Cuadrado Magico

Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n  el el número .de columnas y filas del cuadrado mágico

Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n  el el número .de columnas y filas del cuadrado mágico

Se cuenta que el primer cuadrado mágico fue fue encontrado en la antigua antigua Cina en el siglo !" antes de Cristo. #l mito se$ala que ace unos %&'' a$os en un lugar de Cina, el emperador Yu  a()a  a()a decidido acer ciertas ofrendas a los dioses para calmar su ira. *a istoria era que el r)o Lo +)o -marillo se a()a des(ordado, lo que causó grandes destrozos y gran mortandad entre sus sú(ditos. Con el fin de amortiguar la furia divina, el emperador ofreció / animales a los 0ioses. #l altar esta(a unto al r)o, y de a) salió una tortuga sagrada, se acercó a los tres animales sacrificados y regresó al r)o. #ra evidente que a los dioses no les complac)a la ofrenda. -s) que el emperador 2u izo izo sacrificar otro animal. *a tortuga volvió a salir, pero tam(i3n se retiró. 45u3 número de animales agradar)a a los l os 0ioses6. 7a()a entre los paes del emperador un oven muy avispado, que dio a(er visto en el caparazón de la tortuga unos signos como cuentas o puntos agrupados. !nmediatamente los escri(ió en la tierra t ierra y pudo verse el siguiente di(uo8

9e -stronomical :enomena +9ien 2uan ;a !!!, edición de la 0inast)a ?ing, 1%@AB1%/.

#quivale a la disposición num3rica de un cuadrado mágico de /D/. #l emperador 2u situado frente al di(uo o(servó algo asom(roso, los nueve primeros números del mundo, sumados en cualquier dirección, vertical, orizontal y diagonal suma(an quince. -s) supieron que el número de animales que de()an sacrificarse a los dioses era quince. #ste cuadrado mágico cino, el primero de cuantos se conocen, se llama Lo Shu  +#l  +#l li(ro del r)o *o, y tiene otras propiedades importantes.  :or eemplo, en las cuatro esquinas están los números pares +2in, y los números impares +2ang +2a ng forman una cruz central. #l número @, que está en el centro, sim(oliza la 9ierra, y los otros cuatro elementos del universo oriental se representan por las pareas adyacentes8 los metales +% y E, el fuego +& y A, el agua +1 y  y la madera +/ y F.

Gtra leyenda Cuenta otra leyenda que el emperador 2u lo vio inscrito en el caparazón de una tortuga en las orillas del r)o -marillo y que mandó copiarlo en una ta(lilla de (arro inmediatamente. 0esde entonces, se le atri(uyeron a este cuadrado mágico propiedades religiosas y mágicas que serv)an en la astrolog)a y en la predicción del futuro. :ara los cinos los números pares representan el HyinH, el principio femenino del universo, y los números impares representan el HyangH, el principio masculino. #n el cuadrado mágico HloBsuH am(os principios se encuentran armoniosamente distri(uidos y se complementan de manera natural.

-s), como recoge Cornelius -grippa en De oculta philosophia libri tres  +1@//, el cuadrado de orden / +1@ esta(a consagrado a Saturno, el de % +/% a Iúpiter, el de @ +@ a ?arte, el del  +111 al Sol, el del A +1A@ a "enus, el del F +&' a ?ercurio y el de E +/E a la *unaJ id3ntica atri(ución puede encontrarse en la .astrolog)a indú

Cuadrado de orden / Cuadrado de orden %

Cuadrado de orden @ Cuadrado de orden 

!gualmente conocieron com(inaciones de esta clase los indios, egipcios, ára(es y griegos. - tales cuadrados, las diferentes culturas les an atri(uido propiedades astrológicas y adivinatorias portentosas gra(ándose con frecuencia en talismanes #n Kaurao +Lndia un templo construido entre los siglos >! y >!! tiene un pilar rodeado por una cuadr)cula con un cuadrado mágico de orden % el cual ser)a 8equivalente Mtraduciendo los caracteresB a la siguiente imagen

Como se puede o(servar fácilmente, todas sus filas, columnas y diagonales suman /%. :ero además, sus diagonales Nque(radasO +las l)neas imaginarias trazadas desde cada número de la primera fila, sus esquinas, sus cuatreo cuadrantes y el cuadrado central tam(i3n suman /%. Sin duda, un tra(ao .impresionante de algún matemático indú

*os matemáticos ára(es descu(rieron los cuadrados mágicos por contacto con esta tradición indú y tam(i3n se sintieron fascinados por sus caracter)sticas y, pro(a(lemente los difundieron por Gccidente durante la #dad ?edia. #l casillero de este cuadrado mágico ára(e está formado por las letras de la pala(ra -lP. 9odas sus filas, columnas y diagonales suman , cifra que en el !slam corresponde al valor num3rico de -lP.

!magen del cuadrado magico de -la

9raduccion a digitos modernos

.Cuadrado ?ágico -ritm3tico Son un conunto de números iguales o diferentes colocados en las casillas de un cuadrado y que se caracterizan porque la sumas de sus filas, columnas y diagonales principales es siempre la misma, el valor de la .suma es denominado Contante del Cuadrado

#l cuadrado magico de 0urero

.Cuadrados *atinos Son un conunto de s)m(olos dispuestos en las casillas de tal manera que cada s)m(olo .aparezca una sola vez en cada fila y columna

+

+

=

=

.*os cuadrados grecolatinos Son el resultado de la com(inación de dos cuadrados latinos de modo que cada s)m(olo del primero se com(ine con cada s)m(olo del segundo una y sólo una vez

.9a(leros ?ágicos 0on ici, a finales del siglo >> estudio los cuadrados mágicos aritm3ticos y encontró que para una misma constante del cuadrado se pod)an encontrar infinitas posi(ilidades, formada no sólo con números naturales, sino con enteros, fracciones, números racionales, etc. :ero tam(i3n encontró que se pueden realizar cuadrados mágicos multiplicando las cantidadesJ estos para diferenciarlos de los cuadrados mágicos aritm3ticos los denominó ta(leros mágicos

*os SudoQu #l sudoQu es un uego de moda (asado en cálculos matemáticos, el sudoQu clásico está compuesto por nueve filas y nueve columnas, y a su vez está dividido en nueve celdas de tres por tres. 0entro de cada celda ay colocados algunos d)gitos gu)a, y falta completar con los d)gitos del 1 al EJ con la única condición de que en toda la malla no se repita en fila o columna un número. *a propiedad (ásica del sudoQu clásico es que las filas y columnas suman una constante +1R&R/R .RET%@, no as) las diagonales

Cuadrados ?ágicos -ritm3ticos Son cuadrados mágicos aritm3ticos un conunto de números enteros, iguales o diferentes, colocados en casillas de un enreado cuadrado de tal manera que la suma de los números en cada fila, columna o diagonal principal sea siempre la misma, ese número contante se denomina Constante del Cuadrado y el número . de casillas de una fila o columna es el Grden del Cuadrado

9radicionalmente se les impon)a a los cuadrados mágicos aritm3ticos una condición etra, los números de()an ser consecutivos e iniciar en el uno. Con estas com(inaciones se les conoce como Cuadrados ?ágicos -ritm3ticos #sot3ricos, y se les atri(u)an propiedades mágicas. :or eemplo, en el enacimiento, los m3dicos y astrólogos de la 3poca receta(an cuadrados mágicos de cuarto orden con fines terap3uticos, como una forma de que los pacientes auyentaran la melancol)a y el a(urrimiento +Claro que esto sólo serv)a a las clases altas que sa()an leer y escri(ir, y que esta(an a(urridas de ver tra(aar a los siervosJ el po(re que de()a tra(aar para comer y que era analfa(eta no ten)a tiempo para estos uegos de solitarios.  -qu) está el origen del gra(ado de la N?elancol)aO del alemán -l(erto 0urero, quien puso un cuadrado mágico de cuarto orden en la o(ra indicando incluso el a$o de la misma 1@1%. Se tiene que sólo eiste un cuadrado esot3rico de orden tres, en 1E/ ;renicle 0e =essy esta(leció que eisten FF' cuadrados mágicos esot3ricos de orden cuatro, ay &A@./'@.&&% com(inaciones posi(les para el orden cinco, para ordenes mayores sólo eisten estimaciones, as) que si a()a eercicio mental en encontrar tantas posi(ilidades para el orden cuatro como suer)an los m3dicos de la epoca.

*os cuadrados aritm3ticos esot3ricos reci(en el nom(re de Cuadrados dia(ólicos si además de las diagonales principales, el resto de las diagonales que(radas suman el número mágico. #l cuadrado mágico de 0urero a sido clasificado en esta categor)a en virtud de que aparecen mucas com(inaciones regulares dentro del cuadrado que dan el número mágico, pero no cumple con esta condición etra para realmente ser considerado dia(ólico. 9am(i3n suele ser llamado cuadrado dia(ólico o satánico el cuadrado esot3rico de orden seis, en virtud de que la suma de los números de 1 al / tiene por resultado , número asociado a la (estia +Satanás o el anticristo en el *i(ro de las evelaciones.

8:ara ver la continuacion del articulo ttp8VVarescronida.Wordpress.comV&''EV'AV

*os Cuadrados ?ágicos  #l cuadrado ?ágico de 0urero #l cuadrado mágico de -l(erto 0urero, tallado en su o(ra Melancolía  está considerado el primero de las artes europeas. #n el cuadrado de orden cuatro se o(tiene la constante mágica +/% en filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro su(matrices de orden & en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas +o columnas primera y última, etc. y siendo las dos cifras centrales de la última fila 1@1% el a$o de .eecución de la o(ra

#n el cuadro magico de 0urero ay @& formas de completar la suma de /%

:ara resolver cuadrados mágicos de orden par, seguiremos los siguientes pasos, que son muco más fáciles de aplicar de lo que puede parecer en un primer momento8 Utilizar3, en primero lugar, un cuadrado de orden %, que es el menor de los de orden par, para aclararlo meor. X 1. Comenzaremos por situar el número 1 +o la 1Y cifra de la serie en el etremo superior izquierda y entonces escri(iremos, desplazándonos de izquierda a dereca, sólo las cifras correspondientes a las casillas que forman las dos diagonales principales.

&. -ora nos situaremos en la primera casilla inferior dereca en (lanco, vecina de la del etremo, dónde pondremos el número & +o la &Y cifra de la serie e iremos desplazándonos acia arri(a y en sentido de dereca a izquierda para ir completando, en estricto orden, las casillas que faltan, es decir, las que forman los interiores de las diagonales principales y las dos casillas eteriores de las filas centrales. #s decir, pondremos el & e iremos contando de uno en uno asta llegar a una de las casillas mencionadas, entonces escri(imos esta cifra y las seguimos enumerando, si se aca(a una fila su(imos a la anterior y cam(iamos de sentido +zigzag, asta llegar al etremo superior izquierda. 0e eco, como se puede o(servar, el cuadrado mágico de orden % ya a quedado completamente resuelto.

Una peque$a refleión, llegado este punto, si comparamos este cuadrado con el de 0Zrer, podemos compro(ar que son completamente sim3tricos, de eco si aplicamos el m3todo situando la cifra 1 en el etremo inferior dereco y lo acemos todo a la inversa [[o(tendremos el cuadrado mágico de 0Zrer\\

4#s, por tanto, tan especial como piensan algunos6

*a introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atri(uye a #manuel ?oscopoulos en torno al siglo >!", autor de un manuscrito en el que por vez primera se eplican algunos m3todos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter cient)fico, atrao la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto o(ras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. #ntre ellos ca(e citar a Stifel, ;ermat, :ascal, *ei(nitz, ;renicle, =acet, *a 7ire, Saurin, #uler,... dir)ase que ningún matemático ilustre a podido escapar a su ecizo.

#l Criptograma de ]aud) Uno de los cuadrados mágicos de orden cuatro que llama poderosamente la atención del transeúnte es el cuadrado incorporado en la facada de la :asión de Cristo en el 9emplo de la Sagrada ;amilia, en =arcelona, o(ra del arquitecto espa$ol -ntonio ]aud). #l cuadrado se encuentra unto al grupo escultórico N#l (eso de IudasO y la constante mágica de este cuadrado es //, la edad de Iesucristo. :ara lograr ello +ya que la contante del cuadrado esot3rico de orden cuatro es treinta y cuatro se requirió modificar dos de los números de la serie natural, quedando el 1& convertido en 1' y el 1 en 1%, creando repeticiones en la serie y as) poder disminuir el /% natural a //. Si (ien no se trata de un cuadrado esot3rico, sino un aritm3tico cualquiera, lo interesante es que al igual que el cuadrado de 0urero aparecen com(inaciones de cuatro números que siguen formando la constante mágica. -lgunos se$alan incluso que este número se refiere tam(i3n a los grados dentro de la Grden de los ?asones

.0istintas formas de completar la cifra // en el cuadrado magico de la Sagrada ;amilia

#l cuadrado de =enamin ;ranQlin =enamin ;ranQlin, uno de los grandes próceres del proceso de !ndependencia de los #stados Unidos y uno de los autores de la Constitución ^orteamericana, recordado pol)tico e inventor norteamericano del pararrayos y de un tipo de lentes (ifocales, se divert)a con un pasatiempo matemático similar al moderno SudoQu, retando a sus amigos a que descu(rieran cómo lo a()a ela(orado, algo que era tan dif)cil, que su creador escri(ió con orgullo a su amigo Ion !> #uler se planteó y resolvió 8el Npro(lema del movimiento del ca(alloO que dice as)

-ndar con el ca(allo por todas las casillas del ta(lero de aedrez sin estar dos veces en .ninguna de ellas

*a solución del pro(lema, dio dos respuestas a dos pro(lemas distintos, el primero ya plantadoJ y el segundo es que el resultado es una solución a un cuadrado mágico aritm3tico esot3rico de orden oco y de contante &'J Como curiosidad etra el cuadrado resultante al ser dividido en cuatro cuadrados iguales, estos su(cuadrados de orden cuatro todos tienen contante del cuadrado igual a 1/'

Cuadrados ?ágicos *os cuadrados mágicos son cuadrados formados por letras, s)m(olos o números dispuestos de un modo particular y que antiguamente les atri(u)an propiedades mágicas. #isten mucos 8 tipos de cuadrados mágicos, entre ellos tenemos los siguientes .Cuadrados de figuras con reglas especificas .B 1 0estaca en este caso el antiguo pro(lema de ]auss de determinar de cuántas maneras es posi(le colocar oco reinas en un ta(lero de aedrez de tal manera que ninguna pueda atacar a la otra. *a .respuesta es que ay E& formas posi(les

7ay cuadrados mágicos que pueden tener la nota(le propiedad de contener otro cuadrado mágico en su interior de orden inferior, por tanto, son cuadrados mágicos do(les. !ncluso se pueden construir algunos que contienen sucesivos cuadrados mágicos en su interior en capas conc3ntricas. -qu) os propongo un eemplo de cuadrado mágico do(le de orden @ que contiene en su interior otro de orden /. *a suma de las filas, columnas y diagonales del cuadrado mágico de orden @ es igual a A@, mientras que las del cuadrado menor de orden / es igual a %@.

Como armar un cuadrado magico de orden @  #l m3todo (ásico consiste en a$adir lateralmente a los cuatro lados series virtuales de casillas, de forma triangular, de manera que nos quede la figura de un rom(o. Paso n!mero "# #ntonces, y comenzando desde el etremo superior, situaremos todas las cifras Ma partir del 1B siguiendo sólo las diagonales alternas formadas en el rom(o, o(servad que quedan, por tanto, l)neas diagonales y casillas interiores del cuadrado en (lanco. Paso n!mero $# #l cuadrado mágico se completa situando los números que an quedado en las casillas NvirtualesO eteriores del cuadrado, en las casillas interiores en (lanco, siguiendo primero una simetr)a orizontal, las del triángulo superior pasan a completar la parte inferior, como si lo recortásemos y lo pegásemos sin girarlo y las del triángulo inferior en la parte superiorJ y una simetr)a vertical, las de la parte eterior dereca en la interior izquierda y al rev3s. Paso n!mero %# #sta imagen ilustra claramente este procedimiento8

H#l HCuadrado ?ágico 0ivino #ste cuadrado mágico de orden 1' + , está formado por los 1'' primeros números pares. 9iene la propiedad de que la suma de sus filas, columnas y diagonales es igual a 1'1' +03uB03u. :or cierto, el número 1'1' en sistema (inario es igual al 1' en sistema decimal\\ 1'1'& T 1'1'

#strellas magicas

-ny magic star can (e made into anoter magic star (y complementing eac num(er of te original star in turn. 9is is done (y su(tracting eac num(er from n R 1. !n te case of te orderB star, Wic uses te num(ers 1 to 1&, you su(tract eac num(er from 1/ to o(tain te neW num(er.

ttp8VVWWW.reocities.comVbarveyVmagicstar 

?agic Circles

” Cuadrado Sator N

Con la epresión cuadrado Sator se indica una estructura con forma de cuadrado mágico compuesta por cinco pala(ras latinas8 S-9G, -#:G, 9#^#9, G:#-, G9-S, que, consideradas en conunto +de izquierda a dereca o de arri(a a(ao, dan lugar a un pal)ndromo. -l disponer las pala(ras en una matriz cuadrada, se o(tiene una estructura que recuerda la de los cuadrados mágicos de tipo num3rico. *as cinco pala(ras se repiten si son le)das de izquierda a dereca o de dereca a izquierda, o (ien, de arri(a a(ao o de a(ao acia arri(a. #n el centro del cuadrado la pala(ra 9#^#9 forma una cruz.

Square in St. :eter ad Gratorium. .#l cuadrado de Sator en Gppde

#l enigma del significado esulta dif)cil esta(lecer con certeza el significado literal de la frase compuesta por esas cinco pala(ras, ya que el t3rmino -#:G no eiste, estrictamente, en la lengua latina. -lgunas coneturas so(re esa pala(ra llevan a una traducción, con sentido poco claro, como el sem(rador, con su carro, mantiene con destreza las ruedas #l curioso cuadrado mágico es visi(le en un número (astante amplio de allazgos arqueológicos esparcidos por varias partes de #uropa. Se an encontrado en ruinas romanas de Cirencester +la antigua Corinium en !nglaterra, en el castillo de ocemaure, en Gppde, en Siena +pared de la catedral, en la a(ad)a de Collepardo, Santiago de Compostela, etc. - veces las cinco pala(ras se encuentran dispuestas .en forma radial, como en la -(ad)a de "alvisciolo en Sermoneta #l eemplo más antiguo y c3le(re es el de las ecavaciones de :ompeya y fue allado en el a$o 1E&@. #s una incisión en una columna del gran gimnasio8 tuvo gran importancia en los estudios que se an realizado so(re la istoria del cuadrado. #l eco de que el cuadrado sator se encontro en :ompeya indica que este cuadrado no tiene nada que ver con la cristiandad, como algunos investigadores lo eplican

:entacolo di Saturno derivato dal S-9G

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B

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 derivazione e(raica dal S-9G + !l cele(re esoterista Samuel *iddel ?ac]regor ?aters +1F@%B1E1F, foto a lato, uno tra i massimi esponenti dellGrdine del ]olden 0aWn, si sofferma a lungo sul quadrato del S-9G nella sua traduzione e riedizione di un antico manoscritto e(raico conservato presso la =i(liotque de l-rsenal a :arigi, H9e Sacred ?agic of -(ramelin te ?ageH, del 1%@F. ?ac]regor ?aters afferma ce il S-9G  uno dei pentacoli della ciave di Salomone. #sso va tracciato sostituendo alle lettere latine quelle corrispondenti nellalfa(eto e(raico, il tutto va poi inserito in un doppio cercio, allinterno del quale va iscritto il seguente versetto del Salmo *>>!!, F8 !l suo dominio sarP dalluno allaltro mare, e dalle acque fino ai confini del mondo. 5uesto versetto, nelledizione originale e(raica, si compone esattamente di &@ lettere come quelle del quadrato magico. !l pentacolo in questione, riprodotto in fig. &,  tratto da unaltra opera di ?ac]regor ?aters, H9e ]reater Key of SolomonH, ricavata da alcuni manoscritti antici conservati, stavolta, al =ritis ?useum di *ondra. 9ornando al li(ro di -(ramelin, invece, lautore riporta un cospicuo numero di altri quadrati magici Hca(alisticiH, tra i quali uno particolarmente simile +li(ro terzo, capitolo >!>, pentacolo E, v. fig. /)

"#$%&$%' ($$*(' %& &$/0*1 0* 2$3'4 %0&5$%' %0* (#$%&$%' 6$'& 

ttp8VVes.WiQipedia.orgVWiQiVCuadradohmC/-1gico ttp8VVes.WiQipedia.orgVWiQiV-l(ertoh0urero ttp8VVarescronida.Wordpress.comV&''EV'AV ttp8VVarescronida.Wordpress.comV&''EV'AV ttp8VVWWW.reocities.comVbarveyVmagicstarh&.tm ttp8VVWWW.trump.deVmagicBsquaresVmagicBcu(esVcu(esB1.tml ttp8VVWWW.trump.deVmagicBsquaresV ttp8VVen.WiQipedia.orgVWiQiVSatorhSquare ttp8VVes.WiQipedia.orgVWiQiV:ro(lemahdehlashocohreinas ttp8VVe.WiQipedia.jk k j ttp8VVWWW.notes.co.ilVsaQalV&/%@&.asp ttp8VVmatWorld.Wolfram.comV?agicSquare.tml ttp8VVWWW.artype.deVquadrateVinde.tml soluciones de las oco reinas ttp8VVWWW.grogono.comVmagicVindividual.pp