Ctol Estad Procesos Cep

Experiencia Educativa CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS DE LA CALIDAD

Área Técnico-Instrumental (Octubre 2008)

Mtro. Julián Felipe Díaz Camacho

Xalapa, Ver., Octubre de 2008

CONTENIDO Pág. UNIDAD 1. MÉTODOS Y FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

1

1.1 Introducción

1

1.2 Causas fortuitas y asignables de la variación de la calidad

2

1.3 Fundamentos estadísticos de la carta de control

3

1.3.1 Principios básicos

3

1.3.2 Elección de los límites de control

11

1.3.3 Tamaño de la muestra y frecuencias del muestreo

14

1.3.4 Subgrupos racionales

18

1.3.5 Análisis de patrones en carta de control

22

1.3.6 Discusión de las reglas de sensibilización para cartas de control

25

1.4 El resto de las siete herramientas básicas

26

1.4.1 Histograma

26

1.4.2 Hoja de verificación

30

1.4.3 Gráfico de Pareto

31

1.4.4 El diagrama de causa y efecto

33

1.4.5 El diagrama de flujo

35

1.4.6 El diagrama de dispersión

36

1.5 Preguntas de repaso y ejercicios propuestos

37

1.5.1 Preguntas de repaso

37

1.5.2 Ejercicios propuestos

38

UNIDAD 2. CARTAS DE COTROL PARA VARIABLES

40

2.1 Introducción

40

2.2 Cartas de control para x y R

40

2.2.1 Fundamentos estadísticos de las cartas

40

2.2.2 Desarrollo y uso de las cartas

45

y R

2.2.3 Interpretación de las cartas x y R

58

2.3 Cartas de control para x y S 2.3.1 Construcción y operación de las cartas x y S

62 62

2.4 La carta de control de Shewhart para mediciones individuales

65

2.5 Ejercicios propuestos

68

UNIDAD 3. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

71

3.1 Introducción

71

3.2 La carta de control para la fracción disconforme

71

3.2.1 Desarrollo y operación de la carta de control 3.3 Cartas de control para disconformidades (defectos) 3.3.1 Procedimientos con tamaño de muestra constante

72 84 85

3.4 Ejercicios propuestos

91

UNIDAD 4. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO Y SISTEMAS DE MEDICIÓN

96

4.1 Introducción

96

4.2 Índices de capacidad de procesos

100

4.2.1 Índice de capacidad del proceso Cp

101

4.2.2 Índice de capacidad del proceso Cpk

107

4.3 Análisis de capacidad de procesos mediante gráficos de control

112

4.4 Estudios de capacidad de instrumentos y procedimientos de medición

119

4.5 Preguntas de repaso y ejercicios propuestos

129

4.5.1 Preguntas de repaso

129

4.5.2 Ejercicios propuestos

129

UNIDAD 5. CARTAS DE CONTROL DE SUMA ACUMULADA Y DE PROMEDIO MÓVIL

132

5.1 Introducción

132

5.2 La carta de control de suma acumulativa

132

5.2.1 Principios básicos: La carta de control cusum para monitorear la media del proceso

132

5.2.2 La cusum tabular o algorítmica para monitorear la media del proceso

136

5.3 La carta de control del promedio móvil

141

5.4 Ejercicios propuestos

143

ANEXO

145

REFERECIAS

146

UNIDAD 1. MÉTODOS Y FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS 1.1 Introducción Para que un producto cumpla con los requerimientos del cliente generalmente deberá fabricarse con un proceso que sea estable o repetible. Para ser más específicos, es necesario que el proceso opere con poca variabilidad en las dimensiones objetivo o nomínales de las características de calidad del producto. El control estadístico de procesos (CEP) es un conjunto poderoso de herramientas para resolver problemas, muy útil para conseguir la estabilidad y mejorar la capacidad del mismo proceso mediante la reducción de la variabilidad. El CEP puede aplicarse a cualquier proceso. Sus siete herramientas principales son: 1. El histograma 2. La hoja de verificación 3. La gráfica de Pareto 4. El diagrama de causa y efecto 5. El diagrama de flujo 6. El diagrama de dispersión 7. La carta de control Estas siete herramientas, son una parte importante del CEP, comprenden tan sólo sus aspectos técnicos. El CEP crea un ambiente en el que todos los individuos de una organización desean el mejoramiento continuo de la calidad y la productividad. Este ambiente se desarrolla mejor cuando la administración se involucra en un proceso de mejoramiento de calidad continuo. Una vez que se establecen estas condiciones, la aplicación rutinaria de las siete herramientas se convierten en un aspecto habitual de hacer negocios, y la organización se encuentra en una posición para alcanzar sus objetivos de mejoramiento de calidad. En esta unidad se presentará un panorama general de las siete herramientas. De estas herramientas, probablemente la carta de control de Shewhart es la que presenta la mayor complejidad técnica. Fue desarrollada en los años 1920 por el doctor Walter A. Shewhart. Para entender los conceptos estadísticos que constituyen la base del CEP, es necesario describir primero la teoría de la variabilidad de Shewhart.

1

1.2 Causas fortuitas y asignables de la variación de la calidad En cualquier proceso de producción, independientemente de lo adecuado que sea su diseño o de la atención que se preste a su mantenimiento, siempre existirá cierta cantidad de variabilidad inherente o natural. Esta variabilidad natural es el efecto acumulado de muchas causas pequeñas y en esencia inevitables. En el contexto del control estadístico de calidad, a esta variabilidad natural se le denomina un "sistema estable de causas fortuitas". Se dice que un proceso que opera únicamente con causas fortuitas de variación está bajo control estadístico, En otras palabras, las causas fortuitas son una parte inherente del proceso. En ocasiones puede estar presente otra clase de variabilidad en la salida de un proceso. Esta variabilidad en las características clave de la calidad se srcinan de tres fuentes: máquinas ajustadas o controladas incorrectamente, errores del operador, o materia prima defectuosa. En general, está variabilidad es grande cuando se le compara con la variabilidad natural y suele representar un nivel inaceptable del desempeño del proceso. A estas fuentes de variabilidad que no son parte del patrón de las causas fortuitas se les llama "causas asignables". Se dice que un proceso que opera en presencia de causas asignables está fuera de control. En la Figura 1 se ilustran las causas fortuitas y asignables de la variación. Antes del tiempo t1 , el proceso que se muestra en esta figura está bajo control; es decir, están presentesestándar causas de resultado, la media sólo como la desviación delvariación proceso fortuitas. están enComo sus valores bajotanto control (por ejemplo, 0 y σ 0 ). En el tiempo t1 ocurre una causa asignable. Como se muestra en la Figura 1, el efecto de esta causa asignable es correr la media del proceso a un nuevo valor 1 > 0 . En el tiempo t 2 ocurre otra causa asignable, de la que resulta µ = µ 0 , pero ahora la desviación estándar del proceso se ha corrido a un valor más grande σ 1 > σ 0 . En el tiempo t 3 , se presenta otra causa asignable, cuyo resultado es que tanto la media como la desviación estándar toman valores fuera de control. Del tiempo t1 en adelante, la presencia de causas asignables ha dado como resultado un proceso fuera de control. Con frecuencia, los procesos de producción operarán en el estado bajo control, produciendo productos aceptables durante periodos relativamente prolongados. Con el tiempo, sin embargo, ocurrirán causas asignables, aparentemente al azar, que ocasionarán un "corrimiento" a un estado fuera de control en el que una proporción mayor de la salida del proceso no cumplirá con los requerimientos. Por ejemplo, en la Figura 1 se observa que cuando el proceso está bajo control, la mayor parte de la producción estará entre los límites inferior y superior de la especificación (LEI y LES, respectivamente). Cuando el proceso está fuera de control una proporción más alta del mismo se localiza fuera de estas especificaciones. 2

Figura 1. Causas de variación fortuitas y asignables Uno de los objetivos principales del control estadístico de procesos es detectar con rapidez la ocurrencia de causas asignables en el corrimiento del proceso a fin de hacer la investigación pertinente y emprender las acciones correctivas antes de que se fabriquen muchas unidades defectuosas. La carta de control es una técnica del monitoreo de procesos en línea que se usa ampliamente para este fin. Las cartas de control también pueden usarse para estimar los parámetros de un proceso de producción y para determinar con esta información la capacidad del proceso. Asimismo, la carta de control puede ofrecer información útil para mejorar el proceso. Por último, recuérdese que la meta última del control estadístico de procesos es eliminar la variabilidad del proceso. Quizá no sea posible eliminar por completo la variabilidad, pero la carta de control es una herramienta efectiva para reducir la variabilidad tanto como sea posible. En las secciones siguientes se presentan los conceptos estadísticos que constituyen la base de las cartas de control.

1.3 Fundamentos estadísticos de la carta de control 1.3.1 Principios básicos En la Figura 2 se muestra una carta de control típica, que es la representación gráfica de una característica de la calidad que se ha medido o calculado a partir de una muestra contra el número de muestra o tiempo. La carta contiene una línea central que representa el valor promedio de la característica de la calidad que corresponde al estado bajo control. (Es decir, cuando únicamente están presentes causas fortuitas). También se muestran en la carta otras dos líneas horizontales, llamadas el límite de control superior (LCS) y el límite de 3

control inferior (LCI). Estos límites de control se eligen de tal modo que si el proceso está bajo control casi todos los puntos muestrales se localizarán entre ellos.

Figura 2. Una carta de control típica En tanto los puntos graficados se localicen dentro de los límites de control, se supone que el proceso está bajo control y no es necesaria ninguna acción. Sin embargo, un punto que se localiza fuera de los límites de control se interpreta como evidencia de que el proceso está fuera de control, y se requiere investigación y acción correctiva para encontrar y eliminar la causa o causas asignables responsables de este comportamiento. Se acostumbra unir los puntos muestrales de la carta de control con segmentos de recta, a fin de facilitar la visualización de la evoluci6n con el tiempo de la secuencia de puntos. Incluso cuando todos los puntos se localizan dentro de los límites de control, si se comportaran en una manera sistemática o no aleatoria, esto podría ser un indicio de que el proceso está fuera de control, Por ejemplo, una situación en la que 18 de los últimos 20 puntos se localizan arriba de la línea central, pero abajo del límite de control superior y sólo dos de estos puntos se localizan abajo de la línea central, pero arriba del limite de control inferior, despertaría grandes sospechas de que algo anda mal. Si el proceso está bajo control, todos los puntos graficados deberán mostrar en esencia un patrón aleatorio. Es posible aplicar métodos para buscar secuencias o patrones no aleatorios en las cartas de control como ayuda para detectar situaciones fuera de control. En general, la presencia de un patrón no aleatorio particular en una carta de control tiene una razón, y puede identificarse y eliminarse, es posible mejorar el desempeño del proceso. 4

Existe una estrecha relación entre las cartas de control y la prueba de hipótesis. Para ilustrar esta relación, suponer que la línea central de la Figura 2 es el promedio muestral x . Ahora bien, si el valor actual de x se localiza entre los límites de control, se concluye que la media del proceso está bajo control; es decir, es igual a cierto valor µ 0 . Por otra parte, si x excede cualquiera de los límites de control, se concluye que la media de proceso está fuera de control; es decir, es igual a cierto valor 1 ≠ 0 . En cierto sentido, entonces, la carta de control es una prueba deque la hipótesis dedentro que elde proceso está de encontrol un estado de control estadístico. Un punto se localiza los límites es equivalente a no poder rechazar la hipótesis del control estadístico, y un punto que se localiza fuera de los límites de control es equivalente a rechazar la hipótesis del control estadístico. Este marco para la prueba de hipótesis es útil de varias maneras, si bien existen algunas diferencias de punto de vista entre las cartas de control y las pruebas de hipótesis. Por ejemplo, cuando se prueban hipótesis estadísticas, por lo general se verifica la validez de los supuestos, mientras que las cartas de control se usan para detectar desviaciones de un estado de control estadístico supuesto. Además, la causa asignable puede redundar en diferentes tipos de corrimientos en los parámetros del proceso. Por ejemplo, la media podría sufrir un corrimiento repentino a un nuevo valor y mantenerse ahí (en ocasiones se le llama un corrimiento sostenido); o podría correrse de manera abrupta, pero la causa asignable podría ser de corta duración y la media podría volver después a su valor nominal o bajo control; o la causa asignable podría dar como resultado una inclinación o ajustan tendencia en común el valor la media. Sólo los cambios sostenidos se bienestable al modelo paradeprobar hipótesis estadísticas. Una situación que se presta para el marco de la prueba de hipótesis es el análisis del desempeño de una carta de control. Por ejemplo, podría considerarse la probabilidad del error tipo 1 de la carta de control (concluir que el proceso está fuera control cuando en realidad está bajo control) y la probabilidad del error tipo II de la carta de control (concluir que el proceso está bajo control cuando en realidad está fuera de control). En ocasiones es conveniente usar la curva de operación característica de una carta de control para representar su probabilidad del error tipo II. Esto sería una indicación de la habilidad de la carta de control para detectar corrimientos de diferentes magnitudes en el proceso.

5

Figura 3. Carta de control x para el diámetro de los anillos para pistones Para ilustrar las ideas anteriores, se presenta un ejemplo de una carta de control. En la manufactura de anillos para pistones de motores de automóvil, una característica crítica de la calidad es el diámetro interior del anillo. El proceso puede estar bajo control con un diámetro interior medio de los anillos de 74 mm, y se sabe que la desviación estándar del diámetro de los anillo es 0.01 mm. En la Figura 3 se muestra una carta de control del diámetro promedio de los anillos. Cada hora se saca una muestra aleatoria de cinco anillos, se calcula el diámetro promedio de los anillos de la muestra (por ejemplo, x ) y se grafica x en la carta. Debido a que esta carta de control utiliza el promedio muestral x para monitorear la media del proceso, suele llamársele la carta de control x . Obsérvese que todos los puntos se localizan dentro de los límites de control por lo que la carta indica que el proceso está bajo control estadístico. Para ayudar a entender el fundamento estadístico de esta carta de control, consideremos cómo se determinaron los límites de control. La media del proceso es 74 mm, y la desviación estándar del proceso es σ = 0.01 mm. Ahora bien, si se toman muestras de tamaño n =5, la desviación estándar del promedio muestral x es

Por lo tanto, si el proceso está bajo control con un diámetro medio de 74 mm, entonces al aplicar el teorema central de límite para suponer que x tiene una distribución aproximadamente normal, se esperaría que 100(1–α)% de los diámetros medios muestrales x se localicen entre 74 − Z α / 2 (0.0045) y

6

74 + Z α / 2 (0.0045) . Se escogerá arbitrariamente el valor 3 para la constante Z α / 2 de tal modo que los límites de control superior e inferior son

LCS = 74 + 3(0.0045) = 74.0135

y

LCI = 74 − 3(0.0045) = 74.0135

como indicasigma". en la carta de control.deSelos les límites llama dedemanera los límites de controlse"tres La anchura controltípica es inversamente proporcional al tamaño de la muestra n para un múltiplo de sigma dado. Obsérvese que elegir los límites de control es equivalente a establecer la región crítica para probar las hipótesis

donde σ = 0.01 es conocida. En esencia, la carta de control prueba esta hipótesis repetidamente en diferentes puntos del tiempo. En la Figura 4 se ilustra gráficamente la situación.

Figura 4. Cómo funciona la carta de control Puede darse un modelo general para una carta de control. Sea w un estadístico muestral que mide alguna característica de la calidad de interés, y suponer que la media de w es µ w , y que la desviación estándar de w es σ w . Entonces la línea central, el límite de control superior y el límite de control inferior son

7

LCS = µ w + Lσ w Líneacentral = µ w

(1)

LCI = µ w − Lσ w

donde L es !a "distancia" de los limites de control a la línea central, expresada en unidades de desviación estándar. El doctor Walter S. Sbewhart fue el primero en proponer esta teoría general de las cartas de control, y las cartas de control desarrolladas de acuerdo con estos principios suelen llamarse cartas de control de Shewhart. La carta de control es un recurso para describir de manera precisa lo que se pretendió exactamente por medio del control estadístico; como tal, puede usarse en una variedad de formas. En muchas aplicaciones se usa para la vigilancia en línea de un proceso. Es decir, se colectan datos muestrales y se usan para construir la carta de control, y si los valores muestrales de x (por ejemplo) se localizan dentro de los límites de control y no muestran ningún patrón sistemático, se dice que el proceso está bajo control en el nivel indicado por la carta. Obsérvese que en este caso podría, haber interés en determinar tanto si los datos pasados provinieron de un proceso que estaba bajo control como si las muestras futuras de este proceso indicara control estadístico. El uso más importante de una carta de control es para mejorar el proceso. Se ha encontrado que, en general, 1. La mayoría de los procesos no operan en un estado de control estadístico. 2. Por consiguiente, el uso rutinario y atento de cartas de control identificará las causas asignables. Si estas causas pueden eliminarse del proceso, la variabilidad se reducirá y el proceso será mejorado, En la Figura 5 se ilustra esta actividad de mejoramiento del proceso utilizando la carta de control. Obsérvese que 3. La carta de control sólo detectará las causas asignables. Por lo general será necesaria la acción de la administración, del operador y del área de ingeniería para eliminar las causas asignables. Para identificar y eliminar las causas asignables, es importante encontrar la causa de srcen fundamental del problema y atacarla, Una solución cosmética no redundará en ninguna mejora real de largo plazo del proceso, Desarrollar un sistema efectivo para una acción correctiva es un componente esencial de una implementación de un CEP efectivo.

8

Figura 5. Mejoramiento del proceso utilizando la carta de control Una parte muy importante del proceso de acción correctiva asociado con el uso de la carta de control es el plan de acción para condiciones fuera de control (PACFC). Un PACFC es un diagrama de flujo o una descripción escrita de la secuencia de actividades que deben llevarse a cabo después de la ocurrencia de un evento de activación. Por lo general es una señal de fuera de control en la carta de control. El PACFC consta de puntos de verificación, los cuales son causas asignables potenciales, y eliminadores, que son acciones que se emprenden para resolver la condición fuera de control mediante, siendo optimistas, la eliminación de la causa asignable. Es muy importante que el PACFC especifique el conjunto más completo posible de puntos de verificación y eliminadores, y que estén ordenados de tal modo que se faciliten actividades de diagnóstico del proceso, Con frecuencia puede ser útil el análisis de los modos de falla anteriores del proceso y del producto para diseñar este aspecto del PACFC. Además, un PACFC es un documento vivo, en el sentido de que se modificará con el tiempo conforme se obtenga un mejor entendimiento y comprensión del proceso. Por consiguiente, cuando se introduce una carta de control, deberá estar acompañada por un PACFC inicial. No es posible que las cartas de control sin un PACFC sean de gran utilidad corno herramienta de mejoramiento del proceso. La carta de control también puede utilizarse como un recurso de estimación. Es decir, a partir de una carta de control que indique control estadístico es posible estimar ciertos parámetros del proceso, tales como la media, la desviación estándar, la fracción disconforme o porción caída, etcétera. Después estas estimaciones pueden usarse para determinar la capacidad del proceso para producir productos aceptables. Estos estudios de capacidad del proceso tienen un impacto considerable en muchos problemas que ocurren en el ciclo del producto y que requieren decisiones de la administración, incluyendo la decisión de fabricar o 9

comprar, las mejoras de la planta y del proceso que reducen la variabilidad del proceso y los acuerdos contractuales con los clientes o distribuidores respecto de la calidad del producto. Las cartas de control pueden clasificarse en dos tipos generales. Si la característica de la calidad puede medirse y expresarse como un número en una escala de medición continua, suele llamársele una variable, En tales casos, es conveniente describir la característica de la calidad con una medida de tendencia central y una medida de la variabilidad. A las cartas de control para la tendencia central y la variabilidad se les llama en conjunto cartas de control de variables. La carta x es la carta de uso más común para controlar la tendencia central, mientras que las cartas basadas en el rango muestral o en la desviación estándar muestral se usan para controlar la variabilidad del proceso. Muchas características de la calidad no se miden en una escala continua o siquiera en una escala cuantitativa, En estos casos, cada unidad del producto puede juzgarse corno conforme o disconforme con base en si posee o no ciertos atributos, o puede contarse el número de disconformidades (defectos) que aparecen en una unidad del producto. A las cartas de control para estas características de la calidad se les llama cartas de control de atributos. Un factor importante en el uso de cartas de control es el diseño de la carta de control. Por esto se entiende la selección del tamaño de la muestra, de los límites de control y de la frecuencia del muestreo. Por ejemplo, en la carta x de la Figura 3 se especificó un tamaño de la muestra de cinco mediciones, límites de control tres sigma y que la frecuencia del muestreo fuera cada hora. En la mayoría de los problemas de control de calidad se acostumbra diseñar la carta de control utilizando principalmente consideraciones estadísticas. Por ejemplo, se sabe que al incrementar el tamaño de la muestra disminuirá la probabilidad del error tipo II, mejorándose así la capacidad de la carta para detectar un estado fuera de control, etcétera, El uso de criterios estadísticos como estos aunados a la experiencia industrial ha llevado a lineamientos y procedimientos generales para diseñar cartas de control. En estos procedimientos por lo general los factores del costo sólo se consideran de manera implícita, Sin embargo, recientemente ha empezado a examinarse el diseño de cartas de control desde una perspectiva económica, considerando de manera explicita el costo del muestreo, las pérdidas generadas por permitir que se produzcan productos defectuosos, y los costos de investigar las señales de fuera de control que en realidad son "falsas alarmas". Las cartas de control han tenido una larga historia de uso en las industrias estadounidenses y del extranjero. Hayal menos cinco razones de su popularidad. 1. Las cartas de control son una técnica probada para mejorar la productividad. Un programa exitoso de cartas de control reducirá los desechos y el reprocesamiento, que son los principales depredadores de la productividad en cualquier operación. Sí se reducen los desechos y el reprocesamiento, se incrementará la productividad, se reducirán los costos y 10

se aumentará la capacidad de producción (medida en el número de partes buenas por hora). 2. Las cartas de control son efectivas para prevenir defectos. La carta de control ayuda a mantener el proceso bajo control, lo cual es consistente con la filosofía del "hacerlo bien a la primera". Nunca es más barato separar las unidades "buenas" de las "malas" más tarde que fabricarlas bien desde un principio. Si no se cuenta con un control del proceso efectivo, se estará pagando a alguien por hacer un producto disconforme. 3. Las cartas de control previenen el ajuste innecesario del proceso. Una carta de control puede distinguir el ruido de fondo de la variación anormal; ningún otro recurso, incluyendo a un operador humano, es tan efectivo para hacer esta distinción. Si los operadores del proceso ajustan el proceso con base en pruebas periódicas que no guarden relación con un programa de cartas de control, con frecuencia tendrán una reacción exagerada al ruido de fondo y realizarán ajustes innecesarios. Estos ajustes innecesarios redundan en un deterioro del desempeño del proceso. En otras palabras, la carta de control es consistente con la filosofía del "si no está descompuesto, no lo arregles". 4. Las cartas de control proporcionan información de diagnóstico. Frecuentemente, el patrón de los puntos de una carta de control incluirá información con valor de diagnóstico para un operador o ingeniero con experiencia. Esta información permite la implementación de un cambio en el proceso que mejore su desempeño. 5. Las cartas de control proporcionan información sobre la capacidad del proceso. La carta de control proporciona información del valor de parámetros importantes del proceso y de su estabilidad con el tiempo. Esto permite hacer una estimación de la capacidad del proceso. Esta información es de enorme utilidad para los diseñadores del producto y del proceso. Las cartas de control se encuentran entre las herramientas de control administrativo más importantes; son tan importantes como los controles de costos y los controles de materiales. La tecnología de las computadoras modernas han hecho que sea sencillo implementar las cartas de control en cualquier tipo de proceso, ya que la colección y el análisis de datos puede llevarse a cabo en una microcomputadora o en una terminal de una red de área local en tiempo real y en línea con el centro de trabajo.

1.3.2 Elección de los límites de control La especificación de los límites de control es una de las decisiones críticas que deben tomarse al diseñar una carta de control. Cuando los límites de control se alejan más de la línea central, se reduce el riesgo de un error tipo I, es decir, el 11

riesgo de que un punto se localice fuera de los límites de control, indicando una condición fuera de control cuando no está presente ninguna causa asignable. Sin embargo, al ensanchar los límites de control se incrementará también el riesgo del error tipo II, es decir, el riesgo de que un punto se localice dentro de los límites de control cuando el proceso en realidad está fuera de control. Si los límites de control se colocan más cerca de la línea central se produce el efecto contrario: el riesgo del error tipo I se incrementa, mientras que el riesgo del error tipo II se reduce. Para la carta x que se muestra en la Figura 3, donde se usaron límites de control tres sigma, si se supone que el diámetro de los anillos para pistones tiene una distribución normal, en la tabla normal estándar se encuentra que la probabilidad del error tipo I es 0.0027. Es decir, se producirá una señal de fuera de control incorrecta o falsa alarma tan sólo en 27 de 10000 puntos. Además, la probabilidad de que un punto tomado cuando el proceso está bajo control exceda los límites tres sigma en una sola dirección es 0.00135. En vez de especificar el límite de control como un múltiplo de la desviación estándar de x , podría haberse elegido directamente la probabilidad del error tipo I y calcular el límite de control correspondiente. Por ejemplo, si se especifica una probabilidad del error tipo I de 0.001 en una dirección, entonces el múltiplo apropiado de la desviación estándar sería 3.09. Los límites de control para la carta x serían entonces LCS = 74 + 3.09(0.0045) = 74.0139 LCI

= 74 − 3.09(0.0045) = 73.9861 A estos límites de control se les llama límites de probabilidad 0.001. En la Figura 6 se muestra la carta x con los límites tres sigma y los límites 0.001. Hay apenas una ligera diferencia entre los dos límites. Independientemente de la distribución de la característica de la calidad, en Estados Unidos es una práctica común determinar los límites de control como un múltiplo de la desviación estándar del estadístico graficado en la carta. El múltiplo que se elige generalmente es 3; por tanto, se acostumbra emplear límites tres sigma en las cartas de control, independientemente del tipo de carta empleada. En el Reino Unido y algunas partes de Europa Occidental se usan los límites de probabilidad, siendo la probabilidad estándar 0.001. De manera típica, justificamos el uso de los límites de control tres sigma con base en que dan buenos resultados en la práctica. Además, en muchos casos, la verdadera distribución de la característica de la calidad no se conoce con la suficiente precisión para calcular límites de probabilidad exactos. Si la distribución normal es una aproximación razonable de la distribución de la característica de la calidad, entonces habrá poca diferencia entre los límites tres sigma y los de probabilidad 0.001.

12

Figura 6. Comparación de los límites tres sigma y 0.001 para la carta de x

Límites de advertencia en cartas de control Algunos analistas sugieren el uso de dos conjuntos de límites en las cartas de control, como los que se ilustran en la Figura 7. Los límites exteriores en tres sigma, por ejemplo son los límites de acción usuales; es decir, cuando un punto se grafica fuera de este límite, se hace una búsqueda de una causa asignable y de ser necesario, se emprende una acción correctiva. A los límites interiores, por lo general en dos sigma, se les llama límites de advertencia superior (LAS) e inferior (LAI), respectivamente. En la Figura 7 se muestran los límites de control tres sigma superior e inferior para la carta x del diámetro de los anillos para pistones. Los límites de advertencia superior e interior se localizan en LAS

= 74 + 2(0.0045) = 74.0090

LAI

= 74 − 2(0.0045) = 73.9910

cuando se usan límites de probabilidad, los límites de acción por lo general son limites 0.001 y los límites de advertencia son límites 0.025. Una situación en la que uno o más puntos se localizan entre los límites de advertencia y los límites de control, o muy cerca del límite de advertencia, deberá despertar sospechas de que el proceso quizá no está operando correctamente. Una posible acción por emprender cuando esto ocurre es incrementar la frecuencia del muestreo o el tamaño de la muestra a fin de obtener con rapidez más información acerca de! proceso. A los esquemas de control del proceso que 13

modifican el tamaño de la muestra y/o la frecuencia del muestreo dependiendo de la posición del valor muestral actual se les llama esquemas adaptables o con intervalo de muestreo variable (o con tamaño de la muestra variable, etc.). Estas técnicas se han usado en la práctica durante muchos años y recientemente han sido estudiadas por investigadores en el campo.

LCS LAS

LAI LCI

Figura 7. Carta x con límite de advertencia dos sigma El uso de límites de advertencia puede aumentar la sensibilidad de la carta de control; es decir, puede permitir que la carta de control dé la señal de un corrimiento en el proceso con mayor rapidez. Una de sus desventajas es que pueden resultar confusos para el personal de operación. Esto, sin embargo, por lo general no constituye una objeción seria, y muchos analistas utilizan de manera rutinaria límites de advertencia en cartas de control. Una objeción más sería es que aun cuando el uso de límites de advertencia puede mejorar la sensibilidad de la carta, también pueden dar como resultado un riesgo incrementado de falsas alarmas.

1.3.3 Tamaño de la muestra y frecuencia del muestreo Cuando se diseña una carta de control, es necesario especificar tanto el tamaño de la muestra que debe usarse como la frecuencia del muestreo. En general, las muestras más grandes facilitarán la detección de corrimientos pequeños en el proceso. Esto se ilustra en la Figura 8, donde se grafica la curva de operación característica de la carta x de la Figura 3 para diferentes tamaños de la muestra. Obsérvese que la probabilidad para detectar un cambio de 74.0000 a 74.0100 mm (por ejemplo) se incrementa cuando el tamaño de la muestra n se incrementa. Cuando se elige el tamaño de la muestra, debe tenerse presente el tamaño del cambio que está tratándose de detectar. Si el cambio en el proceso es relativamente grande, se usan tamaños de la muestra más pequeños que los que se habrían empleado si el cambio de interés fuera relativamente pequeño. 14

Figura 8. Curvas de operación características para una carta x Debe determinarse también la frecuencia del muestreo. La situación más deseable desde el punto de vista de la detección de corrimientos sería tomar muestras grandes con mucha frecuencia; sin embargo, esto por lo general no es económicamente factible. El problema general consiste en la asignación del esfuerzo de muestreo. Es decir, se toman muestras pequeñas en intervalos cortos o bien se toman muestras grandes en intervalos más largos. La práctica actual en la industria tiende a favorecer las muestras más pequeñas y más frecuentes, en particular en los procesos de manufactura de alto volumen, o donde pueden ocurrir diversos tipos de causas asignables. Además, conforme se desarrolla la tecnología automatizada de sondeo y medición, se está haciendo posible agrandar (incrementar) en gran medida las frecuencias de muestreo. En última instancia, cada unidad puede probarse cuando se fabrica. Los sistemas de medición automatizados y las microcomputadoras con software de control estadístico de procesos aplicados en el centro de trabajo para el control del proceso en línea en tiempo real son una forma cada vez más efectiva de aplicar el control estadístico de procesos. Otra manera de evaluar las decisiones respecto del tamaño de la muestra y la frecuencia del muestreo es con la longitud promedio de la corrida (LPC) de la carta de control. En esencia, la LPC es el número promedio de puntos que deben graficarse antes de que un punto indique una condición fuera de control. Si las observaciones del proceso son no correlacionadas, entonces para cualquier carta de control de Shewharr, la LPC puede calcularse fácilmente con LPC

=

1

p

(2)

donde p es la probabilidad de que cualquiera de los puntos exceda los limites de control. Esta ecuación puede usarse para evaluar el desempeño de la carta de control. 15

Como ilustración, para la carta x con límites tres sigma, p = 0.0027 es la probabilidad de que un solo punto se localice fuera de los límites cuando el proceso está bajo control. Por lo tanto, la longitud promedio de la corrida de la carta x cuando el proceso está bajo control (llamada LPC 0 ) es LPC 0

=

1

p

=

1 0.0027

= 370

es decir, incluso si el proceso se mantiene bajo control, se generará, en promedio, una señal de fuera de control cada 370 muestras. El uso de la longitud promedio de la corrida para describir el desempeño de las cartas de control ha sido objeto de críticas en los últimos años. Las razones de ello surgen porque la distribución de la longitud de la corrida para una carta de control de Shewhart es una distribución geométrica. Por consiguiente, hay dos preocupaciones con la LPC: 1) la desviación estándar de la longitud de la corrida es muy grande, y 2) la distribución geométrica tiene un sesgo muy pronunciado, por lo que la media de la distribución (la LPC) no es necesariamente un valor muy "típico" de la longitud de la corrida. Por ejemplo, considérese la carta de control x de Shewhart con límites tres sigma. Cuando el I proceso está bajo control, se señaló ya que p = 0.0027 y la LPC 0 bajo control es LPC 0 = 1 / p = 1 / 0.0027 . Esta es la media de la distribución geométrica. Ahora bien, la desviación estándar de la distribución geométrica es

es decir, en este caso la desviación estándar de la distribución geométrica es aproximadamente igual a su media. Como resultado, la LPC 0 real observada en la práctica para la carta de control x de Shewhart posiblemente presentará variaciones considerables. Además, para la distribución geométrica con p = 0.0027 , el décimo y el quincuagésimo percentil de la distribución son 38 y 256, respectivamente. Esto significa que cerca del 10% del tiempo la longitud de la corrida bajo control será menor o igual a 10 muestras, y que 50% de las veces será menor o igual a 256 muestras. Esto ocurre porque la distribución geométrica con p = 0.0027 tiene un sesgo a la derecha muy pronunciado. Asimismo, en ocasiones es conveniente expresar el desempeño de la carta de control en términos de su tiempo promedio hasta la señal (TPHS). Si se toman muestras en intervalos fijos de tiempo que están separados h horas, entonces TPHS = LPCh

(3)

Considérese el proceso de los anillos para pistones discutido antes, y suponer que se está haciendo un muestreo cada hora. La ecuación 3 indica que habrá una falsa alarma más o menos cada 370 horas en promedio. 16

Consideremos ahora cuál es el desempeño de la carta de control para detectar corrimientos en la media. Suponer que se está usando un tamaño de la muestra n = 5 y que cuando el proceso se sale de control la media se corre a 74.015 mm. Por la curva de operación característica de la Figura 8, se encuentra que si la media del proceso es 74.015 mm, la probabilidad de que x se localice entre los límites de control es aproximadamente 0.50. Por lo tanto, en la ecuación 2, p es 0.50, y la, LPC fuera de control (llamada LPC1 ) es LPC1

=

1 p

=

1 0.5

=2

es decir, la carta de control necesitará dos muestras para detectar el corrimiento en el proceso, en promedio, y puesto que el intervalo de tiempo entre las muestras es h=1 hora, el tiempo promedio requerido para detectar este corrimiento es TPHS

= LPC1 h = 2(1) = 2 horas

Suponer que esto es inaceptable, debido a que la producción de anillos para pistones con un diámetro medio de 74.015 mm redunda en costos de desechos excesivos y en retrasos en el ensamblaje final de los motores. ¿Cómo puede reducirse el tiempo necesario para detectar la condición fuera de control? Un método es hacer muestreos más frecuentes, Por ejemplo, si los muestreos se hacen cada media hora, entonces el tiempo promedio hasta la señal para este esquema es TPHS = LPC1h = 2 1  = 1 ; es decir, tan sólo transcurrirá una hora (en 2

promedio) entre el corrimiento y su detección, La segunda posibilidad es incrementar el tamaño de la muestra. Por ejemplo, sí se usa n =10, entonces la Figura 8 indica que la probabilidad de que x se localice entre los límites de control cuando la media del proceso es 74.015 mm es aproximadamente 0.1, de donde p=0.9, y por la Ecuación 2 la LPC fuera de control o LPC1 es LPC1

=

1

p

=

1 0.9

= 1.11

y, si el muestreo se hace cada hora, el tiempo promedio hasta la señal es TPHS

= LPC1h = 1.11(1) horas

= 1.11 por tanto, el tamaño más grande de de la muestra permitirá que el corrimiento se detectara casi con el doble de la rapidez del tamaño srcinal. Si llegara a ser importante detectar el corrimiento en la primera hora (aproximadamente) después de que ocurrió, dos diseños de cartas de control funcionarían: 17

Para responder con mayor precisión a la pregunta de la frecuencia del muestreo, es necesario tomar en consideración varios factores, incluyendo el costo del muestreo, las pérdidas asociadas con permitir que el proceso opere fuera de control, la rapidez de la producción, y las probabilidades con las que ocurre varios tipos de corrimientos en el proceso.

1.3.4 Subgrupos racionales Una idea fundamental en el uso de las cartas de control es colectar los datos muestrales de acuerdo con lo que Shewhart denominó el concepto de subgrupo racional. Para ilustrar este concepto, suponer que se está usando una carta de control x para detectar cambios en la media del proceso, Entonces el concepto de subgrupo racional significa que los subgrupos o muestras deberán seleccionarse de tal modo que, en caso de estar presentes causas asignables, se maximicen las oportunidades de las diferencias entre los subgrupos, y que al mismo tiempo se minimicen las oportunidades de las diferencias debidas a estas causas asignables dentro de un subgrupo. Cuando se aplican cartas de control a procesos de producción, el orden en el tiempo de la producción es una base lógica para establecer los subgrupos racionales. Aun cuando se preserve el orden en el tiempo, sigue siendo posible formar subgrupos erróneamente. Si algunas de las observaciones de la muestra se toman al final de una tanda y el resto de las observaciones se toman al principio de la tanda siguiente, entonces quizá no se detecten cualesquiera diferencias entre los turnos. El orden en el tiempo es con frecuencia una buena base para formar subgrupos porque permite detectar causas asignables que ocurren con el tiempo. Se usan dos enfoques generales para construir subgrupos racionales, En el primer enfoque, cada muestra consta de unidades que se produjeron al mismo tiempo (o tan próximas entre sí como sea posible). Idealmente, nos gustaría tomar unidades de producción consecutivas. Este enfoque se usa cuando la finalidad principal de la carta de control es detectar los corrimientos en el proceso. Se minimiza así la oportunidad de la variabilidad debida a causas asignables dentro de una muestra y se minimiza la oportunidad de variabilidad entre las muestras si están presentes causas asignables. También proporciona una estimación mejor de la desviación estándar del proceso en el caso de las cartas de control de variables. Este enfoque para la formación de subgrupos racionales ofrece en esencia una "instantánea" del proceso en cada punto del tiempo donde se colecta una muestra. 18

En la Figura 9 se ilustra esta estrategia de muestreo, en la Figura 9a se muestra un proceso en el que la media experimenta una serie de corrimientos sostenidos, así como las observaciones correspondientes obtenidas de este proceso en los puntos del tiempo sobre el eje horizontal, suponiendo que se seleccionan cinco unidades consecutivas. En la Figura 9b se muestra la carta de control x y la carta R (o carta del rango) para estos datos. La línea central y los límites de control de la carta R se construyen utilizando el rango de cada muestra de la parte superior de la figura. Obsérvese que aun cuando la media del proceso está sufriendo corrimientos, la variabilidad del proceso es estable. Además, se usa la medida de la variabilidad dentro de las muestras para construir los límites de control en la carta x . Obsérvese que la carta x de la Figura 9b incluye puntos fuera de control que corresponden a los corrimientos en la media del proceso. En el segundo enfoque, cada muestra está formada de unidades del producto que son representativas de todas las unidades que se produjeron desde que se tornó la última muestra. Cada subgrupo es una muestra aleatoria de toda la producción del proceso sobre el intervalo de muestreo, esencialmente. Con frecuencia se usa este método de subgrupos racionales cuando la carta de control se emplea para tomar decisiones acerca de la aceptación de todas las unidades del producto que se han producido desde la última muestra. De hecho, si el proceso se corre a un estado fuera de control y después regresa a estar en control nuevamente entre muestras, se debate algunas veces que el primer método de los subgrupos racionales que se definió anteriormente será ineficiente con este tipo de corrimientos, así que debe usarse el segundo método. Cuando el subgrupo racional es una muestra aleatoria de todas las unidades producidas en el intervalo de muestreo, deberá tenerse mucho cuidado al interpretar las cartas de control. Si la media del proceso fluctúa entre varios niveles durante el intervalo entre los muestreos, esto puede ocasionar que el rango de las observaciones dentro de la muestra sea relativamente grande, dando lugar a límites de mayor anchura en la carta x .

19

Figura 9. El enfoque de las “instantánea” para los subgrupos racionales a) comportamiento de la media del proceso b) Las cartas de control x y R correspondiente En la Figura 10 se ilustra este escenario. De hecho, en muchos casos puede hacerse que el proceso parezca estar bajo control estadístico alargando el intervalo entre las observaciones de la muestra. También es posible que los corrimientos en el promedio del proceso produzcan puntos que se localicen fuera de control en una carta de control del rango o la desviación estándar, aun cuando no haya ocurrido ningún corrimiento en la variabilidad del proceso. Hay otras basesdepara formar subgrupos ejemplo suponer un proceso que consta varias máquinas queracionales. dirigen suPor producción a un flujo común. Si se hace un muestreo de este flujo común de la producción, será muy difícil detectar si alguna de las máquinas está o no fuera de control. Un enfoque lógico para hacer subgrupos racionales en este caso es aplicar las técnicas de las cartas de control a la producción de cada máquina individual. En ocasiones es necesario aplicar este concepto a diferentes cabezas de la misma máquina, a 20

diferentes estaciones de trabajo, a diferentes operadores, etcétera. En muchas situaciones el subgrupo racional consistirá en una sola observación. Esta situación ocurre con frecuencia en las industrias químicas y de procesamiento, donde la característica de la calidad del producto cambia de manera relativamente lenta y las muestras tomadas muy cerca entre sí en el tiempo son virtualmente idénticas, salvo por el error de medición o analítico. El concepto de subgrupo racional es muy importante. La selección correcta de las muestras requiere la consideración atenta del proceso, con objeto de obtener tanta información útil como sea posible del análisis de la carta de control.

Figura 10. El enfoque de la muestra aleatoria en subgrupos racionales a) Comportamiento de la media del proceso b) Las cartas de control x y R correspondientes

21

1.3.5 Análisis de patrones en cartas de control Una carta de control puede indicar una condición fuera de control cuando uno o más puntos se localizan fuera de los límites de control o bien cuando los puntos graficados presentan algún patrón de comportamiento no aleatorio en apariencia. Por ejemplo, considérese la carta x que se muestra en la Figura 11. Aun cuando los 25 puntos se localizan dentro de los límites de control, no indican control estadístico ya que la apariencia del patrón que forman es francamente no aleatorio en apariencia. Específicamente, se observa que 19 de los 25 puntos se localizan abajo de la línea central, mientras que sólo 6 de ellos se localizan arriba. Si los puntos en realidad son aleatorios, cabría esperar una distribución más regular de los mismos arriba y abajo de la línea central. Se observa también que después del cuarto punto la magnitud de cinco puntos seguidos se incrementa. A esta disposición de los puntos se le llama una corrida. Puesto que las observaciones son crecientes, podría llamársele corrida ascendente. De manera similar, a una secuencia de puntos decrecientes se le llama corrida descendente. Esta carta de control presenta una corrida ascendente inusualmente larga (empezando en el cuarto punto) y una corrida descendente inusualmente larga (empezando con el décimo octavo punto).

Figura 11. Una carta de control x En general, una corrida se define como una secuencia de observaciones del mismo tipo. Además de las corridas ascendentes y descendentes, podrían definirse los tipos de observaciones que se localizan arriba y abajo de la línea central, respectivamente, por lo que dos puntos seguidos arriba de la línea central formarían una corrida de longitud 2.

22

Es muy poco probable que ocurra una corrida de longitud 8 o de más puntos en una muestra aleatoria de puntos. Por consiguiente, cualquier tipo de corrida de longitud 8 o con mayor frecuencia se considera como una señal de una condición fuera de control. Por ejemplo, ocho puntos consecutivos en el mismo lado de la línea central indicarían que el proceso está fuera de control. Aun cuando las corridas son una medida importante del comportamiento no aleatorio en una carta de control, otros tipos de patrones también pueden indicar una condición fuera de control. Por ejemplo, considérese la carta x de la Figura 12. Obsérvese que los promedios muestrales graficados muestran un comportamiento cíclico, no obstante que se localizan dentro de los límites de control. Este patrón puede indicar un problema con el proceso, como la fatiga del operador, entregas de materias primas, refuerzo de calor o tensión, etcétera. Aun cuando el proceso no está en realidad fuera de control, el rendimiento puede mejorarse mediante la eliminación o reducción de las fuentes de variabilidad que causan este comportamiento cíclico (ver la Figura 13).

Figura 12. Una carta x con un patrón cíclico El problema consiste en la identificación de patrones, es decir, reconocer los patrones sistemáticos o no aleatorios en la carta de control e identificar la razón de este comportamiento. La habilidad para interpretar un patrón particular en términos de causas asignables requiere experiencia y conocimiento del proceso. Es decir, no basta conocer los principios estadísticos de las cartas de control, sino que debe contarse asimismo con una comprensión adecuada del proceso. El Westem Electric Handbook (1) sugiere un conjunto de reglas de decisión para detectar patrones no aleatorios en cartas de control. Específicamente, sugiere concluir que el proceso está fuera de control si: 1. Un punto se localiza fuera de los límites de control tres sigma; 23

2. Dos de tres puntos consecutivos se localizan fuera de los límites de advertencia dos sigma; 3. Cuatro de cinco puntos consecutivos se localizan a una distancia de una sigma o más de la línea central; o bien, 4. Ocho puntos consecutivos se localizan en el mismo lado de la línea central.

Figura 13. a) Variabilidad con el patrón cíclico. b) Variabilidad con el patrón cíclico eliminado Estas reglas se aplican a uno de los lados de la línea central a la vez. Por lo tanto, un punto arriba del límite de advertencia superior seguido inmediatamente por un punto abajo del límite de advertencia inferior no seria una señal de alarma de fuera de control. Es frecuente el uso de estas reglas en la práctica para aumentar la sensibilidad de las cartas de control. Es decir, el uso de estas reglas puede permitir que los corrimientos más pequeños en el proceso se detecten más rápido que como seria el caso si el único criterio fuera la violación del limite de control tres sigma usual. En la Figura 14 se muestra una carta de control x para el proceso de los anillos para pistones con los límites una sigma, dos sigma y tres sigma utilizados en el procedimiento de Western Electric. Obsérvese que estos límites dividen la carta de control las tres zonas A. Electric B y C aen ambos lados se de llaman la línealas central. consiguiente, lasen reglas de Western ocasiones reglasPor de zonas para cartas de control. Obsérvese que los últimos cuatro puntos se localizan en la zona B o después. Por tanto, puesto que cuatro de cinco puntos consecutivos exceden el límite una sigma, el procedimiento de Western Electric concluirá que el patrón es no aleatorio y que el proceso está fuera de control. 24

Figura 14. Las reglas de Western Electric o de zonas, con los últimos cuatro puntos indicando una violación de la regla 3

1.3.6 Discusión de las reglas de sensibilización para cartas de control Como puede reunirse de las secciones anteriores, es posible aplicar simultáneamente varios criterios a una carta de control para determinar si el proceso está fuera de control. El criterio básico es el de uno o más puntos fuera de los límites de control. En ocasiones se emplean criterios suplementarios para aumentar la sensibilidad de las cartas de control a un corrimiento pequeño en el proceso a fin de poder responder con mayor rapidez a la causa asignable, En la Tabla 1 se presentan algunas de las reglas de sensibilidad que son de uso común en la práctica. Con frecuencia se inspeccionará la carta de control y se concluirá que el proceso está fuera de control si se satisfacen uno o más de los criterios de la Tabla 1. Cuando se aplican de manera simultánea varias de las reglas de sensibilidad, es común usar una respuesta graduada para señales fuera de control. Por ejemplo, si un punto excedió un límite de control, se iniciaría de inmediato la búsqueda de la causa asignable, pero si uno o dos puntos consecutivos sólo excedieron el límite de advertencia dos sigma, podría incrementarse la frecuencia del muestreo de cada hora, por ejemplo, a cada 10 minutos. Esta respuesta de muestreo adaptable no podría ser tan rigurosa como una búsqueda completa de una causa asignable, pero si el proceso en realidad estuviera fuera de control, proporcionaría una alta probabilidad de detectar esta situación con mayor rapidez que si se conservara el intervalo de muestreo más largo.

25

Tabla 1. Algunas reglas de sensibilidad para cartas de control de Shewhart

1.4 El resto de las siete herramientas básicas Aun cuando la carta de control es una herramienta muy poderosa para resolver problemas y mejorar procesos, su aplicación es más efectiva cuando está integrada completamente en un programa global de CEP. La enseñanza de las siete principales herramientas del CEP para resolver problemas deberá hacerse llegar a toda la organización y deberán utilizarse de manera rutinaria para identificar las oportunidades de mejoramiento así como para ayudar a reducir la variabilidad y eliminar el desperdicio. Las siete herramientas básicas, que se introdujeron en la Sección 1.1, se enlistan de nuevo por conveniencia: 1. El histograma.

2. 3. 4. 5.

La hoja de verificación. La gráfica de Pareto. El diagrama de causa y efecto. El diagrama de flujo. 6. El diagrama de dispersión. 7. La carta de control. Se estudian a continuación las primeras seis herramientas básicas y en las unidades 2 y 3 se estudian con mayor detalle las cartas de control.

1.4.1 Histograma El histograma es una gráfica de barras, sin espaciamiento entre ellas, que permite describir el comportamiento de un conjunto de datos en cuanto a su 26

tendencia central, forma y dispersión. El histograma muestra el número de observaciones cuyo valor cae dentro del intervalo predeterminado. La forma que tome un histograma proporciona juicios sobre la distribución de probabilidad del proceso donde se tomo la muestra, aspecto que regula el comportamiento de dicho proceso. El histograma permite de manera rápida tener una idea objetiva sobre la calidad de un producto, el desempeño de un proceso o el impacto de una acción de mejora. A continuación se presentan algunos ejemplos que muestran el uso de este gráfico para describir un proceso. Ejemplo 1. Para ilustrar la utilización de un histograma como herramienta para describir el desempeño de un proceso, consideraremos la Figura 15, en la que se presentan diferentes formas de histogramas obtenidas del comportamiento de ciertos procesos.

a) Proceso con dos cúspides

b) Proceso acantilado izquierdo EI

EI

ES

ES

c) Proceso centrado con poca variabilidad

d) Proceso no centrado con mucha variabilidad

Figura 15. Diferentes formas de histogramas de un proceso Ejemplo 2. Los datos que se presentan en la Tabla 2 representan el peso en gramos del llenado de dos marcas de azúcar. La representación gráfica de dichos datos se muestra en las figuras 16 y 17, en las que se aprecia información valiosa como tendencia central, variabilidad y comportamientos especiales.

27

Tabla 2. Peso en gramos de las bolsas de azúcar de dos marcas. MARCA A MARCA B 515 470 507 532 506 497 503 526 519 523 511 509 467 532 513 483 520 495 500 483 474 566 540 489 472 482 501 437 446 451 552 518 499 504 494 470 510 505 484 544 452 492 472 477 480 527 534 488 510 534 504 515 487 505

523 495 482 510 491 503

En la Figura 16, se aprecia que los pesos más comunes se encuentran entre 510 y 530 gramos, mientras que en la Figura 17 se observa que se encuentran entre 495 y 505 gramos. En ambos gráficos se tiene información de la tendencia central y de la localización de los datos.

7 6

s a s l o b e d ro e m ú N

5 4 3 2 1 0 430

450

470

490

510

530

550

570

Peso de las bolsas de la marca A

Figura 16. Distribución de los pesos de la marca A.

9 8

s a ls o b

e d o r e m ú N

7 6 5 4 3 2 1 0 465

475

485

495

505

515

525

535

Peso delas bolsas de lamarca B

Figura 17. Distribución de los pesos de la marca B.

También es importante describir la variabilidad que presentan los datos, en este sentido, se aprecia que el peso de las bolsas de la marca A presenta una mayor variabilidad, esto se puede ver en la amplitud que se presentan, en A se

28

tiene una amplitud de A = 570 − 430 = 140 gramos; mientras que en la marca B, la amplitud de las bolsas es de A = 535 − 465 = 70 gramos. Ejemplo 3. Los datos que se presentan en la Tabla 3 representan el rendimiento de 90 lotes consecutivos de un sustrato cerámico, en el que se ha aplicado un recubrimiento metálico mediante un proceso de depositación por vapor. Tabla 3. Rendimiento de 90 lotes consecutivos de un sustrato cerámico 94.1 87.3 94.1 92.4 84.6 93.2 84.1 92.1 90.6 83.6 90.6 90.1 96.4 89.1 85.4 91.4 95.2 88.2 88.8 89.7 88.2 86.1 86.4 86.4 87.6 86.1 94.3 85.0 85.1 85.1 95.1 93.2 84.9 84.0 89.6 90.0 86.7 78.3 93.7 90.0 92.4 83.0 89.6 87.7 90.1 87.3 95.3 90.3 90.6 94.3 86.6 94.1 93.1 89.4 97.3 91.2 97.8 94.6 88.6 96.8 86.1 93.1 96.3 84.1 94.4 90.4 86.4 94.7 82.6 96.1 89.1 87.6 91.1 83.1 98.0

85.4 86.6 91.7 87.5 84.2 85.1 90.5 95.6 88.3 84.1 83.7 82.9 87.3 86.4 84.5

El histograma correspondiente a los datos de la Tabla 3, obtenido en el software MINITAB se muestra en la Figura 18, en la que se aprecia que el proceso de depositación por vapor no está centrado, se observa la presencia de valores atípicos o raros. Ante tales resultados, debe investigarse las causas de tales comportamientos.

20

s e t lo e d ro e m ú N

10

0 78

81

84

87

90

93

96

99

Rendimiento

Figura 18. Distribución del rendimiento de 90 lotes

29

1.4.2 Hoja de verificación En las etapas iniciales de la implementación del CEP, con frecuencia será necesario colectar datos de operación, sean históricos o actuales, acerca del proceso bajo investigación. Una hoja de verificación puede ser de gran utilidad en esta actividad de recabar datos. La hoja de verificación que se muestra en la Figura 19 fue desarrollada por un ingeniero de una empresa aeroespacial que investigaba los diferentes tipos de defectos que ocurrían en un tanque usado en uno de sus productos con la intención de mejorar el proceso. El ingeniero diseño esta hoja de verificación a fin de facilitar el resumen de todos los datos históricos disponibles de los defectos relacionados con los tanques. Debido a que sólo se fabricaba un número reducido de tanques cada mes, parecía apropiado resumir los datos mensualmente e identificar tantos tipos diferentes de defectos como fuera posible. El resumen con una orientación en el tiempo es particularmente valioso para buscar tendencias y otros patrones importantes. Por ejemplo, si muchos defectos ocurren durante el verano, una posible causa que deberá investigarse es la contratación de obreros eventuales durante un periodo vacacional intenso.

Figura 19. Hoja de verificación para registrar los defectos de un tanque usado en una aplicación aeroespacial

30

Cuando se diseña una hoja de verificación, es importante especificar claramente el tipo de datos que van a recabarse, el número de parte u operación, la fecha, el analista y cualquier otra información útil para diagnosticar la causa del desempeño pobre. Si la hoja de verificación es la base para realizar cálculos adicionales, o si se usa como hoja de trabajo para capturar datos en una computadora, entonces es importante asegurarse de que la hoja de verificación será adecuada para este propósito antes de que se inviertan esfuerzos considerables en la recabación real de lo datos. En algunos casos puede ser útil una "corrida de prueba" para validar que sea útil la disposición y el diseño de la hoja de verificación.

1.4.3 Gráfico de Pareto La gráfica de Pareto es tan sólo una distribución de frecuencia (o histograma) de datos de atributos ordenados por categoría. Para ilustrar una gráfica de Pareto, considérense los datos de los defectos del tanque presentados en la Figura 19. Se grafica la frecuencia de la ocurrencia total de cada tipo de defecto (la última columna de la tabla de la Figura 19) contra los diferentes tipos de defectos para producir la Figura 20, que se denomina gráfica de Pareto. En esta gráfica el usuario puede identificar visualmente de inmediato los tipos de defectos que ocurren con mayor frecuencia. Por ejemplo, la Figura 20 indica que las dimensiones incorrectas, las partes dañadas y el maquinado son los defectos que es más común encontrar. Por tanto, quizás deberían identificarse y atacarse primero las causas de estos tipos de defectos. Obsérvese que la gráfica de Pareto no identifica automáticamente los defectos más importantes, sino sólo los que ocurren con mayor frecuencia. Por ejemplo, en la Figura 20 los vacíos en piezas fundidas ocurre muy pocas veces (2 de 166 defectos, o 1.2%). Sin embargo, los vacíos pueden dar como resultado que el tanque se deseche, que sería un costo potencialmente grande, quizás tan grande que los vacíos en las piezas fundidas deberían elevarse a la categoría de los defectos importantes. Cuando en la lista de defectos están mezclados los que podrían tener consecuencias en extremo graves y otros de importancia mucho menor, puede usarse uno de dos métodos: 1. Usar un esquema de ponderación para modificar los conteos de la frecuencia. 2. Acompañar el análisis de la gráfica de frecuencia de Pareto con una gráfica de costo o desmascaramiento de Pareto. Hay muchas variantes de la gráfica de Pareto básica. En la Figura 21a se muestra una gráfica de Pareto aplicada a un proceso de ensamblaje electrónico que utiliza componentes montados en una tarjeta. El eje vertical es el porcentaje de los componentes que se localizan incorrectamente, y el eje horizontal es el número de componente, un código que identifica el sitio del dispositivo en la tarjeta de circuitos impresos. Obsérvese que los códigos de localización 27 y 39 31

representan 70% de los errores. Esto puede ser resultado del tipo o del tamaño de los componentes en esas localizaciones, o del sitio donde se localizan estos componentes en la tarjeta. En la Figura 21b se presenta otra gráfica de Pareto de la industria electrónica. El eje vertical es el número de componentes defectuosos, y el eje horizontal es el número de componente. Obsérvese que las barras verticales se han descompuesto por proveedor para producir una gráfica de Pareto apilada. Este análisis indica claramente que el proveedor A suministra una proporción demasiado grande de componentes defectuosos.

Figura 20. Gráfica de Pareto de los defectos del tanque Las gráficas de Pareto se usan ampliamente en las aplicaciones fuera de las manufacturas de los métodos de mejoramiento de calidad. En la Figura 21c se muestra una gráfica de Pareto utilizada por un equipo de mejoramiento de calidad en una organización de compras. El equipo investigaba los errores en las órdenes de compra, en un esfuerzo para reducir el número de modificaciones en las órdenes de compra remitidas por la organización. (El costo típico de cada 32

modificación es de 100 a 500 dólares, y la organización remitía varios centenares de órdenes de compra cada mes). Esta gráfica de Pareto tiene dos escalas, una para la frecuencia real de los errores y otra para el porcentaje de los mismos. En la Figura 21d se presenta la gráfica de Pareto construida por un equipo de mejoramiento de calidad en un hospital para reflejar las razones de la cancelación de cirugías programadas de pacientes externos.

Figura 21. Varios ejemplos de gráficas de Pareto En general, la gráfica de Pareto es una de las "siete herramientas básicas" más útiles. Sus aplicaciones en el mejoramiento de calidad sólo están limitadas por el ingenio del analista.

1.4.4 El diagrama de causa y efecto Una vez que un defecto, error o problema se ha identificado y aislado para estudio adicional, es necesario empezar a analizar las causas potenciales de este efecto indeseable. En situaciones en que las causas no son obvias (a veces lo 33

son), el diagrama de causa y efecto es una herramienta formal que con frecuencia es de utilidad para dilucidar las causas potenciales. En la Figura 22 se muestra el diagrama de causa y efecto construido por un equipo de mejoramiento de calidad asignado para identificar las áreas de problemas potenciales en el proceso de fabricación del tanque mencionadas antes. Los pasos para la construcción del diagrama de causa y efecto son los siguientes:

Cómo construir un diagrama de causa y efecto: 1. Definir el problema o efecto que va a analizarse. 2. Formar el equipo para realizar el análisis. Con frecuencia el equipo descubrirá las causas potenciales mediante el procedimiento de lluvia de ideas. 3. Trazar el rectángulo del efecto y la línea central. 4. Especificar las categorías principales de las causas potenciales y anexarlas como rectángulos conectados con la línea central. 5. Identificar las causas posibles y clasificarlas dentro de las categorías del paso 4. De ser necesario, crear nuevas categorías. 6. Clasificar las causas para identificar las que parezcan tener mayores posibilidades de incidir en el problema. 7. Emprender una acción correctiva. Al analizar el problema de los defectos del tanque, el equipo decidió utilizar como categorías principales de los defectos del tanque las máquinas, los materiales, los métodos, el personal, la medición y el medio ambiente. Se efectuó después una sesión de lluvia de ideas a fin de identificar las diferentes subcausas en cada una de estas categorías principales y elaborar el diagrama de la Figura 22. Después, mediante discusiones y el proceso de eliminación, el grupo decidió que los materiales y los métodos incluían las categorías de las causas más probables.

34

Figura 22. Diagrama de causa y efecto para el problema de los defectos de los tanques El análisis de causa y efecto es una herramienta en extremo útil. Un diagrama de causa y efecto muy detallado puede servir como ayuda efectiva para corregir problemas. Además, la construcción de un diagrama de causa y efecto como una experiencia de equipo tiende a comprometer a las personas para atacar un problema en vez de andar señalando culpables.

1.4.5 El diagrama de flujo Los diagramas de flujo representan las actividades que conforman un proceso existente o uno nuevo propuesto mediante la utilización de símbolos, líneas y palabras simples, demostrando la secuencia del proceso. Harrington (1996). Existen diferentes tipos de diagramas de flujo y cada uno de estos tiene su propósito. Para obtener efectividad en el Equipo de Mejoramiento de Procesos, se debe entender al menos las siguientes tres técnicas. 1. Diagramas de bloque, que proporcionan una visión rápida de un proceso. 2. Diagramas de flujo funcional, que muestran el flujo del proceso entre organizaciones o áreas. 3. Diagramas geográficos de flujo, los cuales muestran el flujo del proceso entre locaciones.

35

Alumnos

Inicio

Los alumnos aceptados realizan los pagos correspondientes

Conserva la copia del arancel para el alumno

Administración de la facultad

Coordinación EME

Recibe los pagos de inscripción y de cuotas de recuperación. Extiende copias de los aranceles

Reporta los ingresos a las instancias correspondientes de la U.V.

Recibe las copias del arancel para la entidad académica

Lleva el control de pagos de inscripción y de cuotas de recu eración

Fin

Figura 23. Diagrama de flujo funcional del proceso de ingreso de cuotas de inscripción y de recuperación de la Especialización en Métodos Estadísticos. Con el propósito de ilustrar el diagrama de flujo funcional, consideremos el correspondiente al proceso de “ingreso de cuotas de inscripción y de recuperación a la Especialización de Métodos Estadísticos”. La Figura 23 muestra las actividades del proceso.

1.4.6 El diagrama de dispersión El diagrama de dispersión es una gráfica útil para identificar una relación potencial entre dos variables. Los datos se colectan por pares de las dos variables, por ejemplo, ( yi , x j ) , para i = 1,2,..., n . Después se grafica cada y i contra la xi correspondiente. La forma del diagrama de dispersión suele indicar el tipo de relación que puede existir entre las dos variables. En la Figura 24 se muestra un diagrama de dispersión que relaciona el metal recuperado (en por ciento) de un proceso de fundición magnatérrnico para magnesio contra los valores correspondientes de la cantidad de fundente de aprovechable agregado al crisol. El diagrama de dispersión indica una fuerte correlación positiva entre la recuperación de metal y la cantidad de fundente: es decir, cuando se incrementa la cantidad de fundente agregada, la recuperación de metal también se incrementa. Resulta tentador concluir que la relación tiene una base de causa y efecto: al incrementar la cantidad de fundente aprovechable, siempre puede asegurarse una alta recuperación de metal. 36

Figura 24. Un diagrama de dispersión Este razonamiento es potencialmente peligroso, ya que la correlación no implica necesariamente causalidad. Esta aparente relación podría ser causada por algo muy diferente. Por ejemplo, ambas variables podrían estar relacionadas con una tercera variable, como la temperatura del metal antes de la operación de vertir el fundente aprovechable, y esta relación podría ser responsable de lo que se observa en la Figura 24. Si temperaturas más elevadas llevan a una recuperación de metal más alta, y la práctica es agregar fundente aprovechable en proporción a la temperatura, al agregar más fundente cuando el proceso está operando a baja temperatura no tendrá efecto alguno en el mejoramiento del rendimiento. El diagrama de dispersión es útil para identificar relaciones potenciales.

1.5 Preguntas de repaso y ejercicios propuestos 1.5.1 Preguntas de repaso 1.1 ¿Qué es el Control Estadístico de Procesos (CEP)? 1.2 ¿Cuáles son las siete herramientas básicas? 1.3 ¿Cuáles son las causas asignables y las causas fortuitas de la variabilidad? 1.4 Describir la relación entre una carta de control y una prueba de hipótesis estadística.

37

1.5 Argumentar los errores de tipo I y tipo II en relación con una carta de control, ¿Qué implicación práctica tienen estos dos tipos de errores en términos de la operación del proceso? 1.6 ¿Qué quiere decir en enunciado de que un proceso está en un estado de control estadístico? 1.7 Argumentar la lógica fundamental en el uso de los límites 3 sigma en las cartas de control de Shewhat, ¿Cómo respondería la carta si se eligieran límites con una anchura menor? ¿Cómo respondería la carta si se eligieran límites con una anchura mayor? 1.8 ¿Qué son los límites de advertencia en una carta de control? ¿Cómo pueden usarse? 1.9 Argumentar el concepto del subgrupo racional, ¿Qué papel desempeña en el análisis de cartas de control? 1.10 Cuando se toman muestras o subgrupos de un proceso, ¿Es preferible que las causas asignables ocurran dentro de los subgrupos o entre ellos? Explique la respuesta. 1.11 ¿Qué se entiende por el diseño de una carta de control? 1.12 Mencione cinco razones por los que las cartas de control han alcanzado gran popularidad. 1.13 Mencione las reglas para concluir que un proceso está fuera de control.

1.5.2 Ejercicios propuestos 1.14 En una empresa se viene rediseñando los tiempos de salida y llegada de sus autobuses. En particular se tiene el problema de determinar el tiempo de recorrido entre dos ciudades; para ello se acude a los archivos de los últimos tres meses y se toman aleatoriamente 40 tiempos de recorrido entre tales ciudades. Los datos en horas se muestran a continuación: 3.49 3.59

3.60 3.58

3.69 3.48

3.51 3.61

3.61 3.61

7.00 3.61

3.53 3.67

3.70 3.70

3.69 3.42 3.31

3.54 3.52 3.04

3.66 3.57 7.00

4.00 3.40 3.53

3.24 3.00 3.63

3.51 3.50 3.57

3.51 3.24 6.00

3.50 4.40 3.58

Obtenga el histograma en el software estadístico MINITAB e interprételo.

38

1.15 De acuerdo con la información de una hoja de verificación en una línea del proceso de envasado de tequila de una empresa, se presentaron en el último mes los siguientes resultados en cuanto a defectos: Localización del defecto Botella Tapa Etiqueta Contraetiqueta

Número de defectos 804 715 1823

Otros

742 102

Obtenga el diagrama de Pareto en el software estadístico MINITAB e interprételo. 1.16 Ejercite la construcción de un diagrama de causa y efecto de un problema que usted determine. 1.17 Ejercite la construcción de un diagrama de flujo de un proceso que usted conozca. 1.18 A distintas marcas de carros se les mide su peso en miles de libras y la cantidad de gasolina (galones) que necesitan para recorrer 100 millas. Los datos obtenidos en una muestra de 10 carros se presentan a continuación: Peso y gasolina medidos en 10 carros Peso 3.4 3.8 4.1 2.2 2.6 2.9 2.0 2.7 3.1 3.4

Gasolina 5.5 5.9 6.5 1.9 3.6 4.6 2.9 3.6 3.1 4.9

Represente estos datos en un diagrama de dispersión y comente que tipo de relación se observa.

39

UNIDAD 2. CARTAS DE CONTROL PARA VARIABLES 2.1 Introducción Muchas características de la calidad pueden expresarse en términos de una medición numérica. Por ejemplo, el diámetro de un rodamiento podría medirse con un micrómetro y expresarse en milímetros. A una característica particular medible de la calidad, tal para comovariables una dimensión, peso o volumen, se le llama variable. Las cartas de control son de uso generalizado. Cuando se trata con una característica de la calidad que es una variable, por lo general es necesario monitorear tanto el valor medio de la característica de la calidad como su variabilidad. El control del promedio del proceso, o nivel de calidad medio, suele hacerse con la carta de control para medias, o carta x . La variabilidad del proceso puede monitorearse con una carta de control para la desviación estándar, llamada carta S , o bien con una carta de control para el rango, llamada carta R . La carta R se usa con mayor frecuencia. Generalmente, se llevan cartas x y R separadas para cada característica de la calidad de interés. Sin embargo, cuando las características de la calidad están estrechamente relacionadas, este enfoque en ocasiones puede llevar a resultados engañosos. Las cartas x y R (o S ) se encuentran entre las técnicas estadísticas de monitoreo y control de procesos en línea más importantes y útiles. Obsérvese que es importante mantener bajo control tanto la media del proceso como la variabilidad del proceso. En la Figura 25 se ilustra la salida de un proceso de producción. En la Figura 25a a la media µ y la desviación estándar σ están bajo control en sus valores nominales (por ejemplo, µ0 y σ0); por consiguiente, la mayor parte de la salida del proceso se localiza dentro de los límites de la especificación. Sin embargo, en la Figura 25b la media se ha corrido a un valor µ 1 > µ 0 , dando como resultado una fracción mayor de productos disconformes. En la Figura 25c la desviación estándar del proceso se ha corrido a un valor σ1 > σ0. Esto también resulta en una porción caída del proceso más alta, aun cuando la media del proceso se encuentra aún en el valor nominal.

2.2 Cartas de control para

x

y

R

2.2.1 Fundamentos estadísticos de las cartas Suponer que una característica de la calidad tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ, donde tanto µ como σ son conocidas. Si x1, x2,…,xn es una muestra de tamaño n, entonces el promedio de esta muestra es

40

y se sabe que x sigue una distribución normal con media µ y desviación estándar σ x = σ / n . Además, la probabilidad es de 1- α; para que cualquier media muestral se localice entre (4) (5)

por lo tanto, si µ y σ son conocidas, las ecuaciones 4 y 5 podrían usarse como límites de control superior e inferior en una carta de control para las medias muestrales. Se acostumbra sustituir Z α / 2 con 3, a fin de trabajar con límites tres sigma. Si la media de una muestra se localiza fuera de estos límites, se trata de un indicio de que la media del proceso ha dejado de ser igual a µ. Se ha supuesto que la distribución de la característica de la calidad es normal. Sin embargo, los resultados anteriores siguen siendo aproximadamente válidos incluso cuando la distribución fundamental no es normal, debido al teorema del límite central. En la práctica, generalmente no se conocen los valores de µ y σ. Por lo tanto, deben estimarse a partir de muestras o subgrupos preliminares tomados cuando se considera que el proceso está bajo control. En general, estas estimaciones deberán basarse en al menos 20 o 25 muestras. Suponer que se cuenta con m muestras, cada una de las cuales contiene n observaciones de la característica de la calidad. De manera típica, será n pequeña, con frecuencia ya sea 4, 5 o 6. Estos tamaños pequeños de la muestra suelen resultar de la construcción de subgrupos racionales y del hecho de que los costos de muestreo e inspección asociados con la medición de las variables por lo general son relativamente altos. Sean x1 , x 2 ,..., x m los promedios de cada muestra. Entonces el mejor estimador de µ, el promedio del proceso, es el gran promedio; por ejemplo, 6

Por tanto, x se usaría como la línea central (LC) en la carta x

41

Figura 25. La necesidad de controlar tanto la media como la variabilidad del proceso. a) la media y la desviación estándar en sus valores nominales. b) La media del proceso µ1 > µ0. c) La desviación estándar del f

proceso σ 1 σ 0 Para construir los límites de control, es necesaria una estimación de la desviación estándar σ. Recuérdese que σ puede estimarse sea a partir de las desviaciones estándar o bien por los rangos de las m muestras. Por el momento, nos concentraremos aquí en el método del rango. Si x1 , x 2 ,..., x n es una muestra 42

de tamaño n, entonces el rango de la muestra es la diferencia entre las observaciones menor y mayor; es decir,

Sean R1, R2,…, Rm los rangos de las m muestras. El rango promedio es

R1 + R 2 + ... + R m R= m

7

Ahora, pueden darse las fórmulas para construir los límites de control de la carta x . Estos son los siguientes:

Límites de control de la carta x LCS = x + A2 R Línea central = x

8

LCI = x − A2 R

En la Tabla 1 del anexo, se tabula la constante A2 para varios tamaños de la muestra dados. La variabilidad del proceso puede monitorearse graficando los valores del rango muestral R en una carta de control. La línea central y los límites de control de la carta R son los siguientes:

Límites de control de la carta R LCS

= D4 R

Línea central = R

LCI

(9)

= D3 R

En la Tabla 1 del anexo, se tabulan las constantes D3 y D4 para varios valores de n.

Límites de control de prueba. Cuando se utilizan muestras preliminares para construir las cartas de control x y R , se acostumbra tratar a los límites de control obtenidos de las ecuaciones 8 y 9 como límites de control de prueba. Permiten determinar si el proceso se encontraba bajo control cuando se seleccionaron las m muestras iniciales. Para probar la hipótesis del control pasado, se grafican los valores de x y R de cada muestra en las cartas y se analiza la representación resultante. Si todos los puntos se localizan dentro de los límites de control y no es evidente ningún comportamiento sistemático, se concluye entonces 43

que el proceso estaba bajo control en el pasado, y los límites de control de prueba son apropiados para controlar la producción actual o futura. En ocasiones se hace referencia a este análisis de datos pasados como un análisis de fase l. Es altamente deseable contar con 20 o 25 muestras o subgrupos de tamaño n (típicamente el valor de n está entre 3 y 5) para calcular los límites de control de prueba. Es posible, desde luego, trabajar con menos datos, pero los límites de control no son tan confiables. Suponer que uno o más de los valores de x o de R se localizan fuera de control cuando se comparan con los límites de control de prueba. Evidentemente, si los límites de control para la producción actual o futura deben ser significativos, deben basarse en datos de un proceso que esté bajo control. Por lo tanto, cuando la hipótesis del control pasado se rechaza, es necesario revisar los límites de control de prueba. Esto se hace examinando cada uno de los puntos fuera de control y buscando una causa asignable. Si no se encuentra una causa asignable, el punto se descarta y los límites de control de prueba se calculan de nuevo utilizando únicamente los puntos restantes. Después estos puntos restantes vuelven a examinarse para el control. (Obsérvese que los puntos que inicialmente estaban bajo control quizá estén ahora fuera de control, ya. que por lo general los nuevos límites de control de prueba serán más estrechos que los anteriores.) Este proceso se continúa hasta que todos los puntos se localicen bajo control, punto en el cual los límites de control de prueba se adoptan para uso actual. En algunos casos, quizá no sea posible encontrar una causa asignable para un punto que se localiza fuera de control. Hay dos cursos de acción posibles. El primero es eliminar el punto, como si se hubiera encontrado una causa asignable. No existe ninguna justificación analítica para elegir esta acción, de no ser que los puntos que están fuera de los límites de control posiblemente se hayan sacado de una distribución de probabilidad característica de un estado fuera de control. La alternativa es conservar el punto (o puntos) considerando los límites de control como apropiados para el control actual. Desde luego, si el punto en realidad representa una condición fuera de control, los límites de control resultantes serán muy anchos. Sin embargo, si sólo hay uno o dos de estos puntos, esto no distorsionará significativamente la carta de control. Si muestras futuras continúan indicando control, entonces los puntos no explicados probablemente pueden omitirse sin peligro. Ocasionalmente, cuando los valores muestrales iniciales de x y R , se grafican contra los límites de control de prueba, muchos puntos se localizarán fuera de control. Evidentemente, si se omiten de manera arbitraria los puntos fuera de control, se tendrá una situación insatisfactoria, ya que quedarán pocos datos con los cuales volver a calcular límites de control confiables. Sospechamos asimismo que este enfoque ignoraría mucha información útil contenida en los datos. Por otra parte, es poco probable que la búsqueda de una causa asignable para cada punto fuera de control sea exitosa. Hemos encontrado que cuando los valores muestrales iniciales se localizan fuera de control contra los límites de prueba, es mejor concentrarse en el patrón que forman estos puntos. Casi siempre 44

existirá este patrón. Generalmente, es muy sencillo identificar la causa asignable asociada con el patrón de puntos fuera de control. La eliminación de este problema con el proceso suele resultar en un mejoramiento importante del mismo.

2.2.2 Desarrollo y uso de las cartas x y R En la sección anterior se presentaron los fundamentos estadísticos de las cartas de control x y R . Se ilustra ahora la construcción y aplicación de estas cartas. Se discuten asimismo algunos lineamientos para usar estas cartas en la práctica. Ejemplo 4. Los anillos para pistones de un motor de automóvil se producen mediante un proceso de fundición. Quiere establecerse el control estadístico del diámetro interior de los anillos fabricados con este proceso utilizando cartas x y R . Se toman 25 muestras, cada una de tamaño cinco, cuando se considera que el proceso está bajo control. En la Tabla 4 se muestran los datos de la medición del diámetro interior de estas muestras. Cuando se establecen las cartas de control x y R , es mejor empezar con la carta R. Debido a que los límites de control de la carta x dependen de la variabilidad del proceso, a menos que la variabilidad del proceso esté bajo control, estos límites no tendrán mucho sentido. Utilizando los datos de la Tabla 4 se, encuentra que la línea central de la carta R es

Para muestras con n=5, en la Tabla 1 del anexo se encuentra que D3 = 0 y D4 = 2.115. Por lo tanto, los límites de control para la carta R son, al utilizar la ecuación 9, LCI LCS

= RD3 = 0.023(0) = 0

= RD 4 = 0.023(2.115) = 0.049

En la Figura 26 se muestra la carta R . Cuando los 25 rangos muestrales se grafican en esta carta, no hay indicios de una condición fuera de control.

45

Tabla 4. Mediciones del diámetro interior (mn) de anillos fundidos para pistones

Puesto que la carta R indica que la variabilidad del proceso está bajo control, puede construirse ahora la carta x . La línea central es

Para encontrar los límites de control de la carta x , se usa A2 = 0.577 (Tabla 1 del anexo) para muestras de tamaño n =5 y la ecuación 8 para encontrar LCS

= x + A2 R = 74.001 + (0.577)(0.023) = 74.014

LCI = x − A2 R = 74.001 − (0.577)(0.023) = 73.988

La carta x se muestra en la Figura 27. Cuando los promedios muestrales preliminares se grafican en esta carta, no se observa ningún indicio de una condición fuera de control. Por lo tanto, puesto que las cartas x y R indican control, se concluiría que el proceso está bajo control en los niveles establecidos y 46

se adoptan los límites de control de prueba para usarlos en el control estadístico del proceso en línea.

Figura 26. Carta R para el Ejemplo 4

Figura 27. Carta x para el Ejemplo 4 47

En la práctica, es común usar paquetes de software de computadora para construir las cartas de control. En la Figura 28 se muestran las cartas x y R de Minitab, un popular paquete de estadística para PC, generadas por computadora para este ejemplo.

Figura 28. Carta de control de Minitab generada por computadora para el Ejemplo 4

Estimación de la capacidad del proceso Las cartas x y R proporcionan información acerca del desempeño o capacidad del proceso. A partir de la carta x el diámetro medio de los anillos para pistones puede estimarse como x = 74.001 mm . La desviación estándar del proceso puede estimarse usando la ecuación

donde el valor de d2 para muestras de tamaño cinco se encuentra de la Tabla 1 del anexo. Los límites de la especificación para estos anillos para pistones son 74.000 ± 0.05 mm. Los datos de la carta de control pueden usarse para describir la capacidad del proceso para producir anillos para pistones respecto de estas especificaciones. Suponiendo que el diámetro de los anillos para pistones es una variable aleatoria con una distribución normal, con media 74.001 y desviación estándar 0.0099, la fracción disconforme de los anillos para pistones producidos puede estimarse como

48

}{ P = P{x < 73.950 P = φ (− 5.)15

73.950 − 74.001   73.950 − 74.001  − P} x74.050 = φ   + 1 − φ  0.0099 0.0099    

+(1 −) φ

4.04

≈ 0 + 1 − 0.99998 ≈ 0.00002

es decir, aproximadamente 0.002% [20 partes por millón (ppm)] de los anillos para pistones producidos estarán fuera de las especificaciones. Otra manera de expresar la capacidad del proceso es en términos del índice de capacidad del proceso (ICP) C p, que para una característica de la calidad con límites tanto superior como inferior de la especificación (LES y LEI, respectivamente) es Cp

=

LES − LEI 6σ

(10)

Obsérvese que la extensión 6σ del proceso es la definición básica de la capacidad del proceso. Puesto que por lo general σ es desconocida, debe sustituirse con una estimación. Se usa con frecuencia σˆ = R / d 2 como estimación de σ, de donde se obtiene la estimación Cˆ p de C p . Para el proceso de los anillos para pistones, puesto que R / d 2 = σˆ = 0.0099 se encuentra que Cˆ p

=

74 .05 − 73.95 6(0.0099 )

=

0.10 0.0594

= 1.68

Esto implica que los límites de tolerancia "natural" en el proceso (tres sigma arriba y abajo de la media) están muy adentro de los límites inferior y superior de la especificación. Por consiguiente, se producirá un número relativamente pequeño de anillos para pistones disconformes. El ICP C p tiene otra interpretación. La cantidad

es simplemente el porcentaje de la banda de las especificaciones que utiliza el proceso. Para el proceso de los anillos para pistones, una estimación de P es P = 

1  100% =  1 100% = 59.5%   1.68  C  p

es decir, el proceso utiliza un 60% de la banda de las especificaciones.

49

En la Figura 29 se ilustran tres casos de interés respecto del ICP Cp y las especificaciones del proceso. En la Figura 29a el ICP C p es mayor que la unidad. Esto significa que el proceso utiliza mucho menos del 100% de la banda de tolerancia. Por consiguiente, en este proceso se producirá un número relativamente reducido de unidades disconformes. En la Figura 29b se muestra un proceso para el que ICP Cp=1; es decir, el proceso utiliza toda la banda de tolerancia. Para una distribución normal esto implicaría cerca de 0.27% (o 2700 ppm) de unidades disconformes. Por último, en la Figura 29c se presenta un proceso para el que el ICP Cp10 o 12 probablemente sea mejor utilizar una carta de control para S o S 2 en lugar de la carta R. Desde el punto de vista estadístico, las curvas de operación característica x y R pueden de las cartas el tamaño de la muestra. Permitirán al analista hacerse ser unaútiles idea para de laelegir magnitud del corrimiento en el proceso que será detectado con una probabilidad establecida para cualquier tamaño de la muestra n.

El problema de elegir el tamaño de la muestra y la frecuencia del muestreo es un esfuerzo de asignación del muestreo. En general, el responsable de tomar la 57

decisión contará tan sólo con un número limitado de recursos para asignarlos al proceso de inspección. Las estrategias disponibles serán en general tomar muestras pequeñas y frecuentes o bien tomar muestras más grandes con menor frecuencia. Por ejemplo, la elección puede ser entre muestras de tamaño 5 cada media hora o muestras de tamaño 20 cada 2 horas. Es imposible decir cuál de las dos estrategias es la mejor en todos los casos, pero la práctica actual en la industria se inclina por las muestras pequeñas y frecuentes. El sentir general es que si el intervalo entre las muestras es muy grande, se producirán demasiados productos defectuosos antes de tener otra oportunidad de detectar la ocurrencia de un corrimiento en el proceso. Por consideraciones económicas, si el costo asociado con la producción de artículos defectuosos es elevado, las muestras más pequeñas y frecuentes son mejores que las grandes y menos frecuentes. Desde luego, podrían usarse esquemas de intervalos muestrales variables y un tamaño de la muestra variable. La velocidad de producción también influye en la elección del tamaño de la muestra y la frecuencia del muestreo. Si la velocidad de producción es alta por ejemplo, 50 000 unidades por hora, entonces se requerirá un muestreo más frecuente que si la velocidad de producción es extremadamente lenta. Cuando las velocidades de producción son altas, se producirán muchas unidades disconformes del producto en un tiempo muy corto cuando ocurren corrimientos en el proceso. Además, con las velocidades de producción altas en ocasiones es posible obtener muestras bastante grandes de manera económica. Por ejemplo, si se producen 50 000 unidades por hora, no hay una diferencia apreciable en el tiempo para colectar una muestra de tamaño 20 en comparación con una de tamaño 5. Si no son excesivos los costos de inspección y prueba por unidad, los procesos que operan con una velocidad de producción alta con frecuencia se monitorean utilizando tamaños de la muestra moderadamente grandes. El uso de los límites de control tres sigma en las cartas de control x y R es una práctica generalizada. Sin embargo, hay situaciones en las que son convenientes las desviaciones de esta elección acostumbrada de los límites de control. Por ejemplo, si la investigación de las falsas alarmas o los errores tipo 1 (se genera una señal de fuera de control cuando el proceso en realidad está bajo control) es muy costosa, entonces quizá sea mejor emplear límites de control con una anchura mayor que tres sigma quizá hasta de 3.5 sigma. Sin embargo, si el proceso es tal que las señales de fuera de control se investigan con rapidez y facilidad y con costos y tiempo perdido mínimos, entonces los límites de control con una anchura menor, quizá de 2.5 sigma, son apropiados.

2.2.3 Interpretación de las cartas x y R Se ha señalado ya que una carta de control puede indicar una condición fuera de control aun cuando ningún punto particular se localice fuera de los límites de control, cuando el patrón de los puntos graficados muestra un comportamiento no aleatorio o sistemático. En muchos casos, el patrón de los puntos graficados 58

proporcionará información de diagnóstico útil sobre el proceso, y esta información puede usarse para realizar modificaciones que reduzcan la variabilidad (la meta del control estadístico de procesos). Además, estos patrones ocurren con bastante frecuencia en la fase 1 (estudio en retrospectiva de datos pasados), y su eliminación frecuentemente es crucial para poner el proceso bajo control. En esta sección se discuten brevemente algunos de los patrones más comunes que aparecen en las cartas x y R, y se indican algunas de las características del proceso que pueden producir estos patrones. Para hacer una interpretación efectiva de las cartas x y R, el analista debe estar familiarizado con los principios estadísticos que fundamentan la carta de control y con el proceso en sí mismo. Para interpretar patrones en una carta x es necesario determinar primero si la carta R está o no bajo control. Algunas causas asignables aparecen tanto en la carta x como en la carta R. Si las dos cartas x y R muestran un patrón no aleatorio, la mejor estrategia es eliminar primero las causas asignables de la carta R. En muchos casos, con esto se eliminará automáticamente el patrón no aleatorio de la carta x . Nunca deberá intentar interpretarse la carta x cuando la carta R indique una condición fuera de control.

Figura 33. Ciclos en una carta de control En ocasiones aparecen patrones cíclicos en una carta de control. En la Figura 33 se muestra un ejemplo típico. Este patrón en la carta x puede resultar de cambios ambientales sistemáticos tales como la temperatura, fatiga del operador, rotación regular de operadores y/o máquinas, o fluctuación en el voltaje o la presión o en alguna otra variable del equipo de producción. Las cartas R en ocasiones revelarán ciclos debido a los programas de mantenimiento, fatiga del operador o desgaste de herramientas que dan lugar a una variabilidad excesiva. En un estudio en el que participó este autor, la variabilidad sistemática en el volumen de llenado de un recipiente metálico era causada por el ciclo encendidoapagado de una compresora de la máquina de llenado.

59

Se indica una mezcla cuando los puntos graficados tienden a localizarse cerca o ligeramente afuera de los límites de control, con relativamente pocos puntos cerca de la línea central, como se muestra en la Figura 34. Un patrón mezclado es generado por dos (o más) distribuciones traslapadas en la salida del proceso. Las distribuciones de probabilidad que podrían asociarse con el patrón mezclado de la Figura 34 se muestran a la derecha de esa figura. La gravedad del patrón mezclado depende del grado de traslape de las distribuciones. Las mezclas en ocasiones son resultado del "sobrecontrol", cuando los operadores hacen ajustes del proceso con demasiada frecuencia, en respuesta a la variación aleatoria de la salida y no a causas sistemáticas. Un patrón mezclado también puede ocurrir cuando los productos de salida de varias fuentes (tales como máquinas en paralelo) se junta en un flujo común del que después se hace un muestreo a fin de monitorear el proceso.

Figura 34. Un patrón mezclado En la Figura 35 se ilustra un corrimiento en el nivel del proceso. Estos corrimientos pueden ser causados por la introducción de nuevos trabajadores, métodos, materias primas o máquinas; por un cambio en el método o los estándares de inspección; o por un cambio en la habilidad, atención o motivación de los operadores. En ocasiones se observa una mejoría en el desempeño del proceso después de la introducción de un programa de cartas de control, debido simplemente a factores motivacionales que influyen en los trabajadores. En la carta de control de la Figura 36 se muestra una tendencia, o movimiento continuo en una sola dirección. Las tendencias suelen deberse al desgaste o deterioro gradual de una herramienta o de algún otro componente crítico del proceso. En losdeprocesos químicosdeocurren frecuentemente por el asentamiento o separación los componentes una mezcla. También pueden ser resultado de causas humanas, tales como fatiga del operador o la presencia del supervisor. Por último, las tendencias pueden resultar de influencias estacionales, como la temperatura. Cuando las tendencias se deben al desgaste de las herramientas u otras causas sistemáticas de deterioro, esta situación puede incorporarse directamente en el modelo de la carta de control. 60

Figura 35. Un corrimiento en el nivel del proceso

Figura 36. Una tendencia en el nivel de proceso En la Figura 37 se ilustra la estratificación, o la tendencia de los puntos a agruparse artificialmente alrededor de la línea central. Se nota una marcada falta de variabilidad natural en el patrón observado. Una causa potencial de la estratificación es la colocación incorrecta de los límites de control. Este patrón también puede presentarse cuando en el proceso de muestreo se colectan una o más unidades de varias distribuciones fundamentales diferentes dentro de cada subgrupo. Por ejemplo, suponer que se obtiene una muestra de tamaño cinco al tomar una observación de cada uno de cinco procesos paralelos. Si las unidades más grande y más pequeña de cada muestra se encuentran relativamente apartadas debido a que provienen de dos distribuciones diferentes, entonces R se inflará indebidamente, haciendo que los límites de la carta x sean demasiado amplios. En este caso, R mideademás incorrectamente la variabilidad diferentes distribuciones fundamentales, .de la variación de la entre causalasfortuita que debe medir. Al interpretar patrones en las cartas x y R, ambas deberán considerarse conjuntamente. Si la distribución fundamental es normal, entonces las variables aleatorias x y R calculadas a partir de la misma muestra son estadísticamente 61

independientes. Por lo tanto, x y R deberán tener un comportamiento independiente en la carta de control. Si existe correlación entre los valores de x y R es decir, si los puntos de las dos cartas "se siguen" unos a otros, esto indica que la distribución fundamental está sesgada. Si las especificaciones se determinaron suponiendo la normalidad, entonces estos análisis pueden ser incorrectos.

Figura 37. Un patrón de estratificación

2.3 Cartas de control para x y s Aun cuando es muy común la utilización de las cartas x y R, en ocasiones es deseable estimar la desviación estándar del proceso directamente en vez de indirectamente mediante el uso del rango R. Esto lleva a las cartas de control para x y S , donde S es la desviación estándar muestral. En general, las cartas x y S son preferibles a sus contrapartes más familiares, las cartas x y R, cuando 1. El tamaño de la muestra n es moderadamente grande por ejemplo, n > 10 o 12. (Recuérdese que el método del rango para estimar σ pierde eficiencia estadística para muestras de moderadas a grandes.) 2. El tamaño de la muestra n es variable.

2.3.1 Construcción y operación de las cartas x y S Establecer y operar cartas de control x y S requiere aproximadamente la misma secuencia de pasos que para las cartas x y R, excepto porque debe S de cada x y la6desviación calcularse el promedio estándar 5muestral muestra. Por ejemplo, muestral en la Tabla para el Ejemplo se presentan las mediciones del diámetro interior de los anillos para pistones usados en el Ejemplo 4. Obsérvese que se ha calculado el promedio muestral y la desviación estándar muestral de cada una de las 25 muestras. Se usarán estos datos para ilustrar la construcción y operación de las cartas x y S .

62

Tabla 6. Mediciones del diámetro interior (mn) de anillos para pistones de motores de automóvil

Si σ 2 es la varianza desconocida de la distribución de probabilidad, entonces un estimador insesgado de σ 2 es la varianza muestral

A continuación se presentan las expresiones que permiten calcular los límites de control de x y S. Límites de control de la carta S LCS

= B4 S

Línea central = S LCI = B3 S

(12)

63

Límites de control de la carta x

= x& + A3 S Línea central = x r LCI = x − A3 S LCS

(13)

En la Tabla 1 del anexo se enlistan las constantes B3, B4 y A3 para construir cartas x y S a partir de datos pasados para varios tamaños de la muestra. Tradicionalmente, los ingenieros de calidad han preferido la carta R a la carta S debido a la simplicidad del cálculo de R de cada muestra. La disponibilidad actual de calculadoras manuales con cálculo automático de S y la disponibilidad creciente de microcomputadoras para implementar directamente las cartas de control en línea en la estación de trabajo han eliminado cualquier dificultad de cálculo. Ejemplo 5. La construcción de las cartas x y S se ilustrará utilizando las mediciones del diámetro interior de los anillos para pistones de la Tabla 6. El gran promedio y la desviación estándar promedio son

y

respectivamente. Por consiguiente, los parámetros de la carta x son LCS

= x + A3 S = 74.001 + (1.427)(0.0094) = 74.014 Línea central = x = 74.001

LCI

= x − A3 S = 74.001 − (1.427)(0.0094) = 73.988

y para la carta S son LCS

= B4 S = (2.089)(0.0094) = 0.0196 Línea central = S = 0.0094 = B 3 S = (0)(0.0094) = 0

LCI

En la Figura 38 se muestran las cartas de control. Obsérvese que los límites de control basados en S de la carta x son idénticos a los límites de control de la carta del Ejemplo 4, donde los límites se basaron en R . No siempre serán los 64

mismos y, en general, los límites de control de la carta x basados en S diferirán ligeramente de los límites basados en R .

Figura 38. Las cartas de control x y S para el Ejemplo 2 a) La carta x con límites de control basado en S, b) la carta de control de S

2.4 La carta de control de shewhart para mediciones individuales En muchas situaciones, el tamaño de la muestra usado para monitorear el proceso es n=1; es decir, la muestra consta de una unidad individual. Algunos ejemplos de estas situaciones son:

65

1. Se usa la tecnología de inspección y medición automatizada, y se analiza cada unidad manufacturada, por lo que no hay ninguna base racional para hacer subgrupos. 2. La velocidad de producción es muy lenta, y no es conveniente dejar que se acumulen tamaños de la muestra de n > 1 antes del análisis. El largo intervalo entre las observaciones ocasionará problemas con la formación de los subgrupos racionales. 3. Las mediciones repetidas del proceso difieren únicamente por el error de laboratorio o de análisis, como en muchos procesos químicos. 4. Se hacen mediciones múltiples en la misma unidad del producto, como la medición del espesor de óxido en varios sitios diferentes de una oblea en la manufactura de semiconductores. 5. En las plantas de procesamiento, como en una fábrica de papel, las mediciones de algún parámetro, tal como el espesor del recubrimiento a lo ancho de un rollo, diferirán muy poco y producirán una desviación estándar que será demasiado pequeña si el objetivo es controlar el espesor del recubrimiento a lo largo del rollo. En estas situaciones, la carta de control para mediciones individuales es útil. (Las cartas de control de suma acumulada y del promedio móvil ponderado exponencialmente, serán una mejor alternativa cuando es pequeña la magnitud del corrimiento en la media el proceso que es de interés.) En muchas aplicaciones de la carta de control para unidades individuales se usa el rango móvil de dos observaciones sucesivas como base para estimar la variabilidad del proceso. El rango móvil (RM) se define como

RM i

= xi − xi −1

También es posible establecer una carta de control para el rango móvil. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 6. La viscosidad de una pintura tapaporo para aviones es una característica de la calidad importante. El producto se produce por lotes, y debido a que la producción de cada lote se lleva varias horas, la velocidad de producción es demasiado lenta para permitir tamaños de la muestra mayores que uno. En la Tabla 7 se muestra la viscosidad de los 15 lotes anteriores.

66

Tabla 7. Viscosidad de la pintura tapaporo para aviones

Para establecer la carta de control de las observaciones individuales, obsérvese que el promedio muestral de las 15 lecturas de la viscosidad es x = 33.52 y que el promedio de los rangos móviles de dos observaciones es RM = 0.48 . Para establecer la carta del rango móvil, se observa que D3=0 y D4=3.267 para n=2. Por lo tanto, la carta del rango móvil tiene línea central RM = 0.48 , LCI = 0 y LCS = D4 RM = (3.267)0.48 = 1.57 . En la Figura 39a se muestra la carta puede de control. Puesto que ninguno dede loscontrol puntospara excede el límite de control superior, establecerse ahora la carta las mediciones individuales de la viscosidad. Los parámetros para la carta de control de las mediciones individuales son LCS = x + 3

RM d2

Línea central = x

(14)

RM LCI = x − 3 d2

67

Figura 39. Cartas de control para a) el rango móvil y para b) las observaciones Individuales de la viscosidad Si se usa un rango móvil de n=2 observaciones, entonces d2=1.128. Para los datos de la Tabla 7, se tiene LCS = x + 3

RM 0.48 = 33.52 + 3 = 34.80 d2 1.128

Línea central = x = 33.52 LCI = x − 3

RM 0.48 = 33.52 − 3 = 32.24 d2 1.128

En la Figura 39 se muestra la carta de control para las mediciones individuales de la viscosidad de los lotes. No hay indicios de una condición fuera de control.

2.5 Ejercicios propuestos 2.1 Se fabricaron mediante un proceso bolsas de plástico. Con el propósito de controlar el proceso mediante las cartas x y R, se toman 22 muestras de tamaño cinco cada una cuando se consideró que el proceso estaba bajo control. A continuación, se presentan los resultados obtenidos. 68

Longitudes de las bolsas de hule Muestra Longitudes de las bolsas 1 30.3 30.2 29.9 30.3 2 30.0 30.1 29.9 29.8 3 30.0 30.1 30.2 29.8 4 29.7 30.1 29.8 30.0 5 30.0 29.8 30.0 29.9 6 30.1 30.2 30.3 30.0 7 30.3 30.0 29.9 29.7 8 30.2 29.9 30.0 30.0 9 29.9 30.2 30.0 29.9 10 29.6 30.1 29.9 30.0 11 30.3 29.8 30.0 30.1 12 29.5 29.6 29.8 29.6 13 30.1 29.9 30.3 29.9 14 29.8 29.9 30.0 29.9 15 29.9 30.3 29.9 29.9 16 29.9 30.1 30.2 30.2 17 30.1 30.1 29.9 30.1 18 29.7 29.5 30.0 29.6 19 30.2 30.0 30.0 29.9 20 30.1 30.0 30.1 29.9 21 29.9 30.1 29.9 30.2 22 30.0 29.9 29.7 30.0

30.1 30.1 30.0 30.0 30.1 29.9 29.9 30.1 30.0 30.0 30.0 30.0 30.2 29.7 30.5 30.1 29.9 29.7 30.0 29.8 30.0 29.8

a) Obtenga los gráficos x y R en el software estadístico MINITAB. ¿El proceso está bajo control estadístico? b) Estimar la desviación estándar del proceso. c) ¿Hay evidencia de que las longitudes se distribuyen normalmente? 2.2 Resolver el Ejercicio 2.1, utilizando la carta S 2.3 En una fábrica de autopartes se han tenido problemas con la dimensión de cierta barra de acero en el momento de ensamblarla, por lo que decide colectar datos para analizar el proceso correspondiente. La longitud ideal de la barra es de 100 mm., con una tolerancia de ± 2 mm. Cada dos horas se toman cinco barras consecutivas y se miden. Los datos obtenidos (en milímetros) en una semana se muestran en la siguiente tabla:

69

Muestra 1 2 3 4 5 6 7

101.0 100.0 99.1 100.3 97.2 10.2 98.2

Longitudes de piezas 99.4 99.9 100.5 98.8 101.0 100.3 99.4 101.3 99.0 100.1 98.7 101.3 99.7 98.9 100.5 103.6 100.2 104.7 97.6 99.0 100.6

100.2 100.1 99.1 99.8 99.3 104.9 99.0

89 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

100.7 100.4 97.9 101.5 100.4 101.4 97.8 100.7 101.7 101.0 99.6 101.5 100.2 100.5 99.0

99.8 103.0 99.8 100.2 100.0 102.4 100.1 101.3 98.4 100.3 102.0 100.2 102.1 100.4 99.0

98.3 100.5 100.7 102.3 102.1 102.6 100.7 101.2 100.3 99.5 100.0 99.6 101.6 98.9 97.9

100.4 98.7 100.6 102.1 100.2 103.2 99.3 98.9 97.9 101.3 100.5 99.4 101.0 100.2 101.4

99.7 101.6 99.3 99.7 97.7 103.2 98.6 99.9 102.2 101.1 97.6 99.2 100.6 100.7 101.1

a) Obtenga los gráficos x y R en el software estadístico MINITAB. ¿El proceso está bajo control estadístico? 2.4 Resolver el Ejercicio 2.3, utilizando la carta S 2.5 La viscosidad de un polímetro se mide cada hora. Las mediciones de las últimas 20 horas fueron:

Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8

Viscosidad 2838 2785 3058 3064 2996 2882 2878 2920

Prueba 11 12 13 14 15 16 17 18

Viscosidad 3174 3102 2762 2975 2719 2861 2797 3078

9 10

3050 2870

19 20

2964 2805

a) ¿La viscosidad sigue una distribución normal? b) Establecer una carta de control para la viscosidad y una carta del rango móvil. ¿El proceso indica control estadístico? c) Estimar la media y la desviación estándar del proceso. 70

UNIDAD 3. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS 3.1 Introducción En la unidad 2 se introdujeron las cartas de control para las características de la calidad que se expresan como variables. Aun cuando estas cartas de control gozan de aplicación muy difundida, su aplicación no es universal, ya que no todas las características de un la calidad con datos de variables. Por ejemplo, considérese envase pueden de vidrioexpresarse para un producto líquido. Suponer que se examina un envase y se clasifica en una de las dos categorías denominadas "conforme" y "disconforme", dependiendo de si el envase satisface los requerimientos de una o más características de la calidad. Se trata de un ejemplo de datos de atributos, y podría establecerse (en la Sección 3.2 se indica cómo) una carta de control para la fracción de envases disconformes. De manera alternativa, en algunos procesos puede examinarse una unidad del producto y contar los defectos o disconformidades observadas en la unidad. Este tipo de datos se encuentra con mucha frecuencia en la industria de los semiconductores, por ejemplo. En la Sección 3.3 se indica cómo establecer cartas de control para conteos, o para el número promedio de conteos por unidad. En general, las cartas para atributos no son tan informativas como las cartas para variables, ya que de manera típica una medición numérica contiene más información que la mera clasificación de una unidad como conforme o disconforme. Sin particularmente embargo, las útiles cartasen para atributos detienen aplicaciones importantes. Son las industrias servicios y en los esfuerzos de mejoramiento de calidad fuera de la manufactura, debido a que no es sencillo medir en una escala numérica un gran número de las características de la calidad que se encuentran en estos escenarios.

3.2 La carta de control para la fracción disconforme La fracción disconforme se define como el cociente del número de artículos disconformes de la población y el número total de artículos que componen dicha población. Los artículos pueden tener varias características de la calidad que son examinadas al mismo tiempo por un inspector. Si el artículo no se ajusta al estándar en una o más de estas características, se clasifica como disconforme. La fracción disconforme se expresa generalmente con un decimal, aun cuando en ocasiones se usa el por ciento disconforme (que es simplemente 100% veces la fracción seun hace la presentación de la acarta de control al personal disconforme). de producciónCuando o se hace informe de los resultados la administración, con frecuencia se usa el porcentaje disconforme, por ser un recurso más intuitivo. Aun cuando se acostumbra trabajar con la fracción disconforme, con la misma facilidad podría analizarse la fracción conforme, de donde resultaría una carta de control del rendimiento del proceso. Por ejemplo, en muchas organizaciones manufactureras se opera un sistema de administración del rendimiento en cada 71

etapa del proceso de manufactura, haciendo el rastreo del rendimiento en el primer ciclo en una carta de control. Los principios estadísticos fundamentales de la carta de control para la fracción disconforme tienen su base en la distribución binomial. Suponer que el proceso de producción está operando en una manera estable, de tal modo que la probabilidad de que cualquier unidad deje de cumplir con las especificaciones es p, y que las unidades sucesivas producidas son independientes. Entonces cada unidad producida es una realización de una variable aleatoria de Bernoulli con parámetro p. Si se selecciona una muestra aleatoria de n unidades del producto, y D es el número de unidades del producto que son disconformes, entonces D tiene una distribución binomial con parámetros n y p; es decir,

 n P(D =) x = ( )p x 1 − p  x

n− x

x = 0,1,..., n

(15)

La fracción disconforme muestral se define como el cociente del número de unidades disconformes en la muestra D y el tamaño de la muestra n; es decir, (16) La distribución de la variable aleatoria p puede obtenerse a partir de la distribución binomial. Además, la media y la varianza de pˆ son (17) y

(18) respectivamente. Se verá ahora cómo puede aplicarse esta teoría al desarrollo de una carta de control para la fracción disconforme. Puesto que la carta monitorea la fracción disconforme p del proceso, se le llama también la carta p.

3.2.1 Desarrollo y operación de la carta de control En la Unidad 1 se discutieron los principios estadísticos generales en los que se basa la carta de control de Shewhart. Si w es un estadístico que mide una característica de la calidad, y si la media de w es w , y la varianza de w es σ w2 , entonces el modelo general de la carta de control de Shewhart es el siguiente: LCS =

+ Lσ w = w LCI = µ w − Lσ w w

Línea central:

(19) 72

donde L es la distancia de los límites de control a la línea central, en múltiplos de la desviación estándar de w. Se acostumbra elegir L = 3. Suponer que se conoce la verdadera fracción disconforme p del proceso de producción o que es un valor estándar especificado por la administración. Entonces, por la Ecuación 19, la línea central y los límites de control de la carta de control para la fracción disconforme serían los que se definen a continuación.

Carta de control para la fracción disconforme: valor estándar dado p (1 − p ) n Línea central = p

LCS = p + 3

LCI

= p−3

(20)

p (1 − p ) n

La operación real de esta carta consistiría en tomar muestras subsecuentes de n unidades, calcular la fracción disconforme muestral pˆ , y graficar el estadístico p en la carta. En tanto pˆ se mantenga dentro de los límites de control y la secuencia de los puntos graficados no muestre ningún patrón sistemático o no aleatorio, puede concluirse que el proceso está bajo control en el nivel pˆ . Si un punto se localiza fuera de los límites de control o si se observa un patrón no aleatorio en los puntos graficados, puede concluirse que muy posiblemente la fracción disconforme del proceso se ha corrido a un nuevo nivel y el proceso está fuera de control. Cuando no se conoce la fracción disconforme p del proceso, deberá estimarse a partir de los datos observados. El procedimiento usual es seleccionar m muestras preliminares, cada una de tamaño n. Como regla general, m deberá ser 20 o 25. Entonces si hay Di unidades disconformes en la muestra i, la fracción disconforme de la i-ésima muestra se calcula como

y el promedio de estas fracciones disconformes muestrales individuales es

(21)

73

El estadístico p es una estimación de la fracción disconforme p desconocida. La línea central y los límites de control de la carta de control para la fracción disconforme se calculan como se define a continuación.

Carta de control para la fracción disconforme: sin un valor estándar dado LCS = p + 3 p (1 − p ) n Línea central = p LCI

r

= p−3

(22)

p (1 − p ) n

Los límites de control definidos en la Ecuación 22 deberán considerarse como límites de control de prueba. Los valores muestrales de pˆ i para los subgrupos preliminares deberán graficarse contra los límites de prueba, para probar si el proceso estaba bajo control cuando se colectaron los datos preliminares. Cualesquiera puntos que excedan los límites de control de prueba deberán investigarse. Si se descubren causas asignables para estos puntos, deberán descartarse y determinarse los nuevos límites de control de prueba. Referirse a la discusión de los límites de control de prueba para las cartas x y R de la Unidad 2. Si la carta de control se basa en un valor conocido o estándar para la fracción disconforme p, entonces generalmente no es necesario hacer el cálculo de los límites de control de prueba. Sin embargo, deberá tenerse cuidado cuando se trabaje con un valor estándar para p. Puesto que en la práctica el verdadero valor de p. rara vez se conocería con certidumbre, generalmente se daría un valor estándar de p que representa el valor objetivo deseado para la fracción disconforme del proceso. Si es éste el caso, y muestras futuras indican una condición fuera de control, debe determinarse si el proceso está fuera de control respecto del objetivo p, pero se encuentra bajo control para algún otro valor de p. Por ejemplo, suponer que la administración especifica un valor objetivo p = 0.01, pero el proceso en realidad está bajo control en un valor más grande de la fracción disconforme, por ejemplo, p = 0.05. Al utilizar la carta de control basada en p = 0.01, se observa que muchos de los puntos se localizarán arriba del límite de control superior, indicando una condición fuera de control. Sin embargo, en realidad el = 0.01 proceso fuera de control respecto al objetivo . En ocasionesúnicamente es posibleestá "mejorar" el nivel decon calidad mediante el usop de valores objetivo, o poner bajo control un proceso en nivel particular del desempeño de la calidad. Los valores objetivo de p pueden ser útiles en los procesos donde la fracción disconforme puede controlarse mediante ajustes relativamente sencillos del proceso.

74

Ejemplo 7. Un concentrado de jugo de naranja congelado se empaca en botes de cartón de 6 onzas. Estos botes se hacen en una máquina cortándolos de piezas de cartón y fijando un cuadro metálico en el fondo. Mediante la inspección de un bote, es posible determinar si cuando se llena podría haber una posible filtración en las juntas laterales o alrededor de la junta del fondo. Un bote disconforme tiene un sellado incorrecto en las juntas laterales o en el cuadro metálico del fondo. Quiere establecerse una carta de control para mejorar la fracción de botes disconformes producidos por esta máquina. Para establecer la carta de control, se seleccionaron 30 muestras de n = 50 botes cada una en intervalos de media hora durante un periodo de tres turnos en los que la máquina estuvo en operación continua. En la Tabla 8 se muestran los datos. Tabla 8. Datos para los límites de control de prueba, Ejemplo 7, tamaño de la muestra de 50

Se construye una carta de control preliminar para ver si el proceso estaba bajo control cuando se colectaron estos datos. Puesto que las 30 muestras contienen ∑ Di = 347 botes disconforrnes, por la Ecuación 21 se encuentra

Utilizando p como estimación de la verdadera fracción disconforme, los límites de control superior e inferior pueden calcularse ahora como 75

por lo tanto, LCS

= p + 3 p (1 − p ) = 0.2313 + 0.1789 = 0.4102

LCI

= p−3

n

y p (1 − p ) n

= 0.2313 − 0.1789 = 0.0524

En la Figura 40 se muestra la carta de control con la línea central en p = 0.2313 y los límites de control superior e inferior. En esta carta se grafica la

fracción disconforme de cada muestra preliminar. Se observa que dos puntos, los de las muestras 15 y 23, se localizan arriba del límite de control superior, por lo que el proceso no está bajo control. Estos puntos deben investigarse para ver si es posible determinar una causa asignable.

Figura 40. Carta de control inicial para la fracción de los datos de la Tabla 8 El análisis de los datos de la muestra 15 indica que un nuevo lote de piezas de cartón se introdujo en la producción durante ese periodo de media hora. La introducción de nuevos lotes de materia prima en ocasiones dan lugar a un desempeño irregular de la producción, y es razonable pensar que esto ha ocurrido aquí. Por otra parte, durante el periodo de media hora en que se obtuvo la muestra 76

23, se había hecho la asignación temporal de un operador relativamente inexperto a la máquina, y esto podría explicar la elevada fracción disconforme obtenida de esa muestra. Por consiguiente, las muestras 15 y 23 se eliminan, y la nueva línea central y los límites de control revisados se calculan como

LCS

= p+3

p (1 − p ) n

= 0.2150 + 3

0.2150(0.7850)

LCI

= p −3

p (1 − p ) n

= 0.2150 − 3

0.2150(0.7850)

50

50

= 0.3893 = 0.0407

En la carta de control de la Figura 41 se muestran la línea central revisada y los límites de control revisados. Obsérvese que no se han sacado de la carta las muestras 15 y 23, sino que sólo se han excluido de los cálculos de los límites de control, y que esto se ha marcado directamente en la carta de control. Esta anotación en la carta de control para indicar puntos inusuales, ajustes del proceso o el tipo de investigación realizada en un punto particular del tiempo forma un registro útil para un análisis futuro del proceso y deberá convertirse en una práctica común en el uso de las cartas de control. Obsérvese asimismo que ahora la fracción disconforme de la muestra 21 excede el límite de control superior. Sin embargo, el análisis de los datos no produce ninguna causa asignable razonable o lógica para esto, y se decide conservar el punto. Por lo tanto, se concluye que los nuevos límites de control de la Figura 41 pueden usarse para muestras futuras. Por tanto, se ha concluido la fase de estimación de los límites de control para usar la carta de control. Obsérvese que ahora la fracción disconforme de la muestra 21 excede el límite de control superior. Sin embargo, el análisis de los datos no produce ninguna causa asignable razonable o lógica para esto, y se decide conservar el punto. Por lo tanto, se concluye que los nuevos límites de control de la Figura 37 pueden usarse para muestras futuras. Por tanto, se ha concluido la fase de estimación de los límites de control para usar la carta de control. En ocasiones el examen de los datos de la carta de control revela información que afecta a otros puntos que no están necesariamente fuera de los límites de control. Por ejemplo, si se hubiera encontrado que el operador temporal que trabajaba cuando se obtuvo la muestra 23 en realidad estuvo trabajando durante el periodo completo de 2 horas en que se obtuvieron las muestras 21-24, entonces deberán descartarse las cuatro muestras, incluso si sólo la muestra 21 excedió los límites de control, con base en que este operador inexperto

77

posiblemente tuvo alguna influencia adversa en la fracción disconforme durante el periodo completo.

Figura 41. Límites de control revisados para los datos de la Tabla 8 Antes de concluir que el proceso está bajo control en este nivel, podrían examinarse las 28 muestras restantes en busca de corridas y otros patrones no aleatorios. La corrida más larga es una de longitud 5 arriba de la línea central, y no hay patrones obvios presentes en los datos. De lo único que hay evidencia sólida es de un patrón de variación aleatoria alrededor de la línea central. Se concluye que el proceso está bajo control en el nivel p = 0.2150 y que deberán adoptarse los límites de control revisados para monitorear la producción actual. Sin embargo, se observa que aun cuando el proceso está bajo control, la fracción disconforme es demasiado grande. Es decir, el proceso está operando de manera estable y no están presentes problemas controlables por el operador inusuales. Es improbable que la calidad del proceso pueda mejorarse por una acción en el nivel de la fuerza de trabajo. Los botes disconformes producidos son controlables por la administración debido a que será necesaria la intervención de la proceso con a finesta de mejorar el desempeño. administración deadministración la planta estáendeelacuerdo observación y ordena La que, además de implementar el programa de cartas de control, el personal de ingeniería deberá analizar el proceso en un esfuerzo por mejorar su rendimiento. Este estudio indica que pueden hacerse varios ajustes en la máquina que deberán mejorar su desempeño. 78

Durante los tres turnos siguientes después de hacer los ajustes en la máquina y la introducción de la carta de control, se colectan 24 muestras adicionales de n = 50 observaciones cada una. Estos datos se muestran en la Tabla 9, y las fracciones disconformes muestrales se grafican en la carta de control de la Figura 42. Tabla 9. Datos para los botes de jugo de naranja en la muestra de tamaño 50

Al examinar la Figura 42, ladeimpresión inmediata es que el proceso está operando ahora en un nuevo nivel calidad que es sustancialmente mejor que el nivel de la línea central de p = 0.2150 . Un punto, el de la muestra 41, está abajo del límite de control inferior. No puede determinarse ninguna causa asignable para esta señal de fuera de control. Las únicas razones lógicas para este notorio cambio en el desempeño del proceso son los ajustes de la máquina que realizó el personal de ingeniería y, posiblemente, los propios operadores. No es inusual encontrar que el desempeño de un proceso mejora después de la introducción formal de procedimientos de control estadístico del proceso, debido con frecuencia a que los operadores están más conscientes de la calidad del proceso y debido a que la carta de control proporciona un apoyo visual continuo del desempeño del proceso.

Diseño de la carta de control para la fracción disconforme carta de control para lade fracción disconforme tiene tres deben La especificarse: el tamaño la muestra, la frecuencia delparámetros muestreo yque la anchura de los límites de control. Idealmente, debería contarse con algunos lineamientos generales para seleccionar estos parámetros. Es relativamente común basar una carta de control para la fracción disconforme en la inspección del 100% de la salida total del proceso en un periodo 79

de tiempo conveniente, como al final de un turno o de un día. En este caso, tanto el tamaño de la muestra como la frecuencia del muestreo están interrelacionados. Generalmente se seleccionaría una frecuencia del muestreo adecuada para la rapidez de producción, con lo cual se fijaría el tamaño de la muestra. El establecimiento de subgrupos racionales también desempeña un papel en la determinación de la frecuencia del muestreo.

Figura 42. Continuación de la carta de control para la fracción disconforme. Ejemplo 7 Por ejemplo, si hay tres turnos, y se sospecha que los turnos difieren en su nivel de calidad general, entonces se usaría la salida de cada turno como un subgrupo en vez de agrupar la salida de los tres turnos para obtener una fracción defectuosa diaria. Si es necesario seleccionar una muestra de la salida del proceso, entonces debe elegirse el tamaño de la muestra n. Se han sugerido varias reglas para la elección de n. Si p es muy pequeña, n deberá elegirse lo suficientemente grande para tener una alta probabilidad de detectar al menos una unidad disconforme en la muestra. De otro modo, uno podría encontrarse con que los límites de control son tales que la presencia de una sola unidad disconforme en la muestra indicaría una condición fuera de control. Por ejemplo, si p = 0.01 y n = 8, se encuentra que el límite de control superior es LCS

= p+3

p (1 − p ) n

= 0.01 + 3

0.01(0.99) 8

= 0.1155

Si hay una unidad disconforme en la muestra, entonces p = 1 / 8 = 0.1250 y puede concluirse que el proceso está fuera de control. Puesto que para cualquier 80

p > 0 hay una probabilidad positiva de producir algunos artículos defectuosos, en

muchos casos no es razonable concluir que el proceso está fuera de control cuando se observa un solo artículo disconforme. Para evitar este riesgo latente, puede escogerse el tamaño de la muestra n de tal modo que la probabilidad de encontrar al menos una unidad disconforme por muestra sea de al menos d. Por ejemplo, suponer que p = 0.01 y se quiere que la probabilidad de al menos una unidad disconforme en la muestra sea al menos 0.95. Si D denota el número de unidades disconformes, entonces quiere encontrarse n tal que P[D ≥ 1 ]≥ 0.95 . Utilizando la aproximación de Poisson de la distribución binomial, en la tabla acumulada de Poisson se encuentra que λ = np debe exceder 3.00. Por consiguiente, puesto que p = 0.01, esto implica que el tamaño de la muestra deberá ser 300. Duncan (2) ha sugerido que el tamaño de la muestra deberá ser lo suficientemente grande para tener una oportunidad aproximada del 50% de detectar un corrimiento en el proceso de alguna cantidad especificada. Por ejemplo, suponer que p = 0.01, y se quiere que la probabilidad de detectar un corrimiento a p = 0.05 o sea 0.50. Suponiendo que es válida la aproximación normal de la distribución binomial, deberá elegirse n de tal modo que el límite de control superior coincida exactamente con la fracción disconforme en el estado fuera de control. Si δ es la magnitud del corrimiento en el proceso, entonces n debe satisfacer (23) por lo tanto, (24)

En el ejemplo tratado aquí, p = 0.01 o δ = 0.05 límites tres sigma, entonces por la ecuación 24,

− 0.01 = 0.04,

y si se usan

Si el valor bajo control de la fracción disconforme es pequeño, otro criterio útil es elegir n lo suficientemente grande para que la carta de control tenga un límite de control inferior positivo. Con esto se asegura que se contará con un mecanismo para forzar al analista a investigar una o más muestras que contengan un número inusualmente pequeño de artículos disconformes. Puesto que quiere tenerse 81

LCI

= p−L

p (1 − p ) n

f0

(25)

esto implica que (26)

Por ejemplo, si p = 0.05 y se usan límites tres sigma, el tamaño de la muestra debe ser

por tanto, si n > 172 unidades, la carta de control tendrá un límite de control inferior positivo. Se acostumbra usar límites de control tres sigma en la carta de control para la fracción disconforme con base en que han funcionado bien en la práctica. Los límites de control con una anchura menor aumentarían la sensibilidad de la carta de control a los corrimientos más pequeños de p, pero a costa de una incidencia mayor de "falsas alarmas". En ocasiones hemos visto usar límites de anchura menor en un esfuerzo por forzar el mejoramiento de la calidad del proceso. Sin embargo, deberá tenerse la cuidado al hacer esto, yade queoperación un número excesivo de falsas alarmas destruirán confianza del personal en el programa de cartas de control. Cabe hacer notar que la carta de control para la fracción disconforme no es un modelo universal para todos los datos de una fracción disconforme. Se basa en el modelo de probabilidad binomial; es decir, la probabilidad de ocurrencia de una unidad disconforme es constante, y las unidades de producción sucesivas son independientes. En procesos donde las unidades disconformes se juntan por conglomerados, o donde la probabilidad de que una unidad sea disconforme depende de si la unidad anterior fue disconforme o no, la carta de control para la fracción disconforme resulta prácticamente inútil. En tales casos, es necesario desarrollar una carta de control basada en el modelo de probabilidad correcto.

Interpretación de puntos en la carta de control para la fracción disconforme En el Ejemplo 7 se ilustró cómo se tratan los puntos que se localizan fuera de los límites de control, tanto al establecer la carta de control como durante su operación rutinaria. Deberá tenerse cuidado al interpretar los puntos que se localizan abajo del límite de control inferior. Estos puntos por lo general no representan un mejoramiento real en la calidad del proceso. Frecuentemente, se producen por errores en el proceso de inspección que resultan de inspectores sin 82

la capacitación o la experiencia adecuadas o de la calibración incorrecta del equipo de prueba e inspección. También hemos visto casos en que los inspectores aprobaron deliberadamente unidades disconformes o reportaron datos ficticios. El analista debe tener presentes estas advertencias cuando busque causas asignables si los puntos se localizan abajo del límite de control inferior. No todos los "cambios descendentes" de p son atribuibles a un mejoramiento de la calidad.

La carta de control np Una carta de control también puede basarse en el número de unidades disconformes en vez de usar la fracción disconforme. Acostumbra llamársele la carta de control np. Los parámetros de esta carta son los siguientes. La carta de control np LCS = np + 3 np (1 − p )

(27)

Línea central = np

LCI = np − 3 np (1 − p)

Si no se cuenta con un valor estándar para p, entonces p puede usarse p. A muchas para estimar preparación estadística lesdisconforme resulta más sencillo interpretar la cartapersonas carta de controlenpara la fracción np que lasin ordinaria.

Ejemplo 8. Para ilustrar la construcción de una carta de control np, considérense los datos del Ejemplo 7 para la fracción disconforme de los botes para el concentrado de jugo de naranja. Utilizando los datos de la Tabla 8, se encuentra que

por lo tanto, los parámetros de la carta de control np serían LCS

= n p + 3 n p(1 − p) = 50(0.2313) + 3 (50)( = 0.20510

)( 0.7687 ) 0.2313

Línea central = n p = 50(0.2313) = 11.565

LCI

= n p − 3 n p(1 − p) = 50(0.2313) − 3 (50)( = 2.620

0.2313 )

83

En la práctica, el número de unidades disconformes de cada muestra se grafica en la carta de control np, y el número de unidades disconformes es un entero. Por tanto, si 20 unidades son disconformes, el proceso está bajo control; pero si ocurren 21, el proceso está fuera de control. De manera similar, hay tres unidades disconformes en la muestra y el proceso está bajo control, pero dos unidades disconformes implicarían un proceso fuera de control. Algunos en la práctica prefieren usar valores enteros para los límites de control en la carta np en vez de sus contrapartes de fracciones decimales. En este ejemplo podrían elegirse 2 y 21 como el LCS y el LCI respectivamente, y el proceso se consideraría fuera de control si un valor muestral de np se localiza en los límites de control o fuera de ellos.

3.3 Cartas de control para disconformidades (defectos) Un artículo disconforme es una unidad del producto que no satisface una o más de las especificaciones para ese producto. Cada punto específico en el que no se satisface una especificación resulta en un defecto o disconformidad. Por consiguiente, un artículo disconforme contendrá al menos una disconformidad. Sin embargo, dependiendo de su naturaleza y gravedad, es muy posible que una unidad contenga varias disconformidades y no se clasifique como disconforme. Como un ejemplo, suponer que se están fabricando computadoras personales. Cada unidad podría tener una o más imperfecciones muy pequeñas en el terminado de la cubierta, y puesto que estas imperfecciones no afectan seriamente su operación funcional, se clasificaría como conforme. Sin embargo, si estas imperfecciones son demasiadas, la computadora personal deberá clasificarse como disconforme, ya que las imperfecciones serían muy notorias para el cliente y podrían afectar la venta de la unidad. Hay muchas situaciones prácticas en las que es preferible trabajar directamente con el número de defectos o disconformidades en vez de usar la fracción disconforme. Estas situaciones incluyen el número de soldaduras defectuosas en 100 m de oleoductos, el número de remaches rotos en el ala de un avión, el número de defectos funcionales en un dispositivo lógico electrónico, etcétera. Es posible desarrollar cartas de control para el número total de disconformidades en una unidad o bien para el número promedio de disconformidades por unidad. En estas cartas de control por lo general se supone que la distribución de Poisson es un modelo apropiado de la ocurrencia de disconformidades en muestras de tamaño constante. En esencia, esto requiere que el número de oportunidades o lugares potenciales para las disconformidades sea infinitamente grande y que la probabilidad de ocurrencia de una disconformidad en cualquier lugar sea pequeña y constante. Además, la unidad de inspección debe ser la misma para cada muestra. Es decir, cada unidad de inspección debe representar siempre un "área de oportunidad" idéntica para la ocurrencia de disconformidades. Además, podrán contarse varios tipos diferentes de disconformidades en una unidad, en tanto se satisfagan las condiciones anteriores para cada clase de disconformidad. 84

En la mayoría de las situaciones prácticas, estas condiciones no se satisfarán exactamente. El número de oportunidades para la ocurrencia de disconformidades quizás no sea finita, o la probabilidad de ocurrencia de disconformidades quizás no sea constante. En tanto estas desviaciones de los supuestos no sean graves, el modelo de Poisson por lo general funcionará razonablemente bien.

3.3.1 Procedimientos con tamaño de muestra constante Considérese la ocurrencia de disconformidades en una unidad de inspección del producto. En la mayoría de los casos, la unidad de inspección será una sola unidad del producto, aun cuando no necesariamente siempre es así. La unidad de inspección es simplemente una entidad para la que es conveniente llevar registros. Podría ser un grupo de 5 unidades del producto, 10 unidades del producto, etcétera. Suponer que los defectos o disconformidades en esta unidad de inspección ocurren de acuerdo con la distribución de Poisson; es decir,

p ( x) =

e −c c x x!

x = 0,1,2,...

donde x es el número de disconformidades y c f 0 es el parámetro de la distribución de Poisson. La media como la varianza de la distribución de Poisson son el parámetro c . Por lo tanto, una carta de control para disconformidades con límites tres sigma se definiría como sigue.

Carta de control para disconformidades: valor estándar da do LCS

=c+3 c

Línea central = c LCI

(28)

=c−3 c

suponiendo que se cuenta con un valor estándar para c . En caso de que estos cálculos produjeran un valor negativo para LCS, se hace LCI = 0. Si no se da un valor estándar, entonces c puede estimarse como el número promedio de disconformidades observadas en una muestra preliminar de unidades de inspección por ejemplo, c . En este caso, la carta de control tiene parámetros definidos como sigue.

Carta de control para disconformidades: sin valor estándar dado LCS

= c +3 c

Línea central = c LCI

(29)

= c −3 c 85

Cuando no se da un valor estándar, los límites de control de la Ecuación 29 deberán considerarse como límites de control de prueba, y deberán examinarse las muestras preliminares para falta de control. A la carta de control para disconformidades en ocasiones se le llama carta c. Ejemplo 9. En la Tabla 10 se presenta el número de disconformidades observadas en 26 muestras sucesivas de 100 tarjetas de circuitos impresos. Obsérvese que, por razones de conveniencia, la unidad de inspección se define como 100 tarjetas. Puesto que las 26 muestras contienen 516 disconformidades en total, la estimación de c es

por lo tanto, los límites de control de prueba están dados por LCS

= c + 3 c = 19.85 + 3

19.85

= 33.22

Línea central = c = 19.85 LCI

= c − 3 c = 19.85 − 3

19.85

= 6.48

En la Figura 43 se muestra la carta de control. El número de disconformidades observadas en las muestras preliminares se grafican en esta carta. Dos puntos se localizan fuera de los límites de control, las muestras 6 y 20. La investigación de la muestra 6 reveló que un nuevo inspector había examinado las tarjetas de esta muestra y que no reconoció varios de los tipos de disconformidades que podrían haber estado presentes. Además, el número inusualmente elevado de disconformidades de la muestra 20 fue resultado de un problema en el control de la temperatura de la máquina de ola de soldadura, el cual se reparó subsecuentemente. Por lo tanto, parece razonable excluir estas dos muestras y revisar los límites de control de prueba. La estimación de c se calcula ahora como

y los límites de control revisados son LCS

LCI

= c + 3 c = 19.67 + 3 19.67 = 32.97 Línea central = c = 19.67 = c − 3 c = 19.67 − 3

19.67

= 6.37

86

Figura 43. Carta de control para las disconformidades del Ejemplo 9 Tabla 10. Datos del número de disconformidades de 100 tarjetas de circuitos impresos

Éstos se convierten en los valores estándares contra los que puede compararse la producción en el periodo siguiente. Posteriormente se colectan 20 nuevas muestras, cada una de las cuales consistió en una unidad de inspección (i.e., 100 tarjetas). Se observa el número de disconformidades en cada muestra y se registra en la Tabla 11. Estos puntos se grafican en la carta de control de la Figura 44.

87

No se indica ninguna falta de control; sin embargo, el número de disconformidades por tarjeta sigue siendo inaceptablemente alto. Se requiere una acción por parte de la administración para mejorar el proceso. Tabla 11. Datos adicionales de la carta de control para disconformidades, Ejemplo 9

Figura 44. Continuación de la carta de control para las disconformidades, Ejemplo 9

La carta u En el Ejemplo 9 se ilustra una carta de control para disconformidades con el tamaño de la muestra exactamente igual al de la unidad de inspección. La unidad de inspección se elige para simplificar las operaciones o la recolección de datos. 88

Sin embargo, no hay ninguna razón por la que el tamaño de la muestra deba restringirse al de la unidad de inspección. De hecho, con frecuencia se preferiría usar varias unidades de inspección en la muestra, con lo cual se incrementaría el área de oportunidad para la ocurrencia de disconformidades. El tamaño de la muestra deberá elegirse partiendo de consideraciones estadísticas, tales como especificar un tamaño de la muestra lo suficientemente grande para asegurar un límite de control inferior positivo o para obtener una probabilidad particular de detectar un corrimiento en el proceso. De manera alternativa, podrían incluirse factores económicos en la determinación del tamaño de la muestra. Suponer que se decide basar la carta de control en un tamaño de la muestra de n unidades de inspección. Obsérvese que n no tiene que ser un entero. Para ilustrar esto, suponer que en el Ejemplo 9 tuviera que especificarse un tamaño del subgrupo de n = 2.5 unidades de inspección. Entonces el tamaño de la muestra es (2.5) (100) = 250 tarjetas. Hay dos enfoques generales para construir la carta revisada una vez que se ha seleccionado un nuevo tamaño de la muestra. Un enfoque consiste simplemente en redefinir una nueva unidad de inspección que sea igual a n veces la unidad de inspección anterior. En este caso, la línea central de la nueva carta de control es nc y los límites de control se localizan en nc ± 3 nc , donde c es el número medio de disconformidades observadas en la unidad de inspección srcinal. Suponer que en el Ejemplo 8, después de revisar los límites de control de prueba, se decidió utilizar un tamaño de la muestra de n = 2.5 unidades de inspección. Entonces la línea central se habría localizado en nc = 2.5) (19.67) = 49.18 y los límites de control habrían sido 49.18 ± 3 49.18 , o LCI = (28.14 y LCS = 70.22.

El segundo enfoque implica establecer una carta de control basada en el número promedio de disconformidades por unidad de inspección. Si se encuentran x disconformidades totales en una muestra de n unidades de inspección, entonces el número promedio de disconformidades por unidad de inspección es (30) Obsérvese que x es una variable aleatoria de Poisson; por consiguiente, los parámetros de la carta de control para el número promedio de disconformidades por unidad de inspección son los siguientes.

Carta de control para el número promedio de disconformidades por unidad de inspección LCS

=u +3

u n

Línea central = u LCI

=u −3

(31)

u n 89

donde u representa el número promedio de disconformidades por unidad en un conjunto de datos preliminares. Los límites de control encontrados con la Ecuación 31 se habrían considerado como límites de control de prueba. A la carta de control para el número promedio de disconformidades por unidad suele llamársele la carta u. Ejemplo 10. Un fabricante de computadoras personales desea establecer una carta de control para las disconformidades por unidad en la línea de ensamblaje final. El tamaño de la muestra se selecciona de cinco computadoras. En la Tabla 12 se muestran los datos del número de disconformidades en 20 muestras de 5 computadoras cada una. A partir de estos datos se estimaría que el número promedio de disconformidades por unidad es.

Tabla 12. Datos del número de disconformidades en las computadoras personales

por lo tanto, los parámetros de la carta de control son LCS

= u + 3 u = 1.93 + 3 n

1.93 5

= 3.79

Línea central = u = 1.93 LCI

=u −3

u n

= 1.93 − 3

1.93 5

= 0.07 90

Figura 45. Carta de control para las disconformidades por unidad En la Figura 45 se muestra la carta de control. Los datos preliminares no indican falta de control estadístico; por lo tanto, los límites de control de prueba dados aquí se adoptarían para fines del control actual. De nueva cuenta, aun cuando el proceso está bajo control, el número promedio de disconformidades por unidad es inaceptablemente alto. Incluso si se trata de disconformidades no funcionales o de apariencia, hay demasiadas. La administración debe emprender una acción para mejorar el proceso.

3.4 Ejercicios propuestos 3.1 Para analizar la estabilidad de la cantidad de artículos en un proceso de producción y tratar de mejorarlo, se toma una muestra de 100 piezas cada 5 horas, mediante el método de intervalo. Los datos obtenidos durante 6 días se muestran a continuación. Número de artículos defectuosos en muestra de tamaño n = 100 Muestra 1 2 3

Artículos defectuosos 11 10 7

Muestra 11 12 13

Artículos defectuosos 8 7 9

45 6 7 8 9 10

10 4 12 8 5 14 12

14 15 16 17 18 19 20

66 11 9 7 6 10 91

Obtenga la carta p en el software estadístico MINITAB. ¿El proceso está bajo control? 3.2 Para analizar la estabilidad de la cantidad de artículos defectuosos en un proceso de producción y tratar de mejorarlo, se toma una muestra de 100 piezas cada 5 horas. Los datos obtenidos durante 5 días se muestran en la tabla siguiente:

Muestra

Artículos defectuosos

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Artículos defectuosos 11 10 7 10 4 12 8 5 14

11 12 13 14 15 16 17 18 19

10

12

20

8 7 9 6 6 11 9 7 6 10

Muestra

Obtenga la carta np en el software estadístico MINITAB. ¿El proceso está bajo control? 3.3 En una empresa se registra el número de quejas por mal servicio. Los datos de las últimas 25 semanas se presentan a continuación:

Semana

Número de quejas

Semana

Número de quejas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5 8 9 8 4 4 1 6 4 8 5

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

16 14 12 22 7 10 12 3 7 3 3

12

10

25

5

13

6

Obtenga la carta c en el software estadístico MINITAB. ¿El proceso está bajo control?

92

3.4 En un hotel se ha venido llevando un registro de quejas de los clientes desde hace 15 semanas junto con el número de clientes por semana. Los datos se representan en la tabla siguiente:

Semana Quejas C liente Semana 1 11 114 9 2 15 153 10 3 5 115 11 4 14 174 12 5 16 157 13 6 11 219 14 7 10 149 15 8

9

Quejas 10 10 10 11 30 11 11

Cliente 131 91 112 158 244 111 120

147

Obtenga la carta u en el software estadístico MINITAB e interprétela. ¿El proceso está bajo control? 3.5 Los datos siguientes dan el número de ensambles de rodamiento y sello disconformes en muestras de tamaño 100. Construir una carta de control para la fracción disconforme de estos datos. Si algunos de los puntos se localizan fuera de control, suponer que pueden encontrarse las causas asignables y determinar los límites de control revisados.

Número de Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número de ensamblajes disconformes 7 4 1 3 6 8 10 5 2 7

Número de Muestra 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de ensamblajes disconformes 6 15 0 9 5 1 4 5 7 12

3.6 Un proceso produce bandas de hule en lotes de tamaño 2500. Los registros de inspección de los últimos 20 lotes revelan los datos siguientes. a) Calcular los límites de control de prueba para la carta de control de la fracción disconforme. b) Si se quisiera establecerse una carta de control para controlar la producción futura, ¿Cómo se usarían estos datos para obtener la línea central y los límites de control de la carta? 93

Número de Lote 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número de bandas disconformes 230 435 221 346 230 327 285 311 342 308

Número de Lote 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de bandas disconformes 456 394 285 331 198 414 131 269 221 407

3.7 Se usa una carta de control para controlar la fracción disconforme de una pieza de plástico fabricada en un proceso de moldeo por inyección. Diez subgrupos producen los siguientes datos:

Número de Muestra

Tamaño de la muestra

1 2

100 100

Número de unidades disconformes 10 15

34 5 6 7 8 9 10

100 100 100 100 100 100 100 100

31 18 24 12 23 15 8 8

a) Establecer una carta de control para el número de unidades disconformes en muestras de n=100. 3.8 Considere la carta de control para la fracción disconforme del Ejercicio 3.7. Encuentra la carta np equivalente. 3.9 Los datos siguientes representan el número de disconformidades por 1000 metros de cable telefónico. A partir del análisis de estos datos, ¿Se conducirá que el proceso está bajo control estadístico? ¿Qué procedimiento de control se recomendaría para producción futura?

94

Número de Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Número de disconformidades 1 1 3 7 8 10 5 13 0 19 24

Número Número de de disconformidades Muestra 12 6 13 9 14 11 15 15 16 8 17 3 18 6 19 7 20 4 21 9 22 20

3.10 Una fábrica de papel usa una carta de control para monitorear las imperfecciones de los rollos de papel terminados. Se inspecciona durante 20 días la salida de la producción y los datos resultantes se muestran abajo. Usar estos datos para establecer una carta de control para las disconformidades por rollo de papel. ¿El proceso parece estar bajo control estadístico?¿Qué línea central y que límites de control se recomendaría para controlar la producción actual? Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Número de rollos producidos 18 18 24 22 22 22 20 20 20 20 18 18 18 20

Número total de imperfecciones 12 14 20 18 15 12 11 15 12 10 18 14 9 10

15 16 17 18 19 20

20 20 24 24 22 21

14 13 16 18 20 17 95

UNIDAD 4. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO Y SISTEMAS DE MEDICIÓN 4.1 Introducción El análisis de la capacidad del proceso es una etapa fundamental dentro de cualquier programa de control de calidad. Su objetivo es tratar de analizar hasta qué punto los productos producidos cumplen con las especificaciones establecidas, ya que al conocer la capacidad de un proceso se puede predecir el nivel de calidad del producto. El propósito del análisis de la capacidad del proceso es el de conocer la variabilidad natural del proceso cuando se han minimizado los efectos de todos los factores ajenos que no contribuyen al mismo. Además de la variación natural, hay dos factores que influyen en la capacidad de un proceso: en primer término, las tolerancias y especificaciones en la elaboración de un producto y, en segundo término las mismas tolerancia y especificaciones en la medida en que afectan la producción El estudio de capacidad de un proceso es una forma de comparación entre la variabilidad permitida en el diseño de una pieza y la variabilidad obtenida en la fabricación de la misma. La variabilidad permitida en el diseño se refleja en las especificaciones y tolerancias de la pieza y la obtenida se refleja en la fabricación de los productos determinados con el estudio estadístico de un conjunto de piezas fabricadas. Al planear los aspectos de calidad de la manufactura resulta de vital importancia asegurarse de antemano de que el proceso será capaz de cumplir con las tolerancias establecidas. En décadas recientes ha surgido el concepto de capacidad del proceso, que proporciona una predicción cuantitativa de que tan apropiado es un proceso. Esta capacidad para predecir en forma cuantitativa ha dado como resultado la elección amplia del concepto como elemento fundamental de la planeación de la calidad. Juran y Gryna (1995). Se entiende como capacidad del proceso el grado de variabilidad con que un proceso o una máquina generan una característica de calidad al ejecutar una operación determinada. Se conoce como índice de capacidad del proceso el indicador que dice que tan alejado se encuentra una determinada variable del proceso para cumplir con las especificaciones establecidas. Dentro de este contexto, Juran y Gryna (1995), mencionan las siguientes definiciones de interés: Proceso. Se refiere a alguna combinación única de máquinas, herramientas, métodos, materiales y personas involucradas en la producción. Con 96

frecuencia es posible separar y cuantificar el efecto de las variables que entran en esta combinación. Capacidad. Se emplea en el sentido de aptitud, basada en el desempeño probado, para lograr resultados que se puedan medir. Capacidad medida. Se refiere al hecho de que la capacidad del proceso se cuantifica a partir de datos que, a su vez, son el resultado de la medición del trabajo realizado por el proceso. Capacidad inherente. Se refiere a la uniformidad del producto que resulta de un proceso que se encuentra en estado de control estadístico, es decir, en ausencia de fuerzas externas u otras causas atribuibles de variación. Producto. La medición se hace sobre el producto porque el resultado final es la variación del producto. Acuña (2002), menciona que al conocer la capacidad de un proceso se puede producir el nivel de calidad del producto. Por ello, al hacer el estudio es importante asegurarse de que la máquina esta produciendo artículos bajo condiciones normales, es decir, sin mantenimiento de maquinas, cambio de material o cambio de operación, entre otros. Además, el analista debe conocer a fondo el equipo al que se le está determinando su capacidad. Si no es así, debe asesorarse por quien conozca el comportamiento de ese proceso. La razón es que nunca la capacidad de un proceso es la que se obtiene al inicio del estudio, sino aquella lograda en el tiempo, después de varias pruebas al variar condiciones y hacer cambios. Juran y Gryna (1995), mencionan que el creciente uso del concepto de capacidad de un proceso se debe a los propósitos siguientes: 1. Predecir el grado de variabilidad que exhibirán los procesos. Esta información de capacidad, cuando se proporciona a los diseñadores, ofrece información importante para establecer límites de especificación realistas. 2. Seleccionar, entre procesos que compitan, el proceso más adecuado para que las tolerancias se cumplan. 3. Planear la interrelación de procesos secuenciales. Por ejemplo, un proceso puede distorsionar la precisión lograda por el proceso que le antecede, como en el endurecimiento de los dientes de un engrane. La cuantificación de las habilidades respectivas del proceso con frecuencia señala el camino para encontrar una solución. 4. Proporciona una base cuantitativa para establecer un programa de verificaciones de control periódico del proceso y reajustes.

97

5. Asignar las maquinas a los tipos de trabajos para los cuales son más adecuadas. 6. Probar las teorías de las causas de defectos durante los programas de mejoramiento de la calidad 7. Servir como base para la especificación de los requerimientos de calidad para las maquinas compradas. En un estudio de capacidad de un proceso se tienen dos formas de conceptualizar la variabilidad de las piezas, estas son: 1. La variabilidad natural o inherente en un tiempo especificado; es decir, la variabilidad “instantánea”. 2. La variabilidad con el tiempo Montgomery (2005), menciona que se acostumbra tomar la dispersión seis sigma en la distribución de la característica de la calidad del producto como una medida de la capacidad del proceso. En la Figura 46 se muestra un proceso para el que la característica de la calidad tiene una distribución normal con media y desviación estándar σ .

Figura 46. Limite de tolerancia natural superior e inferior en la distribución normal El Límite de Tolerancia Natural Superior (LTNS ) y el Límite de Tolerancia Natural Inferior (LTNI ) están dados respectivamente por: LTNS LTNI

= + 3σ = − 3σ 98

Para una distribución normal, los limites de tolerancia natural incluyen el 99.73% de la variable o, dicho en otros términos, solo 0.27% de la salida del proceso quedara fuera de los limites de tolerancia natural. Es necesario recordar dos puntos: 1. El valor 0.27% fuera de la tolerancia natural suena pequeño, pero corresponde a 2700 partes por millón disconformes. 2. Si la distribución de la salida del proceso no es normal, entonces el porcentaje de la salida que quedara fuera de ± 3σ puede diferir considerablemente de 0.27% El análisis de capacidad de un proceso se define como el estudio de ingeniería para estimar la capacidad del proceso. La estimación de la capacidad de un proceso puede estar en la condición de una distribución de probabilidad que tenga una forma, centro (media) y dispersión (desviación estándar) especificados. Por ejemplo, puede determinarse que la salida del proceso sigue una distribución normal con media = 1.0 cm. y desviación estándar σ = 0.001 cm. En este sentido, el análisis de capacidad del proceso puede llevarse a cabo sin tomar en consideración las especificaciones de la característica de la calidad. De manera alternativa, la capacidad del proceso puede expresarse como un porcentaje fuera de las especificaciones. Sin embargo, las especificaciones no son necesarias para realizar el análisis de capacidad de un proceso. En el estudio de capacidad de un proceso por lo general se miden los parámetros funcionales del producto, no el proceso en sí. Cuando el analista puede observar directamente el proceso y puede controlar o monitorear la actividad de recolección de datos, el estudio es un verdadero estudio de capacidad del proceso, ya que al controlar la recolección de datos y conocer la secuencia en el tiempo de los datos, es posible hacer inferencias sobre la estabilidad del proceso con el tiempo. No obstante, cuando se cuenta tan sólo con unidades muéstrales del producto, suministradas posiblemente por el proveedor u obtenidas en la inspección de recepción, y no se cuenta con ninguna observación directa del proceso ni la historia cronológica de la producción, entonces al estudio se le denomina más propiamente caracterización del producto. En un estudio de caracterización del producto sólo puede estimarse la distribución de la característica de la calidad del producto o el rendimiento del proceso (fracción que cumple con las especificaciones); no puede decirse nada acerca del comportamiento dinámico del proceso ni de su estado de control estadístico. El análisis de capacidad de un proceso es una parte vital de un programa integral de mejoramiento de calidad. Entre los usos principales de los datos de un análisis de capacidad de un proceso se encuentran los siguientes: 1. Predecir la medida en que el proceso se apegará a las tolerancias.

99

2. Brindar asistencias a los responsables del desarrollo y diseño del producto para seleccionar o modificar un proceso. 3. Brindar asistencia para establecer un intervalo entre el muestreo para monitorear el proceso 4. Especificar los requerimientos de desempeño para el equipo nuevo 5. Seleccionar entre proveedores competidores. 6. Planear la secuencia de los procesos de producción cuando está presente un efecto interactivo de los procesos sobre las tolerancias. 7. Reducir la variabilidad de un proceso de manufactura En consecuencia, el análisis de capacidad de un proceso es una técnica que tiene aplicación en muchos segmentos del ciclo del producto, incluyendo el diseño de productos y procesos, la fuente de proveedores, la planeación de la producción o la manufactura, y la propia manufactura.

4.2 Índices de capacidad de procesos Una vez que el proceso se encuentra bajo control y dadas sus especificaciones diremos que un proceso es capaz, si puede producir artículos dentro de las especificaciones establecidas, es decir, si su capacidad es menor que las tolerancias. Para poder comparar estas dos características se define un índice, el índice de capacidad, que es una medida de lo que se puede conseguir con el proceso teniendo en cuenta las especificaciones. Los índices de capacidad ayudan reducir la variabilidad del proceso, desempeño de distintos proveedores aproximada del porcentaje de artículos establecidas.

a enfatizar la necesidad de mejoras para también facilitan la comparación del o procesos y proporcionan una idea que no cumple con las especificaciones

Existen diferentes procedimientos para monitorear la calidad del proceso de producción. Sin embargo, una vez que el proceso esta bajo control estadístico surge la pregunta, “¿a qué nivel el proceso satisface los requerimientos u objetivos ingenieriles o administrativos?”, o en términos más generales, la pregunta es, “¿qué tan capaz es el proceso en cuanto a producir artículos dentro de los limites de especificación?”. La respuesta a esta pregunta requiere teoría estadística, pero el problema en sí mismo no es académico. El mejoramiento de calidad empresarial intenta estandarizar, y como evidencia de capacidad esto se ha convertido en un requerimiento para los proveedores y compañías que están reconsiderando el valor y la fiabilidad de únicamente resúmenes numéricos para el 100

comportamiento de procesos complejos. Algunas organizaciones han introducido sus propios índices de capacidad, mientras otras todavía consideran restringido el uso de los índices descubriendo después que su desconsideración es un obstáculo para el mejoramiento. En este apartado se presenta una forma usual de cuantificar la capacidad de cumplir con especificaciones, como son los índices Cp , Cpk y Cpm . Estos índices ayudan a enfatizar la necesidad de mejoras para reducir la variabilidad del proceso, también facilitan la comparación del desempeño de distintos proveedores o procesos y proporcionan una idea aproximada del porcentaje de artículos que cumplen con las especificaciones establecidas.

4.2.1 Índice de capacidad del proceso Cp Una forma de medir la capacidad potencial del proceso que cumpla con las especificaciones establecidas la da el índice de capacidad del proceso Cp , dado por:

Cp = donde LES y LEI

LES − LEI 6σ

(32)

son los límites superior e inferior de especificación,

respectivamente, y σal producto representa la desviación estándar de la característica de calidad que se mide El índice Cp compara el ancho de las especificaciones con la amplitud de la variación del proceso, que es medida a través de una característica de calidad del producto, con lo que, si la variación del proceso es mayor que la amplitud de las especificaciones, entonces el índice Cp es menor que 1. De esta manera, si el valor del Cp es menor que 1 es una evidencia de que no se esta cumpliendo con las especificaciones. Por el contrario, si el índice Cp es mayor que 1, entonces es una evidencia de que el proceso es potencialmente capaz de cumplir con las especificaciones. Usualmente, el índice Cp se utiliza para conocer y tomar decisiones sobre el proceso, dependiendo de su valor es el tipo de proceso y la decisión que ha de tomarse. En la Tabla 13 se presenta un resumen de la interpretación del Cp , suponiendo que el proceso está centrado. Como se observa en la tabla, el valor mínimo deseable para el Cp es 1.33 o 2 si se requiere una calidad de seis sigma. En general el valor mínimo del índice Cp puede fijarse en función del porcentaje de artículos fuera de especificaciones que se está dispuesto a tolerar. Para tal propósito se dispone de la Tabla 14 para calcular el porcentaje de artículos que no cumplirían con las especificaciones y la cantidad de partes con defectos por cada millón. Por ejemplo, si el índice Cp = 0.9 y el proceso estuviera centrado, entonces 101

el correspondiente proceso produce 0.69% artículos fuera de especificaciones, que corresponde a 6934 partes defectuosas de cada millón producido. Si al analizar un proceso se encuentra que su capacidad para cumplir con las especificaciones es mala, existen tres opciones: modificar el proceso, cambiar las tolerancias o inspeccionar el 100% de los artículos. Por el contrario, si hay capacidad excesiva, ésta se puede aprovechar, por ejemplo, vendiendo la precisión, vendiendo el método, reasignando productos a máquinas menos precisas, acelerar el proceso y reducir la cantidad de inspección. Tabla 13. Valores de Cp y su interpretación

Valor del Cp

Clasedeproceso

Decisión

Cp ≥ 2

Clase mundial

Cp ≥ 1.33

1

Adecuado

1 < Cp < 1.33

2

Parcialmente adecuado, pero conforme el Cp se acerca a uno se generan más defectos.

0.67 < Cp < 1

3

No adecuado. Un análisis del proceso es necesario. Requiere modificaciones muy serias

Cp < 0.67

4

Se tiene calidad Seis Sigma

Totalmente inadecuado. modificaciones muy serias

Requiere

de

Tabla 14. Los índices Cp, Cpi y Cps , en términos de la cantidad de piezas malas, bajo el supuesto de normalidad y de que el proceso está centrado en el caso de doble especificación

Valor del índice 0.25 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 2.00

Proceso con doble especificación % fuera de especificación 45.33 13.36 7.19 3.57 1.64 0.69 0.27 0.097 0.032 0.010 0.003 0.0007 0.0002 0.000034 0.000006 0.00000018

Partes por millón fuera 453 225 133 614 71 861 35 729 16 395 6 934 2 700 967 318 96 27 7 2 0.34 0.06 0.0018

Proceso con sólo una especificación % fuera de Partes por especificación millón fuera 22.66 226 628 6.68 66 087 3.59 35 931 1.79 17 865 0.82 8 198 0.35 3 467 0.135 1 350 0.048 484 0.016 159 0.005 48 0.0014 14 0.0004 4 0.0001 1 0.000017 0.17 0.000003 0.03 0.00000009 0.0009 102

Ejemplo 11. Para ilustrar el cálculo de Cp , considérese que una fuente de poder de alto voltaje debe tener un voltaje de salida nominal de 350 V. Se seleccionó una muestra de 20 días realizándose cuatro observaciones cada día, las que se analizan para fines de control del proceso. Los datos obtenidos permitieron estimar , el promedio del proceso, por medio de x , resultando x = 351.038 y obtener el rango promedio R = 0.620 . Asimismo, los límites de especificación del proceso se fijaron en 350 V ± 2 V. Para calcular el índice Cp por medio de la expresión (32), se estima la desviación estándar σ del proceso por medio de la expresión

=

σˆ

R d2

donde el valor de d 2 se obtiene de la Tabla 1 del anexo, obteniéndose d 2 = 2.059 , así σ se estima en:

=

σˆ

0.62 2.059

= 0.30

Por lo tanto, con LSE = 352 , LIE = 348 y σˆ = 0.30 el índice de capacidad Cp esta dado por: LES − LEI 6σ

Cp =

=

352 − 348 6(0.30 )

= 2.22 Como el índice Cp es mayor que 1, se concluye que el proceso es potencialmente capaz de cumplir con las especificaciones. Esto es, un número relativamente pequeño de observaciones tendrán un voltaje de salida fuera de los límites de especificación. El Índice de Capacidad del Proceso (ICP ) Cp de la expresión (32) tiene otra interpretación práctica útil que está dada por la cantidad:

 1  100%  Cp 

P = 

(33)

que es el porcentaje de la banda de las especificaciones que utiliza el proceso. Para el proceso de salida nominal de voltaje de la fuente de poder se tiene 103

 1 100   2.22 

P=

%

= 45.04% lo que implica que el proceso utiliza el 45% de la banda de las especificaciones. Para ilustrar gráficamente el ICP Cp , en la Figura 47 (Montgomery. 2005), se presentan los comportamientos de un proceso para diferentes valores de Cp . En la Figura 47a el ICP Cp es mayor que 1. Esto significa que el proceso utiliza mucho menos del 100% de la banda de tolerancia. Por consiguiente, en este proceso se tendrá un número relativamente pequeño de observaciones fuera de los límites de control. En la Figura 47b se muestra un proceso para el que ICP Cp = 1 ; es decir, el proceso utiliza toda la banda de tolerancia. Para una distribución normal esto implica que cerca de 0.27% (o 2700 ppm ) de las observaciones caerán fuera de los límites de especificación. Finalmente, en la Figura 47c se ilustra un proceso para el que el ICP Cp es menor que 1; es decir, el proceso utiliza más del 100% de la banda de tolerancia. En este caso el proceso es muy sensitivo al rendimiento, y un gran número de observaciones caerán fuera de los límites de especificación. Adviértase que en los tres casos que se presentan en la Figura 47 el proceso esta centrado en el punto medio de la banda de las especificaciones. Sin embargo, este noalgunas será elmodificaciones caso para otras situaciones para las cuales será necesario realizar del ICP para su descripción de manera adecuada. En las expresiones (32) y (33) se supone que el proceso tiene un límite tanto superior como inferior de la especificación. No obstante, existen procesos en las que se requieren sólo una especificación, ya sea inferior o superior. Por ejemplo, en un producto alimenticio el porcentaje de colesterol debe ser menor que cierto LES ; en caso de excederla, el proceso será incapaz. Por el contrario, en un producto alimenticio el porcentaje de contenido de proteínas debe ser mayor que cierto LEI ; en caso de ser menor, el proceso será incapaz.

104

Figura 47. Comportamiento de un proceso para diferentes valores del ICP Cp . Para especificaciones unilaterales, el índice de capacidad superior, Cps , esta dado por:

Cps =

LES − 3σ

(34)

y el índice de capacidad inferior, Cpi , esta dado por:

105

− LEI

Cpi =

3σ

(35)

donde y σ son respectivamente la media y la desviación estándar de la característica de la calidad. Ejemplo 12. Para ilustrar el uso los índices de de capacidad en un considérense los datos de ladefuente de poder alto voltaje. Losproceso datos delunilateral, proceso son los siguientes: x = 351.038 , R = 0.620 , LES = 352 , LEI = 348 y σˆ = 0.30 . El proceso debe tener una salida nominal superior de voltaje es de 352. Así, la estimación resultante del índice de capacidad superior del proceso es

Cps = =

LES − µ 3σ 352 − 351.038 3(0.30)

= 1.07 Esto implica que el proceso es capaz de cumplir con el LES , ya que de acuerdo con la Tabla 14 el porcentaje aproximado de observaciones por arriba del LES = 352 es de 0.048%, esto es, 484 partes por millón. Montgomery (2005), menciona que el índice de capacidad del proceso es una medida de la habilidad del proceso para fabricar productos que cumplen con las especificaciones. En la Tabla 14 se presentan varios valores del ICP Cp junto con los valores asociados de la porción caída del proceso, expresados como partes defectuosas o unidades defectuosas del producto por millón ( ppm ). Estas cantidades ppm se calcularon usando los siguientes supuestos muy importantes: 1. La característica de la calidad tiene una distribución normal 2. El proceso esta bajo control estadístico 3. En el caso de las especificaciones bilaterales, la media del proceso está centrada entre los límites inferior y superior de la especificación. absolutamente determinantes para la las precisión y la validezEstos de lossupuestos números son reportados, y si no son validos, entonces cantidades reportadas pueden tener errores graves. Por ejemplo, Somerville y Montgomery reportan una amplia investigación de los errores producidos al utilizar el supuesto de la normalidad para hacer inferencias acerca del nivel de ppm de un proceso cuando en realidad la distribución fundamental no es normal. Investigaron varias distribuciones no normales y observaron que puedan resultar errores de varios 106

órdenes de magnitud cuando las ppm se predicen estableciendo incorrectamente el supuesto de normalidad. Incluso cuando se usa una distribución t hasta con 30 grados de libertad, resultan errores sustanciales. Por tanto, aun cuando una distribución t con 30 grados de libertad es simétrica y casi indistinguible visualmente de la distribución normal, las colas más largas y cargadas de la distribución t hacen una diferencia significativa cuando se estiman las ppm . Por consiguiente, la simetría en la distribución de la salida del proceso por sí sola es insuficiente parappm asegurar que cualquier ICP proporcionará una predicción confiable de las del proceso. La estabilidad o control estadístico del proceso también es esencial para la interpretación correcta de cualquier ICP . Desafortunadamente, es una practica muy común calcular un ICP a partir de una muestra de datos históricos del proceso sin considerar en absoluto si el proceso esta bajo control estadístico o no. Si el proceso no esta bajo control, entonces por supuesto que sus parámetros son inestables, y es incierto el valor de estos parámetros en el futuro. Por tanto, se pierden los aspectos predictivos del ICP respecto del desempeño ppm del proceso. Por último, recuérdese que lo que se observa realmente en la práctica es una estimación del ICP . Esta estimación está sujeta al error de estimación, ya que depende de estadísticos muéstrales. Al respecto, English y Taylor reportan que pueden ocurrir grandes errores al estimar los ICP a partir de datos muéstrales, por lo que la estimación que se tiene realmente a la mano quizá no sea muy confiable. Siempre es una buena idea reportar la estimación de cualquier ICP en términos de un intervalo de confianza, aspecto que se menciona brevemente al final de ésta sección.

4.2.2 Índice de capacidad del proceso Cpk El índice de capacidad del proceso Cp estima la capacidad potencial del proceso para cumplir con tolerancias, pero una de sus desventajas es que no toma en cuenta el centrado del proceso, como se muestra en la Figura 47 (Gutiérrez P. 1997). No obstante, se puede modificar el índice Cp para que además de tomar en cuenta la variabilidad, calcule también dónde se localiza la media del proceso respecto a las especificaciones, al índice Cp modificado se le denomina índice de capacidad real, se denota por Cpk y esta dado por: C pk =

Mínimo[(LES (−) , 3σ

) − LEI ]

(36)

donde y σ son respectivamente la media y la desviación estándar de la característica de calidad que se mide al producto. 107

Figura 48. Algunos procesos típicos y sus respectivos Cp y Cpk El índice Cpk va ser igual al índice Cp cuando la media del proceso se ubique en el punto medio de las especificaciones. Si el proceso no está centrado entonces el valor del índice Cpk será menor que el índice Cp , de manera que la magnitud del Cpk relativa al Cp sea una medida directa de que tan centrado está operando el proceso (ver Figura 48). Valores de Cpk mayores que 1 indican que el proceso está fabricando artículos que cumplen con las especificaciones, mientras que valores menores que 1 indicarán que se está produciendo artículos fuera de especificaciones. Valores de Cpk iguales a cero o negativos, indican que la media del proceso está fuera de las especificaciones.

108

Para calcular los índices Cp y Cpk para un proceso especifico es necesario conocer la media, , y la desviación estándar, σ , de la característica de calidad; en caso de no conocerlas se puede utilizar la información de una carta de control para estimarlas, sustituyendo por x y R / d 2 , respectivamente, donde d 2 es una constante que depende del tamaño de muestra para el gráfico de medias y se obtiene de la Tabla1 que se presenta en el anexo. Ejemplo 13. Considerar los datos de los anillos para pistones de la Tabla 15. Estimar la capacidad del proceso suponiendo que las especificaciones son 74.00 ± 0.035 mm. Tabla 15. Mediciones del diámetro interior ( mm ) de anillos fundidos para pistones.

Número de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8

74.030 73.995 73.988 74.002 73.992 74.009 73.995 73.985

74.002 73.992 74.024 73.996 74.007 73.994 74.006 74.003

74.019 74.001 74.021 73.993 74.015 73.997 73.994 73.993

73.992 74.011 74.005 74.015 73.989 73.985 74.000 74.015

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

74.008 73.998 73.994 74.004 73.983 74.006 74.012 74.000 73.994 74.006 73.984 74.000 73.982 74.004 74.010 74.015

73.995 74.000 73.998 74.000 74.002 73.967 74.014 73.984 74.012 74.010 74.002 74.010 74.001 73.999 73.989 74.008

74.009 73.990 73.994 74.007 73.998 73.994 73.998 74.005 73.986 74.018 74.003 74.013 74.015 73.990 73.990 73.993

25

73.982

73.984

73.995

Observaciones

xi

Ri

74.008 74.004 74.002 74.009 74.014 73.993 74.005 73.988

74.010 74.001 74.008 74.003 74.003 73.996 74.000 73.997

0.038 0.019 0.036 0.022 0.026 0.024 0.012 0.030

74.005 74.007 73.995 74.000 73.997 74.000 73.999 73.998 74.005 74.003 74.005 74.020 74.005 74.006 74.009 74.000

74.004 73.995 73.990 73.996 74.012 73.984 74.007 73.996 74.007 74.000 73.997 74.003 73.996 74.009 74.014 74.010

74.004 73.998 73.994 74.001 73.998 73.990 74.006 73.997 74.001 74.007 73.998 74.009 74.000 74.002 74.002 74.005

0.014 0.017 0.008 0.011 0.029 0.039 0.016 0.021 0.026 0.018 0.021 0.020 0.033 0.019 0.025 0.022

74.017

74.013

73.998

0.035

x = 74.001 R = 0.023

Para estimar la capacidad del proceso se dispone de los datos siguientes: x = 74.001 , R = 0.023 , n = 5 , LEI = 73.965 , LES = 74.035 . 109

Para calcular el ICP Cp a partir de la expresión

Cp

=

LES − LEI 6σ

se estima primero σ como se muestra a continuación R σˆ

0.023

= d 2 = 2.326 = 0.0099

donde el valor de d 2 para muestras de tamaño cinco se obtiene de la Tabla 1 del anexo. Por lo tanto, el índice Cp se estima en Cp =

74.035 − 73.965 6(0.009 )

= 1.18

La estimación del apéndice Cpk se realiza mediante la expresión Cpk =

() Mí min o[(LSE − 3σ

,

) − LIE ]

obteniéndose Cpk = Mí min o[(74.035 (− 74) .001 , 74 ) .001 − 73.965 ] 3(0.009) Mínimo[(0.034 () , 0).036 ]

=

=

0.0297 0.034 0.0297

= 1.14

como el Cpk es menor que el Cp entonces el proceso es capaz pero descentrado, lo cual puede observarse en la Figura 49, obtenida en el software estadístico MINITAB.

110

Figura 49. Gráfico de capacidad para el diámetro interior de anillos para pistones Ejemplo 14. Un proceso está bajo control con x = 100 , S = 1.05 y n = 5 . Las especificaciones del proceso son 95 ± 10. La característica de la calidad tiene una distribución normal. Estimar la capacidad potencial y la capacidad real. ¿Cuánto podría reducirse nominal? la porción caída del proceso si éste se corrigiera para operar en la especificación Para hacer las estimaciones indicadas se dispone de los datos siguientes: = 1.05 , n = 5 , LEI = 85 y LES = 105 .

x = 100 , S

La capacidad potencial de un proceso se estima por medio del índice Cp , dado por: Cp =

LES − LEI 6σ

donde σ se estima como se muestra a continuación σˆ

=

S c4

=

1.05 0.94

= 1.12

donde el valor de c 4 para muestras de tamaño cinco se obtiene de la Tabla 1 del anexo. 111

Por lo tanto, el índice Cp se estima en:

Cp =

105 − 85 6(1.12)

= 2.98

La capacidad real de un proceso se estima por medio del índice de Cpk , dado por: Cpk

= =

Mí min o[(LES (−) , ) − LEI ] 3σ ) , 100 ) − 85 ] Mí min o[(105 − (100 3(1.12)

Mínimo[(5,15)] = 3.36 5 = = 1.49 3.36

Puede usarse la Tabla 14 para obtener una estimación rápida del mejoramiento potencial que seria posible conseguir al centrar el proceso. Para Cpk = 1.49 se lee la porción caída en la columna del proceso con sólo una especificación, puede estimarse la porción caída real como 4 pm . Sin embargo, si el proceso puede centrarse, puede conseguirse Cp = 2.98 y de la Tabla 14 de la columna del proceso con doble especificación se tiene que la porción caída potencial es menor que 0.0018 ppm , un mejoramiento de varias órdenes de magnitud en el desempeño del proceso

4.3 Análisis de capacidad de procesos mediante gráficos de control Los histogramas, los gráficos de probabilidad y los índices de capacidad del proceso resumen el desempeño del proceso. No indican necesariamente la capacidad potencial del proceso porque no abordan la cuestión del control estadístico, ni muestran patrones sistemáticos en la salida del proceso que, si se eliminaran, reducirán la variabilidad en la característica de la calidad. Los gráficos de control son muy efectivos a este respecto. El gráfico de control deberá mirarse como la técnica principal para el análisis de capacidad del proceso. En el análisis de capacidad del proceso pueden usarse tanto los gráficos de control para variables como para atributos. Los gráficos x y R deberán usarse siempre que sea posible, debido a la gran potencia y la mejor información que proporcionan en comparación con los gráficos para atributos. No obstante, tanto los gráficos p como los gráficos c(o u) son útiles para analizar la capacidad del 112

proceso. Recuérdese que para usar los gráficos p debe haber especificaciones para las características del producto. Los gráficos x y R permiten estudiar los procesos independientemente de las especificaciones. Los gráficos de control x y R permiten tanto el análisis de la variabilidad instantánea (la capacidad del proceso en el corto plazo) como la variabilidad con el tiempo (la capacidad del proceso en el largo plazo). Es de particular utilidad si los datos de para el estudio de la(como capacidad del proceso se recolectan en dos o tres periodos tiempo diferentes en diferentes turnos, días diferentes, etc.). Ejemplo 15. En la Tabla 16 se presentan los datos de la dimensión crítica de una pieza producida en un proceso de maquinado en 20 muestras de cinco observaciones cada una. Los cálculos para los gráficos x y R se presentan a continuación: Limites de control para el gráfico R Línea Central: LC = R = 40.9 Límite de Confianza Inferior: LCI = D3 R = (0)( 40.)9 = 0 Límite de Confianza Superior: LCS = D 4 R = (2.115 )( 40).9 = 86.50 Límite de control para el gráfico x Línea Central: Límite de Confianza Inferior: Límite de Confianza Superior:

LC = x = 130.9 LCI = x − A2 R = 130.9 − (0.577 )( 40).9 = 107.30 LCS = x + A2 R = 130.9 + (0.577 )( 40) .9 = 154.50

donde D3 , D4 y A2 son valores obtenidos de la Tabla 1 del anexo. Tabla 16. Dimensión critica de una pieza producida en un proceso de maquinado

Número de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x1

x2

x3

x4

x5

138.1 149.3 115.9 118.5 108.2 102.8 120.4 132.7 136.4 135.0 139.6 125.3

110.8 142.1 135.6 116.5 123.8 112.0 84.3 151.1 126.2 115.4 127.9 160.2

138.7 105.0 124.2 130.2 117.1 135.0 112.8 124.0 154.7 149.1 151.1 130.4

137.4 134.0 155.0 122.6 142.4 135.0 118.5 123.9 127.1 138.3 143.7 152.4

125.4 92.3 117.4 100.2 150.9 145.8 119.3 105.1 173.2 130.4 110.5 165.1

x

R

130.1 124.5 129.6 117.6 128.5 126.1 111.1 127.4 143.5 133.6 134.6 146.7

27.9 57.0 39.1 30.0 42.7 43.0 36.1 46.0 47.0 33.7 40.6 39.8 113

Tabla 16. Continuación 13 145.7 14 138.6 15 110.1 16 145.2 17 125.9 18 129.7 19 123.4 20 144.8

101.8 139.0 114.6 101.0 135.3 97.3 150.0 138.3

149.5 131.9 165.1 154.6 121.5 130.5 161.6 119.6

113.3 140.2 113.8 120.2 147.9 109.0 148.4 151.8

151.8 141.1 139.6 117.3 105.0 150.5 154.2 142.7

132.4 138.2 128.6 127.7 127.1 123.4 147.5 139.4 x 130.9

50.0 9.2 55.0 53.6 42.9 53.2 38.2 32.2 R 40.9

En las figuras 50 y 51 se presentan respectivamente los gráficos R y x para las 20 muestras de la Tabla 16. Ambos gráficos indican control estadístico. Los parámetros del proceso pueden estimarse a partir de los gráficos de control como: µˆ

= x = 130.9

σˆ

=

R 40.9 = = 17.58 d 2 2.326

Si la dimensión critica inferior de una pieza producida en un proceso de maquinado es igual a LEI = 100 , entonces el índice de capacidad unilateral inferior del proceso se estima en: Cpi =

=

− LEI 3σ

130.9 − 100 3(17.58)

= 0.59 de la Tabla 14, es evidente que la capacidad del proceso es inadecuada, esto debido a un 3.59% de las piezas se encuentran fuera de los límites de especificación, lo que representa 35 931 ppm .

114

Figura 50. Gráfico R de la dimensión crítica de una pieza

Figura 51. Gráfico x de la dimensión crítica de una pieza

Este ejemplo ilustra un proceso que está bajo control pero que está operando en un nivel inaceptable. No hay evidencia que indique que la producción de artículos defectuosos es controlable por el operador. Se necesitará la intervención de la administración sea para mejorar el proceso o para cambiar los 115

requerimientos si los problemas de calidad de las piezas deben resolverse. El objetivo de estas intervenciones es incrementar el índice de capacidad del proceso al menos a un nivel mínimo aceptable. El gráfico de control puede usarse como un recurso de monitoreo para mostrar el efecto de los cambios en el proceso sobre el desempeño del mismo. Ejemplo 16. Se cuenta con información sobre la dureza de 100 múltiples de admisión mostrada en la Tabla 17. La especificación es de 1 a 3 Rc. Tabla 17. Información sobre dureza en múltiples de admisión

Muestra

Dureza

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1.855 2.020 2.378 1.644 2.189 1.828 2.614 2.298 1.917 1.823 2.431 1.756 2.047

1.162 1.473 1.525 1.870 2.281 1.793 1.976 2.533 2.280 2.060 1.267 1.611 1.931

1.606 1.502 1.743 1.703 1.854 1.943 1.649 2.681 1.817 2.290 1.737 1.570 2.805

2.010 2.471 2.193 1.745 1.945 1.894 1.827 1.548 2.333 1.471 2.011 1.563 1.926

1.929 1.518 1.492 1.640 1.801 1.971 2.179 2.233 1.773 1.364 2.061 1.420 1.988

x 1.712 1.797 1.866 1.720 2.014 1.886 2.049 2.259 2.035 1.802 1.901 1.584 2.139

0.848 0.998 0.886 0.230 0.480 0.178 0.965 1.133 0.560 0.926 1.164 0.336 0.879

14 15 16 17 18 19 20

1.756 1.677 2.351 1.930 1.833 1.941 1.883

1.895 1.888 1.790 2.133 1.575 1.788 2.220

1.723 1.751 2.416 1.976 2.039 2.077 1.581

1.901 1.763 2.305 2.133 1.492 1.607 2.290

1.873 1.821 1.985 2.107 1.838 1.376 1.105

1.830 1.780 2.169 2.056 1.755 1.758 1.816

0.178 0.211 0.626 0.203 0.547 0.701 1.185

x = 1.896

R

R = 0.662

En la Tabla 17 se obtuvieron las medias y los rangos de 20 muestras de cinco observaciones cada una. Lo cálculos para los gráficos de x y R se presentan a continuación: Limites de control para el gráfico R Línea Central: Límite de Confianza Inferior: Límite de Confianza Superior: Límite de control para el gráfico x Línea Central:

LC = R = 0.662 LCI = D3 R = (0)( 0.662 ) =0 LCS = D4 R = (2.115 )( 0.662 ) = 1.40 LC

= x = 1.896 = x − A2 R = 1.896 − (0.577 )(

0.662 )

= 1.514

)( = x + A2 R = 1.896 + (0.577

0.662 )

= 2.278

Límite de Confianza Inferior:

LCI

Límite de Confianza Superior:

LCS

116

En las Figuras 52 y 53 se presentan respectivamente los gráficos R y x para las 20 muestras de la Tabla 8 ambos gráficos muestran que el proceso está estable.

Figura 52. Gráfico de R para la dureza

Figura 53. Gráfico de x para la dureza

117

Los parámetros del proceso pueden estimarse a partir de los gráficos de control como: µˆ = x = 1.896 σˆ

=

R d2

=

0.662 2.326

= 0.2846

Con los límites de especificación LEI = 1 y LES = 3 , entonces el índice de capacidad del proceso se estima mediante: LES − LEI 6σˆ

Cp =

=

3 −1 6(0.2846)

Mínimo[(LES (−) 3σ

Cpk =

=

= =

,

= 1.17

) − LEI ]

) , 1).896 − 1 ] Mí min o[(3 − 1.(896 3(0.2846) Mínimo (1.104,0.896 ) 0.8538 0.896 0.8538

= 1.049

Una interpretación clásica, tanto para capacidad como para desempeño, es tal que si Cp es mayor que Cpk , el proceso no está centrado en el objetivo. Si son aproximadamente iguales, entonces el proceso está centrado. 1. Si el índice ( Cp , Cpk ) es menor a 1, el proceso es incapaz 2. Si el índice está entre 1 y 1.33, el proceso es apenas capaz 3. Si el índice es mayor a 1.33, el proceso es capaz El índice Cpk prevalece sobre Cp para tener la evaluación real (actual) del proceso De acuerdo con los resultados, se observa que el proceso no es capaz real ni potencialmente, así como su desempeño tampoco es aceptable.

118

El porcentaje de defectuosos se puede estimar como se muestra a continuación: P( X

1 − 1.896  3 − 1.896   3 = P Z <  + P Z >  0 . 2846 0.2846     = P(Z < −3).15 ( + P) Z > 3.88 = 0.000816 + 0.00005236

= 0.0008684 Esto es, el porcentaje de defectuosos es de 0.08684 %, es decir 886.4 ppm

4.4 Estudios de capacidad de instrumentos y procedimientos de medición Un aspecto importante de muchos esfuerzos de implementación del control estadístico de procesos es asegurar una capacidad adecuada de instrumentos y procedimientos de medición. En cualquier problema que implique mediciones, parte de la variabilidad que se observa se debe a la variabilidad en el producto en sí, y parte se debe al error de medición o variabilidad de los instrumentos. Lo que se representa matemáticamente como 2 σ Total

2 = σ Pr2 oducto + σ Instrument o

2 donde σ Total es la varianza total observada, σ Pr2 oducto es la varianza debido al 2 producto, y σ Instrument o es la varianza debido al error de medición. Pueden usarse gráficos de control y otros métodos estadísticos para separar estos componentes de la varianza, así como para dar una determinación de la capacidad de los instrumentos de medición.

En un estudio de capacidad de los instrumentos de medición debe usarse un instrumento como parte de la implementación de un control estadístico de procesos (CEP) propuesto. Al equipo de mejoramiento de calidad involucrado en el diseño del CEP le gustaría tener una resolución de la capacidad del instrumento de medición. El Ejemplo 17 ilustra el procedimiento para llevar acabo un estudio de capacidad de instrumentos de medición. Ejemplo 17. Diezde partes son medidas tres vecesLos por datos el mismo operador un estudio capacidad instrumentos de medición. obtenidos se en presentan en de la Tabla 18.

119

Tabla 18. Mediciones de diez partes realizadas por el mismo operador tres veces

No. Persona 1 2 3 4

1 100.0 95.0 101.0 96.0

Mediciones 2 101.0 93.0 103.0 95.0

3 100.0 97.0 100.0 97.0

5 6 7 8 9 10

98.0 99.0 95.0 100.0 100.0 100.0

98.0 98.0 97.0 99.0 100.0 98.0

96.0 98.0 98.0 98.0 97.0 99.0

R

x

100.33 95.00 101.33 96.00

1 4 3 2

97.33 98.33 96.67 99.00 99.00 99.00

2 1 3 2 3 2

∑ = 981.99

∑ = 23

x = 98.199

R = 2.3

A continuación se presenta la descripción del error de medición que resulta del uso de este instrumento. En las figuras 54 y 55 se presentan respectivamente los gráficos de x y R . El gráfico x tiene una interpretación que es un tanto diferente de la interpretación x en este tipo de análisis, indica el poder de discriminación del usual. El gráfico instrumento, es decir, muestra la habilidad del instrumento para distinguir entre las unidades de producto. El gráfico R muestra directamente la magnitud del error de medición, o capacidad del instrumento. Los valores de R representan la diferencia entre las mediciones hechas en la misma unidad utilizando el mismo instrumento. En este sentido, el gráfico R indica control. Los puntos fuera de control del gráfico R indican que el operador está teniendo dificultades para utilizar el instrumento. Los puntos dentro del gráfico R indican que el operador no esta teniendo dificultades para utilizar el instrumento, tal como es el caso del presente ejemplo al observar la Figura 55.

120

Figura 54. Gráfico de x de las mediciones de diez partes

Figura 55. Gráfico de R de las mediciones de diez partes Continuando con el estudio de capacidad del instrumento de medición y recordando que en cualquier problema que implique mediciones, parte de la 121

variabilidad observada se debe a la variabilidad del producto dada por σ Pr2 oducto , y parte se debe al error de medición o variabilidad del instrumento dada por 2 σ Instrument o , se procede a su estimación por medio de la expresión: 2 σ Total

2 = σ Pr2 oducto + σ Instrument o

2 Para tal propósito, inicialmente se estima σ Total como se indica a continuación 2 = varianza de los datos: 100, 95, 101,…, 97, 99; obteniéndose σ Total 2 = 4.717 σ Total

2 Posteriormente se estima σ Instrument o , para lo cual primero se calcula σ Instrumento , por medio de la expresión:

σ Instrumento

=

R d2

donde d 2 se obtiene de la Tabla 1 del anexo, resultando 2 .3 σ Instrumento

= 1.693 = 1.359

por lo tanto, la variabilidad del instrumento resulta ser:

σ 2Instrumento = (1.359 )2 = 1.847 Finalmente, se estima σ 2Pr oducto como se indica a continuación 2 = σ Pr2 oducto + σ Instrument o 2 σ Pr oducto = σ Total − σ 2 Instrumento 2

σ Total

2

σ 2Pr oducto = 4.717 − 1.847 = 2.87 La medición también puede expresarse como un porcentaje de la variabilidad de la característica del producto, dada por: σ Instrumento σ Pr oducto

× 100 =

1.359 1.694

× 100 = 80.22%

122

Conocida la variabilidad total, la del producto y la del instrumento de medición, se puede conocer el porcentaje de la variabilidad total que se debe al instrumento de medición, lo que se obtiene mediante σ Instrumento σ Total

× 100 =

1.359 2.172

× 100 = 62.57%

Si se desea compara la estimación de la capacidad de los instrumentos de medición con la anchura de las especificaciones o la banda de tolerancia (LES − LEI ) para la pieza que se esta midiendo, entonces tal comparación se realiza mediante el cociente Precisión / Tolerancias o P T , dado por P T

=

6σ Instrumento

LES − LEI

En el presente ejemplo, si las especificaciones de las partes son 100 ± 15, entonces el cociente P T resulta ser: P T

=

6(1.359) = 0.2718 (115 − 85)

Es frecuente considerar que valores de P T menores o iguales a 0.1 denotan una capacidad adecuada del instrumento de medición, aunque la mejor manera de asegurarse de que el instrumento puede distinguir adecuadamente entre los diferentes grados del producto en incluir estas unidades diferentes en el experimento de capacidad del instrumento y construir los gráficos de control x y R como se hizo en el ejemplo descrito previamente. Es posible también diseñar estudios de capacidad de instrumento para investigar dos componentes del error de medición, llamados generalmente la repetibilidad y la reproductibilidad del instrumento. La reproductibilidad determina la variabilidad debida a diferentes operadores que manejan el instrumento en diferentes condiciones y la repetibilidad como una indicación de la exactitud inherente básica del instrumento en sí. Lo que se representa matemáticamente como 2

σ error de medición = σ

2

Instrumento

=σ2 Re petibilida d

+σ 2 Re productibi lidad

El Ejemplo 18, ilustra el procedimiento para estimar estos componentes de la varianza

123

Ejemplo 18. En un estudio para aislar tanto la repetibilidad como la reprodictibilidad de un instrumento, dos operadores usan el mismo instrumento para medir 10 partes tres veces cada uno. En la Tabla 19 se presentan las mediciones obtenidas Tabla 19. Mediciones de dos operadores que miden 10 partes tres veces con el mismo instrumento.

Número de parte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Operador 1 1Mediciones 2 3 50 49 50 52 52 51 53 50 50 49 51 50 48 49 48 52 50 50 51 51 51 52 50 49 50 51 50 47 46 49

Operador 2 R

x

49.7 1 50 51.7 1 51 51.0 3 54 50.0 2 48 48.3 1 48 50.7 2 52 51.0 0 51 50.3 3 53 50.3 1 51 47.3 3 46 x 1 =50.0 R 1 =2

x Mediciones 1 2 3 48 51 49.7 51 51 51.0 52 51 52.3 50 51 49.7 49 48 48.3 50 50 50.7 50 50 5 0.3 48 50 5 0.3 48 49 4 9.3 47 48 4 7.0 x 2 =49.9

R

3 0 3 3 1 2 1 5 3 2 R 2 =2.3

La estimación de la repetibilidad del instrumento se obtiene mediante la expresión σ Re petibilidad

=

R d2

donde para el presente ejemplo, R es promedio de los dos rangos promedios, obteniéndose R=

1

(R 1 + R 2 )

2 1

= (2.0 + 2.3) 2

= 2.15 por lo tanto, la repetibilidad del instrumento se estima en R σ Re petibilidad

= d2 =

2.15

1.693 = 1.27

124

donde d 2 se obtuvo de la Tabla 1 del anexo para muestras de tamaño tres porque cada rango se calculo a partir de tres mediciones repetidas de la misma parte realizadas por el mismo operador. La estimación de la reproductibilidad del instrumento se realiza por medio de la expresión R σ Re productivilidad

= dx 2

donde R se obtiene como se indica a continuación: x

= máx x1 , x 2    x mín = mín x1 , x 2

x máx

R

= x máx − x mín

x

Obteniéndose en el presente ejemplo x máx = máx x1 , x 2 = máx(50.0, 49.9) = 50.0 x mín = mín x 1 , x 2 = mín(50.0, 49.9 ) = 49.9

R = x máx − x mín = 50.0 − 49.9 = 0.1 x

por lo tanto, la reproductibilidad del instrumento se estima en σ Re productibilidad

=

=

R

x

d2

0.100 1.128 = 0.09

donde d 2 = 1.128 , obtenida de la Tabla 1 del anexo, considerando que Rx es el rango de una muestra de tamaño dos. Una vez estimada la repetibilidad y la reproductibilidad se puede estimar la desviación estándar del error de medición por medio de la expresión 2

2

σ error de medición = σ Instrumento

2 = σ Re2 petibilidad + σ Re productibilidad 2 2 = (1).27 ( + )0.09

= 1.36 125

de donde la desviación estándar del error de medición del instrumento se estima en σ Instrument o

=

1.36

= 1.166

Para unas especificaciones de 50 ± 10, entonces el cociente P / T para este instrumento, resulta ser P T

= =

6σ Instrumento LSE − LIE 6(1.166 ) 60 − 40 = 0.35

Este resultado indica que cuando se toma en cuenta tanto la repetibilidad como la reproductibilidad, la capacidad del instrumento no es tan buena como uno quisiera, esto debido a que para considerar una capacidad adecuada del instrumento de medición el cociente P / T debe tomar valores menores o iguales a 0.1. La capacitación de los operadores para realizar mediciones más uniformes al usar el instrumento puede ayudar a reducir σ Re productibilidad , pero como σ Re petibilidad es el componente más grande de σ Instrumento , parte del esfuerzo se debe dirigir a encontrar otro dispositivo de inspección. Ejemplo 19. Se sabe que una combinación operador – instrumento prueba partes con un error promedio de cero; sin embargo, se estima que la desviación estándar del error de medición es 3. Se analizaron muestras de un proceso controlado, y la variabilidad total se estimó como σ = 5 . ¿Cuál es la verdadera desviación estándar del proceso?

Con σ Instrumento = 3 y σ Total = 5 se procede a calcular la verdadera desviación estándar del proceso denotada por σ Pr oceso . Por tanto, despejando σ 2 proceso de la expresión: 2 σ Total

2 = σ Pr2 oducto + σ Instrument o

se tiene σ 2 Pr oducto

= σ 2 Total − σ 2 Instrumento

sustituyendo σ Pr2 oducto

= (5) 2 −( )3 2 = 16

de donde, la desviación estándar del proceso resulta ser: σ Pr oducto

= σ Pr oceso = 4 126

Ejemplo 20. Los datos que se presentan en la Tabla 20 fueron tomadas por un operador durante un estudio de capacidad de instrumentos de medición. Estimar la capacidad del instrumento de medición y diga si el análisis de los gráficos de control de estos datos indican algún problema potencial al utilizar el instrumento. Tabla 20. Mediciones de15 partes dos veces por un operador

Número de partes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Mediciones 1 2 20 20 19 20 21 21 24 20 21 21 25 26 18 17 16 15 20 20 23 22 28 22 19 25 21 20

x

R

20.0 19.5 21.0 22.0 21.0 25.5 17.5 15.5 20.0 22.5 25.0 22.0 20.5

0 1 0 4 0 1 1 1 0 1 6 6 1

20 18

20.5 18.0

1 0

= 20 . 7

R = 1.53

21 18 x

Como una distribución normal suele ser una buena aproximación de la distribución del error de medición, entonces 6σ Instrumento

da una buena estimación de la capacidad del instrumento. El cálculo de σ Instrumento , resulta ser: σ Instrumento

=

R 1.53 = = 1.3564 d 2 1.128

por tanto, la capacidad del instrumento de medición se estima en 6σ Instrumento

= 6(1.3564) = 8.14

El gráfico de R que se presenta en la Figura 57, indica que el operador tiene dificultades para utilizar el instrumento de medición. 127

Figura 56. Gráfico de

de las mediciones

Figura 57. Gráfico de R de las mediciones

128

4.5 Preguntas de repaso y ejercicios propuestos 4.5.1 Preguntas de repaso 4.1 Menciona el objetivo del análisis de capacidad del proceso. 4.2 Mencione que se entiende por capacidad del proceso. 4.3 ¿Cuándo se dice que un proceso es capaz? 4.4 ¿Cuáles son las dos formas de conceptualizar la variabilidad en un estudio de capacidad de un proceso? 4.5 Mencione las partes en las que se presenta la variabilidad en cualquier problema que implique mediciones. 4.6 ¿Qué diferencia hay entre reproductibilidad y repetibilidad?

4.5.2 Ejercicios propuestos 4.7 Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2 y se sabe que su media y desviación estándar están dados por µ=29.3 y σ=0.5, calcule e intérprete los índices Cp y Cpk. 4.8 Considere los dos procesos que se presentan a continuación con un tamaño de muestra n=5 Proceso A B

Media 100 105

Desviación Estándar 3 1

Las especificaciones son 100 ± 10, calcular Cp y Cpk e intérprete ¿Qué procesos preferiría usarse? 4.9 El peso molecular de un polímetro particular deberá estar entre 2100 y 2350. Se analizaron 50 muestras de este material con los resultados x =2275 y s=60. Suponer que el peso molecular tiene una distribución normal. Calcular una estimación puntual de Cpk y encuentre un intervalo al 95% para Cpk. 4.10 Una fuente de poder de alto voltaje debería tener un voltaje de salida nominal de 350 V. Se selecciona una muestra de cuatro unidades cada día y se prueban para fines del control del proceso. Los datos obtenidos se muestra a continuación:

129

No. 1 2 3 4 5 6

X1 350.6 351.0 350.7 350.8 350.9 351.2

X2 350.9 350.4 350.8 350.9 351.0 351.1

X3 351.0 350.6 351.0 350.6 350.7 351.0

X4 351.5 351.1 350.5 351.3 351.3 351.0

87 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

351.6 350.7 350.9 351.5 350.8 350.6 351.6 350.7 351.1 351.5 350.9 351.5 350.8 351.4

351.0 350.5 350.7 351.6 351.2 351.3 350.9 351.3 350.7 351.0 350.8 350.7 350.6 351.5

350.8 351.0 350.8 351.0 351.4 350.9 351.3 351.0 351.0 351.1 351.2 351.0 350.9 351.2

350.9 350.4 351.2 351.3 351.6 351.1 351.5 351.2 351.6 351.4 351.0 351.1 351.2 351.6

a) Establecer las cartas x y R para este proceso, ¿El proceso está bajo estadístico? b) control Si las especificaciones son 350v ± 5v , ¿Qué puede decir de la capacidad del proceso? 4.11 Quince partes son medidas dos veces por el mismo operador en un estudio de capacidad de instrumentos de medición. Los datos obtenidos se presentan en la tabla siguiente. Número de parte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Mediciones 1 20 19 21 24 21 25 18 16 20 23 28 19 21 20 18

2 20 20 21 20 21 26 17 15 20 22 22 25 20 21 18 130

a) Estimar la capacidad del instrumento de medición b) ¿El análisis de la carta de control de estos datos indica algún problema potencial al utilizar el instrumento? 4.12 En un estudio para aislar tanto la repetibilidad como la reproductibilidad de un instrumento, dos operadores usan el mismo instrumento para medir 12 partes tres veces cada uno. Los datos se presentan a continuación.

Número de parte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mediciones del operador 1 1 2 3 50 49 52 51 52 50 53 50 50 49 51 50 48 49 48 52 50 50 51 51 51 52 50 49 50 51 50 47 46 49 52 52 51 49 50 52

Medicines del operador 2 1 2 3 50 49 52 51 50 49 54 52 51 48 50 51 48 49 48 52 50 50 51 50 50 53 48 50 51 48 49 46 47 48 51 50 51 48 50 53

a) Estimar la repetibilidad y la reproductibilidad del instrumento. b) Estimar la desviación estándar del error de medición. c) Si las especificaciones son 50 ± 8, ¿Qué puede decirse acerca de la capacidad del instrumento?

131

UNIDAD 5. CARTAS DE CONTROL ACUMULADA Y DE PROMEDIO MÓVIL

DE

SUMA

5.1 Introducción Las unidades 2, 3 y 4 se concentraron en los métodos básicos del CEP. Las cartas de control que se discutieron en estas unidades reciben el nombre genérico de cartas de control de Shewhart, ya que se basaron en los principios de las cartas de control desarrollados por el Dr. Walter A. Shewhart. Una de las principales desventajas de cualquier carta de control de Shewhart es que sólo utiliza la información del proceso contenida en el último punto graficado e ignora cualquier información ofrecida por la secuencia completa de puntos. Esta característica hace que la carta de control de Shewhart sea relativamente insensible a los corrimientos pequeños del proceso, por ejemplo, del orden de aproximadamente 1.5σ o menos. Desde luego, es posible aplicar otros criterios en las cartas de Shewhart, como las pruebas para corridas y el uso de límites de advertencia, cuya intención es incorporar información del conjunto completo de puntos en el procedimiento de decisión. Sin embargo, el uso de reglas de sensibilidad adicionales reduce la simplicidad y facilidad de interpretación de la carta de control de Shewhart. Además, como ya se señaló, el uso de estas reglas de sensibilidad puede ocasionar una reducción drástica de la longitud promedio de la corrida de la carta de control cuando el proceso está bajo control, lo cual puede ser indeseable. Pueden usarse dos alternativas muy efectivas para la carta de control de Shewhart cuando son de interés los corrimientos pequeños: la carta de control de suma acumulada (o cusum) y la carta de control del promedio móvil (EWMA). En esta unidad se presentarán estas cartas de control.

5.2 La carta de control de suma acumulada 5.2.1 Principios básicos: la carta de control cusum para monitorear la media del proceso La desventaja de las cartas de control estudiadas es su incapacidad para detectar cambios pequeños en la media. Un mecanismo de control de calidad que ha recibido considerablemente atención en la literatura estadística y se ha utilizado en la industria es la carta de suma acumulativa (cusum). Considérense los datos de la columna (a) de la Tabla 21. Las 20 primeras observaciones se sacaron al azar de una distribución normal con media µ = 10 y desviación estándar σ = 1. En la Figura 58 se grafican estas observaciones en una carta de control de Shewhart.

132

Figura 58. Carta de control de Shewhart para los datos de la Tabla 21 La línea central y los límites de control tres sigma de esta carta son LCS

= 13

Línea central = 10 LCI

=7

Obsérvese que las 20 observaciones están bajo control. Las 10 últimas observaciones de la columna (a) de la Tabla 21 se sacaron de una distribución normal con media µ = 11 y desviación estándar σ = 1. Por consiguiente, podría considerarse que estas 10 últimas observaciones se sacaron del proceso cuanto está fuera de control, es decir, después de que el proceso ha experimentado un corrimiento en la media de 1 σ. Estas 10 últimas observaciones también se grafican en la carta de control de la Figura 58. Ninguno de estos puntos se sale de los límites de control, por lo que no se tiene evidencia sólida de que el proceso está fuera de control. Obsérvese que hay un indicio de un corrimiento en el nivel del proceso en los 10 últimos puntos, ya que con excepción de un punto todos los demás se localizan arriba de la línea central. Sin embargo, si se confía en la señal tradicional de un proceso fuera de control (i.e., uno o más puntos que rebasan uno de los límites de control tres sigma), entonces la carta de control de Shewhart ha fallado para detectar el corrimiento. razón de esta falla es, luego, la magnitud relativamente pequeña delLacorrimiento. La carta de desde Shewhart para promedios es muy efectiva si la magnitud del corrimiento es 1.5σ a 2σ o mayor. Para corrimientos más pequeños, no es tan efectiva. La carta de control de suma acumulada (o cusum) es una buena alternativa cuando son importantes los corrimientos pequeños. 133

Tabla 21. Datos para el ejemplo de la cusum

La carta cusum incorpora directamente toda la información contenida en la secuencia de los valores muestrales graficando las sumas acumuladas de las desviaciones que presentan los valores muestrales respecto del valor objetivo. Por ejemplo, suponer que se colectan muestras de tamaño n ≥ 1, y que xi es el promedio de la j-ésima muestra. Entonces, si 0 es el objetivo para la media del proceso, la carta de control de suma acumulada se construye graficando la cantidad (37) contra la muestra i. A C se le llama la suma acumulada hasta la i-ésima muestra, i incluyéndola. Debido a que combinan información de varias muestras, las cartas de suma acumulada son más efectivas que las cartas de Shewhart para detectar corrimientos pequeños en el proceso. Además, son particularmente efectivas con muestras de tamaño n = 1. Esto hace que la carta de control de suma acumulada sea un buen candidato para usarse en las industrias química y de procesamiento, donde es frecuente que los subgrupos sean de tamaño uno, y en la fabricación de 134

piezas discretas con medición automática de cada pieza y control en línea mediante el uso directo de una microcomputadora en el centro de trabajo. Page, E.S., introdujo las cartas de control de suma acumulada, las cuales han sido estudiadas por muchos autores; en particular, ver Ewan, W. D., Gan, F. F., Lucas, J. M. Hawkins, D. M. y Woodall, W. H. y Adams, B. M. En esta sección la atención se centra en la carta de suma acumulada para la media del proceso. Es posible crear procedimientos de suma acumulada para otras variables, tales como variables de Poisson y binomiales para modelar disconformidades y la porción caída del proceso. Se observa que si el proceso se mantiene bajo control en el valor objetivo la suma acumulada definida en la Ecuación 37 es una fluctuación aleatoria con media cero. Sin embargo, si la media experimenta un corrimiento ascendente a un valor 1 > , por ejemplo, entonces se desarrollará una desalineación ascendente o positiva en la suma acumulada C i . Recíprocamente, si la media experimenta un corrimiento descendente a un valor 1 < 0 , entonces se desarrollará una desalineación descendente o negativa en C i . Por lo tanto, si se desarrolla una tendencia en los puntos graficados, sea ascendente o descendente, ésta deberá considerarse como evidencia de que la media del proceso se ha corrido y deberá realizarse la búsqueda de alguna causa asignable. 0

Es de sencillo hacer (a) unadedemostración esta teoríala utilizando los datos la columna la Tabla 21. de Para aplicar cusum de nuevamente la Ecuación 37 a estas observaciones, se tomaría x i = x j (puesto que el tamaño de la muestra es n = 1), y se hace el valor objetivo 0 = 10 . Por lo tanto, la cusum es

La columna (b) de la Tabla 21 contiene las diferencias xi − 10 , y en la columna (c) se calculan las sumas acumuladas. El valor inicial de la cusum, C0 se toma como cero. En la Figura 59 se grafica la cusum de la columna (c) de la Tabla 21. Obsérvese que para las 20 primeras observaciones, para las que = 10 , la cusum a presentar desalineación lenta, en este caso manteniendo valores tiende próximos a cero. Sinuna embargo, en las la últimas observaciones, para las que la media se ha corrido a = 11 , se desarrolla una marcada tendencia ascendente. Desde luego, la gráfica de la suma acumulada de la Figura 59 no es una carta de control, ya que carece de límites de control estadístico. Hay dos formas 135

de representar cusums, la cusum tabular (o algorítmica) y en la forma de máscara V de la cusum. De las dos representaciones, es preferible la cusum tabular. Se discute ahora la construcción y uso de la cusum tabular.

Figura 59. Grafica de la suma acumulada de la columna (c) de la Tabla 21

5.2.2 La cusum tabular o algorítmica para monitorear la media del proceso Se indica ahora la manera de construir una cusum tabular para monitorear la media de un proceso. Es posible construir cusums tanto para observaciones individuales como para los promedios de subgrupos racionales. El caso de las observaciones individuales ocurre con mucha frecuencia en la práctica, por lo que se tratará únicamente esta situación. Sea xi la i-ésima observación del proceso. Cuando el proceso está bajo control, xi tiene una distribución normal con media 0 y desviación estándar σ. Se σ

supone que es conocida o que se cuenta con una estimación de la misma. En ocasiones 0 se considera como el valor "objetivo" para la característica de la calidad . Es común adoptar este punto de vista en las industrias químicas y de procesamiento cuando el objetivo es controlar x (la viscosidad, por ejemplo) para un valor objetivo particular (como 2000 centistokes a 100°C). Si el proceso se desalinea o se corre de este valor objetivo, la cusum producirá una señal, y se 136

hace un ajuste en alguna variable manipulable (como la rapidez de alimentación del catalizador) para poner de nuevo el proceso en el objetivo. Además, en algunos casos una señal de una cusum indica la presencia de una causa asignable que deberá investigarse, como en el caso de una carta de Shewhart. La cusum tabular funciona acumulando las desviaciones de 0 que están arriba del objetivo con un estadístico C + y acumulando las desviaciones de µ0 que −

+

−

C . A los estadísticos C y C se les están del objetivo con otrosuperior estadístico llama abajo las cusums unilaterales e inferior, respectivamente. Se calculan como sigue:

La cusum tabular (38) (39) donde los valores iniciales son

En las Ecuaciones (38) y (39), a K suele llamársele el valor de referencia (o tolerancia), y con frecuencia se escoge aproximadamente a la mitad entre el objetivo µ0 y el valor fuera de control de la media en detectar con rapidez.

µ1

que el analista está interesado

Por tanto, si el cambio se expresa en unidades de desviación estándar como 1 = 0 + δσ (o δ = µ1 − µ 0 / σ ) , entonces K es la mitad de la magnitud del corrimiento o (40) Obsérvese que C +− y C +− acumulan las desviaciones del valor objetivo µ0 que son mayores que K, reinicializando ambas cantidades en cero cuando se hacen negativas. Si C i+ o C i− : excede el intervalo de decisión H, se considera que el proceso está fuera de control. Se ha mencionado brevemente cómo elegir K, pero ¿cómo se escoge H? De hecho, la selección correcta de estos dos parámetros es muy importante, ya que tienen un impacto sustancial sobre el desempeño de la cusum. Se abundará al respecto más adelante, pero un valor razonable de H es cinco veces la desviación estándar del proceso σ.

137

Ejemplo 21. Los cálculos para la cusum tabular se ilustrarán utilizando los datos de la Tabla 21. Recuérdese que el valor objetivo es = 10 , el tamaño del subgrupo es n = 1 la desviación estándar del proceso es σ = 1 , y se supondrá que la magnitud del corrimiento que quiere detectarse es 1.0σ = 1.0(1.0) = 1.0 . Por lo tanto, el valor fuera de control de la media del proceso es 1 = 10 + 1 = 11 . Se usará una cusum tabular con K =

1

(ya que el tamaño del corrimiento es 1.0σ y σ = 1 ) y H = 5 (ya

2

que el valor recomendado del intervalo de decisión es H = 5σ = 5(1) = 5. En la Tabla 22 se presenta el esquema cusum tabular. Para ilustrar los cálculos, considérese el periodo 1. Las ecuaciones para C1+ y C1− son

y

puesto que K = 0.5 y

0

= 10 . Entonces xi = 9.45 , por lo que como C 0+ = C 0− = 0 ,

y Para el periodo 2, se usaría

y

Puesto que x 2 = 7.99 , se obtiene y

138

En los paneles (a) y (b) de la Tabla 22 se resumen los cálculos restantes. Las cantidades N + y N − de la Tabla 22 indican el número de periodos consecutivos en los que las cusums C i+ o C i− han sido diferentes de cero. Tabla 22. La cusum tabular para el Ejemplo 21

Los cálculos de las cusums de la Tabla 21 indican que la cusum del lado +

superior en el periodo 29 es C 29 = 5.28 . Puesto que se trata del primer periodo en el que C i+ > H = 5 , se concluiría que el proceso está fuera de control en ese punto. La cusum tabular también indica el momento probable en que ocurrió el corrimiento. El contador N + registra el número de periodos consecutivos desde que la cusum del lado superior C i+ subió por encima del valor cero. Puesto que N + = 7 en el periodo 29, se concluiría que la última vez que el proceso estuvo bajo 139

control fue en el periodo 29 − 7 = 22 , por lo que el corrimiento ocurrió posiblemente entre los periodos 22 y 23. Es útil construir una representación gráfica de la cusum tabular. Estas cartas en ocasiones se llaman cartas cusum del status. Se construyen graficando C i+ y C i− contra el número de muestra.

Figura 60. Cartas cusum del status para el Ejemplo 21. a) carta manual. b) carta de Minitab. 140

En la Figura 60a se muestra la carta cusum del status para los datos del Ejemplo 21. Cada barra vertical representa el valor de C i+ y C i− en el periodo i. Con el intervalo de decisión graficado en la carta, la carta cusum del status se asemeja a una carta de control de Shewhart. En la carta cusum del status también hemos graficado las observaciones xi para cada periodo como puntos sólidos. Con frecuencia esto ayuda al usuario de la carta de control a visualizar el desempeño real del proceso que ha llevado a un valor particular de la cusum. Algunos paquetes software computadora han de implementado la carta cusum del status. En de la Figura 60b de se muestra la versión Minitab.

5.3 La carta de control del promedio móvil En la carta EWMA se utiliza un promedio ponderado como el estadístico de la carta. Ocasionalmente, puede ser de interés otro tipo de carta de control ponderada con el tiempo basada en un promedio móvil no ponderado simple. Suponer que se han colectado observaciones individuales, y sea que x1 , x 2 ,..., , denoten estas observaciones. El promedio móvil de extensión w en el tiempo i se define como

(41) Es decir, en el periodo de tiempo i, se saca la observación más antigua del conjunto del promedio móvil y se agrega al conjunto la más reciente. La varianza del promedio móvil M i es (42) Por lo tanto, si µ0 denota el valor objetivo de la media usada como línea central de la carta de control, entonces los límites de control tres sigma para Mi son LCS

= µ0 +

3σ

LCI

= µ0 −

3σ

(43)

w

y

w

(44)

El procedimiento de control consistiría en calcular el nuevo promedio móvil Mi cada vez que se disponga de nueva observación xi , graficar M i en una carta 141

de control con límites de control superior e inferior dados por las ecuaciones (43) y (44), y concluir que el proceso está fuera de control si M i excede los límites de control. En general, la magnitud del corrimiento de interés y w seguirán una relación inversa; se contaría con una protección más efectiva para los corrimientos más pequeños utilizando promedios móviles de extensión más grande, a costa de la respuesta rápida a los corrimientos grandes. Ejemplo 22. Se establecerá una carta de control del promedio móvil para los datos de la Tabla 21, utilizando w = 5. En la Tabla 23 se muestran las observaciones xi para los periodos 1 ≤ i ≤ 30, el estadístico graficado en la carta de control del promedio móvil será

para los periodos i ≥ 5. Para los periodos de tiempo i < 5, se grafica el promedio de las observaciones para los periodos 1,2,..., i . En la Tabla 23 se muestran los valores de estos promedios móviles. Los límites de control para la carta de control del promedio móvil pueden obtenerse con facilidad con las ecuaciones (43) y (44). Puesto que se tiene σ = 1.0 , entonces Tabla 23. Carta del promedio móvil para el Ejemplo 22

142

= µ0 +

3σ

LCI = µ 0 −

3σ

LCS

w

= 10 +

3(1.0)

= 10 −

3(1.0)

5

= 11.34

y w

5

= 8.66

Los límites de control para M i se aplican a los periodos i ≥ 5. Para los periodos o < i < 5 , los límites de control están dados por µ 0 ± 3σ / i . Un procedimiento alternativo que evita el uso de límites control especiales para los periodos i < w consiste en emplear una carta de Shewhart ordinaria hasta que se hayan obtenido por lo menos w medias muestrales. En la Figura 61 se muestra la carta de control del promedio móvil. Ninguno de los puntos excede los límites de control. Obsérvese que para los periodos iniciales i < w los límites de control tienen una anchura mayor que su valor final de régimen permanente o estado estable. Los promedios móviles que están separados menos de w periodos presentan una correlación alta, lo que con frecuencia complica la interpretación de patrones en la carta de control. Esto puede verse con facilidad al examinar la Figura 61.

Figura 61. Carta de control del promedio móvil con w = 5, Ejemplo 22

5.4 Ejercicios propuestos 5.1 Los datos siguientes presentan observaciones individuales del peso molecular tomadas cada hora en un proceso químico.

143

Número de observación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 1045 1055 1037 1064 1095 1008 1050 1087 1125 1146

Número de observación 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x 1139 1169 1151 1128 1238 1125 1163 1188 1146 1167

El valor objetivo del peso molecular es 1050 y se piensa que la desviación estándar del proceso es de aproximadamente σ = 25. Establecer una cusum tabular para la media de este proceso. Diseñar la cusum para detectar con rapidez un corrimiento de aproximadamente 1.0σ en la media del proceso. 5.2 La concentración de la tina de un proceso químico se miden cada hora. Se presentan abajo los datos (en ppm) de las últimas 32 horas (leerlos hacia abajo y de izquierda a derecha). 160

186

190

206

158 150 151 153 154 158 162

195 179 184 175 192 186 197

189 185 182 181 180 183 186

210 216 212 211 202 205 197

El objetivo del proceso es µ0= 175 ppm. Construir una cususm tabular para este proceso utilizando los valores h=5 y k = 1 2 5.3 Analizar los datos del Ejercicio 5.1 utilizando una carta del control del promedio móvil con w = 6. Comparar los resultados obtenidos con los de la carta de control de suma acumulada del Ejercicio 5.1. 5.4 Analizar los datos del Ejercicio 5.2 utilizando una carta del control del promedio móvil con w = 5. Comparar los resultados obtenidos con los de la carta de control de suma acumulada del Ejercicio 5.2.

144

Anexo

145

REFERENCIAS 1. Escalante Edgardo, Análisis y mejoramiento de la calidad, México: Editorial LIMUSA. 2006 2. Grant, Eugene Lodewick, Control estadístico de calidad, México: CECSA, 1996. 3. Gutiérrez Controldeestadístico de calidad y seis sigma / Humberto Pulido, GutiérrezHumberto. Pulido y Román la Vara Salazar. México: McGraw-Hill, c2004. 4. Montgomery, Douglas C. Control estadístico de la calidad. Limusa Wiley, 2005. Tercera edicción. 5. Ojeda M. y Behar R. Estadística productividad y calidad, Xalapa, Ver: Serie Ciencia y Tecnología. 2006. 6. Western Electric Company. Statistical quality control handbook. Indianapolis, 1956.

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