Cuatro Temas de Optica

´ 4 TEMAS DE OPTICA Francisco Javier Gil Chica febrero, 2009

ii

´Indice general Sobre estos temas

V

1. Transferencia de Radiaci´ on 1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Absorci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Emisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ecuaci´on de la transferencia de radiaci´on . 1.6. Soluci´on aproximada para atm´osfera plana

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1 1 1 4 6 7 9

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11 11 12 13 14 14 17 19 22

. . . .

23 23 25 28 29

. . . .

35 35 36 36 36

´ 2. Optica Matricial 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . 2.2. Formulaci´on matricial . . . . . . 2.2.1. Traslaci´on . . . . . . . . 2.3. Refracci´on en superficie plana . 2.4. Refracci´on en superficie esf´erica 2.5. Matriz del sistema . . . . . . . 2.6. Interpretaci´on . . . . . . . . . . 2.7. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . 3. Polarizaci´ on 3.1. Introducci´on . . . . . . 3.2. Formalizaci´on . . . . . 3.3. Grado de polarizaci´on 3.4. Matrices de Mueller . .

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4. Difracci´ on 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . 4.2. La difracci´on en 9 pasos sencillos 4.2.1. Paso 1. Flujo . . . . . . . 4.2.2. Paso 2. Divergencia . . . . iii

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iv

´INDICE GENERAL 4.2.3. Paso 3. Teorema de la divergencia . . . . . . 4.2.4. Paso 4. Definici´on de gradiente . . . . . . . 4.2.5. Paso 5. Una aplicaci´on del resultado anterior 4.2.6. Paso 6. Identidad de Green . . . . . . . . . 4.2.7. Paso 7. Ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . 4.2.8. Paso 8. Teorema integral de Kirchoff . . . . 4.2.9. Paso 9. Integral de Kirchoff-Fresnel . . . . . 4.3. C´alculo de la integral de Kirchoff-Fresnel . . . . . . 4.3.1. La pantalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. La abertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. M´etodo de Montecarlo . . . . . . . . . . . .

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38 39 39 40 40 40 43 44 44 45 46

Sobre estos temas ´ Estos temas de Optica tienen su origen en la asignatura Perif´ericos que vengo impartiendo desde hace quince a˜ nos en las licenciaturas y diplomaturas de inform´atica en la Escuela Polit´ecnica Superior en la Universidad de Alicante. A lo largo de estos a˜ nos, la asignatura ha cambiado profundamente, lo cual no es extra˜ no dada la velocidad a la que se mueve la tecnolog´ıa, y dado que la creciente complejidad de los sistemas inform´aticos, con su acumulaci´on de capas y el aislamiento entre la m´aquina y el usuario, ha ido reduciendo los contenidos relacionados con la programaci´on del sistema e incrementando los contenidos relacionados con los fundamentos f´ısicos de los dispositivos perif´ericos, as´ı como el an´alisis matem´atico, en especial de los dispositivos de almacenamiento. As´ı, en un momento dado fue evidente la necesidad de dar unas nociones ´ de Optica. Porque si bien los sistemas inform´aticos est´an lejos de fundamentarse en la computaci´on ´optica, hay subsistemas basados en fen´omenos ´opticos: conexiones de fibra ´optica, almacenamiento ´optico y magneto-´optico, pantallas planas, lentes simples o sistemas de lentes, almacenamiento hologr´afico, etc. El problema que se plantea aqu´ı entonces no consiste en ofrecer una asignatura de ´optica aplicada a la inform´atica, ni ofrecer una panor´amica que aunque incompleta sea l´ogicamente consistente, ni recorrer el camino que va desde los mismos fundamentos f´ısicos al dispositivo concreto que se estudie. M´as bien, hemos buscado unos pocos temas estrat´egicos y la formulaci´on m´as compacta posible. En principio, eran tres los temas elegidos: ´optica geom´etrica (sistemas paraxiales, fibra ´optica), difracci´on (lectura/escritura en dispositivos ´opticos, visualizaci´on) y polarizaci´on (pantallas planas, lectura en dispositivos magneto-´opticos). En cuanto a la ´optica geom´etrica, la formulaci´on matricial es a la vez sencilla, compacta y general. En cuanto a la difracci´on, hemos elegido una formulaci´on matem´atica compacta que evita la distinci´on entre difracci´on de Fresnel y Fraunhoffer y propone, una vez formulada la integral v

vi

0. Sobre estos temas

general, un m´etodo de Montecarlo para obtener num´ericamente las figuras de difracci´on. Por lo que respecta a la polarizaci´on, hemos adoptado la descripci´on a trav´es de los par´ametros de Stokes. Circunstancialmente, hemos a˜ nadido un tema sobre transferencia de radicaci´on. Este tema es ajeno a la asignatura de Perif´ericos y tiene su origen en una peque˜ na charla sobre fen´omenos ´opticos atmosf´ericos impartida este a˜ no a alumnos de Meteorolog´ıa. Siendo as´ı, los cuatro tiene un rasgo en com´ un: que en ning´ un caso se acude a la naturaleza electromagn´etica de la luz, aunque s´ı a su naturaleza ondulatoria. Pero como esta naturaleza ondulatoria puede advertirse mediante experimentos sencillos, resultan una serie de temas que podr´ıan denominarse ((´optica emp´ırica)), ((´optica macrosc´opica)), o, dado que estas denominaciones no terminan de satisfacernos, ((´optica no electromagn´etica)).

Cap´ıtulo 1 Transferencia de Radiaci´ on 1.1.

Introducci´ on

Se presentan en este tema los fundamentos de la transferencia de radiaci´on. Se adopta aqu´ı un punto de vista fenomenol´ogico donde la radiaci´on es considerada como energ´ıa que se propaga en un medio material, sin considerar ni cual es la naturaleza de esta energ´ıa ni de qu´e forma, por qu´e mecanismos, es absorbida, desviada o producida por la materia. El material que sigue est´a tomado de Radiative Transfer, de S. Chandrasekhar y es una exposici´on resumida de los principios generales.

1.2.

Definiciones

Dada una superficie dσ, la cantidad de energ´ıa en forma de radiaci´on que la atraviesa por unidad de tiempo, intervalo de frecuencia y ´angulo s´olido dω subtendido por la superficie dσ ′ en una direcci´on que forma un ´angulo θ con la normal (Figura 1), se expresa como: dEν = Iν cos θ dtdσdνdω

(1.1)

En general, Iν depende de cada punto y de la direcci´on relativa a la normal expresada por los cosenos directores (l, m, n), de forma que funcionalmente es Iν (x, y, z, l, m, n, t). Cuando es Iν (x, y, z, t) se habla de medios is´otropos. Cuando es Iν (l, m, n, t) se habla de medios homog´eneos. Algunos casos a´ un m´as restrictivos son de inter´es. En un medio estratificado como puede ser una atm´osfera plana es Iν (z, φ, θ, t). Si adem´as existe simetr´ıa axial ser´a Iν (z, θ, t). En un medio estratificado esf´erico es Iν (r, φ, θ, t). 1

2

1. Transferencia de Radiaci´ on

dω

θ dσ Figura 1

El campo de radiaci´on viene entonces determinado por la funci´on Iν , a la que habr´ıa que a˜ nadir el estado de polarizaci´on de la luz. Integrando para todas las direcciones posibles, obtendr´ıamos la cantidad de energ´ıa total de frecuencia ν que atravesar´ıa la superficie dσ por unidad de tiempo. La densidad de radiaci´on uν en un punto es la cantidad de energ´ıa radiante de frecuencia ν por unidad de volumen que atraviesa un entorno peque˜ no alrededor del punto. Sea P este punto, contenido en un peque˜ no volumen V limitado por una superficie Σ. Dado un entorno de P contenido en V y limitado por una superficie σ, es claro que todo rayo que incide en σ proviene de alg´ un punto de la superficie Σ (Figura 2). Sean los elementos de superficie dΣ y dσ. La energ´ıa por unidad de tiempo y frecuencia que atraviesa dΣ en el elemento de ´angulo s´olido dω ′ subtendido por dσ seg´ un se ve desde dΣ es dEν = Iν cos Θ dtdνdΣdω ′

(1.2)

dEν = Iν cos ΘdνdΣdω ′ dt

(1.3)

o bien

Ahora bien, dω ′ =

dσ cos θ r2

(1.4)

luego dEν cos θ cos ΘdνdΣdσ = Iν (1.5) dt r2 Cuando el pincel de radicaci´on en el ´angulo s´olido dω ′ atraviesa V ′ , recorre una distancia l en un tiempo l/c, de forma que

3

1.2. Definiciones

dΣ Θ

θ

dσ Figura 2

dEν = Iν

cos θ cos ΘdνdΣdσ l r2 c

(1.6)

Pero dΣ cos Θ (1.7) r2 es el ´angulo s´olido subtendido por dΣ seg´ un se ve desde dσ, luego dω =

dEν = Iν cos θdωdνdσ

l c

(1.8)

Teniendo ahora en cuenta que dv ′ = l cos θdσ

(1.9)

es el volumen diferencial interceptado por el pincel de radiaci´on que procede de dΣ y atraviesa dσ, tenemos que 1 dEν = Iν dωdν (1.10) ′ dv c Si integramos para todo el volumen y todas las frecuencias y consideramos los rayos provenientes de todas las direcciones, tenemos la energ´ıa total contenida en el entorno de P , y de ah´ı la densidad buscada: Z E 1Z Z u= ′ = Iν dνdω = uν dν V c ω ν ν

(1.11)

4

1. Transferencia de Radiaci´ on

donde hemos introducido 1 Iν dω c ω Definiendo la intensidad media como Z

uν =

Jν =

1 4π

Z

ω

Iν dω

(1.12)

(1.13)

es claro que uν =

1.3.

4π Jν c

(1.14)

Absorci´ on

Cuando un pincel de radicaci´on se propaga en un medio, sufre una atenuaci´on cuyo valor relativo es proporcional a la densidad de ese medio y a la distancia recorrida: dIν = −kν ρds Iν

(1.15)

A kν se le llama ((coeficiente de absorci´on)), ds es esa distancia recorrida y ρ la densidad del medio. Esta atenuaci´on puede deberse a varias causas. En primer lugar, puede que parte de la energ´ıa simplemente cambie de direcci´on. No disminuye entonces el total de energ´ıa radiante en el medio sino que se modifica su distribuci´on. En ese caso se habla de dispersi´on 1 . O puede suceder que la energ´ıa sea efectivamente absorbida por la materia y transformada en otras formas de energ´ıa, lo que incluye su re-emisi´on con una frecuencia distinta y en general en una direcci´on distinta. Se habla entonces de verdadera absorci´on. Consideremos el proceso de dispersi´on (Figura 3). La energ´ıa dispersada en todas direcciones cuando el pincel atraviesa una distancia ds en el medio es kν ρdsIν cos θdνdσdω

(1.16)

Como el diferencial de masa atravesado cuando la radiaci´on recorre un ds es dm = ρdσ cos θds 1

(1.17)

Traducimos el t´ermino scattering, usado de forma tan general como innecesaria

5

1.3. Absorci´ on

ds θ

dσ Figura 3

dω’

θ

Θ ds

dσ

Figura 4

se puede escribir kν Iν dmdνdω

(1.18)

Ahora bien, la descripci´on completa exige conocer qu´e fracci´on de esa radiaci´on dispersada lo hace en cada direcci´on dada por cada elemento de ´angulo s´olido dω ′ (Figura 4). Esta fracci´on puede escribirse como dω ′ (1.19) 4π A la funci´on p(cos Θ) se le llama funci´on de fase. La energ´ıa dispersada en todas direcciones es p(cos Θ)

kν Iν dmdνdω

Z

ω′

p(cos Θ) ′ dω 4π

(1.20)

que comparada con kν Iν dmdνdω

(1.21)

muestra que ha de ser p(cos Θ) ′ dω 4π ω′ Ahora bien, cuando hay verdadera absorci´on 1=

Z

(1.22)

6

1. Transferencia de Radiaci´ on

Z

ω′

p(cos Θ) ′ dω = ω0 0, θ2 y θ1 tienen el mismo signo. Por contra, si indicamos con el signo negativo el ´angulo de los rayos que desde y > 0 se acercan al eje, vemos que si θ1 < 0 tambi´en θ2 < 0. Por tanto, la expresi´on matricial anterior es general, v´alida tanto para ´angulos positivos como para negativos.

2.4.

Refracci´ on en superficie esf´ erica

En relaci´on con la Figura 5, se representa una superficie esf´erica de centro O y radio R que separa dos medios de ´ındices n1 y n2 . Sobre esta superfi-

15

2.4. Refracci´ on en superficie esf´erica

N i1 y

θ1

θ2

i2 α

O R

n1

n2

Figura 5

cie incide un rayo (y1 , θ1 ) en un punto cuya normal es ON con ´angulo de incidencia i1 y ´angulo de refracci´on i2 . En la aproximaci´on de ´angulos peque˜ nos: n1 i1 = n2 i2

(2.9)

Ahora bien, se ve que i1 = α + θ1 y que i2 = α + θ2 . Al mismo tiempo, el ´angulo α puede aproximarse por su tangente, que es y/R (y = y1 = y2 ), con lo que n1 (

y1 y2 + θ1 ) = n2 ( + θ2 ) R R

(2.10)

de donde n2 − n1 y1 n1 + θ1 n2 R n2 que junto con y2 = y1 permiten escribir:

(2.11)

θ2 = −

"

y2 θ2

#

=

"

1

0

1 − nn2 −n 2R

n1 n2

#"

y1 θ1

#

(2.12)

Podemos, y debemos, preguntarnos por la generalidad de la expresi´on anterior. Al fin y al cabo, hemos elegido una geometr´ıa en la que θ1 > 0 y θ2 > 0 (¿y si no es as´ı) y hemos supuesto que n2 > n1 (¿y si no es as´ı?). Adem´as, suponemos que la superficie es convexa (¿y si fuese c´oncava?). Es preciso entonces asegurarse de que la expresi´on encontrada tiene la generalidad necesaria, y para eso es preciso analizar exhaustivamente todos los casos posibles. No es dif´ıcil hacer tal an´alisis pero, en lugar de omitirlo, como hace la mayor´ıa de los textos, o de presentarlo completo, como no hace ninguno

´ 2. Optica Matricial

16

N θ1

i1 y R n1 n 2

α i2 O

θ2

Figura 6

de ellos, lo haremos parcialmente (el an´alisis completo queda a la voluntad del lector). En primer lugar, consideremos el caso en que los rayos incidente y refractado tienen ´angulos negativos, tal y como se muestra en la Figura 6. Razonando sobre los valores absolutos de los ´angulos, n1 i1 = n2 i2

(2.13)

con i1 = α − |θ1 | e i2 = α − |θ2 |, de donde n1 n1 − n2 |θ1 | − y1 (2.14) n2 n2 R y como θ1 = −|θ1 | y θ2 = −|θ2 |, vemos que la expresi´on que hab´ıamos encontrado es m´as general del caso que consideramos en primer lugar, pues tambi´en es v´alida cuando los dos ´angulos son negativos. Consideremos a continuaci´on qu´e ocurre cuando la superficie de separaci´on es c´oncava, de acuerdo con la Figura 7. De n1 i1 = n2 i2 , ahora con i1 = α − θ1 e i2 = α − θ2 se sigue |θ2 | =

n1 n2 − n1 y1 + θ1 (2.15) n2 R n2 Vemos que esta ecuaci´on difiere de (2.11) en el signo del primer t´ermino del segundo miembro. Podr´ıamos pues tener dos expresiones distintas, seg´ un que la luz incida sobre una superficie c´oncava o sobre una superficie convexa. En lugar de ello se introduce la siguiente regla: El radio de una superficie se toma como positivo si la superficie es convexa, y como negativo si la superficie es c´oncava. La ecuaci´on (2.11) junto con esta regla es consistente con la reci´en obtenida (2.15). Podr´ıamos continuar examinando casos particulares, θ2 =

17

2.5. Matriz del sistema

N i2 n2

θ1

θ2

y i1 n1 α O R

Figura 7

pero, como dijimos anteriormente, queda del cuidado del lector interesado y nosotros damos por generalmente v´alida la citada expresi´on (2.11).

2.5.

Matriz del sistema

Recapitulemos brevemente las matrices encontradas hasta ahora. Para la traslaci´on de un rayo una distancia d: T=

"

1 d 0 1

#

(2.16)

Para su refracci´on en una superficie plana: R=

"

1 0

0 n1 n2

#

(2.17)

Y para la refracci´on en una superficie esf´erica: S=

"

1

0

1 − nn2 −n 2R

n1 n2

#

(2.18)

Consideremos ahora un sistema ´optico que contenga los dos tipos de superficies y una traslaci´on. Este sistema puede ser una lente convexo-plana. La luz incide en la superficie convexa, donde se refracta. Despu´es, el rayo recorre una distancia en l´ınea recta igual al grosor de la lente. Finalmente, se refracta en la superficie plana posterior de la lente, Figura 8.

´ 2. Optica Matricial

18

34

12 d

Figura 8

Denotemos por u¯ el rayo u¯ =

"

y θ

#

(2.19)

y usemos los sub´ındice 1 y 2 para indicar los valores inmediatamente antes y despu´es de la refracci´on en la superficie esf´erica. Con los sub´ındices 3 y 4 indicamos los valores inmediatamente anterior y posterior a la refracci´on en la superficie plana posterior. Es claro que u¯4 = R¯ u3

(2.20)

u¯3 = T¯ u2

(2.21)

u¯2 = S¯ u1

(2.22)

u¯4 = (RTS)¯ u1 = M¯ u1

(2.23)

pero

y a su vez

Es decir:

La acci´on total de la lente viene dada por la matriz M, que obtenemos multiplicando de atr´as adelante las distintas transformaciones que sufre el rayo. Es tambi´en evidente que si las matrices elementales son matrices 2 × 2 la matriz resultante ser´a tambi´en una matriz 2 × 2. De la misma forma se ve que si en lugar de las tres transformaciones que introduce la lente convexo-plana tuvi´esemos un n´ umero arbitrario de transformaciones n cada una de las cuales viniese representada por su matriz Mn ,

19

2.6. Interpretaci´ on

y denotando mediante el sub´ındice i el valor del rayo tras su transformaci´on i, entonces ser´ıa: u¯n = u¯n−1 = u¯n−2 = ··· = u¯1 =

Mn u¯n−1 Mn−1 u¯n−2 Mn−2 u¯n−3 ··· M1 u¯0

(2.24)

de donde u¯n = (Mn Mn−1 Mn−2 · · · M2 M1 )¯ u0

(2.25)

M = Mn Mn−1 Mn−2 · · · M2 M1

(2.26)

El sistema completo entonces se puede representar mediante una u ´ nica matriz 2 × 2: En el caso concreto de la lente con que abr´ıamos esta secci´on, si su ´ındice de refracci´on es n y se encuentra rodeada de aire, cuyo ´ındice podemos tomar como n = 1, su grosor es d y el radio de la superficie convexa es R, tenemos que ¯ = M

2.6.

"

1 0 0 n

#"

1 d 0 1

#"

1

0

1−n nR

1 n

#

=

"

d(1−n) nR 1−n R

1+

d n

1

#

(2.27)

Interpretaci´ on

Supongamos que, conocidas las superficies que forman un sistema ´optico y todos los datos pertinentes, como la separaci´on entre ellas, los ´ındices de refracci´on y los radios de curvatura, hemos calculado la matriz total del sistema por simple multiplicaci´on de las matrices individuales, obteniendo: M=

"

A B C D

#

(2.28)

¿Cual es el significado de cada uno de los elementos? Para responder a esta pregunta, hagamos cero cada uno de ellos sucesivamente. Representaremos al sistema, que puede contener un n´ umero arbitrario de elementos, mediante dos l´ıneas verticales gruesas. Con los sub´ındices e y s indicamos los rayos de entrada y de salida al sistema.

´ 2. Optica Matricial

20

A=0

Figura 9

B=0

Figura 10

Cuando A = 0, ys = Bθe . ys depende s´olo de θe , no de ye . Por tanto, todos los rayos que entran con el mismo ´angulo al sistema salen con el mismo ys , tal y como se refleja en la Figura 9. La condici´on A = 0 determina por tanto un foco. Si B = 0, ys = Aye . Es decir, ys no depende del ´angulo de entrada y depende s´olo de ye . La condici´on B = 0 determina una correspondencia entre los planos focales. Los puntos ye e ys son respectivamente objeto e imagen y A = ys /ye es el ((aumento)) del sistema. Figura 10. Si C = 0, θs = Dθe , es decir, el ´angulo de salida depende s´olo del ´angulo de entrada: todo haz de rayos paralelos que entra al sistema emerge de ´el como haz paralelo, Figura 11. A este tipo de sistemas se les llama ((telesc´opicos)) y a la raz´on D = θs /θe ((aumento angular)) del sistema. Finalmente, si D = 0, θs = Cye , es decir, el ´angulo de salida no depende del ´angulo de entrada, como se muestra en la Figura 12

21

2.6. Interpretaci´ on

C=0

Figura 11

D=0

Figura 12

´ 2. Optica Matricial

22

2.7.

Conclusi´ on

Hemos dado una idea general de los sistemas ´opticos centrados paraxiales. No entraremos en su ampliaci´on a sistemas donde pueden encontrarse superficies reflectantes, ni entraremos en la discusi´on de los llamados ((puntos cardinales)) de los sistemas, que por otra parte pueden extraerse f´acilmente a partir de la matriz M del sistema. El lector interesado puede encontrar la teor´ıa complementaria, junto a una buena colecci´on de ejercicios resueltos, en Matrix methods in optics, de A. Gerrard y J.M. Burch 1 .

1

Dover, New York. ISBN 0.486-68044-4

Cap´ıtulo 3 Polarizaci´ on 3.1.

Introducci´ on

En el siglo XVII, un monje llamado Erasmus Bartholinus descubri´o una propiedad relativa a un mineral llamado ((espato de Islandia)). El espato de Islandia es una variedad de calcita f´acilmente exfoliable en l´aminas transparentes. Lo que descubri´o Bartholinus fue que una l´amina de calcita daba im´agenes dobles cuando se miraba a trav´es de ella, es decir, que la luz se refractaba de dos formas distintas simult´aneamente. La explicaci´on del fen´omeno la dio Christian Huygens poco despu´es, al tiempo que descubri´o el fen´omeno de la polarizaci´on. Consiste ´este en que si se miran ciertas fuentes de luz a trav´es de una l´amina de espato de Islandia, al girar la l´amina en un plano perpendicular a la l´ınea de visi´on la intensidad de la imagen var´ıa, pasando por un par de m´aximos y m´ınimos. Esto ocurre con algunas fuentes de luz, mientras que no ocurre con otras, y es independiente el fen´omeno tanto de la intensidad de la fuente como de su color. Por consiguiente, la luz, aparte de intensidad y color tiene otra propiedad que se llam´o ((polarizaci´on)). Se pueden hacer algunos experimentos adicionales. Si a trav´es de un segundo cristal de espato se observa la luz emergente de un primero, se observa que la luz de este primero est´a polarizada siempre. De ah´ı se deduce que el cristal de espato polariza la luz, que en principio puede provenir de una fuente no polarizada. La polarizaci´on se hace evidente al observar el primer cristal a trav´es del segundo. A partir de ah´ı, hay un experimento obvio, que consiste en observar la luz polarizada por el primer cristal a trav´es del segundo. Al girar este segundo cristal en su plano se observan los m´aximos y m´ınimos de intensidad y puede construirse una gr´afica polar representando la intensidad emergente del 23

24

3. Polarizaci´ on

segundo cristal en funci´on del ´angulo girado respecto a un eje fijo arbitrario. La figura resultante es una elipse. Lo siguiente que se descubri´o fue que si se repite el experimento introduciendo algunas sustancias entre los dos espatos, a veces se obtiene una elipse girada respecto a la elipse original. Por ejemplo, el agua azucarada tiene esta propiedad. Tambi´en se descubri´o que algunas sustancias giran la elipse en un sentido y algunas otras en sentido contrario. A esta propiedad de algunas sustancias se le llama ((actividad ´optica)) y a las sustancias ((´opticamente activas)). Puesto que sencillos experimentos de difracci´on muestran que la luz tiene naturaleza ondulatoria, queda por discernir si se trata de una onda transversal o longitudinal. La polarizaci´on se explica aceptando que es una onda transversal. Cual sea la naturaleza de esa onda (qu´e cosa sea la que vibra) queda por averig¨ uar. Admitiendo pues que la luz es una onda transversal y que su plano de vibraci´on forma un ´angulo θ con el eje horizontal x, mientras se propaga en la direcci´on z, sea Ex = A cos θ cos(ωt + ϕ) Ey = A sen θ cos(ωt + ϕ)

(3.1)

(Insistimos: ignoramos qu´e cosa sean Ex y Ey ). Si volvemos a nuestros experimentos con el espato de Islandia y recordamos que presenta el fen´omeno de la birrefringencia, hemos de interpretar esto como que hay dos ´ındices de refracci´on seg´ un dos direcciones distintas. Pero el ´ındice de refracci´on est´a relacionado con la velocidad de propagaci´on de la luz en el medio. Experimentos m´as cuidadosos revelan que hay una direcci´on especial en el cristal llamada ((eje ´optico)). La vibraci´on paralela al eje ´optico se llama ((extraordinaria)) y la vibraci´on perpendicular a dicho eje ((ordinaria)). Pues bien, el espato de Islandia introduce una diferencia de fase entre las vibraciones ordinaria y extraordinaria, ∆, de manera que la luz emergente se puede representar como: Ex = A cos θ cos ωt Ey = A sen θ cos(ωt + ∆)

(3.2)

eliminando el cos ωt: Ex 2 Ey 2 2Ex Ey + − 2 cos ∆ = sen2 ∆ 2 2 2 2 A cos θ A sen θ A sen θ cos θ

(3.3)

25

3.2. Formalizaci´ on

Llamando a las amplitudes en los ejes x e y H = A sen θ y K = A cos θ: Ex 2 Ey 2 2Ex Ey + 2 − cos ∆ = sen2 ∆ H2 K HK

(3.4)

con A2 = H 2 + K 2 . Algunos casos especiales deben ser se˜ nalados. Cuando ∆ = 0: Ex 2 Ey 2 2Ex Ey + 2 − =0 H2 K HK

(3.5)

o 

o

Ex Ey − H K

2

H Ex = Ey K

=0

(3.6)

(3.7)

Cuando ∆ = π/2: Ex 2 Ey 2 + 2 =1 (3.8) H2 K que es la ecuaci´on de una elipse. Como la energ´ıa de una onda transversal depende del cuadrado de la amplitud, tenemos aqu´ı la conexi´on entre la elipse que observamos al representar la intensidad de la luz respecto al ´angulo girado por el cristal y el hecho de que esa luz es una onda transversal de amplitudes H y K en los ejes x e y. Finalmente, cuando ∆ = π: Ex H =− Ey K

3.2.

(3.9)

Formalizaci´ on

Para describir la elipse de polarizaci´on podr´ıamos dar uno de sus semiejes, la excentricidad y el ´angulo que forma uno de los semiejes de la elipse con uno de los ejes de nuestro sistema de referencia. Esta es una forma, pero no la u ´ nica. Y tiene un inconveniente, y es que mientras que la elipse la construimos midiendo intensidades, que tienen dimensiones de energ´ıa por unidad de superficie y tiempo, par´ametros como excentricidad y ´angulo son adimensionales. Ser´ıa preferible hacer una descripci´on mediante cantidades de la misma clase. Y esta descripci´on la di´o Stokes introduciendo los par´ametros:

26

3. Polarizaci´ on

I Q U V

= = = =

H 2 + K 2 = A2 H 2 − K 2 = A2 cos2 θ − A2 sen2 θ = I cos 2θ 2HK cos ∆ = 2A2 sen θ cos θ cos ∆ = I sen 2θ cos ∆ 2HK sen ∆ = 2A2 sen θ cos θ sen ∆ = I sen 2θ sen ∆

(3.10)

Se comprueba que I 2 = Q2 + U 2 + V 2 1 H2 = (I + Q) 2 1 (I − Q) K2 = 2 V 2 = 4H 2 K 2 sen2 ∆

(3.11)

o sen2 ∆ =

V2 I 2 − Q2

(3.12)

Dado que la ecuaci´on general de la elipse de semiejes H y K en coordenadas cartesianas es x2 y2 2xy cos δ + − = sen2 δ (3.13) 2 2 H K HK donde δ es el ´angulo que forma el semieje mayor de la elipse con el eje x, vemos que la introducci´on del desfase ∆ entre las vibraciones ordinaria y extraordinaria es la causa de la rotaci´on de la elipse. Simplifiquemos la notaci´on escribiendo x en lugar de Ex e y en lugar de Ey , y tenemos que 2x2 (I − Q) 4Uxy 2y 2 (I + Q) − + =1 V2 V2 V2

(3.14)

P x2 − 2Gxy + F y 2 = 1

(3.15)

o

con

P =

2(I − Q) V2

27

3.2. Formalizaci´ on

2U V2 2(I + Q) F = V2

G =

(3.16)

Hemos visto que, en efecto, los par´ametros de Stokes definen la elipse de polarizaci´on de forma matem´aticamente conveniente. Hubi´esemos podido convencernos cualitativamente observando que I, Q determinan los semiejes H, K y que U, V determinan sin ambig¨ uedad la orientaci´on ∆, pues incluyen sen ∆ y cos ∆. Un razonamiento adicional que enlaza la geometr´ıa de la elipse con los par´ametros de Stokes es el siguiente. Para un punto de la elipse, en coordenadas polares: x = r cos ϕ y = r sen ϕ

(3.17)

y la ecuaci´on de la elipse se escribe P r 2 cos2 ϕ − 2Gr 2 sen ϕ cos ϕ + F r 2 sen2 ϕ = 1

(3.18)

o bien 1 2 1 P r (1 + cos(2ϕ)) − Gr 2 sen(2ϕ) + F r 2 (1 − cos(2ϕ)) = 1 2 2

(3.19)

llamando β = 2ϕ y W = 2/r 2 : W = (P + F ) − 2G sen β + (P − F ) cos β

(3.20)

En los ejes mayor y menos, r(ϕ) alcanza un m´aximo o un m´ınimo, luego W (β) un m´ınimo o un m´aximo, dado por la condici´on dW = 0 = −2G cos β − (P − F ) sen β dβ

(3.21)

As´ı que si β ⋆ es el valor que toma β en los semiejes: tan β ⋆ =

2G sen β ⋆ = ⋆ cos β F −P

(3.22)

y dado que tan α = tan(α + π), hay dos valores de β ⋆ , α1 y α2 , que satisfacen la condici´on de extremo y que se diferencian en π (como definimos

28

3. Polarizaci´ on

β = 2ϕ, es claro que los dos valores de ϕ difieren en π/2, como era de esperar). Si llamamos W1 y W2 a los valores de 2/r 2 para α1 y α2 : r22 W1 (P + F ) − 2G sen α1 + (P − F ) cos α1 = = (3.23) 2 r1 W2 (P + F ) − 2G sen α2 + (P − F ) cos α2 Ahora, sustituyendo hacia atr´as P, F y G en funci´on de los par´ametros de Stokes vemos que es U Q y que la raz´on entre los cuadrados de los ejes es √ I − Q2 + U 2 √ I + Q2 + U 2 tan δ =

3.3.

(3.24)

(3.25)

Grado de polarizaci´ on

Por otro lado, se sigue de las definiciones de los par´ametros de Stokes que I 2 = Q2 + U 2 + V 2 . Ahora bien, si volvemos al experimento original que ha dado origen al descubrimiento de la elipse de polarizaci´on, es claro que las relaciones descubiertas hasta ahora son v´alidas para luz polarizada, mientras que existen fuentes de luz no polarizada para las cuales Q = U = V = 0, ya que si la luz no est´a polarizada la u ´ nica cantidad emp´ıricamente constatable es la intensidad, y el giro de la l´amina de espato de Islandia no revelar´ıa variaci´on alguna con la direcci´on. Ahora bien, ocurre con frecuencia que una fuente de luz no est´a ni totalmente polarizada ni carece en absoluto de polarizaci´on, sino que se encuentra polarizada parcialmente. Si introducimos el llamado ((grado de polarizaci´on)) P , como Q2 + U 2 + V 2 (3.26) I2 es claro que P = 0 para luz sin polarizar y P = 1 para luz totalmente polarizada. Y as´ı podr´ıamos separar la luz en dos vectores de Stokes, uno para la parte polarizada y otro para la parte sin polarizar: P2 =

    

I Q U V

    

   

=

PI Q U V





    +  

es m´as, si P 6= 0 podemos escribir que

(1 − P )I 0 0 0

    

(3.27)

29

3.4. Matrices de Mueller

    

I Q U V

    

=

1+P 2P

    

PI Q U V



  + 

1−P 2P

    

PI −Q −U −V

    

(3.28)

y as´ı considerar que un haz parcialmente polarizado est´a compuesto por dos polarizados y de polarizaci´on opuesta. Como P I = √ 2haces2 totalmente 2 Q + U + V , si normalizamos P I a la unidad, las ((coordenadas)) (Q, U, V ) indican un punto sobre una esfera de radio unidad llamada ((esfera de Poincar´e)) y entonces (Q, U, V ) y (−Q, −U, −V ) son puntos diametralmente opuestos sobre la esfera de Poincar´e.

3.4.

Matrices de Mueller

Denominaremos por S¯ al vector formado por los cuatro par´ametros de Stokes: 

I Q U V

    

(3.29)

S¯2 = MS¯1

(3.30)



 S¯ =  

Al pasar un haz de luz polarizada a trav´es de un dispositivo o´pticamente activo, cambiar´a su estado de polarizaci´on. Llamemos S¯1 al estado del haz antes de entrar en el dispositivo, y S¯2 al estado despu´es de salir del mismo. Lo que mostraremos ahora es que S¯1 y S¯2 est´an relacionados linealmente de forma que existe una matriz M que hace

Los elementos Mij son propios de cada dispositivo y de su orientaci´on. A la matriz M se le llama ((matriz de Mueller)). Es posible deducir su forma conocidos distintos tipos de haces de entrada y salida. Consideremos un polarizador ideal, que no introduce retardo de fase: ∆ = 0.    

Z=

X E J N

B F K P

T D G H    L M  R S 

Tendremos en cuenta las cuatro situaciones siguientes:

(3.31)

30

3. Polarizaci´ on

1. Un polarizador lineal deja pasar la mitad de la intensidad de un haz de luz no polarizada de intensidad I. Llamemos I = 2W . La luz no polarizada es 2W 0 0 0



(3.32)

W W c2 W s2 0



(3.33)

 

 S¯1 =  

   

y la luz emergente  

 S¯2 =  

   

donde s1 = sen θ, c1 = cos θ, s2 = sen 2θ y c2 = cos 2θ. Relacionando ambos estados:     

W W c2 W s2 0

    

   

=

X E J N

B F K P

2W T D   G H  0  L M  0 0 R S 

    

(3.34)

de donde se siguen las ecuaciones:

1 c2 s2 0

= = = =

2X 2E 2J 2N

(3.35)

es decir     

1 2

1 c 2 2 1 s 2 2

0

B F K P

T D G H    L M  R S 

(3.36)

31

3.4. Matrices de Mueller

2. Un polarizador que deja inalterado el haz de entrada, previamente polarizado, act´ ua de la forma:     

W W c2 W s2 0

    

1 2



1 c 2 2 1 s 2 2

  

=

0

B F K P

T D W   G H   W c2  L M   W s2 0 R S 

    

(3.37)

de donde se siguen las ecuaciones: 1 + Bc2 + T s2 2 1 c2 + F c2 + Gs2 c2 = 2 1 s2 + Kc2 + Ls2 s2 = 2 0 = P c2 + Rs2 1 =

(3.38)

La u ´ ltima de estas ecuaciones es v´alida para todo c2 y s2 . Luego si c2 = 0, R = 0 y si s2 = 0, P = 0. Por tanto P = R = 0. 3. El dispositivo tranforma luz de amplitud A seg´ un el eje x en luz de amplitud A cos θ en el eje que forma un ´angulo θ con el eje x. Para la luz original, H 2 = A2 ; K = 0, luego I = Q = A2 y U = V = 0. El haz de salida tiene de componentes, en el eje x, Ac21 y en el eje y Ac1 s1 . Luego H 2 = A2 c41 , K 2 = A2 c21 s21 , y como ∆ = 0, I = A2 c21 , Q = A2 c21 c2 , U = A2 c21 s2 y V = 0. En resumen:     

c21 c21 c2 c21 s2 0

    

 

 = 

1 2

1 c 2 2 1 s 2 2

0

B T D 1  1 F G H    K L M  0 0 0 0 S 

    

(3.39)

que proporciona 1 +B 2 1 c2 + F = 2 1 = s2 + K 2

c21 = c21 c2 c21 s2

(3.40)

32

3. Polarizaci´ on

De la primera B = c21 −

1 1 = c2 2 2

(3.41)

De la segunda 1 F = c22 2

(3.42)

1 K = s2 c2 2

(3.43)

y de la tercera

Recordando que Bc2 + T s2 =

1 2

(3.44)

tenemos 1 T = s2 2

(3.45)

4. Consideremos luz circular de amplitud A. La amplitud en ambos ejes es A, de donde I = 2A2 , Q = U = 0 y V = 2A2 . Aqu´ı es ∆ = ± π2 , lo que hace V 6= 0. En caso contrario, no tendr´ıamos luz polarizada circular, sino luz no polarizada. Si el dispositivo convierte esta luz en luz polarizada lineal de amplitud A seg´ un el eje que forma un ´angulo θ con el x, tenemos que H = Ac1 , K = As1 y con ∆ = 0 a la salida, I = A2 , Q = A2 (c21 − s21 ) = A2 c2 , U = A2 s2 y V = 0. En resumen:     

1 c2 s2 0

    

   

=

1 2

1 c 2 2 1 s 2 2

0

1 c 2 2 1 2 c 2 2

1 c s 2 2 2

0

1 s 2 2

G L 0

de donde D = H = M = S = 0 y 1 c2 s2 2 1 2 L = s 2 2

D H M S

    

2 0 0 2

    

(3.46)

G =

(3.47)

33

3.4. Matrices de Mueller

En definitiva, hemos encontrado la Matriz de Mueller para el polarizador ideal:

Z=



1   2

1 c2 s2 2 c2 c2 c2 s2 s2 c2 s2 s22 0 0 0

0 0 0 0

    

(3.48)

Con una secuencia de razonamientos similar podemos encontrar la matriz de Mueller para otros dispositivos. Por ejemplo, para dispositivos que introducen un desfase ∆ 6= 0. En definitiva, cuando un haz de luz S¯i atraviesa una serie de dispositivos representados por matrices M1 , M2 , ... la luz resultante es S¯f = Mn · · · M3 M2 M1 S¯i

(3.49)

34

3. Polarizaci´ on

Cap´ıtulo 4 Difracci´ on 4.1.

Introducci´ on

Imaginemos dos l´aminas opacas, paralelas. Practicamos un peque˜ no orificio en una de ellas y disponemos una fuente de luz de modo que ilumine la l´amina agujereada. La luz traspasa el orificio y se proyecta sobre la segunda l´amina. Podemos advertir que la forma iluminada en la segunda l´amina se corresponde con la forma del orificio en la primera. As´ı, un orificio rectangular produce un rect´angulo iluminado. Un orificio circular, un orificio circular, y as´ı sucesivamente. Si observamos m´as cuidadosamente, podemos advertir que la l´ınea que separa la figura luminosa de la zona sombreada no es perfectamente n´ıtida. Esto puede deberse a que nuestra fuente de luz no es puntual sino extensa, de manera que entre la zona de luz y la zona de oscuridad existe una zona intermedia de penumbra. Pero si refinamos el experimento acerc´andonos m´as y m´as a una fuente puntual esta indefinici´on persiste. M´as a´ un, si reducimos progresivamente el tama˜ no del orificio, el fen´omeno se agudiza. Finalmente, podemos comprobar como, reduciendo el orificio pr´acticamente a un punto, su imagen en la pantalla no es un punto luminoso, sino una mancha difusa cuyo tama˜ no es mayor que el del orificio que se ilumina. En un experimento m´as cuidadoso, por ejemplo, sustituyendo la l´amina de proyecci´on por una pel´ıcula fotogr´afica, vemos que esta mancha difusa se compone en realidad de una serie de anillos claros y oscuros conc´entricos. El experimento puede repetirse para otro tipo de aberturas, como por ejemplo rendijas. Y puede verse la figura que proyecta no s´olo un orificio en particular sino varios de ellos, como por ejemplo una serie de orificios peque˜ nos espaciados regularmente a lo largo de una l´ınea recta o una serie de rendijas estrechas paralelas espaciadas regularmente. De todos estos experimentos toma fuerza la hip´otesis de que la luz es una 35

36

4. Difracci´ on

perturbaci´on ondulatoria, ya que las figuras que aparecen en la pantalla de proyecci´on son similares a las que pueden obtenerse perturbando por ejemplo ondas superficiales en el agua. Por consiguiente, es precisa una teor´ıa de la formaci´on de las im´agenes que vaya m´as all´a de la teor´ıa geom´etrica de los rayos de luz que se propagan en l´ınea recta.

4.2. 4.2.1.

La difracci´ on en 9 pasos sencillos Paso 1. Flujo

Dado un campo vectorial, que es una aplicaci´on que a cada punto del espacio le hace corresponder un vector, y dado un elemento de superficie en ese espacio (Figura 1), tan peque˜ no como sea preciso para que pueda atribuirse un u ´ nico valor del campo vectorial a todos los puntos de esta superficie, se define el flujo elemental del vector F¯ a trav´es de la superficie ¯ como el producto escalar dσ ¯ dΦ = F¯ • dσ

(4.1)

¯ es tal que su m´odulo es el donde el ’•’ indica producto escalar. El vector dσ valor de la superficie elemental y su direcci´on normal a ´esta. Si este elemento de superficie es parte de una superficie mayor que encierra un volumen, el ¯ es hacia el exterior del volumen. sentido del vector dσ

4.2.2.

Paso 2. Divergencia

Dada una superficie que encierra un peque˜ no volumen, si existe el l´ımite para la raz´on entre el flujo a trav´es de esa superficie y el volumen encerrado por la superficie cuando el volumen se hace m´as y m´as peque˜ no, a ese l´ımite se le llama ((divergencia)) del campo vectorial. En el l´ımite, el volumen queda reducido a un punto y entonces se puede hablar de la divergencia del campo en ese punto.

dσ

Figura 1

F

37

4.2. La difracci´ on en 9 pasos sencillos

Para buscar una expresi´on anal´ıtica para la divergencia, consideremos un peque˜ no cubo de lados dx, dy, dz cuyas caras sean paralelas a los planos que definen los ejes coordenados. En relaci´on con la Figura 2, consideremos que las caras a y b son perpendiculares al eje x y que las coordenadas x toman valores crecientes al movernos de a hacia b; consideremos el flujo total a trav´es de ambas caras. El flujo a trav´es de la cara a es ¯ a = −Fx dydz dΦa = F¯ • dσ

(4.2)

¯ a = (−dydz, 0, 0). El flujo a trav´es de la cara b es ya que dσ ∂ F¯ ¯ = Fx + ∂Fx dx dydz dΦb = F¯ + dx dσ ∂x ∂x !

!

(4.3)

¯ b = (dydz, 0, 0) y ya que dσ ∂ F¯ = ∂x

∂Fx ∂Fy ∂Fz , , ∂x ∂x ∂x

!

(4.4)

Por tanto, el flujo total a trav´es de las caras a y b es ∂Fx dxdydz (4.5) ∂x De la misma forma, podemos calcular el flujo a trav´es de los dos pares de caras paralelas restantes, las que son perpendiculares a los ejes y y z, y tendr´ıamos para el flujo total a trav´es de las caras del cubo elemental: dΦ =

dΦ =

∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z

!

dxdydz

(4.6)

La divergencia, que es la raz´on entre este flujo y el volumen elemental dxdydz es pues div F¯ =

∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z

b

a

Figura 2

(4.7)

38

4. Difracci´ on

¯ defini´endolo como Es com´ un en este punto introducir el operador ∇, ¯ = ∇

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z

!

(4.8)

¯ con lo cual la divergencia se puede poner como el producto escalar de ∇ ¯ por F : ¯ • F¯ div F¯ = ∇

4.2.3.

(4.9)

Paso 3. Teorema de la divergencia

Sea un volumen finito V limitado por una superficie S. Dividamos el volumen en peque˜ nos cubos elementales. Fijemos la atenci´on sobre uno de esos peque˜ nos cubos, uno de los que se encuentran en el interior de V . Al igual que hemos hecho en el paso anterior, podemos calcular el flujo a trav´es de las caras de ese peque˜ no cubo, y calcular la divergencia en el punto l´ımite al que se reduce el cubo a medida que su arista tiende a cero. Luego, podr´ıamos sumar la divergencia para todos los peque˜ nos cubos del volumen. Ahora bien, como los cubos son adyacentes, cada cara es compartida por dos de ellos. El valor del campo F¯ en una cara es el mismo tanto si consideramos que esa cara pertenece a un cubo como si consideramos que pertenece al cubo de al lado. Pero las normales son opuestas, seg´ un que la cara se considere perteneciente a un cubo o a otro. En consecuencia, los flujos se compensan. Si sumamos las divergencias de todos los cubos interiores a V , esa suma ser´a nula. S´olo quedan por considerar los cubos una de cuyas caras es de hecho un elemento de la superficie exterior S, tal como se muestra en la Figura 3. El flujo a trav´es de todas las caras est´a compensado, excepto el flujo a trav´es de la cara que es un elemento de la superficie S. Por tanto, el flujo total a trav´es de todas las caras de todos los cubos en que se divide el volumen queda reducido al flujo a trav´es de la superficie S. En otras palabras: Φ=

Z

V

¯ • F¯ )dV = (∇

dS

Figura 3

Z

S

¯ F¯ • dS

(4.10)

39

4.2. La difracci´ on en 9 pasos sencillos

4.2.4.

Paso 4. Definici´ on de gradiente

Dada una funci´on escalar que asigna un valor f (x, y, z) a cada punto del espacio (x, y, z), se define el gradiente de f en el punto (x, y, z) como el vector de componentes: ¯ = ∇f

∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z

!

(4.11)

La divergencia es un escalar. El gradiente es un vector. Consideremos el caso particular en que el campo vectorial F¯ se escribe como el producto de una funci´on escalar ϕ por un campo U¯ y calculemos su divergencia:

¯ • F¯ = ∇ ¯ • (ϕU) ¯ ∇ ∂ ∂ ∂ (ϕUx ) + (ϕUy ) + (ϕUz ) = ∂x ∂y ∂z ∂ϕ ∂Ux = Ux + ϕ ∂x ∂x ∂Uy ∂ϕ + Uy + ϕ ∂y ∂y ∂Uz ∂ϕ + Uz + ϕ ∂z ∂z ¯ ¯ ¯ • U¯ ) = (∇ϕ) • U + ϕ(∇

4.2.5.

(4.12)

Paso 5. Una aplicaci´ on del resultado anterior

Respecto al resultado obtenido en el paso anterior, veamos qu´e ocurre ¯ cuando U¯ = ∇ψ, es decir, cuando el campo vectorial U¯ es el gradiente de cierta funci´on escalar ψ, puesto que sabemos que el gradiente de ψ en cada punto es un vector. ¯ • (ϕ∇ψ) ¯ ¯ • (∇ψ) ¯ + ϕ(∇ ¯ • (∇ψ)) ¯ ∇ = (∇ϕ)

(4.13)

¯ ∇ ¯ se le llama ((laplaciano)), se representa como ∇ ¯ 2 y como Al operador ∇• es f´acil ver ¯2

∇ =

∂2 ∂2 ∂2 , , ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

!

(4.14)

40

4. Difracci´ on

4.2.6.

Paso 6. Identidad de Green

¯ y ψ ∇ϕ. ¯ Aplicando a ambos el Consideremos los campos vectoriales ϕ∇ψ teorema de la divergencia y restando uno del otro queda la que se conoce como ((identidad de Green)): Z

V

4.2.7.

¯ 2 ψ − ψ∇ ¯ 2 ϕ]dV = [ϕ∇

Z

S

¯ − ψ(∇ϕ)]dS ¯ [ϕ(∇ψ)

(4.15)

Paso 7. Ecuaci´ on de ondas

Hasta ahora, nos hemos limitado a introducir algunas definiciones y deducir algunos resultados. El contenido de estos resultados es matem´atico, no f´ısico. En este momento, introducimos por primera vez una hip´otesis de naturaleza f´ısica. A partir de los experimentos con que comenzamos el cap´ıtulo, vimos la plausibilidad de que la luz constituya una perturbaci´on ondulatoria. Si la luz es una onda, satisfar´a la ecuaci´on de ondas. Ignoramos cual es la naturaleza de esa perturbaci´on, pero como al observar la imagen en la pantalla apreciamos distintos valores de intensidad en cada punto (es decir, un valor escalar), supondremos que esa perturbaci´on es de naturaleza escalar 1 . Si imponemos sobre las funciones escalares ϕ y ψ el que satisfagan la ecuaci´on de ondas: 2 ¯ 2ψ = 1 ∂ ψ ∇ c2 ∂t2

(4.16)

2 ¯ 2ϕ = 1 ∂ ϕ (4.17) ∇ c2 ∂t2 comprobamos c´omo el primer t´ermino de la identidad de Green se hace nulo. En efecto, si ϕ y ψ tienen una dependencia temporal de la forma cos ωt, por sustituci´on y c´alculo directo se comprueba que esto es as´ı. Por tanto, la integral de superficie es nula:

Z

S

4.2.8.

¯ =0 ¯ − ψ(∇ϕ)] ¯ dS [ϕ(∇ψ)

(4.18)

Paso 8. Teorema integral de Kirchoff

Una fuente luminosa, como la llama de una vela, esparce su luz en todas direcciones, salvo por los obst´aculos que pudiese haber. Es natural entonces 1

Por este motivo, a la teor´ıa que estamos exponiendo se la llama teor´ıa escalar. En realidad, s´ı sabemos que la luz es una onda electromagn´etica, pero como este dato no es necesario para el desarrollo de la presente teor´ıa, podemos fingir que lo desconocemos.

41

4.2. La difracci´ on en 9 pasos sencillos

pensar que la perturbaci´on luminosa tiene forma de onda esf´erica. Escribamos: ϕ=

ϕ0 cos(kr − ωt) r

(4.19)

y calculemos la integral de superficie sobre una superficie tal que contiene al origen P . Pero, puesto que en P ϕ no est´a definida, tomaremos como volumen aquel delimitado por una superficie exterior S1 y una superficie interior S2 de radio ρ que contiene al punto P , como se ve en la Figura 4. Adem´as, obs´ervese que la normal a S1 est´a dirigida en el sentido de los r crecientes, mientras que la normal a S2 est´a dirigida hacia el punto r = 0.

S 1

ρ

.P

S 2

Figura 4

Ahora bien, si recordamos los experimentos citados al principio de este cap´ıtulo, habl´abamos de la formaci´on de patrones luminosos sobre la pantalla cuando la luz atraviesa orificios peque˜ nos. Hemos de resaltar ahora que estos patrones son est´aticos: ni cambia su figura ni ´esta muestra variaci´on alguna con el tiempo. Pero hemos usado ya en el paso 7 la ecuaci´on de ondas, que supone una dependencia temporal. Por tanto, se requiere una explicaci´on. Y ´esta es que la frecuencia temporal de la perturbaci´on es tan grande que lo que percibimos por el ojo o mediante una placa fotogr´afica es alg´ un tipo de promedio, y ese promedio podemos incluirlo en la constante ϕ0 . Recordemos que tratamos de explicar aquello que vemos, no aquello que en realidad sucede, pues, de hecho, aunque hemos postulado que la luz es alg´ un tipo de perturbaci´on ondulatoria no necesitamos conocer de qu´e naturaleza es esta perturbaci´on. Podr´ıamos sumar a este otros argumentos, tanto f´ısicos (calculamos la integral de superficie en un instante dado que podemos tomar como t = 0) como matem´aticos (podemos escribir la onda usando notaci´on

42

4. Difracci´ on

exponencial como producto de dos factores: uno dependiente y otro independiente del tiempo) para despreocuparnos de la parte temporal y efectuar los c´alculos siguientes s´olo sobre la parte espacial: ϕ=

ϕ0 cos kr r

(4.20)

Consideremos la integral sobre S2 . Un elemento de superficie se representa mediante un vector de m´odulo dS2 y direcci´on y sentido determinados por la ¯ 2 = dS2 n normal n ˆ : dS ˆ . En cuando al m´odulo, si dΩ es el elemento de ´angulo s´olido subtendido por dS2 seg´ un se ve desde P , tenemos que dS2 = ρ2 dΩ

(4.21)

En cuanto a la normal, en el punto (x, y, z) perteneciente a la superficie de la esfera es x y z n ˆ = − ,− ,− ρ ρ ρ

!

(4.22)

En cuanto al gradiente que aparece en el integrando, siendo el gradiente de una funci´on escalar que depende del m´odulo r, es claro que, para cualquier funci´on f (r) que depende s´olo de r ser´a ∂f ∂r ∂f = ∂x ∂r ∂x

(4.23)

x ∂r = ∂x r

(4.24)

al tiempo que

con an´alogas relaciones para y y z. Efectuando las operaciones y tomando el l´ımite cuando ρ → 0, sobrevive s´olo ψ(P ), y la integraci´on a toda la esfera da un factor 4π, de manera que, finalmente: ψ(P ) =

1 4π

Z

S1



1 ¯ − ψ∇ ¯ 1 cos kr cos kr ∇ψ r r 



¯ 1 dS

(4.25)

Esta es la expresi´on del conocido como ((teorema integral de Kirchoff)), que viene a decirnos que el valor de ψ en el punto P se puede obtener a trav´es de una integral sobre una superficie que encierre al punto P .

43

4.2. La difracci´ on en 9 pasos sencillos

n^ r’

S r P

F

Figura 5

4.2.9.

Paso 9. Integral de Kirchoff-Fresnel

Llegados a este punto, podemos conjugar los resultados matem´aticos con los experimentales. En relaci´on a la Figura 5, si F es una fuente de luz y P un punto de la pantalla donde deseamos calcular la perturbaci´on luminosa, sabemos, del paso anterior, que el valor de dicha perturbaci´on en P se puede encontrar a trav´es de una superficie que encierre a ese punto. Elijamos esa superficie de tal manera que el orificio S sea parte de ella, y de forma tambi´en que la perturbaci´on en cualquier otro punto de la superficie que encierra a P y que no pertenece al orificio, es nula. Puesto que esta superficie es arbitraria, siempre podemos hacerla tan alejada del punto P como sea preciso para que se cumplan estas condiciones. Por lo tanto, la integral que aparece en el ((teorema integral de Kirchoff)) se limita a la superficie de la abertura S. Lo que haremos ahora no ser´a m´as que escribir dicha integral en el caso particular cuya geometr´ıa hemos reflejado en la Figura 5. Como hemos visto, dada una funci´on escalar f (r), su gradiente es ¯ = ∂f rˆ ∇f ∂r

(4.26)

as´ı que "

#

cos kr ¯ cos kr sen kr ′ cos kr cos kr ′ ′ ∇ψ = −k − rˆ r r r′ r r′2 y

(4.27)

44

4. Difracci´ on

¯ cos kr ψ∇ r

!

"

#

sen kr cos kr ′ cos kr ′ cos kr = −k − rˆ r r′ r′ r2

(4.28)

Ahora bien, k = 2π/λ, y como la longitud de onda es mucho menor que r y r ′ , se tiene que λrr ′