Crítica de Lucas

 

I.

Demanda de dinero según Lucas

Problema del portafolio

(

⏟Z 

max G   M  ,  M , Z 

⏟

,

s

⏟

estadode Vector de la economía economía  Activos  Financieros  Financier os

Balances monetarios

)

(i)

S.A.

⏟

 M +   Q ( s ) · Z ≤ W   ( ii ) ⏟

dotación inicial

vector de  preciosde losactivos fiancieros

 L=G ( M , Z , s ) + γ [ W − M −Q ( s ) Z ]( iii ) ∂L =0 ⟹ G M  ( M , Z , s ) =γ (iv ) ∂ M   M , Z , s )=γ · Q j ( s ) ( v ) ∂ L =0 ⟹ G z ( M ∂ z  j  j

Q j ( s )=

  1 1

+r ( s )

(vi )

La tasa de interés r ( s ) es genérica y entra en e n la demanda dinero.

G M  (  M M , Z,s) G z ( M , Z , s )

=1 + r ( s ) (vii )

 j

Pero

 M + Q ( s ) · Z = W 

 M  = f   (( r ( s ) , s , w ) ( viii )  D

La demanda de dinero depende del problema del portafolio. r(s)

Ms’ 

Ms   La demanda de dinero depende del estado de las cosas. Sobre la base de ello, se dene el estado futuro. La función de políca monetaria es inestable porque depende del estado actual de la cosas, con lo cual la demanda de dinero puede cambiar de un

r1(s)

estado a otro, y no se alcanza el objevo.

r0(s)  D

 M  =   r s s W    D

 M  ' 

M

 

La solución de Lucas El problema transaccional. transaccional.

{[

max G ( M , Z , s )=¿ maxV  ( ( s , w ) =max  E  E 0 c , m , zi

∞

 β u ( c ) ∑ = t 

t 

t 

0

]}

(ix ) ¿

Entonces, es un problema estocásco. Sujeto a la restricción cash in advance:

⏟

 P ( s ) ·

≤ M ( x )

· c

a

⏟

⏟

vector vector de vectorde bienes es  proporción de bien  preciosde los  proporción bienes bienes enel quese paga en efec efectivo tivo estados

Función de transición:

f  ( ( s , A )= pr [ s t +1 ∈ A ∨ st = s ] Donde A es la matriz de estados. Entonces, el problema transaccional es:

{ [

]}

2

maxV  ( ( s , w )= max   E E 0 u ( ct  ) + βu ( c t +1 ) + β u ( c t + 2 ) … ( xi ) ⟹ maxV  (  ( s , w )=maxu

( ct  ) +max { E  β [ u ( c t + ) + β u ( ct + ) … ] } 0

1

{ [∑ ∞

⟹ maxV  (  ( s , w )=maxu

 E  β ( ct  ) +max  E 0

 β

t − 1

2

]}

u ( c t +i ) ( xii )

t =1

⟹

 ∫

maxV  ( ( s , w )=maxu ( ct  ) + β ∀ s ' ∈ A V   (( s ' , w ' )  f  ( ( s ' , A ) ds'  ds ' ( xiii)

⟹ maxG ( M  M , Z , s ) =maxV   (( s , w )= maxu

( c t ) + β   ∫ ∀

⟹ maxG ( M  M , Z , s )= L=u

( ct  ) + β   ∫

V   (( s ' , w '  ) f   (( s ' , A ) ds ' ( xiv )

s'  ∈ A

 M − P ( s ) ac ] ( x v ) V   (( s , w ) f  ( ( s ' , A ) d s + λ [ M  ' 

' 

' 

' 

∀ s ∈ A

En donde: ' 

(

w = M + Q ( s ' ) +   D ( s ' )

⏟

)

vector de dividendos enel estados' 

Z + P ( s )

∑ [ y −c ] ( xvi ) i

∀i

i

 

∂L '  '  '  = 0 ⟹ uc  ( c t ) = P ( s ) β V w  ( s , w ) f  ( ( s ' , A ) d s + λP ( s ) a i( xvii ) ∂ ci ∀ s ∈  A

 ∫

i

' 

' 

Solo se toma en cuenta la riqueza de mañana, porque ésta ya considera la riqueza de los periodos siguientes. Ahora, regresando al problema del portafolio, (i),(ii), y tomando en cuenta (viii): De (xvi):

 M , Z , s ) = G M  ( M

 ∂ L '  '  '  = β V w  ( s , w ) f  ( ( s ' , A ) d s + λ =γ ( xviii) ∂ M  ∀ s ∈ A

 ∫

' 

' 

G z ( M , Z , s )=  j

 ∂ L '  '  '  = β V w  ( s , w ) f  ( ( s ' , A ) [ Q  j ( s ' )+ D j ( s ' ) ] d s = γ · Q  j ( s )( xix ) ∂ z j ∀ s ∈ A

 ∫

' 

' 

Si  z j  es un bono nominal de un solo periodo:

Q j ( s )=

  1 1

r s

+  j ( ) Q j ( s ' )= 0  D  j ( s ' ) =1

⟹ β

 ∫

V w  ( s , w ) f   (( s ' , A ) d s =γ · Q j ( s ) ( x x ) ' 

' 

' 

' 

' 

∀ s ∈ A

De (xviii) y (xx):

γ = γ · Q j ( s )+ λ ( xxi )

[

⟹ λ =γ  1 −

  1 1

+ r ( s)

 ]

[  ]

⟹ λ = γ 

  r(s) ( xxii ) 1 +r ( s )

De (xxii), (xvii) y (xx):

uc  ( c t ) = P ( s ) · γ · Q j ( s ) + λP ( s ) ai i

  r (s ) ⟹ u ( c  )= P ( s ) · γ  1 + r ( s ) + γ  1 + r ( s )  P ( s ) ai   1

ci

t 

[  ]

 

⟹ uc i

⟹ uc

i

[ [

 ( ct  )= P ( s ) · γ 

uc ( c t ) = P ( s ) · λ i

⟹ uc

i

⟹ uc

i

1

 1

 ]

+ r ( s ) · ai ( xxiii) 1 +r ( s )

+ r ( s ) · Q  j ( s )+ λP ( s ) ai r (s)

1

+r ( s )   1 · + λP ( s ) ai 1+ r ( s ) r (s )   1

i

 ( ct  )= λ · P ( s ) · r ( s ) + ai

 ( ct  )= λ·P ( s ) ·

[

1

 ]

+a i · r ( s ) ( xxiv ) r (s)

Si  P ( s ) ac = M   D

  M  = f   (( a , c , r ( s ) ) ( xxv ) ⟹  P ( s )

r(s) MS’

 ]

[  ] [  ]

( ct  )= P ( s ) · λ

⟹ uc

r (s)· a

  1

 ( ct  )= P ( s ) · γ  1+ r ( s ) + 1+ r ( si)

MS

r1(s) r0(s)

De (xxiii):

uc  ( c t  ) i

γ    = P ( s )

 1

+ r ( s ) · ai 1

+r ( s)

 

γ = ¿ulidad marginal del dinero. Si: · ai=1 , tenemos algo parecido a modelos anteriores. II II..

Ca Caso so en que que ind indiv ivid iduo uoss enf enfre rent ntan an much mucha a ince incer rdu dum mbre. bre.

Solo deciden mantener dinero, se deshacen de acvos.

max G (  M M , Z , s )= max G ( M , s )( i ) c, m

c ,m

⏟

 M + Q ( s ) · Z ≤ W ( ii ) 0

 L=G ( M  M , s ) + γ [ W − M ] ( iii) ∂L =0 ⟹ G M  ( M  M , s )=γ ( iv ) ∂ M   M  = f   (( s , w ) ( v )  D

max G (  M M , s )= maxu ( c t ) + β c, m

 ∫

V ( s ' , w '  ) f  ( ( s , A ) ds ' ( vi )

∀ s ' ∈ A

S.A.:

 P ( s ) ·a·c≤ M ( vii )

w = M + P ( s ) ' 

∑ [ y − c ] ( viii ) i

i

∀i

 L=u ( ct  ) + β

 M − P ( s ) ac ] ( ix)   ∫ V   (( s , w ) f  ( ( s ' , A ) d s + λ [ M  ' 

' 

' 

' 

∀ s ∈ A

∂L '  '  '  c t  ∂ c i = 0 ⟹ u  ( c ) = P ( s ) β ∀ s ∈ A V w  ( s , w ) f  ( ( s ' , A ) d s + λP ( s ) a i( x )

 ∫

i

' 

' 

G M  ( M  M , s ) =

 ∂ L '  '  '  = β V w  ( s , w ) f   (( s ' , A ) d s + λ =γ ( x i ) ∂ M  ∀ s ∈ A

 ∫

' 

' 

uc  ( c t ) = P ( s ) [ γ − λ ] + λP ( s ) ai ( xii ) i

Como:

 P ( s ) ac = M   D

⟹

  M 

 P ( s )

= f  ( ( a , c , ) ( xiii )

 

La demanda de dinero real es absolutamente transaccional, no interesan los precios.

 

III.

Caso en que el agente con mucha incerdumbre MN nacional solo para transacciones y ME la guarda debajo del colchón.

Problema del portafolio

max G ( M   M  ,M ,s ) ( i ) $

$

c,m,m

 M + M   E ( s ) ≤ W ( ii ) $

 L=G ( M   M  , M , s ) + γ [ W − M − M   E ( s ) ] ( iii) $

$

∂L $ =0 ⟹ G M  ( M   M  , M , s ) =γ ( iv ) ∂ M  ∂L $

∂ M 

$ =0 ⟹ G M   ( M   M  , M , s ) =γE ( s )( v ) $

 M  ,M ,s ) G M  ( M  $

  1

G M   ( M   M  , M , s ) = E ( s ) ( vi ) $

$

 M  = f  ( ( s,w ,E ( s ) ) ( v ii)  D

Problema transaccional

 ∫

 M  ,M ,s )=maxu ( ct  ) + β max G ( M  $

c,m,m

$

V   (( s ' , w '  ) f   (( s , A ) ds'  ds ' ( viii )

∀ s ' ∈ A

S.A.:

 P ( s ) ·a·c≤M ( ix ) w = M + M   E ( s ' )+ P ( s ) ' 

$

∑ [ y −c ] ( x ) i

i

∀i

 L=u ( ct  ) + β

 ∫

V  ( ( s , w ) f   (( s ' , A ) d s + λ [ M   M − P ( s ) ac ] ( x i) ' 

' 

' 

' 

∀ s ∈ A

∂L '  '  '  V w  ( s , w ) f   (( s ' , A ) d s + λP ( s ) a i( x ii ) = 0 ⟹ uc  ( c t ) = P ( s ) β ∂ ci ∀ s ∈ A i

 ∫

' 

' 

G M  ( M   M  , M , s ) = $

 ∂ L '  '  '  = β V w  ( s , w ) f  ( ( s ' , A ) d s + λ =γ ( xiii  xi ii ) ∂ M  ∀ s ∈ A

 ∫

' 

' 

$  M $

G

( M 

' 

 ∫

w ' 

' 

' 

 E ( s ' ) d s ( xiv ) ,M ,s )= γE ( s )= β ∀ s ∈ A V   ( s , w ) f  ( ( s ' , A ) E ' 

 

γ = β

 ∫ ∀

⟹ γ = β

' 

V w  ( s , w ) f  ( ( s ' , A ) ' 

' 

' 

s ∈ A

 ∫ ' 

 E ( s ' ) '    d s ( xv )  E ( s )

V w  ( s , w ) f  ( ( s ' , A ) ( 1 + e ( s ' ) ) d s ( xv ) ' 

' 

' 

' 

∀ s ∈ A

Si hay po de cambio jo,

e ( s ' )=0 ⟹ γ = β

 ∫ ' 

∀ s ∈ A

V w  ( s , w ) f  ( ( s ' , A ) d s ' 

' 

' 

'