Cuadernillo de Actividades y Ejercicios-Algebra Geometrica

Matemáticas 3º E.S.O.

Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental

Juan Jesús Larrubia Martínez

 Al umno um no/a: /a:

Cuadernillo Cuadernillo de actividades y ejercicios. J.J. Larrubia.  _________________  __________________________ __________________ __________________ __________________ _________________ _________________ __________________ __________________ __________________ _________________ __________________ ___________________ _________

1. Clasifi ca las siguientes ecuaciones de segundo grado por su expresión algebraic a, de acuerdo acuerdo al esquema visto en clase. Clasificación Ecuaciones de 2º grado por su expresión algebraica

Ecuación en forma de

Ecuación en forma de producto de dos factores o

BINOMIO AL CUADRADO

FACTORIZADA

Ecuación en forma

GENERAL

Ejemplo: (x-2).(x+3)=0

con

término independiente independiente 2

2

Ejemplo: (x+3) =0

Sin

Término independiente 2

Ejemplo: x +4x=0

Ecuacion es de 2º grado

Sin

Término en X 2

Ejemplo: x -9=0

Tipo o form a de la ecuación de 2º grado

− 2x + 1 = 0

2

b) ( x + 5) c) 3 x

2

Ejemplo: x -5x+6=0

término independiente independiente

Ejemplo: (x-2) -4=0

a)  x

completa

incompleta

sin

2

2

−9 = 0

+ 5x = 0

d) ( x + 2 )·(x − 5) = 0 e)  x

2

− 16 = 0 − 5x + 2 = 0

f)

2 x 2

g)

(2 x + 1) = 0 2

h) 2 x

2

− 18 = 0

i)

(2 x + 1)·(x − 3) = 0

 j)

(4 x − 3) = 0 2

2

− 7x = 0

k)

2 x

l)

(3 x − 2) + 4 = 0 2

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  __________________  ___________________________ _________________ _________________ ____________ ___ _______________ _________________  __ 

3

Cuadernillo Cuadernillo de actividades y ejercicios. J.J. Larrubia.  __________________  ___________________________ _________________ _________________ __________________ __________________ __________________ _________________ _________________ __________________ __________________ __________________ __________________ _________



Recuerda la definición definición de soluciones soluciones o raíces raíces vista en en clase: Las solucio nes o raíces de una ecuación de segundo grado son los valores de X que al sustituirlos en la ecuación, hacen que la igualdad se cumpla .

2. Dada la ecuación

 x

2

− 16 = 0 . Comprueba Comprueba que sus soluc iones son:

X=4 y X=-4

a) Sustituimos Sustitui mos los valores 4 y –4 en la ecuación, para comprobar si son o no soluciones: Para x = 4

Para x = - 4

− 16 = 0 (4) 2 − 16 = 0

 x

16 − 16 = 0

16 − 16 = 0

0 = 0

0 = 0

 x

• La igualdad se cumple para X= 4 

− 16 = 0 (−4) 2 − 16 = 0

2

2

• La igualdad se cumple para X= -4

Por tanto, los valores X = 4 y X = -4 son s oluc iones de la ecuación:

 x

2

− 16 = 0

b) Comprueba que otros valores de X, por ejemplo X = 3 y X = 5, no son soluciones de la ecuación: Para x = 5

Para x = 3

 x

2

(3)

− 16 = 0 2

 x

− 16 = 0

2

(5)

− 16 = 0 2

− 16 = 0

9 − 16 = 0

25 − 16 = 0

− 7 ≠ 0

9 ≠ 0

• La igualdad no se cumple para X= 3

• La igualdad no se cumple para X= 5

c) Comprueba para cualquier otro valor de X que no es solución de la ecuación: Para x =

Para x =

 x

(

2

− 16 = 0 ) 2 − 16 = 0 − 16 = 0 ≠0

• La igualdad no  se cumple para X=

 x

(

2

− 16 = 0 ) 2 − 16 = 0 − 16 = 0 ≠0

• La igualdad no  se cumple para X=

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  __________________  ___________________________ _________________ __________________ ____________ __ _______________ _________________  __ 

4

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

3. Comprueba sí alguno de estos valores X = -3, X = - 1, X = 0, X = 1, X = 3 y X = 5, es solución de alguna de las sigu ientes ecuacion es de 2º grado. a)

 x

2

−9 = 0

b)

 x

2

−1 = 0

c)

 x

2

−  x = 0

c)

 x

2

+ 8 = 33

4. Resuelve por tanteo las sigu ientes ecuaciones de 2º grado. a)

 x

2

− 9x = 0

b)

 x

2

− 6 = 10

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

5

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

5. Dibuja las piezas del puzzle algebraico que representan geométric amente cada una de las siguientes expresiones de 2º grado:

▫

Recuerda el ejemplo visto en clase para 2 x

X2

a)  x

2

b) 2 x

X2

X

2

+ 5x + 3

X

X

X

X

1

1

1

− 10 x + 1

2

+ 7x + 1

c)  x

2

− 5x − 2

d)  x

2

+ 8x − 3

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

6

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

6. Escrib e la expresión algebraica asoci ada a cada uno de las siguient es representaciones geométric as realizadas con l as piezas del puzzle algebraico.

▫

Recuerda el ejemplo visto en clase:

X2



-x

x

-x

-x

-1

-1

-1

El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:

 x

2

− 2x − 3

a)

X2



x

X2

x

x

x

x

x

x

1

1

1

El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:

b)

X2



-x -x -x -x -x

X2

1

1

El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:

c)

-x

x

x

x

x

X2

1

-x



El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:

d)

-x -x

-x

1 1



1 1

1 1

x

1 1

X

2

x

El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

7

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

7. Recuerda las reglas de construc ción de rectángul os y cuadrados con puzzle algebraico.

• El tablero de construcc ión: Punto de partida • para colocar las piezas X2 • para determinar las

  a   r   u    t    l   a   a    l   e    d   a    d    i    d   e    M

Dimensiones de la construcción

• M  e  d  i    d   a  d   e l    a  a l    t    u r   a

Medida de la base

•

2

X

2

X

Medida de la base

Punto de partida • para colocar las piezas X2 • para determinar las Dimensiones de la construcción

• Reglas de agrupación y combinación de piezas: 1ª Regla Los cuadrados unidad tienen que estar agrupados en un único bloque,  formando un rectángulo o un cuadrado.

-1

-1

-1

-1

-1

-1

1

1

1

1

2ª Regla 2

La placa X y el bloque de cuadrados unidad tienen que estar situadas en diagonal

2

No pueden situarse en la misma fila o columna

X

x -x

x

-1

-1

-1

-1

-1

-1

x

3ª Regla Las tiras posit ivas X y negativas –X, no pueden estar “ mezcladas” entre si. No pueden combinarse en un mismo bloque

-x

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

8

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

8. Escribe las dimensiones de los siguientes rectángulos y cuadrados.

a)

b)

•

• 2

X

x

x

x

-X

-1 -1 -1

-X

-1 -1 -1

c)

X2

-x -x

-x

1

1

d) •

•

x

x

x

1

1

x

1

1

X

X2

x

x

e)

f)

•

• 2

X

-x -x -x -x

-x

1

1

1

1

-x

1

1

1

1

g)

2

X2

x

x

x

-X

-1

-1

-1

-X

-1

-1

-1

-X

-1

-1

-1

h)

•

• X2

x

x x x

1 1 1

X2

X2

X2

x

x x

x x

x x

1 1

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

9

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________





Recuerda la acti vidad realizada en clase:  Actividad: Obtener una expresión factorizada equivalente a

 x

2

+ 5 x + 6  mediante la construcción de

un rectángulo con puzzle algebraico. a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones:

X+3

•

X+2

•

X2

x

x

x

x

1

1

1

x

1

1

1 •

 Ár ea a part ir de sus co mp onent es:

− El área del rectángulo como suma de sus componentes, es:  Área rectángulo =

 x

2

 Ár ea a part ir de sus di mensi ones:

− El área del rectángulo como producto de las medidas  de su base por su altura, es:

+ 5x + 6

 Área rectángulo = (x + 3) . (x + 2 )

b) Con lo que obteniamos la factorización de la expresión inicial:  x

9. Factoriza la expresión:

 x

2

2

+ 5 x + 6 = ( x + 3)(· x + 2)

+ 6 x + 8 . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico

a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresión,  y dibújalo con sus dimensiones .

b) Escribe la expresión factorizada equivalente  a  x



 x

2

2

+ 6 x + 8 obtenida a partir de la construcción:

+ 6 x + 8 =

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

10

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

10.Factoriza la expresión: 2 x 2

+ 7 x + 3 . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle

algebraico a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresión,  y dibújalo con sus di mensiones.

b) Escribe la expresión factorizada equivalente  a 2 x

2 x 2



11.Factoriza la expresión:

 x

2

2

+ 7 x + 3 obtenida a partir de la construcción:

+ 7 x + 3 =

− 2 x + 1 . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico

a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresión. 

Dibuja el rectángulo con sus dimensiones

Representa de forma simplificada la construcción realizada.



• X -1 b) Escribe la expresión factorizada equivalente  a  x  x



12.Factoriza la expresión: 

 x

2

2

2

X 2

-1

X

-X

-X

1

− 2 x + 1 obtenida:

− 2 x + 1 =

− 5x + 6 . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico

Representa el rectángulo construido:



Escribe la expresión factorizada:

•  x

2

− 5 x + 6 =

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

11

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

13. Escribe en forma factori zada las siguientes expresi ones de 2º grado: •

a)  x

2

+4

X

X

X

2

4X

+3

3X

12

+ 7 x + 12 = ( x + 4 )(· x + 3)

•

b)  x

2

+ 8 x + 16 = (

c)  x

2

+  x − 2 =

)(·

)

14.Completa l a si guiente tabla: • X

 x

2

X X

2

+5 5X

( x + 5)·(x + 3)

+ 8 x + 15 +3

3X

15

• X

2

-2X

2X

•

2 x

2

− 7x + 6

X

-6X

(

)·(

)

(

)·(

)

12

3

2

•

( x + 2 )(· x − 3)

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

12

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________



Recuerda la Activ idad 1 realizada en clase:  Resuelve la ecuación de 2º grado

 x

2

− 5 x + 4 = 0  con

puzzle algebraico mediante la construcción de un rectángulo. a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones:

X-4

• 2

X

•

Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º 2 grado equivalente a  x − 5 x + 4 = 0  en forma factorizada:

-x -x -x -x

X-1

( x − 4)·(x − 1) = 0 -x

1

1

1

1

b) Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, teníamos las soluciones: Esquema de resolución

Procedimiento algebraico

(x-4) . (X-1) = 0

( x − 4)·( x − 1) = 0

• Para que un producto sea cero, uno de los factores (o los dos) debe ser cero:

Uno de los factores es cero

Si (x 4)

Si (x 1)

es cero

es cero

x 4=0

x 1=0

X=4

Soluciones

⎧Sí   x − 4 = 0 ⇒ ⎪ ( x − 4)·( x − 1) = 0 ⇒ ⎨ ⎪ Sí   x − 1 = 0 ⇒ ⎩ •

 x

 x

2

=4

 x

=1

Por tanto, las soluciones son:

X=1

15.Resuelve la ecuación de 2º gr ado

 x

=4

y  x

=1

− 6 x + 8 = 0  mediante la construcción de un rectángulo.

a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación: 

Dibuja el rectángulo con sus dimensiones

Representa de forma simplificada el rectángulo.



•

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente  a  x

2

− 6x + 8 = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

13

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

c) Resuelve la ecuación equivalente  obtenida: Esquema de resoluc ión

Procedimi ento algebraico

(x 4) . (x 2) = Uno de los factores es cero

Si (x 4) es cero

Si (x 2) es cero

x 4=0

x 2=0

X=4

Soluciones

X=2

16.Resuelve la ecuación de 2º grado

 x

2

+ 4 x + 3 = 0  mediante la construcción de un rectángulo.

a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación: 

Dibuja el rectángulo con sus dimensiones

Representa de forma simplificada el rectángulo.



•

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente  a  x

2

+ 4x + 3 = 0

c) Resuelve la ecuación equivalente  obtenida:

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

14

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________



Recuerda la Actividad 3 realizada en clase:  Resuelve la ecuación de 2º grado

 x

2

+ 2x − 8 = 0

con

puzzle algebraico mediante la construcción de un rectángulo. er 

a) Con la selección de piezas que representan el 1  miembro de la ecuación obtenemos un rectángulo incompleto.

•

Para completar el rectángulo, añadimos parejas de piezas con signos opuestos que denominaremos “parejas de área cero” .

• 2

X

x

x

x

x

-X

-1

-1

-1

-1

-X

-1

-1

-1

-1

En total, para completar hemos necesitado: -x + x + -x + x

2 parejas de tiras X y –X que representan un área cero

2 X  − 2 X  = 0

b) Completado el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones:

•

X+4 2

•

x

x

x

x

-X

-1

-1

-1

-1

-X

-1

-1

-1

-1

X

Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º 2 grado equivalente a  x + 2 x − 8 = 0  en forma factorizada:

X-2

( x + 4) · ( x - 2) = 0

c) Resolviendo esta ecuación factorizada equivalente obtenemos las soluciones:

(x+4)·(X-2) = 0

⎧Sí   x + 4 = 0 ⇒ ⎪ ( x + 4)·( x − 2) = 0 ⇒ ⎨ ⎪Sí   x − 2 = 0 ⇒ ⎩

Uno de los factores es cero

Si (x+4) es cero

Si (x 2) es cero

•

X=-4

= −4

 x

=2

Por tanto, las soluciones son:  x

X+4 = 0

 x

= −4

y  x

=2

x 2=0 Soluciones

X=2

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

15

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

17.Resuelve la ecuación de 2º grado de un rectángulo.

 x

2

+ x − 2 = 0  con puzzle algebraico, mediante la constru cción

a) Representa el rectángulo construido, a er  partir de las piezas que representan el 1 miembro de la ecuación:

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente  a  x 2 +  x − 2 = 0

•

c) Resuelve la ecuación equivalente  obtenida:

18.Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación d e 2º grado a) Representa el rectángulo construido, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación:

 x

2

− 3x − 4 = 0 .

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente  a  x 2 − 3x − 4 = 0

•

c) Resuelve la ecuación equivalente  obtenida:

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

16

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________



Recuerda la Actividad 5 realizada en clase:  Resuelve con puzzle algebraico la ecuación incompleta 2  x + 2 x = 0 mediante la construcción de un rectángulo. a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones:

X+2

• X

X2

•

x

x

Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º 2 grado equivalente a  x + 2 x = 0  en forma factorizada:

( + 2) = 0

 x ·  x

b) Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, teníamos las soluciones:

⇒ ⎧ Sí ,  x = 0 ⎪  x · ( x + 2 ) = 0 ⇒ ⎨ ⎪Sí ,  x + 2 = 0 ⇒ ⎩  x

=0

y  x

 x

 x

=0

= −2

= −2

19.Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado incompleta 2  x −  x = 0 . a) Representa el rectángulo construido, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación:

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente  a  x 2 −  x = 0

•

c) Resuelve la ecuación equivalente  obtenida:

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

17

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

20.Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado incompleta 2  x + 5 x = 0 . a) Representa el rectángulo con struido, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación:

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente  a  x 2 + 5 x = 0

•

c) Resuelve la ecuación equivalente  obtenida:



Observación:  Las ecuaciones de 2º grado incompletas, sin término independiente, del tipo  x 2 + bx = 0 2 vistas en los ejemplos anteriores, o del tipo general ax + bx = 0  siempre pueden factorizarse y escribirse de la forma:

( + b) = 0

 x· ax

• Este tipo de factorización se denomina: “ sacar factor común X” . 

Ejemplos: Los ejercicios anteriores pueden resumirse en la siguiente tabla.

Ecuación de 2º grado incompleta sin término independiente

Representación geométrica “simplificada” X+2

•  x

2

+ 2x = 0

X

2

X

2

−  x = 0

X

2

X

2

+ 5x = 0

X

( + 2) = 0

 x·  x

−X

( − 1) = 0

 x·  x

X+5

•  x

2X

X 1

•  x

Ecuación factorizada: “sacando factor común X”

2

X

5X

( + 5) = 0

 x·  x

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

18

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

21.Resuelve “ sacando factor co mún X” las sig uientes ecuaciones de 2º grado inc ompletas, sin término independiente. a)  x

2

− 9x = 0

b)  x

2

−

1 3

x

=0

c) 2 x

2

− 5x = 0

d) 3 x

2

− 4x = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

19

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

22.Resuelve las s igui entes ecuacio nes de 2º grado factorizadas.

a) ( x − 2 ) · (x − 1) = 0 Que el produc to es cero Significa:

• Recuerda:  Para que un producto sea cero, uno de los factores (o los dos) debe ser cero:

(x 2)·(x 1) = 0 Uno de los factores es cero

Si (x 2) es cero

Si (x 1) es cero

⎧Sí   x − 2 = 0 ⇒ ⎪ ( x − 2)·(x − 1) = 0 ⇒ ⎨ ⎪ Sí   x − 1 = 0 ⇒ ⎩ •

X 2=0 X=2

 x

=2

 x

=1

En consecuencia, las soluciones son:

x 1=0 Solucio nes

X=1

 x

=2

y  x

=1

b) ( x − 3) · ( x + 4) = 0

c)

(2 x + 6 ) · x = 0

d) ( x − 1)( · x − 2) = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

20

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

e) ( x − 5)( · x + 11) = 0

f)

(2 x − 5)·(7 x − 3) = 0

g)

⎛  x − 3 ⎞·(8 x + 42) = 0 ⎜ ⎟ 4 ⎝   ⎠

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

21

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

23.Ecuaciones equivalentes. Cri terios de equivalenci a. 

Dos ecuaciones (de primer o de segundo grado) son equivalentes si tienen las mismas soluciones o raíces.

23.1. Criterios de equivalenci a. 

Recuerda los criterios de equivalencia vistos en el tema de ecuaciones de primer grado: a) Criterio de la suma: Si a los dos miembros de una ecuación (de 1 er  o 2º grado) se les suma o se les resta un mismo número, obtenemos una ecuación equivalente.

b) Criterio del producto: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un mismo número, no nulo, obtenemos una ecuación equivalente.

Ejemplo:  Dada la ecuación de 2º grado:

 x

2

− 3x + 2 = 0 , con soluciones  x = 1  y  x = 2 :

a) Comprueba que se cumple el criterio de la suma para un número concreto. b) Comprueba que se cumple el criterio del producto para un número concreto.

Prueba del criteri o de la suma, para 5:

Prueba del criterio del producto, para 3:

− Si sumamos 5 a los miembros de la ecuación,

− Si multiplicamos por 3 los dos miembros de la

 x

2

ecuación,

− 3x + 2 + 5 = 0 + 5

−  Obtenemos,  x

2

− 3x + 2) = 3·0

3·( x 2

−  Obtenemos

− 3x + 7 = 5

3 x 2

− Comprobemos que

 x

= 1  y  x = 2  son

− Comprobemos que

soluciones de esta ecuación:

 x

= 1  y  x = 2  son

soluciones de esta ecuación:

a) Sustituimos en la ecuación la solución  x

=1

a) Sustituimos en la ecuación la solución  x

(1) − 3·1 + 7 = 5

3(1)

2

2

3−9+ 6 = 0

5 = 5

0 = 0

=1

b) Sustituimos en la ecuación la solución  x

La igualdad se cumple para  x

=2

3(2)

2

2

12 − 18 + 6 = 0

5 = 5

0 = 0

=2

− Por tanto, se comprueba que la ecuación 2 resultante  x − 3 x + 7 = 5  es equivalente a la

=2

− 9·2 + 6 = 0

4−6+7 = 5

La igualdad se cumple para  x

=1

b) Sustituimos en la ecuación la solución  x

(2) − 3·2 + 7 = 5

=1

− 9·1 + 6 = 0

1− 3 + 7 = 5

La igualdad se cumple para  x

primera.

− 9x + 6 = 0

La igualdad se cumple para  x

=2

− Por tanto, se comprueba que la ecuación 2 resultante 3 x − 9 x + 6 = 0  es equivalente a la primera.

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

22

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

23.2. Apli cación de los cri terios de equivalencia en la resoluci ón de ecuacio nes de 2º grado. 



−

Los criterios de equivalencia en especial el criterio del producto puede aplicarse para la simplificación, como para la elimininación de denominadores de ecuaciones de 2º grado, previamente a su resolución.

Ejemplo:  Resuelve la ecuación de 2º grado 2 8 x + 16 x = 0



Los términos de la ecuación son a simple vista multiplos de 8, por lo que podemos dividir los dos miembros de la ecuación entre 8.

1 8

·(8 x 2

+ 16 x ) =

1 8

Ejemplo:  Resuelve la ecuación de 2º grado 1 2  x − 2 x + 2 = 0 2

− Para eliminar el denominador podemos multiplicar los dos miembros de la ecuación por 2

·0

⎛ 1  x − 2 x + 2 ⎞ = 2·0 ⎟ 2 ⎝   ⎠

2·⎜

− Obtenemos la ecuación equivalente

− Obteniendo la ecuación equivalente:

simplificada:  x 

2

+ 2x = 0

 x

Ecuación ya resuelta en apartados anteriores.

⎧ Sí   x = 0 ⇒  x = 0 ⎪  x · ( x + 2 ) = 0 ⇒ ⎨ ⎪Sí   x + 2 = 0 ⇒  x = −2 ⎩ 



=0

y  x



2

− 4x + 4 = 0

Ecuación que resolvemos algebraicamente

⎧Sí   x − 2 = 0 ⇒  x = 2 ( x − 2) · (x − 2) = 0 ⇒ ⎪⎨ ⎪Sí   x − 2 = 0 ⇒  x = 2 ⎩

Por lo que tenemos las soluciones :  x

2



Por lo que tenemos las soluciones :

= −2

 x

Estas soluciones son también las soluciones de 2 la ecuación inicial: 8 x + 16 x = 0



=2

y  x

=2

Estas soluciones son también las soluciones de la ecuación inicial:

1 2

 x

2

− 2x + 2 = 0

23.3. Simplific a las sigui entes ecuaciones de 2º grado, mediante el criterio del produc to. Ecuaciones de 2º grado a)

b)

3 x 2

+ 15 x + 18 = 0

1

+  x − 4 = 0

 x

2

2 2

−

8

x

Multiplicando por 2

Ecuaciones “ simplificadas”

 x

2

+ 2x − 8 = 0

−1 = 0

c)

 x

d)

5 x 2

− 30 x = 0

e)

3 x 2

− 12 = 0

3

Multiplicar o Dividir por/entre:

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

23

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________



Recuerda la activid ad vista en clase . 2 Resuelve la ecuación de 2º grado 4 x + 13 x + 3 = 0  con puzzle algebraico, mediante la construcción de un rectángulo. a) Seleccionadas las piezas del puzzle que representan el primer miembro de la ecuación, construimos el rectángulo con dimensiones:

X+3

• Considerando las dimensiones del rectángulo

4X+1

• X2

X2

X2

X2

x

x x x

x x x

x x x

x x x

1 1 1

construido, tenemos la igualdad de las dos expresiones de 2º grado:

4 x

2

+ 13 x + 3 = (4 x + 1) . (x + 3)

• Por tanto, la ecuación de 2º grado factorizada 2 equivalente a 4 x + 13x + 3  es:

(4x + 1) · (x + 3) = 0 b) Resolviendo algebraicamente esta ecuación de 2º grado equivalente tenemos las soluciones:

• Para que un producto sea cero, uno de los factores (o los dos) debe ser cero:

⎧ 4 x + 1 = 0

⇒

 x

+3=0

⇒

 x

(4 x + 1) · (x + 3) = 0 ⇒ ⎪⎨ ⎪ ⎩ •

 x

=−

1 4

= −3

En consecuencia, las soluciones son:

 x

24.Resuelve la ecuación de 2º grado 2 x 2 construc ción de un rectángulo.

=−

1 4

y  x

= −3

+ 7 x + 3 = 0  con puzzle algebraico, mediante la

a) Construye y dibuja un rectángulo  con las piezas que representan la ecuación.

• Representa mediante la notación simplificada el rectángulo construido.

•

2X

+1

X

2X

2

X

+3

6X

3

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

24

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________ b) Escribe la ecuación factorizada equivalente , a partir de la construcción desarrollada.

c)

Resuelve la ecuación  factorizada equivalente obtenida:

25.Resuelve la ecuación de 2º gr ado 2 x 2 construc ción de un rectángulo.

− 3 x + 1 = 0  con puzzle algebraico, mediante la

a) Construye un rectángulo  con las piezas que representan la ecuación. Dibuja con sus dimensiones el rectángulo  construido.

• Representa mediante notación simplificada el rectángulo construido.

•

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente , a partir de la construcción desarrollada.

c)

Resuelve la ecuación  factorizada equivalente obtenida:

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

25

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

26.Resuelve la ecuación de 2º grado i ncompleta 3 x 2 construc ción de un rectángulo. a) Construye un rectángulo  y represéntalo mediante notación simpli ficada.

− 4 x = 0  con p uzzle algebraico, mediante la b) Escribe la ecuación factorizada equivalente, a partir de las dimensiones del rectángulo.

c) Resuelve la ecuación  factorizada equivalente obtenida:

27.Resuelve la ecuación de 2º grado i ncompleta 7 x 2 común X.

+ 21x = 0  simplif icando y sacando factor

a) Escribe la ecuación factorizada equivalente:

b) Resuelve la ecuación  factorizada equivalente obtenida:

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

26

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

28.Resuelve las si guientes ecuaciones de 2º grado mediante f actorización. a)  x

2

b) 2 x

c)  x

2

+ 2x + 1 = 0

2

− 5x + 2 = 0

− 7 x − 18 = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

27

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

d) 3 x

2

− 8x − 3 = 0

29.Simplific a y resuelve las si guientes ecuaciones de 2º grado mediante factori zación . a) 3 x

2

+ 15 x + 18 = 0

b) 7 x

2

+ 21x − 28 = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

28

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

30.Método de co mpletar c uadrados c on puzzle algebraico. 

El método de completar cuadrados con puzzle algebraico consiste en construir o completar un er  cuadrado con las piezas del puzzle que representan el 1  miembro de una ecuación de 2º grado en forma general, para obtener una ecuación equivalente en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente.

•

Ejemplos:  x

2

+ 6x + 9 = 0

 x

X+3

• X2

x x x

x x x

1 1 1 1 1 1 1 1 1

X+3

2

− 4x + 3 = 0

X-2

•

X2 -x -x X-2

-x -x

1 1 1

+

1

+

-1

( x − 2)(.  x − 2) − 1 = ( x − 2) − 1 2

( x + 3)(.  x + 3) = (x + 3)

( x + 3) 2

2

( x − 2) 2

=0

−1 = 0

31.Escribe en forma de bino mio al cuadrado las si guientes ecuaci ones de 2º grado, a partir de la construcción de un cuadrado con puzzle algebraico X+3

•

a)  x

2

+ 6x + 9 = 0

b)  x

2

+ 10 x + 25 = 0

c) 4 x

2

− 4x + 1 = 0

d) 4 x

2

+ 12 x + 9 = 0

X+3

X2

x x x

x x x

1 1 1 1 1 1 1 1 1

( x + 3) = 0 2

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

29

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

32.Resuelve las ecuaciones en form a de binomio al cuadrado obt enidas en el ejercicio anterior. 

Recuerda la resolución de la ecuación ( x + 3)

2

= 0  vista en clase:

Esquema de resolució n

Procedimiento algebraico

• El binomio al cuadrado es una potencia por

( x + 3) = 0 2

lo que es igual al producto:

( x + 3).( x + 3) = 0

Una potencia al cuadrado es igual a:

• Por tanto uno de los factores será cero:

( x + 3) · (x + 3) = 0 ( x + 3).( x + 3) = 0 Uno de los factores es cero

Sí (x+3)

Sí (x+3)

es cero

es cero

X= 3

Soluciones

Ecuación general

2

X=

3

Ecuación binomio al cuadrado

⎧ x + 3 = 0 ⇒ ⇒ ⎪⎨ ⎪ x + 3 = 0 ⇒ ⎩

 x

= −3

 x

= −3

• En consecuencia, la ecuación tiene dos soluciones iguales (también se llama solución doble):  x

= −3

y  x

= −3

Soluciones

+ 10 x + 25 = 0

b)

 x

c)

4 x 2

− 4x + 1 = 0

d)

4 x 2

+ 12 x + 9 = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

30

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

33.Escribe en forma de bino mio al cuadrado las si guientes ecuaci ones de 2º grado, por el método de completar cuadrados X-2

• 2

− 4x + 3 = 0

a)

 x

b)

 x

2

+ 6x + 3 = 0

c)

 x

2

− 8 x + 12 = 0

d)

 x

2

− 10 x + 20 = 0

e)

 x

2

+ 2x − 5 = 0

f)

4 x 2

+ 8x + 3 = 0

g)

9 x 2

− 12 x + 8 = 0

h)

 x

2

X-2

X2

-x -x

-x -x

1 1 1 1

+

-1

( x − 2 ) − 1 = 0 2

− 8x = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

31

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________









Recuerda las condiciones que deben cumplir los coeficientes de una ecuación de 2º grado para aplicar el método de completar cuadrados. Para poder aplicar el método de completar cuadrados los coeficientes a y b  de la ecuación deben cumplir las siguientes condiciones: 2



El coeficiente de X “ a”  tiene que ser un cuadrado perfecto .



El coeficiente de X “ b”  tiene que ser múltiplo de 2.

En el caso de no cumplirse alguna de las dos condiciones anteriores, podemos hacer que se cumplan multiplicando los dos miembros de la ecuación por 4a.

Recuerda la Act ivid ad 10. Resuelve mediante el método de completar cuadrados la ecuación 2  x − 5 x + 5 = 0 .

a) Comprobamos si se cumplen las condiciones para la aplicación del método:

− Los valores de los coeficientes son: a = 1 que es un cuadrado perfecto  y b = 5  que no es múltiplo de 2. En consecuencia, estos no cumplen las condiciones requeridas. b) Ajustamos los coeficientes para que se cumplan las condiciones: 

Multiplicando los dos miembros de la ecuación inicial por 4 a  que en este caso vale 4:

4·( x 2 

− 5 x + 5) = 4·0

Obtenemos una ecuación equivalente que sí cumple las condiciones:

4 x

2

− 20 x + 20 = 0

c) Aplicando el método de completar cuadrados tenemos:

2X-5

•

2X-5

X2

X2

-x -x -x -x -x

2

2

-x -x -x -x -x

X

X

-x -x -x -x -x

-x -x -x -x -x

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

+

-1 -1 -1 -1 -1

• Por lo que la ecuación de 2º grado equivalente (iguales soluciones) a 4 x 2 2 ecuación inicial  x − 5 x + 5 = 0  en forma de binomio al cuadrado, es:

− 20 x + 20 = 0  y a la

(2 x − 5) − 5 = 0 2

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

32

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

34. Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación de 2º grado:  x

2

− 3x + 2 = 0

a) Comprobamos si la ecuación cumple las condiciones para la aplicación del método:

b) Ajustamos los coeficientes para que se cumplan las condiciones:

c) Construcción del cuadrado:

d) Ecuación equivalente:

e) Resolución algebraica: Esquema de resolució n

Procedimiento algebraico

(2 x − 3) − 1 = 0 2

Transponemos términos

(2 x − 3)

2

=1

Extraemos raíz cuadrada en los dos miembros de la ecuación

(2 x − 3)

2

= 1

2 x − 3 = ± 1 +1

2X 3 = 1

2X 3 = 1 X=2

1

Soluciones

X=1

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

33

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

35. Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación de 2º grado:  x

2

− 4x + 7 = 0

a) Comprobamos si la ecuación cumple las condiciones para la aplicación del método:

b) Construcción del cuadrado y ecuación equivalente:

c)

Resolución algebraica:

36. Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación de 2º grado: 2 x

2

+ 7x +1 = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

34

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________ 37. Resuelve las siguientes ecuaciones dadas en forma de binomio al cuadrado.

a)

( x − 3) − 9 = 0

b)

(2 x + 1) − 16 = 0

c)

( x − 3) − 5 = 0

d)

(2 x + 1) + 4 = 0

2

2

2

2

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

35

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

Recuerda: Método resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico

Ecuación de 2º grado en forma general completa o incompleta

1. Representación geométrica de la ecuación Selección del conjun to de piezas del puzzle que representan el 1 er  miembro de la ecuación de 2º grado

2. Construcci ón de rectángulos y/o cuadrados.

Construcción de un rectángulo partiendo del conjunto de piezas seleccionadas

No es posible

construcción de un cuadrado (o completar un cuadrado)

partiendo del conjunto de piezas seleccionadas Si

Si

3. Obtención de ecuaciones equivalentes mediante el cálculo del área.  A partir del producto de las dimensiones del rectángulo

Obtenemos:

 A partir del producto de las dimensiones del cuadrado

Obtenemos:

Ecuación de 2º grado equivalente en forma de producto de factores

Ecuación de 2º grado equivalente en forma de binomio al cuadrado

 Apl icamos Procedimiento algebraico

 Apl icamos Procedimiento algebraico

de resolución de ecuaciones en forma de producto

de resolución de ecuaciones en forma de binomio al cuadrado

4. Resolución algebraica.

Soluciones de la ecuación

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

36

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________ 38. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado. a)

 x

2

− 10 x + 9 = 0

b)

 x

2

+ 5x + 7 = 0

c)

 x

2

− 6x + 9 = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

37

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________

Recuerda el método general de resolución de ecuaciones de 2º grado, visto en clase: 

La generalización del método de completar cuadrados para una ecuación de segundo grado expresada en forma general: ax

2

+ bx + c = 0

Nos proporciona una fórmula general para obtener las soluciones o raíces de la ecuación en función de los coeficientes a, b y c. 

La fórmula general, escrita en forma abreviada, es:

 x



=

b

2

− 4·a·c

2·a

En forma desarrollada tenemos que las dos soluciones de la ecuación de 2º grado, se obtienen mediante las fórmulas:

 x1



−b±

=

−b+

b

2

− 4·a·c

 x1

2·a

=

−b−

b

2

− 4·a·c

2·a

El método general de resolución consiste en:

• determinar los valores a, b y c de la ecuación de 2º grado expresada en forma general, • sustituir los valores en la fórmula, y • realizar las operaciones, hasta obtener las soluciones, si las hubiese.



Recuerda la activi dad 12. Resuelve la ecuación



Sustituyendo los valores a

 x



=

−5±

5

2

=1

− 4.1.(−6)

2.1

b

=

=5

c

−5±

 x

2

+ 5 x − 6 = 0  aplicando el método general

= −6  en la fórmula tendríamos:

49

2

⎧ x = − 5 + 7 = 2 = 1 ⎪ 1 2 2 −5±7 ⎪ = =⎨ 2 ⎪ − 5 − 7 − 12 = −6 = =  x ⎪⎩ 2 2 2

Por tanto, las soluciones son:

 x

=1

y  x

= −6

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

38

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.  ____________________________________________________________________________________________________________________________ 39. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado utilizando la “fórmula” (método general). a)

2 x 2

b)

 x

c)

3 x

2

− 5x + 2 = 0

− 4x + 7 = 0

2

+ 15 x + 18 = 0

Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico  ________________________________________________________________ 

39