Cuerpo de Profesores de Enseã‘Anza Secundaria

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Matemáticas Programación Didáctica

Juan Vera López Víctor López Fenoy

ESTA ESPECIAL IDAD

CONTIENE

Servicio Exclusivo Gratuito

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Matemáticas

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Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Matemáticas Programación Didáctica

Coordinación: Isabel García Lucas TRIVIUM. Centro de Oposiciones de Murcia

Juan Vera Lopez Catedrático de Matemáticas. Doctor en Matemáticas. Asesor del C.E. de la Región de Murcia. Victor López Fenoy Doctor en Ciencias Geológicas. Catedrático de Ciencias Naturales. Inspector de Educación.

© Editorial MAD, S.L. © Los autores. Segunda edición, diciembre 2007. Depósito Legal: SE-5686-2007 (278 páginas) Derechos de edición reservados a favor de EDITORIAL MAD, S.L. Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito del editor. IMPRESO EN ESPAÑA. Diseño Portada: EDITORIAL MAD, S.L. Edita: EDITORIAL MAD, S.L. Plg. Merka, c/B. Nave 1. 41500 ALCALÁ DE GUADAÍRA (Sevilla). Telf.: +34 902 452 900. WEB: www.mad.es ISBN-13: 978-84-665-8585-9. ISBN-10: 84-665-8585-0.

Presentación La promulgación de la Ley Orgánica 2/2006, de Educación, ha llevado consigo una serie de novedades en el ordenamiento jurídico educativo referidas algunas de ellas al ámbito de los cuerpos de funcionarios docentes. Esto, entre otras medidas legislativas, ha obligado a establecer un marco jurídico para reglamentar el acceso a los cuerpos de funcionarios docentes. Este marco jurídico se establece en el Real Decreto 276/2007, de 23 de febrero, por el que se aprueba el reglamento de ingreso, accesos y adquisición de nuevas especialidades en los centros docentes. El opositor a los cuerpos docentes, que viene preparando concienzudamente su oposición, normalmente tiene unos vacíos en cuanto a cuestiones legales y organizativas que son difíciles de rellenar si no existe un instrumento diseñado para que esto ocurra. Éste es el caso de la situación actual. Un opositor que no conoce desde dentro la práctica docente se encuentra desmarcado en cuanto a la preparación de una Programación Didáctica y de una Programación de Aula. Aunque existen en el mercado editorial muchos libros sobre Programación, no están encaminaGRVDOQHy¿WRVLQRPiVELHQDOHVSHFLDOLVWDFRQH[SHULHQFLD\VRQGLItFLOHVGHHQWHQGHULQFOXVRSRU licenciados universitarios no pedagogos. Por otra parte, con el nuevo Reglamento de Acceso a los Cuerpos Docentes, se introducen nuevos ejercicios y normas hasta ahora no practicadas y es normal que muchos opositores se encuentren inquietos y no tengan la base de experiencias anteriores (propias o ajenas) para seguir una norma en su preparación. Con este libro pretendemos rellenar ese hueco, proporcionando al lector-opositor los PHGLRVSDUDDIURQWDUODRSRVLFLyQFRQVX¿FLHQWHVJDUDQWtDVGHp[LWR El tema que nos ocupa es el de la Programación Didáctica y la elaboración de las Unidades Didácticas, cuya confección es para muchos aspirantes un arcano alejado de todos sus intereses y actividades anteriores, y que ahora se encuentran en la necesidad de prepararla y defenderla con VX¿FLHQWHIHFRPRSDUDVHUFUHtEOHDQWHXQWULEXQDOGHH[SHUWRV En este libro no se proporciona el pez, sino el aparejo completo. De esta forma, enseñando a pescar (programar), el pez (Programación Didáctica y Unidades Didácticas) será único, exclusivo, personal y, sin duda, mucho más satisfactorio. Es una preparación real y sincera. 2WUDFXHVWLyQLPSRUWDQWHHVHOGHEDWHDO¿QDOGHODVHJXQGDSUXHED(VHYLGHQWHTXHHOGHEDWH H[LJHXQDSUHSDUDFLyQ\XQDVHVWUDWHJLDVTXHWDPELpQVHSRGUiQHQFRQWUDUHQHVWHOLEUR3HUR¢FXiles pueden ser los motivos del debate? Evidentemente la respuesta es inmediata: la Programación Didáctica y las Unidades Didácticas presentadas. Sin embargo esta respuesta es demasiado simple. En la educación, en general, y en nuestro sistema educativo, en particular, existen numerosos temas, tan relacionados entre sí, que una simple pregunta se puede complicar con una segunda repregunta y así, como un manojo de cerezas, ir tirando una de otra alejándose cada vez más del objeto primitivo. En previsión de esta circunstancia procuramos salir en ayuda del opositor y para ello, a lo largo del texto se han ido introduciendo conceptos íntimamente ligados al proceso de la Programación y se han

GH¿QLGRVXVFRPSRQHQWHVVXVIXQFLRQHVHWFGHIRUPDTXHVHSUHWHQGHQRVyORTXHHOOHFWRURSRVLWRU sea capaz de hacer su propia Programación, sino que conozca bien su fundamentación y sea capaz de FRQWHVWDUDSUHJXQWDVUHIHULGDVDODPLVPDFRQVX¿FLHQWHVROWXUD Pero puede no acabarse el debate en la propia Programación de curso y de aula. Una cosa lleva a la otra y se puede, consciente o inconscientemente, escarbar en los conocimientos que pueda tener el opositor sobre cuestiones diversas, de difícil tratamiento por su enorme extensión. 3RUHVWRHQODSDUWH¿QDOGHOOLEURVHKDQVXSXHVWRXQDVHULHGHFXHVWLRQHVVREUHGLVWLQWRVWySLFRVXQSULPHUJUXSRTXHKHPRVGHQRPLQDGR³FXHVWLRQHVHVSHFt¿FDV´TXHVHUH¿HUHQH[FOXVLYDPHQWH DODVTXHVHSXHGHQGHULYDUGHOD3URJUDPDFLyQ\XQVHJXQGRJUXSRGH³FXHVWLRQHVJHQHUDOHV´TXH SXHGHQVXUJLUFRPRFRQVHFXHQFLDGHKDEHULQWURGXFLGRHQODUHVSXHVWDDOJ~QWpUPLQRGDWRRFRQFHSto que haya sugerido al tribunal una repregunta. 3RU~OWLPRFRQ¿DPRVHQTXHHVWHOLEURVLUYDDORSRVLWRUSDUDFRQVHJXLUHOREMHWLYRSURSXHVWR TXHHVWDPELpQHOQXHVWURORJUDUXQDSUHSDUDFLyQGHFDOLGDGTXHOHSHUPLWDVXSHUDUODRSRVLFLyQ

Los autores TRIVIUM. Centro de Oposiciones de Murcia.

Índice Parte I. La Programación................................................................................................

11

1. Concepto y sentido de la Programación ...........................................................

13

2. Características de la Programación ..................................................................

14

3. Funciones de la Programación .........................................................................

15

4. Programación Didáctica y Programación de Aula ...........................................

16

5. Elementos de la Programación .........................................................................

17

6. Después de la Programación ............................................................................

43

7. Cómo elaborar la Programación Didáctica ......................................................

43

8. La Programación de Aula. La Unidad Didáctica..............................................

50

9. Notas importantes .............................................................................................

60

Parte II. Programaciones de las asignaturas del Departamento de Matemáticas .....

63

Programacion Didáctica de las asignaturas de Matemáticas del 2.º ciclo de la ESO

67

Programación Didáctica de la asignatura de Matemáticas I de Bachillerato .......

185

Parte III. Actuación ante el tribunal ..............................................................................

249

1. Generalidades ...................................................................................................

251

2. Defensa de la Programación .............................................................................

253

3. Presentación de la Unidad Didáctica ................................................................

254

4. El debate ...........................................................................................................

255

Bibliografía .......................................................................................................................

273

Parte I. La Programación

Víctor López Fenoy Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1. CONCEPTO Y SENTIDO DE LA PROGRAMACIÓN 2. CARACTERÍSTICAS DE LA PROGRAMACIÓN 3. FUNCIONES DE LA PROGRAMACIÓN 4. PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Y PROGRAMACIÓN DE AULA 5. ELEMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN 5.1. ¿Para qué enseñar? Los objetivos 5.1.1. Objetivos de la enseñanza. Concepto y función de la educación intelectual 5.1.2. Objetivos en la Programación 5.2. ¿Qué enseñar? Los contenidos 5.3. ¿Cómo enseñar? Metodología, recursos, actividades 5.3.1. Metodología 5.3.2. Recursos 5.3.3. Actividades 5.3.4. Atención a la diversidad 5.3.5. Educación en valores 5.4. ¿Qué hay que evaluar, cuándo y cómo? 5.4.1. ¿Para qué evaluar? 5.4.2. ¿Qué evaluar? 5.4.3. ¿Cómo evaluar? 5.4.4. ¿Cuándo evaluar? 6. DESPUÉS DE LA PROGRAMACIÓN 7. CÓMO ELABORAR LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA 7.1. Primer paso 7.2. Segundo paso 7.3. Tercer paso 7.4. Cuarto paso 7.5. Quinto paso 7.6. Sexto paso 7.7. Séptimo paso 7.8. Octavo paso 7.9. Noveno paso 8. LA PROGRAMACIÓN DE AULA. LA UNIDAD DIDÁCTICA 9. NOTAS IMPORTANTES 9.1. La extensión 9.2. El currículo

1. CONCEPTO Y SENTIDO DE LA PROGRAMACIÓN Aunque hay diferentes acepciones del término programar, en su sentido más amplio se entiende como idear y ordenar las acciones necesarias para realizar un proyecto (RAE. Diccionario de la Lengua Española). La planificación es un aspecto esencial de cualquier actividad organizada y sistemática y hace referencia, en general, a la previsión de unos medios para conseguir unas metas determinadas. Continuamente estamos planificando, haciendo planes. A la hora de pensar en cualquier tarea que vayamos a llevar a cabo, con toda seguridad nos preguntamos, si es el caso, con quién, cómo la vamos a hacer, qué necesitamos para hacerla, en qué momento..., en definitiva, estamos iniciando el proceso de planificación. Hay, sin embargo, algunas actividades que no planificamos, son aquellas que realizamos de manera automática. Cuanto más compleja sea la tarea que vayamos a realizar, más necesidad tendremos de planificarla. Así, se habla de planificación económica, planificación empresarial, planificación familiar, etcétera. Planificar (en sentido riguroso) es prever racional y sistemáticamente las acciones que hay que realizar para la consecución adecuada de unos objetivos previamente establecidos. La planificación es una exigencia que se impone en todos los ámbitos de la actividad humana con un cierto grado de complejidad. No tiene sentido “hacer por hacer”, sin prever qué pretendemos, por qué motivos, con quién, cuándo y cómo se va ha realizar. Cuando hablamos del proceso de enseñanza-aprendizaje, la planificación, la elaboración de un plan que prevea su puesta en práctica, suele recibir el nombre de Programación. La Programación, en el contexto pedagógico, es el conjunto de acciones mediante las cuáles se transforman las intenciones educativas más generales en propuestas didácticas concretas que permitan alcanzar los objetivos previstos. Entendemos con Gimeno y Pérez Gómez (1985) que la Programación responde a un intento GHUDFLRQDOL]DUODSUiFWLFDSHGDJyJLFDGHWDOPDQHUDTXHpVWDQRGLVFXUUDGHIRUPDDUELWUDULD Programar es, por tanto, realizar un diseño de cómo queremos orientar la acción antes de TXHpVWDRFXUUD improvisadamente o de forma rutinaria. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Los términos “programación”, “planificación”, “diseño”… se refieren al proceso de toma de decisiones mediante el cual el profesor prevé su intervención educativa de una forma deliberada y sistemática (De Pablo y otros, 1992). El término Programación presenta dos significados: por una parte, el que alude a su sentido dinámico (la Programación como proceso) y el que se refiere al resultado a que da lugar dicho proceso (la Programación como producto). La enseñanza es una actividad intencionada, y no se puede dudar de que un criterio básico para realizar una actividad intencionada es confeccionar un plan de actuación, que será más o menos riguroso y sistemático en función de las personas que lo realicen, el contexto donde se inscriba o la complejidad de la actividad a desarrollar. Es obvio que la Programación es una cuestión que no aparece como consecuencia de los nuevos criterios derivados de las reformas educativas, sino que ha estado presente desde siempre en el profesorado. En el centro educativo siempre se ha programado la tarea educativa, aunque no siempre se ha puesto el énfasis en los mismos aspectos de la misma. La necesidad de diseñar una Programación que sistematice el proceso en el desarrollo de la acción didáctica está ampliamente justificada porque (Imbernón, 1992), (Pérez, 1995): –

Nos ayudará a eliminar el azar (en sentido negativo), lo cual no significa eliminar la capacidad de añadir nuevas ideas, corregir errores, rectificar previsiones, etcétera.

–

Evitará pérdidas de tiempo.

–

Sistematizará y ordenará el proceso de enseñanza-aprendizaje.

–

Permitirá adaptar el trabajo pedagógico a las características culturales y ambientales del contexto.

Al mismo tiempo, frente a algunas concepciones cerradas y rígidas, a nuestro entender, la Programación ha de contar con la suficiente flexibilidad y apertura para dejar posibilidades a la creatividad y a la reforma de sus elementos. La Programación es un proceso continuo que se preocupa no sólo de la meta hacia donde ir, sino también de cómo transitar hacia ella, a través de los medios y caminos adecuados. El hecho de estar decidiendo continuamente los medios más idóneos para llegar a donde pretendemos convierte a la Programación en una actividad siempre dinámica, no acabada ni rígida. Su función será determinar constantemente las prácticas educativas adecuadas al contexto para la consecución de los objetivos previstos.

2. CARACTERÍSTICAS DE LA PROGRAMACIÓN La Programación es, ante todo, un instrumento de planificación de la actividad del aula. Por ello es necesario que tenga unas características generales, de las que se pueden destacar las siguientes: –

Adecuación. La Programación debe adecuarse a un determinado contexto, como es el entorno social y cultural del centro, las características del alumnado, la experiencia previa del profesor, lo que implica tener en cuenta los aspectos más relevantes de dicho contexto que puedan incidir de forma significativa en los elementos que la componen. Esta especial atención al contexto permite atender las necesidades especiales de los distintos alumnos. Así es que la Programación deberá prever medidas para dar respuesta a los alumnos que presenten importantes dificultades de aprendizaje, bien sea por sus

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Aspectos generales

carencias, bien sea por ser extranjeros, pertenecer a grupos marginados, etc. Del mismo modo, y dentro de este grupo de alumnos con necesidades educativas especiales, habrá que prever la existencia de alumnos superdotados. –

Concreción. La Programación debe concretar el plan de actuación que se ha de llevar a cabo en el aula, para que resulte un instrumento realmente útil. Para ello debe contar con todos los elementos que se desarrollan en el apartado.

–

Flexibilidad. Aparentemente contradictoria con la característica de la concreción, pero no es así. A pesar de ser un propósito concreto, debe entenderse como un plan de actuación abierto, como una hipótesis de trabajo que puede y debe ser revisado, parcialmente o en su conjunto, cuando se detecten problemas o situaciones no previstas que requieran introducir cambios durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. Por tanto, hay que tener preparados los instrumentos de retroalimentación y de actuaciones alternativas.

–

Viabilidad. Es necesario que la Programación sea viable para que pueda cumplir adecuadamente con sus funciones, que se ajuste al tiempo disponible, que se cuente con los espacios y recursos previstos para llevar a cabo las actuaciones programadas y que la realización de las distintas actuaciones esté al alcance de todos los alumnos a los que vayan dirigidas. En este sentido, la experiencia docente y la revisión permanente de la propia práctica son referentes fundamentales para asegurar una Programación realista.

3. FUNCIONES DE LA PROGRAMACIÓN La Programación como agente de concreción del currículo tiene, entre otras, asignadas las siguientes funciones: 1. Planificar el proceso enseñanza-aprendizaje que se desarrolla en el aula. Para evitar actuaciones improvisadas y poco coherentes, contando con un instrumento de gran utilidad para introducir las correcciones que sean necesarias en los distintos elementos de la planificación. 2. Asegurar la coherencia entre las intenciones educativas del centro y la práctica docente. En las Programaciones toman cuerpo las propuestas concretas de actuación docente que emanan del claustro y del propio Proyecto Educativo. 3. Proporcionar elementos para el análisis, la revisión y la evaluación del Proyecto Educativo del centro. La Programación permite conocer de manera directa e inmediata el grado de adecuación y operatividad de los planes o acuerdos generales adoptados. 4. Promover la reflexión sobre la propia práctica docente. La puesta en práctica de la Programación permite que cada departamento didáctico y cada profesor se enfrente a su tarea de forma reflexiva, haciendo explícitas sus concepciones sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje y permite establecer un vínculo con el resto de los profesores, compartiendo experiencias, revisando y evaluando resultados y, en definitiva, aprendiendo y mejorando la práctica docente. 5. Facilitar la progresiva implicación de los alumnos en su propio proceso de aprendizaje. La Programación Didáctica, siempre a disposición de los alumnos, favorece la implicación de éstos en el proceso educacional, ya que les permite saber de antemano qué van a aprender, cómo van a trabajar y de qué manera van a ser evaluados. 6. Atender a la diversidad de intereses, motivaciones y características del alumnado. El hecho de la diversidad está presente en toda Programación, por lo que se aproxima a los intereses del alumno. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

4. PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Y PROGRAMACIÓN DE AULA Programar supone tomar en consideración los distintos elementos que intervienen en la acción enseñanza-aprendizaje, elementos que no constituyen entes aislados sino que, entre ellos, existen relaciones de interdependencia. Las decisiones en torno a los objetivos, contenidos, metodología, recursos didácticos y criterios y procedimientos de evaluación constituyen el núcleo de la Programación Didáctica que debe elaborar cada uno de los departamentos didácticos según se desprenda del currículo oficial de la Comunidad Autónoma o del Estado según los casos1. Partiendo de la Programación Didáctica, cada profesor del departamento debe concretar su plan de actuación que le va a servir de guía detallada de su actuación docente durante el curso escolar para cada uno de sus cursos y asignaturas. Esta segunda parte de la Programación Didáctica se suele denominar Programación de Aula.                       

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La Programación Didáctica, que forma parte de la Programación General Anual2, organiza las enseñanzas de cada asignatura a lo largo de la etapa correspondiente. En ella el Departamento Didáctico establece la adecuación, organización y secuencia de los objetivos, contenidos y criterios de evaluación para cada curso y asignatura y acuerda los principios metodológicos y recursos que se emplearán en la actuación docente.

1

En el caso de Ceuta, Melilla y los centros en el extranjero, el currículo de aplicación es el elaborado por el Estado. En todos los demás casos el currículo oficial es el de cada una de las Comunidades Autónomas.

2

La Programación General Anual (PGA) es un documento que elabora el Centro Educativo a través del Claustro de Profesores, el Consejo Escolar y, de forma definitiva, la Dirección, en el que basándose en lo establecido en el Proyecto Educativo del Centro se realiza un proyecto para el desarrollo del curso. En él se incluyen las Programaciones de los Departamentos Didácticos y del de Orientación, horarios, actividades complementarias y extraescolares, etc.

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Aspectos generales

La Programación de Aula deberá organizarse en una secuencia de Unidades Didácticas. Mientras que la responsabilidad de la Programación Didáctica es del departamento didáctico, la Programación de Aula lo es de cada profesor. No obstante, parece aconsejable que se elabore entre todos los profesores del departamento que impartan docencia en el mismo curso, en diferentes grupos, para obtener una mayor coherencia. Según lo explicado parece que se puede producir un conflicto de intereses entre el profesor como individuo autónomo, amparado en su práctica docente por la Constitución Española en su artículo 20.1.3 y la dependencia orgánica y funcional del propio departamento didáctico.

PROGRAMACIÓN

PARTICIPANTES

ÁMBITO

ELABORACIÓN

Didáctica

Profesorado del departamento Profesorado del mismo curso Profesor de grupo

Etapa Curso Grupo

A principio de curso A principio de curso A lo largo del curso

De aula

5. ELEMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN Diseñar y especificar los elementos de la Programación supone responder a una serie de preguntas que el docente tiene que plantearse cuando planifica su actuación didáctica. Dichas preguntas están reflejadas en el cuadro siguiente.

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Se reconocen y protegen los derechos: a) A expresar libremente los pensamientos, ideas y opiniones mediante la palabra, el escrito o cualquier otro medio de reproducción. E $ODSURGXFFLyQ\FUHDFLyQOLWHUDULDDUWtVWLFDFLHQWtILFD\WpFQLFD c) A la libertad de cátedra. d) A comunicar o recibir libremente información veraz por cualquier medio de difusión. La ley regulará el derecho a la cláusula de conciencia y al secreto profesional en el ejercicio de estas libertades. Aunque todos estos derechos afectan de una manera u otra a la profesión docente, especialmente el c) es exclusivo de ésta.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Respecto a dichos elementos de la Programación no hay un acuerdo unánime entre los especialistas sobre cómo debe ser exactamente el diseño, el orden y el contenido preciso de cada uno. Lo primordial, a nuestro modo de ver, es tener claro lo que queremos hacer y dar una respuesta adecuada y coherente a la actuación didáctica que vamos a realizar. La Programación no debe ser un fin en sí mismo, ha de ser un instrumento puesto al servicio del proceso de enseñanza-aprendizaje. Las características de cada uno de los elementos dependerán, a su vez, del tipo de Programación que vamos a desarrollar. Desde nuestro punto de vista lo importante de la Programación no es su aspecto formal, la manera de diseñarla. Hay muchas maneras de realizar una Programación y en ningún caso se puede entender que es una fórmula mágica que va a resolver todos nuestros problemas. Lo verdaderamente importante es contar con un recurso que nos sirva de guía de las actividades que vamos a emprender y que constituya un instrumento de reflexión continua sobre el proceso, de tal manera que nos permita mejorarlo y, al mismo tiempo, mejorar nuestra propia formación. Pasamos ya a abordar cada una de las respuestas a las preguntas que nos hemos planteado anteriormente.

5.1. ¿Para qué enseñar? Los objetivos 2EMHWLYRVGHODHQVHxDQ]D&RQFHSWR\IXQFLyQGHODHGXFDFLyQ intelectual La educación intelectual representa un determinado perfeccionamiento de las potencias cognoscitivas del ser humano. Sin embargo, su concepto específico es preciso y restringido. Educar el intelecto no es sólo suministrarle determinados conocimientos (informarlo), que pueden incluso ser inútiles o superficiales, sino también dar forma, es decir, una estructura, unas dimensiones, un orden a los conocimientos, lo que deriva en una determinada posesión, estable y profunda, de las bases de lo escible (formarlo). La correcta asimilación de los conocimientos es lo que, con una expresión clásica, se ha denominado instrucción (de instruere, construir dentro). Un ulterior aspecto de la educación intelectual es la adquisición de hábitos, es decir, capacidades consolidadas para adquirir una nueva ciencia, para seleccionar ideas y hechos, para elaborar por cuenta propia datos básicos y conceptos derivados.

2EMHWLYRVHQOD3URJUDPDFLyQ Los objetivos constituyen una guía inmediata para la planificación del aprendizaje y han de formularse explícitamente. A través de los objetivos se definen las intenciones educativas con respecto a los alumnos. Al mismo tiempo, proporcionan criterios de valoración del proceso y de los resultados. Los objetivos son el referente indispensable para la evaluación del grado de los diferentes tipos de capacidades adquiridos por los alumnos. 18

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Aspectos generales

Dependiendo del tipo de Programación, tendremos que concretar más (de aula) o menos (didáctica) los objetivos, respectivamente. Según el grado de concreción se suele hablar de objetivos generales para la Programación Didáctica y de objetivos específicos o didácticos para una Programación de las Unidades Didácticas. El mayor grado de concreción lo constituyen los objetivos operativos en los que se requiere explicitar los comportamientos observables esperados, el contenido, las condiciones en que se desarrolla el aprendizaje y el criterio de evaluación. Numerosos autores han criticado este enfoque de los objetivos por entender que coartan la libertad y la creatividad haciendo que el proceso sea muy cerrado y mecanizado. Otros, en cambio, resaltan su eficacia, sobre todo cuando se trata de aprender contenidos relacionados con técnicas, habilidades, trabajos muy concretos, etcétera. La formulación o diseño de los objetivos debe adaptarse a la realidad de los alumnos, al proceso de instrucción y a los resultados que se esperan obtener. Los objetivos se suelen redactar con el verbo en infinitivo, aunque desde nuestro punto de vista este aspecto no tiene una gran trascendencia. Ejemplos de objetivos serían los siguientes: –

Para el ámbito conceptual: comprender, entender, reflexionar, relacionar, identificar, reconocer, definir...

–

Para el ámbito procedimental: aplicar, dibujar, construir, experimentar, diseñar, elaborar, transportar, cavar, enseñar…

–

Para el ámbito actitudinal: aceptar, tolerar, responsabilizarse, apreciar, valorar, colaborar, cooperar...

En conclusión, los objetivos señalan las capacidades que esperamos que desarrollen los alumnos como consecuencia del proceso de enseñanza-aprendizaje y cumplen dos funciones básicas: –

Servir de guía al proceso.

–

Proporcionar criterios para su control.

5.2. ¿Qué enseñar? Los contenidos Los contenidos se pueden definir como el conjunto de saberes: hechos, conceptos, habilidades, actitudes, en torno al cual se organizan las actividades en el lugar de enseñanza (taller, aula, etc.). Constituyen el elemento que el profesor trabaja con los alumnos para conseguir las capacidades expresadas en los objetivos. Las nuevas corrientes pedagógicas suelen distinguir tres tipos de contenidos. Estos contenidos son de diversa naturaleza: conceptuales, procedimentales y actitudinales. a) Contenidos conceptuales: recogen los hechos conceptuales y principios de los bloque del contenido citado anteriormente. b) Contenidos procedimentales: responden a la pregunta ¿cómo enseñar? Y además señalan procedimientos y estrategias de enseñanza como los siguientes: –

Manejo de instrumentos de medida sencillos (balanza, probeta, termómetro...) e instrumentos de decantación, filtración, centrifugación...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

–

Identificación y análisis de situaciones de la vida cotidiana en las que intervengan fenómenos y hechos estudiados por la asignatura.

–

Utilización del método científico en la elaboración de hipótesis explicativas de fenómenos estudiados.

–

Análisis y comparación de modelos y elaboración de conclusiones e identificación, mediante claves y experiencias, de seres, datos, fenómenos, hechos, etc., en las materias experimentales.

–

Utilización de instrumentos específicos como brújula, ordenador, microscopio, lupas, mapas, tablas, textos, dibujos, figuras, etc., propios de cada materia, área o asignatura.

–

Investigación de gráficas.

–

….

c) Contenidos actitudinales: responden a la pregunta ¿por qué enseñar? como: –

Reconocimiento de la importancia de los modelos y de su confrontación con los hechos empíricos.

–

Valoración de la provisionalidad del conocimiento científico y el carácter cambiante de la ciencia.

–

Toma de conciencia de la limitación de los recursos y valoración de la utilización racional de los recursos e importancia de las intervenciones humanas en la Naturaleza.

–

Valoración de la capacidad de la ciencia para dar respuesta a innumerables interrogantes humanos.

–

Ponderación en los juicios y valoración de las opiniones ajenas.

–

Solidaridad con los desfavorecidos.

–

Tolerancia y respeto por las diferencias individuales.

–

Valoración de la higiene y sus efectos en el cuidado del propio cuerpo.

–

Actitud responsable y crítica ante las sugerencias del consumo de drogas.

–

Sensibilidad hacia la realización cuidadosa de experiencias, con la elección adecuada de instrumentos de medida y el manejo correcto de los mismos.

–

….

Por otra parte, los contenidos se deben especificar más o menos según el tipo de programación. Respecto a la secuenciación o sucesión ordenada de los contenidos, se suele hacer en relación a su grado de dificultad o en base a la lógica interna de la materia o tipo de trabajo que se pretende enseñar.

5.3. ¿Cómo enseñar? Metodología, recursos, actividades 0HWRGRORJtD La metodología hace referencia a los criterios y decisiones que organizan la acción didáctica y comprende diversos aspectos: papel que juega el profesor (más o menos directivo), papel de los alumnos (más o menos activos), técnicas didácticas (métodos inductivos, deductivos, de descubrimiento, de exposición, de demostración, cooperativos, competitivos, etc.) y tipos de agrupamiento de los alumnos (individuales o de grupo). 20

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Aspectos generales

5.3.1.1. Principios metodológicos generales I. Partir del nivel de desarrollo del alumno Esto exige tener en cuenta las características del nivel evolutivo en que se encuentra el alumno, que determinan, en gran medida, las capacidades que posee, así como sus posibilidades de razonamiento y aprendizaje, todo lo cual constituye su nivel de competencia cognitiva. Por otra parte, es necesario tener en cuenta también los conocimientos y representaciones que el alumno ya posee y que le sirven como punto de partida e instrumento de interpretación de la nueva información que le llega. Es lo que se suele denominar “conocimientos previos pertinentes”. II. Asegurar la construcción de aprendizajes significativos El proceso de enseñanza y aprendizaje puede dar lugar tanto a aprendizajes significativos como a aprendizajes repetitivos. Para asegurar un aprendizaje significativo deben cumplirse una serie de condiciones. En primer lugar, el contenido debe ser potencialmente significativo, tanto desde el punto de vista de la estructura lógica de la disciplina o área que se esté trabajando, como desde el punto de vista de la estructura psicológica del alumno. Una segunda condición se refiere a la necesidad de que el alumno tenga una actitud favorable para aprender significativamente, es decir, que esté motivado para conectar lo nuevo que está aprendiendo con lo que ya sabe. La significatividad del aprendizaje está muy vinculada a su funcionalidad. El aprendizaje funcional es aquel que puede ser aplicado y generalizado a contextos y situaciones distintas de aquellas en las que se originó. III. Posibilitar que los alumnos realicen aprendizajes significativos por sí solos Se trata de conseguir que los alumnos sean capaces de aprender a aprender. Por tanto, hay que prestar especial atención a la adquisición de estrategias cognitivas de planificación y regulación de la propia actividad de aprendizaje. Todo aprendizaje significativo supone memorización comprensiva: la memoria no es sólo el recuerdo de lo aprendido, sino el punto de partida para realizar nuevos aprendizajes. IV. Modificar los esquemas de conocimiento que el alumno posee La estructura cognitiva del sujeto se concibe como un conjunto de esquemas de conocimiento que recoge informaciones que pueden estar organizadas en mayor o menor grado y, por tanto, ser más o menos adecuadas a la realidad. Durante el proceso de aprendizaje, el alumno debería recibir información que entre en alguna contradicción con los conocimientos que hasta ese momento posee, y que de ese modo rompa el equilibrio inicial de sus esquemas de conocimiento. Si la tarea que se le propone está excesivamente alejada de su capacidad, no conseguirá conectar con los conocimientos previos; por tanto, no supondrá ninguna modificación de sus esquemas de conocimiento. Si la tarea que se le plantea es, por el contrario, excesivamente familiar al alumno, éste la resolverá de una manera automática, sin que le suponga un nuevo aprendizaje. Esa fase inicial de desequilibrio debe ir seguida de un nuevo reequilibrio, el cual depende en gran medida de la intervención educativa, es decir, del grado y tipo de ayuda pedagógica que el alumno reciba. V. Propiciar una intensa actividad-interactividad por parte del alumno Esta actividad consiste en establecer relaciones ricas entre el nuevo contenido y los esquemas de conocimiento ya existentes, y se concibe como un proceso de naturaleza fundamentalmente interna y no simplemente manipulativa. Si después de la manipulación no se produce un proceso de reflexión sobre la acción, no se está llevando a cabo una verdadera actividad intelectual. En la educación escolar hay que distinguir entre aquello que el alumno es capaz de hacer y de aprender por sí solo y lo que es capaz de aprender con la ayuda de otras personas. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

La zona que se configura entre estos dos niveles (zona de desarrollo próximo) delimita el margen de incidencia de la acción educativa. El profesor debe intervenir en aquellas actividades que un alumno todavía no es capaz de realizar por sí mismo, pero que puede llegar a solucionar si recibe la ayuda pedagógica conveniente. La intervención educativa es un proceso de interactividad profesor-alumno o alumno-alumno. De ahí que se hable de un proceso de enseñanza y aprendizaje en el que destacan los dos polos que en él se producen. La mejor ayuda pedagógica será aquella que se plasme en diferentes grados de intervención, según los casos. Por lo que se refiere a la interacción alumno-alumno, las actividades que favorecen trabajos cooperativos, aquellas que provocan conflictos sociocognitivos en los que se confrontan distintos puntos de vista, o aquellas en las que se establecen relaciones de tipo tutorial en las que un alumno cumple la función de profesor con otro compañero, son las que han mostrado repercusiones más positivas en el proceso de enseñanza y aprendizaje. VI. El enfoque globalizador A medida que se van sucediendo las etapas educativas la enseñanza va pasando de más globalizada a más disciplinar. El enfoque globalizador presupone que debe partirse de realidades significativas para el alumno de temas de trabajo que contemplen la complejidad y generalidad con la que en su mundo se plantean los hechos y acontecimientos, para después pasar a una reflexión de los mismos y a los consiguientes análisis que hagan posible, a su nivel, una explicación ajustada de esa realidad. Compartimos con Zabala (1992) la idea de que no se trata, en este caso, de elegir un modelo metodológico con unas pautas totalmente definidas (como, por ejemplo, el método de la globalización propuesto por Declory, que, por otra parte, tiene interesantes aplicaciones), sino, más bien, de adoptar un punto de vista, un enfoque. Los núcleos o centros en torno a los cuales se trabajen los distintos contenidos deben partir de los intereses de los alumnos (más o menos explícitos o concretos) que deben ser detectados por los profesores mediante diferentes procedimientos. El enfoque globalizador permite que se establezcan el mayor número de relaciones entre los conocimientos múltiples y variados que tiene el alumno y los nuevos que va a aprender. Se relaciona, así, el enfoque globalizador con el aprendizaje significativo. Este planteamiento dará lugar a que el alumno sea capaz de atribuirle más sentido a lo que aprende y, por tanto, da más posibilidades a que ese aprendizaje pueda ser utilizado en otros momentos (aprendizaje funcional). Lo verdaderamente importante, más que la aplicación de métodos concretos, es que el enfoque sea globalizador, que el aprendizaje de los contenidos no se realice de forma más o menos arbitraria, sino situándolo en función de unas necesidades de conocimiento, o de respuesta a unos problemas más amplios que los puramente disciplinarios.

5.3.1.2. Agrupamientos En el grupo clase se pueden dar distintos tipos de agrupamiento (Rubio, 2000) según el tamaño de los grupos: gran grupo, grupo medio, grupo pequeño, trabajo individual. Nosotros nos detendremos en los tres últimos: a) Grupo medio (grupo clase), para:

22

–

Debates, puesta en común.

–

Soluciones de problemas, acuerdos y desacuerdos. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

–

Mejora de las relaciones personales.

–

Determinar normas.

b) Grupo pequeño (equipos de trabajo de 4/5 alumnos para desarrollo de proyectos, experiencias, discusión, etc.). Útil para: –

Favorecer la individualización y aprendizaje significativo.

–

Actitudes cooperativas.

–

Introducir nuevos conceptos de especial dificultad.

–

Aclarar información que se ha dado previamente en el gran grupo.

–

Enriquecer al grupo con aportaciones diferenciadas.

–

Autonomía y responsabilidad.

c) Trabajo individual para favorecer la reflexión y la práctica sobre los diversos contenidos de forma personalizada: –

Afianzar conceptos.

–

Comprobar nivel del alumno.

–

Detectar dificultades.

–

Lecturas, observación, redacción, reflexión, preparación, explicación oral a los compañeros de trabajos.

–

Trabajo de automatismos, técnicas, etc.

Ayuso (1990), citado por Rubio (2000), establece una clasificación de los diferentes agrupamientos en el aula, relacionándola con su utilización y analizando las ventajas e inconvenientes de los mismos (adaptado por el autor): a) Pequeño grupo (4-5 alumnos). Indicado para la realización de trabajos que exijan búsqueda de información, aclaración de consignas y conceptos dados previamente en gran grupo, para desarrollar actitudes cooperativas. Ventajas: –

Permite el trabajo cooperativo, el intercambio de opiniones y la búsqueda de soluciones conjuntas.

–

Forma más adecuada para entrenarles en la solución de problemas.

–

Aumenta el número de variables (opiniones desde diferentes puntos de vista).

–

Permite observar el comportamiento de los alumnos en grupo (inhibición, pasotismo, liderazgo...).

–

Los alumnos adaptan el tiempo a su propio ritmo.

–

Permite detectar necesidades individuales.

Inconvenientes: –

Requiere planificación cuidada de las tareas a realizar.

–

Dificultad para evaluar lo realizado y aprendido por cada alumno.

–

Puede haber alumnos que no participen.

–

Se diluyen los éxitos individuales en los resultados grupales.

MATEMÁTICAS

23

La Programación Didáctica

–

No aconsejable para tareas de alta concentración del alumno.

–

Requiere una cierta madurez para aprender interactuando.

b) Trabajo individual. Permite mayor grado de individuación adecuándose al ritmo y posibilidades de cada uno, proporcionándole todo tipo de ayuda y estructurando la situación. Ventajas: –

Es la forma más adecuada, a veces la única, de enseñar a algunos alumnos determinadas habilidades.

–

Se puede adaptar la intervención a las necesidades concretas, ofreciéndole ayudas específicas según las dificultades.

–

Permite altos índices de sistematización y estructuración de las tareas y situaciones, así como centrar al alumno en aspectos concretos.

–

Permite conocer y evaluar al alumno con profundidad.

Inconvenientes: –

Requiere tiempo por parte del profesor (planificación de tareas, preparación de materiales individuales, intervención).

–

Requiere una determinada organización de los elementos personales, materiales y del aula.

–

No permite enseñar y aprender determinadas habilidades sociales.

–

Limita el uso del lenguaje funcional como elemento de comunicación espontánea.

5.3.1.3. El esfuerzo y la responsabilidad en el trabajo La Ley Orgánica de la Calidad de la Educación de 23 de diciembre de 2002, parcialmente derogada, subraya la importancia del esfuerzo (cultura del esfuerzo) y la responsabilidad para la consecución de los aprendizajes. En diversos apartados de la citada Ley aparecen el esfuerzo y la responsabilidad como aspectos relevantes. Por otra parte, la Ley Orgánica 2/2006, de Educación (LOE), abunda en este criterio estableciendo en el artículo 1. Principios: El sistema educativo español, configurado de acuerdo con los valores de la Constitución y asentado en el respeto a los derechos y libertades reconocidos en ella, se inspira en los siguientes principios: ... g) El esfuerzo individual y la motivación del alumnado. h) El esfuerzo compartido por alumnado, familias, profesores y centros...

En el artículo 23. Objetivos (ESO), destaca: a) Asumir responsablemente sus deberes... b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para la realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

5.3.2. Recursos Están constituidos por diversos materiales y equipos que ayudarán al profesor a presentar y desarrollar los contenidos, y a los alumnos a adquirir los conocimientos y destrezas necesarias. 24

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

Es muy importante a la hora de programar decidir con qué recursos vamos a contar, si están disponibles, si hay que adquirirlos o construirlos, etc. En cualquier caso, los recursos nunca son un fin en sí mismos sino un medio para alcanzar los objetivos. Los recursos materiales constituyen un elemento muy importante en la metodología y práctica educativa. De su selección y buen uso depende, en gran medida, el éxito en el cumplimiento de los objetivos. La selección de los recursos materiales debe responder a criterios que tengan en cuenta el contexto educativo, las características de los alumnos y sobre todo que se utilicen con esos fines e intenciones. Siguiendo a Dale, el material didáctico se pude clasificar en cuatro grandes grupos: a) Poco simbólicos. Son de participación directa del alumno y pueden ser de actividades de tipo directo (utilizando objetos y material “real”) y de actividades reconstruidas (modelos o maquetas). b) De observación directa. Como en las demostraciones del profesor o en las excursiones y visitas fuera del aula. c) Audiovisuales. Implican un mayor grado de codificación: diapositivas, películas, vídeos, murales, láminas, programas informáticos, etc. d) Simbólicos. Como los libros (de texto o de consulta), representaciones gráficas, ecuaciones, diagramas, etc. Como se puede comprobar, la clasificación de Dale va desde lo más concreto a lo más abstracto o general. Esta gradación se puede aplicar a un mismo tema o unidad, e incluso, si se utiliza un medio inductivo, por ese mismo orden.

5.3.2.1. Modelos Los contenidos abstractos del currículo deben ser relacionados, en lo posible, con la realidad concreta para obtener el mejor éxito docente. Para ello, y para no caer en el excesivo formalismo y simbolismo, es necesario que se aplique la metodología de modelos. Se puede hablar de modelos analógicos cuando se pretende alcanzar un razonamiento por analogía. Muchos filósofos y científicos, para explicar sus teorías, recurren al símil analógico. Por ejemplo, se suelen interpretar fenómenos y procesos de orden psicobiológico utilizando analogías con redes o circuitos eléctricos. Esta metodología es de máximo interés en alumnos de Primaria y primer ciclo de Secundaria, con menor capacidad de abstracción. Algunas analogías se plasman en modelos analógicos, que se fabrican y distribuyen, como circuitos de agua para explicar la ley de Ohm, modelos espaciales que simulan enlaces químicos o redes cristalinas, etc. Por otra parte, los modelos a escala representan mayor fidelidad a los entes reales y no “por comparación”, como los analógicos, con ampliación o reducción de las dimensiones naturales (maquetas, planetarios, seres naturales clásticos o desmontables, modelos de fábricas, etc.). En todos los casos hay que reflexionar sobre el alcance de la identificación entre el modelo y el hecho real. Hay que tener en cuenta, y el alumno debe ser muy consciente de ello, que los modelos tienen solamente carácter representativo, evitando caer en el error de la identificación absoluta modelo-hecho real. MATEMÁTICAS

25

La Programación Didáctica

5.3.2.2. Material audiovisual Es cada vez más completa la oferta de este tipo de material docente. La aparición de las nuevas tecnologías ha supuesto un cambio en las teorías clásicas de la comunicación y permiten al usuario ser emisor y receptor de mensajes: MATERIALES AUDIOVISUALES Aparatos de registro y/o reproducción de imágenes

Aparatos de registro y/o reproducción de imágenes y sonido

Medios de comunicación de masas

Aparatos de registro y/o reproducción de sonidos

– Cámara fotográfica.

Equipos de vídeo:

– Radio.

– Sintonizador de radio.

– Fotocopiadora.

– Magnetoscopio.

– Televisión.

– Magnetófonos.

– Proyector de diaposi- – Televisor/monitor. tivas. – Cámara. – Retroproyector. – Auxiliares (mesas de edición, efectos, etc.). – Proyector de opacos.

– Radiocasetes. – Reproductor de CD. – Reproductor de DVD.

5.3.2.3. Material informático Es el máximo exponente de las nuevas tecnologías. Estos recursos se dividen en Hardware y Software. El Hardware es el conjunto de soportes físicos que componen el ordenador y sus dispositivos. El Software es el conjunto de programas que contienen la información y con los que pueden realizarse distintas utilidades. En resumen, los recursos informáticos se representan en el siguiente esquema:      

               

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26

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

Criterios para el análisis y selección de los materiales didácticos Todos los recursos materiales propuestos son importantes para el desarrollo del currículo. El análisis del material didáctico puede comenzar con la observación de sus características y la exploración de sus posibilidades de utilización. Es necesario distinguir los materiales didácticos como medios, herramientas o tecnologías de los contenidos que se transmiten a través de ellos. En este sentido, en la informática es clara la distinción entre Hardware y Software. En el primero, nuestro análisis se dirige a tratar de comprender su funcionamiento y reflexionar sobre cómo y cuándo puede sacársele el mejor partido. Sin embargo, respecto al segundo, tenemos que entrar a valorar los contenidos concretos de diferentes programas, comparando sus cualidades didácticas, para seleccionar aquéllos que mejor se adapten a nuestra programación. Lo mismo ocurre con los medios audiovisuales. Por ejemplo, las cámaras, proyectores, magnetoscopio, televisor, etc., son materiales didácticos de indudable utilidad, por lo que la preocupación del profesorado respecto a ellos se deberá centrar en mejorar su capacitación para utilizarlos. Pero los materiales de paso: diapositivas, cintas, transparencias, etc., soportan la información que se transmite a través de estos aparatos, por lo que habrá que analizar y valorar sus contenidos. La selección de recursos del entorno e instrumentales estará en función de su utilidad concreta para las distintas unidades didácticas de la Programación. Los criterios para el análisis y selección del material didáctico pueden ser: de carácter práctico, basados en las cualidades del propio recurso, pedagógicos y psicológicos. –

Criterios prácticos. Se refieren a la facilidad para conseguir y disponer temporalmente de un determinado recurso. Aunque éste sea considerado de gran utilidad para desarrollar alguna actividad de aprendizaje, el profesor tendrá que considerar si le es posible conseguirlo, en qué condiciones y durante cuánto tiempo va a poder disfrutar de su uso, si sabe manejarlo o necesita formación para ello, etc. Después podrá decidir si incluye ese recurso en su Programación o busca otra alternativa. La durabilidad y la polivalencia son características valiosas del material. Algunos tienen una única forma de utilización y su interés se agota rápidamente. Sin embargo, otros son más abiertos a la creatividad, ya que pueden usarse de varias formas, sirven para desarrollar muchos contenidos o incluso permiten al profesor descubrir nuevas formas de aplicación. Cualidades propias del material didáctico. Pueden ser materiales, formales o de contenidos:

–

*

Cualidades materiales: se refieren a las cualidades técnicas, el tamaño y la resistencia.

*

Cualidades formales: como la presentación, el diseño, las ilustraciones, etc., que influyen en la capacidad para atraer la atención y motivar el interés hacia su utilización.

*

Cualidades de contenidos: abarcan la precisión y la validez de los conceptos que transmite el recurso, la claridad con que los expone y la coherencia o lógica interna de la estructura y secuencialidad del material.

Criterios pedagógicos. En el análisis del material hay que considerar una serie de criterios de carácter pedagógico que tienen la finalidad de valorar la relación existente entre cualidades propias del material y su utilidad educativa. En concreto habrá que responder a las siguientes preguntas. *

¿Los objetivos que subyacen en el material se corresponden con alguno de los objetivos que perseguimos?

*

¿Los contenidos que presenta el material se corresponden con los contenidos que pretendemos trabajar?

MATEMÁTICAS

27

La Programación Didáctica

–

*

Las actividades que se proponen en el material o se pueden realizar con él, ¿son adecuadas a los contenidos? ¿Cumplen las condiciones necesarias para que se produzcan aprendizajes significativos? ¿Están secuenciadas con una progresión y continuidad adecuada?

*

¿Es compatible con la metodología que queremos aplicar en el aula?

*

¿Es adecuado para el contexto concreto de nuestro centro?

Criterios psicológicos. Al valorar el material didáctico, lógicamente se habrá de tener también en cuenta al alumnado. En este sentido, podemos analizar la capacidad de éste para conectar con los intereses de los alumnos y la adecuación a sus capacidades cognitivas según el nivel evolutivo propio de la edad. La conexión del material didáctico con los intereses de los alumnos depende de: *

La capacidad motivadora de los contenidos que transmite y las actividades que propone.

*

La posibilidad de realizar aprendizajes funcionales con él.

*

La capacidad del medio empleado para atraer y mantener la atención.

*

La posibilidad de que el alumno interactúe con el material utilizado.

5.3.2.4. Recursos impresos –

Libros de texto En los últimos años, y sobre todo a partir de la implantación de la LOGSE, el concepto tradicional de libro de texto ha sufrido un rotundo cambio, paralelo al que ha soportado la metodología didáctica, en general. En efecto, en los libros de texto actuales se reducen sensiblemente los contenidos, pasando de manuales extensos y descriptivos a ser concisos y concretos. Los distintos proyectos contemplan unos pocos esquemas conceptuales sobre los que se articula. Se trata de que el alumno sea un sujeto activo en el aprendizaje al enfrentarse no a un sinfín de conceptos sino a reflexiones, relaciones, problemas y cuestiones de naturaleza discursiva. En algunos países se han suprimido los libros de texto en su sentido estricto y han sido sustituidos por unas unidades didácticas en las que se incluyen dilemas a los que hay que encontrar respuesta adecuada a través de diversas fuentes (experiencias, bibliografía de aula, revistas, etc.). Existe una relación inversa respecto a la importancia del libro del profesor respecto al de texto del alumno, por lo que, últimamente, el libro del profesor es imprescindible para poder guiar al docente en la potenciación de la acción personal del alumno. En este contexto se hace necesario hacer una profunda reflexión antes de decidir qué libro de texto se va a adoptar. Owen considera que hay que tener en cuenta los siguientes criterios: 1. Análisis de los puntos de vista del autor, reflejados en el prólogo y en diferentes lugares. 2. Adaptabilidad de los contenidos a los objetivos de curso previstos. 3. Valor como instrumento de enseñanza-aprendizaje. 4. Grado en que el libro incorpora elementos de pensamiento crítico. 5. Análisis epistemológico de las leyes, teoremas, generalizaciones y modelos presentados. Ver si el libro ofrece argumentos experimentales, inductivo-deductivos e históricos que avalen y den sentido a todas sus estructuras conceptuales.

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

6. Grado de interés del libro para los estudiantes (analizar las reacciones de los alumnos ante su utilización). 7. Fluidez de expresión y sencillez de lectura (analizar las dificultades de comprensión del texto por parte de los alumnos). 8. Valor de las ilustraciones como elementos de refuerzo de aprendizaje. 9. Grado de actualidad de las materias y los temas incluidos. 10. Modos de tratar los temas más difíciles o controvertidos. Es en estos temas donde mejor se pone de manifiesto la habilidad didáctica del autor o autores del libro. –

Otro material impreso *

Materiales curriculares. El currículo oficial del Ministerio, los desarrollos curriculares de las Comunidades Autónomas, el proyecto educativo del centro, la Programación del departamento...

*

Libros de consulta. También pueden ser considerados materiales curriculares. La bibliografía necesaria puede incluir libros y artículos referidos a didáctica general, didáctica específica del área, fuentes epistemológicas (teorías científicas, historia de la ciencia, coleccionismo, divulgación, etc.), o fuentes psicológicas (teorías de aprendizaje, psicología de la percepción, creatividad, etc.).

*

Esquemas. Los mapas conceptuales son gráficos que organizan, relacionan y jerarquizan conceptos. Muchas veces serán realizados por los alumnos como estrategia de aprendizaje y servirán al profesor para detectar las ideas previas sobre un determinado tema. También pueden ser utilizados por el profesor como apoyo a sus explicaciones sobre contenidos conceptuales.

*

Fichas de trabajo. Algunas son instrumentos que sirven para el aprendizaje de los alumnos. Constan de una serie de preguntas que los alumnos tendrán que contestar de forma escrita o gráfica. Pueden ser: a) Fichas de observación o registro de datos. b) Fichas de análisis o elaboración, con informaciones de las que hay que extraer conclusiones. c) Encuestas o entrevistas dirigidas a detectar hábitos o actitudes previas en torno a un tema. d) Fichas de evaluación inicial y final para detectar las ideas previas y los aprendizajes conseguidos. e) Otras: de prácticas, de visitas, etc.

*

Guías (de campo, de visitas, catálogos de museos, etc.). Especialmente útiles en Ciencias de la Naturaleza y Geografía e Historia.

*

Periódicos y revistas tanto para consulta de profesores como de alumnos. Los trabajos de divulgación científica de algunos periódicos pueden servir como origen de trabajos grupales de investigación.

5.3.3. Actividades Son la manera activa y ordenada de llevar a cabo las experiencias de aprendizaje. El desarrollo de las actividades de manera adecuada es un elemento esencial para la consecución de los objetivos y la asimilación de los contenidos. MATEMÁTICAS

29

La Programación Didáctica

Las actividades recogerán contenidos de los diversos tipos y regularán las acciones, comportamientos y relaciones entre el profesor y los alumnos y las de éstos entre sí, en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. En las actividades estarán contenidos explícita o implícitamente: el espacio, los recursos, las personas que participan, el tipo de agrupamiento, el tipo de tarea... A la hora de estructurar las actividades debemos tener en cuenta una serie de criterios: –

De lo conocido a lo desconocido.

–

De los fácil a lo difícil.

–

De lo concreto a lo abstracto.

–

De lo particular a lo general.

Como criterios para seleccionarlas y diseñarlas señalamos los siguientes: –

Su articulación con los contenidos, objetivos y metodología.

–

Que sean motivadoras.

–

Que sean variadas.

–

Que se utilicen recursos y métodos variados.

–

La previsión del tiempo para su realización.

En relación con la secuenciación de las actividades se suelen determinar diversos tipos que, en líneas generales, suelen seguir el siguiente orden: –

De introducción: sirven para averiguar las ideas previas y para la motivación.

–

De desarrollo: el alumno se pone en contacto con los contenidos, con las tareas, etc.

–

De consolidación: sirven para afianzar y aplicar los aprendizajes asimilados.

–

De refuerzo: para aquellos alumnos con dificultades, para los que no han asimilado suficientemente los contenidos, etc.

–

De ampliación.

–

De evaluación.

5.3.4. Atención a la diversidad Es evidente que los alumnos son diferentes y que estas diferencias se refieren a diversos factores: capacidades, motivaciones, intereses, situación social, etc., por lo tanto, el profesor deberá atender estas diferencias y ajustar a ellas su intervención educativa. Entre esas diferencias una parte de los alumnos pueden tener necesidades educativas específicas. Los alumnos que tienen necesidades educativas específicas son aquéllos que o tienen más dificultades que sus compañeros para acceder al aprendizaje determinado en los currículos correspondientes a su edad, o los que tienen condiciones personales de sobredotación intelectual o con altas habilidades. En el artículo 36.3 de la LOGSE se propugna que: La atención al alumnado con necesidades educativas especiales se regirá por los principios de normalización y de integración escolar. 30

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

Y en el 37.2 que: La atención a los alumnos con necesidades educativas especiales se iniciará desde el momento de su detección. A tal fin, existirán los servicios educativos precisos para estimular y favorecer el mejor desarrollo de estos alumnos y las Administraciones Educativas competentes garantizarán su escolarización.

Las propuestas para la escolarización de estos alumnos, así como la identificación de los que requieran apoyos y medios complementarios a lo largo de su proceso educativo, se efectúan por parte de la Administración educativa competente, fundamentadas en una evaluación psicopedagógica que tiene en cuenta tanto las condiciones y características del alumno como las de su entorno familiar y escolar. En el artículo 27.1. de la LOE se establecen las condiciones de acceso a los programas de diversificación curricular.

5.3.4.1. Ámbitos de diversidad Son fundamentalmente: –

Capacidad para aprender. No es sinónimo de “capacidad intelectual”, como algo genético e independiente de los contenidos y procedimientos, sino que más bien se necesita un reajuste de la ayuda pedagógica por parte del profesor.

–

Motivaciones. Aprender es un proceso complejo que condiciona la capacidad de aprender de los alumnos. Es necesario que los contenidos que se ofrezcan a los alumnos posean significado lógico y sean funcionales para ellos.

–

Estilos de aprendizaje. Es preciso saber si el alumno, en función de su forma de aprender, es: *

Reflexivo o impulsivo: según medite más o menos las respuestas.

*

6LQWpWLFR o analítico: según la dirección del razonamiento.

Es asimismo necesario conocer: a) La modalidad sensorial preferente, es decir, que sus conocimientos sean percibidos principalmente auditiva o visualmente. b) El nivel de atención en la tarea según el tiempo que sean capaces de mantenerse atentos en el trabajo, dedicarle mucho tiempo ininterrumpido o necesitar frecuentes descansos. c) Tipo de refuerzo más adecuado. Unos continuamente, otros nunca, otros intermitentemente, con posibilidades de agrupamientos para el refuerzo, según los casos. –

Intereses interrelacionados entre sí. Se diversifican en estas edades y conectan con el futuro académico o laboral.

Los cuatro ámbitos establecidos deparan diferencias acusadas en el alumnado. En consecuencia, el profesor debe ajustar la ayuda pedagógica a las diferentes necesidades de los alumnos y facilitar recursos o estrategias variadas que permitan dar respuesta a la diversidad que presenta el alumnado de estas edades. Los mecanismos o vías del tratamiento a la diversidad son varios y no excluyentes: –

La naturaleza del currículo.

–

Vías específicas, que se tratan en los siguientes apartados.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

5.3.4.2. El currículo y la atención a la diversidad El hecho de que el planteamiento curricular sea abierto y flexible, proporciona un instrumento esencial para el tratamiento de la diversidad. El currículo prescribe las intenciones educativas, definidas en términos de objetivos generales de área, de grandes núcleos de contenidos y de criterios de evaluación para cada una de ellas, cuyo acceso debe garantizarse a todos los alumnos. Estas prescripciones deben materializarse en las programaciones. Las programaciones deben prever adaptaciones específicamente dirigidas a determinados grupos de alumnos con características especiales. Es atender a la diversidad de forma anticipada. La mejor manera de atender a la diversidad será elaborar proyectos y programaciones que favorezcan aquellos cambios habituales que el profesorado introduce en su enseñanza para dar respuesta a las diferencias individuales en estilos de aprendizaje, motivaciones, intereses o dificultades transitorias de aprendizaje. Esto exige asumir las diferencias en el interior del grupo, así como la realización de una evaluación inicial individualizada. Lo que caracteriza a estos ajustes es que: –

Las medidas tienen carácter ordinario.

–

No afectan a los componentes prescriptivos del currículo.

5.3.4.3. Metodologías diversas El mejor método de enseñanza para alumnos con unas determinadas características puede no serlo para alumnos con características diferentes, y a la inversa. En este sentido, los métodos de enseñanza no son mejores o peores en términos absolutos, sino en función de que el tipo de ayuda que ofrecen responda a las necesidades que en cada momento demandan los alumnos. Las adaptaciones en metodología didáctica son un recurso que se puede introducir en las formas de enfocar o presentar determinados contenidos o actividades como consecuencia de los distintos grados de conocimientos previos detectados en los alumnos, o ante la existencia de diferentes grados de autonomía y responsabilidad entre los alumnos, o por la identificación de dificultades en procesos anteriores con determinados alumnos, etc. Estas modificaciones no deberán producirse sólo como respuesta a la identificación de dificultades sino como prevención de las mismas. En cualquier caso, no son aconsejables metodologías basadas en la homogeneización y en el alumno medio, que prevén unas actividades y unos recursos materiales uniformes cualesquiera que sean los contenidos de que se trate, el nivel de partida de los alumnos, estilos de aprendizaje, etc.; tampoco lo son aquellas cuyas características hacen inviable la intervención activa del alumno y la observación efectiva de esa intervención por parte del profesor.

5.3.4.4. Propuestas de actividades diferenciadas Adaptar las actividades a las motivaciones y necesidades de los alumnos constituye otro recurso importante de atención a la diversidad. Las actividades educativas que se planifiquen se han de hacer de tal forma que ni sean demasiado fáciles y, por consiguiente, poco motivadoras para algunos alumnos, ni que estén tan alejadas de lo que pueden realizar que les resulten igualmente desmotivadoras, además de contribuir a crear una sensación de frustración nada favorable para el aprendizaje. 32

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

Si se trata de alumnos que manifiestan alguna dificultad para trabajar determinados contenidos, se debe ajustar el grado de complejidad de la actividad y los requerimientos de la tarea, a sus posibilidades. Han de prepararse también actividades referidas a los contenidos considerados complementarios o de ampliación con la perspectiva de aquellos alumnos que pueden avanzar más rápidamente o que lo hacen con menos necesidad de ayuda y que, en cualquiera de los casos, pueden profundizar en contenidos a través de un trabajo más autónomo. La adaptación de actividades, en cualquier caso, supone un ambiente de trabajo que favorezca la autonomía y el trabajo en grupo, de tal forma que permita al profesor una mayor disponibilidad para ir ajustando las actividades que en cada caso se requieren. Si este clima se produce, es posible disponer del tiempo necesario, en primer lugar, para identificar los alumnos que necesitan ayuda y, en segundo lugar, para proporcionar el tipo de ayuda más conveniente en cada caso.

5.3.4.5. Materiales didácticos no homogéneos La selección y uso de los materiales, especialmente los libros de texto, debe respetar un principio básico que es considerar que la calidad de la enseñanza pasa por atender de manera diversificada a los alumnos, ajustando la ayuda pedagógica a la variedad de necesidades educativas. Por tanto, los materiales deben ofrecer una amplia gama de actividades didácticas que respondan a los distintos grados de aprendizaje, bien estableciendo en cada unidad didáctica los diferentes grupos de actividades, bien presentando todas ellas ordenadas secuencialmente, a modo de banco de actividades graduadas, de las que el profesor, o en algunos casos el alumno, puede elegir directamente las más adecuadas. El modelo de “banco de actividades graduadas” permite ofrecer un conjunto de actividades que cubran de manera pormenorizada todos los pasos del proceso, lo que resulta muy aconsejable para trabajar con alumnos con problemas de aprendizaje que necesitan desmenuzar los contenidos y trabajar uno mismo de distintas maneras. A su vez, esto no supone un inconveniente para los alumnos con un ritmo de aprendizaje superior a la media, siempre que exista la posibilidad de recorridos más rápidos que permitan a estos alumnos ir saltando a través de las actividades más significativas.

5.3.4.6. Agrupamientos flexibles y ritmos distintos La organización de grupos de trabajo flexibles en el seno del grupo básico permite que los alumnos puedan situarse en diferentes tareas, proponer actividades de refuerzo o profundización según las necesidades de cada grupo, adaptar el ritmo de introducción de nuevos contenidos, etc. Este tipo de adaptaciones requiere de una reflexión sobre cuáles son los aprendizajes básicos e imprescindibles para seguir progresando, la incorporación de una evaluación que detecte las necesidades de cada grupo, así como el uso de materiales didácticos específicamente preparados para las finalidades que se pretenden. En determinadas ocasiones, cuando las dificultades de aprendizaje son más generalizadas y profundas, será preciso recurrir a otros mecanismos. La salida del grupo clase de referencia para actividades de refuerzo en grupos pequeños, en aquellos procedimientos y métodos de trabajo que pueden estar en la base de sus dificultades, puede resultar una estrategia adecuada. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Al subdividir el gran grupo de alumnos en grupos homogéneos, resulta más sencillo ajustar la ayuda pedagógica a sus necesidades específicas. Los grupos homogéneos deben contemplarse de manera flexible para el aprendizaje de los contenidos que lo exigieran y, por tanto, durante una parte del horario, con una evaluación clara que lo justifique y con un material didáctico especial y adaptado a los objetivos que se pretenden. Asimismo, las agrupaciones deben revisarse con flexibilidad, de modo que los alumnos sólo se mantengan en los grupos el tiempo necesario para atender sus necesidades.

5.3.4.7. Medidas especiales de atención a la diversidad. Las adaptaciones curriculares Ya se ha dicho que la mejor manera de atender a la diversidad es prevenir con una buena programación que favorezca la individualización de la enseñanza. No obstante, a pesar de ello, seguirán apareciendo dificultades de aprendizaje en los alumnos, aunque éstas sean menos fuertes y numerosas. Las dificultades pueden analizarse como un continuo, en uno de cuyos polos estarían los alumnos que colman sus necesidades con el “currículo y atención a la diversidad” ya mencionado y en el otro los que necesitan que se incorporen medidas extraordinarias. En paralelo al continuo anterior aparece el continuo de la significatividad o alcance de las adaptaciones que es necesario hacer en cada caso, es decir, a mayor dificultad, mayor nivel de adaptación curricular, o mejor dicho, mayor necesidad de medidas extraordinarias. Se entiende por Adaptación Curricular al conjunto de modificaciones realizadas en uno o varios de los componentes del currículo y/o en los elementos de acceso al mismo, para un alumno concreto. 1. Las adaptaciones curriculares individualizadas pueden tener distintos grados de significación, desarrollándose, de este modo, a lo largo de un continuo que oscila desde lo poco significativo a lo muy significativo. 2. Son adaptaciones poco significativas aquellas modificaciones en los elementos de acceso al currículo que permitirán al alumno o alumna desarrollar las capacidades enunciadas en los objetivos generales de etapa, tales como organización de los recursos humanos, distribución de espacios, disposición del aula, equipamiento y recursos didácticos, horario y agrupamiento de alumnos, empleo de programas de medición (enriquecimiento cognitivo, lingüístico, habilidades sociales...) o métodos de comunicación alternativas (Bliss, Braille, Cueed Speech, Bimodal...). 3. Serán consideradas como más significativas las adaptaciones que afectan a los elementos básicos del currículo objetivos educativos, metodología, contenidos y evaluación. Las adaptaciones curriculares tienen como funciones básicas las siguientes:

34

–

Concretar la respuesta educativa que se le dará al alumno, indicando el proceso educativo a seguir.

–

Responder desde la programación de ciclo/aula a las necesidades educativas de los alumnos.

–

Especificar la intervención coordinada con cada alumno concreto de los servicios educativos internos y externos.

–

La evaluación del alumno se realiza en referencia a la ACI y a los criterios de evaluación en ella contenidos. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

5.3.4.8. Grupos de diversificación Los alumnos de ESO, mayores de 16 años y menores de 18 que, previa evaluación psicopedagógica, el equipo docente considere que sólo pueden obtener las capacidades generales de esta etapa mediante programas específicos, pueden acogerse a programas de Diversificación Curricular. Los centros docentes que impartan estos programas han de tener en cuenta que: –

El alumno de 16 años, según lo estime el equipo docente, podrá seguir programas de uno o dos años de duración y el de 17 años sólo podrá seguir programas de un año.

–

Se dedicará, al menos, 18 horas al conjunto de los ámbitos lingüístico-social y científicotecnológico, en los que se incluirán las áreas que el centro determine. El resto de las áreas se cursarán bien en grupos ordinarios, bien en grupos específicos.

–

Cada ámbito será impartido por un solo profesor.

Por su parte, el alumno destinatario de estos programas de diversificación curricular debe cumplir los siguientes requisitos: –

Tener cumplidos 16 años y menos de 18 a 31 de diciembre del curso que se inicia.

–

Haber sido propuesto por el equipo docente del grupo tras el informe de la evaluación psicopedagógica.

–

Estar informados los padres o representantes legales.

La programación de las áreas de los grupos de diversificación corresponde a los departamentos que incluyen respectivamente.

5.3.4.9. Necesidades educativas especiales en la LOCE La Ley Orgánica de la Calidad de la Educación de 23 de diciembre de 2002, parcialmente derogada, mantiene que los alumnos con necesidades “específicas” se deben diferenciar en tres grupos: los alumnos con necesidades educativas especiales, los alumnos extranjeros con dificultad de aprendizaje a consecuencia del idioma y de sus conocimientos previos, y los alumnos superdotados.

5.3.5. Educación en valores La Ley Orgánica de Ordenación del Sistema Educativo (LOGSE) de 3 de octubre de 1990, dice en su Preámbulo: ...En la educación se transmiten y ejercitan los valores que hacen posible la vida en sociedad, singularmente el respeto a todos los derechos y libertades fundamentales, se adquieren los hábitos de convivencia democrática y de respeto mutuo, se prepara para la participación responsable en las distintas actividades e instancias sociales. La madurez de las sociedades se deriva, en muy buena medida, de su capacidad para integrar, a partir de la educación y con el concurso de la misma, las dimensiones individual y comunitaria...

Diversas normas legales posteriores de la aplicación de los principios de la ley, desarrollaron la manera de introducir en el currículo la educación en valores. MATEMÁTICAS

35

La Programación Didáctica

El fin último de la educación es el desarrollo integral del alumnado. Esto supone atender no sólo a las capacidades cognitivas o intelectuales de los alumnos sino también a sus capacidades afectivas, motrices, de relación interpersonal y de inserción y actuación social. Extraemos algunos párrafos de la Resolución de 7 de septiembre de 1994, de la Secretaría de Estado de Educación, por la que se dan orientaciones para el desarrollo de la educación en valores en las actividades educativas de los centros docentes: El sistema educativo tiene entre sus finalidades proporcionar a los niños y jóvenes una formación que favorezca todos los aspectos de su desarrollo, y que no puede considerarse completa y de calidad si no incluye la conformación de un conjunto de valores que no siempre se adquieren de manera espontánea [...]. La evolución reciente de los problemas básicos de convivencia ha ido generando la necesidad de que los ciudadanos adopten principios y desarrollen hábitos en ámbitos, hasta hace poco, ajenos a los contenidos escolares [...] se ha ido delimitando un conjunto de temas que recogen los contenidos educativos relacionados con cada uno de estos ámbitos [...]. Estos temas son llamados transversales.

En la Ley de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE) se contemplan los aspectos considerados fundamentales para su tratamiento educativo en las aulas de los centros escolares. Estos principios, junto con los fines enunciados en la LOGSE, conforman un modelo pedagógico que fundamenta los diversos desarrollos curriculares de las distintas etapas y niveles. De entre los fines y principios se pueden extraer los siguientes: –

–

Fines: *

La formación en el respeto de los derechos y libertades fundamentales y en el ejercicio de la tolerancia y libertad dentro de los principios democráticos de convivencia.

*

La formación para la paz, la cooperación y la solidaridad entre los pueblos.

Principios: *

La formación personalizada, que propicie la educación integral en conocimientos, destrezas y valores morales de los alumnos en todos los ámbitos de la vida, personal, familiar, social y profesional.

*

La efectiva igualdad de derechos entre sexos, el rechazo a todo tipo de discriminación y el respeto a todas las culturas.

*

El desarrollo de las capacidades creativas y el espíritu crítico.

*

La formación en el respeto y defensa del medio ambiente.

La educación en valores ha contado en los currículos escolares con un reducido espacio para su tratamiento, a veces como actuación aislada en las conmemoraciones (día de la paz, del árbol...), y también como lección ocasional, o en el propio currículo oculto, en el que cada profesor realiza tratamientos no programados, pero sí concretos en el aula. La ausencia de la educación en valores en el currículo provocaba una situación de escasa atención a la formación integral, en una sociedad en la que predominan los contravalores en el ambiente. Son de fuerte arraigo social: el desprecio de los demás, el triunfo personal y social por encima, incluso, de comportamientos poco éticos, el consumismo desmedido, la falta de respeto al medio, las actitudes insolidarias y racistas, etc. De ahí la imperiosa necesidad de incluir en el currículo de forma prescriptiva el contrapeso de la educación en actitudes tolerantes, solidarias, de igualdad de oportunidades, de igualdad de sexos, de hábitos saludables, de consumo racional, de preocupación por el mantenimiento del medio, etc. 36

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

La formación ético-moral junto con la formación científica debe posibilitar la formación integral del alumnado. Si bien es cierto que la educación en valores, implantada por la LOGSE y las disposiciones legales derivadas de la misma, significan un gran paso en la educación integral del alumnado, no lo es menos que la LOCE da un salto cualitativo importante, recordando que son valores fundamentales algunos olvidados por la normativa anterior: el valor del trabajo, del esfuerzo, de la disciplina, el respeto, obediencia al profesor, etc. Cuestiones éstas no rechazadas ni eliminadas por la posterior LOE.

5.3.5.1. Promoción de la lectura En una sociedad inmersa en el desarrollo de las nuevas tecnologías y en la que, cada día que pasa, es más sencillo mirar que leer o pensar, se hace necesario un decidido apoyo a todas las iniciativas encaminadas a incentivar el hábito de la lectura. Es primordial el desarrollo de hábitos lectores en las primeras edades, para lo que la Literatura Infantil es un instrumento de incuestionable valor, al que no siempre se le presta la necesaria atención. Esto no obsta para seguir incentivando la lectura en los adolescentes. El interés cultural y formativo que tiene la lectura lo corrobora la propia historia de la humanidad: desde la revolución que supuso la invención de la imprenta a mediados del siglo XV, los libros y sus diferentes lecturas han hecho posible una nueva comunicación de ideas, emociones, sentimientos, experiencias y aventuras entre los hombres, sea cual sea su cultura, su lengua, su religión, su pensamiento o la época en que viven o han vivido.

5.3.5.2. Utilización de las tecnologías de la información y comunicación (TIC) La promoción de la lectura, en gran medida motivada por la invasión de los medios audiovisuales que han relegado a ésta a un segundo plano, si no a su desaparición en muchos hogares, no obsta para aprovechar al máximo los beneficios que pueden reportar las nuevas tecnologías de la información y la comunicación. Si ya es importante que en las etapas de infantil y primaria la introducción de las TIC constituya un cometido importante (por lo que supone como preparación para los alumnos de cara a la normalización, desde la escuela, de lo que en el contexto más inmediato, familiar y social, ya lo es) en la etapa de secundaria es absolutamente necesaria. En los decretos de currículo que parten de la LOGSE se contempla la necesidad de educar al alumno en el uso de los medios de comunicación. Es a esta educación audiovisual o educación para los medios y las nuevas tecnologías de la información y comunicación a lo que algunos autores han denominado “educación multimedia”. Tres parcelas son las que justifican su ubicación en el currículo: si se incluye como parte de otras materias, como transversal o como asignatura independiente. Todavía se podría añadir otra parcela: el uso de las tecnologías como recurso que puede facilitar el acceso a la información, favorecer la comunicación, estimular la paulatina participación en el proceso de formación y colaborar en el logro de mayores cotas de orientación profesional. En realidad, las aulas siguen centradas casi exclusivamente en el lenguaje verbal mientras que en la información proporcionada por los medios de comunicación predomina claramente el lenguaje de la imagen visual y sonora. Los currículos derivados de la LOGSE incluyen claras referencias a la necesidad de educar para los nuevos lenguajes y medios. No se trata, por supuesto, de restar importancia a la enseñanza del lenguaje verbal para dársela al lenguaje de la imagen. De

MATEMÁTICAS

37

La Programación Didáctica

hecho, ambos aparecen integrados en la mayor parte de los productos de los medios de comunicación y ambos han de ser estudiados conjuntamente. La plena integración de España en el contexto europeo comporta una mayor apertura y exige un mayor grado de homologación y flexibilidad del sistema educativo. Exige tamELpQTXHORVDOXPQRVSXHGDQDGTXLULUGHVWUH]DVTXHFRPRODFDSDFLGDGGHFRPXQLFDUVH± WDPELpQHQRWUDVOHQJXDV±ODGHWUDEDMDUHQHTXLSRODGHLGHQWLILFDU\UHVROYHUSUREOHPDV o la de aprovechar las nuevas tecnologías para todo ello, resultan hoy irrenunciables. Estas FRPSHWHQFLDVOHVSHUPLWLUiQVDFDUHOPi[LPRSURYHFKRSRVLEOHHQWpUPLQRVGHIRUPDFLyQ de cualificación y de experiencia personal, del nuevo espacio educativo europeo.

5.4. ¿Qué hay que evaluar, cuándo y cómo? Parece claro que toda actividad (y más aún las de carácter social, como la educación) debe incluir una valoración de la misma que permita tomar decisiones razonadas sobre su práctica. Mediante la evaluación se trata de concretar el modo de valorar la actividad educativa y tomar decisiones sobre ella. Querámoslo o no, la evaluación siempre está presente en la actividad educativa, marcándola y condicionándola. ¿Quién no tiene una opinión sobre sus alumnos? En muchas ocasiones, las opiniones que los profesores tenemos sobre nuestros alumnos, las valoraciones que hacemos sobre su modo de trabajo, sus actitudes, sus comportamientos, son muy arriesgadas y poco documentadas. Se tratará, por tanto, de llevar a cabo una evaluación, en el sentido profesional del término, que nos permita analizar la actividad educativa que estamos desarrollando lo más objetivamente posible, de modo que las decisiones que tengamos que tomar respecto a ella sean las más adecuadas. Se puede definir la evaluación educativa como: La valoración del proceso de enseñanza-aprendizaje que se hace en función de una toma de datos sobre dicho proceso y que permite tomar decisiones ajustadas para que se GHVDUUROOHFRQIRUPHDODVILQDOLGDGHVSURSXHVWDVHQpO(De Pablo y otros, 1992).

Puesto que, normalmente, ese conjunto de actividades que componen la evaluación no se da espontáneamente, habrá que hacer una planificación. Como cualquier proyecto y desarrollo de la actividad humana, se trata de definir: qué pretendemos, para qué, cómo se va a conseguir y cuándo se va a poner en práctica.

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38

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

¢3DUDTXpHYDOXDU" Cuando nos preguntamos para qué evaluar estamos refiriéndonos al sentido de la evaluación, a las funciones que cumple. Según lo que pretendamos la evaluación cumplirá unas u otras funciones. Si lo que queremos es realizar una calificación de los resultados del aprendizaje nos bastará con establecer una serie de pruebas en determinados momentos del proceso y al final del mismo. De esta manera, situamos a la evaluación fuera del proceso de enseñanza-aprendizaje. Si por el contrario pretendemos verificar, a través de la recogida y el tratamiento de datos, la marcha del proceso, introducir modificaciones para mejorarlo y comprobar los resultados, estamos situando la evaluación dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje. La evaluación debe entenderse como un conjunto de actividades programadas para recoger y analizar información y por ello debe dotarse de técnicas e instrumentos que garanticen su calidad haciendo de ella un proceso riguroso y sistemático. Evaluar es, por tanto, mucho más que calificar; significa enjuiciar, tomar decisiones sobre nuevas acciones a emprender y, en definitiva, transformar para mejorar. La detección y satisfacción de las necesidades educativas es lo que da sentido a la evaluación. Desde este punto de vista la evaluación cumple tres funciones fundamentales: –

Permitir el ajuste de la ayuda pedagógica a las características individuales de los alumnos.

–

Determinar el grado en que se han conseguido los objetivos previstos.

–

Valorar la programación y el conjunto de la intervención pedagógica.

La evaluación deberá proporcionar datos que van a servir a los profesores y a los alumnos: a) A los profesores para: –

Descubrir las dificultades de aprendizaje de los alumnos y prever estrategias para su superación.

–

Valorar el aprendizaje de los alumnos apreciando el grado de desarrollo de las capacidades previstas y de asimilación de los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales.

–

Realizar modificaciones en la Programación.

b) A los alumnos para: –

Conocer la evolución realizada desde la situación de partida.

–

Corregir estrategias y comportamientos inadecuados.

–

Identificar las dificultades de su proceso de aprendizaje para superarlas.

–

Calificar el progreso realizado por el alumno.

MATEMÁTICAS

39

La Programación Didáctica

¢4XpHYDOXDU" Una vez determinadas las finalidades de la evaluación cabe preguntarse qué debemos evaluar. Para dar una respuesta a esta pregunta, acorde con las funciones que le hemos asignado a la evaluación, deberemos considerar, por un lado, el ámbito de los alumnos y, por el otro, el ámbito del profesor. a) Ámbito de los alumnos: dependerá de los objetivos que nos hemos propuesto. En líneas generales y sólo a modo de ejemplo se podrían considerar los siguientes aspectos: –

Conocimientos, habilidades y destrezas: *

–

–

Conocimientos que se pretenden alcanzar, utilización de métodos de trabajo, utilización de instrumentos y utensilios, capacidad para desarrollar el trabajo, etcétera.

Actitudes y hábitos de trabajo: *

Actitud frente al trabajo: iniciativa, capacidad de organizar, memoria, constancia, responsabilidad, ritmo, concentración, etcétera.

*

Realización del trabajo: originalidad-creatividad, limpieza, orden, estructuración, grado en el que completa sus trabajos, etcétera.

Actitud, comportamiento e integración respecto al grupo: *

Relación consigo mismo: estado de humor, autoestima, grado de autonomía, hábitos de higiene y orden, responsabilidad, iniciativa, seguridad en sí mismo, tolerancia, agresividad, etcétera.

*

Relación con los compañeros: grado de colaboración, solidaridad, aceptación por los compañeros, respeto, etcétera.

*

Relación con el profesor: dependencia, autonomía, confianza, respeto, etcétera.

b) Ámbito del profesor: dependerá de los elementos que queramos analizar y valorar para mejorar nuestra práctica. En este sentido se podrían señalar: –

Adecuación de la programación y de sus diferentes elementos al proceso que se ha desarrollado.

–

Actitud y grado de implicación del profesor en dicho proceso.

¢&yPRHYDOXDU" A la pregunta de cómo evaluar se puede responder describiendo las técnicas e instrumentos, es decir, los procedimientos de evaluación. Por otra parte, hay que tener en cuenta que dada la complejidad del proceso evaluador que estamos planteando, no es posible utilizar un único procedimiento sino más bien una combinación de ellos. En sí mismo no existe un procedimiento mejor que otro; se trata de que cada profesor reflexione en cada momento sobre las condiciones (ventajas y desventajas) de cada una de ellas y la función que debe cumplir, para elegir la más adecuada. Las técnicas de evaluación hacen referencia al método que se utiliza para la obtención de la información. El instrumento se refiere al recurso específico que se emplea. 40

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

TÉCNICAS E INSTRUMENTOS PARA LA EVALUACIÓN DEL PROCESO DE APRENDIZAJE Técnicas

Instrumentos – Escala de observación.

Observación

– Lista de control. – Registro anecdótico.

Contenido

Momento

Procedimientos

En todo momento

Actitudes

Revisión de tareas

Guías y fichas para el registro.

Conceptos Procedimientos Actitudes

Habitualmente

Entrevistas

Guiones más o menos estructurados.

Procedimientos Actitudes

En situaciones que lo requieran

Cuestionarios

Guiones más o menos estructurados.

Conceptos Actitudes

Autoevaluación, inicio de aprendizaje

Preguntas de clase sistematizadas.

Conceptos Procedimientos

Durante la fase de aprendizaje

Conceptos Procedimientos

Durante y al final de la fase de aprendizaje

Orales Pruebas o exámenes

– Estructuradas (test). Escritas – Semiestructuradas. – No estructuradas.

Las WpFQLFDVGHREVHUYDFLyQ son aplicables en cualquier momento de la evaluación continua, aunque encuentran su mayor utilidad en la recogida de datos para valorar el dominio de procedimientos y el desarrollo de actitudes durante el trabajo diario de los alumnos en el aula. Las listas de control contienen una serie de rasgos a observar, ante los que el profesor señala su presencia o ausencia durante el desarrollo de la actividad o tarea. Las escalas de valoración contienen un listado de rasgos en los que se gradúa el nivel de consecución del aspecto observado a través de una serie de valoraciones progresivas (de nunca a siempre, de poco a mucho, de nada a todo, etc.). El registro anecdótico consiste en una ficha para recoger comportamientos no previsibles de antemano y que pueden aportar una información significativa para evaluar carencias o actitudes positivas. La entrevista tiene por objeto la obtención de información sobre estímulos o experiencias que pueden aportar datos útiles para el conocimiento de una conducta a través de un proceso de interrogación verbal. Su eficacia depende de unas mínimas condiciones en su planteamiento y desarrollo: –

Evitar plantearla como la única oportunidad para saberlo “todo” del alumno.

–

Crear un clima relajado, evitando las apariencias de solemnidad.

–

Plantearla de manera no directiva con el fin de suscitar la reflexión del alumno.

–

Evitar informaciones o juicios de valor que puedan dificultar o romper la buena comunicación.

MATEMÁTICAS

41

La Programación Didáctica

La autoevaluación va a permitir conocer las referencias y valoraciones que, sobre el proceso, pueden proporcionar los alumnos. De esta forma la información obtenida por otros medios podrá enriquecerse con la inclusión de nuevos matices. El desarrollo de la autoevaluación requiere la elaboración de cuestionarios mediante los cuales se puede indagar la opinión de los alumnos sobre diversos aspectos.

¢&XiQGRHYDOXDU" Centrándonos en la evaluación de los alumnos debemos considerar tres fases en el desarrollo del proceso de evaluación: 1. Evaluación inicial. La evaluación inicial nos va a permitir conocer y valorar la situación de partida de los alumnos y empezar desde el principio con una intervención ajustada a las necesidades, intereses y posibilidades de los mismos. La evaluación inicial también nos va a permitir valorar el progreso realizado por los alumnos, ya que para conocer lo que se ha avanzado es necesario tener en cuenta cual era el nivel de partida. 2. Evaluación continua. El término evaluación continua hace referencia a que la evaluación debe estar incluida, de una manera dinámica, en el propio proceso educativo, proporcionando una información permanente sobre el mismo. El desarrollo de una evaluación así concebida facilitará: –

Información constante sobre si el proceso se adapta o no a las posibilidades de los alumnos.

–

Elementos de juicio para comprobar la calidad de los componentes del proceso con respecto al logro de los objetivos que se pretenden.

–

Elementos de juicio para decidir si modificar o no aquellos elementos distorsionantes.

–

Información suficiente al alumno sobre cada momento de su aprendizaje.

3. Evaluación final. Al concluir una fase o secuencia de aprendizaje y al finalizar el curso se debe realizar una valoración de las capacidades desarrolladas y de los contenidos asimilados. La evaluación final constituye, por tanto, la culminación del proceso de evaluación continua. Durante el transcurso del proceso se estuvieron obteniendo datos y resultados parciales con los que realizar un análisis y valoración de la que acontecía. El objetivo de la evaluación final es sintetizar lo más relevante de esa información para, a partir de ella, realizar una estimación global del avance de cada alumno en el desarrollo de las capacidades expresadas en los objetivos y, en su caso, tomar las decisiones pertinentes. Para que la evaluación cumpla las funciones que le hemos asignado es necesario que sea útil y posible. Queremos decir que, al igual que en el caso de la Programación, la evaluación no puede considerarse como un fin en sí mismo; tanto uno como otra son instrumentos para la mejora del proceso de enseñanza-aprendizaje en su conjunto. Es imposible evaluarlo todo y en todo momento. Se trata (De Pablo y otros, 1992) de seleccionar lo que es necesario en función de la intencionalidad educativa, pero, a la vez, lo que es posible. Se trata de guardar un equilibrio entre la importancia y la necesidad de la evaluación y la idea de que estamos ante un elemento más, no el único, del proceso de enseñanza-aprendizaje. 42

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

Aunque la evaluación debe ser un elemento del proceso e incluir entre lo evaluable todos los pasos y elementos de éste, es importante seleccionar aquellos especialmente válidos para valorar y tomar decisiones; no sería conveniente caer en una desenfrenada toma de datos, que posteriormente no se puedan utilizar, o no sepamos para qué pueden valer.

6. DESPUÉS DE LA PROGRAMACIÓN Programar es el primer acto de la intervención educativa, pero si la Programación no se pusiese en práctica mediante la comunicación y la interacción, ésta no tendría sentido. En la puesta en acción de las actividades hemos de tener en cuenta varios factores: –

La motivación.

–

El seguimiento constante de las actividades.

–

La orientación de los alumnos y las diferencias individuales en el aprendizaje.

–

El control constante mediante la evaluación formativa.

–

La flexibilidad de la aplicación de la Programación, que permita adecuarse a las diferentes circunstancias que pueden surgir.

La Programación es un instrumento imprescindible en el trabajo didáctico y, por consiguiente, siempre ha de ser el punto de mira de la evaluación. Una reflexión constante sobre la puesta en práctica de las unidades de programación nos ayudará a mejorar la práctica educativa. Una Programación nunca ha de ser cerrada, sino que por, el contrario, en el momento de su confección debemos tener siempre presente este concepto de carácter abierto y mejorable (Imbernón, 1992).

7. CÓMO ELABORAR LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Atendiendo a la legislación actual la elaboración de la Programación Didáctica para un curso es una tarea que debe realizar cada departamento didáctico de forma colegiada, si bien la responsabilidad directa es del jefe del departamento. Cuanto mayor sea el grado de acuerdo de los profesores del departamento, tanto más sencilla será la elaboración de la Programación Didáctica. La Programación ha de partir del currículo de la asignatura correspondiente, de las directrices emanadas del Proyecto Educativo y del claustro de profesores. Para su elaboración se dan las siguientes orientaciones:

7.1. Primer paso En primer lugar, en la elaboración de la Programación Didáctica se realiza su contextualización. Se trata de hacer una descripción muy sucinta del centro: –

Ubicación del centro: rural, urbano (centro de la ciudad, periférico), costero, etc.

–

Características del centro: dependencias, recursos humanos, recursos materiales, alumnado, relación con las familias, etc.

–

Características del grupo de alumnos: número, necesidades educativas específicas.

MATEMÁTICAS

43

La Programación Didáctica

Teóricamente no es imprescindible realizar la contextualización, sin embargo, desde nuestro punto de vista tiene varias ventajas: a) En primer lugar, permite concretar la Programación. Estamos considerando un centro concreto, unos alumnos concretos. Frente a la consideración de una Programación “en abstracto”, que valdría para cualquier alumno imaginario, estamos abordando una Programación que se acerca mucho más a la realidad de las aulas. b) En segundo lugar la concreción nos va a proporcionar recursos para hacer una Programación más personal, teniendo en cuenta, además, que podemos establecer las variables que estimemos oportunas, que más se adapten a nuestros intereses y aptitudes. c) En tercer lugar nos va a facilitar la defensa que tendremos que realizar ante el tribunal y donde podremos relacionar la situación de partida con la Programación que hemos realizado. Como cuestión práctica sería muy interesante la toma de contacto con un centro concreto, un aula concreta. Siempre podemos contar con un amigo, compañero, familiar, el centro donde realizamos las prácticas para la obtención del CAP, etc. Dicho contacto nos va a facilitar la elaboración de este primer paso, el partir de una situación real.4

7.2. Segundo paso Consiste en concretar la duración de la Programación Didáctica. Entendemos que la duración más adecuada para la Programación que tenemos que realizar debe ser un curso, por tanto debemos escoger el curso sobre el que vamos a programar, de entre: 1º, 2º, 3º y 4º de Educación Secundaria Obligatoria, 1º y 2º de Bachillerato, módulos de los ciclos formativos de Grado Medio y Grado Superior. Hay que indicar que también debemos escoger la asignatura concreta en algunos casos (por ejemplo en 2º de Bachillerato hay dos asignaturas de la especialidad de Física y Química: la Física y la Química, en Biología y Geología puede haber hasta tres asignaturas en ese mismo curso: Biología, Geología y Ciencias de la Tierra y del Medio Ambiente, etc.).

7.3. Tercer paso Se debe realizar una fundamentación de la enseñanza de la asignatura y curso que vamos a impartir. Dicha fundamentación se puede obtener del temario de la especialidad. Como no se trata de escribir un libro, nos puede valer un resumen de la fundamentación del área que se refleja en el currículo de la Comunidad por la que nos presentemos.5

7.4. Cuarto paso Se debe reflejar o hacer referencia a los objetivos generales de la etapa y a los objetivos generales de la asignatura en la etapa que estamos considerando, así como a los contenidos de la misma. Dichos objetivos se extraen del Decreto de Currículo de la Comunidad.

4

En nuestra programación indicaremos una contextualización imaginaria por cada uno de los cursos que se programa, con el fin de realizar un trabajo, por una parte más completo y por otro más próximo a la realidad, si bien, como se ha dicho, no es absolutamente imprescindible.

5

En el caso de que el opositor se presente en Ceuta y Melilla deberá referir su Programación al currículo del Estado, pues las ciudades autónomas carecen de potestad legislativa en materia de Educación y el que desarrollan es el que el Ministerio elabora para estas ciudades y los centros en el extranjero.

44

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

Puede ser conveniente establecer una relación entre los objetivos generales de la etapa y los objetivos de la asignatura en el sentido de señalar que los objetivos de la asignatura van a ayudar a conseguir los objetivos generales de la etapa. Hasta aquí podemos decir que hemos hecho un análisis previo de la situación que nos va a permitir, a continuación, realizar el diseño del proceso de enseñanza y aprendizaje que constituye la Programación

7.5. Quinto paso Comienza nuestra labor de programación, ya que empezamos a responder a las preguntas que hemos considerado anteriormente, en este caso ¿para qué enseñar? Debemos, por tanto, formular los objetivos de la asignatura en el curso que estamos programando. Dichos objetivos deben formularse en infinitivo y no es preciso que se concreten excesivamente. La referencia de los objetivos se encuentra en los objetivos generales del currículo oficial. Como referencia nos pueden servir las guías didácticas de las diferentes editoriales, libros de texto, etc.

La organización y secuencia de objetivos Este aspecto de la Programación obedece a la necesidad de concretar los objetivos generales de la asignatura de forma que se especifiquen las capacidades que se pretenden desarrollar en las distintas etapas. Consiste en adecuar las capacidades que se han establecido en los objetivos generales de cada materia a las características del alumnado del curso correspondiente.

7.6. Sexto paso Se desarrollan los contenidos de la asignatura para el curso, se establecen criterios de secuenciación y se fijan las unidades didácticas (que posteriormente serán objeto de una Programación más pormenorizada).

La organización y secuencia de contenidos Con el currículo oficial actual, que modifica esencialmente el derivado de la LOGSE, el problema de la organización y secuencia de contenidos está solucionado, ya que vienen determinados por curso. Hay que tener en cuenta que los contenidos no son sólo conceptuales (conceptos, hechos, datos...) sino también procedimentales (procedimientos intelectuales o manipulativos) y actitudinales (actitudes personales y sociales positivas). También, en función de la contextualización previa, se deberán en este punto establecer los niveles de los contenidos según las capacidades de los alumnos. MATEMÁTICAS

45

La Programación Didáctica

7.7. Séptimo paso Corresponde a la metodología. Se trata de establecer los principios metodológicos generales que van a presidir nuestra intervención didáctica (actividad, aprendizaje significativo...), papel del profesor, tipos de agrupamientos, tipos de actividades. En definitiva se trata de explicar cómo tenemos previsto que se desarrolle el trabajo en el aula (no debemos olvidar que posteriormente, en la explicación de la unidad didáctica, debemos demostrar cómo trabajamos en al aula, y dicha explicación debe ser coherente con lo que hayamos planteado en la metodología. La metodología es la respuesta que da el docente (o el departamento didáctico) a la pregunta de “¿cómo enseñar los contenidos de la asignatura?” La libertad de cátedra permite utilizar la metodología que cada profesor considere pertinente y no hay en la normativa legal ninguna prescripción concreta. Por otra parte, no hay un método mejor que otro en términos absolutos, sino que, en definitiva, es mejor un método cuanto más efectivo sea para lograr los objetivos previstos. La adopción de un enfoque metodológico determinado depende fundamentalmente de dos factores: la propia materia, que a veces obliga a adoptar una determinada metodología, y la idiosincrasia del profesor, que se siente más identificado con una u otra praxis educativa. Por otra parte, los criterios del tipo “de lo simple a lo complejo”, “de lo concreto a lo abstracto”, “de lo conocido a lo desconocido”, “de lo general a lo particular”, implican forzosamente una secuenciación y organización determinada de los contenidos. No obstante, se pueden diferenciar claramente dos tendencias metodológicas: el conductivismo y el constructivismo. Mientras que el conductivismo pretende que la práctica docente sea totalmente dirigida (exposición magistral de las clases, profesor agente activo y alumno objeto pasivo, conducción ordenada de la lección...), el constructivismo pretende que el alumno sea capaz de “construir” ciencia partiendo de sus propias experiencias (los datos que puede obtener o que se le proporcionan) guiado por el profesor en lo imprescindible. Ambas tendencias metodológicas son de imposible aplicación, el conductivismo por ser un sistema caduco, poco acorde con la actividad y el protagonismo que ha alcanzado el alumno en los últimos tiempos, y el constructivismo por la imposibilidad de reproducir, con medios escolares y la formación propia de la edad de nuestros alumnos, los avances del conocimiento humano, máxime cuando muchos saberes científicos han tardado siglos en alcanzarse y sólo por grandes investigadores y sabios. Por eso es difícil, si no imposible, optar por una u otra metodología. Se puede ser moderadamente constructivista, si la meta del docente es modesta y utiliza la enseñanza activa, con gran participación del alumno y con toma de decisiones personales, utilizando el aprendizaje significativo; o moderadamente conductivista haciendo participar al alumno en el proceso educativo de forma más activa que en el pasado y utilizando todos los recursos de los que dispone un centro docente moderno, con actividades y recreación de los avances de la ciencia. La metodología tiene diversas vertientes que podrían agruparse en:

46

–

Opciones metodológicas propias.

–

Criterios para el agrupamiento del alumnado.

–

Organización de los espacios y los tiempos.

–

Recursos didácticos. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

Opciones metodológicas propias Los departamentos didácticos, en función de las asignaturas que les correspondan, tomarán las decisiones metodológicas que más se adapten a la especificidad de éstas. No obstante, puede aplicarse una metodología con perspectiva globalizadora en todas las materias, bien a través de trabajos por proyectos, por centros de interés, por planes de trabajo específicos, etc. Sin embargo hay que aplicar estrategias diversas según el tipo de contenidos de que se trate, ya que no se puede abordar de la misma manera la enseñanza de conceptos que la de procedimientos o la de actitudes. Especialmente la formación en valores (contenidos actitudinales) exige, independientemente de la metodología adoptada para la adquisición de conocimientos conceptuales, discusión de dilemas morales, actividades de clarificación de valores, debates sobre temas actuales controvertidos, etc., sin que tenga que disociarse del aprendizaje de los otros contenidos, sino que se afianza con el conocimiento de los conceptos y hechos, como puede ser la necesidad del conocimiento de fenómenos medioambientales para debatir sobre si las actitudes humanas reportan un beneficio o un perjuicio social.

Criterios para el agrupamiento del alumnado Esta simple cuestión, que podría parecer irrelevante, es en realidad muy importante, ya que hay que decidir qué se pretende con los posibles desdobles, la organización de actividades fuera o dentro del centro, grupos más o menos compensados para las actividades de laboratorio, de investigación, etc. Algunas estrategias metodológicas implican formas concretas de organizar el trabajo de los alumnos, en cuanto a su agrupamiento se refiere. Por ejemplo, una metodología basada en la realización de proyectos trae consigo la formación de equipos de trabajo. Estos grupos pueden ser estables para todo un curso o tener la duración del desarrollo del proyecto.

Organización de los espacios y los tiempos Los departamentos deberán determinar el uso de los espacios propios (seminarios, laboratorios, aulas específicas, etc.) así como el de los comunes (aula de audiovisuales, biblioteca, sala de usos múltiples, patios, etc.), ya que esto repercutirá en la organización de las enseñanzas que imparten y la mejor atención a la diversidad del alumnado. En algunas materias también hay que organizar el tiempo disponible de manera especial, por ejemplo en algunos cursos de las Ciencias Experimentales, Tecnología, Dibujo... puede ser conveniente establecer dos periodos lectivos consecutivos para facilitar los trabajos de carácter práctico o experimental, que por su duración, no podrían llevarse a cabo en un solo periodo.

Recursos didácticos El departamento didáctico seleccionará los recursos que considere convenientes para servir de apoyo al proceso de enseñanza-aprendizaje que se desarrolla: –

En la clase (medios audiovisuales, programas informáticos, material de laboratorio, calculadoras, CDs, etc.).

–

Fuera del aula (libros, calculadoras, cuadernos de actividades, etc.).

Es importante adoptar criterios de selección de recursos didácticos acordes con la Programación elaborada, con las características del alumnado y con los medios disponibles en el centro. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

7.8. Octavo paso Hace referencia a la atención al alumnado con necesidades educativas específicas. No debe olvidarse que la metodología adoptada debe servir para facilitar la atención a la diversidad del alumnado. Esto es un determinante respecto a la necesidad de aplicación de estrategias diferentes para alumnos diferentes. En todo caso, partir de los conocimientos previos, ya sean curriculares, ya sean extracurriculares, es siempre una estrategia aplicable. Aquí se tratará de dar respuestas generales a estos alumnos en los tres aspectos que se han citado: –

Alumnos extranjeros, con formación inicial diferente, escasa o nula y en la mayoría de los casos desconocedores de la lengua (castellana y/o vernácula).

–

Alumnos superdotados, con inteligencia superior a la media y con necesidades continuas de ampliación y de dedicación especial.

–

Alumnos con necesidades educativas especiales, motivadas por su propia identidad, su entorno social, su pertenencia a grupos marginales, etc.

A qué elementos de la acción didáctica afecta las necesidades específicas de los alumnos del aula (objetivos, contenidos, metodología, evaluación espacios, agrupamientos...).

7.9. Noveno paso Consiste en la planificación de la evaluación y de los criterios de evaluación que se obtienen del currículo correspondiente, coherentes con los objetivos y contenidos que se ha seleccionado anteriormente. El lector que se aproxima por primera vez a estas cuestiones de nomenclatura, para él hasta ahora desconocidas, puede sorprenderse de la diferenciación que se hace entre “Criterios de Evaluación” y “Criterios de Calificación”. Ciertamente es una terminología poco acertada, ya que puede inducir fácilmente a error. Los Criterios de evaluación son formulaciones de objetivos a cumplir y que los alumnos deben conocer al finalizar el proceso de aprendizaje. No se trata, por tanto, de “cómo se va a evaluar” sino “qué se va a evaluar”. Por el contrario, los criterios de calificación son más coherentes con su formulación, se trata de establecer el mecanismo para obtener la calificación en su más amplio sentido. La calificación y la evaluación pueden ser confundidas, y con frecuencia lo son, incluso por muchos profesores. Mientras que la calificación es la expresión objetiva de los resultados del aprendizaje, la evaluación consiste en la obtención de información sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje para ajustarlo a las necesidades de los alumnos. Se pueden distinguir dos tipos de evaluación según el objeto: evaluación del aprendizaje y evaluación de la práctica docente. –

48

Evaluación del aprendizaje. Se trata de determinar en la Programación los procedimientos que se van a aplicar en los distintos momentos (inicial, durante el proceso y final). Respecto a las distintas técnicas se ha tratado anteriormente. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

–

Evaluación de la práctica docente. Debe realizarse periódicamente mediante la utilización de diversos procedimientos e instrumentos que proporcionen información acerca de si el desarrollo de la Programación es tal como se previó o por el contrario es necesario incluir rectificaciones en los propios elementos de la Programación.

En resumen, deben quedar reflejados en la Programación Didáctica los criterios de evaluación, los criterios de calificación y el mecanismo de evaluación del proceso docente-discente. Es de enorme importancia, ya que la evaluación en su conjunto debe servir para mejorar el proceso educativo, es decir, para adoptar medidas que contribuyan al ajuste progresivo de la ayuda que puedan necesitar los alumnos. Aunque todos estos pasos se han indicado por separado, para una mejor concreción, hay que tener en cuenta que todos estos elementos no han de contemplarse de manera independiente o aislada, sino como los componentes que integran y estructuran la Programación Didáctica. La organización de los distintos elementos, según el criterio del profesor (del departamento didáctico), puede ser muy distinta, pero siempre debe seguir un orden lógico y escalonado en el que se advierta la interrelación entre ellos. En el cuadro de la página siguiente se presenta un esquema orientativo de cómo organizar los diferentes elementos de la Programación Didáctica, distribuyéndolos en bloques que agrupan decisiones de naturaleza similar. –

Primer bloque: adecuación al contexto.

–

Segundo bloque: organización y secuencia de los objetivos, contenidos y criterios de evaluación.

–

Tercer bloque: metodología.

–

Cuarto bloque: evaluación.

Obsérvese que no sigue el orden que se ha establecido anteriormente. Esto no debe importar al profesor programador. Como se ha dicho, la organización de la Programación puede seguir distintos pasos. En primer y segundo bloque se trata de los elementos que vienen impuestos, primero por el entorno y el Proyecto Educativo del Centro y el segundo por el currículo oficial de la Comunidad. Puede llamar la atención que los criterios de evaluación se incluyan en el bloque segundo y no en el cuarto, que trata específicamente de la evaluación. Sin embargo no debe extrañar, ya que los criterios de evaluación emanan directamente de los objetivos de la materia (área, asignatura o módulo) así como de los contenidos. Por otra parte, en el bloque de metodología se incluyen todos los aspectos que se han tratado anteriormente, relacionados con ella. Por último el bloque dedicado a la evaluación es especialmente importante y debe ser imprescindiblemente conocido por los alumnos desde el principio del curso. Se trata de que los alumnos conozcan las reglas del juego. La Programación Didáctica no debe ser sólo el instrumento guía de la actuación docente, sino también un referente para profesores y alumnos, una especie de contrato que establece el departamento con la comunidad educativa. MATEMÁTICAS

49

La Programación Didáctica

ESTRUCTURA DE LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA En este apartado se pueden recoger las peculiaridades del centro y del entorno que deban tenerse en – Características del Centro y del alumcuenta para adecuar las programaciones al alumnanado de la etapa. do de la etapa correspondiente. Se trata de volver a – Prioridades educativas que se hayan considerar el análisis del contexto, realizado en el establecido en el Proyecto Educativo marco del Proyecto Educativo, desde la óptica de o en la Programación General Anual. las enseñanzas propias de cada departamento. Adecuación al contexto

Organización y secuencia de los objeti- En las Programaciones Didácticas de las matevos, contenidos y criterios de evaluación rias de ESO se especificarán para cada curso los elementos curriculares prescritos en el currículo – Objetivos de cada curso. oficial. Y lo mismo para las materias de cada – Distribución temporal de los conteni- curso de Bachillerato. La determinación de tales dos de los contenidos de cada curso. elementos debe tener en cuenta su concreción y – Criterios de evaluación de cada curso. adecuación a la diversidad del alumnado. Metodología – Opciones metodológicas propias. – Criterios para el agrupamiento del alumnado. – Acuerdos sobre utilización o adaptación de espacios y organización del tiempo. – Selección de materiales y otros recursos didácticos. – Actividades complementarias y extraescolares.

Se agrupan aquí todas las decisiones que se refieren al cómo enseñar: desde las opciones metodológicas que mejor se ajusten a los contenidos propios de cada materia y a las características del alumnado de las distintas etapas, hasta las decisiones sobre recursos didácticos, agrupamientos de alumnos o aquéllas que se relacionen con el uso de los espacios y los tiempos disponibles. Junto con todas estas decisiones, deberán figurar también las que específicamente se adopten sobre cómo abordar la formación integral del alumno y sobre las medidas previstas para atender a la diversidad del alumnado.

En este apartado se deben recoger todos los acuerdos que adopten los departamentos sobre cómo y – Procedimientos e instrumentos para cuándo evaluar los aprendizajes del alumnado y la la evaluación de aprendizajes y de la propia práctica docente, junto a los criterios de calipráctica docente. ficación que se van a aplicar en cada materia. Todo ello deberá ser coherente con lo establecido, con – Criterios de calificación. carácter general para todo el centro, en cada etapa. Evaluación

7RPDGR\PRGL¿FDGRSDUDDGHFXDUDODOHJLVODFLyQDFWXDOGHOD³&DMD5RMD´GH3URJUDPDFLyQ0(&

8. LA PROGRAMACIÓN DE AULA. LA UNIDAD DIDÁCTICA Mientras que con la Programación Didáctica se pretende obtener un instrumento de planificación común de los departamentos didácticos respecto a las materias que se les tienen asignadas, la Programación de Aula tiene por misión la planificación individualizada del profesor o, en el caso ideal, la planificación compartida de los profesores de un mismo curso y materia, que se concreta posteriormente para cada grupo de alumnos. 50

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

En esta Programación se debe especificar la secuencia de las unidades didácticas, aunque la práctica docente deberá adaptarse a las peculiaridades que presenten los alumnos de cada grupo y a la personalidad del profesor. La Programación de Aula no es sólo una distribución y temporalización de contenidos y actividades, sino un proceso de adaptación de las decisiones adoptadas para dar respuesta a las necesidades del grupo. Se puede decir que los componentes de la Programación de Aula son las Unidades Didácticas, que están configuradas por los componentes siguientes: –

Presentación de la Unidad Didáctica Aunque no es imprescindible, para hacer un buen planteamiento es muy conveniente conocer la base sobre la que ha de sustentarse la unidad, cuál es su eje conductor, qué relación tiene con las demás unidades didácticas, qué conocimientos previos se necesitan para que pueda ser bien comprendida y asimilada, cuál es el momento idóneo del curso para impartirla, estudiarla, trabajarla. En la presentación podremos incluir el apartado de la motivación. El motivo puede ser una exposición de diapositivas, una visualización de un vídeo o un planteamiento distinto, pero atractivo a los ojos de los alumnos a los que va encaminada. El objetivo es claro, se trata de “enganchar” al alumno. A veces cuestiones controvertidas, paradójicas o chocantes hacen que los alumnos vean con otros ojos los contenidos que a priori se les pudieran antojar pesados o dificultosos.

–

Objetivos didácticos Deben concretar al máximo los aprendizajes que se esperan que adquieran los alumnos al término de la unidad. Por tanto, cada Unidad Didáctica será un referente de qué enseñar y de qué evaluar. Los objetivos didácticos tienen que:

–

*

Servir para concretar las capacidades incluidas en los objetivos del curso.

*

Hacer referencia a contenidos específicos que determinen el tipo (conceptuales, procedimentales o actitudinales) y el grado (profundidad) de aprendizaje.

*

Elaborarse teniendo en cuenta los criterios de evaluación.

*

Identificar los que sean prioritarios por referirse a aprendizajes fundamentales o básicos.

*

Ser variados en cuanto al grado para atender a la diversidad.

Contenidos Debe ser una concreción de los objetivos didácticos que se han enunciado anteriormente, con secuenciación de actividades de enseñanza-aprendizaje. Para detallar los contenidos de la Unidad Didáctica se debe tener en cuenta que: *

Guarden íntima relación con los objetivos didácticos.

*

Se distinga entre contenidos básicos o fundamentales y los de ampliación.

*

Se diferencien expresamente los contenidos de los tres tipos.

MATEMÁTICAS

51

La Programación Didáctica

–

Actividades En la Unidad Didáctica se pueden seleccionar actividades ya elaboradas o prepararlas para el grupo especialmente, pero en todo caso deben ser adaptadas a cada grupo concreto en función de las características del mismo. La selección de actividades debe hacerse de forma meticulosa y es conveniente que:

–

*

Se ajusten a los objetivos y contenidos seleccionados.

*

Estén secuenciadas de forma que se favorezca la progresión en el aprendizaje.

*

Sean significativas y motivadoras.

*

Resulten diversificadas y permitan adoptar distintos enfoques.

*

Presenten distintos grados de dificultad para que, al menos las básicas, estén al alcance de todos los alumnos.

*

Faciliten la adquisición de los conceptos de los tres tipos.

*

Promuevan la interacción en el aula y la implicación del alumnado.

*

Favorezcan la autonomía en el aprendizaje y la autoevaluación.

Metodología Para diseñar cómo se han de realizar las actividades de enseñanza-aprendizaje es imprescindible temporizarlas, aunque no necesariamente de forma rígida, sino como ajuste en el tiempo para repartirlo equitativamente. Las tareas programadas y, dependiendo de cada una de ellas, resultarán apropiados unos u otros agrupamientos de alumnos, porque es conveniente cambiar la formación de un grupo según los objetivos que se persigan en la actividad a realizar. Los recursos didácticos deben preverse en coherencia con las diversas actividades programadas, ya sean de uso del profesor como de los propios alumnos. Siempre hay que comprobar que los materiales seleccionados no contengan factores discriminantes por razón de sexo, raza, religión, cultura, etc. Debe preverse en la programación de la metodología las adaptaciones necesarias para atender a la diversidad del alumnado.

–

Actividades e instrumentos de evaluación Las actividades de evaluación, al menos la mayoría de ellas, no deben diferenciarse de las que no lo son. En todo caso, aquéllas que serán destinadas exclusivamente a ser instrumento evaluador deben también ser programadas en la Unidad Didáctica como las demás actividades. En la evaluación continua, es decir, la inmersa en el propio proceso de enseñanza-aprendizaje, es totalmente imprescindible esta planificación a la que se ha hecho referencia. No hay que esperar a la evaluación final para ir dando respuesta evaluatoria a los alumnos para que vayan produciéndose las correspondientes modificaciones encaminadas a alcanzar el máximo rendimiento. Los instrumentos que se han descrito anteriormente deben ser plasmados en la Unidad Didáctica de forma detallada, incluso deben citarse textualmente algunos ítems o cuestiones de las pruebas previstas. En el siguiente cuadro se resume lo expuesto respecto a la Programación de Aula.

52

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

ELEMENTOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA 1. Presentación de la unidad: – 7HPiWLFDRFHQWURGHLQWHUpV – Situación respecto al curso. – Duración. – Conocimientos previos necesarios.

En este apartado se deberán incluir todos los aspectos que caracterizan la Unidad Didáctica como tal, así como los conocimientos previos que se requieran para alcanzar los objetivos propuestos, el número de sesiones de trabajo que se prevé necesario, su relación con otras unidades y el momento del curso más idóneo para su desarrollo.

Concretan los aprendizajes que los alumnos deben alcanzar al finalizar la Unidad, subrayando – Expresan capacidades indicando los conocimientos básicos que deben adquirir todos ellos. Orientan la selección de contenidos y tipo y grado de aprendizaje. la secuencia de actividades de enseñanza y apren– Identifican aprendizajes básicos. dizaje y de evaluación. En la formulación de los – Funcionan como criterios de evalua- objetivos didácticos debe estar presente cómo se puede incidir en la formación de valores que se ción de la Unidad Didáctica. van a abordar en el desarrollo de los contenidos.

2. Objetivos didácticos:

3. Contenidos: – Conceptos. – Procedimientos. – Actitudes.

Deben concretarse diferenciando los que se plantean como básicos o nucleares y los que se proponen para ampliar o profundizar conocimientos. También deben quedar explícitos los que se seleccionan para la educación en valores (actitudinales).

4. Secuencia de actividades y metodología: La selección de las actividades es el último paso – Tipos de actividades y secuencia de de la programación de las Unidades Didácticas. Deben incorporar todos los elementos necesarios las mismas. para su puesta en práctica en el aula. La secuen– Papel del profesor y de los alumnos cia completa de las actividades debe incluir en cada una de ellas. distintos tipos (de motivación, de detección de conocimientos previos, de desarrollo, de re– Recursos didácticos. fuerzo o ampliación...), con el fin de asegurar la – Espacios y tiempos. adquisición de los aprendizajes básicos por parte de todos los alumnos. – Tratamiento de la diversidad Las actividades de enseñanza y aprendizaje pue5. Actividades e instrumentos de evalua- den y deben servir como actividades de evaluación, pues permiten obtener información sobre ción: el punto de partida de cada alumno, su proceso – Al comienzo de la Unidad Didáctica. de aprendizaje y los conocimientos alcanzados al finalizar la Unidad. No obstante, puede ser – A lo largo del proceso. oportuno seleccionar actividades explícitamente – Al finalizar la Unidad Didáctica. previstas para evaluar los aprendizajes logrados en un momento determinado. 7RPDGR\PRGL¿FDGRSDUDDGHFXDUDODOHJLVODFLyQDFWXDOGHOD³&DMD5RMD´GH3URJUDPDFLyQ0(&

MATEMÁTICAS

53

La Programación Didáctica

Algunos modelos de Unidades Didácticas En la presentación de la Programación de Aula, las Unidades Didácticas, a pesar de entrar en los más íntimos detalles de la planificación, no tienen que ser excesivamente amplias. Pueden solucionarse con una o dos páginas. A continuación se exponen tres modelos de Unidades Didácticas. Estos modelos que se presentan no son rígidos, sino que pueden combinarse. Concretamente, los modelos 1 y 2 pueden verse enriquecidos con aportaciones del modelo 3, que está basado en el que ha utilizado editorial MAD en los libros de Aplicaciones didácticas.

0RGHOR Unidad Didáctica nº ____ 1. Introducción y ubicación de la Unidad Didáctica –

Situación. Esta Unidad Didáctica corresponde a la __________(primera, segunda, tercera...) parte del capítulo________ (uno, dos, tres...) que hemos denominado “________” (“El aparato circulatorio”, “El Islam”, “Ácidos y bases”...).

–

Ubicación en el currículo oficial. Corresponde al bloque____ (I, II, III...) del currículo de ________ (Matemáticas, Tecnología, Dibujo...) de ______(1º de ESO, 2º de Bachillerato...) de la Comunidad Autónoma de (Andalucía, Murcia, Cataluña...).

2. Objetivos didácticos. Los alumnos deberán alcanzar los siguientes objetivos: –

1. (“Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de un edificio” o “Reconocer los minerales más comunes por sus propiedades físicas”, etc.).

–

2.

–

3.

–

...

3. Contenidos –

–

–

Conceptuales. *

1. (“El Teorema de Pitágoras” o “Propiedades físicas de los minerales”).

*

2.

*

3.

*

.....

Procedimentales. *

(“Practicar el cálculo de raíces cuadradas” o “Determinar la dureza de un mineral utilizando la escala de Mohs reducida”).

*

.....

Actitudinales. *

54

(“Reconocimiento de las aplicaciones prácticas, en la vida cotidiana, del Teorema de Pitágoras” o “Actitud crítica con respecto al comportamiento del hombre en cuanto el trato que da a la naturaleza...”). CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

4. Actividades de aprendizaje. El alumno, para alcanzar los objetivos de unidad, deberá: – Contestar a todas las preguntas que se formulan en el libro de texto, de las páginas____. – Realizar un resumen (o un mapa conceptual o...) de lo explicado. – Realizar las actividades prácticas e indicar la solución. – .... 5. Estrategias didácticas – Situación de los conocimientos previos. Coloquio breve de 5 minutos. – Se inicia la sesión con un vídeo (o diapositivas, transparencias...) sobre el tema... que sirve de motivación inicial. – Se realiza la actividad ____ para que por inducción se adquiera fácilmente el concepto de______ – En la parte _____ se aplicará el constructivismo, partiendo de_____ deducir que_______ – Se realizarán las actividades de ________ (laboratorio, traducción, análisis, etc.) siguientes: * 1. (“Disección de corazón de cordero”, “Traducción de un párrafo de César”, “Realización de análisis sintácticos de...”, etc.). * 2. * .... 6. Materiales que se utilizarán – El profesor: * Bibliográficos: _______ * Informáticos:_______ * De laboratorio: _______ * .... – Los alumnos: * Bibliográficos: _______ * Informáticos:_______ * De laboratorio: _______ * .... 7. Tiempo y lugar – La Unidad Didáctica se desarrolla en el contexto del capítulo___, aproximadamente _____ (principio, mediado, final) del ________ (primer, segundo, tercer) trimestre. – Se desarrollará en el aula (y en el laboratorio, o taller, biblioteca, el campo...). 8. Actividades de evaluación y criterios de evaluación Los criterios de evaluación serán (aquí se establecen los criterios en función de los objetivos didácticos): – “Los alumnos deben saber no sólo la teoría y definición del Teorema de Pitágoras sino también aplicaciones a situaciones reales” o “El alumnado sabrá distinguir entre las propiedades físicas (escalares y vectoriales) de los minerales y sabrán utilizarlas para el diagnóstico”... – ..... MATEMÁTICAS

55

La Programación Didáctica

9. Actividades y criterios de recuperación La recuperación de los alumnos que han quedado retrasados en el dominio de los conceptos básicos de esta Unidad Didáctica serán observados durante la siguiente y se seguirá la observación de los que ya venían atrasados de la Unidad anterior. Al final del capítulo se realizará una pequeña prueba para todos los alumnos en la que se utilizará un 20% de ítems de alta y mediana dificultad, 50% de ítems de dificultad media y un 30% de baja dificultad. (Aquí se relaciona una prueba estructurada –objetiva– con ítems que a juicio del profesor tienen la dificultad indicada).

Modelo 2 Unidad Didáctica nº ____ (Tomado y modificado de los Libros del Profesor de EDELVIVES) OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1.

1.

2.

2.

CONTENIDOS CONCEPTOS

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

1.

1.

1.

2.

2.

2.

3.

3.

3.

4.

4.

ACTIVIDADES

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

1.

1. De observación directa. 2. De la realización de las actividades. 3. De la prueba final de capítulo. 4. De otros instrumentos de evaluación.

ALGUNAS CONEXIONES INTERESANTES:

CONSULTAS EN LA RED PARA ALUMNOS

www...

www...

Para el lector es sencillo completar el cuadro con los mismos criterios que se han expuesto en este apartado y siguiendo los ejemplos del modelo 1. 56

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

0RGHOR'HWDOODGD³/RVSXQWRV\GHHVWHPRGHORVHKDQLQFOXLGR para que pueda ser aplicado al temario A, por si el opositor se inclina SRUHVWDRSFLyQ´ Unidad Didáctica nº ____ 1. Inserción del tema en el currículo. ______ (Indicación de la relevancia del tema). –

Etapa de Educación Secundaria Obligatoria: (Referencia legal)

–

Etapa de Bachillerato: (Referencia legal)

–

Nivel en el que se sitúa la unidad didáctica: ____ (asignatura y curso). La unidad didáctica la denominamos: ___________

2. Justificación del tema. (Explicación sucinta de porqué se ha adaptado el tema a una determinada etapa y curso). 3. Objetivos generales y capacidades de la etapa. (Enumeración de los objetivos de la etapa de que se trate). 4. Objetivos generales de la asignatura. (Enumeración de los objetivos de la asignatura dentro de la etapa de que se trate). 5. Objetivos específicos de la unidad. (Aquí hay que indicar los objetivos didácticos, como se ha hecho en las anteriores modelos de Unidades Didácticas). 6. Contenidos que pretende desarrollar este tema. ¿Qué aprender? (Aquí hay que indicar los contenidos como se ha hecho en las anteriores modelos de Unidad Didáctica). –

Conceptuales.

–

Procedimentales (procedimientos, estrategias, destrezas, habilidades).

–

Actitudinales (actitudes, valores y normas).

7. Estrategias metodológicas. ¿Cómo aprender? Los principios metodológicos sobre los que se sustenta el desarrollo docente de esta Unidad Didáctica son, especialmente: (se expresan aquéllos que se consideren oportunos para la unidad elegida. No son excluyentes, por lo que todos pueden ser expresados): –

Motivación. El estudio de esta unidad puede verse motivado por... (vídeo ___, proyección de diapositivas ____, debate sobre___).

–

Diversidad. Se utilizarán sistemáticamente técnicas de trabajo diversas, sin olvidar la... (específicas de la unidad).

–

Metodología activa. La participación de los alumnos en debates y controversias es.... (importante, poco importante, irrelevante por tal motivo...).

–

Inducción. Como consecuencia de lo anterior, el método inductivo, con un constructivismo moderado... (es o no es de aplicación porque...).

MATEMÁTICAS

57

La Programación Didáctica

–

Expositivo. Es natural que los conceptos nuevos, puramente científicos, han de ser explicados con la autoridad que confiere el conocimiento, por parte del profesor. Por lo tanto... (es necesaria o innecesaria esta metodología...).

–

Interdisciplinar. El objeto de estudio de esta unidad se puede considerar relacionado con otras disciplinas, especialmente... (citar las materias con las que se relaciona, se apoya o ayuda).

–

Coloquial. Se hace necesario que al final del estudio de la unidad, independientemente de la participación en debates a lo largo de su desarrollo, que se mantenga un coloquio final con aclaración de dudas y resumen de aportaciones.

8. Actividades prácticas posibles. (Como en los modelos anteriores). 9. Recursos (material didáctico, bibliográfico, instrumental). (Quitar o poner según la materia y unidad de que se trate). –

Libro(s) de texto de la asignatura. Cuaderno de clase y de actividades prácticas. Libros de consulta de la biblioteca del centro o propios.

–

Magnetoscopio. Cintas de vídeo.

–

Proyector de diapositivas. Diapositivas.

–

Retroproyector de transparencias.

–

Papel milimetrado y logarítmico.

–

Ordenador.

–

Microscopio...

10. Temporalización y secuenciación. ¿Cuándo? ¿Cuánto tiempo? (Igual tratamiento que en modelos anteriores). 11. Ámbito de actuación. ¿Dónde? (Quitar o poner según la materia y unidad de que se trate). –

Aula: para el desarrollo del proceso enseñanza-aprendizaje común.

–

Laboratorio: para la realización de actividades prácticas.

–

Taller: para la realización de prácticas y proyectos.

–

Biblioteca: para realizar el trabajo propuesto con la bibliografía suficiente.

–

Campo: para actividades de la Naturaleza (Biología, Geología, Ecología), de Geografía, de Matemáticas, de Dibujo...

–

Aula específica (de Música, de Dibujo...).

–

.....

12. Atención a la diversidad. Esta unidad se planifica adaptada a la diversidad de la siguiente manera:

58

–

Alumnos extranjeros: (lecturas comentadas de textos sobre el tema...).

–

Alumnos sobredotados: (investigación real o bibliográfica de hechos, conceptos, experiencias...).

–

Alumnos con necesidades educativas especiales: (lecturas, manipulaciones sencillas...). CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

13. Utilización de las nuevas tecnologías. Se utilizarán los medios informáticos: –

Modelos de EAO (enseñanza asistida por ordenador).

–

Utilización de Internet para obtener información referente al tema...

14. Evaluación ¿Qué, cuándo, cómo, a quién? Instrumentos y ejemplos. La evaluación será siempre continua y no sólo sobre el aprendizaje de los alumnos, sino también sobre todo el proceso de enseñanza-aprendizaje: objetivos de la unidad didáctica, los contenidos expuestos, los propios criterios de evaluación, los materiales didácticos y el propio profesor a través de su programación. a) Autoevaluación del profesor. Se hará un análisis que responda a las siguientes preguntas: –

¿Ha sido adecuada la relación profesor-grupo y se ha sido capaz de motivar acciones positivas en el alumno desde la propia conducta, tanto pedagógica como humana?

–

¿Se considera idóneo el planteamiento didáctico que se ha diseñado para el aprendizaje de esta unidad en cuanto a los objetivos planteados, contenidos programados, temporalización, etc., o hay algún aspecto que deba ser modificado?

–

¿Se han provocado situaciones de aprendizaje fértiles, coherentes y bien estructuradas?

–

¿Se han obtenido resultados idóneos en la mayoría de los alumnos del grupo, alcanzando las capacidades programadas?

–

¿Se ha atendido razonablemente las necesidades de los alumnos con mayor dificultad de aprendizaje?

–

¿Han sido atendidos los alumnos con sobredotación o al menos con mayores demandas que la generalidad del grupo?

b) Evaluación de los alumnos. Se hará en aplicación de los Criterios de Evaluación que se proponen a continuación: –

(Indicados como se ha hecho en los modelos anteriores).

–

...

Estos Criterios de Evaluación se proponen coincidentes con los mínimos exigibles a los alumnos, ya que se trata de evaluar los conocimientos adquiridos sobre los conceptos básicos de la unidad. Por otra parte, se realizará un amplio sondeo de ideas previas en una evaluación inicial. En ella habrá cuestiones que habrían de conocer de cursos anteriores, del propio curso en esta u otra materia, o por el conocimiento significativo. La misión de esta evaluación inicial es doble: por una parte se tiene conciencia de la base sobre la que se van a cimentar los nuevos conocimientos y, por otra, se pueden corregir errores preconceptuales. En la evaluación formativa y en la evaluación final deberán manejar con soltura conceptos, leyes y principios comprobables, a través de pruebas o cuestiones como: (Siguiendo el mismo criterio que en los modelos anteriores). MATEMÁTICAS

59

La Programación Didáctica

9. NOTAS IMPORTANTES El opositor deberá tener SIEMPRE en cuenta las particularidades de la convocatoria de la oposición de la Comunidad Autónoma. En ésta se establecen las características que ha de tener la Programación: –

Número de páginas.

–

Tipo y tamaño de letra y espaciado.

–

Otras posibles (como el currículo de aplicación).

9.1. La extensión La extensión del texto máximo autorizado es una grave limitación. En las convocatorias anteriores han oscilado entre 50 y 60 páginas con letra de tamaño 12 a doble espacio. Esta limitación obliga al opositor a renunciar, en gran medida, a una programación completa y exhaustiva y ha de tomar una determinación de entre los siguientes planteamientos: a) Explicar con suficiente amplitud las características, rasgos específicos, justificación, etc., de la Programación presentada y, por consiguiente, con la simple enumeración de las Unidades Didácticas (en definitiva, amplio desarrollo de la Programación Didáctica con drástica reducción de la programación de aula). b) Desarrollar mínimamente la Programación Didáctica en beneficio de la Programación completa y detallada de las Unidades Didácticas o Programaciones de Aula (aunque con la extensión de referencia no podría ser tan completa y detallada). c) Tomar una postura ecléctica y desarrollar los principios de la Programación tratando todos los aspectos de la misma de forma escueta, aunque completa, y esbozar el desarrollo de las Unidades Didácticas. La alternativa primera es la que más se adapta a la letra de las convocatorias realizadas, aunque estamos convencidos que no responde al espíritu de las mismas, pues puede planificar y justificar pero no explica la praxis docente cotidiana, siendo, por tanto, poco operativa. El desarrollo exhaustivo de las Unidades Didácticas sí marcaría la pauta del desarrollo curricular, sin embargo, no sería una correcta Programación, pues dejaría de explicar qué se pretende y cuáles son los principios que la sostienen. Entendemos, pues, que la Programación que se adecua más claramente al espíritu de las convocatorias es la tercera alternativa, que responde a todas las expectativas, si bien es de más difícil elaboración. Nuestra propuesta se deriva del convencimiento de que es precisamente este planteamiento lo que se espera del opositor, pero no excluye otras alternativas que pudieran tomarse. Tenemos constancia de que también han sido bien recibidas por algunos tribunales Programaciones en las que se ha hecho una extensa explicación en temas tan importantes como la psicología de los alumnos a quienes va dirigida o el tratamiento detallado de la función del tutor, en perjuicio de un mínimo desarrollo de las Unidades Didácticas propuestas. En resumen, como ejemplo a seguir, planteamos unas Programaciones que el opositor puede, e incluso debe, modificar, alterar, sustituir o manipular, según su propio criterio, siguiendo la propuesta indicada. 60

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aspectos generales

9.2. El currículo El currículo sobre el que versa la programación6 es distinto según la Comunidad Autónoma, por lo que es imposible plasmar en este libro Programaciones que en su totalidad satisfagan los diversos currículos. No obstante, existe el currículo “marco” llamado de “enseñanzas comunes” o de “mínimos” en el que se establecen los objetivos, contenidos y criterios de evaluación que han de considerarse de manera obligada en los distintos currículos autonómicos. A este currículo común la Comunidad Autónoma puede añadir lo que considere oportuno para completar el suyo propio, generalmente con contenidos característicos de su Geografía, Historia, Naturaleza, etc. Además, el Ministerio de Educación elabora su currículo propio, que podría servir para modelo de los autonómicos, cuyo objetivo es su aplicación en las ciudades autonómicas de Ceuta y Melilla, así como en los centros españoles en el extranjero. Precisamente por ello, nuestra programación, mientras no se diga lo contrario, se basa en los currículos de comunes del Estado y el opositor deberá hacer su adaptación a los de la Comunidad Autónoma por la que se presenta.

6

Recuérdese que (OFXUUtFXORSUHVFULEHODVLQWHQFLRQHVHGXFDWLYDVGHILQLGDVHQWpUPLQRVGHREMHWLYRVJHQHUDOHVGHiUHDGHJUDQGHV núcleos de contenidos y de criterios de evaluación para cada una de ellas, cuyo acceso debe garantizarse a todos los alumnos. Estas prescripciones deben materializarse en las Programaciones.

MATEMÁTICAS

61

Parte II. Programaciones de las asignaturas del Departamento de Matemáticas

Juan Vera López Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Con objeto de facilitar la elaboración de la Programación Didáctica del opositor, hemos diseñado las programaciones de tres cursos de Matemáticas. Las dos primeras corresponden a las materias del segundo ciclo de la ESO, es decir a 3.º y 4.º de ESO, en su opción B, y, la última, a la asignatura de Matemáticas I que se imparte en los actuales Bachilleratos Tecnológico y de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud. La elección de los cursos del segundo ciclo que se imparten en Educación Secundaria Obligatoria se debe a que las Matemáticas del primer ciclo suelen ser impartidas por los maestros especialistas adscritos al departamento y, las del segundo, por los profesores de l cuerpo de secundaria. La elección de las Matemáticas I de Bachillerato se basa fundamentalmente en muestro deseo de incluir una asignatura de la etapa de secundaria no obligatoria, el Bachillerato, para que el opositor contraste y compare su propia programación con las de la etapa anterior. Por otra parte, el hecho de que esta asignatura sea la del primer curso se debe a que, en la práctica, la programación de las asignaturas de segundo curso está fuertemente mediatizada por los temarios de las Pruebas de Acceso a la Universidad. Cada una de estas tres programaciones contiene una parte general que cumple con los requiVLWRVGHODFRQYRFDWRULD\RWUDSDUWHHVSHFtILFDHQODVTXHVHGHVDUUROODQGHPDQHUDVLQWpWLFDSHUR con la suficiente amplitud, los aspectos fundamentales de las distintas unidades de los tres cursos seleccionados. De esta manera se facilita la preparación de la Unidad Didáctica que el opositor elija, de acuerdo con sus preferencias personales, para defenderla ante el tribunal de oposición.

Marco legal La Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE), ha derogado todas las grandes OH\HVHGXFDWLYDVDQWHULRUHVVDOYROD/H\2UJiQLFDGHGHMXOLRUHJXODGRUDGHO'HUHFKR DOD(GXFDFLyQ/2'( VREUHODTXHLQWURGXFHLPSRUWDQWHVPRGLILFDFLRQHVDWUDYpVGHVXGLVposición final primera. Una vez publicada la LOE, el gobierno ha promulgado una serie de Reales Decretos encaminados al desarrollo de la citada Ley. El primero de ellos es el Real Decreto 806/2006, de 30 de junio, por el que se establece el calendario de aplicación de la nueva ordenación del sistema educativo, establecida por la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. Según este calendario, y en lo que atañe a la Educación Secundaria Obligatoria (ESO) y el Bachillerato, durante el curso 2007/2008 deberán implantarse con carácter general los nuevos currículos de ž\žGH(62HQHOFXUVRORVGHž\žGH(62\HOGHžGH%DFKLOOHUDWR\SRU ~OWLPRHQHOFXUVRGHEHUiLPSODQWDUVHHOQXHYRFXUUtFXORGHžGH%DFKLOOHUDWR

Con relación a los nuevos currículos de ESO, el Ministerio de Educación y Ciencia ha puEOLFDGRHO5HDO'HFUHWRGHGHGLFLHPEUHSRUHOTXHVHHVWDEOHFHQODVHQVHxDQ]DV mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. En desarrollo de esta norma básica, las Comunidades Autónomas han ido publicando sus Decretos de currículo de ESO a lo largo de los primeros meses de 2007 con la intención de que puedan ser implantados a partir del curso 2007/2008, tal como especifica el calendario de la LOE. Con respecto al Bachillerato, se ha producido una importante demora en los plazos establecidos por el MEC para la publicación de los nuevos currículos de enseñanzas mínimas toda YH]TXHHODUWtFXORGHO5HDO'HFUHWRDQWHULRUPHQWHUHVHxDGRHVWDEOHFHHOGH diciembre de 2006 como fecha tope para dicha publicación. Este incumplimiento de plazos por parte del MEC conlleva, como es lógico, el retraso forzado de los currículos de Bachillerato autonómico, aunque es preciso relativizar la gravedad de esta demora, toda vez que el nuevo BachiOOHUDWRQRFRPHQ]DUiDLPSODQWDUVHKDVWDHOFXUVR\SRUWDQWRKD\WLHPSRVXILFLHQWH para que el MEC y las Comunidades Autónomas elaboren y publiquen los nuevos currículos, PDQWHQLpQGRVHHQHOFXUVRODYLJHQFLDGHORVFXUUtFXORVDFWXDOHV En espera de la publicación del Real Decreto de enseñanzas mínimas de Bachillerato, nos parece adecuado basar la programación de las materias de ESO en el borrador de dicho Real Decreto que, a fecha de hoy, ha sido dictaminado por el Consejo Escolar del Estado y, por tanto, es de inminente publicación.

Programación Didáctica de las asignaturas de Matemáticas del 2.º ciclo de la ESO

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1. ANÁLISIS DEL CONTEXTO 2. FUNDAMENTACIÓN 3. OBJETIVOS GENERALES DE LA ETAPA DE ENSEÑANZA SECUNDARIA OBLIGATORIA 4. OBJETIVOS GENERALES DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN LA ESO 5. COMPETENCIAS BÁSICAS 6. CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN 6.1. Tercer curso de la ESO 6.2. Cuarto curso de la ESO 7. METODOLOGÍA 8. TEMAS TRANSVERSALES 9. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD 9.1. Utilización de las TIC 9.2. El trabajo individual y el trabajo en equipo 9.3. Atención a los alumnos inmigrantes 10. EVALUACIÓN 10.1. ¿Qué evaluar? 10.2. ¿Cómo evaluar? 10.3. ¿Cuándo evaluar? 11. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN 12. BIBLIOGRAFÍA 13. DIRECCIONES DE INTERNET er

PROGRAMACIÓN DE AULA DE 3. CURSO DE ESO PROGRAMACIÓN DE AULA DE 4.º CURSO DE ESO

1. ANÁLISIS DEL CONTEXTO En una primera etapa analizaremos las características del contexto del centro educativo, que deben de figurar en el Proyecto Educativo del Centro (PEC), para averiguar en qué forma inciden en la elaboración personalizada de nuestra Programación Didáctica. Como aspectos más significativos, nuestro análisis debe contemplar: 1. La localización del centro educativo: se trata de precisar las características geográficas de la localidad en la que se sitúa el centro educativo, precisando su número de habitantes, distancia a la capital, ámbito de influencia, análisis del entorno natural… 2. Las características socioeconómicas: en este apartado analizaremos el nivel socioeconómico de la población a la que nuestro centro presta sus servicios. 3. Las características del alumnado: reflejaremos en este apartado el número de alumnos y alumnas así como el porcentaje de repetidores, emigrantes, con necesidades educativas especiales, de diversificación, con altas capacidades…, es decir, el perfil de nuestro alumnado en orden a establecer las pautas metodológicas, de apoyo… más adecuadas. 4. Las características del centro educativo: este apartado debe de incluir, entre otras, las etapas educativas que imparte y el número de líneas autorizadas en cada una de ellas, la ratio media del alumnado en las distintas etapas educativas, los recursos humanos (profesores, personal de servicios…), recursos educativos (material informático, audiovisual, biblioteca…). Con el fin de precisar nuestra Programación Didáctica trataremos de situar nuestro análisis en un centro típico del ámbito semi-urbano, ya que éste suele ser el primer destino de cualquier profesor de enseñanza secundaria. De forma muy sucinta imaginaremos que se trata de un instituto situado en una localidad de menos de 10.000 habitantes, situada a unos 50 km de la capital. Se trata de un centro cuyo entorno viene condicionado por actividades económicas que conjugan un perfil socioeconómico que combina la atención a familias de la localidad con otras que tienen sus ocupaciones en el campo o en los pueblos y aldeas colindantes. El instituto tiene autorizadas 4 líneas de ESO, en las que se escolarizan la mayor parte del alumnado, dos Bachilleratos (el de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y el de Humanidades y Ciencias Sociales) y un Ciclo Formativo de Grado Medio. El alumnado del centro proviene de la localidad y de otras aldeas y pedanías limítrofes y, en los últimos años, se han incrementado el número de inmigrantes que, en la actualidad, constituyen el 20% de la población escolar. El instituto es relativamente nuevo y está bien equipado. Los profesores son jóvenes y, en un 40%, ocupan la plaza en régimen de interinidad. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Por último, los alumnos se pueden clasificar, de forma mayoritaria, en un nivel medio, con interés y motivación por los estudios que se ven dificultados por los problemas de adaptación de los alumnos inmigrantes y la escasez de recursos educativos propios, sobre todo en aquellos alumnos que proceden del medio rural.

2. FUNDAMENTACIÓN Como se ha dicho anteriormente, la programación de las matemáticas de ESO se basará en el Real Decreto 1.631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. Es preciso advertir que esta norma afectará, desde el curso 2007/2008, a los currículos de matemáticas de 1.º y 3.º de ESO, demorándose la implantación de los currículos de 2.º y 4.º para el curso 2008/2009. Aunque el nuevo Real Decreto introduce pocos cambios cualitativos en los contenidos matemáticos propiamente dichos, nos parece mucho más amplio y detallado que el anterior, lo que, a nuestro juicio, parece colisionar con los propios criterios sostenidos por el MEC de ofrecer un currículo abierto y susceptible de ser desarrollado y ampliado, en distintos grados de concreción, por las distintas comunidades autónomas e, incluso, por los centros educativos. La novedad más sobresaliente, que afecta a todas las materias del currículo, es la inclusión de las competencias básicas que, de acuerdo con el artículo 7 del Real Decreto, deben adquirir todos los alumnos al finalizar la etapa de Educación Secundaria Obligatoria. Todas las programaciones de las distintas materias del currículo, en sus diferentes grados de concreción, deben estar orientadas a tal fin. Otras novedades significativas son las siguientes –

En cada curso se incluye un primer bloque de “Contenidos comunes” que contiene estrategias, procedimientos y actitudes que deben trabajarse, de forma transversal, en los demás bloques del currículo.

–

El bloque de “Aritmética y álgebra” del currículo anterior se escinde en dos, denominados “Números” y “Álgebra”.

–

Los criterios de evaluación vuelven a estar enfocados a la adquisición de capacidades.

En general, pensamos que en la elaboración de este nuevo currículo se han mantenido muchos de los aspectos que considerábamos positivos en el currículo anterior. Así, además de respetarse la mayor parte de los contenidos y su secuenciación, la redacción mantiene un tipo de lenguaje que evita los tecnicismos psicopedagógicos, lo cual, a nuestro entender, agradecerá la mayor parte del profesorado. En el preámbulo del currículo, además de las competencias básicas, a las que dedicamos el apartado 5 de esta publicación, se analizan las características de las matemáticas y se justifica su aprendizaje. Asimismo se establecen los principios y las pautas metodológicas que deben regir en esta disciplina, enfatizándose que: …para que el aprendizaje sea efectivo, los nuevos conocimientos que se pretende que los alumnos construyan han de apoyarse en los que ya posee, tratando siempre de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en un contexto de resolución de problemas. Algunos conceptos deben ser abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que añadan elementos de complejidad. La consolidación de los contenidos considerados complejos se realizará de forma gradual y cíclica, planteando situaciones que permitan abordarlos desde perspectivas más amplias o en conexión con nuevos contenidos. 70

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Tal como se ordena en el artículo 5.3 del ya referido Real Decreto 1631/2006, las administraciones educativas podrán configurar las matemáticas de cuarto curso en dos opciones diferenciadas, con el fin de atender a la diversidad de motivaciones, intereses y ritmos de aprendizaje de los alumnos. A las matemáticas de la opción A se les asigna un carácter terminal que conlleva un menor uso del simbolismo abstracto y una menor exigencia de precisión o rigor matemático, lo que se traduce en una selección menos extensa de contenidos y, sobre todo, en la forma en que éstos habrán de ser tratados. En esta publicación hemos optado por incluir, únicamente, la programación de las matemáticas de la opción B, de carácter propedéutico, acogiéndonos a su carácter básico extensible a todo el territorio nacional, ya que tal como se estipula en el artículo 8.2 del Real Decreto 1.631/2006: En el caso de que la administración educativa no haga uso de la facultad establecida en el artículo 5.3, los contenidos y criterios de evaluación de las enseñanzas mínimas de la materia de Matemáticas correspondientes al cuarto curso, serán los que recoge el Anexo II como Matemáticas B.

Para finalizar, precisar que aunque los objetivos generales y criterios de evaluación de cada curso son los que especifica el MEC en su Real Decreto de enseñanzas mínimas, al elaborar las programaciones de aula de las dos materias seleccionadas hemos tenido en cuenta los contenidos que, en mayor o menor medida, han ido añadiendo las distintas comunidades autónomas, con el fin de que sean extensibles a todo el territorio nacional.

3. OBJETIVOS GENERALES DE LA ETAPA DE ENSEÑANZA SECUNDARIA OBLIGATORIA De acuerdo con el artículo 23 de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE), la educación secundaria obligatoria contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las capacidades que les permitan: a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática. b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres. d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos. e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación. f)

Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades. h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma, textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura. i)

Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada.

j)

Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural.

k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación física y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora. l)

Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.

Estos objetivos generales son aplicables a todas las áreas que componen el currículo de la ESO. Se precisa, por tanto, concretarlos en nuestra área mediante unas adecuadas referencias, para lo cual adjuntamos a cada objetivo general del área las letras descriptivas de los objetivos generales de etapa con los que se conectan.

4. OBJETIVOS GENERALES DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN LA ESO La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de argumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana (a, b, c, d, g, h). 2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados (b, e, f, g). 3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados a cada situación (b, e, f, g). 4. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes (e, f, g, l). 5. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida cotidiana, analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación (e, f, g, l). 72

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

6. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje (e, f, g). 7. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones (f, g, h). 8. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado (e, f, g). 9. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las matemáticas (b, g, l). 10. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica (e, f). 11. Valorar las matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica (j, k, l).

5. COMPETENCIAS BÁSICAS El afán por mejorar los resultados obtenidos por nuestros alumnos en las últimas evaluaciones del programa PISA, que pone el acento en la adquisición de competencias en vez de en contenidos específicos, ha motivado, a nuestro modo de ver, que las autoridades del MEC hayan decidido incluir las Competencias Básicas en los nuevos currículos de la ESO, a modo de ejes vertebradores que deben orientar, de forma integradora, el proceso de enseñanza-aprendizaje. Tal como se explicita en el Anexo I del Real Decreto, el propósito que se persigue con la inclusión de las competencias básicas en el currículo es el de enfatizar los aprendizajes que se consideran imprescindibles, desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicación práctica de los conocimientos adquiridos por los alumnos. En el marco de la propuesta realizada por la Unión Europea se han identificado las siguientes ocho competencias básicas: a) Competencia en comunicación lingüística. b) Competencia matemática. c) Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. d) Tratamiento de la información y competencia digital. e) Competencia social y ciudadana. f)

Competencia cultural y artística.

g) Competencia para aprender a aprender. h) Autonomía e iniciativa personal. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

En el preámbulo de cada materia se incluye un apartado donde se recoge la forma en que dicha materia contribuye a la adquisición de las competencias básicas. En el caso de las matemáticas parece claro que, tal como manifiesta el propio documento: Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje.

En un plano más concreto se indica que: –

Los contenidos geométricos contribuyen a profundizar la competencia en conocimiento e interacción con el mundo físico, en tanto en cuanto refuerzan la capacidad de discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, y desarrollan la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio.

–

El tratamiento de la información y la competencia digital se fortalece a través de la incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas; la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico; y la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de los alumnos.

–

Las matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística en tanto en cuanto utilizan la expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, es importante que en cualquier situación relacionada con la enseñanza de esta materia, y sobre todo en las que se plantean con la resolución de problemas, se profundice en la expresión oral y escrita de los procesos realizados y de los razonamientos seguidos. En este sentido, el documento resalta que: …el propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de LGHDVTXHGHVWDFDSRUODSUHFLVLyQHQVXVWpUPLQRV\SRUVXJUDQFDSDFLGDGSDUD WUDQVPLWLUFRQMHWXUDVJUDFLDVDXQOp[LFRSURSLRGHFDUiFWHUVLQWpWLFRVLPEyOLFR\ abstracto.

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–

Las matemáticas también contribuyen a la adquisición de la competencia en expresión cultural y artística porque esta disciplina es, en sí misma, una expresión universal de la cultura. A esta misma competencia contribuye, de un modo muy especial, la geometría que subyace como base racional de una gran parte de las manifestaciones artísticas de la humanidad, permitiendo, asimismo, describir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de sus estructuras naturales.

–

La autonomía e iniciativa personal del alumnado se beneficia de los procesos involucrados en la resolución de problemas, que requieren de la utilización de estrategias personales, la asunción de retos y la toma de decisiones.

–

Las técnicas heurísticas revierten en la adquisición de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender tales como la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo.

–

La aportación a la competencia social y ciudadana de las matemáticas se deriva del rigor de esta materia, del trabajo en equipo necesario para abordar, de forma constructiva, algunos de sus contenidos, lo que permite valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

6. CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN 6.1. Tercer curso de la ESO Contenidos Bloque 1. Contenidos comunes. –

Planificación y utilización de estrategias en la resolución de problemas tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines, y comprobación del ajuste de la solución a la situación planteada.

–

Descripción verbal de relaciones cuantitativas y espaciales, y procedimientos de resolución utilizando la terminología precisa.

–

Interpretación de mensajes que contengan informaciones de carácter cuantitativo o simbólico o sobre elementos o relaciones espaciales.

–

Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas.

–

Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas.

–

Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.

Bloque 2. Números. –

Números decimales y fracciones. Transformación de fracciones en decimales y viceversa. Números decimales exactos y periódicos. Fracción generatriz.

–

Operaciones con fracciones y decimales. Cálculo aproximado y redondeo. Cifras significativas. Error absoluto y relativo. Utilización de aproximaciones y redondeos en la resolución de problemas de la vida cotidiana con la precisión requerida por la situación planteada.

–

Potencias de exponente entero. Significado y uso. Su aplicación para la expresión de números muy grandes y muy pequeños. Operaciones con números expresados en notación científica. Uso de la calculadora.

–

Representación en la recta numérica. Comparación de números racionales.

Bloque 3. Álgebra. –

Análisis de sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y geométricas.

–

Sucesiones recurrentes. Las progresiones como sucesiones recurrentes.

–

Curiosidad e interés por investigar las regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en conjuntos de números.

–

Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico.

–

Transformación de expresiones algebraicas. Igualdades notables.

–

Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

–

Resolución de problemas mediante la utilización de ecuaciones, sistemas y otros métodos personales. Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.

Bloque 4. Geometría. –

Determinación de figuras a partir de ciertas propiedades. Lugar geométrico.

–

Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras a la resolución de problemas geométricos y del medio físico.

–

Traslaciones, simetrías y giros en el plano. Elementos invariantes de cada movimiento.

–

Uso de los movimientos para el análisis y representación de figuras y configuraciones geométricas.

–

Planos de simetría en los poliedros.

–

Reconocimiento de los movimientos en la naturaleza, en el arte y en otras construcciones humanas.

–

Coordenadas geográficas y husos horarios. Interpretación de mapas y resolución de problemas asociados.

–

Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas.

Bloque 5. Funciones y gráficas. –

Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano y de otras materias.

–

Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la gráfica correspondiente: dominio, continuidad, monotonía, extremos y puntos de corte. Uso de las tecnologías de la información para el análisis conceptual y reconocimiento de propiedades de funciones y gráficas.

–

Formulación de conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno que representa una gráfica y su expresión algebraica.

–

Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional dadas mediante tablas y enunciados.

–

Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.

–

Utilización de las distintas formas de representar la ecuación de la recta.

Bloque 6. Estadística y probabilidad.

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–

Necesidad, conveniencia y representatividad de una muestra. Métodos de selección aleatoria y aplicaciones en situaciones reales.

–

Atributos y variables discretas y continuas.

–

Agrupación de datos en intervalos. Histogramas y polígonos de frecuencias. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

–

Construcción de la gráfica adecuada a la naturaleza de los datos y al objetivo deseado.

–

Media, moda, cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones.

–

Análisis de la dispersión: rango y desviación típica. Interpretación conjunta de la media y la desviación típica.

–

Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Actitud crítica ante la información de índole estadística.

–

Utilización de la calculadora y la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar cálculos y generar las gráficas más adecuadas.

–

Experiencias aleatorias. Sucesos y espacio muestral. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.

–

Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. Formulación y comprobación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos.

–

Cálculo de la probabilidad mediante la simulación o experimentación.

–

Utilización de la probabilidad para tomar decisiones fundamentadas en diferentes contextos. Reconocimiento y valoración de las matemáticas para interpretar, describir y predecir situaciones inciertas.

Criterios de evaluación 1. Utilizar los números racionales, sus operaciones y propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria. Se trata de valorar la capacidad de identificar y emplear los números y las operaciones siendo conscientes de su significado y propiedades, elegir la forma de cálculo apropiada: mental, escrita o con calculadora, y estimar la coherencia y precisión de los resultados obtenidos. Es relevante también la adecuación de la forma de expresar los números: decimal, fraccionaria o en notación científica, a la situación planteada. En los problemas que se han de plantear en este nivel adquiere especial relevancia el empleo de la notación científica así como el redondeo de los resultados a la precisión requerida y la valoración del error cometido al hacerlo. 2. Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad o relación dada mediante un enunciado y observar regularidades en secuencias numéricas obtenidas de situaciones reales mediante la obtención de la ley de formación y la fórmula correspondiente, en casos sencillos. A través de este criterio, se pretende comprobar la capacidad de extraer la información relevante de un fenómeno para transformarla en una expresión algebraica. En lo referente al tratamiento de pautas numéricas, se valora si se está capacitado para analizar regularidades y obtener expresiones simbólicas, incluyendo formas iterativas y recursivas. 3.

Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Este criterio va dirigido a comprobar la capacidad para aplicar las técnicas de manipulación de expresiones literales para resolver problemas que puedan ser traducidos previamente a ecuaciones y sistemas. La resolución algebraica no se plantea como el único método de resolución y se combina también con otros métodos numéricos y gráficos, mediante el uso adecuado de los recursos tecnológicos.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

4. Reconocer las transformaciones que llevan de una figura geométrica a otra mediante los movimientos en el plano y utilizar dichos movimientos para crear sus propias composiciones y analizar, desde un punto de vista geométrico, diseños cotidianos, obras de arte y configuraciones presentes en la naturaleza. Con este criterio se pretende valorar la comprensión de los movimientos en el plano, para que puedan ser utilizados como un recurso más de análisis en una formación natural o en una creación artística. El reconocimiento de los movimientos lleva consigo la identificación de sus elementos característicos: ejes de simetría, centro y amplitud de giro, etc. Igualmente los lugares geométricos se reconocerán por sus propiedades, no por su expresión algebraica. Se trata de evaluar, además, la creatividad y capacidad para manipular objetos y componer movimientos para generar creaciones propias. 5. Utilizar modelos lineales para estudiar diferentes situaciones reales expresadas mediante un enunciado, una tabla, una gráfica o una expresión algebraica. Este criterio valora la capacidad de analizar fenómenos físicos, sociales o provenientes de la vida cotidiana que pueden ser expresados mediante una función lineal, construir la tabla de valores, dibujar la gráfica utilizando las escalas adecuadas en los ejes y obtener la expresión algebraica de la relación. Se pretende evaluar también la capacidad para aplicar los medios técnicos al análisis de los aspectos más relevantes de una gráfica y extraer, de ese modo, la información que permita profundizar en el conocimiento del fenómeno estudiado. 6. Elaborar e interpretar informaciones estadísticas teniendo en cuenta la adecuación de las tablas y gráficas empleadas, y analizar si los parámetros son más o menos significativos. Se trata de valorar la capacidad de organizar, en tablas de frecuencias y gráficas, información de naturaleza estadística, atendiendo a sus aspectos técnicos, funcionales y estéticos (elección de la tabla o gráfica que mejor presenta la información), y calcular, utilizando si es necesario la calculadora o la hoja de cálculo, los parámetros centrales (media, mediana y moda) y de dispersión (recorrido y desviación típica) de una distribución. Asimismo, se valorará la capacidad de interpretar información estadística dada en forma de tablas y gráficas y de obtener conclusiones pertinentes de una población a partir del conocimiento de sus parámetros más representativos. 7. Hacer predicciones sobre la posibilidad de que un suceso ocurra a partir de información previamente obtenida de forma empírica o como resultado del recuento de posibilidades, en casos sencillos. Se pretende medir la capacidad de identificar los sucesos elementales de un experimento aleatorio sencillo y otros sucesos asociados a dicho experimento. También la capacidad de determinar e interpretar la probabilidad de un suceso a partir de la experimentación o del cálculo (regla de Laplace), en casos sencillos. Por ello tienen especial interés las situaciones que exijan la toma de decisiones razonables a partir de los resultados de la experimentación, simulación o, en su caso, del recuento. 8. Planificar y utilizar estrategias y técnicas de resolución de problemas tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines y comprobar el ajuste de la solución a la situación planteada y expresar verbalmente con precisión, razonamientos, relaciones cuantitativas, e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello.

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Se trata de evaluar la capacidad para planificar el camino hacia la resolución de un problema e incorporar estrategias más complejas a su resolución. Se evalúa, así mismo, la perseverancia en la búsqueda de soluciones, la coherencia y ajuste de las mismas a la situación que ha de resolverse así como la confianza en la propia capacidad para lograrlo. También, se trata de valorar la precisión del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones que contengan cantidades, medidas, relaciones, numéricas y espaciales, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de un problema.

6.2. Cuarto curso de la ESO (opción B) Contenidos Bloque 1. Contenidos comunes. –

Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización.

–

Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y procedimientos de resolución de problemas con la precisión y rigor adecuados a la situación.

–

Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de carácter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales.

–

Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas.

–

Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas.

–

Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.

Bloque 2. Números. –

Reconocimiento de números que no pueden expresarse en forma de fracción. Números irracionales.

–

Representación de números en la recta real. Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo.

–

Interpretación y uso de los números reales en diferentes contextos eligiendo la notación y aproximación adecuadas en cada caso.

–

Expresión de raíces en forma de potencia. Radicales equivalentes. Comparación y simplificación de radicales.

–

Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos.

–

Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica. Cálculos aproximados. Reconocimiento de situaciones que requieran la expresión de resultados en forma radical.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Bloque 3. Álgebra. –

Manejo de expresiones literales. Utilización de igualdades notables.

–

Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas.

–

Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos.

–

Resolución de inecuaciones. Interpretación gráfica. Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones.

Bloque 4. Geometría. –

Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. Relaciones métricas en los triángulos.

–

Uso de la calculadora para el cálculo de ángulos y razones trigonométricas.

–

Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes.

–

Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.

Bloque 5. Funciones y gráficas. –

Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados.

–

La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales.

–

Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales.

–

Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico.

Bloque 6. Estadística y probabilidad.

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–

Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico.

–

Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas.

–

Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias.

–

Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valores atípicos. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones.

–

Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada.

–

Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

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Criterios de evaluación 1. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico. Se trata de valorar la capacidad de identificar y emplear los distintos tipos de números y las operaciones siendo conscientes de su significado y propiedades, elegir la forma de cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora) y estimar la coherencia y precisión de los resultados obtenidos. En este nivel adquiere especial importancia observar la capacidad para adecuar la solución (exacta o aproximada) a la precisión exigida en el problema, particularmente cuando se trabaja con potencias, radicales o fracciones. 2. Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos y métodos algebraicos para resolver problemas. Este criterio va dirigido a comprobar la capacidad de usar el álgebra simbólica para representar y explicar relaciones matemáticas y utilizar sus métodos en la resolución de problemas mediante inecuaciones, ecuaciones y sistemas. 3. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas e indirectas en situaciones reales. Se pretende comprobar la capacidad de desarrollar estrategias para calcular magnitudes desconocidas a partir de otras conocidas, utilizar los instrumentos de medida disponibles, aplicar las fórmulas apropiadas y desarrollar las técnicas y destrezas adecuadas para realizar la medición propuesta. 4. Identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de función que puede representarlas, y aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. Este criterio pretende evaluar la capacidad de discernir a qué tipo de modelo de entre los estudiados, lineal, cuadrático, de proporcionalidad inversa, exponencial o logarítmica, responde un fenómeno determinado y de extraer conclusiones razonables de la situación asociada al mismo, utilizando para su análisis, cuando sea preciso, las tecnologías de la información. Además, a la vista del comportamiento de una gráfica o de los valores numéricos de una tabla, se valorará la capacidad de extraer conclusiones sobre el fenómeno estudiado. Para ello será preciso la aproximación e interpretación de la tasa de variación media a partir de los datos gráficos, numéricos o valores concretos alcanzados por la expresión algebraica. 5. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadísticos más usuales en distribuciones unidimensionales y valorar cualitativamente la representatividad de las muestras utilizadas. En este nivel adquiere especial significado el estudio cualitativo de los datos disponibles y las conclusiones que pueden extraerse del uso conjunto de los parámetros estadísticos. Se pretende, además, que se tenga en cuenta la representatividad y la validez del procedimiento de elección de la muestra y la pertinencia de la generalización de las conclusiones del estudio a toda la población. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

6. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana. Se pretende que sean capaces de identificar el espacio muestral en experiencias simples y compuestas sencillas, en contextos concretos de la vida cotidiana, y utilicen la regla de Laplace, los diagramas de árbol o las tablas de contingencia para calcular probabilidades. Se pretende, además, que los resultados obtenidos se utilicen para la toma de decisiones razonables en el contexto de los problemas planteados. 7. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización, y expresar verbalmente, con precisión y rigor, razonamientos, relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello. Se trata de evaluar la capacidad para planificar el camino hacia la resolución de un problema, comprender las relaciones matemáticas y aventurar y comprobar hipótesis, confiando en su propia capacidad e intuición. También, se trata de valorar la precisión y el rigor del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones que contengan cantidades, medidas, relaciones, numéricas y espaciales, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de un problema.

7. METODOLOGÍA El binomio enseñanza-aprendizaje en toda la etapa de ESO se asienta sobre una serie de características que deben ser tratadas de forma simultánea y desde múltiples aspectos, entre ellas destacamos las siguientes: –

Los alumnos son protagonistas de su propio aprendizaje, por lo que se constituyen en el centro del mismo. No existe un único tipo de enseñanza-aprendizaje dirigido desde la lección magistral del profesor hacia el grupo de alumnos. Cada uno de ellos construirá su propio aprendizaje, a su ritmo, partiendo de sus capacidades individuales que deben ser reforzadas con la ayuda del profesor y de todos y cada uno de los variados elementos que constituyen el proceso educacional. Se pretende, pues, la implantación de un aprendizaje significativo en el que lo importante es que cada alumno pueda construir significados y atribuir sentido a lo que aprende.

–

Será objetivo primordial, la formación en valores productora de ciudadanos libres, responsables, críticos y abiertos a la participación, cooperación...

–

Se deberá de potenciar el desarrollo de capacidades en detrimento de la mera acumulación conceptual.

–

Cada Unidad Didáctica deberá incluir actividades de iniciación, refuerzo y ampliación, con las que atender la diversidad de nuestros alumnos.

En lo que a nuestra materia, las Matemáticas, se refiere, no hay que olvidar que su valor educativo se concreta en tres aspectos que deberán de ser atendidos de manera equilibrada y que son:

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–

Formativo de capacidades intelectuales y cognitivas.

–

Funcional, en cuanto la actividad matemática posibilita un mejor tratamiento de los problemas derivados del ámbito extraescolar. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

–

Instrumental, por cuanto se proporciona una base científica unificadora de otras muchas actividades encasilladas en otras áreas del currículo educativo.

Como consecuencia de todo lo anterior, nuestra metodología a la hora de enseñar Matemáticas deberá de partir de los hechos que habitualmente ocurren en el contexto social del individuo y se desarrollará de manera empírica e inductiva, a través de la experiencia personal de cada alumno y alumna. El aprendizaje matemático se asemejará, de esta manera, al desarrollo histórico del propio conocimiento matemático, siendo especialmente aconsejables todas aquellas actividades que requieran un esfuerzo investigador por parte del alumnado, como la resolución de problemas o los pequeños trabajos de investigación que requieren del trabajo en equipo. Conforme se vaya avanzando en el proceso educativo y en función de la maduración matemática de nuestro alumnado se irán introduciendo actividades que potencien el razonamiento deductivo y de la abstracción. De modo esquemático, nuestra actuación metodológica deberá de guiarse por los siguientes principios, en los que se basa la teoría del aprendizaje significativo: 1. El proceso de enseñanza-aprendizaje debe estar relacionado con los intereses, las necesidades y experiencias de los alumnos en su entorno inmediato, es decir, se ajustará a la estructura psicológica del alumnado. 2. La información que se le proporcione a los alumnos deberá de ser, en todo momento, comprensible, lógica y de utilidad, bien porque se le haga ver su relación con otras materias del currículo o su aplicación a la vida cotidiana. 3. Es importante que los alumnos den significado a los nuevos conocimientos y los relacionen con los que ya poseen. 4. Se debe de cuidar el trabajo conjunto entre profesor y alumnos de manera que se produzcan interacciones que faciliten la socialización del grupo.

8. TEMAS TRANSVERSALES Uno de los aportes más significativos de la LOGSE es la obligación de incorporar en todas las áreas del currículo diversos elementos educativos básicos agrupados en los siguientes temas transversales: –

Educación para la igualdad de oportunidades entre ambos sexos.

–

Educación del consumidor.

–

Educación sexual.

–

Educación para la paz.

–

Educación medioambiental.

–

Educación para la salud.

–

Educación vial.

–

Educación moral y cívica.

La educación del consumidor es un tema que puede trabajarse en casi todas las unidades del currículo, a través de actividades específicas relacionadas con compras, ventas, matemáticas financieras, gráficas de consumo, recibos, estadísticas… MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

La educación medioambiental también resulta bastante apropiada para figurar en el contexto de muchas actividades que pueden estar relacionadas, por ejemplo, con el deterioro medioambiental producido por la mano del hombre (destrucción de bosques, contaminación atmosférica, deshechos radioactivos…), la escasez y distribución de alimentos o de agua… La educación para la salud también puede trabajarse a través de actividades específicas relacionadas con los hábitos alimenticios, los aspectos nocivos de las drogas, los efectos saludables del ejercicio físico… La educación vial puede trabajar mediante actividades sobre escalas, planos, mapas, automóviles, semáforos, estudios estadísticos sobre número de accidentes que se deben a no llevar el caso puesto cuando se conduce una moto… Por último, en estadística se deberán incluir actividades que estén relacionadas con los derechos de la infancia, la igualdad del hombre y la mujer, la situación de la población del tercer mundo… Estas actividades y una especial atención a la educación en valores, incluida también en el currículo, deben ser las bases fundamentales con las que atenderemos a los demás temas transversales.

9. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Los grupos de Matemáticas de ESO suelen ser bastante heterogéneos, es decir, están formados por alumnos de muy diversa índole que tienen distintas motivaciones, intereses o aptitudes. Así, en un grupo normal podremos tener sobre un 10% de alumnos que son repetidores, otros pocos alumnos que presentan graves problemas de adaptación, de los cuales, algunos pueden ser inmigrantes y otros estar incluidos en grupos de diversificación curricular. También habrá un porcentaje elevado de alumnos de nivel medio y otro pequeño porcentaje de alumnos de nivel superior. Una vez que el profesor ha evaluado (evaluación inicial) las capacidades iniciales de sus alumnos y tomado nota de la situación de cada uno de ellos, deberá programar un plan de atención a la diversidad que conlleve una atención preferente a los alumnos más necesitados y que se plasme en la elaboración de materiales y metodologías especiales, lo que se suele denominar adaptaciones curriculares. De estas adaptaciones curriculares estarán exentos los alumnos que ya están incluidos en un grupo de diversificación curricular, ya que éstos no seguirán el normal desarrollo de las clases de Matemáticas, sino que se agruparán con otros profesores, dependientes del Departamento de Orientación, que reciben distintos nombres según la comunidad de procedencia (profesores de ámbito…). Los demás alumnos que destaquen de la normalidad, ya sea por su nivel bajo o alto, son los que deben de recibir este tratamiento especial que, en términos generales, se concreta en una metodología de atención personalizada y en unas posibles adaptaciones personales del currículo que incluyen la modificación parcial de objetivos, criterios de evaluación, contenidos o de técnicas de valuación, pero siempre respetando unos mínimos establecidos para todo el grupo. Centrándonos en los alumnos de nivel bajo o que presentan una cierta repulsa hacia las Matemáticas, existen algunas técnicas, además de la adaptación de las actividades, que suelen dar buenos resultados. Entre ellas destacaremos el empleo de las TIC (Tecnología de la Información y de la Comunicación, como puede ser el ordenador, el material audiovisual, la calculadora gráfica…) o el trabajo en equipo.

9.1. Utilización de las TIC La utilización de las TIC es altamente satisfactoria en la recuperación de los alumnos de bajo rendimiento, ya que suele ser un elemento motivador de enorme importancia. 84

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Los institutos disponen de un aula de Informática en la que el profesor puede disponer de programas que le ayuden en la enseñanza de las Matemáticas. Aunque existen programas específicos, tipo Derive o Mathematica, estos no son los más adecuados para esta etapa, ya que están enfocados a la Matemática superior. Más adecuados nos parecen otros tipos de programas, como la hoja de cálculo Excel o el procesador de textos Word, con los que se pueden realizar cálculos aritméticos, estadísticos y gráficas de todo tipo. Este tipo de programas tiene la ventaja de ser muy populares, por lo que los alumnos podrán manejarlos en sus propias casas. Otros recursos importantes que los alumnos pueden manejar en la propia clase son las calculadoras científicas o las calculadoras gráficas. La calculadora científica es un instrumento bien conocido de enorme importancia en la enseñanza de las Matemáticas. La calculadora gráfica es un recurso menos conocido y, por tanto, menos empleado, que, sin embargo, facilita el aprendizaje de cualquier tipo de alumnos y, sobre todo, de aquellos que necesitan de un especial refuerzo educativo en clase de Matemáticas. Si bien el manejo de una calculadora gráfica es más complicado que el de una calculadora normal esto no suele ser un problema importante para los niños de estas edades, más hábiles que los profesores a la hora de manejarse con cualquier tipo de aparato electrónico. Una vez que los alumnos han aprendido el significado y el manejo de las distintas teclas de la calculadora (aprendizaje que suelen hacer de forma rápida, por el sistema de ensayo-error), las ventajas de su utilización como recurso didáctico son evidentes, así, en relación con los contenidos de aritmética: –

La pantalla de la calculadora gráfica, más grande que la normal, permite visualizar cualquier tipo de operación numérica y corregirla.

–

Una vez introducida una operación combinada se puede alterar su estructura para que los alumnos vean cómo el cambio de signo o el cambio de paréntesis, por ejemplo, alteran el resultado final.

–

Se puede razonar sobre las propiedades de las operaciones numéricas, sobre todo con la propiedad distributiva.

–

Facilita el cálculo con decimales y con fracciones, incrementando el grado de autoestima de aquellos alumnos que son incapaces de realizar una sencilla operación con números fraccionarios.

–

Las operaciones sencillas que se realizan con la calculadora pueden, posteriormente, ser efectuadas de forma manual en la pizarra de forma más comprensible para aquellos alumnos que, en su momento, presentaron serias dificultades de aprendizaje.

–

Al liberar a los alumnos del cálculo manual, les proporciona tiempo para centrarse en otros aspectos de aquellos problemas que requieran de una mayor reflexión.

En un nivel superior, la calculadora gráfica también puede ser de gran ayuda en la comprensión de relaciones algebraicas y en la elaboración e interpretación de gráficas.

9.2. El trabajo individual y el trabajo en equipo Está probado que los alumnos se ayudan y aprenden unos de otros de una forma más significativa cuando lo hacen en equipo. Las agrupaciones puntuales para resolver un problema o elaborar un determinado proyecto son una buena estrategia que posibilita, no sólo el aprendizaje de las matemáticas, sino que sirve también para que los alumnos se relacionen y adquieran contenidos de carácter actitudinal. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Los distintos tipos de agrupamiento se clasifican según el número de alumnos que participan y en consonancia con los objetivos específicos que se persiguen. Aunque existen distintas clasificaciones, nosotros propondremos solamente tres, que denominaremos como gran grupo, grupo pequeño y trabajo individual. –

Gran grupo: engloba el total de la clase y es un agrupamiento útil para realizar debates (por ejemplo al inicio de un tema, cuando se repasan conceptos previos o cuando se exponen conclusiones); para solucionar problemas que implican la mejora de las relaciones entre los alumnos o las de éstos con el profesor y para acordar normas de actuación consensuadas.

–

Pequeño grupo: está compuesto de una media de 4 o 5 alumnos y es el agrupamiento ideal para la realización de actividades de cierta importancia o complejidad que necesiten de un trabajo cooperativo. La ventaja de este tipo de agrupamientos es que los alumnos son más participativos y se expresan con más libertad que en el gran grupo.

–

Trabajo individual: permite que cada alumno trabaje a su ritmo, con la ayuda del profesor que, a su vez, podrá comprobar el nivel y rendimiento de cada alumno, detectar sus dificultades y asignarle tareas motivadoras que le impulsen en su aprendizaje.

9.3. Atención a los alumnos inmigrantes La metodología a aplicar en el caso de los alumnos inmigrantes debe: –

Evaluar el nivel de conocimientos inicial del alumno inmigrante para precisar qué objetivos y criterios de evaluación se le va aplicar.

–

Vigilar el nivel de comprensión de los alumnos ante cualquier actividad que se les encomienden.

–

Prestar una especial atención a la enseñanza de las operaciones aritméticas elementales, relacionándolas con situaciones reales de la vida cotidiana y presentándolas en un contexto de resolución de problemas.

–

Trabajar los contenidos relacionados con la medida de forma experimental, estableciendo comparaciones entre nuestras unidades de medida y la de los países de origen de los alumnos inmigrantes.

–

Trabajar de forma manipulativa los contenidos de Geometría y relacionarlos con las figuras y objetos que nos rodean, naturales o artificiales.

–

Trabajar, en colaboración con el departamento de Lengua, el lenguaje usual a emplear en clase de matemáticas para evitar, por ejemplo, el empleo de frases coloquiales que pueden confundir a los alumnos.

10. EVALUACIÓN Evaluar el proceso de enseñanza-aprendizaje en Matemáticas requiere de una profunda planificación, ya que no se trata solamente de medir los conocimientos adquiridos por nuestros alumnos sino, también, de disponer de las fuentes fiables y necesarias que nos permitan elaborar propuestas destinadas a favorecer el desarrollo intelectual de los mismos y corregir nuestra propia práctica docente. 86

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La evaluación es, por tanto, un proceso que debe incardinarse en el proyecto global del currículo de Matemáticas, enfocado a la construcción de aprendizajes significativos y al desarrollo de las actividades intelectuales de los alumnos. No procede, en consecuencia, definir la evaluación como el resultado de una medida objetiva basada en una serie de pruebas que, en cualquier caso, son una componente más del proceso evaluativo. La siguiente tabla comparativa nos muestra las diferencias entre los fines y objetivos de la evaluación tradicional y la que se propugna en este documento: EVALUACIÓN TRADICIONAL

EVALUACIÓN MODERNA Se evalúan los alumnos y la labor del profesor, su Solamente se evalúa a los alumnos. metodología y las actividades que ha desarrollado en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se refleja en datos cuantitativos. Se refleja en datos cuantitativos y cualitativos. Además de las respuestas de los alumnos tiene en Se basa en las respuestas de los alumnos. cuenta, también, los procesos y los procedimientos que han utilizado para inferirlas. La calificación mide lo que el alumno sabe La calificación distingue entre lo que el alumno expresar o reproducir de forma oral o escrita. sabe realmente y la forma en que lo expresa. Se evalúan los conocimientos, las habilidades inSe evalúa solamente los contenidos especítelectuales y las destrezas adquiridas por los alumficos que se han impartido a los alumnos. nos durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. Un aspecto importante de la evaluación, que todo profesor de Matemáticas debe de tener en cuenta es la detección de errores significativos en sus alumnos. Esta detección de errores requiere una profunda reflexión sobre los mecanismos procedimentales que los alumnos aplican al resolver una determinada actividad, lo que requiere de una continua interrelación entre el profesor y los alumnos. Desde esta óptica, el nuevo concepto de evaluación se configura como un proceso sistemático y continuo, basado en la observación y en el diálogo, que nos da información significativa sobre las componentes fundamentales del proceso global de enseñanza-aprendizaje y, en particular, sobre nuestra tarea de docentes de manera que, en un momento determinado, podamos reconducirla. Las decisiones de evaluación deben de responder a las clásicas preguntas de: –

¿Qué evaluar?

–

¿Cómo evaluar?

–

¿Cuándo evaluar?

–

¿Para qué evaluar?

La respuesta a la cuarta pregunta ya ha sido suficientemente contestada en la explicación que antecede a este párrafo, por tanto, intentaremos responder de forma adecuada a las otras tres.

10.1. ¿Qué evaluar? En respuesta a esta primera pregunta destacaremos que, sobre todo, convendrá establecer unos criterios claros y precisos que nos permitan obtener información objetiva sobre: 1. El aprendizaje de los alumnos, incluidos: –

Los conceptos asimilados.

–

Los procedimientos que son capaces de ejecutar.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

–

Las destrezas adquiridas.

–

La capacidad de resolver problemas.

–

La capacidad para comunicarse.

–

La capacidad para razonar.

–

Las habilidades intelectuales.

–

Las actitudes.

2. La metodología aplicada por el profesor. 3. La adecuación de los recursos utilizados y de las actividades desarrolladas en clase y fuera de clase. 4. La fiabilidad de los instrumentos de medida que utilizamos para evaluar. Si nos centramos en el aprendizaje de los alumnos, conviene matizar que:

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–

La asimilación de los conceptos, por parte del alumno, debe de ser evaluada en relación con la forma en que éste es capaz de reconocer y de comprender los conceptos estudiados y, en un estadio más avanzado, las estructuras y esquemas conceptuales que los engloban y relacionan. Esta comprensión sobrepasa la mera memorización de hechos, definiciones o proposiciones matemáticas e involucra otras capacidades no estrictamente memorísticas, como son la de poder dar distintas interpretaciones de un mismo concepto, comparar conceptos diferentes o equivalentes o conectarlos empleando esquemas y diagramas adecuados.

–

La evaluación de los procedimientos requiere analizar los distintos pasos en los que se puede descomponer el procedimiento o los procedimientos que los alumnos ponen en práctica para ejecutar una operación, dibujar una gráfica, resolver una ecuación o realizar una construcción geométrica, por poner unos pocos ejemplos.

–

La evaluación de las destrezas implica una observación sobre la confianza y la habilidad con que el alumno es capaz de efectuar todo tipo de cálculos numéricos directos (mentales, manuales o con la calculadora), utilizar los recursos habituales que se utilizan en clase de Matemáticas (útiles de dibujo, calculadora, ordenador…).

–

Para evaluar la capacidad de un alumno a la hora de comunicarse en términos matemáticos deberemos prestar atención a la claridad y la precisión del lenguaje que utiliza. En este sentido se hará un seguimiento de la forma en que expresa un concepto o cómo describe un procedimiento determinado. De igual manera observaremos la forma en que utiliza el lenguaje matemático a la hora de argumentar o defender determinadas posturas, en situaciones de diálogo o de discusión.

–

Los métodos que nos permiten evaluar la capacidad de un alumno a la hora de resolver un problema son muy variados. Entre ellos destacaremos la observación sistemática del alumno cuando se enfrenta con un problema, ya sea en solitario o en grupo, la atención a las explicaciones que el alumno da en relación con sus propios procesos mentales o sobre las estrategias que va a utilizar en la resolución del problema…

–

La capacidad para razonar se evalúa a través de la capacidad de los alumnos para conjeturar, inferir, analizar, generalizar, elaborar argumentos, formular hipótesis… El razonamiento tiene distintos componentes que se relacionan con las distintas áreas del currículo, así habrá alumnos que muestren una especial capacidad de razonamiento inductivo, deductivo o lógico que, a su vez, estará relacionado con los contenidos de aritmética, álgebra, geometría… CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

–

En relación con las habilidades adquiridas por nuestros alumnos, prestaremos atención a la forma en que utilizan sus capacidades para calcular, inferir, comunicar, imaginar, estimar, medir, analizar, organizar, crear o generalizar.

–

Para calibrar las actitudes de un alumno, en relación con el aprendizaje de Matemáticas, deberemos prestar una especial atención a la confianza que manifiesta en sus intervenciones durante el desarrollo de las clases, su grado de participación en los debates, su curiosidad, su perseverancia, su capacidad de esfuerzo, el interés que pone en realizar las tareas que se les encomienda, si es ordenado y lleva el cuaderno al día o si entrega puntualmente las tareas recomendadas.

10.2. ¿Cómo evaluar? En relación con el ¿cómo evaluar el aprendizaje de los alumnos? existen muchas técnicas que nos permiten obtener información relevante y significativa sobre el progreso realizado por nuestros alumnos, en relación con las características anteriormente reseñadas. Entre ellas, y sin ánimo de ser exhaustivos, destacaremos las siguientes: –

Los cuestionarios.

–

Las entrevistas.

–

La autoevaluación.

–

La coevaluación.

–

El análisis y corrección de actividades en clase.

–

Pruebas escritas de distintos modelos: de opción múltiplo, abiertas…

–

Ejecución de tareas extraescolares.

–

Control del cuaderno de clase.

–

Control de faltas.

–

Control de conducta.

10.3. ¿Cuándo evaluar? Sobre el ¿cuándo evaluar? existen tres momentos que se corresponden con: –

La evaluación de diagnóstico: se realiza al principio del proceso de enseñanza-aprendizaje e informa sobre el nivel de las capacidades iniciales de los alumnos, permitiendo realizar las modificaciones pertinentes a la Programación Didáctica, para que esté en consonancia con las necesidades generales del grupo de alumnos. Cuando, a través de la evaluación de diagnóstico, se detecte algún problema de mayor alcance será necesario efectuar otras comprobaciones (cuestionarios, entrevistas con el alumno afectado y con sus padres, intervención del Departamento de Orientación…) para analizar en mayor profundidad la necesidades educativas que conllevan el problema o los problemas detectados y programar soluciones, que se pueden traducir en las correspondientes adaptaciones curriculares.

–

La evaluación formativa: se realiza a lo largo de todo el proceso de enseñanza-aprendizaje y facilita una información puntual y periódica sobre el progreso de los alumnos. Este tipo de evaluación requiere de una cuidadosa observación del trabajo diario de los alumnos, reflejado en el cuaderno de clase, sus intervenciones para hacer propuestas,

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La Programación Didáctica

aclarar dudas, resolver actividades en la pizarra o en el pupitre solos o en grupos… Esta evaluación, además de informarnos sobre los avances de los alumnos, nos ofrece una información adicional sobre la eficacia de nuestra metodología, de los contenidos programados o de las actividades propuestas para realizar las oportunas modificaciones que, posteriormente, serán incorporadas a la programación de aula. –

La evaluación final: se trata de una evaluación sumativa en la que se tienen en cuenta numerosos factores, que se efectúa al final de cada proceso y que informa sobre la consecución de los objetivos propuestos. Este tipo de evaluación, que se realiza al final del periodo lectivo, también conviene efectuarla al final de cada bloque de contenidos para extraer conclusiones relevantes sobre la oportunidad de seguir con los demás contenidos programados, modificarlos o repasar los del periodo evaluado, ya que, dada la estructura cíclica de las Matemáticas, no es conveniente que los alumnos pasen de un contenido a otro sin haber afianzado, suficientemente, el primero de ellos.

11. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN Los criterios de calificación describen la forma en la que los profesores elaboramos las notas o calificaciones de nuestros alumnos. En este apartado, obligatorio en cualquier Programación Didáctica, no hay un acuerdo ni una pauta clara sobre qué elementos del currículo tienen mayor peso específico a la hora de aplicar una nota final. Nuestra propuesta es la de que, a la hora de calificar, se deberán tener en cuenta todas las observaciones que conduzcan a medidas objetivas y subjetivas sobre el rendimiento y el grado de progresión de los alumnos. Los criterios de calificación deben de ser conocidos por los alumnos con la suficiente antelación, es decir, al principio de curso, y especificarán aspectos tales como: –

La actitud de los alumnos, que engloba su comportamiento, interés, motivación… y a la que algunos profesores aplican entre el 10% y el 20% de la nota final.

–

El trabajo individual y colectivo de los alumnos, que se refiere a las tareas que ha cumplimentado, la limpieza con que las ha ejecutado, las actividades en las que ha participado, el cuaderno de clase… Este apartado supone entre el 20% y el 30% de la nota final.

–

El rendimiento escolar, observado a través de preguntas de clase, autoevaluaciones y evaluaciones objetivas del profesor. Este apartado suele ser el más valorado, ya que supone entre el 50% y el 70% de la nota final.

12. BIBLIOGRAFÍA Didáctica

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MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

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Colecciones –

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Lecciones populares de matemáticas. Mir. Moscú.

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Historia

92

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

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Vera, F. Breve historia de la geometría. Editorial Losada. Buenos Aires, 1984.

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Groupe Inter-IREM. Le rigueur et le calcul. 'RFXPHQWVKLVWRULTXHVHWpSLVWpPRORJLTXHV. CEDIC. Paris, 1982.

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Hanson, N.R. Constelaciones y conjeturas. Alianza. Madrid, 1980.

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Hanson, N.R. Patrones de descubrimiento. Observaciones y explicación. Alianza. Madrid, 1977.

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Lakatos, I. Matemáticas, ciencia y epistemología, vol. 2. Alianza Ed. Madrid, 1981.

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Lakatos, I. Pruebas y refutaciones. Alianza. Madrid, 1978.

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MATEMÁTICAS

93

La Programación Didáctica

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Piaget, J. e Indelher, B. *pQHVLVGHODVHVWUXFWXUDVOyJLFDVHOHPHQWDOHV. Guadalupe. Buenos Aires, 1967.

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Piaget, J. El lenguaje y el pensamiento en el niño. Estudios sobre la lógica en el niño. Guadalupe. Buenos Aires, 1973.

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Piaget, J. ,QWURGXFFLyQDODHSLVWHPRORJtDJHQpWLFD. Estudios sobre la lógica en el niño. Guadalupe. Buenos Aires, 1975.

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Puig Adam, P. Didáctica de la matemática heurística. Institución de Enseñanza Laboral. Madrid, 1956.

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Santaló, L.A. Enseñanza de las matemáticas en la escuela media. Docencia. Buenos Aires, 1981.

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Wood, L. E. Estrategias de pensamiento. Ejercicios de agilidad mental. Labor. Barcelona, 1987.

13. DIRECCIONES DE INTERNET Portales matemáticos en español –

http://www.google.com/Top/World/Espa%C3%B1ol/Ciencia_y_tecnolog%C3%ADa/ Matem%C3%A1ticas/ Directorio del conocido buscador Google, desde el que se puede acceder a cientos de direcciones, en español, relacionadas con el mundo de las Matemáticas, en todos sus niveles.

–

http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html Página de Redemat, altamente recomendada por la cantidad y calidad de los recursos que ofrece a los profesores de Matemáticas.

–

http://galeon.com/pezgris/secciones/matemat.htm Directorio con muchos recursos matemáticos que se pueden descargar.

–

http://nti.educa.rcanaria.es/ntint/matematicas/ Página con una interesante y variada colección de accesos a otras páginas de Matemáticas, en español y en inglés.

–

http://www.satd.uma.es/matap/svera/links/ Página personal de Salvador Vera, con una colección interesante de recursos y enlaces matemáticos en español.

94

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

–

http://www.matematicas.net/ El Paraíso de las Matemáticas ofrece apuntes, ejercicios, exámenes, juegos, enlaces, diccionario de términos y de etimología, historia y otros recursos útiles para el alumno de enseñanza media.

–

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/ Interesante página personal del profesor de matemáticas Antonio Pérez.

–

http://www.rinconmatematico.com/ Interesante revista electrónica de matemáticas básicas. Muy recomendable.

–

http://www.xtec.es/~jcorder1/ Interesante página con enlaces y recursos para la enseñanza de las Matemáticas de Primaria y Secundaria.

Portales matemáticos en inglés –

http://www.ams.org/ Página oficial de la sociedad americana de matemáticas (American Mathematical Society). En inglés pero de visita obligada.

–

http://www.internet4classrooms.com/index.htm Esta dirección, aunque en inglés, está recomendada para los profesores que impartan matemáticas a nivel de Primaria y Secundaria.

–

http://falcon.jmu.edu/~ramseyil/math.htm Página en inglés que contiene multitud de enlaces matemáticos a asociaciones, revistas, instituciones públicas y privadas, grupos de discusión, historia de las Matemáticas, didáctica, bibliografía, software… Una página muy completa de obligada visita para cualquier profesor de Matemáticas.

–

http://www.ex.ac.uk/cimt/welcome.html Página oficial de Centre for Innovation in Mathematics Teaching, dedicada, como su nombre indica, a la formación del profesorado de Matemáticas.

–

http://directory.google.com/Top/Science/Math/ Directorio del conocido buscador Google, desde el que se puede acceder a miles de direcciones, en inglés, relacionadas con el mundo de las Matemáticas, en todos sus niveles.

MATEMÁTICAS

95

La Programación Didáctica

PROGRAMACIÓN DE AULA DE 3.ER CURSO DE ESO Las Matemáticas de 3.º y 4.º de ESO se desglosan en 14 unidades a las que hemos asignado un cómputo temporal, aproximado, de 35 semanas que, a razón de cuatro periodos lectivos semanales, arroja un total de 140 periodos. Al repartir este tiempo entre las distintas unidades hemos procurado minorarlo para prever otro tipo de circunstancias, como fiestas locales, ausencias del profesor… La secuencia de estas unidades se rige por el criterio lógico de impartir primero aquellos contenidos que nos pueden servir de apoyo para otros posteriores, respetando, en todo caso, la secuencia natural impuesta por los bloques de contenidos determinados por el MEC. Al diseñar las distintas unidades hemos tenido en cuenta, no solo los contenidos mínimos elaborados por el MEC, sino aquellas posibles aportaciones que, para completarlos, puedan añadir las distintas administraciones educativas y que, como se ha expuesto en otra parte de esta obra, pueden suponer el 45% o el 35% del currículo, dependiendo de que la comunidad tenga, o no, lengua cooficial propia. El resultado pretende ser una programación amplia y compacta, susceptible de ser adaptada, con un mínimo de retoques, al currículo particular de cada comunidad autónoma y a las preferencias particulares de cada opositor/a Recordar, por último, que todas estas previsiones deben ser consensuadas y asumidas por todos los miembros del departamento, y consultadas con los miembros de los demás departamentos del ámbito científico tecnológico, cuyas materias guardan una estrecha relación de interdependencia con las Matemáticas.

Unidad Didáctica 1. Números racionales OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer las fracciones de números naturales y de números enteros y utilizarlas para cuantificar e interpretar situaciones relacionadas con la vida real, siendo conscientes de los diferentes usos que pueden hacerse con las mismas: como operadores, como cocientes, como medidas.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Comparar y relacionar fracciones de números naturales y de números enteros. – Diferenciar y relacionar los conceptos de fracción y número racional. – Leer, escribir y calcular expresiones numéricas con números enteros y fraccionarios que combinen las cuatro operaciones básicas con un paréntesis. – Aplicar las propiedades básicas de la potenciación en el cálculo con potencias de base racional y exponente entero. – Aplicar razonadamente los procedimientos propios de la divisibilidad entre números naturales a la conversión y simplificación de las fracciones. – Determinar el tipo de cálculo (manual, mental, con calculadora) que se muestra más adecuado para su ejecución ante una situación concreta.

– Identificar, diferenciar y relacionar números naturales, enteros y racionales. – Adquirir un conocimiento práctico sobre las diferencias existentes entre números fraccionarios y números racionales, basadas en el concepto de equivalencia numérica. – Comparar, ordenar y representar gráficamente números racionales dados en forma fraccionaria. – Conocer y utilizar de forma correcta las propiedades de las operaciones elementales y de la potenciación de exponente entero entre números racionales.

.../...

96

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Utilizar y potenciar las técnicas de cálculo men- – Resolver problemas en los que se empleen las tal en las operaciones con racionales, sobre todo cuatro operaciones básicas de los números ralas relativas a simplificación de fracciones. cionales y las potencias de exponente entero. – Calcular expresiones numéricas sencillas – Valorar la adecuación de un resultado al que combinen sumas, restas, multiplicaciocontexto de la situación problemática de la nes, divisiones y potencias de exponente enque se obtiene. tero de números racionales dados en forma fraccionaria, aplicando con soltura la prioridad operacional y el uso del paréntesis. – Resolver problemas sencillos basados en las fracciones de números enteros y contextualizadas en la realidad cotidiana de los alumnos. – Utilizar razonadamente la calculadora y los recursos propios de las nuevas tecnologías, sin crear dependencia en su uso.

CONTENIDOS Conceptos – Fracciones de números naturales y enteros. Sus distintos significados. – Equivalencia entre fracciones. – Amplificación y simplificación de fracciones. Fracciones reducibles e irreducibles. – Concepto de número racional. El conjunto de los números racionales. – Representación gráfica de los números racionales en la recta graduada. – Ordenación numérica y gráfica de los números racionales. – Valor absoluto de un número racional. – Reducción de fracciones a común denominador. – Suma y resta de números racionales. Propiedades. – Multiplicación y división de racionales. Propiedades.

Procedimientos

Actitudes

– Utilización conveniente de las – Valoración de la precisión, fracciones en diferentes consimplicidad y utilidad del textos numéricos y en función lenguaje numérico para de sus diferentes significados. representar, comunicar o resolver diferentes situacio– Conversión de fracciones, nes de la vida cotidiana. por amplificación o simpli– Sensibilidad, interés y vaficación de las mismas. loración crítica ante las in– Aplicación razonada del formaciones y mensajes de máximo común divisor y mínaturaleza numérica. nimo común múltiplo de dos o más números en las opera- – Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y ciones con fracciones. clara del proceso seguido y – Esquematización de los prode los resultados obtenidos cesos empleados para la reen problemas y cálculos nupresentación gráfica de una méricos. fracción de números enteros. – Ordenación y clasificación de un conjunto de fracciones de números enteros por su representación gráfica o paso a denominador común – Esquematización procesual de las operaciones básicas de las fracciones con tendencia a la simplificación y a la aplicación de mecanismos de cálculo puramente mentales .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Potencia de base racional – Aplicación de las reglas y exponente entero. Prode jerarquía y manejo de piedades. paréntesis en el cálculo de operaciones combinadas de números enteros. – Cálculo con potencias de base fraccionaria y exponente entero. – Manejo racional de la calculadora.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Números racionales. Conceptos básicos ......................................2 sesiones –

Fracciones de números naturales.

–

Fracciones de números enteros.

–

El conjunto de los números racionales.

–

Ordenación de los números racionales.

2. Operaciones con números racionales ..........................................4 sesiones –

Operaciones elementales.

–

Potencias de números racionales.

–

Operaciones combinadas.

Evaluación.............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas En las tres primeras sesiones y tras las actividades de exploración inicial, que deben de ocupar la mitad de una sesión, el profesor repasará, de forma breve, las peculiaridades de cada uno de los conjuntos de números que ya conocen los alumnos para motivar la introducción del concepto de número racional, al que se llega de forma natural a través de la equivalencia entre fracciones de números enteros. De forma paralela se repasarán una serie de procedimientos básicos, ya conocidos por los alumnos, como son la ampliación y simplificación de una fracción, el concepto de fracción irreducible, la reducción a denominador común, las distintas estrategias que se pueden utilizar para comparar fracciones o la representación gráfica de éstas en la recta graduada. En las seis siguientes sesiones se abordarán las operaciones con fracciones, contextualizándolas en actividades problemáticas sencillas. 98

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán activi- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: dades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La interpretación de una – La simplificación de frac- – La interpretación de las fracciones de números enteros. fracción de números natuciones. rales, en sus distintos signi– La resolución de opera- – La conversión de fraccioficados. nes y el reconocimiento de ciones combinadas con las propiedades de los nútres fracciones y un pa– El reconocimiento de equimeros naturales. réntesis. valencias entre fracciones. – Las operaciones básicas de – La resolución de proble- – La resolución de operaciones combinadas con potenmas aritméticos típicos dos fracciones. cias y dos paréntesis. que se apoyen en opera– La resolución de probleciones del tipo anterior. – La resolución de problemas muy sencillos de aritmas atípicos que requieran mética. estrategias personales.

Unidad Didáctica 2. Números reales OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y manejar con soltura las relaciones entre las fracciones y sus representaciones decimales, así como los procesos para convertir unas en otras. – Adquirir una idea intuitiva de los conceptos de número irracional y número real, a través de sus expresiones decimales. Relacionarlos con los demás tipos de números. – Expresar, representar gráficamente y ordenar los números reales a través de sus expresiones decimales. – Utilizar los números reales y sus representaciones decimales para cuantificar e interpretar situaciones relacionadas con la vida real. – Calcular expresiones combinadas sencillas con números reales, en un contexto de resolución de problemas, eligiendo, de forma racional, el tipo de cálculo adecuado a cada situación (mental, manual, con calculadora).

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Clasificar las expresiones decimales generadas por las fracciones de números enteros reconociendo la composición de su parte decimal. – Calcular las fracciones generatrices de expresiones decimales exactas, periódicas puras y periódicas mixtas. – Utilizar las expresiones decimales exactas, periódicas y no periódicas para escribir, interpretar, comparar y ordenar los números reales. – Redondear un número decimal o una expresión decimal no exacta hasta una cifra dada, acotando y valorando, en razón del tipo de medida efectuada, el error absoluto, relativo o porcentual cometido en un contexto de resolución de problemas numéricos. .../...

MATEMÁTICAS

99

La Programación Didáctica .../...

– Identificar y decidir sobre el tipo de medida y aproximación que conviene aplicar a una determinada situación asociada a la realidad cotidiana de los alumnos, en función del error absoluto, relativo o porcentual cometido. – Utilizar la calculadora científica y otros recursos tecnológicos para la realización de cálculos, estimaciones, conversiones y aproximaciones en un contexto de resolución de problemas numéricos. – Conocer, convertir y operar con decimales en notación científica. – Conocer, relacionar y diferenciar los conceptos de raíces y radicales cúbicos y cuadráticos. – Conocer y utilizar las propiedades de las operaciones y procedimientos básicos de los radicales cuadráticos y cúbicos. – Elaborar diferentes estrategias para la codificación de la información y para plantear y resolver problemas numéricos. – Valorar y analizar las estrategias empleadas ante una situación concreta o en un contexto de resolución de problemas, a la vista de los resultados obtenidos y la utilidad de los mismos.

– Manejar con soltura la suma, resta, multiplicación, división y potenciación de números reales dados en forma decimal, de forma manual y con calculadora, en un contexto de resolución de problemas numéricos. – Determinar el tipo de cálculo (manual, mental, con calculadora) que se muestra más adecuado para su ejecución ante una situación concreta. – Manejar con soltura la multiplicación, división y potenciación de números reales dados en notación científica, de forma manual y con calculadora. – Conocer y aplicar las reglas básicas del cálculo de radicales cuadrados o cúbicos así como los procedimientos básicos que permiten su transformación (extracción e introducción de factores en el radical, simplificación de expresiones combinadas de sumas y restas de radicales).

CONTENIDOS Conceptos – Expresión decimal de una fracción de números enteros. Clasificación. – Fracción generatriz de una expresión decimal exacta, periódica pura o periódica mixta. – Clasificación decimal de los números racionales. – Números irracionales y números reales. – Aproximaciones decimales. Errores absoluto, relativo y porcentual.

Procedimientos

Actitudes

– Obtención y análisis de la – Valoración de la precisión, expresión decimal de una simplicidad y utilidad del fracción de números enteros. lenguaje numérico para resolver, representar o inter– Clasificación de la exprepretar situaciones y problesión decimal de un número mas de la vida cotidiana. racional a partir de la descomposición factorial de – Sensibilidad, curiosidad e interés ante informaciones su fracción irreducible. y mensajes de naturaleza – Obtención razonada de la numérica. fracción generatriz de una expresión decimal exacta, – Reconocimiento y valoraperiódica pura o periódica ción crítica de la calculamixta. dora y otros medios informáticos, en las aplicaciones – Aplicación de las reglas de numéricas con decimales. redondeo. .../...

100

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Notación científica. Ope- – Acotación y valoración – Interés y valoración por raciones. los cálculos numéricos en del error absoluto, relativo y un contexto de estimación porcentual cometido al efec– Raíces cuadradas y radituar una aproximación por y aproximación decimal. cales cuadráticos. defecto o por exceso. – Adquisición de hábitos de tra– Raíces cúbicas y radica– Conversión de números bajo adecuados (orden, clariles cúbicos. decimales a notación ciendad, precisión, limpieza) en – Operaciones elementatífica y viceversa, de forma la realización de actividades les con radicales cuadrámanual y con la ayuda de numéricas con decimales. ticos y cúbicos. la calculadora científica. – Confianza y autoestima so– Operaciones con númebre las propias capacidades ros expresados en notación a la hora de afrontar procientífica, de forma manual blemas y realizar cálculos y y con la ayuda de la calculaestimaciones numéricas. dora científica. – Utilización de las reglas básicas que permiten multiplicar y dividir raíces cuadradas y cúbicas expresadas en forma radical. – Introducción y extracción de factores en un radical cuadrado o cúbico. – Simplificación de expresiones combinadas de radicales, cuadrados o cúbicos.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Números reales...............................................................................3 sesiones –

Expresión decimal de una fracción.

–

Fracciones generatrices.

–

El conjunto de los números reales.

–

Aproximaciones decimales. Errores absoluto, relativo y porcentual.

2. Operaciones con números reales ..................................................4 sesiones –

Notación científica. Operaciones en notación científica.

–

Raíces cuadradas y raíces cúbicas.

–

Raíces y radicales n-ésimos.

–

Operaciones con radicales.

Evaluación.............................................................................................1 sesión

MATEMÁTICAS

101

La Programación Didáctica

Observaciones metodológicas Tras las actividades de exploración inicial, que deben de ocupar la mitad de una sesión, el profesor repasará en sesión interactiva con el alumnado y de forma breve las relaciones entre fracciones y decimales. El concepto de número real irracional se irá creando de forma inductiva a través de sencillas actividades fundamentadas en lecturas relacionadas con el descubrimiento histórico de los números inconmensurables. El concepto de aproximación decimal y error debe de contextualizarse en situaciones de la vida cotidiana cercanas a los alumnos. En toda la unidad se requerirá el uso de la calculadora, no sólo para el cálculo con decimales o las operaciones en notación científica sino, también, como recurso educativo que ayude a los alumnos a interpretar las propiedades numéricas. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La interpretación de los distintos tipos de expresiones decimales. – Los redondeos y estimaciones. – El uso de la calculadora en operaciones con decimales y en el cálculo de raíces cuadradas y cúbicas. – El producto y el cociente de dos raíces cuadradas o cúbicas. – La resolución de problemas muy sencillos sobre números decimales.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La obtención de fracciones generatrices. – La acotación de errores. – El uso de la calculadora en operaciones con notación científica. – El producto, cociente y potenciación de raíces cuadradas o cúbicas. – La resolución de problemas aritméticos típicos sobre estimaciones, redondeos y acotación de errores.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La comprobación razonada de la irracionalidad de un número real. – La identificación y clasificación de los distintos tipos de números. – La representación gráfica de los números reales. – La resolución de operaciones combinadas en notación científica. – La simplificación de combinaciones de sumas o restas de radicales. – La resolución de problemas atípicos que requieran estrategias personales.

Unidad Didáctica 3. Proporcionalidad numérica OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y manejar los conceptos de razón, Al término de la unidad, los alumnos deberán proporción y serie numérica, así como los pro- ser capaces de: cedimientos básicos que permiten construir – Comprobar si cuatro números dados están una proporción o una serie de razones iguales a o no en proporción. partir de los términos de una proporción dada. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Conocer los conceptos de cuarto y medio proporcional y calcularlos por métodos algebraicos. – Detectar posibles relaciones de proporcionalidad directa o inversa entre dos magnitudes comparables, calculando e interpretando sus constantes de proporcionalidad. – Utilizar la regla de tres simple (directa e inversa) y la regla de tres compuesta, para resolver problemas de proporcionalidad contextualizados en la vida cotidiana de los alumnos. – Aplicar los conceptos y procedimientos básicos de la proporcionalidad (regla de tres simple directa o inversa, regla de tres compuesta, cálculo de porcentajes, interés simple, repartos proporcionales, mezclas y aportaciones) a la resolución de problemas elementales de matemática comercial.

– Trabajar con razones numéricas en actividades relacionadas con la comparación de cantidades homogéneas. – Obtener nuevas proporciones a partir de una proporción dada. – Identificar series proporcionales de tres o más razones y construirlas a partir de una proporción. – Obtener cuartos y medios proporcionales por métodos algebraicos – Detectar posibles relaciones de proporcionalidad directa o inversa entre las cantidades de dos magnitudes comparables. – Calcular e interpretar las constantes de proporcionalidad directa o inversa. – Utilizar la regla de tres simple (directa e inversa) y la regla de tres compuesta para resolver problemas de proporcionalidad contextualizados en la vida cotidiana de los alumnos. – Resolver sencillos problemas basados en la aplicación de porcentajes, simples o encadenados y en el interés simple. – Resolver sencillos problemas de repartos proporcionales directos o inversos, mezclas y aportaciones.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Razón de dos números. Razón directa y razón inversa. – Proporción numérica. – Propiedad fundamental de las proporciones numéricas. – Series de razones iguales. – Cuarto proporcional de tres números. – Medio proporcional de dos números. – Magnitudes directamente proporcionales. Constante de proporcionalidad directa

– Construcción de proporciones a partir de una dada. – Construcción de una serie proporcional de tres o más razones a partir de una proporción. – Cálculo del cuarto proporcional de tres números. – Cálculo del medio proporcional de dos números. – Obtención de las constantes de proporcionalidad entre dos magnitudes directas o inversamente proporcionales.

– Curiosidad por investigar relaciones entre magnitudes o fenómenos. – Valoración crítica de situaciones que involucren posibles relaciones de proporcionalidad – Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas de proporcionalidad y realizar cálculos y estimaciones numéricas. – Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas de proporcionalidad. .../...

MATEMÁTICAS

103

La Programación Didáctica .../...

– Magnitudes inversamen- – Sistematización procesal – Interés y respeto por las esde la regla de tres simple te proporcionales. Constrategias y soluciones a protante de proporcionalidad directa. blemas sobre proporcionaliinversa. dad distintas de las propias. – Sistematización procesal – Regla de tres simple dide la regla de tres simple – Sensibilidad y gusto por la recta. inversa. presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los – Regla de tres simple in- – Sistematización procesal resultados obtenidos en proversa. de la regla de tres comblemas y cálculos relacionapuesta. dos con la proporcionalidad. – Regla de tres compuesta. – Cálculo de porcentajes y – Porcentajes. Porcentajes porcentajes encadenados. encadenados. – Aplicación de la regla que – Capital e interés simple. relaciona capital, tiempo e interés. – Repartos proporcionales directos e inversos. – Planteamiento y resolución de los problemas de – Mezclas y aportaciones. reparto proporcional directo e inverso. – Planteamiento y resolución de los problemas de mezclas y aportaciones.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Proporcionalidad ...........................................................................3 sesiones –

Razones y proporciones.

–

Cuarto proporcional de tres números.

–

Proporciones continuas. Medio proporcional de dos números.

–

Proporcionalidad entre magnitudes.

2. Problemas de proporcionalidad ...................................................4 sesiones –

Regla de tres simple y compuesta.

–

Problemas de porcentajes.

–

Problemas de repartos proporcionales.

–

Problemas de mezclas.

–

Problemas de aportaciones.

Evaluación.............................................................................................1 sesión

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Observaciones metodológicas Tras las actividades de exploración inicial, que deben de ocupar la mitad de una sesión, el profesor repasará en sesión interactiva con el alumnado, y de forma breve, los conceptos y procedimientos que, en su mayoría, ya han sido estudiados por los alumnos y que, en consecuencia, pueden estar al alcance de cualquier alumno de nivel medio. La segunda parte de la unidad es más práctica y se debe de dar protagonismo a los alumnos para que resuelvan problemas sencillos relacionados con el tratamiento de las proporciones y los porcentajes, repartos proporcionales, mezclas y aportaciones. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La interpretación de una razón y una proporción. – El reconocimiento de proporciones. – La proporcionalidad entre dos magnitudes. – La regla de tres simple y la aplicación de porcentajes. – La resolución de problemas muy sencillos de proporcionalidad directa e inversa.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La construcción de proporciones. – La obtención del cuarto y el medio proporcional. – La regla de tres compuesta. – La resolución de problemas sencillos de porcentajes y repartos proporcionales directos.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La aplicación razonada de las propiedades de las proporciones. – La resolución de problemas de repartos proporcionales directos e inversos. – La resolución de problemas de mezclas y aportaciones. – La resolución de problemas atípicos que requieran estrategias personales.

Unidad Didáctica 4. Sucesiones numéricas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Descubrir pautas y regularidades en las sucesiones numéricas. – Obtener e interpretar los términos generales representativos de una determinada sucesión numérica. – Conocer las fórmulas derivadas de las progresiones aritméticas, para la obtención del término general o de la suma de los n primeros términos de la progresión, y aplicarla en un contexto de resolución de problemas asociados al entorno cotidiano del alumno.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Identificar y descubrir regularidades, pautas y relaciones entre los términos de una sucesión numérica. – Obtener el término general de una progresión, aritmética o geométrica, mediante una aplicación adecuada de la fórmula correspondiente.

.../...

MATEMÁTICAS

105

La Programación Didáctica .../...

– Conocer la fórmula con la que obtiene el – Conocer y aplicar correctamente las fórmutérmino general de una progresión geomélas de la suma de los n primeros términos trica y aplicarla en un contexto de resode una progresión aritmética o geométrica. lución de problemas asociados al entorno – Conocer y aplicar la fórmula del interés comcotidiano del alumno. puesto en determinadas operaciones banca– Elaborar estrategias propias en la resolurias como el cálculo de un capital ahorrado. ción de problemas relacionados con sucesiones y progresiones numéricas. – Conocer y aplicar las fórmulas del interés simple e interés compuesto siendo conscientes de sus diferencias y de las situaciones problemáticas a las que se pueden aplicar.

CONTENIDOS Conceptos – Secuencias. Tipos. – Pautas y regularidades. – Sucesión numérica. Terminología asociada. – Sucesiones recurrentes. – Progresión aritmética. Término general. – Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. – Progresión geométrica. Término general. – Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. – Interés compuesto.

Procedimientos

Actitudes

– Identificación de relaciones – Curiosidad por investigar y regularidades en sucesiopautas y regularidades en sucesiones numéricas. nes sencillas. – Construcción de sucesiones – Sensibilidad, interés y varecurrentes. loración crítica de las regularidades existentes en – Cálculo de los términos de sucesiones numéricas. una sucesión a partir de su término general. – Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la – Obtención del término general claridad en el tratamiento de una progresión aritmética a sistemático de sucesiones partir del primer término de la numéricas. misma y de su diferencia. – Obtención del término general de una progresión geométrica a partir del primer término de la misma y de su razón. – Obtención del término general de una sucesión numérica cuyos términos sigan una pauta fácil de identificar o sean fracciones en las que los numeradores y denominadores sigan pautas de formación correspondientes a progresiones aritméticas o geométricas. – Obtención de la suma de los n primeros términos de una progresión, aritmética o geométrica, a partir de las fórmulas correspondientes. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Elaboración de estrategias propias en la resolución de problemas sobre secuencias y sucesiones relacionadas con la realidad cotidiana y los intereses del alumno. – Obtención del capital final correspondiente a una cantidad prestada a interés compuesto.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Sucesiones numéricas ....................................................................3 sesiones –

Pautas y secuencias.

–

Sucesiones numéricas.

–

Término general de una sucesión.

2. Progresiones aritméticas y geométricas.......................................6 sesiones –

–

–

Progresiones aritméticas: *

Término general.

*

Suma de los n primeros términos.

Progresiones geométricas: *

Término general.

*

Suma de los n primeros términos.

Aplicaciones. Interés compuesto.

Evaluación.............................................................................................1 sesión

Metodología En esta unidad, que puede enfocarse como nexo de unión entre la aritmética y el álgebra, se tratarán los conceptos y procedimientos básicos asociados con las sucesiones numéricas, importantes por sus múltiples aplicaciones matemáticas, también se tratará el problema de la identificación de pautas y regularidades que aparecen en otros tipos de construcciones, como determinadas configuraciones geométricas. El tratamiento didáctico de la unidad es eminentemente práctico y constructivo, en tanto en cuanto estos conceptos y procedimientos se van introduciendo a partir de ejemplos y actividades abiertas, sugeridos por cuestiones cuidadosamente elaboradas que conducen a su descubrimiento. El reconocimiento de pautas y regularidades requiere un importante esfuerzo de creatividad por parte del alumno y la resolución de problemas relacionados con las progresiones aritméticas y geométricas precisan de la elaboración de estrategias personales, objetivos ambos especialmente destacados en este curso de la etapa de Enseñanza Secundaria Obligatoria. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La detección de pautas y regularidades elementales en las sucesiones numéricas. – La obtención de los términos generales de las progresiones aritméticas o geométricas, a partir de sus fórmulas. – La obtención de términos de una progresión a partir del término general.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La detección de pautas y regularidades en las sucesiones recurrentes. – La obtención razonada de términos generales de sucesiones recurrentes. – La aplicación de las fórmulas de la suma de n términos de una progresión aritmética o geométrica. – La resolución de problemas sencillos de progresiones. – El uso del interés compuesto en problemas de capitalización.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La obtención de términos generales que no estén sujetos a reglas establecidas. – La relación entre dos términos cualesquiera de una progresión aritmética o geométrica. – La interpolación de un término de una progresión aritmética o geométrica entre dos dados. – El uso del interés compuesto en problemas de préstamos. – La resolución de problemas atípicos que requieran estrategias personales.

Unidad Didáctica 5. Polinomios OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Trasladar al lenguaje algebraico informacio- Al término de la unidad, los alumnos deberán nes numéricas contextualizadas en la vida ser capaces de: cotidiana o basadas en conceptos y procedi– Traducir al lenguaje algebraico sencillas mientos matemáticos cercanos a los alumnos. frases del lenguaje ordinario basadas en conceptos y procedimientos matemáticos – Formular expresiones algebraicas en lenya conocidos por los alumnos. guaje ordinario, reconociendo e identificando sus componentes. – Leer e interpretar expresiones algebraicas que combinen polinomios sencillos de una – Valorar la universalidad y precisión del indeterminada, identificando con precisión lenguaje algebraico a la hora de interpretar cada uno de sus componentes. diferentes situaciones matemáticas, factibles de ser presentadas mediante fórmulas, – Obtener valores numéricos de polinomios, identidades, polinomios, etc. para valores racionales de sus indeterminadas. – Conocer y manejar algunos tipos especiales – Identificar monomios y polinomios de de expresiones algebraicas, como los mootras expresiones algebraicas. nomios y los polinomios, identificando los componentes esenciales de su estructura. – Identificar y reconocer monomios semejantes. – Conocer y aplicar, con soltura, las reglas básicas de la suma, resta, multiplicación, – Reconocer el grado de un monomio y de un potenciación y división de polinomios. polinomio, de una o varias indeterminadas. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Aplicar con soltura la prioridad operacio- – Completar y ordenar polinomios de una innal y el uso del paréntesis para reducir determinada. expresiones combinadas de polinomios – Sumar, restar y multiplicar polinomios de sencillas en las que intervengan las cuatro una sola indeterminada y coeficientes senoperaciones elementales. cillos, en forma horizontal o vertical. – Conocer y aplicar algunas técnicas senci- – Calcular y reducir expresiones algebraicas llas para descomponer factorialmente un sencillas que combinen, a lo sumo, tres polinopolinomio de segundo grado. mios ligados por las operaciones elementales. – Dividir dos polinomios sencillos de coeficientes enteros. – Conocer y saber aplicar el algoritmo de la división para comprobar el resultado de una división entre polinomios. – Conocer las identidades notables y aplicarlas con soltura en el cálculo con polinomios o en la descomposición factorial de éstos.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Construcción de expre- – Valoración de la precisión, simsiones algebraicas. plicidad y utilidad del lenguaje Valor numérico de una algebraico para representar o expresión algebraica. – Cálculo del valor numérico interpretar situaciones y prode una expresión algebraica. Expresiones algebraicas blemas de la vida cotidiana. – Obtención de sumas, restas equivalentes. y multiplicaciones de polino- – Sensibilidad, curiosidad e inteMonomios y polinomios. rés ante informaciones y menmios superpuestos o en línea. Concepto y composición. sajes de naturaleza algebraica. Suma, resta, multiplica- – Utilización de las identida- – Adquisición de hábitos de des notables en los cálculos ción y potenciación de trabajo adecuados (orden, y factorización de polinomonomios y polinomios. claridad, precisión, limpiemios. za) en la realización de actiIdentidades notables. – Utilización de la regla de vidades algebraicas. Divisibilidad de polinoprioridad y del uso del mios. Múltiplos y divisores. paréntesis en la reducción – Confianza y autoestima sobre las propias capacidades de expresiones combinaDivisión de polinomios. a la hora de afrontar probledas de polinomios. Algoritmo de la división. mas y realizar cálculos alge– Obtención del cociente y braicos con polinomios. Descomposición factorial el resto de una división de de un polinomio. – Perseverancia en la búsqueda polinomios. de soluciones a las actividades – Utilización de la propiede cálculo con polinomios. dad fundamental de la división en la comprobación del resultado de una división de polinomios.

– Expresiones algebraicas. – – – –

– – – – –

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Polinomios. Operaciones elementales .......................................... 4 sesiones –

Expresiones algebraicas.

–

Monomios y polinomios. Suma y multiplicación.

–

Identidades notables.

–

Operaciones combinadas.

2. Divisibilidad de polinomios .......................................................... 4 sesiones –

División de un polinomio entre un monomio.

–

División entre polinomios. Algoritmo de la división.

–

Descomposición factorial de polinomios.

Evaluación............................................................................................. 1 sesión

Metodología El concepto de polinomio debe de introducirse con las debidas reservas y siempre como un caso particular del concepto de expresión algebraica, que ya lo conocen los alumnos de cursos anteriores. No se trata, por tanto, de dar una definición formal de los polinomios sino de insertarlos en el proceso natural del aprendizaje algebraico de nuestros alumnos y de conseguir que éstos sean capaces de manejarlos con soltura en sus operaciones y procedimientos básicos. La distribución de los contenidos incluidos en la unidad se ha hecho de manera que en la primera parte se desarrollan los de repaso y afianzamiento que, en teoría, pueden ser abordados por la mayoría de los alumnos y, en la segunda parte, los que están relacionados con la divisibilidad y que deben de contemplarse como contenidos de ampliación. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La elaboración de expresiones algebraicas sencillas. – La obtención del valor numérico de un polinomio. – La suma, resta y multiplicación de polinomios sencillos. – La aplicación de las identidades notables.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La interpretación de expresiones algebraicas. – La resolución de operaciones combinadas de polinomios que contengan un paréntesis. – La división de dos polinomios sencillos. – La descomposición de polinomios cuadráticos sencillos.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La resolución de operaciones combinadas con dos paréntesis. – La aplicación del algoritmo de de la división. – La descomposición, por diversas técnicas (tanteo, factor común…), de polinomios sencillos. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– La resolución de proble- – La resolución de problemas sencillos sobre la mas atípicos que requieran obtención y aplicación de estrategias personales. fórmulas polinómicas.

Unidad Didáctica 6. Ecuaciones y sistemas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer los conceptos de ecuación y siste- Al término de la unidad, los alumnos deberán ma de ecuaciones y valorar su utilidad en la ser capaces de: resolución de problemas. – Identificar y clasificar las ecuaciones polinómicas de primer o de segundo grado – Identificar y clasificar los distintos tipos según su número de incógnitas y tipo de de ecuaciones polinómicas según su grado, compatibilidad. número de incógnitas y compatibilidad. – Resolver ecuaciones sencillas de primer – Conocer las reglas de equivalencia entre grado con una incógnita que puedan incorecuaciones y aplicarlas para resolver ecuacioporar fracciones y paréntesis, haciendo un nes de primer grado con una sola incógnita. uso adecuado de las reglas de equivalencia. – Establecer relaciones entre el álgebra y la geometría, a partir de la interpretación de – Obtener distintas soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas y comprobar si un las soluciones de una ecuación lineal con par ordenado dado es solución de la misma. dos incógnitas. – Representar gráficamente las ecuaciones – Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. lineales con dos incógnitas, eligiendo el pro– Interpretar y resolver gráficamente un sistema cedimiento adecuado, algebraico o gráfico, a de ecuaciones lineales con dos incógnitas. la forma en que se presenten e interpretando sus soluciones en un contexto de resolución – Resolver algebraicamente un sistema de ecuade problemas relacionados con las propias ciones lineales con dos incógnitas por el méMatemáticas, la Física, la naturaleza o con todo de sustitución o el método de reducción. el entorno cotidiano de los alumnos. – Conocer y aplicar distintas estrategias personales para resolver problemas algebraicos a – Aprender nuevas estrategias de resolución partir del planteamiento y resolución de una de problemas que se basen en el planteaecuación de primer grado con una incógnita. miento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita o de sistemas – Conocer y aplicar distintas estrategias persode ecuaciones lineales con dos incógnitas. nales para resolver problemas sencillos, a partir del planteamiento y resolución de un siste– Valorar la sencillez y precisión que el lenma de ecuaciones lineales con dos incógnitas. guaje algebraico aporta en el planteamiento y en la resolución algebraica de los pro- – Interpretar la solución o soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos inblemas numéricos. cógnitas, de acuerdo con el enunciado del – Valorar la utilidad de las nuevas tecnoloproblema del que se derive. gías en el tratamiento, algebraico o gráfico, – Conocer y manejar algún programa inforde los problemas relacionados con las ecuamático sencillo que permita la aplicación ciones de primer grado y con los sistemas de procedimientos, algebraico y gráfico, de ecuaciones lineales con dos incógnitas. relacionados con las ecuaciones de grado con una incógnita o con las ecuaciones lineales con dos incógnitas. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

CONTENIDOS CONCEPTOS – Ecuaciones. Compatibilidad. – Ecuaciones equivalentes. Reglas de equivalencia. – Ecuaciones de primer grado con una incógnita. – Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. – Ecuación lineal con dos incógnitas. – El plano cartesiano. Ecuación de la recta. – Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

– Identificación de ecuacio- – Reconocimiento y valoranes e identidades. ción de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones – Identificación de ecuaciocomo vía para plantear y nes compatibles o incomresolver situaciones propatibles. blemáticas contextualiza– Resolución de ecuaciones das en la vida cotidiana de de primer grado con una los alumnos. incógnita. – Confianza en las propias – Resolución de ecuaciones capacidades para afrontar incompletas de segundo problemas y resolverlos grado con una incógnita. por métodos algebraicos. – Resolución de ecuaciones completas de segundo grado con una incógnita por el método de factorización. – Resolución de ecuaciones completas de segundo grado con una incógnita por el método de conversión a cuadrados. – Resolución algebraica de problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita. – Interpretación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas. – Interpretación y resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. – Resolución algebraica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por los métodos de sustitución y de reducción.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Ecuaciones ...................................................................................... 6 sesiones

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–

Concepto de ecuación. Ecuaciones equivalentes.

–

Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

–

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

2. Sistemas de ecuaciones .................................................................. 4 sesiones –

Ecuaciones lineales con dos incógnitas.

–

Representación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas.

–

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

–

Resolución algebraica de un sistema de ecuaciones lineales.

Evaluación............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad se repasan y afianzan los contenidos relacionados con las ecuaciones de primer grado con una incógnita y los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, que se introducen en el curso anterior. Además, se introducen los contenidos básicos de la ecuación de segundo grado, que se repasarán y ampliarán en cuarto de la ESO. Tras la exploración inicial se establecerá un diálogo con los alumnos para repasar y afianzar los conceptos de ecuación, equivalencia de ecuaciones y resolución de ecuaciones de primer grado que irán motivadas por problemas sencillos relacionados con la geometría, las ciencias de la naturaleza o con situaciones de la vida cotidiana de los alumnos. La ecuación de segundo grado completa es un contenido que en este curso se puede considerar de ampliación, ya que será tratado con mayor profundidad en 4.º de ESO. El tratamiento de los sistemas de ecuaciones se iniciará con un problema inicial sencillo que se haya resuelto en la primera parte con una sola ecuación. En esta se resolverá con un sistema de ecuaciones y el profesor relacionará ambos métodos para que los alumnos analicen las ventajas y desventajas de uno respecto del otro. Añadir, por último, que, por sus características, se trata de un tema ideal para trabajar las distintas estrategias de resolución de problemas, sobre todo aquellas que utilizan herramientas algebraicas. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La resolución de ecuaciones sencillas de primer grado. – La resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas. – La resolución de un sistema de ecuaciones sencillo, por sustitución. – La resolución de problemas con ecuaciones de primer grado sencillas.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La resolución de ecuaciones de primer grado con un paréntesis. – La resolución de ecuaciones de segundo grado completas. – La resolución de un sistema de ecuaciones por los tres métodos clásicos. – La resolución de problemas con sistemas de ecuaciones sencillos.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La resolución generalizada de ecuaciones de primer grado. – El estudio de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones. – La interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones. – La resolución de problemas, eligiendo el tipo de ecuación o sistema apropiado. – La resolución de problemas atípicos que requieran estrategias personales.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Unidad Didáctica 7. Métrica del triángulo OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Percibir e identificar relaciones de igualdad y semejanza entre figuras geométricas asociadas al entorno cotidiano o en situaciones problemáticas de carácter elemental basadas en los conceptos de proporcionalidad y semejanza. – Utilizar la terminología y la notación adecuada para describir con precisión situaciones de semejanza entre figuras planas. – Manejar y aplicar las relaciones de proporcionalidad a los elementos constitutivos de los polígonos en general y de los triángulos, en particular. – Conocer y aplicar los teoremas de Tales y de Pitágoras, para resolver problemas contextualizados en el entorno cotidiano de los alumnos. – Identificar, relacionándolos con la realidad las representaciones que en forma de planos, mapas o figuras geométricas aparecen en los medios de comunicación y adquirir una cierta práctica en las representaciones de tipo topográfico. – Conseguir un cierto grado de formalización en los razonamientos inductivos y constructivos involucrados en la demostración y justificación de las propiedades de los triángulos.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Conocer y justificar el teorema de Tales y aplicarlo para resolver problemas geométricos sencillos basados en la proporcionalidad entre segmentos. – Calcular e interpretar la razón de semejanza a partir de las relaciones entre los lados homólogos de dos polígonos semejantes. – Construir triángulos y polígonos sencillos, semejantes a otros dados a partir de la razón de semejanza. – Conocer los criterios de semejanza entre polígonos en general y entre triángulos en particular y utilizarlos en la resolución de problemas geométricos sencillos contextualizados en el entorno cotidiano de los alumnos. – Conocer el teorema de Pitágoras, así como los teoremas del cateto y de la altura, y utilizarlos para obtener distancias y otras medidas de longitudes y áreas, en problemas contextualizados en el entorno cotidiano de los alumnos. – Utilizar estrategias sencillas basadas en la realización de “croquis” o dibujos para la resolución de problemas geométricos elementales.

CONTENIDOS Conceptos – Teorema de Tales. – Triángulos en posición de Tales. – División de un segmento en partes proporcionales. – Cuarto proporcional de tres segmentos dados. – Tercero proporcional de dos segmentos dados. Sección Áurea.

Procedimientos

Actitudes

– Demostración procesual del – Valoración de la preteorema de Tales y sus aplicisión, simplicidad y caciones más inmediatas. utilidad del lenguaje geométrico para resolver, – División de un segmento en representar o interpretar partes iguales o proporcionales. situaciones y problemas – Construcción del cuarto de la vida cotidiana. proporcional de tres segmentos dados. – Construcción del tercero proporcional de dos segmentos dados. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Relación de semejanza. – – – – – – – – – – – –

– Detección y descripción de – Sensibilización ante las figuras geométricas semecualidades estéticas que Razón de semejanza. jantes en el entorno cotila semejanza aporta en el Criterios de semejanza endiano. mundo del arte, la técnica tre polígonos. y la naturaleza. – Construcción de polígonos Criterios de semejanza en– Adquisición de hábitos de semejantes a uno dado. tre triángulos. trabajo adecuados (orden, – Lectura e interpretación de claridad, precisión, limCriterios de semejanza enlos datos aportados por mapieza) en la realización de tre triángulos rectángulos. pas y planos. actividades geométricas Razón entre perímetros de – Identificación de elementos – Valoración, cuidado y figuras planas semejantes. proporcionales en figuras precisión en el manejo de semejantes a partir de una Razón entre áreas de figulos instrumentos de dibuactividad o en un problema, ras planas semejantes. jo y medida. enumeración de elementos Razón entre volúmenes de conocidos y por conocer. cuerpos semejantes. – Utilización de los útiles Teorema del cateto. de dibujo en la interpreTeorema de la altura. tación gráfica de un problema y en la práctica de Teorema de Pitágoras en la estrategia basada en el el plano. principio geométrico de Teorema de Pitágoras en que “lo que se construye el espacio. gráficamente, existe y se puede comprobar”. Relaciones entre los lados de un triángulo cual- – Demostración y aplicación quiera. de los teoremas de la altura y del cateto. – Demostración y aplicación del teorema de Pitágoras, en el plano y en espacio. – Obtención y aplicación de las relaciones entre los lados de un triángulo cualesquiera.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Proporcionalidad geométrica .......................................................3 sesiones –

El teorema de Tales. Proporcionalidad.

–

Aplicaciones del teorema de Tales.

–

Figuras planas semejantes.

–

Triángulos semejantes.

–

Aplicaciones métricas de la semejanza.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

2. El teorema de Pitágoras ................................................................. 4 sesiones –

Teoremas métricos de los triángulos.

–

El teorema de Pitágoras en el plano y en el espacio.

–

Aplicaciones métricas del teorema de Pitágoras.

–

Relaciones entre los lados de un triángulo cualesquiera.

Evaluación............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad se repasan y afianzan los contenidos de geometría métrica relacionados con la aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras. Estos contenidos ya se han estudiado en el curso anterior y volverán a estudiarse en 4.º de ESO, como enlace con los de trigonometría plana. La metodología, en principio manipulativa, debe ir dando paso a enfoques más deductivos que en la etapa anterior, pero siempre con las debidas reservas y prestando atención a la diversidad. Como método general se sugiere, por tanto, que, tras una revisión breve de los conceptos y procedimientos desarrollados, los alumnos afronten las actividades empleando distintas estrategias que no excluyan la utilización de sencillos razonamientos deductivos. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán activi- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actidades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La aplicación directa del – Problemas relacionados con – La relación entre los difela aplicación del teorema de rentes teoremas métricos teorema de Tales del triángulo. Tales. – El reconocimiento de figuras semejantes. – Identificación de razones – La resolución de problemas de geometría complede semejanza y aplicación – La aplicación directa del jos que requieran de técnide esta para dibujar figuteorema de Pitágoras en el cas y estrategias atípicas. ras semejantes. cálculo de longitudes y en la identificación de triángulos – Resolución de problemas rectángulos. métricos que requieran la aplicación del teorema de – La aplicación directa de los Pitágoras en el plano y en teoremas métricos del cateel espacio. to y de la altura. – La resolución de proble– La resolución de problemas sobre áreas y perímas muy sencillos de cálmetros de figuras planas y culo de longitudes y áreas cuerpos del espacio. mediante la aplicación del teorema de Pitágoras. 116

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Unidad Didáctica 8. Lugares geométricos OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Utilizar la terminología y la notación adecuada para describir las cónicas y otros lugares geométricos elementales. – Conocer algunos procedimientos sencillos que permiten representar gráficamente un lugar geométrico plano, con la ayuda de los útiles de dibujo habituales. – Conocer los elementos característicos de las cónicas, tanto geométricos como aritméticos, y su relación con la forma o dibujo de cada una de ellas. – Reconocer la importancia de las cónicas en el ámbito científico, a través de algunas de las múltiples aplicaciones físicas que las caracterizan. – Apreciar la belleza de las formas geométricas que se configuran en torno a los lugares geométricos en general y a las cónicas, en particular. – Aplicar diferentes formas de razonamiento inductivo y, en menor medida, deductivo en el planteamiento y resolución de problemas geométricos.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Describir y dibujar algunos lugares geométricos elementales como la mediatriz o el arco capaz de un segmento, la bisectriz de un ángulo…, en un contexto de resolución de problemas de la geometría elemental. – Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano y obtener la ecuación de la mediatriz de un segmento o de una circunferencia. – Relacionar los elementos característicos de los distintos tipos de cónicas y utilizar estas relaciones para obtener unos elementos en función de otros. – Conocer y aplicar las fórmulas de la longitud de la circunferencia y de las áreas de círculos y recintos elípticos, en un contexto de resolución de problemas asociados al entorno cotidiano de los alumnos. – Representar, por el método de trazado por puntos, una elipse, una hipérbola o una parábola a partir de sus elementos característicos.

CONTENIDOS Conceptos – – – – – – – – – –

Lugar geométrico. Mediatriz de un segmento. Paralela media. Bisectriz de un ángulo. Arco capaz de un segmento. Distancia entre dos puntos del plano cartesiano. Ecuación de la mediatriz de un segmento. La circunferencia. Elementos. Ecuación de la circunferencia. La elipse. Elementos.

Procedimientos

Actitudes

– Trazado de la mediatriz de – Reconocimiento y valoraun segmento. ción crítica de la presencia de los lugares geométricos, – Trazado de la paralela meen general, y de las cónicas, dia a dos rectas paralelas. en particular, en el entorno – Trazado de la bisectriz de cotidiano de los alumnos. un ángulo. – Sensibilización ante las cuali– Trazado del arco capaz de dades estéticas que las cónicas un segmento. aportan en el mundo del arte, – Cálculo de la distancia de la técnica y la naturaleza. dos puntos del plano car– Confianza y autoestima en tesiano. las propias capacidades a la – Obtención de la mediatriz hora de afrontar problemas de un segmento a partir de de carácter geométrico. las coordenadas de sus extremos. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Relación pitagórica entre los semiejes y la mitad de la distancia focal de una elipse. – Excentricidad de la elipse. – Área del recinto elíptico. – La hipérbola. Elementos. – Relación pitagórica entre los semiejes y la mitad de la distancia focal de una elipse. – Excentricidad de la hipérbola. – La parábola. Elementos.

– Obtención de la ecuación – Valoración, cuidado y precide una circunferencia a sión en el manejo de los inspartir de su radio y las cotrumentos de dibujo y en las ordenadas de su centro. construcciones geométricas manuales. – Trazado de una elipse por el método “del jardinero”. – Obtención de los semiejes o de la mitad de la distancia focal de una elipse, a partir de la fórmula que los relaciona. – Cálculo del área de un recinto elíptico. – Obtención de los semiejes o de la mitad de la distancia focal de una hipérbola, a partir de la fórmula que los relaciona. – Trazado por puntos de una elipse, una parábola o una hipérbola.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Lugares geométricos ...................................................................... 4 sesiones –

Lugares geométricos elementales.

–

Ejemplos de lugares geométricos: *

Mediatriz de un segmento.

*

Rectas paralelas.

*

Bisectriz de un ángulo.

*

Ángulo capaz.

–

Lugares geométricos en el plano cartesiano.

–

Distancia entre dos puntos del plano cartesiano.

–

Ecuación de la mediatriz de un segmento.

2. Cónicas ........................................................................................... 4 sesiones –

La circunferencia. Elementos y propiedades elementales.

–

Ecuación de la circunferencia.

–

La elipse. Elementos y propiedades elementales.

–

La hipérbola. Elementos y propiedades elementales.

–

La parábola. Elementos y propiedades elementales.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión 118

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Observaciones metodológicas La inclusión, en este nivel, de los lugares geométricos constituye una novedad ya que, hasta ahora, estos conceptos se habían desarrollado en cursos posteriores. Para evitar desfases y que todos los alumnos avancen a su propio ritmo, la unidad debe desarrollarse en distintos grados de profundidad, comenzando con una metodología manipulativa y descriptiva, orientada a la comprensión del concepto de lugar geométrico y a su ejemplificación en figuras geométricas elementales que los alumnos conocen de cursos anteriores. Posteriormente, se pueden estudiar los distintos tipos de cónicas y, si el nivel de la clase lo permite, la obtención de las ecuaciones de mediatrices y circunferencias pero siempre con las debidas reservas y prestando atención a la diversidad. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – Compresión del concepto de lugar geométrico. – La construcción y manejo de lugares geométricos elementales, como: la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, el ángulo capaz y la circunferencia.

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La construcción y manejo – La obtención de ecuaciode los distintos tipos de nes de mediatrices y circónicas. cunferencias. – La relación entre los elementos característicos de las cónicas.

Unidad Didáctica 9. Isometrías planas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer el concepto de transformación geométrica plana y diferenciar las que son isométricas de las que no lo son. – Conocer y manejar los conceptos y procedimientos elementales asociados a los vectores del plano. – Utilizar la terminología adecuada que permita describir, representar, relacionar, estructurar y analizar los movimientos aplicados a figuras planas. – Percibir e identificar relaciones isométricas en figuras geométricas próximas al entorno cotidiano de los alumnos.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Diferenciar vectores fijos y vectores libres y representar gráficamente un vector libre a partir de sus coordenadas y viceversa. – Sumar vectores libres de forma gráfica y analítica y calcular sus módulos a partir de sus coordenadas. – Obtener el centro y el ángulo de un giro e identificar el giro mínimo que deja invariante a una figura plana. – Obtener los centros, ejes y planos de simetría de una figura plana o de un cuerpo geométrico elemental. .../...

MATEMÁTICAS

119

La Programación Didáctica .../...

– Percibir e identificar relaciones de isometría – Aplicar a una figura plana una composición entre figuras geométricas asociadas a situade dos o más traslaciones, de dos giros de ciones problemáticas de carácter elemental. igual o de distinto centro, de dos simetrías centrales o de dos simetrías axiales y uti– Adquirir un cierto grado de capacidad menlizar estos procedimientos para analizar la tal para percibir figuras y formas geomécomposición de frisos y mosaicos. tricas que no vengan asociadas a soportes manipulables. – Adquirir un cierto conocimiento de la utilidad y empleo de las transformaciones isométricas como medio de relacionar, clasificar y embellecer configuraciones geométricas. – Construir figuras planas mediante la aplicación de isometrías a otras previamente dadas. – Sensibilizarse ante la belleza aportada por los elementos geométricos manifestados a través de la naturaleza y de la obra humana en general.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Transformación geométrica plana. – Isometrías. – Semejanzas. – Traslaciones. Propiedades elementales. – Vectores fijos del plano. – Atributos de un vector fijo: origen, extremo, módulo, dirección y sentido. – Vectores libres del plano. – Atributos de un vector libre: módulo, dirección y sentido. – Vectores opuestos. – Coordenadas de un vector libre. – Suma de vectores. – Giros. – Simetrías axiales y simetrías centrales. – Figuras simétricas. – Composición de traslaciones.

– Identificación de transformaciones isométricas y no isométricas. – Identificación de vectores fijos y vectores libres. – Aplicación a una figura plana de una traslación de vector dado. – Representación gráfica de un vector a partir de sus coordenadas. – Obtención del módulo de un vector a partir de sus coordenadas. – Obtención gráfica y analítica de la suma de vectores. – Aplicación a una figura plana de un giro de centro y ángulo dado. – Obtención del centro y del ángulo de un giro. – Aplicación a una figura plana de una simetría central de centro dado.

– Sensibilidad ante las cualidades estéticas de las configuraciones geométricas obtenidas mediante la aplicación de isometrías planas, reconociendo su presencia en la naturaleza, en el arte y en la técnica. – Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas. – Flexibilidad para enfrentarse a situaciones geométricas desde distintos puntos de vista. – Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas geométricos distintas de las propias. – Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y presentación cuidadosa y ordenada de trabajos geométricos. .../...

120

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Composición de giros de igual centro. – Composición de giros de distinto centro. – Composición de simetrías centrales. – Composición de simetrías axiales. – Isometrías en el espacio. Ejes y planos de simetría. – Frisos y mosaicos.

– Aplicación a una figura plana de una simetría axial de eje dado. – Obtención de los centros y ejes de simetría de una figura plana. – Aplicación a una figura plana de una composición de dos o más traslaciones de vectores dados. – Aplicación a una figura plana de una composición de dos o más giros de igual centro. – Aplicación a una figura plana de una composición de dos giros de distinto centro. – Aplicación a una figura plana de la composición de dos simetrías centrales. – Aplicación a una figura plana de la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos. – Aplicación a una figura plana de la composición de dos simetrías axiales de ejes secantes. – Búsqueda de propiedades, regularidades y relaciones en figuras y configuraciones geométricas planas. – Detección e identificación del centro, ejes y planos de simetría de un cuerpo geométrico elemental. – Construcción de un friso. – Construcción de un mosaico.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Traslaciones, giros y simetrías ....................................................... 4 sesiones –

Transformaciones geométricas.

–

Vectores. Operaciones con vectores. Coordenadas de un vector.

–

Traslaciones. Propiedades.

MATEMÁTICAS

121

La Programación Didáctica

–

Obtención del módulo de un vector a partir de sus coordenadas.

–

Giros. Obtención del centro y del ángulo de un giro.

–

Simetrías centrales y simetrías axiales.

–

Figuras simétricas.

–

Simetrías en el espacio. Cuerpos simétricos.

2. Composición de isometrías ........................................................... 4 sesiones –

Composición de traslaciones.

–

Composición de giros de igual y distinto centro.

–

Composición de simetrías:

–

*

Composición de simetrías centrales.

*

Composición de simetrías axiales.

*

Composición de simetrías de ejes paralelos.

*

Composición de simetrías de ejes no paralelos.

Frisos y mosaicos.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas A partir del concepto de transformación geométrica plana se abordarán los contenidos básicos relacionados con cada uno de los tres tipos de isometrías: traslación, giro y simetría. Paralelamente con el concepto de traslación se estudian los de vector fijo y vector libre, pero sin profundizar en sus aspectos formales, que quedan para cursos posteriores. En la segunda parte de la unidad se estudiará la composición que se puede dar entre dos simetrías del mismo tipo: dos traslaciones, dos giros de igual o de distinto centro y dos simetrías, axiales o centrales. Estos contenidos son mínimos en tanto en cuanto se pretende que los alumnos alcancen una experiencia básica de lo que es una composición de isometrías planas. Al término de la unidad, el profesor podrá proponer, si así lo estima conveniente, el estudio de otros tipos de composiciones que, a modo de ampliación, sirvan para realizar pequeñas tareas de investigación que pueden ser llevadas a cabo por algunos grupos de alumnos. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La identificación gráfica de – El reconocimiento de vec- – Las combinaciones linealos atributos de un vector. tores libres. les de tres o más vectores. .../...

122

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– La suma y resta de vectores por la regla del paralelogramo. – La construcción e interpretación gráfica de una traslación, un giro o una simetría. – La resolución manipulativa y gráfica de problemas sobre traslaciones, giros y simetrías. – La obtención de los elementos generadores y la construcción de frisos y mosaicos.

– Lautilizacióndecoordenadas – La composición de giros en operaciones con vectores de distinto centro y de simetrías axiales de ejes no y el cálculo de módulos. paralelos. – La composición de traslaciones, giros de igual cen- – La resolución de probletro y simetrías centrales y mas de geometría compleaxiales de ejes paralelos. jos que requieran de técnicas y estrategias atípicas. – La búsqueda y descripción de invariantes isométricos de algunos cuerpos geométricos elementales. – La resolución de problemas sencillos sobre traslaciones, giros y simetrías.

Unidad Didáctica 10. La esfera y el globo terráqueo OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Reconocer e identificar esferas y partes de Al término de la unidad, los alumnos deberán esferas que pueden aparecer en la vida real ser capaces de: y utilizar la terminología adecuada que – Identificar y reconocer los elementos conspermite describirlos y clasificarlos. titutivos de la esfera, la superficie esférica – Obtener información sobre las medidas liy las partes de éstas. neales de los elementos característicos de – Resolver problemas elementales de cálculas esferas y sus partes a partir de maquetas lo de áreas y volúmenes de esferas y seco representaciones gráficas de las mismas. ciones esféricas, asociados a la realidad – Manejar la formulación relativa al cálcucotidiana del alumno. lo de áreas y volúmenes de las esferas y – Reconocer e identificar los elementos de la sus partes, en un contexto de resolución de esfera terrestre. problemas asociados a la realidad cotidia– Resolver problemas elementales de orienna del alumno. tación geográfica, en los que haya que lo– Conocer los elementos básicos que distincalizar un punto del globo terráqueo o de guen a la esfera terrestre y utilizarlos en un mapa, a partir de sus coordenadas geocálculos métricos y de orientación. gráficas o calcular estas últimas. – Aplicar diferentes formas de razonamiento – Resolver problemas elementales relacionainductivo y, en menor medida, deductivo, dos con la medida del tiempo y el empleo en el planteamiento y resolución de prode los husos horarios. blemas geométricos relacionados con los – Utilizar distintos recursos geométricos cuerpos esféricos. y cartográficos, como las escalas y las curvas de nivel, para calcular longitudes, pendientes y áreas en una superficie geográfica representada por un mapa topográfico. MATEMÁTICAS

123

La Programación Didáctica

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

–

La esfera y la superficie esférica.

–

Elementos de la esfera: – centro, radio, paralelos, meridianos, polos, ecua– dor y hemisferios.

–

Volumen de la esfera.

–

Área de la superficie esférica.

–

Geometría no euclídea.

–

Partes de la superficie esférica: casquete esférico, zona – esférica y huso esférico.

–

Áreas de las partes de la superficie esférica. –

–

Partes de la esfera: segmento esférico de una o hora de afrontar problemas dos bases y cuña esférica. – Obtención del volumen de de carácter geométrico. una cuña esférica. Volúmenes de las partes de la esfera. – Cálculo de la distancia en- – Valoración, cuidado y precisión en el manejo de tre dos puntos de una suEl globo terráqueo. Elelos instrumentos de dibuperficie esférica. mentos. jo y en las construcciones – Obtención de las coordenageométricas manuales. Coordenadas geográficas: das geográficas de un lugar. longitud y latitud. – Localización de un lugar Distancia entre dos puntos geográfico a partir de sus del mismo meridiano. coordenadas geográficas. Husos horarios. – Cálculo de la distancia entre dos lugares geográficos Proyecciones cartográficas. situados en el mismo meMapas topográficos. ridiano. Escalas. – Utilización de los husos

– – – – – – – – –

124

–

– –

Obtención del volumen de – Reconocimiento y valorauna esfera. ción crítica del empleo de las esferas y sus configuraObtención del área de una ciones geométricas asociasuperficie esférica. das en el entorno cotidiano del alumno. Obtención del área de un casquete esférico. – Sensibilización ante las cualidades estéticas que Obtención del área de una los objetos redondos aporzona esférica. tan en el mundo del arte, la Obtención del área de un técnica y la naturaleza. huso esférico. – Sensibilización por los Obtención del volumen de problemas medioambienun segmento esférico de tales y preocupación por una base. la conservación de nuestro entorno natural. Obtención del volumen de un segmento esférico de – Confianza y autoestima en dos bases. las propias capacidades a la

horarios para calcular la hora de un lugar.

Curvas de nivel. –

Utilización de la escala para calcular medidas en un mapa topográfico.

–

Utilización de las curvas de nivel para calcular desniveles y pendientes de terreno.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Cuerpos esféricos .......................................................................... 4 sesiones –

La esfera. Área y volumen de la esfera.

–

Geometría de la superficie esférica.

–

Partes de la superficie esférica: casquete esférico, zona esférica y huso esférico.

–

Partes de la esfera: segmento esférico de una y dos bases, y cuña esférica.

2. La Tierra ....................................................................................... 4 sesiones –

El globo terráqueo. Elementos.

–

Coordenadas geográficas: longitud y latitud.

–

Distancia entre dos puntos del mismo meridiano.

–

Husos horarios.

–

Proyecciones cartográficas.

–

Mapas topográficos. Escalas y curvas de nivel.

Evaluación............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas Esta unidad trata sobre la esfera y sus aplicaciones cartesianas, en tanto en cuanto constituye el modelo sobre el que se representa el mundo en el que vivimos. Los contenidos de la unidad se han distribuido de manera que, en la primera parte, se repasan los que son estrictamente geométricos, que los alumnos han estudiado en cursos anteriores, y, en la segunda, se abordan aquellos que giran en torno al globo terráqueo y a las distintas formas de representar la superficie terrestre. La metodología, en principio manipulativa, debe de ir dando paso a enfoques más deductivos que en la etapa anterior, pero siempre con las debidas reservas y prestando atención a la diversidad. Como método general se sugiere, por tanto, que, tras una revisión breve de los conceptos y procedimientos desarrollados, los alumnos afronten las actividades empleando distintas estrategias que no excluyan la utilización de sencillos razonamientos deductivos. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La identificación de los – La resolución de proble- – La resolución de probledistintos tipos de cuerpos mas de áreas de las partes mas métricos topográficos, esféricos y de sus propiede una superficie esférica. utilizando los conceptos de dades elementales. escala y curva de nivel. .../...

MATEMÁTICAS

125

La Programación Didáctica .../...

– El cálculo de áreas y volú- – La resolución de proble- – La resolución de problemenes de cuerpos esféricos mas de volúmenes de las mas de geometría complepor aplicación directa de las partes de una esfera. jos que requieran de técnifórmulas correspondientes. – La resolución de problemas cas y estrategias atípicas. – La resolución de problesobre coordenadas terrestres. mas métricos con la esfera – La utilización de los husos y la superficie esférica. esféricos para relacionar la hora entre dos puntos del – La identificación de meriglobo terráqueo. dianos, paralelos y coordenadas terrestres.

Unidad Didáctica 11. Funciones OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer el concepto de función, en cual- Al término de la unidad, los alumnos deberán quiera de sus expresiones, y familiarizarse ser capaces de: con su terminología. – Conocer y relacionar las diferentes formas – Utilizar el lenguaje gráfico para valorar e de expresar una función: a través de una reinterpretar, global o parcialmente, sencillas gla, una tabla, una ecuación o una gráfica. situaciones de tipo funcional relacionadas – Reconocer y obtener el dominio y el recocon las ciencias o con el entorno cotidiano rrido de una función a partir de su gráfica. del alumno, relacionando los resultados con la información requerida a la actividad o si- – Localizar e interpretar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una funtuación problemática de la que se derive. ción a través de su representación gráfica. – Identificar y clasificar los objetos gráficos que aparecen en los medios de comunica- – Localizar e interpretar los puntos extremos de una función a partir de su representación visuales, obteniendo las relaciones ción gráfica. funcionales en el caso de que estas existan. – Conocer las propiedades básicas de los dis- – Localizar e interpretar las posibles simetrías de una función a partir de su repretintos tipos de funciones elementales (conssentación gráfica. tantes, lineales, afines, de proporcionalidad inversa y cuadráticas), en cualquiera de sus – Localizar e interpretar la periodicidad de expresiones (algebraica y gráfica), y famiuna función a partir de su representación liarizarse con su terminología. gráfica. – Reconocer el tipo de familia funcional que se – Reconocer y clasificar los distintos tipos corresponde con un modelo funcional dado de funciones elementales estudiadas en la a través de una gráfica o de una ecuación. unidad, a partir de una tabla, una ecuación, una regla verbal o de una gráfica. – Reconocer e interpretar relaciones sencillas susceptibles de ser tratadas a través – Representar gráficamente funciones consde las funciones elementales, que puedan tantes, afines, lineales o de proporcionaliaparecer en los medios de comunicación, dad inversa, precisando e interpretando sus las ciencias o en el entorno cotidiano de los dominios, recorridos y puntos de corte con alumnos. los ejes. .../...

126

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Elaborar y valorar estrategias diferentes – Representar gráficamente funciones cuapara la codificación de la información a dráticas elementales, precisando e intertravés de tablas, ecuaciones y gráficas, pretando sus dominios, recorridos, vértices en orden al planteamiento y resolución de y puntos de corte con los ejes. problemas relacionados con las ciencias o – Representar e interpretar gráficamente fecon el entorno cotidiano del alumno. nómenos de la vida cotidiana que se rela– Conocer y valorar la utilidad de las nuevas cionen mediante funciones elementales del tecnologías en relación con el estudio e intipo que se estudian en la unidad. terpretación de gráficas y funciones. – Comparar dos gráficas e interpretar el significado de sus puntos de corte en un contexto de resolución de problemas relacionados con las ciencias o el entorno cotidiano de los alumnos. – Utilizar algún programa informático sencillo que permita la representación y el análisis gráfico de una función elemental.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Función. Dominio. Recorri- – Descripción verbal de fun- – Reconocimiento y valoraciones dadas en forma de tado. Imagen de un número. ción de la utilidad del lenblas, ecuaciones o gráficas. guaje gráfico para repre– Variable dependiente y vasentar y resolver probleriable independiente. – Representación de puntos mas de la vida cotidiana. y tablas de puntos, infi– Ecuación de una función. riendo posibles formas de – Curiosidad por investigar completar la gráfica de una relaciones de proporciona– Distintas formas de exprefunción más compleja. lidad directa o inversa entre sar una función (verbal, magnitudes o fenómenos. tabla, ecuación, gráfica). – Transformación de enunciados y ecuaciones a ta- – Reconocimiento y valo– Crecimiento y decreciblas y de éstas a gráficas. ración crítica de las relamiento de una función. ciones entre el lenguaje – Puntos extremos de una – Elaboración de gráficas a gráfico, el algebraico y el escalas convenientes, de función. ordinario aplicado a situaacuerdo con el enunciado ciones en las que se mani– Simetrías de una función. de la función. fiesta una proporcionali– Periodicidad de una fun- – Reconocimiento y obtendad directa o inversa. ción. ción del dominio y del – Sensibilidad y gusto por recorrido de una función a – Continuidad de una funla precisión, el orden y la partir de su gráfica. ción. claridad en el tratamiento y presentación de tablas y – Funciones constantes. Pro- – Reconocimiento de gráfigráficas. cas funcionales y no funpiedades. cionales. – Funciones lineales. Propiedades. .../...

MATEMÁTICAS

127

La Programación Didáctica .../...

– Funciones afines. Propie- – Análisis gráfico de la mo- – Valoración de la incidendades. notonía, puntos extremos, cia de los nuevos medios simetrías, periodicidad y tecnológicos en el trata– Funciones de proporcionacontinuidad de una función miento y representación lidad inversa. Hipérbolas. gráfica de informaciones – Estudio comparativo de Propiedades. susceptibles de ser interdos gráficas funcionales. – Funciones cuadráticas. pretadas a través de una – Interpretación funcional Propiedades. función elemental. de la proporcionalidad, directa e inversa. – Identificación algebraica y gráfica de una función elemental (constante, lineal, afín, de proporcionalidad inversa o cuadrática). – Descripción de las propiedades gráficas características de las rectas, las hipérbolas y las parábolas. – Interpretación gráfica y algebraica de la traslación plana de una recta. – Interpretación de las propiedades gráficas de una función elemental de acuerdo con el contexto del problema del que se derive. – Utilización de programas informáticos en la representación gráfica y en el análisis de las propiedades básicas de una función elemental.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Funciones y gráficas .......................................................................4 sesiones –

Concepto de función.

–

Distintas formas de describir funciones.

–

Propiedades gráficas de las funciones.

–

Estudio conjunto de dos gráficas funcionales.

2. Funciones elementales ....................................................................8 sesiones

128

–

Funciones constantes.

–

Funciones lineales. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

–

Funciones afines.

–

Aplicaciones de las funciones lineales y afines.

–

Funciones de proporcionalidad inversa.

–

Funciones cuadráticas.

Evaluación..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad se repasa y afianza el concepto de función introducido en el curso anterior, sus propiedades gráficas elementales (monotonía, puntos extremos, simetría, periodicidad y continuidad) y las funciones elementales más sencillas (constantes, lineales, afines y de proporcionalidad inversa). También se inicia el estudio elemental de la función cuadrática que se completará en el curso siguiente. Como método general, los contenidos se presentarán de una forma sencilla, apoyada en ejemplos, a ser posible extraídos de los medios de comunicación, que sean fácilmente interpretables por los alumnos y evitando, en la medida de lo posible, el empleo de cualquier tipo de formalismo. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La descripción de funcio- – La descripción de funcio- – La representación de funciones cuadráticas. nes a través de gráficas y nes a través de ecuaciones. tablas. – La obtención e interpreta- – Las propiedades características de las funciones ción del dominio y el reco– La descripción de las procuadráticas. piedades gráficas de las rrido de una función. funciones. – La representación de fun- – La resolución de problemas sobre funciones que ciones de proporcionali– La representación de funrequieran de técnicas y esciones de proporcionalidad inversa. trategias atípicas. dad directa. – Las propiedades caracte– La utilización de tablas rísticas de las funciones de y gráficas para resolver proporcionalidad, directa problemas de proporcioe inversa. nalidad. – La resolución de problemas de proporcionalidad de carácter científico o cercano a las experiencias de los alumnos. MATEMÁTICAS

129

La Programación Didáctica

Unidad Didáctica 12. Tablas y gráficas estadísticas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer el lenguaje básico de la estadística descriptiva y utilizarlo con corrección para distinguir, describir y relacionar datos y conceptos, en situaciones de tipo estadístico. – Detectar los errores habituales que aparecen en el lenguaje ordinario y en los medios de comunicación, cuando se aplica, sin conocimiento técnico, a la descripción de fenómenos estadísticos. – Organizar una información estadística sencilla mediante recuentos, tablas y gráficas estadísticas. – Interpretar la información estadística contenida en una tabla de distribución de frecuencias. – Interpretar y construir gráficas estadísticas, adecuadas a cada situación, que relacionen los datos con sus frecuencias. – Analizar e interpretar informaciones y situaciones problemáticas de la vida cotidiana que se relacionen con conceptos y procedimientos propios de la estadística descriptiva. – Interpretar y analizar de manera correcta las informaciones estadísticas, asociadas a distribuciones unidimensionales discretas y continuas sencillas, que, de forma periódica, suelen aparecer en los medios de comunicación. – Conocer y valorar la utilidad de las nuevas tecnologías en el tratamiento de los problemas relacionados con la presentación de datos estadísticos.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Mostrar un conocimiento adecuado de los términos asociados al lenguaje estadístico. – Efectuar el recuento ordenado de los valores de una variable estadística sencilla, cualitativa o cuantitativa discreta, y construir su correspondiente tabla de frecuencias. – Distribuir los valores de una variable cuantitativa continua sencilla en un número adecuado de intervalos de clase y elaborar la correspondiente tabla de frecuencias. – Elegir el gráfica estadística más adecuada para representar una determinada distribución de frecuencias. – Interpretar la información estadística que proporciona un diagrama de barras, un histograma, un polígono de frecuencias o un diagrama de sectores asociado a una distribución. – Interpretar la información estadística recogida en otros tipos de gráficas: cartogramas, pictogramas, series cronológicas y pirámides de población utilizados para representar las características socioeconómicas o culturales de un país o región. – Detectar errores estadísticos en la información ofrecida a través de diferentes modelos gráficos que suelen ser utilizados con una cierta libertad en los medios de información. – Conocer algún programa informático que sirva para elaborar gráficas estadísticas.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Población estadística. Ta- – Recuento ordenado de da- – Reconocimiento y valoramaño. Muestra. Individuo. tos estadísticos. ción de la utilidad del lenguaje estadístico para repre– Variable estadística. Tipos. – Obtención de las frecuencias sentar y resolver problemas absolutas, relativas y porcen– Frecuencia: absoluta, relade la vida cotidiana. tuales de un dato estadístico. tiva y porcentual. .../...

130

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Tablas de frecuencia.

– Elaboración de una tabla – Valoración de la incidencia de los nuevos medios de frecuencias. – Intervalos de clase. Martecnológicos en el tratacas de clase. – Distribución de una serie miento y representación de datos estadísticos en in– Diagrama de barras. Diagragráfica de informaciones tervalos de clase. ma de barras acumulado. de índole muy diversa. – Polígono de frecuencias. – Construcción de un diagra- – Sensibilidad, interés y vama de barras. Polígono de frecuencias loración crítica del uso del – Construcción de un diagraacumulado. lenguaje estadístico en inma de barras acumulado. formaciones y argumenta– Histograma. Histograma ciones sociales, políticas y – Construcción de un políacumulado. económicas. gono de frecuencias. – Diagrama de sectores. – Reconocimiento y valora– Otras gráficas estadísticas: – Construcción de un polígono ción del trabajo en equipo de frecuencias acumulado. pirámides de población, como manera más eficaz cartogramas y series cro- – Construcción de un histopara realizar determinadas nológicas. grama. tareas (planificar y llevar – Errores estadísticos. – Construcción de un histoa cabo experiencias, toma grama acumulado. de datos, etc.). – Construcción de un diagra- – Sensibilidad y gusto por ma de sectores. la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento – Obtención de frecuencias y presentación de datos y a partir de un gráfico estaresultados relativos a obdístico. servaciones, experiencias – Interpretación de una pirámiy encuestas. de de población, un cartograma o una serie cronológica. – Detección e interpretación de errores estadísticos. – Utilización de programas informáticos para la obtención de gráficas estadísticas.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Tablas estadísticas .......................................................................... 3 sesiones

2.

–

Población y muestra.

–

Observaciones y variables estadísticas.

–

Frecuencias y tablas estadísticas.

–

Distribución en intervalos de clase.

Gráficas estadísticas ...................................................................... 4 sesiones –

Diagramas de barras.

–

Histogramas.

MATEMÁTICAS

131

La Programación Didáctica

–

Polígonos de frecuencias.

–

Diagramas de sectores.

–

Otras gráficas estadísticas.

–

Los errores estadísticos.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad trataremos que los alumnos se familiaricen con los contenidos y usos de la estadística descriptiva en lo relativo a recogida, organización y representación, mediante tablas y gráficas, de una colección de datos cuantitativos o cualitativos. Aunque a lo largo de la unidad prevalecen los procedimientos sobre los conceptos, se deberá cuidar con especial interés la correcta utilización de los términos constitutivos del lenguaje estadístico. Existe en el lenguaje ordinario una gran cantidad de acepciones diferentes para las palabras que se emplean normalmente en Estadística: población, muestra, frecuencia, tamaño, etc., que son susceptibles de interpretaciones muy diferentes en muy variados contextos. Comentar la prensa diaria, en clase, haciéndonos eco de la forma, correcta o errónea, con que se dan los datos estadísticos nos parece una forma ideal de aplicar los contenidos expuestos en la unidad. Como complemento de las actividades de clase, el profesor puede dividir a sus alumnos en grupos y encargarles algún trabajo que pueden realizar fuera de clase (una encuesta, la elaboración de un censo,…). También es interesante dedicar un poco de tiempo a explicar cómo se puede construir una gráfica estadística, con un sencillo procesador de textos que los alumnos puedan manejar en casa. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La correcta utilización de los términos estadísticos. – La recogida y organización de datos. – La construcción de una tabla de frecuencias. – La resolución de problemas sobre frecuencias estadísticas. – La representación de diagramas de barras y polígonos de frecuencias.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – Las distribuciones en intervalos de clase. – La construcción e interpretación de las gráficas estadísticas estudiadas en la unidad, incluidos los histogramas y los diagramas de sectores. – La resolución de problemas sobre interpretación de gráficas estadísticas.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La resolución de problemas que se basen en la relación entre gráficas y tablas. – La resolución de problemas de estadística atípicos que requieran de técnicas y estrategias personales.

132

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Unidad Didáctica 13. Parámetros estadísticos OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y utilizar los parámetros de cen- Al término de la unidad, los alumnos deberán tralización (media, moda, mediana y cuar- ser capaces de: tiles) de una distribución cuantitativa o – Conocer los distintos parámetros estadísticualitativa, discreta o continua, para enjuicos y las fórmulas con las que se obtienen. ciar su comportamiento. – Obtener la moda de una distribución cuali– Conocer y utilizar los parámetros de dispertativa. sión (rango o recorrido, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de – Obtener los parámetros estadísticos de centralización y de dispersión de una disvariación) de una distribución cuantitativa, tribución discreta sencilla, a partir de una discreta o continua, para enjuiciar su comtabla estadística adecuada. portamiento. – Identificar los tipos de medidas estadísti- – Obtener la media y la desviación típica de una distribución discreta utilizando la calcas más convenientes a una determinada culadora científica. distribución de frecuencias en actividades relacionadas con el entorno cotidiano del – Obtener la moda y la mediana de una disalumno o con otras instrumentadas a través tribución discreta sencilla a través de un de los medios de comunicación. gráfico estadístico que la represente. – Utilizar las diferentes medidas estadísticas – Obtener los parámetros estadísticos de para analizar las similitudes y diferencias centralización y de dispersión de una disentre distribuciones susceptibles de ser tribución de clases sencilla, a partir de las comparadas. marcas de clase de sus intervalos. – Manejar la calculadora de manera racional – Interpretar adecuadamente el significado en la obtención de las medidas estadísticas de los distintos parámetros estadísticos, de de una distribución cuantitativa y valorar las acuerdo con la distribución que representen. soluciones que las nuevas tecnologías apor– Analizar el comportamiento de dos distribuciotan en los estudios de índole estadística. nes de frecuencias a partir del estudio conjunto de sus medias y sus desviaciones típicas. – Obtener e interpretar el coeficiente de variación de una distribución. – Comparar dos distribuciones a partir de sus coeficientes de variación. CONTENIDOS Conceptos – – – – –

Moda. Mediana. Cuarteles. Media aritmética. Rango o recorrido.

Procedimientos

Actitudes

– Obtención e interpreta- – Valoración de la precisión, ción de la moda de una simplicidad y utilidad del distribución. lenguaje estadístico para resolver, representar o – Interpretación gráfica de interpretar situaciones y la moda. problemas de la vida cotidiana. .../...

MATEMÁTICAS

133

La Programación Didáctica .../...

– – – –

Desviación media. Varianza. Desviación típica. Coeficiente de variación.

– Obtención e interpretación – Adquisición de hábitos de de la mediana de una distrabajo adecuados (orden, tribución. claridad, precisión, limpieza) en la realización de – Obtención e interpretación los cálculos estadísticos. de los cuartiles de una dis– Valoración, cuidado y tribución. precisión en el manejo de – Interpretación gráfica de la calculadora, normal y la mediana. científica, y otros medios – Obtención de la media aritinformáticos para su aplimética de una distribución. cación en los cálculos es– Obtención e interpretación tadísticos. del rango o recorrido de – Reconocimiento y valorauna distribución. ción del trabajo en equipo – Obtención e interpretación como la manera más efide la desviación media de caz para la realización de una distribución. tareas relacionadas con la estadística: planificación – Obtención e interpretación de tareas, toma de datos, de la varianza de una disobtención e interpretación tribución. de medidas estadísticas, – Obtención e interpretación debate de conclusiones... de la desviación típica de una distribución. – Obtención de los parámetros estadísticos de una distribución de intervalos de clase. – Uso de la calculadora científica en la obtención de la media y la desviación típica de una distribución. – Análisis de dos distribuciones comparables a partir del estudio conjunto de sus medias y sus desviaciones típicas. – Obtención e interpretación del coeficiente de variación de una distribución.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Parámetros de centralización ........................................................4 sesiones

134

–

Moda.

–

Mediana. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

–

Cuartiles.

–

Media aritmética.

–

Aplicación a los intervalos de clase.

2. Parámetros de dispersión ............................................................. 5 sesiones –

Rango o recorrido.

–

Desviación media.

–

Varianza y desviación típica.

–

Estudio conjunto de la media y la desviación típica.

Evaluación............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad, que se complementa con la anterior, los alumnos deberán ejercitarse en el cálculo e interpretación de los parámetros estadísticos básicos de una distribución. Se recomienda que todos los alumnos utilicen una calculadora científica de la misma marca. Asimismo nos parece adecuado que el empleo de la calculadora responda a criterios racionales de eficacia y se circunscriba a los cálculos largos o reiterativos. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La correcta utilización de – El cálculo manual de los – El uso de la calculadora en los términos estadísticos. distintos parámetros de el cálculo y valoración de centralización y disperlos parámetros de una dis– El cálculo de la moda, sión de una serie pequeña tribución de intervalos de mediana, cuartiles, media, de datos estadísticos. clase. rango y desviación media de una serie pequeña de – El uso de la calculadora en – El estudio conjunto de la el cálculo e interpretación media y la desviación típidatos estadísticos. de la media, varianza y la ca. – El uso de la calculadora desviación típica de una – La resolución de probleen el cálculo de la media, serie discreta de datos esmas de estadística atípicos varianza y desviación típitadísticos. que requieran de técnicas ca de una serie pequeña de y estrategias personales. datos estadísticos. – La resolución de problemas sobre parámetros es– La resolución de probletadísticos. mas sencillos sobre parámetros estadísticos. MATEMÁTICAS

135

La Programación Didáctica

Unidad Didáctica 14. Azar y probabilidad OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y utilizar el vocabulario mínimo Al término de la unidad, los alumnos deberán que permita distinguir y describir sencillos ser capaces de: fenómenos aleatorios. – Reconocer situaciones en las que intervie– Conocer y utilizar algunos métodos elene el azar. mentales del cálculo probabilístico, como – Construir el espacio muestral asociado a la regla de Laplace y la asignación experiun experimento aleatorio sencillo. mental de probabilidades en base a las frecuencias relativas de un suceso aleatorio. – Identificar y representar en forma de conjunto los sucesos generados por experi– Analizar e interpretar informaciones y rementos aleatorios sencillos. solver situaciones problemáticas sencillas – Asignar probabilidades mediante el métoque puedan surgir en la vida cotidiana o en do experimental basado en la aplicación de los medios de comunicación y que estén la Ley de los Grandes Números. relacionados con situaciones propias del azar y del cálculo de probabilidades. – Asignar probabilidades a través de la Regla de Laplace. – Detectar los errores habituales que aparecen en el lenguaje ordinario y periodístico – Calcular la probabilidad de un suceso comcuando se aplica, sin conocimiento técnico, puesto a partir de las probabilidades de los a la descripción de situaciones aleatorias y sucesos elementales que lo constituyen. probabilísticas. – Utilizar las propiedades de la probabilidad – Valorar la incidencia de los nuevos medios para efectuar cálculos probabilísticos. tecnológicos en el tratamiento y representación de informaciones relacionadas con – Calcular probabilidades en experimentos compuestos sencillos mediante la consel azar y la probabilidad. trucción y empleo de diagramas de árbol. – Calcular probabilidades en experimentos compuestos sencillos mediante la construcción y empleo de tablas de contingencia.

CONTENIDOS Conceptos – Experimentos deterministas y experimentos aleatorios. – Espacio muestral. – Suceso aleatorio. – Sucesos elementales y sucesos compuestos. – Suceso seguro y suceso imposible. – Sucesos contrarios.

Procedimientos

Actitudes

– Obtención del espacio mues- – Reconocimiento y valotral asociado a un experimenración de la utilidad del to aleatorio. lenguaje y métodos probabilísticos para representar – Relación entre sucesos aleay resolver problemas de la torios y subconjuntos del vida cotidiana. espacio muestral. – Interpretación probabilís- – Valoración de la incidencia de los nuevos medios tica de la frecuencia relatecnológicos en el tratativa de un suceso. miento y representación – Asignación de probabiligráfica de informaciones dades experimentales. de índole muy diversa. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Ley de los grandes números. – Asignación de probabili- – Sensibilidad, interés y vadades mediante la Regla loración crítica del uso del – Sucesos equiprobables. de Laplace. lenguaje probabilístico en – Regla de Laplace. informaciones y argumen– Cálculo de la probabilidad taciones sociales, políticas – Diagramas de árbol. de un suceso compuesto a y económicas. partir de las probabilidades – Tablas de contingencia. de los sucesos elementales – Experimentos compuestos. que lo constituyen. – Cálculos probabilísticos que se derivan de las propiedades de la probabilidad. – Asignación de probabilidades en experimentos compuestos mediante la construcción y empleo de diagramas de árbol. – Asignación de probabilidades en experimentos compuestos mediante la construcción y empleo de tablas de contingencia.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Experimentos y sucesos .................................................................. 4 sesiones –

Experimentos aleatorios.

–

Sucesos aleatorios.

–

Frecuencia y probabilidad de un suceso.

–

Propiedades de la probabilidad.

–

Regla de Laplace.

2. Experimentos compuestos ............................................................. 5 sesiones –

Diagramas de árbol.

–

Problemas con urnas.

–

Tablas de contingencia.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad se profundiza en los conceptos de azar y probabilidad, introducidos de forma muy elemental en el curso anterior. En nuestro enfoque metodológico sugerimos la utilización de algunos contenidos básicos de la teoría de conjuntos con el fin de representar los sucesos asociados a un experimento aleatorio y facilitar el cálculo posterior de probabilidades asociadas a experimentos aleatorios simples. MATEMÁTICAS

137

La Programación Didáctica

La definición de probabilidad precisará de un acercamiento previo, basado en la interpretación de palabras parecidas como “posible”, “probable”… y en estimaciones porcentuales que los alumnos pueden efectuar mentalmente. En la segunda parte de la unidad los alumnos se iniciarán en el análisis de experimentos aleatorios compuestos, que se abordan a través de diagramas de árbol y tablas de contingencia, sin profundizar en los aspectos formales de la probabilidad condicionada, más apropiada para 4.º de la ESO. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La correcta utilización de – La determinación de suce- – La construcción y empleo los términos relacionados de tablas de contingencia. sos aleatorios. con el azar. – La aplicación de las pro- – La resolución de problemas – La asignación experimende probabilidad atípicos piedades de la probabilidad que requieran de técnicas y tal de probabilidad. en experimentos simples. estrategias personales. – La utilización de la regla – Los problemas de probabide Laplace. – El uso de los diagramas de árbol.

lidad en experimentos compuestos.

– La resolución de problemas sencillos sobre probabilidad.

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

PROGRAMACIÓN DE AULA DE 4.º CURSO DE ESO. OPCIÓN B Unidad Didáctica 1. Números reales OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Escribir, traducir e interpretar con seguridad expresiones numéricas sencillas que involucren números racionales e irracionales, entendiendo su significado. – Emplear los números racionales e irracionales, siendo conscientes de sus diferentes particularidades para cuantificar e interpretar, a través de sus expresiones decimales, situaciones relacionadas con la vida real, obteniendo recuentos, resultados y relaciones mediante cálculos adecuados. – Conocer y manejar con soltura las relaciones de orden, igualdad y equivalencia entre números reales. – Calcular expresiones combinadas sencillas con números reales, en un contexto de resolución de problemas, eligiendo, de forma racional, el tipo de cálculo adecuado a cada situación (mental, manual, con calculadora). – Identificar y decidir sobre el tipo de medida y aproximación que conviene aplicar a una determinada situación asociada a la realidad cotidiana de los alumnos, en función del error absoluto, relativo o porcentual cometido. – Manejar con soltura la calculadora y otros recursos tecnológicos en los cálculos aproximados con expresiones decimales, racionales e irracionales, que involucren las operaciones elementales, tomando conciencia de los errores cometidos y realizando una adecuada valoración de los mismos. – Interpretar adecuadamente la recta graduada como una representación gráfica del conjunto de los números reales. – Conocer, interpretar y manejar los intervalos de la recta real como subconjuntos del conjunto de los números reales. – Conocer y manejar los conceptos de valor absoluto y distancia, pilares básicos de la métrica de la recta real. – Elaborar estrategias personales para el planteamiento y resolución de problemas numéricos.

– Calcular y simplificar expresiones combinadas de fracciones de números enteros. – Utilizar las expresiones decimales exactas, periódicas y no periódicas, para escribir, interpretar, comparar y ordenar los números reales. – Redondear un número decimal o una expresión decimal no exacta hasta una cifra dada, acotando y valorando, en razón del tipo de medida efectuada, el error absoluto, relativo o porcentual cometido en un contexto de resolución de problemas numéricos. – Determinar el tipo de cálculo (manual, mental, con calculadora) que se muestra más adecuado para su ejecución ante una situación concreta. – Efectuar operaciones con números reales, dados en forma decimal, de forma manual y con calculadora, en un contexto de resolución de problemas numéricos. – Valorar la adecuación de un resultado numérico al contexto de la situación problemática de la que se obtiene. – Mostrar un conocimiento suficiente de las propiedades métricas de la recta real basadas en los conceptos de valor absoluto y de distancia. – Conocer y distinguir los distintos tipos de intervalos que pueden establecerse sobre la recta real. – Interpretar y relacionar las distintas formas de expresar un intervalo de la recta real. – Determinar, de forma gráfica y simbólica, el resultado de la unión o la intersección de dos intervalos de la recta real. – Conocer, manejar y relacionar los conceptos de distancia y valor absoluto.

.../...

MATEMÁTICAS

139

La Programación Didáctica .../...

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

– Número racional. Opera- – Operaciones con expresiociones. nes fraccionarias. – Aplicación de las técni– Número irracional. cas de redondeo y trun– Número real. camiento en la aproxima– Aproximación decimal de ción decimal de un númeun número real. Truncaro real. miento y redondeo. – Determinación de las cotas – Errores absoluto, relativo y de los errores absoluto y porcentual de una aproxirelativo cometidos en una mación decimal. aproximación decimal. – Acotación de errores. – Empleo de la calculadora científica en el cálculo – Representación gráfica de los con expresiones decimanúmeros reales. La recta real. les aproximadas. – Intervalos. Tipos de inter– Representación gráfica de valos. un número real. – Unión e intersección de – Determinación, interpretaintervalos. ción y clasificación de in– Ordenación de los númetervalos de la recta real. ros reales. – Operaciones con interva– Valor absoluto. Propiedades. los de la recta real. – Distancia entre dos puntos – Determinación de la distande la recta real. cia entre dos números repre-

Actitudes – Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje numérico. – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, claridad, precisión, limpieza) en la realización de actividades numéricas. – Confianza en las propias capacidades al afrontar actividades de cálculo con números reales. – Reconocimiento y valoración crítica del manejo de la calculadora en la resolución de actividades numéricas. – Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones y estrategias en un contexto de resolución de problemas por métodos numéricos.

sentados en la recta real.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Números reales................................................................................3 sesiones –

Números racionales.

–

Números irracionales.

–

Aproximaciones decimales.

–

Errores: absoluto, relativo y porcentual.

2. La recta real ....................................................................................3 sesiones –

Representación numérica en la recta real.

–

Intervalos de la recta real. Tipos de intervalos. Operaciones.

–

Ordenación de los números reales.

–

Valor absoluto de un número real.

Evaluación..............................................................................................1 sesión 140

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Observaciones metodológicas Tras las actividades de exploración inicial, que pueden ocupar la mitad de una sesión, el profesor establecerá un turno de preguntas y respuestas con los alumnos para repasar, de una forma interactiva, los conceptos y procedimientos relacionados con los números racionales que fueron estudiados en el curso anterior. En las siguientes sesiones se abordarán los contenidos propios de los números irracionales a los que se llegarán mediante el análisis de situaciones de medida que no puedan ser cuantificadas por fracciones. La segunda parte de la unidad es de ampliación y, por tanto opcional. Sus contenidos están dirigidos a los alumnos que, habiendo asimilado los de la primera parte, muestren la suficiente capacitación. Se propondrán actividades para que el alumno refuerce su práctica en el cálculo mental y manual de las operaciones con números decimales, aproximaciones, estimaciones y determinación de errores. La calculadora se utilizará para resolver expresiones combinadas de números decimales y para razonar sobre los conceptos y procedimientos desarrollados en la unidad. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – Las operaciones elementales con fracciones. – El manejo de los distintos tipos de decimales y su relación con las fracciones. – Estimaciones, redondeos y errores. – El uso de la calculadora en operaciones con decimales. – El reconocimiento de números reales e intervalos en la recta real. – La resolución de problemas muy sencillos sobre números decimales.

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán activi- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: dades relacionadas con: – La demostración razonada – La resolución de problede la irracionalidad de algumas numéricos atípicos que requieran estrategias nos números reales. personales. – La identificación y clasificación de los distintos tipos de números. – La representación geométrica de números reales en la recta real. – Los intervalos y sus operaciones. – Valores absolutos y distancias. – La resolución de problemas aritméticos típicos sobre estimaciones, redondeos y acotación de errores.

Unidad Didáctica 2. Operaciones con números reales OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer, relacionar y diferenciar los con- Al término de la unidad, los alumnos deberán ceptos de potencias, raíces, radicales y lo- ser capaces de: garitmos de números reales. – Utilizar con soltura las propiedades de las potencias en el cálculo de potencias de base real y exponente entero o fraccionario. .../...

MATEMÁTICAS

141

La Programación Didáctica .../...

– Conocer y manejar con soltura las propieda- – Convertir y operar con números reales en des y las reglas básicas que permiten operar notación científica, de forma manual y con con potencias, radicales y logaritmos de núla calculadora científica. meros reales. – Distinguir entre raíces y radicales de igual – Conocer y aplicar las reglas que permiten índice. las representaciones y operaciones en nota- – Relacionar los radicales con las potencias de ción científica y valorar las ventajas de esta exponente fraccionario. notación, en orden a comparar y estimar el – Utilizar la calculadora científica con soltura tamaño de los números. en los cálculos, exactos o aproximados, de – Utilizar las expresiones en notación cientíraíces y logaritmos decimales o neperianos. fica, así como las potencias, raíces y logartimos de los números reales para cuantificar – Operar con radicales en forma simbólica en los cálculos que impliquen la extracción o e interpretar situaciones de carácter práctico, introducción de factores bajo el símbolo racientífico, o relacionadas con la vida real, dical, la obtención de radicales semejantes, obteniendo resultados y relaciones a través la multiplicación, la división, la potenciade cálculos adecuados. ción y la radicación. – Operar con expresiones sencillas en las que intervengan potencias, raíces o logaritmos de – Simplificar expresiones combinadas sencillas de sumas y restas de radicales. números reales, en un contexto de resolución de problemas numéricos, eligiendo, de forma – Racionalizar fracciones sencillas con radicaracional, el tipo de cálculo adecuado a cada les en el denominador. situación (mental, manual, con calculadora). – Relacionar las potencias con los logaritmos. – Utilizar la calculadora científica y otros recursos tecnológicos para la realización de cálcu- – Conocer y aplicar con soltura las reglas del producto, cociente, potencias y raíces de los los relacionados con potencias, raíces y logalogaritmos. ritmos de números reales, en un contexto de resolución de problemas numéricos. – Elaborar estrategias diferentes para la codificación de la información y en el planteamiento y resolución de problemas numéricos.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Potencias de exponente en- – Aplicación de las propie- – Valoración de la precisión, tero. Operaciones. dades de la potenciación en simplicidad y utilidad del lenel cálculo con potencias de guaje numérico para resolver, – Notación científica. Operabase real y exponente entero representar o interpretar situaciones. o fraccionario. ciones y problemas de la vida – Raíces y radicales. cotidiana. – Conversión de un número – Multiplicación, división, real a notación científica y – Sensibilidad, curiosidad e potenciación y radicación interés ante informaciones viceversa. de radicales. y mensajes de naturaleza numérica. – Radicales equivalentes.

.../...

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Suma y resta de radicales. – – – – – – – –

– Aplicación de las reglas que – Reconocimiento y valorapermiten operar en notación ción crítica de la calculadoRacionalización de fracciocientífica, ya sea de forma ra y otros medios informánes con radicales. manual o con la calculadora ticos, en las aplicaciones Potencias de exponente científica. numéricas que impliquen real. cálculos con potencias, – Multiplicación, división y raíces y logaritmos. Logaritmo de un número potenciación de radicales real. – Adquisición de hábitos de en forma simbólica. trabajo adecuados (orden, Logaritmos decimales y – Introducción y extracción claridad, precisión, limneperianos. de factores en un radical. pieza) en la realización de Logaritmo de un producto. – Conversión de radicales actividades numéricas con equivalentes. Logaritmo de un cociente. potencias, radicales y logaritmos. Logaritmo de una potencia. – Simplificación de expresiones combinadas de suRelación entre logaritmos mas y restas de radicales. decimales y no decimales. – Racionalización de fracciones con radicales. – Utilización de la calculadora científica en la obtención de potencias, raíces y logaritmos de los números reales. – Aplicación de las propiedades de los logaritmos en actividades de cálculo y simplificación numérica.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Potencias y raíces ............................................................................ 6 sesiones –

Potencias de exponente natural y exponente entero.

–

Notación científica. Operaciones.

–

Raíces y radicales. Operaciones: *

Multiplicación y división de radicales de igual índice.

*

Introducción y extracción de factores en un radical.

*

Potencias y raíces de un radical.

*

Radicales equivalentes.

*

Multiplicación y división de radicales con distinto índice.

*

Suma y resta de radicales.

*

Racionalización de fracciones con radicales.

–

Potencias de exponente racional.

–

Potencias de exponente irracional.

MATEMÁTICAS

143

La Programación Didáctica

2. Logaritmos ...................................................................................... 3 sesiones –

Logaritmo de un número real. Logaritmos decimales y neperianos.

–

Operaciones con logaritmos: *

Logaritmo de un producto.

*

Logaritmo de un cociente.

*

Logaritmo de una potencia.

*

Relación entre logaritmos decimales y no decimales.

Evaluación............................................................................................. 1 sesión

Metodología En esta unidad se desarrollan los conceptos y técnicas básicas de cálculo relacionadas con las potencias, raíces y logaritmos de números reales. Se trata de una unidad que está dirigida, principalmente, a los alumnos de la opción B de cuarto, en aquellas comunidades que tienen autorizada esta opción. En la primera parte de la unidad se completa el estudio de las potencias de base y exponente real, así como las raíces y radicales de los números reales, iniciados en el curso anterior. Las operaciones básicas del cálculo simbólico con radicales y potencias de exponente fraccionario, por su especial dificultad, deberán ser graduadas en función de las aptitudes de los alumno. En la segunda parte de la unidad se introduce el concepto general de logaritmo, en contraposición con el de potencia de base y exponente real, y se estudian las propiedades básicas permiten el cálculo con logaritmos de distintas bases. Los contenidos funcionales y algebraicos, relacionados con los logaritmos, serán tratados en la unidad 10. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – Las potencias de exponen- – Las operaciones de multi- – Las operaciones de multite entero. plicación, división, potenplicación, división, potenciación y radicación de radiciación y radicación de ra– La notación científica. cales con igual índice. dicales con distinto índice. – Las operaciones de multipli– La simplificación de com- – La resolución de problecación, división, potenciabinaciones de sumas o resmas atípicos que requieran ción y radicación de radicatas de radicales. estrategias personales. les cuadráticos o cúbicos. – La racionalización de frac– El uso de la calculadora en ciones con radicales. los cálculos con logaritmos. – La aplicación de las propiedades de los logaritmos 144

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Unidad Didáctica 3. Polinomios y fracciones algebraicas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Escribir, traducir e interpretar con seguri- Al término de la unidad, los alumnos deberán dad expresiones algebraicas polinómicas, ser capaces de: comprendiendo su significado. – Saber utilizar el lenguaje algebraico como – Utilizar el lenguaje algebraico como heherramienta fundamental para interpretar rramienta fundamental a la hora de interdiferentes situaciones matemáticas, factipretar diferentes situaciones matemáticas, bles de ser presentadas mediante polinofactibles de ser presentadas mediante polimios o fracciones algebraicas. nomios o fracciones algebraicas. – Operar de forma correcta con expresiones – Conocer y utilizar de forma correcta las propolinómicas sencillas que involucren opepiedades y los procedimientos habituales de raciones de suma, resta, multiplicación y las operaciones de suma, multiplicación, dipotenciación. visión y potenciación entre polinomios. – Efectuar con soltura divisiones sencillas – Aplicar con soltura la prioridad operacioentre polinomios, en aquellos casos en que nal y el uso del paréntesis en la resolución el cociente entre los coeficientes sean núde algoritmos algebraicos sencillos con meros enteros. polinomios. – Aplicar el algoritmo de la división para – Conocer y aplicar, de manera correcta, la Recomprobar la exactitud de la división reagla de Ruffini para la división simplificada lizada y para descomponer factorialmente de un polinomio por otro de la forma x - a. un polinomio. – Conocer y comprender el teorema del res- – Aplicar, con soltura, la regla de Ruffini en to junto con sus aplicaciones inmediatas, la división de un polinomio por otro de la en un contexto de actividades relativas a forma x - a, siendo a un número entero o la divisibilidad y descomposición factorial fraccionario, positivo o negativo. de los polinomios. – Conocer y aplicar el teorema del Resto así – Saber obtener la descomposición factorial como las propiedades que de este se derivan. de un polinomio sencillo a partir del cálcu– Determinar con total precisión las raíces lo de sus raíces enteras. enteras de un polinomio y aplicar este conocimiento a la descomposición factorial – Conocer y calcular el MCD y el mcm de del mismo. dos o más polinomios sencillos a partir de su descomposición factorial. – Aplicar la descomposición factorial de dos o más polinomios al cálculo del MCD y – Utilizar la descomposición factorial de un del mcm de los mismos. polinomio para simplificar o amplificar una fracción algebraica. – Conocer el concepto de fracción algebraica y su paralelismo con el de número racional – Conocer y aplicar los procedimientos habituales de las operaciones de suma, resta, representado de forma fraccionaria. multiplicación y división de fracciones al– Saber amplificar y simplificar fracciones gebraicas sencillas. algebraicas mediante la descomposición factorial del numerador y denominador. – Saber operar con fracciones algebraicas en casos sencillos de suma, resta, multiplicación y división. MATEMÁTICAS

145

La Programación Didáctica

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Polinomios en una inde- – Elaboración de expresio- – Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del terminada. Terminología nes polinómicas que se lenguaje algebraico para asociada. adapten a enunciados conrepresentar o interpretar cretos. – El conjunto de polinomios situaciones y problemas R[x]. – Cálculo y simplificación de la vida cotidiana y del de operaciones combinaámbito científico. – Valor numérico de un polidas con polinomios. nomio. – Sensibilidad, curiosidad e – Esquematización procesual interés ante informaciones – Adicción y sustracción de de la división entre polinoy mensajes de naturaleza polinomios. Propiedades. mios. algebraica. – Multiplicación de polino- – Determinación y cálculo – Adquisición de hábitos de mios. Propiedades. de las raíces enteras de un trabajo adecuados (orden, polinomio. – Potencias de polinomios claridad, precisión, limcon exponente natural. pieza) en la realización de – Esquematización procesual actividades algebraicas. de la factorización de un – División de polinomios. polinomio. Algoritmo de la división. – Confianza y autoestima sobre las propias capaci– Esquematización procesual – Regla de Ruffini. dades a la hora de afronde la construcción del MCD – Teorema del resto. tar problemas y realizar y del mcm de dos o más cálculos algebraicos con polinomios. – Descomposición factorial polinomios y fracciones de un polinomio. – Esquematización procesual algebraicas. de la simplificación y am– Divisores y múltiplos de plificación de fracciones un polinomio. algebraicas. – MCD y mcm de dos o más – Cálculo y simplificación polinomios. de expresiones combina– Fracciones algebraicas. das con fracciones algebraicas. – Fracciones algebraicas equivalentes. – Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas. – Adicción y sustracción de fracciones algebraicas. – Multiplicación y división de fracciones algebraicas. – Potencias de fracciones algebraicas con exponente entero.

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Polinomios ....................................................................................... 5 sesiones –

Concepto de polinomio. El conjunto R[x].

–

Suma y multiplicación de polinomios.

–

División de polinomios.

–

El teorema del resto.

–

Descomposición factorial de un polinomio.

–

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

2. Fracciones algebraicas ................................................................... 3 sesiones –

Concepto de fracción algebraica.

–

Fracciones algebraicas equivalentes.

–

Operaciones con fracciones algebraicas.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Metodología En la primera parte de la unidad se afianza y completa el estudio de los polinomios iniciado en 3.º de la ESO. Desde un punto de vista didáctico, se deberá dar un mayor protagonismo a determinados aspectos formales relacionados con las propiedades de las operaciones entre polinomios y con el desarrollo de las proposiciones y resultados más importantes que se derivan del Teorema del Resto. En la segunda parte de la unidad se completa el estudio sobre la divisibilidad de polinomios, a través del concepto de fracción algebraica que debe de seguir un tratamiento didáctico análogo al de fracción de números enteros. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La resolución de operacio- – La resolución de operacio- – La resolución de operanes combinadas de polinociones combinadas de pones combinadas de polimios que contengan dos linomios con más de dos nomios que contengan un paréntesis. paréntesis. paréntesis. – La división de dos polino- – La obtención de las raíces – La resolución de operaciones combinadas de fracmios sencillos. enteras de un polinomio ciones algebraicas. sencillo y su utilización en – La división por Ruffini. la descomposición factorial del mismo. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– La descomposición, por diversas técnicas (tanteo, factor común, identidades notables…), de polinomios sencillos. – La suma y resta de fracciones algebraicas de igual denominador. – El producto y el cociente de fracciones algebraicas.

– La obtención del MCD y – La resolución de problemcm de dos polinomios. mas atípicos que requieran estrategias personales. – La simplificación y ampliación de fracciones algebraicas. – La suma y la resta de fracciones algebraicas de distinto denominador. – La resolución de problemas sencillos sobre la obtención y aplicación de fórmulas polinómicas.

Unidad Didáctica 4. Ecuaciones y sistemas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Escribir, con seguridad, expresiones alge- Al término de la unidad, los alumnos deberán braicas sencillas, dictadas oralmente, com- ser capaces de: prendiendo su significado. – Interpretar algebraicamente situaciones matemáticas factibles de ser presentadas – Traducir e interpretar, en lenguaje oral, exmediante fórmulas, identidades, ecuaciopresiones algebraicas sencillas, comprendiendo su significado. nes o sistemas de ecuaciones. – Utilizar el lenguaje algebraico como he- – Interrelacionar datos e incógnitas en un rramienta fundamental a la hora de intercontexto de resolución de problemas. pretar diferentes situaciones matemáticas, – Resolver ecuaciones de primer grado y de factibles de ser presentadas mediante fórsegundo grado con una incógnita que inmulas, identidades, ecuaciones o sistemas volucren coeficientes numéricos, enteros o de ecuaciones. racionales, fáciles de operar. – Utilizar el lenguaje algebraico como herra– Resolver ecuaciones bicuadradas, con mienta fundamental a la hora de interrelafracciones algebraicas o con radicales cionar datos e incógnitas en un contexto de sencillas que sean fácilmente reducibles a resolución de problemas. ecuaciones de primer o de segundo grado e – Reconocer situaciones en las que se preciinterpretar la validez de sus soluciones. sa la utilización de ecuaciones polinómicas – Aplicar las técnicas estudiadas en la unidad de primer y segundo grado o de sistemas de anterior, sobre la descomposición factorial ecuaciones lineales con dos incógnitas, en de polinomios, a la resolución de ecuacioun contexto de resolución de problemas. nes polinómicas de grado mayor que dos. – Aplicar con soltura los procedimientos clási– Completar la factorización de polinomios cos conducentes a la resolución algebraica de de grado mayor o igual a dos, aplicando las ecuaciones convertibles en ecuaciones politécnicas estudiadas en la unidad anterior y nómicas de primer o de segundo grado, sienlas que se derivan de la utilización de las do conscientes de la necesidad de comprobar raíces de las ecuaciones cuadráticas. la solución obtenida para verificar la fiabilidad del proceso seguido en la resolución. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Conocer y aplicar la relación existente en- – Interpretar la resolubilidad de una ecuación cuadrática a partir del análisis de su tre los coeficientes de una ecuación cuadiscriminante. drática y sus soluciones, en un contexto de resolución de problemas. – Conocer la relación que existe entre los coeficientes de una ecuación cuadrática y – Conocer y aplicar algunas técnicas elela suma y el producto de sus soluciones y mentales que permiten la resolución de aplicarla en un contexto de resolución de algunas ecuaciones sencillas (bicuadradas, problemas. con fracciones algebraicas o con radicales) que sean fácilmente reducibles a otras de – Resolver algebraicamente sistemas lineasegundo grado, e interpretar la validez de les de dos ecuaciones con dos incógnitas sus soluciones. por los métodos clásicos de reducción, igualación y sustitución, eligiendo el mé– Conocer y aplicar algún procedimiento sentodo más adecuado a las características de cillo, basado en la descomposición factorial, los mismos. que permite resolver una ecuación con una sola incógnita que no sea, necesariamente, – Interpretar gráficamente las soluciones de de primer grado o de segundo grado. una ecuación lineal con dos incógnitas o la posible solución de un sistema formado – Interpretar de manera geométrica las ecuacon dos ecuaciones de este tipo. ciones que forman un sistema lineal con dos incógnitas. – Analizar la compatibilidad de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incóg– Resolver algebraicamente sencillos sistenitas, a partir del estudio de la proporciomas de ecuaciones lineales con dos incógnalidad de los coeficientes de sus incógninitas, eligiendo el método más adecuado a tas y de sus términos independientes. la situación planteada. – Resolver problemas por métodos algebrai- – Plantear y resolver problemas sencillos mediante la aplicación de ecuaciones pocos, identificando datos conocidos, descolinómicas de primer grado y segundo con nocidos (incógnitas) e irrelevantes; planuna incógnita o de sistemas de ecuaciones teando la ecuación o el sistema de ecualineales con dos incógnitas. ciones adecuado y siendo conscientes de la racionalidad del proceso seguido en la resolución y de la necesidad de comprobar los resultados finales. – Perseverar en la búsqueda de estrategias personales para resolver problemas susceptibles de ser resueltos por métodos algebraicos.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Identidades y ecuaciones.

– Elaboración de expresiones – Valoración de la precisión, algebraicas que se adapten a simplicidad y utilidad del – Ecuaciones compatibles y enunciados concretos. lenguaje algebraico para ecuaciones incompatibles. representar o interpretar si– Elaboración de ecuaciones tuaciones y problemas de la – Ecuaciones equivalentes. a partir del enunciado convida cotidiana. Reglas de equivalencia. creto de un determinado problema. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Interpretación gráfica. – Ecuaciones cuadráticas. Interpretación gráfica. – Discusión de una ecuación cuadrática. – Suma y producto de las soluciones de una ecuación cuadrática. – Factorización de una ecuación cuadrática. – Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos. – Ecuaciones bicuadradas. Resolución y discusión. – Ecuaciones con fracciones algebraicas. – Ecuaciones con radicales. – Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Interpretación gráfica. – Sistemas de ecuaciones equivalentes. – Resolución algebraica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. – Compatibilidad de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. – Sistemas de tres ecuaciones lineales. – Sistemas de ecuaciones no lineales.

– Simplificación de ecuaciones de primer grado a través de la aplicación combinada de las reglas de equivalencia. – Resolución intuitiva de algunas ecuaciones sencillas susceptibles de ser resueltas mentalmente. – Análisis e interpretación de una ecuación cuadrática o bicuadrada, atendiendo a su compatibilidad. – Aplicación sistemática de las reglas que posibilitan la resolución las ecuaciones cuadráticas y las ecuaciones bicuadradas. – Interpretación geométrica de las soluciones de una ecuación polinómica de primer o de segundo grado. – Aplicación generalizada del método de descomposición factorial en la resolución de ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2. – Construcción de ecuaciones polinómicas a partir de sus soluciones. – Reducción de ecuaciones con fracciones o con radicales a otras de ecuaciones polinómicas de primer o de segundo grado. – Obtención e interpretación geométrica de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. – Aplicación sistemática de las reglas que posibilitan la resolución algebraica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por los métodos de igualación, sustitución y reducción.

– Sensibilidad, curiosidad e interés ante informaciones y mensajes de naturaleza algebraica. – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, claridad, precisión, limpieza) en la realización de actividades algebraicas. – Confianza y autoestima sobre las propias capacidades a la hora de afrontar problemas susceptibles de ser resueltos mediante ecuaciones o sistemas de ecuaciones. – Perseverancia en la búsqueda de estrategias par resolver problemas susceptibles de ser tratados algebraicamente. – Respeto ante las opiniones discrepantes y flexibilidad para cambiar y aceptar otras propuestas, en una discusión sobre aplicación de estrategias o resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Análisis e interpretación de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, atendiendo a su compatibilidad. – Elaboración de sistemas de ecuaciones a partir del enunciado concreto de un determinado problema.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Ecuaciones con una incógnita........................................................5 sesiones –

Concepto de ecuación.

–

Ecuaciones polinómicas: *

Ecuaciones de primer grado.

*

Ecuaciones de segundo grado. Propiedades.

*

Ecuaciones de grado mayor que dos. Ecuaciones bicuadradas.

–

Ecuaciones con fracciones algebraicas.

–

Ecuaciones con radicales.

2. Sistemas de ecuaciones ...................................................................4 sesiones –

Ecuación lineal con dos incógnitas.

–

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: *

Resolución gráfica.

*

Resolución algebraica.

–

Criterios de compatibilidad.

–

Otros sistemas de ecuaciones.

Evaluación..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas En la primera parte de la unidad se repasarán los conceptos y procedimientos relativos a la resolución de ecuaciones de primer y de segundo grado, que los alumnos han estudiado en cursos anteriores. Estos contenidos se ampliarán con la inclusión de otros tipos de ecuaciones que pueden reducirse a las anteriores, como son las ecuaciones bicuadradas, las ecuaciones con fracciones algebraicas o con radicales. El estudio de ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos se limitará a ejemplos muy sencillos que den lugar a polinomios de fácil factorización. Los contenidos básicos de la segunda parte de la unidad, que son un repaso de los del curso anterior, se completan incrementando el grado de formalización en la discusión y análisis de la compatibilidad de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas e introduciendo alMATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

gunas de las técnicas básicas que posibilitan la resolución de sistemas con tres o más ecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de ecuaciones no lineales. El objetivo que se persigue con estos últimos contenidos es que los alumnos de este nivel, preferentemente los de la opción B de cuarto, adquieran una mayor visión de la problemática generada por la resolución de un sistema de ecuaciones cualesquiera. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La resolución de ecuacio- – La resolución de ecuaciones bicuadradas. nes de primer grado y segundo grado. – El estudio de la compatibilidad de un sistema de dos – La interpretación gráfica ecuaciones lineales con de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos indos incógnitas. cógnitas. – La resolución de un siste– La resolución de un sistema de ecuaciones lineales ma de ecuaciones lineales con dos incógnitas por los sencillo, por sustitución. tres métodos clásicos.

– La resolución de ecuaciones con radicales. – La resolución de sistemas lineales con más de dos ecuaciones o incógnitas. – La resolución de sistemas que contengan alguna ecuación cuadrática.

– La resolución de problemas atípicos que requieran estrategias personales. – La resolución de proble- – La resolución de problemas con ecuaciones de mas con sistemas de ecuaprimer grado sencillas. ciones sencillos.

Unidad Didáctica 5. Inecuaciones OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Utilizar el lenguaje algebraico como herramienta fundamental a la hora de interpretar diferentes situaciones matemáticas, factibles de ser presentadas mediante inecuaciones. – Utilizar el lenguaje algebraico como herramienta fundamental a la hora de interrelacionar datos e incógnitas en un contexto de resolución de problemas sobre inecuaciones. – Reconocer situaciones en las que se precisa la utilización de inecuaciones polinómicas de primer y segundo grado o de sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas, en un contexto de resolución de problemas.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Interpretar algebraicamente situaciones matemáticas factibles de ser presentadas mediante inecuaciones o sistemas de inecuaciones. – Interrelacionar datos e incógnitas en un contexto de resolución de problemas sobre inecuaciones. – Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita que involucren coeficientes numéricos, enteros o racionales, fáciles de operar e interpretar de manera gráfica sus soluciones. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Conocer y utilizar de forma correcta las propiedades de las desigualdades numéricas así como las reglas de equivalencia, que de estas se derivan, en la resolución de inecuaciones. – Establecer la adecuada relación entre las semirrectas e intervalos de la recta real graduada y las soluciones de una inecuación de primer o segundo grado o de un sistema de inecuaciones de primer grado. – Interpretar y resolver, de manera geométrica, inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. – Perseverar en la búsqueda de estrategias personales para resolver problemas susceptibles de ser resueltos por métodos algebraicos.

– Resolver sistemas de dos inecuaciones de primer grado con una incógnita que involucren coeficientes numéricos, enteros o racionales, fáciles de operar e interpretar de manera gráfica sus soluciones. – Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita que sean sencillas de factorizar e interpretar de manera gráfica sus soluciones. – Resolver inecuaciones lineales sencillas con dos incógnitas e interpretar de manera gráfica sus soluciones. – Resolver sistemas de dos inecuaciones lineales sencillas con dos incógnitas e interpretar de manera gráfica sus soluciones. – Utilizar las inecuaciones polinómicas de primer grado y segundo con una incógnita o de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas para plantear y resolver sencillos problemas basados en situaciones cotidianas de los alumnos.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Resolver sistemas de dos inecuaciones de primer grado con una incógnita que involucren coeficientes numéricos, enteros o racionales, fáciles de operar e interpretar de manera gráfica sus soluciones. – Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita que sean sencillas de factorizar e interpretar de manera gráfica sus soluciones. – Resolver inecuaciones lineales sencillas con dos incógnitas e interpretar de manera gráfica sus soluciones. – Resolver sistemas de dos inecuaciones lineales sencillas con dos incógnitas e interpretar de manera gráfica sus soluciones.

– Utilización de las propiedades de las desigualdades para transformar una inecuación en otra equivalente. – Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita. – Resolución de un sistema de dos inecuaciones lineales con una incógnita. – Transformación de una inecuación producto o cociente en un sistema de dos inecuaciones lineales con una incógnita. – Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita. – Resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

– Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para representar o interpretar situaciones y problemas de la vida cotidiana. – Sensibilidad, curiosidad e interés ante informaciones y mensajes de naturaleza algebraica. – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, claridad, precisión, limpieza) en la realización de actividades algebraicas. – Confianza y autoestima sobre las propias capacidades a la hora de afrontar problemas susceptibles de ser resueltos mediante inecuaciones o sistemas de inecuaciones. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Utilizar las inecuaciones – Resolución de sistemas – Perseverancia en la búspolinómicas de primer con dos o tres inecuacioqueda de estrategias par grado y segundo con una nes lineales con una inresolver problemas susincógnita o de sistemas de cógnita. ceptibles de ser tratados inecuaciones lineales con – Interpretación gráfica del algebraicamente. dos incógnitas para plantear conjunto solución de una – Respeto ante las opiniones y resolver sencillos probleinecuación o de un sistema discrepantes y flexibilidad mas basados en situaciones de inecuaciones. para cambiar y aceptar cotidianas de los alumnos otras propuestas, en una – Elaboración de una ine– Desigualdades numéricas. discusión sobre aplicación cuación o de un sistema de Propiedades. de estrategias o resolución inecuaciones a partir del de inecuaciones y sistemas – Desigualdades algebraienunciado concreto de un de inecuaciones. cas. Inecuaciones. problema. – Clasificación de las inecuaciones. – Inecuaciones lineales con una incógnita. Conjunto solución. – Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. – Inecuaciones con productos o cocientes. – Inecuaciones cuadráticas con una incógnita. – Inecuaciones lineales con dos incógnitas. – Sistemas de dos inecuaciones lineales. – Sistemas de tres inecuaciones lineales.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Inecuaciones con una incógnita ..................................................... 3 sesiones –

Desigualdades numéricas. Propiedades.

–

Inecuaciones lineales.

–

Sistemas de inecuaciones lineales.

–

Inecuaciones cuadráticas.

2. Inecuaciones con dos incógnitas .................................................... 3 sesiones –

Inecuaciones lineales.

–

Sistemas de inecuaciones lineales.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión 154

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Observaciones metodológicas En la primera parte de la unidad se estudiarán los conceptos y procedimientos relativos a la resolución de inecuaciones de primer y de segundo grado con una sola incógnita. Al tratarse de contenidos de iniciación hay que utilizar ejemplos muy elementales que puedan ser seguidos por la mayoría de los alumnos; así, por ejemplo, el concepto de inecuación convendrá introducirlo a partir del concepto de desigualdad numérica, cuyas propiedades nos servirán para justificar el proceso de resolución de una ecuación, siguiendo una línea metodológica parecida a la de las ecuaciones, que el alumno está habituado a manejar. En esta la parte de la unidad se inicia el estudio, a través de ejemplos sencillos contextualizados con el entorno cotidiano de los alumnos, de las inecuaciones lineales con dos incógnitas y sus sistemas, en un primer acercamiento a los procesos de programación lineal que los alumnos deberán estudiar, con mayor profundidad, en el Bachillerato. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – Las desigualdades numéricas y sus propiedades. – La resolución gráfica y algebraica de una inecuación sencilla de primer grado con una incógnita. – La resolución gráfica de un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La resolución gráfica y algebraica de inecuaciones cuadráticas. – La resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas. – La resolución de problemas sencillos de inecuaciones.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La resolución gráfica de sistemas de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas. – La resolución de problemas atípicos que requieran estrategias personales.

Unidad Didáctica 6. Trigonometría plana OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Percibir e identificar relaciones de igual- Al término de la unidad, los alumnos deberán dad y semejanza entre figuras y cuerpos ser capaces de: geométricos asociados al entorno cotidia- – Hallar la razón de semejanza entre dos no o en situaciones problemáticas de cafiguras o cuerpos semejantes y utilizarla rácter elemental basadas en los conceptos para resolver problemas de cálculo de londe proporcionalidad y semejanza. gitudes, áreas y volúmenes. – Manejar y aplicar las relaciones de pro- – Operar con ángulos expresados en forma porcionalidad en figuras planas y cuerpos sexagesimal, de forma manual o con la calgeométricos al cálculo de longitudes, áreas culadora científica. y volúmenes. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Relacionar los conceptos de proporcionali- – Conocer el significado de las distintas radad, semejanza y trigonometría plana. zones trigonométricas y sus propiedades elementales. – Adquirir un cierto grado de capacidad mental para percibir figuras y formas geomé- – Conocer las razones trigonométricas de los tricas que no vengan asociadas a soportes ángulos notables y los procedimientos semanipulables. guidos en la obtención de las mismas. – Utilizar la calculadora científica y otros – Conocer las fórmulas fundamentales de la recursos informáticos de manera racional trigonometría que ligan el seno, el coseno para la obtención de datos, cálculos y resuly la tangente de un ángulo y utilizarlas con tados, angulares y lineales, en problemas soltura en la resolución de sencillos prorelacionados con la trigonometría plana. blemas que requieran de la transformación de una expresión trigonométrica. – Conocer y utilizar sencillos aparatos de medida angular y lineal, como cintas mé- – Obtener las razones trigonométricas de un tricas, teodolitos, transportadores anguángulo agudo a partir de los lados de un lares, reglas… que posibiliten los cálcutriángulo rectángulo. los trigonométricos, en medidas directas – Combinar adecuadamente las propiedaefectuadas, bien sobre el terreno o sobre des de la relación de semejanza y los teoun croquis o representación gráfica de la remas métricos, estudiados en la unidad situación trigonométrica que se pretende anterior, y las razones trigonométricas a resolver. fin de calcular elementos desconocidos de un triángulo rectángulo a partir de otros – Decidir sobre el tipo de medida, directa o conocidos. indirecta, y cálculos, exactos o aproximados, que sean más convenientes en función – Utilizar la calculadora científica para hallar del fenómeno o de la actividad a los que se las razones trigonométricas de un ángulo apliquen, en un contexto de resolución de dado y el valor de un ángulo del que se coproblemas de trigonometría plana. noce una de sus razones trigonométricas. – Percibir e identificar relaciones de igual– Mostrar un conocimiento suficiente de la dad y semejanza entre figuras geométricas circunferencia goniométrica que permita asociadas a situaciones problemáticas de la representación gráfica, aproximada, de carácter elemental basadas en la trigonoángulos a partir de sus razones trigonometría plana. métricas y la obtención, aproximada, de – Valorar y analizar las estrategias emplealas razones trigonométricas de un ángulo das ante una situación concreta o en un dado. contexto de resolución de problemas rela– Conocer y utilizar, de forma razonada, las tivos a la trigonometría plana, a la vista de relaciones entre las razones trigonométrilos resultados obtenidos y la utilidad de los cas de ángulos cualesquiera y las de los mismos. ángulos del primer cuadrante de la circunferencia goniométrica. – Resolver sencillos problemas de trigonometría plana que estén relacionados con la realidad cotidiana de los alumnos, valorando el resultado al contexto de la situación problemática de la que se obtiene y utilizando un lenguaje claro y preciso.

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– Utilizar estrategias sencillas en la resolución de problemas de trigonometría plana, basadas en la realización de “croquis” o dibujos y en el empleo racional de la calculadora científica. – Resolver problemas métricos en el mundo físico, relacionados con la obtención de longitudes, áreas y volúmenes.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Semejanza entre figuras y – Manejo de la calculadora – Reconocimiento y valocuerpos geométricos. ración de la utilidad de la científica en las conversiones y operaciones con medida para transmitir in– Razón entre longitudes, magnitudes angulares exformaciones precisas relaáreas y volúmenes de cuerpresadas en forma sexativas al entorno. pos semejantes. gesimal. – Cuidado y precisión en el – El sistema métrico sexa– Determinación de las rauso de los diferentes instrugesimal. zones trigonométricas de mentos de medida y en la – Razones trigonométricas de un ángulo agudo a partir realización de mediciones. un ángulo agudo. de los elementos conoci- – Adquisición de hábitos dos de un triángulo rec– Seno y coseno de ángulos de trabajo adecuados (ortángulo. complementarios. den, claridad, precisión, limpieza) en la realiza– Razones trigonométricas de – Determinación de razones trigonométricas en función de actividades trigoángulos notables. ción de los valores cononométricas. – Razones trigonométricas de cidos de otras mediante la – Confianza y autoestima ángulos cualesquiera. aplicación de las fórmulas en las propias capacidades – Ángulos orientados. notables. a la hora de afrontar pro– La circunferencia gonio- – Aplicación de las fórmulas blemas relativos a cálculos métrica. notables de la trigonometrigonométricos. tría plana en la transfor– Razones trigonométricas de – Perseverancia y flexibilimación de expresiones 0º, 90º, 180º y 360º. dad en la búsqueda de sotrigonométricas. luciones y estrategias, en – Relaciones entre las razo– Interpretación y manejo un contexto de resolución nes trigonométricas de ánde la circunferencia goniode problemas de trigonogulos situados en distintos métrica en la obtención de metría plana. cuadrantes de la circunferelaciones trigonométricas rencia goniométrica. de ángulos de distintos – Fórmulas notables de la cuadrantes. trigonometría. – Manejo de la calculadora – Resolución de triángulos científica en la obtención rectángulos. de las razones trigonométricas de un ángulo. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Manejo de la calculadora científica en la obtención del valor de un ángulo conocido el de una razón trigonométrica del mismo. – Aplicación de las razones trigonométricas y de los teoremas métricos a la resolución de triángulos rectángulos.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Razón de semejanza .......................................................................3 sesiones –

Semejanza entre figuras y cuerpos geométricos.

–

Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.

2. Razones trigonométricas................................................................5 sesiones –

El sistema métrico sexagesimal.

–

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

–

Razones de ángulos notables.

–

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera:

–

*

La circunferencia goniométrica.

*

Reducción al primer cuadrante.

Fórmulas fundamentales de la trigonometría.

3. Resolución de triángulos ................................................................5 sesiones –

Resolución de un triángulo rectángulo.

–

Aplicaciones geométricas.

Evaluación..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad se inician los contenidos de trigonometría que se afianzarán y ampliarán en las Matemáticas I de Bachillerato. En la primera parte de la unidad se repasa el concepto de semejanza, estudiado en el curso anterior, ampliándose a la relación entre cuerpos semejantes con el fin de incorporar actividades relacionadas con la obtención y la aplicación de la razón de longitudes, áreas y volúmenes. A continuación se introduce el concepto de razón trigonométrica, apoyado en las propiedades de la relación de semejanza entre triángulos rectángulos. Como materia de ampliación se puede iniciar a los alumnos en la manipulación de la circunferencia goniométrica y en la ampliación consiguiente del concepto de razón trigonométrica de un ángulo cualesquiera. La 158

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

tercera parte de la unidad es de carácter eminentemente práctico, ya que en ella se trabajará con situaciones problemáticas relacionadas con la métrica del triángulo rectángulo en contextos que pueden ser totalmente geométricos (métrica de un triángulo cualesquiera, de un cuadrilátero…) o topográficos. Los cálculos trigonométricos de ángulos no notables se realizarán con la ayuda de la calculadora, por lo que es deseable que todos los alumnos dispongan de un mismo modelo que será objeto de un estudio previo al inicio de la segunda parte de la unidad. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – Reconocimiento y aplica- – Reconocimiento y aplica- – La reducción al primer cuadrante y la relación de ción de la razón de áreas ción de la razón de longituángulos situados en distiny volúmenes de figuras y des de figuras semejantes. cuerpos semejantes. tos cuadrantes de la cir– Los cálculos en el sistema cunferencia goniométrica. – La obtención de ángulos a sexagesimal. partir de razones trigono- – La resolución de proble– Las razones trigonométrimétricas conocidas. mas métricos de triángulos cas elementales de un ánno rectángulos, polígonos – La representación de ragulo agudo. regulares… zones en la circunferencia – Las razones notables. – La resolución de problegoniométrica. – La fórmula fundamental mas atípicos que requieran – La resolución de problede la trigonometría. estrategias personales. mas que se basen en la – La utilización de la calcumétrica del triángulo recladora científica. tángulo. – Los problemas sencillos de resolución de triángulos rectángulos.

Unidad Didáctica 7. Geometría analítica OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Reconocer los distintos tipos de vectores planos, fijos y libres, identificando los atributos que los caracterizan. – Conocer el concepto de coordenadas vectoriales y utilizarlo para estructurar el conjunto V2 de los vectores libres del plano. – Operar con vectores libres del plano a partir de sus representaciones gráficas o de sus coordenadas.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Distinguir entre vectores fijos y vectores libres. – Establecer la dirección, sentido, módulo y posición de un vector fijo. – Establecer la dirección, sentido y módulo de un vector libre. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Relacionar los vectores libres del plano – Elegir, de entre todos los vectores fijos que recon los puntos del plano cartesiano y utipresentan a un mismo vector libre, el que relizar estas relaciones en la resolución algesulta más adecuado a la actividad propuesta. braica de problemas geométricos. – Sumar, restar y multiplicar por escalares los vectores libres del plano representados, gráficamente, por flechas orientadas. – Reconocer cuando dos vectores libres forman una base de V2 y asignar coordenadas a los vectores de este conjunto, respecto de dicha base. – Determinar cuando dos vectores tienen la misma dirección. – Sumar, restar y multiplicar por escalares los vectores libres del plano representados por sus coordenadas. – Construir combinaciones lineales de dos o más vectores a partir de sus representaciones gráficas o de sus coordenadas. – Identificar las componentes, puntuales y vectoriales, que determinan un sistema de referencia cartesiano. – Describir el vector de posición de un punto del plano cartesiano y las relaciones que ligan los vectores libres con los puntos del plano cartesiano. – Aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el módulo de un vector. – Calcular las coordenadas de los puntos que dividen a un segmento en partes iguales. – Establecer las relaciones que deben darse entre las coordenadas de cuatro puntos para que sean vértices de un paralelogramo. – Establecer las relaciones que deben darse entre las coordenadas de tres o más puntos para que estén alineados.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Vectores fijos y vectores – Reconocimiento de los – Valoración de la precisión, libres del plano. atributos que distinguen simplicidad y utilidad del a un vector fijo y a un lenguaje vectorial para re– Atributos de un vector. vector libre. presentar o interpretar situa– Suma de vectores. Regla ciones geométricas y prodel paralelogramo. blemas de la vida cotidiana. .../...

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Vectores opuestos. Dife- – Representación gráfica de – Flexibilidad para enfrenrencia de vectores. tarse a situaciones geomévectores a partir de sus atributos. tricas desde distintos pun– Producto de un número tos de vista. por un vector. – Representación gráfica de la suma y la resta de dos – Sensibilidad y gusto por – Dependencia lineal entre vectores y del producto de la realización sistemática vectores. un vector por un número. y presentación cuidadosa y ordenada de trabajos – Combinación lineal de – Representación gráfica de geométricos. vectores. una combinación lineal de vectores. – Bases de V2. Coordenadas de un vector. – Cálculo de las coordenadas de la suma y la resta – Operaciones con coordede dos vectores y del pronadas vectoriales. ducto de un vector por un – Sistema de referencia del número. plano cartesiano. – Establecimiento de rela– Relación entre puntos y ciones entre los puntos del vectores del plano carteplano cartesiano y los vecsiano. tores libres. – Vector de posición de un – Cálculo algebraico del punto. módulo de un vector. – Vector determinado por – Cálculo de las coordenados puntos. das del punto medio de un segmento. – Cálculo de las coordenadas de los puntos que dividen a un segmento en partes iguales. – Relación entre los vértices de un paralelogramo. – Condición para que tres puntos estén alineados.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Vectores del plano ...........................................................................3 sesiones –

Vectores fijos y vectores libres.

–

Operaciones con vectores libres.

–

Dependencia lineal entre vectores.

–

Coordenadas de un vector.

–

Operaciones con coordenadas vectoriales.

MATEMÁTICAS

161

La Programación Didáctica

2. Puntos y vectores del plano cartesiano ....................................... 3 sesiones –

Relación entre las coordenadas de los puntos y los vectores del plano cartesiano.

–

División de un segmento en partes iguales.

–

División de un segmento en partes proporcionales.

Evaluación..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas La primera parte de la unidad constituye un repaso de los contenidos relacionados con los vectores del plano, en su doble acepción de vectores fijos y vectores libres, que deben de haber sido estudiados por los alumnos en el curso anterior. Una vez afianzado el concepto de vector y, sin entrar en formalismos innecesarios en esta etapa, los alumnos comenzarán a aplicar la regla del paralelogramo para efectuar sumas y diferencias entre vectores libres, en ejemplos preparados para introducir el concepto de dependencia lineal. El concepto de base vectorial, que tampoco precisa de mayor formalización sino del apoyo visual de los ejemplos adecuados, es necesario para asignar coordenadas a los vectores, que es un objetivo importante, toda vez que su ausencia imposibilita el seguimiento del resto de la unidad. En la segunda parte de la unidad se relacionan las coordenadas de un vector con las de sus puntos origen y extremo, en la forma usual, y se aplican estas relaciones para efectuar algunas construcciones geométricas, como la división de un segmento, de forma algebraica. Este tipo de construcciones también la efectuarán alumnos con la ayuda de los útiles de geometría, de manera que puedan establecer comparaciones e investigar sobre otras posibles relaciones entre el álgebra y la geometría. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La identificación y dife- – Las operaciones gráficas y – El concepto de base. con coordenadas de com- – La división de un segmento renciación de vectores fijos y vectores libres. binaciones lineales de tres en partes proporcionales. o más vectores. – La suma y resta de vecto– La resolución de probleres por la regla del parale- – La división de un segmenmas de geometría complelogramo. to en partes iguales. jos que requieran de técni– La utilización de coordenadas cas y estrategias atípicas. en operaciones con vectores. – La relación entre las coordenadas de puntos y vectores. – El cálculo de puntos medios de segmentos. 162

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Unidad Didáctica 8. Rectas y circunferencias OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Entender y valorar la precisión que, en la Al término de la unidad, los alumnos deberán descripción y orientación de los elementos ser capaces de: básicos del plano, aporta la identificación – Dibujar una recta en el plano cartesiano a de sus puntos con las coordenadas. partir de dos puntos, de un punto y un vec– Valorar la precisión de las ecuaciones algetor o de un punto y del ángulo que forma braicas para determinar y describir ciertas con el semieje positivo de abscisas. figuras del plano cartesiano. – Calcular las distintas ecuaciones de una rec– Conocer los elementos básicos que permiten la determinación de una recta y, a partir de ellos, dibujarla en el plano cartesiano.

ta (paramétrica, continua, explícita e implícita) conocidos dos puntos de la misma, un punto y un vector director o un punto y su pendiente.

– Conocer las diferentes formas en que se puede presentar la ecuación de una recta, – Relacionar las distintas ecuaciones que pasando de una a otra e identificando, en pueden tener una misma recta y saber pasar de una a otra. cada momento, los elementos constitutivos de las mismas. – Interpretar geométricamente los coeficientes de la ecuación de una recta. – Conocer y aplicar el concepto de lugar geométrico del plano cartesiano como ge- – Razonar sobre las posibles opciones, nerador de ecuaciones de aquellas figuras geométricas o algebraicas, que plantean la geométricas que, como las circunferencias, posición relativa de dos rectas en el plano puedan ser interpretadas como tales. cartesiano. – Conocer los elementos básicos que permi- – Conocer y aplicar el concepto de lugar ten la determinación de una circunferencia geométrico del plano como generador y, a partir de ellos, obtener su ecuación. de ecuaciones en figuras geométricas y Dibujarla en el plano cartesiano. curvas susceptibles de ser interpretadas – Saber interpretar, desde su doble aspeccomo tales. to geométrico-algebraico, las posiciones – Obtener la ecuación de la recta mediatriz relativas de rectas y circunferencias en el de un segmento. plano cartesiano. – Representar una circunferencia de centro y – Perseverar en la búsqueda y adquisición radio dado. de estrategias personales para resolver problemas geométricos susceptibles de ser – Obtener la ecuación general de una circunferencia conocidas las coordenadas de su resueltos por métodos algebraicos. centro y su radio. – Discutir si una ecuación cuadrática con dos incógnitas representa a una circunferencia y, en caso afirmativo, obtener el centro y el radio de la misma. – Razonar sobre las posibles opciones, geométricas o algebraicas, que plantean la posición relativa de dos circunferencias en el plano cartesiano. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Razonar sobre las posibles opciones, geométricas o algebraicas, que plantean la posición relativa de una recta y una circunferencia en el plano cartesiano. – Resolver con técnicas algebraicas sencillos problemas geométricos relacionados con los contenidos de la unidad.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Ecuación vectorial de la recta. – Ecuaciones paramétricas de la recta. – Ecuación continua de la recta. – Ecuación general de la recta. – Pendiente de la recta. – Ecuación punto pendiente de la recta. – Ecuación explícita de la recta. – Posiciones relativas de dos rectas. – Haces de rectas secantes. – Lugares geométricos del plano. – Ecuación de la mediatriz de un segmento. – Ecuación general de la circunferencia. – Posición relativa de una recta respecto de una circunferencia. – Posiciones relativas de dos circunferencias.

– Obtención procesual de las distintas ecuaciones de una misma recta a partir de un punto y un vector director o de dos puntos. – Transformación de una ecuación en otra. – Obtención de la pendiente y un vector director de una recta a partir de los coeficientes de sus ecuaciones. – Análisis geométrico y algebraico de las distintas posiciones relativas de dos rectas en el plano cartesiano. – Obtención de la ecuación de un haz de rectas secantes. – Obtención de la ecuación de la mediatriz de un segmento. – Obtención de la ecuación general de una circunferencia de centro y radio dado. – Obtención del centro y del radio de una circunferencia a partir de su ecuación. – Análisis geométrico y algebraico de las distintas posiciones relativas de una recta y una circunferencia en el plano cartesiano. – Análisis geométrico y algebraico de las distintas posiciones relativas de dos circunferencias en el plano cartesiano.

– Valorar positivamente la precisión aportada por el álgebra cuando se aplica al estudio de curvas y figuras geométricas representadas sobre el plano cartesiano. – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, claridad, precisión, limpieza) en la realización de actividades geométricas y algebraicas. – Confianza y autoestima sobre las propias capacidades a la hora de afrontar problemas susceptibles de ser resueltos mediante sistemas de ecuaciones lineales. – Perseverancia en la búsqueda de estrategias par resolver problemas geométricos susceptibles de ser tratados algebraicamente. – Respeto ante las opiniones discrepantes y flexibilidad para cambiar y aceptar otras propuestas, en una discusión sobre aplicación de estrategias que permitan resolver problemas geométricos de manera algebraica.

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. La recta en el plano cartesiano .....................................................4 sesiones – Ecuación vectorial de la recta. – Ecuaciones paramétricas de la recta. – Ecuación continua de la recta. – Ecuación general de la recta. – Pendiente de una recta. Ecuación explícita. – Posiciones relativas de rectas. 2. La circunferencia en el plano cartesiano .....................................3 sesiones – Concepto de lugar geométrico. Ejemplos. – Ecuación de la circunferencia. – Posiciones relativas de rectas y circunferencias. Evaluación..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas En la primera parte de la unidad se irán obteniendo las distintas ecuaciones de una recta según la secuencia clásica que comienza por determinar los elementos básicos determinantes de la misma (es decir un punto y un vector o dos puntos) y, a partir de ellos, la ecuación vectorial, empleando las relaciones de dependencia lineal entre dos vectores libres del plano. Comenzar por la ecuación vectorial de la recta tiene la ventaja de que facilita enormemente la obtención razonada de los demás tipos de ecuaciones de la recta. El concepto de parámetro de la recta se debe de justificar gráficamente en la pizarra proponiendo que los alumnos valoren las posiciones de algunos de sus puntos, de parámetros conocidos, o determinen el valor del parámetro que corresponde a un punto dado. En la segunda parte se dará el concepto de lugar geométrico y, como ejemplo particular, se obtendrá la ecuación de la circunferencia. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La obtención de las distintas ecuaciones de la recta. – La pendiente de la recta. – La posición relativa de dos rectas. – El concepto de lugar geomé trico. – La mediatriz de un segmento. MATEMÁTICAS

Segundo Nivel Tercer Nivel Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La conversión entre las – La resolución de probledistintas ecuaciones de la mas de geometría que rerecta y la interpretación de quieran de técnicas y essus elementos. trategias atípicas. – La ecuación de la circunferencia.

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La Programación Didáctica

Unidad Didáctica 9. Funciones elementales OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer, diferenciar y relacionar los con- Al término de la unidad, los alumnos deberán ceptos de correspondencia y función y fa- ser capaces de: miliarizarse con su terminología específica. – Saber valorar e interpretar de manera gráfica, global o parcialmente, sencillas – Describir a través de una gráfica el comsituaciones de tipo funcional cercanas al portamiento general y particular de un feentorno científico y cotidiano del alumno, nómeno susceptible de ser tratado de forrelacionando los resultados con la informa funcional. mación requerida a la actividad o situación – Diferenciar las gráficas cartesianas suscepproblemática de la que se pudiera derivar. tibles de ser interpretadas como funciones de aquellas otras que representan simples – Analizar y construir sencillos ejemplos en correspondencias no funcionales. los que se muestren diferentes tipos de correspondencias, distinguiendo, de manera ra– Representar gráficas de funciones polinózonada, las funcionales de las que no lo son. micas de primer y segundo grado y de funciones racionales sencillas y utilizarlas para – Interpretar las relaciones funcionales derealizar análisis e inferencias de sus propierivadas de tablas, enunciados, gráficas y dades (monotonía, puntos extremos, simeecuaciones algebraicas sencillas. trías, continuidad, asíntotas y tasas de va– Construir e interpretar gráficas de las riación media) a través del comportamiento funciones elementales que se representan de las coordenadas de los puntos (x, f(x)). mediante rectas, parábolas e hipérbolas o – Reconocer e interpretar relaciones sencillas mediante trozos de éstas. susceptibles de ser tratadas de manera funcio– Saber aplicar los movimientos de traslación nal a través de funciones polinómicas de pricomo parte del procedimiento gráfico que mer o segundo grado y funciones de proporpermiten representar las gráficas de ciertas cionalidad inversa, así como de otras definidas funciones a partir de otras conocidas. con trozos de aquellas, que puedan aparecer en los diferentes medios de comunicación, en – Deducir las propiedades más caracterísactividades relacionadas con el entorno coticas de una función: monotonía, puntos tidiano del alumno o que estén relacionadas extremos, continuidad, simetrías, asíntotas con otras áreas del ámbito científico. y cálculo de tasas de variación media, a través de su representación gráfica y tradu– Aplicar los movimientos de traslación en cirlas en términos algebraicos. orden a representar ciertas gráficas a partir de otras dadas, siendo conscientes de la – Utilizar con soltura las reglas que permiten transformación sufrida en la ecuación de la sumar, restar, multiplicar y dividir funciofunción inicial. nes elementales. – Conocer y manejar las reglas que posibilitan – Saber construir la ecuación de una función las operaciones elementales entre funciones. que es composición de otras, razonando el procedimiento empleado en el proceso. – Elaborar y valorar estrategias diferentes para la codificación de la información a – Saber dibujar la gráfica de la función intravés de tablas, gráficas y ecuaciones algeversa de una dada a partir de la de esta últibraicas sencillas, en orden al planteamienma por simetría con respecto de la bisectriz to y resolución de problemas relacionados del primer cuadrante del plano cartesiano. con el entorno cotidiano del alumno. 166

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Correspondencias y funcio- – Distinción gráfica de las – Valoración de la precisión, correspondencias funciones. Terminología básica. simplicidad y utilidad del nales y no funcionales. lenguaje gráfico y alge– Dominio y recorrido de braico para resolver, reuna función. – Representación gráfica de presentar o interpretar siuna función dada a partir – Gráficas cartesianas funtuaciones y problemas de de un enunciado verbal, de cionales y no funcionales. la vida cotidiana relaciouna tabla o de una sencilla nadas con la dependencia – Propiedades gráficas de ecuación. funcional o la corresponuna función: monotonía, dencia de datos. puntos extremos, simetrías – Cálculo del dominio y del recorrido de una función y continuidad. representada mediante una – Reconocimiento y valoración crítica de las rela– Funciones polinómicas de gráfica. ciones entre el lenguaje grado menor o igual que – Cálculo del dominio de una gráfico, el algebraico y el dos. Propiedades. función expresada mediante ordinario. – Funciones racionales eleuna sencilla ecuación polinó– Sensibilización, interés y mentales. Propiedades. mica, racional o irracional. valoración crítica ante las Asíntotas. – Representación gráfica y aportaciones que los len– Funciones definidas por análisis de las propiedades guajes gráfico y algebraico intervalos. de las funciones cuyas grárealizan en el mundo de la ficas son rectas, parábolas, – Suma y resta de funciones. comunicación, las argumenhipérbolas o trozos de éstas. taciones sociales, económi– Multiplicación y división cas, políticas o científicas. – Aplicación de traslaciones de funciones. a funciones elementales y – Adquisición de hábitos de – Composición de funciorepresentación gráfica de trabajo adecuados (orden, nes. las funciones resultantes. claridad, precisión, lim– Funciones inversas. pieza) en la realización de – Construcción gráfica de actividades funcionales. – Tasa de variación media. sencillas funciones construidas por intervalos. – Confianza y autoestima en las propias capacidades a – Estudio gráfico de la mola hora de afrontar problenotonía de una función. mas relativos a funciones. – Estudio gráfico de los máximos y mínimos rela- – Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de tivos de una función. soluciones y estrategias en – Estudio gráfico de los un contexto de resolución puntos de discontinuidad de problemas sobre funde una función. ciones y gráficas. – Estudio gráfico de las – Respeto ante las opiniones asíntotas de una función discrepantes y flexibilidad racional elemental. para cambiar y aceptar – Estudio gráfico y algebraico de las posibles simetrías de una función.

otras propuestas, en una discusión sobre actividades de índole funcional. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Obtención de la ecuación – Valoración, cuidado y prede una función que es la cisión en el manejo de los suma, la resta, el producto instrumentos de dibujo. o el cociente de otras. – Obtención de la ecuación de una función que es composición de otras dos. – Construcción de la gráfica de la función inversa de una función de gráfica conocida. – Cálculo e interpretación de la tasa de variación media entre dos puntos de una función.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Funciones elementales ....................................................................4 sesiones –

Funciones reales de variable real.

–

Distintas formas de expresar una función.

–

Propiedades gráficas de las funciones.

–

Tipos de funciones elementales: *

Funciones polinómicas.

*

Funciones racionales.

*

Funciones definidas a intervalos.

2. Operaciones con funciones ...........................................................3 sesiones –

Adición y multiplicación de funciones.

–

Composición de funciones.

–

Funciones inversas.

–

Tasa de variación media.

Evaluación..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas El concepto de función, introducido en cursos anteriores, debe adquirir en éste una mayor formalidad. Así, al trabajar las distintas formas de expresar una función se resaltará la importancia de precisar su dominio, como componente esencial de su definición. Entre las muchas propiedades susceptibles de ser estudiadas en las funciones reales de variable real se elegirán solamente aquéllas que pueden ser fácilmente detectables a través del análisis gráfico de la misma. Así, por ejemplo, el estudio de las simetrías de una función se restringirá a los casos más sencillos, que to168

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

man como referencia el eje de ordenadas o el centro de coordenadas del plano cartesiano, ya que el estudio general de las simetrías de una función respecto de una recta o de un punto cualquiera supera el nivel aconsejable para este curso. De igual manera, el concepto de discontinuidad, que se apoya en un ejemplo gráfico fácil de interpretar, será tratado posteriormente a través de los ejemplos concretos que nos van a proporcionar las funciones definidas a intervalos. En la segunda parte de la unidad se estudia la composición de funciones, concepto novedoso para los alumnos y no exento de dificultad. La presentación clásica a través de diagramas nos parece el mejor método de acceder a este concepto, siempre que se apoye en ejemplos sencillos que motiven el interés del alumnado. El concepto de función inversa se introducirá a través de ejemplos muy sencillos y, siempre, apoyado en su interpretación gráfica. El concepto de variación media se puede introducir a través de un ejemplo sencillo relacionado con la velocidad media que es fácil de interpretar por los alumnos. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La descripción de las funciones y sus propiedades a través de tablas y gráficas. – La representación e interpretación de funciones polinómicas de primer y segundo grado. – La utilización de tablas y gráficas para resolver problemas de proporcionalidad.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La obtención e interpretación de la ecuación, el dominio y el recorrido de una función. – La representación e interpretación de funciones racionales sencillas. – La representación e interpretación de funciones inversas. – La resolución de problemas sencillos.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La representación e interpretación de funciones definidas por intervalos. – La composición de funciones. – La tasa de variación media. – La resolución de problemas sobre funciones que requieran de técnicas y estrategias atípicas.

Unidad Didáctica 10. Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Reconocer y analizar situaciones que en Al término de la unidad, los alumnos deberán lenguaje ordinario se suelen expresar como ser capaces de: de crecimiento o decrecimiento exponen- – Detectar e interpretar situaciones de crecicial, interpretándolas matemáticamente a miento y decrecimiento exponencial propartir de una función exponencial de base piciadas por ejemplos extraídos de los meadecuada. dios de comunicación y relacionados con la vida cotidiana o con el entorno científico de los alumnos. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Traducir de lenguaje algebraico a gráfico – Representar las gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas elementales ecuaciones sencillas de funciones expocomparándolas y razonando sobre sus ananenciales, logarítmicas y trigonométricas mediante la construcción de una tabla de logías y diferencias. valores y con la ayuda de la calculadora – Saber distinguir a través de la gráfica el científica. tipo de función, exponencial o logarítmica, – Interrelacionar las gráficas de las funcioque ésta representa. nes exponenciales y logarítmicas de igual – Transformar radianes a medidas del sistebase y describir e interpretar gráficamente ma sexagesimal, y viceversa, con la ayuda sus propiedades características. de la calculadora científica. – Describir e interpretar gráficamente las – Mostrar un conocimiento suficiente de la propiedades de las funciones trigonométricircunferencia goniométrica que permita cas elementales. la representación gráfica, aproximada, de – Utilizar la calculadora científica en la vaángulos a partir de sus razones trigonoméloración y conversión de datos relativos al tricas y, viceversa, la obtención, aproximamanejo de funciones exponenciales, logada, de las razones trigonométricas de un rítmicas y trigonométricas sencillas. ángulo dado. – Resolver sencillos problemas de la vida – Representar gráficamente las funciones cotidiana o relacionados con el conocitrigonométricas básicas: seno, coseno y miento científico del alumno que puedan tangente y sus transformadas elementales, interpretarse en términos de ecuaciones en un intervalo dado de la recta real. exponenciales, logarítmicas o trigonomé– Reconocer determinadas propiedades tricas sencillas. funcionales (dominio, rango, crecimiento, valores extremos, continuidad, asíntotas, periodos...) a partir del análisis de la gráfica correspondiente a una función exponencial, logarítmica o trigonométrica sencilla. – Saber manejar adecuadamente la calculadora científica en las operaciones y cálculos relacionados con las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. – Manejar con soltura los criterios y algoritmos asociados al cálculo exponencial y logarítmico, en un contexto de resolución de problemas. – Resolver sencillas ecuaciones exponenciales y logarítmicas mediante su conversión a otras polinómicas de primer o de segundo grado. – Hallar el conjunto de soluciones de una ecuación trigonométrica sencilla y determinar las que corresponden a un intervalo dado.

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Funciones exponenciales. – – – – – – – – –

– Utilización de la calculado- – Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de ra científica en los cálculos Propiedades de una funla calculadora y otros instruexponenciales, logarítmición exponencial. mentos para la realización cos y trigonométricos. de cálculos con funciones Funciones logarítmicas. – Construcción de la gráfica exponenciales, logarítmicas de una función exponenPropiedades de una funy trigonométricas. cial de ecuación y = ax, ción logarítmica. – Confianza en las propias con a > 0. Ecuaciones exponenciales. capacidades para afrontar – Construcción de gráficas la solución de un probleEcuaciones logarítmicas. correspondientes a funma susceptible de ser inciones logarítmicas, por Ampliación del concepto terpretado en términos exsimetría de las de las funde ángulo. El radián. ponenciales, logarítmicos ciones exponenciales. o trigonométricos. La circunferencia gonio– Reconocimiento e intermétrica. pretación de las propiedaLa función trigonométrica des gráficas de las funcioy = senx. Propiedades. nes exponenciales y logarítmicas elementales. La función trigonométrica y = cosx. Propiedades. – Resolución de ecuaciones

– La función trigonométrica y = tgx. Propiedades.

exponenciales o logarítmicas por conversión a ecuaciones polinómicas de primer o de segundo grado. – Conversiones angulares, del sistema sexagesimal a radianes y viceversa. – Construcción e interpretación de la circunferencia goniométrica cuyos ángulos viene dados en radianes. – Construcción de las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente. – Reconocimiento e interpretación de los periodos y demás propiedades gráficas de las funciones trigonométricas elementales. – Resolución de ecuaciones trigonométricas.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Funciones exponenciales ................................................................ 3 sesiones –

Concepto de función exponencial: *

Estudio de la función y = ax, con a > 1

*

Estudio de la función y = ax, con 0 < a < 1

–

Aplicaciones de las funciones exponenciales.

–

Ecuaciones exponenciales.

2. Funciones logarítmicas .................................................................. 3 sesiones –

Concepto de función logarítmica. *

Estudio de la función y = loga,x, con a > 1

*

Estudio de la función y = loga,x, con 0 < a < 1

–

Aplicaciones de las funciones logarítmicas.

–

Ecuaciones logarítmicas.

3. Funciones trigonométricas ............................................................ 3 sesiones –

El radián.

–

Concepto de función trigonométrica: *

Estudio de la función y = sen x

*

Estudio de la función y = cos x

*

Estudio de la función y = tg x

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Metodología El concepto de función exponencial se deducirá a partir del de progresión geométrica y se fundamentará en un intento de encontrar sentido matemático a ciertas afirmaciones que, relacionadas con el crecimiento y decrecimiento exponencial, se suelen utilizar, con muy poco rigor, en los diferentes medios de comunicación. El estudio se restringirá a los casos elementales de funciones exponenciales de la forma y = ax, diferenciando el caso en que “a” está comprendido entre 0 y 1, del caso en que “a” es mayor que 1, como es habitual. La función logarítmica se definirá como la función inversa de la función exponencial y seguirá un esquema paralelo al que se desarrolla para estudiar esta última. En la elaboración de las gráficas de las funciones logarítmicas, además de la calculadora, se utilizará el método de simetrización de las funciones inversas, con respecto a la bisectriz del primer cuadrante. El estudio de las funciones trigonométricas es una opción que se incluye en esta unidad como materia de ampliación y, en consecuencia, sólo será abordada si el profesor entiende que los alumnos muestran un nivel adecuado. Como método general, los contenidos se presentarán de una forma sencilla, apoyada en ejemplos, a ser posible extraídos de los medios de comunicación o de otras materias del currículo, que sean fácilmente interpretables por los alumnos y evitando, en la medida de lo posible, un exceso de formalismo. 172

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La representación y descripción de las funciones exponenciales y logarítmicas elementales. – La resolución de ecuaciones exponenciales sencillas. – La resolución de problemas sencillos sobre funciones exponenciales.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La resolución de ecuaciones logarítmicas sencillas. – La resolución de problemas sencillos sobre funciones logarítmicas.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La representación y descripción de las funciones trigonométricas. – La resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas. – La resolución de problemas sencillos sobre funciones trigonométricas.

Unidad Didáctica 11. Tablas y gráficas estadísticas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Reconocer la estadística como un lenguaje compartido tanto por su carácter interdisciplinar en la etapa como por otras aplicaciones de ámbito más general: económico, político, social, publicitario, deportivo… – Describir e interpretar situaciones del entorno cotidiano y de la información propiciada a través de los medios de comunicación o de otras áreas del currículo, en la que se detecten mensajes de tipo estadístico. – Recoger y organizar la información proporcionada por una distribución, discreta o continua, mediante recuentos, tablas y gráficos, tomando decisiones correctas en cuanto a la valoración y tamaño de las muestras adecuadas al proceso. – Decidir sobre el tipo de medida y cálculos, exactos o aproximados, que sean más convenientes en función del fenómeno o de la actividad de tipo estadístico a los que se apliquen.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Conocer y manejar adecuadamente los términos asociados al lenguaje usual de la estadística unidimensional. – Interpretar adecuadamente informaciones estadísticas que aparecen en los medios de información, a través de tablas o de gráficas. – Saber elegir las muestras que representen, de la manera más adecuada, a una determinada población estadística a partir de sencillos ejemplos y actividades relacionadas con el entorno cotidiano del alumno. – Representar los datos de una variable estadística, cualitativa o cuantitativa, discreta o continua, mediante una tabla o un gráfico estadístico adecuado. – Relacionar las informaciones estadísticas representadas en una tabla o en un gráfico estadístico que sean equivalentes. – Construir e interpretar tablas y gráficos de variación de números índices. – Detectar errores y falacias que desvirtúan la información transmitida mediante una gráfica estadística.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

CONTENIDOS Conceptos – Estadística descriptiva. – Encuestas. – Muestras estadísticas. Tipos de muestreo. – Vocabulario estadístico: población, muestra, individuo, variable estadística (tipos), tamaño de la muestra. – Tablas de frecuencias. – Frecuencia absoluta y frecuencia relativa. – Frecuencia porcentual. – Frecuencias acumuladas. – Intervalos de clase asociados a variables cuantitativas continuas. Marcas de clase. – Gráficosestadísticos:Diagramas de barras, Polígono de frecuencias, Diagramas de sectores, Histogramas, Pirámides de Población, Pictogramas, Cartogramas y Series Cronológicas. – Números índices.

Procedimientos

Actitudes

– Elección de una muestra – Valoración de la precisión, representativa de una desimplicidad y utilidad del terminada población. lenguaje estadístico para resolver, representar o – Organización y clasificainterpretar situaciones y ción de datos susceptibles problemas de la vida code tratamiento estadístico. tidiana. – Elaboración de tablas de – Sensibilización, interés y distribución de frecuencias. valoración crítica ante las aportaciones que la esta– Obtención de frecuencias dística realiza en el mundo absolutas, relativas y porde la comunicación, las centuales. argumentaciones sociales, – Interpretación de una tabla económicas, políticas o de distribución de frecuencientíficas. cias para la obtención de información precisa refe- – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, rente a la misma. claridad, precisión, lim– Elaboración razonada de pieza) en la realización de un gráfico estadístico adeactividades estadísticas. cuado al tipo de fenómeno que se quiere representar. – Confianza y autoestima en las propias capacida– Transformación de tablas des a la hora de afrontar en gráficos y viceversa. problemas relativos a la estadística. – Detección e interpretación de errores en la construcción – Perseverancia y flexibilide gráficas estadísticas. dad en la búsqueda de so– Construcción e interpretación de tablas y gráficos de variación de números índices. –

luciones, estrategias en un contexto de resolución de problemas estadísticos. Respeto ante las opiniones discrepantes y flexibilidad para cambiar y aceptar otras propuestas, en un debate sobre actividades relativas a la estadística.

– Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como la manera más eficaz para la realización de tareas relacionadas con la estadística: planificación de tareas, toma de datos, debate de conclusiones. 174

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Tablas estadísticas ..........................................................................3 sesiones –

Población, muestra e individuo.

–

Encuestas. Clasificación.

–

Variables estadísticas. Clasificación.

–

Frecuencias. Clasificación. Tablas de frecuencias.

–

Distribución en intervalos de clase.

2. Gráficas estadísticas .......................................................................3 sesiones –

Gráficos estadísticos. Clasificación.

–

Errores estadísticos.

–

Números índices.

Evaluación..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas La selección y utilidad de una muestra, estudiada a partir de ejemplos relacionados con el entorno cotidiano de los alumnos, se utilizará para repasar los conceptos básicos del lenguaje estadístico (población, muestra o individuo) que se precisan para una mejor interpretación de los contenidos desarrollados en el resto de la unidad. A partir de aquí los alumnos pueden proponer una o más encuestas sobre temas que sean de su interés. El profesor distribuirá, entonces, a su alumnado en grupos de trabajo para que elaboren, pasen las encuestas y recojan sus resultados. Los resultados de estas encuestas servirán de modelos para ir cumplimentando los demás contenidos de la unidad. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La correcta utilización de – Las distribuciones en in- – El análisis e interpretación los términos estadísticos. de errores en la elaboración tervalos de clase. de una gráfica estadística. – La elaboración de tablas – La elaboración e interprede frecuencias.

tación de histogramas y – La obtención de frecuendiagramas de sectores. cias a partir del análisis de – La representación e interuna gráfica estadística. pretación de diagramas de – La elaboración e interprebarras y polígonos de fretación de tablas y gráficas – La resolución de problecuencias. de números índices. mas de estadística atípicos que requieran de técnicas y estrategias personales. MATEMÁTICAS

175

La Programación Didáctica

Unidad Didáctica 12. Parámetros estadísticos OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Decidir sobre el tipo de medida y cálculos, Al término de la unidad, los alumnos deberán exactos o aproximados, que sean más con- ser capaces de: venientes en función del fenómeno o de la – Conocer y manejar adecuadamente los actividad de tipo estadístico a los que se términos asociados al lenguaje usual de la apliquen. estadística unidimensional. – Conocer y utilizar los parámetros estadísti– Calcular los parámetros estadísticos elecos (media, moda, mediana, cuantiles, ranmentales (media, moda, mediana, cuantigo, desviación media, varianza y desviación les, rango, desviación media, varianza y típica) de una distribución unidimensional, desviación típica) que representan a una cuantitativa o cualitativa, discreta o contidistribución de frecuencias sencilla. nua, para enjuiciar su comportamiento. – Manejar con soltura la calculadora científi– Valorar las analogías y diferencias en el ca en la obtención de la media aritmética, la comportamiento de un mismo tipo de vadesviación típica, la varianza y la desviación riable aplicada a dos poblaciones estadístitípica de una serie de datos estadísticos. cas diferentes, a través del estudio comparativo de sus parámetros estadísticos. – Comparar distribuciones de frecuencia diferentes mediante una adecuada interpreta– Manejar la calculadora científica, de mación de la media aritmética y la desviación nera racional, en la obtención de las meditípica. das o parámetros estadísticos de una distribución unidimensional. – Interpretar la normalidad de una distribución a partir del estudio de su simetría o – Valorar los resultados obtenidos a partir de asimetría. una muestra convenientemente elegida a fin de efectuar sencillas inferencias estadísticas – Construir e interpretar gráficos con caja aplicables a la totalidad de individuos que para estudiar la distribución de datos de componen la población objeto de estudio. una variable estadística.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Parámetros estadísticos de – Cálculo de las medidas de – Valoración de la precisión, centralización: Media aritcentralización asociadas simplicidad y utilidad del mética, Media aritmética a una distribución cualilenguaje estadístico para reponderada, Moda, Mediatativa. solver, representar o interna, Clase Modal y Clase – Cálculo de los parámepretar situaciones y probleMediana. mas de la vida cotidiana. tros estadísticos asocia– Parámetros estadísticos de dos a una distribución de – Sensibilización, interés y dispersión: Recorrido, Cuanvaloración crítica ante las frecuencias de variable aportaciones que la estadístitiles (quartiles, deciles y percualitativa o cuantitativa centiles), Rango Intercuartídiscreta. ca realiza en el mundo de la lico, Desviación Media, Vacomunicación, las argumenrianza y Desviación típica. taciones sociales, económicas, políticas o científicas. .../...

176

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Coeficiente de variación.

– Cálculo de los parámetros – Adquisición de hábitos de estadísticos asociados a trabajo adecuados (orden, – Distribuciones simétricas distribuciones de frecuenclaridad, precisión, limy asimétricas. cias susceptibles de ser pieza) en la realización de – Gráficas de caja. dadas por sencillos interactividades estadísticas. valos de clase. – Confianza y autoestima – Utilización racional de la en las propias capacidacalculadora científica en des a la hora de afrontar los cálculos estadísticos. problemas relativos a la estadística. – Utilización de las medidas de centralización y de dis- – Perseverancia y flexibilipersión para formular condad en la búsqueda de sojeturas sobre el comportaluciones, estrategias en un miento de una población. contexto de resolución de problemas estadísticos. – Estudio de la simetría de una distribución. – Respeto ante las opiniones discrepantes y flexibilidad – Construcción de una gráfipara cambiar y aceptar ca de caja. otras propuestas, en un – Comparación de pobladebate sobre actividades ciones diferentes ante una relativas a la estadística. misma medida estadística. – Reconocimiento y valora– Elaboración de estrategias ción del trabajo en equipo conducentes a la resolución como la manera más efide problemas numéricos caz para la realización de basados en la obtención de tareas relacionadas con la medidas estadísticas. estadística: planificación de tareas, toma de datos, debate de conclusiones.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Parámetros de posición .................................................................. 3 sesiones –

Moda.

–

Media aritmética.

–

Media aritmética ponderada.

–

Mediana.

–

Cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles.

2. Parámetros de dispersión .............................................................. 4 sesiones –

Rango o recorrido.

–

Rango intercuartílico.

–

Desviación media.

MATEMÁTICAS

177

La Programación Didáctica

–

Varianza y desviación típica.

–

Relación entre la media y la desviación típica.

–

Coeficiente de variación.

–

Distribuciones simétricas y asimétricas.

–

Gráficos de caja.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas Esta segunda unidad de estadística trata de los parámetros estadísticos de posición y dispersión que, en su mayor parte, son conocidos por los alumnos de cursos anteriores. Como novedad se añade el estudio de nuevos cuantiles, el análisis de la simetría de una distribución o la construcción e interpretación de gráficas de caja. Como es habitual cuando se requieren de largos y tediosos cálculos para alcanzar un determinado objetivo, nos parece fundamental el manejo razonado y razonable de la calculadora científica y de algún programa informático familiar, como una hoja de cálculo, que facilite el trabajo y la adquisición de conocimientos. También es importante que a lo largo de la unidad los profesores propongan actividades que deban ser resueltas trabajando en equipo, y que controlen el proceso de resolución para que los alumnos puedan progresar en la adquisición de capacidades relacionadas con la competencia en comunicación lingüística y a la competencia social y ciudadana. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – El cálculo de los paráme- – El uso de la calculadora en – La resolución de probleel cálculo y valoración de los tros estadísticos de una mas de estadística atípicos parámetros de una distribuserie pequeña de datos esque requieran de técnicas tadísticos. ción de intervalos de clase. y estrategias personales. – El uso de la calculadora – La interpretación gráfica en el cálculo de la media, de parámetros estadísticos. varianza y desviación típi- – La resolución de probleca de una serie pequeña de mas sobre parámetros y datos estadísticos. gráficas estadísticas. – La resolución de proble- – El estudio conjunto de la mas sencillos sobre parámedia y la desviación típica. metros estadísticos. – La elaboración e interpretación de gráficas de caja. – El estudio e interpretación de la simetría de una distribución. 178

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

Unidad Didáctica 13. Combinatoria OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y utilizar el vocabulario mínimo Al término de la unidad, los alumnos deberán que permita distinguir, describir y realizar ser capaces de: cálculos combinatorios. – Sistematizar la obtención de agrupaciones ordenadas de datos a través de diagramas – Identificar y describir regularidades, pautas de árbol apropiados. y relaciones inherentes a un conjunto de números o de cualquier otro tipo de objetos, – Utilizar el principio de la multiplicación en un contexto de cálculo combinatorio. como procedimiento básico en el recuento sistemático de agrupaciones de datos. – Diferenciar situaciones de recuento de datos susceptibles de ser interpretadas a través de – Distinguir entre variaciones y combinaciones. combinaciones, variaciones y permutaciones. – Distinguir entre variaciones ordinarias y va– Construir las fórmulas de la combinatoria riaciones con repetición. clásica a partir de una aplicación razonada del principio de la multiplicación. – Relacionar combinaciones y números combinatorios. – Sistematizar los procedimientos orientados al recuento y clasificación de datos en un – Conocer y aplicar con soltura las fórmulas contexto de resolución de problemas comde la combinatoria clásica. binatorios relacionados con el contexto co– Conocer las relaciones básicas entre númetidiano de los alumnos. ros combinatorios y aplicarlas en la cons– Plantear y resolver problemas asociados al trucción de las filas del triángulo de Pascal. entorno cotidiano del alumno y a sus intereses lúdicos relativos al cálculo combinatorio, – Relacionar los coeficientes de las potencias de un binomio y los números que compoeligiendo la estrategia adecuada y aplicando nen las filas del triángulo de Pascal. las fórmulas o los procedimientos más sencillos que, en cada caso, se precisen. – Desarrollar y simplificar potencias de binomios para valores no excesivamente grandes de los exponentes. – Resolver ecuaciones combinatorias sencillas. – Resolver problemas sencillos de combinatoria contextualizados en el entorno cotidiano de los alumnos.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– El principio de la multipli- – Elaboración de diagramas – Adquisición de hábitos de de árbol. cación. trabajo adecuados (orden, claridad, precisión, lim– Diagramas de árbol. – Aplicación procesual del pieza) en la realización de principio de la multipli– Principio de la multiplicaactividades combinatorias. cación. ción. .../...

MATEMÁTICAS

179

La Programación Didáctica .../...

– Combinaciones, variaciones y permutaciones. – Fórmula de las variaciones ordinarias. – Fórmula de las variaciones con repetición. – Fórmula de las permutaciones. – Factorial de un número. – Fórmula de las combinaciones. – Fórmula para obtener las permutaciones de n elementos. – Números combinatorios. Propiedades. – Triángulo de Pascal. – Binomio de Newton.

– Sistematización en el análi- – Confianza y autoestima en las propias capacidades a sis que conduce al reconola hora de afrontar problecimiento y diferenciación mas de combinatoria. de combinaciones, variaciones y permutaciones. – Perseverancia y flexibilidad – Cálculo de variaciones, oren la búsqueda de soluciodinarias y con repetición, nes, estrategias en un concombinaciones y permutatexto de resolución de prociones. blemas de combinatoria. – Cálculo de números com- – Respeto ante las opiniones discrepantes y flexibilidad binatorios. para cambiar y aceptar – Construcción del triángulo otras propuestas, en un de Pascal. debate sobre resolución o – Desarrollo del binomio de inferencias de resultados Newton. derivados de un problema de combinatoria.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Técnicas combinatorias.................................................................. 4 sesiones –

El principio de la multiplicación. Diagramas de árbol.

–

Tipos de agrupamientos:

–

*

Variaciones.

*

Permutaciones.

*

Combinaciones.

Fórmulas combinatorias.

2. Números combinatorios ................................................................. 3 sesiones –

Números combinatorios. Propiedades.

–

El triángulo de Pascal o de Tartaglia.

–

El binomio de Newton.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas Antes de entrar en la sistematización de los distintos tipos de agrupaciones (combinaciones, variaciones o permutaciones) relacionadas con la combinatoria clásica, los alumnos deben intentar utilizar sus propias estrategias personales de conteo para resolver algunos problemas sencillos de combinatoria. En este sentido, la utilización del principio de la multiplicación y de los diagramas de 180

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

árbol son de una importancia trascendental, ya que constituyen dos procedimientos básicos con los que, teóricamente, es posible resolver la mayoría de las actividades que se puedan proponer en esta primera parte de la unidad. Por otra parte, la aplicación razonada del principio de la multiplicación nos permitirá obtener, de una forma comprensible para los alumnos, las fórmulas que dan el número de variaciones, ordinarias y con repetición, de n elementos extraídos de un conjunto base con m elementos y, a partir de éstas, las fórmulas de las combinaciones y las de las permutaciones. El objetivo más importante de la segunda parte de la unidad es el estudio y aplicación del binomio de Newton. Para alcanzarlo no es absolutamente necesario que los alumnos hagan un estudio pormenorizado de los números combinatorios y sus propiedades ya que nos bastará con elaborar, con argumentos informales, el triángulo de Pascal. En cualquier caso, el tratamiento didáctico de esta segunda parte de la unidad dependerá, en gran medida, del grado de interés y preparación de nuestros alumnos. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La utilización de los diagramas de árbol y técnicas de conteo personales. – La identificación y diferenciación de variaciones, combinaciones y permutaciones. – La aplicación de las fórmulas de la combinatoria clásica. – La resolución de problemas sencillos sobre conteo.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – La aplicación del principio de multiplicación. – La identificación y cálculo de variaciones, combinaciones y permutaciones en un contexto de resolución de problemas. – La construcción intuitiva e interpretación del triángulo de Pascal. – El desarrollo del binomio de Newton a partir del triángulo de Pascal.

Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: – Los números combinatorios y sus propiedades. – La construcción formal del triángulo de Pascal. – El desarrollo formal del binomio de Newton. – La resolución de problemas de combinatoria atípicos que requieran de técnicas y estrategias personales.

Unidad Didáctica 14. Azar y Probabilidad OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y utilizar con precisión el vocabulario básico que permita distinguir, describir y realizar cálculos en situaciones aleatorias y probabilísticas. – Describir los sucesos asociados a un experimento aleatorio a través de su representación conjuntista, apreciando la simplicidad en los razonamientos que tales representaciones aportan.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Distinguir entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas. – Construir el espacio muestral de un experimento aleatorio sencillo. – Expresar en forma de conjunto los sucesos asociados a un experimento aleatorio de espacio muestral finito y operar con ellos. .../...

MATEMÁTICAS

181

La Programación Didáctica .../...

– Analizar e interpretar informaciones y – Diferenciar y resolver situaciones aleatorias en las que convenga aplicar la regla resolver situaciones problemáticas sencillas de Laplace o técnicas de probabilidad que puedan surgir en la vida cotidiana, experimental, basadas en la utilización de relacionados con situaciones propias del la Ley de los Grandes Números. azar y del cálculo de probabilidades. – Interpretar y analizar de manera correcta – Conocer las propiedades básicas de la probabilidad y aplicarlas en la resolución las informaciones de tipo aleatorio y de problemas sencillos. probabilístico que periódicamente aparecen en los medios de comunicación. – Conocer y aplicar la fórmula de la probabilidad condicionada en la resolución – Conocer y diferenciar las diferentes de problemas sencillos contextualizados acepciones del concepto de probabilidad, en el entorno cotidiano de los alumnos. así como sus propiedades elementales y utilizarlas en la resolución de sencillas – Descubrir la dependencia o independencia actividades relacionadas con experimentos de sucesos en un experimento compuesto simples y compuestos asociados al entorno sencillo, aplicando de manera correcta el cotidiano de los alumnos. método multiplicativo derivado de una correcta interpretación de la fórmula de la – Manejar y aplicar los procedimientos y probabilidad compuesta. los cálculos propios de la combinatoria clásica en la resolución de problemas – Efectuarlosrecuentosadecuados,mediantela probabilísticos que vengan relacionados aplicación de las técnicas de la combinatoria con el entorno cotidiano de los alumnos. clásica, inherentes a un conjunto de números, de figuras geométricas, o de cualquier otro tipo de objetos, en un contexto de cálculo de probabilidades que se deriven de la aplicación directa de la Ley de Laplace. – Resolversencillosproblemasdeprobabilidad geométrica basados en figuras planas de la geometría elemental conocidas por los alumnos.

CONTENIDOS Conceptos – Experimentos y sucesos aleatorios. – Espacio muestral. – Sucesos aleatorios. – Sucesos elementales y sucesos compuestos. – Suceso seguro y suceso imposible. – Unión e intersección de sucesos. – Sucesos compatibles e incompatibles.

Procedimientos

Actitudes

– Obtención del espacio – Reconocimiento y valomuestral de un experimenración de las matemáticas to aleatorio. para interpretar, describir y predecir situaciones in– Expresión de un suceso en ciertas. forma de subconjunto del espacio muestral. – Obtención de la unión y la intersección de dos sucesos. – Obtención del suceso contrario a otro dado. – Aplicación de la Ley de Laplace.

– Sensibilización, interés y valoración crítica ante las aportaciones que el lenguaje probabilístico realiza en el mundo de la comunicación, las argumentaciones sociales, económicas, políticas o científicas. .../...

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Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO .../...

– Obtención experimental de – Adquisición de hábitos de la probabilidad. trabajo adecuados (orden, Frecuencia y probabilidad claridad, precisión, limpie– Aplicación procesual de de un suceso. za) en la realización de acla regla aditiva de la proLey de Laplace. tividades relativas al azar. babilidad. Regla aditiva de la proba– Aplicación de la fórmula – Confianza y autoestima en bilidad. las propias capacidades a que liga las probabilidades la hora de afrontar probleProbabilidad de la unión de dos sucesos con las de mas relativos al cálculo de de dos sucesos. su unión e intersección. probabilidades. Probabilidad de dos suce- – Obtención de las probabilisos contrarios. dades de sucesos contrarios. – Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de solucioProbabilidad condiciona- – Aplicación de la fórmula nes, estrategias en un conda. Dependencia entre sude la probabilidad conditexto de resolución de procesos aleatorios. cionada. blemas de recuento y apliExperimentos compuestos. – Aplicación de la regla mulcación de probabilidades. Regla multiplicativa de la tiplicativa que generaliza la probabilidad. fórmula de la probabilidad condicionada. Probabilidad geométrica.

– Sucesos contrarios. – – – – – –

–

–

– Resolución de problemas mediante técnicas combinatorias. – Resolución de problemas de probabilidad geométrica.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Probabilidad. Ley de Laplace........................................................ 5 sesiones –

Experimentos y sucesos aleatorios.

–

Espacio muestral y sucesos aleatorios:

–

–

*

Sucesos elementales y sucesos compuestos.

*

Suceso seguro y suceso imposible.

Operaciones con sucesos: *

Unión e intersección de sucesos.

*

Sucesos compatibles e incompatibles.

*

Sucesos contrarios.

Probabilidad de un suceso: *

Frecuencia y probabilidad.

*

Ley de los grandes números.

*

Probabilidad experimental.

*

Ley de Laplace.

MATEMÁTICAS

183

La Programación Didáctica

–

Propiedades de la probabilidad: *

Regla aditiva de la probabilidad.

*

Probabilidad de la unión de dos sucesos.

*

Probabilidad de dos sucesos contrarios.

2. Probabilidades compuestas ........................................................... 4 sesiones –

Probabilidad condicionada.

–

Dependencia entre sucesos aleatorios.

–

Experimentos compuestos.

–

Regla multiplicativa de la probabilidad.

–

Probabilidad geométrica.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En la primera parte de la unidad se repasan, de forma más profunda y sistematizada, los contenidos del curso anterior. Dado el mayor nivel que se presupone a estos alumnos, el profesor podrá apoyarse en los rudimentos básicos de la teoría de conjuntos para desarrollar las propiedades de los sucesos aleatorios y de la probabilidad. En la segunda parte de la unidad se formalizan algunos contenidos, relacionados con los experimentos compuestos y la probabilidad condicionada, que se trataron, de forma muy intuitiva, en el curso anterior. Tampoco en este curso se pretende hacer un estudio exhaustivo y formal de estos conceptos, pero si conviene añadir un poco más de formalización y, sobre todo, ampliar el campo de aplicaciones para trabajar, con la mayor informalidad que nos sea posible, los problemas de extracciones consecutivas, con o sin reintegro. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y actividades de la unidad en tres niveles de dificultad. Primer Nivel

Segundo Nivel

Tercer Nivel

Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán acti- Los alumnos resolverán actividades relacionadas con: vidades relacionadas con: vidades relacionadas con: – La correcta utilización de – Las operaciones con sucesos – La probabilidad geométrica. aleatorios. los términos relacionados – Laresolucióndeproblemas con el azar. – La aplicación de las propie de probabilidad atípicos dades de la probabilidad en – El cálculo experimental que requieran de técnicas experimentos simples. de probabilidades. y estrategias personales. – La utilización de la regla – La dependencia e indepen dencia de sucesos. de Laplace. – La resolución de proble – La probabilidad condiciomas sencillos sobre proba nada. bilidad. 184

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Programación Didáctica de la asignatura de Matemáticas I de Bachillerato

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1. ANÁLISIS DEL CONTEXTO 2. FUNDAMENTACIÓN 3. OBJETIVOS GENERALES DEL BACHILLERATO 4. OBJETIVOS GENERALES DE LAS MATEMÁTICAS I 5. CONTENIDOS DE LAS MATEMÁTICAS I 6. CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS I 7. METODOLOGÍA 8. TEMAS TRANSVERSALES 9. EVALUACIÓN 9.1. ¿Qué evaluar? 9.2. ¿Cómo evaluar? 9.3. ¿Cuándo evaluar? 10. CRITERIOS DE EVALUACIÓN 11. BIBLIOGRAFÍA 12. DIRECCIONES DE INTERNET PROGRAMACIÓN DE AULA. MATEMÁTICAS I. MODALIDADES: CIENCIAS DE LA SALUD Y TECNOLOGÍA

1. ANÁLISIS DEL CONTEXTO En una primera etapa analizaremos las características del contexto del centro educativo, que deben de figurar en el Proyecto Educativo del Centro (PEC), para averiguar de qué forma inciden en la elaboración personalizada de nuestra Programación Didáctica. Como aspectos más significativos, nuestro análisis debe contemplar: 1. La localización del centro educativo: se trata de precisar las características geográficas de la localidad en la que se sitúa el centro educativo, precisando su número de habitantes, distancia a la capital, ámbito de influencia, análisis del entorno natural… 2. Las características socioeconómicas: en este apartado analizaremos el nivel socioeconómico de la población a la que nuestro centro presta sus servicios. 3. Las características del alumnado: reflejaremos en este apartado el número de alumnos y alumnas, así como el porcentaje de repetidores, emigrantes, con necesidades educativas especiales, de diversificación, sobredorados…, es decir, el perfil de nuestro alumnado en orden a establecer las pautas metodológicas, de apoyo…, más adecuadas. 4. Las características del centro educativo: este apartado debe de incluir, entre otras, las etapas educativas que imparte y el número de líneas autorizadas en cada una de ellas, la ratio media del alumnado en las distintas etapas educativas, los recursos humanos (profesores, personal de servicios…), recursos educativos (material informático, audiovisual, biblioteca…). Con el fin de precisar nuestra Programación Didáctica trataremos de situar nuestro análisis en un centro típico del ámbito semi-urbano, ya que éste suele ser el primer destino de cualquier profesor de enseñanza secundaria. De forma muy sucinta imaginaremos que se trata de un instituto situado en una localidad de menos de 10.000 habitantes, situada a unos 50 km de la capital. Se trata de un centro cuyo entorno viene condicionado por actividades económicas que conjugan un perfil socioeconómico que combina la atención a familias de la localidad con otras que tienen sus ocupaciones en el campo o en los pueblos y aldeas colindantes. El instituto tiene autorizadas 4 líneas de ESO, en las que se escolarizan la mayor parte del alumnado, dos Bachilleratos (el de Ciencias y Tecnología y el de Humanidades y Ciencias Sociales) y un Ciclo Formativo de Grado Medio. El alumnado del centro proviene de la localidad y de otras aldeas y pedanías limítrofes y, en los últimos años, se ha incrementado el número de inmigrantes que, en la actualidad, constituyen el 20% de la población escolar. El instituto es relativamente nuevo y está bien equipado. Los profesores son jóvenes y, en un 40%, ocupan la plaza en régimen de interinidad. MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Por último, los alumnos se pueden clasificar, de forma mayoritaria, en un nivel medio, con interés y motivación por los estudios, que se ven dificultados por los problemas de adaptación de los alumnos inmigrantes y la escasez de recursos educativos propios, sobre todo en aquellos alumnos que proceden del medio rural.

2. FUNDAMENTACIÓN Nuestra programación de las Matemáticas I de Bachillerato se basa en el borrador del Real Decreto por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas. Las Matemáticas de Bachillerato suponen la culminación de un largo proceso destinado a desarrollar en el alumno la capacidad de razonamiento y el sentido crítico necesario para interpretar la realidad desde posiciones exentas de dogmatismo y dotarle, al mismo tiempo, de las herramientas adecuadas para resolver los problemas cotidianos con los que se deberá enfrentar, una vez alcanzada la etapa de madurez. Por otra parte, como estas mismas Matemáticas deberán de preparar a nuestros alumnos para continuar sus estudios en los ciclos superiores de Formación Profesional o en la Universidad, sus contenidos deberán estar en consonancia con los de los estudios específicos de Grado Superior a los que se dirigen. El tratamiento dado a los contenidos mínimos de los distintos cursos y modalidades de las Matemáticas de Bachillerato responden a las exigencias básicas anteriormente comentadas pero, además, en su elaboración se ha tenido en cuenta el grado de preparación que se les supone a los alumnos que acceden al Bachillerato, en razón de los estudios previamente realizados, y la conveniencia de incorporar recursos tecnológicos adecuados (calculadoras y programas informáticos) en el desarrollo de numerosos procedimientos rutinarios o en la interpretación y análisis de situaciones diversas relacionadas con los números, las gráficas o la estadística Finalmente, en el caso particular de las Matemáticas I de Ciencias y Tecnología, también se deberá de tener en cuenta las necesidades concretas de otras materias de las modalidades científico-tecnológicas que, cursándose de forma paralela, precisan de contenidos matemáticos específicos para su desarrollo. Desde una óptica personal que es ampliamente compartida, y como en el caso de la ESO, apostamos por una enseñanza de las Matemáticas que siga un modelo cíclico, de manera que en cada curso coexistan distintos tipos de contenidos: los nuevos, de iniciación, y los de cursos anteriores, que servirán para repasar y/o afianzar conceptos ya estudiados por los alumnos. En relación con la metodología se incide en que ésta, en vez de seguir un modelo rígido, deberá de adaptarse a cada grupo de alumnos (en realidad a cada uno de ellos), rentabilizando al máximo los recursos disponibles. Como criterio general se apuesta por ir incrementando la componente deductiva, pero sin abandonar el método inductivo, que debe ser una tónica general en la enseñanza de las Matemáticas no universitarias. También se resalta la utilidad de los esquemas y la adquisición de estrategias personales a la hora de enfrentarse ante una situación problemática cercana al alumno o relacionada con otras áreas del currículo. La resolución de problemas, como práctica habitual de la enseñanza de las Matemáticas, tiene carácter transversal y será objeto de estudio relacionado e integrado en el resto de los contenidos. Su objetivo es el de contribuir a que el alumnado desarrolle una visión amplia y científica de la realidad, para estimular la creatividad y la valoración de las ideas ajenas, la habilidad para expresar las ideas propias con argumentos adecuados y el reconocimiento de los posibles errores cometidos. 188

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

Destacar, asimismo, la importancia que las nuevas tecnologías de la información han adquirido en los últimos años, resaltando que deben de estar presentes en el aula de Matemáticas pero siempre que se enfoquen hacia el aprendizaje significativo del alumnado. En este sentido, se apuesta por una utilización racional de instrumentos como la calculadora científica o gráfica o ciertos programas informáticos, de manera que además de servir como ayuda en tareas rutinarias, se utilicen para razonar sobre conceptos, relaciones, propiedades… descubriéndoles nuevas posibilidades en consonancia con un nuevo concepto de metodología participativa y significativa. Por último comentar que, en el preámbulo del currículo de Matemáticas I y II, del precitado Real Decreto de enseñanzas mínimas del MEC, se resalta que: …los contenidos de Matemáticas, como materia en el bachillerato de Ciencias y Tecnología, giran sobre dos ejes fundamentales: la geometría y el análisis que, a su vez, deben FRQWDUFRQHOQHFHVDULRDSR\RLQVWUXPHQWDOGHOD$ULWPpWLFDHOÈOJHEUD\ODVHVWUDWHJLDV propias de la resolución de problemas.

En esta línea se dice que: …en Matemáticas I, los contenidos relacionados con la resolución de ecuaciones e inecuaciones o el tratamiento algebraico de intervalos y entornos, tienen carácter transversal y deben ser objeto de estudio en los bloques anteriormente mencionados, profundizando en las propiedades generales de los números y su relación con las operaciones, más que en los resultados de cálculos particulares.

En interpretación de lo expuesto en el párrafo anterior, entendemos que el MEC no ha pretendido, al eliminar de la tabla de contenidos las referencias explícitas a los de Aritmética y Álgebra, que si figuraban en el currículo del Real Decreto anterior, el que dichos contenidos desaparezcan del currículo ya que, según entendemos, éstos deben impartirse “de forma transversal”, en los dos bloques fundamentales del currículo, es decir, en la Geometría y el Análisis. Sin oponernos a esta transversalidad, hemos creído necesario iniciar nuestra programación de aula con una unidad en la que se repasen, de forma explícita y autóctona, los contenidos sobre la recta real y el álgebra elemental que los alumnos deben manejar para abordar con cierta garantía de éxito los contenidos específicos de los restantes bloques del currículo.

3. OBJETIVOS GENERALES DEL BACHILLERATO El bachillerato contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las capacidades que les permitan: a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española así como por los derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y equitativa. b) Consolidar una madurez personal y social que les permita actuar de forma responsable y autónoma y desarrollar su espíritu crítico. Prever y resolver pacíficamente los conflictos personales, familiares y sociales. c) Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres, analizar y valorar críticamente las desigualdades existentes e impulsar la igualdad real y la no discriminación de las personas con discapacidad. d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de desarrollo personal. MATEMÁTICAS

189

La Programación Didáctica

e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y, en su caso, la lengua cooficial de su comunidad autónoma. f)

Expresarse con fluidez y corrección en una o más lenguas extranjeras.

g) Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la comunicación. h) Conocer y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo, sus antecedentes históricos y los principales factores de su evolución. Participar de forma solidaria en el desarrollo y mejora de su entorno social. i)

Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las habilidades básicas propias de la modalidad elegida.

j)

Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones de vida, así como afianzar la sensibilidad y el respeto hacia el medio ambiente.

k) Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa, trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico. l)

Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético, como fuentes de formación y enriquecimiento cultural.

m) Utilizar la educación física y el deporte para favorecer el desarrollo personal y social. n) Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial. Estos objetivos generales son aplicables a todas las asignaturas que componen el currículo del Bachillerato. Se precisa, por tanto, concretarlos en nuestra materia mediante unas adecuadas referencias, para lo cual adjuntamos a cada objetivo general del área las letras descriptivas de los objetivos generales de etapa con los que se conectan.

4. OBJETIVOS GENERALES DE LAS MATEMÁTICAS I 1. Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas que permitan avanzar en el estudio de las propias matemáticas y de otras ciencias, así como en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianas y diferentes ámbitos del saber (b, g, h, i, j, k, m, n). 2. Considerar las argumentaciones razonadas y la existencia de demostraciones rigurosas sobre las que se basa el avance de la ciencia y la tecnología, mostrando una actitud flexible, abierta y crítica ante otros juicios y razonamientos (a, b, c, e, i, k). 3. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y las destrezas propias de las matemáticas (planteamiento de problemas, planificación y ensayo, experimentación, aplicación de la inducción y deducción, formulación y aceptación o rechazo de las conjeturas, comprobación de los resultados obtenidos) para realizar investigaciones y en general explorar situaciones y fenómenos nuevos (d, e, g, i, j, k). 4. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, con abundantes conexiones internas e íntimamente relacionado con el de otras áreas del saber (h, i, j). 190

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Matemáticas I de Bachillerato

5. Emplear los recursos aportados por las tecnologías actuales para obtener y procesar información, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los cálculos y servir como herramienta en la resolución de problemas (g). 6. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia y precisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigor científico (b, e, i, j). 7. Mostrar actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación matemática, tales como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el interés por el trabajo cooperativo y los distintos tipos de razonamiento, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas (d, e, j, k). 8. Expresarse verbalmente y por escrito en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, comprendiendo y manejando términos, notaciones y representaciones matemáticas (d, e, f).

5. CONTENIDOS DE LAS MATEMÁTICAS I Bloque 1. Geometría –

Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo. Uso de fórmulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de triángulos y problemas geométricos diversos.

–

Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Módulo de un vector.

–

Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. Resolución de problemas.

–

Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas.

Bloque 2. Análisis –

Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

–

Dominio, recorrido y extremos de una función.

–

Operaciones y composición de funciones.

–

Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y continuidad

–

Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo.

Bloque 3. Estadística y Probabilidad –

Distribuciones bidimensionales. Relaciones entre dos variables estadísticas. Regresión lineal.

–

Estudio de la probabilidad compuesta, condicionada, total y a posteriori.

–

Distribuciones binomial y normal como herramienta para asignar probabilidades a sucesos.

MATEMÁTICAS

191

La Programación Didáctica

6. CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS I 1. Utilizar correctamente los números reales y sus operaciones para presentar e intercambiar información; estimar los efectos de las operaciones sobre los números reales y sus representaciones gráfica y algebraica y resolver problemas extraídos de la realidad social y de la naturaleza que impliquen la utilización de ecuaciones e inecuaciones, así como interpretar los resultados obtenidos. Se pretende comprobar con este criterio la adquisición de las destrezas necesarias para la utilización de los números reales, incluyendo la elección de la notación, las aproximaciones y las cotas de error acordes con la situación. Asimismo, se pretende evaluar la comprensión de las propiedades de los números, del efecto de las operaciones y del valor absoluto y su posible aplicación. También se debe valorar la capacidad para traducir algebraicamente una situación y llegar a su resolución, haciendo una interpretación de los resultados obtenidos. 2. Transferir una situación real a una esquematización geométrica y aplicar las diferentes técnicas de resolución de triángulos para enunciar conclusiones, valorándolas e interpretándolas en su contexto real, así como identificar las formas correspondientes a algunos lugares geométricos del plano, analizar sus propiedades métricas y construirlos a partir de ellas. Se pretende evaluar la capacidad para representar geométricamente una situación planteada, eligiendo y aplicando adecuadamente las definiciones y transformaciones geométricas que permitan interpretar las soluciones encontradas; en especial, la capacidad para incorporar al esquema geométrico las representaciones simbólicas o gráficas auxiliares como paso previo al cálculo. Asimismo, se pretende comprobar la adquisición de las capacidades necesarias en la utilización de técnicas propias de la geometría analítica para aplicarlas al estudio de las ecuaciones reducidas de las cónicas y de otros lugares geométricos sencillos. 3. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en dos dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones. La finalidad de este criterio es evaluar la capacidad para utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se pretende valorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos en el plano. 4. Identificar las funciones habituales dadas a través de enunciados, tablas o gráficas, y aplicar sus características al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos. Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de las funciones. Particularmente, se pretende comprobar la capacidad de traducir los resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y extraer conclusiones sobre su comportamiento local o global. 5. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas analítica y gráficamente. Se pretende comprobar con este criterio la capacidad de utilizar adecuadamente la terminología y los conceptos básicos del análisis para estudiar las características generales de las funciones y aplicarlas a la construcción de la gráfica de una función concreta. En especial, la capacidad para identificar regularidades, tendencias y tasas de variación, 192

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Matemáticas I de Bachillerato

locales y globales, en el comportamiento de la función, reconocer las características propias de la familia y las particulares de la función, y estimar los cambios gráficos que se producen al modificar una constante en la expresión algebraica. 6. Asignar probabilidades a sucesos correspondientes a fenómenos aleatorios simples y compuestos y utilizar técnicas estadísticas elementales para tomar decisiones ante situaciones que se ajusten a una distribución de probabilidad binomial o normal. En este criterio se pretende medir la capacidad para determinar la probabilidad de un suceso, utilizando diferentes técnicas, analizar una situación y decidir la opción más conveniente. También se pretende comprobar la capacidad para estimar y asociar los parámetros relacionados con la correlación y la regresión con las situaciones y relaciones que miden. 7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso. Se pretende evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse con situaciones nuevas procediendo a su observación, modelado, reflexión y argumentación adecuada, usando las destrezas matemáticas adquiridas. Tales situaciones no tienen por qué estar directamente relacionadas con contenidos concretos; de hecho, se pretende evaluar la capacidad para combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto en que se hayan adquirido.

7. METODOLOGÍA El binomio enseñanza-aprendizaje en toda la etapa de Bachillerato se asienta sobre una serie de características que deben ser tratadas de forma simultánea y desde múltiples aspectos. Entre ellas destacamos las siguientes: –

El alumno es protagonista de su propio aprendizaje, por lo que se constituye en el centro del mismo. No existe un único tipo de enseñanza-aprendizaje dirigido desde la lección magistral del profesor hacia el grupo de alumnos. Cada uno de ellos construirá su propio aprendizaje, a su ritmo, partiendo de sus capacidades individuales, que deben ser reforzadas con la ayuda del profesor y de todos y cada uno de los variados elementos que constituyen el proceso educacional. Se pretende, pues, la implantación de un aprendizaje significativo en el que lo importante es que cada alumno pueda construir significados y atribuir sentido a lo que aprende.

–

Otro objetivo importante es la formación en valores, productora de ciudadanos libres, responsables, críticos y abiertos a la participación, cooperación...

–

Se deberá atender, por último, el aspecto cognitivo, que deberá estar en consonancia con los objetivos básicos de la materia y que llevará aparejado el desarrollo de las capacidades que se consideren necesarias para continuar con aprovechamiento los estudios posteriores.

En lo que a nuestra materia, las Matemáticas, se refiere, no hay que olvidar que su valor educativo se concreta en tres aspectos que deberán de ser atendidos de manera equilibrada, y que son: –

Formativo de capacidades intelectuales y cognitivas.

–

Funcional, en cuanto la actividad matemática posibilita un mejor tratamiento de los problemas derivados del ámbito extraescolar.

–

Instrumental, por cuanto se proporciona una base científica unificadora de otras muchas actividades encasilladas en otras áreas del currículo educativo.

MATEMÁTICAS

193

La Programación Didáctica

Como consecuencia, nuestra metodología a la hora de enseñar Matemáticas deberá de partir de los hechos que habitualmente ocurren en el contexto social del individuo y se desarrollará, en una primera fase, de manera empírica e inductiva, a través de la experiencia personal de cada alumno y alumna. El aprendizaje matemático se asemejará, de esta manera, al desarrollo histórico del propio conocimiento matemático, siendo especialmente aconsejables todas aquellas actividades que requieran un esfuerzo investigador por parte del alumnado, como la resolución de problemas o los pequeños trabajos de investigación que requieren del trabajo en equipo. Conforme se vaya avanzando en el proceso educativo, y en función de la maduración matemática y científica de nuestro alumnado, se irán introduciendo actividades que potencien el razonamiento deductivo y de la abstracción y le acerquen a las prácticas propias del método científico.

8. TEMAS TRANSVERSALES Uno de los aportes más significativos de la LOGSE es la obligación de incorporar en todas las áreas del currículo diversos elementos educativos básicos agrupados en los siguientes temas transversales: –

Educación para la igualdad de oportunidades entre ambos sexos.

–

Educación del consumidor.

–

Educación sexual.

–

Educación para la paz.

–

Educación medioambiental.

–

Educación para la salud.

–

Educación vial.

–

Educación moral y cívica.

La educación del consumidor es un tema que puede trabajarse en casi todas las unidades del currículo, a través de actividades específicas relacionadas con compras, ventas, matemáticas financieras, gráficas de consumo, recibos, estadísticas… La educación medioambiental también resulta bastante apropiada para figurar en el contexto de muchas actividades que pueden estar relacionadas, por ejemplo, con el deterioro medioambiental producido por la mano del hombre (destrucción de bosques, contaminación atmosférica, deshechos radioactivos…), la escasez y distribución de alimentos o de agua… La educación para la salud también puede trabajarse a través de actividades específicas relacionadas con los hábitos alimenticios, los aspectos nocivos de las drogas, los efectos saludables del ejercicio físico… La educación vial se puede trabajar mediante actividades sobre escalas, planos, mapas, automóviles, semáforos, estudios estadísticos sobre número de accidentes que se deben a no llevar el casco puesto cuando se conduce una moto… Por último, en estadística se deberán incluir actividades que estén relacionadas con los derechos de la infancia, la igualdad del hombre y la mujer, la situación de la población del tercer mundo… Estas actividades y una especial atención a la educación en valores, incluida también en el currículo, deben ser las bases fundamentales con las que atenderemos a los demás temas transversales. 194

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Matemáticas I de Bachillerato

9. EVALUACIÓN Evaluar el proceso de enseñanza-aprendizaje en Matemáticas requiere de una profunda planificación, ya que no se trata solamente de medir los conocimientos adquiridos por nuestros alumnos sino, también, de disponer de las fuentes fiables y necesarias que nos permitan elaborar propuestas destinadas a favorecer el desarrollo intelectual de los mismos y corregir nuestra propia práctica docente. La evaluación es, por tanto, un proceso que debe incardinarse en el proyecto global del currículo de Matemáticas, enfocado a la construcción de aprendizajes significativos y al desarrollo de las actividades intelectuales de los alumnos. No procede, en consecuencia, definir la evaluación como el resultado de una medida objetiva basada en una serie de pruebas que, en cualquier caso, son una componente más del proceso evaluativo. La siguiente tabla comparativa nos muestra las diferencias entre los fines y objetivos de la evaluación tradicional y la que se propugna en este documento: EVALUACIÓN TRADICIONAL Solamente se evalúa a los alumnos. Se refleja en datos cuantitativos. Se basa en la respuestas de los alumnos.

EVALUACIÓN MODERNA Se evalúan los alumnos y la labor del profesor, su metodología y las actividades que ha desarrollado en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se refleja en datos cuantitativos y cualitativos. Además de las respuestas de los alumnos tiene en cuenta, también, los procesos y los procedimientos que han utilizado para inferirlas.

La calificación mide lo que el alumno sabe La calificación distingue entre lo que el alumno expresar o reproducir de forma oral o essabe realmente y la forma en que lo expresa. crita. Se evalúan los conocimientos, las habilidades inSe evalúa solamente los contenidos especítelectuales y las destrezas adquiridas por los alumficos que se han impartido a los alumnos. nos durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. Un aspecto importante de la evaluación, que todo profesor de Matemáticas debe de tener en cuenta, es la detección de errores significativos en sus alumnos. Esta detección de errores requiere una profunda reflexión sobre los mecanismos procedimentales que los alumnos aplican al resolver una determinada actividad, lo que requiere de una continua interrelación entre el profesor y los alumnos. Desde esta óptica, el nuevo concepto de evaluación se configura como un proceso sistemático y continuo, basado en la observación y en el diálogo, que nos da información significativa sobre las componentes fundamentales del proceso global de enseñanza-aprendizaje y, en particular, sobre nuestra tarea de docentes de manera que, en un momento determinado, podamos reconducirla. Las decisiones de evaluación deben de responder a las clásicas preguntas de: –

¿Qué evaluar?

–

¿Cómo evaluar?

–

¿Cuándo evaluar?

–

¿Para qué evaluar?

La respuesta a la cuarta pregunta ya ha sido suficientemente contestada en la explicación que antecede a este párrafo, por tanto, intentaremos responder de forma adecuada a las otras tres. MATEMÁTICAS

195

La Programación Didáctica

9.1. ¿Qué evaluar? En respuesta a esta primera pregunta destacaremos que, sobre todo, convendrá establecer unos criterios claros y precisos que nos permitan obtener información objetiva sobre: 1. El aprendizaje de los alumnos, incluidos: –

Los conceptos asimilados.

–

Los procedimientos que son capaces de ejecutar.

–

Las destrezas adquiridas.

–

La capacidad de resolver problemas.

–

La capacidad para comunicarse.

–

La capacidad para razonar.

–

Las habilidades intelectuales.

–

Las actitudes.

2. La metodología aplicada por el profesor. 3. La adecuación de los recursos utilizados y de las actividades desarrolladas en clase y fuera de clase. 4. La fiabilidad de los instrumentos de medida que utilizamos para evaluar. Si nos centramos en el aprendizaje de los alumnos, conviene matizar que:

196

–

La asimilación de los conceptos, por parte del alumno, debe de ser evaluada en relación con la forma en que éste es capaz de reconocer y de comprender los conceptos estudiados y, en un estadio más avanzado, las estructuras y esquemas conceptuales que los engloban y relacionan. Esta comprensión sobrepasa la mera memorización de hechos, definiciones o proposiciones matemáticas e involucra otras capacidades no estrictamente memorísticas, como son la de poder dar distintas interpretaciones de un mismo concepto, comparar conceptos diferentes o equivalentes o conectarlos empleando esquemas y diagramas adecuados.

–

La evaluación de los procedimientos requiere analizar los distintos pasos en los que se puede descomponer el procedimiento o los procedimientos que los alumnos ponen en práctica para ejecutar una operación, dibujar una gráfica, resolver una ecuación o realizar una construcción geométrica, por poner unos pocos ejemplos.

–

La evaluación de las destrezas implica una observación sobre la confianza y la habilidad con que el alumno es capaz de efectuar todo tipo de cálculos numéricos directos (mentales, manuales o con la calculadora), utilizar los recursos habituales que se utilizan en clase de Matemáticas (útiles de dibujo, calculadora, ordenador…).

–

Para evaluar la capacidad de un alumno a la hora de comunicarse en términos matemáticos deberemos prestar atención a la claridad y la precisión del lenguaje que utiliza. En este sentido se hará un seguimiento de la forma en que expresa un concepto o cómo describe un procedimiento determinado. De igual manera observaremos la forma en que utiliza el lenguaje matemático a la hora de argumentar o defender determinadas posturas, en situaciones de diálogo o de discusión.

–

Los métodos que nos permiten evaluar la capacidad de un alumno a la hora de resolver un problema son muy variados. Entre ellos destacaremos la observación sistemática del alumno cuando se enfrenta con un problema, ya sea en solitario o en grupo, la atención a las explicaciones que el alumno da en relación con sus propios procesos mentales o sobre las estrategias que va a utilizar en la resolución del problema… CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

–

La capacidad para razonar se evalúa a través de la capacidad de los alumnos para conjeturar, inferir, analizar, generalizar, elaborar argumentos, formular hipótesis… El razonamiento tiene distintas componentes que se relacionan con las distintas áreas del currículo, así, habrá alumnos que muestren una especial capacidad de razonamiento inductivo, deductivo o lógico que, a su vez, estará relacionado con los contenidos de aritmética, álgebra, geometría…

–

En relación con las habilidades adquiridas por nuestros alumnos prestaremos atención a la forma en que utilizan sus capacidades para calcular, inferir, comunicar, imaginar, estimar, medir, analizar, organizar, crear o generalizar.

–

Para calibrar las actitudes de un alumno, en relación con el aprendizaje de Matemáticas, deberemos prestar una especial atención a la confianza que manifiesta en sus intervenciones durante el desarrollo de las clases, su grado de participación en los debates, su curiosidad, su perseverancia, su capacidad de esfuerzo, el interés que pone en realizar las tareas que se les encomienda, si es ordenado y lleva el cuaderno al día o si entrega puntualmente las tareas recomendadas.

9.2. ¿Cómo evaluar? En relación con el cómo evaluar, el aprendizaje de los alumnos existen muchas técnicas que nos permiten obtener información relevante y significativa sobre el progreso realizado por nuestros alumnos, en relación con las características anteriormente reseñadas. Entre ellas, y sin ánimo de ser exhaustivos, destacaremos las siguientes: –

Los cuestionarios.

–

Las entrevistas.

–

La autoevaluación.

–

La coevaluación.

–

El análisis y corrección de actividades en clase.

–

Pruebas escritas de distintos modelos: de opción múltiplo, abiertas…

–

Ejecución de tareas extraescolares.

–

Control del cuaderno de clase.

–

Control de faltas.

–

Control de conducta.

9.3. ¿Cuándo evaluar? Sobre el cuándo evaluar existen tres momentos que se corresponden con: –

La evaluación de diagnóstico: se realiza al principio del proceso de enseñanza-aprendizaje e informa sobre el nivel de las capacidades iniciales de los alumnos, permitiendo realizar las modificaciones pertinentes a la Programación Didáctica, para que esté en consonancia con las necesidades generales del grupo de alumnos. Cuando, a través de la evaluación de diagnóstico, se detecte algún problema de mayor alcance, será necesario efectuar otras comprobaciones (cuestionarios, entrevistas con el alumno afectado y con sus padres, intervención del Departamento de Orientación…) para analizar en mayor profundidad la necesidades educativas que conllevan el problema o los problemas detectados y programar soluciones, que se pueden traducir en las correspondientes adaptaciones curriculares.

MATEMÁTICAS

197

La Programación Didáctica

–

La evaluación formativa: se realiza a lo largo de todo el proceso de enseñanza-aprendizaje y facilita una información puntual y periódica sobre el progreso de los alumnos. Este tipo de evaluación requiere de una cuidadosa observación del trabajo diario de los alumnos, reflejado en el cuaderno de clase, sus intervenciones para hacer propuestas, aclarar dudas, resolver actividades en la pizarra o en el pupitre solos o en grupos… Esta evaluación, además de informarnos sobre los avances de los alumnos, nos ofrece una información adicional sobre la eficacia de nuestra metodología, de los contenidos programados o de las actividades propuestas para realizar las oportunas modificaciones que, posteriormente, serán incorporadas a la programación de aula.

–

La evaluación final: se trata de una evolución sumativa en la que se tienen en cuenta numerosos factores, que se efectúa al final de cada proceso y que informa sobre la consecución de los objetivos propuestos. Este tipo de evaluación, que se realiza al final del periodo lectivo, también conviene efectuarla al final de cada bloque de contenidos para extraer conclusiones relevantes sobre la oportunidad de seguir con los demás contenidos programados, modificarlos o repasar los del periodo evaluado, ya que, dada la estructura cíclica de las Matemáticas, no es conveniente que los alumnos pasen de un contenido a otro sin haber afianzado, suficientemente, el primero de ellos.

10. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Los criterios de calificación describen la forma en la que los profesores elaboramos las notas o calificaciones de nuestros alumnos. En este apartado, obligatorio en cualquier Programación Didáctica, no hay un acuerdo ni una pauta clara sobre qué elementos del currículo tienen mayor peso específico a la hora de aplicar una nota final. Nuestra propuesta es la de que, a la hora de calificar, se deberán tener en cuenta todas las observaciones que conduzcan a medidas objetivas y subjetivas sobre el rendimiento y el grado de progresión de los alumnos. Los criterios de calificación deben de ser conocidos por los alumnos con la suficiente antelación, es decir, al principio de curso, y especificarán aspectos tales como: –

La actitud de los alumnos, que engloba su comportamiento, interés, motivación… y a la que algunos profesores aplican, en Bachillerato, el 10% de la nota final.

–

El trabajo individual y colectivo de los alumnos, que se refiere a las tareas que ha cumplimentado, la limpieza con que las ha ejecutado, las actividades en las que ha participado, el cuaderno de clase… Este apartado, en Bachillerato, supone aproximadamente el 20% de la nota final.

–

El rendimiento escolar, observado a través de preguntas de clase, autoevaluaciones y evaluaciones objetivas del profesor. Este apartado, en Bachillerato, suele ser el más valorado ya que supone, aproximadamente, el 70% de la nota final.

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Freudenthal, H. Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. D. Reidel. Dordrecht, 1983.

–

Freudenthal, H. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel. Dordrecht, 1973.

–

Freudenthal, H. Weeding and Sowing. D. Reidel. Dordrecht, 1978.

MATEMÁTICAS

201

La Programación Didáctica

–

Groupe Inter-IREM. /HULJXHXUHWOHFDOFXO'RFXPHQWVKLVWRULTXHVHWpSLVWpPRORJLTXHV. CEDIC. Paris, 1982.

–

Hanson, N.R. Constelaciones y conjeturas. Alianza. Madrid, 1980.

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Hanson, N.R. Patrones de descubrimiento. Observaciones y explicación. Alianza. Madrid, 1977.

–

Lakatos, I. Matemáticas, ciencia y epistemología, vol. 2. Alianza Ed. Madrid, 1981.

–

Lakatos, I. Pruebas y refutaciones. Alianza. Madrid, 1978.

–

Lorenzo, J. de. (OPpWRGRD[LRPiWLFR\VXVFUHHQFLDV. Tecnos. Madrid, 1980.

–

Lovell, K. Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Morata. Madrid, 1977.

–

Morris, R. (ed.) Estudios en educación matemática, 2 vol. UNESCO. París, 1981.

–

Piaget, J. y Szeminska, A. *pQHVLVGHOQ~PHURHQHOQLxR. Guadalupe. Buenos Aires, 1975.

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Piaget, J. e Indelher, B. *pQHVLVGHODVHVWUXFWXUDVOyJLFDVHOHPHQWDOHV. Guadalupe. Buenos Aires, 1967.

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Piaget, J. El lenguaje y el pensamiento en el niño. Estudios sobre la lógica en el niño. Guadalupe. Buenos Aires, 1973.

–

Piaget, J. ,QWURGXFFLyQDODHSLVWHPRORJtDJHQpWLFD. Estudios sobre la lógica en el niño. Guadalupe. Buenos aires, 1975.

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Puig Adam, P. Didáctica de la matemática heurística. Institución de Enseñanza Laboral. Madrid, 1956.

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Santaló, L.A. Enseñanza de las matemáticas en la escuela media. Docencia. Buenos Aires, 1981.

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Skemp, R. Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Morata. Madrid, 1980.

–

SMP. SMP. 11-16. Cambridge University Press. London, 1983.

–

Wood, L. E. Estrategias de pensamiento. Ejercicios de agilidad mental. Labor. Barcelona, 1987.

12. DIRECCIONES DE INTERNET Portales matemáticos en español –

http://www.google.com/Top/World/Espa%C3%B1ol/Ciencia_y_tecnolog%C3%ADa/ Matem%C3%A1ticas/ Directorio del conocido buscador Google, desde el que se puede acceder a cientos de direcciones, en español, relacionadas con el mundo de las Matemáticas, en todos sus niveles.

–

http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html Página de Redemat, altamente recomendada por la cantidad y calidad de los recursos que ofrece a los profesores de Matemáticas.

202

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

–

http://galeon.com/pezgris/secciones/matemat.htm Directorio con muchos recursos matemáticos que se pueden descargar.

–

http://nti.educa.rcanaria.es/ntint/matematicas/ Página con una interesante y variada colección de accesos a otras páginas de Matemáticas, en español y en inglés.

–

http://www.satd.uma.es/matap/svera/links/ Página personal de Salvador Vera, con una colección interesante de recursos y enlaces matemáticos en español.

–

http://www.matematicas.net/ El Paraíso de las Matemáticas ofrece apuntes, ejercicios, exámenes, juegos, enlaces, diccionario de términos y de etimología, historia y otros recursos útiles para el alumno de enseñanza media.

–

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/ Interesante página personal del profesor de matemáticas Antonio Pérez.

–

http://www.rinconmatematico.com/ Interesante revista electrónica de matemáticas básicas. Muy recomendable.

–

http://www.xtec.es/~jcorder1/ Interesante página con enlaces y recursos para la enseñanza de las Matemáticas de Primaria y Secundaria.

Portales matemáticos en inglés –

http://www.ams.org/ Página oficial de la sociedad americana de matemáticas (American Mathematical Society). En inglés pero de visita obligada.

–

http://www.internet4classrooms.com/index.htm Esta dirección, aunque en inglés, está recomendada para los profesores que impartan matemáticas a nivel de Primaria y Secundaria.

–

http://falcon.jmu.edu/~ramseyil/math.htm Página en inglés que contiene multitud de enlaces matemáticos a asociaciones, revistas, instituciones públicas y privadas, grupos de discusión, historia de las Matemáticas, didáctica, bibliografía, software… Una página muy completa de obligada visita para cualquier profesor de Matemáticas.

–

http://www.ex.ac.uk/cimt/welcome.html Página oficial de Centre for Innovation in Mathematics Teaching, dedicada, como su nombre indica, a la formación del profesorado de Matemáticas.

–

http://directory.google.com/Top/Science/Math/ Directorio del conocido buscador Google, desde el que se puede acceder a miles de direcciones, en inglés, relacionadas con el mundo de las Matemáticas, en todos sus niveles.

MATEMÁTICAS

203

La Programación Didáctica

PROGRAMACIÓN DE AULA. MATEMÁTICAS I. MODALIDADES: CIENCIAS DE LA SALUD Y TECNOLOGÍA Las Matemáticas I de Bachillerato se desglosan en 14 unidades a las que hemos asignado un cómputo temporal de 35 semanas que, a razón de cuatro periodos lectivos semanales, arroja un total de 140 periodos. Al repartir este tiempo entre las distintas unidades hemos procurado minorarlo para prever otro tipo de circunstancias, como fiestas locales, ausencias del profesor… La secuencia de estas unidades se rige por el criterio lógico de impartir primero aquellos contenidos que nos pueden servir de apoyo para otros posteriores, respetando, en todo caso, la secuencia natural impuesta por los tres bloques de contenidos determinados por el MEC. Al diseñar las distintas unidades hemos tenido en cuenta, no solo los contenidos mínimos elaborados por el MEC, sino aquellas posibles aportaciones que, para completarlos, puedan añadir las distintas administraciones educativas y que, como se ha expuesto en otra parte de esta obra, pueden suponer el 45% o el 35% del currículo, dependiendo de que la comunidad tenga, o no, lengua cooficial propia. El resultado pretende ser una programación amplia y compacta, susceptible de ser adaptada, con un mínimo de retoques, al currículo particular de cada comunidad autónoma y a las preferencias particulares de cada opositor/a. En este sentido, podemos catalogar como unidades básicas del currículo del MEC las número 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 13 y 14; las restantes unidades se han añadido en previsión de lo que aporten las distintas administraciones educativas y son susceptibles de mayor una modificación. Recordar, por último, que todas estas previsiones deben ser consensuadas y asumidas por todos los miembros del departamento, y consultadas con los miembros de los demás departamentos del ámbito científico tecnológico, cuyas materias guardan una estrecha relación de interdependencia con las Matemáticas.

Unidad Didáctica 1. Números reales OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Emplear los números reales de forma sig- Al término de la unidad, los alumnos deberán nificativa para estimar, aproximar, acotar, ser capaces de: cuantificar e interpretar situaciones rela- – Calcular y simplificar expresiones combicionadas con la vida real. nadas de fracciones. – Conocer y manejar con soltura las relacio- – Aproximar expresiones decimales acotannes de orden, igualdad y equivalencia entre do el error cometido, en un contexto de renúmeros reales. solución de problemas numéricos. – Manejar con soltura la calculadora y otros – Determinar qué tipo de cálculo (manual, recursos tecnológicos en los cálculos mental, con calculadora) es más adecuado aproximados con expresiones decimales, ante una situación concreta. racionales e irracionales, que involucren las operaciones elementales, tomando concien- – Operar con números reales, dados en forma decimal, de forma manual y con calcia de los errores cometidos y realizando culadora, en un contexto de resolución de una adecuada valoración de los mismos. problemas numéricos. .../...

204

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Conocer, interpretar y utilizar las propiedades métricas de la recta real, en un contexto de resolución de problemas. – Conocer, relacionar y diferenciar potencias, raíces, y radicales de números reales, así como sus propiedades básicas. – Conocer y aplicar las reglas que permiten las representaciones y operaciones en notación científica y valorar las ventajas de esta notación, en orden a comparar y valorar el tamaño de los números, en un contexto de resolución de problemas. – Saber operar con fracciones, expresiones decimales, potencias y raíces de números reales, en un contexto de resolución de problemas numéricos, eligiendo, de forma racional, el tipo de cálculo adecuado a cada situación (mental, manual, con calculadora). – Elaborar estrategias diferentes para la codificación de la información y en el planteamiento y resolución de problemas numéricos.

– Valorar la adecuación de un resultado numérico al contexto de la situación problemática de la que se obtiene. – Conocer y relacionar las distintas formas de expresar un intervalo de la recta real. – Determinar, de forma gráfica y simbólica, el resultado de la unión o la intersección de dos intervalos de la recta real. – Conocer, manejar y relacionar los conceptos de distancia y valor absoluto. – Utilizar con soltura las propiedades de las potencias en el cálculo de potencias de base real y exponente entero o fraccionario. – Convertir y operar con números reales en notación científica, de forma manual y con la calculadora científica. – Conocer, relacionar y diferenciar los conceptos de raíz, radical y potencia de exponente fraccionario. – Operar con radicales en forma simbólica en los cálculos que impliquen la extracción o introducción de factores bajo el símbolo radical, la obtención de radicales semejantes, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación. – Simplificar expresiones combinadas sencillas de sumas y restas de radicales. – Racionalizar fracciones sencillas con radicales en el denominador.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Números reales. Clasifica- – Operaciones con fracciones. – Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del ción. – Relación entre los distinlenguaje numérico. – Aproximación decimal de tos tipos de números. un número real. – Redondeo y truncamiento – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, – Errores absoluto, relatide una expresión decimal. claridad, precisión, limvo y porcentual de una – Acotación de errores absopieza) en la realización de aproximación decimal. luto, relativo y porcentual. actividades numéricas. – La recta real. – Empleo de la calculado- – Confianza en las propias – Intervalos. Tipos de interra científica en el cálculo capacidades al afrontar valos. con expresiones decimales actividades de cálculo con aproximadas. números reales. .../...

MATEMÁTICAS

205

La Programación Didáctica .../...

– Unión e intersección de intervalos.

– Representación gráfica de – Reconocimiento y valoración crítica del manejo de la un número real. calculadora en la resolución – Ordenación de los núme- – Determinación, interprede actividades numéricas. ros reales. tación y clasificación de intervalos de la recta real. – Perseverancia y flexibi– Valor absoluto. Propiedades. lidad en la búsqueda de – Operaciones con intervasoluciones y estrategias en – Distancia entre dos puntos los de la recta real. un contexto de resolución de la recta real. de problemas por métodos – Obtención de la distancia – Potencias de exponente numéricos. entre dos números de la entero. recta real. – Adquisición de hábitos de – Notación científica. trabajo adecuados (orden, – Cálculo procesual con poclaridad, precisión, limtencias de base real y expo– Raíces y radicales. pieza) en la realización de nente entero o fraccionario. – Multiplicación, división, actividades numéricas. potenciación y radicación – Conversión de un número real a notación científica y de radicales. viceversa. – Radicales equivalentes – Aplicación de las reglas – Suma y resta de radicales. que permiten operar en notación científica. – Racionalización de fracciones con radicales. – Multiplicación, división y potenciación de radicales en forma simbólica. – Introducción y extracción de factores en un radical. – Conversión de radicales equivalentes. – Simplificación de expresiones combinadas de sumas y restas de radicales. – Racionalización de fracciones con radicales. – Utilización de la calculadora científica en operaciones con números reales.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. La recta real .................................................................................... 2 sesiones

206

–

Números racionales e irracionales.

–

Aproximaciones decimales. Errores.

–

El conjunto R de los números reales. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

–

Representación gráfica de R. La recta real.

–

Intervalos. Tipos de intervalos. Operaciones.

–

Ordenación de los números reales.

–

Valor absoluto de un número real.

–

Distancia entre dos puntos de la recta real. Propiedades.

2. Operaciones con números reales ................................................... 3 sesiones –

Potencias de exponente entero.

–

Notación científica. Operaciones.

–

Raíces de índice n. Propiedades.

–

Radicales. Radicales equivalentes.

–

Operaciones con radicales: *

Multiplicación y división de radicales.

*

Introducción y extracción de factores en un radical.

*

Potencias y raíces de un radical.

*

Suma y resta de radicales.

*

Racionalización de fracciones con radicales.

–

Racionalización de fracciones con radicales.

–

Potencias de exponente fraccionario. Operaciones.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En la primera parte de la unidad, y tras las actividades de exploración inicial que pueden ocupar la mitad de una sesión, el profesor establecerá un turno de preguntas y respuestas con los alumnos para repasar, de una forma interactiva, los conceptos y procedimientos relacionados con los números reales que fueron estudiados en el curso anterior. Por su especial relevancia, se prestará una especial atención a la representación gráfica de R y a las propiedades métricas de la recta real. Al principio de la segunda parte de la unidad se propondrán actividades de repaso para que el alumno refuerce su práctica en el cálculo estimativo, mental o manual de las operaciones con números decimales, aproximaciones, estimaciones y determinación de errores, así como en el manejo de números expresados en notación científica. Las operaciones con radicales se basarán en ejemplos sencillos buscando, sobre todo, la asimilación de los conceptos y procedimientos. La calculadora se utilizará para resolver expresiones combinadas de números decimales y en las conversiones y operaciones con números expresados en notación científica, y para razonar sobre los conceptos y procedimientos desarrollados en la unidad. MATEMÁTICAS

207

La Programación Didáctica

Unidad Didáctica 2. Ecuaciones e inecuaciones OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y utilizar de forma correcta las Al término de la unidad, los alumnos deberán propiedades y los procedimientos habituales ser capaces de: en las operaciones con polinomios y – Operar con polinomios. fracciones algebraicas. – Conocer y manejar la regla de Ruffini y el – Conocer la Regla de Ruffini, el teorema teorema del resto. del resto y sus aplicaciones inmediatas, y aplicarlas en actividades relacionadas con la – Calcular las raíces enteras de un polinomio descomposición factorial de los polinomios. y su descomposición factorial. – Reconocer situaciones en las que se precisa – Calcular el MCD y del mcm de dos la utilización de ecuaciones o inecuaciones polinomios fáciles de factorizar. polinómicas, así como de sistemas de ecuaciones o inecuaciones lineales con dos – Simplificar expresiones combinadas con dos o tres fracciones algebraicas sencillas. incógnitas, en un contexto de resolución de problemas. – Resolver ecuaciones de primer grado y de segundo grado con una incógnita. – Resolver ecuaciones e inecuaciones polinó micas de primer o de segundo grado, siendo – Resolver ecuaciones bicuadradas, racionales conscientes de la necesidad de comprobar la o con radicales sencillas que sean fácilmente solución obtenida para verificar la fiabilidad del reducibles a ecuaciones de primer o de proceso seguido en la resolución. segundo grado e interpretar la validez de sus soluciones. – Conocer y aplicar la relación existente entre los coeficientes de una ecuación – Interpretar la resolubilidad de una ecuación cuadrática y sus soluciones, en un contexto cuadrática a partir del análisis de su de resolución de problemas. discriminante. – Interpretar, representar y resolver de forma – Relacionar los coeficientes de una ecuación gráfica y algebraica, sistemas de ecuaciones cuadrática y la suma y el producto de sus lineales con dos incógnitas, eligiendo el soluciones, en un contexto de resolución método de resolución más adecuado a la de problemas. situación planteada. – Resolver gráfica y algebraicamente sistemas – Conocer el método de Gauss y aprender a lineales de dos ecuaciones con dos utilizarlo en la resolución de sistemas de incógnitas por el método que sea más ecuaciones lineales sencillos. adecuado. – Interpretar y resolver, de manera gráfica, – Aplicar el método de Gauss para resolver inecuaciones lineales y sistemas de sistemas sencillos de ecuaciones lineales inecuaciones con dos incógnitas. con dos o más incógnitas. – Resolver problemas por métodos algebraicos, – Analizar la compatibilidad de un sistema identificando datos conocidos, desconocide dos ecuaciones lineales con dos incógdos (incógnitas) e irrelevantes; planteando la nitas, a partir de su representación gráfica ecuación o el sistema de ecuaciones adecuay del estudio de la proporcionalidad de los do y siendo conscientes de la racionalidad del coeficientes de sus incógnitas y de sus térproceso seguido en la resolución y de la neceminos independientes. sidad de comprobar los resultados finales. .../...

208

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Perseverar en la búsqueda de estrategias per- – Resolver problemas sencillos basados en sonales para resolver problemas susceptibles la resolución de ecuaciones de primer o sede ser resueltos por métodos algebraicos. gundo grado y en sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. – Resolver inecuaciones y sistemas de dos inecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes enteros o racionales e interpretar gráficamente sus soluciones. – Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita, sencillas de factorizar, e interpretar gráficamente sus soluciones. – Resolver inecuaciones lineales sencillas con dos incógnitas e interpretar de manera gráfica sus soluciones. – Resolver sistemas de dos inecuaciones lineales sencillas con dos incógnitas e interpretar de manera gráfica sus soluciones. – Utilizar las inecuaciones polinómicas de primer y segundo grado con una incógnita o los sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas para plantear y resolver sencillos problemas relacionados con el entrono de los alumnos.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Cálculo y simplificación – Valoración de la precisión, de operaciones combinasimplicidad y utilidad del Adición, multiplicación y das con polinomios. lenguaje algebraico para división de polinomios. representar o interpretar – Esquematización procesual Identidades notables. situaciones y problemas de la división entre polinode la vida cotidiana y del Algoritmo de la división. mios. ámbito científico. Regla de Ruffini. – Determinación y cálculo de las raíces enteras de un – Sensibilidad, curiosidad e Teorema del resto. interés ante informaciones polinomio. Divisores y múltiplos de y mensajes de naturaleza – Factorización de un poliun polinomio. algebraica. nomio. MCD y mcm de dos o más – Adquisición de hábitos de – Obtención del MCD y del polinomios. trabajo adecuados (orden, mcm de dos o más polinoclaridad, precisión, limFracciones algebraicas. mios. pieza) en la realización de Fracciones algebraicas actividades algebraicas. – Simplificación y amplifiequivalentes. cación de fracciones algebraicas.

– El conjunto R[x]. – – – – – – – – –

.../...

MATEMÁTICAS

209

La Programación Didáctica .../...

– Adicción, multiplicación, – Operaciones combinadas – Confianza y autoestima sobre las propias capacide fracciones algebraicas. potenciación y división de dades a la hora de afrontar fracciones algebraicas. – Resolución de ecuaciones problemas y realizar cálde primer grado. – Ecuaciones. Tipos. culos algebraicos. – Obtención y aplicación de – Fórmula de la ecuación la fórmula de la ecuación cuadrática. cuadrática. – Suma y producto de las soluciones de una ecua- – Discusión de una ecuación cuadrática. ción cuadrática. – Factorización de una ecua- – Resolución de ecuaciones bicuadradas. ción cuadrática. – Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos.

– Resolución de ecuaciones con radicales.

– Resolución general de ecuacionespolinómicassencillas – Ecuaciones con fracciones de grado mayor que dos. algebraicas. – Ecuaciones bicuadradas.

– Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos Sistemas de ecuaciones liincógnitas por sustitución. neales con dos incógnitas. – Aplicación del método de Sistemas de ecuaciones Gauss en la resolución de sisequivalentes. temas de ecuaciones lineales. Compatibilidad de un sis- – Interpretación gráfica de un tema de dos ecuaciones lisistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. neales con dos incógnitas. Sistemas de ecuaciones no – Estudio de la compatibililineales. dad de un sistema de ecuaciones lineales con dos Inecuaciones. Tipos. incógnitas. Inecuaciones lineales con – Resolución de sistemas de una incógnita. Conjunto ecuaciones no lineales. solución. Sistemas de inecuaciones – Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita. lineales con una incógnita.

– Ecuaciones con radicales. – – –

– – –

–

– Inecuaciones con produc- – Resolución de un sistema de dos inecuaciones lineatos o cocientes. les con una incógnita. – Inecuaciones cuadráticas – Transformación de una inecon una incógnita. cuación producto o cocien– Inecuaciones lineales con te en un sistema de dos inedos incógnitas. cuaciones lineales con una incógnita. – Sistemas de dos inecuaciones lineales. – Resolución de inecuaciones cuadráticas con una – Sistemas de tres inecuacioincógnita. nes lineales. .../...

210

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Resolución de inecuaciones lineales con dos incógnita. – Resolución de sistemas con dos o tres inecuaciones lineales con una incógnita. – Interpretación gráfica del conjunto solución de una inecuación o de un sistema de inecuaciones. – Elaboración de una inecuación o de un sistema de inecuaciones a partir del enunciado concreto de un problema.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Polinomios ....................................................................................... 2 sesiones –

El conjunto R[x].

–

Operaciones con polinomios.

–

Identidades notables.

–

El teorema del resto. Aplicaciones.

–

Descomposición factorial de un polinomio.

–

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

2. Fracciones algebraicas ................................................................... 2 sesiones –

Concepto de fracción algebraica.

–

Fracciones algebraicas equivalentes.

–

Operaciones con fracciones algebraicas.

3. Ecuaciones y sistemas..................................................................... 3 sesiones –

Concepto de ecuación.

–

Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado.

–

Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos. Ecuaciones bicuadradas.

–

Ecuaciones con fracciones algebraicas.

–

Ecuaciones con radicales.

–

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Estudio de la compatibilidad y resolución gráfica y algebraica.

–

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

–

Sistemas de ecuaciones no lineales.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

4. Inecuaciones y sistemas .................................................................. 3 sesiones –

–

Inecuaciones con una incógnita: *

Inecuaciones de primer grado.

*

Sistemas de inecuaciones lineales.

*

Inecuaciones cuadráticas.

Inecuaciones con dos incógnitas: *

Inecuaciones lineales.

*

Sistemas de inecuaciones lineales.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad se hace un repaso general de los contenidos algebraicos (polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones) que se estudiaron en el curso anterior. Dada la amplitud de contenidos de esta unidad, este repaso deberá ser bastante ágil, dedicando un especial interés a las actividades relacionadas con el teorema del resto y sus aplicaciones, orientadas a la descomposición factorial de un polinomio, que permitirán a los alumnos avanzar con mayor rapidez y seguridad en el manejo de fracciones algebraicas, en la resolución de ecuaciones e inecuaciones polinómicas y en el posterior estudio de las funciones polinómicas y racionales. Se otorgará una mayor importancia, de cara a su generalización en el curso siguiente, al estudio de los sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales. En este sentido se procurará que los alumnos se familiaricen con el método de Gauss, que aplicarán sin formalizar a ejemplos sencillos de sistemas lineales con más de dos ecuaciones o más de dos incógnitas.

Unidad Didáctica 3. Trigonometría plana OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y manejar el concepto de ángulo Al término de la unidad, los alumnos deberán cualesquiera, en sus distintas unidades de ser capaces de: medida, así como las fórmulas usuales de – Operar con ángulos expresados en forma la trigonometría plana elemental. sexagesimal, centesimal o en radianes, de – Razonar sobre figuras y formas geoméforma manual o con la calculadora científica. tricas que no vengan asociadas a soportes – Conocer las razones trigonométricas de los manipulables. ángulos notables y los procedimientos se– Utilizar la calculadora científica y otros guidos en la obtención de las mismas. recursos informáticos de manera racional – Conocer las fórmulas del seno, coseno y para la obtención de datos, cálculos y resultangente de la suma y la diferencia de dos tados, angulares y lineales, en problemas ángulos y aplicarlas en la resolución de prorelacionados con la trigonometría plana. blemas sencillos de cálculo trigonométrico. .../...

212

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Conocer y utilizar sencillos aparatos de – Conocer las fórmulas fundamentales de la medida angular y lineal, como cintas métrigonometría que ligan el seno, el coseno tricas, teodolitos, transportadores anguy la tangente de un ángulo y utilizarlas con lares, reglas… que posibiliten los cálcusoltura en la resolución de sencillos prolos trigonométricos en medidas directas blemas que requieran de la transformación efectuadas, bien sobre el terreno o sobre de una expresión trigonométrica. un croquis o representación gráfica de la – Conocer las fórmulas del seno, coseno situación trigonométrica que se pretende y tangente del ángulo doble y del ángulo resolver. mitad y aplicarlas para resolver problemas – Decidir sobre el tipo de medida, directa o sencillos de cálculo trigonométrico. indirecta, y cálculos, exactos o aproxima- – Conocer las relaciones entre las sumas (o dos, que sean más convenientes en función las diferencias) y los productos de las radel fenómeno o de la actividad a los que se zones trigonométricas y aplicarlas en la reapliquen, en un contexto de resolución de solución de problemas sencillos de cálculo problemas de trigonometría plana. trigonométrico. – Valorar y analizar las estrategias emplea- – Utilizar las razones trigonométricas para caldas ante una situación concreta o en un cular elementos desconocidos de un triángucontexto de resolución de problemas relalo rectángulo a partir de otros conocidos. tivos a la trigonometría plana, a la vista de los resultados obtenidos y la utilidad de los – Utilizar la calculadora científica para hallar las razones trigonométricas de un ángulo mismos. dado y el valor de un ángulo del que se conoce una de sus razones trigonométricas. – Mostrar un conocimiento suficiente de la circunferencia goniométrica que permita la representación gráfica de las razones trigonométricas de un ángulo o la representación aproximada de éste a partir de una razón dada. – Conocer y utilizar, de forma razonada, las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera y las de los ángulos del primer cuadrante de la circunferencia goniométrica. – Conocer los teoremas del seno y del coseno y aplicarlos en problemas relacionados con la resolución de triángulos cualesquiera.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Utilización de la calcula- – Reconocimiento y valodora científica en los cálración de la utilidad de la – Ángulos orientados. culos trigonométricos. medida para transmitir in– Unidades de medida sexaformaciones precisas relagesimales, centesimal y tivas al entorno. radianes. – Concepto de ángulo.

.../...

MATEMÁTICAS

213

La Programación Didáctica .../...

– Razones trigonométricas – Conversiones y operacio- – Cuidado y precisión en el uso de los diferentes instrude un ángulo agudo. nes con magnitudes angulares expresadas en forma mentos de medida y en la – Fórmula fundamental de sexagesimal, centesimal y realización de mediciones. la trigonometría. en radianes. – Adquisición de hábitos de – Seno y coseno de ángulos – Determinación de razones trabajo adecuados (orden, complementarios. trigonométricas en funclaridad, precisión, limpie– Razones trigonométricas ción de los valores conoza) en la realización de acde ángulos notables. cidos de otras mediante la tividades trigonométricas. aplicación de las fórmulas – Confianza y autoestima en – La circunferencia goniotrigonométricas. métrica. las propias capacidades a la – Transformación y simplihora de afrontar problemas – Razones trigonométricas relativos a cálculos trigoficación de expresiones de ángulos cualesquiera. trigonométricas. nométricos. – Razones trigonométricas – Utilización de la circun- – Perseverancia y flexibilide 0º, 90º, 180º y 360º. ferencia goniométrica en dad en la búsqueda de so– Relaciones entre las razola obtención de relaciones luciones y estrategias, en nes trigonométricas de ántrigonométricas de ángulos un contexto de resolución gulos situados en distintos de distintos cuadrantes. de problemas de trigonocuadrantes de la circunfemetría plana. – Resolución de triángulos recrencia goniométrica. tángulos y no rectángulos. – Razones trigonométricas de la suma y la diferencia de dos ángulos. – Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad. – Relación entre la suma de las razones trigonométricas y sus productos. – Teorema del seno. – Teorema del coseno.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Razones trigonométricas................................................................ 4 sesiones

214

–

Ángulos. Orientación de ángulos.

–

Sistemas de medida de ángulos: *

Sistema sexagesimal.

*

Sistema centesimal.

*

Radianes.

–

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

–

Relaciones entre las razones trigonométricas. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

–

Razones de ángulos notables.

–

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera:

–

*

La circunferencia goniométrica.

*

Reducción al primer cuadrante.

*

Relación entre razones de distintos cuadrantes.

Identidades trigonométricas: *

Razones trigonométricas de la suma y la diferencia de dos ángulos.

*

Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad.

*

Transformación de sumas y diferencias de razones trigonométricas en productos.

2. Resolución de triángulos ................................................................ 5 sesiones –

Resolución de un triángulo rectángulo.

–

Teorema del seno.

–

Teorema del coseno.

–

Resolución de triángulos cualesquiera.

–

Resolución de problemas trigonométricos.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad se repasan y completan los contenidos de trigonometría que se estudiaron en cuarto curso de ESO. El concepto de ángulo se dará en su versión generalizada a partir del giro de una semirrecta, con lo que se accederá al concepto de ángulo orientado de cualquier amplitud, positiva o negativa. Una vez afianzadas las distintas unidades de medida (sobre todo las sexagesimales y los radianes) y sus relaciones, se practicará con la calculadora científica para que los alumnos vayan habituándose a utilizarla en los cálculos trigonométricos. Con objeto de concentrar y agilizar las explicaciones sobre el manejo de la calculadora científica nos parece aconsejable que todos los alumnos dispongan de un mismo modelo. El concepto de razón trigonométrica se desarrollará en la forma usual, es decir, a partir de los triángulos rectángulos para, posteriormente, ampliarla utilizando el referente de la circunferencia goniométrica, cuyo estudio nos parece esencial, sobre todo en las actividades relacionadas con las relaciones entre razones de ángulos situados en distintos cuadrantes. El final de esta primera parte es muy denso y debe de graduarse en función del nivel del alumnado, ya que trataremos de obtener, de forma razonada, las formulaciones usuales de la trigonometría elemental, que serán aplicadas en los cálculos de reducción o conversión de expresiones trigonométricas y en la resolución de triángulos. La segunda parte de la unidad es de carácter eminentemente práctico, ya que en ella se trabajará con situaciones problemáticas planteadas en torno a la métrica de los triángulos rectángulos y no rectángulos, en diferentes contextos. Los cálculos trigonométricos de ángulos no notables se realizarán con la ayuda de la calculadora. En esta segunda parte se puede proponer alguna actividad práctica de cálculos trigonométricos (medir la altura de un árbol, un edificio, la anchura de una rambla …) que los alumnos puedan realizar con la ayuda de algún instrumento de medida, como el teodolito, fuera de la clase. MATEMÁTICAS

215

La Programación Didáctica

Unidad Didáctica 4. Geometría analítica OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Reconocer y diferenciar los distintos tipos Al término de la unidad, los alumnos deberán de vectores planos, fijos y libres, identifi- ser capaces de: cando los atributos y propiedades que los – Distinguir entre vectores fijos y vectores caracterizan. libres, definiendo los atributos que los caracterizan. – Conocer el concepto de espacio vectorial de los vectores libres del plano, V2, y uti- – Sumar, restar y multiplicar por escalares lizarlo para iniciarse en el concepto de delos vectores libres del plano representados, pendencia lineal y en sus procedimientos gráficamente, por flechas orientadas. elementales. – Reconocer cuándo dos vectores libres for– Operar con vectores libres del plano, a parman una base de V2 y utilizarla para asignar tir de sus representaciones gráficas o de coordenadas a los vectores de este espacio sus coordenadas. vectorial. – Relacionar los vectores libres del plano – Sumar, restar y multiplicar por escalares los vectores libres del plano representados con los puntos del plano cartesiano y utipor sus coordenadas. lizar estas relaciones para iniciarse en los procedimientos básicos de la geometría – Construir combinaciones lineales de dos o analítica del plano. más vectores a partir de sus representaciones gráficas o de sus coordenadas. – Conocer el concepto de producto escalar, así como sus propiedades elementales, y – Conocer el concepto de producto escalar y aplicarlo, así como sus propiedades y su utilizarlo en cálculos métricos de distaninterpretación gráfica. cias y ángulos. – Conocer los conceptos de base ortogonal y – Entender y valorar la precisión que, en la de base ortonormal y utilizarlos para hallar descripción y orientación de los elementos la expresión analítica del producto escalar básicos del plano, aporta la identificación de dos vectores. de sus puntos con las coordenadas. – Identificar las componentes, puntuales y – Valorar la precisión del álgebra para detervectoriales, que determinan un sistema de minar y describir ciertas figuras del plano referencia cartesiano. cartesiano. – Conocer los elementos básicos que permi- – Describir el vector de posición de un punto del plano cartesiano y las relaciones que ten la determinación de una recta y, a partir ligan los vectores libres con los puntos del de ellos, dibujarla en el plano cartesiano y plano cartesiano. obtener sus distintas ecuaciones. – Dibujar una recta en el plano cartesiano a – Perseverar en la búsqueda y adquisición partir de dos puntos, de un punto y un vecde estrategias personales para resolver tor o de un punto y del ángulo que forma problemas geométricos susceptibles de ser con el semieje positivo de abscisas. resueltos por métodos algebraicos. – Calcular las distintas ecuaciones de una recta, conocidos dos puntos de la misma, un punto y un vector director o un punto y su pendiente. – Relacionar las distintas ecuaciones que pueden tener una misma recta y saber pasar de una a otra. .../...

216

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Interpretar geométricamente los coeficientes de la ecuación de una recta. – Razonar sobre las posibles opciones, geométricas o algebraicas, que plantean la posición relativa de dos rectas en el plano cartesiano. – Utilizar el producto escalar para calcular el módulo de un vector, la distancia entre puntos y rectas, así como el ángulo que forman dos vectores o dos rectas.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Vectores fijos y vectores li- – Reconocimiento de los atri- – Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad de la bres del plano. butos que distinguen a un geometría analítica para revector fijo y a un vector libre. – Atributos de un vector. presentar o interpretar situa– Representación gráfica de – Suma y diferencia de vectociones geométricas y problevectores a partir de sus res. Regla del paralelogramo. mas de la vida cotidiana. atributos. – Producto de un número por – Representación gráfica de – Flexibilidad para enfrentarun vector se a situaciones geométrila suma y la resta de dos cas desde distintos puntos vectores y del producto de – Dependencia lineal entre de vista. un vector por un número. vectores – Combinación lineal de vec- – Representación gráfica de – Sensibilidad y gusto por la una combinación lineal de realización sistemática y tores. vectores. presentación cuidadosa y – El espacio vectorial de los ordenada de trabajos geomé – Asignación de coordenavectores del plano: V2. tricos. das vectoriales asociadas a – Concepto de base. Bases una base. ortogonales y bases orto– Cálculo de las coordenadas normales. de una combinación lineal – Coordenadas de un vector. de vectores. Operaciones con coorde- – Establecimiento de relanadas vectoriales. ciones entre los puntos del – Producto escalar de dos vecplano cartesiano y los vectores. Interpretación geométores libres. trica. – Cálculo algebraico del módulo de un vector. – Propiedades del producto escalar. – Cálculo del ángulo que forman dos vectores. – Expresión analítica del producto escalar. – Obtención razonada de las ecuaciones de una recta a – Sistema de referencia del partir de dos puntos o de plano cartesiano un punto y un vector. .../...

MATEMÁTICAS

217

La Programación Didáctica .../...

– Vector de posición de un – Estudio de la posición repunto. lativa de dos rectas. – Relación entre las coorde- – Cálculo de la distancia entre dos puntos, un punto y una nadas de un vector y los recta o entre dos rectas. puntos que lo determinan. – Ecuaciones de la recta. – Posición relativa de dos rectas. – Distancia entre dos puntos del plano. – Distancia entre un punto y una recta. – Distancia entre dos rectas. – Ángulo determinado por dos rectas.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. El espacio vectorial V2 .................................................................... 3 sesiones –

Vectores fijos y vectores libres.

–

Operaciones con vectores libres.

–

Dependencia lineal entre vectores.

–

Concepto de base. Bases ortogonales y ortonormales.

–

Coordenadas de un vector.

–

Operaciones con coordenadas vectoriales.

2. Producto escalar ............................................................................ 2 sesiones –

Producto escalar de dos vectores. Interpretación geométrica.

–

Propiedades del producto escalar.

–

Expresión analítica del producto escalar.

–

Ángulo que forman dos vectores.

3. El plano cartesiano ......................................................................... 6 sesiones

218

–

Sistemas de referencia del plano cartesiano.

–

Vector de posición de un punto.

–

Relación entre las coordenadas de puntos y vectores.

–

Elementos que determinan una recta.

–

Ecuaciones de la recta: *

Ecuación vectorial.

*

Ecuaciones paramétricas.

*

Ecuación continua. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

*

Ecuación general.

*

Pendiente de una recta.

*

Ecuación punto-pendiente.

*

Ecuación explícita.

–

Posiciones relativas de dos rectas del plano.

–

Ángulo de dos rectas.

–

Cálculo de distancias: *

Distancia entre dos puntos.

*

Distancia entre un punto y una recta.

*

Distancia ente dos rectas.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas La primera parte de la unidad constituye un repaso de los contenidos relacionados con los vectores del plano, en su doble acepción de vectores fijos y vectores libres, que deben de haber sido estudiados por los alumnos en el curso anterior. El repaso requerirá de una mayor formalización pensando, sobre todo, en que los contenidos que ahora se estudian serán abordados, con mayor generalidad, en el próximo curso. En la segunda parte se introduce el concepto de producto escalar que, aunque requiere de una cierta formalidad, es necesario para abordar los conceptos y procedimientos relacionados con los cálculos métricos de ángulos y distancias. Para evitar añadir más dificultades a las inherentes a este concepto se procurará establecer, con la mayor rapidez posible, la expresión analítica del producto escalar expresada en una base ortonormal. En la segunda parte de la unidad se relacionan las coordenadas de un vector con las de sus puntos origen y extremo, en la forma usual, y se aplican estas relaciones para repasar la recta y sus ecuaciones. La unidad finalizará con una serie de aplicaciones típicas del producto escalar, como son la obtención del ángulo que forman dos rectas o el cálculo de las distancias entre dos puntos, entre un punto y una recta o entre dos rectas. En la medida de lo posible, se propondrá que los alumnos intenten realizar estos cálculos métricos sin la ayuda del producto escalar, para que elaboren estrategias personales que se pueden basar en otros recursos métricos estudiados en cursos anteriores, como el Teorema de Pitágoras.

Unidad Didáctica 5. Lugares geométricos. Cónicas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y aplicar el concepto de lugar Al término de la unidad, los alumnos deberán geométrico del plano cartesiano como ge- ser capaces de: nerador de ecuaciones de aquellas figuras – Conocer y utilizar el concepto de lugar geométricas que, como las cónicas, puedan geométrico del plano en la resolución de ser interpretadas como tales. problemas geométricos sencillos. .../...

MATEMÁTICAS

219

La Programación Didáctica .../...

– Conocer los elementos básicos que permi- – Obtener la ecuación de la recta mediatriz ten la determinación de una cónica y, a parde un segmento. tir de ellos, obtener su ecuación y dibujarla – Definir y diferenciar los distintos tipos de en el plano cartesiano. cónicas, en su condición de lugares geométricos del plano. – Perseverar en la búsqueda y adquisición de estrategias personales para resolver – Obtener la ecuación general de una circunproblemas geométricos susceptibles de ser ferencia conocidas las coordenadas de su resueltos por métodos algebraicos. centro y su radio y representarla. – Discutir si una ecuación cuadrática con dos incógnitas representa a una circunferencia y, en caso afirmativo, obtener el centro y el radio de la misma. – Calcular la potencia de un punto respecto de una circunferencia. – Determinar la ecuación del eje radical de dos circunferencias dadas. – Hallar las coordenadas del centro radical de tres circunferencias dadas. – Distinguir los elementos característicos de una elipse, una hipérbola y una parábola y obtener, a partir de ellos, sus ecuaciones reducidas. – Obtener, a partir de la ecuación reducida de una elipse, una hipérbola o una parábola, sus ecuaciones en distintas posiciones del plano cartesiano. – Aplicar técnicas algebraicas para resolver sencillos problemas geométricos relacionados con los contenidos de la unidad.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Lugares geométricos del – Obtención de la ecuación de – Valorar positivamente la precisión aportada por el plano. la mediatriz de un segmento. álgebra cuando se aplica al – Ecuación de la mediatriz – Obtención de la ecuación estudio de curvas y figuras de un segmento. general de una circunferengeométricas representadas cia de centro y radio dado. – Circunferencia. Elementos sobre el plano cartesiano. – Obtención del centro y del de una circunferencia. radio de una circunferencia – Adquisición de hábitos de – Ecuación general de la cirtrabajo adecuados (orden, a partir de su ecuación. cunferencia. claridad, precisión, limpieza) en la realización de – Potencia de un punto respec- – Cálculo de la potencia de un punto respecto de una actividades geométricas y to de una circunferencia. circunferencia. algebraicas. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Eje radical de dos circun- – Obtención de la ecuación – Perseverancia en la búsdel eje radical de dos cirferencias. queda de estrategias par cunferencias. resolver problemas geomé– Centro radical de tres cirtricos susceptibles de ser – Obtención de las coordecunferencias. tratados algebraicamente. nadas del centro radical de – Elipse. Elementos de una tres circunferencias. elipse. – Obtención de la ecuación – Excentricidad de una elipse. reducida de una elipse – Ecuación reducida de una centrada en el origen de elipse. coordenadas. – Hipérbola. Elementos de – Obtención de la ecuación de una hipérbola. una elipse de centro dado. – Excentricidad de una hi- – Clasificación de una elipse en pérbola. función de su excentricidad. – Ecuación reducida de una – Obtención de la ecuación reducida de una hipérbola hipérbola. centrada en el origen de – Asíntotas de una hipérbola. coordenadas. – Hipérbola equilátera. – Obtención de la ecuación de – Parábola.Elementosdeuna una hipérbola de centro dado. parábola. – Clasificación de una hipér– Ecuación reducida de una bola en función de su exparábola. centricidad. – Determinación de las asíntotas de una hipérbola. – Obtención de la ecuación de una hipérbola equilátera. – Obtención de la ecuación reducida de una parábola de vértice en el origen de coordenadas. – Obtención de la ecuación de una parábola de vértice dado.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Estudio de la circunferencia .........................................................3 sesiones –

Lugar geométrico del plano.

–

Mediatriz de un segmento.

–

Ecuación de la circunferencia.

–

Potencia de un punto respecto de una circunferencia.

–

Eje radical de dos circunferencias.

–

Centro radical de tres circunferencias.

MATEMÁTICAS

221

La Programación Didáctica

2. Estudio de la elipse .........................................................................2 sesiones –

Elipse. Elementos de la elipse.

–

Ecuación reducida de la elipse.

–

Excentricidad de la elipse.

–

Ecuación de una elipse de centro dado.

3. Estudio de la hipérbola ..................................................................2 sesiones –

Hipérbola. Elementos de la hipérbola.

–

Ecuación reducida de la hipérbola.

–

Excentricidad de la hipérbola.

–

Ecuación de una hipérbola de centro dado.

–

Asíntotas de la hipérbola.

–

Hipérbola equilátera.

4. Estudio de la parábola ..................................................................2 sesiones –

Parábola. Elementos de la parábola.

–

Ecuación reducida de la parábola.

–

Ecuación de una parábola de vértice dado.

Evaluación..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas Los contenidos de esta unidad se han secuenciado siguiendo un orden clásico. A partir del concepto de lugar geométrico se tratará de que los alumnos vayan comprobando cómo los distintos tipos de cónicas se adaptan a este modelo y, a reglón seguido, se obtendrían sus ecuaciones (reducidas en los casos de la elipse, la hipérbola y la parábola). Aunque no es contenido de la unidad, si supone una extraordinaria ayuda utilizar algún juego de cuerpos o de figuras geométricas que los alumnos puedan manipular para localizar los elementos característicos de los distintos tipos de cónicas y razonar sobre sus propiedades.

Unidad Didáctica 6. Números complejos OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer la estructura de los números com- Al término de la unidad, los alumnos deberán plejos y contrastarla con las de los núme- ser capaces de: ros reales. – Reconocer e identificar, de forma signifi– Reconocer y utilizar las distintas formas de cativa, la parte real e imaginaria de un núrepresentación de los números complejos, mero complejo expresado en forma binóen orden a establecer relaciones entre la mica. aritmética, el álgebra y la geometría. .../...

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Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Conocer las propiedades de los números complejos y aplicarlas en un contexto de resolución de problemas sencillos, adecuados al desarrollo cognitivo del alumnado. – Saber operar con números complejos en las distintas formas en que estos pueden representarse. – Elaborar estrategias propias para la codificación de la información y en el planteamiento y resolución de problemas relacionados con los números complejos.

– Representar gráficamente los números complejos, relacionándolos con los puntos y los vectores del plano cartesiano. – Calcular sumas, diferencias, productos, potencias y cocientes de números complejos, en forma binómica. – Saber escribir un número complejo en forma polar y en forma trigonométrica. – Pasar de forma binómica a forma polar o trigonométrica y viceversa. – Calcular productos, potencias, raíces y cocientes de números complejos en forma polar. – Interpretar geométricamente las raíces de un número complejo.

CONTENIDOS Conceptos – Números imaginarios. – Números complejos en forma binómica. – Complejos conjugados. – Representación gráfica de los números complejos. – Suma de números complejos. – Complejos opuestos. – Relaciones entre opuestos y conjugados. – Diferencia de números complejos. – Producto de números complejos. – Cociente de dos números complejos.

Procedimientos

Actitudes

– Cálculo del conjugado y – Valoración de la precisión, del opuesto de un número simplicidad y utilidad del complejo. lenguaje numérico, gráfico y algebraico para resolver, – Cálculo de la suma de dos representar o interpretar números complejos dados situaciones y problemas en forma binómica. relacionados con los nú– Cálculo de la diferencia meros complejos. de dos números complejos dados en forma binómica. – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, clari– Cálculo del producto de dos dad, precisión, limpieza) en números complejos dados la realización de actividades en forma binómica. sobre números complejos. – Cálculo del cociente de – Confianza y autoestima en dos números complejos las propias capacidades a dados en forma binómica. la hora de afrontar problemas relacionados con los – Interpretación gráfica de números complejos. las operaciones con números complejos.

– Relación entre las formas binómica, polar y trigonométrica de un número – Forma polar de un número complejo. complejo. – Cálculo del producto y del – Potencia de un número complejo.

– Forma trigonométrica de un número complejo.

cociente de dos números complejos dados en forma polar. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Multiplicación, división, – Cálculo de la potencia npotenciación y radicación ésima de un número comde números complejos explejo dado en forma polar. presados en forma polar. – Cálculo de la raíz n-ésima de un número complejo dado en forma polar. – Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas de un número complejo.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Números complejos en forma binómica ....................................... 3 sesiones –

Números imaginarios.

–

Números complejos. Conjugación.

–

Operaciones con números complejos en forma binómica: *

Suma y diferencia de números complejos. Propiedades.

*

Multiplicación de números complejos. Propiedades.

*

Potencias de números complejos.

*

División de números complejos.

2. Números complejos en forma polar .............................................. 3 sesiones –

Representación gráfica de los números complejos.

–

Forma polar de un número complejo.

–

Forma trigonométrica de un número complejo.

–

Conversión de complejos.

–

Operaciones con números complejos en forma polar: *

Multiplicación de complejos.

*

División de complejos.

*

Potencia n-ésima de un número complejo.

*

Raíz n-ésima de un número complejo. Interpretación geométrica.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En esta unidad se aborda el estudio de los números complejos con la intención de proporcionar a los alumnos una visión completa de los distintos conjuntos de números que podrá necesitar en un futuro próximo, sobre todo si elige alguna carrera de ciencias al terminar el Bachillerato. El 224

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Matemáticas I de Bachillerato

objetivo principal de esta unidad es, por tanto, la de ampliar la cultura matemática de los alumnos y la de proporcionarles elementos con los que contrastar sus percepciones numéricas basadas, hasta ahora, en la utilización de los números reales. La metodología que se sugiere se basa en los cánones clásicos que comienza por hacer una pequeña introducción histórica sobre los problemas que tuvieron los matemáticos algebristas del Renacimiento italiano a la hora de resolver ecuaciones cuadráticas que no tenían raíces reales. Una vez identificada la raíz cuadrada de –1 como la unidad imaginaria, i, se procederá a resolver algunas ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas para que los alumnos elaboren dichas soluciones diferenciando y dando significado a las partes reales e imaginarias de las mismas. Las operaciones con números complejos en forma binómica se introducirán como casos particulares de las de binomios de la forma a + bx, donde x = i, tiene un valor conocido. Para agilizar los cálculos que involucren multiplicaciones, potencias o divisiones con complejos, los alumnos deberán de practicar con el cálculo de las potencias in, de manera que sean capaces de asignarles valores de forma mental. La representación gráfica de los números complejos, que se utilizará para dar sus expresiones polares, debe de servir, también, para que los alumnos comprueben la estrecha relación que existe entre partes de las Matemáticas aparentemente diferentes, como son la aritmética, el álgebra y la geometría. Como método didáctico de gran utilidad se aconseja buscar, en cualquier actividad, la interpretación geométrica de las propiedades o de las operaciones que se estén efectuando. Esta interpretación, en el caso de los cálculos con potencias y raíces n-ésimas de números complejos en forma polar, nos permitirá relacionar los complejos con los vértices de los polígonos regulares, dándoles a estos últimos una visión hasta ahora desconocida para los alumnos.

Unidad Didáctica 7. Sucesiones. El número “e” OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y diferenciar los distintos tipos de Al término de la unidad, los alumnos deberán sucesiones numéricas y familiarizarse con ser capaces de: su terminología específica. – Obtener el término general de una sucesión numérica elemental, aplicando técnicas de – Obtener e interpretar los términos generales representativos de una determinada recurrencia. sucesión numérica. – Conocer y aplicar las fórmulas con las que – Conocer las fórmulas asociadas a las prose obtienen el término general de una progresiones aritméticas y geométricas, y gresión, aritmética o geométrica. aplicarlas en un contexto de resolución de – Utilizar el conocimiento del término geneproblemas prácticos, asociados a otras maral de una sucesión para analizar su comterias del currículo o al entorno cotidiano portamiento. del alumno. – Estimar de forma mental o con la ayuda de – Conocer el concepto intuitivo de converla calculadora el comportamiento de una gencia y utilizarlo en la estimación y el sucesión numérica sencilla en el infinito, cálculo de los límites de sucesiones numépara decidir sobre su convergencia. ricas sencillas. .../...

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica .../...

– Adquirir confianza en el cálculo estructu- – Calcular sumas, restas, productos, potencias rado de límites de sucesiones, aplicado a y cocientes de sucesiones numéricas sencicasos sencillos. llas e interpretar cómo afectan estos cálculos a la convergencia de la sucesión resultante. – Elaborar estrategias propias en la resolución de problemas relacionados con las – Interpretar los distintos casos de indetersucesiones numéricas y sus límites. minación que se pueden dar al calcular el límite de una sucesión. – Calcular límites de sucesiones cuyos términos generales son fracciones polinómicas sencillas. – Obtener e interpretar el número irracional “e” como límite de una sucesión. – Calcular límites de sucesiones sencillas de la forma [A(n)/B(n)]Q(n), siendo A, B y Q polinomios de grado menor que 2.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Obtención del término ge- – Curiosidad por investigar pautas y regularidades en neral de una sucesión nuTérmino general de una sucesiones numéricas. mérica sencilla. sucesión. – Cálculo del término gene- – Sensibilidad, interés y vaProgresiones aritméticas. loración crítica del comral de una progresión aritmética o geométrica. portamiento de las suceProgresiones geométricas. siones numéricas. – Estimación del comportaLímite de una sucesión. miento de los términos de – Sensibilidad y gusto por Sucesiones convergentes, una sucesión en el infinito. la precisión, el orden y la divergentes y oscilantes. claridad en el tratamiento – Cálculo aproximado de sistemático de sucesiones Operaciones con sucesiolímites con la ayuda de la numéricas. nes: sumas, productos, pocalculadora. tencias y cocientes. – Cálculo de límites de suIndeterminaciones. cesiones cuyos términos generales son fracciones El número “e”. algebraicas. Límite de una sucesión – Cálculo de límites de sucepolinómica. siones cuyos términos son Límite de una sucesión Q n ¨ A n · cuyo término general es un de la forma © ¸ , cociente de polinomios. ©ª B  n ¸¹ siendo A, B y Q polinomios de grado menor que 2.

– Sucesión numérica. – – – – – –

– – – –

– Obtención del número “e”. 226

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Matemáticas I de Bachillerato

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Sucesiones numéricas ..................................................................... 2 sesión –

Concepto de sucesión numérica.

–

Término general de una sucesión.

–

Progresiones aritméticas y geométricas.

2. Límite de una sucesión ................................................................... 3 sesiones –

Idea intuitiva de límite.

–

Clasificación de las sucesiones: *

Sucesiones convergentes.

*

Sucesiones divergentes.

*

Sucesiones oscilantes.

–

Operaciones con sucesiones. Indeterminaciones.

–

Límite de una sucesión polinómica.

–

Límite de una sucesión cuyo término general es un cociente de polinomios.

3. El número e .....................................................................................2 sesiones n

– –

¥ 1´ Límite de la sucesión de término general ¦1  µ . El número “e”. § n¶ Q n ¨ A n · Límite de sucesiones de la forma © ¸ , con A, B y Q polinomios de grado menor ©ª B  n ¸¹ que 2.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas Aunque se comienza repasando los conceptos básicos relacionados con las sucesiones y, en particular, con las progresiones aritméticas y geométricas, que los alumnos estudiaron en 3.º de ESO, los objetivos básicos de la unidad se centran en proporcionar un primer contacto con el concepto de límite. El objetivo de este repaso es que los alumnos recuerden las técnicas elementales que se utilizan para obtener el término general de una sucesión. El concepto de límite estudiado a través de una sucesión es mucho más intuitivo y asimilable para los alumnos, y está mucho más cerca de su concepción formal que si se introduce directamente a través del comportamiento de una gráfica. Los alumnos comenzarán su proceso de acercamiento a este concepto a través de estimaciones sobre el comportamiento de los términos de una sucesión cuando “n” se hace lo suficientemente grande, estimaciones que, por otra parte, pueden ser confirmadas con la ayuda de la calculadora. Aunque se recomienda eludir, en la medida de lo posible, cualquier tratamiento excesivamente formal, sí nos parece adecuado que los alumnos reflexionen sobre el significado de los casos de indeterminación que aparecen en el cálculo de límites.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

En función del nivel de la clase se podrá formalizar, o no, la obtención del número “e”, como n

¥ 1´ límite de la sucesión de término general ¦1  µ y, en cualquier caso, siempre podremos utilizar § n¶ el recurso de la calculadora. Es aconsejable que los alumnos practiquen con el cálculo de límites de sucesiones cuyos términos generales son cocientes de polinomios, ya que este tipo de límites nos serán de gran utilidad cuando se apliquen a las funciones racionales.

Unidad Didáctica 8. Funciones. Límites y continuidad OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer, diferenciar y relacionar los con- Al término de la unidad, los alumnos deberán ceptos de correspondencia y función y fa- ser capaces de: miliarizarse con su terminología específica. – Analizar y construir sencillos ejemplos en los que se muestren diferentes tipos de co– Describir a través de una ecuación y de una gráfica el comportamiento general y parrrespondencias, distinguiendo, de manera raticular de un fenómeno susceptible de ser zonada, las funcionales de las que no lo son. tratado de forma funcional. – Interpretar las relaciones funcionales de– Reconocer e interpretar, de forma gráfica rivadas de tablas, enunciados, gráficas y y algebraica, relaciones sencillas susceptiecuaciones algebraicas sencillas. bles de ser tratadas de manera funcional a – Construir e interpretar gráficas de las funtravés de funciones polinómicas, racionaciones elementales que se representan meles o irracionales que puedan aparecer en diante rectas, parábolas e hipérbolas o melos diferentes medios de comunicación, en diante trozos de éstas. actividades relacionadas con el entorno cotidiano del alumno o que estén relaciona- – Estudiar las propiedades características de las funciones polinómicas, racionales e das con otras áreas del ámbito científico. irracionales a partir de sus ecuaciones y de – Conocer y manejar las reglas que posibilisus gráficas. tan las operaciones elementales entre fun– Utilizar con soltura las reglas que permiten ciones. sumar, restar, multiplicar y dividir funcio– Elaborar y valorar estrategias diferentes nes elementales. para la codificación de la información a través de tablas, gráficas y ecuaciones al- – Saber construir la ecuación de una función que es composición de otras, razonando el gebraicas, en orden al planteamiento y reprocedimiento empleado en el proceso. solución de problemas relacionados con el entorno cotidiano del alumno y las demás – Saber dibujar la gráfica de la función ináreas del currículo. versa de una dada a partir de la de esta última por simetría con respecto de la bisectriz – Conocer el concepto de límite funcional y del primer cuadrante del plano cartesiano. utilizarlo para analizar el comportamiento de una gráfica. – Calcular e interpretar gráficamente el límite lateral de una función en un punto. – Calcular límites de funciones racionales e irracionales cuando x se aproxime a un valor dado o al infinito. .../...

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Utilizar el concepto de límite para estudiar la continuidad y las asíntotas de las funciones racionales sencillas.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

– Correspondencias y funcio- – Representación gráfica de nes. Terminología básica. una función dada a partir de un enunciado verbal, de – Dominio y recorrido de una tabla o de una sencilla una función. ecuación. – Propiedades gráficas de – Cálculo del dominio y del una función: monotonía, recorrido de una función puntos extremos, simetrías representada mediante una y continuidad. gráfica. – Suma y resta de funciones. – Cálculo del dominio y el recorrido de una función – Multiplicación y división polinómica, racional o de funciones. irracional sencilla. – Composición de funciones. – Obtención de la ecuación – Funciones inversas. de una función que es – Límite de una función. suma, resta, producto o cociente de otras. – Límites laterales. – Obtención de la ecuación – Límites en el infinito. de una función que es – Límites infinitos. composición de otras dos. – Continuidad de una fun- – Determinación de la gráfica ción en un punto. de la función inversa de otra. – Asíntotas de una función. – Estudio gráfico de la monotonía, extremos, simetrías y periodicidad de una función. – Cálculo e interpretación de los límites laterales de una función en un punto. – Construcción gráfica e interpretación de las funciones construidas por intervalos. – Cálculo de límites en el infinito de funciones racionales. – Utilización del concepto de límite para estudiar los puntos de discontinuidad y las asíntotas de una función. MATEMÁTICAS

Actitudes – Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje gráfico y algebraico para resolver, representar o interpretar relaciones funcionales. – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, claridad, precisión, limpieza) en la realización de actividades funcionales. – Confianza y autoestima en las propias capacidades a la hora de afrontar problemas relativos a funciones. – Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones y estrategias en un contexto de resolución de problemas sobre funciones y gráficas. – Valoración, cuidado y precisión en el manejo de los instrumentos de dibujo.

229

La Programación Didáctica

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Concepto de función ....................................................................... 4 sesiones –

Funciones reales de variable real.

–

Formas de expresar una función.

–

Dominio y recorrido de una función.

–

Propiedades gráficas de las funciones:

–

–

*

Signo de la función.

*

Monotonía.

*

Puntos extremos.

*

Simetrías.

*

Periodicidad.

*

Continuidad.

Operaciones con funciones: *

Adición y multiplicación de funciones.

*

Composición de funciones.

Funciones inversas.

2. Limites de funciones ....................................................................... 6 sesiones –

Concepto intuitivo de límite.

–

Límites infinitos y límites en el infinito.

–

Límites laterales de una función en un punto: *

–

Aplicación a las funciones definidas por intervalos.

Límite de una función en un punto. Cálculo de límites: *

Continuidad de una función en un punto.

*

Asíntotas de una función racional.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En la primera parte de la unidad se repasan los conceptos y procedimientos elementales de las funciones que los alumnos han estudiado en cursos anteriores. La metodología se basará en la utilización de razonamientos intuitivos, basados en ejemplos concretos. En esta primera parte se hará un recorrido rápido de las propiedades gráficas de las funciones, apoyado en algunos ejemplos que tengan relación con el entorno cotidiano de los alumnos. Se trata de que éstos refresquen las ideas de años anteriores y se preparen para el proceso de formalización que se iniciará en la segunda parte de la unidad. 230

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

En la segunda parte, antes de formalizar el concepto de límite se hará una presentación informal del mismo, a través de ejemplos gráficos previamente seleccionados. Estos mismos ejemplos deben de servir para que los alumnos den significado a los demás contenidos de esta segunda parte de la unidad (límites laterales, límites en el infinito y límites infinitos, continuidad de una función en un punto…), aplicados a las funciones elementales (polinómicas, racionales e irracionales). El cálculo estructurado de límites se apoyará en la experiencia previa que los alumnos han acumulado al trabajar con los límites de sucesiones. En la tercera parte de la unidad se utilizará el concepto de límite para estudiar algunas de las propiedades características de las funciones polinómicas, racionales e irracionales o a “trozos”, como la continuidad o las asíntotas. Se tratará de que los alumnos encuentren una utilidad práctica para el concepto de límite que les permita realizar un esbozo aproximado de sus gráficas, sin entrar en otros ajustes que se dejan para la unidad 10.

Unidad Didáctica 9. Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Traducir del lenguaje algebraico al gráfi- Al término de la unidad, los alumnos deberán co ecuaciones de funciones exponenciales, ser capaces de: logarítmicas y trigonométricas sencillas, – Detectar e interpretar situaciones de cremediante distintas técnicas: tablas de vacimiento y decrecimiento exponencial exlores, calculadora, conocimientos previos traídas de los medios de comunicación, de sobre trigonometría, límites… tipo científico o relacionadas con la vida – Interrelacionar las gráficas de las funciocotidiana de los alumnos. nes exponenciales y logarítmicas de igual – Resolver actividades sencillas relacionadas base y describir e interpretar gráficamente con las operaciones de logaritmos. sus propiedades características. – Representar las gráficas de las funciones expo– Describir e interpretar gráficamente las nenciales y logarítmicas elementales, establepropiedades de las funciones trigonométriciendo comparaciones y razonando adecuadacas elementales. mente sobre sus analogías y diferencias. – Utilizar la calculadora científica en la va- – Saber distinguir a través de la gráfica el loración y conversión de datos relativos al tipo de función, exponencial o logarítmica, manejo de funciones exponenciales, logaque ésta representa. rítmicas y trigonométricas sencillas. – Reconocer determinadas propiedades – Resolver sencillos problemas de la vida funcionales (dominio, rango, crecimiencotidiana o relacionados con el conocito, valores extremos, continuidad, asínmiento científico del alumno que puedan totas, periodos... ) a partir del análisis de interpretarse en términos de ecuaciones la gráfica correspondiente a una función exponenciales, logarítmicas o trigonoméexponencial, logarítmica o trigonométricas sencillas. trica sencilla. – Saber manejar adecuadamente la calculadora científica en las operaciones y cálculos relacionados con las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. .../...

MATEMÁTICAS

231

La Programación Didáctica .../...

– Manejar con soltura los criterios y algoritmos asociados al cálculo exponencial y logarítmico, en un contexto de resolución de problemas. – Resolver sencillas ecuaciones exponenciales y logarítmicas mediante su conversión a otras polinómicas de primer o de segundo grado. – Hallar el conjunto de soluciones de una ecuación trigonométrica sencilla y determinar las que corresponden a un intervalo dado.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Funciones exponenciales. – Utilización de la calculado- – Reconocimiento y valorara científica en los cálculos Propiedades. ción crítica de la utilidad exponenciales, logarítmide la calculadora y otros – Funciones logarítmicas. Procos y trigonométricos. instrumentos para la reapiedades. lización de cálculos con – Construcción de la gráfica – Ecuaciones exponenciales. funciones exponenciales, de una función exponencial x logarítmicas y trigonomé– Ecuaciones logarítmicas. de ecuación y = a , con a > 0. tricas. – La función trigonométrica – Construcción de gráficas – Confianza en las propias correspondientes a funy = senx. Propiedades. capacidades para afrontar ciones logarítmicas, por – La función trigonométrica la solución de un problesimetría de las de las funy = cosx. Propiedades. ma susceptible de ser inciones exponenciales. – La función trigonométrica – Reconocimiento e interterpretado en términos exy = tgx. Propiedades. ponenciales, logarítmicos pretación de las propiedao trigonométricos. – La función y = arcsenx. des gráficas de las funcioPropiedades. nes exponenciales y logarítmicas elementales. – La función y = arccosx. – Resolución de ecuaciones Propiedades. exponenciales o logarítmi– La función y = arctgx. cas por conversión a ecuaPropiedades. ciones polinómicas de primer o de segundo grado. – Construcción de las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente. – Reconocimiento e interpretación de los periodos y demás propiedades gráficas de las funciones trigonométricas elementales. – Resolución de ecuaciones trigonométricas. 232

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Funciones exponenciales ................................................................ 3 sesiones –

Concepto de función exponencial: *

Estudio de la función y = ax, con a > 1.

*

Estudio de la función y = ax, con 0 < a < 1.

–

Aplicaciones de las funciones exponenciales.

–

Ecuaciones exponenciales.

2. Funciones logarítmicas .................................................................. 3 sesiones –

Logaritmos. Tipos de logaritmos.

–

Operaciones con logaritmos. Propiedades.

–

Concepto de función logarítmica: * *

Estudio de la función y = loga,x, con a > 1. Estudio de la función y = loga,x, con 0 < a < 1.

–

Aplicaciones de las funciones logarítmicas.

–

Ecuaciones logarítmicas.

3. Funciones trigonométricas ............................................................ 3 sesiones –

Concepto de función trigonométrica: *

Estudio de la función y = sen x.

*

Estudio de la función y = cos x.

*

Estudio de la función y = tg x.

–

Funciones trigonométricas inversas.

–

Ecuaciones trigonométricas

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas El concepto de función exponencial se deducirá a partir del de progresión geométrica y se fundamentará en ejemplos relacionados con la educación medioambiental. El estudio se limitará a los casos elementales de funciones exponenciales de la forma y = ax. Antes de estudiar la función logarítmica se deberá dedicar un cierto tiempo a trabajar sobre el concepto de logaritmo, sus operaciones y propiedades elementales. El tiempo que los alumnos dediquen a esta tarea dependerá de que estos contenidos hayan sido estudiados durante el curso anterior. La función logarítmica se estudiará siguiendo el mismo esquema que se aplique a la función exponencial de igual base. En la elaboración de las gráficas de las funciones logarítmicas, además de la calculadora, se utilizará el método de simetrización de las funciones inversas con respecto a la bisectriz del primer cuadrante. MATEMÁTICAS

233

La Programación Didáctica

En la tercera parte de la unidad se estudiarán las tres funciones trigonométricas elementales: seno, coseno y tangente, con la ayuda de la calculadora científica y de la circunferencia goniométrica. Utilizando técnicas de simetrización de elaborarán y analizarán las gráficas de sus funciones inversas: arcoseno, arcocoseno y arcotangente. En el conjunto de la unidad, y en función del tiempo disponible, se diseñarán actividades de ampliación con las que los alumnos puedan ver las transformaciones que experimentan las gráficas y las ecuaciones de las funciones estudiadas cuando se les somete a un movimiento de traslación. También se resolverán sencillos problemas relacionados con la resolución de ecuaciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, cuya dificultad se graduará en consonancia con el ritmo de aprendizaje y las capacidades de los alumnos. Como método general, los contenidos se presentarán de una forma sencilla, apoyada en ejemplos, a ser posible extraídos de los medios de comunicación o de otras materias del currículo, que sean fácilmente interpretables por los alumnos y evitando, en la medida de lo posible, un exceso de formalismo.

Unidad Didáctica 10. Cálculo diferencial OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer, interpretar gráficamente y mane- Al término de la unidad, los alumnos deberán jar la definición de derivada de una fun- ser capaces de: ción en un punto. – Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función en un intervalo. – Conocer y utilizar las reglas básicas de derivación. – Calcular la derivada de una función en un punto, a partir de su definición. – Utilizar el cálculo de derivadas para hallar los puntos extremos de una función, in- – Interpretar gráficamente el concepto de detervalos de crecimiento y decrecimiento, rivada. ecuaciones de rectas tangentes… – Hallar la derivada de una función sencilla a – Elaborar y valorar estrategias diferentes partir de la definición de derivada. basadas en el cálculo de derivadas en orden al planteamiento y resolución de pro- – Conocer y aplicar las reglas de derivación para calcular la derivada de una función blemas relacionados con las funciones. polinómica, logarítmica, exponencial o trigonométrica sencilla. – Conocer y aplicar las reglas que permiten derivar el producto, el cociente o las potencias de exponente real de otras funciones. – Conocer la regla de la derivada de una función compuesta y aplicarla en casos sencillos. – Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva, en un punto. – Utilizar el cálculo de derivadas para analizar los puntos extremos de una función polinómica o racional. .../...

234

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función. – Obtener la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. – Utilizar las propiedades globales y locales (dominio, recorrido, continuidad, simetrías, periodicidad, puntos de corte, asíntotas, intervalos de crecimiento) para representar una función polinómica o racional sencilla.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Cálculo e interpretación de – Reconocimiento y valola tasa de variación media ración crítica de las relaDerivada de una función entre dos puntos de una ciones entre el lenguaje en un punto. función. gráfico, el algebraico y el Función derivada de otra ordinario. – Definición razonada de la función. derivada de una función – Adquisición de hábitos de Derivada de una suma. en un punto, a partir de la trabajo adecuados (orden, tasa de variación media y claridad, precisión, limDerivada de una diferencia. del concepto de límite. pieza) en la realización de Derivada de un producto. actividades de cálculo di– Interpretación geométrica Derivada de una potencia. ferencial. de la derivada de una funDerivada de un cociente. – Confianza y autoestima en ción en un punto. las propias capacidades a la Derivada de una función – Cálculo de la derivada de hora de afrontar problemas compuesta. Regla de la cauna función en un punto, de cálculo diferencial. dena. a partir de la definición de – Perseverancia y flexibiderivada. Derivada de la función inlidad en la búsqueda de versa o recíproca. – Cálculo razonado de la desoluciones y estrategias en rivada de y = K. un contexto de resolución – Cálculo razonado de la dede problemas sobre funrivada de y = x. ciones y derivadas. – Cálculo razonado de la de- – Valoración, cuidado y prerivada de y = xn. cisión en el manejo de los instrumentos de dibujo. – Cálculo razonado de la derivada de y = lnx.

– Tasa de variación media. – – – – – – – –

–

– Cálculo razonado de la derivada de las funciones y = senx e y = cosx. – Cálculo razonado de la derivada de una función compuesta. .../...

MATEMÁTICAS

235

La Programación Didáctica .../...

– Obtención razonada de las reglas que permiten calcular las derivadas de sumas, diferencias, productos, cocientes y potencias de exponente real de otras funciones. – Cálculo razonado de la derivada de una función inversa o recíproca de otra. – Cálculo de los puntos extremos de una función. – Estudio de la monotonía de una función. – Obtención de la recta tangente a una curva en un punto. – Esquematización del proceso que permite representar funciones polinómicas y racionales, a partir del análisis de sus propiedades locales y generales.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Derivada de una función ................................................................ 3 sesiones –

Tasa de variación media.

–

Tasa de variación instantánea.

–

Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica.

–

Función derivada. Derivadas de funciones elementales: *

Derivada de y = K.

*

Derivada de y = x.

*

Derivada de y = xn.

*

Derivada de y = lnx.

*

Derivada de y = senx e y = cosx.

2. Cálculo de derivadas ..................................................................... 4 sesiones

236

–

Derivada de la suma y de la diferencia de funciones.

–

Derivada de un producto de funciones.

–

Derivada de un cociente de funciones.

–

Derivada de una función compuesta. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

–

Derivada de la función inversa o recíproca.

3. Aplicaciones de las derivadas .......................................................5 sesiones –

Obtención de rectas tangentes a una curva.

–

Determinación de los extremos de una función.

–

Estudio de la monotonía de una función.

–

Estudio y representación de las funciones polinómicas.

–

Estudio y representación de las funciones racionales.

Evaluación..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas El concepto de derivada de una función en un punto se obtendrá mediante la técnica del paso al límite en el cálculo de la tasa de variación media de una secuencia de intervalos de longitud decreciente. La interpretación geométrica del concepto nos permitirá identificarlo con la pendiente de una curva, hecho que podremos aprovechar, posteriormente, para facilitar la comprensión visual de ejemplos concretos de cálculo de derivadas. La definición de derivada de una función se aplicará, en la primera parte de la unidad, para deducir las derivadas de las funciones elementales que se han estudiado en las unidades precedentes. A partir de estas derivadas, y una vez estudiadas las reglas que permiten derivar sumas, diferencias, productos o cocientes de funciones (así como funciones compuestas o funciones recíprocas de otras), los alumnos irán ampliando sus técnicas de derivación, de forma progresiva y razonada. Las aplicaciones de las derivadas irán dirigidas, sobre todo, al estudio de la monotonía y al cálculo de los puntos extremos de una función. Una vez afianzados estos conceptos se propondrán actividades para que los alumnos completen las técnicas que permiten el análisis y la representación de las funciones polinómicas y racionales, previa explicación esquemática del proceso a seguir, por parte del profesor.

Unidad Didáctica 11. Estadística OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y utilizar, con corrección, el voca- Al término de la unidad, los alumnos deberán bulario que permite distinguir, describir y ser capaces de: relacionar datos y conceptos estadísticos. – Mostrar un adecuado conocimiento de los – Interpretar y analizar de manera correcta términos asociados al lenguaje estadístico. las informaciones de tipo estadístico aso- – Interpretar adecuadamente la información ciadas a distribuciones unidimensionales o estadística que aparece en los medios de inbidimensionales, que periódicamente apaformación, a través de tablas o de gráficas, recen en los medios de comunicación. distinguiendo y clasificando las posibles variables que intervengan y el grado de dependencia estadística existente entre ellas. .../...

MATEMÁTICAS

237

La Programación Didáctica .../...

– Recoger y organizar la información proporcionada por una distribución, discreta o continua, unidimensional o bidimensional, mediante recuentos, tablas y gráficos, tomando decisiones correctas en cuanto a la valoración y tamaño de las muestras adecuadas al proceso. – Decidir sobre el tipo de medida y cálculos, exactos o aproximados, que sean más convenientes en función del fenómeno o de la actividad de tipo estadístico a los que se apliquen. – Conocer y utilizar los parámetros estadísticos (media, moda, mediana, rango, varianza y desviación típica) de una distribución unidimensional, cuantitativa o cualitativa, discreta o continua, para enjuiciar su comportamiento. – Conocer y utilizar los parámetros estadísticos (covarianza y coeficiente de correlación lineal) de una distribución bidimensional para obtener información sobre la dependencia de las variables unidimensionales que la componen. – Manejar la calculadora científica, de manera racional, en la obtención de las medidas estadísticas de una distribución unidimensional o bidimensional. – Construir las rectas de regresión adecuadas al estudio de una variable estadística bidimensional para obtener valores ideales de una de sus variables unidimensionales en función de los valores reales de la otra.

– Obtener los parámetros asociados a una distribución unidimensional o bidimensional: medias aritméticas, varianzas, desviaciones típicas, covarianzas, coeficientes de correlación lineal y pendientes de las rectas de regresión, con la ayuda de la calculadora científica. – Comparar, mediante una adecuada interpretación de los parámetros estadísticos unidimensionales, las diferentes actuaciones de una misma variable unidimensional cuando se aplica a poblaciones diferentes. – Construir la nube de puntos de una distribución bidimensional y utilizarla para valorar el grado de correlación entre las variables. – Obtener e interpretar la covarianza y el coeficiente de correlación de una distribución bidimensional. – Obtener las ecuaciones de las dos rectas de regresión asociadas a una misma variable estadística bidimensional y utilizarlas para efectuar estimaciones.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Variables estadísticas. Cla- – Organización y clasifica- – Valoración de la precisión, sificación. ción, mediante tablas y grásimplicidad y utilidad del ficos, de datos susceptibles lenguaje estadístico para – Tablas de distribución de de tratamiento estadístico. resolver, representar o interfrecuencias. pretar situaciones y proble– Gráficos estadísticos aso- – Utilización racional de la mas de la vida cotidiana. calculadora científica en la ciados a una tabla de disobtención de datos estadístribución de frecuencias ticos asociados a una distriunidimensional. bución de frecuencias unidimensional o bidimensional. .../...

238

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Parámetros estadísticos – Construcción y representa- – Sensibilización, interés y valoración crítica ante las ción gráfica, mediante nubes centrales: moda, mediana aportaciones que la estade puntos, de variables estay media aritmética. dísticas bidimensionales. dística realiza en el mundo – Parámetros estadísticos de de la comunicación, las dispersión: rango, varian- – Valoración gráfica de la argumentaciones sociales, za y desviación típica. dependencia existente eneconómicas, políticas o tre las dos variables unidicientíficas. – Variables estadísticas bidimensionales que compomensionales. nen la variable bidimen- – Adquisición de hábitos de sional. trabajo adecuados (orden, – Dependencia estadística y claridad, precisión, limdependencia funcional. – Valoración numérica de pieza) en la realización de la dependencia estadística – Nube de puntos. actividades estadísticas. existente entre las dos va– Correlación lineal. Covariables unidimensionales – Confianza y autoestima en rianza. Coeficiente de coque componen la variable las propias capacidades a la rrelación lineal. bidimensional. hora de afrontar problemas relativos a la estadística. – Rectas de regresión. – Obtención de las rectas de regresión, asociadas a una – Perseverancia y flexibivariable estadística bidilidad en la búsqueda de mensional. soluciones, estrategias en un contexto de resolución – Obtención y valoración de problemas estadísticos. de resultados ideales que se correspondan con otros – Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo reales, obtenidos a través como la manera más efide las rectas de regresión. caz para la realización de tareas relacionadas con la estadística: planificación de tareas, toma de datos, debate de conclusiones.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Distribuciones unidimensionales .................................................. 3 sesiones –

Tablas y gráficos estadísticos.

–

Parámetros estadísticos de centralización.

–

Parámetros de dispersión.

–

Coeficiente de variación.

2. Distribuciones bidimensionales ..................................................... 4 sesiones –

Dependencia estadística.

–

Correlación lineal.

MATEMÁTICAS

239

La Programación Didáctica

–

Nube de puntos: *

Covarianza.

*

Coeficiente de correlación.

–

Regresión lineal.

–

Rectas de regresión.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En la primera parte se repasan los tópicos más significativos de la estadística unidimensional, que ya fueron estudiados por los alumnos en cursos anteriores. Si bien el tiempo que se dedique a este repaso estará en función de la preparación inicial de los alumnos, la idea es que sea un recordatorio ágil de todos los contenidos fundamentales que se precisarán para seguir con aprovechamiento la segunda parte de la unidad. En la segunda se desarrollan los contenidos básicos de la estadística bidimensional, que constituyen el principal objetivo de esta unidad. Para tal fin, los nuevos conceptos se irán introduciendo de manera constructiva, apoyados en actividades y ejemplos que puedan motivar el interés del alumnado. Para ello se puede partir de una actividad inicial que suministre, por ejemplo, tres tipos de variables. La actividad se preparará para que la primera variable mantenga una dependencia funcional con la segunda y aleatoria con la tercera. El análisis de la dependencia aleatoria de las variables del ejemplo lo podemos utilizar como hilo conductor en el desarrollo posterior de la unidad. Esta unidad es especialmente idónea para que los alumnos puedan trabajar en grupo, dentro y fuera de clase, recogiendo e interpretando datos estadísticos, elaborando encuestas… Los alumnos deberán disponer de una calculadora científica, con entradas estadísticas unidimensionales y bidimensionales, con la que poder efectuar los cálculos estadísticos.

Unidad Didáctica 12. Cálculo combinatorio OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y utilizar el vocabulario mínimo Al término de la unidad, los alumnos deberán que permita distinguir, describir y realizar ser capaces de: cálculos combinatorios. – Sistematizar la obtención de agrupaciones – Identificar y describir regularidades, pautas ordenadas de datos a través de diagramas y relaciones inherentes a un conjunto de núde árbol apropiados. meros o de cualquier otro tipo de objetos, – Utilizar el principio de la multiplicación en un contexto de cálculo combinatorio. como procedimiento básico en el recuento – Diferenciar situaciones de recuento de dasistemático de agrupaciones de datos. tos susceptibles de ser interpretados a tra- – Distinguir entre variaciones y combinaciones. vés de combinaciones, variaciones y per– Distinguir entre variaciones ordinarias y mutaciones. variaciones con repetición. .../...

240

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Construir las fórmulas de la combinatoria clásica a partir de una aplicación razonada del principio de la multiplicación. – Sistematizar los procedimientos orientados al recuento y clasificación de datos en un contexto de resolución de problemas combinatorios relacionados con el contexto cotidiano de los alumnos. – Plantear y resolver problemas asociados al entorno cotidiano del alumno y a sus intereses lúdicos relativos al cálculo combinatorio, eligiendo la estrategia adecuada y aplicando las fórmulas o los procedimientos más sencillos que, en cada caso, se precisen.

– Relacionar combinaciones y números combinatorios. – Conocer y aplicar con soltura las fórmulas de la combinatoria clásica. – Conocer las relaciones básicas entre números combinatorios y aplicarlas en la construcción de las filas del triángulo de Pascal. – Relacionar los coeficientes de las potencias de un binomio y los números que componen las filas del triángulo de Pascal. – Desarrollar y simplificar potencias de binomios para valores no excesivamente grandes de los exponentes. – Resolver ecuaciones combinatorias sencillas. – Resolver problemas de combinatoria contextualizados en el entorno cotidiano de los alumnos.

CONTENIDOS Conceptos – El principio de la multiplicación. – Diagramas de árbol. – Principio de la multiplicación. – Combinaciones, variaciones y permutaciones. – Fórmula de las variaciones ordinarias. – Fórmula de las variaciones con repetición. – Fórmula de las permutaciones. – Factorial de un número. – Fórmula de las combinaciones. – Fórmula para obtener las permutaciones de “n” elementos. – Números combinatorios. Propiedades. – Triángulo de Pascal.

Procedimientos

Actitudes

– Elaboración de diagramas – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, de árbol. claridad, precisión, lim– Aplicación procesual del pieza) en la realización de principio de la multiplicaactividades combinatorias. ción. – Sistematización en el análi- – Confianza y autoestima en las propias capacidades a sis que conduce al reconola hora de afrontar problecimiento y diferenciación mas de combinatoria. de combinaciones, varia– Perseverancia y flexibilidad ciones y permutaciones. en la búsqueda de solucio– Cálculo de variaciones, ornes, estrategias en un condinarias y con repetición. texto de resolución de pro– Cálculo de combinaciones blemas de combinatoria. – Cálculo de permutaciones – Respeto ante las opiniones ordinarias y con repetición. discrepantes y flexibilidad para cambiar y aceptar – Cálculo de números comotras propuestas, en un binatorios. debate sobre resolución o – Construcción del triángulo inferencias de resultados de Pascal. derivados de un problema – Desarrollo del binomio de de combinatoria. Newton.

– Binomio de Newton.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Técnicas combinatorias.................................................................. 4 sesiones –

El principio de la multiplicación. Diagramas de árbol.

–

Variaciones ordinarias y con repetición.

–

Permutaciones ordinarias y con repetición.

–

Combinaciones ordinarias.

2. Números combinatorios ................................................................. 4 sesiones –

Números combinatorios. Propiedades.

–

El triángulo de Pascal o de Tartaglia.

–

El binomio de Newton.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas Esta unidad, en línea con la que hemos programado para cuarto curso de la ESO, exigirá un mayor nivel de exigencia, en cuanto al nivel de las actividades y a la formalización y a la utilización generalizada de la formulación derivada de la combinatoria clásica. Antesdeentrarenlasistematizacióndelosdistintostiposdeagrupaciones(combinaciones,variaciones o permutaciones) relacionadas con la combinatoria clásica, los alumnos deben intentar utilizar sus propias estrategias personales de conteo para resolver algunos problemas sencillos de combinatoria basados en la utilización del principio de la multiplicación y de los diagramas de árbol. La aplicación razonada del principio de la multiplicación les permitirá obtener, de forma comprensible, las fórmulas que dan el número de variaciones, ordinarias y con repetición, de “n” elementos extraídos de un conjunto base con “m” elementos y, a partir de éstas, las fórmulas de las combinaciones y las de las permutaciones. En la segunda parte de la unidad se estudian los números combinatorios y sus propiedades que aplicaremos, posteriormente, al desarrollo del binomio de Newton. Estos contenidos nos serán de gran utilidad en las dos unidades siguientes, cuando se estudie la probabilidad y las distribuciones de probabilidad.

Unidad Didáctica 13. Probabilidad OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer y utilizar con precisión el vocabulario básico que permita distinguir, describir y realizar cálculos en situaciones aleatorias y probabilísticas. – Describir los sucesos asociados a un experimento aleatorio a través de su representación conjuntista, apreciando la simplicidad en los razonamientos que tales representaciones aportan.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de: – Distinguir entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas. – Construir el espacio muestral de un experimento aleatorio sencillo.

.../...

242

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Analizar e interpretar informaciones y resolver situaciones problemáticas sencillas que puedan surgir en la vida cotidiana, relacionados con situaciones propias del azar y del cálculo de probabilidades. – Interpretar y analizar de manera correcta las informaciones de tipo aleatorio y probabilístico que periódicamente aparecen en los medios de comunicación. – Conocer y diferenciar las diferentes acepciones del concepto de probabilidad, así como sus propiedades elementales y utilizarlas en la resolución de sencillas actividades relacionadas con experimentos simples y compuestos asociados al entorno cotidiano de los alumnos. – Manejar y aplicar los procedimientos y los cálculos propios de la combinatoria clásica en la resolución de problemas probabilísticos que vengan relacionados con el entorno cotidiano de los alumnos.

– Expresar en forma de conjunto los sucesos asociados a un experimento aleatorio de espacio muestral finito y operar con ellos. – Diferenciar y resolver situaciones aleatorias en las que convenga aplicar la regla de Laplace o técnicas de probabilidad experimental, basadas en la utilización de la Ley de los Grandes Números. – Conocer las propiedades básicas de la probabilidad y aplicarlas en la resolución de problemas sencillos. – Conocer y aplicar la fórmula de la probabilidad condicionada en la resolución de problemas sencillos contextualizados en el entorno cotidiano de los alumnos. – Descubrir la dependencia o independencia de sucesos en un experimento compuesto sencillo, aplicando de manera correcta el método multiplicativo derivado de una correcta interpretación de la fórmula de la probabilidad compuesta. – Utilizar la fórmula de la probabilidad total y la regla de Bayes para resolver sencillos problemas de contexto social relacionados con el entorno de los alumnos. – Efectuar los recuentos adecuados, mediante la aplicación de las técnicas de la combinatoria clásica, inherentes a un conjunto de números, de figuras geométricas, o de cualquier otro tipo de objetos, en un contexto de cálculo de probabilidades que se deriven de la aplicación directa de la Ley de Laplace. – Resolver sencillos problemas de probabilidad geométrica basados en figuras planas de la geometría elemental conocidas por los alumnos.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Experimentos determinis- – Obtención del espacio – Reconocimiento y valotas y aleatorios. muestral de un experimenración de las matemáticas to aleatorio. para interpretar, describir – Espacio muestral. y predecir situaciones in– Expresión de un suceso en – Sucesos aleatorios. ciertas. forma de subconjunto del espacio muestral. .../...

MATEMÁTICAS

243

La Programación Didáctica .../...

– Sucesos elementales y su- – Obtención de la unión y la – Sensibilización, interés y cesos compuestos. intersección de dos sucesos. valoración crítica ante las aportaciones que el len– Suceso seguro y suceso – Obtención del suceso conguaje probabilístico realiza trario a otro dado. imposible. en el mundo de la comunicación, las argumentacio– Unión e intersección de – Aplicación de la Ley de nes sociales, económicas, Laplace. sucesos. políticas o científicas. – Sucesos compatibles e in- – Obtención experimental de – Adquisición de hábitos de la probabilidad. compatibles. trabajo adecuados (orden, – Aplicación procesual de la re– Sucesos contrarios. claridad, precisión, limpiegla aditiva de la probabilidad. za) en la realización de ac– Frecuencia y probabilidad tividades relativas al azar. – Aplicación de la fórmula de un suceso. que liga las probabilidades – Confianza y autoestima en – Ley de Laplace. de dos sucesos con las de su las propias capacidades a unión e intersección. – Regla aditiva de la probala hora de afrontar problebilidad. mas relativos al cálculo de – Obtención de las probabiliprobabilidades. dades de sucesos contrarios. – Probabilidad de la unión de dos sucesos. – Aplicación de la fórmula – Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciode la probabilidad condi– Probabilidad de dos sucenes, estrategias en un concionada. sos contrarios. texto de resolución de pro– Probabilidad condiciona- – Aplicación de la regla blemas de recuento y aplimultiplicativa que generada. Dependencia entre sucación de probabilidades. liza la fórmula de la procesos aleatorios. babilidad condicionada. – Experimentos compuestos. Regla multiplicativa – Resolución de problemas mediante técnicas combide la probabilidad. natorias. – Probabilidad total. – Resolución de problemas de – Regla de Bayes. probabilidad geométrica. – Probabilidad geométrica. – Obtención y aplicación de la fórmula de la probabilidad total. – Obtención y aplicación de la regla de Bayes.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Probabilidad. Ley de Laplace........................................................ 3 sesiones

244

–

Experimentos y sucesos aleatorios.

–

Espacio muestral y sucesos aleatorios.

–

Operaciones con sucesos. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato

–

–

Probabilidad de un suceso: *

Frecuencia y probabilidad.

*

Ley de los grandes números.

*

Probabilidad experimental.

*

Ley de Laplace.

Propiedades de la probabilidad.

2. Probabilidades compuestas ........................................................... 5 sesiones –

Probabilidad condicionada.

–

Dependencia entre sucesos aleatorios.

–

Experimentos compuestos.

–

Regla multiplicativa de la probabilidad condicionada.

–

Probabilidad total.

–

Regla de Bayes.

–

Probabilidad geométrica.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En la primera parte de la unidad se repasan, de forma más profunda y sistematizada, los contenidos básicos de probabilidad que los alumnos han estudiado en cursos anteriores, así, nos apoyaremos en los rudimentos básicos de la teoría de conjuntos para desarrollar, con cierto fundamento, las propiedades de los sucesos aleatorios y de la probabilidad. En la segunda parte de la unidad se formalizan algunos contenidos, relacionados con los experimentos compuestos y la probabilidad condicionada, que también se estudiaron (con menos formalidad) en el curso anterior. En este curso conviene añadir un poco más de formalización y, sobre todo, ampliar el campo de aplicaciones para trabajar, de manera que, dentro de lo posible, se puedan plantear algunas actividades sencillas, relacionadas con las ciencias sociales, que requieran de la utilización de la fórmula de la probabilidad total y/o de la regla de Bayes.

Unidad Didáctica 14. Distribuciones de Probabilidad OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer los conceptos de distribución de Al término de la unidad, los alumnos deberán probabilidad discreta y de función de pro- ser capaces de: babilidad, sus propiedades y parámetros – Distinguir entre variables aleatorias discrecaracterísticos. tas y continuas. .../...

MATEMÁTICAS

245

La Programación Didáctica .../...

– Conocer el concepto de distribución bino- – Construir la tabla de una distribución de probabilidad de variable discreta y calcular mial y utilizarlo para calcular probabilidasus parámetros. des, así como la varianza y la media de la distribución, en un contexto de resolución – Asignar probabilidades utilizando la funde problemas de carácter social. ción de probabilidad de una variable alea– Conocer los conceptos de distribución de toria discreta y su función de distribución. probabilidad continua y de función de den- – Asignar probabilidades utilizando la funsidad. ción de probabilidad de una variable alea– Conocer el concepto de distribución nortoria discreta y su correspondiente función mal, interpretar sus parámetros y represende distribución. tación gráfica y manejar la tabla N(0, 1) en – Asignar probabilidades utilizando la funel cálculo de probabilidades. ción de densidad de una variable aleatoria – Evaluar la posibilidad de ajustar un concontinua y su correspondiente función de junto de datos a una distribución binomial distribución. o normal y tipificar esta última en la forma – Reconocer si una determinada situación N(0, 1). aleatoria se puede describir a través de una distribución binomial. – Utilizar las tablas de una distribución binomial para calcular probabilidades y obtener el valor de su esperanza y de su varianza. – Resolver sencillos problemas reales, relacionados con el entorno de los alumnos, que se puedan interpretar en términos de una distribución binomial. – Reconocer si los resultados de una experiencia se ajustan a una distribución normal. – Interpretar la campana de Gauss y manejar la tabla N(0, 1) para asignar probabilidades. – Reconocer la relación que existe entre las distintas curvas normales y tipificar la variable, para calcular probabilidades en una GLVWULEXFLyQQRUPDO1ȝV). – Reconocer en qué casos se puede aproximar una distribución binomial a una normal, obtener sus parámetros y calcular probabilidades.

CONTENIDOS Conceptos

Procedimientos

Actitudes

– Variables aleatorias. Clasi- – Distinción entre variables – Reconocimiento y valoraficación. aleatorias discretas y conción de las Matemáticas para tinuas. interpretar, describir y prede– Distribuciones discretas. cir situaciones aleatorias. .../...

246

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Matemáticas I de Bachillerato .../...

– Función de probabilidad. – Esperanza, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta. – Distribución binomial. – Función de distribución binomial. – Esperanza y varianza de una distribución binomial. – Distribución de probabilidad continua. – Función de densidad. ± 'LVWULEXFLyQQRUPDO1ȝV). – Campana de Gauss. – Distribución normal tipificada N(0, 1). – Tipificación de la normal.

– Cálculo de los parámetros – Sensibilización, interés y de una distribución de provaloración crítica ante las aportaciones que el lenguababilidad discreta. je estadístico probabilístico – Utilización de la función realiza en el mundo de la de probabilidad de una vacomunicación, las arguriable aleatoria discreta y mentaciones sociales, ecode su función de distribunómicas, políticas o cientíción asociada en el cálculo ficas. de probabilidades. – Utilización de la función – Adquisición de hábitos de trabajo adecuados (orden, de probabilidad de una claridad, precisión, limpiedistribución binomial para za) en la realización de acasignar probabilidades. tividades relativas al azar. – Cálculo e interpretación – Confianza y autoestima en de la esperanza y la valas propias capacidades a rianza de una distribución la hora de afrontar problebinomial. mas relativos al cálculo de – Empleo de la función de probabilidades. densidad de una variable aleatoria continua y de su función de distribución en el cálculo de probabilidades. – Identificación de la distribución normal y del valor de sus parámetros en situaciones reales. – Utilización de la campana de Gauss y de la tabla de N(0, 1) para asignar probabilidades por tifipicación. – Ajuste de un conjunto de datos a una distribución binomial o normal. – Aproximación de una distribución binomial a una normal.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad 1. Distribuciones de probabilidad discretas ..................................... 4 sesiones –

Variables aleatorias. Clasificación.

–

Distribución de probabilidad discreta: *

Función de probabilidad.

*

Esperanza, varianza y desviación típica.

MATEMÁTICAS

247

La Programación Didáctica

–

Distribución binomial: *

Función de probabilidad.

*

Esperanza, varianza y desviación típica.

2. Distribuciones de probabilidad continuas.................................... 4 sesiones –

Función de densidad. Parámetros estadísticos.

± 'LVWULEXFLyQQRUPDO1ȝV). –

Campana de Gauss.

–

Distribución normal tipificada N(0, 1).

–

Curva y tabla de las áreas de la distribución N(0, 1).

–

Ajuste de una binomial a una normal.

Evaluación.............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicas En la primera parte de la unidad se estudian las distribuciones de probabilidad discretas. Los ejemplos ilustrativos de este tipo de distribuciones deben de ir acompañados de los correspondientes diagramas de barras para que los alumnos puedan obtener una visión gráfica de las probabilidades que definen las funciones de probabilidad asociadas a este tipo de distribuciones, destacándose su analogía con las distribuciones de frecuencia estadística estudiadas en la unidad 11. Esta interpretación probabilística de conceptos estadísticos conocidos por los alumnos es un recurso metodológico que se aplicará de forma regular en toda la unidad, pero aclarando las diferencias existentes entre ambos tipos de contenidos para no confundir a los alumnos. En la segunda parte se estudian las funciones de distribución continua. Como en la primera parte, se elegirán ejemplos que vayan acompañados de sus correspondientes gráficas, en este caso, histogramas, destacando el hecho de que las probabilidades se corresponden con el área de los rectángulos y no con la altura, como en el caso de la variable discreta. El profesor preparará los ejemplos que vayan acompañados de gráficas o tablas, preferentemente basados en casos reales, y los repartirá entre los alumnos para aprovechar el tiempo en tareas de interpretación, valoración y cálculo. Como en todas las unidades que requieren de cálculos complejos, se utilizará una calculadora científica que facilite la comprensión de los conceptos.

248

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Parte III. Actuación ante el tribunal

Víctor López Fenoy Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1. GENERALIDADES 1.1. Estrategias en la exposición 2. DEFENSA DE LA PROGRAMACIÓN 3. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA



4. EL DEBATE 4.1. Estrategias 4.2. Valoración de la prueba 4.3. Cuestiones para el debate    &XHVWLRQHVHVSHFt¿FDV 4.3.2. Cuestiones generales

1. GENERALIDADES Esta segunda prueba tiene cierta dificultad para las personas que no tienen costumbre de hablar en público o tienen PLHGRHVFpQLFR aunque hayan tenido intervenciones públicas. Además tiene la dificultad añadida de que los “espectadores” no son sujetos pasivos, sino posibles intervinientes en un coloquio, en el que están ampliamente preparados y están dispuestos a poner de manifiesto la postura del aspirante. Por ello hay que preparar la intervención de forma meticulosa. La extensión de la Programación Didáctica viene determinada en la mayoría o en la totalidad de las convocatorias. En todo caso, consideraremos que la extensión de la Programación de una asignatura de un curso o un módulo no debe exceder las 50 páginas, incluyendo las Unidades Didácticas y, por otra parte, las Unidades Didácticas como mínimo deberán ser 15 por asignatura o módulo. Esto quiere decir que la Programación Didáctica debe ocupar unas diez páginas, así que cada Unidad Didáctica ocupará dos. Si las Unidades Didácticas se concentran a una por página, utilizando un modelo semejante al 2, la Programación Didáctica puede alargarse más. Siguiendo los pasos del criterio de elaboración que se ha marcado, el opositor deberá hacer una repartición equitativa, teniendo en cuenta que algunos pasos pueden eludirse (por ejemplo la contextualización, ya que puede no aplicarse a un centro concreto), o solucionarse con unas líneas (como el segundo paso). Las Unidades Didácticas que se incluyen en la Programación Didáctica tienen que adaptarse al modelo 1 o 2 de los descritos anteriormente, ya que el modelo 3 (detallado) necesitará varias páginas (de 8 a 10) para poder ser desarrollado. Este modelo 3 es el que se podrá seguir en la segunda parte de la segunda prueba: elaboración de una Unidad Didáctica. De ella ha de extraerse un resumen, en forma de índice, que es el guión que habrá que entregar al tribunal.

1.1. Estrategias en la exposición1 La exposición oral, sea cual sea su contenido, es una puesta en escena y como tal hay que abordarla, siguiendo unas determinadas pautas para lograr nuestro objetivo de conseguir la atención y aprobación del tribunal: –

1

De cómo dirigirse al tribunal. Seguro pero sin arrogancia. Mantenimiento del autocontrol. Sonrisa sincera (evitando la mueca). Saludando y presentándose.

Estas estrategias están tomadas de forma sintética del libro *DQDU2SRVLFLRQHV(Op[LWRGHODH[SHULHQFLD, de Pérez Cobacho, J., publicado por Editorial MAD (2.º edición de 2007) y es muy recomendable para el opositor, redactado con gran sentido del humor y muy ameno en su lectura.

MATEMÁTICAS

251

La Programación Didáctica

–

Motivación del tribunal. Poner y transmitir entusiasmo. Utilizar en el contexto palabras que generen expectativas (reto, interesante, difícil...). Establecer controversias con mantenimiento de la postura y aceptando otras opiniones o ideas.

–

Gestualización. La vista dirigida a los ojos de los miembros del tribunal alternativamente, manteniendo la mirada. Los gestos de las manos deben ser de asertividad y convicción. Es conveniente no estar fijo, sino moverse por la sala y señalar la pizarra o la pantalla, cuando sea necesario, con un puntero electrónico.

–

Actitud. El aspirante debe procurar que las acciones realizadas sean bien interpretadas, modificando aquéllas que puedan generar suspicacias en el tribunal. Preparar la entrada. Asistir a alguna exposición anterior, ya que son actos públicos y se pueden extraer valiosas conclusiones sobre el comportamiento de los aspirantes y del propio tribunal. Se conoce así a los miembros del tribunal y éstos van conociendo al aspirante, que al exponer ya es reconocido.

*

Corrección y respeto. El aspirante debe saludar al tribunal (“buenos días”) y presentarse. Debe de tratar a los miembros del tribunal de usted, aunque conozca a alguno de ellos.

*

Los nervios. Hay que considerar que el tribunal no es el enemigo y se hará cargo del estado de nervios del opositor. No obstante, hay que tratar de mantener un auto control, pensado que la exposición está bien preparada y a lo largo de su carrera ha superado innumerables exámenes.

–

Quedarse en blanco. Puede ocurrir, aunque es difícil teniendo el guión a mano. En este caso lo conveniente es pasar a la siguiente cuestión, después de un ligero silencio, con naturalidad. Si el bloqueo es evidente y pertinaz se dice sinceramente y se pasa a lo siguiente.

–

Uso de medios técnicos. En la exposición de la Unidad Didáctica se pueden (y se deben) utilizar medios técnicos, desde el retroproyector con las transparencias que se aporten, pasando por las diapositivas y programas informáticos expuestos con proyector (cañón).

–

252

*

*

Si se utiliza retroproyector, se señala sobre la transparencia y no sobre la pantalla.

*

Para señalar la pantalla es preferible utilizar un puntero láser (con la mano da sensación de poco dominio).

*

El tribunal tiene que ver muy bien las demostraciones.

*

Las letras y números deben verse claramente desde la mesa.

*

El uso de cada proyección será breve y no hay que dejar de hablar (no poner al tribunal a leer).

*

La exposición se hace cara al tribunal y sin dar la espalda.

*

Si se sale a la pizarra, cuando termine su uso se vuelve al lugar anterior para pasar a la exposición.

Control del tiempo. Sería conveniente disponer de un cronómetro para distribuir el tiempo sin necesidad de que el tribunal avise al aspirante o lo corte por haber acabado el tiempo disponible. Al final se puede indicar algún detalle que induzca al tribunal a preguntar sobre aquellos aspectos que más se dominan. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Actuación ante el tribunal

–

Defectos evitables. Se indica una lista de errores que suelen cometer los aspirantes con poca experiencia y que pueden conducir al fracaso: *

Caer en el pesimismo y considerar que la oposición es imposible.

*

Pensar que la oposición es fácil.

*

Ir a las oposiciones “por si hay suerte”.

*

No estudiar a fondo la convocatoria y sus características.

*

No preparar concienzudamente el currículum y la instancia.

*

No planificar y sistematizar el estudio.

*

Olvidar lo que se ha estudiado durante la carrera, libros, apuntes, experiencias, etc.

*

Confiar en la capacidad de improvisación y no ensayar en casa frente a un espejo o ante una cámara de vídeo.

*

Centrarse en una sola fuente de conocimientos.

*

Estudiar los temas y las Unidades Didácticas sin relacionarlos entre sí.

*

No repasar con frecuencia y sistemáticamente.

*

No llevar los materiales indispensables de escritura y apoyo.

*

Olvidar el DNI.

*

Llegar tarde a la prueba.

2. DEFENSA DE LA PROGRAMACIÓN Para esta parte de la prueba se dispone de un máximo de 30 minutos, que puede ser menos si el aspirante opina que no va a tener tiempo de exponer la Unidad Didáctica en 45 minutos y necesita un poco más. En todo caso hay que contar siempre con los 15 minutos del debate final. La Programación Didáctica elaborada ha de exponerse de forma lineal, siguiendo el orden que se ha establecido y haciendo hincapié en todos los aspectos que lo hace la convocatoria. Todo el amplio apartado de la Programación se ha desarrollado para procurar argumentos en la exposición y poder darle soltura y seguridad al opositor, que suele estar poco avezado en esta materia. Son especialmente importantes los siguientes puntos a tratar: 1. Organización y secuencia de los objetivos, contenidos y criterios de evaluación. 2. Explicación de cómo colaboran los objetivos del área, asignatura o módulo en la consecución de los objetivos de etapa. 3. Justificación de la asignatura o módulo (recuérdese que se ha tomado del apartado introducción del currículo oficial). 4. Metodología empleada y justificación de la misma. 5. Secuenciación y temporalización. 6. Indicación de cómo se hará la atención a los alumnos con necesidades educativas específicas. 7. Instrumentos de evaluación y recuperación. 8. La asignatura y las Nuevas Tecnologías. Sitios interesantes de Internet. Cualquier aspecto que pudiera quedar por decir o por ampliar se puede sugerir al tribunal su explicación posterior en el debate. MATEMÁTICAS

253

La Programación Didáctica

3. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA La Unidad Didáctica debe de presentarse siguiendo las directrices marcadas por la convocatoria. Existen dos posibilidades que no dependen del opositor sino de los órganos competentes (Orden convocatoria o instrucciones del tribunal) en el planteamiento de esta parte de la prueba: 1. Exponer la unidad simulando una clase real, como si hubiera alumnos. 2. Exponer el contenido de la unidad, indicando cómo se llevaría ésta a la práctica docente. Es más probable que se adopte esta segunda variedad en la mayoría (o todas) de las Comunidades Autónomas. De hecho, las instrucciones que de forma oficiosa se han lanzado en alguna de ellas es que en este ejercicio no hay que confundir al tribunal con alumnos, que es una clara referencia a la negativa de aceptar la primera opción. En consecuencia, hay que seguir un camino semejante al de la primera parte. Una Unidad Didáctica, como las elaboradas en esta obra, es la ideal para abordarla en 45 minutos. Todas las Unidades Didácticas deben llevarse apoyadas con suficiente material auxiliar, especialmente transparencias y, si es posible, material informático si se dispone de la posibilidad de proyección. Debe distribuirse el tiempo no proporcionalmente a los distintos aspectos tratados, sino a la importancia que se les da. Hay cuestiones totalmente objetivas como son los objetivos y, de alguna manera, los contenidos conceptuales (aunque éstos pueden variar ligeramente de unos a otros profesores, según su concepción de la propia materia) y los actitudinales. Sin embargo hay cuestiones mucho más personales sobre las que el opositor debe extenderse más. Éstas son: –

Motivación. Se explicará el motivo que pueda despertar el interés en esta unidad. Si se trata de la visualización de un vídeo, debe citarse cuál y su procedencia, incluso si se lleva a la exposición se puede mostrar (no se debe decir “proyectaría un vídeo referente a...”). Lo mismo se puede decir de una colección de diapositivas. Si éstas son propias se pueden poner a disposición del tribunal. Otras veces la motivación puede ser una actividad (canción, disección, grabación...). En este caso da lugar al pronunciamiento metodológico inductivo, cuando se llegue a él.

–

Contenidos procedimentales. Deben ser abundantes y a ser posible originales. En las Ciencias Experimentales (Biología y Geología y Física y Química) es importante la inclusión de actividades experimentales, al menos una por unidad: resolución de problemas en Física y Matemáticas, comentarios de texto, análisis, técnicas de traducción...

–

Metodología. Dentro de la variedad de métodos y aplicando los conocimientos adquiridos, el aspirante debe aplicar las metodologías más idóneas, sin olvidar la preferencia por la enseñanza activa, el aprendizaje significativo, la aplicación de la inducción o la deducción según la disciplina y el predominio del constructivismo sobre el conductivismo siempre que sea posible. Del mismo modo, y dentro de este apartado de metodología, se ha de presentar la mayor cantidad de recursos dentro de las posibilidades de un Instituto de Enseñanza Secundaria. Los recursos habituales (tradicionales) deben verse incrementados por los de las nuevas tecnologías: EAO, simulaciones, etc.

– 254

Aplicación de las nuevas tecnologías. Conectando con el apartado anterior. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Actuación ante el tribunal

4. EL DEBATE 4.1. Estrategias La última parte de la prueba puede ser determinante en el resultado. El debate puede, como la introducción, salvar un ejercicio mediocre, bastante normal, o hundir una buena exposición anterior. Para ello es bueno planificar la estrategia a seguir: 1. A las preguntas del tribunal, aun conociendo las respuestas, se deben dejar pasar unos segundos de reflexión, para pensar la respuesta, porque: –

Da tiempo a situarla en el contexto de la exposición.

–

El silencio breve genera expectativas.

–

Se halaga al tribunal, que piensa que ha hecho una buena pregunta.

–

Si el tribunal hace posteriormente una pregunta que sí necesita meditación, no le extraña el silencio breve durante la reflexión del opositor.

–

Se da imagen de persona concienzuda y reflexiva.

–

Se gasta un poco de tiempo.

–

Se hacen menos preguntas.

2. El opositor repite en voz alta, despacio, la pregunta que se le ha hecho, así que: –

Se asegura de haber entendido bien la pregunta.

–

Se asegura la atención del tribunal.

–

Da la sensación de concentración y rigurosidad.

–

Obliga a los demás a concentrarse igualmente en la pregunta.

–

Se gana tiempo…

4.2. Valoración de la prueba Generalmente se valora la Unidad Didáctica con criterios del siguiente tipo: –

Coherencia entre el tema elegido y el planteamiento desarrollado. $FWXDOPHQWHWDPELpQ se trata de valorar la coherencia entre la Programación presentada y la Unidad Didáctica desarrollada y expuesta (en el caso de que sea esta la elección).

–

Correspondencia entre los objetivos, contenidos, actividades y criterios de evaluación.

–

Equilibrio entre los diferentes tipos de contenidos.

–

Concepción pedagógica coherente con el planteamiento metodológico desarrollado y con las estrategias utilizadas.

–

Adecuación de las actividades con las edades de los alumnos, diversificación de las mismas y temporalización idónea.

–

Utilización de recursos variados.

–

Relación con las otras áreas (si es pertinente).

MATEMÁTICAS

255

La Programación Didáctica

–

Grado de viabilidad y pragmatismo de la Unidad Didáctica.

–

Creatividad, originalidad e innovación en el planteamiento didáctico. Por nuestra parte insistimos en que no se trata de copiar literalmente ninguna Programación ni Unidad Didáctica sino de consultar modelos diferentes e intentar, considerando los elementos que aparecen en la convocatoria, realizar un diseño y desarrollo propios.

–

Contextualización adecuada (referencia a la Comunidad Autónoma en general y a las características del alumnado en particular).

–

Papel del alumno en las actividades (participativo, pasivo, etc.).

Respecto a la fase oral (defensa de la Programación y exposición de la Unidad Didáctica): –

Exposición de las actividades. Seguramente uno de los apartados que más valora el tribunal es el de las actividades, ya que en su exposición se muestran las cualidades pedagógicas del opositor. Algunos criterios de evaluación manejados por los tribunales hacen referencia a la explicación de actividades completas (no hace falta que sean todas) desde el inicio hasta el final.

–

Aspectos formales: adecuación al tiempo, grado de naturalidad, grado de convicción, ritmo, respiración, tono verbal (diferentes inflexiones), miradas, gesticulación, posición corporal y movimientos.

–

Calidad de la comunicación: interés despertado por la introducción, establecimiento de interacción (empatía), claridad en la exposición, fluidez en el discurso, utilización de términos adecuados, limitaciones (nerviosismo general, muletillas, titubeos).

–

Contenido del discurso: estructura (presentación, hilo conductor, conclusión), rigor y coherencia.

–

Aspectos globales: si se transmite la sensación de entrar en el aula y qué hay que hacer con los alumnos de esa edad; grado de originalidad, calidad y coherencia de las respuestas con las preguntas del tribunal

Respecto a la actitud del opositor: –

Conveniencia de dirigirse a todos los miembros del tribunal y no solo a uno.

–

Sensación de seguridad pero no de prepotencia.

–

No mostrar una actitud demasiado relajada ni dar mala impresión.

–

Es conveniente vestirse de manera discreta. No significa renunciar al estilo propio sino, sencillamente, no exagerar.

Otros aspectos:

256

–

Necesidad de programar bien el tiempo. Es completamente necesario realizar simulaciones antes del examen.

–

Si olvidamos algo durante la exposición y de pronto lo recordamos, no se debe volver al punto anterior, a no ser que lo omitido sea de obligada referencia.

–

Hay que tomarse tiempo antes de responder a las preguntas que se planteen.

–

No se debe discutir con el tribunal.

–

Hay que intentar fundamentar las respuestas. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Actuación ante el tribunal

Probablemente el tribunal ha programado la evaluación del opositor siguiendo unas pautas determinadas para objetivizar al máximo la calificación, por lo que dividirá en indicadores de valoración todos los aspectos evaluables y a cada uno de ellos asignará una puntuación. Como es difícil determinar lo que cada tribunal considera banal, importante o muy importante, es conveniente seguir todas las normas que se han recomendado tanto para la redacción de la propia Programación como en la defensa de la misma y, sobre todo, de la exposición de la Unidad Didáctica.

4.3. Cuestiones para el debate A partir de un documento escrito, y especialmente una Programación en la que se abordan tantos temas, pueden surgir muy diversas cuestiones sobre las que debatir. Además, unas cuestiones pueden arrastrar otras, por lo que es imposible prepararse el debate con toda garantía. No obstante, se puede preparar el debate con ciertas garantías. Para ello exponemos a continuación algunas cuestiones, unas referidas a la Programación y otras más generales, que se pueden presentar como consecuencia del propio debate. Además, obviamente, el contenido de la primera parte de este libro daría respuesta a la mayoría de las preguntas de carácter general que el Tribunal pudiera plantear.

&XHVWLRQHVHVSHFtILFDV 1. ¿Por qué ha seleccionado los objetivos de la Unidad Didáctica entre todos los reflejados en la programación? En la Programación que hemos presentado se han contemplado todos los objetivos de carácter general posibles, sin embargo, en la Unidad Didáctica sólo se han intentado alcanzar aquéllos que los contenidos permiten. 2. ¿Cómo ha adaptado los objetivos a las características del grupo? En la introducción de esta Programación se hace hincapié en la necesidad de contextualizarla, es decir, no tiene sentido, a nuestro entender, realizar una Programación “aséptica” y totalmente objetiva, sin tener en cuenta a quién va dirigida. Puede ocurrir que el grupo al que va dirigida esta Programación sea asignado al profesor posteriormente a la elaboración de la Programación, además, la Programación de un curso es común a todos los grupos de dicho curso en un centro educativo. Sin embargo, es seguro que el tipo de alumnado es el que se prevé, por la situación geográfica, situación socioeconómica del entorno y demás condicionantes sociales. 3. ¿Cómo plantea trabajar con los distintos niveles dentro del mismo grupo de alumnos? Respuesta para una Programación de ESO: 1º. Adopción del libro de texto. Es importante tener un libro de texto que contemple distintos niveles de conocimiento, desde las actividades de simple memorización a las de análisis y síntesis, pasando por las de comprensión y aplicación de conocimientos. 2º. Realización de una cuidadosa organización de los pequeños grupos. Esta organización se realizará siguiendo dos criterios, aparentemente opuestos. Por una parte se harán, para algunas actividades, grupos heterogéneos en cuanto a las capacidades de los alumnos, para conseguir la ayuda de los más a los menos capacitados, y por otra, grupos homogéneos por capacidades con actividades distintas. Todo ello sin que el MATEMÁTICAS

257

La Programación Didáctica

alumnado pueda sospechar de que se hace “un grupo de torpes” o discriminados por razón de su capacidad. Además debe entenderse que los distintos niveles no siempre son debidos a la capacidad intrínseca sino también a la pertenencia a grupos marginales, extranjeros, etc. 3º. Atención personalizada de los alumnos que lo necesiten y no sean candidatos a la adopción de medidas especiales de mayor rango, sin desatender al resto de los alumnos que, o bien pueden colaborar en la recuperación de los compañeros, o bien pueden trabajar en cuestiones de fácil resolución autónoma. Respuesta para una Programación de Bachillerato: Los distintos niveles de conocimiento de los alumnos que se pueden presentar en Bachillerato son distintos a los que se presentan en la ESO, ya que en ESO los alumnos están escolarizados obligatoriamente y el Bachillerato no es obligatorio. La diversidad que hay que atender en el Bachillerato procede de la presencia de alumnos extranjeros y alumnos con deficiencias físicas, ya sean motóricas o sensoriales. En el caso de alumnos extranjeros de lengua distinta se propone que participen de forma activa en todas las actividades, especialmente en aquellas que exijan una expresión idiomática precisa, ya que la integración lingüística es imprescindible tanto para la integración social como para la normalización científica. Respecto a los alumnos con deficiencias de naturaleza física, ya sean de naturaleza motórica o sensorial, se realizarán las correspondientes adaptaciones según el tipo de déficit con utilización de sistemas de aprendizajes específicos (por ejemplo lecturas grabadas o documentos en Braille para ciegos), así como adaptación de las actividades de evaluación, en las que en todo caso se pueda garantizar la adquisición de capacidades mínimas exigidas. Es imprescindible, igualmente, que las aulas-espacios estén adaptados para acoger a todos los alumnos con déficit, especialmente motórico. No obstante lo dicho, y a pesar del carácter postobligatorio del Bachillerato, puede que existan alumnos que, procedentes de entornos socioeconómicos y culturales desfavorecidos y puedan alcanzar los objetivos del Bachillerato, tengan carencias significativas. Ante esta situación se realizarán: –

Adaptación de actividades y materiales.

–

Reformulación de criterios de evaluación.

–

Medidas de repaso extraordinarias en horas de atención a alumnos.

4. ¿Por qué considera que la metodología que propone es la más adecuada para los contenidos y objetivos propuestos? La metodología propuesta, recordemos, es sobre todo la aplicación del constructivismo en lo posible, si bien somos conscientes que es de imposible aplicación en sus últimos extremos, dada la imposibilidad de construir la ciencia por parte de los alumnos con sus limitaciones intelectuales, de conocimiento y de tiempo. Inseparable al constructivismo es la forma de aprendizaje significativo que es capaz de identificar lo aprendido con el propio discente, quedando así más firme la aprehensión de conocimientos. Por otra parte hemos considerado que los conocimientos procedimentales son especialmente importantes para la adquisición de conocimientos conceptuales. 258

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Actuación ante el tribunal

5. ¿Por qué utiliza esos recursos y no otros? La utilización de los recursos programados no es excluyente, por lo que en las readaptaciones de esta Programación se incorporarán los que se hayan presentado como idóneos, a los que se ha tenido acceso. Sin pretender este opositor desmerecer de otras metodologías, cree sinceramente que los recursos propuestos responden a la metodología propuesta (realizar un resumen de éstos). Independientemente de los recursos propios de nuestra área y materias, hacemos hincapié en la necesidad de incorporar cada vez más las nuevas tecnologías. 6. ¿Qué medidas se plantea para adaptarse al tiempo establecido para la Unidad Didáctica? Es importante en nuestra Programación no sólo la temporalización, sino también la secuenciación. La secuenciación establecida se ha realizado minuciosamente para evitar repeticiones, saltos y desviaciones no deseables de los objetivos. Una buena secuenciación, si bien no es suficiente, sí es necesaria para que se cumplan los objetivos de temporalización. Las distintas unidades se han temporalizado con criterios que creemos reales, y por tanto, si no aparecen factores extraacadémicos, consideramos que no habrá dificultad en adaptarse al tiempo establecido. Sin embargo, podría ocurrir que, por causas ajenas al normal desarrollo de la actividad docente-discente, se sufriera un retraso significativo. En este caso habría que reprogramar y estimar lo más relevante del resto del programa. En las propias Unidades Didácticas que se plantean, sólo se ha expuesto lo absolutamente indispensable. Lo demás, aunque no superfluo ni banal, puede ser sintetizado de forma que no represente retraso alguno. Además, algunas actividades programadas de naturaleza manipulativa, experimental o de actuación especial, pueden ser sustituidas por supuestos teóricos o simulados con el consiguiente ahorro de tiempo si esto es necesario. 7. ¿Cómo establece si un alumno ha alcanzado o no los objetivos? La Programación ajustada de los criterios de evaluación y su estricta aplicación es una garantía para poder cerciorarse de que los alumnos han alcanzado los objetivos previstos.2 8. ¿Cómo relaciona los criterios de evaluación con los instrumentos y con los criterios de calificación y las características del alumnado? Podemos considerar que los criterios de evaluación son un puente que pone en relación los objetivos y la evaluación de las capacidades y destrezas adquiridas por el alumno. Por eso hemos enunciado los criterios de evaluación con verbos de acción, concretos, que indican cómo se va a valorar. Así decimos comparar, distinguir, diferenciar, explicar cómo RSRUTXpHWF No se trata de una simple cuestión estética o semántica, sino la intención de que el alumno realice una demostración de sus conocimientos. La siguiente concreción es cómo vamos a conseguir que el alumno “analice, compare, diferencie…” y es cuando programamos los instrumentos de calificación3.

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El opositor tiene la respuesta en la primera parte de esta obra en el apartado de Evaluación. Es importante, en todo caso, distinguir claramente entre evaluación y calificación, así como entre criterios de evaluación y criterios de calificación. Por la naturaleza de la pregunta parece que el tribunal tiene interés en conocer los criterios de calificación, con los que se consigue el saber el estado de la adquisición de conocimientos. En este caso habrá que citar no sólo las pruebas y exámenes, que guste o no, son imprescindibles, sino también todas las formas de observación que emplearemos y se han citado en el texto.

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Ver nota anterior respecto a los criterios de evaluación y de calificación.

MATEMÁTICAS

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La Programación Didáctica

Los criterios de calificación están acordes con nuestras intenciones educativas y se adaptarán a los alumnos según su diversidad. 9. ¿Cómo comprueba que la evaluación realizada a sus alumnos ha sido correcta y no han influido factores ajenos o no programados? Existen instrumentos de evaluación de distinta objetividad. A veces en la observación directa de los alumnos, observación de su cuaderno y otros instrumentos, se pueden extraer conclusiones erróneas o, al menos, poco exactas. El instrumento de evaluación más objetivo es, en la mayoría de los casos, el de la comprobación directa por medio de pruebas orales o escritas. Se trata, por tanto, de comprobar que las pruebas realizadas son las idóneas, por lo que han de cumplir, al menos, los siguientes principios básicos4: a) Que tengan una dificultad idónea. Las pruebas demasiado fáciles o demasiado difíciles son fuente error. b) Que sean discriminatorias5. c) Que sean fiables6. d) Que sean válidas7. e) Que sean homogéneas8. 10. ¿Cómo comprueba que el proceso de aprendizaje ha sido eficaz y se ha realizado de acuerdo con lo programado? Realizar una evaluación de la propia actuación es un ejercicio difícil de realizar en todos los casos, por la práctica imposibilidad de la objetividad. Sin embargo la retroalimentación de la Programación es una necesidad por todos reconocida. Los criterios que utilizamos para realizar esta autoevaluación son los siguientes: a) Comprobación de si se han respetado los principios básicos de la evaluación y de la Programación. b) Obtención de una evaluación positiva del número de alumnos esperado. c) Cumplimiento de la temporalización. d) Análisis de las modificaciones e incorporaciones realizadas durante el desarrollo.

4.3.2. Cuestiones generales 1. Sobre la tutoría (Cuestiones cómo: “En su programación dice usted que se pondrá en contacto con el tutor HQORVFDVRVHQTXH«´R³'LFHXVWHGTXHODWXWRUtD«´