos, M´  odulos y Categor´ıas , publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´on est´a totalmente agotada (v´ease [8]). Un material similar, pero mucho m´as completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang,  Algebra , cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (v´ease algebra  sea su presentaci´ [7]). Posiblemente el valor de los  Cuadernos de ´  on ordenada y did´actica, as´ı como la inclusi´ on de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los cuadernos son:

1. Grupos 2. Anillos 3. M´odulos ´ 4. Algebra lineal 5.  Cuerpos

6. Anillos y m´ odulos 7. Categor´ıas ´ 8. Algebra homol´ ogica ´ 9. Algebra no conmutativa 10. Geometr´ıa algebraica

Los cuadernos est´an divididos en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en secciones. Para cada cap´ıtulo se a˜ nade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen las principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema. Cuaderno de cuerpos . Uno de los problemas cl´ asicos que motiva la teor´ıa que se estudia en este cuaderno es la solubilidad de ecuaciones polin´omicas, es decir, el problema de determinar condiciones necesarias y suficientes para saber si una ecuaci´ on polin´ omica p(x) = 0, de grado n  1, y con coeficientes en un cuerpo K ,

 ≥

v

vi

´ PROLOGO

tiene ra´ıces expresables por medio de radicales. Para ello es necesario desarrollar la teor´ıa de cuerpos, estudiar sus extensiones y sus automorfismos. Una vez estudiada la teor´ıa b´asica de cuerpos, se introduce la noci´on de grupo de Galois de una extensi´on finita, normal y separable, se establece la correspondencia que existe entre extensiones y subgrupos del grupo de Galois, para llegar finalmente al teorema fundamental de la teor´ıa de Galois. En la parte final del cuaderno, como aplicaci´ on, se estudia la solublilidad de ecuaciones polin´omicas por medio de radicales. Para una mejor comprensi´on de los temas tratados en el presente cuaderno se asume que el lector est´a familiarizado con las nociones b´ asicas de la teor´ıa de grupos, teor´ıa de anillos y a´lgebra lineal (v´eanse por ejemplo [6], [9], [10] y [12]). A denotar´a un anillo no necesariamente conmutativo y con unidad 1. A∗  es el grupo multiplicativo de los elementos invertibles del anillo  A. Si f  es un homomorfismo de anillos, entonces f (1) = 1. El autor desea expresar su agradecimiento a Fabio Alejandro Calder´on Mateus por la lectura cuidadosa y las correcciones finales introducidas al presente cuaderno. Oswaldo Lezama Departamento de Matem´aticas Universidad Nacional de Colombia Bogot´ a, Colombia [email protected]

Cap´ıtulo 1 Polinomios El primer cap´ıtulo del presente cuaderno estudia la aritm´etica b´asica del anillo de polinomios en varias variables con coeficientes en un cuerpo. Destacamos el algoritmo de la divisi´on y el algoritmo de Euclides, para lo cual consideramos ´ordenes monomiales sobre la colecci´on de los monomios est´ andar. El teorema de Gauss y los polinomios sim´etricos tambi´en ocupan un lugar importante en este cap´ıtulo.

1.1.

Generalidades

Iniciamos recordando la construcci´on del anillo de polinomios como subanillo del anillo de series. Los detalles completos de la construcci´on se pueden consultar en [10]. Sean A  un anillo y S   el conjunto de sucesiones en  A,

{

 |  ∈ A, i = 0, 1, 2, . . .};

S  := (a0 , a1 , a2 , . . .) := (ai ) ai

entonces las operaciones de adici´on y multiplicaci´on definidas en S  de la siguiente manera a = (ai ), b = (bi), a + b := c = (ci ) , ci  := ai + bi , i = 0, 1, 2, . . . ab := d = (di ), d i  :=  j +k=i a j bk , i = 0, 1, 2, . . .



dan a S  una estructura de anillo (dos sucesiones son iguales si, y s´olo si, ai = bi , para cada i = 0, 1, 2, . . .). El cero de S   es la sucesi´on nula 0 := (0, 0, . . .), y la opuesta de a = (ai ) es sucesi´on

 −a := (−a ). Es f´acil comprobar que el uno de S   es la i

1 := (1, 0, 0, . . .) 1

2

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

y que el producto se distribuye sobre la adici´on. El anillo S  se denomina  anillo de sucesiones formales en A. Algunas propiedades relativas a esta construcci´on se presentan a continuaci´on: (i) Notemos que el anillo S  de sucesiones formales es conmutativo si, y s´olo si, A es un anillo conmutativo. (ii) La funci´ on ι :

A a

−→ −→

S  (a, 0, 0, . . .)

es un homomorfismo inyectivo. (iii) En el anillo S  se destacan de manera especial las sucesiones que tienen un n´umero finito de t´erminos no nulos. Se dice que la sucesi´ on a = (a0 , a1 , a2 , . . .) es un  polinomio  si existe un entero  n tal que a i  = 0 para i > n. Se denomina grado del polinomio a al mayor entero n tal que an = 0, y se denota por gr (a). Los polinomios de grado 0 se denominan  constantes . La sucesi´on nula es un polinomio sin grado. Si a  es un polinomio de grado n, entonces a n+k  = 0 para k 1:

 

 ≥

a = (a0 , a1 , . . . , an , 0, . . .). Los elementos a0 , a1 , . . . , an  se denominan  coeficientes  del polinomio a; a0  se denomina  coeficiente independiente de a. El elemento an  se denomina el coeficiente principal  de a y se denota por lc(a). Se dice que a es m´  onico si lc(a) = 1. (iv) El conjunto P  de polinomios de S   es un subanillo de S . (v) Queremos ahora presentar los polinomios en su forma habitual de sumas finitas. Si x  denota la sucesi´on: x := (0, 1, 0, . . .) entonces x2 = (0, 0, 1, 0, . . .) x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . .) .. . xn = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .).

3

1.1. GENERALIDADES

Adem´ as, podemos identificar los polinomios constantes en la forma (a0 , 0, . . .) := a 0 , a 0

 ∈ A,

y un polinomio de grado n  se escribir´a a (x) := (a0 , a1 , . . . , an , 0, . . .) = a 0  + a1 x +

n

··· + a x . n

El conjunto P  de los polinomios en x  con coeficientes en A  ser´a denotado por A [x]. Al anillo S  de sucesiones lo denotaremos por A [[x]]. (vi) Para cada a

∈ A: ax = (a, 0, . . .) (0, 1, 0, . . .) = (0, a, 0, . . .) = xa.

(vii) Se tienen las inclusiones

→ A[x] → A[[x]].

A

(vii) Cada elemento a = (ai ) A[[x]] se puede escribir como una serie, a = ∞ a xi , y las operaciones que hemos definido en A[[x]] corresponden a la i=0 i suma y producto de series que se estudian en los cursos de c´alculo. Por esta raz´on, el anillo A[[x]] se conoce tambi´en como el   anillo de series formales en A.

∈



(viii) Los anillos de series y polinomios en varias variables se pueden definir en forma recurrente de la siguiente manera: A[[x, y]] := A[[x]][[y]], A[[x1 , . . . , xn ]] := A[[x1 , . . . , xn−1 ]][[xn ]], A[x, y] := A[x][y], A[x1 , . . . , xn ] := A[x1 , . . . , xn−1 ][xn ]. (ix) Para cualesquiera polinomios no nulos a (x), b(x) b(x) = 0, se cumple que:



gr (a (x) + b(x))

 ∈ A [x] tales que a (x) +

≤ m´ax {gr (a (x)) , gr (b(x))}.



Para a (x) b(x) = 0 se tiene tambi´en que gr (a (x) b(x))

≤ gr (a (x)) + gr (b(x)).

Si A  es un dominio, entonces en la u ´ ltima relaci´on se cumple la igualdad.

4

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

(x) A es un dominio si, y s´olo si, A [[x]] es un dominio si, y s´olo si, A [x] es un dominio. (xi) Si A es un dominio, A [x]∗  = A∗ . (xii) Sean A  un anillo y a  un elemento fijo de A. La funci´on definida por: ϕa  : A [x]  p(x)

−→ A →  p  + p a + ··· + p a 0

1

n

n

donde p(x) := p 0 + p1 x + ... + pn xn , es un homomorfismo de anillos, el  homomorfismo evaluaci´  on  en a.

∈

(xiii) Con la notaci´on del numeral anterior, se dice que a A es una  ra´ız  o un  cero del polinomio p(x), si p(x) ker(ϕa ), es decir, si  p 0 + p1 a + + pn an = 0. Se on  de A, es decir, A es escribe entonces p(a) = 0. Si C  es un anillo  extensi´  un subanillo de C , entonces podemos considerar p(x) C [x] y buscar ra´ıces de p(x) en C .

∈

···

 ∈

(xiv) Si R es un DI  (dominio de integridad:= dominio connmutativo), los conceptos de divisibilidad, m´aximo com´ un divisor, m´ınimo com´ u n m´ ultiplo, elemento primo y elemento irreducible pueden entonces ser aplicados al dominio  R [x] . Cerramos esta secci´on con un par de ejemplos sobre irreducibilidad y ra´ıces. M´as adelante consideraremos estas tareas de manera sistem´atica.

Ejemplo 1.1.1.   La irreducibilidad de un polinomio es relativa al anillo de coeficientes. As´ı por ejemplo, el polinomio p(x) = 2 + 2x2 puede ser considerado como elemento de Z [x] , Q [x] , R [x] y C [x]. p(x) es reducible sobre Z: p(x) = 2(1 + x2 ). Veamos una prueba directa de la irreducibilidad sobre Q: sean m(x), n(x) Q [x] tales que m(x)n(x) = 2 + 2x2 , entonces gr(m(x)n(x)) = gr(m(x)) + gr(n(x)) = 2, luego gr(m(x)) 2 y gr(n(x))  2. Se presentan entonces tres casos, gr(m(x)) = 2, gr(n(x)) = 0 ´o gr(m(x)) = 0, gr(n(x)) = 2 ´o gr(m(x)) = 1 = gr(n(x)). En el primer caso se tiene que n(x) es constante no nulo. En el segundo caso se tiene que m(x) es constante no nulo. Veamos que el tercer caso no es posible: sean b = 0 y d = 0 tales que m(x) = a+bx,n(x) = c+dx, entonces ac+(ad+bc)x+bdx2 = 2+2x2 , con lo cual ac = 2, ad + bc = 0, bd = 2, y de aqu´ı obtenemos acd + bc2 = 0, es decir, 2d + bc2 = 0, luego 2d2 + bdc2 = 0 = 2d2 + 2c2 = d2 + c2 . Resulta, d = c  = 0, una contradicci´ on. De manera an´aloga se establece que p(x) es tambi´en irreducible sobre R. Finalmente, p(x) es reducible sobre  C : p(x) = 2(x + i)(x i).

 ∈

 ≤

 ≤

 



−

Ejemplo 1.1.2.  Calculemos todas las ra´ıces del polinomio x5 +3x3 +x2 +2x Z5 [x]. Sea a Z5  una ra´ız de p(x) = x 5 + 3x3 + x2 + 2x, entonces a 5 + 3a3 + a2 + 2a = 0. Seg´ un el teorema de Fermat (v´ease [9]), a 5 = a, luego 3a3 + a2 + 3a = 0, pero como

∈

∈

1.2. POLINOMIOS SOBRE CUERPOS

5

Z5  no tiene divisiones de cero, entonces  a = 0 o bien 3a2 + a + 3 = 0. As´ı pues, a = 0 o bien 5 (3 + a + 3a2 ). Para la segunda opci´on ensayamos los valores a = 0, 1, 2, 3, 4 y encontramos que solo a = 4 satisface la relaci´on de divisibilidad, por lo tanto, las ra´ıces de  p(x) son 0 y 4.

|

1.2.

Polinomios sobre cuerpos

Posiblemente el resultado m´as importante de los polinomios en una variable sobre cuerpos es el teorema que afirma que si K  es un cuerpo entonces K  [x] es un DE  (dominio eucilidano), y en consecuencia, un DI P  (dominio de ideales principales) y un DF U   (dominio de factorizaci´on u ´nica, conocido tambi´ en como dominio de Gauss).

Teorema 1.2.1. Sea  K un cuerpo y sea  K  [x]   su anillo de polinomios. Entonces  K  [x]  es un  DE . Demostraci´  on.  V´ease [10].

Notemos que si R  es un dominio euclidiano, entonces no necesariamente R[x] es un dominio euclidiano. En efecto, el contraejemplo cl´asico es Z[x]: si fuera euclidiano ser´ıa un DI P , pero el ideal 2, x  no es principal (v´ease [10]). Este mismo ejemplo muestra que si R es un DI P , entonces no siempre R[x] es un DI P . Sin embargo, m´as adelante mostraremos que si R es un DF U , entonces R[x] es un DF U   (v´ease tambi´en [10]). Este resultado se conoce como el teorema de Gauss. Del teorema anterior se desprenden inmediatamente los siguientes resultados.

  

Corolario 1.2.2. Sea  K   un cuerpo. Entonces, (i) K  [x]  es un  DI P  y un  DF U . (ii)   Cada par de polinomios no nulos  f (x), g(x)   tienen un m´  aximo com´  un divisor  (m.c.d.) d(x), el cual se puede expresar en la forma: d(x) = f  (x)f (x) + g  (x)g(x), donde  f  (x), g (x)

∈ K  [x].

(iii)  Para cada polinomio no nulo f (x)  se cumple que  f (x)  es irreducible si, y s´  olo si, f (x) es maximal.

 



(iv) Si  p(x)   es un polinomio irreducible de  K  [x], entonces para cualquiera polinomios  f (x), g(x) K  [x]  se cumple 

∈  p(x) | f (x)g(x)   implica  p(x) | f (x), o, p(x) | g(x).

6

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

(v)  Cada par de polinomios no nulos  f (x), g(x)  tienen un m´ınimo com´  un m´  ultiplo (m.c.m.) m(x)   que satisface  f (x)g(x) = m(x)d(x), con  d(x) = m.c.d.(f (x), g(x)). Demostraci´  on.  Las afirmaciones del primer numeral se desprenden de las inclusiones

 ⊂

 ⊂

generales DE  DI P  DF U   (ve´ase [10]). Las afirmaciones de los otros numerales son v´alidas en cualquier DI P . En realidad las propiedades (iv) y (v) son v´alidas en cualquier DF U . En efecto, la prueba de la afirmaci´on (iv) se puede consultar en [10]; veamos la demostraci´on de la propiedad (v). Sea R un DF U   y sean a, b dos elementos no nulos de R. Si a R∗ , entonces d :=   m.c.d.(a, b) = a y m := m.c.m.(a, b) = b. Una situaci´on similar se tiene si b R∗ . Sean a, b no invertibles, entonces se tienen las descomposiciones irreducibles a = pr11  prnn , b = q 1s1 q tst ; si  p1 , . . . , pn q 1 , . . . , qt  = , entonces d = 1 y m = ab. Supongamos entonces que  p1 , . . . , pn q 1 , . . . , qt  = , podemos entonces asumir que  p1 , . . . , pn q 1 , . . . , qt  =  p1 , . . . , pu , donde u   satisface 1 u n, de tal forma que a = r1 s1 st ru ru+1 rn su su+1  p1  pu pu+1  pn , b = p 1  pu q u+1 q t  . Entonces notemos que

 ∈

}∩{  { }∩{ { }  { ···  · ··

 ∈

···

 {

···

}  ∅ }∅  { }∩ }  ≤  ≤ ···  · ·· d = p ··· p  , con v  := m´ın{r , s }, 1 ≤ i ≤ u, m = p ··· p p  · ·· p q   · ·· q   , con z   := m´ax{r , s }, 1 ≤ i ≤ u, y se cumple que ab = dm ya que z   + v  = r  + s  para cada 1 ≤ i ≤ u. z1

1

v1

1

zu ru+1 u u+1

vu u rn su+1 n u+1 i

i

i

st t

i

i

i

i

i

i

i

Ejemplo 1.2.3.   En relaci´on con la propiedad (i) del corolario anterior, veamos que K [x, y] no es un DI P . En efecto, probemos que el ideal x, y  no es principal. Supongamos lo contrario, es decir, x, y =  p(x, y) , para alg´ un p(x, y) K [x, y]. Entonces x = q (x, y) p(x, y), pero como x es irreducible se tiene que q (x, y) = x y  p(x, y) = 1 ´o q (x, y) = 1 y p(x, y) = x. El primer caso es imposible ya que ya que x, y es propio. El segundo tambi´en es imposible ya que entonces y /  p(x, y) . Este mismo razonamiento aplica al caso de varias variables.

    

  



 

 ∈

∈



Veamos ahora un par de propiedades relativas a ra´ıces.

Proposici´ on 1.2.4.   Sean  K   un cuerpo, a K  y  f (x) K  [x]. Entonces, (x olo si, f (a) = 0 , e.d., si  a  es un cero de  f (x). f (x)  si, y s´ 

∈

∈

− a) |

⇒): f (x) = (x − a)g(x) = 0, con g(x) ∈ K  [x]. Utilizando el homomorfismo evaluaci´ on ϕ  encontramos que f (a) = 0. ⇐): Teniendo en cuenta que K [x] es euclidiano, existen p(x), r(x) ∈ K  [x] tales que f (x) = (x − a) p(x) + r(x), con gr(r(x)) = 0 ´o r(x) = 0. Si r(x) = 0 entonces se tiene que (x − a)  | f (x). Si r(x)   = 0, entonces f (x) = (x − a) p(x) + k, con ∗ k := r(x) ∈ K  . Aplicando nuevamente el homomorfismo evaluaci´on encontramos Demostraci´  on.

a

que f (a) = 0 = k, contradicci´on.

7

´ Y EUCLIDES EN  K [X ] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISI ON

Proposici´ on 1.2.5.   Sean  K   un cuerpo y  f (x)   un polinomio no nulo de  K  [x]. Entonces, f (x)  tiene m´  aximo n ra´ıces en  K , donde  n = gr(f (x)). Demostraci´  on.  La prueba la realizamos por inducci´on sobre el grado n del polinomio

 ∈

 

f (x). Para n = 1, f (x) = ax + b, con a, b K . Si a = 0 y b = 0, entonces f (x) es un polinomio constante el cual no posee ra´ıces. Este caso se cumple trivialmente. Si a = 0 entonces la ´unica ra´ız de f (x) es −ab  y la proposici´on en este caso es tambi´en v´alida. Supongamos que la afirmaci´ on es v´alida para todos los polinomios de K  [x] con grado < n. Sea f (x) K  [x] con gr(f (x)) = n. Si f (x) no tiene ra´ıces en K  entonces la proposici´on se cumple trivialmente. Sean a1 , . . . , ar , r   ra´ıces distintas del polinomio f (x) que est´a n en K , entonces f (x) = (x  a 1 )q (x). N´otese que gr(q (x)) = n 1 y q (x) K  [x], se tiene que f (a2 ) =(a2 a1 )q (a2 ) = 0, f (a3 ) = (a3 a1 )q (a3 ) = 0, . . . , f (  ar ) = (ar a1 )q (ar ) = 0. Como K  no tiene divisiones de cero, entonces a 2 , . . . , ar  son ra´ıces distintas de q (x) las cuales est´an en K . Seg´ un la hip´otesis de inducci´on, r 1 n 1, de donde r n.



∈

−

−

 ∈

 − −

−

− ≤ −

≤

Ejemplo 1.2.6.  Veamos que el polinomio f (x) = x 3 + 3x + 2 Z5 [x] es irreducible. Si f (x) es reducible entonces existen q (x) y p(x) no constantes tales que f (x) =  p(x)q (x), por lo tanto gr( p(x)) = 1 o gr(q (x)) = 1. En otras palabras un factor lineal divide a f (x). De acuerdo con la proposici´on   1.2.4, f (a) = 0 para alg´un a Z5 , pero f (0) = 0, f ( 1) = 1 = 0, f (2) = 1 = 0, f (3) = 1 = 0, f (4) = 3 = 0. As´ı pues, f (x) es irreducible.

∈

 ∈

 

 

 

 

 

Ejemplo 1.2.7.  Descompongamos en factores lineales el polinomio f (x) = x 4 + 4 Z5 [x]. Notemos que f (x) = x4 1 = (x 1)(x3 + x 2 + x + 1) Z5 [x]. Con el polinomio g(x) = x3 + x2 + x + 1 podemos proceder como en el ejemplo anterior: g(0) = 0, g(1) = 4 = 0, g(2) = 0, luego f (x) = (x  1)(x  2)(x2 + 3x + 2), donde el polinomio x2 + 3x + 2 resulta al dividir g(x) entre x 2 (v´ease la secci´on siguiente donde trataremos el algoritmo de la divisi´on). En total se tiene que f (x) = (x 1)(x 2)(x + 2)(x + 1).

−



−

1.3.



−

 ∈  −  − −

∈

−

Algoritmos de la divisi´ on y Euclides en K [x]

En esta secci´on daremos una mirada constructiva al a´lgebra de los polinomios K [x], con K   un cuerpo arbitrario. Este enfoque nos permitir´a construir procedimientos (algoritmos) para calcular el m´aximo com´ u n divisor de dos o m´as polinomios y tambi´en para expresar ´este como combinaci´ on de los polinomios dados. Para 0 = f (x) K [x] recordemos que el grado de f (x) , denotado por gr(f (x)), es el mayor exponente de x que aparece en  f (x). El  t´ ermino principal  de f (x) , denotado por lt(f (x)), es el t´ermino de f (x) con mayor grado. El coeficiente principal de f (x), denotado por lc((x)f ), es el coeficiente del t´ermino principal de f (x).



∈

8

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

As´ı pues, si f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , donde a 0 , . . . , an K  y a n = 0, entonces gr(f (x)) = n, lt(f (x)) =  an xn y lc(f (x)) =  an . La principal herramienta en el algoritmo de Euclides para calcular el m´aximo com´ u n divisor de dos o m´as polinomios es el algoritmo de la divisi´ on (tambi´en conocido como divisi´on larga de polinomios), el cual ilustraremos inicialmente con el siguiente ejemplo.

···

 ∈

 

Ejemplo 1.3.1.  Sean f (x) = x 3 2x2 + 2x + 8 y g(x) = 2x2 + 3x +1 polinomios en Q[x]. Dividimos f (x) por g(x) para obtener el cociente 12 x 74  y el res´ıduo 274 x + 394 , de la siguiente manera:

−

−

x3 2x2 + 2x + 8 x3 32 x2 12 x 7 2 + 32 x + 8 2x 7 2 x + 21  x + 74 2 4 27 39 4  x + 4

− − − −

−

Se tiene entonces que f (x) =

 − 1 x 2

7 4

2x2 + 3x + 1 1 7 2x 4

−

g(x) +



27  x + 39 4 4



.

Vamos a analizar los pasos de la divisi´on anterior. Primero multiplicamos g(x) por 12 x y restamos el producto resultante de f (x). La idea fue multiplicar g(x) por un t´ermino apropiado, precisamente por 12 x, tal que el t´ermino principal de g(x) tantas veces este t´ermino cancele el t´ermino principal de f (x). Despu´es de esta cancelaci´ on obtenemos el primer res´ıduo h(x) = f (x) 12 xg(x) = 72 x2 + 32 x + 8. En general, si tenemos dos polinomios f (x) = an xn + a n−1 xn−1 + + a1 x + a 0 m m−1 y g(x) = bm x + b m−1 x + + b 1 x + b 0 , con n = gr((x)f ) m = gr(g(x)), entonces el primer paso en la divisi´on de f (x) por g(x) es restar de f (x) el producto an n−m x g(x). Usando la notaci´on introducida anteriormente, notamos que el factor bm f (x)) f (x)) de g(x) en este producto es lt( y as´ı obtenemos h(x) = f (x) lt( lt(g(x)) g(x) lt(g (x)) g(x) como res´ıduo. Llamaremos a h(x)   una reducci´  on de f (x) por  g(x) y el proceso de calcular h(x) es denotado por

−

 − ···  ≥

···

−

f (x)

g(x)

−−→

h(x).

Volvamos al ejemplo 1.3.1; despu´es de la cancelaci´on repetimos el proceso para h(x)) 7 = 72 x2 21 de h(x), y obteniendo el h(x) = 72 x2 + 32 x+8 restando lt( lt(g(x)) g(x) 4  x 4 segundo (y en este ejemplo el ´ultimo) res´ıduo r(x) = 27 +  394 . Esto puede escribirse 4  x usando nuestra notaci´on de reducci´on como

−

− − −

f (x)

g(x)

−−→

h(x)

g(x)

−−→

r(x)

El uso repetido, como arriba, de los pasos de reducci´on ser´a denotado por

9

´ Y EUCLIDES EN  K [X ] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISI ON

f (x) N´otese que en la reducci´on f (x)

g(x)+

r(x)

−−→

h(x), el grado de h(x) es estrictamente − − → menor que el grado de f (x). Cuando se continua el proceso el grado permanece g(x)

bajando hasta que es menor que el grado de g(x). De esta forma obtenemos una prueba constructiva del teorema  1.2.1.

Proposici´ on 1.3.2. Sea  g(x)   un polinomio no nulo en  K [x]. Entonces para cada  f (x) K [x]  existen  q (x) y  r(x) en  K [x]  tales que 

∈

f (x) = q (x)g(x) + r(x), con  r(x) = 0 o´  gr(r(x)) < gr(g(x)). Adem´  as, q (x) y  r(x)  son unicos  ´  (q (x)  es llamado el   cociente y  r(x) el   res´ıduo).



Demostraci´  on.  Podemos suponer que f  (x) = 0 ya que de lo contrario tomamos

0 = 0g(x) + 0.

∈ K [x] no nulos, digamos f  (x) = a x + a − x − + ··· + a  + a , g (x) = b x + b − x − + ··· + b  + b . Podemos suponer que n ≥ m ya que de lo contrario se tiene Sean entonces f  (x) , g (x)

n

m

n

m

n 1

m 1

n 1

1

m 1

0

1

0

f  (x) = 0g (x) + f  (x) . Consideremos para cada polinomio de K [x] su t´ermino principal, as´ı por ejemplo, lt (f  (x)) = a n xn y lt (g (x)) = b m xm . La divisi´on de polinomios, tal como vimos en el ejemplo 1.3.1, implica realizar las siguientes operaciones f  (x)

 (x)) −  ltlt (f  g (x) = r  (x) . (g (x)) 1

Si r1 (x) = 0 ´o gr (r1 (x)) < g (x), entonces hemos terminado ya que tomamos q (x) = lt(f (x)) y r(x) = r1 (x) . Supongamos entonces que r1 (x) = 0 y gr (r1 (x)) g (x), lt(g (x)) repetimos el anterior procedimiento para r1 (x) y g (x):

 

r1 (x)

−  ltlt(r(g  (x))  g (x) = r  (x) . (x)) 1

2

Esto puede escribirse usando nuestra notaci´on de reducci´on como f (x)

g(x)

−−→

r1 (x)

g(x)

−−→

r2 (x).

 ≥

10

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Si r 2 (x) = 0 ´o  gr (r2 (x)) < g (x), entonces hemos terminado ya que se tiene  lt (f  (x)) g (x) lt (g (x)) lt (r1 (x))  lt (f  (x)) =  g (x) + g (x) + r2 (x) lt (g (x)) lt (g (x)) = q (x) g (x) + r2 (x) ,

f  (x) = r 1 (x) +

r1 (x)) f (x)) donde q (x) := lt( + lt( . Supongamos entonces que r 2 (x) = 0 y gr (r2 (x)) lt(g (x)) lt(g (x)) g (x), repetimos el anterior procedimiento para  r 2 (x) y g (x); pero notemos que este procedimiento termina ya que



gr (f  (x)) > gr (r1 (x)) > gr (r2 (x)) >

≥

···

Esta prueba adem´as indica como construir el cociente q (x) y el res´ıduo r (x): para calcular el nuevo cociente q N  (x), al u ´ ltimo cociente le adicionamos lt(lt(rgO((xx)))) , donde rO (x) es el ´ultimo res´ıduo, es decir, q N (x) = q O (x) +

lt(rO (x)) . lt(g (x))

Para calcular el nuevo res´ıduo rN (x), al u ´ ltimo res´ıduo le restamos decir, rN (x) = r O (x)

−

lt(rO (x)) (x), lt(g (x)) g

es

lt(rO (x)) (x). lt(g (x)) g

Finalmente, observemos que el algoritmo anterior sugiere que el cociente y el res´ıduo son u ´nicos: sean c(x) y s (x) polinomios que cumplen las mismas condiciones de q (x) y r(x), entonces q (x) g (x) + r (x) = c (x) g (x) + s (x), luego [q (x) c (x)] g (x) = r (x) s (x), por el grado se tiene que [q (x) c (x)] g (x) = r (x) s (x) = 0, de donde r (x) = s (x) y q (x) = c (x).

−

− −

−

N´otese que la prueba anterior da un algoritmo para calcular q (x) y r(x). Este algoritmo es conocido como el   algoritmo de la divisi´  on :

∈



ENTRADA: f (x), g(x) K [x] con g(x) = 0 SALIDA: q (x), r(x) tales que f (x) = q (x)g(x) + r(x) y r(x) = 0 ´o  gr(r(x)) < gr(g(x)) INICIO: q (x) := 0 ; r(x) := f (x) MIENTRAS  r(x) = 0  Y gr(g(x)) gr(r(x))  HAGA q (x) := q (x) + ltlt((gr((xx)) )) lt(r(x)) r(x) := r(x) lt(g(x)) g(x) Algoritmo 1.3.1: Algoritmo de la divisi´ on



≤

−

´ Y EUCLIDES EN  K [X ] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISI ON

11

Los pasos en en ciclo   MIENTRAS   del algoritmo corresponden al proceso de reducci´ on mencionado. El ciclo se ejecuta hasta que el polinomio r(x) en el algoritmo satisface r(x) = 0 ´o tiene grado estrictamente menor que el grado de g(x). Como mencionamos antes esto es denotado por f (x)

g(x)+

r(x).

−−→

Ejemplo 1.3.3.  Vamos a repetir el ejemplo  1.3.1 usando el algoritmo de la divisi´ on. 3 2 2x + 2x + 8. INICIO: q (x) := 0, r(x) := f (x) = x Pasamos a trav´es del ciclo  MIENTRAS: 3 q (x) := 0+ 2xx2 = 12 x 3 r(x) := x 3 2x2 + 2x + 8 2xx2  (2x2 + 3x + 1) = 72 x2 + 32 x + 8. Pasamos a trav´ es del ciclo  MIENTRAS: 7 2  − x q (x) := 12 x + 22x2 = 12 x 74

−

−

−

−

−−

−

 − 7 x2

7 2 39 2 + 32 x + 8 (2x2 + 3x + 1) = 27  . r(x) := 2x 2x2 4  x + 4 El ciclo  MIENTRAS  se detiene ya que gr(r(x)) = 1 <  2 = gr(g(x)). Obtenemos el cociente q (x) y el res´ıduo r(x) como en el ejemplo1.3.1.

Con el algoritmo de la divisi´on podemos dar una prueba constructiva de que K [x] es un DIP  (v´ease el corolario 1.2.2).

Proposici´ on 1.3.4.  Cada ideal de  K [x]   es principal.

∈ I   tal que g(x) = 0 y n = gr(g(x)) es m´ınimo. Para cualquier f (x) ∈ I   tenemos, por la proposici´on 1.3.2, que f (x) = q (x)g(x) + r(x) para algunos polinomios q (x), r(x) ∈ K [x], con r(x) = 0 o´  gr(r(x)) < gr(g(x)) = n. Si  r(x)  = 0, entonces r(x) = f (x) − q (x)g(x) ∈ I , y esto contradice la escogencia de g(x). Entonces r(x) = 0, f (x) = q (x)g(x) y por lo tanto I  ⊆ g(x). La igualdad se sigue del hecho que g(x) est´a en I . Demostraci´  on. Sea I   un ideal no nulo de K [x] y g(x)

Basados en al algoritmo de la divisi´on, pasamos ahora a estudiar el algoritmo de Euclides el cual permite calcular el m´aximo com´ un divisor de dos o m´as polinomios. Veamos primero c´omo calcular el polinomio g  de la demostraci´on de la proposici´on 1.3.4. Para comenzar nos concentraremos en ideales I  K [x] generados por dos polinomios no nulos, digamos, I  = f 1 (x), f 2 (x) . Recordemos que el m´aximo com´ un divisor de f 1 (x) y f 2 (x), denotado por m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)), es un polinomio g(x) tal que g(x) divide a f 1 (x) y f 2 (x); si h(x) K [x] divide a f 1 (x) y f 2 (x), entonces h(x) divide a g(x); y adem´as asumiremos que lc(g(x)) = 1, es decir,  g(x) es m´onico.





⊆

∈

Proposici´ on 1.3.5.   Sean  f 1 (x), f 2 (x) K [x]   polinomios no nulos. Entonces, el  m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x))  existe y  f 1 (x), f 2 (x) = m.c.d.( f 1 (x), f 2 (x)) .

 

∈  



12

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

 ∈ K [x] tal que f  (x), f  (x) = g(x). Ya que g(x) es u´ nico salvo una constante no nula, podemos asumir que lc(g(x)) = 1. Veamos que g(x) = m.c.d.( f  (x), f  (x)). Ya que f  (x), f  (x) ∈ g(x), g(x) divide tanto a f  (x) como a f  (x). Sea h(x) tal que h(x) divide a f  (x) y f  (x). Ya que g(x) est´a en el ideal   f  (x), f  (x), existen u (x), u (x)  ∈ K [x] tal on 1.3.4 existe g(x) Demostraci´  on.  Por la proposici´ 1

1

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

que g(x) = u1 (x)f 1 (x) + u 2 (x)f 2 (x).   De esta forma h(x) divide a g(x), y hemos terminado.

Como consecuencia de lo anterior, si tenemos un algoritmo para calcular el m´aximo com´ un divisor, entonces podemos realmente encontrar un generador para el ideal un divisor es el algoritmo de f 1 (x), f 2 (x) . El algoritmo para calcular el m´aximo com´ Euclides. Este algoritmo depende del algoritmo de la divisi´on y del siguiente hecho.





∈ K [x]   polinomios no nulos. Entonces, m.c.d.(f  (x), f  (x)) = m.c.d.(f  (x) − q (x)f  (x), f  (x)), para cada  q (x) ∈ K [x]. acil ver que f  (x), f  (x) = f  (x) − q (x)f  (x), f  (x). Entonces, Demostraci´  on.  Es f´ por la proposici´ on anterior, m.c.d.( f  (x), f  (x)) = f  (x), f  (x) = f  (x) − q (x)f  (x), f  (x) =   m.c.d.(f  (x) − q (x)f  (x), f  (x)).   Ya que el generador de un Proposici´ on 1.3.6.   Sean  f 1 (x), f 2 (x) 1

2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

ideal principal es u ´ nico, salvo una constante invertible, y ya que el  m.c.d.  de dos polinomios tiene coeficiente principal igual a 1, entonces   m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) = m.c.d.(f 1 (x) q (x)f 2 (x), f 2 (x)).

−

Se tiene entonces el  algoritmo de Euclides  para el c´alculo del m.c.d.:

∈

ENTRADA: f 1 (x), f 2 (x) K [x], polinomios no nulos SALIDA: f (x) = m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) INICIO: f (x) := f 1 (x), g := f 2 (x) MIENTRAS  g(x) = 0  HAGA f (x) g(x)+ r(x), donde r(x) es el res´ıduo de la divisi´on de f (x) por g(x)



−−→

f (x) := g(x) g(x) := r(x) f (x) := lc(f 1(x)) f (x) Algoritmo 1.3.2: Algoritmo de Euclides Observemos que el algoritmo termina ya que el grado de r(x) en el ciclo  MIENTRAS  es estrictamente menor que el grado de g(x), el cual es el inmediatamente anterior r(x), y por lo tanto, el grado de  r(x) es estrictamente decreciente a medida que el algoritmo avanza. Adem´as, el algoritmo da el m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) como dato de salida ya que seg´un la proposici´on 1.3.6, en cada paso a trav´es del ciclo MIENTRAS

13

´ Y EUCLIDES EN  K [X ] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISI ON

se tiene que  m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) = m.c.d.(f (x), g(x)) = m.c.d.(r(x), g(x)), siempre que g(x) = 0. Cuando g(x) = 0 entonces  m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) =  m.c.d.(f (x), 0) = 1 ´ ltimo paso en el algoritmo asegura que el resultado final tiene coef (x). El u lc(f (x)) ficiente principal 1, es decir, es m´onico. Para ilustrar el algoritmo consideremos el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo 1.3.7.   Sean f 1 (x) = x 3 3x + 2 y f 2 (x) = x 2 INICIO:f (x) = x 3 3x + 2, g(x) = x 2 1. Pasamos a trav´es del ciclo  MIENTRAS: 2x + 2 x3 3x + 2 x2 1 f (x) := x 2 1 g(x) := 2x + 2. Pasamos a trav´es del ciclo  MIENTRAS: 2x + 2 2x + 2 0 x2 1 x 1 f (x) := 2x + 2 g(x) := 0. El ciclo  MIENTRAS  se detiene f (x) = lc(f 1(x)) f (x) = x 1. Entonces m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) =  x 1.

−

−

−

−

−

− − −−−→

−

−

− 1 polinomios en Q [x].

−

−−−−−−→

−

−−−−−−→

−

−

Retornamos nuestra atenci´on al caso de ideales generados por m´as de dos polinomios no nulos, I  = f 1 (x), . . . , fs (x) .





Proposici´ on 1.3.8.   Sean  f 1 (x), . . . , fs (x)  polinomios no nulos de  K [x]. (i) f 1 (x), . . . , fs (x) = m.c.d.(f 1 (x), . . . , fs (x)) .



(ii) Si  s

 



≥ 3, entonces  m.c.d.(f 1 (x), . . . , fs (x)) =  m.c.d.(f 1 (x), m.c.d.(f 2 (x), . . . , fs (x)).

Demostraci´  on.  La prueba de la parte (i) es similar a la demostraci´on de la proposi-

ci´on   1.3.5. Para probar la parte (ii), sea h(x) :=   m.c.d. (f 2 (x), . . . , , fs (x)). Entonces, por (i), f 2 (x), . . . , fs (x) = h(x) ,   y por lo tanto, f 1 (x), . . . , fs (x) = f 1 (x), h(x) .  Nuevamente por (i),  m.c.d.(f 1 (x), . . . , fs (x)) = m.c.d.(f 1 (x), h(x)) = m.c.d.(f 1 (x), m.c.d.(f 2 (x), . . . , , fs (x)), como se hab´ıa anunciado.

















Con las ideas constructivas desarrolladas en esta secci´on podemos ahora resolver algunos problemas sencillos, pero interesantes, relacionados con polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo. Esto lo haremos a trav´ es de los siguientes ejemplos.

14

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

 ∈

Ejemplo 1.3.9.   Sean f 1 (x), . . . , fs (x) K [x] polinomios no nulos. Queremos encontrar el conjunto soluci´on en K  del sistema simult´aneo f i (x) = 0, 1 i 0. Para resolver este problema podemos razonar al menos de dos maneras: una forma es calculando las ra´ıces en K  de cada f i (x) y luego realizar la intersecci´on de los conjunto soluci´on encontrados. La otra forma es calcular f (x) :=   m.c.d.(f 1 (x), . . . , fs (x)) mediante el algoritmo de Euclides y luego encontrar las ra´ıces en K  de f (x). La  justificaci´on de este segundo m´etodo la da la proposici´ on 1.3.8. Veamos un ejemplo concreto. Resolvamos el sistema simult´aneo real x6

4

− 1 = 0, x

≤ ≤

+ 2x3 + 2x2

− 2x − 3 = 0.

Aplicamos el algoritmo de Euclides al par de polinomios dados para calcular el m´aximo com´ un divisor f (x) (podemos obviar la terminolog´ıa propia del algoritmo): x6 1 2x3 5x2

− −

− 2x − 3

− 2x + 5 − + 2x − 2x − 3 2x − 5x − 2x + 5

x4 + 2x3 57 2 57 4  x 4

−

x4 + 2x3 + 2x2 x2 2x + 2

2x3 0

2

3

2

1 9 2 x + 4

57 2 4  x 8 x 57

2

− 5x − 2x + 5

57 4 20 57

− −  = x − 1 f (x) =  x − Por lo tanto, las solciones del sistema dado son  x = ±1. 4 57



57 2 4

57 4



2

Ejemplo 1.3.10.  Otro problema interesante es decidir si un polinomio f (x) est´a en el ideal generado por un conjunto finito de polinomios dados, I  = f 1 (x), . . . , fs (x) . Para esto primero calculamos g(x) := m.c.d.(f 1 (x), . . . , fs (x)), luego usamos el algoritmo de la divisi´ on para dividir f (x) por g(x). El res´ıduo de la divisi´on es cero si, y s´olo si, f (x) est´a en el ideal I  = f 1 (x), . . . , fs (x) = g(x) . Usando la notaci´on de reducci´on se tiene que



 

f (x)

∈ I  = g(x) si, y s´olo si,

  

f (x)



g(x)+

−−→



0.

Veamos un ejemplo ilustrativo. ¿El polinomio f (x) = x5 + x 3 + x 2  7 I  = 6 4 3 2 4 2 1, x + 2x + 2x 2x 3 ? La misma pregunta para g(x) = x + 2x 3. x Seg´ un el ejemplo 1.3.9, m.c.d.(x6 1, x4 + 2x3 + 2x2 2x 3) = x2 1, y con el algoritmo de la divisi´on encontramos que el res´ıduo de dividir f (x) entre x2 1 es 2x 6, por lo tanto, f (x) / I . En cambio, la divis´on de g(x) entre x 2 1 tiene como residuo 0, es decir, g(x) I .

 − −

− −  − ∈ ∈

− −

− ∈ − − − −

15

´ Y EUCLIDES EN  K [X ] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISI ON

Ejemplo 1.3.11. Sea I  un ideal del anillo K [x], queremos calcular una base para el K -espacio cociente K [x]/I . Si I  = 0, entonces una base de K [x] es 1, x , x2 , x3 , . . . . Sea I   no nulo; entonces I   es principal, I  = g(x) , con g(x) = xn + a n−1 xn−1 + + a1 x + a0 = 0 (siempre podemos tomar el generador de I  m´onico). Notemos entonces que X  := xn−1 , xn−2 , . . . , x , 1  es una base de K [x]/I . En efecto, dado f (x) K [x] dividimos f (x) entre g(x) y encontramos q (x), r(x) K [x] tales que f (x) = g(x)q (x) + r(x), con r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x)). Pasando al cociente encontramos que cada elemento f (x) de K [x]/I   es una K -combinaci´ on lineal de los elementos de X . Sean b n−1 , bn−2 , . . . , b1 , b0 K   tales que b n−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + + b1 x + b0  = 0, entonces b n−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + + b1 x + b0 g , pero gr(g(x)) =  n, entonces todos los coeficientes bn−1 , bn−2 , . . . , b1 , b0  son necesariamente nulos.

···

 

 ∈

 

 {

{



}

 ∈

}

 ∈

···

···

 ∈  

Ejemplo 1.3.12. Sea p un entero irreducible, veamos que si f (x) = p0 + p1 x + + xn es un polinomio irreducible de Z p [x] de grado n, entonces Z p [x] / f (x)  es un cuerpo de p n elementos: puesto que f (x) es irreducible, entonces f (x) es maximal, con lo cual Z p [x] / f (x)   es un cuerpo (v´ease [10]). Como vimos en el ejemplo anterior, Z p [x] / f (x)  es un  Z p -espacio de dimensi´on n, es decir,  Z p [x] / f (x) = Z pn, con lo cual el n´umero de elementos de este espacio es  pn . Este resultado se puede extender a cualquier cuerpo finito K  de q   elementos de tal forma que en este caso K [x]/ f (x) = q n .





|









 





···

 ∼

|

Ejemplo 1.3.13.  Terminamos esta secci´on con un algoritmo que calcula no solo el m.c.d. sino los polinomios coeficientes en la expansi´on del m.c.d. de dos polinomios como combinaci´ on de ´estos (v´ease la proposici´on 1.3.5).

∈

ENTRADA:

f 1 (x), f 2 (x) K [x] polinomios no nulos K [x] SALIDA : f (x) =  m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)), u1 (x), u2 (x) tales que f (x) =  u 1 (x)f 1 (x) + u2 (x)f 2 (x) INICIO:  f (x) :=  f 1 (x), g (x) :=  f 2 (x), u1 (x) := 1 , u2 (x) := 0, v1 (x) := 0, v2 (x) := 1 , w(x) = 1, z (x) = 0 MIENTRAS g (x) = 0 HAGA f (x) g (x)+ r(x), donde r(x) es el residuo de la divisi´ on de  f (x) por g(x)

∈



−−→

f (x) :=  g (x) , g (x) :=  r (x) w(x) :=  u 1 (x) q (x)v1 (x), donde q (x) es el cociente de la divisi´ on de f (x) por g (x) z (x) :=  u 2 (x) q (x)v2 (x) u1 (x) :=  v 1 (x), u2 (x) :=  v 2 (x), v1 (x) =  w (x), v2 (x) =  z (x) f (x) := lc(f 1(x)) f (x) u1 (x) := lc(f 1(x)) u1 (x)

− −

u2 (x) :=

1

lc(f (x))

u2 (x)

Algoritmo 1.3.3: Algoritmo de Euclides con coeficientes Vamos a aplicar este algoritmo a los polinomios del ejemplo 1.3.9: ENTRADA: f 1 (x) = x 6 1, f 2 (x) = x 4 + 2x3 + 2x2 2x 3 INICIO: f (x) := x 6 1, g(x) := x 4 +2x3 +2x2 2x 3, u1 (x) = 1, u2 (x) = 0, v1 (x) = 0, v 2 (x) = 1, w(x) = 1, z (x) = 0.

−

−

− −

− −

16

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Primer paso por el ciclo  MIENTRAS: 3

2x x6

x6 1 5x2 2x + 5

x4 + 2x3 + 2x2 2x x2 2x + 2

− − −

−

x4 + 2x3 + 2x2

−1

− −3

2x3

− 2x − 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−→

f (x) := x 4 + 2x3 + 2x2 2x 3 g(x) := 2x3 5x2 2x + 5 w(x) := 1 (x2 2x + 2)(0) = 1 z (x) := 0 (x2 2x + 2)(1) = x2 + 2x u1 (x) := 0 u2 (x) := 1 v1 (x) := 1 v2 (x) := x2 + 2x 2.

− −

−

−

− −

−

2

− 5x − 2x + 5

− −

−

−2

−

Segundo paso por el ciclo  MIENTRAS: x4 + 2x3 + 2x2 2x 57 2 + 57 4 4  x

− −3

−

x4 + 2x3 + 2x2

− 2x − 3

2x3

2x3

2

− 5x − 2x + 5 1 9 2 x + 4

2

− 5x − 2x + 5 −−−−−−−−−−−−−→

f (x) := 2x3 5x2 2x + 5 57  57 2 + x g(x) := 4 4 1  9 1 9 w(x) := 0 ( x + )(1) = x 2 4 2 4 1  9 1  5 z (x) := 1 ( x + )( x2 + 2x 2) = x3 + x2 2 4 2 4 u1 (x) := 1 u2 (x) := x2 + 2x 2 1  9 v1 (x) = x 2 4 1 5  7  11 v2 (x) = x3 + x2 x + . 2 4 2 2

−

−  574 +  574 x

2

−

− − −

− − − − −

− − − −

−  72 x +  112

17

´ Y EUCLIDES EN  K [X ] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISI ON

Tercer paso por el ciclo  MIENTRAS: 2x3

57 2 + 57 4 4  x 8 x 20 57 57

2

− 5x − 2x + 5 − 0

2x3

f (x) :=

− 574 +  574 x −−−−−−−−→

2

2

− 5x − 2x + 5

0

− 574 +  574 x

2

g(x) := 0 w(x) = 1 z (x) =

−

 −

−

8 x 57

2

x + 2x

  − −   − −  20 57

8 x 57

2

 −  −

1 x 2

 9 4  20 57

8 4 4 x + x2 + 57 57 19 1 3  5 2  7  11  = x + x x + 2 4 2 2 =

−



− 574 x − 574 x − 574 1  9 u (x) := − x − 2 4 1  5  7  11 u (x) := x + x − x + 2 4 2 2 2

4

1

3

2

v1 (x) = v2 (x) =

2

8 4 4 x + x2 + 57 57 19 4 2 4 4 4 x x . 57 57 57

−

−

−

El ciclo  MIENTRAS  se detiene y: 1 f  = lc(f ) 1 u1 (x) := u1  = lc(f ) 1 u2 (x) := u2  = lc(f ) 2 3 5 x + x2 57 57 f (x) :=

4 f  = x 2 1 57 4 1  9 2 3 ( x )= x 57 2 4 57 19 4 1 3  5 2  7  11 ( x + x x + ) = 57 2 4 2 2  14  22 x + . 57 57

− − −

−

−

−

−

Por tanto, (

2 57 x

− −

3 )(x6 19

−

m.c.d.(f 1 (x), f 2 (x)) = x 2 1 = 2 3 5 2 14 22 1) + ( 57 )(x4 + 2x3 + 2x2 x + 57 x 57 x+ 57

−

−

− 2x − 3).

18

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Podemos complementar este ejemplo y expresar  h(x) := x 4 + 2x2 3 como combinaci´on lineal de f 1 (x) y f 2 (x). En primer notemos que h(x) est´a en el ideal generado por f 1 (x) y f 2 (x): en efecto, con el algoritmo de la divisi´on encontramos que h(x) = (x2 1)(x2 + 3), por lo tanto,

−

−

h(x) = u 1 (x)(x2 + 3)(x6

1.4.

2

− 1) + u (x)(x 2

+ 3)(x4 + 2x3 + 2x2

− 2x − 3).

Teorema de Gauss

En esta secci´on probaremos el siguiente teorema debido a Gauss: Sea  R un  DF U . Entonces,  R [x]  es un  DF U .  La prueba de este resultado requiere de algunas definiciones y afirmaciones preliminares (una demostraci´on diferente usando localizaciones de anillos conmutativos por sistemas multiplicativos puede ser consultada en [10]).

Definici´ on 1.4.1. Sea  R un  DF U  y sea  f (x) = p0 + p1 x + + pn xn un polinomio no nulo de  R [x]. Se denomina   contenido   del polinomio f (x) al   m.c.d.  de sus coe ficientes y se denota por  c(f (x)), c(f (x)) := m.c.d.  p0 , p1 , . . . , pn .  Se dice adem´  as  que  f (x)  es un   polinomio primitivo si  c(f (x)) = 1.

···

{

}

Ejemplo 1.4.2.  Sean f (x) = 8 +3x + 4x2 y g(x) = 30 12x + 6x2 Z [x], entonces c(f (x)) = 1 y c(g(x)) = 2. Obs´ervese que  f (x) es primitivo pero g(x) no lo es. Para el caso cuando R = F  es un cuerpo, el concepto de contenido y polinomio primitivo pierden sentido ya que el contenido de cada polinomio no nulo es 1.

−

∈

 ∈ R. da , con  a ∈ R, 1 ≤ i ≤

Proposici´ on 1.4.3.   Sean  R un  DF U  y  a1 , . . . , an (i) Si  d :=   m.c.d.(a1 , . . . , an ) y  ai = m.c.d.(a1 , . . . , an ) = 1. (ii)   Para cada  c

i

i

n, entonces 

∈ R − {0},  m.c.d.(ca , . . . , c a ) = cd. 1

n

Demostraci´  on.   (i) Sea e :=  m.c.d.(a0 , a1 , . . . , an ), entonces ai = eai , para cada i,

por lo tanto, dea i = ai , es decir, de divide a cada a i , luego de divide a d, con lo cual d = deb, de donde e R∗  y as´ı 1 = ee −1 es tambi´en  m.c.d. de  a 0 , a1 , . . . , an . (ii) Sea r  := m.c.d.(ca1 , . . . , c an ), entonces para cada i, ca i  = rq i ; adem´as, ca i  =  cdai, luego cd divide a cada cai , con lo cual cd r, es decir, r = cds, y por lo tanto cai  =  cdsq i , es decir, ai = dsq i  y de esta manera ds divide a cada ai , es decir, ds d. Resulta de aqu´ı que s R∗  con lo cual cd  es tambi´en m´aximo com´ un divisor de los elementos  ca 1 , . . . , c an .

∈

|

∈

Proposici´ on 1.4.4. Sea  R un  DF U . Entonces,

|

19

1.4. TEOREMA DE GAUSS

(i)   Cada polinomio no nulo f (x) de  R [x]   se puede expresar en la forma  f (x) = cf 1 (x), donde  c := c(f (x)) y  f 1 (x)  es un polinomio primitivo. Si  f (x)   tiene  otra descomposici´  on en la forma  f (x) = df 2 (x), con  d R y  f 2 (x)   primitivo, entonces  c y  d  son asociados lo mismo que  f 1 (x) y  f 2 (x).

∈

(ii)  El producto de polinomios primitivos es primitivo. (iii)  El contenido de un producto de polinomios no nulos es igual al producto de los  contenidos, salvo asociados. Demostraci´  on.   (i) Sea f (x) = a0  + a1 x +

··· + a x , entonces f  (x) = a  + a x + n

n

1

0

1

··· + a x , con ca = a , 0 ≤ i ≤ n. Seg´un la parte (i) de la proposici´on anterior m.c.d.(a , a , . . . , a ) = 1. Veamos ahora la unicidad: sea f (x) = cf  (x) = df  (x), con f  (x) = b +b x+ ··· + b x primitivo; entonces m.c.d.(ca , . . . , c a ) =  m.c.d.(db , . . . , d b )u, con u  ∈ R∗ , luego por la parte (ii) de la proposici´on anterior, c = du, con u  ∈ R∗ , de donde f  (x) = uf  (x). (ii) Sean f (x) = a  + a x + ··· + a x , g(x) = b  + b x + ··· + b x polinomios n

n

0

i

i

1

n

1

n

2

n

0

2

2

0

0

n

1

n

1

0

1

n

n

0

1

m

m

primitivos de R[x] y sea p(x) := f (x)g(x). Sea q   un irreducible de R, entonces q  no divide todos los coeficientes a i de f (x) ni tampoco todos los coeficientes q  j de g(x); sea a r  el primer coeficiente de f (x) que q  no divide y b s  el primero de g(x) que q  no divide. Notemos que el coeficiente de  x r+s en p(x) es p r+s  = a0 br+s + + ar−1 bs+1 + ar bs + ar+1 bs−1 + + ar+s b0 , por lo tanto q   no divide p r+s . As´ı pues, dado cualquier irreducible q  R  alg´ un coeficiente de p(x) no es divisible por q , es decir, p(x) es primitivo. Para tres o m´as polinomios, el resultado se obtiene por recurrencia. (iii) Sea p(x) = f (x)g(x), donde f (x) y g(x) son polinomios no nulos de R [x]. Seg´ un (i), p(x) = c( p(x)) p1 (x), f (x) = c(f (x))f 1 (x), g(x) = c(g(x))g1 (x), donde  p1 (x), f 1 (x), g1 (x) son primitivos, por lo tanto

 ∈

···

···

c( p(x)) p1 (x) = c(f (x))c(g(x))f 1 (x)g1 (x). Seg´ un (ii), f 1 (x)g1 (x) es primitivo, luego por la unicidad de (i) se tiene que c( p(x)) coincide con c(f (x))c(g(x)), salvo asociados. Para tres o m´as polinomios, el resultado se obtiene por recurrencia. Sea R un DI   y sea F  su cuerpo de fracciones (v´ease [10]). La funci´on R [x]  p0  + p1 x +

n

··· + p x n

−→ F  [x] → p1 +  p1 x + ··· +  p1  x 0

1

n

n

es un homomorfismo inyectivo de anillos, el cual permite considerar a R [x] como subanillo de F  [x] de tal forma que se tiene R  R[x]  F [x]. De otra parte,

→

→

20

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

p0 q0

p1 q1

pn qn

n

··· + x ∈ F [x] se puede expresar en la forma := f  (x), donde f  (x) ∈ R [x] y q  ∈  R − {0}. En efecto, basta tomar f (x) = q  := q  ··· q  y f  (x) = r  + r x + ··· + r x , con r  := , 1 ≤ i ≤ n. Proposici´ on 1.4.5. Sea  R un  DF U   y sea  F   su cuerpo de fracciones. Si  f (x)  ∈ R [x]  es irreducible no constante, entonces  f (x)  considerado como polinomio de  F  [x] es irreducible. Rec´ıprocamente, si  f (x)  ∈ R [x]   es un polinomio primitivo tal que  cada polinomio f (x) = f 0 (x) q

0

n

+

1

q 0

x + 0

0

0

1

n

n

i

qpi qi

considerado como elemento de  F  [x]  es irreducible, entonces  f (x)  es irreducible como elemento de  R [x].

o n sup´ongase que f (x) es reducible coDemostraci´  on.   Para la primera afirmaci´ mo polinomio de F  [x]. Existen entonces polinomios m(x), n(x) en F  [x] de grado   1 tales que f (x) = m(x)n(x).   Cada uno de estos factores se puede escribir como m(x) = m1m(x) , n(x) = n1n(x ), donde m1 (x) y n1 (x) R[x] y m, n 0 ; adem´as, m1 (x) es producto de su contenido m1  y un polinomio primitivo R  m1 (x) R[x], lo mismo se tiene para n(x). Resulta, mnf (x) = m1 n1 m1 (x)n1 (x), relaci´on que podemos considerar en R [x]. Si c := c(f (x)), entonces mnf (x) = mncf 1 (x) = m1 n1 m1 (x)n1 (x), con f 1 (x) primitivo, como m1 (x)n1 (x) es primitivo podemos aplicar la proposici´ on 1.4.4 y obtenemos que m1 n1  = mncu, con u R∗ , de donde f (x) = cf 1 (x) = cum 1 (x)n1 (x), pero notemos que gr(m1 (x)) = gr(m(x)) 1, gr(n1 (x)) = gr(n(x)) 1, por lo tanto, f (x) es reducible en R[x]. La afirmaci´on rec´ıproca es evidente ya que f (x) es primitivo y R[x]  F [x].

≥ −{ }  ∈

∈

∈

∈

≥

 ≥

→

Teorema 1.4.6 (Teorema de Gauss). Sea  R un  DF U . Entonces, R [x]   es un  DF U . Demostraci´  on. Existencia . Sea f (x)

 ∈ R[x] un polinomio no nulo y no invertible;

debemos probar que f (x) tiene una descomposici´on en producto de irreducibles. Como f (x) es no nulo, entonces f (x) se puede expresar en la forma f (x) = c(f (x))f  (x), donde f  (x) es primitivo (v´ease la proposici´on 1.4.4). Consideremos dos casos. Caso 1. gr(f  (x)) = 0. Entonces f  (x) = 1 y procedemos a descomponer  c(f (x)) en R; como f (x) no es invertible, entonces c(f (x)) no es invertible y por lo tanto tiene una descomposici´on en producto finito de irreducibles de R, los cuales a su vez son irreducibles de R[x] y obtenemos la descomposici´on irreducible de f (x) buscada. Caso 2 .  gr(f  (x)) 1. Si c(f (x)) es invertible, entonces pasamos a descomponer f  (x); si c(f (x)) no es invertible, entonces primero lo descomponemos como vimos en el caso anterior, y luego procedemos a descomponer  f  (x). As´ı pues, solo nos resta ver la descomposici´on de f  (x). Consideremos a f  (x) como elemento de F [x], donde F  es el cuerpo de fracciones de R; si f  (x) es irreducible, entonces por la proposici´on 1.4.5, f  (x) es irreducible en R [x], y hemos terminado. Supongamos pues que f  (x) es reducible en F  [x]. Entonces gr(f  (x))  2; como F  [x] es DF U , entonces f  (x) es factorizable en un producto

≥

 ≥

21

1.4. TEOREMA DE GAUSS

finito de polinomios irreducibles de F  [x]: f  (x) = f 1 (x) f r (x), f i (x) F  [x] e irreducible, gr(f i (x)) 1, 1 i r, r 2. Cada polinomio f i (x) se puede expresar f  (x) en la forma f i (x) = iqi , con f i (x) R[x], q i R 0 . A su vez cada f i (x) se puede escribir en la forma f i (x) = c(f i (x))f i (x), con f i (x) R[x] primitivo. Notemos que f i (x) es irreducible de R[x] ya que si fuese reducible, entonces por la proposici´on 1.4.5 ser´ıa reducible en F [x], pero esto no es posible ya que  f i (x) es irreducible. Sean q  := ri=1 q i y c := ri=1 c(f i (x)), entonces qf  (x) = cf 1 (x) f r (x). Como f  (x) y cada f  (x) es primitivo, entonces por la proposici´on 1.4.4, existe u  R ∗  tal que f  (x) = uf 1 (x) f r (x). Esta es la descomposici´on irreducible buscada para f  (x). Unicidad . Supongamos que f (x) tiene dos descomposiciones en la forma  f (x) = g1 (x) gr (x) = h1 (x) hs (x), donde los gi (x), h j (x) son polinomios irreducibles de R[x] de grado  0. Resulta c1 g1 (x) cr gr (x) = d1 h1 (x) ds hs (x) , con ci := c(gi (x)), d j := c(h j (x)), gi (x), h j (x) primitivos, 1 i r, 1 j s. Pero como gi (x) = c i gi (x) es irreducible de R[x], entonces se presentan dos posibilidades: c i es irreducible de R y gi (x) = 1 o bien ci  R ∗ y gi (x) es irreducible de R[x] de grado 1; lo mismo se tiene para cada h j (x). Podemos entonces escribir

≥



≤ ≤

···

≥

∈

∈

 ∈ −{ } ∈



···

 ∈

···

···

···

 ≥

···

···  ≤  ≤

 ≤  ≤

 ∈

≥

··· c c ··· c g (x) ··· g (x)g  (x) ··· g (x) = ··· d h (x) ··· h (x)h (x) ··· h (x), d ··· d d con c , . . . , c   irreducibles de R, c , . . . , c ∈ R∗ , g  (x) = ··· = g (x) = 1 y g (x), ···  , g (x) irreducibles de R[x] de grado  ≥ 1; d , . . . , d   irreducibles de R, d , . . . , d  ∈ R∗ , h (x) = · ·· = h (x) = 1 y h (x), ···  , h (x) irreducibles de R[x] de grado ≥ 1. Pero de la proposici´on 1.4.4 se tiene que ··· d u, con u ∈ R∗ c ··· c c ··· c = d ··· d d g (x) ··· g  (x)g (x) ··· g  (x) = h  (x) ··· h (x)h (x) ··· h (x), con v ∈ R∗ , c1

t t+1

1

1

r 1

m m+1

s 1

t+1

r

m+1

m

t+1

t

t+1

t

r

s

1

1

r

m+1

s

1

1

1

t

t+1

t

m+1

m

t t+1

r

1

m m+1

1

r

m

s

s

m+1

m

s

luego

··· c  = d ··· d w, con w ∈ R∗ g  (x) ··· g (x) = h  (x) ··· h (x), con y ∈ R∗ , Como R   es un DF U , t = m y d = c w , con w ∈ R∗ , 1 ≤ i  ≤ t; adem´as como F [x] es DF U , entonces r − t = s − m, es decir, r = s y h  (x) = g  (x)z  , con z   ∈ F ∗ , t + 1  ≤ j  ≤ r. Sea z  = , entonces en R[x] tenemos b h (x) = a g (x), pero como h (x) y g (x) son primitivos, entonces a = b v , con v  ∈ R∗ . Resulta, h (x) = g  (x)v . Volviendo al principio de la prueba de la unicidad concluimos que h (x) = g (x)w , 1 ≤ i ≤ t, y h (x) = g (x)d c− v , t + 1 ≤  j ≤ r. Esto completa la c1

t+1

1

t

m

m+1

r

i

 j

 j

 j

s

i

i

i

 j

aj bj

 j  j

 j

 j

 j

 j

 j

i

i

i

 j

 j

 j

 j  j

1

 j  j

 j

 j  j

 j

 j

demostraci´ on.

Corolario 1.4.7. Si  R  es un  DF U , entonces  R [x1 , . . . , xn ]  tambi´en es un  DF U . Demostraci´  on.  Consecuencia directa del teorema de Gauss.

22

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

El problema de factorizar o determinar si un polinomio sobre un  DF U , o sobre su cuerpo de fracciones, es irreducible en general no es muy f´acil de resolver. Existen algunos criterios que vamos a considerar a continuaci´on para el caso particular de Z  y  Q .

Proposici´ on 1.4.8. Si  f (x)

∈ Z [x]   es m´ onico y se factoriza como el producto

de dos polinomios racionales, entonces  f (x)   se factoriza como el producto de dos  polinomios enteros m´  onicos. Demostraci´  on. Si gr(f (x)) = 0, entonces f (x) = 1 y se tiene la descomposici´on tri-

vial f (x) = 1 1. Sea f (x) = p 0 + + pn−1 xn−1 +xn de grado 1 el cual es producto de   dos polinomios con coeficientes racionales, f (x) = p(x)q (x) = p p(0x) q q(0x) , con p0 , q 0 0 y p (x), q  (x)  Z [x] 0 . Resulta, p0 q 0 f (x) = c( p (x))c(q  (x)) p (x)q  (x), Z con p  (x), q  (x) primitivos. De la proposici´on 1.4.4 se sigue que f (x) = up (x)q  (x), con u = 1. Como f (x) es m´o nico, entonces 1 = lc( p (x))lc(q  (x)). Si 1 = lc( p (x))lc(q  (x)), entonces lc( p (x)) = 1 = lc(q  (x)) y tenemos la factorizaci´on deseada, o´, lc( p (x)) = 1 = lc(q  (x)) y la factorizaci´on requerida es f (x) = (  p (x))( q  (x)). Si 1 = lc( p (x))lc(q  (x)), entonces lc( p (x)) y lc(q  (x)) son de signo contrario y las fatorizaciones requeridas se obtienen cambiando el signo de alguno de los dos factores.

·

−{ }

···

 ∈

≥

−{ }

±

−

 ∈

±

−

−

−

Proposici´ on 1.4.9 (Criterio de Eisenstein). Sea  f (x) = a0 + a1 x + Z [x], con  n 1. Si existe  p Z   irreducible tal que 

≥

∈

n

··· + a x ∈ n

(i) p    an . (ii) p ai   para cada  0

|

≤ i ≤ n − 1.

(iii) p2    a0 Entonces  f (x)  es irreducible sobre  Q . n

 ···  +  a x  primitivo. En efecto, sea f (x) = cf  (x), con c := c(f (x)) y f  (x) := a  + a x + ··· + a x primitivo; notemos entonces que ca = a   para cada 0  ≤ i ≤ n, con lo cual  p    a , p    a ; adem´as p |a  para cada 0 ≤  j ≤ n − 1: en efecto, ya que  p |a   entonces  p|c o  p |a , pero p    c pues de lo contrario dividir´ıa a a . As´ı pues, f  (x) satisface las on para f (x) := a0 + a 1 x + Demostraci´  on.   Basta probar la proposici´ 1

n

n

n

2

1

i

0

n

0

1

i

 j

 j

1

n

 j

mismas condiciones de f (x). Sea entonces f (x) primitivo; sup´ongase que f (x) es reducible sobre  Q . Entonces por la proposici´on 1.4.5, f (x) es reducible sobre  Z  y por lo tanto existe  b(x) Z[x] tal que b(x) f (x), b(x) / Z[x]∗  y b(x) no es asociado de f (x), luego existe c(x) Z[x] tal que c(x) / Z[x]∗ y

|

∈

∈ ∈

∈

f (x) = b(x)c(x) = (b0  + b1 x +

r

s

··· + b x )(c  + c x + ··· + c x ). r

0

1

s

23

1.4. TEOREMA DE GAUSS

 ≥

 ≥

Como f (x) es primitivo, r 1 y s  1 (si por ejemplo c(x) fuera una constante, entonces tomando contenidos a ambos lados c(x) resultar´ıa invertible). Se tiene que a0 = b0 c0   con lo cual p b0 o p c0 . La o es excluyente ya que de lo contrario p a20 . Sup´ongase entonces que p b0  y p    c0 ; notemos que p    br  ya que lo contrario dividir´ıa a an = b r cs . Sea bk  el menor coeficiente de b(x) que p no divide, 0 < k r < n, de donde p b0 , . . . , p bk−1 , pero a k = b k c0 + bk−1 c1 + + b0 ck , por lo tanto p bk c0 , pero como p   c0 , entonces p bk , lo cual es una contradicci´on. El caso p c0  produce una contradicci´ on similar. As´ı pues, f (x) es irreducible sobre  Q .

|

|

|

|

|

|

···

|

Corolario 1.4.10. Sea  p

|

 ≤ |

m

∈ Z  irreducible y  m ≥ 1. Entonces el polinomio  x − p es 

irreducible sobre  Q , y por lo tanto, sobre  Z .

Demostraci´  on.  Consecuencia de la proposici´ on anterior y de la proposici´on 1.4.5.

Observaci´ on 1.4.11.  (i) Observemos que la proposici´on y corolario anteriores son v´alidos en cualquier DF U . (ii) Si en el criterio de Eisenstein el polinomio f (x) es primitivo, entonces f (x) tambi´en resulta irreducible sobre R[x]. Pero si f (x) no es primitivo, podr´ıa resultar reducible sobre R[x], por ejemplo f (x) = 6x2 + 10x + 10 = 2(3x2 + 5x + 5) Z[x], con p = 5.

∈

∈ Z  irreducible y  m ≥ 2. Entonces  √  p   es irracional. √  Demostraci´  on.  Supongamos que  p = ∈ Q, entonces   es una ra´ız racional de x − p, y por la proposci´on 1.2.4, x −  es un factor de x − p, es decir, x − p es Corolario 1.4.12. Sea  p

m

a b

m

a b

m

reducible sobre  Q , contradicci´on.

a b m

m

Proposici´ on 1.4.13 (Polinomios ciclot´ omicos). Sea  p Z   irreducible. El poli p−1  p−2 nomio:  f  p (x) := x omico  y es irreducible  + x + + x + 1  se denomina   ciclot´ 

∈

···

sobre  Q .

Demostraci´  on.   Supongamos que f  p (x) es reducible sobre Q, existen h(x), f (x)

Q [x] tales que f  p (x) = h(x)f (x), gr(h(x)), gr(f (x))

∈

≥ 1,

entonces g(x) := f  p (x + 1) = h(x + 1)f (x + 1) en  Q [x], donde gr(h(x + 1)) 1 y gr(f (x + 1)) xp−1 Notemos que f  p (x) = x−1 , luego

 ≥

g(x) =

(x+1)p 1 = x+1 1 x p 1 +  p1

−

− −

p

k=0

 ≥  1, es decir, g(x) es reducible sobre Q.

(kp)xp−k −1

  x

x p−2 +

 p

2

()

p ··· (p−1 )x+1−1

xp + p xp−1 + + 1 x p  p 2

= x p−3 +

··· +

 

− x + p.

=

24

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS



Pero p   1, p  pk , 1 k p 1, p2    p, luego por la proposici´on   1.4.9, g(x) es irreducible en  Q [x], contradicci´on.

 |

 ≤  ≤ −

Proposici´ on 1.4.14. Sea  f (x) = xn + pn−1 xn−1 + Z [x], con  p0 = 0, + p 0 as  n 1. Si  f (x)  tiene una ra´ız  z  en  Q , entonces  f (x)  tiene una ra´ız  m en  Z  y adem´  m  p0 .

···

≥ |

m t

 ∈

 

∈ Q con m.c.d.(m, t) = 1 una ra´ız racional de f (x), entonces con q (x) ∈ Z [x] , a ∈ Z − {0}; se obtiene f (x) = (x −  ) p(x), donde p(x) = entonces que taf (x) = (tx − m)q (x) = (tx − m)c(q (x))q  (x), con q  (x) primitivo; como f (x) es primitivo (por ser p  = 1) y adem´as (tx − m), q  (x) son primitivos, entonces ta = u − c(q (x)) y f (x) = uv(tx − m)q  (x), con u, v ∈ Z∗ . De aqu´ı obtenemos que m| p ; adem´as, uvtq  − = p  = 1, luego t ∈ Z∗ , es decir, t = ±1, y de esta forma m ∈ Z  es ra´ız de f (x). Demostraci´  on. Sea

q (x) a

m t

n

1

0

n

n 1

Observaci´ on 1.4.15.  La proposici´on 1.4.14 es v´alida en cualquier DF U .

1.5.

Ejemplos

En esta secci´on ilustraremos y aplicaremos los resultados obtenidos en las secciones anteriores a trav´es de ejemplos.

Ejemplo 1.5.1.  (i) Notemos que f (x) = x2 + 8x 2 es irreducible sobre  Q : para  p = 2 se tiene que 2    1, 2 8, 2 2 y 4    2. (ii) f (x) = x 2 + 6x + 12 es irrreducible sobre Q : similar al anterior con p = 3. (iii) f (x) = 2x10 25x3 + 10x2 30 es irreducible sobre Q: como en (i) con p = 5.

| |−

−

−

−

−

Ejemplo 1.5.2.  Probemos que p(x) = x 3 +3x2 8 es irreducible sobre Q: sup´ongase que p(x) es factorizable en  Q , p(x) = m(x)n(x) = (ax + b)n(x), con a, b Q, a = 0; puesto −ab es una ra´ız racional, entonces por la proposici´ on  1.4.14, p(x) tiene una ra´ız c  en  Z  tal que c 8, pero se puede comprobar por c´alculo directo que ninguno de los divisores de 8 es ra´ız de p(x).

−

∈



|−  − Ejemplo 1.5.3. Sea p ≥ 2 un irreducible y sea f   : Z −→ Z  el epimorfismo natural,  p

 p

f  p (k) := k. Notemos que

f  p (k0  + k1 x +

Z p [x] f  p  : Z [x] m + km x ) := k 0  + k1 x +

···

−→

··· + k

m

xm

es un epimorfismo. Si g(x)  Z [x] es de grado m  2 y f  p (g(x)) no es factorizable en Z p [x] en un producto de 2 polinomios no constantes de grado menor que m, entonces g(x) es irreducible sobre Q [x]. En efecto, g(x) se puede tomar primitivo y aplicar la proposici´on 1.4.5. Por ejemplo, notemos que g(x) = x3 + 17x + 36 es

 ∈

 ≥

25

1.6. POLINOMIOS EN VARIAS VARIABLES

irreducible sobre  Q [x]: para p  = 17 se tiene que f 17 (g(x)) = x 3 + 2, pero x3 + 2 no se puede factorizar en Z17 [x] un producto de 2 polinomios no constantes de grado  3: en caso contrario uno de los factores ser´ıa lineal, x a, con 0  a  17, pero esto implicar´ıa que a 3 = 2 en  Z 17 , pero tal a  con 0 a 16 no existe.

≤

− ≤ ≤

−

 ≤  ≤

Ejemplo 1.5.4. Sea R un DI   y sea F  su cuerpo de fracciones; sabemos que F [x] es un DI , por lo tanto, tiene cuerpo de fracciones que denotamos por  F (x). Notemos que los elementos de F (x) son fracciones de la forma pq((xx)) , con p(x), q (x) F [x], q (x) = 0. Se puede probar f´acilmente que F (x) es isomorfo al cuerpo de fracciones de R[x] (v´ease el ejercicio  20).

 ∈

 

Ejemplo 1.5.5.  Vimos en la proposici´on 1.2.4 que si K  es un cuerpo y a K   es una ra´ız de un polinomio f (x) K [x], entonces f (x) = (x a)g(x), con g(x) K [x]. La ra´ız a se dice de  multiplicidad  m 1 si f (x) = (x a)mh(x), con h(x) K [x] y a  no es ra´ız de h(x). Notemos que a es una ra´ız de multiplicidad m 2 si, y s´olo si, a es una ra´ız del polinomio f  (x), donde f  (x) denota la derivada del polinomio f (x) definida de la manera usual como se hace en c´alculo.

 ∈

1.6.

− −

≥

∈

≥

 ∈ ∈

Polinomios en varias variables

Sea R   un anillo conmutativo y sea R[X ] := R[x1 , . . . , xn ] su anillo de polinomios en n   variables. Existen varias maneras de escribir cada elemento de R[X ] en dependencia del prop´ osito. Por ejemplo, podemos entender a R[X ] como R[X ] = R[x1 , . . . , xn−1 ][xn ] de tal manera que cada elemento p(X ) := p(x1 , . . . , xn ) R[X ] se puede representar en la forma p(X ) = p 0 (x1 , . . . , xn−1 )+ p1 (x1 , . . . , xn−1 )xn + +  pr (x1 , . . . , xn−1 )xrn ; de manera similar podemos proceder con respecto a las demas variables. Otra forma usada muy frecuentemente es expresar los elementos de  R[X ] en la forma

∈

 p(X ) =



t i=1

cαi xαi , con cαi

αi

 ∈ R, x

:= x α1 1i

αni n

··· x

, α i  := (α1i , . . . , αni )

··· n

∈N ;

los elementos cαi   se conocen como los   coeficientes de p(X ), los productos xαi son los   monomios   y los elementos cαi xαi son los   t´ erminos . Por ejemplo, si  p(x,y,z ) = 3 2xy + 6xz + 7z 2 4xy2 z  Z[x,y,z ], entonces los coeficientes de este polinomio son 3, 2, 6, 7, 4, los monomios son 1,xy,xz,z 2 , xy2 z   y sus t´eminos son 3, 2xy, 6xz, 7z 2 , 4xy 2 z .

−

−

− −

−

−

 ∈

Definici´ on 1.6.1.   Sean  R  un anillo conmutativo y  R[X ] := R[x1 , . . . , xn ]  su anillo de polinomios en  n  variables. (i)  El conjunto de  monomios est´  andar  de  R[X ]  se define por  1 M on(R[X ]) := M on x1 , . . . , xn := xα :=  x α 1

{

} {

αn n

n

·· · x |α = (α1, . . . , α ) ∈ N }. n

26

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

(ii) Si  xα

α

α

∈ M on(R[X ]),  exp(x ) := α y  gr(x ) := |α| := α  + ··· + α . (iii) Sea  p(X ) = c x ∈ R[X ], donde cada coeficiente  c es no nulo, se  ax{gr(x )} . define el   grado de  p(X ) por  gr( p(X )) := m´ (iv) Sea  p(X )   como en  (iii ), se dice que  p(X ) es  homog´ eneo  de grado n ≥ 0 si 



t i=1

αi

1

αi

αi

t i=1

n

αi

todos sus monomios son de grado n.

Los siguientes polinomios enteros son homog´eneos, 2xy x2 +yz  5z 2 ; x y +8z ; 3; x 3 5x2 z  + z 3 ; en cambio 3xy y 2 + 4z   no es homog´eneo.

−

−

−

−

−

Proposici´ on 1.6.2. Mon(R[X ]) tiene estructura de monoide conmutativo. Adem´  as, odulo libre a izquierda con base  Mon(R[X ]). R[X ]  es un  R-m´  Demostraci´  on.  La estructura de monoide de M on(R[X ]) es isomorfa con la de  N n :

en efecto, en  N n se tiene que si α  = (α1 , . . . , αn ), β  = (β 1 , . . . , βn  ) α + β  := (α1  + β 1 , . . . , αn  + β n );

n

∈ N , entonces

el neutro en  N n es (0, . . . , 0). De otra parte, en  M on(R[X ]) se tiene que xα xβ  = x α1 1

αn

··· x

1 xβ  1

α1 +β 1

β n n

αn +β n n

α+β 

··· x = x ··· x = x , donde el elemento neutro es 1 := x ··· x . As´ı pues, el isomorfismo entre N M on(R[X ]) viene dado por α → x . α

0 1

1

0

n

n

y

La segunda afirmaci´ on de la proposici´on se prueba de manera recurrente ya que seg´ un la definici´on de R[x1 ] que vimos al principio del cap´ıtulo, R[x1 ] es claramente un R-m´ odulo libre a izquierda con base xi i≥0  (v´ease [11]), y para el caso general se tiene que R[X ] = R[x1 , . . . , xn−1 ][xn ].

 { }

Observaci´ on 1.6.3. N´otese que la proposici´on anterior es tambi´en v´alida cuando el anillo de coeficientes no es conmutativo. A diferencia del caso de una sola variable, para los polinomios 2xy x2 +yz  5z 2 y 3xy y2 + 4z   no es claro c´omo definir el monomio principal; por ejemplo, para el primer polinomio todos los monomios son del mismo grado. Sin embargo, en el caso general de varias variables, es necesario, en muchos contextos y aplicaciones, escribir un polinomio en forma ordenada seg´ un alg´ un orden dado a su conjunto (monoide) de monomios est´andar. De estos ´ordenes sobre Mon(R[X ]) nos ocuparemos a continuaci´ on. Hay muchas maneras de ordenar M on(R[X ]), sin embargo, nosotros ya conocemos algunas propiedades que debe satisfacer un orden deseable. Por ejemplo, el orden mediante el grado en el caso de una variable fue usado para establecer un algoritmo de divisi´on (o reducci´on) y para extender relaciones de divisibilidad. Por lo tanto, en el caso general, si x α ha de dividir a xβ  entonces deber´ıamos tener que xβ  xα , o equivalentemente, si β i αi  para cada i = 1, . . . , n , entonces xβ  xα .

−

−

≥

 ≥

−

≥

27

1.6. POLINOMIOS EN VARIAS VARIABLES

Tambi´en, en las divisiones descritas en la secci´on 1.3  nosotros arreglamos los t´erminos de los polinomios en orden creciente o decreciente, y por lo tanto, fuimos capaces de comparar cualesquiera dos monomios. As´ı, el orden debe ser total, esto es, dados cualesquiera xα , xβ  M on(R[X ]), exactamente una de las siguientes relaciones debe cumplirse:

∈

xβ  > x α , xβ  = x α o´  x α > xβ .

 −→

Adem´as, la reducci´on on 1.3 debe parar despu´es de un +  descrita en la secci´ n´umero finito de pasos. Por lo tanto, para que la reducci´on sea finita necesitamos que el orden sea un buen orden, es decir, no exista una cadena infinita descendente  xα1 > en M on(R[X ]). Un orden que satisface todas estas condiciones es xα2 > xα3 > conocido como un orden monomial y esas condiciones ser´an tenidas en cuenta en la siguiente definici´on.

 ···

on de orden en  M on(R[X ]). Si  xβ  Definici´ on 1.6.4. Sea   una relaci´  xα pero xβ  = xα se escribe  xβ  > xα , o tambi´en, xα < xβ . Se dice que  es  monomial  si 

 ≥



≥

 ≥

satisface las siguientes condiciones:

≥  es un orden total.  1 en  Mon(R[X ])  se tiene que  x > 1. (ii)   Para cada  x = (iii) Si  x ≥ x , entonces  x x ≥ x x para cada  x en  Mon(R[X ]). (i)

β 

β 

β 

α

β  γ 

α γ 

γ 

Ejemplo 1.6.5.  El orden  lexicogr´  afico (lex ) en M on(R[x]) se define de la siguiente manera: (i) x1  > x2  > x3  >

··· > x . n

(ii) Para α  = (α1 , . . . , αn ) y β  = (β 1 , . . . , βn  ) xβ  > x α si, y s´olo si, existe i

n

∈N

definimos

≥ 1 tal que β   = α , . . . , β  −  = α − , β   > α . 1

1

i 1

i 1

i

i

De esta forma, en el caso de dos variables, se tiene que

···

1 = x 01 x02  < x2  = x 01 x2  < x22  = x 01 x22  < x32  = x 01 x32  < < x1  = x 1 x02  < x1 x2  < x1 x22  < < x 21  = x 21 x02  <  .

···

···

1 n Veamos que lex es realmente un orden monomial: sea x β  = x β  xβ  1 n = 1 y sea i el β 1 β  0 n menor ´ındice tal que β i = 0. Entonces claramente x1 xβ  x0n ; n = x > 1 = x 1 α1 1 n sea ahora xβ  = x β  xβ  xαnn = x α y sea xγ  = x γ 11 xγ nn , sea i el menor 1 n > x1 ´ındice tal que β i  > αi , entonces i  es el menor ´ındice tal que β i + γ i  > αi + γ i , luego xβ xγ  > xα xγ . Es obvio que lex es un orden total.

···

 

···

··· ··· ···



···

28

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Ejemplo 1.6.6.  Se define el orden   lexicogr´  afico graduado (deglex ) en R[X ] de la siguiente manera: (i) x1  > x2  > x3  >

··· > x

n

.

(ii) Para α = (α1 , . . . , αn ) y β  = (β 1 , . . . , βn  ) β 

α

x >x

 | | ⇐⇒  ||

|| ||

β  > α o´ β  = α

∈N

n

definimos

y xβ  > x α en el orden lex.

De esta forma, en este orden primero ordenamos por el grado total y luego por el orden lex. En el caso de dos variables x1 y x2  tenemos: 1 = x 01 x02  < x01 x2  = x 2  < x1 x02  = x 1  < x22  = x 01 x22  < x1 x2  < < x 21  = x 21 x02  < x01 x32  = x 32  < x1 x22  < x21 x2  < x31 x02  = x 31  <  .

···

Veamos este orden en R[x, y] con x < y: 1 < x < y < x 2 < yx < y 2 < x 3 < < y x2 < y 2 x < y 3 <  .

···

1 n Notemos que deglex es realmente un orden monomial: sea xβ  = xβ  = 1 xβ  1 n β 1 β  β n y sea i   el menor tal que β i = 0. Entonces claramente x = x1 xn > 1 = β 1 γ 1 α1 0 0 β  β n α αn γ  γ n x1 xn ; sea x = x 1 xn > x = x 1 xn   y sea x = x 1 xn ; si ni=1 β i  > n n n n n n i=1 αi , entonces i=1 β i  + i=1 γ i > i=1 αi  + i=1 γ i , luego i=1 (β i  + γ i ) > n n n β  γ  α γ  i=1 (αi  + γ i ) de tal forma que en este caso x x > x x . Si i=1 αi = i=1 β i , β  α β  γ  α γ  entonces x > x en el orden lex, y en este caso ya probamos que x x > x x , y adem´as ni=1 (αi + γ i ) = ni=1 (β i + γ i ) . El orden deglex es total ya que ni=1 β i  > n o ni=1 β i  = ni=1 αi  (y el orden lex es total) ´o ni=1 αi  > ni=1 β i . i=1 αi ´

···

···



       

···



···

···

       ···



Observaci´ on 1.6.7.  (i) Es importante anotar que en cualquier orden monomial se necesita especificar un orden para las variables. Por ejemplo, si tenemos un orden monomial en R[x, y], sabemos que x = y, pero no tenemos ning´un criterio para deducir que x > y o y > x, debemos postular alguna de estas relaciones en la definici´on de . (ii) Si usamos el orden lexicogr´afico en R[x, y], con x < y   (en lugar de x > y), entonces 1 < x < x 2 < x 3 < . < y < yx < yx 2 < < y2 <

 ≥

 

 ≥

···

···

···

Regresamos a la definici´on general de orden monomial. Queremos demostrar que cualquier monomial extiende la divisibildad y es un buen orden. Comencemos con la divisibilidad. Consideramos a los monomios est´andar con alg´ un orden monomial ; teniendo en cuenta que Mon(R[X ]) R[X ], podr´ıamos entonces decir que xα divide a xβ  si, y s´olo si, existe un polinomio c1 xγ 1 + +

 ≥

 ⊂

···

29

1.6. POLINOMIOS EN VARIAS VARIABLES

+ ct xγ 1 )xα, donde xγ 1 > ct xγ 1 R[X ] tal que xβ  = (c1 xγ 1 + > xγ 1 , resulta ´ ltima xβ  = c1 xγ 1 xα , de donde c1 = 1 y xβ  = xγ 1 xα. Rec´ıprocamente, si esta u α β  igualdad se tiene, entonces x divide a x . As´ı pues, la relaci´on de divisibilidad se puede definir en el monoide Mon(R[X ]), es decir, entre monomios.

∈

···

 ···

Definici´ on 1.6.8.   Sean  xα , xβ   M on(R[X ]), se dice que  xα divide a  xβ , lo cual  se denota por  xα xβ , si existe  xγ  M on(R[X ])  tal que  xβ  = x γ xα .

∈ | ∈ Observemos que la relaci´on |  es un orden en M on(R[X ]) que cumple las condi-

ciones (ii) y (iii) de la definici´on   1.6.4, pero no es total. Se tiene sin embargo la siguiente propiedad.

Proposici´ on 1.6.9. Sea    un orden monomial en  M on(R[X ]). Para  xα , xβ  M on(R[X ])  se tiene que si  xα xβ , entonces  xβ  xα .

≥

|

≥

Demostraci´  on.   Existe xγ 

β 

∈

γ  α

∈  M on(R[X ]) tal que x = x x . Por la condici´on (i) de la definici´on 1.6.4 se tiene que x ≥  1 y por la condici´on (ii) de dicha definici´on se obtiene que x = x x ≥ x , como se anunci´o. γ 

β 

γ  α

α

Aplicamos ahora los o´rdenes monomiales para representar cada polinomio de R[X ] de una manera ordenada: fijemos un orden monomial sobre M on(R[X ]), entonces dado P (X ) no nulo en R[X ] podemos escribir  p(X ) = a1 xα1 + a2 xα2 +

αr

··· + a x , > x > ···  > x r

α2 αr donde 0 =  a i R, xαi Mon(R[X ]) y xα1 . Definimos entonces α1 lm(P (X )) := x , el monomio principal  de p(X ); lc(P (X )) := a 1 , el  coeficiente principal  de P (X ); lt(P (X )) := a 1 xα1 , el  t´ ermino principal  de P (X ). Tambi´en definimos lm(0) = lc(0) = lt(0) := 0. N´otese que si R   es un DI , lp, lc y lt son funciones multiplicativas, es decir,

   ∈

∈

lm(f (X )g(X )) = lm(f (X ))lm(g(X )), lc(f (X )g(X )) = lc(f (X ))lc(g(X )), lt(f (X )g(X )) = lt(f (X ))lt(g(X )). En efecto, sean f (X ) = a1 xα1 +

 n

f (X )g(X ) = αi

β 1

m

i=1  j =1 αi β j



αn

··· + a x n

y g(X ) = b 1 xβ 1 +

ai b j xαi xβ j y n´otese que xα1 xβ j > xαi xβ j

β m

··· + b x , entonces con i ≥ 2, j ≥ 1 y tamm

bi´en x x > x x con i  1, j  2. Esto garantiza que xα1 xβ 1 = lm(f (X )g(X )) y entonces lm(f (X )g(X )) = lm(f (X ))lm(g(X )). De otra parte, si cambiamos el orden monomial, entonces lm(f (X )), lc(f (X )) y lt(f (X )) pueden cambiar. Por ejemplo, sea f  = 2x2 yz  + 3xy3 2x3  Z [x, y]; si el orden es lex con x > y > z , entonces lm(f ) = x 3 , lc(f ) = 2 y lt(f ) = 2x3 ; si el orden es deglex con x > y > z , entonces lm(f ) = x 2 yz, lc(f ) = 2 y lt(f ) = 2x2 yz .

 ≥  ≥

 −

−

∈

 −

30

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Cerramos esta secci´on demostrando que los o´rdenes monomiales sobre anillos conmutativos   noetherianos  (v´ease [13]), es decir, aquellos que no tienen cadenas ascendentes infinitas de ideales, son buenos ´ordenes. Ejemplos importantes de anillos noetherianos son los cuerpos, o m´as generalmente, los DIPs.

Proposici´ on 1.6.10. Sea  R   un anillo conmutativo noetheriano. Entonces, cada  orden monomial sobre  M on(R[X ])  es un buen orden, es decir, cada subconjunto no vac´ıo C  de  M on(R[X ])   tiene elemento m´ınimo. ongase contrariamente que existe un orden monomial que no es Demostraci´  on.   Sup´ un buen orden. Entonces existe un subconjunto no vac´ıo C  de Mon(R[X ] ) de tal forma que existen x αi C, i = 1, 2, . . . tales que

∈

xα1 > x α2 > xα3 >

···  .

 

(1.6.1)

Esto define una cadena de ideales en R[X ] α1

α1

α2

α1

x  ⊂ x , x  ⊂ x  x N´otese que efectivamente x , . . . , x  = α1

αi

, xα2 , xα3

α1

entonces

  (1.6.2)  ⊂ · · ·  . : si tuvieramos la igualdad ,... ,x αi+1

i

αi +1

x

=



u j xαj ,

 

(1.6.3)

 j =1



donde u j R[X ], j = 1, 2, . . . , i . Sea p(X ) :=  ji =1 u j xαj ; si expandimos cada on de monomios vemos que cada monomio de P (X ) es u j   como una R-combinaci´ αj divisible por alg´ un x , 1  j  i, por lo tanto lm(P (X )) = x γ xαj , de donde xαi +1 es divisible por xαj , y en consecuencia, xαi +1  x αj , lo cual contradice (1.6.1). Por lo tanto, la cadena de ideales en (1.6.2) es estrictamente creciente, pero esto es una contradicci´o n con el   teorema de la base de Hilbert   que dice que las cadenas ascendentes de ideales en R[X ] no son infinitas (v´ease [13]).

∈

 ≤  ≤

1.7.

≥

Polinomios sim´ etricos

Una posible justificaci´on para introducir y estudiar los polinomios sim´etricos en varias variables es cuando se permutan las ra´ıces de un polinomio, tal como veremos a continuaci´ on. Consideremos el polinomio p(z ) := (z  r1 ) (z  rn ) R[z ]; n´otese que si desarrollamos los factores de  p(z ) obtenemos:

− ··· − ∈

 p(z ) =  z n (r1 + +rn )z n−1 +(r1 r2 + +r1 rn +r2 r3 + +rn−1 rn )z n−2 (r1 r2 r3 +r1 r2 r4 + + rn−2 rn−1 rn )z n−3 + + ( 1)n−1 ( i1