CUERPOS SÓLIDOS

Geometría: Cuerpos

Prof. Marvin Montiel A.

CUERPOS SÓLIDOS El mundo bidimensional de la geometría plana no es suficiente para explicar el mundo en el que vivimos, pues esta posee tres dimensiones: largo, ancho y alto. Para explicar este mundo tridimensional se ha desarrollado el ramo de la matemática denominado geometría del espacio o estereometría. La mayoría del mundo tridimensional se basa en cinco figuras sólidas familiares: cajas, pirámides, conos, balones y embases. En geometría del espacio se les conoce con los nombres respectivos: prismas, pirámide, conos, esferas y cilindros.

PRISMA

PIRAMIDE

CONO

ESFERA

CILINDRO

Podemos observar a simple vista que el prisma y la pirámide están limitados completamente por superficies planas; la esfera está limitada por una sola superficie curva, y el cono y el cilindro están limitados por superficies planas y curvas. • •

Los cuerpos geométricos que están limitados completamente por superficies planas, se llaman poliedros. Los cuerpos geométricos que están limitados por superficies curvas o por superficies curvas y planas se llaman cuerpos redondos.

1. POLIEDROS Se llama poliedro a la porción del espacio limitada solamente por polígonos. Estos polígonos se llaman caras del poliedro. Los lados y los vértices de estos polígonos se llaman aristas y vértices del poliedro, respectivamente. • Cada una de las superficies plana que la limitan se llama cara del poliedro. • Cada dos caras se intersecan en un segmento de recta que se denomina arista del poliedro. • Cada tres o más aristas se intersecan en un punto llamado vértice del poliedro.

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EJERCICIOS

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a. PRISMAS RECTOS Los prismas rectos son poliedros limitados por dos polígonos paralelos y congruentes llamados bases y por caras laterales que son rectángulos perpendiculares a las bases.

Dependiendo del número de lados del polígono de las bases, es el nombre del prisma. El siguiente cuadro, muestra algunos prismas regulares rectos: Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

3 Cálculo del área del prisma recto El área total (

) de un prisma corresponde a la suma del área basal ( =

+

)y el área lateral (

)del prisma.

El área basal ( ) es igual a la suma de las dos áreas de las bases del prisma. El área de la base ( corresponde al área del polígono que determina la base.

)

= 2∙

El área lateral ( ) de un prisma recto es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que constituyen las caras laterales del prisma. Si ( ) representa el perímetro de la base de un prisma recto y ( ) la medida de su altura, entonces su área lateral se puede calcular con la siguiente fórmula: =

∙

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Ejemplo: ¿Cuál es el área total del prisma regular recto de la figura?

R/. El área total es de 810 cm2. Ejemplo: La apotema de la base del prisma regular de la figura mide 6√3 cm ¿Cuál es el área total del prisma? Solución: a. Se calcula la medida del lado de la base ( ). Como la apotema de la base mide 6√3 , entonces 6√3 = √3

b. Se calcula el área basal. c. Se calcula el área lateral d. Se calcula el área total

→

= 12

=2∙ =

=

⋅( )

⋅

√3

=2∙

⋅(

)

√3 = 432√3

= 6 ⋅ 12 ∙ 15 = 1080

+

= 432√3 + 1080 ≈ 1828,25

R/. El área total es de aproximadamente 1828,25 cm2 Cálculo del volumen del prisma recto

El volumen de un cuerpo geométrico es la medida del espacio que ocupa. El volumen calcula multiplicando la longitud de su altura, por el área de una de sus bases ( ) Ejemplo

=

⋅

de un prisma recto, se

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Ejemplo

Ejercicios 1. Calcule el área total y el volumen de las siguientes figuras:

2. Conteste las siguientes preguntas

3. Resuelva los siguientes ejercicios

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b. PIRÁMIDES RECTAS Una pirámide recta, es un cuerpo geométrico, que tiene como base un polígono regular y como cara laterales triángulos isósceles congruentes, que se unen en un punto llamado vértice de la pirámide. Este punto pertenece al segmento que es perpendicular a la base y que contiene al centro de la base.

Dependiendo del número de lados del polígono de las bases, es el nombre de la pirámide. El siguiente cuadro, muestra algunas pirámides rectas: Pirámides triangular Pirámides cuadrangular Pirámides pentagonal Pirámides hexagonal

En cualquier pirámide regular recta se pueden establecer las siguientes relaciones entre sus elementos, por medio del teorema de Pitágoras:

(

) =

+

+(

=

)

Ejemplo: ¿Cuál es la medida de la apotema de una pirámide regular recta, si la altura de la pirámide mide 8 cm y el lado de la base mide 6 cm? a. Se calcula la apotema de la base, si se sabe que el lado de la base mide 6, se obtiene la siguiente figura: =

⇒

=3∙

30 ÷

60

⇒

= √3

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b. Se calcula la apotema de la pirámide mediante el teorema de Pitágoras, así: Respuesta: La apotema de la pirámide mide √67 cm.

Cálculo del área de una pirámide recta

=

+

Ejemplo Si la altura de una pirámide regular hexagonal recta mide 12 cm y la arista de su base 16 cm. ¿Cuál es el área total de la pirámide? a. Se calcula la medida de la apotema de la base como el lado de la base mide 16, entonces ⇒

=

=8∙

b. Se calcula la medida de la apotema de la pirámide

60 ÷

30

⇒

, para poder determinar el área lateral

c. Se calcula el área lateral:

d. Se calcula el área total: =

+

= 8√3

= 384√3 + 192√21 ≈ 1544,96

Respuesta: el área total de la pirámide es aproximadamente 1544,96 cm2

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Ejemplo: Si el área basal de una pirámide regular recta es 64√2 dm2 y su altura 9 dm. ¿Cuál es el volumen de la pirámide? Solución: Respuesta: el volumen de la pirámide es 192√2 dm3 Ejemplo:

Si la altura de una pirámide regular cuadrangular recta mide 9 cm y la apotema de su base, 6√2 cm ¿Cuál es el volumen de esa pirámide? a. Se debe determinar la medida del lado de la base, como la apotema de un cuadrado mide la mitad de su lado, podemos afirmar que su lado mide12√2 b. Se calcula el área de la base: c. Se calcula el volumen de la pirámide:

=

= 12√2

= 288

1 1 ∙ ∙ = ∙ 288 ∙ 9 = 864 3 3 Respuesta: el volumen de la pirámide es 864 cm3 =

Ejercicios 1. Resuelva los siguientes problemas: a. Determine el área lateral de una pirámide regular triangular, si la apotema de la pirámide mide 10 cm y el radio de la base mide 8√3 cm. b. Calcule el volumen de una pirámide regular hexagonal recta, si la apotema de la pirámide mide 4√2 cm y la arista de la base 6 cm 2. Calcular el área total y el volumen de cada pirámide regular recta:

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3. Complete el cuadro con las medidas solicitadas, los datos corresponden a pirámide regulares rectas Base de la pirámide

a. triangular

Apotema de la base

Apotema de la pirámide

Arista lateral

8

c. pentagonal

18 2√3

Altura de la pirámide

10

b. cuadrangular d. hexagonal

Arista basal

10

6 10

4

4. Resuelva los siguientes problemas

5. Conteste las siguientes preguntas:

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c. CUBO El cubo es un prisma rectangular recto, que tiene todas sus aristas congruentes. También se llama hexaedro regular. Algunos de los elementos que se identifican en el cubo son los siguientes: • •

Arista: lados de las caras del cubo Diagonal: segmento que tiene por extremos dos vértices opuestos del cubo

Ejemplo

Ejemplo

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Ejemplo

Ejercicio 1. Complete el siguiente cuadro CUBO

A B C D E F

MEDIDA DE LA ARISTA

0,75 m

AREA DEL CUBO

120 m2

VOLUMEN DEL CUBO

625 m3

5m 8 m2

3√3m3

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2. CUERPOS REDONDOS a. CILINDRO El cilindro circular recto es un cuerpo geométrico que se obtiene del giro de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Algunos de los elementos que se identifican en un cilindro circular recto son los siguientes: •

Bases: son los dos círculos que son paralelos y congruentes.

•

Altura del cilindro: es el segmento que une los centros de las bases. Es perpendicular a los radios de las bases.

•

Radio del cilindro: es un radio de las bases del cilindro

Calculo del área de un cilindro circular recto Área basal Es igual a la suma de las áreas de las dos bases del cilindro. El área basal AB de un cilindro recto de radio r se calcula con la siguiente fórmula: =2⋅

Área lateral La superficie lateral de un cilindro circular recto es una superficie curva que si se extiende, forma un rectángulo como el siguiente: 2r h

El área lateral es igual al producto del perímetro de una de las bases (2 r) y la longitud de la altura del cilindro. El área basal AL de un cilindro recto de radio r se calcula con la siguiente fórmula: =2⋅

∙ ⋅

Área Total El área total de un cilindro se calcula sumando el área basal y el área lateral = 2⋅

+2⋅

∙ ⋅

= 2 ( + )

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Ejemplo:

Ejemplo: Si el área lateral de un cilindro circular recto es 24π dm2 y su altura mide 6 dm. ¿Cuál es su área total? Solución:

Respuesta: el área total del cilindro es 32π dm2 Cálculo del volumen de un cilindro recto Se calcula multiplicando el área de una de las bases por la medida de la altura del cilindro. El volumen V de un cilindro de radio r y altura h se calcula con la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Ejemplo

=

⋅

⋅

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Ejercicio 1. Calcule el área total de cada cilindro circular recto. Considere que en todos los cilindros P y Q son los centros de las bases.

2. Calcule el volumen de cada cilindro circular recto.

3. Conteste las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el área lateral, en centímetros cuadrados, de un cilindro recto, si su altura mide 20 cm y el diámetro de una de sus bases 16 cm? b. ¿Cuántos litros de agua caben en un envase con forma de cilindro circular recto, si tiene 20 cm de diámetro y 55 de altura? (1litro∼1000 cm3) c. ¿Cuál es la medida aproximada de la altura de un cilindro circular recto que tiene volumen de 92 cm3 y un radio de 5 cm? d. ¿Cuál es el área lateral de un cilindro circular recto, si el área de la base es 64π mm2 y la altura mide 8 mm? 4. Calcule el volumen de cada cilindro circular recto, según los datos

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5. Marque escriba una equis sobre la letra correspondiente a la letra de la opción correcta

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1.

a. 6,8 cm2 b. 27,5π dm2 c. 64π mm2

2.

a. 1215π cm3 b.

3.

a. 320 cm2 b. 5,5π l c.



4.

a. 2,4π mm3 b. 2π2 cm3 c.

5.

a. D

b. CONO

b. B

c. 5776π cm3 

d. 228π mm2 

d. 280π dam3

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Es un cuerpo geométrico que se obtiene del giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. En la siguiente figura se muestra el cono que se obtiene del giro del triangulo rectángulo AOB alrededor del cateto AO:

Algunos de los elementos que se identifican en un cono circular recto son los siguientes:

En cualquier cono circular recto, se pueden establecer las siguientes relaciones entre algunos de sus elementos: =√

+

=

−

=

−

Calculo del área de un cono circular recto Área basal Es igual al área de la base del cono. El área basal AB de un cono recto de radio r se calcula con la siguiente fórmula: =

Área lateral La superficie lateral de un cono circular recto es una superficie curva que si se extiende forma un sector circular como el siguiente: g superficie lateral de un cono

2r

El área basal AL de un cono recto de radio r se calcula con la siguiente fórmula:

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=

∙ ⋅

Área Total El área total de un cono se calcula sumando el área basal y el área lateral Ejemplo:

=

⋅

+

∙ ⋅

= ( + )

Ejemplo:

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Ejemplo:

Ejemplo:

=

1 ⋅⋅ 3

⋅

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Ejemplo:

Ejercicios: 1. Complete las siguientes proposiciones. Considere que g, r y h representan las medidas de una generatriz, de un radio y de la altura de un cono circular recto, respectivamente:

2. Calcule el volumen de cada cono circular recto según las medidas dadas. Considere que g, r y h representan las medidas de una generatriz, de un radio y de la altura de un cono circular recto, respectivamente:

3. Resuelva los siguientes ejercicios

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4. Marque escriba una equis sobre la letra correspondiente a la letra de la opción correcta

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c. ESFERA

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Se llama esfera a un cuerpo tal que todos los puntos de su superficie están a igual distancia de un mismo punto fijo llamado centro de la esfera. Algunas características importantes de la esfera, son: • El segmento que une cualquier punto de la esfera con el centro se llama radio; la longitud de este siempre es fija. • El diámetro de una esfera es el segmento que pasa por el centro de la esfera y une dos puntos de ella, su longitud es igual a la de dos radios. • La intersección de una esfera con un plano y que contiene al centro, se llama circunferencia máxima. Área de la esfera La superficie esférica puede considerarse como una zona esférica limitada por la circunferencia máxima y cuya altura es igual a su diámetro. Entonces el área de una esfera, se obtendrá de multiplicar la longitud de la circunferencia máxima y la longitud del diámetro.

Ejemplo:

=2

⋅ 2 = 4 ⋅

Volumen de la esfera El volumen V de una esfera de radio r se puede calcular con la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Ejercicios

=

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3. Marque escriba una equis sobre la letra correspondiente a la letra de la opción correcta

3. a) D b) C

TRABAJO EXTRA CLASE

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Resuelva tres de los ejercicios propuestos en el tema siguiente: AREA Y VOLUMEN DE OTROS CUERPOS GEOMETRICOS UNION DE CUERPOS GEOMETRICOS

Ejercicios Determinar el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos

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