cube3

„Platon ist wohl, wenn auch auf altertümliche Weise, der Wahrheit am nächsten gekommen: das Letztzugängliche für menschliche Forschung dürfte eine Art von mathematischer Ordnung sein.“ Werner Heisenberg - Physiker und Mitbegründer der Quantenmechanik.

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GRASP THE S PA C E

cube three

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Bodelschwinghstr. 17 · D-34119 Kassel Fon +49 - 5 61 - 40 35 32 info@flyping-games.com www.flyping-games.com © Dieter A.W. Junker, 2008

RAUMPUZZLE UND UMSTÜLPPHÄNOMENSPIELE

Vorwort

Aus: Wentzel Jamnitzer, Perspectiva Corporum Regularium ,1568, Blatt 1

2

...“Auch nicht wenn die Erde sich dreht?“ „Die Erde dreht sich, aber der Punkt dreht sich nicht. Ob´s dir passt oder nicht, so ist das nun mal. Okay?“ „Seine Sache.“ Erbärmlich. Da hatte sie nun über sich den einzigen festen Punkt im Kosmos, den einzigen rettenden Anker in der Verdammnis des panta rhei, und meinte, es wäre seine Sache, nicht ihre! Tatsächlich ging das Pärchen gleich darauf weiter - er belehrt von einem Schulwissen, das ihm die Fähigkeit zum Staunen vernebelt hatte, sie träge, unerreichbar für den Schauder des Unendlichen, beide unberührt von der Schreckenserfahrung, dieser ihrer Begegnung - der ersten und letzten - mit dem Einen, dem En-Sof, dem Unsagbaren. Wie war es möglich, nicht auf die Knie zu fallen vor dem Altar der Gewissheit? Aus: Umberto Eco, Das Foucaultsche Pendel, Hanser Verlag, 1989

3 „Um sich selbst zu verstehen muss der Mensch den Raum “begreifen“ und zwar im wahrsten Sinne des Wortes: begreifen mit den Händen, mit den Augen, mit allen Sinnen.“ Dieter A.W. Junker

cube three Der Kubus »cube three« ist ein weiterer dreidimensionaler geometrischer Transformationskörper von flyping-games, ein »Raumpuzzle«, welches durch fünf ineinander verschachtelte Gliederketten (Kaleidozyklen) gebildet wird. 1

(Kaleidozyklen sind endlos in sich selbst drehbare (umstülpbare) Gliederketten). Die Gliederketten bestehen aus drei mal 16, ein mal 12 und ein mal 18 Einzelgliedern (Vierflächnern oder Tetraedern) die miteinander gelenkig verbunden sind. (Foto 1)

2

Die 12er Kette formt den zum Kubus dualen Oktaeder. In ihm ist ein 18gliedriger einbeschriebener TetraederKaleidozyklus verborgen. (Foto 2) Eine 16er Kette formt den, um den zentralen Oktaeder gelagerten, dem Kubus einbeschriebenen, Tetraederstern. (Fotos 3,4,5,6,7) Zwei weitere 16er Kaleidozyklen umschließen den Tetraederstern und formen den Kubus. (Fotos 3,4,5,6,7)

3

4

5

6

7

stella octangula

der Tetraederstern 1

2

Der Tetraederstern oder »stella octangula« wurde erstmalig von Wenzel Jamnitzer im Jahre 1568 publiziert. Kepler entdeckte ihn 1619 wieder und beschrieb ihn in seinem Werk »Harmonica Mundi«. Er ist der wohl erste und einfachste aller Sternpolyeder. Er entsteht aus der Durchdringung von zwei Tetraedern, wobei der Schnittkern ein Oktaeder ist. Der den Tetraederstern umhüllende Köper ist der Kubus. Dieser Kubus und der im Tetraederstern einbeschriebene Oktaeder sind zueinander dual. Teilt man nun die acht kleinen Tetraeder, (die auf den acht Flächen des inneren Oktaeders aufgesetzten Tetraeder) mittig und verbindet die einzelnen Teile zur Kette, entsteht ein 16 gliedriger Kaleidozyklus. (Foto1) Diesem Kaleidozyklus, der aus 16 halben Tetraedern besteht, gilt jetzt unsere Aufmerksamkeit. Alle 16 Glieder der Kette sind, paarweise gespiegelt, identisch. Jedes halbe Tetraeder hat 4 Dreiecksseiten: ein gleichseitiges Dreieck (Außenfläche, gelb), ein rechtwinkeliges Dreieck (halbe Außenfläche, gelb) ein weiteres rechtwinkeliges Dreieck (halbe Innenfläche, grau) und ein stumpfes gleichschenkliges Dreieck (Schnittfläche, rosa). (Fotos 2, 3 und Abb.: 1) Vielfältige Raumfiguren lassen sich mit diesem Sternentetraeder-Kaleidozyklus bilden.

Abb.: 1 »stella octangula«« in isometrischer Ansicht. Eingezeichnet sind alle Gelenkkanten sowie der eigeschriebene Oktaeder und der diesem duale Kubus als Hüllkörper des Tetraedersterns. Schraffiert sind die zwei “Klappebenen“ des Tetrastern-Kaleidozyklus.

3

4

stella octangula die drei Grundkörper 1

2

Drei dieser Raumformen sind geschlossene bzw beinah geschlossene “symmetrische“ Polyeder bzw. Sternpolyeder. (Foto 1,2,3) Der um den zentralen Oktaeder gruppierte Tetraederstern ist der am weitesten nach außen gerichtete Sternkörper den der TetraedersternKaleidozyklus bildet. In seinem Innern bleibt als Hohlraum ein regelmäßiger Oktaeder. (Foto 1)

3 Eva Wohlleben - www.korpuskel.de nennt diese Form eine 4x4 “Dyade“., d.h. “Doppelkörper“. griech.: dýas = Zweiheit

Der am stärksten “zentrierte“ Körper ist ein sechsstrahliger aus 18 gleichseitigen Dreiecksflächen gebildeter Sternkörper. Das gesamte Volumen des Tetraederstern-Kaleidozyklus bildet jetzt EINEN Körper. Sechs Tetraeder gruppieren sich um eine triagonale Dipyramide (Johnson Körper J9). Im Innern befindet sich kein Hohlraum. Zwei der acht Tetraedersternspitzen verschwinden im Innern des Körpers und bilden die triagonale Dipyramide, die restlichen sechs Spitzen (Tetraeder) werden zu den sechs Spitzen dieses seltsamen Sternkörpers. (Foto 2) Eine zwischen beiden eben beschriebenen Körpern gelagerte “Zwischenform“ fällt besonders ins Auge (Foto 3): Ich nenne sie im Verfolg »die Acht«. Dieser konvex-konkave Polyeder wird gebildet aus 16 gleichseitigen Dreiecken in dessen Innerm sich ein Hohlraum in Form eines beinah regelmäßigen Tetraeders befindet. (Foto 4,5)

4

6

5

7

Wie entsteht diese Form? Legt man paarweise gespiegelt je vier der rosa Schnittflächen aufeinander, erscheinen alle 16 “ganzen“ Außenflächen wiederum außen. Die 16 übrigen “halben“ Außenflächen, die Innenflächen und die Schnittflächen sind im Innern des jetzt entstandenen neuen Polyeders, der »Acht« verborgen (Fotos 4,5,6,7). (Auffällig ist, dass dieser Gesamtkörper sich NICHT ganz schließen lässt. Er klafft etwas auseinander.)

5

stella octangula Teil-Ikosaeder und »Drehkörper« 1

2 Zwei weitere prägnante Raumformen seien hier noch erwähnt: Schlägt man die zwei äußeren “Halbtetraeder-Paare“ zum Zentrum hin um (Foto 1) und schiebt nun den gesamten Ring zusammen, entsteht ein “beinah“ zwei-fünftel Teil eines Ikosaeders. (Fotos 2, 3, 4)

3

4 Verwindet man, nachdem man die zwei äußeren “Halb-tetraeder-Paare“ zum Zentrum hin umgeschlagen hat, die offene Tetraederkette längs Ihrer Längsachse (Foto 5, 6), entsteht die erste Form einer “Dyade“, eines “Doppelkörpers“. (Fotos 7, 8) Es sind zwei “aneinander gelagerte“ offene “Dipyramidformen“. Verbindet man deren äußere Eckpunkte, offenbart sich zum ersten Mal die Form einer “verwundenen“ Raumlemniskate. Abb.: 1

5

7

6 Abb.: 1

8

Über diese “Raumlemniskaten-Form“ wird später ausführlicher geschrieben.

6

7

3

2

1

Die»Acht«

zwei ineinander “verschränkte“ pentagonale Dipyramiden?

Der achtzackige Sternkörper (Tetraederstern-Kaleidozyklus) der in seinem Innern einen Oktaeder-Hohlraum hat (Foto 1) transformiert sich ganz nach Innen zu einer “versternten“ triagonalen Bypiramide (Foto 2).

4

Zwischen seiner eigentlichen Tetraderstern-Form und dieser eben genannten “versternten“ triagonalen Bypiramidenform transformiert er sich als “Zwischenform“ zu einer doppelten, “verschränkten, (beinah) pentagonalen Dipyramide“ wobei sich jetzt im Innern ein Hohlraum in Form eines (beinah) regelmäßigen Tetraeders bildet. (Fotos 3,5,6). Interessanterweise taucht hier, wie auch schon bei »cube one« und »cube two« die Zahl Fünf in Form eines beinah Pentagons auf (Foto7).

5

Was ist diese »Acht« für ein seltsamer konvex-konkaver Polyeder, dessen Außenfläche aus 16 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird und der spontan, wenn auch in eckiger Form, an das »Oloid« erinnert? (Fotos 3, 4)

6

7

Die»Acht«

zwei ineinander “verschränkte“ pentagonale Dipyramiden?

Eine pentagonale Dipyramide oder Bipyramide ist ein 10 flächiger Körper (Johnson Körper J13) der gebildet wird aus gleichseitigen Dreiecken. (Abb.: a) Für eine pentagonale Dipyramide deren pentagonale Basisfläche gleiche Kantenlängen hat ist der Umkreisradius des Basispentagons : R=1/(10)sqrt(50+10sqrt(5)). Die halbe Höhe (h) des Polyeders ist: h=sqrt(1-R^2)=1/(10)sqrt(50-10sqrt(5)).

1

Aus den obigen Berechnungen geht hervor, dass ein Polyeder, der aus zwei 90° zueinander gedrehten, derart ineinander verschränkten pentagonalen Dipyramiden besteht, dass eine Kante des Basispentagons 90° gedreht durch den Mittelpunkt des zweiten Basispentagons verläuft, nicht “schließend“ aus 8 bzw. 9 regelmäßigen Tetraedern gebildet werden kann.

Abb.: a

major R

h

90°

minor

1

1. Tetraederstern-Kaleidozyklus als Tetraederstern - im Innern ein regelmäßiger Oktaeder (stabiler Körper). 2. Tetraederstern-Kaleidozyklus als “versternte triagonale Dipyramide“ im Innern kein Hohlraum (stabiler Körper). 3. Tetraederstern-Kaleidozyklus als “Acht“ - im Innern der Hohlraum eines “beinah Tetraeders“ (instabiler Körper). 1

2

Das Verhältnis R/h wird bestimmt durch R/h=phi, wobei phi das goldene Verhältnis ist.

3

Bei der Umstülpung des Tetraederstern-Kaleidozyklus entsteht also ein “instabiler“ Polyeder, bedingt durch die Verwendung von acht regelmäßigen Tetraedern. In seinem Innern bildet sich ein Hohlraum in Form eines “BeinahTetraeders“. Der Körper lässt sich also nicht “schließen“ da sein Gesamtvolumen um diese “phi-Differenz“ zu klein ist! Es entsteht ein Körper der gleichsam “pulsiert“, wobei während des “Pulsierungs-Vorganges“ die zwei “Höhen“ der beiden ineinander verschränkten »Korpuskel« ihre Länge verändern sowie ihre Position auf der beide Dipyramiden verbindenden Mittelachse. Die Transformation des Kaleidozyklus des Tetraedersterns zur »Acht« weist also auf einen “beweglichen“ Polyeder hin. Verrät V der im Kubus quasi “eingesargte“ Tetraederstern etwas von den ihm innewohnenden “Bewegungstendenzen“. Ist aus einer “Raumform“ eine “Zeitform“ entstanden?. (Foto 1)

8

Die»Acht« zwei ineinander “verschränkte“ pentagonale Dipyramiden?

Aus der vorher beschriebenen Beobachtung geht hervor, dass sich zwei “regelmäßige pentagonale Dipyramiden“ in der erwähnten Art überhaupt nicht “verschränken“ lassen, da jeweils eine Kante der zwei Basispentagone, die gleichzeitig auch die Höhen der Körper sind, ihre Länge ändern müssten. In dem Moment sind es keine regelmäßigen pentagonalen Dipyramiden mehr! Abb.: a. Es entsteht jetzt ein Körper, (oder “Doppelkörper“) der eigentlich kein Körper ist, weil er als “Einzelkörper“ nicht “machbar“ ist, wohl als “Doppelkörper“ oder “Kette“. Eva Wohlleben nennt einen solchen Körper »Korpuskel« und verweist auf den »Goldberg Ikosaeder«. Goldberg, M. „Unstable Polyhedral Structures.“ Math. Mag. 51, 165-170, 1978 www.korpuskel.de

Abb.: a Nebenstehende Zeichnung macht die Unmöglichkeit der “Verschränkung“ von zwei regelmäßigen pentagonalen Dipyramiden deutlich. Die Dipyramidhöhen verändern ihre Länge und ihre Position auf der gemeinsamen Mittelachse. Eine offene Frage ist, ob die Diagonalen der Basispentagone ihre Länge behalten?

Abb.: b

Länge d ? Länge a ?

Länge b ?

G

Länge c ?

Achtung!!! Die »Acht« ist ein 16-Flächner, der »Goldberg Ikosaeder« ist ein 20-Flächner.

D I

B

E

F

Auch hier entststehen neue “Innenlängen“. Deren Berechnung, vor allem deren Verhältnis zur Kantenlänge der gleichseitigen Dreiecke, sind bis jetzt noch nicht erfolgt. Hier liegt eine Aufgabe für Mathematiker:

A

C J

(Foto 1)

Obwohl uns das eigentlich hier nicht interessiert, sei bemerkt, dass sich ein “stabiler“ 16-flächiger Körper aus 16 gleichseitigen Dreiecken sehr wohl bilden lässt. Abb.: b

H

Zu dieser rechts und oben beschriebenen “4x4 Dyade“ gibt es den konvexen Bruderkörper, die “Gyroelongated square dipyramid“, Johnson Körper J17. (Foto 1). Aus der “4x4 Dyade“ ist ein weiteres interessantes “Raumpuzle“ entstanden. Durch geschicktes ineinanderstecken lassen sich, ausgehend vom 16-Flächner, neben vielfältigen Raumformen, ein 12-Flächner, ein 10-Flächner, ein 8-Flächner (Oktaeder), ein 6-Flächner und ein 4-Flächner (Tetraeder) bilden. (4x4-Puzzle).

Wie lang sind die beiden Höhen? Wie lang ist die Mittelachse? Wie weit sind die Kreuzungspunkte A,B (Mittelachse-Höhe) von den äußersten Eckpunkten des Polyeders C, D entfernt? Wie ist die Position der Punkte E, F auf der Mittelachse C, D? Wie lang sind die Strecken G-H bzw. I-J? Länge a und c müssten gleich sein. Länge b ergibt sich, wenn man die Länge der Mittelachse kennt und Länge a oder/und c.

9

5

8

1

4 3

2 Abb.: 1 8

8 5

7

1

Abb.: 2

1

5

1

4

4/7

6

2

6

2

3

3

8

die Beziehung zwischen dem Tetraederstern und der »Acht«: die Raumlemniskate Nummeriert man die Ecken des achtzackigen Tetraederstern-Kaleidozyklus dergestalt, dass beim “Aufklappen“ der Kette alle Eckpunkte in einem geschlossenen Kreis nebeneinanderliegen (von 1-8 und wieder von Neuem) (Foto1), wird am Kantenverlauf des umschließenden Kubus eine interessante Bahn sichtbar. (Abb.: 1) (grau = Kippebenen) Acht der zwölf Kanten des Kubus werden durchlaufen, vier bleiben offen. Es entsteht eine Raumform, die in die Fläche gezeichnet, eine Art Lemniskatenform bildet deren eine Schleife kleiner ist. (Abb.: 2) In der Natur finden wir diese Lemniskatenform als “Zeitform“ in der »Analemma«, jener Form die die Sonne in ihrem Jahreslauf in den Himmel zeichnet. (Foto 2) Die acht “Strahlen“ des Tetraedersterns weisen quasi auf die “Bewegung“ der Sonne in der “Zeit“, im Jahresverlauf hin.

Form 1

1

Die»Acht«

6

7

5

2

4/7

6

2 3 8

Form 2 5

1

4/7

6

Wird aus dem halben Hexagon in Abb.: 2 (1-2-3-4 bzw.7-8) ein ganzes Pentagon und behält das Dreieck (7 bzw.4-5-6) seine Form, entsteht, wenn beide Polygone von Ihren Umkreisen umschlossen sind, Form 1. Dies geschieht in der “Fläche“. Im Raum jedoch, wenn das Gebilde in Abb.: 1 aus einem fexibelen Drahtgerüst besteht und man Punkt 4 und 7 zusammen bringt , entsteht eine “Raumlemniskate“, die eigentliche Analemma. Form 2.

2

3

10

Man kann hier zu Recht einwenden, dass schon im Kubus selbst diese Lemniskate verborgen ist. Dass jedoch der Tetrederstern bzw. dessen Kaleidozyklus der Auslöser ist, diese acht Punkte derart zu betrachten, wird im Verfolg deutlich.

Abb.: 1

Die»Acht«

8 5/8

die Raumlemniskate

5

1 1/4 7

Was geschieht nun mit den acht Eckpunkten wenn sich der Tetraederstern-Kaleidozyklus zur »Acht« transformiert?

4

Je zwei Ecken des Tetredersterns kommen bei der Transformation aufeinander zu liegen. Es entstehen “Zahlenpaare“, die die vier noch offenen Kanten des Kubus gleichermassen “schließen“, (1/4, 2/7, 3/6, 5/8).

2/7 6

2 3/6 3

Die Zeichnungen rechts zeigen die Tetraederstern-Ecken-Zuordnung auf vier Eckpunkten der »Acht«. Der Körper ist jeweils um 90° um seine Längsachse gedreht. Die Zeichnung unten zeigt die Zuordnung sowohl der Tetraeder-Stern-Ecken (rot) als auch die der sechs OktaederEcken (blau). Gestrichelt gezeichnet ist eine der variablen Mittelhöhen des Körpers.

Durch die Transformation wird quasi der Kantenverlauf des Kubus “geschlossen“. (grau = Kippebenen), Öffnungsrichtung des Tetraedestern-Kaleidozyklus (Abb.: 1)

77 88 55 66 11

90°

77 22 88

90° 33

44 11 22 55

90°

66 33 90° 44

8 Tetraeder-Stern-Ecken 6 Oktaederecken

11

Die»Acht«

die Raumlemniskate und der geschlossene Kreis

12 Betrachtet man den neuen Körper, die »Acht«, länger und intensiver, fallen verschiedene, ihm innewohnende Eigenschaften ins Auge: Verbindet man die äußeren Eckpunkte der Acht in der festgelegten Zahlenreihenfolge miteinander entstehen zwei “Raumlemniskaten“ und ein geschlossener Kreis. (Abb.: 1) Abb.: 2 zeigt die zwei Basispentagone, die gemeinsame Mittelachse und die zwei “Höhen“ der beiden “pentagonalen Dipyramiden“.

(Abb.: 1)

Abb.: 3 zeigt den “Weg“ von Knotenpunkt zu “Knotenpunkt“ (1/4 zu 2/7 zu 3/6 zu 5/8 und wieder zu 1/4) über vier von acht möglichen “Zwischenecken“.

8-1 4

1/4

4-5

8

5/8 5/8

1/4 1

3-4

3/6

5

7-8

5-6 3 2/7 3/6 unten oben

6 2-3 1-2

(Abb.: 4)

7

(Abb.: 5) 6-7 2

1/4 5/8 oben unten

2/7

2/7

3/6

(Abb.: 2)

(Abb.: 3)

Abb.: 4 und 5 zeigen die »Acht« in Aufsicht und um 90° gedreht. Hier sind die “Strecken“ “gerundet“ um ein deutlicheres Bild des Verlaufs zu geben.

Die»Acht«

die Raumlemniskate und das Herz

1/4 5/8

Die Darstellung der gefundenen Raumlemniskaten und des diese umschließenden Kreises ist in einer zweidimensionalen Zeichnung beinah unmöglich. Man muss den Körper wirklich in Händen halten um ihn zu “begreifen“. Trotzdem sei ein Versuch gemacht die Lemniskate zu zeichnen und da tritt, in ihrer Außenform, eine erstaunliche Ähnlichkeit mit der Form des menschlichen Herzes zutage. (Abb.: 1) Es ist als wolle der Tetraederstern uns sagen:

3/6

13 “Eingesargt im Kubus bin ich starr und unbeweglich. Befreit ihr mich aus diesem “Kubussarg“ zeige ich euch mein eigentliches Wesen. Ich bin mit dem Licht und der Sonne verwandt und mit dem Leben, mit dem Herzen. In mir verbirgt sich die “Bewegung“, die vor der “Form“ war. Um das zu “begreifen“ müsst ihr mich “berühren“, mit den Händen, und mir so die Möglichkit geben euch mein eigentliches Wesen zu “offenbaren“. „ Von der Sonne zum Herzen und umgekehrt, diesen Weg kann uns, wenn wir wollen, der Teraederstern zeigen. Diese “Offenbarungserfahrung“ muss von jedem einzelnen Menschen selbst getätigt werden. Mit der vorliegenden Darstellung ist lediglich ein Einstieg in die verborgenen “offenen Geheimnisse“ (Goethe) gegeben. Zum Abschluss dieser Betrachtungen noch ein Zitat von Hugo Kükelhaus über das Verhältnis von der Acht zur Fünf, aus: Urzahl und Gebärde, Klett und Balmer, 1984:

2/7 (Abb.: 1)

1/4

5/8

3/6

(Abb.: 2) 2/7 Die Punkte 1/4, 2/7, 3/6, 5/8 markieren ein in die »Acht« eingeschriebenes unregelmäßiges Tetraeder. Hier wird die “Herzform“ noch deutlicher. (Abb.: 2)

“In der Quaternia,also in der Gebärdensprache 1-10, ist die Zahl Acht das Gegenspiel zur Fünf. Die Zahl Fünf ist in besonderem Masse die unteilbare Zahl. DieAcht aber ist die am stärksten aus Einheiten aufgebaute Zahl, 2 x 2 x 2. Aus dieser Schreibweise und aus dem Zeichen des Achtstrahls selbst (ein Kreuz mit seinen Symmetrieachsen) erhellt die Bedeutung der Zahl Acht als Bekräftigung des Kreuzes; es ist wie ein Schwur, eine Selbstverpflichtung. So verbanden auch unsere Vorfahren mit ihr den Begriff der Pflicht und der Gottesfurcht. Hinzu kommt noch die Bedeutung des Achtstrahls als Massbild des Sonnenweges. Man sprach von der “hohen heimlichen Acht“. Sie ist die Zahl, die dem Menschen fortgesetzt zuruft: “Gib acht!“ „Achtung!“ Sie entspricht der Bitte im Vaterunser: „Führe uns nicht in Versuchung“. Wer in Achtung der Gebote lebt, ist ächt. In verwandter Bedeutung finden wir die Zahl wieder in den Ausdrücken verachten, in Acht und Bann tun. Türme von achteckigem Grundriss sind Stein gewordene Mahnrufe. (Grundriss Felsendom Jerusalem, Anm. v.m.) In ausgeprägtem Masse ist die altbabylonische Glaubenswelt auf das Innbild des Achtsterns abgestimmt. (Stern der Ischtar.)

Die»Acht«

14

und das Oloid

Beim Vergleich zwischen der »Acht« und dem Oloid, jener bis jetzt gefundenen vollkommensten “Zeitform“ lässt sich Folgendes feststellen:

(Abb.: 1)

“Pentagon-Oloid“, die Innenebenen.

(Abb.: 2)

(Abb.: 3)

1

1

Basisstruktur des Oloids sind zwei 90° zueinander stehende sich gegenseitig in ihrem Zentrum schneidende Kreise. Verbindet man jetzt Punkte eines Teiles des einen Kreisumfangs mit Punkten auf einem Teil des anderen Kreisumfangs nach einer bestimmten Gesetzmäßigkeit, entsteht ein Hüllkörper, gebildet aus Linien, auf denen das Oloid “taumelnd“ eine schräge Fläche hinabrollt. Es berührt dabei die Auflagefläche immer nur mit einer Linie. (Abb.: 1) (The Development of the Oloid, Hans Dirnböck und Hellmuth Stachel, 1997)

1 1 (Abb.: 4) “Pentagon-Oloid“, Pentagon-Oloid“, die Dreiecks-Flächen

(Abb.:5)

(Abb.:6)

Das geometrische Studium dieser “Doppelkörper“, bzw. “Dyaden“ steht z.Z. noch in den Kinderschuhen. Hier liegt m.E. eine wichtige Aufgabe für zukünftige Geometer. Vor allem sollte deren Verhältnis zu ähnlichen Erscheinungen auf anderen Wissenschaftsgebieten (Physik-Doppelelektronen, Biologie-Dyade, Mikrosporen, Astronomie-Doppelstern-Systeme etc. untersucht werden.

(Abb.: 7)

In Abb.:2 sind in die zwei sich schneidenden Kreisflächen des Oloids die zu ihnen gehörenden Pentagone eingezeichnet. Diese letzteren schneiden sich NICHT mittig. Verbindet man jetzt deren Eckpunkte miteinander, entsteht als “Hüllform“ ebenso ein 16-Flächner. Abb.: 3 zeigt diesen Körper.. Bei einer Pentagon-Basisflächen-Kantenlänge 1 und den zwei Höhen ebenfalls 1 besteht jetzt die Hüllform aus zwei Sorten unterschiedlicher Dreiecksformen (rotblau). Während eine Dreieckskante jeweils die Basislänge 1 behält, wachsen die zwei anderen Dreieckskanten unterschiedlich minimal. (Abb.: 3 und 4) Abb.: 5, 6 und 7 zeigt den auf der vorigen Seite beschriebenen regelmäßigen 16-Flächner, dessen Mittelachse, im Gegensatz zum “Pentagon-Oloid“, um die Differenz Pentagonkante - Umkreis geschrumpft ist. (Abb.: 5 )

cube three

der OktaederKaleidozyklus

1

2 Der im Zentrum des Tetraedersterns eingeschlossene Oktaeder bzw. dessen Kaleidozyklus besteht aus zwei mal drei unterschiedlichen Tetraederpaaren und einem Riegel (18-gliedriger TetraederKaleidozyklus). (Abb.:1)

Dieser Tetraeder-Kaleidozyklus ist als Tetraeder dem Oktaeder dergestalt einbeschrieben, dass eine seiner Dreiecksflächen mit einer Dreiecksfläche des Oktaeders zusammenfällt und dass die gegenüberliegende Tetraederspitze exakt den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Oktaederfläche berührt.

3

Acht regelmäßige Tetraeder können sich so im Oktaeder durchdringen und bilden letztendlich als Schnittform einen Paralellepiped-Stern im Innern des Oktaeders. (Abb.:1) (D. Junker, “Der eingestülpte Sternen-Tetraeder und die entstehenden inneren Schnitt- und Durchdringungskörper““ Skript 3, Nov. 2007)

Der Paralellepiped-Stern 4

Der Oktaeder-Kaleidozyklus zeigt in seiner Umstülpungsbewegung verschiedene interessante Stadien: Foto 4: Der Tetraeder ist entnommen, der Kaleidozyklus leicht geöffnet. Foto 5: Der Kaleidozyklus ist ganz geöffnet. Foto 6: Noch einmal gedreht weisen jetzt sämtliche Innenflächen nach oben.

5

7

6

8

Foto 7: Eine interessante Hexagon Zwischenstellung. Foto 8: Der Oktaeder-Kaleidozyklus ist ganz “umgestülpt“. Sechs von acht Innenflächen weisen nach außen. Dieser Körper kann jetzt in seinem Innern einen Oktaeder seiner eigenen Größe aufnehmen. Zwei Flächen fehlen. Die eine wird durch die Tetraeder-Fläche eingenommen, die andere wird zum “Hexagonring“ (orange) und weist ebenso nach außen. Dieser “Hexagonring“ hat eine interessante Beziehung zum Schatz´schen “Kubusgürtel“.

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cube three

1

2

der OktaederKaleidozyklus und der Kubusgürtel Im Jahre 1926 hat der schweizer Bildhauer Paul Schatz den sog. Kubusgürtel gefunden, einen sechsgliedrigen, einem Einheitskubus eingepassten, beweglichen Tetraeder-Ring, der durch zwei Riegel zu eben jenem Einheitskubus ergänzt werden kann. Aus der Bewegung dieses Kubusgürtels während seiner Umstülpung wurde ebenso von Paul Schatz das vorher erwähnte Oloid gefunden. (Fotos : 1 und 2)

3

( (Paul Schatz Rhythmusforschung und Technik) www.paul-schatz.ch und www.fzk.at/timeform_oloid.html

Oktaeder-Kaleidozyklus

Kubusgürtel

4

5

Der orange “Hexagonring“ des Oktaeder-Kaleidozyklus zeigt in seiner geschlossenen Form die flache Stellung des Kubusgürtels von Paul Schatz. (Foto: 3 und 4) Öffnet man ihn weiter (Foto 5), kann wirklich der Kubusgürtel dem OktaederKaleidozyklus “angeschmiegt“ werdenund zwar bis der Gürtel seine “KubusStellung“ im zu ihm gehörigen Kubus eingenommen hat. (Foto 6) Die Fotos 7 und 8 zeigen den geöffneten Oktaeder-Kaleidozyklus und den Kubusgürtel bzw. den ganzen Schatz Kubus.

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7

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cube three 1

2

der TetraederKaleidozyklus Der im Innern des Oktaeders eingeschriebene Tetraeder ist ein 18-gliedriger Kaleidozyklus, der das gesamte Volumen des Tetraeders ausfüllt. (Foto 1 und 2) Auch er zeigt in einer bestimmten Stellung eine exakte Übereinstimmung mit einer der Stellungen des Kubusgürtels. (Foto 3)

3

Vollständig umgestülpt hat er sein Volumen verdoppelt (kann also in seinem Innern einen Tetraeder gleicher Göße aufnehmen, Foto 4) und ist zum TriakisTetraeder geworden (Foto 5) Foto 6 und 7 zeigen zwei seiner Stellungen während des Umstülpvorgangs.

Triakis-Tetraeder

Aus den beschriebenen Beobachtungen wird deutlich, dass der allen bekannte “Einzel-Tetraeder“ eigentlich NUR die eine Hälfte eines “Doppelkörpers“ ist, des Tetraedersterns. Der Tetraederstern ist also ein “Doppelkörper“, dessen beide Zentren sich in EINEM Zentrum vereint haben. Erst im Tetraederstern zeigt sich die wahre Kraft jenes ersten Platonischen Körpers, des Tetraeders, dem in Platons Timaios das Element “Feuer“ d.h. LICHT zugeordnet wird!

4

Viele interessante Beziehungen, nicht nur auf dem Gebiet der Geometrie, sondern auch zu uns und zu der uns umgebenden Umwelt sind angesprochen und teilweise deutlich geworden. Die Beschäftigung mit den “lebendigen“ Raumformen der Polyedergeometrie lässt uns mehr und mehr “hinter den Spiegel schauen“ und lässt uns eine Ahnung bekommen von den uns umgebenden “offenen Geheimnissen“ Geheimnissen“.

5

6

7

„Der Verkehr mit den lebendigen Urgesetzen gefällt dem Geiste, der das Einfache zu erfassen weiss, das Verwickelte sich entwirrt und das Dunkle sich aufklärt“, sagte Goethe zu Eckermann im Jahre 1830.

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