Criterio de Gruebler

1.5 Criterio de Gruebler y sus excepciones

CRITERIO DE GRUEBLER Y LA ECUACIÓN DE GRUEBLER – KUTZBACH Una de las partes fundamentales del diseño de todo mecanismo es saber el grado de libertad que debe tener Ya hemos visto que el grado de libertad de un elemento nos indica cuantos movimientos puede realizar (movilidad), en este tema estudiamos una herramienta que nos permite determinar el grado de libertad de un mecanismo: el criterio de Gruebler o condición de Gruebler. Las características principales de un mecanismo que nos ayudan a determinar su grado de libertad global son: el numero de eslabones, juntas y las interacciones entre estos. Recordemos algunas consideraciones en el plano: 1. Todo eslabón tiene tres GDL. Así que, un sistema de L eslabones no conectados en el mismo plano tendrá 3 L GDL. Fig. a). 2. La junta completa que une dos eslabones elimina dos grados de libertad del sistema. Fig. b). 3. La semijunta elimina solo un GDL del sistema. Fig. c). 4. Un eslabón conectado a tierra (fijo) se eliminan sus tres GDL.

Ilustración 1. GDL eliminados por Juntas

Al relacionar lo anteriormente dicho, se desarrolla la siguiente expresión:

M =3 L−2 J−3G ecuación de Gruebler Donde M es el grado de libertad o movilidad, Les el número de eslabones, J es el número de juntas y G es el número de eslabones conectados a tierra. Note que, en un mecanismo real, a pesar de que más de un eslabón de la cadena cinemática se conecte a tierra, “el efecto neto será un eslabón conectado a tierra de mayor orden y más grande” [1], debido a que hay un solo plano de tierra. Por ende, G siempre es uno y la ecuación de Gruebler cambia:

M =3 ( L−1 ) −2 J Hasta ahora, en las ecuaciones anteriores se considera en J el valor de todas las juntas en el mecanismo. Pero recordemos que las semijuntas solo eliminan un GDL, por lo que su valor es ½. Lo que podría provocar una confusión al aplicar la ecuación de Gruebler para determinar el grado de libertad de un mecanismo que incluye tanto juntas como semijuntas. Entonces, es preferible la modificación de Kutzbach de la ecuación de Gruebler, también llamada ecuación de Gruebler – Kutzbach:

M =3 ( L−1 ) −2 J 1 −J 2 ecuación de Gruebler −Kutzbach Donde M es el grado de libertad o movilidad, Les el número de eslabones, J 1es el número de juntas de 1 GDL (completas) y J 2 es el número de juntas de 2 GDL (semi). Debe tenerse cuidado para considerar las juntas completas, semijuntas y múltiples en todo eslabonamiento, pues de eso depende determinar el valor de J 1 y J 2 en la ecuación. Consideramos que la junta múltiple vale uno menos el número de eslabones unidos a esta y se agrega en la categoría de juntas “completas” o al valor de J 1. Ahora hablemos de algunos detalles sobre esta ecuación, primero, podemos determinar rápidamente el GDL de cualquier mecanismo antes de destinar tiempo en un diseño más detallado (básicamente, ayuda a encontrar errores antes de lograr avances significativos). Segundo, esta ecuación no contiene información sobre tamaños y formas de los eslabones, únicamente nos indica la cantidad correspondiente al GDL.

ECUACIÓN DE GRUEBLER – KUTZBACH PARA MECANISMOS ESPACIALES Para determinar la movilidad de un mecanismo en tres dimensiones, se utiliza un método ampliado al utilizado en un mecanismo plano. Usamos el mismo razonamiento: -

En un sistema de eslabones no conectados, cada uno tiene 6 GDL. Tanto uno de los seis pares inferiores como los pares superiores con más libertad, se pueden utilizar para conectarlos.

Así, una junta de un grado de libertad elimina 5 GDL, una de dos grados de libertad elimina 4 GDL, y así sucesivamente hasta llegar a la bancada que elimina 6 GDL. Y con esto llegamos a la ecuación de Gruebler – Kutzbach para mecanismos espaciales:

M =6 ( L−1 )−5 J 1−4 J 2−3 J 3−2 J 4 −J 5 Donde el subíndice indica el numero de grados de libertad de la junta. Nunca hay que confundir el grado de libertad de una junta con el grado de libertad de los eslabones del mecanismo, pues, como lo hemos notado, el grado de libertad de la junta es el grado de libertad que esta le restara al sistema.

EXCEPCIONES La ecuación de Gruebler, como hemos mencionado, es útil para determinar rápidamente el GDL de un mecanismo. No obstante, no debemos fiarnos completamente de sus resultados y las razones las veremos a continuación: 1. Juntas múltiples o coincidentes: hablamos del caso de mas de dos eslabones conectados por la misma junta de revolución o revoluta. Aunque físicamente esto es posible, por definición, la junta conecta dos eslabones. Así que, para el análisis cinemático, la configuración de este tipo de juntas debe modelarse como si se tratara de juntas separadas. Por lo que para n eslabones en la misma junta, se considera que un eslabón principal está conectado un segundo eslabón dando lugar a una junta, luego con el tercer eslabón originando una segunda junta, …, hasta llegar al n eslabón formando la (n−1) junta. Entonces, en el modelo matemático, el valor de una junta múltiple es uno menos que el numero de eslabones que une. Vea el ejemplo 3. 2. Dimensiones y características geométricas de los eslabones: la ecuación no considera estos detalles dentro de su análisis, es por ello que, en algunos mecanismos, aunque la ecuación indique que el mecanismo no se moverá, por su geometría será evidente que si podrá moverse. Esto lo veremos comparando el ejemplo 2 y el ejemplo 4 más adelante. 3. Estructura hiperestática dentro del modelo cinemático: se presenta cuando en una parte del mecanismo se tiene una estructura sobrecargada y otra parte que tiene al menos un GDL. A pesar de que el mecanismo se moverá en una parte, la ecuación podría dar un resultado erróneo debido a que la ecuación considera a todo el conjunto. Como se vera en el ejemplo 5.

EJEMPLOS No. Mecanismo 1

Explicación El cuadrilátero articulado tiene N=4 y J=4 , por lo que el GDL es:

M =3 ( 4−1 )−2 ( 4 )=1

2

Si al acoplador del ejemplo 1 se le da una forma triangular y se añade una barra adicional pivotada al elemento fijo, se tiene que N=5 y J=6, por lo que el GDL es:

M =3 ( 5−1 )−2 ( 6 )=0

El resultado indica que no se trata de un mecanismo, sino de una estructura.

3

El mecanismo tiene N=6 y J=7 , por lo que el GDL es:

M =3 ( 6−1 )−2 ( 7 )=2

Aquí el par ternario se debe considerar como dos pares binarios por equivalencia. 4

En el mecanismo se tiene que N=5 y J=6 , por lo que el GDL, según la ecuación, es:

M =3 ( 5−1 )−2 ( 6 )=0

5

El resultado indica que el mecanismo no debería moverse, pero es evidente que moverá porque se trata de un cuadrilátero articulado con barras redundantes. A pesar de que el mecanismo del ejemplo 2 (inmóvil) es estructuralmente idéntico a este, la geometría de tres barras paralelas con orígenes alineados permite la movilidad. En el mecanismo se tiene que N=9 y J=12 , por lo que el GDL, según la ecuación, es:

M =3 ( 9−1 )−2 ( 12 )=0

No obstante, notamos que la parte derecha del mecanismo es un cuadrilátero articulado con un GDL. Por otro lado, la parte de la izquierda se trata de una estructura hiperestática. Si aplicamos la ecuación de Gruebler a cada parte del mecanismo tenemos: 1. La parte derecha tiene N=4 y J=4 :

M =3 ( 4−1 )−2 ( 4 )=1 2. La parte izquierda tiene N=6 y J=8 M =3 ( 6−1 )−2 ( 8 )=−1

Bibliografía [1 R. L. Norton, DISEÑO DE MAQUINARIA, México: McGraw Hill, 2009. ] [2 A. Avello, Teoría de Máquinas, Navarra: Tecnun-Universidad de Navarra, 2014. ] [3 [En línea]. Available: ] https://www.academia.utp.ac.pa/sites/default/files/docente/72/clase_1_introduccion_a_los_ mecanismos_y_a_la_cinematica.pdf. [Último acceso: 16 Septiembre 2021].