Cuaterniones

CUATERNIONES

Will Willia iam m Rowa Rowan n Hami Hamilt lton on,, cien cientí tífi fico co que que se ocup ocupo o de la astr astron onom omía ía,, físi física ca y mate matemá mátic ticas as y a quie quien n se le debe debe el nombr nombree de vecto vector, r, creo un siste sistema ma de número númeross complejos de cuatro unidades, que denominó “Quaternions” (cuaterniones o caternios), estos estos satisf satisfacen acen las propie propiedad dades es de las operaci operacione oness de la aritmét aritmética ica ordina ordinaria ria con excepc excepción ión de la propie propiedad dad conmu conmutati tativa va de la multip multiplica licació ción, n, result resultand ando o el primer  primer  ejemplo de cuerpo no conmutativo en el campo real. Hamilton buscaba formas de extender los números complejos (que pueden interpretarse como puntos en un  plano)  plano) a un número mayor de dimensiones. No pudo hacerlo para 3 dimensiones, dimensiones, pero para 4 dimensiones obtuvo los cuaterniones. Según una historia relatada por el propio Los Los cuat cuatern ernio ione ness apar apareci ecier eron on en 1843 1843,, aunq aunque ue Hami Hamilt lton on dio dio sus sus “Lect “Lectur ures es on Quternions” con el estudio completo del tema en 1853. En este tratado introduce las matrice matrices, s, como como una extens extensión ión del concep concepto to de determ determina inante, nte, aunque aunque el calcul calculo o de matrices seria desarrollado algo mas tarde, en 1858 por Cayley a quien se le debe el nombre y su extensión al espacio pluridimensional. Los cuaternio cuaterniones nes son una una extensión extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que i2 = − 1, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias: i,  j y k  a los números ijk  = − 1. reales y tal que i2 =  j2 = k 2 = ijk = Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicación: la Tabla de Cayley (inglés).

1 i j 1 1 i j i i -1 k j j -k --1 1 k k j -i

k k -j i -1

Tabla de Cayley

Expresado de otra manera:

i2 = j2 = k 2 = −1, ij = k, ji = −k,  jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j.

O sea, cuando multiplicamos en el orden i → j → k → i, el producto es el elemento restante, pero si multiplicamos en el orden inverso obtenemos el opuesto. Con lo cual verificamos que no cumple con la propiedad conmutativa (el orden de los factores para este caso si altera el producto). 1, i ,  j , k , son entonces las "bases" de las componentes de un cuaternión.

Representación Representación vectorial de los cuaterniones.

Un cuaternión puede expresarse como el conjunto:

Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión. Análogamente, un cuaternión puede expresarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes

, y el otro el de las "bases": . En este caso, el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k:

Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones. Representación matricial de los cuaterniones

Además hay, al menos, dos maneras de (dos isomorfismos para) representar  cuaterniones con |matrices. Así el cuaternión se puede representar: Usando matrices complejas de 2x2:

Donde el conjunto de todas las matrices anteriores se designa mediante U(2). Cuyo subconjunto SU(2) -los cuatenios unitarios- juegan un papel importante en la teoría de gauge y de donde es fácil ver que el determinante es igual a . Una propiedad interesante de esta representación es que todos los números complejos son matrices que sólo tienen componentes reales. Usando matrices reales de 4x4:

También en este caso el determinante de la matriz resulta igual a

Aplicaciones

Los cuaterniones tienen diversas aplicaciones que van desde la teoría de números, en donde pueden utilizarse para probar resultados como el teorema dado por  Lagrange que dice que todo número natural n puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados   perfectos, hasta aplicaciones físicas dentro del electromagnetismo, teoría de la relatividad y mecánica cuántica, entre otras. Los cuaterniones en física representan rotaciones en el espacio. Además tienen aplicaciones en el electromagnetismo y la mecánica cuántica. Los cuaterniones se utilizan a menudo en gráficos por computadora (y en el análisis geométrico asociado) para representar la orientación de un objeto en un espacio tridimensional. Las ventajas son: conforman una representación no singular (comparada con, por ejemplo, los ángulos de Euler ), más compacta y más rápida que las matrices.