Cuaderno de Ejercicios de Calculo Diferencial 2017
December 6, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
UNIVERSIDAD DEL GOLFO DE MEXICO Plantel “ AV.
2 DE ENERO”
MATERIA : Matemáticas V Núcleo de formación: Matemáticas
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas
DOCENTE IVAN RIVERA PEREZ .
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial INDICE Presentación………………………………………………………………………………………………4 Tema No.1. Límite de una función. ……………………………………………………………… 6 Ejercicios……………………………………………………………………………… 7 Tema No. 2. Límites trigonométricos……………………………………………………..………8 Ejercicios…………………………………………………………………………………9 Tema No. 3. Continuidad de una función………………………………………………………10 Ejercicios……………………………………………………………………………… .11 Tema No. 4 Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales……….12 Ejercicios………………………………………………………………………………..13 Tema No. 5. Incrementos…………………………………………………………………………….14 Ejercicios………………………………………………………………………………..14 Tema No. 6. La derivada de una función……………………………………………………….15 Ejercicios………………………………………………………………………………..16 Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas………………………………………17 Ejercicios………………………………………………………………………………..18 Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas directas………………………20 Ejercicios…………………………………………………………………………………21 Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas inversas……………………..22 Ejercicios…………………………………………………………………………………23 Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas…………………………………… ..24 Ejercicios…………………………………………………………………………………25 Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales……………………………………26 Ejercicios………………………………………………………………………………….27 M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Tema No.12. Derivación logarítmica………………………………………………………………28 Ejercicios………………………………………………………………………………...29 Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función………………………………………….30 Ejercicios…………………………………………………………………………………31 Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas…………………………………………….32 Ejercicios…………………………………………………………………………………33 Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva………………….34 Ejercicios…………………………………………………………………………………35 Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función……………………………………………36 Ejercicios………………………………………………………………………………..38 Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos ………………………..39 Ejercicios………………………………………………………………………………..40
GLOSARIO………………………………………………………………………………………………….42
BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………45
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial PRESENTACION El presente presente Cuad Cuaderno erno de ejercicios de Cálcu Cálculo lo D Diferencial iferencial pretende apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar. El alumno alumno al hacer uso frecuent frecuentee de este cuaderno de ejercici ejercicios os encuentra un apoyo académico, yyaa que los ejemplos presentados le permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas. Así, los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más completo. El cuaderno contiene ejemplos de funciones, límites, derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos. De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de Formación de Matemáticas, por lo que este cuaderno de ejercicios se entrega a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría.
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias, lo cual es el propósito del programa pr ograma de esta asignatura.
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Tema No. 1. Límite de una u na función.
lim (() =
Definición de función: Decir que significa que cuando x → está cerca, pero difiere de c , f(x) está cerca de L.
Ejemplo: Encuentre el
−− lim → −
Solución. Note que ( no está definido para x=3, pero todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra para simplificar el problema.
6)/( 3)
2) 6 ( 3)( 2 → lim 3 = → lim( 2) 2) = 3 2 = 5 lim 3 = → La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo tanto, no se ha dividido entre cero.
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Ejercicios: Encontrar los siguientes límites: 1.
lim(2 (2 8) 8) →
2.
lim 1 →
3.
3 1) ( lim →−
4.
√+ lim → −
+− 5. lim − →
6.
5 lim √ → 5 7
7.
−√ √ − lim → −
8.
−√ + + lim → −
Respuesta: -2
Respuesta: 11
Respuesta: 5
Respuesta: -1/3
Calcule el límite por la derecha de la siguiente función:
(() = 2 3
Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales: M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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|| lim →−
Respuesta: -1 Tema No. 2. Límites trigonométricos.
El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los teoremas correspondientes, en los ccuales uales se cconsidera onsidera que u=f(x) Ejemplo: Hallar el valor del límite
(− −)) (−) lim − →
En este tipo de límites formados por una parte algebraica y una parte trigonométrica, se considera para la trigonométrica que si entonces así que al apli aplicar car el teorema del límit límitee de un producto de dos funciones, se tiene:
2 2 → 0,0,
→2
(− −)) (−) − .lim co lim = lim s( 2) − → → − → cos( En la parte algebraica, el límite del cociente resulta la indeterminación cero entre cero, por lo que la expresión primero se simplifica y después se obtiene el valor del límite. En la parte trigonométrica, el límite es de la forma donde u=x-2, entonces
lim cos = 1, →
3( 2) 3( 2) . lim co = lim s( 2) → 2 −→ cos( = lim lim cos cos(( 2) → 3 −→
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial = (3) (1) =3
Ejercicios: Calcular el valor de los lo s siguientes límites. 1. →
lim 5 2. lim 6 cos ( 1) → cos( 3.
− lim →
Respuesta: 0
Respuesta: -1
(−) 4. → −+
lim
5.
(−) lim → +
6.
− lim −+)) (−) → ( −+
7.
++ lim +)) (+) →− (+
8.
lim 5cos2 →
( (− −)) (−) (−) → (−) 9. lim M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Respuesta: 5
Respuesta: -1
Respuesta: Página 9
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10.
lim →
Respuesta: 0
Tema No. 3. Continuidad de una función.
Existen tres tipos de discontinuidad de una función, los cuales son: discontinuidad evitable o restringible, discontinuidad infinita o asintótica y discontinuidad de salto.
− en x= -2, Ejemplo: Analizar la continuidad de la función + en caso de que la función sea discontinua, indique a qué tipo de discontinuidad corresponde.
( () =
Analizando la condición de continuidad continuidad − (−) a) (2) = −+ = No está definido en los números reales. − (+))(−) = lim ( 2) = 4 b) lim + = lim + →− →− + →−
Existe en los números reales.
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial − ( ) (2 2) ≠ →− lim +
Por lo tanto No se cumple la condición de continuidad, se presenta una discontinuidad evitable o restringible.
Ejercicios: Analizar si las funciones siguientes son con continuas tinuas o no en 2; si no lo es, explique por qué.
() = 4 2 12 2. () = − 1.
( ) 3. = −
Respuesta: no, porque g (2) no existe.
4.
() = √ 1
5.
ℎ() = √ 3
Respuesta: no, porque h (2) no existe.
6.
ℎ() = | = |33− 5 | 7. () = −
8.
Respuesta: si
Respuesta: no, porque g (2) no existe.
() = − −
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Tema No. 4. Puntos de discontinuidad di scontinuidad en funciones algebraicas racionales.
Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica algebraica racional se resuelve la ecuación obteni obtenida da al igualar igualar con cero el denominador. Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función
2 ( ) = 3
Igualando con cero el denominador:
3 = 0 ( 3) = 0 = 0 = 3
Resolviendo por factorización:
Por lo tanto, tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=3. Calculando el límite de la función en estos dos puntos a) Para x=0 M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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= lim =lim =- lim → − → (−) → − La función f(x) presenta un unaa discontinuidad evitable en el punto (0,-2/3)
Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta.
() = − −
1.
Respuesta: Disc. evitable x=2
(() = −
2.
3.
() = + −+
4.
(() =
5.
+ () = + −
Respuesta: Disc. infinita x=1 y x=3
Resp: Disc., infinita x=-6, x=0, x=1
() = − −
6.
7.
(() = +
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Respuesta: Continua Página 13
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Tema No. 5. Incrementos.
Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final con el valor inicial y se denota por , eso es:
∆() ∆( ∆(() = ( ) ( ) ∆ Ejemplo: Dada la función () = 4 3, obtenga el incremento de la función.
El incremento de la función se obtiene con:
∆() = ( ∆) () (( ()( = ∆ )4 = (3 ∆) ∆) 4( ∆) 3 = 2∆ 2∆ (∆) 4 4∆ 3
Como Entonces
Al efectuar la diferencia se obtiene el incremento de la función, esto es
∆(() = = ( ( 2 ∆ 2∆ ∆ (∆ ∆)) 4 4∆ 3) ( 4 3) = (2 (2 ∆ ∆ 4)∆ 4)∆ Ejercicios: Determine el incremento de las siguientes funciones M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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() = 2 2 1 2. (() = 3 4 5 1.
(() = 5 7
3.
Tema No. 6. La derivada de una función.
La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Ejemplo: Obtenga la derivada de la función
( () = 3 4 4 5 5
Aplicando la definición de derivada:
Resulta:
( ℎ) () () = lim → ℎ 4( ℎ) 5(3 4 5) 3( 3( ℎ) =→lim ℎ
Elevando el binomio (x+h) al cuadrado y realizando los productos indicados, se tiene:
2ℎ ℎ) 4 4ℎ 5 3 4 ( 4 5 5 3 = → lim ℎ M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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6ℎ 3ℎ 4 4ℎ 5 3 4 5 3 = → lim ℎ Simplificando
= → lim 6 6ℎℎ 3ℎ 3ℎℎ 4ℎ Realizando la división
= → lim(6 (6 3 3ℎ 44) Finalmente, calculando el límite cuando ℎ → 0 se obtiene la derivada de la función
(() = 6 6 44 Ejercicios: Utilizando la definición, calcule la derivada de las siguientes funciones.
() = 2 () = 3 7 () = 6 4. (() = −√ 2 5. 6. ( ) = 2 3 7. ( ) = 9 3 2 8. (() = − 9. ( () = + 10. (() = 1. 2. 3.
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6 Respuesta: 2 1
Respuesta:
Respuesta:
8−
Respuesta: -3-4x
− Respuesta: (+)
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Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas.
Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definición y que pueden ser consultados en el libro de texto y en el formulario o prontuario de cálculo.
Ejemplo: Calcular la derivada de la función
( () =
Transformando la función a la forma de potencia po tencia
(() = − Aplicando el teorema y simplificando, se tiene la derivada de la función.
(() = 23 (2 −) = 43 − M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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4 = 3
Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones. 1. (() = 3 − Respuesta: 9 − 2. (() = 5+2 6 3. ( ) = − Respuesta: -80 − 4. ( () = 5 2 6 2
(() = 6. () = 4 12 5 8 7. (() = √ 8. () = +- 9. (() = 3 − 2 −
5.
10.
Respuesta:
6−
Respuesta: √
Respuesta:
15 − 6−
(() = 3 3 √ 3
− ( ) Ejemplo: Obtenga la derivada de la función ( =
Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma:
() (() (() ()() [() ()]] = () () M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Aplicando el teorema correspondiente 6 9 6 2) ( ) ( ) 18 3( 3 6 2 3 2 (3) = 9 (3) = = 9 9 = 1
Ejercicios: Calcular la derivada de las siguientes funciones. 1. (() = = ( ( 2)( 1) Respuesta: 5 6 2 2. (() = = ( ( 1)( 1) − 3. ( ) = Respuesta: + (+) 4. (() =
− () = − + 6. (() = − − 7. (() = (1 ) 8. ( ) = (5 3√ ) ) 9. ( ) = = (2 (2 3 1) 10. () = (−)
5.
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Respuesta:(+) Respuesta: 2x-2 Respuesta: (− −+)
Página 19
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Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas directas.
La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o en el prontuario pr ontuario o formulario. Ejemplo: Hallar la derivada de la función
f (x) = tan tan 4x 2 cot cot x sec(2x1)
Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los teoremas correspondientes para obtener la derivada de cada término y simplificando, se tiene:
Df (x) = sec4xD(4x) 2 ccscscxD(x) sec(2x1) tan(2x1)D(2x1) M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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= 12xsec4x 4x csc cscx 2 sec(2x1 2x1)) tan(2x1)
Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientes funciones
(() = (3 1) () = cos cos 2 3. ( ) = tan √ 4. ( ) = sec( sec(1 2 ) 5. ( ) = 5 5 co coss5 6. (() = cot√ cot csc √ √ 7. √ csc 8. ( ) = √ 2 − 9. (() = 10. (() = cos(tan3) cos(tan3) 1. 2.
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Respuesta: 3 cos (3x-1) √ Respuesta: √
Respuesta: 5 cos 5x- 5 sen 5x Repuesta:
Respuesta:
25
3 3 (tan3)
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Tema No. 9. Derivada de las funciones fu nciones trigonométricas inversas.
Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los teoremas correspondientes que pueden consultarse en el texto o en el prontuario o formulario.
() = (4 (4 5) se u= 4-5 , utilizando el teorema = √ − −
Ejemplo: Calcule la derivada de la función Sí
tiene:
() = 1 (41 5) (45) 15 = 1(45 1 (45 )
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Ejercicios: Derive las siguientes funciones:
() = (2 1)
1.
Respuesta:−(−)
(() = cos( 3)
2.
3.
(() = tan( tan(1 ) 4. (() = co cot(t(3 3 1) 5.
(() = sec sec(5 )
6.
(() = cscscc √
7.
(() = cot cot √
8.
(() = √ 2
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Respuesta: +
+(++)
− Respuesta:(− −)) (− −))−
Respuesta:− √
(1)−
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial 9.
(() =
( ) 10. () = ( 3) Respuesta: √ − −
Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas.
Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o en el prontuario o formulario. Ejemplo: Calcule la derivada de la función
log( 1)
Considerando u=
1 , aplicando el teorema
log = log se tiene:
() = 1 1 log (3 2) 2 3 = 1 log Ejemplo: Determine Determine la derivada de la función = ln(6 ln(6 3) M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Considerando tiene
= 6 3, aplicando el teorema ln ln = , se = 6 1 3 (1 (12 2 3) = 612 33
Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones. − 1. ( ) = log ( 4 ) Respuesta: − log
(() = ln(2 )
2.
(() = tan(ln tan(ln )
3.
(() = ln( ln( )) ln(tan3)
4.
5.
() = ln(3)
6.
() =
7.
() = log( 2)
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Respuesta:
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial 8.
() = log(cos( ))
9.
() = cos( cos( ln ln )
10.
(() = √ 1ln3 1 ln3
Respuesta: √ √ + +
Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales.
Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los teoremas correspondientes, los cuales pueden ser consultados en el libro de texto, en formulario o prontuario. Ejemplo: Obtener la derivada de la función Considerando se tiene:
() = 7+
= , aplicando el teorema = ln , (() = 7+ ln ln77 ( )
Calculando la derivada indicada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función
= ( (22 1)7+ lnln77 Ejemplo: Calcular la derivada de la función () = M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Considerando tiene:
= cos cos 2, aplicando el teorema = , se () = co coss 2
Calculando la derivada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función
= 2 2 Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
() = 2− 2. ( ) = 7−
1.
Respuesta: −
2 lnln22
(() = 3
3.
() = 4+
4.
(() = +−
5.
() =
6.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Respuesta:
3
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
Tema No.12. Derivación logarítmica.
Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo de derivadas. Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los logaritmos: a) b) c)
ln = lnln ln ln = lnln ln lnln = ln
Ejemplo: Calcular la derivada de la función
( () =
Igualando la función con y
= M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Aplicando el logaritmo natural
ln = lnln Aplicando la propiedad de los logaritmos
ln = 5 ln
Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad
1 = 5 l lnn ln (5) 55 ln ln = 5 5l5ln n = (5) 1 Despejando = (5 (5 5 lnln)) Sustituyendo = = 5 5 ln ln Ejercicios: Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las siguientes funciones.
Respuesta: (3 (() = (3) 3))(22ln3) 2. ( ) = (3 ) 3. (() = (cos3)+ R:(cos3)+ ((3 6)3 3 3) 4. ( ) = ( 5 )− 5. ( ) = ( )(−) 1.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función.
Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una nueva función, la cual se puede dividir nuevamente. A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la ordinaria. Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función
() = 2 5 8 2 2 La primera derivada de la función es:
(() = 7 12 20 24 2 La segunda derivada
(() = 42 60 60 48 M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial La tercera derivada
() = 210 240 40 120 48 La cuarta derivada La quinta derivada
(() = 840 720 20 120 () = 2520 14 1440 40
Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.
(() = 2 2 2. (() = cos( cos(5 3) 3. ( ) = (3 2) 4. (() = √4 5
1.
R: 240
R.
(() = √ = √ 2 1
(−)
5.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 31
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas.
Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena. El procedimiento para esta derivación se puede consultar en el libro de texto y en el formulario o prontuario. Ejemplo: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la función
3 3 = 7 M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Derivando con respecto a x
)) (7) (3 ) (3)= ( Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos y se debe aplic aplicar ar el tteorema eorema de la derivada de uunn producto.
3
Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x.
6 ´12 6 = ´ Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos
′(6 ) = 12 6 Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.
6 12 12 ′ = 6 Ejercicios: Derive implícitamente con respecto a x las siguientes funciones 1. =
+ ′ R: = −
co coss = 33
2. 3.
= cos
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 33
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial 4.
= 5
Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva.
Una de las aplicaciones de la derivada, que tiene una utilidad inmediata, y que se apoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real continua, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva. Mediante la derivada se obtiene la pendiente y se aplican las ecuaciones de la geometría analítica para rectas Ejemplo: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto de abscisa x=0.
() = 2 3 5 3
La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=0 en la ecuación de la curva.
((0) = 3 M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 34
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Entonces el punto de tangencia es P (0,3). La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la función es:
′() = 6 6 5 El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:
= ′(0) = 5 Aplicando los valores anteriores en la ecuación e cuación de recta conociendo un punto y la pendiente, para obtener la ecuación de la tangente:
3 = 5 5( 0)0) La ecuación de la normal es:
5 3 = 0 3 = 15 ( 0) 5 15 = 0
Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta tangente, esto es:
∝= tan = tan(5) ∝= 101º Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta normal sumando 90° al ángulo de la recta tangente, esto es:
= 101º90º = 191º Ejercicios: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto indicado, graficando en cada caso la curva y ambas rectas en el mismo plano. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
() = 3, = 1
1.
R: 2x-y-4=0, x+2y+3=0
() = 3 6 5, = 1
2.
3. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva , con ángulo de inclinación de 135°.
= 3 10 4. (() = 4 en x=-2
R: 4x-y+8=0, x+4y+2=0
Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función.
La principal utilidad al obtener los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente es para realizar un esbozo general de la gráfica de la función, sin embargo, en problemas de aplicación el objetivo principal es determinar los valores máximos o mínimos que optimicen el problema. Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el procedimiento que marca el libro de texto utilizando el criterio de la primera y segunda derivada.
Ejemplo: Obtenga los puntos máximos y mínimos de la función M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
() = 3 9 3 , así como los intervalos en los cuales es
creciente y decreciente. Derivando la función
′
() = 3 6 9 3 6 9 = 0
Igualando con cero la primera derivada
Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa de los puntos críticos
2 3 = 0 ( 3)()( 1) = 0 x-3=0 x=3
x+1=0 y
x=-1
Calculando la segunda derivada de la función
′′() = 6 6 Valuando la segunda derivada en los puntos críticos. críticos. X ′′ -1 6(-1)-6=-12 3 6(3)-6=12
() = 6 6 6
′′′′() < 0 á á = 1 () > 0 í í = 3
Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de sus ordenadas x -1 3
(() = 3 9 3 (1) 3( 3(1 1)) -9(-1)+3= 8 3(3) 9(3) 3 = 24
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Entonces se tiene un máximo en (-1,8) Entonces ssee tiene un m mínimo ínimo en (3,-24) Página 37
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial A partir de estos datos, se determinan los intervalos donde la función es creciente o decreciente, es importante tener en cuenta que estos mismos intervalos también es posible obtenerlos mediante la primera derivada de la función. La función es creciente en:
∈ (∞,1) y en (3,∞) La función es decreciente en: ∈ (1,3) Se deja al estudiante el trazo de la gráfica.
Ejercicios: Trace la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.
(() = 6 6 1 1
1.
R: D
(∞,3 ∞,3)), ,((3,10 3,10)),(3,∞)
(() = 3 4 2 3. ( ) = 3 8 2.
(() = 2 7 2 5. ( ) = 2 3 R: C(∞,4),á(4,19),(4,∞) 4.
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Tema No. 17. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos. mínimos.
Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento. La aplicación principal de este tipo de problemas se presenta en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos. No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero en el libro de texto se hacen algunas recomendaciones que el estudiante puede consultar. Por problema práctico entendemos un problema que puede surgir en la vida cotidiana. Tales problemas en raras ocasiones tienen puntos singulares; por lo regular en éstos los valores máximos y mínimos se presentan en puntos estacionarios, aunque también deberán comprobarse los puntos frontera. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación , donde h es la altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que
ℎ = 8 13
alcanza su altura máxima y el valor de ésta. En este caso la función objetivo a maximizar es
ℎ = 8 13
Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y resolviendo la ecuación
ℎ′ = 2 2 8
2 8 2 =84= 0 Por lo tanto tanto el punto crít crítico ico se presenta cuando t=4
ℎ′′ = 2 ℎ′′(4) = 2 < 0
La segunda derivada es
entonces en t= 4 la función En el punto crítico presenta un máximo. Sustituyendo t en h se obtiene 4)2 +8(4) +8(4)-13 13 =3, por lloo tant tantoo el proyectil tarda 4 segun segundos dos en
ℎ = (
alcanzar la altura máxima que es de 3 metros.
Ejercicios: 1. Un diseñador gráfico tiene que realizar un trabajo donde tenga 180 cm2 de material impreso, dejando 3 cm de margen superior e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho. Determine las dimensiones quededebe el trabajo paraX 22.43 que secmutilice la menor cantidad papel tener posible. R. 14.95 M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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2. Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de alambre, el terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada sea máxima.
3. Encuentre el volumen de la caja sin tapa más grande que se pueda hacer con una hoja cuadrada de cartón, de 24 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando. R: 1024 pulgadas cubicas. 4. Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación donde h es la altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de esta.
ℎ = 60,
5. Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando 2
de lámina. ¿Qué en dimensiones debe tener 480 el cmvolumen que contenido el sea máximo? R. elr, cilindro h=7.13 para cm
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GLOSARIO. Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición Abscisa. de un punto en el plano. Álgebra Álgebra. . Ciencia que tiene pora principal objeto generalizar las cuestiones relativas los números. Estosimplificar se consiguey utilizando letras para designar los números que se buscan; las reglas operacionales se eligieron para que siguieran el mismo patrón que en aritmética ordinaria con el empleo generalizado del número negativo. Amplitud.. De un intervalo (a, b) Amplitud Aproximación. Evaluación o cálculo empírico con resultado inexacto, Aproximación. pero lo suficientemente cercano al real para considerarse suficiente. Asíntota. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de Asíntota. continuo a una curva, sin llegar a encontrarla nunca. Cálculo Diferencial. Diferencial. Rama de las matemáticas que trata de las unidades de cambio en las cantidades variables. En el cálculo diferencial se consideran solamente los incrementos en las cantidades variables; se antepone a ellas el símbolo “d”, lo que significa un
incremento. Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que Coordenadas. determina la distancia que un punto guarda en relación con los ejes de M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial coordenadas rectilíneas o cartesianas. La x se define como la abscisa y es la distancia ortogonal que dicho punto guarda con el eje de las Y, y la coordenada “y” representa la distancia ortogonal que el punto
guarda con respecto al eje X. Curva. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su Curva. dirección y no contiene ninguna posición de línea recta. Es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto que se traslada con arreglo a una determinada ley; por lo tanto, es una figura geométrica determinada por un sistema de coordenadas y la expresión gráfica de la variación que experimenta una magnitud en función de otra u otras, de cuya definición se desprende que una recta es un caso particular de curva. Derivación. Es la operación con la que se encuentra la derivada de Derivación. una función. Discontinuo.. Magnitud que varía por saltos y no gradualmente. Discontinuo Función, derivada de una. una. Es la tendencia de una función al acercamiento a un valor dado de la variable independiente. Existen varias fórmulas para derivar. Funciones implícitas. implícitas. Son implícitas cuando su dependencia con la variable independiente no se encuentra en forma de ecuación resuelta, como es: implícita de x.
5 2 = 8, 5
en este caso
“y” es una función
Funciones, valores críticos de las. las. Se llaman valores críticos a los valores en los que una función encuentra un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, éstos se localizan derivando la función e igualando a cero. Los valores de
x
que satisfacen a f’(x) se llaman valores
críticos.
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial Límite de una función. función. Es el valor al que tiende el resultado de la operación cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como es decir que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” sea k. Máximo.. Límite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad Máximo variable entre ciertos límites. Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden Trascendentes. representar por expresiones algebraicas, porque intervienen en ellas logaritmos, funciones trigonométricas o ecuaciones en las que el exponente es la variable. Variable dependiente. dependiente. Magnitud que en una relación o función depende del valor que se le asigne a otras variables. Variable independiente. . Magnitud que no depende de otra para obtener suindependiente valor.
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