Criterios Fundamentales Para Resolver Pr

CRITERIOS

FUNDAMENTALES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES

VOLUMEN II

Aquiles Martínez R.

Asocia.Vin EQUINOCCIO Ediciones de la Universidad Simón Bolívar

Aquiles Martínez R. Ingeniero mecánico graduado en el Politécnico de Milán. Italia (1972). Profesor del Departamento de Mecánica de la Universidad Simón Bolívar y de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Metropolitana. Ha desempeñado los cargos de jefe del Departamento de Mecánica, coordinador de Ingeniería Mecánica y de Producción y director de Desarrollo Profesoral de la USB. Ha sido merecedor del Premio a la Docencia en la USB. Premio al Mejor Libro de Texto y el Premio Maraven a la Docencia.

CRITERIOS

FUNDAMENTALES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES

VOLUMEN II

Aquiles Martínez R.

EQUINOCCIO Ediciones de la Universidad Simón Bolívar

Asociación chinaos Universidad Simón Bolívar Thls One

III CRITERIOS FUNDAMENTALES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES

VOLUMEN II/Aquiles Martínez R. lera, edición lera, reimpresión

© 2004 EQUINOCCIO Ediciones de la Universidad Simón Bolívar Valle de Sartenejas. Baruta, estado Miranda Apartado postal 89000. Caracas 1080-A, Venezuela Teléfonos: (58-2) 906 3157, 906 3160 y 906 3162 Fax: 906 3159 Hecho el depósito de ley Reservados todos los derechos EQUINOCCIO. Ediciones de la Universidad Simón Bolívar, cuenta con un sistema de evaluación de las obras publicadas bajo su sello. Asociación de ümigos Universidad Simón Bolívar Coordinación de producción Margarita Oviedo U . Nelson González Portada Grisel C. Boada Jiménez Corrector de estilo Salvador Fleján Olivares Diseño de colección Mariela Garcés Diagramación Aquiles Martínez R. ISBN: 980-237- 105-X ISBN: 980-237-106-8 (V.2) Depósito legal: lf 2441997620224 Impresión: Xerox

CONTENIDO

CAPITULO I

TEORIA DE LA CURVA ELASTICA

Objetivos

1

Introducción

1

Método de la doble integración

3

Solución de vigas hiperestáticas - Método de la doble integración Método de la cuarta derivada Problemario

5 o

Método de superposición Problemario

CAPITULO II

4 8

6 8

7 1

FLEXION DESVIADA O FLEXION OBLICUA

Objetivos

8 2

Introducción

8 2

Flexión desviada

84

Cálculo de los esfuerzos en la flexión desviada Problemario

CAPITULO III

Objetivos

8 8

FLEXION EN VIGAS CURVAS

117

Introducción Análisis

87

117

cualitativo

del

problema

1 1 8

Flexión en vigas de curvatura grande

120

Características geométricas de varias secciones planas Problemario

CAPITULO IV Objetivos

FLEXION EN VIGAS DE VARIOS MATERIALES 148

Introducción Hipótesis

130

148

150

Problemario

154

Vigas en concreto reforzado

177

127

-II-

CAPITULO V RESISTENCIA A LA FATIGA Objetivos 183 Introducción 183 Descripción de la falla por. fatiga 184 Ensayo de flexión rotativa - Curva de Wohler 187 Nomenclatura 189 Curva de Wohler para aceros a partir del límite de rotura a tracción 190 Comportamiento de las aleaciones de aluminio 191 Análisis de fatiga para piezas reales 192 Tipo de carga 192 Dimensiones de la pieza 193 Acabado superficial 193 Concentración de esfuerzos 194 Gráficos para la determinación de los factores kf 195 Valores de kf para uniones entre árboles y cubos 205 Valores de kf para roscas 205 Valores de kf para chaveteros con perfil tipo a 205 Valores de kf para chaveteros con perfil tipo B 20 6 Efecto de la temperatura Análisis cualitativo de la Variaciones en el diseño Métodos para la solución Primer caso 208 Segundo caso 213 Tercer caso 21 8 Diagramas de resistencia Cuarto caso 227 Quinto caso 229 Problemario 234

206 concentración de esfuerzos en una entalla 207 para reducir concentraciones de esfuerzos 207 de problemas prácticos de fatiga 208

a la fatiga para vida constante 219

CAPITULO VI METODO DE CASTIGLIANO Objetivos 254 Introducción 254 Energía de deformación elástica acumulada por una viga sometida a axial 256

acción

—III—

Energía de deformación elástica acumulada por una viga sometida a flexión 257

Energía de deformación elástica acumulada por una viga de sección circular sometida a torsión 258 Energía de deformación elástica acumulada por una viga sometida a acciones cortantes 259 Teorema de Castigliano 26 1 Método de Castigliano con carga ficticia 266 Método de Castigliano para problemas hiperestáticos 271 Método de Castigliano en el caso de vínculos deformables 276 Problemario 280

CAPITULO Vil CARGAS DE IMPACTO Objetivos 305 Introducción 305 Cargas dinámicas 305 Cargas de impacto a alta velocidad 306 Impacto a baja velocidad 306 Efectos vibratorios de las cargas dinámicas 307 Método de la carga equivalente 307 Primer caso 307 Segundo caso 309 Tercer caso 3 1 o Problemario 31 4

CAPITULO VIII

INESTABILIDAD ELASTICA O PANDEO

Objetivos 339 Introducción 340 Fenómeno de la inestabilidad elástica o pandeo 340 Equilibrio estable 34 1 Equilibrio inestable 341 Equilibrio indiferente 342 Completamente indiferente 342 Indiferente inestable 342 Indiferente crítico 342 Determinación de la carga crítica en barras rígidas 343 Fórmula de Euler 349 Fórmula de Euler para cualquier condición de vínculo 352

-IV-

Observaciones y limitaciones de la fórmula de Euler 353 Problemario 355 Verificación y diseño de columnas según normas a.i.s.C. 3 62 " Acero estructural - Fórmula A.I.S.C. 363 Aluminio estructural 365 Fórmula J. B. Johnson 3 66 Problemario 368 Vigas con distinta vinculación en los diferentes planos 373 Columnas compuestas - Pandeo localizado 377 Pandeo localizado 378 Análisis y diseño de columnas cargadas excéntricamente 391 Método del esfuerzo admisible 391 Método de interacción 393 Problemario 395

APENDICES Perfiles Sidor.

- 1 CAPITULO

I

TEORIA DE LA CURVA ELASTICA

OBJETIVOS:

Al completar el estudio y la solución de los problemas de este capí tulo, usted deberá ser capaz de:

1. - Definir la curva elástica de una estructura.

2. - Seleccionar el dad

perfil

de

una viga considerando

su deformabili-

elástica y no su resistencia.

3. - Establecer elástica

de

y

resolver

una viga

la

ecuación

cuando

se

diferencial

encuentre

de

sometida

la a

curva cargas

transversales.

4. - Utilizar el método de la doble derivada y de la cuarta derivada.

5. - Determinar la deflexión y la rotación de cualquier punto de la cur va elástica.

6. - Determinar la deflexión

máxima de una viga y el punto donde

ocurre.

7. - Resolver estructuras hiperestáticas utilizando curva

la ecuación

de la

elástica.

8. - Resolver

estructuras

hiperestáticas

utilizando

el

método

de

superposición. INTRODUCCION: Cuando una viga se carga, el eje longitudinal

de la misma, inicial-

mente recto, se deforma en una curva llamada curva elástica de la viga o curva DE DEFLEXION. En el diseño de elementos de máquinas o de vigas para edificacio nes, frecuentemente se requiere la determinación de la deflexión, bien sea la deflexión máxima o la deflexión en un punto particular.

-2

Hay dos razones importantes para conocer la deflexión de una viga: La primera, es simplemente para poder predecir la deflexión de una viga bajo carga. En edificios y partes de máquina, las especificaciones y otros requisitos limitan, a menudo, la deflexión que puede tolerarse. Por ejemplo, si los componentes de una caja reductora de velocidades experi mentan deflexiones excesivas, los engranajes pueden volverse inoperantes o pueden desalinearse los componentes. Si se pueden predecir las deflexiones para las partes sometidas a flexión, pueden especificarse las tolerancias adecuadas en el diseño de los elementos. De la misma manera, en las vigas de pisos que tengan por debajo cielo raso de yeso, se suele limitar la flecha máxima a 1/360 de la luz, para que no aparezcan grietas en el yeso. En ge neral, en el diseño de edificaciones suele existir una limitación para las de flexiones, ya que las mismas se asocian con una sensación de inseguridad. En el caso de las alas de los aviones, es muy importante conocer la deflexión máxima que se tendrá en el extremo libre. En el Jumbo 747 se trata de una estructura metálica en forma de cajón hueco, de más de 3 o metros de largo, que soporta cargas de casi media tonelada por metro cuadrado, al tiempo que aloja 50 ooo litros de combustible. Es una estructura que contie ne además, kilómetros de tuberías y conexiones eléctricas e hidráulicas, mecanismos móviles y cuadros de conexión; y que soporta suspendida bajo ella pesos de cuatro a cinco toneladas; siendo sometida durante años y años a cargas cíclicas que la doblan miles de veces, en ocasiones hasta un punto tal que su extremo libre está más de metro y medio desviado de su posición normal. Una segunda, y posiblemente aún más significativa razón para calcu lar las deflexiones, es para poder resolver las vigas hiperestáticas. Hay muchos métodos diferentes para calcular las deflexiones en las vigas; en esta parte se van a presentar tres de los más comunes: - Método de la Doble Integración. - Método de la Cuarta Derivada. - Método de Superposición.

METODO DE LA DOBLE INTEGRACION Vamos a considerar solamente la categoría de estructuras con eje rectilíneo y con cargas perpendiculares a su eje. Ilustraremos con un ejemplo el problema que se va a tratar: Dada una viga rectilínea como la que se muestra en la figura, con cargas perpendiculares a su eje; se desea saber la ecuación y = y(x) de la viga deformada, una vez fijado un sistema de referencia x,y.

Para ello, vamos a recordar la teoría de la flexión pura y ver cómo se deforma una viga por efecto del momento flector. Supongamos que se tiene la viga de longitud "Ln mostrada en la figura, sometida a momentos en sus extremos. M

M

dz Veamos la geometría de las deformaciones en una sección genérica de la viga y algunas consecuencias que de ella se derivan:

Adz = £2 dz =

dz E.Ix

¿a _ Adz _ M.dz " y " E.IX

da = M,dz E.IX da = dz

l = p = JVL E.IX

r = radio de curvatura =

p = curvatura = -JyjE.IX

OBSERVACION: Si se cambia el sentido de! momento, cambia el sentido de la curvatura, por lo tanto estas cantidades estarán afectadas por un signo.

a= í M.dz i

El

_ M.L E.I

- 5 -

Hagamos un pequeño paréntesis para repasar algunos conceptos mate máticos. Si se tiene una curva y = y(x), el análisis matemático. enseña que:

curvaconvexa Se dice que una curva y = y(x) es convexa (o cóncava hacia arri ba) en un intervalo (a,b) si para todo a y b de ese intervalo, el segmento rec tilíneo que une a [a, y(a)] con [b, y(b)] queda por encima de la gráfica de y(x).

a

b

En una curva convexa la derivada de la función dy/dx es siempre cre ciente

en el intervalo (a,b).

curva cóncava: Se dice que una curva y = y(x) es concava (o cóncava hacia aba jo) en un intervalo (a,b) si para todo a y b de ese intervalo, el segmento rec tilíneo que une a [a, y(a)] con [b, y(b)] queda por debajo de la gráfica de y(x).

i j a

i 1 b

* h.

En una curva cóncava la derivada dy/dx es siempre decreciente en el intervalo

(a,b).

Se define curvatura p de la curva y = y(x) en el punto P al cociente: p = dfX y ds

La curvatura da una idea de la rapidez con que cambia el ángulo cuando uno se mueve sobre la curva y = y(x).

Se define radio de curvatura r de la curva y = y(x) en el punto P cociente: r = 1 = ds p da

- 7 -

Teniendo presente que a = arctg.(dy/dx),

la

curvatura p se puede

expresar en las coordenadas x,y como sigue:

-á.arctg.u = —!— dx 1 + u2 dx

entonces: -> d2y

d2y ■

da dx _ da dx _ ds dx dx ds

dx2

r 2

i

dx2

[dy" 2 .Vi* ■dx.

1 +

dy] 2 dx. J

d2y dx2 P = 1 + dxJ J

La curvatura será positiva o negativa dependiendo de si la curva es convexa o cóncava respectivamente. En una curva convexa la derivada pri mera es positiva (pendiente positiva) y a medida que se avanza sobre la cur va la pendiente va aumentando, luego la derivada segunda será también posi tiva.

En el caso de las pequeñas deformaciones, o sea, donde la curva de formada se confunde con la línea indeformada, se puede considerar:

—< 1 dx

lo que significa que

dy Ldx

« 1

y por lo tanto despreciable respecto a 1 Por lo tanto, para las curvas considerar como ecuación de relaciones

y = y(x) que vamos a tratar, podemos

la curvatura y del

siguientes: d2y P = — dx2

r = -L djy dx2

radio de curvatura a las

- 8 Entonces se puede decir que:

d2y dX2

_ I M 1 lE.ll

La relación es válida entre los valores absolutos porque d2y/dx2 tiene signo + ó - dependiendo del sistema de referencia (x,y); y ó - dependiendo de

m/e.i tiene signo +

la convención que se utilice para el momento flector.

Veamos las varias posibilidades:

PRIMER CASO

SEGUNDO CASO

- 9

QUINTO CASO A y

M

M

_

SEXTO CASO

observación: El método de la doble integración es un medio efectivo para cal cular la deflexión y la pendiente en cualquier punto de una viga. Sin embargo, cuando la carga de la viga es tal que se necesiten varias funciones para re presentar el

momento flector en toda la longitud de la viga, se requerirán

varias constantes de integración e igual número de ecuaciones que expresen las condiciones de continuidad, así como las condiciones de contorno. Esto trae como consecuencia el tener que resolver sistemas de ecuaciones con gran número de incógnitas, lo que puede implicar un cálculo muy laborioso.

-10-

PROBLEMA Ns 1

Para la viga mostrada en la figura: IP ii

a)

Determinar la ecuación de la curva elástica.

b)

Calcular la

deflexión

de

la

sección

en

el

punto

de

aplicación

de la carga p.

c)

Calcular la rotación de la sección en el punto de aplicación de la carga

P.

Resolver el problema utilizando varias de las convenciones.

SOLUCION:

| PRIMER CASO

.

(R)

Ti "

M = - P.x

M + P.x = 0

&y _ dx2

dy dx

px El

"eT

+ cj

;

y = - Px3 +c,x + c2

2EI

CONDICIONES DE BORDE:

En

x = L

y

o

En

x = L

y'

= 0 c1 = PJLi 2EI

c2 = - PL3 3EI

-11-

_

Px3 6EI

PL2x 2EI

En x = O

=>

y= -

En x = 0

=>

y' = +.PL2 2EI

PL3 3EI

' =

Px2 2EI

, PL2 2EI

deflexión hacia abajo

rotación de x hacia y

observación: Cuando se fija un sistema de referencia x,y; no sólo se fijan los sentidos positivos de "x" y "y"; sino que, también, se fija el sentido positivo de la rotación que es de x hacia y.

PROBLEMA Ns 2

a)

Determinar

la

ecuación

de

la

curva

elástica

entrando

por

el

empotramiento.

b)

Calcular la deflexión de la sección en el punto de aplicación de la de la carga P.

c)

Calcular la rotación de la sección en el punto de aplicación de la carga P.

SOLUCION:

TERCER CASO x

-12M + P.L - P.x = O

y'' = _Px + PL y EI EI

. '

y

;

M = P.x - P.L

. _ .Pxl+PLx + Cl 2EI O 1

. '

v = .Pxl + ELxi+ y 6EI 2EI

CONDICIONES DE BORDE:

En

x = 0

y = 0

En

x = 0

y' = 0 c2 = 0

ci = 0

v _

En x = L

Px3 6EI

V' = y

PLx2 2EI

Px2 , PLx 2EI EI

deflexión hacia abajo 3EI PT 2

En x = L

y' = +

rotación de x hacia y

PROBLEMA Nfi 3

Para la viga mostrada en la figura:

3 tí

a) Determinar la ecuación de la curva elástica.

b) Calcular la deflexión en el punto medio de la viga.

c) Calcular la rotación de las secciones A y B SOLUCION:

"III II

2 j

*

X

II II II II lili"

M M

2 M00 El

+ 1

°2

•13-

qx2 2

y

„ _ qx2 2EI

qLx 2EI

,,. = qx3 y 6EI

'

qLx 2

qLx 2

qLx2 4EI + c,

qx2 2

qx4 qLx3 y = 24EI " 12ET + clx + c2

CONDICIONES DE BORDE:

En

x = 0

y = 0

En

x = L

y = 0 _ qL3 ci = 24EI

c2 = 0

• _ Qx3 qLx2 qL3 " 6EI " 4EI + 24EI

qx4 qLx3 qL3x = 24EI " 12EI + 24EI

DEFLEXION DEL PUNTO MEDIO:

(hacia abajo) 384 EI

ROTACION DE LA SECCION A: y'A = 2^f

(dexay)

Y B

(de y a x)

ROTACION DE LA SECCION B: * 24EI

PROBLEMA Nfi 4

Para la viga mostrada en la figura:

L/2

r

L/2

7777777?.

*7777777.

a)

Determinar la ecuación de la curva elástica.

b)

Calcular la deflexión en el punto medio de la viga.

c)

Calcular la rotación de las secciones AyB.

1 4

SOLUCION:

Mi = *?*. para 0

yi = 0

x = L

=>

y2 = 0

x - 2

^

yi = y2

x = 2

y'i = y'2

9a " 24EI

'

08 " 24EI

'

6m " 12ET

'

yM " °

PROBLEMA Nfi 7

Para la viga mostrada en la figura:

a) Determinar la ecuación de la curva elástica. b) Calcular la deflexión y la rotación de las secciones B y c. SOLUCION: "i

0 d2y . d2x

ri(x) ^l*n y" El

U±JJ

'

M2s.q(x-L/2)(x-U2) =l[x.{U2)]2 M, = 0

-18-

y"i =0

q[x - L/2]2 y 2 = —

;

'

y'i = ci

y2=

;

+c3

y, = c, x + c2

'

y2 =

+c3X + c4

CONDICIONES DE BORDE Y EMPALME:

y2 = 0 y'2 = o yi = y2 y'i = y'2

otra manera de resolver EL PROBLEMA: utilizando

dos

sistemas

de

referencia,

uno en c y otro en b. En este caso las condiciones de borde se escriben de la manera siguiente: yi(x = L/2) = y2(x = 0) y',(x = L/2) = y'2(x = 0) y2(x = L/2) = 0 y2(x = L/2) = 0 PROBLEMA Ne 8

Para la viga mostrada en la figura:

a)

Suponiendo que la viga ab es

infinitamente

rígida,

determinar la

nueva posición de AB después de cargar la viga. Supóngase además, k1 mayor que l

y

_ qx3 6EI

y = 0

m(x)

qLx2 4EI

;

qx4 qLx3 = —^rr - t + ax + 24EI 12EI

Enx = L=>

y = qL/2k + 5C

-27-

PARA LA BARRA CD:

r/2«, M)=l X M(x)/EI

qLx Mi +

A = 0

=*

qLx

XM qLx M, = -

qL2

M2

y l

_ qLx ~ 2e7

qLx 2EI

y 2

qL2 2EI

qLx2 y]=4ET+c'

, Y2

'

:

yi

qLx2 qL2x " 4EI + 2EI +°3

qLx3 12EI

C]x + c2

qLx3 12EI

'

qL2x2 4EI

CONDICIONES DE BORDE: En

x = L

=>

yi=0

;

Enx = L=>

y'i=0

En

x = 0

=>

y2 = 0

;

En

y'2 = 0

qL3 4EI

x = 0

=>

c3 = 0

C2 6EI

Se = yi Cx = 0) = c2 =

6b " 2k

, qLl 6EI

;

c4 = 0

-28SOLUCION DE VIGAS HIPERESTATICAS MEDIANTE LA ECUACION DE LA CURVA ELASTICA - METODO DE LA DOBLE INTEGRACION. Al estudiar la tracción simple, la compresión simple y la torsión se observó que, en los problemas estáticamente indeterminados, en los que las ecuaciones de equilibrio estático son insuficientes para el cálculo de las reacciones, es preciso añadir otras ecuaciones de relación entre las defor maciones elásticas. De la misma manera, en el estudio de las vigas estática mente indeterminadas o hiperestáticas hay que añadir a las ecuaciones de la estática otras relaciones adicionales basadas en la deformación de las vi gas. Dichas relaciones se obtienen a partir del estudio de la curva elástica de una viga estáticamente determinada. Supóngase que se desea resolver la siguiente viga hiperestática: q %

Já*.

L

Si

Si la viga estuviese solamente empotrada en el extremo B y libre en el extremo a, estaría soportada por dos reacciones: una fuerza vertical y un momento. Como estas dos reacciones se calculan mediante las ecuaciones de la estática, Xv= o y IM = o, la viga es estáticamente determinada. Pero, si se coloca un apoyo en el extremo A, o en cualquier otro punto, se introduce una reacción adicional R, y como no se aumenta el número de ecuaciones de la estática, la viga tiene un apoyo de más, es decir, un exceso de vínculos. Dicho de otra manera, para cada valor arbitrario de R se pueden cal cular unos valores de M y v que satisfacen las condiciones de equilibrio es tático, por lo "que la determinación de los valores apropiados de la terna R, v, m requiere añadir una condición más a las ecuaciones de equilibrio estático. En este caso se puede tomar como condición que la deflexión en el punto A es nula. El método de la doble integración o método de la curva elástica desa rrollado para vigas isostáticas, se aplica también en la solución de vigas hiperestáticas, con la diferencia de que aquí intervendrán, además, unas re acciones desconocidas porque cada vínculo adicional introduce en las ecua ciones un cierto número de incógnitas, pero añade también un igual número de condiciones a la curva elástica, por lo que el sistema será siempre deter minado.

-29conclusosi: Para resolver problemas hiperestáticos, utilizando la ecuación de la curva elástica, se procede de la manera siguiente:

1. - Se

eliminan

los vínculos

hiperestáticos y se colocan

las

reac

ciones que ellos transmiten.

2. - Se observa si se pueden escribir algunas ecuaciones de equili brio para la viga. En caso afirmativo, se procede a escribirlas.

3. -

Se

completan

las

ecuaciones

de

equilibrio

con

las

relaciones

que resulten de la integración de la ecuación de la curva elás tica y las respectivas condiciones de borde.

Para resolver el problema considerado al principio, suponga el siste ma de referencia y la convención de momento flector señalados en la figura.

1. - Se elimina el rodillo en a, y se coloca la reacción R.

2. - Se observa si se puede escribir alguna ecuación de equilibrio. En este caso no se puede.

3. - Se procede a escribir la ecuación diferencial de la curva elás tica en función de R.

" - 3^. Ex 2EI El

_ .q*l. 24EI

.

Rxi + cjX + c2 6EI

Se tienen tres incógnitas: cv c2 y R. CONDICIONES DE BORDE:

para

x = o

y = o

para

x = L

y = o

x = L

y=o

30 Supóngase que el problema anterior se hubiese enfocado entrando por el empotramiento:

mcffiHr) 77777777. 7777?

y" = - M(x)/EI

1 .- Se elimina el empotramiento y se colocan las reacciones que transmite. En este caso VyW. 2.- Se observa si se puede escribir alguna condición de equilibrio. En este caso se puede escribir la ecuación de momento alrededor del punto A:

V.l + W = 3¿_ 3.- Se procede a escribir la ecuación diferencial de la curva elástica en función de VyW.

m

y

vx + w

. = qxi.vxi. wx+Cl 6EI 2EI El l

2

,

y

2m

m

m

y = ^T-Íf + !m+ClX + C2

Se tienen cuatro incógnitas v, w, c, y c2. CONDICIONES DE BORDE: En

En

x = 0

==>

y = 0

x = 0

=>

y'= 0

x = L

=>

y = 0

Estas tres condiciones de borde y la ecuación de equilibrio constitu yen el sistema de ecuaciones que permiten resolver el problema.

-3 1PROBLEMA N8 1

Para la viga mostrada en la figura, determinar las reacciones

hiper-

estáticas utilizando la ecuación de la curva elástica y trazar, el diagrama de momento

flector.

■

\

f V II I! 1M

-

Bi

SOLUCION: Eliminando el empotramiento en A y colocando las reacciones R y w se tiene:

te

,

*

M M y" = - M(x)/EI

Al

eliminar

el

vínculo y colocar

las

reacciones

que

allí se trans

miten, se observa que no se puede escribir ninguna ecuación de equilibrio.

/ = 3^ 3 2EI

Rx. w El El

'

M = w + Rx - 3_ 2 ■ _ qx3 RX2 wx . ' 6EI 2EI El 1

qx4 24EI

Rxi 6EI

wx- + cjX + c2 2EI

CONDICIONES DE BORDE: En

x = 0

=>

y = o

;

En

x = o

=>

y' = o

En

x = L

=>

y = o

;

Enx=L

=f

y' = o

Se tienen cuatro incógnitas R, w, c1 yC2 ; y se pueden escribir cuatro condiciones de borde. Resolviendo el sistema de ecuaciones:

c, = 0

;

c2 = 0

;

w = -^

!

R = ^

-32

1 qL2/12

qL2/ 1 2

Cf qL/2

qL2/12

qL2/12 B

A qL2/24 PROBLEMA NQ 2

Para la viga mostrada en la figura: q

a)

Calcular la deflexión de la sección B.

b)

Calcular la rotación de la sección B.

SOLUCION: q

CONDICIONES DE BORDE: En

x = o

=¡>

y = R/k

En

x = l

=>

y=o

x = l

=>

y' = o

Si se ha supuesto R hacia arriba, es que se ha asumido también que el resorte

se

comprime.

Esto

significa que

se está suponiendo

la

deflexión

positiva ( en el sentido de y).

Si se hubiese resuelto el problema,

pero entrando por el empotra

miento, entonces se hubiera tenido que plantear, antes que nada, la ecuación de equilibrio que expresa que 2M(B^ = o.

FL + W = 3g 2 y luego, completar con la ecuación de la curva elástica. q

= - M(x)/EI

M = Fx + W -

y =

qx-3 6EI

Wx El

Fx2 + cl 2EI

y

= qx2EI

qx4 24EI

Wxi 2EI

W El

Fx El

Fxi + cjX + c2 6EI

CONDICIONES DE BORDE: En

En

x = 0

=>

y=o

x = o

=>

y' = o

x = L

=>

y = R/k

Se tienen

inicialmente cuatro incógnitas

F, w, c1 y c2. Pero al esta

blecer la tercera condición de borde, se introduce R que pasa a ser la quinta incógnita.

Se tienen tres condiciones de borde,

una ecuación de equilibrio

2M/B) = o, y se completa el sistema de ecuaciones con la ecuación de equi librio

ZFV = 0.

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PROBLEMA Ns 3

Para la viga mostrada en la figura, calcular las reacciones utilizando la ecuación de la curva elástica.

L/2

L/2

SOLUCION:

Mi

= w + Rx

H2 = w + R.x - P

y i = y'i =

W Rx EI EI Wx Rx2 + c, EI 2EI

yi = - !m-!f + clx + C2

W Rx , Px PL EI EI EI 2EI Wx Rxl.Pjcl PLx , c y'2 = El 2EI 2EI 2EI 3 Wxi.Rxl ^PLxi 6EI 4EI +C3x + C4 y2 = . 2EI 6EI y 2 =

INCOGNITAS: C.,, C2, C3, C4, W, R.

CONDICIONES DE BORDE Y DE EQUILIBRIO:

1)

X =0

V1=0

3)

X = L/2

Yi = y2

5)

X = L

y2 = o

6)

ZM = 0

;

; ;

2)

X = 0

y'i = 0

4)

X = L/2

y'i = y'2

W + RL - PL/2 = 0 Q = 5P V 16

'

R = HE. K 16

w =

3PL 16

_ L 2J

35-

Veamos la solución del mismo problema colocando el sistema de referencia en el otro extremo:

s»f