CROSS Simplificado

1

C

h=3,0m

w=2t/m 4I K=4I/6=2

D 1 tm K/2=1

I K=I/3=1 B

h=3,0m

I K=I/3=1  A

w=2t/m 8I K=8I/6=4

E

L=6,0m

F

I K=I/3=1

I K=I/3=1

I K=I/3=1

I K=I/3=1

K/2=2 L=3,0m

Est Simetrica de 01 Crujia

Est Equivalente Kv=K/2

Solucion( Adaptacion C Zapatel) 1,-Determinacion de las Propiedades Geometricas Nudo B Viga col sup col inf  Suma

K 2 1 1 4

C=K/SumK 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 1

Nudo C Viga Viga col col sup sup col col inf  inf  S um a

K 1 1 0 2

C=K/SumK 0.5 0.5 0 1

2,-Momentos de Empotramiento Mº ,.Considerar voladizo viga sup viga inf 

2*6^2/12= 2*6^2/12=

6 tm 6 tm

col sup col inf  

3,-Etapa I.- Procedimiento de Cross Nudo mas desquiciado

B,C,B,C

C - 1 +1

Mi

Mi

Mº Mº Mt

Mi Mi

Mº

0.5 0 0.75 2.125 -0.133 0.066 -0.004 0.002 2.807

0.5 -6

Mº

0.066

-4.25 -0.133 -0.004

Horario +

0.002 -3.807

0.5 0.5

B -6 3 -0.531 -0.531 -0.017 -0.017

1.226 -3.548 0.617 -0.133 0.75 0

C -1 1  Accion Reaccion Nudo C Mdesq

2.125

2.322 -0.008 0.033 -0.266 1.063 1.5 0.25 0.25 0.25 0 1.5 -0.266 -0.266 -0.008 -0.008

0 t-m 0 t-m

3.807

Nudo B Mdesq Mdesq

-6 1.063

Mdesq

0.033

Metodo de Cross aplicando Hoja de Calculo EXCELL Por Ing C Zapatel S. Ejemplo de Estructura Carga Simetrica, Ref Bartolome pag 54 Solucion de un aligerado.- La fig representa la planta tipica hipotetica, ya que la placa esta mal distribuida que puede causar problemas torsionales por efectos sismicos  Adaptacion C. Zapatel

1

2

3

6.00 m

4

6.00

6.00

5 1.00 B

M 1.00

6.00

placa t=0,25m h=3,0m

M

 A ancho

0.25

0.3

0.3 Volado

Viga sobre Viga

Fig 1.-Planta Tipica de una Edificacion de 4 Niveles  ACERO TEMP REC=2CM  ACERO LONG SUP Ec= Ec=

2*10^6 T/m2 200 T/cm2

5 20

V

V LAD

cm

V

H=25

cm

LAD

10 30 10 30 10  ACERO LONG INF REC=2CM

Fig 2.-TECHO ALIGERADO H=25CM-SECCION TRANSVERSAL M-M ESC 1/10 V=Vigueta=ala(5)+alma(20)=25cm

Viga principal Viga Eje 1, Eje 2,Eje3 Viga Eje 4, Eje 5 Viga secundaria Viga Eje A, Eje B

100 8.75

5 CG

20

25

16.25 25

Fig 3.-Modelo Estructural.- Vigueta ancho 100cm Ig=(25*100) 56770.83 cm4 Ig=(10*25) 22708 cm4 CG( ) = Centro de gravedad 1,-Metrado de cargas sobre el techo aligerado 1,a.- Cargas permanentes o muertas Peso propio h=25cm Enlucidos + acabados Tabiqueria movil Carga permanente D= 1,b.- Cargas Viva o Sobrecarga L= 1,c,-Carga Total w=1,0D+1,0L

use para ancho 1,0m 8.75

350 Kg/m2 100 100 550 Kg/m2 300 Kg/m2 Asumido factores =1,0

50

W= 850 Kg/m2 W= 0.85 T/m2 2,-Modelaje de la placa, se realizara empotrando sus extremos lejanos(ver fig), suponiendo que no existe repercusion de los giros de un nivel a otro; hipotesis aceptada por Norma E-060 y ACI para el analisis por carga vertical

1m

H=3,0m h 1.00 m

H=3,0m Fig.- Isometrico placa techo para Area de influencia 40(100)cm

0,25 m 3,-Momento de Inercia I=bh^3/12=Momento de Inercia de un rectangulo b= dimension perpendicular al plano frontal h= dimension paralelo al plano frontal 3,1,-Placa espesor 0.25 ancho tributario L=Altura 300cm Ip=40*25^3/12= 52083 cm4 Ip/L= 174 cm3 3,2,-Techo aligerado Ver Secc M-M Ig=22 700 cm4(10*40) Ig=56 750 cm4(25*100) CG(8,75; 20) = Centro de gravedad Use Ig=22700 cm4 Ig/L=22701/600= 38 cm3 4,-Modelo matematico, para un ancho tributario de 1,00m

Elem Placa Techo

t 25

h=3m I=1300208cm4 K=I/L=0,76 6,0m h=3m I=56770cm4 I=1300208cm K=I/L=0,17 K=I/L=0,76

6,0m

6,0m

1,0m

K=I/L=0,17

La placa rigidiza al techo en el nudo K=0,76*2=1,52 Ip/It= 8.94117647 Rgto indica si ΣKp/Kt>8 considerar empotrado, luego 1,52/0,17=9, luego cumple 5,-Simplificacion del Modelo matematico.-Se permitie simplificar la estructura Es usual trabajar con cargas lineales para un ancho tributario de 1,0m, luego la carga t/m2

se transforma en carga lineal:W=0,85t/m2*1,0m=0,85t/m Empot L(m) I

ΣK

C=K/ΣK=

w=0,85t/m2=0,85*1m= 0.85 t/m 1 2 3 4 6 6 6 1.00 1 1 1 k=I/L= k=I/L= S3=5mm 0.16666667 0.16666667 K1=3/4*K= 0.125 0.33333333 0.29166667 0 0.5 0.50 0.57 0.43 Fig.- Modelo matematico simplificado para asentamiento apoyo S3=5mm

1,-Calculo de Rigidez y Coeficiente distribucion Ko=Rigidez de comparacion=I/L=I/6=38 Kij=kij/Ko Ver grafico

Mº 1

1

Mº 2

Fig.- Posicion 0: Estructura sin desplazamiento 2,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "0" sin desplazamiento Viga Mº=0,85*6^2/12= 2.55 Mº1=0,85*6^2/8= 3.825 Volado Mº=0,85*1^2/2= 0.425 3,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "1" con desplazamiento, sin cargas externas Mº=-6EIЏ/L=-6EIS/L^2 Mº1=-3EIЏ/L=-3EIS/L^2 E=210T/cm2 Icg=56750 cm4 EI= 11917500 T*cm2 S=5mm=0,50cm EIS= 5958750 T*cm3 tramo 23=32 Mº=-6(EIS)/600^2=-6*5958750/600^2= 99.3125 T-cm= -0,99T-m tramo 34 Mº=-3(EIS)/6^2=-6*(-5958750)/600^2= 49.65625 T-cm= 0,50T-m NOTA S es Negativo Mº 34 1

2

2

3

3

4

S=0,5mm Fig.- Posicion 1: Estructura con desplazamiento 4,-Debido a la geometria de la estructura, por superposicion de efectos: Signo negativo ANTIHORARIO Viga 12 Mº12=2,55+0=2,55 2.55 T-m Viga 21 Mº21=2,55+0=2,55 2.55 T-m Viga 23 Mº23=-2,55-0,99= -3,45 -3.45 T-m Volado Viga 32 Mº32=2,55-0,99=1,65 1.65 T-m Mv=0,425 Viga 34 Mº34=-3,825+0,50= -3,325 -3.325 T-m 5,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 0 + Etapa 1 1 0 Mº

-2.55

+

2 2 0.5 0.50

3 3 0.57 0.43

2.55 -3.45

1.65 -3.325 0.213 0.836 0.627

4 1.00 0.425

0.418 0.241 0.241 0.121

0.121 -0.069 -0.052 -0.03443878 0.017 0.017

Mi=ΣMi

0.009 -2.421

Proceso nudo 3

4,3,2,3,2,3 M=

2.808 -2.808 M =Mto desquiciado -1.4625

2.537 -2.537

0.425

nudo 2 nudo 3 nudo 2

M= M= M=

-0.48214286 0.12053571 -0.03443878

2.42

2.81

1

. 2,54

2 6,0m

. 3 6,0m

0.43 4

6,0m

Fig.- DMF para Techo aligerado para ancho tributario 1,0m(T-m)

1,0m

 A  A1  A2

Determinacion de I seccion en Tee x1 y1 A 25 20 500 100 5 500 Suma 1000

Io 1041.67 16666.67

y=Ax/Σ A= CG(50,8,75) Ad^2 19531.25 19531.25 Suma

y 15 2.5

 AX 7500 1250 8750 8.75

Ix 20572.92 36197.92 56770.83

ancho tribut I(cm4) I/Io 100 130208.333 100 56770.83 I=Io= 56770.83

L(m) 2.29 1

K=I/L 3 6

0.76 0.17

M TODO DE CROSS La Fig representa un Portico Simetrico a 2 Aguas de Concreto Armado( E=2060*10^4 Ton/m2) Los elementos estructurales se definen b= base, h=altura Colocar la mayor dimension paralelo a la vista frontal del portico Colocar la menor dimension perpendicular a la vista frontal del portico Io= Mto de Inercia de comparacion, I/Io= Inercia relativa Elem b h I(cm4) I/Io L(m) K Col 0 0 1 1 15.00 0.067 Viga 0 0 2 2 26.249 0.076 h1= 8.00

w(t/m) 0 3

0

h1= 8.00

0

0

Iv= Kv=

2.00 0.076

Σki=

0.143

Cij=Kij/Σki Ci= Cj=

0.533 0.467

h2= 15 Ic= 1 Kc= 0.067 Fig.- Isometrico portico a 2 Aguas

0 0 w=

3 T/m

L= 25

8.00

L= K=

m

L= 25 26.249 0.076

ø Fig.- Portico Simetrico a 2 Aguas K= 15.00

0

0.067

t/m

senø=

0.305

0

Cosø=

0.952

t/m

tgø=

0.320

Empot L= 25

L= 25

w=

3 T/m 3

L= 25

8.00

L= K=

m

26.249 0.076

. d1 1

2

Fig.- Modelo matematico simplificado por Simetria 15.00

0 t/m

K= 0.067

1 Empot L= 25 1,-Solucion Estructura para la posicion 0 sin desplazamiento, 1 grado de Libertad (1 GL) Para evitar la deformacion se colocara un apoyo c/rodillo ficticio en la mitad de la estructura w= 3 3 L= 25 L= 26.249 K= 0.076

8 2

15

0

R10

K= 0.067

1 Empot L=

25

Fig.- Portico para posicion "0" sin desplazamiento

Metodo de Cross aplicando Hoja de Calculo EXCELL Por Ing C Zapatel S. 1.1,-Calculo de Rigidez y Coeficiente distribucion Ko=Rigidez de comparacion Kij=kij/Ko Ver grafico

Mº

i

Mº  j

Fig.- Posicion 0: Estructura sin desplazamiento 1.2,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "0" sin desplazamiento Elem L W(t/m) Mº= WL^2/12 t-m Col 15 0 0 Viga 25 3 156.250 1,3,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 0

1 0

2 2 0.467 0.533

3 0

Mº

0 36.458

0 -156.250 72.915 83.335

156.25 41.667

+

Mi=ΣMi 36.458 72.915 -72.915 197.917 El signo menos es antihorario M =Mto desquiciado Proceso 2,3,2,3,2,3 nudo 2 M= -156.250 OBSERVESE que el Cross cierra en un ciclo, porque la estructura tiene (1GL): 1 grado de libertad rotacional ø2, ver el apoyo fictucio

Calculo de R10 Analizar la columna12 w=

3

197.917 tm . (3x)=

7.29

L= 25 L= 26.249 8 m 2

R10 ΣFx=0

0 15 t/m

(3x)=

7.29

R10=

40.17 t

ΣM1=0 K=0,333

1 Empot

-7.29 t 25

L= -36.458 tm

El signo menos es antihorario, Mtos valores Absolutos 72.915

tm

2 0

7.29

formato Zap 15

0 t/m

ΣM2=0

1 Empot

0 -7.29 t

-36.458

tm

7.29 senø=

0.305

Cosø=

0.952

tgø=

0.320

2,-Solucion Estructura para la posicion 1 con desplazamiento, 1 grado de Libertad (1 GL)

d21 . 90º

(3) Hacemos d1=

1

d1 d21 8

26.249 (2)

R10

d21 d23

d1=1

tgø=d21/d1 15

Col

d21=tgø*d1=

Col Viga

d21= -0,30*d1 d21=

Viga

Cosø=d1/d23 d23=d1/Cosø=1,044d1 d23= 1.04996

ø -0.32

(1) L=5,0m Fig.- Portico para posicion "1" con desplazamiento Se desplaza columna(d21) y luego la viga(d23), ambos perpendicular Eje elemento Signo (+) desplazamiento horario 2,1,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "1" con desplazamiento Mº= - 6(EI)S/L^2 S= desplazamiento Horiz(d21) u Diagonal(d23) col EI=1 Ton/m2 I(m4) EI(Tm2) viga EI=2 Ton/m2 col 0.00000001 1 viga 0.00000002 2 Columna Mº12=Mº21= -6*(EI)*(-0,4)/4^2= 0.12 T-m Viga Mº23=Mº32=-6*(EI)(1,077)/4,698^2= -0.58556 T-m

2,3,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 1 1 0 Mº

0.12 0.109

2 2 0.467 0.533 0.12 -0.586 0.21726 0.248

3 0 -0.586 0.124

+

Mi=ΣMi

0.229

0.337 -0.337

Proceso nudo 2

2,3, M=

-0.47

-0.461

M =Mto desquiciado

OBSERVESE que el Cross cierra en un ciclo, porque la estructura tiene (1GL): 1 grado de libertad rotacional ø2 ESTOS VALORES DEBEN MULTIPLICARSE POR FACTOR d1 Calculo de R11 0 tm . (3x)= 0.03772566 t

L=

26.249

8 2

R11 ΣFx=0 (3x)=

0.03772566

ΣM1=0 15 R11=

1 Empot

0 L= 25

0

0.0440 t

T Ver DCL Columna

tm

0.337 tm 2

15 m

ΣM2=0

1

0.04

0.229

t

tm

3,-Determinacion del Factor d1 Por equilibrio de la coordenada 1: R10-d1*R11=0 14,11-d1(29473)=0 d1= 912.492085 m d1= 912492.085 mm 4,-Determinacion de los Momentos Finales Mij=Mij(0)+ d1*Mij(1) Barra Mij(0) Mij(1) d1*Mij(1) Mij(0)

1-2 36.458 0 208.62 245.08

2-1 72.915 0 307.74 380.66

2-3 -72.915 0 -307.74 -380.66

223.11

3-2 197.917 0 -421.03 -223.11

380.66

380.66

Fig.- DMF™

245.08

245.08

5,-La solucion del Cross en la posicion 1(con desplazamiento) se puede resolver en lo siguiente Sea d1=Δ= desplazamiento vertical d21= -0,3Δ Ver Item 2,0 d23= 1,044Δ 5,1,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "1" con desplazamiento Mº= - 6(EI)S/L^2 S= desplazamiento Horiz(d21) u Diagonal(d23) I=Io=1 cm4 Ic=1 Iv=2 Mº12=Mº21= -6*(EI)(-0,3Δ)/4^2=0,1125(EIΔ)=0,1125X Columna T-m Mº23=Mº32=-6*(E*3,38)(1,044Δ)/4,698^2= -0,959(EIΔ)= -0,959X Viga T-m X=EIΔ  Asumiendo X=1 0.113 5,2,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 1 -0.954

Mº

1 0

2 2 0.467 0.533

0.113 0.196

0.113 -0.954 0.393 0.449

3 0 -0.954 0.224

+

Mi=ΣMi

0.309

0.505 -0.505

-0.730

M =Mto desquiciado Proceso 2,3, nudo 2 M= -0.842 OBSERVESE que el Cross cierra en un ciclo, porque la estructura tiene (1GL): 1 grado de libertad rotacional ø2 ESTOS VALORES DEBEN MULTIPLICARSE POR FACTOR X Calculo de R11 Primero Analizar COLUMNA

0.730 tm . (3x)=

0.054

L=5,385m 8

m 2

R11 ΣFx=0 (3x)=

0.054

R11=

0.067 X

ΣM1=0 15

m

1 Empot

0.054 L= 25

0.309

T Ver DCL Columna

tm

0.505 tm 2

15 m

ΣM2=0

1

0.0543

t

t 0.309

tm

5.3,-Determinacion del Factor X Por equilibrio de la coordenada 1: R10-X*R11=0 X= X=EIΔ 5.4,-Determinacion de los Momentos Finales Mij=Mij(0)+ d1*Mij(1) Barra Mij(0) Mij(1) X*Mij(1) Mij(0)

1-2 36.458 0.309 185.82 222.28

2-1 72.915 0.505 303.96 376.88

R10= R11= 601.58

2-3 -72.915 -0.505 -303.96 -376.88

3-2 197.917 -0.730 -438.99 -241.07

5,5,-Determinacion de las deflexiones Vertical y Horizontal Datos E= 20600000 T/m2 I=Io=Ic= 0.00000001 m4 EI= 0.206 Tm2 X= 601.58 X=EIΔ  Δ=X/(EI)= 2920.27255 m 2920272.55 mm

40.17 0.067

desp Horiz desp Vertl

d21= -0,3Δ= -876.081765 m -876081.76 mm d23= 1,04Δ 3037.08345 m 3037083.45 mm El signo negativo significa que se desplaza sentido antihorario

d21=

d23= 3037083.45

-876081.76 (3)

d1=

2920272.55

ø Fig.- Deformacion Nudo (3) en mm