CUARTOAÑO1B

TEORÍA DE CONJUNTOS I 1. Concepto

1

4. Relación de pertenencia (∈)

El término CONJUNTO es aceptado en Matemáticas como un "CONCEPTO PRIMITIVO", PRIMITIVO" , es decir, decir, se acepta

sin denición. Intuitivamente, un CONJUNTO es una colección o agrupación de objetos llamados elementos.

Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que "PERTENECE" a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo "∈" , en el caso de no pertenecer por "∉".

Ejemplos:

Ejemplo:

i. El conjunto de los días de la semana. ii. El conjunto de los profesores profesores del del colegio TRILCE. iii. El conjunto de los números 3; 5; 12 y 18.

Dado el conjunto: A = {2; {2; 5; 7; 8}

2. Notación

Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas "A", "B", "C", ..., etc. y los elementos por letras minúsculas, mayúsculas u otros símbolos, separados por comas o por puntos y comas, y encerrado entre llaves. Ejemplos: A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} B = {Jorge, Alberto, Mario, Manuel, Nestor, Nestor, Ricardo} C = {3; 5; 12; 18} 3. Determinación de conjuntos

Existen dos formas de determinar un conjunto: 3.1.. Por extensión o en forma tabular.- Cuando 3.1

se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.

Ejemplos: A = {a, m, o, r} B = {1; 3; 5; 7; 9} 3.2. Por comprensión o en forma constructiva.-

Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.

Ejemplos: A = {x/x es una letra de la palabra amor} B = {x/x es un número impar menor que 10}

Entonces:

2∈A

4∉A

7∈A

5. Conjuntos especiales 5.1. Conjunto vacío o nulo.- Es aquel conjunto que

carece de elementos. Se le denota por: φ ó { }

Ejemplos: A = {x/x es un número par terminado en 5} → A = { } B = {x/x es un hombre vivo de 200 años} → B = { } 5.2. Conjunto unitario o singleton.- Es aquel

conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplos: A = {x/x ∈ IN ∧ 6 < x < 8} → A = {7} B = {2; 2; 2} → B = {2} 5.3. Conjunto universal (U).- Es aquel conjunto que

se toma como referencia, para un determinado problema, y en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se le denota por la letra "U". Ejemplo:

Si: A = {1; {1; 2; 3} B = {-1; 0; 4} Un conjunto universal uni versal para “A” “A” y “B” podría ser: U = {-1; 0; 1; 2; 3; 4} Pues los elementos de “A” y “B” están en “U”. Otros también podrían ser: U = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} U = {x / x ∈ ZZ}

2

6. Cardinal de un conjunto

8. Conjunto potencia

Sea "A" un conjunto nito, el cardinal de un u n conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por: n(A).

Dado el conjunto “A “A””, se denomina conjunto potencia de "A" y se denota por: P(A) , al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de "A".

Ejemplos:

Ejemplo:

A = {3; 4; 7; 9; 13} Þ n(A) = 5 Se lee: "El cardinal de “A” “A” es 5". B = {a; b; c; b; a; a} = {a; b; c} Þ n(B) = 3 Se lee: "El cardinal de "B" es 3".

Si: A = {2; 5}

7. Relaciones entre conjuntos 7.1. Inclusión.- Diremos que "A" está incluido en

"B" o es subconjunto de "B"; si y sólo sól o si todos los elementos de “A” son también elementos de "B". Se denota por: "A ⊂ B" y se lee: "A está incluido en B" o "A es un subconjunto de B".

Entonces: P(A) = {∅; {2}; {5}; {2; 5}} ↑

siempre es un subconjunto de "A "A””. Nota: Si un conjunto nito "A", tiene como cardinal

n(A).

Se cumple:

n[P(A)] = 2n(A)

La negación de: A ⊂ B, se escribe: A ⊄ B

Donde: n[P(A)] es el número de elementos del conjunto potencia o número de subconjuntos del conjunto "A".

Ejemplo 1:

Ejemplo:

 A = {1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ⇒ A ⊂ B

Si: n(A) = 5 ⇒ n[P(A)] = 2n(A) = 25 = 32 Es decir, decir, "A" tiene 32 subconjuntos.

Ejemplo 2: Dado el conjunto: A = {3; {6}; 9; 10} Entonces se cumple: {3} ⊂ A {{6}} ⊂ A

{3; 9}  Ì A {3; 6} ⊄ A

Propiedades

i. A ⊂ A,

∀

∀

A importante!!

7.2. Igualdad.- Dos conjuntos "A" y "B" son iguales si

y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por: A = B. Se dene:

1. Unión o reunión (∪)

Dados dos conjuntos "A" y "B", se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A", a "B" o a ambos a la vez. Notación:

A

ii. A ⊂ B y B ⊂ C → A ⊂ C iii. ∅  Ì A,

Operaciones entre conjuntos

A=B ↔ A⊂B ∧ B⊂A

Ejemplo:  A = {2; 3; 4} B = {x/x  Î  IN, 1 < x < 5}

 A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}

(∨ = se se le lee “o” “o”))

Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 6}; B = {2; 4; 6; 7; 8}; C = {4; 7; 8} Entonces: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8} B ∪ C = {2; 4; 6; 7; 8} A ∪ C = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8} Grácamente:  A

B

.1 .3

.2 .6

.4 .7 .8

⇒ A = B, pues: B = {2; 3; 4}  A ∪ B

B

A

C

C

.2 .4

.8 .7

.1 .3

.2

.4 .7

.6

.6

B∪C

 A ∪ C

.8

3

Teoría de conjuntos I Propiedades

Ejemplo:

Las más importantes son:

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 2; 3; 6}; B = {2; 4; 4; 6; 7; 8}; 8}; C = {4; 7; 8}

i. ii. iii. iv.

A∪B=B∪A A∪A=A A ∪ ∅= A A∪U=U

(conmutativa) (idempotencia) (elemento neutro)

2. Intersección (∩)

Dados dos conjuntos "A" y "B", se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A" y "B" a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes a "A" y "B".

Entonces: A - B = {1; 3} B - C = {2; 6} A - C = {1; 2; 3; 6} Grácamente:  A

.1 .3

Notación:

B

B

.2 .6

.4

A

.2 .4

.7 .8

.6

(∧ = se se lee lee “y”) y”)

.1 .2 .3 .6

.8 .7

B-C

 A - B

 A ∩ B = {x/x ∈A ∧ x∈B}

C

C

.4 .7

.8

 A - C

Propiedades

Las más importantes son:

Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 6}; B = {2; 4; 6; 7; 8}; C = {4; 7; 8} Entonces:

Dado un conjunto "A" que está incluido en el universo "U", se denomina complemento del conjunto "A", a todos los elementos que están fuera de "A", pero dentro del universo.

Grácamente: B

.1 .2 .4 .7 .6 .3 .8

 A ∩ B

A-A=∅ A-∅=A ∅-A=∅ A - B ≠ B - A, “A ≠ B” 

4. Complemento de un conjunto

A ∩ B = {2; 6} B ∩ C = {4; 7; 8} A∩C={ }

 A

i. ii. iii. iv.

B

A

.2

C

.1

.8 .4 .7 .6

.3

B∩C

.2

C

.4

 A' = A C = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A}

.7

.6

.8

 A ∩ C = φ

 Además: A’ A’ = U - A Ejemplo: Sean los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; A = {1; 3; 4; 7; 8}

Propiedades

Las más importantes son: i. A ∩ B = B ∩ A ii. A ∩ A = A iii. A ∩ A’ = ∅ iv. A ∩ U = A v. A ∩ ∅ = ∅

Notación:

(conmutativa) (idempotencia)

Entonces: A' = {2; 5; 6} Grácamente: U  A  .1

(elemento neutro)

.2

.6

.3 .7 .8

.4

.5

3. Diferencia (-)

Dados dos conjuntos "A" y "B", se llama diferencia de "A" y "B", al conjunto formado por todos los elementos de "A" y que no pertenecen a "B"; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a "A". Notación: 4

 A - B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

 A'

Propiedades

Las más importantes son: i. (A')' = A (involución) iii. U' = φ v. A ∩ A' = φ

ii. φ' = U iv. A ∪ A' = U

Leyes de Morgan: (A ∪ B)' = A' ∩ B' (A ∩ B)' = A' ∪ B'

5. Diferencia simétrica (∆)

Dados dos conjuntos "A" y "B", se llama diferencia simétrica al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A - B" o "B "B - A". A". Notación:

 A ∆ B = (A - B) B) ∪ (B - A)

También:

A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 6}; B = {2; 4; 6; 7; 8} Entonces: A - B = {1; 3} B - A = {4; 7; 8} Luego:

A ∆ B = {1; 3; 4; 7; 8}

Grácamente:  A .1 .3

.2 .6

.4

B

.7 .8

 A ∆ B

Propiedades

Las más importantes son: i. A ∆ B = B ∆ A iii. A ∆ ∅ = A

ii. A ∆ A = ∅ iv. A ∆ U = A'

Propiedades del número de elementos de un conjunto

Si "A" y "B" son dos conjuntos nitos se cumple:

1. Indicar verdadero verdadero (V) o falso (F) según corresponda, para el conjunto:  A = { 5 ; 7 ; {3} {3} } I. n(A) = 3 III. {3} ∈ A a) VVFF d) VFVF

II. 5 ∈ A IV. {7} ∈ A b) FVVF e) FFVV

c) VVVF

2. Dado el conjunto:  A = { x + 3 / x ∈ IN , 5 ≤ x ≤ 10 } hallar la suma de los elementos. a) 36 d) 72

b) 48 e) 81

c) 63

3. Dados los conjuntos unitarios “A” “A” y “B”: “B”:  A = { a + b ; 16 } B={a–b;4} hallar el valor de "a . b" a) 36 d) 50

b) 42 e) 60

c) 45

4. Si: A = { x ∈ IN / 7 < x < 13} B = { x ∈ IN / 3 < x < 10} hallar: A ∩ B a) c) e)

{8} {7;8} {9}

b) { 8 ; 9 } d) { 7 ; 8 ; 9 }

5. Dados los conjuntos :  A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 8 } B = { x / x ∈ IN , 1 < x < 8 } hallar: B - A a) { 2 ; 4 } b) { 2 ; 6 } c) { 2 ; 4 ; 6 } d) { 3 ; 5 ; 7 } e) { 3 ; 5 ; 8 } 6. Hallar la suma de elementos del conjunto “M”: M = { x2 +1 / x ∈ ZZ , -2 ≤ x ≤ 4 } a) 32 d) 35

b) 34 e) 40

c) 36

a) 10 d) 16

b) 11 e) 18

c) 15

1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 2. n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) 7. Si los conjuntos "A" y "B" "B" son iguales: 3. Si: A ∩ B = φ, entonces: n(A ∪ B) = n(A) + n(B)  A = { n2 + 1 ; -6 } B = { 2 – m ; 10 } hallar el valor de “m+n” (m, n ∈ IN)

8. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A “A”: ”:  A = { a ; r ; i ; t ; m ; e ; t ; i ; c ; a } ? 5

Teoría de conjuntos I a) 64 d) 8

b) 128 e) 1 024

c) 256

9. ¿Cuántos elementos tiene un conjunto con 31 subconjuntos propios? a) 4 d) 8

b) 5 e) 9

c) 6

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

I. {5} ∈ A → {8} ⊂ A II. {8; 10} ∈ A ∧ {5} ⊂ A III. {{10; 11}} ⊂ A ↔ {5; 8} ⊂ A a) FFV d) FFF

b) VFF e) VVF

c) VFV

17. Dados los conjuntos “A”, “B” y “C” subconjuntos del universo “U”. 10. Dados los conjuntos “A” y “B” subconjuntos del U = { x / x ∈ IN , x < 10} universo “U”: A = { 5 ; 6 ; 8 ; 9 } A = {2x / x ∈ IN , 1 < x < 4} B={2;3;4;6;7} B = {x –1 / x ∈ IN ; 2 < x < 9} U = { x / x ∈ IN , 1 < x < 10} C = {x +1 / x ∈ B} hallar: n( A’ ∩ B) hallar el cardinal de: ( A’ A’ – B )’ ∩ ( B ∆ C )’  a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. Dado el conjunto: A = { {8} ; {2 ; 4} ; 7 } 18. Si: n(A) = 7 y n(B) = 4 ¿Cuántas de las siguientes armaciones son verdaderas? ¿cuál es el máximo número de subconjuntos que puede tener: A ∪ B? I. {2 ; 4} ∈ A II. { {8} } ⊂ A III. II I. { {7} } ⊂ A IV.. IV { {8} ; 7 } ∈ A a) 27 b) 28 c) 29  V.. { 7 } ∉ A  V d) 210 e) 211

12. Dado el conjunto : A = { x2 + 1 / x ∈ ZZ ∧ -3 ≤ x ≤ 4} ¿Qué proposiciones son verdaderas? I. n(A) = 5 II. “A “A”” tiene 16 subconjuntos III. “A” “A” tiene 31 subconjuntos propios propio s a) Solo I d) I y III

b) Solo III e)

c) I y II Solo II

13. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene "M"? M = { x / x ∈ IN , -2 < x < 5 } a) 15 d) 7

b) 31 e) 127

c) 63

14. Si: A ⊂ B y B ⊂ C, simplicar: ( A ∪ C) ∩ [ ( A – B ) ∪ (B ∩ C)] a) A d) A – B

b) B e) B - A

c) C

15. ¿Cuántos subconjuntos tiene:  A = {14 ; {4} ; 14 ; φ } ?

19. En un salón de clases de 65 alumnos se observó: • 30 son hombres • 40 son del ciclo semestral • hay 10 señoritas que no son del ciclo semestral ¿Cuántos son los hombres que no estudian en el ciclo semestral? a) 20 d) 15

b) 25 e) 10

c) 40

20. En un salón de 100 alumnos se observa que 40 son mujeres, 73 estudian geografía y 12 son mujeres que no estudian geografía. ¿Cuántos hombres no estudian geografía? a) 11 d) 17

b) 13 e) 19

c) 15

21. Un alumno durante todas las mañanas del mes de marzo desayuna jugo y/o leche. Si durante 25 mañanas desayuna jugo y 18 mañanas desayuna leche, ¿cuántas mañanas desayuna jugo y leche? a) 10 d) 13

b) 12 e) 14

c) 15

22. De 150 soldados que participaron en una cruenta batalla, 80 perdieron un ojo, 70 perdieron una oreja a) 16 b) 15 c) 8 y 50 perdieron una pierna. 20 perdieron un ojo y una d) 4 e) 32 oreja, 25 perdieron un ojo y una pierna, 30 perdieron una oreja y una pierna y 10 perdieron un ojo, una 16. Dado el conjunto “A”, indicar verdadero (V) o falso oreja y una pierna. ¿Cuántos escaparon ilesos? (F) según corresponda: A = { 5 ; {6} ; 8 ; {10; 11} } 6

a) 10 d) 15

b) 13 e) 76

c) 17

23.De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas "A", "B" y "C" se observa que 40 leen la revista "A" y "B", 50 leen "B" y "C" y 60 leen "A" y "C". ¿Cuántas personas leen por lo menos tres revistas? a) 15 d) 30

b) 20 e) 35

c) 25

24. De un grupo de turistas: - 31 visitaron el Callao. - 29 visitaron Trujillo. - 34 visitaron el Cuzco. - 38 visitaron sólo y nada más que un solo lugar lugar.. - 22 visitaron exactamente dos lugares.

a) 645 d) 675

b) 625 e) 700

c) 715

27. En un salón hay 72 alumnos que se preparan para postular a la UNI y/o Católica, la cantidad de postulantes a la UNI es el quíntuple de quienes sólo postulan a la Católica, la cantidad de los que sólo postulan a la UNI es el triple de los que postulan a la UNI y a la Católica. ¿Cuántos de los postulantes se presentarán solamente a una universidad? a) 48 d) 61

b) 52 e) 64

c) 57

28. Un "gordito" ingresa a un restaurante en el cual se venden cinco platos distintos y piensa: “Me gustan todos pero debo llevar como mínimo dos platos y como máximo cuatro”. ¿De cuántas maneras puede ¿Cuántos visitaron los tres lugares y cuántos eran en escoger el “gordito”? total? a) 25 b) 20 c) 23 a) 6 y 66 b) 5 y 65 c) 4 y 64 d) 30 e) 26 d) 4 y 55 e) 5 y 84 29. En un distrito se determinó que el 30% de la población 25. De un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 no lee Caretas, que el 60% no lee Gente y que el hablan francés, 33 hablan alemán y 5 los tres idiomas. 40% leen Caretas o Gente pero no ambas. Si 2 940 ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo dos idiomas? personas leen Gente y Caretas, ¿cuántas personas hay en la población? a) 20 b) 25 c) 30 d) 22 e) 27 a) 6 000 b) 3 500 c) 4 200 d) 8 400 e) 12 600 26. En un evento internacional el 60% de los participantes habla inglés y el 25% habla castellano. Si el 20% de 30. Si: n(A ∪ B) = 30; n(A - B) = 12; n(B - A) = 8; hallar los que hablan inglés también hablan castellano castel lano y son el valor valor de: 5.n(A) – 4.n(B) 1200 los que hablan sólo inglés, ¿cuántos no hablan ni inglés ni castellano? a) 38 b) 60 c) 48 d) 70 e) 100

1. Colocar el valor de verdad a cada proposición, si:  A = { 2 ; 3 ; {1} {1} ; { 2 ; 1 } } * Φ∈A

* {1} ⊂ A

* 3∈A * {3} ⊂ A

* 1∈A * Φ⊂A

4. Si se sabe que: A={a;b;c;d;e} B={a;b;d} C={c;e;b} hallar el cardinal del conjunto: [(A ∩ B) – C] ∪ (A ∩ B)

2. Sabiendo que los conjuntos: A = { 4a + 3b ; 23 } B = { 3a + 7b ; 41 } son unitarios, hallar h allar el valor de “a+b” “a+b”..

5. Si “A” “A”, “B” y “C” son subconjuntos subconju ntos de “U”, “U”, y además se cumple: U = { x ∈ lN / 3 < x < 20} A = { 5 ; 8 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 } 3. Dados: B = { 4 ; 5 ; 7 ; 6 ; 10 ; 15 ; 19 } 2  A = { a + 9 ; b + 2 } C = { 6 ; 7 ; 8 ; 13 ; 14 ; 19 } B = { - 9 ; 10 } hallar la suma de los elementos del conjunto: Si se sabe que: A=B, calcular un posible valor de “a+b”  [( A – B) ∩ C]’  7

Teoría de conjuntos I 6. Para dos conjuntos “A” “A” y “B” “B” subconjuntos de “U” se cumple que: * n(A’) = 12 * n(B) = 11 * n(A ∩ B) = 3 * n(U) = 20 Calcular el valor de: n(A ∆ B). 7. Sabiendo que: U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 4}  A ∩ B = {1 ; 3}  A – B = {2} Luego el conjunto “B” es:

Entonces es cierto: a) B = C d) A = C

b) A = B ∪ C c) A = B ∩ C e) B – A = A – C

15. Dado el conjunto:  A = {x + 2 / x ∈ ZZ ∧ x2 < 9} Calcule la suma de los elementos del conjunto “A “A””. 16. Sea: A = {x / x ∈ lN ∧ 5 < x c) y la de su hijo 3. ¿Cuántos numerales de dos dos cifras cifras signicativas signicativas cumplen es “a” años. En el siguiente año bisiesto, la edad del padre es 5 veces la edad del hijo. ¿Cuál será la suma que, al incrementarles el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras, se obtiene 55? de las cifras de la edad del padre en el año 2000? 4. Si “A” “A” es un numeral de tres cifras y “B” es otro numeral 15. ¿Cuántos números de dos cifras son iguales a 3 veces de dos cifras, hallar el mayor valor que puede tomar la suma de sus cifras?  “A - B” B”. Dar la suma de las cifras del resultado. resultado. 16. La suma de las cifras de un número es 11 y si al número 5. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son se le suma 27, las cifras del número se invierten. Hallar H allar iguales a 6 veces la suma de sus cifras? el producto de las cifras del número. 6. Hallar la cifra cifra de mayor orden de un número menor 17. La diferencia de las cifras de un número ab es 3. Si a que 900, tal que la cifra de las l as unidades sea la mitad 17. este número se le agrega el doble del número con las de las decenas y que ésta sea la cuarta parte de la de cifras invertidas, resulta result a 102. Hallar el valor de “a + b”. las centenas. 7. Si a un número de tres cifras se le altera el orden 18. Si a un número de tres cifras que empieza en la cifra 9 se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 de las unidades con las decenas, éste aumentará en del número original. ¿Cuál será la suma de las tres 45 unidades; pero si se invierten las decenas con las cifras de dicho número? centenas, disminuirá en 270. Halla en cuanto se altera si se invierte el orden de las centenas y unidades. 19. A una persona se le pide que multiplique su edad por 8. Si a un numeral decimal de cuatro cifras se le agrega la 2, sume 5 al resultado, multiplique por 50 lo obtenido, suma de los valores absolutos de sus cifras, se obtiene le reste 365 y nalmente le sume un entero de dos 7 368. Hallar la cifra de segundo orden más la cifra de cifras que represente la cantidad de céntimos menor cuarto orden. que 100, que tiene en el bolsillo. Si la respuesta es 1 745, averigüe la edad y el número de céntimos. 9. Un número consta de dos dígitos cuya suma es 11. Si se intercambian sus cifras resulta un número que ex- 20. Se tiene un número de seis cifras que comienza a la cede en 5 al triple del número primitivo. Hallar dicho izquierda con 2. Si se pasa la cifra 2, del sexto orden número. donde se encuentran al primer orden se obtiene un número que será el triple del número original. Dar la 10. Se tiene la siguiente igualdad: suma de las cifras del número. ab + ac + bc + cb + ca = 110

hallar el valor de “a + b + c” c”.. 11. Sabiendo que se cumple: abc1 = 3 × 2abc

calcular el valor de “a + b + c” c”.. 12. ¿Cuál es la suma de las cifras del número que excede en 57 a 20 veces la cifra de sus unidades? 18

21. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de tercer orden ocupa el cuarto lugar? 22. Hallar un u n numeral de tres cifras cuya cifra de segundo orden sea el doble de la cifra de primer orden y la cifra de tercer orden sea el triple de la cifra de segundo orden. Dar la suma de sus cifras.

27.. Hallar un número de tres cifras que cumpla que la cifra = 132. 27 de decenas sea la cuarta parte de la cifra de centenas y la cifra de unidades sea la mitad de la de decenas. Dar la cifra de decenas. ab 24. Juan tiene años y dentro de “7a” años tendrá 56 28. Sea: N = ab un número de dos cifras y N1 = ba . años. Hallar el valor de “a + b”. Si además se cumple que: (N + N1)/11 = 14 y a - b = 4, calcular el valor de (N 1)2. 25. Si se cumple que: abab = N.ab , hallar la suma de cifras de “N”. 29. Si a un numeral de cuatro cifras se le agrega la suma de sus cifras se obtiene 4 767. Hallar la suma de las 26. Un numeral capicúa es de la forma: (a - 1)(a 1)(a3 )(b + 4)c 4)c . cifras de primer y tercer lugar lu gar.. Hallar el valor de “a × b × c” c”.. 23. Si se sabe que: a – b = 2 y además: Hallar “a × b”.

ab + ba

19

SISTEMA DE NUMERACIÓN II

4

segundos, así como en el sistema análogo de medición de los ángulos: 1 grado = 60 minutos y 1 minuto = 60 Un accidente fisiológico, el hecho de que tengamos segundos). diez dedos en las manos y diez dedos en los pies, ha determinado la adopción del sistema decimal de Según Stanley famoso explorador de África, varias tribus numeración; aunque con el correr de los siglos se han africanas emplearon el sistema quinario. Es evidente la relación de este sistema con la forma de la mano del propuesto y utilizado otros sistemas. hombre, "máquina computadora" primaria. Por ejemplo, tuvo bastante difusión el sistema duodecimal. Indudablemente su origen también está ligado al cálculo La civilización Maya oreció en Mesoamérica alrededor n uestra era. Todavía Todavía no se han descifrado por los dedos: puesto que los cuatro dedos de la mano (a del siglo IV de nuestra todos los jeroglícos mayas, pero se sabe que tenían excepción del pulgar) tienen 12 falanges en total, pasando el dedo pulgar por estas falanges se puede contar de dos sistemas de numeración, ambos en base vigesimal. 1 hasta 12. Los vestigios del sistema duodecimal se han Para los cálculos astronómicos y cronológicos, los mayas posicio nal de base 20 pero asignaban conservado en la lengua hablada hasta nuestros días: en utilizaban un sistema posicional el valor 360, en lugar de 400 (20 x 20) al número que lugar de "doce" a menudo decimos "docena". Muchos objetos (cuchillos, tenedores, platos, pañuelos, etc.) suelen ocupaba la unidad de tercer orden; agregaban después acercándo se así a los 365 días del año. contarse por docenas y no por decenas (recuérdese, por cinco días nefastos, acercándose ejemplo, que las vajillas son, como regla general, para 12 ó 6 personas y muy rara vez para 10 ó 5). Hoy día casi no Para otros usos tenían un sistema vigesimal estricto con se emplea la palabra "gruesa", que signica doce docenas, docen as, dos notaciones diferentes: pero hace unas decenas de años era una palabra bastante 19 y extendida especialmente en el mundo comercial. La docena - En una de las notaciones, cada dígito del 1 al 19 el cero está representado por una cabeza distinta, de gruesas se llamaba "masa" aunque hoy día pocas relacionada con los dioses mayas: personas conocen esta signicación de la palabra "masa". Otros sistemas de numeración y sus orígenes

Los ingleses conservan indudables vestigios del sistema duodecimal: en el sistema de medidas (1 pie = 12 pulgadas) y en el sistema monetario (1 chelín = 12 peniques). En Babilonia antigua, cuya cultura (incluyendo la En esta gura están representados los dioses correspondientes a los números 1; 2 y 3. matemática) era bastante elevada, existía un sistema sexagesimal muy complejo. Los historiadores discrepan en cuanto a sus orígenes. Una hipótesis, por cierto no muy - La otra notación es más práctica y consta de solo tres símbolos: dedigna, es que se produjo la fusión de dos tribus, una · para el uno el punto: de las cuales usaba el sistema senario y la otra el sistema para el cinco la barra: decimal. Otra hipótesis es que los babilonios consideraban para el cero el caracol: el año compuesto de 360 días lo que se relacionaba de modo natural con el número 60. Tampoco esta hipótesis ... .. ... . .. puede considerarse sucientemente argumentada: siendo Ejemplos: 3 6 12 18 20 bastante elevados los conocimientos astronómicos de los antiguos babilónicos, cabe pensar que su error al estimar - Los números mayores que 20 se escriben en columnas la duración del año era mucho menor que 5 días. A pesar y se leían de arriba abajo empezando por el orden más de que no están muy claros los orígenes del sistema alto, por ejemplo: 1351 sexagesimal, está comprobada con suciente seguridad la existencia y amplia difusión en Babilonia. 3 grupos de 20 x 20= 1 200 .. 7 grupos de 20 = 140 . 11 unidades Este sistema, igual que el duodecimal se ha conservado = 11 en cierta medida hasta nuestros días (por ejemplo, en la Total 1 351 subdivisión de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 .. .

20

-

Los aztecas también usaban un sistema vigesimal Leibnitz vió en este sistema la imagen de la creación; se utilizando los signos siguientes: imaginó que la unidad (1) representaba rep resentaba a Dios y el cero (0) la nada, e inventó un sistema losóco en esas premisas. El número 67 en base 10 se escribe en distintas bases: 6710 = 1760 = 3720 = 5712 = 6111 = 10000112

Los aztecas sólo usaban el principio aditivo, representaban representaba n los otros números repitiendo esos cuatro signos todas las veces que fuera necesario. Para indicar 100 bolsas de plumas blancas, dibujaban una bolsa de plumas blancas y cinco banderitas (5 x 20 = 100). 1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Existen innitos sistemas de numeración. II. En cualquier sistema sistema de numeración, la base no se utiliza como cifra. III. En el sistema binario se puede representar el numeral 4. El sistema vigesimal era también empleado por los celtas a) V F V b) V V F c) V F F que se establecieron en el Occidente de Europa desde el d) V V V e) F V F segundo milenio antes de nuestra era. Algunos vestigios del sistema vigesimal de los celtas subsisten en el moderno idioma francés: por ejemplo, "ochenta" en francés es 2. Si se sabe que: 3 N = 2 x 6 + 5 x 62 + 3 x 6 + 1 "quatre-vingt", o sea, literalmente "cuatro veces veinte". El número 20 gura también en el sistema monetario ¿cómo se escribe el número “N” en base seis?. Dar francés: el franco, unidad monetaria, consta de 20 sous. como respuesta la suma de sus cifras. Los cuatro sistemas de numeración mencionados a) 9 b) 10 c) 11 (duodecimal, quinario, sexagesimal y vigesimal) que junto d) 12 e) 13 al sistema decimal desempeñaron un papel notable en el desarrolloo de la cultura humana están ligados (a excepción desarroll del sexagesimal, cuyos orígenes no han sido aclarados) 3. Hallar el valor de “a” 186 “a”,, en: 3a4 (7) = 186 a una u otra forma de contar con los dedos de las manos (o de las manos y de los pies), es decir son de origen a) 1 b) 2 c) 3 "anatómico" indudable igual que el sistema decimal. d) 4 e) 5 En el siglo XVIII, el naturalista francés Georges L. Buffon 4. Hallar el valor de “a” “a”,, si se sabe que: propuso un sistema de base 12, este sistema emplea 12 2a2a (7) = 1000 símbolos diferentes, los diez símbolos habituales más X para el diez y Z para el once. Una de las ventajas de a) 6 b) 5 c) 4 este sistema es que 12 tiene más divisores (1; 2; 3; 4; d) 3 e) 2 6; 12) que 10 (1; 2; 5; 10) y se simplican así muchas operaciones con fracciones. 5. Si se sabe que los numerales: b45(8) ; aa3(b) ; 25(a) Joseph L. Lagrange (1 736 736 - 1 813), matemático francés, están correctamente escritos, hallar el valor de “a. “a.+.b” b”.. propuso un sistema de once símbolos (base 11). Siendo 11 un número primo, todas las fracciones en este este sistema a) 12 b) 13 c) 15 serían irreductibles y las operaciones con fracciones d) 16 e) 20 quedarían así simplicadas. Gottfried W. Leibnitz (1 646 - 1 716) inventó el sistema 6. Sabiendo que: a02(9) = aa11(4 ) determinar el valor de “a”. binario (base 2) utilizado hoy en las l as computadoras, en el cual sólo se necesitan dos símbolos, el 0 y el 1; todas las a) 1 b) 2 c) 3 operaciones quedan simplicadas al máximo. d) 1 ó 3 e) 1 ó 2

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Sistema de numeración II 7. Sabiendo que los numerales están correctamente escritos: 2m3(p) ; 54n(7) ; 213(m) ; 3p1(n) hallar el valor de “m + n + p”. p”. a) 15 d) 10

b) 14 e) 8

c) 12

8. Un número se escribe en el sistema binario como 101..010. ¿En qué base se representará como 132? 101 a) 6 d) 7

b) 8 e) 9

c) 5

b) 7 y 276 e) 8 y 528

c) 7 y 547

a 13(a-1)(a) = (a + 1)    2 (8)

b) 2 e) 6

11. Si se cumple que:

c) 3

a) 4 d) 8

b) 5 e) 10

a) 4 d) 9

c) 6

c) 5

18. Hallar el valor de “a + b + c” c”,, si: b) 8 e) 12

a) 12 d) 14

aaa (7) = bc1

c) 7

19. Hallar el valor de “k” en:

(k − 1)(k − 1) (k ) = 143 143

b) 13 e) 16

246(n) = 11α(12) ; (α = 10)

b) 7 e) 11

3a8(12) = 73b ( 8)

b) 10 e) 7

20. Expresar en base 10:

hallar el valor de “n”. a) 9 d) 10

3a(2b) (6) = b0ba(5)

hallar el valor de “a + b”.

a) 9 d) 11

10. Determinar el valor de “a”, si:

a) 1 d) 4

16. Si se cumple que:

c) 3

17. Hallar el valor de “a + b”, si:

9. Hallar la suma de los valores absolutos y relativos del numeral: 2311(6) a) 7 y 435 d) 8 y 508

hallar el valor de “a + b”. a) 2 b) 4 d) 5 e) 6

c) 15

23

 ___ 

42

5

 _ 

c) 8

12. Determinar el valor de “n” “n”,, sabiendo que:

a) 44 d) 47

b) 45 e) 48

21. Hallar “a + b”, si:

c) 46

7a1(n) = 60b (9)

donde: 0 = cero 4210(n) = nnn

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

a) 8 d) 10

b) 9 e) 13

c) 19

22. Un alumno se equivoca y en vez de escribir el numeral abc en base 7 lo hace en base 6, resultando que 13. Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada caso: al transformar luego a base 10 hay un error de 55 unidades. Determinar el valor de “a + b”. I. En la igualda igualdad: d: abc (m) = xyzw(n) , se cumple que: n>m II. En el sistema senario se utilizan 6 cifras signicativas. a) V V d) F F

b) V F c) F V e) no se puede determinar

14. Si se cumple que: M = 2 x 54 + 1 x 5 3 + 8 ¿cómo se escribe el número “M” en base 5? a) 21013(5) d) 20113(5) 15. Sabiendo que: 22

b) 2113(5) e) 20013(5) ab3( 4 ) = ba4 (5)

c) 21113(5)

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

23. Determinar la suma de cifras del numeral 2785 (n) cuando se convierte a la base (n + 1). a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

24. Dar el valor de “x”, si: 121 x = 361 a) 17 d) 20

b) 18 e) 16

c) 19

25. El menor capicúa de 15 cifras de la base 6 al expresarlo 28. Hallar la suma de cifras del numeral 315(6) al ser en base 10, ¿en qué cifra termina? expresado en base 9. a) 1 d) 7

b) 3 e) 4

c) 5

a) 6 d) 9

26. Expresar: 44444445 en base 10. a) 56 d) 57 – 1

b) 56 – 1 e) 56 + 1

c) 57 + 1

a) 233(5) d) 231(5)

b) 213(5) e) 214(5)

c) 203(5)

30. Descomponer polinómicamente el mayor numeral de tres cifras de la base “n”.

13 131313(n)= 121(4) b) 12 e) 13

c) 8

29. Expresar el menor numeral de tres cifras diferentes del sistema octal, en el sistema quinario.

27.. Dar el valor de "n", en: 27

a) 10 d) 11

b) 7 e) 10

a) n3 d) n3 – 1

c) 14

b) n3 +1 e) n4 + 1

c) n4 – 1

1. Sabiendo que: M = 4 x 73 + 6 x 72 + 24 ¿cómo se escribe el número “M” en base siete?

10. ¿En qué sistema de numeración se cumple la siguiente operación: 43 + 57 = 122?

2. Si sabemos que: 213(n) = 81 hallar el valor de “n”.

11. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 120 se representa con tres cifras?

3. Hallar el valor de “a” en:

13a0 (4)

4. Determinar el valor de “b” en:

12. Expresar “M” en el sistema octal: M = 6 x 84 + 7 x 83 + 3 x 82 + 35

= 120.

b64 = b0b4 (5).

13. Hallar “a + b + c”, c”, si se cumple: 315(8) =

abc (6)

5. Si los numerales mostrados: n23 (m) ; p21 (n) ; n3m (6); 14. Hallar “x + y + z”, si los numerales están correctamente 1211(p) están correctamente escritos, hallar el valor de escritos: z34(y) ; 3x2(8) ; 411(z) ; y52(x)  “m + n + p”. p”. 6. Hallar “a + b + c”, c”, si los numerales: 11a (4) ; b0b0 (c) están correctamente escritos.

2bc (a)

7. Calcul Calcular ar el valor de “a” “a”,, si se sabe que:

;

15. Hallar “n” si se sabe que: 43(n) + 56(n) = 121(n) 16. Calcular el valor de “a + b + c”, si los siguientes numerales están correctamente escritos: 10a(4) ; 2bc(a) ; bb8(c)

334 (a) = 1142(5)

17.. Hallar el valor de “a + n”, si se cumple: 17 8. Sabiendo que:

a0b(11) = b0a(13) 6n0

hallar el valor de “a + b”. b”. 9. Calcular el valor de de “a + b” en:

(8)

=

1a66

(n)

18. Calcular el valor de “m + n”, n”, si: 456 4567 = a0 a0bb6

pppp (5)

=

mn8 .

19. Hallar “m + n” n ”, si los numerales están correctamente escritos: 5m7(8) ; 435(n) ; n36(m) 23

Sistema de numeración II 20. Hallar el valor de “a + n”, si:

a53(n) = a10(7) .

26. Expresar “N” en base 13. N = 2 x 13 4 + 5 x 133 + 8 x 132 + 72

21. Convertir el menor número que se puede escribir con 27.. Calcular “a + b + c + d + e + f + n” en: todas las cifras impares del sistema heptal, al sistema 27 1122(3) = abcdef (n) nonario. 22. Calcular “a + b”, si se cumple:

nnn(8) = ab1

23. Hallar el valor de “n”, si: 126(n)

= 256(8)

24. Hallar “a + n” en:

46a(n) = 287(9)

25. Hallar “a + n”, si se cumple:

28. Sabiendo que el numeral: (a - 2)12a está expresado en base 4, hallar el menor valor que puede tomar “n”  en: aa...aaa (n – 1). 29. Expresar en el sistema quinario el mayor número de tres cifras diferentes del sistema octal.

a56(8) = (a+1)60(n)

30. Si se cumple que:  a   a   a  = 6 4 2      (9)

expresar:

24

bd (a+1)

en base diez.

bcd ,