Cronometria

Prof. Jenner Huamán Callirgos

05/06/2014

PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS PROBLEMAS SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE FALTA TRANSCURRIR PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS FORMADOS POR LAS MANECILLAS DE UN RELOJ (HORARIO Y MINUTERO) EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS O AFINES Cuando nos referimos a un evento que implica una acción, como campanadas golpes, contactos seguidos a velocidad constante, debemos considerar que el tiempo transcurrido es propiamente el de los periodos comprendidos entre contacto y contacto, y no la duración del contacto.

Ejemplo 1 En el campanario de una iglesia se hace oscilar el péndulo dando tres campanadas en seis segundos. ¿En cuántos segundos se dieron 7 campanadas? Resolución Graficando tenemos 1ºC

i

2ºC

i

3ºC

Ahora en 7 campanadas habrá 6 intervalos de tiempo, entonces el tiempo pedido será : 6(3) = 18 seg.

Finamente se deduce : Se observa que en tres campanadas hay 2 intervalos de tiempo (I) Nº de Nº de intervalos de 2I = 6 s campanas -1 Tiempo (I) I=3s

Otra forma:

DP

Nº de campanadas

Nº de intervalos

3

2

6s

7

6

Xs 2x = 6(6)

Tiempo

x = 18 s

Se cumple

Tiempo total (DP) Nº Intervalos

Tiempo total = (Nº de Intervalos) x (duración de cada intervalo)

En la tabla se puede notar que: x3

-1 Nº CAMPANADAS

Nº INTERVALOS

TIEMPO TOTAL

5 10 12

4 9 11

12 27 33

4 9 11 = = = 𝐾𝐾(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. ) 12 27 33

APLICACIÓN Un reloj da 6 campanadas en 10s. ¿Cuántos segundos demora en dar 12 campanadas? Resolución

“Las ovejas saltan periódicamente sobre una cerca”, si 4 ovejas saltan en 4 minutos, ¿Cuántas ovejas saltan en 1 hora? Resolución

Tysson da (m-1) golpes en (m-2)2 segundos. ¿Cuántos segundos tardará en dar (m+3) golpes?. Resolución

Un reloj demora (p + 1) segundos en dar p2 campanadas. ¿Cuántas campanadas dará en un segundo?. a) p b) p – 1 c) p2 – 1 d) p – 2 e) p2 – 2 Resolución

El campanario de una iglesia estuvo tocando durante 15 segundos y se escucharon tantas campanadas como 2 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada. ¿Cuánto tiempo empleará este campanario para tocar 8 campanadas? A) 23 s B) 21s Resolución

C) 24 s

D) 25 s

E) 26 s

PROBLEMAS SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE FALTA TRANSCURRIR La referencia en éste caso es a problemas que en su enunciado establezcan una relación entre un intervalo de tiempo transcurrido y otro que falte por transcurrir; de tal manera que ambos intervalos sumen un periodo conocido como son las 24 horas de un día, los 7 días de la semana, los 30 días del mes de Abril, los 365 días de un año ordinario, etc.

En este tipo de ejercicios se considera el siguiente esquema: Hora actual

Tiempo transcurrido

Tiempo que falta transcurrir Hora Referencial 2

Hora Referencial 1

Si las horas de referencia son de 0 h a 24 h, es decir, un día, se cumple:

Hora actual = tiempo transcurrido (Tiempo transcurrido) + (tiempo por transcurrir) = 24h

Ejemplo Si el tiempo que falta transcurrir del día es la tercera parte del tiempo transcurrido. ¿Qué hora es? Resolución

De los datos se hace del siguiente diagrama : Del enunciado :

24 horas Tiempo transcurrido

Tiempo que falta transcurrir (24−x)

(x) Hora

(24 − x) = x 3 72 - 3x = x 72 = 4x 18 = x La hora es 18 : 00 h < > 6 p.m.

Si fuera 5 horas más tarde de lo que es, faltarían para acabar el día, el triple de las horas que habían transcurrido hasta hace 3 horas. ¿Qué hora es? Resolución Sea "x" el tiempo transcurrido hasta hace 3 horas. Entonces "3x" será el tiempo que faltará para acabar el día dentro de 5 horas. Ahora veamos el siguiente esquema : 24 horas x

5h

3h

3x

Hora

Del gráfico se deduce : x + 3 + 5 + 3x = 24 Resolviendo : x = 4 La hora es : x + 3 = 7 : 00 h

Dentro de 10 minutos el tiempo que faltará para las 5:00 pm será la mitad del tiempo transcurrido desde las 4:00 pm hasta hace 20 minutos. ¿Qué hora es? A) 4:20 p.m. B) 4:30 p.m. C) 4:40 p.m. D) 4:10 p.m. E) 4:35 p.m. Resolución Sea “x” la hora actual

Tiempo transcurrido

4:00 pm

2k

20 min

10 min

x

Tiempo que falta transcurrir

k

5:00 pm

1h 60 min

Del gráfico: 2k + 20 +10 + k = 60 k = 10

Pero: x = 2k + 20 = 2(10) + 20 = 40 min Por lo tanto: Hora actual: x = 4: 40 min

¿A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido? Resolución

Cuando sean 2 horas más tarde de lo que es, faltarán para las 14 : 00 h el doble del número de minutos transcurrido desde las 10 : 00 h. ¿Qué hora será dentro de 20 minutos? Resolución

Consultando por la hora una persona contesta: Las horas que me quedan del día son menores en 6 que las horas transcurridas. ¿Qué hora será dentro de 3 ½ horas? Resolución

Ya pasaron las 3 sin ser las 4 de esta tarde. Si hubiera pasado 25 min más, faltarían para las 5:00 p.m. los mismos minutos que pasaron desde las 3:00 p.m. hasta hace 15 min. ¿Qué hora es? Resolución

PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS

Situaciones en las cuales, como consecuencia de un mal funcionamiento del reloj, este sufre adelantos y atrasos respecto a la hora que indica un reloj de funcionamiento normal.

Hora indicada por un reloj atrasado

Hora real

Hora indicada por un reloj adelantado

Para relojes que se adelantan se cumple:

Hora marcada = hora real + adelanto total Para relojes que se atrasan se cumple:

Hora marcada = hora real - atraso total

OBSERVACIÓN Para que un reloj que se adelanta o atrasa vuelva a marcar la hora correcta por primera vez, debe adelantarse o atrasarse, según sea el caso:

12 horas 720 minutos

Aplicación El reloj de la academia se adelanta 3 minutos cada 2 horas. ¿Cuánto se adelanta al cabo de 18 horas? a) 3 min. b) 6 c) 9 d) 27 e) N.A. Resolución

Un reloj se adelanta 4 minutos en 6 horas. ¿A qué hora empezó a adelantarse si a las 10:4 señala 10:50? a) 8:44 b) 9:44 c) 13:44 d) 16:44 e) N.A. Resolución

Un reloj se atrasa 10 minutos cada hora. ¿Después de cuántas horas marcará la hora exacta? a) 60h b) 36 c) 72 d) 144 e) N.A. Resolución

Un reloj se atrasa 20 minutos cada día. ¿Cuántos días serán necesarios para que el reloj indique correctamente la hora? a) 18 b) 72 c) 36 d) 144 e) N.A. Resolución

Un reloj se atrasa 900 segundos por día, se pone a la hora exacta un domingo a las 12 del mediodía. ¿Qué hora marcará el reloj el sábado siguiente al mediodía? a) 9:00 b) 10:30 c) 16:30 d) 5: 30 e) 11:30 Resolución

PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS FORMADOS POR LAS MANECILLAS DE UN RELOJ (HORARIO Y MINUTERO)

Antes de la invención del reloj de péndulo, la humanidad se basaba en la posición del Sol para conocer la hora. También se inventaron los relojes de arena y otros artilugios para medir períodos de tiempo determinados. Desde 1960, los relojes mecánicos han sido reemplazados por relojes eléctricos y electrónicos.

RELOJ DE ARENA Durante el siglo I, los romanos utilizaron relojes de arena para medir el tiempo. La arena tardaba un tiempo fijo en fluir, atravesando la angostura, desde la parte superior a la inferior del cristal. RELOJ ELECTRÓNICO

CONSIDERACIONES PREVIAS 1 hora equivale a 60 min y cada minuto a 60 segundos. Un reloj de manecillas posee 12 divisiones que indican las horas y cada una de éstas posee 5 pequeñas divisiones que corresponden a los minutos, es decir, toda la circunferencia está dividida en 60 pequeñas divisiones. La circunferencia representa 360º Luego: 60 div 60 min 360º

1 div 1 min 6º

Es decir: Si el minutero recorre una división, entonces transcurrió un tiempo de un minuto y, además barrió un ángulo de 6º

Debemos tener en cuenta que: 12

9

3

30º=6º+6º+6º+6º+6º 4 6

EH 5div. = EM 60div

EH 1 x = = EM 12 12 x

EH = Espacio recorrido por el horario EM = Espacio recorrido por el minutero (en 1 hora)

Para la resolución de los problemas sobre manecillas, se recomienda analizar a partir de la hora exacta anterior a la hora indicada en un problema determinado, a la cual llamaremos hora de referencia.

Ejemplo:

Hora de referencia

3:25

3:00

5:40

5:00

4:10

4:00

También podemos establecer las siguientes relaciones:

Recorrido del minutero (en minutos)

Recorrido del horario (en minutos)

30 min

2,5 min

1 (30) 12

60 min

5 min

40 min

(10/3) min

1 (60) 12 1 (40) 12

24 mim

2 mim

m min

(m/12) min

Unidades equivalentes

Recorrido del minutero (en minutos)

Recorrido del horario (en grados)

30 min

15º

60 min

30º

40 min

20º

25 mim

12.5º

m min

(m/2)º

Unidades diferentes

Ejemplo: Desde las 3 en punto hasta las 4 en punto

También: En 60 min el horario avanza  60  = 30º  2 

M ∴ En M min el horario avanza    2 .

º

Ángulo que forman las manecillas del reloj (Horario–Minutero) Cuando el reloj marca las “H” horas “M” minutos o abreviadamente H:M el ángulo “α” formado por el horario y el minutero se obtiene directamente con la siguiente fórmula:

11 α =  30H ± M 2 Donde: H → hora de referencia (0≤H≤12) M → # de minutos transcurridos a partir de la hora de referencia α → Medida del ángulo que forman las manecillas del reloj (en grados sexagesimales)

Caso I: Cuando el horario adelanta al minutero. Transponiendo términos, obtenemos: α = 30 H – 11x

Para las H horas y M minutos, de la figura se observa que: 12x + α = 30H + x Última hora pasada por el horario

Teniendo en cuenta que xº es lo que avanza el horario en M minutos, entonces: 𝐌𝐌 ∝ = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟏𝟏( ) 𝟐𝟐

Caso I: Cuando el minutero adelanta al horario.

𝐌𝐌 − 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∝ = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 Para las H horas y M minutos, de la figura se observa que: 30H + x + α = 12x α = 11x – 30H

Conclusión: El signo negativo acompañará a la manecilla que se encuentra rezagada y el positivo al que se encuentra adelantada (tomando en cuenta siempre el movimiento de las manecillas del reloj).

Notas: a.Dado un tiempo determinado la hora referencial será la hora exacta anterior a la hora que nos dan. b.Cuando se pregunta por el ángulo que forman las manecillas del reloj; se entiende que es por el menor ángulo.

Aplicación Graficar las posiciones de las agujas en cada caso, e indicar el ángulo barrido por el horario, a partir de la hora de referencia. a) 2:28 b) 2:40 c) 6:26 d) 2:10 e) 4:12 f) 9:44 Resolución

Hallar el ángulo formado por las manecillas del reloj en los siguientes casos: a) 5:40 Resolución

b) 8:20

c) 6:15

•Hallar “ θ “

en el gráfico.

A) 120º E) 124º

B) 125,5º

11

C) 128,7º

Resolución

12 1

10

2 3

9

θ 4

8 7

5 6

D) 132,5º

¿Qué hora será después de 2 horas de la hora que indica el grafico? a) 5:38

5 b) 5:35 c) 5:36 11

d) 5:39

e) 5:37

Resolución

¿Qué hora es según el grafico mostrando?

6 a) 2:35 7 b) 2:39:00 c) 2:38

4 7

d) 2:37:00 e) 2:36:00 Resolución

¿Qué hora es en la figura? a) 2:26

b) 2:25

c) 2:24

12

Resolución

1

11

2

10 α

3

9 2α 4

8 7

5 6

d) 2:22

e) 2:27

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Un campanario emplea 6 segundos para tocar 4 campanadas. ¿Cuánto tiempo empleará 8 campanadas? A)10 s B) 12 s C) 14 s D) 16 s E) 20 s 2. Si un campanario toca 10 campanadas en 27 segundos, ¿cuántas campanadas tocará en 1 min? A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 3. Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 5:00 a.m. demora 6 s, ¿cuánto demorará para indicar las 12:00 p.m.? A) 12 s B) 14 s C) 16 s D) 16,5 s E) 18 s 4. Un reloj demora (m2-1) s en tocar (m+2) campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en 1 s? A) m/(m-1) B) m/(m+1) C) (m2-1)/m D) (2m+1)/m E) (m2+1)/(m-1)

5. Un reloj señala la hora con igual número de campanadas. Si para indicar las 12:00 p.m. demoró 22 s, ¿cuánto demorará en indicar las 4 p.m.? A) 4 s B) 6 s C) 9 s D) 11 s E) 12 s 6. Un reloj señala la hora con el triple de campanadas con que señalaría un reloj normal. Si para indicar las 4:00 a.m. demoró 44 s, ¿cuánto demorará para indicar las 21:00 h? A) 144 B) 108 C) 110 D) 231 E) 252 7. Un campanario emplea (m2-1) s en tocar m campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en 1 s? A) (m+1)/(m-1) B) m/(m+1) C) (m-1)/m D) (m+2)/(m+1) E) (m+2)/(m-1) 8. Son las 2 p.m. sin ser las 3 p.m., pero dentro de 40 min faltará para las 4 p.m. el mismo tiempo que ha transcurrido desde las 1 p.m. hasta hace 40 min. ¿Qué hora es? A) 2:40 p.m. B) 2:50 p.m. C) 2:45 p.m. D) 2:30 p.m. E) 2:20 p.m.

9. Si la mitad del tiempo transcurrido del día es igual a la cuarta parte del tiempo que falta transcurrir para que termine el día, ¿qué hora es? A) 6 a.m. B) 7 a.m. C) 8 a.m. D) 9 a.m. E) 12 p.m. 10. Si lo que falta para las 6 p.m. de hoy es igual a la mitad de lo que faltará para las 6 a.m. de mañana dentro de 6h,¿qué hora es? A) 8 a.m. B) 9 a.m. C) 10 a.m. D) 11 a.m. E) 12 p.m. 11. Son más de las 7 p.m. pero aún no son las 9 p.m. Si el tiempo transcurrido desde las 7 p.m. hasta hace 15 min es igual a 1/5 del tiempo que faltará para las 9 p.m. dentro de 15 min, ¿qué hora es? A) 7:15 p.m. B) 7:20 p.m. C) 7:30 p.m. D) 7:40 p.m. E) 8:30 p.m.

12. Son más de las 2 p.m., pero aún no son las 5 p.m. Si los minutos transcurridos desde las 2 p.m. son la cuarta parte de los minutos que faltan para las 5 p.m., ¿qué hora es? A) 2:36 p.m. B) 3:20 p.m. C) 3:24 p.m. D) 3:36 p.m. E) 3:44 p.m. 13. Si el duplo de las horas transcurridas en un día es igual al cuádruplo de las que faltan para terminar el día, ¿qué hora será dentro de 4h? A) 4 p.m. B) 6 p.m. C) 8 p.m. D) 10 p.m. E) 12 p.m. 14. Un reloj se adelanta 2 min cada 3h. ¿Qué hora será en realidad cuando marque las 10:15 a.m., si hace 30 horas que va adelantándose? A) 9:50 a.m. B) 9:55 a.m. C) 10:00 a.m. D) 10:05 a.m. E) 10:10 a.m.

15. Un reloj se adelanta 3 min por cada hora que transcurre. ¿A qué hora comenzó a adelantarse si dentro de 2 horas tendrá un adelanto de una hora y estará marcando las 10:37 p.m.? A) 1:37 a.m. B) 1:35 a.m. C) 1:43 a.m. D) 1:33 a.m. E) 1:40 a.m. 16. Según el gráfico. ¿Qué hora es? A) 5:36 B) 5:24 C) 5:38 D)5:37 E) 5:18

17. Entre las 5 y las 6:00 pm. ¿A qué hora las manecillas formarán un ángulo de 180º. A) 5: 00 p.m. B) 6: 00pm E) 3: 00 p.m.

C) 7: 00 p.m.

D) 4: 00 p.m.

18. Entre las 4h y las 5h. ¿A qué hora las manecillas formarán un ángulo de 90? 19. Entre las 2 y las 3: 00 pm. ¿A qué hora las manecillas formarán un ángulo que sea igual a los 2/3 de sus suplemento? A) 2: 24 min B) 2: 54 min E) 3: 24 min

C) 2: 23 min

D) 3: 45 min

11

20. ¿Qué hora es según el gráfico? A) 5 h 8 min. B) 5 h 9 min. C) 5 h 12 min. D) 5 h 7 min. E) 5 h 6 min.

12 1

10

2 3

9

4

8 7

21. ¿Qué hora indica el reloj de la figura?

5 6