Cuaderno 13 Metodos de Analisis Sismico II Analisis Sismico Modal

1 Cuaderno del Ingeniero No. 13

Métodos de Análisis Sísmico (II): El Método de Análisis Dinámico Modal

Figura 1. Fundamento del Método de Análisis Dinámico Modal

Introducción La respuesta a las acciones dinámicas de los sistemas elásticos se obtiene mediante el análisis de superposición modal. Como se muestra en la Figura 1, el sistema se hace oscilar armónicamente en ausencia de fuerzas externas para obtener configuraciones geométricas o modos de vibración. A manera de introducción, el presente trabajo muestra los procedimientos de superposición modal con un grado de libertad por nivel, dejando el análisis modal con tres grados de libertad a los programas matriciales. Los valores de las demandas locales y globales de ductilidad, los mecanismos de falla y la identificación de las zonas críticas se obtienen en los sistemas inelásticos mediante los métodos de historia en el tiempo, incluido el análisis estático no lineal de cedencia secuencial (pushover) que rápidamente está evolucionando hacia procedimientos dinámicos. Métodos numéricos para determinar los modos y frecuencias de vibración en sistemas linealmente elásticos El sistema estructural se idealiza como una viga en voladizo, discretizando las masas a nivel de los pisos y la rigidez de los entrepisos como resortes vinculados a las masas. Usualmente se emplea el Método de Stodola para calcular las propiedades del primer modo y el Método de Holzer para el segundo y los restantes modos de vibración. Independientemente del método empleado, el número mínimos de modos de vibración está especificado en las normas de proyectos sismorresistentes.

2 Método de Stodola Es un proceso iterativo en el que inicialmente se supone la configuración de un modo principal y se calculan las fuerzas de inercia y sus correspondientes elásticas, deflexiones o deformadas. Estas deflexiones se emplean para comenzar la siguiente iteración. Cuando la configuración supuesta resulta ser un modo principal, las deflexiones calculadas convergerán a las supuestas inicialmente, y se repetirá el proceso hasta lograr la convergencia. Los pasos a seguir en el Método de Stodola son: 1. Plantear la estructura equivalente con las masas Mi = Pi/g, y las rigideces de entrepiso K. Ver Gutiérrez, 2015. 2. Suponer un conjunto de valores arbitrarios para el modo fundamental i 3. Para cada una de las masas, calcular las fuerzas de inercia, Fi = w2 i Mi 4. La fuerza elásticas en cada resorte es igual a la fuerza total de inercia que actúa sobre cada resorte, es decir, Vi =∑𝑛𝑖 𝐹𝑖 5. La deflexión del resorte se obtiene de la definición hookeana de rigidez de entrepiso, es decir, 𝑖 = Vi /Ki 6. Las deflexiones calculadas corresponde a la suma de las deflexiones de los resortes, partiendo de la masa más cercana al extremo empotrado. 7. Se normalizan estas deflexiones para compararlas con los valores supuestos y decidir sobre la iteración. 8. La frecuencia natural fundamental se encuentra igualando la suma de las deflexiones calculadas con sus correspondientes valores normalizados. 9. Con wi y i se procede a entrar en el espectro normativo y obtener las fuerzas cortantes para el análisis dinámico. Véase un ejemplo numérico en el Anexo 1. Método de Holzer Este método numérico para resolver el problema de los autovalores se fundamenta en suposiciones sucesivas de la frecuencia natural del sistema, cada una de las cuales se hace con base en el cálculo de la configuración regida por la frecuencia anteriormente supuesta. El cálculo de las frecuencias es independiente de las otras. 1. Se supone arbitrariamente un valor de la frecuencia circular w2 2. Se supone arbitrariamente una configuración de la deformada. Por ejemplo =1 en el último nivel 3. Se comienza a llenar el formato (Ver ejemplo en el Anexo 2), y cuando relativo   absoluto supuesto para el nivel adyacente a la fundación, w es el valor de la frecuencia circular w utilizada. En caso contrario debe volver a iterarse con un nuevo valor de w. 4. Se vuelve aplicar el método para un nuevo modo superior. En el Anexo 2 se repite el ejemplo del Anexo 1 calculado con el Método de Holzer, para poder comparar los dos métodos de análisis numéricos.

3 Combinación modal La fuerza cortante en cada nivel y el corte basal se determinarán de los respectivos valores modales. La combinación se llevará a cabo tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor modal (Ver ejemplo del Anexo 3) o por la combinación cuadrática completa. Control de cortante basal y valores para el proyecto sismorresistente Cada norma sismorresistente establece su propio procedimiento mediante el cual se ajustan los valores obtenidos por métodos de análisis dinámicos con los de un análisis estático equivalente, tal como se muestra en el Anexo 4. Con los valores dinámicos ajustados se procede a evaluar los efectos P- que eventualmente pueden incrementar las fuerzas cortantes, los desplazamientos y las derivas. Finalmente se considerarán los efectos torsionales y se añadirán sus efectos a los resultados del análisis anterior. BIBLIOGRAFÍA Arnal Arroyo, H. y Barboza, E (1988). Diseño antisísmico de edificios. Editorial Texto, Caracas, 322 p. Arnal Arroyo, Henrique y Epelboim, Salomón (1994). Manual para el proyecto de estructuras de concreto armado para edificios. Ministerio del Desarrollo Urbano, Caracas, 2da. Edición, 1994, 910 p. Comisión Ad-Hoc (2001). Edificaciones Sismorresistentes. Norma COVENIN 1756:2001. Caracas. Articulado, 86 p., Comentario, 145 p. Gutiérrez, Arnaldo (2015). Métodos de análisis sísmico (I). El método estático equivalente. Suministrado para su publicación en el Cuaderno del Ingeniero del Boletín de la Red Latinoamericana de Construcción en Acero. Gutiérrez, Arnaldo (2014). Análisis sísmico y Análisis de estabilidad. Cuaderno del Ingeniero No. 9, Boletín de la Red Latinoamericana de Construcción en Acero No. 68, Septiembre. Loges, Sigfrido (2009). Modelado de estructuras. Análisis y realidad. Seminario Técnico SIDETUR, Caracas, 26 de noviembre, 90 p. López, Eduardo (2009). Efectos ortogonales en la combinación direccional del análisis dinámico tridimensional. Seminario Técnico SIDETUR, Caracas, 26 de noviembre, 36 p. Paz, Mario (1991). Structural Dynamics. Theory and Computation. 3er edition, Van Nostrand Reinhold, New York, 626 p.

4 ANEXOS Anexo 1. Método de Stodola

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7 Anexo 2. Método de Holzer

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9 Anexo 3. Método de superposición modal con un grado de libertad por nivel

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Anexo 4. Control del cortante basal y valores para el proyecto sismorresistente

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