Criterio de Lane

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Minas

LEY DE CORTE DE PLANIFICACIÓN SEGÚN CRITERIO DE LANE

Diego Molina Villacura Nelson Navarrete Lucaveche

MODELO DE LEYES DE CORTE 

El propósito es determinar la mejor estrategia de explotación del yacimiento, en base a una política de leyes de corte que defina la cantidad de material y mineral a extraer en cada período las variables exógenas para el modelo a proponer corresponden a:



Tamaño y geometría de la mina. Capacidades de las etapas productivas a considerar. Planes de desarrollo, a través de las fotos de la mina. Parámetros económicos de costos y de operación

  

a través del modelo se intenta modelar las siguientes variables de decisión: 



Determinar la cantidad de material a extraer de la mina, desde expansiones predefinidas por el Plan de Largo Plazo (PLP). Definir el destino que se dará a dicho material en base a su ley de corte, teniendo como alternativas la concentradora, el botadero o el stock.

FUNDAMENTOS DEL ALGORITMO DE KENNETH F. LANE



hace uso de un algoritmo basado en ecuaciones analíticas optimizantes de leyes de corte, que conduce directamente a la decisión óptima en cada etapa.



se maximiza la razón de cambio del valor presente de los flujos, con respecto al recurso. Con el fin de obviar la prueba de todos los posibles estados futuros, se introduce un término de costo de oportunidad que los representa



El método genera seis leyes de corte. 3 son llamadas leyes económicas. Ellas se determinan en base a la suposición de que cada componente del proceso, limita independientemente la producción 3 son las leyes de equilibrio que suponen que dos componentes de a pares, limitan el flujo El algoritmo determina finalmente la ley óptima entre todas ellas.

MODELO GENERAL DE LEYES DE CORTE DE K.F.LANE 

El modelo económico de una mina expresa el flujo de caja anual del proyecto en función de las siguientes variables de interés: Leyes de corte Capacidades Máximas de producción por cada componente del proceso Precios Costos



Se asume que el proceso consiste en tres etapas: mina, tratamiento y refinación.

MODELO GENERAL DE LEYES DE CORTE DE K.F.LANE

MODELO GENERAL DE LEYES DE CORTE DE K.F.LANE 

expresión básica de beneficio que en términos de unidad de material extraído, puede ser expresada como:

B = (p - r) x g* y – x c – m – f  Donde  representa el tiempo requerido para procesar una unidad de material mineralizado, dependiendo de la etapa que este limitando la operación minera. B g g* x y m c r f p

: : : : : : : : : :

Beneficio Ley de Corte aplicada al material mineralizado. Ley promedio del mineral Proporción de material mineralizado clasificado como mineral. Recuperación de metal en el proceso metalúrgico Costo mina por tonelada de material, ya sea mineral o estéril Costo concentración por tonelada de mineral tratado. Costo refinación por tonelada de metal fino. Costos fijos por periodo Precio de venta por tonelada de metal fino

DECISION OPTIMA DE UN PERIODO 

El Valor Presente (VP) de un período determinado puede expresarse como sigue:

V = V (T,R,) en que, V : T : R :  : =

VP de una operación minera basada en un recurso finito Instante de tiempo en que se lleva a efecto la evaluación Cantidad de recurso aun disponible Estrategias de leyes de Corte de la operación a futuro {1, 2,…., T}, donde ¡ es la decisión adoptada en un período i, la cual puede consistir en una ley de corte gi



la estrategia óptima estará determinada por el máximo valor de V, que puede se expresado como:

Max { V( T, R,)} = V* (T,R)

DECISION OPTIMA DE UN PERIODO V· (T,R) = max { q B(, t) + V*· (T+t, R-q)} (1 + d)^t Donde, Q B  t d

: : : : :

Consumo pequeño del recurso en t. Beneficio generado por unidad de recurso. Estrategia seguida para incurrir en q. Tiempo incurrido para desarrolla Tasa de descuento del proyecto

mediante un arreglo matemático le ecuación anterior se reduce a

dV* = max {B – F t } dR q La componente F es constante en el período y la maximización es sólo con respecto a 

F puede interpretarse como un costo de oportunidad del capital asociado a la operación

DECISION OPTIMA DE UN PERIODO 

En consecuencia, el criterio de maximización es el siguiente: dV*/dR debe ser un máximo en todos los puntos a lo largo de la estrategia óptima, cualquier q debe tener un máximo efecto sobre V*. Luego, sumando todos los aportes sobre V* correspondientes a una secuencia de consumos q, dará el mayor VP total

DETERMINACIÓN DE LEYES DE CORTE ECONOMICAS 

la expresión para determinar una ley de corte optima, es

dV* = max  =g { (p - r) x g* y – x c – m – ( f + F )  } dR



Para establecer la ley de corte óptima, deben considerarse tres casos según sea la etapa que limita la producción. Estos casos dan origen a tres leyes de corte óptimas llamadas leyes de corte económicas.

LIMITACIÓN DE LA CAPACIDAD MINA 

Si la capacidad de extracción mina es M, el tiempo requerido para extraer una unidad de material mineralizado es 1/M. Reemplazando este valor por 

max  =g { vm = (p - r) x g* y – x c – m – ( f + F ) } M maximizando se obtiene

gm 

= c /( ( p - r)  y)

señala que el material mineralizado es considerado como mineral en la medida que su valor implícito (p – r)yg sobrepasa el costo de concentración.

LIMITACIONES DE LA CAPACIDAD DE TRATAMIENTO 

En este caso, una unidad de material mineralizado da origen a x unidades de mineral, y estas tardan  = x/C unidades de tiempo para ser tratadas. C es la capacidad de tratamiento. max  =g { vc = x [(p - r) g* y – c– ( f + F ) – m } C maximizando se obtiene:

gc = c + ( f + F )/C [ ( p - r )  y

LlMITACION DE LA CAPACIDAD DE REFINACION 

Una unidad de material mineralizado da origen a x y g unidades de metal fino, que tardan  = xyg/R en ser procesadas o vendidas, R es la capacidad de refinación. Luego, la expresión a maximizar será en este caso max  =g { vr = x [(p - r – ( f + F )g*y – c] } R maximizando se tiene:

gr =

c _ [ ( ( p - r) - ( f + d  V )  R)  y

DETERMINACIÓN DE LEYES DE CORTE DE EQUILIBRIO 

Se determinan debido a que la capacidad de operación no necesariamente está limitada por una etapa.



Al graficar vm y vc y vr y realizar combinaciones se obtienen los siguientes casos



El problema de búsqueda de la ley de equilibrio entre dos etapas del proceso, se reduce a encontrar la máxima contribución al valor presente dentro del lugar geométrico factible de alternativas



Ley de corte de equilibrio Mina/Concentradora,

Gmc

=

gm, si gmc

< gm

DETERMINACIÓN DE LEYES DE CORTE DE EQUILIBRIO



Ley de corte de equilibrio Mina/Concentradora

Gmc = gmc, en otro caso

Gmc

= gc, si gmc

> gm

De igual manera se calcula la Ley de Corte de Equilibrio para el caso Mina/Refinería, Gmr, y para Concentradora/Refinería, Gcr

DETERMINACION DE LAS LEYES DE CORTE OPTIMA 

Determinadas las leyes de equilibrio para cada uno de los pares de etapas, corresponde a continuación encontrar la ley de corte óptima y global entre todas ellas G = Valor Central ( Gmc , Gmr , Gcr )

Caso de Estudio INFORMACION DISPONIBLE

Cap. Mina

10

Mtpa

Cap. Con.

4

Mtpa

0,035

Mtpa

Cap. Ref. Costo Mina

0,84

US$/t Mat.

Costo Con.

3,8

US$/t min.

Costo Ref.

800

US$/t Cu

Costo fijo

3,3

MUS$/año

3307,5

US$/lb Cu

Precio Venta Prod. Tasa de Dcto. % Recuperacion

8 0,88

Caso de Estudio

Intervalo de Fases

Marca

(% Cu)

Clase

Tonelaje (Mt) Parcial

Acumulado

% Acumulado

Ley Media

Cu fino

(% Cu)

(Mt)

0

0,2

0,1

12

206

100,00

0,906

1,64

0,2

0,4

0,3

27

194

94,17

0,956

1,63

0,4

0,6

0,5

44

167

81,07

1,062

1,56

0,6

0,8

0,7

23

123

59,71

1,263

1,37

0,8

1

0,9

22

100

48,54

1,392

1,22

1

1,2

1,1

17

78

37,86

1,531

1,05

1,2

1,4

1,3

19

61

29,61

1,651

0,89

1,4

1,6

1,5

14

42

20,39

1,810

0,67

1,6

1,8

1,7

11

28

13,59

1,964

0,48

1,8

2

1,9

3

17

8,25

2,135

0,32

2

2,2

2,1

8

14

6,80

2,186

0,27

2,2

2,4

2,3

6

6

2,91

2,300

0,12

Caso de Estudio Procedimiento: Se deben calcular las leyes de corte económicas y de equilibrio, para Mina, Concentradora y Refinería: 1)

Se comienza la iteración tomando un VP=0 y se calcula Vm, Vc y Vr, dependiendo del proceso limitante:

Mina limita operación: ( = Reservas/M) Vm = (p - r) x g* y – x c – m – ( f + F ) M Concentradora limita operación: ( = x/C) Vc = x [(p - r) g* y – c– ( f + F ) – m C Refinería limita operación: ( = xyg/R) Vr = x [(p - r – ( f + F )g*y – c] } R

Caso de Estudio

Obteniendo lo siguiente: Ley de corte (% Cu)

Tonelaje Acumulado (Mt) Parcial

Acumulado

Cu fino

Vm

Vc

Vr

(Mt)

MUS$

MUS$

MUS$

0,0

12

206

1,64

3093,70

2991,73

3006,85

0,2

27

194

1,63

3112,82

3020,75

3026,97

0,4

44

167

1,56

3036,68

2966,89

2957,55

0,6

23

123

1,37

2718,43

2684,93

2657,56

0,8

22

100

1,22

2450,57

2436,05

2403,05

1,0

17

78

1,05

2097,26

2100,89

2066,17

1,2

19

61

0,89

1749,23

1766,88

1733,65

1,4

14

42

0,67

1276,40

1309,73

1281,32

1,6

11

28

0,48

866,21

911,09

888,56

1,8

3

17

0,32

495,38

549,33

533,24

2,0

8

14

0,27

381,00

437,43

423,59

2,2

6

6

0,12

40,69

103,72

97,22

Caso de Estudio Luego calculamos las leyes de corte económicas:

gm

gc

gr =

= c /( ( p - r)  y)

= c + ( f + F )/C [ ( p - r )  y

c _ [ ( ( p - r) - ( f + d  V )  R)  y

Vm-Vc 3.500,0 Caso de Estudio 3.000,0

MUS$

2.500,0 2.000,0

Vm Vc

1.500,0 1.000,0 500,0 0,0 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4

Ley de Corte

Leyes Economicas %Cu

Leyes de Interseccion

gm

0,17

gmc

0,97

gc

0,21

gmr

1,35

gr

0,16

gcr

0,28

Caso de Estudio Luego se debe determinar las leyes de corte de equilibrio: Vm-Vc-Vr 2.000,0 1.500,0

MUS$

1.000,0 Vm

500,0

Vc 0,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 -500,0 -1.000,0 -1.500,0 Ley corte

Gmc

=

gm, si gmc

Gmc = gmc, en otro caso Gmc

= gc, si gmc

> gm

< gm

Vr

Caso de Estudio Luego obtenemos lo sgte.: Leyes Economicas %Cu

Leyes de Interseccion

Leyes de equilibrio

gm

0,17

gmc

0,97

Gmc

0,21

gc

0,21

gmr

1,35

Gmr

0,16

gr

0,16

gcr

0,28

Gcr

0,16

Ley de Corte Optima

0,17

A partir de lo cual calculamos lo siguiente: Tiempo (años)

Tiempo (años)

Mina

20,6

Concentrador

51,5

Refinador

46,9

51

Qm (Mt/año)

4,04

Qc (Mt/año)

4,04

Qr (Mt/año)

0,03

Ley equilibrio (%)

0,17

Valor Anual (MUS$/año)

58,69

Valor Actualizado (MUS$)

719,19

Caso de Estudio Luego se repite el proceso iterando a partir del VP obtenido en el proceso de iteración anterior, hasta que el VP actualizado sea igual de una iteración a otra.

Tiempo (años)

34

Qm (Mt/año)

5,28

Qc (Mt/año)

3,15

Qr (Mt/año)

0,04

Ley equilibrio (%)

0,79

Valor Anual (MUS$/año)

68,15

Valor Actualizado (MUS$)

1022,62

Caso de Estudio Determinación de leyes de corte por año:

Ley de Corte

Nº Remanente

Optima

Años 1

1022,62

0,90

2

1006,99

0,88

3

990,11

0,87

4

971,88

0,86

5

952,19

0,84

6

930,92

0,83

7

907,95

0,82

8

883,14

0,80

9

856,35

0,78

10

827,42

0,76

11

796,17

0,74

12

762,42

0,68

Caso de Estudio

Ley de Corte

Nº Remanente

Optima

Años

13

736,06

0,64

14

707,59

0,59

15

676,85

0,54

16

643,65

0,50

17

624,05

0,46

18

602,88

0,44

19

580,02

0,42

20

555,53

0,40

21

528,66

0,38

22

499,86

0,36

23

468,76

0,34

24

435,17

0,32

Caso de Estudio

Ley de Corte

Nº Remanente

Optima

Años 25

398,17

0,30

26

359,75

0,29

27

326,17

0,28

28

289,95

0,28

29

250,83

0,28

30

208,58

0,28

31

162,95

0,28

32

113,67

0,26

33

60,45

0,24

34

2,97

0,20

Conclusiones 

El comportamiento del vector de Leyes de Corte entregado por Lane es decreciente en el tiempo; ya que al intentar maximizar los flujos de caja de la operación, se debe considerar que los primeros años son lo que dan mayor aporte al VAN, por lo que se busca la explotación de las leyes mayores en esos años. Esto se logra por la incorporación del costo de oportunidad en el proyecto minero.



Al entregar un valor variable para cada periodo de operación de la mina, se permite realizar una planificación de la producción adecuada a cada uno de esos periodos.



El empleo de la función VAN dentro del calculo de las leyes de corte, constituye un criterio económico conveniente en la valorización de las reservas del yacimiento, pues considera las ganancias actuales y futuras del negocio, y tiene mayores posibilidades de acomodación a condiciones económicas cambiantes al considerar los ingresos y costos año a año en el flujo de caja neto anual.