Cuerpos de Revolución

 

CUERPOS DE REVOLUCIÓN. Cuando una figura plana gira alrededor de un eje se obtiene un cuerpo de revolución. Los tres cuerpos de revolució revolución n más importantes son el  el cilindro cilindro,, el  el  cono cono  y la  la esfera esfera..  La observación de la  la naturaleza naturaleza  nos muestra la existencia de variadas formas en los cuerpos materiales que la componen y nos proporciona la idea de  volumen de volumen,, superficie superficie,, línea línea,, y  y  punto punto..  Por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las  figuras geométricas  y, en muchos casos a formar “cuerpos” a partir de estas.  geométricas

Reseña histórica La Geometría La  Geometría  es una de las más antiguas  antiguas  ciencias ciencias.. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes,, áreas longitudes áreas  y volúmenes volúmenes..  En el  el Antiguo Egipto  Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de  de  Heródoto Heródoto,, Estrabón Estrabón  y Diodoro Sículo. Sículo.  Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen práctico, la Geometría (medición de la  la  Tierra Tierra)), de ser un conjunto de técnicas, pasó a constituir una disciplina  disciplina matemática matemática  formal, donde la figura geométrica es un ente abstracto y sus propiedades el objeto de estudio de la Geometría.

CILINDRO Definición y elementos El cilindro es el cuerpo que se obtiene a partir de un  rectángulo rectángulo  que gira alrededor de uno de sus lados.

 

Cálculo del área  Si se desarrolla la superficie lateral del cilindro de radio r y de altura h, se obtiene una superficie plana que es un rectángulo. El largo del rectángulo es igual a la longitud de las circunferencias que limitan las bases ( L= 2πr  )  ) y su altura es igual a la l a altura del cilindro.

Por tanto el área lateral (AL) del cilindro es igual al área del rectángulo ABCD obtenido.

El área total (AT) ( AT) del cilindro es igual a la suma del área lateral y las de sus dos bases.

Sustituyendo

Se obtiene:

Y es de esta forma que se puede hallar el área del cilindro.

Cálculo del volumen  El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura:

 

Esta misma fórmula es la que se utiliza para calcular el volumen de un cilindro.

CONO Definición y elementos El cono es el cuerpo obtenido de un  un triángulo rectángulo  rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.

Área del cono  Si se desarrolla la superficie lateral del cono de radio r , generatriz g  y altura h, se obtiene una superficie plana que es un  un  sector circular  circular de radio g , determinado por un  un arco arco  b cuya  cuya  longitud longitud  es igual a la longitud de la  la  circunferencia circunferencia  de la base: b = 2πr .

 

  Por tanto: El área lateral del cono es igual al área del sector circular así obtenido. El área del sector circular se calcula utilizando la proporción siguiente:

Sustituyendo en (1) 

El área total del cono circular recto es igual a la suma del área lateral y el  el área área  de su base.

 

Cálculo de su volumen  La relación que existe entre los volúmenes de un prisma y el de una pirámide que tengan iguales las bases y la altura, es la misma que existe entre los volúmenes de un cilindro y un cono que cumplan estas mismas condiciones. O sea: el volumen de un cono de radio r  y  y altura h es igual a la tercera parte del volumen del cilindro de igual radio y altura.

ESFERA Definición y elementos La esfera es el cuerpo que se obtiene a partir de un semicírculo que gira alrededor de su  su diámetro diámetro.. 

 

Cálculo del área de una esfera  El área de una esfera de radio r  es  es el área de la superficie curva que la limita:

Volumen de la esfera  El volumen de una  una  esfera esfera  de radio r  es:  es:

Se puede comprobar experimentalmente que el  el  volumen volumen  de un  un cono cono  de radio r  y  y la altura h con h = 2r , es igual a la mitad del volumen de la esfera del mismo radio.