cuatro operaciones

CUATRO OPERACIONES En este capitulo capitulo se tratará tratará con problemas problemas referen referentes tes a las cuatro cuatro operaciones operaciones combinada combinadass ( + - x complemento aritmético, la regla conjunta y el el método del cangrejo. cangrejo.

÷

); además del

PROPIEDADES DE LAS CUATRO OPERACIONES PROPIEDAD UNIFORMIDAD CONMUTATIVA ASOCIATIVA

SUMA

DIFERENCIA

MULTIPLICACION

a=b m=n . a+m=b+n a+b=b+a a+b+c=S (a+b)+c =S

a=b m = n___  a-m=b-n

a≥ b  _____m > n _____  a+m>b+n

a=b  _____m > n _____  a-m n _____  axm>bxn

a=b  _____m > n _____  a÷ mb  _____m ≤ n _____  a-m>b-n 0

1

a>b  _____m ≤ n _____  a÷ m>b÷ n 1

DISTRIBUTIVA

DIVISION

a÷

a=b m = n___  m=b÷ n

MONOTONIA

ELEMENTO NEUTRO

Para Para reso resolv lver er prob proble lema mass dire direct ctos os con con las las cuat cuatro ro operaciones, hallaremos los dos números que participan participan en estas, empleando las siguientes fórmulas, según los casos considerados. DE DOS NÚMEROS NÚMEROS DADOS, DADOS, HALLAR EL MUMERO MAYOR (# may.) Y EL NÚMERO MENOR ( # men.), CONOCIENDO: 1er CASO: # may =

La suma (S) y la diferencia (D). S+ D 2

# men =

S-D 2

Ejm: Hallar dos números tales que su suma sea 60 y su diferencia 40. R: 50 y 10 Ejm: Encontrar dos números que cuya adición es 40 y su resta es 16. R: 28 y 12 do

2 CASO: # may =

La suma (S) y el cociente (C). CS C +1

# men =

S C +1

Ejm: Hallar dos números tales que su suma sea 100 y su cociente 4. R: 80 y 20 Ejm: Determinar dos números que sumados da 640 y su cociente es 31. R: 620 y 20 3er CASO: # may = # men =

La suma (S), el cociente (C) y el residuo (R). C S + R  C +1 S - R  C +1

Ejm: Hallar dos números tales que su suma sea 40, su cociente cociente 5 y su residuo 4. R: 34 y 6 Ejm: Encontrar dos números tales que su suma sea 52, su cociente sea 2 y su residuo sea 4. R: 36 y 16 4to CASO:

La diferencia (D) y el cociente (C).

# may =

CD C -1 D C -1

# men =

Ejm: Hall Hallar ar dos dos núme número ros, s, sabi sabien endo do que que su diferencia es 60 y su cociente 4. R: 80 y 20 Ejm: Encontrar dos números, si su resta es 96 y su cociente es 4. R: 128 y 32 5to CASO: el residuo (R).

C D - R 

# may = # men =

La diferencia (D), el cociente (C) y

C -1 D - R  C -1

Ejm: Hallar Hallar dos números, números, tales tales que su diferencia diferencia sea 90, su cociente 3 y su residuo 10. R: 130 y 40 Ejm: Encontrar dos números cuya diferencia es 203, su cociente es 6 y su residuo es 8. R: 242 y 39 6to CASO: #m ay

=

El producto producto (P) y el cociente (C). P C

# men =

P C

Ejm: Hallar dos números tales que su producto sea 40 y su cociente 10. R: 20 y 2 Ejm: Dete Determ rmin inaar dos dos núme número ross sabie abiend ndoo que que multiplicados dan 1 734 y su cociente es 6. R: 102 y 17 7mo CASO:

La suma suma (S) (S) y el producto (P). (P).

# may =

#m en

=

luego le extraigo la raíz cuadrada, al número obtenido lo divido entre 3 para luego restarle 1 y por ultimo al resultado lo elevo al cuadrado obteniendo como resultado final 16. Hallar el número inicial. R: 6

S2 - 4 P

S+

2 2

S-

S -4 P 2

Ejm: Hallar dos números tales que su suma sea 17 y su  producto 70. R: 10 y 7 Ejm: Si sumando dos números da 11 y multiplicándolos da 28 . Determinar estos números. R: 7 y 4 8vo CASO:

La diferencia (D) y el producto (P). 2

#m ay

=

#m en

=

D

+4P +D 2

D

2

Ejm: Un alumno de RM entra a una iglesia donde existe un santo milagroso, quien cada vez que alguien entra a su iglesia le triplica el dinero que lleva, con la condición que cada vez que hace el milagro se deje una limosna de 25 soles. Si después de haber entrado 2 veces sale con 35 soles ¿Cuál era su dinero inicialmente? a) 12 b) 15 c) 18 d) 16 e)  NA

+4P -D 2

Ejm: Hallar dos números tales que su diferencia sea 8 y su producto 48. R: 12 y 4 Ejm: Encontrar dos números tales que su diferencia es 6 y su producto 91. R: 13 y 7

REGLA CONJUNTA También se le denomina método de las equivalencias, se resuelve aplicando las relaciones que existen entre objetos de diferentes especies. REGLA PRÁCTICA: - Se forma con los datos una serie de equivalencias (en COMPLEMENTO ARITMETICO DE UN filas), poniendo la incógnita (X) en el primer miembro NÚMERO de la primera equivalencia. Es lo que le falta a un número para convertirse en la unidad - A continuación se procura siempre que el primer  seguida de ceros de un orden inmediato superior. miembro de cada equivalencia sea de la misma especie Ejm. CA de 7 = 3 porque: 7 + 3 = 10 que el segundo miembro de la equivalencia anterior. CA de 72 = 28 porque: 72 + 28 = 100 - Así, el segundo miembro de la última equivalencia será de la misma especie que el primer miembro de la REGLA PRACTICA: Se resta de 9 cada una de las  primera equivalencia (o sea, de la misma especie de la cifras del número, partiendo de izquierda a derecha, incógnita). excepto la ultima cifra significativa que se resta de 10. - Se multiplican ordenadamente estas igualdades y se despeja el valor de la incógnita (X). Ejm. CA de 24 592 = 75 408 Ejm: Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo Se resta de 9 se resta de 10 mismo que 5 metros y que 2 metros valen 30 soles. ¿Cuánto costaran 4 varas? R: 50 CA de 7 246 800 = 2 753 200 Ejm. Hallar un número de 4 cifras que al ser restado de Ejm: Sabiendo que 2 Kilos de frijoles cuestan lo su complemento aritmético da 2 786 R: 3607 mismo que 3 Kilos de azúcar; que 4 lápices valen lo mismo que 5 Kilos de azúcar; que 3 cuadernos valen 30 soles y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costaran 6 Kilos de frijoles? MÉTODO DEL CANGREJO a) 63 b) 24 c) 36 d) 48 e) NA Este método nos permite encontrar las soluciones de un   problema en forma directa para lo cual se realizan las operaciones inversas en cada caso, empezando desde el E JE R C I C I O S final hacia el comienzo. Prob. 1: La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustracción es 19 456 y el minuendo OPERACIONES INVERSAS: es el cuádruple del sustraendo. Hallar el sustraendo. ( ) a) 2432 b) 1216 c) 3648 d) 608 e) 3040 + x ÷ n

n

Ejm: A un cierto número se le eleva al cuadrado, a este Prob. 2: Un alumno tiene que multiplicar un número resultado se le resta 3, a este nuevo resultado se le  por 30, pero se olvida de poner el cero a la derecha del multiplica por 7, luego se le divide entre 14, a este nuevo  producto; por lo que obtiene un resultado que difiere del resultado se le eleva al cubo, luego se le agrega 9, verdadero en 5 751. Hallar dicho número. b) 1917 c) 213 d) 219 e) 426 finalmente se le extrae la raíz cuadrada obteniendo como a) 639 resultado final 6. Hallar dicho número. R: 3 Prob. 3: Cuanto se debe sumar al dividendo de una Ejm: Con un cierto número realizo las siguientes división cuyo divisor y residuo son 15 y 6, para que el operaciones: lo elevo al cubo, al resultado le agrego 9 y cociente aumente en 3 y el resto sea máximo? a) 48 b) 50 c) 53 d) 57 e) 62

Prob. 4: Se tiene el producto: a x 15 x 18 , si aumentamos 7 unidades a cada uno de los factores, el  producto aumenta en 4 970. Hallar “a”. a) 8 b) 6 c) 16 d) 4 e) 9 Prob. 5: A un número formado por un 2, un 7 y un 1; se le resta otro formado por un 5 y dos 7 y se obtiene un número formado por un 3, un 1 y un 5. ¿Cuál es el resultado? a) 135 b) 153 c) 351 d) 315 e) 513 Prob. 6: Hallar la suma de las cifras de ab2 , sabiendo que este número disminuido en su CA, da un número de tres cifras iguales. a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 6 Prob. 7: El cociente y el resto de una división exacta son 4 y 30 respectivamente. Si se suman los términos, el resultado es 574. Hallar el divisor. a) 438 b) 430 c) 108 d) 102 e) 170