cuerdas vibrantes

INTRODUCCION El presente informe de física lleva por título “Cuerdas Vibrantes” en el cual trataremos el tema de ondas estacionarias ,en este laboratorio se analiza el comportamiento de una onda estacionaria en un modelo real de laboratorio donde se nota la relación entre la frecuencia y la tensión, la velocidad de la onda y la tensión, la longitud de la cuerda y la frecuencia; además de otros aspectos importantes en el estudio del movimiento de una onda que nos ayudaron a comprender mejor fenómenos cotidianos asociados con dicho tema como lo son el análisis de la importancia de las cuerdas en los instrumentos musicales, el eco; entre otras. Por último esperamos que el presente informe sea de su agrado.

1.-OBJETIVO Estudiar las principales características físicas de las ondas formadas en una cuerda vibrante como son: longitud, frecuencia y velocidad de propagación. Determinar gráficamente los puntos donde se encuentra la mayor energía potencial y cinética en la cuerda. El objetivo del experimento es encontrar la velocidad de propagación de una onda en una cuerda, para diferentes tensiones

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3.-PROCEDIMIENTO  Disponga del equipo y ármelo sobre la mesa, según las indicaciones del profesor.  Pesar las pesitas dadas para obtener la fuerza que se va a colocar en el baldecito.  Poner en el baldecito diferentes pesitas y hacer funcionar el oscilador, variando lenta y cuidadosamente la distancia del oscilador hasta la polea hasta que se forme uno o varios nodos.  Anotar la distancia y la cantidad de nodos obtenidos.  Repetir los pasos variando la tensión ejercida sobre la cuerda y la distancia entre el oscilador y la polea, también su puede trabajar.  También se puede trabajar con la misma fuerza variando las longitudes.

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4.-FUNDAMENTO TEORICO Superposición de Ondas Cuando dos o más ondas mecánicas de igual frecuencia son transmitidas en un medio, el resultado es una onda que es la suma de ellas. Esto significa que en cada punto del medio, el desplazamiento es la suma de los desplazamientos individuales que produciría cada una de las ondas; a este resultado se le conoce como Principio de Superposición. Ver la figura 1.

Onda resultante con la misma frecuencia pero mayor amplitud

Figura 1.- Superposición de Ondas. Ondas Estacionarias Cuando en un medio/ como una cuerda o un resorte, se genera una oscilación en uno de sus extremos, comienza a propagarse una onda. Al llegar al otro extremo del medio, la onda sufre una reflexión y viaja en sentido contrario por el mismo medio. De esta forma en el medio se tienen dos ondas de iguales características que se propagan en sentido contrario, lo cual da origen a una onda estacionaria.

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La onda estacionaria recibe su nombre del hecho que parece como si no se moviera en el espacio. De hecho cada punto del medio tiene su propio valor de amplitud. Algunos puntos tienen amplitud máxima, son llamados antinodos, y otros puntos tienen amplitud igual a cero y son llamados nodos. Los nodos se distinguen muy bien porque son puntos que no oscilan. La figura 2 muestra el comportamiento de una onda estacionaria en el tiempo. También se señalan sus diferentes partes.

Figura 2.- Onda Estacionaria.

Velocidad de una Onda Del análisis del movimiento ondulatorio y de la definición de velocidad v: v

d t

(1)

donde d es la distancia que se recorre en un tiempo t, se puede determinar una expresión para la velocidad de la onda. Por definición, el período T de una onda es el tiempo en el que se transmite una oscilación completa. Si la longitud de la onda es \, en un tiempo igual al período la onda se habrá desplazado una distancia igual a \. Por lo tanto, la velocidad de la onda será:

v

 T

(2)

El período T está relacionado con la frecuencia / de la onda de acuerdo con la siguiente ecuación: T

1 f

(3)

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (2), obtenemos otra expresión para la velocidad de la onda:

4

v = λf

(4)

Ondas Estacionarias en una Cuerda Una forma de producir ondas estacionarias es propagando ondas desde un extremo de una cuerda hasta el otro que se mantiene fijo. Al llegar al extremo fijo la onda se reflejará y se superpondrá con la onda incidente, produciéndose entonces la onda estacionaria. En este caso, las oscilaciones de la cuerda pueden ser de diferentes formas o modos, según sea la frecuencia con la que oscile la cuerda. A estas formas de oscilar se les llama modos normales de oscilación. El primer modo normal de oscilación, llamado modo fundamental de oscilación, es el que tiene mayor amplitud y cuya longitud de onda es tal que la longitud L, de la cuerda/ es igual media longitud de onda; es decir, la longitud de la onda del primer modo es: λ1

= 2L

(5)

Sustituyendo esta relación en (4), tenernos que: v = 2f1L

(6)

En el segundo modo de oscilación/ la frecuencia es igual al doble de la frecuencia del primer modo de oscilación y se establecen dos medias ondas/ es decir/ una onda completa en la cuerda.

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Modo Fundamental  = 2L

f = f1

Segundo modo =L

f = 2f1

Tercer modo  = 2L/3

f = 3f1

Cuarto modo  = L/2

f = 4f1

Quinto modo  = 2L/5

f = 5f1

Figura 3.- Modos de Oscilación. Para los modos normales de oscilación/ las longitudes de onda son más cortas:

n 

2L n

n = 1, 2, 3, ...

(7)

y las frecuencias son n veces la frecuencia /¡ del modo fundamental de oscilación: fn = nf1

n = 1, 2, 3, ...

(8)

5.-CALCULOS Y RESULTADOS 1 Calcule f,  y v para cada masa (peso) llenando el cuadro siguiente: Masa (g)

FUERZA (N)

n

L (m)

f (Hz)

(m)

v (m/s)

6

15.5

0.15

4

0.44

95.12

0.22

20.93

64.5

0.63

2

0.86

49.64

0.86

42.69

67.5

0.66

2

0.88

49.62

0.88

43.67

116

1.14

1

0.58

49.35

1.16

57.25

165

1.62

1

0.66

51.72

1.32

68.28

217

2.13

1

0.775

50.52

1.55

78.30

Masa de la cuerda: 0.5g Longitud de la cuerda: 144cm Peso del balde: 15.5 gf n: Numero de armónicos L: Longitud del armónico Densidad lineal de la cuerda: 3.4722x10-4

2. Grafique un perfil de la cuerda indicando la posición de mayor Energía cinética y la de mayor Energía Potencial en la cuerda.:

Mayor Energía Cinética

Mayor Energía 3. Grafique v2 versus F e interprete el resultado. HagaPotencial ajuste de la gráfica por mínimos cuadrados

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VELOCIDAD2 vs FUERZA VELOCIDAD 2 (m2/s2)

7000 6000 5000 4000 3000 2000

V2 = 2880F + 2x10-12 R² = 1

1000 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

FUERZA (N)

FUERZA (N)

v (m/s)

0.15

20.93

0.63

42.69

0.66

43.67

1.14

57.25

1.62

68.28

2.13

78.30

6.-OBSERVACIONES En nuestro experimento utilizamos un vibrador que tiene una frecuencia de oscilación definida. 8

En el experimento ignoramos si el vibrador produce oscilaciones transversales con M.A.S. (movimiento armónico simple) que originarían el perfil senoidal de la onda incidente. El vibrador produce la onda incidente que al reflejarse en el extremo de la cuerda fijada en la polea se producirá la superposición o la interferencia de dichas ondas durante este proceso continuo. Apreciamos el perfil de la onda producto de la superposición el cual es aproximadamente senoidal. En la onda estacionaria no vemos la onda viajera , cada punto vibra con una amplitud distinta. Existen puntos de la cuerda donde su desplazamiento transversal o amplitud de vibración es máximo y otros permanecen inmóviles denominados antinodos y nodos respectivamente. Observamos que al aumentar la tensión de la cuerda disminuyen el número de armónicos. El aumentar la tensión de la cuerda le damos la longitud requerida ya que también lo hace la longitud de onda. Para aumentar el número de armónicos aumentamos la longitud de la cuerda hasta donde se produzca el siguiente armonico osea el perfil de la onda estacionaria. En los cálculos depreciamos el peso de la cuerda que proporciona parte de la tensión pero no del medio de la onda estacionaria.

7.-CONCLUSIONES

La onda resultante (onda estacionaria) es la suma de las continuas ondas incidentes y reflejadas. El experimento nos sirvió para contrastar la teoría con el comportamiento real de una onda estacionaria sin embargo siempre se presentaran irregularidades como la mínima vibración en los nodos

Las ondas estacionarias se producen al tener bien definidas la tensión, la longitud del factor causante con el extremo reflector

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Concluimos que la longitud de la cuerda donde se produce la onda estacionaria deberá ser un múltiplo entero de media longitud de onda debido a que sus extremos se comportan como nodos que albergan dichos armónicos. La longitud de onda teórica es solo una referencia para encontrar el adecuado para producir la onda estacionaria ya que el medio y el vibrador pueden presentar variación en sus funciones. En una onda estacionaria el patrón de la onda no se mueve, pero si lo hacen los elementos de la cuerda. Los resultados muestran la relación directa de la tensión con la longitud de onda y de la cuerda para un mismo número de armónicos.

Las frecuencias obtenidas de los resultados son diferentes a pesar de que el vibrador poseía una frecuencia definida, lo cual nos indica que no será el único indicador ya que la tensión ofrecerá el grado de libertad de la cuerda porque el extremo reflector no se encuentra estrictamente fijo debido a la polea observado en cierta transferencia de vibración en el peso que proporciona la tensión.

En los resultados apreciamos la relación directa que existe entre la tensión de la cuerda y la velocidad de propagación.

Realizando a grafica v 2 vs. F notamos su comportamiento lineal en la cual la pendientes muy próxima a la inversa de la densidad lineal.

Concluimos que los nodos presentan la mayor energía potencial debido a su mayor comportamiento elástico y los puntos localizados en los antinodos la mayor energía cinética requerida para sus máximas amplitudes.

8.-RECOMENDACIONES Para un mejor estudio del fenómeno de onda estacionaria recomendamos tener un vibrador que regule la frecuencia de las oscilaciones. Se recomienda que la cuerda sea liviana para que presente horizontalidad y que sea larga para apreciar mayor número de armónicos. 10

La cuerda a utilizar deberá presentar homogeneidad ya que es el medio de propagación además de la precisión en los cálculos de los resultados. Al regular las longitudes o tensiones en la cuerda esperar a que el movimiento se estabilice visto en los nodos de la onda estacionaria porque movimientos bruscos perturbarían el medio de propagación. Procurar que en la medición de longitudes de onda la regla interfiera la vibración. Debido a que los extremos de la cuerda representan a los nodos debemos cuidarlos de otras vibraciones para mantener su estabilidad, por ejemplo el movimiento de la mesa. Un lugar muy ventilado podría alterar el espacio de oscilación de la onda estacionaria por ende su vibración.

9.-APENDICE Energía en las Ondas Mecánicas Viajeras: Energía, potencia e intensidad Para los cálculos energéticos en las ondas mecánicas hay ciertos inconvenientes si se toma el modelo de partícula para el elemento del medio, ya que suele llevar a grandes confusiones. El modelo que se adoptará es el de un elemento diferencial del medio continuo de longitud y sección transversal constante de área . Para el análisis de la energía en una onda que se propaga a través de un medio elástico se utilizará como modelo la cuerda y el resultado se extenderá a todas las ondas elásticas a través de la generalización de la ley de Hooke.

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Figura 1 Energía Cinética La energía cinética de un elemento de cuerda de longitud

y de masa

(Figura 1) será igual a:

aquí corresponde a la velocidad de vibración del mismo. Aquí es el área de la sección transversal de la cuerda y su densidad volumétrica. Con base en esto la expresión anterior toma la siguiente forma,

donde corresponde a la densidad de energía cinética de la cuerda. Se mide -3 en J.m . Esta relación es de validez general para todos las ondas elásticas tratadas en esta lección. En el caso de las ondas en los hilos o filamentos (cuerdas muy delgadas) y en los resortes es de mayor uso la densidad lineal de energía cinética ; como de la cuerda, se obtiene,

, siendo

la densidad lineal de masa

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se mide en J.m-1 . Energía Potencial El elemento de cuerda cuando pasa la onda a través de él es estirado por la acción de la fuerza de tensión cuya magnitud es , que ejerce la porción de la cuerda izquierda (onda viajando hacia valores crecientes de ) y almacena energía potencial debido al trabajo realizado por dicha fuerza,

donde

corresponde a la deformación sufrida por la cuerda que medía

pasó a medir

y

, es decir,

haciendo aproximación binomial,

donde corresponde a la densidad lineal de energía potencial de la cuerda. Se mide en J.m-1 . La densidad volumétrica de energía potencial de la cuerda, la cual se mide en J.m-3, sería,

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Sin embargo en el caso de la cuerda es más empleada

.

Observe que la densidad de energía potencial es proporcional al cuadrado de la pendiente, por lo que el elemento de cuerda que está en una cresta o en un valle carece de energía potencial, lo cual confunde puesto que en el modelo de partícula oscilando armónicamente debería tener la máxima energía potencial. Es aquí en donde no debemos usar el modelo de partícula sino de elemento continuo, y así se entiende que no posee energía potencial es porque no está deformado. El elemento que está pasando por la posición de equilibrio tiene máxima energía potencial (es el que está más deformado).En la siguiente simulación se observa una onda viajera propagándose hacia la derecha; es fácil ver que cuando un elemento de cuerda pasa por la posición de equilibrio está más estirado (tiene las partículas más separadas) y es en esta situación que tiene mayor pendiente. Según la ley de Hooke generalizada el parámetro de elasticidad de la cuerda

es, , por lo que la densidad volumétrica de energía potencial generalizada para una onda elástica será,

10.-BIBLIOGRAFIA

Facultad de Ciencias. Universidad Nacional de Ingeniería. Manual de Laboratorio de Física, 1998. M. Alonso y E. Finn, Física, Vol. II, Fondo Educativo Interamericano, S.A. Francis W. Sears, Mark Zemansky, Hug D. Young, Roger A. Freedman, Física Universitaria – Volumen I, décimo primera edición, Addinson Wesley Lonman de México S.A. de C.V., México 2004. 14

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