Cuadernillo Matemáticas 3 Loma Linda.pdf

M

Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas 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Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas

3º

Matemática Cuadernillo de Actividades

Alumno/a

U.E.P.Nº 35 “Instituto Adventista Loma Linda”



Programa de contenidos dI Unidad Revisión de las propiedades estructurales de los conjuntos numéricos N, Z y Q. Números irracionales. Números reales. Propiedad de completitud. Intervalos reales. Raíz n-ésima de un número real. Propiedades de la radicación de números reales. Radicales: Concepto, extracción de factores fuera del radical, operaciones con radicales: suma, resta, multiplicación y división. Racionalización de denominadores.

Unidad II Expresión algebraica: definición. Polinomio. Características de un polinomio: grado, coeficiente principal y término independiente. Clasificación de polinomios según el número de términos. Polinomio completo y ordenado. Valor numérico de un polinomio. Operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y división. Regla de Ruffini.

Unidad III Factorización de polinomios: factor común y por grupos. Trinomio cuadrado y cuadrinomio cubo perfectos. Suma y resta de potencias de igual exponente. Casos combinados. Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación y operaciones.

Unidad IV Semejanza: definición. Semejanza de triángulos y de polígonos. Razón de semejanza. Criterios se semejanza de triángulos. Escalas. Aplicaciones prácticas de la semejanza de triángulos.

Unidad V Estadística. Terminología básica: población, muestra, variables (tipos), datos. Descripción de variables: tabla de distribución de frecuencias. Gráficos estadísticos. Medidas estadísticas: Promedio, moda y mediana.

/CVGOhVKEC‚CwQ

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Criterios de evaluación y acreditación es Generales - Cumplimiento del reglamento institucional. - Comportamiento adecuado en el ámbito escolar respetando a los compañeros, docentes y autoridades escolares. - Aprobación de instancias de evaluación (escrita u oral) y trabajos prácticos con calificación mayor o igual a 6 (seis). - Presentación en tiempo y forma de trabajos o tareas solicitadas. - Carpeta del alumno completa, ordena y prolija. - Asistencia al 90 % de las clases. - Participación activa del alumno en las clases. - Responsabilidad en las tareas asignadas y trabajos solicitados. - Disposición para trabajar en forma individual o grupal.

Específicos p - Usar de un vocabulario preciso y propio de la matemática que permita expresar sus conocimientos. - Precisión y prolijidad en toda producción matemática realizada por el alumno, en la presentación de las carpetas, evaluaciones y trabajos prácticos escritos. - Acreditar razonamientos coherentes y habilidad para resolver distintas situaciones problemáticas propuestas en clase, en instancias evaluativas escritas individuales o grupales, en cuestionamientos orales indicados clase a clase o incluso en ejercitaciones para resolver en sus hogares, así como también evidenciar el cumplimiento responsable de las actividades antes mencionadas. Para la elaboración de la nota trimestral del alumno se tendrá en cuenta: - Calificaciones en evaluaciones escritas, lecciones o preguntas orales y trabajos prácticos. - Carpeta del alumno completa, ordenada y prolija. - Registros de desempeño: Se realizará la observación y registro del trabajo diario de los alumnos (en cuento a su desempeño y progreso demostrado en cada práctica cotidiana) y por su responsabilidad en las realización de las tareas para el hogar o presentación de las mismas, como así también el comportamientos de los alumnos en el aula.

….. …………………………….. Firma del alumno/a

………………………… Firma del tutor

……………………………

2TQH)CDTKGNC1LEKWU

1

Números reales Fechas y Notas importantes

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Fecha:

 El conjunto de los números reales El conjunto formado por todos los números racionales y todos los números irracionales se denomina conjunto de los números reales y se simboliza con la letra R. En el siguiente diagrama de Venn se pueden observar las relaciones de inclusión entre los distintos conjuntos numéricos. NZQR y IR Q  I (los Racionales no están incluidos en los Irracionales ni viceversa)

Actividad 3 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta. 1) Indica cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justificar a) Todo número real es racional. b) Algunos números naturales son números enteros. c) Todo número entero es un número racional. d) Todos los números reales son números irracionales. e) Todos los números irracionales son reales. 2) Decide si cada una de los siguientes enunciados matemáticos son V o F. Justifica en cada caso. a) 4  Q b) -2  N 1 c)  N 2 d) 0,566666…  Q e) - 3  I f) 81  Z 3) Completa el cuadro colocando SÍ o NO según corresponda. Número 7

3

15

-2,08

1,222…

9

7 6



 14,3



5 2

5,125895…

0

¿N? ¿Z? ¿Q? ¿I? ¿R? 4) Realiza las siguientes actividades en tu carpeta: a) Escribir un número natural que esté entre 15 y 8. ¿Cuántos hay? ¿Por qué? b) Escribir un número entero que esté entre 15 y 8. ¿Cuántos hay? ¿Por qué? c) Escribir un número racional que esté entre 15 y 8. ¿Cuántos hay? ¿Por qué? d) Escribir un número irracional que esté entre 15 y 8. ¿Cuántos hay? ¿Por qué?

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 Propiedad de completitud El conjunto de los reales tiene la propiedad de completar o cubrir la recta numérica sin dejar "huecos". Esta propiedad se denomina axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta, esto quiere decir que a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y viceversa a cada punto en la recta se le asocia un único número real. El conjunto de los números reales es también un conjunto denso, es decir, entre dos números reales distintos siempre hay infinitos números reales (tanto racionales como irracionales). Propiedades estructurales del conjunto numérico de los reales R Conjunto infinito Conjunto denso Ordenado de menor a mayor Completa la recta numérica

 Intervalos reales Un intervalo real es un segmento o una semirrecta de la recta real. Se representan como un par ordenado de números encerrados entre paréntesis y/o corchetes. El paréntesis indica que no se incluye el número, y el corchete que sí. En todo intervalo, el número ubicado a la izquierda debe ser menor que el ubicado a la derecha. Si a y b son números reales, con a  b, pueden tenerse los siguientes intervalos:

Nota: Los números a y b se llaman extremos del intervalo.

Matemática 3° año

- 2015

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Actividad 4 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta. 1) Representar en la recta real cada uno de los siguientes intervalos: 2   A= 0; 4 B= x  R /  3  x  1 C=  6;2 D=  x  R /  x  3 5   2) Escribir algebraicamente cada uno de los siguientes intervalos:

3) Graficar sobre la recta real los siguientes intervalos: A  x  R / 1,5  x B   ;3 C  4 : 

D= x  R / x  7

4) Escribe los intervalos de reales que corresponden a las siguientes situaciones: a) Vengan a almorzar a casa, los espero entre las 13:00 hs y las 13:30 hs. b) Voy a comprarme un pantalón, pero no gastaré más de $50. c) La clase de música es todos los lunes, de 15:00 a 17:50 hs.

 Raíz n-ésima de un número real Llamamos raíz n-ésima de un número real a, y lo simbolizamos con n a , a un número b definido de la siguiente manera: Nota:……………………… n n ………………………………. * Si n es par, a  0 , a  b  b  0 y b  a ………………………………. n n * Si n es impar, a  b  b  a

n  N se llama índice de la raíz, a se llama radicando y n se llama signo radical Por convención, cuando n = 2 no se escribe el índice en el símbolo de la raíz. Recordar que la radicación es la operación inversa de la potenciación y eso nos permite tener una “herramienta” para obtener y controlar resultados. Ejemplos: 3 5 3 3 8  2 porque 2  8 5 243  3 porque 3  243  27  3 porque (3) 3  27 Actividad 5 Completar con el número que falta: 121  ……….., porque ……….. 3

 64  ……….., porque ………..

4

16  …………., porque …….

5

 32  …………., porque …….

Propiedades de la radicación Si n a y n b existen en R entonces se cumplen las siguientes propiedades: I) Distributividad respecto de la multiplicación, en símbolos:

4

n

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a.b  n a .n b

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III) Raíz de otra raíz, en símbolos: IV) Potencia de una raíz

 a

m

n

n m

a 

n.m

a : b  n a : n b siempre que b  0 .

n

II) Distributividad respecto de la división, en símbolos:

Fecha:

a

 n am

V) Simplificación de índices: es correcto simplificar índices con exponentes sólo si la base es positiva. Ejemplo:

12

54  3 5 m

VI) La radicación puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario:

n

am  a n

Las potencias de exponente fraccionario se definen de manera que las propiedades ya conocidas de potencia de exponente entero continúan siendo válidas. Completa las propiedades de potenciación de un número real y exponente fraccionario 3 4

1 2

2 2  2  2  

3 4

3 4

1 2

2 : 2  2..................

..................

1 2

   2.....................  

 2     

3 4

   

  

  

Actividad 6 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta. 1) Completa las casillas libres Raíz Potencia fraccionaria

Raíz

3

4

3

Potencia fraccionaria

73 

4 5

4



1 9

2) Usando las propiedades de radicación decide si cada una de las siguientes igualdades es Verdadera o Falsa. Si es F escribe la expresión correcta. a)

6

d) a g)

4

b) 16  9  16  9

53  5 4  6



 a 3

2

(3) 2  3

e)

(2) 2  2

h)

9

c) 16  9  16  9 8 6 8

f)

18  18 18

i)

a a 3

2 3

 Radicales: concepto Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión algebraica, siempre que ésta tenga solución real. Ejemplos:

2;

4

5 ; 37 8 ;

3

9;

5

a2 ; 5 8 ;

64m 3 con m  0 . Los radicales son números irracionales y la forma exacta de escribir estos números es expresarlos como raíz.

Matemática 3° año

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 Extracción de factores fuera del radical Algunos radicales pueden ser transformados en expresiones más sencillas. Para ello existen factores, dentro del radical, que pueden ser extraídos si el exponente del mismo es mayor o igual que el índice de la raíz. Actividad 13 Transforma el siguiente radical en su mínima expresión usando la extracción de factores fuera del radical y siguiendo las explicaciones de la profesora.

504  ........  .......  ........  .........  .......... .......  .......  ........  ........ ............ Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 1: Descomposición factorial del 504

Paso 2: Para cada uno de los factores se compara el exponente de la potencia del mismo con el índice de la raíz, si el exponente resulta mayor o igual al índice se realiza la división de los mismos donde el cociente que se obtiene es el exponente de la potencia con que “sale” el factor en cuestión y el resto es el exponente de la potencia con la que “queda” dentro del radical. Para el factor ……

¿Es exponente

Para el factor ……

índice?

¿Es exponente

Para el factor ……

¿Es exponente

índice?

Paso 3: Se realizan los cálculos aritméticos correspondientes.

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índice?

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Actividad 7 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta. Extraer todos los factores posibles de cada uno de los siguientes radicales: 8 5 x  a) 48  b) 5  128b8  c) d) 4 32a 7 b 3  9

 Radicales semejantes Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando. Ejemplos: 3 y 5 3 ; -2 3 2 y 4 3 2 . En algunos casos, aunque parezcan distintos radicales, es posible operar convenientemente y obtener expresiones con radicales semejantes. Ejemplo: 20 y 5 son radicales semejantes, pues 20  4 5 .

 Operaciones con radicales Suma y resta de radicales Solo es posible sumar o restar términos que contengan radicales semejantes. Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de transformarlos extrayendo factores fuera del radical, por ejemplo:

3 2  5 32  3 2  5 25  3 2  5.2 2. 2  3 2  20 2  23 2 La resta se realiza en forma similar. Multiplicación de radicales Para multiplicar radicales del mismo índice se deben multiplicar por un lado los coeficientes de los radicales y por otro, usar la propiedad distributiva de la radicación n a .n b  n a.b . respecto al producto Ejemplo: 1 1 3 3  7 3  3 7  3  14 4 4 4

División de radicales Para dividir radicales del mismo índice se deben dividir por un lado los coeficientes de los radicales y por otro, usar la propiedad distributiva de la radicación respecto al n a a cociente n  n . Ejemplo: b b 5 3 4 2



5 3 5 3    4 2 4 2

Operaciones combinadas Para resolver operaciones combinadas con radicales se tendrá en cuenta el orden de prioridad de las operaciones que ya conoces.

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Actividad 8 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta. 1) Une con flechas aquellos radicales que sean semejantes: 63 2.4 5 3

135

3. 7 3. 3 5

75 4

4. 3 8

80 3 4

5. 3

2) Realiza las siguientes operaciones e indica cuál de las 3 opciones es el resultado correcto. a) 3 8  11 2  2 8  6 2 

b)

20  3 125  2 5 

i. 8 2 ii. 5 8  5 2 iii. 5 2  5 8

i. 0 ii.  11 5 iii.  1 5

c)

64  8 

i. 2 23

ii. 4 2 iii. 4 8

3) Realiza las siguientes operaciones combinadas con radicales e indica cuál de las 3 opciones es el resultado correcto. 3 2 3 18 3 3 a) 2 45  15  32 5  b)  2 3  5 9  2 3   4 3 6 12 13 i. ii. 6 5 iii. 45 5 i. 4 18 ii. 11 3 iii. 46 27 5 2 4) Resuelve los siguientes situaciones problemáticas: a) Calcula la medida de los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que la hipotenusa mide 5 m y que un cateto es el doble del otro. b) En la figura se ven dos cuadrados de áreas 8 cm2 y 2 cm2 respectivamente. Calcular el perímetro de la figura sombreada.



Racionalización de denominadores

La racionalización es una costumbre matemática, en la que siempre al finalizar una operación, no debe quedar un radical en el denominador de una fracción. Primer caso: En el denominador hay un único radical de índice 2. Actividad 9 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta. Racionaliza los siguientes denominadores siguiendo las explicaciones de la profesora: 3 1 1) 2)   3 2 5 Segundo caso: En el denominador hay un único radical de índice mayor a 2. 8

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Actividad 10 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta. Racionaliza los siguientes denominadores siguiendo las explicaciones de la profesora: 1 6 1) 2)   3 4 9 3 Tercer caso: El denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2. Para ellos se debe aplicar el producto de una suma de dos términos por su diferencia conocido como diferencia de cuadrados: (a  b)  (a  b)  a 2  b 2 Actividad 11 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta. Racionaliza el siguiente denominador siguiendo las explicaciones de la profesora: 1 1)  2 3 Actividad 12 1) Escribe una expresión equivalente a cada una de las dadas donde los radicales estén en el numerador (racionalizar): 1 7 1 a) b) c)    3 5 14 5 3 3 2 y 2  2 ¿Son iguales? ¿Son 2, 2 2 22 distintos? Explica por qué. Ayuda: realiza racionalización de denominador cuando corresponda y compara los números.

2) Compara cada par de números

3

y

Matemática 3° año

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Polinomios Fechas y Notas importantes

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 Expresiones algebraicas. Polinomios Una expresión algebraica es una combinación finita de números reales, letras o de números y letras, ligados entre sí por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y/o radicación. Los números se llaman coeficientes y las letras variables o indeterminadas. Los polinomios son un caso especial de las expresiones algebraicas en las que la variable o indeterminada no aparece como denominador y no está afectada por una raíz. Los polinomios se simbolizan, generalmente con una letra mayúscula seguida de la indeterminada encerrada entre paréntesis, por ejemplo: P(x) , Q(x) , etc.

 Características de un polinomio Considerando el siguiente polinomio P( x) 

3 2 x  5 x  7 x 4  9 , para el cual se verifican 5

las siguientes características: Grado de un polinomio: es el mayor exponente al que está elevada la indeterminada. Se simboliza con gr P(x) = 3 Coeficiente principal: es el coeficiente que multiplica a la variable de mayor exponente. En P(x) es 7 Término independiente: Es el coeficiente que no está multiplicado por ninguna indeterminada. En P(x) es 9. Algunos polinomios especiales: Polinomio nulo: sus coeficientes son ceros, no tiene grado. Ejemplo: 0 ( x)  0 Monomio: tiene un solo término. Ejemplo: P( x)  3x 4 Binomio: tiene dos términos. Ejemplo: Q( x)  2 x 7  1 Trinomio: tiene tres términos. Ejemplo: R( x)  x 2  3x  8 3 Cuatrinomio: tiene cuatro términos. Ejemplo: S ( x)  6 x 8  x 2  2 x  7 5 Además, los polinomios pueden ser completos y ordenados. Un polinomio de grado n es completo cuando entre sus términos aparecen todos los 3 exponente desde n hasta 0. Ejemplo: T ( x)  x 2  3  5 x  x 3 2 Si alguno de los términos falta, el polinomio es incompleto. Para completarlo se agregan términos con los exponentes faltantes y con coeficientes iguales a cero. Ejemplo: U ( x)  x 3  1 es incompleto, para completarlo escribimos: U ( x)  x 3  0 x 2  0 x  1 Un polinomio está ordenado si sus términos aparecen de mayor a menos según sus 1 grados, en orden creciente o decreciente. Ejemplos: V ( x)  6 x 4  x 2  5 3 Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio P(x) , para x = a, es el número que resulta de sustituir la variable x por el valor a. Ejemplo: en el polinomio P( x)  2 x 3  5x  3 , para x = 1, P(1)  2.13  5.1  3  2  5  3  4 , por lo tanto P(1)  4

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Actividad 1 1) Indica con una P cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. P( x)  3x 2  7 x 1

Q( x)  4 x

R( x)  5x  112

S ( x)  5  x

T ( x)  2

U ( x)  5 x 5  9 x

2) a) Dados los polinomios completa el siguiente cuadro de características: Coeficiente principal : CP Término independiente : TI Polinomio

Grado CP

Clasificación según cantidad de términos

TI

P( x)  15x 2  7 x 6 Q( x)  3x 4  3  x

1 2 x  x3 3 1 S ( x)  27  x 5 R( x) 

 T ( x)  0,7  2 x 3  5x

b) Observa si los polinomios anteriores están completos y ordenados, de no ser así complétalos y ordénalos. 3) a) Escribe un monomio de grado 6. b) Escribe un polinomio completo cuyo grado sea 5, el coeficiente principal igual a 1 y los demás coeficientes elegidos por vos. c) Escribe un trinomio completo con coeficientes negativos. 4) Sea P( x)  x 3  5x 2  x  5 , determina el valor numérico del polinomio para x  1; x  1; x  3 y x  5 .

 Operaciones con polinomios

Son los términos que tienen la indeterminada x elevada al mismo exponente.

Suma y resta de polinomios Para sumar dos o más polinomios se suman los coeficientes de los términos semejantes; para restar dos polinomios, se suman los opuestos de los términos semejantes del polinomio que se resta. Generalmente para realizar estas operaciones escriben los términos semejantes uno debajo del otro, de forma que sea más sencillo sumarlos o restarlos. Ejemplo: Dados los siguientes polinomios R( x)  6 x 2  2 x  1 y S ( x)  x 2  3x  2 , sumarlos y restarlos. Suma de los polinomios R( x )  6 x  2 x  1 S ( x)  x 2  3 x  2 2

R ( x)  S ( x)  7 x 2  5 x  3

12

Resta de los polinomios R( x )  6 x 2  2 x  1  S ( x)   x 2  3 x  2 R( x )  S ( x )  5 x 2  x  1

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Multiplicación Para multiplicar dos polinomios, se deben aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a.(b  c)  ab  ac y la propiedad de producto de dos potencias de igual base: a n  a m  a nm En general, para efectuar esta operación resulta muy conveniente adoptar una disposición práctica similar a la del mecanismo ya conocido para multiplicar número reales, es decir, se escriben los polinomios uno debajo del otro (en forma completa y ordenada) y se multiplica el último término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba, y así sucesivamente, hasta multiplicar todos los términos del primer polinomio. Ejemplo: Dados los siguientes polinomios R( x)  6 x 2  2 x  1 y S ( x)  x 2  3x  2 , multiplicarlos. Completar los polinomios 3x 3  0 x 2  0 x  2



5x  6

 18 x 3   x 2   x  

Ubicar los monomios del mismo grado uno debajo del otro

15 x 4   x3   x 2  10 x 15x 4   x 3   x 2   x  

El grado del polinomio resultante es la suma de los grados de ambos polinomios factores. El coeficiente principal y el término independiente del polinomio producto son, respectivamente, el producto de los coeficientes principales y el de los términos independientes de los polinomios multiplicados.

Actividad 2 1) Dados los siguientes polinomios: P( x)  x 2  1; Q( x)  x 2  1 ; R( x)  x 2  2 x  1 y 1 S ( x)  2 x 3  x 2  x  3 resuelve las siguientes operaciones: 2 a) P( x)  Q( x) b) S ( x)  R( x) c) P( x)  Q( x)  R( x) d) R( x)  Q( x)  P( x)

2) Expresa con un monomio el área de la parte coloreada en estas figuras.

a)

b)

c)

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d)

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3) El siguiente plano es el diseño de un pequeño centro comercial que será ubicado prontamente en nuestra ciudad. El mismo cuenta con 7 locales y en el centro hay una zona verde.

Responde: a) La superficie total donde está construido el centro comercial permite establecer el costo de la obra ¿Cómo son las dimensiones del terreno? (ancho y largo) b) La superficie que corresponde a la zona verde, ¿Qué área tiene? c) ¿Cuál es el área del local más grande y del más pequeño? [ayuda: calcula las áreas de todos los locales y luego compara] 4) Resuelve los siguientes ejercicios: a) (2 x  3)  ( x 2  5x) = c) ( x  3)  ( x  4)  x  15 

b) (2 x 2 )  (6 x)  d) 2 x  ( x 3  3x  2)  x 4  x 2 

División de polinomio Para dividir un monomio o polinomio por un monomio, se aplica la propiedad de la potenciación en reales: a n : a m  a nm y la propiedad distributiva de la división respecto de la suma y de la resta: (a  b) : c  a : c  b : c Ejemplos: (4 x 3 ) : (2 x)  (4 : 2).( x 3 : x)  2 x 2 (9 x 6  3x 5  6 x 2 ) : (3x 2 )  (9 x 6 ) : (3x 2 )  (3x 5 ) : (3x 2 )  (6 x 2 ) : (3x 2 ) 

 3x 4  x 3  2

 Regla de Ruffini La regla de Ruffini es un método práctico que se utiliza para dividir un polinomio P(x) cualquiera por otro de la forma ( x  a) con a  R . Por ejemplo, para dividir (3x 2  1) : ( x  3) , podemos hallar los coeficientes del polinomio cociente, mediante la siguiente disposición: 3

0

-3

-9 3

-9

Coeficientes del cociente

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1.Se escriben los coeficientes del polinomio dividendo completo y ordenado en la parte superior. 2.A la izquierda se escribe a a, que es el opuesto del término independiente del polinomio divisor. {El 27 teorema dice que el divisor es de la forma ( x  a) por 28 eso se “reescribe” ( x  3)  ( x  (3)) con lo cual a  3 } 3.“Se baja” el 1º coeficiente del polinomio Resto dividendo. 1

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4.Se multiplica por a y se coloca debajo del siguiente coeficiente del polinomio dividendo. 5.Se suman, y su resultado se coloca en la parte de abajo. 6.Se vuelve a repetir el procedimiento hasta terminar con todos los coeficientes del polinomio dividendo. De esta manera obtenemos los coeficientes del polinomio cociente, cuyo grado es 1 menos que el grado del polinomio dividendo. Es decir que si grP( x)  2 , resultará el grC ( x)  1 , por lo tanto, C ( x)  3x  9 y luego el resto es R( x)  28 .

Actividad 3 1) Realiza las siguientes divisiones de polinomios por monomios: 1 2 x  3x 6 ) : (5 x 2 )  4 4 b) (3  6 x 8  108 x 5  x 3 ) : (6 x 3 )  7

a) (75 x 3 

2) Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios aplicando teorema de Ruffini. a) (5x 3  4 x  3) : ( x  1)  b) (8x 4  24 x 3  13x 2  4 x) : ( x  2)  1  c)  x 2  3x  1 : ( x  3)  3  3) Resuelve las siguientes operaciones combinadas con polinomios: a) ( x 3  8) : ( x  2)  (6 x  4 x 2 )  3x 3  Puedes usar la regla b)  3x  (2 x  5)  ( x  2)  ( x  1)  de Ruffini cuando c) (20 x 3  15x  25x 2 ) : (5x)  (4 x  4)  x 2  convenga d) (3x 2  5  8x) : ( x  2)  6 x  3 

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Factorización de Polinomios Fechas y Notas importantes

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Factorización de polinomios La factorización es quizá uno de los temas más importantes y fundamentales del álgebra (rama de la matemática) básica. La factorización es tan importante como saber las tablas de multiplicar en las matemáticas básicas. Quien no sabe las tablas de multiplicar, sencillamente no va a poder avanzar con relativa facilidad en las matemáticas. ¿Por qué aprender factorización? La respuesta es sencilla y contundente: “Es la base del álgebra y del cálculo en general”. Entonces si aprendes a factorizar, las cosas de ahí en adelante serán más fáciles para continuar con temas más avanzados.

Definición: Factorizar o factorear un polinomio es expresarlo como un producto de ) con polinomios del menor grado posible, y generalmente serán binomios de la forma( .

Teorema Todo polinomio P(x) de grado n, con n raíces reales se puede factorizar de la siguiente forma: P( x)  a.( x  x1 ).( x  x2 )...( x  xn ) donde a es coeficiente principal y x1 , x2 ,..., xn son las raíces reales

Importancia de la factorización de un polinomio: Si podemos encontrar una expresión factorizada de un polinomio, entonces es más fácil ver las raíces de dicho polinomio, porque las mismas son las raíces de cada uno de los polinomios factores.

 Casos de factoreo Hemos visto cómo factorizar un polinomio a partir de sus raíces, pero para algunos polinomios es posible encontrar su forma factorizada empleando técnicas muy sencillas como las siguientes: Factor común El factor común es el monomio que se forma con el divisor común mayor de los coeficientes del polinomio y la variable elevada a la menor potencia. Luego para encontrar los términos que van entre paréntesis, se divide cada término de P(x) por el factor común. Ejemplo:

( )

Divisor común mayor de ambos coeficientes 2 La variable está presente en ambos términos (elevada a la menor potencia) x

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Factor común 2x

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( )

(

( )

(

)

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Simplificando lo necesario

)

Expresión factoreada de P(x)

Factor común por grupos Se aplica el factor común por grupos a polinomios que no tienen un factor común en todos sus términos. Ejemplo:

( ) ( )

(

( ) ( )

) (

(

(

)

)

(

)(

)

)

En todos los términos no hay un factor común Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma tal que en cada uno de ellos haya un factor común. Factor común de cada grupo En cada término debe aparecer el mismo factor común para poder extraerlo nuevamente como factor común. Expresión factoreada de P(x)

Actividad 4 1) Coloca una X a los polinomios correctamente factorizados. Los que no, factorízalos correctamente.

a)

(

b)

) (

(

c) )

(

d)

) )

2) Extraer factor común o factor común por grupos según convenga y factorizar los siguientes polinomios: P( x)  24 x 5  18x 4  30 x 2 S ( x)  5 x 6  5 x 2

Q( x)  4 x 3  2 x 2  6 x  3 R( x)  x 6  2 x 5  x 4  2 x 3  2 x  4

T ( x)  x 5  3 x 2  x 3  3 5 10 20 3 25 6 U ( x)  x 4  x 7  x  x 6 9 27 12

Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio

(

)

Trinomio cuadrado perfecto Cuadrado de un binomio Observación: Las letras a y b representan a cualquier monomio

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Para poder usar este caso se debe analizar que el polinomio que se quiere factorizar sea un trinomio cuadrado perfecto. Actividad 5 1) Completa los casilleros vacíos para que los siguientes trinomios sean cuadrados perfectos y luego factorízalos. a)

c)

b)

d)

2) Factorizar los siguientes polinomios utilizando trinomio cuadrado perfecto: P( x)  4 x 4  4 x 2  144 x R( x )  x 6  4 x 3  4 4 4 1 Q( x )  x 2  x  S ( x)  x 2  x  3 9 4

Cuatrinomio cubo perfecto Un cuatrinomio cubo perfecto se factoriza como el cubo de un binomio. Cuatrinomio cubo perfecto

(

)

(

)

Cubo de un binomio Observación: Las letras a y b representan a cualquier monomio Para poder usar este caso se debe analizar que el polinomio sea un cuatrinomio cubo perfecto.

Actividad 6 1) Completar los casilleros vacíos para que los siguientes trinomios sean cuadrados perfectos y luego factorízalos. a)

c)

b)

d)

2) Factorizar los siguientes polinomios: 3 2 1 3 3 P( x)  x 3  x 2  x  1 Q( x)  x  15x  75x  125 8 4 2

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R( x)  x 3  12 x 2  48x  64

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Diferencia de cuadrados La diferencia de dos cuadrados de monomios es igual al producto entre la suma y la diferencia de los mismos.

(

) (

)

Ejemplo: P( x)  x 2  49  x 2  7 2  ( x  7).( x  7) Actividad 7 1) Factorizar los siguientes polinomios utilizando diferencia de cuadrados: 4 P( x)  144 x 4  1 Q( x)  25  x 2 R( x)  49 x 4  25 S ( x)   36 x 6 9 2 6 4 U ( x)  121  x V ( x)  25x  81 T ( x)  x  100

Casos combinados En algunos casos se deben aplicar varias veces distintos casos de factorización para factorizar un polinomio. Se aconseja como primer paso aplicar sacar factor común, si no es posible, probar con factor común por grupos; luego analizar si se puede aplicar otro caso de factorización. Ejemplo: Factor común x2

( )

(

)

(

)

Trinomio cuadrado perfecto Actividad 8 1) Justifiquen cada transformación realizada: P( x)  4 x 2  8 x  4

a)

 4  ( x 2  2 x  1)  4  ( x  1) 2

Q( x)  x 3  3x 2  4 x  12 b)

 x 2  ( x  3)  4  ( x  3)  ( x  3)  ( x 2  4)  ( x  3)  ( x  2)  ( x  2)

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2) Factoricen los siguientes polinomios combinando procedimientos convenientemente.

P( x)  3x 5  12 x  2 x 4  8

S ( x)  24 x 5  18x 4  30 x 2

Q( x)  4 x 3  2 x 2  6 x  3 R( x)  2 x 5  x 4  6 x 3  3x 2  8x  4

T ( x)  2 x 6  2 x 4  2 x 2  2 U ( x)  x 4  81

 Expresiones algebraicas fraccionarias Una expresión algebraica fraccionaria es el cociente de dos polinomios:

( ) ( )

Simplificación Para simplificar expresiones fraccionarias, se debe factorizar su numerador y denominador para luego cancelar los factores en ambos. Ejemplo: Diferencia de cuadrados

( x  2)  ( x  2) x  2 x2  4   2 x 3  2x 2 x 2  ( x  2) x

Al simplificar se deben identificar los valores de x que anulan el denominador

Factor común x2

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 x: x  2

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Actividad 9 1) Justifiquen cada transformación realizada:

a)

b)

x2  x x  ( x  1)   x 3  2 x 2  x x  ( x 2  2 x  1)

x 2  4 ( x  2)  ( x  2)   x2 x2

 x:x   x 

 x: x 

2) Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias e indicar los valores de x que anulan el denominador en cada caso.

2 x 2  18 a) 4 2x  6x 3

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x 2  10 x  25 b) 3x 4  15 x 3

x2  x c) 3 x  2 x 2  3x

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x3  x2 d) 3 x  x2 1

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Semejanza Fechas y Notas importantes

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Actividad introductoria 1) Responde: ¿A qué nos referimos cuando utilizamos el término “semejanza” en el lenguaje cotidiano? ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2) Identifica en la imagen un par de figuras congruentes y un par de figuras no congruentes pero sí semejantes. Figuras congruentes

Figuras semejantes

Tangram

3) a) A simple vista, ¿Te parecen los siguientes cuadriláteros semejantes? Marca tu alternativa a la derecha.

b) Mide las dos longitudes solicitadas en cada figura y luego realiza el cociente entre cada lado y su homólogo (es el lado igualmente dispuesto en la otra figura)

Medidas

Fig. A

Fig. B

Fig. C

Cocientes Fig. A Fig. A Fig. B Fig. C

Fig. B Fig. C

ANCHO ALTO La razón entre los números a y b es el cociente Una proporción está formada por dos razones iguales:

c) De acuerdo al resultado, ¿Qué par/es de segmentos medidos son proporcionales?......... ………………………………………………………………………………………………….. d) Mide los ángulos de los cuadriláteros A, B y C. Compara con lo que marcaste en la parte a) y cocientes en b). ¿Qué te llama la atención respecto de los ángulos, proporcionalidad y semejanza de los cuadriláteros semejantes?...................................................................... …………………………………………………………………………………………………..

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f) Redacta una oración:

 Concepto matemático de Semejanza Para que dos figuras sean semejantes, además de tener la ………………….. forma, aunque puede variar el tamaño, sus lados homólogos deben ser ……………….……. …………………..y sus ángulos deben ser …………………………..……………..…

 Semejanza de polígonos Dos polígonos son semejantes si sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos son iguales. Si dos polígonos son semejantes, la constante de proporcionalidad entre ellos se llama razón de semejanza. Ejemplo 1: Halla la longitud de los lados de la segunda figura para que sea semejante a la primera:

Como las dos figuras son semejantes, existe una proporcionalidad entre las longitudes de 2 4 6 3 sus lados que se escribe:    1 x y z 2 4 usando:   2  x  1 4  x  1 x 2 6 usando:   2  y  1 6  y  1 y 2 3 usando:   2  z  1 3  z  1 z Ejemplo 2: Los lados desiguales de un triángulo isósceles miden 5 cm y 3cm. ¿Cuánto miden los lados de otro triángulo isósceles, semejante al 1 primero, si la razón de semejanza entre ellos es ? 2 Como las dos figuras son semejantes, existe una proporcionalidad entre las longitudes de sus lados que 5 5 3 1 se escribe:    x y z 2 5 1 usando:   5  2  1  x  x  x 2 3 1 usando:   3  2  1  z  z  z 2 Luego, los lados del triángulo isósceles semejante al primero miden: x = …...cm, y = …….cm, z = …….cm. Matemática 3° año

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Actividad 1 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.

1) Responde a las siguientes preguntas (puedes realizar las construcciones geométricas para guiarte) a) ¿Todos los cuadrados son semejantes entre sí? b) ¿Todos los rectángulos son semejantes entre sí? c) ¿Todos los triángulos son semejantes entre sí? d) ¿Todos los triángulos isósceles son semejantes entre sí? e) ¿Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí? 2) Hallar la longitud de los lados de la segunda figura para que sea semejante a la primera:

3) Los lados de un cuadrilátero miden 1,2 cm; 2,1 cm; 1,8 cm y 2,4 cm. ¿Cuánto miden cada uno de los lados de otro cuadrilátero, semejante a éste, si la razón de semejanza entre ellos es 3? (Dibuja la situación para ayudarte) 4) Los lados de un triángulo escaleno miden 1,5 cm; 5 cm y 3,9 cm. ¿Cuánto miden cada uno de los lados de otro cuadrilátero, semejante a éste, si la razón de semejanza entre ellos es 1 ? (Dibuja la situación para ayudarte) 3

 Criterios de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes cando tienen todos sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales. Existen tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de conocer todos sus ángulos y lados.

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Actividad 2 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.

1) Une con flecha cada par de triángulos semejantes. Justifica la elección indicando qué criterio de semejanza usaste.

2) Calcula el valor de x e y para que los triángulos sean semejantes.

a)

c)

b)

d)

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 Cálculo de distancias inaccesibles La semejanza de triángulos permite calcular distancias a las que no se tiene acceso directo simplemente “ubicando” los triángulos semejantes y utilizando la proporcionalidad entre sus lados. Actividad 3 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.

1) Calcula la altura de la torre de la iglesia.

2) ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es de 1,2 m y alejándose 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, se ve que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?

3) Un observador, cuya altura desde sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada en un espejo, que se encuentra en el suelo, la parte más alta de un pino. El espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies y a 5 m del pie del pino. Halla la altura del mismo. 4) Cuenta la historia que el gran matemático griego Tales de Mileto midió la altura de las pirámides de Egipto usando un método muy simple: comparó la sombra de su bastón con la sombra de la pirámide. En la siguiente situación unos hombres intentan usar el mismo método para medir la altura del árbol. Si el palo ED mide 1 m y su sombra DF mide 1,52 m, ¿Cuál será la altura del árbol si al medir su sombra obtenemos 6 m?

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5) Para realizar prácticas de óptica, un estudiante situado a 12 metros de un edificio, coloca frente a sus ojos una regla vertical de 25 cm con la que oculta exactamente la altura del mismo. Si la distancia del ojo a la regla es de 40 centímetros, calcula la altura del edificio.

 Escalas La escala, en sí, es la razón de semejanza entre un objeto original y su representación, que puede ser un plano, un mapa, una maqueta, etc. En símbolos: Ambas longitudes deben estar en la misma unidad de medida

La escala puede ser representada en forma numérica o gráfica. Escala numérica Escala gráfica 1 : 500

En ambos casos, 1 unidad sobre el plano, representa 500 unidades en la realidad.

Actividad 4 Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.

1) La distancia real entre dos ciudades es de 50 km y en el mapa, está representada por un segmento de 5 cm. ¿Qué escala se usó en el mapa? …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

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2) Mide con regla graduada las diferentes habitaciones del departamento al que le corresponde el plano de la derecha y luego calcula las dimensiones de las mismas, en metros, sabiendo que el plano usa la estaca 1 : 200. Salón: cm

cm =

cm

cm =

m

m

Cocina: cm

cm =

cm

cm =

m

m

Dormitorio: cm cm =

cm

cm =

m

m

Baño: cm

cm

cm =

m

m

cm =

3) ¿Conoces la distancia (en este caso en línea recta) que hay entre nuestra ciudad y cada una de las siguientes: Resistencia, J.J. Castelli, Taco Pozo, Quitilipi, Villa Ángela, Charata y Santa Sylvina? La escala que se usa en el mapa es:

1 4.000.000

Pasos: 1º Ubica las ciudades en el mapa. 2º Mide las distancias en el dibujo (en línea recta) usando una regla. 3º Utiliza la escala para obtener la distancia “real” entre nuestra ciudad y las demás ciudades, transforma a la unidad Kilómetro.

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Ejercicios de repaso

1) Calcula las longitudes desconocidas en estas figuras, sabiendo que son semejantes.

2) Hallar la longitud de los lados de la segunda figura para que sea semejante a la primera:

3) Los lados de un cuadrilátero miden 2,3 cm; 5,2 cm; 1,2 cm y 2 cm. ¿Cuánto miden cada uno de los lados de otro cuadrilátero, semejante a éste, si la razón de semejanza entre ellos es 1,5? (Dibuja la situación para ayudarte) 4) Determina si los siguientes pares de triángulos son semejantes, indicando, en caso afirmativo, el criterio de semejanza.

5) Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 5 m al mismo tiempo que una señal de tránsito de 2,5 m proyecta una sombra de 0,75 m

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6) El gato de Leticia se ha subido a un poste. Leticia puede ver a su gat relfejado en un charco en el piso. Toma las medidas que se indican en el dibujo y mide la altura de sus ojos: 144 cm. ¿A qué altura está el gato?

7) La distancia entre dos ciudades es de 354 km. ¿Qué distancia había en un mapa a escala 1:1 500 000? 8) Dos localidades que distan 50,4 km están representadas en un mapa a una distancia de 2,8 cm. ¿Con qué escala está hecho el mapa? Represéntala gráficamente. 9) Un alumno tiene que hacer una copia de un objeto de 0,75 m de ancho en un rectángulo de 20 cm de ancho de su hoja de papel. ¿Qué escala tiene que aplicar?

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Estadística Fechas y Notas importantes

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 Estadística Hay numerosas situaciones en las cuales es necesario organizar una gran cantidad de datos para que estén disponibles y se pueda leer toda la información que ellos proveen. En otras oportunidades hace falta hacer un resumen de esa colección de datos para tomar decisiones. También es útil usar datos obtenidos a partir de una parte de un grupo para predecir qué sucederá con el grupo entero. Esto es lo que permite la Estadística. La Estadística es la ciencia, con base matemática, referente a la recopilación, clasificación, presentación e interpretación de datos. El campo de la estadística puede dividirse aproximadamente en dos áreas: la estadística descriptiva que incluye la recopilación, presentación y descripción de datos y la estadística inferencial que se refiere a la técnica de interpretar los valores resultante de las técnicas descriptivas, y a su utilización posterior para tomar decisiones.

 Términos básicos Población: es el conjunto de todos los individuos u objetos que se quiere estudiar. Muestra: es un subconjunto de la población que se analiza con el fin de reducir la cantidad de información a obtener. Las propiedades que se obtengan de la muestra son extensibles a toda la población. Variable: cada una de las características que puede estudiarse de una población. Las variables puede clasificarse en:

Datos: son los distintos valores, numéricos o no, que toma la variable. Por ser los valores que toma la variable, se tienen datos cualitativos o atributos o datos cuantitativos o numéricos, los que a su vez pueden subdividirse en dos clases: ser discretos o continuos.

Actividad 1 1) Identifiquen la población, la muestra y la variable de estudio y su tipo, en cada uno de los siguientes casos: a) Con el fin de conocer mejor la forma de viajar de las personas de la provincia de Buenos Aires se ha preparado una encuesta para 700 pasajeros. Algunas de las preguntas trataron sobre: Número de días de viaje, dinero empleado en cada viaje, número de bultos transportado, medio de transporte utilizado y naturaleza del viaje (negocios, turismo,

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familiar, salud…). (Clasifica cada una de estas variables estadísticas). b) Se quiere estudiar el desempeño de un equipo de fútbol de Sáenz Peña y para ello se analizan los resultados de 25 partidos jugados por el mismo obteniéndose la siguiente tabla Partidos Ganados Empatados Perdidos TOTAL

Cantidad 13 7 5 25

2) Clasifica cada una de las siguientes variables en cualitativa o cuantitativa y en su correspondientes subdivisiones (nominal – ordinal o continua – discreta), escribiendo una X en el recuadro correspondiente. Tipo

Cualitativa

Variable Número de libros que presta la biblioteca de una escuela en el mes de marzo. Color de cabello de los asistentes a una función de teatro. Número de miembros de una familia. Máximo nivel de estudio alcanzado por una persona. Altura de los jugadores del equipo de basquetbol local. Velocidad con la que pasan los automóviles por un puesto de radar. Estado civil de los socios de un club. Cantidad de autos vendidos por una concesionaria en el año 2014. Peso de recién nacidos en el mes de marzo en el hospital local. Cantidad de asignaturas pendientes a diciembre por alumno. Días de la semana

35

Nominal

Cuantitativa

Ordinal

Matemática 3° año

-

Discreta

2015

Continua

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Fecha:

 Tabla de distribución de frecuencia para variables cuantitativas Problema 1 Se realizó una encuesta a 30 personas para conocer el color primario preferido y se obtuvieron las siguientes respuestas: Rojo Amarillo Rojo Amarillo Rojo

Amarillo Rojo Rojo Azul Azul

Azul Azul Amarillo Amarillo Rojo

Azul Rojo Azul Rojo Azul

Rojo Amarillo Rojo Amarillo Azul

Amarillo Rojo Azul Azul Rojo

¿Cuál es la muestra?....................................................................................................... ¿Cuál es la variable de estudio? ¿De qué tipo es?................................................................. …………………………………………………………………………………………..…….. Con esos datos obtenidos es posible realizar una tabla en la cual se agrupen los datos y queden ordenados de manera tal que de ella sea posible extraer algún tipo de información útil para la toma de alguna decisión posterior. La tabla donde figuran los datos y las respectivas frecuencias de éstos se denomina tabla de distribución de frecuencias. Para completar la tabla de frecuencias se agregan otras columnas que indican:  la frecuencia absoluta f es el número de veces que aparecen cada uno de los datos particulares.  la frecuencia relativa ( f R ): que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el f   tamaño muestral.  f R   n   la frecuencia porcentual ( f % ): que se obtiene multiplicando a la frecuencia relativa por 100.  f %  f R .100  la frecuencia acumulada (F): de un intervalo es la suma de la frecuencia del intervalo más todas las frecuencias de los intervalos anteriores a él.

Completa la tabla de distribución de frecuencias correspondiente al problema 1 Color preferido Rojo Amarillo Azul Total

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Frecuencia absoluta f

12

Frecuencia relativa f R

Frecuencia porcentual

0,4

40

f%

Prof. Gabriela Ojcius

Ángulo central

f %  360º 144º

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Fecha:

Interpretaciones: Frecuencia absoluta f = 12 significa que hay 10 personas cuyo color preferido es rojo. Frecuencia relativa f R = 0,4 significa que 0,4 de cada persona tiene por color preferido el rojo. Frecuencia porcentual f % = 40 % significa que el 40 % de las personas encuestadas prefieren el rojo como color preferido.

Importancia de los gráficos estadísticos  Son esenciales en el estudio y presentación de trabajos estadísticos y de investigación.  Los datos, al ser transformados en dibujo, permiten un examen visual que constituye, muchas veces, la primera etapa del análisis e interpretación de datos.  Permiten observar en forma instantánea el comportamiento de la variable o variables.  Permiten formar una idea bastante aproximada sobre la tendencia de las variables en el futuro.

 Gráfico circular – de torta

El gráfico circular es la representación de datos mediante un círculo, donde se hace corresponder un sector circular con cada una de las variables, de tal manera que el arco del sector sea proporcional a la frecuencia, para lo cual se hace corresponder el número total de datos con los 360º que mide la longitud de la circunferencia. Permite una mejor visualización de la proporción en que aparece la característica de estudio respecto del total. Construir el gráfico circular correspondiente al problema 1:

Las leyendas indican los colores que representan cada frecuencia de la variable.

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-

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Problema 2 Con el objetivo de saber el rendimiento de los alumnos de un colegio secundario de Sáenz Peña en la asignatura matemática se realizó una evaluación especial y las calificaciones obtenidas fueron: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. a) Determina la población de estudio, la muestra y la variable estadística y su tipo. b) Confecciona la tabla de distribución de frecuencias. Calificación

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia porcentual

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAL c) Realiza un gráfico de barras. Es aquella representación gráfica bidimensional donde los datos son representados por un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente, de manera que la altura de los mismos es proporcional a la frecuencia. Básicamente, este tipo de gráfico se utiliza para comparar las distintas partes de un todo entre sí o como parte del total. En el eje vertical se representa las frecuencias y en el eje horizontal, los distintos valores que la variable adopta.

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 Medidas estadísticas: Promedio, Moda y Mediana El promedio o media ̅ de los datos que se presentan agrupados mediante una tabla de distribución frecuencias se define como la suma de los productos de cada valor de la distribución por su frecuencia respectiva dividida por la cantidad total de valores (tamaño muestral n). En símbolos: x . f  x2 . f 2  ...  xn . f n  xi . f i x 1 1  n n La moda (Mo) de una distribución estadística es el valor que se repite un mayor número de veces. Es, por tanto el valor más común. La mediana (Me) es el valor central de esa serie de todos los valores ordenados de forma creciente. Así pues la mediana deja el mismo número de datos por debajo de su valor que por encima. Cuando el número de datos es par, se define como la media de los dos valores centrales. Problema 3

1 4 2

Se arrojó un dado una cierta cantidad de veces y los resultados obtenidos fueron: 2 4 4 1 3 5 4 2 6 6 4 3 6 2 5 1 2 4 1 6 5 6 5 2 4 3 2 5 3 3 4 6 2 4 6 1 3 a) Determina la variable estadística y su tipo. b) Confecciona la tabla de distribución de frecuencias. Número

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia Porcentual

1 2 3 4 5 6 Total

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c) Realiza un gráfico de barras:

d) Responde a las siguientes preguntas: i) ¿Cuántas veces se arrojó el dado? ii) ¿Qué número salió más veces? ¿A qué medida estadística corresponde? iii) ¿Qué números salieron igual cantidad de veces? iv) ¿Cuántas veces salió un número menor que cuatro? v) ¿Cuántas veces salió un número mayor que 2?

 Tabla de distribución de frecuencia para variables cuantitativas continuas Problema 4 Una fábrica de ropa para chicas adolescentes necesita saber qué largo de pantalones le conviene fabricar para vender la mayor cantidad posible. El dueño decidió elegir 80 chicas de edades entre 13 y 17 años y les consultó acerca de su altura. Las estaturas registradas en cm, fueron: 143 153 156 144 154

158 152 163 142 156

170 175 164 149 150

154 153 158 156 159

169 144 155 153 155

166 155 152 147 164

144 159 143 152 169

145 165 157 158 162

157 147 156 162 152

161 144 163 153 168

167 153 157 158 154

160 171 156 144 163

169 161 150 172 166

146 155 155 148 158

144 164 166 155 161

160 152 142 151 160

¿Cuál es la variable de estudio? ¿De qué tipo es?................................................................. …………………………………………………………………………………………..……..

Como no se pueden fabricar pantalones para todas las alturas existentes, el dueño debe considerar intervalos de altura para determinar la medida de los diferentes talles. A cada uno de estos intervalos se los llama intervalos de clase y a su punto medio marca de clase que es el representante de dicho intervalo.

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¿Cómo se determinan los intervalos de clase? Para armar una tabla agrupando los datos en intervalos de clase hay que tener en cuenta algunas cuestiones:  Todos los intervalos deben tener la misma amplitud.  Cada dato debe pertenecer a un único intervalo.  No es conveniente trabajar con menos de 5 o 6 intervalos ni más de 15.  No deben quedar intervalos vacíos.  Muchas veces se toman intervalos que son abiertos en un extremo y cerrados en el otro. ¿Cómo se calcula la amplitud de cada intervalo? Para determinarla se debe identificar el mayor y el menor de los datos y establecer el número de intervalos que se deseen:

Si se desea distribuir a los datos en 8 intervalos ( 80  8 ), la amplitud de cada uno de 180cm  140cm 40cm los intervalos será:   5cm . 8 8 Por lo tanto la amplitud de cada intervalo es de 5 cm y considerando cerrados a izquierda y abiertos a derecha, quedan determinados así: Completar donde haga falta: 140;145 ; 145;150 ; 150;155 ; ......;160 ; .....;...... ; 165;..... ; 170;175 ; 175;..... Si el fabricante numera los talles de los pantalones consecutivamente es posible armar una tabla de frecuencias absolutas según los intervalos: Completa la tabla de distribución de frecuencias correspondiente al problema 4 Talles

Intervalos

1

[140;145)

2 3 4 5 6 7 8

[145;150) [150;155) […..;160) […..;…..) [165;…..) [170;175) [175;…..)

Total

Frecuencia absoluta f

Frecuencia relativa f R

Frecuencia porcentual f %

140  145  142,5 2

10

0,125

12,5

147,5 152,5

6 16

0,075 0,2

7,5 20

Marca de clase

mi

80

Al considerar la muestra de los 80 chicos, ¿En qué intervalo está la mayor frecuencia? (Ese es el talle de pantalón que le conviene fabricar más al vendedor)……… ……………………………………………………………………………………………….

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 Histograma Un histograma es el gráfico que se utiliza para representar las frecuencias de una variable cuantitativa continua. Es muy similar a un gráfico de barras pero tiene algunas diferencias importantes con él: como la variable toma valores continuos, no hay espacios entre los valores de la variable y entonces las barras no deben separarse. El histograma cuenta con:  Una escala horizontal, en la cual se indican el límite inferior y el superior de cada intervalo de clase.  Una escala vertical, en la cual se indican las frecuencias de las distintas clases. Construir el histograma:

Problema 5 En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos de la duración, en horas, de 500 lámparas: a) Completa la tabla: Intervalos

Marca de clase

mi

Frecuencia absoluta f

Frecuencia relativa f R

[1700 ; 1750) [1750 ; 1800) [1800 ; 1850) [1850 ; 1900) [1900 ; 1950) [1950 ; 2000)

Total b) ¿Cuál es la variable de estudio y su tipo?

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Prof. Gabriela Ojcius

Frecuencia porcentual f %

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Fecha:

c) Construye el histograma:

Problema 6 El peso de cada uno de los 30 alumnos de un curso es: 27 36 32 39 31 35 37 25 32 36 36 37 30 26 36 40 25 31 34 36

38 26

30 28

26 25

33 27

a) Completa la tabla de distribución de frecuencias: Intervalos

Marca de clase

mi

Frecuencia absoluta f

Frecuencia relativa f R

Frecuencia porcentual f %

[25 ; 28) [28 ; 31) [31 ; 34) [34; 37) [37 ; 40)

Total b) ¿Cuál es la variable de estudio y su tipo? c) Construye el histograma:

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35 29