Cuadernillo Matematicas 1 Eso

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MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 1: NÚMEROS NATURALES EJERCICIOS MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR 1. Escribe y repasa los conceptos de: Nº primo Nº compuesto

Múltiplo

Divisor

2. Repaso múltiplos –divisores a) Escribe 5 múltiplos de 4 , 14, 11, 9 y 12 b) Escribe 5 divisores de 44; 6 divisores de 72; 10 divisores de 720; 3 divisores de 28; 5 divisores de 24 3. ¿Es 5 divisor de 72? ¿Y 4 es divisor de 28? 4. Señala los números primos de: 3, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 27, 21 (Rodéalos con un círculo). Indica, a parte, que números son pares. 5. Sin efectuar, descompón: 100, 200, 60, 1.000 , 10.000, 600, 36000, 4.000.000 6. ¿Se puede hallar el M.C.M. y M.C.D. de un sólo número? 7. Calcula M.C.D. y M.C.M. en los siguientes casos: a) 6, 14 y 15 b) 24200, 1650 y 231 c) 540 y 630 d) 600 y 720 e) 900, 1.210 y 3.300 f) 2420, 1650 y 231 8. TIPO I: Tres ciclistas tardan en dar una vuelta al circuito 12, 15 y 20 minutos respectivamente. Si salen a las 12 horas, cuando vuelven a coincidir los tres en la línea de salida. 9. TIPO II: Tres ciclistas comienzan a dar vueltas a un circuito a las 12 horas. El primero tarda en dar una vuelta 12 minutos, el segundo 15 minutos y el tercero no lo sabemos. Han vuelto ha coincidir a las 13 horas. ¿Cuántos minutos tarda el tercero en dar una vuelta? 10. Un frutero tiene 180 Kg. de manzanas y 160 de naranjas. Quiere ponerlas en bolsas iguales. ¿Cuántos kilos podrá poner como máximo en cada bolsa y cuántas bolsas necesitará para cada fruta? 11. Para señalizar el recorrido de una regata se ha colocado bolla cada 15m y una baliza cada 42m. ¿Cada cuántos metros coincidirán una boya y una baliza? 12. El nº de tripulantes de un portaaviones no llega a 2000. Cuando forman en cubierta pueden hacerlo en grupos de 45, de 54 y de 72 personas sin que sobre ni falte ninguna. ¿Cuántos tripulantes tiene dicho portaaviones? 13. Dos campanas suenan cada 35 y cada 42 minutos respectivamente: Si suenan a la vez a las 6 de la tarde. ¿Cuándo vuelven a coincidir?

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14. Quiero dividir tres piezas de tela de 60 m, 90 m, y 135 m cada una en trozos de igual longitud. ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener cada trozo? 15. Tres primas visitan a su abuela: una cada 4 días, otra cada 6 y la última cada 8. Si coincidieron en su visita el 2 de junio ¿qué día volverán a coincidir de nuevo? 16. Queremos construir una alfombra de 1400 cm de largo y 770 cm de ancho con paños cuadrados. ¿Cuánto medirá el lado de cada paño?. ¿Cuántos paños habrá a lo largo y a lo ancho? 17. Una plancha de madera quiere serrarse en cuadrados lo más grandes posible. ¿ Cuál será la longitud de cada cuadrado si las dimensiones de la plancha son 512 cm de largo y 192 cm de ancho? ¿ Cuántos cuadrados obtendremos?

TRABAJO DE GRUPO: LA CRIBA DE ERASTÓTENES

Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia) el 276 a.C. Entre otras cosas fue astrónomo y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a.C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría.. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia voluntad en el año 194 a.C. en Alejandría. Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños conocido como "CRIBA DE ERATÓSTENES". El procedimiento es el que se indica a continuación:

Vamos a hallar los números primos menores que 100. Para ello haz en tu cuaderno una tabla como la siguiente en la que aparecen los números naturales desde el 2 hasta el 100 (el 1 no lo incluimos pues hemos dicho que no se considera primo ni compuesto).

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2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

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19

20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

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41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

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60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

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81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

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99 100

Sigue los pasos siguientes: A. El primer número que aparece sin tachar es el 2, que es primo (rodéalo con una circunferencia en rojo). Tacha, a partir del 2, todos los números de 2 en 2; éstos (4, 6, 8, 10, 12,...) no son primos pues son todos divisibles por 2. La tabla te debe haber quedado como sigue: B. El siguiente número que aparece sin tachar es el 3, que es primo (rodéalo con una circunferencia en rojo).Tacha, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, incluso los ya tachados anteriormente; éstos (3, 6, 9, 12, 15,...) no son primos pues son todos divisibles por 3. La tabla te debe haber quedado como sigue: C. El siguiente número que aparece sin tachar es el 5, que es primo (rodéalo con una circunferencia en rojo). Tacha, a partir del 5, todos los números de 5 en 5, incluso los ya tachados anteriormente; éstos (5, 10, 15, 20, 25,...) no son primos pues son todos divisibles por 5. D. Continúa este proceso mientras te sea posible seguir tachando números: El siguiente número que aparece sin tachar es el... Llegarás a la tabla siguiente que contiene todos los números primos menores que 100. Como trabajo para clase copia la tabla obtenida en una cartulina de tamaño folio. EL PROBLEMA DE MARTA Y DANIEL Marta y Daniel se van a casar y están organizando un banquete. El banquete tiene un total de 212 invitados contando los novios, y en el salón de bodas en el que se celebrará les han dicho que pueden elegir entre mesas de 18, 12 y 8 comensales. Pero existen las siguientes restricciones: 1. por cada mesa que se coloque de 18 personas, se pueden poner como máximo 2 mesas de 12 personas. 2. Por cada mesa de 12 personas, se pueden colocar como máximo 4 mesas de 8 personas. 3. tiene que haber mesas de los tres tipos, de 18, 12 y 8 personas. 4. Todas las mesas deben estar completas. 5. hay que contar con las mesas de los novios, en la que se sentarán los padres. Al examinar la lista de invitados han decidido elegir 3 mesas de 18 personas, una para la familia de la novia, otra para la del novio y otra para los amigos comunes. Para

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el resto de los invitados utilizarán mesas de 12 y 18 personas. ¿Cuántas posibilidades de elección tienen?. LAS FIESTAS DEL CARNAVAL En las fiestas del carnaval de Villarrica, los vecinos se disfrazarán y desfilarán por las calles del pueblo. Este año se han inscrito 156 personas. El ayuntamiento ha decidido que habrá una única comparsa que estará organizada en filas, de manera que cada fila tenga igual número de participantes. Por la dimensión de las calles por la que transcurren, se ha determinado que no podrán hacer más de 10 filas, y que cada fila estará formada como máximo por 60 personas. ¿De cuántas formas pueden desfilar los participantes. LAS ELECCIONES MUNICPALES Para las elecciones municipales de una localidad se han constituido siempre dos colegios electorales, pero esta vez se ha añadido uno más debido al aumento de población que se ha producido en los últimos años. En esta ocasión figuran 1,218 electores y hay que seleccionar unos 400 por colegios. Al presidente de la junta electoral se le ha ocurrido una idea: “Losv e c i nosquef i gur e ne nl al i s t ae nunapos i c i ónques e amúl t i pl ode6ode 8, votarán en el primer colegio. De os restantes vecinos, los 400 primeros de la lista votarán en el segundo colegio, y el resto en el tercero.” ¿Ha hecho bien el recuento el presidente? EL BOSQUE Para contar los árboles de un bosque se elije una parcela y se anota el número de árboles de cada especie; también se anota cuántos so de primera, segunda o tercera magnitud, es decir, más de 15 m de altura, de entre 10 y 15 metros de altura o menos de 1o metros. Se anota también el número de árboles según el grosor del tronco. ACTIVIDADES: 1. Si en una parcela de ¼ de ha hemos contado 38 pinos, 18 eucaliptos y 5 castaños. ¿cuántos árboles de cada una de las clases habrá en un bosque de 86 ha?. 2. En un país, el número de árboles de altura superior a 3 metros y de diámetro del tronco mayor de 7 cm es de 4.250 millones. Si la población es de 40 millones de habitantes, ¿cuántos árboles hay por habitante?. 3. Sabiendo que 1 m3 de madera fresca pesa aproximadamente 650 Kg, completa la siguiente tabla: Volumen de 1 2 3 4 5 madera (m3)

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Peso (Kg) 4. Una empresa de transporte tiene camiones de 8 t, 12 t y 15 t. Para transportar 2.445 kg de madera en un número exacto de viajes. ¿Cuál de los tres tipos de camiones deberíamos elegir?. ¿Cuál es la menos cantidad de madera que podría repartirse en un número exacto de camiones de cualquiera de los tres tipos, sin sobrar nada?. 5. Se quieren cortar leños de 12 m y de 18 metros en trozos iguales de igual longitud. ¿Qué longitud debe tener cada trozo de tronco?. 6. Para repoblar un bosque se planta una fila de pinos separados 2m , a continuación, una fila de abedules separados 4 me y, por último, una fila de castaños separados 3 m. ¿Cada cuantos metros coincidirán en una columna árboles de tres tipos?.

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TEMA 2: NÚMEROS ENTEROS CURIOSIDADES Fu Chang estaba seguro de que el comité reconocería su valía tanto en redacción, literatura y poesía como en matemáticas. El acceso al puesto de funcionario durante la Dinastía tang (618-907) era difícil, pero merecía la pena por sus beneficios económicos y sociales. -

Cuando den su aprobación- pensaba Fu ´- seré funcionario imperial.

El aspirante a mandaría se veía a sí mismo vestido de maravillosas prendas de seda bordada, con criados que le transportaban en un palanquín finamente adornado. La escalera que nacía entre los dragones le condujo al recinto donde el tribunal esperaba para notificarle los resultados. El más anciano de los sabios dijo: - Tu forma de diferenciar las deudas y las cantidades que tenemos mediante los colores rojo y negro respectivamente, representa una innovación y merece ser premiada con el puesto. En la actualidad nadie recuerda a Fu Chang; sin embargo, las deudas bancarias se siguen denominado números rojos en lugar de número negativos. CÁLCULO DEL SALDO DE UNA FAMILIA Don Enrique y su esposa la Sra. Ana han decidido ordenar sus cuentas para estudiar la posibilidad de ayudar al hijo a comprarse una casa. Para esto han decidido hacer un balance mes a mes de todas las entradas y gastos de la familia.

INGRESOS Jubilación don Enrique Trabajo extra de Don Enrique

EUROS 1100

Trabajo extra Sra. Ana Ventas en quiosco

550

650

2500

ENERO GASTOS Reposición de mercancía Comida y mercancía para la cena Entretenimiento Cuentas Arreglos casa

EUROS 1100 160

400 800 200

Trabajan en grupos y luego discuten a nivel del curso: Pregunta 1: Calcular el saldo final del mes de Enero. ¿Es positivo o negativo este saldo? Pregunta 2: El mes siguiente (Febrero) disminuyó las entradas por trabajos extra de don Enrique

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MATEMÁTICAS 1º ESO a 450 y además se gastaron $ 1200 en una salida a la playa de 10 días. Calcular el saldo final de Febrero. ¿Es positivo o negativo? Discute acerca de como se hace en la práctica cuando el saldo es positivo y cuando es negativo. Pregunta 3: En Marzo mejoraron las cosas aunque siguieron los gastos: los trabajos extra de don Enrique aumentaron a 700 y las ventas del Kiosco a 2800. Los arreglos de la casa aumentaron a 800. Calcular el saldo de Marzo. ¿Es positivo o negativo este saldo? Pregunta 4: En Abril se mantuvieron las entradas de Marzo y se redujeron los gastos de arreglos a 100. Calcular el saldo de Abril. ¿Es positivo o negativo este saldo? Pregunta 5: Calcula el saldo acumulado de los cuatro meses y saca conclusiones generales Pregunta 6: Según el saldo acumulado en el primer trimestre del año ¿puede don Enrique y la Sra. Maria ayudar a si hijo en la compra de la casa?. EJERCICIOS CON NÚMEROS ENTEROS 1.- Ubica en una recta numérica los siguientes enteros:- 1 0 ________________________________________________ 2-.Anota el opuesto simétrico de: -3 = 8= -4 =

15 =

0=

-3

4

a=

2

1

-2

-b =

3.-Escribe el entero que representa las siguientes situaciones: a) 3 grados bajo cero = b) Debo $ 2.000 = c) 25 metros de profundidad = d) 80 metros de altura = e) 6 metros a la derecha = f) 3.000 años antes de Cristo = 4.-Escribe el signo > < o = según corresponda: -3 ____ 3 -6 ____ -1 5 ____ 0 -2 ____ 0 0 ____ +8 -4 ____ +4 -9 ____ 0 -1 ____ -1.000 6 ____ +6 /-3/ ____ /+3/ 0 ____ /-8/ /-6/ ____ /+2/ 5.- Dadas las siguientes temperaturas de cinco días de la semana registradas en cierta ciudad del Sur de Chile. Responde: Temperaturas Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Máxima ºC 8 10 0 -3 15 Mínima ºC 0 3 -1 -7 7 a) b) c) d)

¿Qué día se produjo la menor de las temperaturas mínimas? ¿Cuál fue la mayor de las temperaturas máximas? Ordena las temperaturas mínimas de menor a mayor. Ordena las temperaturas máximas de mayor a menor.

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6.- Resuelve las siguientes adiciones: 2+5= 10 + -30 = 800 + -468 =

-7 + -3 = -18 + 24 = 357 + -900 =

6 + -4 = 100 + -32 = 5 + -3 + 10 =

-4 + 8 = -10 + -20 = 238 + 136 = -529 + -469 = -8 + -12 + 10 + -13 + -15 =

7.- An ot ae lnúme r odel ac ol umna“ A”quec or r e s pondae nl a“ B” :

1) 2) 3) 4)

“ A” 5+0=5 2 + -3 = -3 + 2 7 + -7 = 0 (-4 + 6) + -2 = -4 + (6 + -2)

“ B” ____ Conmutativa ____ Asociativa ____ Neutro aditivo ____ Inverso aditivo

8.- Escribe el nombre de las siguientes propiedades de la adición: a + 0 = a ___________ a + (b + c) = (a + b) + c ________________ a + b = b + a __________ a + -a = 0 ______________________ 9.- Resuelve las siguientes adiciones usando la propiedad asociativa: a) -3 + 4 + -8 b) 6 + -5 + -2 + 9 c) -1 + 2 + -3 + -4 + 5 + l5 + 34 + -28 + 60

d) -10

10.- Resuelve las siguientes proposiciones abiertas de adición: +9 + =5 + (-7) = -4

+1 +

= -3

+ (-8) = 0

11.- Resuelve las siguientes sustracciones: 9-5= -6 –(-4) = -2 - 7 = (-19) = 67 –(-33) =

-89 -56 = 600 - 209 = - 5 –(-4) =

5 –(-1) =

234 –(-500) =

-10 –(-8) –(-15) =

18 - 30 =

-538 - 700 =

-7 - 3 –(-10) - 15 =

-24 –

-800 –(-208) = 12 –(-8) –(-3)

12.-Resuelve estos ejercicios combinados de adición y sustracción: a) 3 + 5 - 8 + 4 - 9 b) 6 - 9 + 4 - 5 + 8 - 3 + 7 c) 9 - 8 + 7 –6 + 5 – 4 + 3 –2 + 1 13.- Resuelve las siguientes multiplicaciones de enteros: +5 x +9 = -4 x –8 = +3 x –7 =

-2 x +6 =

14.- Resuelve las siguientes proposiciones abiertas de adición:

+9 +

=5 +1 + + (-7) = -4

= -3

15.- Resuelve estas divisiones de enteros: +12 : +2 = -24 : - 3 =

+ (-8) = 0

+30 : -15 =

16.- Resuelve estos ejercicios combinados sin uso de paréntesis:

-40 : +20 =

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MATEMÁTICAS 1º ESO a) -6 + 3 x –2 –7 x 4 c) –45 x 2 –14 : -7 + 6 x -3

b) 3 –5 x 6 + 4 : 2

17.-Resuelve estos ejercicios combinados con uso de paréntesis: a) -6 - (-2 + 1) + 8 b) -8 –[ 15 –(3 –7) –10 ] c) –7 –{ -3 [ -5 (1 –9) + 4] –6} + 8 18.- Efectúe las siguientes sumas en 1) 12+10= 12) −199+200+198= 2) 8+62= 13) −1256+1000+−1255= 3) 126+200= 14) 201+ −200+199= 4) 2001+2002= 15) −2+−6= 5) 1999+1998= 16) −11+−31= 6) 45+68+13= 17) −25+−6= 7) 19+42+39+47= 18) −10+−1= 8) 32+−28= 19) −209+−208= 9) 18+ −49= 20) −20+−19= 10) −19+27= 21) −100+−99= 11) −8+91= 19.- OTROS EJERCICIOS DE SUMA. 1) 12+54+84+36+12+10= 2) 56+95+13+87+92+9+0+82= 3) −8+−4+−1+−5+−6+−2= 4) −45+−21+−14+−84+−47+−61+−21= 5) −451+−268+−874+−901+−126+−852+−207= 6) −1002+−4861+−6003+−6847+−2006+−4004+−1009+−9000= 7) (−24+56+−17) +( −10+62+31) +−11+32+−9= 8) 78+−54+12+30+( −109 +−219+−600)+(100+397+−205) = 9) (−85+−81+52+57) +−38+( −72+−19+50) +( −95+−52) = 10) (28+69+−29+36+−95 ) +−51+−18+( −84+−6+9+−47) +57= 11) 128+(519+−958+574+−591) +( −419+−618+−671) +( −318+247+−852+408) = 12) 54+12+(−74+67+−61 +−17) +−43+−73+−46+( 13+−75+29) = 20.- Efectué las siguientes restas. 1) 19-14= 2) 45-20= 3) 32-31= 4) 14-82= 5) 10-18= 6) 8-18-17= 7) 47-23-58-11= 8) 24-−23= 9) 41- −21= 10) −33-18= 11) −9-11= 21.- OTROS EJERCICIOS DE SUMA Y RESTAS 1) 54-67+69+21-25+63= 2) −51+27-84-20+56-48= 3) −10-−48+−20-−52+−51-−84=

12) −120-150-20= 13) −1234-1004-−1000= 14) 500- −301-459= 15) −25- −12= 16) −45- −32= 17) −75- −16= 18) −59- −18= 19) −851- −961= 20) −62- −56= 21) −218- −919=

MATEMÁTICAS 1º ESO 4) −27-−19-−24+−96+−102+−71-−64= 5) 451-−248+−749-−129+−845-−549-−374= 6) (−2045-−5129) +−5107 -(−6851+−2015) -−1286-(−6128+−2958) = 7) −94-(14+−64+−58-62+58)+(−28+61+−8) = 8) (6+−21+64-89+−98) -(−54+−195-6)+187-−351= 9) (−54-−17+53) -98-(−78 +−81+−51) -(28-−94-−69) = 10) (94+4+−4-82)+(−65+−89-−19) +−10-(−66-78+−56-15)= 11) (21-9+−13-54)+(−81-−20-−61) +−50+( −91-95+−28-19)= 12) (521+281+−541+284) +( −581-−281−209) +−251+( −208+619+−207+609) = 13) (845+241-−610-506)+(−160+−475-−310) +−518-(−666+307+−196105)= 14) (746+245+−618-513)-(−128+−684+−618) +−208+( −999+419+−637485)= 22.- Efectúe las siguientes multiplicaciones. 1) 9 · 4= 12) 34 ·−25= 2) 7 · 5= 13) 68 ·−71= 3) 26 · 21= 14) −36·18= 4) 11 · 34= 15) −5· −6= 5) 62 · 28= 16) −12· −3= 6) 102 · 310= 17) −4· −25= 7) 14 · 20= 18) −58· −7= 8) −2·10= 19) −20· −14= 9) −7·25= 20) −69 ·−10= 10) 15 ·−61= 21) −125· −243= 11) 10 ·−9= 23 .-OTROS EJERCICIOS DE MULTIPLICACIONES EN ZZ 1) 12 · 4 · 1= 2) 15 · 2 · 12= 3) −10·5· −8·10= 4) −56·14·2= 5) −5· −5· −5· −5= 6) 74 · 23 ·−1·0= 7) (−1· −1·1)·( 1· −1) = 8) (6 · 2) · (−45· −15) = 9) (100 +−100) · (−2−−2) = 10) (−74+−21−−3)· −20= 11) (−25−−13+−56)· ( −20+11) = 12) (−55+−96)·( −102+84−24= 13) (34 −−86+−45)·( −20+37−−28) = 14) (−67+51−−14)·( −20−69+−20)·( 39−40) = 24 .-Efectúe las siguientes divisiones

10

11

MATEMÁTICAS 1º ESO 1) 48 ÷ 6= 2) 105 ÷ 3= 3) 400 ÷ 20= 4) 150 ÷ 5= 5) 1002 ÷ 2= 6) 117 ÷ 13= 7) 495 ÷ 11= 8) 315 ÷−3= 9) 42 ÷−7= 10) −161÷7= 11) −225÷15=

12) −666÷9= 13) 125 ÷−1= 14) 608 ÷−8= 15) −625÷−25= 16) −800÷−40= 17) −75÷−5= 18) −333÷−3= 19) −1084÷−4= 20) −1125÷−25= 21) −47232÷−

25.- SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN ZZ 1) (−52+−16+−17)÷5= 2) (−36÷4)+( −29· −7) = 3) (36 +−73)÷( −14−23) = 4) 5 ·−5·3÷−5· −2= 5) 7 +−4·2+18÷−3= 6) −14·2−−8·3= 7) 2 + 3 ·−4= 8) (2 + 3) ·−4= 9) (−96÷−4)÷4= 10) −96÷( −4÷4) = 11) [(14 · 14) −−4]÷−40+−20= 12) (−102÷17)·( −102÷17) = 13) (654 +−272)÷( 1+−2· −5·19) = 14) (26568 ÷−12)÷82= 26.- MÁS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 1º) 63-84= 2º) (+34) - ( -25 ) = 3º) ( -48) - ( -52) = 4º) ( + 75 ) - ( - 39 ) = 5º) 256- ( + 256 ) = 6º) ( -4 ) - ( + 12 ) = 7º) 68- ( 21 - 54 ) + ( 7 - 72 ) = 8º) - ( 24 - 89 + 18 ) + ( - 91 + 24 ) = 9º) - ( - 417 - 78 ) - ( -518- 287 ) = 10º) 14 + [ 23 - ( 34 - 57 ) ] =

MATEMÁTICAS 1º ESO

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11º) 14 - [ 23 - ( 34 - 57 ) ] = 12º) - 32 - [ 19- ( 24 - 46 ) ] = 13º) ( - 3 ) ( - 6 ) ( + 4 ) = 14º) ( -8 ) ( - 3 ) ( - 7 ) = 15º) ( - 6 ) 8 ( - 10 ) = 16º) - 14 + 3 ( - 8 ) = 17º) 29 [(-10) + 1 ] = 18º) 12 [ 40 + ( - 3 ) ] = 19º) ( 4 - 20) 13 = 20º) (- 5 ) . 7 - 9 ( - 4 ) = 21º) -13 - ( - 3 ) ( - 9 ) + 5 ( - 8 ) = 22º) (- 48 + 32 ) - ( 67 - 82 ) = 23º) 48 - [ 15 - ( 43 - 38 ) - 27 ] = 24º) - [ - 13 + ( 24 - 68 ) ] - ( - 48 + 95 ) = 25º) (-12 ) . 7 - 13 ( - 5 ) = 26º) 12 ( - 7 ) - 12 = 27º) (- 13 ) 3 = 28º) 8 ( - 11 ) = 27.-Resuelve estos problemas, anotando la operación y la respuesta: a) Si pierdes 15 láminas en un juego y 18 láminas en otro. ¿ Cuántas láminas has perdido en total? b) Un equipo de fútbol tiene 8 goles a favor y en otro partido hizo 5 goles más ¿ Cuántas goles tiene en total ? c) Un submarino descendió 46 metros y luego subió 18 metros. ¿ A qué profundidad se encuentra? d) Las temperaturas máximas y mínimas de tres días fueron las siguientes:

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MATEMÁTICAS 1º ESO

Temperatura mínima 12º 15º 10º

Temperatura máxima 25º 27º 23º

-

¿Cómo se calcula habitualmente la diferencia de temperaturas en un día? Escriben las operaciones aritméticas que permiten encontrar los resultados. Por ejemplo, en el primer caso 25 –12 = 13 e) Encuentran la diferencia entre la máxima y la mínima en los siguientes tres casos: Temperatura mínima 0º -4º -8º

-

Temperatura máxima 10º 5º 3º

Realizan cálculos apoyándose en una representación gráfica como la siguiente: 9

/ -4

/ 0

/ 5

- Escriben las operaciones correspondientes, es decir: ( la temperatura máxima) –( la temperatura mínima) = incremento de temperatura 5 –(-4) = 9 f) Encuentran la diferencia entre la máxima y la mínima en los siguientes tres casos: Temperatura mínima -8º -4º -10º

Temperatura máxima -3º 0º -1º

g) Completa el siguiente cuadro: Temperatura mínima

Temperatura máxima

Operación 12 15 10 0 -4 -8 -8 -4 -10

25 27 23 10 5 3 -3 0 -1

h) Santiago tuvo ayer una temperatura de 3º bajo 0 en la mañana y en la tarde subió 18º. ¿ Cuál fue la temperatura alcanzada.

i) Una sustancia química que está a 5° bajo cero se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 12° sobre cero. ¿Cuántos grados subió?

MATEMÁTICAS 1º ESO

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j) María deposita el día lunes, en su libreta de ahorros, cuyo capital ascendía a 1230 €,l ac a nt i da dde126€.Eldí ami é r c ol e sporunaur g e nc i a ,r e a l i z aung i r ode560 €.¿Cuál es el nuevo capital que posee?. Escribe la operación utilizando números enteros. k) En invierno en cierto lugar del sur de Chile la temperatura a las 16 horas fue de 12°C. A las 3 de la mañana hubo un descenso de 17°C. ¿Cuál fue la temperatura registrada a esa hora? l) Un submarino de la flota naval, desciende a 50 metros bajo el nivel del mar y luego desciende 20 metros más. Entonces queda a una profundidad de: m) Calcula tu edad hasta el año 2009 o) ¿ Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César ( año 44 A.de C.) hasta la caída del Imperio Romano de Occidente ( año 395 D. de C.) p) Euclídes, geómetra griego, nació en el año 306 A de C y murió en el año 283 A. de C. ¿ Qué edad tenía cuando murió ? q) La invención de la escritura data del año 3.000 A de C ¿ Cuántos años han transcurrido hasta hoy? r)En cada una de las siguientes actividades imagina que partes del número cero: r.1) Retrocedes 5 pasos y avanzas 3 pasos. ¿ En qué punto te encuentras ? r.2) Avanzas 10 pasos y retrocedes 8 pasos. ¿ En qué punto te encuentras ? r.3) Avanzas 2 pasos y retrocedes 2. ¿ En qué punto te encuentras ? r.4) Si avanzas 13 pasos. ¿ Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto –5 ? s) ¿Cuál es la diferencia de nivel entre un punto que está a 1.500 metros sobre el nivel del mar y otro que está a 300 metros bajo el nivel del mar? t) En Calama la temperatura de hoy fue de 8º sobre 0 en la tarde y 5º bajo 0 en la noche. ¿ En cuántos grados varió la temperatura ? u) Un auto está ubicado a 7 m. a la derecha de un punto A, luego avanza 23 m., retrocede 36m.vuelve avanzar 19 m. y retrocede 36 m. ¿ A qué distancia del punto A se encuentra ? v) Dada la siguiente serie numérica : ... –7, -4, -1, 2, 5, ... ¿ Cuál es la suma del número entero anterior a –7 con 5 ? A. –5 B. –2 C. 5 D. 15 w) En la primera parada de un bus suben 7 personas, en la segunda suben 5 y bajan 2, en la tercera suben 9 y baja 1, en la cuarta parada baja la mitad de los pasajeros. ¿Cuántos pasajeros quedan en el bus? A. 5 B. 9 C. 10 D. 18 ¿Cuántos números enteros hay entre dos números enteros? A. ninguno B. 1 C. 2 D. Infinitos

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MATEMÁTICAS 1º ESO

x) Encuentra el valor de las siguientes expresiones, sabiendo que: a = 2 , b = -5 y c=4 a+b+c a –b + c a –b –c a + b –c 17) En la siguiente recta numérica: x, y, w y z son números enteros. Evalúa cuál de las afirmaciones es verdadera y fundamenta: / x

/ -3

/ y

x·y=z+z

/ -1

/ 0

/ 1

x - y < w · -1

/ w

/ 3

/ z

/ 5

Z+w= 2·w

PARA TRABAJAR EN GRUPO PRESUPUESTO: VACACIONES EN LAS TERMAS Para trabajar en grupos de 3 alumnos y, después, poner en común: La st e r ma s“De lEc l i ps e“of r e c e n,e narriendo, cabañas para grupos de 4 y 6 personas, los precios (en pesos) incluyen el IVA y se indican en la tabla siguiente. La temporada alta es de Diciembre a Marzo y la temporada baja, de Abril a Noviembre.

PRECIOS CON IVA SOLO ALOJAMIENT O ALOJAMIENT OY DESAYUNO PENSIÓN COMPLETA

TEMPORAD A ALTA- 4 PERSONAS 60 EUROS

TEMPORAD A ALTA- 6 PERSONAS 80 EUROS

TEMPORAD A BAJA 4 PERSONAS 40 EUROS

TEMPORAD A BAJA 6 PERSONAS 60 EUROS

70 EUROS

100 EUROS

50 EUROS

90 EUROS

156 EUROS

200 EUROS

130 EUROS

180 EUROS

Basándote en la tabla anterior, contesta las siguientes preguntas: 1) ¿Cuál es la diferencia de precios entre la temporada alta y la baja para cada una de las opciones ofrecidas, tanto para grupos de 6 personas como para grupos de 4 personas?. 2) Un grupo de 6 personas decide ir a las termas del Eclipse en la temporada baja. a) Si el grupo estima que gastarían $2000, en total, por el desayuno de los 6 integrantes ¿cuánto más pagaría, diariamente el grupo, si arrendara una cabaña con el desayuno incluido?. b) ¿Cuánto saldría, al grupo, arrendar una cabaña con pensión completa por 7 días? c) ¿Y cuánto, arrendar una cabaña pagando sólo alojamiento? Calcula cuál es el cobro adicional por pensión completa por los 7 días de arriendo.

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3) Un grupo de 12 personas decide ir a las termas Del Eclipse en la temporada alta y necesitan saber: a. Cuánto pagarían, en conjunto, las doce personas del grupo si: i. arriendan tres cabañas para 4 personas, con pensión completa ii. arriendan dos cabañas para 6 personas, con pensión completa b. ¿Cuál es la diferencia de precios entre la temporada alta y la baja, considerando las dos alternativas anteriores?. c. ¿De cuánto dinero debe disponer el grupo para arrendar 2 cabañas para 6 personas por 7 días y en la temporada alta, si 6 de las personas la quieren sólo con alojamiento y las otras 6 la quieren con desayuno incluido? JUEGO DE GOLF En el golf se denomina par al número de golpes que se necesitan para completar un hoyo . Por ejemplo Para una distancia de 230 metros un par son 3 golpes, entre 230 y 430 son 4 y más de 430 son 5 golpes. Cada campo tiene asignado un par (número de golpes necesarios) según el número de hoyos y sus distancias. La puntuación de cada jugador se obtiene comparando su número do golpes con el par del campo. Así una puntuación de -4 indica que se han dado 4 golpes menos que el par, y una puntuación de +3, que se han dado 3 golpes más del par. En un torneo gana el jugador con menor puntuación. a) Estas son las puntuaciones de cuatro amigos en un campo de par 72. Completa la tabla y ordena los jugadores según la puntuación. JUGADOR Nº DE GOLPES PUNTUACIÓN LUIS 69 MARTA -4 ANA 72 ANTONIO +5 b) Completa la tabla con Pablo, Pilar, Elena. Sabiendo que: a. Pablo obtuvo 2 puntos menos que Elena. b. Pilar obtuvo 8 puntos más que Pablo. c. Elena obtuvo 5 puntos más que el ganador. TEMPERATURAS La temperatura de una cámara frigorífica de un laboratorio se puede aumentar hasta 4 ºC, o descender hasta en 5 ºC, de hora en hora. El problema es que, una vez programada la temperatura deseada, no la alcanzará hasta transcurrido una hora. En ese laboratorio se trabaja con sustancias que hay que enfriar a una determinada temperatura durante un periodo de tempo. Por ejemplo, la sustancia 1 necesita estar 10 minutos a una temperatura constante de 3º C. Hoy se enfriarán estas sustancias: SUSTANCIA TIEMPO (minutos) TEMPERATURA (º C) 1 10 3 2 25 -9 3 30 -7

17

MATEMÁTICAS 1º ESO 4 5 Si la cámara está a 0 ºC, ¿cuál es el mínimo tiempo necesario?.

5

JUEGOS MATEMÁTICOS Desafíos entre dos jugadores: 1. Los números del 1 al 15 están escritos en tres filas como se muestra más adelante. El juego consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. El que se lleve el último pierde. ¿Cuál es la estrategia ganadora?

1

2 8

3 9 13

4 10 14

5 11 15

6 12

7

2. Los números del 1 al 16 están escritos en cuatro filas como se muestra más adelante. El juego consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. El que se lleve el último gana. ¿Cuál es la estrategia ganadora? 1

2 8

3 9 13

4 10 14 16

5 11 15

6 12

7

3. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 5, y los suman a los números elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 50 es el ganador. Veamos una partida: Primer jugador Segundo jugador Suma total

3

4

1

5

4

5

1

5 4 3 5 4 1 5 3 8 12 16 17 20 25 30 34 38 43 44 45 50

¡Gana el segundo jugador! Después de jugar algunas partidas, ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?

4. Sobre una hoja rectangular(buscar un tamaño adecuado a la cantidad de monedas que se tengan), dos jugadores empiezan a colocar alternadamente, sobre ella, monedas una a una; esto es, el primer jugador coloca una moneda; acto seguido coloca otra moneda el segundo jugador; de nuevo el primero, y así sucesivamente. Pierde el que se vea forzado a colocar una moneda que sobresalga de la hoja. Y no vale sobreponerlas. 5. Si el número de mi casa es múltiplo de 3, se trata entonces de un número comprendido entre 50 y 59. Si el número de mi casa no es múltiplo de 4, se trata entonces de un número

MATEMÁTICAS 1º ESO comprendido entre 60 y el 69. Si el número de mi casa no es múltiplo de 6, se trata entonces de un número comprendido entre 70 y el 79.¿cuál es el número de mi casa?

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MATEMÁTICAS 1º ESO

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TEMA 3 : RAÍCES Y POTENCIAS POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS: Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente.

1) Propiedad de potencias de igual base: a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.

EJEMPLO:

b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.

EJEMPLO:

2) Si una potencia está elevada a otro número , se MULTIPLICAN los exponentes. EJEMPLO: 3) Las potencias con exponente par dan siempre como resultado números positivos: EJEMPLO: 4) Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo signo es igual al de la base. EJEMPLO:

MATEMÁTICAS 1º ESO 5)

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PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

a) La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION. EJEMPLO:

b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA. EJEMPLO:

RADICACION DE NUMEROS ENTEROS: Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando.

PROPIEDADES DE LA RADICACION: 1) DISTRIBUTIVA a) Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION. EJEMPLOS: En la multiplicación

En la división

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MATEMÁTICAS 1º ESO

b) NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA. EJEMPLOS: En la suma

En la resta

2) SIGNO a) Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo. EJEMPLO:

b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando. EJEMPLO:

3) Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices. EJEMPLO:

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MATEMÁTICAS 1º ESO

NOTACIÓN CIENTÍFICA Para expresar en forma abreviada cantidades muy grandes o muy pequeñas se recurre a un tipo de notación tal como se expone a continuación: FORMA GENERAL DE x · 10n (x LA NOTACIÓN < 10 CIENTÍFICA CIFRA CONVENCIONAL

R, n

Z) Restricción de x 1

PASO INTERMEDIO ILUSTRATIVO

x

NOTACIÓN CIENTÍFICA

9.000.000 6.800.000.000 3.421.000.000.000

9 · 106 6,8 · 109 3,421 · 1012

0,000009 0,0000000086 0,0000000001243

9 · 10-6 8,6 · 19-9 1,243 · 10-10

EJERCICIOS 1.- Expresa en forma de potencia los siguientes productos:

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2.- ¿Cómo se llama al número que se repite en un producto de factores iguales. ¿Y el que indica las veces que se repite?. 3.-Escribe las potencias que tengan: a) base 4 y exponente 2 b) base 5 y exponente 3 c) base 2 y exponente 6 c) base x y exponente y 4.- Expresa estas potencias como producto de factores y calcula su valor:

5.-Calcula el valor de estas potencias:

6.-Escribe en forma de potencia: a) 10 · 10 · 10 = 1.000 = b) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =100.000 = c) 10 · 10 = 100 = d) 10 = 10 = Observa que en un producto de potencias cuya base es diez el exponente es el número de ceros que tiene el producto. 7.-Escribe en potencia de base diez los números siguientes: a) Un millón b) Un billón c) Cien mil millones d) Cien e) Diez mil f) Cien millones 8.- Escribe como producto de un número por una potencia de base diez los siguientes: a) 12.000 = b) 150 = c) 7.000.000 = 9.- Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide 15 cm. Recuerda que el área de un cuadrado es A= l * l = l 2 10.- Calcula el valor de estos productos como el ejemplo que te pongo: ·

11.- Escribe como una sola potencia:

12.- Calcula el valor de estas divisiones como el ejemplo que te pongo:

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13.- 7 0 es una potencia de exponente cero. ¿De dónde viene una potencia de exponente cero? . 14.-Yo te propongo esta igualdad: 90 = 1; ¿Tú crees que es correcta? Si es así ¿cómo lograrías tú convencerme de que tu respuesta es cierta. 15.- Prueba a hacer este ejercicio de las dos formas que te propongo:

¿Da el mismo resultado de las dos formas? 16.- Resuelve este ejercicio de las dos formas que te propuse en el anterior, si en algún ejercicio no puedes de las dos formas hazlo solo de una:

17.- Resuelve: a 2 · a 2 · a 2 = _________¿Es un producto de potencias de la misma base? ¿Se resuelve dejando la misma base y sumando los exponentes? ¿Cuál es el resultado? ¿Sería lo mismo que si lo consideráramos como un producto de factores iguales?. ¿Cuál sería la base?. ¿Y el exponente?. ¿Sabes cómo se llama esto? 18.- Resuelve los siguientes ejercicios:

19.-Dos docenas de cajas contienen 12 rodamientos cada una , formados por 12 bolas cada uno. ¿Cuántas bolas hay? Expresa el resultado en forma de potencia. 20.-Un alumno ha dibujado un cuadrado de 3 cm de lado y otro de 4 cm de lado. Si dibuja otro cuyo lado es la suma de los dos anteriores, ¿qué superficie tiene el nuevo cuadrado? 21.-Termina la frase: La operación inversa de la suma es _________, la operación inversa de la multiplicación es _______________ y la operación inversa de la potencia es la ______________. 22.-Si en una potencia nos dan el resultado y nos piden hallar la base. ¿Cómo se llama a esa operación? 23.- Calcula la base de estas potencias:

¿Cuáles de los ejercicios anteriores son raíces cuadradas? ¿Por qué?.

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24.-Escribe los veinte primeros cuadrados perfectos. ¿ Por qué se les llama cuadrados perfectos?. 25.- Escribe las raíces cuadradas exactas de los siguientes números: a) 25 b) 81 c)144 d)225 ¿Son cuadrados perfectos los números que he escrito anteriormente? 26.- Teniendo en cuenta lo siguiente:

27.- En una raíz cuadrada exacta ¿cómo se halla la prueba? ¿y en una inexacta?. 28.- Halla las siguientes raíces cuadradas y subraya las exactas a) 245 b)400 c)1225 d)978 e) 3456 f) 21 g) 2489 h) 24560 29.- El aula de 1º de ESO mide 100 metros cuadrados de área. Calcula el lado si el aula es cuadrada. 30.-Un parque cuadrado tiene una extensión de 8.100 metros cuadrados. Si para entrenarme doy 5 vueltas a su alrededor, ¿sabes cuántos metros recorro? 31.- Observa este ejercicio: ¿Da lo mismo si lo hacemos de esta otra forma?

32.- Resuelve el ejercicio anterior de las dos formas: 33.- Javier quiere colocar 25 vasos de la cocina formando un cuadrado. ¿Puede hacerlo? 34.-Halla los metros de cuerda que necesitan para rodear 7 veces un cuadrado de 289 metros cuadrados de área. 35.- Realiza las siguientes operaciones: a) b) c) d) e) f)

(–2)3 = –(+4)3 = (-2)2 · (–3)3 = (–5)3 · [(–3) + (–2)] = (–5)3 · (–5)2 = (–5)3 : (–5)2 =

MATEMÁTICAS 1º ESO g) [(–2)3 · (–2)2] : (–2) =

36.-. Efectué las siguientes potencias:

37.-Efectúe las siguientes raíces.

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38.- El volumen de un cubo es 24 cm3. ¿Cuánto vale el volumen del cubo cuyo lado es el doble?. 39.- Se sabe que el cociente de dos números es 13 ¿Cuánto vale el cociente de sus cuadrados? 40.- Un cubo tiene 729 cm3 de volumen. Hallar la arista del cubo y la suma de las áreas de todas sus caras. 41.- El área de un cuadrado mide 50 cm2 ¿cuál es el área del cuadrado construido sobre su diagonal? 42.- Expresar en notación científica los segundos de un año. 43.- Escribir en notación científica: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

230 000 000 000 000 0, 000 000 000 001230 12000000, 0,0000327, 0,00001, 475200, 128, 2,578, 3467,5

44.- Calcular los Km que recorre la luz en un año. Escribirlo en notación científica con dos decimales. (Un año, 365 días; velocidad de la luz, 300.000 Km/s). 45.- El átomo de hidrógeno pesa 1,66 10-24 g. ¿Cuántos se necesitan para obtener 1,66 Kg?. 46.- La masa de la Tierra es 5,98 1024 Kg y la del Sol, 1,98 1030 Kg ¿Cuántas veces es mayor el Sol que la Tierra?. 47.- Un paramecio mide 2,5 10-5 m. Si estuvieran colocados en línea recta, ¿qué longitud alcanzaría 1 millón de paramecios?

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48.- Si a un número x lo multiplicamos por 2. ¿Cuánto aumenta su cuadrado?. ¿Y su cubo?. ¿Y si le añadimos una unidad?. 49.- Ar quí me de ss epl a nt e óe ls i g ui e nt epr obl e ma :“ Sil aTi e r r ae s t uvi e r af or ma dapor granos de arena, ¿cuántos tendría? Datos: Longitud del ecuador 40.000 Km. Número de granos de arna que entran en un mm3: 100. Expresar el resultado en notación científica. 50.- Calcular el área aproximada, en metros cuadrados, de la Tierra, tomando como radio 6.500 Km y el número π=3, 14.Es c r i bi re lr e s ul t a doe nf or mac i e nt ífica con tres cifras decimales. 51.- Expresar en notación decimal. 2,53 · 103, 3,5 · 10-2, 4,234 · 106, 4,12 · 10-5 52.- Realizar las siguientes operaciones. a) b) c) d)

53.- Realizar las siguientes operaciones.

54.- Calcular las raíces descomponiendo en factores primos:

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55.- Realiza las siguientes operaciones:

56.- Realiza las siguientes operaciones.

57.- Calcula:

PARA TRABAJAR EN GRUPO MENSAJES DE MÓVILES A Sofía le ha llegado el siguiente mensaje telefónico: -

No rompas la cadena de la fortuna. Reenvía este mensaje a tres de tus amigos y la buena suerte llegará a tu vida.-

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En su grupo ecologista quieren hacer una campaña para concienciar a la gente del deterioro de los fondos marinos. Sofía mandará este mensaje a tres de sus amigos: -

Charla informativa Viernes 13:00 h. envía mañana este mensaje a tres amigos. SALVEMOS LOS MARES a) ¿Cuántos mensajes se enviará el tercer día?. ¿Y el cuarto?. b) Si queda una semana para el acto y todas las personas mandan su mensaje, ¿a cuántas personas, como máximo puede llegar el mensaje de Sofía?. c) ¿Qué ocurriría si Sofía hubiera mandado sólo dos mensajes?. ¿Y si hubiera sido 4?. ¿Y 5?. CADENA SOLIDARIA Pamela, una muchacha muy solidaria, buscando siempre la manera de ayudar a los demás, llamó por teléfono a tres amigas comprometiéndolas para que ese mismo día, cada una regale un kilo de alimentos, tal como ella lo había hecho el día anterior, a un hogar de ancianos llamado "Paz de la Tarde" y que llamen a otras tres amigas para que ellas, a su vez, al día siguiente también regalen un kilo de alimentos a este mismo hogar y llamen a otras tres amigas, y así continuar diariamente con esta cadena de solidaridad. Si todas las personas involucradas en la cadena cumplen con dichos compromisos, ¿cuántos kilogramos de alimento recibe el hogar de ancianos al cabo de 10 días? La empresa Amistad, al conocer la labor de Pamela, decide integrarse a esta cruzada de solidaridad, entregando 27 veces los kilos reunido hasta el quinto día. Para no ser menos, la empresa Bondad, coopera entregando 9 veces lo reunido hasta el sexto día. Considerando los aportes de estas empresas, ¿Cuántos kilogramos de alimento se reunió en total?. ¿Qué podrías señalar con respecto al aporte dado por ambas empresas? Si el hogar "Paz de la Tarde" está compuesto por 147 ancianas y 96 ancianos. ¿Cuántos kilogramos, del alimento donado por las amigas de Pamela, corresponden a cada uno? Si una de las amigas de Pamela que recibió el llamado el primer día no entrega su aporte ni llama comprometiendo a otras personas, ¿cuántos kilogramos no se recibieron por esta irresponsabilidad?, ¿qué le dirías a una amiga que te fallara de esa forma? Si la campaña hubiese sido por 15 días y la empresa Amistad hubiera aportado 27 veces lo reunido hasta el día undécimo y la empresa Bondad 9 veces lo alcanzado el décimo día. ¿Cuántos kilogramos de alimento se habrían reunidos en total? ¿Crees tú posible el efectuar una campaña idéntica a la desarrollada por Pamela?. Si tu respuesta es positiva: ¡manos a la obra! PUBLICIDAD

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El consejo directivo del Polideportivo NUEVO CENTRO ha decidido incluir publicidad en su campo de hokey. La pista de hokey tiene una superficie de 800 m2, y los bordes están rodeados por vallas publicitarias. Se propone cobrar una cuota de 400 €/ m2. Los miembros del consejo directivo quieren calcular el dinero anual que recibirán pero desconocen las dimensiones exactas de los lados del campo. A un miembro del consejo se le ha ocurrido una forma de calcularlo, pues el campo de hokey está formado por dos cuadrados iguales. ¿Cuánto recibirán anualmente por la venta de la publicidad?.

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TEMA 4: FRACCIONES CURIOSIDADES: ESTUDIO DE LA PROPORCIÓN HUMANA Leonardo da Vinci en la isla donde estaba Luca Paciola examinando las ilustraciones de su libro. - Vuestro trabajo me parece fantástico –dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos. - Gracias padre Pacioli –respondió Da Vinci hizo una leve inclinación-Vuestra obra, la divina proporción, lo merecía. - Acerté a encargaros ilustraciones del libro, pues sabía que el tema de las proporciones os apasionaría desde el momento en que me enseñasteis el boceto del Hombre del Vitrubio –remarcó Pacioli. - Las proporciones humanas que Vitrubio recoge en sus cánones de belleza del arte actual- explicó Da Vinci -. Sabéis que la distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura del hombre, que la distancia del codo a la axila es un octavo o que la longitud de la mano es un décimo?. El Fraile miró su mano y preguntó: - Si mi mano mide 17 cm, ¿cuál es mi estatura?, ¿cuánto mide mi brazo?. a) Realiza medidas a personas que conozcas y comprueba si se adaptan a esos cánones. b) Lee el texto ¿Cuánto has crecido hoy? de la página 87 y trata de pronosticar tu medida para dentro de 90 días. c) Hacer un mural en la clase donde se indiquen estos resultados.

1. CONCEPTOS SOBRE FRACCIONES 1. Forma dos proporciones con:

1 2

2. Di si son ciertas las siguientes proporciones: 3. Halla la fracción irreducible de 15 = 45

1 3 ;  9 12

75 = 525

66 = 108

6 2;  3 1

8 = 18

3 9  7 21 81 = 801

4. Halla dos fracciones equivalentes mayores y dos menores a 25 /75 5. Halla dos fracciones equivalentes con denominadores menores y dos con denominadores mayores a 48 36

6. Escribir un quebrado que tenga por denominador 20 y sea equivalente a 7 7. Escribir una fracción que sea equivalente a 9 y que el denominador sea 3 8. Escribe una fracción menor que 5/6 cumpliendo: 1. Que tenga menor denominador... 2. Que tenga mayor denominador...

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9. Ordena de menor a mayor a. 6/5, 2/8, 4/7 2/5, 1/5, 7/5 b. 2/9, 2/5, 2/15 7/3, 7/12 10. Ordena de mayor a menor 1. 14/21, 5/7, 2/3 3/3 2. 2/7, 9/7, 5/7, 7/7

7/8, 4/6, 1/5

3/5,

6/8, 5/8, 1/8, 10/8

7/5,

3/5, 7/9, 4/6

2/3, 5/3, 7/3,

1 / 4, 1/5, 1/8, 1/10 2/5, 2/3, 2/6, 2/2

11. Di en cada caso qué fracción es mayor a. 21/4 y 7/6 4/9, 3/5 y 2/15 b. 2/8, 1/7 y 3/14 7/5, 8/3, 4/15 12. Ordena de menor a mayor: 1. 1/3, 4/6, 7/18 2. 9/2, 3 / 4 ,7/12

2/5, 1/6, 3/2 7/6, 2 / 3, 1 / 18 y 7 / 2

13. Tres amigas compran una caja de pastas para merendar. María se come 4 / 5 partes de la caja, Rosa 5 / 7 partes y Laura 9/13 partes. ¿cuál de las tres come más? 14. Juan dedica de su tiempo 2/15 al estudio de ciencias, 4/9 al estudio de lengua y el resto a Matemáticas. ¿A que asignatura dedica más tiempo?

2. OPERACIONES CON FRACCIONES SUMAS Y RESTAS 1. 11/7 + 6/7 + 3/7 7/9+4/9+1/9-15/9 2. 1+3/4 3. 11/3 - 2 4. 3 –2 / 5

3/2+1/4+5/8 15/2 - 7 1 / 4+ 5 –1 / 3

2+4/3+1/2 5/3-1/6+3/2-1/8 8 –1/ 2 + 5 / 6 7 –1 / 4 + 5 / 2

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 5. 6.

3 2 1  5 5 6 4 3 :  11 16

4 2 9  7 6 5 4 3 :  5 7

3 9 4   2 10 6 5 3 :  6 2

1 2 3  3 5 2 9 7 :  12 5

3 2 :  7 8 4 3 :  17 16

OPERACIONES CON SIGNOS 7.

6 5 = 15

1 ( 2)  8

5 15   9 3

1 3 = 5

12 ( 4) = 9

34

MATEMÁTICAS 1º ESO 5  5 18 6

8.

12 ( 4) = 19

=

12 ( 4) = 9

6 5 = 15

5 15   9 3

COMBINADAS 9. Efectúa 9.1. Fracciones con paréntesis 3 1  2 1  a)       5 4  5

5  1 3  2  1    2  14 12  4 4  

5

3 4  3 1  b)       25

15  50

14 15 7    :   25 2 9  3 1  2 1       5 4  5 5 

3

5 55  2 c)   : :  21 3  7 2 1 1 d)  4     5 2 3 

 2 7  1 2 5  9 e)     3       4 7  7 

7  7

3

5  1 3  2  1    2  14 12   4 4  5  1 3  2  1    2  14 12  4 4  

9.2. Jerarquía de operaciones f)

3 2 1 2   2    25 15 9 3 

1 1 1 5 g) 3    1  : 4

2

4 3

3 2 1 2   3    5 5 6 3 

5 3 25  8   21 5 36

h)

2 2 3 3   3 3

i)

5 2 2  2 3   4 7

1 1 1 5 3   1  : 4 2 4 3 4 2 1 1  5  2   3 5 5 5

j)

2 4 1  3   15 9 2

4 15 1 1    12  3  5 3 2 4  

k)

3 2 1 2   2    25 15 9 3 

4 2 2 3 2  ( 3  )  15 4 4

9.3. Realiza las siguientes operaciones con fracciones: 5 7 2  6 4 7  a)    f)    9 6 3  7 5 2  7 3 1  8 6 3  b)    g)    5  10 3  3 7 2  5  15 3  5 3  2 c)    h)    12 8  3 3 2 4   11   2 3 1  7 d)  2  i)    4  5 5 10  2 3 5 7  9 2  3 e)    j)    4 6 2  5 3  5

35

MATEMÁTICAS 1º ESO 9 3  5 k)    4 8  4

9.4

7 51  3 l)    8 2  2

Calcula y simplifica el resultado

25 7  4 18 a) 12     6 6  18 4 2 3 4  9 4 b)    6  16 6 8  5 8 7 17 7 2 c)  6  6  17 57 4 8 2 32 4 5 d)   45  32 4 2 7 1 2 2 3 e)    4 3 5 5 12 2 1  5 7 f) 4     7 5  3 24 19 3 1  2 4 g)     5 4 7  6 9 4 37 4  h) 5    7 9 47 8  MÁS OPERACIONES CON FRACIONES Y NÚMEROS ENTEROS:

1.- Efectúa las siguientes operaciones: a) 2 3  5 8 (4) 2  2 3 (7 3 2 )  b) 1 3 5  8 (4) 2  2 3 (6 3 )  c) 2 3 5 8 (4) 2 3 (7 3 )  d) 2 (2) 2 (2) 3 (2) 4 ( 1) 5 ( 1) 6 ( 1) 7  e) 2 2  5 1 1 12 (1) 2 (1) 3  2 f) 2  2  2  2 5 1 g) 2 5  3 1 3 4  2 7  3 5  1 7  2 4  3    h) 1 1  5 1  (5) 5  (1) 2  5 1  (5) 3 i) (1) 3 3   1 (2) (2) 3 (5) 2  (3)  2 5 3 j) 1 (2) 1  (1) (2)   3  (2 5) (1)2 4  k)  3 (5)  (2) 2 (1)  (3)   2  (4) 1 (5 2 )  33  l) 7  8 2  :   42  5 1 2 5 2 1 2 7 m)         9 4 3 8 5 3 5 9













MATEMÁTICAS 1º ESO 2 4 3 2 9 10 40 :  : 2 1 :  : 1 :  7 5 14 3 4 3 23 1  1 1 1 ñ) 8  2   1   2  4 6 2

n)

o) l)

2 3 2 1 1  1  1   1 1 1  5    1   1              1   3  3 2 3 4  3 2              3

2.- Efectúa las siguientes operaciones:  2  2 3  1 a)       5  7 5  5  3 2  1 3  b)      7 5  7 7   3  5  4  1  c)         4  6  5  6  8  2  1  2 d)       5  7  5  3    1  1 7 1 e)        4  5 4 5   7 7  1 3 8   f)       3  3  5 5 4    8   3  5  8         9   4  3  7   2 2 1 4 h)        3 5 7 3 7 3 2 5  1 i)       9 5 7 4  3 2 2 3 1 j)      7 7 4 5 3 8 3 2 1 k)      5 4 9 5 7 4 3 9 l)    9 5 7 2 3 2 8  m)      5  4 7 5 3  7 2 1 2 1 1  n)   :     4 7 5 4 4 10  8 9  3 2 3 ñ)   :    5 4  6 5 6 8 1 1 3 1 2 o)        3 4 9 6 6 7 g)

36

MATEMÁTICAS 1º ESO

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 2 2 7 2 1  p)     :     3 4 7 5   9 8 7 2 2 1 3  q)         3 4 8 3 7 2 

PROBLEMAS DE FRACCIONES NOTA: Todos los problemas de los bloques A , B y C, pueden ser planteados de varias formas, según el dato que se desconozca. En cada uno de ellos, una vez se haya resuelto, se deben plantear y resolver de todas las formas no enunciadas. A continuación se realizan dos ejemplos con los posibles planteamientos. PROBLEMA A (fracción simple) TIPO I: Un padre reparte 36.000 euros. A uno de los hijos le corresponde los 2 / 5. ¿Qué dinero le corresponde? TIPO II: Un padre reparte 36.000 euros. A uno de los hijos le corresponde 14.400 euros. ¿Qué fracción del dinero inicial le corresponde? TIPO III: Un padre le da a un hijo 2 / 5 de su dinero, correspondiéndole un total de 14.400 euros. ¿Cuánto dinero tenía el padre inicialmente? PROBLEMA B (suma de fracciones) TIPO I: Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del capital, el segundo2/5 y el tercero el resto. Al cabo de 3 meses reparten unos beneficios 9.000 euros ¿Cuánto corresponde a cada uno? TIPO II: Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. Al cabo de 3 meses han repartido 9000 euros de beneficios. Al primero de ellos le ha correspondido 3000 euros y al segundo 3600 euros. ¿qué parte del capital inicial aportó cada uno? TIPO III:Tres socios aportaron para formar una empresa 1/3 del capital el primero de ellos, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses han repartido beneficios, y al tercero de ellos le han correspondido 2400 euros. ¿Cuánto dinero ha supuesto los beneficios?

A) CONOCIDA CANTIDAD INICIAL CALCULAR UNA FRACCIÓN (directos) 1. En una clase hay 30 estudiantes, de los cuales los 3/5 son alumnas. ¿Cuántas alumnas hay en esta clase?. 2. En la clase de Raquel hay 36 alumnos de los que 5 /6 no sacan SB en lengua, ¿ qué fracción es la que saca SB?, ¿cuantos alumnos no sacan SB?. Si fuera 15 alumnos los que sacan Notable ¿qué fracción representaría?

MATEMÁTICAS 1º ESO

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3. Un camión transporta 15 toneladas de fruta, 1/5 de dicha carga son naranjas, 2 / 3 manzanas y el resto peras. ¿cuántas toneladas de cada fruta transporta? 4. Se divide una finca en tres parcelas. La primera es los 2 / 5 y la segunda 1 / 4. Si la finca tiene 20.000 m2. ¿Cuánto mide cada una de las parcelas? 5. Un libro se hace con la colaboración de 18 personas. De ellas, 1/3 corresponde a autores, 1/9 a secretarias, 1/6 a maquetistas, 2/6 a dibujantes y el resto a personal de imprenta. Calcula el número de colaboradores de cada clase. 6. En las elecciones municipales se presentaban dos partidos, A y B. El primero ha obtenido los ¾ de los votos válidos. El partido B ha conseguido los 5/20 de los votos válidos. a) ¿Cuál de los partidos ha ganado las elecciones? ¿Por qué? b) Miguel dice que el número de votos que ha conseguido el partido B es la mitad de los que ha conseguido el partido A. ¿Es cierto lo que dice Miguel?¿Por qué? c) Si el número total de votos válidos ha sido de 2500, ¿cuántos votos válidos ha obtenido el partido A y cuántos el partido B? 7.

Don Miguel debía 4200 euros. Ha pagado, primero, 3/5 de la deuda y, después, la sexta parte de la deuda. De nuevo ha pedido un préstamo por el doble de euros de lo que le faltaba por pagar. ¿cuánto debe en la actualidad?

8.

Cierta clase de tela, al lavarla, encoge 2/15 de su longitud. Si compro 60 metros y medio de tela por 540 euros. a) ¿Qué longitud tendrá la tela después de lavarla? b) ¿A qué precio resultó el metro de la tela lavada?

B) FRACCIÓN DE UN TOTAL (directos) 1. Un barco carga en Barcelona 1/12 de la capacidad e sus bodegas, en Valencia 1/6 y en Cartagena 1/8. ¿Qué parte de la bodega podrá llenar en Cádiz? 2. En una ciudad, durante el año 1989, ha llovido 73 días, y 15 días estuvo el cielo nublado. a) ¿Qué fracción del año ha llovido? b) ¿Qué fracción del año ha estado el cielo nublado? 3. En un depósito había 3000 litros de agua y estaba lleno. Un día se gastó 1/6 del depósito y otro, 1250 litros. ¿Qué fracción queda? 4. En un colegio hay 1095 alumnos que realizan actividades extraescolares: 1 / 3 hace judo, 2 / 5 estudia italiano y el resto ballet. a) ¿Qué fracción realiza ballet? b) ¿cuántos alumnos hacen cada uno de los tipos de actividades?

MATEMÁTICAS 1º ESO

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5. Un profesor ha corregido 2/5 de los exámenes con rotulador rojo y 1/4 con bolígrafo azul. Si todavía le quedan por corregir 42 Exámenes, ¿cuántos tenía que revisar en total? 6. En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un día corresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fruta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 8900 pesetas, ¿Qué caja ha hecho el establecimiento? 7. De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte, quedando aún 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón? 8. Un grupo de amigos comenzó la ESO, pero sólo acabaron estos estudios las ¾ partes del grupo. Los 2/3 han hecho Bachillerato y únicamente eran 12. ¿Cuántos amigos empezaron juntos la ESO? 9. Los reyes de una dinastía tuvieron nueve nombres diferentes. La tercera parte del número de reyes llevó el primero de estos nombres; la cuarta parte, el segundo; la octava parte, el tercero; la doceava parte el cuarto, y cada uno de los nombres restantes los llevó un solo rey. Hallar el número de reyes de la dinastía. 10. Tres amigos dividen 720 caramelos en 10 partes iguales. Al repartirse los caramelos, el primero se lleva 5 partes y el segundo se lleva 3 partes a) ¿cuántas partes se llevará el tercero? b) ¿cuántos caramelos les tocará a cada uno de ellos?

C) FRACCIÓN DE LO QUE QUEDA (complejos) PROBLEMA 1 TIPO I: Una máquina teje en un día 1/8 de una pieza de 96 m. Al día siguiente teje los 2/7 de lo que quedó el día anterior. ¿Cuántos metros teje en los dos días? ¿Qué parte de la pieza queda por tejer? TIPO II: Una máquina teje en un día 12 m de una tela, lo que supone 1/8 del total de la tela. Al día siguiente teje los 2/7 de lo que quedó el día anterior. ¿Cuántos metros de tela teníamos inicialmente? TIPO III: Tenemos una tela de 96 m. El primer día hemos tejido 12 metros y el segundo día 24 metros. ¿Qué fracción de tela se teje primer día? ¿Y el segundo? ¿Qué fracción de tela supone lo que se teje el segundo día respecto a la tela que quedaba? 2. Luis hace las 3/5 partes de un trabajo y José Antonio los 2/9 de lo que falta. ¿Cuánto debe hacer Carmen para terminarlo?

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3. Un depósito contiene 600 m3 de agua. Para regar una finca se extraen los lunes los 2/5 del depósito y el miércoles 1 / 3 del agua que quedaba. ¿Qué cantidad de agua se sacó cada día? ¿Cuántos litros de agua había el jueves? 4. Un sastre tenía una pieza de paño y empleó los 2/5, luego los 2/7 y le quedaron 22 metros. ¿Cuál era la longitud de la pieza entera? 5. Sonia ha comprado, con un quinto del dinero que tenía, un libro de aventuras. Con la tercera parte de lo que le quedaba compró una caja de pinturas y con lo que le sobró compró unos pantalones de 39 euros. ¿Cuánto dinero tenía Sonia antes de comenzar las compras? ¿Cuánto le ha costado el libro y la caja de pinturas? 6. Un tonel está lleno los 3/5 de su capacidad. Se saca 1/5 del líquido que contiene. Si la capacidad del recipiente es de 45 litros. ¿Cuántos litros quedan? 7. Una persona se gasta 2/3 de su sueldo en comida, de lo que le resta se gasta 1/4 en alquiler de la casa. Al final, con el dinero que le queda se gasta la mitad en divertirse y la otra mitad lo ahorra. Si ahorra 180 euros cada mes ¿cuánto gana en total? 8. La columna que sostiene un puente está enterrada 1/5 en tierra, protegida de hormigón ¼ de lo que queda y cubierta por el agua 2/3 del resto. Si sobresalen al aire 6 metros ¿cuánto mide la columna? 9. En un quiosco se han vendido a lo largo de la mañana los 2/3 de un lote de periódicos. Por la tarde se han vendido la mitad de los que han quedado. d) ¿Qué fracción del total de periódicos representa los vendidos por la tarde? e) Si no se han vendido 20 periódicos, ¿cuántos había al empezar la venta?

10. Un autobús deja en la primera parada 1/5 de los viajeros; en la segunda, ¼ de los que quedaban, en la tercera 1/3 del resto y en la cuarta deja ½ de los que aún quedaban a bordo. Por fin en la quinta y última parada deja 10 viajeros y se queda vacío. ¿Cuántas personas había al principio? ¿Cuántas se bajan en cada parada? 11. El dueño de un establecimiento vende los 2/3 de una pieza de tela y uno de los dependientes 1/5 del resto, quedando 4 m sin vender. ¿Cuántos metros medía la pi e z adet e l a ?¿ Cuá le se lva l ordel ami s maa2’ 5Eur ose lme t r o? 12. Un jugador pierde la cuarta parte del dinero que lleva y más tarde la mitad de lo que le queda. Suponiendo que se retira del juego, después de estas pérdidas, con 3000 pesetas, ¿cuánto tenía al principio? 13. María quiere ordenar sus libros de lectura. En un estante de la librería puede chocar la mitad de los libros. En el otro 1/3 del resto y todavía le quedan 16 libros sin colocar. ¿Cuántos libros tiene María?

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LOS PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN Y REFUERZO 1. A 1/3 de las manzanas que yo tenía añadí 1/4 de las tuyas y llené un cesto de 26 manzanas. Con las que te quedaron has llenado uno de 15 y te sobraron 3. ¿Cuántas manzanas teníamos cada uno? 2. El número de alumnos de una Escuela de Aparejadores pasa de 250 y no llega a 300. En el primer curso son los 19/35, en el tercero los 1/14 y en el segundo el resto. Averiguar el número de alumnos de cada curso. 3. Un viajante ha recorrido los 2/5 de la distancia que debe hacer en un día. Si hubiese recorrido 20 Km. más, habría recorrido 7/15 del total. ¿Cuál es el trayecto total que tenia que recorrer? 4. En una tienda hacen liquidación. En ella hay 1400 artículos para vender. La primera semana se venden 3/7 del total y la segunda semana la mitad de lo que quedaba. En la tercera y última semana se vende todo a 2.50 euros cada producto. ¿Cuál será el importe de la caja esta última semana? 5. Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades, en total viajan 65. Colocados en orden decreciente los números de los que corresponden a cada nacionalidad, cada uno de ellos es 2/3 del anterior. ¿Cuántos viajeros hay de cada uno de ellos? 6. Llevo recorridos los 7/15 de un camino y aún me falta 1/3 de kilómetros para llegar a la mitad. ¿Qué longitud tiene el camino? 7. Se han consumido 7/8 partes de un bidón de aceite. Reponiendo 38 litros ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcular la capacidad del bidón. 8. Tengo 3 barriles y 600 litros de vino que se distribuyen en tres partes iguales en los tres barriles. El primero se llena hasta sus 2/3 partes; el segundo hasta 4/5. ¿Qué fracción del tercero se llenará sabiendo que su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros? 9. Tengo una jarra y una botella llenas de agua. Si vacío los 2/5 de la primera me queda lo mismo que si vacío de la botella 1/3 de su contenido. Sabiendo que la cantidad de agua que queda en una y otra es medio litro. Calcular las capacidades de la jarra y de la botella. 10. Una torre B tiene de altura los 4/3 de otra torre A, más un metro. Una tercera torre C es de alta los 4/3 de la torre B, más 2 metros. Sabiendo que la torre C es doble dea l t aquel aA,¿ quéa l t ur at i e nec a daunadel a st r e st or r e s ’ 11. Un terreno de 4500 m² ha sido adquirido al precio de 85 pesetas el m². Los 5/9 del mismo fueron vendidos a 150 euros el m²; y los 7710 del resto a 165 euros el m². Vendida la parte sobrante, se obtiene una ganancia de 339375 euros. Halla que fracción, de todo el terreno, es la última parte vendida y a qué precio fue vendido el metro cuadrado.

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12. Marta mezcló una bolsa 2/3de kilo de bizcocho con pasas con otra bolsa de 1/ 4 kilo. ¿Qué cantidad de pasas tiene la mezcla si de la primera a tercera parte son pasas y de la segunda bolsa la mitad son pasas?. 13. Una empresa está a cargo de la pavimentación e un camino suburbano. La primera semana pavimentan 1/3 del camino, la segunda pavimentan la mitad del camino, pero el trabajo no quedó bien hecho, por lo que la tercera semana deben demoler la tercera parte que estaba pavimentado. ¿Qué fracción del camino fue necesario demoler? 14. Laura mezcla litro de aceite con vinagre y después vacía la mezcla en botellitas de de litro. ¿Para cuántas le alcanza?. 15. Sofía gasta de su sueldo entre alimentación y arriendo, en colegio para sus hijos que le queda en movilización. ¿Qué fracción de su sueldo gasta en movilización?. Sofía tenía un envase de litro de jugo. del jugo que estaba en la envase y después llenó una botella de litro. ¿Cuánto jugo quedó en el envase? 16. Laura mezcló 1/2 kilo de queso con ¼ kilo de aceitunas y luego separó la mezcla en 3 porciones. A su vez Juan mezcló ¼ kilo de jamón con 1/3 kilo de quesillo y lo separó en 2 porciones. ¿Qué porciones pesan más, las de Laura o las de Juan? 17. Un vendedor viajero debe cubrir la ruta entre Temuco y Santiago. El primer día recorre 1/3 de la ruta y el segundo día la tercera parte de lo que falta. ¿Cuál de esos días viajó más? 18. Inés recibió una bolsa con ½ kilo de caramelos para repartir entre ella y sus 3 hermanos, a la vez su amiga Susana recibió una bolsa con ¾ kilo de caramelos para repartir entre ella y sus 5 hermanos. ¿Quién recibió más caramelos, un hermano de Inés o un hermano de Susana?

PARA TRABAJAR EN GRUPO

OFERTA DE BOMBILLAS La pasada Navidad, los vecinos de Nervión se quejaron al ayuntamiento de la iluminación en La calle Luis Montoto. Por eso, el alcalde ha decidido adornar un tramo de la calle con luces de colores. Y edita el siguiente bando. Se hace saber: Que con motivo de las vacaciones de Navidad y ante la insistencia de los vecinos sobre la iluminación en las calles del barrio de Nervión, se van a colocar 25 bombillas en cada árbol de la calle en un tramo de 408 metros de la calle. Cada uno de los árboles están separados 12 metros. Además de la compra de estas bombillas, se solicitará presupuesto para comprar 100 bombillas adicionales para reposiciones.

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En una ferretería del barrio hay una oferta: -

CAJA DE 345 BOMBILLAS DE COLORES A 40 €.

El único problema es que el motivo de ser más económicas es porque no han pasado un control de calidad. Normalmente de cada 15 bombillas, una está fundida. Por ello es conveniente comprar alguna más. Realiza un informe en el que se expliquen cuántas bombillas se necesitan, así como cuántas cajas se deben comprar y a qué precio. VENDIENDO HELADOS Don Juan vende helados y tiene envases de ,1/8, ¼,1/2 y 1 litro. Los helados le llegan en cajas de 10 litros. Para trabajar en grupos y luego poner en común: Problema 1. Don Juan quiere tener un stock mínimo de:  30 unidades de litro  30 unidades de litro  20 unidades de litro  20 unidades de 1 litro ¿Cuántas cajas de helado deberá comprar para poder tener este stock? ¿Le alcanzará justo? ¿Qué crees que hará con lo que sobre? Decide cuál será en realidad su stock. Problema 2. Don Juan debe pagar 500 euros por cada caja de 10 litros y ha fijado los siguientes precios:    

1 litro en 70 euros 1/ 2 litro en 40 euros 1/ 4 de litro en 25 euros 1/8 de litro en 15 euros

Calcula el valor que pide por el litro, en cada uno de los siguientes envases y comenta los resultados. Problema 3. Calcula la ganancia que obtiene don Juan al vender todo su stock. Problema 4. Doña Inés trae 600 para comprar helados. ¿Cuántos litros podrá comprar? ¿En qué envases los llevará para sacar el máximo rendimiento? RECETA DE GALLETAS Susana quiere hacer galletas de chuño y encontró la siguiente receta:

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Ingredientes:  3 huevos enteros  1/8 Kg. de maicena  ¼ litro de leche.  1/3 Kg. de Harina  ¼ Kg. de mantequilla  200 gr. de azúcar flor  1/8 Kg. de chuño Preparación: Mezcle los ingredientes secos: harina, maicena, chuño y azúcar flor. Agregue los huevos, la leche y por último la mantequilla ablandada. Amase hasta que quede una masa suave, homogénea y se desprenda de las manos. Extiéndase sobre una superficie lisa hasta que quede de 1 cm. de espesor. Corte las galletas de la forme que desee y llévelas al horno medio previamente calentado por 10 a 12 minutos. Resuelven en grupo y luego ponen en común: Problema 1: Susana tuvo que comprar todos los ingredientes salvo los huevos. Si en el almacén venden bolsas de harina de 500 grs. y de 1 kilo, bolsas de azúcar flor de 250 gr., 500 gr. y 1 kilo, cajas de maicena de 125 gr., 200 gr., y 500 gr., cajas de chuño de 125 gr. y de 300 gr., panes de 125 gr. y 500 gr. de mantequilla y envases de 1 litro de leche. ¿Cuál es la menor compra que puede hacer? Problema 2: Si efectuó la menor compra posible. ¿Cuánto le sobró de cada ingrediente después de preparar las galletas? Problema 3: Susana obtuvo en total 75 galletas, que cantidad de cada ingrediente debe usar para obtener 100 galletas? Problema 4: ¿Cómo hará la compra en este caso? Problema 5: ¿Cuánto sobrará de cada ingrediente? INVESTIGA 1) Encuentra una fracción que esté comprendida entre 3/8 y 5/12 2) Calcula el siguiente producto.  1  1  1  1  1  1  1  3)  1   1   1   1   1      1   1    2  3  4   5  6  98   99  4) Si sumo 12 al numerador y al denominador, la nueva fracción es el doble de la primera. Si sabemos que el numerador es 3. ¿De qué fracción se trata?. 5) Pitágoras repartió su colección de triángulos entre sus amigos. a. A Arquímedes le dio la mitad de los triángulos.

MATEMÁTICAS 1º ESO b. A Tales, la cuarta parte. c. A Euclides, la quinta parte. d. Y a ti te tocan los siete restantes. ¿Cuántos triángulos tiene Pitágoras?.

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TEMA 5: NÚMEROS DECIMALES CURIOSIDADES: UN POCO DE HISTORIA ¿Cómo surgió nuestra manera de escribir los decimales? Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de fracciones decimales (con denominador 10 o potencia de 10).Durante bastante tiempo se utilizaron fundamentalmente fracciones sexagesimales ( de denominador 60). Un defensor a ultranza de las fracciones decimales fue François Viète (1540-1603). En 1579, en unos de sus trabajos escribe 141421'35624 como 141421.35624. Unas páginas más adelante 26535 escribe 314159'26535 como 314159 y un poco más adelante escribe este mismo 100000 número como 314159.26535, con la parte entera en negrita. En algunas ocasiones usa un guión vertical para separar la parte entera de la fraccionaria, es decir 314159|26535. Sin embargo, no fue Viète, sino el flamenco Simon Stevin, quien en 1585 acometió la tarea de explicarlas con todo detalle y de una manera muy elemental, el verdadero propagador de la utilización de fracciones decimales. En 1616, en la traducción al inglés de una obra del escocés John Napier(15501617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. Napier propuso un punto o una coma como signo de separación decimal: el punto decimal se consagró en países anglosajones, pero en muchos otros países europeos como por ejemplo España, se continúa utilizando la coma decimal CÁLCULO APROXIMADO. REDONDEO Y ERRORES

En la práctica cotidiana nos vemos obligados con frecuencia a estimar un número del que, por diversas causas, no podemos o no necesitamos conocer su valor exacto. Así pues, la imprecisión en la medida, la imposibilidad matemática, la vaguedad en la información u otras razones nos fuerzan a sustituir un número por otro suficientemente cercano. Actividad resuelta

Un ayuntamiento encarga a un contratista la remodelación de una plaza circular de 50 m de radio. Después de acordarse un precio de 200 €porm2,e lc ont r a t i s t a presenta el siguiente presupuesto:

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Valor de la contrata = 200 · Área de la plaza = 200 · 3'15 · 502 = 1.575.000 € El alcalde, que dio por bueno el valor de B, lo aprobó. Realiza el cálculo anterior aproximando B por 3'141592 y dinos si te parece honrado el contratista. ¿Te parece honrada una aproximación de B por 3'1416? Aproximaciones de un número por exceso y por defecto Del valor de B = 3'141592653.........., se obtienen las siguientes desigualdades: 3 < B < 4 3'1 < B < 3'2 3'14 < B < 3'15 3'141 < B < 3'142 3'1415 < B < 3'1416 ............. ............. 3'141592653 < B < 3'141592654 Diremos que los números de la izquierda son aproximaciones de B por defecto (son menores que él) y los de la derecha son aproximaciones por exceso (son mayores). También diremos que: 3 y 4 son aproximaciones a unidades, 3'1 y 3'2 aproximaciones a décimas ( o de orden 1) 3'14 y 3'15 aproximaciones a centésimas ( o de orden 2), etc. Podemos recoger estos resultados en la tabla:

Actividades resueltas Supongamos que deseamos conocer con una precisión de dos cifras decimales el área de esta mesa:

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Veamos hasta qué orden de aproximación de πhe mosdel l e g a rpa r ac ons e g ui r l o:

Para garantizar que el área es 128'54... hemos tenido que aproximar hasta las diezmilésimas. ¿Cuántas cifras de área se garant i z a ns ia pr oxi ma mosπa la millonésima? Escribe su valor en tal caso. Medimos la longitud de un circuito automovilístico con la ayuda de un contador kilométrico, puesto a cero.

En la 1ª vuelta el contador indica:

es decir, 5'2 km que significa que A fin de obtener una mejor precisión recorremos más vueltas:

¿Cuántas vueltas hay que dar para obtener la longitud de la pista con una precisión de 10 metros?

En la última medida se sitúa el verdadero valor de L entre 5260 m y 5280 m.

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Si adoptamos como medida del circuito el valor intermedio de 5270 m no nos equivocaremos en más de 10 m. ¿Se podría precisar el valor del circuito sin cometer un error mayor de 1 m? ¿Cuál sería? Redondeo Normalmente sólo nos interesará elegir la aproximación más cercana al valor real con el fin de cometer un error mínimo.

Consideremos un cuadrado de lado 2. La medida de su diagonal viene dad por el número 8 = 2'828427125..........., de infinitas cifras decimales. Llamamos redondeo de un orden determinado a la aproximación de dicho orden más cercano al número exacto.

De esta manera, el redondeo a unidades será 3, a décimas 2'8, a centésimas 2'83, a milésimas 2'828, a diezmilésimas 2'8284, etc.

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Error absoluto Si conocemos el valor de un número A y lo sustituimos por una estimación A´, estaremos cometiendo un error que vendrá dado por la diferencia entre A y A´. A esta diferencia, tomada siempre con signo positivo, se le llama error absoluto, y lo escribiremos como: Error absoluto : Ea = |A - A'|

Actividad resuelta Juan y Luis son dos alumnos de Topografía. En una clase de prácticas han de medir la altura del edificio de correos y la de la catedral respectivamente. Juan obtiene un valor de 29'5 m para el edificio de correos, cuya altura real es de 30 m y Luis mide 65'8 para una altura real de 65 m. Ea (Juan) = |30-29'5| = |0'5| = 0'5 Ea (Antonio) = |65-65'8| = |-0'8| = 0'8 Generalmente el valor exacto de A no se conoce con lo cual resultará imposible conocer el error que se comete al sustituirlo por una aproximación. Sí podremos conocer el margen de error. Por ejemplo: Error relativo El problema que presenta el error absoluto consiste en que no nos permite comparar entre dos aproximaciones: Juan le dice a Luis: yo sólo me he equivocado en medio metro , mientras que tú lo has hecho en 80 cm Por lo tanto he sido más fino que tú. Luis replica: no estoy de acuerdo puesto que la altura del edificio de correos es de 30 m y la de la catedral de 65 m . Tu proporción de error es 0'5/30 = 0'16666...., mientras que la mía es 0'8/65 = 0'123.... Llamaremos error relativo al resultado de dividir el error absoluto entre el valor real. Es decir: Error relativo =|A - A'|/A También se suele expresar en tanto por ciento ( Er · 100 ). En el ejemplo anterior Luis tiene un error del 12'3% aproximadamente y Juan del 16'6%.

ACTIVIDADES 1. Escribe con palabras los siguientes decimales : a) Juan se sacó un 4,8 en Educación Matemática =

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MATEMÁTICAS 1º ESO b) Rosa mide 1,52 m = c) Un chanchito de tierra mide 0,007 m = d) Un litro de gasolina cuesta $ 513,25 = 2. Anota el decimal que corresponde : a) ochenta y cinco centésimos = b) cuatro enteros doce milésimos = c) veinte milésimos = d) sesenta enteros y cinco décimos =

3. Resuelven las siguientes situaciones: a. ¿ Qué números cumplen con la condición de ser mayores que 10 y menores que 11 ? b. ¿ Qué números cumplen con la condición de ser mayores que un centésimo y menores que un décimo ? c. ¿ Más de 408 y menos de 409 ? d. Javier se pesa y observa que en la pesa la aguja se ubica entre los 30 y los 30,2 Kg. ¿ Cuál puede ser el peso de Javier ? e. Gustavo sabe que su papá habitualmente compra menos de medio kilo de salame; pero más de un cuarto . ¿ Cuál puede ser el precio de la compra ? 4. Ordena en forma vertical y suma: 4,38 + 6,25 = 7,32 + 0,5 + 1 =

5,6 + 6,5 + 6 + 6 + 6,8 =

2,9 + 5 + 7,0 + 4,9 =

10 + 3,5 + 300 + 0,004 + 1.000 =

5. Ordena en forma vertical y resuelve las siguientes sustracciones : 4,769 - 0,038 = 23,6 - 2,35 = 29,12 - 14,65= 2 –0,8 = 100 - 62,5 = 1 - 0,009 = 6. Resuelve los siguientes problemas de decimales, anotando la operación y la respuesta: a) Miguel unió tres cuerdas para saltar : una de 1,23 m. , otra de 0,35 m. y la última de 0,8 m. ¿De qué largo le quedó la cuerda ? b) Se está construyendo una torre de 30 m. de alto, si llevan construidos 18,7 m. ¿ Cuántos metros les falta por terminar ? c) Un ciclista recorre en 4 etapas una distancia de 200 Km.  En la primera etapa recorre 27,32 Km.  En la segunda etapa recorre 40,5 Km.  En la tercera etapa recorre 80,75 Km. ¿ Cuánto debe recorrer en la cuarta etapa para alcanzar la meta ? d) “Laf a mi l i aRoz a svadeva c a c i one se nc a r pa .Conf i a ndoquee ne lpue bl omá s cercano al lugar de veraneo habrían negocios, decidieron comprar allí algunas provisiones que les faltaban. Ellos necesitaban 10 litros de leche,

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aproximadamente; 15 litros de agua para tomar y unas cajitas de jugo de 259 cc para los paseos. Pero se llevaron una sorpresa al confirmar que en el almacén local sólo quedaban 3 cajas de 1 litro de leche cada una y el resto eran envases de litro. En e lc a s ode la g ua ,e nl a sbot e l l a sde c í a500c cyl osj ug oss ól oe r a nde1l i t r o” .  Indican cuántas cajas de cada cosa tendrían que comprar de manera de completar las necesidades familiares.  Comparan sus resultados y la forma en que encontraron las respuestas con sus compañeros(as).

e) El entrenador informa a Fernanda y Crostóbal de sus marcas en sus dos series de salto largo: 1º salto Fernanda 120 cm Cristóbal 125 cm 2º salto Fernanda 135 cm Cristóbal 135 cm a) ¿ Cuál es la diferencia entre sus marcas, expresado en metros ? b) ¿ Quién salta más ? c) ¿ Quién ha mejorado más su salto ? 7. Completa el siguiente cuadro : a 0,42 0,45 2,81 50

b a+b a-b 0,16 0,318 0,045 2,65

8. El 27 de Enero de 1.978 Franklin Jacobs ( EEUU) logró la mayor altura alcanzada por un atleta por encima de su cabeza. Si Jacobs mide 1,73 m y sobrepasó su cabeza en 59 cm ¿ Cuánto midió el salto que marcó su récord ? 9. La Ruta costera de Cartagena -. Quintay tiene los siguientes tramos :  Cartagena –Algarrobo : 32,2 km  Algarrobo –Casablanca : 33,4 km  Quillaicillo –Orrego : 14 km  Variante Las Pataguas : 8,4 km  Bifurcación –Tunquén : 23,5 km  ¿ Qué longitud tiene el camino Costero ?  A cuántos metros corresponde su longitud ?  ¿ Cuál es el tramo más largo ?  ¿ Cuál es el tramo más corto ? 10. Diez trabajadores tarden diez días en cargar diez camiones. ¿Cuántos días tardará un trabajador en cargar un camión?. 11. ¿ Qué medida usarías para medir :  La distancia entre Antofagasta y Arica :  La longitud de un auto:  La longitud de tu goma de borrar:  El grosor de diez hojas de tu cuaderno :

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12. Completa el siguiente cuadro Número mayor Número menor Suma 0,8 0,15 2,6 Diferencia 0,2 0,07 0,8

5,1 1,5

3,4 0,6

15,5 5,5

2,33 0,13

13. Midan la estatura y el peso de cada integrante del grupo y regístrenlo.  Ordenen sus nombres de menor a mayor estatura.  Calculen la diferencia entre el de menor y el de mayor estatura.  ¿ Cuál es el peso de todos juntos ?  Calcula el promedio de estatura de tu grupo.  Calcula el promedio de peso de tu grupo. 14. Analicen la siguiente información : Notas en una prueba de Lenguaje y comunicación 5,1 6,0 6,4 6,4 6,0 6.7 4,3 6,3 5,3 6,0 4,8 6,0 6,0 6,7 6,6 7,0 4,0 6,0 4,3 6,0 6,0 5,2 6,0 6,4 7,0 5,4 6,6 6,5 6,0 6,0 Nota más frecuente : 6,0 Promedio de curso : 5,9

Notas en una prueba de Comprensión de la Sociedad 6,0 7,0 6,1 6,2 4,5 5,8 3,8 6,3 5,7 6,9 5,8 6,1 7,0 5,8 6,4 5,9 5,8 5,8 4,5 6,4 6,0 5,9 5,4 6,7 7,0 5,8 5,8 3,8 6,6 6,5 Nota más frecuente : 5,8 Promedio de curso : 5,9

Explican: a) ¿ Qué significa promedio ? b) ¿ Qué significa la nota más frecuente ?

15. Analicen n la plantilla con datos de jugadores de fútbol de dos equipos de primera división : Organicen los datos en una tabla de frecuencia. Responden preguntas tales como:  ¿ Cuántos jugadores de cada equipo miden 1,80 metros o más ?  ¿ Cuál es la estatura más repetida en cada equipo ?  ¿ Cuál es el promedio de estatura de cada equipo ?  ¿ Cuántos jugadores están bajo el promedio ?

16. Efectúa.- ( Realiza la prueba) a. 32´45 + 0´8 + 4 = b. 35´6 –12´47 = c. 36´5 x 2´07 =

36 + 0´278 + 2´5 + 3´7222= 37´61 –36´963 0´213 x 2´3=

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MATEMÁTICAS 1º ESO d. 394,75 :12’ 4= e. 346 : 20´02= f. 11: 0,027 =

3002 : 59´678= 3´5 : 23´789 = 1,44 : 0,231=

17. Realiza las siguientes operaciones: 2.1 Multiplica por 100: 256 948,57 47,987 2.2 Divide por 100: 256 948,57 47,987 2.3 Multiplica y divide por 1000: 256 948,57 47,987 0,72 2.4 Expresa en potencias de 10: 540000 83000 0,0032 380 0,0000065

0,72 0,72

18. He comprado 7 garrafas de aceite de 17´5 litros cada una. Sabiendo que cada litro pesa 0´92 Kg. ¿Cuántos Kg. pesa todo el aceite? TIPO I 19. He comprado un total de 460,46 kilos de aceite repartidos en 7 garrafas de 17´5 litros cada una. ¿Cuánto pesa cada litro de aceite? TIPO II 20. He comprado un total de 460,46 kilos de aceite repartidos en 7 garrafas. Sabemos que cada litro de aceite pesa 0,92 Kg. ¿Cuántos litros de aceite hay en cada garrafa? TIPO III. 21. He comprado varias garrafas de aceite. En total he comprado 460,46 kilos de aceite. Cada garrafa contiene 17,5 litros de aceite y cada litro de aceite pesa 0,92 kilos. ¿Cuántas garrafas he comprado? TIPO IV 22. Invéntate un problema en el que intervengan una cantidad total de kilos de un determinado producto, repartidos en una cantidad de cajas, en las que caben una serie de kilos y cada kilo tiene un precio. Da las cuatro posibilidades de plantear el problema. 23. De un listón de madera de 2´9 m tengo que sacar 8 trozos para construir dos cuadros. ¿Cuánto mide cada trozo?. ¿Cuántos metros sobran? 24. Els ue l do me ns ua lde un t r a ba j a dore sde 1. 654’ 65 e ur os .¿ Cuá nt a spe s e t a s semanales cobra si el e ur os ec ot i z aa166’ 38pe s e t a s ? 25. Un coleccionista de coches en miniatura compra varios modelos. Todos cuestan lo mismo:3,25 €. a. ¿cuántos podrá comprar con 15,76 €? b. Si quisiera comprar 8 coches, ¿cuánto dinero le haría falta? 26. Lee los siguientes problemas. Escribe la operación que hay que plantear en cada caso y razona si la respuesta debe ser un número natural o un número decimal. Si la respuesta se expresa mediante un número decimal, explica cuántos decimales has de sacar. a. ¿Cuántas veces podrá llenar un cazo en el que caben 0,25 litros con el agua que hay en un barreño que contiene 10,3 litros de agua? b. ¿Cuántos yogures de 0,12 euros puedo comprar con 2 euros?

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c. He comprado cinco flanes de huevo y he pagado exactamente 2,55 euros. ¿cuánto me ha costado cada flan?

27. Aproxima a centenas, unidades y milésimas el número 2.374'3376. 28. En un auditorio circular de 53 m de diámetro se desean instalar asientos de manera que no pueda haber menos de 2 m2. por persona, tal y como establecen las normas del ayuntamiento. Si calculamos el área, aproximando B, y dividimos por 2, sabremos el número de asientos que debemos comprar. Aproximando B a centésimas obtenemos: Área por defecto: 3'14.26'52 = 2.205'065 m2, en los que caben 1.102 localidades. Área por exceso: 3'15.26'52 = 2.212'0875 m2, en los que caben 1.106. a. ¿Sería legal aproximar B por exceso? b. ¿Te parece buena la aproximación a centésimas por defecto? c. ¿Qué orden de aproximación consideras adecuado? 29. ¿Cuántos Kg de cobre se deberán comprar para construir un cilindro de 10 cm de alto y 0'5 m de radio?. ¿Cuál es el menor orden de aproximación que consideras adecuado? ¿Habría que tomarlo por exceso o por defecto? (Densidad del cobre = 8.900 kg/m3) 30. Un joyero pesa sus piezas con una balanza que redondea hasta el gramo. Un cliente le pide el peso de un anillo, unos pendientes y una pulsera. La balanza mide 10, 16 y 35 gramos respectivamente. El cliente hace un pedido de siete anillos, 6 pares de pendientes y 5 pulseras. Estudia el máximo error que ha podido cometerse en el peso, y calcula los valores entre los que puede oscilar el precio real si cobra el gramo a 17 euros.

31. Lectura de un número decimal

El número 7'65481 puede ser leído:

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 7 unidades, 6 décimas, 5 centésimas, 4 milésimas, 8 diezmilésimas y 1 cienmilésima.  76 décimas, 5481 cienmilésimas.  7654 milésimas y 81 cienmilésimas.  7 unidades y 65481 cienmilésimas. Añade más lecturas de dicho número 32. Expresa en forma decimal: a. 3 unidades, 2 décimas y 3 centésimas b. 7 decenas y 5 diezmilésimas. c. 62 unidades y 643 milésimas. d. 300 diezmilésimas.

33. He adquirido en un supermercado 2'75 Kg de plátanos a 1'2 €/ Kg ,1c ua r t odeki l o de judías a 1'45 €/ Kgy1' 125Kgdema nz a naa0' 95€/ Kg .Ca l c ul ac uá nt ohede pagar si me hacen un descuento que supone la décima parte del importe total. 34. Con las 5/7 partes de una barra de aluminio hice las puertas, y con el resto, 1'25 metros, una ventana.¿Cuál era la longitud de la barra? 35. Primero vendí los 5/9 de un terreno. Después los 3/8 y me quedé con solo 565'34 m2.¿Cuánto medía el terreno original? 36. ¿Qué números señalan las flechas?

37. ¿Qué números señalan las flechas?

38. Intercala de menor a mayor un decimal periódico puro, un decimal exacto, un nº irracional, una fracción y un decimal periódico mixto entre:

MATEMÁTICAS 1º ESO a) 1'25 y 1'251 b) 33'302 y 33'31 39. Halla a/b sabiendo que es una fracción irreducible y que su división es:

40. Calcula:

a.

b. 41. Verdadero o Falso: ¿Todos los decimales periódicos se pueden expresar con fracciones en cuyo denominador sólo intervengan nueves o ceros? 42. Halla el área sombreada con una precisión de tres cifras decimales:

43. ¿Cuántas cifras se pueden precisar con exactitud del producto a·b siendo a = 2'0012... y b =1'2312....? 44. Si a = 47'123456... y b = 64'452654.... calcular a/4, a/7, b/3 y b/6.

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45. Dado el número 17'85562, ¿cuál es el error absoluto y cuál su error relativo si tomamos como valor aproximado 17'855 o 17'856? 46. Un arquero se vanagloriaba ante un cazador afirmando que aunque con su escopeta éste alejaba mucho más, su precisión era peor ya que ante una diana situada a 300 m. erró en 15 cm y él con su arco, 6 cm ante una diana situada a 100 m. ¿Tiene razón el arquero? 47. Al recorrer varios amigos, en distintos coches, el trayecto entre dos pueblos, y que es exactamente de 9 kilómetros, los cuentakilómetros de los vehículos marcaron las siguientes distancias:

Calcular el error absoluto y relativo cometido por cada uno de los coches. Al llenar el depósito vacío de un coche en diferentes gasolineras, los litros cobrados fueron 25'3, 25'1, 24'9 y 25'7. ¿Cuál es el error absoluto y relativo cometido en la última gasolinera si tomamos como valor real la media de los mismos? 48. Al medir la longitud de un objeto me informan que he cometido un error del 5%. Por lo visto, la medida real es de 153 mm. ¿Cuánto medí ? 49. Un camión cisterna tiene un depósito cilíndrico de 0'8 m de radio y 4'8 m de largo. ¿Cuál es el menor orden de aproximacióndeπquec ons i de r a sa de c ua dopa r a calcular su volumen en litros? 50. Un señor que desea vender un solar mide su perímetro con una rueda de medir que cuenta metros. Las medidas, en presencia del cándido comprador, las realiza aproximando por exceso. Los valores obtenidos fueron:

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Halla el error máximo que se pudo cometer y calcula sus consecuencias económicas sabiendo que el precio del metro cuadrado es de 105 €.

51. En una balanza que redondea a gramos, se pesan tres anillos idénticos obteniéndose 15 gramos en cada caso. ¿Por qué al pesarlos los tres juntos marcó 44 gramos? ¿Estará mal la balanza? ¿Y si hubiera marcado 47 gramos? 52. Obtener el perímetro del pentágono de la figura con tres cifras decimales.

PARA TRABAJAR EN GRUPO VIAJE DE NEGOCIOS El directo de una empresa quiere visitar las sucursales de París, Berlín, Londres y Praga. Siempre que hace el viaje tiene el mismo problema: necesita llevar euros para Francia y Alemania, libras para Inglaterra y coronas checas para la República Checa. A continuación se indican las conversiones. -

10 libras esterlinas=14,52 euros. 1 euro = 28,73 coronas checas. 1 libra= 40,79 coronas checas.

La previsión de gastos es la siguiente:

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650 libras esterlinas. 19.100 cornas checas. 2.000 euros.

a) ¿Cuántos euros necesita en total?. b) En el último viaje llevaba 1.000 libras y sólo gastó 641,5, así que con el dinero sobrante lo cambió por coronas en un banco de Londres. ¿Cuántas coronas les dieron?. ¿Cuántas coronas hubiera obtenido en un banco español por la misma cantidad de dinero?. c) Si al final trae de vuelta 235 euros pero en los tres tipos de monedas indica dos posibles soluciones. UN BANCO El encargado de un supermercado ha ido al banco a cambiar 300 €e nmone da s . Después, distribuye las monedas entre las distintas cajas de un supermercado, por lo que es importante que el número de monedas de cada valor sea prácticamente el mismo para ello le dice al empleado del banco: -

por favor, quiero cambiar 300 €e nmone da sde1, 2, 3, 5, 10, 20y50c é nt i mosy de 1 y 2 €.Déme el mismo número de monedas de cada tipo, y lo que sobre de los 300 €,c one lme nornúme r opos i bl edemone da s .

¿Cuántas monedas de cada tipo le dará?. ATLETISMO ESCOLAR Arturo, Boris, Carlos y Daniel son cuatro atletas que se preparan con dedicación para competir en los diversos torneos escolares de la Región. En general entrenan los lunes, martes, jueves y viernes, dejando los días restantes para competir en las carreras de 100 m. y 200 m. planos; que son en las cuales más se destacan. En el siguiente cuadro se muestra el tiempo empleado en los entrenamientos de una semana y las marcas logradas en las competencias llevadas a cabo los días miércoles (100 m.), sábado (100 m.) y Domingo (200 m.) Lunes Arturo Boris Carlos

Martes

hora

h

h

h

h

h

Miércoles 12,24 seg 13,18 seg 13,01 seg

Jueves

Viernes

h

h

h

h

h

h

Sábado

Domingo

12,01 seg

24,12 seg

13,2 seg

26,47 seg

12,96 seg

25,83 seg

61

MATEMÁTICAS 1º ESO

Daniel

h

h

12,84 seg

h

h

12,53 seg

25,03 seg

Basándote en los datos de la tabla resuelve las siguientes interrogantes: a)

¿Cuántos minutos entrenó cada atleta el día jueves?

b)

¿Quién entrenó mayor cantidad de horas el día martes?

c)

¿Cuánto tiempo entrenaron en la semana Arturo, Boris, Carlos y Daniel, respectivamente?

d)

¿Cuánto tiempo entrenó Carlos antes de la primera competencia?

e)

¿Cuál fue el orden de llegada a la meta en la carrera del día miércoles?

f)

¿Cuánto tiempo corrieron en total Boris y Daniel considerando las 3 competencias en las que participaron?

g)

¿Cuál es la diferencia de tiempo entre la primera y la segunda competencia por parte de Arturo y Boris?

h)

Si los 4 atletas decidieran participar en una posta, ¿cuántos segundos demorarían en total considerando que repiten la marca lograda en la competencia del día sábado?

i)

Si el record estudiantil de los 100 m. planos es 11,47 seg, ¿en cuántos segundos deberá mejorar cada atleta para alcanzar esa marca?

j)

Si Arturo y Daniel corrieron en forma constante los 200 m planos, ¿qué tiempo hicieron cada 50 m., respectivamente?

k)

Si en la próxima carrera, Carlos se ha propuesto correr cada metro en 0,128 seg, ¿cuál será su tiempo cronometrado para los 100 m.?

l)

Si Daniel corriera su próxima carrera a 0,1346 segundos cada metro, ¿en cuántos segundos recorrería 25,5 m.?

MATEMÁTICAS 1º ESO

62

TEMA 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ECUACIONES CURIOSIDADES: Por el camino que ascendía a la fortaleza avanzaba un soberbio caballo y , sobre él, un caballero cubierto por su armadura. El guardia se dispuso a darle el alto para que se identificara, pero antes de que lo pudiera hacer el sargento de la guardia lo detuvo y, haciendo una reverencia, dejó paso al desconocido. - ¿Qué haces, necio?- Dijo el sargento encarándose con el guardia- Puede que no sepas quién es, pero los símbolos de su escudo denotan su condición: el bezante y el aspa nos dicen que ha combatido en las cruzadas y nunca ha sido derrotado, el cetro asegura que es de sangre real, así que en adelante fíjate más. - Me fijaré más la próxima vez. La heráldica es una ciencia de símbolos –respondió el soldado, aliviado después de haber pasado el trance. -

No hace mucho tiempo hablé con un médico judío que había leído un manuscrito que explica cómo resolver situaciones con la ayuda de las matemáticas y los símbolos –explicó el sargento - . Creo que lo llamó álgebra y se trata, según me dijo, de sustituir cantidades desconocidas por símbolos y letras y operar, después, con números.

En ese momento sonó la voz de alarma y un tropel de gente entró en el castillo. El jefe de la partida dio novedades: - Hemos capturado a tres exploradores enemigos; dicen que la mitad de su partida es infantería y el resto son exploradores y caballería; ellos son la cuarta parte de los exploradores y hay ochenta caballeros. 1) 2) 3) 4)

¿Qué es el álgebra? Busca información sobre el inventor del álgebra. ¿Qué usos puede tener?. Según lo indicado en el texto, ¿de cuántos hombres se compone la partida?,

1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 1. Expresa en lenguaje simbólico las siguientes expresiones:

a) Núme r odez a pa t osq ueha ye nunaha bi t a c i ónc on“ x”pe r s ona s b) Núme r odede dosde“ x”ma nos

MATEMÁTICAS 1º ESO c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y)

63

Núme r odeor e j a se nunaha bi t a c i ónde“ x”pe r s ona s Número de personas que hay en una habitación después de llegar dos Número de cromos que me quedan después de perder 12 en el juego Número de lectores en una biblioteca después de irse 8 La edad de un padre es triple de la de su hijo Un número más dos unidades Número de patas en una cuadra de caballos Un número menos dos unidades Restar la mitad de un número al 2 Añadir 2 al doble de un número El doble de un número menos su mitad La mitad de las manzanas de una cesta Dos números pares consecutivos. El triple de un número menos 3 unidades La cuarta parte de una cantidad de dinero más 50 €. Distancia recorrida por un coche en 6 horas. Dos ángulos de un triángulo se diferencian en 20º. La edad de pedro hace 4 años La edad de Juan dentro de 16 años El doble de mi edad menos 2 años La mitad de un número menos su tercera parte Dos quintos de un número Un ciclista ha recorrido 87 Km. ¿Cuántos le faltan para llegar a la meta?

2. Despejar la incógnita a. 3 x = 5 b. 5 x = 10 c. 8 x = 6 d. 26 x = 13 e. 4 x = 26 f. 33 x = 192 g. 5 x = 0 h. 4 x = - 9 i. 3 / 5 x = - 7 j. 7 x = 21 / 5 k. - 3 x = 7 / 4 l. 4 / 7 x = - 6 / 5 m. 5 / 8 x = - 5 5x 3 n.  5 4 3 x 7 o.  2 4 3 x 16 p.  8 7

3. Cambiar de signo, si el coeficiente es negativo, y despejar la incógnita a. - 3 x = - 6

64

MATEMÁTICAS 1º ESO b. c. d. e. f. g.

- 5 x = 10 -x=9 - 4 x = - 18 -21 x = 1 -x=0 - x = -1

4. Reducir términos semejantes y despejar la incógnita a. 2x + 6 = x –5 b. 4x –6x –1 = -3x + 6 c. 3x –2 = 4x + 7 d. 6x –6 = 5x + 1 e. 3x + 2 = 2x –1 f. 2x + 5 = 17 –4x 5. Quitar denominadores (Cuidado si hay fracciones con signo menos delante), transposición de términos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita 4x –6 = 3x + 9 b) 2 x _ x –2 = x –4 6 18 5 3 d) 5x + 3 = 3x + 1 e) 3x + 5x = 3x - 1 2 2 2 3 4 g) 2x –3 - 4x –1 = 3x + 1 + 6x –2 2 2 4 6 a)

x + 1 _ x –1 = x 4 6 7 f) 3 –2x = x 4

c)

6. Quitar paréntesis, quitar denominadores (Cuidado si hay fracciones con signo menos delante), transposición de términos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita. a) 3 (x –3) + 4 (x + 1) = 6x + 6 b) 2 (x –6) + 5 (x + 3) = 6 (x + 5) 3 c) 6 (x + 4) –4 (x + 5) = x –6 d) 5 (x + 7) –3 (x + 6) = - x + 4 2 3 e) 3 (2x –6 ) + 4 (x + 5) = 3 (3x + 9) 3 6 2 f) 3 (x + 2) + 2 (x + 1) = 4 (x +7) 5 g) x + 1 + 2 ( x –2) = 2 ( x + 1) 3 h) 3 ( x –1) + 2 (x –2) = 18x + 3 3 15 2 i)

5 (x + 2) + x –1 = 16x + 30 2 3 6

7. Resuelve las siguientes ecuaciones

65

MATEMÁTICAS 1º ESO

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t)

2x + 3 (x –1) = 6 (x –3) + 13 x –4 (x –8) = 3 (x –5) + 5 5 (x + 9) –3 (x –7) = 11 (x + 2) - 10 4 (5 –6x) = 2 (8x + 3) + 4 2 (3x –8) = (6x + 4) –15 · 2x 8 + [3 + 2x –(3x –9)] = 0 [x –(4 + 2x)] - 2(4x + 3) = 1 x + 2 _ x + 3 = x + 4 _ x –5 2 3 4 5 3 –2x _ 4 –5x = 7x –5 5 3 2 2 x 3 4 3 x   5 2 2 1 x + x = 3x – 3 6 1 3 2  (5 x)  x 2 3 3 4 2( x 2) 11 3( x 1)   x 6 3 2 5 6 x (3 x 10) 2 x 2( x 3) 4 x x 2 x 6  2  3 5 6 x 2 5 x 11 4  1 2 3 x 4 3 x x 1 1    x 5 4 2 2 6 x  3x 102 x 2 x 3 3 x 6 3 x x 1 5 x 4    2 6 12 18 x 1 2 x 1 2 x 2 1   6 3 2

2. PROBLEMAS DE ECUACIONES TIPO I: En un corral tenemos 61 animales, entre conejos y gallinas. Sabemos que 37 de ellos son conejos. ¿cuántos animales hay de cada clase?¿cuántas patas hay? TIPO II: Javier y Esther fueron de visita a la granja de su abuelo. Durante su estancia vieron un corral con conejos y gallinas, Javier dijo haber contado 61 animales y Esther 196 patas. Determina el número de conejos y gallinas.

2.1 PROBLEMAS DIRECTOS

MATEMÁTICAS 1º ESO

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1. Halla tres números pares consecutivos cuya suma sea 24 2. Si el perímetro de un hexágono mide 54 m. ¿Cuánto mide su lado? 3. Un número más el doble del siguiente es 26. ¿Cuál es ese número? 4. La suma de dos números es 32 y uno de ellos es igual a la séptima parte del otro. Halla los dos números 5. Cervantes nació en el siglo XVI y la suma de las cifras del año de su nacimiento es igual a 17. ¿En qué año nació el ilustre autor de Don Quijote de la Mancha si la cifra de las unidades es 7? 6. Reparte 105 euros entre 5 personas, de modo que a cada una le correspondan 5 euros más que a la anterior.

2.2 PROBLEMAS DE FRACCIONES MEDIANTE ECUACIONES 1. ¿Cuánto costó un libro, si 1/5, más 1/6, más 1/7 de su precio, menos 2 euros, suman la mitad de su precio? 2. Los 2/3 más los 2/9 de un número valen 80, ¿cuál es ese número? 3. Tres socios forman una empresa. El primero aporta los 2/5 del capital, el segundo 1/3, y el tercero 12000 euros. Halla el capital de la empresa y lo que ha aportado cada socio 4. En unos exámenes son eliminados en el ejercicio escrito la cuarta parte de los alumnos presentados, y en el siguiente, el oral, la quinta parte de los que quedaron. Aprobaron los dos ejercicios 774 alumnos. ¿Cuántos alumnos se presentaron y cuál es el % de aprobados? 5. Con la sexta parte del dinero que tenía le compré un regalo a mi hermana. Con la mitad de lo que me quedaba compre un libro y con las 18 euros restantes compré un CD ¿Cuánto dinero tenía? 6. Un agricultor vende 1/3 de su cosecha de vino; después embotella los 4/7 de lo restante. Le quedan 120 Hl, ¿cuántos hectolitros de vino había cosechado? 7. Unmuc ha c hodi j oaot r o:“ Adi vi nac uántos euros tengo sabiendo que la tercera pa r t edee l l osme nosunoe si g ua lal as e xt apa r t e ” .¿ Cuá nt odi ne r ot e ní a ? 8. El camino que un empleado recorre para ir a la oficina es tal que aumentado en sus ¾ da 7 Km. ¿Cuánto mide el camino? 9. De un barril lleno de agua se saca la mitad de contenido y después un tercio del resto, quedando en él 200 litros. Calcula la capacidad del barril.

MATEMÁTICAS 1º ESO

67

10. Un barco carga en Barcelona 1/12 de la capacidad e sus bodegas, en Valencia 1/6 y en Cartagena 1/8. ¿Qué parte de la bodega podrá cargar en Sevilla? ¿Cuántos litros carga en cada puerto si la capacidad de la bodega es de 48.000 litros?

2.3 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 1. Un campo tiene forma rectangular y su perímetro es de 784 m. Calcula su área sabiendo que la base mide 104 m más que la altura. 2. La base de un rectángulo es 4 veces mayor que su altura. Si el perímetro de dicho rectángulo es igual a 40 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. 3. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es de 272 m y que el largo es los 5/3 del ancho. 4. Con una cuerda de 120 cm formamos un rectángulo cuyo lado mayor es el triple del lado menor. Halla el valor de los lados. 5. El perímetro de un rectángulo es 40 cm. Si sabemos que la base es doble que la altura. Cuál es su área 6. El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor que la base. ¿cuánto mide cada lado?

2.4 PROBLEMAS POSIBLES DE PLANTEAR MEDIANTE SISTEMAS 1. Un canaricultor vende los canarios a 9 euros cada uno y las canarias a 3,6 euros, contabilizando una venta de 57000 euros. Si las canarias exceden en 5 al doble de los canarios ¿cuántos hay de cada sexo? 2. En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de patas 4280. Si disminuimos en 70 el nº de cerdos, el nº de gallinas será el triple que éstos. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay? 3. En un aparcamiento hay coches y motos. En la 1ª planta hay 78 vehículos, y en la 2ª hay 64. ¿Cuántos vehículos de 4 ruedas hay en cada planta, si en la 1ª hay 40 ruedas más que en la 2ª y en total son 504 ruedas? 4. En una clase hay 60 alumnos entre chicos y chicas. Usan gafas el 16% de los chicos y el 20% de las chicas. Si el nº total de alumnos que usan gafas es 11. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase? 5. Jaime y su hermana van un sábado al cine y otro al circo; en total se gastan 250 euros. ¿Cuánto cuesta cada entrada si la entrada del cine vale 3 euros menos que la del circo?

MATEMÁTICAS 1º ESO

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6. Enunt e s tde30pr e g unt a ss eobt i e ne0’ 75punt osporc a dar e s pue s t ac or r e c t ays e r e s t a n0’ 25punt osporc a dae r r or .Siminot ae s10’ 5punt os¿ c uá nt osa c i e r t osy errores he tenido? 7. Un comerciante ha vendido en un día cierto nº de artículos A a un precio de 12 euros, y un nº de artículos B a 9 euros. Al final del día tenía en caja un total de 72 euros. Vendió un total de 7 artículos entre A y B. ¿Cuántos vendió de cada clase? 8. En una prueba de 20 preguntas, dan 5 puntos por cada respuesta correcta y quitan 3 puntos por cada fallo. ¿Cuántas preguntas ha acertado Manolo si su puntuación ha sido 68? 9. Pedro y Juan emplean 360 euros cada uno en comprar libros. El precio de los adquiridos por Juan, excede en 30 euros al de los comprados por Pedro, quien ha comprado dos libros más que Juan. Averiguar el precio de los libros adquiridos por Juan y por Pedro. 10. El doble de las horas transcurridas es igual al cuádruplo de las que quedan por transcurrir. ¿Qué hora es? 11. La suma dos números con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor ¿Cuáles son dichos números? 12. Rafael y Ángel tienen 45 manzanas. Dice Rafael a Áng e l :“ Da me5ma nz a na sy a s ít e ndr ée ldobl equet ú” .¿ Cuá nt a st i e ne nc a dauno ? 13. Un librero vendió 84 libros a dos precios distintos: unos a 45 euros y otros a 36 euros, y obtuvo de la venta 3105 euros. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? 14. Un padre para estimular a su hijo a estudiar matemáticas le dice: por cada ejercicio quer e s ue l va sbi e nt eda r é0’ 70e ur osyporc a daunoqueha g a sma lmeda r á s0’ 50 e ur os .De s pué sdeha c e r25e j e r c i c i os ,e lmuc ha c hos ee nc ue nt r ac on5’ 50e ur os , ¿cuántos ejercicios ha resuelto bien? 15. En un grupo de 312 personas hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay? 16. Una madre compra 3 pantalones y 2 camisetas por 105 euros. Si cada pantalón cuesta el doble que una camiseta. ¿Cuánto vale cada prenda? 17. El doble de la suma de dos enteros es igual a –64. Uno de ellos es igual al triple del otro. ¿Cuáles son los dos números? 18. Reparte 10000 euros entre tres personas de manera que la primera reciba 450 euros más que la segunda y ésta 1000 más que la tercera. 19. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones de cada tipo tiene el hotel?

MATEMÁTICAS 1º ESO

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2.5 PROBLEMAS DE EDADES 1. El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro dan los 44 años de su padre, y dentro de 2 años la edad de Juan será el doble que la de Pedro. ¿Cuántos años tienen ahora? 2. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace años la edad del padre era triple de la del hijo. ¿Cuántos años tienen cada uno? 3. La suma de las edades de un padre, una madre y su hijo es de 142 años. Si sumamos la edad de los padres nos da 6 veces la edad del hijo más 2 años, mientras que si restamos a la edad del padre la de la madre el resultado es la décima parte de la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno? 4. Hace 3 años la edad de Juan era doble que la de Pedro. Dentro de 7 años la edad de Juan será 4/3 de la de Pedro. ¿Cuántos años tienen en la actualidad Juan y Pedro? 5. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace tres años la edad del padre era triple que la del hijo. ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo? 6. La edad de pedro era doble que la de Luis hace un año. Cuando pasen 9 años la edad de pedro será 4/3 de la edad de Luis. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno? 7. La edad de un padre es 4 veces mayor que la de su hijo. Pero hace 6 años la edad del padre era 7 veces mayor. ¿Cuál es la edad actual de ambos? 8. La edad de la madre de Luis es triple de la de él, y dentro de 14 años sólo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada uno? 9. Juan tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de Juan. Averigua la edad de cada uno. 10. La edad de Antonio es doble de la de Luis. Hace 7 años la suma de las 2 edades era igual a la edad actual de Antonio. Calcula: a) Las edades actuales de Antonio y de Luis b) ¿Cuándo tendrá Antonio el triple de la edad de Luis? 11. Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será el triple que la del hijo?

2.6 PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN 1. Se tiene 2 depósitos de agua. El contenido en litros del 1º es igual a ¾ del contenido del 2º, y el contenido del 1º más 20 l es igual al contenido del 2º. ¿Cuántos litros contiene cada depósito? 2. Dos personas compran tela de distinta clase. Entre ambas compraron 55 m. Y cada una de ellas gastó la misma cantidad. Si la primera hubiera comprado los metros que compró la segunda, habría gastado 360 euros, y si la segunda hubiera

MATEMÁTICAS 1º ESO

70

comprado lo que compró la primera, su gasto hubiera sido 250 euros, ¿Cuántos metros compró cada una y a qué precio? 3. En un colegio hay 372 personas entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del nº de profesores se le añade el nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº de chicos. Si las chicas aumentaran en 3, su nº sería el doble que el de chicos. ¿Cuántos hay de cada uno de estos grupos? 4. En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta si el total es de 156 personas. 5. Halla un nº de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas es el triple de la cifra de las unidades. Si se invierte el orden de sus cifras dicho nº disminuye en 24. 6. Halla un nº de dos cifras sabiendo que su cifra de las unidades es el doble de su cifra de las decenas. Si se invierte el orden de sus cifras dicho nº aumenta en 36. 7. Entre 15 amigos han de pagar una deuda de 1380 euros. Como algunos de ellos no tienen dinero, cada uno de los restantes han pagado 23 euros más de las que le correspondían. ¿Cuántos son los amigos que no tienen dinero? 8. Un almacenista compra 11 sillas a 350 euros cada una. Se estropean un cierto nº de ellas y vende las que le quedan aumentando por silla el precio de compra tantas veces 50 euros como sillas se han estropeado. De esta manera resulta que el almacenista no gana ni pierde. Hallar el nº de sillas estropeadas. 9. Un grupo de estudiantes organiza una excursión, para lo cual alquilan un autocar cuyo coste total es de 540 euros. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 euros menos. Se pide: el nº de estudiantes que fueron a la excursión y qué cantidad pagó cada uno. 10. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres, y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay, si en total hay 156? 11. Las edades de 3 hermanos, sumadas dos a dos, dan 5, 7 y 8 años, respectivamente. ¿Sabrías decir los años de cada uno? 12. Si la estatura de Carlos aumentase en el triple de la diferencia de las estaturas de Antonio y Juan, Carlos sería igual de alto que Juan. Hallar las estaturas de Carlos, Antonio y Juan, sabiendo que entre los tres miden 515 cm, y que la estatura de Antonio es de los 9/8 de la de Carlos. 13. Una factura de 760 euros se ha pagado con billetes de 50, 20 y 5 euros. El nº de billetes de 50 euros es doble que el de los de los de 20 euros, y el de los de 5 euros son la sexta parte de los primeros. ¿Cuántos son los billetes de cada clase? 14. Un comerciante compra por 1620 euros una partida de saquitos de café. Una segunda partida le cuesta la misma cantidad, pero cada saquito de éstos le cuesta

MATEMÁTICAS 1º ESO

71

27 euros más, y la partida consta de dos saquitos menos. Calcular el precio de un saquito de la nueva partida. 15. Para distribuir un lote de objetos, se le da igual número de ellos a cada una de las 15 personas presentes, pero llega una persona más y hay que dar a cada una un objeto menos, sobrando ahora 11 objetos. Calcular los objetos que corresponden a cada persona, y cuántos había en el lote. 16. Se han de encuadernar 5000 libros, de lo que se encarga una casa que lo hace a razón de 140 diarios. A los dos días y medio, se encarga simultáneamente a otra casa que encuaderna 170 libros cada día. ¿Al cabo de cuánto tiempo terminarán el trabajo y cuántos libros encuadernará cada uno? 17. En un colegio hay 372 personas entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del nº de profesores se le añade el nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº de chicos. Si las chicas aumentaran en tres, su nº sería el doble que el de chicos. ¿Cuántos hay de cada uno de estos grupos?

MATEMÁTICAS 1º ESO ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN DE ECUACIONES 1.- Enuncia las siguiente expresiones algebraicas: 1.

x - 2 : "La diferencia entre un número y 2"

2.

2x : "

3.

x+3

4.

2x + 5

5.

2x3

6.

x - 3y

7.

x2

8.

5x

9.

x+y

10.

2x - 4y

11.

12.

13. 14.

2x - 3y2

15.

(2x)2

16.

(4x)3

17.

(x - 1)2

18.

(x + y)3

19.

2(x - 5)

20.

72

MATEMÁTICAS 1º ESO

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29. 30.

31.

32.

33.

34.

2(x - y)3

73

74

MATEMÁTICAS 1º ESO

35.

36. 2.-Expresa algebraicamente los siguientes enunciados verbales: 1.

Un número cualquiera.

2.

El doble de un número cualquiera.

3.

Un número aumentado en 5.

4.

Un número disminuido en 3.

5.

Un número aumentado en su mitad.

6.

El antecesor de un número cualquiera.

7.

El sucesor de un número cualquiera.

8.

Un número par cualquiera.

9.

Un número impar cualquiera.

10.

Dos pares consecutivos cualesquiera.

11.

Tres impares consecutivos cualesquiera.

12.

El exceso de un número sobre 3.

13.

El exceso de un número cualquiera sobre otro número cualquiera.

14.

La quinta parte de un número.

15.

La centésima parte de un número.

16.

Las tres cuartas partes de un número cualquiera.

17.

El cuadrado de un número cualquiera.

18.

El cubo de un número cualquiera.

19.

El doble de un número aumentado en 4.

20.

El triple de un número disminuido en 5.

21

El cuádruple del exceso de un número sobre 8.

22.

El exceso del cuádruple de un número sobre 8.

23.

El doble del cubo de un número.

24.

El cubo del cuádruple de un número.

25.

El cubo de la diferencia entre dos números cualesquiera.

26.

La tercera parte de la diferencia entre el doble de un número y el triple de

otro número.

MATEMÁTICAS 1º ESO 27.

El doble del cubo de un número disminuido en el cuádruplo del cubo de

otro número. 28.

El triple del cuadrado de la diferencia entre un número y 13.

29.

La cuarta parte de la adición entre un número cualquiera y 3.

30.

La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte

del cuadrado de otro número. 31.

La quinta parte del cuadrado de la suma de dos números cualesquiera.

32.

El cubo de la diferencia entre la mitad de un número y la cuarta parte del

triple de otro número. 33.

La mitad del exceso del cuadrado del triple de un número sobre el doble

del cubo de otro número. 34.

A la cuarta parte de un número agregarle sus tres cuartas partes.

35.

El cuadrado de la tercera parte de la diferencia entre el cuádruplo del cubo

de un número y el cuadrado del triple de otro número. 36.

La mitad del exceso de la tercera parte de un número y sus tres cuartas

partes. 37.

Un múltiplo de siete cualquiera.

38.

Un múltiplo de cuatro cualquiera.

39.

La suma de dos múltiplos de cinco cualesquiera.

40.

La suma de tres múltiplos consecutivos de 8.

3.- Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) 4x = 2x - 12 2) 8x - 24 = 5x 3) 7x + 12 = 4x - 17 4) 3x - 25 = x - 5 5) 5x + 13 = 10x + 12 6) 12x - 10 = -11 + 9x 7) 36 - 6x = 34 - 4x

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8) 10x -25 = 6x - 25 9) 11x - 1 + 5x = 65 x - 36 10) 4x - 13 - 5x = -12x + 9 + 8x 11) -5 + 7x +16 + x = 11x - 3 - x 12) 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5 13) 2x - (x + 5) = 6 + (x + 1) 14) 8 - (3x + 3) = x - (2x + 1) 15) 4x - 2 = 7x - (x + 3) + (-x - 6) 16) 2x + [2x - (x - 4)] = -[x - (5 - x)] 17) x - {5 + 3x - [5x - (6 + x)]} = -3 18) -{7x + [-4x + (-2 + 4x)] - (5x + 1)} = 0 19) -{-[-(-6x + 5)]} = -(x + 5) 20) -{4x - [-2x - (3x + 6)]} = 4 - {-x + (2x - 1)} 4.-Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1) 5(x + 2) = 40 2) 3(x - 4) + 6 = 9 3) 2x(4x - 3) = 8x2 - 18 4) -2(x + 3) + 5(x - 2) = x + 1 5) 4(x + 3) - 2(-x + 3) = 6 - x 6) 8(x + 2) = 3(x - 5) - 7(x + 3) 7) a(x + 1) + 5a(x - 1) = 2(3b - 2a) 8) x(a + 1) - x(a - 1) = 2a + 4 5.- Resolver las siguientes ecuaciones.

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MATEMÁTICAS 1º ESO

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6.- Resolver las siguientes ecuaciones.

7.- ¿Qué número aumentado en 17 da 47? 8.- La diferencia entre un número y 5 es 8. Calcula ese número. 9.- Repartir 300 euros entre tres amigos de modo que cada uno reciba 5 euros más que el anterior. 10.- Entre Luis y Antonio reúnen 840 euros. Sabiendo que Antonio tiene 125 euros más que Luis, calcular los euros que tiene cada uno. 11.- Repartir 300 euros entre tres personas de modo que la segunda reciba 16 euros más que la primera y la tercera 28 euros más que la segunda. 12.- Los 7/13 del valor de un balón más 45 pts suman 6,75 €.¿Cuánto vale el balón? 13. Un balón de reglamento y una bicicleta me han costado 300 €.Sil abi c i c l e t ava l e el cuádruplo que el balón, ¿cuánto vale cada uno? 14.-. Una persona gasta 1/2 de su sueldo en comida; 1/5 de su sueldo en vivienda y 1/6 de su sueldo en vestido. Si todavía le sobran 200 €, ¿cuánto gana de sueldo? 15.- Resolver las siguientes ecuaciones.

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16.-Halla un número cuya mitad, tercera y cuarta parte sumen 39. 17.- Calcula dos números impares consecutivos que sumen 24. 18.- Un obrero y su mujer ganan entre los dos 10.000 pts diarias. Sabiendo que la mujer gana los 2/3 de lo que gana el marido, calcula lo que gana cada uno. 19.- En una granja hay conejos y gallinas, contándose en total 39 cabezas y 126 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 20.-. La madre de Luis tiene triple edad que él y dentro de 14 años sólo tendrá el doble de la que entonces tenga Luis. Calcula la edad actual de cada uno. 21.- Mezclamos 15 litros de agua a 80 ºC con 25 litros a 60 ºC. ¿A qué temperatura quedará la mezcla?. 22.- El perímetro de un triángulo isósceles es 15 cm y el lado desigual es la mitad de uno de los lados iguales. Calcula la longitud de cada uno de los lados. 23.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

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PARA TRABAJAR EN GRUPO

LA DIETA Se recomienda a los deportistas que hagan una actividad física alta, que lleven una dieta rica en hidratos de Carbono, lípidos y proteínas. La recomendación es tomar un 60 % de hidratos de carbono un 30 % de lípidos y el resto de proteínas. Se estima que un deportista necesita 5000 calorías diarias. Con la tabla siguiente elabora una dieta apropiada para un ciclista:

LA CIRCULACIÓN En las grandes ciudades conseguir un tráfico fluido es un objetivo prioritario para mejorar la ciudad, y lograr que se utilice cada vez más el transporte público facilita esta fluidez, pero para que el ciudadano opte por dejar el coche es necesario que tenga ventajas con esta decisión, lo que implica una buena planificación, así es necesario que en horas punta el número de autobuses, metros, trenes sea superior y ofrezca al viajero el servicio que necesita. Por otra parte, una buena planificación también implica optimizar los recursos, es decir, el número de vehículos y el de conductores. Por ejemplo, una línea de autobuses de 10 vehículos para realizar un recorrido que dura una hora, cuando el tráfico es fluido supone que en cada momento hay 5 autobuses en el trayecto de ida y 5 en el de vuelta y el tiempo que separa un autobús del siguiente es de media de 6 minutos. -

¿Cuántos autobuses son necesarios para reducir el tiempo de espera a 5 minutos?. - ¿Y a 4 minutos?. - ¿En cuanto se reduce el tiempo de espera si hay 14 vehículos?. Sin embargo, esta situación se complica en las horas punta, en las que el mismo recorrido se realiza en dos horas. Esto supone que con 10 vehículos la distancia entre dos autobuses sería de 12 minutos como media y ocasionalmente podían ser de 15 minutos. Además, sería conveniente tener autobús más de reserva par solucionar una posible avería o una situación de excesivo tráfico.

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¿Cuántos autobuses necesita la compañía para garantizar un tiempo de espera en horas punta de 5 minutos?. - En esta situación cuánto supondría en tiempo la adición al servicio de 5 autobuses más. A lo largo del día la situación varía y para optimizar los recursos, en particular el número de conductores disponibles en cada momento, será necesario encintrar una expresión algebraica para saber el número de autobuses y los conductores que hay que tener disponibles en cada momento sabiendo el tiempo que dura el trayecto. Si llamamos x a la duración del trayecto expresado en minutos y teniendo en cuenta que se necesita un autobús más para imprevistos. - ¿Cuál es la expresión algebraica para obtener el número de autobuses o de conductores necesarios que garantice al viajero un tiempo medio de espera de 5 minutos?. Comprueba la expresión que has calculado es correcta: sustituyendo x por 60 debes obtener un número de autobuses necesario cuando el tráfico es fluido y el resultado de sustituir x por120 debes obtener el número de autobuses necesarios en horas punta. Durante los fines de semana el número de viajeros es mucho menor, por lo que se decide aumentar el tiempo de espera en 10 minutos. - Calcular la expresión algebraica que determina el número de conductores necesarios para que el tiempo medio de espera sea de 10 minutos conocido el tiempo x que dura el trayecto, teniendo en cuenta al conductor de reserva para las situaciones imprevistas. - Si en un recorrido de 70 minutos se cuenta con 11 conductores, calcula la variable t, que es el tiempo medio de espera, resolviendo la ecuación 11=70/t+1