Csesar Vallejo-Triangulos, Congruencia

 

 

1 Preguntas propuestas

Semestral UNI

                                            

• Aptitud Académica • Cultura General • Matemática • Ciencias Naturales

 

Geometría

 

Triángulo

C) 270º D) 360º E) 240º

NIVEL BÁSICO 4. 1.

Dado el gráfico, calcule ca lcule a si m+ n=210º.

Del gráfico, calcule x.  B

 x

3α

 º  1 0 0  m

 x α

θ

α

n

 

ω

α

ω ω

θ

   A) 150º D) 120º 2.

 

B) 140º

C) 130º E) 110º

Del gráfico, calcule x.

 

 A

C 

 A) 10º D) 25º 5.

B) 15º

C) 20º E) 30º

Según el gráfico, calcule el valor va lor de x.

α

 x

ω+ x

ω

3 x α

2 x

 x

 

70º

 A) 36º B) 40º C) 45º

θ

 

D) 54º E) 50º 3.

θ

6. θ α α

En un triángulo isósceles  ABC  de   de base  AB, se traza la bisectriz exterior  BD, tal que  AB= BD. Calcule m  BAC    .

 x

 y

   A) 90º 90 º B) 180º

α

 A) 20º 20 º B) 15º C) 35º D) 17,5º E) 18º

Del gráfico, calcule x+ y+ z.

 z

α

θ

 A) 18º B) 20º C) 24º D) 30º E) 36º 2

Geometría

 

C) 30º D) 40º E) 50º

NIVEL INTERMEDIO 7.

Halle a+b+q+f+ϕ+w. 11.

θ 20º

En el gráfico mostrado, los triángulos  ABC   y  BCD son isósceles de bases AB  y BC , respecti vamente. Halle  x.  B

β

φ

α ϕ

ω

 

 x

3 x

C 

 A

 A) 80º 80 º D) 180º 8.

B) 100º

70º

C) 160º E) 200 200ºº

Dado el gráfico, calcule x.  A) D) 10º 25º

 B 100º

θ θ

 

 x

β

β

α

2α

B) 55º

C) 60º E) 70º

E) 130º

En un triángulo ABC  se  se traza traz a la ceviana interior  BD, tal que  BC = DC   y m  ABC   – m  BAC    =72º. =72º. Calcule la m  ABD   .  A) 18º D) 45º

B) 24º

13.

C) 36º E) 72º

En un triángulo  ABC , la m  ABC    =100º, en  AC   =100º, se ubica el punto P y en PC  el  el punto Q, tal que  AP= PB y BQ=QC . Calcule la m  PBQ   .  A) 10º B) 20º

B) 18º

C) 30º E) 40º

En un triángulo sus lados miden 24, a+5 y a+13. Calcule el mínimo valor par de a.  A) 1 D) 3

3

C) 20º E) 30º

En la región interior de un triángulo  ABC   se ubica el punto  P, de modo que m  ABP   =63º,   BA P=18º y m  APC   A m  BA   PC =120º. =120º. Si  AB = PC , calcule m  PCB   .  A) 9º D) 36º

14.

B) 15º

En los lados  AC   y  BC  de   de un triángulo  ABC   se ubican los puntos  M  y  N , tal que  NC = AM = AB. Calcule la m  NMC    , si m  ABC    =80º y =80º m  BCA   =40º.  A) 90º 90 º B) 100º C) 110º D) 120º

C 

D) 65º

10.

12.

 A

 A) 50º 50 º

9.

 D

 

B) 2

C) 3 E) 4

Geometría

 

15.

En un triángulo  ABC , en su interior se

En la región interior de un triángulo  ABC   se

ubica el punto  P, tal que  AB= AP= PC . Si

ubica el punto P, tal que

m  ABC    =3m  PCB =3m   +2m  PAC    ,

    m PAC  m APC  = 90º + , m APB = 120º   y  2  PB= AC . Calcule la m  PCB   .

calcule

la

m  ACB   .

 

 A) 30º 30 º

B) 45º

D) 75º 16.

18.

C) 60º

 A) 15º

E) 15º

> m  ACB En un triángulo  ABC , m  BAC     ,  AB=5. Calcula la suma del máximo y mínimo

B) 30º

D) 20º 19.

C) 45º E) 60º

En un triángulo  ABC , m  ABC    =98º, exterior=98º, mente y relativo al lado AC  se  se ubica el punto D,

 valor entero de AC   si si BC  toma  toma su mínimo valor

tal que AB= AD, m  BAC    =60º – a, m  CAD =a. =60º

entero.

Calcule el valor de a si m  ADC    =164º. =164º.

 A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

 A) 4º

E) 12

B) 6º C) 8º

NIVEL AVANZADO

D) 10º E) 12º 17.

En un triángulo ABC  se  se traza tra za la ceviana interior 20.

 BD, tal que  AC =2 =2 BD. m BAD

   

3

m BCA =

2

=

 y la suma de las medidas de los ángu ángulo lo  BAC  

m ABD

 y  ACB  es menor de 90º. Calcule los posibles

Calcule la m  ABD   .  A) 15º D) 24º

B) 18º

Dado un triángulo ABC  en  en el cual AB=3, AC =7

 valores enteros que puede tomar  BC . C) 20º

 A) 2 o 3

E) 30º

D) 6 o 7

B) 3 o 4

C) 5 E) 5 o 6

4

 

Geometría

 

Congruencia de triángulos

4.

NIVEL BÁSICO 1.

 A) 7º D) 15º

En el gráfico mostrado,  AB=CD y AD= AC + BC . Calcule x.  B

En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, se traza la altura BH  y  y la bisectriz interior AD  que se intersecan en E , tal que BE =5 =5 y  DE   DE =6. =6. Halle m  ACB   .

5.

B) 8º

C) 14º 14º E) 16º

En el gráfico, gráf ico, BC =2( AD) y BM = MC . Calcule x.

α

 B

 A  x

C 

 M 

θ θ

 x

α

 A

 

 D

 D

   A) 53º

 A) 30º 30 º D) 53º

B) 37º

C) 45º E) 60º

D)

53º

B) 37º  

C 

C) 45º E)

37º

2 2.

Se tiene un triángulo isósceles  ABC   de base  AC , y en la región exterior relativa a esta base se ubica D, tal que BD y AC  se  se intersecan en E , además, AE = BD= AB  y CD= BE . Halle m  BAC    .

6.

=

 2 3 . Calcule x.

C 

120º 50º

 A) 18º B) 20º C) 24º D) 30º E) 36º 3.

En el gráfico, gráf ico, BC =CD=2 y  AD

2

 D

 B  x

En el gráfico, ABD  es un triángulo t riángulo isósceles de base AD. Si AD = DC , calcule q.

 A

 A) 90º 90 º D) 120º

 B 2α

α

B) 100º

C) 110º 110º E) 130º

NIVEL INTERMEDIO 7.

θ

 A

 

 D

C 

53º

 A) 30º 30 º D)

37º 2

B) 60º  

C)

2

E) 45º

5

En un triángulo  ABC   se trazan las cevianas interiores  AD  y CE , E  está  está en AD, de modo que  AB= EC , CD= AE   y m  BAD   =m  ECD   . Calcule m  BDE    .  A) 30º 30 º D) 80º

B) 40º

C) 50º E) 60º

Geometría

 

8.

En el gráfico mostrado, AC = AD. Halle

 BC  CD

.

12.

En el gráfico mostrado, AD =4( AB ) y AD > CD. Halle x.

 B

 B

C 

C  2 x

 x 2 x

 

 A

 A) 1 D) 9.

2 3

B)

1 2

 

 

3

13.

2

Del gráfico, calcule x.

B) 45º

 b

14. α

C) 51º 51º E) 61º

Se tiene un triángulo rectángulo  ABC , recto en B, donde se traza la ceviana interior  AD, tal que CD=2( AB) y la m BAD   =m DCA   . Halle m DAC .  A) 15º D) 45º

α

 

 D

 A) 41º D) 53º

2 C) 2 E)

a

 A

 

 D

B) 30º

C) 37º E) 60º

En el gráfico mostrado,  N  es   es punto medio de  AC  y  y CM =2( BM ). ). Calcule x en función de a.

 x

 B

 A) a+ b  D) 2(a+ b)

B) a+2 b 

C) 2a+ b E)  b+3a

 M   x

10.

En un triángulo ABC  se  se traza la mediatriz de BC , la cual interseca el lado  AC  en  en D, y la mediatriz de  AD  contiene al vértice  B. Si m ACB=20º,

α

 

halle m ABC .  A) 90º 90 º D) 140º 11.

B) 120º

C) 120º E) 150º

En un triángulo  ABC obtuso en B, la mediatriz de BC  interseca  interseca a AC  en M , tal que AM =2( MN ), ), N   es punto medio de BC  y  y m  ABC    =2(m  ACB =2(m   ). Calcule m  ACB   .

 N

 A

 

 A) a 

B)

2a 3

 

D) 2a  15.

C 

C)

3a 2

E) 3a

En un triángulo  ABC , recto en B, se trazan las cevianas interiores AM  y  y AN  (  ( N  está  está en MC ), ), tal que trisecan al ángulo del vértice  A; además,  MN =3 =3 y NC =5. =5. Halle m  BAM    .

 A) 30º 30 º B) 40º

 A) 15º  15º 

C) 45º D) 50º E) 36º

D)

37º 2

B) 30º  30º   

C) 37º E)

6

53º 2

Geometría

 

16.

 

 

 

Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si dos triángulos rectángulos isósceles isósceles presentan un lado de común, entonces dichos triángulos son congruentes congruentes.. II. Si dos triángulos rectángulos presen presentan tan hipotenusas congruentes y sus alturas relativas también son congruentes, entonces dichos triángulos son congruentes congruentes.. III. Dos triángulos rectángulos isoperimétricos siempre son congruentes.  A) V VV D) FVF

B) FFF

 A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 18º 19.

m  BCE    =20º. Calcule =20º. Ca lcule  A) 1

 AC   BE 

. C) 2

B) 2

D) 3  

C) FVV  FV V  E) VFF 20.

NIVEL AVANZADO 17.

En un triángulo  ABC ,  AB= BC . Se traza la ceviana interior CE , tal que m  ABC    =40º y =40º

E)

3 3

Según el gráfico, gráf ico, BP= b, donde b es un número par, además, a < 30º. Calcule el máximo valor entero par de QH .  H 

En el triángulo  ABC   se traza la ceviana interior  BM , de modo que  AM = BM + BC . Si la m  ACB   =2(m  BAC    )=40º, calcule la m  MBA )=40º,   .

 A

θ

θ

 A) 15º D) 45º

B) 30º

C) 37º E) 60º

α

  18.

En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, se traza una ceviana interior  AD, tal que CD  es cuatro veces la distancia de  B  hacia  AD, y la  m  DAC  DAC= =2(m  BAD). Calcule m  DAB   .

7

Q

 A)  b  D) b+1

 P

B) b – 1

B

C) b – 2 E)

 b 2

−1

 

Geometría

 

Cuadriláteros

5.

NIVEL BÁSICO 1.

Sea ABCD un trapezoide, tal que m  ADC    =45º, =45º, m BCD   =98º,  AB= BC =5 =5 y  AD ⊥ AB   . Calcule  AD.  A) 10 D) 13

2.

B) 11 11

D)

B) 3

.

 A) 5 B) 6 C) 4 D) 3 E) 2

E)

 AB)=4. En un triángulo ABC , m  ABC    =120º, BC =2( AB Halle la distancia del punto medio de AC  hacia  hacia la bisectriz del ABC .

D)

 

C)

 

 A) 3  

4.

C) 12 E) 15

En un trapezoide simétrico ABCD, m BCD   =37º y m BAD   =53º. Halle  A) 2

3.

Si  ABCD  es un paralelogramo,  AP=2 y  PC =6, =6, calcule QD.

B)  

 

C) E)

Si  ABCD   es un rectángulo de centro O, además, el perímetro de la región rombal sombreada es 20 y MO=3, halle q.

6.

En un paralelogramo  ABCD, se traza la bisectriz del  BAD     que interseca a  BC   en  E . Si CD= K , calcule la distancia entre los puntos medios de AC  y  y DE .  A) 2 K  

D)

 K 

B)  K  

 

C)

E)

 K 

2  K 

4

NIVEL INTERMEDIO

 ACD CAD.  y m  AC   D=80º =80º.. Calcule la m  CAD

   A) 7º B) 8º C) 14º D) 15º E) 16º

 A) 25º B) 20º C) 30º D) 35º E) 40º

8

Geometría

 

8.

 A) 30º 30 º D) 60º

Se muestra un trapecio isósceles  ABCD   de bases AD  y BC , tal que  AF =2. Hal Halle le BD.  B

C 

12.

30º

 A

 F 

9.

B) 3

2

 

C) 2 3 E) 3 3

Se tiene un trapecio isósceles ABCD  ( AD  // BC ), ), m  BAD=45  BAD=45º, º, en  AD  se ubican  M  y  y  N , tal que  BCNM  es   es un cuadrado. Calcule la medida del menor ángulo determinado por las diagonales

10.

B) 37º

14.

 A) 90º 90 º D) 37º 11.

C) 45º E) 60º

Se tiene un trapecio  ABCD   ( BC  // AD) cuya base media es MN . Calcule el ángulo formado por las diagonales, si

 BD

B) 45º

8

AC =

6

=

15.

MN    . 5

C) 60º E) 143º

C) 150º E) 15º

 B

B) 45º

   

C) 60º E) 100º

C) 4,5 u E) 5 u

C) 53º E)

2

 

 N N  N 

B) 4,2 u

D) 127º  

C  α

B) 45º

En un cuadrado  ABCD, de centro O, la mediatriz de OC   lo interseca en  M   e interseca a la prolongación de AD  en L. Si N  es  es punto medio de AD, halle m  NML   .  A) 37º

Si  ABCD   es un cuadrado, además,  AM = NL, calcule a.

143º 2

Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si un cuadrilátero convexo presenta sus diagonales congruentes y perpendiculares, entonces dicho cuadrilátero es un cuadrado. II. El cuadrado presenta 8 ejes de simetría axial. axia l. III. Solo existen dos para paralelogramos lelogramos de diagonales congruentes.

75º

 A

)

3 . 

En un cuadrado  ABCD   en la prolongación de  AC   se ubica  E , tal que  AC =6 =6 u y  BE =5 =5 u. ¿Cuánto dista A de BE ?  A) 4 u D) 4,8 u

16.

 

  (

BD

En un rombo  ABCD, se ubica N  en  en CD, tal que  BN  y  y AC  se  se intersecan en  M , además, MN = ND. Si m  BAC    =15º, calcule m  BNC  =15º,   .  A) 30º 30 º D) 90º

de dicho trapecio.  A) 30º 30 º D) 53º

B) 135º

=

 D 13.

 A) 3 D) 6  

C) 53º E) 75º

 BD=2( AB  AB) y AC En un romboide ABCD, BD Calcule m  ACD   .

 A) 120º D) 30º  

B) 37º

 L

 M 

9

 D

 A) VVV V VV D) FFF

B) FV V

C) VF VFV  V  E) FFV 

Geometría

 

19.

NIVEL AVANZADO 17.

En un cuadrilátero  ABCD, la m  BAD   =45º y m  ABC    =m  ADC  =m   =90º. Si la diferencia de =90º. distancias de A y C  a  a BD es 4, calcule BD.  A) 4 D) 2  

B) 2

 A)

En un romboide ABCD, se traza la altura  BH , que intersecta a AC  en  en N , tal que CN =2(CD). Si m  NAH    =q, halle m  ABH    .

37º

 

B)

2

C) 1 E) 2 2

B) 2q 

C) 3q E) 90º – 3q

 

C) 30º

2

E) 45º

Se tiene el cuadrado  ABCD  de centro O, en la prolongación de DA se ubica el punto P, donde m  PBA   =m  OPD= x. Calcule el valor de x.  A) 15º

 A) q  D) 90º 9 0º – 2q 

53º

D) 37º 20.

18.

Desde un punto  P, exterior a un cuadrado  ABCD  y relativo a CD, se traza  PH  ⊥ AB     ( H   en  AB), PH  ∩ CD={ L}, CPQL: paralelogramo, siendo Q  un punto en la prolongación de  AD. Si m CHQ=m DBC    , calcule m LQH    .

D)

53º 2

B) 37º  

C) 22º30’ E) 30º

10

Geometría

 

6.

En el gráfico mostrado,  A,  B, C ,  D  y T   son puntos de tangencia. Halle

 r   R

8.

En el gráfico, el triángulo  ABC   es equilátero. Calcule

.

 AH   BE 

.  B

120º

 H   E 

 B  r 

 A

 A

 

C  T 

C 

 A) 1

B) 2

C) 3

 R

D)

5 

E)

3 2

 D 9.

  1

 A)   2

B)

3 2

 

C)

1

D)  

E)

3

En el gráfico,  ABCD  es un cuadrado, además, T  es  es punto de tangencia. ta ngencia. Calcule x.

3 3

 B

C 

2 3

T   x

NIVEL INTERMEDIO  

7.

En el gráfico gráf ico mostrado L    es mediatriz de  AB. Calcule m AT .  Considere que T   es punto de

   A) 30º 30 º D) 53º

tangencia. L  

 A

10.

T 

 D

B) 37º

C) 45º E) 60º

 A parti pa rtirr del gráf gráfico ico mostr mostrado, ado, ca calcule lcule m BD si C  y  y E  son  son puntos de tangencia.   

 D

 

 A

 A) 106º B) 120º C) 127º D) 135º E) 143º

C 

 B

 

 B

 E 

 A) 100º D) 85º

B) 60º

12

C) 90º E) 70º

A

 

Geometría

 

11.

Según el gráfico, las circunferencias son congruentes. Si  P  y Q  son puntos de tangencia y  AB= PQ, calcule x.

14.

Si M  y  y  N  son  son puntos medios de los arcos  y , halle  x. Considere que  A,  B, C ,  D  y T  son   son puntos de tangencia.

   A) 14º30’ D) 22º30’ 12.

B) 18º30’

C) 26º30’ E) 30º

   A) 30º 30 º B) 36º C) 45º D) 60º E) 90º

En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si  P  y Q  son puntos de tangencia, calcule x. 15.

En la prolongación del diámetro  AB   de una semicircunferencia se ubica el punto P desde el cual se traza la tangente  PT   a la semicircunferencia (T   punto de tangencia). Desde T   se traza TH  perpendicular   perpendicular a  AB   ( H   en  AB). Si  PB=2 BH , calcule la m  APT    .  A) 16º D) 37º

  16.

 A) 90º 90 º 13.

B) 92º

C) 96º

B) 45º

C) 30º E) 53º

Según el gráfico,  M ,  N  y  y Q son puntos de tangencia. Calcule

D) 94º E) 100º Del siguiente gráfico,  A,  B, C ,  D  y T   son puntos de tangencia, además, las circunferencias mostradas son congruentes. Calcule q.

 

   A) 60º 60 º D) 75º

B) 82º

C) 76º E) 74º

13

 A) 37º D) 53º

B) 60º

C) 74º E) 75º

Geometría

 

19.

NIVEL AVANZADO

En el gráfico, P y T  son  son puntos de tangencia. Si mTM

  

=

 

mM   N , m   TL=80º,  

 

calcule la medida del

 

ángulo entre  PT  y  ML. 17.

En el gráfico, M , N  y  y P son puntos de tangencia.  M 

Calcule m ADB.   

C 

T 

 N   L

   P  B

 M 

 A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º

 N   A  D

   A) 135º

B) 153º

C) 167º 167º

D) 180º 18.

 P

20.

E) 215º

Se muestra un cuadrado  ABCD, cuyo centro pertenece al cuadrante mostrado. Si  AN = DM , halle m LN .

En el gráfico, gráf ico, A,  B, C ,  D y  E  son   son puntos de tangencia. Calcule x.

 B

C 

 A

 N   B

 x

C   D

   A) 30º 30 º D) 45º

 L

 x

 E 

B) 36º

  C) 54º E) 60º

 M

 A

 A) 45º D) 74º

D

B) 53º

14

C) 60º E) 75º

Geometría

 

Figuras inscritas y circunscritas

4.

NIVEL BÁSICO 1.

En un trapecio isósceles circunscriptible  ABCD  ( BC  // AD), AB= K . Halle la longitud de su base media.  A)

En el gráfico, se muestra una circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD. Calcule x.

 K 

2

 

B)  K  

C) 2 K 

3

 B

D)  K    2

C 

5.

 x

En un triángulo rectángulo  ABC , recto en B, la mediatriz de AC  es  es tangente a la circunferencia inscrita. Calcule m  ACB. Considere que  BC  > AB.  A) 30º 30 º

 A

 

D

D)  A) 30º 30 º

B) 37º

C) 45º

D) 53º 2.

E) 60º

6.

En el gráf ico mostrado T  es   es punto de tangencia. Halle

E) 4 K 

37º 2

B) 37º  

C) E)

45º 2 53º 2

En un trapecio rectángulo  ABCD, recto en  A   y  B, se inscribe una circunferencia, tal que  AB=15 y CD=17. Calcule Ca lcule  BC. ( BC