Cuadernillo de Formulas

 

Programa del Diploma

Matemáticas: Análisis y Enfoques cuadernillo de fórmulas Para ser utilizado durante la enseñanza de la asignatura y en los exámenes Primeros exámenes: 2021

Versión 1.0 

© International Baccalaureate Organization 2019

 

Índice Conocimientos previos NM y NS

2

Tema 1: Aritmética y álgebra NM y NS

3 

Únicamente NS

4 

Tema 2: Funciones NM y NS

5 

Únicamente NS

5 

Tema 3: Geometría y trigonometría NM y NS

6 

Únicamente NS

7 

Tema 4: Estadística y probabilidad NM y NS Únicamente NS

9  10 

Tema 5: Análisis NM y NS Únicamente NS

11  12 

 

Conocimientos previos – NM y NS  Área de un paralelogramo

 A = bh , donde b es la base y h es la altura

 Área de un triángulo

 A =

1

 Área de un trapecio

 A =

1

 Área de un círculo

 A = πr 2 , donde r  es  es el radio

Circunferencia (perímetro) de un círculo

 es el radio C = 2πr  , donde r  es

Volumen de un ortoedro

 es la longitud, w es el ancho y h es la altura V = lwh , donde l  es

Volumen de un cilindro

V = πr 2 h , donde r  es  es el radio y h es la altura

Volumen de un prisma

V = Ah , donde A es el área de la sección transversal y h es la

2

2

(bh) , donde b es la base y h es la altura

(a + b) h , donde a y b son los lados paralelos y h es la altura

altura

 Área de la superficie lateral de  A = 2πrh , donde r  es  es el radio y h es la altura un cilindro Distancia que hay entre dos puntos ( x1 , y1 )  y ( x2 , y2 )  

d = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2  

Coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son ( x1 , y1 )  y ( x2 , y2 )  

  x1 + x2 y1 + y2   2 , 2    

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2

 

Tema 1: Aritmética y álgebra – NM y NS NM 1.2

El n-ésimo término de una progresión aritmética

un = u1 +  (n − 1) d    

La suma de los n primeros

NM 1.3

n

términos de una progresión aritmética

Sn = 2 ( 2u1 + (n − 1) d ) ; S n = 2 (u1 + un )  

El n-ésimo término de una progresión geométrica

un = u1r n  −1  

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica NM 1.4

n

S n =

u1 (r n − 1) r −1

=

u1 (1 − r n )   1 − r 

, r  ≠  ≠ 1  

kn

Interés compuesto

r     FV = PV  ×  1 +  , donde FV  es el valor futuro,  100k    PV  es el valor presente (actual), n es el número de años, k  es el número de períodos de composición del interés que hay

en un año, r % es el tipo de interés nominal anual  NM 1.5

Potencias y logaritmos

a x = b ⇔ x = log a b , donde a > 0 , b > 0 , a ≠ 1  

NM 1.7

Potencias y logaritmos

log a  xy = log a x + log a y   log a

 x  y

= log a  x − log a y  

log a  x m = m log a x   loga  x =

logb  x logb a

 

NM 1.8

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

S∞   = u1 , r  < 1   r − 1

NM 1.9

Teorema del binomio

(a + b) n = a n + nC a n −1b +… + n C a n − r b r +… + b n   r  1 n! nC =   r    r !(n − r )!

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3

 

Tema 1: Aritmética y álgebra – Únicamente NS TANS 1.10

Combinaciones

n! nC =   r    r !(n − r )!

Permutaciones

nP = n!   r    (n − r )!

TANS 1.12

Números complejos

 z = a + bi  

TANS 1.13

Forma módulo-argumental (polar) y forma exponencial (de Euler)

 z = r (cosθ + i sen θ ) = reiθ  = r cisθ   

TANS 1.14

Teorema de De Moivre

[ r (cosθ + i sen θ )] = r n (cos nθ +  i sen nθ ) = r n einθ  = r n cis nθ  

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n

 

4

 

Tema 2: Funciones – NM y NS NM 2.1

Ecuaciones de la recta

 y = mx + c ; ax + by + d  = 0 ;  y − y1 = m ( x − x1 )  

Fórmula de la pendiente

m=

 y2 − y1

 

 x2 − x1 NM 2.6

Eje de simetría del gráfico de una función cuadrática (de 2.º grado)

NM 2.7

Soluciones de una ecuación cuadrática (de 2.º grado)

NM 2.9

 f ( x) = ax 2 + bx + c ⇒  el eje de simetría es  x = −

ax + bx + c = 0 2

⇒ x=

Discriminante

∆ = b 2 − 4ac  

Funciones exponenciales y logarítmicas

a x  = e x ln a ; log a a x = x  = a

−b ± b 2 − 4ac 2a

log a  x

b 2a

 

, a ≠0 

 donde a , x > 0 , a ≠ 1  

Tema 2: Funciones – Únicamente NS TANS 2.12

Suma y producto de las raíces de una ecuación polinómica que es de la n

forma

∑a x r 

r 

La suma es

− an −1 an

 n

; el producto es

( −1)

an

a

  0

 

=0 

r = 0

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5

 

Tema 3: Geometría y trigonometría – NM y NS NM 3.1

Distancia que hay entre dos puntos ( x1 , y1 , z 1 )  y ( x2 , y2 , z 2 )  

d = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 )2 + ( z1 − z2 ) 2   

Coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son ( x1 , y1 , z 1 )  y ( x2 , y2 , z 2 )  

  x1 + x2 y1 + y2 z1 + z 2  2 , 2 , 2 

Volumen de una pirámide recta

V =

Volumen de un cono recto

NM 3.2

NM 3.4

1 3

   

Ah , donde A es el área de la base y h es la altura

1  es el radio y h es la altura V = πr 2 h , donde r  es 3

 Área de la superficie lateral de un cono

 es el radio y l  es  es la generatriz  A = πrl  , donde r  es

Volumen de una esfera

V=

 Área de la superficie de una esfera

 A = 4 πr  , donde r  es  es el radio

Teorema del seno

4 3

 es el radio  πr 3 , donde r  es 2

a sen  A

=

b sen B

=

c sen C 

 

a2 + b2 − c2

Teorema del coseno

c 2 = a 2 + b2 − 2ab cos C ;  cos C  =

 Área de un triángulo

 A =

Longitud de un arco

l = r θ  θ  , donde r   es el radio, θ   es el ángulo en radianes

 Área de un sector circular

 A =

1 2

1 2

2ab

 

ab sen C   

r  2θ  , donde r   es el radio, θ   es el ángulo en radianes

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6

 

NM 3.5

NM 3.6

sen θ 

Relación fundamental para  tan θ    tanθ 

tan θ  =

Relación fundamental (identidad pitagórica)

cos 2 θ + sen 2θ  = 1  

Fórmulas del ángulo doble

sen 2θ = 2 se sen θ co cos θ   

cosθ 

 

cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sen 2θ  

 

trigonometría gonometría – Únicamente NS Tema 3: Geometría y tri TANS 3.9

Relaciones trigonométricas recíprocas

secθ  =

1 cos θ 

cosecθ  =

TANS 3.10

 

1 senθ 

 

Relaciones trigonométricas fundamentales

1 + tan 2 θ = sec 2 θ 

Fórmulas de la suma y diferencia de dos ángulos

sen ( A ± B) = se sen A co cos B ± cos A sen B  

1 + cot 2 θ = cosec 2θ 

 

cos ( A ± B ) = co cos A  co cos B ∓ sen A se sen B  

± tan ( A ± B) = tan  A tan B   1 ∓ tan  A tan B

Fórmula del ángulo doble para la tan  TANS 3.12

Módulo de un vector

tan2θ  =

v

2tan θ  1 − tan 2 θ 

 

 v1  = v12 + v2 2 + v32 , donde v =  v2    v   3

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7

 

TANS 3.13

Producto escalar

 v1    v ⋅ w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 , donde v = v2 ,   v   3 v

 Ángulo que forman dos vectores TANS 3.14

TANS 3.16

⋅w =

cosθ  cos θ  =

w

cosθ  cos θ  , donde θ   es el ángulo que forman

  v 1w1 + v2 w2 + v3 w3 v

w

r

Forma paramétrica de la ecuación de la recta

 x = x0 + λ l , y = y0 + λ m, z = z0 + λ n  

Forma cartesiana de la ecuación de una recta

 x − x0

Producto vectorial

 Área de un paralelogramo

Ecuación vectorial de un plano Ecuación de un plano (utilizando el vector normal) Ecuación cartesiana de un plano

v

 y

w

 

 

Ecuación vectorial de una recta

= a +  λ b  

l

=

y − y0 m

=

z − z 0 n

 

v w − v w  2 3 3 2  v w − v w  , donde v×w =  3 1 1 3 v w −v w   1 2 2 1 v

TANS 3.17

v

 w1  w   w =  2 w   3

×w =

 A =

v

w

v  1  , v = v  2 v   3

w  1 w   w =  2 w   3

senθ  sen θ  , donde θ   es el ángulo que forman

× w  donde del paralelogramo v

r

= a +  λ b  + µ c  

r

⋅n = a⋅n 

v

 y

w

v

 y

w

 

 constituyen dos lados adyacentes

ax + by + cz = d  

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8

 

Tema 4: Estadística y probabilidad – NM y NS NM 4.2

Rango intercuartil

RIC =  Q3 − Q1  

NM

k 

∑  f x i

4.3

NM 4.5

NM 4.6

i

, donde n = ∑ f  i

Media ( x ) de un conjunto de datos

 x =

Probabilidad de un suceso  A  

P ( A) =

Sucesos complementarios

P ( A) + P ( A′) = 1  

Sucesos compuestos

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B )  

Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes)

i =1

k 

n

i =1

n ( A) n (U )

 

P ( A ∪ B) = P P(( A) + P ( B )  

P ( A ∩ B )

Probabilidad condicionada

P ( A B) =

Sucesos independientes

P ( A ∩ B) = P ( A) P ( B)  

NM 4.7

Valor esperado de una variable aleatoria discreta X  

E ( X ) =

NM 4.8

Distribución binomial   X ~ B (n , p )  

NM 4.12

 

P ( B )

∑ x P ( X = x)  

Media

E ( X ) = np  

Varianza

Var ( X ) = np (1 − p )  

Variable normal tipificada o estandarizada

 z  =

 x  − µ  σ 

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9

 

Tema 4: Estadística y probabilidad – Únicamente NS TANS 4.13

Teorema de Bayes

P ( B ) P ( A | B )

P ( B | A) =

P ( B) P ( A | B ) + P ( B′) P ( A | B′)

P ( Bi | A) =

TANS 4.14

P ( Bi ) P( A | Bi )   P( B1 ) P( A | B1 ) + P( B2 ) P( A | B2 ) + P ( B3 ) P( A | B3 )

k

∑  f ( x − µ ) i

Varianza σ 2  

σ2 =

k 

∑fx

2

i

i

=

i =1

n k 

∑  f ( x − µ ) i

i =1

n

2

i

− µ 2  

2

i

Desviación típica σ   

σ  =  

Transformación lineal de una variable aleatoria unidimensional

E ( aX + b ) = aE ( X ) + b

Valor esperado de una variable aleatoria continua X  

 

i =1

 

n

  Var ( aX + b ) = a Var ( X )    

E ( X ) = µ  =

∫

∞

−∞

2

x f ( x ) dx  

2

Varianza

Var ( X ) = E ( X − µ ) 2 = E ( X 2 ) − [ E (X )]  

Varianza de una variable aleatoria discreta X  

Var ( X ) =

∑(x − µ)

Varianza de una variable aleatoria continua X  

Var ( X ) =

∫

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∞

−∞

2

P ( X = x) =

( x − µ ) 2 f ( x) dx =

∫

∑x

∞

−∞

2

P ( X = x) − µ 2  

x 2 f ( x) dx − µ 2  

10

 

Tema 5: Análisis – NM y NS NM 5.3

Derivada de  x n  

 f ( x) = x n ⇒ f ′( x) = nx n  −1  

NM

n +1

n

5.5

NM 5.6

Integral de  x  

∫

 Área entre una curva  y = f ( x)  y el eje x,  donde  f ( x)  > 0  

 A =

Derivada de sen sen x  x  

 f ( x) = sen x ⇒ f ′( x) = cos x  

Derivada de cos cos x  x  

 f ( x) = cos x ⇒ f ′( x) = −sen x  

Derivada de e x  

 f ( x ) = e x ⇒ f ′( x) = e x  

Derivada de ln ln x  x  

 f ( x) = ln x ⇒ f ′( x) = 1    x

Regla de la cadena

 y = g (u ) , donde u = f ( x) ⇒

Regla del producto

 y = uv ⇒

Regla del cociente NM 5.9

  x  x dx = n + 1 + C , n ≠ −1   n

 Aceleración

∫

b

a

 y =

u

a=

dv

v

dt

y dx  

⇒ =

d y

=u

d x

v

dy

2

+v

du

−u

dv

dx

du

= d x

dx

d2 s

dv

v

2

dx

d y d x

=

dy du

×

du dx

 

 

dx  

 

dt 

Distancia recorrida entre t 1  y t 2  

distancia  = ∫ v(t ) dt   

Desplazamiento entre t 1  y t 2  

desplazamiento  = ∫ v (t )dt   

t 2

t 1

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t 2

t 1

11

 

NM 5.10

Integrales inmediatas

1

∫  x d x = ln

x + C   

∫ sen x dx = − cos x + C   

∫ cos x dx = sen x + C    ∫ e d x = e + C     x

NM 5.11

 Área de la región que está delimitada por una curva y por el eje x 

 A =

x

∫

b

a

y dx  

Tema 5: Análisis – Únicamente NS TANS 5.12

Derivada de  f ( x)   partiendo de la propia definición de derivada

TANS 5.15

Derivadas inmediatas tan x tan  x  

 f ( x) = ta tan x ⇒ f ′( x) = sec 2 x  

sec x sec  x  

 f ( x ) = sseec x ⇒ f ′( x) = se sec x tan x  

cosec x cosec  x  

 f ( x) = co c osec x ⇒ f ′( x) = −cosec x cot x  

cot x cot  x  

 f ( x) = cot x ⇒ f ′( x) = −cosec 2 x  

a x  

 f ( x) = a x ⇒ f ′( x) = a x (ln a)  

log a  x  

 f ( x) = log a x ⇒ f ′( x) =

arcsen x arcsen  x  

 f ( x) = arcsen x ⇒ f ′( x ) =

arccos x arccos  x  

 y = f ( x ) ⇒

 f ( x + h) − f ( x )  = f ′( x) = li m      h →0 d x h   d y

1

 

 x ln a

 f ( x ) = arccos x ⇒ f ′( x) = −

1 1 −  x 2

 

1 1 −  x 2

 

1 arctan x arctan  x  

 f ( x) = arctan x ⇒ f ′( x ) = 1 +  x 2  

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12

 

TANS 5.15

Integrales inmediatas 

∫a

 x

∫a

dx = 1

+x

2

2

1 ln a

ax + C    

  x  arctan   + C     a a 1

d x =

 x  +C, a  

1

d x = arcsen 

TANS 5.16

Integración por partes

TANS  Área de la región que está 5.17 delimitada por una curva y

x