Cuaderno de Ejercicios de Circuitos Electricos Libro
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UNIVERSIDAD DE QUINTANA ROO División de Ciencias e Ingeniería
Ingeniería en Redes
Cuader Cua derno no de Ejer Ejercic cicios ios De Circuitos Eléctricos
Dr. Homero Toral Cruz Dr. Freddy Ignac Ignacio io Chan Chan Puc M.C. Emmanuel Torres Montalvo
Documento aprobado en reunión de Academia de Redes 21 de Diciem Diciembre bre de 2011 2011
CONTENIDO
1.
Introducción............................................................................................................................ 5 Introducción............................................................................................................................
2.
Carga, Corriente, Voltaje, Potencia y Energía Energía............................................ ............................................................................ ................................ 6
Ejercicio 2.1 ......................................... ........................................................................................ ........................................................................................... ............................................ 6 Ejercicio 2.2 ......................................... ........................................................................................ ........................................................................................... ............................................ 6 Ejercicio 2.3 ......................................... ........................................................................................ ........................................................................................... ............................................ 7 Ejercicio 2.4 ......................................... ........................................................................................ ........................................................................................... ............................................ 8 3.
Ley de Ohm ........................................... .......................................................................................... ................................................................................ ................................. 10
Ejercicio 3.1 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 10 Ejercicio 3.2 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 11 Ejercicio 3.3 ........................................ ........................................................................................ .......................................................................................... .......................................... 12 Ejercicio 3.4 ............................................... .............................................................................................. ................................................................................... .................................... 14 Ejercicio 3.5 ............................................... .............................................................................................. ................................................................................... .................................... 14 Ejercicio 3.6 .............................................. ............................................................................................. .................................................................................... ..................................... 15 Ejercicio 3.7 ............................................. ............................................................................................ ..................................................................................... ...................................... 15 4.
Leyes de Kirchhoff ................................................ ............................................................................................... ................................................................. .................. 16
Ejercicio 4.1 ............................................. ............................................................................................ ..................................................................................... ...................................... 16 Ejercicio 4.2 ............................................. ........................................................................................... ..................................................................................... ....................................... 17 Ejercicio 4.3 ............................................ ........................................................................................... ...................................................................................... ....................................... 19 Ejercicio 4.4 ........................................... .......................................................................................... ....................................................................................... ........................................ 20 Ejercicio 4.5 ........................................... ......................................................................................... ....................................................................................... ......................................... 21 Ejercicio 4.6 .......................................... ......................................................................................... ........................................................................................ ......................................... 22 Ejercicio 4.7 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 24 Ejercicio 4.8 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 25 Ejercicio 4.9 ........................................ ........................................................................................ .......................................................................................... .......................................... 26 Ejercicio 4.10 ............................................... .............................................................................................. ................................................................................. .................................. 26 5.
Divisores de voltaje y de corriente ................................................ ......................................................................................... ......................................... 28
Ejercicio 5.1 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 28 Ejercicio 5.2 ........................................ ........................................................................................ .......................................................................................... .......................................... 29 Ejercicio 5.3 ........................................ ........................................................................................ .......................................................................................... .......................................... 30
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 5.4 ........................................ ........................................................................................ .......................................................................................... .......................................... 30 Ejercicio 5.5 ........................................ ........................................................................................ .......................................................................................... .......................................... 31 Ejercicio 5.6 ............................................... .............................................................................................. ................................................................................... .................................... 32 Ejercicio 5.7 .............................................. ............................................................................................. .................................................................................... ..................................... 34 Ejercicio 5.8 .............................................. ............................................................................................. .................................................................................... ..................................... 35 Ejercicio 5.9 ............................................. ............................................................................................ ..................................................................................... ...................................... 36 Ejercicio 5.10 ............................................ ........................................................................................... .................................................................................... ..................................... 36 6.
Análisis de Mallas y Nodos....................................................................... .............................. 38
Ejercicio 6.1 .............................................. ............................................................................................. .................................................................................... ..................................... 38 Ejercicio 6.2 ............................................. ............................................................................................ ..................................................................................... ...................................... 39 Ejercicio 6.3 ............................................. ........................................................................................... ..................................................................................... ....................................... 40 Ejercicio 6.4 ............................................ ........................................................................................... ...................................................................................... ....................................... 42 Ejercicio 6.5 ........................................... .......................................................................................... ....................................................................................... ........................................ 44 Ejercicio 6.6 ........................................... ......................................................................................... ....................................................................................... ......................................... 45 Ejercicio 6.7 .......................................... ......................................................................................... ........................................................................................ ......................................... 46 Ejercicio 6.8 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 47 Ejercicio 6.9 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 50 Ejercicio 6.10 ....................................................................................... ......................................... 51 7.
Superposición ................................................ ............................................................................................... ....................................................................... ........................ 54
Ejercicio 7.1 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 54 Ejercicio 7.2 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 55 Ejercicio 7.3 ........................................ ........................................................................................ .......................................................................................... .......................................... 57 Ejercicio 7.4 ............................................... .............................................................................................. ................................................................................... .................................... 58 Ejercicio 7.5 ............................................... .............................................................................................. ................................................................................... .................................... 60 Ejercicio 7.6 .............................................. ............................................................................................. .................................................................................... ..................................... 62 Ejercicio 7.7 ............................................. ............................................................................................ ..................................................................................... ...................................... 64 8.
Teoremas de Thevenin y Norton .............................................. ............................................................................................ .............................................. 66
Ejercicio 8.1 ............................................. ............................................................................................ ..................................................................................... ...................................... 66 Ejercicio 8.2 ............................................. ............................................................................................ ..................................................................................... ...................................... 68 Ejercicio 8.3 ......................................... ........................................................................................ ......................................................................................... .......................................... 70 Ejercicio 8.4 ........................................ ........................................................................................ .......................................................................................... .......................................... 71 Ejercicio 8.5 ................................................ .............................................................................................. .................................................................................. .................................... 74 3
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 8.6 .................................................................................................................................. 76 Ejercicio 8.7 .................................................................................................................................. 77 Ejercicio 8.8 .................................................................................................................................. 79 Ejercicio 8.9 .................................................................................................................................. 79 Ejercicio 8.10 ................................................................................................................................ 81 9.
Circuitos RL, RC y RLC ............................................................................................................ 83
Ejercicio 9-1 .................................................................................................................................. 83 Ejercicio 9-2 .................................................................................................................................. 84 Ejercicio 9-3 .................................................................................................................................. 85 Ejercicio 9-4 .................................................................................................................................. 87 Ejercicio 9-5 .................................................................................................................................. 88 Ejercicio 9-6 .................................................................................................................................. 91 Ejercicio 9-7 .................................................................................................................................. 92 10.
Referencias ....................................................................................................................... 97
4
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
1. Introducción
El análisis de circuitos no solo es fundamental para las áreas de ingeniería electrónica y eléctrica, los conceptos estudiados en este tópico tienen un amplio alcance en diversas áreas, tales como computación, redes, etc. En la actualidad este tema recibe menos atención en los planes de estudio que en el pasado, debido a diversas situaciones, que van desde la posibilidad de reducir el número total de horas de clase o incluso el aumento de asignaturas básicas [1]. El principal objetivo de este cuaderno de ejercicios es desarrollar habilidades a estudiantes de licenciatura en la solución de problemas, mediante un conjunto de ejercicios seleccionados cuidadosamente para lograr un mejor entendimiento de la parte conceptual y los diversos métodos de solución de problemas. El presente cuaderno de ejercicios contiene una colección de problemas de los principales temas abordados en la asignatura de Circuitos Eléctricos, tales como:
Carga, Corriente, Voltaje, Potencia y Energía
Ley de Ohm
Leyes de Kirchhoff
Divisores de voltaje y corriente
Análisis de Mallas y Nodos
Superposición
Teoremas de Thévenin y Norton
Circuitos RL, RC, y RLC
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
2. Carga, Corriente, Voltaje, Potencia y Energía Ejercicio 2.1
Obtenga el flujo de corriente en un elemento, cuando la carga que ha entrado al elemento es q =12t C
En donde t es el tiempo en segundos. Solución
Recuerde que la unidad de carga es el coulomb, C. Debido a que la corriente está dada por la ecuación , entonces: = 12 A Donde la unidad de corriente es el ampere, A.
Ejercicio 2.2
Calcule la carga que ha entrado a la terminal de un elemento, en el momento t cuando la corriente es = M t, t Como se muestra en la Figura 1, siendo M constante. Suponga que la carga es cero cuando t=0 (q(0) = 0).
Figura 2.1 Rampa con pendiente M Solución
De la ecuación
se tiene q= 6
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 2.3
Determine la carga que ha entrado a la terminal de un elemento desde t = 0 s hasta t = 3 s cuando la corrientes es como aparece en la Figura 2.2.
Figura 2.2 Señal de corriente para el ejercicio 2.3
Solución
De la Figura 2.2, (t) puede describirse como
Usando la ecuación
, se tiene:
De otra manera, se observa que en la integración de de t = 0 a t = 3 s sólo es necesario calcular el área bajo la curva mostrada en la Figura 2.2. Así, se tiene q=1+2x2=5C
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 2.4
Calcule la carga q(t) y trace su gráfica cuando la corriente que entra a la terminal de un elemento es como se muestra en la Figura 2.3. Suponga que q( 0) = 0
Figura 2.3 Señal de corriente para el ejercicio 2.4 Solución
De la Figura 2.3,
puede describirse como
Usando la ecuación
, se tiene: q(t) =
Luego, cuando 0 t , se tiene C Cuando t se obtiene
En la Figura 2.4 aparece la gráfica de q(t). Observe que q(t) es una función continua pese a que tiene una discontinuidad en t = 0.
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 2.4 Gráfica de q(t) para el ejercicio 2.4
Ejercicio 2.5
Una fuente de energía fuerza una corriente constante de 2 durante 10 para que fluya por una bombilla eléctrica. Si 2.3 se emiten en forma de luz y energía termina, calcule la caída de tensión en la bombilla. Solución
La caída de tensión es
Ejercicio 2.6
Halle la potencia que se entrega a un elemento en positiva es: y la tensión es: a)
si la corriente que entra a su terminal
b)
Solución
a) La tensión es
así, la potencia es:
En 9
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
b) Se encuentra la tensión y la potencia como
En
,
Ejercicio 2.7
¿Cuánta energía consume una bombilla eléctrica de 100
en dos horas?
Solución
Esto es lo mismo que:
3. Ley de Ohm Ejercicio 3.1
a) Determine la corriente y la potencia que absorbe el resistor de la Figura 3.1a. b) Encontrar los valores de en la red de la Figura 3.1b. + 12 V
P = 80 mW
4mA
Vs
R
_
(a)
(b)
Figura 3.1 Circuitos para el ejercicio 3.1
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Solución
a) Usando la ecuación
, la corriente es:
La potencia que absorbe el resistor está dada por:
b) Usando la relación de potencia, se tiene que:
El voltaje se puede obtener empleando la ley de Ohm
Ejercicio 3.2
En el circuito que se muestra en la Figura 3.2, calcule la corriente , la conductancia potencia .
Figura 3.2 Circuitos para el ejercicio 3.2
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y la
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Solución
La tensión en el resistor es la misma que la tensión de la fuente conectados al mismo par de terminales. Por lo tanto, la corriente es igual a
porque ambos están
La conductancia es
Es posible calcular la potencia de diversas maneras utilizando las ecuaciones.
Ejercicio 3.3
En cada circuito de la Figura 3.3, se desconoce el valor de o el de . a) Calcule los valores de e . b) Determine la potencia que disipa cada resistor.
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 3.3 Circuitos para el ejemplo 2.3 Solución
a) El voltaje en la Figura 3.3 (a) es una caída en la dirección de la corriente en el resistor. Por lo tanto:
La corriente en el resistor con una conductancia de 0.2 S en la Figura 3.3 (b) va en la dirección de la caída de voltaje a través del resistor. Así,
El voltaje en la Figura 3.3 (c) es una elevación de voltaje en la dirección de la corriente. Por lo tanto,
La corriente en el resistor de de la Figura 3.3 (d) va en la dirección de la elevación de voltaje a través del resistor. Por lo que
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
b) La potencia que disipan cada uno de los cuatro resistores es:
Ejercicio 3.4
Determine la corriente resultante de la aplicación de una batería de una resistencia de .
a través de una red con
Figura 3.4 Circuito del ejercicio 3.4 Solución
Ejercicio 3.5
Calcule la resistencia de un foco de voltaje aplicado de
si se produce una corriente de
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a partir de un
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Solución
Ejercicio 3.6
Calcule la corriente por el resistor de de
de la Figura 3.5 si la caída de voltaje a través de él es -
-----> I
R 2 k
Figura 3.5 Circuito del ejercicio 3.6 Solución
Ejercicio 3.7
Calcule el voltaje que debe aplicarse a través del acero para soldadura de la Figura 3.6 con el fin de establecer una corriente de por el acero si su resistencia interna es de . -----E R
Figura 3.6 Circuito del ejercicio 3.7 Solución
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
4. Leyes de Kirchhoff Ejercicio 4.1
En el circuito de la Figura 4.1 se ha empleado la convención pasiva para asignar direcciones de referencia a los voltajes y corrientes en los resistores. Esto se hace para poder aplicar la ley de Ohm. Calcule cada corriente y cada voltaje cuando R1 = 8 , ,y . Además, determine la resistencia R2.
Figura 4.1 Circuito con dos fuentes de voltaje constantes
Solución
La suma de las corrientes que entran al nodo “a” está dada por:
Al usar la ley de Ohm para R3 se encuentra que
La ley de voltajes de Kirchhoff en la malla del lado izquierdo que contiene de -10 V, es
Por tanto,
Aplicando la ley de Ohm para el resistor R1
o 16
y
y la fuente
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Dado que ya se ha hallado
Ae
A como se estableció originalmente, entonces
Ahora se puede calcular la resistencia R2 de
donde
Ejercicio 4.2
Determinar el valor de la corriente, en amperes, medido mediante el amperímetro en la Figura 4.2a.
Figura 4.2a
Un circuito con una fuente dependiente y un amperímetro
Solución
Un amperímetro ideal es equivalente a un corto circuito. La corriente medida mediante el amperímetro es la corriente de corto circuito. La Figura 4.2b muestra el circuito después de reemplazar el amperímetro mediante el corto circuito equivalente.
Figura 4.2b El circuito equivalente después de
reemplazar el amperímetro mediante un corto circuito 17
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
El circuito se ha redibujado en la Figura 4.3 para etiquetar los nodos del circuito. Este circuito consiste de una fuente de voltaje, una fuente de corriente dependiente, dos resistores y dos cortos circuitos. Uno de estos cortos circuitos es el elemento de control de la fuente de corriente controlada por corriente (FCCC) y el otro es el modelo del amperímetro.
Figura 4.3 El circuito de la Figura 4.2 después de etiquetar los nodos y
algunas corrientes y voltajes de los elementos
Aplicando dos veces la ley de corriente de Kirchhoff (LKC), una vez en el nodo d y de nuevo en el nodo a, se ve que la corriente en la fuente de voltaje y la corriente en el resistor de 4 ambas iguales a . Estas corrientes se pueden identificar en la Figura 4.3. Aplicando de nuevo la LCK, en el nodo c, se ve que la corriente en el resistor de 2 . Esta corriente se etiqueta en la Figura 4.3. Después la ley de Ohm nos dice que el voltaje a través del resistor de 4 y el voltaje a través del resistor de 2 . Ambos voltajes se etiquetan en la Figura 4.3. Al aplicar la LCK en el nodo b da por resultado
Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff (LVK) a la trayectoria cerrada a-b-c-e-d-a da por resultado
Por último al resolver esta ecuación da por resultado
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 4.3
Determinar el valor del voltaje, en volts, medido mediante el voltímetro en la Figura 4.4a.
Figura 4.4a. Un circuito con una fuente dependiente y
un voltímetro
Solución
Un voltímetro ideal es equivalente a un circuito abierto. El voltaje medido mediante el voltímetro es el voltaje a través del circuito abierto. La Figura 4.4b muestra el circuito después de reemplazar el voltímetro por el circuito abierto equivalente.
Figura 4.4b. El circuito equivalente después de
reemplazar el voltímetro
por un circuito abierto
El circuito se ha redibujado en la Figura 4.5 para etiquetar los nodos del circuito. Este circuito consiste de una fuente de voltaje, una fuente de voltaje dependiente, dos resistores, un corto circuito y un circuito abierto. El corto circuito es el elemento de control de la fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC) y el circuito abierto es un modelo del voltímetro.
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 4.5 El circuito de la Figura 4.4 b después de etiquetar los nodos y
algunas corrientes y voltajes de los elementos
Aplicando dos veces la LCK, una vez en el nodo d y de nuevo en el nodo a, se ve que la corriente en la fuente de voltaje y la corriente en el resistor de 8 . Estas corrientes se etiquetan en la Figura 4.5. Aplicando de nuevo la LCK, en el nodo c, se ve que la corriente en el resistor de 5 etiqueta en la Figura 4.5. La ley de Ohm nos dice que el voltaje a través del resistor de 5 también igual a cero. Después de aplicar la LVK a la trayectoria cerrada b-c-f-e-b da por resultado Al aplicar la LVK a la trayectoria cerrada a-b-e-d-a da por resultado
de esta manera
Por último
Ejercicio 4.4
Sume las corrientes en cada nodo del circuito que se muestra en la Figura 4.6. Observe que no hay punto de conexión en el centro del diagrama, en donde la rama de cruza la rama que contiene la fuente de corriente ideal .
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 4.6 El circuito para el ejercicio 4.4
Solución
Al escribir las ecuaciones, usamos signo positivo para la corriente que deja un nodo. Las cuatro ecuaciones son
Nodo a Nodo b Nodo c Nodo d
Ejercicio 4.5
Sume los voltajes alrededor de cada trayectoria designada en el circuito que se indica en la Figura 4.7.
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 4.7 El
circuito para el ejercicio 4.5
Solución
Al escribir las ecuaciones empleamos un signo positivo para las caídas de voltaje. Las cuatro ecuaciones son
Trayectoria a Trayectoria b Trayectoria c Trayectoria d
– – –
Ejercicio 4.6
Para el dispositivo que se muestra en la Figura 4.8 se midieron el voltaje y la corriente en las terminales, los valores de e se tabulan e la Tabla 4.1.
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Tabla 4.1 Datos para el ejercicio 4.6
30 15 0
0 3 6
Figura 4.8 Dispositivo
a) Construya un modelo para el dispositivo que está en el interior de la caja. b) Empleando el modelo del circuito, trate de predecir la potencia que entregara el aparato a un resistor de .
Solución
a) Después de graficar el voltaje como una función de corriente se obtiene la gráfica de la Figura 4.9 (a), donde .
(a) la gráfica de en función de para el dispositivo de la Figura 4.8. (b) El modelo de circuito resultante para el dispositivo de la Figura 4.8, conectado a un resistor de Figura 4.9
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Necesitamos identificar los componentes de un modelo de circuito que produzca la misma relación entre el voltaje y la corriente. La ley del voltaje de Kirchhoff nos dice que las caídas de voltaje a través de dos componentes en serie se suman. De la ecuación, uno de los componentes produce una caída de sin importar la corriente. Este componente puede modelarse como una fuente ideal independiente de voltaje. El otro componente produce una caída de voltaje positiva en la dirección de la corriente . Ya que la caída de voltaje es proporcional a la corriente, la ley de Ohm nos dice que este componente puede modelarse como un resistor ideal con un valor de . El modelo del circuito resultante se presenta en la Figura 4.9 (b) dentro del cuadro de líneas puntadas. b) Ahora añadimos un resistor de al dispositivo de la Figura 4.9 (b) para completar el circuito. La ley de la corriente de Kirchhoff nos dice que la corriente en el resistor de es la misma corriente que en el resistor de . Empleando la ley de voltaje de Kirchhoff y la ley de Ohm, podemos escribir la ecuación de la caída de voltaje alrededor del circuito empezando en la fuente de voltaje y procediendo en el sentido de giro de las manecillas del reloj: Resolviendo para , obtenemos Debido a que este es el valor de la corriente que fluye en el resistor de , podemos usar la ecuación de la potencia para calcular la potencia entregada a este resistor:
Ejercicio 4.7
En referencia al circuito de la Figura 4.10a), halle las tensiones
Figura 4.10 Figura del ejercicio 4.7
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y
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Solución
Para hallar y se aplica la ley de ohm y la ley de tensión de Kirchhoff. Supóngase que la corriente fluye a través del lazo como se muestra en la Figura 4.10b) con base a la ley de ohm,
La aplicación de la LTK alrededor del lazo produce
Al sustituir o
Al sustituir se origina finalmente
Ejercicio 4.8
Determine
e en el circuito que aparece en la Figura 4.11 a).
Figura 4.11 Figura del problema 4.8
Solución
Se aplica la LVK a lo largo del lazo como se indica en la Figura 4.11 b). El resultado es
La aplicación de la ley de ohm al resistor de
produce
Sustituyendo
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 4.9
Hallar la corriente
y la tensión
en el circuito que aparece en la Figura 4.12
Figura 4.12 Figura de problema 4.9
Solución:
Al aplicar la LCK al nodo se obtiene
En cuando el resistor de 6
Ejercicio 4.10
Halle las corrientes y tensiones en el circuito que se presenta en la Figura 4.13 a)
Figura 4.13 Figura de problema 4.10
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Solución
Se aplica la ley ohm y las leyes de Kirchhoff. Por efecto de la ley de ohm,
Puesto que la tensión y la corriente de cada resistor están relacionados por la ley de ohm como se indica, en realidad se están buscando tres cosas ( )o( ). En el nodo , la LCK da como resultado.
Al aplicar la LTK al lazo 1 como en la Figura 4.13 b)
Se expresa esto en términos de
e
para obtener
o sea,
Al aplicar la LVK al lazo 2
Como era de esperar, ya que los dos resistores están en paralelo. Se expresa de e .
La sustitución de las ecuaciones
Despejando , se obtiene: correspondientes y se obtienen:
y
en la ecuación
. Con el valore de
27
y
en términos
, produce
, se hacen las sustituciones
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
5. Divisores de voltaje y de corriente Ejercicio 5.1
Usando la regla divisora del voltaje, determine los voltajes Figura 5.1
para el circuito en serie de la
V
V1
45 V
R2
R3
-
+ V3 -
Figura 5.1 Figura de problema 5.1
Solución
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 5.2
Diseñe el divisor de voltaje de la figura 5.2 de modo que
Figura 5.2 Figura de problema 5.2
Solución
La resistencia total se define mediante
Dado que
Por tanto
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 5.3
Encuentre la corriente
para la red de la Figura 5.3.
Figura 5.3 Figura de problema 5.3 Solución
Existen dos opciones para despejar este problema. La primera es mediante el cálculo de la conductancia
y
Ejercicio 5.4
Determine la magnitud de las corrientes
para la red de la Figura 5.4.
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 5.4 Figura de problema 5.4
Solución
Mediante la regla divisora de corriente,
Aplicando la Ley de la corriente de Kirchhoff,
o usando la regla divisora de corriente otra vez,
La corriente total que entra a las ramificaciones en paralelo debe ser igual a la que sale, por tanto,
Ejercicio 5.5
Determine la resistencia
para efectuar la division de la corriente de la Figura 5.5.
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 5.5 Figura de problema 5.5 Solución
Aplicando la regla divisora de corriente.
Ejercicio 5.6
Halle y en el circuito mostrado en la Figura 5.6 a). Calcule la potencia disipada en el resistor de 3
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 5.6
a) Circuito original, b) Su circuito equivalente
Solución
Los resistores de 6 y 3
En consecuencia, el circuito se reduce al mostrado en la Figura 5.6 b). Nótese que no se ve afectado por la combinación de los resistores, porque los resistores están en paralelo, y por lo tanto tienen la misma tensión . En la Figura 5.6 b) se puede obtener de dos maneras una de ellas es aplicar la ley de ohm para obtener
Y por lo tanto Otra manera es aplicar la división de tensión, ya que los 12 de la Figura 5.6 b) se dividen entre los resistores de 4 y 2
De igual forma, puede obtenerse de dos maneras. Un método es aplicar la ley de ohm al resistor de 3 a) ahora que se conoce asi,
Otro método es aplicar la división de corriente al circuito de la Figura 5.6 a) ahora que se conoce , escribiendo
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
La potencia disipada en el resistor de 3
Ejercicio 5.7
En referencia al circuito que se muestra en la Figura 5.7 a), determine: a) la tensión , b) la potencia suministrada por la fuente de corriente, c) la potencia absorbida por cada resistor.
Figura 5.7
a) Circuito original, b) Su circuito equivalente
Solución
a) Los resistores de 6 y 12 . de este modo, el circuito de la Figura 5.7 a) se transforma en el que se muestra en la Figura 5.7 b). Ahora se aplica la técnica de división de corriente para hallar e .
Adviértase que la tensión a lo largo de los resistores de 9 y 18 , como se esperaba. b) La potencia absorbida por la fuente es
c) La potencia absorbida por el resistor de 12k
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es el mismo y que
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
La potencia absorbida por el resistor de 6
La potencia absorbida por el resistor de 9
es
O sea
Nótese que la potencia suministrada (5.4 ) es igual a la potencia absorbida ( ) esta es una manera de comprobar resultados. Ejercicio 5.8
Determine
en el circuito de la Figura 5.8 a.
Figura 5.8
a) Circuito original, b) Su circuito equivalente
Solución
Combinamos primero los resistores de
y
, sustituyéndolos por:
Puesto que aparece en los extremos de la combinación en paralelo, nuestra simplificación no ha perdido esta cantidad. Sin embargo, una simplificación adicional del circuito al sustituir la combinación en serie del resistor de por un nuevo resistor de produciría dicha situación. En consecuencia, procedemos aplicando sólo la división de tensión al circuito de la Figura 5.8 b.
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 5.9
Escriba una expresión para la corriente que pasa por el resistor de 5.9.
Figura 5.9
en el circuito de la figura
Circuito del ejercicio 5.9
Solución
La corriente total que fluye en la combinación de
y
se calcula mediante:
y por tanto la corriente deseada está dada por la división de corriente:
Ejercicio 5.10
Figura 5.10
Circuito del ejercicio 5.10 36
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
a) calcule el valor sin carga de en el circuito que se muestra. b) calcule cuando es . c) ¿Cuánta potencia se disipa en el resistor de si las terminales de carga se ponen en corto circuito accidentalmente? d) ¿Cuál es la máxima potencia disipada en el resistor de ? Solución
a)
b)
c)
d)
37
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
6. Análisis de Mallas y Nodos Ejercicio 6.1
Recurra al análisis de malla para determinar las tres corrientes de malla en el circuito de la figura 6.1.
Figura 6.1
Circuito del ejercicio 6.1
Solución
Las tres corrientes de malla requeridas se asignan como se indica en la figura 4.14, y aplicamos de manera metódica la LVK en torno a cada malla:
Simplificando
y resolviendo, obtenemos
e
= 3 A.
38
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 6.2
a) Use el método método de voltajes voltajes de nodos nodos para análisi análisiss de circuitos circuitos para para calcular calcular la corriente corriente de lass ra la rama mass e de dell ci circ rcui uito to qu quee mu muest estra ra la fi figur guraa 6. 6.2. 2.
Figura 6.2
Circuito del ejercicio 6.2
b) Calcule la potencia asociada as ociada con cada fuente, y especifique si la fuente está entregando entre gando o absorbiendo potencia.
Figura 6.3
El circuito mostrado mostrado en la figura 6.2 con un nodo de referencia y voltaje voltaje de nodo desconocido
Solución
a) Empecemos Empecemos notando notando que el el circuito circuito tiene dos nodos nodos esencial esenciales; es; por lo lo que necesi necesitamos tamos escribir una sola expresión de voltaje de nodo. Seleccionando el nodo inferior como el nodo de referencia y definimos el voltaje del nodo desconocido como . La figura 6.3 ilustra estas decisiones. La suma de las corrientes que salen del nodo genera la ecuación de voltaje de nodo. Resolviendo para
39
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Por lo tanto
b) La potencia asociada con la fuente de La potencia asociada con la fuente de
es es
Verifiquemos estos cálculos notando que la potencia total entregada es de potencia total absorbida por tres resistores res istores o bien, calculamos y como debe ser.
. La como
Ejercicio 6.3
Obtenga los valores para las tensiones desconocidas en los diversos elementos simples de la figura 6.4.
Figura 6.4
Circuito del ejercicio 6.3
Solución
Como primer paso, volvemos a dibujar el circuito para subrayar el hecho de que sólo hay tres nodos (se deja de tarea al estudiante hacerlo). Después de esto asociamos un voltaje a cada nodo, pero debemos recordad reco rdad que cada uno debe definirse de finirse como si existiera entre dos nodos nodo s de una red. r ed. Por ellos seleccionamos un nodo de referencia, y determinamos luego una tensión entre cada nodo restante y el nodo de referencia. Por consiguiente, advertimos de nuevo que habrá sólo tensiones definidas en un circuito de nodos. Otra pequeña simplificación en las ecuaciones resultantes se obtiene si el nodo conectado al mayor número de ramas se identifica como el nodo de referencia. Si hay un nodo de conexión a tierra, a menudo resulta más conveniente elegirlo como el nodo de referencia; con mucha frecuencia, el nodo de conexión a tierra aparece como un hilo de conexión común a través de la 40
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
parte inferior de un diagrama de circuito. Para este ejemplo, elegimos el nodo n odo 3 como el nodo de referencia. La tensión del nodo 1 en relación con el nodo de referencia se define como , y se define como la tensión del nodo 2 con respecto al nodo de referencia. Ambas tensiones son suficientes, puesto que q ue la tensión entre entr e cualquier otro par pa r de nodos puede determinarse deter minarse en términos de ellos. Por ejemplo, la tensión del nodo 1 con respecto al nodo 2 es . Aplicaremos ahora la a los nodos 1 y 2. Realizamos esto igualando la corriente total que sale del nodo a través de varios resistores con la corriente de fuente total que entra al nodo. De tal manera que: o En el nodo 2 obtenemos: o Las ecu Las ecuaci acione oness y sonn la so lass dos de dese sead adas as co conn do doss in incó cógn gnit itas, as, y ade ademá máss re resol solve verr co conn facilidad. Los resultados son: y A partir de esto, se determina de manera directa la tensión en el resistor de
:
Las corrientes y las potencias absorbidas también se podían calcular en un paso.
41
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 6.4
Determine las tensiones de nodo en el circuito de la figura 4.3a.
Figura 6.5
Circuito del ejercicio 6.4
Solución
Hay cuatro nodos en este circuito. Eligiendo el nodo inferior como nuestra referencia. Volvemos a dibujar el circuito para subrayar el hecho de que sólo hay cuatro nodos (se deja de tarea al estudiante hacerlo). Se definen tres tensiones desconocidas , y (una para cada nodo, excepto para el nodo de referencia). Todas las fuentes de corriente y los resistores tienen valores designados, los cuales se marcan sobre el esquema. Este problema es bastante apropiado para la técnica del análisis nodal, ya que es factible escribir tres ecuaciones independientes en términos de las fuentes de corriente y de la corriente a través de cada resistor. Empezamos escribiendo una ecuación para el nodo 1:
o Advierta que en un esfuerzo por ser congruentes, ubicamos todas las fuentes de corriente (que se definen como si fluyeran hacia el nodo 1) en el lado izquierdo, y todas las corrientes que fluyen fuera del nodo 1 a través de los resistores del lado derecho. Esto resulta benéfico al expresar todas nuestras ecuaciones de una forma similar, lo que ayuda en la verificación de errores. En el nodo 2: 42
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
o Y, en el nodo 3:
o, de manera más simple:
Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. Siempre y cuando éstas sean independientes, lo anterior es suficiente para determinar las tres tensiones. Las ecuaciones a la se resuelven mediante la eliminación sucesiva de variables, el método de matrices o por medio de la regla de Cramer y los determinantes. Empleando el último método, tenemos:
de manera similar:
y
Una forma de verificar parte de nuestra solución consiste en resolver las tres ecuaciones mediante otra técnica. Más allá de eso, ¿es posible determinar si las tensiones son valores “razonables”? Tenemos una corriente máxima posible de
43
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
en cualquier punto del circuito. El resistor más grande es de esperamos ninguna magnitud de tensión superior a:
, de modo que no
Ejercicio 6.5
Determine la corriente que pasa por cada resistor en el circuito de la figura 6.6 a.
Figura 6.6 Circuito del ejercicio 6.5 Solución
Del mismo modo que procedimos en el circuito de un solo lazo, empezamos definiendo una corriente a través de una de las ramas. Vamos a denominar a la corriente que circula hacia la derecha a través del resistor de . Aplicaremos la alrededor de cada una de las dos mallas; y las dos ecuaciones resultantes son suficientes para determinar las dos corrientes desconocidas. Definimos después una segunda corriente , que fluye hacia la derecha en el resistor de . Podríamos también denominar como a la corriente que fluye hacia abajo por la rama central, pero resulta evidente, a partir de la , que puede expresarse en términos de las dos corrientes supuestas antes como . Las corrientes supuestas se muestran en la figura 6.5b. Siguiendo el método de solución para el circuito de un lazo, aplicamos ahora la del lado izquierdo:
a la malla
o Aplicando la
en la malla del lado derecho:
o Las ecuaciones y son independientes; no es posible deducir una a partir de la otra. Hay dos ecuaciones y dos incógnitas, y la solución se obtiene sin ninguna dificultad: 44
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 6.6
Repita el problema del ejercicio 6.5 mediante la técnica del análisis de malla para determinar en el circuito de la figura 6.7.
Figura 6.7 El mismo circuito que en el ejercicio
e
6.5, pero visto de una manera diferente
Solución
Si marcamos como la malla 1 a la del lado izquierdo de nuestro problema, entonces es factible establecer una corriente de malla que circula en la misma dirección que las manecillas de reloj, alrededor de dicha malla. Una corriente de malla se indica por una flecha curva que casi se cierra sobre sí misma y se dibuja dentro de la malla apropiada, como en la figura 6.7. La corriente de malla se establece en la malla restante, otra vez en la dirección de las manecillas de reloj. Si bien las direcciones son arbitrarias, siempre elegiremos las corrientes de malla en el sentido de las manecillas del reloj debido a que una cierta simetría de minimización de errores se produce en las ecuaciones en tal caso. Ya no contamos con una corriente o una flecha de corriente que se muestre de manera directa sobre cada rama del circuito. La corriente a través de cualquier rama debe determinarse al considerar las corrientes de malla que fluyen en cada malla en la que aparece dicha rama. Esto no es difícil, debido a que ninguna rama puede aparecer en más de dos mallas. Por ejemplo, el resistor aparece en ambas mallas, y la corriente que fluye hacia abajo a través de él es . El resistor sólo aparece en la malla 1, y la corriente que fluye hacia la derecha en esa rama es igual a la corriente de malla . Para la malla de la izquierda: mientras que para la malla derecha:
45
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Así que estas dos ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones
y
.
Ejercicio 6.7
Use el método de voltaje de nodo para calcular la potencia disipada en el resistor de circuito que se muestra en la figura 4.10.
del
Figura 6.8 Circuito del ejercicio 6.7
Solución
Empecemos notando que el circuito tiene 3 nodos esenciales. Por lo que necesitamos dos ecuaciones de voltaje de nodo para describir el circuito. Cuatro ramas terminan en el nodo inferior, así que lo elegimos como nodo de referencia. Se definen dos voltajes de nodo desconocidos. Sumando las corrientes que salen del nodo se obtienen la ecuación
Sumando las corrientes que deja el nodo 2 se obtiene
Tal como están escritas, estas dos ecuaciones de voltaje de nodo contienen tres incógnitas, a saber, e . Para eliminar debemos expresar esta corriente en de control en términos de los voltajes de nodo, o bien,
46
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Sustituyendo esta relación en la ecuación para nodo nodo a
Resolviendo para v1 y para v2 se obtiene
(0.75)
Y Entonces,
Ejercicio 6.8
47
se simplifican las ecuaciones de voltaje de
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura 3.3a).
Figura 6.9 a) Circuito original, b) circuito
para análisis
Solución
Considérese la figura 6.9 b) donde el circuito de la figura 6.9 a) se ha preparado para el análisis nodal. Nótese como se han seleccionado las corrientes para la aplicación de la LCK. Excepto por las ramas con fuentes de corriente, la rotulación de las corrientes es arbitraria, pero coherente. (Por coherente entenderemos que si, por ejemplo, se supone que entra en un resistor de 4 el lado izquierdo, debe salir de ese resistor por el lado derecho.) Se selecciona el nodo de referencia y se determinan las tensiones de nodo .
Al multiplicar cada término de esta última ecuación por 4 se obtiene
O sea
En el nodo 2 se hace lo mismo y se obtiene
La multiplicación de cada término por 12 produce 48
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
O sea Ahora hay dos ecuaciones simultáneas. Se pueden resolver con cualquier método para obtener los valores de Método 1: si se aplica la técnica de eliminación
La sustitución de
produce
Método 2: si se aplica la regla de Cramer
La determinante de la matriz es
Ahora se obtienen
de esta forma:
Lo que da el mismo resultado que con el método de eliminación. Si se necesitan las corrientes se pueden calcular fácilmente a partir de los valores de las tensiones de nodo.
49
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
El hecho de que supuesta.
sea negativa indica que la corriente fluye en la dirección contraria a la
Ejercicio 6.9
Considérese el circuito de la figura 6.10. Se seleccionó el nodo inferior como nodo de referencia, puesto que muchos elementos se conectan a éste. Las resistencias son marcadas según sus conductancias.
v1
v2 1S
7A
v3
i 2S
3S
3S
1S
17 A
4S
Figura 6.10 Circuito del ejercicio 6.9 Solución
Puesto que hay tres nodos que no son de referencia, y se obtendrán tres ecuaciones con tres incógnitas de voltaje de nodo. El nodo , notamos que la suma de conductancias es , el negativo del nodo de conexión de conductancia al nodo es , y la corriente neta de fuente que entra al nodo es . Por consiguiente, la primera ecuación de nodo es (8) De manera similar, en los nodos
y
, obtenemos
(9a) (9b) Podemos resolver (8) y (9) para los voltajes de nodo utilizando cualquiera de una variedad de métodos para resolver ecuaciones simultaneas. Tres de estos métodos son la inversión de matrices, la regla de Cramer y la eliminación Gaussiana. Seleccionando la regla de Cramer, primero obténgase el determinante de la matriz coeficiente, dada por
50
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
(10)
Para determinar , se sustituye la primera columna de la matriz coeficiente por el vector de constantes en el lado derecho de (8)-(9), calcúlese su determinante, y divídase por el determinante de la matriz coeficiente que ya se obtuvo.
, se obtiene remplazando la segunda, y , remplazando la tercera columna de la matriz coeficiente y calculando como se hizo anteriormente, obteniéndose y . Ahora que hemos descompuesto el circuito obteniendo los voltajes de nodo, podemos obtener fácilmente cualquier otro voltaje o corriente. Por ejemplo, si deseamos obtener la corriente en el elemento , esto está dado por
Nótese que la matriz coeficiente que aparece en (10) es simétrica. Esto proviene del hecho de que la conductancia entre los nodos y , es la misma que hay entre los nodos e . La simetría simplifica aún más la escritura de las ecuaciones de nodo. En tanto que la simetría sea cierta como regla general para todos los circuitos que no contienen fuentes dependientes, la simetría de la matriz coeficiente no puede considerarse como dada en ese caso, como lo veremos en el ejemplo siguiente. Ejercicio 6.10
Considérese el circuito de la figura 6.11, que contiene fuentes de corriente dependientes. Comenzaremos escribiendo las ecuaciones de nodo exactamente como si las fuentes fueran independientes.
51
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
+ v -
v1
v2
5A
2v
i
Figura 6.11 Circuito del ejercicio 6.10
Solución
En el nodo 1,
Y en el nodo 2,
Luego expresamos las variables de control para las fuentes dependientes ecuaciones, en términos de los voltajes del nodo.
y
en estas
Por la ley de Ohm,
Y por inspección
Sustituyendo las últimas dos ecuaciones en las dos previas,
Estas dos ecuaciones con dos incógnitas pueden ser resueltas por la regla de Cramer, la inversión de matrices o la eliminación de Gauss, como se desee. Seleccionando la inversión de matrices, primero la reescribimos como
52
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
El determinante de la matriz coeficiente es
y la inversa es
Luego
A partir de este ejemplo vemos que la presencia de fuentes dependientes destruye la simetría de la matriz coeficiente y que en tales circuitos los elementos de esta matriz ya no pueden ser interpretados simplemente como sumas de conductancias, puesto que también contribuyen las fuentes dependientes. Por otra parte, la presencia de fuentes dependientes no complica significativamente el análisis nodal, requiriendo solamente un paso adicional de sustitución, reemplazando variables de control por voltajes de nodo.
53
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
7. Superposición Ejercicio 7.1
En el circuito de la figura 7.1a, utilice la superposición para escribir una expresión para la corriente de rama desconocida .
Figura 7.1 a)
Circuito con dos fuentes independientes para las cuales se desea la corriente de rama ; b) el mismo circuito con la fuente de corriente en circuito abierto; c) el circuito original con la fuente de tensión en cortocircuito
Solución
Primero igualamos a cero la fuente de corriente y volvemos a dibujar el circuito, como se ilustra en la figura 7.1b. La parte de debida a la fuente de tensión se ha denominado para evitar confusiones; además, se calcula sin ninguna dificultad su valor, que es de . A continuación igualamos a cero la fuente de tensión de la figura 7.1a y de nuevo dibujamos el circuito, como en la figura 7.1c. La aplicación rutinaria de la división de corriente nos permite determinar que (la parte de debida a la fuente de corriente de ) es igual a: Ahora es factible calcular la corriente completa individuales:
como la suma de las dos componentes
Otra manera de examinar este ejemplo es que la fuente de y la fuente de se encuentran cada una efectuando un trabajo sobre el circuito, originado una corriente total que fluye por el resistor de . Sin embargo, la contribución de la fuente de a no depende de la 54
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
contribución de la fuente de , y viceversa. Por ejemplo, si duplicamos la salida de la fuente de hasta , contribuirá ahora con a la corriente total que fluye por el resistor de . Sin embargo, la fuente de seguirá contribuyendo con sólo a , para una nueva corriente total de:
Ejercicio 7.2
Consultando el circuito de la figura 7.2a, determine la corriente positiva máxima a la cual la fuente puede ajustarse, antes de que cualquier resistor supere su valor nominal de potencia y se sobrecaliente.
Figura 5.5
Figura 7.2 a) Circuito con dos resistores con valor
nominal de 1 b) Circuito con solamente la fuente de 6V activa, c) Circuito con la fuente activa
Solución
Cada resistor se especifica hasta un máximo de . Si el circuito permite que se exceda este valor (al forzar demasiada corriente a través de cualquier resistor), ocurrirá un calentamiento excesivo, lo que quizás provoque un accidente. La fuente de no puede cambiarse, por lo que estamos buscando una ecuación que incluya a y a la corriente máxima a través de cada resistor. Con base en su valor nominal de potencia de , la corriente máxima que el resistor de tolera es:
y, de modo similar, la corriente que circula por el resistor de que . 55
debe ser menor
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Se aplica el análisis nodal o el de malla para la solución de este problema, aunque la superposición quizá nos dé una visión un poco diferente puesto que estamos interesados principalmente en el efecto de la fuente de corriente. Mediante la superposición, se vuelve a dibujar el circuito como en la figura 7.2b y encontramos que la fuente de aporta una corriente de:
al resistor de
y puesto que el resistor de
está en serie,
Por lo tanto, la fuente de que actúa sola no origina ningún problema de sobrecalentamiento en cualquiera de los resistores. Reconociendo al divisor de corriente de la figura 7.2c, observamos que , pero tiene una dirección opuesta a . En consecuencia, seguridad hasta A la corriente del resistor de
, y hasta
a la corriente del resistor de
.
El resistor de
impone la siguiente restricción sobre :
y el resistor de
requiere que:
Si se considera primero el resistor de El resistor de
, vemos que
, limita a , de manera que:
56
está limitada a:
se sumará a contribuye con
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Para satisfacer ambas restricciones, debe ser menor que . Si se incrementa el valor, el resistor de se sobrecalentará mucho antes de que lo haga el resistor de . Una manera en particular útil para evaluar nuestra solución consiste en efectuar un análisis de barrido de cd en PSpice, como se describe en el ejemplo siguiente. Sin embargo, una cuestión interesante es si habríamos esperado que el resistor de 64 se sobrecalentara primero. Originalmente encontramos que el resistor de tiene una corriente máxima más pequeña, por lo que podría ser razonable esperar que limitara a . Sin embargo, debido a que se opone a la corriente enviada por la fuente de a través del resistor de , pero se suma a la contribución de la fuente de a la corriente que circula por el resistor de , resulta que trabaja de otra forma: es el resistor de el que fija el límite sobre . Ejercicio 7.3
En el circuito de la figura 7.3a, utilice el principio de la superposición para determinar el valor de .
Figura 7.3 a) Ejemplo de circuito con dos
corriente de rama
fuentes independientes y una dependiente, para la que se desea la , b) Circuito con la fuente de 3A en circuito abierto, c) Circuito original con la fuente de 10V en cortocircuito
57
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Solución
Ponemos primero en circuito abierto la fuente de
(Figura 7.3b). La ecuación de una malla es:
por lo que: A continuación, ponemos en cortocircuito la fuente de ecuación de un nodo:
(Figura 7.3c) y escribimos la
y relacionamos la cantidad controladora de la fuente dependiente para :
Encontramos:
y, por lo tanto: Observe que al volver a dibujar cada subcircuito, siempre hemos tenido cuidado de usar algún tipo de notación para indicar que no estamos trabajando con las variables originales. Esto evita la aparición de errores bastante desastrosos cuando sumamos los resultados individuales. Ejercicio 7.4
Emplee el principio de superposición para calcular 7.4.
para el circuito que se muestra en la figura
Figura 7.4 Circuito del ejercicio 7.4
58
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 7.5 El circuito que se muestra en la figura 7.4 con la fuente de 5A desactivada
Figura 7.6 El circuito que se muestra en la figura 7.4 con la fuente de 10v desactivada
Solución
Empezamos encontrando el componente de que resulta de la fuente de . La figura 7.5 muestra el circuito. Con la fuente de desactivada, debe ser igual a . Por lo tanto, debe ser cero, la rama que contiene las dos fuentes dependientes está abierta, y
Cuando la fuente de se desactiva, el circuito se reduce al que se señala en la figura 7.6. Hemos añadido un nodo de referencia y las designaciones de los nodos , , y para apoyar la discusión, sumando las corrientes que salen del nodo se obtiene O
59
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Sumando las corrientes que salen del nodo , tenemos
O
Ahora usamos
Para calcular el valor para
. Por lo tanto, O
De la ecuación del nodo , O
El valor de
es la suma de
y
o
.
Ejercicio 7.5
Vg1
ia1
Figura 7.7a
Circuito del ejercicio 7.5: componente a
60
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
ib1
Figura 7.7b
ig2
Circuito del ejercicio 7.5: componente b
Solución
Primero eliminamos las fuentes de corriente, lo que origina el circuito modificado de la figura 7.7a, y determinamos e . Este es el problema de la componente y e son los componentes de las respuestas e debidas a la fuente . Este es un circuito de una sola vuelta, y
Pero luego eliminamos la fuente de voltaje, lo cual provoca el problema de la componente aparece en la figura 7.7b. Por división de corrientes,
que
Por el principio de superposición, cada respuesta es la suma de las componentes de las respuestas, o
Ciertamente, estos resultados concuerdan con los cálculos anteriores.
61
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 7.6
b
a
c
18V
2A
d
Figura 7.8 Circuito
b,d
a
del ejercicio 7.6
+ va c
a,c vb +
b 18V
(b)
vc +
2A
(c)
d
Figura 7.9 (a) Componente a; (b) Componente b; (c)
62
Componente c
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Solución
Obtengamos el voltaje en el circuito con tres fuentes independientes que aparece en la figura 7.8. Utilizando la superposición, obtendremos los componentes de provenientes separadamente de cada fuente, refiriéndonos a la fuente como fuente a, a la fuente como fuente b y a la fuente como fuente c. En la figura 7.9a, aparece el problema de la componente a, en donde se han eliminado las fuentes b y c. eliminando la fuente une a los nodos b y d para formar un solo nodo. Se ha dibujado el circuito para mostrar esto. El equivalente paralelo de las resistencias y es , y puede obtenerse mediante una división de voltajes:
En la figura 7.9b se muestra el problema de la componente b. eliminando la fuente ha hecho que se unan los nodos y tal y como aparece en la figura. Nuevamente, luego de sustituir las resistencias y , por su equivalente paralelo , puede obtenerse por emisión de voltajes.
El problema de la componente c (figura 7.9c), tiene tres resistencias en paralelo.
Por superposición, el valor de es la suma de sus componentes:
Nótese que hemos resuelto un conjunto de problemas de circuitos simples en lugar de un problema original que, de no ser por la superposición, habría requerido ecuaciones simultáneas.
63
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 7.7
+ v -
6A
2i1
Figura 7.10 Circuito
del ejercicio 7.7 ib1
+ va -
+ vb -
6A
2ia1
2ib1
(a)
(b)
Figura 7.11 (a) Componente a; (b) Componente b Solución
Este ejercicio ilustra el uso adecuado de la superposición cuando debe calcularse la potencia, y también su uso cuando existe en el circuito una fuente dependiente. Deseamos obtener el voltaje y la potencia disipada por la resistencia , en el circuito 7.10. Para obtener , utilizaremos la superposición. Únicamente las fuentes independientes generan componentes, por lo que las descompondremos en dos problemas de componentes y , como aparece en la figura 7.11. Para la componente , eliminaremos la fuente de corriente. La figura 7.11a es un circuito de una sola vuelta con la ecuación LVK
64
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
En el problema de la componente b, eliminando la fuente de voltaje, LCK en el nodo superior produce una corriente hacia abajo a través de la rama media de . Por consiguiente, LVK alrededor de la vuelta izquierda es
,y
Luego, por superposición de voltajes componentes,
También necesitamos la potencia que pasa a través de la resistencia de conocemos su voltaje ,
. Puesto que
Nótese que obtuvimos por superposición, y utilizamos el voltaje total después de la superposición de componentes de voltaje para calcular la potencia. De haber calculado la potencia que pasa por la resistencia en los problemas de componentes separadamente, y hubiéramos tratado de superponerlos, esto nos habría dado un resultado distinto y erróneo, puesto que la suma de las potencias componentes
, no es la misma que la potencia debida a la
suma de las componentes . Aun en circuitos lineales, la potencia no se superpone, y esto ocurre únicamente con el voltaje y la corriente.
65
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
8. Teoremas de Thevenin y Norton Ejercicio 8.1
Encuentre el circuito equivalente de Thevenin en el circuito mostrado en la figura 8.1, a la izquierda de las terminales Después, encuentre la corriente a través de .
32V
RL
2A
b
Figura 8.1 Circuito
del ejercicio 8.1
Solución
Encontramos apagando la fuente de tensión de (reemplazándola con un corto circuito) y la fuente de corriente de (sustituyéndola por un circuito abierto). El circuito se convierte en que se muestra en la figura 8.2 Así,
Figura 8.2 a)
Circuito del ejercicio 8.1
66
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
i1 32V
i2
3A
VTH b
Figura 8.2 b) Circuito
del ejercicio 8.1
Para encontrar , considere el circuito de la figura 8.2 dos lazos, obtenemos
Resolviendo para
Aplicando el análisis de malla a los
obtenemos
Alternativamente, es aun más fácil usar el análisis nodal. Ignoramos la resistencia de que ninguna corriente fluye a través de ella. En el nodo superior, la LCK da
puesto
O
Como se obtuvo antes. También podríamos usar la transferencia de fuente para encontrar El circuito equivalente de Thevenin se muestra en la figura 8.3. La corriente a través de
Cuando
Cuando
Cuando 67
es
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 8.3 Circuito
equivalente de Thevenin para el ejercicio 8.1
Ejercicio 8.2
Encuentre el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 8.4.
Figura 8.4 Circuito
del ejercicio 8.2
Solución
Este circuito contiene una fuente dependiente, a diferencia del circuito del ejercicio anterior. Para encontrar igualamos la fuente independiente a cero, pero dejamos la fuente dependiente sola. Debido a la presencia de la fuente dependiente, sin embargo, excitamos la red con una fuente de tensión conectada a las terminales como se indica en la figura 8.5 Podríamos hacer que para facilitar el cálculo, puesto que el circuito es lineal. Nuestra meta es encontrar la corriente a través de las terminales, y después obtener (Alternativamente, insertaríamos una fuente de corriente de calcular la tensión correspondiente y obtener
68
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 8.5 a)
Circuito del ejercicio 8.2
2V i3
a
3A
i1
+ Vx -
i2
Voc
b
Figura 8.5 b) Circuito
del ejercicio 8.2
Al aplicar el análisis de malla al lazo 1 en el circuito de la figura 8.5
Pero
por consiguiente,
Para los lazos 2 y 3, al aplicar LVK se obtiene
La resolución de estas ecuaciones da
69
resulta en
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Pero
Por lo tanto,
Para obtener encontramos malla, obtenemos
en el circuito de la figura 8.5
Aplicando el análisis de
O
Pero
La solución de estas ecuaciones lleva a
Así,
El equivalente de Thevenin es el que se muestra en la figura 8.6. Voc
20V
b
Figura 8.6 Circuito
equivalente de Thevenin para el ejercicio 8.2
Ejercicio 8.3
Determine el equivalente de Thevenin para el circuito de la figura 8.7
Figura 8.7 a)
Circuito del ejercicio 8.3
70
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 8.7 b) Circuito
del ejercicio 8.3
Solución
Puesto que el circuito de la figura 8.7 no tiene ninguna fuente independiente, para encontrar es mejor aplicar una fuente de corriente , en las terminales como se muestra en la figura 8.7 . La aplicación del análisis nodal da
Pero,
Por tanto
Así,
El valor negativo de la resistencia nos dice que, según la convención de la señal pasiva, el circuito en la figura 8.7 está proporcionando potencia. Por supuesto, las resistencias en la figura 8.7 no pueden proporcionar potencia (absorben potencia); es la fuente dependiente la que proporciona la potencia. Este es un ejemplo de cómo pudiera usarse una fuente dependiente y resistencias para simular la resistencia negativa. Ejercicio 8.4
Encuentre el circuito equivalente de Norton para el circuito de la figura 8.8.
71
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
2A
12V
b
Figura 8.8 Circuito
del ejercicio 8.4
Solución
Encontramos de la misma manera que calculamos en el circuito equivalente de Thevenin. Iguale las fuentes independientes a cero. Esto propicia el circuito de la figura 8.9 , desde el cual calculamos . Así,
Para encontrar cortocircuitamos las terminales como se muestra en la figura 8.9 Ignoramos la resistencia de porque el corto circuito. Aplicando el análisis de malla, obtenemos
De estas ecuaciones, obtenemos
72
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
b
Figura 8.9 a)
Circuito del ejercicio 8.4
Figura 8.9 b) Circuito
i1
del ejercicio 8.4
i2
2A
VTH=VOC
12V
b
Figura 8.9 c)
Alternativamente, podríamos determinar abierto en las terminales obtenemos
Circuito del ejercicio 8.4
de
obtenemos
como la tensión en un circuito
del circuito de la figura 8.9
Usando el análisis de malla,
73
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Y
Por consiguiente,
Como se obtuvo previamente,
. Así, el circuito equivalente de Norton es el
que se muestra en la figura 8.10.
2A
b
Figura 8.10 Circuito
equivalente de Norton para el ejercicio 8.4
Ejercicio 8.5
Aplicando el teorema de Norton, encuentre terminales .
y
para el circuito de la figura 8.11 en las
Figura 8.11 Circuito
74
del ejercicio 8.5
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 8.12 a)
Circuito
del ejercicio 8.5
Figura 8.12 b)
Circuito del ejercicio 8.5
Solución
Para encontrar igualamos la fuente de tensión independiente a cero y conectamos una fuente de tensión de (o cualquier tensión no especificada ) a las terminales. Obtenemos el circuito de la figura 8.12 Ignoramos la resistencia de porque está en corto circuito. También debido al corto circuito, la resistencia de , la tensión y la fuente de corriente dependiente están en paralelo. De esta forma, En el nodo y
Para encontrar , ponemos en corto circuito las terminales y encontramos la corriente como se indica en la figura 8.12 Note en esta figura que la resistencia de , la fuente de 75
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
tensión de tanto,
la resistencia de
y la fuente de corriente dependiente están en paralelo. Por lo
En el nodo , LCK da
Así,
Ejercicio 8.6
Calcule el circuito equivalente de Thevenin a la izquierda de las terminales de la figura 8.13.
Figura 8.13 Circuito
en el circuito
del ejercicio 8.6
Figura 8.14 Circuito de Figura 8.13 con las terminales
en corto circuito
Solución
Primero, se necesita determinar el voltaje de circuito abierto . Advirtiendo que la fuente de corriente es común a dos mallas, se crea una supermalla que incluye y se describe una ecuación de la LVK recorriendo la supermalla. Nótese también que la corriente por el resistor de 3 Ohms es cero. La LVK en torno a la periferia es
76
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Por consiguiente, Para determinar la corriente de corto circuito se establece un corto circuito a través de , como se muestra en la figura 8.14. Dado que , la fuente de corriente se hace cero (es decir, se reemplaza por un circuito abierto). Entonces, si se aplica la LVK en la periferia de la supermalla, se tiene
Por tanto, la resistencia de Thevenin es
Ejercicio 8.7
Considérese el circuito 5.5-15, que no tiene fuentes independientes. Se desea determinar su circuito equivalente de Thevenin.
Figura 8.15 Circuito
del ejercicio 8.7
Figura 8.16 Circuito de la figura 8.15 con una fuente de 1 A conectada en las terminales a-b Solución
Para ello, se determinara y en las terminales Puesto que el circuito no tiene fuentes independientes, abiertas. Entonces, . De igual manera, se ve que 77
. cuando las terminales .
están
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Queda por determinar . Dado que e , no se puede calcular partiendo de . Entonces, procede a conectar una fuente de corriente de en las terminales , como se muestra en la figura 8.16. Una vez determinado , la resistencia de Thevenin es
Al plantear la LCK en
y tomando como referencia, se obtiene
Para el resistor de
Y, en consecuencia, se tiene
O
La resistencia de Thevenin es
, o bien
El circuito equivalente de Thevenin se deja de tarea al estudiante.
78
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 8.8
Determine el equivalente de Norton para el circuito de la figura 8.17.
Figura 8.17 Circuito
del ejercicio 8.8
Solución
En vista de que el circuito sólo contiene una fuente independiente, la podemos desactivar y calcular R N por un corto circuito se tiene un resistor de 6 k k consecuencia
Para determinar se ponen en corto las terminales de salida, estando activada la fuente de voltaje como se ve en la figura 8.18.
Figura 8.18 Corto circuito conectado a las terminales de salida de la Figura 8.178
Al plantear la LCK en el nodo a se obtiene
o sea Así que el equivalente de Norton tiene
e
Ejercicio 8.9
Determine el circuito equivalente de Norton al de la figura 8.19. 79
.
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 8.19 Circuito
del ejercicio 8.9
Solución
Primero, se determina la corriente
Figura 8.20
para el estado de corto circuito de la figura 8.20.
Corto circuito conectado a las terminales a-b del circuito de la figura 8.19. Las resistencias en ohms
Al aplicar LCK en a, se obtiene
Nótese que no pasa corriente alguna por el resistor de 12 corto circuito. Además, debido al corto circuito, la fuente de 24 V hace que aparezcan 24 V a través del resistor de 4
Ahora se determina la resistencia equivalente circuitos como se muestra en la figura 8.21.
, desactivando las fuentes de los
80
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Circuito de la figura 8.20 con sus fuentes desactivadas. La fuente de voltaje se convierte en un corto circuito y la fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto. Resistencias en ohms
Figura 8.21
Obviamente, figura 8.22.
ohms. Así, se obtiene el circuito equivalente de Norton que aparece en la
Figura 8.22
Circuito Equivalente de Norton
Ejercicio 8.10
Determine el equivalente de Norton a la izquierda de las terminales a-b en el circuito de la figura 8.23.
Figura 8.23
El circuito del ejercicio 8.10. Las resistencias en ohms
Solución
Primero hace falta determinar la corriente de corto circuito, Para ello se usa la figura 8.24. Nótese que cuando las terminales están en corto circuito.
81
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 8.24 Circuito de la figura 8.23 con un corto circuito en las terminales a-b. Las resistencias en ohms
Entonces
por tanto, para la parte derecha del circuito
Ahora, para obtener se necesita que de la figura 8.23, donde es la corriente en la primera malla (izquierda). Si se escribe la ecuación de la corriente de malla se tiene
Además, en la malla derecha del circuito de la figura 8.23 se ve que
Por tanto Al sustituir en la ecuación de la primera malla
Por consiguiente, y El circuito equivalente de Norton se muestra en la figura 8.25.
Figura 8.25
Circuito Equivalente de Norton 82
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
9. Circuitos RL, RC y RLC Ejercicio 9-1
En la figura 9.1, sea
. Halle
e
para
Figura 9.1 Circuito del ejercicio 9.1
Figura 9.2 Circuito equivalente de la Figura 9.1 Solución
Primero se debe hacer el circuito de la figura 9.1 se ajuste a un circuito estándar (Figura 9.2). Se encuentra la resistencia equivalente o resistencia de Thevenin en las terminales del capacitor. El objetivo es siempre obtener primero la tensión del capacitor . Con base en ella se puede determinar e . Los resistores de y enserie pueden combinarse para producir un resistor de . Este resistor de en paralelo con el resistor de puede combinarse para que la resistencia equivalente sea
Así, el circuito equivalente es el que presenta en la figura 9.2. La constante de tiempo es
Por lo tanto
83
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Con base en la figura 9.1, se puede aplicar el divisor de tensión para obtener
; así,
Por último,
Ejercicio 9-2
El interruptor del circuito de la figura 9.3 ha estado cerrado mucho tiempo, y se abre en Halle para . Calcule la energía inicial almacenada en el capacitor.
Figura 7.8
Figura 9.3 Circuito del ejercicio 9.2
Figura 9.4 a) t0
84
.
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Solución
Para , el interruptor está cerrado; el capacitor es un circuito abierto para cd, como se representa en la figura 9.4a). Al aplicar la división de tensión,
Como la tensión a lo largo de un capacitor no puede cambiar instantáneamente, está a sea
,o
Para , el interruptor esta abierto, y se tiene el circuito que se muestra en la figura 9.4b). (Nótese que el circuito de esta ultima figura es sin fuente; la fuente independiente de la figura 9.3 es necesario para proporcionar o la energía inicial en el capacitor.) Los resistores en serie de y dan por resultado
La constante de tiempo es
Así, la tensión a lo largo del capacitor para
es
O sea
La energía almacenada en el capacitor es
Ejercicio 9-3
Encuentre las expresiones matemáticas para el comportamiento de los transitorios de para el circuito de la figura 9.5 cuando el interruptor se mueve a la posición 1. Grafique las curvas .
85
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 9.5 Circuito del ejercicio 9.3 Solucion
a.
Mediante la ecuación,
Mediante la ecuación,
Mediante la ecuación,
86
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Las curvas aparecen en la figura 9.6
Figura 9.6 Curvas
Ejercicio 9-4
El interruptor del circuito de la figura 9.7 ha estado cerrado mucho tiempo, en interruptor se abre. Calcule para
, el
Figura 9.7 Circuito del ejercicio 9.4 Solución
Cuando , el interruptor está cerrado y el inductor actúa como corto circuito para la cd. El resistor de se pone en cortocircuito; el circuito resultante se presenta en la figura 9.8a). Para obtener en esta última figura, se combina los resistores de y en paralelo para obtener
Así, 87
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Se obtiene
de
en la figura 9.8a) aplicando la división de corriente y se escribe
Dado que la corriente a través del inductor no puede cambiar instantáneamente,
Cuando , el interruptor está abierto y la fuente de tensión se desconecta. Ahora se tiene el circuito RL sin fuente de la figura 9.8b). Al combinar los resistores se tiene
La constante de tiempo es
En consecuencia
Figura 9.8 a) t0
Ejercicio 9-5
Para el circuito de la figura 9.9a, calcule la corriente a través del inductor de
88
en
.
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Figura 9.9 a) Circuito RL simple cuyo interruptor se conmuta en
t=0, b) El circuito antes de t=0, c) El circuito después de conmutado el interruptor y se eliminó una fuente de 24V
Solución
El diagrama de la figura 9.9a representa en realidad dos circuitos diferentes: uno con el interruptor cerrado y otro con el interruptor abierto. Para efectuar nuestro análisis, se necesita dibujar los dos circuitos, como se muestra en la figura 9.9b y c. Se pide determinar la corriente , como se marca en la figura 8.2c, en . Siempre que volvamos a dibujar un circuito, vale la pena verificar que lo hicimos en forma correcta. Tenemos los valores de los elementos y la corriente marcados de manera apropiada en cada circuito. Supongamos que el circuito de la figura 9.9b se conectó de este modo durante mucho tiempo, de manera que cualquier transitorio que resulta de la activación de la fuente de se desvaneció desde hace mucho. Puesto que se nos pide la corriente del inductor en , combinamos los dos resistores en uno de . Se podría considerar cualquiera de los métodos descritos en esta sección. Con el circuito de la figura 9.9c reducido a un circuito simple con y , esperamos una corriente de inductor de la forma:
Si bien tenemos valores para y y además sabemos que debemos resolver en , no tenemos un valor para , la corriente que pasa por el inductor en . Puesto que la corriente del inductor no puede cambiar en forma instantánea, debe tener el 89
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
mismo valor que tenía antes, inmediatamente después de que el interruptor se cierra. Así, el circuito de la figura 9.9b se vuelve útil en este caso.
Mediante la ley de Ohm y recordando que un inductor actúa como un cortocircuito de cd, determinamos que:
Sustituyendo nuestro valor para , encontramos que:
En el instante en el que el interruptor se cierra, fluyen por el inductor . Sólo después, la corriente se reduce hasta unos cuantos cientos de miles de mili amperes. ¿Lo anterior es creíble? Por ahora, no tenemos mucha experiencia directa con este tipo de circuito a partir de la cual es posible establecer conclusiones. En la siguiente sección, sin embargo, explicaremos un concepto conocido como la constante de tiempo del circuito. En el circuito de la figura 9.9c, la constante de tiempo es . Como veremos, la respuesta transitoria de un circuito se reduce hasta un de su valor máximo, luego de dos constantes de tiempo ( en el ejemplo presente), por lo que en realidad nuestra respuesta resulta razonable. ¿Debemos esperar el aumento de corriente? No sería posible, ya que el circuito de la figura 9.9c no tiene otra fuente de energía que la pequeña cantidad de energía almacenada en el inductor, la cual se disipa con rapidez en el resistor (y se convierte en calor).
90
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ejercicio 9-6
Determine tanto
como
en el circuito de la figura 9.10a.
Figura 9.10 a) Circuito con resistores e inductores múltiples, b) Después de una resistencia equivalente de 110 e con
t=0, el circuito se simplifica a
Solución
Después de , cuando la fuente de tensión se desconecta como se muestra en la figura 9.10b, calculamos con facilidad una inductancia equivalente:
una resistencia equivalente:
y una constante de tiempo: 91
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
De tal modo, la forma de la respuesta natural es conectada , es ,o ; en consecuencia:
Para
. Con la fuente independiente . En , debe seguir siendo
, es , pero brincará a un nuevo valor determinado por . Mediante la división de corriente se tiene
Por consiguiente:
Ejercicio 9-7
Determinar el valor de v del circuito de la Figura 9.11.
Figura 9.11 Circuito
en paralelo
La primera tarea consiste en determinar la respuesta natural, que también en este caso se lleva a cabo de un modo más conveniente al considerar el circuito sin fuente. Con base en la figura 9.11 como referencia, se escribiría la ecuación nodal simple
92
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Se puede observar que el signo menos es consecuencia de la dirección supuesta de . Se debe resolver la ecuación [1] sujeta a las condiciones iniciales Y Cuando ambos lados de la ecuación [1] se diferencian una vez con respecto al tiempo, el resultado consiste en una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden
Cuya solución
es la respuesta natural deseada.
Hay varias formas interesantes de resolver la ecuación . La mayoría de tales métodos se dejaran para un curso de ecuaciones diferenciales, así que se elige solo el método más rápido y simple para aplicarlo ahora. Se supondrá una solución, confiando en la intuición y modesta experiencia para solucionar una de las varias formas posibles que resultan adecuadas. La experiencia que se tiene con las ecuaciones de primer orden quizás sugiera que al menos se deba aprobar una vez más la forma exponencial. Así, se supondrá que
Que es la forma más general posible y que permite que y sean números complejos, en caso de ser necesario. Al sustituir la ecuación en la ecuación se obtiene
O
Para que se satisfaga esta ecuación todo el tiempo, al menos uno de los tres factores debe ser cero. Si cualquiera de los primeros dos factores se iguala a cero, entonces . Esta es una solución trivial de la ecuación diferencial que no puede satisfacer las condiciones iniciales dadas. Por lo tanto, se iguala a cero el factor restante:
Si es posible satisfacerla, entonces es correcta la solución supuesto. Puesto que la ecuación cuadrática y hay dos soluciones identificadas como :
93
es
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Y
Si cualquiera de estos dos valores se usa para en la la solución supuesta, entonces la solución satisface la ecuación diferencial dada; de tal modo esta se convierte en una solución válida de la ecuación diferencial. Suponga que se sustituya por
en la ecuación
, con lo cual se obtiene
Y de manera similar, La primera satisface la ecuación diferencial
Y la última satisface
Si se suman estas dos ecuaciones diferenciales y se combinan términos semejantes, se obtiene
Prevalece la linealidad y se observa que la suma de ambas soluciones también es una solución. De este modo, la forma de respuesta natural es
Dondee y es Dond está tánn da dada dass po porr la lass ec ecua uaci cion ones es [7 [7]] y [8 [8]; ]; y so sonn do doss co cons nsta tant ntes es ar arbi bitr trar aria iass qu quee se deben seleccionar para satisfacer las dos condiciones iniciales especificadas.
Y de inmediato se escribiría la forma general de la respuesta natural:
94
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Solo rest restaa la eva evaluac luación ión de las con consta stante ntess y . Si se cono conocie ciera ra la resp respuest uestaa en dos valores diferentes del tiempo, tales valores podrían sustituirse en la ecuación [10], de tal modo que y se de deter termi mina naría ríann sin ni ningú ngúnn pro probl blem ema. a. Sin em emba bargo rgo,, se co conoc nocee sol soloo un val valor or instantáneo de ,
Y, por lo tanto,
Se puede obtener una segunda ecuación que relaciona si se toma la derivada de con respecto al tiempo en la ecuación [10], se determina el valor inicial de la derivada mediante el uso de la condición inicial restante y se igualan los resultados. De esta forma, al derivar ambos lados de la ecuación [10] se tiene
Y al evaluar la derivada en
,
Se obtiene una segunda ecuación. Si bien esta forma parece ser útil, no se tiene un valor numérico del valor de la derivada, por lo que no se dispone todavía de dos ecuaciones con dos incógnitas… ¿O sí? La expresión sugiere una corriente de capacitor, puesto que
La ley de Kirchhoff de corriente debe cumplirse en cualquier instante de tiempo, ya que se fundamenta en la conservación de electrones. De tal modo, se podría escribir
Al sustituir nuestra expresión para la corriente del capacitor y al dividir entre , se tiene
Puesto que la tensión inicial es cero en la resistencia requiere de una corriente inicial cero a través de ella. En consecuencia, se tiene la segunda ecuación,
95
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Y la solución simultánea de las ecuaciones [11] y [12] proporciona dos amplitudes . Por lo tanto, la solución numérica final de la respuesta natural de este circuito es
96
y
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