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Fundamentos de Matemáticas

TALLER DE MATEMÁTICAS CURSO INDUCCIÓN 2014

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Fundamentos de Matemáticas

M.C. Sergio Sifuentes Montelongo Director de Programa Académico

M.C. Raúl Villanueva Vallejo Profesor Investigador de Tiempo Completo

© Universidad Politécnica de Durango Carretera Durango-México Km. 9.5 C.P. 34300 Teléfono: (618) 150 13 00. Segunda Edición: Julio 2012 Reservados todos los derechos. Esta obra no puede reproducirse total ni parcialmente, en cualquier forma que sea, electrónica o mecánica, sin autorización escrita de la universidad.

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CONTENIDO I FRACCIONES 1.1 ........................................................ SUMA 1.2 ........................................................ RESTA 1.3 ........................................................ MULTIPLICACIÓN 1.4 ........................................................ DIVISIÓN

II MONOMIOS Y POLINOMIOS 2.1 ........................................................ NOMENCLATURA ALGEBRAICA 2.2 ........................................................ CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2.3 ........................................................ CLASES DE POLINOMIOS 2.4 ........................................................ TÉRMINOS SEMEJANTES 2.5 ........................................................ REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES 2.6 ........................................................ VALOR NUMÉRICO 2.7 ........................................................ NOTACIÓN ALGEBRAICA 2.8 ........................................................ SUMA DE MONOMIOS 2.9 ........................................................ RESTA DE MONOMIOS 2.10 ...................................................... SUMA DE POLINOMIOS 2.11 ...................................................... RESTA DE POLINOMIOS 2.12 ...................................................... SUMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS 2.13 ...................................................... SIGNOS DE AGRUPACIÓN 2.14 ...................................................... MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

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2.15 ...................................................... MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS 2.16 ...................................................... MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS 2.17 ...................................................... DIVISIÓN DE MONOMIOS 2.18 ...................................................... DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS 2.19 ...................................................... DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS 2.20 ...................................................... SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN DE FUNCIONES 2.21 ...................................................... SUMA DE FRACCIONES 2.22 ...................................................... RESTA DE FRACCIONES 2.23 ...................................................... SUMA Y RESTA COMBINADAS DE FRACCIONES 2.24 ...................................................... MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES 2.25 ...................................................... DIVISIÓN DE FRACCIONES 2.26 ...................................................... MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN COMBINADAS

III PRODUCTOS NOTABLES 3.1 ........................................................ POTENCIA DE UN MONOMIO 3.2 ........................................................ CUADRADO DE UN BINOMIO 3.3 ........................................................ CUBO DE UN BINOMIO 3.4 ........................................................ CUADRADO DE UN POLINOMIO 3.5 ........................................................ BINOMIO DE NEWTON

IV FACTORIZACIÓN 4.1 ........................................................ FACTOR COMÚN

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4.2 ........................................................ FACTOR COMÚN POR GRUPOS 4.3 ........................................................ DIFERENCIA DE CUADRADOS 4.4 ........................................................ TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 4.5 ........................................................ FORMA ax² + bx + c 4.6 ........................................................ FÓRMULA GENERAL 4.7 ........................................................ DIVISIÓN SINTÉTICA 4.8 ........................................................ CASOS ESPECIALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.1 ........................................................ MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 5.2 ........................................................ MÉTODO DE IGUALACIÓN

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I FRACCIONES Números que expresan una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales; se representa con una barra oblicua u horizontal que separa la primer cantidad (numerador) de la segunda (denominador).

Ejercicios Realice, según sea el caso, las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

1. 2. 3. 4.

1 2 3 4 1 2 1

   

3 5. 5 

3 2 2 8 3 5 2 4 1 7

4 11  9 3 7 7.  15 2 8 9 8.  9 8 3 4 9. 2  6 5 1 2 10. 7  9 5 3 6.

11. 1  3 2 5 1 1 12.   8 7 2 13. 8  6 11 14. 2 2 15. 1  3 22 55 1 3 16. 6  2 9 5 1 17. 15  3 2 1 14 18. 144   6 52 19. 12  6  9  24 26 7 72 37 15 2 20.   3 6  21  1 2 3 36 11 236 3

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

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1 3 21.        2  2  3 2 22.        4  8  1 3 23.        2  5  1 2 24.    



    3  4   1 25. 5  





   7   4 11 







26.

    9  3   7 27. 15    2  8 9 28.         9  8  3 4 29.  2        6  5  1 2 30.  7 9      5  3  





















1 3 31.           2   5  1 1 32.            8   7   2 33. 8     6   11 34.   2    2   1 35.    3          22   55  1 3 36.  6    2       9   5   1 37. 15   3 



   2   1   14  38.  

12 *     19   52   12 6 9 1 39.              26 7   72 7  6  15  37 3 40.   2  21    3

36

  11 



1

2

 3 

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II MONOMIOS Y POLINOMIOS Son expresiones algebraicas representadas por la combinación de letras y números ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

NOMENCLATURA ALGEBRAICA

Expresión algebraica.- Es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre si por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) ó – (menos) se llaman términos de la expresión.

Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + ó -.

Elementos de un término.- Son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Ejemplo: En el término 5x²y, el signo es positivo, suele omitirse en cantidades positivas; el cociente es 5; la parte literal la constituyen las letras que hay en el término, en este caso,

x²y. Grado de un término.- Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto.- Es la suma de los exponentes de sus factores literales.

Ejemplo: el término 5a³b²c es de sexto grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 3 + 2 + 1 = 6.

Grado con relación a una letra.- Es el exponente de dicha letra. Ejemplo: el término ax² es de primer grado en relación a “a”, y de segundo grado en relación a “x”. 8

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Clases de términos: Enteros, fraccionarios, racionales, irracionales y heterogéneos. 2a Término entero.- Es aquel que no tiene denominador literal. Ejemplos: 3a, 6a³b³c³, 4 a

x

y

Término fraccionario.- Es el que tiene denominador literal. Ejemplos: b , y , z 4a Término racional.- Es el que no tiene radical. Ejemplos: x², a³b³c, b

Término irracional.- Es el que tiene radical. Ejemplos:

2xy ,

6a b

Términos homogéneos.- Son los que tienen el mismo grado absoluto. Ejemplo: (4x³y) y (6x²yz)

Términos heterogéneos.- Son los que tienen distinto grado absoluto. Ejemplo: (5xyz) y (3x²)

Ejercicios 1. Mencione que clase de términos son los siguientes, atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: 2a 5b 5b², -4a³b, 3 , - 6 ,

a a,-6

2a , - 9b

2. Mencione el grado absoluto de los términos siguientes: 8a, -6a³b, a³b³, -5a³b³c, -xyz³ 3. Mencione el grado de los términos siguientes respecto a cada uno de sus factores literales: 8a, -6a³b, a³b³, -5a³b³c, -xyz³ 4. Escribir cuatro términos que sean homogéneos y tres que sean heterogéneos. 5. Escribir tres términos enteros y dos términos fraccionarios. 6. Escribir tres términos positivos, enteros y racionales. 7. Escribir tres términos negativos, fraccionarios e irracionales. 9

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8. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: de tercer grado, de quinto grado, de undécimo grado y de décimo quinto grado. 9. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a “x”; además, otro de tres factores literales que sea de séptimo grado con relación a “y”. 10. Escribir un término de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a “z”.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio.- Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos: 4a, -7x

Polinomio.- Es una expresión algebraica que consta de más de un término. Ejemplos: a + b, a + x – y, x³ +2x² + x + 7

Grado de un polinomio.- Puede ser absoluto o con relación a una letra.

Grado absoluto.- Es el grado de su término de mayor grado. Ejemplo: el polinomio 6x³ + x² - x es de tercer grado absoluto.

Grado con relación a una letra.- Es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Ejemplo: (a³ + 4a²x² - ax) es de tercer grado con relación a la literal “a” y de segundo grado con relación a “x”.

Ejercicios a) Mencione el grado absoluto de los siguientes polinomios: 1. x³ + x² + x 2. 5a - 3a² + 4a³ + 8 3. a²b + a²b² - ab³ - 5 10

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4. xy + x²y² + x³y³ 5. x³ - 6x²y + 3xy² + y³ b) Mencione el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras: 1. x³ + x² + x 2. 5a - 3a² + 4a³ + 8 3. a²b + a²b² - ab³ - 5 4. xy + x²y² + x³y³ 5. x³ - 6x²y + 3xy² + y³

CLASES DE POLINOMIOS

Entero.- Es cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal. Ejemplos: x² + 5x + 3, a³b + ab³

Fraccionario.- Es cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador. Ejemplos: 5b b a+c-8

Racional.- Cuando no contiene radicales. Ejemplo: xy² + 2y + 1, u³v + uv³

Irracional.- Cuando contiene radicales. Ejemplos:

ab,

a+ b+ c

Homogéneo.- Cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto. Ejemplo: 4a³ + 5a²b + 6ab² + b³

Heterogéneo.- Cuando sus términos no son del mismo grado. Ejemplo: x + x² + x³.

Completo.- Con relación a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Ejemplo: x³ + x² + x. 11

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Ordenado.- Con respecto a una letra, es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida van aumentando o disminuyendo. Ejemplos: 2a³ + 5a² + 7a, x + 4x² + 9x³

Ejercicios 1. Mencione de que clase son los polinomios siguientes: a) a³ + 2a² - 3a a2 a4 3   a a 2  3 2 b) c)

a + b - 2c + 4a 

d

a  6b  4 2

d) 2. Escribir un polinomio de tercer grado absoluto, uno de quinto grado absoluto y uno de octavo grado absoluto. 3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de x. 4. De los siguientes polinomios escoger dos que sean homogéneos. a) 3a²b + a³b – 5b³ b) a 4  a3b  a 2 b 2  ab3 c) x5  bx4  abx3  ab3 x 2 d) 4a – 5b + 6c² – 8d³ – 6 5 4 2 3 3 2 4 5 e) y  ay  a y  a y  a y  y 3 4 6 2 5 7 f)  6a b  5a b  8a b  b

5. De los siguientes polinomios escoger dos que sean heterogéneos. g) 3a²b + a³b - 5b³ h) a 4  a3b  a 2 b 2  ab3 i)

x5  bx4  abx3  ab3 x 2

j) 4a – 5b + 6c² – 8d³ – 6 5 4 2 3 3 2 4 5 k) y  ay  a y  a y  a y  y

l)

 6a3b4  5a6b  8a2b5  b7

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6. De los siguientes polinomios diga cuales son completos y respecto de cuales letras. 4 2 3 m) a  a  a  a 4 2 n) 5x  8x  x  6 4 3 2 2 3 4 o) x y  x y  x y  y 5 4 3 p) m  m  m  m  5 5 4 2 3 3 2 4 q) y  by  b y  b y  b y

7. Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto y dos polinomios completos. 8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente. a) z4 + 5m8 - 75a5 b) y5 - by4 + b2y3 - b3y2 + b4y 9. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente. a) y12 - x9y6 + x12y8 - x3y6 b) -3m15n2 + 4m12n7 - 8m7n25 + 7n8 + 3m9n5 + m28n7 10. Escribir un polinomio de quinto grado respecto de “a”; un polinomio de noveno grado respecto de “m”.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal y el mismo exponente. Ejemplos: “2a” y “a”, “-b” y “8b”, “-5a²b³” y “-8a²b³”

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes: 13

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1. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo. Ejemplo: 3a + 2a = 5a 2. Reducción de dos términos semejantes de distinto signo. Ejemplo: 2a – 3a = –a 3. Reducción de dos o más términos semejantes de signos distintos. Ejemplo: 5b – 8b + b – 6b + 21b = 13b

Ejercicios Reducir: 1. x + 2x 2. 8b + 9b 3. 11a + 9a 4. 8c – 6c 5. 6c – 8c 6. 7b – 7b 7. 9a – 3a + 5a 8. –8x + 9x – x 9. 12mn – 23mn –5mn 10. -11ab – 15ab +26ab VALOR NUMÉRICO

Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.

Ejemplo: Hallar el valor numérico de 5ab para a=1, b=2. Sustituimos la “a” por su valor 1, y la “b” por 2, y tenemos:

5ab = 5(1)(2) = 10

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Ejercicios: Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para: 1 1 1 a=1, b=2, c=3, m= 2 , n= 3 , p= 4

1. 3ab 2. 5a²b³c 3. b²mn 4. 24m²n³p 2 4 2 3 a b m 5. 3 7 3 2 c p m 6. 12 4a 7. 3bc 8.

2bc 2

9. 4m 12bc 2m 3 2 10. n

NOTACIÓN ALGEBRAICA

Con las cantidades algebraicas representadas por letras, pueden hacerse las mismas operaciones que con números aritméticos.

Ejemplos: 1. Escriba la suma del cuadrado de “a” con el cubo de “b”.

a² + b³

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2. Tenía $9 y gasté $x. ¿Cuánto me queda? Me quedan $(9 - x)

3. Un hombre tenía $a, después recibió $8 y luego pagó una cuenta de $c. ¿Cuánto le queda? $(a + 8 – c) 4. Siendo “a” un número entero, escriba los dos números enteros consecutivos posteriores a “a”. a + 1, a + 2.

Ejercicios 1. Escriba la suma de “a”, “b” y “m”. 2. Escriba la suma del cuadrado de “m”, el cubo de “b” y la cuarta potencia de “x”. 3. Siendo “x” un número entero, escriba los dos números enteros consecutivos posteriores a “x”. 4. Siendo “y” un número par, escriba los tres números pares consecutivos posteriores a “y”. 5. Escriba la diferencia entre “m” y “n”. 6. Si han transcurrido “x” días de un año, ¿Cuántos días faltan por transcurrir? 7. Si “x” lápices cuestan $50, ¿Cuánto cuesta un lápiz? 8. Escriba la suma del doble de “a” con el triple de “b” y la mitad de “c”. 9. Debía “x” euros y pagué 10, ¿Cuánto debo ahora? 10. De una distancia de “x” km. se han recorrido “m” km., ¿Cuánto falta por recorrer?

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SUMA DE MONOMIOS

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.

Ejemplos: 1. Sumar 5a, 6b y 8c 5a + 6b + 8c 2. Sumar 3a²b, 4ab², a²b, 7ab² y 6b³ 4a²b + 11ab² + 6b³

Ejercicios Sumar: 1. a, b, c 2. m, n 3. –6, 9 4. m, –n 5. –3ab, 4b 6. 5b, –6a 7. 7, –6 8. –2x, 3y 2 1 b a  9. 2 , 3 10. –m, –8n, 4n

SUMA DE POLINOMIOS

La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de paréntesis y después colocando todos los términos de los polinomios unos a continuación de otros con sus propios signos. 17

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Ejemplos: 1. Sumar a – b, 2a + 3b – c, – 4a + 5b (a – b) + (2a + 3b – c) + ( – 4a + 5b) = a – b + 2a + 3b – c – 4a + 5b = –a + 7b – c

2. Sumar 3m – 2n + 4, 6n + 4p – 5, m – n – 4p (3m – 2n + 4) + (6n + 4p – 5) + (m – n – 4p) = 3m – 2n + 4 + 6n + 4p – 5 + m – n – 4p = 4m + 11n – 7

3. Sumar (5an+2) + (5an-2) + (-y+15an) 5an+2+5an-2-y+15an= 25an-y

Ejercicios Sumar: 1. 3b + 2c – d, 2b + 3c + d 2. m + n – p, – m – n + p 3. p + q + r, – 2p – 6q + 3r, p + 5q – 8r 4. a + b – c + d, a – b + c – d, – 2a + 3b – 2c + d, – 3a – 3b + 4c – d 5. 7a – 4b + 5c, – 7a + 4b – 6c 6.                         7. x         x  8.

 y  p   y p  yp    y  yp  p 

 1 x2  1 xy   1 xy  1 y2  9.

2

2

2

4

 3 x2r 2  5 x2r 2 y   1 x2r 2 y  1 y 2  10.

8

2

2

4

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RESTA DE MONOMIOS

Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo: (5an+2) - (5an-2) - (-y+15an) 5an+2-5an+2+y-15an= -15an+4+y

Ejercicios 1. (a)  (3a) 3 3 2. 11x  54x

3.  25  25ab  7ax 1 a a 4. (15m )  (236m ) 2 2 5. 31c t  (81c t)

6. 7a

x1

 7a x1

45a 2b2  (

1

a 2b2 )

2

7.

5g 3 

1

g3

2

8. 5 9. 10. 9a

1 2

x1

17ax2  3ax1 8ax2

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RESTA DE POLINOMIOS

Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos. Ejemplos: (a+b)-(a-b)= a+b-a+b= 2b

Ejercicios: 3    1. x   x  x   x  2.             3.           1 ax 1  9ax  3  ax  2)  ( x4 ) 64 4.     5.          

1 6. 2

w2    w2 

1

2 wr  r 2  3 5

4 2 5 15  ( xy  yz  ) 5 3 9 7. 8. a  b  c  a  b  c        9. z    z   z   z  z  z  2 2 10. (a  ab)  (3ab  b )





SUMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS 6 6 6 6 6 6 1. (6 p  8 pb  5b )  ( p  6b  7 pb)  (4 p  ap  b )

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2 2 2 2 2. r  (rb  b )  (r  9b ) 4 2 3 5 5 3 3 4 5 3 4 5 3. (a  4a b2 8ab  b )  (7a b 15a b  3b )  (3a  6a b  21ab  6)

4 3 3 4 5 3 2 4 4 3 2 4. (5y x  7 y x  x )  ( y  3y x  6yx )  (22y x 10y x ) x x1 x x1 x2 x2 x1 x x1 5. (13z  6z )  (z  7z  z )  (8z  7z  z 12z ) 1 2 3 1 2 1 1 1 3 ( x2  y)  ( y  z)  ( z  m)  ( m  n  ) 3 5 6 5 4 2 3 8 6. 3 3 2 1 3 1 2 1 5 5  ( a  bw)  ( bw  c)  ( bw  c)  ( c  bw) 2 9 3 5 3 5 7 9 7. 1 1 1 1 c (c  b)  ( c  b) 3 3 3 8. Restar 3 de la suma de

9. Hallar la expresión que sumada con (az3-az2+5) da como resultado (3az-15) 10. ¿Qué expresión hay que sumar con -7xy+5x2-8y2 para que la diferencia sea – 4?

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo.

Ejercicios



3 2 3 3 2 1. n   b  2n  n  b



2. 24a  a  24a  b 3. 2n  m  n 5m  n 4. 4 p  2 p  7  4n  29 p 1 5. 2   5x  (2y   x  y) 6.   a   a  (a  b)  a  b  c 7

21

Fundamentos de Matemáticas  

En las siguientes expresiones, introducir los tres últimos términos de la expresión dentro de un paréntesis precedido del signo negativo; 7 6 3 7. x  x  2x  2x 1 2 2 2 8. a  b  2bc  c

En las siguientes expresiones introducir todos los términos excepto el primero, dentro de un paréntesis precedido del signo negativo; 9. z  5y  (z  2y) 10. 4 p 12n 13  ( p  n)  (2 p  5n)

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, añadiendo a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la Ley de los signos.

Ejemplo: (25x5)(3x2y)= (25)(3)=75 (x5)( x2)= x7 ( y)= y (25x5)(3x2y)=75x7y

Ejercicios: 3 2 1. (5x )(xy )

22

Fundamentos de Matemáticas

2 3 2 2. (a b )(3a x) x a 2 3. (m n )(6m n) m m1 4. (a )(a ) m1 m2 5. (3x2y3)(4x y ) 4 1 a2 )( a3b) ( 5 6. 2

( 7.

2

44 x3 2 ax1bx3c2 )( a b ) 11 7

5 8. (a)(3a)(a )

1 3 2 3 a4m) (2 x )( a2 x)( 3 5 9. 1 3 10 3 3 ( x2 y)( xy2 )( x )( X 2Y ) 2 5 3 4 10.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

3 2 1. (3k  x )(7k) 8 2 9 5 2. (a 12ab  b )(a b ) 13 2 2 3 2 3. (3x 4x y 16xy )(ax y ) m m1 m2 4. (a  a  a )(2a) m n m1 n1 m n2 2 5. (a b  a b  a  2b )(3a b) 3 2 5 ( a 1 2  c)( ac2 ) b 8 5 3 6. 5

1 2 2 ( z 2  b)( z5 ) 3 5 7. 2 2 2 2 8. (4x )(35abc  7x y  5 )

23

Fundamentos de Matemáticas

2 1 5 1 3 ( m3  m2 n  mn2  n3 )( m2 n3 ) 2 6 9 4 9. 3 (x2)( 10.

1

y 2

10

3

x5 )

8

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS 1. (r  4)(r 1) 2. (n  6)(m  4) 3 2 3 4 3. (x  2x  x)(x  w  5) 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4. (x  y  z  x y  y z )(x  y  z ) 5 n2 n3 2 x 5. (v  2x  x )(x  8) 7 2 1 5 ( m3  mt  t 8 )( m2  2t 2 mt) 3 2 2  6. 5

7. 4(w  5)(d 13) 2 2 8. 3x (x  2x 1)(x 1)

9. (x  8z)3a  2 x 1 yx xy 10. (a  c)a (6  6a )  5(x  8)

DIVISIÓN DE MONOMIOS

2 1.  55a  (3a) 3 4 2 2. 14t b  7tb 2 2 3 2 3 3. 54x y z  (6xy z ) 8 7 3 4. 15m z  (5z )

24

Fundamentos de Matemáticas

3 2 3 5.  5manx  (5mn x )

6. a

m3

7. 2 p

 am2

z7

 ( p z2 )

1 2 2 x  3 8. 2 4  2  a2b3 9 9. 3m4n87w6  (

1

m4nw8 )

3

10.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

La ley distributiva de la división se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.

Ejemplo: 3a 2  6a 2b  9ab2 Dividir

3a

3

.

3a

 6a 2b  9ab2   3a 

3a3 6a2b 9ab2     3a 3a 3a a2  2ab  3b2.

Ejercicios: a 2  ab 1

.

a 3x y3  5a 2 x4 2

2

 3x 2

.

25

Fundamentos de Matemáticas

3a3  5ab2  6a 2b3 3 4

 2a 3 2 x  4x  x

.

. x 4x8 10x6  5x4

5

. 2x3 6m3  8m2 n  20mn2

6

 2m 8 8 6a b  3a6b6  a 2b3

7

3a 2b 3 x4  5x3 10x2  15x

. .

8

.  5x 8m9 n2 10m7 n4  20m5 n6  12m3 n8

9

2m2

.

a x  a m1 . a2 10

DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS

Se divide el primer término de la ecuación dividendo entre el divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Ejemplo: 3x 2  2x  8 dividir

x2

.

26

Fundamentos de Matemáticas

3x  4 x  2 3x2  2x  8  3x2  6x  4x  8  4x  8 0

Ejercicios: a 2  2a  3 1

.

a 3 a 2  2a  3

2 3 4 5 6

7

a 1 x 2  20  x

.

. x 5 m2 11m  30

. m 6 x 2  15  8x . 3 x 6  a 2  5a . a 2 6x 2  xy  2 y 2

.

y  2x 15x2  8y 2  22xy

8

2 y  3x 5a  8ab  21b2

9

a  3b 2 14x 12  22x

10

7x  3

.

2

.

.

SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN DE FRACCIONES

27

Fundamentos de Matemáticas

Reducir una fracción algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor.

Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí.

Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible y entonces la fracción está reducida a su más simple (mínima) expresión.

Ejemplo: 2b2 4a 2b5  . 3 3 Simplificar: 6a b m 3am Se dividió 4 y 6 entre 2 y se obtuvo 2 y 3; “a2” y “a3” entre “a2” y se obtuvieron los cocientes 1 y “a”; “b5” y “b3” entre “b3” y se obtuvieron los cocientes “b2” y 1. Como “2b2” y “3am” no tienen ningún factor común, esta fracción que resulta es irreducible.

Ejercicios: 9x 2 y 3

a2. 1.

ab

6.

. 2 2 x 7. 24mn 12x3 y 4 z 5

x 2y 2 3.

y

3

.

.

2

8.

3

ax

5

4.

3 5 6 9. 60a b x

4x y 3m

32xy z 12a 2b 3

.

6m2 n3 5.

.

8m4 n3 x 2

2a 2 . 2. 8a b

x3

24a 2 x3 y 4

.

.

21mn3 x6 4 2 2. 10. 28m n x

28

Fundamentos de Matemáticas

SUMA DE FRACCIONES

x  4a x  2 1  2  . 5x 10x Simplificar 2ax El m.c.m. de los denominadores es 10ax2. dividiendo 10ax2 entre cada denominador y multiplicando los cocientes por el numerador respectivo, se tiene: 5xx  4a 2ax  2 ax x  4a x  2 1   2  2ax 5x 10x 10ax2 

5x2  20ax  2ax  4a  ax 10ax2

5x2 17ax  4a 10ax 2 Reduciendo términos semejantes=

Ejercicios:

1.

x  2 3x  2  . 4 6

2 1  . 2 3ab 2. 5a a  2b b  a  . 20b 3. 15a a  3b a 2b  4ab2  4.

3ab

5a 2b2

.

a 1 2a 3a  4   . 3 6 12 5.

RESTA DE FRACCIONES

2 El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores es 6a b . Dividiendo entre cada

29

Fundamentos de Matemáticas

denominador y multiplicando cada cociente por el numerador respectivo se obtiene:

30

Fundamentos de Matemáticas

a  2b 4ab2  3 2aba  2b 4ab2  3    3a 6a 2b 6a 2b 6a 2b

2a 2b  4ab2 4ab2  3  6a 2b 6a 2b Multiplicando=

Restando los numeradores 2a 2b  4ab2  4ab2  3 =

6a 2b

Quitando el paréntesis 2a 2b  4ab2  4ab2  3 6a 2b = 2a 2b  3 2 Reduciendo= 6a b

Ejercicios: 2a  3 a  2  . 4a 8a 1. x 1 x  2 x  3   . 3 4 6 2. 3 2a  1 4a 2  1   . 2 5 10a 20a 3. 3 x 1 x2  2x  3   2 15x3 4. 5x 3x 1 2b  5   2 3 . 5. 2a 3ab 6a b

.

SUMA Y RESTA COMBINADAS DE FRACCIONES

31

Fundamentos de Matemáticas

1

a 2  b2

1   . 3 3  2 Simplificar a  ab ab a b  ab a 2  ab  aa  b Buscando el común denominador: ab  ab

m.c.m. aba  ba  b.

a 3b  ab 3  aba 2  b 2   aba  ba  b.

1  1 a2 3 b2 3  a  ab ab a b  ab ba  b   a  b a  b  a 2  b 2  .  ab  a  b  a  b  Se obtiene: 2

ab  b2  a 2  b2  a 2  b2 aba  ba  b (Multiplicando)=  



 

ab  b2 (Reduciendo)= aba  ba  b



(Simplificando)=

bb  a 1 . ab a  ba  b aa  b

   

Ejercicios:

1

2  3  4x  7 .   2 x 3 x  2 x  x  6

2

a 1  a 12 .  3a  6 6a 12 12a  24

3

x 1 1   .2 x  1 3x x

4

a  3  a 1  a  4 .   a2 1 2a  2 4a  4

2

32

Fundamentos de Matemáticas

5 

a  b ab  a . a 2  ab  ab  ab  b2 x  y x  y  4x 2   



x2  y 2

6

x y

7

x 1 1   . a  ax a x 2

x 1

8

xy

x4



.



x5 . x  x  20 x  4x  5 x  5x  4 2







2

2

2 2x 2x 1  x  .  2 16x  8 6x  x  2 12x  8 9 1 1 . 1   2 ax a  x a  ax 10

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para efectuar la multiplicación de fracciones se procede de la siguiente forma: Se multiplican entre si las expresiones que se encuentran en los numeradores; lo propio se hace con las expresiones que quedan en los denominadores; para obtener el resultado, se ubica en el numerador el producto de los numeradores y en el denominador el producto de los denominadores.

Ejemplo:

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para efectuar la división de fracciones se procede de la siguiente forma: 1. Se invierte el divisor (el numerador se coloca en el denominador y viceversa) y se procede a multiplicar el dividendo por éste. 2. Las fracciones se multiplican siguiendo los pasos siguientes: 33

Fundamentos de Matemáticas

a) Se factorizan las expresiones. b) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores. c) Se multiplican entre si las expresiones que quedan en los numeradores; lo propio se hace con las expresiones que quedan en los denominadores; para obtener el resultado, se ubica en el numerador el producto de los numeradores y en el denominador el producto de los denominadores.

Ejemplo: 4 8a2b6 4bc2 8a2b6  6a 2ac4  6a4  2ac4  4bc2

48a6b6 6 = 8abc =

8a5 b5 c6

34

Fundamentos de Matemáticas

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN COMBINADAS

1. Se invierten las fracciones precedidas del signo de división y se cambia el signo operativo por la x 2. Las fracciones se multiplican siguiendo los pasos siguientes: a) Se factorizan las expresiones. b) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores. c) Se multiplican entre si las expresiones que quedan en los numeradores; lo propio se hace con las expresiones que quedan en los denominadores; para obtener el resultado se ubica en el numerador el producto de los numeradores y en el denominador el producto de los denominadores.

Ejemplo: 4y 2x z3



5x6 6 y3



y2

4y



 5x6

y2 

4y

 5x6 y2 

2x   6 y  z   2x   6 y z   3   3  3 3      =

4 y 6 y3 z3 12 y4 z3 12 y2 z3   7 2  2x 5x6 y2 5x y 5x7

Ejercicios 6b 3a3 5c  4  7 2 1. 2c 2b a 2 b 1 2b  b  b  b  2  2 b 1 b 1 b  b  2 

2. y2  y  6 2 3. y 16



y2  y  25

5y  25y2



y2  y 10

y 5

2 x5  6x2   x  2x  4  x  2x2      







35

Fundamentos de Matemáticas 3 4. x  36



x 3

2x2  4x4 

36

Fundamentos de Matemáticas  

 6m  n 3n2  4m3 m  2n   2 2n4 2m 5. 5m 7z 6  w3 1  4 2 3z2 z z w 4z2  w2 z3  8w3 2 2  2 9z  18zw  w2 6. 8z  2zw  w (x2  2x) 18  x2 x4  4x2   2 2x  (x  2)2 (x2  2x)2 7. 4  x x3  2xy  5y6 3x2  2 y2 16x2  8xy  y2 2x2 y  3xy  8x6  2xy  y2  x3  xy 2 8. (m  n)2  a2 (m  a)2  n2 m  n  a  2  2 2 m  mn  ma m2 9. (m  n)  a



10.

x3 1   x2  x  2x4  9  5x  6x4  3x5  2   4x  8 x4  3x  2x4  3x4  x2  2x  6 

37

Fundamentos de Matemáticas  

III PRODUCTOS NOTABLES POTENCIA DE UN MONOMIO

POTENCIA de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como factor dos o más veces. La primera potencia de una expresión es la misma expresión. 1 Así 2a  2a

La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como factor 3 3 dos veces. Así, 2a   2a  2a  2a  8a n En general, 2a   2a  2a  2a..............n veces.

Signo de las potencias. Cualquier potencia de una cantidad positiva evidentemente es positiva, porque equivale a un producto en que todos los factores son positivos. En cuanto a las potencias de una cantidad negativa, corresponde: 1) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva 2) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa 2 2 Así  2a    2a   2a   4a

Potencia de un monomio Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia. Si el monomio es negativo, el signo de la potencia es + cuando el exponente es par, y es – cuando el exponente es impar.

Ejemplo:

3ab   3 a b  27a b 2x y   3mn   3 m n  27m n 2 3

13

3 3

13 23

13

13

3 6

33

4

2

3

 214 x 24 y14

9

38

Fundamentos de Matemáticas

24a 2b 16a4b2 16a4  4a2b         3b2  3b2 2  9b4 9b2 2

Ejercicios 3 1. 3xy 

2.

 6a b

4.

7m y z 

2

2

2m n 

2 3 3

3.

4

3

5 7 2 5

 2x3n2 

y

2

  3x  5.  

5.

2 2 3 4

abc 

   3n    2

 7. 

 2   2 2 2 4  3x y z    3 6  x y  9. 

6



 yz5   8.  3 2





4

 5 m 2 n 3   10. 

  

CUADRADO DE UN BINOMIO

1. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"

2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"

Ejemplo:

3a

6

 5a 2b 4   3a6   23a 6 5a 2b 4   5a 2b 4  2

2

2

 9a12  30a8b4  25a4b8 39

Fundamentos de Matemáticas 2

2

2

1 3 5 2  1  1 5  5   x  y    x3   2 x3 y2    y2  3 2      3 2  3 2    1 6 5 3 2 25 4  x  x y  y 9 3 4 Ejercicios 1.

x  22

2.

m  32 .

3. 4. 5. 6. 7.

5  x 2 . 6a  b2 . 9  4m2 . 7x 112 . x  y 2 .

8. 1  3x 2  . 2

9.

2x  3y 2 .

10. a 2 x  by 2  . 2

CUBO DE UN BINOMIO

1.

Se emplean las fórmulas generales:

a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3 a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3 2. Se identifican “a” y “b” y se aplican en alguna de las fórmulas anteriores, según corresponda 3. Se efectúan las operaciones indicadas 4. Se reduce

40

Fundamentos de Matemáticas

Ejemplo:

5a  6a b   (5a )  35a  6a b  35a 6a b   6a b   125a  325a 6a b   35a 36a b   216a b  2 3 3

2

2 3

2 3 2

2

6

2 2

2 3

2 3 3

4

2 3

2

4 6

6 9

 125a6  450a6b3  720a6b6  21a6b9

Ejercicios 1. 2. 3.

3x  2 y 3

5x  6 y  7b  4c  3m  2n  4

2 3

2

5 3

3

4.

2 3 3

6  2  b  c  7  5.  5 3  2y  x  2    6.  3y 2x  3  3 2y 5x    7.  x4  3 3   m4n3   8. 2 3 1 3 5 2  m  n  3  9.  7 3 3   y2  6 y4   10. 2

41

Fundamentos de Matemáticas  

CUADRADO DE UN POLINOMIO

Para hallar el cuadrado de un polinomio, se procede de la siguiente manera:

1. Se aplica la siguiente regla: "El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el doble de las combinaciones binarias que con ellos puede formarse".

2. Se efectúan las operaciones que quedan indicadas

3. Se reducen términos semejantes

Ejemplo:

m  2m  3  m    2m  3  2m  2m  2m 3  2 2m 3 2

3

3 2

2

2

3

3

6 2 2 = m  4m  4m 12m  9

Ejercicios:

y  5y  25 2m  3m  5 4b  2b  6 2

2

1.

3

2.

5

3.

2

4

3

2



2 1 2  y  y  5   4. 5

42

Fundamentos de Matemáticas  

2

3 6 1  x   5  5. 9  2 1  1 1 2  m  m  m  m3  6 2 3  6. 6 7.

x

3

 x5  x 6  x 2  x 7 

2

2  3 1 2 7 6 y  y  y9  2 5  8.  2 1 4 1 5 2  x  x  x  x  7  9. 8 2 1  5 9 7 2 1 n  n  n  6 5  10.  8

  

BINOMIO DE NEWTON

Para desarrollar un binomio elevado a una potencia entera y positiva, se procede de la siguiente manera:

Se aplica la fórmula descubierta por Newton que permite elevar un binomio a una potencia cualquiera directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores

a  b n



a n  na n1b 

nn  1

a n2b2 

(1)(2) nn 1n  2 n3 3  a b  (1)(2)(3) nn 1n  2n  3 n4 a  .......bn (1)(2)(3)(4)

Nota: los factores de los coeficientes de los términos también se pueden obtener a partir del "Triángulo de Pascal". 43

Fundamentos de Matemáticas

Ejemplo: n5 ay b3 n 1  4 n23 n32 n41

 y  35 Solución:

 y  35   y 15  5 y 51 3  54 y 52 32  1.2

543 53 3 5432 5 4 4 5 y 3  y 3  3 1.2.3 1.2.3.4  y5 15y4  90y3  270y2  405y  243

Ejercicios 1.

m  23

2.

x  y 5

3.

3x  4 y 6

4.

m

2

8

 1 2a     7.  9 3 

 2m

7

 2x  y    3  5. 

4



1 y 

2 5

6.

8.

x

9.

5x  29

2

1





10.

 5

 y3 

3

 m  m3  5

 

44

Fundamentos de Matemáticas  

IV FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN

Factor común. Número o monomio por el que se multiplican varias partes de una expresión algebraica. Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Así, multiplicando “a” por “a+b” tenemos: aa  b  a2  ab “a” y “a+b”, que multiplicadas entre si dan como producto 2 divisores de a  ab

a2  ab, son factores o

Ejercicios 2 1. a  ab. 2 2. b  b . 2 3. x  x. 3 2 4. 3a  a . 3 4 5. x  4x . 2 3 6. 5m 15m . 7. ab  bc. 2 2 8. x y  x z. 2 2 9. 2a x  6ax .

10.

8m2 12mn.

45

Fundamentos de Matemáticas

FACTOR COMÚN POR GRUPOS

Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos. 1. Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común. 2. Se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos. 3. Debe quedar un paréntesis común. 4. Se extrae dicho paréntesis como factor común. Ejemplo: 5ax2 y  bh  5bx2 y  ah (5ax2 y  ah)  (5bx2 y  bh) a(5x2 y  h)  b(5x2 y  h) (a  b)(5x2 y  h)

Ejercicios 1. ax  ay  2x  2y 2. x2  ax  bx  ab 3. atx  btx  aw  bw} 4. 6x2 y2  6x2  5y2  5 5. abde  cf  abf  cde 6. xag  xbg  yag  ybg  xah  xbh  yah  ybh 7. xy  2x  2y  4 8. bcd  3bc  3bd  3cd  9b  9c  9d  27 9. tw  2t  w  2 10. 36xy  6x  6y 1

46

Fundamentos de Matemáticas

DIFERENCIA DE CUADRADOS

En una diferencia de dos cuadrados perfectos, se realiza el siguiente procedimiento: 1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos. 2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas. Ejemplo: Factorizar: 36x2 – 1 La raíz cuadrada de 36x2 es 6x La raíz cuadrada de 1 es 1 Luego: 36x2 – 1 = (6x + 1)(6x – 1)

Ejercicios 1. x4 - y4 2. y2 – 81 1 2 25 3. w  4 49 4. a2b2 – 16 5. 9x4y4 – 64t2w2 6. – u2 + 4 7. –w6+16y8 16 8.   36x 9 9. 4a2b2c2 - u2v2w2 10. 

64

a10  4 6 x 25 81 47

Fundamentos de Matemáticas

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

1. Para una expresión dada, se reconocen los cuadrados perfectos, verificando que sean positivos. 2. Para cada cuadrado perfecto, se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases. 3. En seguida se calcula el doble producto de sus bases, para posteriormente comparar si el doble producto de las bases figura en el trinomio dado. 4. Si el doble producto figura en el trinomio dado, se concluye que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, mismo que será factorizado como el cuadrado de un binomio, formado por sus respectivas bases.

OBSERVACIONES: ◦ Si el doble producto que figura en el ”trinomio dado” es positivo, entonces las bases del

cuadrado del binomio tendrán las dos el mismo signo. ◦ Si el doble producto que figura en el ”trinomio dado” es negativo, entonces las bases del

cuadrado del binomio tendrán signos opuestos.

Ejemplo: x2  4x  4 x2  x 4 2 El doble producto de x con 2 = 4x Entonces se verifica que 4x figura dentro del trinomio, se concluye que la expresión anterior es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto se procede a factorizar: x2  4x  4  (x  2)(x  2) O bien: x2  4x  4  (x  2)2

48

Fundamentos de Matemáticas

Ejercicios 1. t2  6t  9 2. 4x2 12xy  9y 2 3. 16x2  40xt  25t2 4. x2  4x  4 5. y2  30 y  225 6. x2 y2  2xy 1 7. 4a2b2c2 16abc 16 8. 16x4 y4  8x2 y2 1 9. 25x4 y2  20x2 yz  4z2 10. 36u4v2  24u2vw2 y  4w4 y2

FORMA ax² + bx + c

Antes de realizar la factorización, es necesario verificar que el trinomio sea de la forma ax2+bx+c, para lo cual se realiza lo siguiente: 1. El coeficiente del primer término es 1. 2. El primer término contiene una variable cualquiera elevada al cuadrado. 3. El segundo término tiene la misma variable (literal) que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, ya sea positiva o negativa. 4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo términos y es una cantidad cualquiera, ya sea positiva o negativa.

Una vez realizada la comprobación, se realiza el siguiente procedimiento para llevar a cabo la factorización: ax2+bx+c = (x+d)(x+e) 1. Se extrae la raíz cuadrada del primer. término. 2. Se buscan dos números (d y e), tales que multiplicados entre sí, den "c" y, a su vez 49

Fundamentos de Matemáticas

que sumados resulten "b" (d + e = b). Ejemplo: x2  5x  6 x2  x 6  (2)(3) 523

Así entonces: x2  5x  6  (x  2)(x  3)

El mismo procedimiento se aplica para cuando el término “b” o “c” ó “ambos”, tengan signos negativos.

Ejercicios 1. t2  6t  8 2. y2  9y 14 3. z2 13z  40 4. x2  4x  45 5. t2  25t 150 6. y2 13y 12 7. z2  23z 120 8. w2  8w  240 9. u2  3u  2 10. v2 18v 19

FÓRMULA GENERAL Es una herramienta matemática utilizada para factorizar trinomios de la forma ax2+bx+c con “a”, “b” y “c” como números constantes reales, siempre que a≠0. La fórmula es:

50

Fundamentos de Matemáticas

x1,2 

 b  b2  4ac 2a

Donde: x1, x2 son las raíces del trinomio, mismas que pueden ser enteras, reales, imaginarias. Ejemplo: x2  4x  3

  

 (4)   (4)2  (4)(1)(3)  4  16 12  b  b2  4ac  4  4  4  2 x1,2      2a (2)(2) 4 4 4

Así entonces: 42 2 1 x     0.5 1 4 4 2 42 6 3 x     1.5 2 4 4 2

Al factorizar, resulta: x2  4x  3  (x  0.5)(x 1.5) Ejercicios 1. 2t2  6t  3 2. y2  9 y 3. 8z2 13z  6 4.  x2  4x  45 5. t2  5t 15 6. 5y2  y 1 7. z2  23z 8. w2  20 3u 2 9. u2   2 8 10.  v2 18v  3 51

Fundamentos de Matemáticas

DIVISIÓN SINTÉTICA

La división sintética es una herramienta matemática utilizada para factorizar polinomios cuyo grado sea mayor o igual 2 en factores racionales. Como resultado de aplicar la división sintética a un polinomio compuesto por factores racionales se obtienen las raíces racionales de una ecuación. La metodología para aplicar la división sintética se muestra a continuación: 1. Se escriben los coeficientes del polinomio. 2. Encontrar los factores positivos y negativos del término independiente del polinomio. 3. Se baja el primer coeficiente tal como está. 4. Se multiplica este coeficiente por uno de los factores del término independiente y se suma al segundo coeficiente. 5. Se sigue así hasta el último término, si la suma da cero, entonces el factor escogido del término independiente es una raíz. Ejemplo: x3  2x2  5x  6 En una primera fase, se colocan los coeficientes del polinomio. 1

2 -5 -6

±1, ±2, ±3, ±6 son factores de 6

↓ 2 8 6 2 ← factor escogido del término independiente que logra que la suma 1

4

3

0

resulte cero. Por lo tanto es la primera raíz encontrada.

Para encontrar la siguiente raíz se prosigue empleando el mismo procedimiento. 1

4

3

±1, ±3 son factores de 3

↓ -1 -3 -1 ← factor escogido del término independiente que logra que la suma 1

3

0

resulte cero. Por lo tanto es la segunda raíz encontrada.

Para encontrar la siguiente raíz (y última) se prosigue empleando el mismo procedimiento. 1

3

±1, ±3 son factores de 3

↓ -3 -3 ← factor escogido del término independiente que logra que la suma resulte 1

0

cero. Por lo tanto es la tercer y última raíz encontrada. 52

Fundamentos de Matemáticas

Las raíces son: x1  2 x2  1 x3  3

Al factorizar, resulta: x3  2x2  5x  6  (x  2)(x 1)(x  3)

Ejercicios 1. t3  7t2 14t  8 2. w3  2w2  w  2 3. y3  4y 2  5y  2 4. t3  9t2  26t  24 5. x4 13x2  36 6. x3  6x2 12x  8 7. t3  t2  25t  25 8. y3  8 9. x5  x4  27x3 13x2 134x 120 10. z2  8z  9

CASOS ESPECIALES Este tipo de casos consiste en “adecuar” la expresión algebraica (trinomio) que no es posible factorizar por los métodos anteriormente vistos, para lograr una “nueva” ecuación factorizable cuya forma sea de trinomio cuadrado perfecto, o bién de la forma ax² + bx + c.

Para lo anterior, sólo basta completar, mediante suma o resta de términos, el trinomio para que se aplique el método adecuado.

53

Fundamentos de Matemáticas

Ejemplo: x2  4x  2 Se completa el trinomio sumándole 2 al término independiente y, a su vez, restándole 2 para no afectar la ecuación. x2  4x  2  2  2 x2  4x  4  2

Ya estando así, se prosigue a factorizar únicamente los primeros 3 términos del polinomio. Se observa que los primeros 3 términos del polinomio forman un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto se factoriza siguiendo ese método. El cuarto término, por el momento solo se agrega al resultado de la factorización. x2  4x  4  2  (x  2)(x  2)  2 Se observa que al factorizar los primeros 3 términos, se sigue indicando el cuarto elemento.

El resultado es el siguiente: (x  2)2  2

Ejercicios 1. t2  6t 1 2. 4x2 12xy  2y 2 3. 16x2  40xt  3t2 4. x2  x  4 5. y2  y  225 6. y2 13y 10 7. z2  23z 100 8. w2  8w  40 9. u2  4u  2 10. v2  v 19

54

Fundamentos de Matemáticas

V SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar, en una de las ecuaciones, cualquiera de sus incógnitas, para luego, sustituirla en otra de las ecuaciones. En caso de tener sistemas de ecuaciones con más de dos incógnitas, la incógnita seleccionada y despejada, debe ser sustituida en todas demás las ecuaciones, exceptuando aquella ecuación de la que la hemos despejado. Al realizar lo anterior, se tendrá un nuevo sistema equivalente con una ecuación y una incógnita menos que el original, en el que se podrá seguir aplicando el presente método hasta encontrar el valor de una de las incógnitas, mismo que será sustituido en los sistemas de ecuaciones equivalentes para encontrar otra de las incógnitas, esto se repite hasta encontrar todas las incógnitas del sistema de ecuaciones.

Ejemplo: 6x  2 y  44 8x  6 y  2

Al despejar “x” de la primera ecuación, resulta: x

44  2y 6

Se sustituye “x” en la segunda ecuación:  44  2 y  8   6 y  2  6  Enseguida se simplifica la ecuación para luego encontrar el valor de “y”. 352 16 y   6 y  2 52 y 364   6 6 6 6 352 52 y 364  364 6  6  2 6 y  7 

52 y 6

 2 

352 6



52 6

52

55

Fundamentos de Matemáticas

Ya conociendo el valor de “y”, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema original. 6x  2 y  44 6x  2(7)  44 6x  14  44 6x  44 14 6x  30 30 x 5 6 El valor de las incógnitas es: x=5, y=7

Para comprobar los resultados, sólo basta sustituir el valor de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones del sistema original, para verificar que se cumple la igualdad.

Comprobación: 6x  2 y  44 6(5)  2(7)  44 30  14  44 44  44

8x  6 y  2 8(5)  6(7)  2 40  42  2  2  2

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Se aplica en sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita para luego, por medio de procesos algebraicos, reducir la igualdad que resulta y encontrar así una de las incógnitas, misma que será sustituida después en cualquiera de las ecuaciones del sistema original

Ejemplo: 6x  2 y  44 8x  6 y  2 56

Fundamentos de Matemáticas

Al despejar “y” de ambas ecuaciones, se obtiene: y

44  6x 2

y

 2  8x 6

Lo anterior se representa en la siguiente igualdad: 44  6x  2  8x  2 6 Luego, con procesos algebraicos se reduce la igualdad para encontrar el valor de “x” 1 4x 22  3x   3 3 4x 1  3x    22 3 3 

13x 65  3 3 65  x 3  5 13  3

Ya conociendo el valor de “x”, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema original. 6x  2 y  44 6(5)  2 y  44 30  2 y  44 2 y  44  30 2 y  14 14 y 7 2 El valor de las incógnitas es: x=5, y=7

57

Fundamentos de Matemáticas

Para comprobar los resultados, sólo basta sustituir el valor de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones del sistema original, para verificar que se cumple la igualdad.

Comprobación: 6x  2 y  44 6(5)  2(7)  44 30  14  44 44  44

8x  6 y  2 8(5)  6(7)  2 40  42  2  2  2

Por los métodos de sustitución e igualación, resuelva los ejercicios que se muestran a continuación.

Ejercicios 1)

6X1 + 4X2 + 2X3 = 2 3X1 + 2X2 + X3 = -9 X1 - 2X2 + 5X3 = 21

2) 2X1 + 4X2 + 1X3 + 2X4 = 1 X1 + 2X2 + 3X3 - 2X4 = 6 6X1 + 4X2 + 2X3 + 2X4 = 0 7X1 - 4X2 + 2X3 + 2X4 = 11 3)

X1 + 2X2 + 7X3 = -1 5X1 - 4X2 + 9X3 = 0 4X1 - 3X2 + X3 = 18

4)

X1 + 2X2 + 2X3 = 3 -2X1 + 4X2 + 2X3 = 9 2X1 - X2 + 3X3 = 19

5)

4X1 - 4X2 + 2X3 + 2X4 + X5 = 12 X1 + 2X2 + 3X3 - 4X4 + 5X5 = - 5 - X1 + X2 + 3X3 + 5X4 - 7X5 = 19 2X1 - 3X2 + 4X3 + 6X4 + X5 = 14 X1 - 2X2 + X3 + 3X4 + 2X5 = - 3 58