Cubul Magic Part 1

Dr.arh. Cristian Dumitrescu

CUBUL MAGIC Culegere de exercitii de desen tehnic §i reprezentari geometrice Colecfia "LICEU"

EDITURA POLITEHNICA TIMI§OARA - 2005

Copyright © Editura Politehnica, 2005 Toate drepturile sunt rezervate editurii. Nici o parte din aceasta lucrare nu poate fi reprodusa, stocata sau transmis5 prin indiferent ce forma, fara acordul prealabil sens al Editurii Politehnica. EDITURA POLITEHNICA Bv. Republicii nr. 9 1900 Timisoara, Romania Tel. 0256/403.823 Fax 0256/403.021

Consilier editorial: prof.dr.ing. Sabin IONEL Redactor: Qaudia MIHALI Tehnoredactare: Eduard MAN, Ovidiu MIC§A CorecturS: arh. Mirela SZTTAR, arh. Erika DUDA§

Bun de imprimat: 27.01.2005 Coli de tipar:20,5 C.Z.U. 744' ISB N 9 73 - 625 - 06 3 - 6

Tiparul executat sub comanda nr. 34 la Central de MultipHcare al UniversitS^ii "Politehnica" din Timi§oara

Cuvant inainte

Cubul fmparte, fmpreuni cu sfera, privilegiul atSt de prejios al unei perfecjiuni geometrice si estetice inegalabile fn lumea ideaia a corpurilor geometrice. Cubul reprezinta perfecfiunea formelor plane, sfera pe a celor curbe, ambele recunoscute de clasicii geometriei si arhitecturii elene §i perpetuate pana fn zilele noastre. Suport al diferitelor orientari geometrice si incarcat de conotafii simbolice, cubul a stat la baza unor orientari stilistice in evolufia artelor si a arhitecturii, generand realizari remarcabile. Dar cubul poate servi, asa cum arata si lucrarea de fa{a, si ca partener in formarea vederii in spafiu, a deslusirii tainelor reprezentarilor bidimensionale a formelor spafiale, in desavarjirea unui limbaj graflc in desenul tehnic, pentru to{i cei care cautS s3 comunice prin el. Cubul, acest erou al lucrarii de fa^a, il initiazS pe cititor in tainele reprezentarilor din desenul tehnic si ajuta la formarea abilita{ilor de a imagina si a reprezenta plan, diversele obiecte din spafiu. Cubul formativ din acest volum poate fi considerat o continuare a jocurilor tangramelor chinezesti sau dominoului din reprezentarile plane, a cubului Soma sau eel al lui Rubik, fn variantele spafiale. Cubul Soma inventat de danezul Piet Hein este format din sapte piese, alcatuite din trei sau patru cuburi lipite intre ele, ce pot alcatui diferite forme spafiale, iar eel al arhitectului maghiar Erno Rubik din 27 de cubulefe care trebuie rotite pana cdnd fefele cubului mare sunt la fel colorate. Lucrarea de faja constituie o metoda didactica, perfecfionata pe parcursul multor ani de activitate la catedra. Imaginile plane ale diferitelor elemente spajiale sunt reprezentate tn epura, axonometrie si, in final, in perspectiva fntr-o anumita relafie cu un cub cadru. Cu aceste imagini apoi se efectueaza anumite operajii de

vizualizare, pozifionare si prelucrare, grupate in 12capitole pe o anumita tematica. Astfel, dup8 ce se prezinta nojiunile introductive privind reprezentarea fn epura si axonometrie a formelor spafiale (cap. 1), ele sunt vizualizate din diferite zone spajiale (cap.2), pozifionate (cap. 3) si construite fn spa{iu plecand de la anumite elemente componente (cap 4), fnscrise unele fn altele sau tangente (cap.5), desfasurate pe un plan (6) sau transformate geometric (7), sech'onate (8), rotite (9) sau intersectate cu diferite corpuri pline sau goluri (10). Capitolul 11 fnfafiseaza aceste volume fntr-o proiecjie conica prin imagini perspective, iar fn ultimul capitol se prezinta comparativ toate aceste reprezentari plane ale elementelor spajiale: epura, axonometrie si perspectiva libera. Lucrarea se fncheie cu o serie de construcfii grafice, grupate pe diferite categorii la care se va apela de cite on este nevoie. Toate aceste operatii, realizate pe volume din ce fn ce mai complexe, sunt dezvoltate si relafionate astfel incat formeaza, la eel care are tenacitatea si puterea s3 le parcurga, abilita^i fn reprezentarea plana a spa(iului fn diferite ipostaze. Fiecare exercifiu cuprinde un enun{ cdt mai concis fmpreuna cu obiectivele urmarite, cu,nostin{ele necesare si metoda optima pentru rezolvarea lui, precum si criteriile de evaluare. Majoritatea exercifiilor sunt rezolvate, fie fn cuprinsul aceleiasi pagini, fie pe pagina alaturata, pentru a facilita compararea rezultatelor obfinute cu cele corecte. Obiectivele didactice urmarite de prezenta lucrare se refera la urmatoarele domenii: • cognitiv, legat de pachetul de cunostinfe teoretice transmise; • afectiv, legat de interiorizarea unor norme sau valori formale; • psihomotor, axat pe formarea unor deprinderi fn reprezentarea spafiului Relafionarea fn cadrul culegerii, a acestor exercijii, gradul lor de dificultate la un moment dat, eft §i calea de rezolvare

moment dat, eft $i calea de rezolvare preconizata corespund unor principii, norme s.i reguli didactice perfecjionate fn timp. Cu toate ca sunt specifice si altor metode didactice, aceste principii alcatuiesc acea normalitate specifics oricSrui proces de invajare si formare, reflecta anumite legitaji objective si confirmate practic, au capatat valoarea unor linii orientative. tn cazul metodei de fafa ele sunt: • principiul participant con$tiente fi active, cere existenfa motivate! necesare fn rezolvarea exercifiilor eft si a modalitSfilor practice de realizare a acestui scop; • principiul intuifiei, bazat pe uncle aptitudini native, cu un rol important fn nofiunile teoretice, reprezentarile spafiale, si abilitafile pe care $i le formeazS subiectul; principiul studiului sistematic fi continuu, cere ca toate cuno§tin(ele, priceperile si deprinderile sil fie fnsusite fntr-o anumita ordine logica, dupa un anumit sistem care s& asigure $i o fnvajare progresiva, motiv pentru care este indicata respectarea ordinii exercijiilor; •principiul insujirii temeinice a cunoftinfelor ji deprinderilor, materializat printr-o limitare cantitativa a volumului de studiu, verificari imediate a rezolvaiilor gasite §i un timp optim pentru stabilizarea cunoslinfelor si, mai ales, a deprinderilor; •principiul accesibitttdfii fi individualizSrtt exercifiilor, potrivit caruia rezolvarea lor trebuie s& se fac2 trecand de la necunoscut la cunoscut, de la usor la greu. de la simplu la complex, bazandu-se pe posibilitajile reale ale elevului, (inandu-se seama de pregatirea anterioara din liceu si de deosebirile individuate, de potenpalul intelectual si fizic al fiecarui subject fn parte; •principiul conexiunii inverse (feed back) ce exprima cerinja refntoarcerii si a imbunatajirii din mers a rezultatelor, a revenirii la acele exercifii care au creat probleme fntr-o anumita etapa de studiu. Rezolvarea exerci{iilor poate fi facuti singular de catre fiecare elev avand la fndemana solu}iile pentru fiecare caz, sau sub fndrumarea unui profesor care sa (ina seama fn

gradarea lor, de cunojtinfele, aptitudinile si motivafia elevului. Metoda fn sine este activ-participativa pentru cS ajuta elevul sa caute, sa cerceteze ;i s£ afle singur solu{ii la execifiile propuse, sS prelucreze datele, ajungSnd la reconstituiri si resistematizari de forme fn lumina noilor experience, ce conduc fn ultima instanja la formarea abilitafii de a vedea in spa{iu ji de a-1 reprezenta. In evaluarea rezultatelor se va {ine seama de corectitudinea rezolvarii, de numarul ?i felul grejelilor constatate, eft §i de intervalul de timp fn care ele au fost rezolvate. Toate exercitiile prezentate si rezolvate in mare parte, se bazeazS pe cunostinfe elementare de geometric descriptiva, prezentate atat c§t. este cazul la fnceputul fiecarui capitol. Aceasta geometric descriptiva ce asigura corespondenfa spatfu-plan prin proiecfiile ortogonale din epura, reprezinta baza proiectarii fn domeniul tehnic, arhitectura 51 construcu'i $i reprezinta, fn esenja, un mijloc de comunicare, limbajul procesului de creafie. Volumele fnscrise fn cub, cu care se opereaza in aceste exercifii, sunt cele pe care un absolvent de liceu le cunoas. te, din categona formelor poliedrate sau a celor de rotate. Pentru a-$i atinge scopul este necesara ji o flexibilizare formativa, o adaptare didactica a confinutului acestor exercifii la capacita^ile intelectuale $i apdtudinile elevului, fn sensul unei simplificari sau amplificari a dificultafii si complexita(ii exercifiilor ji a formelor geometrice cu care se lucreazi. Autorul mulfumejte tuturor celor care au contribuit la aparifia acestei lucrari, colegilor de catedra pentru sugestiile avute, studenfilor ce au realizat majoritatea desenelor ?i au prelucrat materialului grafic pe calculator. tn acelasi timp, va fi recunoscator acelora care vor face propuneri privind fmbunatajirea conjinutului acestei metode, a dificultafii exercifiilor si relajionarii acestora pentru o eventuaia viitoare edifie. Autorul

REPREZENTARI IN EPURA §1 AXONOMETRIE

REPREZENTARI GEOMETR1CE fN EPURA §1 AXONOMETRIE 1.1. Generality! Odata cu progresul tehnic, ce a patruns in toate domeniile activitafii umane, a crescut si rolul desenului tehnic ca limbaj grafic.Toate realizarile contemporane prin studii §i calcule se bazeaza pe reprezentari grafice precum desene de execute, planuri de ansamblu, diverse detalii etc. Existind la inceput reguli empirice de exprimare prin desen a obiectului ce unrta sa fie executat, in decursul timpului ele au evoluat, pentru ca astazi desenul tehnic sa aiba reguli precis stabilite §i unanirn acceptate, bazate pe reprezentari geometrice clare, ce fac legatura intre concep{ie, proiectare si execute. Rezulta astfel, ca obiectul desenului tehnic este de a expune norme si reguli de reprezentare geometrica a unui obiect din spajiu intr-o imagine plana, prin reprezentari in epura, axonometrie sau perspectiva, cu ajutorul a doua sisteme proiective.. Corespondenja biunivoca intre punctele din plan fa{a de cele din spa|iu, determina ca operafiile grafice ce se pot realiza in spa{iu sa se poata efectua §i intr-o reprezentare bidimensionala. In consecinja reprezentSrile geometrice utilizate in desenul tehnic sunt legate direct de tehnica, in ceea ce privefte sursa si aplicafiile, iar in privinfa metodelor de rezolvare sunt

legate de matematica, de geometria descriptiva si, in mod special, de geometria plana si in spafiu. Pentru tofi cei care lucreaza in domeniul tehnic - atit in proiectare clt si in execute -aceste reprezentari geometrice contribuie la modelarea gindirii, formeaza indeminarea, precizia ?i siguranja necesara rezolvarii grafice a tuturor problemelor aparute in activitatea de proiectare, conduce la dezvoltarea capacitafii de „ a vedea in spafiu " AceastJ aptitudine se obfine prin insusirea deprinderii de a reprezenta corpurile din spatiu prin imagini plane si, invers, de a imagina volumele din spajiu prin simpla ,,citire" a desenelor. Acesta este si rolul actualei culegeri de exercitii, ce urmare$te fonnarea aptitudinilor de reprezentare bidimensionala a spajiului, cu ajutorul unei metode didactice bazata pe reprezentarea, vizualizarea, pozifionarea, secfionarea si intersectarea unor eiemente geometrice inscrise intr-un cub cadru. In acest capitol se prezinta succint nofiunile teoretice si aplicatiile aferente lor privind reprezentarile in epura §i axonometrie ale unor eiemente geometrice primare: punct, dreapta, plan si volume simple (fig. 1.1), toate intr-o relate directa cu un cub suport.

Fig.1.1.

CUBUL MAGIC 1.2. Sisteme de proiecfii Clasificarea desenelor tehnice poate fi facuta dupa mai multe criterii, dintre care unul este s. i modul in care sunt realizate proiecfiile. Proiecfia reprezintS imaginea unui element geometric din spafiu trimisa pe un plan, numit plan de proiecfie, cu ajutorul unor drepte numite proiectante. Domeniul reprezentarilor geometrice ?i al desenului tehnic utilizeaz5 doua tipuri de sisteme de proiecfie: • centrala sau conica; • paralelS sau cilindrica. 7.2.7. Proiecfia centra/a sau conica In acest caz proiectantele care urmaresc conturul obiectului din spafiu se adunS toate intr-un punct Q, numit centru de proiecfie. In fig. 1.2. a este aratata proiecfia centrala abc a unui triunghi ABC din spafiu. Se pot constata urmatoarele: • unui punct din spafiu Ji corespunde un singur punct din planul de proiecfie P; • corespondenfa nu este Insa biunivoca, deoarece pentru un punct din planul de proiecfie, pozifia din spafiu este nedeterminata; • paralelismul a doua drepte nu se pastreazS, dar se pastreaza concurenfa lor; • concilia necesara s.i suficienta ca doua drepte din spafiu sa aiba proiecfiile conice paralele este ca ele sa mtilneasca o dreapta paraleli cu planul de proiecfie P §i care sa treaca totodata prin centrul de proiecfie Q.

1,2.2. Proiecfia paralela sau cilindrica Apare in cazul clnd centrul de proiecfie este aruncat la infinit intr-o direcfie A cu care proiectantele devin paralele. In cazul in care proiectantele sunt perpendiculare pe planul de proiecfie, proiecfia cilindrica este ortogonala sau dreapta ( fig. 1.2.C,) iar cind ele sunt oblice, proiecfia se numeste oblica (fig. 1.2. b). Aceasta proiecfie este definita de planul de proiecfie ?i de direcfia A cu care proiectantele sunt paralele, presupun§ndu-se ca aceasta nu este paralela cu planul de proiecfie P. In acest sistem de proiecfie se constata: • un punct are proiecfia tot un punct, iar o dreapta se proiecteaza de asemenea tot dupa o dreapta, afar5 de cazul cind ea este paralela cu direcfia proiectantelor; • $i In acest caz, la fel ca in cazul proiecfiei centrale, corespondenfa dintre punctele din spafiu §i cele ale planului nu este biunivoca, intr-un punct din plan proiectindu-se toate punctele de pe direcfia proiectantei; • doua drepte paralele ramm tot paralele, iar cele concurente is.: pastreaza concurenfa, deoarece au in comun punctul de intersectie §i proiectanta acestuia pe planul P. In cazul cand proiecfiile sunt confundate, planul determinat de dreptele concurente este paralel cu direcfia de proiecfie A; • o figura plana paralela cu planul de proiecfie se proiecteaza cilindric in adevarata marime.

REPREZENTARI IN EPURA SI AXONOMETRIE 1.3. Proprietati proiective, afine si metrice Intre elementele geometrice din spajiu si cele proiectate se stabilesc o serie de relajii bazate pe urmatoarele tipuri de proprietati: 1.3.1. Proprietati proiective Apar in cazul proiectiei conice, cmd o proprietate a figurii din spatiu se mentine si in proiecfie. Cazurile uzuale de proprietati proiective se refera la concurenja a doua sau mai multor drepte si la colinearitatea a trei sau mai multor puncte. Proprietafile referitoare la lungimi, in general, nu sunt proiective, dar raportul armonic a patru puncte colineare - expresie metrica care se construieste cu ajutorul lungimilor - este totusi proiectiv ( fig, 1.3. a). Astfel: AC/BC : AD/BD = ac/bc:ad/bd 7.3.2. Proprietati afine Apar in cazul proiectiei cilindrice pe un plan oarecare, cind se menfin proprietafile figurii din spajiu fafa de cea proiectata. Un exemplu de astfel de proprietafi ar fi paralelismul a doua drepte. Deoarece proiecfia cilindrica este un caz particular al proiecjiei conice, rezulta ca proprietatile proiective sunt, in acelasi timp, si proprietaji afine, reciproca nefiind insa adevarata. Raportul simplu a trei puncte coliniare este, de asemenea, o proprietate afina (fig. 1.3.b):

AB/AC = ab/ac Mijlocul B al segmentului AC, va fi si mijlocul b al segmentului ac, adica, in proiec{ie paralela, se pastreaza simetria fata de un punct. Intre elementele geometrice continute in doua plane care se interecteaza dupa o axa ox, se stabileste o corespondenta biunivoca, numita si corespondenfa perspectiv - afina, in care se pastreaza coliniaritatea, raportul simplu si raportul armonic. 1.3.3. Proprietati metrice Sunt acele proprieta{i ale unei figuri in care apar lungimi si unghiuri. Ele nu sunt nici proiective si nici afine, deoarece nu se menjin nici in proiecda conica si nici in cea cilindrica. Astfel, daca doua drepte din spatiu sunt perpendiculare, proiecfiile lor pe un plan paralel cu una din ele sunt tot perpendiculare (fig. 1.3. c). Reciproca este de asemenea adevarata: doua drepte din spafiu sunt perpendiculare, daca proiecdile lor pe un plan paralel cu una din ele, sunt perpendiculare. Proprietate metrice se refera in general la cazurile de paralelism ale elementelor geometrice din spatiu cu planul de proiecfie. Pe ele se vor baza metodele geometriei descriptive, atunci cind dorim sa aflam adevaratele marimi ale elementelor spatiale.

Fig.1.3.

10 1.4. Tipologia reprezentarilor bidimensionale

Tipologia reprezentarilor spafiului pe un plan este strins legata de cea a sistemelor de proiecfie. Acestea pot fi: Epura, care este obfinuta prin proiecfia cilindrica dreapta a volumelor din spafiu, pe un sistem de trei plane perpendiculare doua cite doua, deoarece proiecfia pe un singur plan nu determine obiectul (fig. 1.4. a). Volumul care urmeaza sa fie proiectat, se ajeaza in triedrul de referinfa Intr-o pozifie particulara, adica eel pufin o muchie sau o fafa a acestuia sa fie paralela sau perpendiculara fafa de eel putin unul din planele de proiecfie. Cea mai simpla reprezentare ortogonala este epura lui Monge, obfinuta prin doua proiecfii, ce pastreaza toate relafiile metrice, inclusiv suprafefele si unghiurile. Epura prezinta gradul eel mai Inalt de abstractizare si se mdeparteaza eel mai mult de percepfia vizuala a obiectului din spafiu. Reprezentarea bidimensionala este de fapt o desfasurata a celor trei plane de proiecfie prin rabaterea a doua dintre ele pe planul vertical. Axonometria, care reprezinta proiecfia cilindrica sau conica a unui obiect din spafiu pe un plan fafa de care nu se afla Intr-o pozifie particulara. Ea este mai aproape de percepfia vizuala a obiectului din natura, oferind o imagine calitativa de volum. Din pacate, fiind o proiecfie pe un singur plan, nu se pastreaza toate relafiile metrice reale.

CUBUL MAGIC Din varietatea imaginilor axonometrice, cele mai utilizate sunt reprezentarile: • izometrica, cind axele proiectate fac intre ele unghiuri de 120° si unitafile de masura pe ele sunt egale, u* = uy = uz (fig. 1.4. b); • dimetrica, in care doua axe sunt perpendiculare iar a treia se gaseste in prelungirea bisectoarei avind pe ea la jumatate unitafile de masura ux = 2uy = uz (fig. 1.4 c). Aceste doua tipuri vor fi utilizate In lucrarea de fafa, prima avtnd avantajul unei execufii mai facile, dar o vizualizare dificila pe direcfia diagonalelor. Perspectiva, ce reprezinta a treia posibilitate de reprezentare bidimensionala a obiectelor din spafiu si cea mai apropiata de realitate, Aceasta apropiere se obfine in dauna relafiilor metrice (lungimi, suprafefe, unghiuri) care se deformeaza, facind dificila interpretarea sau ,,masurarea" obiectului reprezentat. Exista, si In acest caz, mai multe modalitafi de reprezentare a obiectului din spafiu, intr-o perspective: • frontala, realizata cu ajutorul unui punct numit punct de distanfa ; • la doua puncte de fuga, pe un tablou vertical (fig. 1.4. d); • la trei puncte de fuga, cind tablou I perspectiv este un plan Inclinat. La ultimele doua cazuri, variantele cele mai u§oare de construcfie §i masurare se realizeaza cu ajutorul unui punct numit ,,punct de masura". Aceste trei variante de prezentare perspective vor fi detaliate In capitolul 11.

REPREZENTARI IN EPURA SI AXONOMETRIE 1.5. Linii $i scari de marline utilizate in desenul tehnic Elaborarea unui proiect al unui obiect, fie ca reprezinta o piesa tehnica sau o casa, comporta o serie de etape succesive in care, prin desene, se realizeaza imaginea conceputa ce aprofundeaza tema, de la ansamblu la detaliu. Fie ca reprezinta planuri, vederi, secfiuni sau imagini spafiale, axonometrice sau in perspectiva, aceste desene se realizeaza prin trasarea unor linii, la o anumita scara. 7.5.7. Linii utilizate in desenul tehnic In desenul tehnic, in general, conform STAS 1434-83 sunt utilizate mai multe tipuri de linii: continua, intrerupta, linia punct si linia doua puncte, avlnd trei grosimi ( b, b/2, b/4 ). In arhitectura, in general, si particularizind la lucrarea de fa{a, vom utiliza urmatoarele categorii de linii: Linia continua • groasa ( b )

A - linia de contur a parfilor sec{ionate, B linia chenarului de desen; • mijlocie ( b/2) C - muchii vazute in vedere sau sectiune; • sub(ire(b/4)

D - linii de cota si ajutatoare, linii de constructie pentru volume; E - hasuri pentru indicarea suprafefelor secjionate sau in adevarata marime.( in cazul lucrarii ele sunt inlocuite cu tente plate ); Linia intrerupta F - muchii nevazute ascunse dupa planul de secfionare sau acoperite de alte elemente sau materiale ( b/2 - b/4);

11 Linia punct G - traseele de secjionare avind capetele cu linie groasa (b/2 - b/4); H - orice fel de axe,cu excepjia axelor de goluri (b - b/4). Grosimea liniilor se alege din urmatorul sir de valori exprimat in mm: 2-1,4-1-0,7-0,50,35-0,25-0,18 . La linia intrerupta lungimea segmentelor se ia de cca. 4 ori spatiul dintre segmente. La linia punct, lungimea segmentelor depinde de scara desenului, cu menfiunea ca incepe si se termina in mod obligatoriu cu segmente de linie. Ca linie de baza a unui desen se considers linia continua groasa (b) cu care se traseaza conturul paitilor secrionate, toate celelalte linii fund corelate cu aceasta. La acelasi desen realizat in creion, se recomanda folosirea numai a celor trei grosimi relative de linii, dar la desenele in tu§ se pot utiliza mai multe grosimi de linii. 7.5.2. Scara unui desen Scara grafica a desenului reprezinta raportul dintre marimea reala a obiectului §i a celui desenat si se alege in funcfie de faza de proiectare, de scopul urmarit sau de complexitatea piesei. Scarile utilizate frecvent in desenul tehnic sunt: 1/1000, 1/500, 1/200, 1/100, 1/50, 1/20, 1/10, 1/5, 1 12, 1/1. De exemplu, la scara 1/50 un metru din realitate reprezinta pe desen doi centimetri. In toate desenele si imaginile folosite in aceasta lucrare, find vorba de corpuri virtuale, scara desenului este mai pujin relevanta.

Fig. 1.5.

12

CUBUL MAGIC

REPR EZE

1.6. Reprezentarea in epura sj axonomctrie 1.6.1. Generality

Epura reprezinta proiecfia cilindrica ortogonala a obiectului, pe un sistem de doua sau trei plane de proiectie, perpendiculare intre ele si paralele cu axele de coordonate spafiale. Cea mai simpla reprezentare in epura apare intr-un sistem dublu ortogonal (Monge), format din doua plane perpendiculare de proiectie: unul vertical [V] §i altul orizontal [H]. Dreapta de intersectie ox dintre aceste doua plane se numeric ,,linia de pamint". Pentru mfelegerea si redarea mai completa a formei obiectului reprezentat, se introduce un al treilea plan de proiectie, perpendicular pe celelalte doua, numit plan lateral [L]. In aceasta reprezentare orice obiect din spatiu va avea trei proiectii: • proiectia verticala sau vederea din fa(a; • proiec(ia orizontala sau vederea de sus; • proiectia laterala sau vederea din stanga. Pentru a fi reprezentate in doua dimensiuni, deci pe un plan, proiectiile orizontala si laterala se separa de-a lungul axei oy si sunt aduse in planul proiectiei verticale, rotindu-se in jurul axelor ox si respectiv oy (fig.l.6.b,c). Aduse astfel in acelasi plan, se poate observa usor corespondenfa celor trei proiec{ii. Epura, prin proiectiile sale ortogonale, pastreaza relafiile metrice ale obiectului reprezentat dar, prezinta gradul eel mai inalt de abstractizare dintre toate reprezentarile bidimensionale si se indeparteaza eel mai mult de percepfia vizuala a obiectului din spajiu. Axonometria este mai aproape de aceasta perceptie vizuala, insa, fund o proiecfie pe un singur plan, nu permite toate tipurile de masuratori si nu pastreaza o serie de relatii metrice cum sunt suprafetele si unghiurile, care apar deformate. In fig. 1.6. a, este prezentata axonometria dimetrica a unui volum inscris fntr-un cub cadru, impreuna cu proiec(iile pe cele trei plane, In fig. 1.6. b, epura rezultata impreuna cu conturul planelor de proiectie, iar in fig. 1.6. c, numai proiecfiile inscrise in cubul cadru, asa cum vor fi prezentate in majoritatea epurelor din lucrarea de fata, impreuna cu notatiile axelor de proiectie.

?$.

a1

a'=x

a"=y,

Fig. 1.6.

REPREZENTARI IN EPURA §1AXONOMETRE5

C UB UL M A GIC

a"=y.

F ig. 1.6. Fig. 1.7.

13

1.6.2. Reprezentarea in epurS si axonometrie a punctului Pozifia unui punct A din spafiu este determinata de trei coordonate descriptive ale sale, care sunt: abscisa, departarea §i cota Abscisa punctului este distanfa sa fa{a de planul lateral de proiecfle [L] $i se masoara pe axa ox, Dep&rtareapunctului este distanfa sa faja de planul vertical de proiecjie [V] $i se soara ma pe axa oy. Cota punctului este distanja sa fafa de planul orizontal de proiecfie [H] $i se masoara pe axa oz. In fig. 1.7. a se prezinta axonometria dimetrie^ a unui punct A din spafiu, de la care, prin proiectii cilindrice drepte, se objin imaginile a, a'si a". Prin separarea planului orizontal [H] de eel lateral [L] $i rabaterea acestora pe planul vertical de proiectie [V], se obtine o reprezentare bidimensionala a punctului din spatfu, prin cele trei proiectii ale sale, numitS epurS. Se observa ca, atit in axonometrie, cit si fn epufa segmentele de dreapta care masoara abscisa, departarea si cota lui A, se afla respectiv pe axele ox, oy, oz., dar se pot mdsura in mai multe feluri, pe laturile paralele cu cele trei axe ale paralelipipedului de pozijie al punctului A care se formeaza. Alaturi de epura punctului A se prezinta pentru comparable $i epurele punctelor B ?i C situate si ele pe muchiile cubului cadru. * Coordonatele punctului A au toate valori pozitive $i se scriu fntr-o paranteza mica in ordinea prezentata: A(30,40,40). CTnd una dintre coordonate are valoarea 0 InseamnS ca punctul se aflS situat fntr-unul din planele de proiecfie. fn lucrarea de fa$ nu vom lucra cu coordonatele elemeritelor geometrice din spa{iu, specifice geometriei descriptive ci vom cauta o poziponare a lor pe diviziunile la sfert ale muchiilor cubului cadru unde acestea sunt pozifionate, originea fiind la un coif (fig. 1.7. c) fn felul acesta, nelucrind cu coordonatele descriptive, exercifiile prezentate sunt de domeniul geometriei proiective.

14

CUBUL MAGIC

1.6.3. Reprezentarea dreptei fn epura §i axonometrie O dreapta D din spadu poate fi determinata fie de doua puncte, fie de un punct §i o direcde data. O dreapta care nu este nici paralela, nici perpendiculars pe unul din planele de proiectie este o dreapta oarecare §i are trei proiectii: (d) - proiectia orizontala pe planul [ H ]; (d') - proiectia verticals pe planul [ V ]; (d" ) - proiectia lateral! pe planul [ L ];

Urmele dreptei

Punctele de intersectie ale unei drepte cu planele de proiectie se numesc urmele dreptei. Urmele orizontalS, verticala §i laterals sunt de fapt punctele dreptei care au respectiv cota, departarea sau abscisa nule. Urmele dreptei se noteaza de obicei H(h,h'), V(v, v'), L(l, 1') deci avind aceeas.i notatie ca si planul de proiectie cu care se intersecteaza. In fig. 1.8. este prezentata axonometria 51 epura unei drepte oarecare (D), la care au fost figurate urma orizontalS H §i verticala V. !n cazul exercitiilor din prezenta lucrare se va apela mai putin la urmele dreptei, dar injelegerea lor este necesarS pentru clarificarea rezolvarilor.

Determinarea unui punct situatpe dreapta Se cere sa se determine pe dreapta oarecare (D) un punct M avtnd cota data. Se duce in epura o paralela la linia de pamint la cota data §i se gSses.te proiectia m' $i apoi, prin coresponden^a, se determina proiec{ia orizontala m, §i cea laterals m".

Pozifiile particulare ale dreptei In figurile din pag 15 sunt redate, in axonometrie dimetrica, si epura pozijiile particulare ale dreptei in sistemul de proiecfie triortogonal, ajutindu-ne de un cub suport. Pentru comparatie se poate vedea dreapta oarecare AD (fig. 1.9,10.). Pozijiile particuare se refera la dreptele paralele §i perpendiculare pe planele de proiectie. Astfel, dreptele paralele cu planele [ H ], [V1 §i [ L ] sunt, respectiv, dreptele orizontala, frontala ?i de profil, iar dreptele perpendiculare pe planele de proiectie sunt, in aceeasj ordine dreapta verticala, de capat §i cea fronto-orizontala (fig. 1. 11,12,13,14,15,16.). As.a cum se poate observa, dreapta fronto -orizontala este, in acelaji timp, §i orizontala §i frontala, dreapta de capat este simultan orizontala §i de profil, iar dreapta verticala este in acelaji timp, dreapta frontala s.i de profil.

R E PR E Z E N T A 1

\ F ig . 1 .9 . D re a p ta o r a'

b'

Poy(ia relativa a doua drepte Doua drepte din spa^iu pot avea urmatoarele pozi(ii relative: paralele, concurente sau oarecare. Conditia necesara si suficienta ca doua drepte din spa{iu sa fie paralele, este ca proiecdile lor de acela$i nume sa fie paralele. Conditia necesara §i suficienta ca doua drepte s5 fie concurente in spatiu, este ca proiecdile lor de acela§i nume sa fie concurente, respectiv in doua puncte situate pe aceeasj linie de ordine perpendicualra pe ox. DacS. aceasta condirie nu este indeplinita avem situada a doua drepte oarecare.

D r e a p ta

d' f=

Fig. 1.8.

REPREZENTARI fN EPURA §1 AXONOMETRIE

15

Dreapta oarecare

a'

Fig. 1.10.

Fig. 1.9.

Dreapta orizontald [|| H] a'

1

b

Dreapta frontalS [|| V]

Fig. 1.12.

Dreapta de profil [|| L]

v

b"

Fig. 1.13.

b" a"

t___ Fig. 1.11. Dreapta verticala [XH] f

f"

Dreapta de capSt [X V] orlzontala [X L]

Dreapta fronto -

a e"=k"

Fig. 1.16.

16

CUBUL MAGIC

1.6.4. Reprezentarea planului in epura si axonometrie Definirea unui plan Un plan poate fi definit prin doua drepte paralele, doua drepte concurente sau un punct si o dreapta. Unind urmele orizontale a doua drepte care determina un plan P, se determina urma orizontala PH a planului. Tot astfel se poate determina urma verticals Py si urma laterals PL, cele trei urme formand un triunghi in spafiu usor de infeles (fig. 1.17.). Planul poate fi reprezentat atSt in epura cat si in axonometrie, fie prin urmele sale, fie printr-un contur spatial, ultima variants fund utilizata frecvent in lucrarea de fafa. Punct yi dreapta confinuta de un plan O dreapta D este confinuta intr-un plan oarecare P, daca urmele sale se gSsesc pe urmele de acelasi nume ale planului. Un punct M se afla confinut intr-un plan oarecare P, daca se gSseste pe o dreapta D confinuta in acel plan. In fig. 1.18. se prezinta in axonometrie dimetrica si epura o dreapta D si un punct M, confinute in planul oarecare P. De fapt, printr-un punct M care se afla intrun plan se pot trasa, in afarS de dreptele oarecare, urmatoarele drepte particulare, paralele cu planele de proiecfie: orizontala, frontala si de profit.

Fig. 1.17.

Pozifii particulare ale planului Pozifiile particulare ale unui plan in raport cu planele de proiecfie se refera la cazurile de paralelism si perpendicularitate fafa de aceste plane, iar denumirile sunt identice cu ale dreptelor particulare exceptind cazul planului perpendicular pe planul lateral. Aceste pozifii sunt urmatoarele: • plan de nivel, paralel cu [H], fig. 1.19. • plan frontal, paralel cu [V], fig. 1.20. • plan de profit, paralel cu [L], fig. J.21. • plan vertical, perpendicular pe [H], fig. 1.22. • plan de capat, perpendicular pe [V], fig. 1.23. • plan paralel cu axa ox, perpendicular pe [L], fig. 1.24. Drepte §iplane paralele Doua plane paralele vor avea intotdeauna urmele de acelasi fel, paralele intre ele. O dreapta DI paralela cu un plan P, dusa printr-un punct exterior planului, va fi paralela cu o dreapta D2 confinuta in acel plan. Problema are o infinitate de solufii Invers, un plan paralel cu o dreapta DI dusa print-un punct exterior ei, va trebui sa confina o dreapta D2 paralela cu dreapta DI. Once plan ce confine dreapta DI, confine o solufie a problemei care este astfel nedeterminata.

Fig. 1.18.

CUBUL MAGIC

REPREZENTARI IN EPURA §1 AXONOMETRIE

Plan orizontal [|| H]

17

Plan frontal \\\ V]

leplanului ale unui plan in raport se refera la cazurile de sularitate fafa de aceste sunt identlce cu ale tceptind cazul planului lateral. rmStoarele: lei cu [H], fig. 1.19. dcu[V], fig. 1.20. alelcufL], fig. 1.21. pendicular pe [H], fig.

P lan de p ro fil [n L ]

z

z L PL

V Pv

pendicular pe [V], fig. a ox, perpendicular pe

z V

L PL

o H

Fig. 1.19.

J PH

r le vor avea intotdeauna alele intre ele. 12 cu un plan P, dusa )lanului, va fi paralela I in acel plan. ProbleJtii ! cu o dreapta D I dusai, va trebui sa confina Ireapta D I. O rice plan confine o solu{ie a nedeterm inata.

o

H

Fig. 1.20.

Plan vertical [i H]

K-

V

•*

L

Pv

o PH

H

Fig. 1.21. P lan de capS t [1 V ]

P lan paralel cu ox [1 L] z

\

PH

Pv/

Fig. 1.22.

PL

Pv

Fig. 1.23. Fig. 1.24.

CUBUL MAGIC

18

Exercitiul 1.1 Enunf, obiective

Se cere sa se prezinte in epura proiecfiile unor elemente geometrice simple, pozijionate pe un cub cadru si prezentate in axonometrie dimetrica. Se urmareste formarea deprinderilor de corelare a unei imagini spafiale axonometrice cu epura de geometric proiectiva si fixarea modului de pozitionare in epura a proiecfiilor unor elemente geometrice bazice: punct, dreapta, plan. Cunostinfe necesare

Linii utilizate in desenul tehnic, sisteme de proiectii, reprezentarea in epura si axonometrie a elementelor geometrice simple.

Fig. 1.25.

Metoda de rezolvare

Se utilizeaza cele trei proiecjii sub forma de patrat ale cubului cadru §i relafia dintre diviziunile la sfert ale muchilor atestuia §i elementele geometrice. Se va urmari rabaterea planelor de proiecjie orizontal s.i lateral in continuarea celui vertical, pentru corecta pozifionare a acestor elemente. Punctele au fost pozifionate in general, pe coljurile si muchiile cubului cadru pentru a facilita reprezentarea in epura. Dreptele se prezinta sub forma unei linii frante alcatuite din maximum trei parfi, fiecare putind fi sau un segment de dreaptS, sau o porfiune de cere (sfert, jumatate, sau trei sferturi). Linia frinta are doua capete libere s.i nu formeaza un contur inchis, cand ar putea genera un plan. Planele sunt determinate de trei puncte pozifionate pe diviziunile muchiilor cubului cadru $i, pentru infelegerea lor, suprafafa acestora a fost evidenfiata cu o tenta plata. Alaturat, in figurile 1. 25, 26, 27, 28, se prezinta, relafionate in epura $i axonometrie dimetrica, aceste elemente geometrice, iar la exercifiile ce urmeaza sunt prezentate $i rezolvarile in epura, pe aceeaji pagina sau pe pagini alaturate.

m

Criterii de apreciere

Corecta relationare a celor trei proiecfii in cadrul epurei ?i pozi{ionarea corecta a elementelor geometrice in cadrul fiecarei proiec{ii.

Fig. 1.28.

CUBUL MAGIC

REPREZENTARI IN EPURA SI AXONOMETRIE Exercitiul 1.1. a - Enunt §' rezolvare Se cere sa se reprezinte in epura cele trei proiecjii ortogonale ale unor puncte, drepte sau plane, pozifionate pe un cub cadru §i prezentate m axonometrie dimetrica.

m1

Fig. 1.25.

m

Fig. 1.26.

c Fig. 1.27.

Fig. 1.28.

19

20

CUBUL MAGIC

Exercifiul 1.1. b - Enunt Se cere sa se reprezinte in epura cele trei proiecfii ortogonale ale unor puncte, drepte sau plane, pozifionate pe un cub cadru si prezentate In axonometrie dimetrica.

m1 m.

CU BU L M A GIC

uncte, drepte sau plane,

REPREZENTARI IN EPURA SI AXONOMETRIE Exercifiul 1.1. b - Rezolvare Se prezinta mai jos in epura cele trei proiecfii ortogonale ale unor puncte, drepte sau plane, pozifionate pe un cub cadru si infafijate in axonometrie dimetrica pe pagina anterioara.

V

21

22 ExercifiuJ 1.2. Enunf, obiective Se prezinta in epura proiecfiile unor linii frfnte pozifionate pe un cub cadru. Se cere imaginea lor spafiala" fntr-o axonometrie dimetricS, in corelare cu aceea a unui cub suport. Cunoi/tinfe necesare

Linii utilizate in desenul tehnic, sisteme de proiecfii, reprezentarea in epura 51 axonometrie a elementelor geometrice simple. MetodH de rezolvare Se deseneaza cele trei p5trate care reprezinta epura cubului cadru s.i, funcfie de muchiile ?i diviziunile lor, se rezoJva proiecfiile flecarei linii. In acest caz se realizeaza drumul invers faffS de exercifiul anterior, alegfndu-se exemple care merg de la simplu la complex. Astfel, toate liniile c2utate sunt frfnte, deschise, alcatuite din trei parfi, care se transforms succesiv, din segmente de dreaptS, in linii curbe ce reprezinta" fragmente de cere (sferturi, jumStaji 51 trei sferturi). fn felul acesta se exerseaza' 51" construcfia unui cere Inscris in patratul fefei cubului, atat fn axonometrie dimetrica cat si izometricS. Aceste construcfii grafice sunt prezentate in anexa de la sflrs.itul lucrarii §i utilizeaza diagonalele $i mediatricele fefelor pStrate. Este necesar, pentru aflarea imaginii axonometrice, si privim fn acelafi timp toate cele trei vederi pentru corecta pozifionare fn spa(iu a liniei Astfel, fn epurele prezentate fn fig.l. 29, 30, 31, 32, liniile frame prezentate au segmente drepte, la primeJe, pentru a avea numai curburi la ultimele. La exercifiul 1.2. a, pe aceeasj pagina se gasesc epurele, precum 51 rezolv5rile axonometrice, iar la exercifiul 1.2. b, acestea apar pe pagini diferite. Criterii de evaluare Corecta derulare a traseului dreptei si pozifionarea acesteia fn spafiu alaruri de construcfia exact! in axonometrie a porfiunilor curbe.

CUBUL MAGIC

REPR EZE1 Exercifi

Se cere axe se d5 epura

CUBUL MAGIC

REPREZENTARI IN EPURA SI AXONOMETRIE Exercifiul 1.2. a - Enun( si rezolvare

Se cere axonometria dimetricS a unor linii frante continute de fejele unui cub cadru arunci cSnd se da epura acestora.

I—

^

23

24

CUBUL MAGIC

Exercifiul 1.2. b - Enunf

Se cere axonometria dimetricS a unor linii Mnte confinute de fe(ele unui cub cadru atunci cand se d5 epura acestora.

CUBUL MAGIC

«ui cub cadru atunci cand

REPREZENTARI fN EPURA §1 AXONOMETRIE Exercifiul 1.2. b - Rezolvare Se prezinta mai jos axonometria dimetrica a unor linii frante confinute de fejele unui cub cadru, desenate in epura pe pagina anterioara.

71

7

25

26

Exercifiul 1.3. Enunf, obiective Se da axonometria izometrica a mai multor corpuri pline, Tnscrise fn cuburi suport. Se cere epura in cele trei proiecfii ortogonale. Cunoftinfe necesare Sisteme de proiecfie, tipologia reprezentarilor bidimensionale a spafiuiui, reprezentarea in epura 51 axonometrie. Metoda de rezolvare Pentru reprezentarea completa a unui corp, pentru a fi mfeles, se pot efectua mai multe proiecfii. Pentru a vedea modul cum se realizeaza dispunerea proiecfiilor unui obiect si relafionarea lor, se considera obiectul plasat in interiorul unui cub(fig. 1.37 ). Se proiecteaza ortogonal pe cele sase fefe ale cubului, obfinindu-se sase proiecfii care primesc urmatoarele denumiri, termenul de proiecfie fiind mlocuit uzual cu acela de vedere: • vederea din fafa ( A ); • vederea de sus (B); • vederea din stinga (C); • vederea din dreapta ( D ); • vederea de jos (E); • vederea din spate (F). Dupa proiectarea corpului pe cele sase fete, ele se rabat ca fefele unui cub de carton, pina ajung in continuarea vederii din fafa care este considerata proiecfia principals, formand epura. De obicei pentru reprezentarea unui corp in epura, sunt suficiente primele trei proiecfii pentru a fi infeles. Daca nu, insemna' ca are tot felul de goluri si atunci sunt necesare diverse secjiuni, care vor fi tratate in cap. 8. In fig.1.33, 34, 35, 36 este reprezentata epura in trei proiecfii a patru volume, prezentate spafial in axonometrie izometrica, iar in fig. 1.37, 38 dispunerea tuturor proiecfiilor pentru doua volume, unui cu fefe plane si altul cu suprafele de rotafie, pentru a infelege mecanismul ordonarii lor. Criterii de evaluare Relafionarea corecta a proiecfiilor in cadrul dispunerii generale a lor, cit si corecta pozifionare a fiecareia dintre ele.

CUBUL MAGIC

Fig. 1.36.

CUBU L M AGIC REPREZENTARI IN EPURA §1 AXONOMETRffi

27 Trebuie remarcat la dispunerea proiecfiilor

ca ele sunt simetrice fa{a de vederea din fa{a care este considerate proiec{ia principals. O atenfie specials trebuie acordata vederii de jos, care, dupS ce se proiecteaz£ pe capacul de sus al cubului cadru, se rabate fn planul vertical de proiec{ie tn jurul muchiei paralelS cu ox. Vederea din spate se poate pozifiona in continuarea oricarei vederi laterale, neavand o pozifie bine precizata. Fig. 1.33.

Fig. 1.35. 1.36.

Fig. 1.38.

CUBUL MAGIC

28

Exercifiul 1.3. a - Enunf

Se cere epura in trei proiecfii ortogonale ale urmatoarelor volume inscrise intr-un cub cadru si prezentate in axonometrie izometrica.

CUBUL MAGIC ise Intr-un cub cadru si

29 REPREZENTARI IN EPURA §1AXONOMETRIE Exercifiul 1.3. a - Rezolvare Se prezinta epura in trei proiecfii ortogonale ale volumelor Tnscrise intr-un cub cadru infafisate in axonometrie izometrica pe pagina anterioara.

©

©

CUBUL MAGIC

30

Exerci{iul 1.3. b - Enunf Se cere epura in trei proiectii ortogonale ale urmataorelor volume inscrise intr-un cub cadru prezentate in axonometrie izometricl.

©

y

x

©

Sci

CUBUL MAGIC

ie intr-un cub cadru

REPREZENTARI IN EPURA §1 AXONOMETRIE

31

Exerci{iul 1.3. b - Rezolvare Se prezinta epura in trei proiecfii ortogonale ale volumelor inscrise intr-un cub cadru infa{i§ate in axonometrie izometrica pe pagina anterioara.

rEQ

©

JL

32

CUBUL MAGIC

Exercifiul 1.4. Enunf, obiective Se da proiecfia verticals sau vederea din fafS a unei mulfimi de volume avind o geometric cit mai simpla. Se cer prezentate in axonometrie izometrica zece variante care sa corespunda proiecfiei date. Se urmarejte dezvoltarea bagajului formal utilizat de viitorul proiectant, relafionarea unei proiecfii ortogonale cu o mulfime de volume prezentate axonometrie si, nu in ultimul rind, o clasificarea $i o ierarhizare a volumelor cunoscute si studiate pina la aceastS data. Cunogtinfe necesare Sisteme de proiecfii, reprezeiitarea in epura si axonometrie a volumelor primare, cunostinfe de geometric planS si in spafiu, acumulate in anii de liceu. Categoriile de corpuri cu care se opereazS in exerci{iile ce urmeaza le putem grupa Tn urmatoarele familii: paralelipipedul (cubul), prisma, piramida, cilindrul, conul, sfera, volume de rotafie sau translate, altele decit ultimele clase (ex. torul). Volumele de rotate, funcfie de pozifia lor in spafiu, pot prezenta convexitafi sau concavMfi orientate catre direcjia de privire, iar muchiile invizibile se prezinta in desen. Metoda de rezolvare Cu cit numarul de proiecfii dintr-o epura este mai mic, cu atit mai mare va fi numarul variantelor spafiale. La trei proiec{ii uzual exist5 o variants unica, la douS numarul lor creste pentru ca la o singurS proiecfie, cea verticals, sS poatS exista zeci de variante. Din lipsa de spafiu am selectat numai 14 variante, alese din toate cele 7 familii de volume prezentate mai sus. In general, am ales variantele cele mai simple; din toate categoriile de volume prezentate (fig.l. 39). Este posibil ca unele familii, la proiecfia datS sS nu aibS nici un reprezentant, asa cum altele, de exemplu cele cilindrice, pot avea numeroase variante.

Criterii de evaluare Corespondenfa dintre volumul prezentat si proiecfia verticals datS, varietatea §i simplitatea corpurilor prezentate. Fig. 1.39.

CUBUL MAGIC

REPREZENTARI IN EPURA $1AXONOMETRIE Exercifiul 1.4. - Enunf Se cer cat mai multe variante spajiale prezentate In axonometrie izometrica ale unor volume care sa corespunda urmatoarelor proiecfii verticale (vederea din fa{&).

Pentru ca.formele spafiale sunt infinite si din motivul ca lucrarea de fafa se adreseaza In primul rand absolven{ilor de liceu, se va cauta evidentierea unor volume care sa corespunda nivelului de cunojtinfe acumulate In acest moment, adica corpuri care sa faca parte din doua mari clase de forme geometrice de baza: forme poliedrate (cub, prisma, piramida) si forme de rotafie ( cilindru, con, sfera, tor) In variantele convexe §i concave fafa de direcfia de privire. In mod cu totul accidental, pe parcursul lucrarii vor fi utilizate sj forme de translate, rezultate din deplasarea unei curbe cu parametrii constan{i pe o directoare dreapta sau curba.

. 1.39.

33

34

CUBUL MAGIC

Exerci^iul 1.4. - Rezolvare Se prezinta mai jos variantele spafiale desenate in axonometrie izometrica care corespund urmatoarelor doua proiecfti verticale (1 si 4) date in enunhil exercitiului.

REPREZEO TARl

Se prezinta mai urmatoarelor douii

CUBUL MAGIC

ie izometrica care corespund ifiului.

REPREZENTARI IN EPURA SI AXONOM ETRIE Exercifiul 1.4. - Rezolvare Se prezinta mai jos variantele spafiale desenate in axonometrie izometrica care corespund urmatoarelor douS Droiectii verticale (6 si 8") date In enuntul exercitiului.

35

36

CUBUL M AGIC

Exercifiul 1.4. - Rezolvare Se prezinta mai jos variantele spafiale desenate in axonometrie izometrica care corespund urmatoarelor doua proiecfii verticale ( 13 si 14) date in enunful exercifiului.

CUBUL M AGIC

REPREZENTARI IN EPURA SI AXONOM ETRIE Exercifiul 1.4. - Rezolvare

ometrica care corespund ilui.

Se prezinta mai jos variantele spajiale desenate In axonometrie izometricS care corespund urmatoarelor doua proiec{ii verticale (15 si 16) date in enun{ul exercijiului.

37

CUBUL MAGIC

38

Exercifiul 1.5. Enunf, obiective:

Se prezinta dubla proiecfie ortogonala a unor corpuri geometrice simple Tnscrise Tn cuburi de muchie data. Se cere gasirea celei de-a treia proiecfii $i prezentarea volumului gasit Tn axonometrie izometrica Intr-o variants cat mai simpla. Se urmareste dezvoltarea vederii in spafiu si fixarea categoriilor de corpuri cu care se poate opera, evidenfiate In exercifiul anterior.

Cunoftinfe necesare

Reprezentarea In epura si axonometrie a volumelor geometrice simple, categoriile formale cu care se poate opera (paralelipiped,

prisma, piramida, cilindru, con, sferS, corpuri rezultate din translate sau rotafie).

Metoda de rezolvare Volumele care sa raspundS proiecfiilor date au fost grupate In sapte clase, enumerate anterior si se cauta prin excludere varianta ceruta. Dificultatea consta In faptul ca la corpurile de rotafie nu apar nici un fel de linii de construc{ie ajutatoare (generatoare, linii de curbura aparente etc) care sa indice categoria din care face parte volumul $i S3 facS mai usoara depistarea lui. In general, exista mai multe variante posibile, din care a fost prezentata una. DatoritS spafiului restrins al lucrarii Tn unele cazuri se renunj& la prezentarea variantelor infafisate anterior. In exemplele prezentate alaturat Tn fig. 1.40, 1.41. se evidenfieaza, atat Tn axonometrie izometrica, cat si Tn epura, doua volume care prezinta o anumita dificultate de rezolvare, si anume cele care provin din corpul comun rezultat din intersec}ia a doi sau trei cilindri perpendicular!' si de raz3 egaia. In continuare Tn fig. 1.42, 43, 44, 45 se prezinta cate trei variante de rezolvare In axonometrie a corpurilor prezentate In dubla proiecfie ortogonala. Criterii de evaluate Coresponden{a celor trei proiecfii din epura, simplitatea volumetrica a variantei alese ?i corectitudinea reprezentarii axonometrice.

CUBUL MAGIC

REPREZENTARI IN EPURA SI AXONOMETRIE

39

© © ©

©

CUBUL MAGIC

REPREZENTARI IN EPURA §1 AXONOMETRIE

41

Exercifiul 1.5. a - Rezolvare

Se prezinta mai jos a treia proiecjie $i imaginea axonometricS izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercifiul prezentat pe pagina anterioarS.

©

©

£UBUL MAGIC 1 Sin

^ variant, .

/IE

I ' ^^^i!^^^AXONOMETR

CUBUL MAGIC

44

Exercitiul 1.5. c - Enunt

Se cere a treia proiecfie §i axonometria izometricS intr-o singurS variants a urmatoarelor volume prezentate in dublS proiecfie ortogonala.

l

:;

S|f-

CUBUL MAGIC

REPREZEN TARI IN EPURA §1 AXO NO M ETRIE Exercifiul 1.5. c - Rezolvare

Se prezinta mai jos a treia proiecfie $i imaginea axonometricS izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercijiul prezentat pe pagina anterioara.

45

____ Exercitiul 1.5. d - Enunf

CUBUL MAGIC

Se cere a treia proiecfie si axonometria izometrica sntr-o singurS variants a urmStoarelor volume prezentate in dubia proiecfie ortogonalS.

46

I

'

~

CUBUL MAGIC

REPREZENTARI IN EPURA §1 AXONOMETRIE Exercitiul 1.5. d - Rezolvare

Se prezintS mai jos a treia proiecfie $i imaginea axonometricS izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercitiul prezentat pe pagina anterioarS.

47

48

; CUBUL M AGIC

Exercitiul 1.5. e - Enunf Se cere a treia proiecfie $i axonometria izometrica intr-o singurS varianta a urmStoarelor volume prezentate in dubla proiectie ortogonala.

CUBUL M AG IC

REPREZENTARI IN EPURA §1 AX ONO M ETRIE Exerci{iul 1.5, e - Rezolvare Se prezinta mai jos a treia proiecfie $i imaginea axonometrica izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercifiul prezentat pe pagina anterioara

49

50

CUBUL MAGIC

Exercitiul 1.5. f - Enunf

Se cere a treia proiecjie si axonometria izometrica intr-o singura variants a urmStoarelor volume prezentate in dubia proiecjie ortogonalS.

REPREZ!

CUBUL MAGIC

REPREZEN TARI IN EPURA SI AX ON OM ETRIE Exercifiul 1.5. f - Rezolvare Se prezinta mai jos a treia proiecjie $i imaginea axonometrica izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercijiul prezentat pe pagina anterioarS.

51

CUBUL MAGIC I

52

Exercitiul 1.5. g - Enunf Se cere a treia proiecfie si axonometria izometricd fntr-o singura variants a urmatoarelor volume prezentate in dubia proiecfie ortogonala.

HS

H D

^ X/1

2

S

CUBUL MAGIC

!u r£ v arian t^ a

REPREZENTARI IN EPURA SI AXONOMETRIE Exercifiul 1.5. g - Rezolvare Se prezintS mai jos a treia proiecfie $i imaginea axonometrici izometricS a unei variante de rezolvare a volumelor din exercifiul prezentat pe pagina anterioarS.

53

54

CUBUL MAGIC

Exercitiul 1.5. h - Enunt

Se cere a treia proiecfie ?i axonometria izometrica intr-o singurS variants a urmStoarelor volume prezentate in dubia proiectie ortogonala.

CUBUL MAGIC

REPREZENTA RI IN EPURA §1 AX ON OM ETRIE Exercifiul 1.5. h - Rezolvare Se prezinta mai jos a treia proiecfie $i imaginea axonometricS izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercifiul prezentat pe pagina anterioarS.

55

56

CUBUL M AGIC

Exercitiul 1.5. i - Enunt . Se cere a treia proiecfie 51" axonometria izometrica' Tntr-o singurS variants a urmStoarelor volume prezentate in dubla" proiecfie ortogonalS. / \

/\

A

CUBUL MAGIC

REPREZENTARI IN EPURA SI AXON OM ETRIE Exercifiul 1.5. i - Rezolvare Se prezinta mai jos a treia proiecfie 51 imaginea axonometrica izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercifiul prezentat pe pagina anterioara.

57

58

CUBUL M AG IC Exercitiul 1.5. j - Enunt

Se cere a treia proiecjie $i axonometria izometrica intr-o singura varianta a urmatoarelor volume prezentate in dubia proiectie ortogonala.

:

N _ '"'... r

60

CUBUL M AGIC I

Exercitiul 1.5. k - Enunt

Se cere a treia proiecjie $i axonometria izometricS tntr-o singura variants a urm&toarelor volume prezentate in dubIS proiec{ie ortogonala.

r\ u

CUBUL MAGIC singura varianta a

REPREZENTARI IN EPURA SI AXON OM ETRIE 61 Exercifiul 1.5. k - Rezolvare Se prezinta mai jos a treia proiecfie $i imaginea axonometrica izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercifiul prezentat pe pagina aiiterioarS.

62

CUBUL MAGIC

Exercitiul 1.5.1 - Enunf

Se cere a treia proiectie ji axonometria izornetricS intr-o singurS variants a urmatoarelor volume prezentate in dubla proiectie ortogonala.

CUBUL MAGIC

D gurS variants a

REPREZENTA RI IN EPU RA §1 AX ON OM ETRIE Exercifiul 1.5.1 - Rezolvare Se prezinta mai jos a treia proiectie ji imaginea axonometrica izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercifiul prezentat pe pagina anterioara.

63

64 C U B U L M A G IC Exercitiul 1.5. m - Enunf Se cere a treia proiecfie $i axonometria izometricS intr-o singurS variants urmatoarelor volume prezentate in dubla proiec{ie ortogonalS.

CUBUL MAGIC

variants a

REPREZEN TA RI IN EPU RA §1 AXON OM ETRIE Exercifiul 1.5. m • Rezolvare Se prezinti mai jos a treia proiecfie $i imaginea axonometrica izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercifiul prezentat pe pagina anterioara.

65

66

C U B U L M A G IC

Exercitiull.5. n - Enunf

Se cere a. treia proiecjie §i axonometria izometricS Tntr-o singura varianta a urmatoarelor volume prezentate in dublS proiectie ortogonala.

CUBUL MAGIC

REPR E ZEN TA R I IN EPUR A SI A X ON O M E TR IE Exercifiul 1.5. n - Rezolvare Se prezinta mai jos a treia proiecjie $i itnaginea axonometricS izometrica a unei variante de rezolvare a volumelor din exercifiul prezentat pe pagina anterioara.

67

CUBUL MAGIC

68

Exercitiul 1.6.

Enunf, obiective Se prezinta tripla proiec{ie ortogonaia a unor corpuri geometrice simple, inscrise in cuburi de aceia$i marime. Se cere imaginarea unui volum care sa corespunda proiecjiilor date §i prezentarea lui in axonometrie izometrica. Se urmareste relationarea proiecjiilor din epura cu o imagine axonometrica $i formarea si dezvoltarea capacita{ii de selecpe din cele doua mari categorii de forme (poliedrate si de rotatie) a rezolvarilor posibile.

Cunoftinte necesare

Reprezentarea in epura si axonometrie izometrica a volumelor simple, precum si aprofundarea caracteristicilor lor geometrice si constructive.

Metodd de rezolvare

Datorita numarului mai mare de proiectii, alegerea variantei corecte este mai usor de realizat decat in cazul dublei proiectii ortogonale. Urmarind relationarea vederilor, morfologia generals a fiecarei proiectii - conturul general cat si liniile interioare, reprezentand atat muchii vizibile, cat si invizibile - se cauta formarea unor repere in selectarea variantei corecte, care genereaza, in ultima, instanja formarea vederii in spatiu. Astfel, se cauta intai Tncadrarea volumului prezentat intr-una din familiile de forme prezentate anterior, dupa care, pe baza elementelor constitutive se construiejte in detaliu intregul volum. O atenfie deosebita trebuie data volumelor de rotatie, atat convexe cat si concave, unde nu sunt prezentate alte elemente constitutive necesare pentru injelegerea curburii. In figurile 1.46, 47, 48, 49 sunt prezentate variante posibile in axonometrie la patru epure ale unor volume inscrise intr-un cub cadru. In general, varianta prezentata in rezolvare este o solufie simpia, elevul avand posibilitatea de a intregi suita de variante posibile.

Criterii de evaluare

Corectitudinea variantei propuse precum si acuratefea constructiei axonometrice.

Fig.1.49.

CUBUL MAGIC

REPREZENTA RI IN EPU RA §1 AX ONOM ETRIE Exerci(iul 1.6. a - Enunt si rezolvare

69

Se cere o variants spafiala desenata in axonometrie izometrica a unor volume inscrise intr-un cub cadru, care s3 corespunda celor opt epure compuse din tripla proiectie Ortogonala.

CU BU L M AGIC

70

Exercijiul 1.6. b - Enunf Se cere o variants spa{ial3 in axonometrie izometrica a unor volume fnscrise Tntr-un cub cadru, care sS corespunda celor 12 epure formate dintr-o tripia proiec(ie ortogonala.

©

©

©

©

CUBUL MAGIC

REPREZEN TARI IN EPURA §1 AXO NO M ETRIE Exercifiul 1.6. b - Rezolvare

! fnscrise fntr-un cub cadru, togonaia.

71

Se prezinta mai jos o varianta spafiala in axonometrie izometrica a unor volume fnscrise Tntr-un cub cadru, care s3 corespunda la cele 12 epure prezentate pe pagina anterioara.

©'

72

CUBUL M AGIC

Exercitiul 1.7.

Enunf, obiective Se da vederea de sus a unei compozifii formate din trei volume cu o geometric simpia, inscrise intr-un cub cadru si prezentate m dubla proiecfie ortogonaia in partea de sus a paginii. Se cere completarea celorlalte doua proiecfii ale epurei compozitiei formata din cele trei volume. Se doreste formarea deprinderilor de relajionare in cadrul unei epure a unei compozifii volumetrice Cunoftinfe necesare Reprezentarea tn epura si axonometrie, dispunerea proiecfiilor. MetodH de rezolvare Se stabileste pozifia fiecSrui volum in cadrul compozifiei, Tn relate cu celelalte doua, dup3 cere se trece la gasirea celorlalte doua proiecfii. Se va avea in vedere c3 toate volumele sunt inscriptibile intr-un cub, deci si proiecfiile lor vor fi Tncadrate intr-un patrat. Pentru a veni in sprijinul celor care cauta rezolvarea, se observa ca fiecare compozifie este alcatuita din doua forme poliedrate si una de rotafie. Jmportanta in acest caz este $i reprezentarea tuturor muchiilor invizibile, in cadrul fiecarei proiecfii, pentru a lamuri relafionarea spafiala a volumelor. Pozifionarea spafiala a fiecarui volum in cadrul compozifiei poate fi diferita de aceea din cadrul prezentarii inifiale a celor trei volume. In figurile din aceasta pagina se prezinta, ordonate pe verticala, proiecfia orizontaia a compozipei cu toate volumele ce o compun, iar jos, rezolvarea completa a epurei. La exercifiile 1.7.a $i 1.7.c, pe aceea?i pagina se prezinta pe orizontaia at& enunjul, c5t si rezolvarea lui, iar la exercitiul 1 J.b ele se gasesc in pagini separate. Criterii de evaluate Corespondenfa dintre corpuri In cadrul fiecarei proiecfii si a proiecfiilor in cadrul epurei compozifiei, evidenfierea tuturor muchiilor invizibile si, nu in ultimul rand, rapiditatea cu care a fost rezolvat exercifiul.

Fig. 1.51.

REPREZEN TARI IN EPURA §1 AXO NO M ETRIE E x er cifiu l 1 .7 . a - E n u n ( ? i re zo lva re

73 S e cere desenarea celorlalte doua proiecfii ale epurei a douS com pozifii form ate din trei volum e sim p fnscrise fntr-un cub cadru si prezentate fn dubia proiectie ortogonaia, plecfind de la proiecfia orizont

74

C U B U L M A G IC

Exercifiul 1.7. b - Enun|

Se cere desenarea celorlalte douS proiecfii ale epurei la patru com pozifii form ate din trei volum e sin fnscrise fntr-un cub cadru $i prezentate fn dubia proiecfie ortogonalS, plecand de la proiecfia orizonlalil

o ©

O©

A

CUBUL MAGIC

REPREZEN TA RI IN EPU RA §1 AXON OM ETRIE

75

Exercifhil 1.7. b - Rezolvare

Form ate din trei volum e sim ple to d de la proiecfia orizontalS a

S e prezinta m ai jo s epu ra com plete a patru com po zt(ii fo rm ate din trei volum e sim ple fnscrise intr cad ru si p rezentate fiecare fn d ub la pro iec(ie o rtogonaia, plecan d de la pro iecfiile desenate lor orizontale pe pagina anterioara.

AA

O©

A

A O

C U B U L M A G IC !

76

Excrcitiul 1.7. c - Enunf $i rczolvare

S e cere desenarea celorlalte doua proiecjii ale epurei a doua com pozitii form ate din trei volum e sim ple 1 tnscrise intr-un cub cadru §i prezentate in dubla proiectie ortogonala, plecand de la proiectia orizontalS a j

CUBUL MAGIC ii formate din trei volume simple ecand de la proiecfia orizontaia a

VKUALIZARIAXONOMETRICE Am vSzut c3 pentru a obtine epura unui Se prezinta astfel, la cubul cadru din imagine volum este necesar un sistem de plane de diagonala iuterioara AB. proiecfie perpendiculare Tntre ele, dou3 cate Privind de-a lungul diagonalei AB, astfel ca douS, §i care se intersecteaza dupa axele de aceasta s3 se vadS ca un punct, inseamna ca proiecfieox, oy $i oz. privim volumul din triedrul II. In schimb, daca DacS aceste plane se continue s.i dincolo privim volumul de-a lungul diagonalei BA, ne de aceste axe, se poate observa in fig. 2.1. c8 situarn In triedrul VIII. spafiul este divizat in opt zone numite Exercitiile de vizualizare din acest capifo) triedre, numerotate cu cifre romane ihtr-o opereaza cu volume asimetrice, care prezinta o zonS Iips5 ?i un orificiu interior, suficiente ordine standardizata. S3 presupunem, acum, c3se prezinta in elemente formale pentru a gasi repere spafiale in axonometrie izometrica un volum ajezat in reprezenfarea corecta a acestuia. La irnaginile prezentate in fig.2.1. au fost primul triedru. Parcurgand succesiv fiecare din aceste desenate patru vizualizflri axonornetrice ale zone, sa IncercSm s& schifam in axono- aceiuiaji volum in ordine, din triedrele II, III, VI, raetrie izometrica volumul dat, care rSmane §i VIIJ, dandu-se $i pozifiile caracteristice ale axelor primului triedru, iar in fig. 2.2, ?i 23., fix, privit insa din fiecare zonl Pozifia noastrS in spafiu poate fi indicata vizualizarile aceluia^i volum Tn toate triedrele. fie prin numarul triedrului, fie prin pozifia prezentate in ordine crescatoare, axelor de coordonate ale primului triedru, Este un capitol util pentru fonnarea vederfi HI care fn geometria descriptive au valori spadu, unde se cer cimos,tin|.e privind pozitive, fie privind de-a lungu! unei reprezentarile axonornetrice izometrice $i contrucfii grafice referitoare !a cere. diagonale a cubului cadru.

Fig. 2.1.

CUBUL MAGIC

80

Exercifiull.l.

Enunf, obiective Se da axonometria izometrica a unui volum prezentat in primul triedru sj inscris intr-un cub cadru, impreunS cu reprezentarea axelor de proiecjie. Se cer reprezentate inc3 trei imagini axonometrice ale aceluiasj volum, privit din alte trei triedre, indicate prin pozifiile spafiale ale axelor primului triedru. Se urmareste formarea deprinderilor de reprezentare spafiaJS a aceluiasj volum privit din zone diferite s.i, implicit, a formarii vederii $i orientarii spafiale. Cunoftinfe necesare Reprezentarea in axonometrie a volumclor de rotatie, constructii grafice referitoare la cere. Metodti de realizare In primul rand, trebuie format un sistem de orientare spafiala pentru a ne da seama de triedrul din care este vizualizat volumul. Aceasta pozi{ionare spatiala in lucrarea de fa{S este relarionata cu axele de proiecfie ale primuiui triedru, care in geometria descriptlv& au valori pozitive $i, de fapt, reprezinta pozifia spatiala a trei segmente egale, dintre care unul este intotdeauna vertical (oz). Se trece apoi la conturarea axonometriei fiec3rei pozifii in parte, in exemplele prezentate fiind desenate vizualizarile din triedrele I, IV, VI si VII. Pe aceasta paginS. in figura 2.4. au fost prezentate imaginile axonometrice ale aceluiasj volum vizualizat din triedrele I, sj IV, prezente si in cadrul exerci{iilor. Volumele prezentate, pentru ca exercifiul sS-ji afinga scopul, prezinta porfiuni circulare, goluri in partea centraia, nu sunt simetrice 51" au o parte Iips5. Elevii pot cauta vizualizari ?i din alte triedre decat cele prezentate in cadrul exercifiilor. Crtterii de apreciere Corecta reprezentare axonometricft a volumelor in fiecare pozijie, evidentierea partilor vizibile §i a muchiilor invizibile, acuratefea 5! precizia graficS. Fig. 2.4.

V IZ U A L IZ A R I 81

Exercifiul 2.1. a - Enunf $i rezolvare Se cere s2 se prezinte patru pozifii axonometrice ale unui volum ihscris fntr-un cub cadru conform pozifiei axelor imagine ale primului triedru, prezentate alSturat.

82

C U B U L M A6

Exercifiul 2.1. b - Enunf 5! rezolvare Se cere sa se prezinte patru pozifii axonometrice ale unui volum inscris intr-un cub conform pozifiei axelor imagine ale primului triedru, prezentate alaturat.

IV E U A L IZ A R I [ Exercifiul 2.1. c - Enunf si rezolvare ira In serts intr-u n cu b cad ru turat.

i Se cere sa se prezinte patru pozifii axonometrice ale unui volum fnscris fntr-un cub cadru, : conform pozifiei axelor imagine ale primului triedru, prezentate alaturat. I-' • _

CUBUL M AGICI

84

Exercifiul 2.1. d - Enunf ?i rezolvare

Se cere s5 se prezinte patru pozifii axonometnce ale unui volum inscris intr-un cub cadn conform pozifiei axelor imagine ale primului triedru, prezentate alaiurat.

CUBUL MAGIC

85

POZIJIONARISPAJIALE

i fnscris intr-un cub cadru, irat. POZIJIONARI SPAJIALE

Dupa ce am vazut cum se reprezinta un volum si cum se vede el din diferite zone din spafiu, saAl doilea aspect care trebuie lamurit Tl reprezinta fixarea pozifiilor caracteristice, incercam acum sa-l pozitionam diferit in spafiu, p3strand aceea?i relajie inscriere de intr-un cub particulare, reprezentative pentru fiecare poliedru 51 din care acesta poate fi usor cadru. Prim ul aspect ce trebuie clarificat recunoscut. Tl reprezinta categoriile de volum e care pot fiAm ales din aceste pozifii particulare pe cele legate de elementele geometrice inscrise in cub si apoi care sunt pozifiile constitutive adicft o fafS, o muchie si un varf in particulare ale acestuia. anumite variante spap'ale. Datorita dim ensiunilor lucrSrii de fa(3, vom Inscrie in cub num ai poliedre, adica corpuri cuToate aceste variante sunt legate direct de pozitia cubului cadru. fe(e plane, si anum e, poliedrele regulate si cele In acest sens, la pozifia pe o muchie, am sem iregulate, pe care le vom cunoaste aceasta cu utilizat in special cazul cand dou£ diagonale de ocazie. fe^e sunt verticale, iar in varianta de cub pe !n acest sens, pe rfnd, vom prezenta aceste clase de poliedre, cateva d in propriet& file lor varf, cazul cand diagonala interioara este geom etrice si apoi construcfia lor in epuravertioala. si In fig 3.1. sunt prezentate in axonometrie $i axonom etrie, intr-o stransa relatie cu cubul cadru. epurS Ultima clasa este a poliedrelor neregulate, aceste pozijii particulare ale unui cub in infinite ca num Sr,d i n care am ales catevacare, apoi, vom incepe sa inscriem diferite tipuri de poiiedre, cunosctndu-le astfei exemple. caracteristiciie geometrice, constructive si de reprezentare Fig. 3.1.

C U B U L M A G IC

86

3.1. POLIEDRE REGULATE a. Generalitati

Un poliedru este un corp geometric marginit de fete plane. Poliedrele regulate au urmStoarele proprietati: • toate fetele lor sunt poligoane regulate egale; • varfurile lor sunt unghiuri solide regulate egale; • sunt inscriptibile in sferS; • in ele se poate inscrie o sferii. Obpnerea lor niatematicS se datoreazS lui Thetet (pe la 369 1C) din §coala lui Platon, care, la randu-i, le considera ca esenfiale in organizarea naturii, pans la atomi, motiv pentru care au fost nurnite corpurile lui Platon. Cele cinci poliedre regulate sunt: •Tetraedrul regulat (T), care are 4 fete triunghiuri echilaterale. (fig. 3.2.a.); •Cubul (C), are 6 fefe patrate (fig. 3.2.b); • OctaedruJ regulat (0), care are 8 fete triunghiuri echilaterale (fig.3.2.c); « Dodccaedrul regulat (D). care are 12 fete pentagoanc regulate (fig. 3.2.d); • IcosaedruJ regulat (I), care are 20 de fete triunghiuri echilaierale (fig. 3.2.e). Aceste poliedre regulate sunt guvernate de formula lui Euler In care: V -: numarul Je varfuri M = numarul de muchii F ~ numaml de fefe $i care arata astfel: V -M+F=2 AceastS relatie se poate verifica din tabelul: Tetraedrul reguiat (T) M F Cubul (C) V 6 4 4 Octaedrul regulat (O) 12 8 6 Dodecaedrul regulat(D) 12 12 Icosaedrul regulal (I) 6 20 Fiecare dintre aceste 20 30 poliedre regulate, va fi 12 30 reprezentat m continuare m axonornetrie intr o relafie de Tnscriere intr-un cub cadru, in epurS. in pozifii particulare pe o fafa, pe o muchie sau pe un varf, precum s.i desfSjurata fefelor sale.

Fig. 3.4.

Fig. 3.2.

CUBUL MAGIC

POZIflONARI SPATIALE

87

b. Reprezentarea tetraedruiui regulat

F ig . 3 .3 .

Tetraedml regulat are 4 fe{e triunghiuri echilaterale, cate 3 la varf, 4 varfuri si 6 muchii. Prin numarul sSu mic de fete, prin varfurile sale penetrante, el evoca in antichitate uscSciunea, forma distructivJ a focului. In fig 3.3. este reprezentatS axonometria dimetricS a acestuia sj se constati modalitatea in care el se poate inscrie in cub, fiind asezal pe una din muchiile sale. In aceasta pozifie, proiecfiile sale nu mai sunt triunghiuri, ci patrate (fig.3.5. c), in care diagonalele sunt muchiile teliaedrului. In fig 3.4. se prezinta desfasurarea fetelor sale, ca o reiatie intre patru triunghiuri echilaterale egale. Cele trei pozifii de baza dm epura se construiesc astfel: • pe o fa{2 se construieste triunghiul echilateral abc, iar v' se obfine considerand muchia VC ca o frontala (fig. 3,5.a); • pe un varf este inversul situatiei anterioare (fig.3.5.b.); • pe o rnuchie se pomeste de la inscrierea tetraedruiui regulat fntr-an cub, cand proiecfiile sale surit patrate(tig.3.3.i;).

Fig. 3.4.

tt a

(c)

CUBUL MAGK

88

c. Reprezentarea cubului

Hexaedrul regulat, numit cub, notat (C) are 6 fefe patrate, cate 3 la fiecare vSrf, 8 varfuri f i 12 muchii Prin stabilitate, soliditate, rectitudine 5! poate $i prin faptul cum i§i aruncS umbra, cubul ji-a cl$tigat dreptul, In antichitate, de a reprezenta pama*ntul. In fig. 3.6. este reprezentat axonometric, evident!indu-se secp'unea perpendiculars pe o diagonal^ interioara prin centrul cubului, care, asa cum se poate observa este un hexagon regulat. Desfasurarea fefelor sale, Intr-una din vanantele cele mai cunoscute, este prezentata in figura urmatoare (fig. 3.7.). In fig. 3.8. a, b, c sunt prezentate In dubia proiecfie ortogonaia pozifiile particulare astfel: • pe o fa(a, cand proiecjia orizontala este un patrat (a); • pe o muchie situata In planul orizontal, avand doua diagonale de fefe in po/ifie orizontala (b); • pe un varf situat in planul orizontal cu o diagonala interioara verticaia (c), cand construc{ia lui pornejte de la construcfia tiunghului echilateral al diagonalelor de fefe in proiecfia orizontala, unde acestea se proiecteaza In adevarata marime.

Fig.3.6.

F I j jM

Fig. 3.7.

F ig --' F ig.3.8.

CUBUL MAGIC

POZITIONARISPAJIALE

F ig.3.9.

Fig. 3.10,

89

d. Reprezentarea octaedrului regulat Octaedrul regulat, notat (O), are 8 fete triunghiuri echilaterale, cate 4 la varf, 6 vSrfuri si 12 muchii. Este interesant de remarcat legStura dintre pSmSnt (cub) si aer (octaedru) stabilitS prin dualitatea celor douS volume, lucru constatat deja de greci. Aceasta fnseamnS c&, daca unim centrele fefelor unui cub, obtinem un octaedru regulat si invers (fig. 3.9.). Octaedrul apare ca format din douS piramide cu baza un pStrat, lipite la baza, constatare ce ajutS la obfinerea desfSsuratei (fig.3.10.) ?i epurei acestuia. Astfel, in fig 3.11. se prezintS pozifiile particulare c§nd el este asezat pe: • un varf, cSnd diagoanla interioara este verticaia, si egaia cu diagonala patratului din proiectie orizontalS (a); • o muchie, cUnd o diagonals interioara este orizontala ?i pStratul median se aflS fntr-o pozifie verticals (b); • o fafa, c§nd conturul proiecfiei orizontale este un hexagon regulat (c). Se poate usor observa ca, fn patru pozitii din cele prezentate fn epurele alaturate, se obfine aceeaji poiecfie, ceea ce ajuta la reprezentarea acestuia.

C UB UL M AG IC

90

d. Reprezentarea dodecaedrului regulat.

Dodecaedrul regulat, notat cu (D), are 12 fete pentagoane regulate, cate 3 la fiecare varf, 30 de muchii §i 20 de varfuri. Cunoscut cu mult fnainte, de pe vremea celfilor si a etruscilor, simbolizand in antichitate universul, a fost construit prima data de catre pitagorieni. In fig.3.I2 si 3.13 se prezinta imaginea sa axonometrica prin relafia de inscriere intr-un cub §i apoi desfajurarea fefelor sale. Se prezinta apoi in fig. 3.14. epura pozitiilor sale particulare, a?ezat pe: • o fata (a), cand baza sa superioara ABCDE apare in adevirata marime. De aici se obtin relativ u?or, in proiectie verticaia punctele Ej ?i Ci, ?tiind c& diagonale paralele ale pentagoanelor sunt egale §i apoi punctul DI, folosind paralelismul dintre o diagonaia a unui pentagon regulat ?i latura ei opusa; • o muchie (b), cand epura corespunde pozitiei axonometrice prezentatS anterior; • pe varf (c), cand se rote§te conturul vertical objinut anterior pana cand diagonaia sa interioara este verticaia. Se poate observa $i in acest caz c£ patru din cele §ase pozitii prezentate in epura sunt identice, ceea ce simplifica mult reprezentarea

Fig. 3.12.

Fig. 3.13. Fig. 3.16.

acestuia.

©

Fig. 3.14.

Flfl. 3.17.

CUBUL MAGIC

PQ Z IT IO N A R I SPA T IA L E

91

e. Reprezentarea icosaedrului regulat

Fig. 3.15.

Icosaedrul regulat, notat (I), are 20 de fete triunghiuri echilaterale, cate 5 la varf, 30 de muchii ji 12 varfuri §i reprezenta in antichitate apa. In fig. 3.15 se prezinta imaginea sa axonometrica in pozifia pe muchie si, Tn acelaji timp, inscriptibilitatea sa Tntr-un cub cadru. Relafia grafica cu muchia cubului a fost prezentata tntr-o figura precedenta (fig.3.2.) Se prezinta, apoi, in fig. 3.16. o varianta de desf2s.urare a celor 20 de fe\e triunghiulare. In fig 3.17. se prezinta pozitiile particulare din epura a$ezat pe: • o fata (a), cand conturul proiectiei orizontale este un hexagon regulat; • o muchie (b), cUnd proiecfiile coincid cu irnaginea axonometrica prezentata anterior; • un varf (c), cand in proiectie orizontala apar doua secfiuni pentagonale rotite, la care doua laturi sunt perpendiculare pe axa ox. In proiecfia verticaia se determina varful V datorita situ3rii fefei ABV mtr-un plan de capat ?i palierele HI si H2. Se poate observa ji aici ca, din cele ase proiecfii ale pozifiilor particulare, patru sunt identice dar rotite, astfel incat sa corespunda pozitiei cerute. v'

Fig, 3.16,

F ig . 3 .1 7,

CUBUL M AGIC

92

3.2 POLIEDRELE SEMIREGULATE

Sunt poliedre convexe ale caror fete sunt poligoane regulate de mai multe feluri, cele de acelasi fel sunt egale, muchiile $i unghiurile solide sunt egale, sunt inscriptibile dar nu se pot circumscrie unei sfere. Au fost descoperite de catre Arhimede (287-212 iHr) care a aratat ca numarul lor este de 13 si se pot otyine din poliedrele regulate. In fig. 3.19. sunt prezentate toate poliedrele semiregulate s,i poliedrul regulat din care se ob{in, iar in fig 3.18. patru dintre aceste poliedre sunt rela^ionate direct cu un cub cadru. Cele 13 poliedre semiregulate sunt: AI-Tetraedrul trunchiat 8 1 1 8 T ,2 4 A2- Cuboctaedrul 14 2 C,O 60 D,I ASIcosdodecaedrul 32 1 36 C,0 90 At- Octaedrul trunchiat 14 2 D,I 36 C,0 As- Icosaedrul trunchiat 32 3 90 D,I 24 Ae- Cubul trunchiat 14 0 4 8 C ,6O0 A7. Dodecaedrul trunchiat 32 2 120 D,I A8- Rombocuboctaedrul 26 Ay_ Rombicosdodecaerul 62 AIO -Cuboctaedrul 26 48 72 C,O trunchiat AnIcosdodecaedrul trunchiat 120180D.I 24 60 C 62 60 150 D A,2-Cubultesit 38 A13- Dodecaedrul tes.it 92 Poliedrele semiregulate se pot otyine din' cele regulate in mai multe feluri prin: trunchiere, care presupune taierea varfurilor poliedrelor regulate, astfel ca fejele acestora sa-§i dubleze numarul de muchii; • tnjumatafirea muchiilor, adica unind mijloacele muchiilor unui poliedru regulat, obtinem un poliedru semiregulat; • te$ire, care este o operate mai complicata ce permite objinerea cubului te§it §i a dodecaedrului tesit (fig.3.19). Dintre aceste poliedre semiregulate, in lucrarea de fa^a ne vom ocupa numai de cele direct rela^ionate cu un cub, fig.3.18, §i anume: tetraedrul trunchiat (a), octaedrul trunchiat (b), Cuboctaedrul (c), cubul trunchiat $i rombocuboctaedrul (d). Ele vor fi reprezentate in epura §i axonometrie in pozijii particulare.

Fig. 3.18.

it PQZITIONARI SPAJIAI

'IO N A R I SPA JIAL E

F ig 3. .1 9 .

93

94

C U B U L M A G IC

Pentru o mai buna Injelegere, fe{ele poliedrelor semiregulate relafionate cu un cub cadru, pe care le vom reprezenta in epurS $i axonometrie, le vom nota cu Fa, F4, Ft sau FS, dupa cum ele sunt triunghiuri echilaterale, patrate, hexagoane sau octogoane regulate. Astfel, In figurile 3.20, 21, 22 din aceasta pagina este prezentat in axonometrie dimetricS si epura impreunS cu desfasurarea fejelor exterioare, un tetraedru trunchiat. Acesta se obfine prin trunchiere din tetraedru 1 regulat, prezentat in axonometrie asezat pe o muchie, egala cu diagonala fefei cubului cadru. Prin taierea vSrfurilor acestui tetraedru, la o treime pe fiecare muchie, se dubleazS num5rul de muchii pe fiecare fa$, astfel ca triunghiul echilateral devine hexagon. Se objin, astfel, patru fe{e hexagonale la care se adaugS patru fefe triunghiulare in cele patru varfuri (4Fa + 4Fj). In epura se prezinta pozi|iile particulare ale acestui tetraedru trunchiat (fafa, muchie, varf) pornind de la pozitiile tetraedrului regulat din care a rezultat, in relate directs cu un cub cadru in care acesta a fost inserts. Fig. 3.24.

© Fig. 3.22.

Fig. 3.25.

P 02IT IO N A R ISP A T IA L E ___ _______

fig. 3.24.

% 3.25.

95 3.3

POLIEDRE NEREGULATE Alaturi de poliedrele regulate si sem i-regulate prezentam in continuare, in relafie cu un cub cadru, $i un exem plu din fampoliedrelor ilia neregulate. A ceste poliedre au una din fefe, m uchii sau varfuri confinute de una din fefele unui cub suport, ceea ce face ca reprezentarea lor,in atat epurS, c&t s. i In axonometrie, sa fie legata de reprezentarea cubului. A stfel, la poliedrul neregulat prezem at fn fig.3.23, care are com un cu cubul cadru eel pufin unul din elementele sale constitutive, se prezinta atat axonometria dim etrica, cat ji pozifiile particulare Tn epurS, ajutat de fnscrierea sa fn cub, Pentru desfSjurarea fetcfor sale exterioarese pornejte de la desfiSjurarea cubului, in cazulin care fefele sale se gSsesc fnscrise in ale cubului cadru, iar pentru aflarea m arim iior celelalte la elem ente aflate fn interiorul !ui, acestea se relafioneazJ cu muchiile cubului. In cazul fn care poliedrul neregulat are num ai vaYfurile sale pe fefele cubului cadru, pentru aflarea adevSratelor mdrim i ale rnuchiilof se vor u t iliz a m etodele geom etriei descriptive, care vor fi prezente fn capitolul urmator.

CUBUL M AGIC

96

Exercitiul 3.1. Enunf, obiective Se cere sa se reprezinte Tn epura si axonomerie izometrica un poliedru regulat (tetraedru, ocataedru, dodecaedru si icosaedru) asezat pe o fafa, muchie sau un varf, avSnd o diagonaia interioara verticaia. Se vor completa reprezentarile cu desfasurarea acestuia. Se urmareste formarea deprinderilor de reprezentare in epura si axonometrie a poliedrelor regualte in relate cu un cub cadru in care sunt Inscrise. Cuno§tin(e necesare Reprezentarea poliedrelor regulate in epura si axonometrie, construcfii grafice referitoare la poligoane regulate. Metodfi de realizare Pozijionarea spajiala a acestor poliedre regulate este strans legata de pozijionarea spafiaia a cubului cadru in care ele au fost inscrise. In acest sens se vor cunoaste modalita^ile Tn care se pot Tnscrie intr-un cub cadru si relatfile geometrice care se creeaza intre elementele geometrice ale celor doua poliedre, mai ales relafia dintre muchiile lor. Se va tine cont de relajia de reciprocitate dintre polidrele regulate sau de Tnscrierea volumului maxim Tn cub. Aceste relajii au fost prezentate Tn nofiunile teoretice de la acest capitol. Pentru desfajurare se va cauta ca fefele laterale s5 aiba o muchie comuna, avand avantajul construc{iei unui numar de poligoane regulate. tn fig.3.26. se cere vizualizarea Tn epura si axonometrie izometrica a unui cub taiat la 2/3 dintr-un cub mai mare de muchie data (a), detasat de cubul suport Tn etapa urmatoare (b) $i reasezat astfel ca, axonometrie, imaginile sa fie identice (c). Este utilizata o schimbare de plan vertical de proiecfie si se repozijioneaza planul diagonal al cubului mic, iar axonometria este redata dintr-o direcpe perpendiculars. Criterii de apreciere: Corectitudinea si exactitatea reprezentarilor atat Tn epura cat si Tn axonometrie.

Fig. 3.26

CUBULM AGIC

PO ZIJIO N AR I SPA TIA LE Exercifiul 3.1. a - Enunf si rezolvare

97

Se cere s2 se reprezinte in axonometrie izometricS §i epur2 octaedrul regulat maxim inscris fntrun cub cadru, in urmatoarele pozijii particulare: pe fa{5, muchie $i varf, tmpreunS cu desfisurarea fetelor exterioare.___________________________________

98 Exerci{iul 3.1. b - Enun( $i rezolvare

CUBUL MAGIC;

Se cere sa se reprezinte in axonometrie izometrica $i epura dodecaedrul regulat maxim inserts I intr-un cub cadru, in urmatoarele pozijii particulare: pe fafa, muchie $i varf, impreuna cu| desfasurarea fe\elor exterioare. __ ____________________________

CUBUL MAGIC nil regulat maxim fnscris e ji va"rf, fmpreuna cu

P O Z T T IO N A R IS P A T IA L E 99 Exercijiul 3.1. c - Enunf ?i rezolvare Se cere sS se reprezinte fn axonometrie izometricS 51 epuriS icosaedrul regulat maxim inscris ihtr-un cub cadru, in urmStoarele pozifii particulare: pe fa{3, muchie $i vSrf, fmpreuna cu desfasurarea fetelor exterioare.

100

Exercitiul 3.2. Enunt, obiective Se cere s3 se reprezinte in epura si axonometrie izometrica un poliedru semiregulat inscris fntr-un cub (tetraedrul trunchiat, cuboctaedru), octaedrul trunchiat si rombocuboctaedrul ) asezate pe o fafS, pe o muchie sau pe un vaYf, avand o diagonals interioara verticaia. Se va reprezenta, de asemenea, si desfa$urarea fetelor exterioare ale acestor poliedre. Se urmareste cunoasterea caracteristiciJor geometrice 51 formarea aptitudinilor de reprezentarere in epura si axonometrie a unora din poliedrele semiregulate, relationate cu un cub cadru fn care ele sunt fnscrise. Cunffftinte necesare Reprezentarea poliedrelor regulate si semiregulate in epura si axonometrie, constructii grafice referitoare la poligoanele regulate. Metoda de realizare La pozitionarea spafiala a acestor poliedre semiregulate se va tine cont de pozitionarea spatiala a cubului cadru fn care ele au fost fnscrise. Se vor urmSri fns3 pozitiile particulare ale poliedrului semiregulat si nu ale cubului cadru, existand cazuri c2nd acestea nu coincid. Astfei, pozifia pe o faf3 a cuboctaedrului coincide cu pozifia pe varf a cubului cadru, pentru cS o fata triunghi echilateral a primului reprezinta de fapt o sectiune perpendiculara pe diagonala interioara a cubului. Pentru desfasurare se va urmari ca fefele acestor poliedre semiregulate alcatuite din doua tipuri de poligoane regulate, s3 aiba comuna o latura. Spre exemplificare, fn fig. 3.27. se prezinta axonometria dimetrica, desfasurarea fefelor exterioare si epura cubului trunchiat, (taierea colturilor astfei ca fetele s3-si dubleze numarul de laturi) asezat fn acest caz pe o fata. Criterii de evaluate Exactitatea reprezentSrilor bidimensionale si acuratefea grafica a desenului, evidenfiind cu linie groasa muchiile poliedrului semiregulat si cu Jinie subfire pe cele ale cubului cadru.

CU B U L M A C

/

N! Y k

Rg.3.27.

\ J y

/j

(

CUBUL MAGIC

fO ZTJlO N AR I SPA 7T ALE

101

Exercifiul 3.2. a - Enunf $i rezolvare Se cere sa se reprezinte fn axonometrie izometrica si epurS cuboctaedrul inscris fntr-un cub cadru, fn urmStoarele pozifii particulare: pe fa{S, muchie §i vSrf, fmpreuna cu desfi?urarea

fejelor exterioare.