Cuatro Operaciones

SUSTRACCIÓN 

Es una operació operaciónn invers inversaa a la adició adición, n, tal que dados dados dos números números llam llamad ados os minu minuend endoo y sustr sustrae aend ndoo la oper operac ació iónn sust sustrac racci ción ón hace hace corresponder un tercer número llamado diferencia, tal que sumado con el sustraendo de cómo resultado el minuendo.

INTRODUCCIÓN Las operaciones fundamentales de la adición, sustracción, multiplicación y división los aplicamos aplicamos directamente. directamente. Una ama de casa recurre recurre a éstas para la distribución más adecuada de sus ingresos. En las empres empresas as dado dado que las materi materias as primas primas,, ingres ingresos, os, egreso egresos, s, sueldos y impuestos, etc. son cuantificados, se genera para que haya relaciones, operaciones del presupuesto. La distribución, planificación y la información, se realizan siempre las operaciones fundamentales. Aunque últimamente últimamente quienes quienes realizan realizan solo operaciones operaciones están siendo siendo reemplazado reemplazadoss por calculadoras, calculadoras, computadoras computadoras,, máquinas máquinas que pueden pueden realiza realizarr las operacio operaciones nes en menos menos tiempo tiempo.. No deja deja de ser import important antee conoce conocerr los aspecto aspectoss básico básicoss de dichas dichas operac operacion iones es y propiedades que se cumpla en este y la que vamos a desarrollar.

Es decir: M – S = D Donde: M: Minuendo S: Sustraendo D: Diferencia

PROPIEDADES

A B

B

+

+

3 manzanas =

14 Manzanas

En general: Dado 2 ó más cantidades sumandos la operación adición consiste en reunir dichas cantidades e una sola llamada suma, al cual tiene tantas unidades como todos los sumandos juntos.

4

3

6

4

+

2

1

8

2

9

5

1

2

3

− ← Minuendo ← Sustraendo ← Diferencia

6

3

4

9

4

9

5

4

3

2

4(

8

+

1

1

1

4

7

6

1

4

3

2

8

3

7

8

2

6

7

1(

Si:

ab( 6)

1 7 2 9 7



Calcular:

total

3

6

5

4

3

6

6

1

2

0

+

5

( 7)

2

6

2

7

5

6

6

5

6

( 7) ( 7)

0 7

2

8

4 5

1

6

6 2

−

8

−

)

( 8) 8

4

1

0(

2

4

5

3

6

2

4(

− ba( ) = d 2( 6

+ de (

1

3

)

ab ( 7 )

1

6)

7

−

)

( 7)

y d 2( 6)

7

)

− ed (  ) = 15( 6

6)

7)

Considerando las siguientes diferencias:

1 4

5

Rpta: 122 7

Ejemplo: adición en otras bases:

4

4

En otras bases:

2 2

Sumandos Suma

2

4

9

2 2

2M 

1

4

4

=

1

9

8

D

Sustracción en base 10.

3

4

+S +

Ejemplo:

2

4

 M

La suma de los términos de una sustracción es S/. 742 y el producto del sustraendo por la diferencia es 6688. calcule el sustraendo sabiendo que es mayor que la diferencia. Rpta:552

6

5 6

2

2)



Ejemplo: adición en base diez diez (agrupación de 10 10 en 10)

1

D

En una sustra sustracció cción; n; la suma de sus términos términos es 72, además además el minuendo es dos veces más que el sustraendo, calcule la diferencia. Rpta: 24

6 + 5 + 3 = 14

2

+

S

C

C

5 manzanas

=



=

6 manzanas

 M

Aplicaciones:

 ADICIÓN  A

1)

7

7

7

3

3

( 8)

+

( 8)

7

3

5( 9)

5

5

3

6

1

8

5

2

1

1

2

3

9

−

( 8)

PROPIEDAD:

( 8)

Si: a > c, además:

5

1

3( 8)

7( 9 )

3

1

7

1

7

abc ( k )

( 9)

−

9

3

5( 8)

5

3

9( 12)

68

3

( 11)

8 12

−

( )

5( 12)

−

( )

−cba (k ) =mnp ( k )

se cumple:

2 1

4

1

m+p=k–1

3( ) 9

6

7

2

8

1( ) 9

5

1

2( ) 9

( 9)

+

n=k–1

Aplicaciones 1)

Si:

abc8

=2cba 8 calcule: a x b x c Rpta: 70

2)

Si 4ab  ba 4 es de 3 cifras. Además calcule: 2a + 3b

−

ab

− ba =w 4.

Rpta: 17 y 22

CA 213000 ( 5 )

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA(N)) El complemento aritmético de un número entero positivo es igual a la cantidad de unidades que le falta a dicho número para ser igual a una unidad de orden inmediato superior a su cifra de mayor orden. Ejemplo: CA (3) = 101

−

3 =7

CA (28) =

10 2

−

28 = 72 CA (730) =

10

3

730

−

270

=

10 4

−

( )

3)

Es una operación que consiste en lo siguiente: dado dos números “A” y “B” multiplicando respectivamente se halla un tercer número “P” llamado producto el cual se compone tantas veces el multiplicando como veces indica el multiplicador. Osea:

10

=

K 

A +A  A =A + + A +A +

← 1 3 2 5 xMultiplicador 

)

Si CA abc =abco −397 Calcule: a x b x c

Productos Parciales

←

2 3 5

Si: CA abcde =ee Calcule: (a + b + c + d + E)

6 6 2 5

Productos total

Rpta: 36

3 9 7 5

 Forma práctica : CA ( abcd )

= 10

CA ( abcd )

=

4

−

abcd ( asumiendo d   ≠ 0 )

2 6 5 0

( 9 − a ) ( 9 − b ) ( 9 − c ) ( 10 − d )  

Ejemplo: CA( 346228 ) Resta de 9

Resta de 10

CA( 363423 )

Aplicaciones En una multiplicación si al multiplicando se le aumenta 5 unidades, el producto aumenta en 200. si al multiplicador se le aumenta 7 unidades, el producto aumenta en 91. calcule la suma de cifras del producto inicial. Rpta:7

636577

=

Resta de 10

Resta de 9

(

CA 3 2 010 0

Aplicación

) = 679900

   

5) 6)

Si

(

CA abcba

Calcule: ( a

) = monn − ( m + n)

Calcule : ( a

)

(

)

+ b + c =

+ b + c + d

4

Rpta: 24

si:

( a + 5)( a +1)( b + 2)

En otras bases:

8

2

=

7

=

CA ( 213 ) 7

CA 43001( 8 )

−

3

538

− 213

1

4

3

3

0

3

4

4

=

85

−

7

430018

Forma practica  CA 42317 ( 9 )

Rpta : 14

Multiplicar 423(5 ) por 42 (5 )

Rpta:10

CA 538

)

OTRAS BASES:

Calcule: ( a + b + c )

CA abc

   

CAabca (7 )  =( b +2)dd (7 )

Resta Resta de 10 de 9

APLICACIONES :

←

3 1 1 3 7 5

65372

=

= A ×b

Multiplicando

N

−

Rpta: 14 4)

 P

Ejemplo: Multiplicar 1325 por 235 Procedimiento:

En general: Sea el numeral “N” que tiene “K” cifras e n base 10:

Aplicaciones

MULTIPLICACIÓN 

" b Veces"

6340 = 3660

CA  N

232000 ( 5)

Resta Resta de 5 de 4

P

CA(6340) =

=

=

46572 ( 9 )

Resta Resta de 9 de 8 CA 530013 ( 7 ) 136654 ( 7 ) =

Resta Resta de 7 de 6

2

2

3

4

2

0

1

( 5) x ( 5)

( 5)

( 5) 2

1

( 5)

DIVISIÓN 

Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados dos números enteros llamados dividiendo y divisor se obtiene un tercer número llamado cociente que nos indica el número de veces que contiene el dividendo al divisor.

TÉRMINOS La cantidad de unidades que se posee, la cual se va ha agrupar se denomina (dividendo) el tamaño del grupo en la cual se está agrupando el dividendo, se denomina (divisor) y la cantidad de grupos obtenidos se denomina (cociente), teniéndose como consecuencia que sobre o falte unidades, a la cual se denomina (residuo)

Ejemplo: D d q r

: dividendo : Divisor : Cociente : Residuo

D

d

23

10

r 

q

3

2

D

dq

=

Sea: n = 5

r 

+

CLASES A. División Exacta.- Cuando al agrupar las unidades no sobra ni falta unidades, es decir, se considera residuo cero no existe residuo.

Ejemplos: 48 0

23 + 5

10

3+ 5

2 no varia

sea: n = 12

12

D

d

4

0

q

D

dq

=

23 + 12

48 = 12 x 4

3 + 12

B. División Inexacta.- Cuando al agrupar las unidades sobran o faltan unidades para formar un grupo más. Cuando sobra unidades se dice que la división es inexacta por defecto. Cuando falta unidades para formar un grupo más, se dice que la división es inexacta por exceso. Por defecto

POR DEFECTO

POR EXCESO

78

78

10

2

8

7

El cociente por exceso , es una unidad más que el cociente por defecto. Lo que sobra o falta unidades suman exactamente grupo.

POR EXCESO

 D

d 

 D

re

q +1

rd 

d (q

=

10 3

 No puede ser residuo Cociente Aumentado en 1

PROBLEMAS

1) − r e

+

d  q

d 

dq

=

B) 2 E) 5

r d 

+

= bba68

C) 3

 4a   6b 2c ( )( )   3     ( 15)

  2. Sabiendo que: C.A.  abc( 15)  =  hallar: “a + b + c” A) 13 D) 21

Tanto el dividendo y el divisor en ambas divisiones son iguales.

d 

5



Observación

EN GENERAL: POR DEFECTO

2

A) 1 D) 4

Ejemplo:

8

35

1. Hallar “c” en la siguiente suma: a74b + 5ba2 + c7a

Por exceso

10

10

B) 14 E) 25

C) 19

3. Si se tiene el número:  N = 6 × 10n + 3 + 8 ×10n − 2 entonces se puede afirmar que la suma de cifras del C.A. de dicho número es: A) 41 B) 45 C) 80 D) 52 E) 35 Si: CA ( abc )

4. Hallar C.A. (a + b + C) A) 87 D) 102

− abc = 632

B) 90 E) 10

5. Sabiendo que:

C.A.

C) 68

( a + 2 ) ( b + 3) ( c + 4 )  = ( a + 1) ( b − 2 ) ( 2c )  

Hallar “a + b + c” A) 5 D) 20

B) 10 E) 25

C) 15

6. Si:

DONDE: r d  : Residuo por defecto PROPIEDADES

r e

: Residuo por exceso

r d 

hallar A) 22 D) 25

+ r e = d 

Cuando la división es inexacta, y no se especifica el tipo, se asume que es inexacta por defecto.

ALTERACIÓN DE UNA DIVISIÓN INEXACTA Sea la división

 D

dq

=

abc × b = 2280 abc × a

1. r < d 2. r(mínimo) =1 3. r(máximo) = d –1 4.

abc × c = 2736

r 

+

= 1824 abc × cba , dar como respuesta la suma de las cifras.

D + n = d(q) + r + n

A) 16 D) 18

Analizando:  D + n

+n

8. Hallar:

B) 20 E) 24

+

+

+

C) 12

+

112 223 334 445 ... 1 4 4 4 42 4 4 4 43 20 sumandos

Si se aumenta una cantidad al dividendo, hace que puede variar el residuo y el cociente.

r

C) 27

7. Hallar el valor de “x” si: ( x + 1) + ( x + 3) + ( x + 5) + .... ( x + 2n − 1) = n ( 20 + n )

Sea “n” una cantidad entera positiva; sumando “n” ambos miembros de la igualdad anterior:

B) 24 E) 10

d  q

Si “r+n < d ” el cociente no se altera. Si “r+n ≥ d” el cociente aumenta en tantas unidades como “r + n” contenga a “d”.

A) 3160 D) 3150

B) 3298 E) 3175

C) 3290

9. Hallar la suma de los 20 números de la siguiente serie: S = 7 + 97 + 997 + 9997 + ... Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

10.

Calcular: 12 + 32 + 52

+ 7 2 + ... + 312

A) 5454 D) 5458

B) 5455 E) 5460

C) 5456

27.

11.

Hallar la suma de las cifras de “R” R = 888...8 1 2 3 − 4343...43 14 2 43 200 cifras

140 cifras

A) 1110 D) 1124

B) 1120 E) 1120

C) 1116

Determinar la suma de los valores de “a” en abc − cba = xy3 A) 9 B) 13 C) 17 D) 19 E) 15 13. Sabiendo que: abc − mn4 = cba y además: a + b + c = 20.

12.

Calcular: A) 796 D) 636

14.

a

2

+ b3 + c B) 596 E) 312

Si: C.A.( abc )

El valor de ( a + b + c ) es:

= cab

A) 25 D) 36

C) 534

B) 27 E) 42

A) 17 D) 20

17.

Hallar ( d + u ) si: C.A.( du ) × 1du B) 6 E) 9

31.

Si un vehículo viaja a una velocidad promedio de 40km/hora ¿Cuántas horas empleará para recorrer d kilómetros si hace n paradas de m minutos cada hora? d ( 2n + m ) A) 2nm B) C) ( 2d + 2nm ) horas

= ( abcd ) = ab × cd C) 19

= 9775

2

8 ×10 A) 131 D) 132

+ 3 ×10

C) 7

6

B) 140 E) 125

C) 122

Halle la suma de las cifras de un número  bab sabiendo que su

C.A. es: c ( a + 3) ( a + 2 ) A) 11 D) 14

B) 12 E) 15

32.

Si: 1 + 2 + 3 + ... + n = aaa A) 4 B) 5 D) 7 E) 8

33.

21.

B) 16 E) 32

Hallar ( x + y + z ) A) 12 D) 16

si: a1a + a2a + a3a + ... + a9a B) 13 C) 14 E) 17

35. Si:

Sabiendo que abcd × 99 = ...1221, A) 21 B) 17 D) 26 E) 28

c + p = 15 A) 136652 C) 137292

hallar (a+b+c+d) C) 19

23.

Si: abcd × 999 = ...8012 Hallar (a + b + c + D) A) 21 B) 34 C) 27 D) 37 E) N.A.

× 999999 = ...110101 (a+b+c+d+e+f )  

= xyz4

de + qr

= 152 B) 135652 D) 137652

E) 137452

Si cada asterisco es una cifra en:

abc − cba

C) 51

25.

En una división entera, donde el dividendo está comprendido entre 450 y 500, el divisor es 47; si el residuo por defecto excede al residuo por exceso en 23, hallar el dividendo. A) 458 B) 467 C) 471 D) 483 E) 491

26.

C) 40

ab + nm = 136

36. Hallar

abcdef

B) 32 E) 63

bac

S = abcde + nmpqr  

Hallar “S”

Un cierto número multiplicado por 2, por 3, por 7 da tres nuevos números cuyo producto es 55902, ¿Cuál es el número? A) 7 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17

A) 47 D) 57

+ bca + ba = abc

Hallar a x b x c si: A) 12 D) 24

34.

Al dividir abc entre 13 se obtiene  bc de cociente y un resto máximo. ¿Cuántos números cumplen con esta condición? A) 3 B) 7 C) 11 D) 2 E) 5

24.

El valor de “a” es: C) 6

C) 13

20.

22.

 3d + 2 nm  horas E)     120  

 2d + 2m  horas D)   60   

Hallar la suma de las cifras del C.A. de la suma: 20

19.

C.A.

B) 18 E) 21

A) 5 D) 8

18.

Si:

En una división entera donde el dividendo está comprendido entre 600 y 700, el divisor es 87. si el residuo por defecto es mayor que el residuo por exceso en 23 unidades. ¿Cuál es el dividendo? A) 609 B) 664 C) 641 D) 696 E) 625 En una división al resto le falta 53 unidades para ser máximo y si le restamos 25, el resto seria mínimo ¿Cuántas unidades como mínimo se deben aumentar al dividendo para que el cociente aumente en 2 unidades. A) 160 B) 134 C) 186 D) 104 E) 97

El complemento aritmético de abcd es mmm . Hallar el valor de “c” si: a + b + c + d + m = 29 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Hallar (a + b + c + d)

29.

30.

C) 29

15.

16.

Se divide el C.A. de un número de 3 cifras entre dicho número obteniéndose 5 de cociente y un residuo máximo, hallar el número. A) 241 B) 176 C) 256 D) 143 E) 121 28. Al dividir 593 entre a9b el cociente por exceso es el doble del cociente por defecto; calcular el residuo por exceso, siendo el residuo por defecto 1c8 . A) 197 B) 233 C) 163 D) 217 E) 182

El resto por exceso de una división es el triple del resto por defecto; da el divisor, si el cociente es 15 y la suma del dividendo con el divisor es 520. A) 21 B) 28 C) 40 D) 32 E) 36

= 3** abc + cba = *35 * Hallar: 2a + b +c A) 25 D) 28

B) 26 E) 29

C) 27

37.

Si el C.A. de abcd es un número de 3 cifras iguales y además: a + b + c + d = 19. Calcular ab + cd A) 72 B) 54 C) 45 D) 42 E) 39

38.

Calcular

 N = 9 × 10 A) 9n – 7

2n

la

suma

+ 8 ×10

de

las

cifras

del

n

B) 10n -1

C) 9n

C.A.

de:

D) 9n + 7

E) 10n

39.

Al multiplicar un número por 321, obtuvo como suma de productos parciales 2472; calcular la suma de las cifras del número: A) 4 B) 7 C) 11 D) 13 E) 9

40.

Hallar la suma de las cifras del producto:

777...77 14 2 4 3 × 999...99 14 2 4 3 "n"cifras

"n"cifras

A) 4n

B) 9n

D) n 3

E) n 2

C) 9n

41.

¿Cuál es el número comprendido entre 200 y 300 tal que leído al revés, resulta el doble del número que la sigue al original? Indicar la suma de sus cifras. A) 16 B) 12 C) 11 D) 19 E) 14

42.

Una bolsa roja contiene “N” bolsas verdes y cada bolsa verde contiene “N” bolsas azules; ¿Cuántas bolsas hay en total? A)  N 2 B)  N 2 + 1 C)  N 2 + N + 1 E) 2N + 1

D)  N 2 − N

La suma de dos números es ( a.b) y la diferencia es

43.

 a    b  ,   

hallar el cociente.

(

2 A) a

(

+ b) / ( a2 − b)

)(

)

2 2 C)  b + 1 / b − 1

(

)(

)

2 2 B) a + 1 / a − 1

D) ( a + b ) / ( a − b )

E) ( 2b + 1) / ( 2b − 1)

44.

Hallar un número entero que dividido entre 82 deje como resto por defecto el duplo del cociente por exceso y como resto por exceso el triple del cociente por defecto. A) 1256 B) 1346 C) 1420 D) 1446 E) 1344

45.

Al dividir abc entre  bc se obtuvo 11 de cociente y 80 de

residuo. Hallar A) 892 D) 942

abc .

B) 782 E) 982

C) 972

46.

El cociente de una división entera es 11 y el resto es 39. hallar el dividendo si es menor que 500. dar como respuesta el número de soluciones posibles. A) 1 B) 4 C) 3 D) 5 E) 2

47.

Si: D = dq + r ; 0 < r < d D = d ( q + 1)

+ r'

¿Cuál de las siguientes es verdadera? A) r ' < 0 B) r ' ≤ 0 D) r ' = 0 E) r ≥ 0

C) r ' > 0